Metodinė medžiaga matematikos modulių programų 9−10 (I−II

Kalba netaisyta

P R O J E K T A S VP1-2.2-ŠMM-04-V-01-001

„MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBI Ų DIDINIMAS 14 –19 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS:

GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZA VIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYB ĖS,

REIKALINGOS ŠIUOLAIKINIAM DARBO PASAULIUI“

1.2.1. MODULINIŲ MOKYMO PROGRAMŲ PAGRINDINIAM UGDYMUI RENGIMAS

Metodinė medžiaga matematikos modulių programų

9−10 (I−II gimnazijos) klasėms (2012) įgyvendinimui

Medžiagą parengė:

Ekspertų grupės vadovė Regina Rudalevičienė

Ekspertai Romualdas Kašuba, Rūta Švelnikienė

2014 m. kovo 28 d.

Kalba netaisyta

TURINYS

ĮVADAS ......................................................................................................................................... 3

I. MOKINI Ų PASIEKIM Ų APIBENDRINAMOJO VERTINIMO / ĮSIVERTINIMO KRITERIJAI PAGAL PASIEKIM Ų LYGIUS .................................................................................................. 4

1. Modulis B-1 Veiksmai realiųjų skaičių aibėje ................................................................... 4

2. Modulis B-2 Plokštumos geometrija .................................................................................. 9

3. Modulis B-3 Lygtys ir lygčių sistemos ............................................................................. 15

4. Modulis B-4 Funkcija. Funkcijų bkxy += , x

ky = , cbxaxy ++= 2 grafikai ........ 20

5. Modulis B-5 Nelygybės. Nelygybių sistemos ................................................................... 26

6. Modulis B-6 Racionalieji reiškiniai ir jų pertvarkiai ...................................................... 31

7. Modulis B-7 Racionaliosios lygtys. Lygčių sistemos, kurių viena lygtis netiesinė .......... 37

8. Modulis B-8 Erdvės geometrija ....................................................................................... 42

9. Modulis B-10 Sprendimo strategijos paieška .................................................................. 48

10. Modulis A-1 Geometrinių sąryšių paieška ..................................................................... 54

11. Modulis A-2 Finansinio raštingumo elementai. Statistika. Tikimybių teorija ............... 61

12. Modulis A-3 Problemų sprendimas, taikant funkcijų savybes ....................................... 72

13. Modulis T-1 Geometrija kasdieniniame gyvenime ........................................................ 78

14. Modulis T-2 Planuojame, renkame duomenis, kombinuojame, tikimės... ...................... 84

15. Modulis T-3 Funkcijų savybių taikymas nagrinėjant realias situacijas ........................ 94

II. 9 KLAS ĖS MODULIO A-2 „FINANSINIO RAŠTINGUMO ELEMENTAI. STA TISTIKA. TIKIMYBI Ų TEORIJOS ELEMENTAI“ PROGRAMAI ĮGYVENDINTI REIKALINGA MEDŽIAGA .............................................................................................................................. 101

1. Planavimo pavyzdžiai .................................................................................................... 101

2. Problemų sprendimų strategijų taikymo pavyzdžiai ...................................................... 117

3. Problemų sprendimų uždavinių rinkiniai trims pasiekimų lygiams ............................... 129

III. 10 KLAS ĖS MODULIO B-10 „SPRENDIMO STRATEGIJOS PAIEŠKA“ PROG RAMAI ĮGYVENDINTI REIKALINGA MEDŽIAGA .................... .................................................. 160

1. Planavimo pavyzdžiai .................................................................................................... 160

2. Problemų sprendimų strategijų taikymo pavyzdžiai ...................................................... 165

3. Problemų sprendimų uždavinių rinkiniai trims pasiekimų lygiams ............................... 172

IV. INFORMACINI Ų IR KOMUNIKACINI Ų TECHNOLOGIJ Ų PANAUDOJIMO MATEMATIKOS UŽDAVINIAMS SPR ĘSTI METODIKOS PAVYZDŽIAI ................. 184

V. REKOMENDUOJAMA MOKYMO IR MOKYMOSI LITERAT ŪRA IR ŠALTINIAI MOKYTOJUI ........................................................................................................................... 205

VI. NAUDOTA LITERAT ŪRA IR KITI ŠALTINIAI .............................. ........................... 207

Kalba netaisyta

ĮVADAS

„Metodinė medžiaga matematikos modulių programų 9−10 (I−II gimnazijos) klasėms (2012)

įgyvendinimui“ (toliau − Metodinė medžiaga) – tai metodinė priemonė matematikos mokytojams, padėsianti

diegti ir įgyvendinti modulinį ugdymą – jį planuoti, organizuoti, vertinti mokinių pasiekimus. Metodinė

medžiaga tęsia ir papildo „Matematikos modulių programų 9–10 (gimnazijos I–II) klasėms metodines

rekomendacijas“, parengtas projekte Mokymosi krypties pasirinkimo galimybių didinimas 14–19 metų

mokiniams, II etapas: gilesnis mokymosi diferencijavimas ir individualizavimas siekiant ugdymo kokybės,

reikalingos šiuolaikiniam darbo pasauliui (toliau − Projektas) 2012 metais

(http://galimybes.pedagogika.lt/projekto-veiklos/pagrindinio-ugdymo-programos).

Rengiant Metodinę medžiagą buvo laikomasi Projekte susiformavusių nuostatų, kad privalomosios modulių

programos užtikrina dalyko pagrindus ir matematinį raštingumą, reikalingus pagrindinį išsilavinimą

įgijusiam asmeniui, o privalomai pasirenkamų modulių programos padeda mokiniui mokantis analizuoti

savo polinkius, poreikius, numatyti tolesnę mokymosi kryptį ir teisingai pasirinkti matematikos mokymosi

kursą (bendrąjį ar išplėstinį) 11–12 klasėse.

Metodinėje medžiagoje mokytojai ras mokinių pasiekimų apibendrinamojo vertinimo / įsivertinimo

kriterijų (mokytojams ir mokiniams) pagal pasiekimų lygius 15-os modulių (nuo B-1 iki B-8, B-10, nuo T-1

iki T-3, nuo A-1 iki A-3) programoms pavyzdžių, modulių A-2 ir B-10 programoms įgyvendinti reikalingą

medžiagą (planavimo pavyzdžių, problemų sprendimų uždavinių rinkinius trims pasiekimų lygiams),

informacinių ir komunikacinių (toliau − IKT) panaudojimo matematikos uždaviniams spręsti metodikos

pavyzdžių, rekomenduojamos mokymo ir mokymosi literatūros ir šaltinių mokytojui sąrašą.

Pažymėtina, kad Metodinė medžiaga pagrįsta realia matematikos modulių 9−10 kl. programas

išbandžiusių mokyklų patirtimi. Rengiant šį leidinį panaudoti Kauno Kovo 11-osios vidurinės mokyklos,

Klaipėdos „Ąžuolyno“ gimnazijos, Molėtų gimnazijos, Varėnos „Ąžuolo“ gimnazijos matematikos

mokytojų darbai. Tačiau reikia pabrėžti, kad matematikos modulių programų 9−10 kl. įgyvendinimo būdus

ir priemones savo pamokose parinkti ir pritaikyti turi pats mokytojas. Tikimės, kad Metodinė medžiaga bus

rimta parama modulinį ugdymą pasirinkusiam mokytojui.

Kalba netaisyta

4

I. MOKINI Ų PASIEKIM Ų APIBENDRINAMOJO VERTINIMO / ĮSIVERTINIMO KRITERIJAI PAGAL PASIEKIM Ų LYGIUS

1. Modulis B-1 Veiksmai realiųjų skaičių aibėje

1.1. Modulio B-1 Veiksmai realiųjų skaičių aibėje mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui

Mokini ų pasiekimų lygiai

Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis

Pasiekimų sritis: Žinios ir supratimas

1. Perskaito, užrašo pateiktus realiuosius skaičius. 2. Atpažįsta natūraliuosius, sveikuosius, racionaliuosius, iracionaliuosius ir realiuosius skaičius. 3. Skaičių tiesėje atideda sveikąjį arba paprastąja trupmena užrašytą skaičių. 4. Supranta, ką reiškia ženklai „<“, „>“. 5. Palygina du vienodo tipo skaičius. 6. Palygina du realiuosius skaičius, kai informacija pateikiama vaizdžiai (skaičiai pažymėti skaičių tiesėje ar skalėje). 7. Apvalina skaičius iki šimtųjų, dešimtųjų, vienetų, dešimčių. 8. Randa duotajam skaičiui atvirkštinį arba priešingąjį skaičių. 9. Paprasčiausiais atvejais suprastina trupmenas. 10. Paprasčiausiais atvejais atlieka veiksmus su paprastosiomis trupmenomis. 11. Nesudėtingais atvejais atlieka veiksmus su dešimtainėmis trupmenomis. 12. Skaičių pakelia natūraliuoju laipsniu. Vienaženklius skaičius pakelia kvadratu mintinai. 13. Paprastais atvejais skaičių pakelia sveikuoju laipsniu. 14. Paprasčiausiais atvejais taiko laipsnių su

1. Skaičių tiesėje atideda kelis paprastosiomis arba baigtinėmis dešimtainėmis trupmenomis užrašytus racionaliuosius skaičius. 2. Palygina du skirtingo tipo skaičius bent vienu būdu (vaizduojant skaičių tiesėje, remiantis skaičių skirtumu, keliant kvadratu ar kitaip). Užrašo vienodo tipo realiuosius skaičius didėjimo (mažėjimo) tvarka. 3. Apvalina skaičius iki nurodyto skyriaus. 4. Supranta, kada uždavinio atsakymas užrašomas atsižvelgiant į uždavinio sąlygą ir kada jis užrašomas atsižvelgiant į apvalinimo taisykles. 5. Paaiškina, kokie du skaičiai vadinami vienas kitam atvirkštiniais, priešingais. 6. Suprastina trupmeną, taikydamas dalumo požymius. 7. Dešimtainę trupmeną užrašo paprastąja ir atvirkščiai. Paprastąją trupmena užrašo periodine trupmena. Palygina periodinę trupmeną su baigtine. 8. Apibrėžia laipsnį su sveikuoju rodikliu. 9. Paprastais atvejais taiko laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybes. 10. Paaiškina, ką reiškia ištraukti kvadratinę ir kubinę šaknį. 11. Skaičiuotuvu ištraukia kubinę šaknį. 12. Paprastais atvejais atlieka veiksmus (sudėtį, atimtį,

1. Skaičių tiesėje pažymi iracionalųjį skaičių. 2. Supranta, kuo skiriasi ženklai „≥“, „ ≤“ nuo ženklų „>“, „<“. 3. Palygina skirtingo tipo skaičius įvairiais būdais. 4. Nesudėtingais atvejais teisingai pasirenka veiksmų tvarką skaitiniuose reiškiniuose. 5. Apibrėžia kvadratinę ir kubinę šaknį. 6. Iškelia daugiklį prieš kvadratinės šaknies ženklą. 7. Įkelia daugiklį po kvadratinės šaknies ženklu. 8. Nesudėtingais atvejais pertvarko skaitinį reiškinį, kuriame yra šaknys: atskliaudžia, suvienodina pošaknius, sutraukia panašiuosius narius. 9. Nustato skaičiaus eilę. 10. Atlieka veiksmus su skirtingos eilės standartinės išraiškos skaičiais.

Kalba netaisyta

5

sveikaisiais rodikliais savybes. 15. Apskaičiuoja paprastų skaitinių reiškinių reikšmes. 16. Nesudėtingais atvejais randa raidinio reiškinio reikšmę, kai duota kintamojo reikšmė yra sveikasis skaičius. 17. Skaičiuotuvu ištraukia kvadratinę šaknį. 18. Paprasčiausiais atvejais atlieka sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, kėlimą kvadratu su kvadratinėmis šaknimis. 19. Paprasčiausiais atvejais taiko kvadratinės šaknies traukimą sprendžiant uždavinius. 20. Paprastais atvejais užrašo skaičių standartine išraiška.

daugybą, dalybą, kėlimą laipsniu) su kvadratinėmis šaknimis. 13. Paprastais atvejais taiko kvadratinės šaknies savybes. 14. Iškelia daugiklį prieš kvadratinės šaknies ženklą. 15. Įkelia daugiklį po kvadratinės šaknies ženklu. 16. Apskaičiuoja nesudėtingų skaitinių reiškinių reikšmes. 17. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja raidinio reiškinio reikšmę, kai duota kintamojo reikšmė. 18. Žino, kas yra skaičiaus eilė, kai jis užrašytas standartine išraiška. 19. Atlieka veiksmus su tos pačios eilės standartinės išraiškos skaičiais.

Pasiekimų sritis: Matematinis komunikavimas

1. Teisingai supranta paprastų uždavinių sąlygas. 2. Supranta ir geba nubraižyti paprasčiausius brėžinius. 3. Teisingai perskaito matematinį laipsnio ir kvadratinės šaknies iš skaičiaus užrašą. 4. Formulių rinkiniuose randa laipsnių arba kvadratinės šaknies savybes. 5. Apskaičiuoja laipsnių ir kvadratinės šaknies reikšmes naudodamiesi lentelėmis ir/arba skaičiuokliu. 6. Paprasčiausiais atvejais skaičiavimo rezultatus pasitikrina skaičiuokliu. 7. Laipsnių ir kvadratinės šaknies reikšmių radimą užrašo naudodami laipsnio ir kvadratinės šaknies simbolius.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 2. Naudoja brėžinius paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti. 3. Teisingai perskaito matematinį kubinės šaknies iš skaičiaus užrašą. 4. Kubinės šaknies reikšmės radimo užrašymui naudoja kubinės šaknies ženklą. 5. Supranta sąvokas „šaknies rodiklis“, „pošaknio reiškinys“, „standartinės išraiškos skaičiaus eilė“. 6. Skaičiavimų rezultatą užrašo nesuprastinama paprastąja trupmena arba atsižvelgdamas į uždavinio sąlygą: jei sąlygoje mišrieji skaičiai, tai ir atsakymas – mišrusis skaičius, o ne netaisyklingoji trupmena. 7. Laikosi veiksmų atlikimo tvarkos, bet ne visi sprendimai racionalūs. 8. Gerai naudojasi skaičiuokliu. 9. Sprendimą užrašo nuosekliai, tvarkingai.

1. Tikslingai naudoja matematinius simbolius. 2. Atskiria ir naudoja skaičių aibių žymėjimus: N, Z, Q, I, R. Popieriaus lape sprendimas išdėstytas tvarkingai. Aiški sprendimo eiga. 3. Argumentuoja sprendimą. Sprendime nerašo perteklinės informacijos. 4. Geba pristatyti atliktą užduotį.

Pasiekimų sritis: Mok ėjimas mokytis

Kalba netaisyta

6

1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi neplaningai ir nesistemingai. 2. Trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. Priima draugų ir mokytojo pagalbą.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotas užduotis. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. 2. Padeda mokytis kitiems. 3. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo patikrinti jo atliktą darbą, kad galėtų įsivertinti gebėjimų lygį. 4. Užduotis atlieka kūrybingai.

Pasiekimų sritis: Problemų sprendimas

1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra / nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Pagal uždavinio sąlygos reikalavimą papildo brėžinį / schemą. 4. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 5. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga. (Pavyzdžiui, skaičiuojant atstumą negalima gauti neigiamo skaičiaus ir pan.).

1. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., laipsnio su sveikuoju rodikliu apibrėžimą arba kvadratinės šaknies savybių formules). 2. Įžvelgia skaičių aibių ryšius. 3. Išanalizavęs pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas/klaidingas. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 4. Pasirenka tinkamą sprendimo būdą, bet kartais sprendime pasitaiko klaidų. 5. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti.

1. Nesudėtingais atvejais pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis žinomais apibrėžimais (pvz., skaičiaus priskyrimą tam tikrai aibei pagrindžia skaičių aibių apibūdinimu). 2. Nustato ir apibūdina ryšius tarp skaičių aibių. 3. Pritaiko matematinį modelį nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp elementų, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., norėdamas atidėti iracionalųjį skaičių skaičių tiesėje, performuluoja uždavinį į geometrinio turinio uždavinį, kuriame vienos iš stačiojo trikampio kraštinių ilgis būtų lygus iracionaliajam skaičiui, o kitų dviejų kraštinių ilgiai – natūralieji skaičiai). 4. Sprendžia nesudėtingus probleminius uždavinius, kuriuose taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., norėdamas skaičių tiesėje atidėti iracionalųjį skaičių, suranda skaičių, kurių kvadratai gali būti siejami Pitagoro teoremos lygybe, trejetą; nubraižo statųjį trikampį, kai žinomi to trikampio dviejų kraštinių ilgiai; supranta, kad trikampio kraštinių ilgiai ir skaičių tiesės padalos matuojamos tais pačiais ilgio vienetais). 5. Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

Kalba netaisyta

7

1.2. Modulio B-1 Veiksmai realiųjų skaičių aibėje mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui

Gebėjimai Pasiekimų lygiai Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis

1. Perskaityti, užrašyti žodžiais, skaitmenimis, standartine išraiška skaičius. Įvairiais būdais palyginti bet kokius du skaičius. Taikyti apytikslio skaičiavimo ir skaičių apvalinimo taisykles nesudėtingiems uždaviniams spręsti.

1. Perskaitykite skaičius: 28282828; 167

4;

13 ; 8,746; −89; 0,0087; 5,7·10 10− . 2. Užrašykite žodžiais skaičius: −30125; 78,089. 3. Užrašykite skaitmenimis skaičius: a) vienuolika milijonų vienuolika; b) minus aštuoni sveiki trys keturioliktosios; c) trys sveiki septynios šimtosios; d) kvadratinė šaknis iš septyniasdešimt devynių. 4. Nubraižykite skaičių tiesę ir pažymėkite joje taškus, atitinkančius skaičius 0; 4; −3; −4,5; 2,4. 5. Užrašykite skaičius standartine išraiška: a) 36000000; b) 23,5; c) 0,000000012. 6. Suapvalinkite skaičius: a) iki vienetų 123,123; b) iki dešimčių 1427,782; c) iki šimtų 4567,425; d) iki dešimtųjų 782,148; e) iki šimtųjų 4892,732. 7. Skaičiuokliu apskaičiuokite 250 ir suapvalinkite rezultatą iki: a) dešimčių; b) vienetų; c) dešimtųjų; d) šimtųjų. 7. Palyginkite skaičius: a) ‒7 ir ‒8; b) 8,0123 ir 8,0133;

c) 2

1ir

3

1; d)

9

8 ir

9

4; e) 5 ir 7 .

1. Išvardykite skaičių aibes ir pateikite toms aibėms priklausančių skaičių pavyzdžių. 2. Paaiškinkite sąvokas skaičius ir skaitmuo. 3. Iš duotųjų skaičių –5,3; 5 ;

5

2; 0; π; 7;

1,75; −9; 5

212 ; 2,1(6) išrinkite:

a) natūraliuosius skaičius; b) sveikuosius skaičius; c) racionaliuosius skaičius; d) iracionaliuosius skaičius. 4. Užrašykite skaičius standartine išraiška: a) 346 · 106; b) 0,078 ⋅ 105 ; c) 609 · 10−6. 5. Palyginkite skaičius:

a) 13 ir 4; b) 5

2 ir

7

3 ;

c) 25 ir 35 ; d) 25− ir 35− .

1. Apibūdinkite skaičių aibes: N, Q, Z, I, R. 2. Atidėkite skaičių tiesėje skaičius: a) 2 ; 5 ; b) 3 ; 8 . 3. Kokia yra skaičiaus eilė: a) 5,3 · 107; b) 7,3 · 10−8? 3. Duota m = 1,7 · 105 , n = 3,4·104 . Raskite: a) m + n; b) m − n; c) m · n; d) m : n. 4. Veneros masė 4,87·1024 kg, Jupiterio masė − 1,9 · 1027 kg. Kieno masė didesnė – Veneros ar Jupiterio? Kiek kartų? Atsakymą parašykite vienetų tikslumu.

5. Palyginkite skaičius 3

3

11

−

− ir

2

3

11

−

− .

2. Atlikti aritmetinius veiksmus su realiaisiais skaičiais. Pasirinkti tinkamus veiksmus ir skaičiavimo būdą

1. Atlikite veiksmus:

a) 4

3

5

2+ ; b)

4

3

5

2− ; c)

4

3

5

2⋅ ; d)

4

3:

5

2.

2. Apskaičiuokite:

1. Raskite skaičių, kai jo 0,6 lygu 6,5. 2. Apskaičiuokite:

a) 3

21:4

5

25 − ; b)

48

7:

8

35

8

56

− ;

1. Raskite 7

3 skaičiaus

13

33 .

Kalba netaisyta

8

nesudėtingiems įvairaus turinio uždaviniams spręsti. Numatyti ir įvertinti skaičiavimo rezultatus, pasitikrinti juos skaičiuotuvu ar atvirkštiniais veiksmais.

a) ‒4,8 : 0,6 + 17; b) ‒9 · 2,1 ‒ (‒4) · 3; c) ‒43 – 22 + (‒8)0 . 3. Raskite 0,5 skaičiaus 7,5. 4. Žmogus į darbą buvo priimtas 1983 metų rugpjūčio 25 dieną. 2013 metų gegužės 13 dieną jis pakeitė darbovietę. Koks žmogaus darbo stažas pilnais metais, mėnesiais ir dienomis pirmojoje darbovietėje?

c) 5

28,5 + ; d) 2100:2100 .

3. Gimnastikos varžybų dalyvės pasirodymas įvertintas tokiais balais: 5,7; 5,6; 5,4; 5,6; 5,5; 5,5. Raskite sportininkės balų vidurkį.

2. Raskite skaičių, kai jo 3

2 lygu

4

13 .

3. Apskaičiuokite: ( )

.

3

11

4

11

3

22

4,5162

3

⋅+

−⋅−

3. Spręsti paprastus uždavinius, kuriuose reikia taikyti laipsnio su sveikuoju rodikliu ir kvadratinės šaknies savybes.

1. Apskaičiuokite: a) 2−3; b) 4−2 + 2−1; c) 24 · 23; d) 712 : 78 ;

e) 27 ; f) ( )27− .

1. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę: a) 2516 ⋅ ; b) 49:04,0 ;

c) 246 ⋅ ; d) 2

192;

e) ( ) 42

3

232:

5

1325 −

−

−⋅−⋅ .

1. Suprastinkite reiškinius: a) 252338 +⋅ ;

b) ( ) ( )2525252 +−− . 2. Parašykite laipsniu: a) 720 · 423 · 723 · 420; b) 35 · 5100 − 10 · 5100.

3. Palyginkite skaičius 87 ir 68 . 4. Nesudėtingais atvejais taikyti dalumo požymius, sąvokas (priešingas, atvirkštinis, lyginis (nelyginis), modulis, dviejų skaičių (didžiausias) bendrasis daliklis ar (mažiausias) bendrasis kartotinis, skaičiaus dalis, pirminiai ir sudėtiniai skaičiai).

1. Iš skaičių 35; 42;72; 85; 5030; 126; 5086 išrinkite tuos, kurie dalijasi iš: a) 2; b) 3; c) 5; d) 9; e) 10. 2. Pateikite lyginių ir nelyginių skaičių pavyzdžių.

1. Raskite skaičių 26 ir ‒57: a) priešinguosius skaičius; b) atvirkštinius skaičius. 2. Raskite skaičių 120 ir 112 didžiausiąjį bendrąjį daliklį ir mažiausiąjį bendrąjį kartotinį. 3. Apskaičiuokite: |−86|; | 97|. 4. Mama savo vaikams padalijo po lygiai 12 obuolių ir 18 kriaušių. 1) Kiek daugiausia vaikų galėjo turėti mama? 2) Po kiek vaisių gavo kiekvienas vaikas?

1. Pateikite pirminių ir sudėtinių skaičių pavyzdžių. 2. Išskaidykite skaičius 126; 90; 455 pirminiais daugikliais. 3. Knygos pakuojamos į dviejų rūšių dėžes: po 20 arba po 12. Kiek mažiausiai knygų reikia paimti, kad pakuojant tiek vienu, tiek ir kitu būdu visos knygos patektų į vienodo dydžio dėžes ir dėžėse knygų būtų po lygiai? 4. Įrodykite, kad skaičius 545 – 544 yra skaičiaus 4 kartotinis.

5. Skaičiuotuvu ir be jo apskaičiuoti nesudėtingų skaitinių reiškinių reikšmes, sveikųjų ir trupmeninių reiškinių skaitines reikšmes.

1. Apskaičiuokite: a) (‒12+1,2) − (‒5); b) 2,9 : (‒0,2)+2; c) ‒4,8 − (12 ‒ 15).

1. Apskaičiuokite:

a)

−

−−5

212:

4

37 ; b) ( )

7

45,0

2

11 ⋅−⋅− ;

c)

+−

+7

13

6

14:

2

13

3

12 .

1. Apskaičiuokite:

a) ( )

( ) 11:6,58,7

9,16,23

22,18,0

−

+⋅

⋅−;

b) 2

13

2

134,3

5

245,34,1:5,31 ⋅

⋅−⋅− .

6. Pertvarkant skaitinius reiškinius taikyti veiksmų su laipsniais, kurių rodiklis sveikasis, savybes, veiksmų

1. Apskaičiuokite:

a) 18

119

7

77 ⋅; b) 2

4· 210

·2− 14; c) 3−1 ‒ 2−1 · 8.

1. Apskaičiuokite: a)

1. Apskaičiuokite:

a) ( )( ) 213724223 −+− ;

Kalba netaisyta

9

su kvadratinėmis šaknimis savybes. 1625,0

8

1

17

6

9

1

3

2 2012

⋅−⋅

+

−

−−−

;

b) ( ) ( )262

3725 −−+ . b)

5,17

22,0125

94

75

13

15

1 −+⋅−

⋅

.

7. Spręsti nesudėtingus uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus, užrašytus standartine ir nestandartine išraiška.

1. Apskaičiuokite: a) 44 1023,5103,4 ⋅+⋅ ; b) 77 103,6109,9 ⋅−⋅ ; c) ( ) ( )125 108,5108,3 −⋅⋅⋅ ; d) ( ) ( )59 105,1:104,6 ⋅⋅ − .

1. Apskaičiuokite ir rezultatą parašykite standartine išraiška: a) 14,3 · 103 + 4,8 · 104 ; b) 19,6 · 10−7 – 0,24 · 10−6 ; c) 0,0000723 + 5 · 10−5 ;

d) 0007,0

1000061,1 ⋅ .

2. Išreikškite: a) 3,4 · 10−2 m milimetrais; b) 5,15 · 108 cm kilometrais; c) 1200 cm2 kvadratiniais metrais; d) 7,5 km2 kvadratiniais metrais.

2. Modulis B-2 Plokštumos geometrija

2.1. Modulio B-2 Plokštumos geometrija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Atpažįsta ir nubrėžia trikampį ir keturkampį. 2. Pagal nurodytus požymius klasifikuoja trikampius ir keturkampius. 3. Taikydami formules paprasčiausiais atvejais moka apskaičiuoti trikampių ir keturkampių perimetrą ir plotą. 4. Atpažįsta kampus ir moka juos išmatuoti. 5. Nubrėžia apskritimą ir brėžinyje parodo jo elementus. 6. Žino, ką reiškia „lygios figūros“.

1. Žino kampų prie dviejų lygiagrečiųjų tiesių ir kirstinės pavadinimus ir savybes bei taiko juos paprastuose uždaviniuose. 2. Suformuluoja trikampio nelygybę, lygiašonio ir lygiakraščio trikampio savybes bei taiko jas paprastuose uždaviniuose. 3. Randa daugiakampio kampų sumą. 4. Žino simetrijos sąvoką ir moka nubrėžti figūrą, simetrišką duotajai. 5. Suformuluoja apskritimo liestinės savybę.

1. Paaiškina, kaip palyginti plotus trikampių, turinčių bendrą aukštinę (pagrindą). 2. Žino ir taiko uždavinių sprendime statinio, esančio prieš 30° kampą, savybę. 3. Nesudėtingais atvejais taiko liestinės savybę. 4. Nesudėtingais atvejais taiko trikampio vidurinės linijos savybę. 5. Nesudėtingais atvejais taiko trapecijos vidurinės linijos savybę. 6. Nesudėtingais atvejais taiko trikampio

Kalba netaisyta

10

7. Tinkamai naudoja matavimo vienetus. 8. Pavaizduoja brėžinyje apskritimo kirstinę ir liestinę. 9. Brėžinyje randa kampą tarp apskritimo liestinės ir spindulio, išvesto į lietimosi tašką. 10. Naudodamasis kampainiu, nubrėžia apskritimo liestinę per pažymėtą to apskritimo spindulio galą. 11. Nubrėžia trikampio vidurinę linij ą. 12. Nubrėžia trapecijos vidurinę linij ą. 13. Randa trikampio pusiaukraštinių susikirtimo tašką 14. Atpažįsta panašias figūras plokštumoje. Savais žodžiais paaiškina, kokios plokštumos figūros vadinamos panašiomis. 15. Savais žodžiais paaiškina, kaip apskaičiuoti smailiojo kampo sinusą, kosinusą, tangentą. 16. Iš reikšmių lentelės randa 300, 450, 600 kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes. 17. Nurodytu tikslumu randa stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, kai žinomi dviejų to trikampio kraštinių ilgiai. 18. Brėžinyje pavaizduoja apskritimo lanką ir pažymi tą lanką atitinkantį centrinį kampą. 19. Brėžinyje pavaizduoja skritulio išpjovą ir pažymi tą išpjovą atitinkantį centrinį kampą. 20. Žino apskritimo lanko ilgio ir skritulio išpjovos ploto formules. Pagal pateiktas formules apskaičiuoja apskritimo lanko ilgį ir skritulio išpjovos plotą.

6. Paprastais atvejais taiko liestinės savybę spręsdamas uždavinius. 7. Apibrėžia trikampio vidurinę linij ą. 8. Apibrėžia trapecijos vidurinę linij ą. 9. Paprastais atvejais taiko trikampio vidurinės linijos savybę. 10. Paprastais atvejais taiko trapecijos vidurinės linijos savybę. 11. Suformuluoja trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taško savybę. 12. Paprastais atvejais taiko trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taško savybę. 13. Supranta atkarpų proporcingumo sąvoką. Nustato, ar dvi (trys) atkarpos yra proporcingos kitoms dviems (trims) atkarpoms, kai žinomi tų atkarpų ilgiai. 14. Žino trikampių panašumo požymius. 15. Taiko trikampių panašumo požymius spręsdamas paprastus uždavinius. 16. Skaičiuotuvu randa laipsniais išreikšto smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes nurodytu tikslumu. 17. Nurodytu tikslumu randa stačiojo trikampio smailiojo kampo didumą, kai žinomi dviejų to trikampio kraštinių ilgiai. 18. Randa stačiojo trikampio nežinomus kraštinių ilgius nurodytu tikslumu, kai žinomas to trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas arba tangentas ir vienos kraštinės ilgis. 19. Brėžinyje pavaizduoja skritulio nuopjovą ir pažymi tą nuopjovą atitinkantį centrinį kampą. 20. Apskaičiuoja apskritimo lanko ilgį. 21. Apskaičiuoja skritulio išpjovos plotą.

pusiaukraštinių susikirtimo taško savybę. 7. Taiko trikampių panašumo požymius spręsdamas nesudėtingus uždavinius. 8. Paaiškina, kaip ir kodėl susiję panašių figūrų atitinkamų kraštinių ilgiai, perimetrai, plotai. 9. Randa stačiojo trikampio nežinomus kraštinių ilgius nurodytu tikslumu, kai žinomas smailiojo kampo didumas (laipsniais) ir vienos kraštinės ilgis. 10. Pagal brėžinį paaiškina, kaip randamas nuopjovos plotas, kai žinomi tą nuopjovą atitinkančios išpjovos ir trikampio, kurio viršūnės yra skritulio centre ir nuopjovą atitinkančio lanko galuose, plotai. 11. Apskaičiuoja apskritimo spindulį, kai žinomas to apskritimo lanko ilgis ir tą lanką atitinkantis centrinis kampas. 12. Apskaičiuoja apskritimo lanką atitinkančio centrinio kampo didumą, kai žinomi to apskritimo spindulys ir to lanko ilgis. 13. Apskaičiuoja skritulio spindulį, kai žinomas to skritulio išpjovos plotas ir tą išpjovą atitinkantis centrinis kampas. 14. Apskaičiuoja skritulio išpjovos centrinio kampo didumą, kai žinomi to skritulio spindulys ir tos išpjovos plotas. 15. Apskaičiuoja skritulio nuopjovos plotą.


1. Teisingai supranta paprastų uždavinių sąlygas. 2. Supranta ir geba padaryti paprasčiausius brėžinius. 3. Teisingai vartoja sąvokas: apskritimo kirstinė, liestinė, lankas, apskritimo lanką atitinkantis centrinis

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 2. Naudoja brėžinius paprastų uždavinių sprendimams

1. Tikslingai naudoja matematinius simbolius. 2. Uždavinio sprendimą išdėsto aiškiai, tvarkingai. 3. Geba pristatyti atliktą užduotį.

Kalba netaisyta

11

kampas, skritulio išpjova, skritulio išpjovos kampas, trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taškas, trikampio vidurinė linija, trapecijos vidurinė linija, panašiosios figūros, kampo sinusas, kampo kosinusas, kampo tangentas. 4. Teisingai perskaito trikampių panašumo, kampo sinuso, kosinuso ir tangento matematinį užrašą. 5. Formulių rinkiniuose randa įprastines trikampio ir keturkampio ploto, apskritimo lanko ilgio, skritulio nuojovos ploto formules, kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmių lenteles. 6. Apskaičiuoja laipsniais išreikšto smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, naudodamasis lentelėmis. 7. Paprasčiausiais atvejais skaičiavimo rezultatus pasitikrina skaičiuokliu. 8. Kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmių radimą užrašo naudodamasis sin, cos ir tg simbolius.

paaiškinti. 3. Supranta, kas yra skritulio nuopjova. 4. Užrašo lygybe trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taško savybę, atkarpų proporcingumą. 5. Užrašo trikampių panašumą, naudodamas simbolį „~“ ir atsižvelgdamas į trikampių atitinkamų kampų lygumą. 6. Skaičiuotuvu randa laipsniais išreikšto smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes nurodytu tikslumu.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi neplaningai ir nesistemingai. 2. Trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai, tačiau priima draugų ir mokytojo pagalbą.

1. Nebijo spręsti standartiniais būdais suformuluotų užduočių. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. 2. Padeda mokytis kitiems. 3. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Prašo mokytojo patikrinti jo atliktą darbą, kad galėtų įsivertinti gebėjimų lygį. 4. Užduotis atlieka kūrybingai.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra / nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Pagal uždavinio sąlygos reikalavimą papildo brėžinį / schemą. 4. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus.

1. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., trikampių panašumo požymį spręsdamas uždavinį). 2. Įžvelgia panašiųjų figūrų atitinkamų kampų didumų ir atitinkamų kraštinių ilgių sąryšius. 3. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota

1. Nesudėtingais atvejais pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis žinomais apibrėžimais ir savybėmis (pvz., įrodant apskritimo lanko ilgio arba skritulio išpjovos ploto skaičiavimo formules). 2. Nustato ir apibūdina ryšius tarp trikampių atitinkamų kampų didumų ir atitinkamų kraštinių ilgių ir padaro išvadą apie tų trikampių panašumą.

Kalba netaisyta

12

5. Sprendžia paprasčiausius uždavinius. schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 4. Pasirenka tinkamą sprendimo būdą. 5. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti.

3. Atranda ryšius tarp elementų; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus (pvz., norėdamas rasti nežinomą stačiojo trikampio kraštinę, kai žinomi to trikampio smailusis kampas ir kraštinė, nustato, kurį apibrėžimą reikia taikyti – smailiojo kampo sinuso, kosinuso ar tangento, performuluoja geometrinį uždavinį į lygties sprendimo ar ieškomo dydžio išsireiškimo ir reikšmės skaičiavimo uždavinį, kuriame randa smailiojo kampo sinuso, kosinuso ar tangento reikšmę, atlieka skaičiavimus, jei reikia, apvalina skaičius). 4. Sprendžia nesudėtingus probleminius uždavinius, kuriuose taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., norėdamas apskaičiuoti skritulio nuopjovos plotą, pavaizduoja situaciją brėžiniu / schema, iš kurios nustato, kokį veiksmą (sudėti ar atimti) reikia atlikti su atitinkamų skritulio dalių (išpjovos ir trikampio) plotų reikšmėmis; sprendžia geometrinio turinio uždavinius, kuriuose apskaičiuoja skritulio išpjovos ir trikampio plotus; jei reikia, apvalina skaičius). 5. Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

2.2. Modulio B-2 Plokštumos geometrija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Atpažinti ir pavaizduoti plokštumos geometrines figūras. Taikyti jau žinomus apibrėžimus, savybes ir formules. Taikyti gretutinių ir kryžminių kampų savybes, lygiagrečiųjų tiesių savybes paprastiems uždaviniams spręsti.

1. Nubrėžkite tiesę, spindulį, atkarpą. Pažymėkite juos raidėmis. 2. Nubrėžkite statųjį, smailųjį, bukąjį, ištiestinį kampus. Pažymėkite juos raidėmis. Išmatuokite kampų didumus ir rezultatą užrašykite lygybėmis. 3. Nubrėžkite kampo pusiaukampinę. 4. Nubrėžkite smailųjį, statųjį ir bukąjį trikampius. Nurodykite trikampio viršūnes, kraštines.

1. Jei BCD∠ = 50°, tai ACB∠ = ... .

2. Jei ACD∠ =135°, tai ECB∠ = ... ir

DCB∠ = ... .

1. a || b, c – kirstinė, 4∠ =50°. Raskite likusius septynis kampus.

2. Tiesės SR ir DP susikerta taške J. Įrodykite, kad ∆SJD = ∆PJR, jei SJ = JP ir

Kalba netaisyta

13

5. Trikampio kraštinės lygios 16 cm, 20 cm ir 13 cm. Apskaičiuokite šio trikampio perimetrą. 6. Trikampio aukštinė lygi 4 cm, o kraštinė, į kurią nubrėžta ši aukštinė, lygi 18 cm. Koks šio trikampio plotas? 7. Nubrėžkite stačiakampį, kvadratą, lygiagretainį, rombą, trapeciją.

3. Ar yra trikampis, kurio kraštinių ilgiai 3 cm, 4 cm ir 8 cm? 4. Ar trikampis, kurio kraštinių ilgiai 25 cm, 20 cm ir 15 cm, yra statusis? 5. ∆ABC=∆KLM. Užrašykite jų atitinkamai lygius kampus ir atitinkamai lygias kraštines. 6. Lygiašoniame trikampyje kampai prie pagrindo lygūs 30o, o aukštinė, nubrėžta iš viršūnės į pagrindą, lygi 8 cm. Apskaičiuokite trikampio perimetrą ir plotą. 7. Stačiakampio viena kraštinė lygi 15 cm, o įstrižainė 39 cm. Apskaičiuokite stačiakampio perimetrą ir plotą. 8. Rombo įstrižainės lygios 18 cm ir 10 cm. Apskaičiuokite rombo plotą. 9. Trapecijos pagrindai 10 cm ir 74 cm, o aukštinė 24 сm. Apskaičiuokite trapecijos plotą.

DSJ∠ = RPJ∠ . 3. Trikampio plotas 100 cm2, o viena aukštinė lygi 12 cm. Apskaičiuokite kraštinės, į kurią išvesta ši aukštinė, ilgį. 4. Lygiagretainio aukštinės lygios 8 cm ir 16 cm, o trumpesnioji kraštinė lygi 6 cm. Apskaičiuokite lygiagretainio plotą ir perimetrą. 5. Stačiosios trapecijos plotas lygus 2,8 dm2, o pagrindai yra 16 cm ir 40 cm ilgio. Raskite trapecijos šonines kraštines ir perimetrą.

2. Apibrėžti trikampio ir trapecijos vidurinę linij ą. Taikyti trikampio ir trapecijos vidurinės linijos savybes uždavinius sprendžiant.

1. Trikampyje nubrėžkite vidurio liniją. 2. Nubrėžkite trapecijos vidurio liniją. 3. Trikampio kraštinė lygi 18 cm. Raskite jai lygiagrečios trikampio vidurinės linijos ilgį.

1. Raskite trapecijos vidurinę linij ą, jeigu trapecijos pagrindai lygūs 12 cm ir 28 cm.

1. Įrodykite trikampio ir trapecijos vidurio linij ų savybes. 2. Trikampio KDE perimetras lygus 20 cm. Raskite trikampio KAB perimetrą, jei AB – trikampio KDE vidurinė linija ir AB||DE.

3. Brėžinyje pavaizduoti apskritimo kirstinę, liestinę, centrinį kampą, centrinį kampą atitinkantį lanką, skritulio išpjovą, nuopjovą. Taikyti apskritimo liestinės

1. Nubrėžkite 4 cm ilgio spindulio apskritimą. Brėžinyje pažymėkite apskritimo centrą O, spindulį r, skersmenį d, apskritimo tašką A. Nubrėžkite: kirstinę k; per tašką A einančią liestinę l. 2. Apskritimo spindulys r = 5 cm.

1. Skritulyje, kurio spindulys lygus 8 cm, nubraižytas centrinis kampas lygus 52°. Apskaičiuokite šios išpjovos lanko ilgį ir plotą. 2. Tiesė AB liečia apskritimą taške B, taškas O yra apskritimo centras. Apskaičiuokite

1. r − apskritimo spindulys, α − to apskritimo centrinis kampas, l − kampą α atitinkančio lanko ilgis. Įrodykite, kad

απ

⋅180

=r

l .

2. r − skritulio spindulys, α – to skritulio

Kalba netaisyta

14

savybę sprendžiant uždavinius. Apskaičiuoti apskritimo lanko ilgį, skritulio išpjovos, nuopjovos plotą.

Apskaičiuokite apskritimo ilgį ir to apskritimo ribojamo skritulio plotą.

OA ilgį, jei AB = 12 cm, OB = 9 cm. 3. Tiesės AB ir AC taškuose B ir C liečia apskritimą, kurio centras O. Raskite BC, kai

BOA∠ =60°, AB=15 cm.

išpjovos kampas. Įrodykite, kad išpjovos plotas S skaičiuojamas pagal formulę

S = απ

⋅360

2r.

3. BOA∠ = 60o, o spindulys 14 cm. Apskaičiuokite skritulio nuopjovų plotus.

4. Iš šalia apskritimo esančio taško A išvestos dvi apskritimo liestinės, O − apskritimo centras, B ir C – lietimosi taškai. Įrodykite, kad: a) ∆AOB = ∆AOC; b) AB = AC; c) AO yra kampo BAC pusiaukampinė.

4. Taikyti proporcingumo, panašumo sąvokas sprendžiant uždavinius.

1. Ar skaičiai 2; 5; 6; 9 atitinkamai proporcingi skaičiams 8; 20; 24; 36? 2. Duota: ∆KLM ir ∆PSR; KL=8; LM=6,3; KM=6; PS=4; SR=3,5; PR=3. Ar šie trikampiai panašūs? 3. Ar panašūs paveikslėlyje pavaizduoti trikampiai? a)

b)

1. Trikampiai ABC ir A1B1C1 yra panašūs. AC=35 cm, AB=21 cm, BC=28 cm ir B1C1=8 cm. Raskite: a) trikampių ABC ir A1B1C1 panašumo koeficientą k; b) trikampio A1B1C1 nežinomas kraštines. 2. Trikampio kraštinės yra 6 сm, 9 cm ir 12 cm. Panašaus į jį trikampio perimetras yra 45 cm. Apskaičiuokite šio trikampio kraštines.

1. Duotas ∆KDM. Taškai A ir J yra kraštinėse DM ir KM, KD||AJ, JM=4 cm, AJ=10 cm, DK=28 cm. a) Įrodykite, kad ∆AMJ ~ ∆DMK.

b) Raskite JM

KM.

c) Raskite KM. 2. Trikampiai ABC ir A1B1C1 yra panašūs. BC=28 cm, B1C1=16 cm ir ∆ABC plotas lygus 980 cm2. Raskite: a) panašumo koeficientą; b) trikampio A1B1C1 plotą.

5.Taikyti trigonometrinius 1. Kaip rasti sinC, cosC, tgC, sinB, cosB, 1. Nubrėžkite kampą A, kai: 1. Raskite tg30°, tg45°, tg60°.

Kalba netaisyta

15

sąryšius stačiojo trikampio elementams rasti.

tgB, žinant stačiojo trikampio kraštines?

2. Iš reikšmių lentelių arba skaičiuotuvu raskite sin56o, cos 72o, tg 42o dešimtųjų tikslumu.

a) 3

2sin =A ; b)

4

3cos =A ; c)

2

1=tgA .

2. Apskaičiuokite x. Atsakymą pateikite dešimtųjų tikslumu.

2. Duota: ∆ABC, ACBD⊥ , °=∠ 48A , °=∠ 25С , AB=14 cm. Raskite BD ir CD.

Atsakymą suapvalinkite iki dešimtųjų. 3. Paaiškinkite, kodėl

2

130sin =° ,

2

245sin =° ,

2

360sin =° .

4. Paaiškinkite, kodėl

2

330cos =° ,

2

245cos =° ,

2

160cos =° .

3. Modulis B-3 Lygtys ir lygčių sistemos

3.1. Modulio B-3 Lygtys ir lygčių sistemos mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Moka patikrinti, ar duotasis skaičius yra lygties sprendinys. 2. Sprendžia paprastą tiesinę lygtį su vienu nežinomuoju. 3. Paprasčiausiais atvejais atpažįsta kvadratinę lygtį. Sprendžia kvadratinę lygtį, kurios koeficientai sveikieji skaičiai, remdamasis kvadratinės lygties sprendinių formule. 4. Atpažįsta tiesinę lygtį su dviem nežinomaisiais. 5. Patikrina, ar skaičių pora yra tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais sprendinys. 6. Atpažįsta tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais

1. Sprendžia nesudėtingą tiesinę lygtį su vienu nežinomuoju. 2. Sprendžia nepilnąją kvadratinę lygtį, pertvarkydamas ją į sandaugą, lygią nuliui. 3. Paaiškina, kaip kvadratinės lygties sprendinių skaičius priklauso nuo diskriminanto ženklo. 4. Sprendžia nestandartinio pavidalo kvadratines lygtis. Sprendžia lygtis ax2 = b (a, b > 0). 5. Paprastą situaciją užrašo kvadratine lygtimi. Gautus lygties sprendinius susieja su situacija. 6. Skaido kvadratinį trinarį tiesiniais daugikliais remdamasis formule:

1. Paaiškina nesudėtingų tiesinių lygčių sprendimo algoritmą. 2. Pertvarko nesudėtingą kvadratinę lygtį į standartinį pavidalą ir ją sprendžia. 3. Supranta, kad lygtis A(x)·B(x)=0, kurioje A(x), B(x) – pirmojo laipsnio dvinariai, yra kvadratinė. 4. Sprendžia lygtis ax3 = b (a, b > 0). 5. Nesudėtingą situaciją aprašo kvadratine lygtimi. Gautus lygties sprendinius susieja su situacija. 6. Pavaizduoja tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinius koordinačių sistemoje.

Kalba netaisyta

16

sprendinį, užrašytą kaip taško koordinatės. 7. Paprasčiausiais atvejais išreiškia tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais vieną nežinomąjį kitu. 8. Patikrina, ar skaičių pora yra dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinys. 9. Sprendžia paprasčiausią dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą, kai koeficientai yra sveikieji skaičiai. 10. Moka užrašyti lygčių sistemos sprendinį.

( )( )212 xxxxacbxax −−=++ .

7. Paaiškina, kas yra lygties su dviem nežinomaisiais sprendinys, moka jį užrašyti ir pavaizduoti koordinačių plokštumoje. 8. Randa tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais sprendinį. 9. Iš grafikų randa dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais bendrą sprendinį. 10. Suvokia dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos prasmę. 11. Paaiškina, kokie yra tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendimo būdai, kas yra jos sprendinys. 12. Sprendžia dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą keitimo ir sudėties būdais. 13. Paprastą situaciją užrašo dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistema. Gautus lygčių sistemos sprendinius susieja su situacija.

7. Sprendžia dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą grafiniu būdu. 8. Nesudėtingą situaciją užrašo dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistema. Gautus lygčių sistemos sprendinius susieja su situacija.


1. Teisingai supranta paprastų uždavinių sąlygas. 2. Supranta ir geba padaryti paprasčiausius brėžinius. 3. Teisingai perskaito lygčių sistemos užrašą. 4. Paprasčiausiais atvejais skaičiavimo rezultatus pasitikrina skaičiuokliu. 5. Laikosi kvadratinės lygties sprendimo algoritmo. 6. Užrašo lygties su vienu nežinomuoju, kvadratinės lygties, dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinius. 7. Supranta sąvokas „tiesinė lygtis su vienu nežinomuoju“, „kvadratinė lygtis“, „lygties su vienu nežinomuoju sprendinys“, „lygčių su dviem nežinomaisiais sistema“, „lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinys“, „dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais bendras sprendinys“.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. 2. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 3. Naudoja brėžinius paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti. 4. Supranta sąvokas „kvadratinio trinario skaidymas daugikliais“, „lygties su dviem nežinomaisiais sprendinys“. 5. Laikosi lygčių ir lygčių sistemų sprendimo tvarkos, bet ne visi sprendimai racionalūs. 6. Trumpai užrašo situaciją lygtimi ar lygčių sistema.

1. Pagrindžia situacijos užrašymą lygtimi ar lygčių sistema. 2. Mokydamasis naudoja anksčiau įgytą savo patirtį. 3. Tikslingai naudoja matematinius simbolius. 4. Sprendimą išdėstyto nuosekliai, aiškiai, tvarkingai. Geba pristatyti atliktą užduotį.


Kalba netaisyta

17

1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi neplaningai ir nesistemingai. 2. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 3. Valdo nedidelį informacijos kiekį.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotas užduotis. 2. Uždavinį sprendžia sau suprantamiausiu būdu. 3. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 4. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. Mokosi visų uždavinio sprendimo būdų. 2. Padeda mokytis kitiems. 3. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Prašo mokytojo patikrinti jo atliktą darbą, kad galėtų įsivertinti gebėjimų lygį. 4. Užduotis atlieka kūrybingai.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra / nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Pagal uždavinio sąlygos reikalavimą papildo brėžinį / schemą. 4. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 5. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga.

1. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., randa lygties su dviem nežinomaisiais sprendinį). 2. Išanalizavęs pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas/klaidingas. 3. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 4. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti. 5. Pasirenka tinkamą sprendimo būdą, bet ne visuomet racionalų. 6. Randa klaidas savo sprendime.

1. Nesudėtingais atvejais pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis žinomais apibrėžimais (pvz., lygties sprendimo būdo pasirinkimą pagrindžia lygties tipo nustatymu). Apibūdina ryšius tarp lygties tipo ir tos lygties sprendinio užrašymo. 2. Pritaiko matematinį modelį nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp elementų, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras, siekdamas gauti rezultatus, taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., norėdamas išspręsti dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą grafiniu būdu, performuluoja uždavinį į dviejų tiesių brėžimo ir jų susikirtimo taško ieškojimo uždavinį). 3. Sprendžia nesudėtingus probleminius uždavinius, kuriuose taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., spręsdamas tekstinį uždavinį, situaciją užrašo lygtimi ar lygčių sistema, taiko lygties ar lygčių sistemos sprendimo būdą, tikrina gautų sprendinių tinkamumą pagal uždavinio sąlygą, formuluoja uždavinio atsakymą uždavinio sąlygos kontekste. 4. Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

3.2. Modulio B-3 Lygtys ir lygčių sistemos mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui

Kalba netaisyta

18


1. Paaiškinti, ką reiškia išspręsti lygtį, ką vadiname lygties sprendiniu, kaip jį užrašome, kaip pavaizduojame skaičių tiesėje, kaip patikriname, ar skaičius yra lygties sprendinys. Spręsti pirmojo laipsnio lygtį su vienu nežinomuoju.

1. Išspręskite lygtis, patikrinkite, ar gautieji skaičiai yra sprendiniai, ir užrašykite atsakymus: a) 737 −=−x ; b) ( ) 8234 =+− x ;

c) 423 −=+ xx ; d) ( ) 23416 −=− xx .

1. Išspręskite lygtis ir nurodykite, kokiai skaičių aibei priklauso lygties sprendinys: a) ( ) ( )xx 4,33,032732,1 −=−− ;

b) 3

27

9

4 xx=− ;

c) ( )2

35

3

2154

−=

−−

xx .

2. Su kuria x reikšme reiškinių 5(x+3) ir 2x−7 suma lygi 0?

1. Išspręskite lygtis:

a) 13

13

155

12+

+=−

− yyy ;

b) ( ) ( ) 45,12

2 =+−− xxx ;

c) ( )( ) 22 )12(1216 −=−+− xxxx . 2. Kokia turi būti a reikšmė, kad skaičius ‒7 būtų tiesinės lygties 6(x+a)=5a sprendinys?

2. Atpažinti kvadratinę lygtį. Pasinaudoti diskriminanto ir sprendinių formulėmis lygčiai ax2 + bx +c = 0 spręsti. Pavyzdžiais paaiškinti nestandartinio pavidalo kvadratinių lygčių sprendimo būdus: pertvarkymą į pavidalą ax2+bx +c =0 arba A(x)·B(x) =0, kur A(x) ir B(x) – pirmojo laipsnio dvinariai.

1. Išspręskite lygtis: a) 0365 2 =+− xx ; b) 03072 2 =−+ xx ; c) 081182 =++ xx ; d) 025102 =+− xx ; e) 02845 2 =++ xx .

1. Išspręskite lygtis: a) 3072 =+ xx ; b) 0166 2 =+− xx ; c) xx 82 2 =− ; d) )1(712 −=+ xxx ;

e) 4

)3(

2

3 +=+

xxx .

2. Su kuriomis x reikšmėmis reiškinių x(2x+1) ir 7−4x skirtumas lygus 0?

1. Išspręskite lygtis: a) ( ) 05)8( =+− xx ; b) ( ) 405)8( −=+− xx ;

c) 02581 2 =−x ;

d) ( ) ( ) 392

13253)53( −=−−−+ xxx . 2. Gėlynas yra stačiojo trikampio formos. Vienas trikampio statinis 2 m ilgesnis už kitą, o įžambinė lygi 10 m. Raskite gėlyno plotą.

3. Spręsti ax2 = b ir ax3 = b (a, b > 0) pavidalo lygtis.

1. Išspręskite lygtis: a) 72 =x ; b) 82 2 =x .


a) 3

2

2

11 2 =x , 4

2

1 3 =x , 4,64,0 3 =x ;

b) ( ) 02 2 =+x , ( ) 02 3 =+x ;

c) ( ) 163 2 =−x , ( ) 272 3 =−x ;

d) ( ) 34 2 =−x , ( ) 154 3 −=−x ;

e) ( ) 545,0 2 =−x , ( ) 1642 3 =+− x ;

f) ( )( ) 0258 23 =−+ xx .

4. Skaidyti kvadratinį trinarį 1. Jei įmanoma, užrašykite kvadratinį 1. Išskaidykite tiesiniais daugikliais:

Kalba netaisyta

19

tiesiniais daugikliais. trinarį dviejų dvinarių sandauga: a) 862 +− xx ; b) 1643 2 −+− xx ; c) 422 2 +−− xx ; d) 65,52 −+− xx .

a) xx5

3

3

2 2 − ;

b) 52 −x ;

c) ( ) ( )22 34 +−− xx ;

d) xxx 86 23 ++ .

5. Spręsti paprasčiausias lygčių sistemas, patikrinti, ar skaičių pora yra lygčių sistemos sprendinys. Užrašyti lygčių sistemos sprendinį taško koordinatėmis. Paaiškinti, kokie yra tiesinių lygčių sprendimo būdai ir taikyti juos uždavinių sprendimui.

1. Kuri iš skaičių porų (1; −11), (2;10) yra lygties 26 =− yx sprendinys? 2. Kuri iš skaičių porų (‒2;6); (‒6;2); (6;‒2) yra lygčių sistemos

=−

=+

74710

,8115

yx

yx sprendinys?

3. Išreikškite nežinomąjį y nežinomuoju x: a) 3−=+ yx ; b) 5=− yx ; c) yx 42 = . 4. Išreikškite nežinomąjį x nežinomuoju y: a) 3−=+ yx ; b) 5=− yx ; c). yx 42 = . 5. Išspręskite lygčių sistemas:

a)

=−

=+

;8

,2

yx

yx

b)

=−

=+

;023

,144

yx

yx

c)

=−

−=

.014

,5

xy

yx

6. Išspręskite uždavinį, sudarydami lygčių sistemą. Broliui ir seseriai kartu yra 36 metai. Brolis yra 2 kartus vyresnis už seserį. Kiek metų kiekvienam iš jų?

1. Raskite bent du lygties sprendinius: a) 952 =+ yx ; b) 143 −=+− yx . 2. Pavaizduokite koordinačių plokštumoje visus lygties yx =+ 2 sprendinius. 3. a) Nubrėžkite tiesę 3+−= xy . b) Remdamiesi brėžiniu, raskite tris lygties 3=+ yx sprendinius. 4. Išspręskite lygčių sistemas:

a)

=−

−=+

;4567

,854

yx

yx

b) ( )

−=−

−=−

;3162

,123

yx

xyx

c) ( )

=−

−=−

.44

,5444

yyx

xxy

5. Raskite du skaičius, kurių skirtumas lygus 6, o santykis lygus 4:3. 6. Raskite stačiakampio kraštines, jei jo perimetras lygus 44 m, o viena kraštinė ilgesnė už kitą 6 m. 7. Vienas trikampio kampas 25°

mažesnis už antrąjį, o trečiasis lygus 53°. Raskite nežinomus trikampio kampus. 8. Atstumas tarp punktų A ir B, plaukiant upe, lygus 12 km. Valtis, plaukdama upe pasroviui nuo punkto A iki B, užtrunka 2 valandas, o grįždama − 3 valandas. Raskite upės tėkmės greitį.

1. Iš pradžių išreikškite nežinomąjį y nežinomuoju x, po to ‒ nežinomąjį x nežinomuoju y:

a) 30

1

53

32=

+−

− yxyx ;

b) 3

2

4

23=

+−

y

x .

2. Išspręskite tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą

=−

=+

7

,93

yx

yx grafiškai.

3. Išspręskite lygčių sistemas:

a) ( )

=−

−−=+−

;22

,22323

yx

yxyyx

b)

=−

−=−

;144

,142 22

xy

yx

c) ( )( )

=−

=+−

.11

,9101

yx

yx

4. Nebraižydami grafikų, įrodykite, kad tiesės 2347 =+ yx ir 19108 =− yx susikerta

taške (3; 0,5). 5. Raskite k ir m reikšmes, jei žinoma, kad skaičių poros (2; 5), (10; 30) yra lygties

ymkx =+ sprendiniai. 6. Devintokams buvo nupirkta į teatrą 30 bilietų po 5 Lt ir po 6 Lt. Visi bilietai kainavo 162 Lt. Kiek buvo nupirkta bilietų po 5 Lt ir kiek po 6 Lt? 7. Broliui ir seseriai kartu dabar yra 36 metai.

Kalba netaisyta

20

Prieš 3 metus brolis buvo du kartus jaunesnis už seserį. Kiek metų kiekvienam iš jų yra dabar? 8. Po kiek gramų reikia paimti 850 prabos ir 720 prabos sidabro, kad, juos sulydę, gautume 1300 g sidabro, kurio praba 800?

4. Modulis B-4 Funkcija. Funkcijų bkxy += , x

ky = , cbxaxy ++= 2 grafikai

4.1. Modulio B-4 Funkcija.Funkcijų bkxy += , x

ky= , cbxaxy ++= 2 grafikai mokinių pasiekimų vertinimo pavyzdys mokytojui




1. Žino nepriklausomo kintamojo, priklausomo kintamojo sąvokas. 2. Moka apibūdinti nepriklausomą kintamąjį, priklausomą kintamąjį. 3. Skiria grafiku pavaizduotą funkcinę priklausomybę nuo nefunkcinės. 4. Žino funkcijos reiškimo būdus: lentelės, žodžiai, formulės, grafikai. 5. Moka apskaičiuoti funkcijos reikšmę, kai žinoma argumento reikšmė. 6. Remdamasis funkcijos formule, patikrina, ar taškas priklauso tos funkcijos grafikui. 7. Paprasčiausiais atvejais iš grafiko randa funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį. 8. Žino tiesinės ir kvadratinės funkcijos formulių išraiškas.

1. Moka apibūdinti argumento ir funkcijos reikšmės sąvokas, užrašyti jų žymenis. 2. Moka paaiškinti, kodėl grafiku pavaizduota dviejų dydžių priklausomybė yra funkcinė arba nefunkcinė. 3. Supranta užrašus y = f(x), f(2), f(x) = 2, (x; f(x)). 4. Moka paaiškinti, kaip apskaičiuoti argumento reikšmę, kai žinoma funkcijos reikšmė ir ją apskaičiuoja. 5. Moka paaiškinti, kaip patikrinti, ar taškas priklauso (nepriklauso) funkcijos grafikui ir patikrina. 6. Remdamasis funkcijos grafiku nustato funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį, didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę. 7. Atpažįsta formule arba grafiku pavaizduotą tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinę, kvadratinę funkcijas.

1. Moka suformuluoti funkcijos apibrėžimą. 2. Paaiškina, kas sudaro funkcijos apibrėžimo sritį, kas − reikšmių sritį. 3. Sugalvoja funkcijų ir ne funkcijų pavyzdžių. Argumentuoja, kodėl pateiktas pavyzdys yra / nėra funkcija. 4. Paprastais atvejais iš grafiko, lentelės ar formulės nustato, kuris dydis yra priklausomas, kuris – nepriklausomas. 5. Iš grafiko moka užrašyti funkcijos didėjimo, mažėjimo, pastovumo intervalus. Moka paaiškinti, kodėl. 6. Iš grafiko moka užrašyti funkcijos teigiamų ir neigiamų reikšmių intervalus. 7. Atpažįsta lentele išreikštą tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinę,

Kalba netaisyta

21

9. Žino tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės ir kvadratinės funkcijos grafikų pavadinimus. 10. Moka užpildyti funkcijos reikšmių lentelę, kai nurodytos argumento reikšmės. 11. Paprastais atvejais moka nubrėžti tiesioginio ir atvirkštinio proporcingumo, tiesinės ir kvadratinės funkcijų grafikus, kai duotos reikšmių lentelės.

8. Tikslingai pasirenka argumento reikšmes sudarydamas reikšmių lenteles, kuriomis naudosis

brėždamas funkcijų bkxy += , x

ky = ,

cbxaxy ++= 2 grafikus. 9. Supranta, kaip pavaizduoti ir pavaizduoja tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijų scheminius grafikus. 10. Remdamasis nubrėžtais grafikais nurodo lygčių f(x) = a, f(x) = g(x) sprendinius, kai f(x) ir g(x) yra tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos, o a yra skaičius.

kvadratinę funkcijas. 8. Suformuluoja tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijų apibrėžtis. 9. Supranta ir argumentuoja, kiek taškų reikia

pasirinkti norint nubrėžti bkxy += , x

ky = ,

cbxaxy ++= 2 grafikus. 10. Supranta ir moka pasirinkti funkcijų

bkxxf +=)( , x

kxf =)( , cbxaxxf ++= 2)(

grafikų esminius taškus ir nubrėžti grafikus. 11. Moka grafiškai spręsti lygtis f(x) = a, f(x) = g(x), kai f(x) ir g(x) yra tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos, o a yra skaičius.


1. Perskaito ir supranta įprasto konteksto sąlygas apie funkcijas. 2. Remdamasis nubrėžtu grafiku, atsako į pateiktus klausimus, išvardija funkcijos savybes. 3. Paprastais atvejais formule išreikštą tiesinę funkciją f(x) = kx + b ir kvadratinę funkciją f(x) = ax², f(x) = ax² + c sieja su grafiku. 4. Remdamiesi grafiku, žodžiais moka apibūdinti funkcijos kitimo pobūdį. 5. Pagal duotą reikšmių lentelę koordinačių plokštumoje atideda taškus ir nubrėžia grafikus. 6. Nubrėžtiems funkcijų grafikams priskiria pavadinimus.

1. Perskaito arba išklauso ir supranta nesudėtingą su žinomomis funkcijomis susijusią uždavinio sąlygą. 2. Tinkamai vartoja sąvokas: funkcija, funkcijos apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis, funkcijos didžiausia reikšmė, funkcijos mažiausia reikšmė. Moka apibūdinti šias sąvokas. 3. Supranta ir moka paaiškinti su funkcijomis susijusių uždavinių pateiktus sprendimus. 4. Kvadratinę funkciją, išreikštą formulėmis

( )2)( mxaxf −= ; ( ) nmxaxf +−=2

)( , sieja su jos grafiku koordinačių plokštumoje. 5. Sieja funkcijos grafiką su jos pavadinimu.

1. Perskaito arba išklauso ir supranta bei paaiškina su žinomomis funkcijomis susijusį nesudėtingą matematinį tekstą arba uždavinio sąlygą. 2. Tinkamai vartoja visus su funkcijos sąvoka susijusius terminus ir žymenis. 3. Argumentuoja, kaip naudojantis funkcijos savybėmis galima atsakyti į uždavinio klausimą. 4. Naudodamasis funkcijos grafiku paaiškina uždavinio sprendimo idėją. 5. Moka paaiškinti lygčių f(x) = a, f(x) = g(x) grafinio sprendimo esmę, kai f(x) ir g(x) yra tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratines funkcijos, o a yra skaičius.


1. Mokytojui padedant, išsiaiškina, ar: a) moka paprastais atvejais nubrėžti tiesioginio ir atvirkštinio

1. Mokosi siedamas naują mokymosi medžiagą apie funkcijas su turimomis žiniomis apie dviejų dydžių

1. Prisiima atsakomybę mokytis produktyviai. 2 Savarankiškai randa reikalingą informaciją apie

Kalba netaisyta

22

proporcingumo, tiesinės ir kvadratinės funkcijų grafikus, kai duotos reikšmių lentelės; b) supranta, kaip užpildyti reikšmių lentelę . 2. Mokytojui padedant, įvardija, ką moka padaryti gerai, ištaiso nurodytas klaidas. 3. Stengiasi išlaikyti dėmesį mokymosi užduočiai atlikti. 4. Iš dalies prisiima atsakomybę produktyviai mokytis.

tarpusavio priklausomybę. 2. Savarankiškai įvardija, ką jau moka atlikti gerai; taiso nurodytas klaidas. 3. Suformuluoja klausimus, kad įsitikintų ar pasitikslintų, ar: a) gerai supranta naują medžiagą apie funkcijas, jų savybes; b) gerai atliko užduotis, susijusias su funkcijos sąvoka; c) tikslingai pritaikė funkcijos savybes spręsdami užduotį; d) žinios apie funkcijas yra teisingai suprastos. 4. Ieško informacijos apie funkcijas ir jų savybes nurodytuose informacijos šaltiniuose.

nagrinėjamas funkcijas įvairiuose informacijos šaltiniuose. 3. Moka sukaupti dėmesį atliekant užduotį. 4. Tvarko informaciją apie funkcijas: randa, suvokia, atrenka, sistemina, kritiškai vertina. 5. Naudoja mokomąsias kompiuterines programas (pavyzdžiui, GeoGebra) uždaviniams spręsti.


1. Atpažinęs žinomą kontekstą patikrina, ar taškas priklauso funkcijos grafikui. 2. Brėžia tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos grafikus analogiškose situacijose. 3. Intuityviai numato galimą praktinės užduoties atsakymą, bet nepasiūlo, kaip tai galima patikrinti.

1. Įprasto konteksto užduotyse moka pritaikyti funkcijos savybes. 2. Paaiškina užduoties sprendimo eigą, savo samprotavimus dėl funkcijos savybių taikymo tikslingumo. 3. Kvadratinės funkcijos grafiką naudoja kaip iliustraciją uždavinio sprendimui pagrįsti.

1. Kelia hipotezes, kaip galima pritaikyti tiesinės ir kvadratinės funkcijos savybes sprendžiant žodinius uždavinius 2. Daro tikslias, loginiais samprotavimais pagrįstas išvadas apie uždavinio sprendimą taikant funkcijos savybes. 3. Išsamiai pristato uždavinio, paremto funkcijos savybių taikymu, sprendimą, jį argumentuoja pradinės sąlygos kontekste.

4.2. Modulio B-4 Funkcija. Funkcijų bkxy += ,x

ky= , cbxaxy ++= 2 grafikai pasiekimų vertinimo pavyzdys mokiniui


1. Sieti įvairius funkcijų reiškimo būdus, taikyti funkcijos savybes sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius.

1. Perskaitykite lygybę ir nurodykite priklausomąjį ir nepriklausomąjį kintamąjį: a) y = 2x + 5; b) C(r) = 2πr. 2. Kurie grafikai vaizduoja funkcinę priklausomybę?

1. Grafikas vaizduoja funkcinę priklausomybę.

1. Kurioje iš lentelių surašytos funkcijos reikšmės? Paaiškinkite. a)

x 1 2 3 4 5 6 52 y −3 −3 4,2 4,2 10,7 12,1 52

b) x 3 3 3 4 10 11 12

Kalba netaisyta

23

3. Apskaičiuokite funkcijos f(x) = 2x – 8 reikšmes, kai x = {4; −2; 0,5}. 4. Patikrinkite, ar taškai A(2; 6), B(-1; -3), C(1,5; −4,5) priklauso funkcijos f(x) = 3x

Remdamiesi grafiku, užrašykite: a) funkcijos apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį; b) grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis koordinates; c) didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę; d) x reikšmę, su kuria y = 4; e) y reikšmę, su kuria x = − 3. 2. Viena stačiakampio kraštinė yra x, kita – 4 cm ilgesnė. a) Užrašykite stačiakampio perimetro P(x) ir ploto S(x) priklausomybę nuo kraštinės ilgio x. b) Raskite P(5); S(5). c) Su kuria x reikšme perimetro reikšmė lygi 36 cm? 3. Funkcija išreikšta formule f(x) = −5x + 6. Apskaičiuokite x reikšmę, su kuria f(x) = −14.

y 7 8 10 42 34 18 52 2. Kurios iš nurodytų priklausomybių yra funkcinės: a) kintamojo x reikšmėms priskiriamos joms priešingos reikšmės; b) kvadrato perimetras yra keturis kartus didesnis už kvadrato kraštinę; c) ėjimo į mokyklą trukmė ir nueito kelio ilgis, kai ėjimo greitis pastovus? 3. Nubrėžtas funkcijos grafikas:

Remdamiesi grafiku, nurodykite funkcijos: a) apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį; b) didėjimo, mažėjimo, pastovumo intervalus; c) teigiamų ir neigiamų reikšmių intervalus; d) x reikšmes, su kuriomis funkcijos reikšmės lygios nuliui. 3.

Kuris grafikas tiksliausiai atspindi vandens lygio kitimą, jei vanduo pastoviu greičiu teka į pavaizduotą indą?

Kalba netaisyta

24

grafikui. 5. Remdamiesi grafiku nurodykite funkcijos apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį.

2.Remtis tiesioginio ar atvirkščiojo proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos modeliais bei savybėmis, proporcijos savybe aiškinantis paprastų įvairaus turinio uždavinių sprendimus.

1. Duota funkcija f(x) = 3x. Užpildykite reikšmių lentelę ir nubrėžkite funkcijos grafiką.

x −1 0 1 2 y

2. Kurie taškai nepriklauso funkcijos f(x) = 0,5x grafikui: A(1,5; 1,5), B(-2; -1), C(4; -2), D(6; 3)? 3. Užpildę reikšmių lentelę, nubrėžkite tiesinės funkcijos f(x) = 2x – 4 grafiką:

x 1 2 3 y

4. Atvirkštinio proporcingumo funkcija

išreikšta formule x

axf =)( , 0≠x . Raskite

atvirkštinio proporcingumo koeficientą ir, baigę pildyti reikšmių lentelę, nubrėžkite atvirkštinio proporcingumo grafiką.

x −8 −4 −2 −1 1 2 4 8 y −1 1

1. Ar lentele išreikšta funkcija yra tiesioginio proporcingumo funkcija?

x −5 −2,5 2,5 5 y −2 −1 1 2

2. Nubrėžkite funkcijos f(x) = kx grafiką, jei žinoma, kad jam priklauso taškas A(2; 6). 3. Ar formule išreikšta priklausomybė yra tiesinė funkcija y = kx + b? Jei taip, parašykite koeficientų k ir b reikšmes: a) y = 3x + 4; b) y = 2,5 – x;

c) 2

1+=

xy ; d) 32−+=xy ;

e) 15+=

xy .

4. Tiesinę funkciją f(x) = x + 2 išreikškite lentele ir grafiku. 1) Nurodykite: a) koeficientų k ir b reikšmes; b) taškų, kuriuose kertamos x ir y ašys, koordinates.

1. Tiesioginio proporcingumo funkcija išreikšta lentele:

x 2 3 4 y 4 6 60

Raskite trūkstamas reikšmes. 2. Tiesė eina per koordinačių pradžios tašką ir per tašką A(−3; 12). Ar ši tiesė yra funkcijos f(x) grafikas: a) f(x) = 4x; b) f(x) = 2x; c) f(x) = −4x; d) f(x) = −2x? 3. Vienoje koordinačių plokštumoje nubrėžkite funkcijų f(x) = 0,5x, g(x) = −0,5x + 4, h(x) = 2x – 3 grafikus. Kokią įtaką šių tiesių padėčiai turi koeficientų k ir b reikšmės? 4. Žinodami, kad atvirkštinio proporcingumo grafikas turi eiti per tašką

5

41;

3

2A , išreikškite atvirkštinį

proporcingumą formule. 5. Kuria lentele apibūdinama funkcija negali

Kalba netaisyta

25

5. Užrašykite kvadratinę funkciją

cbxaxy ++= 2 , kurios koeficientai būtų: a = 4, b = −3, c = 1. 6. Užpildykite reikšmių lentelę ir nubrėžkite grafikus:

x −3 −2 −1 0 1 2 3 x²

−x²

7. Užrašykite grafiškai pavaizduotų funkcijų pavadinimus ir jų grafikų pavadinimus:

A B

C D

2) Kaip keičiasi funkcijos reikšmės priklausomai nuo argumento x reikšmių? 3) Su kuria nepriklausomo kintamojo reikšme funkcijos reikšmė lygi 1?

5. Nubrėžkite funkcijos x

xf2

)( −=

grafiką ir remdamiesi juo nurodykite kelias x reikšmes, su kuriomis y reikšmės būtų: a) didesnės už 0; b) mažesnės už −1. 6. Nurodykite kvadratinės funkcijos

2)( axxf = koeficiento a reikšmes:

a) 24)( xxf = ; b) 22,1)( xxf −= ;

c) 7

2)(

xxf = ; d)

3

10)(

2xxf −= .

7. Sudarykite reikšmių lentelę ir nubrėžkite funkcijos

2

2)(

xxf −= , kai x kinta nuo −4 iki 4.

8. Nubrėžkite funkcijos xxy 22 += grafiką. Remdamiesi grafiku palyginkite: a) f(−1) ir f(−2); b) f(−3) ir f(0). 9. Kurios iš užrašytų funkcijų grafikas yra parabolė; kurios − tiesė; kurios − hiperbolė:

a) ( ) xxf 2= ; b) x

xf5

)( = ;

c) 4

2)(

xxf = ?

būti kvadratinė? Atsakymą pagrįskite. A

x −2 −1 0 1 2 y 4 1 0 −1 −4

B x −2 −1 0 1 2 y 4 1 0 −1 −4

6. Užrašykite grafikais pavaizduotų funkcijų apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį:

A B

7. Nustatykite parabolės viršūnės taško koordinates:

a) ( ) 425 += xxf ;

b) 191222)( −+−= xxxf ;

c) xxxf 225,0)( −= .

8. Nubrėžkite funkcijos 862)( +−= xxxf grafiką. Nurodykite funkcijos: a) reikšmių didėjimo intervalą; b) reikšmių mažėjimo intervalą; c) mažiausią reikšmę; d) reikšmių sritį; e) apibrėžimo sritį; f) teigiamų reikšmių intervalus; g) neigiamų reikšmių intervalą. 9. Kuriuose koordinačių plokštumos ketvirčiuose yra šių funkcijų grafikai:

Kalba netaisyta

26

a) 62)( −= xxf ; b) 219)( xxf −= ;

c) ( ) 12 −−= xxf ; d) x

xf5

)( −= ;

e) ( ) xxf 45= .

3. Grafiniu būdu apytiksliai spręsti lygtis f(x) = a, f(x) = g(x), kurių f(x) ir g(x) yra tiesioginio, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos, o a yra skaičius.

1. Duotos dvi tiesinės funkcijos ( ) 34 −= xxf ir ( ) 25,0 += xxg .

a) Vienoje koordinačių plokštumoje nubrėžkite funkcijų grafikus. b) Remdamiesi grafikais, raskite lygties 4x – 3 = 0,5x + 2 sprendinį. 2. Remdamiesi nubrėžtais grafikais, nustatykite, kiek sprendinių turi lygtis

xx

24 = .

Naudodami MKP GeoGebra atlikite šias užduotis. 1. Grafiškai raskite lygties sprendinių skaičių:

a) x

x3

24 =− ; b) x

x323 −=− ;

c) 022 =−x . 2. Grafiškai išspręskite lygtis:

a) x

62 = ; b) 1222 +=− xx ;

c) x

xx4

22 =− .

5. Modulis B-5 Nelygybės. Nelygybių sistemos

5.1. Modulio B-5 Nelygybės. Nelygybių sistemos mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino sąvokas: nelygybė, pirmojo laipsnio nelygybė 1. Apibrėžia, kas yra nelygybės su vienu nežinomuoju 1. Sudaro, pertvarko ir sprendžia nesudėtingas pirmojo

Kalba netaisyta

27

su vienu nežinomuoju, kvadratinė nelygybė su vienu nežinomuoju, nelygybių sistema, nelygybės sprendinys, nelygybių sistemos sprendinys. 2. Žino pirmojo laipsnio nelygybės su vienu nežinomuoju, kvadratinės nelygybės su vienu nežinomuoju, dviejų nelygybių sistemos sprendimo algoritmus. 3. Moka spręsti paprastą pirmojo laipsnio, kvadratinę nelygybę su vienu nežinomuoju ir dviejų pirmojo laipsnio nelygybių su vienu nežinomuoju sistemą. 4. Pavaizduoja nelygybės ir nelygybių sistemos sprendinius skaičių tiesėje, užrašo juos intervalu. 5. Žino, kaip patikrinti, ar duotasis skaičius yra nelygybės, nelygybių sistemos sprendinys. 6. Pagal pateiktą brėžinį sprendžia x2 > (≥) a, x2 < (≤) a (a – sveikasis skaičius) pavidalo nelygybes.

ir nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos sprendinys. 2. Paaiškina nelygybių sistemos sprendimo etapus. 3. Moka spręsti nesudėtingas pirmojo laipsnio nelygybes su vienu nežinomuoju ir jų sistemas. 4. Sprendžia paprastas kvadratines nelygybes algebriniu ir grafiniu būdu. 5. Sprendžia paprastas dvigubąsias nelygybes. 6. Paprastais atvejais nustato papildomas sąlygas tenkinančius nelygybės ar nelygybių sistemos su vienu nežinomuoju sprendinius. 7. Paprastą situaciją aprašo nelygybe (pvz., ieškant kintamojo reikšmių, su kuriomis reiškinys ar funkcija turi prasmę, yra didesni/mažesni už konkretų skaičių). 8. Savais žodžiais paaiškina nelygybių sprendimo algebriniu arba grafiniu būdu esmę. 9. Grafiniu būdu apytiksliai sprendžia nelygybes f(x) < a, f(x) > a, f(x) ≤ a, f(x) ≥ a, kur f(x) yra tiesioginio, tiesinė, kvadratinė funkcijos, o a yra skaičius.

laipsnio nelygybes su vienu nežinomuoju ir pirmojo laipsnio nelygybių su vienu nežinomuoju sistemas. 2. Sprendžia nesudėtingas kvadratines nelygybes su vienu nežinomuoju. 3. Sprendžia nesudėtingas dvigubąsias nelygybes. 4. Grafiniu būdu apytiksliai sprendžia nelygybes f(x) < a, f(x) > a, f(x) ≤ a, f(x) ≥ a, kur f(x) yra atvirkščiojo proporcingumo funkcija, o a yra skaičius.


1. Perskaito ir suvokia paprastą matematinį tekstą ir uždavinio sąlygą. 2. Teisingai naudoja nelygybės, nelygybių sistemos, skaičių intervalų žymėjimo ženklus. 3. Atpažįsta pirmojo laipsnio ir kvadratines nelygybes su vienu nežinomuoju. 4. Nelygybės sprendinius užrašo įvairiais būdais: nelygybe, skaičių intervalu, pavaizduoja skaičių tiesėje. 5. Teisingai skaito paprastas nelygybes, dvigubąsias nelygybes, skaičių intervalus. 6. Paprastais atvejais atlieka reiškinių tapačiuosius pertvarkius, pritaiko kvadratinio trinario skaidymo daugikliais formulę.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 2. Naudoja brėžinius arba schemas paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti. 3. Nesudėtingais atvejais atlieka reiškinių tapačiuosius pertvarkymus, pritaiko formules. 4. Teisingai vartoja su nelygybėmis ir jų sistemomis susijusias sąvokas. 5. Užrašo uždavinio atsakymą, atitinkantį užduoties reikalavimus.

1. Teisingai vartoja visas su nelygybėmis ir jų sistemomis susijusias sąvokas. 2. Aiškiai ir nuosekliai pateikia uždavinių sprendimus. 3. Geba pristatyti atliktą užduotį. 4. Naudoja funkcijų grafikų braižymo kompiuterines programas.


Kalba netaisyta

28

1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi tik mokytojo vadovaujamas, neplaningai ir nesistemingai. Kontroliuojamas atlieka tik privalomas užduotis. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 2. Didesnę dalį užduočių atlieka tik pagal pavyzdžius.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotų užduočių. 2. Moka nelygybių ir jų sistemų sprendimo algoritmus. 3. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 4. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgyjamų žinių ir gebėjimų kontekste.

1. Savarankiškai išmoksta vadovėlio medžiagą. 2. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas ir įvairaus sudėtingumo užduotis. 3. Planuoja mokymosi laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. Realiai įsivertina pasiekimų lygį pagal mokytojo pateiktus vertinimo kriterijus. 4. Padeda mokytis kitiems. 5. Užduotis atlieka kūrybingai. 6. Vertina įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgia jų reikalingumą ir naudingumą.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra / nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Suvokia pagrindinius su nelygybėmis ir jų sistemomis susijusius simbolius. 4. Atpažįsta nelygybės rūšį. 5. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 6. Vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu. 7. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kuriuose remiasi žinomu algoritmu arba pavyzdžiu. 8. Paprasčiausiais atvejais iš dviejų dauginamųjų sandaugos ženklo nustato galimus dauginamųjų ženklų variantus. 9. Paprasčiausiais atvejais sieja pateiktų nelygybės reiškinių grafikų taškų padėtį su nelygybės ženklu.

1. Sukuria nesudėtingo uždavinio sąlygą atitinkantį modelį, pvz., spręsdamas kvadratinę nelygybę nubraižo parabolės eskizą. 2. Įžvelgia ryšius: nesudėtingais atvejais nustato nelygybės rūšį ir pasinaudoja atitinkamu sprendimo algoritmu. 3. Paprastais atvejais sudaro abstrakčius teiginius, kuriuos išanalizavęs daro išvadas (pvz., pagal kvadratinės lygties diskriminanto ir koeficiento a ženklus nustato parabolės padėtį OX ašies atžvilgiu). 4. Išanalizavęs pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas / klaidingas. 5. Sprendžia nesudėtingus uždavinius, kuriuos sprendžiant derinami keli algoritmai. 6. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą argumentuoja. 7. Pasirenka tinkamą veiksmą, metodą, sprendimo būdą.

1. Pritaiko matematinį modelį (funkciją) neįprastame kontekste; atranda ryšius tarp dviejų dyžių, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, derina kelių sričių gebėjimus. 2. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. 3. Nesudėtingais atvejais įrodo/argumentuoja/ pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis nelygybių rūšių žinojimu ir sprendimo būdų supratimu, savo sukurtais brėžiniais (eskizais). 4. Probleminio uždavinio sprendimą iliustruoja kūrybiškai modeliuodamas situaciją (pvz., du dydžius palygina pagal jų skirtumą ar dalmenį; reiškinio reikšmę įvertina pastebėdamas, kad jis kito reiškinio kvadratas; nelygybės sprendinius nustato nesinaudodamas nelygybės sprendimo algoritmu ir pan.). 5. Sprendžia nesudėtingus įvairaus turinio uždavinius, kuriuose derina kelių sričių gebėjimus. 6. Apibūdina ryšius tarp nagrinėjamų objektų. 7. Įvairiais būdais pateikia uždavinių įrodymo idėjas. 8. Uždavinių sprendimas išsamus, racionalus, nuoseklus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

Kalba netaisyta

29

5.2. Modulio B-5 Nelygybės. Nelygybių sistemos mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Spręsti pirmojo laipsnio nelygybes su vienu nežinomuoju ir jų sistemas, kvadratines nelygybes su vienu nežinomuoju.

1. Kuris skaičius skaičių tiesėje yra dešiniau: a) 2,3 ar 2,17; b) −3,12 ar −3,13;

c) 5

2 ar 9

4 ; d) 2

1− ar

4

3− ?

2. Perskaitykite nelygybes: a) x > 2; b) x ≤ 2; c) 3 < x < 8. 3. Pavaizduokite skaičių tiesėje šiuos intervalus: a) (−2; 3); b) (‒∞; 4); c) [−3; +∞). 4. Pavaizduokite skaičių tiesėje skaičius, tenkinančius nelygybę: a) x > 3; b) x ≤ 1; c) ‒2 < x ≤ 5. 5. Užrašykite intervalus, pavaizduotus paveiksle:

6. Paaiškinkite, kodėl skaičius 2 yra nelygybės x + 2 > 3 sprendinys, o skaičius –2 nėra jos sprendinys. 7. Išspręskite nelygybes: a); x+3 < 4; b) −2x > 6; c) −3x+5 ≤ 2; d) 4x + 6 ≥ 6x + 6. 8. Išspręskite nelygybių sistemas:

a)

−

+

7;>12x

4,>3x b)

−−

≤

;9>3

,62

x

x

c)

≤−

−+

8.25x

3,>14x

1. Kuris skaičius skaičių tiesėje yra dešiniau: a) 5,1 ar 5,(1); b) −4,5 ar −4;

c) 5

4 ar 6

5 ; d) 10− ar 11− ?

2. Išdėstykite skaičius didėjimo tvarka:

3,(3); −2,1; 7

2 ; −2,01; 3,3.

3. Perskaitykite nelygybę −2 < x ≤ 2,4. Pavaizduokite jos sprendinius skaičių tiesėje ir užrašykite intervalu. 4. 1) Užrašykite nelygybėmis teiginius: a) x ir 5 suma ne didesnė už 2; b) 7 ir x skirtumas ne mažesnis už 8. 2) Išspręskite gautas nelygybes. 5. Išspręskite nelygybes: a) 2(x+1) > 8 + 4x; b) –4(1,5x – 2) + 5x – 8 < 2x – 10;

c) 42

5>

37

xx− ;

d) (x + 5)(x ‒ 5) < (x – 3)² – 3; e) 4(1 – x) + 2 > 7 – 4x. 6. Išspręskite dvigubąsias nelygybes: a) −3 < 2x − 1 < 5; b) 2,4 ≤ 3 ‒ x < 5,6. Raskite jų sveikuosius sprendinius. 7. Raskite x reikšmes, su kuriomis reiškinio 0,4x – 5 reikšmės priklauso intervalui (– 2; 4). 8. Išspręskite kvadratines nelygybes sudarydami nelygybių sistemas: a) (x – 2)(2x + 6) < 0; b) x² – 3x > 0;

1. Palyginkite skaičius, naudodami dalybos arba atimties veiksmą:

a) 1,4 ir 2 ; b) 17

4 ar 16

3 ;

c) 2 7 ar 2

14.

2. Skaičių tiesėje pažymėkite skaičius 2 ir

5. 3. Skaičių intervalą pažymėkite skaičių tiesėje ir užrašykite nelygybe: a) (−3; 2); b) [−2,4; 3); c) (1; +∞). 4. Išspręskite nelygybes: a) 3(x + 1)(x ‒ 1) + 4 < (3 – x) ² + x – 1;

b) 7462

11

3

23 −≥−−

xxx ;

c) –2,1(x – 3) 0,3(–7x + 2,1). 5. Raskite didžiausią sveikąjį nelygybių sistemos sprendinį:

a)

+≤−

−−−

5;3x0,5)2(x

3,5x>)2(4 x

b)

≤+−

≥+−

1.6)(x3

12,3x

3,2,05

2x

x

6. Nustatykite, su kuriomis argumento reikšmėmis funkcijos f(x) = 2 – x reikšmės priklauso intervalui [3; 11]. 7. Išspręskite kvadratines nelygybes:

a) 04

452≤

−

++ xx; b) .0

342

3≥

−−

−

xx

Kalba netaisyta

30

9. Nustatykite sandaugos A·B ženklą, jei: a) A > 0 ir B > 0; b) A > 0 ir B < 0; c) A < 0 ir B > 0; d) A < 0 ir B < 0. 10. Turime dvi kvadratines nelygybes: (x − 2)(x + 3) < 0 ir (x − 2)(x + 3) > 0. Kurios nelygybės sprendinius rasime išsprendę nelygybių sistemas

+

−

0<3

0,>2

x

x arba

+

−

0>3

,0<2

x

x?

11. Išspręskite kvadratines nelygybes sudarydami nelygybių sistemas (algebriniu būdu): a) (x + 4)(x + 6) > 0; b) (x + 1)(x − 5) ≤ 0; c) x² ‒ 3² < 0.

c) 2x² – 7x – 4 ≤ 0. 9. Apskaičiuokite nelygybės 19x + 7 – 6x² > 0 natūraliųjų sprendinių sumą ir sandaugą.

8. Išspręskite nelygybę 3x² + 5x – 28 ≤ 0 ir raskite jos: a) neigiamuosius sprendinius; b) sveikųjų sprendinių modulių sumą.

9. Nustatykite reiškinio ( )( )51 +− xx

apibrėžimo sritį.

2. Grafiniu būdu apytiksliai spręsti nelygybes f(x) < a, f(x) >a, f(x) ≤ a, f(x) ≥ a, kur f(x) yra tiesioginio arba atvirkštinio proporcingumo, tiesinė, kvadratinė funkcijos, o a yra skaičius.

1.

a) Užrašykite x reikšmes, su kuriomis parabolės y = x² − 4 taškai ir tiesės y = −3 taškai turi tą pačią ordinatę (koordinatę y). Patikrinkite, ar užrašytos x reikšmės yra lygties x² − 4 = −3 sprendiniai. b) Užrašykite x reikšmių intervalą, kuriame parabolės y = x² − 4 taškai yra žemiau negu tiesės y = −3 taškai. Ar galima teigti, kad

1. Grafiniu būdu išspręskite šias nelygybes: a) 3x – 5 > 2x + 2; b) x² + x – 6 < x + 3; c) x² ≥ 2x + 1. 2. Schemiškai pavaizduokite parabolės

cbxaxy ++= 2 padėtį Ox ašies atžvilgiu pagal diskriminanto D ir koeficiento a reikšmes: a) D > 0, a > 0; b) D > 0, a < 0; c) D = 0, a > 0; d) D = 0, a < 0; e) D < 0, a > 0; f) D < 0, a < 0. 3. Grafiniu būdu išspręskite kvadratines nelygybes. a) x² – 5x + 6 > 0; b) x² + 2x + 3 > 0; c) x² + 2x + 1 > 0; d) –x² + 7x – 12 > 0;

1. Grafiniu būdu išspręskite šias nelygybes:

a) 0>5

x; b) 0

5<

x;

c) 14≥−

x; d) .1

5≤−

x

2. Išspręskite nelygybes: a) (x + 1)² > 0; b) (x + 1)² < 0; c) (x + 1)² ≥ 0; d) (x + 1)² ≤ 0.

Kalba netaisyta

31

intervalu užrašyti skaičiai yra nelygybės x² − 4 < −3 sprendiniai? c) Užrašykite x reikšmių intervalus, kuriuose parabolės y = x² − 4 taškai yra aukščiau negu tiesės y = −3 taškai. Ar galima teigti, kad intervalu užrašyti skaičiai yra nelygybės x² − 4 > −3 sprendiniai? 2. a) Vienoje koordinačių plokštumoje nubraižykite parabolę y = x² ir tiesę y = 4x – 3; b) nustatykite grafikų susikirtimo taškų abscises (x reikšmes); c) remdamiesi brėžiniu, išspręskite lygtį x² = 4x – 3 ir nelygybes x² > 4x –3 ir x² < 4x – 3.

e) –x² + 6x − 9 > 0; f) –x² + 5x − 7 > 0.

6. Modulis B-6 Racionalieji reiškiniai ir jų pertvarkiai

6.1. Modulio B-6 Racionalieji reiškiniai ir jų pertvarkiai mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Paprastais atvejais nustato veiksmų tvarką skaitiniame reiškinyje ir apskaičiuoja reiškinio reikšmę. 2. Paprastais atvejais apskaičiuoja raidinio reiškinio reikšmę, kai žinoma kintamojo reikšmė. 3. Paprasčiausiais atvejais atlieka veiksmus su kvadratinėmis šaknimis. 4. Paprastais atvejais randa kintamojo reikšmes, su kuriomis reiškinys įgyja tam tikrą reikšmę arba reikšmių neįgyja.

1. Nesudėtingais atvejais nustato veiksmų tvarką skaitiniame reiškinyje ir apskaičiuoja reiškinio reikšmę. 2. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja raidinio reiškinio reikšmę, kai žinoma kintamojo reikšmė. 3. Paprastais atvejais atlieka veiksmus su kvadratinėmis šaknimis. 4. Nesudėtingais atvejais randa kintamojo reikšmes, su kuriomis reiškinys įgyja tam tikrą reikšmę arba reikšmių neįgyja.

1. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja reiškinio reikšmę. 2. Nesudėtingais atvejais atlieka veiksmus su kvadratinėmis šaknimis. 3. Nesudėtingais atvejais nustato reiškinio apibrėžimo sritį. 4. Nesudėtingais atvejais skaido daugianarius daugikliais taikant grupavimą. 5. Subendravardiklina daugiau negu dvi algebrines trupmenas.

Kalba netaisyta

32

5. Žino sąvokas „reiškinio apibrėžimo sritis“, „galimos kintamojo reikšmės“, „reiškinys turi prasmę“ („yra apibrėžtas“). 6. Paprasčiausiais atvejais nustato reiškinio apibrėžimo sritį. 7. Žino sąvokas „sveikasis reiškinys“, „racionalusis reiškinys“. 8. Pateikia reiškinių su vienu ar dviem kintamaisiais, vienanario, dvinario, trinario pavyzdžių. 9. Skiria pirmojo, antrojo laipsnio daugianarius. 10. Pertvarko paprastus raidinius reiškinius taikydamas sudėties ir daugybos perstatomumo ir jungiamumo dėsnius, atskliausdamas reiškinius ir (ar) sutraukdamas juose esančius panašiuosius narius. 11. Paprasčiausiais atvejais skaido daugianarius daugikliais taikydamas bendrojo daugiklio iškėlimą prieš skliaustus, greitosios daugybos formules. 12. Paprastais atvejais subendravardiklina dvi algebrines trupmenas. 13. Žino laipsnio su sveikuoju rodikliu apibrėžimą ir savybes. 14. Paprastais atvejais atlieka racionaliųjų reiškinių sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, kėlimą sveikuoju laipsniu. 15. Paprastais atvejais suprastina algebrines trupmenas. 16. Paprastas situacijas aprašo pirmojo laipsnio daugianariais, antrojo laipsnio daugianariais, suvedamais į kvadratinį trinarį.

5. Paaiškina sąvokas „reiškinio apibrėžimo sritis“, „galimos kintamojo reikšmės“, „reiškinys turi prasmę“ („yra apibrėžtas“). 6. Paprastais atvejais nustato reiškinio apibrėžimo sritį. 7. Paaiškina sąvokas „sveikasis reiškinys“, „racionalusis reiškinys“, žino sąvoką „algebrinė trupmena“. 8. Paaiškina, ką vadiname daugianario su vienu kintamuoju laipsniu. Paprastais atvejais nustato daugianario su vienu kintamuoju laipsnį. 9. Nesudėtingais atvejais skaido daugianarius daugikliais taikydamas kvadratinio trinario skaidymo tiesiniais daugikliais formulę, grupavimą. 10. Nesudėtingais atvejais subendravardiklina dvi algebrines trupmenas. 11. Nesudėtingais atvejais atlieka racionaliųjų reiškinių sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, kėlimą sveikuoju laipsniu. 12. Nesudėtingas situacijas aprašo antrojo laipsnio daugianariais, suvedamais į kvadratinį trinarį, algebriniais trupmeniniais reiškiniais.

6. Nesudėtingais atvejais atlieka racionaliųjų reiškinių sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, kėlimą sveikuoju laipsniu. 7. Nesudėtingas situacijas aprašo racionaliaisiais reiškiniais.


1. Perskaito ir suvokia paprastą matematinį tekstą ir uždavinio sąlygą. 2. Teisingai užrašo skaitinius ir raidinius reiškinius, jų veiksmus. 3. Sudarydamas raidinį reiškinį, užrašo, kokį dydį pažymi kokia raide. 4. Skiria sveikuosius ir racionaliuosius reiškinius. 5. Naudojasi skaičiuotuvu.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius, įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 2. Įvairiais būdais pateikia uždavinių sprendimus taip, kad kiti galėtų juos suprasti. 3. Naudoja brėžinius, schemas, lenteles uždavinių raidinių reiškinių sudarymui paaiškinti. 4. Argumentuoja raidinių reiškinių sudarymą.

1. Perskaito, supranta bei interpretuoja nesudėtingą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. 2. Svarsto, koks uždavinio sprendimas ir atsakymas, vieno ar kito teiginio argumentavimas (pagrindimas) bei jų užrašymo būdai laikomi tinkamais. 3. Tikslingai naudoja su reiškinių pertvarkiais susijusius matematinius simbolius. 4. Argumentuoja nesudėtingų uždavinių sprendimus.

Kalba netaisyta

33

6. Užrašo uždavinio atsakymą, atitinkantį užduoties reikalavimus.

5. Kalba ir rašo taisyklingai. 5. Aiškiai ir nuosekliai pateikia sprendimo eigą. 6. Geba pristatyti atliktą užduotį.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi tik mokytojo vadovaujamas, neplaningai ir nesistemingai. Priima draugų ir mokytojo pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 2. Imasi spręsti paprastas įprasto konteksto užduotis. 3. Pateikia reiškinių reikšmių skaičiavimo ir pertvarkių pritaikymo kituose mokomuosiuose dalykuose pavyzdžių.

1. Imasi spręsti nesudėtingų standartiniais būdais suformuluotų užduočių. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. 4. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgyjamų žinių ir gebėjimų kontekste.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas nestandartines užduotis. 2. Planuoja mokymosi laiką. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Tikrinasi atliktą darbą. 3. Realiai įsivertina pasiekimų lygį pagal mokytojo pateiktus vertinimo kriterijus. 4. Padeda mokytis kitiems. 5. Užduotis atlieka kūrybingai. 6. Vertina įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgia jų reikalingumą ir naudingumą.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Suvokia pagrindinius su racionaliaisiais reiškiniais ir veiksmais juose susijusius simbolius. 3. Paprastais atvejais vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu (pvz., situaciją aprašo raidiniu reiškiniu). 4. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 5. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga. 6. Paprastais atvejais patikrina, ar gautas sprendinys tenkina uždavinio sąlygą.

1. Sprendžia paprastus nestandartinius įvairaus turinio uždavinius: neįprasto konteksto; kai reikia pasirinkti racionalų sprendimo būdą; kai uždavinio sąlygoje nepateikta informacija apie nežinomo dydžio galimas reikšmes. 2. Nesudėtingais atvejais vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu, sudaro realią situaciją aprašančius abstrakčius teiginius, sukuria uždavinio sąlygą atitinkantį modelį (pvz., raidinį reiškinį judėjimo, darbo uždaviniuose). 3. Nesudėtingais atvejais įžvelgia ryšius: pastebi dydžių priklausomybes, jomis remiantis pasinaudoja atitinkamais sprendimo algoritmais, sudaro reiškinį, nustato reiškinio rūšį. 4. Paprastais atvejais analizuoja realią situaciją ir ją aprašo abstrakčiais teiginiais. 5. Sprendžia nesudėtingus uždavinius, kuriuose derinami keli algoritmai ar kelių matematikos sričių gebėjimai. 6. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą

1. Nesudėtingais atvejais pritaiko matematinį modelį (racionalų reiškinį) nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp dviejų dyžių, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, derina kelių sričių gebėjimus. 2. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. 3. Nesudėtingais atvejais įrodo/ argumentuoja/ pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis matematikos ir kitų mokomųjų dalykų žiniomis, savo sukurtais modeliais. 4. Apibūdina ryšius tarp nagrinėjamų objektų. 5. Įvairiais būdais pateikia uždavinių įrodymo idėjas. 6. Uždavinių sprendimas išsamus, racionalus, nuoseklus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

Kalba netaisyta

34

argumentuoja. 7. Nesudėtingais atvejais pasirenka tinkamą veiksmą, metodą, sprendimo būdą.

6.2. Modulio B-6 Racionalieji reiškiniai ir jų pertvarkiai mokini ų pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdžiai mokiniui


1.Skaičiuotuvu ir be jo apskaičiuoti nesudėtingų sveikųjų ir racionaliųjų reiškinių skaitines reikšmes ir įvairių dydžių reikšmes pagal nurodytą formulę. Rasti kintamųjų reikšmes, su kuriomis reiškinys įgyja tam tikras reikšmes arba jų neįgyja.

1. Nustatykite veiksmų tvarką ir apskaičiuokite skaitinio reiškinio reikšmę:

a)

−+

6

52

3

14

4

32 ; b)

( ) ( )310

82

3

+−

−+−;

c) ( ) ( )252

1132 −⋅−−⋅− ;

d) 5

21:

5

3

7

21

3

12 −⋅ .

2. Raskite duotojo reiškinio reikšmę: a) 2a + 3, kai a = 2; b) –7x – x², kai x = –2;

c) 5

43

+−

+

y

x, kai x = –1, y = 3.

3. Su kuria kintamojo reikšme trupmenos:

a) 3

62 +x reikšmė lygi 0;

b) 10

27 x− reikšmė lygi 4?

4. Kurie iš reiškinių 2

x ; x

2 ; 4,5x – 7x²;

7

5

3

2+x ;

9

312 −x ; x

x

+

−

1

53 yra sveikieji,

kurie – racionalieji? 5. Paaiškinkite, ką reiškia teiginys „Raidinis reiškinys turi prasmę, kai x ≠ 0“.

1. Apskaičiuokite skaitinio reiškinio reikšmę:

a) 5

21:

5

32

7

23

3

12 +⋅ ;

b) ( )02552

3

12

2

7

3−⋅−+

−

;

c) ( ) 232

5 −− ;

d) ( )23:2

3

23412 −−⋅

;

e) ( ) 203521477

1+− .

2. Apskaičiuokite reiškinio 1213

+

−

m

m

reikšmę, kai m = 3

2 ; –0,1; 5.

3. Paaiškinkite, kas yra raidinio reiškinio kintamojo galimos reikšmės ir apibrėžimo sritis. 4. Nustatykite reiškinių kintamojo x galimas reikšmes:

a) x

x

x

x

++

−−

−

826

3

4 ; b) 42

5

−x

x;

1. Apskaičiuokite:

a)

6

1

5

111

41

2

5

31

3

12

−

⋅−

; b) 2,(3) + 5,6 · 3,(6);

c) 133527

79153

−

+;

d) ( )( )321321 −+++ ;

e) ( )4

325,0

1

7

333,0 ⋅−−+−

+−

.

2. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę dviem būdais: a) 2a² – 0,5a. kai a = 1,25;

b) aa3

12 − , kai 3

12=a .

3. Apskaičiuokite reiškinio x² + 2x reikšmę, kai 12 −=x . 4. Nustatykite reiškinio apibrėžimo sritį:

a) 42 −x ; b) x

x

−

+

6

52;

c) 83

5,032

−

++−

x

xx .

Kalba netaisyta

35

6. Su kuriomis x reikšmėmis turi prasmę duotieji reiškiniai ir su kuriomis neturi prasmės?

a) x

6 ; b) 2

3

−

+

x

x ; c) 4−x .

c) 42

5

+x

x; d)

1

3

−

−

x

x;

e) xx −++ 582 . 5. Su kuriomis kintamojo reikšmėmis trupmenos reikšmė lygi 0?

a) ( )8

1−xx ; b) ( )( )4

42

+

+−

x

xx ;

c) 3

52 −x; d)

15

110225

−

+−

x

xx.

5. Įrodykite, kad su kiekviena kintamojo reikšme trupmenos:

a) 12

4

+x reikšmė yra teigiama;

b) 3

22

−

+x reikšmė yra neigiama;

c) ( )

12

23

+

−

x

x reikšmė yra neneigiama;

d) ( )

12

25

−−

−

x

x reikšmė yra neteigiama.

2. Paprastas praktines ir teorines situacijas aprašyti pirmojo laipsnio daugianariais, antrojo laipsnio daugianariais, suvedamais į kvadratinį trinarį, algebriniais trupmeniniais reiškiniais.

1. Kelionėje iš vieno miesto į kitą automobilis sugaišo 5 valandas. Pirmąsias 3 valandas automobilis važiavo x km/h greičiu, o likusį laiką – 20 km/h didesniu greičiu. Sudarykite raidinį reiškinį atstumui tarp miestų apskaičiuoti. 2. Tėvas su sūnumi, dirbdami kartu, iškasa sniegą iš namo kiemo per x valandų. Kurią sniego dalį jie iškasa per vieną valandą? Per 3 valandas?

1. Kvadrato, kurio kraštinė lygi a, vienos poros priešingas kraštines sutrumpino 1 cm, o kitos – pailgino 4 cm. Sudarykite reiškinius gauto stačiakampio perimetrui ir plotui apskaičiuoti. 2. Mama gėlyną nuravi per x valandų, dukra sugaišta 2 valandomis daugiau. Kurią gėlyno dalį nuravėtų mama ir dukra, kartu dirbdamos 1 valandą? 3 valandas?

1. 1) Perskaitykite teiginius A, B ir C: A Sveikuoju reiškiniu vadiname reiškinį, kuriame nėra dalybos iš reiškinio su kintamuoju. B Racionaliaisiais reiškiniais vadinami skaitiniai ir raidiniai reiškiniai, kuriuose naudojami sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir kėlimo sveikuoju laipsniu veiksmai. C Algebrine trupmena vadinamas reiškinys,

užrašytas trupmena b

a , kur a ir b yra

sveikieji reiškiniai. 2) Nustatykite, kurie iš reiškinių yra sveikieji reiškiniai, kurie – racionalieji ir kurie – algebrinės trupmenos:

a) 2x²y – 3xy²; b) 14²; c) 14 ; d) 3

12 ;

e) (x + 5) : 4; f) (x + 5) : (x + 4);

g) 4

5

−

+

x

x ; h) b

aa + ; g)

7

5 .

2. Sudarykite raidinį reiškinį ir įrodykite, kad trijų iš eilės einančių natūraliųjų skaičių suma dalijasi iš 3 be liekanos.

Kalba netaisyta

36

3.Pertvarkant paprastus raidinius reiškinius taikyti sudėties ir daugybos perstatomumo ir jungiamumo dėsnius. Atskliausti reiškinius ir (ar) sutraukti juose esančius panašiuosius narius. Paprasčiausiais atvejais skaidyti daugianarius daugikliais. Pertvarkant algebrinius reiškinius taikyti veiksmų su laipsniais, kurių rodiklis sveikasis, savybes, veiksmų su kvadratinėmis šaknimis savybes, veiksmų su trupmeniniais reiškiniais savybes.

1. Pertvarkykite reiškinius taip, kad gautumėte daugianarius:

a) ( )13225 −− xxx ;

b) ( )2238 −−−− xxx ; c) (3b – 2)(b² −4b – 5); d) (3b – 2) (3b + 2); e) (3b – 2)²; f)(2b + 3)(b – 2) + 6(1 – b). 2. Išskaidykite dauginamaisiais: a) 9ab + 3cd – 21; b) x³y − xy³; c) x² − 81; d) x² + 18x + 81. 3. Suprastinkite trupmenas:

a) b

a

77

99 ; b) xz

xy

45

405 ; c) yx

yx

535

2328;

d) ( )

( )( )55

52

+−

+

aa

a; e)

( )7

27

−−

x

x;

f) 2)7(7

−−

x

x; g)

)34(173417

++

a

a; h)

3

92

+

−

x

x;

i) ( )

252

25

−+

a

a.


a) 2

12+

x; b)

x

x

4

5

4

3− ; c)

2

56

bb+ ;

d) 2

13

+−

xx; e)

3

32

x

x

x

−− ;

f)

2

3

2

c

ba ; g) 4

2

2−

x

y;

1. Pakeiskite daugianariu: a) (3b – 2a)(2a + 3b) – 3a²; b) (3y + 4z)² − 8z(3y – 2z); c) (a – 2)² + (1 – a)(a + 1) + 5a; d) (−3x − 4y)² − (2x − 7y)(4x + 2y);

e) 2

12

4

3 −+

xx ;

f) (2a +1)³. 2. Išreikškite sandauga: a) 12x³ − 3x²y – 18xy²; b) x³ + x² + 2x + 2; c) 8ab – 14a – 12b + 21; d) 4b² − 0,01; e) 9a² − 12ab + 4b²; f) x² − x − 42; g) 3y² − 13y − 10. 3. Suprastinkite trupmenas:

a) abb

aba

1228

10215

−

−; b)

567

2452

−

−−

y

yy ;

c) 292225

22259029

xy

yxyx

−

++.


a) b

b

b

b

10

34

5

23 +−

+ ; b) ( )

bba

a+

−

2

2;

c) x

x

x

x

33

47

22

35

−

+−

−

+ ;

d) 4222

44242

−

−+

++

+

x

xx

xx

x;

e) )

−

+− 26

12

6 x

x

x

x; f)

3

3

22

−

cz

ba ;

1. Įrodykite, kad lygybė

( )( )1212124 +−++=++ aaaaaa yra teisinga su bet kuria a reikšme. 2. Suprastinkite:

a) ( )

124

221

−

−

x

x; b)

( )92

23

−

−−

a

a;

c) ( )

( )( )23

23

++

++

xx

xx;

d) 924

30202332

−

+++

a

aaa .

3. Parodykite, kad reiškinio

( ) 22

22

21223

2)32(1

−

+⋅

−−

−−

x

x

x

x reikšmė nepriklauso

nuo kintamojo reikšmių. 4. Sudarykite reiškinį ir įrodykite, kad dviejų skirtingų nelygių nuliui skaičių sandauga, padauginta iš tiems skaičiams atvirkštinių skaičių sumos, yra lygi tų skaičių sumai. 5. Atlikite veiksmus:

a) ( )

b

cbc

2

2+− ; b)

aa

a

a

aa

52

92:

252

32

+

−

−

−;

c)

x

x1

1

11

+

−; d)

−+⋅

−

−

x

xx

x

x

23

2;

e) 236

2

6

3

6 a

a

aa

a

−+

+−

−;

Kalba netaisyta

37

h) 3366

512

x

y

y

x⋅ ; i)

8

215:

6

5 xx;

j) 36

:12

2 ab

b

a; k) 4

523

−−xx

;

l) 12

812−

−+

xx.

g) 2

325

5

2

xy

ba

ab

yx⋅ ; h)

25

9:

310

3

aa

x;

i) ( )8442

8−⋅

−

+x

x

x ; j) 9

2

23 bab

b

a +⋅ ;

k) ( )xx

x8:

3

622−

+; l) x

x

x8:

3

622 +;

m) y

xyx

xy

yx

3

22:

242 −− ;

n)

+−

xyxy

x 11:

12

;

o) ( )3

24

323425,0

−−⋅−−

y

xyx .

f)

2

159

1

233

2−

−−

−

−

ba

ba.

7. Modulis B-7 Racionaliosios lygtys. Lygčių sistemos, kurių viena lygtis netiesinė

7.1. Modulio B-7 Racionaliosios lygtys. Lygčių sistemos, kurių viena lygtis netiesinė mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino racionaliosios lygties ir jos sprendinio, lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinio sąvokas. 2. Atpažįsta racionaliąją lygtį ir lygčių sistemą, kurios viena lygtis netiesinė. 3. Moka paaiškinti trupmenos lygumo nuliui sąlygą. 4. Sprendžia paprastą racionaliąją lygtį su vienu

1. Apibrėžia racionaliosios lygties ir jos sprendinio sąvokas. 2. Paaiškina racionaliosios lygties sprendimo algoritmą. 3. Paprastais atvejais nustato racionaliosios lygties apibrėžimo sritį.

1. Sprendžia nesudėtingus įvairaus konteksto uždavinius sudarydamas racionaliąsias lygtis. 2. Sprendžia nesudėtingas lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas, kurių viena lygtis pirmojo laipsnio, o kita – racionalioji. 3. Nesudėtingas situacijas aprašo lygčių su dviem

Kalba netaisyta

38

nežinomuoju, remdamasis trupmenos lygumo nuliui sąlyga. 5. Patikrina, ar skaičius yra racionaliosios lygties su vienu nežinomuoju sprendinys. 6. Paprastais atvejais išreiškia tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais vieną nežinomąjį kitu. 7. Patikrina, ar skaičių pora yra lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos, kurios viena lygtis netiesinė, sprendinys. 8. Sprendžia paprastą dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą, kurios viena lygtis netiesinė. 9. Užrašo racionaliosios lygties ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinį. 10. Sprendžia paprastus realaus turinio uždavinius sudarydamas racionaliąsias lygtis. 11. Paprastas situacijas aprašo dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema, kurios viena lygtis netiesinė. 12. Atrenka uždavinio sąlygą tenkinančius uždavinio sprendinius.

4. Sprendžia nesudėtingas racionaliąsias lygtis. 5. Sprendžia nesudėtingus įvairaus konteksto uždavinius sudarydamas racionaliąsias lygtis. 6. Paaiškina dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos, kurios viena lygtis netiesinė, sprendimo algoritmą. 7. Sprendžia nesudėtingą dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą, kurios viena lygtis netiesinė. 8. Nesudėtingas situacijas aprašo dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema, kurios viena lygtis netiesinė. 9. Gautus lygties ar lygčių sistemos sprendinius susieja su uždavinyje aprašyta situacija.

nežinomaisiais sistema, kurios viena lygtis pirmojo laipsnio, o kita – ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio arba racionalioji. 4. Pasiūlo kelis užduoties sprendimo būdus ir argumentuotai pasirenka vieną iš jų. 5. Numato galimą rezultatą ir pasiūlo, kaip jį galima būtų patikrinti.


1. Perskaito ir suvokia paprastą matematinį tekstą ir uždavinio sąlygą. 2. Teisingai naudoja lygties ar lygčių sistemos užrašymo ženklus. 3. Sudarydamas lygtį ar lygčių sistemą, užrašo, kokį dydį pažymi kokia raide, kokie to dydžio matavimo vienetai. 4. Atskiria tiesines, kvadratines ir racionaliąsias lygtis, dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas, kurių viena lygtis netiesinė. 5. Naudojasi skaičiuotuvu. 6. Užrašo uždavinio atsakymą, atitinkantį užduoties reikalavimus.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius, įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 2. Įvairiais būdais pateikia uždavinių sprendimus taip, kad kiti galėtų juos suprasti. 3. Naudoja brėžinius, schemas, lenteles uždavinių sprendimams paaiškinti. 4. Argumentuoja uždavinio sprendimui reikalingų raidinių reiškinių sudarymą. 5. Argumentuoja uždavinio sąlygą ar sprendimą tenkinančių sprendinių atrinkimą. 6. Kalba ir rašo taisyklingai.

1. Perskaito, supranta bei interpretuoja nesudėtingą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. 2. Svarsto, koks uždavinio sprendimas ir atsakymas, vieno ar kito teiginio argumentavimas (pagrindimas) bei jų užrašymo būdai laikomi tinkamais. 3. Tikslingai naudoja su lygtimis ir jų sistemomis susijusius matematinius simbolius. 4. Argumentuoja nesudėtingų uždavinių sprendimus. 5. Aiškiai ir nuosekliai pateikia sprendimo eigą. 6. Geba pristatyti atliktą užduotį.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi tik 1. Imasi spręsti nesudėtingas standartiniais būdais 1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas

Kalba netaisyta

39

mokytojo vadovaujamas, neplaningai ir nesistemingai. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 2. Imasi spręsti paprastas įprasto konteksto užduotis. 3. Pateikia lygčių ir jų sistemų teorijos pritaikymo kituose mokomuosiuose dalykuose pavyzdžių.

suformuluotas užduotis. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. 4. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgyjamų žinių ir gebėjimų kontekste.

nestandartines užduotis. 2. Planuoja mokymosi laiką. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Tikrinasi atliktą darbą. Realiai įsivertina pasiekimų lygį pagal mokytojo pateiktus vertinimo kriterijus. 3. Padeda mokytis kitiems. 4. Užduotis atlieka kūrybingai. 5. Vertina įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgia jų reikalingumą ir naudingumą.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Suvokia pagrindinius su lygtimis, nelygybėmis ir jų sistemomis susijusius simbolius. 3. Paprastais atvejais vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu − situaciją aprašo raidiniu reiškiniu, lygtimi ar lygčių sistema. 4. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 5. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga. Paprastais atvejais patikrina, ar gautas sprendinys tenkina uždavinio sąlygą.

1. Sprendžia paprastus nestandartinius įvairaus turinio uždavinius: neįprasto konteksto; kai reikia pasirinkti racionalų sprendimo būdą; kai uždavinio sąlygoje nepateikta informacija apie nežinomo dydžio galimas reikšmes; kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina įvertinti pradinės uždavinio sąlygos kontekste. 2. Nesudėtingais atvejais vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu, sudaro realią situaciją aprašančius abstrakčius teiginius, sukuria uždavinio sąlygą atitinkantį modelį, pvz., lygtį ar lygčių sistemą. 3. Nesudėtingais atvejais įžvelgia ryšius: pastebi dydžių priklausomybes, jomis remdamasis sudaro lygtį ar lygčių sistemą, nustato lygties ar lygčių sistemos rūšį ir pasinaudoja atitinkamais sprendimo algoritmais. 4. Paprastais atvejais analizuoja realią situaciją aprašančius abstrakčius teiginius ir daro išvadas. 5. Sprendžia nesudėtingus uždavinius, kuriuose derinami keli algoritmai ar kelių matematikos sričių gebėjimai. 6. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą argumentuoja. 7. Nesudėtingais atvejais pasirenka tinkamą veiksmą, metodą, sprendimo būdą.

1. Nesudėtingais atvejais pritaiko matematinį modelį (lygtį ar lygčių sistemą) nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp dviejų dydžių, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, derina kelių sričių gebėjimus. 2. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. 3. Nesudėtingais atvejais įrodo/argumentuoja/ pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis matematikos ir kitų mokomųjų dalykų žiniomis, savo sukurtais modeliais. 4. Apibūdina ryšius tarp nagrinėjamų objektų. 5. Įvairiais būdais pateikia uždavinių įrodymo idėjas. 6. Uždavinių sprendimas išsamus, racionalus, nuoseklus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

Kalba netaisyta

40

7.2. Modulio B-7 Racionaliosios lygtys. Lygčių sistemos, kurių viena lygtis netiesinė mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdžiai mokiniui


1. Paprastas praktines ir teorines situacijas aprašyti pirmojo laipsnio daugianariais, antrojo laipsnio daugianariais, suvedamais į kvadratinį trinarį, algebriniais racionaliaisiais reiškiniais.

1. Komersantas nepaklausios prekės kainą x sumažino 20 %, o tada aukcione ją pardavė 20 % brangiau. Užrašykite raidinį reiškinį prekės pardavimo kainai rasti. 2. Motorinės valties greitis x km/h. Ji plaukia upe, kurios tėkmės greitis 2 km/h, 10 km pirmyn ir 10 km atgal. Sudarykite reiškinį kelionėje sugaištam laikui apskaičiuoti.

3. Žinodami, kad 5=y

x, raskite reiškinio

x

y reikšmę.

1. Automobilis išvyko į miestą, esantį už 100 km. Pirmąją kelio pusę jis važiavo v km/h greičiu, o antrąją 10 km/h didesniu greičiu. Sudarykite reiškinį automobilio kelionės laikui apskaičiuoti. 2. Laikrodis rodė a valandų, kai turistai išėjo iš Varėnos. Kai jie pasiekė Druskininkus buvo b valandų. Kitą rytą jie iškeliavo į Lazdijus a + 3 valandą, ir kelionę baigė b + 3 valandą. Įrodykite, kad abi dienas turistai keliavo tiek pat valandų.

3. a) Reiškinį y

yx+išreikškite sveikojo

reiškinio ir trupmenos suma.

b) Žinodami, kad 5=x

y , raskite

reiškinio 5=+

y

yx reikšmę.

1. Duoti keturi vienas po kito einantys lyginiai skaičiai. Įrodykite, kad visada vidurinių skaičių sandauga 8 vienetais didesnė už kraštinių skaičių sandaugą. 2. Turistai keliavo dvi dienas. Kiekvieną dieną jie per b valandų nukeliavo po a km, per visą kelionę ilsėdamiesi c valandų. Parašykite reiškinį turistų vidutiniam greičiui kelionėje apskaičiuoti. 3. Mokytoja paprašė mokinių: „Išreikškite

trupmeną 5

2572

−

−+

x

xx sveikojo reiškinio ir

trupmenos suma“. Mokiniai pateikė tris atsakymus:

1) 5

75

−++

x

xx ; 2)

5

3512

−++

xx ;

3) 5

252

−

−+−

x

xx . Ar visi atsakymai teisingi?

2. Spręsti A(x)/B(x) =0 pavidalo lygtis ir paprastas lygtis, suvedamas į tam tikrą pavidalą. Paprastais atvejais modeliuoti racionaliosiomis lygtimis uždavinio sąlygoje nurodytas situacijas.

1. Kurios iš duotų lygčių yra tiesinės, kurios – kvadratinės, kurios – racionaliosios?

a) 15

21

3

2

5=+

x ; b) 01622 =+− xx ;

c) 3223 xxx =+ ; d) 45=

x;

e) ( ) 37 =−xx ; f) ( ) 4:2 =+ xx . 2. Išvardykite racionaliosios lygties sprendimo etapus. 3. Išspręskite racionaliąsias lygtis:


a) 02

73

217

=+

−

x

x; b) ( )

31

2=

−

−

x

xx ;

c) 07

32

5

34=

++

−

y

y

y

y;

d) 020

54

15

311=

−−

+− aa ;

e) x

x

x

x 29

1

−=

−;


a) ( )( )

01

212=

−

−+

x

xx;

b) 9,3

13

1

3,1

13

12 −

=+ xx

;

c) 9

1

9

2

3

1

++

+=

+−

xx

x

x

x ;

Kalba netaisyta

41

a) 02

811=

−

+

x

x ; b) 22

811=

+

−

x

x ;

c) ( )( )0

2

23=

−

−+

x

xx ;

d) 07

52

5

32=

−−

−

x

x

x

x ;

e) a

a

a

a

9

35

3

24 −=

− ; f) 22

36=

++

xx.

Išspręskite uždavinius, sudarydami lygtis. 4. Trupmenos vardiklis septyniais didesnis už skaitiklį. Jei iš tos trupmenos skaitiklio atimsime 4, o iš vardiklio 8, tai gausime trupmeną, lygią duotajai. Raskite šią trupmeną. 5. Turistas, sugaišęs kelionėje 8 valandas, baidare nuplaukė pasroviui 12 km ir grįžo atgal. Apskaičiuokite, kokiu greičiu turistas plauktų baidare stovinčiame vandenyje, jei upės tėkmės greitis 2 km/h.

f) 17

1

7

8−=

−+

−

−

xx

x ;

g) 02

1

424

=−

−− xx

;

h) 4

142816

451

−=

+−+

xxx;

i) 1

3

122

32

+=

−+

−

xxx

x;

j) ( ) ( )21

1211

21 −=

−+

− xxxxx

x.

Išspręskite uždavinius, sudarydami lygtis. 2. Iš miesto A į miestą B, tarp kurių atstumas 30 km, išvažiavo autobusas, o po 15 min. paskui jį – lengvasis automobilis, kurio greitis 20 km/h didesnis už autobuso greitį. Raskite lengvojo automobilio greitį, jeigu automobiliai į miestą atvyko kartu. 3.Dizaineris per nustatytą laiką turėjo sukurti 50 kostiumų modelių. Tačiau kiekvieną savaitę jis sukurdavo 3 modeliais daugiau, todėl jau savaitę prieš terminą viršijo užsakymą 2 modeliais. Kiek modelių per savaitę turėjo sukurti dizaineris?

d) 021

3823

22

4

1

7=

−

−+

−

++

+ x

x

x

x

x;

e) 1223

6

2

11

2

1

−

−−

−=−

− x

x

xx;

f) 5

3

154210

−=

++

−− xx

x

xx.

Išspręskite uždavinius, sudarydami lygtis. 2. Iš prieplaukos A į prieplauką B, tarp kurių atstumas 36 km, išplaukė plaustas. Po 3 h priešais jį iš prieplaukos B išplaukė motorinė valtis. Jie susitiko 10 km nuo prieplaukos A. Raskite plausto greitį, jeigu motorinės valties greitis stovinčiame vandenyje 15 km/h. 3. Prekių sandėlyje du autokrautuvai, dirbdami kartu, sukrautų visas prekes per 2 valandas. Jei pirmasis dirbtų 2 valandas, o

antrasis – vieną, būtų atlikta 6

5 viso darbo.

Per kiek valandų gali sukrauti visas prekes kiekvienas autokrautuvas, dirbdamas atskirai?

3. Keitimo būdu spręsti paprastas lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas, kurių viena lygtis pirmojo, o kita – ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio. Aprašyti paprastas situacijas sistemomis su dviem nežinomaisiais, kurių viena


a)

=+

=+

;165

,227

yx

yx b)

=

=+

;12

,7

xy

yx

c)

=−

=−

.4

,5

411

yxxy


a)

=−

=+

;9356

,267

yx

yx b)

=−

=+

;22

,8922

yx

yx

c) ( )( )

=−

=−+

;12

,0

yx

yxyx


a)

=+

+−

=−

++

;143

2

,123

2

yxyx

yxyx

b)

−=+

=−

;43

,222

yx

yx

Kalba netaisyta

42

lygtis pirmojo, o kita – ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio.

2. Paaiškinkite, kaip sprendžiama dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema, kurios viena lygtis netiesinė. Išspręskite uždavinius, sudarydami lygčių sistemas. 3. Stačiakampis žemės sklypas aptvertas 44 m ilgio tvora. Sklypo plotas lygus 120 m². Raskite sklypo ilgį ir plotį. 4. Iš oro uosto vienu metu išskrido du lėktuvai į vietovę, esančią už 3200 km. Pirmasis lėktuvas skrido 160 km/h greičiau už antrąjį, todėl į nurodytą vietovę atskrido 1 valanda anksčiau negu antrasis. Apskaičiuokite kiekvieno lėktuvo greitį. 5. Vienas dažytojas gali nudažyti pastato sienas 24 h greičiau už kitą. Dirbdami kartu, jie nudažytų to pastato sienas per 35 h. Per kiek laiko nudažytų pastato sienas kiekvienas dažytojas, dirbdamas atskirai?

d)

=+

=+

.5

,3

11

21

yxyx

Išspręskite uždavinius, sudarydami lygčių sistemas. 2. Dviženklio skaičiaus 10a + b dešimčių skaitmuo 3 vienetais mažesnis už vienetų skaitmenį, o šio dviženklio skaičiaus ir jo skaitmenų sumos sandauga lygi 70. Raskite šį skaičių. 3. Iš stačiojo kampo viršūnės jo kraštinėmis tuo pačiu metu pradeda judėti du kūnai. Po 15 s atstumas tarp jų lygus 3 m. Pirmas kūnas per 6 s pasislenka tokiu atstumu, kokiu antrasis – per 8 s. Kokiu greičiu juda kiekvienas kūnas? 4. Du ekskavatoriai, dirbdami kartu, iškasa duobę per 3 h 45 min. Vienas ekskavatorius, dirbdamas atskirai, gali iškasti tą duobę 4 h greičiau už kitą. Per kiek laiko iškastų tą duobę kiekvienas ekskavatorius, dirbdamas atskirai?

c) ( )( )

=+

=−−

.7

22

,012

yx

yx

Išspręskite uždavinį dviem būdais − sudarydami lygtį su vienu nežinomuoju ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą. 2. Medelyne yra tiek medžių eilių, kiek medžių auga kiekvienoje eilėje. Eilių skaičių sumažinus 4 kartus ir kiekvieną eilę papildžius 10 medžių, medžių skaičius medelyne sumažėtų 250. Kiek medžių eilių medelyne? Išspręskite uždavinius, sudarydami lygčių sistemas. 3. Iš miestų A ir B, tarp kurių atstumas lygus 90 km, išvyko du automobiliai ir susitiko po valandos. Pirmasis į miestą B atvyko 27 min. vėliau negu antrasis į A. Raskite kiekvieno automobilio greitį. 4. Dviem vamzdžiais bakas pripildomas per 12 minučių. Jei pusė bako būtų pripildyta pirmuoju vamzdžiu, o tada kita pusė – antruoju vamzdžiu, tai bakas būtų pripildytas per 25 minutes. Per kiek minučių kiekvienu vamzdžiu galima pripildyti baką?

8. Modulis B-8 Erdvės geometrija

8.1. Modulio B-8 Erdvės geometrija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui



Kalba netaisyta

43


1. Žino erdvinių figūrų pavadinimus. 2. Modelyje ar brėžinyje moka parodyti kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio, rutulio elementus. 3. Paprasčiausiais atvejais apskaičiuoja kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio elementus. 4. Paprastais atvejais apskaičiuoja pavaizduotos pasvirosios arba jos projekcijos ilgį. 5. Žinomų geometrinių figūrų modeliuose ar brėžiniuose parodo lygiagrečiąsias, statmenąsias, susikertančias tieses. 6. Moka pavaizduoti stačiakampio gretasienio įstrižainę. 7. Kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, ritinio modeliuose parodo lygiagrečiąsias plokštumas. 8. Atpažįsta lygias ir panašias figūras erdvėje. 9. Paprasčiausiais atvejais moka apskaičiuoti kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio paviršiaus plotą ir tūrį, rutulio tūrį. 10. Paprasčiausiais atvejais randa dviejų erdvinių figūrų tūrių santykį.

1. Savais žodžiais moka apibūdinti žinomas erdvines figūras. 2. Pavaizduotą išklotinę priskiria erdvinei figūrai. 3. Paprastais atvejais apskaičiuoja kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio, rutulio elementus. 4. Apibūdina pasvirąją ir jos projekciją. Paprastais atvejais pavaizduoja ir apskaičiuoja pasvirosios arba jos projekcijos ilgį. 5. Žinomų erdvinių figūrų modeliuose arba brėžiniuose parodo prasilenkiančias tieses. 6. Žinomų erdvinių kūnų modeliuose, brėžiniuose parodo statmenas, susikertančias plokštumas. 7. Supranta ir moka parodyti kampą tarp stačiakampio gretasienio įstrižainės ir pagrindo plokštumos. 8. Paprastais atvejais moka apskaičiuoti kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio paviršiaus plotą ir tūrį, rutulio tūrį. 9. Moka rasti vieną iš dydžių, kai nurodytas jų santykis ir vienas iš dydžių. 10. Moka pagaminti kūgio modelį.

1. Moka klasifikuoti erdvines figūras. 2. Moka pavaizduoti žinomų erdvinių figūrų išklotines. 3. Supranta ir moka pasiūlyti, kaip apskaičiuoti erdvinių figūrų atskirus elementus. 4. Moka parodyti ir pavaizduoti: kampus tarp tiesių, kampą tarp tiesės ir plokštumos. 5. Moka parodyti ir pavaizduoti kampą tarp taisyklingosios piramidės briaunos ir pagrindo plokštumos. 6. Žino ir supranta, kaip susiję panašiųjų figūrų atitinkami matmenys, perimetrai, plotai, tūriai. 7. Supranta ir moka tiksliai arba nurodytu tikslumu apskaičiuoti žinomų erdvinių figūrų paviršiaus plotus ir tūrius. 8. Supranta ir naudojasi masteliu apskaičiuojant panašiųjų figūrų tūrius.


1. Supranta svarbiausias erdvės geometrijos sąvokas. 2. Perskaito ir supranta paprasčiausio geometrinio uždavinio sąlygą. 3. Paprasčiausiais atvejais iš brėžinio įvardija, kas yra duota ir ką reikia apskaičiuoti. 4. Tiesiogiai taiko erdvinių figūrų paviršiaus ploto ir tūrio formules. 5. Užrašo trumpus paprasčiausių erdvės geometrijos uždavinių sprendimus.

1. Teisingai supranta erdvės geometrijos sąvokas. 2. Moka pavaizduoti brėžiniu visus žinomus erdvinius kūnus. 3. Perskaitęs ar išklausęs supranta paprasto geometrinio uždavinio sąlygą. 4. Pavaizduoja geometrinio uždavinio sąlygą brėžiniu, užrašo, kas yra duota ir ką reikia rasti. 5. Tinkamai vartoja geometrijos terminus ir simbolius. 6. Naudodamiesi duotu brėžiniu užrašo, kas yra duota ir ką reikia rasti arba įrodyti. Nuosekliai užrašo

1. Apibūdina erdvinių kūnų elementus. 2. Pavaizduoja žinomų erdvinių kūnų išklotines. 3. Pagal duotą erdvinio kūno išklotinę modeliuoja erdvinio kūno brėžinį. 4. Paaiškina, kaip gaunami sukiniai. 5. Perskaitęs ar išklausęs supranta nesudėtingo geometrinio uždavinio sąlygą. 6. Tikslingai papildo nubrėžtą brėžinį. 7. Tikslingai vartoja geometrijos simbolius. 8. Pasiūlo geometrinio uždavinio sprendimo idėją ir ją

Kalba netaisyta

44

uždavinio sprendimą. 7. Taiko erdvinių figūrų paviršiaus ploto ir tūrio formules nežinomiems dydžiams rasti. 8. Sieja gretimus tūrio, ploto matavimo vienetus. 9. Tinkamai naudojasi geometrijos formulių rinkiniu.

argumentuotai pristato. 9. Nuosekliai ir išsamiai užrašo geometrinio uždavinio sprendimą, jį paaiškina. 10. Daro pagrįstas ir logiškas išvadas apie numatomą uždavinio rezultatą. 11. Sieja negretimus tūrio, ploto matavimo vienetus.


1. Stengiasi sutelkti dėmesį ir atlikti paskirtas užduotis. 2. Bando pasinaudoti nurodytais analogiškais erdvės geometrijos uždavinių pavyzdžiais. 3. Noriai priima mokytojo ar bendramokslių pagalbą. Mokytojui padedant įvardija, ką jau moka atlikti gerai. Stengiasi įvardyti, kas jam iš erdvės geometrijos neaišku. 4. Bando pasinaudoti nurodytu informacijos šaltiniu.

1. Sistemingai rūpinasi geometrijos žinių perėmimu: moka įvardyti, ką iš erdvės geometrijos moka gerai. Sistemingai užduoda klausimus, kad pasitikslintų ir įsitikintų, ar gerai suprato nagrinėjamą erdvės geometrijos temą, ar turimos žinios teisingai suprastos. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese aptariant erdvės geometrijos uždavinių sprendimą, taikymą gyvenime. 2. Stengiasi savarankiškai ištaisyti nurodytas klaidas. 3. Savarankiškai ieško informacijos įvairiuose prieinamuose šaltiniuose.

1. Planuoja ir tikslingai susiskirsto mokymosi laiką. Susitelkia ir išlaiko dėmesį mokymosi užduočiai atlikti. 2. Savarankiškai nagrinėja informaciją apie erdvines figūras, jų savybes. 3. Savarankiškai ieško reikalingos informacijos apie geometrines figūras įvairiuose šaltiniuose. 4. Sieja naujas žinias apie geometrines figūras su turimomis. 5. Tikslingai atsirenka informaciją erdvės geometrijos užduočiai atlikti. Kritiškai vertina turimą informaciją. 6. Naudojasi mokomosiomis kompiuterinėmis programomis geometrijos uždaviniams spręsti. 7. Įžvelgia erdvės geometrijos žinių pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.


1. Atpažinę jau žinomą kontekstą sprendžia paprasčiausius erdvės geometrijos uždavinius.

1. Išnagrinėja panašios užduoties sprendimo pavyzdį. Susidaro erdvės geometrijos uždavinio sprendimo planą. Paaiškina savo samprotavimus apie geometrijos uždavinio sprendimo kelią. 2. Paprastose situacijose formuluoja tarpinius klausimus, padedančius išspręsti erdvės geometrijos uždavinį.

1. Atlieka erdvės geometrijos uždavinio sąlygos analizę. Tikrina paprastus pastebėjimus. 2. Formuluoja tarpinius klausimus, padedančius išspręsti erdvės geometrijos uždavinį. 3. Numato erdvės geometrijos uždavinio galimą rezultatą ir argumentuoja, kaip jį galima patikrinti.

8.2. Modulio B-8 Erdvės geometrija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui

Gebėjimai Pasiekimų lygiai

Kalba netaisyta

45


1. Parodyti ir paprastais atvejais apskaičiuoti kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio, rutulio elementus. Klasifikuoti briaunainius ir sukinius.

1. Užrašykite pavaizduotų erdvinių figūrų pavadinimus ir išvardykite jų elementus:

2. Pavaizduokite kūgį. Jame nubrėžkite aukštinę, pagrindo spindulį, sudaromąją. 3. Pavaizduota taisyklingoji keturkampė piramidė EABCD, kurios pagrindo įstrižainės ilgis 6 cm, o šoninės briaunos ilgis 5 cm.

Apskaičiuokite piramidės aukštinės ilgį ir pagrindo plotą. 4. Pavaizduota pasviroji AB ir jos projekcija plokštumoje BH. Apskaičiuokite projekcijos ilgį, jei AB = 10 cm, AH = 8 cm.

1. Kūgio aukštinė 15 cm, o pagrindo plotas 18,84 cm². Apskaičiuokite kūgio sudaromosios ilgį (laikykite π = 3,14). 2. Kuri išklotinė yra taisyklingosios trikampės piramidės; ritinio; kubo; kūgio; stačiakampio gretasienio, trikampės prizmės?

3. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinė 4 cm, o šoninė briauna 6 cm. Nubrėžkite brėžinį. Apskaičiuokite piramidės aukštinės ilgį ir piramidės pagrindo plotą. 4. Pasvirosios AB ilgis 25 cm. Taškas B yra plokštumoje α. Raskite atstumą nuo taško A iki plokštumos α, jei atkarpos AB projekcijos šioje plokštumoje ilgis 15 cm.

1. Pavaizduotus erdvinius kūnus suskirstykite į briaunainius ir sukinius:

2. Pavaizduokite išklotines: taisyklingosios trikampės piramidės; stačiosios trikampės prizmės; kūgio; ritinio; stačiakampio gretasienio. 3.Taisyklingos keturkampės piramidės aukštinė 12 cm, o jos šoninės sienos aukštinė 13 cm. Nubrėžkite brėžinį. Apskaičiuokite piramidės: a) pagrindo briaunos ilgį; b) šoninės sienos briaunos ilgį; c) pagrindo plotą; d) šoninės sienos plotą. 4. Iš taško A į plokštumą nutiestos dvi pasvirosios 20 cm ir 15 cm. Pirmosios pasvirosios projekcija plokštumoje yra 16 cm. Apskaičiuokite kitos pasvirosios projekcijos ilgį.

Kalba netaisyta

46

2. Modelyje ar brėžinyje parodyti lygiagrečiąsias ir statmenąsias tieses ir (ar) plokštumas, kampus tarp dviejų tiesių, tarp tiesės ir plokštumos. Mokytojui padedant, pagaminti kūgio modelį.

1.

1111

DCBABCDA – stačiakampis gretasienis. Išvardykite: a) tieses, lygiagrečias su tiese BC; b) tieses, susikertančias su BC; c) plokštumas, lygiagrečias su plokštuma ABC; d) tieses, lygiagrečias su plokštuma ABC. 2. Nubrėžkite pavaizduoto stačiakampio gretasienio įstrižainę ir apskaičiuokite jos ilgį:

1. Pavaizduokite kubą 1111 DCBABCDA

. Remdamiesi brėžiniu, užrašykite: a) tiesę

1AA kertančias tieses; b) su tiese AD prasilenkiančias tieses; c) plokštumai

1ADD statmenas plokštumas; d) plokštumai

1ADD statmenas tieses. 2.

1111DCBABCDA – stačiakampis

gretasienis, kurio įstrižainė su pagrindo plokštuma sudaro 30° kampą.

Brėžinyje pavaizduokite kampą tarp stačiakampio gretasienio įstrižainės

1BD ir pagrindo plokštumos. Apskaičiuokite įstrižainės ilgį, jei

cmAA 31= .

1.Taisyklingosios piramidės modelyje raskite prasilenkiančias tieses ir paaiškinkite, kaip nustatyti kampą tarp jų. 2. Brėžinyje pavaizduota plokštuma α ir ją kertanti tiesė AB.

Persibraižę brėžinį, pavaizduokite kampą tarp tiesės AB ir plokštumos α. 3. Pagaminkite kūgio modelį, kurio pagrindo skersmuo būtų 16 cm, o sudaromoji 17 cm. 4. Taisyklingosios keturkampės piramidės šoninės briaunos ilgis 23 cm, o pagrindo įstrižainės ilgis 6 cm. a) Brėžinyje pavaizduokite kampą tarp piramidės šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos. b) Raskite kokio didumo kampą sudaro šoninė briauna su pagrindo plokštuma.

3. Taikyti lygumo ir panašumo sąvokas sprendžiant paprastus uždavinius.

1. Kurios pavaizduotos erdvinės figūros yra lygios ir kurios panašios:

1. Ritinio aukštis 8 cm, o pagrindo skersmuo 6 cm. Kaip pasikeis tūris, jei: a) abu matmenis padidinsime du kartus; b) aukštį padidinsime du kartus, o skersmenį sumažinsime du kartus;

1. Kaip pasikeis taisyklingosios trikampės piramidės tūris, jei jos aukštinę pailginsime du kartus; jei pagrindo kraštinę pailginsime du kartus? 2. Pavaizduoti du panašūs kūgiai. Jų

Kalba netaisyta

47

Parašykite šių erdvinių figūrų pavadinimus.

c) aukštį sumažinsime du kartus, o skersmenį padidinsime du kartus? Suformuluokite išvadą.

aukštinės ir spinduliai skiriasi 3 kartus. Kiek kartų skiriasi jų tūriai?

4. Apskaičiuoti (tiksliai arba nurodytu tikslumu) kubo, stačiakampio gretasienio, ritinio, kūgio, taisyklingosios piramidės, stačiosios prizmės tūrį ir paviršiaus plotą, rutulio tūrį.

1. Stačiosios prizmės pagrindas yra statusis trikampis, kurio statinių ilgiai yra 4 cm ir 3 cm. Prizmės aukštis lygus 6 cm.

Apskaičiuokite prizmės: a) pagrindo įžambinės ilgį; b) pagrindo plotą; c) šoninio paviršiaus plotą; d) viso paviršiaus plotą; e) tūrį. 2. Taisyklingosios trikampės piramidės aukštinė 6cm, o pagrindo plotas 16 cm². Apskaičiuokite piramidės tūrį.

3. Ritinio aukštis 4 cm, o pagrindo spindulio ilgis 3 cm. Apskaičiuokite ritinio:

1. Paveikslėlyje pavaizduota stačiakampio gretasienio išklotinė.

Apskaičiuokite stačiakampio gretasienio: a) paviršiaus plotą; b) tūrį; c) įstrižainės ilgį; d) įstrižainės ir pagrindo sudaromo kampo didumą. 2. Apskaičiuokite kūgio paviršiaus plotą ir tūrį, jei pagrindo apskritimo ilgis 24π cm, o sudaromoji 20 cm. 3. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo briaunos ilgis 4 cm. Piramidės aukštinės ilgis 8 cm. Apskaičiuokite piramidės paviršiaus plotą. 4. Rutulio spindulio ilgis 1,6 cm. Apskaičiuokite rutulio tūrį. Palyginkite jį su ritinio, kurio aukščio ir skersmens

1. Lygiakraščio trikampio kraštinės ilgis 6 cm. Pavaizduokite brėžiniu, kokį erdvinį kūną gausime, kai šį trikampį suksime apie aukštinę. Apskaičiuokite gauto erdvinio kūno: a) pagrindo spindulio ilgį; b) sudaromosios ilgį; c) paviršiaus plotą; d) tūrį. 2. Išlydžius tris metalinius rutulius, kurių spinduliai yra 2 cm, 3 cm, 4 cm, padarytas vienas rutulys. Apskaičiuokite gauto rutulio spindulį. 3. Paveikslėlyje pavaizduota taisyklingosios keturkampės piramidės išklotinė.

Apskaičiuokite šios piramidės paviršiaus plotą ir tūrį. 4. Kvadratas, kurio įstrižainės ilgis 26 ,

Kalba netaisyta

48

a) pagrindo plotą; b) šoninio paviršiaus plotą; c) tūrį. Laikykite π = 3,14.

4. Kūgio aukštis 24 cm, o sudaromosios ilgis lygus 25 cm.

Apskaičiuokite kūgio: a) pagrindo spindulio ilgį; b) pagrindo plotą; c) šoninio paviršiaus plotą; d) viso paviršiaus plotą; e) tūrį. Laikykite π = 3,14.

ilgis lygus rutulio skersmeniui, tūriu.

sukamas apie vieną kraštinę. Brėžiniu pavaizduokite gaunamą sukinį. Apskaičiuokite jo paviršiaus plotą.

5. Taikyti mastelį, santykį paprastiems tūrio radimo uždaviniams spręsti.

1. Apskaičiuokite kubo, kurio briaunos ilgis 6 dm, viso paviršiaus plotą ir tūrį ir kubo, kurio briaunos ilgis 12 dm viso paviršiaus plotą ir tūrį. Raskite, kiek kartų skiriasi kubų briaunų ilgiai ir kiek kartų skiriasi kubų tūriai.

1. Kūgių tūrių santykis 3:2. Didesniojo kūgio tūris 513 cm³. Apskaičiuokite mažesniojo kūgio tūrį. 2. Vandens lašo forma yra rutuliukas, kurio skersmuo 1 mm. Kiek lašų reikia, norint surinkti 0,5 litro vandens (π = 3,14)?

1. Dviejų kubų tūrių santykis 27:8. Mažesniojo kubo briauna 4 cm. Apskaičiuokite didesniojo kubo briauną. 2. Paveiksle pavaizduoto ritinio pagrindo skersmuo 2 cm, o aukštis 4 cm. Imdami mastelį 1:4, pagaminkite ritinio modelį.

9. Modulis B-10 Sprendimo strategijos paieška

9.1. Modulio B-10 Sprendimo strategijos paieška mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui


Kalba netaisyta

49



1. Atpažįsta nagrinėjamus matematinius objektus, apibūdina, kuo jie panašūs ir kuo skiriasi. 2. Paprasčiausiais atvejais žino ir supranta, ką turi daryti, kad atsakytų į uždavinio klausimą. 3. Pasiūlo, kokias išvadas galima būtų formuluoti iš kelių pateiktų pavyzdžių. 4. Supranta, kaip taikoma taisyklė, apibrėžimas, teorema konkrečiu paprasčiausiu atveju. 5. Supranta ir pasiūlo bent vieną paprastos užduoties sprendimo būdą.

1. Paprastais atvejais įžvelgia matematinių reiškinių ryšius, apibūdina, kuo jie panašūs ir kuo skiriasi. 2. Paprastais atvejais supranta ir gali paaiškinti, ką ketina daryti ir kodėl, kad atsakytų ir į netiesiogiai pateiktus uždavinio klausimus. 3. Paaiškina, koks pasiūlytas ar pasirinktas uždavinio atsakymas būtų prasmingas. 4. Paaiškina, kokias išvadas galima formuluoti ir kokių negalima formuluoti iš pateiktų kelių pavyzdžių. 5. Supranta ir apibūdina, kaip taikoma taisyklė, apibrėžimas, teorema konkrečiu nesudėtingu atveju. 6. Žino ir supranta, kad norint atsakyti į uždavinio klausimą reikia formuluoti tarpinius klausimus. 7. Nagrinėjant paprastą matematinį tekstą atrenka, kas žinoma iš anksčiau ir kas yra nauja. 8. Žino ir supranta, jog turint perteklinės informacijos reikia atsirinkti uždaviniui išspręsti reikalingus duomenis.

1. Paaiškina, kuo nagrinėjami matematiniai modeliai ar struktūros panašūs ir kuo skiriasi. 2. Žino ir supranta, kaip paaiškinti, ką ir kodėl darys, kad įrodytų teiginį. Pasiūlo ir argumentuoja, koks uždavinio atsakymas būtų prasmingas. 3. Supranta ir paaiškina, kokios išvados laikomos pagrįstomis (išnagrinėjus kelis pavyzdžius). 4. Supranta ir apibūdina kaip taikoma tam tikra taisyklė, apibrėžimas, teorema bendruoju atveju. 5. Pasiūlo bent du alternatyvius teiginio įrodymo būdus ir kriterijus, pagal kuriuos verta pasirinkti vieną iš jų. 6. Supranta, kad norint atsakyti į uždavinio klausimą reikia formuluoti tarpinius klausimus, ir argumentuoja kodėl. 7. Supranta, jog galima numatyti rezultatą ir jį patikrinti. 8. Nagrinėjant nesudėtingą matematinį tekstą supranta, kas yra nauja ir kas žinoma iš anksčiau. Supranta ir paaiškina, kaip ir kur rasti informaciją, reikalingą uždaviniui išspręsti, jei sąlygoje informacijos trūksta.


1. Teisingai supranta paprasčiausių uždavinių sąlygas ir bando žodžiais perteikti svarbiausias mintis. 2. Formuluoja atsakymus į tiesioginius klausimus. 3. Užrašo paprasčiausio uždavinio sprendimą. 4. Nubraižo paprasčiausius brėžinius. 5. Patikrina skaičiavimo rezultatus skaičiuokliu.

1. Apibūdina matematinių objektų ar reiškinių ryšius. 2. Teisingai supranta paprastų matematinio ir praktinio turinio uždavinių sąlygas. 3. Skaito, supranta ir analizuoja įvairiais būdais (naudojantis tekstu, lentelėmis, grafikais, diagramomis) pateiktą informaciją bei ja remiantis daro pagrįstas išvadas. 4. Nuosekliai užrašo uždavinio sprendimą. 5. Teisingai ir aiškiai perteikia pagrindines mintis. 6. Tinkamai vartoja terminus ir simbolius.

1. Teisingai supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinio sąlygas ir matematinę informaciją. 2. Sprendžia įvairaus konteksto uždavinius. 3. Išreiškia žodžiu, raštu, vizualiai uždavinių sprendimų, teiginių įrodymo idėjas. 4. Aiškiai, glaustai perteikia savo mintis. 5. Tiksliai ir išsamiai pagrįsdamas užrašo uždavinio sprendimą ar teiginio įrodymą. 6. Tikslingai vartoja tinkamus terminus ir simbolius.


Kalba netaisyta

50

1. Atlieka pavestas užduotis. 2. Patariant mokytojui susidaro su matematikos žiniomis susijusį mokymosi planą 1–2 savaitėms. Mokytojui padedant įvardija, ką jau moka gerai padaryti. 3. Pagal duotą pavyzdį ištaiso nurodytas klaidas.

1. Supranta matematikos svarbą, prisiima atsakomybę už mokymosi rezultatus, aktyviai dalyvauja mokymosi procese. 2. Suvokia, ką jau moka padaryti gerai, pagal pateiktas pastabas ištaiso klaidas. 3. Užduoda klausimus, kad pasitikslintų ar įsitikintų, kad gerai suprato ar gerai atliko užduotį. 4. Naudojasi įvairiais nurodytais šaltiniais, norėdami rasti su uždavinių sprendimo strategijomis susijusios informacijos. 5. Pasako, pateikia matematikos taikymo kasdieniame gyvenime pavyzdžių.

1. Prisiima atsakomybę produktyviai mokytis matematikos. 2. Užduoda klausimus, kad įsitikintų, jog turimos žinios teisingai suprastos. Apibūdina, kiek yra tikras dėl turimų žinių. 3. Savarankiškai randa su matematikos uždavinių sprendimo strategijomis, su teiginių įrodymo strategijomis susijusios informacijos ir ja naudojasi. 4. Apibendrina, klasifikuoja ir kritiškai vertina surastą informaciją. 5. Pateikia matematikos mokslo atradimų, kurie yra pritaikomi įvairių profesijų veikloje, pavyzdžių.


1. Atpažinę žinomą kontekstą, sprendžia paprasčiausius uždavinius. 2. Nagrinėja duotus pavyzdžius. 3. Ieško informacijos nurodytuose šaltiniuose. 4. Bando perrinkti galimus variantus.

1. Formuluoja tarpinius klausimus, atlikdami užduotį. 2. Pasiūlo bent du užduoties sprendimo būdus ir kriterijus, pagal kuriuos verta pasirinkti vieną iš jų. 3. Atlikdamas užduotį įžvelgia ryšius, taiko analizę ir sintezę. 4. Spręsdamas paprastą uždavinį, suderina kelis algoritmus ir randa teisingą atsakymą.

1. Iš teksto išskiria esminę informaciją. Nustato, ar pakanka informacijos. Jei nepakanka, išsiaiškina, kur jos galima rasti arba iš kur gauti. 2. Pasirenka veiksmingą ir racionalią užduoties sprendimo strategiją. 3. Pasirenka matematinį modelį užduočiai atlikti. 4. Numato galimą rezultatą ir jį patikrina pradinės sąlygos kontekste. 5. Daro tikslias logines išvadas, paremtas teisingu sprendimu ir loginiais samprotavimais.

9.2. Modulio B-10 Sprendimo strategijos paieška mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Klasifikuoti matematinius objektus pagal pasiūlytą arba pasirinktą požymį. Iš kelių atvejų nurodyti, kuris yra bendresnis. Pasitikrinti ir ištaisyti savo darbą, atsižvelgiant į išsakytas

1. Ar galime teigti, kad kiekvienoje poroje pavaizduoti trikampiai lygūs? Jei taip, paaiškinkite kodėl.

1. Pagrįskite, kad trikampiai EBC ir ADC yra panašūs:

1. Paaiškinkite, kodėl brėžinyje pavaizduoti trikampiai nėra lygūs.

Kalba netaisyta

51

pastabas ar pagal teisingo darbo pavyzdį. Iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių padaryti išvadas, jas pagrįsti remiantis logine argumentacija. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę ar teoremą (teiginį) konkrečiu ar bendruoju atveju.

2. Remdamiesi pavyzdžiu išspręskite nelygybių sistemas:

a)

≤−

+

;93

,2112 <x

x b)

−

−≤−

.x<

xx

72

,84

Pavyzdys Išspręskime nelygybių sistemą

+−

−≥−

.82

422

x<x

,xx

Sprendžiame Samprotaujame

−

−≥−

6;<2

,63

x

x

−

≤

;3>

,2

x

x

]( 2;3−∈x

Atsakymas:

]( 2;3−∈x .

Išsprendžiame kiekvieną nelygybę. Pavaizduojame skaičių tiesėje atitinkamų nelygybių sprendinius, tada bendrąją jų dalį – skaičių intervalą. Šis intervalas ir yra nelygybių sistemos sprendiniai (atsakymas į uždavinio klausimą).

3. Brėžiniuose išmatuokite atstumą nuo apskritimo centro iki tiesės.

2. Užrašykite šiuos sakinius, naudodami simbolius <, >, ≤, ≥, =. a) Jo ūgis u didesnis negu 1,90 metro; b) Jos pavėlavimo laikas t ne didesnis kaip 5 minutės; c) Parduotuvėje esančių basučių dydis d buvo nuo 37 iki 41; d) Jo kelionės į mokyklą trukmė t ne mažesnė kaip 10 minučių. 3. Išnagrinėję pavyzdžius, pakartokite, kaip sprendžiamos lygtys ax² + bx = 0 arba ax² – c = 0 . 1 pavyzdys Išspręskime lygtį x² – 8x = 0. Sprendžiame Samprotaujame x(x − 8) = 0, Kairiąją šios

lygybės pusę išskaidome daugikliais, prieš skliaustus iškeldami x.

x = 0 arba x – 8 = 0,

Kiekvieną daugiklį prilyginame nuliui.

x = 0 arba x = 8.

Išsprendžiame gautas lygtis.

0² – 8·0 = 0, 8² – 8·8 = 0.

Įrašę gautus skaičius į pradinę lygtį, įsitikiname, kad jie yra tos lygties

2. Brėžinyje raskite panašiuosius trikampius ir įrodykite, kad jie tokie yra.

3. Į kvadratą įbrėžti du trikampiai taip, kad kiekvieno jų pagrindas sutampa su kvadrato kraštine, o viršūnė yra priešingoje kvadrato kraštinėje. Kvadrato kraštinę pažymėkite x ir reiškiniu užrašykite kiekvieno trikampio plotą. Palyginkite gautus reiškinius. 4. Pasiūlykite būdą, kaip iš nubraižyto funkcijos y = ax² grafiko galima nustatyti koeficiento a reikšmę. Apskaičiuokite ją, jei grafikas toks: a)

b)

c)

Kalba netaisyta

52

sprendiniai. Atsakymas: x = 0, x = 8.

2 pavyzdys Išspręskime lygtį x² – 36 = 0. Sprendžiame Samprotaujame (x – 6)(x + 6) = 0, Kairiąją šios

lygybės pusę išskaidome daugikliais, taikydami kvadratų skirtumo formulę.

x – 6 = 0 arba x + 6 = 0,

Kiekvieną daugiklį prilyginame nuliui.

x = 6 arba x = − 6.

Išsprendžiame gautas lygtis.

Atsakymas: 6; − 6.

Įrašę gautus skaičius į pradinę lygtį, įsitikiname, kad jie yra tos lygties sprendiniai.

Padarykite išvadą, kokią įtaką parabolės šakų krypčiai ir pločiui turi koeficiento a reikšmės.

2. Pasiūlyti kelias alternatyvas ir pasirinkti vieną iš jų. Kryptingai siekti tikslo, kai yra kliūčių arba ribojančių sąlygų. Kelti ir tikrinti paprastas hipotezes. Išnagrinėti ir įvertinti anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių bei gebėjimų kontekste.

1. Trapecijos įstrižainė vidurinę linija dalija į 2 cm ir 5 cm atkarpas. Apskaičiuokite trapecijos pagrindų ilgius. 2. Užbaikite sudaryti lygčių sistemą

=−

=+

?2

,83?

yx

y taip, kad lygčių sistemos

sprendiniu būtų skaičių pora (1; 2).

1. Trapecijos vidurinė linija 6, o aukštinė – 3. Apskaičiuokite trapecijos plotą. 2. Įrodysime, kad apskritimo liestinių, einančių iš vieno taško, atkarpos AB ir AC yra lygios. Perrašykite įrodymą į sąsiuvinį ir prie kiekvieno teiginio parašykite paaiškinimą.

1. Remdamiesi pateiktais nurodymais, įrodykite, kad trapecijos vidurinė linija yra lygiagreti su trapecijos pagrindais ir lygi jų sumos pusei.

1) Papildykite brėžinį, per trapecijos viršūnę B ir kraštinės CD vidurio tašką N nubrėždami tiesę, kuri kirstų AD taške K. 2) Paaiškinkite, kodėl ∆CNB lygus ∆DNK.

Kalba netaisyta

53

Duota: O – apskritimo centras; AB ir AC – liestinės. Įrodyti: AB = AC.

Įrodymas

Papildykite brėžinį – sujunkite atkarpomis tašką O su taškais A, B, C. 1) OB = OC, nes ... . 2) OB ⊥ AB ir OC ⊥ AC, nes ... . 3) OA − ... . 4) ∆AOB = ∆AOC, nes ... . 5) AB = AC, nes ... . Įrodyta.

3) Kodėl BN = NK ir BC = DK? 4) Ar trapecijos ABCD vidurinė linija MN yra ir trikampio ABK vidurinė linija? 5) Su kuria trikampio kraštine lygiagreti trikampio vidurinė linija MN? 6) Kodėl MN || AD? 7) Kodėl MN || BC? 8) Įrodykite trapecijos vidurinės linijos savybę, papildydami brėžinį tiese, einančia per viršūnę C ir kertančia AD taške L. 9) Įrodykite trapecijos vidurinės linijos savybę, papildydami brėžinį atkarpa BE, lygiagrečia su CD (atkarpa BE kerta AD taške E).

3. Priimti sprendimą imtis veiklos, susijusios su žinių tobulinimu. Sistemingai rūpintis žinių perėmimu. Nustatyti, ar neliko neaiškumų ir ar galima būti užtikrintam (-ai), jog išmokta teisingai. Sieti matematikos žinias su gyvenimu.

1. Palei kelią stovėjo mediniai stulpai kas 50 m. Juos nutarta pakeisti gelžbetoniniais stulpais, tarp kurių atstumas turi būti 85 m. Pirmasis stulpas buvo pastatytas į medinio vietą. Po kelių metrų arčiausiai gelžbetoninis stulpas vėl bus pastatytas į medinio vietą?

1. Ūkininkas ketina aptverti žemės ūkio sklypą tvora. Vaizduojamo sklypo mastelis 1 : 200.

a) Kokio ilgio bus tvora (1 m tikslumu)? b) Kiek metrų vielinės tvoros reiks ūkininkui pirkti, jei parduotuvėje ji parduodama tik po 10 metrų? c) Nustatykite, koks šio sklypo plotas.

1.

Stasys, skaitydamas stogo montavimo instrukciją, rado tokį sakinį: „Čerpes imituojančiais skardos lakštais galima dengti stogą, kurio mažiausias nuolydis yra 7,7° (t. y. 13,5 %); esant tokiam stogo nuolydžiui, skardos lakšto plokštuma turi minimalų 5,7° (t. y. 10 %) nuolydį“. (Kadangi lakštai pradedami dėti nuo apačios, ir sekančiolakšto priekinis kraštas uždedamas ant ankstesnio lakšto užpakalinio krašto, tai nuolydžio kampas sumažėja; jei nuolydžio kampas per mažas, dalis lietaus vandens pateks po danga: įsivaizduokite plokščią stogą, tada visas

Kalba netaisyta

54

vanduo subėgs po danga). Ar instrukcijoje, skaičiuojant stogo dangos ir skardos plokštumos procentinį nuolydį, taikoma nuolydžio kampo sinuso, kosinuso ar tangento reikšmė? Atsakymą pagrįskite.

4. Įvairiuose informacijos šaltiniuose savarankiškai rasti reikiamos informacijos apie matematikos ir kitų tiksliųjų mokslų, technologijų laimėjimus, tą informaciją apibendrinti, klasifikuoti ir kritiškai vertinti. Gerbti autorių teises. Vertinti įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgti jų pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.

1. Lietuvoje kiekvieno dirbančio piliečio pajamų mokestis priklauso nuo atlyginimo dydžio. Ar ši priklausomybė yra tiesinė? Atsakymą pagrįskite paieškoję papildomos informacijos kituose šaltiniuose.

1.

Paveiksle vaizduojamas kelio ženklas „Stati nuokalnė“ rodo kelio nuolydžio kampą. Kelio ženklu perteikiamą informaciją pavaizduokite geometriniu brėžiniu. Apskaičiuokite kelio nuolydžio kampo tangentą ir patį kampą.

1. Saulius žynine šalia stačiojo trikampio ABC rado žymenį ctg A. Pasidomėkite, koks šiuo simboliu pažymėto santykio pavadinimas ir kurių stačiojo trikampio kraštinių santykį jis nusako.

10. Modulis A-1 Geometrinių sąryšių paieška

10.1. Modulio A-1 Geometrinių sąryšių paieška mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Apskaičiuoja atkarpos, lygiagrečios koordinačių ašiai, ilgį, kai žinomos atkarpos galų koordinatės. 2. Be matavimo įrankių įvertina artimiausios aplinkos objektų ar daiktų ilgį, kampo rūšį. Iš akies nubrėžia trikampio pusiaukraštinę, pusiaukampinę ir aukštinę. 3. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kuriuose

1. Apskaičiuoja atkarpos ilgį, atkarpos vidurio taško koordinates, kai žinomos atkarpos galų koordinatės. 2. Be matavimo įrankių įvertina artimiausios aplinkos objektų ar daiktų parametrus (plotą, tūrį, kampo didumą). Naudodamasis liniuote, matlankiu ir kampainiu nubrėžia bet kokio trikampio

1. Apskaičiuoja atkarpos galo koordinates, kai žinomos tos atkarpos vidurio taško ir kito galo koordinatės. Taiko atkarpos ilgio skaičiavimo formulę, spręsdamas nesudėtingus geometrinio turinio uždavinius (pvz., žinant trikampio viršūnių koordinates nustatyti trikampio rūšį pagal kampus ar kraštinių ilgius). Randa

Kalba netaisyta

55

reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus, pateiktus skirtingais matavimo vienetais. 4. Apskaičiuoja (tiksliai arba nurodytu tikslumu) apskritimo ilgį; trikampio, keturkampio perimetrą; kvadrato, stačiakampio, lygiagretainio, trapecijos plotą; kubo, stačiakampio gretasienio tūrį ir paviršiaus plotą. 5. Taiko mastelį paprastiems ilgio radimo uždaviniams spręsti. 6. Naudodamasis duomenimis iš brėžinių ir taikydamas formules apskaičiuoja reikiamus dydžius. Moka dirbti pagal nurodytą algoritmą.

pusiaukraštinę, pusiaukampinę ir aukštinę. 3. Sprendžia paprastus uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus, užrašytus skirtingos išraiškos (standartine ir nestandartine) skaičiais arba tos pačios eilės standartinės išraiškos skaičiais. Atlieka veiksmus su tos pačios eilės standartinės išraiškos skaičiais. 4. Apskaičiuoja (tiksliai arba nurodytu tikslumu) rombo plotą; ritinio, stačiosios prizmės tūrį ir paviršiaus plotą. 5. Paprastuose uždaviniuose taiko daugiakampio kampų sumos formulę. 6. Taiko mastelį, santykį paprastiems ploto radimo uždaviniams.

nežinomas kvadrato, stačiakampio, lygiagretainio, rombo viršūnės koordinates, kai žinomos likusių viršūnių koordinatės. 2. Naudojantis skriestuvu, liniuote nubrėžia trikampio pusiaukraštinę, pusiaukampinę. 3. Sprendžia nesudėtingus uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus, užrašytus skirtingos išraiškos skaičiais. 4. Apskaičiuoja (tiksliai arba nurodytu tikslumu) žinomų plokštumos figūrų junginių perimetrą ir plotą. 5. Nesudėtinguose uždaviniuose taiko daugiakampio kampų sumos formulę. 6. Taiko mastelį, santykį nesudėtingiems ilgio, ploto ir tūrio radimo uždaviniams spręsti. Pasirinkęs tinkamą mastelį, nubraižo paprastą planą.


1. Perskaito ir suvokia paprastą matematinį tekstą ir uždavinio sąlygą. 2. Teisingai naudoja taško, taško koordinačių, atkarpos, kampo, daugiakampio, perimetro, ploto žymėjimus. 3. Naudoja tinkamus matavimo vienetus. 4. Formulių rinkiniuose randa tinkamą formulę. 5. Naudojasi skaičiuotuvu. 6. Uždavinio atsakymą užrašo tiksliai arba nurodytu tikslumu. 7. Pagal uždavinio sąlygos reikalavimą paprasčiausiais atvejais nubrėžia arba papildo brėžinį.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. 2. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 3. Naudoja brėžinius paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti. 4. Pritaiko atkarpos ilgio, atkarpos vidurio taško koordinačių radimo formules. 5. Argumentuodamas sprendimą naudoja mastelį, panašiųjų figūrų perimetrų, plotų santykių savybes. 6. Interpretuoja paprastą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. 7. Įvairiais būdais pateikia uždavinių sprendimus.

1. Tikslingai naudoja matematinius simbolius. 2. Naudoja brėžinius nesudėtingų uždavinių sprendimams paaiškinti. 3. Argumentuodamas sprendimą naudoja panašiųjų figūrų tūrių santykio savybę. 4. Aiškiai pateikia sprendimo eigą. 5. Geba pristatyti atliktą užduotį.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi tik mokytojo vadovaujamas, neplaningai ir nesistemingai. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 2. Pateikia paprasčiausių pavyzdžių iš aplinkos apie

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotų užduočių. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. 2. Planuoja mokymosi laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo patikrinti jo atliktą darbą, kad galėtų

Kalba netaisyta

56

įgytų žinių ir gebėjimų pritaikomumą. papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. 4. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgyjamų žinių ir gebėjimų kontekste.

įsivertinti gebėjimų lygį. 3. Padeda mokytis kitiems. 4. Užduotis atlieka kūrybingai. 5. Vertina įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgia jų reikalingumą ir naudingumą.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra / nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Suvokia paprasčiausių formulių žymėjimus. 4. Atpažįsta tinkamą formulę. 5. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 6. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga.

1. Sprendžia paprastus nestandartinius geometrinio turinio uždavinius: neįprasto konteksto; kai uždavinio sąlygoje pateikta papildomos informacijos ar perteklinių duomenų; kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina įvertinti pradinės uždavinio sąlygos kontekste. 2. Nesudėtingais atvejais pagal uždavinio sąlygos reikalavimus nubrėžia/papildo brėžinį. 3. Įžvelgia ryšius: nesudėtingais atvejais pastebi panašiąsias figūras ir pasinaudoja jų atitinkamų matmenų, plotų, tūrių sąryšiais . 4. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., atstumo tarp taškų, atkarpos vidurio taško koordinačių radimo formules). 5. Išanalizavęs pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas/klaidingas. 6. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 7. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą, laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti. 8. Paprastais atvejais pasirenka tinkamą veiksmą, metodą, sprendimo būdą. 9. Vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu. Sukuria paprasto uždavinio sąlygą atitinkantį modelį (pvz., brėžinį).

1. Pritaiko matematinį modelį nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp elementų, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, derina kelių sričių gebėjimus. 2. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. 3. Nesudėtingais atvejais įrodo/ argumentuoja/ pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis savo žinomais apibrėžimais, teoremomis (pvz., išveda atstumo tarp taškų formulę). 4. Probleminio uždavinio sprendimą iliustruoja kūrybiškai modeliuodamas situaciją (pvz., iš erdvinės figūros brėžinio išsikelia atskirus fragmentus). 5. Sprendžia nesudėtingus geometrinio turinio uždavinius, kuriuose derina kelių sričių gebėjimus. 6. Apibūdina ryšius tarp nagrinėjamų objektų. 7. Įvairiais būdais pateikia uždavinių įrodymo idėjas. 8. Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

10.2. Modulio A-1 Geometrinių sąryšių paieška mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui

Kalba netaisyta

57


1. Rasti atkarpos ilgį, atkarpos vidurio taško koordinates, kai žinomos tos atkarpos galų koordinatės.

1. Koordinačių tiesėje pažymėkite taškus A(3), B(7), C(−2), D(−4,5) ir raskite atstumus AB, AC, CD. 2. Apskaičiuokite atstumus tarp taškų A ir B, A ir C, C ir D, kai A(300), B(−200), C(70), D(−450). 3. Taškas B yra atkarpos AC vidurio taškas. Apskaičiuokite taško B koordinatę, kai A(−2), C(8). 4. Raskite atstumą nuo taško M(−2;5) iki: a) OY ašies; b) OX ašies. 5. Duotos trys kvadrato ABCD viršūnės A(−1;1), B(4;1), C(4;−4). Raskite viršūnės D koordinates ir nubraižykite kvadratą. 6. Remdamiesi atstumo tarp taškų A(xA;yA) ir B(xB;yB) formule

22

−+

−=

By

Ay

Bx

AxAB ,

apskaičiuokite atkarpos AB ilgį, kai A(4;1), B(8;2). Atsakymą suapvalinkite iki vienetų.

1. Duotos trys kvadrato ABCD viršūnės A(1;1), B(4;4), D(−2;4). Raskite viršūnės C koordinates ir nubraižykite kvadratą. 2. Raskite atstumą nuo taško M(12;−5) iki koordinačių pradžios. 3. Taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas. Apskaičiuokite:

a) taško C koordinates, kai A(7

3− ;−6),

B(−1;9

4);

b) taško B koordinates, kai A(−3;−6), C(−1;4).

1. Duotos trys kvadrato ABCD viršūnės A(100;100), B(400;400), C(100;700). Apskaičiuokite viršūnės D koordinates. 2. Taškas B yra atkarpos AC vidurio taškas. Apskaičiuokite taško B koordinates, kai A(

7;32− ), C( 74;128 − ). 3. Taškai M(−4;−1) ir N(2;5) yra atkarpos MN galai. a) Nubrėžkite atkarpą M1N1, simetrišką atkarpai MN abscisių ašies atžvilgiu. b) Parašykite nubrėžtosios atkarpos M1N1 galų koordinates. c) Apskaičiuokite atkarpos MN ilgį. d) Raskite atkarpos MN vidurio taško A koordinates. 4. Įrodykite, kad taškai D(−2;2), E(2;4), F(6;−2) yra lygiašonio trikampio DEF viršūnės. 5. Ar status trikampis ABC, kai A(−4;8), B(8;8), C(2;−2)?

2. Nesudėtingais atvejais be matavimo įrankių įvertinti artimiausios aplinkos objektų ar daiktų parametrus (ilgį, plotą, tūrį, kampo didumą). Naudojantis skriestuvu, liniuote ir kampainiu nubrėžti trikampio pusiaukampinę, pusiaukraštinę ir aukštinę.

1. Iš akies nustatykite, ar tarp nubraižytų keturkampių yra lygiagretainių, rombų, stačiųjų trapecijų, lygiašonių trapecijų.

2. Penki kaimynai A, B, C, D ir E turi vienodus stačiakampius sklypus. Kiekvienas kaimynas savo sklype tvora aptvėrė daržą:

1. Brėžinyje kvadratėlio kraštinės ilgis lygus 10 mm.

Raskite daugiakampio ABCDEFGH plotą kvadratiniais centimetrais. 2. Ūkininkui reikia aptverti rombo,

1. Brėžinyje kvadratėlio kraštinės ilgis lygus 5 mm.

Remdamiesi brėžiniu, raskite kiekvieno daugiakampio plotą kvadratiniais

Kalba netaisyta

58

Kurio iš kaimynų tvora ilgiausia? 3.1) Iš akies nubraižykite smailiojo trikampio: a) pusiaukraštines; b) pusiaukampines; c) aukštines. 2) Naudodamiesi liniuote, kampainiu ir matlankiu, patikrinkite, ar teisingai nubrėžėte.

kurio kraštinė lygi 63 dm, formos gėlyną. Kiek jam reikės stulpelių, jeigu jie bus kasami kas 0,9 m? 3. Kokiu kampu susikerta lygiakraščio trikampio pusiaukraštinės? 4. Nubraižykite stačiojo ir bukojo trikampių: a) pusiaukraštines; b) pusiaukampines; c) aukštines.

centimetrais. 2. Naudodamiesi liniuote be padalų ir skriestuvu, nubraižykite smailiojo trikampio: a) pusiaukraštines; b) pusiaukampines.

3. Spręsti nesudėtingus uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus, užrašytus standartine ir nestandartine išraiška.

1. Stačiakampio daržo tvoros ilgis lygus 26 m, o daržo plotis 150 dm. Apskaičiuokite daržo plotą kvadratiniais metrais. 2. Parašykite standartine išraiška: a) 0,7 km = ... m = ? · 10? m; b) 100 mylių = … km = ? · 10? km; (1 mylia = 1,609344 km). 3. Medinio kubelio paviršiaus plotas 1,5·102 mm2. Raskite: a) vienos sienos plotą; b) kubelio briaunos ilgį.

1. Pateikite kitose valstybėse naudojamų matų pavyzdžių. Išreikškite juos mums įprastais matais. Pavyzdžiui, 1 jūrmylė = 1852 m, 1 barelis naftos = 158,99 l. 2. Parašykite standartine išraiška 0,0000037 dm ir išreikškite metrais. 3. Medinio kubelio tūris lygus 343 cm3. a) Koks kubelio briaunos ilgis? b) Koks kubelio paviršiaus plotas? c) Keliais milimetrais reikėtų pailginti kubelio briauną, kad jo paviršiaus plotas padidėtų 218 cm2?

1. Ritinio, kurio pagrindo plotas 50 dm², o aukštis 8 m, formos cisternoje laikomas benzinas. Kiek benzino telpa cisternoje? Atsakymą pateikite amerikietiškaisiais galonais (1 gal = 3,78 l), angliškaisiais galonais (1 gal = 4,54 l) ir užrašykite vienetų tikslumu. 2. Sugalvokite ir išspręskite uždavinį su kitose valstybėse naudojamais ilgio, ploto ar tūrio matais. 3. Stačiakampio gretasienio formos akvariumo dugno matmenys 45 cm ir 40 cm. Koks turėtų būti vandens aukštis akvariume, kad vandens akvariume būtų daugiau negu 60 l, bet mažiau negu 90 l?

4. Apskaičiuoti (tiksliai arba nurodytu tikslumu) apskritimo ilgį, trikampio, keturkampio bei žinomų figūrų junginių perimetrą; kvadrato, stačiakampio, lygiagretainio, rombo, trapecijos, trikampio, skritulio ir jų junginių plotą; kubo, stačiakampio gretasienio, ritinio, stačiosios prizmės tūrį ir paviršiaus plotą, Taikyti

1.

Paveikslėlyje pavaizduotų kvadratų kraštinių ilgiai lygūs 28 cm ir 8 cm. a) Kiek kartų skiriasi tų kvadratų perimetrai?

1.

Šešiakampio ABCDEF visos kraštinės ir visi kampai lygūs (žr. brėžinį). Iš jo viršūnių kaip iš centrų nubrėžti šeši apskritimai su lygiais spinduliais taip,

1. Koks yra užtušuotos figūros plotas ir perimetras?

. 2. Stačiosios prizmės visos šoninės briaunos lygios 30 cm, o visos pagrindo briaunos lygios 6 cm. Visų prizmės briaunų ilgių suma lygi 2,52 m. Koks daugiakampis yra prizmės pagrindas?

Kalba netaisyta

59

daugiakampio kampų sumą nesudėtingiems uždaviniams spręsti.

b) Kiek kartų skiriasi tų kvadratų plotai? 2. Stačioji prizmė turi 12 viršūnių. a) Koks daugiakampis yra prizmės pagrindas? b) Kiek šoninių briaunų turi ši prizmė? c) Pavaizduokite šią prizmę. d) Apskaičiuokite šios prizmės visų briaunų

ilgių sumą, jei kiekviena briauna lygi 4

32

cm? 3. Rombo smailusis kampas lygus 40°. Apskaičiuokite to rombo bukojo kampo didumą.

kad visi jie paeiliui liečia vienas kitą. Šešiakampio ABCDEF perimetras lygus 36. Koks yra užtušuotos figūros perimetras? 2. Stačioji prizmė turi 9 briaunas. a) Koks daugiakampis yra šios prizmės pagrindas? b) Apskaičiuokite šios prizmės paviršiaus plotą, jei visos briaunos

lygios 3

22 cm?

3. Apskaičiuokite dešimtkampio kampų sumą. 4. Kiek kraštinių turi daugiakampis, kurio kampų suma lygi 1260°? 5. Visi dvylikakampio kampai yra lygūs. Raskite kampo didumą.

3. Gardelę, pavaizduotą brėžinyje, sudaro kvadratai 1cm × 1cm. Koks yra plotas „ąsočio“, apriboto apskritimų lankais?

4. Ar egzistuoja daugiakampis, kurio kiekvienas kampas lygus 100°? 5. Visi daugiakampio kampai yra lygūs. Iš kiekvienos daugiakampio viršūnės galima nubrėžti 45 įstrižaines. Apskaičiuokite to daugiakampio kampo didumą.

5. Taikyti mastelį, santykį nesudėtingiems ilgio, ploto ir tūrio radimo uždaviniams spręsti. Pasirinkti tinkamą mastelį, kad būtų galima nubraižyti paprastą planą.

1. Atstumas tarp dviejų miestų žemėlapyje lygus 15 cm. Žemėlapio mastelis 1:500000. Koks atstumas tarp tų miestų tikrovėje?

1. Vietovės plano mastelis 1:5000. Plane pavaizduota ganykla yra stačiakampio, kurio gretimų kraštinių ilgiai yra 4,3 cm ir 5,6 cm, formos. a) Kiek metrų vielos reikės ganyklos aptvarui, naudojant jam dvi eiles vielos? b) Kiek reiks stulpų vielai pritvirtinti, jei atstumas tarp stulpų turi būti lygus 4 m?

1. Brėžinyje pavaizduoto stačiakampio viena kraštinė lygi 6 cm, o įstrižainė ─ 10 cm. Brėžinio mastelis 5:2. Apskaičiuokite tikrąjį stačiakampio plotą. 2. Sąsiuvinio lape nubraižykite klasės, kurioje mokotės, planą. Jame pavaizduokite klasės durų vietą, (į patalpoje esančius baldus ir daiktus nekreipkite dėmesio).

6. Paprasčiausiose standartinėse situacijose, sprendžiant praktinio turinio uždavinius, taikyti matematikos žinias.

1.

Paveikslėlyje pavaizduota kvadrato ABCD formos žolės plote iš lentų sukalta kvadratinė pakyla koncertuojantiems atlikėjams. Pakylą vaizduojančio kvadrato kraštinės

1. Iš skardos padarytas keturkampės prizmės formos kaminas, kurio aukštis 3,5 m. Prizmės pagrindas − kvadratas, kurio kraštinės ilgis 15 cm. Kiek kvadratinių decimetrų skardos reikėjo kaminui pagaminti, jei skardos sujungimui sunaudojama 5% skardos?

1. Stačiakampio kiemo ilgis 20 m, plotis 10 m. Jame yra apskritas baseinas, kurio skersmens ilgis 8 m. Kiemą reikia iškloti stačiakampėmis plytelėmis 40 cm × 30 cm, o baseino dugną ̶ kvadratinėmis mozaikos plytelėmis 2 cm×2 cm. a) Koks baseino dugno plotas? b) Koks kiemo plotas be baseino? c) Kiek plytelių reikės kiemo išklojimui? d) Kiek plytelių reikės baseino išklojimui?

Kalba netaisyta

60

ilgis lygus 10 m. Raskite, kiek lentų sunaudota pakylos paviršiui, jei lentos matmenys 200 cm × 20 cm?

7. Perskaityti, suprasti bei interpretuoti paprastą arba nesudėtingą matematinį tekstą, arba uždavinio sąlygą ir sprendimą, taisyklę arba įrodymą. Įvairiais būdais pateikti uždavinių sprendimus, įrodymų idėjas taip, kad kiti galėtų tai suprasti ir įvertinti.

1.

Paveikslėlyje pavaizduotų apskritimų centras yra taške A. Taškas B yra atkarpos EA vidurio taškas, EA=10 cm. Iš didžiojo skritulio iškerpama mažojo skritulio formos skylė. Koks skylės plotas?

Išspręskite uždavinį bent dviem būdais. 1. Lygiašonio trikampio perimetras lygus 108 cm, o lygiagreti pagrindui vidurio linija lygi 24 cm. Apskaičiuokite trikampio kraštinių ilgius. 2. Taškas O − lygiakraščio trikampio ABC pusiaukraštinių susikirtimo taškas. Trikampio kraštinė lygi 12 cm. Apskaičiuokite trikampių AOB, AOC ir BOC plotus. 3. Ar tilps į stačiakampio gretasienio formos lagaminą 70 cm ilgio skėtis, kai lagamino matmenys yra 50 cm, 40 cm ir 20 cm?

1. Įrodykite, kad atstumą tarp taškų A(xA; yA) ir B(xB ;yB) galima apskaičiuoti pagal formulę

22

−+

−=

By

Ay

Bx

AxAB .

2. Kurie iš teiginių yra neteisingi: 1) visi rombai yra lygiagretainiai; 2) visi kvadratai yra rombai; 3) kai kurie rombai yra kvadratai; 4) nei vienas stačiakampis nėra rombas; 5) kai kurie rombai yra stačiakampiai; 6) nei vienas rombas nėra kvadratas?

8. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę ar teoremą (teiginį) konkrečiu ir bendruoju atveju.

1. Paaiškinkite, kada: 1) lygiagretainis yra stačiakampis; 2) lygiagretainis vadinamas rombu; 3) stačiakampis vadinamas kvadratu; 4) stačiakampis yra rombas; 5) rombas vadinamas kvadratu.

1. Lygiagretainio plotas lygus 384 cm2, viena aukštinė lygi 24 cm, o kita yra trigubai trumpesnė. Apskaičiuokite lygiagretainio perimetrą.

1.

Paveikslėlyje pavaizduotų apskritimų centras yra taške A. Taškas B yra atkarpos EA vidurio taškas. a) Kiek kartų skiriasi tų apskritimų spindulių ilgiai? Tų apskritimų ilgiai? Tų apskritimų ribojamų skritulių plotai? b) Iš didžiojo skritulio iškerpama mažojo skritulio formos skylė. Kurią didžiojo skritulio ploto dalį sudaro likusio žiedo plotas?

9. Kelti ir tikrinti paprastas hipotezes. Išnagrinėti ir įvertinti anksčiau įgytas žinias ir

1. Pėsčiomis apeiti kvadratinę aikštę reikia 10 minučių. Kiek minučių prireiks apeiti kvadratinę aikštę, kurios perimetras keturis

1. Pėsčiomis apeiti kvadratinę aikštę reikia 10 minučių. Kiek minučių prireiks apeiti kvadratinę aikštę, kurios plotas

1. Trikampiai ACB ir AOB turi bendrą pagrindą AB. Trikampių aukštinių, nubrėžtų į pagrindą AB, ilgiai skiriasi 3 kartus. Kiek

Kalba netaisyta

61

gebėjimus naujai įgytų žinių ir gebėjimų kontekste.

kartus didesnis? keturis kartus didesnis? kartų skiriasi tų trikampių plotai? 2. Trikampio ABC kraštinėje BC pažymėtas taškas O taip, kad BO : CO = 3 : 4. Raskite trikampių ABO ir AOC plotų santykį.

10. Vertinti įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgti jų pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.

1. Stačiakampio formos žemės sklypo matmenys paveiksle masteliu 1:25000 yra 4 cm ir 2 cm. Raskite: a) tikruosius sklypo matmenis; b) sklypo perimetrą; c) plotą arais.

1.

Verslininkas įrengė prekių sandėlį pusritinio formos angare. Sandėlio grindys yra stačiakampis, kurio kraštinės 12 m ir 30 m. Apskaičiuokite angaro tūrį ir stogo paviršiaus plotą.

1. Kiek litrų vandens prabėga per 20 minučių ritinio formos vamzdžiu, kurio vidaus skersmuo lygus 3 cm, jei vandens tėkmės greitis lygus 4 cm/s? 2. Geležinio ir aliumininio tašelių masės lygios. Kiek kartų aliuminio tašelio tūris didesnis už geležinio tašelio tūrį, jei aliuminio tankis lygus 2,7 g/cm3, o geležinio tašelio tankis − 7,8 g/cm3?

11. Modulis A-2 Finansinio raštingumo elementai. Statistika. Tikimybių teorija

11.1. Modulio A-2 Finansinio raštingumo elementai. Statistika. Tikimybių teorija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino, kaip surasti skaičiaus (dydžio) pusę (50% ), ketvirtį (25%), penktadalį (20%), dešimtąją dalį (10%) arba visą skaičių (dydį), kai žinoma jo dalis. 2. Paprasčiausiais atvejais moka skaičių (dydį) padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi.

1. Paprastais atvejais randa skaičiaus dalį (procentais) ir skaičių, kai žinoma dalis (procentais). 2. Paprastais atvejais moka skaičių (dydį) padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi. 3. Sprendžia nesudėtingus matematinio ir praktinio

1. Nesudėtingais atvejais randa skaičiaus dalį (procentais) ir skaičių, kai žinoma dalis (procentais). 2. Nesudėtingais atvejais moka skaičių (dydį) padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi. 3. Moka apskaičiuoti palūkanų normą.

Kalba netaisyta

62

3. Sprendžia paprastus matematinio ir praktinio turinio procentų uždavinius ir uždavinius, kuriuose reikia naudotis kalendoriumi, tvarkaraščiais ir įvairių valiutų kursų lentelėmis. 4. Moka paaiškinti, kas yra palūkanos ir palūkanų norma. 5. Atpažįsta paprastąsias ir sudėtines palūkanas. 6. Paprastais atvejais apskaičiuoja paprastąsias ir sudėtines palūkanas. 7. Supranta, kaip paprasčiausiose situacijose pasirinkti finansines paslaugas, planuojant biudžetą. 8. Supranta sąvokas „požymis ir jo reikšmės“, „dažnis“, „dažnių ašis“, „padala“, „imtis“, „imties didumas“. 9. Paprastais atvejais surinktus duomenis užrašo negrupuotų duomenų dažnių lentele. 10. Pavaizduoja duomenis paprasčiausia stulpeline diagrama. 11. Skirtingais būdais pateiktą statistinę informaciją susieja ir įterpia trūkstamus elementus. 12. Paprastais atvejais moka apskaičiuoti imties vidurkį, kai duoti duomenys. 13. Pateikia kelių elementų rinkinių pavyzdžių, paaiškina, kaip jie koduojami ir kaip užrašoma šių rinkinių aibė. 14. Pateikia kelių elementų rinkinių, kuriuose elementų tvarka svarbi, ir rinkinių, kuriuose elementų tvarka nesvarbi, pavyzdžių. 15. Sudaro dviejų elementų rinkinių aibę, kai poros elementai imami iš skirtingų aibių, ir nurodo rinkinių variantų skaičių. 16. Nubraižo galimybių medį ar galimybių lentelę dviejų elementų rinkiniams sudaryti, kai bendrasis rinkinių skaičius neviršija 12. 17. Paprasčiausiais atvejais taiko kombinatorinę daugybos taisyklę uždaviniams spręsti, kai elementų tvarka svarbi. 18. Paaiškina, kas yra bandymas, pateikia klasikinio ir neklasikinio bandymo pavyzdžių.

turinio procentų uždavinius ir uždavinius, kuriuose reikia naudotis kalendoriumi, tvarkaraščiais ir įvairių valiutų kursų lentelėmis. 4. Moka paaiškinti, kas yra paprastosios palūkanos ir sudėtinės palūkanos. 5. Moka apskaičiuoti, kiek padidėjo (sumažėjo) indėlis per nurodytą laiką, kai žinoma palūkanų norma, apskaičiuoti pelną. 6. Žino sudėtinių procentų skaičiavimo formulę ir moka ją pritaikyti. 7. Nustato pabrangimo, atpigimo procentinę dalį. 8. Moka paprastose situacijose pasirinkti finansines paslaugas planuojant biudžetą. 9. Nesudėtingais atvejais surinktus duomenis užrašo negrupuotų duomenų dažnių lentele. 10. Moka naudotis sąvokomis „kokybiniai ir kiekybiniai požymiai“, „procentinis dažnis“. 11. Paprastais atvejais pavaizduoja duomenis stulpeline, stačiakampe ar linijine diagrama. 12. Nesudėtingais atvejais duomenis pavaizduoja skrituline diagrama. 12. Moka paaiškinti, kaip iš duomenų eilutės, lentelės ar diagramos rasti imties vidurkį, medianą, modą, imties plotį. 13. Paprastais atvejais apskaičiuoja imties vidurkį, imties plotį, nustato modą, kai duomenys pateikti paprasta eilute, dažnių lentele ar diagrama. 14. Paaiškina koreliacijos prasmę, remdamasis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje. 15. Paaiškina, kas yra (stochastinis) bandymas, kuo jis skiriasi nuo per kitus mokymo dalykus aptariamų bandymų. Pateikia klasikinio ir neklasikinio bandymo pavyzdžių. 16. Apskaičiuoja elementų rinkinių, kuriuose elementų tvarka svarbi, ir rinkinių, kuriuose elementų tvarka nesvarbi, skaičių. 17. Paprastais atvejais suskaičiuoja skirtingas galimybes, sudarydamas sąrašą, braižydamas galimybių medį, sudarydamas galimybių lentelę ar

4. Žino, kaip skaičiuojamas pelnas, ir moka paskirstyti pelną pagal įnašus. 5. Nesudėtingose situacijose argumentuotai pasirenka finansines paslaugas, planuojant biudžetą. 6. Nesudėtingais atvejais surinktus duomenis užrašo negrupuotų ar grupuotų duomenų dažnių lentele. 7. Nesudėtingais atvejais pavaizduoja duomenis įvairių tipų diagramomis. 8. Nesudėtingais atvejais pavaizduoja duomenis tinkamo tipo diagrama ar (ir) sieja dažnių lentelėje ir diagramoje pateiktus duomenis. 9. Paprastais atvejais apskaičiuoja imties medianą. 10. Paaiškina, kada galima taikyti sudėties taisyklę. 11. Sprendžia nesudėtingus kombinatorikos uždavinius taikydamas galimybių medžius, lenteles, kombinatorines sudėties ir daugybos taisykles. 12. Spręsdamas nesudėtingus uždavinius taiko klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą ir tikimybės savybes.

Kalba netaisyta

63

19. Paprasčiausiais atvejais užrašo bandymo baigčių aibę, randa įvykiui palankių baigčių skaičių. 20. Taiko klasikinį tikimybės apibrėžimą spręsdamas paprasčiausius uždavinius. Palygina įvykius pagal jų tikėtinumą.

kitaip išrašydamas visas galimybes. 18. Žino sudėties taisyklę. 19. Paprastais atvejais taiko kombinatorinę daugybos taisyklę uždaviniams spręsti, kai elementų tvarka svarbi. 20. Paprastais atvejais užrašo bandymo baigčių aibę, randa įvykiui palankių baigčių skaičių. 21. Paprastais atvejais apskaičiuoja bandymų tikimybes remdamasis klasikiniu tikimybės apibrėžimu. 22. Paprastose situacijose atpažįsta būtinąjį, negalimąjį ir įvykiui priešingą įvykius, apskaičiuoja jų tikimybes. 23. Paaiškina, koks įvykis yra būtinas, negalimas, įvykiui priešingas. 24. Kartojant paprasčiausią bandymą daug kartų, apskaičiuoja santykinį baigties dažnį, juo remiasi vertindamas įvykio tikėtinumą. 25. Žino tikimybės savybes.


1. Moka naudotis skaičiuotuvu skaičiuodamas procentus. 2. Skaito informaciją, pateiktą stulpeline, stačiakampe, linijine diagramomis ar lentelėmis. 3. Moka naudoti pagrindines sąvokas: palūkanos, palūkanų norma, imties vidurkis, dažnis, dažnių lentelė, galimybių medis, rinkiniai, tvarka rinkiniuose, bandymo baigčių skaičius, įvykiui palankių baigčių skaičius, tikimybė ir pan. 4. Supranta svarbiausius matematinius žymenis (pvz., P(A) − įvykio A tikimybė). 5. Nubrėžia diagramas, galimybių medį. 6. Moka naudotis įvairiais informacijos šaltiniais ieškant reikiamos informacijos.

1. Formuluoja klausimus, susijusius su statistinių duomenų rinkimu. 2. Skaito nesudėtingas dažnių lenteles ir diagramas. 3. Apibūdina/apibrėžia, interpretuoja terminus: paprastieji ir sudėtiniai procentai, imties vidurkis, mediana, moda, imties plotis, koreliacija, santykinis dažnis, įvykis (būtinas, negalimas, įvykiui priešingas). 4. Supranta simbolius sudėtinių procentų, tikimybės formulėse, tikimybės savybėse. 5. Aptaria užduoties sprendimo, teiginio pagrindimo bei jų užrašymo būdų tinkamumą. 6. Uždavinių sprendimą komentuoja, iliustruoja / pagrindžia schema, lentele.

1. Aptaria užduoties sprendimą, atsakymą, vieną ar kitą teiginį. 2. Nesudėtingais atvejais pavaizduoja duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“). 3. Išsamiai pateikia brėžinius, schemas, lenteles, diagramas, paaiškina žymėjimus formulėse, taisyklių taikymą.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi 1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotas 1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas

Kalba netaisyta

64

neplaningai ir nesistemingai. 2. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 3. Pateikia paprasčiausių pavyzdžių iš gyvenimo apie įgytų žinių ir gebėjimų pritaikymą.

užduotis. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad ko nors dar gerai neįsisavino. Mokytojo vadovaujamas geba įsivertinti. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. 4. Pateikia matematikos taikymo kasdieniame gyvenime ir mokomuosiuose dalykuose pavyzdžių. 5. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus su naujai įgyjamomis žiniomis ir gebėjimais.

užduotis. 2. Padeda mokytis kitiems. 3. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. 4. Pagal pateiktus vertinimo kriterijus įsivertina gebėjimų lygį. 5. Užduotis atlieka kūrybingai, išsamiai.


1. Naudojasi dviejų dydžių priklausomybes nusakančiomis lentelėmis, grafikais, formulėmis diagramomis, spręsdamas paprastus ir matematinio turinio uždavinius. Paprastais atvejais iš grafiko, formulės, lentelės randa vieno dydžio reikšmę, kai nurodyta kito dydžio reikšmė. 2. Įvertina savo finansines pajamas ir išlaidas. 3. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 4. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra/nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 5. Paprastais atvejais pagal uždavinio sąlygos reikalavimą nubrėžia brėžinį/schemą, lentelę, diagramą. 6. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 7. Sprendžia paprasčiausias problemas ir atlieka standartines procedūras.

1. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., sudėtinių procentų, tikimybės ir jos savybių formules). 2. Įžvelgia diagramomis, lentelėmis, grafiku išreikštus sąryšius. 3. Daro pagrįstas išvadas (pvz., apie dydžių koreliaciją). 4. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 5. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti. 6. Pasirenka tinkamas, tačiau ne visada racionalias problemų sprendimo strategijas.

1. Analizuoja statistinius duomenis remiantis vidurkiu, mediana, moda. 2. Numato galimą rezultatą ir jį patikrina. 3. Turėdamas perteklinės informacijos, atsirenka uždaviniui spręsti reikalingus duomenis, o esant informacijos trūkumui, nurodo, kur ir kaip galima jos rasti. 4. Interpretuoja imties vidurkio, medianos, santykinio dažnio skaičiavimų rezultatus. 5. Paaiškina, kaip taikomos sudėties ir daugybos taisyklės. 6. Nesudėtingais atvejais pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis žinomais apibrėžimais ir savybėmis (pvz., įrodo tikimybės savybes). 7. Atranda ryšius tarp elementų; derina įvairias matematines procedūras, siekdamas gauti rezultatą (pvz., norėdamas rasti įvykio tikimybę, performuluoja uždavinį į bandymo baigčių ir palankių baigčių skaičiaus radimo uždavinį, nustato, kokiu būdu ras baigčių skaičių, atlieka tikimybės skaičiavimus, jei reikia, apvalina skaičius ar tikimybę išreiškia procentais). 8. Sprendžia nesudėtingus probleminius uždavinius, kuriuose taiko gebėjimą derinti kelių sričių žinias

Kalba netaisyta

65

(pvz., norėdamas apskaičiuoti įvykio baigčių skaičių, pavaizduoja situaciją schema; arba norėdamas nustatyti koreliacijos egzistavimą pavaizduoja situaciją brėžiniu ir pan.). 9. Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo daromos pagrįstos, logiškos išvados. 10. Daugeliu atveju pasirenka racionalią problemų sprendimo strategiją.

11.2. Modulio A-2 Finansinio raštingumo elementai. Statistika. Tikimybių teorija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Nesudėtingais atvejais taikyti sąvokas (skaičiaus dalis, procentas).

1. Baldų komplektas kainavo 1280 Lt. Kokia dabar baldų komplekto kaina, jeigu ji: a) padidėjo 7%; b) sumažėjo 6%? 2. Kiek procentų 300 Lt sumos sudaro 75 Lt? 3. Nojus padėjo į banką 7000 Lt. Kiek palūkanų jis gaus po 2 metų, jei banko palūkanų norma lygi 10%, ir bankas skaičiuoja: a) paprastąsias palūkanas? b) sudėtines palūkanas? 4. Vita padėjo į banką trijų mėnesių trukmės terminuotą indėlį − 7000 Lt. Banko palūkanų norma lygi 4%, ir bankas skaičiuoja paprastąsias palūkanas. Kiek palūkanų gaus Vita? 5. Prekė kainavo 300 Lt. Ji pigo du kartus po 24%. a) Kokia prekės kaina po atpigimo? b) Keliais litais prekė atpigo? c) Keliais procentais prekė atpigo? 6. Sklypą pirko du ūkininkai, kurie

1. Baldų komplektas kainavo 1280 Lt. Kokia dabar baldų komplekto kaina, jeigu ji: a) padidėjo 2,3%; b) sumažėjo 0,15%? 2. Kiek procentų 5,12 Lt sumos sudaro 28,16 Lt? 3. Per metus internetinės naujienų svetainės puslapių peržiūrų skaičius išaugo 2,5 karto. Keliais procentais išaugo peržiūrų skaičius? 4. Bankas moka 3,2% metinių sudėtinių palūkanų. Kokią sumą reikia padėti į banką, kad po 2 metų sąskaitoje būtų 15900 Lt? Atsakymą parašykite vieno lito tikslumu. 5. Prekė kainavo 88 Lt. Du kartus po tiek pat procentų pabranginus prekę, dabar ji kainuoja 116,38 Lt. Keliais procentais kiekvieną kartą pabrango prekė? 6. Prekė atpigo tris kartus po 6%. Dabar ji kainuoja 2076,46 Lt. a) Kiek kainavo prekė iš pradžių?

1. Dviračio kaina iš pradžių buvo 320 Lt. Po pusmečio dviratis pabrango 20%, o po antro pusmečio − 25%. Kiek procentų pabrango dviratis per metus? 2. Kiek procentų skaičius 3,15 mažesnis už skaičių 4,41? 3. Agnė padėjo į banką 30000 Lt. Kokia banko metinių sudėtinių palūkanų norma, jeigu po 3 metų indėlis išaugo iki 37791,36 Lt? 4. Sodininkas sodino obelų, kriaušių, slyvų ir vyšnių sodinukus proporcingai skaičiams 14 : 5 : 7 : 9. Kiek obelų, kriaušių, slyvų ir vyšnių buvo pasodinta stačiakampiame sklype, jeigu jo dydis 150 m × 70 m, ir kiekvienam medžiui buvo skiriama 5 m2?

Kalba netaisyta

66

sumokėjo 40000 Lt ir 60000 Lt. Padalykite 18 hektarų sklypą ūkininkams proporcingai jų sumokėtoms sumoms.

b) Kiek procentų iš viso atpigo prekė? c) Kiek kainavo prekė po pirmojo kainos sumažinimo? d) Kiek kainuotų prekė jos dabartinę kainą padidinus tris kartus po 6%? 7. Sklypą pirko trys ūkininkai, kurie sumokėjo 40000 Lt, 60000 Lt ir 80000 Lt. Padalykite 18 hektarų sklypą ūkininkams proporcingai jų sumokėtoms sumoms.

2. Įvairiuose informacijos šaltiniuose ieškoti informacijos, kuri padėtų rasti atsakymą į iškeltą klausimą. Rinkti duomenis pagal vieną požymį ir juos sutvarkyti.

1. Surašykite per mokslo metus savo gautus lietuvių kalbos pažymius. a) Sudarykite tų pažymių variacinę eilutę. b) Sudarykite tų pažymių dažnių lentelę. c) Nubraižykite tuos pažymius vaizduojančią taškinę diagramą.

1. Surašykite savo klasės mergaičių ir berniukų ūgius. a) Apskaičiuokite mergaičių ir berniukų ūgių vidurkius. b) Ar jūsų apskaičiuoti vidurkiai yra panašūs su visų šio amžiaus Lietuvos mokinių ūgių vidurkiais? Atsakymą pagrįskite.

1. Šaulys, šaudydamas į taikinį, gavo tokius rezultatus: Rezultatas 2 3 4 5 6 8 9 10

Dažnis 2 3 2 2 1 5 2 3 a) Sudarykite sugrupuotų duomenų dažnių lentelę, imdami intervalus nuo 2 iki 10 kas 2. b) Pavaizduokite imtį histograma.

3. Skaityti informaciją, pateiktą įvairiomis diagramomis ar lentelėmis, paprasčiausiais atvejais pavaizduoti surinktus ir (ar) pateiktus duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“), programa ar (ir) be jos.

1. Mokiniai parašė kontrolinį darbą. Gauti tokie kontrolinio darbo rezultatai: 8, 7, 7, 3, 4, 4, 10, 9, 6, 5, 6, 7, 4, 3, 3, 5, 6, 8, 9, 7. a) Sudarykite duomenų variacinę eilutę. b) Koks imties didumas? c) Sudarykite pažymių dažnių lentelę. d) Nubraižykite stulpelinę diagramą. 2. Klasėje yra 20 sportuojančių mokinių. 12 žaidžia futbolą, 14 lanko bėgimą. a) Kiek mokinių lanko dvi sporto šakas? b) Į atitinkamas skritulių dalis įrašykite skaičius, iliustruojančius šio uždavinio sprendimą.

1.

Vaikai pasvėrė savo kuprines ir gautus duomenis pavaizdavo diagrama. a) Kiek vaikų svėrė kuprines? b) Sudarykite dažnių lentelę. c) Duomenis pavaizduokite stačiakampe diagrama. d) Duomenis pavaizduokite skrituline diagrama.

1. Bendrovė „Gamtinės dujos“ skelbia gamtinių dujų tarifus vartotojams nuo 2013 m. sausio 1 d.:

Vartotojų pogrupis

1 2

Sunaudojamų dujų kiekis (Q) per kalendorinius metus

Iki 500 m3 (Q≤500 m3)

Nuo 500 m3 iki 20 000 m3 (500 m3< Q≤20000 m3)

Pastovioji tarifo dalis, Lt/m ėn. su PVM

1,95

13,81

Kintamoji tarifo dalis, Lt/m 3 su PVM

2,71

2,09

2 3 4 5 8012345

Masė (kg)D

ažni

s

Kalba netaisyta

67

Dujų tarifai vartotojams taikomi pagal vartotojų faktiškai per metus suvartojamą gamtinių dujų kiekį. Pastovioji tarifo dalis mokama kiekvieną mėnesį nepriklausomai nuo suvartoto gamtinių dujų kiekio. Kintamoji tarifo dalis mokama už suvartotą dujų kiekį. a) Nustatykite, kuriam vartotojų pogrupiui priklauso vartotojas A ir vartotojas B, jei 2012 metų kiekvieną mėnesį jų suvartoti dujų kiekiai surašyti eilute: A: 80, 90, 85, 70, 60, 60, 30, 30, 30, 55, 70, 80; B: 10, 10, 7, 6, 10, 15, 15, 15, 15, 10, 7, 15. b) Apskaičiuokite, kiek litų sumokėjo kiekvienas vartotojas už dujas per metus. c) Kiek procentų savo metinio uždarbio sumokėjo už dujas kiekvienas vartotojas, jei vartotojo A mėnesio atlyginimas buvo 3000 Lt, o vartotojo B − 2500 Lt?

4. Skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar (ir) be jos rasti imties vidurkį, medianą, modą, siūlyti sprendimus, paremtus jų analize. Koreliacijos idėją paaiškinti remiantis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje.

1.

Mokinio per metus gauti matematikos pažymiai pavaizduoti diagramoje. a) Parašykite imties variacinę eilutę. b) Koks imties didumas? c) Kokia gautų pažymių suma? d) Koks pažymių vidurkis?

1. Kęstas rideno lošimo kauliuką ir stebėjo atsivertusių akučių skaičių. Rezultatus pavaizdavo diagrama. a) Koks imties didumas? b) Koks atsivertusių akučių vidurkis? c) Nustatykite atsivertusių akučių modą.

1. Matematikos olimpiadoje vieno mokinio išspręstų uždavinių skaičiaus vidurkis yra 7. Olimpiados rezultatai pavaizduoti dažnių lentele:

1 mokinio išspręstų uždavinių skaičius

5 6 7 8 9 10

Dažnis 1 x 1 2 1 3

Apskaičiuokite x. 2. Užbaikite mintį: „Jei koordinačių plokštumos taškai, vaizduojantys dviejų nagrinėjamų požymių atitinkamas reikšmes, grupuojasi apie pasvirąją tiesę, tai sakome, kad tie požymiai ...“.

5 6 7 8 90

2

4

6

8

Pažymys

Da

žnis

123456

0 1 2 3 4 5 6

Akučių skaičius

Da

žnis

Kalba netaisyta

68

d) Nustatykite atsivertusių akučių medianą. 2. Dydžių X ir Y reikšmės surašytos lentelėje:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 Y 10 20 40 40 50 65 70 75

a) Pavaizduokite duomenis koordinačių plokštumoje. b) Nustatykite, ar dydžiai X ir Y yra koreliuoti. Jei taip, tai teigiama ar neigiama yra koreliacija?

5. Sprendžiant paprastus uždavinius, sudaryti kelių elementų rinkinių aibę, kai elementai imami iš skirtingų arba iš vienos aibės. Apskaičiuoti rinkinių variantų skaičių, kai elementų tvarka rinkinyje yra svarbi arba nesvarbi ir (ar) kai reikia taikyti sudėties ir (ar) daugybos taisyklę.

1. Iš skaitmenų 0, 1, 3 ir 6 sudaromi dviženkliai skaičiai. a) Sudarykite galimybių lentelę. b) Kiek skaičių gaunama? 2. Moneta metama tris kartus ir iš eilės surašoma, kuria puse į viršų ji atvirto kiekvieną kartą (herbą žymime H, skaičių žymime S). Nubraižykite galimybių medį ir surašykite visas galimas šio bandymo baigtis. 3. Valgykloje yra 3 rūšių sulčių ir 2 rūšių vaisvandenių. a) Keliais būdais galima išsirinkti vieną gėrimą? b) Keliais būdais galima išsirinkti skirtingų gėrimų porą? 4. Spynos kodas sudaromas iš 2 ženklų: pirmasis yra vienas iš skaitmenų 5, 6, 7, antrasis − viena iš raidžių a, b, c. Kiek skirtingų spynos kodų galima sudaryti? 5. Pateikite po vieną pavyzdį, kuriame būtų sudaromas kelių elementų rinkinys, atsižvelgiant į elementų tvarką rinkinyje, ir kelių elementų rinkinys, neatsižvelgiant į elementų tvarką rinkinyje.

1. Taikydami daugybos taisyklę, apskaičiuokite, kiek yra keturženklių skaičių. 2. Keliais būdais knygų lentynėlėje galima sustatyti 5 skirtingas knygas? 3. Prekybos centre yra ketverios durys. a) Keliais būdais galima apsilankyti (įeiti ir išeiti) prekybos centre? b) Keliais būdais galima apsilankyti prekybos centre, jei pro tas pačias duris neinama du kartus? 4. Sporto varžybose dalyvavo 8 vienodo pajėgumo gimnastės. Keliais būdais šios gimnastės gali užimti tris pirmąsias vietas? 4. Konkurse 2 darbo vietoms užimti dalyvauja 5 kandidatai. Keliais skirtingais būdais gali būti užimtos šios darbo vietos, jei jos yra: a) vienodos; b) skirtingos?

1. Taikydami daugybos taisyklę, apskaičiuokite, kiek yra keturženklių skaičių, kuriuose skaitmenys nesikartoja ir nėra skaitmens 3. 2. Iš penkių skaitmenų 2, 4, 5, 6, 9, panaudodami kiekvieną iš jų po vieną kartą, sudarykite dviženklį ir triženklį skaičius, kad jų sandauga būtų: a) didžiausia; b) mažiausia. 3. Šachmatų turnyre kiekvienas dalyvis sužaidė su kiekvienu. Buvo sužaistos 55 partijos. Kiek žaidėjų dalyvavo turnyre? 4. Išspręskite uždavinį dviem būdais: Kokių dviženklių skaičių yra daugiau – ar kurių užraše yra bent vienas skaitmuo 3, ar kuriuose skaitmens 3 nėra?

6. Taikyti statistinį ir klasikinį tikimybės apibrėžimus,

1. Metamas lošimo kauliukas, ant kurio sienelių sužymėtos 1, 2, 3, 4, 5, 6 akutės,

1. Metami du lošimo kauliukai ir randama iškritusių akučių sandauga.

1. Kokia tikimybė, kad iš skaičių 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 atsitiktinai paimtas vienas skaičius bus

Kalba netaisyta

69

tikimybės savybę realaus turinio uždaviniams ir problemoms spręsti.

ir stebima, kiek viršutinėje sienelėje atvirto akučių. a) Apskaičiuokite tikimybes įvykių: A − atvirto 3 akutės; B − atvirto lyginis akučių skaičius; C − atvirto mažiau negu 5 akutės; D − atvirto ne daugiau negu 5 akutės. b) Kuris iš įvykių A, B, C, D yra tikėtiniausias? 2. Krepšyje yra 12 obuolių ir 9 kriaušės. Nežiūrint traukiamas vienas vaisius. Kuris įvykis tikėtinesnis: „ištrauktas obuolys“ ar „ištraukta kriaušė“?

a) Sudarykite galimybių lentelę. b) Apskaičiuokite tikimybes įvykių: A − iškritusių akučių sandauga yra dviženklis skaičius; B − iškritusių akučių sandauga yra pirminis skaičius; C − iškritusių akučių sandauga yra 4 kartotinis; D − iškritusių akučių sandauga yra 200 daliklis. 2. a) Mokinys apskaičiavo įvykio A tikimybę ir gavo 1,2. Ar teisingas skaičiavimo rezultatas? Atsakymą pagrįskite. b) Mokinys skaičiuodamas gavo, kad

įvykio B tikimybė lygi 0,2, o įvykiui B priešingo įvykio tikimybė − 0,8. Ar teisingas skaičiavimo rezultatas? Atsakymą pagrįskite. 3. Paaiškinkite, kaip skaičiuojama

įvykio tikimybė. 4. Suformuluokite tikimybės savybes. 5. Mėtome monetą ir stebime, kuria puse (skaičiumi ar herbu) į viršų ji krisdama atvirs. a) Meskite monetą 20 kartų ir apskaičiuokite herbo atvirtimų santykinį dažnį. b) Ko galima būtų tikėtis, jei monetą mestume 100, 1000 kartų ir skaičiuotume herbo atvirtimų santykinį dažnį? 6. Pateikite būtinojo ir negalimojo

įvykių pavyzdžių.

nelygybių sistemos

≥

−≥−

2,02,0

,4

x

x sprendinys?

2. Klasėje yra 25 mokiniai. Tikimybė, kad atsitiktinai pakviestas prie lentos mokinys yra berniukas, lygi 0,6. Kiek klasėje mokosi mergaičių? 3. Dėžėje yra 8 balti ir 4 raudoni rutuliai. Atsitiktinai ištraukiami du rutuliai. Apskaičiuokite tikimybę įvykio: A − abu ištraukti rutuliai yra raudoni; B − abu ištraukti rutuliai yra balti; C − vienas ištrauktas rutulys yra baltas, o kitas − raudonas; D − abu ištraukti rutuliai yra mėlyni; E − abu ištraukti rutuliai yra tos pačios spalvos. 4. Suformuluokite šiems įvykius priešingus

įvykius: A − metant lošimo kauliuką iškrito 4 akutės; B − metant lošimo kauliuką iškrito daugiau negu 4 akutės; C − metant lošimo kauliuką iškrito ne mažiau kaip 4 akutės. 5. Įrodykite įvykio A tikimybės savybes: a) P(A) = 1, jei A − būtinas įvykis; b) P(A) = 0, jei A − negalimas įvykis; c) 0 ≤ P(A) ≤ 1; d) P(įvykiui A priešingo įvykio) = 1− P(A).

7. Paprasčiausiose standartinėse situacijose sprendžiant uždavinius taikyti matematines žinias.

1. Kelionių mugėje vyko skrydžių lėktuvu išpardavimas ir buvo taikoma iki 65% nuolaida. Skrydis į Vieną kainuoja 500 Lt, į Prahą − 600 Lt, į Pekiną − 1800 Lt. Kiek

1. Iš banko pasiskolinta 3000 Lt su 12% pastoviųjų metinių palūkanų norma (kai už paskolą, grąžinamą dalimis, palūkanos skaičiuojamos nuo pradinės

1. Indėlininkas atidarė 10000 Lt sąskaitą banke, kuris moka 7,5% metinių sudėtinių palūkanų. Po kelerių mažiausiai metų sąskaitoje bus ne mažiau kaip 12000 Lt?

Kalba netaisyta

70

mažiausiai galėjo kainuoti skrydžiai į šiuos miestus? 2. Kiek yra skirtingų galimybių pasirinkti vieną būrelį devintokui mokykloje, kurioje veikia 4 sporto, 2 meno ir 3 mokslo būreliai?

paskolos sumos). Paskolą reikia grąžinti per 2 metus kas mėnesį mokant lygiomis dalimis. a) Kiek litų skolos reikia grąžinti bankui kiekvieną mėnesį? b) Kiek procentų paskolintos sumos sudaro palūkanos, mokamos kiekvieną mėnesį? c) Kiek litų palūkanų bankas priskaičiuoja kiekvieną mėnesį? d) Kokią pinigų sumą teks sumokėti bankui kiekvieną mėnesį? 2. Iš 1000000 loterijos bilietų laimi 1500. Kokia tikimybė laimėti perkant vieną bilietą? Atsakymą pateikite procento šimtųjų dalių tikslumu.

2. Iš lapelių, sunumeruotų nuo 1 iki 15, atsitiktinai ištrauktas vienas lapelis. Kokia tikimybė įvykio, priešingo įvykiui „ištrauktas sudėtinis skaičius“?

8. Perskaityti arba išklausyti ir suprasti bei interpretuoti paprastą ar nesudėtingą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą, sprendimą, taisyklę. Tinkamai vartoti terminus bei žymenis sąvokoms, ryšiams tarp jų nusakyti, situacijoms modeliuoti. Įvairiais būdais pateikti uždavinių sprendimus ir kitą informaciją taip, kad kiti galėtų ją suprasti ir įvertinti.

1. 200 žmonių dalyvavo loterijoje. Laimėjimų duomenys surašyti procentinių dažnių lentelėje:

Suma (Lt)

0 5 50 100

Dažnis (%)

70 20 5 5

a) Apskaičiuokite, kiek žmonių nelaimėjo nieko, laimėjo 5, 50 ir 100 Lt. b) Sudarykite dažnių lentelę. c) Rezultatus pavaizduokite tiesine diagrama. d) Koks laimėjimų vidurkis?

1. 300 žmonių dalyvavo loterijoje. Laimėjimų duomenys surašyti procentinių dažnių lentelėje:

Suma (Lt) 0 5 50 100

Dažnis (%) 70 20 5 5

a) Apskaičiuokite, kiek žmonių nelaimėjo nieko, laimėjo 5, 50 ir 100 Lt. b) Sudarykite dažnių lentelę. c) Rezultatus pavaizduokite tiesine diagrama. d) Koks laimėjimų vidurkis? e) Kokia turėtų būti loterijos bilietų kaina, kad loterijos organizatoriai nepatirtų nuostolių? f) Kokia turėtų būti loterijos bilietų kaina, kad loterijos organizatoriai gautų pelno?

1. Loterijai atspausdinta 1000 bilietų. 300 jų laimi po 1 Lt, 50 − po 5 Lt, 100 − po 10 Lt, 20 − po 50 Lt. Kiek mažiausiai turėtų kainuoti vienas loterijos bilietas, kad loterija atneštų 200 Lt pelno loterijos rengėjams (organizavimo išlaidas sudarė 300Lt)?

9. Iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių padaryti išvadas, jas pagrįsti remiantis logine

1. Ridenamas lošimo kauliukas ir stebimas atvirtusių akučių skaičius. a) Sugalvokite šio bandymo būtinąjį įvykį B

1. Kūno kultūros pamokoje berniukai šokinėjo į aukštį. Mokytojas pasižymėjo tokius rezultatus: 90 cm, 125 cm, 125

1. Vaistinė skelbia: „Dabar kompensuojamųjų vaistų priemokos 75% mažesnės“. Kiek pinigų sumokės žmogus, pirkdamas šioje

Kalba netaisyta

71

argumentacija. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę konkrečiu ir (ar) bendruoju atveju.

ir negalimąjį įvykį N. c) Raskite P(B) ir P(N).

cm, 130 cm, 130 cm. 135 cm, 135 cm, 135 cm, 140 cm, 140 cm, 140 cm. a) Raskite šios imties vidurkį, modą, medianą. b) Remdamiesi gautais skaičiais, apibūdinkite šią imtį.

vaistinėje 80 Lt kainuojančius kompensuojamuosius vaistus, kuriems taikoma 25% kompensacija ir vaistinės 75% nuolaida kompensuojamųjų vaistų priemokai? (Priemoka = Kaina – Kompensacija).

10. Kryptingai siekti tikslo, kai yra kliūčių arba ribojančių sąlygų. Kelti ir tikrinti paprastas hipotezes. Išnagrinėti ir įvertinti anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių ir gebėjimų kontekste.

1. Tolimoje kelionėje sugedo automobilis, kurio remontui prireikė 5000 Lt. Automobilio savininkas neturėjo tiek pinigų, todėl nutarė pasiskolinti šią sumą mėnesiui iš bendrovės „Greitasis kreditas“. Skolinimosi sąlygos: mėnesinė procentinė norma – 9 %. a) Kiek litų automobilio savininkas sumokės bendrovei už paskolinimą, jei paskolą grąžins laiku? b) Kiek litų automobilio savininkas sumokės bendrovei už paskolinimą, jei paskolą grąžins mėnesiu vėliau?

1. Tolimoje kelionėje sugedo automobilis, kurio remontui prireikė 5000 Lt. Automobilio savininkas neturėjo tiek pinigų, todėl nutarė pasiskolinti šią sumą mėnesiui iš bendrovės „Greitasis kreditas“. Skolinimosi sąlygos:

Pirmas kreditas iki 1000 Lt nemokamai, mėnesinė procentinė norma − 9,4%.

Kiek mažiausiai litų automobilio savininkas sumokės bendrovei už paskolinimą?

1. Šeima paėmė iš banko 40000 Lt paskolą su 12% mažėjančiųjų metinių palūkanų norma (už paskolą, grąžinamą dalimis, palūkanos skaičiuojamos tik nuo dar negrąžintos paskolos dalies). Kas mėnesį šeima turi mokėti po 500 Lt. Dalį šios sumos sudaro palūkanos, o likusioji dalis skiriama skolai mažinti. a) Užbaikite pildyti lentelę: Mėnuo Skola

(Lt) Palūka-nos (Lt)

Įmoka (Lt)

Grąži-nama skolos dalis (Lt)

1 40000,00 400,00 500,00 100,00

2 39900,00 399,00 500,00 101,00

3 39799,00 397,99 500,00 102,01

4 39696,99 396,97 500,00 103,03

5

6

7

8

b) Kokio dydžio skola liks, kai šeima 8 kartus sumokės reikiamas įmokas?

11. Įvairiuose informacijos šaltiniuose savarankiškai rasti reikiamos informacijos, ją apibendrinti klasifikuoti ir

1. Sudarykite savaitės oro temperatūros naktimis lentelę ir nubraižykite grafiką. Apskaičiuokite tos savaitės vidutinę nakties temperatūrą.

1. Kam lygi tikimybė pasirinkti iš triženklių skaičių tokį, kurio skaitmenų suma yra 3?

1. Vienoje Lietuvos vietovėje stovi televizijos siųstuvas, kuris patikimai veikia 100 km spinduliu. Apskaičiuokite tikimybę, kad Lietuvos teritorijoje esantis televizorius

Kalba netaisyta

72

kritiškai vertinti. rodo laidas, perduodamas šio siųstuvo.

12. Modulis A-3 Problemų sprendimas, taikant funkcijų savybes

12.1. Modulio A-3 Problemų sprendimas, taikant funkcijų savybes mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino funkcijos sąvoką. Supranta su funkcijos sąvoka susijusius terminus (funkcija, funkcijos argumentas / nepriklausomas kintamasis, funkcijos reikšmė / priklausomas kintamasis, funkcijos apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis, funkcijos reikšmių didėjimo / mažėjimo intervalai, didžiausia/mažiausia funkcijos reikšmė) sąvokas ir žymenis (pvz., y = f(x), f(2), (x; f(x))). 2. Sieja tiesinę ir kvadratinę funkcijas, atvirkščiąjį proporcingumą atitinkamai su tiese, parabole, hiperbole. 3. Paprasčiausiais atvejai žodžiais aprašytą funkciją moka išreikšti formule. 4. Paprastais atvejais iš funkcijos formulės randa argumento reikšmę, kai duota funkcijos reikšmė. 5. Lentele išreikštą funkciją moka išreikšti grafiku. Formule išreikštą funkciją moka išreikšti lentele. 6. Iš grafiko randa taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis. 7. Paprasčiausiais atvejais iš formulės randa taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis. 8. Paprastais atvejais atvejais patikrina, ar taškas priklauso grafiku arba formule išreikštos funkcijos grafikui.

1. Apibrėžia bei interpretuoja su funkcijomis susijusius matematinius terminus ir simbolius. 2. Nurodo, apibūdina pagrindinius su funkcijos sąvoka susijusius teiginius. 3. Pateikia funkcijų pritaikymo kasdieniame gyvenime ir mokomuosiuose dalykuose pavyzdžių. 4. Funkcijos y = f(x) grafiką supranta kaip taškų (x; f(x)) visumą. 5. Iš grafiko nustato, ar dviejų dydžių priklausomybė yra funkcinė. 6. Nesudėtingais atvejais iš funkcijos formulės išreiškia nurodytą dydį. 7. Paprastais atvejais žodžiais aprašytą funkciją moka išreikšti formule, lentele ir grafiku. 8. Paprastais atvejais grafiku arba žodžiais išreikštą funkciją moka išreikšti formule. Paaiškina, kaip iš tiesinės ir kvadratinės funkcijos grafikų užrašyti funkcijos išraišką. 9. Paprastais atvejais iš formulės randa taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis. 10. Atlieka grafiko y = x2 transformacijas: tempimą ašimi Oy (y = ax2), postūmius ašimis Ox ir Oy (y = x2 + n ir y = (x – m)2), simetriją ašies Ox atžvilgiu (y = – x2).

1. Iš aprašymo žodžiais nustato, ar dviejų dydžių priklausomybė yra funkcinė. Pateikia funkcijų ir nefunkcijų pavyzdžių iš aplinkos ir kitų mokomųjų dalykų. 2. Nesudėtingais atvejais grafiku išreikštą funkciją moka išreikšti formule. 3. Nesudėtingais atvejais iš formulės randa taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis. 4. Sieja grafiko y = x2 transformacijas su formulės y = x2 pasikeitimais. Argumentuoja, kaip keičiasi funkcijos formulės išraiška, atliekant jos grafiko transformacijas. 5. Atlieka nesudėtingus grafiko y = x2 transformacijų (tempimo ašimi Oy (y = ax2), postūmių ašimis Ox ir Oy (y = x2 + n ir y = (x – m)2), simetrijos ašies Ox atžvilgiu (y = – x2 )) derinius. 6. Aprašytą nesudėtingą situaciją užrašo tiesinės arba kvadratinės funkcijos, atvirkščiojo proporcingumo formule, pavaizduoja grafiku ir juo naudodamasis sprendžia įvairaus turinio uždavinius. 7. Argumentuoja, kuri sprendimo strategija yra tinkamesnė konkrečiu atveju ir bendruoju atveju.

Kalba netaisyta

73

9. Remdamasis pateiktu grafiku, sprendžia paprastus realaus ar matematinio turinio uždavinius.

11. Aprašytą paprastą situaciją užrašo tiesinės arba kvadratinės funkcijos formule, pavaizduoja grafiku ir juo naudojantis sprendžia optimizavimo uždavinius.


1. Perskaito ir suvokia paprastą matematinį tekstą ir uždavinio sąlygą. 2. Teisingai naudoja funkcijos žymėjimus. 3. Supranta įvairiais būdais pateiktas funkcijas. 4. Atskiria tiesės, parabolės, hiperbolės formules. 5. Naudojasi skaičiuotuvu. 6. Užrašo uždavinio atsakymą, atitinkantį užduoties reikalavimus.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. 2. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 3. Naudoja brėžinius arba schemas paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti. 4. Pritaiko bendrąsias tiesės, parabolės, hiperbolės formules. 5. Argumentuodamas sprendimą naudoja konkrečių funkcijų savybes. 6. Interpretuoja paprastą brėžinį, lentelę, matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. 7. Įvairiais būdais pateikia uždavinių sprendimus.

1. Tikslingai naudoja su funkcijos sąvoka susijusius matematinius simbolius. 2. Naudoja brėžinius nesudėtingų uždavinių sprendimams paaiškinti. 3. Argumentuodamas sprendimą naudoja funkcijų savybes. 4. Aiškiai ir nuosekliai pateikia sprendimo eigą. 5. Geba pristatyti atliktą užduotį. 6. Naudoja funkcijų grafikų braižymo kompiuterines programas.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi tik mokytojo vadovaujamas, neplaningai ir nesistemingai. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 2. Pateikia paprasčiausių pavyzdžių iš aplinkos apie įgytų žinių ir gebėjimų pritaikomumą.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotas užduotis. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. 4. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus su naujai įgyjamomis žiniomis ir gebėjimais.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. 2. Planuoja mokymosi laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. 3. Prašo mokytojo patikrinti jo atliktą darbą, kad galėtų įsivertinti gebėjimų lygį. Realiai įsivertina savo pasiekimų lygį pagal iš mokytojo pateiktus vertinimo kriterijus. 4. Padeda mokytis kitiems. 5. Užduotis atlieka kūrybingai. 6. Vertina įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgia jų reikalingumą ir naudingumą.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra/nėra

1. Sprendžia paprastus nestandartinius įvairaus turinio uždavinius: neįprasto konteksto ar neįprasto funkcijų

1. Pritaiko matematinį modelį (funkciją) nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp dviejų

Kalba netaisyta

74

uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Suvokia pagrindinius su funkcijomis susijusius simbolius. 4. Atpažįsta tinkamą formulę. 5. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 6. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga. 7. Paprasčiausiais atvejais sieja pateiktą dviejų dydžių priklausomybės grafiką su tų dydžių savybių nagrinėjimu. 8. Paprasčiausiais atvejais iš grafiko nustato dviejų dydžių priklausomybės savybes.

simbolių naudojimo uždavinio sąlygoje; kai reikia pasirinkti, kurią funkcijų savybę naudinga taikyti; kai uždavinio sąlygoje nepateikta informacija apie nežinomo dydžio reikšmių ribas; kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina įvertinti pradinės uždavinio sąlygos kontekste. 2. Vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu. Sukuria paprasto uždavinio sąlygą atitinkantį modelį, pvz., brėžinį. 3. Įžvelgia ryšius: nesudėtingais atvejais pastebi dviejų dydžių priklausomybę, nustato jos rūšį (tiesinė, kvadratinė funkcija ar atvirkščias proporcingumas) ir pasinaudoja atitinkamos funkcijos savybėmis. 4. Paprastais atvejais sudaro abstrakčius teiginius, kuriuos išanalizavęs daro išvadas (pvz., taško priklausymo funkcijos grafikui panaudojimas funkcijos formulei parašyti). 5. Išanalizavęs pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas / klaidingas. 6. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 7. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą argumentuoja. 8. Paprastais atvejais pasirenka tinkamą veiksmą, metodą, sprendimo būdą.

dyžių, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, derina kelių sričių gebėjimus. 2. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. 3. Nesudėtingais atvejais įrodo / argumentuoja / pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis funkcijų rūšių ir savybių žinojimu, savo sukurtais brėžiniais (eskizais). 4. Probleminio uždavinio sprendimą iliustruoja kūrybiškai modeliuodamas situaciją (pvz., nagrinėja funkciją, atsižvelgdamas į jos apibrėžimo sritį ar uždavinio sąlygą atitinkančias argumento reikšmes). 5. Sprendžia nesudėtingus įvairaus turinio uždavinius, kuriuose derina kelių sričių gebėjimus. 6. Apibūdina ryšius tarp nagrinėjamų objektų. 7. Įvairiais būdais pateikia uždavinių įrodymo idėjas. 8. Uždavinių sprendimas išsamus, racionalus, nuoseklus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

12.2. Modulio A-3 Problemų sprendimas, taikant funkcijų savybes mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Sieti įvairius funkcijų reiškimo būdus, taikyti funkcijos savybes.

1. Stačiojo trikampio statinių ilgiai lygūs 3 cm ir x cm. a) Užrašykite formulę to trikampio plotui y apskaičiuoti;

1. Stačiakampio gretasienio pagrindo plotas lygus S cm2, aukštinė h cm, o tūris 20 cm3. Išreikškite plotą S aukštine h.

1. Išsiaiškinkite, kuriuo atveju dviejų kintamųjų priklausomybė yra funkcija. Laikykite, kad iš paminėtų kintamųjų antrasis yra nepriklausomas kintamasis.

Kalba netaisyta

75

b) apskaičiuokite trikampio plotą, kai statinis x lygus 4 cm; 2,6 cm; c) apskaičiuokite statinio x ilgį, jei trikampio plotas y lygus 24 cm2; 13,5 cm2. 2.

Remdamiesi funkcijos y = f(x) grafiku, raskite: a) funkcijos reikšmes f(−1) ir f(1); b) apytiksles nepriklausomo kintamojo x reikšmes, su kuriomis f(x) = 0; c) funkcijos apibrėžimo sritį; d) funkcijos reikšmių sritį; e) funkcijos reikšmių didėjimo intervalą; f) funkcijos reikšmių mažėjimo intervalus; g) funkcijos didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [−1,5; 1,5]. 3. Nubraižykite funkcijos f(x) = 5x – 2 grafiką. Remdamiesi grafiku, nustatykite: a) funkcijos reikšmę, atitinkančią argumento reikšmę –1; 1; b) apytikslę argumento reikšmę, atitinkančią funkcijos reikšmę 3; −4; c) grafiko ir OX ašies susikirtimo taško koordinates; d) grafiko ir OY ašies susikirtimo taško koordinates; e) ar taškas (0; −2) priklauso grafikui. 4. Apskaičiuokite funkcijos y = x² − 9 grafiko susikirtimo su Ox ašimi taškų

2. Kuri iš kreivių A, B, C yra funkcijos grafikas?

3. Duota funkcija y = 4x², kur x yra sveikasis skaičius ir −5 < x < 3. Sudarykite kintamųjų x ir y atitinkamų reikšmių lentelę, parašykite šios funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis ir nubraižykite grafiką. 4. Apskaičiuokite funkcijos f(x) = 3x − 4 grafiko taškų A(√7; y) , B( x ;− √2) ,C(10; f (10))

nežinomas koordinates.

a) Stačiakampio plotas S (m2) ir ilgis a (m), jei plotis lygus 5 m. b) Žmogaus kūno masė M (kg) ir jo amžius (metais). c) Kubo briaunos ilgis a (cm) ir tūris V (cm3). d) Dažymui sunaudojamų dažų masė M (kg) ir nudažomas plotas S (m2), jei 1 m2 nudažyti reikia 0,15 kg dažų. 2. Funkcijos g(x) = 2,5x + b grafikas eina per tašką A(−4; 1). Ar šis grafikas eina per tašką B(6,3; 8,17)? 3. Nubraižykite pirmame koordinatiniame ketvirtyje keletą stačiakampių, kurių plotas lygus 12 cm², taip, kad kiekvieno stačiakampio viena kraštinė būtų Ox ašyje, o kita − Oy ašyje. Kokią kreivę sudaro visų galimų tokių stačiakampių viršūnės, nepriklausančios koordinačių ašims? Nubraižykite šią kreivę. Kokios funkcijos grafikas yra ši kreivė?

Kalba netaisyta

76

koordinates.

2. Atlikti grafiko y = x2 transformacijas: tempimą ašimi Oy (y = ax2), postūmius ašimis Ox ir Oy (y = x2 + n ir y = (x – m)2), simetriją ašies Ox atžvilgiu (y = –x2); sieti grafiko transformacijas su formulės y = x pasikeitimais.

1. Kuri iš paveikslėlyje pavaizduotų tiesių A, B, Cyra kiekvienos iš funkcijų y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x − 2 grafikas?

1. Kuri iš paveikslėlyje pavaizduotų parabolių A, B, C, D yra kiekvienos iš funkcijų y = x², y = −x², y = −x² +1, y = −x² − 1 grafikas?

1. Ar galima stumdant sutapdinti parabolės y = 3x² − 40 grafiką su parabolės y = 3x² + 40 grafiku? 2. Kvadratinės funkcijos y = x² grafikas buvo pastumtas 2 vienetais į dešinę ašimi Ox, po to atvaizduotas simetriškai ašies Ox atžvilgiu ir vėl pastumtas 3 vienetais žemyn ašimi Oy. Kokios funkcijos grafikas gautas atlikus šias transformacijas?

3. Remtis tiesioginio ar atvirkščiojo proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos modeliais bei savybėmis aiškinantis įvairaus turinio nesudėtingų uždavinių sprendimus.

1. Kuris iš taškų A(‒3; 1), B(2; ‒2), C(‒2,5; 1,6) priklauso funkcijos g(x) = −4:x grafikui? 2. Pagal pateiktą formulę nurodykite funkcijos pavadinimą ir kokia figūra yra tos funkcijos grafikas: a) f(x) = −2x; b) g(x) = 3x² − 5; c) g(x) = 3x + 5. 3. OX ašyje pažymėta vieno gaminio kaina (Lt), OP ašyje pažymėtas įmonės savaitės pelnas (Lt). Remdamiesi eskizu, nustatykite: a) kokia turi būti vieno gaminio kaina, kad įmonė gautų savaitinį pelną; b) kokia turi būti vieno gaminio kaina, kad įmonės savaitinis pelnas didėtų; c) kokiai vieno gaminio kainai esant,

1. Funkcijos x

ay = grafikas eina per

tašką (−1,5; 4). Raskite a reikšmę ir parašykite funkcijos formulę. 2. Tiesinės funkcijos ( ) bxxf += 4

reikšmė lygi 6,5, kai x = 2. Raskite b reikšmę. 3. Raskite funkcijos f(x) = x² apibrėžimo sritį, jei šios funkcijos reikšmių sritis užrašoma nelygybėmis 0 ≤ f(x) ≤ 36. 4. Vertikaliai aukštyn mesto kūno aukščio h (m) ir nuo metimo pradžios praėjusio laiko x (s) priklausomybė išreiškiama formule h(x) = 30x ‒ 5x². a) Pagal uždavinio sąlygą nustatykite

1. Parašykite koordinates taško, per kurį eina visų trijų duotų tiesinių funkcijų grafikai: y = 3x + 5; y = −3x + 5; y = 5x + 5. 2. Kodėl atvirkščiojo proporcingumo grafike nėra taško, kurio abscisė lygi 0? 3. Kokias reikšmes įgyja reiškinys x², jei: a) 0,5 ≤ x ≤ 1,5; b) ‒3 ≤ x ≤ ‒1; c) ‒3 ≤ x ≤ 1. 4. Kvadratinės funkcijos f(x) = ax² + bx grafikas eina per tašką (3; −9), o jo simetrijos ašis yra tiesė x = 1. Raskite koeficientų a ir b reikšmes. 5. Raskite realųjį skaičių, iš kurio atėmus jo paties kvadratą, skirtumas būtų didžiausias.

Kalba netaisyta

77

savaitinis pelnas mažėja;

d) koks didžiausias įmonės savaitinis pelnas.

funkcijos apibrėžimo sritį. b) Apskaičiuokite funkcijos grafiko susikirtimo su OX ašimi x reikšmes. c) Apskaičiuokite parabolės viršūnės koordinates. d) Nubraižykite scheminį grafiką, atsižvelgdami į parabolės šakų kryptį, viršūnės koordinates ir susikirtimo su Ox ašimi taškų abscises. e) Nustatykite, po kiek sekundžių kūnas bus pakilęs aukščiausiai. f) Nustatykite kūno didžiausią aukštį nuo žemės.

4. Nesudėtingose situacijose, sprendžiant uždavinius taikyti matematines žinias.

1. Raskite kvadratinės funkcijos y = x² + 2x ‒ 4 grafiko viršūnės koordinates ir susikirtimo su Oy ašimi taško koordinates.

1. Paaiškinkite, kodėl funkcijos y = a x² grafikas eina per tašką (1; a).

1. Taškas A(m; n) priklauso kvadratinės funkcijos f(x) = 16 x² grafikui. Įrodykite, kad taškas B(4m; n) priklauso kvadratinės funkcijos g(x) = x² grafikui.

5. Tinkamai vartoti terminus bei žymenis sąvokoms, ryšiams tarp jų nusakyti, situacijoms modeliuoti.

1. Nustatykite didėja ar mažėja savo apibrėžimo srityje tiesinė funkcija: a) y = 16x ‒ 50; b) y = ‒26x + 70; c) y = 16 ‒ 50x.

1. Nustatykite koeficiento a ženklą, jei žinoma, kad funkcijos y = a x² reikšmių sritis yra neneigiamųjų skaičių aibė.

1. Tiesė y = kx+b ir parabolė y = x² kertasi taškuose (0,5; −0,25) ir (−3; −9). a) Parodykite, kad minėtos tiesės lygtis yra y = 2,5x+1,5. b) Parašykite kvadratinę lygtį, kurios sprendiniai yra lygūs tų susikirtimo taškų abscisėms.

6. Pritaikyti taisyklę, formulę konkrečiu ir (ar) bendruoju atveju.

1. Plieninis trosas, kurio skersinio pjūvio skersmuo lygus d mm, išlaiko krovinį, kurio masė M = 0,01d². Apskaičiuokite sunkiausio išlaikomo krovinio masę, jei troso skersinio pjūvio skersmuo lygus 30 mm? 2,5 cm?

1. Funkcijos f(x) = −2x² + bx grafiko viršūnės abscisė lygi 2. Raskite: a) b reikšmę; b) argumento reikšmes, su kuriomis funkcijos reikšmė lygi 0; c) viršūnės ordinatę.

1. Nustatykite koeficiento a ženklą, jei

žinoma, kad funkcijos x

ay = reikšmės yra

neigiami skaičiai, kai argumento reikšmės yra teigiami skaičiai. 2. Kvadratinės funkcijos y = a x² + bx + c grafikas kerta abscisių ašį taškuose (5; 0) ir (−3; 0). Raskite šio grafiko simetrijos ašies susikirtimo su abscisių ašimi taško koordinates.

Kalba netaisyta

78

7. Sieti matematikos žinias su gyvenimu, įžvelgti jų pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.

1. Paveikslėlyje pavaizduota priklausomybė tarp atstumų, kuriuos nuėjo trys berniukai, ir tiems atstumams įveikti sugaišto laiko. Kurio berniuko greitis buvo didžiausias?

2. Kvadrato ABCD kraštinės ilgis lygus 5. Pažymėkime CE = DF = x.

1) Trikampių BCE ir EDF plotus išreikškite kintamuoju x. 2) Parodykite, kad keturkampio ABEF plotas skaičiuojamas pagal formulę S(x) = 0,5x² − 5x + 25. 3) Remdamiesi funkcijos S(x) = 0,5x² − 5x + 25 grafiko eskizu, raskite x reikšmę, su kuria keturkampio ABEF plotas yra mažiausias. 4) Apskaičiuokite mažiausią keturkampio ABEF plotą.

1. Milimetriniame popieriuje nubraižykite funkcijos f(x) = x² grafiką. Remdamiesi juo, raskite: a) skaičių 1,2; 1,5; 2,1; 2,6 kvadratų reikšmes 0,1 tikslumu;

b) √0,7,√1,3,√2 ,√2,5 0,1 tikslumu. 2. Parabolės formos pastato stogo elemento ABCB1A1 laikančiąją konstrukciją sudaro atramos AB, BC, CB1, B1A1, BE, CD, B1E1. Kiek metrų metalinio strypo iš viso reikia šioms atramoms pagaminti, jeigu AA1 = 80 m, CD = 10 m, AE = ED = DE1 = E1A1? Atsakymą parašykite 0,1 m tikslumu.

13. Modulis T-1 Geometrija kasdieniniame gyvenime

13.1. Modulio T-1 Geometrija kasdieniniame gyvenime mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




Kalba netaisyta

79

1. Remdamiesi pavyzdžiu, apskaičiuoja atkarpos ilgį. 2. Moka spręsti paprasčiausius praktinio turinio uždavinius, kuriuose duomenys pateikti vienodais matavimo vienetais. 3. Susipažinę su kitose ES valstybėse ir pasaulio šalyse naudojamais matais ir taiko juos paprasčiausiuose skaičiavimuose. 4. Paprasčiausiais atvejais moka apskaičiuoti perimetrą, plotą, tūrį figūros, kuri yra žinomų figūrų junginys. 5. Pagal pavyzdį nusibrėžia nurodytų matmenų kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės išklotines. 6. Supranta, kad mastelis yra rodomo plane ir tikrojo dydžio santykis.

1. Paaiškina, kaip rasti atkarpos ilgį, kai žinomos atkarpos galų taškų koordinatės. 2. Moka spręsti paprastus praktinio turinio uždavinius, kuriuose duomenys pateikti skirtingais matavimo vienetais. 3. Susipažinę su kitose ES valstybėse ir pasaulio šalyse naudojamais matais ir taiko juos paprastuose skaičiavimuose. 4. Paprastais atvejais skaičiuoja perimetrą, plotą, tūrį figūros, kuri yra žinomų figūrų junginys. 5. Skaičiuoja pasigaminto paprasto modelio paviršiaus plotą, tūrį. 6. Nusibrėžia taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio išklotines. 7. Mastelį naudoja paprasčiausių kasdieniškų problemų sprendimui.

1. Paaiškina, kaip susijusios atkarpos vidurio taško koordinatės su atkarpos galų taškų koordinatėmis, moka apskaičiuoti atkarpos ilgį, atkarpos vidurio taško koordinates. 2. Susipažinę su kitose ES valstybėse ir pasaulio šalyse naudojamais matais ir taiko juos nesudėtinguose skaičiavimuose. 3. Nesudėtingais atvejais skaičiuoja perimetrą, plotą, tūrį figūros, kuri yra žinomų figūrų junginys. 4. Skaičiuoja nesudėtingo pasigaminto modelio paviršiaus plotą, tūrį. 5. Sprendžia tekstinius geometrijos uždavinius, susijusius su artima aplinka. 6. Mastelį sieja su panašumo koeficientu. 7. Mastelį naudoja paprastų kasdieniškų problemų sprendimui.


1. Teisingai supranta pagrindines geometrines sąvokas, procedūras. 2. Teisingai supranta paprasčiausių praktinių geometrinių uždavinių sąlygas. 3. Mokytojo padedamas susieja praktinę situaciją su matematiniu modeliu. 4. Perteikia trumpus, be paaiškinimų, nesusijusius praktinio uždavinio sprendimo fragmentus.

1. Teisingai supranta svarbiausias geometrijos sąvokas, procedūras ir paprastų praktinio turinio uždavinių sąlygas. 2. Daugeliu atvejų sugeba savais žodžiais interpretuoti ir aiškinti sąvokas, praktinio geometrijos uždavinio sprendimus ar daromas logines išvadas. 3. Teisingai ir aiškiai perteikia pagrindines mintis bei pateikia uždavinio sprendimą, tačiau komunikuojant trūksta tikslumo, nuoseklumo, glaustumo, nepagrindžiami esminiai momentai.

1. Teisingai supranta įvairiais būdais pateiktas praktinio geometrijos uždavinio sąlygas, sprendžia įvairaus konteksto uždavinius. 2. Nuosekliai, tiksliai, aiškiai, glaustai, taisyklingai perteikia pagrindines mintis apie praktinės užduoties kontekstą. 3. Tiksliai ir tikslingai geometrijos praktiniam uždaviniui pritaiko matematinį modelį, vartoja tinkamus geometrijos terminus ir simbolius. 4. Nuosekliai, aiškiai, glaustai pateikia praktinio geometrijos uždavinio sprendimą.


1. Mokydamasis noriai bendrauja su kitais, bet nepasitiki savo jėgomis. 2. Daugeliu atvejų atlieka tik tai, kas pavesta. Menkas praktinis žinių pasitikrinimas.

1. Supranta matematikos mokymosi svarbą, jaučia atsakomybę už mokymosi rezultatus, stengiasi, aktyviai dalyvauja mokymosi procese. 2. Teigiamai vertina savo ir kitų daromą pažangą, vertina įgyjamas praktines matematikos žinias ir gebėjimus.

1. Domisi matematika, aktyviai dalyvauja mokymosi procese, pasitiki savo jėgomis, siūlo originalių praktinių idėjų ir jų įgyvendinimo būdų atliekant praktines geometrijos užduotis. 2. Noriai padeda kitiems mokytis, vertina įgyjamas praktines matematikos žinias ir gebėjimus.

Kalba netaisyta

80


1. Sprendžia paprasčiausius kasdieniame gyvenime pasitaikančius geometrinio konteksto uždavinius, kai uždavinio sąlyga pateikta neįprastu būdu, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga. 2. Paprastais atvejais pagal uždavinio sąlygos kontekstą nubraižo /papildo brėžinį. 3. Nesudėtingais atvejais nežinomą kelių figūros dalių plotą apskaičiuoja kaip žinomos figūros ploto dalį/plotą. 4. Paprasčiausiais atvejais išrašo ir perrenka kelis variantus, randa uždavinio sąlygą tenkinantį atvejį.

1. Sprendžia paprastus neįprasto konteksto geometrijos praktinius uždavinius, kurių sąlygoje pateikiama papildoma informacija, kuriuose norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina patikrinti atsižvelgiant į pradinės sąlygos kontekstą. 2. Paprastais atvejais abstraktų geometrinį teiginį pritaiko praktinio geometrijos uždavinio atveju. 3. Nesudėtingais atvejais praktinio geometrijos uždavinio sprendimą (atskirą jo etapą) iliustruoja brėžiniu. 4. Nesudėtingais atvejais randa būdą figūrų junginio plotui, perimetrui, tūriui apskaičiuoti, kai figūros junginyje nepersidengia. 5. Paprastais atvejais sugalvoja, kaip perrenkant variantus rasti praktinio geometrijos uždavinio sąlygą tenkinantį variantą.

1. Sprendžia nesudėtingus neįprasto konteksto geometrijos praktinius uždavinius, kurių sąlygoje pateikiama perteklinė informacija, ir norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina įvertinti pradinės praktinio geometrijos uždavinio sąlygos kontekste. 2. Nesudėtingais atvejais abstraktų geometrijos teiginį pritaiko praktinio geometrijos uždavinio konkrečiam atvejui. 3. Aprašytoje praktinėje geometrijos turinio situacijoje parenka matematinį modelį figūrų junginio perimetrui, plotui, tūriui apskaičiuoti, kai papildomai reikia rasti tam tikrus reikalingus matmenis, pasinaudoti masteliu. 4. Nesudėtingais atvejais sugalvoja, kaip perrenkant variantus rasti praktinio geometrijos uždavinio sąlygą tenkinantį variantą.

13.2. Modulio T-1 Geometrija kasdieniniame gyvenime mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Rasti atkarpos ilgį, atkarpos vidurio taško koordinates, kai žinomos atkarpos galų koordinatės.

1. Išmatuokite atkarpos ilgį. Užrašykite jo didumą milimetrais, centimetrais, metrais, vienetinėmis atkarpomis.

2. Remdamiesi brėžiniu, užrašykite taškų A ir B koordinates. Pagal formulę

( ) ( )22ABAB yyxxAB −+−=

1. Pažymėkite koordinačių plokštumoje tašką N, simetrišką taškui M (−3; −4) koordinačių pradžios atžvilgiu. Apskaičiuokite atstumą tarp taškų MN. 2. Apskaičiuokite trikampio ABC perimetrą, kai duotos jo viršūnių taškų koordinatės A(1; 7), B(7; 15), C(−2; 3).

1. Koordinačių plokštumoje pažymėkite taškus A(2; 3) ir B(4; 6). Apskaičiuokite taško, kurio atžvilgiu simetriški šie du taškai, koordinates. 2. Parodykite, kad trikampis KLM statusis, ir apskaičiuokite jo plotą, kai M(5; 0), N(0; 5), K(3; 6).

Kalba netaisyta

81

apskaičiuokite atstumą tarp taškų A ir B.

2. Nesudėtingais atvejais be matavimo įrankių įvertinti artimiausios aplinkos objektų ar daiktų parametrus (ilgį, plotą, tūrį, kampo didumą). Naudojantis skriestuvu, liniuote ir kampainiu nubrėžti trikampio pusiaukampinę, pusiaukraštinę ir aukštinę.

1. Kaip turint tik virvutę nustatyti keturkampio rūšį, jei tas keturkampis: rombas? Stačiakampis? Kvadratas? Lygiagretainis? 2. Naudodamiesi kampainiu ir liniuote nubrėžkite: smailiojo trikampio aukštines ir pusiaukraštines.

1. Stačiakampio gretasienio formos dėžutės matmenys 1 dm × 0,6 dm × 0,5 dm. Ar tilps šioje dėžutėje 1,2 dm ilgio lazdelė? 2. Naudodamiesi liniuote ir kampainiu nubrėžkite bukojo trikampio pusiaukraštines ir aukštines.

3. Paskui 1,8 m ūgio žmogų nutįsta 3 m ilgio jo šešėlis. Kokio dydžio kampą (1º tikslumu) saulės spinduliai sudaro su Žemės paviršiumi? 4. Naudodamiesi skriestuvu ir liniuote nubrėžkite trikampio (stačiojo, smailiojo, bukojo) pusiaukampines, pusiaukraštines, aukštines.

3. Spręsti paprastus uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus.

1. Apskaičiuokite buto grindų plotą, kai yra žinoma, kad kambario plotas 20 m2, virtuvės – 9 m2, likęs buto plotas 12,5m2. Žinodami, kad 1 m2 šildymo kaina yra 5 Lt 25 ct, apskaičiuokite, kiek kainuos šio buto šildymas mėnesiui.

1. Dažytojas dažo dviejų kambarių buto grindis. Vieno kambario grindų plotas 18,2 m2, kito – 2250 cm2. Kokį plotą turi nudažyti dažytojas? Jei 1m2 nudažyti reikia 150g dažų, tai kiek kilogramų dažų reikės, norint nudažyti abiejų kambarių grindis? Kiek kainuos dažai, jei 1 kg kaina 18 Lt?

1. Dažytojas dažo dviejų kambarių buto grindis. Vieno kambario grindų plotas 18,2 m2, kito – 2250 dm2. Ar užteks 8 kg dažų grindims nudažyti, jei 1 m² dažymui sunaudojama 200 g dažų? Kaip pigiausia pirkti dažus, jei jie parduodami dėžutėse po 1 kg už 18 Lt, dėžutėse po 2 kg už 34 Lt ir po 3 kg už 46,5 Lt? Atsakymą pagrįskite.

4. Apskaičiuoti (tiksliai arba nurodytu tikslumu) trikampio, keturkampio, skritulio perimetrą; kvadrato, stačiakampio, lygiagretainio, rombo, trapecijos, trikampio, skritulio plotą; kubo, stačiakampio gretasienio, ritinio, kūgio, taisyklingosios piramidės, stačiosios prizmės tūrį ir paviršiaus plotą, rutulio tūrį. Taikyti daugiakampio kampų sumą paprastiems uždaviniams spręsti.

1. Sujungus du lygius kvadratus, gaunamas stačiakampis. Koks stačiakampio perimetras, jei kiekvieno kvadrato plotas 1 cm²? 2. Stačiakampio gretasienio formos patalynės dėžės tūris 216 dm³, o pagrindo plotas 36 dm². Apskaičiuokite šios dėžės aukštį.

1. Stačiojo trikampio vienas kampas 30º, o mažesnysis statinis – 6 cm. Išvestos trys trikampio vidurinės linijos sudaro trikampį. Apskaičiuokite gauto trikampio perimetrą. 2. Bokšto stogas yra kūgio, kurio aukštis 5 m, o skersmuo 8 m, formos. Kiek kainuos dažai bokšto stogui perdažyti, jei 1 m² reikia 300 g dažų, o dažyti reikia du kartus? 1 kg dažų kainuoja 32 Lt (π ≈ 3,14).

1. Trikampiai ABC ir MNK panašūs. Jų atitinkamųjų kraštinių santykis 8 : 5. Trikampio ABC plotas 25 cm² didesnis už trikampio MNK plotą. Apskaičiuokite trikampių plotus. 2. Apskaičiuokite medinės tuščiavidurės ritės masę (m = ρV), jei medžio tankis 700 kg/m³. Atsakymą užrašykite 0,1 kg tikslumu (π ≈ 3,14).

Kalba netaisyta

82

5. Taikyti mastelį, santykį paprastiems ilgio, ploto ir tūrio radimo uždaviniams spręsti. Pasirinkti tinkamą mastelį, kad būtų galima nubraižyti paprastą planą.

1. Žemėlapio mastelis 1 : 500000. Atstumas šiame žemėlapyje tarp Kėdainių ir Utenos 21 cm. Koks realus atstumas tarp Kėdainių ir Utenos? 2. Išmatuokite savo kambario ilgį ir plotį. Pasirinkę tinkamą mastelį, nubraižykite savo kambario planą.

1. Nemuno ilgis 937 km, o Lietuvoje tekančios šios upės dalies ilgis 475 km. Koks ilgis Nemuno, tekančio Lietuvoje, yra žemėlapyje, kurio mastelis 1 : 3000000? Atsakymą parašykite centimetro tikslumu. 2. Pagal paveikslo duomenis apskaičiuokite sklypo plotą hektarais, kai mastelis 1 : 10000.

1. Atstumas nuo sodybos iki artimiausio kultūros centro yra 2 km 300 m, o žemėlapyje 2,3 cm. Nustatykite žemėlapio mastelį. 2. Vėliavos pločio ir ilgio santykis 3 : 5. Vėliavos kraštams apsiūti turime 5,4 m juostelės. Kokių matmenų vėliavą galėtume apsiūti, jei panaudosime visą juostelę. Atsakymą pateikite 1 cm tikslumu. Kiek kvadratinių metrų medžiagos reikėtų tokiai vėliavai pasiūti? 3. Marso skersmuo apytiksliai dvigubai mažesnis už Žemės skersmenį. Kiek kartų jo tūris mažesnis už Žemės tūrį?

6. Sprendžiant paprasčiausius standartinius praktinio turinio uždavinius, taikyti matematikos žinias.

1. Pagaminęs stovą gėlėms, meistras apvertė stovą ir tarp stovo kojų galų ištempė virvutes taip, kaip parodyta paveiksle.

1. Saulė nusprendė iš kartono pasigaminti kubo formos dėžutę smulkiems daiktams sudėti. Dėžutės aukštis 12 cm. Ar užteks šios dėžutės gaminimui nusipirkti 50 cm × 25 cm dydžio kartono lapo ? Atsakymą pagrįskite.

1. Plieninio vamzdžio ilgis 4,2 m. Vidinis vamzdžio skersmuo 56 cm, o išorinis – 58cm. Ar gali mašina, kurios keliamoji galia 3 tonos, iš karto atvežti 5 tokius vamzdžius? Plieno tankis 7,8 g/cm³.

Kalba netaisyta

83

Kokią išvadą padarys meistras, jei virvutės liesis? Jei virvutės nesilies?

7. Perskaityti arba išklausyti ir suprasti paprastą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. Tinkamai vartoti terminus bei žymenis sąvokoms ir ryšiams tarp jų nustatyti.

1. Pažvelkite į šią figūrą ir pasakykite, kelių mažiausiai kraštinių ilgį reikia žinoti, kad apskaičiuotume tikslų perimetrą ir plotą? Atsakymą paaiškinkite.

1. Skardinė yra ritinio formos. Jos pagrindo skersmuo lygus 6 cm. Kokio aukščio turi būti skardinė, kad joje tilptų 0,5 l gėrimo?

1. Ūkininkas turi žemės, kurią nori po lygiai padalyti keturiems savo vaikams – kiekvienam po sklypą. Padalyti sklypai turi būti vienodo dydžio ir formos. Nubraižykite šių sklypų ribas.

8. Klasifikuoti matematinius objektus pagal pasiūlytą arba pasirinktą požymį.

1. Sugalvokite penkis buities daiktus, kurių forma panaši į ritinį, kūgį, kubą, stačiakampį gretasienį, rutulį.

1. Pavaizduokite du skirtingus briaunainius ir du skirtingus sukinius.

1. Suklasifikuokite pavaizduotas figūras pagal kraštines:

9. Išnagrinėti ir įvertinti anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių kontekste.

1. Ar kvadrato perimetras ir jo kraštinė yra tiesiogiai proporcingi dydžiai?

1. Stačiakampio plotas 60 cm². Koks nuspalvinto trikampio plotas?

1. Dirbtuvėse yra dvi stačiakampės ir viena kvadratinė medžio plaušo plokštės. Jų plotai vienodi, kai kurie matmenys parodyti paveiksle. Kiek kvadratinių plokštelių, kurių kraštinė 12 cm, galima išpjauti iš kiekvienos medžio plaušo plokštės? Kiek procentų faneros bus sunaudojama kiekvienu atveju?

Kalba netaisyta

84

10. Vertinti įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgti jų pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.

1. Iš vielos reikia pagaminti kubo formos karkasą, kurio briaunos ilgis 8 cm. Kiek centimetrų vielos mums prireiks?

1. Namų valdos žemės sklypo plotas 6 arai. Taką, vedantį į namą, šeimininkai nusprendė iškloti trinkelėmis, o likusią dalį užsėti veja. Kiek kilogramų sėklų reikės nusipirkti vejai, jei žinoma, kad 1 m² reikia apie 30 g sėklų?

1. Ieva iš druskų kasyklos parsivežė suvenyrinę taisyklingąja keturkampę piramidę, kurios pagrindo kraštinės ilgis 6 cm, o šoninės briaunos ilgis 8 cm. Ar tilps šis suvenyras į stačiakampio gretasienio formos dėžutę, kurios matmenys 7 cm × 6,2 cm × 6,5 cm?

14. Modulis T-2 Planuojame, renkame duomenis, kombinuojame, tikimės...

14.1. Modulio T-2 Planuojame, renkame duomenis, kombinuojame, tikimės...mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino, kaip dydį padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi. Paprasčiausiais atvejais apskaičiuoja dydžio, padidinto (sumažinto) tam tikru

1. Paaiškina, kaip dydį padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi. 2. Supranta ir paaiškina sąvokas: paprastosios

1. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja palūkanų normą, kai žinomos paprastosios arba sudėtinės palūkanos. 2. Nesudėtingais atvejais moka padalyti pelną pagal

Kalba netaisyta

85

procentų skaičiumi reikšmę 2. Žino sąvokas paprastosios ir sudėtinės palūkanos, palūkanų norma, paprastieji ir sudėtiniai procentai. Paprasčiausiais atvejais apskaičiuoja: paprastąsias palūkanas; sudėtines palūkanas; paprastuosius procentus, sudėtinius procentus. Pagal pavyzdį apskaičiuoja pabrangimo (atpigimo) procentinę dalį. 3. Žino sąvokas: požymis ir jo reikšmės, dažnis, procentinis dažnis. Moka surinkti duomenis pagal vieną požymį ir paprasčiausiai juos sutvarkyti negrupuotų duomenų dažnių lentele. 4. Paprastais atvejais moka surinktus duomenis pavaizduoti tinkamo tipo diagrama. 5. Žino sąvokas imties vidurkis, mediana, moda. Moka nurodyti medianą, modą, apskaičiuoti imties vidurkį. 6. Pateikia rinkinių pavyzdžių. Spręsdami paprastus praktinius uždavinius sudaro rinkinių aibę. Moka apskaičiuoti rinkinių variantų skaičių, kai į elementų tvarką rinkinyje neatsižvelgiama. Paprasčiausiais atvejais taiko sudėties ir daugybos taisyklę skaičiuodami rinkinių skaičių. 7. Moka kartoti paprasčiausią bandymą daug kartų, apskaičiuoja santykinius baigčių dažnius. 8. Žino būtinojo įvykio, negalimojo įvykio, įvykiui priešingo įvykio sąvokas. 9. Paprasčiausiais atvejais apskaičiuoja bandymų tikimybes.

palūkanos, sudėtinės palūkanos, palūkanų norma, paprastieji procentai, sudėtiniai procentai. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja paprastuosius ir sudėtinius procentus. Supranta, kaip reikia apskaičiuoti, kiek padidėjo indėlis per nurodytą laiką, kai žinoma palūkanų norma. Supranta ir moka apskaičiuoti pabrangimo (atpigimo) procentinę dalį. Žino, kaip skaičiuojamas pelnas. Supranta, kaip apskaičiuoti kokią sumą reikės grąžinti paėmus paskolą. 3. Paprastais atvejais užrašo surinktus duomenis grupuotųjų duomenų dažnių lentele. 4. Supranta sąvokas: kokybiniai ir kiekybiniai duomenys, imties didumas. 5. Nesudėtingais atvejais pavaizduoja duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (MS Excel). Sieja dažnių lentelėje ir diagramoje pateiktus duomenis. Pasirenka tinkamo ilgio padalas, dažnių ašį. 6. Supranta koreliacijos sąvoką, remdamiesi duomenų išsidėstymu koordinačių plokštumoje. 7. Pateikia pavyzdžių rinkinių, kuriuose į elementų tvarką atsižvelgiama ir moka apskaičiuoti jų skaičių. Paprastais atvejais taiko daugybos taisyklę skaičiuodami rinkinių skaičių. 8. Supranta ir paaiškina būtinojo įvykio, negalimojo įvykio, įvykiui priešingo įvykio, palankaus įvykio sąvokas. 9. Paaiškina klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą. Spręsdami praktinio turinio uždavinius paprastais atvejais apskaičiuoja įvykių tikimybes, remdamiesi klasikiniu arba statistiniu įvykio tikimybės apibrėžimu.

įnašus. 3. Moka naudotis sąvokomis: „požymis ir jo reikšmės“, „kokybiniai ir kiekybiniai duomenys“, „dažnis“ („procentinis dažnis“), „dažnių ašis“, „padala“, „imtis“, „imties didumas“. 4. Supranta koreliacijos sąvoką, remdamiesi duomenų išsidėstymu koordinačių plokštumoje. 5. Supranta, kaip rinkiniai koduojami ir moka tai atlikti. 6. Sugalvoja ir pateikia klasikinio ir neklasikinio bandymo pavyzdžių praktinėse situacijose. 7. Argumentuodami paaiškina įvykio tikimybės savybę.


1. Perskaito ir teisingai supranta paprasčiausių uždavinių, susijusių su procentais, sąlygas. Perteikia kai kuriuos, labai trumpus, be paaiškinimų, nesusietus procentų uždavinio sprendimo fragmentus, matematinę informaciją dažniausiai perteikia nerišliai ir padrikai.

1. Teisingai supranta ir daugeliu atveju sugeba savais žodžiais interpretuoti ir aiškinti paprastųjų ir sudėtinių palūkanų sąvokas. Teisingai supranta paprastų užduočių, susijusių su šeimos biudžetu, sąlygas ir daugeliu atveju sugeba savais žodžiais interpretuoti ir

Teisingai supranta įvairiais būdais pateiktas praktinių uždavinių , susijusių su paprastosiomis ir sudėtinėmis palūkanomis, sąlygas, sprendžia įvairaus konteksto praktinius procentų uždavinius. 1. Nuosekliai, aiškiai, glaustai, sklandžiai ir

Kalba netaisyta

86

2. Paprasčiausiais atvejais komentuoja statistinę informaciją, kai ji pateikta stulpeline ar linijine diagrama. 3. Teisingai supranta paprasčiausių praktinių uždavinių apie rinkinių sudarymą sąlygas. Perteikia kai kuriuos rinkinių sudarymo uždavinio sprendimo fragmentus be paaiškinimų. 4. Teisingai supranta paprasčiausių uždavinių apie atsitiktinius įvykius sąlygas. 5. Komentuodami atliktą bandymą tinkamai vartoja būtino, negalimo, priešingo įvykio sąvokas. 6. Savais žodžiais nenuosekliai paaiškina tikimybės apskaičiavimo uždavinio sprendimą.

aiškinti sprendimus ar daromas logines išvadas. 2. Teisingai ir aiškiai perteikia pagrindines mintis apie paprastąsias ir sudėtines palūkanas kasdieniame gyvenime bei pateikia uždavinio sprendimą, tačiau trūksta nuoseklumo ir išsamumo, nepagrindžiami esminiai momentai. 3. Tinkamai vartoja paskolos, pirkimo išsimokėtinai, taupymo, kaupimo terminus; procentų simbolį. 4. Teisingai supranta ir sugeba savais žodžiais interpretuoti ir paaiškinti statistikos sąvokas: kokybiniai ir kiekybiniai duomenys, dažnių ašis, padala, imtis, imties didumas. 5. Teisingai supranta paprastų praktinių su statistika susijusių uždavinių sąlygas.Teisingai ir aiškiai pateikia statistinio uždavinio sprendimą. 6. Tinkamai vartoja terminus: vidurkis, mediana, moda. 7. Teisingai supranta ir paaiškina sąvokas: elementų rinkinys, galimybių medis, galimybių lentelė. 8. Teisingai supranta paprastų praktinių uždavinių apie rinkinius sąlygas. Teisingai ir aiškiai pateikia rinkinių sudarymo uždavinio sprendimą, tačiau pristatant kitiems pritrūksta rišlumo, kartojasi nutrūksta mintys. 9. Teisingai supranta sąvokas: bandymas, bandymo baigtis, bandymo baigčių aibė, santykinis baigčių dažnis, įvykis (galimas, būtinas, priešingas), savais žodžiais jas paaiškina ir interpretuoja. 10. Teisingai supranta paprastų praktinių uždavinių apie įvykius ir jų tikimybę sąlygas. 11. Tinkamai vartoja terminus: baigtis, įvykis, įvykio tikimybė; simbolinį užrašą P(A). 12. Teisingai ir aiškiai perteikia pagrindines mintis, pateikia praktinio įvykio tikimybės uždavinio sprendimą.

taisyklingai perteikia pagrindines su procentų sąvoka susijusias mintis, pateikia uždavinio sprendimą arba jo idėją taip, kad kiti galėtų tai suprasti ir įvertinti. 2. Tiksliai ir tikslingai vartoja su sudėtinėmis palūkanomis susijusius terminus; procentų simbolį 3. Teisingai supranta statistinę informaciją pateiktą dažnių lentelėmis, diagramomis, žodžiais. Nuosekliai, tiksliai, aiškiai komentuoja įvairiais būdais pateiktą statistinę informaciją. 4. Paaiškina koreliacijos idėją remdamiesi duomenų išdėstymu koordinačių plokštumoje. 5. Teisingai supranta įvairaus konteksto uždavinių apie rinkinius sąlygas. Glaustai, sklandžiai paaiškina: kaip rinkiniai koduojami; kaip taikoma daugybos taisyklė sudėtingesniais atvejais, apskaičiuojant rinkinių variantų skaičių; kada galima taikyti sudėties taisyklę apskaičiuojant rinkinių variantų skaičių. Nuosekliai, tiksliai, aiškiai, glaustai, sklandžiai ir taisyklingai pateikia rinkinių sudarymo praktinių uždavinių sprendimą. 6. Teisingai supranta ir sprendžia įvairaus konteksto praktinius su įvykio tikimybę susijusius uždavinius. Tiksliai ir tikslingai vartoja tinkamus tikimybių teorijos terminus. Nuosekliai, tiksliai, aiškiai, glaustai pateikia praktinio tikimybių uždavinio sprendimą.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi nesistemingai. Priima draugų ir mokytojo pagalbą, bet

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotas užduotis.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis.

Kalba netaisyta

87

trūksta pasitikėjimo savimi ir gebėjimų dirbti savarankiškai.

2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia aukštesniojo pasiekimų lygio, siekia įgyti daugiau žinių ir įgūdžių aukštesniesiems gebėjimams susiformuoti. Prašo mokytojo papildomų užduočių, siekdami susiformuoti gilius taikymo gebėjimus. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų.

2. Padeda mokytis kitiems. 3. Pasiūlytuose šaltiniuose pasirenka papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. 4. Įsivertina gebėjimų lygį, nagrinėdami arba lygindami kitaip išspręstą tą pačią situaciją. 5. Užduotis atlieka kūrybingai.


1. Atpažinęs jau žinomą kontekstą sprendžia paprasčiausias palūkanų, pirkimų problemas, atlieka pagrindines standartines procedūras analogiškose situacijose. 2. Gauna tam tikrus rezultatus ar sprendimu bei samprotavimais paremtas išvadas, tačiau dėl sprendime pasitaikančių klaidų gauti rezultatai ar daromos išvados dažniausiai yra klaidingos, nedera su konkrečiais nagrinėtais atvejais, jos nepagrįstos loginiais samprotavimais. Gauto atsakymo ar išvados neargumentuoja ir neinterpretuoja pradinės konteksto sąlygos. 3. Atpažinęs jau žinomą kontekstą sprendžia paprasčiausias statistikos, ar tikimybių problemas, atlieka pagrindines standartines procedūras analogiškose situacijose. 4. Atsako į paprasčiausius, tiesioginius klausimus. 5. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema, diagrama yra/nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 6. Pagal uždavinio sąlygos reikalavimą sudaro diagramą / schemą. 7. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 8. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga.

1. Pasirenka tinkamas ir teisingas, tačiau ne visai racionalias su sudėtiniais ir paprastaisiais procentais susijusių problemų sprendimo strategijas, paaiškina uždavinio sprendimą, savo samprotavimus ir gautus rezultatus ar išvadas. Standartinėse situacijose spręsdamas su sudėtinais ir paprastaisiais procentais susijusią problemą suderina kelis algoritmus ir randa teisingą atsakymą, jį patikrina, tačiau ne visada gautą atsakymą ar išvadą interpretuoja pradinės sąlygos kontekste. Su sudėtiniais ir paprastaisiais procentais susijusi problema lyg ir išspręsta, tačiau nevisiškai susiejami sprendimo etapai, dėl to kartais sprendimas tarsi nutrūksta ir nepateikiamas galutinis atsakymas ar nepadaroma galutinė išvada. 2. Pasirenka tinkamas ir teisingas, tačiau ne visai racionalias statistikos ar tikimybių problemų sprendimo strategijas, paaiškina uždavinio sprendimą, savo samprotavimus ir gautus rezultatus ar išvadas. Standartinėse situacijose spręsdamas statistikos ar tikimybių problemą suderina kelis algoritmus ir randa teisingą atsakymą, jį patikrina, tačiau ne visada gautą atsakymą ar išvadą interpretuoja pradinės sąlygos kontekste. Statistikos ar tikimybių problema lyg ir išspręsta, tačiau nevisiškai susiejami sprendimo etapai, dėl to kartais sprendimas tarsi nutrūksta ir nepateikiamas galutinis atsakymas ar nepadaroma galutinė išvada. 3. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko

1. Daugeliu atvejų pasirenka veiksmingą ir racionalią su sudėtiniais ir paprastaisiais procentais susijusią problemos sprendimo strategiją. Tinkamai reflektuoja, daro galutines ir tikslias išvadas, paremtas teisingu su sudėtiniais ir paprastaisiais procentais susijusios problemos sprendimu ar loginiais samprotavimais. Randa teisingą atsakymą ar paaiškinimą, interpretuoja jį pradinės sąlygos kontekste. 2. Daugeliu atvejų pasirenka veiksmingą ir racionalią statistikos ar tikimybių problemos sprendimo strategiją. Tinkamai reflektuoja, daro galutines ir tikslias išvadas, paremtas teisingu statistikos ar tikimybių problemos sprendimu ar loginiais samprotavimais. Randa teisingą atsakymą ar paaiškinimą, interpretuoja jį pradinės sąlygos kontekste. 3. Nesudėtingais atvejais pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis žinomais apibrėžimais (pvz., įvykio tikimybės savybe ( ) 00 ≤≤ AP ). 4. Nustato ir apibūdina ryšius procentais. 5. Pritaiko matematinį modelį nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp elementų, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., pavaizduoja aprašytą praktinę situaciją geometrine figūra ir taiko jos savybes, spręsdami procentų uždavinį). 5. Sprendžia nesudėtingus probleminius uždavinius,

Kalba netaisyta

88

konkrečiu atveju (pvz., paprastųjų ir sudėtinių palūkanų sąryšius praktiniams uždaviniams). 4. Įžvelgia diagramos ir aprašytos situacijos ryšius. 5. Išanalizavę pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas / klaidingas. 6. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 7. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti. 8. Pasirenka tinkamą sprendimo būdą, bet ne visuomet išsprendžia be klaidų.

kuriuose taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., spręsdami procentų, rinkinių sudarymo, įvykio tikimybės uždavinius sudaro lygtis). Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

14.2. Modulio T-2 Planuojame, renkame duomenis, kombinuojame, tikimės... pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui

Gebėjimai Pasiekimų lygiai


1. Nesudėtingais atvejais taikyti sąvokas „skaičiaus dalis“, „procentas“.

1. Agurkų sultyse yra būtinų gyvybei elementų – 40 % kalio, 10 % natrio, 20 % fosforo. Kiek ml kiekvieno elemento yra 200 ml agurkų sulčių? 2. Parduotuvėje 1 kg apelsinų su 30 % nuolaida kainuoja 2 Lt 69 ct. Kiek kainavo kilogramas apelsinų iki nukainavimo? 3. Į banką padėta 10000 Lt. Kokia indėlio ir palūkanų suma bus banke po trejų metų, jei bankas kartą per metus priskaičiuoja 2 % sudėtinių palūkanų?

1. Baigiantis žiemos sezonui pūkinė striukė buvo nukainuota du kartus: pirmąjį kartą 20 %, o antrąjį dar 10 %. Kiek kainuoja striukė, jei žiemos pradžioje ji kainavo 1160 Lt? 2. Kokia banko metinių palūkanų norma, jei už 16000 Lt indėlį banke po metų gauta 800 Lt palūkanų? 3. Vilius už pasiskolintą 1500 Lt sumą su 7,5 metinėmis palūkanomis, po dvejų metų grąžino 1725 Lt. Kokias palūkanas, paprastąsias ar sudėtines, skaičiavo skolintojas?

1. Baltijos jūros druskingumas Belto sąsiauriuose siekia 1,7 %. Kiek kilogramų gėlo vandens reikia įpilti į 10 kg jūros vandens, kad druska gautame tirpale sudarytų 0,3 %? 2. Mokant iš karto, kompiuteris kainuoja 4000 Lt. Perkant išsimokėtinai, reikia sumokėti 20 % pradinį įnašą ir 36 mėnesius mokėti 89 Lt įnašus. Kokia metinė palūkanų norma perkant išsimokėtinai? 3. Po kelerių metų liks 2700 Lt suma, kasmet išleidžiant po ketvirtadalį likusios sumos, jei iš pradžių turėta 4800 Lt?

2. Įvairiuose informacijos 1. Parduotuvėje 3 rūšių duona supakuota po 1. Parduotuvėje 3 rūšių duona supakuota 1. Parduotuvėje 3 rūšių duona supakuota: po

Kalba netaisyta

89

šaltiniuose ieškoti informacijos, kuri padėtų rasti atsakymą į iškeltą klausimą. Rinkti duomenis pagal vieną požymį ir juos sutvarkyti.

0,5 kg. Jų kaina: 2,64 Lt, 2,78 Lt ir 4,12 Lt. Kuri duona pigiausia? 2. Tomo klasės draugų ūgis (m) yra toks: 1,62; 1,70; 1,77; 1,80; 1,88; 1,60; 1,72; 1,65; 1,68; 1,72; 1,75; 1,88; 1,69; 1,70; 1,85; 1,65; 1,76; 1,70; 1,67; 1,66; 1,78; 1,71; 1,74; 1,63; 1,64; 1,65; 177; 1,74; 1,67; 1,82; 1,85. Sudarykite surinktų duomenų dažnių lentelę.

po 0,5 kg. Jų kaina 2,64 Lt,

2

9 Lt ir 4

14 Lt. Kuri duona pigiausia?

2. Tomo klasės draugų ūgis (m) yra toks: 1,62; 1,70; 1,77; 1,80; 1,88; 1,60; 1,72; 1,65; 1,68; 1,72; 1,75; 1,88; 1,69; 1,70; 1,85; 1,65; 1,76; 1,70; 1,67; 1,66; 1,78; 1,71; 1,74; 1,63; 1,64; 1,65; 177; 1,74; 1,67; 1,82; 1,85. Sudarykite sugrupuotų surinktų duomenų dažnių lentelę.

0,5 kg ir kainuoja 2,64 Lt, po 450 g − 2,45 Lt ir 1 kg – 8,12 Lt. Kuri duona pigiausia? 2. Tomo klasės draugų ūgis (m) yra toks: 1,62; 1,70; 1,77; 1,80; 1,88; 1,60; 1,72; 1,65; 1,68; 1,72; 1,75; 1,88; 1,69; 1,70; 1,85; 1,65; 1,76; 1,70; 1,67; 1,66; 1,78; 1,71; 1,74; 1,63; 1,64; 1,65; 177; 1,74; 1,67; 1,82; 1,85. Sugrupuokite duomenis į keturis vienodo ilgio intervalus. Sudarykite sugrupuotų duomenų dažnių lentelę.

3. Skaityti informaciją, pateiktą įvairiomis diagramomis ar lentelėmis, paprasčiausiais atvejais pavaizduoti surinktus ir (ar) pateiktus duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“), programa ar (ir) be jos.

1. Monikos istorijos pažymiai tokie: 7; 8; 9; 8; 10; 7; 10; 8. Pavaizduokite duomenis stulpeline diagrama. 2. Pakomentuokite Lietuvos Statistikos departamento e-svetainėje pateiktą informaciją:

a) Kiek žmonių emigravo iš Lietuvos 2011 metais? b) Kiek žmonių emigravo iš Lietuvos 2007−2011 metais? c) Kiek žmonių atvyko gyventi į Lietuvą per 2007−2011 metus? d) Kelintais metais iš Lietuvos emigravo daugiausiai žmonių? e) Kelintais metais nurodytu laikotarpiu emigracija buvo mažiausia?

1. Monikos istorijos pažymiai tokie: 7; 8; 9; 8; 10; 7; 10; 8. Pavaizduokite duomenis skrituline diagrama. 2. Pakomentuokite Lietuvos Statistikos departamento e-svetainėje pateiktą informaciją apie vyrų ir moterų skaičiaus kitimą pagal žmonių amžių 2001 ir 2011 metais:

a) 1. Monikos istorijos pažymiai tokie: 7; 8; 9; 8; 10; 7; 10; 8. Naudodami skaičiuoklę pavaizduokite duomenis linijine ir skrituline diagrama. b) 2. Pakomentuokite statistikos departamento e-svetainėje pateiktą informaciją „Vaikai, kuriems išduotas leidimas nuolat gyventi Lietuvos Respublikoje arba Europos Bendrijų valstybės narės piliečio leidimas gyventi nuolat (Migracijos departamento prie Lietuvos Respublikos vidaus reikalų ministerijos duomenys)“

Ūgio intervalas [1,55; 1,65) [1,65; 1,75) [1,75; 1,85) [1,85; 1,95)

Mokinių skaičius

Kalba netaisyta

90

f) Kaip kito imigracija nurodytu laikotarpiu? g) Kaip kito emigracija 2007−2011 metais?

4. Skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar (ir) be jos rasti imties vidurkį, medianą, modą, siūlyti sprendimus, paremtus nustatytomis charakteristikomis. Koreliacijos idėją paaiškinti remiantis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje.

1. Mokykloje buvo tiriama, kiek minučių mokiniai užtrunka kelionėje iš namų į mokyklą. Gauti tokie duomenys: 22, 13, 19, 18, 10, 24, 14, 14, 18, 12, 12, 17, 21, 9, 26, 15, 11, 23, 18, 16, 21, 11, 10, 19, 15, 13, 18, 20, 20, 15. Apskaičiuokite šių duomenų vidurkį, modą medianą.

1. Nubrėžta diagrama vaizduoja, kiek elektros energijos sunaudoja soliariumas per savaitę. a) Sudarykite elektros energijos kiekio sunaudoto kiekvieną parą, lentelę.

b) Raskite imties vidurkį, medianą, modą.

1. a) Skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) raskite imties vidurkį, medianą, modą, kai duomenys pavaizduoti diagrama:

b) Koreliacijos idėją paaiškinkite remiantis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje. 2. Remdamiesi duomenų išsidėstymu koordinačių plokštumoje nustatykite, ar yra ryšys tarp dviejų požymių:

Kalba netaisyta

91

5. Sprendžiant paprastus uždavinius, sudaryti rinkinių aibę, kai rinkinio elementai imami iš skirtingų aibių arba iš vienos aibės. Apskaičiuoti rinkinių variantų skaičių, kai į elementų tvarką rinkinyje atsižvelgiama (neatsižvelgiama) ir (ar) kai reikia taikyti sudėties ir (ar) daugybos taisyklę.

1. Saulius pamiršo keturženklį mobiliojo telefono PIN kodą, bet žino, kad jis sudarytas iš skirtingų skaitmenų – 2, 4, 6, 8. Kokius skaičių derinius reikėtų išbandyti, kad tikrai surinktų teisingą kodą? 2. Parduotuvėje yra keturių rūšių ledų: vanilinių, šokoladinių, bananinių, kriaušinių. Kiek yra galimybių pasirinkti dviejų skirtingų rūšių ledų?

1. Dešimtokai iš penkių kandidatų – Jono, Sigos, Tomo, Ritos, Viliaus – renka du kandidatus į mokinių parlamentą. Pavaizduokite rinkimų rezultatus lentele ir galimybių medžiu. 2. Penkios draugės atėjo į teatrą. Keliais skirtingais būdais jos gali susėsti į penkias eile sustatytas teatro kėdes?

1. Krepšinio čempionato superfinale žaidžia A ir B krepšinio komandos. Superfinalą laimi ta komanda, kuri per finalines rungtynes pirmoji pasiekia tris pergales. Užrašykite visus galimus rungtynių baigčių rinkinius, kai superfinalą laimi komanda B, jei per jį buvo sužaistos ketverios rungtynės. Nubraižykite galimybių medį, vaizduojantį finalo rungtynių serijos visus galimus baigčių rinkinius. 2. Devintokams mokykloje pasiūlytas 8 pasirenkamų dalykų sąrašas, iš kurių jie gali pasirinkti mokytis du arba tris dalykus. Kiek pasirinkimo galimybių turi kiekvienas šios mokyklos devintokas?

6. Taikyti statistinį ir klasikinį tikimybės apibrėžimus, tikimybės savybę paprastiems praktinio turinio uždaviniams spręsti.

1. Loterijos būgne yra 6 bilietai, kurių laimėjimai dideli, 124 – maži ir 12 tuščių bilietų. Kokia tikimybė ištraukti vieną bilietą, kurio laimėjimas didelis? 2. Meskite monetą 50 kartų ir suskaičiuokite kiek kartų išmesta moneta atvirto skaičiumi, o kiek herbu. Apskaičiuokite kiekvienos baigties santykinį dažnį.

1. Apklausus 50 mokyklos dešimtokų, kaip jie vertina savo matematikos dalyko žinias pagal 10 balų sistemą, gauti tokie rezultatai:

Apskaičiuokite santykinį dažnį, kad atsitiktinai išrinktas dešimtokas savo matematikos žinias vertina ne mažiau

1. Penki geriausi mokyklos krepšininkai dalyvavo baudų mėtymo varžybose. Kiekvienas krepšininkas į krepšį mėtė po 30 kartų, ir jų pataikytų metimų santykiniai

dažniai buvo tokie: Vido − 3

2, Jono −

5

2,

Sauliaus − 15

8, Luko −

5

4, Tomo −

6

5.

Kuris iš krepšininkų laimėjo turnyrą? 2. Mokykloje vyksiančiam renginiui ieškoma vedėjų. Organizatoriai nusprendė vedėją išrinkti atsitiktiniu būdu. Į atranką atvyko 5 merginos ir trys vaikinai. Kuris įvykis labiau

Balai 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Moki-nių skaičius

3 2 5 7 8 9 8 4 6

Kalba netaisyta

92

negu 5 balais. 2. Lukas sužinojo, kad jo draugės Vitos gimtadienis yra kovo mėnesį. Kokia tikimybė atspėti Vitos gimimo dieną, jeigu žinoma, kad 2011 metais jos gimtadienis buvo savaitgalį?

tikėtinas, burtais renkant tik vieną renginio vedėją: A – „renginio vedėja išrinkta mergina“ ar B – „renginio vedėju išrinktas vaikinas“? Atsakymą pagrįskite.

7. Paprasčiausiose standartinėse situacijose sprendžiant uždavinius taikyti matematikos žinias.

1. Baltijos jūros vandens druskingumas (druskos masės dalis jūros vandenyje) mažesnis negu daugelio panašių jūrų ir labai svyruoja atskirose jos vietose. Remdamiesi lentelėje pateikta informacija, atsakykite kiek gramų druskos yra 1000 g jūros vandens, pasemto Belto sąsiauryje, ties Nida, Suomijos įlankoje?

1. Lentelėje pateikti vieno banko kai kurių valiutų keitimo (pirkimo / pardavimo) kursai:

Lietuvos banko nustatytas oficialus Didžiosios Britanijos svaro sterlingų ir lito santykis – 6,4752. Kiek procentų bankas ima keičiant (perkant ir parduodant) šią valiutą? Atsakymą suapvalinkite iki šimtųjų procento dalių.

1. Keturių asmenų šeima (mama, tėtis ir du vaikai) planuoja iš Klaipėdos (Lietuvoje) persikelti per jūrą keltu į Kyl į (Vokietijoje). Jie turės sumokėti už automobilio perkėlimą ir keturvietę kajutę su langu. Jei šeima pageidautų maitintis savitarnos restorane, turėtų mokėti papildomai. Visos kainos nurodytos lentelėse.

Šeima šiai kelionei planuoja išleisti ne daugiau kaip 1300 Lt. Ar užteks šių pinigų šeimai ne tik persikelti, bet ir užsisakyti savitarnos restorane maitinimą, jei pietus, vakarienę, pusryčius kiekvienas šeimos narys valgytų po vieną kartą?

8. Perskaityti arba išklausyti ir suprasti paprastą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą, sprendimą, taisyklę. Tinkamai vartoti terminus bei žymenis

1. Slėgis p (barais), kurį patiria naras, priklauso nuo jo panirimo gylio h (metrais) ir yra apskaičiuojamas pagal formulę

( ) 110

+=h

hp . Kokį slėgį patiria naras 10

1. Slėgis p (barais), kurį patiria naras, priklauso nuo jo panirimo gylio h (metrais) ir yra apskaičiuojamas pagal

formulę ( ) 110

+=h

hp . Kokiame gylyje

1. Lietuvoje temperatūrai matuoti naudojama Celsijaus skalė. Kai kuriose šalyse naudojamasi Farenheito skale. Taisyklė, pagal kurią temperatūrą x, duotą Celsijaus laipsniais, galima perskaičiuoti į temperatūrą

Kalba netaisyta

93

sąvokoms, ryšiams tarp jų nusakyti, situacijoms modeliuoti. Pateikti uždavinių sprendimus ir kitą informaciją taip, kad kiti galėtų ją suprasti ir įvertinti.

metrų gylyje? slėgis lygus 4 barams? y Farenheito laipsniais, yra tokia: temperatūrą, išreikštą Celsijaus laipsniais, reikia padvigubinti, po to gautąjį skaičių sumažinti 10% ir prie gautojo rezultato pridėti 32. Vilniuje temperatūra yra 20 laipsnių Celsijaus. Kiek tai bus Farenheito laipsniais?

9. Iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių padaryti išvadas, jas pagrįsti remiantis logine argumentacija. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę ar teoremą (teiginį) konkrečiu ir (ar) bendruoju atveju.

1. Dešimtokai svarstė keturis išvykos pasiūlymus. Kiekvienas mokinys nurodė jam labiausiai patinkantį variantą. Apklausos rezultatai pateikti stulpeline diagrama.

Kokią išvyką pasirinko dešimtokai? Kiek procentų mokinių pasisakė už kelionę su nakvyne Žibučių poilsiavietėje?

1. Renata ir Eglė žaidžia žaidimą, kurio taisyklės pateiktos lentelėje.

Pateiktos diagramos vaizduoja Renatos ir Eglės žaidimo rezultatus (dažnis rodo, kiek kartų iškrito atitinkamas akučių skaičius).

a) Kiek kartų kauliuką metė Eglė ir kiek kartų Renata? b) Kas laimėjo šį žaidimą – Eglė ar

1. Norėdami palyginti kelionės traukiniu kainą su kelionės išsinuomotu autobusu kaina, dešimtokai naudojosi tokia informacija:

Kiek pinigų grupė sutaupytų, jei vyktų pigesniąja transporto priemone?

Kalba netaisyta

94

Renata?

10. Kryptingai siekti tikslo, kai yra kliūčių. Išnagrinėti anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių ir gebėjimų kontekste.

1. Mieste yra du bankai, jie moka skirtingas palūkanas. Išsiaiškinkite, kuriame banke yra naudingiau laikyti tokią pačią sumą.

1. Mieste yra trys bankai, jie moka skirtingas palūkanas. Išsiaiškinkite, kuriame banke yra naudingiau laikyti tokią pačią sumą.

1. Mieste yra keturi bankai, jie moka skirtingas palūkanas. Išsiaiškinkite, kuriame banke yra naudingiau laikyti tokią pačią sumą.

11. Įvairiuose informacijos šaltiniuose rasti reikiamos informacijos, ją apibendrinti, klasifikuoti.

1. Naudodamiesi termometro matavimais sudarykite savaitės oro temperatūros stulpelinę diagramą.

1. Naudodamiesi interneto duomenimis sudarykite savaitės oro temperatūros stulpelinę diagramą.

1. Naudodamiesi termometro matavimais ir interneto duomenimis, sudarykite savaitės oro temperatūros stulpelines diagramas. Jas palyginkite.

15. Modulis T-3 Funkcijų savybių taikymas nagrinėjant realias situacijas

15.1. Modulio T-3 Funkcijų savybių taikymas nagrinėjant realias situacijas mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Paprastais atvejais susieja realių dydžių tiesinę ir kvadratinę priklausomybę nusakančią lentelę, formulę ir grafiką. 2. Naudodami pasigamintą šabloną atlieka grafiko y = x² transformacijas: y = x² + n, y = –x². 3. Paprastais atvejais iš grafiko, formulės arba lentelės nustato, ar du dydžiai susiję tiesine (kvadratine) priklausomybe, ir paaiškina savo atsakymą.

1. Pateikia su tiesine funkcija susijusių realių dydžių pavyzdžių. 2. Naudodami šabloną atlieka grafiko y = x² transformaciją =(� �) .

1. Pateikia su kvadratine funkcija susijusių realių dydžių pavyzdžių. 2. Žodžiais, lentele, grafiku tarp dviejų realių dydžių išreikštą ryšį (tiesinį, kvadratinį) užrašo formule ir paaiškina, kokia funkcija aprašo šį ryšį. 3. Supranta, kaip kinta funkcijos y = x² grafikas atliekant transformaciją y = ax², ir moka pavaizduoti pakitusį grafiką.

1. Pateikia su tiesine funkcija susijusių realių dydžių pavyzdžių. 2. Naudodami šabloną atlieka grafiko y = x² transformaciją y =(x − m)².

1. Pateikia su kvadratine funkcija susijusių realių dydžių pavyzdžių. 2. Žodžiais, lentele, grafiku tarp dviejų realių dydžių išreikštą ryšį (tiesinį, kvadratinį) užrašo formule ir paaiškina, kokia funkcija aprašo šį ryšį. 3. Supranta, kaip kinta funkcijos y = x² grafikas atliekant transformaciją y = ax², ir moka pavaizduoti pakitusį grafiką.


1. Iš realių dviejų dydžių priklausomybės, išreikštos tiesinės (kvadratinės) funkcijos grafiku, išrenka

1. Iš dviejų realiųjų dydžių kvadratinę priklausomybę vaizduojančio grafiko išrenka informaciją, kai

1. Iš realiųjų dydžių kvadratinę priklausomybę vaizduojančių grafikų išrenka informaciją, kai

Kalba netaisyta

95

tiesioginę informaciją. atsakymas nusakomas reikšmių intervalu. 2. Teisingai ir tikslingai vartoja su funkcijos sąvoka susijusius terminus bei simbolius. 3. Nesudėtingais atvejais skaito tiesinės ir kvadratinės funkcijos grafiku vaizduojamą realaus turinio informaciją. 4. Moka nubrėžti funkcijos grafiką, kai funkcija išreikšta formule.

atsakymas nusakomas keliomis reikšmėmis ar reikšmių intervalais. 2. Naudodamasis IKT nubraižo funkcijos grafiką. 3. Pavaizduoja grafiku aprašytą neįprasto konteksto situaciją.


1. Įvardija, ką moka padaryti gerai. 2. Mokytojui padedant, taiso nurodytas klaidas. 3. Sieja žinias apie tiesinę funkciją su gyvenimiškomis situacijomis.

1. Moka užduoti klausimus, kad patikslintų ar įsitikintų, jog gerai suprato ir atliko užduotis taikydamas funkcijų savybes. 2. Naudojasi rašytiniais ir virtualios aplinkos informacijos šaltiniais, ieškodamas su tiesine ir kvadratine funkcijomis susijusios informacijos.

1. Pasako ir pateikia tiesinės ir kvadratinės funkcijos savybių pritaikymo kasdieniame gyvenime ir per kitus mokomuosius dalykus pavyzdžių. 2. Moka apibendrinti, klasifikuoti ir kritiškai vertinti įvairiuose informacijos šaltiniuose savarankiškai surastą informaciją apie tiesinę ir kvadratinę funkcijas. 3. Įžvelgia įgytų apie funkcijas žinių pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.


1. Paprasčiausiais atvejais supranta, kaip pasinaudoti tiesinės ir kvadratinės funkcijos savybėmis aiškinant paprastų, realias situacijas aprašančių, uždavinių sprendimą. 2. Paprastais atvejais skaito tiesinės ir kvadratinės funkcijos grafiku vaizduojamą realaus turinio informaciją.

1. Paprastais atvejais supranta, kaip pasinaudoti tiesinės ir kvadratinės funkcijos savybėmis aiškinant paprastų realias situacijas aprašančių uždavinių sprendimą.

1. Neįprasto konteksto atvejais skaito tiesinės ir kvadratinės funkcijos grafiku vaizduojamą informaciją. 2. Neįprasto konteksto situacijose supranta kaip pasinaudoti tiesinės ir kvadratinės funkcijos savybėmis aiškinant nesudėtingų, realias situacijas aprašančių, uždavinių sprendimą. 3. Taiko funkcijų teoriją kitų dalykų pamokose.

15.2. Modulio T-3 Funkcijų savybių taikymas nagrinėjant realias situacijas mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Sieti įvairius funkcijų reiškimo būdus, nagrinėti funkcijų savybes.

1. Funkcija išreikšta formule f(x) = −x + 2.

a) Apskaičiuokite f(2), f(−3), f( 5 ); b) su kuriomis kintamojo x reikšmėmis

1. Tiesinė funkcija išreikšta formule f(x) = x + 3. a) Išreikškite ją lentele ir grafiku;

1. Funkcija išreikšta formule f(x) = −2x + 1. a) Apskaičiuokite x reikšmes, su kuriomis funkcijos reikšmės lygios nuliui;

Kalba netaisyta

96

funkcijos reikšmės lygios −2; 3; 0,5; c) kurie taškai M(0; 2), N(3; 1); K(− 0,5; 2,5) priklauso funkcijos grafikui? 2. Jungtinėse Amerikos Valstijose ledo tirpimo ir vandens virimo temperatūra matuojama pagal Farenheito skalę, o Lietuvoje – pagal Celsijaus. Jeigu y žymi Farenheito laipsnių skaičių, o x – Celsijaus, tai laipsnių perskaičiavimo formulė yra tokia y = 1,8x + 32. Nubrėžkite ir užpildykite lentelę, po to pavaizduokite priklausomybę grafiku, kai x∈ [−5; 10]. 3. Ar parabolę y = − 2x² kerta tiesė: a) y = 4x; b) y = −1?

b) nurodykite koeficientų k ir b reikšmes; c) nurodykite taškų, kuriuose grafikas kerta x ir y ašis, koordinates; d) su kuriomis kintamojo x reikšmėmis funkcija įgyja teigiamas reikšmes; e) su kuriomis kintamojo x reikšmėmis funkcija įgyja neigiamas reikšmes? 2. Pradinė vandens temperatūra yra 7°C. Kaitinant temperatūra kiekvieną minutę pakyla 2°C. Užrašykite temperatūros T (°C) priklausomybę nuo kaitinimo laiko t (min.). a) Ar funkcija T(t) tiesinė? b) Apskaičiuokite T(20); T(32). c) Po kurio laiko vanduo užvirs? d) Nubrėžkite grafiką. 3. Parašykite kubo paviršiaus ploto radimo formulę, kai kubo kraštinės ilgis lygus x. Kokią funkciją gavote?

b) nubrėžkite šios funkcijos grafiką; c) parašykite, kaip keičiasi funkcijos reikšmės priklausomai nuo argumento x reikšmių; d) raskite tokias argumento x reikšmes, su kuriomis funkcijos reikšmės yra mažesnės už 4. 2. Per geografijos pamoką Saulius sužinojo, kad oro temperatūra kinta priklausomai nuo aukščio virš jūros lygio. Panagrinėję lentelės duomenis, užrašykite formulę, apibūdinančią oro temperatūros kitimą:

Au

kštis

, km

-1 0 1 2 3 4 5

Tem

per

a

tūra

, °C

21,5 17 12,5 8 3,5 −0,5 −5

Ar ši priklausomybė yra tiesinė? 3.Vienas trapecijos pagrindas ilgesnis už kitą 4 mm. Trapecijos aukštinės ilgis yra lygus trumpesniojo pagrindo ilgiui. a) Trapecijos pagrindą pažymėję a, patikrinkite, ar trapecijos plotas apskaičiuojamas pagal formulę S(a) = a² + 2a; b) nubraižykite funkcijos S(a) = a² + 2a grafiką; c) kokie galėtų būti trapecijos pagrindų ilgiai?

2. Atlikti grafiko y = x2 transformacijas: tempimą ašimi Oy (y = ax2), postūmius ašimis Ox ir Oy (y = x2 + n ir y = (x – m)2), simetriją ašies Ox atžvilgiu (y = –x2).

1. Pasigaminkite grafiko y = x² šabloną. Naudodami šabloną, koordinačių plokštumoje nubrėžkite grafikus: y = x², y = x² + 3, y = x² − 2, y = −x². Paaiškinkite, kaip kinta grafiko vieta koordinačių plokštumoje. 2. Užrašykite formule funkcijas, kurių grafikus gautume, y = x² grafiką pastūmę: a) per 2 vienetus aukštyn; b) per 5 vienetus žemyn.

1. Naudodami grafiko y = x² šabloną,

nubrėžkite grafikus ( )23−= xy ,

( )21+= xy . Užrašykite šių funkcijų savybes. 2. Užrašykite formule funkcijas, kurių grafikus gautume y = x² grafiką pastūmę: a) per 2 vienetus į dešinę; b) per 5 vienetus į kairę.

1. Vienoje koordinačių plokštumoje nubrėžkite funkcijų y = x², y = 3x², y = 0,5x², y = −0,25 x² grafikus. Paaiškinkite, kaip kinta funkcijos grafiko vaizdas. 2. Aprašykite, kaip iš funkcijos y = x² grafiko galėtume gauti grafiką šių funkcijų:

a) � =a) ( ) 32 2 −+= xy ; b)

( ) 12 2 +−= xy ;

Kalba netaisyta

97

c) 42 2 −= xy .

3. Remtis tiesinės, kvadratinės funkcijos modeliais bei savybėmis aiškinantis paprastų įvairaus turinio uždavinių sprendimą.

1. Gaisrinės mašinos švirkščiamo vandens srovė yra parabolės, atitinkančios funkcijos f(x) = 3x – 0,2x² grafiką, formos. Raskite didžiausią vandens pakilimo aukštį ir didžiausią nuotolį, kurį pasiekia vanduo. 2. Slėgis p, kurį patiria naras, priklauso nuo nardymo gylio h. Šią priklausomybę galima užrašyti formule p = k · h + 1 (k – pastovus dydis). Kai h = 0 m, tai slėgis 1 atmosfera. Slėgis 100 metrų gylyje yra apie 10,82 atmosferų. a) Nustatykite k dydį. b) Koks slėgis 50 m gylyje? c) Pasidomėkite, koks saugus nardymo be specialios aprangos gylis.

1. Nubrėžti grafikai vaizduoja stabdymo kelio (metrais) priklausomybę nuo kelio važiavimo greičio (km/h), kai kelio danga sausa ir kai šlapia.

a) Koks yra 90 km/h važiuojančio automobilio stabdymo kelias, kai kelio danga yra sausa ir kai šlapia? b) Kokiu greičiu važiuojant stabdymo kelias šlapia danga yra 50 m ilgesnis negu stabdymo kelias sausa danga? c) Stabdymo kelio priklausomybė reiškiama kvadratine funkcija, kurios grafiko viršūnė yra taške (0; 0). Užrašykite šios priklausomybės formules abiem atvejais. 2. Simas pradėjo taupyti pinigus snieglentei pirkti. Savo taupyklėje jis jau turi 150 litų. Simas nusprendė kiekvieną mėnesį įdėti į taupyklę po 100 Lt. Užrašykite Simo taupymo planą formule. Nubrėžkite grafiką. Ar ši priklausomybė yra tiesinė?

1. Krisdamas iš viršaus žemyn, kamuolys pasiekė žemę (h = 0) ir atšoko. Po 0,7 sekundės jis vėl pakeitė kryptį − ėmė kristi žemyn, ir po 2,8 sekundės antrą kartą pasiekė žemę. Kamuolio pakilimo nuo žemės aukštį, jam atšokus nuo žemės, galima apskaičiuoti pagal formulę h = −4,9(t − *)(t − *), čia h – pakilimo aukštis metrais ir t – laikas sekundėmis, jei žinotume, kokie skaičiai yra vietoje žvaigždučių. a) Remdamiesi sąlygoje pateikta informacija raskite šiuos skaičius. b) Kodėl net nežinant skaičių, kurie turėtų būti vietoje žvaigždučių formulėje h = −4,9(t − *)(t − *), galima teigti, kad ši funkcija yra kvadratinė? c) Funkcijos h = −4,9(t − *)(t − *) grafikas yra parabolė. Ką šiame uždavinyje reiškia parabolės viršūnės koordinatės? 2. Medienos įmonės darbuotojai gali pasirinkti vieną iš trijų mokėjimo būdų, pagal kuriuos jiems apskaičiuojamas atlyginimas. Pateikiami grafikai vaizduoja šiuos būdus:

Kalba netaisyta

98

Kalba netaisyta

99

Andrius pasirinko mokėjimo būdą A, Benas pasirinko mokėjimo būdą B, Celestinas pasirinko mokėjimo būdą C. a) Sausio mėnesį Andrius, Benas ir Celestinas uždirbo 1400 Lt. Kiek stalų pagamino kiekvienas iš jų sausio mėnesį? b) Parašykite kiekvieno mokėjimo būdą atitinkančią formulę.

4. Standartinėse situacijose taikyti matematikos žinias.

1. Stačiakampės mašinų aikštelės ilgis 10 m, o plotis 8 m. Namo gyventojai gavo leidimą aikštelę padidinti. Užrašykite formule naujos aikštelės plotą, jei: a) mašinų aikštelė bus pailginta x m, o plotis nebus pakeistas; b) mašinų aikštelės ilgis ir plotis bus padidintas po x metrų. Kiekvienu atveju pavaizduokite naujos aikštelės ploto priklausomybę nuo x grafiškai. 2.

1. Kūnas laisvai krenta iš 490 m aukščio. Po t sekundžių jo aukštį nuo žemės metrais galima apskaičiuoti pagal formulę h(t) = −4,9t² + 490. a) Kokiame aukštyje bus kūnas po 5 sekundžių? b) Po kelių sekundžių kūnas nukris ant žemės? 2. Natūralųjį skaičių dalijant iš 7, gaunama liekana, lygi 2. Parašykite bet kurio natūraliojo skaičiaus, turinčio šią savybę, išraišką formule. Pavaizduokite ją grafiškai.

1. Figūra apribota parabole y = 4 – x² ir Ox ašimi. Į ją įbrėžtas stačiakampis, kurio dvi viršūnės priklauso parabolei, o kitos dvi – ašiai x. Apskaičiuokite tokius šio stačiakampio kraštinių ilgius, kad jo perimetras būtų didžiausias. 2. Nuo vienetinio kvadrato nukerpamos dvi pločio x juostelės. Užrašykite formulę, pagal kurią galima būtų apskaičiuoti likusio kvadrato plotą.

Kalba netaisyta

100

Brėžinyje pavaizduoti pėsčiojo (OP) ir dviratininko (OD) judėjimo pastoviu greičiu grafikai. Naudodamiesi grafikais nustatykite: a) Kiek laiko keliavo dviratininkas ir kiek – pėsčiasis? b) Koks yra kiekvieno keliautojo greitis? c) Kiek kartų dviratininko per dvi valandas nuvažiuotas kelias yra ilgesnis nei pėsčiojo kelias, nueitas per tą patį laiką?

5. Perskaityti arba išklausyti ir suprasti paprastą matematinį tekstą arba uždavinio sąlygą.

1. Kūno kinetinę energiją E galima apskaičiuoti apskaičiuoti pagal formulę Įveskitelygtįčia.apskaičiuoti pagal formulę

2

2mvE =

(m – kūno masė, v – kūno greitis ). Uodas sveria 0,1 g. Formule užrašykite skrendančio uodo kinetinės energijos priklausomybę nuo skridimo greičio. Raskite uodo kinetinę energiją, kai uodas skrenda 1 m/s greičiu.

1. Praktinė taisyklė, pagal kurią galima apskaičiuoti lengvosios mašinos stabdymo kelią metrais, važiuojant v kilometrų per valandą greičiu, yra tokia: greičio kvadratas dalijamas iš 200 ir prie gauto rezultato pridedamas penktadalis greičio. Užrašykite stabdymo kelio s priklausomybę nuo greičio v.

1. Mokyklos skautai išvyko į stovyklavietę. Pirmą valandą jie nuėjo 7 km, antrą – 3 km, paskui 1 valandą ilsėjosi ir tada eidami 6 km/h pastoviu greičiu po 1,5 h pasiekė stovyklavietę. Po 3 h jie išvyko į namus. Per 2 h nuėję 10 km ir 0,5 h pailsėję per 1,5 h grįžo namo. a) Sudarykite skautų judėjimo grafiką. b) Iš grafiko nustatykite, kiek kilometrų nuo namų buvo nuėję skautai po 3,5 h. c) Sudarykite kiekvieną grafiko atkarpą atitinkančią formulę, pagal kurią būtų galima apskaičiuoti skautų atstumą nuo namų.

6. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę konkrečiu atveju.

1. 1. Trikampio aukštinė 3 cm ilgesnė už kraštinę, į kurią ji nubrėžta. Pažymėkite

1. Lygiakraščio trikampio kraštinė yra x. Formule užrašykite trikampio ploto

Kalba netaisyta

101

Užrašykite nubraižytos figūros ploto formulę. Kokia tai funkcija? 2. Ar parabolę y = –2x² kerta tiesė: a) y = 4x; b) y = –1?

šią kraštinę x ir užrašykite tokio trikampio ploto formulę. Kokia tai funkcija?

priklausomybę nuo kraštinės ilgio. Kokia tai funkcija?

II. 9 KLAS ĖS MODULIO A-2 „FINANSINIO RAŠTINGUMO ELEMENTAI. STA TISTIKA. TIKIMYBI Ų TEORIJOS

ELEMENTAI“ PROGRAMAI ĮGYVENDINTI REIKALINGA MEDŽIAGA

1. Planavimo pavyzdžiai

1 PAVYZDYS (parengtas remiantis Kauno Kovo 11–osios vidurinės mokyklos matematikos vyresniosios mokytojos Almos Sotkevičiūtės patirtimi)

I. BENDROJI INFORMACIJA :

Įvadas. Paskirtis.

Šio modulio programa skirta platesnių matematinių gebėjimų ugdymui, abstraktesnių tikrovės elementų nagrinėjimui, mokymui(si) giliau taikyti

matematiką skirtingose kasdienio gyvenimo srityse ir aprašyti savo veiklą įvairiais būdais. Tai matematiškesnės pakraipos modulis su labiau teoriniu pasiekto

matematinio tikrovės ir teorijos suvokimo lygio įtvirtinimu, gilinimu ir teorinių metodų panaudojimu.

Modulio trukm ė.

Šio modulio trukmė 18 valandų (6 savaitės po 3 val.): 16 valandų skiriama medžiagos įsisavinimui, 1 valanda – medžiagos apibendrinimui, 1 valanda −žinių ir

gebėjimų patikrinimui ir įvertinimui.

II. TIKSLAI:

Padėti mokiniams:

Kalba netaisyta

102

• įsisavinti esmines matematikos sąvokas ir sampratas, ugdytis gebėjimą formuluoti matematines prielaidas ir hipotezes, jas tikrinti, formuluoti

išvadas, argumentuoti sprendimus;

• įgytas žinias bei gebėjimus taikyti naujose mokymo(si) ir gyvenimo situacijose;

• ugdytis vertybines nuostatas.

III. UŽDAVINIAI :

Baigę šį modulį, mokiniai gebės:

• taikyti procentų skaičiavimą atliekant finansines operacijas;

• naudotis skaičiavimo algoritmais ir pavyzdžiais (aprašymu, vartotojo instrukcija, formule) sprendžiant praktines problemas;

• taikyti kombinatorikos taisykles nesudėtingiems uždaviniams spręsti;

• rasti reikiamus duomenis ir informaciją atitinkamose duomenų bazėse;

• informaciją iš duomenų bazės interpretuoti ir panaudoti nesudėtingoms užduotims atlikti;

• kritiškai vertinti informacijos pateikimą.

IV. NUOSTATOS:

Suprasti, kad norint priimti pagrįstus sprendimus asmeniniame ir visuomeniniame gyvenime reikia mokėti įvairių rūšių statistinę informaciją atrinkti, analizuoti

ir vertinti. Pastebėti, kad teisingas įvykių tikimybių suvokimas padeda argumentuotai priimti sprendimus kasdieniame gyvenime. Suprasti, kad geri procentų

skaičiavimo įgūdžiai leis pagrįstai pasirinkti mažiau rizikingas finansines operacijas.

V. ESMINIAI GEB ĖJIMAI:

Standartinėse ir nestandartinėse situacijose spręsdami uždavinius taiko matematikos žinias.

VI. MOKINI Ų PAŽANGOS IR PASIEKIM Ų VERTINIMAS:

Vertinant mokinių pasiekimus remtis „Pagrindinio ugdymo bendrosiose programose“ (Patvirtinta Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2008 m.

rugpjūčio 26 d. įsakymu Nr. ISAK-2433) aprašytais kriterijais ir „Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo sampratoje“ (Patvirtinta Lietuvos Respublikos

švietimo ir mokslo ministro 2004 m. vasario 25 d. įsakymu ISAK-256) pateiktais vertinimo principais ir nuostatomis.

Modulio vertinim ą sudaro:

• Formuojamasis vertinimas – nuolat.

Kalba netaisyta

103

• Diagnostinis vertinimas – diagnostinės užduotys išnagrinėjus kiekvieną modulio temą. Mokytojas neformaliai įvertina mokinio pasiekimus,

nurodydamas spragas, mokinys, konsultuojamas mokytojo, sudaro planą, kaip jas užpildys, ir jį įgyvendina.

• Kaupiamasis vertinimas – savarankiški darbai, apimantys atskiras modulio temas, namų darbai, jų kiekis ir kokybė vertinami taškais, sukaupti taškai

konvertuojami į pažymį.

• Apibendrinamasis vertinimas – kontrolinis darbas, vertinamas pažymiu, išnagrinėjus ir susisteminus visą modulio medžiagą.

• Galutinis modulio įvertinimas – kaupiamojo ir apibendrinamojo vertinimo įvertinimų aritmetinis vidurkis:

2amasisApibendrinsKaupiamasi +

.

Mokinių pasiekimų vertinimo kriterijai sudaromi trimis lygiais. Patenkinamas lygis vertinant pažymiu yra orientuotas į 4−5, pagrindinis – į 6−8, aukštesnysis –

į 9−10.

VII. MOKYMO IR MOKYMOSI PRIEMON ĖS:

1. Autorių kolektyvas. Matematika Tau +, 10 klasė, I dalis. − Vilnius, TEV, 2010.

2. Autorių kolektyvas. Matematika Tau +, 10 klasė. Uždavinynas. − Vilnius, TEV, 2010.

3. Autorių kolektyvas. Matematika 9, II dalis. − Vilnius, TEV, 2000.

4. Autorių kolektyvas. Matematika 10, I dalis. − Vilnius, TEV, 2001.

5. A. Jocaitė, V. Mockus. Pakartokime pagrindinės mokyklos kursą. – Šiauliai, 2005.

6. A. Jocaitė, V. Mockus. Pasirengimo pagrindinio ugdymo pasiekimų egzaminui medžiaga: pagrindinės mokyklos matematikos kurso teminio kartojimo

uždaviniai. – Šiauliai, 2009.

7. A. Jocaitė, V. Mockus. Pagrindinės mokyklos matematikos teminio kartojimo uždavinynas 8–10 klasei. – Šiauliai, 2001.

8. A. Jocaitė, V. Mockus. Matematikos kompleksinio kartojimo užduotys pagrindinės mokyklos 10 klasei. – Šiauliai, 2001.

9. V. Mockus. Rengiamės 2012–2015 metų pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimui (matematika). – Šiauliai, 2011.

10. Informacija internete, spaudoje.

VIII. MOKYMO IR MOKYMOSI TURINYS:

Turinio apimtis:

Kalba netaisyta

104

• Paprastosios ir sudėtinės palūkanos. Sudėtinių procentų formulė.

• Nesudėtingų problemų, susijusių su šeimos biudžetu, sprendimas (paskolos, pirkimas išsimokėtinai, taupymas, kaupimas ir pan.)

• Duomenys. Duomenų imtis. Imties plotis. Imties vidurkis. Sugrupuotųjų duomenų dažnių lentelė. Diagramos. Duomenų vaizdavimas diagramomis.

Koreliacija.

• Rinkiniai. Jų užrašymas. Elementų rinkiniai, kuriuose elementų tvarka svarbi, ir rinkiniai, kuriuose elementų tvarka nesvarbi. Rinkinių skaičiaus

apskaičiavimas.

• Bandymas ir jo baigtys. Būtinasis, negalimasis, įvykiui priešingas įvykis. Palankios įvykiui baigtys. Nepalankios įvykiui baigtys.

• Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Tikimybės savybė.

MOKYMO(SI) PLANAS:

Mėlyna spalva nurodoma žinios ir supratimas, kuriuos mokiniai turėjo įgyti 5–8 klasėse, bet juos reikia pakartoti ir įtvirtinti.

Gebėjimų bei žinių ir supratimo numeracija atitinka numeraciją matematikos modulių 9−10 kl. programose.

Mokymosi

etapas

Pam. sk.

Mokini ų pasiekimai Pamokų turinys

Vertinimas Patenkinamas lygis, įvertinant pažymiu, yra

orientuotas į 4−5, pagrindinis – į 6−8, aukštesnysis – į 9−10.

Pasta-

bos

Gebėjimai

Žinios ir supratimas Patenkinamas

lygis Pagrindinis

lygis Aukštesnysis

lygis

1. Paprastosios palūkanos.

2 1. Nesudėtingais atvejais taikyti sąvokas skaičiaus dalis, procentas.

1. Pateikti skaičiaus (dydžio) ir jo dalies pavyzdžių. Paaiškinti, kaip surasti skaičiaus (dydžio) dalį (jos procentinę išraišką), kai žinomas skaičius (dydis). Paaiškinti, kaip surasti skaičių (dydį), kai žinoma jo dalis (procentinė dalis). Skaičiuojant procentus mokėti naudotis skaičiuotuvu. 2. Paprastais atvejais

1 pamoka Spręsdami praktinio turinio uždavinius apskaičiuoja duoto dydžio procentus, padidina (sumažina) jį tam tikru procentų skaičiumi. 2 pamoka Apibrėžia sąvokas paprastosios palūkanos, palūkanų norma, grąžintina suma. Apskaičiuoja

Geba savais žodžiais paaiškinti procento, skaičiaus dalies, paprastųjų palūkanų, palūkanų normos, gražintinos sumos sąvokas. Sprendžia paprasčiausias

Supranta pagrindines sąvokas, taiko turimas procentų skaičiavimo žinias naujose nesudėtingose situacijose. Spręsdami problemą standartinėse situacijose, suderina kelis

Taiko įgytas žinias naujose situacijose ir neįprastame kontekste, sugalvoja uždavinių ir juos išsprendžia.

Kalba netaisyta

105

taikyti pagrindinę proporcijos savybę. 1.1. Paaiškinti, kaip skaičių (dydį) padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi. 1.2. Apibrėžti, kas yra paprastosios palūkanos, palūkanų norma, paprastieji procentai. Apskaičiuoti, kiek padidėjo (sumažėjo) dydis per nurodytą laiką, kai žinoma palūkanų norma.

palūkanas, jų normą, skolinimo laiką. Taiko paprastųjų palūkanų formulę spręsdami praktinio turinio uždavinius.

problemas, atlieka pagrindines procedūras.

algoritmus ir randa teisingą atsakymą.

2. Sudėtinės palūkanos.


1.2. Apibrėžti, kas yra sudėtinės palūkanos, palūkanų norma, sudėtiniai procentai. Paaiškinti, kaip reikėtų apskaičiuoti, kiek padidėjo dydis per nurodytą laiką, kai žinoma palūkanų norma. Apskaičiuoti, kiek padidėjo (sumažėjo) dydis per nurodytą laiką, kai žinoma palūkanų norma.

Išsiaiškina sudėtinių palūkanų, palūkanų normos sąvokas, apskaičiuoja palūkanas, jų normą, galutinę sumą, sužino ir taiko sudėtinių procentų formulę.

Savais žodžiais paaiškina sudėtinių palūkanų, sąvokas. Remdamiesi formulėmis paprasčiausiais atvejais apskaičiuoja palūkanas, grąžintiną sumą.

Apskaičiuoja palūkanų normą. Teisingai ir aiškiai pateikia uždavinio sprendimą, tinkamai vartoja terminus ir simbolius.

Paprastais atvejais apskaičiuoja skolinimosi laiką.

3. Sudėtinių palūkanų formulės taikymas.

2 1. Nesudėtingais atvejais taikyti sąvokas (skaičiaus dalis, procentas).

1.2. Žinoti sudėtinių procentų skaičiavimo formulę ir mokėti ją pritaikyti.

1–2 pamokos Taiko sudėtinių procentų formulę spręsdami praktinio turinio uždavinius. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. Siūlo, kokias išvadas galime padaryti ir kokių negalime padaryti iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių, paaiškina, kokios

Paprasčiausiais atvejais pritaiko sudėtinių procentų formulę (apskaičiuoja, kiek kainuos prekė ją kelis kartus pabranginus ar atpiginus po tiek pat

Pastebi, kad sudėtinių procentų formulę galima taikyti ir sprendžiant kitokius praktinio turinio uždavinius, juos išsprendžia. Remdamiesi

Pritaiko sudėtinių procentų formulę spręsdami uždavinius, kuriuose kai kurie dydžiai duoti ne konkrečiais skaičiais, bet raidėmis. Pasirenka

Kalba netaisyta

106

išvados laikomos pagrįstomis.

procentų). sprendimu bando daryti logiškas išvadas.

veiksmingą ir racionalią problemos sprendimo strategiją.

4. Nesudėtingų problemų, susijusių su šeimos biudžetu, sprendimas.


1.3. Nustatyti pabrangimo, atpigimo procentinę dalį. 1.4. Žinoti, kaip skaičiuojamas pelnas, ir mokėti paskirstyti pelną pagal įnašus. 1.5. Argumentuotai pasirinkti finansines paslaugas, planuojant savo biudžetą.

1 pamoka Sprendžia uždavinius, susijusius su pirkimu išsimokėtinai. 2 pamoka Sprendžia užduotis, susijusias su šeimos biudžetu, pelnu, paskolomis ir pan.

Geba savais žodžiais paaiškinti sąvokas pirkimas išsimokėtinai, pradinės ir mėnesinės įmokos, palūkanos, apskaičiuoja pirkinio galutinę kainą perkant išsimokėtinai. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, susijusius su pelnu, šeimos biudžetu.

Geba apskaičiuoti pirkimo išsimokėtinai palūkanų normą, atlikę keletą pagalbinių veiksmų įmokoms ar pradiniam įnašui apskaičiuoti, randa pirkinio galutinę kainą perkant išsimokėtinai. Sprendžia paprastus uždavinius, susijusius su finansinėmis paslaugomis.

Sprendžia uždavinius, susijusius su savo biudžeto planavimu. Taiko įgytas žinias naujose situacijose ir neįprastame kontekste. Daro galutines tikslias ir logiškas ar teisingu sprendimu pagrįstas išvadas. Pasirenka veiksmingą ir racionalią problemos sprendimo strategiją.

Sav. darbas.

5. Duomenys. Duomenų imtis. Imties plotis. Imties vidurkis.

1 2. Įvairiuose informacijos šaltiniuose ieškoti informacijos, kuri padėtų rasti atsakymą į iškeltą klausimą. Rinkti duomenis pagal vieną požymį ir juos sutvarkyti. 3. Skaityti informaciją, pateiktą įvairiomis diagramomis ar

2.1. Atrinkti iš pasiūlytų informacijos šaltinių duomenis, kurie galėtų padėti rasti atsakymą į iškeltą klausimą. Stebint arba matuojant surinkti nurodyto dydžio imtį pagal vieną požymį. 4.1. Paaiškinti, kaip iš duomenų eilutės, lentelės ar diagramos rasti imties vidurkį, medianą, modą,

Prisimena pagrindines sąvokas („požymis ir jo reikšmės“, „kokybiniai ir kiekybiniai duomenys“, „dažnis“, „imtis“, „imties didumas“). Renka duomenis ir informaciją iš įvairių informacijos šaltinių, skaito informaciją,

Geba apskaičiuoti imties plotį, vidurkį, nustatyti modą. Remdamiesi duomenimis, pateiktais dažnių lentele ar diagramomis, atsako į

Apskaičiuoja imties medianą. Renka duomenis ir informaciją iš įvairių informacijos šaltinių, sprendžia paprastus uždavinius,

Moka naudotis 3.1. punkte nurodytomis sąvokomis, analizuoja statistinius duomenis remdamiesi vidurkiu, mediana, moda. Daro galutines,

Kalba netaisyta

107

lentelėmis. 4. Skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar (ir) be jos rasti imties vidurkį, medianą, modą, siūlyti sprendimus, paremtus jų analize.

imties plotį. 4.2. Imties vidurkį mokėti apskaičiuoti ar (ir) rasti jį naudojantis skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar skaičiuotuvu. 3.1. Mokėti naudotis sąvokomis: „požymis ir jo reikšmės“, „kokybiniai ir kiekybiniai duomenys“, „dažnis“ („procentinis dažnis“), „dažnių ašis“, „padala“, „imtis“ , „imties didumas“. 4.2. Analizuoti statistinius duomenis remiantis vidurkiu, mediana, moda.

pateiktą įvairiomis diagramomis. Nurodo imčių plotį, vidurkį, modą, medianą.

pateiktus klausimus.

paremtus surinktų duomenų analize.

tikslias ir logiškas ar teisingu sprendimu pagrįstas išvadas.

6. Dažnių lentelė. Sugrupuotųjų duomenų dažnių lentelė.

1 2. Įvairiuose informacijos šaltiniuose ieškoti informacijos, kuri padėtų rasti atsakymą į iškeltą klausimą. Rinkti duomenis pagal vieną požymį ir juos sutvarkyti. 3. Skaityti informaciją, pateiktą įvairiomis diagramomis ar lentelėmis. 4. Skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar (ir) be jos rasti imties vidurkį, medianą, modą, siūlyti sprendimus, paremtus jų analize.

2.2. Paprastais atvejais surinktus duomenis užrašyti negrupuotų duomenų dažnių lentele. 3.1. Paaiškinti, kas pavaizduota įvairių tipų diagramomis (paprasta stulpeline, stačiakampe, skrituline, linijine). 2.1. Paprastais atvejais surinktus duomenis užrašyti sugrupuotųjų duomenų dažnių lentele. 4.2. Analizuoti statistinius duomenis remiantis vidurkiu, mediana, moda.

Surinktus duomenis pateikia dažnių lentele ir sugrupuotųjų dažnių lentele. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes, analizuoja duomenis.

Surinktus duomenis pateikia negrupuotų dažnių lentele. Remdamiesi duomenimis, pateiktais dažnių lentele ar diagramomis, atsako į pateiktus klausimus.

Paprastais atvejais surinktus duomenis užrašo sugrupuotųjų duomenų dažnių lentele, analizuoja duomenis.

Kelia hipotezes, surenka duomenis, sutvarko juos, daro logiškas sprendimu pagrįstas išvadas.

7. Diagramos. Duomenų vaizdavimas

2 2. Įvairiuose informacijos šaltiniuose ieškoti

3.1. Paaiškinti, kas pavaizduota įvairių tipų diagramomis (paprasta

Surinktus duomenis pavaizduoja tinkamo tipo diagrama,

Pateiktus duomenis pavaizduoja

Surinktus duomenis pavaizduoja

Nesudėtingais atvejais pavaizduoja

Kalba netaisyta

108

diagramomis. informacijos, kuri padėtų rasti atsakymą į iškeltą klausimą. Rinkti duomenis pagal vieną požymį ir juos sutvarkyti. 3. Skaityti informaciją, pateiktą įvairiomis diagramomis ar lentelėmis, paprasčiausiais atvejais pavaizduoti surinktus ir (ar) pateiktus duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) programa ar (ir) be jos.

stulpeline, stačiakampe, skrituline, linijine). 3.2. Paprasčiausiais atvejais pavaizduoti duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar (ir) be jos, sieti dažnių l lentelėje ir diagramoje pateiktus duomenis. 3.2. Nesudėtingais atvejais pavaizduoti duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar (ir) be jos, sieti dažnių lentelėje ir diagramoje pateiktus duomenis.

remdamiesi diagramomis atsako į pateiktus klausimus, patys formuluoja klausimus, kelia ir tikrina paprastas hipotezes, analizuoja duomenis, daro išvadas.

stulpeline, linijine diagramomis. Remdamiesi duomenimis, pateiktais dažnių lentele ar diagramomis (stulpeline, skrituline, linijine), atsako į pateiktus paprastus klausimus.

tinkamo tipo diagrama (bando nustatyti, kuri diagrama ir kada labiau tinka), remdamiesi diagramomis atsako į pateiktus klausimus.

duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar (ir) be jos, sieja dažnių lentelėje ir diagramoje pateiktus duomenis. Analizuoja duomenis, daro išvadas.

8. Koreliacija. 1 4. Koreliacijos idėją paaiškinti remiantis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje.

4.1. Koreliacijos idėją paaiškinti remiantis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje.

Pavaizduoja pateiktus duomenis koordinačių plokštumoje, remdamiesi tuo nustato, ar dydžiai yra koreliuoti. Patys kelia hipotezes, renka duomenis, pavaizduoja koordinačių plokštumoje ir nustato, ar dydžiai yra koreliuoti, padaro išvadas.

Remdamiesi pavaizduotais duomenimis, nustato, ar dydžiai yra koreliuoti ir kaip. Pavaizduoja pateiktus duomenis koordinačių plokštumoje.

Iškeltai hipotezei patvirtinti ar paneigti patys renka duomenis, pavaizduoja juos koordinačių plokštumoje ir padaro išvadą.

Patys kelia hipotezes ir, atlikę reikiamus veiksmus, daro išvadas.

Kūrybi-nis darbas.

9. Rinkiniai. Jų užrašymas. Elementų rinkiniai, kuriuose elementų tvarka svarbi, jų skaičius.

1 5. Sprendžiant paprastus uždavinius, sudaryti kelių elementų rinkinių aibę, kai elementai imami iš skirtingų arba iš vienos aibės. Apskaičiuoti rinkinių variantų

5.1. Žinoti, kaip užrašomi variantai (sąrašo sudarymas, galimybių medžio ar galimybių lentelės pildymas). 5.1. Pateikti kelių elementų rinkinių pavyzdžių, paaiškinti,

Užrašo elementų rinkinius, apskaičiuoja rinkinių, kuriuose elementų tvarka svarbi, skaičių.

Iš pateiktų pavyzdžių nustato, ar elementų tvarka yra svarbi, ar ne. Pateikia tokių elementų

Žino ir nesudėtingais atvejais pritaiko daugybos arba sudėties taisykles.

Paaiškina, kada galima taikyti daugybos taisyklę, o kada sudėties taisyklę.

Kalba netaisyta

109

skaičių, kai elementų tvarka rinkinyje yra svarbi arba nesvarbi, ir (ar) kai reikia taikyti sudėties ir (ar) daugybos taisyklę.

kaip jie koduojami ir kaip užrašoma šių rinkinių aibė. 5.2. Pateikti elementų rinkinių, kuriuose elementų tvarka svarbi, pavyzdžių ir apskaičiuoti jų skaičių. 5.3. Apskaičiuoti elementų rinkinių, kuriuose elementų tvarka svarbi, skaičių. 5.4. Nesudėtingais atvejais taikyti daugybos taisyklę. 5.5. Žinoti sudėties taisyklę ir paaiškinti, kada ją galima taikyti.

rinkinių pavyzdžių. Išvardiję elementus ar nubrėžę galimybių medį, suskaičiuoja rinkinių variantų skaičių.

10. Rinkiniai, kuriuose elementų tvarka nesvarbi, jų skaičius.

1 5. Sprendžiant paprastus uždavinius, sudaryti kelių elementų rinkinių aibę, kai elementai imami iš skirtingų arba iš vienos aibės. Apskaičiuoti rinkinių variantų skaičių, kai elementų tvarka rinkinyje yra svarbi arba nesvarbi, ir (ar) kai reikia taikyti sudėties ir (ar) daugybos taisyklę.

5.1. Pateikti kelių elementų rinkinių pavyzdžių, paaiškinti, kaip jie koduojami ir kaip užrašoma šių rinkinių aibė. 5.2. Pateikti elementų rinkinių, kuriuose elementų tvarka nesvarbi, pavyzdžių ir apskaičiuoti jų skaičių. 5.3. Apskaičiuoti elementų rinkinių, kuriuose elementų tvarka nesvarbi, skaičių. 5.4. Paprastais atvejais taikyti daugybos taisyklę. 5.5. Žinoti sudėties taisyklę ir paaiškinti, kada ją galima taikyti .

Užrašo elementų rinkinius, apskaičiuoja rinkinių, kuriuose elementų tvarka nesvarbi, skaičių.

Iš pateiktų pavyzdžių nustato, ar elementų tvarka yra svarbi, ar ne. Patys pateikia tokių elementų rinkinių pavyzdžių. Užrašę rinkinius nurodo jų skaičių.

Žino ir nesudėtingais atvejais pritaiko daugybos arba sudėties taisykles.

Paaiškina, kada galima taikyti daugybos taisyklę, o kada sudėties taisyklę.

11. Bandymas ir jo baigtis.

1 6. Taikyti statistinį ir klasikinį tikimybės

6.1. Pavyzdžiais paaiškinti, kas yra

Paaiškina temos pavadinime nurodytų

Savais žodžiais geba paaiškinti

Pateikia būtino, negalimo,

Numato galimą rezultatą ir

Kalba netaisyta

110

Būtinas, negalimas, įvykiui priešingas įvykis. Palankios įvykiui baigtys. Nepalankios įvykiui baigtys.

apibrėžimus, tikimybės savybes paprastiems praktinio turinio uždaviniams spręsti.

bandymo baigtys, bandymo baigčių aibė, su bandymu susijęs įvykis, įvykiui palankios baigtys. 6.2. Pateikti su bandymu susijusių paprasčiausių įvykių pavyzdžių, paaiškinti, kuris iš jų yra daugiau (mažiau) tikėtinas. 6.1. Paaiškinti, kas yra (stochastinis) bandymas, kuo jis skiriasi nuo per kitus mokymo dalykus aptariamus bandymus. 6.2. Kartoti paprasčiausią bandymą daug kartų, apskaičiuoti santykinius baigčių dažnius. Pateikti klasikinio ir neklasikinio bandymo pavyzdžių.

sąvokų prasmę, pateikia pavyzdžių.

temos pavadinime nurodytų sąvokų prasmę, tarp pateiktų įvykių atpažįsta būtinus, negalimus, priešingus įvykius, nurodo palankias baigtis. Gali pakartoti paprasčiausią bandymą daug kartų ir apskaičiuoti santykinius baigčių dažnius.

priešingų įvykių pavyzdžių. Paaiškina, kas yra (stochastinis) bandymas, kuo jis skiriasi nuo per kitus mokymo dalykus aptariamų bandymų. Pateikia klasikinio ir neklasikinio bandymo pavyzdžių.

pasiūlo, kaip jį galima būtų patikrinti.

12. Klasikinis tikimybės apibrėžimas.

1 6. Taikyti statistinį ir klasikinį tikimybės apibrėžimus, tikimybės savybę realaus turinio uždaviniams ir problemoms spręsti.

6.3. Apskaičiuoti bandymų tikimybes remiantis klasikiniu tikimybės apibrėžimu, paaiškinti, koks įvykis yra būtinas, negalimas, įvykiui priešingas. 6.4. Žinoti tikimybių savybes.

Spręsdami uždavinius taiko klasikinį tikimybės apibrėžimą ir savybes.

Žino ir paprasčiausiais atvejais pritaiko klasikinį tikimybės apibrėžimą. Remdamiesi tikimybių savybėmis nurodo, kuri tikimybė apskaičiuota neteisingai.

Taiko klasikinį tikimybės apibrėžimą ir savybes realaus turinio uždaviniams spręsti.

Taiko įgytas žinias naujose situacijose ir neįprastame kontekste.

13. Pasiruošimas kontroliniam darbui.

1 1–6 1.1–1.5; 2.1; 3.1 ir 3.2; 4.1 ir 4.2; 5.1–5.5; 6.1–6.4.

Pakartosime ir apibendrinsime visas modulio temas.

Gebėjimai, žinios ir supratimas vertinami remiantis šiame plane prie kiekvienos temos esančiais vertinimo lygių aprašymais.

Kontrolinis darbas.

1 1–6 1.1–1.5; 2.1; 3.1 ir 3.2; 4.1 ir 4.2; 5.1–5.5; 6.1–

Kontrolinis darbas – atsiskaitymas už visas

Kontrol. darbas.

Kalba netaisyta

111

6.4. modulio temas.

9. INTEGRACINIAI RYŠIAI:

Nors kiekviena matematikos šaka turi savo tyrimo objektą ir metodus, tačiau tarpusavyje jos yra glaudžiai susijusios vidiniais ryšiais.

Ryšiai su kitais dalykais:

5.5.1. Matematika ir dorinis ugdymas. Statistinės informacijos apie bendrąsias žmogaus ir demokratines vertybes nagrinėjimas.

5.5.2. Matematika ir socialiniai mokslai. Diagramų braižymas ir skaitymas, duomenų analizavimas. Matematikos terminų ir simbolių kilmė, įvairūs matai ir

matavimai. Piniginiai matavimo vienetai, skaičiaus dalis, procentai, kaina, pabrangimas, antkainis, nuolaida, pajamos, išlaidos, pelnas, nuostolis, paprastos ir

sudėtinės palūkanos. Statistinė informacija, laiko funkcijos, atspindinčios karo aukų kiekio, pandemijų ir epidemijų (pvz., maro, gripo raida vietovėje),

avaringumo, nusikalstamumo, migracijos ir kitų socialinių procesų lygius bei tendencijas.

5.5.3. Matematika ir kalbos. Uždavinio sąlygos ar matematinio teksto suvokimas ir analizė, statistinio tyrimo anketos rengimas, matematikos terminų (ir ne tik

jų) kirčiavimas, rezultatų apibūdinimas, išvadų formulavimas, matematikos terminų, tekstų vertimas į iš užsienio kalbas ar iš jų. Mokoma taisyklingai vartoti

terminus ir sąvokas, diskutuoti ir pagrįsti savo nuomonę, pasirinkimą.

5.5.4. Matematika ir informacinės technologijos. Lentelių sudarymas ir pildymas, diagramų braižymas, grafikų eskizų braižymas, statistinių duomenų

apdorojimas, mokomųjų kompiuterių programų matematikai mokytis naudojimas, informacijos paieška. Mokoma naudotis IT teikiamomis galimybėmis

ieškant, apibendrinant ir pateikiant matematinę informaciją, apdorojant statistinių tyrimų duomenis.

5.5.5. Matematika ir gamtos mokslai. Matematika kaip niekas kitas yra būtina gamtos mokslams. Integravimui itin palankios yra ir tokios temos: skaičiaus

dalis, procentai, diagramų braižymas ir skaitymas.

5.5.6. Matematika ir technologijos. Kuro sąnaudų skaičiavimas, statybinių mišinių ruošimas pagal procentinę sudėtį, statybinių medžiagų poreikio ir kainos

skaičiavimas.

5.5.8. Matematika ir kūno kultūra. Duomenys, jų skaitinės charakteristikos, diagramos.

2 PAVYZDYS (parengtas remiantis Varėnos „Ąžuolo“ gimnazijos vyresniosios mokytojos Janinos Vidzbelienės patirtimi)

Kalba netaisyta

112

Modulio nuostatos: Suprasti, kad norint priimti pagrįstus sprendimus asmeniniame ir visuomeniniame gyvenime reikia mokėti įvairių rūšių statistinę

informaciją atrinkti, analizuoti ir vertinti. Pastebėti, kad teisingas įvykių tikimybių suvokimas padeda argumentuotai priimti sprendimus kasdieniame gyvenime.

Suprasti, kad geri procentų skaičiavimo įgūdžiai leis pagrįstai pasirinkti mažiau rizikingas finansines operacijas.

Uždaviniai:

Baigę šį modulį, mokiniai gebės:

• taikyti procentų skaičiavimą atliekant finansines operacijas;

• naudotis skaičiavimo algoritmais ir pavyzdžiais (aprašymu, vartotojo instrukcija, formule) sprendžiant praktines problemas;

• taikyti kombinatorikos taisykles nesudėtingiems uždaviniams spręsti;

• rasti reikiamus duomenis ir informaciją atitinkamose duomenų bazėse;

• informaciją iš duomenų bazės interpretuoti ir panaudoti nesudėtingoms užduotims atlikti;

• kritiškai vertinti informacijos pateikimą.

Mokini ų pasiekimai

Gebėjimas: žinios ir supratimas

Mokėti taikyti sudėtinių procentų skaičiavimo formulę, žinoti, kaip skaičiuojamas pelnas, ir mokėti paskirstyti pelną pagal įnašus, argumentuotai pasirinkti finansines paslaugas. Surinktus duomenis užrašyti sugrupuotųjų duomenų dažnių lentele, duomenis pavaizduoti tinkamo tipo diagrama, statistinius duomenis analizuoti remiantis vidurkiu, mediana, moda. Mokėti sudaryti rinkinių aibes, nesudėtingais atvejais taikyti daugybos taisyklę, žinoti sudėties taisyklę. Mokėti apskaičiuoti tikimybę.

Gebėjimas: matematinis komunikavimas

1. Perskaityti, suprasti bei interpretuoti nesudėtingą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. Įvairiais būdais pateikti uždavinių sprendimus taip, kad kiti galėtų juos suprasti. 2. Diskutuoti apie tai, koks uždavinio sprendimas ir atsakymas, vieno ar kito teiginio argumentavimas (pagrindimas) bei jų užrašymo būdai laikomi tinkamais.

Gebėjimas: problemų sprendimas

1. Pasiūlyti kelis užduoties sprendimo būdus ir argumentuojant pasirinkti vieną iš jų. 2. Numatyti galimą sprendimo rezultatą ir pasiūlyti, kaip jį galima būtų patikrinti.

Gebėjimas: mokėjimas mokytis ir domėjimasis matematika

1. Stebėti savo daromą pažangą. 2. Nustatyti, ar neliko neaiškumų ir ar galima būti užtikrintam(-ai), jog išmokta teisingai. 3. Pasakyti, ką jau moka gerai, ištaisyti nurodytas klaidas. 4. Užduoti klausimų, kad pasitikslintų ar įsitikintų, jog gerai suprato, ar gerai atliko užduotį ir turimos žinios teisingai suprastos.

Kalba netaisyta

113

Turinys Gebėjimai Laikas (val.) Vertinimas

Įvadinė pamoka. Supažindinimas su modulio programa

1 Diagnostinis, 20−25 min. savarankiškas darbas.

Paprastosios palūkanos Apskaičiuoti paprastąsias palūkanas (už metus, mėnesius, dienas), sudaryti lenteles ir grafiškai pavaizduoti paskolos palūkanų ir grąžintinos sumos priklausomybę nuo laiko.

1 Formuojamasis.

Sudėtinės palūkanos Remiantis formule

St=S(1+ )t, t Є N, apskaičiuoti St, S arba p, kai žinomi kiti trys į

formulę įeinantys dydžiai.

1 Formuojamasis.

Sudėtinių procentų formulė Suprasti ir pagrįsti formulę

St=S(1+ )t, t Є N.

Apskaičiuoti, kiek padidėjo (sumažėjo) dydis per nurodytą laiką, kai žinoma palūkanų norma.

2 Formuojamasis.

Nesudėtingų problemų, susijusių su šeimos biudžetu, sprendimas (paskolos, pirkimas išsimokėtinai, taupymas, kaupimas ir pan.)

Argumentuotai pasirinkti finansines paslaugas, planuojant savo biudžetą.

2 Formuojamasis, 10 min. savarankiškas darbas pamokos pabaigoje.

Duomenys. Duomenų imtis. Imties plotis. Imties vidurkis. Sugrupuotųjų duomenų dažnių lentelė. Diagramos. Duomenų vaizdavimas diagramomis. Koreliacija.

Įvairiuose informacijos šaltiniuose ieškoti informacijos, kuri padėtų rasti atsakymą į iškeltą klausimą. Rinkti duomenis pagal vieną požymį ir juos sutvarkyti. Skaityti informaciją, pateiktą įvairiomis diagramomis ar lentelėmis, paprasčiausiais atvejais pavaizduoti surinktus ir (ar) pateiktus duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) programa ar (ir) be jos. Skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar (ir) be jos rasti imties vidurkį, medianą, modą, siūlyti sprendimus, paremtus jų analize. Koreliacijos idėją paaiškinti remiantis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje.

2 Formuojamasis.

Rinkiniai. Jų užrašymas. Sprendžiant paprastus uždavinius, sudaryti kelių elementų rinkinių 2 Formuojamasis.

100

p

100

p

Kalba netaisyta

114

Elementų rinkiniai, kuriuose elementų tvarka svarbi, ir rinkiniai, kuriuose elementų tvarka nesvarbi. Rinkinių skaičiaus apskaičiavimas.

aibę, kai elementai imami iš skirtingų arba iš vienos aibės. Apskaičiuoti rinkinių variantų skaičių, kai elementų tvarka rinkinyje yra svarbi arba nesvarbi ir (ar) kai reikia taikyti sudėties ir (ar) daugybos taisyklę.

Bandymas ir jo baigtys. Būtinas, negalimas, įvykiui priešingas įvykis.

Paaiškinti sąvokas bandymas, baigtis, būtinas, negalimas, priešingas įvykiai, pateikti pavyzdžių.

1 Formuojamasis, 10 min. savarankiškas darbas pamokos pradžioje.

Palankios įvykiui baigtys. Nepalankios įvykiui baigtys. Klasikinis tikimybės apibrėžimas.

Taikyti statistinį ir klasikinį tikimybės apibrėžimus, tikimybės savybę realaus turinio uždaviniams ir problemoms spręsti.

1 Formuojamasis.

Tikimybės savybė. Taikyti statistinį ir klasikinį tikimybės apibrėžimus, tikimybės savybę realaus turinio uždaviniams ir problemoms spręsti.

2 Formuojamasis, 10 min. sav. darbas pamokos pabaigoje.

Modulio žinių sisteminimas. Apibendrinti paprastų standartinių problemų sprendimo etapus, pakartoti sprendimo algoritmus.

2 Formuojamasis.

Kontrolinis darbas. 1 Apibendrinamasis, kontrolinis darbas.

Iš viso: 18

3 PAVYZDYS (parengtas remiantis Klaipėdos „Ąžuolyno“ gimnazijos matematikos mokytojos ekspertės Vilijos Šileikienės patirtimi)

Modulio trukm ė – 18 val.

Tikslai:

• Supažindinti mokinius su finansinio raštingumo elementais: palūkanomis, paskola, kreditu, pirkimu išsimokėtinai, sprendžiant praktinio turinio

uždavinius.

• Išmokyti mokinius suprasti duomenų rinkimo praktinį taikymą, koreliaciją, klasikinį tikimybių teorijos apibrėžimą.

Uždaviniai:

• Išmokti skaičiuoti paprastas ir sudėtines palūkanas.

• Išmokti spręsti sudėtinių palūkanų uždavinius: prekės pabrangimas, nupiginimas.

Kalba netaisyta

115

• Sprendžiant praktinio turinio uždavinius ir dirbant grupėse, suprasti „pirkimą išsimokėtinai“, paskolos ar kredito paėmimą iš banko, draudimo

esmę.

• Išmokti sudaryti grupuotų duomenų dažnių lentelę, skaičiuoti imties modą, medianą, pavaizduoti duomenis diagrama.

• Skirti elementų rinkinius, kuriuose elementų tvarka svarbi, nuo rinkinių, kuriuose elementų tvarka nesvarbi. Mokėti taikyti daugybos ir sudėties

taisykles, klasikinį tikimybės apibrėžimą, pagrindines tikimybės savybes.

• Išmokti dirbti grupėmis, bendradarbiauti, padaryti išvadas, paruošti ir pristatyti atlikto darbo prezentaciją.

Vertinimas:

Pagrindinis pasiekimų lygis Aukštesnysis pasiekimų lygis Suvokia skaičiaus procento radimą, skaičiaus padidinimą (sumažinimą) tam tikru procentų skaičiumi. Skiria paprastas nuo sudėtinių palūkanų, skaičiuoja paskolos palūkanas, randa paskolos dalį. Taiko sudėtinių procentų formulę praktinio turinio uždaviniuose, supranta pirkimo išsimokėtinai principą. Žino imties apibrėžimą, grupuoja imtį ir moka rasti imties plotį, vidurkį, modą, medianą. Moka sudaryti imties dažnių lentelę, vaizduoti imti įvairiomis diagramomis. Skiria elementų rinkinius, priklausomai nuo jų tvarkos svarbumo, žino, kada taikoma daugybos taisyklė, o kada sudėties. Supranta, kas yra bandymas, ir moka paaiškinti jo baigtį. Pateikia įvykių pavyzdžių iš aplinkos, užrašo įvykį, žino įvykių rūšis, apskaičiuoja paprastais atvejais įvykio tikimybę, remiantis klasikiniu įvykio tikimybės apibrėžimu.

Analizuoja sudėtinių procentų uždavinius ir daro išvadas apie jų sprendimo algoritmą. Randa kelis problemos sprendimo būdus, išveda dydžių skaičiavimo formules, pastebi dėsningumus, moka išreikšti vieną dydį kitu, pagrindžia savo nuomonę, modeliuoja aprašytas situacijas lentelėmis, diagramomis, randa ir paaiškina ryšį tarp to paties objekto skirtingų požymių (paaiškina koreliaciją). Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja įvykio tikimybę, priešingo įvykio tikimybę, taiko tikimybių savybes.

Eil. Nr. Pamokos tema Val.

sk. Mokymosi uždaviniai Mokytojui reikalinga informacija (mokymosi veiklos, ištekliai, namų

darbai ir kita) Pastabos

1. Skaičiaus (dydžio) padidinimas (sumažinimas) tam tikru procentų skaičiumi.

2 Prisiminti skaičiaus procento radimą ir išsiaiškinti, aptariant gyvenimiškas situacijas, kaip skaičių (dydį) padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi.

Atlikti diagnostinį testą, siekiant išsiaiškinti, kaip mokiniai supranta skaičiaus procentų radimą, skaičiaus radimą, kai žinoma jo procentinė dalis.

2. Palūkanos ir jų rūšys. Paprastosios palūkanos.

1 Aptariant kai kurias bankų operacijas ir sprendžiant paprasčiausius praktinio turinio uždavinius,

Supažindinti mokinius (o gal priminti) su kasdieninėmis bankų operacijomis,

Kalba netaisyta

116

išsiaiškinti palūkanų sąvoką, paprastųjų palūkanų skaičiavimą.

kuriomis naudojasi beveik kiekvienas pilnametis Lietuvos pilietis.

3. Sudėtinės palūkanos. Sudėtinių procentų formulė.

2 Skaičiuojant nuosekliai, kokio dydžio po n metų bus pradinis indėlis S0, padėtas banke, kuris moka p% metines palūkanas, išsiaiškinti sudėtinių procentų formulę ir išmokti skaičiuoti sudėtines palūkanas.

4. Paskolos. Pirkimas išsimokėtinai.

1 Išsiaiškinti, kas yra paskola, kreditas, ką reiškia „pirkti išsimokėtinai“.

Galimas darbas grupėse, pateikiant paskolos skaičiavimo ir pirkimo išsimokėtinai uždavinių pavyzdžių (mokiniai sužino, kokios yra paskolos, kokią pinigų sumą turi grąžinti perkant išsimokėtinai, kam tai naudinga).

5. Atsiperkamumas, vertybiniai popieriai, draudimas.

1 Suprasti, kokios yra išlaidos, kokių rūšių yra vertybiniai popieriai, kokios jų funkcijos, kaip skaičiuoti išlaidas ir pelną.

Pagal galimybę parodyti mokiniams tikrų vertybinių popierių pavyzdžių.

6. Savarankiškas darbas (procentai, paprastosios ir sudėtinės palūkanos). Kartojimo uždavinių sprendimas.

1 Pasitikrinti, kaip sekasi savarankiškai skaičiuoti skaičiaus (dydžio) padidinimą (sumažinimą) tam tikru procentų skaičiumi, paprastąsias ir sudėtines palūkanas.

Paruošti savarankiško darbo užduotis pagal mokinių gebėjimus.

7. Duomenys. Duomenų imtis. Imties vidurkis, plotis. Sugrupuotų duomenų dažnių lentelė. Imties moda, mediana.

1 Išsiaiškinti, kas yra imtis, jos plotis ir vidurkis. Išmokti grupuoti duomenis pagal jų požymius ir surašyti juos į duomenų dažnių lentelę. Išmokti skaičiuoti imties modą ir medianą.

Parinkti įvairių, praktikoje taikomų duomenų pavyzdžių. Pavyzdžius gali pateikti ir mokiniai. Svarbu, kad mokiniai matytų praktinį duomenų rinkimo panaudojimą.

8. Duomenų vaizdavimas diagramomis. Koreliacija.

1 Prisiminti diagramų rūšis ir išmokti duomenis vaizduoti diagramomis, siejant juos su dažnių lentele. Koreliacijos sąvoką paaiškinti remiantis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje.

Priminti, o gal ir išmokyti mokinius programa „Microsoft Excel“ sudaryti dažnių lentelę ir duomenis pavaizduoti įvairiomis diagramomis. Čia galima integruota pamoka su IT, praktinis darbas, paskirstant mokinius grupėmis atlikti mokyklai aktualių duomenų rinkimą.

Kalba netaisyta

117

9. Rinkiniai. Elementų rinkiniai, kuriuose elementų tvarka svarbi, ir rinkiniai, kuriuose elementų tvarka nesvarbi.

1 Išmokti užrašyti rinkinių aibę, apskaičiuoti rinkinių, kuriuose elementų tvarka svarbi ir kuriuose nesvarbi, skaičių.

10. Daugybos ir sudėties taisyklės. 1 Įvairių pavyzdžių pagalba išsiaiškinti, kada taikoma sudėties, o kada daugybos taisyklė. Mokėti pateikti patiems įvairių pavyzdžių.

11. Bandymas ir jo baigtys. Įvykiai.

1 Išsiaiškinti, ką vadiname bandymu, ką vadiname įvykiu, kaip žymimi įvykiai, kokie yra įvykiai (jų rūšys), kaip užrašyti įvykiui priešingą įvykį.

Raginti patiems mokiniams pateikti įvairių įvykių pavyzdžių, užrašyti įvykiams priešingus, negalimus, būtinus įvykius. Galimas ir žaidimas (iki 5 min.): viena grupė pateikia įvykio pavyzdį, o kitos – tam įvykiui priešingą, arba pasako, koks tai įvykis.

12. Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Tikimybės savybės.

2 Prisiminti galimybių medį. Suprasti ir išmokti užrašyti klasikinį tikimybės apibrėžimą. Išsiaiškinti tikimybės savybes.

13. Modulio apibendrinimas. 2 Pakartoti svarbiausias sąvokas, apibrėžimus, skaičiavimo formules. Pasiruošti modulio kontroliniam darbui.

Pirmą pamoką tikslinga paruošti kartojimo diagnostinį testą.

14. Modulio apibendrinamasis kontrolinis darbas.

1 Remiantis įgytomis žiniomis ir gebėjimais, atlikti užduotis.

2. Problemų sprendimų strategijų taikymo pavyzdžiai

Kokie tikslai keliami mokytojui ir mokiniui ugdant( is) matematikos problemų sprendimo gebėjimus 9−10 klasėse?

Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrųjų programų (Patvirtinta Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2008 m. rugpjūčio 26 d. įsakymu Nr.

ISAK-2433) matematikos programos 9−10 klasėms dalyje apibūdinant problemų sprendimo gebėjimą rašoma, kad mokinys turi gebėti „pasiūlyti kelias

Kalba netaisyta

118

alternatyvas ir pasirinkti vieną iš jų. Kryptingai siekti tikslo, kai yra kliūčių arba ribojančių sąlygų. Kelti ir tikrinti paprastas hipotezes. Išnagrinėti ir įvertinti

anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių ir gebėjimų kontekste.“ Tam mokinys turi įgyti žinių ir supratimą, padedančių:

„11.1.1. Pasiūlyti bent du alternatyvius užduoties atlikimo ar teiginio įrodymo būdus ir kriterijus, pagal kuriuos reikėtų pasirinkti vieną iš jų.

11.1.2. Formuluoti tarpinius klausimus, kad būtų atsakyta į pagrindinį.

11.1.3. Numatyti galimą rezultatą ir pasiūlyti, kaip jį galima būtų patikrinti.

11.1.4. Perskaičius nesudėtingą matematinį tekstą, išskirti, kas žinoma iš anksčiau, o kas yra nauja.

11.1.5. Turint perteklinės informacijos, atsirinkti uždaviniui spręsti reikalingus duomenis, o esant informacijos trūkumui, nurodyti, kur jos rasti.“

Problemos ir jos sprendimo strategijos samprata

2012 m. Nacionalinio egzaminų centro leidinyje „Pasiruošk pasiekimų patikrinimui. Matematika“1 rašoma: „Problema vadinsime kiekvieną painų ar

sudėtingą klausimą. Šis apibrėžimas, kaip matome, apima sudėtingesnius, vadinamuosius „nerutininius“ uždavinius. Juos sprendžiant reikėtų kūrybiškai

panaudoti žinomus faktus, procedūras bei taikyti išugdytus gebėjimus. Kalbėdami apie problemą, ją suprasime kaip tam tikrą situaciją, kurią reikia ištirti.

Įprasta klasifikuoti problemas. Viena iš labiausiai paplitusių mokyklinių matematinių problemų klasifikacija – sąlygiškas suskirstymas pagal kontekstą:

• „grynosios“ matematinės problemos (kartais vadinamos matematinio turinio problemomis);

• „realiosios“ problemos, kurios yra svarbios realizuojant mokinio patyrimą, įgytą už mokyklos, klasės ribų;

• atvirieji matematiniai tyrinėjimai pradedant kalbą apie naujas matematikos sąvokas;

• konkrečių praktinių matematinių situacijų tyrinėjimas jas modeliuojant arba pasitelkiant žinomą matematinį aparatą;

• tarpdalykinių projektų vykdymas, kai matematika yra tik viena iš sudedamųjų dalių − situacijų tyrimo pagalbinė priemonė.

Sprendžiant problemą, dažniausiai akcentuojami 4 žingsniai.

1. Problemos supratimas. Šis žingsnis skirtas probleminei informacijai išskirti bei iš dalies apdoroti. Labai svarbu pastebėti probleminę situaciją (jei ji nėra

tiesiogiai pateikiama mokytojo ar vadovėlio), gebėti ją suformuluoti (arba savais žodžiais perteikti), išskirti esminę informaciją, nustatyti, ar duomenų nėra per

daug arba per mažai (tokiu atveju mokinys turėtų mėginti išsiaiškinti, kokių duomenų galėtų trūkti bei kur juos galima rasti, kaip juos gauti).

1 http://www.nec.lt/failai/2488_PUPP_Ma-LEIDINYS_-2012.pdf

Kalba netaisyta

119

2. Sprendimo plano sukūrimas. Šio problemos sprendimo žingsnio esmė – vadinamųjų problemų sprendimo strategijų paieška bei realizavimas. Problemų

sprendimo strategijomis paprastai vadinami tam tikri bendrieji galimi probleminės informacijos pertvarkymo principai siekiant ištirti rūpimą situaciją.

Apibendrindami išskirsime tokias pagrindines problemų sprendimo strategijas:

• modelio (nebūtinai algebrinio ar geometrinio) paieška, sukūrimas;

• kitų panašių, dažniausiai jau išspręstų problemų nagrinėjimas bandant surasti modelį, kuris galėtų būti pritaikytas konkrečiai problemai spręsti;

• paprastesnio problemos atvejo sprendimas, nagrinėjimas, leidžiantis (padedantis) išspręsti ir nagrinėjamą problemą;

• lentelių taikymas;

• diagramų, schemų, paveikslėlių nagrinėjimas;

• lygčių, lygčių sistemų, nelygybių, nelygybių sistemų sudarymas;

• motyvuoto spėjimo ir tikrinimo būdas;

• principo „atgaline eiga“ taikymas (sprendžiant kai kurias problemas, lengviau pradėti nuo galutinio rezultato nagrinėjimo ir eiti prie sąlygos, taip

išsprendžiant problemą);

• dalinių, pagalbinių tikslų, reikalingų problemai išnagrinėti, nustatymas;

• bandymų ir klaidų būdas;

• galimų atvejų perrinkimas.

Dažnai klausiama, kada kokią sprendimo strategiją pasirinkti. Nėra aiškaus atsakymo į šį klausimą. Tačiau žinodami bendrąsias problemų sprendimo

strategijas, praktiškai jas išbandydami įvairiose situacijose, mokiniai turėtų geriau, sėkmingiau pasirinkti strategiją konkrečiai problemai išspręsti.

3. Sprendimo plano vykdymas. Plano vykdymas – tai bandymas išspręsti problemą taikant pasirinktą strategiją. Jei pasirinktoji strategija „neveikia“, paprastai

grįžtama į 2-ojo (kartais ir į 1-ojo) žingsnio pradžią – bandoma rasti, sukurti naują sprendimo strategiją. Taip pat atliekami reikalingi aritmetiniai ar algebriniai

pertvarkiai ir skaičiavimai.

4. Sprendinio interpretavimas. Šiuo žingsniu patikrinamas sprendinys (sprendiniai) suformuluotos pradinės problemos atžvilgiu. Paprastai rekomenduojama

panagrinėti, ar gautasis atsakymas pagrįstas ir logiškas, ar atsakoma į tai, ko buvo klausiama, ar atsakymas išsamus. Šiuo žingsniu stengiamasi atsakyti ir į

daugiau klausimų. Rekomenduojama apsvarstyti ir išspręstos problemos bei sprendimo metodo išplėtimo, apibendrinimo klausimus bei ištirti kitų šios

problemos sprendimo kelių galimybes. Dažniausiai tie apibendrinimai ir plėtiniai yra daug įdomesnės ir labiau intriguojančios problemos negu išnagrinėtoji.

Kalba netaisyta

120

Uždavinio problemiškumas yra gana sąlygiškas dalykas. Tai, kas vieno amžiaus (klasės) mokiniams yra problema, kitiems (pvz., vyresniems mokiniams) jau

gali būti ir standartinis uždavinys.

Norėtume pabrėžti, kad sprendžiant problemas ypač svarbus yra mokinių išugdytų komunikavimo ir mąstymo gebėjimų panaudojimas.“

Problemų sprendimų strategijų taikymo pavyzdžiai

Uždavinio sprendimo strategija yra pasirinktasis patogiausias uždavinio sprendimo būdas. To metodo patrauklumas ir vertė yra susiję ir su tuo, kad

žmogus taip elgiasi ir spręsdamas kitas gyvenimiškas, nebūtinai visada „grynai“ matematines problemas.

1. Galimų atvejų perrinkimas labai primena tvarkingo žmogaus susidaromą darbų planą. Pradėdamas nuo paprasčiausio sąrašo sudarymo, žmogus

nejučia pradeda grupuodamas rikiuoti ir dėlioti tai, ką jam patogiau būtų padaryti pirmiau, o ką galima atlikti ir vėliau. Iš čia kartais belieka tik nedidelis

žingsnelis iki kokio nors labai patogaus ar vykusio ir šiaip pamokomo darbų susiplanavimo. Tai kartais labai primena, pavyzdžiui, žmonių surikiavimą pagal jų

pajamas ar žemės sklypų rūšiavimą pagal jų plotą, bibliotekų ‒ pagal skaitytojų skaičių ar kokį kitą svarbų požymį. Dažniausiai tai ir prasideda nuo „tvarkingo

susirašymo“ to, kas yra, arba ir to, kas gali būti.

1 pavyzdys. Metame du lošimo kauliukus ir sudedame atsivertusias akutes. Kokias sumas galime gauti? Kokias sumas gausime dažniau už

kitas? Kokias sumas gausime dažniausiai ir kokias rečiausiai?

Pirmiausiai mes suprantame, kad „kraštinės“ sumos – pati mažiausioji suma, kai ant abiejų kauliukų iškrinta mažiausiai, arba po 1, yra 1 + 1 arba 2; pati

didžiausioji suma, kai ant abiejų kauliukų „atsiverčia“ po didžiausią galimą skaičių, arba 6, yra 6 + 6 arba 12. Toliau mes suvokiame, kad abi tos kraštinės

sumos – pati mažiausioji (2) ir pati didžiausioji (12) − yra ir pačios rečiausiai „nutinkančios“ sumos. Tarp tos pačios mažiausiosios sumos, lygios 2, ir pačios

didžiausiosios sumos, lygios 12, yra išsidėsčiusios visos likusios sumos ir kažkur, maždaug per vidurį tarp tų dviejų galimų sumų, matyt, rasis ir toji dažniau už

kitas pasitaikanti suma. Pastebėkime, jog negalime atmesti ir galimybės, kad tos pačios dažniausiai nutinkančios sumos galėtų būti ir kelios.

Todėl pamėginsime planingai susirašyti tas galinčias atsiversti ant abiejų kauliukų skaičių poras. Labai natūralu sutarti visus galimus atvejus rašyti

skaičių poromis, pirmiau užrašant tai, kas gali atsiversti metant pirmąjį, o antroje vietoje, kas gali atsiversti metant antrąjį kauliuką. Nesunku matyti, kad

žemiau sudarytoji šešių eilučių lentelė, kur eilutės rikiuojamos pagal tai, kas gali iškristi metant pirmąjį, o stulpeliai rikiuojami pagal tai, kas gali atsiversti

metant antrąjį lošimo kauliuką, tikrai nurodo visus įmanomus galimus atvejus.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

Kalba netaisyta

121

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

Turėdami tokią tvarkingai suplanuotą galimų dviejų kauliukų metimo baigčių arba galimų reikšmių lentelę, mes galime be vargo arba daug lengviau

suvokti, kaip čia vyksta veiksmas, ir atsakyti į daugybę klausimų, į kuriuos atsakyti mums būtų daug sunkiau, jeigu mes tokios lentelės nebūtume susidarę.

Susidarius lentelę mums daug lengviau atlikti perranką, tuo labiau, kad darydami lentelę mes susipažįstame su tuo, kaip vyksta veiksmas, ir galime daug

lengviau realizuoti tai, ko iš mūsų prašo uždavinys.

Sakykime, atsakinėdami į mūsų pradinį klausimą, kokią sumą dažniausiai gausime, sudėdami atsivertusius skaičius, mes matome, kad galimos sumos,

pradedant nuo pačios mažiausios dažnėja. Jeigu, kaip jau sakėme, suma 2 yra gaunama tik vieninteliu būdu kaip 1 + 1, tai sumai 3 gauti jau turime daugiau

galimybių: ji gaunama jau dviem būdais (1 + 2 ir 2 + 1). Sumai 4 gauti galimybių yra dar daugiau – ji gaunama jau 3 būdais (1 + 3, 2 + 2 ir 3 + 1). Dabar jau

pastebime, kad vienodas sumas duoda visos poros, esančios ant vienos ir tos pačios įstrižainės, ir tos įstrižainės „ilgėja“. Šis pastebėtas galimas vienodų sumų

išsidėstymo iliustracijos būdas iš karto mums nurodytų, kad suma 7, gaunama ant pačios ilgiausios įstrižainės, ir bus pati dažniausia suma. Tokią pačią

didžiausią sumą, lygią 7, turės 6 poros, esančios ant pačios ilgiausios įstrižainės. Tos poros yra (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) ir (6, 1). Toliau mes matome,

kad sumoms, didesnėms kaip 7, galimybių skaičius ima mažėti. Šis dėsningumas grafiškai iliustruojamas, kad tokios „vienodų“ sumų įstrižainės trumpėja, kol

prieinama iki pačios didžiausios sumos 12, kuri vieninteliu būdu gaunama kaip dviejų šešetų suma.

Taigi tvarkingai susirašę galimus atvejus gavome atsakymą į visus klausimus: sudėdami du skaičius, kurie gali iškristi metant du lošimo kauliukus,

galime gauti visas sumas, pradedant nuo 2 ir baigiant 12. Sumos 2, 12 gaunamos vieninteliu būdau. Sumos, lygios 3 ir 11, gaunamos 2 būdais, sumos, lygios 4

ir 10 gaunamos trimis būdais ir taip toliau iki pat dažniausiai pasitaikančios sumos, kuri yra 7 ir kuri yra gaunama 6 būdais, kaip nurodyta: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4

+ 3, 5 + 2 ir 6 + 1.

Norėtume dar kartą atkreipti dėmesį, kad sėkmingo sprendimo pagrindas šiuo atveju buvo tvarkingas galimų atvejų susirašymas. Turėdami tvarkingą

sąrašą ir pasižiūrėdami į jį, mes galime nesunkiai atsakyti ir į kitus klausimus, pavyzdžiui, keliais atvejais abu atsivertę skaičiai yra nelyginiai, kiek yra atvejų,

kai abiejų atsivertusių skaičių suma yra didesnė už 10, keliais atvejais atsivertusių skaičių suma dalijasi iš 5 ir t. t.

Kalba netaisyta

122

Metodo esmė yra tvarkingas galimų atvejų perrinkimas arba tikslaus pilno sąrašo susidarymas, leidžiantis nuosekliai daug greičiau peržiūrėti

susidarančias galimybes.

2. Tiesioginio įrodymo metodas (einant nuo žinomo link įrodomo).

2 pavyzdys. Įrodysime, kad paėmę bet kokius tris natūraliuosius skaičius tarp jų visada galėsime nurodyti tokius du, kurių suma yra lyginis

skaičius.

Imsime arba mums duos kažkokius tris natūraliuosius skaičius, o mes turėsime pagrįsti tai, kad iš tų trijų skaičių visada rasis tokie du, kurių suma yra

lyginis skaičius.

Pradedame nuo atskirų pavyzdžių nagrinėjimo. Imkime kad ir tokius galimus trejetus: (1, 2, 3), (1, 3, 5), (1, 4, 6) ir (2, 4, 6). Visais atvejais pavyksta

surasti tokius du skaičius su lygine suma.

Pirmuoju atveju tinka suma 1 + 3, antruoju atveju tinka bet kokia pora, nes visi trys poros skaičiai yra nelyginiai, o bet kurių dviejų nelyginių skaičių

pora yra lyginis skaičius, trečiuoju atveju tinka vienintelė pora 4 ir 6, kurios suma 4+6 yra 10, o tai lyginis skaičius, ketvirtuoju atveju, taip pat, kaip ir antruoju,

vėl tinka bet kuri pora, nes dviejų lyginių skaičių suma yra lyginis skaičius.

Dabar eidami nuo žinomo – kad mums duoti trys natūralieji skaičiai – link įrodinėjamo – kad turi rastis pora skaičių su lygine suma, mes pasižiūrėję į

išnagrinėtuosius pavyzdžius, matome, kad lengviausiai tokia pora atsirasdavo antruoju ir ketvirtuoju atvejais, tada mums tikdavo bet kurie du iš duotųjų trijų

skaičių. Tai būdavo tada, kai visi trys skaičiai būdavo to paties lyginumo – arba visi nelyginiai (antrasis atvejis), arba visi lyginiai (ketvirtasis atvejis). Likusiais

dviem atvejais tikdavo tiktai vienintelė pora – pirmuoju atveju išskirdavome du nelyginius skaičius ir juos sudėdavome, trečiuoju atveju vienintelė tinkanti pora

būdavo abu lyginiai skaičiai 4 ir 6 su lygine suma 4 + 6.

Mes gerai žinome paprastą faktą: jeigu sudėję du natūraliuosius skaičius mes gauname lyginį skaičių, tai tada abu dedamieji skaičiai yra arba abu

nelyginiai (kaip pirmuoju atveju 1 + 3), arba abu lyginiai, (kaip trečiuoju atveju 4 + 6).

Jokių kitų atvejų negali būti, nes sudedant skirtingo lyginumo skaičius – lyginį su nelyginiu − gausime nelyginį skaičių.

Taigi tas paprastas faktas, kad dviejų natūraliųjų skaičių suma yra lyginė tik tada, kai abu dėmenys yra vienodo lyginumo (abu lyginiai arba abu

nelyginiai), susiejamas su faktu, kad mums buvo duoti trys skaičiai iš karto viską paaiškina: jeigu turime 3 skaičius, tai tarp jų tikrai bus arba 2 lyginiai skaičiai

(gali nutikti, kad ir visi), arba 2 nelyginiai (vėl gali nutikti kad visi). O dviejų vienodo lyginumo skaičių suma yra visada lyginė – tuo mūsų 2 pavyzdžio teiginys

yra griežtai įrodytas. Žodis „griežtai“ čia reiškia tik tiek, kad mes matome, jog yra aprėpti visi galimi atvejai.

3. Principo „atgaline eiga“ taikymas. Analizės metodas (einant nuo norimo link žinomo). „Sprendimo nuo galo“ strategija.

Kalba netaisyta

123

„Sprendimo nuo galo“ strategija yra panaši į ėjimą nuo pabaigos į pradžią arba į patrauklaus filmo „persukimą atgal“. Pirmiausiai pastebėkime, jog

galime panagrinėti tokią situaciją, kai sukamas atgal filmas susideda iš vieno „kadro“.

3.1 pavyzdys. Andrius, Balys ir Dominykas turi po kažkiek saldainių. Andrius Baliui ir Dominykui dav ė po tiek saldainių, kiek kiekvienas iš jų

tur ėjo. Po to pasirodė, kad jie visi trys turi po 8 saldainius. Kiek saldainių jie tur ėjo iš pradžių?

Aišku, kad pradžioje Balys turėjo turėti 4 saldainius, nes kai Andrius jam davė tiek, kiek jis turėjo, tai pasirodė, kad jis turi 8. Lygiai taip pat ir

Dominykas pradžioje turėjo 4 saldainius, vadinasi, ir iš Andriaus gavo 4 saldainius. Taigi, Andrius, kaip abiem draugams davęs po 4 saldainius ir dar

tebeturintis 8, pradžioje saldainių turėjo 8 + 4 + 4, arba 16. Vadinasi, pradžioje Andrius turėjo 16 saldainių, o Balys su Dominyku – po 4.

ANDRIUS BALYS DOMINYKAS Saldainių skaičius pabaigoje

8 = ? – 4 – 4 8 = 4 + 4 8 = 4 + 4

Saldainių skaičius iš pradžių

8 + 4 + 4 = 16 4 4

3.2 pavyzdys. Ąžuolas, Uosis ir Beržas bei jų sesuo Drebulėlė pirko Gelgaudiškio kurorte didelį namą. Namo kaina buvo laikoma paslaptyje, ir

tik gerokai vėliau paaiškėjo, kad Ąžuolas sumokėjo pusę namo kainos, Uosis – ketvirtadalį, o Beržas – aštuntadalį namo kainos. Likusius trūkstamus 3

tūkstančius litų sumokėjo Drebulėlė. Kiek kainuoja tas Gelgaudiškio namas?

Sprendimo strategijos gali būti pačios įvairiausios. Visos jos siekia arba suprastinti uždavinį, arba išnagrinėti kokį nors jo dalinį atvejį. Sprendimo

strategija „tą patį pavadink kitaip, tik patogiau“ padeda išreikšti visą mokėjimo struktūrą patogiau, arba iš karto aštuntadaliais ir tiesiog sakyti, kad pirmasis

brolis sumokėjo ne pusę kainos, o keturis aštuntadalius, antrasis − ne ketvirtadalį, o iš karto du aštuntadalius, o trečiasis dar vieną – dabar jau septintą

aštuntadalį. Lieka sumokėti paskutinį, jau aštuntą aštuntadalį ir tai padaro Drebulėlė, įnešdama savo tris tūkstančius litų.

Taigi, baigiamasis sakinys yra sakinys, jog jeigu buvo taip, kaip buvo pasakyta, tai sesuo sumokėjo aštuntadalį reikalingų pinigų arba 3 tūstančius litų. Jeigu

aštuntoji dalis yra 3 tūkstančiai, tai visuma kainuoja aštuonis kartus daugiau, arba iš viso 24 tūkstančius litų. Taigi galėtume sakyti, kad uždavinio sprendimo

strategija „atsukant atgal“ yra trupmenų „viena antroji“, „viena ketvirtoji“ ir „viena aštuntoji“ subendravardiklinimas tuo iš karto suprantant, kad tos „keturios“,

„dvi“ ir „viena“ visos kartu ir yra septynios aštuntosios ir pamatant, kad tada sesei lieka sumokėti viena aštuntoji dalis.

3.3 pavyzdys. Troškūnų banke paskutinę 2013 metų dieną – gruodžio 31-ąją – Petras Dundulis paėmė paskolą kilnojamam turtui pirkti. Už t ą

paimtą paskolą kilnojamam turtui pirkti jis prival ėjo mokėti 10% metinių palūkanų, kurios atskirai, lygiomis dalimis ir kas mėnesį turi b ūti

nuskaičiuojamos nuo Petro kreditinės kortelės sąskaitos per visus dvylika 2014-tųjų metų mėnesių – pradedant nuo sausio iki pat gruodžio, o pati

Kalba netaisyta

124

paskola atskirai – tokio didumo, kokio ji buvo paimta – grynaisiais pinigais turėjo būti grąžinta paskutiniąją 2014 metų dieną – arba vėl gruodžio 31

dieną. Taip per visus dvylika 2014-tųjų metų mėnesių nuo Petro kreditinės kortelės turėjo kas mėnesį būti nuskaičiuojama po 55 litus.

a) Kiek pinigų palūkanoms išleis Petras per 2014 metus?

b) Koks yra Petro paimtosios paskolos didumas?

c) Kokias palūkanas kas mėnesį per ištisus 2014 metus būtų mokėjęs Petras, jeigu jis tokiomis pačiomis sąlygomis būtų ėmęs paskolą baldams už 15

tūkstančių litų įsigyti?

Sprendimas

a) Uždavinio sprendimo pirmoji dalis yra dviejų veiksmų uždavinys, kurio sprendimas eina nuo veiksmo pabaigos į veiksmo pradžią, arba pradedant nuo kas

mėnesį po lygiai išmokamų palūkanų analizės yra nustatoma pačios pasiimtosios paskolos didumas. Pirmuoju veiksmu suskaičiuojame, kiek palūkanų Petras

išmoka per visus tuos dvylika 2014 metų mėnesių – pradedant nuo paties pirmojo 2014 sausio mėnesio iki pat paskutiniojo 2014 metų gruodžio mėnesio, jei

kas mėnesį jam yra suderėta mokėti po 55 litus palūkanų. Esant tokioms sąlygoms, kokios čia buvo nurodytos Petras Dundulis per visus 2014 metus sumokės

palūkanų 55 · 12 = 660 (litų).

b) Taigi Petras Dundulis per visus 2014 metus sumokės iš viso 660 litų palūkanų. Kadangi jis moka 10 procentų palūkanų, vadinasi, jo pasiskolintoji suma

kilnojamam turtui pirkti yra 10 kartų didesnė ir sudaro 660 · 10 = 6600 litų, kuriuos jis ir turės įnešti kaip pasižadėjęs paskutiniąją 2014 metų gruodžio 31

dieną.

c) Trečioji uždavinio dalis yra tiesioginis ėjimas nuo pasiskolintosios sumos prie palūkanų išdėliojimo žinant paskolos didumą ir esant tokiam pačiam

priskaičiuojamųjų palūkanų atlyginimo išdėstymui.

Jeigu Petras Dundulis perka baldų už 15 tūkstančių litų ir vėl įsipareigoja mokėti 10 procentų palūkanų lygiomis dalimis per visus 2014 metus po lygiai

palūkanų kiekvieną mėnesį, tai jam priskaičiuotų palūkanų dydis vėl yra dešimtoji pačios paskolos dalis, arba reiškiant litais

150010

115000 =⋅ (litų).

Kadangi tie 1500 litų vėl yra išdėliojami lygiomis dalimis per visus dvylika tų 2014 metų mėnesių, tai nuo Petro Dundulio kreditinės kortelės kas mėnesį bus

nuskaičiuojama viena dvyliktoji palūkanų dalis, arba kas mėnesį po 1500 : 12 = 125 (litus).

4. Prieštaros metodas yra aiškus pagrindimas, kodėl koks nors mūsų veiklai keliamas tikslas yra nepasiekiamas.

Kalba netaisyta

125

4.1 pavyzdys. Ar yra skaičių, kurių dešimtainiam užrašui pakaktų trij ų iš eilės einančių skaitmenų, pavyzdžiui, kaip jų užtenka skaičiams 132,

423 ar 543, ir kurie nesidalintų be liekanos iš 3?

Šie ir kiti skaičių pavyzdžiai rodo, kad visi tokie konkretūs skaičiai, kuriuos mums pasitaiko paimti, dalijasi be liekanos iš 3. Kyla klausimas, ar yra

tokių skaičių.

Tarkime, kad yra skaičius, užrašomas naudojant tris kaimyninius skaitmenis, kuris nesidalija iš 3. Kadangi tas triženklis skaičius užrašytas panaudojus

bet kokia eile tris gretimus kaimyninius skaitmenis, tai tokio triženklio skaičiaus skaitmenų suma yra lygi trijų gretimų natūraliųjų skaičių sumai. Tačiau trijų

gretimų natūraliųjų skaičių suma visada yra užrašoma kaip suma a + (a+1)+(a+2), kur a yra pats mažiausias iš tų trijų gretimų skaitmenų. Tačiau suma a +

(a+1) + (a+2) yra lygi a + a +1 + a + 2 = 3a + 3 = 3(a + 1). Vadinasi, toji skaitmenų suma tikrai dalijasi iš 3. Tačiau skaičius dalijasi iš 3 tada ir tiktai tada,

kai iš 3 dalijasi jo skaitmenų suma, o mes ką tik ir įrodėme, kad trijų iš eilės einančių skaitmenų suma dalijasi iš 3, nes ji visada yra pavidalo 3(a + 1). Tada

pagal dalumo iš 3 požymį iš 3 dalinsis ir pats skaičius, todėl prielaida, kad pats tas skaičius iš 3 nesidalija, yra neteisinga. Vadinasi, kiekvienas skaičius,

užrašomas naudojant tris kaimyninius skaitmenis, dalijasi iš 3. Taigi, nėra skaičių, kurių dešimtainiam užrašui pakaktų trijų iš eilės einančių skaitmenų ir kurie

nesidalintų be liekanos iš 3.

4.2 pavyzdys. „Finansinių galių“ uždavinys: Imkime bet kur į žmogų ir jam priskirkime skai čių – teigiamą, neigiamą arba nulį, priklausomai,

kiek jis turi pajam ų ar skolų ar gal visai nieko neturi – nei pelno,nei skolų. Tą priskirt ą skaičių vadinkime duotojo žmogaus finansine galia: pagal tai,

kas pasakyta, žmogaus finansinė galia gali būti bet kuris teigiamas skaičius, neigiamas skaičius, taip pat ir nulis.

Bet kurios tokios žmonių grupės bendrąja finansine galia (grupė gali susidėti ir iš vienintelio žmogaus) laikysime visų atskirų tos grupės žmonių

finansinių galių sumą. Grupės finansinė galia bus vadinama pastebima, jeigu visų jos narių bendroji finansinė galia yra teigiama.

Imkime trij ų brolių grupę su pastebima bendrąja finansine galia. Ar trij ų brolių su pastebima finansine galia grupėje būtinai atsiras du broliai, kuri ų

bendroji finansinė galia irgi yra pastebima?

Sprendimas. Paprasčiausia tai būtų įrodyti mėginant gauti aiškią prieštarą tarp keturių hipotezių, kurių pirmoji hipotezė H0 yra prielaida apie tai, kad

trijų brolių: Jono, Baltraus ir Mato bendroji finansinė galia yra pastebima. Kitos trys hipotezės H1, H2 ir H3 yra apie tai, kad jokios dviejų brolių poros bendroji

finansinė galia nėra pastebima:

H1: Jono ir Baltraus bendroji finansinė galia nėra pastebima;

H2: Baltraus ir Mato bendroji finansinė galia nėra pastebima;

H3: Mato ir Jono bendroji finansinė galia nėra pastebima.

Kalba netaisyta

126

Įsitikinsime, kad visos tos keturios hipotezės H0, H1, H2 ir H3 vienu metu negali būti visos teisingos.

Paanalizuokime bendrą situaciją, kas būtų, jeigu jos visos keturios būtų visos teisingos ir panagrinėkime, ar nebus tai prieštaringa situacija.Žinome, kad

iš prieštaringų situacijų išplaukia rūšies „Aš nesu aš“ išvados, arba aiškios prieštaros.

Sakykime, kad Jono finansinė galia yra J (ji gali būti ir teigiama, ir neigiama, ir lygi nuliui), Baltraus finansinė galia yra B (ji, taip pat gali būti ir

teigiama, ir neigiama, ir lygi nuliui), kaip ir Mato finansinė galia M. Kadangi pagal uždavinio sąlygą visų trijų brolių bendroji finansinė galia yra pastebima, tai

reiškia, kad J + B + M > 0.

Dabar, jeigu teisingos ir visos trys likusios hipotezės H1, H2 ir H3, tai jokių dviejų brolių bendroji finansinė galia nėra pastebima, o tai reiškia, jog

J + B ≤ 0, B + M ≤ 0, M + J ≤ 0.

Tačiau jei dabar sudėtume jas visas tris kartu, tai gautume, jog 2(J + B + M) ≤ 0, t. y. J + B + M ≤ 0.

O tai prieštarauja hipotezei H0, kuri reiškia, kad J + B + M > 0. Matome, kad hipotezė H0 yra nesuderinama su hipotezėmis H1, H2 ir H3 kartu.

5. Bendresnio arba dalinio atvejo nagrinėjimo strategija. Pavyzdžių arba kontrapavyzdžių pateikimo strategija.

Tai gimininga samprotavimams, kai mes su įsitikinimu sakome „gyvenime taip tikrai būna, pavyzdžiui, kai yra taip“ arba kai stengiamės pagrįstai

tvirtinti „gyvenime nebūna taip, nes taip būti negali“.

5 pavyzdys. Ar teisingas teiginys „Jei stačiakampio kraštinių ilgiai, išreikšti centimetrais, yra sveikieji skaičiai, tai stačiakampio plotas,

skaičiuojant j į kvadratiniais centimetrais yra visada didesnis už to stačiakampio perimetrą, skaičiuojamą centimetrais“?

Tačiau jeigu kas nors būna dažnai, tai tas nereiškia, jog taip būna visada. Sakysime, neteisinga yra manyti, kad jeigu turime stačiakampį su kraštinėmis,

kurio ilgiai yra sveikieji skaičiai, tai jo plotas visada viršija jo perimetrą. Teiginį paneigia paprasčiausias vienetinis kvadratėlis, kurio visos kraštinės lygios 1, ir

jis ir yra tas kontrapavyzdys, nes juk tokio vienetinio kvadratėlio plotas yra 1 · 1 = 1 ir jis tikrai yra mažesnis už vienetinio kvadratėlio perimetrą, kuris yra

lygus 1+ 1 + 1 + 1 = 4.

6. Nesudėtingas tyrimas. Tai neretai būna suskirstymas į kelis atvejus, kiekvienu atveju sudarant tvarkingą galimybių sąrašą.

6 pavyzdys. Kokiais skaitmenimis gali baigtis sveikųjų skaičių nuo 0 iki 999 kvadratai?

Tradicinis samprotavimo, skirstant atvejais, pavyzdys galėtų būti toks. Sveikieji skaičiai nuo 0 iki 999 yra arba vienaženkliai – nuo 0 iki 9, arba

dviženkliai – nuo 10 iki 99, arba triženkliai – nuo 100 iki 999. Visus vienaženklių skaičių kvadratus nesunku užrašyti eilute 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 ir 81.

Taigi mes matome, kad vienaženklių skaičių kvadratai gali baigtis skaitmenimis 0, 1, 4, 5, 6, 9. Toliau darydami sąrašą mes matytume, kad dviženklio skaičiaus

kvadrato paskutinis skaitmuo yra toks pats kaip ir jo vienetų skaitmens kvadrato paskutinis skaitmuo, o jų kvadratų paskutiniai skaitmenys yra žinomi. Todėl ir

Kalba netaisyta

127

visų dviženklių skaičių kvadratų paskutiniai skaitmenys irgi yra pateikiami tuo pačiu sąrašu 0, 1, 4, 5, 6, 9. Lygiai taip pat būtų ir su triženkliais skaičiais. Ir jų

kvadratų paskutiniai skaitmenys būtų pateikiami tuo pačiu sąrašu. Po šių nagrinėjimų darytųsi aišku, kad ir su didesniais skaičiais vėl bus taip pat ir kad joks

skaičiaus kvadratas nesibaigia skaitmenimis 2, 3, 7 ir 8.

7. Motyvuoto spėjimo būdas ir tikrinimo būdas.

7 pavyzdys. Tomo tėtis turi atid ėjęs 45 tūkstančius litų paskolai Visatos Banke (VB) padengti. Yra sutarta, kad jis paskolą gali atiduoti arba

per du metus, arba per ilgesnį laiką. Vienintelė paskolos grąžinimo sąlyga yra ta, kad kiekvienais sekančiais metais reikia atiduoti vienu tūkstančiu

litų daugiau, negu kad buvo atiduota prieš metus. Dar yra sutarta, kad paskola bus grąžinama įnešant ją grynais pinigais per automatą, priimant į

pinigus specialiais tūkstančio litų vertės Visatos Banko kuponais. Ar tokiomis sąlygomis Tomo tėtis galėtų grąžinti banko paskolą per dvejus metus?

Sprendimas.

Jei jau Tomo tėtis imtų stengtis grąžinti banko paskolą per dvejus metus, tai savaime suprantama, kad jis tuos 45 tūkstančius turi grąžinti maždaug

dviem apylygėmis dalimis, reiškiamomis „sveikais“ tūkstančiais litų ir tokiomis, kad antroji dalis yra truputį didesnė už pirmąją. Kadangi 45000 pusiau yra 22

ir 1/2 tūkstančio litų, o atidavinėti privalu sveikais tūkstančiais litų, tai yra aišku, kad pirmais metais reikės įnešti 22 tūkstančius litų, arba 22 kuponus, o

antraisiais metais – jau 23 tūkstančius litus, arba 23 kuponus.

Sudarykime lentelę:

45 tūkstančių litų paskolos grąžinimas per 2 metus, kasmet įnešant vis po 1 tūkstantį litų daugiau

Pirmieji metai Antrieji metai

22000 Lt (22 kuponai) 23000 Lt (23 kuponai)

8. Lentelių taikymas.

8 pavyzdys. Tadas ir jo brolis Adas bei jų sesuo Cecilija kartu turi 12 procentų Karm ėlavos oro uosto akcijų. Jeigu Cecilija perpirktų visas Ado

akcijas, tai ji tur ėtų tiek pat akcijų, kaip ir Tadas. Jeigu ji perpirktų Tado turimas akcijas, tai ji turėtų jau 2/3 visų jų visų turim ų akcijų. Kiek

Karm ėlavos oro uosto akcijų turi kiekvienas iš jų, jeigu kiekvienas iš jų turi po sveiką oro uosto akcijų procentą?

Sprendimas

Kalba netaisyta

128

1) Jei perpirkusi visas Ado akcijas Cecilija turėtų tiek pat akcijų, kiek jų turi Tadas, tai reiškia, kad iš pradžių Adas ir Cecilija kartu turėjo tiek pat akcijų, kaip ir

vienas Tadas atskirai.

2) Kadangi visi kartu jie turi 12 procentų Karmėlavos oro uosto akcijų, tai Tadas turi 6 procentus Karmėlavos oro uosto akcijų, ir Cecilija kartu su Adu – irgi 6

procentus akcijų.

3) Du trečdaliai nuo 12 procentų yra 8 procentai. Tiek Cecilija turėtų perpirkusi visus 6 procentus Tado turimų akcijų, vadinasi, dabar ji tų akcijų turi 8 – 6 = 2

procentus. Tačiau kartu su Adu ji turi 6 procentus akcijų, vadinasi, Adas tų akcijų turi 6 – 2 = 4 procentus.

Atsakymas: Tadas turi 6 procentus Karmėlavos oro uosto akcijų, Adas – 4 procentus, o Cecilija – 2 procentus akcijų.

9. Lygčių, lygčių sistemų, nelygybių, nelygybių sistemų sudarymas.

9 pavyzdys. Tadas pasiėmė greitąją paskolą ir nor ėtų kuo greičiau ją išmokėti. Jis turi prad ėti j ą išmokėti nuo 2014 metų sausio mėnesio ir kas

mėnesį mokėti tiek pat. Jis susiskaičiavo, jog grąžindamas skolą tam tikromis numatytomis sumomis, jis grąžintų ją jau per pirmąj į 2014 metų

ketvirt į, o jeigu jis kiekvieną mėnesį grąžintų 2 tūkstančiais litų mažiau, tai sugrąžintų visą skolą per pirmąj į 2014 metų pusmetį, t. y. per šešis

mėnesius. Koks yra Tado pasiimtosios paskolos dydis?

Sprendimas.

Kelkime hipotezę, kad grąžinti skolą tikimės jau per ketvirtį, kas mėnesį atiduodami po 3 tūkstančius litų. Tada greitosios paskolos didumas būtų

3000 + 3000 + 3000, arba iš viso 9000 litų. Jeigu atidavinėtume per visą pirmąjį 2014 metų pusmetį, tai pagal sąlygą atidavinėtume po 3000 – 2000 arba po 1

tūkstantį litų į mėnesį, o tada per 6 mėnesius tegrąžinsime tik 6000 tūkstančius litų. Vadinasi, grąžinti reikės ne po tūkstantį litų, o po daugiau. Kelkime kitą

Tadas Adas Cecilija

Taip yra: 6 4 2

Jei Cecilija perpirktų visas Ado turimas akcijas, tai ji turėtų tiek pat akcijų kaip ir Tadas:

6 0 2 + 4 = 6

Jei Cecilija perpirktų visas Tado turimas akcijas, tai turėtų jau du trečdalius visų jų akcijų:

0 4 2 + 6 = 8

Kalba netaisyta

129

hipotezę, kad skolą galima grąžinti per ketvirtį kas mėnesį atiduodant jau nebe po 3, bet po 4 tūkstančius litų. Tada pačios greitosios paskolos didumas būtų

4000 + 4000 + 4000 = 12000 litų. Jeigu atidavinėtume ištisą pusmetį, tai kas mėnesį turėtume atiduoti po 4000 – 2000 = 2000 litų ir todėl dabar paskolos

didumas būtų 6 kartus po 2000 litų, arba vėl 12000 litų. Todėl dabar jau būtų viskas gerai.

Galime patikrinti su lygtimi. Tarkime, kad norėdami atiduoti paskolą per 3 mėnesius, mes per tuos 3 mėnesius turime kas mėnesį atidavinėti po x

tūkstančių litų. Tada atidavinėdami paskolą per 6 mėnesius, mes kas mėnesį atidavinėtume po x – 2 tūkstančius litų. Tada pagal sąlygą

3x = 6(x – 2), 3x = 6x – 12, ir x = 4 (tūkstančiai litų).

3. Problemų sprendimų uždavinių rinkiniai trims pasiekim ų lygiams

3.1. Finansinis raštingumas

Patenkinamas pasiekimų lygis

1. Tomo tėtis per sausio ir vasario mėnesius gavo 5000 litų pajamų, o per vasario ir kovo mėnesius − 6000 litų pajamų. Kiek pajamų jis turėjo kiekvieną

pirmojo ketvirčio mėnesį, jeigu per visą ketvirtį jis turėjo 8000 litų pajamų?

Pateiksime Tomo tėvo pajamų dviem gretimais mėnesiais lentelę:

Pirmasis metų ketvirtis Sausio−vasario mėnesiai Vasario−kovo mėnesiai Per visą ketvirtį

Tomo tėvo pajamos 5000 6000 8000

Užpildykite Tomo tėvo pirmojo ketvirčio pajamų lentelę atskirais mėnesiais:

Pirmojo ketvirčio mėnesiai

Sausis Vasaris Kovas Iš viso pajamų per

ketvirtį

Kalba netaisyta

130

Mėnesio pajamos ? ? ? 8000

Atsakymas:


Sausis Vasaris Kovas Iš viso pajamų per

ketvirtį

Mėnesio pajamos 8000−6000 = 2000 5000 − 2000 =3 000 8000 – 5000 = 3000 8000

2. Tomo tėtis per sausio ir vasario mėnesius turėjo 6000 litų išlaidų, o per vasario ir kovo mėnesius − 4500 litų išlaidų. Kiek išlaidų jis turėjo kiekvieną

pirmojo ketvirčio mėnesį, jeigu per visą ketvirtį jis turėjo 7500 litų išlaidų?

Iš pradžių surašykite į lentelę Tomo tėvo pirmojo ketvirčio išlaidas per sausio−vasario ir vasario−kovo mėnesius:

Pirmasis ketvirtis Sausio−vasario mėnesiai Vasario−kovo mėnesiai Per visą ketvirtį

Tomo tėvo išlaidos ? ? ?

Po to nustatykite Tomo tėvo išlaidas sausį, vasarį ir kovą ir užpildykite lentelę:


Sausis Vasaris Kovas Iš viso išlaidų per

ketvirtį

To mėnesio išlaidos ? ? ? ?

Atsakymas:

Pirmasis ketvirtis Sausio−vasario mėnesiai Vasario−kovo mėnesiai Per visą ketvirtį

Tomo tėvo išlaidos 6000 4500 7500

Kalba netaisyta

131


Sausis Vasaris Kovas Iš viso išlaidų per

ketvirtį

To mėnesio išlaidos 7500 – 4500 = 3000 6000 – 3000 = 3000 7500 – 6000 = 1500 7500

3. Tomo tėtis pasiskolino 15 tūkstančius litų (15 tūkstantinių kuponų) ir turi juos įnešti į Pasaulio Banko (PB) automatą, kiekvienais metais įnešdamas 1

kuponu daugiau negu yra įnešta prieš metus. Padėkite Tomo tėčiui sudaryti bent 2 skirtingus atsiskaitymo planus. Ar galima sudaryti tris skirtingus skolos

grąžinimo planus (arba sugalvoti tris skirtingas sėkmingas skolos grąžinimo strategijas)?

Atsakymas: Tomo tėtis turi kiekvienais metais atiduoti 1000 litų arba 1 kuponu daugiau negu atidavė prieš metus. Todėl 15000 litų arba 15 kuponų

jis galėtų grąžinti per 2 metus (15 = 7 + 8 atsiskaitant kuponais arba tūkstančiais litų), per 3 metus (15 = 4 + 5 + 6) , per 5 metus (15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5).

4. Tadas, jo brolis Adas ir jų sesuo Cecilija turi 10 procentų Karmėlavos oro uosto akcijų. Jeigu Cecilija perpirktų visas Ado turimas akcijas, tai ji turėtų

tiek pat akcijų, kaip ir Tadas. Jeigu ji perpirktų Tado turimas akcijas, tai ji turėtų 4/5 jų visų turimų akcijų. Kiek akcijų turi kiekvienas iš jų, jeigu kiekvienas

iš jų turi po sveiką akcijų procentą?

Išspręskite uždavinį ir užpildykite lentelę:

Tadas Adas Cecilija

Taip yra: ? ? ?

Jei Cecilija perpirktų visas Ado akcijas, tai ji turėtų tiek pat akcijų kaip ir Tadas:

? ? ?

Jei Cecilija perpirktų visas Tado akcijas, tai turėtų jau keturis penktadalius visų jų akcijų:

? ? ?

Atsakymas:

Tadas Adas Cecilija

Kalba netaisyta

132

Taip yra: 5 2 3

Jei Cecilija perpirktų visas Ado akcijas, tai ji turėtų tiek pat akcijų kaip ir Tadas:

5 2 − 2=0 3 + 2 = 5

Jei Cecilija perpirktų visas Tado akcijas, tai turėtų jau keturis penktadalius visų jų akcijų:

5 − 5=0 2 3 + 5 = 8

5. Brolis ir sesuo turi 44 procentus Gaudiškio banko akcijų. Jeigu brolis perleistų sesei pusę savo turimų akcijų, tai jie tada turėtų po lygiai akcijų. Kiek

akcijų turi sesuo ir kiek brolis?

Atsakymas: Brolis turi 44 procentus akcijų, o sesuo neturi nieko (turi 0 procentų akcijų).

6. Tadas ir keturi jo broliai įsigijo Gaudiškyje nekilnojamo turto, įnešę visi kartu 80 procentų suderėtų sandorio pinigų. Likusius 20 procentų turėjo įnešti

sesuo Elenytė. Prieš pat mokėjimą Tadas išlošė loterijoje 40 tūkstančių litų arba du kartus daugiau pinigų, negu kad jis arba sesuo turėjo įnešti, ir seseriai

jau nebereikėjo nieko pridėti. Už kiek tūkstančių nekilnojamo turto jie nusipirko?

Atsakymas: Pusė Tado išloštų pinigų yra 20 tūkstančių ir tai yra tie 20 procentų, kuriuos turėjo įnešti Elenytė. Vadinasi, visas turtas yra 100

tūkstančių litų.

7. Troškūnų banke paskutinę 2012 metų dieną Petras Dundulis paėmė paskolą kilnojamajam turtui pirkti. Už tą paskolą jis mokėjo 10% metinių palūkanų,

kurios lygiomis dalimis kas mėnesį buvo nuskaičiuojamos nuo Petro kreditinės kortelės sąskaitos per visus dvylika 2013-tųjų metų mėnesių, o pati paskola

– tokio didumo, kokio ji buvo paimta – grynaisiais pinigais buvo grąžinta paskutinę 2013 metų dieną. Taip per visus dvylika 2013-tųjų metų mėnesių nuo

Petro kreditinės kortelės kas mėnesį buvo nuskaičiuojama po 20 litų.

a) Kiek pinigų palūkanoms išleido Petras?

b) Koks buvo Petro paimtosios paskolos didumas?

c) Kiek palūkanų būtų mokėjęs Petras Dundulis kiekvieną 2013 metų mėnesį, jeigu mokėdamas tuos pačius 10 procentų palūkanų būtų pasiėmęs 12

tūkstančių litų paskolą?

Atsakymas:

Kalba netaisyta

133

a) Petras palūkanoms išleido 12 · 20 = 240 litų.

b) Jeigu 10 procentų paskolos buvo 240 litų, tai visa paskola buvo 10 kartų didesnė, t. y. lygi 2400 litų.

c) Jeigu jis būtų paėmęs 12 000 litų paskolą, tai tada jis mokėtų kiekvieną mėnesį 5 kartus didesnes palūkanas, arba kiekvieną mėnesį po 20 · 5 = 100 litų.

8. Imkime bet kurį žmogų ir jam priskirkime skaičių – teigiamą, neigiamą arba nulį, pagal tai, kiek jis turi santaupų, skolų, ar neturi nei santaupų, nei

skolų. Tą priskirtą skaičių vadinkime duotojo žmogaus finansine galia: pagal tai, kas pasakyta, žmogaus finansinė galia gali būti bet kuris teigiamas

skaičius, neigiamas skaičius, taip pat ir nulis. Bet kurios tokios žmonių grupės bendrąja finansine galia (grupė gali susidėti ir iš vienintelio žmogaus)

laikysime visų atskirų tos grupės žmonių finansinių galių sumą. Grupės finansinė galia bus vadinama pastebima, jeigu visų jos narių bendroji finansinė

galia yra teigiama.

Sakykime, kad trijų brolių Jono, Baltraus ir Mato bendroji finansinė galia yra lygi 10 000. Trijų brolių grupėje su pastebima bendrąja finansine galia

būtinai atsiras du broliai, kurių bendroji finansinė galia irgi yra pastebima.

a) Pagrįskite prielaidą, kad rasis du broliai, kurių finansinė galia yra pastebima ir didesnė už 1000.

b) Pagrįskite prielaidą, kad rasis du broliai, kurių finansinė galia yra pastebima ir didesnė už 5000.

c) Pagrįskite prielaidą, kad rasis du broliai, kurių finansinė galia yra pastebima ir didesnė už 10000.

d) Ar teisinga būtų tvirtinti, kad visada rasis du tokie broliai, kurių finansinė galia yra pastebima ir yra didesnė už 11000?

Nurodymas. Trijų brolių grupėje su pastebima bendrąja finansine galia būtinai atsiras du broliai, kurių bendroji finansinė galia irgi yra pastebima. Šioje

vietoje galima samprotauti įvairiai. Pavyzdžiui taip:

Tarkime, kad visi trys yra pastebimos finansinės galios, o tokios poros, kuri būtų pastebimos finansinės galios, nėra. Išrikiuokime tuos 3 žmones,

tarkime, A, B ir C pagal turtingumą abėcėlės eile, laikydami, kad C yra turtingiausias, ir panagrinėkime, ar B yra pastebimos finansinės galios ar ne. Jeigu taip,

tai tada toks pat (arba pastebimos finansinės galios) yra ir C. Tada B ir C pora yra pastebimos finansinės galios, o tai prieštarauja prielaidai. Lieka tada atvejis,

kai vidurinysis pagal turtingumą B nėra pastebimos finansinės galios. Tada trijų brolių bendri turimi pinigai priklauso dvejetui A ir C su pastebima finansine

galia. O tai prieštarauja prielaidai.

Atsakymas:

a) Prielaida teisinga. Jeigu nebūtų dviejų brolių, kurių bendroji finansinė galia yra pastebima ir didesnė už 1000, tai visi 3 broliai, tarp kurių gali būti ir

neturintis pastebimos finansinės galios, kartu niekaip neišgalėtų turėti 10000 piniginių vienetų.

b) Prielaida teisinga. Jeigu nebūtų dviejų brolių, kurių bendroji finansinė galia yra pastebima ir didesnė už 5000, tai visi 3 broliai, tarp kurių gali būti ir

Kalba netaisyta

134

neturintis pastebimos finansinės galios, kartu niekaip neišgalėtų turėti 10000 piniginių vienetų.

c) Prielaida ne visada teisinga. Pavyzdžiui, prielaida neteisinga, kai A finansinė galia lygi 2000, B – 3000, C – 5000.

d) Prielaida neteisinga. Jei ne visada yra brolių pora, kurios finansinė galia didesnė už 10000, tai ne visada bus pora, kurios finansinė galia bus dar

didesnė.

Pagrindinis pasiekimų lygis

1. Lentelėje surašytos Tomo tėvo pajamos ir išlaidos per sausio−vasario ir vasario−kovo mėnesius:

Pirmasis ketvirtis Sausio−vasario mėnesiai Vasario−kovo mėnesiai Pajamos/išlaidos per

ketvirtį

Tomo tėvo pajamos 5000 6000 8000

Tomo tėvo išlaidos 6000 4500 7500

Pajamų ir išlaidų skirtumas (iš pajamų atimamos išlaidos)

−1000 1500 500

Užpildykite lentelę, joje surašydami Tomo tėvo pajamas, išlaidas ir pajamų bei išlaidų skirtumus atskirais mėnesiais:

Pirmasis ketvirtis Sausis Vasaris Kovas Išlaidos/pajamos per

ketvirtį

Tomo tėvo pajamos ? ? ? 8000

Tomo tėvo išlaidos ? ? ? 7500


? ? ? 500

Atsakymas:

Kalba netaisyta

135

Pirmasis ketvirtis Sausis Vasaris Kovas Išlaidos/pajamos per

ketvirtį

Tomo tėvo pajamos 8000 – 6000 = 2000 5000 – 2000 = 3000 8000 – 5000 = 3000 8000

Tomo tėvo išlaidos 7500 – 4500 = 3000 6000 – 3000 = 3000 7500 – 6000 = 1500 7500


2000 – 3000 = −1000 3000 – 3000 = 0 3000 – 1500 = 1500 500

2. Tomo tėtis pasiskolino 33 tūkstančius litų (33 tūkstantiniai kuponai) ir turi juos įnešti į Pasaulio Banko (PB) automatą, kiekvienais metais įnešdamas 1

kuponu daugiau negu įnešė ankstesniais metais.

a) Ar galima sudaryti tris skirtingus skolos grąžinimo planus (arba sugalvoti tris skirtingas sėkmingas skolos grąžinimo strategijas)?

b) Ar galima sudaryti daugiau kaip tris skirtingus skolos grąžinimo planus? Kiek jų yra iš viso?

Atsakymas:

a) Galima. Per 2 metus: 33 000 = 16 000 + 17 000, per 3 metus: 33 000 = 10 000 + 11 000 + 12 000; per 6 metus: 33 000 = 3 000 + 4 000 + 5000 + 6 000

+ 7000 + 8000.

b) Negalima. Skolos grąžinimo per 2, 3 ir 6 kartus planai nurodyti a) dalies atsakyme. Toliau reikėtų pagrįsti, kodėl 33 tūkstančių negalima atiduoti per 4

kartus (tada grąžinami pinigai turėtų būti lyginis tūkstančių skaičius), per 5 kartus (tada grąžinamų tūkstančių skaičius turėtų dalintis iš 5) ir per didesnį

metų skaičių (pavyzdžiui, dėl to, kad tų tūkstančių tėra tik 33).

3. Tadas, jo brolis Adas bei jų sesuo Cecilija turi 20 procentų Karmėlavos oro uosto akcijų. Jeigu Cecilija perpirktų visas Ado turimas akcijas, tai turėtų 2

procentais akcijų daugiau negu Tadas. Jeigu ji perpirktų visas Tado akcijas, tai ji turėtų 7/10 jų visų akcijų. Kiek akcijų turi kiekvienas iš jų, jeigu

kiekvienas turi po sveiką akcijų procentą? Išspręskite uždavinį ir užpildykite sprendimo patikrinimo lentelę:

Tadas Adas Cecilija

Taip yra: ? ? ?

Kalba netaisyta

136

Jei Cecilija perpirktų visas Ado akcijas, tai ji turėtų 2 procentais akcijų daugiau negu Tadas:

? ? ?

Jei Cecilija perpirktų visas Tado akcijas, tai turėtų septynis dešimtadalius visų jų akcijų:

? ? ?

Atsakymas:

4. Brolis ir sesuo turi 56 procentus Gaudiškio banko akcijų. Jeigu brolis perleistų seseriai trečdalį savo turimų akcijų, tai sesuo tada turėtų 12 procentų

akcijų daugiau negu brolis. Kiek akcijų turi sesuo ir kiek brolis?

Atsakymas: Sesuo turi 23 procentus, brolis – 33 procentus Gaudiškio banko akcijų.

5. Trys broliai – Romas, Tomas ir Tadas − visi kartu turi 18 procentų Nemuno laivybos kompanijos akcijų. Tadas yra stipriausias akcininkas, o Romas ir

Tomas turi tų akcijų po lygiai. Pagal prisiimtus įsipareigojimus 2016 metų sausio 1 dieną Tadas privalo iš savo turimų akcijų perleisti ir Romui, ir Tomui po

tiek akcijų, kiek jie tų akcijų dabar turi. Akcijų analitikai mato, kad tada visi trys broliai turės po tiek pat akcijų. Kaip jų turimos akcijos yra pasiskirsčiusios

dabar?

Sprendimas. Uždavinys yra „ėjimo atgal“ uždavinys. Jeigu trys broliai dabar turi 18 procentų akcijų, tai jie ir po perskirstymo visi trys kartu turės tuos

pačius 18 procentų. Bet po perskirstymo jie turės jų po lygiai, t. y. kiekvienas po 6 procentus. Dabar darome žingsnį atgal. Kai Romas gaus tiek procentų akcijų,

Tadas Adas Cecilija

Taip yra: 9 6 5

Jei Cecilija perpirktų visas Ado akcijas, tai ji turėtų 2 procentais akcijų daugiau negu Tadas:

9 6 – 6 = 0 5 + 6 = 11

Jei Cecilija perpirktų visas Tado akcijas, tai turėtų septynis dešimtadalius visų jų akcijų:

9 – 9 = 0 6 5 + 9 = 14

Kalba netaisyta

137

kiek jų turėjo, jis turės 6 procentus tų akcijų. Vadinasi, jis pusę, t. y. 3 procentus, gaus iš Tado. Kitaip sakant, jis gaus 3 procentus akcijų iš Tado, o dabar turi

irgi 3 procentus. Kadangi Romas ir Tomas kartu turi 6 procentus akcijų, tai Tadas jų turi 18 – 6 = 12 procentų.

Tomas Romas Tadas

Akcijų išsidėstymas prieš perleidimą 12 3 3

Akcijų išsidėstymas po perleidimo 6 6 6

6. Troškūnų banke paskutinę 2012 metų dieną Petras Dundulis paėmė paskolą kilnojamajam turtui pirkti. Už tą paskolą jis mokėjo 20% metinių palūkanų,

kurios lygiomis dalimis kas mėnesį buvo nuskaičiuojamos nuo Petro kreditinės kortelės sąskaitos visus dvylika 2013-tųjų metų mėnesių, o pati paskola

atskirai – tokio didumo, kokio ji buvo paimta – grynaisiais pinigais buvo grąžinta paskutiniąją 2013 metų dieną. Taip per visus dvylika mėnesių nuo Petro

kreditinės kortelės buvo nuskaičiuojama po 95 litus.

c) Kiek pinigų dvidešimtprocentėms palūkanoms išleido Petras per 2013 metus?

d) Koks yra pačios paskolos didumas?

e) Kiek palūkanų būtų mokėjęs Petras Dundulis kiekvieną 2013 metų mėnesį, jeigu su tomis pačiomis dvidešimtprocentėmis palūkanomis būtų pasiėmęs

84 000 litų paskolą?

Atsakymas:

a) 95·12 = 1140 Lt.

b) Jei 20 procentų paskolos yra 1440 litų, tai visa paskola yra 1140 · 5 = 5700 litų.

c) Palūkanoms per metus būtų paskirta 84 000 : 5 = 16 800 litų, taigi kiekvieną mėnesį būtų mokėjęs po 16 800 : 12 = 1 400 litų.

7. Imkime bet kurį žmogų ir jam priskirkime skaičių – teigiamą, neigiamą arba nulį, pagal tai, kiek jis turi santaupų, skolų ar neturi nei santaupų, nei skolų.

Tą priskirtą žmogui skaičių vadinkime jo finansine galia.Taigi, žmogaus finansinė galia gali būti bet kuris teigiamas, neigiamas skaičius arba nulis. Bet

kurios žmonių grupės bendrąja finansine galia (grupė gali susidėti ir iš vienintelio žmogaus) laikysime visų atskirų tos grupės žmonių finansinių galių sumą.

Grupės finansinė galia bus vadinama pastebima, jeigu visų jos narių bendroji finansinė galia yra teigiama. Sakykime, kad bendroji trijų brolių Jono,

Kalba netaisyta

138

Baltraus ir Mato finansinė galia pastebima ir yra didesnė kaip 1 000 000 litų. Trijų brolių grupėje su pastebima bendrąja finansine galia būtinai atsiras du

broliai, kurių bendroji finansinė galia irgi yra pastebima.

a) Ar teisinga būtų sakyti, kad atsiras du tokie broliai, kurių bendroji finansinė galia yra didesnė kaip 1 000 000 litų?

b) Ar teisinga prielaida, kad visada atsiras dvi skirtingos brolių poros, kurių bendroji finansinė galia yra pastebima?

Nurodymas. Trijų brolių grupėje su pastebima bendrąja finansine galia būtinai atsiras du broliai, kurių bendroji finansinė galia irgi yra pastebima. Šioje

vietoje galima samprotauti įvairiai. Pavyzdžiui taip:

Tarkime, kad visi trys yra pastebimos finansinės galios, o tokios poros, kuri būtų pastebimos finansinės galios, nėra. Išrikiuokime tuos 3 žmones, tarkime, A, B

ir C pagal turtingumą abėcėlės eile, laikydami, kad C yra turtingiausias, ir panagrinėkime, ar B yra pastebimos finansinės galios ar ne. Jeigu taip, tai tada toks

pat (arba pastebimos finansinės galios) yra ir C. Tada B ir C pora yra pastebimos finansinės galios, o tai prieštarauja prielaidai. Lieka tada atvejis, kai

vidurinysis pagal turtingumą B nėra pastebimos finansinės galios. Tada trijų brolių bendri turimi pinigai priklauso dvejetui A ir C su pastebima finansine galia.

O tai prieštarauja prielaidai.

Atsakymas:

a) Ne, taip nebūtinai turi būti. Prielaida neteisinga, pavyzdžiui, kai kiekvienas iš 3 brolių turi po 400 000 litų.

b) Ne. Prielaida neteisinga, pavyzdžiui, kai vienas brolis turi 5 milijonus litų skolos, o kiti du – po 4 milijonus santaupų.

Aukštesnysis pasiekimų lygis

1. Tomo tėvo pajamos 2013 metais: per pirmą ir antrą 2013 metų ketvirčius kartu jis turėjo 50 000 litų pajamų, per antrą ir trečią – 60 000 litų pajamų, per

trečią ir ketvirtą – 70 000 litų pajamų. Tomo tėvo išlaidos buvo tokios: per pirmą ir antrą 2013 metų ketvirčius kartu jis turėjo 60 000 litų išlaidų, per antrą ir

trečią – 45 000 litų išlaidų, per trečią ir ketvirtą – 55 000 litų išlaidų. Be to, per pirmą ketvirtį turėjo 40 000 litų pajamų ir 30 000 litų išlaidų. Nustatykite Tomo

tėvo pajamas ir išlaidas atskirais 2013 metų ketvirčiais bei per visus 2013 metus ir užpildykite dvi žemiau pateikiamas lenteles:

1 lentelė. Duomenų registracija ir bendrų pajamų/išlaidų dydžio nustatymas

Gretimais ketvirčiais I ir II ketvirčiai II ir III ketvir čiai III ir IV ketvir čiai Pajamos/išlaidos

per metus

Kalba netaisyta

139

Tomo tėvo pajamos 50 000 60 000 70 000 ?

Tomo tėvo išlaidos 60 000 45 000 55 000 ?


? ? ? ?

2 lentelė. Pajamų ir išlaidų atskirais mėnesiais nustatymas bei duomenų pateikimas

Atsakymas:

1 lentelė. Duomenų registracija ir bendrų pajamų/išlaidų dydžio nustatymas

Gretimais ketvirčiais I ir II ketvirčiai II ir III ketvir čiai III ir IV ketvir čiai Pajamos/išlaidos

per metus

Tomo tėvo pajamos 50 000 60 000 70 000 50 000 + 70 000 = 120 000

Tomo tėvo išlaidos 60 000 45 000 55 000 60 000 + 55 000 = 115 000


50000 – 60000 = –10 000 60 000 – 45 000 = 15 000 70 000 – 55 000 = 15 000 120 000 – 115 000 = 5 000

Atskirais ketvirčiais I ketvirtis II ketvirtis III ketvirtis IV ketvirtis Pajamos/išlaidos per metus

Tomo tėvo pajamos ? ? ? ? ?

Tomo tėvo išlaidos ? ? ? ? ?

Pajamų ir išlaidų skirtumas

? ? ? ? ?

Kalba netaisyta

140

2 lentelė. Pajamų ir išlaidų atskirais mėnesiais nustatymas bei duomenų pateikimas

2. Tomo tėvo trestas sausio mėnesį turėjo 200 000 litų pajamų ir 300 000 litų išlaidų. Lentelėje pateikiamos tresto planuojamos pajamos metų gretimais

mėnesiais po du:

Imant po du mėnesius Sausio−vasaris Vasaris−kovas Kovas−balandis Balandis−gegužė Gegužė−birželis Visos pusmečio

pajamos

Tomo tėvo tresto pajamos 500 000 600 000 700 000 650 000 550 000 ?

Planuojamų išlaidų metų gretimais mėnesiais po du lentelė:


išlaidos

Tomo tėvo tresto išlaidos 600 000 450 000 550 000 580 000 615 000 ?

a) Nustatykite planuojamas pajamas atskirais metų mėnesiais:

Atskirais mėnesiais

Sausis Vasaris Kovas Balandis Gegužė Birželis Viso pusmečio

pajamos

Atskirais ketvirčiais I ketvirtis II ketvirtis III ketvirtis IV ketvirtis Pajamos/išlaidos per

metus

Tomo tėvo pajamos 40 000 50 000 – 40 000 = 10 000 60 000 – 10 000 = 50 000 70 000 – 50 000 = 20 000 120 000

Tomo tėvo išlaidos 30 000 60 000 – 30 000 = 30 000 45 000 – 30 000 = 15 000 55 000 – 15 000 = 40 000 115 000

Pajamų ir išlaidų skirtumas

40 000 – 30 000 = 10 000 10 000 – 30 000 = –20000 50 000 – 15 000 = 35 000 20 000 – 40 000 = –20000 5 000

Kalba netaisyta

141

Pajamos ? ? ? ? ? ? ?

b) Nustatykite planuojamas išlaidas atskirais metų mėnesiais:



išlaidos

Išlaidos ? ? ? ? ? ? ?

c) Sudarykite planuojamo pelno lentelę atskirais mėnesiais:



pelnas

Pelnas ? ? ? ? ?

? ?

d) Ar gali būti, kad visais gretimais laikotarpiais išlaidos didesnės už pajamas, o imant per visą ištisą laiką gaunama pelno, t. y. visos pajamos pranoksta

visas išlaidas? Pateikite pavyzdžių.

Atsakymas:

Tresto planuojamos pajamos metų gretimais mėnesiais po du:


pajamos

Tomo tėvo tresto pajamos 500 000 600 000 700 000 650 000 550 000

1750000550000

700000

500000

+

Kalba netaisyta

142

Planuojamų išlaidų metų gretimais mėnesiais po du lentelė:


išlaidos

Tomo tėvo tresto išlaidos 600 000 450 000 550 000 580 000 615 000

1765000615000

550000

600000

+

a) Planuojamos pajamos atskirais metų mėnesiais:



pajamos

Pajamos 200 000

300000200000

500000−

300000300000

600000−

400000300000

700000−

250000400000

650000−

300000250000

550000−

1 750 000

b) Planuojamos išlaidos atskirais metų mėnesiais:



išlaidos

Išlaidos 300 000

300000300000

600000−

150000300000

450000−

400000150000

550000−

180000400000

580000−

435000180000

615000−

1 765 000

c) Planuojamas pelnas atskirais mėnesiais:

Kalba netaisyta

143



pelnas

Pelnas –100 000 0 150 000 0 70 000 –135 000 –15

d) Gali, pavyzdžiui:

Mėnesiai Sausis Vasaris Kovas Balandis Gegužė Birželis Liepa Rugpjūtis Iš viso per 8

mėnesius Pajamos

minus išlaidos 4 000 4 000 –9 000 4 000 4 000 –9 000 4 000 4000 4 · 6 – 9 · 2 = 6

(tūkst. litų)

Matome, kad pajamos viršija išlaidas (6 tūkstančiais litų), o imant bet kuriuos 3 mėnesius, einančius iš eilės, išlaidos visada būtų 1 tūkstančiu litų

didesnės už pajamas (jos visada būtų 4 000 + 4000 – 9000 = –1 000 litų).

3. Tomo tėtis pasiskolino 75 tūkstančius litų (75 tūkstantiniai kuponai) ir turi juos įnešti į Pasaulio Banko (PB) automatą, kiekvienais metais įnešdamas 1

kuponu daugiau negu įnešė ankstesniais metais.

a) Padėkite Tomo tėčiui sudaryti bent 3 skirtingus skolos grąžinimo planus.

b) Ar galima sudaryti daugiau kaip 3 skirtingus skolos grąžinimo planus?

c) Ar galima sudaryti daugiau kaip 4 skirtingus skolos grąžinimo planus? Ar galima sudaryti 5 skirtingus skolos grąžinimo planus? Kiek tokių sėkmingų

skirtingų planų gali būti iš viso?

Atsakymas:

a) 75 000 = 37 000 + 38 000; 75 000 = 24 000 + 25 000 + 26 000; 75 000 = 13 000 + 14 000 +15 000 + 16 000 + 17 000.

b) Galima. Pavyzdžiui, ketvirtas skolos grąžinimo planas gali būti toks 75 000 = 10 000 + 11 000 +12 000 + 13 000 + 14 000 + 15 000.

c) Galima.

4. Tadas, jo brolis Adas ir jų sesuo Cecilija turi 36 procentus Karmėlavos oro uosto akcijų. Jeigu Cecilija perpirktų visas Ado akcijas, tai ji turėtų du kartus

daugiau akcijų kaip Tadas. Jeigu ji perpirktų visas Tado akcijas, tai ji turėtų 5/6 jų visų trijų turimų akcijų. Kiek akcijų turėjo kiekvienas iš jų atskirai, jeigu

kiekvienas iš jų turi po sveiką akcijų procentą? Išspręskite uždavinį ir sudarykite sprendimo patikrinimo lentelę:

Kalba netaisyta

144

Tadas Adas Cecilija

Taip yra: ? ? ?

Jei Cecilija perpirktų visas Ado akcijas, tai ji turėtų du kartus daugiau akcijų kaip Tadas:

? ? ?

Jei Cecilija perpirktų visas Tado akcijas, tai turėtų penkis šeštadalius visų jų akcijų: ? ? ?

Atsakymas:

Tadas Adas Cecilija

Taip yra: 12 6 18

Jei Cecilija perpirktų visas Ado akcijas, tai ji turėtų du kartus daugiau akcijų kaip Tadas:

12 6 – 6 = 0 18 + 6 = 24

Jei Cecilija perpirktų visas Tado akcijas, tai turėtų penkis šeštadalius visų jų akcijų:

12 – 12 = 0 6 18 + 12 = 30

5. Brolis ir sesuo turi 48 procentus Gaudiškio banko akcijų. Jeigu brolis perleistų seseriai ketvirtąją dalį savo turimų akcijų, tai sesuo tada turėtų 6

procentais akcijų mažiau negu jos brolis. Kiek akcijų turi sesuo ir kiek brolis?

Atsakymas: Brolis turi 36, o sesuo – 12 procentų Gaudiškio banko akcijų.

6. Kredito unija priima indėlį metams mokėdama 100 % metinių palūkanų, bet ima fiksuotą 2 tūkstančių litų pinigų saugos mokestį už finansinę riziką

kiekvieną tų metų mėnesį. Kredito unija nepriima indėlio, didesnio už 22 tūkstančius litų. Ar verta laikyti pinigus tokioje kredito unijoje?

Kalba netaisyta

145

Atsakymas: Tikriausiai neverta, nes padėję didžiausią leistiną sumą, t. y. 22 tūkstančius litų, po metų turėtume 44 tūkstančius litų, bet sumokėtume 24

tūkstančius litų saugos mokestį ir liktų 20 tūkstančių litų – mažiau negu padėtas indėlis.

7. 6 broliai yra paėmę studijų paskolas ir susitarę jas grąžinti, skirdami pinigų po lygiai. Vienas brolis mokosi Muzikos ir meno akademijoje, kurioje

mokslas atsieina daug brangiau. Jeigu brolis, kuris mokosi Muzikos ir meno akademijoje, mokytųsi nemokamai, tai tada likusiems 5 broliams jų metinės

įmokos būtų po 2 tūkstančius litų mažesnės. Kokio dydžio yra banko paskola studijuojantiems Muzikos ir meno akademijoje?

Atsakymas: 10000 Lt.

8. Troškūnų banke paskutinę 2012 metų dieną Petras Dundulis paėmė dvi paskolas kilnojamajam turtui pirkti − vieną dvigubai mažesnę už kitą. Už

mažesniąją jis mokėjo 10 procentų metinių palūkanų, o už didesniąją − 20 procentų metinių palūkanų. Palūkanos lygiomis dalimis ir kas mėnesį buvo

nuskaičiuojamos nuo Petro kreditinės kortelės sąskaitos per visus dvylika mėnesių. Pačios paskolos – tokio didumo, kokio jos buvo paimtos – grynaisiais

pinigais buvo grąžintos paskutinę 2013 metų dieną. Per visus dvylika 2013-tųjų metų mėnesių nuo Petro kreditinės kortelės už abejas palūkanas kas mėnesį

buvo nuskaičiuojama po 90 litų.

a) Raskite, kiek palūkanų už kiekvieną paskolą mokėjo Petras Dundulis.

b) Koks yra abiejų paskolų didumas?

c) Kiek pačių palūkanų Dundulis būtų mokėjęs kas mėnesį, jeigu jis būtų išsiderėjęs abi tas paskolas paimti už 15 procentų metinių palūkanų?

Atsakymas:

a) Mokėjo kiekvieną mėnesį 18 litų palūkanų už mažesniąją paskolą ir 72 litus už didesniąją paskolą. Todėl per metus už mažesniąją paskolą jis sumokėjo

216 litų, už didesniąją 864 litų palūkanų.

b) Mažesnės paskolos didumas yra 2160 litų, didesnės – 4320 Lt.

c) Abi paskolos sudaro 2160 + 4320 = 6480 litų, 15 procentų paskolintos sumos sudarytų 972 litai, kuriuos reiktų išskirstyti į 12 lygių dalių. Jis būtų

mokėjęs kiekvieną mėnesį po 972 : 12 = 81 litą palūkanų.

9. Imkime bet kurį žmogų ir jam priskirkime skaičių – teigiamą, neigiamą arba nulį, pagal tai, kiek jis turi santaupų, skolų ar neturi nei santaupų, nei skolų.

Tą priskirtą skaičių vadinkime duotojo žmogaus finansine galia. Taigi, žmogaus finansinė galia gali būti teigiamas skaičius, neigiamas skaičius arba nulis.

Bet kurios tokios žmonių grupės bendrąja finansine galia (grupė gali susidėti ir iš vienintelio žmogaus) laikysime visų atskirų tos grupės žmonių finansinių

galių sumą. Grupės finansinę galią vadinsime pastebima, jeigu visų jos narių bendroji finansinė galia yra teigiama. Sakykime, kad keturių brolių Aloyzo,

Jono, Baltraus ir Mato bendroji finansinė galia yra pastebima ir sudaro lygiai 1 000 000 litų.

Kalba netaisyta

146

a) Ar teisinga hipotezė, kad keturių brolių grupėje visada atsiras du tokie broliai, kurių bendroji finansinė galia yra pastebima ir yra didesnė kaip 400 000

litų?

b) Ar teisinga hipotezė, kad šioje grupėje visada atsiras du broliai, kurių bendroji finansinė galia yra pastebima ir yra didesnė kaip 500 000 litų?

c) Ar teisinga hipotezė, kad joje visada atsiras du broliai, kurių bendroji finansinė galia yra pastebima ir yra didesnė kaip 600 000 litų?

d) Ar teisinga hipotezė, kad joje visada atsiras dvi tokios skirtingos brolių poros, kurių kiekvienos bendroji finansinė galia yra pastebima?

e) Ar teisinga hipotezė, kad joje visada atsiras trys skirtingos brolių poros, kurių kiekvienos bendroji finansinė galia yra pastebima?

f) Ar teisinga hipotezė, kad joje visada atsiras keturios skirtingos brolių poros, kurių kiekvienos bendroji finansinė galia yra pastebima?

Atsakymas:

a) Teisinga.

b) Neteisinga. Pavyzdžiui, gali būti, kad kiekvieno iš 4 brolių finansinė galia lygiai ketvirtis milijono, tada kiekvienos poros finansinė galia yra pastebima

ir lygi 500 000 litų.

c) Neteisinga.

d) Teisinga.

e) Teisinga.

f) Neteisinga.

3.2. Statistika


1. Turime lentelę, kurioje yra įrašyti du skaičiai, abu pirmoje eilutėje:

2 4

1) Onutė skaičiuoja abiejų įrašytų pirmosios eilutės skaičių sumą. Kam yra lygi pirmoje eilutėje esančių skaičių suma?

Kalba netaisyta

147

2) Onutė norėtų įrašyti į šią statistinę lentelę dar vieną skaičių. Kaip įrašyti į lentelę dar vieną, jau trečią skaičių taip, kad pirmosios eilutės skaičių suma

būtų tokia pat kaip ir antrojo stulpelio skaičių suma? Įrašykite tokį trečią skaičių pagal tinkamo parinkimo strategiją arba panaudodami lygtį.

3) Onutę jos draugė Daiva paklausė, ar įmanoma įrašyti į lentelę dar vieną, jau ketvirtą skaičių taip, kad abiejų (ir pirmojo, ir antrojo) stulpelių skaičių

sumos būtų vienodos. Įrašykite į lentelę dar vieną skaičių arba pagal tinkamo parinkimo strategiją, arba panaudodami lygtį taip, kad dabar jau ir

pirmojo, ir antrojo stulpelių skaičių sumos būtų vienodos.

4) Ar baigus pildyti lentelę pirmosios ir antrosios eilutės skaičių sumos bus vienodos?

5) Ar baigus pildyti lentelę visos keturios sumos skaičiuojant jas eilutėmis ir stulpeliais bus vienodos?

6) Motiejus sako, kad jis galėtų baigti pildyti lentelę kitaip, bet vis tiek taip, kad ir vėl visos keturios sumos, būtų lygios?

7) Atėjęs Darius į kitą laisvą antrosios pradinės eilutės stulpelio langelį įrašė 3:

2 4

3

a) Onutė dabar norėtų baigti pildyti lentelę įrašydama ketvirtą skaičių į paskutinį dar laisvą langelį taip, kad pirmojo stulpelio skaičių suma būtų lygi

10. Padėkite Onutei − baikite pildyti lentelę taip, kad abiejų pirmojo stulpelio skaičių suma būtų lygi 10. Ar galėtų Onutė tai padaryti dviem

skirtingais būdais?

b) Onutė dabar norėtų baigti pildyti lentelę dar kitaip, įrašydama skaičių į vienintelį dar laisvą langelį taip, kad abiejų antrosios eilutės skaičių suma

būtų lygi 10. Įrašykite skaičių taip, kad antrosios eilutės skaičių suma būtų lygi 10. Ar galėtų Onutė tai atlikti dviem skirtingais būdais, jeigu Onutė

skaičius įrašo skaičius pagal parinkimo strategiją arba naudodamasi lygtimi?

c) Onutė norėtų baigti pildyti lentelę dar kitaip, bet taip, kad vis tiek ir abiejų eilučių, ir abiejų stulpelių skaičių sumos būtų visos keturios tokios pačios.

Padėkite Onutei atlikti užduotį arba jei to padaryti negalima, paaiškinkite kodėl.

Atsakymas:

1) 6.

2)

2 4 2

3)

Kalba netaisyta

148

2 4 4 2

4) Taip.

5) Taip.

6) Ne.

7)

a)

2 4 8 3

Onutė tai gali padaryti vieninteliu būdu.

b)

2 4 7 3

Ne, dviem skirtingais būdais Onutė to padaryti negalėtų.

c) Neįmanoma.

2. 2014 metais Jonas pradėjo imti greitąsias paskolas savo smulkiajam verslui stimuliuoti ir nuo metų pradžios jau yra spėjęs paimti 9 paskolas. Visų jo iki

šiol paimtų greitųjų paskolų vidurkis yra 5 tūkstančiai litų. Jis norėtų paimti dar vieną, jau 10-tą greitąją paskolą, ir prieš paimdamas ją pasiskaičiavo, kad ją

paėmus, visų jo paskolų vidurkis padidėtų 1 tūkstančiu litų. Kokio didumo paskolą Jonas dabar nori paimti?

Atsakymas: 15 tūkstančių litų.


1. Turime dviejų eilučių lentelę, kurioje yra įrašyti penki skaičiai, iš kurių trys yra pirmoje eilutėje ir du skaičiai − antroje:

2 4 2

3 3

Kalba netaisyta

149

1) Į vienintelį dar laisvą pirmos eilutės laukelį Onutė įrašo 4 ir gauna pilnesnę lentelę:

Dabar Onutė suskaičiuoja visų keturių pirmosios eilutės skaičių sumą. Kam yra lygi toji pirmosios eilutės skaičių suma?

a) Onutė norėtų baigti pildyti šią statistinę lentelę. Ji norėtų įrašyti į lentelės antrąją eilutę dar du skaičius taip, kad visų keturių stulpelių skaičių sumos

būtų visos vienodos. Kaip įrašyti į lentelę dar du skaičius, vieną į pirmąjį, o kitą į ketvirtąjį lentelės stulpelį taip, kad visų keturių stulpelių abiejų skaičių sumos

būtų vienodos? Įrašykite po skaičių į tuos du langelius arba pagal tinkamo parinkimo strategiją, arba, panaudodami lygtį.

b) Onutė norėtų baigti pildyti šią statistinę lentelę dar kitaip. Ji norėtų įrašyti į lentelę du skaičius taip, kad dabar visų keturių pirmosios eilutės skaičių

suma būtų lygi visų keturių antrosios eilutės skaičių sumai. Kaip įrašyti į lentelę dar du skaičius, vieną į pirmąjį, o kitą į ketvirtąjį stulpelį taip, kad visų keturių

pirmosios eilutės skaičių suma būtų lygi visų keturių antrosios eilutės skaičių sumai? Įrašykite po skaičių į tuos du langelius arba pagal tinkamo parinkimo

strategiją, arba panaudodami lygtį.

c) Ar Onutė turi tik vieną vieną galimybę atlikti b) dalies uždavinį? Jei ji turi daugiau galimybių b) dalies užduočiai įvykdyti, tai nurodykite kokią nors

tokią galimybę.

d) Onutė norėtų baigti pildyti lentelę ir dar kitaip, įrašydama į ją du skaičius taip, kad ir visų keturių stulpelių ir abiejų eilučių visos šešios sumos būtų visos

vienodos. Ar galima tai padaryti? Jeigu tai padaryti yra galima, tai pateikite tokį pavyzdį, o jeigu tai yra neįmanoma, tai nurodykite, kodėl.

2)

2 4 2

3 3

Į pradinę lentelę Onutė vietoje 4 įrašė x, o į likusius du langelius ji įrašė skaičius y ir z ir gavo lentelę

2 4 x 2

y 3 3 z

a) Ar gali Onutė surasti kitokį x, kuris nebūtų lygus 4, ir tokius y ir z, kad visų keturių tos lentelės stulpelių sumos būtų visos vienodos?

b) Ar gali Onutė surasti tokius x, y, ir z, kad visų keturių tos lentelės stulpelių ir abiejų tos lentelės eilučių skaičių sumos būtų visos vienodos? Jei tai

2 4 4 2

3 3

Kalba netaisyta

150

įmanoma, tai naudodami parinkimo strategiją arba pritaikę lygtį nurodykite tinkamus pavyzdžius, o jeigu tai yra neįmanoma, tai paaiškinkite, kodėl.

Atsakymas:

1) 10.

a)

2 4 4 2 5 3 3 5

b) Galima, pavyzdžiui,

2 4 4 2 1 3 3 5

c) Ne, Onutė turi ir daugiau galimybių, pavyzdžiui,

2 4 4 2

3 3 3 3

d) Ne, to padaryti negalima. Jeigu tai padaryti būtų galima, tai lentelės visų skaičių suma skaičiuojant eilutėmis, skirtųsi nuo lentelės visų skaičių sumos

skaičiuojant stulpeliais (iš pačios pirmosios lentelės matome, kad antrame stulpelyje abiejų skaičių suma yra 4 +3 arba 7).

2)

a) Ne, to padaryti Onutė negali.

b) Ne, to padaryti Onutė negali, nes lentelės visų skaičių suma, skaičiuojant eilutėmis, turi būti lygi lentelės visų skaičių sumai, skaičiuojant stulpeliais, o

eilučių skaičius nelygus stulpelių skaičiui.

2. 10 dienų iš eilės Jonas ėmė greitąsias paskolas, kiekvieną kartą vis po vieną tūkstantį litų didesnes. Jo sesuo Karolina grąžino dvi pačias didžiausias

Jono paimtas paskolas. Keliais tūkstančiais litų sumažėjo Jono paskolų vidurkis? Kaip būtų pasikeitęs Jono paskolų vidurkis, jeigu Karolina būtų grąžinusi

bankui dvi pačias mažiausias Jono paskolas?

Atsakymas: Paskolų vidurkis sumažėjo 1 tūkstančiu litų. Paskolų vidurkis būtų padidėjęs 1 tūkstančiu litų.


Kalba netaisyta

151

1. Turime trijų eilučių lentelę, kurioje yra įrašyti skaičiai, trys skaičiai pirmoje ir po du skaičius yra antroje bei trečioje eilutėse:

2 4 2

3 3

6 1

1) Į vienintelį dar laisvą pirmosios eilutės laukelį Onutė įrašo 5, papildydama lentelę:

2 4 5 2

3 3

6 1

Kuri eilutė ir kuris stulpelis jau visiškai užpildyti? Kokia yra tos eilutės skaičių suma? Kokia yra to stulpelio skaičių suma?

a) Onutė norėtų užbaigti pildyti šią statistinę lentelę. Ji norėtų įrašyti į lentelę dar keturis skaičius taip, kad visų keturių stulpelių skaičių sumos būtų visos

vienodos. Kaip įrašyti į lentelę dar keturis skaičius taip, kad visų keturių stulpelių abiejų skaičių sumos būtų vienodos?

b) Kaip įrašyti į tą lentelę kitokius keturis skaičius, po du į antrąją ir į trečiąją eilutes taip, kad visų skaičių sumos visose trijose eilutėse būtų vienodos?

Įrašykite po du skaičius į antrąją ir į trečiąją eilutes naudodami arba parinkimo strategiją, arba pritaikydami gautosios lentelės pavyzdį.

c) Ar Onutė turi tik vieną galimybę atlikti a) dalies uždavinį? Jei ji turi daugiau galimybių a) dalies užduočiai įvykdyti, tai nurodykite kokią nors tokią

galimybę.

d) Onutė įrašo į likusius 4 neužpildytus lentelės langelius skaičius x, y, z ir t, taip, kaip tai yra parodyta lentelėje:

2 4 5 2

x 3 3 z

6 y 1 t

Kokius skaičius Onutė gali įrašyti į vietoje x ir z, kad pirmųjų dviejų eilučių skaičių sumos būtų visos vienodos?

e) Kokius skaičius gali Onutė įrašyti vietoje z ir t, kad ir ketvirtojo stulpelio visų skaičių suma būtų lygi pirmųjų trijų stulpelių visų skaičių sumai?

f) Ar tokius skaičius z ir t Onutė gali pasirinkti tik vieninteliu būdu?

g) Ar gali Onutė skaičius z ir t pasirinkti taip, kad ir visų trijų tos lentelės eilučių sumos būtų visos lygios (bet nebūtinai lygios visų stulpelių skaičių

Kalba netaisyta

152

sumai)?

2) Į pradinės lentelės pirmosios eilutės trečiąjį langelį Onutė dabar nori įrašyti kitą skaičių, jau ne 5, kaip buvo įrašiusi anksčiau, o skaičių K. Į kitas vietas

ji įrašys skaičius L, M, N ir O. (Skaičių L, M, N ir O reikšmės gali būti vienodos).

2 4 K 2

L 3 3 N

6 M 1 O

a) Onutė norėtų gauti tokią lentelę, kurios visų trijų eilučių skaičių sumos yra tarpusavyje lygios. Ar ji gali taip užpildyti lentelę?

b) Onutė norėtų gauti tokią lentelę, kurios visų keturių stulpelių skaičių sumos yra tarpusavyje lygios. Ar ji gali taip baigti pildyti lentelę?

c) Onutė norėtų gauti tokią lentelę, kurios ir visų keturių stulpelių skaičių sumos yra tarpusavyje lygios ir visų trijų eilučių sumos irgi tarpusavyje lygios

(tačiau nereikalaujame, kad visos eilučių sumos būtų būtinai lygios visų stulpelių sumoms)? Ar ji gali taip baigti pildyti lentelę?

d) Onutė norėtų gauti tokią lentelę, kurios ir visų keturių stulpelių skaičių sumos yra tarpusavyje lygios, ir visų trijų eilučių sumos irgi tarpusavyje lygios ir

kad visų eilučių sumos būtų lygios visų stulpelių sumoms? Ar ji gali taip baigti pildyti lentelę?

Atsakymas:

1) Kai Onutė įrašo 5 į vienintelį dar laisvą pirmosios eilutės laukelį , tai galima suskaičiuoti pirmosios eilutės ir trečiojo stulpelio skaičių sumą. Pirmosios

eilutės skaičių suma yra 13, o trečiojo stulpelio skaičių suma 9.

a) Pavyzdžiui, (visų stulpelių skaičių sumos yra po 9):

2 4 5 2 1 3 3 5 6 2 1 2

b) Pavyzdžiui (visų eilučių skaičių sumos yra po 13):

2 4 5 2 1 3 3 6 6 2 1 4

c) Onutė turi ir daugiau galimybių atlikti a) dalies uždavinį. Ji turės įrašyti tuos pačius skaičius, kaip anksčiau, į pirmąjį ir antrąjį stulpelius, o į ketvirtąjį

stulpelį, ji gali įrašyti bet kuriuos du teigiamus skaičius, kurių suma lygi 7.

Kalba netaisyta

153

d) Pavyzdžiui, vietoje x galima imti 6, o vietoje y − 1:

2 4 5 2 6 3 3 1 6 y 1 7

e) Vietoje y galima imti, pavyzdžiui, 2, o tada vietoje t – 4.

2 4 5 2 6 3 3 1 6 2 1 4

f) Ne, skaičius x ir z galima pasirinkti ne vieninteliu būdu.

g) Gali.

2)

2 4 K 2 L 3 3 N 6 M 1 O

a) Gali, pavyzdžiui:

2 4 10 2 6 3 3 6 6 7 1 4

b) Gali, pavyzdžiui:

2 4 10 2 6 3 3 4 6 7 1 8

c) Gali, pavyzdžiui:

2 4 K 2 L 3 3 N 6 M 1 O

d) Galima:

2 4 8 2 4 3 3 6 6 5 1 4

Kalba netaisyta

154

2. Keturias dienas iš eilės Jonas ėmė greitąsias paskolas, kiekvieną dieną vis po 1 tūkstantį litų didesnes. Kai jo brolis Martynas vieną iš Jono paimtųjų

greitųjų paskolų grąžino bankui, tai Jono likusiųjų paimtųjų paskolų vidurkis pasidarė mažesnis už visų keturių paskolų vidurkį puse tūkstančio litų. Kelintą

paskolą (pirmą, antrą, trečią ar ketvirtą) grąžino bankui Martynas?

Atsakymas: Martynas grąžino ketvirtą dieną paimtą paskolą.

3.3. Tikimybių teorija


1. Paveikslėlyje matote 2013 metų balandžio mėnesio kalendorių. Atsitiktinai pasirenkame vieną šio mėnesio dieną (kiekviena diena vienodai galima).

2013 metų balandis

P 1 8 15 22 29

A 2 9 16 23 30

T 3 10 17 24

K 4 11 18 25

P 5 12 19 26

Š 6 13 20 27

S 7 14 21 28

Apskaičiuokite kokių nors 3−4 žemiau išvardintųjų įvykių A – K tikimybes:

A – tai balandžio 1-oji diena;

Kalba netaisyta

155

B – tai pirmadienis;

C – tai šeštadienis;

D – tai poilsio diena (šeštadienis arba sekmadienis);

E – tai darbo diena (t. y. diena nuo pirmadienio iki penktadienio);

F – tai lyginė mėnesio diena;

G –dienos numeris dalijasi iš 3;

H – tai diena su pačia didžiausia įmanoma jos dviženklio numerio skaitmenų sandauga;

I – tai diena, kurios numeris nesidalija iš 2;

J – tai diena, kurios numeris nesidalija iš 3;

K – tai diena, kurios numeris nesidalija nei iš 2, nei iš 3.

Atsakymas: ( )30

1=AP ; ( )

6

1=BP ; ( )

15

2=CP ; ( )

15

4=DP ; ( )

15

4=EP ; ( )

2

1=FP ; ( )

5

1=GP ; ( )

30

1=HP ; ( )

2

1=IP ; ( )

3

2=JP ; ( )

3

1=KP .

2. Moneta metama 3 kartus.

a) Išvardykite visas monetos atsivertimo galimybes.

b) Kokia tikimybė, kad herbas atsivertė ne daugiau kaip vieną kartą?

c) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito ne mažiau kaip vieną kartą?

d) Kokia tikimybė, kad herbas atsivertė daugiau kaip vieną kartą?

e) Kokia tikimybė, kad herbas atsivertė ne daugiau kaip du kartus?

f) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito daugiau kaip du kartus?

g) Kokia tikimybė, kad herbas atsivertė daugiau kaip du kartus?

h) Kokia tikimybė, kad herbas atsivertė daugiau kaip tris kartus?

i) Palyginkite dviejų įvykių tikimybes: įvykio L − herbų pasirodymo skaičius lyginis (atsivertė 0 arba 2 herbai) ir įvykio N − herbų pasirodymo skaičius

nelyginis (atsivertė 1 arba 3 herbai).

Atsakymas: a) HHH, HHS, HSH, HSS, SHH, SHS, SSH, SSS; b) 2

1 ; c) 8

7 ; d) 2

1 ; e) 8

7 ; f) 8

1 ; g) 8

1 ; h) 0; i) tikimybės lygios.

Kalba netaisyta

156


1. Paveikslėlyje matote 2013 metų antrojo ketvirčio kalendorių. Atsitiktinai pasirenkame vieną šio mėnesio dieną (kiekviena diena vienodai galima).

Balandis Gegužė Birželis

P 1 8 15 22 29 P 6 13 20 27 P 3 10 17 24

A 2 9 16 23 30 A 7 14 21 28 A 4 11 18 25

T 3 10 17 24 T 1 8 15 22 29 T 5 12 19 26

K 4 11 18 25 K 2 9 16 23 30 K 6 13 20 27

P 5 12 19 26 P 3 10 17 24 31 P 7 14 21 29

Š 6 13 20 27 Š 4 11 18 25 Š 1 8 15 22 30

S 7 14 21 28 S 5 12 19 26 S 2 9 16 23 31

Paskaičiuokite kurias nors 5−6 žemiau išvardintų įvykių A–K tikimybes:




D – tai poilsio diena (t. y. šeštadienis arba sekmadienis);


F – dienos numeris lyginis;

G – dienos numeris dalijasi iš 3;


Kalba netaisyta

157

I – dienos numeris nesidalija iš 2;

J – dienos numeris nesidalija iš 3;

K – dienos numeris nesidalija nei iš 2, nei iš 3.

Atsakymas: ( )91

1=AP ; ( )

7

1=BP ; ( )

7

1=CP ; ( )

7

2=DP ; ( )

7

21

7

5−==EP ; ( )

91

45=FP ; ( )

91

30=GP ; ( )

91

3=HP ; ( )

91

46=IP ; ( )

91

61=JP ; ( )

91

31=KP .

2. Moneta metama 4 kartus. Herbų atsivertimo skaičiaus skirstinys pateiktas lentele:

Herbų pasirodymo skaičius 0 1 2 3 4

Tokio skaičiaus tikimybė

a) Raskite vidutinį herbo pasirodymų skaičių.

b) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito ne daugiau kaip vieną kartą?

c) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito ne mažiau kaip vieną kartą?

d) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito daugiau negu vieną kartą?

e) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito ne daugiau kaip du kartus?

f) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito ne mažiau kaip du kartus?

g) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito daugiau negu du kartus?

h) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito ne daugiau kaip tris kartus?

i) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito ne mažiau kaip tris kartus?

j) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito daugiau negu tris kartus?

k) Kokia tikimybė, kad herbas iškrito daugiau negu keturis kartus?

l) Įvykis A − iškrenta 2 arba 3 herbai. Kokia yra įvykio A tikimybė? Koks įvykis yra priešingas įvykiui A ir kokia yra to įvykio tikimybė?

m) Palyginkite dviejų įvykių tikimybes: įvykio L − herbų pasirodymo skaičius lyginis (t. y. atsivertė 0, 2, 4 herbai) ir įvykio N − herbų pasirodymo skaičius

nelyginis (t. y. atsiverčia 1 arba 3 herbai).

16

1

4

1

8

3

4

1

16

1

Kalba netaisyta

158

Atsakymas: a) 2; b) 16

5 ; c) 16

15; d) 16

11; e) 16

11; f) 16

11; g) 16

5 ; h) 16

15; i) 16

5 ; j) 16

1 ;k) 0; l) ( )8

5=AP , įvykiui A priešingas įvykis A − iškrenta 0, 1 arba 4

herbai, ( )8

3=AP ; m) ( ) ( )NPLP = .


1. Imame 2014 metų pirmojo pusmečio kalendoriaus duomenis:

Sausis Vasaris Kovas Balandis Gegužė Birželis

P 6 13 20 27 P 3 10 17 24 P 3 10 17 24 P 1 8 15 22 29 P 6 13 20 27 P 3 10 17 24

A 7 14 21 28 A 4 11 18 25 A 4 11 18 25 A 2 9 16 23 30 A 7 14 21 28 A 4 11 18 25

T 1 8 15 22 29 T 5 12 19 26 T 5 12 19 26 T 3 10 17 24 T 1 8 15 22 29 T 5 12 19 26

K 2 9 16 23 30 K 1 6 13 20 27 K 6 13 20 27 K 4 11 18 25 K 2 9 16 23 30 K 6 13 20 27

P 3 10 17 24 31 P 2 7 14 21 28 P 7 14 21 29 P 5 12 19 26 P 3 10 17 24 31 P 7 14 21 29

Š 4 11 18 25 Š 1 8 15 22 Š 1 8 15 22 30 Š 6 13 20 27 Š 4 11 18 25 Š 1 8 15 22 30

S 5 12 19 26 S 2 9 16 23 S 2 9 16 23 31 S 7 14 21 28 S 5 12 19 26 S 2 9 16 23

Atsitiktinai pasirenkame vieną šio pusmečio dieną (kiekviena diena vienodai galima). Paskaičiuokite kurias nors 7−8 žemiau išvardintų įvykių A–K tikimybes:




D – tai poilsio diena (t. y. šeštadienis arba sekmadienis);


F – dienos numeris lyginis;

Kalba netaisyta

159

G – dienos numeris dalijasi iš 3;


I – dienos numeris nesidalija iš 2;

J – dienos numeris nesidalija iš 3;

K – dienos numeris nesidalija nei iš 2, nei iš 3.

Atsakymas: ( )181

1=AP ; ( )

181

26=BP ; ( )

181

26=CP ; ( )

181

52=DP ; ( )

181

521

181

129−==EP ; ( )

181

79=FP ; ( )

181

59=GP ; ( )

181

5=HP ; ( )

181

92=IP ;

( )181

122=JP ; ( )

181

62=KP .

2. Turime visas galimas monetos metimo 4 kartus baigtis:

SSSS, SSSH, SSHS, SHSS, HSSS, SSHH, SHSH, SHHS, HSSH, HSHS, HHSS, HHHS, HHSH, HSHH, SHHH, HHHH.

1) Pirmiausiai prie visų tų baigčių iš dešinės prirašykite H kaip galimą 5-tojo monetos metimo baigtį ir gaukite visas 16 monetos metimo 5 kartus baigčių, kai

5-tą kartą moneta atsiverčia herbu;

2) Toliau prie visų tų baigčių visų galimų 16 monetos metimo 4 kartus eksperimento baigčių iš dešinės prirašykite S, panašiai, kaip ką tik prirašėte H, ir gaukite

visas likusias 16 monetos metimo 5 kartus baigčių, kai 5-tą kartą moneta atsiverčia skaičiumi.

3) Surūšiuokite visas tas reikšmes pagal herbo pasirodymų skaičių, pirmiausiai suskaičiuodami, kiek yra atvejų, kai metant monetą 5 kartus:

a) herbas visai nepasirodė (0 herbų);

b) herbas pasirodė 1 kartą;

c) herbas pasirodė 2 kartus;

d) herbas pasirodė 3 kartus;

e) herbas pasirodė 4 kartus

f) herbas pasirodė visus 5 kartus (iš 5 galimų).

4) Sudarykite herbų pasirodymo skaičiaus metant monetą 5 kartus skirstinį.

5) Suskaičiuokite vidutinį herbo pasirodymų skaičių metant monetą 5 kartus.

Kalba netaisyta

160

6) Palyginkite dviejų įvykių tikimybes: įvykio L − herbų pasirodymo skaičius lyginis (t. y. atsivertė 0, 2 arba 4 herbai) ir įvykio N − herbų pasirodymo skaičius

nelyginis (t. y. atsiverčia 1, 3 arba 5 herbai).

Atsakymas:

1) SSSSH, SSSHH, SSHSH, SHSSH, HSSSH, SSHHH, SHSHH, SHHSH, HSSHH, HSHSH, HHSSH, HHHSH, HHSHH, HSHHH, SHHHH, HHHHH.

2) SSSSS, SSSHS, SSHSS, SHSSS, HSSSS, SSHHS, SHSHS, SHHSS, HSSHS, HSHSS, HHSSS, HHHSS, HHSHS, HSHHS, SHHHS, HHHHS.

3) a) SSSSS; b) HSSSS, SHSSS, SSHSS, SSSHS, SSSSH; c) HHSSS, HSHSS, HSSHS, HSSSH, SHHSS, SHSHS, SHSSH, SSHHS, SSHSH, SSSHH;

d) HHHSS, HHSHS, HSHHS, SHHHS, HHSSH, HSHSH, SHHSH, HSSHH, SHSHH, SSHHH; e) SHHHH, HSHHH, HHSHH, HHHSH, HHHHS;

f) HHHHH.

4)

Herbo pasirodymų skaičius

0 1 2 3 4 5

To pasirodymo tikimybė 32

1 32

5 32

10 32

10 32

5 32

1

5) 2,5.

6) ( ) ( )NPLP = .

III. 10 KLAS ĖS MODULIO B-10 „SPRENDIMO STRATEGIJOS PAIEŠKA“ PROG RAMAI ĮGYVENDINTI REIKALINGA

MEDŽIAGA

1. Planavimo pavyzdžiai

Modulio B-10 „Sprendimo strategijos paieška“ programa leidžia ugdymo turinį parinkti pagal mokinių poreikius ir galimybes. Modulio planavimo 2

pavyzdys skiriamas klasėms, kuriose mokiniai yra pasiekę pagrindinį ir aukštesnįjį pasiekimų lygį.

1 PAVYZDYS

Kalba netaisyta

161

Modulio trukm ė 17 val.

Tikslas: įvairių uždavinio sprendimo strategijų taikymas sprendžiant realaus turinio uždavinius.

Uždaviniai:

Baigę modulį, mokiniai gebės:

1. Spręsti matematinio ir praktinio turinio uždavinius, kuriuose reikia:

1) mokiniui artimas ir pažįstamas paprastas situacijas aprašyti matematiniais modeliais (reiškiniais, tiesine, kvadratine, atvirkščiojo proporcingumo

funkcija);

2) taikyti tiesinės, kvadratinės, atvirkščiojo proporcingumo funkcijos grafiką ir savybes;

3) taikyti plokštumos ir erdvės figūrų apibrėžimus, savybes ir skaičiuoti perimetrą, plotą ir tūrį.

2. Pasirinkti uždavinio sprendimo strategiją.

3. Spręsti uždavinį, sprendime derinant bent dvi strategijas.

Mokini ų pažangos ir pasiekimų vertinimas:

Vertinant mokinių pasiekimus remtis „Pagrindinio ugdymo bendrosiose programose“ (Patvirtinta Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro

2008 m. rugpjūčio 26 d. įsakymu Nr. ISAK-2433) aprašytais kriterijais ir „Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo sampratoje“ (Patvirtinta Lietuvos

Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2004 m. vasario 25 d. įsakymu ISAK-256) pateiktais vertinimo principais ir nuostatomis.

Modulio vertinimą sudaro:

• Formuojamasis vertinimas – nuolat.

• Diagnostinis vertinimas – mokytojo nuožiūra gali būti skiriamos diagnostinės užduotys išnagrinėjus tam tikrus modulio programos klausimus.

Mokytojas neformaliai įvertina mokinio pasiekimus ir nurodo spragas, mokinys, konsultuojamas mokytojo, susidaro planą, kaip jas užpildys, ir jį įgyvendina.

• Kaupiamasis vertinimas – namų darbai, apklausos, savarankiškas darbas pamokoje (jų kiekis ir kokybė) gali būti vertinami taškais, o sukaupti

taškai konvertuojami į pažymį.

• Apibendrinamasis vertinimas – trys savarankiški darbai, vertinami pažymiu, išnagrinėjus ir susisteminus plokštumos geometrijos, erdvės

geometrijos ir funkcijų taikymo uždavinių sprendimo strategijas.

• Galutinis modulio įvertinimas – kaupiamojo ir trijų savarankiškų darbų įvertinimų aritmetinis vidurkis.

Kalba netaisyta

162

Mokinių pasiekimų vertinimo kriterijai sudaromi trims pasiekimų lygiams. Patenkinamas lygis vertinant pažymiu yra orientuotas į 4−5,

pagrindinis – į 6−8, aukštesnysis – į 9−10.

Integracija:

• dailė (geometrinių figūrų vaizdavimas);

• informacinės technologijos (IKT taikymas braižant geometrines figūras ir funkcijų grafikus).

Mokymo ir mokymosi priemonės:

1. Matematikos modulių 9–10 (gimnazijos I–II) klasėms programos (2012).

2. Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo programa. (Patvirtinta Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2010 m. sausio 8 d.

įsakymu Nr. V-55).

3. Galiojantys matematikos vadovėliai 9–10 klasėms, uždavinynai.

4. Internetiniai šaltiniai, spauda.

Gebėjimai Žinios ir supratimas Turinys Pastabos

10.1. Klasifikuoti matematinius objektus pagal pasiūlytą arba pasirinktą požymį. Iš kelių atvejų nurodyti, kuris yra bendresnis. Pasitikrinti ir ištaisyti savo darbą, atsižvelgiant į išsakytas pastabas ar pagal teisingo darbo pavyzdį. Iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių padaryti išvadas, jas pagrįsti remiantis logine argumentacija. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę ar teoremą (teiginį) konkrečiu ir (ar) bendruoju atveju.

10.1.1. Apibūdinti, kuo nagrinėjami per pamokas matematiniai objektai ar reiškiniai, modeliai ar struktūros panašūs ir kuo skiriasi. 10.1.2. Paaiškinti, ką ketina daryti ir kodėl ketina daryti, kad atsakytų į uždavinio klausimą ar įrodytų teiginį. 10.1.3. Pasiūlyti ir paaiškinti, koks uždavinio atsakymas ar teiginys būtų teisingas ir prasmingas, argumentuoti, kodėl. 10.1.4. Siūlyti, kokias išvadas galime padaryti ir kokių negalime padaryti iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių, paaiškinti, kokios išvados laikomos pagrįstomis. 10.1.5. Paaiškinti, kaip taikoma tam tikra taisyklė, apibrėžimas ar teorema (teiginys) konkrečiu atveju ir (ar) bendruoju atveju.

1. Realaus ir matematinio turinio uždavinių sprendimas taikant plokštumos figūrų (trikampio, kvadrato, stačiakampio, trapecijos, lygiagretainio, rombo, apskritimo, skritulio) apibrėžimus ir savybes ir skaičiuojant išvardintų figūrų ir jų junginių perimetrą ir plotą. 2. Santykio taikymas planimetrijos uždaviniuose. Savarankiškas darbas Nr. 1

Kalba netaisyta

163

11.1. Pasiūlyti kelias alternatyvas ir pasirinkti vieną iš jų. Kryptingai siekti tikslo, kai yra kliūčių arba ribojančių sąlygų. Kelti ir tikrinti paprastas hipotezes. Išnagrinėti ir įvertinti anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių bei gebėjimų kontekste.

11.1.1. Pasiūlyti bent du alternatyvius užduoties atlikimo ar teiginio įrodymo būdus ir kriterijus, pagal kuriuos reikėtų pasirinkti vieną iš jų. 11.1.2. Formuluoti tarpinius klausimus, kad būtų galima atsakyti į pagrindinį. 11.1.3 Numatyti galimą rezultatą ir pasiūlyti, kaip jį galima būtų patikrinti. 11.1.4. Nagrinėjant nesudėtingą matematinį tekstą, išskirti, kas žinoma iš anksčiau, o kas yra nauja. 11.1.5. Turint perteklinės informacijos, atsirinkti uždaviniui spręsti reikalingus duomenis, o esant informacijos trūkumui, nurodyti, kur jos rasti.

3. Realaus ir matematinio turinio uždavinių sprendimas taikant erdvės figūrų (kubo, stačiakampio gretasienio, taisyklingosios keturkampės (trikampės) prizmės, taisyklingosios keturkampės (trikampės) piramidės) apibrėžimus ir savybes ir skaičiuojant išvardintų figūrų ir jų junginių paviršiaus plotą ir tūrį. Savarankiškas darbas Nr. 2

4. Realaus turinio uždavinių sprendimas taikant tiesinę, kvadratinę arba atvirkščiojo proporcingumo funkciją.

Savarankiškas darbas Nr. 3

12.1. Priimti sprendimą keliems mėnesiams imtis veiklos, susijusios su naujų žinių įgijimu ir jų tobulinimu. Sistemingai rūpintis žinių perėmimu. Nustatyti, ar nelieka neaiškumų ir ar galima būti užtikrintam(-ai), jog išmokta teisingai. Sieti matematikos žinias su gyvenimu.

12.1.1. Patariant mokytojui sudaryti su matematikos žinių įgijimu susijusį planą artimiausioms 1–2 savaitėms. 12.1.2. Pasakyti, ką jau moka padaryti gerai, ištaisyti klaidas pagal pateiktas taisykles ar nuorodas. 12.1.3. Užduoti klausimų siekiant pasitikslinti ar įsitikinti, jog gerai suprato ar gerai atliko užduotį ir turimos žinios teisingai suprastos. 12.1.4. Apibūdinti, kiek jis (ji) yra tikras(-a) dėl turimų žinių. 12.1.5. Prisiimti atsakomybę produktyviai mokytis matematikos.

12.2. Įvairiuose informacijos šaltiniuose savarankiškai rasti reikiamos informacijos apie matematikos ir kitų tiksliųjų mokslų, technologijų laimėjimus, ją apibendrinti, klasifikuoti ir kritiškai vertinti. Gerbti autorių teises. Vertinti įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgti jų pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.

12.2.1. Naudotis įvairiais informacijos šaltiniais, norint rasti su matematika susijusios informacijos. 12.2.2. Pateikti matematikos pritaikymo kasdieniame gyvenime ir per mokomuosius dalykus pavyzdžių. 12.2.3. Pateikti matematikos mokslo atradimų, kurie yra pritaikomi įvairių profesijų atstovų veikloje, pavyzdžių.

2 PAVYZDYS (parengtas remiantis Molėtų gimnazijos mokytojos metodininkės Rimutės Andriukonienės patirtimi)

Kalba netaisyta

164

Modulio trukm ė 17 val.

Tikslas: sudaryti galimybes mokiniams pažinti pasaulį, aprašyti jį matematiniais modeliais, taikyti matematinius metodus sprendžiant praktines ir teorines

įvairių mokslo sričių problemas.

Uždaviniai:

Mokytojo padedami ir/ar savarankiškai, mokiniai gebės:

• įgiję žinių ir įgūdžių iš įvairių matematikos veiklos sričių, matematiškai komunikuoti, mąstyti ir spręsti gyvenimiškas problemas;

• atlikti praktines užduotis, nagrinėti ir spręsti praktines ir teorines problemas matematiniais metodais, kritiškai vertinti gautus rezultatus, daryti išvadas ir

apibendrinimus;

• suvokti įgytų matematinių žinių praktinę, istorinę ir mokslinę vertę.

MOKYMO IR MOKYMOSI TURINYS Gebėjimai Žinios ir supratimas Turinys Integracija Pastabos

10.1. Klasifikuoti matematinius objektus pagal pasiūlytą arba pasirinktą požymį. Iš kelių atvejų nurodyti, kuris yra bendresnis. Pasitikrinti ir ištaisyti savo darbą, atsižvelgiant į išsakytas pastabas ar pagal teisingo darbo pavyzdį. Iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių padaryti išvadas, jas pagrįsti remiantis logine argumentacija. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę ar teoremą (teiginį) konkrečiu ir (ar) bendruoju atveju.

10.1.1. Apibūdinti, kuo nagrinėjami per pamokas matematiniai objektai ar reiškiniai, modeliai ar struktūros panašūs ir kuo skiriasi. 10.1.2. Paaiškinti, ką ketina daryti ir kodėl ketina daryti, kad atsakytų į uždavinio klausimą ar įrodytų teiginį. 10.1.3. Pasiūlyti ir paaiškinti, koks uždavinio atsakymas ar teiginys būtų teisingas ir prasmingas, argumentuoti, kodėl. 10.1.4. Siūlyti, kokias išvadas galime padaryti ir kokių negalime padaryti iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių, paaiškinti, kokios išvados laikomos pagrįstomis. 10.1.5. Paaiškinti, kaip taikoma tam tikra taisyklė, apibrėžimas ar teorema (teiginys) konkrečiu atveju ir (ar) bendruoju atveju.

1. Uždavinio sprendimo strategijos. 2. Sąlygos ir užduoties analizė. 3. Uždavinio sprendimo planas. 4. Uždavinio sprendimo kelio paieška. 5. Gautų rezultatų tikrinimas ir įvertinimas. 6. Trumpo sprendimo uždaviniai. 7. Įvairių uždavinių sprendimas naudojant netradicines formules. 8. Realaus turinio uždaviniai, sprendžiami sudarant lygtį, nelygybę. 9. Realaus turinio uždaviniai, sprendžiami sudarant lygčių sistemą.

Matematika ir informacinės technologijos (mokomųjų kompiuterinių programų taikymas). Matematika ir technologijos. Matematika ir fizika.

11.1. Pasiūlyti kelias alternatyvas ir pasirinkti vieną iš jų. Kryptingai siekti tikslo, kai yra kliūčių arba ribojančių sąlygų. Kelti ir tikrinti paprastas hipotezes.

11.1.1. Pasiūlyti bent du alternatyvius užduoties atlikimo ar teiginio įrodymo būdus ir kriterijus, pagal kuriuos reikėtų pasirinkti vieną iš jų. 11.1.2. Formuluoti tarpinius klausimus, kad būtų galima atsakyti į pagrindinį.

Kalba netaisyta

165

Išnagrinėti ir įvertinti anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių bei gebėjimų kontekste.

11.1.3 Numatyti galimą rezultatą ir pasiūlyti, kaip jį galima būtų patikrinti. 11.1.4. Nagrinėjant nesudėtingą matematinį tekstą, išskirti, kas žinoma iš anksčiau, o kas yra nauja. 11.1.5. Turint perteklinės informacijos, atsirinkti uždaviniui spręsti reikalingus duomenis, o esant informacijos trūkumui, nurodyti, kur jos rasti.

10. Realaus turinio uždaviniai geometrijoje. 11. Nestandartiniai uždaviniai. 12. Įrodymo uždaviniai. 13. Probleminiai pasirenkamojo atsakymo uždaviniai. 14. Probleminiai trumpo sprendimo uždaviniai. 15. Probleminiai sudėtingesnio sprendimo uždaviniai. 16. Pasiruošimas kontroliniam darbui. 17. Apibendrinamasis kontrolinis darbas.

12.1. Priimti sprendimą keliems mėnesiams imtis veiklos, susijusios su naujų žinių įgijimu ir jų tobulinimu. Sistemingai rūpintis žinių perėmimu. Nustatyti, ar nelieka neaiškumų ir ar galima būti užtikrintam(-ai), jog išmokta teisingai. Sieti matematikos žinias su gyvenimu.

12.1.1. Patariant mokytojui sudaryti su matematikos žinių įgijimu susijusį planą artimiausioms 1–2 savaitėms. 12.1.2. Pasakyti, ką jau moka padaryti gerai, ištaisyti klaidas pagal pateiktas taisykles ar nurodymus. 12.1.3. Užduoti klausimų siekiant pasitikslinti ar įsitikinti, jog gerai suprato ar gerai atliko užduotį ir turimos žinios teisingai suprastos. 12.1.4. Apibūdinti, kiek jis (ji) yra tikras(-a) dėl turimų žinių. 12.1.5. Prisiimti atsakomybę produktyviai mokytis matematikos.

12.2. Įvairiuose informacijos šaltiniuose savarankiškai rasti reikiamos informacijos apie matematikos ir kitų tiksliųjų mokslų, technologijų laimėjimus, ją apibendrinti, klasifikuoti ir kritiškai vertinti. Gerbti autorių teises. Vertinti įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgti jų pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.

12.2.1. Naudotis įvairiais informacijos šaltiniais, norint rasti su matematika susijusios informacijos. 12.2.2. Pasakyti, pateikti matematikos pritaikymo kasdieniame gyvenime ir per mokomuosius dalykus pavyzdžių. 12.2.3. Pateikti matematikos mokslo atradimų, kurie yra pritaikomi įvairių profesijų atstovų veikloje, pavyzdžių.

2. Problemų sprendimų strategijų taikymo pavyzdžiai

1 pavyzdys. Galimų atvejų perrinkimas.

Kalba netaisyta

166

Uždavinys. Prikrovusi kalną skanių sumuštinių daugiavaikė mama išleido su klase savo taupųjį sūnų Joną paiškylauti prie ežero. 6 dienoms mama jam

davė 20 litų ir liepė juos visus išleisti, nors pradžioje Jonas jų visai nenorėjo imti ir sakė, kad jam ir 10 litų per akis. Po pirmųjų 3 dienų Jonas atsiuntė žinutę,

kurioje buvo parašyta, kad pirmą dieną jis išleido 1 litą, antrą dieną – 2, o trečią dieną – 3 litus. Jis patikino, kad per likusias tris dienas jis išleis likusius

pinigus, kiekvieną dieną išleisdamas sveiką litų skaičių, ketvirtą dieną išleis daugiau pinigų negu per bet kurią kitą dieną ir kad kiekvieną dieną jis išleis

kažkiek pinigų.

1) Ar galės Jonas ketvirtą dieną išleisti 4 litus?

2) Ar galės Jonas ketvirtą dieną išleisti 5 litus?

3) Kiek daugiausiai litų galės išleisti Jonas ketvirtą dieną?

4) Kiek mažiausiai pinigų galės išleisti Jonas ketvirtą dieną, (jis tą dieną išleis daugiausia)?

Sprendimas. Išspręsti 1 dalį − reiškia patikrinti prielaidą, kad galima per 6 dienas išleisti 20 litų sveikais litais, kasdien kažkiek litų išleidžiant ir kad 4

litai bus pati didžiausia išleista per tas šešias dienas suma. Pasidarome lentelę ir įrašome privalomus duomenis:

Išvykos dienos Pirmoji diena Antroji diena Trečioji diena Ketvirtoji diena Penktoji diena Šeštoji diena Išlaidos

per 6 dienas Išlaidos 1 2 3 4 ? ? 20

Iš karto matome, kad iškelta prielaida, jog 4 litai galėtų būti didžiausia per 6 dienas „sveikais litais“ išleidžiama suma, pasitvirtinti negali, nes jei 4 litai

yra didžiausia išleidžiama suma, tai per likusias 2 dienas galima išleisti daugų daugiausiai po 3 litus arba iš viso 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 3 = 16 litų. Todėl prielaidą,

kad 4 gali būti didžiausia per šešiadienį išleista suma, turime atmesti.

2 atvejis yra kitos prielaidos, kad 5 litai gali būti didžiausia per iškylavimo šešiadienį išleista suma, tikrinimas.



Deja, ir šią prielaidą turime atmesti, nes turime dar du laisvus langelius − penktos ir šeštos dienų išlaidas, bet ten daugiausiai galime įrašyti po 4 litus. Tada

vėl nepavyktų išleisti visų mamos skirtųjų 20 litų, nes 1 + 2 + 3 +5 + 4 + 4 tai dar tik 19.

Ieškant atsakymo į 3 klausimą, galima būtų padaryti prielaidą (atskirai suformuluotos uždavinyje jos nėra), kad ketvirtą dieną bus išleisti 6 litai ir jie jau galėtų

būti mažiausia ketvirtadienį išleista pinigų suma (bet didžiausia iš per šešias dienas išleistų pinigų sumų). Tada pirmiausiai reikėtų užsipildyti lentelę, o tai tikrai

įmanoma:

Kalba netaisyta

167



Ketvirtos dienos stulpelyje 6 yra mažiausias skaičius, kai lentelė užpildoma, todėl tai yra atsakymas į uždavinio 4 klausimą.


per 6 dienas Išlaidos 1 2 3 6 5 3 20

Atsakymas į 3 uždavinio klausimą randamas visai paprastai: užrašome, kad penktą ir šeštą dieną Jonas išleidžia bent po 1 litą ir žiūrime, kiek pinigų lieka

ketvirtai dienai:


per 6 dienas

Išlaidos 1 2 3 20−(1+2+3+1+1)

arba 12 1 1 20

Matome, kad ketvirtą dieną (kai Jonas pagal uždavinio sąlygą išleis daugiau pinigų, negu bet kurią kitą dieną) Jonas gali išleisti mažiausiai 6 litus, o

daugiausiai – 12 litų.

Uždavinį būtų galima papildyti klausimu „Ar gali Jonas išleisti ketvirtadienį visas likusias tarpines tarp 6 ir 12 pinigų sumas, t. y. 7, 8, 9, 10 ir 11 litų?“.

Pastaba. Uždavinys geras tuo, kad sąlygos skaičius galima keisti, tuo pačiu įvairinant uždavinio sudėtingumą ir išlaikant tą pačią sprendimo strategiją.

2 pavyzdys. Nesudėtingas tyrimas.

Uždavinys. Penki iš eilės einantys natūralieji skai čiai pasižymi tokia savybe: tam tikrų trij ų iš jų suma lygi kitų dviejų sumai. Kiek yra tokių

skaičių penketų?

Uždavinį galima spręsti remiantis įvairiomis strategijomis, o padaryti pažangą čia įmanoma, darant praktiškai bet ką. Pradėkime nuo pavyzdžio, kuriame

surašome į eilutę pirmuosius penkis natūraliuosius skaičius: 1; 2; 3; 4; 5. Jei sudėtume tris mažuosius skaičius, tai gautume 6, o sudėję du didesniuosius

skaičius gautume 9. Kad nepradėtume iš vieno pavyzdžio vystyti didelių apmąstymų, paimkime dar porą kitų iš eilės einančių natūraliųjų skaičių penketų: 2; 3;

4; 5; 6 ir 3; 4; 5; 6; 7. Antrojo skaičių penketuko atveju trijų mažųjų skaičių suma 2 + 3 + 4 lygi 9, o abiejų didžiųjų skaičių 5 ir 6 suma yra 11. Kadangi

pirmojo pavyzdžio dar nepamiršome, tai galime pastebėti, kad trijų mažųjų skaičių suma ima „vytis“ dviejų didžiųjų skaičių sumą. Trečiajame skaičių

penketuke tai tikrai pasitvirtina, nes dabar trijų mažųjų skaičių suma 3 + 4 + 5 yra jau 12, o abiejų didžiųjų skaičių 6 ir 7 suma yra 13, taigi sumos tikrai

suartėja. Kodėl? Nagi todėl, kad kai imame vis po 1 didesnius skaičius, tai trys mažesnieji gauna po 1 ir jų suma paauga 3 vienetais, o abu didieji, gavę irgi po

Kalba netaisyta

168

1, turi tik 2 didesnę sumą. Todėl ir matėme, kad trijų mažųjų suma „vejasi“ abiejų didžiųjų skaičių sumą ir sekantis žingsnis, kai visi penki skaičiai visi vėl po 1

padidės, turėtų duoti skaičių sumų lygybės atvejį. Taip ir yra, nes sekančiame skaičių penketuke 4; 5; 6; 7; 8 turime 4 + 5 + 6 = 7 + 8. Taigi vieną tokį

natūraliųjų skaičių penketą jau radome.

Ar tokių penketų yra daugiau? Suprantama, jeigu mes toliau didinsime tuos skaičius po + 1, tai trys mažesnieji skaičiai jau trise kartu bus didesni už

likusius du kartu, nes gaudami prieaugio po 1, jie turės 3 vienetais didesnę visų trijų skaičių sumą, o du mažesnieji tik 2 vienetais didesnę sumą. Tą patį mums

duotų ir kita paplitusi labai paprasta ir efektyvi strategija „Sudarykite lygtį“. Pažymėję skaičius x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4 (čia x – natūralusis skaičius) ir

išsprendę lygtį x + (x + 1) + (x + 2) = (x + 3) + (x + 4), gautume x = 4 ir skaičių penketą 4; 5; 6; 7; 8.

Kyla klausimas, o gal galima sudedant skaičius imti kitaip, nebūtinai visada tris pačius mažiausius su dviem pačiais didžiausiais? Gal galima imti,

sakysime, patį didžiausiąjį su mažiausiuoju ir atskirai tris vidurinius? Šiuo atveju galime pastebėti, kad naujo natūraliųjų skaičių penketo negausime, nes

pirmojo ir penktojo skaičių suma bus lygi antrojo ir ketvirtojo skaičių sumai, o prie šios dar pridėjus vidurinį skaičių gausime didesnę sumą. Lygiai taip pat būtų

atmesta hipotezė, kad trečio ir ketvirto skaičių suma gali būti lygi pirmo, antro ir penkto narių sumai (nes tada pirmo, antro ir penkto skaičių suma būtų lygi

dvigubo antrojo ir ketvirtojo skaičių sumai ir dvigubas antrasis skaičius turėtų būti lygus trečiajam skaičiui, o šią sąlygą tenkinančio natūraliųjų skaičių penketo

nėra). Gali atrodyti, kad daugiau nieko ir nerastume, kol grįždami prie antrojo skaičių penketo pavyzdžio 2; 3; 4; 5; 6 pastebėtume, kad 4 + 6 = 2 + 3 + 5.

Pastaba. Kadangi pradiniame uždavinyje vieną sprendinį gavome „tvarkingai“ ieškodami, kada trijų mažesniųjų skaičių suma pasidarys lygi dviejų

didesniųjų skaičių sumai, o antrą sprendinį jau bendresniame uždavinyje (iš penkių paeiliui einančių skaičių kurių nors dviejų skaičių suma lygi likusių trijų

sumai) radome šiek tiek netikėtai arba atsitiktinai, todėl gali kilti klausimas, gal taip pat atsitiktinai ir dar galima rasti natūraliųjų skaičių penketų. Kad

išsklaidytume abejones, pateikiame profesionalaus matematiko dr. A. Noviko sprendimą:

„Penkių iš eilės einančių natūraliųjų skaičių suma n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 lygi 5n + 10. Jei tam tikrų trijų iš jų suma lygi kitų dviejų sumai, tai

kiekviena suma sveika ir 5n + 10 lyginis skaičius. Vadinasi, n = 2k, Nk∈ . Taigi turime 2k + (2k + 1) + (2k + 2) + (2k + 3) + (2k + 4) = 10k + 10. Iš 5

dėmenų reikia sudaryti dvi sumas po 5k + 5. Kadangi 3 dėmenų suma nemažesnė už 2k + (2k + 1) + (2k + 2) = 6k + 3, tai 6k + 3 ≤ 5k + 5, t. y. k ≤ 2.

Kai k = 1, turime skaičius 2, 3, 4, 5, 6. Sumas, lygias 10, duoda 4 + 6 = 2 + 3 + 5.

Kai k = 2, turime skaičius 4, 5, 6, 7, 8. Sumas, lygias 15, duoda 7 + 8 = 4 + 5 + 6.“

3 pavyzdys. Lentelių taikymas

1 uždavinys. Prie dviženklio skaičiaus pridedame jo skaitmenis ir gauname didesnį skaičių, kur į vadiname pagerintu. Pavyzdžiui, imame skaičių

34. Prie jo pridėję jo skaitmenis 3 ir 4, gausime pagerintą skaičių 41 = 34 + 3 + 4. Ar dviženkliai skaičiai 53 ir 83 yra pagerinti skaičiai?

Kalba netaisyta

169

Dažnai (kaip ir šiuo atveju) galima susidaryti skaičių lentelę, surašant visus dviženklius skaičius ir jiems atitinkamus pagerintus skaičius ir taip iš karto gauti

atsakymą į uždavinio klausimus.

Pagerintų skaičių lentelė

Dešimtys Vienetai 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 11 22 33 44 55 66 77 88 99

1 13 24 35 46 57 68 79 90 101

2 15 26 37 48 59 70 81 92 103

3 17 28 39 50 61 72 83 94 105

4 19 30 41 52 63 74 85 96 107

5 21 32 43 54 65 76 87 98 109

6 23 34 45 56 67 78 89 100 111

7 25 36 47 58 69 80 91 102 113

8 27 38 49 60 71 82 93 104 115

9 29 40 51 62 73 84 95 106 117

Atsakymas: 53 nėra pagerintas skaičius, 83 yra pagerintas skaičius.

2 uždavinys. Prie triženklio skaičiaus pridedame visus 3 jo skaitmenis ir gauname didesnį skaičių, kur į vadiname padailintu. Pavyzdžiui, imame

skaičių 267. Prie jo pridėję jo skaitmenis 2, 6 ir 7, gausime padailintą skaičių 282 = 267 + 2 + 6 + 7. Ar 125 yra padailintas skaičius?

Šiuo atveju visos triženklių skaičių lentelės nedarysime, nors pirmuosius trisdešimt du skaičius tikrai galime padailinti ir rezultatus surašyti lentelėje:

Skaičius 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

Padailintasis skaičius

101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 112 114 116 118 120 122

Kalba netaisyta

170

Skaičius 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Padailintasis skaičius

124 126 128 130 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 134 136

Atsakymas: 125 yra padailintas skaičius.

4 pavyzdys. Lygčių sudarymas

1 uždavinys. Prie dviženklio skaičiaus pridedame jo skaitmenis ir gauname didesnį skaičių, kur į vadiname pagerintu. Pavyzdžiui, imame skaičių

34. Prie jo pridėję jo skaitmenis 3 ir 4, gausime pagerintą skaičių 41 = 34 + 3 + 4.

1) Ar dviženkliai skaičiai 53 ir 83 yra pagerinti skaičiai?

2) Ar galima gerinant du skirtingus dviženklius skaičius gauti tą patį rezultatą?

1) Tarkime, kad pradedame nuo didesnio skaičiaus 83: jeigu jis yra pagerintas skaičius, tai yra kažkoks mažesnis dviženklis skaičius, turintis a dešimčių ir b

vienetų, arba, trumpai, dviženklis skaičius ab (nepainiokite su sandauga a b), kurį gerinant, arba pridedant dešimčių skaitmenį a ir vienetų skaitmenį b,

gauname skaičių 83.

Pagal sąlygą 10a + b + a + b = 11a + 2b = 83. Primename, kad a ir b yra skaitmenys, arba – tai tas pats – skaičiai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Be to, a ≠ 0. Tada

turime lygtį 11a + 2b = 83. Kadangi lygtis tik viena, o nežinomi dydžiai du, atlikime galimų atvejų perranką:

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b Didesnis už 9 Nėra

natūralusis Didesnis už 9

Nėra natūralusis

Didesnis už 9 Nėra

natūralusis 3

Nėra natūralusis

Nėra natūralusis

Taigi matome, kad gerindami dviženklį skaičių 73 mes ir gauname 83, nes 73 + 7 + 3 = 83.

Sudarę lygtį skaičiui 53, gautume 11a + 2b = 53 (čia a – dešimčių skaitmuo, o b – vienetų skaitmuo). Galimų atvejų perrankos rezultatus surašome lentelėje:

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b Didesnis už 9 Nėra

natūralusis Didesnis už 9

Nėra natūralusis

Nėra natūralusis

Nėra natūralusis

Nėra natūralusis

Nėra natūralusis

Nėra natūralusis

Matome, kad nėra skaičiaus, kurį gerindami gautume 53.

Pastaba. Žinoma, galima spręsti lygtis ir be perrankos. Pavyzdžiui, 11a + 2b = 83, 11a – 77 = 6 – 2b, 11(a – 7) = 2(3 – b). Kadangi 3 – b dalijasi iš 11,

tai skaitmuo b = 3, o a = 7.

Kalba netaisyta

171

Panašiai 11a + 2b = 53, 11(a – 4) = 3(3 – 4b). Kadangi a – 4 dalijasi iš 3, tai a = 7, 4, o b natūraliųjų reikšmių nėra.

Vadinasi, 53 nėra pagerintas skaičius, 83 yra pagerintas skaičius.

2) Jeigu gerinant du skirtingus dviženklius skaičius būtų galima gauti tą patį rezultatą, tai atsirastų du dviženkliai skaičiai ab ir cd , kuriuos gerindami gautume

tą patį rezultatą, t. y. būtų teisinga lygybė 11a + 2b = 11c + 2d arba 11(a – c) = 2(d – a). Tačiau ši lygybė su sveikaisiais skaičiais įmanoma tik tada, kai d – a =

0 (a – c = 0, ir tada tie abu dviženkliai skaičiai sutampa).

Jeigu d – a ≠ 0, tai vienoje pusėje yra nenulinis 11 kartotinis, kuris yra 11, 22, 33 it t. t. Tada 2(d – a), būdamas lyginis, yra bent 22 ir tada d – a yra bent 11, o

taip negali būti, nes didžiausias dviejų skaitmenų skirtumas yra 9.

Atsakymas: 1) 53 nėra pagerintas skaičius, 83 yra pagerintas skaičius; 2) gerinant du skirtingus dviženklius skaičius gauti to paties rezultato gauti

negalima.

2 uždavinys. Prie triženklio skaičiaus pridedame visus tris jo skaitmenis ir gauname didesnį skaičių, kur į vadiname padailintu. Pavyzdžiui,

imame skaičių 267. Prie jo pridėję jo skaitmenis 2, 6 ir 7, gausime padailintą skaičių 282 = 267 + 2 + 6 + 7.

1) Ar skaičius 269 gali būti gaunamas padailinant kokį nors triženklį skaičių?

2) Ar galima dailinant kokį nors triženklį skaičių gauti 310?

1) Tarkime, jog atsiras toks triženklis skaičius turintis a šimtų, b dešimčių ir c vienetų, kurį padailinus gauname skaičių 269. Padailinti reiškia prie

triženklio skaičiausabc, arba prie skaičiaus 100a + 10b + c pridėti a + b + c ir gauti 269. Tai reiškia, kad 100a + 10b + c + a + b + c = 269, 101a +11b + 2c

= 269. Matome, jog didžiausią indėlį į sumą įneša dėmuo 101a, nes a, b, c yra skaitmenys ir kad surinktume 269, a turi būti lygus 2 (jei a būtų lygus 1, tai

likusia suma 11b + c trūkstamo daugiau kaip pusantro šimto vienetų nesurinktume). Todėl a = 2.

Kai a = 2, tai 101a = 202 ir 11b + 2c = 269 – 202 = 67. 49 ≤ 11b ≤ 67, b = 4, 5 arba 6. Bet b nelyginis, b = 5. Todėl liko išspręsti 11b + 2c = 67.

2) Samprotaudami kaip anksčiau, gautume 101a +11b + 2c = 310. Dabar a = 1 yra per mažai, nes tada 101a = 101 ir 11b +2c = 209, o 11b + 2c daugių

daugiausiai gali būti lygus 11 · 9 + 2 · 9 = 99 + 18 = 117 < 209. Aišku, kad a ≥ 3 per daug. Lieka a = 2, tada 101 · 2 = 202 ir 11b + 2c = 310 – 202 = 108.

Dabar, kai b = 9, tai 11 · 9 = 99 ir 2c = 108 – 99 = 9 ir tokios c sveikos reikšmės niekaip neparinksi. O jei b = 8, tai tada 11 · 8 = 88 ir 2c = 20, ir c = 10, bet

taip negali būti, nes tada c jau nebe skaitmuo.

Atsakymas: 1) 269 gaunamas dailinant skaičių 256; 2) dailinant triženklį skaičių skaičiaus 310 gauti negalima.

Kalba netaisyta

172

3. Problemų sprendimų uždavinių rinkiniai trims pasiekim ų lygiams


1. Prie dviženklio skaičiaus pridedame jo skaitmenis ir gauname didesnį skaičių, kurį vadiname pagerintu. Pavyzdžiui, imame skaičių 46. Prie jo pridėję

jo skaitmenis 4 ir 6, gausime pagerintą skaičių 56 = 46 + 4 + 6. Iš pavyzdžių matome, kad „pagerinamas“ skaičius didėja.

1) Ar 20 yra pagerintas skaičius?


3) Koks yra pats mažiausias pagerintas skaičius?

4) Ar galima gerinant du skirtingus skaičius gauti vieną ir tą patį pagerintą skaičių?

5) Koks yra pats mažiausias dviženklis skaičius, kuris nėra pagerintas skaičius?

Atsakymas: 1) ne; 2) taip; 3) 11; 4) ne; 5) 10.

2.

1) Ar galima į 2 x 2 matmenų lentelę

surašyti visus sveikuosius skaičius nuo 1 iki 4, po vieną skaičių kiekviename langelyje taip, kad ir pirmojoje, ir antrojoje eilutėje abiejų įrašytųjų skaičių sumos

būtų tokios pačios?

2) Ar galima į 2 x 2 matmenų lentelę surašyti visus sveikuosius skaičius nuo 1 iki 4 taip, kad ir pirmajame, ir antrajame stulpelyje abiejų įrašytųjų skaičių

sumos būtų tokios pačios?

3) Ar galima į 2 x 2 matmenų lentelę surašyti visus sveikuosius skaičius nuo 1 iki 4 taip, kad visos keturios sumos: ir abiejų eilučių skaičių sumos, ir abiejų

stulpelių skaičių sumos būtų visos lygios?

4) Ar galima į 2 x 2 matmenų lentelę surašyti visus sveikuosius skaičius nuo 1 iki 4 taip, kad abiejų eilučių skaičių sumos būtų lygios vienam ir tam

Kalba netaisyta

173

pačiam skaičiui A, o abiejų stulpelių skaičių sumos irgi būtų abi lygios vienam ir tam pačiam skaičiui B?


surašyti visus sveikuosius skaičius nuo 9 iki 12, po vieną skaičių kiekviename langelyje taip, kad ir pirmojoje, ir antrojoje eilutėje abiejų įrašytųjų skaičių


6) Ar galima į 2 x 2 matmenų lentelę surašyti visus sveikuosius skaičius nuo 9 iki 12 taip, kad ir pirmajame, ir antrajame stulpelyje abiejų įrašytųjų skaičių


7) Ar galima į 2 x 2 matmenų lentelę surašyti visus sveikuosius skaičius nuo 9 iki 12 taip, kad visos keturios sumos: ir abiejų eilučių skaičių sumos, ir

abiejų stulpelių skaičių sumos būtų visos lygios?

8) Ar galima į 3 x 3 matmenų lentelę surašyti į pirmąją eilutę visus skaičius nuo 1 iki 3, ir į antrąją eilutę irgi visus sveikuosius skaičius nuo 1 iki 3, o

trečiąją eilutę visus sveikuosius skaičius nuo 2 iki 4 taip, kad visų trijuose stulpeliuose esančių skaičių sumos būtų visos trys tokios pačios?

Atsakymas: 1) galima; 2) galima; 3) negalima; 4) negalima; 5) galima; 6) galima; 7) negalima; 8) galima.

3. Tomo senelio sklypo yra kvadratas ABCD, kurio kraštinė lygi 20 metrų.

Kalba netaisyta

174

Sodo kampe A Tomas nori pasodinti ąžuoliuką. Senelis leidžia jam tai su sąlyga, kad Tomas dar pasodins 10 metrų ištisinės gyvatvorės EAF (nuo A iki E), o

gyvatvorės ilgis palei kiekvieną kraštinių AE ir AF turi turėti sveikąjį metrų skaičių, ne mažesnį kaip 2. Tada toks sklypas AEF bus vadinamas Tomo trikampiu

ir bus perduotas jam prižiūrėti. Likusi penkiakampė sklypo dalis EBCDF bus užsodinta braškėmis.

1) Lentelėje surašykite visas galimas atkarpų AE ir AF ilgių poras ir apskaičiuokite trikampio AEF plotą kiekvienu atveju.

Galimas Tomo trikampio statinio AE ilgis (m)

2

Galimas Tomo trikampio statinio AF ilgis (m)

8

Tomo trikampio AEF plotas (m2)

8

2) Koks kvadrato ABCD plotas kvadratiniais metrais?

3) Koks galimas penkiakampio EBCDF plotas? Atsakymą užrašykite lentelėje.

Kalba netaisyta

175

Galimas Tomo trikampio AEF plotas (m2)

8

Likusio braškių penkiakampio EBCDF plotas (m2)

392

4) Kaip keičiasi penkiakampio EBCDF plotas, keičiantis trikampio AEF plotui?

5) Kaip Tomas turėtų pasodinti gyvatvorę, kad braškėms skirto penkiakampio EBCDF plotas būtų didžiausias (t. y. kad braškėms liktų kuo daugiau

vietos)?

6) Jeigu Tomo senelis ruoštųsi sodinti ne braškes, o bulves, tada Tomas ko gero pasistengtų savo trikampio plotą padaryti kuo didesnį. Kaip Tomas turėtų

pasodinti gyvatvorę, kad bulvėms liktų kuo mažiau vietos, t. y. penkiakampio EBCDF plotas būtų pats mažiausias?

Atsakymas.

1)

Galimas Tomo trikampio statinio AE ilgis (m)

2 3 4 5 6 7 8

Galimas Tomo trikampio statinio AF ilgis (m)

8 7 6 5 4 3 2

Tomo trikampio AEF plotas (m2)

8 10,5 12 12,5 12 10,5 8

2) 400 m²;

3)

Galimas Tomo trikampio AEF plotas (m2)

8 10,5 12 12,5 12 10,5 8

Likusio braškių penkiakampio EBCDF plotas (m2)

392 389,5 388 387,5 388 389,5 392

4) Jei trikampio AEF plotas didėja, tai penkiakampio EBCDF plotas mažėja ir atvirkščiai.

Kalba netaisyta

176

5) Didžiausias plotas, kuris gali likti braškėms, yra 392 m², ir jis yra toks tik tada, kai Tomo trikampio statiniai yra 2 ir 8 metrai (arba, atvirkščiai, 8 ir 2

metrai).

6) Tomas turi sodinti gyvatvorę taip, kad abu jo sklypo statiniai būtų po 5 metrus. Tada mažiausias plotas, kuris liktų bulvėms, yra 387,5 kvadratiniai

metrai.

Pastaba. Keičiant sklypo matmenis (sklypas nebūtinai turi būti kvadratinis, jis gali būti ir stačiakampis ar dar sudėtingesnės formos), bendrą gyvatvorės

ilgį ir privalomą minimalų gyvatvorės ilgį pagal kiekvieną kraštinę (sveikais metrais), galima gauti daug panašių tokios pat rūšies uždavinių. Išnagrinėjus bent

kelis tokius atvejus, mokiniai pastebės bendrą dėsningumą: kuo „skirtingesni“ yra stačiojo trikampio statiniai (esant tai pačiai statinių ilgių sumai), tuo Tomo

trikampio plotas yra mažesnis. Atvirkščiai, kuo statiniai, esant vienodam jų bendram ilgiui, yra „lygesni“, tuo Tomo stačiojo trikampio plotas didesnis. Bene

trumpiausias teiginio apie didžiausią ir mažiausią Tomo trikampio plotą nagrinėjimas būtų toks: Mažesnį statinį pasižymėkime 5 – x. (Kadangi turi būti 5 – x ≥

2, tai x ≤ 3). Tada kitas statinis 5 + x, o plotas ( )( ) ( )2252

155

2

1xxx −=+− . Iš šios išraiškos visiškai aišku, kad kuo statinių skirtumas (2x) didesnis, tuo didesnis

x, o plotas mažesnis. Didžiausią plotą duoda x = 0, tada 252

1⋅=S , mažiausią plotą duoda x = 3, tada S = 8. Žinoma, x sveikasis sąlygoje imamas tik tam, kad

spręsti galima sudarant lentelę (t. y. perrenkant visus atvejus).

Toliau galima papildomai panagrinėti atvejį, kai abi Tomo stačiojo trikampio kraštinės negali būti lygios.

4. Tomas turi palei stačiakampio sklypo 20 x 25 (metrais) abi kraštines pasodinti 15 metrų gyvatvorės (kiekvienoje kraštinėje turi būti sveikasis metrų

skaičius, bent po 5 metrus). Tuomet senelis leis jam sodo kampe A pasodinti ąžuoliuką. Tada toks sklypas AEF bus vadinamas Tomo trikampiu ir bus perduotas

jam prižiūrėti. Likusi penkiakampė sklypo dalis EBCDF bus užsodinta braškėmis.

Kalba netaisyta

177

a) Kaip Tomas turėtų pasodinti gyvatvorę palei abi kraštines, kad jo trikampis užimtų kuo daugiau vietos?

b) Kaip Tomas turėtų pasodinti gyvatvorę palei abi kraštines, kad braškėms liktų kuo daugiau vietos?

Atsakymas.

a) Didžiausias Tomo trikampio plotas gali būti 28 m2 ir jis yra toks tik tada, kai statiniai yra 7 ir 8 metrai (arba, atvirkščiai, 8 ir 7 metrai).

b) Didžiausias plotas, kuris gali likti braškėms, yra20 · 25 – 25 = 475 kvadratiniai metrai ir jis yra toks tik tada, kai Tomo trikampio statiniai yra 5 ir 10

metrai (arba, atvirkščiai, 10 ir 5 metrai).


1. Prie dviženklio skaičiaus pridedame jo skaitmenis ir gauname didesnį skaičių, kurį vadiname pagerintu. Pavyzdžiui, imame skaičių 57. Prie jo pridėję jo

skaitmenis 5 ir 7, gausime pagerintą skaičių 69 = 57 + 5 + 7.



3) Koks yra pats didžiausias dviženklis pagerintas skaičius?

4) Koks yra pats didžiausias įmanomas pagerintas skaičius?

5) Kiek dviženklių pagerintų skaičių yra iš viso?

Kalba netaisyta

178

6) Koks yra pats didžiausias dviženklis skaičius, kuris nėra pagerintas skaičius?

Atsakymas: 1) ne; 2) taip; 3) 99; 4) 117; 5) 77; 6) 97.

2.


surašyti visus sveikuosius skaičius nuo 1 iki 9, po vieną skaičių kiekviename langelyje taip, kad ir pirmoje, ir antroje eilutėje, ir trečioje visų trijų įrašytų skaičių


2) Ar galima į 3x3 matmenų lentelę surašyti visus sveikuosius skaičius nuo 1 iki 9, po vieną skaičių kiekviename langelyje taip, kad ir pirmame, ir

antrame, ir trečiame stulpelyje visų trijų įrašytųjų skaičių sumos būtų tokios pačios?

3) Ar galima į 3x3 matmenų lentelę surašyti visus sveikuosius skaičius nuo 1 iki 9, po vieną skaičių kiekviename langelyje taip, kad ir visose trijose

eilutėse, ir visuose trijuose stulpeliuose visų trijų įrašytųjų skaičių sumos būtų visada tokios pačios?


eilutėse visų skaičių sumos būtų tarpusavyje lygios, ir lygios A, ir visuose trijuose stulpeliuose visų trijų įrašytųjų skaičių sumos būtų tarpusavyje lygios, ir

lygios B, bet A ≠ B?


eilutėse, ir visuose trijuose stulpeliuose, ir dar abiejose ilgosiose įstrižainėse visų trijų įrašytųjų skaičių sumos būtų visada tokios pačios?

Atsakymas: 1) galima; 2) galima; 3) galima; 4) negalima; 5) galima.

3. Tomo senelio sklypo forma yra kvadratas ABCD, o to kvadrato kraštinė yra lygi 20 metrų. Sklypo vidiniame taške Tomas nori pasodinti ąžuoliuką.

Kalba netaisyta

179

Senelis leidžia pasodinti ąžuoliuką F, jei jo atstumai metrais iki kraštinės AD ir kraštinės AB bus sveiki ir ne mažesni kaip 2 metrai, o abiejų tų atstumų suma

bus 10 metrų. Tada toks stačiakampis su stačiuoju kampu A bus vadinamas Tomo sklypeliu ir bus perduotas Tomui prižiūrėti.

1) Lentelėje surašykite visas galimas Tomo sklypelio kraštinių ilgių poras, apskaičiuokite sklypelio plotą kiekvienu atveju ir nustatykite, koks yra

didžiausias galimas Tomo sklypelio plotas.

Vienos Tomo sklypelio kraštinės ilgis sveikaisiais metrais.

2

Kitos Tomo sklypelio kraštinės ilgis sveikaisiais metrais.

8

Tomo sklypelio plotas (m²). 16

2) Koks yra pats mažiausias galimas Tomo sklypelio plotas?

3) Tarkime, kad sklypas pavaizduotas koordinačių sistemoje BAD, o 1 m atstumą vaizduoja pavaizduoto langelio kraštinės ilgis. Tada galima pasakyti, kad

yra dvi galimos taško F padėtys, pavyzdžiui, (2; 8) ir (8; 2) (jos pažymėtos taškais). Jeigu imtume bet kurias dvi gretimas kvadrato kraštines, kiek yra skirtingų

taško F pasirinkimo būdų, kad sklypelis turėtų mažiausią plotą, o sąlygos skaičių nekeistume?

Kalba netaisyta

180

4) Kiek yra skirtingų taško F pasirinkimo būdų, kad Tomo sklypelis turėtų didžiausią plotą, jeigu imtume bet kurias dvi gretimas kvadrato kraštines, o

sąlygos skaičių nekeistume?

Atsakymas.

1)

Vienos Tomo sklypelio kraštinės ilgis sveikaisiais metrais.

2 3 4 5 6 7 8

Kitos Tomo sklypelio kraštinės ilgis sveikaisiais metrais.

10 – 2 = 8 10 – 3 = 7 10 – 4 = 6 10 – 5 = 5 10 – 6 = 4 10 – 7 = 3 10 – 8 = 2

Tomo sklypelio plotas (m²). 2 · 8 = 16 3 · 7 = 21 4 · 6 = 24 5 · 5 = 25 6 · 4 = 16 7 · 3 = 21 8 · 2 = 16

Didžiausias Tomo sklypelio plotas yra 25 m².

2) Mažiausias Tomo sklypelio plotas yra 16 m².

3) Kadangi yra keturios kvadrato viršūnės ir kiekvienu atveju yra 2 būdai mažiausio ploto Tomo sklypelio kraštinėms pasirinkti, tai turime 8 galimas taško

F padėtis: (2; 8), (8; 2), (12; 2), (18; 8), (18; 12), (12; 18), (8; 18), (2; 12).

4) Yra 4 būdai didžiausio ploto Tomo sklypelio viršūnei F pasirinkti: (5; 5), (15; 5), (15; 15), (5; 15).


Kalba netaisyta

181

1. Prie triženklio skaičiaus pridedame visus 3 jo skaitmenis ir gauname didesnį skaičių, kurį vadiname padailintu. Pavyzdžiui, imame skaičių 157. Prie jo

pridėję jo skaitmenis 1, 5 ir 7, gausime padailintą skaičių 170 = 157 + 1 + 5 + 7.

1) Ar 259 yra padailintas skaičius?

2) Ar 266 yra padailintas skaičius?

3) Koks yra pats mažiausias triženklis padailintas skaičius?

4) Koks yra pats didžiausias triženklis padailintas skaičius?

5) Koks yra pats mažiausias triženklis skaičius, kuris nėra padailintas skaičius?

6) Koks yra pats didžiausias triženklis skaičius, kuris nėra padailintas skaičius?

7) Ar galima dailinant du skirtingus triženklius skaičius gauti tą patį rezultatą?

Atsakymas: 1) taip; 2) ne; 3) 101; 4) 999; 5) 100; 6) 995; 7) galima.

2.

1) Ar galima į 3 x 3 matmenų lentelę surašyti pirmoje eilutėje skaičius 1, 2, 3, antroje eilutėje irgi skaičius 1, 2, 3 ir trečioje eilutėje skaičius 3, 4, 5 taip,

kad visų trijų stulpelių skaičių sumos būtų tarpusavyje lygios?

2) Ar galima į 4 x 4 matmenų lentelę įrašyti į pirmą eilutę visus skaičius 1, 2, 3, 4, į antrą – irgi visus skaičius nuo 1 iki 4, o į trečią ir ketvirtą eilutes visus

skaičius 3, 4, 5, 6 (kiekvienoje eilutėje po vieną kartą) taip, kad visų keturių stulpelių elementų sumos būtų lygios?

3) Ar galima į visus 5 x 5 lentelės langelius įrašyti skaičius taip: pirmoje ir antroje eilutėje po kartą įrašome visus skaičius nuo 1 iki 5, trečioje ir ketvirtoje

eilutėje po kartą visus skaičius nuo 3 iki 7 ir galiausiai paskutinėje penktoje eilutėje įrašyti visus skaičius nuo 4 iki 8, kad visuose penkiuose stulpeliuose visų

Kalba netaisyta

182

elementų sumos būtų tarpusavyje lygios?

4) Ar galima į 3 x 3 matmenų lentelę įrašyti, kokius nors devynis natūraliuosius skaičius taip, kad visų 3 eilučių skaičių sumos visos būtų tarpusavyje

lygios (ir lygios A), ir visų trijų stulpelių skaičių sumos irgi būtų visos tarpusavyje lygios (ir lygios B), bet A ≠ B?

5) Ar galima į 4 x 4 matmenų lentelę įrašyti, kokius nors 16 natūraliųjų (nebūtinai skirtingų) skaičių taip, kad visų 4 eilučių skaičių sumos visos būtų

tarpusavyje lygios (ir lygios A), ir visų 4 stulpelių skaičių sumos irgi būtų visos tarpusavyje lygios (ir lygios B), o A ≠ B?

6) Ar galima į 5 x 5 matmenų lentelę įrašyti, kokius nors 25 natūraliuosius (nebūtinai skirtingus) skaičius taip, kad visų 5 eilučių skaičių sumos visos būtų

tarpusavyje lygios (ir lygios A), ir visų 5 stulpelių skaičių sumos irgi būtų visos tarpusavyje lygios (ir lygios B), o A ≠ B?

7) Ar galima į visus 36 kvadratinės lentelės 6 x 6 langelius įrašyti vieną kurį iš skaičių 1, 2, 3, 4 taip, kad bet kuriame tos lentelės stačiakampyje 1 x 4 arba

4 x 1 po vieną kartą pasitaikytų visi keturi skaičiai 1, 2, 3, 4?

8) Ar galime kvadratinę 36 langelių lentelę supjaustyti į 9 stačiakampius, kurių matmenys būtų 1 x 4 arba 4 x 1?

9) Ar galime kvadratinę 100 langelių lentelę supjaustyti į 25 stačiakampius, kurių matmenys būtų 1 x 4 arba 4 x 1?

Atsakymas: 1) galima; 2) galima; 3) galima; 4) negalima; 5) negalima; 6) negalima; 7) galima; 8) negalima; 9) negalima.

3. Senelis prašo, kad Tomas, imdamas kvadrato kraštinėje AD tašką F, o kvadrato kraštinėje AB tašką E taip, kad atkarpos FE ilgis būtų 10, nuo kvadrato

atitvertų paties didžiausio ploto statųjį trikampį AFE.

Kalba netaisyta

183

1) Įsitikinkite, kad jei stačiojo trikampio įžambinės c ilgis 10, tai to trikampio plotas yra pats didžiausias tada, kai trikampio statiniai yra lygūs po 25 .

Trumpiausias sprendimas būtų toks. Vienas statinis x, tada kitas 2100 x− , plotas

( ) ( ) ( ) ( )22222224222 505050501001002

1100

2

1xxxxxxxx −−=+−−=−−=−=− . Aišku, kad plotas didžiausias, kai 50 − x² = 0, 25=x .

Kai 25=x , tai 2100 x− = 25 .

2) Patikrinkite, ar 1) dalyje gauti rezultatai patvirtina teiginį „Esant nustatytam stačiojo trikampio įžambinės c ilgiui, to trikampio plotas yra pats didžiausias

tada, kai stačiojo trikampio statiniai yra lygūs (ir tada statiniai yra lygūs po c2

2, o plotas yra

4

2c)“.

4. Tomo senelio sklypo forma yra lygiakraštis trikampis ABC, kurio kraštinė yra 20. Vienoje trikampio viršūnėje Tomas nori pasodinti berželį. Senelis

leidžia sodinti berželį bet kurioje viršūnėje, sakysime, viršūnėje A, jeigu Tomas iš taško A pasodins ištisinę gyvatvorę palei kraštines AB ir AC. Gyvatvorės ilgis

palei kiekvieną kraštinę turi būti sveikas ir ne mažesnis kaip 2 metrai, o iš viso gyvatvorė turi turėti 10 metrų. Tada toks trikampis (su 60° didumo kampu A)

bus pavadintas Tomo trikampiu ir bus perduotas jam prižiūrėti.

1) Kaip Tomui sodinti gyvatvorę, kad Tomo trikampio, kurio dvi kraštinės sutampa su Tomo sodinama gyvatvore, plotas būtų pats mažiausias?

2) Kaip reikia sodinti gyvatvorę, kad Tomo trikampio, kurio dvi kraštinės sutampa su Tomo sodinama gyvatvore, plotas būtų pats didžiausias?

Atsakymas.

Kalba netaisyta

184

1) Tomo trikampio plotas bus mažiausias, kai gyvatvorės atkarpos bus 2 ir 8 metrai.

2) Tomo trikampio plotas bus didžiausias, kai gyvatvorės atkarpos bus 5 ir 5 metrai.

5. Tomo senelio sklypas yra stataus lygiašonio trikampio ABC formos. Vienoje trikampio viršūnėje Tomas nori pasodinti liepaitę. Senelis leidžia sodinti

liepaitę bet kurioje viršūnėje, sakysime, viršūnėje A, jeigu Tomas iš taško A pasodins ištisinę gyvatvorę palei kraštines AB ir AC. Gyvatvorės ilgis palei

kiekvieną kraštinę turi būti sveikas ir ne mažesnis kaip 2 metrai, o iš viso gyvatvorė turi turėti 10 metrų. Tada toks trikampis (su kampu A) bus pavadintas

Tomo trikampiu ir bus perduotas jam prižiūrėti. Kurioje viršūnėje Tomui reikia sodinti liepaitę ir 10 metrų gyvatvorę, kad susidarantis Tomo trikampis turėtų

patį didžiausią plotą?

Atsakymas. Sodinti reikia iš stačiojo kampo viršūnės po 5 metrus palei kiekvieną kraštinę.

6. Tomo senelio sklypas yra toks trikampis, kurio kampai yra 30º, 60º ir 90º. Vienoje trikampio viršūnėje Tomas nori pasodinti liepaitę. Senelis leidžia

sodinti liepaitę bet kurioje viršūnėje, sakysime, viršūnėje A, jeigu Tomas iš taško A pasodins ištisinę gyvatvorę palei kraštines AB ir AC. Gyvatvorės ilgis palei

kiekvieną kraštinę turi būti sveikas ir ne mažesnis kaip 2 metrai, o iš viso gyvatvorė turi turėti 10 metrų. Tada toks trikampis (su kampu A) bus pavadintas

Tomo trikampiu ir bus perduotas jam prižiūrėti. Kurioje viršūnėje Tomui reikia sodinti liepaitę ir 10 metrų gyvatvorę, kad susidarantis Tomo trikampis turėtų

patį mažiausią plotą?

Atsakymas. Reikia sodinti 30º kampo viršūnėje, o gyvatvorės ilgis vienoje kraštinėje būtų 2, o kitoje 8 metrai.

IV. INFORMACINI Ų IR KOMUNIKACINI Ų TECHNOLOGIJ Ų PANAUDOJIMO MATEMATIKOS UŽDAVINIAMS SPR ĘSTI METODIKOS PAVYZDŽIAI

1 PAVYZDYS

Skaitinių reiškinių su smailiojo kampo sinusu, kosinusu ir tangentu reikšmių skaičiavimas, naudojant skaičiuoklio atminties mygtukus

Tikslas – skaičiuoti skaitinių reiškinių su smailiojo kampo sinusu, kosinusu ir tangentu reikšmes, naudojant skaičiuoklio atminties mygtukus.

Uždaviniai:

• išsiaiškinti konkretaus skaičiuoklio atminties mygtukų paskirtį;

Kalba netaisyta

185

• išmokti perkelti skaičiuoklio indikatoriuje (ekrane) matomą skaičių į atmintį;

• išmokti skaičių iš skaičiuoklio atminties registro perkelti į indikatorių;

• apskaičiuoti paprastų skaitinių reiškinių su smailiojo kampo sinusu, kosinusu ir tangentu reikšmes naudojant skaičiuoklio atminties mygtukus;

• išmokti ištrinti skaičiuoklio atminties registro turinį;

• atpažinti paprasčiausius skaitinius reiškinius, kurių reikšmes skaičiuojant galima naudoti skaičiuoklio atminties mygtukus.

Užduotis:

1. Perskaitykite tekstą:

„Skaičiuoklio atminties mygtukai X→M , MR , CM

leidžia išsaugoti skaičių arba tarpinį rezultatą skaičiuoklio atminties registre ir, atlikus papildomus skaičiavimus, pasinaudoti atminties registro turiniu. Šie

mygtukai padeda lanksčiau naudotis skaičiuokliu ir greičiau apskaičiuoti rezultatą.

Perkėlimas į atmintį

Mygtukas X→M perkelia indikatoriuje esantį skaičių į atmintį.

Atminties turinio iškvietimas

Mygtukas MR perkelia atminties registro skaičių į indikatorių (ekraną), ir tas skaičius iš karto gali būti naudojamas tolesniuose skaičiavimuose. .

Atminties registro turinys išlieka nepakitęs.

Atminties registro ištrynimas

mygtuku X→M : 0 X→M .

Pastaba. Perkėlimo į atmintį mygtukų būna ir kitokių, pvz. MS , SM , STO , Min .

Mygtukas CM ištrina atminties registro turinį. Jeigu ištrynimo mygtukų nėra, tai atminties registro turinį galima ištrinti perkeliant skaičių 0 į atmintį

Kalba netaisyta

186

Kartais pasitaikantis mygtukas MRC vieną kartą paspaudus iškviečia atminties turinį, du kartus paeiliui paspaudus ištrina atminties registrą.

2. Remdamiesi perskaitytu tekstu, išsiaiškinkite, kokie atminties mygtukai yra jūsų skaičiuoklyje.

3. Apskaičiuokite reiškinio 030sin

3reikšmę naudodamiesi skaičiuoklio atmintimi.

Pirmiausia randama reiškinio sin 30° reikšmė, po to atliekamas dalybos veiksmas.

1) Skaičiuokliu sin 30° skaičiuojame taip (skaičiuoklio ekrane turi būti matomas užrašas DEG, o ne RAD ar GRAD – tai padaroma spaudant mygtuką

DRG):

30

sin

gauname 0,5. Taigi sin 30° = 0,5.

Ekrane vaizdas spaudant mygtukus kis taip:

Kalba netaisyta

187

DEG

0.

30 DEG

30. sin DEG

0.5

.

2) Gautą skaičių 0,5 perkelkime į atmintį:

Ekrane vaizdas kis taip:

DEG

0.5

MX → DEG M

0.5

.

3) Atlikime dalybos veiksmą, naudodamiesi atmintimi:

3 ÷ MR = 6 .


DEG M

0.5

3 DEG M

3.

: DEG M

3.

MR

DEG M

0.5

= DEG M

6.

4) Išvalykime skaičiuoklio atmintį, perkeldami skaičių 0 į atmintį (dabar atminties ląstelėje tebėra skaičius 0,5):

0 X→M .


DEG M

0 DEG M

MX → DEG

X→M .

Kalba netaisyta

188

6. 0.

0. . Dabar atminties ląstelėje stovi 0, todėl raidė M nebešviečia.

4. Išspręskite uždavinį, naudodamiesi skaičiuoklio atmintimi, ir pasitikrinkite atsakymą.

Duota: ∆ABC, ∠ C =90°. Rasti 0,001 tikslumu:

a) AB, kai ∠ A = 18°, BC = 10;

b) AB, kai ∠ B = 80°, BC = 14;

c) BC, kai ∠ B = 25°, AC = 4,5.

Atsakymas: a) AB ≈ 32,361; b) AB ≈ 80,623; c) BC ≈ 9,650.

2 PAVYZDYS

IKT taikymas mokant pagal 9 kl. modulio A-2 „Finansinio raštingumo elementai. Statistika. Tikimybių teorija“ program ą

(parengtas remiantis Varėnos „Ąžuolo“ gimnazijos matematikos mokytojos Monikos Kemežienės patirtimi)

Siūlomas pavyzdys padeda naudojant Lietuvos statistikos departamento internetinę svetainę (http://mokyklele.stat.gov.lt) ugdyti mokinio gebėjimą

priimti sprendimą imtis veiklos, susijusios su žinių tobulinimu, rūpintis žinių perėmimu, nustatyti, ar neliko neaiškumų ir ar galima būti užtikrintam (-ai), jog

išmokta teisingai, sieti matematikos žinias su gyvenimu.

Tikslas – įtvirtinti skyriaus „Statistika“ teorinę medžiagą naudojant Lietuvos statistikos departamento internetinę svetainę (http://mokyklele.stat.gov.lt)

ilgalaikei užduočiai „Statistinis tyrimas“ atlikti.

Uždaviniai:

Mokiniai gebės:

• skaityti statistinę informaciją, pateiktą lentele, diagrama, žemėlapiu;

• rinkti duomenis pagal vieną požymį;

• tvarkyti statistinius duomenis (užrašyti variacinę eilutę, sudaryti dažnių lentelę);

• pavaizduoti statistinius duomenis diagrama;

Kalba netaisyta

189

• rasti imties vidurkį, medianą, modą;

• paaiškinti koreliacijos idėją.

Svetainėje http://mokyklele.stat.gov.lt pateiktas E. statistikos pamokas sudaro 4 temos:

1. Kas yra statistika? (Paaiškinama, kas yra statistika ir kam ji reikalinga, kaip gaunama ir vaizduojama statistinė informacija ir t. t.).

2. Kaip atliekamas statistinis tyrimas? (Paaiškinama, kaip atlikti nesudėtingą statistinį tyrimą, kaip rinkti ir tvarkyti duomenis, kaip vaizduoti rezultatus).

3. Kaip atliekamas sudėtingesnis statistinis tyrimas? (Supažindinama su sudėtingesniu statistiniu tyrimu, duomenų rinkimu iš dokumentų, sudėtingesnėmis

diagramomis).

4. Statistiniai skaičiavimai. (Supažindinama su variacine eilute, paaiškinama, kaip apskaičiuoti vidurkį, rasti modą ir medianą).

Pasirengimui atlikti ilgalaikę užduotį „Statistinis tyrimas“ skiriamos 2 pamokos. Po to atliekamas statistinis tyrimas, kurio siūloma trukmė 2 savaitės.

Pastaba. Koreliacijos ryšio kartojimą organizuoja mokytojas.

PIRMA PAMOKA

Mokiniai dirba Lietuvos statistikos departamento internetinės svetainės (http://mokyklele.stat.gov.lt) skiltyje „Moksleiviams“.

Kalba netaisyta

190

Pamokos uždavinys:

Internete išklausę ir išnagrinėję epamokos temas „Kas yra statistika?“ ir „Kaip atliekamas statistinis tyrimas?“, mokiniai aptaria gautą informaciją

porose, klasėje, po to, dirbdami individualiai arba poromis, atlieka testus „Kas yra statistika?“

(http://mokyklele.stat.gov.lt/e-mokyklele/site.html?navigate=0_0_0), „Kaip atliekamas statistinis tyrimas?“

(http://mokyklele.stat.gov.lt/e-mokyklele/site.html?navigate=1_0_0) ir įvertinami.

ANTRA PAMOKA

Pamokos uždavinys:

Internete išklausę ir išnagrinėję epamokos temas „Kaip atliekamas sudėtingesnis statistinis tyrimas?“ ir „Statistiniai skaičiavimai“, mokiniai, aptars

gautą informaciją porose, klasėje, po to, dirbdami individualiai arba poromis, atlieka testus „Kaip atliekamas sudėtingesnis statistinis tyrimas?“

(http://mokyklele.stat.gov.lt/e-mokyklele/site.html?navigate=2_0_0), „Statistiniai skaičiavimai“

(http://mokyklele.stat.gov.lt/e-mokyklele/site.html?navigate=3_0_0) ir įvertinami.

Kalba netaisyta

191

Testų vertinimas

Užduotis Taškai Testas „Kas yra statistika?“ 1 klausimas 2 klausimas 3 klausimas 4 klausimas

4 1 1 1 1

Testas „Kaip atliekamas statistinis tyrimas?“ 1 klausimas 2 klausimas 3 klausimas 4 klausimas 5 klausimas

8 1 1 1 2 3

Testas „Kaip atliekamas sudėtingesnis statistinis tyrimas?“ 1 klausimas

12 2

Kalba netaisyta

192

2 klausimas 3 klausimas 4 klausimas 5 klausimas

2 3 3 2

Testas „Statistiniai skaičiavimai“ 1 klausimas 2 klausimas 3 klausimas 4 klausimas

6 1 1 1 3

Iš viso 30

Taškų konvertavimas į balus

Taškai 5-9 10-14 15-19 20-25 26-30 Balai 1 2 3 4 5

ILGALAIK Ė UŽDUOTIS „STATISTINIS TYRIMAS“

Tikslas:

Padėti mokiniams ugdytis gebėjimus:

• rinkti įvairią statistinę informaciją, ją analizuoti, vertinti, daryti tinkamas išvadas;

• statistiškai apdoroti duomenis nesudėtingose situacijose;

• parengti darbo pristatymą.

Uždaviniai:

1. Pasirinkti statistinio tyrimo temą.

2. Suformuluoti statistinio tyrimo tikslą.

3. Susidaryti tyrimo atlikimo veiksmų planą.

4. Surinkti duomenis pagal du požymius (tyrimo duomenys turi būti kiekybiniai).

5. Pagal kiekvieną požymį gautus duomenis apdoroti statistiškai, t. y.:

užrašyti imtį;

Kalba netaisyta

193

apskaičiuoti imties dydį;

surašyti duomenis variacine eilute;

apskaičiuoti imties plotį;

sudaryti sugrupuotų duomenų dažnių lentelę;

apskaičiuoti vidurkį;

apskaičiuoti medianą;

nustatyti modą;

pateikti duomenis diagramomis: stačiakampe, skrituline, stulpeline, taškine, jeigu tinka – ir linijine (diagramas sudaryti naudojantis skaičiuokle,

pvz., Microsoft Excel).

6. Ištirti koreliaciją.

7. Išanalizavus rezultatus, padaryti išvadas.

8. Paruošti atlikto tyrimo pristatymo pateiktis (8−10 skaidrių).

9. Įtraukti skaičiavimus į pateiktis.

10. Darbą pristatyti auditorijai. Pristatymo trukmė apie 2−3 min.

Statistinio tyrimo vertinimas

Užduoties vertinimo kriterijai Taškai 1. Temos pasirinkimas, tikslo suformulavimas. 1t.

2. Pagal kiekvieną požymį gautų duomenų apdorojimas statistiškai: 1) imties užrašymas; 2) imties dydžio apskaičiavimas; 3) duomenų surašymas variacine eilute; 4) apskaičiuotas imties plotis; 5) sugrupuotų duomenų dažnių lentelė; 6) apskaičiuotas vidurkis; 7) apskaičiuota mediana; 8) nustatyta moda; 9) diagramos: stačiakampė, skritulinė, stulpelinė, taškinė, linijinė (jei tinka).

1 t. 1 t. 1 t. 1 t. 1 t. 2 t. 2 t. 1 t. 4 t.

3. Ištirta koreliacija. 2 t.

Kalba netaisyta

194

4. Išvadų pateikimas. 2 t. 5. Pateikčių sukūrimas. 4 t. 6. Pristatymas. 2 t.

Viso: 25 t.

Taškų konvertavimas į balus

Taškai 1−5 6−9 10−15 16−20 21−25 Balai 1 2 3 4 5

ILGALAIK ĖS UŽDUOTIES VERTINIMAS

Galutinis įvertinimas = Testo balas + Statistinio tyrimo balas.

3 PAVYZDYS

IKT taikymas mokant statistikos pagal 9 kl. modulio A-2 „Finansinio raštingumo elementai. Statistika. Tikimybi ų teorija“ program ą

(parengtas remiantis Molėtų gimnazijos mokytojos metodininkės Rimutės Andriukonienės ir Kauno Kovo 11-osios vidurinės mokyklos vyresniosios mokytojos

Almos Sotkevičiūtės patirtimi)

Tikslas – taikyti MS EXCEL programą statistikos uždaviniams spręsti.

Uždaviniai:

• apskaičiuoti duomenų vidurkį;

• apskaičiuoti dažnių sumą;

• nubraižyti stulpelinę diagramą;

• pavaizduoti dviejų dydžių koreliaciją.

Užduotis:

Dešimtokų matematikos kontrolinio darbo rezultatai yra tokie: 4, 7, 5, 3, 10, 8, 9, 7, 5, 3, 8, 5, 7, 6, 7, 7, 5, 6, 9, 9.

Fizikos kontrolinio darbo rezultatai yra tokie: 4, 5, 7, 3, 8, 9, 9, 6, 5, 5, 7, 4, 7, 7, 8, 8, 4, 4, 10, 8.

1) Kiek dešimtokų rašė matematikos kontrolinį darbą?

Kalba netaisyta

195

2) Koks vidutinis matematikos kontrolinio darbo pažymys?

3) Kiek dešimtokų rašė fizikos kontrolinį darbą?

4) Koks vidutinis fizikos kontrolinio darbo pažymys?

5) Pavaizduokite matematikos kontrolinio darbo rezultatus stulpeline diagrama.

6) Pavaizduokite fizikos kontrolinio darbo rezultatus skrituline diagrama.

7) Sudarykite diagramą, kuria remiantis būtų galima palyginti matematikos ir fizikos kontrolinių darbų rezultatus.

8) Nustatykite, ar dešimtokų matematikos ir fizikos kontrolinio darbo pažymiai tarpusavyje koreliuoti.

Sprendimas:

1) Atveriame naują MS EXCEL programos langą.

2) Surašome visus duomenis į lentelę ir apskaičiuojame matematikos ir fizikos pažymių vidurkius. Atveriame formulės laukelį fx ir pasirenkame funkciją

AVERAGE .

Kalba netaisyta

196

3) Nurodome, kurio dydžio ir kurių to dydžio duomenų vidurkį skaičiuosime. Komanda OK.

Kalba netaisyta

197

4) Lange matematikos ir fizikos pažymius surašome į dažnių lentelę. Norėdami apskaičiuoti dažnių sumą, pažymime norimus duomenis ir paspaudžiame

mygtuką AutoSum.

Kalba netaisyta

198

5) Sudarome stulpelinę diagramą. Pasižymime dažnių lentelėje duomenis ir Įrankių juostoje pasirenkame diagramos mygtuką, po to norimą diagramos tipą:

stulpelinę, skritulinę ar kitą.

Kalba netaisyta

199

6) Pavaizduojame duotų dydžių reikšmių koreliaciją. Diagramų lange pasirenkame Scatter tipo diagramą.

Kalba netaisyta

200

7) Gauname duotų dydžių reikšmių koreliacijos diagramą. Remdamiesi šia diagrama, galime nustatyti, ar dydžiai yra koreliuoti.

Kalba netaisyta

201

4 PAVYZDYS

Programos GeoGebra taikymas su tiesės braižymu susijusiems uždaviniams spręsti

(parengtas remiantis Klaipėdos „Ąžuolyno“ gimnazijos matematikos mokytojos ekspertės Vilijos Šileikienės patirtimi)

Tikslas – taikyti programą GeoGebra su tiesės braižymu susijusiems uždaviniams spręsti.

Uždaviniai:

Mokiniai, taikydami programą GeoGebra, gebės:

• braižyti tiesinės funkcijos grafiką;

• pažymėti taškus, priklausančius ir nepriklausančius tiesei;

Kalba netaisyta

202

• užrašyti tiesinės funkcijos formulę prie grafiko;

• programos lange prie grafiko įterpti tekstą.

Tiesinės funkcijos grafiko braižymo taikant programą GeoGebra etapai:

1. Atidarome programos langą.

2. Paruošiame koordinačių plokštumą. Pažymime koordinačių ašis ir tinklelį (mygtukai „Rodyti“ → „Grafikos vaizdas“), koordinačių ašis pažymime raidėmis X ir Y ( mygtukai „Pasirinkimai“

→ „Pažangus“ → „Nustatymai“ → „Grafiko vaizdas“ → „X ašis“ → „Y ašis“).

Patikriname, ar lange yra funkcijos formulės įvesties laukas (dažniausiai jis yra lango apačioje, po koordinačių plokštuma). Jeigu nėra jo, spaudžiame

mygtuką „Rodyti“ ir atsivėrusią eilutę „Įvesties laukas“ pažymime varnele. Paspaudę mygtuką „Pasirinkimai“ pasirenkame kalbą. Galime pradėti tiesės

brėžimą.

3. Tiesinės funkcijos, išreikštos formule, grafiko brėžimas.

Įvesties lauke įrašome funkcijos, kurios grafiką braižysime, formulę, pvz., y = 1.5x +2 (ženklo „kablelis“ programa nepažįsta). Spaudžiame klavišą

„Enter“ ir koordinčių plokštumoje pasirodo tiesė.

Kalba netaisyta

203

4. Teksto, kitų žymėjimų spausdinimas programos lange.

Norėdami prie tiesės užrašyti jos formulę, spaudžiame dešiniuoju pelės klavišu ant tiesės ir atsiradusioje lentelėje pažymime eilutę „Nustatymai“ →

„Algebra“ → „Lygtis“. Prie tiesės atsiranda jos lygtis. Pažymėję eilutę „Nustatymai“, galime keisti tiesę vaizduojančios linijos spalvą („Spalva“), storį, stilių

(vientisa ar punktyrinė) („Stilius“).

Pravartu išmokti žymėti taškus, priklausančius ar nepriklausančius tiesei. Programos lango viršuje kairėje pusėje paspaudžiame antrojo kvadratėlio

dešiniajame apatiniame kampe esantį trikampėlį.

Atsivėrus lentelei, spaudžiame „Naujas taškas“ ir pelės kairiuoju klavišu pažymime pageidaujamo taško vietą. Dešiniuoju pelės klavišu pažymėję tašką,

atversime lentelę, kurioje pasirinkę „Nustatymai“ , galėsime keisti taško stilių, spalvą, pažymėti taško koordinates.

Kalba netaisyta

204

Norėdami programos lange išspausdinti tekstą, programos lango viršuje paspaudžiame kvadratėlio su raidėmis ABC dešiniajame apatiniame kampe

esantį trikampėlį.

Atsivėrus lentelei, spaudžiame eilutę „Įterpti tekstą“ ir „pelės“ kairiojo klavišo spustelėjimu du kartus pažymime koordinačių plokštumos vietą, kurioje

pageidaujame įrašyti tekstą. Atsidaro langas, kuriame surenkame reikalingą tekstą.

Mokiniai, išmokę braižyti tieses taikant programą GeoGebra, gali spręsti įvairius uždavinius: rasti dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates; patikrinti,

ar taškas priklauso tiesei; remdamiesi grafiku, apibūdinti tiesinės funkcijos savybes. Jei mokytojas mano, kad tiesę braižant netikslinga naudoti IKT, mokinys

gali pasitikrinti naudodamasis programa Geogebra darbą. Įgyti gebėjimai mokiniams padeda greičiau išmokti nubraižyti kvadratinės ir atvirkščiojo

proporcingumo funkcijų grafikus.

Kalba netaisyta

205

V. REKOMENDUOJAMA MOKYMO IR MOKYMOSI LITERAT ŪRA IR ŠALTINIAI MOKYTOJUI

1. Ažubalis A. P., Logika ir mokyklinė matematika. – Monografija, 2008.

2. Copley J., Mathematical Thinking: Background and Criteria, 2013.

3. Brookhart S. M., Kaip mokiniams teikti veiksmingą grįžtamąją informaciją. − UAB Rgrupė, 2012.

4. Freire P., Kritinės sąmonės ugdymas. – V.: Tyto alba, 2000.

5. Kašuba R., Kaip spręsti, kai nežinai kaip. – V.: TEV, 2006.

6. Marzano R., J. Naujoji ugdymo tikslų taksonomija. – V.: Žara, 2005.

7. Moscovich I., Mažoji didžiųjų smegenų žaidimų knyga. – V.: Obuolys, 2013.

8. Pollard A., Refleksyvusis mokymas. − Garnelis, 2002.

9. Harvey F. Silver, Palyginimas ir sugretinimas. Ugdome lyginamąjį mąstymą mokinių mokymosi pasiekimams gerinti. − UAB Rgrupė, 2012.

10. Stacey K., What is mathematical thinking and why is it important?, 2006.

11. Willers M., Kasdienė mūsų algebra arba x ir y greta mūsų. – V.: Žara, 2013.

12. Vertinimo aplankas. Kur, kada, kodėl ir kaip jį naudoti / S. Easley, K. Mitchell. – V.: Tyto alba, 2007.

13. Matematika visiems. Papildoma matematikos medžiaga 8 klasei / P. Gudynas ir kt. – V.: Margi raštai, 1996.


15. Pedagogo kompetencijų tobulinimas integruojant informacines komunikacines technologijas į ugdymo procesą. – V.: PPRC, 2007.

16. Apynis A., GeoGebra 4.0 mokomoji medžiaga mokytojams. Prieiga per internetą:

< http://www.upc.smm.lt/ugdymas/vidurinis/rekomendacijos/failai/matematika/Programos_GeoGebra_4.0_panaudojimo_mokomoji_medziaga.pdf >.

[Žiūrėta 2014 m. vasario 1 d. 17.50].

17. http://galimybes.pedagogika.lt/projekto-veiklos/pagrindinio-ugdymo-programos

18. http://mkp.emokykla.lt

19. http://mokyklele.stat.gov.lt

20. http://portalas.emokykla.lt/Puslapiai/Sritisugdymui.aspx

Kalba netaisyta

206

21. http://www.projectmaths.ie

22. http://www.upc.smm.lt/ekspertavimas/biblioteka/failai/modelis/Metodika_I_dalis.pdf

23. http://www.upc.smm.lt/ekspertavimas/biblioteka/failai/modelis/Metodika_II_dalis.pdf

24. http://nec.lt/3/


26. http://www.nmva.smm.lt/wp-content/uploads/2014/01/Lietuvos-mokini%C5%B3-matematinis-m%C4%85stymas-pagal-TIMSS-tyrimus-2013-12.pdf

27. http://norvaisa.lt/category/matematika/mokykline-matematika/

28. www.geogebra.lt

29. www.misijapinigai.lt

Kalba netaisyta

207

VI. NAUDOTA LITERAT ŪRA IR KITI ŠALTINIAI

1. Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo samprata. (Patvirtinta Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2004 m. vasario 25 d. įsakymu Nr.

ĮSAK-256).

2. Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosios programos. (Patvirtinta Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2008 m. rugpjūčio 26 d. įsakymu

Nr. ISAK-2433).

3. Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo programa. (Patvirtinta Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministo 2010 m. sausio 8 d.

įsakymu Nr. V-55).

4. Lambert L. Lyderystės gebėjimai ir tvari mokyklos pažanga. − Vilnius, 2011.

5. Silver H. F, Strong R. W., Perini M. J. Mokytojas strategas. − UAB Rgrupė, 2012.



8. Matematika 9. Pirmoji knyga. / V. Sičiūnienė ir kt. − Kaunas: Šviesa, 2009.

9. Matematika 9. Antroji knyga. / V. Sičiūnienė ir kt. − Kaunas: Šviesa, 2009.

10. Informacinių ir komunikacinių technologijų taikymo ugdymo procese galimybės. Rekomendacijos mokytojui. − Vilnius, 2005.

11. Ugdymo organizavimo 9−12 klasėse modelio gairių įgyvendinimo metodinės rekomendacijos. − Vilnius, 2012.

12. Математика для 7 класса / Э. Нурк и др. – Таллинн: Коолибри, 2007.

13. Математика для 8 класса / М. Лепик и др. – Таллинн: Коолибри, 2002.

14. Математика. Учебник для 9 класса / К. Вельскер и др. – Таллинн: Коолибри, 2006.

15. http://www.sac.smm.lt/

16. http://vertinimas.pedagogika.lt/

17. http://mokomes5-8.ugdome.lt/

18. http://galimybes.pedagogika.lt/projekto-veiklos/pagrindinio-ugdymo-programos



Kalba netaisyta

208

21. http://www.nmva.smm.lt/

22. http://portalas.emokykla.lt/Puslapiai/Sritisugdymui.aspx

23. www.geogebra.org

Documents

Metodinė medžiaga matematikos modulių programų 9−10 (I−II