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Método dos Mínimos Quadrados: um resumo Uma mãe deseja saber o peso 1 de seu filho. Na UBS informaram que é F=12kg. Para verificar isso, ela pesou-se com o filho no colo, obtendo M+F=79kg. Posteriormente, pesou-se sem o filho, obtendo M=71kg. Resumindo, aqui estão os resultados (em kg) M+F=79 M=71 F=12 Essas equações são inconsistentes! Que valores devemos atribuir para os pesos da mãe e do filho? 1 – De fato, a massa. Mas tentar desfazer essa confusão é uma batalha perdida Otaviano Helene Curso de extensão oferecido no IFUSP em julho/2010

Método dos Mínimos Quadrados: um resumoaxpfep1.if.usp.br/~otaviano/Apresentacao.pdf · Método dos Mínimos Quadrados: um resumo Uma mãe deseja saber o peso1 de seu filho. Na UBS

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Método dos Mínimos Quadrados: um resumo

Uma mãe deseja saber o peso1 de seu filho. Na UBS informaram que é F=12kg. Para verificar isso, ela pesou-se com o filho no colo, obtendo M+F=79kg. Posteriormente, pesou-se sem o filho, obtendo M=71kg. Resumindo, aqui

estão os resultados (em kg)M+F=79

M=71F=12

Essas equações são inconsistentes! Que valores devemos atribuir para os pesos da mãe e do filho?

1 – De fato, a massa. Mas tentar desfazer essa confusão é uma batalha perdida

Otaviano Helene

Curso de extensão oferecido no IFUSP em julho/2010

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1 – Solução para um problema sem solução: o MMQ

• M+F=79

• M=71

• F=12.

Procure valores para M e F que minimizem as diferenças entre os valores calculados e os valores experimentais.

Mas ... minimizar com que critério?

Solução do MMQ: minimizar as diferenças quadráticas. Primeira dívida: por que essa forma de minimização

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222 )12()71()79(),( −+−+−+= FMFMFMQ

012)-F~

2(79)-F~

M~

2(

071)-M~

2(79)-F~

M~

2(

0 e 0~

,~~

,~

=++

=++

==MFMF F

Q

M

Q

∂∂

∂∂

Eqs. (1)

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Solução: 10,7F~

e 69,7M~ ==

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Neste caso, minimize

Resultados desvio padrão (incerteza)• M+F=79 3,0• M=71 2,0• F=12 1,0

• E se os dados tiverem diferentes precisões?.

2

2

2

2

2

2

1

)12(

2

)71(

3

)79(),(

−+−+−+= FMFMFMQ

Segunda dívida: por que essa forma de ponderação?

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Como estimar o desvio padrão

• Exemplo: medidas de um comprimento

• 40,9 40,2 40,5 39,8 40,3 40,4

∑ −≈ 22 )(1-n

1xxiσ

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Nesse exemplo, o desvio padrão dos dados é aproximadamente 3,8.

O desvio padrão da média é

15,06

36,0

n=≈= σσ x

O resultado experimental é 40,35±0,15

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Mais dívidas

A origem mais comum dos desvios padrões é a propagação de incertezas

Pode haver (e isso é comum) covariâncias entre os dados

O MMQ não vale apenas para dados gaussianos

Os resultados do MMQ só tem as propriedades ótimas quando conhecemos os valores verdadeiros dos desvios padrões (ou se todos são iguais)

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MMQ: Um exemplo, consumo de combustível

Distância na cidade (km)

Distância na estrada (km)

Consumo (litros)

100 300 39

300 100 49

10 200 22

200 10 29

100 100 22

Qual o rendimento desse veículo (em litros por quilômetro) na estrada e na cidade? (Suponha que

todos os desvios padrões são iguais.)

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Ajuste de parâmetros de funções: exemplo de uma reta

O MMQ é muito usado para o ajuste de parâmetros em funções conhecidas

Exemplo: (x; y)

(1,0; 3,2), (2,0; -0,2), (3,0; 0,0) e (4,0; -1,2). Todos os y’s com o mesmo desvio padrão 1,0.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

xy

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∂∂

∂∂

Q a b

a

Q a b

b

(~,~

)~

(~,~

)~

=

=

0

0y a b x

x y a x b x

i

i i

i

i

i i

i

i

i

i

i

σ σ σ

σ σ σ

2 2 2

2 2

2

2

1∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

= +

= +

~ ~

~ ~

y

x y

x

x xa

b

i

i

i i

i

i

i

i

i

i

i

i

σ

σ

σ σ

σ σ

2

2

2 2

2

2

2

1∑

∑ ∑

∑ ∑

=

~~

bxay +=

∑ −−=2

2)(),(

i

ii bxaybaQ

σ

Parâmetros a ajustar: a e b

O que devemos minimizar

Equações lineares

Como minimizar

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-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

b

a

curvas de nivel de Q(a,b) - de 0,5 em 0,5

A minimização pode ser feita algebricamente, numericamente ou graficamente

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Resultado da função ajustada

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

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2 – O MMQ não é tendencioso

Uma medida é não-tendenciosa quando o valor esperado do resultado é igual ao valor da grandeza medida.

Exemplo: Um detector conta o número de partículas durante um certo intervalo de tempo. Se a é o número médio de partículas que em média esperaríamos observar naquele intervalo de tempo, então a probabilidade que sejam observados n eventos é dada por um distribuição de Poisson, Pa(n)=e-aan/n!. É fácil mostrar que o valor esperado de n é igual a a: <n>=a. Assim, o número de eventos observado, n, é uma medida não tendenciosa de a.

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Os experimentos em ciências devem ser tais que os valores esperados das grandezas medidas sejam iguais a elas.

Exemplo: Se medimos um comprimento usando réguas não tendenciosas e procedimentos também não tendenciosos, o resultado é uma medida não tendenciosa do objeto medido; os valores obtidos flutuarão em torno do valor verdadeiro da grandeza.

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Contra exemplo: uma medida tendenciosa

Suponha que queiramos estimar a área de um quadrado. Para tal, medimos o lado do do quadrado (vamos chamar de l o resultado da medida) por um processo não tendencioso. Assim, l será igual a l0, o valor verdadeiro do lado, mais um erro de medida, e: l=l0+e. Se o valor esperado desse erro é nulo, <e>=0, então <l>=<l0+e>=<l0>+<e>=l0+0.

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Note que o valor esperado de uma constante é ela mesma e o valor esperado do produto de uma constante por alguma coisa que varia é o produto da constante pelo valor esperado daquilo que varia.

Mas, e a área?Veja a sequência de equações abaixo.

( ) 20

20

20

2 2 eellella ++=+==

><+><+>>=<< 20

20 2 eella

><+><+>=< 20

20 2 eella

02

0 0 aeaa >≠<++>=<

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E o MMQ?

012)-F~

2(79)-F~

M~

2(

071)-M~

2(79)-F~

M~

2(

=++

=++

Vamos voltar ao exemplo inicial (Eqs. (1). Note que as soluções adotados para M e F dependem linearmente dos valores medidos, 12, 71 e 79. Assim, se esses valores são não tendenciosos, então os valores ajustados pelo MMQ também serão não-tendenciosos.

7912F~

2M~

7971F~

M~

2

+=+

+=+

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Conclusão• O MMQ é não tendencioso no caso linear (as grandezas

medidas dependem linearmente dos dados experimentais).

• Verifique que os valores ajustados dos parâmetros de uma reta dependem linearmente dos dados experimentais (valores de y da equação abaixo)

=

∑∑

∑∑−

2

2

1

2

2

2

221

~~

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

yx

y

xx

x

b

a

σ

σ

σσ

σσ

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Exemplo: não-tendenciosidade e tendenciosidade

x=x0-1 p=1/3x0 p=1/3x0+1 p=1/3

0000 )1)(3/1()3/1()1)(3/1( xxxxx =+++−>=<

x é uma medida não tendenciosa de x0:

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Mas ... a área dada por x2 é tendenciosa:

a=(x0-1)2 p=1/3(x0)2

p=1/3(x0+1)2 p=1/3

3

2

3

2)1)(3/1()3/1()1)(3/1( 0

20

20

20

20 axxxxx =+=+++−>=<

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3 – Simplificando as equações do MMQ

( )

( ) )(

10

011

bdacd

cba

b

aba

db

ca

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dycx

byax

y

x

dc

ba

tt

+=

=

=

=

++

=

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Formalismo matricial (parece complicado ... mas simplifica e

facilita generalizações)

M+F=79M=71F=12

Forma mais rigorosa:M0+F0+e1=79

M0+e2=71

F0+e3=12

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+

=

3

2

1

0

0

10

01

11

12

71

79

e

e

e

F

M

222 )12()71()79(),( −+−+−+= FMFMFMQ

=

F

M

F

MFMQ

t

10

01

11

12

71

79

10

01

11

12

71

79

),(

essa equação é idêntica a

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Parece que complicou?

• No caso linear, a equação básica do MMQ sempre pode ser escrita na forma

+

=

nmnmnn

m

m

n e

e

e

a

aa

xxx

xxx

xxx

y

yy

2

1

0

20

10

21

22221

11211

2

1

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Y=X·A0+e

(dados)=(planejamento)(parâmetros)+(erros)

e

Q(a1,a2,...)=(Y-XA)t·(Y-XA)

0...~,~

21

=∂∂

aaia

QYXX)(XA t1t −=~

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Exemplo

bxay += (x, y)

(1,0; 3,2)

(2,0; 0,2)

(3,0; 0,0)

(4,0; -1,2)

+

=

− 4

3

2

1

0

0

41

31

21

11

2,1

0,02,0

2,3

ee

ee

b

a

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Exemplo

t(s) x(m) v(m/s)

1 5,1 10,7

2 20,8

3 45,9

4 40,1

5 50,4

Considere um experimento para determinar a aceleração da gravidade no qual foram medidas posições e velocidades em alguns instantes de tempo (dados abaixo). Adote x(t)=x0+v0t+gt2/2 e v(t)=v0+gt

Construir a equação básica do MMQ e ajustar x0, v0 e g

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Exercício: como aproveitar uma informação aparentemente

incompleta• Na pesagens mãe e filho obteve-se os

valores 69,7kg e 10,7 kg. Suponha os dados originais que deram origem a esses resultados tenham sido descartados e que a mãe encontrou uma outra balança e pesando-se com o filho no colo obteve 81 kg. É possível incluir essa nova informação – insuficiente para estimar os pesos das duas pessoas – e obter novas estimativas para os pesos?

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• Sim! Veja como:

=

+

=

+=

81

7,10

7,66

11

10

01

11

10

01

11

10

01

~

~

11

10

01

81

7,10

7,66

1

3

2

1

0

0

tt

F

M

e

e

e

F

M

eXAY 0

Os novos valores a serem adotados são 67,9 e 11,9

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4 – Variâncias e covariâncias

• Para usar plenamente o MMQ precisamos conhecer variâncias e covariâncias. Vamos lá

• A variância é formalmente definida como o valor esperado do quadrado da diferença entre um dado experimental e o valor verdadeiro medido:

• σ2=<(x-x0)2>

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Exemplo

• Considere um equipamento que fornece como resultado os seguintes valores:

x= x0-1 p=0,25 x0 p=0,50 x0+1 p=0,25

Note que isso corresponde a medida não tendenciosa de x.

A variância da medida dessa grandeza é

σ2=(0,25)(x0-1-x0)2+(0,50)(x0-x0)2+(0,25)(x0+1-x0)2=0,50

O desvio padrão é 0,71

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Às vezes, precisamos estimar as variâncias a partir de um conjunto de dados experimentais

Rev. Ensino de Física,13, 1991, O que é uma medida? O. Helene, S.P. Tsai, R.R.P. Teixeira, p.12

∑ −≈ 22 )(1-n

1xxiσ40,9 40,2 40,5

39,8 40,3 40,4

15,06

36,0

n=≈= σσ x

Às vezes, conhecemos muito bem as variâncias por medidas anteriores:

equipamento usado muitas vezes em medidas anteriores

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Propagação de incertezas (exata no caso linear)

• Veja a sequência de equações

( )

( ) ( )

( ) ( )

...

...),,y(y se

conhecidos e ,

conhecido

22

22

2

2220

220

20

20

2

20

2

+

∂∂+

∂∂=

=

=−=−=

−−+=−=

+=

−=

zxy

x

y

x

z

y

x

y

wzx

axxaaxax

baxbaxyy

babaxy

xx

σσσ

σ

σ

σ

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Propagação de incertezas: caso não linear aproximação

( ) ( )( ) ( ) ( )

22

220

2

220

220

20

20

220

20

220

220

2

2

2

exp

4

22)(

conhecido

xy

xy

y

x

dx

dy

x

eexxeexxxex

xxyy

xy

+=−++=−+=

−=−=

=

σ

σσ

σ

σ

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Covariâncias

Origem: dois resultados experimentais são covariantes se há uma ou mais fontes de erros que afetem a ambos

Exemplos:

(a) Duas medidas feitas com a mesma régua: os resultados serão covariantes

(b) Seções de choque medidas no mesmo acelerador

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Matriz de covariâncias

x1, x2, ... xn são n dados experimentais

=

221

22

12

1212

),cov(),cov(

),cov(),cov(

),cov(),cov(

2

1

nxnn

nx

nx

xxxx

xxxx

xxxx

σ

σσ

xV

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Propagação de variâncias e covariâncias

txDDVVy =

),...,(

),...,(

),...,(

21

212

211

nm

n

n

xxxy

xxxy

xxxy

j

iji x

yD

∂∂=,

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5 – Mais resultados

a – O MMQ deve usar o matriz de covariância dos dados experimentais, V, o que não foi feito ainda. É fácil (mas trabalhoso) mostrar que a solução é

YVXX)V(XA 1t11t −−−=~

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Exemplo: média de dois dados

=

22

21

11

0

0 e grandeza mesma uma para

resultados dois são e

σσ

V

xx

( ) ( ) ( )

22

21

2~

22

21

22

221

1

2

1

1

22

21

11

22

21

2

10

2

1

111

) variânciao(propagaçã e 11

0

011

1

1

0

011~

1

1

σσ

σ

σσ

σσ

σσ

σσ

+=

+

+=

=

=⇒

+

=

−−−

x

xx

x

xx

e

ex

x

x

o valor a ser adotado para a grandeza, dada pelo MMQ, pode ser obtido como segue:

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Se YVXX)V(XA 1t11t −−−=~

11tA X)V(XV −−=~

então, usando t

xDDVVy =

podemos mostrar que a matriz de covariância dos parâmetros ajustados é dada por

b – Matriz de covariância dos parâmetros ajustados

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c – As estimativas do MMQ são as de menor variância entre todas as estimativas lineares. Vamos ilustrar.

Considere dois dados experimentais x1, σ1 e x2, σ2 , não covariantes, correspondentes a medidas de uma mesma grandeza. A solução do MMQ é

22

21

22

221

1

11~

σσ

σσ

+

+=

xx

x

Procure outra combinação linear de x1 e x2, x’=α x1+(1-α)x2. É possível mostrar que a menor variância de x’ é obtida quando a ponderação ocorre como na equação acima

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d – O MMQ é não-tendencioso

A equação linear que relaciona os parâmetros aos dados experimentais é Y=X·A0+e. Como <e>=0 (dados não tendencioso), então <Y>=XA0. Usando esse resultado em

YVXX)V(XA 1t11t −−−=~

temos

.

~

001t11t

1t11t

AXAVXX)V(X

YVXX)V(XA

==

==−−−

−−−

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e – A medida de uma grandeza pode afetar o valor adotado de outra grandeza

Vamos fazer um exemplo numérico. Considere duas grandezas cujos valores são s1=10 e s2=10, com matriz de covariância

=

32

23V

Suponha que a primeira dessas grandezas tenha sido medida de forma independente, obtendo-se o valor s’1=15, com variância igual a 3 e independente dos resultados anteriores. A matriz de covariância dos três dados é

=′

300

032

023

121 sssV

É fácil mostrar, usando o MMQ, que os novos valores a serem adotados para s duas grandezas são 12,5 e 11,7. Ou seja, a medida da primeira grandeza (s1) alterou o valor adotado para a segunda.