Métodos Numéricos y Programación

Ceros reales de funciones reales

UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN JULIACA

28/04/23 Métodos Numéricos y Programación 2

Si f(x) = 0, una función contínua en el intervalo a y b, f(a) y f(b) tienen signos opuestos, es decir

f(a)f(b)<0 (+)(-) <0 (-)(+) <0

Entonces existe al menos una raíz de f(x) entre a y b (i.e., donde f(x) intersecta al eje-x, toda vez que f(x) = 0).

Teorema de Bolzano o Valor intermedio

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Teorema de Bolzano

f(b) es positivo

f(a) negativoLa raíz de la ecuación

f(x) es contínua entre xa y xb

x

f(x)

xu x

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Si la función f(x) en f(x)=0 no cambia de signo entre los dos puntos, Las raices todavía pueden existir entre los dos puntos.

Observaciones

x

f(x)

xu x

x

f(x)

xu x

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ObservacionesSi la función f(x) en f(x)=0 no cambia de signo entre los dos puntos, Allí no puede haber ninguna raíz entre los dos puntos.

x

f(x)

xu x

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Observaciones

Si la función f(x) en f(x)=0 cambia de signo entre los dos puntos, Puede existir más de una raíz entre los dos puntos.

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Si la función f(x) es no continua entre a y b, pero f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces no hay ninguna raíz entre a y b.

Observaciones

f(x)

x x

xf 1

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En esta sección vamos a resolver la ecuación representada por

f(x) = 0Resolver la ecuación significa en contrar una raíz x* de tal manera f(x* )=0

Hallar la raíz de una ecuación

Ceros reales

• Dada la ecuación Hallar un cero o su raízSoluciónDebemos resolver f(x)=0, aquí x=3 es una

raíz pues

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5x35)x(f

05335)3(f

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Ceros reales

• Dada la ecuación f(x)=(x-2)²-1 Hallar un cero o su raíz

SoluciónDebemos resolver f(x)=0, es decir (x-2)²-1 =0 donde x=1 y x=3 pues f(1)=(1-2)²-1=0 f(3)=(3-2)²-1=0

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Ceros reales• En que intervalo se encuentra una raíz real de

la ecuación f(x)=x⁴-2xSoluciónSe intenta aplicar aleatoriamente el teorema de

bolzano donde se debe verificar f(a) f(b)<0 a=1→ f(1)=1⁴-2(1)=-1 b=2→ f(2)=2⁴-2(2)=12Por lo que hay una raíz en el intervalo cerrado

[1, 2]

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Example Comprobar si hay una raíz de la ecuación x3 + 4x2 – 1 = 0. en el [a, b] = [0, 1]

Solution

Sea, a = 0 y b = 1.

Ahora, f(0) = (0)3 + 4(0)2 – 1 = -1 <0 y f(1) = (1)3 + 4(1)2 – 1 = 4 >0.

i.e., f(a) y f(b) tienen signos opuestos

Entonces, f(x) tiene una raíz en el [a, b] = [0, 1]

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• Si r una raíz de una función f, entonces f(r) = 0.

• Ejemplo:– f(x) = x2 – 2x – 3Tienen dos raíces r = -1 and r = 3. pues

• f(-1) = 1 + 2 – 3 = 0• f(3) = 9 – 6 – 3 = 0

– Factorizando podemos hallar tambien las raíces.

f(x) = x2 – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3)

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Se aplica el teorema de valor intermedio. Sea f una función continua en el intervalo cerrado a,b talque f(a)f(b)<0

Este método consiste en reducir los intervalos a la mitad, de manera que cada intervalo contenga la raíz, hasta alcanzar una precisión deseada

(b-a)<є

Metodo de la Bisección

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• Donde c es el centro de cada intervalo: c = (a + b)/2 Si f(a)f(c)>0 hacer a=c caso contrario b=c

Metodo de la Bisección

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Metodo de la Bisección

f(b) es positivo

f(a) negativo

f(c) negativo

c = (a + b)/2 Si f(a)f(c)>0 hacer a=c caso contrario b=c

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1. Si (b-a)<e Elegir x*є[a,b] termina el algoritmo, caso contrario, ir al paso 2

2. Hacer iter =1 e ir al paso 3.3. Hacer c= (a+b)/2 e ir al paso 44. Si f(a)f(c)>0 hacer a=c caso contrario b=c e ir al paso 55. Si (b-a)<e, elegir x*є[a,b] finalizarCaso contrarioHacer iter=iter + 1 y volver al paso 3

Algoritmo

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function [c,iter]=Biseccion(a,b,e)Iter=1;While (b-a)>e iter=iter+1; c=(a+b)/2; If f(a)*f(c)>0 a=c; else b=c endend

Implementación

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Example 1Hallar una raíz de x3 + 4x2 – 1 = 0. en [0,1]Solution

a b xc = (a+b)/2 f(a) f(b) f(xc)

... De esa manera nos acercamos a la raíz 0.472834.

0 1 0.5 -1 4 0.1250 0.5 0.25 -1 0.125 - 0.73438

0.25 0.5 0.375 -0.73438 0.125 - 0.384770.375 0.5 0.4375 -0.38477 0.125 - 0.15063

0.4375 0.5 0.46875 -0.15063 0.125 - 0.01810.46875 0.5 0.484375 -0.0181 0.125 0.052120.46875 0.484375 0.476563 - 0.0181 0.05212 0.01668

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1. Encontrar una raiz real de la ecuaciónf(x)=x3 – x – 1= 0 con una precisión de .(=0.01).

en [1,2]respuesta: 1.320312

2. Encontrar una raiz real de la ecuaciónf(x)=x4 - cos(x) + x = 0

con una precisión de .(=0.01). en [0,1]

Respuesta: 0.632812

Trabajo en clase

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Ventajas:

• Simple y facil para implementar

• Se evalua una función por iteraciones

• No necesita conocer de Derivadas

Desventajas:

• Necesitamos un intervalo donde este atrapado la raíz.

• Converge lentamente hacia la raíz

• Cuando el intevalo contiene mas de una raíz, el método de la bisección solo puede encontrar una de ellos.

Bisección