Mihail Iancovici, Statica Constructiilor II

Mihail IANCOVICI

STATICA CONSTRUCŢIILOR II:

Exemple numerice

Ediţia a II-a| 2012

Departamentul de Mecanica Structurilor (DMS)

Universitatea Tehnică de Construcţii din Bucureşti (UTCB)

ii

PRECIZĂRI PRIVIND CONŢINUTUL LUCRĂRII

Lucrarea este destinată activităţii didactice, fără valoare comercială. Autorul îşi declina orice responsabilitate pentru consecinţele utilizării inadecvate a instrumentelor dezvoltate şi prezentate în lucrare. Lucrarea nu conţine informaţii confidenţiale sau informaţii care încalcă reglementările referitoare la legislaţia drepturilor de autor. Opiniile profesionale exprimate de autor, nu reprezintă şi nu reflectă poziţia sau opiniile Universităţii Tehnice de Construcţii din Bucureşti (UTCB).

© Mihail IANCOVICI Universitatea Tehnică de Construcţii din Bucureşti (UTCB)

iii

Cuprins Pagina

Prefaţă

iv

Introducere în formularea matriceală a Metodei deplasărilor 1

A| Exemple numerice, platforme utilitare 10

A1. Grindă cu secţiune variabilă 10

A2. Structură articulată 19

A3. Cadru 36

B| Exemple numerice, calcul automat Graphical User Interface (GUI) 47

B1. Structură articulată 47

B2. Cadru 54

B3. Structura în cadre, influenţa modelării 55

B4. Cadru simetric supus încărcării termice 58

B5. Hală industrială 61

B6. Cadru etajat 63

B7. Cadru etajat, influenţa modelării 66

B8. Cadru etajat, influenţa rezemării pe mediu elastic 76

B9. Structură în arc 85

B10. Cadru etajat, neconvenţional 91

B11. Structură în cadre, cu pereţi structurali 95

Anexa 1 100

Anexa 2 104

Bibliografie 106

iv

Prefaţă

***

Exigenţele societăţii în ceea ce priveşte performanţele sistemelor structurale pentru clădiri şi alte tipuri de structuri, au crescut considerabil în ultimii zeci de ani. Dezvoltarea accelerată, atât a instrumentelor teoretice şi experimentale, precum şi a performanţelor software şi hardware, are ca efect reproducerea mai facilă şi cu acurateţe superioară, pe de o parte a caracteristicilor acţiunii, şi pe de altă parte a comportării elementelor structurale şi a structurilor în ansamblu.

Odată cu apariţia Metodei distribuirii momentului încovoietor în 1930 (eng. Moment

Distribution Method, Hardy CROSS), procedeele de analiză au cunoscut o dezvoltare fără precedent, în special datorită creşterii performanţei instrumentelor de calcul automat. Este posibilă astăzi reproducerea comportării sistemelor structurale de mare complexitate, convenţionale sau neconvenţionale, la diferite tipuri de acţiuni, statice şi dinamice.

Ca urmare, nivelul de cunoaştere de care inginerul proiectant de structuri trebuie să dispună, este mult mai ridicat, fiind necesară atât cunoaşterea aprofundată a dezvoltărilor teoretice, necesare modelării, operării cu instrumentele avansate de analiză automată a structurilor precum şi a celor referitoare la interpretarea şi verificarea rezultatelor oferite de programele de analiză .

Lucrarea prezintă suportul aplicativ al secţiunii dedicate formulării matriceale a Metodei deplasărilor pentru calculul automat al structurilor, al cursului Statică II, din anul al III-lea, susţinut de autor la Facultatea de Construcţii Civile din Bucureşti. Lucrarea dublează instrumentul calculului manual al structurilor prin posibilitatea realizării unui volum mare de calcul, care excede posibilităţile umane. Lucrarea tratează problematica analizei modelelor structurale plane, supuse diferitelor tipuri de acţiuni statice (forţe exterioare, cedări de reazeme şi rezemare elastică, variaţii de temperatură). Aplicaţiile includ analiza influenţei interacţiunii elastice dintre terenul de fundare şi structură, precum şi reproducerea aproximativă a comportării structurilor cu axa barei curbă sau cu pereţi structurali, prin modelarea cu elemente drepte echivalente. Odată familiarizaţi cu analiza asupra modelelor structurale plane, trecerea la modele tridimensionale de analiză , va fi uşor de realizat de către utilizatori.

Sistemele structurale abordate sunt cele larg utilizate în practică curentă a proiectării construcţiilor civile şi a altor categorii de structuri: grinzi, cadre, arce, structuri articulate şi structuri neconvenţionale. Lucrarea are ca scop principal familiarizarea studenţilor ciclului I, cu fundamentele calculului automat al structurilor, o extindere în fapt, a Metodei deplasărilor, în formulare clasică. Aplicaţiile rezolvate conţin punctual, elementele teoretice dezvoltate în cadrul cursului, care susţin din punct de vedere teoretic, soluţiile numerice. Pentru simplitatea

v

scrierii şi a uşurinţei parcurgerii textului, s-a preferat scrierea în relief - pentru matrice şi vectori, şi scrierea cu litere obişnuite- în cazul mărimilor scalare. Pentru evitarea confuziilor datorate similarităţii aparente de notaţie, acestea trebuie interpretate contextual.

Exemplele numerice rezolvate sunt dublate de dezvoltări punctuale în sarcina utilizatorilor, cărora le sunt oferite sugestii de rezolvare. În scopul ilustrării şi al înţelegerii algoritmilor care stau la baza analizei automate a structurilor, sunt inserate rutine de analiză, dezvoltate de autor, cu ajutorul platformei utilitare © Matlab Educational. Acestea pot, desigur, comporta îmbunătăţiri ulterioare personale ale utilizatorilor. Lucrarea prezintă în anexe, principalele operaţii necesare pentru generarea rutinelor de analiză © Matlab Educational, precum şi etapele algoritmului de calcul automat.

Autorul îşi exprima speranţa că utilizatorii vor regăsi în materialul propus nu numai suportul adecvat de studiu pentru aplicaţiile practice pe care le au de rezolvat în cadrul disciplinei Statică II, dar le va servi deopotrivă, la dezvoltarea şi detalierea tematicilor specifice în cadrul disciplinelor de strictă specialitate (Construcţii civile, Construcţii din beton armat, Construcţii metalice etc).

De asemenea, materialul serveşte ca platforma pentru extinderea formatului de analiză matriceala a sistemelor structurale, plane şi spaţiale, cu comportare liniara şi neliniară-geometrica sau/şi fizică, precum şi la studiul efectelor induse de acţiunile dinamice, studiate în continuare, în cadrul disciplinei Dinamica structurilor şi Elemente de

Inginerie seismică.

***

Mihail IANCOVICI

Departamentul de Mecanica Structurilor UTCB

1

[INTRODUCERE ÎN FORMULAREA MATRICEALĂ A METODEI DEPLASĂRILOR]

Etapa preliminară în realizarea unei structuri de rezistenţă a unei construcţii, constă în alegerea tipului structural, capabil să satisfacă criterii de performanţă arhitecturală, tehnică şi funcţională, şi nu în ultimul rând, economice. Atingerea obiectivelor propuse se realizează pe cale iterativă, pornind de la o configuraţie iniţială şi obţinând finalmente, o structură funcţională – care îndeplineşte cu un anumit grad de satisfacere, criteriile de performanţă impuse. Într-o etapă de analiză integrată, superioară, acest proces poartă denumirea de optimizare.

Analiza răspunsului structural la diferite tipuri de acţiuni, exercitate pe durata de exploatare a construcţiei, reprezintă elementul central în ingineria structurală. Prin instrumentul ingineriei structurale sunt de asemenea conduse analize de identificare a caracteristicilor acţiunii şi de stabilire a caracteristicilor optime ale sistemului structural, în raport cu proprietăţi pre-definite ale acţiunii.

Analiza răspunsului structural, presupune determinarea distribuţiei de eforturi şi a deplasărilor elementelor structurale, în vederea dimesionarii şi verificării acestora, precum şi a legăturilor interioare şi exterioare (noduri active şi de rezemare, denumite îmbinări). Deşi idealul oricărei analize îl reprezintă reproducerea realistă a răspunsului structural, practic acurateţea cu care este surprins răspunsul structural, depinde esenţialmente de câţiva factori precum (i) acurateţea modelarii acţiunii, (ii) acurateţea modelarii sistemului structural, a interacţiunii dintre diferitele elemente structurale şi nestructurale componente, (iii) performanţa software şi hardware, şi nu în ultimul rând (iv) erorile umane, inerente în analiză.

Calculul structurilor se realizează prin (i) formulări clasice bazate pe metodelor generale de calcul, Metoda forţelor şi Metoda

deplasărilor; (ii) procedee iterative, utile pentru rezolvarea manuală a modelelor de dimensiune

redusă; (iii) formularea matriceală, încorporată în programele de analiză automată.

2

Calculul construcţiilor operează cu două tipuri de mărimi fundamentale: forţe şi deplasări. Legătura dintre acestea este realizată prin aspectul fizic, exprimat prin flexibilitate sau rigiditate, caracteristică intrinsecă a structurii. În consecinţă, rezultă două instrumente de rezolvare a structurilor, bazate pe controlul primar în forţe şi controlul primar în deplasări. De aici, rezulta cele două metode generale de analiză a structurilor:

(i) Metoda forţelor (Metoda matricei de flexibilitate) şi

(ii) Metoda deplasărilor (Metoda matricei de rigiditate).

În abordarea prin Metoda forţelor, structurile sunt caracterizate prin gradul de nedeterminare statică şi sunt rezolvate în raport cu necunoscutele forţe de legătura static nedeterminate- din legăturile suplimentare, faţă de numărul minim necesar asigurării invariabilităţii geometrice. Acestea sunt determinate prin impunerea condiţiei de compatibilitate a deformatei, fiind obţinută distribuţia eforturilor secţionale şi apoi, poziţia deformată. Metoda este aplicabilă modelelor de dimensiune redusă şi presupune utilizarea calculului manual., nefiind pretabilă la algoritmizare.

Metoda deplasărilor are la baza ideea că dacă se cunoaşte poziţia deformată a structurii, atunci poate fi determinată starea de eforturi, analiza fiind controlată primar prin deplasări. Metoda prezintă două formulări. Formularea matriceală (integrală)- pretabilă la algoritmizare şi, în consecinţă, constituie platforma încorporată în programele de analiză automată a structurilor. În fapt, reprezintă instrumentul Metodei elementului finit (MEF; Turner et al., 1956; Clough, 1960; Bathe şi Wilson, 1975; Bathe, 1995; Zienkiewicz şi Taylor, 2000; Felippa, 2006) pentru structuri modelate cu elemente de tip bară, dreapta sau curba. Formularea matriceală poate fi utilizată, în mod aproximativ, şi la alte tipuri de structuri, a căror modelare se abate de la includerea elementelor de tip- bară, de exemplu structuri cu pereţi- elemente de suprafaţă. Formularea clasică (redusă) se bazează pe reducerea dimensiunii modelului de analiză utilizat în formularea integrală, şi este utilizată intensiv în aplicaţiile curente. Modelul de analiză este o reprezentare idealizată a unei structuri, care tinde să reproducă- cu un anumit grad de imprecizie însă, comportarea reală a acesteia, la diferite tipuri de acţiuni. Un model de analiză trebuie să aibă capacitatea de a surprinde totalitatea efectelor care ar putea influenţa comportarea unei structuri (alegerea modelului adecvat de element structural şi legăturile dintre acestea, efectul elementelor nestructurale, efectul interacţiunii dintre structură şi diferite medii- fluid, solid sau aer, efectul incorporării sistemelor de disipare a energiei vibratorii, efectele comportării neliniare etc.). Cu foarte puţine excepţii, structurile au proprietăţi fizico-mecanice distribuite, modelele asociate necesitând operarea prin intermediul ecuaţiilor diferenţiale. Eficienţa numerică a utilizării acestor modele este foarte redusă şi aplicabilă în mod uzual, unui număr foarte redus de sisteme.

3

În practica curentă de analiză se preferă utilizarea modelor cu proprietăţi concentrate (modele discrete de analiză), înlăturând astfel inconvenientul operării cu funcţii de variabilă continuă. Aceasta reprezintă consecinţa utilizării instrumentului Metodei elementului finit (MEF; Turner et al., 1956; Clough, 1960; Bathe şi Wilson, 1975; Bathe, 1995; Zienkiewicz şi Taylor, 2000; Felippa, 2006) care permite utilizarea de modele matematice, reprezentate prin ecuaţii algebrice liniare sau neliniare- în funcţie de tipul problemei de rezolvat. Modelul discret de analiză este un model aproximativ al structurii. Aceasta aproximare se transfera şi procesului de modelare a încărcărilor, aşa încât trebuie făcută precizarea că utilizarea sistemelor discrete tinde să reproducă, cu un anumit grad de fidelitate, comportarea reală a structurii. Operarea prin tehnica Metodei Elementului Finit (MEF; Clough, 1960) constă în (i) “transmiterea” informaţiei referitoare la proprietăţile fizico-mecanice ale elementelor, la extremităţi/puncte nodale (noduri), prin intermediul funcţiilor de interpolare a deplasărilor, (ii) reconstruirea sistemului de elemente prin asamblarea proprietăţilor acestora (submatrice constitutive şi subvectori ai încărcărilor), şi (iii) rezolvarea modelului matematic şi determinarea răspunsului structural, exprimat în mărimi primare de răspuns (deplasări) şi apoi, reacţiuni şi eforturi secţionale. Considerarea unui număr mai mare de elemente, în cadrul modelului, va gener a un efort de calcul suplimentar. În principiu, prin discretizare, informaţia referitoare la răspunsul structurii în secţiunile inter-nodale, se pierde. Se va arăta însă, în paragrafele următoare că aceasta poate fi recuperată la final, prin utilizarea funcţiilor de interpolare a deplasărilor nodurilor (Zienkiewicz şi Taylor, 2000; Iancovici, 2010). Nivelul de cunoaştere de care inginerul proiectant de structuri trebuie să dispună trebuie să fie mult superior, fiind necesară atât cunoaşterea profundă a dezvoltărilor teoretice necesare modelarii diferitelor tipuri de acţiuni, operării cu instrumentele avansate de analiză automată a structurilor dar şi a celor referitoare la interpretarea şi verificarea rezultatelor oferite de programele de analiză.

Aceste cunoştinţe sunt completate cu cele referitoare la detalierea elementelor structurale componente, utilizând instrumente avansate de analiză, care conţin atât module de generare a geometriei structurii - module de tip CAD (Computer-Aided Design) precum şi module de conducere a proiectării pe baza unor formate pre-definite.

În operarea cu aceste instrumente, utilizatorul trebuie să înţeleagă şi să stăpânească atât conceptele de bază, precum şi să aibă capacitatea mânuirii cu eficienţă, a instrumentelor de verificare a rezultatelor analizei utilizând principiile Staticii construcţiilor. Deşi principiile calculului structural au rămas aceleaşi, instrumentele de realizare practică, s-au evoluat într-un ritm fără precedent (Figura 1).

4

Figura 1 – Calculul structurilor articulate, ilustrat în lucrarea Statica construcţiunilor şi

Rezistenţa materialelor, Gh. Em. Filipescu (1940, Ed. a II-a)

O parte semnificativă a acţiunilor care se exercită asupra structurilor de rezistenţă ale construcţiilor pot fi considerate statice sau cvasi-statice. Aceasta modalitate de considerare se bazează pe faptul că viteza de variaţie, a intensităţii şi a modificării punctelor de aplicaţie ale acestora, poate fi neglijată pentru multe dintre situaţiile întâlnite în practică, astfel încât aplicarea acestora nu induce structurii efecte inerţial semnificative. Din această categorie de acţiuni, fac parte greutatea proprie a structurii, forţele provenite din exploatare, cedările de reazeme, variaţiile de temperatură, inexactităţile de execuţie, presiunea hidrostatică, împingerea activă a pământului etc.

De asemenea, analiza statică neliniară, denumită analiză biografica, poate fi interpretată ca o succesiune de analize statice liniare. În fine, normativele de proiectare a structurilor la acţiuni cu caracter dinamic, provenite din hazard natural (seism şi vânt) au la baza operarea în raport cu forţe statice echivalente. Studiul efectelor induse de acţiuni statice are, prin urmare, o importanţă deosebită. Prin utilizarea şi încorporarea formulării matriceale a Metodei deplasărilor în algoritmii de analiză, poate fi rezolvată o clasă foarte largă de aplicaţii. De la analiza diferitelor sisteme structurale supuse acţiunii forţelor exterioare, a cedărilor de reazeme, al variaţiilor de temperatură, al inexactităţilor de execuţie şi al efectului precomprimării elementelor de beton armat, la modelarea efectului împingerii active a terenului, la influenţa interacţiunii dintre teren şi structură, şi a presiunii hidrostatice a fluidelor.

Dezvoltările legate de Metoda deplasărilor sunt realizate fie direct – adresându-se unei categorii standard de sisteme structurale – de regulă cu elemente de secţiune constantă, fie utilizând tehnici de tip element finit pentru elemente de tip bară –

5

adresabilitatea fiind mult mai largă, atât în ce priveşte modelarea elementelor structurale (de exemplu, elemente cu secţiune variabilă) dar şi a încărcărilor.

În practica constructivă curentă, pentru asigurarea preluării diferitelor tipuri de acţiuni, sunt utilizate diferite tipuri de sisteme structurale de rezistenţă, ilustrate schematic in figurile de mai jos.

Grinzi şi sisteme cu grinzi

Cadre pure

FATADA

NOD

REZEMARE

GRINDA

PLANSEU-RAMPA

SCARA

PLANSEU

STALP

6

Structuri cu pereţi/structuri duale

Cadre cu diagonale (contravântuiri)

DIAFRAGMA DIN

BETON ARMAT

DIAGONALE

METALICE

7

Structuri cu arce

Structuri hibride

CONSOLA

SUSPENDATA

REZEMARE SECUNDARA

REZEMARE PRINCIPALA

FIR

GRINDA

ARC

SISTEM DE FUNDARE

SISTEM DE INCHIDERE

FRONTALA

SISTEM DE RIGIDIZARE IN PLAN

SISTEM DE INCHIDERE IN PLAN

8

Structuri reticulare şi structuri parametrice

Structuri tubulare

9

Structuri neconvenţionale

Structurile neconvenţionale sunt structuri echipate cu sisteme de disipare a energiei

vibratorii, în scopul reducerii acestor efecte asupra structurii, a echipamentelor şi a utilizatorilor. Sistemele disipative încorporate în structurile convenţionale pot fi: (i) sisteme pasive, (ii) sisteme active şi (iii) sisteme combinate (Kelly, 1990; Soong şi Dargush, 1997).

În Figura 2 sunt ilustrate două exemple de structuri neconvenţionale, utilizate în practică curentă: structură echipată cu disipatori cu fluid vâscos (eng. Fluid Viscous

Dampers-FVD) şi structură echipată cu sistem de izolare a bazei.

Figura 2 – Cadru metalic, echipat cu sistem disipativ cu fluid vâscos (stânga) şi sistem de izolare a bazei (dreapta)

Comportarea la încărcări statice sau statice- echivalente, poate fi reprodusă prin

instrumentele dezvoltate în prezenta lucrare (exemplul numeric B10). Cu toate acestea, există o largă varietate de aspecte ale comportării în regim dinamic, care nu pot fi dezvoltate în această etapă datorită limitării instrumentelor şi a specificului lucrării.

Prin intermediul dezvoltărilor teoretice, al aplicaţiilor ilustrative şi al studiilor parametrice realizate, sunt puse în evidenţă efectele diferitelor tipuri de modelare a caracteristicii elastice, a legăturilor interioare şi exterioare asupra distribuţiei de eforturi şi a deplasărilor.

Prin studiul lucrării, utilizatorul va deţine un instrument util în înţelegerea comportării structurilor de rezistenţă şi va putea extinde aplicaţiile prezentate, prin includerea şi a altor tipuri de modelare a acţiunii şi a sistemului structural (de exemplu, structuri neconvenţionale). În mod cert, aplicaţiile tratate pot fi completate şi cu alte exemple, care din motive de limitare tematică şi a spaţiului lucrarii, nu au putut fi incluse.

10

A| Exemple numerice, platforme utilitare

� Exemplul numeric A1| Se determină distribuţia eforturilor secţionale pentru grinda cu

o singură deschidere, cu secţiune variabilă la extremităţi, din Fig. 1.1. Se trasează diagramele de eforturi secţionale. Rutina de analiză © Matlab Educational este creată în cadrul laboratorului didactic, pe baza suportului teoretic, de curs.

Figura 1.1- Grindă de beton armat, cu secţiune variabilă liniar, la reazeme

Forţele şi deplasările extremităţilor elementului, precum şi caracteristica de rigiditate- �, ale elementului de bară dublu încastrată, este exprimată în raport cu sistemul de referinţă local şi de coordonate nodale precizate în Figura 1.2.

Figura 1.2- Element de bara încovoiată, cu forţă axială: deplasări şi forţe nodale, axe de coordonate asociate (nod i- origine, nod j- terminaţie)

nodul i nodul j

2 5

1 6

3 4

y

x L,E,A(x),I(x)

nodul i

fyi,vi fyj,vj

fθi,θi

fxi,ui fxj,uj

nodul j fθj,θj

1.50 m 1.50 m 6.00 m

45x100 cm

45x80 cm 45x100 cm

E = 2.1x107 kN/m2

11

Datorită variaţiei secţiunii transversale, modelul de calcul va fi un model discretizat în 3 elemente (Figura 1.3).

Figura 1.3- Model de analiză, incidenţa dintre elemente şi noduri, grade de libertate asociate

Sistemul axelor de coordonate ale elementelor, în sistemul de referinţă local este precizat separate, pentru fiecare element, în Figura 1.4.

Figura 1.4- Axe de coordonate locale ale elementelor discrete

Matricea de rigiditate a elementului dublu încastrat, de secţiune variabilă, solicitat la încovoiere cu forţă axială, în sistemul de referinţă local, are forma generală (Iancovici, 2010)

� = �� 0 0 − �� 0 00 �(��)�� − �(��)�� 0 − �(��)�� − �(��)��0 − �(��)�� 0 �(��)�� − �� 0 0 �� 0 00 − �(��)�� (��)�� 0 �(��)�� (��)��0 − �(��)�� 0 �(��)��

�� (1.1)

1

2

3

1

2

3

4 6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

4

5

6 7

9

8

1

2

3 10

11

12

1

2 3

4

1 3 2

12

în care, � este modulul de elasticitate longitudinală (modulul lui Young), � este lungimea elementului, Ai şi Aj sunt ariile secţiunilor transversale corespunzătoare extremităţilor elementului i, respectiv j; Ii şi Ij sunt momentele de inerţie ale sectiunilor. Pentru elemente cu secţiune constantă, matricea de rigiditate se obţine prin particularizarea expresiei (1.1) şi are structura

� = �� 0 0 − �� 0 00 �� − �� 0 − �� − ��0 − �� 0 �� − �� 0 0 �� 0 00 − �� 0 �� 0 − �� 0 ��

�� (1.2)

alcătuită din cele patru submatrice, doua- de extremitate, şi doua- de interacţiune datorată cuplajului elastic dintre extremităţile i şi j.

�(�) = �� !�! �!!" (1.3)

Pentru grinda din Figura 1.1, structura numerică a matricelor de rigiditate, este redată în Tabelul 1.

Tabelul 1- Matrice de rigiditate ale elementelor, în sistemul local de coordonate

ELEMENTUL MATRICE DE RIGIDITATE ÎN SISTEMUL LOCAL (L)

#�, #�

��(�% ,��) = 10��5.6700 0 0 −5.6700 0 00 2.1168 −1.7584 0 −2.1168 −1.41680 −1.7584 1.8430 0 1.7584 0.7938−5.6700 0 0 5.6700 0 00 −2.1168 1.7584 0 2.1168 1.41680 −1.4168 0.7938 0 1.4168 1.3314 ��

��

#�

��(��) = 10��1.2600 0 0 −1.2600 0 00 0.0224 −0.0672 0 −0.0224 −0.06720 −0.0672 0.2688 0 0.0672 0.1344−1.2600 0 0 1.2600 0 00 −0.0224 0.0672 0 0.0224 0.06720 −0.0672 0.1344 0 0.0672 0.2688 ��

��

Trecerea la ansamblul structural, necesită transformarea mărimilor, din sistemul local- L (propriu, al elementului) în cel global- G (propriu structurii), 0� reprezentând unghiul dintre cele doua sisteme.

13

În Figura 1.5 este reprezentat un element structural, în ambele sisteme de referinţă.

Figura 1.5 –Sistem de referinţă local (L) şi sistem de referinţă global (G) ale elementului structural (e)

În Figura 1.6 sunt reprezentate forţele asociate extremităţilor elementului, în ambele sisteme de referinţă, şi este exprimat echilibrul static al acestuia, în ambele sisteme.

��(�)1�(�) = 2�(�) �3(�)13(�) = 23(�)

Figura 1.6 –Transformarea coordonatelor forţelor elementului Relaţia de transformare a vectorului forţelor nodurilor elementului (e), din sistemul local în cel global de forma

2�(#) = 4(#)25(#) (1.4)

fyjG

fθiG fxi

G

fyiG fθj

G

fxjG

βe

fyjL

fxjL

βe

fxiL

fyiL

fθiL

fθjL

SISTEM GLOBAL SISTEM LOCAL

nodul i

nodul j x(e)

y(e)

z(e)

X

Y

Z

βe

SISTEM LOCAL

SISTEM GLOBAL

element e

14

matricea de transformare a coordonatelor având structura

4(6) = 748(6) 99 4:(6); =�� <=>0# >8?0# 0 0 0 0−>8?0# <=>0# 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 <=>0# >8?0# 00 0 0 −>8?0# <=>0# 00 0 0 0 0 1��

�� (1.5)

Precizarea coordonatelor nodurilor structurii în sistemul global (G) şi ordinea de numerotare a acestora (orientarea elementului)- care va ataşa automat sistemul de referinţă local (L), vor furniza sinusii şi cosinusii directori ai elementului (e) adică

>8?0� = @ABA�� C(�),<=>0� = @DBD�� C(�) (1.6)unde, lungimea elementului (e) este data de expresia,

�# = EFG: − G8H2 + FJ: − J8H2 (1.7a)

Observând că sistemul de referinţă local coincide, în acest caz, cu sistemul de referinţă global, matricele de rigiditate ale elementelor exprimate în raport cu cele două sisteme sunt aceleaşi, matricea de transformare (1.3) fiind matricea diagonală, unitate. Matricea de rigiditate a structurii- K este construită prin asamblarea submatricelor de rigiditate ale elementelor în sistemul global (G, în acest caz particular-acelasi; relaţia 1.3), obţinute prin transformarea liniară

�L(6) = M4(6)NO �P(6)4(6) (1.7b)

adică

K = ∑ �3(�)(�) , e=1,2,3-elemente (1.8)

şi va avea structura

K��,�� =�� (6R) � !(6R) 9 9�! (6R) �!!(6R) + � (6S) � !(6S) 99 �! (6S) �!!(6S) + � (6T) � !(6T)

9 9 �! (6T) �!!(6T)�� UVW1XRUVW1XSUVW1XTUVW1XY (1.9)

Dupa efactuarea operaţiilor numerice, aceasta va căpăta structura

15

K��,�� =

10�

��5.6700 0 0 −5.6700 0 0 0 0 0 0 0 00 2.1168 −1.7584 0 −2.1168 −1.4168 0 0 0 0 0 00 −1.7584 1.8438 0 1.7584 0.7938 0 0 0 0 0 0−5.6700 0 0 6.9300 0 0 −1.2600 0 0 0 0 00 −2.1168 1.7584 0 2.1392 1.3496 0 −0.0224 −0.0672 0 0 00 −1.4168 0.7938 0 1.3496 1.6002 0 0.0672 0.1344 0 0 00 0 0 −1.2600 0 0 6.9300 0 0 −5.6700 0 00 0 0 0 −0.0224 0.0672 0 2.1392 −1.3496 0 −2.1168 −1.75840 0 0 0 −0.0672 0.1344 0 −1.3496 1.6002 0 1.4168 0.79380 0 0 0 0 0 −5.6700 0 0 5.6700 0 00 0 0 0 0 0 0 −2.1168 1.4168 0 2.1168 1.75840 0 0 0 0 0 0 −1.7584 0.7938 0 1.7584 1.8438 ��

�� RSTYZ[\]̂R9RRRS

(1.10) Matricea de rigiditate corespunzătoare coordonatelor nodurilor efective este

K__ = 10��6.9300 0 0 −1.2600 0 00 2.1392 1.3496 0 −0.0224 −0.06720 1.3496 1.6002 0 0.0672 0.1344−1.2600 0 0 6.9300 0 00 −0.0224 0.0672 0 2.1392 −1.34960 −0.0672 0.1344 0 −1.3496 1.6002 ��

�� (1.11)

Observaţie: această modalitate de numerotare a nodurilor, prezintă dezavantajul că, matricea de rigiditate trebuie să sufere ulterior, o rearanjare a liniilor şi a coloanelor, în sensul reordonării corespunzătoare axelor de coordonate ale nodurilor efective- de indice n, şi respectiv ale celor restricţionate- de indice r. Aceasta reordonare va avea efect, în fapt, asupra elementelor întregului sistem de ecuaţii (1.13), atât matrice, cât şi vectori. Această operaţiune este costisitoare din punctul de vedere al efortului de calcul, pentru modele de mari dimensiuni. Se preferă prin urmare, atribuirea de la început a indicilor axelor de coordonate, în sensul menţionat. Majoritatea algoritmilor incorporaţi în programele de analiză, utilizează această tehnică. Atribuirea de la bun început a indicilor axelor de coordonate ale structurii în sistemul global începând cu nodurile efective, conduce la următoarea expresie a matricei de rigiditate a structurii

K��,�� =�� (6R) + �!!(6S) � !(6R) � !(6S) 9�! (6R) �!!(6R) + � (6T) 9 9�! (6S) 9 �!!(6S) 99 9 9 �!!(6T)��

�� UVW1XRUVW1XSUVW1XTUVW1XY (1.12)

Sistemul de ecuaţii de echilibru static al ansamblului, are forma generala K` + a + a4 = b (1.13)

în care, matricea de rigiditate este partiţionata in patru sub-matrice, cu elemente complet cunoscute, asociate gradelor de libertate de tip n- efective, respectiv de tip r-restricţionate,

16

K = �KUUKcU KUcKcc" (1.14)

Efectul declarării condiţiilor de rezemare se aplică şi celorlalte componente, adică `- vectorul deplasărilor nodurilor, a- vectorul forţelor echivalente incarcării de element, în raport cu extremităţile, a4- vectorul forţelor echivalente incarcării termice (variaţii de temperatură), în raport cu extremităţile, şi b- vectorul forţelor exterioare aplicate direct nodurilor. În fapt, declararea condiţiilor de rezemare, suprimă deplasările de corp rigid ale ansamblului de elemente (matrice de rigiditate singulară), transformându-l în structură- capabilă să preia şi să transmită incărcări. Sistemul de ecuaţii (1.13) se partiţionează astfel

�KUUKcU KUcKcc" �Ù`c" + daUace + da4,Ua4,ce = �bUbc" (1.15)

decuplandu-se ulterior în două sub-sisteme, KUUÙ+KUc`c + aU + a4,U = bU (1.16)

şi KcUÙ + Kcc`c + ac + a4,c = bc (1.17)

Prin rezolvarea primului sub-sistem, deumit sistem “redus” de ecuaţii, rezultă deplasările nodurilor efective (active), astfel Ù = KUU−R(bU − aU − a4,U − KUc`c) (1.18)

iar cel de al doilea sub-sistem furnizează reacţiunile structurii astfel bc = KcUÙ + Kcc`c + ac + a4,c (1.19)

În acest caz, vectorii a şi a4 sunt nuli, iar vectorul deplasărilor reazemelor `ceste de asemenea nul- structura nefiind supusă cedărilor de reazeme. Orice altă situaţie de încărcare, de element, termică sau cu cedări ale reazemelor, va trebui precizată. Păstrând doar pentru acest exemplu, numerotarea iniţială a nodurilor (Figura 1.2), şi considerând grinda încărcată cu o forţă concentrată de valoare 100 kN, aplicată în sens gravitaţional nodului 2 (Figura 1.7), vectorul forţelor efective aplicate are forma

bU =��0−1000000 ��

�� ,fgfgfghfgfgfgh

(1.20)

Prin rezolvarea sistemului “redus” de ecuaţii KUUÙ = bU (1.21)

rezultă vectorul deplasărilor nodurilor efective

17

Ù = KUU−RbU = 10B��0−0.10810.09510−0.0257−0.0342��

�� ,

hhijkhhijk (1.22)

Reacţiunile grinzii rezultă din al doilea sub-sistem de ecuaţii (1.17) şi aume

bc = KcUÙ =��094.0601−114.575905.939918.0384 ��


(1.23)

reprezentate împreună, în Figura (1.7)

Figura 1.7- Încărcare cu forţă exterioară şi reacţiunile grinzii

� Determinarea eforturilor secţionale presupune revenirea la coordonatele locale ale elementului, pe baza relaţiei de transformare inversă

2�(#) = 4(#)25(#) = 4(#)(�5(#)15(#) + l5(#) + lO,5(#) ) (1.24)

în care toate componentele care intervin în expresie, sunt complet cunoscute, fie iniţial- 4(#), �5(#), l5(#) şi lO,5(#) , fie ca rezultat al analizei- 15(#) (deplasări ale extremităţilor

elementelor, în sistemul de referinţa global). Pentru determinarea eforturilor la extremităţile unui anumit element (e), din vectorul global al deplasărilor `, trebuie selectate numai acele deplasări care corespund extremităţilor i şi j ale elementului.

În acest caz particular, vectorii l3(�) şi lm,3(�) sunt nuli, grinda nefiind supusă încărcărilor de

element- mecanice sau termice. Vectorii eforturilor secţionale sunt redaţi în Tabelul 2 şi reprezentaţi în Figura 1.8.

/

114.5759

100 kN

94.0601 5.9399

/

18.0384

18

Tabelul 2- Eforturile secţionale ale elementelor (în sistemul local de coordonate, L)

ELEMENTUL EFORTURI SECŢIONALE

#�

2�(�%) =��g�O�n�g�O�n��

��=

��094.0601−114.57590−94.0601−26.5107 ��


#�

2�(��) =��g2O2n2g3O3n3��

��=

��0−5.939926.510705.93999.1286 ��


#�

2�(��) =��g3O3n3g4O4n4��

��=

��0−5.9399−9.128605.939918.0384 ��


Figura 1.8- Eforturile secţionale ale elementelor, la extremităţi

Dimensiunea modelului de analiză ar fi putut fi redusă de la început, prin utilizarea de elemente încovoiate, observându-se faptul că forţa axiala este nulă. Diagramele de forţă tăietoare şi de moment încovoietor sunt reprezentate în Figura 1.9.

1

2

3

/

94.0601

114.5759 26.5107

26.5107

5.9399

9.1286

5.939

9.1286

5.9399

18.0384

/

94.0601

/ /

5.9399

//

19

CAZUL FORŢELOR EXTERIOARE

Figura 1.9 – Diagrame de eforturi secţionale

Modificarea secţiunii grinzii, generează “vârf” în diagrama de moment încovoietor, chiar dacă structura este neîncărcata în acea secţiune. Odată cunoscute eforturile secţionale la extremităţile elementelor, pot fi trasate diagramele de eforturi secţionale, după determinarea acestora în alte secţiuni de interes, folosind funcţiile de interpolare a deplasărilor extremităţilor (Iancovici, 2010). �� Exerciţiu individual| se dezvoltă rutina de analiză © Matlab Educational pentru calculul grinzii şi se compară rezultatele obţinute, cu grinda având secţiune constantă (a elementelor 1 şi 3). � Exemplul numeric A2| Se determină distribuţia de forţă axială în barele structurii

articulate din Figura 2.1, pentru (i) încărcarea cu forţe exterioare, (ii) încărcarea cu cedare de reazem. Este studiat apoi, efectul rezemării elastice a reazemului simplu. Caracteristicile geometrice şi fizice ale elementelor sunt precizate in Figura 2.1. Rutina de analiză © Matlab Educational este creată în cadrul laboratorului didactic pe baza suportului teoretic, de curs.

Modelului discret de analiză îi este ataşat sistemul global de referinţă (G). Modelul prezentat în Figura 2.1, conţine 3 elemente şi 3 noduri (un nod efectiv şi două, de rezemare).

+94.0601

-5.9399

T

-114.5759

-9.1286

M

+26.5107

-18.0384

20

Figura 2.1 – Modelul discret de analiză, incidenţa dintre elemente şi noduri

Modelul idealizat de analiză constă în fapt, dintr-un ansamblu de resoarte axiale, conectate prin noduri interioare şi exterioare (Figura 2.2).

Figura 2.2 – Modelul idealizat de analiză

Interacţiunea dintre elemente şi noduri, precum şi datele primare referitoare la geometria structurii, necesare în analiză, sunt furnizate în Tabelul 3.

Tabelul 3 – Incidenţa dintre elemente şi noduri, topologia structurii

ELEMENTUL Xi Yi Xj Yj Le(m) βe sinβe cosβe #� 0.00 4.00 4.00 0.00 5.657 315o -0.707 0.707 #� 4.00 0.00 0.00 0.00 4.00 180o 0 -1 #� 0.00 4.00 0.00 0.00 4.00 270o -1 0

Y

E,A,L=4m

E,A

,L=

4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

X

1

2

3

2

3

e

n

X2 Y2

1 X1

Y1

X3 Y3

E,A,L=4m

E,A

,L=

4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

X

Y

21

1 fx1

L(e1)

fy1L(e1)

fx2L(e1)

fy2L(e1)

fx3L(e2)

fx2L(e2)

fy3L(e2) fy2

L(e2)

fx1L(e3)

fx3L(e3)

fy1L(e3)

fy3L(e3)

3 2

Secţiunea transversală este aceeaşi pentru toate elementele, profil metalic 2L 150x150x18 (mm), de arie 0.0102 m2.

Modelul discret de analiză este detaliat în Figura 2.3, prin reprezentarea separată a forţelor asociate extremităţilor, în sistemul de referinţă local.

Figura 2.3 – Elemente, noduri, forţe de capăt în sistemul local de referinţă (L)

Algoritmul de analiză este prezentat în cele ce urmează. Astfel, matricea de rigiditate a elementului în coordonate locale are expresia

�(�) = �� o 1 −1−1 1 p (2.1)

în care, � este modulul de elasticitate longitudinală (modulul lui Young), � este lungimea elementului iar A este aria secţiunii transversale a elementului. Pentru compatibilizarea dimensiunii matricei în sistemul local, cu cea în sistemul global, se adăugă artificial linii şi coloane nule astfel

�(�) = �� q 1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0r (2.2)

Exprimarea matricei de rigiditate în sistemul global de axe de referinţă se face prin intermediul matricei de transformare a coordonatelor, adaptată dimensiunii elementului dublu articulat, astfel

4(6) = q <=>0� >8?0� 0 0−>8?0� <=>0� 0 00 0 <=>0� >8?0�0 0 −>8?0� <=>0�r (2.3)

22

utilizând relaţia de transformare

�L(6) = F4(6)Hm�P(6)4(6) (2.4)

Operând asupra relaţiei (2.4), rezultă că pentru elemente dublu articulate la extremităţi, matricea de rigiditate în sistemul de referinţă global, poate fi rescrisă sub forma

�L(6) = �� <=>�0� >8?0�<=>0� −<=>�0� −>8?0�<=>0�>8?0�<=>0� >8?�0� −>8?0�<=>0� −>8?�0�−<=>�0� −>8?0�<=>0� <=>�0� >8?0�<=>0�−>8?0�<=>0� −>8?�0� >8?0�<=>0� >8?�0� ��

�� (2.5)

aceasta exprimare facilitând scrierea directă a matricelor elementelor, în sistemul de referinţă global. Sinteza generării a matricelor şi a vectorilor elementelor, a procesului de asamblare a ecuaţiilor de echilibru este prezentată mai jos.

ELEMENTUL MATRICE DE TRANSFORMARE ŞI MATRICE DE RIGIDITATE ÎN

SISTEMUL DE REFERINŢĂ GLOBAL, G #�

4(�%) = q0.707 −0.707 0 00.707 0.707 0 00 0 0.707 −0.7070 0 0.707 0.707 r

�L(�%) = �s q0.088 −0.088 −0.088 0.088−0.088 0.088 0.088 −0.088−0.088 0.088 0.088 −0.0880.088 −0.088 −0.088 0.088 r

#�

4(��) = q−1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1r

�L(��) = �s q0.25 0 −0.25 00 0 0 0−0.25 0 0.25 00 0 0 0r

23

#�

4(��) = q0 −1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 1 0 r

�L(��) = �s q0 0 0 00 0.25 0 −0.250 0 0 00 −0.25 0 0.25 r

Exprimarea condiţiei de echilibru static al nodurilor, în direcţiile x şi y este

NODUL 1

tu� = tu�(�%) + tu�(��) + tu�(��) (2.6a) tv� = tv�(�%) + tv�(��) + tv�(��)

NODUL 2

tu� = tu�(�%) + tu�(��) + tu�(��) (2.6b) tv� = tv�(�%) + tv�(��) + tv�(��)

NODUL 3

tu� = tu�(�%) + tu�(��) + tu�(��) (2.6c) tv� = tv�(�%) + tv�(��) + tv�(��)

reprezentând contribuţia fiecărei extremităţi de element, la echilibrul nodului incident. Se înţelege că nodurile fără cuplaj elastic, vor avea componenta sub-vectoriala nulă (de ex. tu�(��) şi tv�(��) pentru exprimarea echilibrului nodului 1).

Exprimând în mod compact şi unitar relaţiile (2.6 a-c), rezultă 2 = 2(�%) + 2(��) + 2(��) (2.7)

La nivelul fiecărui element, echilibrul static se exprimă astfel

24

ELEMENTUL 1 2(�%) = �s��0.088 −0.088 −0.088 0.088 0 0−0.088 0.088 0.088 −0.088 0 0−0.088 0.088 0.088 −0.088 0 00.088 −0.088 −0.088 0.088 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0��

��w�x�w�x�w�x��

�� (2.8a)

ELEMENTUL 2

2(��) = �s��0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0.25 0 −0.25 00 0 0 0 0 00 0 −0.25 0 0.25 00 0 0 0 0 0��


�� (2.8b)

ELEMENTUL 3

2(��) = �s��0 0 0 0 0 00 0.25 0 0 0 −0.250 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 −0.25 0 0 0 0.25 ��


�� (2.8c)

Expresia (2.7) are următoarea dezvoltare

2 = �(#1)` + �(#2)` + �(#3)` = o�(#1) + �(#2) + �(#3)p` = K` (2.9)

Astfel încât, matricea de rigiditate a structurii- K va putea fi obţinută prin suprapunere directă (asamblare) şi are următoarea expresie

K = �s��0.088 −0.088 −0.088 0.088 0 0−0.088 0.338 0.088 −0.088 0 −0.25−0.088 0.088 0.338 −0.088 −0.25 00.088 −0.088 −0.088 0.088 0 00 0 −0.25 0 0.25 00 −0.25 0 0 0 0.25 ��

�� (2.10)

Aceeaşi expresie poate fi obţinută prin asamblare directă, pe baza toplogiei structurii (Tabelul 3), adică

K�,� = �� (6S) + � (6T) � !(6R) � !(6T)

�! (6R) �!!(6R) + � (6S) � !(6S)�! (6T) �! (6S) �!!(6S) + �!!(6T)��

�� UVW1XRUVW1XSUVW1XT (2.11)

25

în care sub-matricele rezultate din partiţia generată de precizarea condiţiilor de rezemare (n=1,2,3; r=4,5,6) sunt

KUU = �s 70.088 −0.088 −0.088−0.088 0.338 0.088−0.088 0.088 0.338 ; (2.12a)

KUc = �s 70.088 0 0−0.088 0 −0.25−0.088 −0.25 0 ; (2.12b)

KcU = �s 70.088 −0.088 −0.0880 0 −0.250 −0.25 0 ; (2.12c)

Kcc = �s 70.088 0 00 0.25 00 0 0.25; (2.12d)

Vectorul forţelor exterioare (active) aplicate direct nodurilor este

bU = 760−1000 ; (2.13)

Prin rezolvarea sistemului redus de ecuaţii, rezultă deplasările nodurilor Ù = KUUB�bU (2.14a)

adică

7w�x�w�; = �� 7761.818−160.000240.000 ; ,h (2.14b)

Reacţiunile sunt furnizate de sub-sistemul bc = KcUÙ (2.15a)

adică

bc = 760−6040; , fg (2.15b)

Vectorul deplasărilor totale şi al forţelor totale, rezultă prin urmare ca fiind

` = ��761.818−160240000 ��

�� ,h şi b =��60−100060−6040 ��

�� , fg (2.16)

26

Determinarea forţelor axiale presupune revenirea la coordonatele locale ale elementului, pe baza relaţiei de transformare inversă

2�(#) = 4(#)25(#) = 4(#)�5(#)15(#) (2.17)

în care toate componentele care intervin în expresie sunt complet cunoscute, fie iniţial- 4(#), �5(#), fie ca rezultat al analizei- 15(#) (deplasări ale extremităţilor elementelor, în sistemul de referinţă global). Pentru determinarea eforturilor la extremităţile unui anumit element (e), din vectorul global al deplasărilor `, trebuie selectate numai acele deplasări care corespund extremităţilor i şi j ale elementului. În particular, în echilibrul static poate

interveni vectorul lm,3(�) şi, respectiv am, dacă structura este supusă încărcărilor termice (de

element).

Mărimile de răspuns sunt redate şi reprezentate în Tabelul 4.

Tabelul 4- Deplasări ale extremităţilor elementelor (în sistemul de referinţă global, G) şi forţe axiale (în sistemul de referinţă local, L)

ELEMENTUL 1

1L(�%) = 1�s q761.818−1602400 r

2P(�%) = q85.2270−85.2270 r

ELEMENTUL 2

1L(��) = 1�s q240000 r

2P(��) = q−600600 r

ELEMENTUL 3

1L(��) = 1�s q761.818−16000 r

2P(��) = q400−400 r

-

+

-

27

Verificarea rezultatelor, constă în cercetarea echilibrului static al nodurilor, prin două relaţii de proiecţie, ortogonale (Figura 2.4).

Figura 2.4- Verificarea echilibrului nodurilor Prin calculul manual, clasic, bazat pe metoda izolării nodurilor, efortul axial în elementul 2 rezultă -84.853 kN. Rezulta prin urmare, o diferenţă relativă de 0.44% dar se reţine că ambele abordări sunt afectate de erori numerice, inerente. Dacă suplimentar se doreşte calculul deplasării orizontale a nodului 1 spre exemplu, se acţionează structura cu o forţa unitate şi se determina distribuţia eforturilor axiale în elemente (Figura 2.5).

Figura 2.5 – Distribuţia de forţă axială, corespunzătoare situaţiei virtuale de încărcare

Utilizând binecunoscută relaţie de calcul a unei deplasări punctuale, particularizată pentru structuri articulate, deplasarea orizontală a nodului 1 rezulta

w� = ∑ ?�g �� = �� (1.414 ⋅ 84.853 ⋅ 5.657 + 1 ⋅ 60 ⋅ 4 − 1 ⋅ 40 ⋅ 4) = z{|.z�}��~� (2.18)

Nodul 1

N1-2=85.227 N1-3=40

60

100

60

N1-2=85.227

Nodul 2

N2-3=60

40

60

N1-3=40

N2-3=60

Nodul 3

1

1

1 1

-1.414

+1

+1

28

în care, ?� reprezintă forţele axiale din situaţia virtuală de încărcare iar g- forţele axiale din situaţia reală de încărcare. Rezultă o diferenţă relativă de 0.41% faţă de deplasarea rezultată din analiza utilizând formularea matriceală a Metodei deplasărilor.

� Analiza automată a structurii © MATLAB

% Rutina pentru calculul structurii articulate % Mihail Iancovici, UTCB clear all % A. Date structura % Material, otel, modul de elasticitate longitudina la E=2.1*10^8; % Sectiuni A = 0.0102 ; % aria sectiunii transversale, m2 % Geometrie id=[1 1 2 0 4 4 0;2 2 3 4 0 0 0;3 1 3 0 4 0 0]; % tabel de incidenta elemente-noduri % element, nod origine, nod terminatie, X,Y- nod or igine, X,Y- nod terminatie % Element 1 L1=sqrt((id(1,6)-id(1,4))^2+(id(1,7)-id(1,5))^2); sinb1=(id(1,7)-id(1,5))/L1; cosb1=(id(1,6)-id(1,4))/L1; % Element 2 L2= sqrt((id(2,6)-id(2,4))^2+(id(2,7)-id(2,5))^2); sinb2=(id(2,7)-id(2,5))/L2; cosb2=(id(2,6)-id(2,4))/L2; % Element 3 L3= sqrt((id(3,6)-id(3,4))^2+(id(3,7)-id(3,5))^2); sinb3=(id(3,7)-id(3,5))/L3; cosb3=(id(3,6)-id(3,4))/L3; % B. Forte exterioare, kN F1=60; F2=-100; %C. Matrice de rigiditate a elementelor in sistem L OCAL (L) mat=[1 0 -1 0;0 0 0 0;-1 0 1 0;0 0 0 0]; % matrice intrinseca % Element 1 k1=(E*A/L1)*mat; % Element 2 k2=(E*A/L2)*mat; % Element 3 k3=(E*A/L3)*mat;

29

Figura 2.6- Rutină de analiză a structurii articulate (© Matlab Educational)

% Matrice de rigiditate a elementelor in sistem GL OBAL (G) % Matrice de transformare a coordonatelor elementel or T1=[cosb1 sinb1 0 0;-sinb1 cosb1 0 0; 0 0 cosb1 sin b1;0 0 -sinb1 cosb1]; T2=[cosb2 sinb2 0 0;-sinb2 cosb2 0 0; 0 0 cosb2 sin b2;0 0 -sinb2 cosb2]; T3=[cosb3 sinb3 0 0;-sinb3 cosb3 0 0; 0 0 cosb3 sin b3;0 0 -sinb3 cosb3]; % Matrice de rigiditate a elementelor kg1=T1'*k1*T1; kg2=T2'*k2*T2; kg3=T3'*k3*T3; % Matricea de rigiditate a structurii K=[kg1(1:2,1:2)+kg3(1:2,1:2) kg1(1:2,3:4) kg3(1:2,3 :4);kg1(3:4,1:2) kg1(3:4,3:4)+kg2(1:2,1:2) kg2(1:2,3:4); ... kg3(3:4,1:2) kg2(3:4,1:2) kg2(3:4,3:4)+kg3(3:4,3:4 )]; % Declararea conditiilor de rezemare Knn=K(1:3,1:3); % partitionarea matricei K, GL n=1,2 si 3, r=4,5 si 6 Krn=K(4:6,1:3); Knr=K(1:3,4:6); Krr=K(4:6,4:6); Ur=zeros(3,1); %nu exista cedari de reazeme % Forte exterioare (active) Fn=[F1 F2 0]'; %D. Raspuns structural % Deplasarile nodurilor Un=inv(Knn)*(Fn-Knr*Ur); % Reactiuni Fr=Krn*Un+Krr*Ur; % Eforturi axiale U=[Un;Ur]; f1=k1*T1*U(1:4); f2=k2*T2*U(3:6); f3=k3*T3*[U(1:2);U(5:6)]; %-------------------------------------------------- ----------------------

30

Rularea rutinei din Figura 2.6, generează următoarele rezultate, în termeni de

(i) deplasări ale nodurilor efective, şi anume

Ù = dw�x�w� e = 70.3543−0.07470.1120 ; 10B� , m (2.19a)

şi

(ii) reacţiuni

bc = 7��{��; = 760−6040;, kN (2.19b)

Forţele axiale în elemente, sunt ilustrate în Tabelul 5 (interpretarea semnelor este realizată în funcţie de axele de coordonate în sistemul local).

Tabelul 5- Forţe axiale (in sistemul de referinta local, L) ELEMENTUL 1

2P(�%) = q84.85280−84.85280 r

ELEMENTUL 2

2P(��) = q−600600 r

ELEMENTUL 3

2P(��) = q400−400 r

-

+

-

31

CAZUL CEDĂRILOR DE REAZEME Structura este acum acţionată de forţele exterioare, care induc nodului 2 o cedare verticală (Figura 2.7), în jos, egală cu 0.3/EA (m). Se determină răspunsul structurii.

Figura 2.7 – Structură articulată supusă forţelor exterioare şi cedării reazemului

Vectorul deplasărilor nodurilor devine

` = �Ù`c" =��w�x�w��Sw�x� ��

�� =��w�x�w�− 9.T��00 ��

�� (2.20)

Procedeul de rezolvare a sistemului de ecuaţii constă în eliminarea liniilor şi a coloanelor corespunzătoare deplasărilor cunoscute, în acest caz 4, 5 şi 6. Sistemul “redus” de ecuaţii devine astfel

�s 70.088 −0.088 −0.088 0.088 0 0−0.088 0.338 0.088 −0.088 0 −0.25−0.088 0.088 0.338 −0.088 −0.25 0 ;��w�x�w�− �.��00 ��

��= 760−1000 ; (2.21)

Prin trecerea în membrul drept a ultimelor 3 coloane, se obţine sistemul de ecuaţii

�s 70.088 −0.088 −0.088−0.088 0.338 0.088−0.088 0.088 0.338 ; 7w�x�w�; = 760.026−100.026−0.026 ; (2.22)

în care vectorul forţelor exterioare reprezintă vectorul forţelor exterioare efective.

E,A,L=4m

E,A

,L=

4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

X

Y

DEPLASARE

VERTICALĂ

32

Prin rezolvarea sistemului (2.22), rezultă vectorul deplasărilor nodurilor

7w�x�w�; = �� 7762.114−160240 ; ,h (2.23a)

astfel încât vectorul deplasărilor nodurilor, inclusiv cele de rezemare, este

` =��w�x�w�x�w�x��

��= ��

��

762.114−160240−0.300 �� ,h (2.32b)

Prin comparaţie cu cazul precedent, rezultă o creştere nesemnificativă a deplasării orizontale a nodului 1, adică exact cedarea reazemului. Dacă numai cedarea de reazem ar acţiona structura, atunci vectorul forţelor efective devine

70.026−0.026−0.026; (2.33a)

iar vectorul deplasărilor nodurilor este

7w�x�w�; = �� 70.29600 ; ,h (2.33b)

Prin calcul manual, deplasarea orizontală a nodului 1 rezulta

w� = −∑ i̅�� = −o1 ⋅ (− �.��)p = �.��~� (2.34)

în care, i̅� reprezintă reacţiunile din situaţia virtuală de încărcare (Figura 2.5) iar �� este cedarea de reazem (Figura 2.7).

*Este de observat că structura fiind static determinată, cedarea reazemului nu produce eforturi. �� Exerciƫiu individual| se adaptează rutina de analiză , din Figura 2.6, pentru incorporarea situaţiei de încărcare cu cedare de reazem, tratată analitic, in exemplul de mai sus.

Sugestie de rezolvare | se modifica vectorul deplasărilor gradelor de libertate restricţionate, în acord cu noua situaţie de încărcare.

33

CAZUL REZEMĂRII ELASTICE Se consideră structura cu rezemare elastică a reazemului simplu, acţionată de forţele exterioare (Figura 2.8). Rigiditatea axială a resortului este kr = 0.2 EA (kN). Se determină răspunsul structurii.

Figura 2.8 – Modelul de calcul şi reprezentare idealizată

Acest model de analiză tinde sa reproduca efectul rezemarii structurii pe medii deformabile sau efectul izolarii vibratorii- din punct de vedere elastic.

Figura 2.9 –Modelul discret de analiză, incidenţa dintre elemente şi noduri

1

2

3

2

3

1

4

4

Y1 Y1

X2 Y2

X3 Y3

X4 Y4

Y

E,A,L=4m

E,A

,L=

4m E,A,L=5.657m

60kN

100kN

X

kr

Y

E,A,L=4m

E,A

,L=

4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

X

kr

34

Potrivit expresiei matricei de rigiditate a elementului dublu articulat (elementul 4 în Figura 2.9), expresia acesteia în raport cu sistemul de referinţă local devine

�P(��) = 7� (6Y) � !(6Y)�! (6Y) �!!(6Y); = qf� 0 −f� 00 0 0 0−f� 0 f� 00 0 0 0r (2.35a)

adică

�P(��) = 0.2�s q1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0r (2.35b)

0� = 270� şi rezultă matricea de transformare a coordonatelor

4(��) = q0 −1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 1 0 r (2.36)

aceeaşi cu a elementului 3. Matricea de rigiditate a elementului 4, în sistemul de referinţă global este

�L(��) = 0.2�s q0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1 r (2.37)

Matricea de rigiditate a structurii, în sistemul de referinţă global, capăta următoarea structura prin asamblarea elementului 4 la matricea structurii cu rezemare rigidă

K =�� (6S) + � (6T) � !(6R) � !(6T) 9�! (6R) �!!(6R) + � (6S) + � (6Y) � !(6S) � !(6Y)

�! (6T) �! (6S) �!!(6S) + �!!(6T) 99 �! (6Y) 9 �!!(6Y)�� (2.38a)

Numeric, aceasta devine

K = �s��0.088 −0.088 −0.088 0.088 0 0 0 0−0.088 0.338 0.088 −0.088 0 −0.25 0 0−0.088 0.088 0.338 −0.088 −0.25 0 0 00.088 −0.088 −0.088 0.088 + 0.2 0 0 0 −0.20 0 −0.25 0 0.25 0 0 00 −0.25 0 0 0 0.25 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −0.2 0 0 0 0.2 ��

��=

(2.38b)

35

= �s��0.088 −0.088 −0.088 0.088 0 0 0 0−0.088 0.338 0.088 −0.088 0 −0.25 0 0−0.088 0.088 0.338 −0.088 −0.25 0 0 00.088 −0.088 −0.088 0.288 0 0 0 −0.20 0 −0.25 0 0.25 0 0 00 −0.25 0 0 0 0.25 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −0.2 0 0 0 0.2 ��

��

Impunând condiţiile de rezemare, deplasărilor cunoscute ale nodurilor sunt v2 = u3 = v3= u4

= v4=0 iar prin rezolvarea sistemului redus de ecuaţii, rezultă deplasările necunoscute ale nodurilor 1 şi 2, astfel

qw�x�w�x�r = �� q1061.8−160240−300 r ,h (2.39a)

iar reacţiunile rezultă

��u��v��u��v��

� = �� q−6040060 r , fg (2.39b)

Sinteza rezultatelor este prezentată comparativ, pentru (i) modelul cu rezemare rigidă la translaţie verticală, şi (ii) pentru modelul cu rezemare elastică (Tabelul 6).

Tabelul 6- Sinteza rezultatelor analizei pentru două cazuri de rezemare

REAZEM RIGID REAZEM ELASTIC

Model de analiză

Deplasări, m

7w1x1w2; = 1�s 7761.818−160240 ;

qw�x�w�x�r = 1�s q1061.8−160240−300 r

E,A,L=4m

E,A

,L=

4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

x

y y

E,A,L=4m

E,A

,L=

4m

E,A,L=5.657m

60kN

100kN

x

kr

36

Reactiuni, kN

��v��u��v�� = 760−6040;

��u��v��u��v��

� = 1�s q−6040060r

Deplasarea orizontală la vârful structurii, înregistrează o creştere de cca. 40%, în timp ce eforturile în elemente, rămân neschimbate, darorita determinării statice a structurii. Efortul de compresiune în resort este de 60 kN, adică exact f�x�.

� Exemplul numeric A3| Pentru structura tip- cadru plan din beton armat din Figura 3.1, având proprietăţi fizico-mecanice şi geometrice specificate, se determină răspunsul exprimat în deplasări şi eforturi secţionale. Rutina de analiză © Matlab Educational este dezvoltată în cadrul laboratorului de calcul.

Figura 3.1- Structura reală şi caracteristici fizico-mecanice ale elementelor

Modelul discret propus spre analiză, constă în 3 elemente de tip bară dublu încastrată, pentru care matricea de rigiditate este dată de expresia (1.2). Modelul va dipune prin urmare, de un număr total de 12 grade de libertate elastică (Figura 3.2), din care 6 sunt active (n=1-6) iar 6- restricţionate (r= 7-12).

Figura 3.2- Modelul discret de analiză şi grade de libertate elastică asociate în sistemul de referinţă global (XYZ)

Modul lui Young E = 2.1x107 kN/m2

Secţiuni: Stâlpi|50x50 (cm)

Grindă|35x90(cm)

5.00

8.00

20 kN/m

60 kN

2 5 1 3

4 6

8 7 9

11 10 12

X

Y

Z

0

37

Elementele structurale individuale şi axele de referinţă locale asociate, sunt reprezentate în Figura 3.3.

Figura 3.3- Elemente structurale discrete, noduri şi sisteme de referinţă locală (xyz)

Structura matricei de rigiditate a elementului, în sistem local este

�(6) = �� (6) � !(6)�! (6) �!!(6)� (3.1)

în care, � (6) şi �!!(6)sunt sub-matricele primare de rigiditate, iar � !(6)şi �! (6)sunt sub-matricele

secundare de rigiditate, ca efect al cuplajului elastic între extremităţile i-nod origine şi j-nod terminaţie. Utilizând transformarea (2.4), rescrisă aici

�L(6) = M4(6)NO �P(6)4(6) (3.2)

în care, �P(6) reprezintă matricea (3.1) iar 4(6) este matricea de transformare a coordonatelor elementului (1.4).

Astfel, matricele de rigiditate ale elementelor, rezultă succesiv prin transformarea (3.2). Matricea de rigiditate a structurii K, se obţine prin suprapunerea sub-matricelor de capăt ale elementelor convergente într-un anumit nod, în acord cu topolgia structurii, conform relaţiei (1.7) şi are structura

K12,12 =�� (6R) + � (6T) � !(6R) 9 � !(6T)�! (6R) � (6R) + � (6S) � !(6S) 99 �! (6S) � (6S) 9�! (6T) 9 9 � (6T)��

�� UVW1XRUVW1XSUVW1XTUVW1XY (3.3)

UVW1XRUVW1XSUVW1XTUVW1XY

1 2

3 4

e1: k1

e2: k2 e3: k3

x

y

z

0

x

y z

0

x

y z

0

38

Prin declararea condiţiilor de rezemare, sunt eliminate deplasările cinematice, de corp rigid, iar matricea de rigiditate se partiţionează astfel

K12,12 = �KUU KUcKcU Kcc" (3.4)

Sub-matricea de rigiditate corespunzătoare gradelor de libertate elastică active (1 la 6) rezultă

KUU = 106��

0.8079 0 −0.0868 −0.7500 0 00 2.0908 −0.0262 0 −0.0075 −0.0262−0.0868 −0.0262 0.2961 0 0.0262 0.0612−0.7500 0 0 0.8079 0 −0.08680 −0.0075 0.0262 0 2.0908 0.02620 −0.0262 0.0612 −0.0868 0.0262 0.2961 �� (3.5)

Vectorul forţelor exterioare active (forţe propriu-zise şi momente), construit în acord cu axele de coordonate în sistem global (Figura 3.2) este

bU =��{��

�� =��6000000 ��

�� (3.6)

Pentru elementul de grindă dublu încastrată, având secţiune constantă şi supus forţelor uniform distribuite în lungul elementului-px şi normală la element-py , ambele pozitive în raport cu sistemul de referinţă local, vectorul forţelor echivalente încărcării de element, reduse în raport cu extremităţile are expresia generală

l(#3) = �l8l:" =

��− ��2 >8?0#− ��2 <=>0#��212− ��2 >8?0#− ��2 <=>0#−��212 ��

�� (3.7)

în care, >8?0�şi <=>0� sunt sinuşii şi cosinuşii directori ai elementului. Vectorul reprezintă exact eforturile de încastrare perfectă, cunoscute din formularea clasică a Metodei

deplasărilor. Vectorul forţelor echivalente încărcării de element, necesită aceeaşi transformare de coordonate, din sistemul local, în cel global, pe baza relaţiei

l5(#) = M4(6)N4 l�(#) (3.8)

39

Rezultă, prin acelaşi procedeu de asamblare, vectorul forţelor echivalente forţelor aplicate elementului a, prin suprapunerea sub-vectorilor elementelor de forma a8 = ∑ l8,5(#)(#) , e=1,2,…,m-elemente ; 8 = 1,2, … , � − ?=kwi8 (3.9)

În exemplul numeric curent, grinda orizontală este singura afectată de încărcare de element, aşa încât structura vectorului global va fi

a��,� =��l�,3(�%) + l�,3(��)l�,3(�%) + l�,3(��)

l�,3(��)l�,3(��) ��

�� UVW1XRUVW1XSUVW1XTUVW1XY =��l�,3(�%)l�,3(�%)99 ��

�� = �a_a�" (3.10)

Sistemul de ecuaţii de echilibru este K` + a = b (3.11a)

rescris sub forma partiţionată astfel

�KUUKcU KUcKcc" �Ù`c" + daUace = �bUbc" (3.11b)

Sistemul “redus” de ecuaţii este KUUÙ+KUc`c + aU = bU (3.12a)

iar cel de-al doilea sub-sistem rezultă KcUÙ + Kcc`c + ac = bc (3.12b)

Prin rezolvarea primului sub-sistem rezultă deplasările nodurilor efective (active) astfel Ù = KUU−R(bU − aU − KUc`c) (3.13a)

iar cel de al doilea sub-sistem furnizează reacţiunile structurii astfel bc = KcUÙ + Kcc`c + ac (3.13b)

� Determinarea eforturilor secţionale presupune revenirea la coordonatele locale ale elementului, prin relaţia

2�(#) = 4(#)25(#) = 4(#)(�5(#)15(#) + l5(#)) (3.14)

în care, toate componentele care intervin în expresie sunt complet cunoscute, fie iniţial- 4(�), �3(�) şi l3(�) şi fie ca rezultat al analizei- 13(�). Pentru determinarea eforturilor la extremităţile unui anumit element (e), din vectorul global al deplasărilor `, trebuie selectate numai acele deplasări care corespund nodurilor i şi j ale elementului. Odată cunoscute eforturile secţionale la extremităţile elementelor, pot fi trasate diagramele de eforturi secţionale, după determinarea acestora în alte secţiuni de interes, folosind funcţiile de interpolare a deplasărilor extremităţilor (Iancovici, 2010).

40

În Figura 3.4 este redată rutină de calcul a cadrului din Figura 3.1, care încorporează algoritmul de analiză descris mai sus.

% Rutina pentru calculul structurilor in cadre plane % Mihail Iancovici, UTCB clear all ; %A. Date structura % material, beton armat, modul de elasticitate long itudinala E = 2.1*10^7; % kN,m %Sectiuni %Stalpi bst=0.5; hst=0.5; Lst=5; Ast = bst*hst; Ist=bst*hst^3/12; %Rigla br=0.35; hr=0.9; Lr=8; Ar = br*hr; Ir=br*hr^3/12; %B. Forte exterioare p=20; % forta de element P=60; % forta la nod % Matrice de rigiditate a elementelor in sistem LOC AL (L) % elementul 1-rigla k1 = [E*Ar/Lr 0 0 -E*Ar/Lr 0 0;0 12*E*Ir/Lr^3 -6*E* Ir/Lr^2 0 -12*E*Ir/Lr^3 -6*E*Ir/Lr^2; 0 -6*E*Ir/Lr^2 4*E*Ir/Lr 0 6*E*Ir/Lr^2 2*E*Ir/Lr; ... -E*Ar/Lr 0 0 E*Ar/Lr 0 0;0 -12*E*Ir/Lr^3 6*E*Ir/Lr^ 2 0 12*E*Ir/Lr^3 6*E*Ir/Lr^2; 0 -6*E*Ir/Lr^2 2*E*Ir/Lr 0 6*E*Ir/Lr^2 4*E*Ir/Lr]; %elementul 2-stalp k2 = [E*Ast/Lst 0 0 -E*Ast/Lst 0 0;0 12*E*Ist/Lst^3 -6*E*Ist/Lst^2 0 -12*E*Ist/Lst^3 -6*E*Ist/Lst^2; 0 -6*E*Ist/Lst^2 4*E *Ist/Lst 0 6*E*Ist/Lst^2 2*E*Ist/Lst; ... -E*Ast/Lst 0 0 E*Ast/Lst 0 0;0 -12*E*Ist/Lst^ 3 6*E*Ist/Lst^2 0 12*E*Ist/Lst^3 6*E*Ist/Lst^2; 0 -6*E*Ist/Lst^2 2*E* Ist/Lst 0 6*E*Ist/Lst^2 4*E*Ist/Lst]; %elementul 3-stalp k3=k2; %Matrice de transformare a coordonatelor elementelo r T1 = eye(6); T2= [0 -1 0 0 0 0;1 0 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 -1 0;0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 0 1]; T3=T2;

41

%Matrice de rigiditate a elementelor in sistem GLOB AL (G) kg1 = T1'*k1*T1; % elementul 1-rigla kg2 = T2'*k2*T2; %elementul 2-stalp kg3 = T3'*k3*T3; %elementul 3-stalp % Submatrice de rigiditate ale elementelor % elementul 1-rigla kgii1 = [kg1(1,1), kg1(1,2), kg1(1,3); kg1(2,1), kg 1(2,2), kg1(2,3);kg1(3,1), kg1(3,2), kg1(3,3)]; kgij1 = [kg1(1,4), kg1(1,5), kg1(1,6); kg1(2,4), kg 1(2,5), kg1(2,6),;kg1(3,4), kg1(3,5), kg1(3,6)]; kgji1 = [kg1(4,1), kg1(4,2), kg1(4,3); kg1(5,1), kg 1(5,2), kg1(5,3),;kg1(6,1), kg1(6,2), kg1(6,3)]; kgjj1 = [kg1(4,4), kg1(4,5), kg1(4,6); kg1(5,4), kg 1(5,5), kg1(5,6);kg1(6,4), kg1(6,5), kg1(6,6)]; % elementul 2-stalp kgii2 = [kg2(1,1), kg2(1,2), kg2(1,3); kg2(2,1), kg 2(2,2), kg2(2,3);kg2(3,1), kg2(3,2), kg2(3,3)]; kgij2 = [kg2(1,4), kg2(1,5), kg2(1,6); kg2(2,4), kg 2(2,5), kg2(2,6);kg2(3,4), kg2(3,5), kg2(3,6)]; kgji2 = [kg2(4,1), kg2(4,2), kg2(4,3); kg2(5,1), kg 2(5,2), kg2(5,3),;kg2(6,1), kg2(6,2), kg2(6,3)]; kgjj2 = [kg2(4,4), kg2(4,5), kg2(4,6); kg2(5,4), kg 2(5,5), kg2(5,6);kg2(6,4), kg2(6,5), kg2(6,6)]; % elementul 3-stalp kgii3 = kgii2; kgij3 = kgij2; kgji3 = kgji2; kgjj3 = kgjj2; % C. Matricea de rigiditate a structurii K = [kgii1+kgii3,kgij1,zeros(3),kgij3;kgji1,kgjj1+kgii2 ,kgij2,zeros(3);zeros(3),kgji2,kgjj2,zeros(3);kgji3,zeros(3),zeros(3),kgjj3 ]; % asamblarea matricei for i=1:12 for j=1:12 if i~=j if K(i,j)~=K(i,j) disp( 'K nesimetrica’ ) else disp( 'K simetrica’ ) end end end end % Partitionarea matricei de rigiditate a structurii Knn = K(1:6,1:6); Knr = K(1:6,7:12); Krn = K(7:12,1:6) Krr = K(7:12,7:12);

42

Figura 3.4- Rutina de analiză a structurii (© Matlab Educational) Rularea rutinei din Figura 3.4, generează următoarele rezultate, în termeni de (i) deplasări ale nodurilor efective

Ù =��w�x��w�x{��

�� =��0.0034−0.00010.00080.0034−0.0001−0.0003��

�� , m, rad (3.15a)

şi (ii) reacţiuni

bc =��

�z�|�}�� =

��−43.874597.5788−102.5767−16.125562.4212−56.7925 ��

��, kN, kNm ( 3.15b)

De asemenea, eforturile secţionale în elementele structurale, riglă şi stâlpi, sunt ilustrate în Tabelul 7 (interpretarea semnelor este realizată în funcţie de axele de coordonate în sistemul locala al fiecărui element).

% Construirea vectorului fortelor aplicate nodurilo r efective si a % vectorului fortelor de element Fn = [F1 0 0 0 0 0]'; % vectorul fortelor aplicate nodurilor efective Q = [0 p*Lr/2 -p*Lr^2/12 0 p*Lr/2 p*Lr^2/12 0 0 0 0 0 0]'; %vectorului fortelor de element Qn = Q(1:6); Qr = Q(7:12); Un = inv(Knn)*(Fn-Qn) Ur = zeros(6,1); Fr = Krn*Un+Qr %Vectorul deplasarilor totale U = [Un; Ur] %Vectorul fortelor totale F = [Fn; Fr] %Eforturi sectionale f1 = T1*kg1*U(1:6)+T1*Qn; f2 = T2*kg2*[U(4:6); U(7:9)]; f3 = T3*kg3*[U(1:3); U(10:12)]; %-------------------------------------------------- ---------------------

43

Tabelul 7- Eforturi secţionale la extremităţile elementelor (în sistemul de referinţă local, L)

ELEMENTUL 1

2(�%) =��t1t2t3t4t5t6 ��

�� =

��g1O1n1g2O2n2��

�� =

��43.874562.421223.8348−43.874597.5788116.7960 ��

��

ELEMENTUL 2

2(��) =��t1t2t3t4t5t6 ��

�� =

��g2O2n2g3O3n3��

��=

��

97.578843.8745−116.7960−97.5788−43.8745−102.5767 ��

ELEMENTUL 3

2(��) =��t1t2t3t4t5t6 ��

�� =

��g1O2n3g4O4n4��

�� =

��

62.421216.1255−23.8348−62.4212−16.1255−56.7925 ��

�� Exerciţiul individual 1| Se determina răspunsul structurii din Figura 3.1, pentru situaţia de încărcare corespunzătoare unor cedări ale reazemelor încastrate (exprimate în sistemul de referinţă global), după cum urmează: w|,� = −2<h, w��,� = 4.2<h şi ��,� = 2 ∙10B�ijk.

Sugestie de rezolvare | Se modifică vectorul deplasărilor gradelor de libertate restricţionate, în acord cu noua situaţie de încărcare şi se rulează rutina, fără considerarea vectorului încărcărilor cu forţe exterioare active- bU.

62.4212

16.1255

23.8348

62.4212

16.1255

56.7925

97.5788

43.8745

116.7960

97.5788

43.8745

102.5767

43.8745

62.4212

23.8348 43.8745

97.5788

116.7960

44

�� Exerciţiul individual 2| Se determină răspunsul structurii din Figura 3.1, pentru situaţia de încărcare cu variaţii de temperatură (încărcări termice). Variaţia de temperatură la interior, este de 20°C, iar la exterior, de 10°C.

Sugestie de rezolvare | Se modifică structura sistemului de ecuaţii (3.11a) şi structura algoritmului Matlab Educational din Figura 3.4, după cum urmează: K` + a4 = b (3.15a) a4 este vectorul forţelor echivalente încărcării termice, obţinut prin asamblarea de forma

a�,m = ∑ l�m,3(�)(�) , e=1,2,…,m-elemente ; 8 = 1,2, … , � − ?=kwi8 (3.15b)

în care, l�m,3(�) este sub-vectorul forţelor echivalente încărcării termice, corespunzător

extremităţii i a elementului (e), exprimat în sistemul global de referinţă.

Elementul dublu încastrat, de secţiune constantă, supus variaţiilor de temperatură (�� >�� > 0), este reprezentat în Figura 3.5.

Figura 3.5 –Element structural dublu încastrat, supus variaţiilor de temperatură

Expresia vectorului forţelor echivalente variaţiei de temperatură, în raport cu sistemul local de coordonate (Iancovici, 2010) este

lO(#) = dl8,Ol:,Oe =�� =�s0�∆�=ℎ ��−��=�s0− �∆�=ℎ ��

�� (3.16)

în care, � reprezintă coeficientul de dilataţie termică a materialului, �� este componenta uniformă a variaţiei de temperatură, ∆�� reprezintă componenta neuniformă a variaţiei de temperatură iar ℎ este inalţimea secţiunii transversale a elementului. Precizarea semnului şi a valorilor temperaturilor corespunzătoare fibrelor extreme ale elementului, va indica automat termenii nuli şi semnele componentelor nenule ale vectorului lO. Matricea de rigiditate K este aceeaşi, indiferent de natura acţiunii, rigiditatea fiind o caracteristică intrinsecă a structurii. Scris sub forma partiţionată, sistemul (3.15a) devine

L,E,I,t2o

nodul i nodul j

2 5

1 6

3 4

t1o

t2o

h

t1o

y1

y2 axa neutră to

∆to

45

�KUUKcU KUcKcc" �Ù`c" + daU,4ac,4e = �bUbc" (3.17)

în care, aU,4 şi ac,4 reprezintă sub-vectorii forţelor echivalente încărcării termice, în accord cu coordonatele de indice n-active şi respectiv, de coordonate r- împiedicate. Sistemul “redus” de ecuaţii este KUUÙ+KUc`c + aU,4 = bU (3.18a)

iar cel de-al doilea sub-sistem rezultă KcUÙ + Kcc`c + ac,4 = bc (3.18b)

Prin rezolvarea primului sub-sistem rezultă deplasările nodurilor efective (active) astfel Ù = KUU−R(bU − aU,4 − KUc`c) (3.19a)

iar cel de al doilea sub-sistem furnizează reacţiunile structurii astfel bc = KcUÙ + Kcc`c + ac,4 (3.19b)

� Determinarea eforturilor secţionale presupune revenirea la coordonatele locale ale elementului adică, prin relaţia

2�(#) = 4(#)25(#) = 4(#)(�5(#)15(#) + lO,5(#)) (3.20)

în care, toate componentele care intervin în expresie sunt complet cunoscute, fie iniţial- 4(�), �3(�)şi lm,3(�) , fie ca rezultat al analizei- 13(�). Odată cunoscute eforturile secţionale la

extremităţile elementelor, pot fi trasate diagramele de eforturi secţionale, după determinarea acestora în alte secţiuni de interes, folosind funcţiile de interpolare a deplasărilor extremităţilor (Iancovici, 2010). �� Exercitiul individual 2| Se determina răspunsul structurii din Figura 4.1, cu rezemare elastică. Caracteristicile fizico-mecanice ale structurii, precum şi rigidităţile resoartelor de translaţie şi de rotire, sunt precizate în Figura 4.2.

Figura 4.1 –Situaţia reală

TEREN

FUNDATIE

STRUCTURA

46

Sugestie de rezolvare| Dimensiunea modelului global de analiză, creşte- de la 6 grade de libertate active, la 12 grade de libertate active, prin încorporarea matricelor de rigiditate ale sistemelor de rezemare elastică. Se utilizează conceptual, modelul de operare prezentat în exemplul numeric 2, pentru calculul structurii articulate, cu rezemare elastică.

Figura 4.2 –Model de analiză şi caracteristici fizico-mecanice ale structurii şi ale mediului deformabil

Se modifică rutina de analiză Matlab Educational (Figura 3.4), în acord cu noul model al structurii şi se rulează analiză. Rezultatele vor fi comparate cu cele obţinute prin instrumentele dezvoltate în secţiunea următoare a lucrării. Observaţie: pentru elemente structurale cu legături incomplete la extremităţi, matricele de rigiditate şi vectorii forţelor echivalente, se vor modifica în acord cu tipul elementului (Iancovici, 2010).

***

Modul lui Young E = 2.1x107 kN/m2

Secţiuni: Stâlpi|50x50 (cm)

Grindă|35x90(cm) Rigidităţi resoarte teren kx,t=200000 kN/m

ky,t= 350000 kN/m

kθ,t= 120000 kNm/rad

4.00 4.00

60 kN 120 kN

3.50 kx,t

ky,t

kθ,t

47

B| Exemple numerice, calcul automat

Graphical User Interface (GUI)

Dezvoltarea unor rutine proprii de analiză, prezintă avantajele (i) de a familiariza

cursantul cu algoritmii de calcul structural, cu succesiunea de operaţii necesare analizei, (ii) de a încorpora cu o mai mare flexibilitate, noi modele de analiză (de exemplu, elemente structurale având forme oarecari ale secţiunii transversale), dar prezintă de asemenea, dezavantajul unei eficienţe scăzute de generare a geometriei structurii, de automatizare a calculului, de vizualizare şi de stocare a rezultatelor. Acest dezavantaj este suplinit prin utilizarea pe scară largă, în practică curentă, a programelor de analiză automată, comerciale sau- în cazul de faţă, cu valenţe didactice. Platforma utilitară Matlab Educational, permite realizarea unor astfel de programe.

Secţiunea curentă a lucrării îşi propune familiarizarea cursantului cu operarea prin intermediul programelor de analiză automată. Aplicaţiile practice sunt rezolvate cu programul didactic FTOOL v3.0, dezvoltat de profesorul Luiz Fernando MARTHA (Pontifical Catholic University of Rio de Janeiro, Brazilia) şi disponibil gratuit la adresa http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftool/ftooleng.html. Autorul exprima calde mulţumiri pentru acceptul de a folosi programul de analiză, în prezenta lucrare didactică.

Sunt descrise doar principalele operaţii pe care analistul trebuie să le parcurgă, precum şi valenţele programului de calcul. Totalitatea informaţiei referitoare la performanţele şi operarea programului, se regăseşte în manualul acestuia, disponibil la adresa http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/ftoolman300-en.pdf .

Este prezentat în continuare ecranul principal de interacţiune cu utilizatorul şi sunt detaliate etapele operării prin intermediul programului de analiză structurală. De asemenea, sunt inserate spaţii libere în subsolul paginilor, pentru notiţe ale cursantului, la fiecare secţiune.

� PRE-PROCESARE

Etapa presupune declararea tipului materialului, a generării geometriei structurii, a declarării condiţiilor de rezemare, a secţiunii elementelor şi a atribuirii încărcărilor.

48

material

rezemare

[Notiţe cursant]

secţiuni

geometrie

49

legături interioare

constrângeri elastice

[Notiţe cursant]

50

forţe generalizate concentrate

forţe liniar distribuite

[Notiţe cursant]

51

� PROCESARE

Etapa presupune apelarea bibliotecii de elemente, a matricelor de rigiditate corespunzătoare, a transformării de coordonate, a asamblării matricei de rigiditate a structurii şi a vectorilor termenilor liberi, a partiţionării acestora, a rezolvării sub-sistemelor de ecuaţii de echilibru şi determinarea eforturilor secţionale.

încărcări termice

convoaie de forţe mobile

52

� POST-PROCESARE

Etapa presupune reprezentarea grafică a încărcărilor, a reacţiunilor, a diagramelor de eforturi, a poziţiei deformate a structurii sau a liniilor de influenţă.

poziţia deformată

[Notiţe cursant]

53

� Exemplul numeric B1| Structura articulată supusă forţelor exterioare, rezolvată prin rutina Matlab Educational, în exemplul numeric A2 (Figura 2.6), este rezolvată în această secţiune, utilizând programul de analiză FTOOL. Sunt comparate apoi, rezultatele obţinute prin cele două instrumente.

În Figurile 1.1a şi 1.1b, sunt reprezentate poziţia deformată şi reacţiunile generate de forţele exterioare, precum şi forţa axială în elementul 1.

Figura 1.1a)- Încărcări, deformata (factor de

multiplicare 1700) şi reacţiunile structurii Figura 1.1b)- Forţele axiale ale structurii

În Tabelul 1, sunt prezentate conparativ rezultatele obţinute prin cele două instrumente de analiză.

Tabelul 1 – Deplasări ale nodurilor active şi eforturi axiale în elementul 1(diagonală)

Matlab Educational FTOOL

dw�x�w� e = 70.3543−0.07470.1120; 10B�, h

7w�x�w�; = 70.3559 ⋅ 10B�−0.0751 ⋅ 10B�0.1126 ⋅ 10B� ; ,h

�(�%) = −84.8528 kN

�(�%) = −84.9 kN

54

� Exemplul numeric B2| Pentru cadrul rezolvat prin rutina Matlab Educational (Figura 3.4), în exemplul numeric A3, este utilizat programul FTOOL. Sunt comparate apoi, rezultatele obţinute prin cele două instrumente.

Figura 2.1- Modelul de analiză a structurii (© FTOOL)

Prin rularea modelului de analiză creat, rezultă următoarele distribuţii de eforturi, reacţiuni şi poziţie deformată (Figurile 2.2a-d):

Figura 2.2a)- Încărcări, deformată (factor de

multiplicare 240) şi reacţiunile structurii Figura 2.2b)- Diagrama de forţă axială-N

N

55

T

Figura 2.2c)- Diagrama de forţă tăietoare-T Figura 2.2d)- Digrama de moment

încovoietor- M

� Exemplul numeric B3| Se determină distribuţia eforturilor secţionale în elementele structurale ale halei parter din Figura 3.1. Este studiată apoi influenta modelării legăturii interioare dintre riglă şi stâlpi, precum şi a raportului momentelor de inerţie dintre riglă şi stâlpi.

Figura 3.1 – Hala parter din beton armat, cu o singura deschidere

Modelul de calcul al halei parter cu o singură deschidere este prezentat în Figura 3.1. Grinda cadrului este prefabricată, prin urmare, în modelul propus, rigla se consideră articulată de stâlp. În acest caz, reprezintă o legătură simplă interioară, bilaterală (pendul), cadrul devenind cadru de încovoiere. Diagramele de eforturi secţionale obţinute prin analiză sunt prezentate în Figura 3.2.

MATERIAL Beton armat, E = 2x107 kN/m2

SECŢIUNI ELEMENTE Stâlpi 40x40 (cm)

Grindă 25x40 (cm)

T M

N

56

Figura 3.2 – Diagrame de eforturi secţionale şi poziţia deformată a structurii

(factor de multiplicare 150)

Tabelul 1 - Sinteza deplasărilor nodurilor

Deplasare Nodul A Nodul B Deformaţie axială, m

u, m 0.00603 0.00599 0.00004 v,m -0.00034 -0.00034

θ, rad -0.00156 -0.00200 Se poate observa cu uşurinţă că ecuaţiile de echilibru static, reprezentate prin două ecuaţii de proiecţie şi o ecuaţie de moment în raport cu reazemul încastrat din stânga, sunt satisfăcute: ∑�u = 10 ⋅ 4.50 − 36.6 − 8.4 = 0∑�v = 240 + 240 − 240 − 240 = 0∑n�,�_� = 10 ⋅ 4.50 ⋅ 2.25 + 240 ⋅ 9 − 63.4 − 240 ⋅ 9 − 37.8 = 0.05 (3.1)

Eroarea relativă în echilibrul static este de 0.05%. (i) Influenţa modelarii legăturii interioare dintre rigla şi stâlp

În cazul cadrelor de încovoiere pură, riglele sunt modelate că având rigiditate nulă la încovoiere. Prin urmare acestea reprezintă legături simple (penduli), având capacitatea de a prelua doar forţa axială. În cazul cadrelor de forfecare pură, riglele sunt considerate perfect rigide la încovoiere în raport cu stâlpii. Legăturile stâlpilor cu riglele sunt considerate incastrări glisante.

M

A B

57

Figura 3.3 – Diagrame de eforturi secţionale şi poziţia deformată a modelului cu riglă perfect rigidă (factor de multiplicare 256.5)

Se notează raportul momentelor de inerţie ale riglei �� şi al stâlpilor �� cu

0 = �� (3.2)

iar influenţa acestuia asupra distribuţiei de eforturi şi a deplasărilor nodurilor, modelate ca noduri rigide, este reprezentată grafic în Figurile 3.4 şi 3.5.

Figura 3.4 – Variaţia forţei tăietoare şi a momentului încovoietor în incastrare şi în nodul A, în funcţie de raportul momentelor de inerţie dintre riglă şi stâlp

32

32.5

33

33.5

34

34.5

35

35.5

36

36.5

37

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15

β=Ir/Is

Fort

a ta

ieto

are

(kN

)

0

2

4

6

8

10

12

TincTnod

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15

β=Ir/Is

Mom

ent i

nco

voie

tor

(kN

m)

0

2

4

6

8

10

12

14

MincMnod

M

T N

58

Figura 3.5 – Variaţia deplasărilor nodului A (translaţii şi rotire), în funcţie de raportul momentelor

de inerţie dintre rigla şi stâlp

Creşterea raportului momentelor de inerţie dintre rigla şi stâlp conduce la “descărcarea” secţiunii de rezemare şi “încărcarea” secţiunii de nod, prin sporirea rigidităţii acestuia. Începând cu valori ale raportului de cca. 4, rotirea nodului rigid devine aproace zero- nodul comportându-se că o incastrare glisantă la translaţie laterală. De la aceeaşi valoare de 4 a raportului 0, valorile eforturilor secţionale şi ale deplasărilor devin cvasi-constante.

� Exemplul numeric B4| Se determină distribuţia eforturilor secţionale în elementele

structurale ale halei parter simetrice, supusă variaţiilor de temperatură (încărcări termice), aplicate simetric. Caracteristicile de secţiune sunt prezentate în Figura 4.2. Modulul de elasticitate longitudinală a oţelului este E = 2.1x108 kN/m2 iar coeficientul de dilataţie termică, � = 10B{(℃)B�.

Figura 4.1 – Hală industrială parter, supusă variaţiilor de temperatură (încărcări termice)

0.E+00

1.E-03

2.E-03

3.E-03

4.E-03

5.E-03

6.E-03

7.E-03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15

β=Ir/Is

Tra

nsl

atii

ale

nodu

lui A

(m)

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

-3.E-04

orizontalaverticala

0.E+00

2.E-04

4.E-04

6.E-04

8.E-04

1.E-03

1.E-03

1.E-03

2.E-03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

β=Ir/Is

Ro

tirea

no

dulu

i A(r

ad)

59

Figura 4.2 – Secţiunile elementelor structurale

Rularea programului de analiză, generează următoarele distribuţii de eforturi secţionale, în elementele structurale.

Figura 4.3a) – Diagrama de forta axiala, N

Figura 4.3b) – Diagrama de forta taietoare, T

SECŢIUNI ELEMENTE (MM)

STÂLPI HD 400X818 RIGLĂ HE 800B

514x60.5

437x97

800x17.5

300x33

N

T

60

Figura 4.3c) – Diagrama de moment incovoietor, M

Diagramale de forţă axiala şi de moment încovoietor, sunt simetrice în raport cu axa de simetrice, în timp ce diagram de forţă tăietoare, este anti-simetrica. Deformată structurii este de asemenea simetrică, în raport cu axa de simetrie (Figura 4.4; Tabelul 2).

Figura 4.4 –Poziţia deformată a structurii (factor de multiplicare 3000)

Tabelul 2 - Deplasarile nodurilor active

NODUL u, m v, m θ, rad

A -2.274 x10-4 7.146 x10-5 6.651 x10-5

B -6.877 x10-5 1.445 x10-4 5.432 x10-5

C 0 4.962 x10-4 0

M

A B

C

61

� Exemplul numeric B5|Se determină distribuţia eforturilor secţionale în elementele structurale ale halei industriale parter, având secţiune variabilă în trepte. Hala este prevăzută cu un pod rulant amplasat pe prima deschidere (Figura 5.1).

Figura 5.1 – Hala industrială parter echipată cu pod rulant

Caracteristicile de secţiune sunt prezentate in Figura 5.2. Modulul de elasticitate longitudinală a otelului este E = 2.1x108 kN/m2.

Figura 5.2 – Caracteristicile de sectiune ale elementelor structurale

Modelarea acţiunilor are la baza următoarele forţe şi surse de provenienţă: • greutatea permanentă a halei; • greutatea podului rulant, considerată prin intermediul forţelor concentrate verticale; • forţa concentrată orizontală, provenită din frânarea podului, şi • momente concentrate în punctul de modificare a secţiunii stâlpilor, provenite din

prinderea excentrică a tronsonului superior de cel inferior- în cazul stâlpilor perimetrali, şi din rezemarea podului rulant pe consolă.

Podul rulant este considerat că având poziţia fixă pe structură.

8.50m

4.50m

30.00m 25.00m

POD RULANT

1008x21

302x40

SECŢIUNI ELEMENTE (MM)

STÂLPI RIGLE HE 800B

INFERIOR HEM 1000 SUPERIOR HEM 700

716x21

304x40

800x17.5

300x33

62

Modelul de analiză este reprezentat in Figura 5.3.

Figura 5.3 – Modelul de analiză a structurii

Rularea programului de analiză, generează urmatoarele distribuţii de eforturi secţionale, în elementele structurale. Distribuţiile de eforturi secţionale şi poziţia deformată a structurii sunt prezentate în figurile 5.4a-d.

Figura 5.4a) – Diagrama de forţă axială, N

Figura 5.4b) – Diagrama de forţă tăietoare, T

T

N

63


Figura 5.4d) –Poziţia deformată a structurii (factor de multiplicare 80)

Deplasarea maximă verticală a riglei pe prima deschidere este de 0.04192 m la abscisa 13.83 m. Prin compararea valorii rezultate cu valoarea admisă de normative (L/350-400 =0.075m), rezultă că este îndeplinită condiţia de limitare a deplasărilor verticale. Deplasarea orizontală a nodului B este de 7.546 mm iar deplasarea nodului rigid A este 9.828 mm, adică 0.0754 din înălţimea totală a structurii (%). � Exemplul numeric B6| Se determină distribuţia eforturilor secţionale în elementele

structurale ale cadrului etajat din Figura 6.1, supus încărcărilor gravitaţionale şi laterale (tip- forţă seismică). Caracteristicile fizico-mecanice şi de secţiune sunt precizate. Distribuţia de rigiditate la translaţie laterală, în elevaţie, nu este uniforma.

B

M

A

64

Figura 6.1 – Structură în cadre etajate

Rularea programului de analiză , generează următoarele distribuţii de eforturi secţionale, în elementele structurale (Figurile 6.2 a-d).

Figura 6.2a) – Diagrama de forţă axială, N

• SECŢIUNI ELEMENTE Stâlpi: 50x50 (cm) Rigle: 30x55 (cm) • MATERIAL Beton armat E = 3x107 kN/m2

N

65

Figura 6.2b) – Diagrama de forţă tăietoare, T


M

T

66

Figura 6.2d) – Poziţia deformată a structurii (factor de multiplicare 83.3)


structurale ale cadrului etajat din Figura 7.1, supus încărcării laterale (tip- presiune aerodinamică uniformă). Caracteristicile fizico-mecanice şi de secţiune sunt precizate. Distribuţia de rigiditate la translaţie laterală, este uniforma pe înălţimea cadrului.

Figura 7.1 –Sistem structural în cadre etajate P+4E

• SECŢIUNI ELEMENTE Stâlpi: 80x80 (cm) Rigle: 40x65 (cm) • MATERIAL Beton armat E = 3x107 kN/m2

67

Este studiată apoi, influenţa raportului momentelor de inerţie ale stâlpilor şi riglelor (cadru de încovoiere pura- cadru de forfecare pură), asupra mărimilor de răspuns.

Raportul momentelor de inerţie ale riglei �� şi al stâlpilor �� este

0 = �� = 0.28 (7.1)

rezultând un cadru de incovoiere. Distribuţia de forţă axială, forţa tăietoare, moment încovoietor, precum şi poziţia deformată a cadrului sunt reprezentate în Figura 7.2.

Figura 7.2 – Diagrame de eforturi secţionale şi poziţia deformată

(factor de multiplicare 1680.5)

N T

M

68

0

1

2

3

4

5

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025

Deplasarea orizontala a nodurilor (m)

Niv

el

beta=0.28

0

1

2

3

4

5

0.000 0.010 0.020 0.030

Indicele rotirii relative de nivel (%)

Niv

el

beta=0.28

Distribuţia deplasării orizontale de nivel, precum şi a indicelui rotirii relative de nivel, sunt reprezentate în Figura 7.3.

Figura 7.3 – Deplasările orizontale ale nodurilor şi indicele rotirii relative de nivel ale structurii iniţiale

Rezultă aşadar, două cazuri extreme, în modelarea unei structuri în cadre: cadrul de încovoiere pură şi cadrul de forfecare pură, reprezentate idealizat în Figura 7.4.

Figura 7.4 – Cazuri extreme în comportarea şi modelarea structurilor în cadre

În cazul cadrelor de încovoiere pură, riglele sunt modelate că având rigiditate nulă la încovoiere. Prin urmare acestea reprezintă legături simple (penduli), având capacitatea de a prelua doar forţa axială.

CADRU DE ÎNCOVOIERE PURĂ CADRU DE FORFECARE PURĂ

69

În cazul cadrelor de forfecare pură, riglele sunt considerate perfect rigide la încovoiere în raport cu stâlpii. Legăturile stâlpilor cu riglele sunt considerate încastrări glisante ( a se vedea Exemplul numeric B3). Distribuţia de forţă axiala în elementele structurale pentru zece rapoarte de rigiditate la rotire/moment de inerţie, este reprezentată în Figura 7.5a.

β=0 β=1

β=2 β=4

70

Figura 7.5a) – Distribuţii succesive de forţă axială, N

Distribuţia de forţă tăietoare în elementele structurale pentru zece rapoarte de rigiditate la rotire/moment de inerţie, este reprezentată în Figura 7.5b.

β=6 β=8

β=10 β� ∞

71

β=0 β=1

β=2 β=4

β=6 β=8

72

Figura 7.5b)– Distribuţii succesive de forţă tăietoare, T

Distribuţia momentului încovoietor în elementele structurale pentru zece rapoarte de rigiditate la rotire/moment de inerţie, este reprezentată în Figura 7.5c.

β=10 β� ∞

β=0 β=1

73

Figura 7.5c) – Distribuţii succesive de moment încovoietor, M

β=2 β=4

β=6 β=8

β=10 β� ∞

74

Poziţiile deformate ale structurilor şi variaţia reacţiunilor, sunt reprezentate în Figura 7.6.

β=0 β=1

β=2 β=4

75

Figura 7.6 – Poziţiile deformate succesive ale structurilor

(factor de multiplicare 1680) Distribuţia deplasării orizontale de nivel, precum şi a indicelui rotirii relative de nivel, sunt reprezentate în Figura 7.7 a şi b (fără cazul modelului de încovoiere pură).

β=6 β=8

β=10 β� ∞

76

Figura 7.7a) – Variaţia deplasării orizontale a nodurilor şi a indicelui rotirii relative de nivel

Figura 7.7b) – Variaţia deplasării orizontale a nodurilor şi a indicelui rotirii relative de nivel (fără modelul de încovoiere pură)


structurale ale cadrului etajat P+4E (supra-structura) din Figura 8.1. Iniţial, se consideră cadrul cu rezemare rigidă, ulterior studiindu-se efectul rezemării pe mediu elastic (rotire liberă, rotire împiedicată şi rotire proporţională). Caracteristicile fizico-mecanice ale elementelor, percum şi caracteristica terenului, sunt precizate în Figura 8.1.

0

1

2

3

4

5

0.000 0.010 0.020 0.030


Niv

el

beta=0.28 beta=0beta=1 beta=2beta=4 beta=6beta=8 beta=10beta inf.

0

1

2

3

4

5

0.00 0.10 0.20


Niv

el

beta=0.28 beta=0beta=1 beta=2beta=4 beta=6beta=8 beta=10beta inf.

0

1

2

3

4

5

0.000 0.001 0.002 0.003


Niv

el

beta=0.28 beta=1beta=2 beta=4beta=6 beta=8beta=10 beta inf.

0

1

2

3

4

5

0.000 0.010 0.020 0.030


Niv

el

beta=0.28 beta=1beta=2 beta=4beta=6 beta=8beta=10 beta inf.

77

Figura 8.1 –Model de analiză a structurii cu rezemare perfect rigidă

Detaliul de rezemare a structurii este reprezentat în Figura 8.2.

Figura 8.2 –Detaliul A: rezemare (fundatie izolată, cu secţiune pătrată)

În unele cazuri, caracteristică de deformabilitate a terenului poate influenţa comportarea structurii la încărcări statice. În consecinţă, efectul interacţiunii dintre structura şi teren, trebuie avut în vedere, în cadrul unui model de calcul, care să aibă capacitatea să reproducă efectele acestui fenomen, asupra comportării structurii. Efectul interacţiunii dintre teren şi structură, poate fi surprins fie prin modele simple, bazate pe resoarte de interacţiune, fie modele de complexitate superioară- bazate pe utilizarea Metodei Elementului Finit (MEF), atât în ce priveşte structura dar şi terenul. În Figura 8.3 este prezentat ilustrativ situaţia reală a unei structuri în cadre şi fundaţie continuă, şi modelul de analiză- cu considerarea efectului interacţiunii dintre teren şi

• SECŢIUNI ELEMENTE Stâlpi: 100x100 (cm) - P, E1 şi E2/80x80(cm) – E4 şi E5

Rigle: 40x90 (cm) - P, E1 şi E2/30x80(cm) – E4 şi E5

• MATERIAL Beton armat, E = 3.45x107 kN/m2

• CONDIŢII DE TEREN Argilă drenată, modul de elasticitate transversală, G = 3.5x103 kN/m2

2.50m

3.20m

1.00m

A

78

structură, prin intermediul a n- seturi de resoarte de interacţiune orizontala, verticală şi de rotire- legături elastice discrete.

Figura 8.3 – Structura reală (stânga) şi model de analiză (dreapta)

Efectele interacţiunii teren-structura depind de proprietăţile geotehnice ale terenului, de gradul de încastare a fundaţiei şi de natura acesteia, de flexibilitatea sistemului de fundare. Rezultate ale studiilor amănunţite sunt prezentate în Lysmer (1965), Gazetas (1983), Wolf (1994) şi Bowles (2001). Nu este scopul acestui material, să trateze în detaliu acest tip de fenomen, ci să reţină doar aspectele ce decurg din implicaţiile modelarii. Evaluarea şi atribuirea valorilor rigidităţilor resoartelor de interacţiune, este esenţială pentru acurateţea rezultatelor analizei. Astfel, în literatura de specialitate sunt descrise unele procedee simplificate de evaluare a rigidităţilor la translaţie şi la rotire, Barkan (1962), Richart (1970), Novak şi Beredugo (1972) şi alţii. În ce priveşte resoartele asociate componentelor de translaţie, un model adecvat trebuie să admită evident că rigiditatea la întindere a terenului este nulă. În fapt, aplicaţia reprezintă o extindere a exemplelor numerice A2 şi A3. Matricea de rigiditate a modelului global, se obţine prin asamblarea matricelor individuale de rigiditate astfel

K = �K¢¢ K¢£K£¢ K££" (8.1)

în care, sub-matricele K¢¢ şi K££ reprezintă matricele primare ale structurii şi respectiv, ale terenului; K¢£ şi K£¢ sunt sub-matricele de interacţiune, în axele de coordonate comune, cu respectarea condiţiei de compatibilitate a deplasărilor la interfaţa teren-structură.

TEREN

STRUCTURA

…

1 2 n

…

i

79

Pe baza caracteristicilor terenului de fundare, devine importantă estimarea influenţei acestuia asupra stării de eforturi şi de deformaţii a structurii. Astfel, prin considerarea interacţiunii dintre teren şi structură, se propune un model simplificat de analiză (Figura 8.4), ca cel descris în Figura 8.3.

Figura 8.4 –Model de analiză a structurii cu rezemare elastică de translaţie

În prezentul exemplu, valorile rigidităţilor la translaţie sunt calculate pe baza relaţiilor (Dobry şi Gazetas, 1986; Bowles, 2001)

fu,¤ = 4.5(¥¦)�.�| ⋅ ��3�B§ (8.2a)

fv,¤ = 0.73 + 1.54(¥¦)�.z{ ⋅ ��3�B§ (8.2b)

f¨,¤ = 3.2 ⋅ 3�B§ �̈ �.z{ (8.2c)

în care, ¥¦ este o constantă care depinde de forma fundaţiei izolate, 2� este dimensiunea fundaţiei în direcţia x, 5 este modulul de elasticitate tranversală (de forfecare) a terenului, © este coeficientul lui Poisson (0.30) iar �̈ este momentul de inerţie la rotire al fundaţiei.

Relaţii similare sunt furnizate de FEMA 356 (2000) şi FEMA 440 (2005), suplimentar fiind considerat efectul incastrării în teren şi al comportării dinamice a terenului.

Pentru exemplul prezentat, pentru condiţii de teren precizate, valorile rigidităţilor la translaţie şi la rotire, rezulta f�,� = 290000fg/h, f�,� = 370000fg/h

şi

80

f¨,¤ = 190000fgh/ijk.

Rigidităţile resoartelor se precizează şi se atribuie, în secţiunea corespunzătoare a programului de analiză , în etapa de pre-procesare. Sunt prezentate comparativ distribuţiile de eforturi secţionale în elementele structurale, în cazul structurii cu rezemare rigidă şi în cazul structurii cu rezemare elastică (cu neglijarea modelarii rotirii fundaţiei pe teren, rotire liberă).

Influenţa modelarii rotirii, va fi evidenţiată ulterior.

Figura 8.5 –Diagramele de forţă axiala N, ale structurii cu rezemare rigidă (stânga) şi cu rezemare elastică de translaţie (dreapta)

Figura 8.6 –Diagramele de forţă tăietoare T, ale structurii cu rezemare rigidă (stânga) şi cu rezemare elastică de translaţie (dreapta)

81

Figura 8.7 –Diagramele de moment încovoietor M, ale structurii cu rezemare rigidă (stânga) şi cu rezemare elastică de translaţie (dreapta)

Influenţa terenului este sintetizată astfel: (i) Forţele axiale cresc semnificativ în stâlpii marginali şi în rigle; rigla peste parter devine puternic întinsă în raport cu cazul rezemării rigide; (ii) Distribuţia de forţă tăietoare are variaţii semnificative în stâlpii perimetrali de ordonată 24.00 m şi în riglele de pe deschiderea ultimă; (iii) În ceea ce priveşte distribuţia momentului încovoietor, variaţia semnificativă se înregistrează în stâlpii de la parter. Deformatele modelelor cu rezemare rigidă şi elastică de translaţie (rotire liberă) sunt ilustrate comparative, în Figurile 8.8 şi 8.9.

Figura 8.8 –Poziţia deformată a structurii cu rezemare rigidă

82

Figura 8.9 –Poziţia deformată a structurii cu rezemare elastică de translaţie (rotire liberă)

Considerarea rotirii (eng. rocking) împiedicate a reazemelor elastice, conduce la următoarele distribuţii de eforturi în elemente şi poziţie deformată.

Figura 8.10 –Diagrama de forţă axială N

a structurii cu rezemare elastică de translaţie şi rotire împiedicată

83

Figura 8.11 –Diagrama de forţă tăietoare T


Figura 8.12 –Diagrama de moment încovoietor M


84

Figura 8.13 – Poziţia deformată a structurii

cu rezemare elastică de translaţie şi rotire împiedicată

Modelul complet de analiză , comporta modelarea adecvată a rotirii tălpii fundaţiei pe teren (Figura 8.14).

Figura 8.14 –Model de analiză a structurii cu rezemare elastică de translaţie şi rotire (rocking)

85

Sinteza comportării modelului cu rezemare rigidă (incastrare perfectă) şi a modelelor cu rezemare elastică (1- de translaţie, cu rotire liberă; 2- de translaţie, cu rotire împiedicată; 3- de translaţie, cu rotire proporţională) este reprezentată în Figură 8.15, în ce priveşte deplasarea laterală a nodurilor (nodurile de acţiune a forţelor transversale) şi indicele rotirii relative de nivel.

Figura 8.15 – Deplasările orizontale ale nodurilor şi indicele rotirii relative de nivel

ale structurii cu rezemare rigidă şi cu rezemare elastică (3 modele) Prin adoptarea modelului cu rezemare elastică, profilul deplasărilor laterale ale nodurilor se modifica semnificativ; deplasarea structurii la vârf se dublează. De asemenea, indicele rotirii relative de nivel creşte de până la 5 ori, la primul nivel. Rezultă că determinarea proprietăţilor geotehnice ale terenului sunt esenţiale în construirea unui model adecvat al structurii. Resoartele elastice de rezemare sunt utilizate, de asemenea, pentru reproducerea efectelor izolării vibratorii ale structurii, în ce priveşte caracteristică de revenire. Acest tip de model global de structură neconvenţionala, este ilustrat în exemplul numeric B10. � Exemplul numeric B9| Se determină distribuţia eforturilor secţionale în arcul triplu

articulat, de nivel, din Figura 9.1. Secţiunea din oţel a arcului este de asemenea, precizată.

Figura 9.1– Arc triplu articulat parabolic, de nivel, şi model echivalent liniar

0

1

2

3

4

5

0.000 0.005 0.010

Niv

el


rigid

flex-t, liber- rot

flex-t rigid-rot

flex-t, flex-rot

0

1

2

3

4

5

0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050N

ivel


rigid

flex-t, liber- rot

flex-t, rigid-rot

flex-t,flex-rot

SECŢIUNE ARC (MM)

800x17.5

300x33

86

Întrucât formularea matriceală a Metodei deplasărilor, dezvoltată pentru cazul elementului finit de bară dreaptă, nu este valabilă pentru sisteme cu axa barei curbă, se discretizeaza arcul într-un anumit număr de elemente liniare (n=12, 24, 48 elemente). Pentru acest caz particular, există disponibilă soluţia analitică “exactă”, putându-se astfel validă modelul echivalent liniar. Mai mult decât atât, simetria verticală a arcului, precum şi caracteristică simetrică a încărcării, permite operarea pe semi-structura. Este cunoscută rezolvarea analitică, “exactă”, a arcului triplu articulat de nivel, încărcat vertical, utilizând grinda orizontală asociată. Pentru cazul forţei concentrate acţionând în cheie, expresiile reacţiunilor verticale şi ale împingerii sunt «� = «� = 0.5¬ = 200fg (9.1a)

şi

= ®�̄° = ��} = 266.67fg (9.1b)

în care, n�� este momentul încovoietor corespunzător secţiunii din cheia arcului, pe grinda asociată iar f este săgeata arcului. Raportul f/L este are valoarea de 0.375.

Distribuţia momentului încovoietor pe arc este dată de funcţia n(�) = n�(�) − �(�) (9.3)

în care, n�(�) reprezintă variaţia momentului încovoietor pentru grinda asociată iar �(�) este funcţia (forma) arcului.

Variaţie momentului încovoietor pe arc este descrisă de funcţia

n(�) = −0.5¬� + ±� ��, � ∈ [0,0.5�] (9.4)

în care, L este deschiderea arcului. Momentul maxim se va înregistra la abscisa x = 0.25L şi va avea expresia Mmax = - PL/16. Arcul fiind simetric, distribuţia de moment încovoietor va fi simetrică şi pe cea de a doua jumătate de deschidere.

Soluţia aproximativă constă în discretizarea arcului într-un anumit număr de bare drepte de secţiune constantă (elemente liniare). Este de aşteptat că odată cu rafinarea modelului, acurateţea soluţiei modelului discret să crească iar aceasta să tindă către soluţia "exactă”. Pentru analiza automată, se va discretiza arcul în 12, 24 şi respectiv 48 de elemente liniare de egală deschidere de 1 m (pe orizontală). Rezultatele analizei pentru structura discretizată în 12 elemente sunt reprezentate în Figurile 9.2a-d.

87

N

Figura 9.2a) – Diagrama de forţă axială, N - n=12 elemente liniare de egală deschidere-

Figura 9.2b) – Diagrama de forţă tăietoare, T - n=12 elemente liniare de egală deschidere-

Figura 9.2c) – Diagrama de moment încovoietor, M - n=12 elemente liniare de egală deschidere-

T

M

88

Figura 9.2d) – Poziţia deformată a structurii (factor de multiplicare 130)

Pentru reducerea volumului de calcul, în cazul modelelor mai rafinate se va folosi proprietatea de simetrie a arcului şi caracteristica de simetrie a încărcării. Se va putea astfel opera în raport cu semistructura simetrică (Figura 9.3) iar rezultatele vor fi transpuse pe întreaga structură în raport cu axa de simetrie, verticală.

Figura 9.3 –Semistructura simetrică -n=24 elemente liniare de egală deschidere-

89

Figura 9.4 –Diagrame de eforturi secţionale şi poziţia deformată, arc parabolic triplu articulat -n=24 elemente liniare de egală deschidere (semistructură)-

Pentru arcul discretizat în 48 de elemente de bară dreaptă, rezultate sunt prezentate in Figura 9.5.

Ns Ts

Ns Ts

Ms

90

-320

-319

-318

-317

-316

-315

-314

0 10 20 30 40 50

Numar de elemente liniare

N1

,kN

analiticn=12n=24n=48

-112

-110

-108

-106

-104

-102

-100

-98

-96

0 10 20 30 40 50

Numar de elemente liniare

T1

,kN

analiticn=12n=24n=48

Figura 9.5 –Diagrame de eforturi secţionale

- n=48 elemente liniare de egală deschidere (semistructură) - Variaţia mărimilor de răspuns în funcţie de dimensiunea modelului discret este reprezentată în Figura 9.6, comparativ cu valoarea “exactă”- determinată analitic.

Figura 9.6 –Variatia forţei axiale şi a forţei tăietoare în secţiunea de reazem

Prin rafinarea modelului (sporirea numărului de elemente liniare), soluţia modelului discret va aproxima cu acurateţe superioară, soluţia “exactă”. Sinteza rezultatelor obţinute este redată în Tabelul 3.

Ms

91

Tabelul 3 - Sinteza mărimilor de răspuns- soluţie “exactă” şi soluţie “ discretă”

REACŢIUNE/EFORT

SECŢIONAL/DEPLASARE ANALITIC n= 12 n =24 n=48 V1, kN 200.00 200 200 200 V2, kN 200.00 200 200 200 H, kN 266.67 266.7 266.7 266.7 N1, kN -314.33 -318.8 -316.5 -315.4 T1, kN -110.94 -98 -104.7 -107.9 N3, kN -266.67 -289.4 -278.6 -284.2 T3, kN 200.00 165.4 183 191.6

Mmax, kNm -600.00 -600 -600 -600 v3, m 0.0210 0.0198 0.0204 0.0206

În ce priveşte reacţiunile arcului, gradul de rafinare cu elemente de bară dreaptă, nu influenţează valorile, întrucât reacţiunile nu depend de forma arcului cid oar de poziţia relativă a articulaţiilor. Programele comerciale de analiză, permit tratarea structurilor cu bare curbe, beneficiind de elemente finite cu considerarea efectului curburii asupra matricei de rigiditate şi a vectorilor încărcărilor. � Exemplul numeric B10| Se determină distribuţia de eforturi secţionale şi deplasările

laterale ale cadrului din Figura 8.1. Structura neconvenţionala este obţinută prin incorporarea în cadrul iniţial, cu rezemare rigidă, a unui sistem de izolare vibratorie a bazei (Figura 10.1). Rigiditatea laterală a sistemului de izolare este atribuită ca fiind 5% din rigiditatea la translaţie laterală a parterului cadrului.

Rigiditatea la translaţie laterală a parterului cadrului rezultă f� = 914080fg/h, rezultând

astfel, rigiditatea la translaţie laterală a unui izolator ca fiind f�� = µ�_� = 11426fg/h.

Prin atribuirea rigidităţii la translaţie laterală a resoartelor de rezemare şi prin menţinerea împiedicată a translaţiei verticale şi a rotirii, se obţin următoarele distribuţii de eforturi secţionale (Figurile 10.2-10.4).

92

Figura 10.1 –Modelul de analiză a structurii neconvenţionale (cu bază izolată)

Figura 10.2 –Diagrama de forţă axială- N , a structurii neconvenţionale (cu bază izolată)

93

Figura 10.3 –Diagrama de forţă tăietoare- T , a structurii neconvenţionale (cu bază izolată) Figura 10.4 –Diagrama de moment încovoietor- M , a structurii neconvenţionale (cu bază izolată)

94

Poziţia deformată a structurii neconvenţionale este prezentată în Figura 10.5.

Figura 10.5 – Poziţia deformată a structurii neconvenţionale

(cu bază izolată; factor de multiplicare 306)

Pentru acest caz ipotetic de structură neconvenţionala, forţele axiale în elemente nu variază semnificativ, cu excepţia riglei de peste parter, care devine semnificativ mai întinsă. Forţele tăietoare şi momentele încovoietoare scad, într-o anumită proporţie. Sinteza comportării modelului cu rezemare rigidă (incastrare perfectă) şi a modelului structurii neconventionale- cu baza izolată, este reprezentată în Figura 10.6, în ce priveşte deplasarea laterală a nodurilor (nodurile de incidenţa a forţelor transversale) şi indicele rotirii relative de nivel.

Figura 10.6 – Deplasările orizontale ale nodurilor şi indicele rotirii relative de nivel ale structurii cu rezemare rigidă şi cu baza izolată

0

1

2

3

4

5

0.000 0.005 0.010

Niv

el


rigid

izolat

0

1

2

3

4

5

0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050

Niv

el


rigid

izolat

95

Deplasările orizontale ale nodurilor cresc semnificativ, datorită prezenţei sistemului de izolare- prin flexibilitatea crescută la translaţie laterală. În acest caz particular, indicele rotirii relative de nivel, variază semnificativ- pentru primul nivel (parter), şi nesemnifiactiv- pentru nivelurile superioare. Eficienţa unui sistem de izolare vibratorie reprezintă însă, se stabileşte printr-un algoritm complex de analiză dinamică. � Exemplul numeric B11| Se determină distribuţia de eforturi secţionale şi deplasările

laterale ale structurii duale, cadru şi perete structural din beton armat, din Figura 11.1. Caracteristicile fizico-mecanice şi de secţiune sunt precizate de asemenea in Figura 11.1.

Figura 11.1- Structură in cadre cu perete structural de beton armat Modelul aproximativ de analiză, constă în reducerea peretelui la un element echivalent de bara, obţinându-se astfel un cadru echivalent al structurii iniţiale (Figura 11.2). Sunt precizate forţele gravitaţionale care revin stâlpului echivalent.

Perete Cadru

3.00 6.00 m 6.00 m

4.50

4.50

4.50

4.50

4.50

• MATERIAL Beton armat, E = 2x107 kN/m2

• SECŢIUNI ELEMENTE

Stâlpi

Rigle (m)

Perete structural (m)

0.60 m

0.60 m

0.8

0.55

0.35

0.60 6.00 0.60

0.60

0.30

96

Figura 11.2- Modelul echivalent de analiză

Realizarea analizei automate, generează diagramele din Figurile 11.3-11.6.

Figura 11.3 –Diagrama de forţă axială N

97

Figura 11.4 –Diagrama de forţă tăietoare T

Figura 11.5 –Diagrama de moment încovoietor M

98

Figura 11.6 – Poziţia deformată a modelului echivalent

Modelarea structurii iniţiale, sub formă de cadru echivalent, nu are capacitatea de a reproduce fidel, comportarea peretelui, în fapt cu comportare de element de suprafaţă. O modelare superioară, utilizând tehnica Metodei Elementului Finit, va genera rezultate mai apropiate de comportarea reală a structurii. Se reţine însă, că pentru structuri uzuale şi forme regulate ale pereţilor, rezultatele utilizând cadre echivalente, sunt de o acurateţe bună. �� Exerciţiul individual 1| Se determină răspunsul structurii din Figura 11.1, utilizând modelarea cu elemente de suprafaţă, printr-unul dintre programele disponibile in analiza curentă. Se compară rezultatele obţinute, cu cele determinate prin modelarea utilizând cadrul echivalent.

�� Exerciţiul individual 2| Se determină răspunsul structurii cu pereţi cuplaţi, din Figura 11.7. Încărcările sunt cele precizate în exemplul numeric B11. Se utilizează tehnica modelării aproximative cu cadru echivalent. Modulul de elasticitate longitudinală este E = 2x107 kN/m2 . Înălţimea de nivel este de 4.50 m, secţiunea pereţilor este 5.00 m (lungime)x 0.35m (adâncime) iar secţiunea riglelor de cuplare este 0.35m (înălţime)x1.20 m (deschidere/lumina).

99

Figura 11.7- Sistem structural de beton armat, cu pereţi cuplaţi

***

Perete Rigla de cuplare

100

[ANEXA 1] Operaţii algebrice, platforma utilitară

Matlab Educational

Din ecranul de editare a platformei de analiză Matlab Educational, pot fi realizate următoarele operaţii de bază*, încorporabile de asemenea, în rutinele de analiză structural executabile.

� Operaţie � Sintaxa Matlab Educational

� Matrice pătratică ¶ = o4 −12 −6p

>> A=[4 -1;2 -6]

A =

4 -1

2 -6

� Vector coloană · = o 5−3p

>> b=[5;-3]

b =

5

-3

� Vector linie 1 = [5 −3]

>> b=[5 -3]

b =

5 -3

� Matrice diagonală unitate ¸S = o1 00 1p

>> eye(2)

ans =

1 0

0 1

� Vector linie unitate R¹ = [1 1] >> ones(2,1)

ans =

1

101

1

� Vector coloană unitate Rº = o11p >> ones(1,2)

ans =

1 1

� Urma matricei �i(¶) = −2

>> trace(A)

ans =

-2

� Transpusa vectorului ·4 = [5 −3]

>> b'

ans =

5 -3

� Inversa matricei » = ¶BR

>> inv(A)

ans =

0.2727 -0.0455

0.0909 -0.1818

� Produsul matrice- vector ¶· = o2328p

>> A*b

ans =

23

28

� Produsul vector- matrice ·4¶ = [14 13] >> b'*A

ans =

14 13

� Determinantul matricei det(¶)

>> det(A)

ans =

-22

102

� Citire submatrice

¿ = q0.8147 0.6324 0.9575 0.95720.9058 0.0975 0.9649 0.48540.1270 0.2785 0.1576 0.80030.9134 0.5469 0.9706 0.1419r >> D(1:2,1:2)

ans =

0.8147 0.6324

0.9058 0.0975

� Citire submatrice

¿ = q0.8147 0.6324 0.9575 0.95720.9058 0.0975 0.9649 0.48540.1270 0.2785 0.1576 0.80030.9134 0.5469 0.9706 0.1419r >> D(1:2,3:4)

ans =

0.9575 0.9572

0.9649 0.4854

� Concatenare verticală

» = q0.8147 0.63240.9058 0.09750.9575 0.95720.9649 0.4854r

>> [D(1:2,1:2); D(1:2,3:4)]

ans =

0.8147 0.6324

0.9058 0.0975

0.9575 0.9572

0.9649 0.4854

� Concatenare orizontală

» = o0.8147 0.6324 0.9575 0.95720.9058 0.0975 0.9649 0.4854p >> [D(1:2,1:2) D(1:2,3:4)]

ans =

0.8147 0.6324 0.9575 0.9572

0.9058 0.0975 0.9649 0.4854

� Generator de numere aleatoare

1 = [0.4218 0.9157 0.7922 0.9595] > u=rand(4,1)

u =

0.4218

0.9157

0.7922

0.9595

� Suma elementelor vectorului

>wh(1) = 3.0892

>> sum(u)

ans =

3.0892

103

� Valoarea maximă

hj�(1) = 0.9595

>> max(u)

ans =

0.9595

� Valoarea minimă

h8?(1) = 0.4218

>> min(u)

ans =

0.4218

* Alte operaţii suplimentare, în afara celor de bază, descrise în anexă, sunt disponibile în modulul de asistenţă tehnică al platformei Matlab Educational şi al surselor bibliografice existente.

104

[ANEXA 2] Sinteza operaţiilor in analiza automată a structurilor

Discretizarea structurii: declararea geometriei, numerotarea nodurilor şi a

elementelor

Alegerea unui sens de parcurgere a elementelor- de la nodul cu indice mai

mic la cel cu indice mai mare; declararea sistemelor de referinţă locale ale

elementelor

Modelarea legăturilor interioare

Precizarea caracteristicilor fizico-mecanice ale materialului/materialelor

Precizarea şi atribuirea secţiunilor elementelor

Construirea matricelor de rigiditate şi a vectorilor forţelor echivalente, ale

elementelor in sistemul de referinţă local

Construirea matricelor de transformare a mărimilor din sistemul de referinţă local (al elementului) în sistemul de referinţă

global (al ansamblului)

105

***

Construirea matricelor de rigiditate şi a vectorilor forţelor echivalente, ale

elementelor în sistemul de referinţă global

Asamblarea matricei de rigiditate a structurii şi a vectorilor forţelor

echivalente

Construirea vectorului forţelor exterioare generalizate nodale

Declararea condiţiilor de rezemare şi partiţionarea componentelor matriceală

şi vectoriale

Rezolvarea sistemului redus de ecuaţii şi a sistemului secundar de ecuaţii

Determinarea reactiunilor şi a eforturilor secţionale

Verificarea rezultatelor analizei

106

BIBLIOGRAFIE

Bathe, K. J., 1995, Finite Element Procedures, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ Bathe, K. J., Wilson, E., L., 1976, Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice Hall,

Inc., Englewood Cliffs, NJ Beaufait, F. W., 1997, Basic concepts of structural analysis. Prentice-Hall Inc. Bowles, J. E., 2001, Foundation Analysis and Design, 6th Ed., McGraw-Hill Clough, R. W., 1960, The Finite Element Method in plane stress analysis. Proceedings of the 2nd

A.S.C.E. Conference in Electronic Computation, Pittsburgh, PA Felippa, C.A., 2006, Introduction to Finite Element Methods, Lecture Notes, Department of

Aerospace Engineering, University of Colorado at Boulder, U.S.A. Filipescu, Gh. Em., 1940, Statica construcţiunilor şi Rezistenţa materialelor, Editia a II-a Gazetas, G., 1983, Analysis of machine foundation vibrations: state of the art, Soil Dynamics and

Earthquake Engineering, 2(1), 2 Iancovici, M., 2010, Statica construcţiilor II (Note de curs), UTCB Kelly, J. M., 1990, Base Isolation: Linear Theory and Design, Earthquake Spectra: May 1990,

Vol. 6, No. 2, p. 223-244 Macavei, F., 1993, Dynamics and Matrix Analysis of Structures, Institutul de Construcţii Bucuresti Macavei, F., Vlad, I., Zanfir, M., 1993, Statica, stabilitatea şi dinamica construcţiilor. Structuri

geometric nedeterminate. Analiza matriceală a structurilor. Institutul de Construcţii Bucuresti

Martha, L. F., 2012, FTOOL Interactive, Graphical Program for Structural Analysis. Educational

Version 3.00, User Manual. Soong, T. T., Dargush, G. F., 1997, Passive energy dissipation systems in structural engineering,

Wiley Turner, M. J. , Clough, R. W., Martin, H. C., Topp, L. J., 1956, Stiffness and Deflection

Analysis of Complex Structures, J. of Aero. Sci., 23 (9) Wolf, J. P., 1985, Dynamic soil-structure interaction, oundation vibration analysis using simple

physical models, Prentice Hall, Englewood Cliffs Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., 2000, The Finite Element Method Vol I: Basic Formulation and

Linear Problems, 5th ed., McGraw-Hill, New York * FTOOL Interactive, Graphical Program for Structural Analysis. Educational Version 3.00 ** MATLAB, The Language of Technical Computing, Educational Version 6.1, The Mathworks

Inc.

107

Erată

Corectat 02 decembrie 2015| În matricea de rigiditate K (relaţia 3.3), componenta (14) şi respectiv (41), aparţin elementului (6T);

Documents

Mihail Iancovici, Statica Constructiilor II