Minitab Estatística Industrial

Copyright Minitab Inc. 2003. All rights reserved. Rel 14 Ver 1.0 / www.minitabbrasil.com.br

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www.minitabbrasil.com.br

[email protected] Revisado e Adaptado por:

Julia Pinto de CarvalhoCoordenadora Tcnica

[email protected]


Objetivos do curso

Neste curso, temos como principal objetivo:

z Modelar processos descrevendo o relacionamento existente entre as varirelacionamento existente entre as variveisveis;

zz Avaliar o sistema de mediAvaliar o sistema de medio e inspeo e inspeoo de processos;

z Aprender os fundamentos bsicos do Controle EstatControle Estatstico de Processosstico de Processos (CEP);

z Detectar o melhor momento para implementar Cartas de ControleCartas de Controle;

z Verificar se o processo capaz de atender as especificaatender as especificaes do clientees do cliente.

Tpicos abordados: Correlao, Regresso Simples e Mltipla,Gage R&R, Testes Destrutivos, Vcio, Linearidade, Estabilidade, Anlise de Atributos, Cartas de Controle para dados contnuos e atributos, Anlise de Capacidade Normal, No-normal e para atributos.


O Minitab

H mais de 30 anos, a Minitab Inc. oferece softwares e servios para melhoria da qualidade, educao e pesquisa.

MINITAB MINITAB StatisticalStatistical Software:Software:

Facilidade de uso;

Confiabilidade dos resultados obtidos;

Conjunto de mtodos eficazes e altamente abrangentes.

Desenvolvimento de projetos com abordagem Seis Sigma e/ou de qualquer outro projeto que vise manuteno ou melhoria da qualidade.


Histria

MinitabMinitab StatisticalStatistical Software:Software:

Desenvolvido em 1972, na Pennsylvania State University;

Objetivo: Auxiliar professores no ensino de Estatstica;

Utilizado por aproximadamente 4.000 escolas e universidades pelo mundo;

Ferramenta preferida para as empresas que focam esforos na melhoria da qualidade.

MinitabMinitab QualityQuality CompanionCompanion


Correlao e Regresso

OBJETIVOS

z Medir o grau de associagrau de associao linearo linear entre duas variveis usando grficos e estatsticas;

z Medir o grau de associao linear entre duas ou mais variduas ou mais variveisveisatravs da anlise de correlao;

zz Modelar a relaModelar a relaoo entre uma varivel de resposta continua e uma ou mais variveis preditoras;

z Determinar o tamanho da relatamanho da relaoo entre uma varivel de resposta continua e uma ou mais variveis preditoras.

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Correlao

O QUE CORRELAO?

Coeficiente de correlaCoeficiente de correlao estimado (r):o estimado (r): medio do grau de associao linear entre duas variveis.

CorrelaCorrelao positivao positiva: ambas as variveis possuem a tendncia a crescer ou decrescer juntas.

CorrelaCorrelao negativao negativa: indica que uma varivel cresce enquanto a outra decresce.

QUANDO USAR CORRELAO?

Quando temos o banco de dados constitudo por duas variveis contnuas e desejamos determinar se existe uma relao linear entre elas.

Coeficiente de correlaCoeficiente de correlao de o de PearsonPearson:: associao linear.


Correlao

POR QUE USAR CORRELAO

Nos ajuda a responder perguntasresponder perguntas tais como:

z Existe algum tipo de relao linear entre as duas variveis?

z Quo grande esta relao?

Por exemplo:Por exemplo:

z Existe uma relao entre a temperatura e viscosidade do leo de cozinha?

z Quo forte a relao entre a exposio aos raios ultravioleta e a reduo da fora do nylon?


Padres tpicos de associao

(Nota: Estes resultados no so iguais aos obtidos no exemplo)

De uma maneira geral, sempre que traarmos um diagrama de dispersodiagrama de disperso com o intuito de estudarmos a existncia de relao linear entre as variveis, o grfico cair em uma das quatro categorias de associao ilustradas abaixo:

ASSOCIAO LINEAR POSITIVA

Em uma associao linear positiva,valores altos da varivel X

esto associados com valores altos da varivel Y, e vice-versa.



ASSOCIAO LINEAR NEGATIVA

Em uma associao linear negativa, valores altos da

varivel X (ou Y) esto associados com os valores baixos da

varivel Y (ou X).



ASSOCIAO NO-LINEAR

Em geral, uma associao no-linear mais complexa de ser visualizada. Por exemplo, em uma relao quadrtica como mostra a figura abaixo, valores altos e baixos da varivel X esto associados com valores altos de Y enquantovalores medianos de X esto associados com os valores baixos da varivel Y (veja figura). Alm desta tambm podemos observar outras associaes tais como: senoidais, exponenciais, logartmicas, etc.



AUSNCIA DE ASSOCIAO

As variveis do exemplo ao lado no apresentam nenhuma

espcie de associao. Os valores da varivel X no esto

claramente associados como nenhum valor particular da

varivel Y.


Coeficiente de Correlao

Use um de 0,05 para o teste.

CORRELAO DE PEARSON

A amostra de coeficiente de correlao de Pearson (r) calculado pela seguinte frmula:

O valor resultante de r estar entre -1 e 1, onde:z 1: indica correlao positiva perfeita.z 0: indica ausncia de correlao.z -1: indica correlao negativa perfeita.


A Probabilidade de Significncia

O P-VALOR

O P-Valor trata-se do resultado numrico de um teste de hipteses onde testam-se as seguintes hipteses bsicas:

z H0: O coeficiente de correlao (l-se r) entre as variveis igual a zero (no significativo).

z H1: O coeficiente de correlao entre as variveis diferente de zero ( significativo).


EXEMPLO 1: COMPARANDO SISTEMAS DE MEDIO

PROPOSTA

Medir o grau de associaMedir o grau de associao linearo linear entre duas variveis usando correlao.

PROBLEMA

Sistema de mediSistema de medio ono on--lineline para medir o pH (retornos mais rpidos e uma maior habilidade em ajustar os sistema de medio em tempo real);

Sistema atualSistema atual: laboratorial.

Saber se os dois sistemas produzem leituras similares do pH.

DADOS COLETADOS

2 sistemas mediram o pH de 20 amostras aleatrias do limpador.


EXEMPLO 1: COMPARANDO SISTEMAS DE MEDIO

FERRAMENTAS

zz ScatterplotScatterplot;;

zz CorrelationCorrelation..

ARQUIVO DE DADOS: LABTEST.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES

Existe uma forte correlaExiste uma forte correlao linear positivao linear positiva (0,959) entre as medies obtidas pelos dois sistemas.

O sistema onsistema on--lineline efetua medimedies maiores do que o sistema laboratoriales maiores do que o sistema laboratorial, o que pode nos indicar a necessidade de uma re-calibrao.

O resultado desta breve anlise nos indica que os sistemas mais baratos e fsistemas mais baratos e fceis de usar ceis de usar podem ser colocados convenientemente no lugar dos sistemas de mepodem ser colocados convenientemente no lugar dos sistemas de medidio laboratoriaiso laboratoriais.


Consideraes finais

CONSIDERAES ADICIONAIS

O coeficiente de correlao de Pearson quantifica o grau de associao linear entre duas variveis.

Uma forte correlaUma forte correlao linear no implicao linear no implica necessariamente em uma relaem uma relao de causa e efeito entre o de causa e efeito entre as varias variveisveis. Ex:Ex: uma forte correlao entre 2 variveis pode ser influenciada por uma 3 varivel.

Coeficiente de correlao de Pearson 0 no aponta necessariamente a ausncia de associao a associao pode ser no-linear. PlotePlote sempre um diagrama de disperso.sempre um diagrama de disperso.

OBS: No podemos usar correlao se fixarmos valores de uma varivel de forma que possamos estudar as mudanas da outra.


Correlao entre Mltiplas Variveis

O QUE CORRELAO ENTRE MLTIPLAS VARIVEIS?

Efetuada atravs da anlise da matriz de correlao Correlao 2 a 2. POR QUE USAR CORRELAO ENTRE VARIVEIS MLTIPLAS?

Para identificar:zz Pares de variPares de variveisveis altamente correlacionadascorrelacionadas;zz MediMedies redundantes que podem ser eliminadases redundantes que podem ser eliminadas para simplificar a anlise reduzindo o custo

dos dados coletados;zz VariVariveis veis preditoraspreditoras altamente correlacionadasaltamente correlacionadas, antes de fazer uma Anlise de Regresso.

QUANDO USAR CORRELAO ENTRE MLTIPLAS VARIVEIS?

Gerar todos os pares de correlaes para um conjunto de variveis quantitativas.


EXERCCIO 2:CONTROLE DA QUALIDADE DA TAMPA DA GARRAFA

PROPOSTA

Demonstrar a relaDemonstrar a relao entre as mo entre as mltiplas variltiplas variveisveis usando a correlao.

PROBLEMA

Superviso do dimetro das tampas de garrafas ao longo do tempo Xbar. As tampas de garrafas so produzidas em 8 modelos de cavidades.

8 horas/dia coletando amostras de tampas, medindo e guardando seus dados. Identificar as cavidades altamente correlacionadas, reduzindo nIdentificar as cavidades altamente correlacionadas, reduzindo nmero e o total dos custos das mero e o total dos custos das medimedies.es.


EXERCCIO 2:CONTROLE DA QUALIDADE DA TAMPA DA GARRAFA

DADOS COLETADOS

Tcnicos selecionaram uma amostra aleatria de cinco tampas por hora de cada cavidade. Os dados da semana anterior, que contm 840 medies de cada cavidade, esto disponvel para anlise.

FERRAMENTAS

z Matrix Plot;z Correlation.

ARQUIVO DE DADOS: BOTTLECAP.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES A empresa pode economizar 3h de coleta de dados/dia reduzindo o n de medies de 8 para 5; Existe o risco de perdermos sinais de falta de controle estatstico.

CONSIDERAES ADICIONAISQuo alta deve ser a correlao que justifique a eliminao das medies? Devemos verificar a importncia de:z Detectar estados de falta de controle em cada cavidade.

o Importncia desta deteco alta: necessrio uma correlao mais forte para eliminao;o Por outro lado, podemos ajustar o critrio para uma correlao menor.

z Se o motivo da analise for eliminar 3 medies, observe somente as 3 correlaes mais altas.


Regresso Linear Simples

O QUE UMA REGRESSO LINEAR SIMPLES?

Examina as relaes existentes entre a varivel continua de resposta (Y) e a varivel preditora(X). Equao geral:

onde Y a varivel resposta; X varivel a preditora, 0 a interseco no eixo-Y (o valor de Y quando X igual a zero), 1 o coeficiente angular da reta e so os erros aleatrios.



QUANDO USAR A REGRESSO LINEAR SIMPLES

Temos uma varivel contnua(Y) e uma preditora (X) para Y. o A varivel X pode ser ordinal ou contnua;oo Qualquer incerteza na mediQualquer incerteza na medio de Xo de X assumida como negligncianegligncia comparado ao alcance em

que X medido.

Quando construmos um modelo de regresso, devemos obter uma amostra emparelhadaamostra emparelhada para as variveis X e Y. Aps traado o modelo, poderemos realizar interpolarealizar interpolaeses; porm, esta ser apenas uma previso, no significando que o valor interpolado ser necessariamente idntico ao observado na prtica.



ResResduo:duo: diferena entre o valor interpolado e o valor real observado.

SUPOSIES:

Os erros (ou resduos) so:

z Independentes;

z Normalmente distribudos;

z Possuem varincia constante (so homocedsticos).

A verificao das suposies listadas acima feita atravs da AnAnlise de Reslise de Resduos.duos.



POR QUE USAR UMA REGRESSO LINEAR SIMPLES?

Responder perguntas tais como:Responder perguntas tais como:z Quanto da variabilidade total da varivel resposta Y explicada pela varivel preditora X?z Considerando um valor pr-fixado de X, qual valor esperamos observar em Y?z De quanto ser a variao observada no valor da varivel Y, quando aumentamos o valor

da varivel X em uma unidade? (Variao marginal).

Por exemplo:Por exemplo:z Como o processo de temperatura est relacionado com a dureza do ao?z Qual o valor predito para a dureza do ao se o mesmo for processado a uma temperatura

particular?z Qual o variao esperada na dureza se a temperatura aumentar de 99C para 100C?



R (R-SQ)

Representa a proporo da variabilidade da varivel resposta que explicada pela varivel preditora na equao de regresso.

Os valores aceitveis para R variam dependendo do estudo.

Exemplos:Exemplos:

o Engenheiros estudando reaes qumicas podem requerer um R de 90% ou mais;

o Um estudo sobre o comportamento humano (que mais varivel) pode ser satisfeito com valores mais baixos de R.

R Adjusted (R-SQ(ADJ))

sensvel ao n de termos includos em um modelo


O mtodo dos mnimos quadrados

Os coeficientes da equao so escolhidos de maneira a minimizar a soma das diferena minimizar a soma das diferenas as quadrquadrticas entre os valores das respostas observados na amostraticas entre os valores das respostas observados na amostra, e as previses feitas pela equao.

Em outras palavras, as distncias verticais entre os pontos e linha so minimizadasas distncias verticais entre os pontos e linha so minimizadas, como ilustra a figura. O resultado chamado de reta de mnimos quadrados.

Atentar quanto a presenpresena de a de outliersoutliers geram um grande efeito no calculo da reta de mnimos quadrados.


ANOVA

Usaremos o resultado da Anlise de Varincia (ANOVA) para avaliarmos se o modelo de regresso simples til.

A ANOVA compara o modelo obtido a um modelo restrito que no usa a varivel resposta (X) para prever a varivel preditora (Y):

z Modelo de regresso:

z Modelo restrito:

Modelo restrito: as mudanas que ocorrem em Y so devidas unicamente e exclusivamente aos erros aleatrios (). Isto equivalente ao modelo de regresso simples com coeficiente angular (1) igual a zero.

Assim, as hipteses para a ANOVA so:

z H0: 1 igual a zero.z H1: 1 no igual a zero.


ANOVA

E interpretaremos o Valor-P da seguinte maneira:

Valor-P < : REJEITA-SE H0. z O modelo de regresso significativo em explicar parte da variabilidade total da

varivel resposta;

z 1 diferente de zero.

Valor-P > : NO REJEITA-SE H0. z O modelo de regresso no significativo em explicar parte da variabilidade total da

varivel resposta;

z 1 igual a zero.


Interpretando os resultados

INTERVALOS DE CONFIANA

Define o alcance dos valores para a mo alcance dos valores para a mdia da populadia da populao de Yo de Y.

Para um valor dado de X, podemos estar 95% confiantes que a mdia da populao de Y estentre os limites indicados.

INTERVALOS DE PREDIO

Define o alcance de um valor individual futuro de Y para um dado X.

Se uma nica observao futura foi coletada em um X especifico, estaremos 95% confiantes que o Y estar entre os limites do intervalo de predio.

Para um dado valor de X, podemos estar 95% confiantes de que a media da populao de Y estar entre as linhas indicadas.


EXEMPLO 3: IMPUREZAS NA TINTA

PROPOSTAAvaliar a relaAvaliar a relao linear existente entre duas vario linear existente entre duas variveisveis plotando a reta de regresso (Fitted LinePlot).

PROBLEMAO aumento no aumento no ndice da misturandice da mistura pode causar coagulao da tinta por certos pigmentos. Pigmentos aglomeradosPigmentos aglomerados so impurezasimpurezas e afetam negativamente a performance da tinta. ExptoExpto: entendermos melhor a relao entre o ndice de mistura e nvel de impureza.

DADOS COLETADOSAs impurezas foram medidas por lotes de tintas com o ndice da mistura entre 20 a 42 rpm(rotaes por minuto).


EXEMPLO 3: IMPUREZAS NA TINTA

FERRAMENTAS

zz FittedFitted LineLine PlotPlot

ARQUIVO DE DADOS: PAINT.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES

AnAnlise de Regresso Linear Simpleslise de Regresso Linear Simples: revela que o aumento da taxa de mistura est associado ao crescimento das impurezas na tinta.

Coeficiente angular da equaCoeficiente angular da equao de regressoo de regresso: quando aumentamos a taxa de mistura em 1rpm, o nvel de impureza cresce em media 0,4566.

Valores atatpicos na varipicos na varivel Xvel X podem ter uma grande influncia no coeficiente se regresso e nos P-Valores, e neste caso melhor analisarmos os resresduos duos deletadosdeletados.

Valores atatpicos na varipicos na varivel Yvel Y podem influenciar fortemente os resultados.

Valores atatpicos em ambas as varipicos em ambas as variveisveis: o modelo de Regresso pode no ser adequado.


Consideraes finais


No utilize a Analise de Regresso para se assegurar de que mudaNo utilize a Analise de Regresso para se assegurar de que mudannas na varias na varivel vel preditorapreditoracausam mudancausam mudanas na varias na varivel respostavel resposta. Se os valores das variveis preditoras permitirem uma variao aleatria, outros fatores podem influenciar em ambas as variveis preditoras e repostas.

No aplique os resultados obtidos pela equao de regresso em valores de X fora do intervalo dos valores determinado pela amostra.

Esteja alerta para valores atEsteja alerta para valores atpicos (picos (outliersoutliers) quando usar uma regresso) quando usar uma regresso. Alguns valores atpicos tm um grande efeito no calculo da reta de regresso via Mtodo de Mnimos Quadrados. Em alguns casos, a reta pode no representar os outros dados adequadamente.


Regresso Polinomial

O QUE UMA REGRESSO POLINOMIAL?

Examina as relaes existentes entre a varivel resposta continua (Y) e a varivel preditora (X).

O modelo polinomial pode incluir termos para os expoentes de Xpode incluir termos para os expoentes de X:

Y a varivel resposta; X a varivel preditora; 0 o intercepto do eixo-y;1 o coeficiente - termo linear; 2 o coeficiente - termo quadrtico; 3 o coeficiente - termo cbico; so os erros aleatrios.


Regresso Polinomial

QUANDO USAR A REGRESSO POLINOMIAL?

Quando h evidncias ou teorias que sugerem e existncia de existncia de nono--lineariedadelineariedade entre as variveis.

z X pode ser ordinal ou contnua;z Teoricamente X deve ser fixo, na prtica, contudo, geralmente permitido que ele varie;z Quaisquer incertezas nas medidas de X podem ser consideradas negligentes se comparadas

ao alcance em que X medido.

SuposiSuposies sobre os erroses sobre os erros:

z So independentes (isto , aleatrios);z So normalmente distribudos;z Possuem varincia constante para todos os valores de X.


Regresso Polinomial

POR QUE USAR A REGRESSO POLINOMIAL?

Responder perguntas, tais como:z Quando aumentamos o X, observamos o aumento da varivel Y para alguns valores e a

reduo para outros?z Qual valor podemos esperar de Y quando X igual a um valor especfico?

Por exemplo:z A adio de mais cobre faz com que a fora de ligao sempre fique mais forte ou ela

decresce em maiores concentraes?z Quo forte podemos esperar que seja a liga se a mesma feita de 0,015 de cobre?


EXEMPLO 4 :DESIGN DE UM INTERRUPTOR DE PRESSO

PROPOSTA

Avaliar a relao quadrtica existente entre duas variveis usando a reta de regresso plotada(Fitted Line Plot).

PROBLEMA

Acredita-se que o design inicial do interruptor de presso no estdesign inicial do interruptor de presso no est atingindo o atingindo o setset--pointpoint de presso de presso desejadodesejado. Concentrar seus esforos na espessura do diafragmaespessura do diafragma, relativamente mais fcil de ser modificada. Experincia:Experincia: determinar a relao existente entre a espessura do diafragma e o set-point, para que assim eles pudessem especificar a espessura apropriada para o design final.

EspecificaEspecificaeses para a presso do set-point: 165 + 15 kilo Pascals (kPa).


EXEMPLO 4 :DESIGN DE UM INTERRUPTOR DE PRESSO

DADOS COLETADOS

Os 25 interruptores so montados com um tipo de componente. A espessura do diafragma varia entre 0,5 a 0,9 mm. 5 interruptores de cada espessura foram montados em ordem aleatria evitando o efeito desconhecido do tempo.

FERRAMENTASzz ScatterplotScatterplot;;zz FittedFitted LineLine PlotPlot..

ARQUIVO DE DADOS: SWITCH.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES

A relarelao entre a espessura do diafragma e o o entre a espessura do diafragma e o setset--pointpoint do interruptor foi melhor explicada pelo modelo quadrmodelo quadrticotico.

A melhor escolha para a espessura do diafragmaespessura do diafragma aproximadamente de 0,64mmaproximadamente de 0,64mm. Podemos obter este resultado substituindo 165 no SetPoint (Y) do modelo de regresso e

calculando o Dthickness (X) usando a equao quadrtica.


Erro puro

Quando tivermos replicareplicaeses, podemos estimar o erro puroerro puro. Erro puroErro puro (Lack-of-fit statistic - menu Regression): variabilidade observada na varivel resposta Y considerando um valor fixo para a varivel preditora.


Consideraes finais

CAPACIDADE DO PROCESSO

Podemos usar a variao no explicada dos dados para determinar se o processo capaz de atingir o alvo; podemos descobrir que:

z Os itens foram montados com a inteno da produo nos componentes;

z Os itens foram montados com a inteno da produo no processo;

z O modelo no mostra nenhuma diferena significativa.

Se as suposies acima forem observadas, ento SS = 4,597mm uma estimativa para a estimativa para a variabilidade do processovariabilidade do processo.

AnAnlise de Capacidade:lise de Capacidade: para determinar se o processo capaz de atingir os limites de especificao definidos pelo cliente.


EXERCCIO A: ESCUDOS DE EROSO

PROPOSTA

Avaliar a relao existente entre duas variveis usando a reta de regresso plotada (Fitted Line Plot).

PROBLEMA

Um produtor de energia deseja saber como se comporta a eroso de escudos de ao para turbinas a vapor resistentes ao desgaste. Medir a resistncia do desgaste difcil, alm de sair caro e ser destrutvel. Portanto, o produtor espera ser capaz de predizer o desgaste atravs da avaliao da dureza do ao, que mais conveniente e mais barata de ser mensurada.

DADOS COLETADOS

O desgaste e a dureza do ao foram medidas em 24 escudos de eroso selecionados aleatoriamente.


EXERCCIO A: ESCUDOS DE EROSO

INSTRUES

1. Use o Fitted Line Plot para visualizar a linha do modelo de regresso linear que tem Abrasioncomo varivel resposta e Hardness como varivel preditora. Calcule os intervalos de confiana e predio.2. Use a anlise de resduos para verificar as suposies associadas ao modelo.

ARQUIVO DE DADOS: EROSION.MPJ


EXERCCIO B: ESCAPAMENTO DE DIESEL

PROPOSTA

Avaliar a relao existente entre duas variveis usando Fitted Line Plot.

PROBLEMA

Investigar os efeitos da umidade no escapamento de caminhes a diesel.

INSTRUES

1. Coloque os dados em um diagrama de disperso para visualizar a possvel relao existente entre as variveis;2. Use o Fitted Line Plot para visualizar o modelo de regresso que for mais apropriado para descrever a relao existente entre as duas variveis;3. Verifique as suposies associadas ao modelo de regresso atravs da Anlise de Resduos.


EXERCCIO B: ESCAPAMENTO DE DIESEL

ARQUIVO DE DADOS: DIESEL.MPJ


Correlao e Regresso

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OBJETIVOS

Proceder com a ananlise de regresso com mais de lise de regresso com mais de uma variuma varivel explicativavel explicativa;

Trabalhar com a presena de multicolinearidademulticolinearidadeem regresso mltipla.


Regresso Mltipla

O QUE A REGRESSO MLTIPLA?

A regresso mltipla examina a relao existente entre uma varivel de resposta continua (Y) e vrias variveis preditoras (X). EquaEquao geral:o geral:

Onde Y a varivel resposta, 0 o intercepto do eixo-Y, i's so os coeficientes associados s variveis preditoras xis e e so os erros aleatrios.


Regresso Mltipla

QUANDO USAR REGRESSO MLTIPLA?

Usamos a regresso linear mltipla quando temos uma varivel resposta Y contnua, mais de uma varivel preditora X e os X's podem ser ordinais ou contnuos.

Antes de aceitarmos os resultados de uma Anlise de Regresso, devemos verificar se as seguintes suposies sobre os erros foram satisfeitas:Os erros (ou resduos) so:

Independentes; Normalmente distribudos; Possuem varincia constante (so homocedsticos).

A verificao das suposies listadas acima feita atravs da Anlise de Resduos.


Regresso Mltipla

POR QUE USAR REGRESSO MLTIPLA?

Regresso mltipla pode ajudar a responder perguntas como: Quanto da variabilidade total da varivel resposta Y explicada pelas variveis preditoras X's? Considerando os valores pr-fixados das variveis X's, qual valor esperamos observar em Y? De quanto ser a variao observada no valor da varivel resposta Y, quando aumentamos o

valor de uma das variveis X em uma unidade? (Variao marginal).

Por exemplo, Como os processos de temperatura e porosidade esto relacionados com a dureza media do

ao? Quo duro podemos aceitar o ao que foi processado em uma temperatura particular por uma

certa quantidade de tempo? Quanto em mdia o ao endurecer se a temperatura aumentar em 100C?


EXEMPLO 5: REDUZINDO O BARULHO DOS MOTORES

PROPOSTA

Avaliar a existncia de relao linear entre mltiplas variveis atravs da AnAnlise de Regressolise de Regresso.

PROBLEMA

Identificar a causa do barulho nas mquinas. As seguintes variveis foram consideradas: Spark timing (ponto de centelhamento da vela); Air-fuel ratio (AFR)(razo ar-combustvel); Intake temperature (temperatura de entrada); Exhaust temperature (temperatura de exausto).

DADOS COLETADOS

Foram coletados dados de 13 mquinas selecionadas aleatoriamente, todas funcionando com gasolina em uma avaliao octana de 87.



FERRAMENTAS MatrixMatrix PlotPlot;; CorrelationCorrelation;; RegressionRegression..

ARQUIVO DE DADOS: KNOCK.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES

A equao de regresso :Knock = 23,8 0,296 Spark + 3,19 AFR + 0,359 Intake + 0,0134 Exhaust

Este modelo suficiente em explicar 98,8% de variabilidade total da varivel Knock. Existem problemas de multicolinearidade no modelo, visto que a varivel Spark altamente correlacionada com a varivel Exhaust.


Ns no podemos usar a Anlise de Regresso para afirmar que as mudanas nas variveis preditorascausam mudanas na varivel resposta, a menos que os valores das variveis preditoras tenham sido fixados em nveis predeterminados em uma experincia controlada (como em um DOE). Se for permitido que os valores das variveis preditoras mudem aleatoriamente, outros fatores que no os presentes no modelo podero influenciar nos resultados obtidos.


Consideraes finais

No devemos aplicar os resultados obtidos pela equao de regresso em valores de X fora do intervalo dos valores determinados pela amostra.

As mensuraes devem ser efetuadas com o mximo de preciso possvel.

Supervisionar apenas os fatores potencialmente importantes.

Cuidado com a Cuidado com a multicolinearidademulticolinearidade. Quando variveis preditoras so altamente correlacionadas:o Estimar os coeficientes de regresso pode ser instvel, pois eles podem variar bruscamente de

uma amostra para outra.o Pode ser difcil de acessar a importncia de termos individuais no modelo.

Cuidado ao remover mais de uma varivel preditora ao mesmo tempo. Utilize procedimentos como o Best Subsets ou o Stepwise.


Regresso via Best Subsets

QUAL O MELHOR REGRESSO QUE PODEMOS CONSTRUIR?

BestBest SubsetsSubsets:: avalia todas as combinaes possveis com as variveis preditoras. O critrio da anlise do R adotado para escolher o melhor modelo; O uso de outro critrio pode fornecer um modelo diferente.

Apenas a anlise do R2 que nos indica qual o melhor modelo.

Outros pontos devem ser considerados: o A verificao das suposies associadas ao modelo atravs da Anlise de Resduos;o A anlise do R2adj.

Aps a obteno de um modelo timo via Best Subsets, ainda deveremos proceder com a anlise do modelo de Regresso como um todo.


Regresso via Best Subsets

QUANDO USAR OS MELHORES CONJUNTOS DE REGRESSO?

Usaremos o Best Subsets quando tivermos muitas variveis preditoras em potencial.

POR QUE UTILIZAR O BEST SUBSETS?

O Best Subsets pode nos ajudar a responder questes tais como: Qual combinao de fatores ser a mais eficiente em explicar a variabilidade total da

varivel resposta? Qual o melhor modelo de regresso possvel de ser adotado quando desejamos usar

apenas 5 de 20 variveis preditoras?

Por exemplo, Como um modelo construdo com 10 variveis de preditoras melhor que um outro que

usa somente a temperatura e a velocidade de mistura?


Escolhendo um modelo apropriado

Evitar os seguintes problemas: A obteno de modelos complexos e ineficientes com muitas variveis preditoras; Coeficientes instveis resultantes de redundncia de correlaes entre as variveis preditoras; Inadequada habilidade resultante da presena de poucas variveis preditoras.

VARIVEIS PREDITORAS LIVRES

FreeFree predictorspredictors: as variveis ali includas podem ou no ser includas no modelo. PredictorsPredictors in in allall modelsmodels: a varivel faz necessariamente parte do modelo.


Escolhendo um modelo apropriado

MALLOWS CP

Adotaremos o modelo em que o Cp for menor e apresentar o valor mais prximo do nmero de parmetros do modelo. Exemplo:Exemplo: para um modelo com 3 variveis preditoras e com o intercepto do eixo-y (0), daremos preferncia ao modelo com Cp mais prximo de 4. A formula para o Cp dada por:

Onde: SSEp a soma dos quadrados dos erros para os modelos com p parmetros (includo a

intercesso); MSEm o quadrado mdio dos erros para o modelo com todas as m preditoras; n o nmero de observaes.



PROPOSTA

Selecionar um conjunto de variveis para serem includas em um modelo de regresso mltipla usando Best Subsets.

PROBLEMA

Identificar a causa do barulho das mquinas. As seguintes variveis esto sendo consideradas: Spark timing (ponto de centelhamento da vela); Air-fuel ratio (AFR)(razo ar-combustvel); Intake temperature (temperatura de entrada); Exhaust temperature (temperatura de exausto).



DADOS COLETADOS

Os dados foram coletados de 13 mquinas selecionadas aleatoriamente.

FERRAMENTAS

BestBest SubsetsSubsets;; RegressionRegression..

ARQUIVO DE DADOS: KNOCK.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES

O melhor modelo para predizer a varivel Knock :Knock = 16,5 + 3,21 AFR + 0,386 Intake + 0,0166 Exhaust


Deveremos nos certificar de que as variveis preditoras e respostas so realmente importantes em predizer a varivel resposta, para que todos os modelos em potencial sejam vlidos na prtica.


EXEMPLO C: NDICES DE MORTALIDADE NAS GRANDESCIDADES DOS ESTADOS UNIDO

PROPOSTA

Avaliar a relao existente entre as variveis mltiplas atravs da Regresso.

PROBLEMA

Determine qual das variveis preditoras listadas na tabela so relacionadas ao ndice de mortalidade por idade (nmero de mortes por ano a cada 100.000 pessoas) nas 60 maiores cidades dos Estados Unidos.

DADOS COLETADOS

O dados so adaptados de um Web site Starlib: http://lib.stat.cmu.edu/datasets/pollution

INSTRUES

1. Use Stat > Regression > Regression (ou Stat > Regression > Best Subsets ou Stat > Regression> Stepwise) para determinar quais termos so significativos considerando um nvel de significncia de 5% (a = 0,05). Inclua todos os termos com Valores-P abaixo de 0,05. Elimine os termos um a um, comeando com o a varivel que apresentar o maior Valor-P;2. Faa a Anlise de Resduos procurando por padres incomuns e outliers, e para verificar as suposies relacionadas ao modelo de regresso mltipla.


EXEMPLO C: NDICES DE MORTALIDADE NAS GRANDESCIDADES DOS ESTADOS UNIDO

ARQUIVO DE DADOS: MORTALITY.MPJ


EXERCCIO D: DURAO DO SONO

PROPOSTA

Avaliar a relao existente entre as variveis mltiplas atravs da Anlise de Regresso.

PROBLEMA

Determine qual das variveis preditoras listadas na tabela esto relacionadas com a durao do sono nas 51 espcies em investigao. O ndice de predao varia de 1 a 5, onde 1 indica o menor nvel de predao e 5 indica predao mxima. O ndice de exposio durante o sono tambm varia de 1 a 5, onde 1 indica que o animal dorme totalmente protegido enquanto 5 indica que o animal sofre completa exposio enquanto dorme.

DADOS COLETADOS

Os dados foram tirados do Web site: http://lib.stat.cmu.edu/datasets/sleep


EXERCCIO D: DURAO DO SONO

INSTRUES

1. Use Stat > Regression > Regression (ou Stat > Regression > Best Subsets ou Stat > Regression> Stepwise) para determinar quais termos so significativos considerando um nvel de significncia de 5% (a = 0,05). Inclua todos os termos com Valores-P abaixo de 0,05. Elimine os termos um a um, comeando com o a varivel que apresentar o maior Valor-P;2. Faa a Anlise de Resduos procurando por padres incomuns e outliers, e para verificar as suposies relacionadas ao modelo de Regresso Mltiplia.

ARQUIVO DE DADOS: SLEEP.MPJ


EXERCCIO E: O QI DE GMEOS IDNTICOS

PROPOSTA

Avaliao da relao existente entre mltiplas variveis.

PROBLEMA

Determine qual das variveis preditoras listadas na tabela so relacionadas ao QI de gmeos idnticos.

DADOS COLETADOS

Os dados foram tirados do Web site: http://lib.stat.cmu.edu/datasets/IQ_Brain_Size


EXERCCIO E: O QI DE GMEOS IDNTICOS

INSTRUES

1. Use Stat > ANOVA > General Linear Model para determinar quais termos so significativos considerando um nvel de significncia de 5% (a = 0,05). Inclua todos os termos com Valores-P abaixo de 0,05.2. Faa a Anlise de Resduos procurando por padres incomuns e outliers, e para verificar as suposies relacionadas ao modelo de Regresso Mltipla.

ARQUIVOS DE PROGRAMAS: IQ.MPJ


Avaliao do Sistema de Medio e Inspeo (MSA)C

A

P

T

U

L

O

OBJETIVOS

Determinar a Determinar a adequacidadeadequacidade dos sistemas de medio; Determinar a estabilidadeDeterminar a estabilidade do sistema de medio em horas-extras

usando o MSA; Calcular estatsticas para acessar a linearidade e o vacessar a linearidade e o vciocio do sistema de

medio.


Avaliao do Sistema de Medio

O QUE AVALIAR UM SISTEMA DE MEDIO?

A anlise do sistema de medio: avalia as propriedades deste sistema, assegurando-nos da adequacidade do mesmo para execuo da funo para a qual ele foi pr-destinado. Considere que a variao do processo devido s fontes:

oo PartPart--toto--partpart variationvariation: que a variao natural do processo;oo MeasurementMeasurement systemsystem variationvariation: que a variao do sistema de medio.

QUANDO AVALIAR O SISTEMA DE MEDIO

O sistema de medio deve discriminar a diferena entre os itens adequadamente para um monitoramento do processo mais efetivo. Use a Avaliao do Sistema de Medio para confirmar se este sistema apresenta consistncia, acurcia e se capaz de discriminar a diferena natural existente entre itens.



PORQUE AVALIAR O SISTEMA DE MEDIO

Responder pelo menos uma das seguintes questes: O sistema de medio capaz de discriminar adequadamente a diferena entre os itens? O sistema de medio apresenta-se estvel ao longo do tempo? O sistema de medio apresenta-se exato ao abranger todos os itens?

Por exemplo: Um viscmetro capaz de discriminar adequadamente a viscosidade de diferentes amostras

de tinta? A escala precisa ser periodicamente recalibrada para que a balana seja capaz de preencher

todos os pacotes de batata chips com exatido? O termmetro capaz de medir adequadamente todas as temperaturas usadas durante um

processo?


Gage R&R Study (crossed)

O QUE UM GAGE R&R STUDY (CROSSED)

O Gage R&R Study (crossed): expto usado para estimar o quanto da variao total do processo devido ao sistema de medio;

Variao do sistema de medio subdividida em:oo RepetibilidadeRepetibilidade:: (cada operador mede cada item pelo menos duas vezes). Variao devido

ao aparelho de medio, ou variao observada quando um mesmo operador efetua as medies de um mesmo item repetidamente;

oo Reprodutibilidade:Reprodutibilidade: (pelo menos dois operadores devem estimar o mesmo item). Variao devido aos diferentes operadores designados para efetuar as medies dos mesmos itens.

Proceder as medies aleatoriamente.



QUANDO USAR O GAGE R&R STUDY (CROSSED)

Use o Gage R&R Study (crossed): Para avaliar ou qualificar previamente um sistema de mediavaliar ou qualificar previamente um sistema de medioo, adotando-o posteriormente no

monitoramento do processo ou em atividades de melhoria; Quando cada item de um estudo mensurado mltiplas vezes.

Comparar a variao de um sistema de medio com a variao total do processo e/ou tolerncia.



PORQUE USAR O GAGE R&R STUDY (CROSSED)

O Gage R&R Study pode responder questes tais como: A variabilidade de um sistema de medio pequena se comparada com a variao natural do

processo? A variabilidade de um sistema de medio pequena se comparada com os limites de especificao

do processo? Quanto da variabilidade do sistema de medio devido diferena entre os operadores? O sistema de medio capaz de discriminar a diferena natural existente entre os itens?

Por exemplo: Quanto da variabilidade dos dimetros mensurados com uma certa tendncia devido

calibrao? Quanto da variabilidade dos dimetros mensurados com uma certa tendncia devido ao

operador? O sistema de medio capaz de realizar a discriminao entre itens produzidos com tamanhos

diferentes?


Erros do Sistema de Medio

Os erros de um sistema de medio podem ser classificados dentro de duas categorias: AcurAcurciacia:: a diferena entre as medies realizadas por um instrumento de medio para um

item e os valores reais destes mesmos itens. Preciso:Preciso: a variao observada quando medimos um mesmo item repetidas vezes com um

mesmo equipamento.



ACURCIA (EXATIDO)

Composta por trs componentes: VVcio:cio: diferena entre o valor observado e o valor real ou padro (obtido por um

equipamento ou operrio padro). Linearidade:Linearidade: diferena entre os valores viciados observados e as medies dos valores

esperados para essas taxas mensuradas. Estabilidade:Estabilidade: a mensurao de quo boa ser o desempenho do sistema ao longo do

tempo. A variao total obtida com resultados provenientes de um mesmo aparelho, no qual mensuramos uma nica caracterstica ao longo do tempo.



PRECISO

A preciso que pode ser chamada de medio da variao composta por dois componentes: RepetibilidadeRepetibilidade: variao observada em 2 medies com um mesmo aparelho, ou quando um mesmo operador procede com a leitura de um mesmo item repetidamente com o mesmo aparelho. ReprodutibilidadeReprodutibilidade: variao observada em 2 medies do sistema, ou a variao observada quando diferentes operadores mensuram um mesmo item com o mesmo aparelho.


Acessando o Sistema de Medio

Use o Gage R&R Study (Crossed) para acessar: Quanto que o sistema de medio capaz de distinguir os diferentes itens; Verificar se os operadores esto efetuando as medies de forma consistente.

TOLERNCIA

a amplitude do limite de especificao definido pelo cliente.

Fornecendo o valor da tolerncia do processo, podemos estimar qual proporo da tolerncia devido variao no sistema de medio.


EXEMPL0 7: DIMETRO DO BOCAL DA BOMBA DE COMBUSTVEL

PROPOSTA

Acessar como a preciso de um aparelho de medio e do operador afeta a variabilidade do sistema de medio, usando o Estudo Cruzado de Medio R&R (Gage R&R Study).

PROBLEMA

O elaborador de um bocal para bomba de combustvel instalou um novo sistema digital de medio. Especialistas da rea desejam determinar o quo eficiente este sistema.



DADOS COLETADOS

9 bocais foram selecionados aleatoriamente ao longo do incio de todos processos que podem provocar algum tipo de variao (mquina, tempo, turno, troca de turno) que representam todos os bocais tipicamente produzidos.

O 1 operador efetuou as medies para cada um dos 9 bocais em ordem completamente aleatria. Os 9 bocais foram aleatorizados e um 2 operador efetuou novamente as medies dos mesmos bocais. Este processo foi repetido 2 vezes para cada operador, totalizando 36 medies.


A especificao para o dimetro dos bocais de: 9012 + 4 microns (tolerncia de oito microns).

FERRAMENTAS UTILIZADAS

GageGage R&R R&R StudyStudy ((CrossedCrossed).).

ARQUIVO DE DADOS: NOZZLE.MPJ




GAGE R&R STUDY (CROSSED)

1. Abra o arquivo NOZZLE.MPJ2. Escolha Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage R&R Study (Crossed);3. Complete a caixa de dilogo, como mostramos abaixo:

4. Clique em Options;5. Em Process tolerance, digite 8;6. Clique em OK em cada todas as caixas de dilogo.


Consideraes Finais

RESUMO E CONCLUSES

A variao devido ao sistema de medio contribui muito pouco com a variao total do processo, confirmada por meio do estudo Gage R&R, por tabelas e por grficos.

A contribuio da variao do sistema de medio pode ser observada tanto pelo %StudyVar quanto pelo %Tolerance. Neste caso como ambos os percentuais foram menores que 10%, o sistema de medio pode ser considerado aceitvel de acordo com as normas da AIAG.


A seguir apresentamos o guia da AIAG para um sistema de medio aceitvel.


Consideraes Finais

Resultados desejveis de serem observados na anlise grfica para estudo da variao do sistema de medio:

IMPORTANTE: Assim como ocorre em outros estudos de MSA e de Planejamentos de Experimentos, absolutamente necessabsolutamente necessrio querio que a anlise realizada, bem como a coleta de dadosa coleta de dados, seja completamente seja completamente aleataleatriaria para o Gage R&R, a fim de que os resultados obtidos sejam vlidos e no apresentem nenhuma espcie de vcio.



TOLERNCIA

A tolerncia para a espessura dos itens de 0,5mm. Entre com o valor da tolerncia para comparar a variao do sistema de medio com as especificaes do cliente (USL - LSL = Tolerance).

VARIAO HISTRICA DO PROCESSO

Se forarmos a obteno de uma amostra que reflita a variao tpica do processo, a variao part-to-part estimada para o processo poder no refletir a variao natural do processo, retornando valores superestimados ou subestimados devido amostra ter sido obtida com vcio. Como resultado, seu sistema poder aparentar ser melhor (ou pior) do que realmente o .

Neste caso, a estimao da variao histrica do processo nos bastante til. Com ela, o MINITAB calcula o %Process que compara a variao do sistema de medio com a variao histrica do processo.


EXEMPLO 8: ESPERRURA DO STILLCORD

PROPOSTA

Identificar problemas no sistema de medio, usando o Estudo Cruzado da Medio R&R (Gage R&R Study) e um Grfico de Colunas Emparelhadas.

PROBLEMA

Um produtor de pneus de bicicletas BMX est avaliando o sistema de medio utilizado para mensurar a espessura do stillcord. O stillcord introduzido no interior dos pneus para proteg-lo de perfuraes. A tolerncia para a espessura do stillcord de 0,05mm. O desvio padro do processo de 0,078mm.

DADOS COLETADOS

Uma amostra aleatria de 10 stillcords foi extrada do processo de produo para este estudo. Os itens foram mensurados por trs operadores diferentes, e cada operador mensurou o mesmo item duas vezes, totalizando em 60 leituras. Os itens foram fornecidos para cada operador em ordem aleatria.


EXEMPLO 8: ESPERRURA DO STILLCORD

FERRAMENTAS UTILIZADAS

GageGage R&R R&R StudyStudy ((CrossedCrossed).). GageGage RunRun ChartChart

ARQUIVO DE DADOS: RIMSTRIP.MPJ


Consideraes Finais

RESUMO E CONCLUSES

O sistema de medio adotado necessita de algumas melhorias. Os operadores apresentaram problemas com o dcimo item. Deve-se investigar o porque das dificuldades.

Talvez a variao entre os itens seja a fonte do efeito de interao observado. Implementar um procedimento padro que especifique o local exato no qual a espessura ser lida.CONSIDERAES ADICIONAIS

Evite utilizar sempre o Gage R&R Study para avaliar a qualidade do sistema de medio: No utilize o No utilize o GageGage R&R R&R StudyStudy para avaliarpara avaliar a qualidade do sistema de medio de varivariveis binveis binrias rias

ou de atributos em escalaou de atributos em escala. Ex: escalas de 1 a 5, defeito e no defeito, etc. No utilize esta metodologia para investigar outros processos, como o efeito que diferentes mquinas

ou operadores provocam nos itens produzidos.


EXERCCIO F: ACESSANDO A CONSISTNCIA EM APARELHOS DE COLORIMETRIA

PROPOSTA

Identificar problemas no sistema de medio, usando o Estudo Cruzado de Medidas R&R (Gage R&R Study).

PROBLEMA

Uma companhia de polmeros produz grnulos que so usados na fabricao de cases de computadores. A consistncia de cor desses grnulos muito importante para o cliente. Vrios tcnicos mensuram amostras desses plsticos regularmente.

O objetivo deste estudo Gage R&R determinar o quanto da variao dos aparelhos de colorimetria(leitores da cor) deve-se s leituras repetidas do aparelho (repetibilidade), e o quanto deve-se aos diferentes tcnicos que operaram o aparelho (reprodutibilidade).


EXERCCIO F: ACESSANDO A CONSISTNCIA EM APARELHOS DE COLORIMETRIA

DADOS COLETADOS

A fim de verificar a cor dos grnulos, tcnicos extraram amostras para teste. Cada amostra foi obtida prensando os grnulos de cada um dos 10 diferentes lotes de plstico dentro de um wafer que armazena estes grnulos. Um total de 10 amostras, sendo uma de cada lote, foi extrada para anlise.

Para este estudo, o L (branco-preto) a escala para mensurar a resposta de interesse. A tolerncia para este processo de duas unidades (2L).

INSTRUES

1. Use o Gage R&R Study (Crossed) para analisar os dados coletados.2. Comente a adequacidade do sistema de medio.

ARQUIVO DE DADOS: GAGECOLOR.MPJ


EXERCCIO G: RESISTNCIA DO PAPEL QUEBRA

PROPOSTA

Identificar adequacidade do sistema de medio quando as medidas so obtidas por meio de testes destrutivos, usando o Gage R&R Study.

PROBLEMA

Uma fbrica de papel conduziu um estudo Gage R&R para verificar se o sistema de medio utilizado capaz de detectar a variao da resistncia de seus produtos. O objetivo verificar o quanto da variao da resistncia quebra deve-se repetibilidade (o mesmo aparelho ou o mesmo tcnico efetuar as mesmas medies) e o quanto se deve reprodutibilidade (diferentes operadores medindo os mesmos itens) do processo.

DADOS COLETADOS

Trs tcnicos, aleatoriamente escolhidos, mediram a resistncia de 20 maos selecionados do processo. Para cada mao, uma nica folha de papel foi aleatoriamente extrada. Supondo que as propriedades fsicas se mantm constantes em toda a extenso da folha, cada uma delas foi dividida em seis partes. Cada par de amostra foi entregue a um tcnico diferente, que procedeu com a leitura da resistncia.


EXERCCIO G: RESISTNCIA DO PAPEL QUEBRA

A seqncia na qual o tcnico procedeu com a leitura tambm foi completamente aleatorizada. Um total de duas amostras de cada folha dos 20 maos de papel foram entregues a cada tcnico, totalizando na leitura de 40 amostras.

NOTA: Sempre que o teste for destrutivo, cada mao testado pelo operador; por isso o cruzamento durante a anlise muito importante.

A resistncia quebra, medida em km, o comprimento no qual o papel se quebra quando submetido ao seu prprio peso enquanto suspenso. A tolerncia para este processo de 0,5km.

INSTRUES

3. Use o Gage R&R Study (Crossed) para analisar os dados coletados.4. Comente a adequacidade do sistema de medio.

ARQUIVO DE DADOS: GAGECOLOR.MPJ


Gage R&R Study (Nested)

O QUE UM GAGE R&R STUDY (NESTED)

Estima quanto da variao observada em um sistema de medio pode ser atribuatribuda da repetibilidaderepetibilidade e e reprodutibilidadereprodutibilidade, quando os vrios operadores no efetuaram medies nos mesmos itens. Compara a magnitude da variao entre os itens (part-to-part) e, opcionalmente, a tolerncia e/ou a variao histrica do processo.

QUANDO USAR O GAGE R&R STUDY (NESTED)

Use quando quiser compreender a variao associada ao sistema de medio, mas os vrios operadores no mensuraram os mesmos itens. Ex: testes destrutivos ou em testes em que htestes destrutivos ou em testes em que h mudanmudana fa fsica das sica das caractercaractersticas de interesse.sticas de interesse.

O tamanho da amostra demasiadamente pequeno para que sejam fornecidas amostras provenientes de um mesmo lote para cada operador.

Os operadores mensuram itens provenientes de diferentes lotes selecionados aleatoriamente.


Gage R&R Study (Nested)

PORQUE USAR O GAGE R&R STUDY (NESTED)

O Gage R&R Study (Nested) pode responder questes como: A variabilidade do sistema de medio pequena se comparada com a variabilidade natural do

processo de produo? A variabilidade do sistema de medio pequena se comparada com com os limites de

especificao do cliente? Quanto da variabilidade do sistema de medio causada pela diferena entre os operadores? O atual sistema de medio capaz de captar a diferena natural existente entre os itens?

Por exemplo: Quanto da variabilidade da resistncia dos elsticos causada pelo extensmetro? Quanto da variabilidade da resistncia dos elsticos causada pelo operador que efetuou a

medio? O sistema de medio capaz de discriminar a diferena natural de resistncia existente entre os

itens?


EXEMPLO 9: TESTE DE IMPACTO DO ALUMNIO

PROPOSTAIdentificar adequacidade do sistema de medio quando as medidas so obtidas atravs de testes destrutivos, usando o Gage R&R Study.

PROBLEMA Um fornecedor de componentes automotivos compra lingotes de alumnio para produzir os componentes das trancas das portas; A resistncia ao impacto do alumnio uma propriedade crtica que deve ser monitorada; Certificar se cada carregamento est dentro das especificaes; O teste de impacto destrutivo.

DADOS COLETADOS Selecionou-se aleatoriamente 9 lingotes de alumnio da produo; Cada grupo de 3 lingotes foi entregue a um operador, sendo 3 operadores; Para cada lingote, 3 tipos de testes destrutivos de impacto foram preparados; Os operadores seguem procedimentos padres; Foram utilizados 27 testes para conduzir o estudo Gage R&R.


EXEMPLO 9: TESTE DE IMPACTO DO ALUMNIO

FERRAMENTAS

GageGage R&R R&R StudyStudy ((NestedNested))

ARQUIVO DE DADOS: INGOTI.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES

Devemos compreender melhor o sistema de medio, bem como corrigir a diferena existente entre os operadores.


Devemos assumir que os itens testados so idnticosassumir que os itens testados so idnticos o suficiente para serem tratados como iguais. Se esta suposio for razoavelmente satisfeita, podemos prosseguir a anlise.

Independente do tipo de estudo Gage R&R que for executado, sempre importante que os itens os itens amostrais sejam mensurados aleatoriamenteamostrais sejam mensurados aleatoriamente para que eles representem da melhor maneira possvel todos os resultados que podem ser observados no processo.


EXERCCIO H: PROMOVENDO MELHORIAS NO SISTEMA DE MEDIO

PROPOSTA

Identificar adequacidade do sistema de medio quando as medidas so obtidas atravs de testes destrutivos, usando oGage R&R Study.

PROBLEMA

Os resultados de uma pr-anlise indicam uma alta variao entre os operadores de um processo. Em particular, o operador 2 se destacou por apresentar valores sempre maiores que os demais operadores envolvidos no estudo.

Uma reviso nos procedimentos de medio adotados pelos operadores revelou que o operador 2 no estava utilizando a mesma ferramenta que os demais operadores. Sendo assim, foi necessrio que todo experimento fosse repetido para que os operadores utilizassem a mesma ferramenta.


DADOS COLETADOS

Como antes, nove lingotes foram amostrados aleatoriamente da produo, sendo que cada grupo de trs foi alocado a um operador diferente. Os operadores prepararam os itens para o teste, que foram codificados de acordo com o local do lingote no qual foi efetuada a medio no respectivo item. Em particular, o lingote 2 representa sempre a medio efetuada no meio do lingote.

Os 27 dados coletados foram testados e a resistncia de impacto foi anotada.

INSTRUES

1. Use o Gage R&R Study (Nested) para analisar os dados coletados.2. Construa um Scatterplot do Strength vs. Ingot agrupado por Specimen para acessar a suposio de homogeneidade dos lotes.

ARQUIVO DE DADOS: INGOT2.MPJ

EXERCCIO H: PROMOVENDO MELHORIAS NO SISTEMA DE MEDIO


Estudo da Linearidade e do Vcio

O QUE O ESTUDO DA LINEARIDADE E DO VCIO?

Acessa o vcio potencial e a linearidade da operao quando um sistema de medio utilizado. Vcio:cio: compara o processo com o padro (referncia);

Linearidade:Linearidade: acessa as mudanas no vcio sob os diferentes nveis de operao.Para conduzirmos o estudo da linearidade e do vcio do processo, importante que:1. Os itens amostrais representemitens amostrais representem bem todas as situatodas as situaeses que sero observadas no processono processo,

(no mnimo, 5 itens);2. Efetuadas leituras repetidas de um mesmo itemleituras repetidas de um mesmo item (no mnimo, 10 leituras de cada item);3. As leituras em ordem completamente aleatordem completamente aleatriaria.


Estudo da Linearidade e do Vcio

POR QUE EFETUAR O ESTUDO DA LINEARIDADE E DO VCIO?

Responder as seguintes questes: Os resultados de leitura apresentam algum vvcio agregado durante o processo de medicio agregado durante o processo de medioo? O equipamentoO equipamento utilizado deve ser deve ser recalibradorecalibrado, a fim de que as medies efetuadas no

apresentem algum tipo de vcio?Por exemplo:

O termmetro est efetuando medies no-viciadas da temperatura durante o processo? O micrmetro deve ser recalibrado sempre devido ao fato de estarmos sempre registrando um

pequeno vcio no processo?

QUANDO DEVEMOS USAR O ESTUDO DA LINEARIDADE E DO VCIO?

Sempre que formos avaliar a qualidade do sistema de medio do processo.


EXEMPLO 10: ASSENTAMENTO DOS AZULEIJOS NO CHO

PROPOSTA

Determinar a linearidade e o vlinearidade e o vciocio de um sistema de medio usando o Gage Linearity and Bias Study.

PROBLEMA

Proceder um estudo Gage para mensurar o assentamento dos azuleijos no cho; Validar os resultados obtidos e prosseguir com uma subseqente anlise de qualidade; Estimou-se o vcio e a linearidade.

DADOS COLETADOS

5 azulejos, com nvel de assentamento conhecido, foram selecionados; Cada item foi medido 12 vezes em ordem aleatria.

75,0 =


EXEMPLO 10: ASSENTAMENTO DOS AZULEIJOS NO CHO

FERRAMENTAS

GageGage LinearityLinearity andand BiasBias StudyStudy

ARQUIVO DE DADOS: GAGELIN.MPJGAGELIN.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES

O processo apresenta um comportamento viciado, (superestimao comparado ao padro).

No h problemas com a linearidade no sistema de medio do processo, o no significativo (o sistema no apresentou tendncia linear).

GrGrfico de barrasfico de barras: 0,4% para a linearidade e 3,5% para o vcio.

Vcio - possveis razes: Valores padres (de referncia) incorretos; Calibrao incorreta dos aparelhos; Uso inadequado dos instrumentos de medio pelos operadores.


Consideraes finais


A mensurao global do vcio pode no ser significativa, porm, o clculo dos vvcios cios individuais sempre sero significativosindividuais sempre sero significativos.

O valor estimado para o coeficiente angular da reta de regressocoeficiente angular da reta de regresso, bem como do intercepto do intercepto do eixoeixo--yy, devem ser utilizados para investigar potenciais problemasinvestigar potenciais problemas no sistema de medio relacionados relacionados linearidadelinearidade.


OBJETIVOS

z Acesso consistnciaconsistncia das diferentes medies de de cadacada operadoroperadorentreentre osos diferentesdiferentes operadoresoperadores;

z Acesso ao nnvelvel de de acertividadeacertividade dos dos operadoresoperadores por meio dacomparacomparaoo das medies com um com um padropadro conhecido, porintermdio da anlise de vrias amostras;

z Clculo de estatsticas para acesso ao nvel de concordnciaconcordncia entreentre ososdiferentesdiferentes operadoresoperadores;

z Clculo de estatsticas para expressar o graugrau de de associaassociaoo entreentre ososdiferentesdiferentes operadoresoperadores.

C

A

P

T

U

L

O

Anlise de Atributos


Anlise de Atributos

O QUE UMA ANLISE DE ATRIBUTOS?

Acessa a consistncia das respostas do operador e entre os operadoresconsistncia das respostas do operador e entre os operadores e compara as mensuracompara as mensuraesesefetuadas com os valores com os valores padropadro ou referncia;

Classifica os itensClassifica os itens, como atributos, ou seja, como defeituosos ou perfeitoscomo defeituosos ou perfeitos.

Os dados podem ser binrios, nominais ou ordinais:


Anlise de Atributos

QUANDO USAR A ANLISE DE ATRIBUTOS?

zz Comparar 2 ou mais operadores ou instrumentosComparar 2 ou mais operadores ou instrumentos que mensuram os mesmos itens;

zz Acessar a consistnciaAcessar a consistncia quando um mesmo operador ou instrumentomesmo operador ou instrumento de medio avalia o mesmo item mais de uma vezmesmo item mais de uma vez;

z Avaliar a exatidoexatido quando um operador mensura os itens apenas uma vezoperador mensura os itens apenas uma vez, e as taxas so comparadas com um padro.


Anlise de Atributos

POR QUE USAR A ANLISE DE ATRIBUTOS?

Acessar a consistncia ou o grau de acertividade (respostas so dados de atributos).

zz Acessar a concordncia de cada operador individualmenteAcessar a concordncia de cada operador individualmente, (cada operador deve medir o mesmo item 2 vezes ou mais);

z Acessar a concordncia das respostas entre os operadoresconcordncia das respostas entre os operadores;zz Comparar a respostasComparar a respostas dos operadores comcom uma resposta padropadro conhecida.

Por exemplo:

z Os operadores so concordantes em todas as mensuraes de um mesmo item?z Os operadores esto corretos em suas mensuraes, quando comparadas com o padro

fornecido pelo coordenador da qualidade?


Usando a estatstica Kappa

Representa o grau absoluto de concordnciagrau absoluto de concordncia entre as mensuraes;

Ela trata todas as classificatodas as classificaes erradas igualmentees erradas igualmente, desconsiderando as suas magnitudes.

Usada quando a classificaclassificao for bino for binria, nominal ou ordinalria, nominal ou ordinal;

Como ela no levar em conta a magnitude da diferena observada, tambm podemos podemos

considerar outras estatconsiderar outras estatsticas na ansticas na anliselise.


Usando a estatstica Kappa

INTERPRETANDO A ESTATSTICA DE KAPPA

H0: Kappa = 0.O nnvel mais forte de concordnciavel mais forte de concordncia absoluta representado pelo maior o valor da estatmaior o valor da estatstica stica KappaKappa:

z Se Kappa = 1, concordncia perfeitaconcordncia perfeita muito maior do que a esperada;z Se Kappa = 0, concordncia a mesma que estava sendo esperada por oportunidade de

acerto;z Se Kappa < 0, concordnciaconcordncia mnima muito menor do que a esperadamuito menor do que a esperada. Isto raramente

acontece.

Sugesto (AIAG): o valor para o coeficiente de Kappa deve ser superior a 0,75;superior a 0,75; Valores inferiores a 0,40inferiores a 0,40 indicam uma concordncia muito pobreconcordncia muito pobre, apontando srios problemas no sistema de medio por atributos do processo.


Exibindo avaliao da concordncia

O Minitab mostra a seguinte avaliao, dependendo do estudo:


EXEMPLO 11: CONVERTEDOR CATALTICODE SUBSTRATO

PROPOSTA

Acessar a consistncia e a exatidoAcessar a consistncia e a exatido da qualidade do substrato, usando a anlise de atributos.

PROBLEMA

Companhia de cermicaCompanhia de cermica; Substrato Substrato convertedorconvertedor catalcatalticotico de cermica: estrutura em forma de favo de mel que suporta o material do catalisador, o que reduz as emisses do escapamento. No estgio final da produo, a parte rachada considerada defeituosa, devendo ser quebrada.

Operadores seguram as partes contra a luz e para procurar por rachaduras. Novo operador est efetuando as mensuraes das rachaduras nos diferentes itens efetivamente? Depto de qualidade: forneceu as mensuraes padro para cada item amostral.


EXEMPLO 11: CONVERTEDOR CATALTICODE SUBSTRATO

DADOS COLETADOS

4 operadores inspecionaram os 10 itens amostrais em ordem aleatria; Os itens foram reordenados e inspecionados novamente por cada operador; As respostas foram reportadas como Pass (perfeito) ou Fail (discordante com o padro).

FERRAMENTAS

zz AttributeAttribute AgreementAgreement AnalysisAnalysis..

ARQUIVO DE DADOS: SUBSTRATE.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSO

z Para cada seqncia, 2 de 4 operadores avaliaram todos os 10 itens corretamente;

z Brian discordou de si mesmo em um item, enquanto Anne deu um falso/positivo tambm em um item.

Investigar por que esses erros ocorreram.


Consideraes finais


z A aleatorizao muito importante, pois evitamosevitamos um possvel vvcio causado pela cio causado pela memorizamemorizaoo da ordem dos resultados pelos operadores;

z Estudamos a concordnciaconcordncia para avaliar o desempenho dos operadores ao longo dos avaliar o desempenho dos operadores ao longo dos diferentes itens produzidosdiferentes itens produzidos. Ex: mais apropriado avaliar um operador com menos repeties dos itens do que inspecionar de todos os itens produzidos.

z O Automotive Industry Action Group (AIAG) nos informa que:

KappaKappa > 0,75 > 0,75 excelente concordncia excelente concordncia -- KappaKappa < 0,40 < 0,40 concordncia pobreconcordncia pobrez Muitas empresas possuem suas prprias faixas de interpretao para valores da estatstica de

Kappa.


EXERCCIO I: CONVERTEDOR CATALTICODE SUBSTRATO

PROPOSTA

Acessar a consistncia e a exatido da qualidade do substrato, usando a anlise de atributo.

PROBLEMA

Uma companhia de cermica produz substrato convertedor cataltico para uma empresa de automveis. O substrato de cermica uma estrutura em forma de favo de mel que suporta o material do catalisador, o que reduz as emisses do escapamento.

No estagio final da produo, um operador checa cada substrato procurando por rachaduras. A parte rachada considerada defeituosa, devendo ser quebrada.

Operadores seguram as partes contra a luz e para procurar por rachaduras. Os inspetores da qualidade desejam saber se um novo operador est efetuando as mensuraes das rachaduras nos diferentes itens efetivamente. O departamento de qualidade acessou as amostras usadas neste estudo, para ento fornecer as mensuraes consideradas padro para cada item da amostra.


EXERCCIO I: CONVERTEDOR CATALTICODE SUBSTRATO

DADOS COLETADOS

Para esta anlise, quatro operadores inspecionaram os 20 itens amostrais em ordem completamente aleatria. Os itens foram reordenados e inspecionados novamente por cada operador. As respostas foram reportadas como Pass (perfeito) ou Fail (discordante com o padro).

INSTRUES

1. Use Attribute Agreement Assessment para avaliar o sistema de medio.2. Comente a adequao do sistema de mediao.

ARQUIVO DE DADOS: SUBSTRATE2.MPJ


EXEMPLO 12: AVALIAO DA BOLA DE FUTEBOL

PROPOSTA

Acessar a consistncia e a exatidoAcessar a consistncia e a exatido quando os dadosdados forem nominaisnominais, usando anlise de atributos.

PROBLEMA

InspeInspeo visual de vo visual de vrias caracterrias caractersticassticas; O fabricante separa os produtos baseado nas necessidades dos clientes.

DADOS COLETADOS

4 operadores selecionaram aleatoriamente 20 bolas de futebol, representando a produo. Cada operador avalia ou bola uma vez, classificando-a como: liga Jnior, Profissional ou Amador.

As bolas de futebol foram apresentadas em uma ordem aleatria.


EXEMPLO 12: AVALIAO DA BOLA DE FUTEBOL

FERRAMENTAS

AttributeAttribute AgreementAgreement AnalysisAnalysis..

ARQUIVO DE DADOS: SOCCER.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES

z Os operadores concordaram em 18 das 20 avaliaes que efetuaram nas bolas de futebol;

z Elaine, Frank e Michael avaliaram as 20 bolas corretamente, enquanto Yvonne cometeu 2

erros;

z Os erros de Yvonne foram determinados quando a bola deveria estar na liga Profissional ou

na liga Jnior.

z Seria apropriado verificar por que os erros foram cometidos.


Usando o coeficiente de concordncia de Kendall

Expressa o grau de concordncia ao longo das mltiplas medies feitas pelos operadores ou leituras entre diferentes os operadores.

sensvel a desclassificaes.

Usamos o coeficiente de concordncia Kendall quando as classificaclassificaes so ordinaises so ordinais.

Dados ordinais so variveis categricas ordenadas.

Exemplo: componentes defeituosos podem ser taxados dentro de uma escala que varia de 1 a 5.


Usando o coeficiente de concordncia de Kendall

INTERPRETANDO COEFICIENTE DE CONCORDNCIA KENDALL

H0: Kendall = 0 , que indica a inexistncia de associao entre as taxas.

Quanto mais forte a associao, maior ser o valor do coeficiente de concordncia Kendall.

z Um coeficiente de concordncia Kendall = 1 indica uma associao perfeita;

z Um coeficiente de concordncia Kendall = 0 indica ausncia de associao.

Regra geral:

KendallKendall < 0,7 < 0,7 o sistema de medio sistema de medio precisa de melhorias;o precisa de melhorias;KendallKendall > 0,9 > 0,9 considerado muito bom. considerado muito bom.


EXEMPLO 13: AVALIAO DA PLACA IMPRESSA

PROPOSTA

Acessar a consistncia e a exatidoconsistncia e a exatido quando os dadosdados forem ordinaisordinais, usando anlise de atributos.

PROBLEMA

Inspecionou-se visualmente as placas (PCBs) para assegurar sua qualidade; Eles acessaram amostras aleatrias de PCBs de um carregamento e, baseado-se nos resultados, determinaram quando, o nvel de qualidade suficientemente alto; ObjetivoObjetivo: verificar o nvel de acordo entre os operadores.

DADOS COLETADOS 3 inspetores taxaram 10 PCBs representativos da produo; Escala de 1 a 5; 1 = pssima qualidade e 5 = tima qualidade.


EXEMPLO 13: AVALIAO DA PLACA IMPRESSA

FERRAMENTAS

zz AttributeAttribute AgreementAgreement AnalysisAnalysis..

ARQUIVO DE DADOS: PCBSTUDY.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES

z Judith, Malcolm e Susan concordaram somente em 2 itens dos 10 avaliados;

z O alcance da estatstica de Kappa variou entre -0,1111 a 0,5200;

z Quando consideramos apenas a concordncia absoluta ao longo das taxas, em geral as taxas especficas de concordncia so muito pobres;

z Devido ao fato dos dados serem ordinais com cinco nveis, mais apropriado usar o coeficiente de concordncia de Kendall para acessar o quanto que os operadores esto associados;

z Neste exemplo, o coeficiente de concordncia de Kendall (0,940872) bastante alto.


Consideraes finais


Dados ordinaisDados ordinais considerar ambas: Kappa e Kendall.

zz KappaKappa: :

o Representa apenas as avaliaes absolutas;

o Todas as subclassificaes so tratadas igualmente.

zz KendallKendall::

o Mede a associao entre as taxas;

o Considera-se a magnitude das subclassificaes.


EXERCCIO J: AVALIAO DE MOLHOS DE PIMENTA

PROPOSTA

Acessar as respostas das avaliaes consistentes quando os dados forem ordinais, usando a anlise de atributos.

PROBLEMA

Durante uma visita a New Orleands, Ryan e Miranda compraram 10 diferentes tipos de pimentas. Eles desejam testar quando suas avaliaes para os molhos de pimenta atingem o mximo de concodncia.

DADOS COLETADOS

Ryan e Miranda classificaram os 10 molhos de pimenta de acordo com a seguinte escala de pontos:1 = fraco, 2 = picante, 3 = muito picante e 4 = incofortavelmente picante.


EXERCCIO J: AVALIAO DE MOLHOS DE PIMENTA

INSTRUES

Use a Anlise de Atributos para verificar quando Ryan e Miranda concordam em suas avaliaes.

ARQUIVO DE DADOS: HOTSAUCE.MPJ


Attribute Gage Study (Mtodo Analtico)

Acessa a Acessa a repetibilidaderepetibilidade e o ve o vcio em um sistema bincio em um sistema binrio de medirio de medio (o (bom/ruimbom/ruim), quando o sistema ), quando o sistema de medide medio bino binrio rio usado no lugar de um sistema de mediusado no lugar de um sistema de medio para dados conto para dados contnuos. nuos.

Ex:Ex: desejamos determinar quando o dimetro do orifcio est dentro da tolerncia, usando a medida bom/ruim ao invs de obtermos o dimetro em um sistema contnuo atual. Em quanto o sistema de medio binrio concorda com os resultados do sistema de medio contnuo?

1: Obter os valores padro do sistema de medio contnuo para todos os itens;2: Estes mesmos itens sero mensurados pelo sistema de medio de atributos mltiplas vezes;O n de vezes que cada item for aceito dentro da tolerncia contado para cada item de referncia; A repetibilidade e o vcio de um sistema de medio binrio estimado, usando os resultados.

MinitabMinitab: Grfico de Probabilidade Normal, repetibilidade e o vcio.


EXEMPLO 14: ESTUDO DA MEDIO DODIMETRO DO EMBLO

PROPOSTA

Acessar os vvcios e as repeticios e as repetieses o sistema de medio, usando o AttributeAttribute GageGage StudyStudy (Mtodo Analtico).

PROBLEMA Em uma Anlise de Atributos, mediu-se o dimetro dos mbolos; 100% dos mbolos foram inspecionados pelo operador padro, inspeo esta que pode ser afetada por repeties e vcios; Tolerncia de + 0,01 cm.

DADOS COLETADOS 12 itens com valores de referncia entre 0,016cm e 0,002cm so medidos pelo operador padro 20 vezes. O nmero de aceitaes para cada item foi gravado como um atributo.


EXEMPLO 14: ESTUDO DA MEDIO DODIMETRO DO EMBLO

FERRAMENTAS

zz AttributeAttribute GageGage StudyStudy ((AnalyticAnalytic MethodMethod))

ARQUIVO DE DADOS: ANALYTIC.MPJ


Consideraes finais

RESUMO E CONCLUSES

As evidncias deste estudo indicam que o sistema est viciado e requer alterao.


Para mais informaes, consulte o Minitab StatGuide.


OBJETIVOS

z Selecionar a cartacarta de de controlecontrole maismais apropriadaapropriada para dados dados contcontnuosnuos;;

zz MonitorarMonitorar o o processoprocesso e e seuseu controlecontrole, usando as cartas Xbar, R, S e I-MR;

z Determinar quando ocorre uma causacausa especial de especial de variabilidadevariabilidadeno processo.

C

A

P

T

U

L

O

Cartas de Controle: Dados Contnuos


Cartas de controle

O QUE UMA CARTA DE CONTROLE?

Uma carta de controle um grfico seqencial desenvolvido especialmente para a ajudar a identificar padres anormais de variabilidade em um processo. As cartas Xbar e R so as cartas de controle mais usadas.

Estrutura geral:Estrutura geral:


Cartas de controle

QUANDO USAR UMA CARTA DE CONTROLE?

Para monitorar os dados temporais para uma caractermonitorar os dados temporais para uma caractersticastica particular particular de qualidadede qualidade, como por exemplo: a cor do produto, o peso ou a temperatura.

POR QUE USAR UMA CARTA DE CONTROLE?

Para as detectar mudanas ao longo do processo;Para responder perguntas tais como:z So os lotes de matria-prima ou a variao de turno que causam a variao no processo?z So causas especiais do processo ou causas naturais (como a temperatura ambiente) que

ocasionam a variao no processo?z A variao entre as diferentes remessas (lotes) de produo maior do que o esperado?


Seleo de cartas para dados de subgrupos


Cartas R

O QUE UMA CARTA R?

Avalia a variao entre os subgrupos em uma ordem temporal.

QUANDO USAR A CARTA R?

Para comparar a variabilidadecomparar a variabilidade dos subgrupos ao longo do tempoao longo do tempo.

apropriado examinar uma carta R ou uma carta S antes de tentar interpretar uma carta de controle da mdia do subgrupo (uma carta ). Os limites da carta so obtidos com base nas variaes dos subgrupos.

Cartas RCartas R: tradicionalmente usadas para ananlise de subgrupos pequenoslise de subgrupos pequenos.

AIAG usar a carta R ao invs da carta S quando o tamanho do subgrupo for inferior a oito.

XX

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Minitab Estatística Industrial