of 60 /60
1. MIŞCAREA DE ROTAŢIE A SOLIDULUI RIGID 1.1 Energia cinetică de rotaţie În acest capitol se studiază corpurile solide rigide. Astfel de corputri pot fi privite ca sisteme de particule (puncte materiale), distanţele dintre care ramân invariabile în timpul mişcării. Vom studia rotaţia unui corp în jurul unei axe fixe. În acest caz traiectoriile tuturor punctelor, ce aparţin corpului, reprezintă circumferinţe concentrice, ale căror plane sunt perpendiculare pe axa de rotaţie, iar centrele sunt situate pe această axă. Notăm cu r 1 , r 2 , r 3 , …, r n distanţele de la axa de rotaţie a punctelor materiale având masele m 1 , m 2 , m 3 , …, m n . La diferite distanţe punctele materiale au diferite viteze v 1 , v 2 , v 3 , …, v n . Energia cinetică a unei particule i este W mv c i i 2 2 . Se ştie că între viteza liniară v i a particulei, distanţa acesteea până la axa de rotaţie r i şi viteza unghiulară există relaţia 1

Miscarea de rotatie

  • Author
    crissssy

  • View
    10.502

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Miscarea de rotatie

1.MICAREA DE ROTAIE A SOLIDULUI RIGID1.1 Energia cinetic de rotaien acest capitol se studiaz corpurile solide rigide. Astfel de corputri pot fi privitecasistemedeparticule(punctemateriale), distanele dintre care ramn invariabile n timpul micrii. Vom studia rotaia unui corp n jurul unei axe fixe. n acest caztraiectoriiletuturor punctelor, ceaparincorpului, reprezint circumferineconcentrice, alecrorplanesuntperpendicularepe axa de rotaie, iar centrele sunt situate pe aceast ax. Notm cu r1,r2, r3, ,rn distaneledelaaxaderotaie apunctelormateriale avndmasele m1, m2, m3, , mn.Ladiferitedistanepunctele materiale au diferite viteze v1, v2, v3, , vn. Energia cinetic a unei particule iesteWm vci i22.Se tie c ntre viteza liniarvia particulei, distana acesteeapnlaaxaderotaierii vitezaunghiularexist relaia vi = ri.(1.1)Folosind aceast relaie, obinem pentru energia cinetic a particulei expresia Wm rci i2 22. (1.2)Deoarece corpul solid este rigid, toate particulele au aceeai vitezunghiular.EnergiacineticacorpuluiWc esteegalcu suma energiilor tuturor particulelor corpului: Wc = ( m1r12 + m2r22 ++ mnrn2 )w22.(1.3)1Mrimea I = ( m1r12 + m2r22 ++ mnrn2 ) = m ri iin21 (1.4)senumetemoment deineriealcorpului. inndcontde(1.4), formula pentru energia cinetic de rotaie a corpului poate fi scris sub forma Wc = 22 I.(1.5)Aceast formul este valabil pentru corpul, ce se rotete n jurul unei axefixe. Lamicareaplanacorpului, cndpunctele acestuia se deplaseaz n plane paralele, de exemplu, la rostogolirea unui cilindru pe un plan ori n cazul pendulului lui Maxwell energia cinetic a corpului se va compune din energia micrii de translaie cu viteza egal cu viteza centrului de mas i din energia de rotaie n jurul axei, ce trece princentrul de mas al corpului, adic Wc = mv Ic c2 22 2+(1.6)1.2Momentul de inerieMomentdeineriealuneiparticulenraportcuoaxde rotaiesenumetemrimeaegalcuprodusul dintremasaei i ptratul distanei de la ax.Momentul deineriealcorpuluifadeaxesteegalcu sumamomentelor deineriealetuturor particulelor ceconstituie corpul, adic I =m ri iin21 (1.6 ) Particulele situate mai departe de axa de rotaie aduc o contribuie mai mare n suma (1.4), dect cele situate mai aproape. Prinurmare, momentuldeineriedepinde de distribuia masei n raport cu axa de rotaie. Momentul de inerie al unuia i aceluiai corpvafi diferit nfunciedepoziiaaxei derotaie. Dac, de 2exemplu, otijsubireserotetenjurulaxeisalelongitudinale, atunci momentul ei de inerie va fi neglijabil, deoarece toate particulelesunt situatefoarteaproapedeaxaderotaiei deci mrimiler12, r22, r32,, rn2 din formula (1.4) sunt foarte mici. Dac nstijaserotetenjurul unei linii perpendicularepeaxaei, atunci momentul de inerie va fi mult mai mare. Aadar, momentul deineriedepindedepoziiaaxei idedireciaei. Dacaxade rotaienuesteindicatnmodspecial, atunciseconsidercse trece prin centrul de mas al corpului.Dac corpul este divizat n volume infinit mici (elementare) avnd mase elementare dm,atunci valoarea momentului de inerie poate fi determinat astfel I r dm 2,(1.7)unde integrarea (sumarea ) se face pentru toate elementele de mas ale corpului.Folosind formula (1.7), se poate calcula momentele de ineriealediferitor corpuri. Pentruundiscplan(sauuncilindru omogen) de raz R i mas m momentul de inerie relativ de axa ce trece prin centrul de mas, normal pe planul discului, este I mR 122.(1.8)n cazul unui inel momentul de inerie este dat de expresia I m R R +121222( ),(1.9)undeR1i R2sunt, respectiv, razeleinterioarei exterioareale inelului. Dac axa de rotaie este deplasat fa de axa ce trece prin centrul de mas Cla distana a (vezi Fig. 1.1), atunci momentul de inerie se determin, aplicnd teorema lui Steiner: momentul de ineriefadeoaxarbitraresteegal cusumamomentului de inerieIcfadeaxacetreceprincentrul demasal corpului, 3paralel cu axa dat, i produsul dintre masa corpuluimi ptratul disanei a dintre aceste axe I= Ic+ ma2. (1.10)Din formula (1.10) rezult c momentul de inerie relativ de axa ce trece prin centrul de mas este mai mic dect momentul de inerie al aceluiai corpfade axacenucoincide cu prima. Noiuneade moment de inerie a fost introdus atunci, cnd se studia energia cinetic de rotaie a corpului solid. Trebuie insde avut n vedere faptul c fiecare corp posed un moment de inerie fa de orice ax, independent de faptul dac el se mic ori seaflnrepaus, aacumcorpul posedmas, independent de starea sa de micare. Momentul deineriecaracterizeazproprietileinerialeale corpului n micarea de rotaie. Pentruacaracterizan modcompletproprietileineriale ale unui corp de form arbitrar n rotaie, este suficient s cunoatem momentele de inerie fa de trei axe ce trec prin centrul de inerie: momentele de inerie maxim-Imax, minim-Imin, i momentul de inerie relativ de axa normal la primele dou - Imed.1.3. Ecuaia fundamental adinamicii micrii de rotaiea corpului solid relativ de o axfix4Fie o for F0aplicat unui corp (veziFig. 1.2) n punctul situat la distana Rde la ax. Aceast for poate fi reprezentat ca suma a dou componente: o component paralel cu axa de rotaie -F||ialta situatn planul perpendicular pe axa de rotaie-F. Fora F|| poate ndoi axa sau deforma corpul, dar nu-i va comunica o micare de rotaie. ForaFo descompunem n dou componente: componentaFtangent la circumferina cu centrul n punctul O, pe care se mic punctul B, icomponenta Fn normal, orientat de-a lungul razeiOB. La fel ca i F||fora Fn, fiind perpendicular pe axa de rotaie O O , nu va putea provoca o micare de rotaie n jurul acestei axe. Astfel momentul forei F0 n raport cu axa O O este egal cu M = FR. (1.11)Dindesenrezultcmodulul foreiFesteF=F sin . n continuarevomnota Fcu F. Atunci, expresia (1.11) poate fi scris astfel

M =F R sin= F d,(1.12) unded=Rsin estenumitbraulforeiF,fiindceamaiscurt distan dintre axa de rotaie i linia de aciune a forei. Momentul forei F se numete mrimea fizic egal numeric cu produsul dintre modulul forei |F|i braul acesteea d. 5 Relaiile (1.11) i (1.12) determin valoarea numeric a momentului forei nraport cuoax. Menionmcmomentul forei nraport cuunpunct oarecareOesteomrime fizic vectorialcereprezintprodusulvectorial dintre raza vectoarea punctului de aplicaie al forei i vectorul forei:M=[r,F]. Vectorulmomentuluiforeiestenormallaplanul,ncare seafl vectorii r i F, i sensul acestui vector poate fi determinat conform regulii burghiului. Fie c n timpul dt mobilul se rotete cu un unghi infinit mic d , atunci punctul deaplicaie al forei, rotindu-secuacelai unghi, va parcurge distanads, astfel nctds=R d. Lucrul elementar al foreiFeste A =Fds=FR d.Lund n consideraie (1.11), putem scrie A = M d .(1.13)Pe de alt parte lucrul forei determin creterea energiei cinetice n micarea de rotaie a corpului solid i de aceea, innd cont de (1.6) avemM d = d(I2/2). nsituaiacndmomentul deinerieramneconstant n timpul micrii expresia de mai sus poate fi reprezentat sub formaM d= I d. (1.14)Ecuaia (1.14) poate fi dat i sub un alt aspect, dac se va ine cont c = d/dt i atunci M = I d /dt.(1.15)6Deoareceraportuld/dtesteacceleraiaunghiular , relaia (1.15) poate fi scris i astfel M = I(1.16)Ecuaia (1.16) reprezint legeafundamental adinamicii micrii de rotaie a rigidului relativ de o ax fix, deci momentul forei ce acioneazasupra unui corp fa de o ax esteegal cuprodusul dintremomentul deinerieal corpuluirelativ de aceast ax i acceleraia unghiular a acestuia.1.4 Legea conservrii momentului impulsuluin studiul micrii de rotaie a solidului se observ o analogie ntre formulele ce descriu micarea unui punct material i legile de rotaie a mobilului: F = ma i M = I ; Wc = mv2/2 i Wc = I2/2;A=Fs dS i A=Mdn micarea de rotaie rolul forei l joac momentul forei, rolul masei- momentul de inerie, rolul vitezei liniare- viteza unghiular .a.m.d. S determinmce mrime fizic corespunde impulsului corpului. Pentruaceastadivizmimaginar rigidul ncorpuscule mici. Fie o corpuscul arbitrar de mas mi situat la distana ri de laaxaderotaie, ceposedovitezlinearvi. Atunci mrimea fizic egal numeric cu produsul dintre impulsul particulei i distana acesteea pn la axa de rotaieLi=miviri(1.17)7o vom numi momentul impulsului particulei relativ de aceast ax.Momentulimpulsului uneiparticulenraport cuunpunct arbitrar O este un vector ce se definete ca produsul vectorial dintre raza vectoare a particulei i impulsul acesteea, Li=[ri,mi vi]. Lund n consideraie c, vi = ri atunci vom obine Li = mi ri2. Momentul impulsului total al rigiduluin raport cu o ax este egal cu suma momentelor impulsurilor tuturor particulelor ce constituie corpul, adic L =,121 nii iniir m L sau lund n consideraie definiia (1.4), obinem L=I(1.18) Momentul impulsului unui rigid n raport cu o ax este egal cu produsul dintre momentul de inerie al corpului fa de aceast ax i viteza sa unghiular.Difereniind ecuaia (1.18) n raport cu timpul vom avea dLdtd IdtIddt ( ). (1.19)Comparnd relaiile (1.15) i (1.19), obinem ecuaia dLdtM (1.20)Relaia (1.20) reprezint o alt expresie a ecuaiei fundamentale a dinamicii rigidului, relativ de o ax fix. . MdtL d (1.21)8nform vectorial(1.21) estevalabili pentruunsistemde particule, dac prin M se va nelege momentul rezultant al tuturor forelor exterioare, ceacioneazasuprasistemului, iar prinL- suma vectorial a momentelor impulsurilor particulelor ce alctuiesc sistemul. Strict vorbind, relaia (1.21) este valabil numai pentru axele principale de rotaie ale solidului, pentru care L | |M. n lipsa forelor exterioare (sistem nchis) M = 0 i atunci din (1.21) rezult c L = const, adic I11 +I22 +I3 3 + Ii I= const(1.22) Expresia (1.22) reprezint legea conservrii momentului impulsului. Momentul impulsului unui sistem nchis este o mrime constant.Legeaconservrii impulsului esteolegefundamentala naturii i rezult din izotropia spaiului, adic din faptul c proprietilespaiuluisuntlafelnorice direcie. Menionm,c momentul impulsului rmneconstant i atunci cndmomentul sumar al forelor exterioare este nul (forele exterioare se compenseaz reciproc). Ecuaia (1.21) proiectat pe o direcie ce coincide cu axa de rotaie, de exemplu, axa Z are forma .zMdtzdL(1.23) Din(1.23) rezult, c nsituaia cndsuma proieciilor momentelor tuturor forelor exterioarepeoaxdatestenul, momentul impulsului sistemului rmneomrime constantn raport cu aceast ax.Lucrarea de laborator Nr.1.9Studiul legii fundamentale a dinamicii micrii de rotaieScopullucrrii:verificareaexperimental alegii fundamentale a dinamicii micrii de rotaie a rigidului.Aparate i materiale:pendulul Oberbeck, cronometru,electromagnet, ubler, rigl, balan, greuti marcate. Teoria:de studiat 1.1-1.4 i 4.1 4.3 din [2].1.Montajul experimental naceastlucraresestudiazlegiledinamicii derotaiea rigidului njurul unei axefixe, prinverificareaexperimentala ecuaiei fundamentale a dinamicii micrii de rotaie.nFig. 1.3este reprezentat schema montajului experimental. Acest dispozitiv este cunoscut ca pendulul lui Oberbeck. De bara vertical1instalat pe suportul 2 sunt fixate dou console - consola inferioar fix3i cea superioar mobil4,i ncdoumufeimobile- interioar5i superioar 6. Cu ajutorul urubului7 suportul2se instaleaz strict orizontal. Pe mufa superioar6prin intermediul consolei8se fixeazrulmentul roii de curea 9i discul10. Peste disc este trecut firul 11, un capt al cruia este fixat de roata de curea cu dou trepte12, pe cnd de cellalt capt sunt 10suspendategreutile13. Demufainferioar5,prinintermediul consolei14,sefixeazelectromagnetul defrnare15,caredup conectarea la surs menine, cu ajutorul unui manon de friciune, cruceadetije mpreun cugreutile fixate peelenstarede repaus. Consola mobil4poate fi deplasat de-a lungul barei verticaleifixatnoricepoziie, permindmsurareadistanei parcursedegreuti lacderecuajutorul riglei gradate16.Pe consolamobil4este fixatunfotoelement17.Pe consola fix3 este fixat fotoelementul18,care marcheaz sfritul msurrii timpului i conecteaz electromagnetul de frnare. De consola 3 se fixeaz consola19cu amortizatoare elastice. Pe suportul montajului este instalat un cronometru, la bornele cruia sunt conectate fotoelementele 17 i 18. Tijelependulului Oborbeckmpreuncugreutilesepot roti liber n jurul axei orizontale. Momentul de inerie al sistemului Ipoate fi modificat prin deplasarea greutilorm0de-alungul tijelor. Punnd o greutate pe clapeta 13, firul este ntins astfel nct se creaz un moment de rotaie M = Tr.(1)unde Teste fora de tensiune din fir,r- raza roii de curea (Fig.1.4). Lund n consideraie forele de frecare din sistem, ecuaia (1) poate fi scris sub forma I= Tr - Mfr.(2)Pedealtpartegreutateaefectueazomicaredetranslaiei, respectiv, sesupune principiuluiIIal lui Newton, astfel nct putem scrie ma=mg - T, (3) unde aeste acceleraia micrii detranslaieagreutii ipoate fi reprezentat n felul urmtor a = r, (4)undeeste acceleraia unghiular obinut la 11desfurarea firului de pe roata de curea fr alunecare. Din ecuaiile (2-4) uor se obine urmtoarea expresie pentru acceleraia unghiular .2mr IM mgrr f+ (5)Acceleraia unghiularpoate fi determinat simplu pe cale experimental. ntra-devr, msurnd timpul t,n care greutatea m coboar de la nlimea h, se poate gsi acceleraia liniar a = 2h /t2 i, respectiv, acceleraia unghiular = a / r = 2h / t2. (6)Expresia(5)exprim relaia dintre acceleraia unghiular, ce poatefi determinatexperimental, i momentul deinerieI.n relaia (5) termenulmr2poate fi neglijat (n condiiile experimentuluimr2/I ml2, mrimea ml2 poate fi neglijat i, deci mvl = I11. (1)n momentul ciocnirii glontelui de int o parte din energia cinetic a glontelui se transform n energia interioar a plastilinei, iar restul - nenergiacineticderotaieasistemului pendul + glonte : Wcr = ( I1+ ml2 )21/2. Firul de suspensie se va rsuci cu unghiul1,i, respectiv, pendulul capt energia potenial Wp= D12/2, undeDeste modul de rsucire, ce caracterizeaz elasticitatea firului de suspensie. Conform legii conservrii energiei mecanice Wcr = Wp, adic ( I1 + ml2 )21 /2 = D12/2, de unde, lund n consideraie c I1>> ml2, obinem: I112 = D12 (2)35Din formulele (1) i (2) obinem

vmlI D 11.(3)Din (3) eliminmI1iD,folosind formula pentru perioada oscilaiilor de torsiune TID2 .Perioadele oscilaiilor pentru cele dou poziii ale greutilor5i6pe bar se exprim n felul urmtor TID112 (4) iTID222 . (5)Din formula (4)gsim DTI 211, substituim aceast expresie n (3), obinemvImlT21 11(6)Acum vom determinaI1. Din relaiile (4) i (5) avem I IIT TT2 11221212,de unde IT IT T1122212.(7)Diferena I=I2-I1vomdetermina-oaplicndteoremaSteiner pentru momentul de inerie al pendulului n cele dou poziii:5i 6. I1 = I + 2 ( MR12 + I0)(8) I2 = I + 2 ( MR22 + I0), (9)undeMestemasauneeadingreuti,I-momentul deinerieal pendulului fr greuti relativ de axa de rotaie,I0- momentul de inerie al greutii M n raport cu axa ce trece prin centrul de mas al greutii, paralel cuaxaderotaieapendulului,R1iR2- distanele dintre aceste axe. 36Analiznd formulele (8) i (9) obinem:I = 2 M(R22 - R12).SubstituindIn (7), iar rezultatul obinut - n (6), obinem definitiv

vM TmlR RT T|.

`,

41 1 22122212 . (10)Toate mrimile din (10) se determin experimental. Perioada oscilaiilor pendulului T de determin msurnd timpul ti pentru Ni oscilaii. Ti = ti / Ni (11)Utiliznd (11), relaia (10)poate fi reprezentat sub forma: vM tmlNR RT T|.

`,

41 1122122212 .(12)Pentru o alt poziie a greutilor, respectiv - alt moment de inerie - I2 vom obine urmtoarea formul de calcul:vM tmlNR RT T|.

`,

42 2222122212 , (12 )unde2esteunghiulderotirealpendululuinacestcaz, iart2- timpul a N2 oscilaii. Astfel, pentrudeterminareavitezei glontelui putemutiliza ambelerelaii. Evident, valoareavitezei nambelecazuri vafi aceeai. 2.Modul de lucru.n aceast lucrare unghiurile de rotaie1i2, corespunztoare celor dou poziiiR1iR2ale greutilor, se 37determin cu o precizie foarte mic. De aceea, msurrile se repet decel puincinci ori cufiecareglontei sedeterminvalorile medii < 1 >, < 2 >, < t1 >i< t2 >. nlocuind aceste valori n (12), se determin valoarea medie a vitezei. Rezultatul final se prezint sub forma v = < v > t< v >.3.ntrebri de control3.1Cenumimmomentdeineriealunuipunctmaterialial unui sistem de puncte materiale n raport cu o ax de rotaie? n ce uniti se exprim ?3.2Ce numim moment al impulsului unui punct material i al unui sistem de puncte materiale n raport cu un punct i n raport cu o ax de rotaie? n ce uniti se exprim?3.3Formulai teorema lui Steiner.3.4Formulai legea conservrii momentului impulsului. 3.5Deducei formula de lucru (10).3.6Aplicailegeaconservriimomentuluiimpulsului ncazul unei inte mobile. Cum se modific rezultatul final?3.7Descriei instalaia pendulului.3.8Se va modifica oare rezultatul, dac glontele va nimeri n int sub un unghi oarecare fa de normala la suprafa? 38