Mise à jour – Calcul différentiel 3 édition de Gilles ... ?· Mise à jour – Calcul différentiel…

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    12-Sep-2018

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  • Droits de reproduction restreint, Groupe Beauchemin, diteur, 2004.

    Page 9, premire lignePage 29, numro 4 f)Page 34, graphique du numro 6Page 40, graphique de la perspective historiquePage 45, graphique de lexemple 3 c)Page 67, numro 6 d)Page 71, numro 2 e)Page 74, numro 6 a)Page 138, numro 10 f)Page 145, tableau du centre, ligne Drive ne Page 157, numro 2 a)Page 175, numro 1 a)Page 182, numro 2Page 185, numro 4 c) et d)Page 186, numro 8 b), c) et e)Page 195, numro 3Page 200, thorme 2Page 201, graphique de lexemple 1Page 203, graphique de lexemple 1Page 210, graphique de lexemple 2Page 211, numro 1 f)Page 213, graphique du numro 11Page 214, graphique numro 6Page 232, 2e tape de lexemple 3Page 237, numro 3Page 261, numro 14Page 278, graphique du numro 2Page 281, thorme numro 1 et les 2e et 3e lignes Page 281, de la preuvePage 287, tableau du numro 1Page 292, numro 2Page 303, numro 3 d)Page 308, 4e ligne sous le titre Drive de la Page 308, fonction coscantePage 321, numro 19 b), c), d) et e)Page 322, numro 6 c)Page 323, numro 11 a) et b)Page 331, dernire ligne de lexemple 5 a) et Page 331, exemple 5 b)Page 357, numro 1 g)Page 359, numro 14Page 359, numro 17Page 360, texte dintroduction du numro 5Page 390, figure du numro 14Page 391, numro 11, figure et question a)Page 399, numro 11 c)Page 401, numro 4 c)Page 407, numro 2 b)Page 418, numro 11 b)Page 420, numro 1 c), d), e) et f)

    Page 422, numro 2 m)Page 423, numro 5 a)Page 426, numro 5 b)Page 429, numro 3 f)Page 430, numro 6 a)Page 431, numro 2 d)Page 432, numro 1 a)Page 433, numro 4 e)Page 433, numro 5 c)Page 434, numro 8 a)Page 434, numro 3Page 435, numro 20 a)Page 438, numro, 1 i)Page 440, numro 7 c)Page 441, numro 2Page 442, numro 9 a)Page 443, numro 10 b) des exercices 5.1Page 444, numro 4 b)Page 444, numro 10 e)Page 444, numro 12 a) et 12 d)Page 454, numro 11 b)Page 455, graphique du numro 1 f)Page 460, numro 7 e)Page 461, numro 2 c)Page 461, numro 4 c)Page 462, numro 2 a), deuxime tableauPage 468, numro 18 a) iii)Page 469, haut de page, numro 18 a) iv)Page 469, haut de page, tableau du numro 18 a) iv)Page 469, numro 19 b) des exercices rcapitulatifsPage 471, numro 4 d)Page 480, numros 2 i) et 3 des exercices 8.4Page 481, graphique du numro 4 d)Page 484, numro 10Page 489, numro 1 i)Page 490, numro 2 a)Page 493, dernire ligne du numro 9 a)Page 493, numro 10 e)page 497, numro 6 (deuxime ligne)Page 502, numro 4 b)Page 505, numro 6 b)Page 507, numro 14Page 507, numro 5Page 515, numro 2 b) des exercices rcapitulatifsPage 516, numro 2 c) et f)Page 517, numro 11 d)Page 518, numro 11 a) et d)Page 519, numro 4 b), graphique du hautPage 526, numro 1 des fonctions des formules Page 526, de drivation

    Mise jour Calcul diffrentiel 3e dition de Gilles Charron et Pierre ParentNote : les mises jour sont indiques laide dune flche ou dun encadr.

  • 9FONCTIONS

    1.1 Notion de fonctions, fonctions composes, fonctions constantes, affines et quadratiques

    Do y x est lquation cherche.

    Remarque Soit a1 et a2 les pentes respectives de deux droites D1 et D2.

    a) D1 est parallle D2 (D1 // D2) si et seulement si a1 a2.

    b) D1 est perpendiculaire D2 (D1 D2) si et seulement si a1a2 - 1.

    Exemple 4 Conversion Fahrenheit Celsius.

    Le point de conglation de leau est de 0 C, ou 32 F, et son point dbulli-tion est de 100 C, ou 212 F. La fonction qui permet de transformer desdegrs Celsius en degrs Fahrenheit est une fonction affine.

    a) Reprsentons graphiquementles deux donnes ci-dessus, ettraons la droite qui relie cesdeux points.

    b) Dterminons lquation decette droite.

    a 211020

    302

    95

    Puisque la droite passe par (0, 32),

    nous avons F(t) 95

    t 32.

    c) Transformons 20 C en degrs Fahrenheit.

    F(20) 95

    (20) 32 68, donc 68 F.

    d) Transformons 20 F en degrs Celsius.

    20 95

    t 32 (car F(t) 20)

    Do t - 6,6, donc - 6,6 C.e) Dterminons le point de la droite trouve en b) tel que labscisse est gal

    lordonne. Expliquons ce rsultat.

    Il faut trouver t tel que F(t) t.

    95

    t 32 t

    t - 40

    114

    -98

    F(t)(F)

    t(C)

    (0, 32)

    60

    10

    (100, 212)

    En 1714, Gabriel Daniel Fahrenheit (1686-1736) est le premier construire, enutilisant du mercure, un thermomtre vritablement prcis. Mais lchelle detemprature quil met alors au point est base sur la division en 96 degrs (8 12) de lcart entre la temprature laquelle leau trs sale gle et la tem-prature du corps humain. Anders Celsius (1701-1744) proposera en 1742 dediviser en 100 degrs lcart entre la temprature laquelle leau distille gle et latemprature de leau bouillante.

    7

  • 29FONCTIONS

    1.2 Fonctions polynomiales, rationnelles, algbriques et dfinies par parties

    4. Dterminer le domaine des fonctions suivantes.

    a) f (x) 4x2 7 d) f (x)

    b) g(x) 7 4

    5xx

    7 e) f (x) - 6x2 x 12

    c) h(x) 10

    1 2x 5x 12 f) k(x) 8 x

    3 2x1

    5. Dterminer le domaine et les zros des fonctions suivantes.

    a) f (x) d) f (t) 4 t 4

    t t

    b) g(x) x

    34

    7

    53x

    e) f (x) (x 2 x 2)

    c) h(x) f) h(x) (x 2 x 2)

    6. Un dmographe estime que la population dune ville est donne par

    P(t) 12 000t 40 000, o t est en annes et 0 t 20.a) Quelle sera la population de cette ville dans quatre ans et dans huit ans ?

    b) Quand la population de la ville sera-t-elle de 80 000 habitants ?

    7. Dterminer le domaine des fonctions suivantes.

    a) 3x2 4 si - 3 x 4h(x)

    5x 9 si 4 x 7

    x si x 1b) f (x) x 2 si 1 x 2

    -1 si x 2 et x 3

    8.

    x 2 1 si x - 13x 5 si - 1 x 47 si x 4

    Soit f (x)

    5 3x 2 si x 4 et x 7.

    valuer, si possible :

    a) f(-5) ; c) f(0) ; e) f(4) ;

    b) f(10) ; d) f(-1) ; f) f(7).

    9. Dterminer le domaine et reprsenter graphiquement les fonctions suivantes.

    x 3 si x 4a) h(x) 6 si x 4

    -2x 1 si x - 1b) g(x) - 2 si - 1 x 1

    x 2 9 si x 2

    43(4 x)(x 6)x 5

    34

    (3 2x)(5x 7)(x 5)(2 3x)

    22x2 9

    x

    15

    si x 0

    c) g(x) xx

    34

    si x 2

    t 4 si t 5d) s(t)

    6

    1 t si t 5

  • 34 CHAPITRE 1

    Exercices rcapitulatifs

    6. Soit la reprsentation graphique suivante.

    a) Dterminer lquation des droites ci-dessus.

    b) Dterminer les coordonnes des pointsA et B.

    c) Dterminer lquation dune droitepassant par P(1, 2) et qui est parallle D3.

    d) Dterminer lquation dune droitepassant par P(9, 1) et qui est perpen-diculaire D3 ; donner votre rponsesous la forme ax by c 0, o a, bet c z.

    7. a) Reprsenter sur un mme graphiqueles fonctions suivantes :

    f (x) x 2 4x 5 et g(x) - 2x 3.

    b) Dterminer les points dintersectionde ces courbes.

    c) Dterminer lquation de la droite quipasse par le point P(1, f (1)) et qui estparallle la droite dfinie par g.

    8. Construire une fonction quadratique dontles zros sont - 6 et 2 et pour laquelle ima f -, 32].

    9. Dterminer lensemble des valeurs de kpour lesquelles 4x 2 kx 9

    a) a deux zros rels ;

    b) a un zro rel ;

    c) na aucun zro rel.

    10. Dterminer le domaine des fonctions sui-vantes et les reprsenter graphiquement.

    a)xx

    2

    24

    si x 2g(x)

    1 si x 2

    xx

    2

    39

    si x - 3b) h(x)

    - 6 si x - 3

    c) f (x) 2 x 3

    d) k(x)

    11. Dterminer les valeurs de x qui vrifientles inquations suivantes.

    a) (x 2)(x 5) 0

    b) x 2 9 0

    c) (3x

    (3x5)

    2(x1)

    4) 0

    12. Une personne qui travaille pour une com-pagnie de location dautomobiles ayant40 voitures louer, reoit un salaire quo-tidien de 30 $ ; de plus, elle obtient unecommission de 4 $ pour chaque auto-mobile quelle loue.

    a) Dterminer son salaire dune journesi elle loue 22 automobiles.

    b) Si n reprsente le nombre dautomo-biles loues, dterminer la fonction Squi donne le salaire quotidien en fonc-tion du nombre dautomobiles loues,en prcisant son domaine.

    c) Combien dautomobiles doit-elle louerpour que son salaire quotidien soit de78 $ ?

    d) Si, au cours dune semaine cette per-sonne travaille 5 jours, combien doit-elle, en moyenne, louer dautomobilespar jour pour que son salaire hebdo-madaire soit de 570 $ ?

    13. Un automobiliste roulant 36 km/h freinepour dclrer uniformment raison de4 m/s2.

    a) Dterminer la fonction donnant lavitesse de lautomobile en fonction dutemps.

    b) Dterminer sa vitesse aprs 1,3 s.

    c) Dterminer le temps requis pour immo-biliser lautomobile.

    d) Dterminer la fonction donnant la posi-tion de lautomobile en fonction dutemps, en posant x0 0 m.

    4 2x

    x 2

    y

    x

    D4

    1

    D1

    D3

    D2

    D5

    1

    12

    A

    B

    (4, -3)

    (9, 1)

  • 40 CHAPITRE 2

    Perspective historique

    La matire, nous disent les physiciens, secompose datomes, eux-mmes constitusde particules lmentaires. Lunivers nestdonc pas physiquement continu. Si javais la capa-cit de me rapetisser indfiniment, jusqu deve-nir du mme ordre de grandeur quun atome, jenaurais pas le choix, pour me dplacer, que desauter dun atome un autre. Mais, intuitivement,mon mouvement ne serait-il pas, lui, continu ?Entre deux atomes, mon dplacement ne seraitpas saccad. Puis-je alors dire que lespace estcontinu ? Y aurait-il des atomes despace ?Y aurait-il des atomes de temps?

    Ce genre de questions, les philosophes et lesscientifiques se les posent depuis la nuit des temps.Chez les Grecs de lAntiquit, les discussions pri-rent une tournure particulirement dramatique.Pour le grand philosophe Aristote (384-322 av. J.-C.), une chose est continue si on peut la subdi-viser rptition, indfiniment. Mais alors, querpondre Znon dle qui remarquait, dans leparadoxe appel la dichotomie , que lorsque jeme dplace vers un mur, je dois dabord arriver la moiti de la distance qui me spare du mur,puis, nouveau, la moiti de la distance qui mespare alors du mur, et ainsi de suite. Supposantlespace continu, mme si je mapproche de plusen plus du mur, il me restera toujours une moitide distance parcourir. Je natteindrai donc jamaisle mur. Par contre, si je suppose lespace noncontinu, en me dplaant, jarriverai un momentdonn une distance du mur qui ne sera plusdivisible. Alors, ltape suivante, je parviendraincessairement au mur. Puisque, en ralit, jat-teins le mur, cela ne voudrait-il pas dire que lespaceest effectivement discontinu?

    Ce genre darguments fera lobjet dune contro-verse pendant plusieurs sicles. On montrera fina-lement, au Moyen ge, laide des sries infinies,que puisque les temps pour parcourir les moitisdespaces restants deviennent de plus en pluscourts mesure quon approche du mur, au total,cela prend un temps fini pour y arriver.

    En mathmatiques, nous tenons pour acquisque lespace gomtrique est continu et doncquil peut se subdiviser linfini. Ainsi, lorsquontrace le graphe dune fonction y f (x), on tientpour acquis que x prend successivement toutes lesvaleurs sur laxe des x. Votre exprience avec lesfonctions vous porte sans doute croire que, saufpour des cas assez rares (comme y f (x) 1/x) et

    artificiels (comme les fonctions escaliers), le gra-phe correspond un trac continu. De Descartes(1637) jusquau dbut du XIXe sicle, les math-maticiens pensrent de mme. Lexpression sym-bolique, mme infinie, permettant de calculer lavaleur de f (x) semblait un garant du fait que legraphe de la fonction puisse tre trac dun traitcontinu, sauf peut-tre en quelques points. On nesentait donc pas vraiment le besoin de prciserdavantage ce qutait une fonction continue .Mais alors, lintuition commena tre prise endfaut(voir le problme ci-dessous). Cest dansle contexte de la recherche dune plus granderigueur que le Franais Augustin Cauchy (1789-1857) dfinira la continuit dune fonction (1823):

    Lorsque la fonction f (x) admettant une valeur uni-que et finie pour toutes les valeurs de x comprises entredeux limites [comprendre ici les bornes dun inter-valle] donnes, la diffrence

    f (x i) f (x)est toujours entre ces limites une quantit infiniment petite,on dit que f(x) est fonction continue de la variable entre leslimites dont il sagit.[i est vu ici comme un nombredont la valeur se rapproche infiniment du zro.]

    Cauchy a rpondu dabord intuitivement ouipour produire par la suite une dmonstration. Maisle jeune mathmaticien Niels Abel (1802-1829) luioppose un contre-exemple la dmonstration deCauchy. Vous pouvez vous rendre compte vous-mme du bien-fond du contre-exemple en traant,sur votre calculatrice graphique ou, mieux encore,sur un traceur graphique dun ordinateur, la fonc-tion suivante:

    y sin(x) sin(

    22x)

    sin(33x)

    sin(44x)

    en ajoutant toujours davantage de termes. Vousremarquerez que dun graphe lautre, le graphese rapproche du graphe suivant.

    Perspect ive histor ique

    V O U S D I T E S C O N T I N U ?

    PROBLME: La fonction correspondant la sommeinfinie de fonctions continues est-elle elle-mme unefonction continue?

    3- -2

    2

    -3 8

  • 45LIMITE, CONTINUIT

    Puisque limx 9-

    f (x) limx 9

    f (x) 0,16, alors limx 9

    f (x) 0,16. (thorme 1)

    c) Reprsentons graphiquement f sur [0, 20].

    Exemple 3 Soit g(x) .

    a) Trouvons dom g.

    dom g IR \ {- 0,5}

    b) Calculons limx - 0,5

    f (x), laide de tableaux de valeurs, o x -0,5- et x -0,5.

    x - 0,6 -0,51 -0,501 -0,5001 - 0,5-

    f (x) - 0,4 -0,49 -0,499 -0,499 9 - 0,5

    donc, limx - 0,5-

    f (x) - 0,5

    x - 0,4 -0,49 -0,499 -0,499 9 - 0,5

    f (x) 0,6 0,51 0,501 0,500 1 0,5

    donc, limx - 0,5

    f (x) 0,5

    Puisque limx - 0,5-

    f (x) limx - 0,5

    f (x), alors limx - 0,5

    f (x) nexiste pas. (thorme 1)

    Remarque Une tude plus approfondie des notions de limite gauche, de limite droite et des conditions dexistence de la limite sera faite la section 2.3.

    c) Reprsentons graphiquement f.

    2x 2 3x 1

    2x 1

    2x 2 3x 1

    2x 1

    2x 2 3x 1

    2x 1

    2.1 Notion de limite

    xxx 910

    0,05

    f(x)

    f(x)

    f(x)

    x 9- 9 x

    0,16

    0, 13

    f (x) x 3x 9

    y

    x

    1

    1

  • 67LIMITE, CONTINUIT

    2.3 Continuit

    En x - 5 x - 2 x 0 x 3 x 6

    f est continue.

    La 1re condition est satisfaite.

    La 2e condition est satisfaite.

    La 3e condition est satisfaite.

    5. laide de la dfinition, dterminer si les fonctions suivantes sont continues la valeur de xdonne.

    a) En x 0 pour f (x) 3x 2 4

    x 6 si x - 1b) En x - 1 pour f (x) 3 si x - 1

    5x 2 si x - 1

    7x 2

    4

    x1

    si x 1c) En x 1 pour f (x) 3x 2 1 si x 1

    6. Trouver les valeurs de x o la fonction serait susceptible dtre discontinue et dterminer si lafonction est continue en ces valeurs.

    a) f (x) 3x 2

    64x 5

    b) f (x) x

    42

    c) f (x)

    2x 6 si x - 14 si x - 1x 2 3 si - 1 x 2

    d) f (x)

    7 3x si x 2

    7. Soit f, la fonction reprsente par le graphique ci-contre.

    Rpondre par vrai (V) ou faux (F).

    La fonction f est continue sur :

    a) [2, 6] ; d) [-4, 2] ; g) [-1, 1[ ;

    b) ]2, 6[ ; e) ]-4, 2] ; h) ]6, ;c) ]-4, 2[ ; f) ]-4, 6[ ; i) -, - 4].

    8. Rpondre par vrai (V) ou faux (F).

    Les fonctions f suivantes sont continues sur les intervalles donns.

    a) f (x) x

    x3

    sur [-1, 1] ; sur ]0, 3] ; sur [0, 3[ ; sur [1, 4]

    b) f (x) 2x 4 sur IR ; sur ]-2, 0] ; sur ]-3, 2] ; sur [-2,

    c) f (x) 3x

    4

    2x 2

    sur [-2, 2] ; sur [-4, 0[ ; sur [-1, 1] ; sur ]-2, 2[

    x(x 2)(x 3)(3x 9)(2 5x)

    f(x)

    x1

    1

  • 71LIMITE, CONTINUIT

    Exercices rcapitulatifs

    1. valuer les limites suivantes en construisantles tableaux de valeurs appropries.

    a) limx - 1

    3 x

    x

    x1 2

    b) limh 0

    5h

    h1

    2. valuer, laide des thormes, les limitessuivantes.

    a) limx 2

    (7x 2 4)

    b) limx 0 3x

    2

    3

    x 7x

    1 2

    3

    c) limx 1

    [(7x 3)(4x 2 1)]

    d) limx - 1 8x

    3

    x

    10

    7

    x 2

    x9

    16 x 2 2

    e)

    f) x1

    3 2x 3- 2

    3. Soit limx a

    f (x) 64, limx a

    g(x) - 1, limx a

    h(x) 0,

    h(a) 2, g(a) - 1 et f...

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