MISURA: aspetti operativiMISURA: aspetti operativi

• Premessa– Aspetti generali: fra teoria ed esperimento– Aspetti pedagogici: errori ed incertezze– Piano della presentazione

• Introduzione– Misura come atto quotidiano– La difficile scelta dello strumento adatto– Motivazionia storiche e culturali– Risultato quantitativo: numero ed unità di misura

Le fasi di una misuraLe fasi di una misura

• Quale grandezza misurare– Scopo/decisione/modello

• Quale unità di misura adottare– Convenienza/universalità/aspetti legali e

scientifici/stabilità e ripetibilità

• Relazione fra la grandezza e l’udm– Risoluzione/precisione/accuratezza

• Il mondo esterno è isolato?– Influssi sullo strumento/ sul comparatore/sulla

grandezza, generano incertezza

Incertezza ed incompatibilitàIncertezza ed incompatibilità

I differenti punti di vista di osservatori con differenti tecniche di misurazione:

Armadio a muro da inserire in una nicchia di 2.5 m x 75 cm x 20 cm,

Misura del muratore (entro la tolleranza della calce), 2.5 m ± 1 cmMisura del falegname (entro la superficie del legno), 2.5 m ± 1 mm.

L’armadio può benissimo non entrare nella nicchia!

Il concetto moderno di misuraIl concetto moderno di misura

(75–1) cm < x < (75+ 1) cm, entro 1 cm la lunghezza non varia. Ma entro 1 mm la lunghezza oscilla! Equivalentemente, entro 1 mm la nicchia non è un parallelepipedo: IL MODELLO VA RAFFINATO!

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Incertezza e misuraIncertezza e misura

ASPETTO INTRINSECO della MISURA causato da

– Calibrazione dello strumento (accuratezza nella riproduzione dell’unità di misura di riferimento)

– Risoluzione del comparatore (piccola ma finita)

– Perturbazioni causate da influenze esterne

Valutazione dell’incertezzaValutazione dell’incertezza

A bassa risoluzione l’incertezza è stimata dalla risoluzione stessa (la più piccola divisione della scala del comparatore)

Misura : (x ± x) unità di misura

2 x è l’intervallo di confidenza

Per strumenti con graduazioni di qualità è permesso interpolare una misura più precisa.

Notazione e cifre significativeNotazione e cifre significative

Coerenza fra risultato ed incertezza:(72.5±0.5) Kg

(5.20±0.05) Kg

In un risultato vanno indicate tutte e sole le cifre ottenibili dall’operazione di misura, per questo dette cifre significative.

Misure indirettev=18.6719 cm/sec; v=0.0712 cm/sec

ci interessa il limite superiore dell’incertezza (è una stima!):v=(18.67±0.07) cm/sec.

Qualità di una misuraQualità di una misura

E’ possibile definire la bontà assoluta di una misura?

Incertezza assoluta e relativa:A=(17±2) cm , B=(1890±2) cm,

differenti cifre significative,

A/A=2/17~0.1 (10%), B/B=2/1890~0.001 (0.1%)

È una distinzione ancora relativa!

Variazioni casualiVariazioni casuali

• Richiesta di minimizzare l’incertezza relativa l’incertezza assoluta

• Si utilizza uno strumento con maggiore risoluzione• Misura del periodo di oscillazione di un pendolo• Cronometri con risoluzione crescente?

R=1 s, T=(2±1) s, incertezza 50%

R=0.2 s, T=(2.2±0.2) s, incertezza 9%

R=0.05 s, T=(2.15±0.05) s, T=(2.05 ±0.05) s, T=(2.00 ±0.05) s, T=(2.10 ±0.05) s, …

Proprietà delle misure “casuali”Proprietà delle misure “casuali”

• Non hanno un andamento sistematico• Non sono dovute al cattivo funzionamento dello strumento• Sono dovute all’effetto dell’operatore: i suoi tempi di reazione

fissano il limite inferiore alla precisione in quanto

treazione< risoluzione

• Utilizzando uno strumento con tempi di reazione ridotti le fluttuazioni scompaiono

• Utilizzando una risoluzione maggiore le fluttuazioni tornano, eventualmente causate da altri fattori

• Si può aumentare il numero di misure (con eguali probabilità di “sbagliare” in crescere o calare)

• Si utilizza un approccio statistico

Misure Misure accurateaccurate

• Possibilità di fare errori grossolani o approssimazioni errate nel modello/progetto/esecuzione di una misura

• Mancato/errato azzeramento dello strumento (effetto additivo)

• Mancata/errata taratura dello strumento (effetto moltiplicativo)

• Effetti tali da causare sistematicamente misure errate (senza evidenza diretta!)

• Altra causa: imperfezione del modello (esempi: spinta di Archimede, profondità di un pozzo …)

Incertezze casuali e sistematicheIncertezze casuali e sistematiche

• Collegamento fra precisione ed accuratezza: il bersaglio delle misure

• Non ha senso parlare di valore vero di una misura o di errori sperimentali (non esiste un comparatore perfetto, né uno “stato fisico perfetto”, deteministico)

• Difficoltà di distinguere nella sostanza effetti sistematici da quelli casuali (determinismo-causalità).

• E’ importante stimare l’entità delle incertezze e non la loro natura

Descrizione matematica delle Descrizione matematica delle fluttuazioni casualifluttuazioni casuali

• Caso interessante: sparpagliamento casuale delle misure ottenute a risoluzioni relativamente elevate

• È comunque possibile fornire un risultato della misura e stimare l’incertezza

• È importante sperimentare il fenomeno di natura statistica

IstogrammiIstogrammi

• Organizzazione dei dati in tabelle e loro rappresentazione grafica per la visualizzazione della distribuzione dei risultati.

• Misura ripetuta di una grandezza fisica

• Raggruppamento secondo classi o intervalli di molteplicità

• Tabulazione delle frequenze, fk = nk / N

• Regole di normalizzazione, k nk= N, k fk=1

• Grafico delle frequenze e costruzione dell’istogramma di distrubuzione dei risultati

Migliore stima della grandezzaMigliore stima della grandezza

• Rappresentazioni sintetiche e significative di un gruppo di dati dispersi

• Moda, mediana, media (maggiore frequenza, posizione simmetrica, baricentro)

< x >= k xk / N = k nk xk / N

• La media fornisce la migliore stima della grandezza per fluttuazioni casuali (tante misure spinte al di sopra del risultato corretto quante misure spinte al di sotto di esso).

Dispersione dei risultatiDispersione dei risultati

• La risoluzione sperimentale non è utilizzabile per assegnare l’incertezza della misura, in quanto la fluttuazione ha ampiezza maggiore.

• Stima grossolana (e pessimistica) tramite la massima dispersione dei dati,

x=(xmaxxmin)/2

• Valutazione di una deviazione media quadratica o deviazione standard

1

2

N

xxkx

Deviazione e qualitàDeviazione e qualità

• Scelta a caso di materiale (sfere) prodotte da una catena di montaggio

• Campione di 20 oggetti con diametri dispersi: dk=(3.36, 3.30, 3.38, 3.28, …) mm

• Stima con la media: <d>=3.35 mm, d=0.05 mm• Il diametro è statisticamente compreso

nell’intervallo <d>± d entro il 68% dei casi• Si deve sottolineare la natura statistica di questa

informazione• Esiste una distribuzione teorica di valori casuali

(legge di Gauss)

Deviazione della mediaDeviazione della media

• Calcolo della migliore stima per l’incertezza della media (più precisa rispetto l’incertezza del dato singolo):

• È un intervallo di confidenza del 68%• Si noti che questa deviazione diminuisce con N

(processo di inferenza statistica più efficace)• C’è un limite inferiore strumentale all’incertezza• 30 misure di periodo, <T>=2.12 s, T=0.09 s,

<T>=/N1/2=0.02 s < 0.05 s (risoluzione sperimentale), si scrive T=(2.12±0.05) s

Nxx /

Esercitazione di laboratorio statisticoEsercitazione di laboratorio statistico

• Misura del periodo di un pendolo con risoluzione pari a 0.2 s, valori eguali, T=1.2 s, T=(1.2±0.2)s, T/T=20%

• Misura con risoluzione di 0.01 s, dieci valori dispersi: (1.35,1.29,1.15,…,1.38)s; vi sono fluttuazioni minori di 0.2s, stima con la deviazione standard, T=0.08 s

• Deviazione standard della media, 0.08/(10)1/2=0.03s, intervallo di confidenza al 68% T=(1.29±0.03)s, T/T=2%

• Eliminazione degli effetti dovuti ai tempi di reazione con uno start/stop elettronico: T=(1.28±0.01)s, T/T=0.8%

• Guadagno efficace pari a N misure manuali secondo la T/(N)1/2=0.01 con T=0.08, per cui N=64

Incertezze in misure indiretteIncertezze in misure indirette

• A partire dalla misura di due o più grandezze sperimentali calcolo di grandezze derivate con le rispettive incertezze

• Casi di incertezze “legali” e “scientifiche”, corrispondenti a intervalli di taratura e stime di probabilità

• Casi di combinazione diretta di incertezze legali e di combinazione casuale (quadratica) di incertezze scientifiche

Somma/differenza diretta di incertezzeSomma/differenza diretta di incertezze

Rapida (sovra)stima delle incertezze• Somma di a±a e di b±b, S=a+b,

– Smax=amax+bmax=a+b+a+b, – Smin=amin+bmin=a+bab; S=(SmaxSmin)/2=a+b;– Esempio: x1=(12.5±0.5)cm, x2=(6.3±0.2)cm, x1+x2=(18.8±0.7)cm;

• Differenza di a±a e di b±b, D=ab,– Dmax=amaxbmin=ab+a+b, – Dmin=aminbmax=a bab; D=(DmaxDmin)/2=a+b;– Esempio: calcolo di peso netto P dal lordo L=(25.12±0.02) Kg e dalla

tara T=(5.05±0.05) Kg, P=(20.07±0.07) Kg.

Prodotto/rapporto diretto di incertezzeProdotto/rapporto diretto di incertezze

• Prodotto di a±a e di b±b, P=ab,– Pmax=amaxbmax=(a+a)(b+b),

– Pmin=aminbmin=(aa)(bb);

P=(PmaxPmin)/2=ab+ba

P/P= a/a+ b/b (somma delle incertezze relative)

– Esempio: area del rettangolo di lati a=(2.0±0.1)cm, b=(4.0±0.2)cm, a/a=0.05, b/b=0.05, A/A=0.1, A=0.1A=0.8 cm2, A=(8.0±0.8)cm2.

• Risultato analogo per il rapporto diretto– Si sommano le incertezze relative (se non sono grandi)

Combinazione di incertezze statisticheCombinazione di incertezze statistiche

• Utilizzo di formalismo matematico per la combinazione di distribuzioni di probabilità

• Es. somma di due variabili, calcolo del valore medio e della deviazione della somma, che è ancora di tipo gaussiano

• Deviazione data da S=(a2+b

2)1/2.• Generalizzazione per la G(x,y,z,…) (grandezze

indipendenti)

222

zyx z

G

y

G

x

GG

MetrologiaMetrologia

• Aspetti storici e sociali• Aspetti legati alla ricerca scientifica• Esigenza di universalità• Esigenze specifiche di riproducibilità e

stabilità temporale delle UdM• Esigenza di convenienza delle UdM• Continua evoluzione della scienza

metrologica

Sistemi di Unità di Misura UniversaliSistemi di Unità di Misura Universali

• UdM invarianti nello spazio e nel tempograndezze e fenomeni naturali universali (es.: lunghezza e tempo)

• Definizione di multipli/sottomultipli decimali (MKS, Francia 1795)

• Realizzazione di campioni materiali fondamentali del metro e del kilogrammo (internazionali)

• Realizzazione di campioni primari (nazionali) e di campioni secondari (regionali o locali)

• Si richiede di minimizzare il numero di grandezze fondamentali richieste (dimensionalmente indipendenti e capostipiti di tutte le grandezze fisiche derivate, es. SMD con L, T e M)

Grandezze fondamentali indispensabiliGrandezze fondamentali indispensabili

disciplina

geometria

cinematica

meccanica

termodinamica

elettromagnetismo

elettrochimica

ottica

Grandezze necessarie e sufficienti

lunghezza

lunghezza, tempo

lunghezza, tempo, massa

lunghezza, tempo, massa, temperatura

lunghezza, tempo, massa, corrente

lunghezza, tempo, massa, temperatura, corrente, quantità di sostanza

lunghezza, tempo, massa, temperatura, corrente, quantità di sostanza, intensità luminosa

Sistema Internazionale di MisuraSistema Internazionale di Misura

• Introduzione di nuove grandezze fondamentali oltre a M, L, T

• Nel 1960 la CGPM adotta il SI con 7 grandezze fondamentali, 2 supplementari e più di 100 derivate

LUNGHEZZA metro m

MASSA kilogrammo kg

TEMPO secondo s

INTENSITA’ di CORRENTE ELETTRICA ampere A

TEMPERATURA TERMODINAMICA kelvin K

QUANTITA’ di SOSTANZA mole mol

INTENSITA’ LUMINOSA candela cd

Inoltre angolo piano (radiante) e solido (steradiante)

Unità SI derivate con nomi particolariUnità SI derivate con nomi particolari

Frequenza hertz HzForza newton NPressione pascal PaEnergia/Lavoro joule JPotenza watt WCarica coulomb CPotenziale volt VCapacità faraday FResistenza ohm Conduttanza siemens SFlusso magnetico weber WbInduzione magnetica tesla TInduttanza henry HFlusso luminoso lumen lmIlluminamento lux lxRadioattività becquerel BqDose assorbita gray GyDose equivalente sievert Sv

Unità SI non permesseUnità SI non permesse

minuto min 60sora h 3600sgiorno d 86400sgrado ° /180 radminuto d’angolo ‘ /10800 radsecondo d’angolo “ /648000 radlitro l 103 m3

tonnellata t 103 kgbar bar 105 Pa

Evoluzione degli standard di misuraEvoluzione degli standard di misura

• Svincolarsi da prototipi materiali• Maggiore accuratezza e precisione• Costanti della fisica come UdM• Il metro è ora definito in termini di velocità della luce

nel vuoto (nota con accuratezza elevatissima)• Il tempo è ora definito in termini di oscillazioni

naturali di un campione atomico• Accuratezza dell’unità come conformità alla

definizione internazionale della costante fisica

Riferimenti bibliograficiRiferimenti bibliografici

• “La misura e la valutazione della sua incertezza nella fisica sperimentale”, M.Caporaloni, S.Caporaloni, R.Ambrosini, Zanichelli.

• “La Misura”, M. Vicentini Missoni, C. G. Hoffmann, E. Raddi, La Nuova Italia