Mjere Oblika Distribucije i Mjere Koncentracije

Embed Size (px)

Citation preview

Mjere oblika distribucije i mjere koncentracije Prof. dr Emina Resid Sadraj predavanja Pojam mjera oblika distribucije Definicija i interpretacija koeficijenta asimetrije Definicija i interpretacija koeficijenta zaobljenosti Primjeri odreivanja vrste asimetrije i zaobljenosti distribucije frekvencija Sadraj predavanja, cont. Definicija mjera koncentracije Lorez-ova kriva Gini-ev koeficijent Konkretni primjeri iz BiH Primjena u praksi Nakon ovih predavanja modi dete... Razumjeti pojmove asimetrije i zaobljenosti distribucije frekvencija. Za zadanu distribuciju frekvencija: odrediti i protumaiti koeficijent asimetrije i odrediti i protumaiti koeficijent zaobljenosti. Razumjetipojmovekoncentracijeiravnomjernosti raspodjele bogatstva. NakonkretnimpodacimaodreditiGini-evkoeficijenti skicirati Lorenz-ovu krivu. ...i,tojenajvanije,tumaitiirazumjetinjihovo znaenje. Mjere asimetrije i zaobljenosti distribucije frekvencija mjere oblika distribucije Centralni momenat k-tog reda Prosjeno odstupanje k-tog stepena podataka od prosjeka Primjer - varijansa ( ) ( )1 11n nk kk i i i ii ix X f x X pN= = ((= = (( Koeficijent asimetrije Koeficijent asimetrije (Fisher) Centralni momenat tredeg reda

simetrija desna asimetrija lijeva asimetrija | |3333,najee2, 2ooo=e ( )( )331311ni iini iix X fNx X p== (= = ( (= ( 3 30 ili 0 o = = 3 30 ili 0 o > > 3 30 ili 0 o < < Grafiki prikaz asimetrije X f simetrina lijevo asimetrinadesno asimetrina Sluajevi asimetrije i odnos parametara Simetrina distribucija Negativna asimetrija Pozitivna asimetrija 30e oX M M o = = =30e oX M M o < < > >Alternative za izraunavanje koeficijenta asimetrije Pearsonov koeficijent asimetrije Yule-Kendall koeficijent Tumaenje analogno o3 | |3 ( ), najee 3, 3o ek kX M X MS So o = = e | |1 33 12, najee 1,1ek kQ Q MY YQ Q+ = e Koeficijent zaobljenosti Koeficijent zaobljenosti (Pearson) centralni momenat etvrtog reda normalna zaobljenost izduenost spljotenost 444oo=( ) ( )4 441 11n ni i i ii ix X f x X pN= = ((= = (( = o 3443 o > 43 o < Grafiki prikaz zaobljenosti X f normalno zaobljena spljotena izduena Fischerov koeficijent zaobljenosti 44444430 normalna zaobljenost0 izraena zaobljenost0 izduenosto= = < > Primjer 1 Odreditiaritmetikusredinu,standardnudevijaciju,mjere asimetrijeizaobljenostizavarijablu-iznosdonacije(u000 KM)predstavljenusljededomstatistikomdistribucijom frekvencija: iznos donacijebroj donatora 0-40 4 40-80 8 80-120 14 120-160 8 160-200 6 Rjeenje radna tabela ix if ic i ic f 2i ic f ( )ic X ( )3i ic X f ( )4i ic X f 0-40420801.600-84-2.370.816199.148.544 40-8086048028.800-44-681.47229.984.768 80-120141001.400140.000-4-8963.584 120-16081401.120156.80036373.24813.436.928 160-20061801.080194.400762.633.856200.173.056 E404.160521.600-46.080442.746.880 Rjeenje grafiki prikaz Poligon apsolutnih frekvencija02468101214160 50 100 150 200centri intervalaapsolutne frekvencije Rjeenje aritmetika sredina i standardna devijacija Prosjean iznos donacije je 104 000 KM. Prosjeno linearno odstupanje od prosjeka iznosi47 160 KM. 514.160104401ic X fi iN == = = ( )522 2 211 521.600104 2.224 47,1640i iic f XNo o= (= = = = ( Rjeenje koeficijent asimetrije

Zadana distribucija frekvencija je priblino simetrina.( )53311 46.0801.15240i iic X fN= (= = = ( 333 31.1520, 01 047,16oo= = = ~ Rjeenje koeficijent zaobljenosti Zadana distribucija frekvencija je iroka (spljotena). ( )54411 442.746.88011.068.67240i iic X fN= (= = = ( 444 411.068.6722, 23 347,16oo= = = < Rjeenje grafikon X f Simetrina i normalno zaobljena distribucija, za poreenje Simetrina i zaobljena distribucija iz primjera Pitanje Ukolikoznamodajedistribucijafrekvencijadesno asimetrina: a) Kojeg je znaka njen koeficijent asimetrije? Pozitivan Negativan b)Kojijekraknjenogpoligonaapsolutnihfrekvencija dui? Lijevi Desni Primjer 2 Uposljednih5godinaukompanijiICCdesilose120povredana radu i broj sati izgubljenih zbog povreda bio je: Broj sati izgubljenih zbog povredeBroj povreda na radu2 18 3 28 4 36 5 19 6 10 76 82 91 Primjer 2, cont. Zadanu distribuciju frekvencija predstaviti grafiki. Izraunati i protumaiti koeficijent asimetrije. Izraunati i protumaiti koeficijent zaobljenosti. Rjeenje Grafiki prikaz: Poligon apsolutnih frekvencija 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0246810 apsolutne frekvencije Rjeenje, Excel, asimetrija U Excel sheet unijedemo orginalne podatke. Koristimo statistike funkcije (fx) Rjeenje, Excel, zaobljenost Rjeenje, cont. Koeficijentzaobljenostiiznosi(3+0,46)=3,46>3,to znai da se radi o izduenoj distribuciji frekvencija. Koeficijent asimetrije iznosi 0,76>0, to znai da se radi o desno asimetrinoj distribuciji frekvencija. Rjeenje, cont. X f Simetrina i normalnozaobljena distribucija, za poreenje Desno asimetrina i izduena distribucija,za podatke iz primjera Primjer 3 28,932,120,224,631,541,845,128,535,540,1 28,639,233,841,526,142,634,925,937,842,7 38,839,529,139,424,534,733,742,536,737,1 32,437,635,534,936,831,133,432,527,123,4 33,127,829,234,033,134,239,126,739,329,1 Datisupodacioprinosimapohektaruna 50 parcela: Analiziratioblikempirijskedistribucije frekvencija. Rjeenje, Excel: Tools Data analysis Rjeenje, Excel: Tools Data analysis, cont. Koeficijentzaobljenostiiznosi(3-0,615)=2,385,toznaidaseradio irokoj (zaobljenoj) distribuciji frekvencija. Koeficijent asimetrije iznosi -0,184, to znai da se radi o blago lijevo asimetrinoj distribuciji frekvencija. Rjeenje, grafikon X f Simetrina i normalno zaobljena distribucija,za poreenje Lijevo asimetrina i zaobljena distribucija za podatke iz primjera II. Mjere koncentracije BiH 2004. 20%najsiromanijegstanovnitvaraspolaesa8% cjelokupnogbogatstvaudravi,dok10%najbogatijeg stanovnitva raspolae sa 23% cjelokupnog bogatstva u dravi.* Uporeenjusavedinomrazvijenihzapadnihzemalja, raspodjelabogatstvauBiHjemnogopravednija (ravnomjernija). *Arnaut-Berilo Almira, Delalid Adela, Analysis of household consumtion in BiH, ICES 2006. 34 Mjere koncentracije ...sluezamjerenjeravnomjernostiraspodjelenekog pokazateljabogatstvailiblagostanjameu pripadnicima posmatrane populacije. Lorenz-ova kriva Gini-ev koeficijent (najpoznatiji i najvie koriten) Globalna ili agregatna vrijednost agregatrelativni agregat( )kumulanta relativnog agregataii ii iii ii ix xx f ix fq ix fQ qs = = Lorenz-ova kriva 0 1 (100%) 1 (100%) Kumulativno pripadnici populacije Kumulativno mjera bogatstva Linija nejednakosti Tumaenje Lorencove krive F Q 1 1 Raspodjela tei ka veoj ravnomjernosti Raspodjela tei ka veoj koncentraciji Gini-ev koeficijent PredstavljaodnospovrineizmeuLorencovekrivei pravcajednakeraspodjele(povrinakoncentracije)i povrine trougla koji se nalazi ispod dijagonale.

povrina koncentracije2 povrina koncentracije 20, 5G S = = = 1 0 s s GGini-ev koeficijent formule za izraunavanje Metoda trapeza praktina i grafiki se jednostavno ilustruje ( )111ni i iiG Q Q p== | + | a ch( + c) h2Fj-1FjQjQj-1F (u %)1001000Q (u %)((

+ =2) (212h c aG( ) ( )1 1122 2i i i iQ Q F FG + (= ( Gini-ev koeficijent formule za izraunavanje, cont. ( )11 11ni i i iiG F Q F Q+ +== | | | | Metoda trouglova Za statistiku kvantitativnu neprekidnu varijablu iji su podaci grupisani u n intervala povrina koncentracije moe biti definisana kao skup n trouglova. Veza izmeu Lorencove krive i Gini-evog koeficijenta F Q 1 1 Raspodjela tei ka veoj ravnomjernosti, G tei 0 Raspodjela tei ka veoj koncentraciji, G tei 1 Primjer 4 Za preduzede X sagledali smo sljededu distribuciju plata: Plate u KMBroj zaposlenih 300-40045 400-50020 500-600 6 600-700 3 700-800 2 800-900 1 Ispitati ravnomjernost raspodjele plata (raunski, pomodu Gini-evog koeficijenta i grafiki, pomodu Lorenzove krive). Rjeenje radna tabela ixificipiF |i ic f 1i iiniic fqc f== iQ |300-400453500,5840,584157500,4870,487 400-500204500,260,84490000,2870,765 500-60065500,0780,92233000,1020,876 600-70036500,0390,96119500,0610,928 700-80027500,0260,98715000,0460,974 800-90018500,01318500,0261 suma771323501 Gini-ev koeficijent metoda trapeza:

Kako je Ginijev koeficijent blii 0 nego 1 kaemo da je rije o relativno ravnomjernoj raspodjeli (koncentracija je slaba).( )( ) ( )( )( ) ( )( )61110 0, 487 0, 584 0, 487 0, 765 0, 260, 765 0, 867 0, 07810, 867 0, 928 0, 039 0, 928 0, 974 0, 0260, 974 1 0, 0131 0, 882343 0,1176ni i iiG Q Q p=== | + | =+ + + +( (+ + + (= = (+ + + + + ( (+ + = =Gini-ev koeficijent metoda trouglova:

Kako je Ginijev koeficijent blii 0 nego 1 kaemo da je rije o relativno ravnomjernoj raspodjeli (koncentracija je slaba).( )( ) ( )( ) ( )( )1 51 110, 584 0, 765 0,844 0, 487 0,844 0,867 0, 922 0, 7650, 922 0, 928 0, 961 0,876 0, 961 0, 974 0, 987 0, 9280, 987 1 1 0, 9740,109ni i i iiG F Q F Q =+ +== | | | | = ( + + (= + + + = ( (+ =Lorenz-ova kriva Lorencova kriva00,20,40,60,811,20 0,5 1 1,5kumulanta relativnih frekvencijakumulanta relativnog agregata Mala povrina koncentracije, tei ka idealnoj ravnomjernosti Lorez-ova kriva i Gini-ev koeficijent za BiH (2004.) 0,0%10,0%20,0%30,0%40,0%50,0%60,0%70,0%80,0%90,0%100,0%0,0%10,0%20,0%30,0%40,0%50,0%60,0%70,0%80,0%90,0%100,0%Lorencovakriva za BiHPotpunajednakost Arnaut-Berilo Almira, Delalid Adela, Analysis of household consumtion in BiH, ICES 2006. 48 Komentar? Razmislite RaspodjelaGDP-ap.c.ujednojdravipredstavljenaje Lorez-ovom krivom sljededeg oblika: ta moete redi o ravnomjernosti raspodjele GDP-a p.c.? Radisejakoneravnomjernojraspodjeli(visokaje koncetracija)? Razmislite IzraunalismoGini-evindekspotronjestanovnikau jednoj regiji i on iznosi 0,12. tamoeteredioravnomjernostipotronjestanovnika posmatrane regije? Radiseorelativnoravnomjernojraspodjeliukupne potronjenastanovnikeposmatraneregije (koncentracija je mala). Va zadatak Gini-ev indeks raspodjele prihoda za djelatnike dravnih institucija iznosi 0,6. SkicirajtenapapiruLorenz-ovukrivukojaodgovara datom Gini-evom indeksu. Da li vaa kriva otprilike izgleda ovako? Medijala Vrijednost varijable pridruena relativnoj kumulativnoj rastudoj globalnoj vrijednosti od 50%0,5 interval zaleM leQ M s | 10, 5lele leleMle M MMQM x aq |= +Medijala i nivo koncentracije Odstupanje izmeu medijale i medijane je pokazatelj koncentracije: Veda vrijednost ovog odstupanja veda koncentracija M le eM M o = Primjer 4, cont. ixificipiF |i ic f 1i iiniic fqc f== iQ |300-400453500,5840,584157500,4870,487 400-500204500,260,84490000,2870,765 500-60065500,0780,92233000,1020,876 600-70036500,0390,96119500,0610,928 700-80027500,0260,98715000,0460,974 800-90018500,01318500,0261 suma771323501 0, 5 0, 487400 100 404, 68 KM0, 287= + =U koloni :iQ || |0,5 0, 765 400 500leM s e 10, 5lele leleMle M MMQM x aq |= +Izraunavamo medijalu. 50% ukupne mase plata u tom preduzeu odnosi se na plate visine 404,68 KM ili nie, dok 50% ukupne mase plata ide na plate vie od 404,68 KM. Primjer 4, cont. ixificipiF |i ic f 1i iiniic fqc f== iQ |300-400453500,5840,584157500,4870,487 400-500204500,260,84490000,2870,765 500-60065500,0780,92233000,1020,876 600-70036500,0390,96119500,0610,928 700-80027500,0260,98715000,0460,974 800-90018500,01318500,0261 suma771323501 0, 5 0300 100 385, 62 KM0, 584= + =U koloni :iF || |0,5 0,584 300 400eM s e 10, 5ee eeMe M MMFM x ap |= +Izraunavamo medijanu. 50% zaposlenih u tom preduzeu imaplatu visine 404,68 KM ili nie, dok 50% zaposlenih u tom preduzeu ima plate vie od 404,68 KM. Primjer 4, cont. Odstupanje izmeu medijale i medijane Interpretacija moguda u poreenju sa drugom serijom. 404, 68 385, 62 19, 06 KMM le eM M o = == = REKAPITULACIJA: UVODNE DEFINICIJE I DESKRIPTIVNA STATISTIKA PRIMJERI Primjer 1 U sljededoj tabeli prikazana je statistika distribucija frekvencija za neto platu u jednoj kompaniji: Nacrtati poligon apsolutne rastude kumulante. Izraunati i objasniti medijanu. Izraunati prosjenu neto platu. Izraunati i objasniti standardnu devijaciju. Izraunati i objasniti koeficijent varijacije. Iznos neto plateBroj radnika 500-60012 600-70017 700-80016 800-90010 900-10005 ukupno60 Rjeenje radna tabela ixifici ic f 2i ic f iS500-600125506600363000012 600-7001765011050718250029 700-8001675012000900000045 800-900108508500722500055 900-100059504750451250060 ukupno604290031550000 a) Poligon apsolutne rastude kumulante010203040506070500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050gornja granica intervalarastua apsolutna kumulantab) Medijana 30 452eMNS = s =| |700 800 e eM1130 292700 100 706, 25( ) 16ee eeMe M MMNSM L af R= + = + =50% zaposlenih ima neto platu niu ili jednaku 706,25 KM, a 50% viu.c) Prosjena neto plata d) Standardna devijacija 4290071560= =231550000715 14608, 360= =120,86 o ==i ic fXNProsjena neto plata iznosi 715 KM.( )22 211o= (= ( Ni iic f XNProsjeno linearno odstupanje od prosjene neto plate iznosi 120,86 KM.e) Koeficijent varijacije % ,,9 16 10071586 120= =100 =XVoRelativno variranje oko prosjene neto plate iznosi 16,9%. Primjer 2 4248464749 4740454348 4341464842 4446454740 Da bi se utvrdilo potrebno vrijeme izrade nekog tipa rjeenja u upravnom postupku izmjereno je utroeno vrijeme kod 20 rjeenja(izraeno u danima) i dobijeni podaci: a)Formirati odgovarajuu distribuciju frekvencija (intervali amplitude 2). b)Izraunati prosjeno vrijeme utroeno za izradu nekog tipa rjeenja i standardnu devijaciju. Objasniti. c)Izraunati i objasniti kvartile (prvi i trei). d)Ako je, ta moete zakljuiti o obliku date distribucije frekvencija. Skicirati. 34, 992 = a) Distribucija frekvencija Utroeno vrijeme za izradu nekog tipa rjeenja - ixBroj rjeenja - if40-423 42-444 44-463 46-486 48-504 20 Intervali irine 2. Najnii podatak 40, najvii podatak 49. b) Radna tabela Utroeno vrijeme za izradu nekog tipa rjeenja - ixBroj rjeenja - ifici ic f 2i ic f iS40-4234112350433 42-4444317273967 44-46345135607510 46-486472821325416 48-50449196960420 2090841372 b) Prosjeno vrijeme utroeno za izradu rjeenja i standardna devijacija 90845, 420= ==i ic fXNProsjeno vrijeme utroeno za izradu nekog tipa rjeenja je 45,4 dana.24137245, 4 7, 4420= =( )22 211o= (= ( Ni iic f XN2, 73 o =Prosjeno linearno odstupanje od aritmetike sredine je 2,73 dana. c) Kvartil prvi | |142 44 e Q15 74QNS = s | =11 1111 15 3442 2 43( ) 4QQ QQNSQ L af R |= + = + =25% rjeenja uradi se za 43 dana ili manje, a 75% rjeenja za vie od 43 dana.c) Kvartil tredi | |346 48 e Q3315 164QNS= s | =33 3313 1315 10446 2 47, 67( ) 6QQ QQNSQ L af R |= + = + =75% rjeenja uradi se za 47,67 dana ili manje, a 25% rjeenja za vie od 47,67 dana. d) Mjera asimetrije negativna (lijeva) asimetrija 34, 992 = 2, 73 o =333 34, 9920, 242, 73oo= = = 22,533,544,555,566,540 42 44 46 48 50empirijskadistribucijanormalnadistribucijaPrimjer 3 U jednoj raunovodstvenoj slubi koristi se kopir-aparat. Pratili smo broj neuspjelih kopija na svakih 100 kopiranih strana i za 50 takvih uzoraka od po 100 kopiranih strana dobili smo sljededu distribuciju frekvencija:a) Nacrtati histogram.b) Izraunati i objasniti modus. c) Izraunati prosjean broj neuspjelih kopija na 100 strana.d) Izraunati i objasniti raspon varijacije i standardnu devijaciju. e) Ako jeianalizirati oblik takve distribucije frekvencija. Skicirati.Broj neuspjelih kopija na 100 kopiranih strana Broj uzoraka 0-218 2-420 4-66 6-84 8-102 ( )3536, 37i ic X f =( )43819,46i ic X f =a) Histogram 02468101214161820broj uzoraka0-2 2-4 4-6 6-8 8-10broj neuspjelih kopijab) Modus Intervali iste irine max20 f =| |2 4 e oM( ) ( )( )111 120 182 2 2, 2520 18 (20 6) += + = + = + = + o oo oo o o oM Mo M MM M M Mf fM L af f f fNajee se javlja 2,25 kao broj neuspjelih kopija na 100 strana. c) Radna tabela ixifici ic f 2i ic f 0-21811818 2-420360180 4-66530150 6-84728196 8-102918162 154706 c) Prosjean broj neuspjelih kopija na 100 strana=i ic fXN1543, 0850= =U prosjeku se na 100 kopiranih strana nae 3,08 neuspjelih kopija. d) Raspon varijacije i standardna devijacija 10 2 8 = =max min= RV x xRaspon variranja izmeu najveeg i najmanjeg broja neuspjelih kopija na 100 strana je 8 neuspjelih kopija.2,15 o =27063, 08 4, 633650= =( )22 211o= (= ( Ni iic f XNProsjeno linearno odstupanje od aritmetike sredine je 2,15 neuspjelih strana. e) Oblik distribucije desna asimetrija ( )3536, 37i ic X f =( )43819,46i ic X f =2,15 o =333 310, 731, 08 02,15oo = = = >( )33 = i ic X fN536, 3710, 7350= =izduen(uzak) raspored 444 476, 393, 575 32,15oo = = = >3819,4676, 3950= =( )44 = i ic X fNe) Oblik distribucije, skica 2468101214161820220 2 4 6 8 10empirijskadistribucijanormalnadistribucijaPrimjer 4 U 20 filijala jednog drutva za osiguranje posmatran je broj obraenih teta u jednom danu. Podaci su kako slijedi: a) Iz zadate bruto serije podataka formirati distribuciju frekvencija. Zadatu seriju podataka grafiki predstaviti. b) Izraunati prosjean broj obraenih teta u jednom danu. c) Odrediti i objasniti mod i medijanu. d) Izraunati i objasniti varijansu i standardnu devijaciju. 3174463254 2745361451 a) Distribucija frekvencija Prekidna serija, mali broj modaliteta neintervalno grupisana statistika distribucija frekvencijaa) Grafikon Grafikon stubaca01234561 2 3 4 5 6 7broj tetabroj danab) Radna tabela b) Prosjean broj obraenih teta u jednom danu773, 8520= ==i ix fXNProsjean broj obraenih teta u jednom danu je 3,85.c) Mod i medijana 4 =eMmax5 f =4 =oMBroj obraenih teta u jednom danu koji se najee javlja je 4 tete.10 132 = sN(odgovarajue empirijsko130, 65)20iF |= =Za 65 % dana je broj obraenih teta u jednom danu manji ili jednak 4, a za 35% dana vei. d) Varijansa i standardna devijacija 23633,85 3, 327520= =22 2o= i ix fXN23, 3275 1,82 o o = = =Prosjeno linearno odstupanje od aritmetike sredine iznosi 1,82 tete u jednom danu. PITANJA Masovna pojava je: 1. nauna metoda2. pojava koja se manifestuje na velikom broju objekata 3. neka vrijednost iz uzorka 4. pojava koja se manifestuje na vrlo malom broju objekata Populacija predstavlja: 1. Sve pojedince u dravi koja se analizira 2. Sve koji su ukljueni u uzorak 3. Sve objekte, pojedince ili elemente koji posjeduju krakteristiku koja se prouava 4. Sve objekte, pojedince ili elemente koji su dostupni u toku istraivanjaStatistika je: 1. pojava koja se manifestuje na velikom broju objekata 2. karakteristika po kojoj se razlikuju statistike jedinice3. pojava koja se manifestuje na vrlo malom broju objekata 4. nauka koja prouava masovne pojavePodaci koje je neko drugi prikupio i objavio a korisni su u naem istraivanju su: 1. Informacije 2. Primarni podaci 3. Sekundarni podaciUkoliko neka osoba prikuplja podatke o broju automobila koji prou kroz raskrsnicu u odreenom vremenskom periodu, koju metodu prikupljanja podataka koristi? 1. Posmatranje 2. Intervju 3. Indirektnu metodu sakupljanja podataka iz sekundarnih izvoraElement ili objekat ili pojedinac koji posjeduje karakteristiku ije se variranje ili kretanje istrauje je: 1. Statistika jedinica 2. Uzorak 3. PopulacijaSkup svih elemenata ili objekata ili pojedinaca koji posjeduju karakteristiku ije se variranje ili kretanje istrauje je: 1. Uzorak 2. Veliina populacije 3. Varijabla 4. Populacija Jedna karakteristika ili osobina koju posjeduju sve statistike jedinice date populacije je: 1. Modalitet 2. Varijabla 3. Mjerenje Statistika varijabla je: 1. Neki parametar iz populacije 2. Funkcija koja svakoj statistikoj jedinici pridruuje jednu vrijednost 3. Vrijednost koju moe uzeti analizirana karakteristika Modalitet jedne statistike varijable je: 1. Neki parametar iz populacije 2. Funkcija koja svakoj statistikoj jedinici pridruuje jednu vrijednost 3. Vrijednost koju moe uzeti statistika varijablaKada radimo sa kvalitativnom mjernom skalom i modaliteti nemaju isti relativni znaaj, rije je o: 1. Nominalnoj skali 2. Ordinalnoj skali 3. Intervalnoj skali 4. Metrikoj skaliKada radimo sa kvantitativnom mjernom skalom i nula znai odsustvo pojave, rije je o: 1. Ordinalnoj skali 2. Nominalnoj skali 3. Intervalnoj skali 4. Metrikoj skaliKvantitativna statistika varijabla koja moe uzeti samo odreene vrijednosti iz datog intervala je: 1. Nominalna varijabla 2. Ordinalna varijabla 3. Prekidna varijabla 4. Neprekidna varijabla Ako u analizi neke pojave, podatke dobijamo mjerenjem, odgovarajuda statistika varijabla je: 1. Kvalitativna ordinalna 2. Kvalitativna nominalna 3. Kvantitativna diskretna 4. Kvantitativna kontinuirana ___________________ varijabla je kvalitativna varijabla takva da nije mogude uspostaviti redosljed meu modalitetima niti ih je mogude porediti. 1. Prekidna2. Kontinuirana 3. Nominalna 4. Ordinalna Mjerili smo teinu proizvoda za 30 proizvoda jedne serije. U tom primjeru, teina proizvoda predstavlja: 1. Kvalitativnu ordinalnu varijablu 2. Kvantitativnu diskretnu varijablu 3. Kvalitativnu nominalnu varijablu 4. Kvantitativnu kontinuiranu varijabluStatistika distribucija frekvencija je: 1. Serija podataka koji su ureeni po veliini 2. Forma sreivanja podataka tako da svakom modalitetu ili intervalu odgovara njegova apsolutna frekvencija 3. Serija sa orginalnim bruto nesreenim podacimaRelativna frekvencijapokazuje: 1. broj ponavljanja datog modaliteta 2. koliko podataka u seriji ima vrijednost vedu od vrijednosti datog modaliteta na kome su datom trenutku nalazimo 3. udio statistikih jedinica sa istim modalitetom u analiziranoj seriji podataka Rastuda apsolutna kumulativna frekvencija pokazuje: 1. koliko podataka u seriji ima vrijednost manju ili jednaku vrijednosti datog modaliteta na kome su datom trenutku nalazimo 2. koliko podataka u seriji ima vrijednost vedu od vrijednosti datog modaliteta na kome su datom trenutku nalazimo 3. koji je udio podataka u seriji koji imaju vrijednost manju ili jednaku vrijednosti datog modaliteta na kome su datom trenutku nalazimoImamo informaciju da 178 studenata II godine Poslovne kole ima 21 godinu ili manje. Na bazi kojeg tipa frekvencije smo dobili takvu informaciju? 1. Relativna frekvencija2. Rastuda apsolutna kumulativna frekvencija 3. Rastuda relativna kumulativna frekvencija Broj ponavljanja (pojavljivanja) datog modaliteta u seriji podataka je: 1. Apsolutna frekvencija2. Relativna frekvencija3. Procentualna frekvencija4. Kumulativna frekvencija Zbir apsolutnih frekvencija u jednoj empirijskog distribuciji frekvencija mora biti jednak: 1. n 2. N 3. 0 4. 1 Formula za izraunavanje rastude apsolutne kumulativne frekvencije glasi:11.ii jjS f=| =12.ni jj iS f= +| = 13.ii jjS p=| =ta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli za izraunavanje aritmetike sredine za intervalno grupisanu distribuciju frekvencija 1. pi 2. fi 3. F|i11niic XN == Harmonijska sredina je jednaka: Recipronoj vrijednosti aritmetike sredine recipronih vrijednosti podataka. Podatku sa najvedom apsolutnom ili relativnom frekvencijom. Koliniku izmeu zbira svih podataka i broja podataka. Za izraunavanje aritmetike sredine koristimo sve podatke u statistikoj seriji. 1. Da 2. Ne 3. Ponekad Formula za izraunavanje aritmetike sredine za intervalno grupisanu distribuciju frekvencija glasi: 11.ni iiX x f== 121ni iic X fN == .13.11ni iiX x fN == Zbir svih odstupanja podataka iz serije od aritmetike sredine mora biti jednak: 1. 1 2. 0 3. N U statistikoj distribuciji frekvencija, modus je podatak koji: 1. Ima najviu vrijednost 2. Se najede ponavlja 3. Se najrjee ponavlja 4. Dijeli seriju na 2 jednak dijela Teorijska apsolutna rastuda kumulativna frekvencija prvog kvartila je: 1. N/10 2. N/2 3. N/4 4. 3N/4 Geometrijska sredina je jednaka: 1. Koliniku izmeu zbira svih podataka i broja podataka. 2. Recipronoj vrijednosti aritmetike sredine recipronih vrijednosti podataka. 3. N-tom korijenu iz proizvoda svih podataka. 4. Podatku sa najvedom apsolutnom ili relativnom frekvencijom.Medijana se odreuje na bazi: 1. Rastude kumulativne frekvencije 2. Opadajude kumulativne frekvencije 3. Apsolutne frekvencijeta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli za izraunavanje medijane 1. N/4 2. N/2 3. 3N/411ee eeMe M MMSM L lf |= + Modalni podatak se ita na bazi: 1. Najnie frekvencije2. Najvie frekvencije 3. Frekvencije u sredini distribucije frekvencijaFormula za izraunavanje moda za intervalno grupisanu distribuciju frekvencija glasi:1121.oo ooMo M MMNSM L lf |= + ( ) ( )111 13.o oo oo o o oM Mo M MM M M Mf fM L lf f f f += + + ( ) ( )11 12.o ooo o o oM Mo MM M M Mf fM lf f f f += + Mod se grafiki odreuje na: 1. histogramu 2. strukturnom krugu 3. poligonu rastude kumulanteMjera disperzije je mjera za: 1. Oblik distribucije 2. Varijabilitet podataka oko izraunate mjere srednje vrijednosti 3. Centralnu tendencijuta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli za izraunavanje standardne devijacije? 1. N 2. fi 3. X( )211ni iix fNo= (= ( U kojoj jedinici mjere je izraena standardna devijacija? 1. Neimenovani broj 2. Ista jedinica mjere kao i analizirana varijabla 3. Kvadrat jedinice mjere analizirane varijableVarijansa je jednaka: 1. Sumi kvadrata odstupanja podataka iz niza od aritmetike sredine 2. Aritmetikoj sredini kvadrata odstupanja podataka iz niza od aritmetike sredine 3. Aritmetikoj sredini odstupanja podataka iz niza od aritmetike sredine 4. Sumi odstupanja podataka iz niza od aritmetike sredineKoja od ponuenih vrijednosti moe biti standardna devijacija za varijablu ocjena na ispitu (koja moe uzeti vrijednosti 5-10)? 1. -1 2. -0,25 3. 0,85 4. 11,23 Koji parametar koristimo da izmjerimo relativno variranje podataka iz niza oko medijane? 1. Koeficijent varijacije 2. Standardnu devijaciju 3. Koeficijent inter-kvartilnog odstupanja4. Varijansu Aritmetika sredina niza standardiziranih vrijednosti analizirane varijable (i=1,...,N) jednaka je: 1. 0 2. 1 3. Aritmetikoj sredini orginalnog niza za analiziranu varijablu ta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli za izraunavanje standardizirane z vrijednosti 1. Mo 3. Me

2. Xiixzo=Studenti su radili ispit iz Statistike. Za tri studenta A, B i C standardizirane vrijednosti ocjene bile su:. Od njih trojice koji ima najbolju poziciju meu rezultatima ispita:1. Student A 2. Student B 3. Student C 0, 5, 1, 4 i 0, 4A B Cz z z = = = ta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli za izraunavanje koeficijenta varijacije? 1. zi 2. o 3. o 100 VX= U sluaju lijevo asimetrine distribucije frekvencija, znak koeficijenta asimetrije je: 1. Pozitivan 2. Negativan 3. Moe biti i pozitivan i negativanFormula za izraunavanje koeficijenta asimetrije glasi: 3333.oo=2. 100 VXo= 4441.oo=ta nedostaje (u praznoj kutijici) u formuli za izraunavanje koeficijenta zaobljenosti34. 43. o22. o1. o44o =Ako su mod, medijana i aritmetika sredina jedne statistike distribucije frekvencija jednaki 5, distribucija je: 1. Simetrina 2. Lijevo asimetrina 3. Desno asimetrinaAko je , to znai da je empirijska distribucija frekvencija: 1. Normalno zaobljena 2. Uska (izduena) 3. iroka (zaobljena) 43 o >Formula za izraunavanje Ginijevog koeficijenta glasi: 1. G=povrina koncentracije 2. G=2*povrina koncentracije 3. G=0,5*povrina koncentracije Ako se Lorencova kriva poklapa sa linijom potpune jednakosti u raspodjeli, Ginijev koeficijent je jednak: 1. 1 2. 0,5 3. 0 U kompaniji sa 10 zaposlenih samo je jedan primio platu za Februar. U tom sluaju raspodjele, Ginijev koeficijent iznosi: 1. 1 2. izmeu 0 i 1 3. 0 Izvori Curwin J. and Slater R., Quantitative Methods for Business Decisions, Thomson Learning fifth edition 2002. Dumiid, K., Bahovec V., at al., Poslovna statistika, Sveuilite u Zagrebu, Element, Zagreb 2011. Resid, E., Delalid, A., Balavac, M., Abdid, A., Statistics in Economics and Management, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo, 2010. Resid E., Zbirka zadataka iz statistike, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo 2006. Somun-Kapetanovid R., Statistika u ekonomiji i menadmentu, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo 2006. Hvala na panji!