MK1 - Predavanje 8

Metalne konstrukcije 1 P8-1

Bočno-torziono izvijanje



Teorijske osnove

Problem je prvi analizirao Timošenko.Linearno elastična teorija bočno-torzionog izvijanja.Osnovne pretpostavke su:• materijal idealno elastičan;• nosač idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija);• sprečena je torziona rotacija na osloncima (viljuškasti

oslonci);• poprečni presek nosača je obostrano simetričan i

konstantan duž raspona nosača (I presek);• poprečni presek zadržava svoj oblik nakon deformacije;• moment inercije Iz je mnogo manji od Iy;• deformacije su male (sinϕ =ϕ; cosϕ=1);


Deformisan oblik nosača

yy MMM =⋅= ϕξ cos

ϕϕη ⋅=⋅= yy MMM sin

dxdvMMM yT ⋅==ζ


Osnovne diferencijalne jednačine problema

2

2

dxxwdEIMM yy

)(⋅−==ξ

2

2

dxxvdEIMM zy

)(⋅−=⋅= ϕη

3

3

dxdEI

dxdGI

dxdvMM tyT

ϕϕω ⋅−⋅=⋅=

Savijanje oko jače y-y ose

Savijanje oko slabije z-z ose

Torzija

EIy krutost na savijanje oko jače ose,

EIz krutost na savijanje oko slabije ose,

It torzioni moment inercije,

Iw sektorski moment inercije,

v, w i ϕ nepoznata generalisana pomeranja.


Diferencijalna jednačina bočno-torzionogizvijanja

Granični uslovi

02

2

2

4

4

=⋅−⋅−⋅ ϕϕϕω

z

yt EI

MdxdGI

dxdEI

0)0( =ϕ 0)0()0(2

2=′′= ϕϕ

dxd 0)( =lϕ 0)()(

2

2=′′= l

l ϕϕdx

d

)()()cos()sin()( xnchDxnshCxmBxmAx ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=ϕ

Pretpostavljen oblik rešenja D.J.


Kritičan moment bočno-torzionog izvijanjaMcr

EIz krutost na savijanje oko slabije ose,

GIt torziona krutost

Iw sektorski moment inercije,

l raspon nosača (razmak tačaka bočnog pridržavanja).

z

t

zzcr EI

GIIIEIM ⋅+⋅⋅= 2

2

2

2

ππ ω l

l


Različiti uslovi oslanjanja i opterećenja


Modifikovan izraz za kritičan moment Mcr

( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⋅−⋅−⋅+

⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅= jgjg

z

t

z

zcr zCzCzCzC

EIGIk

II

kk

kEICM 32

2322

2

2

2

1 ππ ω

ω

l

l

C1 C2 C3 koeficijenti koji uvode u proračun različite oblike opterećenja;

k i kw koeficijenti kojima se obuhvataju različiti uslovi oslanjanja;

zg rastojanje između centra smicanja i tačke u kojoj deluje opterećenje

zj parametar koji uzima u obzir nepoklapanje težišta i centra smicanja kodmonsimetričnih poprečnih preseka;


KoeficijentiC1, C2 i C3

O P T E R E Ć E N J E k C1 C2 C3 1

1,0 0,5

1,000 1,000

- -

1,000 1,144

2

1,0 0,5

1,323 1,514

- -

0,992 2,271

3

1,0 0,5

1,879 2,150

- -

0,939 2,150

4

1,0 0,5

2,704 3,093

- -

0,676 1,546

5

1,0 0,5

2,752 3,149

- -

0,000 0,000

6

1,0 0,5

1,132 0,972

0,459 0,304

0,525 0,980

7

1,0 0,5

1,285 0,712

1,562 0,652

0,753 1,070

8

1,0 0,5

1,365 1,010

0,553 0,432

1,730 3,050

9

1,0 0,5

1,565 0,938

1,267 0,715

2,640 4,800

10

1,0 0,5

1,046 1,010

0,430 0,410

1,120 1,890

11

2,0 1,28/α 0,43 -

12 2,0 2,05 0,83 -


Monosimetrični poprečni peseci i uticajpoložaja opterećenja

∫ ⋅⋅+⋅⋅

−=Ay

gj dAzzyI

zz )( 22

21sag zzz −=


Veličina Obostrano simetrični nosači Monosimetrični nosači

Rastojanje između težišta preseka i centra smicanja

0=sz

2

321

31

223211

31

tbtbhtbhtbzs ⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅

=

Sektorski moment

inercije

4/2sz hII ⋅=ω

2)1( sz hII ⋅⋅−⋅= ββω

)(12 2321

31

2321

31

tbtbtbtbI⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅≈ω

Torzioni moment inercije ( )332

31

wt tdtbI ⋅+⋅⋅⋅= ( )3322

3113

1wt tdtbtbI ⋅+⋅+⋅⋅=

Parametar jz

0=jz

⇒> 5,0β 2)12(4,0 sj hz ⋅−⋅= β

⇒≤ 5,0β 2)12(5,0 sj hz ⋅−⋅= β

ftfc

fc

III+

=β

fcI moment inercije pritisnutog pojasa oko slabije ose inercije z-z,

ftI moment inercije zategnutog pojasa oko slabije ose inercije z-z,

sh rastojanje između centara smicanja pritisnutog i zategnutog pojasa,

NAPOMENA: (1) Kod obostrano simetričnih preseka širine i debljine pojasnih lamela su jednake, pa je: bbb == 21 , odnosno ttt == 21 .

(2) Kada su pojasevi izrađeni od ravnih limova sh je jednako rastojanju između težišta pojasnih lamela. (3) Rastojanje između težišta i centra smicanja ( sz ) je pozitivno kada se centar smicanja nalazi između težišta i pritisnute nožice.


Uticaj položaja opterećenja na vrednostkritičnog momenta

L=6,00 m

q

IPE300

PrimerPoložaj opterećenja

donji pojas težište gornji pojas

M cr [kNm] 129,7 102,5 75q cr [kN/m] 28,82 22,78 16,67


Granična nosivost nosača na bočno-torziono izvijanje

• Uticaj imperfekcija (zaostali naponi, početnegeometrijske imperfekcije,...);

• Granična vrednost momenta nosivost (Mu) manjaod kritičnog momenta bočno-torzionog izvijanja(Mcr) ;

• Stvarno ponašanje nosača odstupa odbifurkacionog modela stabilnosti


Teorijske i relane veze između momenta savijana (M) i bočnog pomeranja (v)


Kritičan napon bočno-torzionog izvijanja

σDv komponenta kritičnog napona usled Sen Venanove torzije,σDw komponenta kritičnog napona usled sprečene (ograničene)

torzije.

22

2

2

22

DwDvy

z

y

tz

y

crcr W

IIEWGIEI

WM σσππσ ω +=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅

⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅==

ll


Proračun stabilnosti na bočno-torzionoizvijaje prema JUS U.E7.101

σD,dop dopušteni napon bočno-torzionog izvijanja,σD granični napon bočno-torzionog izvijanja,ν koeficijent sigurnosti,αp koeficijent oblika poprečnog preseka,χD bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja,fy granica razvlačenja,σdop dopušten normalni napon.

dopDpy

DpD

dopD

fσχα

νχα

νσσσ ⋅⋅=⋅⋅==≤ ,max


Koeficijent oblika poprečnog preseka αp

Wpl,y plastični otporni moment oko y-y ose,Wel,y elastični otporni moment oko y-y ose,Sy statički moment oko y-y ose za težište poprečnog

preseka.

yel

yplp W

W

,

,=αyel

yp W

S

,

2 ⋅=α

U opštem slučaju U slučaju obostrano simetričnihpoprečnih preseka


Bezdimenzionalni koeficijent χD

relativna vitkost na bočno-torziono izvijanjen parametar koji zavisi od tipa nosača

n = 1,5 za zavarene profilen = 2,0 za valjane profile

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≤=

4,0 za1

1

4,0 za1

/1

2 D

n

nD

D

D

λλ

λχ

Dλ


Krive bočno-torzionog izvijanjaχD

Dλ

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

Valjani profili (n =1,5)

Zavareni profili (n =2,0)


Relativna (bezdimenzionalna) vitkost nabočno-torziono izvijanje

Mpl moment plastične nosivosti poprečnog preseka,Mcr kritični moment bočno-torzionog izvijanja,σcr kritičan napon bočno-torzionog izvijanja,fy granica razvlačenja,αp koeficijent oblika poprečnog preseka.

cr

plD M

M=λ

cr

ypD

fσ

αλ

⋅=odnosno


Kritičan napon bočno-torzionog izvijanja

φ koeficijent za određivanje uticaja položaja delovanjaopterećenja,

σDv komponenta kritičnog napona usled Sen Venanove torzije,σDw komponenta kritičnog napona usled sprečene (ograničene)

torzije.

22DwDvDcd σσφσ +⋅=,


Uticaj položaja opterećenja

lz razmak tačaka bočnog pridržavanja,h visina nosača,It torzioni moment inercije,Iz moment inercije za savijanje oko salbije z-z ose,ρ parametar pomoću kojeg se uzima u obzir vrsta poprečnog

opterećenja.

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

−+

+

++

=

pojasu gornjem na ćenjeoptere za

štužite u ćenjeoptere za

pojasu donjem na ćenjeoptere za

2

2

2

2

1

ρ

ρρ

ρ

ρρ

φ

KK

KK

z

tz

II

hK

2

156,01 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+=l


Parametri ρ i η

Oblik momentnog dijagrama tη i zη ρ

1,12 0,46

1,35 0,55

1,00 0,00

1,30 0,00

1,77 0,00

2,35 0,00


Komponente kritičnog napona

ηt parametar koji zavisi od oblika dijagrama momenata,lt razmak tačaka bočnog pridržavanja,Wy otporni moment za savijanje oko y-y ose,Iz moment inercije za savijanje oko slabije z-z ose,It torzioni moment inercijeλkz zamenjujuća vitkost dela poprečnog preseka

][kN/cm 102,07 22

5

2

2

kzkzDw

Eλλ

πσ ⋅=

⋅=

][kN/cm 1041,0 25

tzyt

ttzyt

tDv IIW

GIEIW

⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅

⋅=ll

ηπησ

Kritičan napon usled Sen Venanove torzije

Kritičan napon usled sprečene torzije


Zamenjujuća vitkost λkz

ikz poluprečnik inercije dela preseka koga čine pritisnutanožica i šestina visine rebra oko z-z ose,

lz razmak tačaka bočnog pridržavanja,ηz parametar koji uzima u obzir oblik dijagrama momenata,Af površina nožice,Aw površina rebra.

zkz

zkz i η

λ⋅

=l

6/126/12/

6/12/ 23

wf

f

wf

f

wfkz AA

AbAAbA

AAtb

AIi

+⋅=

+⋅

=+⋅

==


Uprošćen proračun stabilnosti na bočno-torziono izvijanje

σi,dop dopušten napon izvijanja,χ bezdimenzionalni koeficijent izvijanja određen na

osnovu vitkosti pritisnutog pojasa na bočno izvijanje(λz=lz/iz) prema JUS U.E7.081 (kriva C).

lz razmak tačaka bočnog pridržavanja,iz poluprečnik inercije pritisnutog pojasa oko z-z ose.

dopdopidopD σχσσσ ⋅⋅=⋅=≤ 14,114,1 ,,max


Kada nije potrebno proveravati stabilnostnosača na bočno-torziono izvijanje?

• Kada je pritisnuti pojas kontinualno bočno pridržan (npr. AB pločom);

• Kod nosača sandučastog poprečnog preseka sa odnosomvisina/širina (h/b) manjim od 10;

• U slučaju savijanja oko slabije ose;• Kada je nosač dovoljno često bočno pridržan, odnosno

kada je zadovoljen uslov:

yy

y

z

zz fM

Mi

2354060max

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−≤=

lλ

yz

zz fi

23540 ⋅≤=lλ

5,01max

≤≤−y

y

MM

5,0max

>y

y

MM

za

za


yy MM max=yM

yMmax

1max

=y

y

MM

5,0max

−=y

y

MM


Bočno pridržavanje


Proračun nosivosti elementa na bočno-torziono izvijanje prema EC3

MEd proračunska vrednost momenta savijanja;Mb,Rd proračunska nosivost na bočno-torziono izvijanje;χLT bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja;Wy odgovarajući otporni moment;fy granica razvlačenja.

1, / MyyLTRdb fWM γχ ⋅⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=4 klasu za3 klasu za

2 i 1 klase za

min,,

min,,

,

yeff

yel

ypl

y

WWW

W

RdbEd MM ,≤


Bezdimenzionalni koeficijent χLT

αLT koeficijent imperfekcije

1122

≤−Φ+Φ

=LTLTLT

LTλ

χ

[ ]2)2,0(15,0 LTLTLT λλα +−⋅+⋅=Φ

cryyLT MfW /=λ Relativna vitkost za bočno-toriono izvijanje

Oblik poprečnog preseka nosača

Odnos visina -širina

Kriva izvijanja

h/b ≤ 2 a Valjani I profili h/b > 2 b h/b ≤ 2 c Zavareni I profili h/b > 2 d

Ostali profili - d

Documents

MK1 - Predavanje 8