Mladen Despic Pripreme Za Cas

8/18/2019 Mladen Despic Pripreme Za Cas

1/44

УНИВЕРЗИТЕТ У БАОПЈ ЛУЦИ

РИРПДНП-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

риреме за час математике из редмета

Метпдика наставе математике 2

Ментпр: Студент:

рпф. Др Дущкп Бпгданић, дпц. Младен Десић 161/11

Баоа Лука,

Арил,2014


2/44

Садржај:

1.Нпрмалнпст раве на раван......................................................................................................3

2. пврщина ризме, ирамиде и зарубљене ирамиде.........................................................7

3. Вектпри у рпстпру,пјам кпмланарнпсти,

разлагаое вектпра дуж три некпмланарна вектпра..............................................................15

4. Екслицитна једнашина раве , једнашина раве аралелна у-пси....................................19

5.Гранишна вриједнпст низа.......................................................................................................23

6. плинпми над пљем кпмлексних брпјева, пснпвна тепрема алгебре..........................28

7. Иситиваое функција (уз римјену извпда) , график функције..........................................33

8. Вјерпватнпћа пснпвна равила..............................................................................................40


3/44

3

рирема за шас математике

Име и резиме : Младен Десић

Разред: Шкпла: Датум: Час: Математика

Наставна тема: Аналитишка гепметрија у рпстпру

Наставна јединица: Нпрмалнпст раве на раван

Ти шаса: Пбрада

Циљ шаса: пвезиваое и утрвђиваое пднпса између раве и равни

Пбразпвни задаци:

Функципнални задаци: Ушеници треба да:

стишу спспбнпст изржаваоа математишким

језикпм,јаснп и рецизнп, у исменпм и у

усменпм пблику;

развијају лпгишкп,аналитишкп и рпцедуралнп

(алгпритамскп) мищљеое, аналпгијпм,

генерализацијпм, индуктивним и дедуктивним

нашинпм закљушиваоа развијају математишкп

мищљеое;

римјенпм мисапних перација, нарпшитп

астракције и генерализације, развијајуспспбнпсти за индуктивни пблик закљушиваоа

Васитни задаци: Ушеници треба да развијају:

кпнцентрацију;

спспбнпст за упран и редан рад;

пстунпст и систематишнпст у раду;

ташнпст,рецизнпст и уреднпст у раду;

пзитиван пднпс рема математици и уважаваое

математике кап пдрушја људске дјелатнпсти

самппуздаоа и пвјереое у властите

математишке спспбнпсти навику сампкпнтрпле и критишкпг мищљеоа

Кљушни пјмпви:

Пбразпвни стандарди:

Пблици рада: Фрпнтални

Наставне метпде: Дијалпщка, илустративна

Наставна средства: Учбеник,збирка,табла,креда,флпмастер


4/44

4

Мјестп извпђеоа наставе: Кабинет за математику

Кпрелација:

Литература и дпдатни

материјал за наставнике:


материјал за ушенике: Напмене:

Увпдни дип шаса: пнављаое пнпг щтп је рађенп рпщли шас. Пснпвне

ствари п равпј у рпстпру, раван, пблици једнашине

раве и равни.

Главни дип шаса: Нека нам је задата рава у канпнишкпм пблику, те раван у пщтем пблику , Углпм између раве и равни зваћемп билп кпји пд два

сулеметна угла щтп их рава затвара са свпјпм

рпјекцијпм у равни. Нађимп синус угла ; ри тпмеубудуће мпжемп сматрати да је јер су синусисулементних углпва једнаки. Знајући да је

. / дпбићемп кпнашнп ||√ (*)Брпјилац је пвдје узет у асплутнпј вриједнпсти, јер је .Дефиниција:

Акп рава и раван имају заједнишку ташку и ритпме је рава нпрмална на свим рвим кпје риадајуравни и садрже ташку , тада кажемп да је рава нпрмална на раван Такпђе кажемп да је раван нпрмална на раву .


5/44

5

Услпв аралелнпсти и нпрмалнпсти раве и равни

У слушају аралелнпсти раве линије

и равни Угап између оих је једнак нули, а рема тпме је и , те фпрмула (*) даје тражени услпв

(услпв аралелнпсти). Тај ћемп услпв пдмах дпбити акп имамп на уму да су

вектпри * + и * + нпрмални, а је, рема тпме,оихпв скаларни рпизвпд једнак нули.

Услпв нпрмалнпсти раве и равни пдудара се с услпвпм

аралелнпсти те раве и нпрмале на раван тј. имаћемп :

(Услпв нпрмалнпсти) римјер 1.

Дата је рава

и раван рпвјерити дали је раванпрмална на раван?

Р ј е ш е о е:

Из услпва нпрмалнп сти раве и равни, дпбијамп

рјещеое , пднпснп :

На пснпву рјещеоа закљушујемп да су рава и раванмеђуспбнп нпрмалне

римјер 2.

Дате су ташке А(4,-5,5) и В(14,25,-35) и раван дали је рава кпја рплази крпз ташке А и В нпрмална на раван ?Р ј е ш е о е:


6/44

6

На пснпву фпрмуле за једнашину раве крпз две ташке

Дпбијамп једнашину раве кпја изгеда: На пснпву услпва нпрмалнпсти кпји гласи :

Закљушујемп :

Пднпснп рава и раван су нпрмалне Заврщни дип шаса: рпвјеравмп щта ушеницима није јаснп на данащопј

лекцији , пнављамп пнп щтп смп наушили. Дајемп два

задатка за задаћу:

1). Наћи једнашину нпрмале сущтене из ташке (1,2,3) на

раван

:

2). Пдредити кплики је угап између раве , и равни


7/44

7




Наставна тема: плиедри

Наставна јединица: пвршина ризме, ирамиде и зарубљене ирамиде


Циљ шаса:










мищљеое;

римјенпм мисапних перација, нарпшитп астракције и

генерализације, развијају спспбнпсти за индуктивни

пблик закљушиваоа

Васитни задаци: Ушеници треба да развијају: кпнцентрацију;







математишке спспбнпсти

навику сампкпнтрпле и критишкпг мищљеоа

Кљушни пјмпви: Пбразпвни стандарди:







8/44

8




материјал за ушенике:

Напмене:


ствари п плиедрима (ризми,ирамиди)

Главни дип шаса: Дефиниција 1 . пврщина плиедара је збир пврщина

свих мнпгпуглпва кпји пбразују оегпву плиедарску

пврщ.

пврщина ризме

Пзнашимп са пврщину ризме , са пврщину оенепснпве а са пврщину пмпташа. Тада ремадефиницији пврщине плиедра вриједи

Тепрема 1.

пврщина пмпташа билп кпје ризме једнака је

рпизвпду пбима нпрмалнпг ресјека и дужине оене

бпшне ивице.

Д п к а з .Нека је А1А2...АnА'1А'2...Аn ризма и В1В2...Вn оен

нпрмални ресјек пбима . На слици 1 редстављен јеслушај нека је дужина бпшне ивице. Да бисмпдпбили пврщину пмпташа . Треба да саберемп

пврщине бпшних страна. Све бпшне стане су

аралелпграми а странице нпрмалнпг ресјека су

оихпве висине.


9/44

9

(сл 1)

Затп имамп

РА1А2А'2А'1 = || ,РА2А3А'3А'3 = || ,...

Сабираоем пвих једнакпсти дпбија се:

РА2А3А'3А'2 + РА3А4А'4А'3+...+ РА1А2А'2А'1 =

|| || ||

Тј. ,Гдје је пбим нпрмалнпг ресјека ризме □ Акп је ризма рава, дужина бпшне ивице једнака је

висини а нпрмални ресјек је мнпгпугап пдударан

пснпви ризме. Дакле и , гдје је пбимпснпве, а је пврщина пмпташа раве ризме

пврщина равпуглпг аралелпиде (пврщина квадра)

Нека су димензије аралелпиеда . Акп за пснпвуузмемп равпугапник са страницама , тада је

тј.


10/44

10

пврщина кпцке

Акп је дужина ивице кпцке , тада је

Тј. □ римјер 1. Пдредимп пврщину кпцке шија дијагпнала

има дужину пд Р ј е ш е о е:

Какп је дужина ивице кпцке √ ,тп је

√

а је пврщина кпцке

пврщина ирамиде

ирамида је плидер. Затп је оена пврщина једнаказбиру пврщина мнпгпуглпва кпје је пгранишавају.

пврщина пмпташа ирамиде једнака је збиру пврщина

свих оених бпшних страна, тј.


11/44

11

(сл 2)

Тепрема 2. пврщина пмпташа равилне ирамиде

једнака је плурпизвпду пбима пснпвице и дужинеаптеме.

Д п к а з. Нека је равилна -тпстрана ирамида(сл 2). Нека је|| || | | || дужина аптеме. Бпшне стане ирамиде су пдударни

једнакпкраки трпуглпви. пврщина једнпг тпугла је . Какп је брпј тих трпуглпва једнак , тп је

Гдје је пбим пснпве. Дакле, □ римјер 2. У дпбијенпј фпрмули фигурищи три

велишине: Акп су две пд оих дате, израшунајтрећу.


12/44

12

Акп се пврщина пмпташа ирамиде М дпда пврщина

оене пснпве В. Дпбија се укуна пврщина ирамиде Р.

римјер 3. Пснпва ирамиде је рпмб са дијагпналмадужине 6 метара и 8 метара. Висна ирамиде рплази

крпз ресешну ташку дијагпнала пснпве и изнпси 1 метар.

Пдреди пврщину ирамиде.

Р ј е ш е о е:

Међутим ,

а је рема

тпме На пснпву пспбина дијагпнала рпмба, трпугап јеравпугли са катетама || || а је|| . За тај равпугли трпугап такпђе важи : || || || || Пдакле је:

|| Из равпуглпг трпугла

слиједи:

|| Сада је

|||| Тј.

пврщина пснпве је

| | || а је пврщина ирамиде


13/44

13

пврщина зарубљене ирамиде

пврщина пмпташа зарубљене ирамиде једнака је

збиру пврщина свих оених бпшних страна.

(сл 3)

Тепрема 3. пврщина пмпташа равилне зарубљене

ирамиде једнака је рпизвпду плузбира пбима две

оене пснпве и дужине аптеме.

Д п к а з. Нека је

равилна зарубљена

ирамида (сл 3) нека је даље,

|| || | | ,|| || | | , -пбим дпое пспве -пбим гпрое пснпве || - дужина аптеме Бпшне стране су пдударни једнакпкраки траези.

пврщина једнпг траеза је пврщина пмпташа је ута већа тј .

□


14/44

14

римјер 4. У дпбијенпј фпрмули фигурищу шетири

велишине : . Акп су три пд оих дате израшунајшетврту.

Заврщни дип шаса: рпвјеравмп щта ушеницима није јаснп на данащопј



1. Пдредити пврщину равилне

А) трпстране

Б) шетверпстране

ризме са ивицпм дужине

и виснпм

2. Израшунај пврщину равилне трпстране

ирамиде кпд кпје пснпвна ивица има дужину 3 а бпшна 5


15/44

15




Наставна тема: Вектпри

Наставна јединица: Вектпри у рпстпру, пјам кпмланарнпсти, разлагаое

вектпра дуж три некпмланарна вектпра


Циљ шаса:










мищљеое;



пблик закљушиваоа Васитни задаци: Ушеници треба да развијају:









навику сампкпнтрпле и критишкпг мищљеоа Кљушни пјмпви:







16/44

16






Напмене:


ствари п вектприма , пјам рпјекције вектпра на псе.

Главни дип шаса:

Вектпри у рпстпру

Нека је П ташка у рпстпру. Сваки вектпр у рпстпру

мпже се редставити у пблику ⃗ , тј аралелнимпмјераоем дпвести у плпжај да му се пшетна ташкапклпи са ташкпм П. псматрајмп три пријентисане

раве крпз ташку П такве да су сваке две узајамнп

нпрмалне. Пбиљежимп их са (сл 1). акп секрпз крај вектпра ⃗ , тј крпз ташку А пставе три равни . и аралелне редпм равнима ,пне ћебити редпм нпрмалне на псе , и сјећи ће ихредпм у ташкама А1,А2,А3.

(сл 1).

Јаснп је да су вектпри и


17/44

17

кпмпненте вектпра ⃗ дуж пса редпм. Истптакп су интензитети тих кпмпнената, узети са

пдгпварајућим знакпм, рпјекције вектпра ⃗ на псе. Пшиглднп је да се сабираоем кпмпнената

, дпбија вектпр

⃗ , тј. важи

⃗ Кажемп да је вектпр ⃗ разлпжен на кпмпненте дуж пса , Пбиљежимп их са ⃗ редпм једнашиневектпра тих пса. Тада вектпр ⃗ мпже нащисати у пблику

⃗ ⃗ ⃗ (1)Гдје су

рпјекције вектпра

⃗ на псе

редпм. Псе пбразују Декартпв равпугликппрдинатни систем у рпстпру. Једнакпст (1) изражавашиоеницу да је сваки вектпр у рпстпру пдређен са три

свпје рпјекције на псе равпуглпг кппрдинатнпг

система. Те рпјекције називамп и оегпвим

кппрдинатам. За вектпр ⃗ кажемп да је вектпрплпжаја (или радијус вектпр) ташке А. За вектпре ⃗ кажемп да су јединишни вектпри равпуглпг

кппрдинатнпг система , тј. да шине пртпнпрмиранубазу у рпстпру. Ташку А, шији је вектпр плпжаја

⃗ ⃗ ⃗ , пбележавамп на сљедећи нашин: Углпви кпје псматрани вектпр плпжаја заклаа са

кппрдинатним псама пбишнп пбиљежавамп са и редпмЛинерна зависнпст вектпра и пјам кпмланарнпсти

Дефиниција:

Акп су , реални брпјеви и ⃗ ⃗⃗ вектприразлишити пд нуле, пнда се збир

⃗ ⃗ ⃗


18/44

18

Зпве линеарна кпмбинација вектпра ⃗ ⃗⃗ Дефиниција:

Нека су ⃗ ⃗⃗ , дати вектпри. Акп пстпје брпјеви , пд кпјих је бар један разлишит пд нуле таквида је

⃗ ⃗ ⃗ (*)Пнда се каже да су пви вектпри линеарни зависни. Акп

једнакпст (*) исуоена јединп за ,пнда се каже да су пви вектпри ⃗ ⃗⃗ линеарнпнезависни

Тепрема : Вектпри ⃗⃗⃗ су кпмланарни акп сулинеарнп зависни




1)Пдредимп интензитет вектпра ⃗⃗⃗ ипдгпварајући јединишни вектпр

2)Дпкажимп да су вектпри ⃗⃗⃗ , ⃗⃗ и ⃗⃗⃗ линеарнп независни


19/44

19




Наставна тема: рава

Наставна јединица: Екслицитна једначина раве , једначина раве

аралелна у-пси


Циљ шаса:










мищљеое;



















20/44

20






Напмене:

Увпдни дип шаса: пнављаое пнпг щтп је рађенп рпщли шас.

Централна идеја на кпјпј се заснива аналитишка

гепметрија је да је лакще рјещавати једнашине негп

гепметријске рпблеме. Да би се та идеја реализпвала

птребнп је :

1.

Увести кппрдинате ташака такп да пстпји узајмнп једнпзнашнп ресликаваое између ташака (раве ,

равни или рпстпра) и оихпвих кппрдината

2. редставити гепметријске фигуре једнашинама п

мпгућнпсти једнпставнијим, у кпјима се пјављују

кппрдинате

3. редставити једнашине гепметријским фигурама

Главни дип шаса: Какп је рава једна пд најједнпставнијих фигура, и какп

се низ гепметријских фигура састпји пд рава или

дијелпва рава, изушимп најрије једнашину раве. Да

бисмп мпгли пдредити једнашину раве, мпрамп секпристити некпм оенпм гепметријскпм пспбинпм, јер је

рава пснпвни гепметријски пјам кпји се не дефинище.

Ради једнпставнпсти псматрајмп најре раву кпја

рплази крпз кппрдинатни пшетак и кпја је разлишита пд

кппрдинатних пса.

(сл. 1) (сл. 2)


21/44

21

Нека је рпизвпљна ташка на рави разлишита пдкппрдинатнпг пшетка. Та рава је једнпзнашнп пдређена

углпм кпји заклаа са x- пспм. Пднпс

Је кпнстантан за рпизвпљан плпжај ташке Т, пзнашава

се са и назива се кпефицијент равца. Пдавде слиједида је за сваку ташку на рави

,а је тп једнашина раве крпз кппрдинатни пшетак, кпја

заклаа угап са пспм гдје је Нека је дата рпизвпљна рава. Тада су мпгућа трислушаја.

1) рава сијеше пбе кппрдинатне псе. Нека су

кппрдинате ресјешне ташке раве и псе Са слике се види да је прдината сваке ташке на

рави пвећана за акп је пзитивнп или јесмаоена за акп је негативнп у пднпсу на ташкеса истпм асциспм кпје леже на аралелнпј рави

кпја рплази крпз кппрдинатни пшетак. Какп је

једнашина раве кпја рплази крпз кппрдинатни

пшетак тп дпбијамп У пвпј једнашина је тангенс угла кпји равапбразује са пспм , а је пдсјешак на -пси. пщтп се једнашина пблика називаекслицитна једнашина, тп се наведена једнашина

раве назива екслицитна једнашина раве.

2) рава аралелна са x пспм или се са опм пклаа

(сл. 3). Тада све ташке на рави имају истпрастпјаое пд х-псе, а какп је растпјаое пд х-псе

прдинатна ташке, тп све ташке на равпј имају

међуспбнп једнаке прдинате. Нека је растпјаое .Тада једнашина раве


22/44

22

(сл. 3)

Пвај плпжај мпже да се псматра кап сецијалан

слушај ретхпднпг када је угап нула или цијелиумнпжак пд .

3) рава је аралелна са

пспм или се са опм

пклаа (сл 3). Тада све ташке на равпј имајуистп растпјаое пд а се аналпгнп дпбијада је једнашина раве Из свега слиједи да је једнашина раве увјек

једнашина рвпг стеена. Збпг тпга се једнашина

рвпг стеена назива линеарна једнашина.




1). ретвприти у екслицитни пблик једнашину пблика: 2).Пдредити ресјешну ташку функције и У-псе


23/44

23




Наставна тема: Низпви

Наставна јединица: Гранична вриједнпст низа


Циљ шаса:










мищљеое;




















24/44

24





Напмене:

Увпдни дип шаса: пнављаое пнпг щтп је рађенп рпщли шас. Дефиниција

низа и пснпвни пјмпви, аритметишки низ, гепметријски

низ

Главни дип шаса: рикажимп на брпјевнпј пси некпликп шланпва низа шији

је пщти шлан . Какп је , тп ћемп на брпјевнпј пси имати сљедећириказ (сл 1)

(сл 1)

римјетимп, какп расте , тп је растпјаое између шлананиза и ташке нула све маое.Упшимп сада рпизвпљну пкплину ташке нула и

пкущајмп да пдгпвпримп на итаое кпликп шланпва

низа се налази у тпјпкплини, а кампли изван ое. Нека јена римјер , а је 1/3 - Пкплина ташке Пинтервал (-1/3,1/3) .Види слику 2.

(сл 2)

римјећујемп да се изван интервала (-1/3,1/3) налазе

самп три шлана низа и тп: а унутар сви пстали: , Узмимп за тј (-1/10,1/10) налазешланпви низа , а за сви шланпви датпг низа унутар интервала (-1/10,1/10) . Кпликп

шланпва низа се налазе у 2-гпј пкплини ташке П?

римјећујемп да пд велишине брпја зависи кпјишланпви низа се налазе у пкплини нуле. За тпсу били пни кпд кпјих је индекс , а за пни


25/44

25

кпд кпјих је индекс , дпк су за били свишланпви низа. На пснпву пвих римјера закљушујемп: У

рпизвпљнпј пкпли ташке П налазе се сви шланпви низа*+ шији је индекс већи пд некпг брпја , авриједнпст тпг брпја

зависи пд вриједнпсти

. Затп

брпј пзнашавамп и са .псматрајмп сада низ { } . Некпликп рвих шланпваниза су

итд. Упшимп сада рпизвпљну пкплину ташле 1. На римјерза та пкплина је . У тпминтервалу налазе се сви пни шланпви низашији је индекс . Ван пменутпг низа интерваласледећи су шланпви низа:

. Дакле акп се упши

да ма кпја - пкплина ташке 1 , мпже се наћи брпј (шија вриједнпст зависи пд вриједнпси ), такп да се свишланпви низа шији је индекс налазе у тпј -пкплини, а ван ое се налази самп кпнашнп мнпгп

шланпва .ретхпдни римјери нам сугерищу да уведемп пјам

гранишне вриједнпсти низа. Такп кажемп :

Брпј је гранишна вриједнпст низа *+ акп се за свакибрпј

пстпји рирпдан брпј

такав да се сви

шланпви , шији је индекс налазе у пкплинибрпја ,Штп заисујемп фпрмулпм:

| | (1)римјер 1.

Гранишна вриједнпст низа { } јесте нула. Требадпказади да за ма кпје

пстпји

такп да за

ма кпје важи : Акп пнда Тј. да је какп је


26/44

26

Имамп

и кпнашнп . Дакле за све кпји су већи пд

јесте

(за ма кпје

).

Такп да смп пказали да је 0 гранишна вриједнпст низа{ }.римјер 2.

Гранишна вриједнпст низа { } јесте брпј 1. Какп требада је

Тп из

слиједи а за мпжемп узети брпј (или шак неки већи) псматрајмп сада низ *+ тј. 1,2,3... n , ... Акп би тај низимап гранишну вриједнпст – неки брпј , пнда битребалп да се у ма кпјпј пкплини брпја налазе скпрпсви шланпви низа *+ , псим шланпва кпји бибили ван интервала . Акп сада упшимп брпј (ма кпликп пн велик бип) тада увјек пстпјирирпдан брпј . пшевщи пд тпг брпја свивећи ррпдни брпјеви нр

већи су и пд

, те се налазе изван интервала шланпва низа. Дакле није гранишна вриједнпст низа *+ .За низ *+ за кпји пстпји гранишни вриједнпст кажемпда је кпнвергентан тј. акп важи услпв:

| | Кажемп да је низ дивергентан акп пн није кпнвергентан.

римјер 3 Низпви { } { } {} су кпнвергентни. Оихпве гранишне вриједнпсти су редпм 0,1,0 . Низ *+ тј. 1,1,1... је такпђе кпнвергентан, а оегпва гранишна вриједнпст је

1.

римјер 4


27/44

27

А) Дивергентни је низ *+ Б) Низ { } је такпђе дивергентан. Заиста, акппсматама шланпве низа са арним индекспм тп су:

..., ... и пни су све ближе брпју1. Акп псматрамп ак шланпве низа са неарниминдекспм имаћемп : Пни су ближе брпју (-1). Пвдје је јаснп да не пстпји ни

један брпј у шијпј свакпј пкплини би се налазилискпрп сви шланпви низа, сем мпжда оих кпнашнп мнпгп.

Зад

Дпкажи да је

. /


лекцији , пнављамп пнп щтп смп наушили.

За задаћу

30 Дпкажи да је 32 Дпкажи да је 35 Дпкажи да је


28/44

28




Наставна тема: плинпми

Наставна јединица: плинпми над пљем кпмлексних брпјева, пснпвна

тепрема алгебре


Циљ шаса:










мищљеое;



















29/44

29






Напмене:

Увпдни дип шаса: Упзнаваое ушеника са пним щтп ћемп радити тпкпм

пвпг шаса

Главни дип шаса: Увпдне дефиниције

Пснпвне дефиниције и пспбине плинпма над пљем

реалних брпјева (тј. реалних плинпма) разматране су у

рвпм разреду. плинпми над пљем кпмлекснихбрпјева (тј. кпмлексни плинпми) увпде се на слишан

нашин.

Наиме, акп су дати кпмлексни брпјевиресликаваое кпјим се кпмлексан брпј ресликавау кпмлексан брпј ...+ назива се плинпм. плинпм је, дакле, функција кпјаресликава у , а дефинисана је са:

...+ (*)плинпм п шестп се дефинище кап израз пблика ...+ . Ми ћемп пвдје плинпмтретирати искљушивп кап функцију кпја кпмлексан брпј ресликава у кпмлексан брпј дефинисан са (*). Акп је , тада је стеен плинпм (*). Кaжемп и да је плинпм плинпм стеена и ищемп .Акп је за свакп кажемп да је нулаплинпм и сматрамп да је непдређенпг стеена

Брпјеви

су кпефицијенти плинпма

.

Сецијалнп брпј је впдећи. пједини сабирци у (*) тј. ...+ , су шланпви плинпма .Нека је плинпм стеена . Кпмлексан брпј је нулаплинпма акп је . У тпм слушају кажемп да сеплинпм анулира за . Нула плинпма јерјещеое ( кпријен) једнашине


30/44

30

римјер 1. плинпм дефинисан са:

Је плинпм стеена 2. С пбзирпм да је , закљушујемп да је брпј 1 нула плинпма.Тп је једнп рјещеое једнашине

.

Перације са плинпмима. Дјељивпст плинпма

Акп су и плинпми, тада су оихпв збир разлика ирпизвпд тј. функције дефинисане са

Такпђе плинпми.

Дакле, с пбзирпм да су збир, разлика и рпизвпд два

плинпма такпђе плинпми, закљушујемп да је ску свих

плинпма над пљем кпмлексних брпјева затвпрен у

пднпсу на перације: сабираое, пдузимаое и мнпжеое

плинпма.

Међутим кплишник два плинпма тј. функција ,дефинисана са: биће плинпм акп и самп акп је плинпм P дјељив плинпмпм Q , тј. акп и самп акп

пстпји плинпм такав да је:

Дакле иакп за билп кпја два плинпма и не мпра дапстпји плинпм такав да је: , мпже седпказати да увијек пстпје ташнп два плинпма ,

кплишник и пстатак таква да је : (**)

ри шему је

нула плинпм или је

римјер 2. Да бисмп за плинпме и дефинисане са: Пдредили кплишник и пстатак такве да важи (**),пдјелимп плинпм плинпмпм . Имамп :


31/44

31

а је: ,

Пснпвна тепрема алгебре и оене псљедице

За кпмлексне плинпме важи сљедећи резултат, пзнат

пд именпм пснпвна тепрема алгебре:

Сваки плинпм над пљем кпмлексних брпјева имабар једну нулу.

Другим ријешима, билп кпја једнашина п : ...+

Гдје су дати кпмлексни брпјеви, има у скуу бар једнп рјещеое. римјетимп да пваква тепрема не важи у пљу реалних

брпјева. На римјер, плинпм , итд. Немају у скуу ниједну нулу, тј. непстпје реални брпјеви такви да је .Међутим у скуу те једнашине имају рјещеоа. Пнегласе : пднпснп √ , √ .Дпказ пснпвне тепреме алгебре није једнпставан и пн се

пбишнп изпставља. Стпга пснпвну тепрему алгебреусвајамп кап аксипму (уз напмену да се пна мпже

дпказати) и навпдиме неке важне псљедице.

рва пд тих псљедица пднпси се на фактпризацију

плинпма. Наиме, ташне су, рецимп , сљедеће

фактпризације:


32/44

32

Итд, щтп се лакп мпже рпвјерити. Такпђе из пснпвне

тепреме алгебре закљушујемп да плинпм

Мпже на један и самп један нашин заисати




1. Пдредити брпјеве такп да важи 2. Пдредити пстатак ри дијељеоу плинпм

плинпмпм гдје је :


33/44

33




Наставна тема:

Наставна јединица: Иситиваое функција (уз римјену извпда) ; график

функције


Циљ шаса:










мищљеое;



















34/44

34






Напмене:

Увпдни дип шаса: пјам функције , дпмен и кпдпмен функције

Главни дип шаса: Лијева и десна гранишна вриједнпст

Дефиниција : Нека је функција дефинисана уинтервалу

, кажемп да је брпј

десна

гранишна вриједнпст функције у ташки акп за свакп пстпји такп да ako тада јеасплутна вриједнпст | | . - десна - лијева Кажемп да је гранишна вриједнпст функције у ташки једнака акп за свакп пстпји такп да је

Гранишна вриједнпст фунцкије у бескпнашнпсти

Нека је функција

дефинисана у интервалу

.

За реалан брпј кажемп да је гранишнавриједнпст функције када тежи у . Акп за пстпји некп такп да важи | | Тп заисујемп кап


35/44

35

На слишан нашин се дефинище гранишна вриједнпст

функције када х тежи у

Неке знашајне гранишне вриједнпсти:

Асимтпте функције

Вертикална асимтпта:


За раву кажемп да је вертикална асимтптафункције акп је бар један пд лимеса ( или ) бескпнашан. Вертикалну асимтпту тражимп у рубпвима дпмена

функције

Хпризпнтална асимтпта:


За раву кажемп да је хпризпнтална асимтптафункције акп важи бар један пд услпва


36/44

36

Кпса асимтпта:


За раву кажемп да је кпса асимтптафункције акп важи бар један пд услпва . /

Акп је пвај лимес кпнашан пнда је тп .Акп је =0 асимтпта је хпризпнтална

Акп је кпнашан тада је рава кпса асимтпта

Нуле и знак функције


За реалан брпј из дпмена функције кажемп да је нулафункције акп је


37/44

37

Извпд фунцкије

Средоа и тренутна брзина:

Трунутна брзина у тренутку

риращтај функције

на интервалу

, -

Кпефицијент равца тантенте на функцију уташки


38/44

38

Дефиниција

Нека је функција дефинисана у интервалу кпји садржи ташку . Гранишна вриједнпст

(укпликп пстпји) назива се рви

извпд функције у ташки .Пзнашава се са

1) пдредити извпд функције (нијенаглащенп у кпјпј ташки)

=

=

Извпд збира рпизвпда и кплишника

Тепрема:

Нека је диференцијабилна (пстпји оен извпд)функција и реална кпнстанта тада је функција такпђе диференцијабилна и важи ( )

Нр:

Тепрема:

Нека су и диференцијабилна функције , тада су функције такпђе диференцијабилна и важи:

( )

( )


39/44

39

Други извпд функције


Нека је функција два ута диференцијабилна(пстпји оен други извпд) на интервалу .Акп је за све тада је функција на тпминтервалу кпнкавна а акп је за све тада је функција кпнвексна на тпминтервалу

Ташке у кпјима функција мијеоа кпнвекснпст називају се

ревпјне ташке те функције.

Лпиталпвп равилп:

Акп је и и акп пстпји тада је Акп је и и акп пстпји тада је Извпд слпжене фунцкије :

() () Заврщни дип шаса: рпвјеравмп щта ушеницима није јаснп на данащопј



1) Исцртати график функције

2) Исцртати график функције


40/44

40




Наставна тема: Вјерпватнпћа

Наставна јединица: Вјерпватнпћа пснпвна равила


Циљ шаса:










мищљеое;




















41/44

41





Напмене:

Увпдни дип шаса: Фпрмула укљушеоа искљушеоа за два и за три скуа,

Пснпвни брпјеви у кпмбинатприци (n! , бинпмни

кпефицијент)

Главни дип шаса: пд слушајним ексериментпм ћемп пдразумјевати

ексеримент шији се исхпд не мпже са сигурнпщћу

редвидјет , а кпји се (тепретски) мпже пнпвити

непгранишен брпј ута пд истим услпвима.

За дпгађај кпји у датпм слушајнпм ексерименту мпже дасе деси или не деси и ри тпм нема трећу мпгућнпст

кажемп да је слушајан дпгађај.

Акп реализација дпгађаја А пвлаши реализацију

дпгађаја В , тада кажемп да је А пдску п д В (АВ)Пднпснп да Б садржи у себи А.

Слушајан дпгађај кпји не садржи ни један други дпгађај

назива се елементарним.

За дпгађај кпји се реализује ташнп пнда када се не

реализује дпгађај А кажемп да је сурптан дпгађају А. И

пзнашавамп га са

̅ .

Дефиниција :

Дпгађај кпји се реализује ташнп пнда када се реализује

бар један пд дпгађаја А или В назива се збир тих дпгађаја

А+В или (АВ) Дефиниција:

Дпгађај кпји се реализује ташнп пнда када се реализују и

дпгађај А и дпгађај В. Назива се рпизвпд тих дпгађајаАВ или (А В) Дпгађаји кпји се не мпгу десити истпвременп (Чији је

рпизвпд једнак 0) су међуспбнп не сагласни

(рптиврјешни)


42/44

42


Дпгађај кпји се реализује ташнп пнда када се реализује

дпгађај А, а не реализује дпгађај В назива се разлика

дпгађаја А и В. А-В или (А

В)


Ску дпгађаја шији је збир сигуран дпгађај, а рпизвпд

билп кпја два дпгађаја истпг скуа немпгућ дпгађај

назива се птун систем дпгађаја.

1) Дпказати да за дпгађаје А и В важи (Де Мпрганпва

равила)

А) ̅ В) ̅ А) => Акп се десилп => није се десилп А+В Тпзнаши да се није десилп А и да се није десилп В. Тпдаље знаши да се десилп ̅и (пба) щтп знаши да седесилп ̅ тиме је дпказанп да је ̅ (*) ̅

2) Ексеримент се састпји пд бацаоа једне кпцке и

једнпг бацаоа нпвшића ( рвп се баца кпцка а

нпвшић). Писати ску елементарних дпгађаја.

*+ 3) Ексеримент се састпји пд бацаоа двпје кпцке.


43/44

43

Писати ску елементарних дпгађаја.

А- збир алих брпјева је маои пд 5

Б- Збир алих брпјева је већи пд 7

В - ?

АБВ птун систем

3. Кпцка се баца два ута. Пдредити вјерпватнпћу да

пба ута адне исти брпј.

4. Из Шила пд 32 карте за игру слушајнп се извлаши

једна. Пдредити вјерпватнпће дпгађаја А-

извушена карта је слика; Б- Извушена карта је треф;В-Извушена карата је слика треф ; Г – Извушена

карта је слика или треф.

Р(А)=12/32=6/16=3/8

Р(Б)=8/32=1/4

Р(В)=Р(А)Р(Б)=3/8 1/4 = 3/32Р(Г)=Р(А)+Р(Б)-Р(А-Б)=

3/8+1/4-3/32=

(12+8-3) / 32=

17/32

5. На усменпм иситу пстпји 25 цједуља са п 2

итаоа. Кандидат зна пдгпвпре на 45 итаоа.

Кпја је вјерпватнпћа да ће на цједуљи кпју је

кандидат извукап бити пба итаоа на кпја пн зна

пдгпвпр.


44/44




1. Међу рвих 4000 рирпдних брпјева имамп 551

рпст брпј. Пдредити вјерпватнпћу пјаве рпстпгбрпја

2. Пдредити вјерпватнпћу да две башене кпцке

пкажу брпјеве шији је збир 8.

Documents

Mladen Despic Pripreme Za Cas