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MM-4.Funciones Básicas

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  • 1

    Funcin Exponencial

    Sea z = x+iy, definimos la funcin exponencial

    como:

    )sin(cos yiyee xz

    Por qu?

    (1) ez se reduce a ex cuando z es real (cuando y = 0).

    (2) ez es una funcin entera (es analtica en todo punto).

    (3) Su derivada coincide con la funcin misma, como

    en el caso de la exponencial real.

    eiee i )sin(cos1

    332/3 )2/sin2/(cos ieiee i

  • 2

    Propiedades de la funcin exponencial

    21

    21

    21

    21

    212121

    )sin(cos)sin(cos

    )]sincoscos(sin

    )sinsincos[(cos

    )]sin()[cos(

    2211

    2121

    2121

    2121

    )()(

    zz

    xx

    xx

    xx

    yyixxzz

    ee

    yiyeyiye

    yyyyi

    yyyye

    yyiyye

    ee

    2121 zzzz eee (1)

  • 3

    (2) Resolvamos ez = 1:

    Igualando la parte imaginaria:

    ex sin y = 0 y = n (n = 0,1,2.....). Igualando la parte real:

    1 = ex cos y = ex cos ( 2n) = ex x=0. z = 2n i (n = 0,1,2.....). En particular e0 = 1.

    (3) (ez)-1 = e-z

    Observemos que 1 = e0 = ez-z = ez e-z.

    (4) (ez)n = enz , con n entero. Para n=0,1 la igualdad es cierta por definicin.

    Para n > 1, aplicamos ez+w = ez ew e induccin.

    Para n < -1, (ez)n = [(ez)-1] n = (e-z) n = enz.

  • 4

  • 5

    y

    x

    -

    -3

    3

    u

    v

    (5) Observemos que ez 0 z. El rango de la funcin exponencial es todo el plano w, excepto 0, C - {0}.

    (7) De modo que ez es peridica con periodo 2 i

    ez+ 2 i = ez z

    (6) arg ez = y 2n (n = 0,1,2...).

    As que podemos dividir el plano z en bandas peridicas infinitas de ancho 2. De modo que la imagen de cada banda llena la totalidad del plano w (excepto w = 0). La banda

    - < y se denomina regin fundamental o principal de ez.

  • 6

    yeRxyyxryiyeezf

    x

    xz

    ,)/arctan(,

    )sin(cos)(

    22

    Las lneas y = c e y = d se transforman en los rayos

    respectivamente (a excepcin del origen). Las lnea x = a y x = b se

    transforma en los crculos de radio R = a, b respectivamente.

    Combinando ambos hechos, observa como se transforma el rectngulo.

    dc,

  • 7

    yiyee yiz sincos

    sincos iei

    )sin(cos yiye

    ee

    x

    yixz

    (8) Frmula de Euler

    Cuando z es imaginario puro (x = 0):

  • 8

    01ie

    sincos iei

    (9) The most remarkable frmula in math

    (Richard Feynman)

    nos proporciona la siguiente identidad:

    Observa que para

    la frmula de Euler,

  • 9

    )sin(cos irz z

    y

    x

    r

    iei sincos

    irez

    (12) Las formas exponencial y trigonomtrica

    Recuerda que la forma polar para un nmero complejo es

    La frmula de Euler nos dice que

    Forma

    exponencial

    de un nmero

    complejo

  • 10

    i

    i

    rez

    rez

    4/iez

    4/iez

    (13) La funcin exponencial

    y el conjugado

    iez Qu nmeros complejos satisfacen la expresin ?

    El mdulo es 1 y puede tomar cualquier valor, de modo que

    satisfacen la expresin todos los nmeros complejos sobre el

    crculo unidad.

    x

    y

    z

    iez

    iez 21

    Todos los nmeros complejos sobre un

    crculo de radio 2, centrado en z0=1

    Qu nmeros complejos satisfacen la expresin ?

    x

    y

    2

    iez 21

    z0=1

  • 11

    (14) Producto y divisin en forma exponencial

    Es sencillo multiplicar y dividir en forma

    exponencial. Por ejemplo, dividamos:

    i

    i

    ei

    ei

    4/

    2/

    822

    i

    i

    i

    ee

    e

    i

    i )4/()4/(

    )2/(

    8

    1

    8

    1

    22

    2

    1

    22

    11

    i

    i

    erz

    erz

    )(

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    )(

    212121

    21

    2

    1

    2121

    i

    i

    i

    itii

    er

    r

    er

    er

    z

    z

    errererzzEn general:

  • 12

    ie

    Podemos escribir:

    sincos,sincos ieie ii

    sin2

    ,cos2

    i

    eeee iiii

    x

    y

    ie

    ie

    cos2

    Funciones trigonomtricas

    A partir de la frmula de Euler:

  • 13

    A partir de la observacin anterior, resulta natural definir las

    funciones seno y coseno de una variable compleja z por medio de

    las siguientes expresiones:

    i

    eez

    eez

    zizizizi

    2sin,

    2cos

    Funciones trigonomtricas de variable compleja

    Observa que en

    variable compleja

    las funciones

    trigonomtricas y

    exponencial estn

    ntimamente

    relacionadas, cosa

    que no ocurre en

    variable real.

    zz sin)(cosdz

    d zz cos)(sin

    dz

    d

    Con estas definiciones:

    (1) cos z (sin z) se reduce a cos x (sin x) cuando z

    es real.

    (2) cos z y sin z son funciones enteras (analticas en todo punto).

    (3) Sus derivadas coinciden con sus equivalentes en variable real.

  • 14

    Ejemplo: Resolver cos z = 5.

    Solucin: Aplicamos la definicin en exponenciales del coseno:

    cos z = [eiz + e-iz]/2 = 5

    eiz + e-iz 10 = 0; multiplicando la ecuacin por eiz

    ei2z 10 eiz + 1 = 0; Haciendo el cambio de variable t = eiz

    t = eiz = 5 (25-1) = 9.899 o 0.101

    z = 2n 2.292 i (n=0,1,2....)

    e-y = 9.899 0.101 y = 2.292 eix = 1 x = 2n (n=0,1,2....)

  • 15

    El resto de funciones trigonomtricas se definen en relacin a las

    funciones seno y coseno mediante las relaciones conocidas:

    zz

    zz

    z

    zz

    z

    zz

    sin

    1csc,

    cos

    1sec,

    sin

    coscot,

    cos

    sintan

    Las frmulas usuales para las funciones trigonomtricas de variable real

    siguen siendo vlidas para las correspondientes de variable compleja:

    212121

    212121

    sincoscossin)sin(

    sinsincoscos)cos(

    zzzzzz

    zzzzzz

    1sincos 22 zz

    tan z y sec z (cot z y csc z) no son enteras, ya que no son analticas en

    los puntos donde cos z (sin z) es 0.

    ii

    ii

    ee

    ee

    i

    1tanObserva por ejemplo que:

  • 16

    2sin

    2cos

    sincossincos2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1cos )()(

    yyyy

    yy

    ixyixyyixiyixizizi

    eexi

    eex

    xixexixe

    eeeeeez

    Escribamos las funciones trigonomtricas complejas

    en forma binmica: ),(),()( yxviyxuzf

    yxiyxz sinhcoscoshsinsin

    De la misma manera para la funcin seno tenemos:

    yxiyxz sinhsincoshcoscos

  • 17

    xeeix xx cosh2

    1cos

    xieei

    eei

    iee

    iee

    iix

    xx

    xxxxxx

    sinh)(2

    )(2

    )(2

    1

    2

    1sin

    2

    xix

    xi

    ix

    ixix tanh

    cosh

    sinh

    cos

    sintan

    Si particularizamos en las definiciones de las funciones

    trigonomtricas complejas para z = ix tendremos:

  • 18

    xix coshcos xiix sinhsin xiix tanhtan

    Estos resultados nos dan una regla general para convertir

    identidades trigonomtricas en identidades hiperblicas:

    Cualquier identidad trigonomtrica seguir siendo vlida si

    reemplazamos sin(), cos(), tan() por sinh(), cosh(), tanh()

    respectivamente. Teniendo en cuenta, adems, que si hay un

    producto de dos sin() tan(), cambia el signo del trmino

    sustituido.

    Por ejemplo:

    sinhcoshcoshsinh)sinh(

    sinhsinhcoshcosh)cosh(

    sinsincoscos)cos(

    sincoscossin)sin(

  • 19

    (1) Resolver cos z = 0

    cos z = cos x cosh y i sin x sinh y = 0

    Parte real: cos x cosh y = 0 cos x = 0;

    x = (2n+1)/2 (n = 0,1,2...)

    Parte imaginaria: sin x sinh y = 0 sinh y = 0; y = 0

    z = (2n+1)/2 (n = 0,1,2....)

    (2) Resolver sin z = 0

    sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y = 0

    Parte real: sin x cosh y = 0 sin x = 0;

    x = n (n = 0,1,2...)

    Parte imaginaria: cos x sinh y = 0 sinh y = 0; y = 0

    z = n (n = 0,1,2....)

    Los ceros de cos z y sin z son los mismos que los de sus anlogas funciones cos x y sin x reales.

  • 20

    Funciones hiperblicas complejas

    Hemos definido las funciones hiperblicas de una variable real como:

    2sinh

    2cosh

    xx

    xx

    eex

    eex

    Parece natural definir las funciones

    hiperblicas de variable compleja

    mediante las expresiones:

    2sinh,

    2cosh

    zzzz eez

    eez

    (1) Estas funciones son enteras y con derivadas: (cosh z) = sinh z ; (sinh z) = cosh z

    (2) Otras funciones hiperblicas se definen como: tanh z = sinh z / cosh z ; coth z = cosh z / sinh z sech = 1/cosh z ; csech z = 1/sinh z que son analticas excepto en los puntos en que el denominador

    se anula.

  • 21

    yiyeyiye

    eeeez

    xx

    yixyixzz

    sin(cos)sin(cos2

    1

    2

    1

    2

    1cosh

    Escribamos las funciones hiperblicas complejas en forma binmica:

    yxiyxz sincoshcossinhsinh

    yxiyxz sinsinhcoscoshcosh

    De la misma manera podemos demostrar que:

  • 22

    Ejercicio: Demostrar la identidad de Moivre para funciones

    hiperblicas:

    )sinh()cosh()sinh(cosh nnn

    )sin()cos(sincos nini n

    Ejercicio: Demostrar que : cosh (iz) = cos z y sinh (iz) = sin z

    Ejemplo: Veamos que |cos z|2 = cos2x + sinh2y

    |cos z|2 = cos2x cosh2y + sin2x sinh2y

    Como cosh2y sinh2y = [(ey + e-y)]2-[(ey - e-y)]2 = 1

    |cos z|2 = cos2x (1 + sinh2y) + sin2x sinh2y = cos2x + sinh2y

  • 23

  • 24

  • 25

    Ejercicio: Hallar todas las soluciones de la ecuacin

    .

    sen 3 62 2

    iz iz iz iziz ize e e ez i e e

    i i

    . Hacemos

    ize T

    , y la ecuacin resulta:

    1 26 6 1 0T T T T

    , cuyas soluciones son:

    6 36 4 6 2 103 10

    2 2T

    , de donde

    ln 3 10 ln 3 10 2iz k i , y tambin

    ln 3 10 ln 3 10 2iz k i con k un nmero entero. Despejando z se obtiene la solucin:

    2 ln 3 10 , 2 ln 3 10z k i z k i

    , con k un n entero.

    3 seni z

  • 26

    ir

    zizz

    ln

    arg||lnln

    zezeeee zizizzizz argarg||lnarg||lnln ||

    Funcin logartmica

    Definimos el logaritmo de un nmero complejo z como

    Definido de esta manera, observemos que:

    El logaritmo complejo es multivaluado, una correspondencia

    multvoca, no una biyeccin. Debido a la multivaluacin de la

    funcin arg z, a cada z corresponden un nmero infinito de

    valores.

    (|z| > 0,

    no continua

    en z = 0).

  • 27

    iz 1

    4/

    2

    ,...2,1,0),24/(2ln)1ln( nnii

    Por ejemplo, calculemos el valor de

    Para cada valor de n obtenemos un

    posible valor de la funcin logaritmo.

    Podemos construirnos una funcin unvoca

    tomando el argumento principal Arg z, en

    vez de arg z.

  • 28

    Valor principal del logaritmo

    El valor principal de ln z se define como el valor

    correspondiente al valor principal del argumento de z:

    zizz ArglnLn

    Usamos la letra mayscula L para designar al valor principal:

    )4/(2ln)1Ln( ii valor principal

    ,...2,1,0),24/(2ln)1ln( nnii Tenemos:

  • 29

  • 30

    21

    2121

    2121

    )(

    212121

    lnln

    lnln

    )(ln

    lnln)(ln 2121

    zz

    iirr

    irr

    errererzziii

    (1)

    Esta es una relacin

    familiar para los

    logaritmos naturales

    Sea z1 = z2 = ei = -1, entonces si tomamos ln z1 = lnz2 = i

    PERO: no se cumple para el valor principal!

    Ln(z1z2) = Ln(1) = 0

    ln(ez) = ln(ex+iy) = ln(ex) + i y 2ni

    = z 2ni

    observa que ln(z1z2) = ln(z1) + ln(z2) = 2i = ln(1)

  • 31