1

Funcin Exponencial

Sea z = x+iy, definimos la funcin exponencial

como:

)sin(cos yiyee xz

Por qu?

(1) ez se reduce a ex cuando z es real (cuando y = 0).

(2) ez es una funcin entera (es analtica en todo punto).

(3) Su derivada coincide con la funcin misma, como

en el caso de la exponencial real.

eiee i )sin(cos1

332/3 )2/sin2/(cos ieiee i

2

Propiedades de la funcin exponencial

21

21

21

21

212121

)sin(cos)sin(cos

)]sincoscos(sin

)sinsincos[(cos

)]sin()[cos(

2211

2121

2121

2121

)()(

zz

xx

xx

xx

yyixxzz

ee

yiyeyiye

yyyyi

yyyye

yyiyye

ee

2121 zzzz eee (1)

3

(2) Resolvamos ez = 1:

Igualando la parte imaginaria:

ex sin y = 0 y = n (n = 0,1,2.....). Igualando la parte real:

1 = ex cos y = ex cos ( 2n) = ex x=0. z = 2n i (n = 0,1,2.....). En particular e0 = 1.

(3) (ez)-1 = e-z

Observemos que 1 = e0 = ez-z = ez e-z.

(4) (ez)n = enz , con n entero. Para n=0,1 la igualdad es cierta por definicin.

Para n > 1, aplicamos ez+w = ez ew e induccin.

Para n < -1, (ez)n = [(ez)-1] n = (e-z) n = enz.

4

5

y

x

-

-3

3

u

v

(5) Observemos que ez 0 z. El rango de la funcin exponencial es todo el plano w, excepto 0, C - {0}.

(7) De modo que ez es peridica con periodo 2 i

ez+ 2 i = ez z

(6) arg ez = y 2n (n = 0,1,2...).

As que podemos dividir el plano z en bandas peridicas infinitas de ancho 2. De modo que la imagen de cada banda llena la totalidad del plano w (excepto w = 0). La banda

- < y se denomina regin fundamental o principal de ez.

6

yeRxyyxryiyeezf

x

xz

,)/arctan(,

)sin(cos)(

22

Las lneas y = c e y = d se transforman en los rayos

respectivamente (a excepcin del origen). Las lnea x = a y x = b se

transforma en los crculos de radio R = a, b respectivamente.

Combinando ambos hechos, observa como se transforma el rectngulo.

dc,

7

yiyee yiz sincos

sincos iei

)sin(cos yiye

ee

x

yixz

(8) Frmula de Euler

Cuando z es imaginario puro (x = 0):

8

01ie

sincos iei

(9) The most remarkable frmula in math

(Richard Feynman)

nos proporciona la siguiente identidad:

Observa que para

la frmula de Euler,

9

)sin(cos irz z

y

x

r

iei sincos

irez

(12) Las formas exponencial y trigonomtrica

Recuerda que la forma polar para un nmero complejo es

La frmula de Euler nos dice que

Forma

exponencial

de un nmero

complejo

10

i

i

rez

rez

4/iez

4/iez

(13) La funcin exponencial

y el conjugado

iez Qu nmeros complejos satisfacen la expresin ?

El mdulo es 1 y puede tomar cualquier valor, de modo que

satisfacen la expresin todos los nmeros complejos sobre el

crculo unidad.

x

y

z

iez

iez 21

Todos los nmeros complejos sobre un

crculo de radio 2, centrado en z0=1

Qu nmeros complejos satisfacen la expresin ?

x

y

2

iez 21

z0=1

11

(14) Producto y divisin en forma exponencial

Es sencillo multiplicar y dividir en forma

exponencial. Por ejemplo, dividamos:

i

i

ei

ei

4/

2/

822

i

i

i

ee

e

i

i )4/()4/(

)2/(

8

1

8

1

22

2

1

22

11

i

i

erz

erz

)(

2

1

2

1

2

1

)(

212121

21

2

1

2121

i

i

i

itii

er

r

er

er

z

z

errererzzEn general:

12

ie

Podemos escribir:

sincos,sincos ieie ii

sin2

,cos2

i

eeee iiii

x

y

ie

ie

cos2

Funciones trigonomtricas

A partir de la frmula de Euler:

13

A partir de la observacin anterior, resulta natural definir las

funciones seno y coseno de una variable compleja z por medio de

las siguientes expresiones:

i

eez

eez

zizizizi

2sin,

2cos

Funciones trigonomtricas de variable compleja

Observa que en

variable compleja

las funciones

trigonomtricas y

exponencial estn

ntimamente

relacionadas, cosa

que no ocurre en

variable real.

zz sin)(cosdz

d zz cos)(sin

dz

d

Con estas definiciones:

(1) cos z (sin z) se reduce a cos x (sin x) cuando z

es real.

(2) cos z y sin z son funciones enteras (analticas en todo punto).

(3) Sus derivadas coinciden con sus equivalentes en variable real.

14

Ejemplo: Resolver cos z = 5.

Solucin: Aplicamos la definicin en exponenciales del coseno:

cos z = [eiz + e-iz]/2 = 5

eiz + e-iz 10 = 0; multiplicando la ecuacin por eiz

ei2z 10 eiz + 1 = 0; Haciendo el cambio de variable t = eiz

t = eiz = 5 (25-1) = 9.899 o 0.101

z = 2n 2.292 i (n=0,1,2....)

e-y = 9.899 0.101 y = 2.292 eix = 1 x = 2n (n=0,1,2....)

15

El resto de funciones trigonomtricas se definen en relacin a las

funciones seno y coseno mediante las relaciones conocidas:

zz

zz

z

zz

z

zz

sin

1csc,

cos

1sec,

sin

coscot,

cos

sintan

Las frmulas usuales para las funciones trigonomtricas de variable real

siguen siendo vlidas para las correspondientes de variable compleja:

212121

212121

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

zzzzzz

zzzzzz

1sincos 22 zz

tan z y sec z (cot z y csc z) no son enteras, ya que no son analticas en

los puntos donde cos z (sin z) es 0.

ii

ii

ee

ee

i

1tanObserva por ejemplo que:

16

2sin

2cos

sincossincos2

1

2

1

2

1

2

1cos )()(

yyyy

yy

ixyixyyixiyixizizi

eexi

eex

xixexixe

eeeeeez

Escribamos las funciones trigonomtricas complejas

en forma binmica: ),(),()( yxviyxuzf

yxiyxz sinhcoscoshsinsin

De la misma manera para la funcin seno tenemos:

yxiyxz sinhsincoshcoscos

17

xeeix xx cosh2

1cos

xieei

eei

iee

iee

iix

xx

xxxxxx

sinh)(2

)(2

)(2

1

2

1sin

2

xix

xi

ix

ixix tanh

cosh

sinh

cos

sintan

Si particularizamos en las definiciones de las funciones

trigonomtricas complejas para z = ix tendremos:

18

xix coshcos xiix sinhsin xiix tanhtan

Estos resultados nos dan una regla general para convertir

identidades trigonomtricas en identidades hiperblicas:

Cualquier identidad trigonomtrica seguir siendo vlida si

reemplazamos sin(), cos(), tan() por sinh(), cosh(), tanh()

respectivamente. Teniendo en cuenta, adems, que si hay un

producto de dos sin() tan(), cambia el signo del trmino

sustituido.

Por ejemplo:

sinhcoshcoshsinh)sinh(

sinhsinhcoshcosh)cosh(

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

19

(1) Resolver cos z = 0

cos z = cos x cosh y i sin x sinh y = 0

Parte real: cos x cosh y = 0 cos x = 0;

x = (2n+1)/2 (n = 0,1,2...)

Parte imaginaria: sin x sinh y = 0 sinh y = 0; y = 0

z = (2n+1)/2 (n = 0,1,2....)

(2) Resolver sin z = 0

sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y = 0

Parte real: sin x cosh y = 0 sin x = 0;

x = n (n = 0,1,2...)

Parte imaginaria: cos x sinh y = 0 sinh y = 0; y = 0

z = n (n = 0,1,2....)

Los ceros de cos z y sin z son los mismos que los de sus anlogas funciones cos x y sin x reales.

20

Funciones hiperblicas complejas

Hemos definido las funciones hiperblicas de una variable real como:

2sinh

2cosh

xx

xx

eex

eex

Parece natural definir las funciones

hiperblicas de variable compleja

mediante las expresiones:

2sinh,

2cosh

zzzz eez

eez

(1) Estas funciones son enteras y con derivadas: (cosh z) = sinh z ; (sinh z) = cosh z

(2) Otras funciones hiperblicas se definen como: tanh z = sinh z / cosh z ; coth z = cosh z / sinh z sech = 1/cosh z ; csech z = 1/sinh z que son analticas excepto en los puntos en que el denominador

se anula.

21

yiyeyiye

eeeez

xx

yixyixzz

sin(cos)sin(cos2

1

2

1

2

1cosh

Escribamos las funciones hiperblicas complejas en forma binmica:

yxiyxz sincoshcossinhsinh

yxiyxz sinsinhcoscoshcosh

De la misma manera podemos demostrar que:

22

Ejercicio: Demostrar la identidad de Moivre para funciones

hiperblicas:

)sinh()cosh()sinh(cosh nnn

)sin()cos(sincos nini n

Ejercicio: Demostrar que : cosh (iz) = cos z y sinh (iz) = sin z

Ejemplo: Veamos que |cos z|2 = cos2x + sinh2y

|cos z|2 = cos2x cosh2y + sin2x sinh2y

Como cosh2y sinh2y = [(ey + e-y)]2-[(ey - e-y)]2 = 1

|cos z|2 = cos2x (1 + sinh2y) + sin2x sinh2y = cos2x + sinh2y

23

24

25

Ejercicio: Hallar todas las soluciones de la ecuacin

.

sen 3 62 2

iz iz iz iziz ize e e ez i e e

i i

. Hacemos

ize T

, y la ecuacin resulta:

1 26 6 1 0T T T T

, cuyas soluciones son:

6 36 4 6 2 103 10

2 2T

, de donde

ln 3 10 ln 3 10 2iz k i , y tambin

ln 3 10 ln 3 10 2iz k i con k un nmero entero. Despejando z se obtiene la solucin:

2 ln 3 10 , 2 ln 3 10z k i z k i

, con k un n entero.

3 seni z

26

ir

zizz

ln

arg||lnln

zezeeee zizizzizz argarg||lnarg||lnln ||

Funcin logartmica

Definimos el logaritmo de un nmero complejo z como

Definido de esta manera, observemos que:

El logaritmo complejo es multivaluado, una correspondencia

multvoca, no una biyeccin. Debido a la multivaluacin de la

funcin arg z, a cada z corresponden un nmero infinito de

valores.

(|z| > 0,

no continua

en z = 0).

27

iz 1

4/

2

,...2,1,0),24/(2ln)1ln( nnii

Por ejemplo, calculemos el valor de

Para cada valor de n obtenemos un

posible valor de la funcin logaritmo.

Podemos construirnos una funcin unvoca

tomando el argumento principal Arg z, en

vez de arg z.

28

Valor principal del logaritmo

El valor principal de ln z se define como el valor

correspondiente al valor principal del argumento de z:

zizz ArglnLn

Usamos la letra mayscula L para designar al valor principal:

)4/(2ln)1Ln( ii valor principal

,...2,1,0),24/(2ln)1ln( nnii Tenemos:

29

30

21

2121

2121

)(

212121

lnln

lnln

)(ln

lnln)(ln 2121

zz

iirr

irr

errererzziii

(1)

Esta es una relacin

familiar para los

logaritmos naturales

Sea z1 = z2 = ei = -1, entonces si tomamos ln z1 = lnz2 = i

PERO: no se cumple para el valor principal!

Ln(z1z2) = Ln(1) = 0

ln(ez) = ln(ex+iy) = ln(ex) + i y 2ni

= z 2ni

observa que ln(z1z2) = ln(z1) + ln(z2) = 2i = ln(1)

31