1

MODEL MATEMATIKA UNTUK DINAMIKA PENYAKIT TUBERKULOSIS YANG BERGANTUNG PADA KEPADATAN PENDUDUK

Yuningsih1 dan Salmah2

1Mts Negeri 20, Jakarta 2Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta

E-mail : yoeni_166@yahoo.com

ABSTRAK

Di dalam tesis ini dibahas mengenai model matematika untuk dinamika penyakit Tuberkulosis yang bergantung pada kepadatan penduduk. Pembahasan dimulai dari konsep model SEIRE kemudian dilanjutkan dengan pembahasan mengenai titik kesetimbangan bebas penyakit. Hal ini sangat penting dilakukan untuk memprediksi berpengaruh tidaknya penyakit Tuberkulosis dalam populasi. Sehingga perlu dilakukan analisis nilai Bilangan Reproduksi Dasar (𝑅0) dengan menggunakan metode next generation matrix, 𝑅0 didefinisikan sebagai Spectral Radius (nilai eigen dominan dari matriks generasi selanjutnya). Hasil analisis menunjukkan eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dipenuhi jika daerah karakteristik lebih besar dari hasil kali kemungkinan bertahannya tingkat laten menjadi tingkat infeksi dengan banyaknya infeksi laten yang dihasilkan oleh individu yang terinfeksi selama masa infeksi dan juga menunjukkan pengaruh yang signifikan dari kepadatan penduduk terhadap nilai bilangan reproduksi dasar.

Kata-kata kunci : Titik kesetimbangan bebas penyakit, bilangan reproduksi dasar, matriks generasi selanjutnya.

ABSTRACT

In this thesis we discuss about mathematical models for the dynamics of Tuberculosis disease which depends on population density. The discussion starts from the concept model SEIRE and then continues with a discussion about disease-free equilibrium point. This is an important thing to do to predict the influence of Tuberculosis disease in the population. Therefore the value of Basic Reproduction Number (𝑅0) needs to be analyzed with next generation matrix method, 𝑅0 is defined as the spectral radius (dominant eigenvalue of next generation matrix). The analysis results show that there exists a stable disease-free equilibrium point provided if the characteristic area is greater than the product of the probability of survival from the latent stage to the infectious stage and the number of latent infections produced by a typical infectious individual during his/her mean infectious period and also show significant influence of density dependent population to Basic Reproduction Number.

Keywords : Disease free equilibrium point, basic reproduction number, next generation matrix.

I. PENDAHULUAN

Penyakit tuberkulosis adalah penyakit menular langsung yang disebabkan oleh bakteri TB (Mycobacterium Tuberculosis) yang menular dari orang ke orang lainnya melalui udara bukan melalui serangga, transfusi darah atau air minum. Infeksi TB terbagi menjadi dua macam yaitu, terinfeksi secara laten dan secara aktif. Penderita laten TB tidak menularkan bakteri TB kepada orang yang rentan terhadap penyakit TB,

sedangkan penderita aktif TB dapat menularkan penyakit.

Bilangan reproduksi dasar (basic reproduction number) dinyatakan dengan 𝑅0 didefinisikan sebagai angka rata-rata dari infeksi sekunder yang disebabkan oleh individu yang terinfeksi selama masa periode menularnya (Diekmann dan Heesterbeek, 2000). Salah satu alternatif metode untuk menentukan nilai 𝑅0 adalah dengan menggunakan metode next generation matrix.

2

R0 yang didefinisikan sebagai Spectral Radius (nilai eigen dominan dari next generation matrix) akan dibahas di dalam tesis ini.

Model epidemik dalam tesis ini dibentuk dengan memasukkan parameter ukuran luas wilayah yang ditempati oleh suatu populasi dalam masa penularan penyakit (transmisi) sehingga dapat membantu menganalisa ketergantungan kepadatan penduduk dari dinamika penyakit tuberkulosis. Diasumsikan bahwa terdapat pencampuran homogen dari populasi dimana semua orang mempunyai peluang yang sama untuk terinfeksi melalui suatu kontak dengan individu penginfeksi. Populasi tersebar ke seluruh wilayah dengan luas yang sangat kecil. Diasumsikan juga bahwa semua imigran dan kelahiran tidak terinfeksi sehingga masuk ke dalam kelas susceptible (individu yang rentan).

II. LANDASAN TEORI

2.1 Teori Sistem

Berikut disajikan beberapa materi dasar teori sistem, yaitu mengenai sistem nonlinear, pengertian matriks Jacobian, titik ekuilibrium dan linearisasi, serta teorema kestabilan sistem nonlinear.

Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear :

𝑥 1 = 𝑓1(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛)

𝑥 2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛)

⋮

𝑥 𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) (2.1)

dengan 𝑓𝑖 : 𝐸 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ, i = 1, 2, ..., n dan (𝑥1 , 𝑥2,….,𝑥𝑛) ∈ 𝐸 ⊆ ℝ𝑛 . Dengan syarat awal 𝑥𝑖 𝑡𝑜 = 𝑥𝑖0 , untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Sistem persamaan (2.1) dapat ditulis sebagai berikut 𝒙 = 𝒇(𝒙) (2.2)

dengan 𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2,…, 𝑥𝑛)𝑇 ∈ 𝐸 ⊆ ℝ𝑛 ,

𝒇(𝒙) = 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) 𝑇 dan syarat

awal 𝒙 𝑡0 = 𝒙0 = 𝑥10 , 𝑥20,….,𝑥𝑛0 𝑇

∈ 𝐸.

Selanjutnya, notasi 𝒙 𝑡 = 𝒙(𝒙𝟎, 𝑡) menyatakan solusi sistem (2.1) pada saat t yang melalui 𝒙𝟎.

Solusi suatu sistem persamaan diferensial pada suatu titik tertentu dapat konstan

sepanjang waktu, titik itu disebut sebagai titik ekuilibrium. Berikut diberikan definisi dari titik ekuilibrium sistem (2.2).

Definisi 2.1 Diberikan sistem (2.2). Titik 𝒙 ∈ ℝ𝑛 disebut titik ekuilibrium (titik kesetimbangan) sistem (2.2) jika f(𝒙 ) = 0.

Berikut diberikan pengertian matriks Jacobian.

Definisi 2.2 Diberikan fungsi 𝒇 = 𝑓1 , 𝑓2, … , 𝑓𝑛 pada sistem (2.2) dengan 𝑓𝑖 ∈ 𝐶1 𝐸 , 𝑖 =1, 2, … , 𝑛. Matriks

𝐽 𝒇 𝒙 =

𝜕𝑓1

𝜕𝑥1

𝑥 𝜕𝑓1

𝜕𝑥2

𝑥 ⋯𝜕𝑓1

𝜕𝑥𝑛

𝑥

𝜕𝑓2

𝜕𝑥1

𝑥 𝜕𝑓1

𝜕𝑥2

𝑥 ⋯𝜕𝑓2

𝜕𝑥𝑛

𝑥

⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥1

𝑥

⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥2

𝑥 ⋯

⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛

𝑥

dinamakan matriks Jacobian dari f di titik x.

Selanjutnya, untuk mengetahui perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium digunakan konsep kestabilan. Berikut definisi dari kestabilan titik ekuilibrium sistem (2.2).

Definisi 2.3 Titik ekuilibrium 𝒙 ∈ ℝ𝑛 pada sistem (2.2) dikatakan :

1. Stabil lokal jika untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap solusi sistem (2.2) yang memenuhi 𝒙 𝑡0 − 𝒙 < 𝛿 maka berakibat 𝒙 𝑡 − 𝒙 < 휀 untuk setiap 𝑡 ≥ 𝑡0 .

2. Tidak stabil jika titik ekuilibrium 𝒙 ∈ ℝ𝑛 tidak memenuhi 1.

3. Stabil asimtotik lokal jika titik ekuilibrium 𝒙 ∈ ℝ𝑛 stabil lokal dan terdapat bilangan 𝛿0 > 0 sehingga untuk setiap solusi sistem (2.2) x(t) yang memenuhi 𝒙 𝑡0 − 𝒙 < 𝛿0 maka berakibat lim𝑡→∞ 𝑥 𝑡 = 𝑥 .

Di bawah ini diberikan definisi dari sistem linear dan nonlinear. Diberikan sistem (2.2), dengan 𝐸 ⊆ ℝ𝑛 dan 𝒇 ∶ 𝐸 ⟶ ℝ𝑛 fungsi kontinu pada E. Sistem (2.2) dikatakan linear jika 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 masing-masing linear terhadap 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . Jadi sistem (2.2) dapat ditulis sebagai berikut :

3

𝑥 1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛

𝑥 2 = 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 (2.3)

⋮

𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + … + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛

dengan 𝑥 𝑖 =𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑡, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, 𝑓𝑖(𝒙) kontinu

pada 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Selanjutnya sistem (2.3) dapat dinyatakan dalam bentuk

𝒙 = 𝐴𝒙 (2.4)

dengan 𝒙 ∈ 𝐸 dan A adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 dan

𝒙 =𝑑𝒙

𝑑𝑡=

𝑑𝑥1

𝑑𝑡⋮

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡

Menunjukkan bahwa solusi dari sistem linear (2.4) dengan kondisi awal 𝒙 0 = 𝒙0 diberikan oleh

𝑥 𝑡 = 𝑒𝐴𝑡𝑥0

dengan 𝑒𝐴𝑡 = (𝐴𝑡)𝑛

𝑛 !∞𝑛=0 = 𝐼 + 𝐴𝑡 +

1

2!(𝐴𝑡)2 +

1

3!(𝐴𝑡)3 + …

Berikut diberikan definisi nilai eigen dari suatu matriks.

Definisi 2.4 Diberikan A matriks n x n. Sebuah vektor tak nol 𝒙 ∈ ℝ𝑛 disebut vektor eigen dari A jika Ax = 𝜆𝒙 untuk skalar sebarang 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan 𝜆.

Selanjutnya sistem (2.2) disebut sistem nonlinear jika sistem (2.2) tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk sistem (2.4). Berikut ini diberikan definisi pelinearan suatu sistem persamaan diferensial nonlinear.

Definisi 2.5 Sistem linear 𝒙 = 𝐽(𝒇 𝒙 )(𝒙 − 𝒙 ) disebut linearisasi sistem nonlinear (2.2) di sekitar titik 𝒙 dengan 𝐽(𝒇 𝒙 ) merupakan matriks Jacobian dari f di titik 𝒙 .

Dengan menggunakan matriks Jacobian 𝐽(𝒇 𝒙 ), sifat kestabilan titik ekuilibrium 𝒙 dari sistem (2.2) dapat diketahui asalkan titik tersebut

hiperbolik. Berikut diberikan definisi tentang titik ekuilibrium hiperbolik.

Definisi 2.6 Titik ekuilibrium 𝒙 disebut titik ekuilibrium hiperbolik sistem (2.2) jika semua nilai eigen dari 𝐽(𝒇 𝒙 ) mempunyai bagian real tak nol. Teorema berikut digunakan untuk menentukan sifat kestabilan lokal dari sistem nonlinear (2.2) yang ditinjau dari nilai eigen matriks Jacobian 𝐽(𝒇 𝒙 ).

Teorema 2.7 Diberikan matriks Jacobian 𝐽(𝒇 𝒙 ) dari sistem nonlinear (2.2) dengan nilai eigen 𝜆, maka :

a. Jika semua bagian real nilai eigen dari matriks 𝐽(𝒇 𝒙 ) bernilai negatif maka titik ekuilibrium 𝒙 dari sistem nonlinear (2.2) stabil asimtotik lokal.

b. Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen 𝐽(𝒇 𝒙 ) yang bagian realnya positif maka titik ekuilibrium 𝒙 dari sistem (2.2) tidak stabil.

Selanjutnya akan dibahas definisi yang dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari macam-macam potret fase yang memenuhi sistem (2.4) dengan 𝑥 ∈ ℝ2 dan A adalah matriks berukuran 2 x 2. Solusi tunggal sistem (2.4) untuk setiap 𝑡 ∈ ℝ adalah 𝑥 𝑡 = 𝑒𝐴𝑡𝑥0. Dimulai dengan menguraikan potret fase pada sistem linear

𝑥 = 𝐵𝑥 (2.5)

dimana matriks 𝐵 = 𝑃−1𝐴𝑃. Potret fase sistem (2.4) diperoleh dari potret fase sistem (2.5) dengan transformasi linier pada koordinat 𝒙 = 𝑃𝒚.

Diberikan bentuk matriks B sebagai berikut

(i) 𝐵 = 𝜆 00 𝜇

Solusi dari sistem (2.5) dengan 𝑥 0 = 𝑥0

adalah 𝑥 𝑡 = 𝑒𝜆𝑡 00 𝑒𝜇𝑡 𝑥0 .

(ii) 𝐵 = 𝜆 10 𝜆

Solusi dari sistem (2.5) dengan 𝑥 0 = 𝑥0

adalah 𝑥 𝑡 = 𝑒𝜆𝑡 1 𝑡0 1

𝑥0 .

4

(iii) 𝐵 = 𝑎 −𝑏𝑏 𝑎

Solusi dari sistem (2.5) dengan 𝑥 0 = 𝑥0

adalah 𝑥 𝑡 = 𝑒𝑎𝑡 cos 𝑏𝑡 − sin 𝑏𝑡sin 𝑏𝑡 cos 𝑏𝑡

𝑥0 .

Akan ditunjukkan macam-macam potret fase sebagai hasil dari solusi sistem (2.5) untuk beberapa kasus berikut :

(i) 𝐵 = 𝜆 00 𝜇

, dengan 𝜆 < 0 < 𝜇.

Sistem (2.5) sadel pada titik asal jika A mempunyai dua nilai eigen yang real dan berlawanan tanda. Potret fase pada sistem (2.4) ekuivalen dengan potret fase pada kasus ini. Potret fase disajikan pada gambar 2.1 berikut

Gambar 2.1 Potret Fase kasus i

(ii) 𝐵 = 𝜆 00 𝜇

, dengan 𝜆 ≤ 𝜇 < 0.

Sistem (2.5) titik stabil pada titik asal untuk setiap B pada kasus ini. Jika A mempunyai dua nilai eigen yang real, dengan tanda sama, potret fase pada sistem (2.4) ekuivalen dengan salah satu Potret fase sistem (2.5). Jika 𝜆 ≤ 𝜇 < 0 maka stabil. Jika 𝜆 ≥ 𝜇 > 0 maka tidak stabil. Potret fase disajikan pada gambar 2.2 berikut

Gambar 2.2.a Potret Fase kasus ii

atau 𝐵 = 𝜆 10 𝜆

, dengan 𝜆 < 0.

Potret fase disajikan pada gambar 2.3 berikut

Gambar 2.2.b Potret Fase kasus ii dengan

𝜆 < 0

(iii) 𝐵 = 𝑎 −𝑏𝑏 𝑎

, dengan 𝑎 < 0.

Sistem (2.5) fokus stabil pada titik asal. Jika A mempunyai nilai eigen kompleks konjugat dengan bagian real tak nol, maka potret fase pada sistem (2.4) ekuivalen dengan sistem (2.5) pada kasus ini. Potret fase disajikan pada gambar 2.4 berikut

Gambar 2.3 Potret Fase kasus iii

(iv) 𝐵 = 0 −𝑏𝑏 0

Potret fase pada sistem (2.5) center pada titik asal. Jika A mempunyai nilai eigen kompleks konjugat murni imajiner, potret fase sistem (2.4) ekuivalen dengan potret fase sistem (2.5) pada kasus ini. Potret fase disajikan pada gambar 2.5 berikut

Gambar 2.4 Potret Fase kasus iv

Definisi 2.8 Sistem linear (2.3) dikatakan mempunyai saddle, node, focus atau center pada titik asal jika potret fase sistem tersebut linear ekuivalen pada salah satu potret fase dalam gambar 2.1, 2.2, 2.2.a, 2.2.b atau 2.4. Yaitu jika matriks A similar pada salah satu matriks B pada kasus i, ii, iii atau iv.

Tanda dari nilai eigen suatu matriks dapat ditentukan oleh tanda determinan dan trace matriks tersebut. Untuk itu teorema berikut dapat digunakan untuk menentukan kestabilan sistem (2.2).

Teorema 2.9 Diberikan 𝛿 = det 𝐴 , 𝜏 =𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 0

i. Jika 𝛿 < 0 maka sistem (2.2) sadel pada titik asal.

ii. Jika 𝛿 > 0 dan 𝜏2 − 4𝛿 ≥ 0 maka sistem (2.2) node/titik pada titik asal. Stabil jika 𝜏 < 0 dan tidak stabil jika 𝜏 > 0.

5

iii. Jika 𝛿 > 0, 𝜏2 − 4𝛿 < 0 dan 𝜏 ≠ 0 maka sistem (2.2) fokus pada titik asal. Stabil jika 𝜏 < 0 dan tidak stabil jika 𝜏 > 0.

iv. Jika 𝛿 > 0 dan 𝜏 = 0 maka sistem (2.2) center pada titik asal.

2.2 Spektral Radius

Diekmann mendefinisikan R0 sebagai Spectral Radius (nilai eigen dominan dari next generation matrix atau matriks generasi selanjutnya). Berikut adalah Lemma dan Teorema yang menyatakan tentang Spectral Radius.

Lemma 2.10 Diberikan sebuah matriks real H dengan elemen selain diagonal positif (yaitu 𝑕𝑖𝑗 ≥ 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≠ 𝑗) maka 𝑒𝜏𝐻 merupakan

matriks positif. Lebih lanjut, batas spektral s(H) didefinisikan oleh

S(H) = sup 𝜆 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝜆 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐻

ekuivalen dengan

S(H) < 0 ⟺ det 𝐻 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 −𝐻−1 ≥ 0 .

Teorema 2.11 Diberikan T sebuah matriks positif, Σ matriks yang bukan diagonal positif dan D adalah sebuah matriks diagonal positif. Diasumsikan batas spektral s(Σ − D) negatif. Diberikan r menyatakan batas spektral s(T + Σ − D) dan 𝑅0 menyatakan nilai eigen dominan dari matriks positif K = −𝑇 Σ − 𝐷 −1. Maka :

𝑟 < 0 ⟺ 𝑅0 < 1.

III. HASIL PENELITIAN

3.1 Formulasi Model

Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model adalah sebagai berikut :

1. Dalam populasi terjadi kelahiran dan migrasi. 2. Terjadi proses kematian alami. 3. Kematian alami dapat terjadi pada kelas S, L,

I dan T. 4. Penyakit dapat disembuhkan. 5. Individu yang telah sembuh dapat kembali

ke kelas laten. 6. Penyakit menular melalui kontak langsung

antara individu yang terinfeksi TB laten dengan individu yang terinfeksi TB aktif.

7. Terdapat pencampuran penduduk yang homogen dimana semua orang mempunyai peluang yang sama untuk terinfeksi karena adanya kontak dengan individu yang terinfeksi.

8. Populasi didistribusikan ke seluruh wilayah dengan luas wilayah yang sangat kecil.

Secara ringkas model untuk dinamika penyakit Tuberkulosis yang bergantung pada kepadatan penduduk populasi disajikan dalam diagram transfer berikut.

dengan :

S(t) : Jumlah individu yang rentan pada waktu t. L(t) : Jumlah individu yang terinfeksi laten atau

terjangkit pada waktu t. I(t) : Jumlah individu yang terinfeksi pada waktu

t. T(t) : Jumlah individu yang sembuh atau dalam

perawatan pada saat waktu t. A : Luas total wilayah yang didiami oleh suatu

populasi. Λ : Tingkat rekrutmen. 𝜇 : Tingkat kematian alami per kapita. 𝑑 : Tingkat kematian karena peningkatan TB. 𝛽1 : Peluang individu yang rentan menjadi

terjangkit oleh satu individu yang terinfeksi per kontak per satuan waktu.

𝛽2 : Peluang individu yang dirawat menjadi terjangkit oleh satu individu yang terinfeksi per kontak per satuan waktu.

k : Tingkat perubahan menjadi TB aktif. 𝑟1 : Tingkat kesembuhan dari kelas laten. 𝑟2 : Tingkat kesembuhan dari kelas infeksi. 𝑐 : Tingkat kontak per kapita. 3.2 Model Matematika

Berdasarkan asumsi dan hubungan antara variabel dan parameter yang disajikan dalam diagram transfer model, situasi di atas dapat disajikan dalam persamaan berikut :

𝛽2

S Λ

L I T

𝜇 𝜇 𝜇 μ + d

𝛽1 k 𝑟2

𝑟1

𝛽2

S Λ

L I T

𝜇 𝜇 𝜇 μ + d

𝛽1 k 𝑟2

𝑟1

6

𝑑𝑆

𝑑𝑡= Λ − 𝜇𝑆 − 𝛽1𝑐𝑆

𝐼

𝐴 (3.1. 𝑎)

𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝛽1𝑐𝑆

𝐼

𝐴− 𝜇 + 𝑘 + 𝑟1 𝐿 + 𝛽2𝑐𝑇

𝐼

𝐴 (3.1. 𝑏)

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝑘𝐿 − 𝜇 + 𝑑 + 𝑟2 𝐼 (3.1. 𝑐)

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑟1𝐿 + 𝑟2𝐼 − 𝜇𝑇 − 𝛽2𝑐𝑇

𝐼

𝐴 (3.1. 𝑑)

dengan N = S + L + I + T adalah ukuran total populasi. 3.3 Eksistensi Titik ekuilibrium dan kestabilannya

Ekuilibrium pada Sistem (3.1) terjadi pada

saat 𝑑𝑆

𝑑𝑡,

𝑑𝐿

𝑑𝑡,

𝑑𝐼

𝑑𝑡,

𝑑𝑇

𝑑𝑡 = (0, 0, 0, 0). Berdasarkan

persamaan (3.1.a), (3.1.b), (3.1.c) dan (3.1.d) dapat ditentukan titik ekuilibrium melalui persamaan berikut :

𝛬 − 𝜇𝑆 − 𝛽1𝑐𝑆𝐼

𝐴= 0 (3.2. a)

𝛽1𝑐𝑆𝐼

𝐴− 𝜇 + 𝑘 + 𝑟1 𝐿 + 𝛽2𝑐𝑇

𝐼

𝐴= 0 (3.2. b)

𝑘𝐿 − 𝜇 + 𝑑 + 𝑟2 𝐼 = 0 (3.2. c)

𝑟1𝐿 + 𝑟2𝐼 − 𝜇𝑇 − 𝛽2𝑐𝑇𝐼

𝐴= 0. (3.2. d)

Sehingga diperoleh titik ekuilibrium bebas

penyakit dari sistem (3.2) yaitu 𝐸0 = 𝛬

𝜇, 0, 0,0 .

Nilai I = 0 berarti tidak ada individu pada kelas terinfeksi yang dapat menyebarkan penyakit.

Populasi dibagi menjadi tiga kelas, yaitu : X = (S, T), Y = L dan Z = I. Kelas X menunjukkan kelas dari jumlah individu yang rentan, individu yang sembuh (dalam perawatan) dan kelas lain dari individu yang tidak terinfeksi. Kelas Y merupakan kelas individu yang terinfeksi tetapi tidak menularkan penyakit dan kelas Z merupakan kelas individu yang terinfeksi dan mempunyai kemampuan untuk menularkan penyakit (misalnya, individu terinfeksi dan individu yang tidak masuk karantina). Dengan 𝑋 ∈ ℝ2 , 𝑌 ∈ℝ1 , 𝑍 ∈ ℝ1 , 𝑟, 𝑠, 𝑛 ≥ 0 dan h(X, 0, 0) = 0 dan

𝑈0 = Λ

𝜇, 0, 0,0 ∈ 𝑅4 menyatakan titik

kesetimbangan bebas penyakit, dengan

𝑓 𝑋∗, 0, 0 = 𝑔 𝑋∗, 0, 0 = 𝑕 𝑋∗, 0, 0 = 0.

Dari persamaan Sistem (2.2), dibentuk persamaan baru, yaitu : 𝑓 𝑋, 𝑌, 𝑍 , 𝑔 𝑋, 𝑌, 𝑍 dan

𝑕 𝑋, 𝑌, 𝑍 .

Persamaan (3.1.a) dinyatakan ke dalam bentuk X = (S, T), sehingga didapat

𝑑𝑋

𝑑𝑡= Λ − 2𝜇𝑋 − 𝛽1𝑐𝑋

𝑍

𝐴 + 𝑟1𝑌 + 𝑟2𝑍 − 𝛽2𝑐𝑋

𝑍

𝐴 = 𝑓 𝑋, 𝑌, 𝑍 (3.5)

Persamaan (3.1.b) dinyatakan ke dalam bentuk L = Y, sehingga didapat

𝑑𝑌

𝑑𝑡= 𝛽1𝑐𝑋

𝑍

𝐴 − 𝜇 + 𝑘 + 𝑟1 𝑌 + 𝛽2𝑐𝑋

𝑍

𝐴 = 𝑔 𝑋, 𝑌, 𝑍 . (3.6)

Persamaan (3.1.c) dinyatakan ke dalam bentuk I = Z, sehingga didapat

𝑑𝑍

𝑑𝑡= 𝑘𝑌 − 𝜇 + 𝑑 + 𝑟2 𝑍 = 𝑕 𝑋, 𝑌, 𝑍 . (3.7)

Selanjutnya, nilai 𝑋∗ =𝛬

𝜇 disubstitusi ke

persamaan (3.1.b) sehingga didapat

𝑔 𝑋∗, 𝑌, 𝑍 = 𝛽1𝑐 𝛬

𝜇

𝑍

𝐴 − 𝜇 + 𝑘 + 𝑟1 𝑌 + 𝛽2𝑐

𝛬

𝜇

𝑍

𝐴 = 0.

𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑐

𝛬𝜇

𝑍𝐴

𝜇 + 𝑘 + 𝑟1 . (3.8)

Persamaan (3.7) disubstitusi ke dalam persamaan (3.6) sehingga menghasilkan

𝑕 𝑋∗, 𝑔 𝑋∗, 𝑌 , 𝑍 =𝑘 𝛽1 + 𝛽2 𝑐

𝛬𝜇

𝑍𝐴

(𝜇 + 𝑘 + 𝑟1)− 𝜇 + 𝑑 + 𝑟2 𝑍. (3.9)

Selanjutnya menentukan derivatif parsial untuk Z terhadap 𝑕 𝑋∗, 𝑔 𝑋∗, 0 , 0 . Misalkan

matriks 𝐻 =𝜕𝑕

𝜕𝑍 sehingga didapat

𝐻 =

𝑘 𝛽1 + 𝛽2 𝑐 𝛬

𝜇

𝐴

(𝜇 + 𝑘 + 𝑟1)− 𝜇 + 𝑑 + 𝑟2 . (3.10)

Persamaan (3.9) dinyatakan ke dalam bentuk H = M – D. Sehingga diperoleh

𝑀 =𝑘 𝛽1+𝛽2 𝑐

𝛬𝜇

𝐴

(𝜇+𝑘+𝑟1) dan D = 𝜇 + 𝑑 + 𝑟2 .

Didefinisikan Basic Reproductive Number 𝑅0 sebagai spektral radius (nilai eigen dominan) dari matriks generasi selanjutnya 𝑀𝐷−1 sehingga 𝑅0 = 𝜌𝑀𝐷−1, dengan M merupakan kasus terinfeksi baru, dinamakan matriks infeksi dan M ≥ 0. Sedangkan D merupakan matriks transisi, yaitu perpindahan dari satu kelas ke kelas lainnya. Dengan D > 0, merupakan matriks diagonal.

7

𝑅0 = 𝛬

𝜇

𝐴

𝛽1 + 𝛽2 𝑐

𝜇 + 𝑑 + 𝑟2

𝑘

𝜇 + 𝑘 + 𝑟1 . (3.11)

3.3 Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit

Untuk melihat kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit ditentukan dengan melakukan linearisasi terhadap persamaan non linear (3.1). Untuk titik ekuilibrium bebas penyakit (disease

free) dengan 𝐸0 = 𝛬

𝜇, 0, 0, 0 diperoleh matriks

Jacobian

𝐽0 =

−𝜇 0 −𝛽1𝑐

𝛬𝜇

𝐴 0

0 −(𝜇 + 𝑘 + 𝑟1) 𝛽1𝑐 𝛬

𝜇

𝐴 0

0 𝑘 −(𝜇 + 𝑑 + 𝑟2) 00 𝑟1 𝑟2 −𝜇

.

Nilai eigen dari matriks Jacobian untuk titik ekuilibrium bebas penyakit di atas ditentukan dengan

𝐽0 − 𝜆𝐼 = 0 sehingga didapat

−(𝜆 + 𝜇) 0 −𝛽1𝑐

𝛬𝜇

𝐴 0

0 −(𝜆 + 𝜇 + 𝑘 + 𝑟1) 𝛽1𝑐 𝛬

𝜇

𝐴 0

0 𝑘 −(𝜆 + 𝜇 + 𝑑 + 𝑟2) 0

0 𝑟1 𝑟2 −(𝜆 + 𝜇)

= 0.

Karena 𝑎𝑖1 = 0, ∀𝑖 = 2, 3, 4 dengan i menyatakan baris ke-i maka dengan ekspansi kofaktor diperoleh

(𝜆 + 𝜇) −(𝜆 + 𝜇 + 𝑘 + 𝑟1) 𝛽1𝑐

𝛬𝜇

𝐴 0

𝑘 −(𝜆 + 𝜇 + 𝑑 + 𝑟2) 0𝑟1 𝑟2 −(𝜆 + 𝜇)

= 0.

Karena 𝑎𝑖3 = 0, ∀𝑖 = 1, 2 dengan i menyatakan baris ke-i maka dengan ekspansi kofaktor diperoleh

(𝜆 + 𝜇)2 −(𝜆 + 𝜇 + 𝑘 + 𝑟1) 𝛽1𝑐

𝛬𝜇

𝐴

𝑘 −(𝜆 + 𝜇 + 𝑑 + 𝑟2)

= 0.

Dapat dinyatakan ke dalam bentuk 𝜆 + 𝜇 𝜆 +𝜇𝜆2+𝑎1𝜆+𝑎2=0. Sehingga nilai 𝑎1 = 2𝜇 + 𝑘 + 𝑑 + 𝑟1 + 𝑟2 dan

𝑎2 = 𝜇2 + 𝜇𝑑 + 𝜇𝑟1 + 𝜇𝑟2 + 𝜇𝑘 + 𝑟1𝑑 + 𝑟2𝑘 +

𝑑𝑘+𝑟1𝑟2−𝑘𝑐𝛽1+𝛽2𝛬𝜇𝐴.

Dari persamaan di atas diperoleh nilai eigen 𝜆 + 𝜇 = 0 berarti 𝜆1 = 𝜆2 = −𝜇. Dan dari persamaan 𝜆2 + 𝑎1𝜆 + 𝑎2 = 0 menghasilkan dua nilai eigen, yaitu 𝜆3 dan 𝜆4, dengan :

𝜆3 = −1

2 𝑎1 + 𝑎1

2 − 4𝑎2 dan 𝜆4 =

−1

2 𝑎1 − 𝑎1

2 − 4𝑎2 .

Nilai eigen 𝜆3 =1

2{− 2𝜇 + 𝑘 + 𝑑 + 𝑟1 + 𝑟2

+

2𝜇 + 𝑘 + 𝑑 + 𝑟1 + 𝑟2 2 − 4

𝜇2 + 𝜇𝑑 + 𝜇𝑟1 + 𝜇𝑟2 + 𝜇𝑘 + 𝑟1𝑑

+𝑟2𝑘 + 𝑑𝑘 + 𝑟1𝑟2 − 𝑘𝑐 𝛽1 + 𝛽2 𝛬

𝜇

𝐴

.

Dan nilai eigen 𝜆4 =1

2{− 2𝜇 + 𝑘 + 𝑑 + 𝑟1 + 𝑟2

− 2𝜇 + 𝑘 + 𝑑 + 𝑟1 + 𝑟2 2 − 4

𝜇2 + 𝜇𝑑 + 𝜇𝑟1 + 𝜇𝑟2 + 𝜇𝑘 + 𝑟1𝑑

+𝑟2𝑘 + 𝑑𝑘 + 𝑟1𝑟2 − 𝑘𝑐 𝛽1 + 𝛽2 𝛬

𝜇

𝐴

Dari matriks A = −(𝜇 + 𝑘 + 𝑟1) 𝛽1𝑐

𝛬𝜇

𝐴

𝑘 −(𝜇 + 𝑑 + 𝑟2) .

Tanda dari nilai-nilai eigen ditentukan oleh tanda

dari trace (𝑀𝐴) dan tanda dari det (𝑀𝐴). Maka

dari matriks A didapat det (A) = 𝜇 + 𝑘 + 𝑟1 𝜇 +

𝑑+𝑟2−𝑘𝛽1𝑐𝛬𝜇𝐴 dan trace (A) =

− 𝜇 + 𝑘 + 𝑟1 − 𝜇 + 𝑑 + 𝑟2 . Karena nilai

semua parameter bernilai positif maka jelas nilai

trace (A) < 0. Titik ekuilibrium bebas penyakit

akan stabil jika dipenuhi nilai determinan (A) > 0.

Sehingga diperoleh

𝐴

𝛬𝜇 >

𝑘

𝜇 + 𝑘 + 𝑟1

𝛽1𝑐

𝜇 + 𝑑 + 𝑟2 .

3.4 Simulasi Numerik

Pada sub bab ini, dibahas simulasi numerik epidemi untuk memberikan gambaran lebih jelas dari model penyebaran penyakit TB yang bergantung pada kepadatan penduduk dengan menggunakan parameter-parameter dan nilai awal tertentu. Diberikan nilai-nilai parameter yaitu 𝜇 = 0.022, Λ = 1500 𝑟1 = 𝑟2 = 1.5, 𝛽1 =𝛽2 = 2.0, 𝑐 = 2.0, 𝑑 = 0.365, 𝑘 =0.00396, 𝑆∗ = 5000, 𝐿∗ = 1000 dan 𝐼∗ = 90, 𝑇∗ = 3000.

Berikut ini merupakan hasil simulasi numerik yang dipengaruhi oleh variasi ukuran luas wilayah

8

yang ditempati oleh satu populasi. Untuk melihat pengaruh ukuran luas wilayah yang ditempati (A) pada kelas epidemiologi yang berbeda-beda, ukuran luas wilayah yang disimulasikan bervariasi dari luas wilayah (A) = 20 km2, 200 km2 dan 2000 km2.

Gambar 3.2 menunjukkan bahwa populasi individu yang rentan akan terus bertambah sejalan dengan waktu. Hal ini sebagai akibat dari tingkat rekrutmen melalui kelahiran dan imigrasi. Begitu juga dengan bertambah besarnya ukuran luas wilayah yang ditempati maka banyaknya populasi individu yang rentan juga akan bertambah karena berkurangnya kemungkinan timbulnya penyakit.

Gambar 3.3 menunjukkan bahwa ketika luas wilayah yang ditempati oleh populasi individu laten meningkat seiring dengan waktu menyebabkan berkurangnya banyaknya populasi individu laten. Hal ini sebagai akibat dari ketika ukuran luas wilayah bertambah besar maka tingkat kontak antara individu yang rentan dengan individu yang terinfeksi menjadi kecil. Lebih lanjut lagi diamati bahwa dengan kepadatan populasi yang rendah menyebabkan banyaknya individu laten bertambah.

Dari gambar 3.4 menunjukkan bahwa banyaknya populasi individu yang terinfeksi berkurang dalam interval waktu yang singkat terlepas dari ukuran luas wilayah. Juga terlihat bahwa individu-individu yang terinfeksi berkurang terlepas dari ukuran luas wilayah. Hal ini sebagai akibat dari padatnya masyarakat yang dapat menyebabkan tingkat infeksi yang lebih tinggi dan banyaknya individu yang rentan terinfeksi dan berkembang ke tahap infeksi.

Gambar 3.5 menunjukkan bahwa adanya penurunan populasi yang sembuh ketika ukuran luas wilayahnya meningkat.

Gambar 3.2 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu

yang rentan

Gambar 3.3 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi laten

Gambar 3.4 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu

yang terinfeksi

Gambar 3.5 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu

yang sembuh

Sedangkan berikut ini merupakan hasil simulasi numerik yang dipengaruhi oleh variasi tingkat rekrutmen (Λ). Untuk melihat pengaruh tingkat rekrutmen (Λ) pada kelas epidemiologi yang berbeda-beda, tingkat rekrutmen yang disimulasikan bervariasi dari tingkat rekrutmen (Λ) = 0, 1500 dan 5000.

Gambar 3.6 menunjukkan berkurangnya individu yang rentan ketika tidak ada sama sekali rekrutmen yang masuk ke dalam sistem, yaitu ketika nilai Λ = 0. Rekrutmen meliputi kelahiran dan imigrasi, tanpa adanya rekrutmen yang masuk banyaknya individu yang rentan akan konstan. Tetapi karena adanya kematian alami (𝜇) dan adanya individu yang terinfeksi maka populasi individu yang rentan akan menjadi punah.

Gambar 3.7 menunjukkan banyaknya populasi individu laten pada awalnya bertambah terus menerus secara tetap lalu kemudian meningkat perlahan-lahan. Populasi akan meledak atau berkembang secara pesatnya

9

bervariasi berdasarkan tingkat rekrutmennya. Dengan tingkat rekrutmen 5000 individu, populasi akan berkembang sangat cepat dibandingkan dengan tingkat rekrutmen awal yaitu 1500. Hal ini dikarenakan dengan tingkat rekrutmen yang sangat tinggi individu yang rentan akan bertambah banyak dan padat sehingga menyebabkan tingkat kontak yang sangat tinggi dan meningkatnya jumlah infeksi.

Gambar 3.8 menunjukkan banyaknya populasi dari individu yang terinfeksi berkurang pada tahap awal untuk semua nilai rekrutmen tetapi akhirnya meningkat secara bertahap. Sedangkan gambar 3.9 menunjukkan banyaknya populasi dari individu yang sembuh berkurang pada tahap awal untuk semua nilai rekrutmen tetapi akhirnya meningkat secara bertahap.

Gambar 3.6 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen

(Λ) pada populasi individu yang rentan

Gambar 3.7 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen

(Λ) pada populasi individu yang laten

Gambar 3.8 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen

(Λ) pada populasi individu yang terinfeksi

Gambar 3.9 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen

(Λ) pada populasi individu yang sembuh

1V

KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan hasil pembahasan di Bab III, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut :

4.1 Kesimpulan

Dengan persamaan model dinamika penyakit Tuberkulosis diperoleh titik ekuilibrium bebas

penyakit 𝐸0 = 𝛬

𝜇, 0, 0,0 , dengan 𝛬 adalah

tingkat rekrutmen dan 𝜇 adalah tingkat kematian alami. Dari analisa kestabilan didapat bahwa titik ekuilibrium bebas penyakit akan stabil jika

𝐴

𝛬𝜇 >

𝑘

𝜇+𝑘+𝑟1

𝛽1𝑐

𝜇+𝑑+𝑟2 . Artinya, untuk

mendapatkan populasi bebas TB yang stabil daerah karakteristik per satuan individu harus selalu lebih besar dari hasil kali peluang kelangsungan hidup dari tingkat laten ke tingkat infeksi dengan banyaknya infeksi laten yang dihasilkan oleh individu penginfeksi selama masa infeksinya.

Dengan menggunakan metode next generation matrix didefinisikan 𝑅0 =

𝛬

𝜇

𝐴

𝛽1+𝛽2 𝑐

𝜇+𝑑+𝑟2

𝑘

𝜇+𝑘+𝑟1 .

a. Jika 𝑅0 < 1, didapat

𝐴

𝛬𝜇 >

𝛽1+𝛽2 𝑐

𝜇+𝑑+𝑟2

𝑘

𝜇+𝑘+𝑟1

b. Jika 𝑅0 > 1, didapat

𝛬

𝜇

𝐴 >

𝜇+𝑑+𝑟2

𝛽1+𝛽2 𝑐

𝜇+𝑘+𝑟1

𝑘

Kepadatan individu yang rentan Λ

𝜇

𝐴

menekankan pada ukuran luas wilayah. Jika luas wilayah cukup besar, kepadatan akan berkurang

10

dengan cara memperkecil nilai bilangan reproduksi dasar. Dan jika ukuran luas wilayah kecil, kepadatannya akan bertambah sehingga berakibat nilai bilangan reproduksi dasar atau nilai infeksi sekunder menjadi lebih besar.

4.2 Saran

Melalui penulisan dan pembahasan Tesis ini perlu dikembangkan pembahasan dan penelitian lebih lanjut untuk model matematika untuk dinamika penyakit Tuberkulosis yang bergantung pada kepadatan penduduk dengan menganalisa kestabilan pada titik kesetimbangan endemik.

DAFTAR PUSTAKA

[1] A. Ssematimba, J.Y.T. Mugisha dan L.S. Luboobi, 2005. Mathematical Models for the Dynamics of Tuberculosis in Density-dependent Populations. Journal of Mathematics and Statistics 1, 3 : 217-224.

[2] Departemen Kesehatan Republik Indonesia,

2008. Pedoman Nasional Penanggulangan Tuberkulosis, Departemen Kesehatan Republik Indonesia, Jakarta.

[3] Diekmann, O. dan Heesterbeek, J.A.P., 2000.

Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases : Model Building, Analysis and Interpretation, John Wiley and Sons, Chichester.

[4] Kocak, H dan Hole, J.K., 1991. Dynamic and

bifurcation, Springer-Verlag, New York, USA.

[5] Olsder, G. J., 1994. Mathematical System

Theory, Delftse Uitgevers Maatschappij, Netherlands.

[6] Perko, S., 1991. Differential Equations and

Dynamical Systems. Texts in Applied Mathematics Vol 7, Springer-Verlag, New-York, USA.