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ModelaciónenEducaciónMatemá1ca.Experienciascon
futurosprofesores
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JhonyAlexanderVilla-OchoaPaulaRendón-Mesa;MónicaParra-Zapata;JuanMolina;
JonathanSánchezCardona,MaríaCamilaOcampo
RedColombianademodelaciónenEducaciónMatemá1ca
Modelación en Educación Matemática. Experiencias con futuros profesores
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Contenido
• ElcontextodeunSeminarioenlaformacióndeprofesores
• LamodelaciónMatemá1ca¿Quéesynoes?¿Porquéyparaqué?
• Modosdeactuaciónenlamodelaciónmatemá1ca.• Ejemplosdealgunastareas• Consideracionesfinales
Muchasdelasprác1casdocentesintentanreflejarlamaneraenquelosprofesoresaprendierondurantesuformación.
Lapreocupaciónporlaformacióndeprofesorescobramayorsen1docuandoseconsideraquelasprác1casdeenseñanzadelosprofesoresestánbastantepermeadasporlasmanerasenqueellosaprendierondesusprofesoresdurantesuformación(Kennedy,1999;Zaslavsky,
1995)
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¿Quéexperienciasdebevivirlosestudiantesparaprofesordurantesuformación?
Estosestudiantesaprendendesusprofesoresmuchomásqueloscontenidosprescritos
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Algunas necesidades de formación
• Visionescompar1mentalizadasdelaactuacióndocente• Creenciasdelosformadoresdelosprofesores• Ampliasposibilidadesdeaprendermatemá1cas:“hacermatemá1cas”
• DiversidaddeEstrategias,demodosdeactuaciónypotencialidades.
• DiversosusosdelamodelaciónylasTecnologías• Desarrollodeproyectos• Experienciasautén1cas
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Programa de formación de inicial de profesores
SaberPedagógico SaberDisciplinar SaberDidác1co
Currículo
AspectosCulturales
Evaluación
Etc. S.E1 S.E2
S.E3 S.E4
Espaciosextracurriculares:SRM;SemillerosdeInves1gación,entreotros
Aritmé1ca
Cálculo
Álgebra
Estadís1ca…
Etc.
Didác1cadelaAritmé1ca
Didác1cadelÁlgebraypensamientovariacional
Etc.
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Programa de formación de inicial de profesores
SaberPedagógico SaberDisciplinar SaberDidác1co
Currículo
AspectosCulturales
Evaluación
Etc. S.E1 S.E2
S.E3 S.E4
Espaciosextracurriculares:SRM;SemillerosdeInves1gación,entreotros
Aritmé1ca
Cálculo
Álgebra
Estadís1ca…
Etc.
Didác1cadelaAritmé1ca
Didác1cadelÁlgebraypensamientovariacional
Etc.
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¿Cuántoscursosdecadacomponentedebetenerunprogramadeformación?
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¿Cuántoscursosdecadacomponentedebetenerunprogramadeformación?
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¿Cómorecons'tuirlosespaciosparaquehayamásymejoresconexionesentrelosdominios?
Cambiodecues1ón
Modelación matemá9ca
Puedeconsiderarsecomounamaneradediseñar,abordarypensarenotrosistema,enestecasomatemá1co,loselementosquesehacenconscientesdeotrosistema.Éstepuedeserexistenteenelmundoopuedesercreadoaunquenoocurranaturalmente.
Lesh&Caylor(2007)
¿Qué no es modelación matemá9ca en Educación Matemá9ca
• Panacéa-receta• Solounaconstruccióndeunarepresentación• Soloun“actocogni1vo”detraducciónentresistemas.
• Elseguimientodeunformatoorecorridodeunciclo
¿Qué dice la literatura internacional?
ICMIStudy14:Unestadoacercadelaconsolidacióndelamodelaciónanivelinternacional.
ICTMA:TheInterna1onalCommunityofTeachersofMathema1calModellingandApplica1ons
ModelaciónMatemá1caescolar:¿Quées?
Una mirada como ciclo/Proceso
Blum&Borromeo-Ferri(2009)[email protected] 15
ModelaciónMatemá1caescolar:¿Quées?
Una mirada como ciclo/Proceso
Blum&Borromeo-Ferri(2009)
Algunoscues1onamientos-¿Quédiceestarepresentaciónsobreloquéeslamodelaciónmatemá1ca?-¿Eslamodelaciónunconjuntodeetapasquedebenserrecorridas?¿Endóndeseobservanenlosciclos:• Lospropósitosdeformación?• Manerasdehacer
modelación?• Subje1vidaddelos
estudiantesydelprofesor?• Elroldelprofesor?• Elroldelestudiante?(Mesa,2013)JhonyAlexanderVilla-Ochoa
1. fosteramongstudentsgeneralcrea'veandproblemsolvingaqtudes,ac1vi1esandcompetences.
2. generate,developandqualifyacri'calpoten'alinstudentstowardstheuse(andmisuse)ofmathema1csinextra-mathema1calcontexts.
3. preparestudentstobeingabletoprac'ceapplica'onsandmodeling—inotherteachingsubjects;asprivateindividualsorasci1zens,atpresentorinthefuture;orintheirprofessions.
Niss(1989;quotedbyLinge5ärd,2006)
¿Porquélamodelaciónmatemá1caenelauladeclase?
4. establisharepresenta1veandbalancedpictureofmathema'cs,itscharacterandroleintheworld.Suchapicturemustencompassallessen1alaspectsofmathema1cs,andtheapplica1onofmathema1csandmathema1calmodelinginotherareasdoformonesuchaspect.
5. assiststudents’acquisi'onandunderstandingofmathema'calconcepts,no1ons,methods,resultsandtopics,eithertogiveafullerbodytothem,ortoprovidemo1va1onforthestudyofcertainmathema1caldisciplines.
Niss(1989;quotedbyLinge5ärd,2006)
¿Porquélamodelaciónmatemá1caenelaula?
¿Cómolamodelaciónpuedeposibilitartodoesto?
¿Cómodesarrollarlaenelauladematemá1cas?
¿Todamaneradehacermodelaciónenelauladeclasepromuevetalesaspectosenlos
estudiantes?
Kaiser (2014)
However,beyondthis[the]consensusontherelevanceofmodelling,itiss1lldisputedhowtointegratemathema1calmodellingintotheteachingandlearningprocesses;variousapproachesarediscussedandthereiss1llalackofstrongempiricalevidenceontheeffectsoftheintegra1onof
modellingexamplesintoschoolprac1ce.
¿Quéexperienciasdeberíantenerlosfuturosprofesoresacercadelamodelación
matemá1ca?
Tareas de modelación: Word Problems o Problemas en enunciados verbales
Tradicionalmente,loswordproblems(problemasverbales)sehanusadocomovehículoypicoparalaintroducciónde
problemasdemodelaciónyaplicaciónenelauladematemá1cas.Inclusoenparalaresolucióndeproblemas.
(Verschaffeletal.2010)
Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula
Algunos cues9onamientos sobre los Word Problems
• ¿Cuálseríasuu1lidadenelauladeclase?
• ¿Cuáleslavisióndemodelaciónqueestápresenteenlosenunciadosverbales(wordproblems)?
• ¿Cuálessonlaslimitacionesdeeste1pode“situaciones”enelauladeclase?
Se defiende el uso de word problems porque permite:
• lacomprensióndeloselementosclaveenelenunciado/problema;• laconstruccióndeun“modelomatemá1co”deloselementosrelevantesylasrelacionesimplicadasenelenunciado;
• trabajaratravésdelmodelosmatemá1cosparaderivarresultadosmatemá1cos;
• Interpretardelosresultadosquesedesprendedeunaejerciciodecálculo;• evaluarsielresultadomatemá1coesinterpretadodemaneraadecuadayrazonable;
• comunicarlasoluciónobtenidadelaproblemaoriginalenelmundoreal.Verschafeletal.(2010)
Reconceptualising Word Problems as Exercises in Mathema9cal Modelling
Verschaffel et al. (2010)
Durantelosúl1mos20años,muchosestudiososhansostenido,endiversasformas,quelaprác1ca(tradicional)deproblemasdematemá1casenlaescuelanofomentaenlosestudiantes,dehechoinhibe,unadisposicióngenuina
haciamodelosmatemá1cosyhacialasolucióndeproblemas.
SibienlosWordProblems(WP)parecenajustarseaunacomprensióndelamodelacióncomoconstruccióndeunarepresentación,ocomounatraducciónentredosdominios.Esnecesarioreconocertambiénquealgunasprác1casdemodelaciónatravésdelosWPseagotanenenunciadosestereo1padosqueenocasionesacarreancierta“pérdidadesen1do”enlosestudiantes.LosWPpuedenajustarseacurrículosconcaracterís1casrígidas.
Otro 9po de enunciados verbales Autén9cos que 9enen en cuenta la experiencia del estudiante LaempresadetelefoníacelularTIGOenvióunmensajedetextoconlasiguientepromoción:“Hoyhabla15minutosaTigohastalas11:59
PMPorsolo$1200.EnvíaTIGOal2555”
¿Cómoproblema1zaresteenunciado?
Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula
Tareas de modelación: “Autén9cas”
Enuncentrodepor1voenlasFilipinas,Floren1noAnonuevoJr.puleunpardezapatos.Loszapatos,segúnelLibroGuinnessRécords,sonelparmásgrandedelmundo,conunanchode2,37myunaalturade5,29m.Aproximadamente,¿quétanaltoseríaungigantequeseajustaríaaestoszapatos?Expliquesusolución
Blum&Borromeo-Ferri(2009)[email protected] 30
Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula
Algunos cues9onamientos sobre las tareas Autén9cas
• ¿Cuálseríasuu1lidadenelauladeclase?
• ¿Cuáleslavisióndemodelaciónqueestápresenteenlastareasautén1cas?
• ¿Cuálessonlaslimitacionesdeeste1pode“situaciones”enelauladeclase?
Algunos alcances y propósitos • Unavisióndela“realidad”quetrasciendelaideadesituación“reves1da”oestereo1padaque,aveces,sepresentaenloslibrosdetexto.
• Laatención,confrecuencia,estápuestaeneldesarrollodehabilidadesyenelusodelamatemá1capararesolverasuntosclaveenlasituación.
• Porsuscaracterís1caspuedeajustarseacurrículoscentradoseneldesarrollodecompetenciasycontenidos.
• Lavisióndemodelaciónpresenteestáasociadarecorridodelciclodelamodelación.
• Puedensertareas“abiertas”[email protected] 32
Modelación como construcción de presentaciones
En lugar de discu1r el vínculo entre dos prác1casaparentemente disímiles (prác1cas escolares y el mundoprofesional),sugerimosquesepuedehacermuchodentrodelasmatemá1casescolaresconelfindeenriquecerlaprác1caactualdelamodelaciónmatemá1caconelfindeaprenderelcontenidomatemá1co y herramientas ú1les de unamanerasignifica1va, incluso cuando las prác1cas profesionales"reales"aúnnoestánplenamenteincorporadas.
(Arcavi,2008)[email protected] 33
Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula
Modelación como simulación de formas/fenómenos
h�ps://www.youtube.com/watch?v=JSrgM8Tnq74
Meier,M.&Gravina,M.(2012).
Algunos cues9onamientos sobre las tareas de modelación a través de gráficas y simulación de formas/fenómenos.
• ¿Cuálseríasuu1lidadenelauladeclase?
• ¿Cuáleslavisióndemodelaciónqueestápresenteenlas“laconstrucciónrepresentacionesgráficas”?
• ¿Cuálessonlaslimitacionesdeeste1pode“situaciones”enelauladeclase?
Algunos acercamientos • Lamodelaciónseen1endecomounatraducciónounmovimientoentredos“mundos”.Delmundodel“problema”aotromundomásfamiliarcomoporejemploelmundodelossímbolos[matemá1cos](Arcavi,2008).
• Este1podetareasseenfocanprincipalmenteeneldesarrollodeestrategiasdesimbolización,yrepresentacióndealgunosfenómenos[e.g.Lavariación]
• Elnociónderealidad/fenómeno/mundoextramatemá1capierdeinterés,pararescatarlaac1vidadmatemá1camisma.¿ModelaciónIntramatemá1ca?
• Elusodeso�waredinámicopararecrearelcomportamientodeunsistemasehacefundamentalparalaexperimentación,formulaciónyvalidacióndeconjeturas.
• Lasdiferentesaccionesqueseobservanenlamodelacióncomounprocesopierdeninterésparacentrarseprincipalmenteenla“traducción”entrelosdos“mundos”.
Modelación matemá9ca y los proyectos
LamodelaciónmatemáDcasepuedevercomounaestrategiaparaquelos
estudiantesindaguen/invesDguenporalgunosfenómenososituacionesde
interés.
Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula
Modelación matemá9ca y los proyectos
• EltemaeslibreyportantoelcontenidomatemáDcovaemergiendodelasituación.(BorbayVillarreal,2005;Villa-OchoayBerrío
(2015)• ElfenómenoaestudiaressugeridoconelánimodeorientareldesarrollodeuncontenidomatemáDcoespecífico.
(Aravena,Caamaño,Giménez,2008)
Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula
Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula
Enunciadosverbales
Estereo1pados Autén1cos
Exp.Externaalsujeto
Exp.delsujeto
ConstruccióndeRepresentaciones Modelaciónatravésdeproyectos
Gráficas Mod.delasformas(simulación)
Orientadosaldesarrollodeuncontenido
Libre
UsoyAnálisisdemodelos
Par1cipacióndelprofesorydelosestudiantes
Propósitoforma1vo(Habilidades,competencias,
Mo1vación,compresión,…)
Alcancesdelamatemá1caenlasituación(descrip1vo,Prescrip1vo,control,etc.)
Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula
Enunciadosverbales
Estereo1pados Autén1cos
Exp.Externaalsujeto
Exp.delsujeto
ConstruccióndeRepresentaciones Modelaciónatravésdeproyectos
Gráficas Mod.delasformas(simulación)
Orientadosaldesarrollodeuncontenido
Libre
UsoyAnálisisdemodelos
Crecimiento fetal
Evoluciónsemanasdelpesoytamañodelfeto.Tomadodeh�p://www.papaenapuros.com/evolucion-del-peso-del-feto-en-el-embarazo/
Crecimiento fetal
Tamañoypesodeunfeto.Tomadodeh�p://www.papaenapuros.com/evolucion-del-peso-del-feto-en-el-embarazo/
Crecimiento fetal
Pesoalfinaldecadamesdelembarazo;h�p://www.portalesmedicos.com/publicaciones/ar1cles/1177/6/
Momento 1. ¿Qué es lo que modela el modelo?
Observarlosgráficosylatabla.¿Quédicenacercadelcrecimientofetal?
¿Cuálespreguntaspuedenrespondersea
travésdelmodelo?¿Cuálesno?
Momento 2.
1. ¿Puedeverun“patrón”decrecimientofetalduranteelembarazo?
2. ¿Cuálesfactorespuedeninfluenciarodeterminarelpesoalnacer?
3. ¿Cómocreequelosmatemá1cos,biólogos,médicoshanllegadoaconsolidaresosmodelosmatemá1cos?
Momento 3. Los modelos en el aula
Modeloscomoelpresentadoenesteseminariotambiénpuedeserusadocomomediosparadesarrollaralgunasaccionesenlaclasedematemá1cas.Discutaconsuscompañerossobrelamaneraenqueustedpodríausarloparaprepararydesarrollar
En el momento 1, los estudiantes hacen:
- Observarlasmagnitudes- Comprenderlas“reglas”delgráfico- Observarcomportamientos(crecimientosy,nosiempre,latasadevariación)
Losestudiantespreguntan:¿Cuáleselmodelo?¿Cuáleslaecuación?
Análisis de la variación en una tabla ¿Correspondeelpesoaunpatróncuadrá1co?
Conlainformacióndelasdiferencias¿Sepodriasabersiescuadrá1co?
Una aproximación al estudio de la variación en funciones cuadrá9cas
Villa-Ochoa(2008)
• ¿Quéesloquesubyaceatodasesasmanerasdehacermodelación?
• Proceso/ambientedeaprendizaje/competencia/estrategia/métododeenseñanza.
• Lamodelaciónmatemá1caalinteriordelaulanoobedeceaunacomprensiónhomogénea. JhonyAlexanderVilla-Ochoa
• Notodaslasmanerasdehacermodelación1enenlosmismospropósitoseduca1vos.
• Losalcancesdelamodelaciónmatemá1caenelauladeclasenosonabsolutos,porelcontrario,estánencorrespondenciaconlasmanerasenquesedesarrolleesteprocesoenelauladeclase.
• Lamodelaciónmatemá1cainvolucraalosprofesoresylosestudiantesendinámicasdiferentesquedependendelospropósitosconlosquesevealamodelaciónenelauladeclase.
• ¿Porquédebeonoimplementarseprocesosdemodelación?• Generarespacios(comunidades)enloscualeslosprofesorestengandiversidaddeexperienciasdemodelación,peroquealavez,puedanreconocerlasposibilidadesylimitacionesqueesasformasofreceyplanearestrategiasparaatenderlosdesa�osque1enesimplementarcadaunadeellasenelauladeclase.
• Trascenderlasdenominaciones• Reconocerestereo1posypromoverestrategiasparasuperarlos
En nuestros espacios de formación
Referencias • Aravena,M.;Caamaño,C.;Giménez,J.(2008).Modelosmatemá1cosatravésdeproyectos.Relime,11(1),49-92
• Arcavi,A(2008).Modellingwithgraphicalrepresenta1ons.ForthelearningMathema'cs.28(2),2-10
• Bono�o,C.(2007).Howtoreplacewordproblemwithac1vi1esofrealis1cmathema1calmodelling.InW.Blum,P.Galbraith,H.Henn,&M.Niss(Eds.),Modellingandapplica'oninMathema'csEduca'ons.The14thICMIStudy(pp.185-192).NewYork:Springer.
• D’Ambrósio,U.(2005).Sociedade,cultura,matemá1caeseuensino.EducaçãoePesquisa,31(1),99–120.
• Giere,R.N.(1999).UsingModelstoRepresentReality.InL.Magnani,N.J.Nersessian&P.Thagard(Eds.),Model-BasedReasoninginScien'ficDiscovery(pp.41-57).NewYork:SpringerUS.
• Guerrero,G.(2010).Lanocióndemodeloenelenfoquesemán1codelasteorías(TheNo1onofModelwithintheSeman1cApproachofTheories).PraxisFilosófica(31),169-185.
• Kaiser,G.(2014).Mathema1calModellingandApplica1onsinEduca1on.InS.Lerman(Ed).EncyclopediaofMathema'csEduca'on.(pp.396-404).Dordrecht:Springer
Referencias • Linge�ärd,T.(2006).Facesofmathema1calmodeling.ZDM,38(2),96-112• Meier,M.&Gravina,M.(2012).ModelagemnoGeoGebraeodesenvolvimentodopensamentogeométricono
EnsinoFundamental.1ª.ConferênciaLa'noAmericanadeGeoGebra.h�p://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/ar1cle/download/9583/7124
• Verschaffel,L.D.;DeCorte,E.yBorghart,I.(1997).Pre-serviceteachers'concep1onsandbeliefsabouttheroleofreal-worldknowledgeinmathema1calmodellingofschoolwordproblems.LearningandInstruc'on,7(4),339-359.
• Verschaffel,L.,VanDooren,W.,Greer,B.,&Mukhopadhyay,S.(2010).Reconceptualisingwordproblemsasexercisesinmathema1calmodelling.JournalfürMathema'k-Didak'k,31(1),9-29.
• Villa-Ochoa,J.A.,&Jaramillo,C.M.(2011).SenseofRealitythroughmathema1calmodeling.InG.Kaiser,W.Blum,R.BorromeoFerri,&G.S1llman(Eds.),Trendsintheteachingandlearningofmathema'calmodelling–ProceedingsofICTMA14.NewYork:Springer.
• Villa-Ochoa,J.A.,&Ruiz,M.(2009).ModelaciónenEducaciónMatemá1ca.UnamiradadesdelosLineamientosyEstándaresCurricularesColombianos.RevistaVirtual-UniversidadCatólicadelNorte(27),1-21.
• Villa-Ochoa,J.A.,Bustamante,C.A.,Berrio,M.,Osorio,J.A.,&Ocampo,D.A.(2009).Sen1doderealidadymodelaciónmatemá1ca.ElcasodeAlberto.ALEXANDRIA.RevistadeEducaçãoemCiênciaeTecnologia,2(2),159–180.
• Villa-Ochoa,J.A.(2015).Modelaciónmatemá1caapar1rdeproblemasdeenunciadosverbales:unestudiodecasoconprofesoresdematemá1cas.magis,RevistaInternacionaldeInves'gaciónenEducación,8(16),xx-xx.doi:10.11144/Javeriana.M8-16.MMPE
• Villa-Ochoa,J.A.&Berrío,M.J.(2015).Mathema1calModellingandCulture.AnEmpiricalStudy.EnGloriaA.S1llman,WernerBlum&MariaSallet-Biembengut(eds.).Mathema'calModellinginEduca'onResearchandPrac'ce:Cultural,SocialandCogni'veInfluences,chapter19.NewYork:Springer.
