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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
MODELACIÓN NUMÉRICA DE LA
PROPAGACIÓN DEL
FRACTURAMIENTO HIDRÁULICO
CRISTÓBAL ERNESTO VALDERRAMA LLANTÉN
Tesis para optar al grado de
Magíster en Ciencias de la Ingeniería
Profesor Supervisor:
ESTEBAN SÁEZ ROBERT
Santiago de Chile, Mayo, 2011
MMXI, Cristóbal Valderrama Llantén
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
MODELACIÓN NUMÉRICA DE LA
PROPAGACIÓN DEL FRACTURAMIENTO
HIDRÁULICO
CRISTÓBAL ERNESTO VALDERRAMA LLANTÉN
Tesis presentada a la Comisión integrada por los profesores:
ESTEBAN SÁEZ ROBERT
MICHEL VAN SINT JAN FABRY
CARLO CERRUTTI PAVEZ
BONIFACIO FERNÁNDEZ LARRAÑAGA
Para completar las exigencias del grado de
Magíster en Ciencias de la Ingeniería
Santiago de Chile, Mayo, 2011
ii
A mi familia, que siempre me ha
apoyado.
iii
AGRADECIMIENTOS
Quiero dar mis más sinceros agradecimientos a las siguientes personas e instituciones
quienes me ayudaron y apoyaron, de una u otra forma, durante el desarrollo de esta tesis.
A la empresa ARCADIS CHILE S.A., la cual financió mis estudios de magíster a través
de la beca ARCADIS 2008, y donde además fui siempre muy bien recibido.
A los profesores de la Pontificia Universidad Católica de Chile, José Francisco Muñoz y
Michel Van Sint Jan, quienes fueron fundamentales en mi decisión de llevar a cabo mis
estudios de magíster. En especial, este último quien con su gran conocimiento en
mecánica de rocas fue parte importante en la elaboración de este trabajo.
A mi profesor supervisor Esteban Sáez, por la gran e invaluable colaboración en el
desarrollo de esta tesis, por su siempre buena disposición para solucionar los múltiples
problemas que surgieron, por su confianza y principalmente por ayudarme a descubrir
mi vocación.
INDICE GENERAL
Pág.
DEDICATORIA .......................................................................................................... ii
AGRADECIMIENTOS .............................................................................................. iii
INDICE DE TABLAS ................................................................................................ vi
INDICE DE FIGURAS .............................................................................................. vii
RESUMEN ................................................................................................................ xiii
ABSTRACT .............................................................................................................. xiv
1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 1
1.1 Motivación: Importancia del problema ...................................................... 1
1.2 Estado del arte ............................................................................................ 2
1.3 Desarrollo y metodología ........................................................................... 4
1.4 Objetivos .................................................................................................... 4
2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA................................................................... 6
2.1 Descripción del fracturamiento hidráulico ................................................. 6
2.2 Modelo matemático del fracturamiento hidráulico .................................... 7
2.2.1 Modelación del flujo y conservación de la masa ............................. 9
2.2.2 Modelación de la deformación de la fractura. Elasticidad............. 11
2.2.3 Modelación del fracturamiento, procesos del tip ........................... 14
3. IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA ................................................................ 19
3.1 Solución numérica de las ecuaciones de elasticidad ................................ 19
3.2 Solución numérica de la ecuación del flujo ............................................. 23
3.3 Algoritmo del fracturamiento hidráulico ................................................. 27
3.4 Algoritmo del criterio de propagación ..................................................... 34
3.5 Comentario general sobre el algoritmo desarrollado ............................... 39
4. VALIDACIONES Y RESULTADOS .............................................................. 42
4.1 Validaciones ............................................................................................. 42
4.1.1 Solución ecuaciones de elasticidad ................................................ 42
4.1.2 Cálculo del SIF .............................................................................. 45
4.1.3 Fracturamiento hidráulico .............................................................. 52
4.1.3.1 Validación para fractura que se propaga en régimen de
rigidez……................................................................................ 54
4.2 Estudio paramétrico ................................................................................. 62
4.2.1 Influencia de la rigidez adimensional ............................................ 63
4.2.2 Influencia de las tensiones in-situ .................................................. 64
4.2.3 Influencia de las propiedades de la inyección ............................... 76
4.2.4 Influencia de las propiedades elásticas .......................................... 82
4.2.5 Influencia de la resistencia al fracturamiento ................................ 85
4.2.6 Síntesis del estudio paramétrico .................................................... 88
5. TENSIONES Y DESPLAZAMIENTOS INDUCIDOS POR EL
FRACTURAMIENTO HIDRÁULICO ........................................................... 94
6. CONCLUSIONES .......................................................................................... 106
BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................... 109
A N E X O S ............................................................................................................ 111
Anexo A: SOLUCIÓN SEMI – ANALÍTICA PARA FRACTURA EN RÉGIMEN
DE GRAN RESISTENCIA AL FRACTURAMIENTO ................................ 112
vi
INDICE DE TABLAS
Pág.
Tabla 4-1: Parámetros de base usados en el estudio paramétrico .............................. 62
Tabla 4-2: Variación de velocidad de propagación con el confinamiento isotrópico 66
Tabla 4-3: Distancia de realineamiento para razones de tensiones mayores a 1…. .. 70
Tabla 4-4: Distancia de realineamiento para distintos desviadores ........................... 75
Tabla 4-5: Distancia de realineamiento para distintas viscosidades .......................... 78
Tabla 4-6: Variación de la velocidad de propagación con el caudal de inyección .... 80
Tabla 4-7: Distancia de realineamiento para distintos caudales de inyección ........... 81
Tabla 4-8: Variación de la velocidad de propagación con el módulo de corte .......... 82
Tabla 4-9: Distancia de realineamiento para distintos módulos de corte ................... 84
Tabla 4-10: Variación de la velocidad de propagación con ICK ............................... 85
Tabla 4-11: Distancia de realineamiento para distintos ICK ..................................... 87
Tabla 4-12: Distancia de realineamiento para distintos hv / y hv ............... 88
vii
INDICE DE FIGURAS
Pág.
Figura 1-1: Geometría de fractura KGD y PKN .......................................................... 2
Figura 2-1: Pasos para llevar a cabo el fracturamiento hidráulico ............................... 7
Figura 2-2: Fractura hidráulica en un medio bidimensional ........................................ 8
Figura 2-3: Convención de signos adoptada en este trabajo ...................................... 11
Figura 3-1: Componentes sD y nD de una discontinuidad de desplazamiento
constante ........................................................................................................... 19
Figura 3-2: Elementos imagen con respecto a los ejes de anti-simetría simxx y
simyy ............................................................................................................. 22
Figura 3-3: Distribución de presiones dividida en una parte diferencial debida al
flujo ),( txpD , y una parte constante debida a la conservación de la masa 0p
. .................................................................................................................... 25
Figura 3-4: Diagrama de flujo del algoritmo para solucionar las ecuaciones de
flujo… ............................................................................................................... 26
Figura 3-5: Número de iteraciones necesarias para la convergencia del algoritmo
de fracturamiento en función del valor del de Picard. ................................. 28
Figura 3-6: Cierre numérico de la fractura por el uso de un muy alto .................. 29
Figura 3-7: Solución adimensional en el tip para distintos valores de tolerancia ...... 31
Figura 3-8: Solución adimensional con distinto t .................................................. 32
Figura 3-9: Diagrama del algoritmo para resolver las ecuaciones hidromecánicas ... 33
viii
Figura 3-10: Definición de para la propagación de la fractura. La deformación
producida por la propagación puede ser dividida en una componente normal
y otra de corte. .................................................................................................. 34
Figura 3-11: Configuración de la fractura con propagación ...................................... 35
Figura 3-12: Uso de rigideces en elemento ficticio para evitar deformaciones en
cierta dirección. (a) Propagación en modo I, (b) propagación en modo II. ...... 36
Figura 3-13: Diagrama de flujo del algoritmo de propagación .................................. 38
Figura 3-14: Diagrama del algoritmo general de solución del problema................... 40
Figura 3-15: Límite de convergencia para el algoritmo generado, junto con el rango
en que se encuentran los problemas habituales de fracturamiento hidráulico ............ 41
Figura 4-1: Comparación de la apertura obtenida para una fractura sometida a una
presión constante mediante DDM con y sin elementos simétricos .................. 43
Figura 4-2: Error relativo en el cálculo de la apertura mediante el DDM ................. 44
Figura 4-3: Casos simples para evaluar la precisión en el cálculo del SIF: (a)
Fractura sometida a una tracción perpendicular, (b) Fractura inclinada º
con respecto a la horizontal .............................................................................. 45
Figura 4-4: Variación del error relativo ( R ) en el cálculo del SIF versus el
número de elementos DDM, para fractura recta en un medio infinito 2D. ...... 46
Figura 4-5: Variación de la razón entre SIF numérico y analítico versus º ............ 47
Figura 4-6: Fractura con ramificación sometida a tracción uniforme ........................ 48
Figura 4-7: Validación de resultados kinked crak para = 15º y 30º ...................... 50
Figura 4-8: Validación de resultados kinked crak para = 45º y 60º ...................... 51
ix
Figura 4-9: Soluciones analíticas de orden cero y uno para propagación de fractura
hidráulica en régimen de gran resistencia al fracturamiento: (a) Apertura
adimensional, (b) Presión adimensional (Figura Garagash, D. (2005)) ........... 55
Figura 4-10: Apertura adimensional para distintos tiempos de inyección ................. 56
Figura 4-11: Presión adimensional para distintos tiempos de inyección ................... 56
Figura 4-12: Comparación entre la longitud semi-analítica y la obtenida con el
código desarrollado para distintos tiempos de inyección ................................. 58
Figura 4-13: Comparación de la apertura y presión adimensional para ADIMM =10-4
y 10-3
................................................................................................................. 59
Figura 4-14: Comparación de la apertura y presión adimensional para ADIMM =10-2
y 10-1
................................................................................................................. 60
Figura 4-15: Comparación de la longitud adimensional para distintos valores de
ADIMM ............................................................................................................... 61
Figura 4-16: Perfil de presión adimensional al interior de fracturas en condición de
equilibrio móvil ( ICI KK ) para diferentes valores de la rigidez
adimensional.. ................................................................................................... 64
Figura 4-17: Influencia del confinamiento de las tensiones in-situ en el largo y
velocidad de propagación la fractura ................................................................ 65
Figura 4-18: Influencia de la razón entre tensiones in-situ (mayores a 1) en el largo
y velocidad de propagación de la fractura ........................................................ 67
Figura 4-19: Distancia de realineamiento de una fractura Rd ................................... 69
Figura 4-20: Influencia de la razón entre las tensiones in-situ (mayores a 1) en la
trayectoria de la fractura ................................................................................... 70
x
Figura 4-21: Influencia de la razón entre tensiones in-situ (menores a 1) en el largo
y velocidad de propagación de la fractura ........................................................ 71
Figura 4-22: Influencia de la razón entre tensiones in-situ (menores a 1) en la
trayectoria de la fractura ................................................................................... 72
Figura 4-23: Influencia del desviador en el largo y velocidad de propagación de la
fractura. ............................................................................................................. 74
Figura 4-24: Influencia del desviador en la trayectoria de la fractura ....................... 75
Figura 4-25: Influencia de la viscosidad en el largo y velocidad de propagación de
la fractura .......................................................................................................... 77
Figura 4-26: Influencia de la viscosidad en la trayectoria de la fractura para el caso
hv =1,11 ..................................................................................................... 78
Figura 4-27: Influencia del caudal de inyección en el largo y velocidad de
propagación de la fractura ................................................................................ 79
Figura 4-28: Influencia del caudal de inyección en la trayectoria de la fractura para
el caso hv = 1,11 ........................................................................................ 81
Figura 4-29: Influencia del módulo de corte en el largo y velocidad de propagación
de la fractura ..................................................................................................... 83
Figura 4-30: Influencia del módulo de corte en la trayectoria de la fractura para el
caso hv = 1,11 ............................................................................................ 84
Figura 4-31: Influencia de la resistencia al fracturamiento en el largo y velocidad
de propagación de la fractura ............................................................................ 86
Figura 4-32: Influencia de la resistencia al fracturamiento en la trayectoria de la
fractura para el caso hv = 1,11 ................................................................... 87
xi
Figura 4-33: Influencia del desviador y de la razón de tensiones in-situ en la
distancia de realineamiento............................................................................... 89
Figura 4-34: Perfil de presiones de una fractura de 1 m en condición ICI KK ,
para los valores máximo y mínimo de cada parámetro .................................... 91
Figura 4-35: Influencia de los parámetros en la trayectoria de la fractura ................. 91
Figura 4-36: Influencia de los parámetros en la velocidad de propagación de la
fractura .............................................................................................................. 92
Figura 5-1: Variación de tensiones yy y xx inducidas por una fractura
hidráulica en un campo de tensiones isotrópico, (a) previo a la propagación,
(b) en el momento de la propagación y (c) posterior a la propagación ............ 95
Figura 5-2: Variación de tensiones principales 1 y 3 inducidas por una
fractura hidráulica en un campo de tensiones isotrópico, (a) previo a la
propagación, (b) en el momento de la propagación y (c) posterior a la
propagación....................................................................................................... 96
Figura 5-3: Direcciones principales para las variaciones de tensiones 1 y 3
inducidas por una fractura hidráulica en un campo de tensiones isotrópico .... 97
Figura 5-4: Desplazamientos yyu y xxu inducidos por una fractura hidráulica en un
campo de tensiones isotrópico, (a) previo a la propagación, (b) en el
momento de la propagación y (c) posterior a la propagación ........................... 98
Figura 5-5: Norma de los desplazamientos inducidos por una fractura hidráulica en
un campo de tensiones isotrópico, previo a la propagación de la fractura ....... 99
Figura 5-6: Dirección de los desplazamientos inducidos por el fracturamiento
hidráulico ........................................................................................................ 100
xii
Figura 5-7: Variación de tensiones yy y xx inducidas por el fracturamiento
hidráulico en un campo de tensiones no isotrópico ( hv / 1,25) en tres
estados distintos de propagación .................................................................... 102
Figura 5-8: Variación de tensiones principales 1 y 3 inducidas por el
fracturamiento hidráulico en un campo de tensiones no isotrópico ( hv /
1,25) en tres estados distintos de propagación ................................................ 103
Figura 5-9: Desplazamientos yyu y xxu inducidos por el fracturamiento hidráulico
en un campo de tensiones no isotrópico ( hv / 1,25) en tres estados
distintos de propagación ................................................................................. 105
xiii
RESUMEN
El fracturamiento hidráulico es un proceso natural o inducido que consiste en la creación
de fracturas en un macizo rocoso mediante la inyección de un fluido a alta presión.
Como proceso inducido cuenta con diversas aplicaciones industriales tales como la
estimulación de reservorios de hidrocarburos, la extracción de energía geotérmica y el
pre-acondicionamiento de macizos rocosos para la explotación minera.
La formulación matemática de este fenómeno está representada por un conjunto de
ecuaciones integro – diferenciales, cuya resolución numérica es un gran desafío,
principalmente por el carácter no local del operador de elasticidad, la alta no linealidad
de la ecuación de flujo viscoso, y la presencia de un borde móvil asociado a la fractura
en propagación.
En este trabajo se generó un código capaz de modelar la propagación de fracturas
hidráulicamente inducidas a través de un fluido newtoniano, en un medio isotrópico
lineal-elástico sometido a un campo de tensiones in-situ biaxial.
Con el código desarrollado se llevó a cabo un análisis paramétrico en el cual se
determinó que el caudal de inyección y el módulo de corte son las propiedades más
influyentes en la longitud y velocidad de propagación de la fractura, mientras que la
viscosidad es la menos influyente. Por otro lado, la trayectoria de la fractura está
principalmente determinada por las tensiones in-situ, y de forma secundaria por la
resistencia al fracturamiento del macizo rocoso, mientras que la influencia de las otras
propiedades es relativamente despreciable.
Se observó que la influencia del fracturamiento hidráulico en el macizo rocoso, medida a
través de tensiones y desplazamientos inducidos, no se extiende más allá de dos veces la
longitud de la fractura, sin embargo, la magnitud de la variación del campo de tensiones
es considerable.
Palabras Claves: Fracturamiento hidráulico, modelación numérica, análisis paramétrico.
xiv
ABSTRACT
Hydraulic fracturing is a natural or induced process that consists on the creation of
fractures in a rock mass by the injection of a fluid at high pressure. This process has
several applications, such as the stimulation of hydrocarbon reservoirs, geothermal
energy extraction and mining preconditioning of rock mass.
The mathematical formulation of this phenomenon is represented by a set of integral and
differential equations, whose numerical resolution is a huge challenge, mainly by the
non-local nature of the elasticity operator, the high non-linearity of the viscous flow
equation, and the presence of a moving boundary condition associated to the fracture
propagation.
In this project a code able to modeling hydraulic fracturing propagation induced by a
newtonian fluid, in a lineal-elastic isotropic medium subjected to in-situ biaxial field
stress was generated.
Once the code was developed, a parametric analysis was conducted, showing that the
injection flow and the shear modulus are the most influential properties in the length and
the fracture propagation velocity, while the viscosity has less influence. By other side,
the trajectory of the fracture is mainly defined by the in-situ stresses, and in a secondary
term by the resistance against fracturing of the rock mass, while the influence of the
other properties is negligible.
It was noted that the influence of the hydraulic fracturing in the rock mass, measured
through induced tensions and displacements, does not extends more over than two times
the fracture length, however, the magnitude of the variation of stress field is
considerable.
Keywords: Hydraulic fracturing, numerical modeling, parametric analysis.
1
1. INTRODUCCIÓN
1.1 Motivación: Importancia del problema
El fracturamiento hidráulico es el proceso natural o inducido, por medio del cual la
inyección de un fluido genera y propaga una fractura en un macizo rocoso. Como
proceso natural, se pueden mencionar los diques y sills generados por el magma.
Como proceso inducido, el fracturamiento hidráulico cuenta con numerosas
aplicaciones industriales, tales como:
Estimulación de reservorios de hidrocarburos para aumentar la
producción.
Estimulación de pozos para remediación de acuíferos contaminados.
Medición de tensiones in-situ a grandes profundidades.
Extracción de energía geotérmica.
Pre-acondicionamiento de macizos rocosos explotados por caving.
En especial, la última aplicación es muy importante en el caso chileno, debido a la
existencia de importantes minas subterráneas explotadas por técnicas de caving,
cuyo desempeño se ha visto mejorado a través del pre-acondicionamiento mediante
fracturamiento hidráulico, generando un aumento en la tasa de caving y una
reducción en la magnitud de los eventos sísmicos inducidos por la actividad
minera, lo que conlleva una disminución en el riesgo de estallidos de roca.
Para analizar, investigar, y por tanto mejorar estas aplicaciones, es necesario contar
con modelos numéricos que sean capaces de lidiar con las dificultades propias del
fracturamiento hidráulico y predecir el efecto sobre el macizo rocoso.
2
1.2 Estado del arte
Los primeros modelos teóricos de fracturamiento hidráulico, fueron llevados a
cabo por Khristianovic y Zheltov (1955), e independientemente por Perkins y Kern
(1961). Posteriormente, sus trabajos fueron adaptados por Geerstma y de Klerk
(1969), y por Nordgren (1972), respectivamente, generando los modelos KGD
(deformaciones planas) y PKN. Ambos son modelos de propagación no retardada,
es decir, desprecian la resistencia al fracturamiento del macizo, y suponen que la
velocidad de propagación de la fractura es resultado de otros procesos del modelo,
como el balance de masa, las propiedades de la roca y la reología del fluido.
Extensiones de los modelos KGD y PKN fueron rutinariamente usadas para
diseñar tratamientos durante los años 1990, y continúan usándose hasta el día de
hoy (Adachi, J., Siebrits, E., Peirce, A. y Desroches, J., 2007).
Figura 1-1. Geometría de fractura KGD (deformaciones planas en el plano xy) y
PKN.
Valkó y Economides (1995), crearon un modelo basado en la teoría del daño
continuo para lograr presiones que se ajusten mejor a los resultados obtenidos en la
3
práctica. Lamentablemente, los parámetros necesarios para su modelación resultan
poco prácticos.
Actualmente, las suposiciones típicas en los modelos numéricos de fracturamiento
hidráulico son, (a) el comportamiento del macizo rocoso es considerado lineal
elástico, (b) la fractura hidráulica se supone perpendicular al esfuerzo principal
menor, (c) el fluido es incompresible y obedece la ley de Poiseuille, y (d) la
propagación ocurre de forma cuasi-estática.
Actualmente, los esfuerzos en la modelación numérica del problema del
fracturamiento hidráulico, están puestos principalmente en:
El entendimiento de los distintos regímenes de propagación del
fracturamiento hidráulico. Esto se está haciendo en 2 frentes, primero, a
través de modelos simples (e.g. KGD, penny shaped), se estudia el
comportamiento asintótico de los procesos de la punta de la fractura, y
segundo, por medio del estudio paramétrico de los procesos que controlan
el fracturamiento: filtración del fluido hacia el macizo, resistencia al
fracturamiento de la roca y viscosidad del fluido (Adachi, J. et al, 2007).
Modelación 3D completa del fracturamiento hidráulico, incluyendo efectos
de propagación en modo III.
Efecto de discontinuidades pre-existentes o de campos anisotrópicos en la
propagación del fracturamiento hidráulico. Debido a la aplicación del
fracturamiento hidráulico en minería, este tema se incluyó como parte del
International Caving Study II.
Con respecto a la incorporación de discontinuidades, se puede mencionar el trabajo
de Dong, C.Y. y de Pater, C.J. (2001) y el de Ghassemi, A.(2003), quienes
modelan la interacción entre una fractura hidráulica y una discontinuidad pre-
existente. Sin embargo, en ambos trabajos no se modela el flujo y se considera una
presión constante dentro de la fractura.
4
1.3 Desarrollo y metodología
El trabajo desarrollado en esta tesis de magíster incluye los siguientes temas o
actividades:
Recopilación, revisión y estudio de la literatura, con el objetivo de entender
la física detrás del fracturamiento hidráulico, y la teoría necesaria para su
modelación numérica.
Generación de códigos para modelar la propagación del fracturamiento
hidráulico en 2D.
Validación de los códigos, y aplicación de ellos a un caso particular.
1.4 Objetivos
El principal objetivo de este trabajo, es generar un modelo numérico capaz de
modelar la propagación del fracturamiento hidráulico. Esto significa que sea capaz
de predecir la trayectoria de propagación de la fractura, con las deformaciones y
presiones correspondientes.
Las hipótesis de modelación son las siguientes: (a) la propagación ocurre en un
medio 2D infinito e impermeable, bajo condición de deformaciones planas, es
decir, un modelo KGD (Figura 1-1), (b) el medio es homogéneo, lineal elástico, (c)
el fluido tiene un comportamiento newtoniano y se inyecta a tasa constante, (d) el
medio está sometido a un campo de tensiones biaxial, y (e) tanto la tasa, como la
dirección de propagación de la fractura, dependen de un criterio energético basado
en la mecánica de fracturas (criterio G).
Para esta modelación, se consideran los siguientes objetivos específicos:
Investigar el estado del conocimiento relativo a la propagación del
fracturamiento hidráulico, para evaluar cuáles de los efectos observados en
la práctica o en el laboratorio, son necesarios y factibles de implementar en
el modelo numérico.
5
Investigar la resolución de las dificultades numéricas planteadas por un
modelo de fracturamiento hidráulico, pues se trata de un problema que
involucra el acoplamiento de 3 fenómenos: hidráulico, mecánico y de
fracturamiento.
6
2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
En esta sección, se hace una pequeña reseña histórica, y se describe el procedimiento
mediante el cual se lleva a cabo el fracturamiento hidráulico, luego se establecen todas
las hipótesis de modelación, para finalmente plantear el modelo matemático a resolver.
2.1 Descripción del fracturamiento hidráulico
El uso industrial del fracturamiento hidráulico, comenzó en los años 1930, cuando
Dow Chemical Company descubrió que el fluido a presión utilizado en las
estimulaciones ácidas (aplicación de un ácido al macizo rocoso para aumentar su
permeabilidad) mejoraba la producción de petróleo y gas. Sin embargo, es en
Kansas (1947) cuando se lleva a cabo el primer tratamiento de un macizo rocoso
mediante fracturamiento hidráulico para aumentar la producción de una reserva de
gas (Adachi, J. et al, 2007). Debido a los buenos resultados, el uso del
fracturamiento hidráulico no sólo se ha extendido a lo largo del mundo como una
técnica de estimulación de reservas, además, se han encontrado diversas
aplicaciones como las mencionadas en la sección 1.1, donde es especialmente
importante mencionar el caso del pre-acondicionamiento de minerales explotados
por caving, usado actualmente en las minas de El Teniente, Salvador y Andina.
Las etapas necesarias para generar artificialmente una fractura hidráulica son: (1)
hacer una perforación en el macizo rocoso, (2) aislar una sección de la perforación
por medio de packers inflables presurizados, (3) en el tramo entre los packers, se
inyecta un fluido a presión hasta provocar la fractura por tracción, (4) se continua
inyectando fluido para extender la fractura al interior del macizo rocoso hasta
finalizar el tratamiento. El procedimiento se presenta esquemáticamente en la
figura 2-1.
7
Figura 2-1. Pasos para llevar a cabo el fracturamiento hidráulico.
Los fluidos fracturantes van desde agua hasta dióxido de carbono1, y los equipos
de fracturamiento pueden alcanzar presiones de hasta 60 MPa, e inyectar hasta
alrededor de 200 litros por minuto.
2.2 Modelo matemático del fracturamiento hidráulico
Tal como se muestra en la figura 2-2, se considera la propagación de una fractura
hidráulica en un medio bidimensional ilimitado, impermeable, homogéneo, y lineal
elástico, bajo condiciones de deformaciones planas, esta geometría corresponde al
modelo KGD. La propagación de la fractura, se considera simétrica con respecto al
punto de inyección, por lo que se modela sólo la mitad de la fractura.
1 El dióxido de carbono se utiliza en tratamientos de estimulación de reservorios de hidrocarburos, en el
pre-acondicionamiento de macizos rocosos e general se usa agua.
8
El medio está sometido a un campo de tensiones in-situ biaxiales vertical ( v ) –
horizontal ( h ) ortogonales entre sí.
Se inyecta un fluido incompresible, newtoniano, a un caudal constante Q0 en el
centro de la fractura. Además, se supone que el frente de flujo coincide en todo
momento con la punta de la fractura (tip), por lo tanto, la fractura siempre está
llena de fluido y no existe fluid lag (bolsón de aire en la punta).
Figura 2-2. Fractura hidráulica en un medio bidimensional.
Incluso en su forma más básica, el fracturamiento hidráulico es un proceso
complejo de modelar pues involucra el acoplamiento de al menos 3 fenómenos
(Adachi, J. et al, 2007):
1. La deformación mecánica inducida en las paredes de la fractura, por la
presión del fluido.
2. El flujo de fluido dentro de la fractura producido por el gradiente de
presiones.
9
3. La propagación de la fractura.
Estos tres fenómenos acoplados, conducen a una formulación matemática que está
representada por un conjunto de ecuaciones integro – diferenciales. La resolución
numérica de este conjunto de ecuaciones es un gran desafío, principalmente por el
carácter no local del operador de elasticidad, de la alta no linealidad de la ecuación
de flujo viscoso, y de la presencia de un borde móvil asociado a la fractura en
propagación2. El tratamiento numérico de cada una de estas dificultades se expone
en la sección 3.
A continuación, se presentan por separado las ecuaciones matemáticas que rigen
cada uno de los 3 fenómenos mencionados anteriormente.
2.2.1 Modelación del flujo y conservación de la masa
El flujo dentro la grieta puede ser modelado por la teoría de lubricación, ya que la
razón entre la apertura (w) y el largo (l) de la fractura cumple que lw <<1 (Figura
2-2), y por otro lado, la velocidad dentro de la grieta es suficientemente pequeña
para suponer flujo laminar. Entonces, el flujo puede ser modelado por la ley de
Poiseuille (Batchelor, 1967):
x
txptxwtxq
),(
12
),(),(
3
(2.1)
Donde,
x : Coordenada del eje longitudinal de la fractura (Figura 2-2).
),( txw : Apertura de la fractura en el punto x y tiempo t.
),( txp : Presión del fluido en las caras de la fractura.
),( txq : Caudal que atraviesa una sección de la fractura normal al eje x en
un tiempo t.
2 http://hydraulic-fracturing-club.wikispaces.com/
10
: Viscosidad del fluido.
Como se considera que el medio es impermeable y el fluido incompresible, la
ecuación de continuidad unidimensional está dada por:
0),(),(
x
txq
t
txw (2.2)
Las ecuaciones (2.1) y (2.2), pueden ser combinadas para obtener la ecuación de
Reynolds:
00
3
)(),(
12
),(),(Qx
x
txptxw
xt
txw (2.3)
Donde,
)( 0x : Función delta de Dirac, donde 0x es la coordenada del punto de
inyección.
0Q : Caudal inyectado a la fractura.
Por su parte, se establecen 2 condiciones de borde:
2),0( 0Q
tq (2.4)
0),( tlq (2.5)
La primera es consecuencia de la simetría de la fractura con respecto al punto de
inyección, y la segunda impone la impermeabilidad del macizo rocoso (flujo nulo a
lo largo del perímetro de la fractura). Ambas condiciones de borde, corresponden
al tipo Neumann para la presión.
Para garantizar la existencia y unicidad de la solución a la ecuación (2.3), con las
condiciones de borde (2.4) y (2.5), es necesario imponer la conservación global de
la masa:
11
)(
0 0
)(),(
tl t
dQxdtxw (2.6)
Donde, )(tl es el largo de la fractura en el tiempo t, y )(Q es el caudal de
inyección en el tiempo t.
2.2.2 Modelación de la deformación de la fractura. Elasticidad
La convención de signos utilizada en este trabajo se muestra en la figura 2-3, y
considera que las compresiones son positivas.
Figura 2-3. Convención de signos adoptada en este trabajo.
Ya que el macizo rocoso se modela como un medio continuo bidimensional, se
deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio:
0;0;0zxyyx
zzyxyyxyxx (2.7)
12
Donde,
ij
: Tensiones en dirección j, en la cara que tiene por normal la dirección i.
x e y: Coordenadas del plano cartesiano que representa al medio 2D.
En este trabajo el efecto de la gravedad se incorpora por medio de las tensiones in-
situ. Entonces, la ecuación (2.7) representa la perturbación en torno al equilibrio
estático inicial.
En el medio rocoso, los campos de deformaciones están relacionados con los
desplazamientos por medio de las ecuaciones de compatibilidad, que para el caso
de pequeñas deformaciones son:
0;; zzyyxxy
v
x
u (2.8)
0;2
1yzxzyxxy
x
v
y
u (2.9)
Donde,
ij : Deformaciones en la dirección j, en la cara que tiene por normal la
dirección i.
u : Desplazamiento horizontal.
v : Desplazamiento vertical.
Por otro lado, se supone un comportamiento lineal elástico de la roca, bajo
condición de deformaciones planas. En este caso, las deformaciones se relacionan
con las tensiones a través de las ecuaciones (2.10) y (2.11):
xxyyyyyyxxxxEE
)1(1
)1(1
(2.10)
xyyxxyE
1 (2.11)
13
Donde,
: Módulo de Poisson.
E : Módulo de elasticidad.
En el caso particular de la apertura, teniendo en mente el uso de elementos de
contorno, podemos tomar ventaja de la homogeneidad del medio infinito, y escribir
las ecuaciones de elasticidad en una ecuación integral que relaciona la presión del
fluido y la apertura de la fractura en cualquier punto x (Ioakimidis, N.I., 1982):
l
cn dstxwxs
xsExtxp
0
222
22
),(2
')(),(
(2.12)
Donde,
'E : Módulo de la elasticidad en el caso de deformaciones planas.
)(xcn : Tensiones in-situ normales al eje de la fractura en el punto x .
Es importante notar que de acuerdo a la expresión anterior, la presión en cualquier
punto x depende de la apertura w a lo largo de toda la fractura, por lo que se trata
de una expresión no-local en espacio.
Las condiciones de borde para las ecuaciones de elasticidad corresponden a las
presiones normales y tangenciales que actúan en las caras de la fractura.
Debido a que el medio se asume impermeable, la presión normal a las caras de la
fractura, es igual a la diferencia entre la presión del fluido y la proyección normal
de las tensiones in-situ.
El esfuerzo tangencial en las caras de la fractura, es igual a la proyección
tangencial de las tensiones in-situ, suponiendo que las fuerzas viscosas ejercidas
por el fluido sobre las paredes de la fractura son mucho menores que la presiones
normales (Akulich, A.V. y Zvyagin, A.V., 2007).
14
2.2.3 Modelación del fracturamiento, procesos del tip
Los primeros modelos de fracturamiento hidráulico consistían en modelos no
retardados que suponían una propagación auto-similar de la fractura, es decir, la
velocidad de propagación de la fractura depende de la geometría impuesta (en
general elíptica), de la ecuación del flujo y de la conservación de la masa,
despreciando la resistencia al fracturamiento del macizo rocoso. Valkó y
Economides (1995) hacen una analogía entre los modelos no retardados y un
“cuchillo cortando mantequilla”, donde la velocidad del cuchillo depende de la
fricción entre las superficies, pero no de los procesos que ocurren en la punta del
cuchillo. Actualmente, es claro que este enfoque no es correcto, pues la resistencia
del macizo, representada por el criterio de fracturamiento, constituye un tipo muy
especial de condición de borde en el tip, ya que prácticamente dicta la naturaleza
de la solución completa (Adachi, J., 2007).
En la práctica, la propagación de una fractura se relaciona con un criterio de
tensiones: superar la resistencia a la tracción del material. Además, se debe
considerar un criterio de energía: la propagación de la fractura debe estar
acompañada de una reducción o mantención de la energía total del sistema.
En base a la teoría de la mecánica de fracturas lineal elástica (LEFM), no se puede
asegurar el cumplimiento del criterio de tensiones, debido a la indeterminación de
estas en el tip. Por lo anterior, se prefiere establecer el criterio de fracturamiento en
términos de energía.
Suponiendo que la propagación de la fractura hidráulica ocurre en modo I
(apertura), y siempre perpendicular a la menor tensión principal in-situ, el criterio
de fracturamiento usualmente se establece como:
ICI KK
(2.13)
Donde,
IK : SIF (Stress Intensity Factor) para el modo I.
15
ICK : Resistencia del material al fracturamiento en modo I, o fracture
toughness.
De forma equivalente, el criterio de la ecuación (2.13) se puede plantear en
términos del ERR (Energy Release Rate), como ICI GG , pues para los modos I y
II (deslizamiento), SIF y ERR se relacionan a través de la ecuación (2.14).
2
,
2
,
1IIIIII K
EG (2.14)
En este trabajo se pretende modelar una fractura que se propaga en un campo
biaxial, por lo que el criterio de fracturamiento debe ser capaz de predecir tanto la
ocurrencia como la dirección de propagación.
Los tres criterios principales para predecir la propagación de fracturas 2D son:
El Maximum tensile stress o criterio MTS.
El Minimum strain energy density o criterio S.
El Maximum strain energy release rate o criterio G.
El criterio MTS postula que la propagación de una fractura ocurre cuando se
cumple el criterio de la ecuación (2.13), en la dirección perpendicular a la donde se
maximiza la tracción, es decir, se supone que la propagación ocurre siempre en
modo I, independiente del estado de tensiones. Por lo tanto el criterio anterior no
puede ser usado para simular fracturas que se propagan por corte (Shen, B. y
Stephansson, O., 1994).
El criterio S, postula que la fractura se inicia en la dirección en que se minimiza S,
siendo S el cambio de energía de deformación por unidad de volumen multiplicado
por la distancia al tip. El problema de este criterio, es que un alto valor de S puede
estar asociado a compresión local, lo que produciría plasticidad y no
fracturamiento (Wang y Shrive, 1995). Por esta razón, además de una mayor
dificultad de implementación, se descartó este criterio.
16
El criterio G, postula que la fractura se propaga en la dirección en que se maximiza
la tasa de liberación de energía (energy release rate), que en el caso de
propagación mixta I/II está dado por la suma de los modos I y II: III GGG .
Nuismer (1975), probó que el criterio MTS y G son completamente equivalentes.
Si el campo de tensiones es biaxial, las caras de la fractura hidráulica se verán
sometidas a las proyecciones normales y tangenciales de las tensiones in-situ, por
lo tanto la propagación ocurrirá en modo mixto I/II.
Los criterios MTS y G desprecian la resistencia de la roca al fracturamiento en
modo II ( IICK ), sin embargo, en general en rocas tiende a ser mayor a la resistencia
en modo I. Por esta razón, en este trabajo se utiliza una modificación del criterio G
propuesto por Shen y Stephansson (1994), que consiste en normalizar los valores
de IG y IIG por las respectivas resistencias, obteniendo el criterio F:
IIC
II
IC
I
G
G
G
GF
)()()( (2.15)
Este criterio establece que existe propagación en la dirección p , siempre y
cuando 1)( pF , donde p es el ángulo que maximiza )(F .
Este criterio permite tener en cuenta la resistencia en modo II, pero tiene la
desventaja de considerar que ambos modos de fractura están desacoplados.
Actualmente, no existe un criterio de consenso general para propagación en modo
mixto I/II.
En general, los métodos numéricos usados para calcular el SIF suponen una
singularidad de tensiones proporcional al inverso de la raíz cuadrada. Sin embargo,
existen una serie de trabajos (e.g. Desroches, J. et. al. (1994), Detournay, E.
(2004)) que sostienen que la caída de tensiones a partir del tip no sigue esta regla
en el caso del fracturamiento hidráulico. Por lo anterior, otra razón para utilizar el
criterio F, es que este está basado en el cálculo de G (cambio de energía) en vez del
SIF (intensidad del campo de tensiones).
17
En general, la caída de tensiones dependerá del fluido empleado para inducir el
fracturamiento y de las características del macizo rocoso. Por lo tanto, se optó por
un criterio basado en la liberación de energía en lugar de otro basado en el campo
de tensiones, debido a la incertidumbre en la forma que tiene la caída de tensiones
delante del tip.
Otro aspecto importante del problema es que el fracturamiento hidráulico es un
problema multi - escala, pues el régimen de propagación de una fractura depende
de la longitud que esta tenga.
Este efecto de escala influye en que los valores de ICK y IICK medidos en
laboratorio, dependen del tamaño del espécimen ensayado. En general, los valores
de ICK obtenidos en la práctica del fracturamiento hidráulico, son entre uno y dos
órdenes de magnitud mayores a los obtenidos en laboratorio y aumentan con el
largo de la fractura (Shlyapobersky, 1985). Por lo tanto, un modelo numérico que
usa valores constantes de las resistencias de fracturamiento podría no ser
apropiado.
Una opción para corregir esta dificultad podría ser el uso de R-curves (curvas que
muestran el cambio de resistencia con respecto al largo de la fractura) para la
modelación de fracturas hidráulicamente inducidas. Sin embargo, la extrapolación
de estas curvas a la escala del fracturamiento hidráulico, parece no ser adecuada
(Valkó y Economides, 1995).
A pesar de lo anterior, algunos autores sostienen que un modelo numérico con
valores de ICK y IICK constantes puede ser apropiado de acuerdo a ciertos
resultados obtenidos numéricamente por Papanastasiou (1997,1999), y
experimentalmente por Sato y Hashida (2006). Estos resultados indican que estos
valores presentan un comportamiento asintótico con respecto al largo de la
fractura.
Dicho valor asintótico se alcanza a extensiones de la fractura del orden de
decímetros, valor que suele ser sobrepasado en problemas de fracturamiento
hidráulico.
18
Por lo tanto, en este trabajo se optó por valores constantes para ICK y IICK
independientemente del largo de la fractura.
19
3. IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA
En esta sección se describen los métodos numéricos y algoritmos desarrollados en este
trabajo para modelar los siguientes aspectos del problema de fracturamiento hidráulico:
(a) obtener la trayectoria de una fractura hidráulica que se propaga en un campo biaxial
de tensiones, (b) obtener el perfil de presiones, y (c) obtener el perfil de deformaciones
de la fractura.
3.1 Solución numérica de las ecuaciones de elasticidad
La solución de las ecuaciones de elasticidad expuestas en la sección 2.2.2, se lleva
a cabo mediante el método conocido como DDM (Displacement Discontinuity
Method) (Crouch y Starfield, 1983). Este método es un tipo de BEM (Boundary
Element Method) basado en la solución analítica del problema de una
discontinuidad de desplazamiento constante de largo finito, contenida en el plano
x, y de un sólido elástico infinito, como muestra la figura 3-1.
Figura 3-1. Componentes sD y nD de una discontinuidad de desplazamiento
constante.
20
En la figura 3-1, podemos considerar que la discontinuidad es una grieta lineal en
que se distinguen 2 superficies, una positiva 0y , y una negativa 0y , en las
que los desplazamientos son distintos. De esta forma, una discontinuidad o salto de
desplazamiento constante queda definida a través de la ecuación (3.1)3:
)0,()0,( xuxuD iii (3.1)
Donde,
iD : Componente de la discontinuidad de desplazamiento en la dirección i.
iu : Desplazamiento en la dirección i.
La solución analítica de las tensiones y desplazamientos producidos en el plano x,
y por una discontinuidad como la de la figura 3-1, está dada por Crouch y Starfield
(1983) y es la base del DDM. El método consiste en superponer los efectos de
distintas discontinuidades de desplazamiento para lograr satisfacer determinadas
condiciones de borde, de tensión o de desplazamiento. Numéricamente, el
problema queda definido a través de un sistema de N2 ecuaciones, en que N es
el número de elementos (o número de saltos de desplazamiento), y en que para
cada elemento se tienen las ecuaciones (3.2) y (3.3):
j
j
n
ij
sn
j
s
ij
ss
i
cs DADA (3.2)
j
j
n
ij
nn
j
s
ij
ns
i
cn
i DADAp (3.3)
Donde,
ip : Presión total del fluido en el elemento i-ésimo.
i
cs y i
cn : Tensiones in-situ proyectadas en la dirección tangencial y normal
del elemento i-ésimo, respectivamente.
3 En este trabajo la dirección de las discontinuidades es de signo contrario a la indicada por Crouch y
Starfield (1983).
21
ij
nsA , etc.: Coeficientes de influencia. En este caso ij
nsA es la influencia de la
discontinuidad tangencial del elemento j en la tensión normal del elemento i.
Los coeficientes de influencia forman la matriz de rigidez del macizo fracturado C.
j
sD y j
nD son las discontinuidades tangenciales y normales respectivamente, y son
las incógnitas del problema.
Una de las ventajas del método en la simulación de fracturas, es que los elementos
representan directamente la fractura, con lo cual las superficies de la fractura no
necesitan ser simuladas separadamente. La otra gran ventaja, es que al modelar la
propagación, no se requieren complejos procesos de remallado cerca de la punta,
sólo agregar un elemento más.
En el fracturamiento hidráulico, el DDM se utiliza fundamentalmente para calcular
las aperturas ),( txw producidas por la diferencia entre la presión del fluido y las
tensiones in-situ.
En el DDM las condiciones de simetría son incorporadas a través de la adición de
“elementos imagen”, esto es, elementos ubicados anti - simétricamente con
respecto a un eje arbitrario, con igual discontinuidad normal, y tangencial, como se
muestra en la figura 3-2.
22
Figura 3-2. Elementos imagen con respecto a los ejes de anti - simetría simxx y
simyy .
La adición de los elementos imagen, se lleva a cabo mediante una modificación de
los coeficientes de influencia de las ecuaciones (3.2) y (3.3), donde cada
coeficiente representa la influencia de un par de elementos simétricos.
Para la simetría adoptada en este trabajo (Figura 3-2), las relaciones geométricas
entre cada par de elementos simétricos son:
ˆ
2ˆ
2ˆ
yyy
xxx
sim
sim
(3.4)
Donde,
x e y : Coordenadas cartesianas del elemento imagen.
x e y : Coordenadas cartesianas del elemento DDM.
23
: Ángulo entre el elemento DDM y el eje de abscisas.
ˆ : Ángulo entre el elemento imagen y el eje de abscisas.
3.2 Solución numérica de la ecuación del flujo
Debido al algoritmo adoptado para resolver el sistema acoplado, las ecuaciones de
comportamiento del flujo (sección 2.2.1) son utilizadas para calcular la
distribución de presiones ),( txp , dados los demás datos de la ecuación (2.3).
Además, se debe mencionar que en este trabajo se soluciona el problema cuasi-
estático, por lo cual el tiempo es un parámetro, y la ecuación (2.3) se transforma
en:
xd
txdp
xd
txdwtxw
t
txw
txwxd
txpd ),(),(
12
),(3),(
),(
12),( 2
32
2
(3.5)
Donde,
),( txw : Cambio de apertura entre la condición inicial y la iteración actual.
t : Aumento del tiempo entre iteraciones.
El término 0)( Qx es reemplazado por la condición de borde de la ecuación
(2.4).
La solución numérica de la ecuación (3.5) presenta 2 dificultades: (1) para la
apertura de la fractura se tiene que 0),(lim txwlx , por lo que las presiones son
singulares en el tip, (2) el problema del flujo consiste en una ecuación elíptica de
segundo orden, con 2 condiciones de Neumann para ),( txp , por lo cual el
operador 12
3w (Ecuación (2.3)) no es invertible, y no hay unicidad en
la solución de la ecuación (3.5), a menos que se fije el nivel de presiones.
Para resolver la primera dificultad se evade la solución de la ecuación (3.5) en el
tip, discretizando el problema en el dominio lx ,0 . Debido a la
24
discretización mediante DDM, corresponde a un medio del tamaño del elemento
del tip.
Al modificar el dominio de integración, la condición de borde de flujo nulo a
través del tip (ecuación (2.4)) se reemplaza por una condición de conservación de
masa local en lx :
l
l
xdt
txwtlq
),(),( (3.6)
La segunda dificultad se resuelve llevando a cabo la transformación
xdtxdp
txh),(
),( , con lo cual la ecuación (3.5) se reduce a una de primer orden
con 2 condiciones de borde de Dirichlet:
),(),(
12
),(3),(
),(
12),( 2
3txh
xd
txdwtxw
t
txw
txwxd
txdh (3.7)
33
0
),(
),(12),(
),0(
212
),0(tlw
tlqtlh
tw
Q
th (3.8)
La solución numérica de la ecuación (3.5) con las condiciones de borde (3.8), se
lleva a cabo mediante un método de multiple shooting basado en diferencias finitas
implementado en la función bvp4c de MATLAB®.
Para obtener la distribución de presiones a partir de la solución de la ecuación
(3.7), basta integrarla, obteniendo:
00 ),(),(),( ptxppxdtxhtxp D (3.9)
Donde,
),( txpD : Es la parte diferencial de la presión que produce el flujo.
0p : Es la constante de integración, un nivel fijo de presión constante.
25
El nivel fijo de presión 0p , debe ser determinado para garantizar la unicidad de la
solución, lo que se consigue imponiendo la conservación global de la masa
(ecuación (2.5)). Según lo anterior, 0p se calcula mediante la ecuación (3.10):
xdC
xdttxwxdxtxpCtQ
pcD
1
),())(),((2
1
10
0 (3.10)
Donde,
C: Es la matriz de rigidez del macizo fracturado.
1 : Vector columna de unos.
El procedimiento anteriormente descrito se muestra gráficamente en la figura 3-3.
Figura 3-3. Distribución de presiones dividida en una parte diferencial debida al
flujo ),( txpD , y una parte constante debida a la conservación de la masa 0p .
El algoritmo para solucionar las ecuaciones de comportamiento de flujo se muestra
en la figura 3-4.
26
Figura 3-4. Diagrama de flujo del algoritmo para solucionar las ecuaciones del flujo.
27
3.3 Algoritmo del fracturamiento hidráulico
Para obtener una solución de las ecuaciones acopladas de flujo y elasticidad, se
resuelve en primer lugar cada una de ellas separadamente, y luego mediante un
proceso iterativo se impone que ambas soluciones converjan a una, que será la
solución del sistema acoplado.
Para ello se utiliza un método de punto fijo junto con iteraciones de Picard para
estabilizar la solución del sistema no lineal.
El proceso consta de los siguientes pasos:
Dados valores de prueba para la presión y apertura de la fractura, kp y kw
1. Calcular 2/1kp mediante el algoritmo de flujo (Figura 3-4)
2. Calcular 2/11 )1( kkk ppp
3. Calcular 2/1kw con las ecuaciones (3.2) y (3.3)
4. Calcular 2/11 )1( kkk www
Donde los subíndices indican la iteración correspondiente, y los valores 2/1k
corresponden a sub-pasos. En ausencia de grandes cambios en las presiones o
bruscos saltos en las propiedades elásticas de los materiales que va atravesando la
fractura, este proceso converge para valores de 5.00 (Adachi, J. et al, 2007).
Los valores de prueba no influyen en la estabilidad de la solución del sistema
acoplado, pero sí en la velocidad de convergencia del método. Para geometrías más
complejas, puede no alcanzarse la convergencia si los valores de prueba están
demasiado alejados de la solución real.
En la sección 3.5 se entregan algunas indicaciones sobre el cálculo de los valores
de prueba usados en este trabajo.
Como es posible que )(),( xtxp c en regiones cercanas al tip, numéricamente
se pueden obtener valores de apertura negativos. Sin embargo, la interpenetración
de las caras de la fractura es físicamente imposible. Por otro lado, un valor de
28
apertura igual a cero tampoco es permitido ya que en este trabajo no se considera la
propagación de la fractura hidráulica en modo II.
Las restricciones anteriores sobre los valores de la apertura de la fractura quedan
expresadas por la ecuación (3.11):
lxtxw 00),( (3.11)
Esta restricción no es impuesta numéricamente, sino que es controlada a través del
parámetro de Picard, pues este controla la velocidad de convergencia del
problema acoplado. En la figura 3-5 se muestra, para distintos valores de y
distintas tasas de inyección, el número de iteraciones necesarias para que el
algoritmo de fracturamiento converja, observándose que la velocidad de
convergencia del algoritmo depende fuertemente del valor de .
Figura 3-5. Número de iteraciones necesarias para la convergencia del algoritmo
de fracturamiento en función del valor del de Picard.
29
De acuerdo a los resultados mostrados en la figura 3-5, parece conveniente emplear
un valor de tan alto como sea posible, sin embargo, debido a la alta no
linealidad de la ecuación del flujo cerca del tip, valores de grandes pueden
generar numéricamente que la fractura se cierre, lo que destruye la convergencia
del algoritmo debido a un paso de integración muy largo.
La dependencia entre el parámetro y la convergencia se muestra en la figura 3-
6. El proceso de convergencia, se muestra a través de curvas que representan los
valores de la presión y apertura obtenidos en el tip satisfaciendo en un caso las
ecuaciones de elasticidad, y para el otro caso las ecuaciones del flujo. El algoritmo
converge cuando ambas curvas se intersecan o están a una distancia menor a la
tolerancia definida.
Figura 3-6. Cierre numérico de la fractura por el uso de un muy alto.
30
En la figura 3-6, se observa que las presiones obtenidas con las ecuaciones de flujo
y de elasticidad divergen. Esto es debido a un proceso progresivo, en que las bajas
aperturas calculadas con la elasticidad, producen bajas presiones calculadas con las
ecuaciones de flujo, provocando finalmente aperturas negativas (cierre de la
fractura).
El procedimiento adoptado para solucionar este problema fue usar variable. Se
inicia el algoritmo con un valor de 0,499. Si se obtienen aperturas negativas a
partir de la ecuación de elasticidad (2.12), se disminuye el valor de a
dFact Re_ en la iteración actual, donde dFact Re_ es un factor de reducción
fijo (>1). Esta reducción se sigue llevando a cabo mientras el valor de las aperturas
sea negativo, es decir, corresponde a una estrategia de integración de tipo explícita.
La convergencia del método se logra cuando la norma del error relativo entre la
presión neta calculada mediante el algoritmo de flujo en la iteración actual, y la
calculada con la ecuación de elasticidad en la iteración anterior, es menor que
cierta tolerancia, es decir:
toleranciatxp
txptxpk
net
k
net
k
net
),(
),(),(2/1
(3.12)
Donde,
),(2/1 txpk
net : Presión neta calculada con algoritmo de flujo en la iteración
k+1.
),( txpk
net : Presión neta calculada con ecuación de elasticidad en la iteración
k.
Como la solución del sistema no es completamente acoplada, la tolerancia de
convergencia de la ecuación (3.12) tiene influencia en los resultados.
31
Para evaluar esta influencia, en la figura 3-7 se muestran gráficos de la Presión
adimensional versus la Apertura adimensional en el tip, para distintos
valores de tolerancia de convergencia.
La presión y apertura adimensional ( y ) de acuerdo a Akulich, A. y Zvyagin,
A., (2007) corresponden a E
pnet y
012 Q
Ew .
Figura 3-7. Solución adimensional en el tip para distintos valores de tolerancia.
En la figura 3-7 se observan diferencias mayores para los valores calculados con
tolerancias de 10-1
y 10-2
. En cambio, la diferencia entre los valores obtenidos con
tolerancias de 10-3
y 10-4
es muy pequeña. En consideración a lo anterior y a los
costos computacionales que significan bajar en un orden de magnitud la tolerancia
de convergencia, en este trabajo se adoptó un valor de tolerancia de 10-3
.
32
La solución obtenida también depende de la magnitud del incremento de t , como
se muestra en la figura 3-8 en términos de la Presión adimensional versus Apertura
adimensional, en el tip para distintos valores de t . Sin embargo, como se observa
en esta figura, la diferencia en la solución para distintos t es pequeña.
Figura 3-8. Solución adimensional con distinto t .
Como se mencionó en la sección 2.2, este problema presenta una condición de
borde móvil, es decir no se conoce a priori el dominio de integración.
Lo anterior se resuelve a través del método front fixing, que consiste en remover el
borde móvil y cambiarlo por un borde fijo con una condición de conservación de
masa dada por la ecuación (3.6). Luego, se itera para determinar la presión del
borde fijo. Si ese borde no es compatible con el criterio de fracturamiento, se
desplaza el borde y se vuelve a iterar.
El algoritmo de solución de las ecuaciones hidromecánicas del fracturamiento
hidráulico se muestra en la figura 3-9.
33
Figura 3-9. Diagrama del algoritmo para resolver las ecuaciones hidromecánicas.
34
3.4 Algoritmo del criterio de propagación
Para utilizar el criterio de propagación de la ecuación (2.15) (criterio F), es
necesario calcular el cambio en la energía de deformación ante un aumento
unitario del largo de la fractura en la dirección (ERR), dividiendo esta en 2
componentes, una debida a la deformación en modo I ( )(IG ) y otra a la
deformación en modo II ( )(IIG ), como se muestra en la figura 3-10.
Figura 3-10 .Definición de IG y IIG para la propagación de la fractura. La
deformación producida por la propagación puede ser dividida en una componente
normal y otra de corte.
Sin embargo, para propagación en modo mixto I/II, numéricamente es difícil
separar el ERR en sus componentes de modo I y modo II.
El ERR en términos de la energía de deformación está dado por la ecuación (3.13).
l
lWllW
l
WG
)()()( (3.13)
Donde W es la energía de deformación, que para el caso de una fractura hidráulica
se puede calcular numéricamente como:
35
i
i
n
i
cn
ii
s
i
cs
i DpDaW 22
1 (3.14)
Donde,
ia2 : Longitud del elemento i (Figura 3-1).
Entonces, a través de las ecuaciones (3.13) y (3.14) se obtiene el valor de )(IG ,
conocidas las configuraciones (presiones y deformaciones) de la fractura sin
propagación, y asumiendo una propagación en modo I de longitud l y en
dirección . El caso de )(IIG es similar, excepto que la fractura se propaga en
modo II.
Para obtener la configuración de la fractura con propagación, se agrega en el tip un
elemento ficticio en dirección y de largo l . l debe ser lo suficientemente
pequeño para controlar el error en el cálculo del ERR. En el nuevo elemento se
postula que no hay fluido, por lo que la presión en él se obtiene directamente de las
tensiones in-situ.
Figura 3-11. Configuración de la fractura con propagación.
Dependiendo si se desea calcular )(IG o )(IIG , se le impide a este elemento la
deformación tangencial o normal, respectivamente. Esto se consigue
36
numéricamente agregando una rigidez grande en la dirección a bloquear, tal como
se muestra en la figura 3-12.
Figura 3-12. Uso de rigideces en elemento ficticio para evitar deformaciones en
cierta dirección. (a) Propagación en modo II, (b) propagación en modo I.
Conocidos los valores de )(IG y )(IIG , se calcula el valor de )(F según la
ecuación (2.15).
La dirección de propagación de la fractura se obtiene maximizando )(F , lo cual
se hace mediante un método de minimización no lineal de funciones de una
variable implementado en MATLAB®, fminbnd. Además, la búsqueda del
máximo se limita al rango 2
,2 iniini , donde ini es el ángulo del tip
de la fractura (Figura 3-11).
Una vez determinado el máximo de )(F y la dirección en la que ocurre, el
criterio de propagación se incluye en el algoritmo de integración del problema.
37
Si no se cumple el criterio de fracturamiento dado por la ecuación (2.15), se
mantiene igual la geometría de la fractura y por lo tanto la matriz de rigidez del
macizo fracturado C, se aumenta el tiempo para las ecuaciones del flujo y por tanto
la presión y cantidad de fluido inyectado.
En caso de cumplirse el criterio, se agrega un elemento en la dirección
determinada, cambiando la matriz de rigidez C, pero sin avanzar en el tiempo para
las ecuaciones de flujo, de forma que la cantidad de fluido dentro de la fractura
permanece constante.
El algoritmo de propagación se detalla en el diagrama de flujo de la figura 3-13.
38
Figura 3-13. Diagrama de flujo del algoritmo de propagación.
39
3.5 Comentario general sobre el algoritmo desarrollado
Todos los procedimientos anteriores son usados para obtener la trayectoria, el
perfil de presiones y el de deformaciones de una fractura hidráulica que se propaga
en un campo biaxial de tensiones.
Dadas las propiedades elásticas del macizo rocoso, su resistencia al fracturamiento
y su estado de tensiones in-situ, en el modelo numérico se incluye una fractura
inicial de geometría conocida que propagará por la inyección de un caudal
conocido, de un fluido Newtoniano de propiedades reológicas también conocidas.
El primer paso de tiempo debe ser lo suficientemente grande como para mantener
abierta la fractura inicial.
Como se indicó en la sección 3.3 es necesario dar valores iniciales de ),( txp y
),( txw para que el algoritmo de fracturamiento hidráulico converja.
En la primera iteración se usan los valores obtenidos analíticamente por Desroches,
J., et al (1994) para la propagación auto – similar (independiente del tiempo) de
una fractura hidráulica en un medio impermeable lineal elástico, en condiciones de
deformaciones planas. En los siguientes pasos de iteración se usan los valores
finales del paso de tiempo anterior: ),( ttxp y ),( ttxw .
En el caso de existir propagación, la presión y apertura asignadas al nuevo
elemento se suponen idénticas a las del elemento contiguo.
Cada ciclo de este algoritmo está dado por un avance de tiempo (inyección de
fluido), o por un avance de la fractura.
En cada ciclo se resuelve el problema correspondiente a las ecuaciones de flujo con
respecto al inicio de la inyección.
40
Figura 3-14. Diagrama del algoritmo general de solución del problema.
41
El código desarrollado en este trabajo presenta problemas de convergencia para
algunas combinaciones de los parámetros del modelo. Se determinó una zona de
convergencia definida por dos parámetros: (1) resistencia al fracturamiento de la
roca, típicamente en un rango ICK [0,5 ; 3] mMPa y (2) rigidez
adimensional, definida como:
4/1
0
3 )12(
24
QE
K IC
ADIM (3.15)
El límite de convergencia aproximado y definido a través de estos 2 parámetros se
muestra en la figura 3-15 por medio de una recta, junto con esta recta se define un
área que representa problemas típicos de fracturamiento hidráulico. Si bien existe
un rango de problemas que no son factibles de resolver con la implementación
desarrollada, la mayor parte de los problemas usuales se encuentran dentro de la
zona de convergencia del algoritmo.
Figura 3-15. Límite de convergencia para el algoritmo generado, junto con el rango
en que se encuentran los problemas habituales de fracturamiento hidráulico.
42
4. VALIDACIONES Y RESULTADOS
4.1 Validaciones
La validación del código se lleva a cabo vía comparación de los resultados
numéricos frente a expresiones analíticas y a resultados disponibles en la literatura.
4.1.1 Solución ecuaciones de elasticidad
En esta sección se muestra la precisión de la solución numérica de la ecuación
(2.15) obtenida mediante el método DDM, con un énfasis especial en estimar la
influencia de la condición de anti - simetría generada a través de los elementos
imágenes.
Se evalúa el caso de las deformaciones producidas en una fractura recta de largo
conocido y constante, en un medio infinito bidimensional en deformaciones planas,
sometida a una presión constante dentro de la fractura, cuya solución analítica está
dada por la ecuación (4.1).
2
14
)(l
xlp
Exw C (4.1)
Donde,
Cp : Presión constante dentro de la fractura.
Se llevaron a cabo dos modelaciones: (1) una fractura completa discretizada con 10
elementos y (2) media fractura discretizada con 10 elementos que incorporan anti –
simetría. Los resultados que se muestran en la figura 4-1, se obtienen para una
razón 310
EpC , un coeficiente de Poisson 1,0 .
43
Figura 4-1. Comparación de la apertura obtenida para una fractura sometida a una
presión constante mediante DDM con y sin elementos simétricos.
En la figura 4-1 se puede observar que con el mismo número de elementos, los
cálculos son más precisos si se usan elementos que consideren la simetría, pues
hay una mejor discretización de la fractura con el mismo costo computacional.
También se estudió la influencia de una densificación de la malla cerca del tip,
encontrándose que las mejoras no son significativas.
En general, se observa que los resultados mediante DDM son menos exactos en la
punta de la fractura. Lo anterior se ve de forma más clara en la figura 4-2, donde se
muestra el error relativo de los valores numéricos obtenidos para la apertura de la
fractura con distinto número de elementos incorporando simetría. El error relativo
R se calcula como:
100(%)Teórico
TeóricoNúmericoR (4.2)
44
Al aumentar el número de elementos de 10 a 40, cerca del punto de inyección el
error relativo disminuye desde un 2,5% a un 0,6%, a su vez, cerca del tip el error
disminuye desde 26,1% a 25,5%, lo que indica que los resultados cerca del tip no
mejoran significativamente aumentando el número de elementos.
A pesar de lo anterior, este error de 25% está limitado al elemento más cercano al
tip, mientras que todos los demás elementos presentan errores menores al 10%.
Figura 4-2. Error relativo en el cálculo de la apertura mediante el DDM.
El mayor inconveniente de la imprecisión en el cálculo de la apertura en el tip, es
que en general, los métodos usados para calcular el SIF usan el estado de
deformaciones o tensiones en esta zona. Por lo anterior, y como se mencionó en la
sección 2.2.3, para calcular el SIF se optó por un método basado en el cambio de
energía, para evadir esta disminución de la precisión.
45
4.1.2 Calculo del SIF
En este trabajo es fundamental el correcto cálculo del ERR (o equivalentemente
del SIF), pues a través de la ecuación (2.15) esta cantidad permite determinar si
existe propagación y en qué dirección ocurre.
La metodología expuesta en la sección 3.4 para calcular el ERR se validó a través
de la comparación con soluciones analíticas. Los valores numéricos obtenidos para
el ERR se transformaron en el SIF correspondiente a través de la ecuación (2.14),
esto debido a que las soluciones analíticas existentes están en términos del SIF y
no del ERR.
Figura 4-3. Casos simples para evaluar la precisión en el cálculo del SIF: (a)
Fractura sometida a una tracción perpendicular, (b) Fractura inclinada º con
respecto a la horizontal.
El primer caso evaluado es una fractura recta en un medio infinito 2D sometida a
una tracción uniforme perpendicular a ella, como se muestra en la figura 4-3(a). El
SIF para el modo I en este caso está dado por la ecuación (4.2).
46
lK I (4.2)
En la figura 4-4 se muestra como varía el error numérico relativo entre el SIF
obtenido numéricamente y el SIF analítico dado por la ecuación (4.2), a medida
que se aumenta el número de elementos.
Figura 4-4. Variación del error relativo ( R ) en el cálculo del SIF versus el número
de elementos DDM, para fractura recta en un medio infinito 2D.
En la figura 4-4 se puede ver que el DDM tiende a sobrestimar el SIF en un 0,06%
para 10 elementos, lo que muestra la precisión que se logra numéricamente con
pocos elementos. Los resultados anteriores indican que a pesar de la poca precisión
en el cálculo de la apertura en el tip, el cambio de energía (ERR) permite calcular
el SIF de manera precisa.
Ya que en el problema estudiado la fractura está sometida a un campo biaxial de
tensiones in-situ, el segundo caso verificado es el de una fractura recta en un medio
47
infinito 2D, inclinada en un ángulo º con respecto a la orientación perpendicular
a la tracción a que está sometida, como se muestra en la figura 4-3(b). Los SIF para
los modos I y II en este caso están dados por:
)cos()(
)(cos2
senlK
lK
II
I (4.3)
En la figura 4-5 se muestra la razón entre los SIF numéricos y analíticos para
distintos valores del ángulo . Se usaron 10 elementos DDM con simetría y de
tamaño constante.
Figura 4-5. Variación de la razón entre SIF numérico y analítico versus º.
En los dos casos mostrados en la figura 4-5, el error en el cálculo del SIF es
despreciable y cercano al 0,06%.
48
Para el SIF del modo I, hay menor precisión para fracturas aproximadamente
paralelas a la carga, sin embargo, esta diferencia es despreciable. Para el modo II,
la mínima precisión se obtiene para fracturas aproximadamente perpendiculares a
la carga, pero nuevamente la diferencia para distintos valores de es despreciable.
A pesar de la diferencia despreciable en los valores del SIF obtenidos para
distintos ángulos, es posible indicar que el cálculo del SIF empeora en la medida
que la carga es perpendicular al desplazamiento.
La fractura hidráulica modelada en este trabajo presenta cambios en la dirección de
propagación, por lo que el tercer caso evaluado, corresponde a una fractura en un
medio infinito 2D con una ramificación en un ángulo (kinked crack), sometida a
una tracción uniforme. Las características de este caso se muestran en la figura 4-6.
Figura 4-6. Fractura con ramificación sometida a tracción uniforme.
49
En este caso se calcularon los SIF para distintos tamaños y ángulos de ramificación
de la fractura (b y en la figura 4-6, respectivamente), considerando los
siguientes valores de b y :
ab
2 0,1 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,8 ; 1 ; 1,5 ; 2
15º ; 30º ; 45º ; 60º
Los resultados fueron comparados con la solución analítica obtenida por Kitagawa,
H., Yuuki, R. y Ohira, T. (1975). Se obtuvieron los SIF usando 10 y 40 elementos
DDM sin simetría, normalizando los valores del SIF por c .
En las figuras 4-7 y 4-8, se muestran los resultados de esta comparación para
ángulos de 15º, 30º, 45º y 60º.
Para todos los casos estudiados, se puede ver que existe una buena concordancia
entre los resultados analíticos y los resultados numéricos, tanto para el SIF de
modo I como para el de modo II.
En la figura 4-7 se puede observar que el error es mayor al ser más pequeño el
tamaño de la ramificación y que los mejores resultados numéricos se obtienen para
la ramificación inclinada en 15º.
El aumento de la precisión de los resultados al usar 40 elementos en vez de 10 es
despreciable para el IK , sin embargo, para el IIK las mejoras en los resultados son
más significativas, especialmente para el caso de ramificaciones pequeñas.
50
Figura 4-7. Validación de resultados kinked crack para = 15º y 30º.
En la figura 4-8 se ve que el error en los cálculos es mayor para los tamaños de la
ramificación más pequeños. En este caso los resultados numéricos son ligeramente
mejores para una ramificación inclinada en 45º que para la inclinada en 60º.
Al usar 40 elementos en vez de 10, los resultados mejoran en mayor medida para
IIK que para IK , por otro lado, para las ramificaciones más pequeñas la mejora en
los resultados es considerable. Por ejemplo, para el caso ab 2/ = 0,1 y = 60º, el
error relativo obtenido con 10 elementos es de un 6%, mientras que con 40
elementos es de un 0,7%.
51
Figura 4-8. Validación de resultados kinked crack para = 45º y 60º.
Teniendo en cuenta los resultados de las figuras 4-7 y 4-8 se puede concluir que se
obtiene una precisión satisfactoria en el cálculo del SIF de modo I y II, para una
fractura que se propaga en modo mixto I/II. Los casos más desfavorables
corresponden a las ramificaciones más pequeñas, específicamente al caso ab 2/
0,1, error que se puede deber a la discretización de elementos en la ramificación,
sin embargo, este error puede reducir usando un mayor números de elementos. Los
mejores resultados se obtienen para el SIF modo I de = 15º.
52
Por otro lado, para fracturas con ab 2/ 0,5 modeladas con 10 elementos se
obtiene una precisión del orden de un 1%. Por lo tanto para estos casos, el aumento
de la precisión producto del uso de un mayor número de elementos es despreciable.
4.1.3 Fracturamiento hidráulico
Una parte importante en la investigación de la modelación numérica del
fracturamiento hidráulico, se ha orientado a un análisis teórico más riguroso del
problema a través del estudio de modelos idealizados o simplificados. El interés de
estos modelos reside en la posibilidad de analizar la influencia de varios
parámetros, de estudiar la existencia de distintos regímenes de propagación y de
ser usados como benchmarks para códigos numéricos (Adachi, J y Detournay, E.,
2002).
Spence, D. y Sharp, P (1985) llevaron a cabo un trabajo pionero al resolver el
problema del fracturamiento hidráulico a través de la reducción de las ecuaciones
del modelo a una forma auto – similar y adimensional. Esta aproximación ha dado
lugar a diversos trabajos que buscan describir de mejor forma el comportamiento
asintótico de los procesos del tip, pues ellos controlan el comportamiento de la
fractura completa.
Los procesos en el tip generan tres regímenes de propagación: (1) régimen viscoso,
en que el proceso dominante es la disipación de energía debido al flujo; (2)
régimen de rigidez, en que el proceso dominante es la disipación de energía debido
a la propagación de la fractura, y (3) régimen de fuga, en que el proceso dominante
es la pérdida de fluido hacia el macizo permeable.
El tercer régimen mencionado no es compatible con las hipótesis de este
trabajo, pues se está suponiendo un macizo rocoso impermeable.
La diferenciación entre estos regímenes se determina dependiendo de la influencia
de la disipación de energía debido a la propagación de la fractura en el proceso
global de fracturamiento. Esta diferenciación se hace a través de la rigidez
adimensional, ADIM :
53
4/1
0
3 )12(
24
QE
K IC
ADIM (4.5 bis)
Con este parámetro se pueden establecer los siguientes regímenes de propagación:
Régimen sin resistencia al fracturamiento o régimen viscoso: corresponde a
0ADIM , pues la resistencia al fracturamiento del macizo rocoso es
despreciable en comparación a la energía disipada por el flujo viscoso.
Régimen con resistencia pequeña al fracturamiento: corresponde a un ADIM
<<1 pues la resistencia al fracturamiento es pequeña pero no despreciable.
Régimen con gran resistencia al fracturamiento o régimen de rigidez:
corresponde al caso 4ADIMK , ya que el proceso dominante es la energía
gastada en la generación de nuevas superficies, y la energía disipada por el
flujo viscoso es despreciable.
Régimen con resistencia finita al fracturamiento o de transición: corresponde
a un caso de transición entre el régimen de resistencia pequeña y grande al
fracturamiento, es decir 1<< 4ADIMK .
Información más detallada de este tema puede ser encontrada en Detournay (2004).
De acuerdo a la zona de convergencia del algoritmo generado (Figura 3-14),
podemos decir que el código desarrollado es capaz de modelar la propagación de
fracturas hidráulicas en el régimen de rigidez ( 4ADIMK ) y para cierto rango del
régimen de transición (1<< 4ADIMK ) dependiendo del valor de ICK .
Por lo tanto, para validar el código desarrollado sólo se emplean los resultados
semi - analíticos existentes para el régimen de rigidez.
Estos resultados están disponibles en forma adimensional y se refieren a una
fractura que se propaga de manera auto – similar. En efecto, corresponden a una
fractura que se propaga sólo en modo I en un medio bidimensional impermeable,
homogéneo, lineal – elástico y bajo la condición de deformaciones planas.
54
4.1.3.1 Validación para fractura que se propaga en régimen de rigidez
Garagash, D (2005) obtuvo una solución semi – analítica para la propagación de
una fractura en régimen de rigidez, que describe la evolución del largo de la
fractura, el flujo dentro de ella, su apertura y presión.
Para efectos de comparar con la solución de Garagash, D. (2005) es necesario
definir la viscosidad adimensional:
4
0
3
24
12
IC
ADIM
K
QEM (4.6)
A partir de las ecuaciones (4.5) y (4.6) se puede obtener la relación
4
ADIMADIM KM .
El enfoque de Garagash (2005) consiste en establecer expresiones para el régimen
de rigidez (disipación viscosa nula) a las que se agregan correcciones para tener en
cuenta la viscosidad no nula. Por lo tanto, el set de soluciones adimensionales para
una viscosidad adimensional dada, ),( ADIMMLT , queda establecido como:
0
)()(),(j
j
j
ADIMADIM LTMEMLT (4.7)
Donde,
: Coordenada adimensional del eje longitudinal de la fractura, lx / .
)(jLT : Set de soluciones adimensionales de orden j, que incluye apertura,
presión y longitud adimensional.
)( ADIMME : Corresponde a una función de la viscosidad adimensional dada
por:
0333,01
)(ADIM
ADIMADIM
M
MME (4.8)
55
Para la validación se emplearán sólo los 2 primeros términos de la solución semi –
analítica (j=0,1). Las aperturas y presiones se muestran en la figura 4-9, y las
ecuaciones analíticas correspondientes se indican en el ANEXO A. En esta figura,
j y j son las aperturas y presiones adimensionales de orden 0 y 1,
respectivamente.
Figura 4-9. Soluciones analíticas de orden cero y uno para propagación de fractura
hidráulica en régimen de gran resistencia al fracturamiento:(a) Apertura
adimensional, (b) Presión adimensional (Figura Garagash, D. (2005)).
Las figuras 4-10 y 4-11, muestran la comparación de la solución semi-analítica del
ANEXO A con los resultados obtenidos numéricamente con el código
desarrollado, para distintos tiempos de inyección y para un valor de la viscosidad
adimensional ADIMM 0,0039 ( 4ADIMK ), lo que corresponde al régimen de
rigidez, se compara la solución semi - analítica del ANEXO A con los resultados
obtenidos numéricamente con el código desarrollado. Los resultados fueron
obtenidos usando 40 elementos DDM.
56
Figura 4-10. Apertura adimensional para distintos tiempos de inyección.
Se puede observar que las aperturas calculadas con el código coinciden
satisfactoriamente con la solución analítica, las presiones en cambio presentan un
error mayor. El error relativo en las presiones absolutas es en promedio de un 5%.
Figura 4-11. Presión adimensional para distintos tiempos de inyección.
57
Este error se puede atribuir al método DDM, ya que es del mismo orden del error
cerca del tip obtenido para el caso de fracturamiento a presión constante (Figura 4-
2). Por lo tanto, es muy probable que este error sea una consecuencia de la falta de
precisión del DDM cerca del tip. Para verificar esta hipótesis se examinó el caso de
viscosidad nula. En este caso la presión es constante a lo largo de la fractura y la
presión adimensional analítica es 0 0,1831.
Para emular esta situación, se modeló la propagación de una fractura con un
ADIMM 10-7
, obteniéndose una presión adimensional constante de NUM
0,1928. Luego el error es de justamente un 5,3% atribuible en su mayoría al
método DDM, puesto que en la propagación de una fractura en régimen de rigidez,
el flujo viscoso es despreciable, y por lo tanto el algoritmo de solución de las
ecuaciones de flujo no es relevante.
El error numérico producto del método DDM se introduce en el paso 3 de la
iteración de punto fijo de Picard (sección 3.3), pues se obtienen aperturas mayores
a las reales (Figura 4-1), lo cual perturba la convergencia del algoritmo para
resolver las ecuaciones hidromecánicas.
Por otro lado, en las presiones adimensionales también se observa una diferencia
entre los perfiles obtenidos para distintos tiempos de inyección. Esto podría
considerarse un error, debido a que la fractura se debe propagar de forma auto-
similar (la solución es independiente del tiempo de inyección), sin embargo, se
considera que este error se debe nuevamente al DDM, pues la condición de borde
obtenida a través de la conservación de masa local (ecuación 3.6) se ve muy
influenciada por el valor de la apertura obtenido en el elemento más cercano al tip.
El error en el cálculo del largo de la fractura producido por el error en los
resultados de la distribución de presiones, se puede estimar teniendo en
consideración la conservación de la masa y la compatibilidad de deformaciones,
expresadas en términos de la apertura adimensional 0 , presión adimensional 0
y longitud adimensional 0 :
58
1
0
02
0
21
d (4.9)
2
00 14 (4.10)
La ecuación (4.9) representa la conservación de masa y la ecuación (4.10)
relaciona la apertura a una presión constante según la elasticidad. Con estas dos
ecuaciones se puede establecer una relación entre presión y largo de la fractura:
2/1
00 )2( (4.11)
Por lo tanto un error del 5,3% en la presión adimensional, produce un error relativo
del 2,55% en la estimación del largo de la fractura adimensional.
En la figura 4-12 se muestran los resultados numéricos y semi - analíticos de la
longitud de la fractura (l) en función del tiempo de inyección (t) para el caso
ADIMM 0,0039.
Figura 4-12. Comparación entre la longitud semi – analítica y la obtenida con el
código desarrollado para distintos tiempos de inyección.
59
La comparación es satisfactoria para la longitud de la fractura. En efecto, la
solución semi - analítica corresponde a:
043,0)log(3/2)log( tl (4.8)
La regresión lineal sobre los valores calculados y la solución semi-analítica difiere
sólo en las constantes -0,055 y -0,043. Esta diferencia también se puede atribuir en
su mayoría al método DDM, pues corresponde a un error relativo del 2,79% en la
estimación del largo de la fractura adimensional. Sabemos que un 2,55%
corresponde al DDM y el resto se le puede atribuir a las demás aproximaciones del
código desarrollado.
En las figuras 4-13, 4-14 y 4-15 se compara la solución semi - analítica del
ANEXO A con los resultados obtenidos numéricamente con el código desarrollado
para distintos valores de la viscosidad adimensional y un tiempo de inyección de 1
segundo.
Figura 4-13. Comparación de apertura y presión adimensional para ADIMM = 10-4
y 10-3
.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.18
0.182
0.184
0.186
0.188
0.19
0.192
0.194
0.196
Resultados MADIM
=10-4
Analítico MADIM
=10-4
Resultados MADIM
=10-3
Analítico MADIM
=10-3
60
En la figura 4-13 se muestran resultados para casos más cercanos al régimen de
rigidez. Se observa un buen ajuste en el caso de la apertura, pero para la presión se
observa un error relativo de aproximadamente 5%. Se puede observar que este
error es casi constante, de modo que la distribución de presiones se capta de forma
correcta.
Figura 4-14. Comparación de apertura y presión adimensional para ADIMM =.10-2
y 10-1
.
En la figura 4-14 se muestran resultados para casos más cercanos al régimen de
viscosidad. Se puede ver que para ADIMM = 10-2
el ajuste es en general bueno para
la apertura y las presiones son sobrestimadas igual que en los casos anteriores.
Para el caso ADIMM = 10-1
el ajuste no es satisfactorio tanto en aperturas como en
presiones, pues no se capta de forma correcta el comportamiento de la fractura,
pues la curva obtenida mediante el código interseca a la solución semi-analítica, lo
que se observa claramente en la distribución de presiones.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
Resultados MADIM
=10-2
Analítico MADIM
=10-2
Resultados MADIM
=10-1
Analítico MADIM
=10-1
61
Analizando en conjunto las figuras 4-13 y 4-14, se puede ver que al aumentar el
valor de la viscosidad adimensional, los resultados entregados por el código
desarrollado se alejan de la solución semi-analítica, lo cual indica que es preciso
sólo para régimen de rigidez (baja viscosidad adimensional).
Figura 4-15. Comparación de la longitud adimensional para distintos valores de
ADIMM .
Debido a la sobrestimación de presiones, se espera que el largo adimensional
numérico sea menor al semi – analítico (ecuación (4.11)). Sin embargo, en la
figura 4-15 se observa que esta tendencia se invierte para ADIMM > 2 x 10-2
, lo que
refleja que el código desarrollado no capta de forma correcta el comportamiento de
la fractura para regímenes de propagación cercanos al viscoso. Para valores de
ADIMM < 10-2
el error relativo en el largo adimensional se ubica aproximadamente
entre un 2% y 3%.
62
4.2 Estudio paramétrico
En esta sección se presenta un estudio paramétrico sobre los distintos valores de
las propiedades empleados en la modelación de la propagación de una fractura
hidráulica. Con los resultados se entregan conclusiones generales acerca de la
influencia de cada uno de los parámetros, enfocándose principalmente en el
impacto que tienen estos en la trayectoria, velocidad y largo de la fractura.
En las modelaciones se usan los parámetros de base que se muestran en la Tabla 4-
1. A estos valores les corresponde un ADIMK = 2,63, es decir un régimen con
dominancia de la rigidez.
Tabla 4-1. Parámetros de base usados en el estudio paramétrico.
CONSTANTES ELÁSTICAS
Módulo de Corte, G 10 GPa
Módulo de Poisson, 0,15
PARÁMETROS DE FRACTURAMIENTO
Resistencia en modo I, ICK 2,5 mMPa
Resistencia en modo II, IICK 105,2 mMPa
TENSIONES IN-SITU
Tensión horizontal, H 10 MPa
Tensión vertical, V 10 MPa
PROPIEDADES DE LA INYECCIÓN Viscosidad del fluido, 9 x 10
-10 MPa seg
Caudal de inyección, Q0 6 x 10-4
m3/seg/m
PARÁMETROS NUMÉRICOS Tiempo inicial, t0 0,6 seg
Tamaño de fractura inicial, l (t0) 1 m
Discretización temporal, t 0,02 seg
Tamaño elementos DDM, l 0,1 m
Inclinación de la fractura inicial 20º
63
4.2.1 Influencia de la rigidez adimensional
La influencia de esta propiedad es tema actual de investigación, en particular el
comportamiento asintótico de fracturas que se propagan en modo I bajo distintos
regímenes de propagación.
Como se mencionó en la sección 4.1.3, la idea básicamente es diferenciar distintos
regímenes de propagación a través de la rigidez adimensional (ecuación (4.5)).
Esta rigidez adimensional mide de alguna forma la influencia del proceso de
fracturación del macizo rocoso en términos de energía, con respecto al proceso
completo de fracturamiento hidráulico.
Para ilustrar el significado de los distintos regímenes, en la figura 4-16 se muestran
las presiones al interior de la fractura, normalizadas por la presión en el punto de
inyección (inlet), para fracturas con distintos valores de la rigidez adimensional
que se propagan cuasi – estáticamente, es decir, cumplen ICI KK al momento de
propagarse.
Se observa claramente que en la medida que ADIMK disminuye, las fracturas tienen
un comportamiento más cercano al régimen viscoso, es decir, mayores gradientes
de presión producto de la disipación de energía del flujo viscoso, mientras que al
aumentar el valor de ADIMK , el comportamiento se acerca al régimen de rigidez, es
decir, presiones casi constantes en la fractura debido a la menor influencia de la
disipación viscosa del flujo.
64
Figura 4-16. Perfil de presión adimensional al interior de fracturas en condición de
equilibrio móvil ( ICI KK ) para diferentes valores de la rigidez adimensional.
4.2.2 Influencia de las tensiones in-situ
Con respecto a la influencia de las tensiones in-situ en la propagación de la fractura
hidráulica, es claro que la fractura tenderá a orientarse en dirección perpendicular a
la tensión in-situ menor, debido a que en esta dirección el medio presenta la menor
oposición a la abertura de la fractura.
Por lo tanto, las modelaciones llevadas a cabo se enfocan en estudiar la influencia
de la magnitud de las tensiones in-situ y de la razón entre ellas (o la magnitud del
desviador) en la trayectoria, largo y velocidad de propagación de la fractura.
La velocidad de propagación ( propv ) se calcula como dttdlvprop )( .
En primer lugar se estimó la influencia de la magnitud de confinamiento generado
por las tensiones in-situ en el largo y velocidad de propagación de la fractura,
modelando la propagación de una fractura en un campo de tensiones in-situ
isotrópico. Ante este tipo de campo de tensiones, la fractura no sufre cambios de
dirección en su trayectoria, por lo que se propaga sólo en modo I.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x / l
p(x
,t)
/ p
(0,t
)
KADIM
= 0,5
KADIM
= 1
KADIM
= 2
KADIM
= 3
Régimen viscoso
Régimen de rigidez
65
En la figura 4-17 se observa la influencia del confinamiento en la longitud (l) y
velocidad de propagación de la fractura ( propv ). Se puede ver que la propagación es
auto – similar, pues se presenta una relación del tipo 63,0tl .
Con un caudal de inyección fijo, se puede observar que a medida que aumenta el
tiempo de inyección, y por tanto el tamaño de la fractura, la velocidad de
propagación decrece logarítmicamente.
Figura 4-17. Influencia del confinamiento de las tensiones in-situ en el largo y
velocidad de propagación de la fractura.
66
Además, se ve que a mayor confinamiento menor es la velocidad de propagación
de la fractura ( propv ), ya que el medio requiere de mayor presión interior para
vencer la resistencia del material.
En la Tabla 4-2 se muestra la variación de la velocidad de propagación propv
debido al cambio en el confinamiento hv con respecto al caso base base =
15 MPa.
Tabla 4-2. Variación de velocidad de propagación con el confinamiento isotrópico.
basehv, (%) -33 +33
)( basepropprop vv (%) +13,85 -11,37
Cabe mencionar que tanto en la figura 4-17 como en varias de las siguientes, existe
una pequeña dispersión de los puntos del gráfico con respecto a una “recta
perfecta”. Esto se debe a que en el código desarrollado se hizo una discretización
temporal y no se calculó en forma exacta el tiempo en que se satisface la relación
1F . Por lo tanto, esta dispersión es inversamente proporcional a la
discretización temporal. Para ejecutar los cálculos de esta sección, se adoptó t
=0,02 seg.
También es posible estudiar la influencia de la razón entre las tensiones in-situ
(campo de tensiones no isotrópico) y de la magnitud del desviador sobre el largo,
velocidad y trayectoria de la fractura, modelando fracturas que se propagan en
modo mixto I/II.
En la figura 4-18 se muestra la influencia de la razón entre las tensiones in-situ en
el largo y velocidad de propagación de la fractura, para el caso en que estas son
mayores a 1 ( 1hv ).
67
En este caso la propagación no es auto – similar, pues el cambio de dirección de la
fractura en conjunto con el campo de tensiones in-situ, agregan esfuerzos
tangenciales no despreciables en algunas zonas de la fractura y una disminución de
la tensión de confinamiento a medida que la fractura se propaga.
Figura 4-18. Influencia de la razón entre tensiones in-situ (mayores a 1) en el largo y
velocidad de propagación de la fractura.
Debido a la influencia de los esfuerzos tangenciales locales, la fractura comienza a
realinearse hacia una dirección perpendicular a la tensión in-situ menor. Este
cambio de dirección produce que cerca del tip el confinamiento sea menor, lo que
68
genera saltos de las velocidades de propagación (muy por encima de la media),
como se puede ver en la figura 4-18.
De hecho en muchos casos se observa un comportamiento que indica un aumento
de la velocidad con el tiempo. Sin embargo, este efecto de propagación inestable es
sólo temporal, ya que para el caso en que el desviador es no nulo a medida que
aumenta el tiempo de inyección se tiende a un régimen auto-similar, con una
velocidad que decrece logarítmicamente con el tiempo, es decir, se alcanza una
propagación estable.
En efecto, una vez realineada la fractura, está comenzará a propagarse en modo I,
contra una tensión de confinamiento constante y con esfuerzos tangenciales nulos.
En estas condiciones, al aumentar la longitud de la fractura (y el tiempo de
inyección) también aumentará la proporción de esta que se propagó en modo I con
respecto a la que se propagó en modo mixto I/II, teniendo cada vez menor
importancia los efectos del realineamiento de la fractura.
De los casos estudiados, la fractura para la razón hv / =1,25 se propaga mucho
más rápido inicialmente, lo que la lleva a realinearse antes llegando rápidamente a
un régimen de propagación auto – similar, parecido al de la fractura que se propaga
en un campo isotrópico.
Para la fractura con la razón hv / =1,11 se pasa más gradualmente desde una
propagación en modo mixto I/II a una en modo I, pero también se tiende a una
propagación auto-similar. Para esta fractura la velocidad de propagación al final de
la simulación (t =5 seg) es mayor a la de la fractura para hv / =1,25, ya que la
primera todavía se encuentra muy influenciada por el realineamiento.
En conclusión, se puede deducir que la influencia de la razón de tensiones in-situ
en la propagación de la fractura reside en la velocidad de transición entre la
propagación en modo I/II y en modo I. A mayor razón de tensiones, mayor será
esta velocidad de transición.
69
La figura 4-20 muestra la influencia de la razón entre las tensiones in-situ en la
trayectoria de la fractura. La fractura inicial se muestra mediante una línea negra
gruesa.
El cambio en la dirección de propagación de la fractura, es violento para el caso en
que hv / =1,25 y a mucho más suave para hv / =1,11.
Para evaluar que tan suave (o violento) es el realineamiento, se define la distancia
de realineamiento Rd , como la distancia entre el tip de la fractura inicial y el punto
de intersección entre la dirección de la fractura inicial y la dirección realineada, tal
como se muestra en la figura 4-19. Este valor sólo entrega información geométrica
acerca de la trayectoria de la fractura.
Figura 4-19. Distancia de realineamiento de una fractura Rd .
70
Figura 4-20. Influencia de la razón entre las tensiones in-situ (mayores a 1) en la
trayectoria de la fractura.
En la Tabla 4-3 se muestra la distancia de realineamiento ( Rd ) para las trayectorias
de la Figura 4-20. Por lo tanto, Rd disminuye en la medida que hv / crece.
Tabla 4-3. Distancia de realineamiento para razones de tensiones mayores a 1.
hv / 1,11 1,25
Rd (m) 0,847 0,123
La Figura 4-21 presenta la influencia de la razón entre las tensiones in-situ en el
largo y velocidad de la fractura, para el caso en que esta razón es menor a 1. Al
igual que en el caso anterior, se observa que la propagación no es auto – similar, ya
que no se obtiene una recta en el plano log(t) - log(l). Sin embargo, en este caso los
71
efectos de los esfuerzos tangenciales y del cambio de confinamiento son menores.
Esto ocurre debido a que la fractura inicial está inclinada 20º con respecto al eje x,
por lo que el cambio de dirección de la fractura no es tan drástico.
El realineamiento de las fracturas (y los efectos que lleva consigo) genera un
aumento importante de la velocidad de propagación, mismo efecto que se observó
en la Figura 4-18, pero que a medida que la fractura crece es cada vez menor,
tendiendo ambas fracturas a propagarse en un régimen auto – similar con curvas de
velocidad (en escala logarítmica) paralelas a la de la fractura que se propaga en un
campo isotrópico.
Figura 4-21. Influencia de la razón entre tensiones in-situ (menores a 1) en el largo y
velocidad de propagación de la fractura.
72
En la figura 4-21 se ve que para la fractura hv / = 0,8, el efecto del
realineamiento en el largo y velocidad de propagación ocurre antes y es mayor que
para la fractura con hv / = 0,9. En la figura 4-22 pareciera que el realineamiento
ocurre antes para el caso con hv / = 0,9, sin embargo, ninguna de las fracturas se
alcanza a realinear en el intervalo de tiempo modelado4 (t = [0,5] seg).
Figura 4-22. Influencia de la razón entre las tensiones in-situ (menores a 1) en la
trayectoria de la fractura.
4 La fractura se considera realineada cuando la diferencia entre el ángulo de inclinación del elemento del
tip y la dirección de la tensión in-situ mayor es menor a 1º.
73
En este caso a menor razón de tensiones, más se desvía de la trayectoria de la
fractura con respecto a la obtenida para un campo de tensiones isotrópico.
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos para 1/ hv y 1/ hv , se
puede concluir que mientras mayor sea la diferencia 1hv se tendrá una
trayectoria más desviada respecto de la obtenida en campo isotrópico.
Estos resultados están de acuerdo con los presentados por Dong, C.Y. y de Pater,
C.J. (2001), quienes sin embargo, no diferenciaron los efectos del desviador (
hv ) con los de la razón de tensiones ( hv / ), y consideraron una presión
constante al interior de la fractura (régimen de viscosidad nula).
Para diferenciar la influencia de la razón entre tensiones in-situ de la del desviador,
se modelaron fracturas que se propagan en campos de tensiones hv / = 1,25, con
v = 5, 7,5 y 10 MPa.
En la Figura 4-23 se muestra la influencia del desviador en el largo y velocidad de
propagación de la fractura. Se observa un comportamiento similar a los casos
anteriores, de forma que la propagación no es auto – similar, debido al
realineamiento y sus efectos asociados.
El efecto del realineamiento produce que tanto la longitud como la velocidad al
comienzo de la propagación sean mayores mientras mayor sea el desviador. Sin
embargo, a medida que aumenta el tiempo de inyección, la fractura se propaga en
un régimen auto – similar dominado principalmente por la magnitud del
confinamiento.
Por lo tanto, el desviador sólo afecta la transición durante el realineamiento, pero
no el régimen estable.
74
Figura 4-23. Influencia del desviador en el largo y velocidad de propagación de la
fractura.
La observación anterior se confirma en las figuras 4-18, 4-21 y 4-23 donde se
puede ver que a menor confinamiento mayor es la longitud de la fractura.
Las trayectorias de fracturas con distintos desviadores se muestra en la Figura 4-
24, y la distancia de realineamiento en la Tabla 4-4.
75
Figura 4-24. Influencia del desviador en la trayectoria de la fractura.
Tabla 4-4. Distancia de realineamiento para distintos desviadores.
hv (MPa) 1 1,5 2
Rd (m) 0,564 0,26 0,123
Se puede ver que independiente de la razón de tensiones in-situ, se cumple que a
mayor desviador, más violentamente ocurre el realineamiento. Sin embargo, no es
posible atribuir las características de la trayectoria sólo al desviador, pues
corresponde a un efecto combinado entre la razón de tensiones y el desviador. Un
análisis más detallado de esto se presenta en la sección 4.2.6.
76
4.2.3 Influencia de las propiedades de la inyección
En esta sección se estudia la influencia de la viscosidad del fluido y del caudal
inyectado sobre la longitud, velocidad y trayectoria de la fractura.
En el caso de la viscosidad, se modelan los casos de fluidos con = 9 x 10
-10, 1,35
x 10-9
y 4,5 x 10-10
MPa·s, que corresponden al valor de la viscosidad del agua a
25ºC y a un aumento y disminución de un 50% con respecto a este valor. A estos
valores les corresponden rigideces adimensionales de ADIMK = 2,63, 2,37 y 3,13,
respectivamente.
En la figura 4-25 se observa que la influencia de la viscosidad en la longitud y
velocidad de propagación de la fractura es casi nula, de hecho es difícil establecer
que parte de la variación de los resultados se debe al cambio de viscosidad, y cual
a la dispersión producida por la discretización temporal. Se puede ver además que
la propagación es auto – similar, pues se presenta una relación del tipo 63,0tl .
Los resultados indican que a menor viscosidad mayor es la velocidad de
propagación, esto se debe a que existe menor pérdida de energía debida al flujo
viscoso. Esto está de acuerdo con la solución semi – analítica del ANEXO A.
Sin embargo, la variación de propv obtenida al variar es despreciable desde el
punto de vista práctico. Esto es esperable pues en los 3 casos la propagación de la
fractura ocurre en un régimen dominado por la resistencia al fracturamiento, donde
la viscosidad tiene una menor importancia.
77
Figura 4-25. Influencia de la viscosidad en el largo y velocidad de propagación de
la fractura.
Para evaluar la influencia de la viscosidad y del caudal de inyección en la
trayectoria de la fractura, se modeló la propagación en un campo bidimensional in-
situ con tensiones v =10 MPa y h =9 MPa para las viscosidades señaladas
anteriormente y para varios valores del caudal de inyección.
En la figura 4-26 se puede ver que a menor viscosidad (mayor ADIMK ), la distancia
de realineamiento de la fractura también es menor. También se observan
diferencias en las longitudes de la fractura, mayores a las observadas en la figura 4-
25. Lo anterior se puede deber a que al realinearse más rápido, la fractura se
78
enfrenta antes a un campo de tensiones favorable (perpendicular a la tensión in-situ
menor), lo que implica una mayor velocidad de propagación.
En la Tabla 4-5 se muestra la distancia de realineamiento para las trayectorias de la
Figura 4-26.
Tabla 4.5. Distancia de realineamiento para distintas viscosidades.
(MPa·s) 4,5 x 10-10
9 x 10-10
1,35 x 10-9
Rd (m) 0,833 0,847 0,867
En general, el efecto de la viscosidad en la trayectoria es mucho menor al efecto de
las tensiones in-situ. A pesar de esto es interesante notar que la variación de la
forma del perfil de presiones debido al cambio de viscosidad, puede inducir un
cambio en la trayectoria de la fractura.
Figura 4-26. Influencia de la viscosidad en la trayectoria para el caso hv =1,11.
79
En el caso del caudal de inyección, se modelan fracturas hidráulicas inducidas con
caudales de 0Q = 6 x 10-4
, 9 x 10-4
y 3 x 10-4
m3/s. Estos valores fueron elegidos
con el fin de descartar la influencia del régimen de propagación en los resultados,
pues corresponden a ADIMK = 2,63, 2,37 y 3,13, respectivamente (régimen de
rigidez). Para las otras propiedades evaluadas en el estudio paramétrico, también se
eligieron sus valores de tal forma que ADIMK correspondiera a los valores
señalados anteriormente.
En la figura 4-27 se observa que la influencia del caudal de inyección en la
longitud y velocidad de propagación es significativa. Se puede ver además que la
propagación es auto – similar, observándose que para los distintos 0Q hay cambios
muy menores en la pendiente de la curva, atribuibles a la discretización temporal.
Figura 4-27. Influencia del caudal de inyección en el largo y velocidad de propagación
de la fractura.
80
Con la Figura 4-27 se puede concluir que a mayor caudal de inyección, mayor
velocidad de propagación de la fractura, lo cual físicamente es lógico, pues al
aumentar el caudal aumenta la presión al interior de la fractura. Esto está de
acuerdo con la solución semi – analítica del ANEXO A.
En la Tabla 4-6 se muestra la variación de la velocidad de propagación propv
debido al cambio en el caudal de inyección 0Q , con respecto al caso base baseQ =
6 x 10-4
m3/s.
Tabla 4-6. Variación de la velocidad de propagación con el caudal de inyección.
baseQQ0 (%) -50 +50
)( basepropprop Qvv (%) -33,4 +32,6
En comparación con el efecto de la viscosidad, es interesante notar la gran
influencia del caudal de inyección en la longitud y velocidad de propagación de la
fractura.
La influencia de caudal de inyección en la trayectoria de la fractura se muestra en
la Figura 4-28 y la distancia de realineamiento obtenida para los distintos caudales
en la Tabla 4.7.
Se puede observar que a menor caudal (mayor ADIMK ) más violento es el
realineamiento de la fractura, y que el efecto del caudal en la trayectoria no es tan
importante como en el largo de la fractura, y de hecho es casi idéntico en magnitud
al efecto de la viscosidad.
81
Tabla 4.7. Distancia de realineamiento para distintos caudales de inyección.
0Q (m3/s) 3 x 10
-4 6 x 10
-4 9 x 10
-4
Rd (m) 0,83 0,847 0,871
Figura 4-28. Influencia del caudal de inyección en la trayectoria de la fractura para el
caso hv =1,11.
82
4.2.4 Influencia de las propiedades elásticas
En esta sección se estudia la influencia del módulo de corte del macizo rocoso en
la longitud, velocidad y trayectoria de la fractura.
Se modela la propagación de fracturas en medios con G = 10, 11,4 y 7,94 GPa o
equivalentemente en medios con E = 23,5, 26,8 y 18,7 GPa.
Como se mencionó anteriormente, estos valores fueron elegidos con el fin de
descartar la influencia del régimen de propagación en los resultados, pues
corresponden a ADIMK = 2,63, 2,37 y 3,13, respectivamente (régimen de rigidez).
En la Figura 4-29 se observa la influencia del módulo de corte en la longitud y
velocidad de propagación. Se puede ver que la propagación es auto – similar, pues
se presenta una relación del tipo 63,0tl .
Los resultados indican que a mayor módulo de corte (o equivalentemente a mayor
módulo de elasticidad) mayor es la velocidad de propagación. La razón de esto es
que a menor módulo de elasticidad se obtienen mayores aperturas (w), por
conservación de masa, a mayor apertura menor longitud de la fractura (l). Esto está
de acuerdo con la solución semi – analítica del ANEXO A.
En la Tabla 4-8 se muestra la variación de la velocidad de propagación propv
debido al cambio en el módulo de corte G , con respecto al caso base baseG = 10
GPa.
Tabla 4-8. Variación de la velocidad de propagación con el módulo de corte.
baseGG (%) -21 +14
)( basepropprop Gvv (%) -13,7 +8,51
83
Figura 4-29. Influencia del módulo de corte en el largo y velocidad de propagación
de la fractura.
Para evaluar la influencia del módulo de corte en la trayectoria de la fractura, se
modelaron fracturas que se propagan en un medio con tensiones in-situ v = 10 y
h = 9 MPa.
En la Figura 4-30 se puede ver que a menor G (mayor ADIMK ), más rápido ocurre
el realineamiento de la fractura y que el efecto del módulo de corte en la
trayectoria es casi idéntico en magnitud al efecto de la viscosidad y del caudal. En
la Tabla 4-9 se muestra la distancia de realineamiento para distintos valores de G.
84
Tabla 4-9. Distancia de realineamiento para distintos módulos de corte.
G (GPa) 7,94 10 11,4
Rd (m) 0,833 0,847 0,867
Figura 4-30. Influencia del módulo de corte en la trayectoria de la fractura para
el caso hv =1,11.
85
4.2.5 Influencia de la resistencia al fracturamiento
En esta sección se estudia la influencia de la resistencia al fracturamiento en modo
I en la longitud, velocidad de propagación y trayectoria de la fractura.
Para estudiar la influencia de ICK en el largo y velocidad de propagación de la
fractura, se modeló el fracturamiento en modo I de medios caracterizados por
resistencias ICK = 2,5, 2,26 y 2,97 MPa·s1/2
. Estos valores fueron elegidos con el
fin de descartar la influencia del régimen de propagación en los resultados, pues
corresponden a ADIMK = 2,63, 2,37 y 3,13, respectivamente (régimen de rigidez).
En la figura 4-31 se observa la influencia de la resistencia al fracturamiento en la
longitud y velocidad de propagación. Se puede ver que la propagación es auto –
similar, pues se presenta una relación del tipo 63,0tl .
Los resultados indican que a mayor ICK menor es la velocidad de propagación,
pues se necesita más energía para generar el fracturamiento. Esto está de acuerdo
con la solución semi – analítica del ANEXO A.
En la Tabla 4-10 se muestra la variación de la velocidad de propagación propv
debido al cambio en la resistencia al fracturamiento en modo I ICK , con respecto
al caso base baseK = 2,5 MPa·s1/2
.
Tabla 4-10. Variación de la velocidad de propagación con ICK .
baseIC KK (%) -9,6% +19%
)( basepropprop Kvv (%) +3,59% -6,46%
86
Figura 4-31. Influencia de la resistencia de fracturamiento en el largo y velocidad de
propagación de la fractura.
Para evaluar la influencia del ICK en la trayectoria de la fractura se modelaron
fracturas que se propagan en un medio con tensiones in-situ v = 10 y h = 9 MPa,
y con los módulos de corte señalados anteriormente.
En la Figura 4-32 se puede ver que a menor ICK (menor ADIMK ), más rápido
ocurre el realineamiento de la fractura. El efecto de ICK en la trayectoria es
considerablemente mayor al que tienen los otras variables. Para cuantificar este
efecto, en la Tabla 4-11 se muestra la distancia de realineamiento para distintos
valores de ICK .
87
Tabla 4-11. Distancia de realineamiento para distintos ICK .
ICK (MPa m1/2
) 2,26 2,5 2,97
Rd (m) 0,742 0,847 1,042
Además se puede notar que a diferencia de lo que sucede con las otras variables, el
realineamiento ocurre antes para el menor valor de ADIMK . Este efecto está ligado a
la forma del perfil de presiones como se muestra en la sección 4.2.6.
Por otro lado se puede notar que el largo de la fractura disminuye en la medida que
ICK crece, ya que se requiere de mayor energía para fracturar el medio.
Figura 4-32. Influencia de la resistencia al fracturamiento en la trayectoria de la
fractura.
88
4.2.6 Síntesis del estudio paramétrico
En esta sección se resumen los resultados del estudio paramétrico para obtener
lineamientos generales acerca de la influencia de cada parámetro en la evolución
de la fractura.
La influencia de los distintos parámetros sobre la trayectoria de la fractura, se
evalúa a través de la distancia de realineamiento. En la Tabla 4-12 se muestran las
distancias de realineamiento para distintos desviadores ( hv ) y razones de
tensiones ( hv / ).
Tabla 4-12. Distancia de realineamiento para distintos hv / y hv .
hv (MPa)
hv / 1 1,5 2
1,11 0,847 0,504 0,403
1,25 0,564 0,26 0,123
Los resultados de la Tabla 4-12 indican que existe un efecto combinado, en el cual
a mayor desviador y mayor hv /1 , más rápido ocurre el realineamiento. Esto
se puede ver claramente en la Figura 4-33.
Para características constantes del fracturamiento (rigidez adimensional fija por
ejemplo), la trayectoria de la fractura parece ser una función completamente
definida por el desviador y por la razón de tensiones.
Teniendo en cuenta que la distancia de realineamiento para un campo isotrópico es
infinito, se puede concluir entonces que la distancia de realineamiento ( Rd ) es
inversamente proporcional a la razón de tensiones y al desviador, tendencia que se
puede observar en la Figura 4-33.
89
Figura 4-33. Influencia del desviador y de la razón de tensiones in-situ en la
distancia de realineamiento.
Los parámetros del macizo rocoso y de la inyección también influyen en la
trayectoria de la fractura. El efecto de estas es menor que el de las tensiones in-situ,
y está relacionado con la forma del perfil de presiones al momento de propagarse
la fractura.
Los resultados de Dong, C.Y. y de Pater, C.J. (2001) indican que mientras mayor
sea la presión de inyección más lento se realinea la fractura, pues al ser mayor la
presión esta tiende con más fuerza a continuar propagándose en la dirección
original. Sin embargo, Dong y de Pater (2001) no consideraron el problema
hidráulico y usaron perfiles de presión constante a lo largo de la fractura.
A pesar de lo anterior, se puede generalizar la idea de Dong y de Pater (2001),
considerando que un perfil de presiones “más fuerte” se realinea más lento. Por
perfil “más fuerte”, se entiende un perfil de presiones que es mayor que otro en
gran parte de la fractura, pero que podría ser menor en cierta zona (generalmente
cerca del tip).
90
El concepto de perfil “más fuerte” se adecúa perfectamente a los resultados
obtenidos, pues para todos los parámetros estudiados , 0Q , G y ICK , el
realineamiento ocurre más lentamente en el caso en que el perfil de presiones es
“más fuerte”.
Para ilustrar la idea anterior, podemos considerar las presiones obtenidas con la
solución semi – analítica de Garagash (2005) para una fractura de 1 m al momento
de propagarse en condición ICI KK , para los valores máximo y mínimo de cada
parámetro.
En la Figura 4-34 se puede ver que los perfiles de presión “más fuertes”
corresponden al de valor máximo del parámetro en todos los casos. Esto valida la
hipótesis de que un perfil “más fuerte” produce un realineamiento más suave, pues
las trayectorias obtenidas en secciones anteriores muestran que a mayor valor de
los parámetros ( , 0Q , G y ICK ) más suave es el realineamiento.
Más aún, para los parámetros , 0Q y G , los perfiles de presión son casi
idénticos, lo que valida la similitud de las distancias de realineamiento obtenidas
para estos tres parámetros.
El perfil de presiones que muestra un comportamiento diferente al resto ( ICK ),
también muestra una influencia diferente (mucho mayor) en la trayectoria de la
fractura (Figura 4-35).
91
Figura 4-34. Perfil de presiones de una fractura de 1 m en condición ICI KK ,
para los valores máximo y mínimo de cada parámetro.
Figura 4-35. Influencia de los parámetros en la trayectoria de la fractura.
92
En la figura 4-35 se observa que el efecto de , 0Q y G en la trayectoria es
despreciable, sin embargo, el efecto de ICK no lo es, a pesar de que es secundario
en comparación con el efecto de las tensiones in-situ. Esto no es favorable para la
predicción de la trayectoria de una fractura numéricamente, pues ICK es el
parámetro más difícil de determinar.
Para evaluar la influencia de cada parámetro en la velocidad de propagación (y por
tanto en la longitud de la fractura), se evalúo la variación porcentual de esta con
respecto a la variación porcentual del parámetro. La Figura 4-36 resume los
resultados expuestos en las Tablas 4-2, 4-6, 4-8 y 4-10.
De la figura 4-36 se desprende que un aumento en el confinamiento hv o
en la resistencia al fracturamiento ICK produce una disminución en la velocidad de
propagación, mientras que un aumento en el caudal de inyección 0Q o en el
módulo de corte G produce un aumento de la velocidad. Por otro lado, en
términos prácticos la viscosidad no afecta la velocidad de propagación.
Figura 4-36. Influencia de los parámetros en la velocidad de propagación.
93
Además, se puede ver que los parámetros con mayor influencia en la velocidad de
propagación son el caudal de inyección 0Q y el módulo de corte G. El
confinamiento hv y la resistencia al fracturamiento en modo I ICK
ejercen una influencia menor que los parámetros anteriores en la velocidad de
propagación, pero de todas formas, no despreciable.
94
5. TENSIONES Y DESPLAZAMIENTOS INDUCIDOS POR EL
FRACTURAMIENTO HIDRÁULICO
La aplicación del fracturamiento hidráulico como método de pre-acondicionamiento en
minas explotadas por caving ha reportado diversos beneficios, como un aumento en la
tasa de producción y una disminución en la magnitud de los sismos inducidos, sin
embargo, la redistribución de esfuerzos producto del fracturamiento hidráulico podría
producir efectos negativos en las zonas cercanas al tratamiento de pre-
acondicionamiento. Debido a lo anterior, en esta sección se estudia la magnitud de la
variación de tensiones y de desplazamientos inducidos por el fracturamiento hidráulico.
Se modeló una fractura a lo largo del eje x, cuya longitud inicial por ala es de l0 = 0,5 m,
que se propaga en un medio con campo de tensiones isotrópico ( hv / 1 y v 10
MPa) con las propiedades del macizo y del flujo definidas en la Tabla 4-1. El punto de
inyección se encuentra en el punto (x, y) = (0, 0).
En la figura 5-1 se muestra la variación de las tensiones verticales ( yy ) y horizontales
( xx ) inducidas por la fractura, (a) en un momento previo a la propagación, (b) en el
momento preciso en que se produce la propagación y (c) posterior a la propagación.
En el diagrama de tensiones yy se puede observar como el aumento de la presión del
fluido que ocurre entre (a) y (b) aumenta la magnitud de las tensiones produciendo la
propagación de la fractura. Posteriormente, entre (b) y (c) se observa una disminución de
la magnitud de las tensiones, lo que muestra que en esta dirección se relajan los
esfuerzos gracias a la propagación de la fractura.
En el diagrama de tensiones xx prácticamente no se observa que las tensiones delante
del tip se relajen con la propagación, más bien ocurre un traslado de estas debido al
cambio de posición en el tip.
También se observan xx positivos sobre la fractura, los que son generados por el
efecto Poisson de los grandes desplazamientos verticales. Sí se observa una relajación de
95
estas tensiones horizontales post-propagación, lo que se relaciona a la reducción de la
apertura de la fractura cuando ocurre la propagación (efecto Poisson).
Figura 5-1. Variación de tensiones yy y xx inducidas por una fractura hidráulica
en un campo de tensiones isotrópico, (a) previo a la propagación, (b) en el momento de
la propagación y (c) posterior a la propagación.
Además, las tensiones de compresión inducidas son mucho mayores en la zona de
inyección, pues es la zona en que ocurren los mayores desplazamientos verticales,
96
generándose variaciones de tensiones cercanas a los 2,5 MPa. Por otro lado, en el tip se
generan una descompresión significativa debido a la singularidad, que alcanza un valor
cercano a los -3,5 MPa, es decir una reducción del 35% de la tensión in-situ inicial.
Figura 5-2. Variación de tensiones principales 1 y 3 inducidas por una fractura
hidráulica en un campo de tensiones isotrópico, (a) previo a la propagación, (b) en el
momento de la propagación y (c) posterior a la propagación.
En general, las tensiones inducidas se disipan rápidamente, y a una distancia de
aproximadamente 3l0 del punto de inyección estas son cercanas a cero, por lo cual la
97
aplicación del fracturamiento no debería provocar mayores problemas en zonas lejanas
al tratamiento. Sin embargo, delante de la fractura se inducen descompresiones
significativas que podrían activar discontinuidades preexistentes.
En la figura 5-2 se muestra el efecto de la fractura en términos de la variación de las
tensiones principales mayor ( 1 ) y menor ( 3 ). Al igual que en la figura anterior se
puede ver el proceso de carga entre (a) y (b), y el de descarga entre (b) y (c). Este efecto
es más significativo en la tensión principal menor que en la mayor.
Figura 5-3. Direcciones principales para las variaciones de tensiones 1 y 3
inducidas por una fractura hidráulica en un campo de tensiones isotrópico5.
En la figura 5-3 se muestran las direcciones principales correspondientes a los 1 y
3 del caso (b) de la figura 5-2. Se puede observar que la descompresión es máxima
5 El tamaño de las líneas no representa la magnitud de los esfuerzos principales. Las líneas azules (más
grandes) corresponden a la dirección del 1 y las verdes (más pequeñas) al 3 .
98
en la dirección paralela a la fractura (eje x), lo que indica que esta es la dirección
preferente para la propagación de la fractura. Lo anterior muestra el hecho de que el
campo de tensiones isotrópico no genera un cambio en la dirección de propagación de la
fractura. Además, la dirección del esfuerzo principal menor indica que las estructuras
pre-existentes más afectadas por la fractura hidráulica son las sub-paralelas a esta.
Figura 5-4. Desplazamientos yyu y xxu inducidos por una fractura hidráulica en un
campo de tensiones isotrópico, (a) previo a la propagación, (b) en el momento de la
propagación y (c) posterior a la propagación.
99
En la figura 5-4 se muestran los desplazamientos xxu y yyu inducidos por el
fracturamiento hidráulico. Se puede ver que los desplazamientos xxu máximos ocurren
cerca del tip, mientras que los yyu máximos ocurren en la zona cercana al punto de
inyección.
Delante del tip se genera una zona donde los yyu son nulos, y son dominantes los xxu .
Además, los desplazamientos yyu son mayores en magnitud a los xxu , lo que explica el
efecto Poisson en la variación de tensiones xx sobre la fractura.
Para observar en conjunto los desplazamientos inducidos, en la figura 5-5 se muestra la
norma del desplazamiento 22
yyxx uu y en la figura 5-6 la dirección de los
desplazamientos.
Figura 5-5. Norma de los desplazamientos inducidos por una fractura hidráulica en un
campo de tensiones isotrópico, previo a la propagación de la fractura.
100
Figura 5-6. Dirección de los desplazamientos inducidos por el fracturamiento hidráulico.
En general los desplazamientos tienden rápidamente a cero, mayormente en la dirección
paralela a la fractura, pues en esta dirección es dominante la componente x que es menor
en magnitud.
En la figura 5-6 se observa que los desplazamientos verticales ( yyu ) son dominantes
sobre la fractura, lo que está de acuerdo con el campo de tensiones obtenido, en especial
con la variación positiva de tensiones xx producto del efecto Poisson. Se puede ver
que a medida que se avanza desde el punto de inyección hacia el tip, las deformaciones
horizontales se hacen predominantes.
Para observar las tensiones generadas en el proceso de realineamiento de una fractura, se
modeló el caso de una fractura con una longitud inicial por ala de l0 = 1 m e inclinada a
20º con respecto al eje x. El punto de inyección se encuentra en el punto (x,y) = (0,0).
Esta fractura se propaga en un medio sometido a un campo de tensiones no isotrópico en
que hv / 1,25 y v 10 MPa. Las demás propiedades del fracturamiento son las
indicadas en la Tabla 4-1.
101
En la figura 5-7 se muestra la variación de tensiones yy y xx inducidas por el
fracturamiento en tres momentos distintos de la propagación, donde (a) corresponde al
estado de tensiones generado por la fractura inicial, (b) al estado de tensiones en una
etapa inicial del realineamiento y (c) al estado de tensiones para una fractura casi
realineada.
En el diagrama de tensiones yy se observa más claramente cómo cambia la dirección
en que se encuentran las máximas descompresiones, lo cual muestra el proceso de
realineamiento de la fractura. Por otro lado, no se observa un cambio importante entre
(a) y (b), sin embargo, entre (b) y (c) las tensiones inducidas yy disminuyen, lo cual
se puede deber a que el realineamiento genera que las tensiones se concentren en la
dirección x.
En el diagrama de tensiones xx no se observa una disminución o cambio importante
en la magnitud de las tensiones inducidas, sin embargo, la distribución de tensiones se
desplaza de tal forma que se alinea en perpendicular a la dirección de propagación.
102
Figura 5-7. Variación de tensiones yy y xx inducidas por el fracturamiento
hidráulico en un campo de tensiones no isotrópico ( hv / 1,25) en tres estados
distintos de la propagación.
En la figura 5-8 se muestran las tensiones inducidas en términos de la variación de las
tensiones principales 1 y 3 . Se puede observar el realineamiento de la fractura en
el campo de tensiones, pues los valores mínimos de las tensiones principales definen una
dirección de propagación cada vez más cercana a la vertical (perpendicular a la tensión
in-situ menor).
103
La magnitud de la variación de tensiones generadas en este caso, es similar a la del caso
de un medio con campo de tensiones isotrópico y llegan a ser entre un 20% y 40% de la
tensión de confinamiento mayor.
Figura 5-8. Variación de tensiones principales 1 y 3 inducidas por una fractura
hidráulica en un campo de tensiones no isotrópico ( hv / 1,25) en tres estados
distintos de la propagación.
104
En la figura 5-9 se muestran los desplazamientos inducidos en el caso de la propagación
de una fractura hidráulica en un campo de tensiones no isotrópico.
Se puede observar que los desplazamientos yyu y xxu son muy pequeños delante del tip
en comparación a los que están por sobre y bajo la fractura.
Por otro lado se puede ver que los desplazamientos yyu bajo la fractura disminuyen a
medida que la fractura se realinea, y que en el tip de (c) los desplazamientos empiezan a
tomar una forma similar a los desplazamientos xxu de la fractura que se propaga en el
campo isotrópico.
En los desplazamientos xxu se puede ver que a medida que la fractura se realinea los
desplazamientos se ven cada vez más similares a los yyu de la fractura en el campo de
tensiones isotrópico. En otras palabras el problema se alinea según las direcciones
principales.
105
Figura 5-9. Desplazamientos yyu y xxu inducidos por el fracturamiento hidráulico en un
campo de tensiones no isotrópico ( hv / 1,25) en tres estados distintos de la
propagación.
106
6. CONCLUSIONES
Se ha desarrollado un código que permite simular la propagación de una fractura
inducida hidráulicamente en un medio infinito bidimensional lineal – elástico en
deformaciones planas, y sujeto a un campo de tensiones bidimensional.
El código presenta limitaciones pues se consideran macizos impermeables, no se permite
el fracturamiento en modo II puro (deslizamiento en el plano) y se soluciona
adecuadamente sólo los problemas dominados por el régimen de rigidez.
Se ha logrado establecer que las propiedades con mayor influencia en la velocidad de
propagación y longitud de la fractura son el caudal de inyección ( 0Q ) y el módulo de
corte de la roca ( G ), mientras el efecto de la viscosidad del fluido ( ) es despreciable.
También se determinó que la trayectoria de la fractura está determinada principalmente
por las tensiones in-situ y de forma secundaria por la resistencia al fracturamiento ( ICK ).
Las demás propiedades tienen una influencia despreciable en la trayectoria de la
fractura.
A la luz de estos resultados, se puede indicar que para una fractura hidráulica que se
propaga en régimen de rigidez quizás no vale la pena mejorar el algoritmo considerando
fluidos con una reología más compleja como power law, ya que los cambios en los
resultados son despreciables. Sin embargo, si se consideran tratamientos de pre-
acondicionamiento en condiciones de régimen viscoso, por ejemplo tratamientos
masivos (grandes caudales de inyección) en rocas muy rígidas (valor de G grande), se
debe considerar la incorporación de modelos reológicos más complejos para el fluido.
Otra conclusión importante es que las tensiones presentes en el macizo rocoso
determinan en mayor forma la trayectoria de la fractura, mucho más que las propiedades
propias del tratamiento, por lo tanto, para situaciones reales es importante modelar
numéricamente o estudiar el proceso de fracturamiento, pues la presencia de
discontinuidades, de túneles, o cualquier elemento que modifique las tensiones del
macizo rocoso puede generar un cambio de trayectoria que puede ser dañino para las
estructuras mineras.
107
Por otro lado, que la resistencia al fracturamiento ( ICK ) sea importante en la trayectoria
de la fractura, aumenta la incertidumbre en el análisis del fracturamiento hidráulico,
pues es una propiedad cuyo valor tiene bastante variabilidad en la roca, además todavía
no existe un criterio de fracturamiento de consenso general.
Con respecto, a las tensiones inducidas por el fracturamiento hidráulico, se observó que
su influencia no se extiende más allá de dos veces la longitud de la fractura, decayendo
las tensiones rápidamente a cero, sin embargo, la magnitud de las tensiones
desarrolladas es considerable y alcanzan valores de hasta un 40% de las tensiones in-
situ.
Lo anterior, se debiera tener en consideración, pues el desconfinamiento producido
delante del tip provoca una variación importante del campo de tensiones local. Lo
anterior es una limitación para el pre-acondicionamiento de macizos rocosos debido a la
interacción que se puede producir entre fracturas hidráulicas.
Otro efecto interesante de observar es que los grandes desplazamientos verticales sobre
y bajo la fractura generan tensiones de compresión en el sentido horizontal debido al
efecto Poisson.
También se pudo observar a través de las tensiones inducidas, la influencia de un campo
no isotrópico en la propagación de la fractura, mostrándose el cambio gradual de la
dirección de propagación de la fractura.
Con respecto al algoritmo del código desarrollado, se debe decir que cuenta con la
ventaja de resolver los problemas de elasticidad, flujo y fracturamiento de forma
separada, lo que permitiría eventualmente agregar distintos comportamientos del macizo
a través de la matriz de rigidez, como por ejemplo anisotropía, porosidad y efectos
termales, todo esto manteniendo el método DDM.
El código ha sido desarrollado de tal forma que sea fácil agregar distintas
potencialidades extras.
108
Por lo tanto, como trabajo futuro se plantean las siguientes metas:
Mejorar el algoritmo de solución del problema hidromecánico para poder
resolver correctamente el problema en todos los regímenes de propagación.
Incluir la posibilidad de propagación en modo II.
Incorporar la capacidad de incluir fracturas pre-existentes en el macizo rocoso
(discontinuidades) que también se puedan propagar.
Incorporar la posibilidad de la propagación de múltiples fracturas hidráulicas,
para investigar cual es la separación mínima entre estas para evitar la interacción.
Incorporar anisotropía y porosidad en la matriz de rigidez.
Incorporar la posibilidad de incluir excavaciones de distinta geometría a través
del Fictitious Stress Method.
Acoplar el algoritmo a un modelo FEM que permita incorporar comportamiento
inelástico del macizo rocoso, fracturación difusa, modelación de soportes y
fortificación minera, o cualquier fenómeno difícil de implementar con BEM.
109
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111
A N E X O S
112
ANEXO A: SOLUCIÓN SEMI – ANALÍTICA PARA FRACTURA EN
RÉGIMEN DE GRAN RESISTENCIA AL FRACTURAMIENTO
Garagash, D. (2005) obtuvo una solución semi-analítica para una fractura hidráulica que
se propaga en un medio isotrópico, lineal – elástico, bidimensional y bajo condición de
deformaciones planas, en un régimen de propagación de gran resistencia al
fracturamiento (baja disipación viscosa), que para el caso de inyección constante es
auto-similar (independientes del tiempo).
La solución (distribución de presiones, apertura y media longitud de la fractura) se
establece como una sumatoria de términos, en que el primero de ellos (orden cero)
corresponde a la solución analítica para el régimen de disipación viscosa nula, y los
siguientes corresponden a correcciones para tener en cuenta la influencia de la
viscosidad.
Las cantidades adimensionales adoptadas por Garagash, D. (2005) son:
)()(
),(),(
tLt
txwt (A.1)
Et
txpt
)(
),(),( (A.2)
)(
)()(
tL
tlt (A.3)
Donde, ),( t es la apertura adimensional, ),( t es la presión adimensional y )(t es
el largo medio adimensional de la fractura.
Además, para el régimen de propagación de rigidez:
3/2
0)(K
tQEtL (A.4)
tQtLt 0
2)()( (A.5)
113
ICKK 24 (A.6)
Alternativamente para la apertura adimensional se hace otro escalamiento:
)(),(
),(t
tt (A.7)
Como se indicó en la sección 4.1.3.1 para la validación se usaron sólo los términos j=0,1
de la sumatoria, los cuales corresponden a:
23/1
0 12
)( (A.8)
8
3/1
0 (A.9)
3/20
2 (A.10)
2
2
112
112
21
3/21
11
11ln
2
3114,0)(sin42
3
8)(
(A.11)
2
12
3/21
1
)(cos
4
314ln
24
1
3
8 (A.12)
3/519
))2ln(61(32 (A.13)
Finalmente la apertura, presión y medio largo adimensionales se calculan como:
)(
0333,01
)(),( 10 LTM
MLTMLT
ADIM
ADIMADIM (A.14)
Donde,
114
),(),,(),,(),( ADIMADIMADIMADIM MMMMLT (A.15)
