Modelarea deciziei financiare i monetare

Teoria productorului

Alexandru Leonte

Departamentul de Moned i Bnci

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCURETI FACULTATEA DE FINANE, ASIGURRI, BNCI I BURSE DE VALORI

Structura capitolului

1. Teoria funciilor de producie

2. Fundamentarea deciziei de producie

2.1 Decizia de producie pe piaa cu concuren perfect

2.2 Decizia de producie pe piaa cu concuren monopolist

1. Teoria funciilor de producie

De citit Varian, cap. 1, 2, 3, 4, 5; Mankiw, cap. 13, 14

Privim procesul de producie ca un black box

...

1x

2x

nx

nxxxFY ,...,, 21Procesul de producie

nxxx ,...,, 21 factori de producie (input-uri), care formeaz un vector

Y producie (output)

F funcie de producie

n cele ce urmeaz, vom considera c factorii de producie sunt munca (L) i capitalul (K)

Exemplu: Funcia de producie de tip Cobb-Douglas (CD) n cele mai multe cazuri, vom considera , punnd de obicei A reprezint acele elemente care contribuie la realizarea produciei i nu sunt cuprinse n cadrul celor doi factori de producie. Uneori, A este utilizat ca aproximare (proxy) pentru nivelul tehnologic O cretere a factorului A conduce la obinerea unei producii mai mari, pentru acelai nivel al celorlali factori de producie (L,K), prin urmare A poate fi interpretat ca o productivitate total a factorilor de producie (total factor productivity) .

KLAKLFY ),(

1 1

Indicatori asociai funciei de producie

Sunt asemntori celor asociai funciilor de utilitate

Productivitatea medie a unui factor de producie arat cantitatea de output corespunztoare utilizrii unei uniti din factor

Pentru o funcie de tip CD,

Productivitatea marginal a unui factor de producie se definete ca variaia output-ului raportat la variaia cantitii utilizate din factor, ambele fiind exprimate n termeni absolui

x

YW xmed ,

1

1

111

, kAL

KAKLA

L

KLA

L

YW Lmed

12

12,

xx

YY

x

YW xmg

L

Kk nzestrarea cu capital a forei de munc

Putem calcula productivitatea marginal n vecintatea unui punct, referindu-ne la variaii infinitezimale corespunztoare produciei i respectiv factorului.

n aceast situaie, indicatorul poate fi interpretat ca reprezentnd derivata funciei de producie n raport cu factorul, calculat n punctul respectiv

Pentru o funcie de tip CD, productivitatea marginal a muncii va fi Elasticitatea output-ului n raport cu un factor de producie se definete ca variaia output-ului raportat la variaia cantitii utilizate din factor, ambele fiind exprimate n termeni relativi

nnxmg xxdx

dYxxW ,...,,..., 11,

L

Y

L

KAKLAKLA

dL

d

dL

dYW Lmg

1

111

,

112

112/

%

%

xxx

YYY

x

YE xY

Elasticitatea output-ului n raport cu un factor calculat n jurul unui punct

Pentru o funcie CD, elasticitatea produciei n raport cu munca este Putem reprezenta producia n termeni relativi, ca fiind modificare procentual fa de un anumit nivel de referin. n acest caz, funcia CD va cpta o form liniar

Y

x

dx

dY

x

dxY

dY

E xY /

Y

L

L

Y

Y

L

dL

dYE LY /

1KLAY

1**** KLAY nivelul de referin al produciei (producie de echilibru)

Notm Logaritmnd cele dou relaii i scznd membru cu membru, obinem Rata tehnic de substituie ntre doi factori de producie arat creterea cantitii dintr-un factor cu care trebuie suplinit scderea cantitii dintr-un alt factor, astfel nct output-ul s rmn neschimbat.

Calculat n vecintatea unui punct, acest indicator va fi Utiliznd aproximarea liniar a dezvoltrii n serie Taylor,

**** lnln,lnln,lnln,lnln KKkLLlAAaYYy

(alt k fa de slide-ul 5)

klay 1 (funcia de producie CD n form log-linearizat)

.

/

constYi

j

ijxxx

xRTSRTS

ji

.1

2

constY

ijdx

dxRTS

j

i

xmg

xmg

ijW

WRTS

,

,

Pentru funcia de producie de tip CD, Elasticitatea de substituie dintre doi factori de producie arat modificarea procentual a raportului de utilizare dintre doi factori de producie, raportat la modificarea procentual a ratei tehnice de substituie

k

L

K

K

YL

Y

W

W

dL

dKRTS

Kmg

Lmg

constY

KL

111,

,

,

iji

j

constY

ij

ij

i

j

i

j

ijxxRTSd

x

xd

RTS

dRTS

x

x

x

xd

ji ln

ln

...

.

/

Pentru funcia de tip CD, Pentru funcia de tip CES, avem Randamente la scar Consumm diferite cantiti din factorii de producie i obinem un anumit output. Ne punem problema ce se va ntmpla dac, de exemplu, dublm cantitatea fiecrui factor. Va crete i output-ul n aceeai msur? Sau mai mult? Sau mai puin? Funcia de tip CD are randamente constante la scar dac suma elasticitilor este 1.

1LK

1

1, KLAKLY

1

1LK

n

n

n

n

xxxFYiii

xxxFYii

xxxFYi

xxxFY

,...,,)

,...,,)

,...,,)

,...,,

21

21

21

21

(randamente descresctoare la scar) (randamente constante la scar) (randamente cresctoare la scar)

YKLFKLAKLAKLF ,, 11

Obiectivul productorului este maximizarea profitului su

unde este costul unitar al factorului

Punctele de maxim se gsesc printre punctele critice n punctul de optim, productivitatea marginal a factorului de producie va fi egal cu costul su real Tem: Putem considera uneori c problema productorului se refer la minimizarea funciei de costuri, pentru o anumit producie. Modelai aceast situaie i obinei relaiile care stabilesc cererea pentru factor de producie

Cererea pentru factori de producie

n

i

iin

nn

xWxxFp

xWxWCT

YpCA

CTCA

1

1

11

,...,

...

P

WWWxx

x

Fpnixx

x

iimgin

i

n

i

,11 0,...,,...,1,0,...,

iW ix

2. Fundamentarea deciziei de producie

Discutm n continuare despre obiectivul agentului productor de a-i maximiza profitului. Dup cum am vzut,

Vom nota cantitatea realizat (care coincide cu cantitatea vndut pe pia, ntruct presupunem c firma nu produce pe stoc) cu Q, iar preul cu p. Aadar,

n cele ce urmeaz, vom avea o discuie mai extins legat de costurile de producie

CTCA

QpCA

Vom mpri costurile implicate de producerea bunului respectiv n dou categorii:

Costuri fixe (CF): valoarea lor nu depinde de volumul produciei Costuri variabile ( ): valoarea lor depinde de volumul produciei.

De asemenea, utilizm noiunea de cost marginal, definit ca variaia costului total raportat la variaia cantitii produse

Calculat n vecintatea unei cantiti produse, costul marginal are semnificaia derivatei costului total n raport cu cantitatea, care este egal cu derivata costului variabil

QQCV

QCFQCT

QQ

CF

Q

CTCmg

Costurile de producie

QdQ

d

dQ

dCTQCmg '

0'

00,0

0

Q

Q

CF

Odat reamintite aceste funcii de cost, este folositor s punem n eviden o serie de proprieti ale lor

n plus, de cele mai multe ori, vom presupune c funcia de cost variabil este convex, ceea ce echivaleaz cu a spune c funcia de cost marginal este cresctoare. Practic, fiecare cantitate produs n plus va implica un cost suplimentar mai mare, comparativ cu cel generat de cantitatea precedent Exemplu:

0'0'' QCQ mg

0.

2

2

2

QPt

CFQQCT

QQ

QQCmg

Definim de asemenea i costul total mediu, ca fiind raportul dintre funcia de cost i cantitatea produs

QCVMQCFM

Q

Q

Q

CF

Q

QCF

Q

QCTCTM

Costul total mediu va avea,de obicei, forma literii U. Pentru valori mici ale Q , este predominant valoarea ridicat a costului fix mediu. Pe msur ce Q crete, CFM va scdea (linia roie de pe grafic), dar de la un punct mai departe, influena CVM devine mai puternic i CTM rencepe s creasc. n exemplul anterior, dac presupunem c CF = 3:

QCFM

QCVMQ

QQ

QQCTM

332

Costul marginal i costul total mediu se vor intersecta n punctul de minim al celui din urm

Primelor uniti produse le corespunde CTM ridicat (datorit CFM) i Cmg mic. nglobarea acestor uniti n calculul CTM coboar acest indicator, pn la unitatea pentru care Cmg este egal cu media. n continuare, noile uniti au cost peste CTM de la momentul respectiv, ceea ce va determina creterea acestei medii.

Q 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

CFM 6.000 4.000 3.000 2.400 2.000 1.714 1.500 1.333 1.200 1.091 1.000 0.923 0.857 0.800 0.750

CVM 0.500 0.750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 2.250 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500 3.750 4.000

CTM 6.500 4.750 4.000 3.650 3.500 3.464 3.500 3.583 3.700 3.841 4.000 4.173 4.357 4.550 4.750

CTM - -1.750 -0.750 -0.350 -0.150 -0.036 0.036 0.083 0.117 0.141 0.159 0.173 0.184 0.193 0.200

CTM creteCTM scade

4;5,0,332

QQ

QQ

QQCTM

QCFM

QCVM

Vom discuta despre decizia de producie a agentului n urmtoarele situaii: Pia cu concuren perfect Pia cu concuren monopolist

Realizm aceast difereniere ntruct, dup cum vom vedea, productorul va aciona diferit n funcie dac deine sau nu capacitatea s influeneze preul pieei prin cantitatea realizat

Ambele categorii de piee presupun existena multor consumatori i a multor productori.

Concurena perfect sunt produse bunuri foarte similare, i innd cont de dimensiunea mic a productorilor, cantitatea realizat de fiecare nu poate modifica preul de pe pia

Pe piaa cu concuren monopolist sunt produse bunuri difereniate, fiecare agent are nia proprie. Astfel, cantitatea realizat influeneaz preul pieei (via cererea de pe pia)

preul pieei este exogen preul pieei este endogen

Decizia de producie

Decizia de producie pe piaa cu concuren perfect

Dup cum am vzut, n acest caz, p este o constant. Vom scrie problema de maximizare a profitului:

Presupunem c derivata funciei de cost variabil este inversabil. Astfel: g este funcia de ofert a productorului, pe baza creia atribuim unui pre de pe pia un anumit nivel al cantitii realizate.

Funcia de ofert este pozitiv (valoarea ei este o cantitate) i cresctoare (este inversa costului marginal, la rndul su funcie cresctoare)

QCFQpQ

max

pQCpQQpdQ

dmg

'0'0

pgpCpQ mgS

11'

0',0 pgpg

Legat de condiia de ordin II de optimizare a profitului, observm c funcia de profit este concav pe tot domeniul (am presupus costul variabil convex), deci punctul critic este punct de maxim

S privim din nou condiia de optim:

Observm c i decizia de producie se face pe baza unui indicator marginal. Pentru fiecare unitate produs, comparm beneficiul marginal (preul ncasat) cu costul marginal, producnd atta vreme ct beneficiul se va situa deasupra costului Exemplu: Presupunem c un agent vinde o unitate din produsul su la preul de 10 u.m., iar costul marginal al fiecrei uniti este Atunci, el va produce 5 uniti.

pQCmg

Q 1 2 3 4 5 6

Cmg 2 3.5 4 6 9 11

Folosind n continuare exemplul anterior de funcie de costuri, ne propunem s determinm funcia de ofert:

pgp

QpQpQC Smg 2

2

Decizia de producie este legat de maximizarea profitului, ns agentul dorete concomitent s obin ntr-adevr profit i nu pierdere

Pe termen lung, condiia s existe producie este:

Pe termen scurt, productorul poate accepta profit negativ, dac veniturile depesc costul variabil. Se ateapt ca n viitor costurile fixe s fie acoperite de profiturile de la momentul respectiv

QCTMpQ

QCTpQCTQpQCTCA

oferta

QCVMpQ

QpQQpQCA

(g este pozitiv i cresctoare)

Pe piaa de bunuri i servicii, oferta provine de la productor, iar cererea de la consumatori. Vom nota funcia de cerere cu f

n mod evident, f este pozitiv, pentru c valoarea funciei este o cantitate, de asemenea, f este descresctoare (cu ct preul va fi mai mare, cu att cantitatea cerut va fi mai mic bunurile Giffen sunt o excepie) Punctul de echilibru al pieei, care arat cantitatea tranzacionat efectiv i preul la care se tranzacioneaz, se regsete la intersecia cererii cu oferta Dac presupunem c funcia de cerere are forma

pfQD

0',0 pfpf

Funcia de cerere. Echilibrul pieei

20,0,2

10 pp

pf

5

10

210

2 *

*

Q

ppppfpg

02

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g f

p

Q

A

BC

O

Pe piaa cu concuren perfect, vor primi produsul toi acei consumatori care sunt dispui s plteasc un pre mai mare sau egal cu preul pieei (10).

Vom folosi noiunea de surplus pentru a cuantifica gradul de bunstare resimit de ageni Surplusul consumatorului = Ct ar fi dispus s plteasc Ct pltete efectiv (=10)

Surplusul productorului = Ct primete efectiv (=10) Ct ar fi dispus minim s primeasc

Surplusul total al consumatorului = Aria ABC Surplusul total al productorului = Aria OBC Surplusul total = Aria OAC

Piaa liber (adic fr intervenia statului) cu concuren perfect asigur surplusul total maxim

Intervenia statului

Se concretizeaz prin impunerea de impozite (accize) sau prin acordarea de subvenii

Acciz unitar: pentru fiecare unitate produs (i vndut), productorul va da statului o sum fix T

Acciz ad valorem: productorul d statului un procent din ncasri

Subveniile sunt practic opusul accizelor

Dat fiind c preul pieei este preul pltit de consumator, introducerea unor accize sau a unor subvenii nu afecteaz funcia de cerere, doar funcia de ofert

QTQCTQpQ

QCTQptQptQCTQpQ 1

Dup introducerea unei accizei unitare, condiia de ordin I de maximizare a profitului se scrie:

pgTpgTpQTpQTQp S 11

''0'

Fr acciz unitar, dac preul pieei este p atunci productorul va realiza g(p) produse Cu acciz unitar, dac preul pieei este p atunci productorul va realiza g1(p)=g(p-T)

Introducerea unei accize are drept efect scderea ofertei, curba de ofert deplasndu-se ctre stnga. Cererea rmnnd neschimbat, rezult c preul de echilibru va crete, iar cantitatea de echilibru va scdea Similar, introducerea unei subvenii are drept efect creterea ofertei, curba de ofert deplasndu-se ctre dreapta. Cererea rmnnd neschimbat, rezult c preul de echilibru va scdea, iar cantitatea de echilibru va crete

n cazul accizei unitare i respectiv a subveniei unitare, noua curb a ofertei rmne paralel cu vechea curb a ofertei, iar distana dintre cele dou curbe, msurat pe vertical, va fi tocmai mrimea accizei / subveniei unitare.

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g g1 (T=4) g2 (S=6)

Q

p T S

Exemplu: impactul introducerii unei accize unitare T=4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g f g1 (T=4)

p**

p*

Q*Q**

A

O

CB

DE

p** - TF G

Dup introducerea accizei, oferta devine g1 iar punctul de echilibru se mut din C n D Consumatorul pierde o parte din surplusul su, i innd cont c preul ncasat de productor este p** - T, observm c i surplusul acestuia scade Pierdere consumator = aria DEBC Pierdere productor = aria FGCB O parte din aceast pierdere se recupereaz prin ncasrile bugetare, care aduc beneficii societii. B = T Q** = aria DEFG O parte din surplusurile pierdute nu se recupereaz Pierderea societii = aria CDG

1. nainte de introducerea accizei, surplusul total = aria OAC, iar dup introducerea ei, surplusul total = aria OADG

Introducerea accizei are un efect negativ asupra bunstrii sociale, msurate cu ajutorul surplusului total

2. Pierderea consumatorului i respectiv pierderea productorului cuantific efectul accizei asupra bunstrii celor doi ageni

Din perspectiva bunstrii, este irelevant dac productorul /consumatorul este cel care vireaz valoarea accizei ctre stat, acesta acionnd ca un agent al Fiscului. Cel care va avea pierderea de surplus cea mai mare este cel care suport ntr-un grad mai mare acciza

Pierderea de surplus va fi cu att mai mare cu ct cererea / oferta este mai inelastic Tem: Reprezentai grafic situaia n care se introduce o subvenie unitar. Va exista o pierdere a societii?

Discuie

1. n cazul manifestrii unor externaliti negative, optimul economic poate fi diferit de optimul social. n aceast situaie, impunerea unei accize poate contribui la mbuntirea gradului de bunstare social. Exemplu: o ntreprindere realizeaz echipamente pentru care exist o cerere robust, ns n decursul procesului de fabricaie sunt eliberate n mediul nconjurtor substane poluante. Prin implementarea unui sistem al permiselor de poluare (echivalent cu impunerea unei taxe pe cantitatea de poluare, care se presupune c variaz similar cu cantitatea produs), oferta i cantitatea de echilibru scad (implicit poluarea), cu efecte pozitive din punct de vedere social.

Observaii

2. Statul poate interveni n manier nedistorsionar (fr a determina modificarea comportamentului productorilor) impunnd accize (sau subvenii) n sum fix Exemplu: att productorul care realizeaz 10000 de uniti pe an ct i cel care realizeaz 100 de uniti pe an vor plti Fiscului aceeai sum Oferta nu se va modifica (dac agentul decide s continue activitatea), ns msura are un caracter inechitabil.

Decizia de producie pe piaa cu concuren monopolist

n aceast situaie, p este influenat de cantitatea produs (i invers), legtura dintre cele dou fiind dat de funcia de cerere.

Vom scrie problema de maximizare a profitului:

Q* care este soluia ecuaiei de mai sus va fi cantitatea produs, iar va fi preul de echilibru Similar, puteam considera profitul ca o funcie de pre i nti am fi obinut preul de echilibru (din cond. de ord. I), iar apoi cantitatea de echilibru, pe baza funciei de cerere

DD QfppfQ 1

QQCAQCFQQfQ

1max

QCAQCQQCAdQ

dmgmg

0''0

** 1 Qfp

Comparativ cu piaa cu concuren perfect, dispare noiunea de funcie de ofert. Totui, putem calcula n continuare surplusul productorului, innd cont de faptul c suma minim pe care acesta este dispus s o ncaseze pentru o unitate produs este tocmai costul marginal al respectivei uniti (iar funcia de cost marginal exist n continuare)

Exemplu: Vom considera n continuare productorul care are funcia de cost total iar cererea pentru produsele sale este singura diferen fiind c firma activeaz pe o pia cu concuren monopolist Inversa funciei de cerere este: Cifra de afaceri marginal: Echilibrul pieei:

32 QQCT

2

10p

pf

QfQpQp

Qpf 12202

10

QQQdQ

dQQf

dQ

dQCAmg 420220

21

3,133

40

3

10220)3(,3

3

102420 ** pQQQQCQCA mgmg

02

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CAmg Cmg f

O

C

A

B

M N

R

T

Comparaie: echilibrul pieei n situaia de concuren monopolist vs. perfect n cazul concurenei monopoliste: 1. Preul de echilibru este mai mare iar cantitatea de echilibru este mai mic

2. Surplusul consumatorului este mai mic (aria AMN, fa de aria ABC)

3. Surplusul productorului este de obicei mai mare (aria OMNR fa de aria OBC) Productorul pierde aria CRT intruct nu vinde uniti pentru care ar ncasa mai mult dect costul marginal, n schimb ctig aria MNTB pentru c vinde la un pre mai mare

4. Surplusul total este mai mic (aria OANR fa de aria OAC)

Prin urmare, situaia concurenei monopoliste este n interesul productorilor i nu este n interesul consumatorilor

Surplusul total este mai redus n cazul concurenei monopoliste, cu excepia cazului n care productorii pot practica discriminarea perfect prin pre (adic nu va mai exista un pre unic pe pia, ci vnztorul va cere fiecrui client suma maxim pe care acesta din urm este dispus s o plteasc). Atunci, surplusul total va fi egal cu cel din situaia concurenei perfecte (aria OAC), dar va fi repartizat n totalitate productorului, n timp ce surplusul consumatorului va fi 0