Modellering av SUC2-responsen i Snf1-signalvägen hos S ......Modellering av SUC2-responsen i Snf1-signalvägen hos S. cerevisiae efter extern glukosminskning Kandidatarbete inom civilingenjörsprogrammen

Rubrik xxxxxx xxxx xxx xxxxxxxXx xxxxxxx xxxxxxxxxxMöjlig underrubrik xxx xxxxx xxKandidatarbete inom xxxxxxxxxxxxxxxxx

EMILIA EMILSSON

Institutionen för Xxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxCHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLAGÖTEBORGS UNIVERSITETGöteborg, Sverige 2014

Modellering av SUC2-responsen iSnf1-signalvägen hos S. cerevisiaeefter extern glukosminskningKandidatarbete inom civilingenjörsprogrammen Bioteknik och Teknisk Matematik

Felix Augustsson, Ellen Sandén, Tilia Selldén, Hanna Zetterberg

Institutionen för matematiska vetenskaperCHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLAGÖTEBORGS UNIVERSITETGöteborg, Sverige 2019

Modellering av SUC2-responsen iSnf1-signalvägen hos S. cerevisiaeefter extern glukosminskning

Felix Augustsson, Ellen Sandén, Tilia Selldén, Hanna Zetterberg

Handledare: Johannes Borgqvist,Niek Welkenhuysen,Marija Cvijovic

Examinator: Maria Roginskaya,Ulla Dinger

Kandidatarbete MVEX01-19-02Institutionen för matematiska vetenskaperCvijovic LabChalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Omslag: YFP-markerade jästceller i ett av experimenten som använts i arbetet. Bildframtagen av Niek Welkenhuysen och färgad av Felix Augustsson.

Typeset in LATEXGöteborg, Sverige 2019

i

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg

Förord

För nästan fem månader sedan påbörjade fyra forskningslandkrabbor sin första resa ge-nom vetenskapens vatten. Välkomnade med öppna armar av besättningen på ett forsk-ningsskepp dedikerade till att hitta svaret på den mytomspunna gåtan om åldrande sattevi direkt segel. Trots att vi hade fått en karta med målet markerat har vi under arbetetsgång flera gånger fått byta riktning. Vi har behövt överge delmål även efter att veckorlagts på att utforma en plan och otaliga timmar har lagts under däck för att hålla ossflytande. Nedan följer därför en kort sammanfattning av vår loggbok.

Tilia har varit vår utkik, konstant letandes efter nya kuster att lägga till vid. Hon harunder projektets gång letat genom litteratur efter biologiska förklaringar och skapatmodeller baserat på det hon funnit. När litteraturen inte gav de svar som behövdes toghon kontakt med forskaren bakom studien. När tiden kom att skriva denna rapport omvåra äventyr har hon bidragit med en detaljrikedom så beskrivande att den i flera fallbehövts tas bort för att hålla rapporten någorlunda koncis.

Ellen har varit vår kartläsare, tätt samarbetande med Tilia för att förstå biologin iprojektet. Under skapandet av de biologiska modellerna har Ellen använt strukturellidentifierbarhet för att hitta de grund som gömt sig under ytan hos Tilias observationer.Likt en äkta kartograf har ingen detalj undgått Ellen under rapportskrivandet, och honhar obevekligt rättat de fel vi andra gjort och fyllt i tomrummen vi lämnat.

Felix har varit vår båtsman, ansvarig för att all MATLAB-kod gjorde det den skulle.Han har sett över parameteruppskattningen och sett till att vi kunnat hissa ankar vidsimuleringarna. I rapportskrivandet har Felix släckt de eldar som uppstått ombord, ochsett till att alla matematiska knopar var rätt knutna.

Hanna har varit vår styrman, ansvarig för att vi använde rätt matematiska segel för attta oss till vårt mål. Genom att granska resultaten från Felix simuleringar med numeriskidentifierbarhet har hon sett till att hela arbetet inte var förgäves när målet var i sikte.Hanna har sett till att vi har legat i kurs mot en färdig slutrapport under skrivandet,och inte hamnat på villospår.

Runt omkring oss har vi hela tiden haft en forskargrupp fylld med så mycket erfarenhetoch hjälpsamhet att vi inte skulle kunnat utnyttja allt hur många månader vi än fick påoss. Tack så enormt mycket inte bara för all hjälp, utan även för den underbara stämningni inkluderat oss i. Särskilt mycket tack till våra handledare Johannes Borgqvist, NiekWelkenhuysen och Marija Cvijovic som inte bara hjälpt oss undvika skeppsbrott ettflertal gånger, utan även gjort det med ett engagemang utöver det vanliga. Vi vill ävenrikta ett stort tack till Joachim Almquist som har svarat på alla våra frågor kring detkoncept som sedan kom att ligga till grund för vår slutgiltiga modell.

Alla inblandade har gjort hela kandidatarbetet till ett enda stort äventyr. Även om vinu ska lägga till i hamn, så tar vi med oss erfarenheter och vänner hem från resan. Ochvem vet, vi kanske ses ute på havet igen?

ii


Populärvetenskaplig text

Hur kan vi rädda liv med hjälp av matte och bagerijäst? Det kanske låter som enosannolik kombination, men det är faktiskt ofta en oslagbar sådan.

Världen vi lever i är komplex, och det är en utmaning att försöka förstå oss på alla debiologiska fenomen som sker inuti och runt omkring oss. Hur ska vi kunna veta vad somförsiggår inne i en cell eller en människokropp när vi inte kan se det med blotta ögateller ens med hjälp av ett mikroskop? Ett sätt är att använda matematik. Genom attskapa matematiska modeller över vad som sker kan biologiska mekanismer belysas ochförstås på ett sätt som annars inte hade varit möjligt. Att modellera biologiska systemhandlar om att sätta upp matematiska ekvationer som kan beskriva hur det biologiskasystemet beter sig. Det kan till exempel handla om att beskriva hur en tumör reagerarpå medicinen patienten får, eller om att öka förståelsen kring en specifik gen. För att enmodell ska vara användbar behöver den förstås stämma väl överens med verkligheten.Det måste gå att jämföra det modellen förutspår med vad som faktiskt händer, och tilldetta behövs experimentella data. Ett traditionellt tillvägagångssätt för att få tag påsådana har varit, och är fortfarande, att utföra djurtest. Dessa är dock både kostsammaoch ofta djupt plågsamma för djuren; 2016 startades över 350 000 djurförsök i Sverige,varav nästan 30 000 klassades som ingrepp av den allra värsta och mest smärtsamma,ångestbringande sorten [1]. Det är här bagerijästen kommer in.

Jäst är små encelliga organismer som finns lite här och var omkring oss, på allt frånskalet på vindruvor till i sanden på havsbottnen [2]. Trots att jäst kan tyckas vara enväldigt enkel livsform i jämförelse med en människa, har de små organismerna faktisktmycket gemensamt med oss. Precis som människor, men till skillnad från till exempelbakterier, har jästceller en cellkärna där allt det genetiska materialet i form av DNA ärsamlat.

Genom evolutionens gång har mycket av det här DNA:t bevarats ungefär så som detvar för miljoner år sedan, i den organism som en gång var anfader till både jäst ochmänniska. Mycket av vårt mänskliga DNA är därför väldigt likt jäst-DNA. För attundersöka funktionen hos en mänsklig gen är det en bra idé att titta på om samma genfinns hos jäst, och hur den i så fall fungerar där.

En sådan gen, som finns hos och är viktig för både jäst och människa, är den som styr såatt energinivåerna i cellerna är konstanta. Hos människa heter den AMPK och hos jästhar den fått namnet Snf1. Detta är en gen som i sin tur styr andra gener och kan slå påoch av produktionen av protein och enzymer. För att undersöka genens funktion närmarehar vi i detta kandidatarbete skapat en modell över hur mängden av ett av enzymernasom styrs av Snf1 påverkas av koncentrationen druvsocker som finns i jästens omgivning.

Druvsocker är det som jäst allra helst vill äta. Det är en relativt liten sockermolekyl,och den är därför enkel för jästen att ta upp från omgivningen in genom cellmembranet.Det är dock inte alltid denna typ av socker finns tillgängligt. Ibland hamnar jästen påett ställe där det bara finns större sockermolekyler att tillgå, såsom betsocker, som är

iii


dubbelt så stora som druvsocker. Betsockermolekylen är för stor för jästen att ta upp,och sockret måste därför brytas ned i mindre delar för att jästen ska kunna tillgodogörasig det. För att göra detta har jästen utvecklat speciella enzymer som den kan utsöndratill omgivningen och som kan bryta sönder de stora sockermolekylerna. Ett sådant enzymheter SUC2, och är specialdesignat för att bryta sönder betsocker. Eftersom det kostarenergi att producera enzym, vill jästen inte göra detta i onödan. Den har därför utvecklatett system för att känna av om SUC2 behöver produceras eller inte. Detta system styrsav Snf1, och är baserat på hur mycket druvsocker som finns i omgivningen. Om det finnsmycket druvsocker i omgivningen kan jästen obekymrat mumsa i sig detta, utan attbehöva slösa energi på att producera SUC2. Om det däremot inte finns något druvsockermåste jästen hitta något annat att äta. För att testa om det kanske kan finnas betsockeri omgivningen produceras därför SUC2. Om betsocker finns kommer detta att brytasned och de numera små sockermolekylerna kommer att åka in i jästen, där energin kanutvinnas. Snf1 slår alltså på och av SUC2 baserat på hur omgivningen ser ut.

Även om de flesta människor kanske har annan favoritmat än just druvsocker, innebär enökad kunskap om Snf1 hos jäst en ökad kunskap om AMPK hos människa. På liknandesätt kan massor med andra mänskliga gener och funktioner undersökas med hjälp avden lilla encelliga organismen. I takt med att vi blir bättre och bättre på att skapaverklighetstrogna modeller, och i takt med att våra datorer klarar av att hantera meroch mer data, kan vi öka vår kunskap om oss själva och världen omkring oss utan attbehöva använda oss av plågsamma djurförsök. På sikt kan matte och jäst rädda liv, bådemänskliga och icke-mänskliga.

iv


Sammanfattning

Snf1-signalvägen är en viktig del av näringssignaleringen hos jäst. För att undersökaSnf1-signalvägen hos S. cerevisiae skapades i detta projekt fyra olika matematiska mo-deller över hur uttrycket av invertaset SUC2 varierade efter ett skifte i den yttre gluko-skoncentrationen från 4 % till 0,1 %. I signalvägen ingår förutom Snf1 och SUC2 äventranskriptionsfaktorn Mig1. Modellerna byggdes upp av ordinära differentialekvationer.

För att validera de skapade modellerna anpassades de till uppmätt data. De två förstamodellerna, modell 0 och 1, lyckades inte beskriva det experimentellt observerade be-teendet hos uttrycket av SUC2 och analyserades inte vidare. Detta lyckades dock detvå andra modellerna, X-modellerna, bättre med. X-modellerna är två förenklingar avsamma modell, reducerade för att vara strukturellt identifierbara. I X-modellerna ut-gjorde Snf1 en ”svart låda” och alla de okända faktorer som påverkar uttrycket av SUC2samlades i tillståndsvariabeln X. Den ena X-modellen, den svagt reducerade versionen,fångade datans beteende i början av experimentet medan den andra, den tungt redu-cerade versionen, fångade stabiliserandet av SUC2-uttrycket som uppkom i slutet avexperimentet.

Residualanalys genomfördes för X-modellerna och för att undersöka modellernas predik-tionsförmåga gjordes även ett försök till numerisk identifierbarhetsanalys. Detta misslyc-kades dock då approximationerna av Hessianerna inte kunde användas för att beräknakovariansmatriserna.

v


Abstract

The Snf1 pathway is an important part of the nutritional signaling network in yeast.In this project the Snf1 pathway in S. cerevisiae was investigated using mathematicalmodelling. Four different models of the expression of the invertase SUC2 after a shiftin the external glucose concentration from 4 % to 0.1 % were created. In addition toSnf1 and SUC2 the modelled pathway also includes the transcription factor Mig1. Themodels were made using ordinary differential equations.

In order to validate the models they were fitted to experimental data. The first twomodels, model 0 and model 1, did not accurately describe the observed behavior of theexpression of SUC2 and were not analysed further. The other two models, however, did.These were named the X-models, and are two simplifications of the same model, reducedto become structurally identifiable. In the X-models Snf1 was black boxed and all theunknown factors affecting the expression of SUC2 were lumped together in the statevariable X. One of the X-models, the lightly reduced version, captured the observedbehavior in the beginning of the experiment, whereas the other X-model, the heavilyreduced version, captured the stabilization of the expression of SUC2 which occured bythe end of the experiment.

Residual analysis was performed on the X-models and in order to investigate their abilityfor prediction a numerical identifiability analysis was initiated. This, however, failed, asthe Hessian approximations could not be used to calculate the covariance matrices.

vi


Ordlista

• Eukaryoter är organismer vars celler har membran kring cellkärnan. Exempel påeukaryoter är djur, växter och svampar.

• Saccharomyces cerevisiae är det vetenskapliga namnet på bagerijäst, en vanligjästsort som bland annat används inom industri, forskning och till matlagning.

• Uttryck av gener innebär att koden i en DNA-sekvens avläses och översätts tillett protein.

• Promotor är en kort DNA-sekvens, placerad framför en gen som fungerar som påoch av knapp för den aktuella genen.

• Inihibering av en gen innebär att den hindras från att uttryckas.

• Transkriptionsfaktorer är proteiner som kan aktivera eller hindra uttrycket aven gen, till exempel genom att sätta sig på dess promotor.

• Enzymer är stora proteiner som hjälper till att katalysera kemiska reaktioner ioch utanför cellen.

• Invertaser är en kategori enzymer som har i uppgift att bryta ned större socker-molekyler, sackaros, till mindre sockerarter så som glukos och fruktos som cellenanvänder som energikällor.

• Kinaser är en kategori enzymer som kan katalysera fosforyleringen av andra en-zym eller protein.

• Fosforylering är ett sätt för cellen att skicka vidare en signal genom bindning aven fosfatgrupp. Kinaser fosforylerar proteiner så att de aktiveras/deaktiveras.

vii

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg INNEHÅLL

Innehåll

Förord ii

Populärvetenskaplig text iii

Sammanfattning v

Abstract vi

Ordlista vii

1 Inledning och bakgrund 1

2 Syfte 2

3 Teori 2

3.1 Systembiologins grunder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.2 Snf1-signalvägen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3 Generella metoder för modellering av biologiska system . . . . . . . . . . 3

3.3.1 Strukturell identifierbarhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.3.2 Modellreducering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4 Parameteruppskattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.5 Numerisk identifierbarhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.6 Residualanalys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Metod och modellering 7

4.1 Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Modellering av uttrycket av SUC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2.1 Modell 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2.2 Modell 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

viii


4.2.3 X-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2.4 Reducering av X-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3 Strukturell identifierbarhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4 Parameteruppskattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4.1 Modellformulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4.2 Modellsimulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.4.3 Parameteroptimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.5 Residualanalys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Resultat från parameteruppskattningar 13

5.1 Modell 0 & 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 X-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Den svagt reducerade X-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3.1 Numerisk identifierbarhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.2 Residualanalys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4 Den tungt reducerade X-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.4.1 Numerisk identifierbarhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4.2 Residualanalys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Diskussion 18

7 Slutsats 20

Referenser 21

Appendix 23

A Dataframställning 23

B Approximation av Hessianen 24

ix


C Strukturell identifierbarhet 24

C.1 X-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

C.2 Den svagt reducerade X-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

C.3 Den tungt reducerade X-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

D Fullständiga resultat från parameteruppskattning 26

D.1 Modell 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

D.2 Modell 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

D.3 Den svagt reducerade X-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

D.4 Den tungt reducerade X-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

E MATLAB-kod 33

E.1 Modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

E.1.1 Model0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

E.1.2 Model1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

E.1.3 XModelReducedLight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

E.1.4 XModelReducedHeavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

E.2 Simulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

E.2.1 simulate_model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

E.3 Parameteruppskattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

E.3.1 optimize_model_params_average . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

E.4 Visualisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

E.4.1 plotable_fluorescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

E.4.2 visualize_mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

E.4.3 visualize_editable_model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

E.4.4 visualize_model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

E.5 Latex-formatering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

x


E.5.1 latexTable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

E.5.2 saveLatexFile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

E.6 Huvudprogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

E.6.1 estimate_model_average . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

E.6.2 main . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

xi

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg 1. Inledning och bakgrund

1 Inledning och bakgrund

Alla celler, från bakterier och jäst till våra egna celler i kroppen, har förmågan att sättapå eller stänga av sina egna gener. Det kan till exempel handla om att reglera vilken delav cellcykeln cellen ska befinna sig i eller att stänga av en gen för att inte slösa onödigenergi på att producera saker som för tillfället inte behövs. Regleringen av genuttryckethos en cell börjar med att en förändring i omgivningen registreras. Detta leder till att ensignal skickas genom cellen via olika molekyler såsom enzymer och andra proteiner. Omcellen är eukaryot, och alltså har cellkärna, måste signalen nå in till denna och aktiveratranskriptionsfaktorer som kan starta eller inhibera uttrycket av de specifika gener sombehövs. Hela processen, från att en signal skickas tills att en gen slås på kallas signalväg,och det finns ett enormt antal sådana i en cell. Då olika signalvägar dessutom påverkarvarandra bildar de tillsammans ett komplext nätverk som tillåter cellen att dynamisktanpassa sig allteftersom omgivningen förändras.

En av alla de signalvägar som är livsviktiga för eukaryota celler är den som ser till attderas energinivåer hålls konstanta [3]. Signalvägen styrs framför allt av en gen, som ge-nom evolutionen bevarats så att den är nästan identisk i olika eukaryota organismer. Hosmänniskan heter genen ”Adenosine monophosphate-activated protein kinase” (AMPK)och påverkar förutom energinivåerna även cellulär stressresistens, hur cellen återvinnergamla proteiner och det spekuleras till och med i huruvida AMPK kan påverka vårlivslängd [4]. Genen interagerar dessutom med läkemedel både mot diabetes och cancer,men hur detta går till är inte känt [5].

Det är av stor vikt att öka kunskapen om AMPK-signalvägen, men att studera mänsk-liga celler är svårt. Att studera jästceller är däremot ett vanligt och relativt enkelt sättatt undersöka cellulära egenskaper. Cellerna tillväxer snabbt och klarar sig på förhål-landevis enkla näringsmedium, som glukos. Dessutom gör faktumet att jästceller precissom människor är eukaryoter, att även de har den aktuella signalvägen inbyggd. Hosjäst heter den styrande genen inte AMPK utan ”Sucrose nonf ermenting 1” (Snf1).

Snf1 reglerar många proteiner, däribland transkriptionsfaktorn”Multicopy inhibitor ofGAL gene expression 1” (Mig1), som i sin tur reglerar omkring 350 olika gener [6]. Enav de gener som regleras av Mig1, och därmed även av Snf1, är ”Sucrose 2” (SUC2).Det är ett enzym som bryter ned sackaros till glukos och fruktos, och uttrycks bara dåvarken maltos, fruktos eller glukos finns i jästcellens omgivning. Exakt hur detta gårtill, alltså hur Snf1 känner av halterna maltos, fruktos och glukos i omgivningen, är intekänt [7]. Det är därför av intresse att vidare undersöka signalvägen där SUC2, Mig1 ochSnf1 ingår. Det görs i detta arbete genom att halten glukos kring en jästcellspopulationhastigt sänks och responsen i form av koncentrationen SUC2 mäts över tid. En mate-matisk modell över hur uttrycket av SUC2 varierar sätts upp och passas till datan frånjästcellsexperimentet.

För att kunna använda den framtagna modellen till att prediktera hur signalvägen betersig, till exempel om glukoskoncentrationen höjs istället för sänks, måste det gå att uniktbestämma värdena hos modellens parametrar, det vill säga parametrarna måste vara

1

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg 3. Teori

identifierbara. Därför utförs identifierbarhetsanalyser.

Genom att skapa och validera en matematisk modell över uttrycket av SUC2 kan för-ståelsen för signalvägen ökas. Detta skulle i förlängningen leda till större förståelse förfunktionen hos Snf1, och därmed även dess mänskliga analog AMPK.

2 Syfte

I denna rapport undersöks med hjälp av matematisk modellering hur uttrycket av SUC2i Saccharomyces cerevisiae förändras över tid när den yttre glukoskoncentrationen änd-ras från 4 % till 0,1 %. De framtagna modellerna valideras genom att anpassas tillexperimentella data och modellparametrarnas identifierbarhet undersöks.

3 Teori

Följande kapitel innehåller den teoretiska bakgrunden till rapporten. Den inleds med enbiologisk bakgrund om systembiologi och det system som ska modelleras och fortsättermed att generellt beskriva de verktyg som används.

3.1 Systembiologins grunder

Figur 1: Schematisk bild över den systembiologiskacykeln.

Biologiska signalvägar är ofta för kom-plexa för att endast kunna förklaras ochundersökas med experiment där varjeenskild komponent i signalvägen stude-ras. För att undersöka större nätverkkan experimenten kombineras med ma-tematisk modellering Detta görs inomsystembiologin som kännetecknas av attflera olika discipliner som biologi, mate-matik och datavetenskap kombineras föratt få en djupare förståelse för hur biolo-giska nätverk fungerar [8]. Den system-biologiska processen är ofta cyklisk (Fi-gur 1). Processen inleds med att gö-ra tester på den organism som ska un-dersökas. Experimentell data insamlasoch därefter sätts matematiska modellerupp. Om modellen kan beskriva datansbeteende kan prediktioner göras om detbiologiska systemet [8]. Prediktioner kan därefter bekräftas eller förkastas genom nyaexperiment, och cykeln börjar om på nytt.

2


3.2 Snf1-signalvägen

Snf1-signalvägen är en av flera signalvägar som ingår i det stora nätverket av näringssig-nalering hos S. cerevisiae [7]. Snf1 har visat sig vara aktivt, alltså i fosforylerad form, dåglukoshalten i cellens omgivning är låg. Proteinet har en stor roll i reglering av mångaolika gener [9]. En av generna, SUC2, regleras av så kallad glukosrepression. Detta inne-bär att under glukosfattiga förhållanden kommer genen att uttryckas i stor mängd, mendå glukoshalten i omgivningen är hög kommer genen att vara avstängd.

Mer detaljerat är uttrycket av SUC2 huvudsakligen reglerat av Snf1 och Mig1. Då ing-et glukos finns i jästens omgivning är Snf1 fosforylerat. Fosforylerat Snf1 kommer i sintur att fosforylera transkriptionsfaktorn Mig1. I ickefosforylerad form inhiberar Mig1uttrycket av SUC2, men då Mig1 fosforyleras lossnar det från DNA:t och SUC2-genenkan uttryckas fritt. Om glukos istället finns tillgängligt i omgivningen är Snf1 inte fos-forylerat. Detta gör att Snf1 inte kan fosforylera Mig1 som då stannar på DNA:t ochinhiberar uttrycket av SUC2 (Figur 2) [7].

Figur 2: Schematisk bild över Snf1-signalvägen. När glukos finns närvarande kan cellen utvinna energigenom att bryta ned den energirika molekylen. Mig1 inhiberar uttrycket av SUC2 med hjälp av andratranskriptionsfaktorer (TF). Om inget glukos finns närvarande aktiveras Snf1 som fosforylerar Mig1.Detta medför att SUC2 kan uttryckas fritt.

3.3 Generella metoder för modellering av biologiska system

För att beskriva ett biologiskt nätverk som förändras över tid är ordinära differentia-lekvationer, ODE:er, ett vanligt verktyg inom systembiologin [10]. Vanligen utnyttjasdessutom enzymatisk kinetik och massverkans lag för att beskriva de biokemiska reak-tionerna [11]. Koncentrationen av ett protein, A, i ett slutet system beror då av hurmycket som skapas respektive bryts ned enligt

dA

dt= {genuttrycket av A} − {nedbrytning av A} = r1 − r2,

3


där ri är hastigheten med vilken genuttrycket respektive nedbrytningen sker. Om Aantas bildas och brytas ned enligt

k1−→ A k2−→ ∅

där ∅ symboliserar nedbrytningen, kan nedbrytningshastigheten beskrivas som en förstaordningens reaktion på formen

r2 = k2 ·A (1)

där A är koncentrationen av proteinet [10][s. 171].

Ett biologiskt nätverk kan bestå av flera sammankopplade delar, så som en signalvägsom leder till ett genuttryck. Fosforylering av ett protein i en signalväg kan illustrerassom en ”loop” där proteinet har två stadier som det kan växla mellan: fosforylerad ochickefosforylerad form (Figur 3) [10]. Ett sätt att matematiskt beskriva detta är

dR∗

dt= k1 · S · (Rtot −R∗)− k2 ·R∗, (2)

Figur 3: Schematisk bild över fosfo-ryleringen av R påverkad av S.

där R∗ är mängden fosforylerat protein, Rtot den kon-stanta totala mängden protein, S den tidigare kompo-nenten i signalvägen och k1 och k2 hastighetskonstan-ter [10, s. 218]. Här är alltså r1 = k1 · S · (Rtot −R∗)och r2 är på samma form som i ekvation (1). Ek-vationen beskriver balansen mellan fosforylering ochdefosforylering.

Genuttryck är en starkt reglerad process [10]. Om ut-trycket regleras genom inhibering kan bildningshas-tigheten för uttrycket av en gen inhiberat av en tran-skriptionsfaktor B beskrivas med

r1 =Vmax

KB +Bn(3)

där Vmax är maxhastigheten med vilken den inhiberande genen uttrycks, n är Hill-koefficienten och KB är en inhiberingskonstant [10, s. 268].

3.3.1 Strukturell identifierbarhet

För att kunna använda en skapad modell till att göra prediktioner om det biologiska sy-stemet behöver modellens parametrar vara strukturellt identifierbara. Detta innebär attde med hjälp av en viss uppmätt utdata, till exempel koncentrationen av ett protein, kanbestämmas entydigt [12][s.437-442]. Att testa om en modell är strukturellt identifierbarutgör en viktig del av själva modellutformningen och detta bör göras innan modellenanpassas till experimentella data. Den strukturella identifierbarheten beror endast avstrukturen hos modellen givet en viss utdata som ska mätas, och inte av den faktiskaexperimentella datan. I fortsättningen av rapporten benämns en modell som strukturelltidentifierbar då dess parametrar är strukturellt identifierbara givet en specifik utdata (idetta fall SUC2).

4


3.3.2 Modellreducering

För att göra modellerna identifierbara kan de reduceras vilket leder till att antalet para-metrar minskas. Detta kan åstadkommas genom antaganden eller logiska resonemang.

Ett sätt är att betrakta en parameter som konstant, exempelvis med hjälp av värden fråntidigare studier. Detta sätt att reducera modellen kräver att parametern representerarnågonting mät- eller skattbart. Antagandet behöver därför göras först i processen innanandra antaganden görs, eftersom de andra antagandena kan förändra parametern, vilketgör den omätbar.

Ett annat vanligt antagande är antagandet att systemet var i ett ”steady state” innan t0då experimentet startades. Att ett visst genuttryck i en cell nått steady state innebär attcellen har anpassat sig efter ett konstant förhållande och koncentrationen av proteinetär därför konstant, det vill säga derivatan är 0.

En tredje metod för reducering är icke-dimensionalisering, det vill säga att variablerskalas om så att deras enheter försvinner [13, kap. 6]. Med denna metod kan icke-observerade variabler skalas om så att deras initialvärden blir 1. Detta är i många fallenkelt att göra men har nackdelen att parametrarna skalas om så att de inte längremotsvarar en biologisk egenskap.

3.4 Parameteruppskattning

En lösning till differentialekvationerna i en ODE-modell kan erhållas förutsatt att vis-sa parametrar såsom initialvärden och reaktionshastigheter är givna. För att hitta devärden på parametrar som bäst stämmer överens med verkligheten görs en parame-teruppskattning, där målet är att hitta lösningen som minimerar kostnadsfunktionen f ,det vill säga

minθ∈Rn

f(θ) = minθ∈Rn

m∑i=1‖yi − ŷi(θ)‖2 = min

θ∈Rn

m∑i=1‖ri(θ)‖2 (4)

där yi är den uppmätta proteinkoncentrationen i tidpunkt i, ŷi(θ) är den simulerade pro-teinkoncentrationen givet parametrarna θ i samma tidpunkt och ri(θ) är residualerna,det vill säga skillnaderna mellan de äkta och de simulerade värdena. Genom att minime-ra summan av kvadraten på residualerna får vi de parametrar som har störst sannolikhetatt ge upphov till datan givet att residualerna är normalfördelade med medelvärde 0 ochokänd konstant varians [14, kap. 8.5].

För att göra själva minimeringen används Kvasi-Newton-metoden Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno (BFGS) som från en startpunkt tar steg i en nedåtstigande riktningtills den hittar ett lokalt minimum [15, kap. 11.2.2].

5


3.5 Numerisk identifierbarhet

För att undersöka med vilken statistisk säkerhet parametrarna i en modell kan uppskat-tas genomförs en numerisk identifierbarhetsanalys. Precis som den strukturella iden-tifierbarheten beror den numeriska identifierbarheten av modellstrukturen. Skillnadenär dock att den numeriska identifierbarheten även beror på den experimentella datan.För optimala parametrar θ̂ vid ett lokalt minima i kostnadsfunktionen är en parame-ter θ̂k numeriskt identifierbar om parameterns uppskattade varians s2(θ̂k) och kovarianscov(θ̂k, θ̂l) har låga värden [12]. Kovariansen beskriver i hur stor grad två parametrarsamvarierar. Uppskattade värden på varians och kovarians hos parametrarna är samladei en kovariansmatris COV (θ̂), där parametrarnas varians befinner sig på diagonalen. Ettsätt att uppskatta en lägre gräns för kovariansmatrisen är att använda Cramer-Raos satssom säger att

COV (θ̂) ≥ F−1(θ̂)

där F (θ̂) är en matris som kallas ”Fisher information matrix” [12]. I optimeringsmetodersom bygger på Newtons metod, så som BFGS och Gauss-Newton, beräknas en approxi-mation av kostnadsfunktionens Hessian [15]. För kostnadsfunktionen i ekvation (4) gårdet att approximera Fisher information matrix med hjälp av kostnadsfunktionens Hessi-an [12]. Denna matris härleds med hjälp av approximationen av Hessianen som beräknasi optimeringsmetoden Gauss-Newton [15] [12] och hur detta görs beskrivs i appendix B.I Kvasi-Newton-metoden BFGS [15], som används i projektet, approximeras HessianenHBFGS(θ̂) i den optimala punkten enligt en annan formel. Trots detta används i projek-tet samma ekvation att approximera Fisher information matrix som den som användsför Gauss-Newton. En lägre gräns för kovariansmatrisen för parametrarna uppskattasdärmed som

COV (θ̂) ≥ s2H−1BFGS(θ̂),

där den skattade variansen hos residualerna ges enligt

s2 =∑mi=1 (ri(θ̂))2

m− n(5)

där n är antalet strukturellt identifierbara parametrar [12].

3.6 Residualanalys

I parameteruppskattningen antas att residualerna är normalfördelade med medelvärdenoll och okänd konstant varians. För att undersöka om dessa antaganden håller analyse-ras de standardiserade residualerna rs,i = (yi− ŷi)/s där variansen s ges av ekvation (5).De standardiserade residualerna bör vara standardnormalfördelade och det antagandetkan kontrolleras genom att generera en QQ-plot, där Q står för kvantil (”quantile”). Ien QQ-plot jämförs fördelningen hos residualerna mot standardnormalfördelningen. Omresidualerna är standardnormalfördelade bör punkterna i grafen bilda en rät linje ge-nom origo med lutning 1 [16]. För att ytterligare analysera residualerna kan de plottasmot tiden. Residualerna bör vara slumpmässigt placerade och inte följa någon särskildtrend i en sådan graf. Det skulle i så fall kunna tyda på att modellen inte är korrektformulerad [17].

6

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg 4. Metod och modellering

4 Metod och modellering

Följande kapitel presenterar modellerna som skapats i projektet samt beskriver hur detogs fram. I kapitlet beskrivs även de metoder för parameteruppskattning och valideringsom användes i projektet.

4.1 Data

Datan i arbetet kommer från jästceller som levt i ett medium med 4 % glukos, därmediet vid t0 bytts till att innehålla 0,1 % glukos. Mängden SUC2 hos individuellaceller har sedan uppmätts med 5-minutersintervall i 97 tidpunkter. För att kunna följauttrycket av SUC2 i cellerna har det fluorescerande proteinet Yellow Fluorescent Protein(YFP) transformerats in i cellernas DNA vid genen för SUC2. Därmed kommer YFPatt uttryckas tillsammans med SUC2. När YFP belyses med UV-ljus kommer det attfluorescera i gult, och det blir därför enkelt att detektera SUC2. En högre koncentrationSUC2 ger därmed ett starkare fluorescent ljus. Mer information om framställandet avdatan finns i appendix A.

4.2 Modellering av uttrycket av SUC2

Den första modellen gjordes så enkel som möjligt för att sedan omformuleras till merkomplexa modeller med fler parametrar som bättre kunde representera systemet ochbeskriva den data som insamlats. Baserat på den biologiska bakgrunden formuleradesföljande krav på modellerna:

• När glukoskoncentrationen är låg kommer SUC2-koncentrationen att vara hög

• När glukoskoncentrationen är hög kommer koncentrationen av SUC2 att vara låg

• När glukoskoncentrationen är hög kommer inte Snf1 att fosforylera Mig1

3 modeller skapades och namngavs modell 0, 1 respektive X. En modellreducering gjordesför X-modellen vilket gav upphov till två förenklade modeller. Det biologiska systemetantogs i alla modeller vara slutet och lyda massverkans lag.

4.2.1 Modell 0

I modell 0 inkluderades enbart glukoskoncentrationen och SUC2, och inte övriga protei-ner i signalvägen (Figur 4). Baserat på systemets villkor att genuttrycket bör vara högtdå glukoshalten är låg och vice versa antogs bildningshastigheten av SUC2 vara omväntproportionell mot glukoshalten. Med hjälp av detta och ekvation (1) blev modellen

dSUC2dt

= k1Glu − k2 · SUC2(t) (6)

7


Figur 4: Schematisk bild över hur variablerna i modell 0 påverkar varandra. Här antas bildningshastig-heten av SUC2 bero enbart av koncentationen extracellulärt glukos.

där Glu är den yttre glukoskoncentrationen. Modellens initialvillkor är

SUC2(0) = SUC20 (7)

där SUC20 tas från datan. Glu sattes till 0.001 eftersom koncentrationen glukos i börjanav experimentet ändrades til 0,1 %.

4.2.2 Modell 1

Med modell 1 gjordes ett försök att modellera en större del av Snf1-signalvägen. Fördetta användes ekvation (2) tillsammans med ekvation (1) vilket med Snf1, Mig1 ochSUC2 som tillståndsvariabler gav ekvationerna

dSnf1∗

dt= k1 ·

1Glu · Snf1(t)− k2 · Snf1(t)

∗

dMig1∗

dt= k3 · Snf1(t)∗ ·Mig1(t)− k4 ·Mig1(t)∗

dSUC2dt

= k3 ·Mig1(t)∗ − k4 · SUC2(t)

där Snf1∗ och Mig1∗ är de fosforylerade versionerna av proteinerna, Snf1 och Mig1de ickefosforylerade versionerna och Snf1tot = Snf1∗ + Snf1, Mig1tot = Mig1∗ + Mig1.Signalen S från ekvation (2) representeras här av 1/Glu. I ekvationen för Mig1 utgörs Sav fosforylerat Snf1, alltså Snf1∗ och i ekvationen för SUC2 utgörs S av Mig1∗.

För att minska antalet okända parametrar och variabler betraktades sedan mellanstegetSnf1 som en svart låda och ersattes av den inversa glukoskoncentrationen (Figur 5).

Figur 5: Schematisk bild över hur variablerna i modell 1 påverkar varandra. Här illustreras fosforyle-ringen av Mig1 som en loop som påverkas av extracellulärt glukos. Fosforylerat Mig1 påverkar i sin turbildningshastigheten av SUC2.

8


Då Mig1tot antogs vara konstant sattes Mig1tot = 1 vilket ger att Mig1 = 1 −Mig1∗.Modell 1 blev därmed

dMig1∗

dt= k1 ·

1Glu

· (1−Mig1∗(t))− k2 ·Mig1∗(t)

dSUC2dt

= k3 ·Mig1∗(t)− k4 · SUC2(t) (8)

med initialvillkoren

SUC2(0) = SUC20Mig1∗(0) = Mig1∗0,

(9)

där Mig1∗0 är en parameter.

4.2.3 X-modellen

Då varken modell 0 eller modell 1 passade till den uppmätta datan konstruerades ännuen modell, där en ny tillståndsvariabel introducerades med inspiration från en tidigarestudie [18]. Modellen består av tre tillståndsvariabler: SUC2, Mig1 som ger upphov tillinhibering utav SUC2, samt en representation av övriga okända påverkningar orsakadeav extracellulärt glukos samlade i den nya variabeln X (Figur 6). I denna modell berorickefosforylerat Mig1 av den nya variabeln X.

Figur 6: Schematisk bild över hur variablerna i X-modellen påverkar varandra. Här visas att Mig1defosforyleras av extracellulärt glukos och inhiberar SUC2. En okänd faktor X har lagts till som påverkasutav extracellulärt glukos samt påverkar fosforyleringen av Mig1.

Då Mig1 inhiberar SUC2 användes ekvation (3) istället för den loop-beskrivande ek-vation (2) som använts i modell 1. ekvation (1) användes för nedbrytningen av X ochSUC2. För nedbrytningen av Mig1 användes en modifierad version av ekvationen.

9


Den kompletta modellen blev därmed

dSUC2dt

= VmaxKMig1 + Mig1(t)n

− k1 · SUC2(t)

dMig1dt

= k2 ·Glu− k3 ·Mig1(t) ·X(t)

dX

dt= k4 ·Glu− k5 ·X(t)

(10)

med initialvillkoren

SUC2(0) = SUC20Mig1(0) = Mig10X(0) = X0

(11)

där Mig10, X0 är parametrar.

4.2.4 Reducering av X-modellen

För att göra modellen både strukturellt och numeriskt identifierbar gjordes två reduce-rade versioner.

Den första ”svagt” reducerade modellen reducerades med två metoder. Först antogsatt Hill-koefficienten n i ekvation (10) var konstant. Detta antagande gjordes eftersomHill-koefficienten för inhiberingen av SUC2 beror av antalet bindningssäten [19], ochantagandet görs att detta inte varierar. n valdes till 3 eftersom detta visade sig ge brastabilitet i optimeringen. Efter det gjordes en icke-dimensionalisering av Mig1 och X.Med antagandet att

Mig1(t) = M̃ig1(t) ·Mig10 (12)X(t) = X̃(t) ·X0 (13)

fick vi att

dM̃ig1dt

= k2Mig10·Glu− k3X0 · M̃ig1(t) · X̃(t)

= k̃2 ·Glu− k̃3 · M̃ig1(t) · X̃(t)(14)

där k̃2 = k2/Mig10 och k̃3 = k3X0, och

dX̃

dt= k4X0·Glu− k5 · X̃(t)

= k̃4 ·Glu− k5 · X̃(t)(15)

10


där k̃4 = k4/X0. Den svagt reducerade modellen blev alltså

dSUC2dt

= ṼmaxK̃Mig1 + M̃ig1(t)n

− k1 · SUC2(t)

dM̃ig1dt

= k̃2 ·Glu− k̃3 · M̃ig1(t) · X̃(t)

dX̃

dt= k̃4 ·Glu− k5 · X̃(t)

(16)

där Ṽmax = Vmax/Mig1n0 och K̃Mig1 = KMig1/Mig1n0 , med initialvillkoren

SUC2(0) = SUC20M̃ig1(0) = 1X̃(0) = 1.

(17)

Modellen har sju parametrar (Ṽmax, K̃Mig1, k1, k̃2, k3, k̃4, k5).

Den ”tungt” reducerade modellen togs fram på liknande sätt, men dessutom gjordes ettantagande om steady state för alla tre variabler. Först gjordes samma antagande om nsom i den svagt reducerade modellen följt av antagandet i ekvation (13). Sedan gjordesantagandet att

dX̃

dt(0−) = 0,

det vill säga att X var konstant fram tills att glukoshalten minskades. Detta gav att

k4X0

Glu0− = k5X̃(0−) = k5

där Glu0− innebär glukoshalten innan minskning i koncentration. Med samma notationsom i ekvation (15) fick vi då att

dX̃

dt= k̃4 ·Glu− k̃4 ·Glu0− · X̃(t).

På samma sätt icke-dimensionaliserades Mig1 med antagandet från ekvation (12) ochsedan gjordes antagandet

dM̃ig1dt

(0−) = 0.

Med notationen från ekvation (14) gav det på samma sätt som för X̃ att

dM̃ig1dt

= k̃2 ·Glu− k̃2 ·Glu0− · M̃ig1(t) · X̃(t).

Sist gjordes ett antagande attdS̃UC2dt

(0−) = 0,

11


vilket gav att

k1 · SUC20 =Vmax

KMig1 + Mig1n0= Ṽmax ·Mig1

n0

K̃Mig1 ·Mig1n0 + Mig1n0= ṼmaxK̃Mig1 + 1

.

Med samma notation som i ekvation (16) blev den tungt reducerade modellen då

dSUC2dt

= ṼmaxK̃Mig1 + M̃ig1(t)n

− Ṽmax(K̃Mig1 + 1)SUC20

SUC2(t)

dM̃ig1dt

= k̃2 ·Glu− k̃2 ·Glu0− · M̃ig1(t) · X̃(t)

dX̃

dt= k̃4 ·Glu− k̃4 ·Glu0− · X̃(t)

(18)

med initialvilkor

SUC2(0) = SUC20M̃ig1(0) = 1X̃(0) = 1.

(19)

Den tungt reducerade modellen har därmed 4 parametrar (Ṽmax, K̃Mig1, k̃2, k̃4).

4.3 Strukturell identifierbarhet

För att undersöka strukturell identifierbarhet hos de olika reduktionerna av X-modellenanvändes det färdiga Wolfram Mathematica-paketet [20] IdentifiabilityAnalysis [21].

4.4 Parameteruppskattning

Parameteruppskattningen gjordes med MATLAB R2018a [22], ”Optimization Toolbox”[23] och ”Statistics and Machine Learning Toolbox” [24]. Här presenteras en övergripandebild över koden som användes för parameteruppskattningen. För detaljer och resten avkoden se appendix E.

4.4.1 Modellformulering

För att kunna optimera parametrarna hos modellerna formulerades modellerna somMATLAB-funktioner. Denna formulering genomgick flera iterationer, men landade påen funktionsframställning (se t.ex. XModel, appendix E.1.3). Det gjorde att modellernalätt kunde skickas som function handle:s [25, kap. 13]. I grunden tar modellfunktionenparametrar till modellen och ger tillbaka ett function handle med högerledet i model-lens ODE och initialvilkor till ODE:n. För att öka läsbarheten gavs även map:s överreaktanterna och parametrarna i modellen tillbaka av modell-funktionen. Initialvärdethos reaktanten det finns data för (dvs. SUC2) fördes även in som ett eget argument,vilket motiverades från en simuleringsståndpunkt.

12

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg 5. Resultat från parameteruppskattningar

4.4.2 Modellsimulering

Modellerna simulerades med en ODE-lösare i MATLAB. En modell kan få olika kva-litativa beteenden beroende på parametrarna, vilket gjorde att olika lösare behövdeanvändas eftersom lösarvalet beror på ODE:ns beteende [26, kap. 11]. Därför användesbåde ode45 och ode15s. Ett exempel på denna simulering finns i simulate_model (ap-pendix E.2.1). ode45 användes först då den har högre hastighet och om problemet visadesig vara svårlöst på ett sätt som ode45 inte kunde hantera användes istället ode15s.

För att minimera antalet parametrar som behövde uppskattas användes den första da-tapunkten i tidsserien som initialvärde för SUC2. Den erhållna lösningen på modelleninterpolerades även till de tidpunkter som uppmätts i datan för att göra jämförelser såenkla som möjligt. Dessa två krav gör att alla modellsimuleringar kräver att data finns. Ipraktiken skapade detta inte några problem, eftersom simuleringarna bara är intressantai relation till datan.

4.4.3 Parameteroptimering

För att testa modellen användes minstakvadratmetoden på jästpopulationens medelvär-de för att ta fram de optimala parametrarna. Modellen simulerades givet vissa paramet-rar och resultatet jämfördes med datan för att ta fram residualerna. Minimeringsproble-met löstes med fminunc, med Kvasi-Newton-metoden BFGS vald som lösningsmetod. Ettexempel på detta finns i optimize_model_params_average (appendix E.3.1). Eftersommodellen simulerades flera gånger per optimeringssteg automatiserades ODE-lösarbytet.

4.5 Residualanalys

Residualanalys gjordes i MATLAB [22] genom att generera QQ-plottar och plotta resi-dualerna över tid. Mer detaljer om uträkningarna kan ses i appendix E.6.1.

5 Resultat från parameteruppskattningar

Nedan presenteras resultaten från parameteruppskattningarna för de olika modellerna.Där det är av värde presenteras även resultaten från identifierbarhets- och residualana-lysen. Fullständiga resultat finns i appendix D. Den exakta koden som använts för attta fram figurerna och tabellerna finns i main.m i appendix E.6.2.

13


5.1 Modell 0 & 1

Modell 0 ges av ekvation (6) och (7) och modell 1 ges av ekvation (8) och (9). Resultatetav simuleringen visar att modellerna inte beskriver den experimentellt observerade datanoch modellerna analyserades därför inte vidare (Figurerna 7a och 7b).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Individual cells

Population average

Simulated value

(a) Modell 0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Individual cells

Population average

Simulated value

(b) Modell 1

Figur 7: Simulering av modell 0 och 1. Experimentella fluorescensmätningar för 198 individuella celleröver tid. Medelvärdet hos populationen (svart kurva) och simulerade värden (röd kurva) för modell 0(del a) och modell 1 (del b).

5.2 X-modellen

X-modellen ges av ekvation (10) och (11). Modellen visade sig inte vara strukturelltidentifierbar (appendix C.1).

5.3 Den svagt reducerade X-modellen

Den svagt reducerade X-modellen som beskrivs av ekvation (16) och (17) är strukturelltidentifierbar (appendix C.2). Modellen har 7 okända parametrar

θ =[Ṽmax, K̃Mig1, k1, k̃2, k3, k̃4, k5

].

Startgissningar på dessa finns beskrivna i appendix D.3 och de optimala parametrarnages i Tabell 1.

Tabell 1: Optimala parametrar för den lätt reducerade X-modellen.

Vmax Kmig k1 k2 k3 k4 k510.1811 -0.1268 0.1175 2.0104 0.2619 3.2223 0.5196

Resultatet av simuleringen visar att modellen beskriver den experimentellt observeradedatan (Figur 8).

14


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Individual cells

Population average

Simulated value

Figur 8: Simulering av den svagt reducerade X-modellen. Experimentella fluorescensmätningar för 198individuella celler över tid. Medelvärdet hos populationen (svart kurva) och simulerade värden (rödkurva) för den svagt reducerade X-modellen.

5.3.1 Numerisk identifierbarhet

Inversen av den erhållna approximerade Hessianen innehåller negativa värden på diago-nalen (appendix D.3). Det innebär att kovariansmatrisen för de uppskattade parametrar-na inte kan beräknas och det går inte att avgöra om modellen är numeriskt identifierbar.

5.3.2 Residualanalys

Residualanalysen visar att de största och minsta residualerna avviker från en rät linjepå ett sätt som implicerar att deras fördelning är skev åt höger (”positively skewed”)(Figur 9). Det betyder att antagandet om att residualerna är normalfördelade, somgörs i parameteruppskattningen, inte är uppfyllt. Ytterligare ges att residualerna inteär slumpmässiga utan istället följer en trend och residualerna har inte heller konstantvarians (Figur 10).

15


-3 -2 -1 0 1 2 3

Standard Normal Quantiles

-3

-2

-1

0

1

2

3

Qu

an

tile

s o

f In

pu

t S

am

ple

QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal

Figur 9: QQ-plot av de standardiserade resi-dualerna för den svagt reducerade X-modellen.Residualerna beskrivs på y-axeln och x-axelnbeskriver de förväntade värdena hos residualer-na om de skulle vara standardnormalfördelade.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (min)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

resid

ua

ler

r i

Residualer mot tid (XModelReducedLight)

Figur 10: De standardiserade residualerna förden svagt reducerade X-modellen som funktionav tiden.

5.4 Den tungt reducerade X-modellen

Den tungt reducerade X-modellen som beskrivs av ekvation (18) och (19) är strukturelltidentifierbar (appendix C.3). Modellen har 4 okända parametrar

θ =[Ṽmax, K̃Mig1, k̃2, k̃4

].

Startgissningar på dessa finns beskrivna i appendix D.4 och de optimala parametrarnages i Tabell 2.

Tabell 2: Optimala parametrar för den tungt reducerade X-modellen.

Vmax Kmig k2 k4133.1231 2.2794 361.7944 3.7772

Resultatet av simuleringen visar att modellen beskriver den experimentellt observeradedatan (Figur 11).

16


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Individual cells

Population average

Simulated value

Figur 11: Simulering av den tungt reducerade X-modellen. Experimentella fluorescensmätningar för 198individuella celler över tid. Medelvärdet hos populationen (svart kurva) och simulerade värden (rödkurva) för den tungt reducerade X-modellen.

5.4.1 Numerisk identifierbarhet

Inversen av den erhållna approximerade Hessianen innehåller positiva värden på diago-nalen (appendix D.4) men eftersom negativa värden erhölls för den svagt reducerade vardet inte intressant att undersöka huruvida den tungt reducerade X-modellen är nume-riskt identifierbar.

5.4.2 Residualanalys

Residualanalysen visar att residualerna avviker från en rät linje på ett sätt som implice-rar att deras fördelning har färre extrema värden än förväntat (”light tailed”) (Figur 12).Det betyder att antagandet om att residualerna är normalfördelade, som görs i parame-teruppskattningen, inte är uppfyllt. Ytterligare ges att residualerna inte är slumpmässigautan istället följer en trend och residualerna har inte heller konstant varians (Figur 13).

17

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg 6. Diskussion

-3 -2 -1 0 1 2 3


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Qu

an

tile

s o

f In

pu

t S

am

ple


Figur 12: QQ-plot av de standardiserade resi-dualerna för den tungt reducerade X-modellen.Residualerna beskrivs på y-axeln och x-axelnbeskriver de förväntade värdena hos residualer-na om de skulle vara standardnormalfördelade.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (min)

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

resid

ua

ler

r i

Residualer mot tid (XModelReducedHeavy)

Figur 13: De standardiserade residualerna förden tungt reducerade X-modellen som funktionav tiden.

6 Diskussion

I detta projekt undersöktes genuttrycket av SUC2 i jäst med hjälp av matematisk mo-dellering. Två reducerade varianter av X-modellen skapades som till skillnad från modell0 och 1 lyckas beskriva den exprimentellt obseverade datan. När resultaten från simu-leringarna av de reducerade X-modellerna jämförs kan det konstateras att modellernalyckas fånga olika aspekter av hur koncentrationen av SUC2 varierar under experimentet.Den svagt reducerade X-modellen fångar koncentrationsförändringen i början av expe-rimentet men lyckas inte beskriva hur uttrycket av SUC2 stabiliseras i slutet (Figur 8).Den tungt reducerade X-modellen däremot lyckas beskriva stabiliseringen av SUC2 menfångar inte beteendet hos cellerna i början av experimentet (Figur 11). Att den tungtreducerade modellen fångar stabiliseringsbeteendet var förväntat eftersom modellen re-ducerades med ett antagande om att systemet var stabilt innan. Däremot är det inteklart vad hos steady-stateantagandet som gör att den tungt reducerade modellen intelyckas beskriva datans beteende i den första fasen.

Residualanalysen av de reducerade X-modellerna ger liknande resultat för båda model-lerna. Slutsatsen som kan dras är att modellerna har en del brister. Analysen gav attantagandet om normalfördelade residualer inte är uppfyllt samt att residualerna inte ärslumpmässiga utan följer en trend. (Figurerna 9, 10, 12 och 13).

För den svagt reducerade X-modellen hade inversen av den approximerade Hessianen ne-gativa värden på diagonalen. Därmed kunde inte den lägre gränsen för kovariansmatrisenbestämmas eftersom det skulle innebära att parametrarna hade en skattad varians somvar negativ. Det går alltså inte att avgöra om parametrarna är numeriskt identifierbara.För den tungt reducerade X-modellen erhölls positiva värden på diagonalen hos inversenav Hessianen. På grund av resultatet från den svagt reducerade X-modellen finns docken osäkerhet i om Hessianen kan användas för att beräkna kovariansmatrisen. Därför

18

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg 6. Diskussion

gjordes inte en numerisk identifierbarhetsanalys hos den tungt reducerade X-modellenheller.

Att den erhållna Hessianen innehöll negativa värden på diagonalen skulle kunna ty-da på att kovariansmatrisen borde beräknas med en annan metod. Det framgår intei [12] om endast den approximation av Hessianen som används i Gauss-Newton-metodenär lämplig att använda för att uppskatta kovariansmatrisen eller om andra approxi-mationer också fungerar bra. Huruvida approximationen av Hessianen som används iKvasi-Newton-metoden BFGS är lämplig att använda för att approximera en undre be-gränsning på kovariansmatrisen är därmed inte tydligt. Då både BFGS-Hessianen ochHessianen i Gauss-Newton-metoden används i samma syfte i optimeringsalgoritmernafinns det anledning att tro att BFGS-Hessianen går att använda. Om approximationenav Hessianen som används i BFGS däremot inte är lika lämplig, hade kovariansmatrisenkunnat uppskattas på ett annat sätt. Ett sätt skulle vara att använda en optimeringsal-goritm som uppskattar kovariansmatrisen med hjälp av den approximation av Hessianensom används i Gauss-Newton-metoden.

Vid modellformuleringen gjordes antagandet att Hill-koefficienten n var konstant ochhade värdet 3. Värdet som tilldelades n är inte motiverat på annat sätt än att denresulterande modellen gav numeriskt stabila simuleringar. Det exakta värdet n ska fixerasvid bör undersökas vidare. Vilket värde n tilldelas påverkar dock inte det kvalitativabeteendet hos modellen, så detta är främst av biologiskt intresse.

Det genomsnittliga genuttrycket av SUC2 för populationen minskar i början för attsedan öka och nå maxpunkten vid cirka t = 100 minuter. Därefter avtar kurvan igen föratt stabiliseras efter cirka 140 minuter (Figur 8). Ökningen kort efter glukosskiftet (från4 % till 0,1 %) är ett förväntat resultat eftersom tillverkning av SUC2 hjälper cellernavid låg glukoshalt. Därefter förväntades uttrycket av invertaset stabiliseras och hållaskonstant eftersom glukoshalten är fortsatt låg (0,1 %) under resten av experimenttiden.Istället sker en minskning av SUC2 efter maximat, vilket båda X-modellerna fångar.Att genuttrycket av SUC2 minskar efter maximat kan bero på att cellen känner av attdet inte finns någon sackaros i dess omgivning (glukoshalten i cellen ökar inte igen) ochagerar därefter. Om sackaros inte finns tillgängligt behöver cellen utnyttja alternativakolkällor och dämpar kanske därför uttrycket av SUC2 för att lägga energi på uttrycketav andra gener.

I X-modellen användes tillståndsvariabeln X som en matematisk representation av allade okända komponenter som kan påverka genuttrycket av SUC2. Det är oklart vad Xskulle kunna ha för biologisk betydelse. Då bildningshastigheten av X är direkt propor-tionell mot glukoskoncentrationen kan X inte representera det fosforylerade Snf1∗. Detär heller inte rimligt att X står för det ickefosforylerade Snf1 då nedbrytningshastighetenav Mig1 är direkt proportionell mot X.

Trots att X-modellerna beskriver datan väl kan de inte användas för att göra predik-tioner om det biologiska systemet. Detta beror på att det inte kunde avgöras huruvidamodellernas parametrar är numeriskt identifierbara. Här finns stor utvecklingspotential.

19

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg 7. Slutsats

Ytterligare arbete behövs, kanske i form av andra sätt att bestämma identifierbara pa-rametrar, för att kunna göra prediktion och sluta den systembiologiska cykeln (Figur 1).

För att vidare kunna dra slutsatser om hur signalvägen fungerar kan cellvariabilitetenhos populationen studeras. Då datan som användes i projektet består av mätningarför individuella celler skulle det gå att använda datan för att uppskatta individuellaparametrar för cellerna och undersöka skillnader mellan dem [7] [18]. Detta kunde integöras i projektet eftersom parameteruppskattningen för en del av de individuella cellernainte kunde genomföras. Det beror på att uttrycket hos vissa celler skiljer sig mycket frånpopulationens medelvärde, och en mer flexibel parameteruppskattningsalgoritm skullebehövas.

7 Slutsats

De två X-modellerna lyckas beskriva olika aspekter av hur uttrycket av SUC2 varierarmed tiden. Parametrarna i båda modellerna var strukturellt identifierbara givet SUC2som utdata men det gick inte att dra några slutsatser om den numeriska identifierbar-heten. Därmed går det inte att använda modellerna för att göra prediktioner av detbiologiska systemet. Det kan konstateras att det för den aktuella signalvägen fungeradebättre att använda en inhiberingsterm för att beskriva bildningshastigheten av SUC2,som gjordes i X-modellerna, än att använda den ”loop-beskrivande” ekvation som an-vändes i modell 1 eller det omvänt proportionella förhållandet till glukoskoncentrationensom antogs i modell 0.

20


Referenser

[1] Ljung, Per E and Bornestaf, Cecilia . Användning av försöksdjur i Sverige under2016; 2018.

[2] Zaky AS, Greetham D, Louis EJ, Tucker GA, Du C. A New Isolation and EvaluationMethod for Marine-Derived Yeast spp. with Potential Applications in IndustrialBiotechnology. Journal of Microbiology and Biotechnology. 2016 Nov;26(11):1891–1907. Tillgänglig från: https://doi.org/10.4014/jmb.1605.05074.

[3] Bendrioua L, Smedh M, Almquist J, Cvijovic M, Jirstrand M, Goksör M, et al.Yeast AMP-activated Protein Kinase Monitors Glucose Concentration Changes andAbsolute Glucose Levels. Journal of Biological Chemistry. 2014 Mar;289(18):12863–12875. Tillgänglig från: https://doi.org/10.1074/jbc.m114.547976.

[4] Salminen A, Kaarniranta K. AMP-activated protein kinase (AMPK) controls theaging process via an integrated signaling network. Ageing Research Reviews. 2012Apr;11(2):230–241. Tillgänglig från: https://doi.org/10.1016/j.arr.2011.12.005.

[5] Hardie DG. AMPK: A Target for Drugs and Natural Products With Effects onBoth Diabetes and Cancer. Diabetes. 2013 Jun;62(7):2164–2172. Tillgänglig från:https://doi.org/10.2337/db13-0368.

[6] Vega M, Riera A, Fernández-Cid A, Herrero P, Moreno F. Hexokinase 2 Is anIntracellular Glucose Sensor of Yeast Cells That Maintains the Structure and Ac-tivity of Mig1 Protein Repressor Complex. Journal of Biological Chemistry. 2016Feb;291(14):7267–7285. Tillgänglig från: https://doi.org/10.1074/jbc.m115.711408.

[7] Welkenhuysen N, Borgqvist J, Backman M, Bendrioua L, Goksör M, Adiels CB,et al. Single-cell study links metabolism with nutrient signaling and reveals sourcesof variability. BMC Systems Biology. 2017 Jun;11(1). Tillgänglig från: https://doi.org/10.1186/s12918-017-0435-z.

[8] Katze MG. Systems Biology. No. v. 363 in Current Topics in Microbiology andImmunology. Springer; 2013.

[9] Conrad M, Schothorst J, Kankipati HN, Zeebroeck GV, Rubio-Texeira M, TheveleinJM. Nutrient sensing and signaling in the yeastSaccharomyces cerevisiae. FEMSMicrobiology Reviews. 2014 Mar;38(2):254–299. Tillgänglig från: https://doi.org/10.1111/1574-6976.12065.

[10] Klipp E. Systems biology in practice: concepts, implementation and applica-tion.[Internet]. Wiley-VCH; 2006.

[11] Cheong R, Paliwal S, Levchenko A. Models at the single cell level. WIREs: SystemsBiology & Medicine. 2010;2(1):34.

[12] DiStefano III J. Dynamic Systems Biology Modeling and Simulation. AcademicPress; 2015.

21

https://doi.org/10.4014/jmb.1605.05074https://doi.org/10.1074/jbc.m114.547976https://doi.org/10.1016/j.arr.2011.12.005https://doi.org/10.1016/j.arr.2011.12.005https://doi.org/10.2337/db13-0368https://doi.org/10.1074/jbc.m115.711408https://doi.org/10.1074/jbc.m115.711408https://doi.org/10.1186/s12918-017-0435-zhttps://doi.org/10.1186/s12918-017-0435-zhttps://doi.org/10.1111/1574-6976.12065https://doi.org/10.1111/1574-6976.12065


[13] Murray JD. Mathematical Biology. 3rd ed. Interdisciplinary Applied Mathematics.Springer-Verlag New York; 2002.

[14] Rice JA. Mathematical statistics and data analysis. Duxbury advanced series.Thomson Brooks/Cole; 2007.

[15] Patriksson M, Andréasson N, Evgrafov A, Nedělková Z, Cheong Sou K, ÖnnheimM. An Introduction to Continuous Optimization - Foundations and FundamentalAlgorithms. 3rd ed. Studentlitteratur; 2016.

[16] DeGroot MH, Schervish MJ. Probability and statistics. 4th ed. Pearson Education;2012.

[17] Rasmuson A, Andersson B, Olsson L, Andersson R. Mathematical modeling inchemical engineering. Cambridge University Press; 2014.

[18] Almquist J, Bendrioua L, Adiels CB, Goksör M, Hohmann S, Jirstrand M. ANonlinear Mixed Effects Approach for Modeling the Cell-To-Cell Variability of Mig1Dynamics in Yeast. PLOS ONE. 2015 Apr;10(4):e0124050. Tillgänglig från: https://doi.org/10.1371/journal.pone.0124050.

[19] Zeiser S, Liebscher HV, Tiedemann H, Rubio-Aliaga I, Przemeck GK, de AngelisMH, et al. Number of active transcription factor binding sites is essential for theHes7 oscillator. Theoretical Biology and Medical Modelling. 2006 Feb;3(1). Till-gänglig från: https://doi.org/10.1186/1742-4682-3-11.

[20] Inc WR. Mathematica, Version 11.3;. Champaign, IL, 2018.

[21] Karlsson J, Anguelova M, Jirstrand M. An Efficient Method for StructuralIdentifiability Analysis of Large Dynamic Systems*. IFAC Proceedings Vo-lumes. 2012 Jul;45(16):941–946. Tillgänglig från: https://doi.org/10.3182/20120711-3-be-2027.00381.

[22] The MathWorks Inc. MATLAB, version 9.4 (R2018a) [programvara]. 1 Apple HillDrive Natick, MA; 2018.

[23] The MathWorks Inc. MATLAB Optimization Toolbox, version 8.1 [programvara].1 Apple Hill Drive Natick, MA; 2018.

[24] The MathWorks Inc. MATLAB Statistics and Machine Learning Toolbox, version11.3 [programvara]. 1 Apple Hill Drive Natick, MA; 2018.

[25] MATLAB Programming Fundamentals. 1 Apple Hill Drive Natick, MA; 2019.

[26] MATLAB Mathematics. 1 Apple Hill Drive Natick, MA; 2019.

[27] Hansen AS, Hao N, O’Shea EK. High-throughput microfluidics to control and mea-sure signaling dynamics in single yeast cells. Nature Protocols. 2015 Jul;10(8):1181–1197. Tillgänglig från: https://doi.org/10.1038/nprot.2015.079.

22

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0124050https://doi.org/10.1371/journal.pone.0124050https://doi.org/10.1186/1742-4682-3-11https://doi.org/10.3182/20120711-3-be-2027.00381https://doi.org/10.3182/20120711-3-be-2027.00381https://doi.org/10.1038/nprot.2015.079

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg A. Dataframställning

A Dataframställning

Datan som används i projektet är framställd av Niek Welkenhuysen. Datan beskriver hurfluorescensen av YFP förändras över tid i individuella jästceller och är framställd medhjälp av fluorescensmikroskopi och ett mikrofluidiksystem. Ett mikrofluidiksystem bestårav utrustning som möjliggör att celler kan hållas på plats samtidigt som näringsmediumkan tillföras kontinuerligt genom ett in- och utlopp [27]. Det medför att cellerna kananalyseras genom mikroskopi och att den yttre koncentrationen av glukos (0,1%) kanhållas konstant.

I dataframställningen togs bilder av cellerna var femte minut i 97 tidpunkter. Bildernatogs vid två platser som totalt innehöll 200 individuella celler. Med hjälp av bildanalysbestämdes sedan fluorescensintensiteten av YFP i cellerna. Cellerna kategoriserades ävenefter cellstorlek mätt i pixlar vid experimentets start. I Figur 14 visas bilderna från någraav cellerna vid vissa tidpunkter.

Time

Brigh�eld

SUC2(YFP)

0 min 50 min 100 min 150 min 200 min 250 min 300 min 350 min 400 min 450 min

0 min 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Time [min]

Intensity[A.U.]

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

Figur 14: Övre panelen är bilder från ljusfält och fluorescensmikroskopi, där en cell (indikerad av denvita pilen) följs över tiden när den yttre glukoskoncentrationen ändras från 4 % till 0,1 % vid tidpunkt0. Nedre panelen är spåret av uppmätt intensitet hos cellen. Blå markörer representerar mätningen frånbilderna ovan.

Datan är tillgänglig vid förfrågan, [email protected]. I projektet utelämnades data fråntvå celler eftersom den uppmätta cellstorleken hos dessa celler hade orimliga värden.

23

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg C. Strukturell identifierbarhet

B Approximation av Hessianen

För vår kostnadsfunktion (ekvation (4)), där residualerna antas vara normalfördelademed konstant varians σ2, ges i [12] att Fisher information matrix beskrivs enligt

F (θ̂) = 1σ2

(∂ŷ∂θ̂

)T(∂ŷ∂θ̂

)(20)

(∂ŷ∂θ̂

)=

∂ŷ1∂θ̂1

· · · ∂ŷ1∂θ̂n... . . ....

∂ŷm∂θ̂1

· · · ∂ŷm∂θ̂n

.

(21)För den kostnadsfunktion f(θ̂) som används projektet (ekvation (4)) härleds i [15] föl-jande approximation av Hessianen

∇2f(θ̂) ≈ H(θ̂) =(∂r∂θ̂

)T(∂r∂θ̂

)=(∂ŷ∂θ̂

)T(∂ŷ∂θ̂

)(22)

under antagandet att residualerna är små. Det är därför möjligt att approximera Fisherinformation matrix och kovariansmatrisen med approximationen av Hessianen (ekva-tion (22)) [12].

C Strukturell identifierbarhet

Koden i detta appendix är från Wolfram Mathematica-paketet [20] IdentifiabilityAnaly-sis [21]. I alla modellerna är x1 =SUC2, x2 =Mig1 och x3 =X. x1 är satt som utdataoch x1(0) är godtyckligt vald.

C.1 X-modellen

Resultat från strukturell identifierbarhetsanalys av X-modellen. Modellen är inte struk-turellt identifierbar. Resultatet ges att {θ1, θ3, θ4, θ5, θ7, θ8, θ9}, vilka motsvaras av {Vmax,k2, k3, k4,Mig10, X0,KMig1}, är ickeidentifierbara parametrar.

Needs[“IdentifiabilityAnalysis̀”];Needs[“IdentifiabilityAnalysis̀”];Needs[“IdentifiabilityAnalysis̀”];

deq = {deq = {deq = {

x′1[t] == θ1/(θ9 + x2[t]3

)− θ2 ∗ x1[t], x1[0] == 0,x′1[t] == θ1/

(θ9 + x2[t]3

)− θ2 ∗ x1[t], x1[0] == 0,x′1[t] == θ1/

(θ9 + x2[t]3

)− θ2 ∗ x1[t], x1[0] == 0,

x′2[t] == θ3 ∗ 0.001− θ4 ∗ x2[t] ∗ x3[t], x2[0] == θ7,x′2[t] == θ3 ∗ 0.001− θ4 ∗ x2[t] ∗ x3[t], x2[0] == θ7,x′2[t] == θ3 ∗ 0.001− θ4 ∗ x2[t] ∗ x3[t], x2[0] == θ7,

x′3[t] == θ5 ∗ 0.001− θ6 ∗ x3[t], x3[0] == θ8} ;x′3[t] == θ5 ∗ 0.001− θ6 ∗ x3[t], x3[0] == θ8} ;x′3[t] == θ5 ∗ 0.001− θ6 ∗ x3[t], x3[0] == θ8} ;

iad = IdentifiabilityAnalysis [{deq, x1[t]} , {x1, x2, x3} ,Table [θi, {i, 9}] , t]iad = IdentifiabilityAnalysis [{deq, x1[t]} , {x1, x2, x3} ,Table [θi, {i, 9}] , t]iad = IdentifiabilityAnalysis [{deq, x1[t]} , {x1, x2, x3} ,Table [θi, {i, 9}] , t]

iad[“NonIdentifiableParameters”]iad[“NonIdentifiableParameters”]iad[“NonIdentifiableParameters”]

24

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg C. Strukturell identifierbarhet

IdentifiabilityAnalysisData[False, ]

{θ1, θ3, θ4, θ5, θ7, θ8, θ9}

C.2 Den svagt reducerade X-modellen

Resultat från strukturell identifierbarhetsanalys av den svagt reducerade X-modellen.Modellen är strukturellt identifierbar.



x′1[t] == θ1/(θ2 + x2[t]3

)− θ3 ∗ x1[t], x1[0] == 0,x′1[t] == θ1/

(θ2 + x2[t]3

)− θ3 ∗ x1[t], x1[0] == 0,x′1[t] == θ1/

(θ2 + x2[t]3

)− θ3 ∗ x1[t], x1[0] == 0,

x′2[t] == θ4 ∗ 0.001− θ5 ∗ x2[t] ∗ x3[t], x2[0] == 1,x′2[t] == θ4 ∗ 0.001− θ5 ∗ x2[t] ∗ x3[t], x2[0] == 1,x′2[t] == θ4 ∗ 0.001− θ5 ∗ x2[t] ∗ x3[t], x2[0] == 1,

x′3[t] == θ6 ∗ 0.001− θ7 ∗ x3[t], x3[0] == 1} ;x′3[t] == θ6 ∗ 0.001− θ7 ∗ x3[t], x3[0] == 1} ;x′3[t] == θ6 ∗ 0.001− θ7 ∗ x3[t], x3[0] == 1} ;



IdentifiabilityAnalysisData[True, ]

{}

C.3 Den tungt reducerade X-modellen

Resultat från strukturell identifierbarhetsanalys av den tungt reducerade X-modellen.Modellen är strukturellt identifierbar.



x′1[t] == θ1/(θ2 + x2[t]3

)− ((θ1/ (0.02 ∗ (θ2 + 1))) ∗ x1[t]) , x1[0] == 0.02,x′1[t] == θ1/

(θ2 + x2[t]3

)− ((θ1/ (0.02 ∗ (θ2 + 1))) ∗ x1[t]) , x1[0] == 0.02,x′1[t] == θ1/

(θ2 + x2[t]3

)− ((θ1/ (0.02 ∗ (θ2 + 1))) ∗ x1[t]) , x1[0] == 0.02,

25

Augustsson, Sandén, Selldén, ZetterbergD. Fullständiga resultat från parameteruppskattning

x′2[t] == θ3 ∗ 0.001− θ3 ∗ 0.04 ∗ x2[t] ∗ x3[t], x2[0] == 1,x′2[t] == θ3 ∗ 0.001− θ3 ∗ 0.04 ∗ x2[t] ∗ x3[t], x2[0] == 1,x′2[t] == θ3 ∗ 0.001− θ3 ∗ 0.04 ∗ x2[t] ∗ x3[t], x2[0] == 1,

x′3[t] == θ4 ∗ 0.001− θ4 ∗ 0.04 ∗ x3[t], x3[0] == 1} ;x′3[t] == θ4 ∗ 0.001− θ4 ∗ 0.04 ∗ x3[t], x3[0] == 1} ;x′3[t] == θ4 ∗ 0.001− θ4 ∗ 0.04 ∗ x3[t], x3[0] == 1} ;



IdentifiabilityAnalysisData[True, ]

{}

D Fullständiga resultat från parameteruppskattning

Här presenteras de fullständiga resultaten från parameteruppskattningarna, inklusive deresultat som inte var relevanta för diskussionen.

D.1 Modell 0

Tabell 3: Startparametrar för modell 0.

k1 k21.0000 1.0000

Tabell 4: Optimala parametrar för modell 0.

k1 k20.1248 0.2127

26


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Individual cells

Population average

Simulated value

Figur 15: Simulering av modell 0. Experimentella fluorescensmätningar för 198 individuella celler över tid.Medelvärdet hos populationen (svart kurva) och simulerade värden (röd kurva) för den svagt reduceradeX-modellen.

Inversen av Hessianen i den optimala punkten blev

H−1BFGS(θ̂) =(−6.99e− 10 −1.2e− 09−1.2e− 09 −2.05e− 09

). (23)

-3 -2 -1 0 1 2 3


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Qu

an

tile

s o

f In

pu

t S

am

ple


Figur 16: QQ-plot av de standardiserade resi-dualerna för modell 0. Residualerna beskrivspå y-axeln och x-axeln beskriver de förvänta-de värdena hos residualerna om de skulle varastandardnormalfördelade.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (min)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

resid

ua

ler

r i

Residualer mot tid (Model0)

Figur 17: De standardiserade residualerna förmodell 0 som funktion av tiden.

27


D.2 Modell 1

Tabell 5: Startparametrar för modell 1.

Mig1p0 k1 k2 k3 k40.5000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Tabell 6: Optimala parametrar för modell 1.

Mig1p0 k1 k2 k3 k410.2190 4.9191 0.5408 124.8731 0.2128

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Individual cells

Population average

Simulated value

Figur 18: Simulering av modell 1. Experimentella fluorescensmätningar för 198 individuella celler över tid.Medelvärdet hos populationen (svart kurva) och simulerade värden (röd kurva) för den svagt reduceradeX-modellen.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

2

4

6

8

10

12

Figur 19: De simulerade värdena av Mig1 efterparameteruppskattning för modell 1.

28



H−1BFGS(θ̂) =

0.00042 −0.000286 1.11e− 05 0.000431 7.36e− 07−0.000286 0.000288 −2.75e− 05 −0.000174 −2.96e− 071.11e− 05 −2.75e− 05 3.94e− 06 3.41e− 05 5.81e− 080.000431 −0.000174 3.41e− 05 −0.00439 −7.52e− 06

7.36e− 07 −2.96e− 07 5.81e− 08 −7.52e− 06 −1.29e− 08

.(24)

-3 -2 -1 0 1 2 3


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Qu

an

tile

s o

f In

pu

t S

am

ple


Figur 20: QQ-plot av de standardiserade resi-dualerna för modell 1. Residualerna beskrivspå y-axeln och x-axeln beskriver de förvänta-de värdena hos residualerna om de skulle varastandardnormalfördelade.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (min)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

resid

ua

ler

r i

Residualer mot tid (Model1)

Figur 21: De standardiserade residualerna förmodell 1 som funktion av tiden.

D.3 Den svagt reducerade X-modellen

Tabell 7: Startparametrar för den svagt reducerade X-modellen.

Vmax Kmig k1 k2 k3 k4 k510.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Tabell 8: Optimala parametrar för den svagt reducerade X-modellen.

Vmax Kmig k1 k2 k3 k4 k510.1811 -0.1268 0.1175 2.0104 0.2619 3.2223 0.5196

29


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Individual cells

Population average

Simulated value

Figur 22: Simulering av den svagt reducerade X-modellen. Experimentella fluorescensmätningar för 198individuella celler över tid. Medelvärdet hos populationen (svart kurva) och simulerade värden (rödkurva) för den svagt reducerade X-modellen.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Figur 23: De simulerade värdena av Mig1 efterparameteruppskattning för den svagt reducera-de X-modellen.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figur 24: De simulerade värdena av X efter pa-rameteruppskattning för den svagt reduceradeX-modellen.


H−1BFGS(θ̂) =

−7.78e− 07 −6.23e− 08 −9.16e− 08 3.7e− 06 −7.06e− 08 1.02e− 05 3.88e− 08−6.23e− 08 −1.64e− 09 −1.61e− 09 1.69e− 08 −1.56e− 09 4.52e− 08 2.59e− 10−9.16e− 08 −1.61e− 09 −2.1e− 09 6.75e− 08 −1.12e− 09 1.93e− 07 1.08e− 09

3.7e− 06 1.69e− 08 6.75e− 08 −2.24e− 06 3.11e− 08 −5.95e− 06 2.39e− 08−7.06e− 08 −1.56e− 09 −1.12e− 09 3.11e− 08 −1.22e− 09 9.84e− 08 5.66e− 111.02e− 05 4.52e− 08 1.93e− 07 −5.95e− 06 9.84e− 08 −1.55e− 05 8.61e− 083.88e− 08 2.59e− 10 1.08e− 09 2.39e− 08 5.66e− 11 8.61e− 08 −1.07e− 09

.

(25)

30


-3 -2 -1 0 1 2 3


-3

-2

-1

0

1

2

3

Qu

an

tile

s o

f In

pu

t S

am

ple


Figur 25: QQ-plot av de standardiserade resi-dualerna för den svagt reducerade X-modellen.Residualerna beskrivs på y-axeln och x-axelnbeskriver de förväntade värdena hos residualer-na om de skulle vara standardnormalfördelade.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (min)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

resid

ua

ler

r i

Residualer mot tid (XModelReducedLight)

Figur 26: De standardiserade residualerna förden svagt reducerade X-modellen som funktionav tiden.

D.4 Den tungt reducerade X-modellen

Tabell 9: Startparametrar för den tungt reducerade X-modellen.

Vmax Kmig k2 k41.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Tabell 10: Optimala parametrar för den tungt reducerade X-modellen.

Vmax Kmig k2 k4133.1231 2.2794 361.7944 3.7772

31


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Individual cells

Population average

Simulated value

Figur 27: Simulering av den tung reducerade X-modellen. Experimentella fluorescensmätningar för 198individuella celler över tid. Medelvärdet hos populationen (svart kurva) och simulerade värden (rödkurva) för den svagt reducerade X-modellen.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figur 28: De simulerade värdena av Mig1 efterparameteruppskattning för den tungt reduce-rade X-modellen.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figur 29: De simulerade värdena av X efter pa-rameteruppskattning för den tungt reduceradeX-modellen.


H−1BFGS(θ̂) =

0.000974 6.8e− 06 −0.000774 −9.1e− 066.8e− 06 5.77e− 08 −5.54e− 06 −6.95e− 08−0.000774 −5.54e− 06 0.0127 2.58e− 07−9.1e− 06 −6.95e− 08 2.58e− 07 1.21e− 07

. (26)

32

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg E. MATLAB-kod

-3 -2 -1 0 1 2 3


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Qu

an

tile

s o

f In

pu

t S

am

ple


Figur 30: QQ-plot av de standardiserade resi-dualerna för den tungt reducerade X-modellen.Residualerna beskrivs på y-axeln och x-axelnbeskriver de förväntade värdena hos residualer-na om de skulle vara standardnormalfördelade.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (min)

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

resid

ua

ler

r i

Residualer mot tid (XModelReducedHeavy)

Figur 31: De standardiserade residualerna förden tungt reducerade X-modellen som funktionav tiden.

E MATLAB-kod

Här presenteras koden som använts i projektet. All kod finns dessutom tillgänglig påhttps://github.com/cvijoviclab/BachelorProject2019.

I koden hanteras ofta ”mean fluorescence” hos en cell eller population. På olika ställenbenämns det som ”fluorescence” alternativt ”mean”, men båda ord är förkortningar församma sak. Ordet ”average” har använts för att benämna populationens genomsnitt.

E.1 Modeller

Olika modeller som kan parameteruppskattas.

E.1.1 Model01 function [ ODEfuncHandle , initCond , map , parameterNames ] = Model0 (parameters

, Suc20)2 % MODEL0 A first primitive model where SNF1 and Mig1 are blackboxed34 % The reactants that are used in the model.5 reactants = {’Suc2 ’};6 % This creates a map of reactants . Keep as is.7 map = containers .Map(reactants , 1: size(reactants ,2));89 % This creates a map of parameters .

10 parameterNames = {’k1’, ’k2’};1112 % Assign names to parameters13 numParams = numel( parameterNames );14 p = array2table ( parameters (1: numParams ), ...15 ’VariableNames ’, parameterNames );16 Glu = 0.001;1718 % The function to be returned19 function dydt = ODE_func (t, y)

33

https://github.com/cvijoviclab/BachelorProject2019

Augustsson, Sandén, Selldén, Zetterberg E. MATLAB-kod

20 dydt = zeros(size(reactants , 2), 1);2122 % Reactant values that should change in the model.23 dydt(map(’Suc2 ’)) = p.k1 ./ Glu - p.k2 .* y(map(’Suc2 ’));24 end2526 ODEfuncHandle = @ODE_func ;2728 % Enter initial conditions29 initCond = zeros(size(reactants , 2), 1);30 initCond (map(’Suc2 ’)) = Suc20;31 end

E.1.2 Model11 function [ ODEfuncHandle , initCond , map , parameterNames ] = Model1 (parameters

, Suc20)2 % MODEL1 One of the first two models34 % The reactants that are used in the model.5 reactants = {’Suc2 ’ ,...6 ’Mig1p ’};7 % This creates a map of reactants . Keep as is.8 map = containers .Map(reactants , 1: size(reactants ,2));9

10 % This creates a map of parameters .11 parameterNames = {’Mig1p0 ’, ’k1’, ’k2’, ’k3’, ’k4’};1213 % Assign names to parameters14 numParams = numel( parameterNames );15 p = array2table ( parameters (1: numParams ), ...16 ’VariableNames ’, parameterNames );17 Glu = 0.001;18 A = 1;1920 % The function to be returned21 function dydt = ODE_func (t, y)22 dydt = zeros(size(reactants , 2), 1);2324 % Reactant values that should change in the model.25 dydt(map(’Mig1p ’)) = p.k1 ./ Glu .* (A - y(map(’Mig1p ’)))...26 - p.k2 .* y(map(’Mig1p ’));27 dydt(map(’Suc2 ’)) = p.k3 .* y(map(’Mig1p ’)) - p.k4 .* y(map(’Suc2 ’)

Documents

Modellering av SUC2-responsen i Snf1-signalvägen hos S ......Modellering av SUC2-responsen i Snf1-signalvägen hos S. cerevisiae efter extern glukosminskning Kandidatarbete inom civilingenjörsprogrammen