125
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Fakulta metalurgie a materiálového inženýrství MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮ studijní opora Karel Michalek Karel Gryc Markéta Tkadlečková Jan Morávka Ostrava 2013

MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

Fakulta metalurgie a materiálového inženýrství

MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE

METALURGICKÝCH PROCESŮ studijní opora

Karel Michalek

Karel Gryc

Markéta Tkadlečková

Jan Morávka

Ostrava 2013

Page 2: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Recenzent: prof. Ing. Jiří Bažan, CSc.

Název: Modelování a vizualizace metalurgických procesů

Autor: prof. Ing. Karel Michalek, CSc., Ing. Karel Gryc, Ph.D., Ing. Markéta

Tkadlečková, Ph.D., Ing. Jan Morávka, Ph.D.

Vydání: první, 2013

Počet stran: 118

Studijní materiály pro studijní program Metalurgické inženýrství na Fakultě metalurgie a

materiálového inženýrství. Jazyková korektura: nebyla provedena.

Studijní opora vznikla v rámci projektu OP VK: Název: ModIn - Modulární inovace bakalářských a navazujících magisterských programů na

Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství VŠB - TU Ostrava

Číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0304

© Karel Michalek, Karel Gryc, Markéta Tkadlečková, Jan Morávka

© VŠB – Technická univerzita Ostrava

ISBN 978-80-248-3352-1

Page 3: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Pokyny ke studiu

1

POKYNY KE STUDIU

Modelování a vizualizace metalurgických procesů

Pro předmět Modelování a vizualizace metalurgických procesů jste obdrželi studijní balík

obsahující integrované skriptum pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu.

Prerekvizity

Tento předmět nemá žádné prerekvizity.

Cíle předmětu a výstupy z učení

Předat studentům širší teoretické a praktické znalosti z modelování procesů, jak fyzikálního

tak i numerického modelování s využitím komerčních CFD programů – konkrétně ASYS

FLUENT.

Po prostudování předmětu by měl student být schopen:

výstupy znalostí:

- student bude umět formulovat základní zákonitosti fyzikálního a numerického modelování

procesů,

- student bude umět popsat podobnost dějů, odvozování kritérií podobnosti a aplikaci

modelování v metalurgii výroby, zpracování a odlévání oceli,

- student bude umět charakterizovat význam, metody a využití metod modelování v technické

praxi.

výstupy dovedností:

- student bude umět využít svých znalostí k odvození relevantních kritérií podobnosti a

návrhu metodiky fyzikálního modelování nejen v oblasti metalurgie,

- student bude umět základy 3D modelování geometrie, generace výpočetní sítě a

numerického modelování v CFD programu ANSYS FLUENT.

POUHÉ nastudování této studijní opory bez využití povinné literatury nezaručuje

úspěšné absolvování předmětu!!!

Page 4: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Pokyny ke studiu

2

Pro koho je předmět určen

Předmět je zařazen do navazujícího magisterského studia oboru Moderní metalurgické

technologie studijního programu Metalurgické inženýrství (2. ročník), ale může jej studovat i

zájemce z kteréhokoliv jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity.

Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky,

ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit.

Některé kapitoly jsou děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná

struktura.

Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup:

Nejprve si prostudujte předkládanou látku, poté si zkuste sami formulovat jednotlivé termíny

shrnuté v sekci Shrnutí pojmů a odpověď na otázky v závěru každé kapitoly. Úkoly

k samostudiu jsou určeny pro procvičení nabytých znalostí a procvičení dovedností.

Způsob komunikace s vyučujícími:

V průběhu výuky bude potřeba vypracovat semestrální projekty z oblastí:

fyzikálního modelování metalurgických procesů,

řízení metalurgických procesů a

využití numerických simulací v metalurgii.

Rozsah a obsah semestrálních projektů určí vyučující.

Projekt bude kontrolován vyučujícím do 14 dnů po odevzdání a výsledky budou studentům

zaslány mailem prostřednictvím IS.

V rámci studia je možné využít individuálních konzultací s vyučujícím, a to vždy po písemné

dohodě emailem.

Kromě řádného zpracování semestrálních projektů je nutné úspěšně absolvovat zápočtový

test.

Vyučujícího lze kontaktovat na této adrese: [email protected], případně telefonicky na

čísle 59 732 5213 či osobně v kanceláři číslo A529 (zde nejlépe po předběžné dohodě

termínu).

Page 5: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Pokyny ke studiu

3

Rozsahu učiva s časovým plánem

V následující tabulce je uveden rozsah jednotlivých kapitol a časová náročnost k jejich

nastudování:

Kapitola

Číslo Název Počet stran

textu

Čas studia;

hod.

1. Úvod do fyzikálního modelování 14 1,5

2. Bezrozměrové parametry 13 2,5

3. Stanovení bezrozměrových parametrů metodou

podobnostní transformace základních rovnic 5 1

4. Přibližné fyzikální modelování 7 1,5

5. Experimentální podstata fyzikálního modelování 5 0,5

6. Základy teorie chemických reaktorů 10 2

7. Výběr vhodných matematických modelů pro popis

přechodových dějů 11 2,5

8. Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při

algoritmizaci metalurgických procesů 23 4,5

9. Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém

konvertoru 5 1

10. Numerické modelování 14 2

11. Numerické modelování – CFD programy 13 2

CELKEM 120 21

Z tabulky je patrné, že jednotlivé kapitoly se od sebe liší rozsahem i náročností. Jsou zde

kapitoly, které jsou méně náročné (1.; 3.; 5.; 9.). Většinu dalších kapitol lze označit jako

středně náročné. Kapitoly 7. a 8. pak lze označit za náročné, neboť přesahují stěžejní

zaměření studijního oboru Moderní metalurgické technologie tím, že začleňují do výuky

oblasti z matematické statistiky – tyto kapitoly byly vytvořeny především na základě

dlouholetých zkušeností Ing. Jana Morávky, Ph.D. s aplikací těchto metod v metalurgii.

Page 6: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Pokyny ke studiu

4

POVINNÁ LITERATURA

[1] Michalek, K.: Využití fyzikálního a numerického modelování pro optimalizaci

metalurgických procesů. VŠB-TU Ostrava, 2001, 125 s.

[2] Čarnogurská, M. : Základy matematického a fyzikálního modelovania v mechanike

tekutin a termodynamike. SF TU Košice, 2000, 176 s.

[3] Kozubková, M.: Modelování proudění - Fluent I., VŠB-TU Ostrava,

2008.(http://www.338.vsb.cz/PDF/Kozubkova-Fluent.pdf)

[4] Ilegbusi, O., J., Iguchi, M., Wahnsiedler, W.: Mathematical and Physical modeling of

Materials Processing Operation. 2000. ISBN 1-58488 017 1.

DOPORUČENÁ LITERATURA

[1] Kuneš, J., Vavroch, O., Franta, V. : Základy modelování. SNTL Praha, 1989, 263 s.

[2] Rédr, M., Příhoda, M.: Základy tepelné techniky. Praha, SNTL, 1991, 677 s.

[3] Cockcroft S.L., M. Maijer D.M.: Modeling of Casting, Welding, and Advanced

Solidification Processes XII. Vancouver, British Columbia, 2009, 728 p. ISBN 978-0-

87339-742-1.

[4] Mazumdar, D., Evans, J., W.: Modeling of Steelmaking Processes. CRC Press, 1 edition,

2009. 493 pages. ISBN-13: 978-1420062434.

POUŽITÁ LITERATURA

Michalek, K.: Využití fyzikálního a numerického modelování pro optimalizaci

metalurgických procesů. VŠB-TU Ostrava, 2001, 125 s.

Kozubková, M.: Modelování proudění - Fluent I., VŠB-TU Ostrava,

2008.(http://www.338.vsb.cz/PDF/Kozubkova-Fluent.pdf)

Kuneš, J., Vavroch, O., Franta, V. : Základy modelování. SNTL Praha, 1989, 263 s.

Rédr, M., Příhoda, M.: Základy tepelné techniky. Praha, SNTL, 1991, 677 s.

Vrožina, M., Jančíková, Z., David, J.: Identifikace systémů.

VŠB-TU Ostrava, 2007, 79 s.

Page 7: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Pokyny ke studiu

5

Čarnogurská, M.: Základy matematického a fyzikálního modelovania v mechanike

tekutin a termodynamike. SF TU Košice, 2000, 176 s.

Dobrovská, J.: Modelování procesů (matematické modelování). Teoretický základ pro

3.ročník magisterského studijního programu Procesní inženýrství. Leden 2004

Tošenovský, J., Noskievičová, D.: Statistické metody pro zlepšování jakosti. Ostrava:

Montanex, 2000, 362 s. ISBN 80-7225-040-X.

Tošenovský, J., Dudek, M.: Základy statistického zpracování dat. Ostrava: VŠB-TU

Ostrava, 2001, 82 s. ISBN 80-248-0006-3.

Maroš, B., Trávníček, T.: Plánování experimentu. In Sborník 5th International

Conference Aplimat 2006, Bratislava : Ústav matematiky FSI STU Bratislava. 20 s.

Maroš, B.: Co je to plánovaný experiment. Přednáška s prezentací na konferenci

Witness 2006 [online]. Čejkovice, 1-2.6.2006.

Dostupné z: www2.humusoft.cz/www/akce/witkonf06/prispevky/ppt/maros.ppt

Trávníček, T.: Plánovaný experiment. Přednáška na workshopu doktorandů 2006. Brno:

Ústav matematiky FSI VUT Brno, 4 s. Dostupné

z:math.fce.vutbr.cz/~pribyl/workshop_2006/prispevky/Travnicek.doc

Jarošová, E., Michálek, J.: Navrhování experimentů DOE. Přednáška v Konzultačním

středisku statistických metod při Národním informačním středisku pro podporu jakosti.

Praha : NIS-PJ Praha, 20.10.2005.

Dostupné z: www.npj.cz/tiskovy_servis/soubory/00000607.ppt

Hoja, J., Toczek, W.: Podstawy planowania eksperymentu. Studijní materiál Gdańské

politechniky. Gdańsk : KOSE ETI PG, 23 s. Dostupné

z:https://www.eti.pg.gda.pl/katedry/kose/dydaktyka/Metrologia_i_Technika_Eksperym

entu/planowanie_eksperymentu.pdf

Blecha, P., Vavřík, I.: Design of experiments (DOE) (statistické plánování měření pro

optimalizování výrobků a procesů). Studijní opora předmětu Jakost II – Řízení a

zabezpečování jakosti. Brno : FSI VUT. 29 s. Dostupné z:

http://www.uvssr.fme.vutbr.cz/opory/jakost/doe.pdf

Cyhelský, L., Kahounová, J., Hindls, R.: Elementární statistická analýza. Praha:

Management Press, 2001, 319 s. ISBN 80-7261-003-1.

Page 8: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

1

1. Úvod do fyzikálního modelování procesů

Čas ke studiu: 1,5 hodiny

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

identifikovat vhodné oblasti využití fyzikálního modelování.

definovat základní pojmy používané v teorii modelování.

popsat podstatu fyzikálního modelování.

definovat jednotlivé druhy základních typů podobností systémů.

Výklad

Než se následující kapitoly a podkapitoly začnou věnovat podstatě fyzikálního modelování a

následně jeho aplikacím v oblasti metalurgických procesů, je vhodné uvést, ve kterých

technickovýzkumných oblastech lze metod fyzikálního modelování využít.

Příklady využití fyzikálního modelování

Mechanika pružných těles

průhyby nosníků

namáhání mostních konstrukcí

Mechanika tekutin

tlaková ztráta při proudění v potrubí

obtékání tělesa - např. lodí

proudění tryskami

proudění roztavených kovů v metalurgii

proudění kapalin v chemické technologii

Page 9: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

2

Termomechanika

ohřev a chladnutí těles

prostup tepla, určení ztrát tepla

sdílení tepla při volném a vynuceném proudění

Aerodynamika

obtékání těles, určení koeficientu odporu

automobilový průmysl - tvar karoserie

letecký průmysl

Chemická technologie

míchání kapalin

rozprašování kapalin

reakční kinetika

Základní pojmy

Systém je soubor vybraných objektů neboli prvků sledovaného zařízení nebo prostředí, mezi

nimiž existují určité vztahy a vazby.

Za systém můžeme považovat:

přirozený reálný objekt (společnost, biotop, lokalita životního prostředí, ad.)

umělý reálný objekt (počítač, stroje, zařízení ad.)

proces nebo komplex procesů (např. technologický proces)

soubor informačních, regulačních a řídících aktivit, které se vztahují k jistému

reálnému problému, jeho projektu (komunikační systém, řídící systém)

abstraktní myšlenkovou konstrukci, výrokovou konstrukci a konstrukci

matematických výrazů, která je založena na reálném objektu

Vstup systému je množina proměnných, prostřednictvím kterých působí vnější prostředí na

prvky systému (např. přísun materiálu, komponent chemických reakcí, energie ad.).

Výstup systému je pak množina proměnných, prostřednictvím kterých působí prvky systému

na vnější prostředí (dodávka výrobků, energie, vystupujících chemických sloučenin apod.).

Page 10: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

3

Vlastnosti systému. Každý systém má své specifické vlastnosti. Je to např. doba reakce, což

je čas, který uplyne od okamžiku změny vstupních proměnných (okamžik impulsu) až do

okamžiku, kdy se na výstupu objeví příslušná odezva. Z hlediska odezvy rozeznáváme pak

lineární systémy, u kterých je výstup v lineární závislosti na vstupech a systémy nelineární, u

kterých je výstup v nelineární závislosti na vstupech.

Doba odezvy (časové zpoždění) - čas, který uplyne od okamžiku objevení se podnětu na

vstupu systému do okamžiku objevení se k němu příslušné odezvy na výstupu systému.

Modelování probíhajících procesů v systému je metodou, jejíž cílem je co nejvěrohodněji

zachytit chování reálného systému pomocí modelu. Na základě výsledků dosažených na

modelu lze pak zpětně předpovídat chování reálného systému při různých změnách procesu.

Pomocí modelování lze např. bez měření na příslušném průmyslovém zařízení

stanovit dynamické vlastnosti systému

stanovit vliv změn okrajových podmínek provozování systému

optimalizovat chemickotechnologické, metalurgické aj. systémy a stanovit podmínky

jejich činnosti

stanovit rozměry a jiné technické parametry zařízení

Model je vyjádřením podstatných vlastností reálného systému v přijatelné a cílevědomé

formě. Musí tedy vyjadřovat vztah mezi příčinou a následkem.

Model musí uvažovat všechny charakteristické vlastnosti zkoumaného procesu a je nutno z

něj vyloučit vlastnosti nepodstatné, které by dělaly model složitým a analýzu modelu

těžkopádnou.

Identifikace je proces určování matematického popisu modelu. Je to činnost, při které

určujeme strukturu modelu (strukturální identifikace) a parametry modelu (parametrická

identifikace).

Strukturou rozumíme např. řád a zvolený typ diferenciální či diferenční rovnice (lineární,

nelineární rovnice, typ nelinearity atd.), nebo soustavu těchto rovnic, spojitý nebo diskrétní

přenos se zvolenými stupni polynomů v čitateli a jmenovateli, který matematicky vyjadřuje

závislost výstupního signálu na signálu vstupním.

Parametry pak rozumíme koeficienty těchto rovnic nebo přenosů.

Identifikace a modelování jsou tedy procesy, které se navzájem prolínají.

Konečným cílem identifikace a modelování je vytvořit takový model systému, definovaný

na objektu, aby chování modelu bylo v jistém smyslu stejné jako u reálného systému za

stejných provozních podmínek.

Když hovoříme o identifikaci, tj. ztotožnění modelu se systémem, potom apriori

předpokládáme, že systém a model nejsou identické. Jedná se vždy o jistou aproximaci,

která transformuje skutečnost do abstraktního světa matematiky.

Page 11: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

4

Klasifikace modelů

Modely reálných soustav můžeme klasifikovat podle různých hledisek.

1. Podle stupně abstrakce reálného objektu:

fyzikální model - je vytvořen na základě fyzikální podobnosti modelu a díla. Je tvořen

přirozeným nebo umělým hmotným systémem.

fyzikálně matematický model (fyzikální analog) - je model vytvořený na základě

matematické a fyzikální podobnosti. Původní fyzikální proces se nahrazuje procesem

analogickým mající stejný matematický popis (elektroanalogy, hydroanalogy).

matematický model - je vytvořen na základě matematické podobnosti modelu a díla:

- vnitřní podobnost (matematický analog, model bílé skříňky) - matematický

model vytvořený fyzikálně matematickými metodami identifikace,

vyjadřuje vnitřní chování systému

- vnější podobnost (model černé skříňky) - matematický model vytvořený

experimentálními metodami identifikace, vyjadřuje vnější chování systému.

2. Podle toho, zda model popisuje statické či dynamické vlastnosti systémů:

statický model - vyjadřuje závislost výstupních veličin na vstupních veličinách

v ustáleném stavu systému. Vazbu mezi vstupními a výstupními veličinami

reprezentují algebraické rovnice, ve kterých nevystupuje čas jako nezávisle proměnná,

takže jde o relaci mezi ustálenými hodnotami vstupů a výstupů. Umožňuje dopředu

předvídat, jaké budou výstupy při daných vstupech v ustáleném stavu, neříká ale nic o

tom, za jak dlouho výstupu dosáhneme. Nelze jej použít pro řízení.

dynamický model - úplný model, který popisuje nejen statické, ale také dynamické

vlastnosti systému. Říká nám, jaký bude průběh výstupu v čase při daném vstupu a

stavu systému. Vazbu mezi vstupy a výstupy vyjadřují diferenciální, resp. diferenční

rovnice. Používá se v oblasti řízení, kde jsou významnými jevy přechody od jednoho

stavu ke druhému.

3. Podle toho, zda parametry dynamických modelů (např. diferenciálních rovnic) jsou

závislé na čase:

stacionární - časově nezávislé (časově invariantní) - parametry dynamických modelů

jsou konstantní.

nestacionární - časově závislé (časově variantní) - parametry dynamických modelů

jsou závislé na čase.

4. Podle způsobu identifikace:

analytický model – model získaný analytickými metodami identifikace, vychází

z hmotových a energetických bilancí rovnic fyzikálních, chemických, příp.

biologických procesů. Při jeho tvorbě se uplatňuje deduktivní přístup.

Page 12: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

5

experimentální model – model získaný experimentálními metodami identifikace,

měřením na skutečných objektech. Při jeho tvorbě se uplatňuje přístup induktivní.

5. Podle charakteru procesu, který probíhá na vyšetřovaném objektu, můžeme

experimentální modely rozdělit na:

deterministický model - odpovídá deterministickým (jednoznačně určeným) vztahům

mezi vstupními a výstupními veličinami, tzn., že jednoznačně a přesně dovedeme tyto

vztahy přiřadit a popsat.

stochastický model - buď sám zkoumaný systém, nebo metoda řešení mají náhodný

charakter, tzn., že vztahy (korelace) mezi vstupními a výstupními veličinami nejsou

zcela určité, jsou dány statisticky s určitou pravděpodobností.

Převážná většina objektů, se kterými se v průmyslové praxi setkáváme, má stochastický

charakter. Pozorovaný výstup soustavy není zpravidla určován jen vstupními signály a jejich

minulou historií, ale projevují se na něm náhodné vlivy, jejichž zdroj často ani neznáme.

Mohou to být náhodné děje, které probíhají uvnitř vlastního objektu, nebo těžko kontrolované

a určitelné náhodné vlivy působícího vnějšího okolí.

6. Podle charakteru matematického popisu modelu:

nelineární model - alespoň jedna operace matematického popisu je nelineární.

lineární model - všechny operace matematického popisu modelu jsou lineární. Objekt

nazýváme lineárním, platí-li u něj princip superpozice, tj. je-li jeho odezva na součet

dvou signálů ekvivalentní součtu odezev na každou změnu vstupu zvlášť.

7. Podle způsobu zpracování modelové informace

spojitý model - vstupy a výstupy modelu se mění spojitě.

diskrétní model - vstupy a výstupy modelu se mění v určitých diskrétních časových

okamžicích t = (1,2,....n). Někdy se mění nespojitým způsobem pouze vstup a výstupní

veličina se mění spojitě, takovou soustavu považujeme za nespojitou.

8. Podle toho, jakým způsobem jsou parametry modelu obsaženy ve funkčních

závislostech:

neparametrický model - představuje zpravidla funkční závislost mezi zvoleným

vstupním a odpovídajícím výstupním signálem, která se vyjadřuje buď graficky

pomocí záznamu z měření odezev systému (zapisovače signálů) nebo pomocí tabulky

hodnot, popisující číselně danou závislost. Neparametrické modely vyjadřují zpravidla

přechodovou, impulsní nebo frekvenční charakteristiku v grafické nebo v tabulkové

formě. Parametry modelu jsou pak obsaženy implicitně v těchto funkčních

závislostech. Lze je získat až jejich následným vyhodnocením pro zvolenou strukturu

modelu.

parametrický model - má danou strukturu. Parametrické modely představují z

matematického hlediska rovnice nebo soustavy rovnic a algebraické vztahy, které

explicitně obsahují koeficienty těchto rovnic a vztahů. Obecně pak označujeme tyto

Page 13: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

6

koeficienty jako parametry matematických modelů. Výše uvedené charakteristiky jsou

v tomto případě vyjádřené analyticky jako funkce nezávisle proměnné a konečného

počtu parametrů, které jsou obvykle předmětem identifikace.

Předností neparametrických modelů je, že nevyžadují žádné informace o struktuře modelu.

U parametrických modelů je však nutný předpoklad znalosti struktury systému. Kladnou

stránkou parametrických modelů je jednoduché modelování na počítači, protože pomocí

nevelkého objemu údajů o parametrech systému jsme schopni nejvhodněji popsat jeho

dynamické chování. Při identifikaci se proto snažíme získat model v parametrické formě a

neparametrické modely považujeme jen za mezivýsledky řešení, které je ještě třeba

parametrizovat.

9. Podle rozložení sledovaného parametru ve vyšetřovaném objektu:

model se soustředěnými parametry - model, který má stejné hodnoty sledovaných

parametrů v celém prostoru objektu. Matematický popis tohoto modelu je tvořen

soustavou obyčejných diferenciálních rovnic.

model s rozloženými parametry - model, který má různé hodnoty sledovaných

parametrů podle polohy v objektu. Matematický popis tohoto modelu je tvořen

soustavou parciálních diferenciálních rovnic.

10. Podle charakteru vazby mezi vstupy a výstupy:

vnější model - popisuje pouze relace "vstup - výstup". V případě lineárních a

stacionárních systémů se ve funkci vnějších modelů používají vedle diferenciálních

rovnic (spojité soustavy) a diferenčních rovnic (diskrétní soustavy) obrazové přenosy.

Kromě přenosů se jako vnější modely používají také přechodové, impulsní a

frekvenční charakteristiky.

vnitřní model - je reprezentovaný relací "vstup - stav - výstup" a jedná se tedy o

závislost zprostředkovanou přes stavové proměnné. Předností vnitřního (stavového)

modelu je, že je vhodnější na aplikaci moderních matematických metod i na využití

modelování prostředky výpočetní techniky.

11. Podle toho, zda náhodná výstupní veličina je při determinovaném vstupu

stacionární nebo nestacionární:

off-line model - je stanovený na základě fyzikálních zákonů, technologických a

konstrukčních vlastností, na základě izolovaně prováděných experimentů. Sestavený

model pak zůstává po dobu činnosti zařízení zachován. Je zřejmé, že použití off-line

modelů je přesně omezeno požadovaným stacionárním chováním identifikovaných

objektů.

on-line model - je neustále adaptivně zpřesňovaný po dobu činnosti zařízení, a to na

základě nepřetržitě prováděných experimentů na identifikovaném objektu. Obecně je

možno upravovat jak strukturu, tak i hodnoty odpovídajících parametrů. Tím jsou do

modelu zahrnuty proměnné podmínky, za kterých proces v daném časovém intervalu

probíhá. Tyto modely se používají především u objektů s nestacionárním chováním,

Page 14: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

7

aby bylo dosaženo ekvivalence identifikovaného objektu a modelu. Tento model se

používá v technické praxi častěji.

12. Podle účelu modelu:

poznávací model - představuje prostředek k získání poznatků. Jde o pasivní roli, v níž

model nepůsobí na zkoumaný proces nebo objekt přímo.

řídicí model - využívá se k řízení procesů, tzn. aktivně působí na proces nebo objekt.

Uplatňuje se zvláště tam, kde získání nezbytné informace o chování není možné

přímým měřením (a neuplatňuje se zpětná vazba).

13. Podle toho, zda model využívá objektivních zákonitostí nebo znalostí subjektivních:

konvenční model (klasický) - využívá objektivních zákonitostí vyplývajících

z přírodních zákonů či experimentů.

nekonvenční model - využívají pro svou tvorbu znalostí subjektivních, heuristických,

vyplývajících z lidských zkušeností (fuzzy modely, expertní systémy, modely

neuronových sítí, genetické algoritmy).

Podstata a základní principy fyzikálního modelování

Fyzikální modelování probíhajících procesů v systému je metodou, jejímž cílem je co

nejvěrohodněji zachytit chování reálného systému pomocí hmotného fyzikálního modelu.

Model i dílo má při fyzikálním modelování stejnou fyzikální podstatu. Proudění tekutiny je

tedy modelováno opět prouděním tekutiny, ale v určitém měřítku délek, rychlostí objemových

průtoků, viskozit atd.

Podmínkou přenosu výsledků z modelu na dílo je podobnost procesů probíhajících v modelu

a díle.

Podobnost dvou systémů

Původně byl pojem podobnost zaveden v geometrii jako podobnost plošných a prostorových

útvarů. Teorie fyzikálního modelování rozeznává a využívá kromě geometrické podobnosti

různé další druhy podobností, které charakterizují podobnost různých fyzikálních jevů.

Setkáváme se s podobností kinematickou, dynamickou, tepelnou, chemickou, elektrickou,

elektrodynamickou, termodynamickou aj. Podobnost dvou systémů pak vyžaduje podobnost

všech relevantních veličin v celém objemu obou systémů, tzn. v modelu a díle.

Geometrická podobnost

je charakterizována jako podobnost tvaru. Systémy jsou geometricky podobné, když poměr

odpovídajících lineárních rozměrů na modelu a díle je stejný. Tento poměr je nazýván

konstantou podobnosti.

Page 15: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

8

.konstl

lM

i

il

(1.1)

V případě, že Ml=1, pak jsou oba systémy geometricky shodné. Konstanta podobnosti délek

Ml je při vlastním experimentálním modelování rovněž označována jako délkové měřítko

(scale factor), tzn. měřítko, ve kterém je model fyzicky sestrojen vzhledem k dílu – viz

obr. 1.1.

Obr. 1.1 Příklad geometricky podobného plošného (a) a objemového (b) systému.

Kinematická podobnost

vyjadřuje podobnost pohybu tj. podobnost rychlostních polí a polí zrychlení. Kinematická

podobnost je v podstatě pozorována mezi dvěma systémy geometricky podobnými, ve kterých

je poměr rychlostí (resp. poměr zrychlení) v navzájem odpovídajících místech modelu a díla

stálý, přičemž směr rychlosti nebo zrychlení je totožný v obou systémech – viz obr. 1.2.

Page 16: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

9

Obr. 1.2 Kinematická podobnost rychlostních polí při laminárním a ustáleném proudění

vazké tekutiny v potrubí různého průměru.

Dynamická podobnost

vyjadřuje podobnost sil a rovněž je pozorována mezi dvěma geometricky podobnými

systémy, ve kterých je poměr sil v navzájem odpovídajících místech a časech stálý a směr

jejich působení totožný. U dynamické podobnosti se předpokládá podobnost geometrická i

kinematická – viz obr. 1.3.

Obr. 1.3 Dynamická podobnost silových polí působících ve dvou geometricky podobných

systémech.

Page 17: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

10

Dynamická podobnost při proudění tekutiny

V dynamicky podobných systémech, kde probíhá proudění tekutiny za izotermických

podmínek je nutno uvažovat všechny relevantní síly, které mají vliv na výsledný charakter

proudění.

Základní rozdělení těchto sil: síly vnější a síly vnitřní.

Síly vnější působí na systém (kapalinu) zvnějšku a síly vnitřní jsou generovány jako důsledek

vlastností kapaliny – viz tab. 1.1.

Tab. 1.1 Základní typy sil uvažované při proudění tekutiny v dynamicky podobných

systémech.

m ... hmotnost, kg; m=.V

a ... zrychlení, m.s-2

; a=w2.l

-1

... hustota, kg.m-3

l… charakteristický rozměr, m

w ... rychlost, m.s-1

g ... tíhové zrychlení, m.s-2

V ... objem, m3; V l

3

... čas, s

p ... tlak, kg. m

-1.s

-2 , (Pa)

pd ... dynamický tlak, kg. m

-1.s

-2 (Pa)

... dynamická viskozita, kg.m-1

.s-1

(N.s.m-

2,Pa.s)

... kinematická viskozita, m2. s

-1

... povrchové napětí, N.m-1

, (kg.s-2

)

F … síla, N (kg.m.s-2

)

Page 18: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

11

Důsledek existence povrchového napětí kapaliny

Obr. 1.4 Příklady důsledků existence povrchového napětí.

Obr. 1.5 Schéma přitažlivých sil působících na částici v povrchové vrstvě kapaliny.

Page 19: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

12

Základní zákony hydrodynamiky

zákon o zachování hmoty – rovnice kontinuity

v kontrolním objemu dV, ve kterém proudí kapalina, musí být hmotnost konstantní a její

změna nulová

m = . V = konst. dm = 0 (1.2)

pro stacionární proudění :

Qm = . S . w = konst. (1.3)

pro stacionární proudění a nestlačitelnou kapalinu :

Q v = S . w = konst. (1.4)

zákon o rovnováze sil v proudovém poli – Eulerova rovnice hydrodynamiky pro

ideální kapalinu; Navier-Stokesova rovnice pro laminární proudění skutečné

kapaliny

Na elementární objem kapaliny (dV) působí obecně síly vnější hmotnostní (dFm), síly tlakové

(dFp), síly třecí od viskozity kapaliny (dFt), které musí být v rovnováze se silami setrvačnými

(dFS), takže:

dFm + dFp + dFt = dFS (1.5)

zákon o zachování energie - Bernoulliovy rovnice (pro ideální či skutečnou

kapalinu, pro neustálené proudění, pro nerovnoměrný rychlostní profil

Pro ideální kapalinu (bez vnitřního tření) za podmínek rovnoměrného rychlostního profilu a

ustálený stav je součet všech tří energií (kinetické, tlakové a polohové v J.kg- konstantní) :

..2

2

konstghpw

(1.6)

Výškové vyjádření B. rovnice [m]:

..2

2

konsthg

p

g

w

(1.7)

Tlakové vyjádření B. rovnice [Pa]:

...2

. 2

konstghpw

(1.8)

Page 20: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

13

Při proudění skutečné kapaliny je v silové rovnováze i třecí síla resp. třecí zrychlení,

způsobené viskozitou. Rovnice bude tedy obsahovat další člen, který vyjadřuje disipační –

ztrátovou měrnou energii.

věta o změně hybnosti, nahrazující v mnoha praktických aplikacích Eulerovu

rovnici hydrodynamiky.

impuls síly se rovná změně hybnosti:

(1.9)

Fh = Qm . (v1 –v2) (1.10)

Aplikace věty o změně hybnosti je pro inženýrskou praxi velmi důležitá, neboť nahrazuje

Eulerovu rovnici hydrodynamiky, která pro výpočet silové rovnováhy při proudění není vždy

vhodná.

Tepelná podobnost

charakterizuje podobnost teplot, teplotních gradientů a tepelných toků v odpovídajících

časech procesu a odpovídajících místech geometricky podobných systémů. Tepelnou

podobnost je nutno zajistit při modelování neizotermálních procesů – viz obr. 1.6.

.3

3

2

2

1

1 konstMT

T

T

T

T

TT

Obr. 1.6 Tepelná podobnost teplotních polí ve dvou geometricky podobných systémech.

Page 21: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Úvod do fyzikálního modelování procesů

14

Chemická podobnost

vyjadřuje podobnost koncentrací a koncentračních gradientů v odpovídajících časech procesu

a odpovídajících místech geometricky podobných systémů.

Obdobným způsobem by bylo možné charakterizovat i další druhy podobností.

Shrnutí pojmů kapitoly

Systém; vstup systému; výstup systému; vlastnosti systému.

Fyzikální modelování.

Podobnosti systémů: geometrická, kinematická, dynamická, tepelná, chemická.

Základní zákony hydrodynamiky.

Otázky k probranému učivu

1.1 Charakterizujte podstatu fyzikálního modelování.

1.2 Popište geometrickou podobnost.

1.3 Popište kinematickou podobnost.

1.4 Popište dynamickou podobnost.

1.5 Charakterizujte základní typy sil v hydrodynamických systémech.

1.6 Jaké znáte základní zákony hydrodynamiky?

Page 22: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

15

2. Bezrozměrové parametry

Čas ke studiu: 2,5 hodiny

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

definovat bezrozměrové parametry,

stanovit bezrozměrové parametry rozměrovou analýzou.

Výklad

Vyjádření podobnosti dvou systémů pomocí konstant podobnosti je sice možné, ale z

praktického hlediska není příliš rozšířené. Nejčastěji využívaným způsobem vyjádření

podobnosti dvou systémů je pomocí tzv. bezrozměrových parametrů.

Bezrozměrový parametr Kq v základním systému:

j

iq

q

qK

(2.1)

kde :

Kq … bezrozměrový parametr veličiny q

qi /qj …poměr dvou libovolně zvolených veličin q v základním systému (např.

poměr l5 / l6 v obr. 2.1)

Obr. 2.1 Geometricky podobné systémy.

Page 23: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

16

Bezrozměrový parametr K´q v podobném systému

j

íq

q

qK

(2.2)

q´i /q´j …poměr stejných veličin v homologických bodech podobného systému

(tzn. poměr l´5/l´6 v obr. 2.2)

Z podílu bezrozměrových parametrů Kq´ a Kq vyplývá

1M

1M

q

q

q

q

K

K

q

q

i

j

j

í

q

q

(2.3)

U podobných systémů musí tedy platit

qq KK (2.4)

Bezrozměrový parametr má v homologických bodech podobných systémů stejnou

hodnotu - nemění se, je invariantní (první věta podobnosti). Bezrozměrový parametr nemá

však ve všech bodech těchto systémů stálou hodnotu !

Kritéria podobnosti

V oblasti aplikace teorie podobnosti a modelování jsou bezrozměrové parametry označovány

jako kritéria podobnosti (invarianty podobnosti, podobnostní čísla, -proměnné) - např.

kritérium Reynoldsovo (Re), Froudeho (Fr), Eulerovo (Eu), Grasshoffovo (Gr) ad.

Většinu těchto kritérii podobnosti lze vyjádřit vhodně zvoleným poměrem vybraných sil

působících v systému např. setrvačné, tíhové (gravitační), vazké ad.

Rozdělení kritérií podobnosti

Kritéria podobnosti lze podle jejich charakteru dělit na simplexní a komplexní.

Simplexní kritérium vyjadřuje poměr dvou stejnojmenných fyzikálních veličin (délek,

rychlostí, hustot, viskozit ad.) v daném systému. Speciálním případem simplexního kritéria je

tzv. parametrické kritérium, což je poměr fyzikální veličiny a nějaké fyzikální konstanty

(rychlosti zvuku, Machovo číslo)

Komplexní kritérium představuje pak poměr nejméně tří různojmenných veličin uspořádané

ve vhodném tvaru tak, aby výsledek byl bezrozměrový.

Page 24: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

17

Tab. 2.1 Vybraná kritéria podobnosti.

Název kritéria Označení Vzorec Interpretace Použití

Froudeho Fr lg

w

.

2

Poměr sil setrvačných

a tíhových.

Volné proudění

tekutiny, vlnění

tekutiny. Při

vynuceném proudění

odpadá.

Galileovo Ga 2

3 .

v

lg

Poměr sil tíhových a

vazkých při volném

proudění

(Ga = Re2

/ Fr) .

Gravitační proudění

vazké tekutiny.

Homochronismu

(Strouhalovo)

Ho

(Str) l

w Bezrozměrový čas.

Charakterizuje

ustálenost pohybu

v soustavě.

Machovo Ma c

w

Poměr rychlosti

proudění k rychlosti

zvuku.

Průtok plynu vysokými

rychlostmi.

Pecletovo dif. PeD

D

lw

Poměr rychlosti

konvektivního přenosu

hmoty k difuznímu

přenosu hmoty

(Pe=Re . Sc) .

Přenos hmoty při

proudění tekutin.

Reynoldsovo Re

lw .

Poměr sil setrvačných

a vazkých.

Přenos hybnosti při

proudění tekutin.

Schmidtovo Sc

D

Poměr součinitele

difúzního přenosu

hybnosti a mol.

difuzivity. Míra

přenosu rychlosti

hybnosti do rychlosti

difúze.

Sdílení hmoty

v tekutinách při volné a

vynucené konvekci.

Podobnost rychlostních

a koncentračních polí.

Stokesovo Stk l

dw

2

Poměr sil setrvačných

a sil vazkých

působících na pevnou

částici v tekutině.

Klesání, sedimentace

částic v tekutinách.

Page 25: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

18

Základní vlastnosti kritérií podobnosti

Kritéria libovolného jevu mohou být transformována na jiná kritéria vzájemným dělením,

násobením, umocněním konstantou nebo násobením konstantou.

Jestliže např. pro hodnoty kritérií podobnosti K1 a K2 platí, že

K1 = idem a K2 = idem (2.5); musí rovněž platit K1 . K2 = K3 = idem (2.6)

K1 / K2 = K4 = idem (2.7); K1konst

= K5 = idem (2.8)

konst . K2 = K6 = idem (2.9)

Kde K3 až K6 jsou transformovaná kritéria podobnosti, která rovněž charakterizují daný jev.

Pokud analyzujeme kritéria podobnosti v předchozí tabulce tak zjistíme, že některá kritéria

vznikly transformací nebo kombinací jiných kritérií (např. Fr=Re2/Ga, Stk=ReEu,

Ar=Ga(), Gr=GaT aj.).

Úplná fyzikální rovnice, základní rovnice, kriteriální rovnice

Většina fyzikálních procesů může být popsána úplnou fyzikální rovnicí, přičemž se většinou

jedná o rovnice diferenciální (obyčejné či parciální) nebo o systém diferenciálních rovnic.

Úplná fyzikální rovnice se vyznačuje tím, že bere v úvahu všechny závislosti mezi

relevantními veličinami, tzn. mezi veličinami, které mají v daném procesu rozhodující

význam. Tato rovnice musí být pro popis konkrétního jevu doplněna podmínkami

jednoznačnosti:

fyzikální podmínky (fyzikální vlastnosti látky, v níž proces probíhá - viskozita, hustota,

měrné teplo, součinitel tepelné vodivosti ad.).

počáteční podmínky (stav systému na počátku procesu - např. pole rychlostí a teplot)

hraniční podmínky (stav systému na styku s vnějším prostředím - drsnost stěn, tepelné toky

přes stěny, vstupní a výstupní rychlosti proudícího média aj.).

Sjednocení úplné fyzikální rovnice a podmínek jednoznačnosti dává základní rovnice.

K popisu fyzikálního jevu, jehož rovnice je nesnadno řešitelná nebo není známa, se s výhodou

používá kriteriální rovnice.

V kriteriální rovnici jsou relevantní veličiny nahrazeny bezrozměrovými parametry

(kritérií podobností), které jsou z těchto relevantních veličin odvozeny (druhá věta

podobnosti). Vzájemné funkční závislosti mezi bezrozměrovými parametry se určují

experimentálně měřením na modelu.

Obecný tvar kriteriální rovnice resp. tvar jednotlivých bezrozměrových parametrů lze odvodit

pomocí rozměrové analýzy nebo pomocí analýzy diferenciálních rovnic popisujících daný děj.

Page 26: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

19

Stanovení bezrozměrových parametrů pomocí rozměrové analýzy

Rozměrová (dimenzionální) analýza se používá v případě, kdy není znám matematický popis

děje a existuje pouze předpoklad, že sledovaný děj je funkcí relevantních fyzikálních veličin,

jejichž přesný smysl působení však neznáme. Podstata rozměrové analýzy je založena na

tvrzeních Buckinghamového teorému (-teorém), které lze vyjádřit následovně:

Každou rozměrově homogenní1 rovnici relevantních fyzikálních veličin, např.

f (q1, q2, q3, q4,…qn)= 0 (2.10)

lze přetransformovat na kriteriální rovnici s určitým počtem bezrozměrových parametrů K

(často také označovaných ) ve tvaru

(K1, K2, K3, K4, …Kl) = 0 (2.11)

Jestliže jsou relevantní fyzikální veličiny q nezávislé pak počet l bezrozměrových parametrů

K potřebných pro sestavení kritériální rovnice se rovná počtu n relevantních veličin

zmenšených o počet m základních veličin (hmotnost, délka čas, ad.) potřebných pro vyjádření

těchto relevantních veličin tzn., že

l = n - m (2.12)

Každou rozměrově homogenní rovnici lze transformovat do podoby rovnice navzájem

nezávislých bezrozměrových parametrů K, vzniklých vhodným seskupením veličin q.

Vzájemná nezávislost znamená, že kterýkoliv bezrozměrný parametr nelze vyjádřit součinem

různě umocněných parametrů ostatních.

(Pozn.: Novější výklad -teorému vychází ze vztahu l = n – h, kde h je hodnost rozměrové

matice, přičemž h m).

Za uvedených podmínek můžeme dále uvedeným postupem získat n-m bezrozměrových

parametrů K, které jsou vzájemně nezávislé. Tento postup spočívá v řešení systému n - m

rovnic, které lze v obecném tvaru vyjádřit následovně

am

1mn

a2

1n

a1

n11 q....qqqK (2.13)

bm

1mn

b2

1n

b1

n22 q....qqqK (2.14)

. . . . . . . . . .

xm

1mn

x2

1n

x1

nmnmn q....qqqK (2.15)

1 Rozměrové homogenní rovnice musí mít rozměr každého členu stejný; každý člen rovnice je tedy tvořen

kombinací relevantních veličin (např. Bernoulliho rovnice : p + hρg + ½ ρw2 ; rozměr: kg.m

-1.s

-2 = Pa)

Page 27: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

20

Každá rovnice se řeší samostatně, přičemž se stanoví hodnoty rozměrových exponentů ai, bi,

…xi takovým způsobem, aby parametry K byly bezrozměrové.

Fyzikální veličiny používané v technických výpočtech při izotermickém proudění tekutin,

jejich jednotky a rozměrové exponenty v soustavě m, kg, s

Tab. 2.2 Fyzikální veličiny, jejich jednotky a rozměrové exponenty.

Fyzikální veličina Označení

veličiny Jednotky

Rozměrové exponenty

m kg s

délka l m 1 0 0

hmotnost m kg 0 1 0

čas s 0 0 1

rychlost w m.s-1

1 0 -1

zrychlení a m.s-2

1 0 -2

gravitační zrychlení g m.s-2

1 0 -2

hustota kg.m-3

-3 1 0

dynamická viskozita kg .m-1

. s-1

-1 1 -1

kinematická viskozita m2.s

-1 2 0 -1

povrchové napětí kg.s-2

0 1 -2

objemový průtok Qv m3.s

-1 3 0 -1

hmotnostní průtok Qm kg.s-1

0 1 -1

molekulární difuzivita D m2.s

-1 2 0 -1

síla F kg.m.s-2

1 1 -2

tlak P kg.m-1

.s-2

-1 1 -2

Nevýhody metody rozměrové analýzy

Spojovat relevantní veličiny do známých a osvědčených bezrozměrových parametrů je velmi

užitečné, je nutno ale poukázat na to, že :

Rozměrová analýza neumožňuje nalézt tvar vztahu mezi jednotlivými veličinami.

Page 28: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

21

Rozměrová analýza nám rovněž nemůže říct, zda v úvaze nebyla vynechána některá klíčová

veličina. Úloha vytknout všechny relevantní veličiny se někdy pokládá za slabinu rozměrové

analýzy

Vynechat některou veličinu je rovnocenné s předpokladem, že sledovaný děj na ní nezávisí.

Naopak zařazení veličiny, která ve skutečnosti na děj nemá vliv, komplikuje celý proces

stanovení bezrozměrových parametrů a následné experimentální měření.

Obvykle se přijímá postup, že se za relevantní vezmou pouze veličiny mající na sledovaný děj

nejvíce podstatný vliv. O tom, zda veličina patří nebo nepatří mezi relevantní, mohou nakonec

rozhodnout jen výsledky experimentů.

Řešené úlohy

Řešený příklad č. 2.1

Uvažujme například, že síla F působící na ponořené těleso v proudící tekutině závisí na

rychlosti proudění tekutiny w, její hustotě , viskozitě a charakteristickém rozměru tělesa l.

Je zřejmé, že k vyjádření těchto pěti relevantních veličin potřebujeme pouze tři základní

veličiny, a to délku l (m) čas (s) a hmotnost m (kg). Z rozdílu relevantních a základních

veličin vyplývá, že k popisu případu potřebujeme pouze dva bezrozměrové parametry, které si

označíme K1 a K2 .

Jejich vyjádření v obecné formě je následující:

a3a2a11 l.ρwFK

b3b2b12 l.ρwηK

Jejich vyjádření v rozměrovém tvaru je následující:

a3a23a112

1 mmkgsmsmkgK

b3b23b1111

2 mmkgsmsmkgK

Pokud mají být oba parametry bezrozměrové (tzn. m0s

0kg

0) musí být dodržena podmínka, že

součet rozměrových exponentů pro každou základní veličinu se musí rovnat nule. Můžeme si

tedy vytvořit systém rovnic s použitím hodnot rozměrových exponentů nejdříve pro rovnici

vyjadřující K1, a to pro každou základní veličinu zvlášť:

pro m : 0 = 1 + a1 - 3a2 + a3

pro s : 0 = -2 – a1

pro kg: 0 = 1 + a2

Page 29: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

22

Řešením těchto rovnic získáme :

a1 = -2 ; a2 = -1; a3 = -2

Bezrozměrový parametr K1 pak dostává tvar

ρw

p

lρw

FlρwFK

222

2121

Uvedený bezrozměrový parametr je znám jako Eulerovo kritérium – Eu.

Analogickým postupem vyřešíme druhou rovnici

pro m: 0 = -1 + b1 - 3b2 + b3

pro s :0 = -1 – b1

pro kg:0 = 1 + b2

Řešením těchto rovnic získáme :

b1 = -1 ; b2 = -1; b3 = -1

Bezrozměrový parametr K2 pak dostává tvar

lw

ν

lρw

ηlρwηK 111

2

což je převrácená hodnota Reynoldsova kritéria – 1/Re.

Uvedeným postupem lze původní funkci, která je sestavena z pěti veličin, transformovat do

kombinace dvou bezrozměrových parametrů K1 a K2

0lw

ν,

ρw

pf,KKf

221

S ohledem na hledanou hodnotu síly F lze rovnici napsat rovněž ve tvaru:

lw

νf

lρw

F22

což označuje, že Eulerovo kritérium je funkcí Reynoldsova kritéria. Tuto závislost hledáme

experimentálně na modelu tak, že měníme rychlost proudění w a měříme F, vypočítáváme Re

a Eu. Do diagramu pak vynášíme závislost Eu na Re.

Page 30: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

23

Řešený příklad č. 2.2

Je nutno stanovit kritéria podobnosti proudění tekutiny v průtočné nádrži s jedním vstupem

a jedním výstupem.

Rozborem problému byly stanoveny čtyři relevantní veličiny:

l - charakteristický rozměr (např. hloubka tekutiny v nádrži)

w - rychlost tekutiny (na vstupu)

g - gravitační zrychlení

- kinematická viskozita

K vyjádření těchto čtyř veličin je nutno použit dvě základní veličiny, a to délku l (m) a čas (s). K popisu tohoto případu potřebujeme pouze dva bezrozměrové parametry (kritéria

podobnosti).

Jejich tvar lze vyjádřit následujícím způsobem :

a2a1

1 lwgK

2bb1

2 lwK

Obě rovnice vyjádříme s využitím základních veličin v rozměrovém tvaru :

2aa112

1 msmsmK

22 bb111

2 msmsmK

Pokud mají být oba parametry bezrozměrové musí být dodržena podmínka, že součet

rozměrových exponentů pro každou základní veličinu se musí rovnat nule. Můžeme si tedy

vytvořit systém rovnic s použitím hodnot rozměrových exponentů nejdříve pro rovnici

vyjadřující K1, a to pro každou základní veličinu zvlášť:

pro m : 0 = 1 + a1 + a2

pro s : 0 = -2 – a1

Řešením těchto rovnic získáme :

a1 = -2 ; a2 = 1

Bezrozměrový parametr K1 pak dostává tvar :

2

12

1w

lglwgK

Page 31: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

24

Tento bezrozměrový parametr je 1/ Fr (Froudeho kritérium)

Analogickým postupem vyřešíme druhou rovnici

pro m: 0 = 2 + b1 + b2

pro s : 0 = -1 – b1

Řešením těchto rovnic získáme :

b1 = -1 ; b2 = -1

Bezrozměrový parametr K2 pak dostává tvar

lwlwK 11

2

ν

což je převrácená hodnota Reynoldsova kritéria – 1/Re.

Uvedeným postupem lze původní fyzikální rovnici, která je sestavena ze čtyř veličin

0,g,w,lf

transformovat do rovnice obsahující kombinaci dvou bezrozměrových parametrů K1 a K2

0lw

,w

lgf,KKf

221

ν

0ReFr,fK,Kf 21

Pokud tedy požadujeme zachování podobnosti proudění tekutiny v díle a jeho modelu

musíme, kromě dodržení geometrické podobnosti, dodržet identitu kritérií Fr a Re pro oba

systémy.

Řešený příklad č. 2.3

Alternativní postup stanovení bezrozměrových parametrů pomocí rozměrové analýzy

Je nutno stanovit kritéria podobnosti proudění tekutiny v průtočné nádrži s jedním vstupem a

jedním výstupem.

Analýzou problému byly stanoveny čtyři relevantní veličiny :

l – charakteristický rozměr (např. hloubka tekutiny v nádrži)

w – rychlost tekutiny (na vstupu)

Page 32: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

25

g – gravitační zrychlení

– kinematická viskozita

Fyzikální rovnici popisující daný děj lze obecně vyjádřit jako závislost čtyř relevantních

veličin s různými rozměry

0,g,w,lf

Tato rovnice musí být rozměrově homogenní (rozměr všech členů rovnice musí být shodný),

tzn. že jednotlivé proměnné se v ní nemohou vyskytovat samostatně, ale ve formě součinů

těchto proměnných umocněných racionálními exponenty.

V souladu s dříve uvedenými poznatky rovnici přepíšeme na výraz

0...,Kf 1

Libovolný bezrozměrový parametr lze pak vyjádřit výrazem

dcba gwlK

Jeho rozměrová rovnice je následující

dcbdcbadcba smsmsmsmm 2212211

Je zřejmé, že součet rozměrových exponentů u každé základní veličiny se musí rovnat nule,

neboť levá strana rovnice se rovná jedné.

pro m : a+b+c+2d=0

pro s : - b-2c-d=0

Rozměrová matice soustavy má tvar

1210

2111

s

m

gwl

Hodnost této matice je 2, tedy h=m

Hodnost matice - hodnost matice je h, pokud existuje alespoň jeden její subdeterminant řádu

h, který je různý od nuly (hodnost se rovná nejvyššímu řádu nenulového subdeterminantu

matice). V tomto případě jsou základní jednotky rozměrově nezávislé. Hodnost může být

max. rovná počtu řádků.

Počet bezrozměrových parametrů je roven

Page 33: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

26

l= n - h= 4 – 2 = 2

Parametry určíme tak, že minimálně dvakrát vyřešíme soustavu těchto dvou rovnic.

V rovnicích máme čtyři neznámé - volíme tedy dvě neznámé (nesmějí na sobě záviset).

Obvykle se jedna z těchto neznámých volí nenulová další pak nulová.

Volba: Bezrozměrový parametr:

c=-1 d=0 Frlg

w2

.

c=0 d=-1 Relw

a=1 b=0 32

31

gl

Fr

ReGa

gl 2

2

3

Některé volby neznámých vedou k méně obvyklým bezrozměrovým parametrům např.

a=0 b=1 3131 g

w

Výsledná kriteriální rovnice může být vyjádřena např. ve tvaru

0Re,Frf

přičemž třetí parametr lze vyjádřit kombinací předchozích a do kritériální rovnice ho tedy

nelze zařadit.

Úlohy k řešení

Úloha k řešení č. 2.1

Stanovte pomocí rozměrové analýzy bezrozměrové parametry, jestliže ve výše uvedeném

příkladu (2.3) je rychlost w nahrazena objemovým průtokem Qv (m3s

-1). Ostatní relevantní

veličiny jsou stejné.

Page 34: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Bezrozměrové parametry

27

Klíč k řešení

Klíč k řešení úlohy č. 2.1

FrQ = Q2/g.l

5

z rozměrové analýzy

úpravou Fr vynásobením l4

(čitatele i jmenovatele)

dosazením za w=Q/l2 (s plocha je zde l

2)

ReQ= Q/ν . l

z rozměrové analýzy

úpravou Re vynásobením l (čitatele i jmenovatele)

dosazením za w=Q/l2 (s plocha je zde l

2)

Shrnutí pojmů kapitoly

Bezrozměrové parametry, kritéria podobnosti, vlastnosti kritérií podobnosti.

Úplná fyzikální rovnice, základní rovnice, kriteriální rovnice.

Rozměrová analýza.

Otázky k probranému učivu

2.1 Definujte kritérium podobnosti.

2.2 Jaké znáte rozdělení kritérií podobností?

2.3 Jaké jsou základní vlastnosti kritérií podobnosti?

2.4 Uveďte příklad úplné fyzikální rovnice, čím se vyznačuje?

2.5 Co znamená základní rovnice?

2.6 Jaký má v teorii podobnosti dvou systému význam kriteriální rovnice?

2.7 Uveďte nevýhody metody rozměrové analýzy.

Page 35: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní transformace základních rovnic

28

3. Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní

transformace základních rovnic

Čas ke studiu: 1 hodina

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

stanovit bezrozměrové parametry metodou podobnostní transformace,

popsat rozdíl mezi počátečními a hraničními podmínkami zkoumaného

procesu.

charakterizovat indikátory podobnosti.

porovnat metody: rozměrová analýza vs. podobnostní transformace.

Výklad

V případě, že studovaný děj lze popsat určitou formou základní rovnice (většinou

diferenciální), lze pro odvození bezrozměrových parametrů použit metod, které vychází právě

z tvaru těchto rovnic. Výhoda těchto metod spočívá v tom, že nemusíme hledat relevantní

veličiny, neboť příslušná rovnice tyto relevantní veličiny obsahuje. Rovnice je tak funkcí

bezrozměrových parametrů a rovněž počátečních2 a hraničních

3 podmínek. Uvedenou

metodu získávání bezrozměrových parametrů preferuje mnoho autorů právě s ohledem na její

větší objektivitu, přesnost a jednoduchost.

Jsou známy tři základní metody podobnostní transformace – metoda indikátorů

podobnosti, metoda bezrozměrových rovnic a metoda integrálních analogů.

Podstatu metody s použitím indikátorů podobnosti lze objasnit na analýze diferenciální

rovnice toku skutečné viskózní kapaliny.

Pro tok ve směru horizontální osy x a při gravitačním zrychlení gx má tato rovnice tvar:

2 Počáteční podmínky zachycují počáteční stav zkoumaného procesu v systému (hodnoty

koncentrací, teploty, rychlostí apod.)

3 Hraniční podmínky zahrnují podmínky na hranicích zkoumaného procesu (drsnost stěn,

tepelné toky přes stěny, vstupní rychlosti apod.)

Page 36: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní transformace základních rovnic

29

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

x

pgw

z

ww

y

ww

x

ww xxxxz

xy

xx

xx

(3.1)

Pro libovolný zmenšený (nebo zvětšený) systém, který má být podobný systému základnímu,

vyjádříme předchozí rovnici pomocí příslušných konstant podobnosti – provedeme tedy

podobnostní transformaci rovnice

2

2

2

2

2

2

.

z

w

y

w

x

w

x

pg

wz

ww

y

ww

x

ww

xxxx

zx

yx

xxx

2

l

l

p

l

2

τ

M

MM

M

MMM

M

MM

M

MM

(3.2)

kde : q

qM q

... konstanta podobnosti veličiny q

q...hodnota veličiny q na modelu

q ...hodnota veličiny q na díle

Aby byly obě rovnice identické tzn., aby byla zachována podobnost dějů, musí platit, že

vzniklé komplexy konstant podobnosti u každého z členů druhé rovnice budou shodné tzn.

2

2

l

w

l

p

g

l

ww

M

MM

M

MMM

M

MM

M

MM

(3.3)

Tuto rovnici můžeme dále upravit, např. vydělením druhým členem:

122

wlw

p

w

lg

w

l

MMM

M

MM

M

M

MM

MM

M

(3.4)

Takto vzniklé bezrozměrové komplexy skládající se z konstant podobnosti jednotlivých

veličin označujeme jako indikátory podobnosti. U podobných jevů jsou tyto indikátory

podobnosti rovny jedné (první věta podobnosti). V každém indikátoru podobnosti je obsažena

jedna veličina, která určuje povahu tohoto indikátoru. V prvním je to čas , ve druhém

zrychlení g, ve třetím tlak p a ve čtvrtém viskozita .

Tvar bezrozměrových parametrů pro výše uvedený případ toku viskózní kapaliny můžeme

získat úpravou jednotlivých indikátorů podobnosti z rovnice:

Page 37: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní transformace základních rovnic

30

1

w

wl

l

MM

M

w

l

l

w

l

w

(3.5)

Tento bezrozměrový parametr je znám jako kritérium homochronismu - Ho (někdy také

označováno jako kritérium Strouhalovo - Str),

l

wHo

(3.6)

Obdobným způsobem je možno odvodit další parametry z dalších indikátorů podobností.

Získáme tak kritérium Froudeho - Fr

lg

wFr

2

(3.7)

dále kritérium Eulerovo - Eu

2w

pEu

(3.8)

a kritérium Reynoldsovo - Re

lwlwRe

(3.9)

Kritériální rovnice má pak tvar:

0ReEu;Fr;Ho; (3.10)

Tato rovnice se rovněž velmi často uvádí ve tvaru

ReFr;Ho;Eu (3.11)

Z této rovnice vyplývá, že pro získání identické hodnoty kritéria Eu na díle a jeho modelu je

nutno zabezpečit rovněž i identitu kritérií Ho, Fr a Re pro dílo a jeho model. Mezi kritérii

existuje tedy příčinný vztah. Jedno kritérium je určené (Eu) a ostatní kritéria jsou určující.

Jaký vliv má změna tvaru základní diferenciální rovnice na podmínky podobnosti lze

demonstrovat na následujících příkladech.

Page 38: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní transformace základních rovnic

31

V případě ustáleného pohybu je

0

w (3.12)

odpadá první člen rovnice a tím i nutnost splnění identity kritéria homochronismu – Ho.

Pokud je tok pouze v horizontálním směru lze předpokládat gx = 0, odpadá třetí člen rovnice a

tedy i nutnost identity kritéria Froudeho – Fr.

Pokud obě výše uvedené podmínky platí současně je možno kriteriální rovnici redukovat na

vztah

ReEu (3.13)

a jedinou podmínkou je splnění identity Re kritéria pro dílo a jeho model tzn. Re = Re’.

Porovnání obou metod stanovení bezrozměrových parametrů

Způsob odvozování kritérií ze základních rovnic a podmínek jednoznačnosti je bohatě

rozpracován a dosáhlo se jím významných výsledků v oblasti fyzikálního modelování.

Tam kde řešení základních rovnic naráží na potíže, nebo kde tyto rovnice nejsou známy,

zůstává široký prostor pro použití rozměrové analýzy, které se po mnoho let úspěšně používá

jako nástroje racionálního pokusnictví a zobecňování výsledků.

Proto lze odůvodněně tvrdit, že se obě metody účelně a vhodně doplňují.

Úlohy k řešení

Úloha k řešení č. 3.1

Metodou podobnostní transformace zjistěte kritérium podobnosti pro první zákon přenosu

charakterizující průběh molekulární difúze v klidné kapalině v závislosti na čase. Obdobně

odvoďte kritérium pro další dva zákony přenosu - Newtonův zákon viskózního tření a

Fourierův zákon vedení tepla.

Klíč k řešení

Klíč k řešení úlohy č. 3.1

Časovou závislost molekulární difúze popisuje 2. Fickův zákon: 2

2

x

cD

c

Page 39: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní transformace základních rovnic

32

FoD = (D . τ)/l2

FoD – Fourierovo číslo difúzní (hmotové) vyjadřující poměr času

probíhajícího procesu k času molekulární difúze látky; D[m2.s

-1].. difuzivita

1/FoD = Fi (Fickovo číslo) .. charakterizuje intenzitu difúze prvků v základní fázi; s rostoucím

Fi číslem roste odmíšení (segregace) prvků při tuhnutí

FoH = (ν . τ)/l2

FoH – Fourierovo číslo hydrodynamické, vyjadřující bezrozměrový čas

nestacionárního proudění vazké nestlačitelné kapaliny (taky Žukovského číslo), ν[m2.s

-1] ..

kinematická viskozita

Fo = (a . τ)/l2

Fo – Fourierovo číslo (tepelné), vyjadřující poměr času probíhajícího

procesu k času molekulární difúze tepla, a[m2.s

-1] .. tepelná difuzivita

Shrnutí pojmů kapitoly

Metoda podobnostní transformace.

Počáteční a hraniční podmínky zkoumaného procesu.

Indikátory podobnosti.

Otázky k probranému učivu

3.1 Jaký je rozdíl mezi počátečními a hraničními podmínkami zkoumaného procesu?

3.2 Co jsou to indikátory podobnosti?

3.3 Kdy je podle Vás vhodnější využít metodu rozměrové analýzy a kdy podobnostní

transformaci?

Page 40: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Přibližné fyzikální modelování

33

4. Přibližné fyzikální modelování

Čas ke studiu: 1,5 hodiny

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

definovat význam přibližného fyzikálního modelování.

popsat tzv. automodelnost a úplnou automodelnost.

definovat fyzikální význam některých kritérií podobnosti.

Výklad

Při fyzikálním modelování je fyzikální podobnost podmíněná mj. identitou kritérií podobností

na díle a jeho modelu v homologických bodech a časech. Při modelování složitějších systémů

však většinou nejde zabezpečit tuto identitu v plném rozsahu u všech kritérií. V tomto případě

pak mluvíme o přibližném fyzikálním modelování, při kterém mají výsledky charakter

polokvantitativní a v některých případech charakter kvalitativní.

Do oblasti přibližného modelování se dostáváme prakticky ve většině případů. Primárním

důvodem může být např. to, že neznáme všechny relevantní veličiny nebo to, že některé

veličiny mají na daný děj podstatný a některé zanedbatelný vliv. Pokud se na fyzikálním

modelu dodržuje podobnost jen u některých vybraných veličin a u některých se podobnost

zanedbává, je třeba nejdříve experimentálně prokázat oprávněnost tohoto zjednodušení.

Přitom je nutno postupovat velmi opatrně neboť účinek určité veličiny se nemusí stejně

projevovat na díle a jeho zmenšeném modelu.

Míru odchylky modelových výsledků od správného řešení lze většinou posoudit tak, že se

objasní vliv jednotlivých kritérií na průběh děje. Tímto způsobem můžeme např. postupovat

v případě pokud chceme posoudit vliv kritéria Re a Fr při volném proudění kapaliny.

Výsledky získané při přibližném modelování, u kterého se nepodaří stanovit přesnost shody,

mají rovněž velký význam, neboť slouží ke kvalitativnímu posouzení vlivu určitých

parametrů na daný děj ve zkoumaném procesu. Přibližné modelování navíc umožnilo úspěšně

analyzovat děje, které se nepodařilo jinými prostředky vyřešit.

Automodelnost

V některých případech lze pozorovat, že fyzikální veličina, která má za určitých podmínek

značný vliv na průběh procesu, může při změně těchto podmínek postupně ztrácet svůj

význam. Příslušná hodnota kritéria, ve kterém veličina vystupuje, se zmenšuje nebo zvětšuje,

Page 41: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Přibližné fyzikální modelování

34

a od jisté hranice se dá zanedbat. Oblast, ve které již proces není kritériem ovlivňován, se

nazývá oblast automodelnosti. Pokud z příslušné kriteriální rovnice příslušné kritérium

vypadne a ostatní zůstávají, mluvíme o částečné automodelnosti. Pokud v kriteriální rovnici

zbude jediné kritérium, nastává úplná automodelnost. Zbylá kritéria podobnosti mohou mít

v dané oblasti libovolnou hodnotu. K automodelnosti tedy dochází, jestliže při změně kritéria

není porušena podobnost probíhajících dějů.

Automodelnost lze blíže vysvětlit na určení tlakové ztráty při proudění tekutiny. Pro

stacionární proudění tekutiny má obecná kriteriální rovnice tvar

Eu = (Re, Fr) (4.1)

Při vynuceném proudění je působení gravitace zanedbatelné a kritérium Fr se přestává

uplatňovat, degeneruje. Čistě vynucené proudění proto uvažujeme za oblast částečné

automodelnosti, kdy stačí pouze uvažovat kritérium Re. Reynoldsovo kritérium se tak stává

jedinou veličinou určující velikost Eu kritéria, ze kterého se určuje tlaková ztráta při proudění.

Úplná automodelnost

Jsou však známy dvě oblasti vynuceného proudění, kdy degeneruje i Reynoldsovo kritérium a

pak jde o úplnou automodelnost. Rychlostní profil ani tlaková ztráta pak na kritériu Re

nezávisí. Prvá oblast úplné automodelnosti odpovídá malým hodnotám Re kritéria, kdy

Re<Rek , a nazývá se oblastí laminárního proudění. Symbolem Rek označujeme kritickou

hodnotu Reynoldsova kritéria. Druhá oblast úplné automodelnosti se objevuje při velkých

hodnotách Re, v oblasti turbulentního proudění.

Důvod degenerace Re kritéria při jeho malých nebo velkých hodnotách v případě vynuceného

proudění v potrubí, vyplývá z následující úvahy. Vynucené proudění probíhá za současného

působení setrvačných a vazkých sil, které mají vliv na průběh rychlostního pole a tlakové

ztráty. Vzájemný poměr mezi těmito silami je vyjádřen Re kritériem, které je hlavním

kritériem obecné kriteriální rovnice vynuceného proudění. Tento předpoklad však platí, pokud

jsou setrvačné a vazké síly srovnatelné, tzn., pokud se od sebe neliší řádově. Je-li jedna síla

mnohem menší než druhá, nemůže se uplatnit její vliv na charakter proudění. V tomto případě

vzájemný poměr obou sil ztrácí význam a tím ztrácí význam i Re kritérium a nastává úplná

automodelnost.

Fyzikální význam vybraných kritérií podobnosti

Kritérium homochronismu (Strouhalovo kritérium)

l

wHo

(4.2)

Na kritérium homochronismu se nejčastěji pohlíží jako na kritérium, které nám vyjadřuje

časovou ustálenost rychlosti pohybu elementu systému.

Page 42: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Přibližné fyzikální modelování

35

Vlastní fyzikální význam tohoto kritéria lze interpretovat různými způsoby. Pokud podíl l/w

považujeme za čas, který je potřebný na překonání celé vzdálenosti l rychlostí w, a za čas

pohybu daného elementu v systému pak kritérium Ho vyjadřuje bezrozměrný (relativní) čas

pohybu daného elementu.

Obdobně můžeme považovat kritérium Ho za bezrozměrnou (relativní) dráhu. Čitatel kritéria

vyjadřuje vlastně dráhu, kterou daný element s rychlostí w vykoná za čas . Ve jmenovateli je

přitom uveden charakteristický rozměr l. Analogicky lze kritérium Ho považovat i za

bezrozměrnou (relativní) rychlost.

Obyčejně se kritéria podobnosti transformují takovým způsobem, aby čas vystupoval pouze

v jediném kritériu, tj. v kritériu Ho. V případě ustáleného proudění ztrácí kritérium Ho

význam, neboť nedochází ke změně rychlosti v čase.

Kritérium Reynoldsovo

lwlwRe

(4.3)

Reynoldsovo kritérium vyjadřuje poměr sil setrvačných a vazkých. Laminární proudění se

vyznačuje nízkými hodnotami Re kritéria, naproti tomu silně turbulentní proudění má hodnoty

Re vysoké. Kritická hodnota Re kritéria (ReK) při němž přechází laminární proudění

v turbulentní je závislá na tvaru prostředí, ve kterém probíhá proudění a rovněž na typu

charakteristického rozměru l. Pro případ proudění v kruhových potrubích o charakteristickém

průměru d je udávána hodnota ReK 2300, pro vnější obtékání okolo stěny je ReK 50 000.

Pro splnění podobnosti proudění na zmenšených modelech na základě Re kritéria je nutno

splnit podmínku

lwlw (4.4)

v případě, že použijeme modelovou kapalinu s kinematickou viskozitou ´=, podmínka se

redukuje na

lwlw (4.5)

resp.

l

wM

M1

(4.6)

Page 43: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Přibližné fyzikální modelování

36

Při praktickém modelování to znamená, že na zmenšeném modelu s délkovým měřítkem

Ml=1:10 je nutno použit desetinásobně vyšší rychlosti kapaliny, aby byla zachována identita

Re kritéria. V některých případech mohou tyto zvýšené rychlosti vést i ke změně charakteru

proudění v důsledku změny součinitele odporu cx obtékaných těles (překážek apod.).

Kritérium Froudeho

lg

wFr

2

(4.7)

Froudeho kritérium vyjadřuje poměr sil setrvačných a tíhových. V určitých situacích při

vynuceném proudění např. v horizontálním potrubí, kdy síly tíhové sehrávají zanedbatelnou

úlohu, lze kritérium Fr vyloučit z úvah o podmínkách podobnosti. Naproti tomu při

modelování proudění v otevřených kanálech a nádobách musí být podmínka identity Fr

kritéria splněna.

Splnění Fr kritéria je poměrně jednoduché. Za předpokladu, že na model působí stejné

gravitační zrychlení, jako na dílo tzn., že g´= g, je podmínka

lg

w

lg

w

22

(4.8)

redukována na podmínku

l

w

l

w

22

(4.9)

ze které vyplývá, že

2/1

lw MM (4.10)

Znamená to, že např. ve zmenšeném modelu s délkovým měřítkem Ml = 1:10, musíme použit

přibližně 3,2krát menší rychlosti kapaliny, aby byla zachována identita Fr kritéria.

Snížení rychlosti toku kapaliny na modelu je z hlediska provádění experimentu příznivé a

snadno proveditelné. Regulace rychlosti je prováděna změnou objemového průtoku kapaliny.

Úpravou výrazu lze dojít k následnému vztahu, určující měřítko objemového průtoku

2/5lQ MM

v (4.11)

Page 44: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Přibližné fyzikální modelování

37

Z výše uvedených vztahů lze provést i analýzu podmínek pro případ současného zachování

identity jak Re, tak i Fr kritéria. Při ´ = je zřejmé, že pouze v případě délkového měřítka

Ml = 1:1, lze zajistit splnění obou podmínek současně. Pokud ale použijeme zmenšený model,

pak z podmínky identity Fr kritéria vyplývají i menší rychlosti toku kapaliny. Aby byla v této

situaci zachována podmínka identity Re kritéria, je nutné použit odpovídající kinematické

viskozity modelové kapaliny. Měřítko kinematické viskozity pro případ zachování identity

jak Re tak i Fr kritéria lze vyjádřit vztahem

M = Mw . Ml (4.12)

Splnění této podmínky je velice nesnadné s ohledem na omezený výběr modelových kapalin.

Podle charakteru úlohy se v praktickém modelování většinou přikláníme k jednomu

z uvedených kritérii jako k dominantnímu, přičemž vliv druhého na daný děj se obyčejně

musí verifikovat experimentálně.

Kritérium Galileovo

2

3

lgGa

(4.13)

Galileovo kritérium vyjadřuje poměr sil tíhových a vazkých při volném proudění, které je

vyvoláno např. rozdílnou hustotou. Lze ho rovněž vyjádřit poměrem

Fr

ReGa

2

(4.14)

Toto kritérium se stává relevantní v případě, kdy jsou setrvačné síly v systému zanedbatelné

s tíhovými sílami a pohyb je způsoben pouze gravitačními silami ve vazké tekutině.

Kritérium Eulerovo

2w

pEu

(4.15)

Eulerovo kritérium vyjadřuje poměr sil tlakových a setrvačných. V případě vynuceného

proudění je nutno kritérium Eu začlenit do úvah podmínek podobnosti.

Hodnota Eu kritéria je obyčejně veličinou hledanou, protože obsahuje hledanou veličinu

tlakové ztráty, a je v podstatě vyjadřována jako závislost na ostatních kritériích podobnosti

např.

Eu = (Re) (4.16)

Eu = (Re, Fr) (4.17)

Page 45: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Přibližné fyzikální modelování

38

Eu = (Re, Ma) (4.18)

Kritérium Stokesovo

w

lp

l

dwStk

2

(4.19)

Stokesovo kritérium lze vyjádřit jako součin kritéria Eu a Re. V případě velmi pomalého

laminárního proudění jsou síly setrvačné vystupující v Re a rovněž v Eu zanedbatelné ve

srovnání se silami vazkými a silami vyvolanými rozdílem tlaku a tedy i příslušná kritéria Eu a

Re ztrácejí smysl. V tomto případě je proto výhodné eliminovat tyto setrvačné síly z obou

kritérií jejich vzájemným vynásobením. Získané kritérium Stokesovo tedy lze rovněž

charakterizovat jako poměr sil vyvolaných rozdílem tlaku a sil vazkých.

Kritérium Weberovo

lwWe

.. 2

(4.20)

Weberovo kritérium vyjadřuje poměr sil setrvačných a kapilárních. Kapilární síly jsou

vyvolané povrchovým napětím.

V praxi modelování metalurgických systému je v některých případech nutno zajistit současné

splnění kritéria We a Fr při modelování, kdy modelujícím mediem je voda. Matematickou

úpravou výrazů obou kritérií a s pomocí tabelovaných údajů lze výpočtově stanovit délkové

měřítko Ml 0,6 (tzn. 1:1,66), při kterém je tato podmínka splněna. Při značně odlišných

délkových měřítcích není současné splnění obou podmínek zaručeno.

Tab. 4.1 Porovnání klíčových vlastností oceli a vody.

Fyzikální veličina Označení

veličiny Jednotky

Ocel

1600°C

Voda

20°C

hustota kg.m-3

6956 998,2

dynamická viskozita kg .m

-1. s

-1

(Pa.s) 5,0.10

-3 1,000.10

-3

kinematická

viskozita m

2.s

-1 0,72.10

-6 1,002.10

-6

povrchové napětí kg.s-2

, (N.m-1

) 1,7 0,073

Page 46: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Přibližné fyzikální modelování

39

Shrnutí pojmů kapitoly

Přibližné fyzikální modelování.

Automodelnost, úplná automodelnost.

Fyzikální význam některých kritérií podobnosti.

Otázky k probranému učivu

4.1 Charakterizujte podstatu fyzikálního modelování.

4.2 Popište geometrickou podobnost.

4.3 Popište kinematickou podobnost.

Page 47: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Experimentální podstata fyzikálního modelování

40

5. Experimentální podstata fyzikálního modelování

Čas ke studiu: 0,5 hodiny

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

popsat metody stanovení retenčních časů.

popsat metody vizualizace proudění v reaktorech.

Výklad

Metody stanovení retenčních časů a jejich charakteristika

Pro stanovení retenčních časů, tzn. časů zdržení tekutiny v reaktoru, ať už ve skutečných

provozních podmínkách nebo při fyzikálním modelování na zmenšených studených

modelech, jsou většinou používány metody "impuls-odezva". Princip těchto metod, spočívá v

injektáži značkovací (stopovací) látky do proudu tekutiny vstupující do reaktoru a

vyhodnocování koncentrace či jiné měřitelné veličiny této látky na výstupu z reaktoru.

Pro úspěšné a objektivní měření je nutné, aby značkovač měl téměř shodné vlastnosti s

nosnou tekutinou (hustotu, viskozitu, difúzní chování, dobrou vzájemnou mísitelnost atd.) a

výrazně se lišil pouze v jediné vlastnosti. Tato vlastnost musí být snadno měřitelná a rovněž

musí být závislá na koncentraci značkovače.

V oblasti fyzikálního modelování proudění tekutin se nejčastěji využívá měření jejich

elektrické vodivosti. Kromě toho se v menší míře využívá i měření pH roztoků, teploty,

optických vlastností, radioaktivity, dielektrické konstanty, indexu lomu, aj.

Vodivostní metoda využívá rozdílu vodivostí kapalin, protékající a nastřikované. Jako

značkovač jsou používány slabé vodné roztoky KCl nebo NaCl vyznačující se iontovou

vodivostí, které jsou nastřikované do užitkové nebo i destilované vody. Vodivost kapaliny je

obyčejně měřena vodivostními sondami, které jsou umístěny na vstupu a jednotlivých

výstupech z reaktoru.

Pro objektivní měření je nutno sondy kalibrovat, tzn. určit vztah mezi vodivostí a koncentrací.

V případě lineárního průběhu lze hodnocení provádět i z naměřených hodnot vodivosti. Další

nutnou podmínkou pro měření je použití střídavého napětí střední frekvence (cca 1 až 10 kHz)

pro napájení sond. V případě použití stejnosměrného napětí dochází na elektrodách sondy k

vylučování iontů a polarizaci elektrod, což vede k značnému zhoršení přesnosti měření.

Page 48: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Experimentální podstata fyzikálního modelování

41

Příklad grafického výstupu z měření vodivosti roztoků na vstupu a výstupu z modelu reaktoru

(mezipánve) je uveden na obr. 5.1.

čas s

vo

div

ost

,

S

výstup z mezipánve

vstup do mezipánve skut

max

min

0 2

injektáž stopovací látky

Obr. 5.1 Příklad záznamu experimentu z metody impuls-odezva s charakteristickými

retenčními časy.

Při praktickém modelování je nutné měřit vodivost na všech výstupech z reaktoru. Získaný

grafický zápis charakterizující rozložení retenčních dob je označován jako RTD (Residence

Time Distribution) charakteristika.

Metoda s měřením pH kapaliny je v podstatě velmi podobná vodivostní metodě. Hlavní

rozdíl spočívá v injektáži slabých roztoků kyselin nebo zásad a měření změny pH kapaliny na

výstupech z modelu reaktoru. Metoda vyžaduje použití pH-metrů s krátkou dobou náběhu a

provedení jejich kalibrace. Vzhledem k fyzicky větším rozměrům vlastních sond může

docházet k místnímu ovlivnění proudění.

Teplotní metoda je založena na injektáži kapaliny s rozdílnou teplotou. Injektáž může být

realizována skokovou změnou toku kapaliny s jinou teplotou (např. z jiné nádrže) nebo je na

vstupu generován teplotní puls např. odporovým ohřevem. Teplota na výstupech je měřena

termočlánky s krátkou dobou náběhu. Na výsledky měření a jeho přesnost má vliv teplotní

vodivost kapalin (a), která je vyšší než difuzivita hmoty (D). V případě turbulentního

proudění nejsou tyto rozdíly příliš výrazné.

Optická nebo optickoelektrická metoda. U optické metody je na vstup injektován vhodný

barevný značkovač, přičemž na výstupech je registrováno zabarvení kapaliny s použitím např.

kolorimetrů. U optickoelektrické metody je využíván fotoelektrický jev vhodného

Page 49: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Experimentální podstata fyzikálního modelování

42

fluorescenčního indikátoru, jehož zbarvení je aktivováno paprskem ultrafialového zdroje. Na

výstupu je optočlánkem měřena propustnost světelného paprsku zbarvenou kapalinou.

Radioizotopová metoda spočívá v injektáži roztoku s izotopem krátkého poločasu rozpadu,

záření na výstupu je monitorováno scintilačními detektory, které mění radioaktivní záření na

elektrické pulsy.

Pro měření retenčních časů v praktických podmínkách na provozní reaktorech se nejčastěji

používá poslední uvedená metoda s využitím radionuklidů. Na výstupech z reaktoru jsou

instalovány scintilační detektory, které kontinuálně měří úroveň záření gama. Z průběhu

naměřených úrovní záření jsou vyhodnocovány retenční časy.

Vizualizace proudění v reaktorech

Metody vizualizace proudění zahrnují experimentální postupy, pomocí kterých můžeme

získat optický záznam proudového pole, obraz proudění v okolí těles, tvar proudnic,

rychlostní profily, obrazy recirkulačního proudění, tvorbu vírů, oblasti laminárního a

turbulentního proudění, zpětné proudění a mnoho dalších jevů při proudění. Samotný

vizualizační experiment je vhodné zaznamenat pomocí videokamery nebo alespoň pomocí

fotografického přístroje.

Metoda obarvené kapaliny. Její princip spočívá v injektáži vhodné barevné kapaliny do

vstupujícího proudu do reaktoru. (roztoky manganistanu draselného, inkoustu, tuše,

malachitové zeleně, metylenové modři apod.). Nevýhodou metody obarvené kapaliny je

nutnost výměny veškeré kapaliny v reaktoru po provedeném pokusu za novou a zcela čirou

kapalinu, protože jinak by docházelo k ovlivnění a zkreslení výsledků dalšího experimentu.

Obr. 5.2 Příklad využití metody obarvené kapaliny při fyzikálním modelování proudění oceli

v mezipánvi.

Page 50: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Experimentální podstata fyzikálního modelování

43

Metoda vláken. Tato metoda využívá vláknových sond, jež jsou tvořeny soustavou převážně

vlněných nití, které jsou upevněny na kovovém rámečku. Nitě po vložení do proudu kapaliny

jsou orientovány ve směru toku kapaliny. Lze určit vychýlení proudnic, oblasti zavíření,

vratného proudění, laminárního a turbulentního proudění apod.

Metoda vznášejících se reflexních částic. Podstata této metody spočívá v přidávání

reflexních částic do proudu kapaliny v reaktoru. Částice musí mít stejnou hustotu jako

kapalina, tehdy jsou unášeny proudem a jejich trajektorie je shodná s trajektorií proudu. Při

fotografickém snímání určitou expoziční dobou vytvářejí tyto reflexní částice kontrastní stopy

na filmu, z jejichž orientace a délky lze určit charakter pohybu a rychlostní pole. Pro osvětlení

se většinou používá plošného světelného svazku vycházejícího ze štěrbiny světelného zdroje.

Vhodným nasměrováním tohoto zdroje vytváříme tzv. světelný řez určitého místa modelu.

Směr pozorování nebo snímání je přitom kolmý k rovině světelného svazku. Jako částice lze

využit neexpandovaný polystyren, jehož hustotu lze doladit na hustotu kapaliny (většinou

vody) mírným tepelným zpracováním při teplotách do 100°C.

Obr. 5.3 Příklad využití metody vznášejících se reflexních částic při fyzikálním modelování

proudění oceli v mezipánvi.

Odbarvovací nebo zbarvovací metody jsou založeny na neutralizační reakci mezi slabými

roztoky kyselin a zásad. Pro zviditelnění se přidávají barevné indikátory, které se změnou pH

mění zabarvení. Vhodným barvivem je např. fenolftailen, který s kyselinou dává bezbarvý se

zásadou pak červenofialový roztok. Pomocí těchto indikátorů lze poměrně dobře vizualizovat

průběh směšovacích pochodů v modelu reaktoru.

Page 51: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Experimentální podstata fyzikálního modelování

44

Shrnutí pojmů kapitoly

Metody stanovení retenčních časů: vodivostní, měření pH kapaliny, teplotní,

optická nebo optickoelektrická, radioizotopová.

Vizualizace proudění v reaktorech: obarvenou kapalinou, vlákny, vznášející se

reflexní částice, odbarvovací nebo zbarvovací metody.

Otázky k probranému učivu

5.1 Popište metody stanovení retenčních časů.

5.2 Popište metody vizualizace proudění v reaktorech.

Page 52: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Základy teorie chemických reaktorů

45

6. Základy teorie chemických reaktorů

Čas ke studiu: 2 hodiny

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

definovat základní typy proudění v reaktorech.

definovat teoretický retenční čas, RTD křivku.

popsat C-křivku, F-křivku.

definovat modely pro reálné podmínky toku.

Výklad

Teorie reaktorů vychází ze dvou základních ideálních (hypotetických) průtokových reaktorů:

reaktor s pístovým tokem – plug flow reactor

reaktor s dokonalým promícháváním – completely mixed reactor

Charakteristickým rysem reaktoru s pístovým tokem je rovnoměrný průtok celým objemem

reaktoru, při němž žádná částice tekutiny nepředbíhá jinou. Nedochází tedy k podélnému

promíchávání tekutiny, k radiálnímu však docházet může. Podmínkou pro reaktor s pístovým

tokem je shodná doba setrvání kterékoliv částice tekutiny v reaktoru, která se v tomto případě

rovná teoretickému retenčnímu času definovaného jako

Q

V

(6.1)

kde: - teoretický průměrný retenční čas, s

V - objem tekutiny v reaktoru, m3

Q - objemový průtok tekutiny reaktorem, m3 . s

-1

Druhým typem ideálního průtokového reaktoru je reaktor s dokonalým promícháváním, u

kterého je jeho obsah zcela homogenní a odtékající tekutina má stejné složení jako tekutina

v reaktoru. Každý element tekutiny vstupující do reaktoru je okamžitě rozptýlen v celém

objemu reaktoru.

Page 53: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Základy teorie chemických reaktorů

46

Chování tekutiny v reálných reaktorech se může blížit chování v ideálních reaktorech, ale

taky se od nich může značně odlišovat.

Chování reálného reaktoru se nejčastěji posuzuje na základě výsledku různých

experimentálních metod, jejíž základ spočívá v provedení mžikového impulsu či trvalé změny

na vstupu do reaktoru a monitorování odezvy na výstupu (výstupech) z reaktoru. Pro

provedení impulsu nebo trvalé změny se používají různé značkovací metody např.

koncentrační, teplotní, radionuklidový ad. Jak bude uvedeno dále. Výsledek, který získáme

v podobě grafické závislosti sledované veličiny na čase, označujeme jako RTD křivka

(residence time distribution).

Na následujícím obrázku je schematicky uveden způsob stanovení této RTD křivky v případě

provedení mžikového impulsu na vstupu do reaktoru. Tento vstupní impuls se často označuje

jako funkce delta (Diracův impuls).

Obr. 6.1 Grafická interpretace odezvy systému (výstup) na impuls na vstupu do systému.

Výsledkem je v tomto případě tzv. C křivka, která znázorňuje závislost koncentrace

značkovací látky v proudu vystupujícím z reaktoru na čase. Křivka je zobrazena v

bezrozměrových souřadnicích. Koncentrace se vyjadřuje v poměru k původní koncentraci

značkovací látky C0, které by se dosáhlo, kdyby veškeré vpravené množství bylo stejnoměrně

rozptýlené v objemu reaktoru.

Vmc

cc

co

~ (6.2)

Čas se vyjadřuje rovněž v bezrozměrovém tvaru, jako poměr času k teoretickému retenčnímu

času . Označuje se symbolem ~ nebo .

Page 54: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Základy teorie chemických reaktorů

47

~

(6.3)

Typická C křivka je uvedena na následujícím obrázku. Je zřejmé, že volba bezrozměrových

souřadnic vede k tomu, že plocha pod C křivkou se bude rovnat jedné.

Obr. 6.2 Typická C křivka (odezva na jednotkový Diracův impuls).

Druhým nejčastějším způsobem studia chování reaktorů je použití trvalé změny koncentrace

značkovací látky na vstupu do reaktoru (Heavisideův jednotkový skok) tzn., že koncentrace na

vstupu skokově vzroste na hodnotu C0 a setrvá na ní po celou dobu měření, tzn. až do doby,

kdy na výstupu je dosaženo rovněž koncentrace C0.

Výsledkem je v tomto případě tzv. F křivka, která znázorňuje závislost koncentrace

značkovací látky v proudu vystupujícím z reaktoru na čase. Křivka je zobrazena v

bezrozměrových souřadnicích. Koncentrace se vyjadřuje v poměru ke vstupní koncentraci

značkovací látky. Čas se vyjadřuje rovněž v bezrozměrovém tvaru, jako poměr času

k teoretickému retenčnímu času .

Page 55: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Základy teorie chemických reaktorů

48

Typická F křivka je uvedena na následujícím obrázku. Jak je zřejmé, F křivka stoupá od

hodnoty 0 až k hodnotě 1.

Obr. 6.3 Typická F křivka (odezva na Heavisideův jednotkový skok).

Mezi průběhem C a F křivky platí vzájemné vztahy:

0

dCF (6.4)

d

dFC (6.5)

Vztahy naznačují, že výsledky získané z impulsního měření lze transformovat na výsledky

získané trvalou změnou a naopak.

Page 56: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Základy teorie chemických reaktorů

49

Průběh C a F křivek pro ideální průtokové reaktory tzn. reaktory s pístovým tokem a

dokonalým promícháváním a rovněž pro reálný libovolný reaktor je uveden na následujícím

obrázku.

Obr. 6.4 Rozdíly odezvy mezi pístovým tokem, ideálním mícháním a reálným tokem.

Modely pro reálné (neideální) podmínky toku

Disperzní model

Disperzní model předpokládá, že proudění v reaktoru probíhá pístovým tokem s odchylkami,

které jsou způsobené axiálním promícháváním. Model dále předpokládá, že v systému nejsou

žádné neúčinné (mrtvé) prostory a že nedochází k tvorbě žádných zkratových proudění.

V závislosti na intenzitě turbulence vystihuje tento model chování od pístového toku až

k dokonalému promíchávání.

Tyto modely dobře popisují chování v trubkových reaktorech a reaktorech s nehybnou

vrstvou.

Míru disperze v reaktoru vyjadřuje tzv. axiální disperzní číslo d, což je bezrozměrový

parametr ve tvaru

Page 57: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Základy teorie chemických reaktorů

50

lw

Dd

(6.6)

kde : D - disperzní koeficient (koeficient axiální disperze, axiální difuzivita), který vyjadřuje

stupeň zpětného promíchávání vlivem např. gradientu rychlosti, m2s

-1

w - rychlost tekutiny, ms-1

l - charakteristická délka v podélném směru toku, m

Disperzní číslo d vyjadřuje v podstatě poměr rychlosti difuzního přenosu hmoty k rychlosti

objemového přenosu hmoty a je vlastně převrácenou hodnotou tzv. Pecletova čísla pro

přestup hmoty.

Disperzní číslo může nabývat hodnot od 0 pro pístový tok až do nekonečna pro dokonalé

míchání. Vliv hodnoty disperzního čísla na tvar C křivky uvádí následující obrázek. Při

zvětšování hodnoty disperzního čísla se průběh C křivky na obě strany rozšiřuje, což

odpovídá vyšším hodnotám rozptylu a tedy vyššímu stupni promíchávání.

Obr. 6.5 Vliv disperzního čísla na tvar C křivky.

Page 58: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Základy teorie chemických reaktorů

51

Vliv hodnoty disperzního čísla na tvar F křivky pak uvádí další obrázek.

Obr. 6.6 Vliv disperzního čísla na tvar C křivky.

Kombinované modely

Kombinované modely uvažují, že reálné reaktory se skládají z navzájem propojených oblastí

toku s různým charakterem proudění. Jsou uvažovány tyto hlavní oblasti:

oblast pístového toku

oblast dokonalého promíchávání

mrtvá oblast (objem)

Kromě toho se u kombinovaných modelů používá ještě těchto druhů proudění :

zkratové proudění

recirkulační proudění

příčné proudění

Mrtvá oblast (neúčinná oblast) představuje tu část objemu, ve které pohyb tekutiny je velmi

pomalý nebo stagnuje a považujeme je za izolované. Jedná se o tu část látky v reaktoru, která

se zdrží v nádobě delší čas než je dvojnásobek středního retenčního času.

Zkratové proudění představuje místní proudění přímo od vstupu k výstupu reaktoru. Toto

chování je velmi nepříznivé, protože nedochází k žádoucímu promísení tekutiny resp. k

nedostatečnému průběhu chemické reakce.

Page 59: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Základy teorie chemických reaktorů

52

Recirkulační proudění – část tekutiny, která vystupuje z nádoby nebo určité oblasti je

směřována zpět ke vstupu kde se mísí s přiváděnou tekutinou.

Příčné proudění představuje výměnu tekutiny mezi dvěma oblastmi, kterými probíhá

samostatné proudění v jednom směru.

Základní tři typy objemů lze kvantifikovat pomocí následujících vztahů.

Podíl objemu s pístovým prouděním :

V

V

p

min

(6.7)

nebo

2

maxmin

V

Vp

(6.8)

kde: Vp - objem s pístovým prouděním, m3

min, max - minimální a maximální retenční čas (čas prvního objevení stopovací

látky a čas dosažení její maximální koncentrace na výstupu), s

Pro výpočet podílu mrtvého objemu je uváděn vztah:

skutd 1V

V (6.9)

kde: skut - skutečný průměrný retenční čas tekutiny v reaktoru, který lze

vyjádřit vztahem:

dc

dcskut (6.10)

Pro výpočet podílu promíchávaného objemu reaktoru je, s ohledem na složitost jeho

stanovení, nejčastěji používán dopočet do celkového objemu:

V

V

V

V1

V

V dpm (6.11)

Page 60: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Základy teorie chemických reaktorů

53

Úlohy k řešení

Úloha k řešení č. 6.1

Stanovte podíl objemu s pístovým prouděním, podíl mrtvého objemu a podíl promíchávaného

objemu v reaktoru o objemu Vcelk = 5600 l s objemovým průtokem Qv = 28 l.s-1

. K dispozici

je naměřený průběh změny koncentrace na výstupu z reaktoru po impulsu značkovací látky na

vstupu reaktoru (soubor retence_1_cvič.xls). Graficky znázorněte průběh F - křivky.

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4.0

0 100 200 300 400 500 600 700

čas, s

ko

ncen

trace

Postup výpočtu :

výpočet d, stanovení cmin a cmax

výpočet bezrozměrové koncentrace - (c-cmin)/(cmax-cmin)

výpočet teor

stanovení min, max z naměřeného průběhu změny koncentrace

výpočet skut - integrací křivky pomocí numerické metody (obdélníkové a

lichoběžníkové)

Page 61: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Základy teorie chemických reaktorů

54

640,629

0

640,629

0

)(

)()(

dc

dc

i

ii

skut

640,629

0

1

640,629

0

11

)2/)((

)2/)(()2/)((

dcc

dcc

ii

iiii

skut

výpočet Vp/Vcelk, Vd/Vcelk, Vm/Vcelk

grafické znázornění F-křivky s využitím vztahu

0

dCF

Shrnutí pojmů kapitoly

Reaktory s pístovým tokem a s dokonalým promícháváním.

Teoretický retenční čas, RTD křivka, jednotkový Diracům impuls, C-křivka.

Jednotkový Heavisideův skok, F-křivka.

Disperzní model, kombinované modely.

Mrtvá oblast, mrtvý objem, zkratové proudění, recirkulační proudění, příčné

proudění.

Otázky k probranému učivu

6.1 Charakterizujte reaktory s pístovým tokem a s dokonalým promícháváním.

6.2 Co je to jednotkový Diracův impuls a jaká je jeho odezva na výstupu?

6.3 Co je to jednotkový Heavisideův jednotkový skok a jaká je jeho odezva na výstupu?

6.4 Charakterizujte disperzní model a kombinované modely.

6.5 Jaké známe typy objemů v kombinovaných modelech?

Page 62: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

55

7. Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

Čas ke studiu: 2,5 hodiny

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

definovat způsoby hledání vhodných nelineárních aproximačních funkcí

pro popis přechodových dějů

popsat schéma aproximačního modelu typu soustavy Sp2dz s přenosem

Gd(s)

popsat strukturální a parametrickou identifikaci fyzikálně adekvátních

modelů

Výklad

Obecně je známo, že přechodové jevy dynamických objektů (popsaných pomocí soustav

parciálních, či obyčejných diferenciálních rovnic) mají nelineární charakter. Při hledání

vhodných (charakterem, průběhem i těsností přiblížení) nelineárních aproximačních funkcí

těchto přechodových dějů je možné postupovat dvojím způsobem:

A. Empiricko - matematickým: kdy na základě seznamů vhodných tzv. empirických

funkcí vybereme ty, které svým charakterem nejvíce odpovídají zkoumanému průběhu.

Empirické funkce vytvořili autoři z různých odvětví vědy jako přibližné řešení diferenciálních

rovnic popisujících zkoumané děje, či provedli pouze pokusným způsobem odhad typu

závislosti. Nevýhodou těchto aproximačních modelů je hlavně problém fyzikálně adekvátní

interpretace jejich parametrů (koeficientů). Empirické modely je možné najít v publikacích

věnujících se modelování různých závislostí v přírodě, některých programech pro aproximaci

a regresi (či obecněji pro statistickou analýzu) dat.

B Fyzikálně (adekvátně) - matematickým: kde je matematický model závislosti sestaven

na základě fyzikálních zákonů a tak parametry aproximační funkce mají odpovídající fyzikální

interpretaci. Vhodné fyzikální modely tepelných i difúzních (přechodových) procesů a jejich

aproximací (i modelování) lze najít v dostupné literatuře.

Teoretické základy matematického popisu

Složení vystupující tekutiny při jednotkové a skokové změně koncentrace vstupující tekutiny

do nádrže (reaktoru, mezipánve apod.) lze pro základní dva idealizované případy míchání

charakterizovat následovně:

Page 63: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

56

1. Pro pístový tok, u kterého nedochází k žádnému vzájemnému míchání obsahu (ani

k vzájemné difúzi kapalin) L-přenosem:

MV

T,e(s)G dsT

ptd

(7.1)

kde: Td ... dopravní zpoždění soustavy, nádrže [s],

V ... objem nádrže [m3],

M ... objemový průtok kapaliny [m3/s].

2. Pro dokonalé míchání obsahu nádrže – složení tekutiny je totožné se složením

vytékajícího proudu, odkud ze zákona o zachování hmoty vyplývá diferenciální rovnice, po

jejíž úpravě a L-transformaci při nulových počátečních podmínkách lze dostat přenos

odpovídající setrvačné soustavě 1. řádu:

2010111

1 /,,1

)( XXkMV

TsT

ksGdm

(7.2)

kde: k1 ... koeficient přenosu soustavy (Sp1), nádrže [s],

X10 ... počáteční koncentrace přitékající kapaliny [%],

X20 ... počáteční koncentrace odtékající kapaliny [%],

T1 ... časová konstanta soustavy, nádrže [s],

s ... komplexní proměnná v L-transformaci [1/s].

Skutečnost leží vždy mezi oběma idealizovanými modely (tj. aproximativní celkový přenos

nádrže může vzniknout sériovým, paralelním či sériově-paralelním zapojením uvedených

dílčích idealizovaných přenosů).

Obsah nádrže se vždy promíchává buď konvekcí (přirozenou či nucenou) a/nebo

vyrovnáváním koncentračního spádu difúzí. Dokonalé míchání prakticky nemůže existovat.

Míchání směsí, ať samovolné nebo nucené, je ovlivňováno mnoha faktory

– teplotou, viskozitou, otřesy, tvarem nádoby, polohou přítokového a odtokových otvorů atd.

Vliv těchto faktorů nelze analyticky vystihnout, nehledě na to, že některé jsou náhodného

charakteru. Je tedy třeba počítat s tím, že uvedené faktory budou mít vliv jak na tvar

(strukturu) aproximativního přenosu, tak i na velikost jeho parametrů, tj. na hodnoty k1, T1,

Tx, Td = f (teplota, viskozita, otřesy, tvar MP, poloha přítokového a výtokových otvorů,

hmotnost – hladina oceli v MP, rychlost přítoku a odtoku, počet zapojených výtoků atd.).

Pro reálný případ nedokonalého míchání jako jakési “střední cesty” mezi dokonalým

mícháním a “pístovým” tokem je možné pro koncentraci kapaliny dostat aproximativní

přenosy soustavy (jednotlivých licích proudů MP) s uvažováním náhradního (rozloženého)

dopravního zpoždění a sériového řazení setrvačných členů 1. řádu:

1

1)exp(

1

1)(

11

11

sTksT

sTkesG d

sTc

d (7.3)

)1()1(

1)exp(

)1(

1

)1(

1)(

211

211

sTsTksT

sTsTkesG d

sTd

d (7.4)

Page 64: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

57

kde: Gc(s) ... L-přenos setrvačné soustavy 1. řádu s dopravním zpožděním (Sp1dz),

Gd(s) ... L-přenos setrvačné soustavy 2. řádu nekmitavé s dopravním zpožděním

(Sp2dz).

Je logické, že pro normalizovanou (bezrozměrovou) koncentraci bude k1 = 1 (takže soustavy

budou mít přenosy Sp1dzj, Sp2dzj), což ovšem neplatí např. pro přenos tepla v MP.

Grafické znázornění nejobecnějšího aproximačního přenosu Gd(s) soustavy typu Sp2dz

(realizované jako sériové spojení elementárních členů) je na obr. 7.1.

Obr. 7.1 Schéma aproximačního modelu typu soustavy Sp2dz s přenosem Gd(s)

Tento přenos do jisté míry odpovídá i poznatkům, které proudění lázně

v MP definují podle hypotetického modelu, v němž je objem oceli v MP rozdělen na 3 části

s rozdílným chováním:

objem s „pístovým” tokem oceli, strmý nárůst koncentrace dopravní zpoždění Td

promíchávaný objem (projev: zkratové proudění) velká časová konstanta T1

„mrtvý” objem, kde ocel proudí velmi pomalu (snižuje celkový aktivní objem) malá

časová konstanta T2,

Z uvedeného rozboru vyplývají možné aproximační soustavy a přenosy tepelných a difúzních

procesů, které dobře korespondují s aproximacemi vyšlými z Laplaceovy transformace těchto

procesů. Dá se souhrnně konstatovat, že vhodnými aproximačními funkcemi odezvy

normalizované koncentrace na její skokovou změnu na vstupu budou přechodové funkce

fyzikálně-adekvátních soustav Sp1dzj a Sp2dzj s těmito L-přenosy

(s je komplexní proměnná v L-transformaci):

1

1)exp(

1

1)(

11

sTsT

sTesG d

sTcj

d (7.5)

)1()1(

1)exp(

)1(

1

)1(

1)(

2121

sTsTsT

sTsTesG d

sTdj

d (7.6)

a příslušnými přechodovými funkcemi:

)/)(exp(11)( 1/)( 1 TTtety dTTt

cjd

(7.7)

Page 65: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

58

)/)(exp()/)(exp(1)( 212

21

12

1 TTtTT

TTTt

TT

Tty dddj

(7.8)

Přístupy a metody řešení aproximace a regrese

Z hlediska pohledu matematiky a statistiky (či matematické statistiky) se jedná o klasickou

úlohu aproximace a regrese. Nejčastěji používanou metodou je metoda nejmenších čtverců

(MNČ), která má za dodržení základních předpokladů výhodné vlastnosti. V případě

nedodržení předpokladů (jiný typ rozdělení chyb apod.) je vhodná metoda maximální

věrohodnosti (MMV).

Z hlediska přístupu (technické) kybernetiky je řešený problém aproximace průběhů výstupní

koncentrace MP na skokové změny koncentrace na vstupu vlastně identifikací tohoto systému

(podle přechodové či impulsní funkce). Identifikace je stanovení matematického (přibližného)

modelu dynamického systému. Dělí se na dvě části:

strukturální identifikace = stanovení struktury (tvaru) matematického

modelu,

parametrická identifikace = stanovení (odhad) hodnot parametrů, koeficientů

matematického modelu

Parametrická identifikace

Pro parametrickou identifikaci fyzikálně adekvátních modelů pomocí naměřených

přechodových funkcí (zobrazených přechodových charakteristik) lze např. použit metodu

postupné integrace (MPI), která byla dále upravena doc. Klánem. Metoda je dobře

rozpracovaná pro setrvačné soustavy 1. řádu s dopravním zpožděním, tj. Sp1dzj (tzv.

tříparametrový model) s přechodovou funkcí ve tvaru.

11)( T

Tt d

ety (7.9)

Algoritmus stanovení parametrů Td a T1 v prostředí MS Excel s využitím aproximace

integrálů pomocí numerické integrace lichoběžníkovou metodou je následující (vztahy jsou

platné i pro neekvidistatní časové vzorky – tzn. nekonstantní periodu vzorkování):

1. Výpočet tzv. průměrné doby ustálení - T (average residence time) (pro dobu ustálení,

simulace ts)

)()(,)0()(

)()(

01 sd ttyydt

yytyy

TTT

(7.10)

)()1(

)(2

)1()()()(

1itit

ny

iynyiynyT

n

i

(7.11)

Page 66: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

59

2. Výpočet časové konstanty modelu T1 ( ! integrál jen 0 až T)

T

dtyyyty

T0

1 )0()(

)0()()1exp( (7.12)

)()1(

)(2

)()1(.)1exp(

11 itit

nyiyiy

TT

i

(7.13)

3. Výpočet dopravního zpoždění Td

1TTTd (7.14)

Úlohy k řešení

Úloha k řešení č. 7.1

Pomocí metody postupné integrace s využitím prezentovaných matematických vztahů

proveďte aproximaci naměřených dat odpovídající soustavě prvního řádu s dopravním

zpožděním a jednotkovým zesílením. Naměřená data jsou ve formě časové odezvy

bezrozměrové koncentrace na výstupu z nádrže y = f(t) po jednotkové a trvalé změně

koncentrace na vstupu do nádrže.

Požadavky na zpracování:

Pracovní oblast listu v Excelu koncipujte tak, aby se dal jednoduše využít pro řešení

jiných datových souborů pouhým zkopírováním dvou datových sloupců (t,y).

Vypočtěte parametry Td a T1 přechodové funkce.

Graficky zobrazte výslednou aproximovanou funkci spolu s primárními daty

y = f(t).

Oblast aproximované funkce pro t < Td ošetřete pomocí vhodné podmínky tak, aby y =

0.

Vypočtěte koeficient korelace (Pearson) jako ukazatele přesnosti či přiléhavosti

vypočtené aproximace nebo regrese.

Vypočtěte směrodatnou odchylku.

Vypracujte protokol k odevzdání.

Poznámka: funkce použité v pracovní oblasti listu: exp, max, když, svyhledat, pearson,

smodch.výběr

Page 67: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

60

Sp1dzj - NMNČ – Excel

informace

– užitečný doplněk Solver (řešič) MS Excelu – nastavení, či instalace: menu

Nástroje / Doplňky / Řešitel (zatrhnout, či instalovat)

– následovní výběr: menu Nástroje / Řešitel

postup použití

doplnění skalárních proměnných (buněk v sešitu):

odhad parametru aproximačně regresní funkce Td (např. 50)

odhad parametru aproximačně regresní funkce T1 (např. 100)

doplnění vektorových proměnných (sloupců v sešitu):

yar(t) = 0 pro t Td

= 1 – exp(-(t-Td)/T1) pro t > Td

• e(t) (error, chyba) = yn(t) – yar(t)

Page 68: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

61

• e^2(t) = e(t)*e(t) („čtverce“ chyb)

– doplnění skalární proměnné (buňky v sešitu):

• Součet čtverců chyb = suma(e^2(t))

– využití funkce KDYŽ pro definování yar(t)

– nutno použít absolutní adresy pro Td a T1

Page 69: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

62

doplněný list

řešitel (řešič)

Nastavit buňku: kritérium optimalizace, nejčastěji součet čtverců odchylek

minimum / 0 (metoda nejmenších čtverců MNČ) – u nás buňka $I$1

Měněné buňky: parametry aproximačně-regresní funkce, v našem případě {Td, T1},

tzn. buňky $I$3:$I$4, ve kterých jsme uložili jejich první odhad

Po nastavení spustit výpočet - Řešit

Page 70: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

63

numerický výsledek

grafický výsledek

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 100 200 300 400 500 600 700 800

čas [s]

bezro

zm

ěro

vá k

on

cen

trace [

-]

primární data Sp1dzj - nMNČ

Page 71: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů

64

porovnání výsledků

Porovnání způsobů parametrické identifikace

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 100 200 300 400 500 600 700 800

čas [s]

be

zro

zm

ěro

ko

nc

en

tra

ce

[-]

primární data

Klánova identifikace

Sp1dzj - NMNČ

Shrnutí pojmů kapitoly

Nelineární aproximační funkce, přechodové děje.

Aproximační model.

Strukturální, parametrická identifikace.

Otázky k probranému učivu

7.1 Charakterizujte dva způsoby hledání vhodných nelineárních aproximačních funkcí pro

popis přechodových dějů.

7.2 Načrtněte a popište schéma aproximačního modelu typu soustav\ SP2dz s přenosem

Gd(s).

7.3 Definujte rozdíl mezi strukturální a parametrickou identifikací fyzikálně adekvátních

modelů.

Page 72: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

65

8. Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci

metalurgických procesů

Čas ke studiu: 4,5 hodiny

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

charakterizovat metodu plánovaného experimentu (DOE).

popsat obecné principy tvorby plánovaného experimentu.

rozhodnout se, zda je vhodné či ne metodu DOE použít.

sestavit plán DOE a získat relevantní výsledky.

Výklad

8.1 Základní pojmy, cíle, využití a nevyužití plánovaného experimentu

Součástí vývoje výrobků je sledování faktorů, které ovlivňují jejich konečné vlastnosti.

Jelikož faktorů, které ovlivňují proces výroby, je velké množství, zkoumá se vliv pouze

některých faktorů nebo pouze část jejich možných kombinací. Při dobře naplánovaném

experimentu lze získat z poměrně málo měření mnoho informací o procesu („za málo peněz

hodně muziky“).

Obr. 8.1 Schematické znázornění procesu se vstupem, výstupem a vstupními faktory.

Page 73: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

66

Plánovaný experiment (DOE – Design of Experiment) je posloupnost zkoušek (jednotlivých

faktorů pokusů), ve kterých cílevědomě provádíme najednou změnu (více, či všech) vstupních

procesu a to proto, abychom mohli pozorovat a identifikovat odpovídající změny výstupní

proměnné – tzv. odezvy (response).

Faktory – jsou veličiny, které ovlivňují hodnoty sledované výstupní veličiny procesu. Faktor

může být měřitelná (kvantitativní, číselná, např. teplota, tlak apod.) nebo kategoriální

(kvalitativní, nečíselná, např. dodavatel, operátor, stroj, materiál apod.) veličina:

stroje nebo přístroje,

různé technologie nebo metody výroby,

používaný vstupní materiál,

operátoři nebo směny,

vše, co transformuje vstupní materiál na výstupní produkt

Hodnoty jednotlivých faktorů se nazývají úrovně faktoru. V případě měřitelných veličin jsou

vyjádřeny číselně, u kategoriálních veličin slovně (např. málo, mnoho), či pomocí číselných

kódů (např. -1 = materiál A, +1 = materiál B).

Náhodné vlivy – při opakovaném experimentu za stejných podmínek dochází ke kolísání

hodnot sledované veličiny, což způsobují náhodné vlivy. Jedná se o tzv. neřiditelné vstupní

faktory.

Odezva může obsahovat jednu nebo více jakostních (kvantitativních, měřitelných, číselně

definovatelných) charakteristik. Je to ta veličina nebo ty veličiny, jež sledujeme, abychom

zlepšili proces či uspokojili zákazníka.

Základní cíle plánovaného experimentu

Základních cílů DOE může být několik typů a lze je definovat následovně:

Určit ty faktory A, B, C,…, jež mají dominantní (podstatný) vliv na odezvu y.

Zjistit takové nastavení hodnot dominantních faktorů A, B, C,…, které umožní

dosáhnout požadované (nominální) hodnoty y.

Nastavit vstupní faktory tak, aby variabilita sledované proměnné y byla co nejmenší.

Stanovit takové hodnoty vstupních faktorů, jež minimalizují vliv neřiditelných faktorů.

SPC a plánovaný experiment (DOE)

Metody statistického řízení procesu (SPC) a metody plánovaného experimentu (DOE) jsou

dva velice silné nástroje pro zlepšení a optimalizaci procesů. Jsou ve velmi blízkém vztahu.

Page 74: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

67

SPC je pasivní statistická metoda – pozorujeme proces bez promýšlených změn a

čekáme na nějaké informace, jež vedou

k prospěšné změně v procesu,

DOE je aktivní statistická metoda – provádíme promyšlené změny

v procesu a pozorujeme příslušné odezvy, abychom získali informace vedoucí ke zlepšení

procesu.

Využití DOE

Zlepšení výtěžnosti procesu.

Zmenšení variability procesu.

Redukuje dobu vývoje nového produktu.

Snižuje celkové náklady.

Vyčíslí dopady různých konfigurací ve výrobě.

Určí klíčové parametry ovlivňující výkonnost.

Nevyužití metody či metodiky DOE

Pokud principy metody DOE naopak nevyužijeme a použijeme tzv. selský rozum, metodu

„pokus-omyl“, či „expertní“ přístup, pak je třeba očekávat následující skutečnosti.

ztráta času a peněz (např. série pokusů se spékáním aglomerátu na pokusné pánvičce

trvá celkem déle než měsíc a stojí přibližně 250 tisíc Kč),

žádnou analýzou (statistickou, pomocí neuronových sítí, expertních systémů, či

genetických algoritmů) pak nelze „obejít“ špatně či nedostatečně připravený

experiment,

nepodchycení interakcí (tj. vlivu současného, synergického, neaditivního, ale

multiplikativního působení) faktorů při změně úrovně pouze jednoho faktoru v (tzv.

jednofaktorových, monoselektivních) pokusech (při současné udržování ostatních

faktorů na konstantních úrovních),

zbytečně mnoho vynaloženého času a peněz pro pokusy díky nadbytečností informací

způsobené nevhodným naplánováním pokusů experimentátorem (výzkumníkem,

technologem) – např. použitím výše uvedené metody změny pouze jednoho faktoru

v sériích pokusů experimentu.

Obecné principy vytváření DOE

Principy - techniky a typy experimentů metody DOE

Page 75: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

68

Před samotným použitím metody DOE je třeba se dobře seznámit (nebo se poradit

s odborníkem) se základními principy, technikami a typy experimentů této metody, která je

poměrně rozsáhlá.

Při plánovaném experimentu se používají tyto tři techniky:

replikace (opakování pokusů),

uspořádání pokusů do bloků,

znáhodnění pořadí pokusů v experimentu.

Replikace je opakování (většinou jednonásobné a případně i vícenásobné, ale pak příliš roste

počet pokusů) měření (pokusů) při stejné úrovni nebo kombinaci úrovní faktorů. Používá se

pro odhad nepřesnosti měření (náhodných vlivů, neřiditelných vstupních faktorů), testování

adekvátnosti (vhodnosti, správnosti) empirického modelu a zvýšení spolehlivosti závěrů

analýzy.

Uspořádání pokusů do relativně homogenních bloků (poměrně stejných podmínek při konání

experimentu) znamená podchycení změny podmínek v průběhu experimentu – např. suroviny

z jedné dávky / vzorku / tavby, měření stejným přístrojem, vzorky odebrané během krátké

doby z nepřetržitého procesu (eliminace časového vlivu a vlivu opotřebení, stárnutí, driftu

apod.), různé laboratoře apod. Kdybychom tyto skutečnosti (nestejných podmínek pokusů)

zanedbali (nerozlišovali), zvětšili bychom chybu měření a variabilitu způsobenou rozdíly

s dopadem na snížení spolehlivosti závěrů analýzy.

Aby nevznikla systematická chyba (např. stejným pořadím úrovní faktoru v každém bloku,

vlivem časových vazeb parametrů), provedeme jednotlivé pokusy experimentu v náhodném

pořadí („vylosováním“). Tomuto postupu říkáme znáhodňování měření.

Celé schéma experimentu nazýváme znáhodněné bloky. Ty dovolují rozložit celkovou

variabilitu na složku odpovídající efektům úrovní zkoumaného faktoru, složku odpovídající

blokům a reziduální složku, jenž zahrnuje vliv ostatních činitelů.

V DOE lze definovat následující typy experimentů (tzv. plány):

úplné a zkrácené (tzv. nasycené a nenasycené) faktorové experimenty,

dvou, troj a víceúrovňové experimenty,

statické a dynamické plány,

simplexové plány,

optimální plány – kde jsou optimalizované hodnoty rozptylů vybraných parametrů

modelu při jeho analýze pomocí regrese na základě vlastností tzv. Fisherovy

informační matice. Patří mezi ně tzv. D-, E-, A-, G- a V-optimální plány. Např. D-

optimální plán minimalizuje hodnotu zobecněného rozptylu parametrů modelu,

Page 76: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

69

polynomické, exponenciální a mocninné experimenty (modely),

„klasické“, Shaininovy a Taguchiho plány,

směsové plány (používané např. v chemii při zkoumání vlastností směsi v závislosti na

jejím složení za dodržení vazební podmínky zadaného konstantního součtu všech

elementů, podílů směsi, který je většinou rovný jedné = 100 %) .

Počet úrovní faktorů určuje typ (stupeň) dosažitelné nejvyšší mocniny empirického

(polynomického) modelu:

pomocí plánu se dvěma úrovněmi lze identifikovat pouze lineární modely (modely 1.

řádu) s interakcemi faktorů. Mezi speciální plány tohoto typu patří tzv. Plackettův-Burmanův

plán, což je zkrácený plán modelu 1. řádu pro 2 úrovně, kde počet měření n nemusí být

mocnina 2. Počet faktorů je n-1 a počet pokusů n je násobkem čísla 4,

při použití tří úrovní (kromě krajních bodů intervalu hodnot faktorů obsahuje i tzv.

centrální, středové body) už lze identifikovat (úplné) kvadratické modely (modely 2. řádu)

s interakcemi. Zde však příliš rychle roste počet pokusů (a tím i jejich čas provedení a cena) a

tak se používá kombinace 2/3 úrovňových plánů. Mezi speciální plány tohoto typu patří tzv.

Boxův-Behnkenův plán, což je plán modelu 2. řádu pro 3 úrovně. Na rozdíl od centrálně

kompozičního plánu nemá měření v rozích, ale uprostřed hran a je rotabilní,

používají se i víceúrovňové, konkrétně pěti úrovňové plány (jako rozšíření plánů 2

úrovňových) a tyto jsou nejčastěji používané v praxi. Lze jich rozdělit do tří základních typů

(a z nich vycházejících kombinací):

Centrálně kompoziční plán je celkem univerzální plán vzniklý rozvinutím 2-úrovňového

plánu o dva typy pokusů (bodů): tzv. hvězdicovité a centrální (středové). Je vhodný pro model

2. řádu (kvadratický) a navíc (pomocí vhodné volby parametru tzv. hvězdicovitého ramene)

může být ortogonální a/nebo rotabilní.

Ortogonální plán má pokusy sestavené tak, že jednotlivé faktory (sloupce tabulky obsahující

úrovně faktorů) jsou po dvojicích (vzájemně) ortogonální, tj. na sebe kolmé v prostoru.

Znamená to také jejich (statistickou) nezávislost s praktickým dopadem na zjednodušení

výpočtů a zvýšení spolehlivosti (statistické významnosti) odhadů regresních koeficientů

empirických modelů.

Rotabilní plán má pokusy sestavené tak, že jsou nezávislé na natočení souřadnic v prostoru

vstupních veličin. Použití takovéhoto plánu umožňuje identifikaci modelu s variancemi

(rozptyly) závislými pouze na vzdálenostech pokusů od centrálního (středového) bodu

experimentu. Rotabilní plány se konstruují jako rovnoměrné m-úhelníky (kde m = 6 nebo 8,

přičemž výhodou 8 úhelníkového plánu je, že v sobě obsahuje všechna měření ze 4-bodového

plánu, takže dřívější měření se dají použít). Avšak rotabilní plány nejsou ortogonální.

Postupy aplikace metody DOE

Page 77: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

70

Po dostatečném seznámení se s metodou DOE je možné přistoupit k její aplikaci na řešený

problém. Je doporučeno použít následující postup:

A. Definice nebo popis problému

Není jednoduché vymyslet jasný a obecně přijatelný popis problému.

Pomoc se žádá od všech zúčastněných – inženýrů, kvalitářů, obchodníků, vedení, ale i

operátorů.

B. Stanovení sledované proměnné – response

Musí se vybrat taková proměnná (nebo proměnné), která poskytuje užitečnou

informaci o procesu.

Často se sleduje aritmetický průměr nebo směrodatná odchylka zákazníkem

požadované charakteristiky.

Způsobilost měřicího procesu je velice důležitá veličina, protože při malé přesnosti

měření se dají odhalit pouze velké efekty zvolených faktorů.

C. Výběr faktorů a úrovní

Nutná znalost procesu.

Osvědčuje se kombinace praktických zkušeností a teoretických vědomostí.

Musí se vybrat faktory, jež se budou v procesu měnit.

Vybrat důležité faktory, které jsou na sobě nezávislé (ze své podstaty).

V jaké oblasti se budou měnit.

Ve kterých hodnotách faktorů se budou provádět měření.

D. Výběr plánu experimentu

Musí se zvážit počet opakovaných měření.

Určit pořadí jednotlivých měření.

Zvážit výběr správného typu plánu.

E. Provedení experimentu

Musí se zvážit počet opakovaných měření.

Určit pořadí jednotlivých měření.

Zvážit výběr správného typu plánu.

Page 78: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

71

F. Analýza dat

K analýze dat se používají statistické metody.

Výběr typu metod zpracování není nijak obtížný.

Konkrétní zpracování dat velmi usnadňují statistické softwary.

Výstupy jsou možné ve formě tabulek či grafů v jednoduché podobě.

G. Závěry a doporučení

Jakmile se provede analýza dat, experimentátor musí objasnit praktické závěry.

Pak je nutné doporučit postup další činnosti.

Závěry a doporučení, která se neodchylují od výsledků analýzy, jsou nestranná.

Mohou se však lišit od předpojatých názorů !

Iterační způsob poznávání procesu

Obr. 8.2 Schematické znázornění poznávání procesu.

Poznatky:

V prvním experimentu zjistíme - podle zkušenosti – překvapivě ne více než 25 %

dosažitelných informací!

Ze začátku jsme se jenom domnívali, že známe dominantní faktory.

Page 79: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

72

Postupně zjišťujeme, které faktory musíme opravdu řídit, abychom ovládali proces.

Zjišťujeme, v jakém rozmezí musíme jednotlivé faktory udržovat.

Zjišťujeme, jak citlivé jsou jednotlivé faktory.

Zjišťujeme, kolik měření musíme provádět, abychom opravdu řídili proces.

Ze základního principu plánovaného experimentu vyplývá, že se nejprve ujasní, jaké

charakteristiky sledovaného procesu se budou sledovat a na míru tomuto plánu by se třeba

v případě ocelárny nastavily např. podmínky sekundárního zpracování oceli.

Je však zřejmé, že v provozních podmínkách je na různých úrovních inženýrské praxe nutné

analyzovat parametry ovlivňující výslednou kvalitu procesu, aniž by bylo možné výrazným

způsobem narušovat zavedené technologické postupy, což by mohlo vést v konečném

důsledku ke zhoršení výsledné užitné hodnoty ocelových výrobků a finančním ztrátám.

Je tedy nutné pomocí sběru již zaznamenaných provozních dat získat takové vhodné

informace, které umožní korektní matematicko-statistickou analýzu. Tyto setříděné provozní

záznamy však nemusí být využity pouze k provedení níže popisovaného plánovaného

experimentu. Další části však budou věnovány právě této metodě.

Cílem plánovaného experimentu (z hlediska metalurgie) je naučit se systematicky

kvantifikovat (určovat) vliv například různých faktorů sekundárního zpracování oceli při její

výrobě na její výslednou kvalitu.

Pomocí této metody je také možné zjistit, který z faktorů, ačkoliv byl původně zahrnut do

plánu experimentu, určitelný vliv (statisticky významný) nemá, což samozřejmě opět přispěje

k optimalizaci prověřovaného procesu.

Řešené úlohy

Řešený příklad č. 8.1

Pro demonstraci metody DOE je vhodné vyjít z nejjednoduššího a přitom užitečného plánu,

kterým je úplný faktorový experiment na dvou úrovních (hodnot) faktorů.

Postup při vytváření takovéhoto experimentu je dále prezentován a dokumentován na

vzorovém základním příkladu uvedeném v knize [Tošenovský & Noskievičová 2000, str. 71].

A. Definice problému

Sleduje se, kolik stlačení (Y) vydrží pružina až do zničení v závislosti na těchto faktorech:

L - délka pružiny (měřitelný faktor [cm]),

G - tloušťka drátu (měřitelný faktor [mm]),

Page 80: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

73

T - typ materiálu (kategoriální faktor [-]).

Cílem je zjistit, které faktory jsou rozhodující pro životnost pružiny Y (což je v našem případě

odezva – response, vyjádřená jako jakostní měřitelná bezrozměrová veličina ve smyslu počtu

stlačení [-] do prasknutí pružiny).

Úplný faktorový experiment (či obecněji celý proces aplikace metody DOE) se skládá ze tří

fází:

přípravné – návrhové (krok 1 až 3),

experimentální (krok 4) a

výpočtové – analytické (krok 5 až 9)

1. Sestavení tabulky faktorů a jejich uvažovaných úrovní

V tab. 8.1 jsou přehledně uvedeny faktory s jejich (fyzikálním) významem, označením

(proměnné) a hodnotami dolní i horní úrovně.

Tab. 8.1 Faktory – jejich označení a úrovně.

Faktor Označení

- +

Dolní

úroveň

Horní

úroveň

Délka pružiny L 10 cm 15 cm

Tloušťka drátu G 5 mm 7 mm

Materiál T A B

2. Sestavení plánu experimentu

Existuje více způsobů jak sestavit plán, podle kterého se budou provádět jednotlivé pokusy.

Mezi nejpoužívanější patří plán úplného faktorového experimentu.

Počet pokusů, ze kterých je sestaven úplný experiment se vypočítá při k faktorech a dvou (2)

úrovních pomocí vztahu:

n = 2k (8.1)

Takže zde, při k = 3 faktorech, je počet pokusů (řádků) n = 23 = 8. Tabulka má proto 8 řádků.

Page 81: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

74

Je vhodné pro samotný zápis faktorů a odezvy, jako i pro výpočty použit všeobecně dostupný

a používaný tabulkový procesor Excel.

Postupně tedy vepisujeme do sloupců níže uvedené tab. 8.2 jednotlivé úrovně faktorů

uvedené v tab. 8.1, a to takto:

u prvního faktoru se mění úrovně co krok (řádek),

u 2. faktoru co dva řádky („ob“),

u třetího co čtyři řádky atd. (obecně je počet stejných hodnot úrovní, stejných úrovní

pro k-tý faktor rovný 2(k-1)

),

Y je výsledek pokusu.

Tab. 8.2 Plán úplného faktorového experimentu

Y

1 10 5 A

Pokus L G T

3 10 7 A

2 15 5 A

5 10 5 B

4 15 7 A

6 15 5 B

7 10 7 B

8 15 7 B

3. Převod parametrů pružiny uvedené v plánu experimentu na kódované proměnné

Plán experimentu je výhodnější psát pomocí této symboliky:

Je-li každý z faktorů uvažován na dvou úrovních, pak dolní úroveň bude značena -1 (resp. jen

- ) a horní úroveň +1 (resp. jen +).

Přepočet původních proměnných xo (original – převzato z angličtiny) na tzv. kódované

(bezrozměrové) proměnné x se může provést nejen pro krajní hodnoty xo,min (x = -1) a xo,max

(x = +1), ale i pro hodnoty xo z intervalu mezi krajními hodnotami < xo,min, xo,max> pomocí

vztahu:

Page 82: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

75

2

xx2

xxx

xmino,maxo,

mino,maxo,o

(8.2)

kde: x ... kódovaná proměnná,

xo ... proměnná v původních jednotkách,

xo,max ... horní úroveň xo v původních jednotkách,

xo,min ... dolní úroveň xo v původních jednotkách.

Například přepočet L pro dolní hodnotu 10 je:

1

2

10152

101510

L (8.3)

Například přepočet L pro horní hodnotu 15 je:

1

2

10152

101510

L (8.4)

Při sestavování plánu experimentu přímo v kódovaných proměnných se doporučuje

postupovat následujícím způsobem:

u 1. faktoru se po jednom střídají -1 a +1,

u 2. faktoru se střídají „záporné“ a „kladné“ dvojice,

u 3. faktoru jsou uvedeny čtveřice shodných znamének

Obecně je počet stejných znamének pro k-tý faktor 2(k-1)

. Původní tabulka 8.2 potom bude

mít přehlednější a jednodušší tvar (tab. 8.3).

Page 83: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

76

Tab. 8.3 Plán úplného faktorového experimentu s kódovanými faktory.

T Y

1 -1 -1 -1

Pokus L G

-1

3 -1 1 -1

2 1 -1

-1

5 -1 -1 1

4 1 1

7 -1 1 1

6 1 -1 1

8 1 1 1

4. Provedení všech pokusů

Jestliže je plánem experimentu stanoveno, za jakých podmínek se provádí jednotlivé pokusy,

je možné provést celý experiment a zaznamenat hodnoty sledovaného ukazatele Y.

V našem případě (příklad namáhání pružiny) byl, v souladu s tab. 8.4, každý pokus opakován

dvakrát (výsledek Y1 a Y2, jejich průměr je Y). Opakování (replikace) umožňuje zvýšit

přesnost a predikční schopnost modelu podle metody DOE:

Tab. 8.4 Naměřené výsledky hodnot Y úplného faktorového experimentu

(místo hodnot -1 a +1 lze zapsat jen – a +)

Faktor Faktor FaktorPokus

Výsledek Výsledek Průměr

L G T Y1 Y2 Y

1 - - - 77 81 79

2 + - - 98 96 97

3 - + - 76 74 75

4 + + - 90 94 92

5 - - + 63 65 64

6 + - + 82 86 84

7 - + + 72 74 73

8 + + + 92 88 90

Page 84: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

77

Provedením měření a sestavením tab. 8.4 skončily přípravné a experimentální práce. Dále

následují už jen analytické, matematicko-statistické výpočty. Jejich cílem bude stanovit, které

z faktorů ovlivňují významným způsobem životnost pružiny Y.

5. Sestavení tabulky interakcí

Dalším krokem je sestrojení tabulky interakcí jednotlivých faktorů – viz tab. 8.5. Pro určení

optimální úrovně faktorů a pro sestavení modelu je důležité rovněž znát, které dvojice faktorů

mají vzájemně významnou interakci. Proto se počítá také jejich vliv na Y.

Pro analyzované tři faktory {L,G,T} můžeme sestavit celkem 4 interakce, a to:

tři tzv. dvojné (mají dva členy) interakce: LG, LT a GT (interakce 2. řádu),

jednu tzv. trojnou (tři členy v součinu): LGT (interakce 3. řádu).

Znaménka ve sloupcích interakcí LG, LT, GT, LGT se získají jako součin znamének

v odpovídajících sloupcích (tab. 8.5).

Tab. 8.5 Interakce faktorů

Pokus L G T LG LT GT LGT Y

1 - - - + + + - 79

2 + - - - - + + 97

3 - + - - + - + 75

4 + + - + - - - 92

5 - - + + - - + 64

6 + - + - + - - 84

7 - + + - - + - 73

8 + + + + + + + 90

6. Výpočet efektů (vlivu) faktorů a jejich interakcí

Efektem faktoru se rozumí změna ukazatele kvality Y, kterou způsobí přechod tohoto faktoru

z dolní úrovně (-) na horní úroveň (+). U kódovaných faktorů je to změna o 2 jednotky,

z hodnoty –1 na +1.

Výpočet efektu faktoru se může provést různými způsoby. Jeden z používaných způsobů

spočívá v tzv. znaménková metodě:

Page 85: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

78

sečtou se hodnoty ve sloupci Y, přičemž každá hodnota Y má znaménko, odpovídající

znaménku u příslušného faktoru v odpovídajícím řádku,

součet se vydělí vztahem 0,5.n (nebo n/2), kde n = počet pokusů (je to z výše

uvedeného důvodu změny faktoru o 2 jednotky, proto dělení dvěma).

Efekt faktoru L lze pak vypočítat takto:

L = (-79+97-75+92-64+84-73+90) / 4 = 18 (8.5)

Efekt faktoru LG lze pak vypočítat takto:

LG = (79-97-75+92+64-84-73+90) / 4 = -1 (8.6)

Vypočtené efekty faktorů doplníme do tabulky (tab. 8.6):

Tab. 8.6 Efekty faktorů

Faktor L G T LG LT GT LGT Prům.

Efekt 18,0 1,5 -8,0 -1,0 0,5 6,0 -0,5 81,75

Pokus L G T LG LT GT LGT Y

1 - - - + + + - 79

2 + - - - - + + 97

3 - + - - + - + 75

4 + + - - - - - 92

5 - - + + - - + 64

6 + - + - + - - 84

7 - + + - - + - 73

8 + + + + + + + 90

7. Zjištění statisticky vlivných faktorů a interakcí pomocí testu významnosti

V předcházející části byly vypočteny jednotlivé efekty a interakce sledovaných faktorů. Nyní

je potřeba pomocí testu významnosti stanovit, který z nich je pro ukazatel kvality významný.

Tento krok sestává ze čtyř dílčích kroků (A D):

A. Definování tzv. nulové a alternativní (opačné, anti) hypotézy:

Nulová hypotéza H0: efekt faktoru je nevýznamný

Page 86: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

79

Alternativní hypotéza H1: efekt faktoru je významný

B. Testovací kritérium:

Aby bylo možné vypočítat testovací kritérium, je nutné zjistit směrodatnou odchylku výběru se.

Postup je následující:

Protože se každý z pokusů opakoval dvakrát, je možné z dvojic výsledků Y1, Y2 vypočítat

rozptyl v každém pokusu. Rozptyl každého pokusu lze (pouze !) při dvou opakováních

(replikacích) vypočítat snadněji (než s použitím definice rozptylu) pomocí vztahu: .

221

2 )(2

1YYsi (8.7)

Poté je třeba vypočítat pomocnou veličinu s2:

k

kk sss

...

...

1

22

112 (8.8)

kde: vi = ni – 1

ni je počet opakování i-tého pokusu,

symbol vi je rozptyl v i-tém pokusu.

Zde:

58

828282282

s (8.9)

Tab. 8.7 Vypočtené hodnoty rozptylu každého pokusu

s2

i

Číslo

pokusu

1 77 81 -4 8

Y1 Y2 Y1 - Y2

2 98 96 2 2

3 76 74 2 2

5 63 65 -2 2

4

82 86 -4

890 94 -4

7 72 74 -2 2

6

88 92 88 4

8

Page 87: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

80

Rozptyl odhadu efektu (stejný pro všechny faktory) je roven

nsb

22 4 (8.10)

Z tohoto rozptylu odhadu efektu je nutné vypočítat směrodatnou odchylku sb

2bb ss (8.11)

Zde:

(8.12)

Pak můžeme konečně vypočítat testovací kriterium pro každý efekt podle vztahu (platného

však pouze pro 2 replikace a model se zařazením všech interakcí) :

Tab. 8.8 Efekt jednotlivých faktorů a jejich testovací kritérium

Faktor L G LG T LT GT LGT

Efekt 18 1,5 -1 -8 0,5 6 -0,5

t=efekt/se 16,07 1,34 -0,89 -7,14 0,45 5,36 -0,45

C. Kritická hodnota podle Studentova t-rozdělení

)(...21nnnn k

t (8.13)

kde: n1 , … nk jsou počty opakování pokusů, ni = 2, n je počet pokusů bez opakováni,

zde n = 8, je tzv. hladina významnosti. Nejčastěji se používá

= 0,05, což zjednodušeně řečeno znamená, že se dopustíme pouze 5 % chyby při

nesprávném zařazení efektů (faktorů) do skupiny významných (skutečně ovlivňujících

odezvu).

D. Závěr testu

Pro:

)(...21nnnni k

tt (8.14)

se zamítá nulová hypotéza, což znamená, že efekt (a tedy faktor) je statisticky významný.

V analyzovaném případě platí:

306,2)05,0()05,0()( 8816...21 ttt nnnn k

(8.15)

12,1,25,116

544 22

bb s

ns

s

Page 88: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

81

Kritické hodnoty jsou tabelovány v knihách a skriptech o matematické statistice - např. v

[Tošenovský & Dudek 2001], anebo v dnešní době mohou být přímo obsaženy v příslušném

statistickém softwaru (např. v tabulkovém procesoru MS EXCEL je k dispozici funkce

TINV(;n) = TINV(0,05;8) = 2,306, viz takto vytvořenou níže uvedenou tab 8.9 pro = p

(pravděpodobnost, probability) a počet stupňů volnosti n).

V tomto případě bylo použito již zmiňované Studentovo t-rozdělení. Je-li tedy absolutní

hodnota testovacího kritéria každého efektu větší než kritická hodnota (tzn. 2,306), je daný

faktor statisticky významný. Kritickou hodnotu převyšuje v absolutní hodnotě testovací

kritérium faktorů L, T a interakce GT.

Tab. 8.9 Kritické hodnoty Studentova rozdělení určené pomocí MS EXCEL

n p 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

1 3,078 6,314 12,706 25,452 63,657 127,321

2 1,886 2,920 4,303 6,205 9,925 14,089

3 1,638 2,353 3,182 4,177 5,841 7,453

4 1,533 2,132 2,776 3,495 4,604 5,598

5 1,476 2,015 2,571 3,163 4,032 4,773

6 1,440 1,943 2,447 2,969 3,707 4,317

7 1,415 1,895 2,365 2,841 3,499 4,029

8 1,397 1,860 2,306 2,752 3,355 3,833

9 1,383 1,833 2,262 2,685 3,250 3,690

10 1,372 1,812 2,228 2,634 3,169 3,581

11 1,363 1,796 2,201 2,593 3,106 3,497

12 1,356 1,782 2,179 2,560 3,055 3,428

13 1,350 1,771 2,160 2,533 3,012 3,372

14 1,345 1,761 2,145 2,510 2,977 3,326

15 1,341 1,753 2,131 2,490 2,947 3,286

16 1,337 1,746 2,120 2,473 2,921 3,252

17 1,333 1,740 2,110 2,458 2,898 3,222

18 1,330 1,734 2,101 2,445 2,878 3,197

19 1,328 1,729 2,093 2,433 2,861 3,174

20 1,325 1,725 2,086 2,423 2,845 3,153

21 1,323 1,721 2,080 2,414 2,831 3,135

22 1,321 1,717 2,074 2,405 2,819 3,119

23 1,319 1,714 2,069 2,398 2,807 3,104

24 1,318 1,711 2,064 2,391 2,797 3,091

25 1,316 1,708 2,060 2,385 2,787 3,078

26 1,315 1,706 2,056 2,379 2,779 3,067

27 1,314 1,703 2,052 2,373 2,771 3,057

28 1,313 1,701 2,048 2,368 2,763 3,047

29 1,311 1,699 2,045 2,364 2,756 3,038

30 1,310 1,697 2,042 2,360 2,750 3,030

31 1,309 1,696 2,040 2,356 2,744 3,022

32 1,309 1,694 2,037 2,352 2,738 3,015

33 1,308 1,692 2,035 2,348 2,733 3,008

34 1,307 1,691 2,032 2,345 2,728 3,002

35 1,306 1,690 2,030 2,342 2,724 2,996

36 1,306 1,688 2,028 2,339 2,719 2,990

37 1,305 1,687 2,026 2,336 2,715 2,985

38 1,304 1,686 2,024 2,334 2,712 2,980

39 1,304 1,685 2,023 2,331 2,708 2,976

40 1,303 1,684 2,021 2,329 2,704 2,971

50 1,299 1,676 2,009 2,311 2,678 2,937

Z tab. 8.9 je patrné, že čím je ve sledovaném výběru (zde v experimentu) více opakování a

pokusů, tím je kritická hodnota, kterou je nutné překročit pro dosažení statistické

významnosti, nižší.

8. Zjištění statisticky vlivných faktorů a interakcí pomocí grafické metody

Zvláště pokud se neprovádí opakování jednotlivých pokusů, ale i při jejich existenci (což je

vždy lepší), bývá používána grafická metoda určování významných faktorů. Graficky se

zobrazí vliv efektu na empirickou pravděpodobnost Pi, která je definována následovně:

Page 89: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

82

mi

Pi)5,0(100

(8.16)

kde: i = 1,2, … m,

m je součet počtů faktorů a jejich interakcí (3+4=7).

Při použití grafické metody se postupuje tak, že se nejdříve vytvoří tabulka, přičemž do jejího

prvního řádku se vloží vypočítané efekty faktorů a jejich interakcí ve vzestupném pořadí. Do

druhého řádku se těmto efektům přiřadí hodnoty i od 1 do m, třetí řádek se pak dopočte podle

vztahu (8.16):

Tab. 8.10 Podklady pro grafické hodnocení významnosti efektů

Faktor T LG LGT LT G GT L

Efekt -8 -1 -0,5 0,5 1,5 6 18

i 1 2 3 4 5 6 7

Pi 7,14 21,42 35,71 50 64,29 78,57 92,86

Poté sestrojíme zmiňovanou grafickou závislost – viz obr. 8.11 (příklad s pružinou).

Normální pravděpodobnostní graf efektů

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10 -5 0 5 10 15 20

efekt

Pi [%]

T

L

GT

Obr. 8.11 Grafické určení vlivných faktorů

Za významné se považují ty faktory, které se nacházejí výrazně mimo hlavní linii. Z grafu na

obr.1 je patrné, že mimo hlavní linii jsou ty faktory, u kterých testovací kritérium překročilo

kritickou hodnotu. Jsou to body L (nejvýrazněji), T a GT.

Page 90: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

83

9. Sestavení výsledného modelu experimentu

Jakmile je stanoven efekt faktorů a jejich interakcí, je možné sestavit (empirický) model

experimentu. Kompletní model experimentu 23 s faktory L,G,T má tvar

LGTlgtGTgtLTltLGlgTtGgLlprumerY (8.17)

Koeficienty l, g, t, lg, lt, gt, lgt se vypočítají jako polovina příslušného efektu daného faktoru

resp. jejich interakce (v souladu s intervaly kódování –1 až +1 = 2). Absolutní člen je průměr

z průměrů všech pokusů.

Ve vlastním modelu experimentu jsou zařazeny jen zjištěné vlivné faktory a interakce, tzn. L,

T a GT.

Pro analyzovaný příklad proto platí vztah v kódovaných proměnných:

Y = 81,75 + 9.L – 4.T + 3.GT (8.18)

Pokud vyjdeme ze vztahu (1) pro výpočet (a přepočet) kódovaných proměnných z původních

proměnných, pak dostaneme:

TG

TL

Y oo

1

634

5,2

5,12975,81 (8.19)

Po úpravě získáme finální („smíšený“) vztah pro model experimentu s uvažováním původních

číselných proměnných Lo (délka pružiny) a Go (tloušťka drátu), jako i kódované nečíselné

(kategoriální) proměnné T (typ materiálu je číselně kódovaný jako A = -1, B = +1)

Y = 36,75 + 3,6.L0 – 22.T + 3.G0 .T (8.20)

Z výsledné rovnice modelu experimentu pro výdrž pružiny při namáhání je potřebné vyvodit

praktický závěr (jako doporučení pro výrobce, či nákupce, dodavatele), kdy je životnost

pružiny největší (kdy vydrží nejvyšší počet stlačení Y do prasknutí).

Jelikož z výsledné rovnice to není až tak jednoduše zřejmé, je vhodné využít původní hodnoty

(z tab. 8.1, ovšem zde s uvažováním kódovaných hodnot proměnné T, jako i z tab. 8.4) a

vypočtené predikované hodnoty (podle výše uvedené rovnice) v Excelu (soubor

Pr1_Excel.xls)

Z obr. 8.12 je jasně vidět odpověď na položenou otázku. Můžeme tedy (směle) formulovat

závěr, že pružina vydrží největší počet stlačení (má nejvyšší životnost) při:

horní úrovni délky (L0 = 15 cm),

dolní úrovni tloušťky drátu (pak G0 = 5 mm),

dolní úrovni typu materiálu (tj. materiál typu A).

Page 91: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

84

Obr. 8.12 Predikce hodnot odezvy Y podle modelu v procesoru Excel

10. K čemu slouží model experimentu?

Model experimentu má mnohostranné použití. Mezi nejvýznamnější patří:

k určení lokálně optimálních hodnot faktorů – v případě pružiny pomůže

rozhodnout, jakou délku, průměr a materiál pružiny je nutno použít pokud požadujeme, aby

pružina vydržela určitý počet namáhání (stlačení),

k predikci ukazatele kvality Y – je možné dopředu předpovědět, kolik stlačení

pružina vydrží při dané kombinaci délky, průměru a materiálu.

F. Závěr

Na závěr je možné shrnout a ověřit probranou problematiku metodiky DOE pomocí

kontrolních otázek i kontrolního (cvičného, testovacího) příkladu a doporučit literaturu

k dalšímu a hlubšímu studiu.

Níže uvedený kontrolní příklad je vhodné si propočítat pomocí metodiky DOE za účinného

použití tabulkového procesoru Excel.

Úlohy k řešení

V malém podniku, kde vyrábějí kancelářské sponky, mají velké problémy. Zákazníci si

stěžují na malý počet možných ohybů – sponky brzy praskají.

Ředitel pověřil pracovníka zodpovědného za jakost, aby nedostatky dal do pořádku a co

nejdříve mu podal hlášení o vyřízení této nepříjemnosti.

Page 92: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

85

Pracovník po konzultaci stanovil následující tři dominantní faktory:

dodavatel drátu,

velikost sponky,

tepelné ošetření drátu.

K těmto faktorům pak stanovil jejich dvě úrovně:

Dodavatel: firma 1, firma 2

Velikost: malá, velká

Tepelné ošetření: ne, ano

Typ plánu experimentu: pověřený pracovník se po domluvě s výrobou rozhodl, že:

provede ortogonální plán experimentu pro vybrané tři faktory,

vyhoví panu řediteli a provede nejmenší počet experimentů, aby spolehlivý výsledek

mohl ohlásit co nejdříve.

Po sestavení úplného faktorového dvou-úrovňového plánu s replikacemi

(z důvodu možnosti uskutečnění důležitého testu adekvátnosti modelu) bylo uskutečněno

testování („měření“) sponek s následujícími výsledky:

dodavatel velikost ohřev Počet ohybů

1. měření 2. měření

firma 1 malá ne 9 7

firma 2 malá ne 21 10

firma 1 velká ne 16 13

firma 2 velká ne 12 5

firma 1 malá ano 21 15

firma 2 malá ano 17 21

firma 1 velká Ano 22 26

firma 2 velká ano 18 18

Vyhodnoťte provedený experiment pomocí metodiky DOE („ručně“, pomocí tabulkového

programu Excel).

Definujte závěr - které faktory a interakce mají vliv na životnost (počet ohybů)

zkoumaných sponek?

Definujte doporučení pro ředitele – jaký drát na sponky a u kterého dodavatele

nakupovat?

Page 93: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů

86

Shrnutí pojmů kapitoly

Metoda plánovaného experimentu (DOE), faktor, úplný faktorový plán, úroveň.

Ukazatel kvality, kódovaná proměnná, interakce, efekt faktoru, test významnosti.

Otázky k probranému učivu

8.1 Co znamená zkratka DOE?

8.2 Co je cílem plánovaného experimentu?

8.3 Jaké jsou výhody využití metody plánovaného experimentu?

8.4 Který druh plánu experimentu patří mezi nejpoužívanější?

8.5 Co to jsou kódované proměnné?

8.6 Podle kterého vztahu určíme, kolik pokusů je nutné provést pro úplný plán

experimentu se dvěma úrovněmi hodnot faktorů?

8.7 Které další parametry, kromě významných faktorů ovlivňujících ukazatel kvality, se

snažíme rovněž nalézt?

8.8 Co rozumíme pod pojmem efekt faktoru?

8.9 Na základě čeho rozhodneme, zda vypočtený efekt faktoru je pro daný ukazatel

kvality významný nebo nikoli?

8.10 Co vše potřebujeme znát, abychom mohli významnost efektu faktoru prověřit?

8.11 Na základě čeho nakonec rozhodneme, který faktor je významný pro daný ukazatel

kvality?

8.12 Jak získáme vlastní model experimentu 23?

8.13 K čemu slouží metoda plánovaného experimentu?

8.14 Uveďte příklad, kde by bylo možné plánovaný experiment použít.

Page 94: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertory

87

9 Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertoru

v TŽ, a.s.

Čas ke studiu: 1 hodina

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

popsat model řízení tavby v kyslíkovém konvertoru.

definovat hlavní rysy výpočtu vsázky kyslíkového konvertoru.

Výklad

Dodavatelem původního řídicího systému pro KKO (hardware i software) byla švédská firma

ASEA.

Základní členění ASŘ KKO je dvouúrovňové a skládá se ze:

základní řídicí úrovně

nadřazení řídící úrovně

Obr. 9.1 Schéma systému řízení KKO v Třineckých železárnách, a.s.

Page 95: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertory

88

Základní řídicí úroveň je určena pro

sběr dat z procesu a jejich zasílání do počítače NŘÚ

ovládání následujících výrobních agregátů – plošinová váha na skládce šrotu C a na

korekčním šrotišti KKO, torpédováha u KKO, jeřábové

váhy na sázecích a licích jeřábech, kyslíková ventilová stanice,

kyslíková tryska, pomocná měřicí tryska (sublance), vnější a vnitřní doprava přísad do

konvertoru a pánve, plynočistírna, vakuovací stanice.

Nadřazená řídicí úroveň (také modelová úroveň) je určena pro

provozování modelů

záznam údajů o výrobě

komunikaci s obsluhou

Jádrem celého ASŘ KKO byl statický (příp. dynamický) model holandské firmy HTS

Hoogovens, pomocí kterého se prováděly následující výpočty

výpočet vsázky a dávkování přísad,

výpočet režimu hlavního dmýchání (množství kyslíku, intenzita dmýchání, polohování

trysky),

dynamický výpočet (u taveb v dynamickém režimu),

výpočet 2. dmýchání/dofuku,

aposteriorní výpočet (dolaďování modelu).

Mezi významná období provozování ASŘ KKO patří období od 3. čtvrtletí 1987 do poloviny

roku 1989, kdy se provozně využíval dynamický režim vedení tavby.

Ten spočíval v tom, že v průběhu hlavního dmýchání se automaticky provádělo měření

sublancí, ze kterého se využívaly údaje o teplotě lázně, solidifikační teplotě a výšce lázně

v konvertoru. Pomocí tohoto modelu se aktualizovaly podmínky pro dokončení hlavního

dmýchání tak, aby byly dosaženy cílové parametry tavby - zejména teplota oceli a obsah

uhlíku v oceli. Po stránce ASŘ byl tento režim zabezpečen na vysoké technické úrovni.

Hlavní příčinou ukončení provozování dynamického režimu a návrat ke klasickému režimu

vedení tavby s přerušením bylo nedostatečné odfosfoření oceli v závěrečné fázi dmýchání a

tím i značný počet dofuků z důvodu vysokého obsahu fosforu.

O obnově ASŘ KKO se začalo uvažovat již počátkem 90. let, kdy byla technicko-ekonomické

radě podniku předložena studie na obnovu ASŘ KKO, která byla posléze schválena. V této

studii se předpokládalo realizovat obnovu ve dvou etapách – nejdříve modernizovat ZŘÚ a

pak NŘÚ.

Page 96: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertory

89

V rámci přípravy obnovy NŘÚ se připravovala i obnova stávajícího statického a

dynamického modelu, který je jádrem NŘÚ. S ohledem na možnost nedostatku surového

železa pro KKO, např. během opravy VP, byl pro technologické výpočty zvolen model

americké firmy ZapTech, který umožňuje, spolu s odpovídající technologií, výrazně zvýšit

průsadu šrotu (snížit spotřebu surového železa) než dosavadní model. Mimoto nová

technologie umožňovala vlastní výrobu přísad do konvertoru (aglomerátů) s využitím

odpadových materiálů a náhradu dosavadních standardně používaných přísad (dolomitické

vápno, ruda) těmito aglomeráty.

Nový model byl zakomponován do budované NŘÚ na počítači ALPHA a v únoru 1999

předán do plného provozního využívání.

V současné době je výpočet vsázky možno realizovat v několika režimech. Základním

způsobem výpočtu vsázky je výpočet s proměnlivým množstvím šrotu a surového železa, se

strategií maximalizace průsady šrotu. Maximální množství šrotu na tavbu lze přitom

parametricky omezit (podle fy Zaptech je množství s.ž. ve vsázce dáno jeho dostupnosti,

pokud je, tak se zvyšuje jeho podíl, pokud není, lze pracovat s vyšší průsadou šrotu a vyšší

průsadou koksu do vsázky).

Hlavní rysy výpočtu vsázky KK

Množství koksu do vsázky model napočítává s využitím bilance síry do výše

přednastaveného množství (koks je zdrojem nežádoucí síry).

Cílový obsah C, na který je prováděn výpočet vsázky je dán požadovaným obsahem P

(při vyšších požadovaných obsazích fosforu lze ukončit dmýchání při vyšších obsazích

uhlíku, kritériem ukončení je 4

V závislosti na požadované teplotě a obsahu P model napočítává tavbu na cílové

parametry nebo na parametry v bodě přerušení.

V závislosti na obsahu Si v surovém železe, množství koksu na tavbu a hodnocení

vnitřního tvaru konvertoru model určuje samostatně režimy dávkování přísad a kyslíkové

režimy.

V případě, že dosažený obsah C po sfoukání tavby se odlišuje od vypočteného, model

provádí zpětný přepočet, kdy s přihlédnutím ke skutečným vsázkovým poměrům vypočítává

parametry oceli (teplota, obsah P, obsah S) na dosažený obsah C. Tato praxe umožňuje přesně

posoudit, nakolik vypočtené hodnoty souhlasí se skutečně dosaženými.

Na základě dosažených parametrů po sfoukání tavby a skutečně přidaných vsázkových

materiálů provádí model zpětný propočet tavby a automaticky koriguje vnitřní proměnné

mající vliv na výpočet vsázky a množství foukaného kyslíku. Struktura modelu umožňuje

definovat volitelné parametry individuálně pro jednotlivé konvertory. Pro simulaci výpočtů je

k dispozici fiktivní třetí konvertor.

Poznámka:

Page 97: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertory

90

Základní provozní údaje

Hmotnost tavby : 180-195 t

Množství nadmýchaného kyslíku: cca 50 m3/t (tj. 9000 m

3/tavbu)

– z bilance vychází 4,96 m3/100 kg

Intenzita dmýchání: 550 m3/minutu z toho doba dmýchání cca 16 minut

Moderní EOP (KES,CONARC) využívají již obdobných množství kyslíku na 1 t!!

Hardware systému

Jádrem nového systému je počítač ALPHA 4100 s operačním systémem Open VMS. Počítač

je dvouprocesorový (2xCPU 400 MHz) s operační pamětí 2x512 MB, systémovým diskem

2 GB a diskovým polem s využitelnou diskovou kapacitou 10 GB. Počítač je napojen na

podnikovou počítačovou síť vysokorychlostní počítačovou kartou FDDI (rychlost

100 Mbit/s).

Počítač je víceuživatelský, tzn., že je schopen současně obsloužit požadavky několika desítek

uživatelů, a víceprogramový, tzn., že je schopen současně provozovat několik desítek

programů, které nepotřebují zásah člověka. Systémové programové vybavení (operační

systém, komunikační programy, překladače programovacích jazyků a další) je produktem

firmy DEC. Mimoto byl použit moderní prostředek pro práci s informacemi – relační

databáze typu SQL – Oracle Rdb. Pro tvorbu systémových procedur byl použit programovací

jazyk C++.

Inovace kyslíkového konvertorového procesu TŽ, a.s.

Zvyšování průsady šrotu

Zvyšování průsady šrotu v kyslíkových konvertorech při klesající spotřebě tekutého surového

železa je jedním ze základních způsobů snižování nákladů při výrobě oceli v kyslíkových

konvertorech. Tato skutečnost vyplývá z velkého rozdílu mezi cenou tekutého surového

železa a cenou šrotové vsázky.

Ke zvyšování průsady šrotu byl již v minulosti používán koks do vsázky

– asi 2000 kg/tavbu. V současné době je jeho maximální množství na úrovni

4000 kg/tavbu.

Dalším výrazným zdroje zvyšování průsady šrotu je předehřev šrotu. K předehřevu je

používáno uhlí a kyslík. Je ohřívána pouze část šrotové vsázky, tj., první sázené

koryto. S využitím předehřevu je v obdobích souběžného provozování konvertorů

vyráběno více než 80 % taveb.

Průsada šrotu se obecně zvyšuje se snižujícím se obsahem S v surovém železe a

stoupajícím požadovaným obsahem S na konci dmýchání.

V podmínkách KKO se podíl šrotu ve vsázce pohybuje v rozmezí 15 až 35 % (průměr

cca 28 %). Nevýhodou zvýšeného prosazování šrotu je negativní vliv na dosahovanou

předváhu, která se zvyšuje z cca 1060 na 1150 kg/1t oceli (tzn. výtěžek oceli klesá z

Page 98: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertory

91

0,94 na 0,87). Zejména silný vliv v této oblasti mají méně kvalitní druhy šrotu.

Spotřeba tekutého surového železa klesla z 820 kg/1t oceli na cca 800 kg/1t oceli.

Zvyšování obsahu MgO v konvertorových struskách

Zvyšování obsahu MgO v konvertorových struskách je jedním z prostředků zvyšování

životnosti vyzdívek konvertorů. Ke zvyšování obsahu MgO bylo původně používané vápno se

zvýšeným obsahem MgO 30 – 33 %. Od roku 1999 je jako zdroj MgO ve strusce používán

ocelárenský aglomerát. Obsah MgO ve strusce je proto proměnlivý v závislosti na obsahu

celkového železa ve strusce, bazicitě strusky, teplotě oceli a požadovaném obsahu P a S na

konci dmýchání.

Obsah MgO se pohybuje v rozmezí 5 – 15 % (průměrně 9 – 10 %).

Struskování vyzdívky

Struskování vyzdívky je operace, v průběhu níž dochází k nanášení na vyzdívku konvertorové

strusky s vysokým obsahem MgO. Nanesená struska vytváří na vyzdívce garnisáž, která

částečně chrání vyzdívku v průběhu následující tavby. Podmínkou použití struskování je

struska obsahující zvýšený obsah MgO, která je následně ještě dále upravována přísadou

uhličitanů a uhlíku. Úspěšnost struskování závisí na získání optimální hustoty strusky.

Samotné struskování probíhá tak, že konvertor je několikrát naklápěn na odpichovou a sázecí

stranu. Doposud nejvyšší životnosti vyzdívky bylo dosaženo v 254 kampani – 2401 taveb.

Ocelárenský aglomerát

Ocelárenský aglomerát s obsahem MgO asi 20 % není využíván jako ředidlo strusky, nýbrž

jako základní složka nahrazující vápno s vysokým obsahem MgO. Při výrobě aglomerátu je

používána celá řada odpadních produktů, což výrazně snižuje výrobní náklady.

Shrnutí pojmů kapitoly

Řídicí úrovně: základní, nadřazená.

Výpočet vsázky KK, zvyšování průsady šrotu, konvertorové strusky, struskování

vyzdívky, ocelárenský agregát.

Otázky k probranému učivu

9.1 K čemu slouží základní a k čemu nadřazená řídicí úroveň?

9.2 Jaké jsou možné cesty inovace kyslíkového konvertorového procesu?

Page 99: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

92

10 Numerické modelování

Čas ke studiu: 2 hodiny

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

definovat analytický a statistický matematický model.

popsat základní přístupy k řešení matematického modelu proudění

skutečných tekutin.

stručně charakterizovat problematiku turbulentního proudění.

definovat modely turbulence.

popsat princip řešení matematických modelů a diskretizační techniky.

Výklad

Matematická podstata numerického modelování

Numerické modelování mnoha fyzikálních přenosových jevů v tekutině, tj. přenosu hmoty,

hybnosti (momentu), tepla, příměsí atd., je úzce spojeno s modelováním určité formy pohybu

matematickými prostředky – obvykle soustavou algebraických nebo diferenciálních rovnic –

matematický model.

Podle toho, zda mají modelové rovnice empirický charakter nebo jsou odvozeny z přírodních

zákonitostí, odvozujeme matematické modely statistické (experimentálně-statistické) a

analytické (odvozené na základě přírodních zákonitostí).

Analytický model

Podmínkou sestavení analytického modelu je znalost vnitřní struktury systému, tzn. znalost

přírodních zákonitostí probíhajících procesů a konstrukce zařízení, ve kterých procesy

probíhají.

Statistický model

Statistické modely jsou odvozeny z měření na reálných zařízeních a popisují chování systému

soustavou rovnic co nejjednoduššího tvaru (aniž se přihlédne k fyzikálně chemickým nebo

jiným zákonitostem, které v systému působí).

Page 100: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

93

Při matematickém modelování má tedy model, na rozdíl od fyzikálního modelování, jinou

fyzikální podstatu než dílo.

Tab. 10.1 Výhody a nevýhody statistického a analytického model

Porovnání Statistické modely Modely odvozené z přírodních zákonů

Přednosti

Jednoduchý tvar

Parametry se snadno určují

Lze použít statistické

plánování pokusů

Snadná statistická analýza

chyb

Jednoduchá optimalizace

Reprodukování skutečných zákonitostí

Je možno extrapolovat

Parametry mají fyzikální smysl, často

je lze získat z nezávislých měření nebo

tabulek

Většinou malý počet parametrů

Nedostatky

Parametry nemají fyzikální

význam

Parametry nelze určit

nezávisle

Není možno extrapolovat

buď vůbec, nebo omezeně

Rovnice jsou většinou složité,

nelineární

Regresní výpočty a analýza chyb je

obtížná nebo není možná

Optimalizace je složitá

Obor

použití

Složité systémy, jejichž dílčí

pochody jsou zčásti neznámé

Vystižení chování systémů

v úzké oblasti (např. blízko

optima)

Jednoduché systémy, všechny dílčí

pochody lze vystihnout

Vystižení chování v širší oblasti

Proudění skutečných kapalin

Matematický model proudění skutečných kapalin

Výchozí rovnice, které popisují proudění skutečných kapalin, jsou vyjádřením základních

fyzikálních zákonů zachování hmoty, hybnosti a energie. Všechny rovnice lze formálně

vyjádřit zápisem

(10.1)

kde je proměnná a členy na pravé straně jsou postupně konvektivní, difúzní a zdrojový

člen, proto se nazývá také konvekčně-difúzní rovnice.

Proudění skutečných tekutin je ovlivněno vnitřním třením, které způsobuje, že se rychlost v

příčném řezu proudu mění.

Page 101: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

94

Nulovou rychlost mají částice proudu, které jsou u stěny kanálu nebo potrubí, kdežto směrem

dovnitř proudu se rychlost zvětšuje, až v ose proudu dosáhne maximální hodnoty.

Na proudění skutečné tekutiny mají vliv především síly setrvačné Fs a síly tření Ft, takže

kritérium fyzikální podobnosti proudění je dáno poměrem těchto sil, tedy

(10.2)

Z uvedeného poměru setrvačných a třecích sil plyne známé Reynoldsovo kritérium Re , které

tak má určující význam pro stanovení základních druhů proudění zejména v potrubích.

Pro proudění v otevřených kanálech a korytech lze pak obdobným způsobem odvodit

kritérium Froudeho, jakožto vyjádření poměru sil setrvačných a tíhových.

Obecně rozeznáváme laminární proudění a turbulentní proudění. V případě jednorozměrného

proudění v potrubí tvoří hranici experimentálně určené kritické Reynoldsovo číslo Re,

definované vztahem

(10.3)

kde s je střední rychlost v potrubí, m.s-1

d - jeho průměr, m

v - kinematická viskozita, m2.s

-1

Kritická hodnota Rekrit pro potrubí kruhového průřezu je 2320.

Re ≤ Rekrit - v potrubí se vyvine uspořádané laminární proudění, pohyb se děje ve

vrstvách a částice tekutiny se nepohybují napříč průřezem.

Re ≥ Rekrit - proudění přechází v turbulentní.

2320 < Re < 4000 přechodová oblast

Při vyšších Reynoldsových číslech částice tekutiny konají neuspořádaný pohyb všemi

možnými směry. Tento pohyb je nepravidelný, náhodný a připomíná pohyb molekul plynu,

ale na rozdíl od molekul se částice tekutiny mohou rozpadat a ztrácet tak svou identitu.

Pohyb částic kolmo ke stěně zvyšuje tok hybnosti ke stěně, a proto je pokles tlaku ve směru

proudění mnohem větší než u laminárního proudění. Následkem promíchávání tekutiny jsou

rozdíly rychlosti na různých místech průřezu mnohem menší než u laminárního proudění

mimo oblast poblíž stěny.

Page 102: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

95

U turbulentního proudění bylo na základě experimentálních měření zjištěno, že na stěnách

potrubí nebo obtékaného tělesa vzniká vrstva kapaliny s laminárním pohybem, tzv. laminární

podvrstva, jejíž tloušťka je několik desetin milimetrů.

Těsně za laminární podvrstvou je přechodová vrstva mezi laminární podvrstvou a

turbulentním jádrem, které tvoří další oblast turbulentního proudu. Laminární podvrstva a

přechodová vrstva tvoří turbulentní mezní vrstvu.

Na následujícím obrázku je znázorněna mezní vrstva při obtékání desky.

Obr. 10.1 Mezní vrstva při obtékání desky.

V přední části je mezní vrstva laminární, v zadní turbulentní, mezi nimi přechodová oblast.

Okamžitá hranice turbulentní mezní vrstvy - plná nepravidelná křivka - se s časem mění.

Střední tloušťka turbulentní mezní vrstvy je zakreslena čárkovaně.

Kritérium pro stanovení přechodu laminární mezní vrstvy na turbulentní je opět kritické

Reynoldsovo číslo, jehož hodnota se mění se stupněm turbulence proudu. Zpravidla se udává

(10.4)

kde xk je vzdálenost od náběžné hrany, ve které laminární mezní vrstva přechází do

turbulentní.

Je vidět, že stanovení typu proudění není zcela jednoduché a jednoznačné a záleží na

zkušenostech řešitele.

Page 103: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

96

Tab. 10.2 Vybrané příklady typických hodnot Reynoldsova čísla.

Látka Re

Tok krve v mozku 1 x 102

Tok krve v aortě 1 x 103

Plavoucí člověk ve vodě 4 x 106

Letadlo 1 x 107

Plejtvák obrovský 3 x 108

Velká loď (Queen Elizabeth) 5 x 109

Navier -Stokesovy rovnice a rovnice kontinuity

Navier-Stokesovy rovnice spolu s rovnicí kontinuity popisují oba režimy proudění. V případě

nestacionárního nestlačitelného izotermního proudění mají následující tvar:

Rovnice kontinuity:

0

z

w

y

v

x

u (10.5)

Rovnice Navier-Stokesovy:

xf

z

u

y

u

x

uv

x

p

z

uw

v

uv

x

uu

t

u

2

2

2

2

2

21

yf

z

v

y

v

x

vv

y

p

z

vw

v

vv

x

vu

t

v

2

2

2

2

2

21

zf

z

w

y

w

x

wv

z

p

z

ww

v

wv

x

wu

t

w

2

2

2

2

2

21

(10.6)

kde x,y,z jsou souřadnice, 1

u,v,w - složky rychlosti, 1

p - tlak, Pa

f - složky vnější objemové síly, 1

Page 104: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

97

Máme tedy čtyři rovnice pro čtyři neznámé, a protože tyto rovnice platí pro laminární i

turbulentní proudění, zdá se tím být problém identifikace tvaru proudění vyřešen.

Nicméně Navier-Stokesovy rovnice jsou obtížně řešitelné (pro svou nelinearitu) a pro většinu

aplikací jsou nezbytná zjednodušená numerická řešení.

Navíc turbulentní proudění, které je charakteristické kolísáním tlaku a rychlosti dokonce i u

stacionárního proudění, nemůže být na základě samotných Navier-Stokesových rovnic řešeno,

protože časová a prostorová stupnice turbulentních fluktuací je nad rámec možností řešení

pomocí numerických metod.

Na následujícím obrázku je vidět proměnné popisující turbulentní proudění vykazující

fluktuace jak v prostoru, tak v čase:

Obr. 10.2 Fluktuace proměnných popisujících turbulentní proudění

Přesto, že je turbulence náhodný proces, řada studií prokazuje, že lze u turbulentního proudění

zaznamenat sestavu prostorových struktur, které se obvykle nazývají tzv. „eddies“, nebo-li

turbulentní víry - viz obr. 10.3.

Obr. 10.3 Turbulentní vírová cesta generovaná obtékáním překážky

Page 105: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

98

Turbulentní víry jsou charakterizovány délkovým měřítkem l (m), rychlostním měřítkem v

(m.s-1

) a rovněž tekutina, ve které dochází k turbulenci, má své molekulární vlastnosti, jako je

kinematická viskozita (m2.s

-1).

Poměr uvedených parametrů opět vede k sestavení známého Reynoldsova čísla. Provedeme-li

jeho úpravu, lze získat poměr časových měřítek

(10.7)

kde Tt označuje časové měřítko přenosu turbulentních vírů o délce l a Tv označuje časové

měřítko molekulární difúze.

Modifikací souborů rovnic pomocí časového zprůměrování těchto turbulentních vírů či

úplnou eliminací zanedbatelných fluktuací lze výpočet významně usnadnit.

Nicméně modifikované rovnice obsahují další neznámé proměnné, které lze stanovit

zavedením přídavných rovnic a empirických vztahů, jež společně s pohybovými rovnicemi

tvoří řešitelný systém, tzv. model turbulence.

Modely turbulence

Modely turbulence lze rozdělit do několika skupin podle:

charakteru proudění

metody sestavení matematického turbulentního modelu

přímá metoda DNS –The Direct Numerical Simulation Method,

metoda časového středování veličin turbulentního proudění RANS –

The Reynolds-averaged Navier-Stokes Method,

metoda velkých vírů LES – The Large Eddy Simulation Method, kdy jsou

filtrovány malé víry turbulentního proudění pomocí subgridních modelů.

z hlediska modelování turbulentní viskozity (Boussinesquova hypotéza) v proudovém

poli lze rozdělit modely turbulence do tří skupin nazvaných obvykle podle počtu doplňujících

diferenciálních rovnic, a to na:

nularovnicové modely (algebraické)

jednorovnicové modely

dvourovnicové modely

Page 106: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

99

Matematické modely proudění vycházející ze základního rozdělení dle

charakteru proudění a způsobu metody jejich sestavení

Matematické modely proudění

Neviskózní proudění

DNS – Přímá simulace

Laminární proudění

DNS – Přímá simulace

Turbulentní proudění

DNS – Přímá simulace LES – Metoda velkých vírůRANS – Metoda časového

středování turbulentních veličin

Smagorinského model RNG modelBoussinesquova

hypotézaRSM model

Nularovnicový model Jednorovnicový model Dvourovnicový model

k-ε modely

Model směšovací délky Spalart-Allmaras model

k-ω modely

SST k-ω modelStandardní k-ω modelStandardní k-ε model RNG k-ε modelRealizovatelný

k-ε modely

Matematické modely proudění

Neviskózní proudění

DNS – Přímá simulace

Laminární proudění

DNS – Přímá simulace

Turbulentní proudění

DNS – Přímá simulace LES – Metoda velkých vírůRANS – Metoda časového

středování turbulentních veličin

Smagorinského model RNG modelBoussinesquova

hypotézaRSM model

Nularovnicový model Jednorovnicový model Dvourovnicový model

k-ε modely

Model směšovací délky Spalart-Allmaras model

k-ω modely

SST k-ω modelStandardní k-ω modelStandardní k-ε model RNG k-ε modelRealizovatelný

k-ε modely

Obr. 10.4 Členění matematických modelů používaných k numerickému modelování proudění

Metody sestavení modelů turbulence

Metoda DNS (Direct Numerical Simulation)

Použití pouze za určitých omezujících předpokladů

Vysoké nároky na kapacitu počítače z důvodu jemné výpočetní sítě

Počet uzlových bodů sítě prudce narůstá s rostoucím Re číslem

Metoda LES (Large Eddy Simulation)

Modelování velkých vírů, které lze zachytit sítí

Malé víry parametrizovány subgridními modely a odstraněny filtrací turbulentního

pole

Metoda RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes equations)

Metoda časového středování veličin turbulentního proudění a následně bilančních

rovnic

Page 107: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

100

Obr. 10.5 Schématický rozdíl mezi DNS, LES a RANS metodou modelování turbulence

Nularovnicové modely turbulence

užívají jen parciálních diferenciálních rovnic pro výpočet hlavních turbulentních polí

neobsahují žádné diferenciální rovnice postihující transport turbulence

modely uvádějí do spojitosti turbulentní smykové napětí k určujícím podmínkám

proudění v každém bodě

Nedostatek - předpoklad lokální rovnováhy, tj. produkce turbulentní kinetické energie

je rovna rychlosti její disipace

Např. model směšovací délky

Jednorovnicové modely turbulence

postihují transport turbulentních parametrů diferenciální transportní rovnicí

vztah mezi turbulentní viskozitou a turbulentní kinetickou energií je doplněn

délkovým měřítkem

Např. model Spalarta-Allmarase

Dvourovnicové modely turbulence

nejjednodušší „kompletní“ modely turbulence

Page 108: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

101

umožňují nezávisle řešit dvě samostatné rovnice – turbulentní viskozity a turbulentní

kinetické energie

Např. standardní k-ε model (nejčastěji užívaný při modelování proudění v

průmyslových aplikacích)

Numerické metody

Princip řešení diferenciálních rovnic proudění:

pokrytí geometrie řešené oblasti sítí

hledání diskrétního řešení v těchto dostatečně malých podoblastech základní

geometrie pomocí systému tzv. diferenčních (algebraických) rovnic.

rozdíl mezi řešeními diferenciálních a diferenčních rovnic je definován jako

diskretizační chyba e

Diskretizace – náhrada spojitého prostředí (kontinua) systémem diskrétních bodů, ve kterých

se soustředí fyzikální parametry popisující stav nebo vlastnosti příslušného místa kontinua.

Typy výpočetních sítí

Obr. 10.6 Typy strukturované sítě pro jednorozměrné, dvourozměrné a trojrozměrné oblasti.

Page 109: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

102

Síť aplikovaná na geometrii řešené oblasti může být:

strukturovaná - vytvoření diskrétních nepřekrývajících se elementů, kdy hranice prvků

sousedí s jedinou hranicí sousedního elementu a síť tedy nelze libovolně zhušťovat.

nestrukturovaná - je využívána především dále uváděnou numerickou metodou

konečných prvků.

Obr. 10.7 Ukázka nestrukturované sítě.

Oba typy sítí lze konstruovat jak v kartézském pravoúhlém systému (výsledná oblast má tvar

obdélníku nebo kvádru), tak v systému křivočarém (vhodný pro oblasti ohraničené křivkami,

kružnicemi a podobně).

Obr. 10.8 Rozdíl mezi základním tvarem buňky vykresleným v kartézském systému a

křivočarém.

Praktická ukázka sítí je znázorněna na obr. 10.9, kde:

a) Pro jednodušší geometrie, quad/hex sítě poskytují meshes vysokou přesnost řešení s nižším

počtem buněk v porovnání s tri/tet sítí.

b) Pro komplexní geometrie, quad/hex sítě nemají numerické výhody, tri/tet sítě šetří čas při

tvorbě.

c) Trojúhelníková výpočetní síť pro odstředivé čerpadlo.

d) Hybridní síť pro válec s ventilem.

Page 110: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

103

Obr. 10.9 Praktické příklady různých typů sítí.

Diskretizační techniky:

Metoda konečných diferencí

Metoda konečných objemů

Metoda konečných prvků

Metoda konečných diferencí

diskretizuje přímo diferenciální rovnici, přičemž postup řešení lze popsat následovně:

řešená oblast se pokryje sítí o konečném počtu nepřekrývajících se elementů,

v uzlových bodech jsou derivace nahrazeny diferencemi,

diferenciální rovnice jsou dále upraveny na soustavu algebraických rovnic,

následuje numerické řešení soustavy rovnic iterací,

Nedostatek – aplikace pouze na strukturované sítě.

Page 111: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

104

Metoda konečných objemů

numerická metoda pro řešení parciálních diferenciálních rovnic, která počítá průměrné

hodnoty proměnných napříč objemem buňky a diskretizuje přímo integrální rovnici. Princip

spočívá v:

dělení oblasti na diskrétní objemy užitím obecné křivočaré sítě,

bilancování neznámých veličin v individuálních konečných objemech a diskretizaci,

numerické řešení diskretizovaných rovnic v obecném tvaru,

Výhoda – použití pro jakýkoliv typ sítě.

a) b)

Obr. 10.10 Ukázka konečného označení konečných objemů (a) a způsob bilancování

počítaných veličin v těchto individuálních konečných objemech (b).

Metoda konečných prvků

používána pro nalezení aproximovaného řešení parciálních diferenciálních i integrálních

rovnic. Postup řešení je založen na:

triangulaci vyšetřovaného tělesa,

násobení diferenciální rovnice bázovými funkcemi - převedení na řešení soustavy

lineárních (popř. nelineárních) algebraických rovnic,

integrace přes konečné elementy,

vhodná volba pro řešení parciálních diferenciálních rovnic na složitých oblastech

(jakými jsou např. automobily či potrubní rozvody).

Page 112: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování

105

Obr. 10.11 Ukázka způsobu triangulace vyšetřovaného tělesa při použití metody

konečných prvků.

Shrnutí pojmů kapitoly

Matematické (numerické) modelování.

Matematický model: analytický nebo statistický.

Matematický model proudění skutečných kapalin; Kritické Re.

Turbulentní proudění: mezní vrstva, víry, modely turbulence.

Diskretizační techniky numerických metod – konečné: diference, objemy, prvky.

Otázky k probranému učivu

10.1 Vysvětlete princip numerického modelování.

10.2 Definujte analytický a statistický matematický model.

10.3 Jaké jsou výhody a nevýhody analytického a statistického matematického modelu.

10.4 Z jakých rovnic vychází matematické modely proudění skutečných kapalin?

10.5 Jaké typy proudění (na základě Rekrit) znáte?

10.6 Jaké metody stanovení modelů turbulence znáte?

10.7 Jaké diskretizační techniky využívané při numerickém modelování znáte?

Page 113: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

106

11 Numerické modelování – CFD programy

Čas ke studiu: 2 hodiny

Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

definovat CFD programové systémy.

porovnat výhody a nevýhody numerického modelování vs. fyzikální

modelování a provozní experiment.

popsat jednotlivé fáze numerického modelování.

Výklad

Programové systémy CFD

CFD (Computational Fluid Dynamics – Výpočetní dynamika kapalin) je nástroj využívající

počítače k simulacím chování systémů, které zahrnuje proudění tekutin, sdílení tepla a jiné

doplňující procesy. Je založena na řešení rovnic mechaniky tekutin ve výpočtové oblasti se

specifikovanými okrajovými, respektive počátečními podmínkami. SolidWorks.

CFD jak se často tato výpočetní metoda označuje, umožňuje pomocí matematických

zákonitostí obecně modelovat proudění tekutin. Tedy můžete vytvořit virtuální model zařízení

či procesu a sledovat vývoj proudění v takto namodelovaném prostředí. Lze tedy snadno

odhadnout chování média nebo tvarově optimalizovat součást.

a) b)

Obr. 11.1 Srovnání reálného charakteru proudění (a) s numerickou simulací (b).

Page 114: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

107

CFD nabízí vědeckým pracovníkům možnost využití „virtuální laboratoře“ pro získání

porovnání s výsledky získanými měřením na reálném systému či z fyzikálního modelování.

Výhodou použití CFD programů je možnost simulovat a verifikovat procesy složitě (obtížně)

řešitelné v reálných podmínkách, možnost měnit geometrii zkoumané oblasti, okrajové či

fyzikální parametry. Při numerickém modelování je rovněž vyloučeno riziko ohrožení zdraví

při provádění experimentů doprovázených extrémními teplotami, radiací a podobně.

Tab. 11.1 Porovnání výhod a nevýhod numerického modelování vs. fyzikální modelování a

provozní experiment.

Numerické modelování Fyzikální modelování Měření na reálném

systému

Výhody:

Libovolná změna geometrie

Možnost změny okrajových a

fyzikálních parametrů

Možnost vizualizace proudových

polí v řezech geometrie

Nevýhody:

Výsledky závislé na volbě

matematického modelu, definici

okrajových a fyzikálních podmínek

(ne vždy jsou dostupné)

Získání výsledků, které je nutné

ověřit na reálném systému

Časově náročné, vysoké nároky na

kvalitu vstupních parametrů a

správnou interpretaci výsledků

Výhody:

Simulace na zmenšeném

modelu reálného systému

Relativně rychlé ověření

chování reálného systému

Nevýhody:

Nároky na prostorové

možnosti konstrukce

modelové aparatury

Omezené použití z důvodů

extrémních reálných

okrajových podmínek

Obdržené výsledky je nutno

ověřit na reálném systému,

případně numerickým

modelování

Výhody:

Získání přesných

výsledků o chování

systému

Nevýhody:

Finančně a časově

náročné

Nelze provést měření

náročných reálných

procesů (teploty,

radiace)

Mezi nejznámější a nejpropracovanější CFD programy patří ANSYS FLUENT, FIDAP,

POLYFLOW, FloWizard aj.

Postup numerické simulace v CFD programu ANSYS FLUENT

ANSYS FLUENT je program, který umožňuje řešit nejrůznější úlohy z oblasti proudění,

přenosu tepla a spalování.

Page 115: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

108

Speciální matematické modely softwaru umožňují modelovat multifyzikální úlohy z oblasti

metalurgie, energetiky, leteckého a automobilového průmyslu, procesního inženýrství atd.

Postup celého modelování je vždy rozdělen minimálně do tří fází. První zahrnuje

Preprocessing tzn. přípravu modelu (geometrie, fyzikální, materiálový model, okrajové

počáteční podmínky, definice fyzikální podstaty úlohy, časově závislé úlohy atd.), druhá

samotný výpočet - Solving a poslední pak Postprocessing – zpracování a zobrazení výsledků.

Pre-processing (přípravná fáze):

Definice cílů

Vymezení modelované oblasti

Tvorba geometrie mezipánve

Generace výpočetní sítě

Specifikace vstupů, výstupů a stěn modelované oblasti

Import výpočtové oblasti do CFD programu

Volba fyzikálního modelu

Specifikace fyzikálních vlastností proudícího média

Specifikace okrajových podmínek

Processing-Solving (fáze řešení): vlastní numerické řešení

Post-processing (analytická fáze):

vizualizace výpočtové oblasti a sítě

tvorba vektorových obrázků

vizualizace skalárních veličin

tvorba grafů

kvalitativní numerické výpočty

tvorba animací

Preprocessing – tvorba geometrie a generace výpočetní sítě

Zahájení numerické simulace proudění je podmíněno popisem geometrie řešené oblasti a

vytvořením diskrétních nepřekrývajících se elementů, konečných objemů.

Geometrická data vytvořená v CAD systémech (CAD, CATIA, I-DEAS,

Pro/ENGINEERING) jsou do simulačních programů či externích preprocesorů vkládána

transportem. Současná normovaná rozhraní mezi CAD a simulačním programem jsou typu

IGES, DXF, VDA-FS, STEP, STL

Page 116: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

109

Obr. 11.2 Ukázka geometrie mezipánve vytvořené v prostředí CAD softwaru CATIA V5

Pro geometricky složité výpočtové oblasti je nutné pro tvorbu geometrie a sítě použít externí

preprocesor např. GEOMESH, TGrid či GAMBIT aj.

Obr. 11.3 Ukázka tvorby geometrie a sítě v prostředí preprocesoru GAMBIT postupným

zadáváním bodů, spojováním těchto bodů v úsečky, úseček v plochy a plochy v objemy.

Page 117: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

110

Obr. 11.4 Ukázka geometrie mezipánve vytvořené v prostředí preprocesoru GAMBIT

Generování nestrukturované výpočetní sítě, tzn. vytvoření diskrétních nepřekrývajících se

elementů, konečných objemů je prováděno postupně pro úsečky, plochy a objem.

V kritických místech geometrie jako např. v okolí výtokových uzlů, výlevek, koutů je vhodné

provést zjemnění sítě – viz obr. 11.5.

Velmi důležitým krokem uskutečněným v preprocesoru GAMBIT aj. je specifikace vstupů,

výstupů a stěn modelované oblasti z důvodu následného zadávání okrajových a operačních

parametrů v řešiči (např. ve FLUENTu).

Hotová výpočtová oblast je ukládána ve formátu *.msh a importem načítána v prostředí CFD

programu FLUENT.

Po importu geometrie a sítě zkoumaného systému do prostředí CFD programu FLUENT

může být zahájen výběr formulace řešení, výběr základních rovnic (rovnice proudění, rovnice

chemických reakcí, modely přenosu tepla), specifikace materiálových vlastností, okrajových

podmínek, úprava kontrolních parametrů řešení, inicializace polí proudění a proveden vlastní

výpočet řešení.

Page 118: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

111

Obr. 11.5 Pohled na výpočetní síť vygenerovanou na některých plochách mezipánve

pomocí preprocesoru GAMBIT 1.1.

Prostředí FLUENTu je založeno na zadávání jednotlivých parametrů buď výběrem z nabídky

roletového menu nebo přímo příkazem v zadávacím řádku.

Preprocessing –definice fyzikálního modelu, volba modelu turbulence

Po importu geometrie je potřeba v řešiči specifikovat charakter proudícího média:

laminární či turbulentní proudění,

stacionární či neustálené podmínky,

přenos tepla, vliv konvekce

stlačitelné či nestlačitelné medium,

aplikovatelnost dalších fyzikálních modelů

přenos stopovacích částic

radiace, solidifikace atd.

Od nastavené hodnoty operačního tlaku se odvozují hodnoty tlaku zadávané na okrajových

tlakových podmínkách.

Gravitační zrychlení, operační teplota a hustota jsou parametry nutné pro zahrnutí vlivu

přirozené konvekce.

Hustota může být definována v závislosti na teplotě.

Page 119: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

112

Obr. 11.6 Ukázka způsobu zadávání typu proudění a výběru modelu turbulence.

Obr. 11.7 Ukázka zadávání operačních podmínek v CFD programu FLUENT.

Page 120: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

113

Preprocessing – stanovení materiálových vlastností

Nezbytným předpokladem úspěšné simulace zkoumaného procesu je správná specifikace

materiálových vlastností proudícího média.

I přes dnešní širokou nabídku materiálových charakteristik různých chemických látek je velmi

obtížné definovat konkrétní fyzikální vlastnosti (např. pro různé jakosti ocelí, které jsou

zastoupeny značnou škálou kombinací chemického složení).

Materiálové vlastnosti proudícího média lze definovat:

Použitím nabídky databáze materiálu CFD programu FLUENTu

Parametry definovanými na základě literárních zdrojů

Odvozením fyzikálních vlastností pomocí IDS – SW finských autorů (Miettinen ad.)

Z fyzikálně-matematických tabulek

Laboratorním měřením

Fyzikální vlastnosti materiálů nemusejí být definovány jako konstantní veličiny, ale mohou

nabývat hodnot definovaných funkcí, tabulkou atd.

Obr. 11.8 Ukázka definování fyzikálních vlastností taveniny oceli

v prostředí CFD programu FLUENT.

Preprocessing–definice okrajových podmínek

Obdobně jako u materiálových vlastností nemusí okrajové podmínky představovat jen

konstantní veličiny, ale mohou nabývat opět hodnot definovaných funkcí, tabulkou atd.

Page 121: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

114

Výpočtovou oblast lze rovněž zjednodušit uplatněním podmínky symetrie či periodicky se

opakujícími podmínkami.

Obr. 11.9 Ukázka specifikace vstupních okrajových parametrů výpočtu.

Processing –Solving

K numerickému řešení rovnic definujících proudění tekutin lze v prostředí programu

FLUENT užít nejstarší diferenční metodu, či metodu konečných objemů nebo v poslední

době prosazovanou metodu konečných prvků.

Cílem výpočtu definované úlohy je dosažení konvergentního řešení. Mírou konvergence jsou

residuály (součet změn počítané veličiny v rovnici pro všechny buňky v oblasti), které jsou

vyhodnocovány pro všechny počítané veličiny v každém kroku iterace.

Obecně úloha dobře konverguje, jestliže se reziduály snižují řádově k hodnotě 1.10-3

a

entalpie k hodnotě 1.10-6

.

Kvalita výpočtu a jeho rychlost jsou ovlivňovány:

Nastaveným modelem turbulence

Kvalitou sítě, resp. její hustotou

Nastavením hodnot reziduálů počítaných veličin

Page 122: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

115

Nastavením relaxačních parametrů – relaxační parametry redukují změny počítané

proměnné v každé iteraci (iterace v matematice znamená proces opakovaného použití funkce).

Jsou-li změny residuálů velké během jedné iterace – nastavení malého relaxačního

faktoru – tlumí se nelinearita výpočtu.

Pokud se residuály počítané proměnné stávají konstantní – vhodné zvětšit hodnotu

relaxačního faktoru – urychlení výpočtu.

Řešení – stacionární

Výpočet může vyžadovat velký počet iterací, než je dosaženo konvergence.

Řešení je považováno za zkonvergované, jsou-li změny klíčových hodnot malé.

Sledování konvergence zahrnuje:

Residua, Bodové hodnoty, Integrální bilance toků (hmotnostním, tepelný, atd.),

Integrální síly (odpor, vztlak, atd.).

Řešení – nestacionární

Nestacionární řešení je řešeno pomocí mezi-iterací v přechodu do dalšího časového stavu.

V každém časovém kroku by mělo být dosaženo konvergence před přechodem do dalšího

časového stavu.

Výběr vhodné délky časového kroku, která řeší daný problém:

Určení hodnoty času T charakterizující daný děj,

Výběr časového kroku jako vhodného podílu char. času T, např.Δ t = T /100.

Přizpůsobení časového kroku, aby bylo dosaženo konvergence během 0 - 20 iterací.

Měnění časového kroku podle “intenzity” změn, např. v počátečním stadiu.

Postprocessing – vyhodnocení výsledků

Nedílnou a velice podstatnou fází numerického modelování je zpracování a správná

interpretace výsledků.

Numerickou simulací lze obdržet jak datové (např. přechodové charakteristiky změny

koncentrace), tak grafické (profily vektorů proudění, teplot, změny koncentrace atd.)

výsledky.

Page 123: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

116

Efektivním prostředkem znázornění profilů teplot, tlaků, charakteru proudění aj. je využití

animace, tj. promítnutí jednotlivých profilů jako spojitého procesu změny od výchozí až do

konečné hodnoty v čase.

a)

b)

Obr. 11.10 Ukázka zpracovaných datových výstupů simulace ve formě přechodové

charakteristiky změny koncentrace pro izotermické (a)

a neizotermické (b) proudění a hmotnost oceli 8 t.

Page 124: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

117

Obr. 11.11 Ukázka zobrazení vektorů rychlostí proudění lázně v m.s-1

pro 15 t hmotnosti

oceli v mezipánvi a za izotermických podmínek v horizontálním řezu 0,2 m

nad dnem a vertikálních podélných a příčných řezech.

Kvalita obdržených výsledků je dána použitou hustotou sítě, zvoleným charakterem proudění

tekutiny a modelem turbulence, volbou intenzity turbulence, zadanými okrajovými a

fyzikálními podmínkami atd. jak je možno vidět i z následujícího obrázku.

a)

b)

c)

Obr. 11.12 Grafické porovnání výsledných proudových polí obdržených při řešení proudění

pro stejnou geometrii oblasti ale za použití rozdílných modelů turbulence:

a) neviskózní model, b)laminární model, c) turbulentní model.

Page 125: MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE METALURGICKÝCH PROCESŮkatedry.fmmi.vsb.cz/Modin_Animace/Opory/02_Metalurgicke_inzenyrstvi/04... · reakční kinetika Základní pojmy ... (fyzikální

Numerické modelování – CFD programy

118

Příklady použití CFD programů

http://www.ansys.com/products/fluid-dynamics/examples.asp#/0

Shrnutí pojmů kapitoly

CFD programy; preprocessing: geometrie, výpočetní síť, definice fyzikálního

modelu; volba modelu turbulence; operační podmínky; materiálové vlastnosti; okrajové

podmínky.

Processing – solving: stacionární, nestacionární výpočet; konvergence řešení.

Postprocessing.

Otázky k probranému učivu

11.1 Co znamená zkratka CFD v numerickém modelování?

11.2 Uveďte příklady CFD programů.

11.3 Jaké fáze preprocessingu znáte?

11.4 Jaký způsob vlastního výpočtu (processingu) můžete zvolit ze dvou možných?

11.5 Pro zdárné ukončení výpočtu je důležité, aby úloha konvergovala nebo divergovala?

11.6 Uveďte možnosti preprocessingu, jakých textových a grafických výstupů lze využít pro

hodnocení výsledků numerické simulace?