Upload
lamthien
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Fakulta metalurgie a materiálového inženýrství
MODELOVÁNÍ A VIZUALIZACE
METALURGICKÝCH PROCESŮ studijní opora
Karel Michalek
Karel Gryc
Markéta Tkadlečková
Jan Morávka
Ostrava 2013
Recenzent: prof. Ing. Jiří Bažan, CSc.
Název: Modelování a vizualizace metalurgických procesů
Autor: prof. Ing. Karel Michalek, CSc., Ing. Karel Gryc, Ph.D., Ing. Markéta
Tkadlečková, Ph.D., Ing. Jan Morávka, Ph.D.
Vydání: první, 2013
Počet stran: 118
Studijní materiály pro studijní program Metalurgické inženýrství na Fakultě metalurgie a
materiálového inženýrství. Jazyková korektura: nebyla provedena.
Studijní opora vznikla v rámci projektu OP VK: Název: ModIn - Modulární inovace bakalářských a navazujících magisterských programů na
Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství VŠB - TU Ostrava
Číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0304
© Karel Michalek, Karel Gryc, Markéta Tkadlečková, Jan Morávka
© VŠB – Technická univerzita Ostrava
ISBN 978-80-248-3352-1
Pokyny ke studiu
1
POKYNY KE STUDIU
Modelování a vizualizace metalurgických procesů
Pro předmět Modelování a vizualizace metalurgických procesů jste obdrželi studijní balík
obsahující integrované skriptum pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu.
Prerekvizity
Tento předmět nemá žádné prerekvizity.
Cíle předmětu a výstupy z učení
Předat studentům širší teoretické a praktické znalosti z modelování procesů, jak fyzikálního
tak i numerického modelování s využitím komerčních CFD programů – konkrétně ASYS
FLUENT.
Po prostudování předmětu by měl student být schopen:
výstupy znalostí:
- student bude umět formulovat základní zákonitosti fyzikálního a numerického modelování
procesů,
- student bude umět popsat podobnost dějů, odvozování kritérií podobnosti a aplikaci
modelování v metalurgii výroby, zpracování a odlévání oceli,
- student bude umět charakterizovat význam, metody a využití metod modelování v technické
praxi.
výstupy dovedností:
- student bude umět využít svých znalostí k odvození relevantních kritérií podobnosti a
návrhu metodiky fyzikálního modelování nejen v oblasti metalurgie,
- student bude umět základy 3D modelování geometrie, generace výpočetní sítě a
numerického modelování v CFD programu ANSYS FLUENT.
POUHÉ nastudování této studijní opory bez využití povinné literatury nezaručuje
úspěšné absolvování předmětu!!!
Pokyny ke studiu
2
Pro koho je předmět určen
Předmět je zařazen do navazujícího magisterského studia oboru Moderní metalurgické
technologie studijního programu Metalurgické inženýrství (2. ročník), ale může jej studovat i
zájemce z kteréhokoliv jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity.
Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky,
ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit.
Některé kapitoly jsou děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná
struktura.
Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup:
Nejprve si prostudujte předkládanou látku, poté si zkuste sami formulovat jednotlivé termíny
shrnuté v sekci Shrnutí pojmů a odpověď na otázky v závěru každé kapitoly. Úkoly
k samostudiu jsou určeny pro procvičení nabytých znalostí a procvičení dovedností.
Způsob komunikace s vyučujícími:
V průběhu výuky bude potřeba vypracovat semestrální projekty z oblastí:
fyzikálního modelování metalurgických procesů,
řízení metalurgických procesů a
využití numerických simulací v metalurgii.
Rozsah a obsah semestrálních projektů určí vyučující.
Projekt bude kontrolován vyučujícím do 14 dnů po odevzdání a výsledky budou studentům
zaslány mailem prostřednictvím IS.
V rámci studia je možné využít individuálních konzultací s vyučujícím, a to vždy po písemné
dohodě emailem.
Kromě řádného zpracování semestrálních projektů je nutné úspěšně absolvovat zápočtový
test.
Vyučujícího lze kontaktovat na této adrese: [email protected], případně telefonicky na
čísle 59 732 5213 či osobně v kanceláři číslo A529 (zde nejlépe po předběžné dohodě
termínu).
Pokyny ke studiu
3
Rozsahu učiva s časovým plánem
V následující tabulce je uveden rozsah jednotlivých kapitol a časová náročnost k jejich
nastudování:
Kapitola
Číslo Název Počet stran
textu
Čas studia;
hod.
1. Úvod do fyzikálního modelování 14 1,5
2. Bezrozměrové parametry 13 2,5
3. Stanovení bezrozměrových parametrů metodou
podobnostní transformace základních rovnic 5 1
4. Přibližné fyzikální modelování 7 1,5
5. Experimentální podstata fyzikálního modelování 5 0,5
6. Základy teorie chemických reaktorů 10 2
7. Výběr vhodných matematických modelů pro popis
přechodových dějů 11 2,5
8. Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při
algoritmizaci metalurgických procesů 23 4,5
9. Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém
konvertoru 5 1
10. Numerické modelování 14 2
11. Numerické modelování – CFD programy 13 2
CELKEM 120 21
Z tabulky je patrné, že jednotlivé kapitoly se od sebe liší rozsahem i náročností. Jsou zde
kapitoly, které jsou méně náročné (1.; 3.; 5.; 9.). Většinu dalších kapitol lze označit jako
středně náročné. Kapitoly 7. a 8. pak lze označit za náročné, neboť přesahují stěžejní
zaměření studijního oboru Moderní metalurgické technologie tím, že začleňují do výuky
oblasti z matematické statistiky – tyto kapitoly byly vytvořeny především na základě
dlouholetých zkušeností Ing. Jana Morávky, Ph.D. s aplikací těchto metod v metalurgii.
Pokyny ke studiu
4
POVINNÁ LITERATURA
[1] Michalek, K.: Využití fyzikálního a numerického modelování pro optimalizaci
metalurgických procesů. VŠB-TU Ostrava, 2001, 125 s.
[2] Čarnogurská, M. : Základy matematického a fyzikálního modelovania v mechanike
tekutin a termodynamike. SF TU Košice, 2000, 176 s.
[3] Kozubková, M.: Modelování proudění - Fluent I., VŠB-TU Ostrava,
2008.(http://www.338.vsb.cz/PDF/Kozubkova-Fluent.pdf)
[4] Ilegbusi, O., J., Iguchi, M., Wahnsiedler, W.: Mathematical and Physical modeling of
Materials Processing Operation. 2000. ISBN 1-58488 017 1.
DOPORUČENÁ LITERATURA
[1] Kuneš, J., Vavroch, O., Franta, V. : Základy modelování. SNTL Praha, 1989, 263 s.
[2] Rédr, M., Příhoda, M.: Základy tepelné techniky. Praha, SNTL, 1991, 677 s.
[3] Cockcroft S.L., M. Maijer D.M.: Modeling of Casting, Welding, and Advanced
Solidification Processes XII. Vancouver, British Columbia, 2009, 728 p. ISBN 978-0-
87339-742-1.
[4] Mazumdar, D., Evans, J., W.: Modeling of Steelmaking Processes. CRC Press, 1 edition,
2009. 493 pages. ISBN-13: 978-1420062434.
POUŽITÁ LITERATURA
Michalek, K.: Využití fyzikálního a numerického modelování pro optimalizaci
metalurgických procesů. VŠB-TU Ostrava, 2001, 125 s.
Kozubková, M.: Modelování proudění - Fluent I., VŠB-TU Ostrava,
2008.(http://www.338.vsb.cz/PDF/Kozubkova-Fluent.pdf)
Kuneš, J., Vavroch, O., Franta, V. : Základy modelování. SNTL Praha, 1989, 263 s.
Rédr, M., Příhoda, M.: Základy tepelné techniky. Praha, SNTL, 1991, 677 s.
Vrožina, M., Jančíková, Z., David, J.: Identifikace systémů.
VŠB-TU Ostrava, 2007, 79 s.
Pokyny ke studiu
5
Čarnogurská, M.: Základy matematického a fyzikálního modelovania v mechanike
tekutin a termodynamike. SF TU Košice, 2000, 176 s.
Dobrovská, J.: Modelování procesů (matematické modelování). Teoretický základ pro
3.ročník magisterského studijního programu Procesní inženýrství. Leden 2004
Tošenovský, J., Noskievičová, D.: Statistické metody pro zlepšování jakosti. Ostrava:
Montanex, 2000, 362 s. ISBN 80-7225-040-X.
Tošenovský, J., Dudek, M.: Základy statistického zpracování dat. Ostrava: VŠB-TU
Ostrava, 2001, 82 s. ISBN 80-248-0006-3.
Maroš, B., Trávníček, T.: Plánování experimentu. In Sborník 5th International
Conference Aplimat 2006, Bratislava : Ústav matematiky FSI STU Bratislava. 20 s.
Maroš, B.: Co je to plánovaný experiment. Přednáška s prezentací na konferenci
Witness 2006 [online]. Čejkovice, 1-2.6.2006.
Dostupné z: www2.humusoft.cz/www/akce/witkonf06/prispevky/ppt/maros.ppt
Trávníček, T.: Plánovaný experiment. Přednáška na workshopu doktorandů 2006. Brno:
Ústav matematiky FSI VUT Brno, 4 s. Dostupné
z:math.fce.vutbr.cz/~pribyl/workshop_2006/prispevky/Travnicek.doc
Jarošová, E., Michálek, J.: Navrhování experimentů DOE. Přednáška v Konzultačním
středisku statistických metod při Národním informačním středisku pro podporu jakosti.
Praha : NIS-PJ Praha, 20.10.2005.
Dostupné z: www.npj.cz/tiskovy_servis/soubory/00000607.ppt
Hoja, J., Toczek, W.: Podstawy planowania eksperymentu. Studijní materiál Gdańské
politechniky. Gdańsk : KOSE ETI PG, 23 s. Dostupné
z:https://www.eti.pg.gda.pl/katedry/kose/dydaktyka/Metrologia_i_Technika_Eksperym
entu/planowanie_eksperymentu.pdf
Blecha, P., Vavřík, I.: Design of experiments (DOE) (statistické plánování měření pro
optimalizování výrobků a procesů). Studijní opora předmětu Jakost II – Řízení a
zabezpečování jakosti. Brno : FSI VUT. 29 s. Dostupné z:
http://www.uvssr.fme.vutbr.cz/opory/jakost/doe.pdf
Cyhelský, L., Kahounová, J., Hindls, R.: Elementární statistická analýza. Praha:
Management Press, 2001, 319 s. ISBN 80-7261-003-1.
Úvod do fyzikálního modelování procesů
1
1. Úvod do fyzikálního modelování procesů
Čas ke studiu: 1,5 hodiny
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
identifikovat vhodné oblasti využití fyzikálního modelování.
definovat základní pojmy používané v teorii modelování.
popsat podstatu fyzikálního modelování.
definovat jednotlivé druhy základních typů podobností systémů.
Výklad
Než se následující kapitoly a podkapitoly začnou věnovat podstatě fyzikálního modelování a
následně jeho aplikacím v oblasti metalurgických procesů, je vhodné uvést, ve kterých
technickovýzkumných oblastech lze metod fyzikálního modelování využít.
Příklady využití fyzikálního modelování
Mechanika pružných těles
průhyby nosníků
namáhání mostních konstrukcí
Mechanika tekutin
tlaková ztráta při proudění v potrubí
obtékání tělesa - např. lodí
proudění tryskami
proudění roztavených kovů v metalurgii
proudění kapalin v chemické technologii
Úvod do fyzikálního modelování procesů
2
Termomechanika
ohřev a chladnutí těles
prostup tepla, určení ztrát tepla
sdílení tepla při volném a vynuceném proudění
Aerodynamika
obtékání těles, určení koeficientu odporu
automobilový průmysl - tvar karoserie
letecký průmysl
Chemická technologie
míchání kapalin
rozprašování kapalin
reakční kinetika
Základní pojmy
Systém je soubor vybraných objektů neboli prvků sledovaného zařízení nebo prostředí, mezi
nimiž existují určité vztahy a vazby.
Za systém můžeme považovat:
přirozený reálný objekt (společnost, biotop, lokalita životního prostředí, ad.)
umělý reálný objekt (počítač, stroje, zařízení ad.)
proces nebo komplex procesů (např. technologický proces)
soubor informačních, regulačních a řídících aktivit, které se vztahují k jistému
reálnému problému, jeho projektu (komunikační systém, řídící systém)
abstraktní myšlenkovou konstrukci, výrokovou konstrukci a konstrukci
matematických výrazů, která je založena na reálném objektu
Vstup systému je množina proměnných, prostřednictvím kterých působí vnější prostředí na
prvky systému (např. přísun materiálu, komponent chemických reakcí, energie ad.).
Výstup systému je pak množina proměnných, prostřednictvím kterých působí prvky systému
na vnější prostředí (dodávka výrobků, energie, vystupujících chemických sloučenin apod.).
Úvod do fyzikálního modelování procesů
3
Vlastnosti systému. Každý systém má své specifické vlastnosti. Je to např. doba reakce, což
je čas, který uplyne od okamžiku změny vstupních proměnných (okamžik impulsu) až do
okamžiku, kdy se na výstupu objeví příslušná odezva. Z hlediska odezvy rozeznáváme pak
lineární systémy, u kterých je výstup v lineární závislosti na vstupech a systémy nelineární, u
kterých je výstup v nelineární závislosti na vstupech.
Doba odezvy (časové zpoždění) - čas, který uplyne od okamžiku objevení se podnětu na
vstupu systému do okamžiku objevení se k němu příslušné odezvy na výstupu systému.
Modelování probíhajících procesů v systému je metodou, jejíž cílem je co nejvěrohodněji
zachytit chování reálného systému pomocí modelu. Na základě výsledků dosažených na
modelu lze pak zpětně předpovídat chování reálného systému při různých změnách procesu.
Pomocí modelování lze např. bez měření na příslušném průmyslovém zařízení
stanovit dynamické vlastnosti systému
stanovit vliv změn okrajových podmínek provozování systému
optimalizovat chemickotechnologické, metalurgické aj. systémy a stanovit podmínky
jejich činnosti
stanovit rozměry a jiné technické parametry zařízení
Model je vyjádřením podstatných vlastností reálného systému v přijatelné a cílevědomé
formě. Musí tedy vyjadřovat vztah mezi příčinou a následkem.
Model musí uvažovat všechny charakteristické vlastnosti zkoumaného procesu a je nutno z
něj vyloučit vlastnosti nepodstatné, které by dělaly model složitým a analýzu modelu
těžkopádnou.
Identifikace je proces určování matematického popisu modelu. Je to činnost, při které
určujeme strukturu modelu (strukturální identifikace) a parametry modelu (parametrická
identifikace).
Strukturou rozumíme např. řád a zvolený typ diferenciální či diferenční rovnice (lineární,
nelineární rovnice, typ nelinearity atd.), nebo soustavu těchto rovnic, spojitý nebo diskrétní
přenos se zvolenými stupni polynomů v čitateli a jmenovateli, který matematicky vyjadřuje
závislost výstupního signálu na signálu vstupním.
Parametry pak rozumíme koeficienty těchto rovnic nebo přenosů.
Identifikace a modelování jsou tedy procesy, které se navzájem prolínají.
Konečným cílem identifikace a modelování je vytvořit takový model systému, definovaný
na objektu, aby chování modelu bylo v jistém smyslu stejné jako u reálného systému za
stejných provozních podmínek.
Když hovoříme o identifikaci, tj. ztotožnění modelu se systémem, potom apriori
předpokládáme, že systém a model nejsou identické. Jedná se vždy o jistou aproximaci,
která transformuje skutečnost do abstraktního světa matematiky.
Úvod do fyzikálního modelování procesů
4
Klasifikace modelů
Modely reálných soustav můžeme klasifikovat podle různých hledisek.
1. Podle stupně abstrakce reálného objektu:
fyzikální model - je vytvořen na základě fyzikální podobnosti modelu a díla. Je tvořen
přirozeným nebo umělým hmotným systémem.
fyzikálně matematický model (fyzikální analog) - je model vytvořený na základě
matematické a fyzikální podobnosti. Původní fyzikální proces se nahrazuje procesem
analogickým mající stejný matematický popis (elektroanalogy, hydroanalogy).
matematický model - je vytvořen na základě matematické podobnosti modelu a díla:
- vnitřní podobnost (matematický analog, model bílé skříňky) - matematický
model vytvořený fyzikálně matematickými metodami identifikace,
vyjadřuje vnitřní chování systému
- vnější podobnost (model černé skříňky) - matematický model vytvořený
experimentálními metodami identifikace, vyjadřuje vnější chování systému.
2. Podle toho, zda model popisuje statické či dynamické vlastnosti systémů:
statický model - vyjadřuje závislost výstupních veličin na vstupních veličinách
v ustáleném stavu systému. Vazbu mezi vstupními a výstupními veličinami
reprezentují algebraické rovnice, ve kterých nevystupuje čas jako nezávisle proměnná,
takže jde o relaci mezi ustálenými hodnotami vstupů a výstupů. Umožňuje dopředu
předvídat, jaké budou výstupy při daných vstupech v ustáleném stavu, neříká ale nic o
tom, za jak dlouho výstupu dosáhneme. Nelze jej použít pro řízení.
dynamický model - úplný model, který popisuje nejen statické, ale také dynamické
vlastnosti systému. Říká nám, jaký bude průběh výstupu v čase při daném vstupu a
stavu systému. Vazbu mezi vstupy a výstupy vyjadřují diferenciální, resp. diferenční
rovnice. Používá se v oblasti řízení, kde jsou významnými jevy přechody od jednoho
stavu ke druhému.
3. Podle toho, zda parametry dynamických modelů (např. diferenciálních rovnic) jsou
závislé na čase:
stacionární - časově nezávislé (časově invariantní) - parametry dynamických modelů
jsou konstantní.
nestacionární - časově závislé (časově variantní) - parametry dynamických modelů
jsou závislé na čase.
4. Podle způsobu identifikace:
analytický model – model získaný analytickými metodami identifikace, vychází
z hmotových a energetických bilancí rovnic fyzikálních, chemických, příp.
biologických procesů. Při jeho tvorbě se uplatňuje deduktivní přístup.
Úvod do fyzikálního modelování procesů
5
experimentální model – model získaný experimentálními metodami identifikace,
měřením na skutečných objektech. Při jeho tvorbě se uplatňuje přístup induktivní.
5. Podle charakteru procesu, který probíhá na vyšetřovaném objektu, můžeme
experimentální modely rozdělit na:
deterministický model - odpovídá deterministickým (jednoznačně určeným) vztahům
mezi vstupními a výstupními veličinami, tzn., že jednoznačně a přesně dovedeme tyto
vztahy přiřadit a popsat.
stochastický model - buď sám zkoumaný systém, nebo metoda řešení mají náhodný
charakter, tzn., že vztahy (korelace) mezi vstupními a výstupními veličinami nejsou
zcela určité, jsou dány statisticky s určitou pravděpodobností.
Převážná většina objektů, se kterými se v průmyslové praxi setkáváme, má stochastický
charakter. Pozorovaný výstup soustavy není zpravidla určován jen vstupními signály a jejich
minulou historií, ale projevují se na něm náhodné vlivy, jejichž zdroj často ani neznáme.
Mohou to být náhodné děje, které probíhají uvnitř vlastního objektu, nebo těžko kontrolované
a určitelné náhodné vlivy působícího vnějšího okolí.
6. Podle charakteru matematického popisu modelu:
nelineární model - alespoň jedna operace matematického popisu je nelineární.
lineární model - všechny operace matematického popisu modelu jsou lineární. Objekt
nazýváme lineárním, platí-li u něj princip superpozice, tj. je-li jeho odezva na součet
dvou signálů ekvivalentní součtu odezev na každou změnu vstupu zvlášť.
7. Podle způsobu zpracování modelové informace
spojitý model - vstupy a výstupy modelu se mění spojitě.
diskrétní model - vstupy a výstupy modelu se mění v určitých diskrétních časových
okamžicích t = (1,2,....n). Někdy se mění nespojitým způsobem pouze vstup a výstupní
veličina se mění spojitě, takovou soustavu považujeme za nespojitou.
8. Podle toho, jakým způsobem jsou parametry modelu obsaženy ve funkčních
závislostech:
neparametrický model - představuje zpravidla funkční závislost mezi zvoleným
vstupním a odpovídajícím výstupním signálem, která se vyjadřuje buď graficky
pomocí záznamu z měření odezev systému (zapisovače signálů) nebo pomocí tabulky
hodnot, popisující číselně danou závislost. Neparametrické modely vyjadřují zpravidla
přechodovou, impulsní nebo frekvenční charakteristiku v grafické nebo v tabulkové
formě. Parametry modelu jsou pak obsaženy implicitně v těchto funkčních
závislostech. Lze je získat až jejich následným vyhodnocením pro zvolenou strukturu
modelu.
parametrický model - má danou strukturu. Parametrické modely představují z
matematického hlediska rovnice nebo soustavy rovnic a algebraické vztahy, které
explicitně obsahují koeficienty těchto rovnic a vztahů. Obecně pak označujeme tyto
Úvod do fyzikálního modelování procesů
6
koeficienty jako parametry matematických modelů. Výše uvedené charakteristiky jsou
v tomto případě vyjádřené analyticky jako funkce nezávisle proměnné a konečného
počtu parametrů, které jsou obvykle předmětem identifikace.
Předností neparametrických modelů je, že nevyžadují žádné informace o struktuře modelu.
U parametrických modelů je však nutný předpoklad znalosti struktury systému. Kladnou
stránkou parametrických modelů je jednoduché modelování na počítači, protože pomocí
nevelkého objemu údajů o parametrech systému jsme schopni nejvhodněji popsat jeho
dynamické chování. Při identifikaci se proto snažíme získat model v parametrické formě a
neparametrické modely považujeme jen za mezivýsledky řešení, které je ještě třeba
parametrizovat.
9. Podle rozložení sledovaného parametru ve vyšetřovaném objektu:
model se soustředěnými parametry - model, který má stejné hodnoty sledovaných
parametrů v celém prostoru objektu. Matematický popis tohoto modelu je tvořen
soustavou obyčejných diferenciálních rovnic.
model s rozloženými parametry - model, který má různé hodnoty sledovaných
parametrů podle polohy v objektu. Matematický popis tohoto modelu je tvořen
soustavou parciálních diferenciálních rovnic.
10. Podle charakteru vazby mezi vstupy a výstupy:
vnější model - popisuje pouze relace "vstup - výstup". V případě lineárních a
stacionárních systémů se ve funkci vnějších modelů používají vedle diferenciálních
rovnic (spojité soustavy) a diferenčních rovnic (diskrétní soustavy) obrazové přenosy.
Kromě přenosů se jako vnější modely používají také přechodové, impulsní a
frekvenční charakteristiky.
vnitřní model - je reprezentovaný relací "vstup - stav - výstup" a jedná se tedy o
závislost zprostředkovanou přes stavové proměnné. Předností vnitřního (stavového)
modelu je, že je vhodnější na aplikaci moderních matematických metod i na využití
modelování prostředky výpočetní techniky.
11. Podle toho, zda náhodná výstupní veličina je při determinovaném vstupu
stacionární nebo nestacionární:
off-line model - je stanovený na základě fyzikálních zákonů, technologických a
konstrukčních vlastností, na základě izolovaně prováděných experimentů. Sestavený
model pak zůstává po dobu činnosti zařízení zachován. Je zřejmé, že použití off-line
modelů je přesně omezeno požadovaným stacionárním chováním identifikovaných
objektů.
on-line model - je neustále adaptivně zpřesňovaný po dobu činnosti zařízení, a to na
základě nepřetržitě prováděných experimentů na identifikovaném objektu. Obecně je
možno upravovat jak strukturu, tak i hodnoty odpovídajících parametrů. Tím jsou do
modelu zahrnuty proměnné podmínky, za kterých proces v daném časovém intervalu
probíhá. Tyto modely se používají především u objektů s nestacionárním chováním,
Úvod do fyzikálního modelování procesů
7
aby bylo dosaženo ekvivalence identifikovaného objektu a modelu. Tento model se
používá v technické praxi častěji.
12. Podle účelu modelu:
poznávací model - představuje prostředek k získání poznatků. Jde o pasivní roli, v níž
model nepůsobí na zkoumaný proces nebo objekt přímo.
řídicí model - využívá se k řízení procesů, tzn. aktivně působí na proces nebo objekt.
Uplatňuje se zvláště tam, kde získání nezbytné informace o chování není možné
přímým měřením (a neuplatňuje se zpětná vazba).
13. Podle toho, zda model využívá objektivních zákonitostí nebo znalostí subjektivních:
konvenční model (klasický) - využívá objektivních zákonitostí vyplývajících
z přírodních zákonů či experimentů.
nekonvenční model - využívají pro svou tvorbu znalostí subjektivních, heuristických,
vyplývajících z lidských zkušeností (fuzzy modely, expertní systémy, modely
neuronových sítí, genetické algoritmy).
Podstata a základní principy fyzikálního modelování
Fyzikální modelování probíhajících procesů v systému je metodou, jejímž cílem je co
nejvěrohodněji zachytit chování reálného systému pomocí hmotného fyzikálního modelu.
Model i dílo má při fyzikálním modelování stejnou fyzikální podstatu. Proudění tekutiny je
tedy modelováno opět prouděním tekutiny, ale v určitém měřítku délek, rychlostí objemových
průtoků, viskozit atd.
Podmínkou přenosu výsledků z modelu na dílo je podobnost procesů probíhajících v modelu
a díle.
Podobnost dvou systémů
Původně byl pojem podobnost zaveden v geometrii jako podobnost plošných a prostorových
útvarů. Teorie fyzikálního modelování rozeznává a využívá kromě geometrické podobnosti
různé další druhy podobností, které charakterizují podobnost různých fyzikálních jevů.
Setkáváme se s podobností kinematickou, dynamickou, tepelnou, chemickou, elektrickou,
elektrodynamickou, termodynamickou aj. Podobnost dvou systémů pak vyžaduje podobnost
všech relevantních veličin v celém objemu obou systémů, tzn. v modelu a díle.
Geometrická podobnost
je charakterizována jako podobnost tvaru. Systémy jsou geometricky podobné, když poměr
odpovídajících lineárních rozměrů na modelu a díle je stejný. Tento poměr je nazýván
konstantou podobnosti.
Úvod do fyzikálního modelování procesů
8
.konstl
lM
i
il
(1.1)
V případě, že Ml=1, pak jsou oba systémy geometricky shodné. Konstanta podobnosti délek
Ml je při vlastním experimentálním modelování rovněž označována jako délkové měřítko
(scale factor), tzn. měřítko, ve kterém je model fyzicky sestrojen vzhledem k dílu – viz
obr. 1.1.
Obr. 1.1 Příklad geometricky podobného plošného (a) a objemového (b) systému.
Kinematická podobnost
vyjadřuje podobnost pohybu tj. podobnost rychlostních polí a polí zrychlení. Kinematická
podobnost je v podstatě pozorována mezi dvěma systémy geometricky podobnými, ve kterých
je poměr rychlostí (resp. poměr zrychlení) v navzájem odpovídajících místech modelu a díla
stálý, přičemž směr rychlosti nebo zrychlení je totožný v obou systémech – viz obr. 1.2.
Úvod do fyzikálního modelování procesů
9
Obr. 1.2 Kinematická podobnost rychlostních polí při laminárním a ustáleném proudění
vazké tekutiny v potrubí různého průměru.
Dynamická podobnost
vyjadřuje podobnost sil a rovněž je pozorována mezi dvěma geometricky podobnými
systémy, ve kterých je poměr sil v navzájem odpovídajících místech a časech stálý a směr
jejich působení totožný. U dynamické podobnosti se předpokládá podobnost geometrická i
kinematická – viz obr. 1.3.
Obr. 1.3 Dynamická podobnost silových polí působících ve dvou geometricky podobných
systémech.
Úvod do fyzikálního modelování procesů
10
Dynamická podobnost při proudění tekutiny
V dynamicky podobných systémech, kde probíhá proudění tekutiny za izotermických
podmínek je nutno uvažovat všechny relevantní síly, které mají vliv na výsledný charakter
proudění.
Základní rozdělení těchto sil: síly vnější a síly vnitřní.
Síly vnější působí na systém (kapalinu) zvnějšku a síly vnitřní jsou generovány jako důsledek
vlastností kapaliny – viz tab. 1.1.
Tab. 1.1 Základní typy sil uvažované při proudění tekutiny v dynamicky podobných
systémech.
m ... hmotnost, kg; m=.V
a ... zrychlení, m.s-2
; a=w2.l
-1
... hustota, kg.m-3
l… charakteristický rozměr, m
w ... rychlost, m.s-1
g ... tíhové zrychlení, m.s-2
V ... objem, m3; V l
3
... čas, s
p ... tlak, kg. m
-1.s
-2 , (Pa)
pd ... dynamický tlak, kg. m
-1.s
-2 (Pa)
... dynamická viskozita, kg.m-1
.s-1
(N.s.m-
2,Pa.s)
... kinematická viskozita, m2. s
-1
... povrchové napětí, N.m-1
, (kg.s-2
)
F … síla, N (kg.m.s-2
)
Úvod do fyzikálního modelování procesů
11
Důsledek existence povrchového napětí kapaliny
Obr. 1.4 Příklady důsledků existence povrchového napětí.
Obr. 1.5 Schéma přitažlivých sil působících na částici v povrchové vrstvě kapaliny.
Úvod do fyzikálního modelování procesů
12
Základní zákony hydrodynamiky
zákon o zachování hmoty – rovnice kontinuity
v kontrolním objemu dV, ve kterém proudí kapalina, musí být hmotnost konstantní a její
změna nulová
m = . V = konst. dm = 0 (1.2)
pro stacionární proudění :
Qm = . S . w = konst. (1.3)
pro stacionární proudění a nestlačitelnou kapalinu :
Q v = S . w = konst. (1.4)
zákon o rovnováze sil v proudovém poli – Eulerova rovnice hydrodynamiky pro
ideální kapalinu; Navier-Stokesova rovnice pro laminární proudění skutečné
kapaliny
Na elementární objem kapaliny (dV) působí obecně síly vnější hmotnostní (dFm), síly tlakové
(dFp), síly třecí od viskozity kapaliny (dFt), které musí být v rovnováze se silami setrvačnými
(dFS), takže:
dFm + dFp + dFt = dFS (1.5)
zákon o zachování energie - Bernoulliovy rovnice (pro ideální či skutečnou
kapalinu, pro neustálené proudění, pro nerovnoměrný rychlostní profil
Pro ideální kapalinu (bez vnitřního tření) za podmínek rovnoměrného rychlostního profilu a
ustálený stav je součet všech tří energií (kinetické, tlakové a polohové v J.kg- konstantní) :
..2
2
konstghpw
(1.6)
Výškové vyjádření B. rovnice [m]:
..2
2
konsthg
p
g
w
(1.7)
Tlakové vyjádření B. rovnice [Pa]:
...2
. 2
konstghpw
(1.8)
Úvod do fyzikálního modelování procesů
13
Při proudění skutečné kapaliny je v silové rovnováze i třecí síla resp. třecí zrychlení,
způsobené viskozitou. Rovnice bude tedy obsahovat další člen, který vyjadřuje disipační –
ztrátovou měrnou energii.
věta o změně hybnosti, nahrazující v mnoha praktických aplikacích Eulerovu
rovnici hydrodynamiky.
impuls síly se rovná změně hybnosti:
(1.9)
Fh = Qm . (v1 –v2) (1.10)
Aplikace věty o změně hybnosti je pro inženýrskou praxi velmi důležitá, neboť nahrazuje
Eulerovu rovnici hydrodynamiky, která pro výpočet silové rovnováhy při proudění není vždy
vhodná.
Tepelná podobnost
charakterizuje podobnost teplot, teplotních gradientů a tepelných toků v odpovídajících
časech procesu a odpovídajících místech geometricky podobných systémů. Tepelnou
podobnost je nutno zajistit při modelování neizotermálních procesů – viz obr. 1.6.
.3
3
2
2
1
1 konstMT
T
T
T
T
TT
Obr. 1.6 Tepelná podobnost teplotních polí ve dvou geometricky podobných systémech.
Úvod do fyzikálního modelování procesů
14
Chemická podobnost
vyjadřuje podobnost koncentrací a koncentračních gradientů v odpovídajících časech procesu
a odpovídajících místech geometricky podobných systémů.
Obdobným způsobem by bylo možné charakterizovat i další druhy podobností.
Shrnutí pojmů kapitoly
Systém; vstup systému; výstup systému; vlastnosti systému.
Fyzikální modelování.
Podobnosti systémů: geometrická, kinematická, dynamická, tepelná, chemická.
Základní zákony hydrodynamiky.
Otázky k probranému učivu
1.1 Charakterizujte podstatu fyzikálního modelování.
1.2 Popište geometrickou podobnost.
1.3 Popište kinematickou podobnost.
1.4 Popište dynamickou podobnost.
1.5 Charakterizujte základní typy sil v hydrodynamických systémech.
1.6 Jaké znáte základní zákony hydrodynamiky?
Bezrozměrové parametry
15
2. Bezrozměrové parametry
Čas ke studiu: 2,5 hodiny
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
definovat bezrozměrové parametry,
stanovit bezrozměrové parametry rozměrovou analýzou.
Výklad
Vyjádření podobnosti dvou systémů pomocí konstant podobnosti je sice možné, ale z
praktického hlediska není příliš rozšířené. Nejčastěji využívaným způsobem vyjádření
podobnosti dvou systémů je pomocí tzv. bezrozměrových parametrů.
Bezrozměrový parametr Kq v základním systému:
j
iq
q
qK
(2.1)
kde :
Kq … bezrozměrový parametr veličiny q
qi /qj …poměr dvou libovolně zvolených veličin q v základním systému (např.
poměr l5 / l6 v obr. 2.1)
Obr. 2.1 Geometricky podobné systémy.
Bezrozměrové parametry
16
Bezrozměrový parametr K´q v podobném systému
j
íq
q
qK
(2.2)
q´i /q´j …poměr stejných veličin v homologických bodech podobného systému
(tzn. poměr l´5/l´6 v obr. 2.2)
Z podílu bezrozměrových parametrů Kq´ a Kq vyplývá
1M
1M
q
q
q
q
K
K
q
q
i
j
j
í
q
q
(2.3)
U podobných systémů musí tedy platit
qq KK (2.4)
Bezrozměrový parametr má v homologických bodech podobných systémů stejnou
hodnotu - nemění se, je invariantní (první věta podobnosti). Bezrozměrový parametr nemá
však ve všech bodech těchto systémů stálou hodnotu !
Kritéria podobnosti
V oblasti aplikace teorie podobnosti a modelování jsou bezrozměrové parametry označovány
jako kritéria podobnosti (invarianty podobnosti, podobnostní čísla, -proměnné) - např.
kritérium Reynoldsovo (Re), Froudeho (Fr), Eulerovo (Eu), Grasshoffovo (Gr) ad.
Většinu těchto kritérii podobnosti lze vyjádřit vhodně zvoleným poměrem vybraných sil
působících v systému např. setrvačné, tíhové (gravitační), vazké ad.
Rozdělení kritérií podobnosti
Kritéria podobnosti lze podle jejich charakteru dělit na simplexní a komplexní.
Simplexní kritérium vyjadřuje poměr dvou stejnojmenných fyzikálních veličin (délek,
rychlostí, hustot, viskozit ad.) v daném systému. Speciálním případem simplexního kritéria je
tzv. parametrické kritérium, což je poměr fyzikální veličiny a nějaké fyzikální konstanty
(rychlosti zvuku, Machovo číslo)
Komplexní kritérium představuje pak poměr nejméně tří různojmenných veličin uspořádané
ve vhodném tvaru tak, aby výsledek byl bezrozměrový.
Bezrozměrové parametry
17
Tab. 2.1 Vybraná kritéria podobnosti.
Název kritéria Označení Vzorec Interpretace Použití
Froudeho Fr lg
w
.
2
Poměr sil setrvačných
a tíhových.
Volné proudění
tekutiny, vlnění
tekutiny. Při
vynuceném proudění
odpadá.
Galileovo Ga 2
3 .
v
lg
Poměr sil tíhových a
vazkých při volném
proudění
(Ga = Re2
/ Fr) .
Gravitační proudění
vazké tekutiny.
Homochronismu
(Strouhalovo)
Ho
(Str) l
w Bezrozměrový čas.
Charakterizuje
ustálenost pohybu
v soustavě.
Machovo Ma c
w
Poměr rychlosti
proudění k rychlosti
zvuku.
Průtok plynu vysokými
rychlostmi.
Pecletovo dif. PeD
D
lw
Poměr rychlosti
konvektivního přenosu
hmoty k difuznímu
přenosu hmoty
(Pe=Re . Sc) .
Přenos hmoty při
proudění tekutin.
Reynoldsovo Re
lw .
Poměr sil setrvačných
a vazkých.
Přenos hybnosti při
proudění tekutin.
Schmidtovo Sc
D
Poměr součinitele
difúzního přenosu
hybnosti a mol.
difuzivity. Míra
přenosu rychlosti
hybnosti do rychlosti
difúze.
Sdílení hmoty
v tekutinách při volné a
vynucené konvekci.
Podobnost rychlostních
a koncentračních polí.
Stokesovo Stk l
dw
2
Poměr sil setrvačných
a sil vazkých
působících na pevnou
částici v tekutině.
Klesání, sedimentace
částic v tekutinách.
Bezrozměrové parametry
18
Základní vlastnosti kritérií podobnosti
Kritéria libovolného jevu mohou být transformována na jiná kritéria vzájemným dělením,
násobením, umocněním konstantou nebo násobením konstantou.
Jestliže např. pro hodnoty kritérií podobnosti K1 a K2 platí, že
K1 = idem a K2 = idem (2.5); musí rovněž platit K1 . K2 = K3 = idem (2.6)
K1 / K2 = K4 = idem (2.7); K1konst
= K5 = idem (2.8)
konst . K2 = K6 = idem (2.9)
Kde K3 až K6 jsou transformovaná kritéria podobnosti, která rovněž charakterizují daný jev.
Pokud analyzujeme kritéria podobnosti v předchozí tabulce tak zjistíme, že některá kritéria
vznikly transformací nebo kombinací jiných kritérií (např. Fr=Re2/Ga, Stk=ReEu,
Ar=Ga(), Gr=GaT aj.).
Úplná fyzikální rovnice, základní rovnice, kriteriální rovnice
Většina fyzikálních procesů může být popsána úplnou fyzikální rovnicí, přičemž se většinou
jedná o rovnice diferenciální (obyčejné či parciální) nebo o systém diferenciálních rovnic.
Úplná fyzikální rovnice se vyznačuje tím, že bere v úvahu všechny závislosti mezi
relevantními veličinami, tzn. mezi veličinami, které mají v daném procesu rozhodující
význam. Tato rovnice musí být pro popis konkrétního jevu doplněna podmínkami
jednoznačnosti:
fyzikální podmínky (fyzikální vlastnosti látky, v níž proces probíhá - viskozita, hustota,
měrné teplo, součinitel tepelné vodivosti ad.).
počáteční podmínky (stav systému na počátku procesu - např. pole rychlostí a teplot)
hraniční podmínky (stav systému na styku s vnějším prostředím - drsnost stěn, tepelné toky
přes stěny, vstupní a výstupní rychlosti proudícího média aj.).
Sjednocení úplné fyzikální rovnice a podmínek jednoznačnosti dává základní rovnice.
K popisu fyzikálního jevu, jehož rovnice je nesnadno řešitelná nebo není známa, se s výhodou
používá kriteriální rovnice.
V kriteriální rovnici jsou relevantní veličiny nahrazeny bezrozměrovými parametry
(kritérií podobností), které jsou z těchto relevantních veličin odvozeny (druhá věta
podobnosti). Vzájemné funkční závislosti mezi bezrozměrovými parametry se určují
experimentálně měřením na modelu.
Obecný tvar kriteriální rovnice resp. tvar jednotlivých bezrozměrových parametrů lze odvodit
pomocí rozměrové analýzy nebo pomocí analýzy diferenciálních rovnic popisujících daný děj.
Bezrozměrové parametry
19
Stanovení bezrozměrových parametrů pomocí rozměrové analýzy
Rozměrová (dimenzionální) analýza se používá v případě, kdy není znám matematický popis
děje a existuje pouze předpoklad, že sledovaný děj je funkcí relevantních fyzikálních veličin,
jejichž přesný smysl působení však neznáme. Podstata rozměrové analýzy je založena na
tvrzeních Buckinghamového teorému (-teorém), které lze vyjádřit následovně:
Každou rozměrově homogenní1 rovnici relevantních fyzikálních veličin, např.
f (q1, q2, q3, q4,…qn)= 0 (2.10)
lze přetransformovat na kriteriální rovnici s určitým počtem bezrozměrových parametrů K
(často také označovaných ) ve tvaru
(K1, K2, K3, K4, …Kl) = 0 (2.11)
Jestliže jsou relevantní fyzikální veličiny q nezávislé pak počet l bezrozměrových parametrů
K potřebných pro sestavení kritériální rovnice se rovná počtu n relevantních veličin
zmenšených o počet m základních veličin (hmotnost, délka čas, ad.) potřebných pro vyjádření
těchto relevantních veličin tzn., že
l = n - m (2.12)
Každou rozměrově homogenní rovnici lze transformovat do podoby rovnice navzájem
nezávislých bezrozměrových parametrů K, vzniklých vhodným seskupením veličin q.
Vzájemná nezávislost znamená, že kterýkoliv bezrozměrný parametr nelze vyjádřit součinem
různě umocněných parametrů ostatních.
(Pozn.: Novější výklad -teorému vychází ze vztahu l = n – h, kde h je hodnost rozměrové
matice, přičemž h m).
Za uvedených podmínek můžeme dále uvedeným postupem získat n-m bezrozměrových
parametrů K, které jsou vzájemně nezávislé. Tento postup spočívá v řešení systému n - m
rovnic, které lze v obecném tvaru vyjádřit následovně
am
1mn
a2
1n
a1
n11 q....qqqK (2.13)
bm
1mn
b2
1n
b1
n22 q....qqqK (2.14)
. . . . . . . . . .
xm
1mn
x2
1n
x1
nmnmn q....qqqK (2.15)
1 Rozměrové homogenní rovnice musí mít rozměr každého členu stejný; každý člen rovnice je tedy tvořen
kombinací relevantních veličin (např. Bernoulliho rovnice : p + hρg + ½ ρw2 ; rozměr: kg.m
-1.s
-2 = Pa)
Bezrozměrové parametry
20
Každá rovnice se řeší samostatně, přičemž se stanoví hodnoty rozměrových exponentů ai, bi,
…xi takovým způsobem, aby parametry K byly bezrozměrové.
Fyzikální veličiny používané v technických výpočtech při izotermickém proudění tekutin,
jejich jednotky a rozměrové exponenty v soustavě m, kg, s
Tab. 2.2 Fyzikální veličiny, jejich jednotky a rozměrové exponenty.
Fyzikální veličina Označení
veličiny Jednotky
Rozměrové exponenty
m kg s
délka l m 1 0 0
hmotnost m kg 0 1 0
čas s 0 0 1
rychlost w m.s-1
1 0 -1
zrychlení a m.s-2
1 0 -2
gravitační zrychlení g m.s-2
1 0 -2
hustota kg.m-3
-3 1 0
dynamická viskozita kg .m-1
. s-1
-1 1 -1
kinematická viskozita m2.s
-1 2 0 -1
povrchové napětí kg.s-2
0 1 -2
objemový průtok Qv m3.s
-1 3 0 -1
hmotnostní průtok Qm kg.s-1
0 1 -1
molekulární difuzivita D m2.s
-1 2 0 -1
síla F kg.m.s-2
1 1 -2
tlak P kg.m-1
.s-2
-1 1 -2
Nevýhody metody rozměrové analýzy
Spojovat relevantní veličiny do známých a osvědčených bezrozměrových parametrů je velmi
užitečné, je nutno ale poukázat na to, že :
Rozměrová analýza neumožňuje nalézt tvar vztahu mezi jednotlivými veličinami.
Bezrozměrové parametry
21
Rozměrová analýza nám rovněž nemůže říct, zda v úvaze nebyla vynechána některá klíčová
veličina. Úloha vytknout všechny relevantní veličiny se někdy pokládá za slabinu rozměrové
analýzy
Vynechat některou veličinu je rovnocenné s předpokladem, že sledovaný děj na ní nezávisí.
Naopak zařazení veličiny, která ve skutečnosti na děj nemá vliv, komplikuje celý proces
stanovení bezrozměrových parametrů a následné experimentální měření.
Obvykle se přijímá postup, že se za relevantní vezmou pouze veličiny mající na sledovaný děj
nejvíce podstatný vliv. O tom, zda veličina patří nebo nepatří mezi relevantní, mohou nakonec
rozhodnout jen výsledky experimentů.
Řešené úlohy
Řešený příklad č. 2.1
Uvažujme například, že síla F působící na ponořené těleso v proudící tekutině závisí na
rychlosti proudění tekutiny w, její hustotě , viskozitě a charakteristickém rozměru tělesa l.
Je zřejmé, že k vyjádření těchto pěti relevantních veličin potřebujeme pouze tři základní
veličiny, a to délku l (m) čas (s) a hmotnost m (kg). Z rozdílu relevantních a základních
veličin vyplývá, že k popisu případu potřebujeme pouze dva bezrozměrové parametry, které si
označíme K1 a K2 .
Jejich vyjádření v obecné formě je následující:
a3a2a11 l.ρwFK
b3b2b12 l.ρwηK
Jejich vyjádření v rozměrovém tvaru je následující:
a3a23a112
1 mmkgsmsmkgK
b3b23b1111
2 mmkgsmsmkgK
Pokud mají být oba parametry bezrozměrové (tzn. m0s
0kg
0) musí být dodržena podmínka, že
součet rozměrových exponentů pro každou základní veličinu se musí rovnat nule. Můžeme si
tedy vytvořit systém rovnic s použitím hodnot rozměrových exponentů nejdříve pro rovnici
vyjadřující K1, a to pro každou základní veličinu zvlášť:
pro m : 0 = 1 + a1 - 3a2 + a3
pro s : 0 = -2 – a1
pro kg: 0 = 1 + a2
Bezrozměrové parametry
22
Řešením těchto rovnic získáme :
a1 = -2 ; a2 = -1; a3 = -2
Bezrozměrový parametr K1 pak dostává tvar
ρw
p
lρw
FlρwFK
222
2121
Uvedený bezrozměrový parametr je znám jako Eulerovo kritérium – Eu.
Analogickým postupem vyřešíme druhou rovnici
pro m: 0 = -1 + b1 - 3b2 + b3
pro s :0 = -1 – b1
pro kg:0 = 1 + b2
Řešením těchto rovnic získáme :
b1 = -1 ; b2 = -1; b3 = -1
Bezrozměrový parametr K2 pak dostává tvar
lw
ν
lρw
ηlρwηK 111
2
což je převrácená hodnota Reynoldsova kritéria – 1/Re.
Uvedeným postupem lze původní funkci, která je sestavena z pěti veličin, transformovat do
kombinace dvou bezrozměrových parametrů K1 a K2
0lw
ν,
ρw
pf,KKf
221
S ohledem na hledanou hodnotu síly F lze rovnici napsat rovněž ve tvaru:
lw
νf
lρw
F22
což označuje, že Eulerovo kritérium je funkcí Reynoldsova kritéria. Tuto závislost hledáme
experimentálně na modelu tak, že měníme rychlost proudění w a měříme F, vypočítáváme Re
a Eu. Do diagramu pak vynášíme závislost Eu na Re.
Bezrozměrové parametry
23
Řešený příklad č. 2.2
Je nutno stanovit kritéria podobnosti proudění tekutiny v průtočné nádrži s jedním vstupem
a jedním výstupem.
Rozborem problému byly stanoveny čtyři relevantní veličiny:
l - charakteristický rozměr (např. hloubka tekutiny v nádrži)
w - rychlost tekutiny (na vstupu)
g - gravitační zrychlení
- kinematická viskozita
K vyjádření těchto čtyř veličin je nutno použit dvě základní veličiny, a to délku l (m) a čas (s). K popisu tohoto případu potřebujeme pouze dva bezrozměrové parametry (kritéria
podobnosti).
Jejich tvar lze vyjádřit následujícím způsobem :
a2a1
1 lwgK
2bb1
2 lwK
Obě rovnice vyjádříme s využitím základních veličin v rozměrovém tvaru :
2aa112
1 msmsmK
22 bb111
2 msmsmK
Pokud mají být oba parametry bezrozměrové musí být dodržena podmínka, že součet
rozměrových exponentů pro každou základní veličinu se musí rovnat nule. Můžeme si tedy
vytvořit systém rovnic s použitím hodnot rozměrových exponentů nejdříve pro rovnici
vyjadřující K1, a to pro každou základní veličinu zvlášť:
pro m : 0 = 1 + a1 + a2
pro s : 0 = -2 – a1
Řešením těchto rovnic získáme :
a1 = -2 ; a2 = 1
Bezrozměrový parametr K1 pak dostává tvar :
2
12
1w
lglwgK
Bezrozměrové parametry
24
Tento bezrozměrový parametr je 1/ Fr (Froudeho kritérium)
Analogickým postupem vyřešíme druhou rovnici
pro m: 0 = 2 + b1 + b2
pro s : 0 = -1 – b1
Řešením těchto rovnic získáme :
b1 = -1 ; b2 = -1
Bezrozměrový parametr K2 pak dostává tvar
lwlwK 11
2
ν
což je převrácená hodnota Reynoldsova kritéria – 1/Re.
Uvedeným postupem lze původní fyzikální rovnici, která je sestavena ze čtyř veličin
0,g,w,lf
transformovat do rovnice obsahující kombinaci dvou bezrozměrových parametrů K1 a K2
0lw
,w
lgf,KKf
221
ν
0ReFr,fK,Kf 21
Pokud tedy požadujeme zachování podobnosti proudění tekutiny v díle a jeho modelu
musíme, kromě dodržení geometrické podobnosti, dodržet identitu kritérií Fr a Re pro oba
systémy.
Řešený příklad č. 2.3
Alternativní postup stanovení bezrozměrových parametrů pomocí rozměrové analýzy
Je nutno stanovit kritéria podobnosti proudění tekutiny v průtočné nádrži s jedním vstupem a
jedním výstupem.
Analýzou problému byly stanoveny čtyři relevantní veličiny :
l – charakteristický rozměr (např. hloubka tekutiny v nádrži)
w – rychlost tekutiny (na vstupu)
Bezrozměrové parametry
25
g – gravitační zrychlení
– kinematická viskozita
Fyzikální rovnici popisující daný děj lze obecně vyjádřit jako závislost čtyř relevantních
veličin s různými rozměry
0,g,w,lf
Tato rovnice musí být rozměrově homogenní (rozměr všech členů rovnice musí být shodný),
tzn. že jednotlivé proměnné se v ní nemohou vyskytovat samostatně, ale ve formě součinů
těchto proměnných umocněných racionálními exponenty.
V souladu s dříve uvedenými poznatky rovnici přepíšeme na výraz
0...,Kf 1
Libovolný bezrozměrový parametr lze pak vyjádřit výrazem
dcba gwlK
Jeho rozměrová rovnice je následující
dcbdcbadcba smsmsmsmm 2212211
Je zřejmé, že součet rozměrových exponentů u každé základní veličiny se musí rovnat nule,
neboť levá strana rovnice se rovná jedné.
pro m : a+b+c+2d=0
pro s : - b-2c-d=0
Rozměrová matice soustavy má tvar
1210
2111
s
m
gwl
Hodnost této matice je 2, tedy h=m
Hodnost matice - hodnost matice je h, pokud existuje alespoň jeden její subdeterminant řádu
h, který je různý od nuly (hodnost se rovná nejvyššímu řádu nenulového subdeterminantu
matice). V tomto případě jsou základní jednotky rozměrově nezávislé. Hodnost může být
max. rovná počtu řádků.
Počet bezrozměrových parametrů je roven
Bezrozměrové parametry
26
l= n - h= 4 – 2 = 2
Parametry určíme tak, že minimálně dvakrát vyřešíme soustavu těchto dvou rovnic.
V rovnicích máme čtyři neznámé - volíme tedy dvě neznámé (nesmějí na sobě záviset).
Obvykle se jedna z těchto neznámých volí nenulová další pak nulová.
Volba: Bezrozměrový parametr:
c=-1 d=0 Frlg
w2
.
c=0 d=-1 Relw
a=1 b=0 32
31
gl
Fr
ReGa
gl 2
2
3
Některé volby neznámých vedou k méně obvyklým bezrozměrovým parametrům např.
a=0 b=1 3131 g
w
Výsledná kriteriální rovnice může být vyjádřena např. ve tvaru
0Re,Frf
přičemž třetí parametr lze vyjádřit kombinací předchozích a do kritériální rovnice ho tedy
nelze zařadit.
Úlohy k řešení
Úloha k řešení č. 2.1
Stanovte pomocí rozměrové analýzy bezrozměrové parametry, jestliže ve výše uvedeném
příkladu (2.3) je rychlost w nahrazena objemovým průtokem Qv (m3s
-1). Ostatní relevantní
veličiny jsou stejné.
Bezrozměrové parametry
27
Klíč k řešení
Klíč k řešení úlohy č. 2.1
FrQ = Q2/g.l
5
z rozměrové analýzy
úpravou Fr vynásobením l4
(čitatele i jmenovatele)
dosazením za w=Q/l2 (s plocha je zde l
2)
ReQ= Q/ν . l
z rozměrové analýzy
úpravou Re vynásobením l (čitatele i jmenovatele)
dosazením za w=Q/l2 (s plocha je zde l
2)
Shrnutí pojmů kapitoly
Bezrozměrové parametry, kritéria podobnosti, vlastnosti kritérií podobnosti.
Úplná fyzikální rovnice, základní rovnice, kriteriální rovnice.
Rozměrová analýza.
Otázky k probranému učivu
2.1 Definujte kritérium podobnosti.
2.2 Jaké znáte rozdělení kritérií podobností?
2.3 Jaké jsou základní vlastnosti kritérií podobnosti?
2.4 Uveďte příklad úplné fyzikální rovnice, čím se vyznačuje?
2.5 Co znamená základní rovnice?
2.6 Jaký má v teorii podobnosti dvou systému význam kriteriální rovnice?
2.7 Uveďte nevýhody metody rozměrové analýzy.
Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní transformace základních rovnic
28
3. Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní
transformace základních rovnic
Čas ke studiu: 1 hodina
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
stanovit bezrozměrové parametry metodou podobnostní transformace,
popsat rozdíl mezi počátečními a hraničními podmínkami zkoumaného
procesu.
charakterizovat indikátory podobnosti.
porovnat metody: rozměrová analýza vs. podobnostní transformace.
Výklad
V případě, že studovaný děj lze popsat určitou formou základní rovnice (většinou
diferenciální), lze pro odvození bezrozměrových parametrů použit metod, které vychází právě
z tvaru těchto rovnic. Výhoda těchto metod spočívá v tom, že nemusíme hledat relevantní
veličiny, neboť příslušná rovnice tyto relevantní veličiny obsahuje. Rovnice je tak funkcí
bezrozměrových parametrů a rovněž počátečních2 a hraničních
3 podmínek. Uvedenou
metodu získávání bezrozměrových parametrů preferuje mnoho autorů právě s ohledem na její
větší objektivitu, přesnost a jednoduchost.
Jsou známy tři základní metody podobnostní transformace – metoda indikátorů
podobnosti, metoda bezrozměrových rovnic a metoda integrálních analogů.
Podstatu metody s použitím indikátorů podobnosti lze objasnit na analýze diferenciální
rovnice toku skutečné viskózní kapaliny.
Pro tok ve směru horizontální osy x a při gravitačním zrychlení gx má tato rovnice tvar:
2 Počáteční podmínky zachycují počáteční stav zkoumaného procesu v systému (hodnoty
koncentrací, teploty, rychlostí apod.)
3 Hraniční podmínky zahrnují podmínky na hranicích zkoumaného procesu (drsnost stěn,
tepelné toky přes stěny, vstupní rychlosti apod.)
Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní transformace základních rovnic
29
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
x
pgw
z
ww
y
ww
x
ww xxxxz
xy
xx
xx
(3.1)
Pro libovolný zmenšený (nebo zvětšený) systém, který má být podobný systému základnímu,
vyjádříme předchozí rovnici pomocí příslušných konstant podobnosti – provedeme tedy
podobnostní transformaci rovnice
2
2
2
2
2
2
.
z
w
y
w
x
w
x
pg
wz
ww
y
ww
x
ww
xxxx
zx
yx
xxx
2
l
wη
l
p
gρ
l
2
wρ
τ
wρ
M
MM
M
MMM
M
MM
M
MM
(3.2)
kde : q
qM q
... konstanta podobnosti veličiny q
q...hodnota veličiny q na modelu
q ...hodnota veličiny q na díle
Aby byly obě rovnice identické tzn., aby byla zachována podobnost dějů, musí platit, že
vzniklé komplexy konstant podobnosti u každého z členů druhé rovnice budou shodné tzn.
2
2
l
w
l
p
g
l
ww
M
MM
M
MMM
M
MM
M
MM
(3.3)
Tuto rovnici můžeme dále upravit, např. vydělením druhým členem:
122
wlw
p
w
lg
w
l
MMM
M
MM
M
M
MM
MM
M
(3.4)
Takto vzniklé bezrozměrové komplexy skládající se z konstant podobnosti jednotlivých
veličin označujeme jako indikátory podobnosti. U podobných jevů jsou tyto indikátory
podobnosti rovny jedné (první věta podobnosti). V každém indikátoru podobnosti je obsažena
jedna veličina, která určuje povahu tohoto indikátoru. V prvním je to čas , ve druhém
zrychlení g, ve třetím tlak p a ve čtvrtém viskozita .
Tvar bezrozměrových parametrů pro výše uvedený případ toku viskózní kapaliny můžeme
získat úpravou jednotlivých indikátorů podobnosti z rovnice:
Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní transformace základních rovnic
30
1
w
wl
l
MM
M
w
l
l
w
l
w
(3.5)
Tento bezrozměrový parametr je znám jako kritérium homochronismu - Ho (někdy také
označováno jako kritérium Strouhalovo - Str),
l
wHo
(3.6)
Obdobným způsobem je možno odvodit další parametry z dalších indikátorů podobností.
Získáme tak kritérium Froudeho - Fr
lg
wFr
2
(3.7)
dále kritérium Eulerovo - Eu
2w
pEu
(3.8)
a kritérium Reynoldsovo - Re
lwlwRe
(3.9)
Kritériální rovnice má pak tvar:
0ReEu;Fr;Ho; (3.10)
Tato rovnice se rovněž velmi často uvádí ve tvaru
ReFr;Ho;Eu (3.11)
Z této rovnice vyplývá, že pro získání identické hodnoty kritéria Eu na díle a jeho modelu je
nutno zabezpečit rovněž i identitu kritérií Ho, Fr a Re pro dílo a jeho model. Mezi kritérii
existuje tedy příčinný vztah. Jedno kritérium je určené (Eu) a ostatní kritéria jsou určující.
Jaký vliv má změna tvaru základní diferenciální rovnice na podmínky podobnosti lze
demonstrovat na následujících příkladech.
Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní transformace základních rovnic
31
V případě ustáleného pohybu je
0
w (3.12)
odpadá první člen rovnice a tím i nutnost splnění identity kritéria homochronismu – Ho.
Pokud je tok pouze v horizontálním směru lze předpokládat gx = 0, odpadá třetí člen rovnice a
tedy i nutnost identity kritéria Froudeho – Fr.
Pokud obě výše uvedené podmínky platí současně je možno kriteriální rovnici redukovat na
vztah
ReEu (3.13)
a jedinou podmínkou je splnění identity Re kritéria pro dílo a jeho model tzn. Re = Re’.
Porovnání obou metod stanovení bezrozměrových parametrů
Způsob odvozování kritérií ze základních rovnic a podmínek jednoznačnosti je bohatě
rozpracován a dosáhlo se jím významných výsledků v oblasti fyzikálního modelování.
Tam kde řešení základních rovnic naráží na potíže, nebo kde tyto rovnice nejsou známy,
zůstává široký prostor pro použití rozměrové analýzy, které se po mnoho let úspěšně používá
jako nástroje racionálního pokusnictví a zobecňování výsledků.
Proto lze odůvodněně tvrdit, že se obě metody účelně a vhodně doplňují.
Úlohy k řešení
Úloha k řešení č. 3.1
Metodou podobnostní transformace zjistěte kritérium podobnosti pro první zákon přenosu
charakterizující průběh molekulární difúze v klidné kapalině v závislosti na čase. Obdobně
odvoďte kritérium pro další dva zákony přenosu - Newtonův zákon viskózního tření a
Fourierův zákon vedení tepla.
Klíč k řešení
Klíč k řešení úlohy č. 3.1
Časovou závislost molekulární difúze popisuje 2. Fickův zákon: 2
2
x
cD
c
Stanovení bezrozměrových parametrů metodou podobnostní transformace základních rovnic
32
FoD = (D . τ)/l2
FoD – Fourierovo číslo difúzní (hmotové) vyjadřující poměr času
probíhajícího procesu k času molekulární difúze látky; D[m2.s
-1].. difuzivita
1/FoD = Fi (Fickovo číslo) .. charakterizuje intenzitu difúze prvků v základní fázi; s rostoucím
Fi číslem roste odmíšení (segregace) prvků při tuhnutí
FoH = (ν . τ)/l2
FoH – Fourierovo číslo hydrodynamické, vyjadřující bezrozměrový čas
nestacionárního proudění vazké nestlačitelné kapaliny (taky Žukovského číslo), ν[m2.s
-1] ..
kinematická viskozita
Fo = (a . τ)/l2
Fo – Fourierovo číslo (tepelné), vyjadřující poměr času probíhajícího
procesu k času molekulární difúze tepla, a[m2.s
-1] .. tepelná difuzivita
Shrnutí pojmů kapitoly
Metoda podobnostní transformace.
Počáteční a hraniční podmínky zkoumaného procesu.
Indikátory podobnosti.
Otázky k probranému učivu
3.1 Jaký je rozdíl mezi počátečními a hraničními podmínkami zkoumaného procesu?
3.2 Co jsou to indikátory podobnosti?
3.3 Kdy je podle Vás vhodnější využít metodu rozměrové analýzy a kdy podobnostní
transformaci?
Přibližné fyzikální modelování
33
4. Přibližné fyzikální modelování
Čas ke studiu: 1,5 hodiny
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
definovat význam přibližného fyzikálního modelování.
popsat tzv. automodelnost a úplnou automodelnost.
definovat fyzikální význam některých kritérií podobnosti.
Výklad
Při fyzikálním modelování je fyzikální podobnost podmíněná mj. identitou kritérií podobností
na díle a jeho modelu v homologických bodech a časech. Při modelování složitějších systémů
však většinou nejde zabezpečit tuto identitu v plném rozsahu u všech kritérií. V tomto případě
pak mluvíme o přibližném fyzikálním modelování, při kterém mají výsledky charakter
polokvantitativní a v některých případech charakter kvalitativní.
Do oblasti přibližného modelování se dostáváme prakticky ve většině případů. Primárním
důvodem může být např. to, že neznáme všechny relevantní veličiny nebo to, že některé
veličiny mají na daný děj podstatný a některé zanedbatelný vliv. Pokud se na fyzikálním
modelu dodržuje podobnost jen u některých vybraných veličin a u některých se podobnost
zanedbává, je třeba nejdříve experimentálně prokázat oprávněnost tohoto zjednodušení.
Přitom je nutno postupovat velmi opatrně neboť účinek určité veličiny se nemusí stejně
projevovat na díle a jeho zmenšeném modelu.
Míru odchylky modelových výsledků od správného řešení lze většinou posoudit tak, že se
objasní vliv jednotlivých kritérií na průběh děje. Tímto způsobem můžeme např. postupovat
v případě pokud chceme posoudit vliv kritéria Re a Fr při volném proudění kapaliny.
Výsledky získané při přibližném modelování, u kterého se nepodaří stanovit přesnost shody,
mají rovněž velký význam, neboť slouží ke kvalitativnímu posouzení vlivu určitých
parametrů na daný děj ve zkoumaném procesu. Přibližné modelování navíc umožnilo úspěšně
analyzovat děje, které se nepodařilo jinými prostředky vyřešit.
Automodelnost
V některých případech lze pozorovat, že fyzikální veličina, která má za určitých podmínek
značný vliv na průběh procesu, může při změně těchto podmínek postupně ztrácet svůj
význam. Příslušná hodnota kritéria, ve kterém veličina vystupuje, se zmenšuje nebo zvětšuje,
Přibližné fyzikální modelování
34
a od jisté hranice se dá zanedbat. Oblast, ve které již proces není kritériem ovlivňován, se
nazývá oblast automodelnosti. Pokud z příslušné kriteriální rovnice příslušné kritérium
vypadne a ostatní zůstávají, mluvíme o částečné automodelnosti. Pokud v kriteriální rovnici
zbude jediné kritérium, nastává úplná automodelnost. Zbylá kritéria podobnosti mohou mít
v dané oblasti libovolnou hodnotu. K automodelnosti tedy dochází, jestliže při změně kritéria
není porušena podobnost probíhajících dějů.
Automodelnost lze blíže vysvětlit na určení tlakové ztráty při proudění tekutiny. Pro
stacionární proudění tekutiny má obecná kriteriální rovnice tvar
Eu = (Re, Fr) (4.1)
Při vynuceném proudění je působení gravitace zanedbatelné a kritérium Fr se přestává
uplatňovat, degeneruje. Čistě vynucené proudění proto uvažujeme za oblast částečné
automodelnosti, kdy stačí pouze uvažovat kritérium Re. Reynoldsovo kritérium se tak stává
jedinou veličinou určující velikost Eu kritéria, ze kterého se určuje tlaková ztráta při proudění.
Úplná automodelnost
Jsou však známy dvě oblasti vynuceného proudění, kdy degeneruje i Reynoldsovo kritérium a
pak jde o úplnou automodelnost. Rychlostní profil ani tlaková ztráta pak na kritériu Re
nezávisí. Prvá oblast úplné automodelnosti odpovídá malým hodnotám Re kritéria, kdy
Re<Rek , a nazývá se oblastí laminárního proudění. Symbolem Rek označujeme kritickou
hodnotu Reynoldsova kritéria. Druhá oblast úplné automodelnosti se objevuje při velkých
hodnotách Re, v oblasti turbulentního proudění.
Důvod degenerace Re kritéria při jeho malých nebo velkých hodnotách v případě vynuceného
proudění v potrubí, vyplývá z následující úvahy. Vynucené proudění probíhá za současného
působení setrvačných a vazkých sil, které mají vliv na průběh rychlostního pole a tlakové
ztráty. Vzájemný poměr mezi těmito silami je vyjádřen Re kritériem, které je hlavním
kritériem obecné kriteriální rovnice vynuceného proudění. Tento předpoklad však platí, pokud
jsou setrvačné a vazké síly srovnatelné, tzn., pokud se od sebe neliší řádově. Je-li jedna síla
mnohem menší než druhá, nemůže se uplatnit její vliv na charakter proudění. V tomto případě
vzájemný poměr obou sil ztrácí význam a tím ztrácí význam i Re kritérium a nastává úplná
automodelnost.
Fyzikální význam vybraných kritérií podobnosti
Kritérium homochronismu (Strouhalovo kritérium)
l
wHo
(4.2)
Na kritérium homochronismu se nejčastěji pohlíží jako na kritérium, které nám vyjadřuje
časovou ustálenost rychlosti pohybu elementu systému.
Přibližné fyzikální modelování
35
Vlastní fyzikální význam tohoto kritéria lze interpretovat různými způsoby. Pokud podíl l/w
považujeme za čas, který je potřebný na překonání celé vzdálenosti l rychlostí w, a za čas
pohybu daného elementu v systému pak kritérium Ho vyjadřuje bezrozměrný (relativní) čas
pohybu daného elementu.
Obdobně můžeme považovat kritérium Ho za bezrozměrnou (relativní) dráhu. Čitatel kritéria
vyjadřuje vlastně dráhu, kterou daný element s rychlostí w vykoná za čas . Ve jmenovateli je
přitom uveden charakteristický rozměr l. Analogicky lze kritérium Ho považovat i za
bezrozměrnou (relativní) rychlost.
Obyčejně se kritéria podobnosti transformují takovým způsobem, aby čas vystupoval pouze
v jediném kritériu, tj. v kritériu Ho. V případě ustáleného proudění ztrácí kritérium Ho
význam, neboť nedochází ke změně rychlosti v čase.
Kritérium Reynoldsovo
lwlwRe
(4.3)
Reynoldsovo kritérium vyjadřuje poměr sil setrvačných a vazkých. Laminární proudění se
vyznačuje nízkými hodnotami Re kritéria, naproti tomu silně turbulentní proudění má hodnoty
Re vysoké. Kritická hodnota Re kritéria (ReK) při němž přechází laminární proudění
v turbulentní je závislá na tvaru prostředí, ve kterém probíhá proudění a rovněž na typu
charakteristického rozměru l. Pro případ proudění v kruhových potrubích o charakteristickém
průměru d je udávána hodnota ReK 2300, pro vnější obtékání okolo stěny je ReK 50 000.
Pro splnění podobnosti proudění na zmenšených modelech na základě Re kritéria je nutno
splnit podmínku
lwlw (4.4)
v případě, že použijeme modelovou kapalinu s kinematickou viskozitou ´=, podmínka se
redukuje na
lwlw (4.5)
resp.
l
wM
M1
(4.6)
Přibližné fyzikální modelování
36
Při praktickém modelování to znamená, že na zmenšeném modelu s délkovým měřítkem
Ml=1:10 je nutno použit desetinásobně vyšší rychlosti kapaliny, aby byla zachována identita
Re kritéria. V některých případech mohou tyto zvýšené rychlosti vést i ke změně charakteru
proudění v důsledku změny součinitele odporu cx obtékaných těles (překážek apod.).
Kritérium Froudeho
lg
wFr
2
(4.7)
Froudeho kritérium vyjadřuje poměr sil setrvačných a tíhových. V určitých situacích při
vynuceném proudění např. v horizontálním potrubí, kdy síly tíhové sehrávají zanedbatelnou
úlohu, lze kritérium Fr vyloučit z úvah o podmínkách podobnosti. Naproti tomu při
modelování proudění v otevřených kanálech a nádobách musí být podmínka identity Fr
kritéria splněna.
Splnění Fr kritéria je poměrně jednoduché. Za předpokladu, že na model působí stejné
gravitační zrychlení, jako na dílo tzn., že g´= g, je podmínka
lg
w
lg
w
22
(4.8)
redukována na podmínku
l
w
l
w
22
(4.9)
ze které vyplývá, že
2/1
lw MM (4.10)
Znamená to, že např. ve zmenšeném modelu s délkovým měřítkem Ml = 1:10, musíme použit
přibližně 3,2krát menší rychlosti kapaliny, aby byla zachována identita Fr kritéria.
Snížení rychlosti toku kapaliny na modelu je z hlediska provádění experimentu příznivé a
snadno proveditelné. Regulace rychlosti je prováděna změnou objemového průtoku kapaliny.
Úpravou výrazu lze dojít k následnému vztahu, určující měřítko objemového průtoku
2/5lQ MM
v (4.11)
Přibližné fyzikální modelování
37
Z výše uvedených vztahů lze provést i analýzu podmínek pro případ současného zachování
identity jak Re, tak i Fr kritéria. Při ´ = je zřejmé, že pouze v případě délkového měřítka
Ml = 1:1, lze zajistit splnění obou podmínek současně. Pokud ale použijeme zmenšený model,
pak z podmínky identity Fr kritéria vyplývají i menší rychlosti toku kapaliny. Aby byla v této
situaci zachována podmínka identity Re kritéria, je nutné použit odpovídající kinematické
viskozity modelové kapaliny. Měřítko kinematické viskozity pro případ zachování identity
jak Re tak i Fr kritéria lze vyjádřit vztahem
M = Mw . Ml (4.12)
Splnění této podmínky je velice nesnadné s ohledem na omezený výběr modelových kapalin.
Podle charakteru úlohy se v praktickém modelování většinou přikláníme k jednomu
z uvedených kritérii jako k dominantnímu, přičemž vliv druhého na daný děj se obyčejně
musí verifikovat experimentálně.
Kritérium Galileovo
2
3
lgGa
(4.13)
Galileovo kritérium vyjadřuje poměr sil tíhových a vazkých při volném proudění, které je
vyvoláno např. rozdílnou hustotou. Lze ho rovněž vyjádřit poměrem
Fr
ReGa
2
(4.14)
Toto kritérium se stává relevantní v případě, kdy jsou setrvačné síly v systému zanedbatelné
s tíhovými sílami a pohyb je způsoben pouze gravitačními silami ve vazké tekutině.
Kritérium Eulerovo
2w
pEu
(4.15)
Eulerovo kritérium vyjadřuje poměr sil tlakových a setrvačných. V případě vynuceného
proudění je nutno kritérium Eu začlenit do úvah podmínek podobnosti.
Hodnota Eu kritéria je obyčejně veličinou hledanou, protože obsahuje hledanou veličinu
tlakové ztráty, a je v podstatě vyjadřována jako závislost na ostatních kritériích podobnosti
např.
Eu = (Re) (4.16)
Eu = (Re, Fr) (4.17)
Přibližné fyzikální modelování
38
Eu = (Re, Ma) (4.18)
Kritérium Stokesovo
w
lp
l
dwStk
2
(4.19)
Stokesovo kritérium lze vyjádřit jako součin kritéria Eu a Re. V případě velmi pomalého
laminárního proudění jsou síly setrvačné vystupující v Re a rovněž v Eu zanedbatelné ve
srovnání se silami vazkými a silami vyvolanými rozdílem tlaku a tedy i příslušná kritéria Eu a
Re ztrácejí smysl. V tomto případě je proto výhodné eliminovat tyto setrvačné síly z obou
kritérií jejich vzájemným vynásobením. Získané kritérium Stokesovo tedy lze rovněž
charakterizovat jako poměr sil vyvolaných rozdílem tlaku a sil vazkých.
Kritérium Weberovo
lwWe
.. 2
(4.20)
Weberovo kritérium vyjadřuje poměr sil setrvačných a kapilárních. Kapilární síly jsou
vyvolané povrchovým napětím.
V praxi modelování metalurgických systému je v některých případech nutno zajistit současné
splnění kritéria We a Fr při modelování, kdy modelujícím mediem je voda. Matematickou
úpravou výrazů obou kritérií a s pomocí tabelovaných údajů lze výpočtově stanovit délkové
měřítko Ml 0,6 (tzn. 1:1,66), při kterém je tato podmínka splněna. Při značně odlišných
délkových měřítcích není současné splnění obou podmínek zaručeno.
Tab. 4.1 Porovnání klíčových vlastností oceli a vody.
Fyzikální veličina Označení
veličiny Jednotky
Ocel
1600°C
Voda
20°C
hustota kg.m-3
6956 998,2
dynamická viskozita kg .m
-1. s
-1
(Pa.s) 5,0.10
-3 1,000.10
-3
kinematická
viskozita m
2.s
-1 0,72.10
-6 1,002.10
-6
povrchové napětí kg.s-2
, (N.m-1
) 1,7 0,073
Přibližné fyzikální modelování
39
Shrnutí pojmů kapitoly
Přibližné fyzikální modelování.
Automodelnost, úplná automodelnost.
Fyzikální význam některých kritérií podobnosti.
Otázky k probranému učivu
4.1 Charakterizujte podstatu fyzikálního modelování.
4.2 Popište geometrickou podobnost.
4.3 Popište kinematickou podobnost.
Experimentální podstata fyzikálního modelování
40
5. Experimentální podstata fyzikálního modelování
Čas ke studiu: 0,5 hodiny
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
popsat metody stanovení retenčních časů.
popsat metody vizualizace proudění v reaktorech.
Výklad
Metody stanovení retenčních časů a jejich charakteristika
Pro stanovení retenčních časů, tzn. časů zdržení tekutiny v reaktoru, ať už ve skutečných
provozních podmínkách nebo při fyzikálním modelování na zmenšených studených
modelech, jsou většinou používány metody "impuls-odezva". Princip těchto metod, spočívá v
injektáži značkovací (stopovací) látky do proudu tekutiny vstupující do reaktoru a
vyhodnocování koncentrace či jiné měřitelné veličiny této látky na výstupu z reaktoru.
Pro úspěšné a objektivní měření je nutné, aby značkovač měl téměř shodné vlastnosti s
nosnou tekutinou (hustotu, viskozitu, difúzní chování, dobrou vzájemnou mísitelnost atd.) a
výrazně se lišil pouze v jediné vlastnosti. Tato vlastnost musí být snadno měřitelná a rovněž
musí být závislá na koncentraci značkovače.
V oblasti fyzikálního modelování proudění tekutin se nejčastěji využívá měření jejich
elektrické vodivosti. Kromě toho se v menší míře využívá i měření pH roztoků, teploty,
optických vlastností, radioaktivity, dielektrické konstanty, indexu lomu, aj.
Vodivostní metoda využívá rozdílu vodivostí kapalin, protékající a nastřikované. Jako
značkovač jsou používány slabé vodné roztoky KCl nebo NaCl vyznačující se iontovou
vodivostí, které jsou nastřikované do užitkové nebo i destilované vody. Vodivost kapaliny je
obyčejně měřena vodivostními sondami, které jsou umístěny na vstupu a jednotlivých
výstupech z reaktoru.
Pro objektivní měření je nutno sondy kalibrovat, tzn. určit vztah mezi vodivostí a koncentrací.
V případě lineárního průběhu lze hodnocení provádět i z naměřených hodnot vodivosti. Další
nutnou podmínkou pro měření je použití střídavého napětí střední frekvence (cca 1 až 10 kHz)
pro napájení sond. V případě použití stejnosměrného napětí dochází na elektrodách sondy k
vylučování iontů a polarizaci elektrod, což vede k značnému zhoršení přesnosti měření.
Experimentální podstata fyzikálního modelování
41
Příklad grafického výstupu z měření vodivosti roztoků na vstupu a výstupu z modelu reaktoru
(mezipánve) je uveden na obr. 5.1.
čas s
vo
div
ost
,
S
výstup z mezipánve
vstup do mezipánve skut
max
min
0 2
injektáž stopovací látky
Obr. 5.1 Příklad záznamu experimentu z metody impuls-odezva s charakteristickými
retenčními časy.
Při praktickém modelování je nutné měřit vodivost na všech výstupech z reaktoru. Získaný
grafický zápis charakterizující rozložení retenčních dob je označován jako RTD (Residence
Time Distribution) charakteristika.
Metoda s měřením pH kapaliny je v podstatě velmi podobná vodivostní metodě. Hlavní
rozdíl spočívá v injektáži slabých roztoků kyselin nebo zásad a měření změny pH kapaliny na
výstupech z modelu reaktoru. Metoda vyžaduje použití pH-metrů s krátkou dobou náběhu a
provedení jejich kalibrace. Vzhledem k fyzicky větším rozměrům vlastních sond může
docházet k místnímu ovlivnění proudění.
Teplotní metoda je založena na injektáži kapaliny s rozdílnou teplotou. Injektáž může být
realizována skokovou změnou toku kapaliny s jinou teplotou (např. z jiné nádrže) nebo je na
vstupu generován teplotní puls např. odporovým ohřevem. Teplota na výstupech je měřena
termočlánky s krátkou dobou náběhu. Na výsledky měření a jeho přesnost má vliv teplotní
vodivost kapalin (a), která je vyšší než difuzivita hmoty (D). V případě turbulentního
proudění nejsou tyto rozdíly příliš výrazné.
Optická nebo optickoelektrická metoda. U optické metody je na vstup injektován vhodný
barevný značkovač, přičemž na výstupech je registrováno zabarvení kapaliny s použitím např.
kolorimetrů. U optickoelektrické metody je využíván fotoelektrický jev vhodného
Experimentální podstata fyzikálního modelování
42
fluorescenčního indikátoru, jehož zbarvení je aktivováno paprskem ultrafialového zdroje. Na
výstupu je optočlánkem měřena propustnost světelného paprsku zbarvenou kapalinou.
Radioizotopová metoda spočívá v injektáži roztoku s izotopem krátkého poločasu rozpadu,
záření na výstupu je monitorováno scintilačními detektory, které mění radioaktivní záření na
elektrické pulsy.
Pro měření retenčních časů v praktických podmínkách na provozní reaktorech se nejčastěji
používá poslední uvedená metoda s využitím radionuklidů. Na výstupech z reaktoru jsou
instalovány scintilační detektory, které kontinuálně měří úroveň záření gama. Z průběhu
naměřených úrovní záření jsou vyhodnocovány retenční časy.
Vizualizace proudění v reaktorech
Metody vizualizace proudění zahrnují experimentální postupy, pomocí kterých můžeme
získat optický záznam proudového pole, obraz proudění v okolí těles, tvar proudnic,
rychlostní profily, obrazy recirkulačního proudění, tvorbu vírů, oblasti laminárního a
turbulentního proudění, zpětné proudění a mnoho dalších jevů při proudění. Samotný
vizualizační experiment je vhodné zaznamenat pomocí videokamery nebo alespoň pomocí
fotografického přístroje.
Metoda obarvené kapaliny. Její princip spočívá v injektáži vhodné barevné kapaliny do
vstupujícího proudu do reaktoru. (roztoky manganistanu draselného, inkoustu, tuše,
malachitové zeleně, metylenové modři apod.). Nevýhodou metody obarvené kapaliny je
nutnost výměny veškeré kapaliny v reaktoru po provedeném pokusu za novou a zcela čirou
kapalinu, protože jinak by docházelo k ovlivnění a zkreslení výsledků dalšího experimentu.
Obr. 5.2 Příklad využití metody obarvené kapaliny při fyzikálním modelování proudění oceli
v mezipánvi.
Experimentální podstata fyzikálního modelování
43
Metoda vláken. Tato metoda využívá vláknových sond, jež jsou tvořeny soustavou převážně
vlněných nití, které jsou upevněny na kovovém rámečku. Nitě po vložení do proudu kapaliny
jsou orientovány ve směru toku kapaliny. Lze určit vychýlení proudnic, oblasti zavíření,
vratného proudění, laminárního a turbulentního proudění apod.
Metoda vznášejících se reflexních částic. Podstata této metody spočívá v přidávání
reflexních částic do proudu kapaliny v reaktoru. Částice musí mít stejnou hustotu jako
kapalina, tehdy jsou unášeny proudem a jejich trajektorie je shodná s trajektorií proudu. Při
fotografickém snímání určitou expoziční dobou vytvářejí tyto reflexní částice kontrastní stopy
na filmu, z jejichž orientace a délky lze určit charakter pohybu a rychlostní pole. Pro osvětlení
se většinou používá plošného světelného svazku vycházejícího ze štěrbiny světelného zdroje.
Vhodným nasměrováním tohoto zdroje vytváříme tzv. světelný řez určitého místa modelu.
Směr pozorování nebo snímání je přitom kolmý k rovině světelného svazku. Jako částice lze
využit neexpandovaný polystyren, jehož hustotu lze doladit na hustotu kapaliny (většinou
vody) mírným tepelným zpracováním při teplotách do 100°C.
Obr. 5.3 Příklad využití metody vznášejících se reflexních částic při fyzikálním modelování
proudění oceli v mezipánvi.
Odbarvovací nebo zbarvovací metody jsou založeny na neutralizační reakci mezi slabými
roztoky kyselin a zásad. Pro zviditelnění se přidávají barevné indikátory, které se změnou pH
mění zabarvení. Vhodným barvivem je např. fenolftailen, který s kyselinou dává bezbarvý se
zásadou pak červenofialový roztok. Pomocí těchto indikátorů lze poměrně dobře vizualizovat
průběh směšovacích pochodů v modelu reaktoru.
Experimentální podstata fyzikálního modelování
44
Shrnutí pojmů kapitoly
Metody stanovení retenčních časů: vodivostní, měření pH kapaliny, teplotní,
optická nebo optickoelektrická, radioizotopová.
Vizualizace proudění v reaktorech: obarvenou kapalinou, vlákny, vznášející se
reflexní částice, odbarvovací nebo zbarvovací metody.
Otázky k probranému učivu
5.1 Popište metody stanovení retenčních časů.
5.2 Popište metody vizualizace proudění v reaktorech.
Základy teorie chemických reaktorů
45
6. Základy teorie chemických reaktorů
Čas ke studiu: 2 hodiny
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
definovat základní typy proudění v reaktorech.
definovat teoretický retenční čas, RTD křivku.
popsat C-křivku, F-křivku.
definovat modely pro reálné podmínky toku.
Výklad
Teorie reaktorů vychází ze dvou základních ideálních (hypotetických) průtokových reaktorů:
reaktor s pístovým tokem – plug flow reactor
reaktor s dokonalým promícháváním – completely mixed reactor
Charakteristickým rysem reaktoru s pístovým tokem je rovnoměrný průtok celým objemem
reaktoru, při němž žádná částice tekutiny nepředbíhá jinou. Nedochází tedy k podélnému
promíchávání tekutiny, k radiálnímu však docházet může. Podmínkou pro reaktor s pístovým
tokem je shodná doba setrvání kterékoliv částice tekutiny v reaktoru, která se v tomto případě
rovná teoretickému retenčnímu času definovaného jako
Q
V
(6.1)
kde: - teoretický průměrný retenční čas, s
V - objem tekutiny v reaktoru, m3
Q - objemový průtok tekutiny reaktorem, m3 . s
-1
Druhým typem ideálního průtokového reaktoru je reaktor s dokonalým promícháváním, u
kterého je jeho obsah zcela homogenní a odtékající tekutina má stejné složení jako tekutina
v reaktoru. Každý element tekutiny vstupující do reaktoru je okamžitě rozptýlen v celém
objemu reaktoru.
Základy teorie chemických reaktorů
46
Chování tekutiny v reálných reaktorech se může blížit chování v ideálních reaktorech, ale
taky se od nich může značně odlišovat.
Chování reálného reaktoru se nejčastěji posuzuje na základě výsledku různých
experimentálních metod, jejíž základ spočívá v provedení mžikového impulsu či trvalé změny
na vstupu do reaktoru a monitorování odezvy na výstupu (výstupech) z reaktoru. Pro
provedení impulsu nebo trvalé změny se používají různé značkovací metody např.
koncentrační, teplotní, radionuklidový ad. Jak bude uvedeno dále. Výsledek, který získáme
v podobě grafické závislosti sledované veličiny na čase, označujeme jako RTD křivka
(residence time distribution).
Na následujícím obrázku je schematicky uveden způsob stanovení této RTD křivky v případě
provedení mžikového impulsu na vstupu do reaktoru. Tento vstupní impuls se často označuje
jako funkce delta (Diracův impuls).
Obr. 6.1 Grafická interpretace odezvy systému (výstup) na impuls na vstupu do systému.
Výsledkem je v tomto případě tzv. C křivka, která znázorňuje závislost koncentrace
značkovací látky v proudu vystupujícím z reaktoru na čase. Křivka je zobrazena v
bezrozměrových souřadnicích. Koncentrace se vyjadřuje v poměru k původní koncentraci
značkovací látky C0, které by se dosáhlo, kdyby veškeré vpravené množství bylo stejnoměrně
rozptýlené v objemu reaktoru.
Vmc
cc
co
~ (6.2)
Čas se vyjadřuje rovněž v bezrozměrovém tvaru, jako poměr času k teoretickému retenčnímu
času . Označuje se symbolem ~ nebo .
Základy teorie chemických reaktorů
47
~
(6.3)
Typická C křivka je uvedena na následujícím obrázku. Je zřejmé, že volba bezrozměrových
souřadnic vede k tomu, že plocha pod C křivkou se bude rovnat jedné.
Obr. 6.2 Typická C křivka (odezva na jednotkový Diracův impuls).
Druhým nejčastějším způsobem studia chování reaktorů je použití trvalé změny koncentrace
značkovací látky na vstupu do reaktoru (Heavisideův jednotkový skok) tzn., že koncentrace na
vstupu skokově vzroste na hodnotu C0 a setrvá na ní po celou dobu měření, tzn. až do doby,
kdy na výstupu je dosaženo rovněž koncentrace C0.
Výsledkem je v tomto případě tzv. F křivka, která znázorňuje závislost koncentrace
značkovací látky v proudu vystupujícím z reaktoru na čase. Křivka je zobrazena v
bezrozměrových souřadnicích. Koncentrace se vyjadřuje v poměru ke vstupní koncentraci
značkovací látky. Čas se vyjadřuje rovněž v bezrozměrovém tvaru, jako poměr času
k teoretickému retenčnímu času .
Základy teorie chemických reaktorů
48
Typická F křivka je uvedena na následujícím obrázku. Jak je zřejmé, F křivka stoupá od
hodnoty 0 až k hodnotě 1.
Obr. 6.3 Typická F křivka (odezva na Heavisideův jednotkový skok).
Mezi průběhem C a F křivky platí vzájemné vztahy:
0
dCF (6.4)
d
dFC (6.5)
Vztahy naznačují, že výsledky získané z impulsního měření lze transformovat na výsledky
získané trvalou změnou a naopak.
Základy teorie chemických reaktorů
49
Průběh C a F křivek pro ideální průtokové reaktory tzn. reaktory s pístovým tokem a
dokonalým promícháváním a rovněž pro reálný libovolný reaktor je uveden na následujícím
obrázku.
Obr. 6.4 Rozdíly odezvy mezi pístovým tokem, ideálním mícháním a reálným tokem.
Modely pro reálné (neideální) podmínky toku
Disperzní model
Disperzní model předpokládá, že proudění v reaktoru probíhá pístovým tokem s odchylkami,
které jsou způsobené axiálním promícháváním. Model dále předpokládá, že v systému nejsou
žádné neúčinné (mrtvé) prostory a že nedochází k tvorbě žádných zkratových proudění.
V závislosti na intenzitě turbulence vystihuje tento model chování od pístového toku až
k dokonalému promíchávání.
Tyto modely dobře popisují chování v trubkových reaktorech a reaktorech s nehybnou
vrstvou.
Míru disperze v reaktoru vyjadřuje tzv. axiální disperzní číslo d, což je bezrozměrový
parametr ve tvaru
Základy teorie chemických reaktorů
50
lw
Dd
(6.6)
kde : D - disperzní koeficient (koeficient axiální disperze, axiální difuzivita), který vyjadřuje
stupeň zpětného promíchávání vlivem např. gradientu rychlosti, m2s
-1
w - rychlost tekutiny, ms-1
l - charakteristická délka v podélném směru toku, m
Disperzní číslo d vyjadřuje v podstatě poměr rychlosti difuzního přenosu hmoty k rychlosti
objemového přenosu hmoty a je vlastně převrácenou hodnotou tzv. Pecletova čísla pro
přestup hmoty.
Disperzní číslo může nabývat hodnot od 0 pro pístový tok až do nekonečna pro dokonalé
míchání. Vliv hodnoty disperzního čísla na tvar C křivky uvádí následující obrázek. Při
zvětšování hodnoty disperzního čísla se průběh C křivky na obě strany rozšiřuje, což
odpovídá vyšším hodnotám rozptylu a tedy vyššímu stupni promíchávání.
Obr. 6.5 Vliv disperzního čísla na tvar C křivky.
Základy teorie chemických reaktorů
51
Vliv hodnoty disperzního čísla na tvar F křivky pak uvádí další obrázek.
Obr. 6.6 Vliv disperzního čísla na tvar C křivky.
Kombinované modely
Kombinované modely uvažují, že reálné reaktory se skládají z navzájem propojených oblastí
toku s různým charakterem proudění. Jsou uvažovány tyto hlavní oblasti:
oblast pístového toku
oblast dokonalého promíchávání
mrtvá oblast (objem)
Kromě toho se u kombinovaných modelů používá ještě těchto druhů proudění :
zkratové proudění
recirkulační proudění
příčné proudění
Mrtvá oblast (neúčinná oblast) představuje tu část objemu, ve které pohyb tekutiny je velmi
pomalý nebo stagnuje a považujeme je za izolované. Jedná se o tu část látky v reaktoru, která
se zdrží v nádobě delší čas než je dvojnásobek středního retenčního času.
Zkratové proudění představuje místní proudění přímo od vstupu k výstupu reaktoru. Toto
chování je velmi nepříznivé, protože nedochází k žádoucímu promísení tekutiny resp. k
nedostatečnému průběhu chemické reakce.
Základy teorie chemických reaktorů
52
Recirkulační proudění – část tekutiny, která vystupuje z nádoby nebo určité oblasti je
směřována zpět ke vstupu kde se mísí s přiváděnou tekutinou.
Příčné proudění představuje výměnu tekutiny mezi dvěma oblastmi, kterými probíhá
samostatné proudění v jednom směru.
Základní tři typy objemů lze kvantifikovat pomocí následujících vztahů.
Podíl objemu s pístovým prouděním :
V
V
p
min
(6.7)
nebo
2
maxmin
V
Vp
(6.8)
kde: Vp - objem s pístovým prouděním, m3
min, max - minimální a maximální retenční čas (čas prvního objevení stopovací
látky a čas dosažení její maximální koncentrace na výstupu), s
Pro výpočet podílu mrtvého objemu je uváděn vztah:
skutd 1V
V (6.9)
kde: skut - skutečný průměrný retenční čas tekutiny v reaktoru, který lze
vyjádřit vztahem:
dc
dcskut (6.10)
Pro výpočet podílu promíchávaného objemu reaktoru je, s ohledem na složitost jeho
stanovení, nejčastěji používán dopočet do celkového objemu:
V
V
V
V1
V
V dpm (6.11)
Základy teorie chemických reaktorů
53
Úlohy k řešení
Úloha k řešení č. 6.1
Stanovte podíl objemu s pístovým prouděním, podíl mrtvého objemu a podíl promíchávaného
objemu v reaktoru o objemu Vcelk = 5600 l s objemovým průtokem Qv = 28 l.s-1
. K dispozici
je naměřený průběh změny koncentrace na výstupu z reaktoru po impulsu značkovací látky na
vstupu reaktoru (soubor retence_1_cvič.xls). Graficky znázorněte průběh F - křivky.
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
0 100 200 300 400 500 600 700
čas, s
ko
ncen
trace
Postup výpočtu :
výpočet d, stanovení cmin a cmax
výpočet bezrozměrové koncentrace - (c-cmin)/(cmax-cmin)
výpočet teor
stanovení min, max z naměřeného průběhu změny koncentrace
výpočet skut - integrací křivky pomocí numerické metody (obdélníkové a
lichoběžníkové)
Základy teorie chemických reaktorů
54
640,629
0
640,629
0
)(
)()(
dc
dc
i
ii
skut
640,629
0
1
640,629
0
11
)2/)((
)2/)(()2/)((
dcc
dcc
ii
iiii
skut
výpočet Vp/Vcelk, Vd/Vcelk, Vm/Vcelk
grafické znázornění F-křivky s využitím vztahu
0
dCF
Shrnutí pojmů kapitoly
Reaktory s pístovým tokem a s dokonalým promícháváním.
Teoretický retenční čas, RTD křivka, jednotkový Diracům impuls, C-křivka.
Jednotkový Heavisideův skok, F-křivka.
Disperzní model, kombinované modely.
Mrtvá oblast, mrtvý objem, zkratové proudění, recirkulační proudění, příčné
proudění.
Otázky k probranému učivu
6.1 Charakterizujte reaktory s pístovým tokem a s dokonalým promícháváním.
6.2 Co je to jednotkový Diracův impuls a jaká je jeho odezva na výstupu?
6.3 Co je to jednotkový Heavisideův jednotkový skok a jaká je jeho odezva na výstupu?
6.4 Charakterizujte disperzní model a kombinované modely.
6.5 Jaké známe typy objemů v kombinovaných modelech?
Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
55
7. Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
Čas ke studiu: 2,5 hodiny
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
definovat způsoby hledání vhodných nelineárních aproximačních funkcí
pro popis přechodových dějů
popsat schéma aproximačního modelu typu soustavy Sp2dz s přenosem
Gd(s)
popsat strukturální a parametrickou identifikaci fyzikálně adekvátních
modelů
Výklad
Obecně je známo, že přechodové jevy dynamických objektů (popsaných pomocí soustav
parciálních, či obyčejných diferenciálních rovnic) mají nelineární charakter. Při hledání
vhodných (charakterem, průběhem i těsností přiblížení) nelineárních aproximačních funkcí
těchto přechodových dějů je možné postupovat dvojím způsobem:
A. Empiricko - matematickým: kdy na základě seznamů vhodných tzv. empirických
funkcí vybereme ty, které svým charakterem nejvíce odpovídají zkoumanému průběhu.
Empirické funkce vytvořili autoři z různých odvětví vědy jako přibližné řešení diferenciálních
rovnic popisujících zkoumané děje, či provedli pouze pokusným způsobem odhad typu
závislosti. Nevýhodou těchto aproximačních modelů je hlavně problém fyzikálně adekvátní
interpretace jejich parametrů (koeficientů). Empirické modely je možné najít v publikacích
věnujících se modelování různých závislostí v přírodě, některých programech pro aproximaci
a regresi (či obecněji pro statistickou analýzu) dat.
B Fyzikálně (adekvátně) - matematickým: kde je matematický model závislosti sestaven
na základě fyzikálních zákonů a tak parametry aproximační funkce mají odpovídající fyzikální
interpretaci. Vhodné fyzikální modely tepelných i difúzních (přechodových) procesů a jejich
aproximací (i modelování) lze najít v dostupné literatuře.
Teoretické základy matematického popisu
Složení vystupující tekutiny při jednotkové a skokové změně koncentrace vstupující tekutiny
do nádrže (reaktoru, mezipánve apod.) lze pro základní dva idealizované případy míchání
charakterizovat následovně:
Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
56
1. Pro pístový tok, u kterého nedochází k žádnému vzájemnému míchání obsahu (ani
k vzájemné difúzi kapalin) L-přenosem:
MV
T,e(s)G dsT
ptd
(7.1)
kde: Td ... dopravní zpoždění soustavy, nádrže [s],
V ... objem nádrže [m3],
M ... objemový průtok kapaliny [m3/s].
2. Pro dokonalé míchání obsahu nádrže – složení tekutiny je totožné se složením
vytékajícího proudu, odkud ze zákona o zachování hmoty vyplývá diferenciální rovnice, po
jejíž úpravě a L-transformaci při nulových počátečních podmínkách lze dostat přenos
odpovídající setrvačné soustavě 1. řádu:
2010111
1 /,,1
)( XXkMV
TsT
ksGdm
(7.2)
kde: k1 ... koeficient přenosu soustavy (Sp1), nádrže [s],
X10 ... počáteční koncentrace přitékající kapaliny [%],
X20 ... počáteční koncentrace odtékající kapaliny [%],
T1 ... časová konstanta soustavy, nádrže [s],
s ... komplexní proměnná v L-transformaci [1/s].
Skutečnost leží vždy mezi oběma idealizovanými modely (tj. aproximativní celkový přenos
nádrže může vzniknout sériovým, paralelním či sériově-paralelním zapojením uvedených
dílčích idealizovaných přenosů).
Obsah nádrže se vždy promíchává buď konvekcí (přirozenou či nucenou) a/nebo
vyrovnáváním koncentračního spádu difúzí. Dokonalé míchání prakticky nemůže existovat.
Míchání směsí, ať samovolné nebo nucené, je ovlivňováno mnoha faktory
– teplotou, viskozitou, otřesy, tvarem nádoby, polohou přítokového a odtokových otvorů atd.
Vliv těchto faktorů nelze analyticky vystihnout, nehledě na to, že některé jsou náhodného
charakteru. Je tedy třeba počítat s tím, že uvedené faktory budou mít vliv jak na tvar
(strukturu) aproximativního přenosu, tak i na velikost jeho parametrů, tj. na hodnoty k1, T1,
Tx, Td = f (teplota, viskozita, otřesy, tvar MP, poloha přítokového a výtokových otvorů,
hmotnost – hladina oceli v MP, rychlost přítoku a odtoku, počet zapojených výtoků atd.).
Pro reálný případ nedokonalého míchání jako jakési “střední cesty” mezi dokonalým
mícháním a “pístovým” tokem je možné pro koncentraci kapaliny dostat aproximativní
přenosy soustavy (jednotlivých licích proudů MP) s uvažováním náhradního (rozloženého)
dopravního zpoždění a sériového řazení setrvačných členů 1. řádu:
1
1)exp(
1
1)(
11
11
sTksT
sTkesG d
sTc
d (7.3)
)1()1(
1)exp(
)1(
1
)1(
1)(
211
211
sTsTksT
sTsTkesG d
sTd
d (7.4)
Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
57
kde: Gc(s) ... L-přenos setrvačné soustavy 1. řádu s dopravním zpožděním (Sp1dz),
Gd(s) ... L-přenos setrvačné soustavy 2. řádu nekmitavé s dopravním zpožděním
(Sp2dz).
Je logické, že pro normalizovanou (bezrozměrovou) koncentraci bude k1 = 1 (takže soustavy
budou mít přenosy Sp1dzj, Sp2dzj), což ovšem neplatí např. pro přenos tepla v MP.
Grafické znázornění nejobecnějšího aproximačního přenosu Gd(s) soustavy typu Sp2dz
(realizované jako sériové spojení elementárních členů) je na obr. 7.1.
Obr. 7.1 Schéma aproximačního modelu typu soustavy Sp2dz s přenosem Gd(s)
Tento přenos do jisté míry odpovídá i poznatkům, které proudění lázně
v MP definují podle hypotetického modelu, v němž je objem oceli v MP rozdělen na 3 části
s rozdílným chováním:
objem s „pístovým” tokem oceli, strmý nárůst koncentrace dopravní zpoždění Td
promíchávaný objem (projev: zkratové proudění) velká časová konstanta T1
„mrtvý” objem, kde ocel proudí velmi pomalu (snižuje celkový aktivní objem) malá
časová konstanta T2,
Z uvedeného rozboru vyplývají možné aproximační soustavy a přenosy tepelných a difúzních
procesů, které dobře korespondují s aproximacemi vyšlými z Laplaceovy transformace těchto
procesů. Dá se souhrnně konstatovat, že vhodnými aproximačními funkcemi odezvy
normalizované koncentrace na její skokovou změnu na vstupu budou přechodové funkce
fyzikálně-adekvátních soustav Sp1dzj a Sp2dzj s těmito L-přenosy
(s je komplexní proměnná v L-transformaci):
1
1)exp(
1
1)(
11
sTsT
sTesG d
sTcj
d (7.5)
)1()1(
1)exp(
)1(
1
)1(
1)(
2121
sTsTsT
sTsTesG d
sTdj
d (7.6)
a příslušnými přechodovými funkcemi:
)/)(exp(11)( 1/)( 1 TTtety dTTt
cjd
(7.7)
Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
58
)/)(exp()/)(exp(1)( 212
21
12
1 TTtTT
TTTt
TT
Tty dddj
(7.8)
Přístupy a metody řešení aproximace a regrese
Z hlediska pohledu matematiky a statistiky (či matematické statistiky) se jedná o klasickou
úlohu aproximace a regrese. Nejčastěji používanou metodou je metoda nejmenších čtverců
(MNČ), která má za dodržení základních předpokladů výhodné vlastnosti. V případě
nedodržení předpokladů (jiný typ rozdělení chyb apod.) je vhodná metoda maximální
věrohodnosti (MMV).
Z hlediska přístupu (technické) kybernetiky je řešený problém aproximace průběhů výstupní
koncentrace MP na skokové změny koncentrace na vstupu vlastně identifikací tohoto systému
(podle přechodové či impulsní funkce). Identifikace je stanovení matematického (přibližného)
modelu dynamického systému. Dělí se na dvě části:
strukturální identifikace = stanovení struktury (tvaru) matematického
modelu,
parametrická identifikace = stanovení (odhad) hodnot parametrů, koeficientů
matematického modelu
Parametrická identifikace
Pro parametrickou identifikaci fyzikálně adekvátních modelů pomocí naměřených
přechodových funkcí (zobrazených přechodových charakteristik) lze např. použit metodu
postupné integrace (MPI), která byla dále upravena doc. Klánem. Metoda je dobře
rozpracovaná pro setrvačné soustavy 1. řádu s dopravním zpožděním, tj. Sp1dzj (tzv.
tříparametrový model) s přechodovou funkcí ve tvaru.
11)( T
Tt d
ety (7.9)
Algoritmus stanovení parametrů Td a T1 v prostředí MS Excel s využitím aproximace
integrálů pomocí numerické integrace lichoběžníkovou metodou je následující (vztahy jsou
platné i pro neekvidistatní časové vzorky – tzn. nekonstantní periodu vzorkování):
1. Výpočet tzv. průměrné doby ustálení - T (average residence time) (pro dobu ustálení,
simulace ts)
)()(,)0()(
)()(
01 sd ttyydt
yytyy
TTT
(7.10)
)()1(
)(2
)1()()()(
1itit
ny
iynyiynyT
n
i
(7.11)
Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
59
2. Výpočet časové konstanty modelu T1 ( ! integrál jen 0 až T)
T
dtyyyty
T0
1 )0()(
)0()()1exp( (7.12)
)()1(
)(2
)()1(.)1exp(
11 itit
nyiyiy
TT
i
(7.13)
3. Výpočet dopravního zpoždění Td
1TTTd (7.14)
Úlohy k řešení
Úloha k řešení č. 7.1
Pomocí metody postupné integrace s využitím prezentovaných matematických vztahů
proveďte aproximaci naměřených dat odpovídající soustavě prvního řádu s dopravním
zpožděním a jednotkovým zesílením. Naměřená data jsou ve formě časové odezvy
bezrozměrové koncentrace na výstupu z nádrže y = f(t) po jednotkové a trvalé změně
koncentrace na vstupu do nádrže.
Požadavky na zpracování:
Pracovní oblast listu v Excelu koncipujte tak, aby se dal jednoduše využít pro řešení
jiných datových souborů pouhým zkopírováním dvou datových sloupců (t,y).
Vypočtěte parametry Td a T1 přechodové funkce.
Graficky zobrazte výslednou aproximovanou funkci spolu s primárními daty
y = f(t).
Oblast aproximované funkce pro t < Td ošetřete pomocí vhodné podmínky tak, aby y =
0.
Vypočtěte koeficient korelace (Pearson) jako ukazatele přesnosti či přiléhavosti
vypočtené aproximace nebo regrese.
Vypočtěte směrodatnou odchylku.
Vypracujte protokol k odevzdání.
Poznámka: funkce použité v pracovní oblasti listu: exp, max, když, svyhledat, pearson,
smodch.výběr
Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
60
Sp1dzj - NMNČ – Excel
informace
– užitečný doplněk Solver (řešič) MS Excelu – nastavení, či instalace: menu
Nástroje / Doplňky / Řešitel (zatrhnout, či instalovat)
– následovní výběr: menu Nástroje / Řešitel
postup použití
doplnění skalárních proměnných (buněk v sešitu):
odhad parametru aproximačně regresní funkce Td (např. 50)
odhad parametru aproximačně regresní funkce T1 (např. 100)
doplnění vektorových proměnných (sloupců v sešitu):
yar(t) = 0 pro t Td
= 1 – exp(-(t-Td)/T1) pro t > Td
• e(t) (error, chyba) = yn(t) – yar(t)
Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
61
• e^2(t) = e(t)*e(t) („čtverce“ chyb)
– doplnění skalární proměnné (buňky v sešitu):
• Součet čtverců chyb = suma(e^2(t))
– využití funkce KDYŽ pro definování yar(t)
– nutno použít absolutní adresy pro Td a T1
Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
62
doplněný list
řešitel (řešič)
Nastavit buňku: kritérium optimalizace, nejčastěji součet čtverců odchylek
minimum / 0 (metoda nejmenších čtverců MNČ) – u nás buňka $I$1
Měněné buňky: parametry aproximačně-regresní funkce, v našem případě {Td, T1},
tzn. buňky $I$3:$I$4, ve kterých jsme uložili jejich první odhad
Po nastavení spustit výpočet - Řešit
Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
63
numerický výsledek
grafický výsledek
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 100 200 300 400 500 600 700 800
čas [s]
bezro
zm
ěro
vá k
on
cen
trace [
-]
primární data Sp1dzj - nMNČ
Výběr vhodných matematických modelů pro popis přechodových dějů
64
porovnání výsledků
Porovnání způsobů parametrické identifikace
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 100 200 300 400 500 600 700 800
čas [s]
be
zro
zm
ěro
vá
ko
nc
en
tra
ce
[-]
primární data
Klánova identifikace
Sp1dzj - NMNČ
Shrnutí pojmů kapitoly
Nelineární aproximační funkce, přechodové děje.
Aproximační model.
Strukturální, parametrická identifikace.
Otázky k probranému učivu
7.1 Charakterizujte dva způsoby hledání vhodných nelineárních aproximačních funkcí pro
popis přechodových dějů.
7.2 Načrtněte a popište schéma aproximačního modelu typu soustav\ SP2dz s přenosem
Gd(s).
7.3 Definujte rozdíl mezi strukturální a parametrickou identifikací fyzikálně adekvátních
modelů.
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
65
8. Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci
metalurgických procesů
Čas ke studiu: 4,5 hodiny
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
charakterizovat metodu plánovaného experimentu (DOE).
popsat obecné principy tvorby plánovaného experimentu.
rozhodnout se, zda je vhodné či ne metodu DOE použít.
sestavit plán DOE a získat relevantní výsledky.
Výklad
8.1 Základní pojmy, cíle, využití a nevyužití plánovaného experimentu
Součástí vývoje výrobků je sledování faktorů, které ovlivňují jejich konečné vlastnosti.
Jelikož faktorů, které ovlivňují proces výroby, je velké množství, zkoumá se vliv pouze
některých faktorů nebo pouze část jejich možných kombinací. Při dobře naplánovaném
experimentu lze získat z poměrně málo měření mnoho informací o procesu („za málo peněz
hodně muziky“).
Obr. 8.1 Schematické znázornění procesu se vstupem, výstupem a vstupními faktory.
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
66
Plánovaný experiment (DOE – Design of Experiment) je posloupnost zkoušek (jednotlivých
faktorů pokusů), ve kterých cílevědomě provádíme najednou změnu (více, či všech) vstupních
procesu a to proto, abychom mohli pozorovat a identifikovat odpovídající změny výstupní
proměnné – tzv. odezvy (response).
Faktory – jsou veličiny, které ovlivňují hodnoty sledované výstupní veličiny procesu. Faktor
může být měřitelná (kvantitativní, číselná, např. teplota, tlak apod.) nebo kategoriální
(kvalitativní, nečíselná, např. dodavatel, operátor, stroj, materiál apod.) veličina:
stroje nebo přístroje,
různé technologie nebo metody výroby,
používaný vstupní materiál,
operátoři nebo směny,
vše, co transformuje vstupní materiál na výstupní produkt
Hodnoty jednotlivých faktorů se nazývají úrovně faktoru. V případě měřitelných veličin jsou
vyjádřeny číselně, u kategoriálních veličin slovně (např. málo, mnoho), či pomocí číselných
kódů (např. -1 = materiál A, +1 = materiál B).
Náhodné vlivy – při opakovaném experimentu za stejných podmínek dochází ke kolísání
hodnot sledované veličiny, což způsobují náhodné vlivy. Jedná se o tzv. neřiditelné vstupní
faktory.
Odezva může obsahovat jednu nebo více jakostních (kvantitativních, měřitelných, číselně
definovatelných) charakteristik. Je to ta veličina nebo ty veličiny, jež sledujeme, abychom
zlepšili proces či uspokojili zákazníka.
Základní cíle plánovaného experimentu
Základních cílů DOE může být několik typů a lze je definovat následovně:
Určit ty faktory A, B, C,…, jež mají dominantní (podstatný) vliv na odezvu y.
Zjistit takové nastavení hodnot dominantních faktorů A, B, C,…, které umožní
dosáhnout požadované (nominální) hodnoty y.
Nastavit vstupní faktory tak, aby variabilita sledované proměnné y byla co nejmenší.
Stanovit takové hodnoty vstupních faktorů, jež minimalizují vliv neřiditelných faktorů.
SPC a plánovaný experiment (DOE)
Metody statistického řízení procesu (SPC) a metody plánovaného experimentu (DOE) jsou
dva velice silné nástroje pro zlepšení a optimalizaci procesů. Jsou ve velmi blízkém vztahu.
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
67
SPC je pasivní statistická metoda – pozorujeme proces bez promýšlených změn a
čekáme na nějaké informace, jež vedou
k prospěšné změně v procesu,
DOE je aktivní statistická metoda – provádíme promyšlené změny
v procesu a pozorujeme příslušné odezvy, abychom získali informace vedoucí ke zlepšení
procesu.
Využití DOE
Zlepšení výtěžnosti procesu.
Zmenšení variability procesu.
Redukuje dobu vývoje nového produktu.
Snižuje celkové náklady.
Vyčíslí dopady různých konfigurací ve výrobě.
Určí klíčové parametry ovlivňující výkonnost.
Nevyužití metody či metodiky DOE
Pokud principy metody DOE naopak nevyužijeme a použijeme tzv. selský rozum, metodu
„pokus-omyl“, či „expertní“ přístup, pak je třeba očekávat následující skutečnosti.
ztráta času a peněz (např. série pokusů se spékáním aglomerátu na pokusné pánvičce
trvá celkem déle než měsíc a stojí přibližně 250 tisíc Kč),
žádnou analýzou (statistickou, pomocí neuronových sítí, expertních systémů, či
genetických algoritmů) pak nelze „obejít“ špatně či nedostatečně připravený
experiment,
nepodchycení interakcí (tj. vlivu současného, synergického, neaditivního, ale
multiplikativního působení) faktorů při změně úrovně pouze jednoho faktoru v (tzv.
jednofaktorových, monoselektivních) pokusech (při současné udržování ostatních
faktorů na konstantních úrovních),
zbytečně mnoho vynaloženého času a peněz pro pokusy díky nadbytečností informací
způsobené nevhodným naplánováním pokusů experimentátorem (výzkumníkem,
technologem) – např. použitím výše uvedené metody změny pouze jednoho faktoru
v sériích pokusů experimentu.
Obecné principy vytváření DOE
Principy - techniky a typy experimentů metody DOE
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
68
Před samotným použitím metody DOE je třeba se dobře seznámit (nebo se poradit
s odborníkem) se základními principy, technikami a typy experimentů této metody, která je
poměrně rozsáhlá.
Při plánovaném experimentu se používají tyto tři techniky:
replikace (opakování pokusů),
uspořádání pokusů do bloků,
znáhodnění pořadí pokusů v experimentu.
Replikace je opakování (většinou jednonásobné a případně i vícenásobné, ale pak příliš roste
počet pokusů) měření (pokusů) při stejné úrovni nebo kombinaci úrovní faktorů. Používá se
pro odhad nepřesnosti měření (náhodných vlivů, neřiditelných vstupních faktorů), testování
adekvátnosti (vhodnosti, správnosti) empirického modelu a zvýšení spolehlivosti závěrů
analýzy.
Uspořádání pokusů do relativně homogenních bloků (poměrně stejných podmínek při konání
experimentu) znamená podchycení změny podmínek v průběhu experimentu – např. suroviny
z jedné dávky / vzorku / tavby, měření stejným přístrojem, vzorky odebrané během krátké
doby z nepřetržitého procesu (eliminace časového vlivu a vlivu opotřebení, stárnutí, driftu
apod.), různé laboratoře apod. Kdybychom tyto skutečnosti (nestejných podmínek pokusů)
zanedbali (nerozlišovali), zvětšili bychom chybu měření a variabilitu způsobenou rozdíly
s dopadem na snížení spolehlivosti závěrů analýzy.
Aby nevznikla systematická chyba (např. stejným pořadím úrovní faktoru v každém bloku,
vlivem časových vazeb parametrů), provedeme jednotlivé pokusy experimentu v náhodném
pořadí („vylosováním“). Tomuto postupu říkáme znáhodňování měření.
Celé schéma experimentu nazýváme znáhodněné bloky. Ty dovolují rozložit celkovou
variabilitu na složku odpovídající efektům úrovní zkoumaného faktoru, složku odpovídající
blokům a reziduální složku, jenž zahrnuje vliv ostatních činitelů.
V DOE lze definovat následující typy experimentů (tzv. plány):
úplné a zkrácené (tzv. nasycené a nenasycené) faktorové experimenty,
dvou, troj a víceúrovňové experimenty,
statické a dynamické plány,
simplexové plány,
optimální plány – kde jsou optimalizované hodnoty rozptylů vybraných parametrů
modelu při jeho analýze pomocí regrese na základě vlastností tzv. Fisherovy
informační matice. Patří mezi ně tzv. D-, E-, A-, G- a V-optimální plány. Např. D-
optimální plán minimalizuje hodnotu zobecněného rozptylu parametrů modelu,
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
69
polynomické, exponenciální a mocninné experimenty (modely),
„klasické“, Shaininovy a Taguchiho plány,
směsové plány (používané např. v chemii při zkoumání vlastností směsi v závislosti na
jejím složení za dodržení vazební podmínky zadaného konstantního součtu všech
elementů, podílů směsi, který je většinou rovný jedné = 100 %) .
Počet úrovní faktorů určuje typ (stupeň) dosažitelné nejvyšší mocniny empirického
(polynomického) modelu:
pomocí plánu se dvěma úrovněmi lze identifikovat pouze lineární modely (modely 1.
řádu) s interakcemi faktorů. Mezi speciální plány tohoto typu patří tzv. Plackettův-Burmanův
plán, což je zkrácený plán modelu 1. řádu pro 2 úrovně, kde počet měření n nemusí být
mocnina 2. Počet faktorů je n-1 a počet pokusů n je násobkem čísla 4,
při použití tří úrovní (kromě krajních bodů intervalu hodnot faktorů obsahuje i tzv.
centrální, středové body) už lze identifikovat (úplné) kvadratické modely (modely 2. řádu)
s interakcemi. Zde však příliš rychle roste počet pokusů (a tím i jejich čas provedení a cena) a
tak se používá kombinace 2/3 úrovňových plánů. Mezi speciální plány tohoto typu patří tzv.
Boxův-Behnkenův plán, což je plán modelu 2. řádu pro 3 úrovně. Na rozdíl od centrálně
kompozičního plánu nemá měření v rozích, ale uprostřed hran a je rotabilní,
používají se i víceúrovňové, konkrétně pěti úrovňové plány (jako rozšíření plánů 2
úrovňových) a tyto jsou nejčastěji používané v praxi. Lze jich rozdělit do tří základních typů
(a z nich vycházejících kombinací):
Centrálně kompoziční plán je celkem univerzální plán vzniklý rozvinutím 2-úrovňového
plánu o dva typy pokusů (bodů): tzv. hvězdicovité a centrální (středové). Je vhodný pro model
2. řádu (kvadratický) a navíc (pomocí vhodné volby parametru tzv. hvězdicovitého ramene)
může být ortogonální a/nebo rotabilní.
Ortogonální plán má pokusy sestavené tak, že jednotlivé faktory (sloupce tabulky obsahující
úrovně faktorů) jsou po dvojicích (vzájemně) ortogonální, tj. na sebe kolmé v prostoru.
Znamená to také jejich (statistickou) nezávislost s praktickým dopadem na zjednodušení
výpočtů a zvýšení spolehlivosti (statistické významnosti) odhadů regresních koeficientů
empirických modelů.
Rotabilní plán má pokusy sestavené tak, že jsou nezávislé na natočení souřadnic v prostoru
vstupních veličin. Použití takovéhoto plánu umožňuje identifikaci modelu s variancemi
(rozptyly) závislými pouze na vzdálenostech pokusů od centrálního (středového) bodu
experimentu. Rotabilní plány se konstruují jako rovnoměrné m-úhelníky (kde m = 6 nebo 8,
přičemž výhodou 8 úhelníkového plánu je, že v sobě obsahuje všechna měření ze 4-bodového
plánu, takže dřívější měření se dají použít). Avšak rotabilní plány nejsou ortogonální.
Postupy aplikace metody DOE
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
70
Po dostatečném seznámení se s metodou DOE je možné přistoupit k její aplikaci na řešený
problém. Je doporučeno použít následující postup:
A. Definice nebo popis problému
Není jednoduché vymyslet jasný a obecně přijatelný popis problému.
Pomoc se žádá od všech zúčastněných – inženýrů, kvalitářů, obchodníků, vedení, ale i
operátorů.
B. Stanovení sledované proměnné – response
Musí se vybrat taková proměnná (nebo proměnné), která poskytuje užitečnou
informaci o procesu.
Často se sleduje aritmetický průměr nebo směrodatná odchylka zákazníkem
požadované charakteristiky.
Způsobilost měřicího procesu je velice důležitá veličina, protože při malé přesnosti
měření se dají odhalit pouze velké efekty zvolených faktorů.
C. Výběr faktorů a úrovní
Nutná znalost procesu.
Osvědčuje se kombinace praktických zkušeností a teoretických vědomostí.
Musí se vybrat faktory, jež se budou v procesu měnit.
Vybrat důležité faktory, které jsou na sobě nezávislé (ze své podstaty).
V jaké oblasti se budou měnit.
Ve kterých hodnotách faktorů se budou provádět měření.
D. Výběr plánu experimentu
Musí se zvážit počet opakovaných měření.
Určit pořadí jednotlivých měření.
Zvážit výběr správného typu plánu.
E. Provedení experimentu
Musí se zvážit počet opakovaných měření.
Určit pořadí jednotlivých měření.
Zvážit výběr správného typu plánu.
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
71
F. Analýza dat
K analýze dat se používají statistické metody.
Výběr typu metod zpracování není nijak obtížný.
Konkrétní zpracování dat velmi usnadňují statistické softwary.
Výstupy jsou možné ve formě tabulek či grafů v jednoduché podobě.
G. Závěry a doporučení
Jakmile se provede analýza dat, experimentátor musí objasnit praktické závěry.
Pak je nutné doporučit postup další činnosti.
Závěry a doporučení, která se neodchylují od výsledků analýzy, jsou nestranná.
Mohou se však lišit od předpojatých názorů !
Iterační způsob poznávání procesu
Obr. 8.2 Schematické znázornění poznávání procesu.
Poznatky:
V prvním experimentu zjistíme - podle zkušenosti – překvapivě ne více než 25 %
dosažitelných informací!
Ze začátku jsme se jenom domnívali, že známe dominantní faktory.
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
72
Postupně zjišťujeme, které faktory musíme opravdu řídit, abychom ovládali proces.
Zjišťujeme, v jakém rozmezí musíme jednotlivé faktory udržovat.
Zjišťujeme, jak citlivé jsou jednotlivé faktory.
Zjišťujeme, kolik měření musíme provádět, abychom opravdu řídili proces.
Ze základního principu plánovaného experimentu vyplývá, že se nejprve ujasní, jaké
charakteristiky sledovaného procesu se budou sledovat a na míru tomuto plánu by se třeba
v případě ocelárny nastavily např. podmínky sekundárního zpracování oceli.
Je však zřejmé, že v provozních podmínkách je na různých úrovních inženýrské praxe nutné
analyzovat parametry ovlivňující výslednou kvalitu procesu, aniž by bylo možné výrazným
způsobem narušovat zavedené technologické postupy, což by mohlo vést v konečném
důsledku ke zhoršení výsledné užitné hodnoty ocelových výrobků a finančním ztrátám.
Je tedy nutné pomocí sběru již zaznamenaných provozních dat získat takové vhodné
informace, které umožní korektní matematicko-statistickou analýzu. Tyto setříděné provozní
záznamy však nemusí být využity pouze k provedení níže popisovaného plánovaného
experimentu. Další části však budou věnovány právě této metodě.
Cílem plánovaného experimentu (z hlediska metalurgie) je naučit se systematicky
kvantifikovat (určovat) vliv například různých faktorů sekundárního zpracování oceli při její
výrobě na její výslednou kvalitu.
Pomocí této metody je také možné zjistit, který z faktorů, ačkoliv byl původně zahrnut do
plánu experimentu, určitelný vliv (statisticky významný) nemá, což samozřejmě opět přispěje
k optimalizaci prověřovaného procesu.
Řešené úlohy
Řešený příklad č. 8.1
Pro demonstraci metody DOE je vhodné vyjít z nejjednoduššího a přitom užitečného plánu,
kterým je úplný faktorový experiment na dvou úrovních (hodnot) faktorů.
Postup při vytváření takovéhoto experimentu je dále prezentován a dokumentován na
vzorovém základním příkladu uvedeném v knize [Tošenovský & Noskievičová 2000, str. 71].
A. Definice problému
Sleduje se, kolik stlačení (Y) vydrží pružina až do zničení v závislosti na těchto faktorech:
L - délka pružiny (měřitelný faktor [cm]),
G - tloušťka drátu (měřitelný faktor [mm]),
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
73
T - typ materiálu (kategoriální faktor [-]).
Cílem je zjistit, které faktory jsou rozhodující pro životnost pružiny Y (což je v našem případě
odezva – response, vyjádřená jako jakostní měřitelná bezrozměrová veličina ve smyslu počtu
stlačení [-] do prasknutí pružiny).
Úplný faktorový experiment (či obecněji celý proces aplikace metody DOE) se skládá ze tří
fází:
přípravné – návrhové (krok 1 až 3),
experimentální (krok 4) a
výpočtové – analytické (krok 5 až 9)
1. Sestavení tabulky faktorů a jejich uvažovaných úrovní
V tab. 8.1 jsou přehledně uvedeny faktory s jejich (fyzikálním) významem, označením
(proměnné) a hodnotami dolní i horní úrovně.
Tab. 8.1 Faktory – jejich označení a úrovně.
Faktor Označení
- +
Dolní
úroveň
Horní
úroveň
Délka pružiny L 10 cm 15 cm
Tloušťka drátu G 5 mm 7 mm
Materiál T A B
2. Sestavení plánu experimentu
Existuje více způsobů jak sestavit plán, podle kterého se budou provádět jednotlivé pokusy.
Mezi nejpoužívanější patří plán úplného faktorového experimentu.
Počet pokusů, ze kterých je sestaven úplný experiment se vypočítá při k faktorech a dvou (2)
úrovních pomocí vztahu:
n = 2k (8.1)
Takže zde, při k = 3 faktorech, je počet pokusů (řádků) n = 23 = 8. Tabulka má proto 8 řádků.
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
74
Je vhodné pro samotný zápis faktorů a odezvy, jako i pro výpočty použit všeobecně dostupný
a používaný tabulkový procesor Excel.
Postupně tedy vepisujeme do sloupců níže uvedené tab. 8.2 jednotlivé úrovně faktorů
uvedené v tab. 8.1, a to takto:
u prvního faktoru se mění úrovně co krok (řádek),
u 2. faktoru co dva řádky („ob“),
u třetího co čtyři řádky atd. (obecně je počet stejných hodnot úrovní, stejných úrovní
pro k-tý faktor rovný 2(k-1)
),
Y je výsledek pokusu.
Tab. 8.2 Plán úplného faktorového experimentu
Y
1 10 5 A
Pokus L G T
3 10 7 A
2 15 5 A
5 10 5 B
4 15 7 A
6 15 5 B
7 10 7 B
8 15 7 B
3. Převod parametrů pružiny uvedené v plánu experimentu na kódované proměnné
Plán experimentu je výhodnější psát pomocí této symboliky:
Je-li každý z faktorů uvažován na dvou úrovních, pak dolní úroveň bude značena -1 (resp. jen
- ) a horní úroveň +1 (resp. jen +).
Přepočet původních proměnných xo (original – převzato z angličtiny) na tzv. kódované
(bezrozměrové) proměnné x se může provést nejen pro krajní hodnoty xo,min (x = -1) a xo,max
(x = +1), ale i pro hodnoty xo z intervalu mezi krajními hodnotami < xo,min, xo,max> pomocí
vztahu:
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
75
2
xx2
xxx
xmino,maxo,
mino,maxo,o
(8.2)
kde: x ... kódovaná proměnná,
xo ... proměnná v původních jednotkách,
xo,max ... horní úroveň xo v původních jednotkách,
xo,min ... dolní úroveň xo v původních jednotkách.
Například přepočet L pro dolní hodnotu 10 je:
1
2
10152
101510
L (8.3)
Například přepočet L pro horní hodnotu 15 je:
1
2
10152
101510
L (8.4)
Při sestavování plánu experimentu přímo v kódovaných proměnných se doporučuje
postupovat následujícím způsobem:
u 1. faktoru se po jednom střídají -1 a +1,
u 2. faktoru se střídají „záporné“ a „kladné“ dvojice,
u 3. faktoru jsou uvedeny čtveřice shodných znamének
Obecně je počet stejných znamének pro k-tý faktor 2(k-1)
. Původní tabulka 8.2 potom bude
mít přehlednější a jednodušší tvar (tab. 8.3).
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
76
Tab. 8.3 Plán úplného faktorového experimentu s kódovanými faktory.
T Y
1 -1 -1 -1
Pokus L G
-1
3 -1 1 -1
2 1 -1
-1
5 -1 -1 1
4 1 1
7 -1 1 1
6 1 -1 1
8 1 1 1
4. Provedení všech pokusů
Jestliže je plánem experimentu stanoveno, za jakých podmínek se provádí jednotlivé pokusy,
je možné provést celý experiment a zaznamenat hodnoty sledovaného ukazatele Y.
V našem případě (příklad namáhání pružiny) byl, v souladu s tab. 8.4, každý pokus opakován
dvakrát (výsledek Y1 a Y2, jejich průměr je Y). Opakování (replikace) umožňuje zvýšit
přesnost a predikční schopnost modelu podle metody DOE:
Tab. 8.4 Naměřené výsledky hodnot Y úplného faktorového experimentu
(místo hodnot -1 a +1 lze zapsat jen – a +)
Faktor Faktor FaktorPokus
Výsledek Výsledek Průměr
L G T Y1 Y2 Y
1 - - - 77 81 79
2 + - - 98 96 97
3 - + - 76 74 75
4 + + - 90 94 92
5 - - + 63 65 64
6 + - + 82 86 84
7 - + + 72 74 73
8 + + + 92 88 90
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
77
Provedením měření a sestavením tab. 8.4 skončily přípravné a experimentální práce. Dále
následují už jen analytické, matematicko-statistické výpočty. Jejich cílem bude stanovit, které
z faktorů ovlivňují významným způsobem životnost pružiny Y.
5. Sestavení tabulky interakcí
Dalším krokem je sestrojení tabulky interakcí jednotlivých faktorů – viz tab. 8.5. Pro určení
optimální úrovně faktorů a pro sestavení modelu je důležité rovněž znát, které dvojice faktorů
mají vzájemně významnou interakci. Proto se počítá také jejich vliv na Y.
Pro analyzované tři faktory {L,G,T} můžeme sestavit celkem 4 interakce, a to:
tři tzv. dvojné (mají dva členy) interakce: LG, LT a GT (interakce 2. řádu),
jednu tzv. trojnou (tři členy v součinu): LGT (interakce 3. řádu).
Znaménka ve sloupcích interakcí LG, LT, GT, LGT se získají jako součin znamének
v odpovídajících sloupcích (tab. 8.5).
Tab. 8.5 Interakce faktorů
Pokus L G T LG LT GT LGT Y
1 - - - + + + - 79
2 + - - - - + + 97
3 - + - - + - + 75
4 + + - + - - - 92
5 - - + + - - + 64
6 + - + - + - - 84
7 - + + - - + - 73
8 + + + + + + + 90
6. Výpočet efektů (vlivu) faktorů a jejich interakcí
Efektem faktoru se rozumí změna ukazatele kvality Y, kterou způsobí přechod tohoto faktoru
z dolní úrovně (-) na horní úroveň (+). U kódovaných faktorů je to změna o 2 jednotky,
z hodnoty –1 na +1.
Výpočet efektu faktoru se může provést různými způsoby. Jeden z používaných způsobů
spočívá v tzv. znaménková metodě:
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
78
sečtou se hodnoty ve sloupci Y, přičemž každá hodnota Y má znaménko, odpovídající
znaménku u příslušného faktoru v odpovídajícím řádku,
součet se vydělí vztahem 0,5.n (nebo n/2), kde n = počet pokusů (je to z výše
uvedeného důvodu změny faktoru o 2 jednotky, proto dělení dvěma).
Efekt faktoru L lze pak vypočítat takto:
L = (-79+97-75+92-64+84-73+90) / 4 = 18 (8.5)
Efekt faktoru LG lze pak vypočítat takto:
LG = (79-97-75+92+64-84-73+90) / 4 = -1 (8.6)
Vypočtené efekty faktorů doplníme do tabulky (tab. 8.6):
Tab. 8.6 Efekty faktorů
Faktor L G T LG LT GT LGT Prům.
Efekt 18,0 1,5 -8,0 -1,0 0,5 6,0 -0,5 81,75
Pokus L G T LG LT GT LGT Y
1 - - - + + + - 79
2 + - - - - + + 97
3 - + - - + - + 75
4 + + - - - - - 92
5 - - + + - - + 64
6 + - + - + - - 84
7 - + + - - + - 73
8 + + + + + + + 90
7. Zjištění statisticky vlivných faktorů a interakcí pomocí testu významnosti
V předcházející části byly vypočteny jednotlivé efekty a interakce sledovaných faktorů. Nyní
je potřeba pomocí testu významnosti stanovit, který z nich je pro ukazatel kvality významný.
Tento krok sestává ze čtyř dílčích kroků (A D):
A. Definování tzv. nulové a alternativní (opačné, anti) hypotézy:
Nulová hypotéza H0: efekt faktoru je nevýznamný
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
79
Alternativní hypotéza H1: efekt faktoru je významný
B. Testovací kritérium:
Aby bylo možné vypočítat testovací kritérium, je nutné zjistit směrodatnou odchylku výběru se.
Postup je následující:
Protože se každý z pokusů opakoval dvakrát, je možné z dvojic výsledků Y1, Y2 vypočítat
rozptyl v každém pokusu. Rozptyl každého pokusu lze (pouze !) při dvou opakováních
(replikacích) vypočítat snadněji (než s použitím definice rozptylu) pomocí vztahu: .
221
2 )(2
1YYsi (8.7)
Poté je třeba vypočítat pomocnou veličinu s2:
k
kk sss
...
...
1
22
112 (8.8)
kde: vi = ni – 1
ni je počet opakování i-tého pokusu,
symbol vi je rozptyl v i-tém pokusu.
Zde:
58
828282282
s (8.9)
Tab. 8.7 Vypočtené hodnoty rozptylu každého pokusu
s2
i
Číslo
pokusu
1 77 81 -4 8
Y1 Y2 Y1 - Y2
2 98 96 2 2
3 76 74 2 2
5 63 65 -2 2
4
82 86 -4
890 94 -4
7 72 74 -2 2
6
88 92 88 4
8
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
80
Rozptyl odhadu efektu (stejný pro všechny faktory) je roven
nsb
22 4 (8.10)
Z tohoto rozptylu odhadu efektu je nutné vypočítat směrodatnou odchylku sb
2bb ss (8.11)
Zde:
(8.12)
Pak můžeme konečně vypočítat testovací kriterium pro každý efekt podle vztahu (platného
však pouze pro 2 replikace a model se zařazením všech interakcí) :
Tab. 8.8 Efekt jednotlivých faktorů a jejich testovací kritérium
Faktor L G LG T LT GT LGT
Efekt 18 1,5 -1 -8 0,5 6 -0,5
t=efekt/se 16,07 1,34 -0,89 -7,14 0,45 5,36 -0,45
C. Kritická hodnota podle Studentova t-rozdělení
)(...21nnnn k
t (8.13)
kde: n1 , … nk jsou počty opakování pokusů, ni = 2, n je počet pokusů bez opakováni,
zde n = 8, je tzv. hladina významnosti. Nejčastěji se používá
= 0,05, což zjednodušeně řečeno znamená, že se dopustíme pouze 5 % chyby při
nesprávném zařazení efektů (faktorů) do skupiny významných (skutečně ovlivňujících
odezvu).
D. Závěr testu
Pro:
)(...21nnnni k
tt (8.14)
se zamítá nulová hypotéza, což znamená, že efekt (a tedy faktor) je statisticky významný.
V analyzovaném případě platí:
306,2)05,0()05,0()( 8816...21 ttt nnnn k
(8.15)
12,1,25,116
544 22
bb s
ns
s
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
81
Kritické hodnoty jsou tabelovány v knihách a skriptech o matematické statistice - např. v
[Tošenovský & Dudek 2001], anebo v dnešní době mohou být přímo obsaženy v příslušném
statistickém softwaru (např. v tabulkovém procesoru MS EXCEL je k dispozici funkce
TINV(;n) = TINV(0,05;8) = 2,306, viz takto vytvořenou níže uvedenou tab 8.9 pro = p
(pravděpodobnost, probability) a počet stupňů volnosti n).
V tomto případě bylo použito již zmiňované Studentovo t-rozdělení. Je-li tedy absolutní
hodnota testovacího kritéria každého efektu větší než kritická hodnota (tzn. 2,306), je daný
faktor statisticky významný. Kritickou hodnotu převyšuje v absolutní hodnotě testovací
kritérium faktorů L, T a interakce GT.
Tab. 8.9 Kritické hodnoty Studentova rozdělení určené pomocí MS EXCEL
n p 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005
1 3,078 6,314 12,706 25,452 63,657 127,321
2 1,886 2,920 4,303 6,205 9,925 14,089
3 1,638 2,353 3,182 4,177 5,841 7,453
4 1,533 2,132 2,776 3,495 4,604 5,598
5 1,476 2,015 2,571 3,163 4,032 4,773
6 1,440 1,943 2,447 2,969 3,707 4,317
7 1,415 1,895 2,365 2,841 3,499 4,029
8 1,397 1,860 2,306 2,752 3,355 3,833
9 1,383 1,833 2,262 2,685 3,250 3,690
10 1,372 1,812 2,228 2,634 3,169 3,581
11 1,363 1,796 2,201 2,593 3,106 3,497
12 1,356 1,782 2,179 2,560 3,055 3,428
13 1,350 1,771 2,160 2,533 3,012 3,372
14 1,345 1,761 2,145 2,510 2,977 3,326
15 1,341 1,753 2,131 2,490 2,947 3,286
16 1,337 1,746 2,120 2,473 2,921 3,252
17 1,333 1,740 2,110 2,458 2,898 3,222
18 1,330 1,734 2,101 2,445 2,878 3,197
19 1,328 1,729 2,093 2,433 2,861 3,174
20 1,325 1,725 2,086 2,423 2,845 3,153
21 1,323 1,721 2,080 2,414 2,831 3,135
22 1,321 1,717 2,074 2,405 2,819 3,119
23 1,319 1,714 2,069 2,398 2,807 3,104
24 1,318 1,711 2,064 2,391 2,797 3,091
25 1,316 1,708 2,060 2,385 2,787 3,078
26 1,315 1,706 2,056 2,379 2,779 3,067
27 1,314 1,703 2,052 2,373 2,771 3,057
28 1,313 1,701 2,048 2,368 2,763 3,047
29 1,311 1,699 2,045 2,364 2,756 3,038
30 1,310 1,697 2,042 2,360 2,750 3,030
31 1,309 1,696 2,040 2,356 2,744 3,022
32 1,309 1,694 2,037 2,352 2,738 3,015
33 1,308 1,692 2,035 2,348 2,733 3,008
34 1,307 1,691 2,032 2,345 2,728 3,002
35 1,306 1,690 2,030 2,342 2,724 2,996
36 1,306 1,688 2,028 2,339 2,719 2,990
37 1,305 1,687 2,026 2,336 2,715 2,985
38 1,304 1,686 2,024 2,334 2,712 2,980
39 1,304 1,685 2,023 2,331 2,708 2,976
40 1,303 1,684 2,021 2,329 2,704 2,971
50 1,299 1,676 2,009 2,311 2,678 2,937
Z tab. 8.9 je patrné, že čím je ve sledovaném výběru (zde v experimentu) více opakování a
pokusů, tím je kritická hodnota, kterou je nutné překročit pro dosažení statistické
významnosti, nižší.
8. Zjištění statisticky vlivných faktorů a interakcí pomocí grafické metody
Zvláště pokud se neprovádí opakování jednotlivých pokusů, ale i při jejich existenci (což je
vždy lepší), bývá používána grafická metoda určování významných faktorů. Graficky se
zobrazí vliv efektu na empirickou pravděpodobnost Pi, která je definována následovně:
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
82
mi
Pi)5,0(100
(8.16)
kde: i = 1,2, … m,
m je součet počtů faktorů a jejich interakcí (3+4=7).
Při použití grafické metody se postupuje tak, že se nejdříve vytvoří tabulka, přičemž do jejího
prvního řádku se vloží vypočítané efekty faktorů a jejich interakcí ve vzestupném pořadí. Do
druhého řádku se těmto efektům přiřadí hodnoty i od 1 do m, třetí řádek se pak dopočte podle
vztahu (8.16):
Tab. 8.10 Podklady pro grafické hodnocení významnosti efektů
Faktor T LG LGT LT G GT L
Efekt -8 -1 -0,5 0,5 1,5 6 18
i 1 2 3 4 5 6 7
Pi 7,14 21,42 35,71 50 64,29 78,57 92,86
Poté sestrojíme zmiňovanou grafickou závislost – viz obr. 8.11 (příklad s pružinou).
Normální pravděpodobnostní graf efektů
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-10 -5 0 5 10 15 20
efekt
Pi [%]
T
L
GT
Obr. 8.11 Grafické určení vlivných faktorů
Za významné se považují ty faktory, které se nacházejí výrazně mimo hlavní linii. Z grafu na
obr.1 je patrné, že mimo hlavní linii jsou ty faktory, u kterých testovací kritérium překročilo
kritickou hodnotu. Jsou to body L (nejvýrazněji), T a GT.
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
83
9. Sestavení výsledného modelu experimentu
Jakmile je stanoven efekt faktorů a jejich interakcí, je možné sestavit (empirický) model
experimentu. Kompletní model experimentu 23 s faktory L,G,T má tvar
LGTlgtGTgtLTltLGlgTtGgLlprumerY (8.17)
Koeficienty l, g, t, lg, lt, gt, lgt se vypočítají jako polovina příslušného efektu daného faktoru
resp. jejich interakce (v souladu s intervaly kódování –1 až +1 = 2). Absolutní člen je průměr
z průměrů všech pokusů.
Ve vlastním modelu experimentu jsou zařazeny jen zjištěné vlivné faktory a interakce, tzn. L,
T a GT.
Pro analyzovaný příklad proto platí vztah v kódovaných proměnných:
Y = 81,75 + 9.L – 4.T + 3.GT (8.18)
Pokud vyjdeme ze vztahu (1) pro výpočet (a přepočet) kódovaných proměnných z původních
proměnných, pak dostaneme:
TG
TL
Y oo
1
634
5,2
5,12975,81 (8.19)
Po úpravě získáme finální („smíšený“) vztah pro model experimentu s uvažováním původních
číselných proměnných Lo (délka pružiny) a Go (tloušťka drátu), jako i kódované nečíselné
(kategoriální) proměnné T (typ materiálu je číselně kódovaný jako A = -1, B = +1)
Y = 36,75 + 3,6.L0 – 22.T + 3.G0 .T (8.20)
Z výsledné rovnice modelu experimentu pro výdrž pružiny při namáhání je potřebné vyvodit
praktický závěr (jako doporučení pro výrobce, či nákupce, dodavatele), kdy je životnost
pružiny největší (kdy vydrží nejvyšší počet stlačení Y do prasknutí).
Jelikož z výsledné rovnice to není až tak jednoduše zřejmé, je vhodné využít původní hodnoty
(z tab. 8.1, ovšem zde s uvažováním kódovaných hodnot proměnné T, jako i z tab. 8.4) a
vypočtené predikované hodnoty (podle výše uvedené rovnice) v Excelu (soubor
Pr1_Excel.xls)
Z obr. 8.12 je jasně vidět odpověď na položenou otázku. Můžeme tedy (směle) formulovat
závěr, že pružina vydrží největší počet stlačení (má nejvyšší životnost) při:
horní úrovni délky (L0 = 15 cm),
dolní úrovni tloušťky drátu (pak G0 = 5 mm),
dolní úrovni typu materiálu (tj. materiál typu A).
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
84
Obr. 8.12 Predikce hodnot odezvy Y podle modelu v procesoru Excel
10. K čemu slouží model experimentu?
Model experimentu má mnohostranné použití. Mezi nejvýznamnější patří:
k určení lokálně optimálních hodnot faktorů – v případě pružiny pomůže
rozhodnout, jakou délku, průměr a materiál pružiny je nutno použít pokud požadujeme, aby
pružina vydržela určitý počet namáhání (stlačení),
k predikci ukazatele kvality Y – je možné dopředu předpovědět, kolik stlačení
pružina vydrží při dané kombinaci délky, průměru a materiálu.
F. Závěr
Na závěr je možné shrnout a ověřit probranou problematiku metodiky DOE pomocí
kontrolních otázek i kontrolního (cvičného, testovacího) příkladu a doporučit literaturu
k dalšímu a hlubšímu studiu.
Níže uvedený kontrolní příklad je vhodné si propočítat pomocí metodiky DOE za účinného
použití tabulkového procesoru Excel.
Úlohy k řešení
V malém podniku, kde vyrábějí kancelářské sponky, mají velké problémy. Zákazníci si
stěžují na malý počet možných ohybů – sponky brzy praskají.
Ředitel pověřil pracovníka zodpovědného za jakost, aby nedostatky dal do pořádku a co
nejdříve mu podal hlášení o vyřízení této nepříjemnosti.
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
85
Pracovník po konzultaci stanovil následující tři dominantní faktory:
dodavatel drátu,
velikost sponky,
tepelné ošetření drátu.
K těmto faktorům pak stanovil jejich dvě úrovně:
Dodavatel: firma 1, firma 2
Velikost: malá, velká
Tepelné ošetření: ne, ano
Typ plánu experimentu: pověřený pracovník se po domluvě s výrobou rozhodl, že:
provede ortogonální plán experimentu pro vybrané tři faktory,
vyhoví panu řediteli a provede nejmenší počet experimentů, aby spolehlivý výsledek
mohl ohlásit co nejdříve.
Po sestavení úplného faktorového dvou-úrovňového plánu s replikacemi
(z důvodu možnosti uskutečnění důležitého testu adekvátnosti modelu) bylo uskutečněno
testování („měření“) sponek s následujícími výsledky:
dodavatel velikost ohřev Počet ohybů
1. měření 2. měření
firma 1 malá ne 9 7
firma 2 malá ne 21 10
firma 1 velká ne 16 13
firma 2 velká ne 12 5
firma 1 malá ano 21 15
firma 2 malá ano 17 21
firma 1 velká Ano 22 26
firma 2 velká ano 18 18
Vyhodnoťte provedený experiment pomocí metodiky DOE („ručně“, pomocí tabulkového
programu Excel).
Definujte závěr - které faktory a interakce mají vliv na životnost (počet ohybů)
zkoumaných sponek?
Definujte doporučení pro ředitele – jaký drát na sponky a u kterého dodavatele
nakupovat?
Využití metody plánovaného experimentu (DOE) při algoritmizaci metalurgických procesů
86
Shrnutí pojmů kapitoly
Metoda plánovaného experimentu (DOE), faktor, úplný faktorový plán, úroveň.
Ukazatel kvality, kódovaná proměnná, interakce, efekt faktoru, test významnosti.
Otázky k probranému učivu
8.1 Co znamená zkratka DOE?
8.2 Co je cílem plánovaného experimentu?
8.3 Jaké jsou výhody využití metody plánovaného experimentu?
8.4 Který druh plánu experimentu patří mezi nejpoužívanější?
8.5 Co to jsou kódované proměnné?
8.6 Podle kterého vztahu určíme, kolik pokusů je nutné provést pro úplný plán
experimentu se dvěma úrovněmi hodnot faktorů?
8.7 Které další parametry, kromě významných faktorů ovlivňujících ukazatel kvality, se
snažíme rovněž nalézt?
8.8 Co rozumíme pod pojmem efekt faktoru?
8.9 Na základě čeho rozhodneme, zda vypočtený efekt faktoru je pro daný ukazatel
kvality významný nebo nikoli?
8.10 Co vše potřebujeme znát, abychom mohli významnost efektu faktoru prověřit?
8.11 Na základě čeho nakonec rozhodneme, který faktor je významný pro daný ukazatel
kvality?
8.12 Jak získáme vlastní model experimentu 23?
8.13 K čemu slouží metoda plánovaného experimentu?
8.14 Uveďte příklad, kde by bylo možné plánovaný experiment použít.
Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertory
87
9 Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertoru
v TŽ, a.s.
Čas ke studiu: 1 hodina
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
popsat model řízení tavby v kyslíkovém konvertoru.
definovat hlavní rysy výpočtu vsázky kyslíkového konvertoru.
Výklad
Dodavatelem původního řídicího systému pro KKO (hardware i software) byla švédská firma
ASEA.
Základní členění ASŘ KKO je dvouúrovňové a skládá se ze:
základní řídicí úrovně
nadřazení řídící úrovně
Obr. 9.1 Schéma systému řízení KKO v Třineckých železárnách, a.s.
Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertory
88
Základní řídicí úroveň je určena pro
sběr dat z procesu a jejich zasílání do počítače NŘÚ
ovládání následujících výrobních agregátů – plošinová váha na skládce šrotu C a na
korekčním šrotišti KKO, torpédováha u KKO, jeřábové
váhy na sázecích a licích jeřábech, kyslíková ventilová stanice,
kyslíková tryska, pomocná měřicí tryska (sublance), vnější a vnitřní doprava přísad do
konvertoru a pánve, plynočistírna, vakuovací stanice.
Nadřazená řídicí úroveň (také modelová úroveň) je určena pro
provozování modelů
záznam údajů o výrobě
komunikaci s obsluhou
Jádrem celého ASŘ KKO byl statický (příp. dynamický) model holandské firmy HTS
Hoogovens, pomocí kterého se prováděly následující výpočty
výpočet vsázky a dávkování přísad,
výpočet režimu hlavního dmýchání (množství kyslíku, intenzita dmýchání, polohování
trysky),
dynamický výpočet (u taveb v dynamickém režimu),
výpočet 2. dmýchání/dofuku,
aposteriorní výpočet (dolaďování modelu).
Mezi významná období provozování ASŘ KKO patří období od 3. čtvrtletí 1987 do poloviny
roku 1989, kdy se provozně využíval dynamický režim vedení tavby.
Ten spočíval v tom, že v průběhu hlavního dmýchání se automaticky provádělo měření
sublancí, ze kterého se využívaly údaje o teplotě lázně, solidifikační teplotě a výšce lázně
v konvertoru. Pomocí tohoto modelu se aktualizovaly podmínky pro dokončení hlavního
dmýchání tak, aby byly dosaženy cílové parametry tavby - zejména teplota oceli a obsah
uhlíku v oceli. Po stránce ASŘ byl tento režim zabezpečen na vysoké technické úrovni.
Hlavní příčinou ukončení provozování dynamického režimu a návrat ke klasickému režimu
vedení tavby s přerušením bylo nedostatečné odfosfoření oceli v závěrečné fázi dmýchání a
tím i značný počet dofuků z důvodu vysokého obsahu fosforu.
O obnově ASŘ KKO se začalo uvažovat již počátkem 90. let, kdy byla technicko-ekonomické
radě podniku předložena studie na obnovu ASŘ KKO, která byla posléze schválena. V této
studii se předpokládalo realizovat obnovu ve dvou etapách – nejdříve modernizovat ZŘÚ a
pak NŘÚ.
Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertory
89
V rámci přípravy obnovy NŘÚ se připravovala i obnova stávajícího statického a
dynamického modelu, který je jádrem NŘÚ. S ohledem na možnost nedostatku surového
železa pro KKO, např. během opravy VP, byl pro technologické výpočty zvolen model
americké firmy ZapTech, který umožňuje, spolu s odpovídající technologií, výrazně zvýšit
průsadu šrotu (snížit spotřebu surového železa) než dosavadní model. Mimoto nová
technologie umožňovala vlastní výrobu přísad do konvertoru (aglomerátů) s využitím
odpadových materiálů a náhradu dosavadních standardně používaných přísad (dolomitické
vápno, ruda) těmito aglomeráty.
Nový model byl zakomponován do budované NŘÚ na počítači ALPHA a v únoru 1999
předán do plného provozního využívání.
V současné době je výpočet vsázky možno realizovat v několika režimech. Základním
způsobem výpočtu vsázky je výpočet s proměnlivým množstvím šrotu a surového železa, se
strategií maximalizace průsady šrotu. Maximální množství šrotu na tavbu lze přitom
parametricky omezit (podle fy Zaptech je množství s.ž. ve vsázce dáno jeho dostupnosti,
pokud je, tak se zvyšuje jeho podíl, pokud není, lze pracovat s vyšší průsadou šrotu a vyšší
průsadou koksu do vsázky).
Hlavní rysy výpočtu vsázky KK
Množství koksu do vsázky model napočítává s využitím bilance síry do výše
přednastaveného množství (koks je zdrojem nežádoucí síry).
Cílový obsah C, na který je prováděn výpočet vsázky je dán požadovaným obsahem P
(při vyšších požadovaných obsazích fosforu lze ukončit dmýchání při vyšších obsazích
uhlíku, kritériem ukončení je 4
V závislosti na požadované teplotě a obsahu P model napočítává tavbu na cílové
parametry nebo na parametry v bodě přerušení.
V závislosti na obsahu Si v surovém železe, množství koksu na tavbu a hodnocení
vnitřního tvaru konvertoru model určuje samostatně režimy dávkování přísad a kyslíkové
režimy.
V případě, že dosažený obsah C po sfoukání tavby se odlišuje od vypočteného, model
provádí zpětný přepočet, kdy s přihlédnutím ke skutečným vsázkovým poměrům vypočítává
parametry oceli (teplota, obsah P, obsah S) na dosažený obsah C. Tato praxe umožňuje přesně
posoudit, nakolik vypočtené hodnoty souhlasí se skutečně dosaženými.
Na základě dosažených parametrů po sfoukání tavby a skutečně přidaných vsázkových
materiálů provádí model zpětný propočet tavby a automaticky koriguje vnitřní proměnné
mající vliv na výpočet vsázky a množství foukaného kyslíku. Struktura modelu umožňuje
definovat volitelné parametry individuálně pro jednotlivé konvertory. Pro simulaci výpočtů je
k dispozici fiktivní třetí konvertor.
Poznámka:
Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertory
90
Základní provozní údaje
Hmotnost tavby : 180-195 t
Množství nadmýchaného kyslíku: cca 50 m3/t (tj. 9000 m
3/tavbu)
– z bilance vychází 4,96 m3/100 kg
Intenzita dmýchání: 550 m3/minutu z toho doba dmýchání cca 16 minut
Moderní EOP (KES,CONARC) využívají již obdobných množství kyslíku na 1 t!!
Hardware systému
Jádrem nového systému je počítač ALPHA 4100 s operačním systémem Open VMS. Počítač
je dvouprocesorový (2xCPU 400 MHz) s operační pamětí 2x512 MB, systémovým diskem
2 GB a diskovým polem s využitelnou diskovou kapacitou 10 GB. Počítač je napojen na
podnikovou počítačovou síť vysokorychlostní počítačovou kartou FDDI (rychlost
100 Mbit/s).
Počítač je víceuživatelský, tzn., že je schopen současně obsloužit požadavky několika desítek
uživatelů, a víceprogramový, tzn., že je schopen současně provozovat několik desítek
programů, které nepotřebují zásah člověka. Systémové programové vybavení (operační
systém, komunikační programy, překladače programovacích jazyků a další) je produktem
firmy DEC. Mimoto byl použit moderní prostředek pro práci s informacemi – relační
databáze typu SQL – Oracle Rdb. Pro tvorbu systémových procedur byl použit programovací
jazyk C++.
Inovace kyslíkového konvertorového procesu TŽ, a.s.
Zvyšování průsady šrotu
Zvyšování průsady šrotu v kyslíkových konvertorech při klesající spotřebě tekutého surového
železa je jedním ze základních způsobů snižování nákladů při výrobě oceli v kyslíkových
konvertorech. Tato skutečnost vyplývá z velkého rozdílu mezi cenou tekutého surového
železa a cenou šrotové vsázky.
Ke zvyšování průsady šrotu byl již v minulosti používán koks do vsázky
– asi 2000 kg/tavbu. V současné době je jeho maximální množství na úrovni
4000 kg/tavbu.
Dalším výrazným zdroje zvyšování průsady šrotu je předehřev šrotu. K předehřevu je
používáno uhlí a kyslík. Je ohřívána pouze část šrotové vsázky, tj., první sázené
koryto. S využitím předehřevu je v obdobích souběžného provozování konvertorů
vyráběno více než 80 % taveb.
Průsada šrotu se obecně zvyšuje se snižujícím se obsahem S v surovém železe a
stoupajícím požadovaným obsahem S na konci dmýchání.
V podmínkách KKO se podíl šrotu ve vsázce pohybuje v rozmezí 15 až 35 % (průměr
cca 28 %). Nevýhodou zvýšeného prosazování šrotu je negativní vliv na dosahovanou
předváhu, která se zvyšuje z cca 1060 na 1150 kg/1t oceli (tzn. výtěžek oceli klesá z
Statický a dynamický model řízení tavby v kyslíkovém konvertory
91
0,94 na 0,87). Zejména silný vliv v této oblasti mají méně kvalitní druhy šrotu.
Spotřeba tekutého surového železa klesla z 820 kg/1t oceli na cca 800 kg/1t oceli.
Zvyšování obsahu MgO v konvertorových struskách
Zvyšování obsahu MgO v konvertorových struskách je jedním z prostředků zvyšování
životnosti vyzdívek konvertorů. Ke zvyšování obsahu MgO bylo původně používané vápno se
zvýšeným obsahem MgO 30 – 33 %. Od roku 1999 je jako zdroj MgO ve strusce používán
ocelárenský aglomerát. Obsah MgO ve strusce je proto proměnlivý v závislosti na obsahu
celkového železa ve strusce, bazicitě strusky, teplotě oceli a požadovaném obsahu P a S na
konci dmýchání.
Obsah MgO se pohybuje v rozmezí 5 – 15 % (průměrně 9 – 10 %).
Struskování vyzdívky
Struskování vyzdívky je operace, v průběhu níž dochází k nanášení na vyzdívku konvertorové
strusky s vysokým obsahem MgO. Nanesená struska vytváří na vyzdívce garnisáž, která
částečně chrání vyzdívku v průběhu následující tavby. Podmínkou použití struskování je
struska obsahující zvýšený obsah MgO, která je následně ještě dále upravována přísadou
uhličitanů a uhlíku. Úspěšnost struskování závisí na získání optimální hustoty strusky.
Samotné struskování probíhá tak, že konvertor je několikrát naklápěn na odpichovou a sázecí
stranu. Doposud nejvyšší životnosti vyzdívky bylo dosaženo v 254 kampani – 2401 taveb.
Ocelárenský aglomerát
Ocelárenský aglomerát s obsahem MgO asi 20 % není využíván jako ředidlo strusky, nýbrž
jako základní složka nahrazující vápno s vysokým obsahem MgO. Při výrobě aglomerátu je
používána celá řada odpadních produktů, což výrazně snižuje výrobní náklady.
Shrnutí pojmů kapitoly
Řídicí úrovně: základní, nadřazená.
Výpočet vsázky KK, zvyšování průsady šrotu, konvertorové strusky, struskování
vyzdívky, ocelárenský agregát.
Otázky k probranému učivu
9.1 K čemu slouží základní a k čemu nadřazená řídicí úroveň?
9.2 Jaké jsou možné cesty inovace kyslíkového konvertorového procesu?
Numerické modelování
92
10 Numerické modelování
Čas ke studiu: 2 hodiny
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
definovat analytický a statistický matematický model.
popsat základní přístupy k řešení matematického modelu proudění
skutečných tekutin.
stručně charakterizovat problematiku turbulentního proudění.
definovat modely turbulence.
popsat princip řešení matematických modelů a diskretizační techniky.
Výklad
Matematická podstata numerického modelování
Numerické modelování mnoha fyzikálních přenosových jevů v tekutině, tj. přenosu hmoty,
hybnosti (momentu), tepla, příměsí atd., je úzce spojeno s modelováním určité formy pohybu
matematickými prostředky – obvykle soustavou algebraických nebo diferenciálních rovnic –
matematický model.
Podle toho, zda mají modelové rovnice empirický charakter nebo jsou odvozeny z přírodních
zákonitostí, odvozujeme matematické modely statistické (experimentálně-statistické) a
analytické (odvozené na základě přírodních zákonitostí).
Analytický model
Podmínkou sestavení analytického modelu je znalost vnitřní struktury systému, tzn. znalost
přírodních zákonitostí probíhajících procesů a konstrukce zařízení, ve kterých procesy
probíhají.
Statistický model
Statistické modely jsou odvozeny z měření na reálných zařízeních a popisují chování systému
soustavou rovnic co nejjednoduššího tvaru (aniž se přihlédne k fyzikálně chemickým nebo
jiným zákonitostem, které v systému působí).
Numerické modelování
93
Při matematickém modelování má tedy model, na rozdíl od fyzikálního modelování, jinou
fyzikální podstatu než dílo.
Tab. 10.1 Výhody a nevýhody statistického a analytického model
Porovnání Statistické modely Modely odvozené z přírodních zákonů
Přednosti
Jednoduchý tvar
Parametry se snadno určují
Lze použít statistické
plánování pokusů
Snadná statistická analýza
chyb
Jednoduchá optimalizace
Reprodukování skutečných zákonitostí
Je možno extrapolovat
Parametry mají fyzikální smysl, často
je lze získat z nezávislých měření nebo
tabulek
Většinou malý počet parametrů
Nedostatky
Parametry nemají fyzikální
význam
Parametry nelze určit
nezávisle
Není možno extrapolovat
buď vůbec, nebo omezeně
Rovnice jsou většinou složité,
nelineární
Regresní výpočty a analýza chyb je
obtížná nebo není možná
Optimalizace je složitá
Obor
použití
Složité systémy, jejichž dílčí
pochody jsou zčásti neznámé
Vystižení chování systémů
v úzké oblasti (např. blízko
optima)
Jednoduché systémy, všechny dílčí
pochody lze vystihnout
Vystižení chování v širší oblasti
Proudění skutečných kapalin
Matematický model proudění skutečných kapalin
Výchozí rovnice, které popisují proudění skutečných kapalin, jsou vyjádřením základních
fyzikálních zákonů zachování hmoty, hybnosti a energie. Všechny rovnice lze formálně
vyjádřit zápisem
(10.1)
kde je proměnná a členy na pravé straně jsou postupně konvektivní, difúzní a zdrojový
člen, proto se nazývá také konvekčně-difúzní rovnice.
Proudění skutečných tekutin je ovlivněno vnitřním třením, které způsobuje, že se rychlost v
příčném řezu proudu mění.
Numerické modelování
94
Nulovou rychlost mají částice proudu, které jsou u stěny kanálu nebo potrubí, kdežto směrem
dovnitř proudu se rychlost zvětšuje, až v ose proudu dosáhne maximální hodnoty.
Na proudění skutečné tekutiny mají vliv především síly setrvačné Fs a síly tření Ft, takže
kritérium fyzikální podobnosti proudění je dáno poměrem těchto sil, tedy
(10.2)
Z uvedeného poměru setrvačných a třecích sil plyne známé Reynoldsovo kritérium Re , které
tak má určující význam pro stanovení základních druhů proudění zejména v potrubích.
Pro proudění v otevřených kanálech a korytech lze pak obdobným způsobem odvodit
kritérium Froudeho, jakožto vyjádření poměru sil setrvačných a tíhových.
Obecně rozeznáváme laminární proudění a turbulentní proudění. V případě jednorozměrného
proudění v potrubí tvoří hranici experimentálně určené kritické Reynoldsovo číslo Re,
definované vztahem
(10.3)
kde s je střední rychlost v potrubí, m.s-1
d - jeho průměr, m
v - kinematická viskozita, m2.s
-1
Kritická hodnota Rekrit pro potrubí kruhového průřezu je 2320.
Re ≤ Rekrit - v potrubí se vyvine uspořádané laminární proudění, pohyb se děje ve
vrstvách a částice tekutiny se nepohybují napříč průřezem.
Re ≥ Rekrit - proudění přechází v turbulentní.
2320 < Re < 4000 přechodová oblast
Při vyšších Reynoldsových číslech částice tekutiny konají neuspořádaný pohyb všemi
možnými směry. Tento pohyb je nepravidelný, náhodný a připomíná pohyb molekul plynu,
ale na rozdíl od molekul se částice tekutiny mohou rozpadat a ztrácet tak svou identitu.
Pohyb částic kolmo ke stěně zvyšuje tok hybnosti ke stěně, a proto je pokles tlaku ve směru
proudění mnohem větší než u laminárního proudění. Následkem promíchávání tekutiny jsou
rozdíly rychlosti na různých místech průřezu mnohem menší než u laminárního proudění
mimo oblast poblíž stěny.
Numerické modelování
95
U turbulentního proudění bylo na základě experimentálních měření zjištěno, že na stěnách
potrubí nebo obtékaného tělesa vzniká vrstva kapaliny s laminárním pohybem, tzv. laminární
podvrstva, jejíž tloušťka je několik desetin milimetrů.
Těsně za laminární podvrstvou je přechodová vrstva mezi laminární podvrstvou a
turbulentním jádrem, které tvoří další oblast turbulentního proudu. Laminární podvrstva a
přechodová vrstva tvoří turbulentní mezní vrstvu.
Na následujícím obrázku je znázorněna mezní vrstva při obtékání desky.
Obr. 10.1 Mezní vrstva při obtékání desky.
V přední části je mezní vrstva laminární, v zadní turbulentní, mezi nimi přechodová oblast.
Okamžitá hranice turbulentní mezní vrstvy - plná nepravidelná křivka - se s časem mění.
Střední tloušťka turbulentní mezní vrstvy je zakreslena čárkovaně.
Kritérium pro stanovení přechodu laminární mezní vrstvy na turbulentní je opět kritické
Reynoldsovo číslo, jehož hodnota se mění se stupněm turbulence proudu. Zpravidla se udává
(10.4)
kde xk je vzdálenost od náběžné hrany, ve které laminární mezní vrstva přechází do
turbulentní.
Je vidět, že stanovení typu proudění není zcela jednoduché a jednoznačné a záleží na
zkušenostech řešitele.
Numerické modelování
96
Tab. 10.2 Vybrané příklady typických hodnot Reynoldsova čísla.
Látka Re
Tok krve v mozku 1 x 102
Tok krve v aortě 1 x 103
Plavoucí člověk ve vodě 4 x 106
Letadlo 1 x 107
Plejtvák obrovský 3 x 108
Velká loď (Queen Elizabeth) 5 x 109
Navier -Stokesovy rovnice a rovnice kontinuity
Navier-Stokesovy rovnice spolu s rovnicí kontinuity popisují oba režimy proudění. V případě
nestacionárního nestlačitelného izotermního proudění mají následující tvar:
Rovnice kontinuity:
0
z
w
y
v
x
u (10.5)
Rovnice Navier-Stokesovy:
xf
z
u
y
u
x
uv
x
p
z
uw
v
uv
x
uu
t
u
2
2
2
2
2
21
yf
z
v
y
v
x
vv
y
p
z
vw
v
vv
x
vu
t
v
2
2
2
2
2
21
zf
z
w
y
w
x
wv
z
p
z
ww
v
wv
x
wu
t
w
2
2
2
2
2
21
(10.6)
kde x,y,z jsou souřadnice, 1
u,v,w - složky rychlosti, 1
p - tlak, Pa
f - složky vnější objemové síly, 1
Numerické modelování
97
Máme tedy čtyři rovnice pro čtyři neznámé, a protože tyto rovnice platí pro laminární i
turbulentní proudění, zdá se tím být problém identifikace tvaru proudění vyřešen.
Nicméně Navier-Stokesovy rovnice jsou obtížně řešitelné (pro svou nelinearitu) a pro většinu
aplikací jsou nezbytná zjednodušená numerická řešení.
Navíc turbulentní proudění, které je charakteristické kolísáním tlaku a rychlosti dokonce i u
stacionárního proudění, nemůže být na základě samotných Navier-Stokesových rovnic řešeno,
protože časová a prostorová stupnice turbulentních fluktuací je nad rámec možností řešení
pomocí numerických metod.
Na následujícím obrázku je vidět proměnné popisující turbulentní proudění vykazující
fluktuace jak v prostoru, tak v čase:
Obr. 10.2 Fluktuace proměnných popisujících turbulentní proudění
Přesto, že je turbulence náhodný proces, řada studií prokazuje, že lze u turbulentního proudění
zaznamenat sestavu prostorových struktur, které se obvykle nazývají tzv. „eddies“, nebo-li
turbulentní víry - viz obr. 10.3.
Obr. 10.3 Turbulentní vírová cesta generovaná obtékáním překážky
Numerické modelování
98
Turbulentní víry jsou charakterizovány délkovým měřítkem l (m), rychlostním měřítkem v
(m.s-1
) a rovněž tekutina, ve které dochází k turbulenci, má své molekulární vlastnosti, jako je
kinematická viskozita (m2.s
-1).
Poměr uvedených parametrů opět vede k sestavení známého Reynoldsova čísla. Provedeme-li
jeho úpravu, lze získat poměr časových měřítek
(10.7)
kde Tt označuje časové měřítko přenosu turbulentních vírů o délce l a Tv označuje časové
měřítko molekulární difúze.
Modifikací souborů rovnic pomocí časového zprůměrování těchto turbulentních vírů či
úplnou eliminací zanedbatelných fluktuací lze výpočet významně usnadnit.
Nicméně modifikované rovnice obsahují další neznámé proměnné, které lze stanovit
zavedením přídavných rovnic a empirických vztahů, jež společně s pohybovými rovnicemi
tvoří řešitelný systém, tzv. model turbulence.
Modely turbulence
Modely turbulence lze rozdělit do několika skupin podle:
charakteru proudění
metody sestavení matematického turbulentního modelu
přímá metoda DNS –The Direct Numerical Simulation Method,
metoda časového středování veličin turbulentního proudění RANS –
The Reynolds-averaged Navier-Stokes Method,
metoda velkých vírů LES – The Large Eddy Simulation Method, kdy jsou
filtrovány malé víry turbulentního proudění pomocí subgridních modelů.
z hlediska modelování turbulentní viskozity (Boussinesquova hypotéza) v proudovém
poli lze rozdělit modely turbulence do tří skupin nazvaných obvykle podle počtu doplňujících
diferenciálních rovnic, a to na:
nularovnicové modely (algebraické)
jednorovnicové modely
dvourovnicové modely
Numerické modelování
99
Matematické modely proudění vycházející ze základního rozdělení dle
charakteru proudění a způsobu metody jejich sestavení
Matematické modely proudění
Neviskózní proudění
DNS – Přímá simulace
Laminární proudění
DNS – Přímá simulace
Turbulentní proudění
DNS – Přímá simulace LES – Metoda velkých vírůRANS – Metoda časového
středování turbulentních veličin
Smagorinského model RNG modelBoussinesquova
hypotézaRSM model
Nularovnicový model Jednorovnicový model Dvourovnicový model
k-ε modely
Model směšovací délky Spalart-Allmaras model
k-ω modely
SST k-ω modelStandardní k-ω modelStandardní k-ε model RNG k-ε modelRealizovatelný
k-ε modely
Matematické modely proudění
Neviskózní proudění
DNS – Přímá simulace
Laminární proudění
DNS – Přímá simulace
Turbulentní proudění
DNS – Přímá simulace LES – Metoda velkých vírůRANS – Metoda časového
středování turbulentních veličin
Smagorinského model RNG modelBoussinesquova
hypotézaRSM model
Nularovnicový model Jednorovnicový model Dvourovnicový model
k-ε modely
Model směšovací délky Spalart-Allmaras model
k-ω modely
SST k-ω modelStandardní k-ω modelStandardní k-ε model RNG k-ε modelRealizovatelný
k-ε modely
Obr. 10.4 Členění matematických modelů používaných k numerickému modelování proudění
Metody sestavení modelů turbulence
Metoda DNS (Direct Numerical Simulation)
Použití pouze za určitých omezujících předpokladů
Vysoké nároky na kapacitu počítače z důvodu jemné výpočetní sítě
Počet uzlových bodů sítě prudce narůstá s rostoucím Re číslem
Metoda LES (Large Eddy Simulation)
Modelování velkých vírů, které lze zachytit sítí
Malé víry parametrizovány subgridními modely a odstraněny filtrací turbulentního
pole
Metoda RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes equations)
Metoda časového středování veličin turbulentního proudění a následně bilančních
rovnic
Numerické modelování
100
Obr. 10.5 Schématický rozdíl mezi DNS, LES a RANS metodou modelování turbulence
Nularovnicové modely turbulence
užívají jen parciálních diferenciálních rovnic pro výpočet hlavních turbulentních polí
neobsahují žádné diferenciální rovnice postihující transport turbulence
modely uvádějí do spojitosti turbulentní smykové napětí k určujícím podmínkám
proudění v každém bodě
Nedostatek - předpoklad lokální rovnováhy, tj. produkce turbulentní kinetické energie
je rovna rychlosti její disipace
Např. model směšovací délky
Jednorovnicové modely turbulence
postihují transport turbulentních parametrů diferenciální transportní rovnicí
vztah mezi turbulentní viskozitou a turbulentní kinetickou energií je doplněn
délkovým měřítkem
Např. model Spalarta-Allmarase
Dvourovnicové modely turbulence
nejjednodušší „kompletní“ modely turbulence
Numerické modelování
101
umožňují nezávisle řešit dvě samostatné rovnice – turbulentní viskozity a turbulentní
kinetické energie
Např. standardní k-ε model (nejčastěji užívaný při modelování proudění v
průmyslových aplikacích)
Numerické metody
Princip řešení diferenciálních rovnic proudění:
pokrytí geometrie řešené oblasti sítí
hledání diskrétního řešení v těchto dostatečně malých podoblastech základní
geometrie pomocí systému tzv. diferenčních (algebraických) rovnic.
rozdíl mezi řešeními diferenciálních a diferenčních rovnic je definován jako
diskretizační chyba e
Diskretizace – náhrada spojitého prostředí (kontinua) systémem diskrétních bodů, ve kterých
se soustředí fyzikální parametry popisující stav nebo vlastnosti příslušného místa kontinua.
Typy výpočetních sítí
Obr. 10.6 Typy strukturované sítě pro jednorozměrné, dvourozměrné a trojrozměrné oblasti.
Numerické modelování
102
Síť aplikovaná na geometrii řešené oblasti může být:
strukturovaná - vytvoření diskrétních nepřekrývajících se elementů, kdy hranice prvků
sousedí s jedinou hranicí sousedního elementu a síť tedy nelze libovolně zhušťovat.
nestrukturovaná - je využívána především dále uváděnou numerickou metodou
konečných prvků.
Obr. 10.7 Ukázka nestrukturované sítě.
Oba typy sítí lze konstruovat jak v kartézském pravoúhlém systému (výsledná oblast má tvar
obdélníku nebo kvádru), tak v systému křivočarém (vhodný pro oblasti ohraničené křivkami,
kružnicemi a podobně).
Obr. 10.8 Rozdíl mezi základním tvarem buňky vykresleným v kartézském systému a
křivočarém.
Praktická ukázka sítí je znázorněna na obr. 10.9, kde:
a) Pro jednodušší geometrie, quad/hex sítě poskytují meshes vysokou přesnost řešení s nižším
počtem buněk v porovnání s tri/tet sítí.
b) Pro komplexní geometrie, quad/hex sítě nemají numerické výhody, tri/tet sítě šetří čas při
tvorbě.
c) Trojúhelníková výpočetní síť pro odstředivé čerpadlo.
d) Hybridní síť pro válec s ventilem.
Numerické modelování
103
Obr. 10.9 Praktické příklady různých typů sítí.
Diskretizační techniky:
Metoda konečných diferencí
Metoda konečných objemů
Metoda konečných prvků
Metoda konečných diferencí
diskretizuje přímo diferenciální rovnici, přičemž postup řešení lze popsat následovně:
řešená oblast se pokryje sítí o konečném počtu nepřekrývajících se elementů,
v uzlových bodech jsou derivace nahrazeny diferencemi,
diferenciální rovnice jsou dále upraveny na soustavu algebraických rovnic,
následuje numerické řešení soustavy rovnic iterací,
Nedostatek – aplikace pouze na strukturované sítě.
Numerické modelování
104
Metoda konečných objemů
numerická metoda pro řešení parciálních diferenciálních rovnic, která počítá průměrné
hodnoty proměnných napříč objemem buňky a diskretizuje přímo integrální rovnici. Princip
spočívá v:
dělení oblasti na diskrétní objemy užitím obecné křivočaré sítě,
bilancování neznámých veličin v individuálních konečných objemech a diskretizaci,
numerické řešení diskretizovaných rovnic v obecném tvaru,
Výhoda – použití pro jakýkoliv typ sítě.
a) b)
Obr. 10.10 Ukázka konečného označení konečných objemů (a) a způsob bilancování
počítaných veličin v těchto individuálních konečných objemech (b).
Metoda konečných prvků
používána pro nalezení aproximovaného řešení parciálních diferenciálních i integrálních
rovnic. Postup řešení je založen na:
triangulaci vyšetřovaného tělesa,
násobení diferenciální rovnice bázovými funkcemi - převedení na řešení soustavy
lineárních (popř. nelineárních) algebraických rovnic,
integrace přes konečné elementy,
vhodná volba pro řešení parciálních diferenciálních rovnic na složitých oblastech
(jakými jsou např. automobily či potrubní rozvody).
Numerické modelování
105
Obr. 10.11 Ukázka způsobu triangulace vyšetřovaného tělesa při použití metody
konečných prvků.
Shrnutí pojmů kapitoly
Matematické (numerické) modelování.
Matematický model: analytický nebo statistický.
Matematický model proudění skutečných kapalin; Kritické Re.
Turbulentní proudění: mezní vrstva, víry, modely turbulence.
Diskretizační techniky numerických metod – konečné: diference, objemy, prvky.
Otázky k probranému učivu
10.1 Vysvětlete princip numerického modelování.
10.2 Definujte analytický a statistický matematický model.
10.3 Jaké jsou výhody a nevýhody analytického a statistického matematického modelu.
10.4 Z jakých rovnic vychází matematické modely proudění skutečných kapalin?
10.5 Jaké typy proudění (na základě Rekrit) znáte?
10.6 Jaké metody stanovení modelů turbulence znáte?
10.7 Jaké diskretizační techniky využívané při numerickém modelování znáte?
Numerické modelování – CFD programy
106
11 Numerické modelování – CFD programy
Čas ke studiu: 2 hodiny
Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět
definovat CFD programové systémy.
porovnat výhody a nevýhody numerického modelování vs. fyzikální
modelování a provozní experiment.
popsat jednotlivé fáze numerického modelování.
Výklad
Programové systémy CFD
CFD (Computational Fluid Dynamics – Výpočetní dynamika kapalin) je nástroj využívající
počítače k simulacím chování systémů, které zahrnuje proudění tekutin, sdílení tepla a jiné
doplňující procesy. Je založena na řešení rovnic mechaniky tekutin ve výpočtové oblasti se
specifikovanými okrajovými, respektive počátečními podmínkami. SolidWorks.
CFD jak se často tato výpočetní metoda označuje, umožňuje pomocí matematických
zákonitostí obecně modelovat proudění tekutin. Tedy můžete vytvořit virtuální model zařízení
či procesu a sledovat vývoj proudění v takto namodelovaném prostředí. Lze tedy snadno
odhadnout chování média nebo tvarově optimalizovat součást.
a) b)
Obr. 11.1 Srovnání reálného charakteru proudění (a) s numerickou simulací (b).
Numerické modelování – CFD programy
107
CFD nabízí vědeckým pracovníkům možnost využití „virtuální laboratoře“ pro získání
porovnání s výsledky získanými měřením na reálném systému či z fyzikálního modelování.
Výhodou použití CFD programů je možnost simulovat a verifikovat procesy složitě (obtížně)
řešitelné v reálných podmínkách, možnost měnit geometrii zkoumané oblasti, okrajové či
fyzikální parametry. Při numerickém modelování je rovněž vyloučeno riziko ohrožení zdraví
při provádění experimentů doprovázených extrémními teplotami, radiací a podobně.
Tab. 11.1 Porovnání výhod a nevýhod numerického modelování vs. fyzikální modelování a
provozní experiment.
Numerické modelování Fyzikální modelování Měření na reálném
systému
Výhody:
Libovolná změna geometrie
Možnost změny okrajových a
fyzikálních parametrů
Možnost vizualizace proudových
polí v řezech geometrie
Nevýhody:
Výsledky závislé na volbě
matematického modelu, definici
okrajových a fyzikálních podmínek
(ne vždy jsou dostupné)
Získání výsledků, které je nutné
ověřit na reálném systému
Časově náročné, vysoké nároky na
kvalitu vstupních parametrů a
správnou interpretaci výsledků
Výhody:
Simulace na zmenšeném
modelu reálného systému
Relativně rychlé ověření
chování reálného systému
Nevýhody:
Nároky na prostorové
možnosti konstrukce
modelové aparatury
Omezené použití z důvodů
extrémních reálných
okrajových podmínek
Obdržené výsledky je nutno
ověřit na reálném systému,
případně numerickým
modelování
Výhody:
Získání přesných
výsledků o chování
systému
Nevýhody:
Finančně a časově
náročné
Nelze provést měření
náročných reálných
procesů (teploty,
radiace)
Mezi nejznámější a nejpropracovanější CFD programy patří ANSYS FLUENT, FIDAP,
POLYFLOW, FloWizard aj.
Postup numerické simulace v CFD programu ANSYS FLUENT
ANSYS FLUENT je program, který umožňuje řešit nejrůznější úlohy z oblasti proudění,
přenosu tepla a spalování.
Numerické modelování – CFD programy
108
Speciální matematické modely softwaru umožňují modelovat multifyzikální úlohy z oblasti
metalurgie, energetiky, leteckého a automobilového průmyslu, procesního inženýrství atd.
Postup celého modelování je vždy rozdělen minimálně do tří fází. První zahrnuje
Preprocessing tzn. přípravu modelu (geometrie, fyzikální, materiálový model, okrajové
počáteční podmínky, definice fyzikální podstaty úlohy, časově závislé úlohy atd.), druhá
samotný výpočet - Solving a poslední pak Postprocessing – zpracování a zobrazení výsledků.
Pre-processing (přípravná fáze):
Definice cílů
Vymezení modelované oblasti
Tvorba geometrie mezipánve
Generace výpočetní sítě
Specifikace vstupů, výstupů a stěn modelované oblasti
Import výpočtové oblasti do CFD programu
Volba fyzikálního modelu
Specifikace fyzikálních vlastností proudícího média
Specifikace okrajových podmínek
Processing-Solving (fáze řešení): vlastní numerické řešení
Post-processing (analytická fáze):
vizualizace výpočtové oblasti a sítě
tvorba vektorových obrázků
vizualizace skalárních veličin
tvorba grafů
kvalitativní numerické výpočty
tvorba animací
Preprocessing – tvorba geometrie a generace výpočetní sítě
Zahájení numerické simulace proudění je podmíněno popisem geometrie řešené oblasti a
vytvořením diskrétních nepřekrývajících se elementů, konečných objemů.
Geometrická data vytvořená v CAD systémech (CAD, CATIA, I-DEAS,
Pro/ENGINEERING) jsou do simulačních programů či externích preprocesorů vkládána
transportem. Současná normovaná rozhraní mezi CAD a simulačním programem jsou typu
IGES, DXF, VDA-FS, STEP, STL
Numerické modelování – CFD programy
109
Obr. 11.2 Ukázka geometrie mezipánve vytvořené v prostředí CAD softwaru CATIA V5
Pro geometricky složité výpočtové oblasti je nutné pro tvorbu geometrie a sítě použít externí
preprocesor např. GEOMESH, TGrid či GAMBIT aj.
Obr. 11.3 Ukázka tvorby geometrie a sítě v prostředí preprocesoru GAMBIT postupným
zadáváním bodů, spojováním těchto bodů v úsečky, úseček v plochy a plochy v objemy.
Numerické modelování – CFD programy
110
Obr. 11.4 Ukázka geometrie mezipánve vytvořené v prostředí preprocesoru GAMBIT
Generování nestrukturované výpočetní sítě, tzn. vytvoření diskrétních nepřekrývajících se
elementů, konečných objemů je prováděno postupně pro úsečky, plochy a objem.
V kritických místech geometrie jako např. v okolí výtokových uzlů, výlevek, koutů je vhodné
provést zjemnění sítě – viz obr. 11.5.
Velmi důležitým krokem uskutečněným v preprocesoru GAMBIT aj. je specifikace vstupů,
výstupů a stěn modelované oblasti z důvodu následného zadávání okrajových a operačních
parametrů v řešiči (např. ve FLUENTu).
Hotová výpočtová oblast je ukládána ve formátu *.msh a importem načítána v prostředí CFD
programu FLUENT.
Po importu geometrie a sítě zkoumaného systému do prostředí CFD programu FLUENT
může být zahájen výběr formulace řešení, výběr základních rovnic (rovnice proudění, rovnice
chemických reakcí, modely přenosu tepla), specifikace materiálových vlastností, okrajových
podmínek, úprava kontrolních parametrů řešení, inicializace polí proudění a proveden vlastní
výpočet řešení.
Numerické modelování – CFD programy
111
Obr. 11.5 Pohled na výpočetní síť vygenerovanou na některých plochách mezipánve
pomocí preprocesoru GAMBIT 1.1.
Prostředí FLUENTu je založeno na zadávání jednotlivých parametrů buď výběrem z nabídky
roletového menu nebo přímo příkazem v zadávacím řádku.
Preprocessing –definice fyzikálního modelu, volba modelu turbulence
Po importu geometrie je potřeba v řešiči specifikovat charakter proudícího média:
laminární či turbulentní proudění,
stacionární či neustálené podmínky,
přenos tepla, vliv konvekce
stlačitelné či nestlačitelné medium,
aplikovatelnost dalších fyzikálních modelů
přenos stopovacích částic
radiace, solidifikace atd.
Od nastavené hodnoty operačního tlaku se odvozují hodnoty tlaku zadávané na okrajových
tlakových podmínkách.
Gravitační zrychlení, operační teplota a hustota jsou parametry nutné pro zahrnutí vlivu
přirozené konvekce.
Hustota může být definována v závislosti na teplotě.
Numerické modelování – CFD programy
112
Obr. 11.6 Ukázka způsobu zadávání typu proudění a výběru modelu turbulence.
Obr. 11.7 Ukázka zadávání operačních podmínek v CFD programu FLUENT.
Numerické modelování – CFD programy
113
Preprocessing – stanovení materiálových vlastností
Nezbytným předpokladem úspěšné simulace zkoumaného procesu je správná specifikace
materiálových vlastností proudícího média.
I přes dnešní širokou nabídku materiálových charakteristik různých chemických látek je velmi
obtížné definovat konkrétní fyzikální vlastnosti (např. pro různé jakosti ocelí, které jsou
zastoupeny značnou škálou kombinací chemického složení).
Materiálové vlastnosti proudícího média lze definovat:
Použitím nabídky databáze materiálu CFD programu FLUENTu
Parametry definovanými na základě literárních zdrojů
Odvozením fyzikálních vlastností pomocí IDS – SW finských autorů (Miettinen ad.)
Z fyzikálně-matematických tabulek
Laboratorním měřením
Fyzikální vlastnosti materiálů nemusejí být definovány jako konstantní veličiny, ale mohou
nabývat hodnot definovaných funkcí, tabulkou atd.
Obr. 11.8 Ukázka definování fyzikálních vlastností taveniny oceli
v prostředí CFD programu FLUENT.
Preprocessing–definice okrajových podmínek
Obdobně jako u materiálových vlastností nemusí okrajové podmínky představovat jen
konstantní veličiny, ale mohou nabývat opět hodnot definovaných funkcí, tabulkou atd.
Numerické modelování – CFD programy
114
Výpočtovou oblast lze rovněž zjednodušit uplatněním podmínky symetrie či periodicky se
opakujícími podmínkami.
Obr. 11.9 Ukázka specifikace vstupních okrajových parametrů výpočtu.
Processing –Solving
K numerickému řešení rovnic definujících proudění tekutin lze v prostředí programu
FLUENT užít nejstarší diferenční metodu, či metodu konečných objemů nebo v poslední
době prosazovanou metodu konečných prvků.
Cílem výpočtu definované úlohy je dosažení konvergentního řešení. Mírou konvergence jsou
residuály (součet změn počítané veličiny v rovnici pro všechny buňky v oblasti), které jsou
vyhodnocovány pro všechny počítané veličiny v každém kroku iterace.
Obecně úloha dobře konverguje, jestliže se reziduály snižují řádově k hodnotě 1.10-3
a
entalpie k hodnotě 1.10-6
.
Kvalita výpočtu a jeho rychlost jsou ovlivňovány:
Nastaveným modelem turbulence
Kvalitou sítě, resp. její hustotou
Nastavením hodnot reziduálů počítaných veličin
Numerické modelování – CFD programy
115
Nastavením relaxačních parametrů – relaxační parametry redukují změny počítané
proměnné v každé iteraci (iterace v matematice znamená proces opakovaného použití funkce).
Jsou-li změny residuálů velké během jedné iterace – nastavení malého relaxačního
faktoru – tlumí se nelinearita výpočtu.
Pokud se residuály počítané proměnné stávají konstantní – vhodné zvětšit hodnotu
relaxačního faktoru – urychlení výpočtu.
Řešení – stacionární
Výpočet může vyžadovat velký počet iterací, než je dosaženo konvergence.
Řešení je považováno za zkonvergované, jsou-li změny klíčových hodnot malé.
Sledování konvergence zahrnuje:
Residua, Bodové hodnoty, Integrální bilance toků (hmotnostním, tepelný, atd.),
Integrální síly (odpor, vztlak, atd.).
Řešení – nestacionární
Nestacionární řešení je řešeno pomocí mezi-iterací v přechodu do dalšího časového stavu.
V každém časovém kroku by mělo být dosaženo konvergence před přechodem do dalšího
časového stavu.
Výběr vhodné délky časového kroku, která řeší daný problém:
Určení hodnoty času T charakterizující daný děj,
Výběr časového kroku jako vhodného podílu char. času T, např.Δ t = T /100.
Přizpůsobení časového kroku, aby bylo dosaženo konvergence během 0 - 20 iterací.
Měnění časového kroku podle “intenzity” změn, např. v počátečním stadiu.
Postprocessing – vyhodnocení výsledků
Nedílnou a velice podstatnou fází numerického modelování je zpracování a správná
interpretace výsledků.
Numerickou simulací lze obdržet jak datové (např. přechodové charakteristiky změny
koncentrace), tak grafické (profily vektorů proudění, teplot, změny koncentrace atd.)
výsledky.
Numerické modelování – CFD programy
116
Efektivním prostředkem znázornění profilů teplot, tlaků, charakteru proudění aj. je využití
animace, tj. promítnutí jednotlivých profilů jako spojitého procesu změny od výchozí až do
konečné hodnoty v čase.
a)
b)
Obr. 11.10 Ukázka zpracovaných datových výstupů simulace ve formě přechodové
charakteristiky změny koncentrace pro izotermické (a)
a neizotermické (b) proudění a hmotnost oceli 8 t.
Numerické modelování – CFD programy
117
Obr. 11.11 Ukázka zobrazení vektorů rychlostí proudění lázně v m.s-1
pro 15 t hmotnosti
oceli v mezipánvi a za izotermických podmínek v horizontálním řezu 0,2 m
nad dnem a vertikálních podélných a příčných řezech.
Kvalita obdržených výsledků je dána použitou hustotou sítě, zvoleným charakterem proudění
tekutiny a modelem turbulence, volbou intenzity turbulence, zadanými okrajovými a
fyzikálními podmínkami atd. jak je možno vidět i z následujícího obrázku.
a)
b)
c)
Obr. 11.12 Grafické porovnání výsledných proudových polí obdržených při řešení proudění
pro stejnou geometrii oblasti ale za použití rozdílných modelů turbulence:
a) neviskózní model, b)laminární model, c) turbulentní model.
Numerické modelování – CFD programy
118
Příklady použití CFD programů
http://www.ansys.com/products/fluid-dynamics/examples.asp#/0
Shrnutí pojmů kapitoly
CFD programy; preprocessing: geometrie, výpočetní síť, definice fyzikálního
modelu; volba modelu turbulence; operační podmínky; materiálové vlastnosti; okrajové
podmínky.
Processing – solving: stacionární, nestacionární výpočet; konvergence řešení.
Postprocessing.
Otázky k probranému učivu
11.1 Co znamená zkratka CFD v numerickém modelování?
11.2 Uveďte příklady CFD programů.
11.3 Jaké fáze preprocessingu znáte?
11.4 Jaký způsob vlastního výpočtu (processingu) můžete zvolit ze dvou možných?
11.5 Pro zdárné ukončení výpočtu je důležité, aby úloha konvergovala nebo divergovala?
11.6 Uveďte možnosti preprocessingu, jakých textových a grafických výstupů lze využít pro
hodnocení výsledků numerické simulace?