Modélisation et Analyse des systèmes par Bond Graphs

Modélisation et Analyse des

systèmes par Bond Graphs

Pr Haffaf Hafid

Laboratoire de Recherche en Informatique Industrielle et Réseaux

Un outil géneral de modélsation• Pour la modélisation des systèmes mécatroniques un outil pluri-

disciplinaire et unifié, modélisation hiérarchique

• Modélisation proche des systèmes physiques et thermodynamiques

• Pour l’analyse des propriétés structurelles des systèmes

(observabilité et commandabilité)

• Pour la conception des lois de commande

• Conformité avec les formalismes mathématiques connus de

modélisation analytique (hamiltonien, lagrangien, …

• Pour la simulation (couplage avec des logiciels dédiés) facilite la

simulation (couplage avec les outils classiques)

• Pour l’analyse de la surveillabilité des systèmes

• Offre une approche théorique fondamentale en tant qu’outil

graphique de base (graphe biparti, matroide, hypergraphe, ..)

• Se prête à une généralisation systémique (autre types de systèmes)

ainsi qu’à une modification (pseudo-BG)

Modélisation des systèmes

• Définition d’un modèle- Théorie / pratique

• Objectif d’un modèle

• Outils ou langages de modélisation

• Aspects de la modélisation (structurel, fonctionnel,

comportemental, ..)

• Niveaux d’abstraction

• Démarche méthodologique

• 1637 Descartes (le discours de la méthode)

• Modélisation des systèmes complexes: approche

systémique ou de conjonction (différente des systèmes

compliqués

• Exp de conjonction: Energie, Jeu, l’organisation, …

Domaines d’application Bond-graph

• Electro-mécanique

• Electro-hydraulique

• Acoustique

• Assemblages mécaniques

• Thermiques et thermodynamiques

• Robotiques

• Pneumatiques

• Systèmes d’information

• Economie

• ….etc

Modélisation multi-niveaux

• Niveau technologique

• Niveau phénoménologique

• Niveau mathématique

• Niveau informatique

En génie des procédés

Langage graphique

♦ unifié pour tous les domaines physiques et techniques ;

♦ fondé sur une étude des transferts de puissance au sein d’un système ;

♦ modélisant les systèmes à paramètres localisés.

Avantage par rapport à la modélisation analytique: modification

Permettant les approches

♦ fonctionnelle : bond graphs à mots ;

♦ structurelle : visualisation des propriétés de causalité ;

♦ comportementale : déduction des modèles mathématiques.

Modeling: Bond Graph Basic Elements

• The Power Bond: basé sur la thérmodynamique

The most basic bond graph element is the power arrow or

bond.

There are two generic variables associated with every power

bond, e=effort, f=flow.

e*f = power.e

fA B

Power moves from system A to B

Cas particulier un lien d’information ou bond dégénéré porte une seule variable

e

f

Modeling: Bond Graph Basics

• effort/flow definitions in different engineering domains

Effort e Flow f

Electrical Voltage [V] Current [A]

Translational Force [N] Velocity [m/s]

Rotational Torque [N*m] Angular Velocity

[rad/sec]

Hydraulic Pressure [N/m2] Volumetric Flow

[m3/sec]

Chemical Chemical Potential

[J/mole]

Molar Flow

[mole/sec]

Thermodynamic Temperature

[K]

Entropy Flow

dS/dt [W/K]

Domaine Effort e Flux f Moment p Déplacement q

Mécanique translation force F(N) vitesse V(m/s) impulsion p(N-s) déplacement x(m)

Mécanique rotation couple τ(N-m) vitesse angulaire

ω(rad/s)

impulsion angulaire

pτ (N-m-s)

angle ϴ(rad)

Hydraulique pression P(N/s²) débit volumique

Q(m3/s)

impulsion pression

pP (N-s/m²)

volume V(m3)

Électrique Tension U(V) courant i(A) flux magnétique Ф(V-s) charge q(A-s)

Thermodynamique

Acoustique

Chimie

Temperature T (k)

Pression N/m2

Potentiel chimique

Flux d’entropie W/K

Vitesse volumique Qv

Flux molaire

…

Implusion Ns/m2

Entropie S J/K

Volume v

Nombre de moles

Théorie des analogies

Éléments Bond-graphs

• Représentent les phénomènes énergétiques que sont:

• Source

• Dissipation

• Transformation

• Stockage

• Mesure ou détection

• Éléments ou noeuds de jonction

• Certains éléments sont dits 1-port d’autres n-ports

• Basé sur la théorie des analogies, ces phénomènes peuvent

concerner d’autres domaines que la physique

SE

SF

Element Résistif R

Stockage d’énergie: élement capacitif

Stockage de l’énergie: élément Inductif

Transformation de l’énergie

Modeling: Bond Graph Basic Elements

• Power Bonds Connect at Junctions.

• There are two types of junctions, 0 and 1.

0 11

2

3

45

11

12

13

Efforts are equal

e1 = e2 = e3 = e4 = e5

Flows sum to zerof1+ f2 = f3 + f4 + f5

Flows are equal

f11 = f12 = f13

Efforts sum to zeroe11+ e12 = e13

Éléments du langage bond graph: les jonctions

Les jonctions 0 et 1 représentent la mise en commun de l’effort et du flux

Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE

Tétraèdre de Paynter

e

f

p q

C

I

R

dt

dt

Moment généralisé Déplacement généralisé

effort

flux

• laCausalité determine la direction dans le bond des

variables effort et flux on a power bond.

• Le trait causal indique (par convention) le sens de

l’effort

Modeling: Bond Graph Construction

Causalité

e

f

f

e


Contraintes causales

e

fI

e

f sI1

f

eC

f

e

sC1

TF

GY

e1

f1e2

f2

e1

f1

e2

f2

e2=m * e1; f1= m *f2

f2 = r * e1; f1 = r* e2

e1= 1/m * e2; f2= 1/m *f1

e1 = 1/r * f2; e2 = 1/r* e1


Necessary Causality

0 11

2

3

45

11

12

13

e

Efforts are equal

f

Flows are equal

e1 = e3 = e4 = e5 ≡ e2 f11 = f13 ≡ f12


éléments de base & schémas blocs

e

Journées UPSTI – 2006 – Grenoble

I : m

1

m

1f edt

m

e

f

Se : F

e = F 0

e1

e2

e3e4

f1f2

f3

f4

2 1 3 4e e e e

2 1 3 4f f f f

f1f2

f3

f4

-+

++

e1

e2

e3

e4

TF : m

m

m

e1 e2

e1 e2

f1

f1

f2

Source d’effort

1 2

2 1

e me

f mf

Transformateur

Élément I Jonction 0

e

f2

e

f

f

Cas linéaire

1. Imposer la causalité aux sources et détetcteurs

2. Assigner les I et C en intégrale et propager

3. Si conflit causal revenir à l’étape 2 pour modifier

en causalité dérivée

4. Affecter au TF et GY et propager

5. Continuer sur toute la structure de jonction et

les éléments R

6. Si certains bonds restent non assignés (boucle

algébrique) assigner aléatoirement

Procédure SCAP:

assignation et propagation de la causalité


exemple de base


I : m1

m1m2

x

I : m2C : 1/k

k


exemple de base


I : m1

m1m2

x

I : m2

C : 1/k

0 : Fe1 e2

e3

f1 f2

f3

Système conservatif

1 2 3

1 2 3 0

e e e F

f f f

k

1 2 3

1 1 2 2 3 3

0

0

P P P

e f e f e f

or

donc


exemple de base


I : m1

m1m2

x

I : m2

C : 1/k

0 : F

e1 e2

e3

f1 f2

f3

k

Effort imposé par le ressort

Cinématique

du ressort


exemple de base


I : m1 I : m2

C : 1/k

0 : F

e1e2

e3

f1 f2

f3

1 : v2

R : m

e5 f5

e4

f4

m1m2

x

k

m

v1 v2

Prise en compte

des dissipations


exemple de base


I : m1 I : m2

C : 1/k

0 : F

e1e2

e3

f1 f2

f3

1 : v2

R : f

e5 f5

e4

f4

1 1

1

1f e dt

m

4 5 2 2

2 4 5

f f f v

e e e

1 4 3

3 1 4

e e e F

f f f

5 5e f m

2 2

2

1f e dt

m

3 3e k f dt

Théorème de la résultante

dynamique à m2

Cinématique

du ressort


Pignon

Crémaillère

Coulisseau

Cred wred

F0 v0

Ressort

Amortisseur

Instrument

F0 v0

F1 v1

TF : F1/2

1 : wred

1 : v0

0 : Fr

1 : v1

1 : v0

0 : Fa

I : m1

C : 1/k0R : f0

Approche structurelle

Théorème de la

résultante dynamique

au coulisseau

Théorème de la

résultante dynamique

à l’instrument


SE 1

R:R1

0

C:C1

1

R:R2

I:L1

SineVoltage1


SE 1

R:R1

0

C:C1

1

R:R2

I:L1

SineVoltage1

This bond graph is Causal

Règles de simplification

• Voir page 104 (Bond graph methodology)

• Définition d’un chemin causal

• Définition d’une boucle causale

• Définition d’une boucle de causalité

Modeling: Bond Graph Construction From

the System Lagrangian

• Power flow through systems of complex geometry is

often difficult to visualize.

• Force balancing methods may also be awkward due to

the complexity of internal reaction forces.

• It is common to model these systems using an energy

balance approach, e.g. a Lagrangian approach.

Question: Is there a method for mapping the Lagrangian of a

system to a bond graph representation?

0 VTL0

dt

d

ii qq

LL

Modeling: Lagrangian Bond Graph

Construction

1. Assume that the system is conservative.

2. Note the flow terms in the Lagrangian. The kinetic

energy terms in the Lagrangian will have the form ½

I * f 2 where I is an inertia term and f is a flow term.

3. Assign bond graph 1-junctions for each distinct flow

term in the Lagrangian found in step 2.

4. Note the generalized momentum terms.

5. For each generalized momentum equation solve for

the generalized velocity.

i

iq

p

L

iq

Modeling: Lagrangian Bond Graph

Construction (cont.)

6. Note the equations derived from the Lagrangian

show the balance of efforts around each 1-junction.

7. If needed, develop the Hamiltonian for the

conservative system.

8. Add non-conservative elements where needed on the

bond graph structure.

9. Add external forces where needed as bond graph

sources.

10. Use bond graph methods to simplify if desired.

BG exemple

Tank2

0

C:C1

De2

6

Tank1

0

C:C1

De1

2

Pump

MSf11

T2

On-Off

Valve1

1

R:R1

4

3 5

Valve 2

1

R:R1

Se17

8

9

PI

u1

On-off

USER

u3

PI

T1

Vo

QO

Ou

tflo

w t

o c

on

sum

er


Épreuve SI A Banque PT 2005 – partie 6 –


Icônes-diagrammedans 20-sim

Modélisation LFT

nqnqm II

uSHFy

,...,,,...,

,

111

H(S)

Δ

u yzw

Représentation LFT

Fonction de transfert

M

Δ

u yzw

Représentation LFT

Représentation d’état

11 1

,

: matrice augmentée d'état

,..., , ,...,nm q n q

y F M u

M

I I

La représentation Linear Fractional Transformations est une forme standard demodélisation des systèmes incertains qui regroupe tous les types d’incertitudes pouvantintervenir sur le système, des incertitudes due a la dynamique négligée, des incertitudesparamétriques, des incertitudes de modélisation des capteurs ou actionneurs. Δ : lapartie incertaine du modèle

Pseudo Bond-Graph

Hydraulic thermodynamics

Effort Pressure Temperature

Flow MassFlow Heat /Enthalpy Flow

Systèmes multi-ports: un élément Reçoit plusieurs liens

Systèmes multi-énergies: un lien peut porter plusieurs énergies

Représentation d’état (cas linéaire)

Déterminer le rang Bond-graph de A: nombre de variables indépendantes

Détecter la présence des boucles causales algébriques et/ou différentielles

Écrire les équations en utilisant les équations constitutives et celles des jonctions

Documents

Modélisation et Analyse des systèmes par Bond Graphs