MODUL STRUKTUR ALJABAR 1 - …math.fmipa.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2018/02/BAHAN-AJAR...Modul 5 Grup Siklis, Grup Permutasi Modul 6 Koset, Teorema Lagrange Modul 7 Subgrup Normal,

MODUL

STRUKTUR ALJABAR 1

Disusun oleh :

Isah Aisah, Dra., MSi

NIP 196612021999012001

Program Studi S-1 Matematika

Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Padjadjaran

Januari 2017

ii

DAFTAR ISI

1. Kata Pengantar

i

2. Daftar Isi ii

3. Deskripsi Mata Kuliah

iv

4. Modul 1 : Himpunan

Kegiatan Belajar 1 : Himpunan

Kegiatan Belajar 2 : Prinsip Inklusi dan Eksklusi

Latihan

Daftar Pustaka

1

15

17

21

5. Modul 2 : Relasi, Pemetaan, Sistem Matematika

Kegiatan Belajar 1 : Relasi

Kegiatan Belajar 2 : Pemetaan, Sistem Matematika

Latihan

Daftar Pustaka

22

32

42

43

6. Modul 3 : Grup

Kegiatan Belajar 1 : Grup

Kegiatan Belajar 2 : Sifat-sifat Grup

Latihan

Daftar Pustaka

44

53

57

58

7. Modul 4 : Subgrup

Kegiatan Belajar 1 : Subgrup

Kegiatan Belajar 2 : Pusat Grup

Latihan

Daftar Pustaka

59

67

71

72

8. Modul 5 : Grup Siklis, Grup Permutasi

Kegiatan Belajar 1 : Grup Siklis

Kegiatan Belajar 2 : Grup Permutasi

Latihan

Daftar Pustaka

73

83

94

95

iii

9. Modul 6 : Koset, Teorema Lagrange

Kegiatan Belajar 1 : Koset

Kegiatan Belajar 2 : Teorema Lagrange

Latihan

Daftar Pustaka

96

101

104

105

10. Modul 7 : Subgrup Normal, Grup Faktor

Kegiatan Belajar 1 : Subgrup Normal

Kegiatan Belajar 2 : Grup Faktor

Latihan

Daftar Pustaka

106

113

120

121

11. Modul 8 : Homorfisma Grup

Kegiatan Belajar 1 : Homorfisma

Kegiatan Belajar 2 : sifat-sifat Homomorfisma

Latihan

Daftar Pustaka

122

129

135

136

12. Modul 9 : Isomorfisma Grup

Kegiatan Belajar 1 : Isomorfisma Grup

Kegiatan Belajar 2 : Teorema Fundamental Isomorfisma

Latihan

Daftar Pustaka

137

141

153

154

iv

DESKRIPSI MATA KULIAH

STRUKTUR ALJABAR I

Mata kuliah Struktur Aljabar I merupakan salah satu mata kuliah untuk mencapai

kompetensi dasar penguasaan konsep-konsep utama meliputi : himpunan, sifat – sifat

bilangan bulat, ralasi, pemetaan, sifat – sifat pemetaan, permutasi, Grup, Subgrup, Grup

Siklis, Koset, Subgrup Normal, Grup Faktor, Homomorfisma grup dan Isomorfisma

grup.

Mata Kuliah Struktur Aljabar 1 mempunyai bobot 3 sks dan disajikan dalam 9

modul untuk 14 kali pertemuan. Setiap modul memuat penjelasan materi, contoh serta

soal-soal latihan.

Materi tersebut dirinci sebagai berikut :

Modul 1 Himpunan

Modul 2 Relasi, Pemetaan, Sistem Matematika

Modul 3 Grup

Modul 4 Subgrup

Modul 5 Grup Siklis, Grup Permutasi

Modul 6 Koset, Teorema Lagrange

Modul 7 Subgrup Normal, Grup Faktor

Modul 8 Homomorfisma Grup

MOdul 9 Isomorfisma Grup

Di akhir setiap modul diberikan latihan dan daftar pustaka, sehingga pembaca

dapat mencari dan menggunakan referensi tersebut untuk pemahaman lebih lanjut.

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini mahasiswa mampu membedakan(A) sebuah

grup berdasarkan operasi biner, mengkonstruksi isomorfisma dari 2 buah grup (C), dan

dengan bantuan software GAP dapat menyelidiki sebuah himpunan menjadi Grup (P).

v

i

KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan puji syukur ke hadirat Alloh SWT, akhirnya penulis

dapat menyelesaikan penyusunan Modul Ajar Struktur Aljabar 1 . Modul Ajar ini

berisi materi untuk perkuliahan Mata Kuliah Struktur Aljabar 1 pada jenjang S1

Program Studi Matematika. Materi berisi Struktur Grup beserta sifat-sifatnya,

Homomorfisma, serta Isomorfisma. Selain dari pada itu diberikan juga soal-soal

latihan untuk membantu mahasiswa memahami materi yang telah diberikan. Materi

dirancang dengan beban 3 SKS dalam satu semester. Materi dari Modul ajar ini

diambil dari beberapa sumber yang biasa dipergunakan untuk mempelajari Struktur

Aljabar.

Tujuan dari penulisan Modul ajar ini, yaitu untuk membantu para mahasiswa

mempelajari dasar-dasar struktur Aljabar ,dengan demikian mahasiswa diharapkan

mampu mengkaji lebih lanjut materi Struktur Aljabar 1.

Penulis menyadari banyaknya kekurangan dalam Modul ajar ini, untuk itu

penulis senantiasa mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan Modul ajar

ini. Walaupun demikan, semoga Modul ajar ini bermanfaat bagi yang

memerlukannya.

Jatinangor, Januari 2017

Isah Aisah

1

MODUL 1

HIMPUNAN

Materi ini merupakan materi prasyarat yang diperlukan untuk memahami materi-

materi yang ada dalam struktur Aljabar. Materi ini berisi pengertian Himpunan, sifat-

sifat Aljabar dari Himpunan

Kegiatan Belajar 1 : Pengertian Himpunan

Himpunan diartikan sebagai kumpulan dari obyek-obyek yang dapat diterangkan

dengan jelas.

Himpunan dinotasikan dengan sebuah huruf capital, sedangkan keanggotaan nya

dituliskan dengan huruf kecil. Misalkan S sebuah himpunan dan x adalah sebuah

objek di S, dikatakan x adalah anggota dari S, dan dinotasikan oleh x S, dalam kasus

x bukan anggota S dinotasikan oleh x S.

Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

Contoh 1.

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.

- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

- C = {a, {a}, {{a}} }

- K = { {} }

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }

- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

2. Keanggotaan

x A : x merupakan anggota himpunan A;

x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

K = {{}}

maka

3 A

5 B

{a, b, c} R

c R

{} K

{} R

Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka

a P1

a P2

P1 P2

P1 P3

P2 P3

3. Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U,

dengan A = {1, 3, 5}.

4. Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 4.

(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau

A = { x | x P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

5. Diagram Venn

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

U

1 2

53 6

8

4

7A B

1.3 Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinalitas dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau A

Contoh 6.

(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },

atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8

(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5

(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

Himpunan Kosong

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi : atau {}

Contoh 7.

(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}

himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}

{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan

kosong.

1.4 Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika

setiap elemen A merupakan elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A B

Diagram Venn:

U

AB

Contoh 8.

(i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3}

(iii) N Z R C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan

B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.

TEOREMA 1.1.

Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

(c) Jika A B dan B C, maka A C

A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya

(improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.

A B berbeda dengan A B

(i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

(ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian

(subset) dari B yang memungkinkan A = B.

1.5 Himpunan yang Sama

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya

setiap elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A.

Jika tidak demikian, maka A B.

Notasi : A = B A B dan B A

Contoh 9.

(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

1.6 Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika

kardinalitas dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B A = B

Contoh 10.

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4

1.7 Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak

memiliki elemen yang sama.

Notasi : A // B

Diagram Venn:

U

A B

Contoh 11.

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

1.8 Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya

merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan

A sendiri.

Notasi : P(A) atau 2A

Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Contoh 12.

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Contoh 13.

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari

himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.

1.9 Operasi Himpunan

a. Irisan (intersection)

Notasi : A B = { x x A dan x B }

Contoh 14.

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

maka A B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .

Artinya: A // B

b. Gabungan (union)

Notasi : A B = { x x A atau x B }

Contoh 15.

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

c. Komplemen (complement)

Notasi : A = { x x U, x A }

Contoh 16.

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

d. Selisih (difference)

Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B

Contoh 18.

(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

dan B – A =

(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)

Contoh 19.

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

Contoh 20. Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas

80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua

ujian di bawah 80.

(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q

(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q

(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q)

TEOREMA 1. 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A B = B A (hukum komutatif)

(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)

n

iin

AAAA1

21...

n

iin

AAAA1

21...

i

n

inAAAA

121...

i

n

in

AAAA1

21...

Sifat-sifat Aljabar Himpunan, Prinsip Inklusi dan Eksklusi

1. Hukum identitas:

A = A

A U = A

2. Hukum null/dominasi:

A =

A U = U

3. Hukum komplemen:

A A = U

A A =

4. Hukum idempoten:

A A = A

A A = A

5. Hukum involusi:

)(A = A

6. Hukum penyerapan (absorpsi):

A (A B) = A

A (A B) = A

7. Hukum komutatif:

A B = B A

A B = B A

8. Hukum asosiatif:

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

9. Hukum distributif:

A (B C) = (A B) (A

C)

A (B C) = (A B) (A

C)

10. Hukum De Morgan:

BA = BA

BA = BA

11. Hukum 0/1

= U

U =

Contoh 21 ;

Buktikan A B = B A

Penyelesaian :

Ambil sebarang, akan ditunjukkan A B B A

maka berdasarkan definisi Gabungan,

atau bias ditulis atau , sehingga ,

Jadi A B B A .

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa B A A B .

Dengan demikian maka terbukti bahwa : A B = B A

1.11 Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap

memberikan jawaban yang benar.

(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan

(identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan

komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti , ,

U, U , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka

kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

1. Hukum identitas:

A = A

Dualnya:

A U = A

2. Hukum null/dominasi:

A =

Dualnya:

A U = U

3. Hukum komplemen:

A A = U

Dualnya:

A A =

4. Hukum idempoten:

A A = A

Dualnya:

A A = A

5. Hukum penyerapan:

A (A B) = A

Dualnya:

A (A B) = A

6. Hukum komutatif:

A B = B A

Dualnya:

A B = B A

7. Hukum asosiatif:

A (B C) = (A B) C

Dualnya:

A (B C) = (A B) C

8. Hukum distributif:

A (B C)=(A B) (A C)

Dualnya:

A (B C) = (A B) (A C)

9. Hukum De Morgan:

BA = A B

Dualnya:

BA = A B

10. Hukum 0/1

= U

Dualnya:

U =

Contoh 22. Buktikan Dual dari (A B) (A B ) = A

Dengan menggunakan sifat (A B) (A B ) = A (B B ) = A U = A

Jadi (A B) (A B ) = A.

1.13 Multi Set.

Himpunan yang unsurnya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut multi set

(himpunan ganda).

Contoh:

A = {1, 1, 1, 2, 2, 3},

B = {2, 2, 2},

C = {2, 3, 4},

D = {}.

Multiplisitas dari suatu unsur pada multi set adalah jumlah kemunculan unsur

tersebut

pada multi set tersebut.

Contoh:

M = { 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1 },

multiplisitas 1 adalah 4 dan multiplisitas 2 adalah 3, sementara itu multiplisitas 3

adalah 2.

Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini

multiplisitas dari setiap unsurnya adalah 0 atau 1. Himpunan yang multiplisitas dari

unsurnya 0 adalah himpunan kosong.

Misalkan P dan Q adalah multiset, operasi yang berlaku pada dua buah multi set

tersebut adalah sebagai berikut :

a. P ∪ Q merupakan suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan

multiplisitas maksimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh :

P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

Maka P ∪ Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

b. P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan

multiplisitas

minimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh :

P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }

Maka P ∩ Q = { a, a, c }

c. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan

multiplisitas unsur tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, ini

berlaku jika jika selisih multiplisitas tersebut adalah positif. Jika selisihnya

nol atau negatif maka multiplisitas unsur tersebut adalah nol. Contoh :

P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f }

maka P – Q = { a, e }

d. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda,

adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan penjumlahan

dari multiplisitas unsur tersebut pada P dan Q.Contoh:

P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },

maka P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

Kegiatan Belajar 2 : PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI

Berkaitan dengan kardinalitas Himpunan, diperoleh beberapa rumus sebagai berikut:

Misalkan |P | menyatakan kardinalitas himpunan P, dan | Q | menyatakan kardinalitas

himpunan Q, maka

| P Q | | P | + | Q | - | P Q |

| P Q | | P | + | Q |

| P Q | min(| P | ,| Q |)

| P Q | | P | + | Q | - 2| P Q |

| P Q | | P | - | Q |

Untuk 3 buah himpunan hingga , maka

| P Q | | P | + | Q | + | R | - | P Q | - | P R| - | R Q | + | P Q

|

Secara Umum untuk himpunan-himpunan A1, A2, … , An kita peroleh

| A1 A2 | =

.

Contoh 23 :

Tentukan banyaknya bilangan bulat 1 –200, yang habis dibagi 2, 5, atau 7.

Tentukan banyaknya bilangan bulat 1-200 yang habis dibagi 2,5 tetapi tidak habis

dibagi 7.

Jawab :

Misalkan P = himpunan bilangan bulat 1- 200 yang habis dibagi 2

Q = himpunan bilangan bulat 1- 200 yang habis dibagi 5

R = himpunan bilangan bulat 1- 200 yang habis dibagi 7.

Maka

| P Q | | P | + | Q | + | R | - | P Q | - | P R| - | R Q | + | P Q |

= 100 + 40 + 28 - 20 – 14 – 5 + 2 = 131

Jadi banyaknya bilangan bulat 1 -200 yang habis dibagi 2, 5 atau 7 adalah 141

bilangan.

Contoh 24 :

Diantara 100 mahasiswa, 32 mempelajari matematika, 20 mempelajari fisika, 45

mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 7 mempelajari

matematika dan fisika, 10 mempelajari fisika dan biologi, dan 30 tidak mempelajari

satupun diantara

ketiga bidang tersebut.

a. Hitung banyaknya mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang tersebut?

b. Hitung banyaknya mahasiswa yang mempelajari hanya satu daintara ketiga

bidang tersebut?

Penyelesaian :

Misalakan M = himpunan mahasiswa yang mempelajari Matematika

F = himpunan mahasiswa yang mempelajari Fisika

B = himpunan mahasiswa yang mempelajari Biologi

Jadi | M | = 32, | F | = 20, | B | = 45, | , | , |

Dengan menggunakan Prinsip Inklusi dan Eksklusi :

| M F | | M | + | F | + | B | - | M F | - | M B| - | F B | + | M F |

| M F | = | M F | -| M | - | F | - | B | + | M F | + | M B| +| F B |

= 70 – 32 – 20 – 45 + 15 + 7 + 10 = 5

Jadi banyaknya Mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang tersebut sebanyak 5

orang.

Banyaknya mahasiswa yang hanya mempelajari Matematika adalah ;

| M | - | M F | - | M B| + | M F | = 32- 7- 15 + 5 = 15 orang

Banyaknya mahasiswa yang hanya mempelajari Fisika adalah :

| F | - | M F | - | F B | + | M F | = 20 – 7 – 10 + 5 = 8 orang

Sedangkan banyaknya mahasiswa yang hanyamempelajari Biologi :

| B | - | M B| - | F B | + | M F | = 45 – 15 – 10 + 5 = 25 orang

Jadi banyaknya mahasiswa yang mempelajari hanya satu diantara ketiga bidang

tersebut adalah 48 mahasiswa.

Latihan

1. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut Benar atau Salah

a.

b.

c. }

d. }

e. {a, b} {a, b, c, {a,b,c}}

f. {a, b} {a, b, c, {a,b,c}}

g. {a,b} { a,b,{a,b}}

h. {a,b} { a,b,{a,b}}

i. {a, } {a, {a, }}

2. Tentukan himpunan-himpunan berikut

a. }

b. }

c. } { a, }}

d. } { a, }}

e. { a, }}

f. { a, }}

3. Jika A = {a, b, {a,c}, }, tentukan himpunan-himpunan berikut:

a. A- {a}

b. A-

c. A – {

d. A – {a, b}

e. A – {a,c}

f. A- {{a,b}}

g. A- {a,c}

h. {a} – A

i. {a,c} – A

j. {a} – {A}

4. Tentukan Power Set untuk himpunan berikut:

a. {a}

b. {{a}}

c. {

5. Misalkan A= { . Periksa apakah pernyataan berikut ini Benar atau Salah

a. A)

b. A)

c. A)

d. { A

e. A)

f. { A

g. A)

h. A)

i. A)

6. Buktikan sifat-sifat Aljabar himpunan berikut:

a. A B = B A

b. A (B C) = (A B) C

c. A (B C) = (A B) (A C)

d. BA = BA

7. Tentukan Dual dari sifat berikut ;

a. A A = U

b. A A = U

c. A (A B) = A

d. A (B C) = (A B) C

e. BA = A B

8. (a) jika A sub himpunan dari B dan B subhimpunan dari C , buktikan bahwa A

subhimpunan dari C.

(b) Jika B A, buktikan bahwa A B = A

9. Diantara bilangan-bilangan bulat 1- 300, berapa banyaknya bilangan yang tidak

habis dibagi 3, 5 maupun 7?

10. Berapa banyaknya bilangan yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5

maupun 7?

11. Sebuah survey diadakan terhadap 1000 orang. Ternyata 595 anggota partai

demokrat, 595 memakai kaca mata, dan 550 menyukai es krim, 395 diantara

mereka adalah anggota partai demokrat yang memakai kaca mata, 350 anggota

partai demokrat yang menyukai es krim, dan 400 orang memakai kaca mata

dan menyukai es krim, 250 diantara mereka adalah anggota partai demokrat

yang memakai kaca mata dan menyukai es krim.

a. Berapa banyak diantara mereka bukan anggota partai demokrat , tidak

memakai kaca mata dan tidak menyukai es krim?

b. Berapa banyak diantara mereka yang anggota partai demokrat namun tidak

memakai kaca mata dan tidak menyukai es krim?

12. Diketahui bahwa di sebuah Universitas, 60 % diantara para dosennya bermain

tenis, 50% bermain bridge, 70% melakukan jogging, 20% main tenis dan

bridge, 30% main tenis dan melakukan jogging, dan 40% main bridge dan

jogging. Jika seseorang meng atakan bahwa 20% diantara para dosen

melakukan jogging, dan main bridge dan tenis, percayakah anda pada apa yang

dikatakan itu? Mengapa?

13. Diantara 130 mahasiswa , 60 memakai topi di dalam kelas, 51 memakai syal di

leher, dan 30 memakai topi dan syal. Diantara 54 mahasiswa yang memakai

sweater, 26 memakai topi, 21 memakai syal dan 12 memakai topi dan syal.

Mereka yang tidak memakai topi ataupun syal memakai sarung tangan.

a. Berapa banyak mahasiswa yang memakai sarung tangan?

b. Berapa banyak mahasiswa yang tidak memakai sweater memakai topi

namun tidak memakai syal?

c. Berapa banyak mahasiswa yang tidak memakai sweater tidak memakai topi

ataupun syal?

14. Diantara 50 mahasiswa disebuah kelas, 26 memperoleh nilai A dari ujian

pertama, dan 21 memperoleh A pada ujian kedua. Jika 17 mahasiswa

tidakmemperoleh A dari ujian pertama maupun ujian kedua, berapa banyak

mahasiswa yang memperoleh dua kali nilai A dari kedua ujian itu?

15. ( dari soal no 15) Jika banyaknya mahasiswa yang memperoleh A dari ujian

pertama sama dengan banyaknya mahasiswa yang memperoleh A dari ujian

kedua, jika banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai A dari kedua ujian

itu adalah 40, dan jika 4 mahasiswa tidak memperoleh satu pun nilai A dari

dari kedua ujian itu, tentukan banyaknya mahasiswa yang memperoleh A

hanya dari ujian pertama saja, yang memperoleh A hanya dari ujian kedua saja

dan yang memperoleh A dari ujian pertama maupun dari ujian kedua?

16. Diketahui Himpunan ganda berikut P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e }

dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } . Tentukan :

a. P

b.

c.

d.

DAFTAR PUSTAKA

1. Aisah. Isah, 2008 ,Matematika Diskrit, Bahan Ajar, UNPAD

2. Liu, L. C., 1985, Elements Of Discrete Mathematics, Second Edition, Mc

Graw-Hill Books Company

3. Fraleigh, John, 1988. A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley

Company, Canada.

22

MODUL 2

RELASI, PEMETAAN, SISTEM MATEMATIKA

Bagian ini mengakaji definisi relasi, representasi relasi, sifat-sifat relasi,pemetaan, sifat-sifat

pemetaan , operasi pemetaan, dan sistem matematika.

Kegiatan Belajar 1: Relasi

Definisi 2.1

Misalkan A dan B dua buah himpunan , maka hasil kali silang ( cross product) dari A dan B

𝐴 x 𝐵 = 𝑎, 𝑏 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑏 ∈ 𝐵}

Definisi 2.2

Sebuah Relasi dari A ke B adalah subhimpunan dari A x B.

Contoh 1

(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka

C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

A B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B.

2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak

kosong.

4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =

23

Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

Amir

Budi

Cecep

IF221

IF251

IF342

IF323

2

3

4

2

4

8

9

15

2

3

4

8

9

2

3

4

8

9

AB

P

QA A

2 Representasi Relasi dengan Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan

daerah hasil.

Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3

A B P Q A A

Amir IF251 2 2 2 2

Amir IF323 2 4 2 4

Budi IF221 4 4 2 8

Budi IF251 2 8 3 3

Cecep IF323 4 8 3 3

3 9

3 15

3 Representasi Relasi dengan Matriks

Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}.

Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],

b1 b2 bn

M =

mnmm

n

n

mmmm

mmm

mmm

a

a

a

21

22221

11211

2

1

24

yang dalam hal ini

Rba

Rbam

ji

ji

ij),(,0

),(,1

Definisi 2.3

Misalkan S himpunan tak kosong. Relasi pada S dikatakan bersifat :

Refleksif, apabila a a untuk setiap a S,

Simetris, apabila a b mengakibatkan b a untuk setiap a, b S,

Transitif, apabila a b dan b c mengakibatkan a cuntuk setiap a, b, c S.

Contoh 2

Relasi keterbagian pada bilangan bulat ( disimbolkan dengan | ) dengan definisi untuk

a|b jika dan hanya jika b = ac untuk suatu , mempunyai sifat refleksif dan

transitif tetapi tidak bersifat simetris.

Bukti:

- Ambil sebarang . Jelas a = a 1

Jadi sehingga | bersifat Refleksif

- Pilih 3,6 , jelas 3|6 tetapi 6 tidak membagi 3.

Jadi | tidak bersifat simetris.

- Ambil sebarang a,b,c dengan

Akan ditunjukkan

Karena a|b dan b|c maka terdapat bilangan bulat m dan n sehingga b = ma dan c = nb,

akibatnya c = nb=(nm)a.

Karena terdapat bilangan bulat nm sehingga berlaku c = (nm)a, maka a|c.

Jadi | bersifat transitif.

25

Definisi 2.4

Suatu Relasi pada S disebut Relasi Ekivalen, apabila memenuhi sifat refleksif, simetris dan

transitif.

Contoh 3

Misalkan . Definisikan relasi pada dengan aturan jika dan

hanya jika . Relasi merupakan relasi Ekivalen.

Bukti :

Misalakan

Penyelesaian :

(i) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang refleksif.

Akan dibuktikan

Jadi, “ ” bersifat refleksif.

(ii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang simetri.

Akan dibuktikan :

…….(1)

.......(2)

Dari (i)

adalah persamaan (2).

Jadi, “ ” bersifat simetri.

(iii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang transitif.

Akan dibuktikan :

artinya ……(1)

artinya …….(2)

Dengan mensubstitusi sehingga dari (2) diperoleh :

26

artinya .

Jadi, “ ” bersifat transitif.

Jadi, dari (i)-(iii) maka “ ” adalah relasi ekivalen.

Definisi 2.5

Misalkan S himpunan tak kosong. Partisi dari himpunan S adalah dekomposisi S ke dalam Ai

dengan sehingga berlaku

Contoh 4

A1 = {1,3}, A2 = {4} , A3= {2,5} merupakan partisi dari S = ( 1,2,3,4,5}.

Definisi 2.6

Misalkan a dan b bil bulat dan n bil bulat positif, dikatakan a kongruen b modulo n (a b( mod

n) jika hanya jika a – b = kn, untuk suatu k .

Sifat

Relasi “ “ merupakan relasi ekivalen

Bukti : diberikan sebagai latihan

Teorema 2.7

Misalkan S himpunan tak kosong dan merupakan relasi ekivalen pada S. Maka

Mengakibatkan terbentuknya partisi dan sel ( kelas ekivalen) yang memuat a adalah

.

27

Contoh 5

=

=

Dengan demikian terbentuk n buah kelas ekivalen yang berbeda yang merupakan partisi dari Z

yaitu

Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan sifat Relasi .

Contoh 6.

Selidiki relasi untuk suatu .

Penyelesaian :

(i) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang refleksif

Akan dibuktikan :

Ambil sebarang.

maka

Jadi, relasi “ ” bersifat refleksif.

(ii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang simetri

Akan dibuktikan :

Pilih sehingga menjadi tapi .

karena , tidak ada yang memenuhi .

28

Jadi relasi “ ” tidak bersifat simetri.

(iii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang transitif

Akan dibuktikan :

Ambil sebarang.

Jadi, relasi “ ” tidak bersifat transitif.

Jadi, dari (i),(ii),(iii), relasi relasi “ ” bukan relasi ekivalen.

Contoh 7.

Selidiki apakah relasi pada adalah relasi ekivalen.

Penyelesaian :

Misalkan terdapat bilangan .

(i) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang refleksif

Akan dibuktikan :

(Benar)

Jadi, “ ” bersifat refleksif.

(ii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang simetri.

Akan dibuktikan :

Pilih dan .

Sehingga didapat tapi .

29

Jadi, “ ” tidak bersifat simetri.

(iii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang transitif.

Akan dibuktikan :

artinya .....(1) (Definisi)

artinya ......(2) (Definisi)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), diperoleh :

Jadi,

Jadi, “ ” bersifat transitif.

Jadi, dari (i),(ii),(iii), maka “ ” bukan relasi ekivalen.

Contoh 8

Periksa apakah relasi di adalah relasi ekivalen apabila .

Penyelesaian :

(i) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang refleksif.

Akan dibuktikan :

(Teorema sifat urutan ).

Jadi, bersifat refleksif.

(ii) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang simetri.

Akan dibuktikan :

Artinya akan dibuktikan

(Sifat komutatif ).

Sehingga

Jadi, bersifat simetri.

(iii) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang transitif.

30

Akan dibuktikan :

Artinya akan dibuktikan :

Terdapat dua kemungkinan nilai yaitu :

(1) Dari dan

Untuk maka dan

Karena dan maka (Sifat urutan ).

Jadi, .

(2) Dari dan

Untuk maka dan

Karena dan maka (Sifat urutan ).

Jadi,

Jadi, dari (1) dan (2) maka .

Jadi, dari (i),(ii),(iii) adalah relasi ekivalen.

Contoh 9

Periksa apakah relasi di adalah relasi ekivalen apabila .

Penyelesaian :


Akan dibuktikan :



Diketahui :

Akan dibuktikan :

artinya sama dengan

Jadi, .


31


Diketahui :

Akan dibuktikan :

artinya .......(1)

artinya .......(2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), diperoleh :

Karena maka .

Jadi, bersifat transitif.

Jadi, dari (i)-(iii) maka adalah relasi ekivalen.

Conoh 10

Periksa apakah relasi di adalah relasi ekivalen apabila habis dibagi .

Penyelesaian :


Akan dibuktikan :

artinya adalah pernyataan yang benar.

artinya .

Jadi terdapat yang memenuhi

Jadi .



Diketahui :

Akan dibuktikan :

artinya

atau (Hipotesis)

32

Jadi, .



Diketahui : ,

Akan dibuktikan :

artinya ......(1)

artinya ......(2)

Dari (2),

(dari (1))

Jadi,

Jadi, bersifat transitif.

Jadi, dari (i),(ii),(iii) maka adalah relasi ekivalen.

Kegiatan Belajar 2: Pemetaan, Sistem Matematika

Definisi 1.9

Misalkan S , T himpunan tak kosong. Sebuah pemetaan dari S ke T adalah suatu aturan yang

menghubungkan setiap anggota himpunan S ke tepat satu anggota himpunan T.

Contoh 11

Misalka J adalah himpunan bilangan bulat dan S = J x J. Definisikan , dengan

33

Contoh 12

Misalkan S himpunan yang terdiri dari x1, x2, x3 , definisikan dengan ,

dan

Jenis-Jenis Pemetaan

Definisi1.10

Pemetaan dari A ke B disebut pemetaan satu-satu(injektif) jika

.

Pernyataan di atas setara dengan : Jika maka .

Contoh 13.

Misalkan f : Z Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-satu?

Penyelesaian:

(i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi

tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2 2.

(ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a b,

a – 1 b – 1.

Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.

Definisi 1.11

Pemetaan dari A ke B disebut pemetaan pada(surjektif) jika untuk setiap terdapat

, sehingga berlaku . .

a 1

A B

2

3

4

5

b

c

d

34

Contoh 14.

Misalkan f : Z Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada?

Penyelesaian:

(i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah

dari f.

(ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang

memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.

Definisi 1,12

Pemetaan bijektif yaitu pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada.

Contoh 15.

Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-satu, karena f adalah fungsi

satu-satu maupun fungsi pada.

Fungsi satu-satu, Fungsi pada,

bukan pada bukan satu-satu

a 1

A B

2

3

b

c

d

a1

AB

2

3b

c4

a1

AB

2

3

b

c

cd

35

Bukan fungsi satu-satu Bukan fungsi satu-satu

maupun pada tapi pada

1. Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat

menemukan balikan (invers) dari f.

2. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1

. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan

b adalah anggota himpunan B, maka f -1

(b) = a jika f(a) = b.

3. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang

invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya.

Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi

yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh 16.

Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.

Penyelesaian:

Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut

ada.

Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-

1(y) = y +1.

Contoh 17.

Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.

Penyelesaian:

kita sudah menyimpulkan bahwa f(x) = x2 + 1.

bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x)

= x2 + 1 adalah funsgi yang not invertible.

2.2.1 Komposisi dari dua buah fungsi.

a 1

A B

2

3

b

c

cd 4

a 1

A B

2

3

b

c

cd 4

36

Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B

ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f g, adalah fungsi dari A ke C yang

didefinisikan oleh

(f g)(a) = f(g(a))

Contoh 18.

Diberikan fungsi

g = {(1, u), (2, u), (3, v)}

yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi

f = {(u, y), (v, x), (w, z)}

yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah

f g = {(1, y), (2, y), (3, x) }

2.3 Sistem Matematika

Definisi 1.13

Misalkan S himpunan tak kosong.

Operasi biner pada S adalah pemetaan dari S xS ke dalam S

,

Himpunan S yang dilengkapi dengan satu operasi biner disebut Sistem Matematika.

Contoh : Operasi “ + “ pada system bilangan real merupakan operasi biner.

Operasi “ : “ pada system bilangan bulat bukan merupakan operasi biner.

Contoh 19

Selidiki apakah operasi “ ” pada merupakan operasi biner

Penyelesaian :

37

Ambil sembarang.

Maka

Karena dan perkalian dua bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat

positif maka

Jadi

Jadi “ ” operasi biner di .

Contoh 20

Periksa apakah operasi biner “ * “pada merupakan operasi biner.

Penyelesaian :

Ambil sembarang.

Maka

(perkalian dua bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif) .....

(1), dan

(perkalian dua bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif) .....

(2) karena (1), (2) dan penjumlahan dua bilangan bulat positif menghasilkan

bilangan bulat positif, maka

Jadi,

Jadi, “ ” operasi biner di .

Contoh 21

Periksa apakah operasi * pada merupakan operasi biner

Penyelesaian :

38

Pilih . Tapi .

Jadi, “ ” bukan operasi biner di .

Contoh 22

Periksa apakah operasi * pada merupakan operasi biner

Penyelesaian :

Pilih . Tapi .


Contoh 23

Periksa apakah operasi * pada . Merupakan operasi biner

Penyelesaian :

Ambil sembarang.

Maka

(perkalian bilangan real menghasilkan bilangan real)....(1)

(perkalian bilangan real menghasilkan bilangan real)....(2)

Karena (1), (2) dan penjumlahan dua bilangan real menghasilkan bilangan real, maka

.

Karena tapi akar pangkat dua dari bilangan real akan menghasilkan bilangan

real positif saja.

Jadi, atau .


Contoh 24

Periksa apakah operasi * pada , merupakan operasi biner

Penyelesaian :

39

Pilih . Tapi .


Contoh 25

Misalkan berlaku .

a. Apakah merupakan operasi biner?

Penyelesaian :

Ambil sembarang.

Maka . Karena dan penjumlahan bilangan real menghasilkan

bilangan real, maka .

Jadi, .

Jadi, operasi biner.

b. Apakah bersifat komutatif?

Penyelesaian :

Akan dibuktikan :

Ambil sembarang.

Karena dan penjumlahan dua bilangan real menghasilkan bilangan real,

maka .

Jadi,

Jadi, bersifat komutatif.

c. Apakah bersifat asosiatif?

Penyelesaian :

Akan dibuktikan :

40

Ambil sembarang.

Karena dan penjumlahan dua bilangan real menghasilkan bilangan real,

maka .

Jadi,

Jadi, bersifat asosiatif.

d. Apakah memiliki unsur identitas?

Penyelesaian :

Akan dibuktikan :

Pilih .

Ambil sembarang.

Jadi,

Jadi, memiliki unsur identitas.

e. Apakah memiliki invers?

Penyelesaian :

Akan dibuktikan :

mbil sembarang.

Pilih

Jadi, .

Jadi, memiliki invers.

Contoh 26

Definisikan operasi pada dengan .

Apakah operasi merupakan operasi biner?

Penyelesaian :

41

Ambil sembarang.

Maka .

.

Jadi,

Jadi, operasi biner di .

42

Latihan

Untuk soal-soal berikut, selidiki sifat relasi yang bersesuaian.

1. Relasi ( lebih dari atau sama dengan) pada R\{0}

2. Misalkan R relasi pada Himpunan Bilangan Bulat Positif sedemikian sehingga

.

3. Misalkan a dan b bil bulat dan n bil bulat positif, dikatakan a kongruen b modulo n (a

b( mod n) jika hanya jika a – b = kn, untuk suatu k .

4. Buktikan Relasi “ “ merupakan relasi ekivalen

5. Misalkan R relasi pada Himpunan Bilangan Bulat Positif sedemikian sehingga

6. Misalkan suatu pemetaan, tentukan jenis pemetaan nya

a. S = Himpunan bilangan Riil, T = Himpunan bilangan Riil non negative, dan

.

b. S = Himpunan bilangan Riil non negatif, T = Himpunan bilangan Riil non negative,

dan .

c. S = Himpunan bilangan bulat, T = Himpunan bilangan bulat, dan .

d. S = Himpunan bilangan bulat, T = Himpunan bilangan bulat, dan

7. Berikan contoh pemetaan yang 1-1 tidak pada

8. Berikan contoh pemetaan pada tetapi tidak 1-1

9. Berikan contoh pemetaan 1-1 dan pada

10. Selidiki apakah operasi “ di bawah ini merupakan operasi biner untuk himpunan yang

bersesuaian.

11. Misalkan berlaku

a. Apakah merupakan operasi biner?

b. Apakah bersifat komutatif

c. Apakah bersifat asosiatif

d. Apakah memilik unsur identitas

43

DAFTAR PUSTAKA

1. Aisah. Isah, 2008 ,Matematika Diskrit, Bahan Ajar, UNPAD

2. Liu, L. C., 1985, Elements Of Discrete Mathematics, Second Edition, Mc Graw-Hill

Books Company

3. Fraleigh, John, 1988. A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley Company,

Canada.

4. Herstein, I.N.,1975. Topics inAlgebra. John Willey & Sons,New York.

44

MODUL 3

GRUP

Kegiatan Belajar 1 : Grup

Definisi 3.1

Sebuah Himpunan G tak kosong disebut grup terhadap operasi biner * jika terhadap operasi

biner tersebut dipenuhi :

1. G tertutup terhadap operasi * yaitu untuk setiap a, b di G berlaku a*b G

2. Setiap unsur G bersifat asosiatif yaitu a, b, c berlaku (a*b)*c = a*(b*c)

3. Terdapat unsur identitas di G sebut e, sehingga berlaku a*e = a = e* a , a

a , a-1

sehingga berlaku a* a-1

= e = a-1

*a, dimana a-1

disebut invers untuk a.

Contoh-contoh :

1. Himpunan-himpunan bilangan bulat , bilangan rasional , bilangan riil dan

bilangan kompleks bersama-sama operasi biner penambahan merupakan grup

komutatif.

2. Himpunan bilangan dengan operasi biner perkalian merupakan grup abelian.

3. Himpunan matriks nonsingular dengan operasi perkalian matriks

merupakan grup tak-komutatif.

4. Himpunan matriks dengan determinan sama dengan 1 bersama-

sama dengan operasi biner perkalian matriks merupakan grup tak-komutatif.

5. Misalkan dan adalah himpunan dari semua fungsi satu-satu

pada . Maka dengan operasi komposisi fungsi merupakan suatu grup,

grup ini dinamakan suatu grup permutasi.

6. Himpunan bilangan bulat modulo dengan operasi biner penambahan merupkan

grup komutatif.

45

7. Himpunan bilangan bulat modulo dengan bilangan prima bersama-

sama dengan operasi biner perkalian merupakan grup abelian.

8. Himpunan

dengan operasi perkalian matriks merupakan suatu grup.

9. Himpunan dengan operasi biner tambah dide_nisikan

oleh adalah suatu

grup.

10. Himpunan dengan operasi perkalian adalah suatu grup .

Catatan : Untuk sederhananya penulisan cukup ditulis , penulisan suatu grup

dengan operasi biner biasanya ditulis adakalanya ditulis grup Type equation here.

Contoh 2.

Periksa apakah merupakan grup.

Karena grupnya merupakan grup hingga, maka untuk memeriksa grup atau bukabn akan

digunakan table Cayley.

Dari tabel terlihat bahwa

(i) sifat tertutup terpenuhi.

(ii) Sifat asosiatif terpenuhi

(iii)Terdapat unsure identitas yaitu

46

(iv) Dari tabel diperoleh :

Karena aksioma grup terpenuhi, maka (Z4, +) merupakan grup

Contoh 3

(Zn, +) merupakan Grup, dengan operasi penjumlahan yang didefinisikan sebagai

Contoh 4

Periksa apakah merupakan sebuah grup

Penyelesaian :

Dengan menggunakan tabel cayley :

(i) Dari tabel, terdapat

Jadi, tidak tertutup terhadap perkalian.

(ii) Dari tabel terlihat bahwa asosiatif.

(iii) Pilih

Ambil sembarang.

Jadi, .

47

(iv) Pilih

Karena maka tidak ada

Jadi, tidak mempunyai unsur invers.

Jadi, dari (i)-(iv) maka bukan grup.

Contoh 5

Periksa apakah merupakan sebuah grup

Penyelesaian :


(i) Dari tabel terlihat bahwa tertutup terhadap perkalian.


(iii) Pilih

Ambil sembarang.

Jadi, .


48

Jadi,

Jadi, dari (i)-(iv), maka grup.

Contoh 6.

Periksa apakah

Penyelesaian :


(i) Dari tabel terlihat bahwa tidak tertutup terhadap perkalian karena

terdapat

(ii) Dari tabel terlihat bahwa asosiatif terhadap perkalian.

(iii) Dari tabel terlihat bahwa unsur identitasnya adalah .

(iv) Dari tabel terlihat bahwa tidak mempunyai invers terhadap perkalian.

Jadi, dari (i)-(iv), bukan grup.

49

Contoh 10.

(Zp\{0}, X) merupakan sebuah grup.

Contoh 11 :

Un adalah himpunan bilangan bulat modulo n yang unsur-unsurnya relative prima dengan n.

Misalkan apakah merupakan suatu grup?

Penyelesaian :




(iii)Dari tabel diperoleh unsur identitas di adalah


Dari (i)-(iv), adalah grup.

Contoh 12 :

Apakah merupakansuatu Grup?

Penyelesaian :


50

i. Dari tabel terlihat bahwa tertutup terhadap perkalian.

ii. Dari tabel terlihat bahwa asosiatif.

iii. Dari tabel diperoleh bahwa unsur identitas di adalah

iv. Dari tabel diperoleh :

Jadi, dari (i)-(iv) adalah grup.

Contoh 13.

Periksa apakah merupakan suatu grup?

Penyelesaian :




(iii) Dari tabel terlihat bahwa unsur identitas di adalah


51

Jadi merupakan sutu grup.

Contoh 14 :

(Un, X) merupakan sebuah grup

Teorema 3.2:

Diketahui (G,*) grup dan

(i) Jika maka (hukum kanselasi kiri)

(ii). Jika maka ( hokum kanselasi kanan)

Bukti:

(i). Misalkan dengan

Karena G grup, maka terdapat sehingga

Diperoleh

e

(ii). Misalkan dengan

Karena G grup, maka terdapat sehingga

Diperoleh

Definisi 3.3

Sebuah Grup G disebut Grup Abelian atau Komutatif jika berlaku a*b = b*a a, b G

Contoh 3

52

Himpunan bilangan Bulat terhadap operasi penjumlahan, Himpunan bilangan Realtanpa nol,

Himpunan (Zn ,+) merupakan grup komutatif,.

Definisi 3.4

Sebuah grup disebut grup hingga jika banyaknya unsur dari grup tersebut hingga, sedangkan

jika banyaknya unsure dari grup tersebut tak hingga maka grupnya merupakan grup tak

hingga.

Contoh 11.

(Zn, + ) merupakan grup hingga, sedangkan (Z, +), (R\{0} , x) merupakan grup tak hingga.

Contoh 12

Buktikan grup dengan :

Penyelesaian :

(i) Akan ditunjukkan tertutup.

Ambil sembarang dengan dan

dan .

Akan ditunjukkan

Karena maka

berdasarkan sifat ketertutupan terhadap penjumlahan dan perkalian.

Jadi,

Jadi, tertutup.

(ii) Akan ditunjukkan asosiatif.

53

Ambil sembarang dengan

dan .

Akan ditunjukkan

(Berdasarkan sifat perkalian matriks yang asosiatif).

Jadi, asosiatif.

(iii)Pilih . Karena dan maka

.

Ambil sembarang dengan dan .

Akan ditunjukkan

Jadi,

Jadi, mempunyai unsur identitas.

(iv) Akan ditunjukkan


Pilih . Karena dan maka

dan

sehingga .

Sehingga,

54

Jadi,

Jadi, mempunyai unsur invers.

Jadi, dari (i)-(iv) grup.

Kegiatan Belajar 2 : Sifat - sifat GRUP

Misalkan G grup maka dipenuhi :

1) Unsur identitas di G tunggal

2) Invers di G tunggal

3) a G berlaku ( a -1

)-1

= a

4) a, b G berlaku (ab)-1

= b-1

a-1

5) Bila maka ada dengan tunggal dan sehingga dan .

Bukti :

1. Misalkan e dan e’ identitas di G , maka a G berlaku

a* e = a = e*a dan a* e’ = a = e’*a

Jadi e= e’

2. Misalkan a’ dan a” masing-masing invers dari a, sehingga a*a’ = e dan a * a’’ = e

a’ = e * a’ =( a” * a )* a’ = a” * (a * a’) = a” * e = a”

Karena a’ = a” , maka dapat disimpulkan invers G adalh tunggal.

3. Misalkan e unsure identitas di G, maka untuk setiap a di G berlaku a * a-1

= e jadi

(a-1

)-1

= a

4. Misalkan a , b unsure di G, maka a, b G terdapat a-1

dan b-1

, yang memenuhi

(ab) (b-1

a-1

) = e

(ab)-1

= b-1

a-1

5. Bila , maka . Sehingga didapat . Sebaliknya bila

, maka atau . Jadi persamaan mempunyai

55

penyelesaian tunggal . Dengan cara serupa bisa ditunjukkan bahwa

mempunyai penyelesaian tunggal .

Contoh 13

Misalkan G grup , jika setiap unsur di G mempunyai invers dirinya sendiri, tunjukkan bahwa

G merupakan Grup abelian.

Jawab:

G grup, maka untuk setiap unsur mempunyai invers dirinya sendiri maka a, b G berlaku

a-1

= a , b-1

=b. Adt G abelian yaitu ab = ba

ab = (ab)-1

= b-1

a-1

= ba. Karena ab = ba maka perdefinisi bahwa G grup abelian.

Contoh 14

Misalkan grup abelian. Tunjukkan bahwa

Penyelesaian :

abelian artinya

(Karena abelian )

Contoh 15

Tunjukkan merupakan sebuah grup

Penyelesaian :

(i) Akan ditunjukkan tertutup.

Ambil dengan

Akan ditunjukkan

56

Karena maka berdasarkan sifat ketertutupan , .

Sehingga

Jadi, tertutup.

(ii) Akan ditunjukkan asosiatif

Ambil

sembarang dengan

Akan ditunjukkan

Jadi, asosiatif.

(iii) Pilih

Karena maka .

Ambil sembarang.

Akan ditunjukkan

57

Jadi,

Jadi, mempunyai unsur identitas.

(iv) Akan ditunjukkan mempunyai invers.


Pilih

Karena , maka

Akan ditunjukkan

Jadi,


Jadi, dari (i)-(iv), grup.

58

LATIHAN

1. Misalkan G grup dan untuk 3 bilangan bulat berturut-turu berlaku (ab)i = a

ib

i. Buktikan

bahwa G grup abelian

Sketsa bukti :

a. Misalkan 3 bilangan berturut-turut tersebut i, i+1, i+2

b. Gunakan ketiga hipotesis di atas

c. Dari poin b, tunjukkan bahwa ab=ba

1. Misalkan G grup dan berlaku (ab)2 = a

2b

2, a, b G . Buktikan bahwa G abelian.

2. Buktikan G grup abelian jika dan hanya jika (ab)-1

= a-1

b-1

,

3. Selidiki apakah ({1,-1), x) merupakan Grup

4. Definisikan dengan ( Misalkan G = { .

Buktikan G merupakan grup terhadap komposisi fungsi.

5. Tunjukkan bahwa himpunan Z dari semua bilangan bulat adalah grup abelian

terhadap

operasi * yang didefinisikan oleh a * b = a + b+ 1, a, b Z.

6. Periksa apakah himpunan Q dari semua bilangan Rasional kecuali 1 membentuk grup

terhadap operasi * yang didefinisikan oleh a* b = a + b- ab, a, b Q

7. Periksa apakah himpunan R dari semua bilangan Real membentuk grup terhadap

operasi

* yang didefinisikan oleh a* b = a + b+ ab, a, b R.

59

DAFTAR PUSTAKA


Company, Canada.

2. Gallian,Joseph, 2006. Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin

Company, USA.

3. Judson,W.T, 2009.Abstract Algebra Theory and Application, Austin State

University.

4. Herstein, I.N.,1975. Topics in Algebra. John Willey & Sons,New York.

59

MODUL 4

SUBGRUP

Kegiatan Belajar 1 : SUBGRUP

Definisi 4.1

Misalkan H ≠ ∅ dan H G. H disebut subgrup dari G jika H membentuk grup dibawah

operasi yang sama dengan G. (Notasi H G).

Catatan : Untuk membuktikan H subgrup dari G, tunjukan bahwa :

1. H merupakan himpunan tak kosong

2. H merupakan himpunan bagian dari G

3. H memenuhi aksioma grup dibawah operasi biner dari G.

Contoh 1:

a. Bila 𝐺 suatu grup, maka 𝐸 = {𝑒} trivial subgrup dari 𝐺. Sedangkan subgrup dari 𝐺

yang selain 𝐸 dan 𝐺 sendiri dinamakan subgrup sejati (proper subgrup).

b. Masing-masing ℤ,ℚ dan dengan operasi biner tambah adalah subgrup dari grup

himpunan bilangan kompleks .

c. Himpunan dan dengan operasi perkalian merupakan subgrup dari grup

.

d. Himpunan matriks dengan operasi biner perkalian matriks adalah subgrup

dari grup .

e. Himpunan dengan operasi biner perkalian adalah subgrup dari

grup .

f. Misalkan dan dengan operasi biner tambah adalah

subgrup dari grup .

60

g. Himpunan dengan operasi perkalian merupakan subgrup dari grup

.

Sifat Subgrup

Lemma 4.1:

Misalkan H dan H G, H disebut subgrup dari G, jika :

1. a,b H, maka ab H

2. a H, a-1

H

Lemma 4.2 :

Misalkan H dan H G, H disebut subgrup dari G, jika dan hanya jika untuk setiap

a,b H berlaku ab-1

H.

Bukti :

( Misalkan , didapat bila maka . Karena di berlaku juga

operasi biner maka . Selanjutnya misalkan berlaku untuk sebarang

berakibat

( akan ditunjukkan . Misalkan bahwa , maka dengan hipotesis didapat

. Jadi dan misalkan sebarang di , maka .

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa di berlaku suatu operasi biner yaitu untuk

semua . Misalkan

berdasarkan hasil sebelumnya maka juga di . Berdasarkan hipotesis maka

. Sifat assosiatif di diwarisi dari (sebab ).

Dengan demikian H merupakan subgrup dari G.

61

Lemma 4.3 :

H , H G, H hingga dan H tertutup dibawah perkalian, maka H merupakan subgrup

dari G.

Contoh 2:

Misalkan , grup, dan

.

Buktikan .

Penyelesaian :

(i) Akan ditunjukkan


Jadi, .

(ii) Akan ditunjukkan

Ambil sembarang

Akan ditunjukkan

Karena dan . Maka

Jadi,

(iii) Akan ditunjukkan tertutup.


.

Akan ditunjukkan

Karena maka dan

dan karena maka .

Sehingga

62

(iv) Akan ditunjukkan

Ambil dengan dan


dan . Sehingga .

Sehingga,

Jadi,

Jadi, dari (i)-(iv), maka .

Sifat-sifat Subgrup.

1. Irisan dari dua buah subgrup selalu merupakan subgroup.

2. Gabungan dari dua buah subgrup belum tentu meruakan subgroup

3. JIka adalah koleksi dari subgrup dari , maka juga merupakan subgrup

dari .

Bukti :

1. Misalkan dan subgrup. Akan ditunjukkan .


Karena maka dan artinya

Jadi,


Ambil sembarang. Akan ditunjukkan

Karena dan maka

Jadi,

(iii) Akan ditunjukkan tertutup terhadap operasi di

Ambil sembarang.

63

Akan ditunjukkan .

dan

dan

Karena maka

Jadi

Karena maka

Jadi

Karena dan maka



Karena maka dan karena maka

Artinya dan

Artinya

Jadi mempunyai invers.

Jadi, dari (i)-(iv), .

2. Untuk menyelidiki Gabungan dari 2 buah subgroup akan diberikan contohnya.

Misalkan G = (Z12, +) , maka subgrup-subgrup dari G adalah H1 = { }, H2 = {Z12},

H3 = { , H4 = { , H5 = { , H6 = {

Maka merupakan subgrup dari G, merupakan subgrup dari G, tetapi

bukan merupakan subgrup.

Jadi gabungan dari dua subgrup akan menjadi subgrup, jika subgrup yang satu

termuat di subgrup yang lain nya. Sedangkan jika tidak memenuhi kondisi ini maka

gabungan dua subgrup bukan merupakan subgrup.

3. Bukti :Misalkan jelas bahwa sebab . Juga bila ,

maka untuk setiap hal ini berakibat untuk setiap . Maka dari

itu juga di . Terlihat bahwa bila berakibat bahwa , maka

dari itu H adalah subgrup dari .

64

Contoh 3 :

. Misalkan .

Buktikan subgrup dari .

Penyelesaian :


Pilih

Jadi,


Ambil sembarang dengan .

Karena maka .

maka .

Maka ( tertutup)

Jadi,

(iii) Akan ditunjukkan tertutup

Ambil sembarang.

Akan ditunjukkan

Karena artinya dan karena artinya

.

Karena dan maka .

Jadi,

Jadi, tertutup.

65


Ambil sembarang.

Pilih

artinya .

Karena dan , maka .

Jadi

Akan ditunjukkan

Jadi, .



Contoh 4 :

Misalkan himpunan bilangan real dan untuk , misalkan .

Misalkan grup terhadap operasi komposisi fungsi. . Buktikan

Penyelesaian :


a) Akan ditunjukkan

Pilih dengan dan

Maka

Jadi,

66

b) Akan ditunjukkan

Ambil sembarang dengan . Akan ditunjukkan

Jelas (perdefinisi)

Jadi

c) Akan ditunjukkan tertutup


Akan ditunjukkan

Ambil sembarang.

Maka

Maka

Jadi,

Jadi, tertutup.

d) Akan ditunjukkan memiliki unsur invers.


Pilih dengan dan .

Sehingga

Akan ditunjukkan

Jadi,

Jadi, memiliki unsur invers.

Jadi, dari (a)-(d), maka .

67

Kegiatan Belajar 2 : PUSAT GRUP

Definisi 4.4:

Misalkan G grup. Z(G) = merupakan pusat Grup atau Centre

Grup.

Contoh 5:

Misalkan G = (Z, +) maka Pusat grup atau Z(Z) merupakan dirinya sendiri.

Misalkan G = (Z4,+ ) maka Pusat grup nya dirinya sendiri, sedangkan jika

, grup, maka pusat grupnya adalah

Sifat Pusat Grup

Jika G grup, maka pusat grup merupakan subgrup dari G.

Bukti :

Misalkan Z(G) =

Akan ditunjukkan

1) Akan ditunjukkan

Pilih

Karena grup, maka

Sehingga

Jadi,

2) Akan ditunjukkan


Jelas berdasarkan yang didefinisikan di soal bahwa

Jadi,

3) Akan ditunjukkan tertutup.


artinya dengan

68

artinya dengan

Karena dan grup maka berlaku sifat ketertutupan sehingga

.

Karena dengan maka .

Jadi, tertutup.

4) Akan ditunjukkan mempunyai unsur invers.

Ambil sembarang.

Pilih

Karena maka dengan

Karena dan grup maka

atau

Karena dengan maka


Jadi, dari (1)-(4), maka

Contoh 6 :

, Disebut Normalizer unsur.

Buktikan merupakan subgrup dari

69

Penyelesaian :


Pilih

Karena grup, maka

Sehingga

Jadi,



artinya dengan (sesuai yang didefinisikan)

Sehingga, diperoleh

Jadi,

(iii) Akan ditunjukkan tertutup


artinya dengan

artinya dengan

Karena maka berdasarkan sifat ketertutupan didapat

Karena dengan maka

Jadi, tertutup.


Ambil sembarang.

Pilih

Karena maka dengan

Karena maka

70

atau

Karena dengan , maka

Akan ditunjukkan

Karena dan tertutup, maka

Karena maka dengan

Karena dengan

Jadi,


71

LATIHAN

1. Tentukan Subgrup-subgrup dari

a. ( Z, + )

b. (Z6 , + )

c. (Z11, + )

d. (Z100, +)

e. (U6, X )

f. ( U18, X)

2. Misalkan , grup, dan

.

Buktikan .

3. Misalkan G adalah grup dari semua bil kompleks tak nol terhadap operasi perkalian.

Misalkan H =

Buktikan H subgroup dari G.

4. Misalkan H subgrup dari G,

Buktikan:

a. N(H) subgrup dari G

b. N(H)

5. Misalkan H subgroup dari G, centralizer dari H adalah

.

Buktikan C(H) subgrup dari G.

6. Misalkan H subgrup dari G, dan , misalkan

subgrup dari G.

Jika H hingga apakah order ?

72

DAFTAR PUSTAKA


Company, Canada.


Company, USA.


University.


5. Isnarto, 2002, Struktur Aljabar, Bahan Ajar,Universitas Negeri Semarang

73

MODUL 5

GRUP SIKLIS, GRUP PERMUTASI

Kegiatan belajar 1 : GRUP SIKLIS

Definisi 5.1

Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, X >.

Didefinisikan :

a1

= a

a2 = a . a

a3 = a . a . a

dan secara induksi, untuk sebarang bilangan bulat positif k,

ak+1

= a . ak .

Definisi 5.2

Perjanjian bahwa a0

= e dan untuk sebarang integer positif n berlaku

a-n

= ( a-1

)n = ( a

-1 )( a

-1 ) …( a

-1 )

sebanyak n faktor.

Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa

an a

m = a

m+n

(am

)n

= a mn

.

Jika ab = ba maka ( ab ) n

= an

bn .

74

Catatan :

Biasanya ( ab ) n a

n b

n . Jika a b = b a maka ( ab )

n = a

n b

n

Definisi 5. 3

Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, + >

Pergandaan n . a didefinisikan sebagai berikut :

1. a = a

2. a = a + a

3. a = a + 2 . a

dan secara induksi untuk sebarang integer positif k,

( k + 1 ) . a = a + k . a .

Lebih jauh,

0 . a = 0 ( elemen identitas )

- n . a = n . ( -a ) = ( -a ) + (-a ) +…+ ( -a )

sebanyak n suku.

Teorema 5.4

Misalkan < G , X> grup dan misalkan a sebarang anggota tertentu dari G. Jika

< a > = { ak | k Z }

maka himpunan ( a ) merupakan subgrup dari G.

Definisi 5.5

Sebuah grup ( G, x) disebut grup siklis jika terdapat a G sehingga setiap unsur di G dapat

dinyatakan sebagai perpangkatan dari a. Dalam hal ini a disebut pembangun (generator) grup

siklis G. Notasi G = < 𝑎 > = 𝑎𝑛 𝑛 ∈ Z }.

Sebuah Grup ( G, +) disebut grup siklik jika terdapat a G sehingga setiap unsur dari G

dapat dinyatakan sebagai kelipatan dari a. Notasi G = < 𝑎 > = 𝑛𝑎 𝑛 ∈ Z }.

75

Contoh 1

Apakah (ℤ4, +) merupakan grup Siklik?

Untuk menjawabnya, maka harus dicari pembangun dari (ℤ4, +

ℤ4 = 0 , 1 , 2 , 3

1) Untuk 𝑎 = 0

i. 0 bukan generator dari ℤ4, karena kelipatannya tidak menghasilkan

semua elemen di ℤ4.

2) Untuk 𝑎 = 1

i. 1 = 1

ii. 2 = 1 + 1

iii. 3 = 1 + 1 + 1

iv. 0 = 1 + 1 + 1 + 1

v. Karena kelipatan dari 𝑎 = 1 menghasilkan semua elemen ℤ4, maka 1

merupakan generator dari ℤ4.

3) Untuk 𝑎 = 2

i. 2 = 2

ii. 2 + 2 = 0

iii. 2 + 2 + 2 = 2

iv. 2 + 2 + 2 + 2 = 0

v.

vi. dan seterusnya akan selalu menghasilkan sehingga bukan

generator dari .

4) Untuk

i. bukan merupakan generator dari karena kelipatannya tidak

menghasilkan semua elemen .

Jadi, generator dari adalah dan .

76

Dengan demikian merupakan grup Siklik.

Contoh 2

meruakan Grup siklik karena generatornya semua unsur kecuali unsur identitas

Order grup dan order suatu unsur grup.

Misalkan suatu grup, order dari ditulis menyatakan banyaknya elemen dari

himpunan .

Misalkan suatu grup dan . Order dari dinotasikan dengan yang menyatakan

bilangan bulat positif terkecil sehingga memenuhi dengan adalah elemen netral.

Bila tidak ada yang demikian maka .

Teorema 5.6

1. Bila , maka jika dan hanya jika kelipatan dari .

2. Bila dan , maka

Bukti

1. Bila , maka . Selanjutnya misalkan dan

andaikan dengan , maka

, kontradiksi dengan kenyataan .

Jadi haruslah atau .

2. diketahui . Misalkan maka ,

dimana . Jadi

. Berikutnya misalkan ,

77

maka didapat , oleh karena itu merupakan kelipatan dari . Jadi

merupakan kelipatan dari atau kelipatan dari .

Karena dan prima relatif, maka merupakan kelipatan dari . Berdasarkan teorema

sebelumnya, maka atau

Beberapa Catatan Order Unsur.

1. Bila dan , maka semuanya adalah berbeda, bila

tidak maka ada dan dengan , misalkan dalam hal ini sehingga

. Sehingga didapat . Jadi ada sehingga ,

bertentangan dengan .

2. Bila , maka semuanya berbeda satu dengan yang lainnya,

bila tidak demikian maka ada dengan , bertentangan bahwa

bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi .

Contoh 3

• Z6 mempunyai orde 6 karena mengandung 6 anggota yaitu 0, 1, 2, 3, 4 dan 5. Secara

umum Zn mempunyai orde n.

• Z mempunyai orde tak hingga karena Z mempunyai tak berhingga banyak anggota.

• Orde dari himpunan ( i ) = { i, -1, -i, 1 } adalah 4.

• Grup Zn untuk n 1 merupakan grup siklik karena Zn = (1) untuk n 2 sedangkan Z1

= (0).

Teorema 5.7

Grup berhingga G yang berorde n siklik jika dan hanya jika G mengandung suatu anggota

dengan orde n.

78

Teorema 5.8

Jika G grup siklik maka G abelian.

Bukti:

Misalkan G grup siklik.

Karena G siklik maka G = ( a ) untuk suatu

a G.

Misalkan G = {ak | k Z }

Akan ditunjukkan bahwa xy = yx untuk setiap x, y G.

Ambil sebarang x, y dalam G.

Karena x, y dalam G maka

x = am dan y = a

n

untuk suatu m dan n dalam Z, sehingga

am a

n = a

m+n

dan

yx = an a

m = a

n+m = a

m+n = a

m a

n = xy.

Terbukti G grup abelian.

Teorema 5.9

Jika G grup siklik maka setiap subgrup G merupakan grup siklik.

Bukti

Misalkan , bila jelas siklik. Bila , maka ada bilangan bulat

sehingga dan juga . Misalkan dengan sifat

79

keterurutan dari bilangan bulat , maka mempunyai elemen terkecil . Jadi .

Misalkan , maka untuk suatu . Terlihat bahwa

. Sebaliknya, misalkan , maka ada bilangan bulat sehingga .

Selanjutnya dengan menggunakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat didapat

untuk beberapa dengan . Didapat .

Bilangan , sebab bila tidak, maka ada bilangan yang lebih kecil dari , yaitu

yang memenuhi . Hal ini bertentangan dengan . Jadi

. Terlihat bahwa .

Sehingga didapat .

Teorema 5.10

Misalkan a sebarang anggota Zn. Jika d merupakan pembagi persekutuan terbesar dari a dan

n maka order dari a sama dengan n/d.

Contoh 4 :

Untuk menentukan orde dari 36 dalam Z135, pertama-tama ditentukan terlebih dulu pembagi

persekutuan terbesar dari 36 dan 135.

Karena pembagi persekutuan terbesar dari 36 dan 135 adalah

(36, 135) = (22. 3

2 ,3

3 .5 ) = 3

2 = 9.

Dengan menggunakan teorema di atas orde dari 36 sama dengan n/d = 135/9 = 15.

Contoh 5 :

Himpunan Z3 = { 0, 1, 2 } grup terhadap penjumlahan modulo 3.

Grup bagian dari Z3 yang dibangun oleh 0 adalah

(0) = { k. 0 | k Z } = { 0 } sehingga 0 mempunyai order 1

Sifat 4.11

80

Misalkan adalah grup siklik dan , maka dengan

.

Bukti

Misalkan , karena (berhingga), maka untuk beberapa dengan

atau . Misalkan dan adalah elemen terkecil

di . Jelas bahwa . Dalam hal ini dapat ditunjukkan bahwa semua

elemen adalah berbeda. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

.

Misalkan , maka untuk suatu . Dengan menggunakan algoritma

pembagian untuk bilangan bulat didapat untuk beberapa dengan

.

Didapat . Jadi .

Karena , maka dan .

Catatan : Dari hasil sifat ini, terlihat bahwa elemen pembangun yaitu mempunyai sifat

atau order dari elemen adalah yang ditulis (sebab bilangan bulat positif

terkecil yang memenuhi ).

Contoh 6:

Dalam bila

dan , maka

81

dan

Sehingga didapat dan

Dalam hal ini order elemen dan adalah dan .

82

LATIHAN

1. Buktikan bahwa (a) = { ak | k Z } merupakan grup bagian dari grup G.

2. Buktikan bahwa setiap grup bagian dari suatu grup abelian merupakan grup abelian.

3. Buktikan bahwa Q tidak siklik.

4. Tentukan semua pembangkit (generator) dari grup siklik Zn di bawah operasi

penjumlahan untuk n = 8, n = 10 dan n = 12

5. Diketahui G grup abelian. Misalkan S = { x dalam G | orde dari x merupakan kuasa

dari p }dengan p bilangan prima tertentu.

Buktikan bahwa S grup bagian dari G.

6. Jika G merupakan suatu grup sehingga x2

= e untuk semua x dalam G.

Buktikan bahwa G abelian.

7. Diketahui G grup abelian.

Jika T = { x dalam G | orde x berhingga }.

Buktikan bahwa T grup bagian dari G.

83

Kegiatan Belajar 2 : GRUP PERMUTASI

Grup permutasi merupakan salah satu contoh grup tidak komutatif dan merupakan kajian

yang menarik dalam pengkajian teori grup berhingga.

Definisi 5.12

Suatu permutasi dari himpunan didefinisikan sebagai pemetaan bijektif dari ke .

Contoh 7

Jika maka permutasi dari himpunan antara lain :

Permutasi dan masing-masing dinotasikan dengan dan

Teorema 4.13

Misalkan himpunan tak kosong dan . Maka merupakan

grup terhadap komposisi fungsi.

Bukti :

(i) Ambil sebarang .

Ditunjukkan .

Ambil sebarang dengan .

84

Diperoleh dan .

Karena injektif dan maka .

Karena injektif dan maka .

Jadi .

Dengan demikian injektif.

Ambil sebarang .

Karena surjektif maka terdapat sehingga .

Karena dan surjektif maka terdapat sehingga .

Akibatnya .

Jadi untuk setiap terdapat sehingga .

Dengan demikian surjektif.

Jadi .

(ii) Komposisi fungsi bersifat asosiatif.

(iii)Misalkan dengan untuk setiap .

Jelas .

Ambil sembarang .

Diperoleh dan untuk

setiap .

Jadi untuk setiap .

Dengan demikian merupakan elemen netral di .

(iv) Ambil sebarang .

Misalkan untuk setiap .

Definisikan dengan apabila .

Diperoleh dan

untuk setiap .

Jadi .

Dengan demikian setiap elemen di mempunyai invers di .

85

Berdasarkan (i) s/d (iv) dapat disimpulkan bahwa merupakan grup terhadap komposisi

fungsi.

Definisi 5.14

Jika maka grup yang memuat semua permutasi dari dinamakan grup

simetri pada unsur dan disimbolkan dengan .

Grup simetri memuat elemen sebanyak . Terdapat

hubungan yang menarik antara dengan transformasi rotasi dan refleksi (pencerminan)

pada segi- beraturan. Perhatikan gambar berikut.

Misalkan : (i) adalah rotasi dengan pusat O dan besar sudut masing-masing

dan

(ii) masing-masing adalah refleksi terhadap garis dan .

Dengan menggunakan notasi permutasi dapat dituliskan :

Hasil operasi keenam permutasi tersebut dapat disajikan dalam tabel berikut :

86

Tabel 2

Kedua jenis permutasi tersebut (jenis rotasi dan jenis refleksi) membentuk grup

dihedral ketiga yang disimbolkan dengan . Rotasi dan refleksi pada segi- beraturan

membentuk grup dihedral ke- dan disimbolkan dengan .

Definisi 5.15

Misalkan permutasi dari himpunan .

(i) Untuk orbit dari terhadap disimbolkan didefinisikan sebagai

(ii) untuk semua dinamakan orbit dari .

Contoh 8

Misalkan di .

(i)

(ii) Orbit dari adalah .

Definisi 5.16

Suatu permutasi dinamakan cycle apabila paling banyak mempunyai orbit yang

memuat elemen lebih dari satu. Panjang cycle didefinisikan sebagai banyaknya elemen dalam

orbit terbesar.

87

Berdasarkan Definisi, suatu permutasi dinamakan cycle apabila :

(i) tidak mempunyai orbit yang memuat lebih dari satu elemen, atau

(ii) hanya mempunyai satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen.

Contoh 9

(i) di mempunyai orbit . bukan cycle

karena terdapat dua orbit yang memuat lebih dari satu elemen yaitu dan

.

(ii) di mempunyai orbit . merupakan cycle

karena tepat mempunyai satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen yaitu

.

(iii) di mempunyai orbit . merupakan cycle

karena tidak mempunyai orbit yang memuat lebih dari satu elemen.

Suatu cycle disimbolkan dengan yang berarti

. Pada contoh diatas bagian (ii), cycle

disimbolkan dengan yang berarti . Cycle

pada contoh diatas bagian (iii), disimbolkan dengan atau atau

atau . Cycle dalam suatu permutasi terbentuk dari orbit yang dihasilkan dari

permutasi tersebut. Karena di dalam cycle, urutan diperhatikan sedangkan pada orbit urutan

tidak diperhatikan, maka pada contoh diatas bagian (ii) orbit dan

seterusnya, tetapi cycle yang terbentuk dari permutasi tersebut adalah . Cycle

mempunyai arti yang sama dengan dan tetapi tidak dapat disimbolkan dengan

. Dua buah cycle dinamakan saling asing apabila berasal dari dua orbit yang saling

asing.

Teorema 5.16

88

Setiap permutasi dari himpunan berhingga dapat dinyatakan sebagai hasil kali cycle yang

saling asing.

Bukti :

Misalkan adalah orbit-orbit dari .

Jelas apabila .

Dibentuk cycle dengan

Ditunjukkan .

Ambil sebarang .

Maka untuk tepat satu nilai .

Diperoleh

.

Jadi .

Karena saling asing maka merupakan cycle yang saling asing.

Pada umumnya, pergandaan (perkalian) permutasi tidak bersifat komutatif. Tetapi khusus

cycle-cycle yang saling asing hasil perkaliannya bersifat komutatif. Dengan demikian, urutan

orbit-orbit yang kemudian membentuk cycle-cycle sebagaimana

dituliskan pada pembuktian Teorema diatas tidak diperhatikan.

Definisi 5.17

Suatu cycle dengan panjang 2 dinamakan transposisi.

Contoh 10

89

Sikel merupakan transposisi. Dalam

.

Setiap cycle dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi-transposisi dengan aturan

. Aturan tersebut berlaku karena pada ruas

kanan . Demikian pula pada ruas kiri

. Untuk cycle identitas dapat dinyatakan sebagai

dan sebagainya.

Teorema 5.18

Misalkan dan transposisi di . Maka banyak orbit dari dan banyaknya orbit dari

berbeda 1.

Bukti :

Misalkan .

Kasus 1 : dan berada pada orbit yang berlainan dari .

Misalkan terdapat orbit dari yang menghasilkan cycle saling asing

.

Maka .

Karena perkalian cycle saling asing bersifat komutatif maka dapat dimisalkan

berada pada dan berada pada .

Dengan demikian

Diperoleh

.

90

Jadi banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda satu.

Kasus 2 : dan berada pada orbit yang sama dari .

Seperti pada kasus 1, misalkan .

Misalkan dan berada pada .

Maka .

Diperoleh .

.

Jadi banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda satu.

Berdasarkan kasus 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa banyaknya orbit dari dan banyaknya

orbit dari berbeda 1.

Berdasarkan teorema di atas dapat ditunjukkan bahwa setiap permutasi hanya dapat

dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah ganjil saja atau sejumlah genap saja transposisi.

Selengkapnya mengenai hal tersebut dituangkan dalam teorema berikut.

91

Teorema 5.19

Tidak ada permutasi di yang dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah ganjil

sekaligus sejumlah genap transposisi.

Bukti :

Misalkan terdapat yang dapat diekspresikan sebagai hasil kali dari sejumlah ganjil

sekaligus sejumlah genap transposisi.

Maka terdapat transposisi sehingga :

(i) untuk suatu bilangan bulat positif , dan

(ii) untuk suatu bilangan bulat positif .

Karena setiap permutasi mempunyai invers maka dari (i) dan (ii) diperoleh :

(a)

(b)

Dengan mengalikan (i) dan (b) diperoleh :

Hal ini menunjukkan bahwa dapat diekspresikan sebagai sejumlah ganjil transposisi.

Dengan mengalikan kedua ruas dengan diperoleh :

Berdasarkan teorema di atas, banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda

satu, sehingga mempunyai orbit sejumlah genap sekaligus sejumlah ganjil. Kontradiksi

dengan banyaknya orbit dari adalah yang sudah dapat ditentukan ganjil atau genap.

92

Definisi 5.20

Suatu permutasi dari himpunan berhingga dikatakan :

(i) Permutasi genap apabila dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah genap

transposisi.

(ii) Permutasi ganjil apabila dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah ganjil

transposisi.

Contoh 11

Permutasi identitas di merupakan permutasi genap karena . Jika

maka tidak dapat diekspresikan sebagai perkalian transposisi, tetapi disepakati sebagai

permutasi genap. Permutasi di dapat dinyatakan sebagai

. Sehingga merupakan permutasi ganjil.

Teorema 5.21

Jika maka banyaknya permutasi genap dan permutasi ganjil di sama.

Bukti :

Misalkan dan .

Ambil

Definisikan dengan untuk setiap .

Karena permutasi genap maka berdasarkan teorema 2.4.3, merupakan

permutasi ganjil. Dengan demikian jelas bahwa .

(i) Ambil sebarang dengan .

Maka .

Karena grup maka .

Jadi injektif.

93

(ii) Ambil sebarang .

Berdasarkan Teorema 2.4.3, .

Diperoleh .

Jadi surjektif.

Berdasarkan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa bijektif sehingga terbukti dan

mempunyai anggota yang sama banyak.

Karena hasil kali dua permutasi genap merupakan permutasi genap dan invers dari

permutasi genap juga merupakan permutasi genap maka membentuk subgrup. Selanjutnya

dinamakan grup alternating pada simbol.

94

Latihan

Untuk soal nomor 1 sampai dengan 5, tentukan semua orbit dari permutasi yang diberikan :

1. .

2. .

3. dengan untuk setiap .

4. dengan untuk setiap

5. dengan untuk setiap

6. Tuliskan permutasi pada soal nomor 1 dan 2 sebagai hasil kali cycle saling asing.

7. Tentukan hasil kali cycle di berikut ini :

a.

b.

8. Nyatakan permutasi berikut sebagai hasil kali transposisi dan tentukan apakah

merupakan permutasi genap atau ganjil.

a.

b.

9. Misalkan grup permutasi pada . Didefinisikan relasi pada dengan jika

dan hanya jika untuk suatu . Buktikan bahwa relasi tersebut

merupakan relasi ekivalen.

10. Misalkan grup dan . Tunjukkan bahwa dengan untuk

setiap merupakan permutasi pada .

11. Perhatikan soal nomor 10. Tunjukkan bahwa merupakan subgrup di

.

95

DAFTAR PUSTAKA


Company, Canada.


Company, USA.


University.



6. Subiono, 2011, Aljabar I, Diktat Ajar, Institut Teknologi Surabaya.

96

MODUL 6

KOSET , TEOREMA LAGRANGE

Kegiatan Belajar 1 : KOSET

Teorema 6.1:

Misalkan G grup dan H subgrup dari G. Didefinisikan relasi ~𝐿dan ~𝑅 pada G

dengan aturan:

(i). 𝑎~𝐿 𝑏 jika dan hanya jika 𝑎−1𝑏 ∈ H

(ii). 𝑎~𝑅 𝑏 jika dan hanya jika 𝑎𝑏−1 ∈ H.

Maka ~𝐿dan ~𝑅 merupakan relasi ekivalen.

Bukti : sebagai latihan.

Perhatikan ~𝐿 merupakan kelas ekivalen, berarti akan terbentuk partisi dan kelas

ekivalen di G. Sebut kelas ekivalen yang memuat a adalah aH.

aH = { x G | x ~𝐿a }

= { x G | a-1

x H }

= { x G | a-1

x = h untuk suatu h H}

= { x G | x = ah untuk suatu h H}

= { ah | h H}

Dengan cara yang sama ~𝑅 menghasilkan kelas ekivalen yang memuat a adalah

Ha = { ha | h H}. Kedua himpunan tersebut dinamakan Koset.

Definisi 6.2 :

Misalkan H subgrup dari G, a ∈ G sebarang, maka Ha = { ha | h H } disebut

koset kanan dari H di G dan aH = { ah | h H } disebut Koset Kiri dari H di G.

Contoh 1 :

Diberikan G = ( Z, +) dan H = ( 2Z,+ ), maka koset kanan H di G

Ambil 0 G, H + 0 = { …, -2,0,2,4,…}

Ambil 1 G, H + 1 = { …, -1,1,3,4,… }

Ambil 2 G, H + 2 = { …, 0, 2, 4, … } = H + 0

97

Ambil -1 G, H +(-1) = { …, -3,-1,1, … } = H + 1

Dst.

Maka terdapat 2 koset kanan dari H di G.Begitu juga kalau kita mencari koset

kirinya, maka akan terdapat 2 koset kiri dari H di G dan koset kanan nya sama

dengan koset kirinya.

Contoh 2 :

Misalkan 𝐻 = 𝜇1 dengan 𝜇1 = 1 2 31 3 2

merupakan subgrup di 𝑆3.

Koset yang terbentuk dari 𝐻 adalah :

Koset kiri Koset kanan

𝐻 = {𝜌0, 𝜇1}

𝜌1𝐻 = {𝜌1, 𝜇3}

𝜌2𝐻 = {𝜌2, 𝜇2}

𝐻 = {𝜌0 , 𝜇1}

𝐻𝜌1 = {𝜌1, 𝜇2}

𝐻𝜌2 = {𝜌2 , 𝜇3}

Grup permutasi bukan grup komutatif sehingga terdapat koset kanan yang tidak

sama dengan koset kiri.

Akibat 6.3 :

1. Jika e unsur identitas di G maka He = { he | h H } = { h | h ∈ H } = H

2. Jika e unsur identitas di G maka e unsur identitas di H, sehingga setiap koset

tidak pernah kosong minimal terdiri dari unsur pembentuknya.

3. Koset tidak pernah mempunyai unsur persekutuan , sehingga gabungan dari

semua koset membentuk grup itu sendiri

Teorema 6.4 :

Misalkan 𝐺 grup dan 𝐻 sebgrup dari 𝐺. Maka,

(i) 𝑎𝐻 = 𝐻 jika dan hanya jika 𝑎 ∈ 𝐻

98

(ii) 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 jika dan hanya jika 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻

(iii) aH = H jika hanya jika a ∈ H

(iv) a Hb jika hanya jika ab-1

H

Bukti :

(i) Misalkan .

Karena dan maka

Misalkan .

Dibentuk .

Ambil sembarang .

Maka untuk suatu

Karena maka

Jadi

Sebaliknya, ambil sembarang

Karena maka

Akibatnya untuk suatu

Diperoleh

Jadi,

Berdasarkan dan dapat disimpulkan .

99

(ii), (iii), (iv) dibuktikan sebagai latihan

contoh 3 :

Misalkan , . Selidiki

a. jika maka ?

Penyelesaian :

Pernyataan tidak terbukti.

Contoh penyangkalnya : dengan .

Pilih dan , sehingga

tapi

b. Jika maka

Penyelesaian :

Ambil sembarang.

Maka , karena (hipotesis)

Jadi,

Contoh 4 :

Diketahui :

Akan ditunjukkan :

Bukti :

Anggap

Maka

Karena ,

Karena

Maka

100

Jadi,

Contoh 5 :

Selidiki apakah jika maka ?

Penyelesaian :

Pernyataan tidak terbukti.

Contoh penyangkalnya : dengan

Pilih dan , sehingga :

tapi

Definisi 6.5 :

H subgrup G, indeks dari H di G adalah banyaknya koset kanan/kiri yang berbeda dari

H di G.

Notasi [G : H]

Teorema 6.6:

Jika subgrup dari maka setiap koset kiri dan koset kanan dari mempunyai

elemen yang sama banyak dengan .

Bukti :

Buat pemetaan dengan untuk setiap .

Ditunjukkan bijektif.

(i) Ambil sembarang dengan

Maka

101

Berdasarkan hukum kanselasi kiri diperoleh

Jadi apabila maka sehingga injektif.

(ii) Ambil sembarang

Maka untuk suatu

Pilih

Diperoleh .

Jadi untuk setiap terdapat dengan , sehingga surjektif.

Berdasarkan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa bijektif sehingga dan

mempunyai elemen yang sama banyak. Dengan cara yang serupa dapat

ditunjukkan bahwa juga mempunyai elemen yang sama banyaknya dengan

untuk setiap .

Perhatikan contoh 6.1 dan 6.2 di atas Setiap koset dari mempunyai elemen

yang sama banyaknya dengan elemen .

Kegiatan Belajar 2 : Teorema Lagrange

Teorema 6.7 :

Jika G grup hingga dan misalkan H subgrup dari G, [G]= [G:H] x [H]

Atau

Jika G grup hingga dan misalkan H subgrup dari G maka order (H) membagi order G

Bukti:

Misal dan .

Karena berhingga maka terdapat sejumlah berhingga koset kiri dari ,

namakan

102

Berdasarkan Teorema di atas

Karena membentuk partisi pada maka :

(sebanyak )

Jadi, .

Contoh 6 :

Misalkan G = (S3, x) dan H = { (1), ( 1 2 3 ), ( 1 2 3)}, order H membagi order

G, yaitu 3|6

maka banyaknya koset kanan dari H di G atau [G:H] = 6/3 = 2.

Terdapatnya kaitan antara order dari suatu grup dengan order dari subgrupnya

sebagaimana dinyatakan dalam Teorema Lagrange, memunculkan sifat-sifat

berikut :

Teorema 6.8 :

Setiap grup berorder prima merupakan grup siklik.

Bukti :

Misalkan grup dengan elemen identitas dan dengan prima.

Karena prima maka .

Akibatnya memuat elemen dengan .

Dibentuk .

Maka merupakan subgrup dari .

Karena maka

Misal

103

Berdasarkan Teorema Lagrange diperoleh

Karena dan prima maka .

Jadi sehingga terbukti bahwa merupakan grup siklik.

Definisi 6.9 :

Misalkan G grup dan a G maka order dari a adalah suatu bilangan bulat positif

terkecil m sedemikian sehingga am = e, dengan e unsur identitas dari G.

Contoh 7 :

Diberikan G = (Z4, +) tentukan order dari setiap unsur nya!

Jawab: ,

Catatan :

1. Jika a sebarang unsur dari grup G yang mempunyai identitas e

dan n bilangan bulat positif sedemikian sehingga an = e, maka

2. Jika ada bilangan bulat positif m < n yang memenuhi am = e maka

Akibat 6.10 :

Jika G hingga dan a G maka

Akibat 6.11 :

Jika G hingga dan a G maka

104

LATIHAN

1. Sebutkan semua Koset kanan/ Koset kiri dari S3

2. Syarat apa yang harus dipenuhi supaya koset kanan sama dengan koset kiri

3. Apakah koset merupakan Grup?

4. Tentukan semua order unsur dari Z5, Z6, Z7

5. Tentuka semua order unsur dari S3

6. Tentukan semua order unsur dari grup G = { 1,-1, i,-i }

7. Buktikan Teorema 6.4

8. Jika grup berhingga dengan order maka untuk setiap .

Buktikan

9. Misalkan dan subgrup dari . Didefinisikan relasi pada dengan

jika dan hanya jika untuk suatu .

a. Buktikan bahwa merupakan relasi ekivalen

b. Tentukan klas ekivalensi yang memuat .

105

(catatan : klas-klas ekivalensi yang terbnetuk dinamakan koset ganda

(double cosets))

10. Misalkan grup hingga berorder dan . Tunjukkan bahwa terdapat

subgrup dari berorder .

DAFTAR PUSTAKA


Company, Canada.


Company, USA.


University.




106

MODUL 7

SUBGRUP NORMAL , GRUP FAKTOR

Kegiatan Belajar 1 : Subgrup Normal

Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bila 𝐻 < 𝐺 maka [𝐺: 𝐻] adalah himpunan dari koset-

koset kanan yang saling asing, suatu pertanyaan adalah bilamana himpunan [𝐺: 𝐻]

membentuk suatu grup? Untuk menjawab pertanyaan ini pertama didefinisikan suatu operasi

biner. Suatu pilihan yang wajar adalah 𝐻𝑎𝐻𝑏 = 𝐻𝑎𝑏. Lalu apa syarat dari subgrup

𝐻 supaya persamaan terpenuhi? Untuk menjawab pertanyaan ini, terlebih dahulu diberikan

suatu pengertian dari 𝑃𝐾 ≝ {𝑝𝑘 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾} dimana 𝑃 ⊂ 𝐺 dan 𝐾 ⊂ 𝐺, sehingga didapat:

𝐻𝑎𝐻𝑏 = {(ℎ𝑎)(ℎ𝑏) ℎ ∈ 𝐻}

= {ℎ 𝑎ℎ 𝑏 ℎ ∈ 𝐻} , (bila 𝑎ℎ = ℎ𝑎, ∀ ℎ ∈ 𝐻)

= {ℎ ℎ𝑎 𝑏 ℎ ∈ 𝐻}

= {(ℎℎ)(𝑎𝑏) ℎ ∈ 𝐻}

= {ℎ 𝑎𝑏 ℎ ∈ 𝐻}

= {ℎ 𝑎𝑏 ℎ ∈ 𝐻}

= 𝐻𝑎𝑏

Perhatikan bahwa 𝑎ℎ = ℎ𝑎, ∀ ℎ ∈ 𝐻 berarti bahwa 𝑎𝐻 = 𝐻𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝐺, yaitu koset kiri dan

koset kanan dari 𝐻 di 𝐺 sama, dalam hal ini 𝐻 dinamakan subgrup normal dari 𝐺 dinotasikan

dengan 𝐻 ⊲ 𝐺.

Kesimpulan :

Misalkan 𝐺 suatu grup dan 𝐻 < 𝐺, maka peryataan berikut ekivalen :

1. 𝐻 ⊲ 𝐺.

2. Perkalian koset adalah terdifinisi dengan baik (well defined).

Definisi 7.1 :

Misalkan G grup dan N G. N disebut subgrup normal dari G jika untuk setiap

g ∈ G , n N berlaku gng-1

N. Notasi N G.

N G gNg-1

N , g G

107

Lemma 7.2 :

N G gNg-1

N , g G

Sketsa Bukti :

- Buktikan berlaku kedua arah

- Bukti kiri jelas dari definisi

- Bukti ke kanan gunakan sifat saling subset

Lemma 7.3 :

Misalkan N G, N G Ng = gN , g G

Bukti :

( ) Diketahui N G maka gNg-1

= N atau gN = Ng ∀g G

(⟸) Diketahui gN = Ng adt N G . Karena gN = Ng jelas bahwa gNg-1

N g ∈ G,

terbukti bahwa N normal di G.

Lemma 7.4 :

N G produk dari dua koset kanan dari N di G sama dengan koset kanan dari N di G.

Bukti:

( ) , maka . Misalkan dan , maka

.

( ) Misalkan dan sebarang tetapi tetap di juga , maka

. Sehingga didapat atau

atau . Jadi untuk setiap (g tetap) dan setiap ,

maka atau . Sehingga didapat atau

atau untuk setiap . Jadi .

Contoh 1 :

Misalkan subgroup dari sedemikian sehingga untuk setiap dan

. Tunjukkan bahwa setiap koset kiri sama dengan koset kanan dari H di G. .

Penyelesaian :

Misalkan .

108

Tunjukkan asrtinya harus ditunjukkan dan

Ambil sembarang.


Ambil sembarang

Akan ditunjukkan

(diketahui)

(Kalikan kedua ruas dengan karena dan grup)

(Sifat asosiatif grup)

Jadi,


Ambil sembarang.

Akan ditunjukkan

Misalkan . Misalkan

Maka

Jadi,

Dari (i) dan (ii) maka

Contoh 2 :

Buktikan irisan dari dua subgrup normal merupakan subgrup normal.

Penyelesaian :

grup. Misalkan

Akan ditunjukkan


a) Akan ditunjukkan

109

Pilih dan

Artinya

Jadi,

b) Akan ditunjukkan

Ambil sembarang. Akan ditunjukkan .

artinya dan

Karena

Maka

Jadi,



artinya dan

artinya dan

Karena maka

Karena maka

Jadi,

Jadi, tertutup.

d) Akan ditunjukkan mempunyai invers.

Ambil sembarang.

Maka dan

Akan ditunjukkan

Karena maka

Karena maka

Jadi

Jadi, mempunyai invers.

Jadi, dari (a)-(d)


Akan ditunjukkan

Ambil dan sembarang.

110

artinya dan

Karena maka

Karena maka

artinya

Jadi,

Jadi, dari (i) dan (ii), .

Contoh 3 :

Jika grup dan dengan . Buktikan bahwa .

Penyelesaian :

Artinya harus ditunjukkan

(i) Jika maka atau

Sehingga

Jadi

(ii) Jika maka

Karena gabungan dari koset adalah grup itu sendiri maka

atau

Sehingga

Jadi, .

Jadi, dari (i) dan (ii) maka .

Contoh 4 :

Misalkan himpunan bilangan real dan untuk , misalkan .

Misalkan grup terhadap operasi komposisi fungsi. . Buktikan

.

Penyelesaian :


a) Akan ditunjukkan

111

Pilih dengan dan

Maka

Jadi,

b) Akan ditunjukkan


Jelas (perdefinisi)

Jadi



Akan ditunjukkan

Ambil sembarang.

Maka

Maka

Jadi,

Jadi, tertutup.



Pilih dengan dan .

Sehingga

Akan ditunjukkan

Jadi,



112




Ambil

Misalkan, maka

Jadi,

Latihan

1. Jika G grup dan N G dengan [G : N] = 2. Buktikan bahwa N G .

2. Buktikan bahwa subgrup dari Grup Abelian merupakan Subgrup Normal

3. Jika H subgrup dari G. Misalkan N(H) = { g G | gHg-1

= H}. Buktikan:

a. N(H) subgrup di G

b. H normal di N(H)

c. Jika H subgrup Normal dari K maka K N(H)

d. H normal di G jika dan hanya jika N(H) = G

4. Jika H subgrup dari G dan N subgrup Normal dari G, tunjukkan bahwa H N

subgrup

Normal dari H.

113

Kegiatan Belajar 2 : GRUP FAKTOR ( GRUP KUOSIEN)

Teorema 7.6:

Misalkan G grup dan N subgrup Normal dari G. G/N = { Na | a G } merupakan grup

faktor dengan operasi perkalian koset.

Bukti :

1. Adt G/N .

Karena G grup dan N subgrup G, maka G/N . Akibatnya terdapat e G sedemikian

sehingga N = Ne G/N.

Jadi G/N .

2. Adt G/N tertutup

Ambil Na, Nb G/N sebarang, maka a, b G.

Na Nb = Nab ( perkalian 2 koset kanan merupakan koset kanan)

Karena a,b G dan G grup maka ab G, akibatnya Nab G/N

Jadi G/N tertutup

3. Adt G/N asosiatif

Ambil Na, Nb, Nc G/N sebarang

Na(Nb Nc) = Na ( Nbc) = Na(bc) = N(ab)c = (Na Nb) Nc

Jadi G/N asosiatif

4. Adt ada identitas di G/N

Karena NaNe = Nae= Na = Ne Na (*),

maka Na G/N terdapat Ne G/N yang memenuhi (*).

Jadi Ne identitas di G/N

5. Adt terdapat invers di G/N

Karena Na G/N terdapat Na-1

G/N dengan a-1

G yang memenuhi

Na Na-1

= Naa-1

= Ne

Maka Na-1

merupakan invers dari Na.

Kesimpulan: dari 1-5 maka G//N adalah grup terhadap operasi perkalian Koset.

114

Contoh 5 :

1. G = (Z,+), N = (3Z,+), maka G/N = { N + 0, N+1, N + 2}

G/N tertutup, asosiatif, N + 0 merupakan unsur identitas

(N + 0)-1

= N + 0

(N + 1)-1

= N + 2

(N + 2)-1

= N + 1

Karena aksioma grup dipenuhi, maka G/N merupakan grup kuosien.

2. G = (S3, x), N = { (1), ( 1 2 3), ( 1 3 2 ) } , maka G/N = {N(1), N(12) } merupakan

Grup Kuosein

SIFAT GRUP FAKTOR

1. Setiap grup faktor dari grup siklis merupakan grup siklis

Bukti :

Misalkan G grup siklis maka G = <a>

Karena G siklis maka G Abelian. Setiap subgrup dari grup abelian selalu Normal sebut N

sehingga G/N merupakan grup faktor. Akan ditunjukkan G/N = <Na>

Ambil Nb G/N sebarang dengan b G. Karena G siklis yang dibangun oleh a maka b =

am, untuk suatu m bil bulat.

Nb = N(am) = N = = (Na)

m.

Jadi G/N = <Na> perdefinisi G/N grup siklis.

Selidiki apakah jika G/N siklis apakah G siklis?

2.Setiap grup faktor dari grup abelian, merupakan grup Abelian.

Bukti :

Misalkan G abelian, maka setiap subgrup dari grup abelian merupakan subgrup normal,

sebut N, jadi terdapat G/N merupakan grup faktor.

Akan ditunjukkan G/N abelian.

Ambil Na,Nb G/N sebarang, dengan a, b G, harus ditunjukan Na Nb = Nb Na

115

Na Nb = Nab ( karena perkalian koset)

= Nba( G abelian)

= Nb Na

Na Nb = Nb Na

Jadi G/N merupakan grup abelian.

Selidiki apakah berlaku sebaliknya?

Contoh 6 :

Miisalkan dan

Buktikan :

(i)

(ii) abelian

Penyelesaian :


Akan ditunjukkan

a) Akan ditunjukkan

Pilih dengan

Jadi

Jadi,

b) Akan ditunjukkan

Ambil sembarang.

Akan ditunjukkan

Karena dan maka

Jadi,

c) Akan ditunjukkan tertutup.

Ambil sembarang

Akan ditunjukkan

116

Misalkan

Maka

Jadi,

Jadi,

Jadi tertutup.

d) Akan ditunjukkan mempunyai unsur invers.

Ambil sembarang.

Pilih

Misalkan , maka

Akan ditunjukkan

Jadi,

Akan ditunjukkan



Ambil

Pilih

Maka

dengan

117

Jadi,

Jadi, dari (a) dan (b) maka .

(ii) Akan ditunjukkan Abelian.

Dengan menggunakan sifat koset :

Dalam hal ini harus ditunjukkan


dan

Misal maka

Jadi, abelian.

Contoh 7 :

Misalkan . Tentukan :

a)

b) Masing-masing order unsur dari

Penyelesaian :

a)

b)

Karena

Contoh 8 :

118

Misalkan grup. merupakan pusat grup.

a) Buktikan

b) Jika siklis. Buktikan siklis.

Penyelesaian :

a) (i) Akan ditunjukkan

1) Akan ditunjukkan

Pilih

Karena grup, maka

Sehingga

Jadi,

2) Akan ditunjukkan


Jelas berdasarkan yang didefinisikan di soal bahwa

Jadi,

3) Akan ditunjukkan tertutup.


artinya dengan

artinya dengan

Karena dan grup maka berlaku sifat ketertutupan sehingga

.

Karena dengan maka .

Jadi, tertutup.

4) Akan ditunjukkan mempunyai unsur invers.

Ambil sembarang.

Pilih

119

Karena maka dengan

Karena dan grup maka

atau

Karena dengan maka


Jadi, dari (1)-(4), maka

(iii) Akan ditunjukkan


Ambil sembarang dengan sembarang

Ambil

artinya dengan

jelas berdasarkan definisi.

Sehingga

Jadi, dari (i) dan (ii), maka .

Contoh 9 :

Cari order dari grup faktor berikut.

Penyelesaian :

Sehingga

120

Dengan teorema lagrange,

Sehingga

Jadi,

LATIHAN

1. Misalkan terhadap operasi . Tunjukkan setiap koset kiri dari memuat tepat

satu elemen sehingga .

2. Misalkan . Jika . Buktikan bahwa .

3. Cari order dari grup faktor berikut.

4. Cari order elemen-elemen berikut :

a) di

b) di

5. Misalkan . Buktikan abelian jika dan hanya jika

6. Tunjukkan bahwa setiap elemen di berorder hingga !

121

122

DAFTAR PUSTAKA


Company, Canada.


Company, USA.


University.




adisetiawan26.files.wordpress.com/.../homomorfisma-.diunduh 3 juni 2014

123

MODUL 8

HOMORFISMA GRUP

Kegiatan Belajar 1 : Homorfisma Grup

Definisi 8.1

Sebuah pemetaan 𝜙 dri grup G ke G’ disebut Homomorphisma jika untuk setiap a,b

G, berlaku 𝜙 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝜙 𝑎 ∗ 𝜙(𝑏)

Contoh 1:

Diberikan grup permutasi 𝑆3 dan grup bilangan rasional tanpa nol ℚ+. Didefinisikan

suatu pemetaan 𝑓 ∶ 𝑆3 → ℚ+ oleh

𝑓 𝜎 = 1, bila 𝜎 genap−1, bila 𝜎 ganjil

, untuk setiap 𝜎 ∈ 𝑆3

Bila 𝜎, 𝜏 kedunya genap atau keduanya ganjil,maka 𝜎𝜏 genap oleh karena itu

𝑓 𝜎𝜏 = 1 = 1.1 = 𝑓 𝜎 .𝑓(𝜏) atau

𝑓 𝜎𝜏 = 1 = −1. −1 = 𝑓 𝜎 .𝑓(𝜏). Bila 𝜎 genap dan 𝜏 ganjil, maka 𝜎𝜏 ganjil oleh

karena itu 𝑓 𝜎𝜏 = −1 = 1. −1 = 𝑓 𝜎 .𝑓(𝜏). Terlihat bahwa 𝑓 adalah

homomorpisma grup dari 𝑆3 ke ℚ+dengan ker(𝑓) = 𝑓−1(1) = 𝐴3. Jelas bahwa

124

ker(𝑓) ⊲ 𝑆3 dan im 𝑓 = {1, −1} adalah subgrup dari ℚ+. Sedangkan 𝑓−1(−1) =

𝐴3𝜏 untuk setiap permutasi ganjil 𝜏 ∈ 𝑆3.

Contoh 2:

Diberikan himpunan bilangan real , himpunan dan himpunan

.

Didefinisikan suatu pemetaan oleh dimana

dengan operasi perkalian di dan didapat

. Terlihat bahwa adalah suatu

homomorpisma grup dari ke dengan pada. Selanjutnya

.

Contoh 3:

125

Diberikan himpunan bilangan kompleks , himpunan dan himpunan

. Didefinisikan suatu pemetaan oleh

dimana dengan operasi perkalian di dan didapat

. Terlihat bahwa adalah suatu

homomorpisma grup dari ke dengan pada. Selanjutnya

.

Contoh 4 :

Definisikan suatu pemetaan

oleh

Pemetaan adalah satu-satu pada, sebab

dan adalah suatu homomorpisma, sebab

.

C0ontoh 5 :

a. Diketahui G = G’ = (Z , + )

Definisikan G G’ dengan (x ) = 2x. Periksa apakah merupakan

Homomorphisma

Jawab:

126

Ambil x. y G sebarang

(x + y) = 2(x+ y) = 2(x + y) = 2x + 2y.

Jadi merupakan homomophisma

b. Diberikan G = (R+ , x ) dan G’ = (R , +)

Definisikan : G G’ dengan (x) = log x.

Periksa apakah merupakan Homomorphisma

Jawab:

Ambil x, y G sebarang

(x y) = log (x y) = log(x) + log (y) = (x) + (y)

Jadi merupakan homomorphisma.

c. Diketahui G = (R\{0}, x) dan G’ = ({-1,1},x)

: G G’ dengan

(x) =

Selidiki apakah merupakan homomorphisma

Jawab :

Karena G terdiri dari bilangan positf dan bilangan negative, maka untuk melihat

homomorfisma nya, akan dibagi beberapa kasus.

(i). Jika , maka dan

(ii) Jika , maka

(iii) Jika maka

(iv) JIka , , maka dan

Dari ke empat kasus di atas dapat disimpulkan bahwa

Dengan demikian : G G’ dengan (x) = merupakan

homorfisma.

127

Definisi 8.2:

Misalkan : G G’ homorphisma grup :

(i). dinamakan monomer phisma jika injektif ( pemetaan yang bersifat satu-satu)

(ii). dinamakan epimorphisma jika surjektif ( pemetaan yang bersfat pada )

(iii). dinamakan isomorphisma jika bijektif ( pemetaan yang bersifat satu-satu

dan pada)

(iv). dinamakan endomorphisma jika G=G’dan surjektif

(v). dinamakan automorphisma jika G=G’ dan bijektif

Dalam teori grup automorfisma dapat digunakan untuk menghubungkan subgrup dari

suatu grup G dengan subgrup yang lain dalam upaya menganalisis struktur dari grup

G. Salah satu bentuk automorfisma yang penting adalah sebagai berikut: untuk setiap

b dalam G terdapat suatu automorfisma fb yang membawa x ke konjugatnya yaitu b-

1xb. Peta dari sebarang subgrup S dibawah automorfisma fb adalah b

-1Sb = { b

-1 s b | s

dalam S }.

Dalam hal ini merupakan subgrup dari G yang isomorfis dengan S. Berbagai subgrup

b-1

Sb dinamakan konjugat dari S.

Manfaat utama dari homomorfisma f : G H yaitu dengan melihat sifat-sifat dari

petanya (image) dapat disimpulkan sifat-sifat dari grup G.

Contoh 6:

Homomorfisma yang bersifat pada disebut epimorpisma

Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan –

bilangan real, dan G’ grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada bilangan -

bilangan real.

Definisikan f : G →G’, dengan f(x) = ln x untuk setiap x ϵ G.

Perhatikan bahwa G danG’ memiliki operasi biner yang berbeda.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa

untuk setiap a,b ϵ G. berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

128

f (ab)= ln ab= ln a + ln b = f (a) f (b)

Jadi f terbukti homomorfisma.

Jika f(x) = f(y) akibatnya ln x =ln y sehingga x=y. ini menunjukkan f adalah fungsi

satu-satu.

Jika ln r ϵ G maka r ϵ G’ , kemudian f(r) = ln r. Sehingga f bersifat pada

Teorema 8.3 :

Jika : G G’ epimorphisma dan G grup abelian maka G’ juga merupakan grup

abelian

Bukti:

Ambil y1, y2 G’ sebarang.

Karena surjektif maka terdapat x1, x2 G sehingga (x1) = y1 dan (x2) = y2.

Diperoleh y1y2 = (x1) (x2)= (x1x2) = (x2x1) = (x2) (x1) = y2y1

Jadi G’ grup abelian.

Lemma 8.4 :

Misalkan G grup dan N subgroup normal di G . Definisikan : G G/N dengan (x)

= Nx, maka merupakan homomorphisma pada dari G ke G/N.

Bukti :

1) Adt terdefinisi dengan baik

Ambil x, y G sebarang dengan x = y adt (x) = (y)

Karena N subgroup Normal di G , maka dapat dibentuk koset dari N di G.

Karena x = y , maka Nx = Ny, jadi (x) = (y)

2) Adt merupakan homomorphisma

Ambil x, y G sebarang.

(xy) = Nxy = Nx Ny = (x) (y)

Jadi merupakan homomorphisma.

3) Adt bersifat pada yaitu Nx G/N x G (x) = Nx

Ambil Nx G/N sebarang. Jelas bahwa x G, sehingga (x) = Nx.

Jadi bersifat pada.

129

Kegiatan Belajar 2 : SIFAT-SIFAT HOMOMORPHISMA

Lemma 8.5:

Misalkan G G’ Hmomorphisma maka:

1). e) = e’

2). (x-1

) = ( (x))-1

Bukti :

1). Ambil a G sebarang.

Maka (a) = (ae)

(a) = (a) (e)

(a)]-1

(a) = (a)]-1

(a) (e)

e ‘ = e’ (e)

e ‘ = (e)

2). Diketahui e ‘ = (e) dan karena , dengan menggunakan sifat

homomorfisma diperoleh

Definis 8.6 :

Misalkan G G’ Homomorphisma .Ker( ; e’ identitas di

G’

Contoh 7 :

a. Diketahui G = G’ = (Z , + )

130

Definisikan G G’ dengan (x ) = 2x.

merupakan Homomorphisma

Ker( ;

Ker(

b. Diketahui G = (R\{0}, x) dan G’ = ({-1,1},x)

: G G’ dengan

(x) =

Karena merupakan Homomorphisma, maka

Ker( =

Teorema 8.7

Misalkan G G’ Homomorphisma , maka Ker( ) merupakan subgroup Normal

dari G

Bukti:

1). Adt Ker( ) subgroup dari G

- adt Ker( )

Karena G grup maka terdapat e di G

Karena homomorphisma ,maka (e) = e’, jadi e Ker( )

Jadi Ker( )

-adt Ker( ) G

Jelas dari definisi Ker( )

-adt Ker( ) tertutup

Ambil x, y Ker( ) sebarang, maka (x) = e’ dan (y) = e’, adt xy Ker( )

(xy) = (x) (y) = e’e’ = e’, akibatnya xy Ker( )

Jadi Ker( ) tertutup

-adt Ker( mempunyai invers

Ambil x Ker( ) sebarang , maka (x) = e’, adt x-1

Ker( )

(x-1

) = ( (x) )-1

= e’.

Jadi x-1

Ker( )

131

Ker( ) merupakan subgroup dari G.

2). Ambil sebarang, akan ditunjukkan

=

=

=

= e’

Dengan demikian merupakan subgroup Normal dari G.

Akibat 8.8:

G G’ monomorphisma jika dan hanya jika Ker( ) = {e }

Bukti :

( ) Diketahui G G’ monomorphisma. Adt Ker( ) = {e }

Ambil x Ker( ) sebarang, maka Di sisi lain . Akibatnya

, karena 1-1 maka x= e .

rena x diambil sebarang maka Ker( ) = {e }.

( ) Diketahui Ker( ) = {e }, adt 1-1

Ambil , G’ sebarang dengan = , adt x= y.

=

=

e’ =

Ker ( )

Karena Ker( ) = {e }, berarti e atau y = x.

Perdefinisi 1-1.

132

Definisi 8.9 :

Peta Im(f) atau f(G) dari homomorfisma grup

f : G H didefinisikan sebagai

Im(f) = f(G) = { f(g) | g G }.

Peta dari homomorfisma f sama dengan H jika f surjektif atau f pada (onto) H

Teorema 8.10

Jika f : G H homomorfisma grup maka Im(f) subgrup dari H.

Bukti

Akan dibuktikan bahwa f(G) tertutup.

Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G). Karena f homomorfisma maka f(ab) = f(a) f(b).

Tetapi a, b dalam G sehingga ab dalam G (sebab G grup).

Jadi f(a) f(b) = f(ab) dalam G dengan ab dalam G atau f(G)tertutup.

Akan dibuktikan bahwa e dalam f(G)

e adalah identitas dalam H untuk membedakan dengan e dalam G.

Misalkan f(b) sebarang anggota dalam Im(f).

Karena f(b) dalam Im(f) maka f(e) f(b) = f(eb) = f(b) = e f(b).

Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan didapat f(e) = e.

Akan dibuktikan f(G) mempunyai invers dari anggota f(G).

Misalkan f(x) dalam f(G).

f(x-1

) merupakan invers dari f(x) karena

f(x) f(x-1

) = f(xx-1

) = f(e) = e.

Dengan cara yang sama, didapat

133

f(x-1

) f(x) = e dan f(x-1

) invers (yang tunggal) dari f(x) dengan f(x-1

) dalam f(G).

Jadi Im(f) subgroup dari H

Contoh 8:

Misalkan Z grup bilangan real dengan operasi penjumlahan.

Definisikan f : Z → Z , dengan f(x) = 2a untuk setiap x ϵ Z.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa

untuk setiap a,b ϵ Z n berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (a+b) = 2 (a+b) =2a +2b = f(a) f(b)

Jadi f suatu homorfisma.

Dari definisi f(x) = 2a maka daerah hasil dari f = { 0, 2, 4, ………} = 2Z

2Z adalah subgrup dari Z.

Teorema 8.10 :

Misalkan f : G H homografisma grup dengan peta f(g). Sifat-sifat berikut ini

berlaku :

Jika G berhingga maka orde dari f(G) membagi orde G.

Jika G siklik maka f(G) siklik.

Jika a G mempunyai orde berhingga maka order dari f(a) membagi order a.

Jika G abelian maka f(G) abelian.

Teorema 8.11

Misalkan f : G H homomorfisma grup dengan inti Ker(f) dan peta f(G).

Sifat-sifat berikut ini berlaku :

Fungsi f injektif jika dan hanya jika Ker(f)={ 0 }

134

Jika f injektif maka G isomorfis dengan f(G).

Contoh 9:

Didefinisikan pemetaan f : Z Z dengan aturan f(x) = 3x.

Karena f(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y = f(x) + f(y) maka f homomorfisma.

Penyelesaian persamaan 3x = 0 adalah x = 0 sehingga Ker(f) = { 0 } atau f injektif.

Dengan menggunakan teorema maka Z isomorfis dengan

Im(f) = { 3x | x dalam Z } = (3)

yang merupakan grup bagian sejati dari Z.■

Contoh 10 :

Misalkan diketahui R himpunan bilangan real dan R* = R – {0}.

Didefinisikan f : R* R* dengan f(x) = x2 Buktikan f homomorfisma tetapi f

tidak injektif.

Jawab :

Karena R* grup terhadap operasi perkalian maka f homomorfisma tetapi

Ker(f) = { x R* | f(x) = x2 = 1 }

= { 1, -1 } ≠ { 1 }

sehingga f tidak injektif

135

Latihan

Untuk soal-soal berikut, selidiki apakah pemetaan yang diberikn merupakan

Homomorfisma, Jika Ya tentuan Kernel pemetaan nya !

1. Diketahui G = ( C, + ) dan G’= ( R, +)

a. : G G’ dengan ( a + ib ) = a2 + b

2.

b. Periksa apakah merupakan homomorphisma.

2. Diketahui G = grup terhadap perkalian

matriks dan G’ = (R\{0}, x) .

a. Definisikan : G G’ dengan

b. Periksa apakah merupakan homorphisma.

3. Diketahui G = ( Z, +) dan G’ = ( R, +)

a. α : Z degan α(n) = |n | untuk setiap n Z

b. Periksa apakah α merupakan homorphisma

4. Diketahui Sn merupakan himpunan permutasi dengan n unsur, definisikan

136

a. β : Sn Z2 dengan β( ) =

b. Periksa apakah β merupakan homomorphisma.

DAFTAR PUSTAKA


Company, Canada.


Company, USA.


University.




7. adisetiawan26.files.wordpress.com/.../homomorfisma-.diunduh 3 juni 2014

137

MODUL 9

ISOMORFISMA GRUP

Kegiatan Belajar 1 : Isomorfisma Grup

Definisi 9.1:

Dua Grup G dan G’disebut isomorfik,jika terdapat pemetaan 𝜙: G G’ yang bersifat

1-1, pada dan memenuhi 𝜙 (ab) = 𝜙(a) 𝜙(b), a,b G.

Contoh:

1. Misalkan G = (Z4, +) , G’ = <i> = {1, -1, i, -i}

Definisikan 𝜙: G G’ dengan 𝜙(n) = 𝑖𝑛 n Z4

𝜙 bersifat 1-1 dan pada ,karena

𝜙 (0) = 1

𝜙(1) = i

𝜙(2) = -1

𝜙(3) = -i

dan 𝜙 (m + n) = im

+ in = i

m+n = 𝜙(m) + 𝜙(n)

maka Z4 dan <i> isomorfik.

2. Z8 dan Z12 tidak isomorfik karena order grupnya berbeda

Sedangkan U8 isomorfik dengan U12,

karena : U8 U12 dengan

1 1

3 5

5 7

7 11

138

Merupakan pemetaan 1-1, pada dan homorfisma.

3. Walaupun 𝑆3 dan ℤ6 mempunyai banyak elemen yang sama, tetapi 𝑆3 ≇ ℤ6. Untuk

menunjukan hal ini sebagai berikut. Telah diketahui bahwa 𝑆3 tidak komutatif

sedangkan ℤ6 komutatif. Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆3 dengan 𝑎𝑏 ≠ 𝑏𝑎 dan andaikan bahwa

pemetaan 𝑓 ∶ ℤ6 → 𝑆3 adalah suatu isomorpisma. Oleh karena itu ada 𝑚 dan 𝑛 di

ℤ6 sehingga 𝑓 𝑚 = 𝑎,𝑓(𝑛) = 𝑏. Didapat

𝑎𝑏 = 𝑓(𝑚)𝑓(𝑛) = 𝑓(𝑚 + 𝑛) = 𝑓(𝑛 + 𝑚) = 𝑓(𝑛)𝑓(𝑚) = 𝑏𝑎

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 𝑎𝑏 ≠ 𝑏𝑎. Jadi 𝑆3 ≇ ℤ6.

4. Grup (ℝ , +) adalah isomorpik dengan grup (ℝ+, . ). Sebab ada pemetaan

𝑓 ∶ ℝ → ℝ+ dengan 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 ,∀ 𝑥,ℝ

Pemetaan 𝑓 satu-satu pada, sebab diberikan sebarang 𝑦 ∈ ℝ+, pilih 𝑥 ∈ ℝ, yaitu

𝑥 = 𝑙𝑛 𝑦 sehingga didapat 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 = 𝑒ln 𝑦 = 𝑦, jadi 𝑓 pada.

Selanjutnya bila 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2),

Maka

𝑒𝑥1 = 𝑒𝑥2 ⇒ 𝑒𝑥1−𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥1 − 𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2

Jadi 𝑓 satu-satu. Terlihat bahwa 𝑓 satu-satu dan pada (bijektif).

,𝑓 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑒𝑥1+𝑥2 = 𝑒𝑥1𝑒𝑥2 = 𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2).

Jadi 𝑓 adalah homomorpisma. Karena 𝑓 homomorpisma dan bijektif, maka

𝑓 adalah isomorpisma.

139

Teorema 9.2:

Misalkan pemetaan 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐻 adalah suatu isomorpisma grup, maka

1. 𝑓−1 ∶ 𝐻 → 𝐺 adalah suatu isomorpisma.

2. |𝐺| = |𝐻|.

3. Bila 𝐺 abelian maka 𝐻 abelian.

4. Bila 𝐺 siklik, maka 𝐻 siklik.

5. Bila 𝑔 ∈ 𝐺 dengan |𝑔| = 𝑚, maka |𝑓 𝑔 | = 𝑚.

Bukti

1. Karena 𝑓 bijektif, maka 𝑓−1 ada. Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻, maka ada 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 sehingga

𝑥 = 𝑓(𝑎) dan 𝑦 = 𝑓(𝑏). Didapat𝑥𝑦 = 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 = 𝑓 𝑎𝑏 ⇒ 𝑓−1 𝑥𝑦 = 𝑎𝑏 =

𝑓−1 𝑥 𝑓−1 𝑦 ,∀ 𝑥,𝑦 ∈ 𝐻. Jadi pemetaan 𝑓−1: 𝐻 → 𝐺 adalah suatu

homomorpisma grup. Karena 𝑓 bijektif, maka 𝑓−1 juga bijektif. Jadi 𝑓−1 adalah

suatu isomorpisma grup.

2. Karena 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐻 bijektif, maka banyaknya elemen di 𝐺 sama dengan banyaknya

elemen di 𝐻.

3. Diketahui bahwa 𝐺 abelian. Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻, karena 𝑓 pada maka ada 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺

sehingga 𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑦 = 𝑓(𝑏). Didapat

𝑥𝑦 = 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 = 𝑓 𝑎𝑏 = 𝑓 𝑏𝑎 = 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎) = 𝑦𝑥

Terlihat bahwa unutk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝐻 berlaku 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥, jadi 𝐻 abelian.

4. Misalkan 𝐺 = 𝑔 = {𝑔𝑚 𝑚 ∈ ℤ} dan 𝑓 𝑔 = 𝑕0 untuk suatu 𝑕0 ∈ 𝐻. Ambil

sebarang 𝑕 ∈ 𝐻, maka ada 𝑛0 ∈ ℤ sehingga 𝑕 = 𝑓(𝑔𝑛0 ), dimana

140

𝑓 𝑔𝑛0 = 𝑓 𝑔 …𝑓 𝑔 = 𝑕0

𝑛0 ,𝑛0 ≥ 0

𝑓(𝑔)−1 …𝑓 𝑔 −1 = 𝑕0−𝑛0 ,𝑛0 < 0

Jadi untuk setiap di , dengan , hal ini menunjukkan

bahwa

.

5. Bila dan , maka , sehingga

didapat ada bilangan bulat positip yang memenuhi . Disamping itu,

. Karena satu-satu dan , maka . Jadi ada

bilangan bulat positip yang memenuhi . Dari dan ,

didapat atau . Karena masing-masing dan adalah

bilangan bulat positip, maka haruslah . Oleh karena itu

.

Teorema 9.5 :

Setiap grup dengan order hingga isomorpik dengan suatu grup permutasi

Bukti

Misalkan suatu grup dengan order hingga. Untuk sebarang tetap,

definisikan dengan . Pemetaan adalah satu-satu,

sebab untuk sebarang (kodomain) dengan berakibat

, sehingga didapat . Pemetaan juga pada, sebab untuk setiap

(kodomain) selalu bisa dipilih sehingga Jadi

adalah suatu permutasi dari Selanjutnya definisikan .

141

Bila komposisi fungsi di didefinisikan sebagai berikut ,

maka bisa ditunjukkan bahwa dengan operai biner ini merupakan suatu grup.

Selanjutnya ditunjukkan bahwa , sebagai berikut. Konstruksi suatu pemetaan

dengan . Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan

suatu homomorpisma dan merupakan pemetaan satu-satu pada.

Kegiatan Belajar 2 : Teorema Fundamental Isomomorfisma Grup

Teorema Isomorfisma I

Misalkan Homomorfisma pada dengan Ker( = K maka G/K G’.

Bukti :

Perhatikan diagram berikut:

G/K

Diketahui Homomorfisma pada

Konstruksi pemetaan :

Kg (g)

Untuk menunjukkan G/K G’,harus dibuktikan

1. Terdefinisi dengan baik

2. Homomorfisma

3. Bersifat 1-1

𝜓

𝜑

G G’

142

4. Bersifat pada

Adt terdefinisi dengan baik.

Ambil Kg1, Kg2 G/K dengan Kg1 = Kg2. Adt (Kg1) = (Kg2)

Kg1 = Kg2

g1g2-1

K

g1g2-1

) = e’

(g1) (g2-1

) = e’

(g1) (g2)-1

= e’

(g1) = (g2)

(Kg1) = (Kg2), hal ini menunjukkan bahwa pemetaan terdefinisi dengan baik.

Adt bahwa merupakan homomorfisma

ambil Kg1, Kg2 G/K, adt (Kg1Kg2) = (Kg1) (Kg2)

(Kg1Kg2) = g1g2)= (g1) (g2) = (Kg1) (Kg2)

Perdefinisi Homomorfisma

Adt bersifat 1-1

Ambil Kg1, Kg2 G/K dengan (Kg1) = (Kg2) adt Kg1 = Kg2

(Kg1) = (Kg2)

(g1) = (g2)

(g1) (g2)-1

= e’

143

(g1) (g2-1

) = e’

g1g2-1

) = e’

g1g2-1

K ( karena ker ) = K )

Kg1 = Kg2

Perdefinisi bersifat 1-1

Adt bersifat pada

Ambil (g) G’ akan ditunjukkan Kg G/K (Kg) = (g)

Karena homomorfisma pada maka terdapat g G dank arena K subgroup normal di

G, maka G/K merupakan Grup Faktor sehingga Kg G/K dan berlaku (Kg) = (g).

Perdefinisi bahwa bersifat pada.

Kesimpulan G/K G’.

catatan :

Untuk menunjukkan Keisomorfikan antara dua buah Grup,maka :

1. Konstruksi pemetaan dari dua grup tersebut

2. Tunjukkan pemetaan nya terdefinisi dengan baik.

3. Tunjuukan pemetaan nyabersifat Homomorfisma

4. Tunjukkan pemetaannyabersifat 1-1

5. Tunjukkkan pemetaannya bersifat pada.

Teorema Isomorfisma II

Misalkan N,M subgrup normal dari G, maka NM/M N/N M

Bukti:

144

Untuk membuktikan teorema Isomorfisma II menggunakan Teorema Isomorfisma I,

Konstruksi pemetaan : N NM/M dengan (n) = Mn.

(i). Akan ditunjukkan terdefinisi dengan baik

Ambil , akan ditunjukkan

Jadi .

terdefinisi dengan baik

(ii). Akan ditunjukkan merupakan homomorfisma

Ambil

Jadi

merupakan homomorfisma

Akan ditunjukkan bersifat pada

Ambil NM/M sebarang , dengan , maka , jadi

jadi terdapat yang memenuhi

bersifat pada

(iv). Akan ditunjukkan ker( ) = N M

Dari (i) – (iv) dapat disimpulkan bahwa NM/M N/N M.

Untuk membuktikan teorema 2 isomorfisma , dapat juga dikonstruksi pemetaan

145

NM/M N/N M dengan

dengan terlebih dahulu membuktikan M merupakan subgroup normal dari NM,

sehingga NM/M merupakan grup kuosien, demikian juga harus dibuktikan bahwa

(N M ) merupakan subgroup normal dari N, sehingga N/N M meruakan grup

kuosien.

Karena NM/M dan N/N M masing-masing merupakan grup maka dapat

didefinisikan sebuah pemetaan.

Selain dari pada itu dapat pula didefinisikan pemetaan NM/M

dengan .

Teorema Isomorfisma III

Misalkan homorfisma dari G ke G’ dengan Ker( ) = K,

dan misalkan N’ subgroup normal dari G’,

N = { x G | (x) N’}, maka G/N G’/N’.

Secara ekivalen, G/N (G/K)/(N/K)

Bukti :

Dengan menggunakan Teorema Isomorfisma I, konstruksi pemetaan : G G’/N’

yang bersifat pada dan Ker( ) = N, sehingga G/N G’/N’.

(i). Akan ditunjukkan : G G’/N’ dengan (g) = N’ (g), g G

terdefinisi dengan baik.

Ambil .

146

mengakibatkan , maka terdefinisi dengan

baik.

(ii). Akan ditunjukkan bersifat homorfisma.

Ambil ,

=

Jadi ,

bersifat homorfisma.

(iii). Akan ditunjukkan bersifat pada

Ambil N’ (g) N’/G’ sebarang. Karena dari G ke G’bersifat pada, maka

terdapat sehingga (g) = N’ (g).

Jadi bersifat pada

(iv). Akan ditunjukkan Ker( ) = N.

=

=

= N

Dari (i) – (iv) dapat disimpulkan bahwa G/N G’/N’.

147

Contoh 5 :

Misalkan himpunan bilangan real dan untuk , misalkan

didefinisikan sebagai . Misalkan dan

. Buktikan :

o

o

Penyelesaian :

o Akan ditunjukkan


a) Akan ditunjukkan

Pilih dengan dan

Maka

Jadi,

b) Akan ditunjukkan


Jelas (perdefinisi)

Jadi



Akan ditunjukkan

Ambil sembarang.

Maka

148

Maka

Jadi,

Jadi, tertutup.



Pilih dengan dan .

Sehingga

Akan ditunjukkan

Jadi,






Ambil

Misalkan, maka

149

Jadi,

o Akan ditunjukkan

Penyelesaian :

Dengan teorema isomorfisma 1, konstruksi pengaitan :

a) Akan ditunjukkan well defined.


Akan ditunjukkan

(Definisi)

(Karena maka dan )

Jadi, dengan berlaku

Perdefinisi, well defined.

b) Akan ditunjukkan homomorfisma

Ambil sembarang.

Akan ditunjukkan

Jadi, berlaku

Perdefinisi, homomorfisma.

c) Akan ditunjukkan pada


Pilih

150

Maka

Jadi,

Perdefinisi, pada

d) Akan ditunjukkan

Jadi,

Jadi, dari (a)-(d) berdasarkan teorema isomorfisma 1 terbukti bahwa

Contoh 7 :

Misalkan dan misalkan himpunan bilangan kompleks dengan nilai

mutlak 1. ( jika ). Buktikan isomorfik terhadap himpunan

bilangan real positif terhadap perkalian.

Penyelesaian :

Akan ditunjukkan

Dengan teorema isomorfisma 1, konstruksi pengaitan :



Akan ditunjukkan

artinya dan

(Karena dan )

151

Jadi, dengan berlaku .


b) Akan ditunjukkan homomorfisma.


Jadi, berlaku


c) Akanditunjukkan pada.


Pilih

Sehingga

Maka

Jadi,

Perdefinisi, pada.

d) Akan ditunjukkan

152

Jadi,

Jadi, dari (a)-(d), terbukti bahwa berdasarkan teorema isomorfisma 1.

Contoh 8 :

Misalkan grup terhadap

perkalian. Buktikan dan isomorfik.

Penyelesaian :

Akan ditunjukkan



Akan ditunjukkan

artinya dan

(Karena )



b) Akan ditunjukkan satu-satu.


Akan ditunjukkan

Sehingga dan , diperoleh

153


c) Akan ditunjukkan pada.

Ambil sembarang.

Akan ditunjukkan

Pilih

Maka atau

Jadi,

Perdefinisi, pada.

d) Akan ditunjukkan homomorfisma.

Ambil sembarang.

Akan ditunjukkan

Jadi, berlaku


Jadi, dari (a)-(d) terbukti

154

LATIHAN

1. Misalkan G grup, g unsur yang tetap di G. Definisikan pemetaan : G G

dengan (x) =gxg-1

.

Buktikan merupakan isomorfisma dari G ke G

155

DAFTAR PUSTAKA


Company, Canada.


Company, USA.


University.




156

Documents

MODUL STRUKTUR ALJABAR 1 - …math.fmipa.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2018/02/BAHAN-AJAR...Modul 5 Grup Siklis, Grup Permutasi Modul 6 Koset, Teorema Lagrange Modul 7 Subgrup Normal,