Lógica Proposicional

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Módulo

IV

Castellanos & León

Fase III. Refuerza: Conocimientos Básicos U

nida

d III

.

Debemos recordar que cada proposición simple tiene un valor de verdad,

es decir, es verdadera (V) o falsa (F).

Sin embargo, el valor de verdad de las proposiciones compuestas,

depende del valor de verdad de las proposiciones simples que la com-

ponen y del conectivo que las une.

Si las variables proposicionales de una proposición compuesta son

“p” y “q”, se nos presentan varias alternativas de verdad o falsedad, las

cuales son:

Alternativa p q

Ambas son verdaderas V V

La primera verdadera y la segunda falsa. V F

La primera falsa y la segunda verdadera. F V

Ambas falsas F F

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Tablas de la Verdad o Certidumbre.

Si las variables proposicionales de una proposición compuesta son “p” y “q”, se nos

presentan varias alternativas de verdad o falsedad, las cuales son:

Apoyados en el esquema anterior, se puede construir las tablas de verdad o certidum-

bre, las cuales nos permitirán conocer el valor veritativo de dichas proposiciones.

Existen tres clases de tablas de certidumbre:

a) Tablas de Certidumbre Fundamentales.

b) Tablas de Certidumbre Completas o Derivadas.

c) Tablas de Certidumbre Parciales.

Construcción General de la Matriz de las Tablas de Certidumbre.

Para construir la matriz de una tabla de certidumbre seguimos los siguientes pasos:

1. Se determina el número de variables que intervienen en la forma proposicional.

2. Se aplica la regla 2n (para determinar el número de filas de la tabla), donde:

La base 2, representa el número de posibles valores veritativos de la variable,

este es, verdadera (V) o falsa (F), y

El exponente “n” es el número de variables de la forma proposicional.

Alternativa p q

Ambas son verdaderas V V

La primera verdadera y la segunda falsa. V F

La primera falsa y la segunda verdadera. F V

Ambas falsas F F

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Tablas de Certidumbre Fundamentales.

Las tablas de certidumbre fundamentales, conocidas también con el nombre de matri-

ces, son parámetros de verdad que se aplican en forma aislada o independiente a cada

uno de los conectivos: la negación, la conjunción, la disyunción inclusiva, la disyunción

exclusiva, el condicional y el bicondicional. Puesto que cada uno de ellos posee su pro-

pia función veritativa.

1. Matriz de la Negación (−).

Si “p” es una proposición atómica cualquiera, “−p” será su negación.

Entonces, será verdadera si su oponente es falsa y será falsa si su

oponente es verdadera. Es decir, que cuando una proposición está

precedida por una negación, esta se niega:

2. Matriz de la Conjunción ( ۸ ).

Será verdadera cuando sus dos componentes sean

verdaderas.

3. Matriz de la Disyunción Inclusiva ( ۷ ).

Será falsa cuando sus dos componentes sean falsas.

p −p

V F

F V

p ۸ q

V V V

V F F

F F V

F F F

p ۷ q

V V V

V V F

F V V

F F F

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4. Matriz de la Disyunción Exclusiva ( ⊻ ).

Será verdadera cuando sus dos componentes sean

diferentes.

5. Matriz del Condicional (→).

Será falsa solamente si su antecedente es verdadero y su

consecuente es falso.

6. Matriz del Bicondicional (↔).

Será verdadera cuando sus dos componentes sean iguales.

Es importante señalar, que cuando una negación se

encuentra delante de una expresión encerrada entre

paréntesis, corchetes, llaves o barras, cambia el valor

de la función veritativa respectiva. Ejemplo: Se tiene

que − (p ↔ q):

p ⊻ q

V F V

V V F

F V V

F F F

p → q

V V V

V F F

F V V

F V F

p ↔ q

V V V

V F F

F F V

F V F

− ( p ↔ q)

F V V

V

V V F

F

V F F

V

F F V

F

Cambia la cualidad del

juicio.

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Tablas de Certidumbre Completas o Derivadas.

Se aplican en forma combinada con las tablas de certidumbre

fundamentales para obtener el valor de verdad de una forma

proposicional cualquiera. Estas tablas nos permiten determinar el tipo de

forma proposicional.

Tipos de Formas Proposicionales.

Hay que recordar que, el objeto principal de la lógica es determinar si una

inferencia o razonamiento es válido o no y para comprobar esa validez se

construye la tabla completa de verdad o certidumbre. Al concluir la tabla

completa de la verdad o certidumbre, se puede llegar a tres posibles

resultados, que determinan si el razonamiento es válido o no.

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a) Tautología:

Una proposición tautológica es una proposición compuesta que resulta

ser verdadera en todos sus casos, independientemente el valor de verdad y

del contenido de las proposiciones simples que intervengan en ella. Cuan-

do en la columna que corresponde al Conectivo Principal (C.P.) de la tabla

de verdad existen solamente valores Verdaderos (V), se dice que es una

tautología; entonces se puede afirmar que la forma proposicional es

“válida”, o sea, está bien construida.

b) Contradicción:

Una proposición compuesta es contradictoria cuando es Falsa (F) en todos

sus casos, independientemente del valor de verdad y del contenido de las

proposiciones simples que intervengan en ella. Cuando se simboliza un argu-

mento, se obtiene una forma proposicional, se busca su valor de verdad me-

diante una tabla de certidumbre derivada y en la columna que corresponde al

Conectivo Principal (C.P.) de la tabla de verdad existen solamente valores

Falsos (F), se dice que es una contradicción. La forma proposicional es “no

válida”.

c) Contingencia:

Llamada también indeterminación, es una proposición compuesta que en algunos casos es

Verdadera (V) y en otros es Falsa (F) dependiendo del valor de verdad de las

proposiciones simples que la componen. Cuando se simboliza un argumento, se obtiene

una forma proposicional, se busca el valor de verdad mediante una tabla de certidumbre

derivada y en la columna que corresponde al conectivo principal (C.P,) de la tabla de

verdad existen valores Verdaderos (V) y Falsos (F), se dice que es una contingencia. La

forma proposicional es “no válida”.

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Tablas de Certidumbre Parciales.

Se aplican en forma similar a las tablas de certidumbre derivadas, pero con la particu-

laridad, que se debe conocer el valor de certidumbre de cada una de las variables que

intervienen en la forma proposicional y por lo tanto se determina para una sola fila.

Se sustituyen los valores de verdad suministrados en cada una de las variables y luego

se realizan las operaciones determinadas por los conectivos, teniendo en cuenta que el

primero se operan los paréntesis, luego los corchetes, seguido de las llaves y finalmen-

te las barras. Ejemplo:

[ ( −p ۷ q ) ۷ (−p ۸ − r )] ↔ (p → −q )

Sabiendo que:

p = F

q = V

r = F

C.P. = Bicondicional (↔)

La forma proposicional es una:

Tautología.

(F.P. Valida)

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Hasta el momento se han estudiado dos cosas: por un lado, los objetos matemáticos,

llamados formas proposicionales y por el otro, los conectivos lógicos fundamentales

sobre ellos [Negación (−), Conjunción (۸) , Disyunción inclusiva (۷), Disyunción

Exclusiva (⊻), Condicional (→) y Bicondicional (↔)]. Para poder hacer matemática,

se debe establecer dos cosas, las cuales con:

a) La Equivalencia Lógica.

b) La implicación Lógica.

Con ello se puede introducir la relación de igualdad y la relación de orden. Factores

ineludibles en todo tratamiento matemático. Al margen de la teoría del conocimiento, el

concepto de equivalencia lógica, no es más que tema de identidad, el profundo concep-

to de la igualdad; la implicación lógica es una relación entre los objetos lógicos, instru-

mento que permite el razonamiento deductivo.

Equivalencia.

Implicación.

Lógica.

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La Equivalencia Lógica.

Dos formulas o expresiones P (p, q,...) y Q (p, q,...) son equivalentes si sus funciones

veritativas son idénticas entre ambas.

Para indicar la equivalencia entre proposiciones utilizaremos el símbolo “≡” entre ellas.

Se puede observar que “P ≡ Q”, sucede cuando y solamente cuando P ↔ Q es

tautología. Así, la nueva notación “≡”, parecería redundante, pero la relación de

equivalencia empleada en este estudio es para dar énfasis a la idea de equivalencia

lógica. De allí, distinguir entre equivalencia lógica y operador bicondicional, es

sumamente importante, ya que el operador bicondicional aparece en fórmulas y éstos

pueden ser o no tautologías, por el contrario la equivalencia es una relación sobre

formulas que establece que las expresiones equivalentes van a producir idénticos

valores de verdad, independientemente de los valores asignados a sus proposiciones

componentes.

Por lo tanto, la equivalencia lógica también puede representarse

simbólicamente en términos de doble implicación, es decir, P ↔ Q.

Nota:

Dos expresiones son equivalentes cuando tienen

los mismos valores distribuidos de forma igual.

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Ejemplo:

“p” es equivalente a “− (−p)”, esta afirmación se puede comprobar mediante una

tabla de verdad.

Se niega a la negación de “p” tendremos los mismos valores de “p”. En este caso afirmamos que: “p” es equivalente tautológicamente a “− (−p)”. En el siguiente ejemplo, donde la proposición: Llueve y no hace calor.

Se levanta la tabla de verdad:

C.P.

La prueba es contundente. Las columnas que corresponden al Conectivo Principal

(C.P.) de las dos proposiciones, coinciden fila por fila. Por lo tanto se puede afirmar

que tautológicamente son equivalentes, tal como lo confirma el resultado final.

Se identifican las proposiciones: Se simboliza: Entonces:

p = Llueve

q = Hace calor. p ۸ −q (p ۸ − q) ≡ [− (−p ۷ q)]

p −p − (−p)

V F V

F V F

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( p ۸ − q) ↔ [− ( − p ۷ q ) ]

V

F

F V

F

F V

V

V V

V V V

F F F

F F

F V F

V V V

F F

V V F

V V F

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La Implicación Lógica. Es necesario señalar que toda implicación es un condicional, pero no todo condicional

es una implicación. En matemática nos interesan las “verdearas implicaciones” por ser

la forma básica de la mayoría de los teoremas.

En implicaciones correctas, el principal concepto es que cuando la

hipótesis es Verdadera (V), la conclusión también debe serlo. Por

ello, nos referimos a al hipótesis como una condición suficiente para

la conclusión, y la conclusión será una condición necesaria. Esto

quiere decir que, cuando la hipótesis se cumple, tenemos informa-

ción suficiente para saber que la conclusión se cumple.

Es necesario aclarar que la implicación lógica se forma únicamente cuando la condición

tenga un valor de verdad verdadero. Para que lo anterior suceda, debe estar excluida la

posibilidad lógica Verdadero (V) – Falso (F) del condicional.

Para hacer distinción entre condicional e implicación, emplearemos el siguiente símbolo, para decir que “P implica lógicamente Q”, “P Q”. Es de advertir que, tanto “P” como “Q” pueden ser proposiciones atómicas o compuestas.

Nota: La implicación lógica es una condición que nunca puede ser Falso

(F) y que supone tautología.

Nota:

El condicional, admite en función veritativa (resultado) la falsedad; pero la

implicación lógica siempre es Verdadera (V), esto quiere decir que no ad-

mite la falsedad en su función veritativa.

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Si queremos comprobar que una formula condicional es una implicación lógica, basta

con elaborar su tabla de verdad. Si el resultado obtenido es una tautología entonces

se da la implicación lógica.

Probar que:

[ p ۸ ( q ۷ r ) ] [ ( p ۸ q ) ۷ (p ۸ r ) ]

[ p ۸ (q ۷ r )]

[(p ۸ q) ۷ ( p ۸ r)]

V V V V V V V V V V V V V

V V V V F V V V V V V F F

V V F V V V V F F V V V V

V F F F F V V F F F V F F

F F V V V V F F V F F F V

F F V V F V F F V F F F F

F F F V V V F F F F F F V

F F F F F V F F F F F F F

Resultado (Tautología).

Construiremos la tabla de la verdad

para comprobar si el condicional está

formado por

“V”.

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Calculo de Inferencias.

A medida que aumenta el número de premisas que constituyen un

razonamiento se hace más difícil someter dicho razonamiento a una

prueba de validez utilizando las tablas de verdad.

En este sentido, si el razonamiento está compuesto por cinco pro-

posiciones entonces tendría que construirse una tabla que posea,

Treinta y dos (32) columnas. En este caso, el método más eficien-

te y sencillo es deducir la conclusión de sus premisas mediante una

sucesión de razonamientos elementales donde cada uno de los cua-

les se sabe que es válido.

Por lo tanto, con este objetivo se pretende demostrar la validez de los razonamientos a

partir del conocimiento de una serie de premisas para llegar a la conclusión, con la utili-

zación de las leyes y reglas lógicas.

Nota:

En conclusión se puede afirmar que: Se denomina inferencia al proceso que

permite deducir una conclusión partiendo de un conjunto de premisas mediante

la utilización de las leyes y reglas lógicas.

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Leyes de Inferencia.

Son expresiones formales o fórmulas proposicionales cuya función

veritativa es una tautología que sirve para organizar un cálculo

axiomático.

Principios Lógicos Básicos.

En el cálculo de inferencias es necesario tener en cuenta los si-

guientes principios lógicos.

1. Identidad: Esta ley permite hacer equivalencia entre dos proposiciones de un mis-

mo argumento. p ≡ p

2. No Contradicción: Una proposición no puede ser simultáneamente Verdadera

(V) y Falsa (F). p ۸ − p

3. Tercer Excluido: Una proposición es Verdadera (V) o es Falsa (F).

p ۷ −p

4. Doble Negación: Una proposición afirmativa equivale a la misma proposición ne-

gada dos (2) veces. − (−p) ≡ p

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Leyes de Inferencia

Existen nueve leyes de inferencia que corresponden a formas de razonamiento ele-

mentales cuya validez es fácil de demostrar:

1. Modus Ponendo Ponens (M.P.P.).

2. Modus Tollendo Tollens (M.T.T.).

3. Modus Tollendo Ponens (M.T.P.).

4. Silogismo Hipotético (S.H.).

5. Dilema Constructivo (D.C.).

6. Absorción (Asb.).

7. Simplificación (Simpl.).

8. Conjunción (Conj.).

9. Adición (Adic.).

Pero existen muchos razonamientos cuya validez no puede demostrarse usando sola-

mente las nueve reglas de inferencia anteriores y tenemos que recurrir a leyes de infe-

rencia adicionales, las cuales son:

10. Teorema de Morgan (Morg.).

11. Conmutación (Conm.).

12. Asociación (Asoc.).

13. Distribución (Dist.).

14. Transposición (Transp.).

15. Condicional (Cond.).

16. Idempotencia (Idemp.).

17. Bicondicional (Bicond.).

Entre otras.

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Leyes y Principios Lógicos que se Utilizan en el Cálculo de Inferencias.

1. Ley del Modus Ponendo Ponens (M.P.P.).

2. Ley del Modus Tollendo Tollens (M.T.T.).

3. Ley del Modus Tollendo Ponens (M.T.P.).

4. Silogismo Hipotético (S.H.).

5. Ley del Dilema Constructivo (D.C.).

p → q p → −q −p → −q

p p −p

q −q −q

p → q −p → q −p → −q

−q −q q

−p p p

p ۷ q p ۷ q −p ۷ −q −p ۷ −q

−q −p p q

p q −q −p

p → q

q → r

p → r

p → q

r → t

p ۷ r

q ۷ t

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6. Leyes de Absorción (Asb.).

7. Simplificación (Simpl.).

8. Ley de Conjunción (Conj.).

9. Adición (Adic.).

10. Morgan (Morg.).

11. Leyes Conmutativas (Conm.).

(p ۸ q) ۷ q (p ۷ q) ۸ q

q q

p ۸ q p ۸ q

p q

p

q

p ۸ q

p

p ۸ w

− (p ۸ q) − (p ۷ q)

−p ۷ −q −p ۸ − q

p ۸ q p ۷ q

q ۸ p q ۷ p

La 7º No la 9º

Mmm

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12. Asociación (Asoc.).

13. Leyes Distributivas (Dist.).

14. Leyes de Transposición (Transp.).

15. Condicional (Cond.) / Disyuntivo. / Conjuntivo.

16. Leyes de Idempotencia (Idemp.).

17. Ley del Bicondicional (Bicond.)

(p ۸ q) ۸ r (p ۷ q) ۷ r

p ۸ (q ۸ r) p ۷ (q ۷ r)

(p ۸ q) ۷ r (p ۷ q) ۸ r

(p ۷ r) ۸ (q ۷ r) (p ۸ r) ۷ (q ۸ r)

a) (p → q) ≡ (−q → −p)

b) (p ↔ q) ≡ (−q ↔ −p)

c) (p ↔ q) ≡ (q ↔ p)

d) (p ↔ q) ≡ (−p ↔ −q)

p → q −p ۷ q p → q

−p ۷ q p → q − (p ۸ − q)

p ۸ p q ۷ q

p q

p ↔ q

(p → q) ۸ (q → p)

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18. Leyes de Complementación.

19. Leyes de Identidad.

a) p ۷ −p ≡ V Ley del tercero excluido.

b) p ۸ −p ≡ F Ley de contradicción.

a) p ۸ V ≡ p

b) p ۸ F ≡ F

c) p ۷ V ≡ V

d) p ۷ F ≡ p

Leyes

Principios

Lógicos.

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Demostración de Teoremas Lógicos a Partir de Premisas Conocidas.

Al utilizar dicho método se siguen los siguientes pasos:

1. Se detallan las premisas identificándolas con el número en su lado izquierdo y colocándolas en líneas sucesivas. 2. Aplicando las leyes y reglas lógicas se van combinando las premisas, lo cual con-duce a conclusiones parciales y a nuevas combinaciones que llevan a la conclusión final. 3. A cada conclusión parcial se le coloca, en su lado derecho, las justificaciones de cada paso dado. Estas justificaciones no son mas que el nombre de la ley o regla utili-zada y el numero de las premisas combinadas.

Ejemplos:

Demostrar la validez justificando cada paso dado:

Demostrar que: p, r ۸ −q C: p ۸ −q

1) p

2) r ۸ −q

3) −q Simplif. (2)

4) p ۸ −q Conjunción (1,3)

Se le conoce también con el nombre prueba de validez. Partiendo de un conjunto de premi-sas se llega a demostrar un teorema mediante la utilización de las leyes lógicas. Para calcular la validez de una inferencia se utiliza el método general de la deducción, que consiste en combinar las premisas mediante el uso de las leyes y reglas lógicas para derivar conclusiones parciales sucesivas que conducen a la conclusión de la inferencia. La demostra-ción de validez de la inferencia finaliza cuando se obtiene una derivación igual a la conclusión de la inferencia. Si no se puede lograr obtener dicha conclusión es porque la inferencia no es válida o porque hubo algún error durante el proceso.

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