Programa de segunda especialidad en:Didctica de la Educacin Primaria2013 - 2015

MDULO MODALIDAD A DISTANCIA DEL BLOQUE TEMTICO DE DIDCTICA DE LA ESTADSTICA Y LA PROBABILIDADIV

UNIDAD IV

ESTUDIO DE LA TEORA DE PROBABILIDADES

PRESENTACION

El mdulo de la modalidad a distancia del bloque temtico de Didctica de la Estadstica y Probabilidades tiene por finalidad complementar el fortalecimiento de las competencias y desempeos de los profesores de educacin primaria, para la mediacin efectiva de los procesos pedaggicos interculturales que incidan en el logro de los aprendizajes de los estudiantes; a travs de procesos formativos que le permitan profundizar el dominio pedaggico disciplinar de la Teora de la Probabilidades y el compromiso tico social, as como sus competencias investigativas, en el marco del buen desempeo docente y el enfoque de formacin docente crtico reflexivo. Ello implica desarrollar en los docentes los conocimientos, capacidades y actitudes, utilizando el modelo pedaggico socio formativo, y el enfoque centrado en la resolucin de problemas con la intencin de promover formas de enseanza y aprendizaje a partir de situaciones problemticas cercanas a la vida real.Para hacer frente a la tarea de desarrollar capacidades y una cultura de las probabilidades en nuestros estudiantes, el modulo presenta contenidos que permitan que se busca en usted alcance un nivel adecuado en la aplicacin de experimentos aleatorios, espacio muestral y clculo de probabilidades de acuerdo a las situaciones significativas del contexto.Esperamos que ustedes tengan la responsabilidad de participar en el desarrollo de los tres foros, tareas o portafolios y el cuestionario, que son parte de la formacin profesional y la evaluacin del bloque temtico.El estudio de los contenidos abordados en este mdulo as como el desarrollo de los ejercicios y actividades sean de utilidad en su prctica pedaggica permitindole crear nuevas actividades que puedan desarrollar con sus estudiantes, as como reflexionar sobre la importancia de la enseanza de las Probabilidades en la educacin primaria, para que este componente deje de ser el menos considerado en nuestra programacin curricular y prctica docente.

Los especialistas

REFLEXIN

MIRADA A NUESTRA PRACTICA

SITUACION 1 Lea atentamente y realice la siguiente actividad:ACTIVIDAD PROPUESTAJulia conversa con Susana sobre la celebracin de su primer aniversario con Orlando. Orlando ha comentado que lo celebraran el prximo jueves y ha planeado algo muy especial.

Escriba una lista de las posibles formas de celebracin que Julia puede imaginar que ha pensado Orlando y que podra mencionarlo a Susana. (Imagine que disponen de una cantidad limitada de dinero y que solo realizaran una actividad ese da) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

SITUACION 2Lea atentamente y realice la siguiente actividad Antonio ha sido invitado por su amiga Olga a una funcin de teatro el prximo viernes que empezara a las 6 p.m., en la casa de un amigo en Surco. A qu hora podra llegar Antonio al compromiso de Surco? Identifique bajo que supuestos es que coloca la hora

1. ..2. ..3. .4. .5. 6. 7. Qu encuentra en comn entre estas dos situaciones? En qu momento, de cada situacin , se tiene la seguridad de cul es el resultado?....Detalle a continuacin una situacin similar a las presentadas y que se relacione con pasar un da de mi cumple ao. Identifique todos los posibles resultados de la misma. Por ejemplo, una lista de todo lo que puede suceder ese da.1. .2. ..3. ..4. ..5. ..6. ..7. ..

REFLEXIN TERICA1. Experimentos aleatoriosA las situaciones presentadas en la actividad, se les denomina situaciones de incertidumbre. Las situaciones de incertidumbre son un tipo de situaciones en la que no podemos indicar exactamente cul ser el resultado antes de que se lleven a cabo, pero si tenemos una idea de todos los posibles resultados que se pueden dar

Por otro lado, existe otro tipo de situaciones contrarias a las presentadas que se denominan de origen determinado o determinstica, es decir, que antes que sucedan conocemos el resultado.Observe el siguiente ejemplo de este tipo de situaciones: Establecer el tiempo que demora en caer una manzana desde la azotea en un cierto edificio, considerando que se suelta desde el borde de la azotea

En este tipo de situaciones no es necesario para la persona que est interesada en el establecimiento del tiempo, ir y lanzar la manzana. Le bastara conocer cunto mide mide el edificio y con esa medida, y utilizando formulas fsicas, establecer el tiempo buscad o. Es ms, si uno lanzara varias veces manzanas similares bajo las mismas condiciones, todas ellas demoraran el mismo tiempo.Entonces,Las situaciones determinadas son aquellas donde existe un nico resultado posible.

Detalle una posible situacin determinstica...Cuando denominamos a una situacin de incertidumbre como experimento aleatorio. Bien, lo podemos hacer cuando sabemos que la situacin de incertidumbre planteada va a poder repetirse en mucha ocasiones y con la mismas condiciones establecidas. 2. Espacio muestralCrdova, (2003, p. 48),define el espacio muestra al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral y a cada posible resultado se le denomina evento simple.

Por ejemplo si el experimento aleatorio que se define es: verificar todo lo que puede ocurrir con la llamada telefnica que realizo al momento de terminar de digitar el nmero telefnico. Esta situacin de incertidumbre es claramente un experimento aleatorio, dado que se puede repetir en muchas ocasiones. Al ser de incertidumbre sabemos que existir ms de un resultado posible y estos resultados pueden ser: no me contesta nadie, el telfono indica que el nmero no existe, me contesta la persona a la que llamo, me contesta una persona y me indican que la persona que busco no se encuentra, el telfono marca ocupado, etc.Entonces el conjunto 5 que conforman todos los posibles resultados es al que llamaremos espacio muestral y es importante entender que est conformado por todos los resultados que son posibles bajo las condiciones de mi experimento aleatorio y no solo por los a mi me parecen factible. Luego el conjunto 5 se presentara de la siguiente manera.S= {no me contesta nadie, el telfono indica que el nmero no existe, me contesta la persona a la que llamo, me contesta una persona y me indican que la persona que busco no se encuentra, el telfono marca ocupado, ..}Para este experimento aleatorio cada uno de los posibles resultados son los elementos a los que determinaremos eventos simples. Luego algunos eventos simples pueden ser:A= {me contesta una persona y me indican que la persona que busco no se encuentra}B= {el telfono marca ocupado}Al subconjunto de resultados posibles que se toma el espacio muestral y que tiene por lo menos dos resultados se le denomina evento compuesto.

Luego algunos eventos compuestos pueden ser:A= {me contesta una persona y me indican que la persona que busco no se encuentra}B= {el telfono marca ocupado, el telfono indica que el nmero no existe}Hay que tener presente que un evento simple o compuesto puede ser expresado por extensin o por comprensin. Es ms, es usual que los problemas propuestos sobre eventos siempre sean expresados por comprensin.Por extensin: B = {el telfono marca ocupado}Por comprensin: B: luego de digitar el nmero telefnico durante mi ltima llamada, el telfono marco ocupado.Para el siguiente experimento aleatorio determine el espacio muestral y 2 eventos simples de distinto tipo.Llega usted a la cafetera de su centro de estudios al medioda y se encuentra con su amiga Sofa. Verifique que podra estar ella almorzando. Usted sabe que Sofa no est a dieta ni trae la comida de casa, pero que cuenta con una cantidad de dinero fijo a la semana para sus gastos de almuerzo. 25 nuevo soles. Tenga tambin en cuenta que ella no comer necesariamente sola un plato de comida.

Espacio muestral = {Evento simple1:{Evento simple 2:{Ahora, defina nuevamente cada evento simple, pero hgalo por comprensin (es decir, utilice una oracin para definirlo)Evento 1: ..Evento 2: ..

i) Determine los siguientes eventos compuestos del experimento anterior: Sofa est gastando menos de 4 soles en almorzar el da de hoy.. Sofa no est comiendo entrada ni postre. En resumenEXPERIMENTO ALEATORIOEs cualquier situacin de la vida diaria en la que se involucran una accin y cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de que se lleve a cabo.

Ejemplo:El nmero de pasos que doy de mi casa al paradero del bus cada vez que voy a mi trabajo.Estos dependern cada vez de la prisa que lleve, pues esta determinara la longitud de mis pasos y la distancia de mi casa al paradero.

Ejemplo:En el experimento aleatorio del nmero de pasos, el espacio muestral estara formado por valores desde un paso (si usted tiene puesto resortes en los pies y el paradero est suficientemente cerca de su casa) infinito de pasos (si es que usted resuelve dar pasos sumamente pequeos, por ejemplo, de un milmetro) y vive lejos del paradero.S= {1, 2, 3,..}

ESPACIO MUESTRAL

Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Lo denotamos con S. deben verse, en este conjunto, todos los resultados que puedan darse en el experimento, as sea este resultado sumamente difcil o poco probable de suceder.

Tenga en cuenta que:Las condiciones en que se realiza el experimento son importantes para poder establecer los posibles resultados de este.

Observe en el siguiente grafico los conceptos importantes sobre Evento aleatorio que hemos revisado:EVENTO ALEATORIO

Es cualquier subconjunto del espacio muestral

Evento compuesto: cualquier subconjunto del espacio muestral que contiene dos o ms eventos simples o es el vacioEvento simple: resultado de un ensayo de mi experiencia

En el espacio muestral S = {1, 2, 3,.}Un evento simple A podra ser A = {la ltima vez que fui al trabajo verifique 56 pasos hasta el paradero del bus} y corresponde a: A = {56}Un evento compuesto B ={el ultimo martes al ir al trabajo verifique un numero de pasos mayor a 60, pero inferior a 70 dado que me tropec mientras caminaba y perd el nmero de pasos que llevaba} y corresponde a: B = { 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69}

2.1 Algebra de eventosComo los eventos son subconjuntos de un conjunto, como es el espacio muestral, podemos usar todas las operaciones entre conjuntos que conocemos, pero con una connotacin estadstica. Hay que tener en cuenta que la ocurrencia de un evento est sujeta a que el resultado del experimento se encuentre entre los elementos del eventoAl realizar un experimento aleatorio, al conjunto de todos los eventos que se pueden formar desde el espacio muestral, se le conoce como un algebra de eventos del experimento aleatorio.Por qu se llama algebra?Porque existen tres operaciones que se pueden realizar con los eventos, y cuyos resultados son eventos. Estas operaciones se llaman contrariedad o negacin, conjuncin y disyuncin.Recuerde: El conjunto vaco es denominado el evento imposible, pues nunca ocurre. Un experimento siempre tiene un resultado.

El espacio muestral es llamado el evento seguro, pues siempre ocurre. Cualquiera sea el resultado del experimento aleatorio, este siempre se encuentra en el espacio muestral.

Sigamos con las operaciones algebraicas:Si A y B son dos eventos del espacio muestral, entonces: A unin B es un evento que ocurre si y solo si al menos uno de los dos eventos A o B ocurre. A interseccin B es el evento que ocurre si y solo si ambos eventos A y B ocurren. AB

Si A es un evento del espacio muestral, el evento complementario de A ocurre si y solo si A no ocurre.Si A y B son dos espacios del evento del espacio muestral que son disjuntos, es decir, no tiene elementos en comn, se dir que esos eventos son excluyentes, pues no pueden ocurrir juntos o al mismo tiempo.Pongamos en prctica lo aprendido:Sea el experimento aleatorio. Hora en que me levanto cada da (considerar la primera vez que se levanta y que se ha acostado el da anterior). Este experimento tiene un espacio muestral que puede ser S = { 0:00, 12:00} Es decir, existe la posibilidad que me levante durante la madrugada para salir de viaje o por alguna enfermedad; o puede suceder que me levante tarde por haber trasnochado. Recuerde que el espacio muestral debe cubrir todos los casos posibles.

este experimento tiene un espacio muestral que puede ser S = { 0:00, 12:00} Es decir, existe la posibilidad que me levante durante la madrugada para salir de viaje o por alguna enfermedad; o puede suceder que me levante tarde por haber trasnochado. Recuerde que el espacio muestral debe cubrir todos los casos posibles.

ACTIVIDAD DE LA LECCION 2.1

Definamos los eventos A = {[6:00, 6:30]} B = {5:30, 7:30] U [8:00, 9:00]} C = {[7:00, 7:30]}Si el da de hoy se levant usted a las 6:35, Cules de los siguientes eventos estn ocurriendo?A U B = {A U C = {B U C = {Cul es el evento complementario de A = {Entre los eventos A, B, y C, Cules son excluyentes?3. clculo de probabilidadesDado un experimento aleatorio y su espacio muestral asociado S, tenemos que a cada evento simple A se le puede asociar un nmero real llamado probabilidad del evento A, denotado con P(A). Probabilidad: definicin y propiedades bsicasOsorio, (2009, p.64) define que la probabilidad de ocurrencia de un determinado evento simple podemos establecerla intuitivamente como la proporcin de veces que ocurrir dicho evento simple si se repitiese un experimento un nmero grande de ocasiones bajo condiciones similares. Por definicin, entonces, la probabilidad se define mediante un numero entre cero y uno: si un evento no ocurre nunca, su probabilidad asociada seria cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad sera igual a uno. As, las probabilidades suelen venir expresadas como decimales, fracciones o porcentajes.La definicin axiomtica de la probabilidad se puede sealar de la siguiente manera:Sea S el espacio muestral de un experimento aleatorio. Una probabilidad en S es cualquier funcin P que asigna a cada evento A un nmero real P(A) que cumple los siguientes axiomas:1) 0 < = P(A) < = 12) P(S) = 13) Si A y B son eventos simples, entonces: P(AUB) = P(A) + P(B)

Propiedadesa. Para un evento imposible P(evento) = 0

b. Para el evento complementario de A, denotado con A tenemos que

P(A) = 1 P(A)

c. Sea A y B dos eventos cualesquiera mutuamente excluyentes, entonces:

P(AUB) = P(A) + P(B)

d. Para un evento compuesto B, primero lo descomponemos en una unin de eventos mutuamente excluyentes y, luego, aplicamos la propiedad anterior. Lo ms sencillo seria descomponerlo en los eventos simples que lo componen.e. Para dos eventos cualesquiera A y B, tenemos:

P(AUB) = P(A) + P(B) P(AB)

3.1 Planteamientos para el clculo de probabilidadesCuando ya se tiene definido el espacio muestral de un experimento, el problema se centra en dar un valor a la probabilidad de cada uno de los posibles resultados o eventos simples del experimento, cuando hablamos de espacios muestrales finitos o numerables; y en dar un valor a la probabilidad de cada uno de los posibles eventos compuestos del experimento, cuando el espacio muestral a trabajar es no numerable.

Batanero, (2002, p.41), manifiesta que existen tres maneras bsicas para hallar este valor:

Un planteamiento bsico

Un planteamiento por frecuencias relativas

Planteamiento subjetivo

a. Planteamiento clsicoDado un experimento aleatorio con un espacio muestral finito asociado, es decir que tiene K eventos simples o elementos, la suposicin de la que partiremos es que cualquier resultado del experimento tiene la misma factibilidad de ocurrir al realizar un ensayo de nuestro experimento.

Planteamiento clsicoCualquier resultado del experimento tiene la misma factibilidad de ocurrir al realizar un ensayo de nuestro experimento.

Si tenemos que los K eventos simples son igualmente probables, se deduce que cada evento simple A tiene una probabilidad de ocurrir de:P(A) = 1/K

De esta manera, podemos deducir que para cualquier evento compuesto B de este experimento, que contenga r eventos simples, r < k, se tiene. P(B) = r/k

Este mtodo de evaluar P(B) a menudo se indica como sigue: P(B) = Numero de eventos simples que conforman al evento B Numero de eventos simples en mi espacio muestral

Es importante comprender que la expresin anterior de P(B) es solo una consecuencia de la suposicin de que todos los resultados son igualmente probables y solo es aplicable cuando se satisface esta suposicin.

Ejemplos tpicos:

Lanzar una moneda comn Tirar un dado Escoger al azar un objeto de una cantidad N de objetos no distinguibles (es decir idnticos)

Qu otro ejemplo podra colocar?.........A esta probabilidad, a menudo, se le conoce como probabilidad a priori, debido a que podemos establecer la probabilidad de antemano, sin necesidad de efectuar ensayos del experimento para poder llegar a las conclusiones.Este planteamiento tiene serios problemas cuando intentamos aplicarlo a cualquier experimento aleatorio de resultados menos previsibles. Supone un mundo ideal, en el que no existen situaciones bastantes improbables, pero que podemos concebir como posibles o reales.

Experimento: lanzamos una moneda comn y un dado no cargado en forma simultnea.Espacio muestral = { Hallar la probabilidad de: a) Que en un lanzamiento resulte un sello y un 3.

b) Que en un lanzamiento resulte una cara y un nmero par.

c) Que resulte un nmero mayor a 4.

d) Que resulte un sello.

b) Planteamiento de frecuencia relativa

Suponga que tenemos un nuevo producto que introducir al mercado y queremos establecer la probabilidad de que el agrade a nuestros clientes. Tenemos el experimento aleatorio. Verificar si a un cliente le agrada o desagrada el nuevo producto.

Espacio muestral: S = {le agrada el producto, le desagrada el producto}

Nuestro evento aleatorio ser el resultado de un ensayo del experimento y la persona preguntada puede responder me agrada o no me agrada.

Observamos inmediatamente que no tiene sentido, en este experimento, suponer que la probabilidad de que al cliente le agrade es igual a la probabilidad de que no le agrade, entonces, no podemos hacer uso de un planteamiento de un uso clsico.

Si queremos determinar la probabilidad del evento simple {le agrada el producto}, debemos buscar un mtodo por el cual tengamos una idea de este valor.Un posible camino seria:Visitar en un da a todos los clientes que conocemos que usan nuestra lnea de productos y presentarles el nuevo producto. Si en mi lista hay 80 personas, estar efectuando 80 ensayos de mi experimento. Si al final del da tengo anotados a 64 de mis clientes en la columna le agrado el nuevo producto, puedo establecer un valor estimado para la probabilidad buscada, determinando una frecuencia relativa para el evento simple = {le agrada el producto} y este valor seria 64 / 80.

Entonces, si quiero establecer con este planteamiento el valor de una probabilidad, el mejor camino es hacer un gran nmero de ensayos de mi experimento siempre bajo las mismas condiciones y observar el nmero de veces que se repite en estos ensayos el resultado que me interesa. Esto significa que estoy estableciendo una frecuencia relativa como probabilidad de mi evento aleatorio simple.

Si el nmero de repeticiones del experimento tendiera al infinito, la frecuencia relativa con que se repite el evento simple A se estabilizara en el valor verdadero de P(A). Lo importante de esta propiedad es que si se realiza un experimento un gran nmero de veces, la frecuencia relativa con que ocurre un evento A tiende a variar menos y menos segn van en aumento las repeticiones, acercndose al verdadero valor de P(A).Nuestro problema de asignar un valor a la probabilidad de que suceda determinado evento parece resuelto, pero cuantos ensayos de nuestro experimento debemos realizar para alcanzar la estabilidad de la frecuencia relativa? Esa es una pregunta difcil de contestar; por eso, una dificultad que presenta este planteamiento es que la gente lo utiliza a menudo sin evaluar el nmero suficiente de ensayos.Es ms, cada vez que queramos la probabilidad de un evento determinado, estaramos sujetos a un gran nmero de repeticiones del experimento y a la racha de suerte del experimentador o a sus mtodos de medicin. Por eso, hay que tener un gran cuidado al efectuar los ensayos para que las condiciones del experimento se cumplan en cada uno de ellos o en decidir a qu tipo de problema se aplica este planteamiento.

ACTIVIDAD DE LA LECCION 3

i) Se quiere conocer el nmero de profesores o empleados que faltaron en un da cualquiera, al centro educativo Los Hroes del Cenepa que cuenta con 80 profesores y 2 empleados. Despus de un largo proceso utilizando la informacin histrica de la oficina administrativa del plantel, se ha establecido que en los 600 das revisados se ha obtenido.Nmero de docentes o empleadosFrecuencia en 600 das Valor de la probabilidad del evento

0123458013518515835780/600=0.13135/600=0.23185/600=0.31158/600=0.2635/600=0.067/600=0.01

Por qu en la tabla que se presenta no estn todos los valores del espacio muestral?Qu valores son los que aparecen en la tabla?. Defina espacio muestral del experimento aleatorio presentado:S = { Medir la probabilidad de los siguientes eventos:

Que resulten dos docentes o empleados ausentes el da 30 de septiembre.

Que resulten al menos 3 docentes o empleados ausentes el da 4 de octubre.

Que resulte cualquier nmero de docentes o empleados ausentes el da 20 de julio.

Que resulte como mximo 2 docentes o empleados ausentes el dio 10 de octubre. Que resulten ms de un docente o empleado ausente, pero menos de 4 el da 20 de diciembre.

Que resulte a lo ms 3 docentes o empleados ausentes el da 6 de enero.

c) Planteamiento subjetivoHemos visto que los experimentos aleatorios son una parte de las situaciones de incertidumbre y no toman a aquellas que no es posible repetirlas muchas veces o que simplemente se dan una nica vez. Para estas situaciones, los planteamientos que tenemos para hallar los posibles valores de probabilidad de sus posibilidades no pueden aplicarse. En esos casos se debe hacer una evaluacin subjetiva de las probabilidades.El planteamiento subjetivo es una evaluacin personal de la probabilidad que se asigna a la ocurrencia de un evento.

La probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento, basada en la evidencia de que se tenga disponible, la opinin de un experto en el campo o simplemente de una creencia meditada.Los tomadores de decisiones pueden hacer uso de cualquier evidencia que tengan a mano y mezclarlas con los sentimientos personales sobre la situacin. Las asignaciones de probabilidades subjetivas se dan con ms frecuencia cuando los eventos que se estudian se presentan solo una vez o un nmero muy reducido de veces. Como casi todas las decisiones sociales y administrativas de alto nivel se refieren a situaciones especficas y nicas, los responsables de tomar decisiones hacen un uso considerable de la probabilidad subjetiva.Un ejemplo de este tipo de clculo de probabilidades es la probabilidad que tiene Juan Sarmiento de salir bien de una operacin de apendicitis o cual es la probabilidad de que despus de una fusin de la empresa A con la empresa B, la nueva empresa se vuelva lder del mercado.

Evaluar si es posible considerar Equiprobables a los eventos simples, de De repente hay que realizar modificaciones en La forma de medir los resultados o efectuar Los ensayos para garantizarlo. Si esto es Posible, uso el planteamiento clsico Cul debe ser?Mi procedimientoPara la asignacin planteando un Evaluar si es posible realizar un granDe probabilidades? Experimento es Numero de ensayos de mi experimento o Necesario Si contamos con datos histricos para Valorar mediante un planteamiento de Frecuencia relativa.

Si no es posible ninguno de los dos Anteriores, usar un planteamiento subjetivo.

d) Uso del anlisis combinatorio en el planteamiento clsicoUn problema que se presenta en el planteamiento clsico es el nmero de eventos simples que puede llegar a tener un espacio muestral. Este nmero puede ser finito, pero tan grande que es imposible hallarlo mediante el establecimiento de cada evento simple. Es necesario tener formas de contar rpidamente los elementos del espacio muestral, para lo cual usaremos algunos resultados matemticos.

Veamos primero el caso de que exista ms de un suceso a observar el mismo tiempo. Habra que contar el nmero de formas en las que pueden ocurrir todos estos sucesos simultneos y, para ello, se utiliza.Principio fundamental de conteo:Si un suceso se puede presentar de n, formas y otro se puede presentar de n2 formas, entonces el nmero de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en ese orden es de n1; n2.

En otras palabras, basta multiplicar el nmero de formas en que se puede presentar cada uno de los sucesos a observar.Por ejemplo:Imagnese que usted va a realizar un viaje de Lima a Cuzco, pasando por Arequipa y Puno. Supnganse que hay: Cuatro empresas de buses disponibles entre Lima y Arequipa Tres empresas de buses disponibles entre Arequipa y Puno Dos empresas de buses disponibles entre Puno y Cuzco El nmero total de formas en que usted pueda viajar en bus de Lima a Cuzco es, por lo tanto, 4 x 3 x 2 = 24Qu es una combinacin? Cuando sea nuestro inters obtener el nmero de subconjuntos de r elementos que podremos formar a partir de un conjunto inicial de r elementos, sin tener en cuenta el orden fsico de los r elementos dentro de cada subconjunto (o nos interesa los subconjuntos con los mismos elementos pero en diferente orden), estamos tratando de establecer todas las posibles combinaciones de tamao r de los elementos del conjunto mayor dado.El termino combinacin se refiere entonces a una eleccin de n elementos de un conjunto de n elementos dados; sin atender a la ordenacin de los elementos dentro del grupo elegido.

Por ejemplo:Si tomamos el conjunto A = {a,b,c,d}, Cuntas combinaciones de dos elementos se pueden obtener?Se obtienen los subconjuntos: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Son seis los subconjuntos o combinaciones.En general, si de n objetos dados se hacen combinaciones de r objetos cada una, el nmero de combinaciones obtenidas son:Combinacin de n en r = Cnr = n! (r!)(n-r!)

ACTIVIDAD DE LA LECCION 3

ii) Una empresa decide buscar cuatro nuevos practicantes para su departamento de publicidad y ha pensado en escoger a alumnos de la PUCP. La empresa se pone en contacto con la Bolsa de trabajo y se presentan para realizar las prcticas 8 alumnos de Artes, 24 de Comunicacin, 25 de Administracin y 13 de Ingeniera industrial.

El total de espirantes es de 70 alumnos; de los cuales 45 son hombres. Adems, sabemos que de Artes se presentaron 5 hombres, de Administracin 13 hombres y de Ingeniera industrial 8 hombres.

Si suponemos que la posibilidad de elegir a cualquier candidato es la misma (planteamiento clsico). Responda las siguientes inquietudes.

Por qu de forma natural este experimento aleatorio no pertenece al planeamiento clsico?Cul es la probabilidad de escoger solo a dos mujeres al tomar a los cuatro practicantes?Tenga en cuenta para la resolucin:Para poder hallar la probabilidad buscada, debe iniciar por plantear adecuadamente el espacio muestral del experimento aleatorio y utilizar sobre l, el planteamiento clsico para hallar la probabilidad solicitada. Le ser tambin conveniente para la definicin del espacio muestral utilizar el atributo sexo, es decir, diferenciar a cada practicante elegido no solo por su nombre sino tambin por su sexo.

Cul es la probabilidad de escoger a un alumno de Artes, uno de Comunicacin y de Administracin?Cul es la probabilidad de que los cuatro nuevos practicantes sean de una sola especialidad?ACTIVIDAD PROPUESTASobre la de la base de su experiencia, un mdico a recabado la siguiente informacin relativa a las enfermedades de algunos pacientes: 5% creen tener cncer y lo tienen, 45% creen tener cncer y no lo tienen; 10% no creen tener cncer y lo tiene y, finalmente, 40% creen no tenerlo y es cierto. Para los pacientes del mdico, estos porcentajes implican las siguientes posibilidades para un paciente elegido al azar:

a. P(lo tenga //crea)b. P(lo tenga/no crea)c. P(lo tenga/no tenga)d. P(lo crea / lo tega) NO CREEN TENER CANCER

CREEN TENER CANCER

TIENEN CANCER

a. P(lo tenga / crea)

b. P(lo tenga / no crea)

c. P(lo crea / no tenga)

d. P(lo crea / lo tenga)

HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRCTICADESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES:FORO:El Foro es un componente de la evaluacin virtual, que tu participacin en el foro consta como mnimo de tres intervenciones: La primera para dar tu respuesta personal a las preguntas planteadas. La segunda una opinin o comentario argumentado a la participacin de sus compaeras y/o del especialista/tutor. En un tercer momento, formule dos conclusiones sobre experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos o eventos, calculo probabilstico, combinacin y planteamiento bsico Los participantes observan el video referido al tema de Experimento aleatorio, espacio muestral y eventos, en forma individual. Dirigirse al siguiente enlace:http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.htmlhttp://www.vitutor.com/pro/2/a_2.htmlhttp://www.vitutor.com/pro/2/a_3.html Los participantes leen el mdulo de la unidad IV, dirigirse a la pag.117 al 119 sobre clculo de probabilidades en forma individual. Los participantes leen el mdulo de la unidad IV, dirigirse a la pag.120 sobre el tema Combinacin y planteamiento clsico. Despus de observar el videos y leer el modulo , ingresa al foro y responde las siguientes interrogantes formuladas:1) Estudio del experimento aleatorio, espacio muestral y evento y del lgebra de eventos: Durante su prctica pedaggica ha utilizado los trminos azar, aleatorio, espacio muestral y eventos. Comente.

2) Estudio del clculo probabilstico: Utilizando la definicin de probabilidad del siguiente caso: En una convocatoria para contrata de docentes existe tres plazas. El profesor Tomas ocup el primer lugar, como anfitrin del concurso le dieron la libertad de tomar cualquiera de las plazas es as que tomo una plaza. Comente la probabilidad favorable y no favorable.

3) Estudio del anlisis combinatorio en el planteamiento clsico: El profesor Francisco dispone de 5 estudiantes y desea formar grupos de dos para el trabajo en tndem. De cuantas maneras puede ordenar la pareja de alumnos? Comente este suceso.

Realiza la retroalimentacin en cada momento de las actividades del foro

TRABAJO Y/O COLABORATIVOTAREA: Los trabajos individuales y/o colaborativos consisten en que cada docente participante resuelva las preguntas de las tareas, luego como parte de verificar los resultados pueden desarrollar en equipo; pero, envan en archivo Word a travs del recurso Tarea en forma individual, para su respectiva evaluacin, comentario y sugerencias didcticas, de las tareas 1,2, y 3.

Realiza la retroalimentacin en cada uno de las actividades individuales y/o colaborativos.

EVALUACION El Foro y la Tarea individual y/o colaborativo se evala con la rbrica a cada uno segn corresponda La Autoevaluacin se realiza a travs de la aplicacin del cuestionario Los instrumentos de la evaluacin a utilizarse son: Lista de cotejo, ficha de observacin, prueba objetiva y de desarrollo.

Ponga en prctica lo aprendido y realice las siguientes actividadesACTIVIDAD 1I. Para el experimento: verifique el nmero de amigos que me encuentro antes de entrar en clase de Historia, si se tiene un espacio muestral H={0;1;2;3;4;...20}. Asumiendo eventos equiprobables en m espacio muestral, determinante la probabilidad de los siguientes eventos.a) Me encuentre menos de tres amigos.b) Me encuentre una cantidad de amigos pares.c) Me encuentre sola amigas.d) Me encuentre a menos de 2 amigos o ms de 10 amigos.e) Me encuentre una cantidad impar de amigos o una cantidad par de amigos.f) Me encuentre a todos mis amigos.

De la informacin histrica (100 das) de cierto negocio de comida (venta de men), se tiene los resultados del experimento aleatorio, verifique la cantidad que gasta un cliente en el almuerzo.

Cantidad gastadaFrecuenciaFrecuencia relativa

3.53500

4.52500

5.02400

6.01500

10.01000

a) Cul es la probabilidad de que un cliente gaste 4 soles?b) Cul es la probabilidad de que un cliente gaste ms de 8 soles?c) Cul es la probabilidad de que un cliente gaste entre 3 y 6 soles?d) Cul es la probabilidad de que un cliente gaste menos de 4 o mas 7 soles?ACTIVIDAD DE APLICACION

OBJETIVOComprende y reflexiona sobre la importancia de su enseanza de certidumbres e incertidumbres, clculos probabilsticos de un suceso en los nios y nias.SITUACIN SIGNIFICATIVAVeamos lo que hay en la loncheraLa profesora puede comenzar la actividad colocando una lonchera sobre el pupitre con la propuesta veamos lo que hay en la lonchera, pasa a preguntar a cada alumno, que piensa que hay dentro.Se establece una lista de objetos en la pizarra, para luego determinar cuales siempre estar en la lonchera y cuales estarn a veces. Luego la profesora puede pedir que le indiquen objetos que nunca se encontrara en una lonchera.PROCEDIMIENTOEste tipo de actividad permite pensar al alumno en lo que es posible y lo que es imposible, idea inicial para poder establecer, en el futuro, el espacio muestral de una situacin de incertidumbre. Tambin permite establecer las bases para los que sern eventos seguros equivalente a a veces y el evento improbable equivalente a nunca.

Posible imposibleSe plantea a los alumnos una situacin de incertidumbre, por ejemplo, Qu puede estar haciendo mama en la cocina cuando voy a tomar desayuno por la maana? Y una lista de posibilidades para que ellos puedan determinar cules son posibles y cuales imposibles:Ejemplos:Terminando de hacer el desayunoViendo televisinDurmiendoHablando por telfonoMontando bicicletaHaciendo ejercicios.Cada alumno usara su propia realidad para hacer la determinacin. Ellos se percataran de que hay diferencias en las propuestas por las circunstancias particulares de cada casa. Por ejemplo, aquellos alumnos que no tengan televisor en la cocina, dirn que es imposible que su mama este viendo televisin.La idea es que en primer lugar los alumnos generalicen la descripcin del experimento aleatorio luego comiencen a plantear condiciones a la situacin de incertidumbre que les permita establecer con precisin los eventos que son posibles en ella y los que no lo son.La situacin de incertidumbre puede ser replanteada en: qu puede estar haciendo una mama en la cocina a la hora del desayuno, si se sabe que en la cocina no hay televisor, que la mama tiene celular y que no le gusta hacer deportes de ningn tipo? ahora son los alumnos los que pueden dar la lista de posibilidades sobre la situacin planteada.

Trabajemos una situacin de incertidumbre. Veamos que puede suceder cuando vamos al cine.Hay una cola muy grande de personas comprando entradasVan muchas personas a ver la misma pelculaNo encontramos entradasLa pelcula demora en comenzarComemos canchita durante la pelculaSe corta la pelculaUna persona habla durante la pelculaLa pelcula no nos gustaLa pelcula dura mucho tiempoLa situacin puede ser lo suficientemente abierta, para que procuremos que los mismos alumnos comiencen el trabajo de colocar algn tipo de separacin en el planteamiento, para facilitar la aparicin de las situaciones de incertidumbre. Como pensar en lo que puede suceder antes de entrar a la sala donde veremos la pelcula, que pasa durante la pelcula, que pasa luego de terminar la pelcula.Tomemos solo lo que sucede antes de entrar a la sala donde veremos la pelcula Hay una cola muy grande de personas comprando entradasVan muchas personas a ver la misma pelculaNo encontramos entradas

Buscar que el alumno plantee de cada propuesta una situacion de incertidumbre. Por ejemplo, podra establecerVer el tamao de la cola cuando llegamos a comprar la entradaVer la cantidad de personas que van a ver la pelcula..por funcinVer si conseguimos entradas o no

Este tipo de actividades es posible de realizar despus de que el alumno a trabajado un buen nmero de planteamientos de situaciones de incertidumbre en clase y en tareas para casa.

REFLEXION PEDAGGICAEste tipo de actividad adems de permitir establecer y trabajar con los que son los eventos posibles e imposibles, ayudara a los alumnos a poder ms adelante construir situaciones de incertidumbre adecuadamente. Por qu es esto importante? Porque solo cuando ellos plantean sus propias situaciones aleatorias podremos percatarnos que han entendido claramente la idea de incertidumbre.Entonces es importante que adems que enseemos a nuestros alumnos a trabajar sobre situaciones de incertidumbre que nosotros les preparemos, es igualmente importante que les procuremos actividades donde ellos sean los que planteen las situaciones de incertidumbre.Las actividades para trabajar con la ocurrencia de eventos (siempre, nunca, a veces) se debe de dar gracias el nivel inicial, progresivamente se va incorporando actividades para el manejo de ideas sobre eventos seguros, eventos probables. Ms adelante el alumno debe trabajar en la separacin de situaciones determinsticas y de incertidumbre, para finalmente comenzar el trabajo del clculo de probabilidades en planteamientos clsicos y posteriormente sobre frecuencias relativas.La idea al igual que las unidades anteriores es que todo este trabajo se inicie sobre ejemplos del medio del alumno, para que paulatinamente pueda ser trabajado en realidades no tan palpables o cercanas. Igualmente se debe ir desde situaciones con objetos concretos para poder culminar en situaciones subjetivas.

ACTIVIDAD DE AUTOEVALUACIN Y METACOGNICIN

ACTIVIDADES PARA EJERCITAR

Resuelve la siguiente situacin problemtica:Uno de los eventos familiares que est a total cargo de los hijos en una familia, generalmente, es las bodas de plata de los padres, Dentro de esta situacin, meditemos sobre algunos hechos que se dan y que pueden ser de inters medir estadsticamente hablando. Fijmonos en primer lugar, en el hecho de escoger la iglesia donde se llevara a cabo la ceremonia de renovacin de votos. Se podr escoger entre la misma donde se celebr el matrimonio, la que est ms cerca de la casa de su familia, la que est ms cerca del lugar de la recepcin, la ms econmica o lamas bonita para la ocasin. Con respecto al tipo de ceremonia, podra darse que se quiera una ceremonia cantada o solo rezada, que los padres e hijos ingresen en procesin o esperen al padre en el altar. Y en lo que se refiere a los arreglos de la ceremonia, puede ser que tenga arreglo florales puesto por la misma iglesia o contratados a una florera; tambin, puede tenerse un coro para la msica, un conjunto de violines y piano o a un solista.1. Con toda esta informacin, confeccione el espacio muestral que corresponda al experimento aleatorio: Verifique como se realiza la ceremonia de renovacin de votos de una pareja. Tenga en cuentas que cada hecho solo tiene las opciones presentadas.2. Determine el nmero de elemento que posee el espacio muestral.3. Suponiendo que se piensa que la posibilidad de que suceda cada uno de los eventos simples de este experimento son equiprobables, determine Cul es la probabilidad de que se tenga una ceremonia en la iglesia ms cercana a la casa de la familia con msica dada por una solista?4. Conociendo la siguiente informacin sobre la forma de confeccionar la lista de invitados.

INVITADOS PARA LA IGLESIAPROBABILIDADES EN UNA MUESTRA HECHA

Solo familiares cercanos0.08

Slo familiares0.21

Familiares y amigos0.39

Todo el que se me ocurra0.32

INVITADOS PARA LA RECEPCIONProbabilidades en una muestra hecha

Solo familiares cercanos0.37

Slo familiares0.31

Familiares y amigos0.19

Todo el que se me ocurra0.13

Halle la probabilidad de los siguientes eventos mostrados claramente los pasos seguidos. En el caso de no poder hallar la probabilidad por la falta de informacin, explique qu informacin exactamente le hace falta.

a) En la recepcin, hay familiares.b) No hay amigos en la iglesia ni en la recepcin.

5. Las opciones para la comida en la recepcin de las bodas de plata son mesa de buffet, cena por persona o mesa de buffet y cena personal. Los licores puede ser pasados por los mozos de mesa en mesa o tener una barra de atencin. Tenemos la siguiente informacin obtenida mediante una muestra de recepciones de bodas de plata:

Licores con mozosBarra de atencin

Mesa de buffet0.260.09

Cena personal0.320.11

Mesa de buffet y cena personal0.140.08

Calculea) Cul es la probabilidad de que se ofrezca los licores con mozo en una recepcin de bodas de plata?b) Cul es la probabilidad de que sus padres solamente cenaran.

RESPONDE A LAS SIGUIENTES INTERROGANTES

1. Es importante realizar un trabajo gradual desde los grados iniciales partiendo de los conceptos intuitivos de posibilidad, y probabilidad?2. Es importante que el estudiante que termina primaria, pueda llegar a reconocer cundo trabajar con incertidumbres y aciertos.3. Los nios al terminar primaria, deben tener una idea clara de por qu es necesario usar probabilidades. 4. Las actividades no se deben situar solo en el momento en que el plan curricular lo presenta, sino se deben construir en forma cclica, trabajando este componente a los largo del ao escolar

GLOSARIO

EXPERIMENTO: Es una actividad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos. Un experimento puede ser aleatorio o no aleatorio.

EXPERIMENTO ALEATORIO: Un experimento es aleatorio cuando se conocen todos sus posibles resultados, pero no se puede predecir cul ser el resultado hasta que se lleve a cabo.

EXPERIEMENTO NO ALEATORIO: Un experimento es no aleatorio o determinstico cuando el resultado de la observacin es determinado en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza dicho experimento.

ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Como todo conjunto, el espacio muestral debe estar dado por comprensin o por extensin.

EVENTO: Es cualquier subconjunto del espacio muestral, puede estar dado por comprensin o por extensin. Como subconjunto puede tener un solo elemento (eventos simples)o ms de un elemento(evento compuesto)

PROBABILIDAD: Esta teora corresponde a un rea dentro de las matemticas que trata de manejar con nmeros el grado de incertidumbre de un evento , trata de medir hasta que punto se puede esperar que ocurra un evento. Se dice que esa medida es su probabilidad.

PROBABILIDAD DE UN EVENTO: Se define como un nmero comprendido entre 0 y 1. Si la probabilidad de un evento se aproxima al nmero 0 se dice que el evento es poco frecuente. Si la probabilidad de un evento se aproxima al nmero 1, se dice que el evento es muy frecuente.

TEXTO COMPLEMENTARIO

Si va usted al supermercado y escoge 5 kilos de melocotones a 5.4 soles el kilo con facilidad podr predecir que la cantidad que le van a cobrar ascender a 5x5.4 = 27.00 soles. La suma que se cobra por tales compras es un fenmeno determinista. Puede predecirse de manera exacta, con base con la informacin que se obtiene, a saber en este caso, el nmero de kilos y el costo por kilo.Por otra parte, considere el problema al que se enfrenta el gerente del supermercado, quien debe ordenar melocotones para tener eta mercanca disponible cada da sin saber exactamente cuntos kilos comprarn los clientes en el transcurso de la jornada. La demanda de los compradores es ejemplo de fenmenos aleatorios. Flucta de tal manera que su valor en un da determinado no puede predecirse de manera exacta con la informacin de que se dispone. El estudio de la probabilidad se relaciona con tales fenmenos aleatorios. Aunque no podemos estar seguros de s ocurrir o no un resultado dado, podemos obtener una buena medida de su verosimilidad, o probabilidad. En este captulo se discuten se discuten varias formas de determinar y utilizar las probabilidades.Ya en los siglos XV y XVI se estudiaban en Italia algunas matemticas de probabilidad relacionadas con los juegos de azar, pero no empez una teora matemtica sistemtica del azar sino hasta 1654 . En este ao dos matemticos franceses, Pierre de Fermant (alrededor de 1601 1665) y Blas Pascal(1623 1662), intercambiaron correspondencia en relacin con un problema planteado por el caballero de Mer. Jugador y miembro de la aristocracia. Si los dos jugadores se ven forzados de terminar el juego antes de que la partida finalice, cmo debe dividirse la apuesta? Pascal y Fermant resolvieron el problema ideando mtodos bsicos para determinar la oportunidad, o probabilidad, de ganar de cada jugador.Casi todos los trabajos publicados sobre la teora de la probabilidad hasta cerca de 1800 estaban basados en juegos de dados y otros juegos de azar. Por lo comn, el hombre que se concede el crdito de ser el padre de la teora de probabilidad es el matemtico francs Pierre Simon de la Place (1749 1827), quien fue uno de los primeros en aplicar la probabilidad a aspectos distintos a los juegos de azar. BIBLIOGRAFIAS Y REFERENCIAS ELECTRNICAS

Batanero, C. (2002) Los retos de la cultura estadstica. En: Jornadas Internacionales de enseanza de la Estadstica. Buenos Aires. Conferencia Inaugural. Disponible en: http://www.indec.mecon.gov.ar/proyectos/sae/losretos.pdfCrdova, M (2003) Estadstica: Descriptiva e Inferencial. Lima: Moshera. 5ta Edicin.Osorio, A. (2009)Diplomatura de especializacin en didctica de la matemtica en educacin primaria. Mdulo 5 y 6. PUCP. LimaDIDCTICA DE LA GEOMETRAPgina 35