MODULO v Eletrromagnetismo Final

1

FFFÍÍÍSSSIIICCCAAA III III III

Paulo Henrique Ribeiro Barbosa

Francisco Ferreira Barbosa Filho

Departamento de Física

Universidade Federal do Piauí

Fevereiro de 2010

2

PRESIDENTE DA REPÚBLICA

MINISTRO DA EDUCAÇÃO

GOVERNADOR DO ESTADO

REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ

SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA DO MEC

COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL

SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ

COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE DUCAÇÃO ABERTA À DISTÂNCIA

DA UFPI

SUPERITENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO

DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA

COORDENADOR DO CURSO DE FÍSICA

COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI

DIAGRAMAÇÃO

FICHA CATALOGRÁFICA

Serviço de Processamento Técnico da Universidade Federal do Piauí

Biblioteca Comunitária Jornalista Carlos Castello Branco

B238f Barbosa, Paulo Henrique Ribeiro Barbosa Filho, Francisco Ferreira.

Física III /Paulo Henrique Ribeiro Barbosa Francisco Ferreira Barbosa Filho. – Teresina : CEAD/UFPI, 2010.

200 p.

1. Física. 2. Física – Eletromagnetismo. I. Título. CDD 530

3

Este texto é destinado aos estudantes que participam do

programa de Educação à Distância da Universidade Aberta do Piauí

(UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do

Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e Centro Federal de

Educação Tecnológica (CEFET – PI), com apoio do Governo do Estado do

Piauí, através da Secretaria de Educação.

O texto é composto de duas unidades, constituídas de cinco

capítulos cada uma. Nos cinco capítulos iniciais (primeira unidade),

iremos tratar da eletrostática, e nos cinco capítulos finais (segunda

unidade) trataremos de correntes elétricas, circuitos elétricos, campo

magnético, lei de Ampère e Lei de Faraday.

A bibliografia para leitura complementar é indicada ao final de

cada unidade, bem como exercícios resolvidos e exercícios visando

avaliar o entendimento do leitor serão apresentados ao longo do texto

de cada unidade.

Apresentação

4

Sumário Geral

UNIDADE I

1. A LEI DE COULOMB

1.1 Introdução 10

1.2 A carga elétrica 11

1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas 13

1.4 Processos de Eletrização 14

1.5 Lei de Coulomb 16

1.6 Problemas Resolvidos 16

1.7 Problemas Propostos 21

1.8 Referências bibliográficas 23

1.9 Web‐bibliografia 23

2 O CAMPO ELÉTRICO

2.1 Introdução 26

2.2 Ação à Distância e o Campo Elétrico 26

2.3 Dipolo Elétrico 28

2.4 Linhas de Campo Elétrico 29

2.5 Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico 31

2.6 Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo 32



Referências bibliográficas 37

Web‐bibliografia 37

3 LEI DE GAUSS

3.1 O Fluxo de Campo Vetorial 40

3.2 O Fluxo do Campo Elétrico e a Lei de Gauss 42

3.3 Aplicações da Lei de Gauss 44

5

3.4 Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico em

Condutores

49


Referências bibliográficas 54

Web‐bibliografia 54

4 POTENCIAL ELÉTRICO

4.1 Definindo Capacitor 57

4.2 Energia Armazenada em um Capacitor 57

4.3 Associação de Capacitores 62

4.4 Capacitores com Dielétricos 64

4.5 Potencial de um dipolo dielétrico 65

4.6 Potencial de uma linha de carga 66

4.7 Diferença de potencial elétrico entre as placas de um

capacitor

67

4.8 O cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico 68

4.9 Superfícies equipotenciais 69




5 CAPACITORES E DIELÉTRICOS








6

UNIDADE II

6 CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

6.1 A corrente elétrica 90

6.2 Corrente e velocidade de deriva 92

6.3 Densidade de corrente, lei de Ohm, condutividade,

resistência e resistividade

96

6.4 Resistência e temperatura 102

6.5 Avanços na área: supercondutividade 104

6.6 Potencia elétrica 105

Questões 109

Problemas 110

Bibliografia 111

7 CIRCUITOS ELÉTRICOS

7.1 Elementos e diagramas de circuitos 115

7.2 Força eletromotriz 117

7.3 Associação de resistores 119

7.3.1 Resistores em série 119

7.3.2 Resistores em paralelo 120

7.4 Leis de Kirchoff e circuito básico 122

7.5 Circuitos RC 129

Questões 136

Problemas 137

Bibliografia 139

8 O CAMPO MAGNÉTICO

8.1 Magnetismo 142

8.2 O campo magnético e suas fontes 145

8.3 Movimento de uma partícula carregada em um campo

magnético

148

8.4 Aplicações envolvendo movimento de partículas carregadas

na presença de campo magnético

150

8.5 A força magnética agindo sobre um condutor portando

7

corrente elétrica 152

8.6 Torque 157

Questões 161

Problemas 163

Bibliografia 165

9 A LEI DE AMPÈRE

9.1 Lei de Biot – Savart 168

9.2 Lei de Ampère 173

9.3 A lei de Ampère e os solenóides 176

Questões 178

Problemas 179

Bibliografia 181

10 A LEI DE FARADAY

9.1 Introdução 185

9.2 O fluxo magnético 185

9.3 A lei de Lenz 188

Questões 194

Problemas 196

Bibliografia 200

8

UNIDADE 1

A LEI DE COULOMB

Resumo

Nesta unidade iremos discutir os fenômenos elétricos numa visão

eletrostática, onde idealizamos as cargas em repouso. Começaremos

discutindo a natureza da carga elétrica, sua conservação a quantização e

os processos de eletrização. Em um ponto culminante da unidade

veremos como calcular a força elétrica estática entre cargas distribuídas

discretamente a partir da lei de Coulomb.

9

Sumário

UNIDADE 1: Lei de Coulomb


1.1 Introdução 10

1.2 A carga elétrica 11

1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas 13

1.4 Processos de Eletrização 14

1.5 Lei de Coulomb 16





10

1.1 ‐ Introdução

O fenômeno eletromagnético está associado a uma propriedade

fundamental das partículas, chamada “carga elétrica”. Entretanto,

diferentemente da massa de um corpo que somente pode exercer

atração gravitacional sobre outra massa, as cargas podem exercer tanto

atração quanto repulsão umas sobre outras, através de uma interação

denominada de eletromagnética. Das quatro interações até então

conhecidas, podemos dizer que a interação eletromagnética é a mais

importante, pois está presente desde a escala microscópica até a escala

macroscópica. No momento iremos tratar apenas de eventos que

ocorrem na escala macroscópica, pois a descrição do fenômeno

eletromagnético em escala microscópica demandaria conhecimentos de

mecânica quântica. Ocasionalmente poderemos fazer uma abordagem

microscópica de um sistema, mas numa visão clássica.

Ações comuns como o acionamento do interruptor de uma

lâmpada, o apertar de uma tecla de um computador ou o simples

acionamento de um controle remoto para ligar uma TV ou abrir um

portão, envolvem aplicações de fenômenos eletromagnéticos. Ao

acionar o interruptor de uma lâmpada, por exemplo, estabelecemos ou

interrompemos a passagem de uma corrente elétrica através de um fio,

onde presenciamos concomitantemente efeitos elétricos e magnéticos.

Até o fim do século XVIII os fenômenos elétricos e magnéticos eram

tratados como mera curiosidade e completamente descorrelacionados.

Esta visão deixou de existir com a verificação experimental, no início do

século XIX, de que correntes elétricas originam campos magnéticos. A

descoberta de Faraday da indução magnética, onde campos magnéticos

variáveis produzem campos elétricos demonstrou mais uma vez que os

fenômenos elétricos e magnéticos são facetas diferentes de um único

fenômeno, o eletromagnetismo. Com a reestruturação do estudo do

eletromagnetismo por Maxwell, e a reformulação da lei de Ampère com

a inclusão da corrente de deslocamento pela invocação de argumentos

de simetria, foi possível prever a geração de ondas eletromagnéticas,

posteriormente comprovadas por Hertz.

11

Apresentaremos aqui as bases do eletromagnetismo seguindo uma

seqüência que coincide com a construção cronológica do

eletromagnetismo. Neste primeiro capítulo, e nos próximos três

capítulos, iremos discutir os fenômenos elétricos do ponto de vista

eletrostático, onde idealizamos as cargas em repouso. Começaremos

discutindo a natureza da carga elétrica, sua conservação, sua

quantização, e os processos de eletrização. Ainda neste capítulo

veremos como calcular a força elétrica entre cargas a partir da lei de

Coulomb.

1.2 – Carga Elétrica

Primeiramente devemos fazer algumas considerações de caráter

microscópico. A matéria é formada de pequenas partículas, os átomos.

Cada átomo, por sua vez, é constituído de partículas ainda menores, os

prótons, os elétrons e os nêutrons. Os prótons e os nêutrons localizam‐

se na parte central do átomo, e formam o núcleo. Os elétrons giram em

torno do núcleo na região denominada eletrosfera. Os prótons e os

elétrons apresentam uma importante propriedade física, a carga

elétrica. A carga elétrica do próton e a do elétron tem a mesma

intensidade, mas sinais contrários. A carga do próton é, por convenção,

positiva e a do elétron, negativa. Num átomo neutro não existe

predominância de cargas elétricas; o número de prótons é igual ao

número de elétrons. O átomo é um sistema eletricamente neutro.

Entretanto quando ele perde ou ganha elétrons, fica eletrizado. O átomo

está eletrizado positivamente quando tem mais prótons que elétrons e

negativamente quando tem mais elétrons que prótons. A carga do

elétron é a menor quantidade de carga elétrica estável existente na

natureza, sendo por isso tomada como carga padrão nas medidas de

carga elétricas. No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de

medida de carga elétrica é o coulomb (C).

A carga do elétron, quando tomada em módulo, é chamada de carga

elementar e é representada por e,com valor absoluto de 1,6.10 ‐ 19 C.

• carga do elétron: ‐ 1,6.10 ‐ 19 C

• carga do próton: + 1,6.10 ‐ 19 C

12

Do ponto de vista macroscópico, uma forma de construirmos um

conceito acerca de carga elétrica consiste em realizar um pequeno

número de experimentos, descritos abaixo. Considere (ver Fig. 1.1a) dois

bastões de plástico e esfregue um pedaço de camurça em cada um

deles. Ao tentar aproximar os bastões constatar‐se‐á uma repulsão

entre os mesmos. Ao repetir o mesmo experimento usando dois bastões

de vidro e um pedaço de seda verificará, também, uma repulsão entre

os bastões de vidro (Fig.1.1b). Entretanto, ao aproximar um bastão de

plástico esfregado com camurça de um bastão de vidro esfregado com

seda verifica‐se uma atração entre os mesmos (Fig.1.1c). Experimentos

dessa natureza revelam que existem dois tipos de cargas elétricas: o

tipo de carga elétrica acumulada no bastão de plástico e na seda

(convencionada de carga negativa) e o tipo de carga acumulada no

bastão de vidro e na camurça (carga positiva). Conclusão:

“Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem,

enquanto

cargas elétricas de sinais opostos se atraem”.

Há dois princípios importantes acerca das cargas elétricas. Para

apresentar o primeiro princípio consideremos a eletrização do bastão de

Figura 1.1: (a) Eletrização de bastões de plástico com camurça. (b) Eletrização de bastões de vidro com lã. (c) Atração entre bastões de plástico e de vidro

13

plástico com camurça. Inicialmente estes corpos estão descarregados, e

depois de atritados ficam carregados. O primeiro princípio, da

“conservação da carga elétrica”, afirma que:

A soma algébrica de todas as cargas elétricas antes da eletrização é

igual a soma das cargas depois da eletrização.

Assim, em qualquer processo de eletrização no qual um corpo é

carregado, a carga elétrica não é nem criada nem destruída, mas

meramente transferida de um corpo a outro. O segundo princípio

importante acerca da carga é o que diz respeito à sua quantização:

O módulo da carga elétrica do elétron ou do próton é uma unidade de

carga natural “e”.

Qualquer quantidade de carga elétrica observada é sempre um

múltiplo inteiro dessa unidade básica, caracterizando assim a

quantização da carga. Entretanto, existem fortes evidências de que o

próton não seja uma partícula elementar, e de que o mesmo seja

formado de três partículas menores denominadas de quarks, sendo dois

com carga +2e/3 e um com carga –e/3. Entretanto, como os quarks não

são encontrados livres na natureza fica valendo a carga do elétron

como a unidade fundamental.

1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas

Alguns materiais permitem a migração de cargas elétricas de

uma região para outra, enquanto outros impedem esta movimentação

de cargas dentro do material e entre materiais. Grosso modo podemos

classificar os materiais quanto à mobilidade das cargas elétricas em:

• Condutores elétricos

Meios materiais nos quais as cargas elétricas movimentam‐se

com facilidade. Pertencem a esta categoria os metais, como ouro,

cobre, alumínio e outros. Estes elétrons que podem se mover ao

longo do material geralmente são os periféricos e que estão

fracamente presos aos núcleos de seus átomos. Quando uma

quantidade de carga é colocada no interior de um condutor esta se

distribuirá por toda a sua superfície.

• Isolantes elétricos ou dielétricos

14

Meios materiais nos quais as cargas elétricas não têm facilidade

de movimentação. A borracha, vidro etc. Ao contrário dos

condutores seus elétrons estão fortemente ligados aos seus

respectivos núcleos. Ao colocarmos uma quantidade de carga nestes

materiais isolantes a carga não se espalha por todo o material,

permanecendo localizada na região em que foi colocada.

Existem ainda os semicondutores, que são materiais de propriedades

intermediárias entre os isolantes e condutores.

1.4 ‐ Processos de Eletrização

Um material pode ser eletrizado através de dois processos: (a)

Eletrização por atrito, ocorre quando materiais não condutores são

atritados uns contra os outros. Nesse processo, um dos materiais perde

elétrons e outra ganha, de modo que um tipo de material fica positivo e

outro fica negativo. Uma experiência típica e simples consiste em atritar

a lã no vidro, como mostrado na Figura 1.2. A comprovação de que ele

ficou carregado é obtida atraindo‐se pequenas partículas, por exemplo,

de pó de giz.

(b) A Eletrização por indução se dá geralmente entre um corpo

carregado e um descarregado (geralmente um condutor). A figura 1.3

ilustra as etapas essenciais do processo de eletrização por indução. Na

ilustração, tem‐se inicialmente (Fig.1.3a) uma esfera condutora

descarregada e isolada por um suporte não condutor. A aproximação do

corpo negativamente carregado atrai as cargas positivas da esfera

Figura 1.2: Após serem eletrizadas por atrito vidro e lã se atraem.

15

eletricamente neutra (Fig.1.3b). A extremidade próxima ao corpo

carregado fica positiva, enquanto a extremidade oposta fica negativa.

Mantendo‐se o corpo carregado próximo, liga‐se o corpo eletricamente

neutro a terra (Fig.1.3c). Elétrons descerão pra terra. Cortando‐se a

ligação com terra (Fig.1.3d), obtém‐se um corpo positivamente

carregado (Fig.1.3e).

O processo de carregamento de um corpo por indução funcionaria

igualmente bem se as cargas móveis sobre a esfera fossem positivas em

vez de negativos, ou ate mesmos se existissem simultaneamente cargas

móveis positivas e negativas. Em um condutor as cargas móveis são

sempre elétrons.

É bom observar que um corpo carregado pode exercer força de atração

sobre objetos descarregados (neutros). O exemplo ilustrado na Figura

1.3 é uma demonstração desse fato. Entretanto, a atração pode ocorrer

entre um corpo carregado e um isolante, onde as cargas negativas e

positivas do isolante neutro ficam ligeiramente separadas

espacialmente. Este caso pode ser observado quando aproximamos um

pente eletrizado de pequenos pedaços de papel.

Figura 1.3: Etapas do processo de eletrização por indução

16

1.5 – Lei de Coulomb

As principais interações entre partículas devem‐se à sua massa

(interação gravitacional) e a sua carga (interação elétrica). Motivado

pelos estudos de Cavendish da interação gravitacional, Charles Augustin

Coulomb (1736‐1806) estudou a força de interação entre partículas

carregadas. Podemos dizer que dois corpos eletrizados estacionários

exercem predominantemente uma força elétrica entre si, uma vez que a

interação gravitacional é desprezível em comparação a primeira. A

eletrostática é a área do eletromagnetismo que aborda interações entre

cargas estacionárias ou quase estacionárias. Coulomb descobriu,

experimentalmente, que o módulo da força elétrica entre duas cargas

puntiformes q1 e q2, separadas por uma distância r, é dada por:

| | (lei de Coulomb) (1.1)

onde k é a constante elétrica e tem o seguinte valor no Sistema

Internacional: 8,988 10 . / . A constante ε0

(=8,854x10‐12C2/N.m2) é a permissividade do vácuo.

Podemos expressar a Eq.1‐1 na forma vetorial usando a Figura 1.4a,

onde as cargas q1 e q2 de mesmo sinal são ligadas pelo vetor posição ,

que tem origem em q2 e extremidade em q1. O sentido da força , que

a partícula 1 sofre devido a carga da partícula 2, aponta no mesmo

sentido do vetor depende do sinal de suas cargas. Podemos

representar a força como

(1.2)

Da mesma forma a força , que a partícula 1 exerce na partícula 2

aponta no sentido oposto ( ). A Figura 1.4b esquematiza o

caso em que as cargas têm sinais opostos. Consideremos agora a carga

pontual q1 interagindo com um conjunto de N cargas pontuais qi (i=

2,3,...,N). Cada

uma das cargas qi exercem uma força sobre a carga q1. Pode‐se

representar a força total sofrida pela partícula 1 como

∑ (1.3)

17

Figura 1.4 (a) Força entre cargas de mesmo sinal. (b) Força entre cargas

Figura 1.5: Átomo de hidrogênio

onde a força é a força que a i‐ésima carga exerce sobre a partícula 1.

No próximo capítulo descreveremos como calcular a força elétrica de

uma distribuição contínua de cargas sobre uma carga pontual, após a

introdução do conceito de campo elétrico.

1.6 – Problemas Resolvidos

Exemplo 1.1 – Para se ter uma idéia da ordem de grandeza da interação

eletrostática comparativamente à força gravitacional entre duas

partículas de cargas q1 e q2, com respectivas massas m1 e m2, considere

o átomo de hidrogênio cuja separação média entre o elétron e o próton

é de 5,3x10‐11m. Calcule a razão entre a sua

interação elétrica e a sua interação

gravitacional.

Solução: Um esquema do átomo de

hidrogênio seguindo o modelo de Bohr é

apresentado na Figura 1.5. Sabendo que o

valor da carga elementar e = 1,602x10‐19C e

as massas do elétron, me = 9,1x10‐31kg e a

massa do próton mp =1 ,6x10‐27kg podemos

18

Calcular o módulo da forças elétricas, Fe, e da gravitacional, Fg. Assim,

como e , sua razão é:

, . /, . /

,, ,

2,3 10 .

Isto mostra que na escala microscópica a interação gravitacional pode

ser ignorada. Outra diferença entre estas duas interações é que

enquanto a força gravitacional é somente atrativa, a força elétrica pode

ser atrativa ou repulsiva.

Caso Especial: As semelhanças entre a interação gravitacional e

a eletrostático é muito grande. No caso gravitacional, estabeleceram‐se

duas propriedades da força exercida por uma casca esférica de massa

específica uniforme sobre uma massa pontual: (a) a força sobre uma

partícula dentro desta casca esférica é zero e (2) a força sobre uma

partícula externa é a mesma como se toda a massa da casca esférica

estivesse concentrada em seu centro. Vamos importar estes teoremas

da interação gravitação sem prová‐los, por enquanto, e estender ao caso

de uma casca esférica com distribuição uniforme de cargas:

Uma casca esférica uniformemente carregada não aplica nenhuma

força eletrostática sobre uma carga pontual posicionada em

qualquer ponto no seu interior

Uma casca esférica uniformemente carregada aplica uma força

eletrostática sobre uma carga pontual do lado de fora da casca

como se todas as cargas da casca estivessem concentradas em uma

carga pontual no seu centro

Usaremos este resultado para calcular a força entre uma esfera de carga

com distribuição uniforme e uma carga pontual situada tanto em pontos

internos quanto externos à esfera. Podemos estender o primeiro

teorema a uma distribuição não‐uniforme de cargas na superfície de

uma esfera? Qual é o campo elétrico no interior de condutores? Nos

próximos capítulos (campo elétrico e lei de Gauss) discutiremos estas

questões com mais detalhes.

19

Exemplo 1.2 – Duas cargas puntiformes positivas, Q1 e Q2 de módulos

iguais a q, são colocadas ao longo do eixo y nas posições y=‐a e y=+a.

Considere uma terceira carga positiva, Q3=q, posicionada ao longo do

eixo x na posição x. (a) Calcule o módulo da força resultante sobre a

carga Q3. (b) Encontre a posição ao longo do eixo x em que a força

resultante é máxima.

Solução: (a) O problema está esquematizado na Figura 1.6.

Considerando a simetria do

problema decorrente do arranjo geométrico (cargas eqüidistantes em

relação ao eixo x) e o fato de que as cargas têm o mesmo módulo q,

vemos que a força resultante aponta ao longo do eixo x. Assim,

cos cos

14

14

/ ,

onde usamos o fato de que cos / / .

(b) Para encontrarmos o ponto em que a força resultante atinge um

máximo ao longo do eixo x derivamos a expressão da força obtida no

item (a) e igualamos a derivada à zero, o valor de x encontrado é o que

Figura 1.6: Ação das cargas Q1 e Q2 sobre Q3.

20

Figura1.7: (a) Calculo da força para uma carga q0 no interior da esfera de raio R. (b) Força entre a carga q0 e a esfera para pontos no exterior.

maximiza a força desde que a segunda derivada seja negativa neste

ponto:

/ 0, leva a . Para verificarmos que este valor

maximiza a força calculemos a segunda derivada: / ,

substituindo x=a/2 constata‐se que 0 e portanto a força atinge o

máximo em x=±a/2.

Exemplo 1.3 – Calcule a força de interação entre uma esfera maciça

uniformemente carregada com densidade volumétrica ρ(carga total Q) e

uma carga pontual q0 situada em um ponto (a) no interior da esfera e (b)

no seu exterior.

Solução: Para resolver este problema vamos usar o fato de que o campo

no interior de uma casca esférica uniforme de cargas não exerce força

sobre cargas no seu interior e quando a carga está no seu exterior a

esfera de carga uniforme pode ser tratada como uma carga pontual.

Sendo assim, para um ponto interno à esfera de raio R (Figura 1.7(a)),

podemos considerar que toda a carga q’ na esfera de raio r está

concentrada no seu centro. Os valores da carga total Q e da carga q’ são:

e .

Dessa forma temos . Aplicando a lei de Coulomb temos o

módulo da força . Substituindo q’ temos . (b)

21

Para r>R (Fig. 1.7(b)) a carga se comporta com estivesse concentrada no

centro da esfera: .

1.7 – Problemas Propostos

Problema 1.1 ‐ Duas partículas igualmente carregadas, com um

afastamento de 3x10‐3 m entre elas, são largadas a partir do repouso.

As partículas têm massas iguais a 7,0x10‐7 kg e 5,4x10‐7 kg, e a

aceleração inicial da primeira partícula é de 700 m/s2. Quais são: (a) a

aceleração da segunda partícula? (b) O módulo da carga comum?

R.: 900 m/s2; 7x10‐10 C.

Problema 1.2 ‐ Duas cargas pontuais livres, +q e +9q, estão afastadas

por uma distância d. Uma terceira carga é colocada de tal modo que

todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Determine a posição, o módulo e o

sinal da terceira carga. (b) Mostre que o equilíbrio é instável.

R.: Carga –9q/16, colocada entre as cargas +q e +9q, a uma distância d/4

a partir da carga +q.

Problema 1.3 ‐ Cargas iguais a +Q são colocadas nos vértices de um

triângulo eqüilátero de lado L. Determine a posição, o módulo e o sinal

de uma carga colocada no interior do triângulo, de modo que o sistema

fique em equilíbrio.

R.: Carga √ colocada na bissetriz, a uma distância /√3a partir

do vértice.

Problema 1.4 ‐ Uma carga Q igual a 2x10‐19 C é dividida em duas, (Q‐q)

e q, de modo que a repulsão coulombiana seja máxima. Calcule a

distância que uma carga deve ficar da outra, para que esta força seja

igual 9x10‐9 N.

R.: 1Å

Problema 1.5 ‐ Duas cargas pontuais idênticas, de massa m e carga q,

estão suspensas por fios não condutores de comprimento L, conforme

ilustra a figura 1.8. Considerando o ângulo q tão pequeno de modo que

seja válida a aproximação tan sin , mostre que

22

Figura 1.9

/ ,

onde x é a separação entre as bolas. (b) Se L=122 cm, m=11,2 g e x=4,70

cm, qual o valor de q?

Problema 1.5 – Cinco cargas Q estão igualmente espaçadas em um

semicírculo de raio R como mostrado na Figura 1.9. Encontre a força na

carga q localizada no centro do semicírculo.

Problema 1.6 – Três cargas de q1=‐1.o μC, q2=2.0 μC e q3=4.0μC têm

suas localizações dadas pelos pares ordenados, respectivamente em

metros, (0,0), (0,0.1),(0.2,0). Encontre as forças que atuam em cada uma

das três cargas.

Problema 1.7 – (a) Se a convenção de sinal da carga fosse mudada de

modo que a carga do elétron fosse positiva e a carga do próton fosse

negativa, a lei de Coulomb ainda valeria? (b) Discuta as semelhanças e as

diferenças entre as leis de Coulomb e a lei de gravitação universal.

Problema 1.8 – Quando duas cargas de iguais massas e cargas são

liberadas sobre uma mesa horizontal e sem atrito, cada massa terá uma

Figura 1.8

23

aceleração inicial a0. Se ao invés disso mantivermos uma das cargas fixas

e a outra livre, qual será sua aceleração inicial: a0, 2a0 ou a0/2? Explique.

1.8 Referências bibliográficas

Livro Texto

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. V. 3, 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.

Bibliografia complementar

HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.

TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999.

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.

1.9 Web‐bibliografia

http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm

http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.html

24

UNIDADE 2

O CAMPO ELÉTRICO

RESUMO

Nesta unidade vamos introduzir o conceito de campo elétrico, importante para o entendimento de como as interações à distância entre cargas se estabelecem, principalmente se estas cargas estão em movimento, como poderá ser discutido em um estudo mais avançado da eletrodinâmica clássica. Neste capítulo discutiremos somente o campo elétrico estático devido a cargas em repouso.

25

Sumário

UNIDADE 2: O campo Elétrico


2 O CAMPO ELÉTRICO

2.1 Introdução 26

2.2 Ação à Distância e o Campo Elétrico 26

2.3 Dipolo Elétrico 28

2.4 Linhas de Campo Elétrico 29

2.5 Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico 31

2.6 Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo 32





26

2.1 – Introdução

Qual é o mecanismo pelo qual uma partícula consegue exercer

uma força sobre outra atravessando o espaço vazio que as separa?

Supondo que uma partícula em um determinado ponto é subitamente

movida, a força que uma segunda partícula a uma distância r exercia na

primeira é subitamente alterada? Neste capítulo vamos introduzir o

conceito de campo elétrico, importante para o entendimento de como

as interações à distância entre cargas se estabelecem, principalmente se

estas cargas estão em movimento, como poderá ser discutido em um

estudo mais avançado da eletrodinâmica clássica. Neste capítulo

discutiremos somente o campo elétrico estático devido a cargas em

repouso.

2.2 ‐ Ação à Distância e o Campo Elétrico

A força coulombiana, assim como a força gravitacional, é uma interação

à distância e algo mal compreendido até meados do século dezenove

quando Michael Faraday introduziu o conceito de campo que permite‐os

raciocinar como se dá a ação à distância. De acordo com o conceito de

campo, a interação entre duas cargas, q1 e q2, ocorre através da ação do

campo elétrico de uma delas sobre a outra. Definimos então o campo

elétrico , em um ponto, produzido por um conjunto de cargas, como a

força elétrica que atua sobre uma carga q0 neste ponto devido às

outras, dividida pela carga q0,

, (2.1)

onde q0 é a carga de prova, convencionalmente tomada como positiva.

No Sistema internacional (SI) a unidade de campo elétrico é 1 newton

por coulomb (1N/C). Operacionalmente devemos considerar a carga de

prova, q0, tão pequena quanto possível para que esta não perturbe o

arranjo original de cargas do qual se quer medir o campo elétrico. Isto

pode ser resumido na equação abaixo

lim

Assim, para se conhecer o valor do campo elétrico em determinado

ponto, basta colocar uma carga de prova naquele ponto e dividir a força

medida pelo valor da carga de prova q0.

27

Considere q uma carga puntiforme positiva como uma fonte de

campo elétrico. Coloquemos a carga de prova positiva q0 a uma distância

r desta (ver Figura 2.1a). A carga de prova experimentará uma força de

repulsão de módulo | |

. Substituindo F0 no módulo da Eq.

(2.1) temos

| | (2.2)

Vetorialmente, temos

| | , (2.3)

onde é o vetor unitário que aponta na direção do ponto P, onde foi

aferido o campo elétrico. Observe que o campo elétrico de uma carga

positiva aponta na mesma direção da força que atua na carga de prova e

é, portanto de afastamento. Se q for negativa (Fig. 2.1b) a força será de

atração sobre a carga de prova e o campo elétrico será de aproximação.

Também se observa que o módulo do campo elétrico de uma carga

pontual para uma mesma distância ao redor da fonte é o mesmo.

Campos elétricos cujo módulo independem da orientação espacial, mas

tão somente da distância da fonte ao ponto de observação são

denominados de radiais.

Considere uma pequena carga de prova q0 em um ponto P

distante ri0 de uma carga qi. A força na carga de prova devido à carga

qi é

e o campo elétrico é, usando Eq.(2‐1)

Figura 2.1: Campo Elétrico de uma carga pontual q.(a) carga fonte poisitiva e (b) carga fonte negativa

28

Figura 2.3: (a)Molécula de água como dipolo permanente e (b) dipolo induzido

,

onde é o vetor unitário apontado da carga qi ao ponto onde se quer

medir o campo . Para uma distribuição discreta de cargas o campo

total no ponto P é

1

4 . 2.4

A propriedade acima é conhecida como princípio da superposição, que

decorre da existência de respostas lineares do sistema de cargas

discretas ou contínuas. A propósito, para uma distribuição contínua de

cargas a equação acima é escrita como

, 2.4

onde em coordenadas cartesianas , e

, sendo r a distância do elemento de carga dq ao ponto de

observação.

2.3 ‐ Dipolo Elétrico

Um sistema formado de duas cargas de mesmo módulo e de sinais

opostos separadas por uma pequena distância L é chamado de dipolo

elétrico. Sua amplitude e orientação são descritos pelo vetor dipolo

elétrico , que é um vetor que aponta da carga negativa para a carga

positiva e tem módulo qL (ver Figura 2.2).

Um sistema pode naturalmente apresentar propriedades polares

(chamados de dipolos permanentes) ou estas podem ser induzidas pela

aplicação de um campo elétrico no sistema (dipolos induzidos). Como

um exemplo de um dipolo permanente podemos citar o caso da

molécula de água (Fig2.3a), onde os elétrons “preferem” passar mais

Figura 2.2: Dipolo Elétrico

29

tempo próximos ao oxigênio do que dos hidrogênios. No caso de um

dipolo induzido podemos ter uma molécula em que inicialmente os

centros das distribuições das cargas positivas e negativas coincidem,

mas são deslocados pela ação de um campo elétrico externo (Fig2.3b).

Em muitas investigações em ciências físicas e químicas somos solicitados

a verificar se um determinado sistema pode apresentar comportamento

dipolar. Por isso é importante calcularmos o campo do dipolo elétrico

para conhecermos suas propriedades matemáticas. O exemplo abaixo

ilustra este procedimento.

Exemplo 2.1: A figura 2.4 mostra um dipolo elétrico com suas cargas

posicionadas ao longo do eixo x nas posições x=‐a e x=+a. (a) Encontre o

campo elétrico em um ponto x>a. (b) Encontre a forma matemática do

campo elétrico para a situação limite x>>a.

Solução: (a) Considere um ponto x>a, e aplique a Eq.(2‐4):

.

(b) O comportamento do campo elétrico do dipolo para x>>a é

ou

, (2.5)

onde fizemos a aproximação e 2 . A Eq.(2.5)

mostra que para pontos afastados das cargas o campo do dipolo cai

mais rapidamente e com o cubo da distância.

Figura 2.4: Dipolo elétrico formado de duas cargas de módulo q e distância L=2a

30

2.4 ‐ Linhas de Campo Elétrico

Podemos representar o campo elétrico traçando linhas que

indicam a sua direção. As linhas de campo elétrico, introduzidas por

Faraday, são também conhecidas como linhas de força. Em qualquer

ponto o campo elétrico, , é tangente à linha. A Figura 2.5(a) mostra

que para uma carga pontual positiva o campo elétrico aponta

radialmente para fora, como mostram as linhas de força. No caso de

uma carga pontual negativa as linhas de força convergem para o ponto

aonde se encontra a carga.

Observe como a representação do campo elétrico em termos de linhas

de força é útil. Por exemplo, a medida que nos afastamos da carga

pontual positiva as linhas de força estarão cada vez mais afastadas,

mostrando que o campo vai ficando cada vez mais fraco. Considere uma

esfera de raio r centrada em torno de uma carga pontual. Se N linhas de

força emergem da carga, o número de linhas de força por unidade de

área que atravessarão a superfície da esfera é N/πr2. Assim, a densidade

de linhas decresce com a distância com 1/r2, que é o mesmo

comportamento do campo elétrico. As Figuras 2.6(a) e (b) mostram a

representação do campo elétrico em termos de linhas de força

respectivamente para duas cargas iguais e positivas e para um dipolo

elétrico. É muito intuitiva a construção de tal representação baseada na

justaposição das representações em termos das linhas de força de cada

Figura 2.5: Representação do campo elétrico por meio de linhas de força para (a) carga positiva e (b) carga negativa

Figura 2.6: (a) Cargas iguais e positivas e (b) cargas iguais e opostas

31

carga isoladamente. É muito instrutivo resumir em um conjunto de

regras a serem seguidas na representação do campo elétrico de um

conjunto de cargas elétricas pontuais:

2 As linhas de campo elétrico começam nas cargas positivas (ou no

infinito) e terminam nas cargas negativas (ou no infinito);

3 As linhas de campo são traçadas simetricamente entrando ou saindo

de uma carga isolada;

4 O número de linhas de campo deixando uma carga positiva ou

entrando em uma carga negativa é proporcionais à magnitude da

carga;

5 A densidade de linhas de campo (o número de linhas por unidade de

área perpendicular às linhas) em qualquer ponto é proporcional à

magnitude do campo elétrico naquele ponto;

6 Á grandes distâncias de um conjunto de cargas, as linhas de campo

são igualmente espaçadas e radiais, como se elas se originassem de

uma carga pontual de carga líquida igual à do conjunto;

7 Linhas de campo resultante não se cruzam.

2.5 ‐ Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico

Quando uma carga elétrica pontual q é colocada em um ponto

com campo elétrico , a carga fica submetida a uma força . Se a

força elétrica é a única força significativa a que a carga q está submetida,

esta sofrerá uma aceleração dada pela segunda lei de Newton

∑, 2.6

onde m é a massa partícula com carga q. No caso do elétron a

velocidade envolvida é muito grande e devemos considerar correções

relativísticas. Se o campo elétrico é conhecido a relação q/m pode ser

calculada pela medida da aceleração. Esta foi a base da experiência de J.

J. Thomson em 1897 para a determinação da existência do elétron. Este

experimento é a base de funcionamento de uma série de dispositivos

eletrônicos, como osciloscópios, monitores de computador, monitores

de TV, etc.

Exemplo 2.2: Considere um elétron projetado em um campo elétrico

32

Figura 2.7: Elétron na presença de um campo elétrico uniforme.

Figura 2.8: Dipolo elétrico sob ação de um campo elétrico externo

uniforme, 1000 , com uma velocidade inicial

2 10 na direção do campo (ver Fig.2.7). Que distância o elétron

viajará na região de campo antes de parar?

Solução: Considerando que a única força significativa é a elétrica e

sendo a carga do elétron negativa esta força é , constante e

apontando no sentido oposto ao do campo elétrico. Assim, podemos

usar as equações do movimento uniformemente variado para

encontrarmos a variação da posição até repouso instantâneo do elétron:

1. O deslocamento Δx esta relacionado às velocidades inicial e final

pela equação de Torricelli: 2 ∆ ,

2. O módulo da aceleração é ,

3. Quando v=0 temos ∆ 1.14 10 .

2.6 – Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo

Já discutimos o caso do campo elétrico gerado por um dipolo elétrico,

que pode ser uma molécula de água ou uma molécula de ácido

clorídrico, que são moléculas polares. Vamos discutir agora o que

acontece com um dipolo quando este é submetido a um campo elétrico

externo. Para simplificar vamos considerar que este campo é uniforme.

Vamos mostrar que o campo externo não exerce nenhuma força externa

no dipolo, mas exerce um torque que fará com que o dipolo gire de um

33

determinando ângulo. Considere a figura 2.8, que mostra o dipolo numa

região de campo elétrico uniforme. Observe que as forças e têm

mesmo módulo, F1=F2=qE, mas sentidos opostos, o que dá uma

resultante nula. Por outro lado, estas forças exercem um torque que

tende a girar e alinhar o dipolo com o campo externo. Por exemplo, o

torque em torno da carga negativa tem módulo sin

sin sin . A direção do torque, pela regra da mão direita, é

aquela entrando na página. Em notação vetorial podemos escrever o

torque como :

. 2.7

Quando um dipolo gira de um ângulo dθ, o trabalho realizado

pelo torque é sin . O sinal vem do fato de que

o torque tende a decrescer θ. Como este trabalho é igual ao decréscimo

da energia potencial, temos

sin .

Integrando, obtemos

cos .

Escolhendo U0=0 para θ=π/2, temos

cos · , 2.8

Que é a energia potencial elétrica armazenada no dipolo elétrico.

Fornos de micro‐ondas exploram o fato de que existe uma

grande quantidade de água (moléculas polares) nos alimentos para

poder cozinhá‐los. Ao funcionar na faixa de vibração das moléculas de

água estas vibram por ressonância e os alimentos são aquecidos

2.7 – Problemas resolvidos

Exemplo 2.3: Uma carga pontual q1=8 nC está na origem , e uma

segunda carga q2=12 nC está no eixo x, em a=4m (Figura 2.9). Encontre o

campo elétrico total (a) em P1, no eixo x, a x=7 m e (b) em P2 no eixo x

em x=3 m.

Figura 2.9: Duas cargas pontuais dispostas ao longo do eixo x

34

Solução: Como o ponto P1 está à direita das duas cargas e as mesmas

são ponto P2 (x=3 m), que está mais próximo da carga q2, o campo

elétrico resultante apontará para a esquerda. Vejamos isto

quantitativamente:

(a) Usando a Eq. (2.4) para o ponto P1 temos

,

Usando x=7 m, a=4 m, q1=8 nC e q2=12 nC, temos

13.5 .

(b) Para o ponto P2 temos

, o que dá

100 .

A Figura 2.10 mostra graficamente o comportamento do campo elétrico

para todos os pontos ao longo do eixo x.

Exemplo 2.4: Encontre o campo elétrico no eixo y a y=3 m para as cargas

vistas na Figura 2.9.

Solução: Observe que para um ponto sobre o eixo y o campo elétrico,

, devido à carga q1, aponta ao longo do eixo y, enquanto o campo ,

devido à carga q2, faz um ângulo θ com o eixo y (Figura 2.11a). Para

encontrar o campo resultante procedemos com a decomposição

analítica, encontrando as componentes x e y de cada campo, como

mostrado na figura 2.11b.

Figura 2.10: Gráfico do campo elétrico resultante da configuração de cargas vista na Fig. 2.9 ao longo do eixo x

35

Figura 2.12

Observe que o campo da carga q1 tem módulo 7.99 N/C,

0, 7.99 . O campo da carga q2 tem módulo 4.32 .

Suas componentes são cos , sin . Da Figura

2.11a obtemos sin 0.8 e cos 0.6. Assim temos,

3.46 / e

10.6 . Dessas componentes obtemos a magnitude do campo

resultante, 11.2 / , fazendo um ângulo

tan 108°, com o eixo x.

2.8 –Problemas Propostos

Problema 2.1‐ As linhas de campo de

duas esferas condutoras são

mostradas na Figura 2.12. Qual o sinal

relativo das cargas e a magnitude das

cargas das duas esferas?

Problema 2.2‐ Um elétron entra em

uma região de campo elétrico

Figura 2.11: Calculo do campo resultante ao longo em um ponto no eixo x.

36

Figura 2.13: Quadrado de lado a

2000 com uma velocidade inicial 10

perpendicular ao campo. (a) Faça uma comparação entre as forças

gravitacional e elétrica que agem no elétron. Qual é a deflexão do

elétron após ele ter percorrido 1 cm na direção x?

Problema 2.3‐ Calcule o campo elétrico no centro do quadrado da

figura 2.13 abaixo.

Problema 2.4‐ Em um particular ponto do espaço, uma carga Q é

posicionada e não sobre nenhuma força elétrica. Analise cada uma das

alternativas abaixo, justificando sua resposta:

(a) Não existem cargas nas proximidades;

(b) Se existem cargas próximas, estas têm sinais opostos ao de Q;

(c) Se existem cargas próximas, a carga total positiva deve ser igual a

carga total negativa;

(d) Nenhuma das alternativas acima precisa ser verdadeira.

Problema 2.5‐ Uma carga de +5.0 μC está localizada em x=‐3.0 cm e uma

segunda carga de ‐8.0 μC está localizada em x=+4.0 cm. Onde devemos

posicionar uma terceira carga de +6.0 μC de modo a termos o campo

elétrico nulo em x=0.0 cm?

Problema 2.6‐ Duas cargas +4q e ‐3q estão separadas por uma pequena

distância. Trace as linhas de campo elétrico para este sistema.

Problema 2.7‐ Três cargas iguais e positivas são posicionadas nos

vértices de um triângulo eqüilátero. Esquematize as linhas de campo

elétrico para este sistema.

Problema 2.8‐ Um elétron, partindo do repouso, é acelerado por um

campo elétrico uniforme de módulo 8 x 104 N/C que se estende por uma

região de 5.0 cm. Encontre a velocidade do elétron depois que ele deixa

a região de campo elétrico uniforme.

37

Problema 2.9‐Duas cargas pontuais, q1=+2.0 pC e q2=‐2.0 pC estão

separadas por uma distância de 4μm. (a) Qual é o momento de dipolo

do par de cargas? (b) Esquematize o dipolo e mostre a direção do

momento de dipolo.


Livro Texto










38

UNIDADE 3

A LEI DE GAUSS

RESUMO

Nesta unidade discute‐se uma alternativa à lei de Coulomb, chamada de

lei de Gauss, que permite uma abordagem mais prática e instrutiva no

cálculo do campo elétrico em situações que apresentam certas

simetrias. Entretanto, o cálculo do campo elétrico na forma como

apresentada na unidade anterior permanece infalível, embora

trabalhosa em muitos casos. Neste capítulo apresentaremos o conceito

de fluxo de um campo vetorial, importante na apresentação da lei de

Gauss e depois faremos aplicações.

39

Sumário

UNIDADE 3: A Lei de Gauss


3.1 O Fluxo de Campo Vetorial 3.1

3.2 O Fluxo do Campo Elétrico e a Lei de Gauss 3.2

3.3 Aplicações da Lei de Gauss 3.3

3.4 Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico em

Condutores

3.4

3.5 Problemas Propostos 3.5



40

3.1 O Fluxo de Campo Vetorial

Uma forma de entendermos o significado de fluxo é imaginarmos que

estamos às margens de uma auto ‐ estrada e realizando a contagem da

quantidade de carros que cruzam a via em determinado ponto durante

certo tempo. Ao fazer isto estamos calculando o fluxo de carros na

estrada naquele ponto. Se associarmos um vetor velocidade a cada carro

que ocupam a via teremos vários vetores velocidade espacialmente

distribuídos, compondo o que denominamos campo vetorial de

velocidades .

Para uma análise quantitativa do fluxo vetorial consideremos o

escoamento de um fluido em regime estacionário, representado pela

especificação do vetor velocidade em cada ponto (ver Fig.3.1). Na

Fig.3.1a colocam‐se um fio retangular de modo que seu plano seja

perpendicular ao vetor velocidade, , associado ao fluxo do fluido que

escoa ao longo de um canal. Definindo‐se o fluxo do campo de

velocidades de modo que seu valor absoluto seja dado por

| | , (3.1)

onde v é a intensidade da velocidade no local em que está posicionado o

fio retangular. A unidade do fluxo do fluido é m3/s, que é o mesmo que a

vazão do fluido que passa através da área A delimitada pelo fio

retangular. Em termos do conceito de campo, podemos considerar o

fluxo como uma medida do número de linhas de campo que

Figura 3.1: (a) Fio retangular em um fluido com área normal ao vetor velocidade. (b) Fio retangular com área formando um ângulo Ф com o vetor velocidade.

41

atravessam a área do fio retangular. Se inclinarmos o fio retangular de

forma que o seu plano não seja mais perpendicular à direção do vetor

velocidade (ver Fig. 3.1b), o número de linhas do campo de velocidade

atravessando a área, A, do retângulo não será mais o mesmo e

diminuirá. Para calcular o fluxo do fluido observemos que o número de

linhas do campo de velocidade que atravessam a área, A, na forma

inclinada é o mesmo número de linhas que atravessam a área projetada,

Acosφ, perpendicularmente às linhas de . Assim, a intensidade do fluxo

correspondente a situação retratada na Fig. 3.1b é

|Φ| vA cos . (3.2)

Se o fio retangular for girado de modo que sua área seja paralela ao

vetor velocidade (φ=90°), nenhuma linha de velocidade atravessará a

área e o fluxo de velocidades é nulo (| | 0 . Podemos dar uma

interpretação vetorial à Eq.(3.2), introduzindo o vetor área, , que

emerge perpendicularmente (normal) à superfície de área A do fio

retangular:

· . 3.3

Observe que esta definição nos coloca diante da possibilidade de um

fluxo de positivo ( 0 90°), bem como um fluxo de

negativo ( 0 90°). Assim, no caso de uma superfície

aberta deve‐se escolher um sentido para a normal à superfície em

questão. No caso de uma superfície fechada, na qual se refere a lei de

Gauss, adota‐se o sentido do vetor área, , como sendo o sentido da

normal saindo da superfície. Dessa forma, o fluxo associado a um campo

vetorial que atravessa a superfície e deixa o volume será um fluxo

positivo (fonte de linhas de campo), caso contrário o fluxo será negativo

(sumidouro de linhas de campo). Podemos estender a definição acima

para uma superfície qualquer considerando que a mesma é formada de

um número muito grande de superfícies retangulares de área, ,

elementares, cujo fluxo de linhas de através da superfície de área ΔA

será · . Em seguida somamos e tomamos o limite de

| | tendendo a zero,

42

lim · . .

. , (3.4)

onde é o vetor unitário normal à superfície de área elementar dA no

ponto considerado.

3.2 – O Fluxo do Campo Elétrico e a Lei de Gauss

O fluxo do campo elétrico, , é análogo ao fluxo de , resultando em

expressão idêntica quando substituímos por em todas as etapas da

dedução. A Fig. (3.2) mostra as linhas de campo elétrico não uniforme e

o elemento de área . Tomando os devidos limites o fluxo elétrico,

ΦE, será dado por

. (3.4)

Esta integral indica que a superfície em questão deve ser dividida em

elementos infinitesimais de área , que é atravessado por um campo

elétrico, , e que a quantidade escalar . deve ser calculada

para cada elemento e somada, contemplando‐se toda a área da

superfície. No caso da lei de Gauss, a superfície considerada é fechada,

sendo a Eq.(3.4) modificada para

. ,

onde o círculo na integral sinaliza que a mesma é fechada.

Figura 3.2: Linhas de campo atravessando uma superfície S.

43

Dissemos acima que o fluxo de através de uma superfície é

uma medida do número de linhas de campo que atravessam a mesma,

ou que é uma medida da vazão do fluido. Podemos dar uma

interpretação análoga para o caso do campo elétrico, dizendo que o

fluxo elétrico é uma medida do número de linhas que atravessam

uma superfície. Como não existem linhas de campo sem cargas elétricas,

podemos dizer que para uma superfície fechada o fluxo elétrico está

diretamente ligado à carga elétrica envolvida por esta. Imagine uma

superfície fechada, que chamaremos a partir de agora de superfície

gaussiana, contendo uma certa quantidade de carga q (discreta e/ou

contínua). A lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico através desta

superfície fechada é proporcional à quantidade de carga q envolvida:

,

ou

. =q. (3.5)

A Eq. (3.5) contabiliza o número de linhas que atravessam a superfície

gaussiana ou a quantidade total de cargas internas a esta superfície.

Embora a escolha da superfície gaussiana seja arbitrária e não altere o

resultado da integral na Eq. (3.5), deve‐se fazer uma escolha que explore

a simetria da distribuição de cargas. A lei de Gauss estabelece uma

relação entre grandezas (o fluxo elétrico e a carga total q envolvida

pela superfície S) que, em princípio, não são definidas para um ponto,

pelo menos na forma como está expressa na Eq. (3.5). Assim sendo, não

é de se estranhar que a mesma não sirva para calcular o módulo do

campo elétrico de uma distribuição qualquer. Na próxima seção vamos

mostrar que a lei de Gauss pode ser útil no cálculo do campo elétrico

(que é uma grandeza local) de um número relativamente reduzido de

distribuições de cargas que geram campos elétricos com determinadas

simetrias, desde que se faça uma escolha apropriada da superfície

gaussiana.

A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de abordar o

mesmo problema, e conseqüentemente fornecem a mesma resposta.

Então, quando e por que usar uma ou outra lei? O uso de uma ou outra

lei é determinado pelas seguintes circunstâncias: (a) se a distribuição de

44

cargas apresenta um alta simetria a resposta é obtida mais facilmente

usando a Lei de Gauss, (b) Entretanto se a distribuição de cargas

apresenta um baixa grau de simetria a Lei de Coulomb é a mais

adequada.

3.3 – Aplicações da Lei de Gauss

(a) Carga Puntiforme e a Lei de Coulomb

Por argumentos de simetria conclui‐se que o campo de uma carga

puntiforme tem simetria esférica (campo é o mesmo para qualquer

ponto sobre uma esfera de raio r e é perpendicular a superfície da

esfera). Assim, ao escolhermos como superfície gaussiana uma esfera de

raio r com a carga q em seu centro (Fig.3.3) teremos a possibilidade de

obter o campo elétrico da carga Q. Como é paralelo a em qualquer

ponto sobre a Gaussiana, o produto escalar destes dois vetores na

superfície da esfera gaussiana será sempre · =EdA. Tomando a lei

de Gauss temos,

· 4 / , ou

, (3.6)

que é a eq. 2.3, o campo de uma carga puntiforme.

Figura 3.3: Carga pontual Q envolvida por uma superfície esférica de raio r.

45

Figura 3.4: Linha de carga positiva envolvida por uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento l.

No cálculo da integral fechada sobre a superfície esférica tiramos o

módulo do campo de baixo do símbolo da integral porque o mesmo é

constante.

(b) Linha Infinita de Cargas

Considere uma linha infinita de carga com densidade linear, positiva e

constante λ, conforme mostrado na Fig.3.4. Deseja‐se calcular o campo

elétrico a uma distância perpendicular r da linha de carga. Por

considerações de simetria conclui‐se que as linhas de campo são radiais.

Ou seja, o campo elétrico, , é perpendicular à linha de carga. A

superfície gaussiana mais apropriada para o cálculo do campo elétrico é

uma superfície cilíndrica de raio r, comprimento l, com a linha de carga

passando pelo seu eixo. Observe que é constante ao longo de toda a

superfície cilíndrica e perpendicular a ela. O fluxo de através desta

superfície é

· · · · / .

Como para as superfícies S1, S2 e S3 o campo elétrico e o elemento de

área mantém as respectivas relações , , que

darão produto interno não‐nulo somente para a integral na superfície S1.

Assim, usando q=λl temos,

46

Figura 3.5: Superfície gaussiana cilíndrica envolvendo uma parte da carga de um plano infinito de carga uniforme contida na área A.

2 /

ou

. (3.7)

(c) Plano Infinito de Cargas

A Fig. 3.5 mostra parte de uma placa fina, não‐condutora e infinita, com

densidade superficial de carga σ (carga por unidade de área) constante e

positiva. Deseja‐se calcular o campo elétrico em pontos próximos à

placa. Devido à simetria retangular da placa o campo é perpendicular a

superfície da mesma. A superfície gaussiana adequada é um pequeno

cilindro de comprimento 2r e área A, como ilustrado na Fig.3.5. Da

simetria, o campo tem a mesma intensidade nas extremidades do

cilindro. Assim, da lei de Gauss temos . , ou

.

Isolando E temos

(3.8)

47

Figura 3.6: Casca esférica com distribuição uniforme de carga. Ilustração da superfície gaussiana esférica de raio r>R.

(d) Casca Esférica de Carga

A Fig.3.6 mostra uma casca esférica fina de raio R, com uma carga q

uniformemente distribuída em sua superfície. A casca está envolvida por

uma superfície esférica de raio r. Dos estudos anteriores sabe‐se que o

campo tem somente a componente radial. Deseja‐se encontrar o campo

elétrico para pontos em que r>R e r<R. Aplicando‐se a lei de Gauss à

superfície esférica de raio r>R, obtém‐se

4 ,

ou

(casca esférica, r>R) (3.9)

• Uma casca esférica uniformemente carregada comporta‐se

como uma carga pontual para todos os pontos exteriores a ela.

Se considerarmos que a superfície gaussiana tem um raio r <R, ao

aplicarmos a lei de Gauss encontraremos

. 0,

pois não há nenhuma carga interna à superfície. Como a carga está

distribuída uniformemente sobre a superfície esférica conclui‐se que

0 para qualquer ponto interno à casca esférica de raio R.

Resumindo,

0, (casca esférica com σ uniforme e r<R) (3.10)

• Uma casca esférica uniformemente carregada não exerce

nenhuma força elétrica em uma partícula carregada localizada

em seu interior, em qualquer ponto, pois Er=0.

48

Figura 3.7: Comportamento do campo elétrico de uma casca esférica em função do raio.

Figura 3.8: Esfera carregada uniformemente. Superfície gaussiana esférica com (a) raio r>R e (b) r<R.

A Fig.3.7 descreve o comportamento gráfico do campo em função do

raio desde r=0 até r infinito.

(e) Distribuição de Carga com Simetria Esférica

A Fig.3.8 mostra uma esfera de raio R uniformemente carregada com

densidade volumétrica de carga positiva ρ (coulombs por metros

cúbicos) ao longo de todo o seu volume esférico. Pergunta‐se pelo

campo elétrico para pontos interiores ou exteriores à esfera. Tomando‐

se uma superfície gaussiana de raio r>R (Fig.3.8a) (análogo ao caso (d)) e

usando a lei de Gauss temos,

49

Figura 3.9: Comportamento gráfico do campo elétrico da esfera uniformemente carregada da figura 3.8.

. ou (esfera de carga q, r>R).

Ou seja, a carga distribuída uniformemente por todo o volume da esfera

comporta‐se como uma carga pontual localizada no centro da esfera. No

caso da Fig.3.8b a superfície gaussiana envolve somente uma carga q’,

uma fração da carga total q. Assim, da lei de Gauss temos, ·

ou (r<R). Como a densidade de carga ρ é uniforme,

podemos escrever q’ em termos de q: , de forma que o

campo interno à esfera é

(3.11).

Graficamente o módulo do campo elétrico para pontos internos e

externos à esfera é dado na Fig.3.9

3.4 – Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico em

Condutores

Pode‐se usar a lei de Gauss para discutir as propriedades de condutores

em que circule carga elétrica. Uma das mais interessantes propriedades

é a seguinte:

• Uma carga excedente localizada em um condutor isolado

desloca‐se totalmente para a superfície externa do condutor.

Nenhuma carga excedente permanece no interior do corpo do

condutor.

50

O que acontece quando uma quantidade de carga elétrica é armazenada

em qualquer ponto no interior de um condutor isolado? Quando esta

carga elétrica (elétrons) é depositada em qualquer ponto do condutor,

esta estabelece um campo elétrico no interior do condutor que exerce

uma força elétrica entre as cargas, fazendo‐se com que as mesmas se

empurrem ao máximo e se redistribuam ao longo da superfície externa.

Este processo leva em torno de 10‐9s, levando a um campo interno nulo

e ao estabelecimento do equilíbrio eletrostático. Se houvesse algum

campo no interior do condutor isolado, haveria uma força elétrica

atuando nos elétrons de condução do metal. Um fio transportando uma

corrente elétrica não pode ser considerado um condutor isolado, porque

este está sob influência de uma ação externa (uma bateria, por

exemplo), que estabelece um campo elétrico interno. A lei de Gauss

pode ser usada para mostrar que qualquer excesso de carga em um

condutor em equilíbrio eletrostático deve estar exclusivamente na sua

superfície externa. Para mostrar isso considere a Fig.3.10, onde uma

superfície gaussiana é traçada, internamente, bem próxima à superfície

do condutor. Se o campo elétrico é nulo em todos os lugares no interior

do condutor, este será nulo em todos os pontos da superfície gaussiana,

que se encontra totalmente dentro do condutor. Assim sendo, o fluxo

total através da superfície gaussiana é nulo. Se o fluxo total é nulo, pela

lei de Gauss, conclui‐se que a carga total líquida dentro do condutor é

nula.

Deve ficar claro que o campo elétrico nulo no interior de condutor

isolado não é devido simplesmente ao fato das cargas estarem na

superfície externa, mas também devido à adequada distribuição destas

cargas na parte externa deste. Além disso, se o condutor isolado possui

uma superfície interna (um buraco, por exemplo), não deve haver carga

Figura 3.10: Condutor de forma arbitrária e o seu campo interno.

51

Figura 3.11: Campo elétrico imediatamente acima de uma superfície condutora.

na sua superfície interna. Outra característica do campo elétrico na

superfície externa de um condutor em equilíbrio eletrostático é que o

mesmo é normal a esta superfície. Se existisse uma componente

tangencial na superfície externa haveria uma corrente elétrica nesta.

Uma vez que o excesso de carga de um condutor isolado permaneça na

sua superfície externa deve‐se calcular o campo nas proximidades desta

superfície. Para determinar a amplitude do campo próximo à superfície

de um condutor usaremos a lei de Gauss aplicada à superfície gaussiana

cilíndrica desenhada na Fig. 3.11, cujas superfícies retas são paralelas à

superfície do condutor. Parte do cilindro está dentro do condutor e

parte fora. Da condição de equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é

nulo dentro do condutor e perpendicular externamente. O fluxo através

do cilindro vem somente da parte externa de sua superfície. Assim,

· ,

Resolvendo para E temos,

, (3.12)

Este campo, imediatamente acima da superfície, é normal à superfície

do condutor.

Problemas Propostos

Problema 1‐ Uma rede de caçar borboleta está numa região onde existe

um campo elétrico uniforme, como ilustra afigura 3.12. A extremidade

52

aberta é limitada por um aro de área A, perpendicular ao campo. Calcule

o fluxo de E através da rede.

Problema 2 ‐ A figura 3.13 mostra parte de dois longos e finos cilindros

concêntricos de raios a e b. Os cilindros possuem cargas iguais e opostas,

com densidade linear λ. Use a lei de Gauss para mostrar que: (a) E=0

para r<a e (b) que entre os cilindros

.

Problema 3 ‐ Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das superfícies

na Fig. 3.14? Dê sua resposta em termos de múltiplos de q/ε0.

Figura 3.13: Cilindros concêntricos com cargas iguais e opostas,

Figura 3.12: Fluxo elétrico que atravessa uma rede de borboletas.

53

Problema 4 ‐ A esfera (A) e o elipsóide (B) na Fig. 3. 14 são duas

superfícies gaussianas que envolvem a mesma quantidade de carga q.

Quatro estudantes estão discutindo a situação.

André diz que o fluxo através de A e B é o mesmo porque as

superfícies têm o mesmo raio médio. Luís concorda que os

fluxos são iguais, mas porque A e B envolvem cargas iguais.

Pedro diz que o campo elétrico não é perpendicular à superfície

de B, e por isso o fluxo através de B é menor que através de A.

Paulo acha que a lei de Gauss não é aplicável à situação de B, de

forma que não devemos comparar os fluxos através de A e B.

Você concorda com algum destes estudantes? Explique.

Problema 5 – Um dos vértices de um cubo de lado L é posicionado na

oriem de um sistema de eixos, como mostra a figura 3.16. Suponha que

o mesmo é atravessado por um campo elétrico uniforme,

, onde B, C e D são constantes positivas, (a) Encontre o fluxo

elétrico através de cada uma das seis faces do cubo, S1, S2, S3, S4, S5 e S6.

(b) Encontre o fluxo elétrico total através do cubo.

54

Problema 6 – Falso ou verdadeiro (justifique)

(a) A lei de Gauss é válida somente para uma distribuição de carga

simétrica?

(b) Podemos usar a lei de Gauss para mostrar que E=0 dentro de um

condutor?

Problema 7 – Um esfera condutora de raio R=0.1 m tem uma densidade

volumétrica de carga ρ=2.0 nC/m3. A magnitude do campo elétrico em

r=2R é E=1883 N/C. Encontre a magnitude do campo elétrico em r=0.5R.

Problema 8 – Um cilindro infinitamente longo, de raio R, contém uma

carga uniformemente distribuída, com densidade r. Mostre que a uma

distância r do eixo do cilindro (r<R),

3.6.‐Referências bibliográficas

Livro Texto






Figura 3.16

55


3.7‐Web‐bibliografia



56

UNIDADE 4 POTENCIAL ELÉTRICO

RESUMO

Nesta unidade discutiremos e apresentaremos os conceitos de energia

potencial elétrica e potencial elétrico, importantes no desenvolvimento

do formalismo escalar na solução de problemas eletrostáticos. Veremos

que a mesma pode ser armazenada no campo de forças eletrostáticas

conservativas.

57

Sumário

UNIDADE 4: Potencial Elétrico


4.1 Introdução 57

4.2 Energia Potencial e Energia Potencial Elétrica 57

4.3 Potencial Elétrico 62

4.4 Cálculo do Potencial Elétrico a Partir do Campo Elétrico 64

4.5 Potencial de um dipolo dielétrico 65

4.6 Potencial de uma linha de carga 66

4.7 Diferença de potencial elétrico entre as placas de um

capacitor

67

4.8 O cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico 68

4.9 Superfícies equipotenciais 69




58

4.1 ‐Introdução

Nas unidades anteriores abordou‐se o problema eletrostático usando‐se

o formalismo vetorial. Naquele momento o interesse básico era a

determinação do campo elétrico em um ponto devido a uma

distribuição de cargas. O campo produzido por esta distribuição de

cargas age em qualquer corpo carregado imprimindo‐lhe uma força que

modifica seu estado de movimento. A realização de trabalho da força

elétrica sobre o corpo carregado mostra que energia pode ser

transferida da distribuição de cargas para o corpo carregado e vice‐

versa.

Nesta unidade discutiremos a natureza dessa energia e veremos que a

mesma pode ser armazenada no campo de forças eletrostáticas

conservativo, levando aos conceitos de energia potencial elétrica e

potencial eletrostático associados a um conjunto de cargas.

4.2 ‐ Energia Potencial e a Energia Potencial Elétrica

Uma forma simples de entender a energia associada às forças elétricas,

é explorar as semelhanças entre a interação eletrostática entre cargas e

a gravitacional entre massas:

| || | eletrostática, (4.1)

gravitacional. (4.2)

Foi visto em cursos anteriores que o trabalho realizado pela força

gravitacional para transportar uma massa m2 na presença do campo

gravitacional da outra massa m1 depende somente das posições inicial e

final da massa m2 relativa à partícula de massa m1 e não do caminho

percorrido por esta. Por causa desta propriedade esta força foi

denominada de força conservativa. E quando uma força é conservativa

podemos associar a esta uma energia potencial, . Assim, a diferença

de energia potencial, , à medida que um corpo se move de sua

posição inicial à sua posição final é igual ao trabalho com sinal negativo

realizado pela força:

59

· , (4.3)

onde é o trabalho realizado pela força quando o objeto

move‐se de i para f. No caso da força gravitacional entre as massas

m1 e m2 usando a Eq.4.3 encontra‐se que a diferença de energia

potencial quando a massa m2 move‐se de r1 à r2 é

. (4.4)

Observe que esta diferença de energia potencial está associada

com todo o sistema composto por m1 e m2, e não com cada um

dos objetos separadamente.

Embora a força eletrostática entre cargas possa ser tanto atrativa

quanto repulsiva, a semelhança com a interação gravitacional

permite chegar‐se à mesma conclusão sobre a energia potencial

elétrica: A força eletrostática é conservativa, por isso podemos

associar uma energia potencial eletrostática à configuração de

cargas interagentes. O fato das cargas serem positivas ou

negativas pode levar somente a existência de uma energia

potencial elétrica positiva ou negativa.

Para introduzir o conceito de energia potencial

eletrostática considere inicialmente duas cargas pontuais

positivas, q1 e q2, inicialmente separadas de uma distância r1 a

partir de q1. Considerando q1 fixa, podemos usar a Eq.4.3 para

calcular a variação de sua energia potencial eletrostática devido

ao deslocamento da carga q2 para uma nova posição de distância

r2, ao longo da reta que une as cargas. Usando‐se

Figura 4.1

60

que e na Eq.4.3 temos, após integração,

14 · ,

ou

. (4.5)

A Eq.4.5determina o valor de para qualquer caminho entre um

ponto P1, que está a uma distância r1 de q1 e um ponto P2, que

está a uma distância r2 de q1. Muitas vezes é conveniente escolher

um ponto de referencia que corresponda a uma separação infinita

entre as cargas e, geralmente escolhe‐se ∞ 0. Logo,

omitindo‐se o índice 2 temos,

. (4.6)

Esta expressão fornece a energia potencial elétrica associada a um

ponto r, armazenada pelo sistema de duas cargas puntiformes, q1

e q2, separadas pela distância r.

Observações:

(a) Para q1 e q2 de mesmo sinal:

• Se r1>r2 temos 0;

• Se r1<r2 temos 0.

(b) Para q1 e q2 de sinais diferentes:

• Se r1>r2 temos 0;

• Se r1<r2 temos 0.

Vamos examinar o sistema de duas cargas isoladas à luz do

princípio da conservação da energia mecânica.

1. Se as duas cargas q1 e q2 têm o mesmo sinal e estão

inicialmente infinitamente afastadas. Um agente externo

realizará um trabalho positivo contra a força de repulsão

das cargas para posicioná‐la a uma distância r entre elas.

Então a energia potencial eletrostática do sistema será

aumentada, 0. O agente externo armazenou energia

61

no sistema. Se for permitido que as cargas fiquem soltas

para se repelirem, a energia armazenada no sistema na

forma de energia potencial elétrica terá uma variação

negativa ( 0) e a sua energia cinética terá uma

variação positiva ( 0). A Fig.4.2 mostra esta situação

para este sistema de duas cargas com mesmo sinal e

energia mecânica Em.Observe que a energia mecânica

delimita a máxima aproximação entre duas cargas de

mesmo sinal.

2. Se as duas cargas q1 e q2 têm sinais opostos estando

inicialmente infinitamente afastadas, um agente externo

realizará um trabalho negativo contra a força de atração

entre as cargas para posicioná‐la a uma distância r entre

elas. Então a energia potencial eletrostática do sistema

diminuirá, 0. O agente externo realizou um trabalho

negativo, que fez diminuir a energia do sistema. Se for

permitido que as cargas fiquem soltas para se atrair, a

energia potencial elétrica diminuirá ( 0) e a sua

62

energia cinética aumentaria indefinidamente até colidirem

( 0). A Fig.4.3 mostra o gráfico da energia potencial e

a separação máxima entre as cargas de sinais opostos para

uma determinada energia mecânica negativa (Em<0).

No caso de cargas de sinais opostos separadas inicialmente de uma

distância r, um agente externo deve realizar um trabalho positivo igual a

ΔU para separar as cargas a uma grande distância. Esta energia é

chamada de energia de ligação, ou energia de ionização.

Podemos generalizar a definição de energia potencial

eletrostática para um sistema de N cargas. Conceitualmente esta

energia deve ser interpretada como a energia necessária para reunir o

conjunto de N cargas. Toma‐se uma carga como referência, e inicia‐se o

processo de busca das outras cargas. Por exemplo, para trazer a carga q2

a uma distância r12 da primeira carga realiza‐se um trabalho dado por

. Ao acrescentar a carga q3 ao sistema (q1 + q2) realiza‐se

o seguinte trabalho: U13+U23, e a energia armazenada na configuração

(q1+q2+q3) passa a ser . Estendendo este raciocínio

para N cargas têm‐se,

∑ ,

∑ , , (4.7)

Figura 4.3

63

Onde implicitamente supõe‐se válido o princípio da superposição. Esta

expressão acima permite dizer que:

A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas em

repouso é igual ao trabalho que deve ser realizado por um agente

externo para reunir o sistema, trazendo cada carga de uma distância

infinita onde ela também está em repouso.

4.3 Potencial Elétrico

Quando tratamos do sistema massa‐mola, constatamos que a energia

potencial do sistema fica armazenada na mola através de sua

compressão ou distensão. Entretanto, quando consideramos duas

cargas positivas (por exemplo) q e q0 e perguntamos onde está

armazenada a energia potencial do sistema (que eventualmente pode

ser transformada em energia cinética das cargas) não temos nenhum

caráter local, como no sistema massa‐mola. Na Unidade 2, definindo o

campo elétrico, , conseguimos separar a carga q, fonte de campo, da

carga q0 que sofre a força devido ao campo da carga fonte, levando ao

esquema,

Ç

ÇÃ Ç

Raciocinando de forma análoga acerca da energia potencial elétrica

devido à interação entre as cargas q e q0 podemos elaborar um esquema

semelhante,

Ç

ÇÃ .

Em analogia com a definição de campo elétrico, para o conjunto de

cargas q e q0, que armazenam a energia potencial U definimos o

potencial elétrico, V, como

, (4.8)

64

onde a carga q0 é a carga de prova usada para detectar o potencial, V,

criado pela carga fonte q em um ponto P do espaço. Invertendo a eq.4.8

podemos escrever a energia potencial como

, (4.9)

mostrando que, uma vez determinado o potencial V criado pelas cargas

fontes naquele ponto, fica fácil determinar a energia potencial U do

conjunto carga fonte+ carga de prova. A Figura 4.4 mostra esta idéia

esquematicamente. A unidade de potencial é o joule (J) por Coulomb (

A unidade de potencial é o joule (J) por Coulomb (C), que chamada de

volt (V), no MKS:

1 1 1 / ,

C), em homenagem a Alessandro Volta, que inventou a bateria em 1800.

Propriedades do Potencial Elétrico V.

Embora seja uma idéia abstrata, a utilidade e praticidade do potencial

elétrico serão evidenciadas ao longo deste capítulo. Duas características

essenciais são:

• O potencial elétrico depende somente das cargas fontes e de

sua geometria. O potencial é a capacidade das cargas fontes

interagirem com uma carga q presente. Esta capacidade, ou

potencial, está presente através do espaço independentemente

da presença ou não da carga q.

Figura 4.4

65

• Se conhecermos o potencial em todo o espaço, imediatamente

conhecemos a energia potencial de qualquer carga q

naquela região do espaço com aquelas cargas fontes.

A energia de uma partícula carregada é dada por seu potencia

elétrico: . Conseqüentemente, partículas carregadas

aceleram ou desaceleram ao se moverem através de uma região

de potencial variável. Dito de outra forma, o estado de

movimento de uma partícula é alterado quando esta é

submetida a uma diferença de potencial (chamada

comumente de ddp ou voltagem), entre o ponto de partida “i” e

o ponto de chegada “f”.

4.4 Cálculo do Potencial Elétrico A Partir do campo Elétrico.

A ligação entre V e segue diretamente da definição de potencial

elétrico V=U/q0, ou diferença de potencial ΔV=ΔU/q0. Considere uma

carga de prova q0, que é deslocada de a para b em um campo elétrico ,

sob a ação da força elétrica . Usando‐se a definição de variação

de potencial elétrico e a Eq.4.3 temos

· ·,

temos,

· . (4.10)

Para ilustrar é calculada a diferença de potencial entre os pontos a

e b de uma carga fonte pontual e isolada. Como o campo de uma

carga pontual é , e considerando que os pontos a e b

estejam alinhados, por simplicidade ( ), temos,

. ,

expressão válida mesmo que os pontos A e B não estejam

alinhados. Podemos definir o potencial em um ponto se

associarmos o potencial nulo a um ponto de referência. Por

exemplo, na equação acima podemos fazer VA=0 no ponto A para

∞, e VB=V em B para rB=r:

14 0

. (4.11)

66

Figura 4.5

A expressão acima dá o potencial no ponto P, a uma distância r de

uma carga pontual q (fonte do potencial).

Podemos generalizar esta expressão para calcular o potencial no

ponto P devido a um conjunto de N cargas pontuais q1, q2, ..., qN

respectivamente distantes de P de r1, r2, ..., rN,

∑ . (4.12)

Quando temos uma distribuição contínua de carga ao longo de

uma linha, numa superfície ou em um volume, divide‐se a carga

em elementos de carga dq, e a soma acima transforma‐se em uma

integral:

, (4.13)

onde deve‐se tomar , , respectivamente para

distribuições lineares, superficiais e volumétricas de carga. O

potencial definido na Eq.4.13 é nulo para pontos infinitamente

afastados das cargas.

4.5 Potencial de um Dipolo Elétrico

Deseja‐se calcular o potencial de um dipolo em um ponto P, disposto

conforme a Fig. 4.5 abaixo. O Ponto P está localizado a uma distância r

do centro do dipolo e a um ângulo θ do eixo do dipolo (eixo z). As

67

distâncias r+ e r‐ localizam as cargas positiva e negativa em relação ao

ponto P. Da Eq. 4.12 temos,

,

que dá o exato valor do potencial no ponto. Em muitas situações

práticas tem‐se interesse na expressão do dipolo para um ponto P muito

distante do dipolo (r>>d). Nesta situação, valem as seguintes

aproximações:

cos .

Substituindo a expressão do potencial acima temos,

, (4.14)

onde usamos a definição de momento de dipolo (p=qd). Esta é a

expressão para o potencial do dipolo elétrico para qualquer ponto do

espaço a uma grande distância.

4.6 – Potencial de uma Linha de Carga

Como exemplo ilustrativo de uma distribuição contínua de cargas

considere uma barra uniformemente carregada positivamente com

densidade linear λ por unidade de comprimento e orientada ao longo do

eixo z. Deseja‐se calcular o potencial elétrico produzido por esta barra

em um ponto no eixo y, posicionado simetricamente em relação ao eixo

z, conforme mostra a Fig.4.6. Aplicando a Eq.4.13 e utilizando o

elemento de carga

Figura 4.6

68

dq=λdz, e usando‐se que , tem‐se

// . (4.15)

Usando‐se uma tabela de integrais tem‐se

ln / // /

, (4.16)

onde pode‐se verificar que no limite de L/y→0, este potencial reduz‐se

ao de uma carga pontual,

.

4.7 A Diferença de Potencial Elétrico entre as placas de um

Capacitor

Calcularemos agora a diferença de potencial entre as placas de um

capacitor de placas paralelas a partir do conhecimento do campo

elétrico no espaço entre elas. Da lei de Gauss é fácil mostrar que o

campo elétrico entre as placas de um capacitor de área A e separação s

é

, (4.17)

onde σ é o módulo da densidade superficial de carga da placa de área A

e carga q (Fig.4.7).

Figura 4.7

69

Substituindo a Eq.4.17 na Eq.4.10 e usando , temos o potencial

no ponto P

· ,

que dá

. (4.18)

Para calcular a diferença de potencial entre as placas positivas e

negativas usamos a Eq.4.18:

0 4.19

4.8 O Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial Elétrico

Já discutimos nas seções acima que podemos calcular o potencial se

conhecemos o campo elétrico em qualquer ponto P do espaço.

Nesta seção mostraremos que podemos determinar se conhecemos

. Considere V em coordenadas cartesianas, V=V(x,y,z) em qualquer

ponto do espaço. Da Eq.4.10 temos

· . (4.20)

A igualdade entre estas duas integrais leva à igualdade entre os

integrandos para os limites dados:

· . (4.21)

Escrevendo e

encontramos que

.

Suponha que o deslocamento se dá paralelamente ao eixo x

(dy=dz=0) teremos – ou / , .

Como V=V(x,y,z) devemos tratar as derivadas como derivadas

parciais.

, , , (4.22)

70

que são as componentes de em termos de . Podemos

escrever o campo elétrico como

V, (4.23)

onde dizemos que o campo elétrico é o gradiente do potencial

elétrico. O gradiente do potencial ( V) aponta na direção de maior

crescimento do potencial com a posição. Dessa maneira o sentido

de é oposta ao do gradiente.

4.9 – Superfície Equipotencial

Linha de campo ajuda‐nos na visualização dos campos elétricos.

Semelhantemente, o potencial em vários pontos de um campo elétrico

pode ser visualizado por superfícies equipotenciais. Este conceito é

análogo ao conceito de curva de nível usado em topografia. Em um

mapa topográfico, uma superfície equipotencial é uma superfície

tridimensional em que o potencial elétrico, V, tem o mesmo valor em

qualquer ponto desta. Se uma carga de prova q0 é deslocada de um

ponto para outra desta superfície equipotencial sua energia potencial

permanecerá a mesma, ou seja, a força elétrica que atua em q0 devido

ao campo (fonte do potencial) não realiza trabalho líquido na mesma

superfície equipotencial. Conclui‐se então que o campo eletrostático

é sempre perpendicular à superfície de uma equipotencial. Além

disso, duas superfícies equipotenciais não se cruzam, pois significaria

que podemos associar dois campos elétricos resultantes a este ponto de

cruzamento, situação não física. As linhas de campo são curvas,

enquanto as equipotenciais são superfícies curvadas. No caso especial

do campo elétrico uniforme as linhas de campo são linhas retas,

paralelas igualmente espaçadas, enquanto as equipotenciais são

superfícies planas perpendiculares às linhas de campo.

A Fig.4.8 mostra três arranjos de cargas elétricas. As linhas de

campo possuem setas orientadas no plano. As curvas que interceptam

as linhas de campo são as seções transversais das superfícies

equipotenciais tridimensionais. Nas regiões onde o módulo de é

relativamente intenso as superfícies equipotenciais estão mais próximas.

71

Figura 4.8 :

Esta conclusão pode ser tirada da relação entre o campo e o potencial:

V. Uma outra observação importante é a de que não

precisa ser constante para todos os pontos de uma superfície

equipotencial; o caso em que isto acontece é o do capacitor de placas

paralelas.

• Superfície Equipotencial e Condutores

Um importante teorema acerca de superfícies equipotenciais é:

No equilíbrio eletrostático a superfície de um condutor é uma

equipotencial. Como é sempre perpendicular a uma equipotencial

e nulo dentro do condutor em equilíbrio eletrostático, nós podemos

provar este teorema argumentando que quando todas as cargas estão

em repouso, o campo elétrico fora deve ser perpendicular em cada

ponto da superfície do condutor pois do contrário existiriam cargas se

movendo sobre sua superfície, o que violaria a condição de equilíbrio.

Outro teorema acerca de condutores, que pode ser provado com o uso

da lei de Gauss é: No equilíbrio eletrostático, se um condutor possui

uma cavidade interna e se nenhuma carga está presente dentro do

condutor, então não pode existir carga em nenhum ponto dessa

superfície interna desta cavidade.

72


Problema 1‐ No movimento de A para B (figura 4.4) ao longo de uma

linha de campo elétrico, o campo realiza 3,94 x 10‐19 J de trabalho sobre

um elétron. Quais são as diferenças de potencial elétrico: (a) VB ‐ VA; (b)

VC –VA; (c) VC – VB?

R.: 2,46 Volts; 2,46 Volts; zero

Problema 2 ‐A densidade de carga de um plano infinito é σ=0,10

mC/m2. Qual é a distância entre as superfícies eqüipotenciais cuja

diferença de potencial é de 50 V?

R.: 8,85 mm

Problema 3‐ Duas grandes placas condutoras, paralelas entre si e

afastadas por uma distância de 12 cm, têm cargas iguais e sinais opostos

nos faces que se confrontam. Um elétron colocado no meio da distância

entre as duas placas experimenta uma força de 3,9 x 10‐15 N. (a)

Determine o campo elétrico na posição do elétron; (b) qual é a diferença

de potencial entre as placas?

R.: 2,44 x 104 N/C; 2928 Volts

Figura 4.9

73

Problema 4 ‐ Um anel de raio R, carregado positiva e uniformemente, é

colocado no plano yz, com seu centro na origem do sistema de

coordenadas. (a) Construa um gráfico do potencial V em pontos do eixo

x, em função de x. (b) Construa, no mesmo diagrama, um gráfico da

intensidade do campo elétrico E.

Problema 5 ‐ Uma esfera metálica de raio Ra apóia‐se sobre um

pedestal isolante, no centro de uma esfera metálica oca de raio interno

Rb. Existe uma carga +q sobre a esfera interna e uma carga –q sobre a

externa. (a) Mostre que a ddp entre as esferas é

41 1

(c) Mostre que a intensidade do campo elétrico em qualquer ponto

entre as esferas é

1 11

Problema 6 ‐ (a) Mostre que 1 N/C = 1 V/m. (b) Estabelece‐se uma

diferença de potencial de 2000 V entre duas placas paralelas no ar.

Supondo que o ar se torna eletricamente condutor quando a

intensidade do campo elétrico ultrapassa 3 x 106 N/C, qual a menor

separação possível entre as placas?

Problema 7 – Um campo elétrico uniforme aponta na direção positiva do

eixo y. Considere dois pontos no eixo y, A e B, nas posições y=2 m e y=6

m, respectivamente. (a) A diferença de potencial Vb‐Va é positiva ou

negativa? (b) Se Vb‐Va=2x104V qual é a intensidade do campo elétrico?


Livro Texto


74









75

UNIDADE 5

CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

RESUMO

Nesta unidade apresentaremos o conceito de capacitância e a

importância dos capacitores como dispositivos de armazenamento de

energia. Discutiremos o processo de carga e suas associações.

76

Sumário

5 Capacitância e Capacitores









77

Figura 5.1: Conjunto de duas placas condutoras formando um capacitor.

5.1‐ Definindo Capacitor

Um capacitor em sua forma mais simples é compreendido de dois

condutores, normalmente chamados de “placas”; quando o capacitor

está carregado, as placas têm carga de mesmo módulo, mas de sinais

opostos como mostrado na Fig. 5.1(a). Esta configuração é facilmente

produzida aterrando uma das placas (potencial zero) e carregando a

outra; isto tem o efeito de induzir uma carga de sinal oposto na placa

aterrada (ver Fig. 5.1(b)). O processo de carregamento também pode ser

realizado ligando cada uma das placas aos terminais de uma bateria e

depois de carregada desconectando‐as, as placas ficarão carregadas com

cargas de sinais opostos, mas de mesmo módulo. Em diagramas de

circuitos representaremos um capacitor pelo símbolo .

Por causa da interação mútua entre as cargas de sinais opostos das

placas, as cargas se distribuem nas superfícies dos condutores de tal

forma que elas ficam confinadas àquelas regiões dos condutores mais

próximas entre si. Dessa forma o fluxo elétrico da placa positiva para a

placa negativa fica confinado principalmente ao espaço entre as placas.

O campo elétrico entre as placas deve ser tal que cada uma é uma

superfície equipotencial e, portanto, as linhas de campo próximas às

superfícies do condutor são perpendiculares à superfície.

Suponha que as cargas nas placas do capacitor sejam +Q e –Q e que a

correspondente diferença de potencial entre as placas seja V. Suponha

que a magnitude das cargas nas placas está aumentando por um fator k,

78

Figura 5.2: Processo de carga de um capacitor por uma bateria

Istoé +kQ e –kQ, e que portanto cada elemento de superfície do

condutor tem sua carga aumentada de δq para k(δq). Como o potencial

elétrico em qualquer ponto devido a um elemento de carga é

diretamente proporcional a δq, o potencial elétrico em qualquer ponto

deve aumentar por um fator k também. Isto mostra que a diferença de

potencial entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional á

quantidade de carga em cada placa do capacitor, isto é,

ou

A constante de proporcionalidade, que é uma propriedade do capacitor

particular envolvido, é chamada de capacitância do capacitor e é

definida como

. (5.1)

A unidade de capacitância no Sistema Internacional é o coulomb por volt

: 1C/V é chamado de 1 farad=1F.

Vamos agora olhar com mais detalhe o processo de carregamento

do capacitor. A Fig.5.2 mostra as duas placas de um capacitor

conectadas por meio de um fio condutor aos terminais de uma bateria.

Como acontece o processo de carregamento? E como estão

relacionadas a diferença de potencial da bateria, ΔVbat, com a diferença

de potencial, ΔV, entre as placas do condutor? A Fig.5.2(a) mostra o

79

capacitor pouco depois que este é ligado à bateria e antes que o mesmo

esteja totalmente carregado.

A “escada rolante de cargas” da bateria está movendo cargas de

uma placa para outra, e é este trabalho feito pela bateria que carrega o

capacitor. A diferença de potencial entre as placas do capacitor, ΔV, está

constantemente crescendo à medida que ocorre a separação contínua

de cargas.

Mas este processo não pode continuar para sempre. O

crescimento de cargas positivas na placa superior exerce força repulsiva

nas novas cargas positivas que estão chegando pela escada rolante de

cargas e a carga na placa superior atinge um limite e nenhuma carga

será mais aceita na placa. Neste instante a diferença de potencial na

bateria se iguala a diferença de potencial entre as placas do capacitor,

ΔVbat= ΔV (ver Fig5.2b).

5.2 ‐ Energia Armazenada em um Capacitor

Se as placas de um capacitor são ligadas por um fio de

determinada resistência, uma corrente é estabelecida e o capacitor é

descarregado. Obviamente, a energia está armazenada no capacitor

carregado – a energia armazenada é liberada e aparece na forma de

calor no fio à medida que o capacitor vai sendo descarregado. A energia

armazenada é igual ao trabalho realizado para carregá‐lo.

Seja o trabalho para mudar a carga do capacitor de q para

(q+dq), isto é, a energia no capacitor aumentará de , onde V é

a diferença de potencial entre as placas do capacitor quando as placas

têm carga q. Assim a energia armazenada no capacitor, isto é, o trabalho

feito para carregar o capacitor de zero a uma carga Q, é dada por

, (5.2)

ou, em termos da diferença de potencial entre as placas, ,

. (5.3)

80

Figura 5.3: Capacitor de placas paralelas de área A e separação d entre as placas.

O valor de C para um capacitor particular depende da forma geométrica

e da disposição das placas, bem como das propriedades elétricas do

meio isolante em que as placas estão imersas. Quando a geometria das

placas exibe um grau suficiente de simetria é relativamente simples

obter uma expressão para a capacitância do sistema. Vejamos alguns

exemplos.

( a) Capacitor de Placas Paralelas

Os condutores de um capacitor de placas paralelas são placas

planas uniformemente separadas como indicado na Figura 5.3. Seja A a

área de cada placa e d a separação entre elas. Se a área das placas é

suficientemente grande (dimensões da placa >>d), a carga Q será

uniformemente distribuída sobre as superfícies das placas e, portanto, o

campo elétrico entre as mesmas será uniforme (efeitos de bordas

desprezíveis). Se o campo elétrico (constante) entre as placas do

capacitor é E, o módulo da diferença de potencial entre as placas é dado

por

e portanto

5.4

Mas o campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas

paralelas é . Substituindo este valor do campo elétrico na

Eq.(5.4) temos,

5.5

81

O capacitor de placas é importante porque a sua análise é direta e

porque este produz um campo elétrico uniforme. Entretanto capacitores

e capacitâncias não estão restritos a condutores planos e paralelos.

Quaisquer dois eletrodos, independente da sua forma, podem formar

um capacitor.

(a) Capacitor Cilíndrico

Capacitores são usados em qualquer circuito eletrônico e a forma

mais comum é a cilíndrica. A Figura 5.4 mostra um capacitor cilíndrico

que consiste de dois cilindros coaxiais, de raios a e b e comprimento L.

Considere que o espaço entre os cilindros é vazio (ε0) e que os cilindros

sejam suficientemente longos de forma que o campo elétrico entre os

mesmos é radial. Suponha que o cilindro interno tem uma carga +Q e o

externo uma carga –Q. Do capítulo anterior temos que o campo elétrico

entre as placas de um capacitor cilíndrico é . A diferença

de potencial entre os cilindros é dada por

· ln .

Portanto a capacitância é dada por

. (5.6).

(b) Capacitor Esférico

Figura 5.4: Capacitor cilíndrico.

82

Uma esfera metálica de raio R1 que está dentro de uma esfera

metálica oca de raio R2 e concêntrica a esta, constitui um

capacitor. Para calcular a capacitância necessitamos da

diferença de potencial entre as esferas, que pode ser obtida

conhecendo‐se o campo elétrico entre as esferas,

e substituindo na expressão:

·

(5.7)

A capacitância é então dada por

4 , (5.8)

mostrando mais uma vez que a capacitância independe da carga

armazenada no capacitor.

5.3–Associação de Capacitores

Em muitas aplicações práticas em virtude da não disponibilidade, dois

ou mais capacitores precisam ser associados (combinados) para produzir

uma determinada capacitância com o fim de atender a uma

determinada especificação ou necessidade. Muitas combinações são

possíveis, mas as combinações mais básicas são a associação em série e

a associação em paralelo, que descreveremos abaixo. Antes disso é

Figura 5.5: Capacitor esférico

83

importante não confundir os termos distintos “capacitores paralelos” e

“capacitor de placas paralelas”. O primeiro se refere a como dois ou

mais capacitores podem se conectar, enquanto o último se refere a

como um capacito é construído.

(a) Associação em Paralelo

Na Figura 5.6 mostramos um arranjo de dois capacitores em paralelo ( as

duas placas positivas estão conectadas entre si formando uma

equipotencial e as placas negativas formando outra equipotencial).

Dessa forma observa‐se que todos capacitores (ou elementos de um

circuito) estão submetidos a uma mesma diferença de potencial, V,

estes estão associados em paralelo. As cargas Q1 e Q2 nas placas não

precisam ter o mesmo valor e devem seguir para os respectivos

capacitores independentemente umas das outras “bombeadas” por uma

bateria, cujos valores são: . A carga total da

combinação ou a carga equivalente do capacitor é dada por

.

Daí extrai‐se a capacitância equivalente, C, da associação de dois

capacitores em paralelo

. 5.9

Estendendo este raciocínio para uma associação de N capacitores em

paralelo têm‐se

Figura 5.6: Associação de capacitores paralelos

84

. 5.10

(b) Associação em Série

A Figura 5.7 mostra dois capacitores combinados em série (um após o

outro).Se os capacitores estão inicialmente descarregados, observa‐se

que após a aplicação de uma diferença de potencial entre as

extremidades da associação as placas dos mesmos adquirem a carga de

mesmo módulo(ver Fig.5.7). Resumindo: “Capacitores associados em

série têm suas placas carregadas com cargas de mesmo módulo”. Assim

ao atravessar cada par de placas identifica‐se as seguintes diferenças de

potencial: . A diferença de potencial total, na

travessia dos dois capacitores é . Substituindo as

expressões de V1 e V2 tem‐se

1 1.

Como / , onde C é a capacitância equivalente temos

1 1 1. 5.11

Estendendo esta relação para um número N qualquer de capacitores em

série temos,

1 1. 5.12

Foi visto então que para uma associação de capacitores em série todas

as placas dos capacitores da associação têm o mesmo módulo de carga,

Figura 5.7: Associação de capacitores em série

85

porém, a diferença de potencial em cada unidade capacitiva é diferente.

A soma das diferenças de potencial em cada capacitor equivale a

diferença de potencial total, V.

Exemplo:

5.4 – Capacitores com Dielétricos

Materiais não condutores como o ar, vidro, papel ou a madeira, são

chamados de dielétricos ou isolantes. Se o espaço entre as placas de

capacitor é preenchido por um dielétrico, a capacitância do capacitor

aumenta por um fator k, conforme observação de Michael Faraday em

1837. A justificativa para este fenômeno é que o campo elétrico entre as

placas do capacitor é enfraquecido pelo dielétrico, bem como sua

voltagem. Como conseqüência, a capacitância do capacitor, Q/V, é

aumentada pelo fator k. O fator adimensional k é característico do

material dielétrico e é denominada constante dielétrica

A energia armazenada em um capacitor de placas paralelas preenchido

com dielétrico é

. (5.12)

Podemos expressar a capacitância C em termos da área e separação das

placas, e a diferença de potencial V em termos do campo elétrico e

separação entre as placas, para obter

.

A quantidade Ad é o volume entre as placas do capacitor que contém o

campo elétrico. Assim, a energia por unidade de volume entre as placas

do capacitor é

. (5.13)

Exemplo: Dois capacitores de placas paralelas, cada um tendo uma

capacitância C1=C2=2 μF, estão conectados a uma bateria de 12 v.

Encontre (a) a cada em cada capacitor e (b) a energia armazenada em

cada capacitor.

Os dois capacitores são então desconectados da bateria e um

dielétrico de constante κ=2.5 é introduzido entre as placas do capacitor

C2. Nesta nova situação, encontre (c) a diferença de potencial entre as

placas do capacitor, e a energia total entre as placas do capacitor.

86

A carga Q e a energia U podem ser encontradas da capacitância de cada

capacitor C e da voltagem V. Depois que os capacitores são removidos

da bateria, a carga total deve permanecer a mesma. Quando o dielétrico

é introduzido entre as placas sua capacitância deve mudar. O potencial

da combinação deve ser encontrado da carga total e da capacitância

equivalente.

(a) A carga em cada capacitor é encontrada de sua capacitância e

de sua voltagem: Q=CV=(2μF)(12V)=24 μC.

(b) Energia armazenada em cada capacitor: U= CV2=144 μJ. Nos

dois capacitores é 288 μJ.

(c) O potencial da combinação é : V= . A capacitância equivalente

a pós a introdução do dielétrico é Ceq=C1+κC2=7μF. Dessa a

voltagem total é V= =µµ

6.86 V.

(d) A carga em cada capacitor é Q1=C1V=13.7 μC e Q2=C2V=34.3 μC.

A energia armazenada em cada capacitor é

U1= C V 47.1µJ e C V 118µJ. A soma das

energia é U=U1+U2=165μJ.


Problema 5.1 – Uma esfera condutora de raio r=10 cm é carregada a 2

kV. (a) Qual é a quantidade de carga que tem o condutor? (b) Qual é a

capacitância da esfera? (c) Como a capacitância muda se a esfera é

carregada a 6 kV?

Problema 5.2 –Um capacitor tem uma carga de 30μC. A diferença de

potencial entre os condutores é de 400 V. Qual é a capacitância

equivalente?

Problema 5.3 – (a) Se a separação entre as placas de um capacitor de

placas paralelas é d=0.15 mm, qual deve ser a área das placas de forma a

ter uma capacitância de 1F? (b) Se as placas são quadradas qual é o

comprimento do lado?

Problema 5.4 – Metade da carga de um capacitor é removida sem

mudar sua capacitância. Que fração da energia armazenada também é

removida junto com a carga?

87

Figura 5.8

Figura 5.9

Problema 5.5 – Três capacitores são conectados numa rede triangular

como mostrado na figura 5.8 abaixo. Encontre a capacitância

equivalente entre os pontos a e c.

Problema 5.6 – Um capacitor a ar,

consistindo de duas placas paralelas

bastante próximas, tem uma capacitância de

1000 pF. A carga em cada placa é de 1 mC.

(a) Qual é a ddp entre as placas? (b) Se a

carga for mantida constante, qual é a ddp

entre as placas se a separação for

duplicada?

Problema 5.7 – Um capacitor de 1 mF e

outro de 2 mF são ligados em série a uma fonte de tensão de 1200 V. (a)

Determine a carga de cada um deles e a diferença de potencial através

de cada um. (b) Os capacitores carregados são desligados da fonte e um

do outro e religados com os terminais de mesmo sinal juntos. Determine

a carga final em cada capacitor e a diferença de potencial através de

cada um.

Problema 5.8 – Um capacitor esférico consiste de uma esfera metálica

interna, de raio Ra, apoiada num pedestal isolante situado no centro de

uma esfera metálica oca de raio interno Rb. Há uma carga +Q na esfera

interna e outra –Q na externa. (a) Qual é a ddp Vab entre as esferas? (b)

Prove que a capacitância é

4 .

Problema 5.9 – Na Figura 5.9 C1=2 μF, C2= 6 μF e C3=3.5 μF. (a) Encontre

a capacitância equivalente desta combinação. (b) se as voltagens em

cada capacitores são respectivamente

Vq=100 V, V2=50 V e V2=400 V, qual é a

máxima voltagem entre os pontos a e b.

Problema 5.10 ‐ Um cabo coaxial consiste

de um cilindro condutor, sólido, interno, de

raio Ra, suportado por discos isolantes, ao

longo do eixo de um tubo condutor de raio

interno Rb. Os dois cilindros são carregados

com cargas opostas, com densidade linear l. (a) Qual é a ddp entre os

88

dois cilindros? (b) Prove que a capacitância de um comprimento L do

cabo é

.


Livro Texto










89

CAPÍTULO 6: CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

RESUMO

Nesta unidade apresentaremos conceitos e princípios que

permitem o cálculo e entendimento de correntes elétricas e resistências

elétricas. A visão microscópica dos condutores permite interpretar a

mudança de comportamento do regime de condução com a mudança de

materiais e de temperatura. Regras práticas como a lei de Ohm, que

permitem cálculos fáceis da resistência de um material, são

apresentadas.

90

6 CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

6.1 A corrente elétrica 90

6.2 Corrente e velocidade de deriva 92

6.3 Densidade de corrente, lei de Ohm, condutividade,

resistência e resistividade

96

6.4 Resistência e temperatura 102

6.5 Avanços na área: supercondutividade 104

6.6 Potencia elétrica 105

Questões 109

Problemas 110

Bibliografia 111

91

Figura 6.1 Movimento de cargas através da área A. A taxa temporal de fluxo de carga através da área é definida como a corrente I. A direção da corrente é a direção do fluxo de cargas positivas

Nos capítulos anteriores foram estudadas situações em que as

cargas elétricas estavam em repouso. Neste capítulo estudaremos

situações em que as cargas estão em movimento. Por exemplo, quando

ligamos o interruptor de uma lâmpada, conectamos o filamento da

lâmpada a uma diferença de potencial que leva a um fluxo de cargas

através do mesmo. Esta situação é semelhante ao que se observa em

uma mangueira de jardim: a diferença de pressão entre as extremidades

da mesma faz a água fluir través da mangueira. O fluxo de carga elétrica

constitui uma corrente elétrica.

6.1 A corrente elétrica

Na Figura 6.1 observa‐se o movimento de cargas em uma direção

perpendicular à superfície , que poderia ser a área seccional reta

transversal de um fio. A corrente é a taxa com que as cargas fluem

através desta superfície. Suponha que ∆ é a quantidade de carga que

flui através da área de seção reta no tempo ∆ e que a direção de

fluxo é perpendicular à área. Então a corrente média é definida como

∆∆ 6.1

a quantidade de carga dividido pelo intervalo de tempo.

Se a taxa com que a carga flui varia no tempo, a corrente varia no

tempo. Definimos, então, a corrente instantânea como o limite

diferencial da corrente média

92

EXEMPLO RESOLVIDO 6.1

6.2

A unidade de corrente no Sistema Internacional de Unidades é o

ampere (A)

1 1 ⁄

Está convencionado que a direção da corrente é a direção do fluxo

de cargas positivas. Experimentalmente, desde o início do século

passado, que está comprovado que os elétrons é que são responsáveis

pelas propriedades de condução de eletricidade e energia térmica nos

metais1. Assim, os elétrons movem‐se na direção oposta à direção da

corrente.

Em eletrostática, onde as cargas são estacionárias, o potencial

elétrico é o mesmo em toda parte, em um condutor. Isto não é mais

verdade para condutores portando corrente: quando as cargas movem‐

se ao longo de um fio, o potencial elétrico está continuamente

decrescendo.

A quantidade de carga que passa através do filamento de uma

lâmpada em 2,00 s é 1,67 C. Determine (a) a corrente no filamento da

lâmpada e (b) o número de elétrons que passam através do filamento

em 5,00 s.

SOLUÇÃO

(a) Para calcular a corrente através do filamento da lâmpada

substituímos o valor da carga que passa no intervalo de tempo, de

acordo com a Eq. (6.1). Assim, teremos

∆∆

1,67 2,00

0,835

(b) Para determinar o número de elétrons que passa através do

filamento no intervalo de 5,00 s tomamos o número de elétrons

1 Para mais detalhes consulte referencias sobre física do estado solido, como por exemplo, C Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8ª edition, Wiley, 2004.

93

Figura 6.2 Exercício 6.2

multiplicado pela carga eletrônica elementar, que é a carga total, e

igualamos a corrente vezes o tempo, de acordo com a Eq. 6.1, isto é,

∆ ∆ 0,835 5,00

Resolvendo para obtemos

0,835 / 5,00 1,60 10

2,61 10 é

Observe que o número de elétrons, passando através de um ponto de

um circuito típico, é muito grande

Exercício 6.1 Suponha que 6,40 10 elétrons passam através de um

fio em 2,00 min. Determine a corrente.

Exercício 6.2 Considere cargas positivas e negativas movendo‐se

horizontalmente através de quatro regiões, como mostrado na Figura

6.2. Ordene os módulos das correntes nestas quatro regiões da mais

baixa para a mais alta. ( é a corrente na Figura 6.2a, é a corrente na

Figura 6.2b, etc.).

6.2 Corrente e velocidade de deriva

Em um fio condutor, o movimento de elétrons livres

negativamente carregados é muito complexo. Quando não existe campo

elétrico no fio, os elétrons livres movem‐se em direções aleatórias com

velocidades, relativamente grandes, da ordem de 10 / . Dada a

orientação aleatória dos vetores velocidade, a velocidade média é nula.

Quando um campo elétrico é aplicado, um elétron livre experimenta

uma aceleração devido à força , e adquire uma velocidade adicional

na direção oposta ao campo. Contudo a energia cinética adquirida é

94

Figura 6.3 Uma seção de um condutor uniforme de área seccional reta A. Os portadores de carga movem‐se com uma velocidade e a distância que eles percorrem no tempo ∆ é dado por ∆ ∆ . O número de portadores de carga móveis na secção de comprimento ∆ é dado por

∆ , onde é o número de portadores móveis por unidade de volume

rapidamente dissipada pelas colisões com os íons da rede do fio. O

elétron é então acelerado novamente pelo campo. O resultado final

destas repetidas acelerações e dissipação de energia é que o elétron

adquire uma velocidade média pequena chamada de velocidade de

deriva oposta ao campo elétrico.

O movimento dos elétrons livres em um metal é semelhante

aquele das moléculas de um gás, tal como o ar. Também no ar, as

moléculas de ar movem com velocidades instantâneas grandes (devido a

sua energia térmica) entre colisões, mas a velocidade média é zero.

Quando se estabelece uma brisa, as moléculas do ar apresentam uma

velocidade de deriva na direção da brisa superposta às velocidades

instantâneas muito maiores. De forma semelhante, quando não existe

campo elétrico aplicado, o “gás de elétrons” em um metal tem

velocidade média nula, mas quando existe um campo aplicado, o gás de

elétrons adquire uma pequena velocidade de deriva.

Considere partículas identicamente carregadas movendo‐se

através de um condutor de seção reta A, veja figura 6.3. O volume de

um elemento de comprimento ∆ do condutor é ∆ . Se representa o

número de cargas móveis por unidade de volume, então o número

médio de portadores no elemento de volume é ∆ . A carga móvel

∆ neste elemento é portanto

95

Figura 6.4 Uma representação esquemática do movimento em ziguezague de um portador de carga dentro de um condutor. As mudanças abruptas de direção se devem as colisões com os átomos do condutor. Observe que a direção de movimento é contrária ao campo elétrico.

∆ ú

∆ 6.3

onde é a carga em cada portador. Se os portadores movem‐se com

velocidade média constante, chamada velocidade de deriva, , a

distância que eles se movem no intervalo de tempo ∆ é ∆ ∆ .

Podemos portanto escrever

∆ ∆ 6.4

Se dividirmos ambos os lados desta equação por ∆ , veremos que a

corrente média no condutor é

∆∆

. 6.5

Para entender o significado da velocidade de deriva, considere um

condutor no qual os portadores de carga são elétrons livres. Se o

condutor está isolado, estes elétrons sofrem movimento aleatório

semelhantes ao movimento de moléculas em um gás. A velocidade de

deriva é normalmente muito menor que a velocidade média dos

elétrons livres entre as colisões com os átomos fixos do condutor.

Quando uma diferença de potencial é aplicada entre as extremidades do

condutor (diagmos, com uma bateria), um campoo elétrico é criado no

condutor, criando uma força elétrica sobre os elétrons e daí uma

corrente. Na verdade, os elétrons não se movem simplesmente em linha

reta ao longo do condutor. Em vez disso, eles sofrem repetidas colisões

com os átomos do metal, e o resultado é um movimento de ziguezague

96

Exemplo Resolvido 6.2

complicado com apenas uma velocidade média de deriva muito pequena

ao longo do fio, conforme ilustrado na Figura 6.4. A energia transferida

dos elétrons para os átomos do metal durante uma colisão aumenta a

energia vibracional dos átomos e provoca um correspondente aumento

na temperatura do condutor. A despeito das colisões, contudo, os

elétrons se movem lentamente ao longo do condutor em uma direção

oposta a com uma velocidade de deriva v .

Um fio de cobre de calibre 12, usado em construções residenciais típicas,

possui uma seção reta de área com 3,31 10 . Ele transporta uma

corrente de 10,0 . Qual é a velocidade de deriva dos elétrons no fio?

Suponha que cada átomo de cobre contribua com um elétron livre para

a corrente. A densidade do cobre é de 8,92 / .

Solução

Como a corrente é constante, a corrente média durante qualquer

intervalo de tempo é a mesma que a corrente constante: .

Da tabela periódica dos elementos sabemos que a massa molar do

cobre é 63,5 / . Assim um mol de átomos de cobre (1 mol de

qualquer substância contém 6,02 10 átomos). Assim o volume

ocupado por 1 mol de átomos de cobre é

63,5 8,92 /

7,12

Da suposição que cada átomo de cobre contribui com um elétron livre

para a corrente, determinamos a densidade eletrônica no cobre:

6,02 10 é7,12

1,00 10 1

8,46 10 /

Da equação (6.4) determinamos que a velocidade de deriva é

97

Usando os valores numéricos dados no problema teremos

10,0 8,46 10 1,60 10 3,31 10

2,23 10 /

Este resultado mostra que velocidade de deriva típicas são muito

pequenas. Por exemplo, eletrons se deslocando com uma velocidade de

2,23 10 ⁄ tomaria aproximadamente 75 min para percorrer um

metro! Pode causar surpresa o fato de ligarmos o interruptor e quase

imediamente a luz acende. Em um condutor, mudanças no campo

elétrico que direcionam os elétrons livres, percorrem o condutor com

velocidade próxima à da luz. Assim, quando ligamos o interruptor de

uma lâmpada, os elétrons que já estão no filamento da mesma

experimentam forças elétricas e começam a se movimentar após um

intervalo de tempo da ordem de nanosegundos.

6.3 Densidade de corrente, lei de Ohm, condutividade, resistência e

resistividade

Em um condutor em equilíbrio estático o campo elétrico no

interior do mesmo é zero. Quando o condutor não está em equilíbrio

passa a existir um campo elétrico não nulo no inteior do condutor.

Considere, novamente, o condutor da Figura 6.1, com área de

seção reta e transportando uma corrente . A densidade de corrente

no condutor é definida como a corrente por unidade de área. Como a

corrente , Eq. (6.5), a densidade de corrente é

6.6

onde é expresso em unidades SI de amperes por metro quadrado. A

expressão (6.6) é válida apenas se a densidade de corrente é uniforme e

apenas se a superfície com área de secção reta A é perpendicular à

direção da corrente.

98

Figura 6.5 Um condutor com secção reta uniforme. A densidade de corrente é uniforme através de qualquer seção reta, e o campo elétrico é constante ao longo do comprimento.

A densidade de corrente e um campo elétrico são estabelecidos

em um condutor se uma diferença de potencial é mantida através do

condutor. Em alguns materiais, a densidade de corrente é proporcional

ao campo elétrico

6.7

A constante de proporcionalidade é chamada a condutividade do

condutor. Materiais que obedecem a Eq. (6.7) são ditos obedecer a lei

de Ohm:

Para muitos materiais (incluindo a maioria dos metais), a razão

da densidade de corrente para o campo elétrico é uma constante

que é independente do campo elétrico que produz a corrente.

Materiais que obedecem a lei de Ohm e, portanto, apresentam

esta relação simples entre E e J são ditos ôhmicos. Experimentalmente,

contudo, determina‐se que nem todos materiais possuem esta

propriedade. Materiais e dispositivos que não obedecem a lei de Ohm

são ditos não‐ôhmicos. A lei de Ohm é uma relação empírica, válida

apenas para certos materiais.

É interessante determinarmos uma equação que seja útil em

aplicações práticas da lei de Ohm. Considere um segmento de fio reto de

área seccional reta A e comprimento como mostrado na figura 6.5.

Uma diferença de potencial é mantida através do fio,

99


criando no mesmo campo elétrico e corrente. Se o campo é suposto

uniforme, a diferença de potencial está relacionada ao campo através da

equação

∆ 6.8

Portanto, podemos expressar a densidade de corrente no fio como

∆ 6.9

Como ⁄ , a diferença de potencial através do fio é

∆ 6.10

A quantidade ⁄ é chamada a resistência do condutor. Podemos

definir a resistência como a razão da diferença de potencial, através de

um condutor, e a corrente no condutor:

∆ 6.11

A unidade no sistema internacional SI para resistência é volt por

ampere. Um volt por ampere é definido como um ohm

1Ω1 1

O inverso da condutividade é a resistividade :

1 6.12

onde é expresso nas unidade ohm‐metro (Ω · ). Como ⁄ ,

podemos expressar a resistência de um bloco de material uniforme ao

longo do comprimento como

6.13

Calcule a resistência de um cilindro de alumínio que tem comprimento

de 10,0 cm e área seccional reta de 2,00 10 . Repita o cálculo

para um cilindro com as mesmas dimensões e feita de vidro tendo

resistividade de 3,0 10 Ω · .

100

Solução

Fazendo uso da Equação (6.12) e da tabela 6.1, podemos calcular a

resistência do cilindro de alumínio da seguinte forma:

2,82 10 Ω ·0,100

2,00 101,41 10 Ω

De forma análoga para o vidro determinamos que

3,0 10 Ω ·0,100

2,00 101,5 10 Ω

Como podemos observar a grande diferença entre estes cálculos se deve

a resistividade. As resistências de cilindros identicamente definidos de

alumínio e vidro diferem muito: a resistência do cilindro vítreo é 18

ordens de grandeza maior em magnitude que aquela do cilindro de

alumínio.

Tabela 6.1 resistividade de alguns materiais

Resistividades e coeficientes de temperatura da resistividade para vários materiais Material Resistividade(a)

( · Coeficiente de resistividade(b)

com a temperatura

Prata 1,59 10 3,8 10Cobre 1,7 10 3,9 10Ouro 2,44 10 3,4 10Alumínio 2,82 10 3,9 10Tungstênio 5,6 10 4,5 10Ferro 10 10 5,0 10Platina 11 10 3,92 10chumbo 22 10 3,9 10Níquel‐cromo 1,50 10 0,4 10Carbono 3,5 10 0,5 10Germânio 0,46 48 10Silicio 640 75 10Vidro 1,59 10 Ebonite 1,59 10 Enxofre 1,59 10 Quartzo (fundido) 1,59 10 a Todos os valores a 200C b Veja seção 6.4 c Liga de níquel‐cromo, comumente usada em dispositivos de aquecimento

101


(a) Calcule a resistência por unidade de comprimento de um fio de

níquel‐cromo de calibre 22, que possui um raio de 0,321 .

(b) Se uma diferença de potencial de 10 é mantida através do

comprimento de 1,0 do fio de níquel‐cromo, qual é a corrente no fio?

Solução

A área seccional reta deste fio é

0,321 10 3,24 10

A resistividade do níquel‐cromo (veja tabela 6.1) é de 1,5 10 Ω · m.

Assim, podemos usar a Equação (6.13) para determinar a resistência por

unidade de comprimento

1,5 10 Ω · m3,24 10

4,6 Ω m⁄

Como o comprimento de 1,0 m deste fio possui uma resistência

de 4,6 Ω, a Equação (6.11) resulta em

∆ 10 4,6 Ω

2,2

Observe da tabela 6.1 que a resistividade do fio de níquel‐cromo é

aproximadamente 100 vezes aquela do cobre. Um fio de cobre com o

mesmo raio teria uma resistência por unidade de comprimento de

apenas 0,052 Ω m⁄ .

Devido a sua alta resistividade e sua resistência à oxidação, a liga

níquel‐cromo é freqüentemente usada como dispositivo de

aquecimento em torradeira, ferro de engomar e aquecedores elétricos.

Cabos coaxiais são usados extensivamente para televisão a cabo e

outras aplicações eletrônicas. Um cabo coaxial consiste de dois

condutores cilíndricos concêntricos. A região entre os condutores é

completamente preenchida com silício, como mostrado na Figura 6.6, e


102

Figura 6.6 Cabo coaxial (a) Com o espaço entre os dois condutores preenchido com silício (b) Visão das extremidades, mostrando o vazamento de corrente.

o vazamento de corrente através do silício, na direção radial, é algo

indesejado. (O cabo é projetado para conduzir corrente ao longo do seu

comprimento – esta não é a corrente que estamos considerando aqui.)

O raio interno do condutor é 0,500 , o raio externo é

1,75 e o comprimento é 15,0 . Calcule a resistência do silício

entre os dois condutores.

Solução

Neste tipo de problema devemos dividir o objeto, cuja

resistência está sendo calculada, em elementos concêntricos de

espessura infinitesimal , veja Figura 6.6 (b). Iniciamos usando a forma

diferencial da Equação (6.13), trocando o comprimento por como a

distância variável: ⁄ , onde é a resistência de um

elemento de silício de espessura e área superficial . Neste exemplo,

consideraremos como nosso elemento concêntrico representativo um

cilindro oco de silício de raio , espessura , e comprimento , como

mostrado na Figura 6.6. Qualquer corrente que passe do condutor

interno para o externo deve passar radialmente através deste elemento

concêntrico, e a área através do qual esta corrente passa é 2 .

(Esta é área superficial curvada – circunferência multiplicada pelo

comprimento – do nosso cilindro oco de silício de espessura .) Daí,

podemos escrever a resistência do cilindro oco de silício como

103

2

Como desejamos saber a resistência total através da espessura inteira

do silício, devemos integrar esta expressão de a :

2 2ln

ba

Substituindo nos valores dados, e usando 640 Ω · m para o silício,

obtemos

640 Ω · m2 0,150

ln1,75 cm0,500 cm

851 Ω

Exercício 6.3 Se a diferença de potencial de 12,0 V é aplicada entre os

condutores internos e externos, qual é o valor da corrente total que

passa entre eles?

Resposta 14,1 mA

6.4 Resistência e temperatura

A resistividade elétrica depende da temperatura. A resistividade

de muitos metais aumenta quando a temperatura aumenta. Sobre um

intervalo limitado de temperatura, a resistividade varia de forma

aproximadamente linear com a temperatura de acordo com a expressão

1 6.14

onde é a resistividade para alguma temperatura (em graus Celsius),

é a resistividade em para alguma temperatura de referência

(usualmente tomada como 20 ), e é coeficiente de resistividade de

temperatura. Segue da equação (6.14) que o coeficiente pode ser

expresso como

1 ∆∆

6.15

onde ∆ é a variação na resistividade para o intervalo de

temperatura ∆ .

104

Figura 6.7 Curva resistência versus temperatura para (a) materiais condutores; (b) detalhe para baixas temperaturas e (c) materiais semicondutores (c).

Exemplo resolvido 6.6

A Figura 6.7 mostra a dependência da resistividade com a

temperatura. Para materiais condutores (Figura 6.7a) a resistividade

mostra uma dependência linear com a temperatura para a região de

altas temperaturas e não linear para baixas temperaturas (Fig. 6.7 (b)).

Já para semicondutores a resistividade tende a diminuir com a

temperatura de uma forma não constante.

Os coeficientes de resistividade com a temperatura são dados na

Tabela 6.1 para vários materiais. Observe que a unidade para é

.

Por que a resistência é proporcional a resistividade (Eq. 6.13),

pode‐se escrever a variação da resistência como

1 6.16

O uso desta propriedade nos permite fazer medidas precisas, como

ilustrado no exemplo abaixo.

Um termômetro de resistência, que mede a temperatura através da

medida da variação da resistência de um condutor, é feito de platina e

possui resistência de 50,0 Ω a 20,0 . Quando imerso em um vasilhame

contendo indio fundido, sua resistência aumenta para 76,8 Ω. Calcule o

ponto de fusão do indio.

Solução

Resolvendo a Eq. (6.15) para ∆ e usando o valor de para a platina

dada na tabela 6.1, obtemos

105

Figura 6.8: Gráfico da resistência em função da temperatura para um material supercondutor.

∆76,8 Ω 50,0 Ω

3,92 10 50,0 Ω137

Como 20,0 , determinamos que , a temperatura de fusão da

amostra de índio, é 157 .

6.5 Avanços na área: supercondutividade

Existe uma classe de metais e compostos cuja resistência cai a

zero quando estão abaixo de certa temperatura , conhecida como a

temperatura crítica. Estes materiais são conhecidos como

supercondutores. O gráfico resistência temperatura, para

supercondutores, é semelhante aquele para um metal normal abaixo de

, como mostrado na Figura 6.8. Quando a temperatura está em ou

abaixo de , a resistividade cai subitamente a zero. Este fenômeno foi

descoberto em 1911 pelo físico alemão Heike Kamerlingh‐Onnes (1853‐

1926) quando trabalhava com mercúrio, que se torna supercondutor

abaixo de 4,2 . Medidas recentes mostraram que as resistividades de

supercondutores abaixo de valores são menores que 4 10 Ω ·

‐ aproximadamente 10 vezes menores que a resistividade do cobre e

na prática considerado zero.

Atualmente milhares de supercondutores são conhecidos. A

temperatura crítica de supercondutores recentemente descobertos são

106

Figura 6.9 Circuito simples

substancialmente mais altas do que as que inicialmente se imaginava

possível. Dois tipos de supercondutores são reconhecidos. Os mais

recentemente identificados são essencialmente materiais cerâmicos

com temperaturas críticas altas, enquanto materiais supercondutores

tais como os observados por Kamerlingh‐Onnes são metais. Se um

supercondutor a temperatura ambiente for identificado, seu impacto

tecnológico pode ser enorme.

O valor de é sensível a composição química, pressão, e

estrutura molecular. É interessante observar que o cobre, prata, e ouro,

que são excelentes condutores, não exibem supercondutividade.

6.6 Potência elétrica

Se uma bateria é usada para estabelecer uma corrente elétrica

em um condutor, existe uma transformação contínua de energia

química na bateria em energia cinética dos elétrons e, então, em energia

interna no condutor, resultando em um aumento na temperatura do

condutor.

Em circuitos elétricos típicos, energia é transferida de uma fonte

tal como a bateria, para algum dispositivo, tal como uma lâmpada ou um

receptor de rádio. Determinaremos uma expressão que permita‐nos

calcular a taxa desta transferência de energia. Primeiro, considere um

circuito simples como aquele mostrado na Figura 6.9 onde imaginamos

que energia esteja sendo fornecida a um resistor. Uma vez que os fios

107

que fazem a conexão também possuem resistência, parte da energia é

fornecida aos fios e parte ao resistor. A menos que observado de outra

forma, suponha que a resistência dos fios é tão pequena comparada à

resistência do elemento de circuito que ignoramos a energia fornecida

aos fios.

Imagine que uma quantidade positiva de carga que está se

movendo no sentido horário em torno do circuito da Figura 6.9 desde o

ponto através da bateria e do resistor e de volta ao ponto .

Identificamos o circuito inteiro como nosso sistema. Quando a carga

move‐se de para através da bateria, a energia potencial elétrica do

sistema aumenta por uma quantidade ∆ enquanto a energia

potencial química na bateria diminui pela mesma quantidade. Contudo,

quando a carga move‐se de para através do resistor, o sistema perde

esta energia potencial elétrica durante colisões de elétrons com átomos

no resistor. Neste processo, a energia é transformada para energia

interna correspondendo a um aumento no movimento vibracional dos

átomos no resistor. Uma vez que desprezamos a resistência dos fios

interconectores, nenhuma transformação de energia corre para os

caminhos e . Quando a carga retorna ao ponto , o resultado

líquido é que parte da energia química na bateria foi fornecida ao

resistor e permanece no resistor como energia interna associada com

vibração molecular.

O resistor está normalmente em contato com o ar, assim sua

temperatura aumentada resultará em transferência de energia na forma

de calor para o ar. Além disso, o resistor emite radiação térmica,

representando outro meio de escape para a energia. Após decorrido um

intervalo de tempo, o resistor alcança uma temperatura constante,

naquele instante o fornecimento de energia pela bateria é equilibrado

pela saída de energia na forma de calor e radiação. Alguns dispositivos

elétricos incluem dissipadores de calor conectados às partes do circuito

para evitar que as mesmas atinjam temperaturas perigosamente altas.

Estes são pedaços de metais com muitas barbatanas. A alta

condutividade térmica do metal fornece uma rápida transferência de

energia na forma de calor que sai do componente quente. O grande

108

número de barbatanas fornece uma grande superfície em contato com o

ar, de modo que se pode transferir energia através da radiação de calor

para o ar, em altas taxas.

A taxa com que a carga ∆ perde energia potencial ao percorrer

o resistor é dada por

∆∆

∆∆

∆ ∆ 6.17

onde é a corrente no circuito. Em contraste, a carga ganha novamente

esta energia quando passa através da bateria. Por que a taxa com que a

carga perde energia é igual à potência fornecida ao resistor (que

aparece como energia interna), temos

∆ 6.18

Neste caso, a potência é fornecida ao resistor por uma bateria. Contudo,

podemos usar a Equação (6.18) para determinar a potência transferida

para qualquer dispositivo portando uma corrente I e tendo uma

diferença de potencial ∆ entre seus terminais.

Usando a Equação (6.18) e o fato que ∆ para um resistor,

podemos expressar a potência fornecida para o resistor nas formas

alternativas

∆ 6.19

Quando é expresso em amperes, ∆ em volts, e em ohms, a unidade

SI de potência é o watt. A potência perdida como energia interna em um

condutor de resistência é chamada aquecimento joule; esta

transformação é também freqüentemente referida como uma perda

.

Uma bateria, um dispositivo que fornece energia elétrica, é

chamada ou uma fonte de força eletromotriz ou, mais comumente, uma

fonte fem. Quando a resistência interna da bateria é desprezada, a

diferença de potencial entre os pontos a e b na Fig.6.9 é igual à fem da

bateria, isto é, Δ . Isto sendo verdadeiro pode‐se afirmar

que a corrente é Δ ⁄ ⁄ . Por que Δ , a potência

109


Exemplo resolvido 6.8

fornecida pela fonte fem pode ser expressa como , que é igual a

potência liberada para o resistor, .

Um aquecedor elétrico é construído aplicando uma diferença de

potencial de 120 a um fio de Nicromo que possui uma resistência total

de 8,00 Ω. (a) Determine a corrente transportada pelo fio e a potencia

do aquecedor. (b) Como ficariam os resultados do item (a) se o

aquecedor fosse conectado acidentalmente a uma fonte de 240 V?

Solução

(a) Como ∆ , temos

∆ 120 8,00 Ω

15,0

Determinamos a potência usando a expressão :

15,0 8,00 Ω 1,80 10 1,80

(b) Como a diferença de potencial aplicada será duas vezes maior que a

diferença de potencial do item (a) a Equação (6.18) nos diz que a

corrente no aquecedor será duas vezes maior e da Equação (6.19)

tiramos que a potência será quatro vezes maior já que temos o fator

quadrático na diferença de potencial.

Calcule aproximadamente o custo do cozimento de um peru durante

quatro horas em um forno que opera continuamente com uma corrente

de 20,0 e sob tensão de 240 .

Solução

A potência usada pelo forno é

∆ 20,0 240 4800 4,80

Como a energia consumida é igual ê , a quantidade de

energia pela qual devemos pagar é

110

4,80 4 19,2

Se a energia é comprada ao preço estimado de 50 centavos por kilowatt

hora, o custo do cozimento será

19,2 $ 0,50

$ 9,60

Exercício Quanto custa manter uma lampada de 100 ligada por 24

horas se a companhia de eletricidade (CEPISA) cobra $ 0,50/ ?

Questões

Q1 Fazendo uma analogia entre corrente elétrica e o fluxo do trafego de

automóveis, o que corresponderia à carga? E o que corresponderia a

corrente?

Q2 Que fatores afetam a resistência de um condutor?

Q3 Qual a diferença entre resistência e resistividade?

Q4 Todos os condutores obedecem à lei de Ohm? Dê exemplos que

justifiquem suas respostas.

Q5 Vimos que um campo elétrico deve existir dentro de um condutor

através do qual flui uma corrente. Como isto é possível, se em

eletrostática, havíamos concluído que o campo elétrico deve ser nulo no

interior de um condutor?

Q6 Quando a voltagem através de um condutor é duplicada, é

observado que a corrente é aumentada por um fator três. O que você

pode concluir a respeito deste condutor?

Q7 Explique como a corrente pode persistir em um supercondutor sem a

necessidade de aplicarmos uma voltagem.

Q8 Se as cargas fluem muito lentamente através de um metal, por que

não são exigidas várias horas para que a lâmpada comece a iluminar

após acionar o interruptor?

111

Q9 Duas lâmpadas, ambas operando com tensão de 120 . Uma tem

potência de 25 W e a outra de 100 W. Que filamento tem resistência

mais alta? Através de que filamento flui maior corrente?

Q10 Baterias de automóveis são freqüentemente classificadas em

ampere‐horas. Isto designa corrente, potência, energia ou carga que

pode ser retirada da bateria?

Problemas

P1 Um fio de raio 1,6 porta uma corrente de 0,092 . Quantos

elétrons cruzam um ponto fixo no fio em 1 ?

P2 Portadores de cargas em um semicondutor possui densidade de

número 3,5 10 / . Cada portador possui uma

carga cuja magnitude é aquela da carga de um elétron. Se a densidade

de corrente é 7,2 10 / , qual é a velocidade dos portadores de

carga?

P3 A densidade de elétrons portadores de carga no cobre é 8,5

10 / . Se a corrente de 1,2 flui em um fio com raio de

1,8 , qual é a velocidade dos elétrons? Como esta velocidade muda

em um segundo fio, de diâmetro igual a 2,4 , conectado ponta com

ponta com o primeiro fio?

P4 Um fio de alumínio de área igual 50 colocado ao longo do eixo

passa 10.000 em 1 . Suponha que existe um elétron livre por cada

átomo de alumínio. Determine a corrente, a densidade de corrente, e a

velocidade de deriva. A densidade de massa do alumínio é de 2,7 /

.

P5 Ouro possui um elétron por átomo disponível para transportar carga.

Dado que a densidade de massa do ouro é 1,93 10 / e que seu

peso molecular é igual a 197 / , calcule a velocidade de deriva dos

elétrons em um fio de ouro que porta 0,3 e tem uma secção reta

circular de raio igual a 0,5 .

112

P6 Você dispõe de dois cilindros feitos do mesmo material. O pedaço 2

possui metade do comprimento e metade do diâmetro do pedaço 1.

Qual é a razão das resistências dos dois pedaços.

P7 A condutividade da prata é 1,5 vezes aquela do ouro. Qual é a razão

do diâmetro de um fio de prata para aquele de um fio de ouro do

mesmo comprimento se ambos os fios são projetados para ter a mesma

resistência?

P8 Um fio aterrado feito de alumínio tem comprimento de 528 e área

de 0,12 . (a) Qual é a sua resistência? (b) Qual é o raio de um fio de

cobre do mesmo comprimento e resistência?

P9 Qual é a voltagem máxima que pode ser aplicada a um resistor de

1000 Ω com potencia de dissipação de 1,5 ?

P10 Seu irmão menor deixa uma lâmpada de 100 ligada

desnecessariamente por uma hora. Supondo que potencia elétrica

custam 50 centavos por kilowatt‐hora, qual é o custo por seu mau uso?

P11 Um estudante de pós‐graduação em engenharia possui uma coleção

de resistores de 100 Ω com diferentes taxas de dissipação de energia

iguais a 1/8, ¼, ½, 1 e 2W. Qual é a corrente máxima que o estudante

deveria usar em cada resistor?

P12 Qual é a corrente máxima permitida para (a) um resistor de 160 Ω,

5 ? (b) Um resistor de 2,5 Ω, 3 ?

BIBLIOGRAFIA

TIPLER P. A., MOSCA G. Physics for scientists and Engineers, sixth

edition, Freeman, New York, 2008.

HALLIDAY D., Resnick R., Walker J., Física Fundamental, vol 3, Livros

Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro, 2004

HALLIDAY D., RESNICK R., KRANE S., Física vol. 3, LTC, Rio de Janeiro,

2000

HEWITT P, Física Conceitual, Longman, 9ª edição, Rio Grande do Sul,

200x

113

NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de

Janeiro, 200X

CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics,

John Wiley, New York, 2004.

YOUNG H. D., FREEDMAN, R. A. Física 3: Eletromagnetismo, Pearson,

São Paulo, 2008.

114

CAPÍTULO 7: CIRCUITOS ELÉTRICOS

RESUMO

Neste capítulo apresentaremos a noção de circuitos elétricos e

diagramas de circuitos, bem como, regras de calculo para a

determinação de correntes e resistências em elementos do circuito.

115

7 CIRCUITOS ELÉTRICOS

7.1 Elementos e diagramas de circuitos 115

7.2 Força eletromotriz 117

7.3 Associação de resistores 119

7.3.1 Resistores em série 119

7.3.2 Resistores em paralelo 120

7.4 Leis de Kirchoff e circuito básico 122

7.5 Circuitos RC 129

Questões 136

Problemas 137

Bibliografia 139

116

Figura 7.1 Um circuito elétrico

No interior de aparelhos de TV, de computadores, de aparelhos de

som ou mesmo do teclado de um microcomputador encontramos

circuitos que apresentam grau de complexidade bem maior do que os

circuitos simples que foram mostrados no capítulo anterior. Todos estes

circuitos incluem diversas fontes, resistores e outros elementos, tais

como capacitores, transformadores e motores, interconectados em uma

rede.

Neste capitulo estudaremos método para analisar essas redes,

incluindo como calcular correntes, voltagens e outras propriedades

desconhecidas dos elementos do circuito. Assim ao final deste capítulo o

leitor deve apresentar habilidades (a) para compreender e usar

diagramas básicos de circuitos, (b) analisar circuitos que contenham

resistores em série e em paralelo, (c) calcular a potência dissipada nos

elementos de circuito e (d) compreender o aumento e diminuição de

corrente em circuitos RC.

7.1. Elementos e diagramas de circuitos

A Figura 7.1 mostra um circuito elétrico no qual um resistor e um

capacitor estão conectados por meios de fios a uma bateria. Para

entender o funcionamento deste circuito precisamos de uma descrição

gráfica mais abstrata chamada diagrama do circuito. O diagrama do

circuito é uma descrição lógica dos elementos que estão conectados

entre i. O circuito real, uma vez construído, pode aparentar

completamente diferente do diagrama do circuito, mas terá a mesma

lógica e conexões.

117

Figura 7.2 Uma mostra de símbolos básicos usados para desenhar circuitos eletrônicos

Figura 7.3 O diagrama de circuito para o circuito da Figura 7.1

Figura 7.4

Num diagrama de circuitos as imagens dos elementos de circuitos

são trocadas por símbolos. A figura 7.2 mostra os símbolos básicos

necessários para tal descrição. Nesta Figura estão mostradas as

representações para bateria, fios, resistores, filamentos, junções, chaves

e capacitores. No curso Física IV será visto circuitos com elementos

relacionados às propriedades magnéticas do meio, como o indutor.

A Figura 7.3 é o diagrama de circuito para o

circuito da Figura 7.1. A fem da bateria é mostrada

ao lado da bateria, e os símbolos e para ressaltar

os terminais da mesma. Além disso, é mostrada a

resistência R do resistor e capacitância C do capacitor.

Os fios, que na prática podem ser tortos e curvos, são

mostrados como conexões em linha reta entre os

elementos do circuito.

Exercício: Quais dos diagramas mostrados na Figura 7.4 representam o

mesmo circuito?

118

Figura 7.5 Circuito elétrico consistindo de um resistor conectado aos terminais de uma bateria

Figura 7.6 (a) Diagrama de circuito de uma fonte de fem (neste caso, uma bateria), de resistência , conectada a um resistor externo de resistência . (b) Representação gráfica mostrando como o potencial elétrico muda quando o circuito na parte (a) é percorrido no sentido horário.

7.2 Força Eletromotriz

Anteriormente foi mencionado que corrente constante poderia

ser mantida em circuitos fechados usando fonte de fem, que é um

dispositivo (tal como uma bateria ou gerador) que produz um campo

elétrico e assim pode levar as cargas a se moverem através do circuito.

Podemos imaginar uma fonte de fem como um “dispositivo bombeador

de cargas”. Quando a diferença de potencial elétrico existe entre dois

pontos, a fonte move cargas “morro acima” do potencial mais baixo

para o mais alto. A fem descreve o trabalho feito por unidade de carga,

e, portanto a unidade SI de fem é o volt.

Considere o circuito mostrado na Figura 7.5, consistindo de uma

bateria conectada a um resistor. Supomos que os fios de conexão não

possuem resistência. O terminal positivo da bateria está em um

potencial mais alto que o terminal negativo. Se desprezarmos a

resistência interna da bateria, a diferença de potencial através dela

(chamada de voltagem entre os terminais) iguala a sua fem

119

Contudo, porque uma bateria real sempre tem alguma resistência

interna , a voltagem entre os terminais não é igual a fem para uma

bateria em um circuito no qual existe uma corrente. Para entender

porque isto acontece, considere o diagrama de circuito mostrado na

Figura 7.6 (a), onde a bateria da Figura 7.5 é representada pelo

retângulo tracejado contendo uma fem em série com uma resistência

interna . Agora imagine um movimento através da bateria no sentido

horário de para e medindo o potencial elétrico em vários locais.

Quando passamos do terminal negativo para o terminal positivo, o

potencial aumenta pela quantidade . Contudo quando nos movemos

através da resistência o potencial decresce da quantidade , onde é

a corrente no circuito. Assim, a voltagem entre os terminais da bateria

∆ é

∆ 7.1

A Figura 7.6 (b) é uma representação gráfica das mudanças em

potenciais elétricos quando o circuito é percorrido na direção horária.

Por inspeção, vemos que a diferença de potencial entre os terminais

deve ser igual à diferença de potencial através dos extremos da

resistência externa , freqüentemente chamada de carga resistiva. A

carga resistiva deve ser um elemento de circuito resistivo único, como

na Figura 7.5, ou poderia ser a resistência de algum dispositivo elétrico

(tal como uma torradeira, um aquecedor elétrico, ou o filamento de uma

lâmpada) conectado à bateria. O resistor representa uma carga resistiva

sobre a bateria porque a bateria deve fornecer energia para operar o

dispositivo. A diferença de potencial através da carga resistiva é

∆ . Combinando esta expressão com a Equação (7.1), vemos que

7.2

Resolvendo para a corrente resulta em

7.3

Esta equação mostra que a corrente neste circuito simples depende

tanto da carga resistiva externa à bateria como da resistência interna

120

Figura 7.7 (a) Conexão em série de dois resistores e . A corrente em é a mesma que em . (b) Diagrama de circuito para o circuito de dois resistores. (c) Os resistores trocados por um único resistor tendo a resistência equivalente

. Se é muito maior que , como é em muitos circuitos do mundo real,

obtemos

7.4

Indicando que a potencia externa total fornecida pela bateria é

consumida pela carga externa na forma de calor (efeito Joule) como

e de forma semelhante na resistência interna .

7.3 Associação de resistores

A análise de um circuito pode ser simplificada trocando dois ou

mais resistores por um único resistor equivalente que transporta a

mesma corrente quando é aplicada a mesma diferença de potencial que

é aplicada aos resistores originais. A troca de um conjunto de resistores

por um resistor equivalente é semelhante a troca de um conjunto de

capacitores por um capacitor equivalente, discutido no capítulo 5.

7.3.1 Resistores em série

Quando dois ou mais resistores estão como e na Figura 7.7

de modo que eles transportem a mesma corrente , os resistores são

ditos estarem conectados em série. A diferença de potencial através do

resistor é e a diferença de potencial através do resistor é

A diferença de potencial através dos dois resistores é igual a soma das

diferenças de potencial individuais:

121

Figura 7.8 Conexão em paralelo de dois resistores e . A diferença de potencial através de é a mesma que aquela através de . (b) Diagrama de circuito para o circuito de dois resistores. (c) Os resistores trocados por um único resistor equivalente tendo resistência equivalente .

7.5

A resistência equivalente

7.6

é a resitência que resulta na mesma queda de potencial quando o

circuito é percorrido pela corrente .

Quando existem mais que dois resistores em série, a resistencia

equivalente é

7.7

7.3.2 Resistores em paralelo

Dois resistores que estão conectados como na Figura 7.8, tal que

estejam com a mesma diferença de potencial através de suas

extremidades, estão associados em paralelo. Seja a corrente a corrente

que vai do ponto ao ponto . No ponto a corrente divide‐se em

duas partes, flui através do resistor e através do resistor . A

corrente total é a soma das correntes individuais:

7.8

A queda de potencial através de qualquer dos resistores, ,

está relacionada às correntes por

7.9

122

Figura 7.7

Exercício Resolvido

A resistência equivalente para resistores associados em paralelo é a

resistência equivalente para a qual a mesma corrente total produz a

mesma queda de potencial :

7.10

Resolvendo esta equação para e usando o resultado (7.4), obtemos

7.11

A resistência equivalente para dois resistores em paralelo é, portanto

dada por

1 1 1 7.12

Este resultado pode ser generalizado para combinações, de mais de dois

resistores associados em paralelo:

1 1 1 1 7.13

Quatro resistores estão conectados como mostrado na Figura 7.7.

(a) Determine a resistência equivalente entre os

pontos e .

(b) Qual é a corrente em cada resistor se a diferença

de potencial de 42 é mantida entre e ?

Solução

(a) A combinação de resistores pode ser reduzida em

passos, como mostrado na Figura 7.7. Os resistores de

8,0 Ω e 4,0 Ω estão em série; assim a resistência

equivalente entre e é de 12,0 Ω. Os resistores de

6,0 Ω e 3,0 Ω estão em paralelo, de forma que da

Equação (7.8) calculamos que a resistência

equivalente de para é de 2,0 Ω Assim a resistência

123

Figura 7.8 Um exemplo de circuito simples que não pode ser analisado trocando combinação de resistores em série ou paralelo por suas resistências equivalentes. A queda de potencial através de e não são iguais devido a fonte fem , assim estes resistores não estão em paralelo. (resistores em paralelo deveriam está conectados aos mesmos pontos – mesma diferença de potencial.) Os resistores não transportam a mesma corrente, de modo que não estão em série.

equivalente entre e é , .

(b) As correntes nos resistores 8,0 Ω e 4,0 Ω são as mesmas por que

eles estão em série. Além disso, é a mesma corrente que existiria no

resistor equivalente submetido à diferença de potencial de 42 .

Portanto, usando que / e o resultado da parte (a), obtemos

42,0 14,0 Ω

3,0

Esta é a corrente nos resistores de 8,0 Ω e 4,0 Ω. Quando esta corrente

entra na junção em , contudo, ela divide‐se, com uma parte fluindo

através do resistor de 6,0 Ω ( ) e a outra parte através do resistor de

3,0 Ω ( ). Como a diferença de potencial é através destes resistores

(uma vez que eles estão associados em paralelo), vemos que

6,0 Ω 3,0 Ω , ou seja, 2 . Usando este resultado e o fato

que 3,0 , determinamos que 1.0 e 2,0

Como uma verificação final dos nossos resultados, observe que

6,0 Ω 3,0 Ω 6,0 e 12,0 Ω 36,0 ;

portanto, 42 , como deve ser.

7.4 Leis de Kirchoff e circuito básico

Existem muitos circuitos simples, tais como o mostrado na Figura

7.8, que não podem ser analisados meramente trocando combinações

124

Figura 7.9 (a) Regra do nó de kirchoff. Conservação da carga exige que toda corrente entrando em uma junção deve deixar esta junção. Portanto

. (b) O análogo mecânico da regra do nó: a quantidade de água fluindo para fora através dos ramos à direita deve ser igual a quantidade fluindo para dentro através do único ramo à esquerda.

de resistores por uma resistência equivalente. As duas resistências e

neste circuito parecem estar em paralelo, mas não estão. A diferença

de potencial não é a mesma através de ambos os resistores devido a

presença da fem em série com . Nem e estão em série ,

porque eles não transportam a mesma corrente.

Duas regras, chamadas regras de Kirchoff, aplicam‐se a este e a

qualquer outro circuito:

1. Quando qualquer circulação em circuito fechado é executada,

a soma algébrica das variações no potencial deve ser igual a

zero.

2. Em qualquer junção (nó) de um circuito onde a corrente pode

ser dividida, a soma das correntes entrando na junção deve

ser igual a soma das correntes saindo da junção.

A primeira regra de Kirchoff, chamada de regra das malhas, segue

diretamente da conservação da energia. Se tivermos uma carga em

algum ponto onde o potencial é , a energia potencial da carga é .

Quando a carga percorre uma malha em um circuito, ele perde ou ganha

energia ao passar através de resistores, baterias, ou outros dispositivos,

mas quando chega de volta ao ponto de onde partiu, sua energia deve

ser novamente . Isto é, a variação total no potencial deve zero.

A segunda regra de Kirchoff, chamada regra do nó, segue da

conservação da carga. A Figura 7.9 (a) mostra a junção de três fios

portando correntes , e . Como cargas não estão sendo criadas e,

125

Figura 7.10 Circuito contendo duas baterias e três resistores externos. Os sinais mais e menos sobre os resistores existem para nos ajudar a relembrar que lado de cada resistor está no potencial mais alto em relação a direção de corrente que nos convencionamos.

Exemplo Resolvido

tampouco, sendo acumuladas neste ponto, a conservação implica a

regra da junção, que para este caso resulta em

7.14

Existem exemplos análogos em mecânica dos fluidos. Em uma

tubulação, na ausência de fontes ou sumidouros, a quantidade de fluido

incompressível entrando através dos ramos de um lado de um

determinado ponto deve ser igual à quantidade de fluido saindo pelos

ramos do outro deste ponto, conforme ilustra a Figura 7.9 (b).

Como um exemplo do uso da regra da malha de Kirchoff,

considere o circuito mostrado na Figura 7.10 contendo duas baterias

com resistências internas e e três resistores externos. Desejamos

determinar a corrente em função das forças eletromotrizes (fem’s).

Solução

Suponha que a circulação de corrente é no sentido horário,

conforme indicado na Figura 7.10, e apliquemos a regra das malhas de

Kirchoff quando percorremos o circuito na direção convencionada,

partindo do ponto . O decréscimo e aumento do potencial são dados

126

Figura 7.11 Circuito dom duas malhas

Exemplo Resolvido

na figura. Observe que encontramos queda de potencial quando

atravessamos a fonte de fem entre os pontos e e um aumento

quando atravessamos a fonte de fem entre os pontos e . Iniciando no

ponto , obtemos da regra das malhas de Kirchoff que

0 7.15

Resolvendo para a corrente , obtemos

7.16

Se é maior que , teremos um valor negativo para a corrente ,

indicando que convencionamos uma direção errada para .

Para analisar circuitos contendo mais de uma malha, precisamos usar as

duas regras de Kirchoff, com a regra dos nós (junção) aplicada a pontos

onde corre divisão de corrente em duas ou mais partes.

(a) Determine a corrente em cada parte do circuito mostrado na Figura

7.11

(b) Determine a energia dissipada no resistor de 4 Ω em 3 .

Solução

Como existem três correntes, , , e a serem determinadas,

assim necessitamos de três condições. Uma condição pode ser obtida

aplicando a regra do nó (junção) ao ponto . Podemos também aplicar a

regra do nó ao aponto , o único outro nó no circuito, mas fornece

127

exatamente a mesma informação. As outras duas condições são obtidas

aplicando a regra da malha. Existem três malhas no circuito: as duas

malhas interiores, e , e a malha externa .

Podemos usar quaisquer duas destas malhas – a terceira dará

informação redundante. A direção da corrente de para não é

conhecida antes de o circuito ser analisado. Os sinais mais e menos

sobre o resistor 4 Ω são para a direção convencionada de de para .

(a) Para determinar as correntes em cada malha seguiremos os passos

abaixo.

Aplicando a regra dos nós ao ponto :

. 7.17

Aplicando a regra das malhas a malha mais externa,

12 2 5 3 Ω 0 7.18

Dividindo a equação acima por 1 Ω, relembrando que 1 / 1 1 ,

então simplificando

7 3 5 0 7.19

Para obter a terceira condição, aplicamos a regra das malhas à malha da

esquerda, , obtemos

12 4Ω 3Ω 0 7.20

Ou após a simplificação ao dividir por 1 ficamos com

12 7 3 0 7.21

Combinando as Equações (7.19) e (7.21) para resolver para e .

Multiplicando (7.22) por 3 e (7.23) por 5 obtemos

21 9 15 0 7.22

60 35 15 0 7.23

Subtraindo (7.22) de (7.23) ficamos então com

39 26 0 39/26 1,5

Substituindo o valor de na (7.15) obtemos

75

35

1,5 0,5

128

Figura 7.12

Exemplo resolvido

Determinado e , usando a Equação (7.17) pode‐se calcular

1,5 0,5 2,0

(b) A potencia dissipada no resistor de 4Ω é

1,5 4Ω 9 W

A energia total dissipada no intervalo de tempo é

9 3 27

Determine a corrente em cada parte do circuito mostrado na Figura

7.12. Desenhe o diagrama circuito com os módulos e direções corretas

da corrente em cada parte. (b) Atribua 0 ao ponto e então

determine o potencial nos outros pontos de a até .

Solução

Primeiro, troque os resistores em paralelo por uma resistência

equivalente. Seja a corrente que flui através da bateria de 18 , e a

corrente de para . As correntes podem então ser determinadas

aplicando a regra dos nós aos pontos e e a regra das malhas a cada

das malhas. Veja a Figura (7.13).

Assim vamos seguir por etapas na solução deste problema.

129

Figura 7.13 o mesmo circuito que na Figura 7.12 indicando as correntes circulando que circulam em cada malha do circuito.

Vamos inicialmente determinar a resistência equivalente para os

resistores em paralelo de 3 Ω e 6 Ω mostrados na Figura 7.12 entre os

pontos e . Usando a Equação 7.13 obtemos que

2 Ω 7.24

Aplicando a regra dos nós nas junções e determinamos que

existe uma corrente

7.25

fluindo do ponto ao ponto , passando através da fem de 21 até o

ponto e depois ate o ponto .

Aplicando a regra de Kirchoff à malha , encontramos a

relação

18 12 Ω 6 Ω 0 7.26

Usando a expressão para a corrente dada pela Equação (7.25)

na expressão (7.26), após simplificações, obtemos

2 3 7.27

Aplicando a regra das malhas a malha , obteremos

3 21 2 6 0 7.28

que após aplicarmos o resultado (7.25) e fazer as simplificações devidas

resulta em

5 11 21 7.29

130

Resolvendo as equações (7.27) e (7.29) para as correntes e

obteremos que 2 e 1 . Assim da (7.25) tiramos que

3 .

Observamos que o valor 1 informa que o sentido da

corrente na Figura 7.13 aponta em sentido contrario ao desenhado na

mesma.

Assim poderemos fazer um mapa do circuito indicando o valor do

potencial em cada um dos pontos indicados no circuito da Figura 7.12,

tomando o ponto como tendo potencial nulo.

21 21

3 2 21 6 15

15

18 15 18 33

12 12 33 24 9

Agora o leitor pode fazer diversos testes. Por exemplo, entre os pontos

e , circula a corrente 3 atraves do resistor de 3 . Assim a

queda de potencial ou diferença de potencial Δ 9 .

Portanto o potencial no ponto é de 9 .

7.6 Circuitos RC

Um circuito contendo resistor e capacitor é chamado um circuito RC. A

corrente em um circuito RC flui em uma unida direção, como em todos

os circuitos de corrente contínua, mas o valor da corrente varia com o

tempo. Um exemplo prático de um circuito RC é o circuito no flash

acoplado a uma câmera. Antes que um flash fotográfico seja disparado,

uma bateria acoplada ao flash carrega o capacitor através de um

resistor. Quando o processo de carga está completo, o flash está pronto.

Quando a imagem é capturada, o capacitor descarrega atravavés do

filamento da lâmpada. O capacitor é então recarregado pela bateria, e

num curto intervalo de tempo o flash está pronto para uma outra

fotografia. Usando as regras de Kirchoff, podemos obter equações para

131

Figura 7.14 (a) Um capacitor em série com um resistor, chave e bateria. (b) Diagrama de circuito representando este sistema no instante 0, antes a chave seja fechada. (c) Diagrama de circuito num instante 0, após a chave ter sido fechada.

carga e a corrente como funções do tempo para ambos os processos

de carga e descarga do capacitor através do resistor.

Suponha que o capacitor na Figura 7.14 esteja inicialmente

descarregado. Não existirá corrente enquanto a chave estiver aberta

(Figura 7.14 (b)). Se a chave é fechada no instante 0, contudo, a

carga começa a fluir, estabelecendo uma corrente no circuito, e o

capacitor começa a ser carregado. Observe que durante o processo de

carregamento, as cargas não pulam de uma placa para outra no

capacitor porque a lacuna entre as placas representa um circuito aberto.

Em vez disso, carga é transferida entre as placas através dos fios

conectores, devido a ação do campo eletrico criado nos fios pela

bateria, até que o capacitor esteja totalmente carregado. Quando as

placas tornam‐se carregadas, a diferença de potencial através do

capacitor aumenta. O valor da carga máxima depende da voltagem da

bateria. Uma vez que a carga máxima foi atingida, a corrente no circuito

é nula porque a diferença de potencial através do capacitor iguala‐se

aquela fornecida pela bateria.

Para analisar o circuito quantitativamente, aplica‐se a regra das

malhas de Kirchoff ao circuito após a chave ter sido fechada.

Percorrendo a malha no sentido horário obtém‐se

0 7.30

132

onde / é a diferença de potencial através do capacitor e é a

diferença de potencial através do resistor. Observe que e são valores

instantâneos que dependem do tempo (contrario aos valores

estacionários) enquanto o capacitor está sendo carregado.

Da Equação (7.30) podemos determinar a corrente inicial no

circuito e a carga máxima no capacitor. No instante em que a chave é

fechada ( 0), a carga no capacitor é zero, e portanto da (7.30)

determinamos que a corrente inicial no circuito é máxima e igual a

7.31

Neste instante a diferença de potencial entre os terminais da bateria

aparece inteiramente através do resistor. Mais tarde quando capacitor

está carregado com seu valor máximo , a carga deixa de fluir, a

corrente no circuito é zero, e a diferença de potencial entre os terminais

da bateria aparece totalmente através do capacitor. Dessa forma 0 e

carga no capacitor, usando a Equação (7.30) será

7.32

A expressão analítica da dependência temporal da carga e

corrente é obtida fazendo a substituição / na Equação

(7.30), ficando com a equação para variável

7.33

Após a separação de variáveis a Equação (7.33) pode ser escrita como

1 7.34

Integrando (7.34) e observando que 0 0, obtemos

1

ou ainda,

ln1RC

Daí segue que

133

Figura 7.15 (a). Gráfico da carga do capacitor em função do tempo para o circuito exibido na Figura 7.14. A carga aproxima‐se do seu valor máximo quando t ∞. Atinge o valor de 63,2 % da carga máxima quando . (b) Gráfico da corrente em função do tempo para o circuito da Figura 7.14. A corrente é máxima em 0, / e decai para zero quando t ∞. Atinge o valor 36,8 % do valor inicial quando .

Figura 7.16 Um capacitor carregado conectado a um resistor e uma chave, que está aberta em 0. (b) Após a chave ser fechada, uma corrente que decresce em modulo com o tempo é estabelecida na direção mostrada, e a carga no capacitor decresce exponencialmente com o tempo.

1 / 1 / 7.35

Usando a definição de corrente / , determinamos que

7.36

Os gráficos da carga e da corrente no capacitor em função do

tempo estão mostrados nas Figuras 7.15(a) e 7.15(b). Observe da Figura

7.15 (a) que a carga é zero no instante 0 e aproxima‐se do valor

máximo quando ∞. A quantidade , que aparece nos

expoentes das Equações (7.35) e (7.36), é chamada a constante do

tempo de relaxação do circuito. Representa o tempo que a corrente

leva para atingir o valor / 0,368 . De forma semelhante

representa o tempo para a carga passar do valor zero em 0 para o

valor 1 1/ 0,632 .

Agora vamos analisar o que acontece quando o capacitor está

carregado, com carga máxima, e fechamos a chave de forma que passa a

circular, inicialmente, uma corrente máxima. Aos poucos está corrente

vai diminuindo devido a dissipação no resistor. O capacitor e resistor

134

Figura 7.17

Exemplo resolvido

pertencem ao circuito mostrado na Figura 7.16, que consiste também de

uma chave. A carga inicial é e a diferença de potencial através do

capacitor é igual a / e zero através do resistor uma vez que 0.

Quando a chave é fechada em 0, o capacitor começa a descarregar

através do resistor. Em algum instante durante a descarga, a corrente

no circuito é e carga no capacitor é .

A aplicação das regras de Kirchoff ao circuito da Figura 7.16, após

fechar a chave, fornece a seguinte relação

0 7.37

Substituindo a expressão de definição de corrente / na

expressão (7.37), separando variáveis, considerando em 0 e

integrando de ’ 0 até ’ , obtém‐se a expressão para a carga no

capacitor em função do tempo

/ 7.38

Diferenciando a expressão (7.38) com respeito ao tempo obtemos

a corrente instantânea como função do tempo

/ 7.39

/ é a corrente inicial. O sinal negativo indica que a direção da

corrente agora que o capacitor está descarregando é oposta a direção

de quando o capacitor está sendo carregado. Tanto a carga no capacitor

quanto a corrente no circuito decai exponencialmente a uma taxa

caracterizada pela constante de tempo .

Um capacitor descarregado e um resistor

estão conectados em série a uma bateria,

como mostrado na Figura 7.17. Se

12,0 , 5,00 , e 8,00

10 Ω, determine a constante de tempo

do circuito, a carga máxima no capacitor,

a corrente máxima no circuito, e a carga e

135

Figura 7.18

Exemplo resolvido

corrente como função do tempo.

Solução

A constante de tempo do circuito é 8,00

10 Ω 5,00 10 4,00 . A carga máxima no capacitor é

5,00 12,0 60,0 . A corrente máxima no circuito

é / 12,0V / 8,00 10 Ω 15,0 µA. Usando estes valores

nas Equações (7.35) 3 (7.36), determinamos que

60,0 1 / ,

15,0 / ,

Graficos destas funções são mostrados nas Figuras 7.18

Exercício Calcule a carga no capacitor e a corrente no circuito após ter

decorrido um tempo superior a constante de tempo

Resposta: 37,9 e 5,52

Considere o capacitor de capacitância C que está sendo descarregado

através de um resistor de resistência R, como mostrado na Figura 7.19(a)

(a) Após quantas constantes de tempo a carga no capacitor estará

reduzida a 1/4 do seu valor inicial?

136

Figura 7.19

(b) A energia armazenada no capacitor decresce com o tempo quando o

capacitor descarrega. Após quantas constantes de tempo esta energia

armazenada será um quarto do seu valor inicial?

Solução

(a) A carga sobre o capacitor varia com o tempo de acordo com a

Equação (7.38). Para determinar o tempo que ela toma para ser

reduzida a um quarto do seu valor inicial, isto é, /4 pode ser

obtido resolvendo (7.38) para :

4/

O que resulta, após simplificações em

14

/ ln 4 4 1,39

(b) Usando a expressão que fornece a energia armazenada em um

capacitor cuja carga é , /2 e a Equação (7.38) obtemos a

expressão da energia armazenada no capacitor para qualquer tempo :

2

/

2 2/ /

Onde /2 é a energia inicial armazenada no capacitor.

Queremos saber quanto tempo decorre até que a energia armazenada

no capacitor seja reduzida a um quarto do seu valor inicial:

/ / ln 4 0,693

137

Exercício Após quantas constangte de tempo a corrente no circuito

estará reduzida a metade do seu valor inicial

Resposta:0,693 0,693

QUESTÕES

Q1 Explique a diferença entre carga resistiva em um circuito e

resistência interna em uma bateria.

Q2 Sob que condições a diferença de potencial através dos terminais de

uma bateria é igual a sua fem? Pode a voltagem entre os terminais

exceder a fem? Explique.

Q3 A direção da corrente através dos terminais de uma bateria é sempre

do terminal negativo para o terminal positivo? Explique.

Q4 Como você conectaria resistores de modo que a resistência

equivalente seja maior que a maior das resistências individuais? Dê

um exemplo envolvendo três resistores.

Q5 Como você conectaria resistores de modo que a resistência

equivalente seja menor que a menor das resistências individuais? Dê

um exemplo envolvendo três resistores.

Q6 Dadas três lâmpadas incandescentes e uma bateria. Esquematize

quantos circuitos elétricos diferentes você pode montar.

Q7 Qual a vantagem que pode existir em usar dois resistores idênticos

em paralelo conectados em série com outro par idêntico em

paralelo, em vez de usar exatamente um único resistor?

Q8 Uma lâmpada incandescente conectada a uma fonte de 120 V com

um fio de extensão curto fornece mais iluminação que a mesma

lâmpada conectada a mesma fonte com um fio de extensão mais

longo. Explique por que.

Q9 Quando a diferença de potencial através de um resistor pode ser

positiva?

Q10 Qual a vantagem que a operação em 120 oferece em relação a

240 ?

138

Figura 7.20

Figura 7.21

Q11 Quando eletricistas trabalham com fios que estão energizados (fio

fase), freqüentemente eles usam as costas das suas mãos ou dedos

para mover os fios. Por que será que eles empregam esta técnica?

Q12 Que procedimento você usaria para tentar salvar uma pessoa que

está “grudado” a um fio energizado de alta voltagem sem colocar

em risco sua própria vida?

PROBLEMAS

P1 (a) Qual é a corrente em um resistor de 5,60 Ω conectado a uma

bateria que possui uma resistência interna de 0,200 Ω se a voltag em

entre os terminais da bateria é 10,0 ? (b) Qual é a fem da bateria?

P2 Duas baterias de 1,50 – com seus terminais positivos na mesma

direção – estão inseridas em série no tambor de uma luz de flash. Uma

bateria tem resistência interna de 0,255 Ω, a outra uma resistência

interna de 0,153 Ω. Quando a chave é fechada, uma corrente de 600 mA

aparece na lâmpada. (a) Qual é a resistência da lâmpada? (b) Qual é a

porcentagem da potencia das baterias que é

consumida nas próprias baterias, quando

observamos um aumento de temperatura?

P3 A corrente em um circuito fechado que

possui uma resistência é 2,00 . A corrente

é reduzida para 1,60 quando um resistor

adicional 3,00 Ω é adicionado em série com . Qual é o valor de

?

P4 (a) Determine a resistência equivalente entre os pontos e na

Figura 7.20. (b) Calcule a corrente em cada resistor se uma diferença de

potencial de 34,0 é aplicada entre os pontos

e ?

P5 Considere o circuito mostrado na Figura

7.21. Determine (a) a corrente no resistor de

20,0 Ω e (b) a diferença de potencial entre os

pontos e .

139

Figura 7.22

Figura 7.23

P6 Usando as regras de Kirchhoff determine a corrente em cada resistor

mostrado na Figura 7.22 e (b) determine a diferença de potencial entre

os pontos e . Que ponto está no potencial

mais alto?

P7 Um capacitor de 2,00 com uma carga

inicial de 5,10 é descarregado através de

um resistor de 1,30 Ω. (a) Calcule a corrente

através do resistor 9,00 após o resistor ser

conectado através dos terminais do capacitor,.

(b) Que carga permanece no capacitor após

8,00 ? (c) Qual é a corrente máxima no resistor?

P8 Um capacitor completamente carregado armazena energia .

Quanta energia permanece quando sua carga decresce para metade do

seu valor original?

P9 No circuito da Figura 7.23 , a chave S foi

aberta por um longo tempo. Ela é então

subitamente fechada. Determine a constante

de tempo (a) antes da chave ser fechada e (b)

após a chave ser fechada. (c) Se a chave é

fechada em 0, determine a corrente

através dele como função do tempo.

140

BIBLIOGRAFIA






2000


200x


Janeiro, 200X




São Paulo, 2008.

141

CAPÍTULO 8: O CAMPO MAGNÉTICO

RESUMO

Neste capítulo apresentaremos os conceitos de campo

magnético e sua detecção. Para entender a dinâmica de cargas e

correntes colocados na presença de campo magnético discutiremos

conceitos como o de torque, energia potencial magnética e de momento

magnético. O conceito de momento magnético tem um papel especial

dada sua relação com o conceito de spin em mecânica quântica.

142

8 O CAMPO MAGNÉTICO

8.1 Magnetismo 142

8.2 O campo magnético e suas fontes 145

8.3 Movimento de uma partícula carregada em um campo

magnético

148

8.4 Aplicações envolvendo movimento de partículas carregadas

na presença de campo magnético

150

8.5 A força magnética agindo sobre um condutor portando

corrente elétrica

152

8.6 Torque 157

Questões 161

Problemas 163

Bibliografia 165

143

Fenômenos magnéticos já eram conhecidos, segundo

historiadores da ciência, desde o século 13 antes de Cristo para a

confecção de agulhas de bussolas usadas na navegação. Os gregos já

estavam familiarizados antes de 800 antes de Cristo, quando

descobriram que a rocha magnetita ( ) atraia pedaços de ferro. A

lenda atribui o nome magnetita ao pastor de ovelhas Magnes, que teve

os pregos do seu calçado atraído pela rocha enquanto pastoreava seu

rebanho.

Hoje o magnetismo está presente na confecção de diversos

dispositivos elétricos, desde o computador com seu disco rígido (HD),

passando pelos motores elétricos, fornos de microondas, aparelhos de

TV, a alto‐falantes presentes em muitos dos aparelhos de vídeo e som

das nossas residências.

Este capítulo tem como objetivos levar o estudante a (a)

reconhecer os fenômenos magnéticos; (b) adquirir habilidades em

calcular o campo magnético produzido por partículas carregadas e

correntes; (c) saber relacionar carga, força magnética e campo

magnético e (d) saber calcular forças e torques sobre correntes.

8.1 Magnetismo

Relataremos alguns pontos interessantes relativos a evolução da

compreensão do magnetismo.

O Frances Pierre de Maricourt observou que as direções que uma

agulha colocada em vários pontos sobre a superfície de uma esfera feita

de material magnético formava linhas que se iniciavam em um ponto e

finalizavam em outro ponto diametralmente oposto ao primeiro. A estes

pontos ele chamou de pólos do magneto. Estudos posteriores

mostraram que qualquer material magnético independente da forma

possui estes dois pólos, que exercem forças sobre outros pólos

magnéticos, de forma análoga as cargas elétricas que exercem forças

umas sobre as outras.

144

Figura 8.1 Linhas do campo magnético da Terra desenhadas por limalha de ferro em torno de uma esfera uniformemente magnetizada. As linhas de campo saem do pólo magnético norte, que está próximo ao pólo sul geográfico, e entram no pólo sul magnético, que está próximo ao pólo norte geográfico.

Os nomes dados aos pólos, pólo sul e pólo norte, receberam estes

nomes devido ao modo como se comportam na presença do campo

magnético terrestre. Se uma barra magnética é suspensa pelo seu ponto

médio e pode oscilar livremente em um plano horizontal, ele sofrerá

uma rotação até que seu pólo norte aponte para o Pólo Norte geográfico

da Terra e o seu pólo sul aponte para o Pólo sul da Terra. Esta é a idéia

básica usada na construção das bússolas.

Em 1600 William Gilbert (1540 – 1603) estendeu os experimentos

de Maricourt a uma variedade de materiais. Usando o fato que a agulha

da bussola orienta‐se em direções privilegiadas, ele sugeriu que a Terra

em si é uma grande magneto permanente. Em 1750 experiencias usando

uma balança de torção mostraram que os polos magneticos exercem

forças, atrativas ou repulsivas, uns sobre os outros e que estas forças

variam com o inverso do quadrado da distância. A Figura 8.2 ilustra estes

resultados.

145

Figura 8.2 Dois pólos iguais se repelem, mas dois pólos diferentes são atraídos.

Embora a força entre dois polos magneticos tenha caráter similar

a força entre cargas elétricas, existe uma diferença importante. Cargas

elétricas podem ser isoladas (exemplo do elétron e proton), enquanto

um único polo magnetico isolado nunca foi observado. Isto é, polos

magnéticos são sempre encontrado em pares.

A relação entre magnetismo e eletricidade foi descoberta em 1819

pelo cientista Hans Christian Oersted, que durante uma demonstração

para seus alunos observou que a passagem de corrente através de um

fio era capaz de desviar a agulha de uma bussola que estava proxima ao

fio. Em pouco tempo André Ampère (1755 ‐1836) formulou leis

quantitativas que permitiam o calculo da força magnética exercida por

um condutor portando corrente eletrica sobre um outro condutor no

qual flui uma corrente.

No final dos anos 1820 outras conexões entre eletricidade e

magnetismo foram demonstradas independentemente por Faraday

(1791 – 1867) e Joseph Henry (1797 – 1878). Eles mostraram que uma

corrente pode ser produzida em circuito ou movendo um magneto

proximo a um circuito ou variando a corrente em um circuito proximo.

Estas observações demonstravam que um campo magnetico variavel

cria um campo eletrico. Anos mais tarde Maxwell (1831 – 1879) em um

trabalho puramente teorico, mostrou que o inverso também era

verdadeiro: um campo elétrico variável dava origem ao aparecimento de

um campo magnético. Esta descoberta reuniu os fenomenos

146

Figura 8.3 A regra da mão direita para determinar a direção de uma força exercida sobre uma carga movendo‐se em um campo magnético (a) A força é perpendicular a ambas e e na direção de avanço da rosca do parafuso se girado na mesma direção que giramos para . (b) Se os dedos da mão direita estão na direção de tal que eles podem entrar em então o dedão aponta na direção da força

eletromagnéticos e a ótica sob um mesmo corpo teórico. Luz e

fenômenos eletromagnético são aspectos diferentes de um mesmo

fenomeno. A Luz é uma onda eletromagnética.

8.2 O Campo magnético

A existência de um campo magnético em algum ponto do

espaço pode ser demonstrada com a agulha de uma bussola. Se existe

um campo magnético, a agulha ficará alinhada na direção do campo.

Experimentalmente é observado que, quando uma carga

possuindo velocidade penetra numa região onde existe um campo

magnético , existirá uma força sobre a mesma que é proporcional a

e a e ao seno do ângulo entre e . Observa experimentalmente

que esta força é perpendicular ao campo e a velocidade. Estes

resultados experimentais são resumidos na expressão

8.1

A Figura 8.3 ilustra estas determinações.

A expressão escalar da Equação 8.1 é

sen 8.2

Onde é o modulo da força , é o modulo da velocidade e é o

modulo do campo magnético .

147

EXERCÍCIO RESOLVIDO

A Equação (8.1) define o campo magnético em termos da força

exercida sobre a carga em movimento. A unidade SI de campo

magnético é o tesla (T). Uma carga de um coulomb movendo‐se com

uma velocidade de um metro por segundo perpendicular a um campo

magnetico de um tesla experimenta uma força de um mewton:

1 1//

1 / · 8.3

Esta unidade é grande. O campo magnético terrestre possui um modulo

de 10 . Campos normalmente trabalhados em laboratorio variam

netre 0,1 e 0,5 . Assim é comum usar uma outra unidade, derivada do

sistema cgs, que é o gauss (G), e está relacionada ao tesla como segue:

1 10 8.4

Como os campos costumam ser dados em gauss, que não é uma unidade

SI, devemos lembrar para converter de gauss para teslas quando

fazemos os calculos.

Um elétron em tubo de imagem de televisão move‐se para frente do

tubo com velocidade de 8,0 10 / ao longo do eixo . Rodeando o

pescoço do tubo estão fios enrolados como espiras que criam um campo

magnético de modulo 0,025 , dirigido fazendo um ângulo de 60 com

o eixo , estando no plano . Calcule a força magnética sobre o elétron

e calcule a sua aceleração decorrente da ação desta força.

SOLUÇÃO

Usando a Equação (8.2), podemos determinar o modulo da força

magnética sobre o elétron:

| | sen

Substituindo valores numéricos para as quantidades à direita teremos

1,6 10 8,0 10 / 0,025 sen 60

2,8 10

148

Figura 8.4 Linhas de campo magnético de uma barra imantada, uma forma de dipolo magnético, como revelado pelo alinhamento dos pequenos pedaços de ferro

Como é a direção de positivo (seguindo a regra da mão direita) e

a carga é negativa, aponta na direção de negativo.

A massa do elétron é 9,11 10 , e assim sua aceleração é

2,8 10 9,11 10

3,1 10 /

na direção de negativo

Linhas do campo magnético

As linhas de campo enétrico dão uma descrição visual de um

campo elétrico. Os padroões formados em torno de uma barra

imantada, como mostra a Figura sugerem que a ideia de linhas de

campo pode ser estendida para o magnetismo. A direção de uma linha

de campo magnético em qualquer ponto é a direção de naquele

ponto. O espaçamento das linhas de campo inidica o módulo de – isto

é, quanto mais unidas estão as linhas, mais forte é o campo magnético

naquela região. A Figura 8.4 mostra as linhas de campo magnetico

desenhadas usando limalhas de ferro, colocadas próximas a uma barra

imantada. Diferente das linhas de campo elétrico que iniciam em cargas

positivas e terminam em cargas negativas, as linhas de campo magnético

formam caminhos fechados.

149

Fluxo Magnético

O fato das linhas de campo magnetico se iniciarem ou sairem do

polo norte e entrarem no polo sul do magneto, e dentro do magneto,

seguirem do polo sul para o polo norte, formando um caminho fechado,

resultará em fluxo de campo magnético nulo através de uma superfície

fechada que envolva o magneto. Formalmente podemos anunciar este

resultado como

, · 0 8.5

Esta é a lei de Gauss para o magnetismo. É o enunciado matemático que

não existem pontos no espaço dos quais linhas de campo magnético

divergem ou saem, ou para os quais convergem ou entram. Isto é, não

existem polos magnéticos isolados. A unidade fundamental do

magnetismo é o dipolo magnético.

8.3 Movimento de uma partícula carregada em um campo magnético

uniforme

A força magnética sobre uma partícula carregada movendo

através de um campo magnético é sempre perpendicular à velocidade

da partícula. A força magnética dessa forma muda a direção da

velocidade, mas não seu módulo. Portanto, campos magnéticos não

realizam trabalho sobre as partículas e não alteram suas energias

cinéticas.

No caso especial onde a velocidade da partícula é perpendicular a

um campo uniforme, como mostra a Figura 8.5, a partícula move‐se em

uma orbita circular. A força magnética fornece a força centripeta

necessária para a aceleração centripeta / no movimento circular.

Podemos usar a segunda lei de Newton para relacionar o raio do circulo

ao campo magnético e o módulo da velocidade da partícula. Se a

velocidade é , o modulo da força resultante é , uva vez que e

são perpendiculares. Da segunda lei de Newton segue que

150

Figura 8.5 Quando a velocidade de uma partícula carregada é perpendicular a um campo magnético uniforme, a partícula move‐se em um caminho circular em um plano perpendicular a . A força magnética agindo sobre a carga é sempre dirigida para o centro do circulo.

Exemplo resolvido

8.6

8.7

ou

8.8

O período do movimento circular é o tempo que a partícula toma

percorrer uma única vez a trajetoria circular. O período está relacionado

à velocidade pela expressão

2 8.9

Um proton de massa 1,67 10 e carga 1,6

10 move‐se em um circulo de raio de 21 cm peprendicular a um

campo magnético 4000 . Determine (a) o período do movimento

e (b) a velocidade do proton.

151

Solução

(a) Das Equações (8.8) e (8.9) segue que o período do movimento é dado

por

2

Com 0,4 obtem‐se o valor numerico

2 1,67 10 1,6 10 0,4

1,64 10

(b) Calculamos a velocidade da Equação (8.8)

0,21 1,6 10 0,4 1,67 10

8,05 10 /

O raio do movimento circular é proporcional ao modulo da velcidade,

mas o período é independente de ambos a velocidade e raio.

8.4 Aplicações envolvendo movimento de particulas carregadas na

presença de campo magnético.

Uma carga movendo‐se com uma velocidade na presença de

ambos, o campo elétrico e o campo magnetico , experimenta tanto a

força elétrica quanto a força magnetica . A força total

(chamada força de Lorentz) agindo sobre a carga é

8.10

Em muitos experimentos envolvendo o movimento de particulas

carregadas, é importante que as particulas se movam com a mesma

velocidade. Isto pode ser obtido aplicando uma comibinação de um

campo elétrico e um campo magnético como mostrado na Figura 8.6.

Um acmpo elétrico uniforme dirigido verticalmente para baixo (no plano

da página), e um campo magético uniforme é aplicado na direção

perpendicular ao campo elétrico (entrando na pagina da Figura 8.6).

Para uma carga positiva, a força magnética apontando para

152

Figura 8.6 (a) Um seletor de velocidades. Quando uma partícula carregada positivamente está presença de um campo magnético dirigido para dentro da página e um campo elétrico dirigido para baixo, ela experimenta uma força elétrica para baixo e uma força magnética para cima . (b) Quando estas forças se igualam, a partícula move‐se em uma linha reta horizontal através dos campos.

cima e a força elétrica está apontando para baixo. Quando os

modulos dos dois campos são escolhidos de modo que , a

partícula move‐se em linha reta horizontal através das região dos

campos. Da expressão segue que

8.11

Apenas aquelas partículas tendo velocidade passam sem sofrer

deflexão através dos campos elétrico e magnético. A força magnética

exercida sobre as partículas movendo com velocidades maiores que esta

é maior que a força elétrica, e as partículas são defletidas para cima.

Aquelas movendo‐se com velocidades menores serão defletidas para

baixo.

Um espectrometro de massa separa os íons de acordo com as suas

razões massa‐carga. A partícula entra numa região onde ocorre a

seleção da velocidade da partícula, onde se move em linha reta. Em

seguida, passando através de uma fenda escavada num anteparo,

penetra numa região com a presença apenas de um campo magnético

, passando a descrever uma orbita circular. Da Equação (8.8) tiramos

que

8.12

Usando (8.11) tiramos que

153

Figura 8.7 Um segmento de fio portando corrente está localizado em um campo magnético . A força magnética exercida sobre cada carga formando a corrente é , e a força total sobre o segmento de comprimento será .

8.13

Portanto podemos medir a razão / medindo o raio da curvatura da

trajetoria da partícula e conhecendo os módulos dos campos , e .

8.5 A Força magnética agindo sobre um condutor portando corrente

elétrica

Quando um fio porta uma corrente na presença de um campo

magnético, existe uma força sobre o fio que é igual à soma das forças

magnéticas sobre as partículas carregadas cujo movimento produz a

corrente. A Figura 8.7 mostra um curto segmento do fio de secção reta

e comprimento portando uma corrente . Se o fio está em um campo

magnético , a força magnética sobre cada carga é , onde é

a velocidade de arraste dos portadores de carga, que é o mesmo que

suas velocidades médias. O número de cargas no segmento de fio é o

número por unidade de volume vezes o volume . Assim, a força

total sobre o segmento de fio de comprimento é

8.14

Podemos escrever a Equação (8.14) em uma forma mais conveniente

observando que, (veja Equação 6.6). Portanto

8.15

154

Figura 8.8 Um segmento de fio de forma arbitraria portando uma corrente I em um campo magnético experimenta uma força magnética. A força sobre qualquer segmento é e está direcionado para fora da página. Use a regra da mão direita para confirmar esta direção de força.

onde é um vetor que aponta na direção da corrente e possui módulo

igual ao comprimento do segmento. Observe que esta expressão

aplica‐se apenas a um segmento reto de fio em um campo magnético

uniforme.

Agora considere um segmento de fio de forma arbitrária e seção

reta uniforme estando na presença de um campo magnético, como

mostrado na Figura 8.8. Segue da Equação (8.15) que a força magnética

exercida sobre um pequeno segmento de fio na presença do campo

é

8.16

onde está dirigida para fora da página considerando as direções

assumidas na Figura 8.8. Podemos considerar a Equação (8.16) como

uma equação alternativa para definir .

Para calcular a força total agindo sobre o fio mostrado na

Figura 8.8, integramos a Equação (8.16) sobre o comprimento do fio:

8.17

onde a e b representam os pontos extremos do fio.Quando esta

integração é executada o modulo do campo magnético e a direção que o

campo faz com o vetor (em outras palavras, com a orientação do

elemento de fio) pode diferir em pontos diferentes.

155

Figura 8.9 (a) Um fio curvo portando corrente em campo magnético uniforme. A força magnética total sobre o fio é equivalente à força sobre um fio reto de comprimento ligando as extremidades do fio. (b) Uma espira de corrente de forma arbitrária em um campo magnético uniforme. A força magnética total sobre a espira é zero.

Agora considere dois casos importantes em que o campo

magnético na Equação (8.17) é constante.

No primeiro caso temos um fio curvo portando uma corrente e

localizado em um campo , como mostrado na Figura 8.9 (a). Neste caso

a Equação (8.17) pode ser escrita como

8.18

uma vez que o campo é constante. A quantidade representa a

soma vetorial de todos os segmentos entre o extremo até o

extremo , equivalendo ao vetor . Portanto a Equação (8.18) reduz‐se

a

8.19

No segundo caso temos uma espira fechada, de forma arbitrária,

portando uma corrente , colocada em um campo magnético , como

mostrado na Figura 8.9 (b). Novamente podemos proceder como no

primeiro caso, reescrevendo a Equação (8.17) como

8.20

Como os elementos de comprimento que compõem a espira formam um

polígono fechado a soma vetorial destes na Equação (8.20) é nula. Assim

156

EXEMPLO RESOLVIDO

Figura 8.10 A força total agindo sobre uma espira de corrente fechada em um campo magnético uniforme é zero. Na montagem mostrada acima, a força sobre a porção reta da espira é 2 e dirigida para fora da página, e a força sobre a porção curva é 2 dirigida para dentro da página

0. A força magnética total agindo sobre qualquer espira de

corrente fechada em um campo uniforme é zero.

Um fio curvado como um semicírculo de raio forma um circuito

fechado e porta uma corrente . O fio está no plano , e um campo

magnético está dirigido ao longo do eixo positivo , como mostra a

Figura 8.10. Determine o modulo e direção da força magnética agindo

sobre uma porção reta do fio e sobre a porção curva.

SOLUÇÃO

A força agindo sobre a porção reta tem uma magnitude

2 porque 2 e o fio está orientado perpendicular a

. A direção de é para fora da página porque está ao longo do

eixo positivo. (Isto é, está apontando para a direita, na direção da

corrente; assim, de acordo com a regra do produto vetorial,

aponta para fora da pagina na Figura 8.10).

Para determinar a força agindo sobre a parte curva, primeiro

escrevemos uma expressão para a força sobre o elemento de

157

Figura 8.11 Qual dos fios experimenta a maior força magnética?

comprimento mostrado na Figura 8.10. Se é o ângulo entre e ,

então o módulo de é

sen

Para integrar esta expressão, devemos expressar em termos de

. Porque , temos , e podemos fazer esta substituição

para :

sen

Para obter a força total agindo sobre a porção curva, podemos

integrar esta expressão para levar em consideração as contribuições de

todos os elementos . A direção da força sobre qualquer elemento é a

mesma: entrando na página. Portanto, a força resultante sobre a

porção curva do fio deve também estar entrando na pagina. Integrando

nossa expressão para sobre os limites 0 a (isto é,

semicírculo inteiro) fornece

sen – cos

cos cos 0 2

Porque , com o módulo de 2 , está dirigido para dentro da pagina e

porque , com modulo de 2IRB, está dirigido para fora da pagina, a

força resultante sobre a espira fechada é zero. Este resultado está

consistente com o caso discutido anteriormente.

Exercício Os quatro fios mostrados na Figura 8.11 todos portam a

mesma corrente do ponto ao ponto através do mesmo campo

magnético. Ordene os fios de acordo com o modulo da força magnética

exercida sobre eles, do maior para o menor.

158

Figura 8.12 (a) A orientação de uma espira é descrita pelo vetor unitário perpendicular ao plano da espira (b) A regra da mão direita para determinar o sentido de . Quando os dedos da mão direita são encurvados em torno da espira na direção da corrente, o polegar aponta na direção de . (c) Espira de corrente retangular cujo vetor unitário normal faz um ângulo com um campo magnético uniforme . O torque sobre a espira tem módulo

sen e está na direção tal que tende a rotacionar em direção a .

8.5 Torque sobre uma espira de corrente em um campo magnético

uniforme

Uma espira fechada portando corrente está sujeita a uma força

resultante nula quando na presença de um campo uniforme, mas está

sujeita a um torque que tende a oscilar em torno de um eixo. A

orientação da espira pode ser descrita convenientemente por um vetor

unitário que é perpendicular ao plano da espira, como mostrado na

Figura 8.12.

A Figura 12(c) mostra as forças exercidas por um campo

magnético uniforme sobre uma espira retangular cujo vetor unitário

normal faz um ângulo com o campo magnético . A força total sobre

a espira é nula. As forças e têm modulo

8.21

Estas forças formam um binário de modo que o torque é o mesmo em

torno de qualquer ponto. O ponto P na Figura 12 (c) é um ponto

conveniente em torno do qual calcular o torque. O modulo do torque é

sen sen sen 8.22

159

Exemplo resolvido

onde é a área da espira. Para uma espira com voltas o torque

tem modulo igual a

sen 8.23

Este torque tende a girar a espira desde que seu plano esteja

perpendicular a

Definindo

8.24

como o momento de dipolo magnético (também referido simplesmente

como momento magnético)o torque pode ser escrito como

8.25

A unidade SI de momento magnético é o ( ).

A Equação (8.25), deduzida para uma espira fechada retangular,

vale em geral para uma espira plana de forma qualquer. O torque sobre

qualquer espira é o produto vetorial do momento magnético da espira

e o campo magnético , onde o momento magnético é definido para ser

um vetor que é perpendicular à área da espira e tem modulo igual a

.

Um bobina circular com raio de 2 possui 10 de fio e porta um

corrente de 3 ; O eixo da bobina faz um ângulo de 30 com um campo

magnético de 8000 . Determine o modulo do torque sobre a bobina.

Solução

O modulo do torque é dado pela Equação (8.25)

sen sen 30

Agora o módulo do momento magnético da bobina é

10 3 0,02 3,77 10

Assim o modulo do torque é

sen 3,77 10 · 0,8 sin 30

160

Figura 8.13

Exemplo resolvido

1,51 10 ·

Uma espira circular de raio , massa e corrente está sobre uma

superfície rugosa. Veja a Figura 8.13 (a). Existe um campo magnético

horizontal . Quão grande pode ser a corrente antes que uma borda

da espira levante da superfície?

Solução

A espira começa a levantar quando o torque magnético iguala‐se ao

torque gravitacional (Figura 8.13 (b).

O torque magnético agindo sobre a espira:

O torque gravitacional exercido sobre a espira é

Igualando os torques e resolvendo para , a corrente, obtemos

Quando um torque é exercido através de um ângulo, trabalho é

realizado. Quando um dipolo é girado através de um ângulo , o

trabalho realizado é

sen 8.26

161

Figura 8.14

Exemplo Resolvido

O sinal menos aparece porque o torque tende a diminuir . Igualando

este trabalho ao decrescimo da energia potencial, teremos

sen 8.27

Integrando, obtemos

cos · 8.28

Esta é a expressão da energia potencial de um dipolo magnético fazendo

um ângulo com um campo magnético .

Um espira quadrada com 12 com lados de 40 porta

uma corrente de 3 . Ela está no plano , como mostrado na Figura

8.14, imerso em um campo uniforme 0,3 0,4 . Determine

(a) O momento magnético das espira e (b) o torque exercido sobre a

espira. (c) Determine a energia potencial da espira.

Solução

Da Figura 8.14 vemos que o momento magnetico da espira está

apontando na direção de positivo.

(a) O cálculo do momento magnéticoda espira, usando a Equação (8.24),

fornece

12 3 0,40

5,76 ·

162

(b) O calculo do torque sobre a espira de corrente, usando a Equação

(8.25) fornece

5,76 · · 0,3 0,4 1.73 ·

(c) A energia potencial, de acordo com a Equação (8.28) é o negativo do

produto interno de e :

· 5,76 · · 0,3 0,4 2,30

Nos cálculos acima usamos que 0 e , · 0 e

· 1

Exercício Calcule se a espira gira de modo que esteja alinhado

com .

Quando um pequeno magneto permanente tal como a agulha de uma

bussola é colocado em um campo magnético , o campo exerce um

torque sobre o magneto que tende a girar o magneto de modo que

alinhe com o campo. Este efeito também ocorre com limalhas de ferro

não magnetizadas previamente, que torna‐se magnetizada na presença

de um campo . A barra do magneto é caracterizada por um momento

magnético que aponta do polo sul para o polo norte. Uma barra

magnetica pequena assim comporta‐se como uma espira de corrente. A

origem do momento magnético de uma barra magnética é, de fato,

espiras microscópicas de correntes que resultam do movimento de

elétrons nos átomos do magneto.

QUESTÕES

Q1 Em um dado instante, um próton move‐se na direção positiva em

uma região onde um campo magnético está dirigido na direção de

negativo. Qual é a direção da força magnética? O próton continua a se

mover na direção de positivo? Explique.

Q2 Duas partículas carregadas são projetadas em uma região onde um

campo magnético é dirigido perpendicular às suas velocidades. Se as

163

cargas são defletidas em direções opostas, o que pode ser dito sobre

elas?

Q3 Se uma partícula carregada move‐se em linha reta através de alguma

região do espaço, podemos dizer que o campo magnético naquela

região é zero?

Q4 Suponha que um elétron está perseguindo um próton acima da

pagina quando subitamente um campo magnético perpendicular

entrando na pagina é ligado. O que acontece às partículas?

Q5 Como pode o movimento de uma partícula carregada em movimento

ser usado para distinguir entre um campo magnético e um campo

elétrico? Dê um exemplo específico para justificar seu argumento.

Q6 Liste várias similaridades e diferenças entre forças magnéticas e

elétricas.

Q7 Justifique a seguinte declaração: ”É impossível para um campo

magnético constante (em outras palavras, independente do tempo)

alterar a velocidade de uma partícula carregada”.

Q8 Em vista da afirmativa anterior (Q7), qual é o papel de um campo

magnético em um cíclotron?

Q9 Um condutor portando corrente experimenta nenhuma força

magnética quando colocado de certa maneira em um campo magnético

uniforme. Explique.

Q10 É possível orientar uma espira de corrente em um campo

magnético uniforme tal que a espira não tenha a tendencia de girar?

Explique.

Q11 Como pode uma espira de corrente ser usada para determinar a

presença de um campo magnético em uma dada região do espaço?

Q12 Qual é a força resultante agindo sobre a agulha de uma bussola em

um campo magnetico uniforme?

Q13 Que tipo de campo magnético é exigido para exercer uma força

resultante sobre um dipolo magnético? Qual é a direção da força

resultante?

164

Figura 8.15

Figura 8.16

Q14 Um proton movendo‐se

horizontalmente entra em uma região

onde um campo magnético uniforme

está dirigido perpendicularmente à

velocidade do proton, como mostrado

na Figura 8.15. Descreva o movimento

subsequente do proton. Como um

elétron se comportaria sob as mesmas

circunstancias?

Q15 Em uma garrafa magnética, o que leva a direção da velocidade das

partículas confinadas a inverterem‐se (Sugestão: Determine a direção da

força magnética agindo sobre as partículas em uma região onde as

linhas de campo convergem.)

PROBLEMAS

P1 Compare as direções do campo elétrico e

forças magnéticas entre duas cargas positivas,

que se movem ao longo de caminhos paralelos

(a) na mesma direção, e (b) em direções

opostas.

P2 Determine a direção inicial da deflexão de

partículas carregadas quando elas entram em

campos magnéticos, como mostrado na Figura

8.16

P3 Considere um elétron próximo a superfície do equador Terrestre. Em

que direção ele tende a ser defletido se sua velocidade está dirigida (a)

para baixo, (b) para o norte, (c) para o oeste, ou (d) para o sudeste?

P4 Um elétron movendo‐se ao longo do eixo positivo perpendicular a

um campo magnético experimenta uma deflexão magnética na direção

de negativo. Qual é a direção do campo magnético?

P5 Um próton desloca‐se com uma velocidade de 3,00 10 /

fazendo um ângulo de 37,0 com a direção de um campo magnético de

165

0,300 na direção . Quais são (a) o modulo da força magnética sobre

o próton e (b) sua aceleração?

P6 Um próton move‐se em uma direção perpendicular a um campo

magnético uniforme a 1,00 10 / e experimenta uma aceleração

de 2,00 10 / na direção . Determine o modulo e direção do

campo.

P7 Um próton move‐se com uma velocidade 2 4 / em

uma região em que o campo magnético é 2 3 . Qual é o

modulo da força magnética que esta carga experimenta?

P8 Um elétron é projetado em um campo magnético uniforme

1,40 2,10 . Determine a expressão vetorial para aforça sobre

o elétron quando sua velocidade é 3,70 10 / .

P9 Um fio tendo uma massa por unidade de comprimento de 0,500 /

porta uma corrente de 2,00 horizontalmente para o sul. Quais são

a direção e módulo do campo magnético minimo necessario para

levantar este fio verticalmente para cima?

P10 Um fio porta uma corrente estacionária de 2,40 . Uma porção reta

do fio tem comprimento de 0,750 e está ao longo do eixo dentro de

um campo magnetico uniforme 1,60 na direção positiva. Se a

corrente está na direção , qual é a força magnética sobre esta porção

do fio?

P11 Um fio de 2,80 de comprimento porta uma corrente de 5,00

em uma região onde um campo magnético uniforme possui módulo de

0,390 . Calcule o modulo da força magnética sobre o fio se o ângulo

entre o campo magnético e a corrente é (a) é 60,0 , (b) 90,0 , (c) 120 .

P12 Uma pequena barra magnética está suspensa em um campo

magnético uniforme de 0,250 . O torque máximo experimentado pela

barra magnética é 4,60 10 · . Calcule o momento magnético da

barra.

166

Figura 8.17

P13 Uma espira retangular consiste de 100

voltas densamente empacotadas com dimensões

0,400 e 0,300 . A espira está

alinhada ao longo do eixo , e seu plano faz um

ângulo 30 com o eixo , como mostrado na

Figura 8.17. Qual é o modulo do torque exercido

sobre a espira por um campo magnético uniforme

0,800 dirigido ao longo do eixo quando a

corrente é 1,20 na direção mostrada? Qual é

a direção esperada de rotação da espira?

P14 Um elétron colide elasticamente com um segundo elétron

inicialmente em repouso. Após a colisão, o raio de suas trajetórias são

1,00 e 2,40 . As trajetórias são perpendiculares a um campo

magnético uniforme de modulo 0,044 . Determine a energia (em )

do elétron incidente.

P15 Um próton movendo‐se em um caminho circular perpendicular a

um campo magnético toma 1,00 para completar uma revolução.

Determine o modulo do campo magnético.

BIBLIOGRAFIA

TIPLER P. A., MOSCA G. Physics for scientists and Engineers, sixth edition, Freeman, New York, 2008.

HALLIDAY D., Resnick R., Walker J., Física Fundamental, vol 3, Livros Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro, 2004

HALLIDAY D., RESNICK R., KRANE S., Física vol. 3, LTC, Rio de Janeiro, 2000

HEWITT P, Física Conceitual, Longman, 9ª edição, Rio Grande do Sul, 200x

NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de Janeiro, 200X

CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics, John Wiley, New York, 2004.

YOUNG H. D., FREEDMAN, R. A. Física 3: Eletromagnetismo, Pearson, São Paulo, 2008.

167

CAPÍTULO 9 A LEI DE AMPÈRE

RESUMO

Nesta unidade apresentaremos o análogo do lei de Coulomb e

da lei de Gauss para o magnetismo que são as leis de Biot – Savart e Leis

de Ampère, enfatizando as dificuldades e facilidades de cálculo do

campo magnético quando o sistema apresenta um maior ou menor

simetria na sua geometria.

168

9 A LEI DE AMPÈRE

9.1 Lei de Biot – Savart 168

9.2 Lei de Ampère 173

9.3 A lei de Ampère e os solenóides 176

Questões 178

Problemas 179

Bibliografia 181

169

Em situações em que as distribuições de carga são altamente

simétricas, o calculo do campo elétrico torna‐se muito mais facil usando

a lei de Gauss do que a lei de Coulomb. Uma situação similar existe em

magnetismo. Vamos calcular o campo magnetico gerado na vizinhança

de um fio condutor longo e reto portando uma corrente , através de

integração direta (lei de Biot – Savart) e explorando a simetria da

distribuição de corrente (lei de Ampère)

9.1 Lei de Biot – Savart

Quando uma carga puntual move‐se com velocidade , ela

produz um campo magnético no espaço dado por

4 9.1

é um vetor unitário que aponta da carga para o ponto P onde

estamos medindo o campo e é uma constante de poporcionalidade

chamada a permeabilidade do espaço livre2, que tem o valor

4 10 / 4 10 / 9.2

As unidades de são tais que está em Tesla quando está em

Coulombs, em metros por segundo, e está em metros. A unidade

/ vem do fato que 1 1 / · . A constante 1/4 é

arbitrariamente incluida na Equação (9.2) de modo que o fator 4 não

aparecerá na lei de Ampère, a ser discutida na próxima seção.

Na Equação (9.1) trocando por , obtemos o campo

magnético gerado pelo elemento de corrente no ponto é dado pela

expressão

4 9.3

2 Devemos tomar cuidado para não confundir a constante com o momento magnético .

170

Figura 9.1 (a) O campo magnético no ponto devido a corrente fluindo através do elemento de comprimento é dado pela lei de Biot – Savart. A direção do campo está saindo da página em e entrando na página em ’. (b) O produto vetorial aponta para fora da página quando aponta em direção a . (c) O produto vetorial aponta para dentro da página quando aponta em direção .

Exemplo resolvido

Veja Figura 9.1 para detalhes sobre a geometria do problema. A

Equação (9.3) é conhecida como a lei de Biot – Savart que é para o

magnetismo, o mesmo que a lei de Coulomb é para a eletrostática.

O campo magnético total , criada em algum ponto por uma

corrente de tamanho finito, é determinado somando as constribuições

de todos os elementos de corrente que formam a corrente.

Integrando a Equação (9.3) obtemos

4 9.4

com a integração sendo realizada sobre toda a distribuição de corrente.

Para ilustrar os cuidados no manuseio da integral na Equação

(9.4), uma vez que o seu integrando envolve um produto vetorial, vamos

apresentar o Exemplo resolvido abaixo.

Considere um fio fino, reto portando uma corrente constante e

colocado ao longo do eixo como mostrado na Figura 9.2. Determine o

módulo e direção do campo magnético no ponto devido a esta

corrente.

171

Figura 9.2 (a) Fio fino, reto, transportando uma corrente . O campo magnético no ponto devido à corrente em cada elemento do fio aponta para fora da pagina, de modo que o campo total no ponto está também apontando para fora da pagina. (b) Os angulos e , são usados para determinar o campo total. Quando o fio é infinitamente longo, 0 e

180 .

Solução

A direção do campo magnético no ponto P devido a corrente no

elemento de comprimento está apontando para fora da página

porque aponta para fora da página. De fato, uma vez que todos

os elementos de corrente estão no plano da página, eles todos

produzem um campo magnético dirigido para fora da pagina no ponto P.

Assim, temos a direção do campo magnético no ponto , precisamos

agora apenas determinar o módulo do campo.

Tomando a origem em e fazendo o ponto P está ao longo do

eixo positivo, com sendo o vetor unitario apontando para fora da

pagina, vemos que

sen

onde representa o módulo de . Como é um vetor

unitario, a unidade do produto vetorial é simplesmente a unidade de ,

que é o comprimento. A substituição da expressão acima na Equação

(9.4) resulta em

4sen

9.5

Para resolver esta integral devemos relacionar as variáveis , e . Da

geometria do problema tiramos que

172

Figura 9.3 O campo magnético em devido a corrente no segmento curvo está entrando na pagina. A contribuição para o campo em devido à corrente nos dois segmentos retos é zero.

sencsc 9.6

Porque tan / para o triangulo da direita na Figura 9.2 (a) (o

sinal neativo é necessário porque está localizada em um valor

negativo de ), temos

cot 9.7

Tomando a derivada desta expressão obtemos

csc 9.8

Substituindo os resultados (9.6) e (9.8) na Equação (9.5) ficamos com

4csc sin

csc 4sin

4cos cos 9.9

Para o caso especial em que tomamos um fio infinitamente longo (veja a

Figura 9.2 (b) para um melhor entendimento), temos que 0 e

para a soma de elementos de comprimento entre as posições

∞ e ∞. Como cos cos cos 0 cos 2, a

Equação (9.9) torna‐se

2 9.10

Vemos deste resultado que o módulo de é proporcional ao módulo da

corrente e decresce com o aumento da distância ao fio

Exercício Calcule o módulo do

campo magnético a 4,0

de um fio infinitamente

longo, reto e portando uma

corrente de 4,0 .

Resposta 2,5 10

Exercício Calcule o campo

magnético no ponto para o

segmento de fio portando

173

Figura 9.4 Geometria para calcular o campo magnético em estando sobre o eixo de uma espira de corrente. Por simetria, o

campo total está ao longo do eixo.

corrente mostrado na Figura 9.3. O fio coniste de duas porções retas e

um arco circular de raio , que subtende um ângulo . As setas sobre o

fio indicam a direção da corrente

Resposta / 4 é entra na página

Exercício Uma espira circular de raio formada por um fio porta uma

corrente . Qual é o módulo do campo magnético no seu centro?

Resposta /2

Exercício Considere um espira circular de raio formada por um fio,

localizada no plano e portando uma corrente estacionária , como

mostrado na Figura 9.4. Calcule o campo magnético em um ponto axial P

a uma distância x do centro da espira

Resposta em 0

Do Exemplo resolvido vemos que o campo magnético, na

vizinhança de um fio infinitamente longo e portando uma corrente ,

possui o mesmo valor para pontos equidistantes do fio e com a direção

sempre tagente ao circulo que envolve o fio, como mostra a Figura 9.5.

O sentido do campo em torno do fio é indicado pela direção da

ponta dos dedos da mão direita envolvendo o fio, com o polegar

174

Figura 9.5 A regra da mão direita para determinar a direção do campo magnético em torno de um fio longo, reto e portando uma corrente . As linhas do campo magnético formam círculos em torno do fio.

apontado no sentido da corrente. Vamos agora apresentar um método

que explora a simetria apresentada na Figura 9.5.

9.2 Lei de Ampère

A lei de Ampère, que relaciona a componente tangencial de

somada em torno de uma curva fechada , à corrente que passa

através da curva, pode ser usada para obter uma expressão para o

campo magnético em situações que tenha um alto grau de simetria. Na

forma matemática, o enunciado da lei de Ampère é

· , é 9.11

onde é a corrente total que atravessa a área limitada pela curva . A

lei de Ampère vale para qualquer curva fechada desde que as

correntes sejam continuas, isto é, elas não iniciem ou finalizem em

algum ponto finito. A lei de Gauss e a lei de Ampère são ambas de

considerável importancia teorica, e ambas valem se existe ou não

simetria, mas se não existe simetria, nem é util para calcular o campo

elétrico ou o campo magnetico.

A aplicação mais simples da lei de Ampère é para determinar o

campo magnético produzido por um fio infinitamente longo, reto,

portando uma corrente, como mostrado na Figura 9.5. Na Figura 9.5

observamos uma curva circular em torno de um ponto sobre um fio

175

Figura 9.6 Um fio longo de raio portando uma corrente estacionária distribuída uniformemente através da seção reta do fio. O campo magnético em qualquer ponto pode ser calculado usando a lei de Ampère traçando um caminho circular de raio , concêntrico com o fio.

Exemplo Resolvido

longo com seu centro no fio. Considerando que estamos longe das

extremidades do fio, podemos usar a simetria para rejeitar a

possibilidade de qualquer componente de paralela ao fio. Podemos

então supor que o campo magnético é tangente a este circulo e possui o

mesmo modulo em qualquer ponto sobre o circulo. A lei de Ampère

então dá

·

Colocamos fora da integral porque ele possui o mesmo valor em

qualquer ponto sobre o circulo. A integral de em torno do circulo

iguala a 2 , a circunferencia do circulo. A corrente é a corrente no

fio. Assim obtem‐se, fazendo ,

2

Ou seja, resolvendo para

2 42 9.12

Este é o mesmo resultado da Equação (9.10), obtido através da

integração direta da lei de Biot – Savart, sem recorrer as propriedades

de simetria do problema.

Um fio longo, reto de raio portando uma corrente que está

uniformemente distribuída sobre a área seccional reta do fio. Determine

o campo tanto fora ( ) quanto dentro ( ) do fio.

176

Solução

Podemos usar a lei de Ampère para calcular devido o alto grau de

simetria. A uma distância , veja Figura 9.6, sabemos que é tangente

ao circulo de raio em torno do fio e constante em modulo em toda

parte a mesma distância em torno do circulo. A corrente através de

depende se é menor que ou maior que o raio do fio .

Aplicando a lei de Ampère a um circulo de raio obtemos

· 2

Resolvendo para obtemos

2 9.13

Fora do fio, , a corrente que flui através da área seccional do

circulo é a corrente total, isto é, . Assim o valor do campo é

2 9.14

Dentro do fio, , a corrente fluindo através de é ( / ) vezes

a corrente total , isto é,

9.15

Assim o campo magnético de (9.15) e (.13) possui módulo igual a

2 21

2 9.16

Vemos deste Exemplo resolvido que o campo magnético devido a uma

corrente uniformemente distribuída sobre um fio de raio é dado por

2,

2,

9.17

Observamos da Equação (9.17) que dentro do fio o campo aumenta com

a distância ao centro do fio e que fora do mesmo, como já observado

177

Figura 9.7. Módulo do Campo magnético em função do raio para o fio mostrado na Figura 9.6. O campo é proporcional a dentro do fio e varia como 1/ fora do fio.

Figura 9.8 Desenho esquemático de um solenóide formado por espira densamente empacotadas em torno de um núcleo, mostrando as linhas de campo magnético

anteriormente, decresce com a distância ao centro do fio. Estas

conclusões estão ilustradas graficamente na Figura 9.7.

9.3 A lei de Ampère e os solenóides

Vamos aplicar a lei de Ampère para calcular o campo magnético

em um solenóide. Um solenóide consiste de espiras de fios enroladas

muito próximo uma das outras em torno de um núcleo como mostrado

na Figura 9.8. Vamos supor que existam voltas de fio, cada portando

uma corrente . Queremos determinar o módulo do campo gerado

por esta distribuição de corrente.

Para calcular o campo , calculamos a integral de linha ·

em torno de um caminho circular de raio centrado na metade do

178

Figura 9.9 Visão da seção reta de um solenóide ideal, onde o campo magnético no seu interior é uniforme e o campo magnético externo é nulo. A lei de Ampère aplicada ao caminho tracejado 1234 pode ser usada para calcular o módulo do campo no interior.

toróide. Por simetria, é tangente a este circulo e constante em módulo

em qualquer ponto sobre o circulo. Observamos da Figura 9.8 que o

campo, devido a cada volta, é reforçado no interior do solenóide à

medida que aumenta o número de espiras e estas vão se tornando cada

vez mais unidas. Os campos apontam cada vez mais na mesma direção.

No exterior acontece o inverso, o campo vai enfraquecendo à medida

que aumenta o número de voltas e as espiras vão se adensando. O

campo devido a uma espira aponta em sentido contrário ao campo

produzido pela espira vizinha. No solenóide ideal, cuja porção é

mostrada na Figura 9.9, o campo no interior do solenóide, para pontos

longe das extremidades do mesmo, é uniforme e paralelo ao eixo do

solenóide e é zero para pontos fora do solenóide.

Vamos então aplicar a lei de Ampère ao caminho tracejado 1234

mostrado na Figura 9.9.

· · · · ·

0 0 · 0 9.18

onde é a corrente atravessando a seção reta de área , percorrendo

as voltas do fio portando a corrente . A corrente total atravessando

esta seção reta é portanto

9.19

179

Figura 9.10 A lei de Ampère vale para a curva fechada englobando a corrente na espira circular, mas não é útil para determinar , uma vez que não é constante ao longo da curva e também não é tangente.

Assim de (9.18) e (9.19) segue que o campo produzido pelo solenóide é

nulo para pontos fora do solenoide e igual a

é a densidade de espira por unidade de comprimento.

A lei de Ampère é útil para calcular o campo magnético apenas

quando existe um alto grau de simetria. Considere a espira de corrente

mostrada na figura 9.10. De acordo com a lei de Ampère, a integral de

linha ao longo do caminho , · é igual a 0 . Embora a lei de

Ampère seja válida para esta

curva, o campo magnético

não é constante ao longo de

qualquer curva que circunde

a corrente, nem é tangente a

quaisquer de tais curvas.

Assim, não existe simetria

suficiente nesta situação que

permita‐nos calcular

usando a lei de Ampère.

Questões

Q1 O Campo magnético é criado por uma espira de corrente uniforme?

Explique.

Q2 Uma corrente em um condutor produz um campo magnético que

pode ser calculado usando a lei de Biot – Savart. Porque corrente é

definida como a taxa de fluxo de carga, o que você pode concluir a

respeito do campo magnético produzido por cargas estacionárias?

Q3 Dois fios paralelos portam correntes em direções opostas. Descreva a

natureza do campo magnético criado pelos dois fios em pontos (a) entre

os fios e (b) foras dos fios, em um plano contendo‐os.

180

Q4 A lei de Ampère é valida para todos os caminhos fechados rodeando

um condutor? Por que não é util para calcular para todos de tais

caminhos?

Q5 Compare a lei de Ampère com a lei de Biot‐Savart. Qual é, de forma

geral, a mais util para cálculo de para um condutor portando

corrente?

Q6 Descreva as semelhanças entre a lei de Ampère em magnetismo e a

lei de Gaus em eletrostática.

Q7 Um tubo de cobre oco porta uma corrente ao longo do seu

comprimento. Porque 0 dentro do tubo? é não nulo fora do

tubo?

Q8 Por que é não nulo fora de um solenóide? Por que 0 fora de

um toroide? (Lembre‐se que as linhas de devem formar caminhos

fechados.)

Q9 Descreva a variação no campo magnético no interior de um

solenóide portando uma corrente estacionaria (a) se o comprimento

do solenóide é duplicado, mas o número de voltas permanece o mesmo

e (b) se o numero de voltas é duplicado, mas o comprimento permanece

o mesmo.

Q10 Uma espira condutora chata é posicionada em um campo

magnetico uniforme dirigido ao longo do eixo . Para que orientação da

espira é o fluxo, através dela, máximo? Mínimo?

Problemas

P1 Uma curva fechada abarca vários condutores. A integral de linha

· em torno desta curva é 3,83 10 · . (a) Qual é a corrente

total nos condutores? (b) Se você fosse integrar em torno da curva na

direção oposta, qual seria o valor da integral de linha? Explique.

181

Figura 9.11

P2 Um condutor solido com raio é suportado

por discos isolantes sobre o eixo de um tubo

condutor com raio interno e raio externo ,

como mostrado na Figura 9.11. O condutor

central e tubo portam correntes iguais em

direções opostas. As correntes são distribuídas

uniformemente sobre as seções retas de cada

condutor. Deduza a expressão para o modulo do

campo magnético (a) em pontos fora do

condutor solido central, mas dentro do tubo ( ) e (b) em

pontos fora do tubo ( )

P3 Um fio longo, reto, cilíndrico de raio porta uma corrente

uniformemente distribuída sobre sua seção reta. Em que local é o

campo magnético produzido por estas correntes igual a metade do seu

maior valor? Considere pontos dentro e fora do fio.

P4 A lei de Biot – Savart é semelhantes a lei de Coulomb em que ambas

(a) São leis do inverso do quadrado.

(b) Tratam com forças sobre partículas carregadas.

(c) Tratam com excesso de cargas.

(d) Incluem a permeabilidade do espaço livre.

(e) Não são de natureza elétrica.

P5 Um pequeno elemento de corrente , com 2 e 2 ,

está centrado na origem. Determine o campo magnético nos

seguintes pontos: (a) sobre o eixo em 3 , (b) sobre o eixo em

6 , (c) sobre o eixo em 3 , e (d) sobre o eixo em

3

P6 Para o elemento de corrente no problema P5 determine o modulo e

direção de em 0, 3 , 4 .

P7 Uma espira de corrente circular de raio portando corrente está

centrada na origem com seu eixo ao longo do eixo . Sua corrente é tal

que ela produz um campo magnético na direção positivo. (a)

Esquematize o gráfico de versus para pontos sobre o eixo . Inclua

tanto valores positivos quanto negativos de . Compare este Gráfico

182

Figura 9.12

Figura 9.13

com aquele para devido a um anel carregado do mesmo tamanho. (b)

Uma segunda espira de corrente idêntica portando uma corrente igual

no mesmo sentido, está em um plano paralelo ao plano com seu

centro em . Esquematize gráficos do campo magnético sobre o

eixo devido a cada espira separadamente e o campo resultante devido

as duas espirar. Mostre de seus esquemas que / é zero na

metade entre as duas espiras.

P8 Calcule o modulo do campo magnético em um ponto a 100 de

um condutor longo, fino portando uma corrente de 1,00 .

P8 Um condutor consiste de uma espira circular

de raio 0,100 e duas seções retas, longas,

como mostrado na Figura 9.12. O fio está no plano

do papel e porta uma corrente 7,00 .

Determine o modulo e direção do campo

magnético no centro da espira.

P9 Quatro condutores longos, paralelos portam

correntes iguais 5,00 . A figura 9.13 é uma

visão da extremidade dos condutores. A direção

da corrente é entrando na página nos pontos e

(indicados por cruzes) e saindo da pagina em

e (indicados por pontos). Calcule o modulo e

direção do campo magnético no ponto ,

localizado no centro do quadrado com um

comprimento de aresta de 0,200 .

P10 Um fio longo, reto está sobre uma mesa horizontal e porta uma

corrente de 1,20 . No vácuo, um próton move‐se paralelo ao fio

(oposto à corrente) com velocidade constante de 2,30 10 m/s a uma

distancia acima do fio. Determine o valor de . Você pode ignorar o

campo magnético devido a Terra.

BIBLIOGRAFIA

183






2000


200x


Janeiro, 200X




São Paulo, 2008.

184

CAPÍTULO 10 A LEI DE FARADAY

RESUMO

Nesta unidade apresentaremos um resultado importante para o

estudo do eletromagnetismo, que é a lei de Faraday. Esta lei explica o

funcionamento de diversos dispositivos eletrônicos do nosso uso diário,

tais como os motores elétricos, disco rígido de micro‐computadores. O

funcionamento de uma usina de geração de eletricidade, algo muito

fundamental na nossa sociedade, é baseado na lei de Faraday.

185

10 A LEI DE FARADAY

10.1 Introdução 185

10.2 O fluxo magnético 185

10.3 A lei de Lenz 188

Questões 194

Problemas 196

Bibliografia 200

186

9.1 Introdução

O que cata‐ventos, detectores de metal, gravadores de vídeo,

discos rígidos para computadores e os telefones celulares têm em

comum? Surpreendentemente, todas essas diferentes tecnologias

provêm de um único princípio científico: a indução eletromagnética. A

indução eletromagnética é o processo de geração de uma corrente

elétrica por meio da variação do campo magnético que atravessa o

circuito.

As muitas aplicações da indução eletromagnética fazem dela um

importante tópico de estudo. Mais fundamentalmente, a indução

eletromagnética estabelece um vínculo importante entre a eletricidade

e o magnetismo, uma ligação com implicações importantes para a

compreensão da luz como onda eletromagnética.

A indução eletromagnética é um tópico sofisticado, de modo que

vamos desenvolvê‐lo gradualmente. Primeiro, examinaremos os

diferentes aspectos da indução e nos familiarizaremos com suas

características básicas.

Os objetivos deste capítulo são adquirir habilidades (i) para

calcular o fluxo magnético e a corrente induzida por um campo

magnético variável e (ii) para usar a lei de Lenz e a lei de Faraday para

determinar o sentido a intensidade de correntes induzidas.

No final dos anos 1830, Michael Faraday na Inglaterra e Joseph

Henry na América descobriram independentemente que um campo

magnético variável induz uma corrente em um fio. A fem e correntes

criadas com a variação do campo magnético são chamadas fem’s

induzidas e correntes induzidas. O processo em si é conhecido como

indução magnética.

10.2 O fluxo magnético

O fluxo do campo magnético através de uma superfície é definido

de forma semelhante ao fluxo de um campo elétrico. Seja um

elemento de área sobre a superfície e o vetor unitário perpendicular

187

Figura 10.1

Figura 10.1 Uma espira condutora que engloba uma área A na presença

de um campo magnético uniforme . O ângulo entre e a normal à espira é .

ao elemento. Veja Figura 10.1 para detalhes da geometria do problema.

O fluxo magnético é definido como

· 10.1

A unidade de fluxo magnético é a unidade de campo magnético ( no

sistema SI) vezes a unidade de área ( no sistema SI), que chamado de

weber ( ):

1 1 1 10.2

Como é proporcional ao número de linhas de campo por unidade de

área, o fluxo magnético é proporcional ao numero de linhas através da

área.

Exercício Mostre que um weber por segundo é um volt.

Se a superfície é um plano com área , e é constante em

módulo e direção sobre a superfície e faz um ângulo com o vetor

unitário normal, o fluxo é

cos 10.3

188

Exercício resolvido

O fluxo através de uma bobina contendo várias voltas de fio, digamos

voltas, é N vezes o fluxo através de cada volta, isto é,

cos 10.4

Determine o fluxo magnético através de um solenóide com 40 de

comprimento, de raio igual a 2,5 , tendo 600 voltas, portando uma

corrente de 7,5 .

Solução

O campo magnético dentro do solenóide é uniforme e está ao longo do

eixo do solenóide. É, portanto, perpendicular ao plano da bobina. Assim

precisamos determinar o campo dentro do solenóide e então

multiplicado por .

O fluxo magnético é o produto do número de voltas, o campo

magnético, e a área da bobina

10.5

O campo magnético dentro do solenóide é dado por ,

onde / é o número de voltas por unidade de comprimento

10.6

A área de uma bobina de raio é

10.7

Substituindo (10.7) em (10.6) obtemos que o fluxo magnético através do

solenóide é

4 10 · / 600 7,5 0,025 /0,40

1,6610

189

Figura 10.2 (a) Quando um magneto é aproximado de uma espira de fio conectado a um galvanômetro, o galvanômetro deflete como mostrado, indicando que uma corrente é induzida na espira. (b) Quando o magneto está parado, não existe corrente induzida na espira, mesmo quando o magneto está dentro da espira. (c) Quando o magneto é afastado da espira, o galvanômetro deflete na direção oposta, indicando que a corrente induzida é oposta aquela mostrada na parte (a). Mudando a direção do movimento do magneto muda a direção da corrente induzida por aquele movimento.

10.3 Correntes induzidas e lei de Faraday

Os experimentos realizados por Faraday, Henry, e outros

mostraram que se o fluxo magnético, através de uma área limitada por

um circuito, é alterado de alguma forma, uma fem, igual em modulo a

taxa de variação do fluxo, é induzida no circuito. Usualmente

detectamos a fem observando uma corrente no circuito, mas ela está

presente mesmo quando o circuito está incompleto (aberto) e não existe

corrente. Anteriormente havíamos considerado fem que estavam

localizadas em uma parte especifica do circuito, tal como entre os

terminais da bateria. Contudo, fem’s induzidas podem ser consideradas

distribuídas através do circuito.

O fluxo magnético através de um circuito pode ser alterado de

muitos modos diferentes. A corrente produzindo o campo magnético

pode ser aumentada ou diminuída, magnetos permanentes podem ser

movidos em direção ao circuito ou afastados dele, o circuito em si pode

ser movido para perto ou para longe da fonte do fluxo, a orientação do

circuito pode alterada, ou a área do circuito em um campo magnético

190

Exemplo resolvido

fixo pode ser aumentada ou diminuída. Em qualquer caso, uma fem é

induzida no circuito que é igual em modulo a taxa de variação do fluxo

magnético.

A Figura 10.2 mostra uma bobina simples de uma volta em um

campo magnético gerado por um magneto que ora é aproximado (Figura

10.2 (a)), ora permanece constante (Figura 10.2 (b)), ou ora é afastado

(Figura 10.2 (c)). Como mencionado acima, se o fluxo está variando, uma

fem é induzida na espira. Uma vez que a fem é o trabalho feito por

unidade de carga, deve existir uma força exercida sobre a carga

associada com a fem. A força por unidade de carga é o campo elétrico ,

que neste caso é induzida pela variação do fluxo. A integral de linha do

campo elétrico em torno do circuito completo é igual ao trabalho feito

por unidade de carga, que, por definição, é a fem no circuito

· 10.8

O campo elétrico que estudamos anteriormente resultou de

cargas eletrostáticas. Estes campos são conservativos, significando que o

trabalho realizado pelo campo eletrostático em torno de um caminho

fechado é zero. O campo elétrico resultando da variação do fluxo

magnético não é conservativo. Sua integral de linha em torno de uma

curva fechada é igual a fem induzida, que é igual a taxa de variação do

fluxo magnético:

· 10.8

Este resultado é conhecido como a lei de Faraday. O sinal negativo

na lei de Faraday tem a ver com a direção da fem induzida, a ser

discutida mais a frente.

Um campo magnetico uniforme faz um angulo de 30 com o eixo de

uma espira circular de 300 voltas e um raio de 4 . O campo varia a

uma taxa de 85 / . Determine o modulo da fem induzida na espira.

191

Exemplo resolvido

Solução A fem induzida é igual a vezes a taxa de variação do fluxo

através de cada volta. Uma vez que B é uniforme, o fluxo através de

cada volta é simplesmente cos , onde é a área da

bobina.

O modulo da fem induzida é dada pela lei de Faraday

| |

Para um campo uniforme, o fluxo é

cos

Substituindo a expressão para o fluxo na expressão para

| | obtemos

| | cos cos 10.9

300 3.14 0,04 cos 30 85 / 111

Exercício Se a resistencia da bobina é de 200 Ω, qual é a corrente

induzida?

Resposta 0.555

Uma bobina com 80 voltas possui um raio de 5,0 cm e uma resistência

de 30 Ω. A que taxa deve um campo magnético perpendicular variar

para produzir uma corrente de 4,0 A na bobina?

Solução

A taxa de variação do campo magnético está relacionada à taxa de

variação do fluxo, que está relacionada à fem induzida pela lei de

Faraday. A fem na bobina é igual a .

O fluxo magnético é dado em termos de e o raio pela expressão

Que resolvendo para B fornece o seguinte resultado

192

Figura 10.3 Uma espira condutora de raio colocada em um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da espira. Se varia no tempo, um campo elétrico é induzido em uma direção tangente à circunferência da espira.

Exemplo resolvido

Tomando a derivada temporal de podemos relacionar a taxa de

variação temporal do campo com a taxa de variação do fluxo e daí com a

corrente e resistência do circuito

1

Mas como 120 segue que

120 80 3,14 5,0 10

191 /

Um campo magnético B é perpendicular ao plano da página e uniforme

em uma região circular de raio R como mostrado na Figura 10.3. Fora da

região circular, 0. A taxa de variação da magnitude de é / .

Qual é o módulo do campo elétrico induzido no plano da página (a) a

uma distância do centro da região circular, (b) a uma distância

, onde 0.

193

Solução

O campo magnético entrando na página é uniforme sobre a

região circular de raio . Quando varia, o fluxo magnético varia e uma

fem · é induzida em torno de alguma curva englobando o

fluxo.

O campo elétrico induzido é determinado aplicando a lei de

Faraday. Uma vez que estamos interessados apenas em módulos,

desprezaremos o sinal menos e usaremos · / .

Para tirar vantagem da simetria do sistema escolheremos uma

curva circular de raio para calcular a integral de linha. Por simetria, é

tangente a esta curva e tem o mesmo modulo em qualquer ponto sobre

ela. Então calculamos o fluxo magnético e tomamos sua derivada

temporal. Fazendo a integral e a derivada temporal iguais, otemos uma

expressão para .

(a) Aplicando a integral de linha para um circulo de raio ,

considerando que é tangente ao circulo e tem módulo constante,

obtemos

· 2 10.10

Por outro da lei de Faraday sabemos que a integral de linha está

relacionada à variação do fluxo magnético como

· 10.11

Para , é constante sobre o circulo. Uma vez que é

perpendicular ao plano do circulo, o fluxo é simplesmente . Assim

De onde segue que

10.12

De (10.10), (10.11) e (10.12) segue que

194

2

A expressão do campo elétrico em função de r e da variação do fluxo do

campo magnético é

2, 10.13

( b ) Para o circulo de raio , onde o campo magnético é nulo,

a integral de linha é a mesma que antes:

· 2

Uma vez que 0 para , o fluxo magnético é , isto é,

Aplicando a lei de Faraday determinamos o campo elétrico induzido

como

2

Resolvendo para teremos

2 , 10.14

Observe que o campo elétrico, no exemplo acima (Equações

(10.13) e (10.14)), é produzido por uma variação do campo magnético

em vez de ser produzido por cargas elétricas. Se cargas tivessem

produzido o campo , teriamos de partir de cargas positivas e finalizar

em cargas negativas. Uma vez que cargas não estão presentes, contudo,

forma circulos que não tem inicio e não tem fim. Observe também que

a fem existe em qualquer curva fechada limitando a área através da qual

o fluxo magnético está variando na presença ou não de um fio ou

circuito ao longo da curva.

Exercício Uma bobina de 40 voltas move‐se de forma brusca. Esta

bobina possui raio de 3 e resistência de 16 Ω. Se a bobina é girada

195

Figura 10.4 Quando a o magneto em forma de barra está se movendo em direção a espira, a fem induzida na espira produz uma corrente na direção mostrada. O campo magnético devido a corrente induzida na espira (indicada por linhas pontilhadas) produz um fluxo que se opõe ao aumento no fluxo através da espira devido ao movimento da barra magnética.

por um ângulo de 180 em um campo magnético de 5000 , quanta

carga passa através dela?

Resposta 7,07

10.4 A lei de Lenz

O sinal negativo na lei de Faraday tem a ver com a direção da fem

induzida, que pode ser determinada de um princípio físico geral

conhecido como lei de Lenz:

A fem induzida e corrente induzida estão em uma

direção tal que se oponham à variação que as produzem

Observe que não foi especificado que tipo de variação provoca a fem e

corrente induzida. Propositalmente deixamos a afirmativa vaga para

cobrir uma variedade de condições, que ilustraremos a seguir.

A Figura 10.4 mostra uma barra magnética movendo‐se em

direção a uma espira que possui resistência . Uma vez que o campo

magnético da barra magnética é para a direita, saindo do pólo norte

do magneto, o movimento do magneto em direção à espira tende a

aumentar o fluxo através da espira para a direita. (O campo magnético

na espira é mais forte quando o magneto está mais próximo.) A corrente

induzida na espira produz um campo magnético próprio. Esta corrente

196

Figura 10.5

Exemplo resolvido

induzida está na direção mostrada, de forma que o fluxo magnético que

ela produz é oposto aquele do magneto. O campo magnético induzido

tende a diminuir o fluxo através da espira. Se o magneto fosse movido

para longe da espira, isto decresceria o fluxo através da espira devido ao

magneto, a corrente induzida estaria na direção oposta daquela

mostrada na Figura 10.4. Neste caso, a corrente produzirá um campo

magnético para a direita, que tenderá a aumentar o fluxo através da

espira. Podemos esperar, portanto, que o movimento da espira se

aproximando ou se afastado magneto tenha o mesmo efeito que o de

mover o magneto. Apenas o movimento relativo é importante.

Uma bobina retangular de 80 , 20 de largura e 30 de

comprimento, está localizada em um campo magnético 0,8

dirigido para dentro da página, como mostrado na Figura 10.5, com

apenas metade da bobina na região do campo magnético. A resistência

da bobina é de 30 Ω. Determine o modulo e direção da corrente

induzida se a bobina é movida com uma velocidade de 2 / (a) para a

direita, (b) para cima, e (c) para baixo.

Solução

A corrente é igual a fem induzida

dividida pela resistência. Podemos calcular a

fem induzida no circuito quando a bobina se

movimenta calculando a taxa de variação do

fluxo através da bobina. O fluxo é

proporcional à distância . A direção da

corrente é determinada da lei de Lenz.

(a) O modulo da corrente induzida é igual a

fem dividida pela resistência

O modulo da fem induzida é dado pela lei de Faraday

197

Figura 10.6

Quando a bobina está se movendo para a direita (ou para a esquerda), o

fluxo não varia (até que a bobina deixe a região do campo magnético). A

corrente é, portanto nula, 0.

( b) O fluxo é o produto de B e a área, que é dada por 20 , ou seja

20

Calculando a taxa de variação do fluxo magnético quando a bobina está

movendo‐se para cima obtemos a expressão

20 80 0,8 0,20 2 / 25,6

Daí é possível calcular a corrente na bobina

25,6 30 Ω

0,853

Como o fluxo para dentro está aumentando, a corrente induzida

será no sentido de modo a produzir um fluxo para fora, compatível com

uma corrente circulando no sentido anti‐horário.

Quando a bobina se move para baixo a 2 / , a corrente tem o

mesmo modulo de quando se move para cima, mas é direcionada de

forma oposta, sendo portanto 0,853 no sentido horário.

QUESTÕES

Q1 Uma chapa de cobre é colocada entre os pólos de

um eletromagneto com o campo magnético

perpendicular à chapa. Quando a chapa é retirada,

uma força considerável é exigida, e a força exigida

aumenta com a velocidade. Explique.

Q2 Na Figura 10.6, se a velocidade angular da

espira é duplicada, então a freqüência com a qual a

corrente induzida muda de direção duplica, e a fem

máxima também duplica. Por quê? O torque exigido

para girar a espira muda? Explique.

198

Figura 10.7

Figura 10.8

Q3 Duas espiras circulares estão lado a lado no mesmo plano. Uma está

conectada a uma fonte que alimenta uma corrente em crescimento; a

outra é um anel simples fechado. A corrente induzida no anel está na

mesma direção que a corrente na espira conectada a fonte ou oposta? O

que acontece se na primeira espira a corrente é diminuída? Explique.

Q4 Um condutor reto, longo passa através do centro de um anel

metálico, perpendicular ao seu plano. Se a corrente no condutor

aumenta, é induzido corrente no anel? Explique.

Q5 Um retangulo metalico esta proximo a um fio longo, reto, portando

corrente, com dois de deus lados paralelos ao fio. Se a corrente no fio

longo está diminuindo, o retangulo será repelido por ou atraido para o

fio? Explique por que este resultado é consistente com a lei de Lenz.

Q6 Uma espira condutora quadrada esta na

região de um campo magnético uniforme,

constante. Pode a espira ser girada em torno

de um eixo ao longo de um lado e nenhuma

fem ser induzida na espira? Discuta, em termos

da orientação do eixo de rotação relativo a

direção do campo magnético.

Q7 Um anel metálico está orientado com o

plano de sua área perpendicular a um campo

magnético espacialmente uniforme que aumenta a uma taxa constante.

Se o raio do anel é duplicado, por que fator (a) a fem induzida no anel

será e (b) o campo elétrico induzido no anel muda?

PROBLEMAS

P1 Um cubo de aresta de comprimento

2,50 está posicionado como

mostrado na Figura 10.7. Um campo

magnético uniforme dado por

5,00 4,00 3,00 existe através

da região. (a) Calcule o fluxo através da

199

Figura 10.9

face sombreada. (b) Qual é o fluxo total através das seis faces?

P2 Um campo magnético uniforme de modulo 2000 está paralelo ao

eixo . Uma bobina quadrada de lado 5 tem uma volta simples e faz

um ângulo com o eixo z como mostrado na Figura 10.8. Determine o

fluxo magnético através da bobina quando (a) 0 , (b) 30 , (c)

60 , e (d) 90 .

P3 Uma bobina circular possui 25 e um raio de 5 . Está no

equador, onde o campo magnético da Terra é 0,7 G apontando para o

norte. Determine o fluxo magnetico através da bobina quando seu plano

está (a) na horizontal, (b) na vertical com seu eixo apontando para o

norte, (c) vertical com seu eixo apontando para leste, e (d) vertical com

seu eixo afzendo um ângulo de 30 com o norte.

P4 Um campo magnético de 1,2 é perpendicular a bobina quadrada de

14 . O comprimento de cada lado da bobina é 5 . (a)

Determine o fluxo magnético através da bobina. (b) Determine o fluxo

magnético através da bobina se o campo magnético forma um ângulo de

60 com a normal ao plano da bobina.

P5 Um campo magnético uniforme é perpendicular a

base de um hemisfério de raio . Calcule o fluxo

magnético através da superfície esférica do hemisfério.

P6 Um fio longo, reto porta uma corrente . Uma

espira retangular com dois lados paralelos ao fio reto

possui dois lados e com seu lado mais próximo a

uma distancia do fio reto, como mostrado na Figura

10.9. (a) Calcule o fluxo magnético através da espira

retangular. (Sugestão: Calcule o fluxo através de uma

faixa de área e integre de a

) (b) Avalie suas resposta para 5 , 10 ,

2 e 20 .

P7 Uma espira condutora está no plano desta pagina e porta uma

corrente induzida circulando no sentido horário. Quais das seguintes

afirmativas podem ser verdadeiras?

200

Figura 10.10

Figura 10.11

a ) Um campo magnético constante está dirigido para dentro da pagina.

b) Um campo magnético constante está dirigido para fora da pagina.

c) campo magnético crescente está dirigido para dentro da pagina.

d) campo magnético decrescente está dirigido para dentro da pagina.

e) campo magnético decrescente está dirigido para fora da pagina.

P8 O fluxo através de uma espira é dado por 4

10 , onde está em segundos. (a) Determine a fem induzida

como uma função do tempo. (b) Determine ambos e em

0, 2 , 4 e 6 .

P9 Um solenóide de comprimento

igual a 25 e raio 0,8 com

400 em um campo

magnético externo de 600 que

forma um ângulo de 50 com o

eixo do solenóide. (a) Determine o fluxo magnético através do

solenóide. (b) Determine o modulo da fem induzida no solenóide

se o campo magnético externo é

reduzido a zero em 1,4 .

P10 Forneça a direção da corrente

induzida no circuito da direita na Figura

10.10 quando a resistência no circuito

da esquerda é subitamente (a)

aumentado e (b) diminuído.

P11 As duas espiras circulares na Figura

10.11 possuem seus planos paralelos entre si. Quando visto de em

direção a , existe uma corrente circulando no sentido anti‐horário na

espira . Forneça a direção da corrente na espira B e afirme se as espiras

atraem‐se ou se repelem se a corrente na espira A está (a) aumentando

e (b) decrecendo.

P12 Uma espira circular de fio com um raio de 12,0 cm e orientado no

plano horizontal está localizado em uma região de campo magnético

201

uniforme. Um campo de 1,5 está dirigido ao longo da direção

positivo, que aponta para cima (a) Se a espira é removida da região de

campo no intervalo de tempo de 2,0 , determine a fem media que

será induzida na espira de fio durante o processo de extração. (b) Se a

bobina é vista olhando para baixo de cima, a corrente induzida na espira

no sentido horário ou anti‐horario?

BIBLIOGRAFIA

TIPLER P. A., MOSCA G. Physics for scientists and Engineers, sixth edition, Freeman, New York, 2008.

HALLIDAY D., Resnick R., Walker J., Física Fundamental, vol 3, Livros Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro, 2004

HALLIDAY D., RESNICK R., KRANE S., Física vol. 3, LTC, Rio de Janeiro, 2000

HEWITT P, Física Conceitual, Longman, 9ª edição, Rio Grande do Sul, 200x

NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de Janeiro, 200X

CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics, John Wiley, New York, 2004.

YOUNG H. D., FREEDMAN, R. A. Física 3: Eletromagnetismo, Pearson, São Paulo, 2008.

Documents

MODULO v Eletrromagnetismo Final