Momento angular en mecánica cuánticapersonal.us.es/prados/Cuantica-1819/Tema-momento-angular.pdf · Momento angular en mecanica cu´ antica´ A. Prados F´ısica Te orica´ Universidad

Momento angular en mecanica cuantica

A. Prados

Fısica TeoricaUniversidad de Sevilla

Mecanica Cuantica, Grado en Fısica yGrado en Fısica e Ingenierıa de Materiales, US

A. Prados (US) Momento angular en mecanica cuantica 22/01/2019 0 / 37

Outline

1 Autovalores y autovectoresDefiniciones y notacionAutovalores de J2 y Jz

2 Momento angular orbital. EspınMomento angular orbital ~LEspın ~S

3 Composicion de momentos angularesUn ejemplo sencillo: sistema de dos partıculas de espın 1/2

El problema general


Autovalores y autovectores Definiciones y notacion

Momento angular orbital ~L

Operador momento angular “orbital”

~L = ~R ∧ ~P , Lj = εjklRk Pl . (1)

I Tensor antisimetrico εjkl =

0 si dos ındices coinciden,1 si jkl es permutacion par de 123−1 si jkl es permutacion impar de 123.

Relaciones de conmutacion

~L ∧ ~L = i~~L, [Lj , Lk ] = i~εjklLl . (2)

El conmutador con ~L determina si un observable es escalar o vectorial:I L2 = L2

x + L2y + L2

z es un escalar [L2, Lj

]= 0. (3)

I ~R y ~P son observables vectoriales[Rj , Lk

]= i~εjkl Rl , (4)[

Pj , Lk]

= i~εjkl Pl . (5)



Momento angular general

En general, un momento angular es un operador

~J = Jx~ux + Jy~uy + Jz~uz (6)

cuyas componentes verifican

~J ∧ ~J = i~~J, esto es, [Jj , Jk ] = i~εjklJl . (7)

En consecuencia,

J2 = J2x + J2

y + J2z verifica

[J2, ~J

]= 0 . (8)

Por tanto, podemos buscar autovectores comunes a J2 y Jz

(elegimos el eje z como eje polar)



Algunas definiciones utiles

Operadores escalera J±

J+ = Jx + iJy , J− = Jx − iJy (9)

(J+)† = J− (10)

Conmutadores[Jz , J±] = ±~J±, (11)

[J+, J−] = 2~Jz , (12)[J2, J±

]=[J2, Jz

]= 0. (13)

Expresion de J2

J2 =12

(J+J− + J−J+) + J2z . (14)

I J+J− = J2x + J2

y − i [Jx , Jy ] = J2 − J2z + ~Jz .

I J−J+ = J2x + J2

y + i [Jx , Jy ] = J2 − J2z − ~Jz .


Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz

Notacion de autovalores y autovectores

Notacion |kλm〉:

J2|kλm〉 = λ~2|kλm〉, Jz |kλm〉 = m~|kλm〉. (15)

1 Es claro que λ ≥ 0 ya que 〈kλm|J2j |kλm〉 =

∥∥Jj |kλm〉∥∥2 ≥ 0.

2 λ = 0⇔ Jj |kλm〉 = 0, ∀j .

3 Indice k adicional: J2 y Jz en general no son un CCOC.

Demostramos que λ ≥ m2:

(λ−m2)~2 = 〈kλm|(J2 − J2z )|kλm〉 = 〈kλm|(J2

x + J2y )|kλm〉 ≥ 0 . (16)



Conmutadores y operadores escalera

J2 y J± conmutan,[J2, J±

]= 0 por tanto

J2J±|kλm〉 = λ~2J±|kλm〉, (17)

J± no cambia (k , λ)

Sin embargo, Jz y J± no conmutan, [Jz , J±] = ±~J± y entonces

JzJ±|kλm〉 = ([Jz , J±] + J±Jz) |kλm〉 = (m ± 1)~J±|kλm〉, (18)

J± realiza el cambio m→ m ± 1 (operador escalera)

Conclusion: J±|kλm〉 es un autovector de correspondiente a los autovalores

I (m ± 1)~ de Jz

I λ~2 de J2



El numero cuantico j

La condicion λ ≥ m2 limita la magnitud de |m|I Ha de existir un valor maximo de m, mmax = j , tal que

J+|kλj〉 = 0. (19)

I Ha de existir un valor maximo de m, mmin = j ′, tal que

J−|kλj ′〉 = 0. (20)

Aplicamos J− en (19),

J−J+|kλj〉 = (J2 − J2z − ~Jz)|kλj〉 = ~2(λ− j2 − j)|kλj〉 = 0 . (21)

λ = j2 + j = j(j + 1) (22)

Aplicamos J+ en (20),

J+J−|kλj ′〉 = (J2 − J2z + ~Jz)|kλj ′〉 = ~2(λ− j ′2 + j ′)|kλj ′〉 = 0 . (23)

En consecuencia,

λ = j ′2 − j ′ = j ′(j ′ − 1) (24)



j es entero o semientero

Cambio de notacion: λ→ j , escribiremos |kjm〉

J2|kjm〉 = j(j + 1)~2|kjm〉Jz |kjm〉 = m~|kjm〉

(25)

Se tiene que j ′ = −j , esto es, mmin = −mmax

λ = j(j + 1) = j ′(j ′ − 1)⇒ j ′ = −j . (26)

Los operadores J± cambian m en una unidad, luego mmax −mmin = 2j ha de serentero

j = 0,12, 1,

32, 2,

52, . . . (27)

Para un valor dado de j , los posibles valores de m son

m = −j ,−j + 1, . . . , j − 1, j (28)



Autovectores y matrices que representan a los observables

Se tiene queJ+|kjm〉 = c+(kjm)~|kjm + 1〉. (29)

I Calculando la norma |c+(kjm)|2~2 = 〈kjm|J−J+|kjm〉I Aplicando J−J+ = J2 − J2

z − ~Jz , se tiene que

c+(kjm) =√

j(j + 1)−m(m + 1) =√

(j −m)(j + m + 1), (30)

escogiendo la fase arbitraria de los vectores propios.

De modo analogo se tiene que

J−|kjm〉 = c−(kjm)~|kjm − 1〉. (31)

I c−(kjm) =√

j(j + 1)−m(m − 1) =√

(j + m)(j −m + 1).

J±|kjm〉 =√

j(j + 1)−m(m ± 1)~|kjm ± 1〉 (32)



Matrices que representan a los observables

Matriz de J2

(j ,m) (0, 0) ( 12 ,

12 ) ( 1

2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·

(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1

2 ,12 )

( 12 ,−

12 )

03~2/4 0

0 3~2/40 · · ·

(1, 1)

(1, 0)

(1,−1)

0 0

2~2 0 0

0 2~2 0

0 0 2~2

· · ·

......

......

. . .

(33)




Matriz de Jz

(j ,m) (0, 0) ( 12 ,

12 ) ( 1

2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·

(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1

2 ,12 )

( 12 ,−

12 )

0~/2 0

0 −~/20 · · ·

(1, 1)

(1, 0)

(1,−1)

0 0

~ 0 0

0 0 0

0 0 −~

· · ·

......

......

. . .

(33)




Matriz de J+

(j ,m) (0, 0) ( 12 ,

12 ) ( 1

2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·

(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1

2 ,12 )

( 12 ,−

12 )

00 ~

0 00 · · ·

(1, 1)

(1, 0)

(1,−1)

0 0

0√

2~ 0

0 0√

2~

0 0 0

· · ·

......

......

. . .




Matriz de J−

(j ,m) (0, 0) ( 12 ,

12 ) ( 1

2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·

(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1

2 ,12 )

( 12 ,−

12 )

00 0

~ 00 · · ·

(1, 1)

(1, 0)

(1,−1)

0 0

0 0 0

√2~ 0 0

0√

2~ 0

· · ·

......

......

. . .




Matriz de Jx = 12 (J+ + J−)

(j ,m) (0, 0) ( 12 ,

12 ) ( 1

2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·

(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1

2 ,12 )

( 12 ,−

12 )

00 ~/2

~/2 00 · · ·

(1, 1)

(1, 0)

(1,−1)

0 0

0 ~/√

2 0

~/√

2 0 ~/√

2

0 ~/√

2 0

· · ·

......

......

. . .

(33)




Matriz de Jy = −i2 (J+ − J−)

(j ,m) (0, 0) ( 12 ,

12 ) ( 1

2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·

(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1

2 ,12 )

( 12 ,−

12 )

00 −i~/2

i~/2 00 · · ·

(1, 1)

(1, 0)

(1,−1)

0 0

0 −i~/√

2 0

i~/√

2 0 −i~/√

2

0 i~/√

2 0

· · ·

......

......

. . .(33)



Distintos valores de j no se mezclan

Todas las matrices de los J ’s son diagonales por bloques

Sea J(j)k el bloque (2j + 1)× (2j + 1) de la componente j-esima correspondiente a

cada valor de j [J(j)

x , J(j)y

]= i~J(j)

z , j = 0,12, 1,

32, . . . (34)

La expresion de las matrices J(j)k son consecuencia directa de las relaciones de

conmutacion

I Generan las rotaciones para cada j

I Para el caso j = 1/2: matrices de Pauli ~J = ~2~σ

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

). (35)


Momento angular orbital. Espın Momento angular orbital~L

Definiciones. Expresiones en esfericas

Coordenadas esfericas

x = r sin θ cosϕ y = r sin θ sinϕ z = r cosϕ , (36)

donde r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π.

I Elemento de volumend~r = r2drdΩ dΩ = sin θdθdϕ . (37)

Representacion de posiciones |~r〉: expresiones de L2, Lz , L± = Lx ± iLy

L2 → − ~2(∂θ2 +

1tan θ

∂θ +1

sin2 θ∂ϕ2

), (38)

Lz → − i~ ∂ϕ , (39)

L± → ~e±iϕ (± ∂θ + i cot θ ∂ϕ) . (40)



Autovalores y autofunciones de L2,Lz

~L solo actua sobre las variables angulares: autofunciones son una funcionarbitraria de r por una funcion de los angulos (θ, ϕ)

L2Y m` (θ, ϕ) = `(`+ 1)~2Y m

` (θ, ϕ) , (41)

LzY m` (θ, ϕ) = m~Y m

` (θ, ϕ) . (42)

Estas ecuaciones solo tienen una unica solucion linealmente independiente paracada pareja de autovalores `(`+ 1) y m.

Incluyendo la dependencia respecto de r ,

ψk`m(r , θ, ϕ) = fk`m(r)Y m` (θ, ϕ) . (43)

Normalizacion: ∫dΩ|Y m

` (θ, ϕ)|2 = 1 , (44)∫ ∞0

dr r 2|fk`m(r)|2 = 1 . (45)



Valores de los numeros cuanticos ` y m

Tenemos que−i~∂ϕY m

` (θ, ϕ) = m~Y m` (θ, ϕ) , (46)

Por tanto,Y m` (θ, ϕ) = F m

` (θ)eimϕ . (47)

La funcion de onda es monovaluada: ϕ y ϕ+ 2π corresponden al mismo puntodel espacio ~r :

eim2π = 1 ⇒ m es entero ⇒ ` es entero . (48)

Todos los valores enteros no negativos son posibles para el numero cuantico `:calculamos |``〉

L+|``〉 = 0→ eiϕ (∂θ + i cot θ∂ϕ) F `` (θ)ei`ϕ = 0 . (49)



Valores de los numeros cuanticos ` y m

Tenemos que−i~∂ϕY m

` (θ, ϕ) = m~Y m` (θ, ϕ) , (46)

Por tanto,Y m` (θ, ϕ) = F m

` (θ)eimϕ . (47)

La funcion de onda es monovaluada: ϕ y ϕ+ 2π corresponden al mismo puntodel espacio ~r :

eim2π = 1 ⇒ m es entero ⇒ ` es entero . (48)

Todos los valores enteros no negativos son posibles para el numero cuantico `:calculamos |``〉

L+|``〉 = 0→ (∂θ − ` cot θ) F `` (θ) = 0 . (49)

I Integrando y normalizando

F `` (θ) = c`(sin θ)`, c` = (−1)`1√

4π

√(2`+ 1)!

2``!. (50)



No degeneracion de los armonicos esfericos

Y `` (θ, ϕ) = F `` (θ)ei`ϕ es unico: la pareja (`, `) no presenta degeneracion.

Definimos el resto de armonicos esfericos aplicando sucesivamente L−:

L−Y m` (θ, ϕ) =

√`(`+ 1)−m(m − 1)~Y m−1

` (θ, ϕ). (51)

Demostramos que todas las parejas (`,m) son no degeneradas:

I El caso ` = 0 es directo, ya que m = 0: nos restringimos a ` 6= 0.

I Supongamos que existe Z `−1` que es linealmente independiente de Y `−1

` .

I Aplicamos L+: L+Z `−1` =

√2`Z `` =

√2À`Y `` , con A` una constante no nula.

I Ahora aplicamos L−:L−L+︸︷︷︸

L2−L2z−~Lz

Z `−1`

︸︷︷︸2`Z`−1

`

=√

2À` L−Y ``︸︷︷︸√

2`Y`−1`︸︷︷︸

2À`Y`−1`

(52)



Armonicos esfericos para ` = 0, 1 y 2

Armonicos esfericos Y m` (θ, ϕ)

` = 0, 1, 2, 3, . . .

m = −`,−`+ 1, . . . , `− 1, ` (para cada `)

Para ` = 0, 1, 2:

Y 00 =

1√4π

(53)

Y±11 (θ, ϕ) = ∓

√3

8πsin θe±iϕ (54)

Y 01 (θ, ϕ) =

√3

4πcos θ (55)

Y±22 (θ, ϕ) =

√15

32πsin2 θe±2iϕ (56)

Y±12 (θ, ϕ) = ∓

√158π

sin θ cos θe±iϕ (57)

Y 02 (θ, ϕ) =

√5

16π

(3 cos2 θ − 1

)(58)



Algunas propiedades de los armonicos esfericos

Tomadas del complemento AVI del libro de CohenOperadores escalera (propiedad general de momentos angulares)

L±Y m` (θ, ϕ) =

√l(l + 1)−m(m ± 1)~Y m±1

` (θ, ϕ) . (59)

Ortonormalidad∫ 2π

0dϕ∫ π

0dθ sin θ

[Y m′`′ (θ, ϕ)

]∗Y m` (θ, ϕ) = δ``′δmm′ . (60)

Cualquier funcion de los angulos

f (θ, ϕ) =∞∑`=0

+∑m=−`

c`mY m` (θ, ϕ) , (61)

c`m =

∫ 2π

0dϕ∫ π

0dθ sin θ

[Y m` (θ, ϕ)

]∗ f (θ, ϕ) .

(62)

Paridad y conjugacion

Y m` (θ, ϕ) = (−1)`Y m

` (π − θ, π + ϕ),[Y m` (θ, ϕ)

]∗= (−1)mY−m

` (θ, ϕ) . (63)


Momento angular orbital. Espın Espın~S

Evidencia experimental

Espın: Momento angular “intrınseco”

I Estructura fina de las lıneas espectrales

I Efecto Zeeman anomalo en atomos con Z impar(numero par de lıneas cuando 2`+ 1 es siempre impar)

I Experimento de Stern-Gerlach: division en dos haces simetricos al pasar por uncampo magnetico inhomogeneo, ¿¿2`+ 1 = 2??

Variables “orbitales”: cuantizacion

I Magnitudes clasicas (~r , ~p)→ operadores cuanticos (~R, ~P) tales que[Rj ,Pk

]= i~δjk

I Variables dinamicas A(~r , ~p, t)→ A = A(~R, ~P, t)

I Espacio de estados E~r que es isomorfo al espacio de las funciones de onda F

|ψ〉 ∈ E~r ↔ ψ(~r) ∈ F . (64)



Postulados para el espın

El operador de espın ~S es un momento angular: [Sj ,Sk ] = i~εjklSl

Los operadores de espın actuan en un espacio de Hilbert Es distinto:En ese espacio S2,Sz forman un CCOC

I Base comun: S2|sm〉 = s(s + 1)~2|sm〉, Sz |sm〉 = m~|sm〉I Cada partıcula tiene un valor caracterıstico de s: tiene espın s

(todos los estados son autoestados de S2)

I Dimension de Es : (2s + 1)

El espacio de estados de la partıcula es E = E~r ⊗ Es

I Todos los observables orbitales conmutan con los de espınI CCOC en E : Union de CCOC’s en E~r y Es

I Base |~r ±〉 = |~r〉 ⊗ |±〉: ~R|~r ±〉 = ~r |~r ±〉, Sz |~r ±〉 = ± ~2 |~r ±〉

El electron tiene espın 1/2

I Momento magnetico intrınseco ~µe = ge︸︷︷︸'2

µB~~S, µB = e~

2me.

I Otras partıculas con espın 1/2: proton, neutron (factor giromagnetico g distinto)



Espın 1/2. Vectores (I)

Notacion: |+〉 = | 1/2,1/2〉, |−〉 = | 1/2,− 1/2〉

S2|±〉 =34~2|±〉, Sz |±〉 = ±~

2|±〉 (65)

Relacion de cierre y ortogonalidad

Is =∑ε

|ε〉〈ε| = |+〉〈+|+ |−〉〈−|. (66)

〈ε|ε′〉 = δεε′ , ε = (+,−). (67)

Estado general de espın |χ〉:

|χ〉 = c+|+〉+ c−|−〉. (68)

I Componentes cε = 〈ε|χ〉I Normalizacion |c+|2 + |c−|2 = 1



Espın 1/2. Vectores (II)

Sea un estado arbitrario |ψ〉 ∈ E = E~r ⊗ Es

Representacion (base) |~rε〉 = |~r〉 ⊗ |ε〉

〈~rε|~r ′ε′〉 = δ(~r −~r ′)δεε′ Ortogonalidad (69)

I = I~r ⊗ Is =∑ε

∫d~r |~rε〉〈~rε| Cierre (70)

Componentes de un estado |ψ〉 y espinor

|ψ〉 =∑ε

∫d~r |~rε〉〈~rε|ψ〉 (71)

Componentes Espinor

ψε(~r) ≡ 〈~rε|ψ〉 [ψ] (~r) =

ψ+(~r)

ψ−(~r)



Espın 1/2. Vectores (III)

Bra 〈ψ|: 〈ψ| =∑ε

∫d~r 〈ψ|~rε〉〈~rε|

I Componentes ψ∗ε (~r) ≡ 〈ψ|~rε〉I Representacion espinorial: [ψ]† (~r) =

(ψ∗+(~r) ψ∗−(~r)

)Norma al cuadrado 〈ψ|ψ〉

1 = 〈ψ|ψ〉 =∑ε

∫d~r 〈ψ|~rε〉〈~rε|ψ〉 =

∫d~r(|ψ+(~r)|2 + |ψ−(~r)|2

). (72)

I Probabilidad de encontrar la partıcula en el intervalo (~r ,~r + d~r)con valor ± ~/2 de la componente z del espın:

d~r |ψ±(~r)|2

I Representacion espinorial

〈ψ|ψ〉 =

∫d~r [ψ]† (~r) [ψ] (~r) (73)



Espın 1/2. Operadores (I)

Componentes del espın Sx , Sy y Sz : matrices de Pauli

Sx →~2

(0 11 0

)︸︷︷︸

σx

, Sy →~2

(0 −ii 0

)︸︷︷︸

σy

, Sz →~2

(1 00 −1

)︸︷︷︸

σz

. (74)

Propiedades basicas de las matrices de Pauli

σ2x = σ2

y = σ2z = Is, (75)

σxσy + σyσx = 0, (76)

σxσy = iσz , [σx , σy ] = 2iσz , (77)

Trσj = 0, detσj = −1. (78)

Las ecuaciones (75)-(77) pueden resumirse en

σjσk = δjk + iεjklσl , (79)

(~σ · ~A)(~σ · ~B) = ~A · ~B + i ~σ · (~A ∧ ~B), (80)

si ~A y ~B conmutan ambos con ~S.



Espın 1/2. Operadores (II)

Probabilidades de medir los posibles valores de una componente del espın: porejemplo Sx

I Hallar los autovalores (son ±~/2) y autovectores |±x 〉 de Sx

I Proyectar el estado de espın |χ〉 sobre los autovectores:

P(Sx = ±~/2) = |〈±x |χ〉|2 (81)

Espacio E = E~r ⊗ Es

I Operadores de espın, por ejemplo S+

S+|ψ〉 = S+

∑ε

∫d~r |~rε〉〈~rε|ψ〉 =

∑ε

∫d~r |~r〉 ⊗ S+|ε〉〈~rε|ψ〉

=∑ε′

∫d~r |~rε′〉

∑ε

〈ε′|S+|ε〉〈~rε|ψ〉. (82)

I Representacion espinorial [S+ψ] (~r) = [S+] [ψ] (~r)



Espın 1/2. Operadores (III)

Operadores orbitales ~R y ~P

I Ejemplo: ~R

~R|ψ〉 = ~R∑ε

∫d~r |~rε〉〈~rε|ψ〉 =

∑ε

∫d~r ~r |~rε〉〈~rε|ψ〉 =

∑ε

∫d~r |~rε〉 ~r 〈~rε|ψ〉︸︷︷︸

componentes

.

(83)

I Representacion espinorial[~Rψ]

(~r) =[~R]

[ψ] (~r),[~R]

=

(~r 00 ~r

).

I Analogamente[~P]

=

(−i~∇ 0

0 −i~∇

)I Operadores “mixtos”: Ejemplo ~S · ~P[

~S · ~P]

=~2

[σx Px + σy Py + σzPz ] =~2

2i

(∂z ∂x − i∂y

∂x + i∂y −∂z

)(84)

En general: mejor usar el cierre etc. como hemos hecho en otros casos queemplear la representacion de espinores directamente.



Rotaciones en el espacio de espın 1/2 (I)

Operador de rotacion en Es: R(s)(~φ) = exp(− i~φ~n · ~S

), ~φ = φ~n.

Desarrollo en serie

R(s)(~φ) =∞∑

k=0

(−i)k (φ/2)k

k !(~n · ~σ)k . (85)

I (~n · ~σ)2 = Is ~n · ~n︸︷︷︸=1

+i ~σ ·: 0(

~n ∧ ~n)

⇒ (~n · ~σ)k =

Is si k es par~n · ~σ si k es impar

Sumando las series de pares e impares:[usando que (−i)2j = (−1)j ]

R(s)(~φ) = Is cosφ

2− i~n · ~σ sin

φ

2(86)

Representacion en la base |+〉, |−〉

R(s)(~φ)→

cos φ2 − inz sin φ

2 (−inx − ny ) sin φ2

(−inx + ny ) sin φ2 cos φ

2 + inz sin φ2

(87)



Rotaciones en el espacio de espın 1/2 (II)

Rotacion de angulo 2π:R(s)(2π~n) = −Is, ∀~n. (88)

Signo menos: ¡factor de fase irrelevante!I “Activa” (rotan los vectores) |χ′〉 = R(s)|χ〉 = −|χ〉I “Pasiva” (rotan los operadores) A′ = R(s)†A R(s) = A

Espacio completo E = E~r ⊗ Es → R(~φ) = R(~r)(~φ)⊗ R(s)(~φ)

I Momento angular total ~J = ~L + ~S

R(~φ) = exp(−

i~φ~n · ~L

)⊗ exp

(−

i~φ~n · ~S

)= exp

(−

i~φ~n · ~J

). (89)

I Relaciones de conmutacion “buenas”~J ∧ ~J = i~~J. (90)

|ψ〉 ∈ E → |ψ′〉 = R(~φ)|ψ〉

ψ′ε(~r) =∑ε′

R(s)εε′(

~φ)ψε′(R−1(~φ)~r) (91)


Composicion de momentos angulares Un ejemplo sencillo: sistema de dos partıculas de espın 1/2

Espacio producto directo Es = Es1 ⊗ Es2

Base comun a S21 ,S1z ,S2

2 ,S2z

I Vectores |ε1ε2〉 ≡ |ε1〉 ⊗ |ε2〉, con εj = ±

S2j |ε1ε2〉 =

34~2|ε1ε2〉, Sjz |ε1ε2〉 = εj

~2|ε1ε2〉. (92)

Espın total ~S = ~S1 + ~S2

Relaciones de conmutacion caracterısticas ~S ∧ ~S = i~~S

¿Cuales son los autovectores comunes a S2 Y Sz en funcion de los autovectores|ε1ε2〉 comunes a S1z y S2z?

I S21 y S2

2 conmutan con S2 y Sz(siguen siendo escalares en el espacio Es)

I Autovalores de S2: s(s + 1)~2, con s entero o semientero

I Autovalores de Sz : m~, con m = −s,−s + 1, . . . , s − 1, s (para cada s)



Matrices de S2 y Sz en la base |ε1ε2〉

Matriz de Sz : diagonal porque Sz |ε1ε2〉 = (ε1 + ε2) ~2 |ε1ε2〉

Sz → ~

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 −1

(93)

en el orden |+ +〉, |+−〉, | −+〉, | − −〉.

Matriz de S2: diagonal por cajas porque conmuta con Sz

(pero no con S1z y S2z por separado)

Se tiene que S2 = S21 + S2

2 + 2~S1 · ~S2 = S21 + S2

2 + 2S1zS2z + S1−S2+ + S1+S2−

S2 → ~2

2 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 2

(94)



Base comun a S2,Sz

Diagonalizamos la caja “central” de S2: combinaciones lineales de |+−〉 y | −+〉Autovalores 2~2 y 0: correspondientes a s = 1 y s = 0

I Autovectores

|s = 1,m = 0〉 =1√

2(|+−〉+ | −+〉) , S2|s = 1,m = 0〉 = 2~2|s = 1,m = 0〉,

(95)

|s = 0,m = 0〉 =1√

2(|+−〉 − | −+〉) , S2|s = 0,m = 0〉 = 0. (96)

Base del espın total S2|sm〉 = s(s + 1)~2|sm〉, Sz |sm〉 = m~|sm〉

|11〉 = |+ +〉

|10〉 =1√2

(|+−〉+ | −+〉)

|1− 1〉 = | − −〉

|00〉 =1√2

(|+−〉 − | −+〉)

(97)



Algunos comentarios

Espacio Es puede verse como:

I Producto directo de espacios monoparticulares Es1 ⊗ Es2(dimension 2× 2 = 4)

I Suma directa de los espacios con espın total s = 1 y s = 0, Es=1 ⊕ Es=0(dimension 3 + 1 = 4)

Estados de s total: simetrıa bien definida ante el intercambio de partıculas

I s = 1 (triplete, m = 1, 0,−1): |1m〉 es simetrico ante el intercambio 1↔ 2

I s = 0 (singlete, m = 0): |00〉 es antisimetrico ante el intercambio 1↔ 2

I Las partıculas de espın 1/2 son fermiones

Partıculas identicas:Si el estado de espın es antisimetrico, la “parte orbital” ha de ser simetrica(y viceversa)


Composicion de momentos angulares El problema general

Introduccion

Acoplo de dos momentos angulares ~J1 y ~J2, ~J = ~J1 + ~J2

Base comun a J21 , J1z , J2

2 , J2z: |j1m1, j2m2〉 = |j1m1〉 ⊗ |j2m2〉

J2k |j1m1, j2m2〉 = jk (jk + 1)~2|j1m1, j2m2〉, k = 1, 2, (98)

Jkz |j1m1, j2m2〉 = mk~|j1m1, j2m2〉 (99)

Los vectores producto directo son autovectores de Jz ,

Jz |j1m1, j2m2〉 = (m1 + m2)︸︷︷︸m

~|j1m1, j2m2〉 (100)

I Autovalor m~ es degenerado en general: varias parejas (m1,m2) con m1 + m2 = mI Unicos casos no degenerados

F m = j1 + j2 ⇒ m1 = j1, m2 = j2F m = −(j1 + j2)⇒ m1 = −j1, m2 = −j2

I Podrıamos (igual que en el caso “elemental” j1 = j2 = 1/2 discutido antes) diagonalizarJ2 en cada subespacio degenerado



Valores posibles de j

Intuicion: j va desde j1 + j2 (paralelos) hasta j = |j1 − j2| (antiparalelos)

I Caso particular j1 = j2 = 1/2: deducimos j = 0, 1 OK!

I La dimension es correcta (a partir de ahora, j1 ≥ j2 y quitamos el valor absoluto)

j1+j2∑j=j1−j2

(2j+1) =

j1+j2∑j=0

(2j+1)−j1−j2−1∑

j=0

(2j+1) = (j1+j2+1)2−(j1−j2)2 = (2j1+1)(2j2+1)

(101)

Simplificamos la notacion (quitamos etiquetas de J21 , J2

2 )

I |j1m1, j2m2〉 → |m1m2〉 propios de J1z , J2z

I |jm, j1j2〉 → |jm〉 propios de J2, Jz



Construccion de los coeficientes del cambio de base (I)

Comenzamos por el valor maximo de m, mmax = j1 + j2, que se corresponde conjmax = j1 + j2

I No puede haber un j > jmax, ya que llevarıa a m > mmax

I Solamente un vector propio de Jz correspondiente a ese autovalor: m1 = j1, m2 = j2

F El autovalor de J2 es “obvio” por los razonamientos anteriores y puede calcularseexplıcitamente usando que

J2 = J21 + J2

2 + 2J1z J2z + J1−J2+ + J1+J2− (102)

F J2|j1 j1, j2 j2〉 = (j1(j1 + 1) + j2(j2 + 1) + 2j1 j2) ~2|j1 j1, j2 j2〉 = (j1 + j2)(j1 + j2 + 1)|j1 j1, j2 j2〉

En conclusion|j = j1 + j2,m = j1 + j2〉 = |j1j1, j2j2〉 (103)

Resto de vectores propios de J2 y Jz correspondientes a j = j1 + j2 y otros m:Aplicacion sucesiva de J− = J1− + J2−



Construccion de los coeficientes del cambio de base (II)

Construccion del vector para m = j1 + j2 − 1I Actuando con J− sobre |j1 + j2, j1 + j2〉

J−|j1 + j2, j1 + j2〉 =√

2(j1 + j2)~|j1 + j2, j1 + j2 − 1〉 (104)

I Actuando con J1− + J2− sobre |j1j1, j2j2〉

(J1− + J2−)|j1 + j2, j1 + j2〉 =√

2j1~|j1(j1 − 1), j2j2〉+√

2j2~|j1j1, j2(j2 − 1)〉 (105)

I Concluimos que

|j1 + j2, j1 + j2 − 1〉 =

√j1

j1 + j2|j1(j1 − 1), j2j2〉+

√j2

j1 + j2|j1j1, j2(j2 − 1)〉 (106)

Iterando con J−: llegarıamos hasta m = −j1 − j2

Hay dos vectores propios (l.i.) de Jz correspondientes al autovalor j1 + j2 − 1:Uno es el dado por (106) y el otro lo podemos escribir√

j2j1 + j2

|j1(j1 − 1), j2j2〉 −

√j1

j1 + j2|j1j1, j2(j2 − 1)〉 (107)



Construccion de los coeficientes del cambio de base (III)

El vector√

j2j1+j2|j1(j1 − 1), j2j2〉 −

√j1

j1+j2|j1j1, j2(j2 − 1)〉 tiene que ser propio de J2

I Es perpendicular a |j1 + j2, j1 + j2 − 1〉

I En la caja 2× 2 en que Jz presenta degeneracion para m = j1 + j2 − 1 la submatriz deJ2 serıa (j1 + j2)(j1 + j2 + 1)~2 0

0 ?

(108)

ya que la primera columna son las componentes de J2|j1 + j2, j1 + j2 − 1〉 y J2 es unoperador hermıtico

El valor de j tiene que ser j = j1 + j2 − 1 ya que

I Se tiene la desigualdad |m| ≤ j

I j no puede ser igual a j1 + j2 ya que hemos calculado su vector propio correspondiente(y no hay degeneracion)

I El calculo directo, aplicando J2, proporciona ese valor



Construccion de los coeficientes del cambio de base (IV)

Conclusion

|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1〉 =

√j1

j1 + j2|j1j1, j2(j2 − 1)〉 −

√j2

j1 + j2|j1(j1 − 1), j2j2〉

(109)

I Condon-Shortley: El coeficiente del vector con m1 = j1 es real y positivoI Aplicando J− = J1− + J2− se calculan el resto de vectores propios |j1 + j2 − 1,m〉I Todos los coeficientes son reales (consecuencia de Condon-Shortley)

Hay tres vectores propios de Jz correspondientes al autovalor (j1 + j2 − 2)~(m1 = j1, m2 = j2 − 2, m1 = j1 − 1, m2 = j2 − 1, m1 = j1 − 2, m2 = j2)

I Una combinacion lineal de ellos es |j1 + j2, j1 + j2 − 2〉I Otra combinacion lineal es |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2〉, que es ortogonal a la primeraI Solo hay un vector (direccion) propio de Jz correspondiente al mismo autovalor y

ortogonal a los dos anteriores: tiene que ser vector propio de J2

F Como j 6= j1 + j2, j1 + j2 − 1 (por la ortogonalidad), ha de ser j = j1 + j2 − 2F Aplicando J− a |j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2〉 → resto de |j1 + j2 − 2, m〉



Construccion de los coeficientes del cambio de base (V)

¿Cuando se acaba el proceso?Cuando tenemos tantos vectores |jm〉 como vectores |j1m1, j2m2〉

I Por tanto jmin = j1 − j2I Ecuaciones de cambio de base

|jm〉 =

+j1∑m1=−j1

+j2∑m2=−j2

|j1m1, j2m2〉〈j1m1, j2m2|jm〉︸︷︷︸Clebsch-Gordan

(110)

Propiedades

I 〈j1m1, j2m2|jm〉 6= 0 solo si j1 − j2 ≤ j ≤ j1 + j2I 〈j1m1, j2m2|jm〉 6= 0 solo si m = m1 + m2

I

〈j1m1, j2m2|jm〉 ∈ R

〈j1j1, j2(j − j1)|j j〉 > 0

Convencion de Condon-Shortley

I Solo se calculan para m > 0: 〈j1m1, j2m2|jm〉 = (−1)j1+j2−j 〈j1(−m1), j2(−m2)|j(−m)〉


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