Mott-Isolator-Übergangœbungen/… · Mott-Isolator-Übergang Mott-Isolator-Übergang Einschränkungen Übergang bei n 1 =3 = 4 a 0 Parameter n ist nicht direkt zugänglich =)Übergang

Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge

Experimentelle RealisierungZusammenfassung

Mott-Isolator-Übergang

Patrick Paul Denis Kast

Universität Ulm

5. Februar 2009

Seminar zu Theorie der kondensierten Materie IIWS 2008/09

Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator



Gliederung

1 Festkörper-ModelleBändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung

2 Leiter-Isolator-ÜbergängeErweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang

3 Experimentelle Realisierung




BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung

Gliederung








BändermodellAnnahmen

Ausgangspunkt: Modell des quasifreien Elektrons E = h2k2

2m

Gitterpotential als kleine periodische Störung

Periodizität im reziproken Raum: E (k +G ) = E (k)=⇒Reduktion auf erste Brillouin-Zone







2m









2m







BändermodellEnergie im k-Raum

Abbildung: Energiedispersion und Bandaufspaltung





Gliederung








Tight-Binding-ModellAnnahmen

starke Bindung der Elektronen

LCAO-Methode: Überlagerung der einzelnen Wellenfunktionen

Eigenwertproblem für das freie Atom sei exakt gelöst:HAtom(r − rn)φ(r − rn) = Eφ(r − rn)





















Tight-Binding-ModellRitzsches Verfahren

H = HAtom +v =− h2

2m∆ +VAtom(r − rn) + ∑m 6=nVAtom(r − rm)

= freier Anteil + Potential des Zentralatoms +Wechselwirkung mit NachbarkernenElektron-Elektron-Wechselwirkung vernachlässigt

Ritzscher Ansatz: löse HΨk = E (k)Ψk mitΨk = ∑n cne

ikrnφ(r − rn)





Tight-Binding-ModellRitzsches Verfahren

H = HAtom +v =− h2

2m∆ +VAtom(r − rn) + ∑m 6=nVAtom(r − rm)

= freier Anteil + Potential des Zentralatoms +Wechselwirkung mit NachbarkernenElektron-Elektron-Wechselwirkung vernachlässigt

Ritzscher Ansatz: löse HΨk = E (k)Ψk mitΨk = ∑n cne

ikrnφ(r − rn)





Tight-Binding-ModellEnergie-Eigenwerte

E (k)≈ h2k2

2m−A−B∑m e ik(rn−rm)

A =−∫drφ ∗(r − rn)v(r − rn)φ(r − rn)

=Erwartungswert von v am Punkt rnB =−

∫drφ ∗(r − rn+1)v(r − rn)φ(r − rn)

= Überlapp benachbarter Wellenfunktionen





Tight-Binding-ModellEnergie-Eigenwerte

E (k)≈ h2k2

2m−A−B∑m e ik(rn−rm)

A =−∫drφ ∗(r − rn)v(r − rn)φ(r − rn)

=Erwartungswert von v am Punkt rnB =−

∫drφ ∗(r − rn+1)v(r − rn)φ(r − rn)

= Überlapp benachbarter Wellenfunktionen





Tight-Binding-ModellEnergiebänder

Abbildung: Energiebänder nach dem Tight-Binding-Modell

=⇒ Bandaufspaltung nimmt mit abnehmendem Abstand derAtome zu





Gliederung








ZusammenfassungUnterscheidung Metall/ HL/ Isolator

Metall: Fermikante in derMitte eines Bandes

Halbleiter: Fermikanteoberhalb eines Bandes,Energielücke E & kBT

Isolator: EnergielückeE � kBT

Abbildung: schematischeDarstellung der Energiebänder






















Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang

Gliederung








Elektron-Elektron-WWStörladung

Einfügen einer Störladung δq = eδU bei r = 0

Abbildung: Änderung der Zustandsdichte beim Einbringen der Störladung





Elektron-Elektron-WWabgeschirmtes Potential

δn(r) = D(EF ) · eδU(r) in Poisson-Gleichung

=⇒ ∆(δU) =− δρ

ε0= e

ε0(δn(r) + δ (r)) = e

ε0(eD(EF )δU + δ (r))

abgeschirmtes Potential δU(r) = α

r· e−λ r

mit λ 2 = e2D(EF )ε0

, Thomas-Fermi-Abschirmlänge rTF = 1

λ





Elektron-Elektron-WWabgeschirmtes Potential

δn(r) = D(EF ) · eδU(r) in Poisson-Gleichung

=⇒ ∆(δU) =− δρ

ε0= e

ε0(δn(r) + δ (r)) = e

ε0(eD(EF )δU + δ (r))

abgeschirmtes Potential δU(r) = α

r· e−λ r

mit λ 2 = e2D(EF )ε0

, Thomas-Fermi-Abschirmlänge rTF = 1

λ





Elektron-Elektron-WWMott-Abschätzung

im freien e−-Gas: rTF = 0,5 · ( na0

)−1/6

rTF

{& a0 :. a0 :

Leiter

Isolator

a0= Bohr-Radius

Abbildung: abgeschirmtesPotential





Elektron-Elektron-WWMott-Abschätzung

im freien e−-Gas: rTF = 0,5 · ( na0

)−1/6

rTF

{& a0 :. a0 :

Leiter

Isolator

a0= Bohr-Radius

Abbildung: abgeschirmtesPotential





Gliederung








Mott-Isolator-ÜbergangEinschränkungen

Übergang bei n−1/3 = 4a0

Parameter n ist nicht direkt zugänglich=⇒ Übergang nur selten beobachtbar, z.B. amorphe Halbleiter

stattdessen: Übergang vom Supra�uid zum Mott-Isolator beiBosonen





















Mott-Isolator-ÜbergangBose-Hubbard-Hamiltonian

H =−J ·∑<i ,j> a+i aj + ∑i εi ni + 1

2U ·∑i ni (ni −1)

mit J =−∫d3x ·w(x− xi )(− h2

2m∆ +VG (x))w(x− xj)

U = 4πh2am

∫d3x |w(x)|4

Term 1: Tunnelprozesse

Term 2: Energie-O�set

Term 3: Wechselwirkung






H =−J ·∑<i ,j> a+i aj + ∑i εi ni + 1

2U ·∑i ni (ni −1)

mit J =−∫d3x ·w(x− xi )(− h2


U = 4πh2am

∫d3x |w(x)|4









H =−J ·∑<i ,j> a+i aj + ∑i εi ni + 1

2U ·∑i ni (ni −1)

mit J =−∫d3x ·w(x− xi )(− h2


U = 4πh2am

∫d3x |w(x)|4









H =−J ·∑<i ,j> a+i aj + ∑i εi ni + 1

2U ·∑i ni (ni −1)

mit J =−∫d3x ·w(x− xi )(− h2


U = 4πh2am

∫d3x |w(x)|4








Mott-Isolator-ÜbergangGrenzfall J>>U

Tunnelprozesse dominant, Wechselwirkung vernachlässigbar

Überlagerung der lokalisierten Zustände, Bloch-Welle

supra�üssige Phase, N Bosonen, M Gitterplätze:

|ΨSP >∝

(∑Mj=1 a

+j

)N

|0 >









|ΨSP >∝

(∑Mj=1 a

+j

)N

|0 >









|ΨSP >∝

(∑Mj=1 a

+j

)N

|0 >





Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨSF >

Alle Bosonen im selben Zustand, delokalisiert

Phase ist an allen Gitterplätzen gleich

Besetzungswahrscheinlichkeit für Gitterplätze führt aufPoisson-Verteilung=⇒ Anzahl der Teilchen pro Gitterplatz unbestimmt

quasikontinierliche Anregung auf der Energieparabel
































Mott-Isolator-ÜbergangGrenzfall U>>J

Wechselwirkung dominant, sehr wenige Tunnelprozesse

n Bosonen auf jedem Gitterplatz

Mott-Isolator-Phase, |ΨMI >∝ ∏Mj=1

(a+j

)n|0 >









(a+j

)n|0 >









(a+j

)n|0 >





Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨMI >

Alle Bosonen durch lokalisierte Wellenfunktion beschrieben

zufällige Phase an jedem Gitterplatz

Gitterplätze nicht mehr durch die Wellenfunktion gekoppelt=⇒ Isolator

genau n Bosonen an jedem Gitterpunkt

Anregungen durch Tunnelprozesse einzelner Bosonen, fallsWechselwirkungsenergie U zur Verfügung steht=⇒ Anregungslücke der Gröÿe U













































Mott-Isolator-ÜbergangUnschärferelation

Mott-Isolator-Übergang = Übergang zwischen supraleitenderund isolierender Phase

Unterscheidung durch Unschärferelation:

Phase der Gesamtwellenfkt. ⇐⇒ Teilchenzahl an einemGitterpunkt

Zustand des Systems hängt ab vom Verhältnis U/J





Mott-Isolator-ÜbergangUnschärferelation

Mott-Isolator-Übergang = Übergang zwischen supraleitenderund isolierender Phase

Unterscheidung durch Unschärferelation:

Phase der Gesamtwellenfkt. ⇐⇒ Teilchenzahl an einemGitterpunkt

Zustand des Systems hängt ab vom Verhältnis U/J





Mott-Isolator-ÜbergangVeranschaulichung

Abbildung: Veranschaulichung der beiden Phasen

Unschärfe der TeilchenzahlmaximalPhasenkohärenz

konstante Teilchenzahl anjedem Gitterpunktvöllige Dekohärenz




















Experimentelle RealisierungAufbau

Bose-Einstein-Kondensat aus 87Rb-Atomen

eingesperrt in Feld aus drei stehenden Laserwellen:V (x ,y ,z) = V0(sin2(kx) + sin2(ky) + sin2(kz))

Änderung der Laserintensität =⇒ Modulation desVerhältnisses U

J

exponentielles Hochfahren der Fallenstärke, dann sprungartigesAbschalten








J









J









J





Experimentelle RealisierungBeobachtung

kleines V0: Interferenzerscheiningen

groÿes V0: Dekohärenz, keine Interferenz

Übergang bei V0 ≈ 13 ·ER , Rückstoÿenergie ER = h2k2

2m

Abbildung: Interferenzmuster, abhängig von der Potentialstärke








2m









2m









2m





Experimentelle RealisierungAnregungslücke

periodisches Wiederholen mehrerer Schritte:

Hochfahren der Intensität auf Vmax= 10...20 ER

Störung über die Dauer τpertub durch Potentialgradient

Zurückfahren auf V0= 9 ER




Experimentelle RealisierungResultat

Abbildung: Breite des Interferenzpeaks gegen Energiedi�erenz proGitterplatz




Experimentelle RealisierungErklärung

SL-Phase: quasikontinuierliche Anregung möglich

MI-Phase: Resonanzen durch Tunnelprozesse




Zusammenfassung

zwei Grenzfälle im BEK:Tunneln bzw.Wechselwirkung dominant

Tunneln dominant:SL-Phase

Wechselwirkungdominant: Mott-Isolator,Anregungslücke Abbildung: Interferenz der

Materiewellen




Zusammenfassung




Materiewellen




Zusammenfassung




Materiewellen




Zusammenfassung




Materiewellen


Anhang

Quellen I

F. Ahles, S. WeiÿVortrag �Mott-Isolator Übergang� im Seminar�Makroskopische Quantenphänomene�Universität Freiburg

M. Greiner, T.W. Hänsch, I. Bloch�Perfekte Ordnung am Nullpunkt�

Physik in unserer Zeit, Nr.1, 2002, S. 51


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