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Métodos Numéricos en
IngenieríaIntegración Numérica
M.C. Lourdes Sánchez Guerrero
Introducción
Con frecuencia se tiene la necesidad de integrar funciones que sería, en general, de alguna de lastres formas siguientes:
Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una funcióntrigonométrica. La integral simplemente es una función que se puede evaluar usando métodosanalíticos aprendidos en el cálculo
Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.
Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos, como esel caso, de datos experimentales.
En los dos últimos casos, se deben emplear métodos aproximados.
Formulas de integración de Newton-Cotes
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más
comunes dentro de la integración numérica
Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada
o un conjunto de datos tabulares con alguna función
aproximada que sea más fácil de integrar
La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios
aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de
longitud constante.
Existen las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes.
Las formulas cerradas se conocen (puntos al principio y al final )los límites de
integración.
Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del
rango de los datos ( no se usan en la integración definida, se usan
extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias )
REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas
de Newton-Cotes.
Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y
X = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área
bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas ∆x (delta x ) de
ancho y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio,
como se indica en la figura.
Delta X =
Figura 1
Llamando a las ordenadas Yi (i = 1, 2, 3, ...., n+1), las áreas de los
trapecios son:
El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:
Sustituyendo las ecs. (1) en esta expresión se obtiene:
La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:
El método consiste en dividir el intervalo en intervalos pequeños y aproximar la
curva
Y = f(X)
en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya
integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos
extremos de los intervalos.
Tarea
El alumno analizará y desarrollará un resumen del error que se genera en este
método de la regla del trapecio. Este se entregara como tarea de la sesión en
este tema.
Ejemplo: por REGLA TRAPEZOIDAL de cuatro segmentos o fajas para calcular la
integral
desde A = 0 hasta B = 0.8 y calcular el error sabiendo que el valor correcto de la integral es 1.64053334
n = 4X
f(X)
0.0
0.200
0.2
1.288
0.4
2.456
0.6
3.464
0.8
0.232
• Usando la fórmula:
ex = 1.64053334 - 1.4848 = 0.15573334e% = 9.5 %
Método de Simpson
Otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral, es
empleando polinomios de orden superior para conectar los puntos.
Si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se
pueden conectar con un polinomio de tercer orden.
A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les
llaman Reglas de Simpson.
Simpson 1/3
Simpson de 1/3 proporciona una mejor aproximación.
Consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante
parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener
el área aproximada bajo la curva.
Si el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se aproximamediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los trespuntos:
(Xi ,Yi) (Xi+1 ,Yi+1) (Xi+2 ,Yi+2)
Figura 2. Gráfica de la función f(x).
Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que
las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en
lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no
afecta la generalidad de la derivación.
Figura 3.
La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado
que conecta los tres puntos:
(7)
La integración de la ec. (7) desde - ∆x hasta ∆x proporciona el
área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo
tanto:
(8)
La sustitución de los límites en la ec. (8) produce:
Las constantes A y C se pueden determinar sabiendo que los puntos
(-∆X, Yi), (0, Yi+ 1), y (-X, Yi+2) debe satisfacer la ec. (7). La
sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce:
(9)
(10)
La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes A, B, C, noslleva a:
La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce:
que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Yi+1, Yi+2 y el ancho ∆X de una faja
(11)
(12)
La regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de
igual ancho.
Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en N fajas uniformes (N par), la
aplicación de la ec. (12) muestra que:
Sumando estas áreas, podemos escribir:
(13)
(14)
O bien
(15)
Donde n es par
La ec. (15) es REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO para determinar el área
aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número
par de fajas de ancho ∆X.
• Ejemplo: la REGLA DE SIMPSON 1/3 con N = 4 para calcular la integral del inciso
anterior:
X
f(X)
0.0
0.200
0.2
1.288
0.4
2.456
0.6
3.464
0.8
0.232
ex = 1.64053334 - 1.62346667 = 0.01706667e% = 1.04 %
Método de Simpson 3/8
La derivación de la REGLA DE SIMPSON DE LOS TRESOCTAVOS es similar a la regla de un tercio, excepto que se
determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4
puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de
tercer grado es:
(17)
Figura 4.
En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la
parábola pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva
mostrada en la fig. 4.
El intervalo de integración es de –(3∆X)/2 a (3∆X)/2, lo que produce:
es la Regla de Simpson Tres Octavos
• REGLA DE SIMPSON 3/8 para calcular la integral anterior:
Son necesarios cuatro puntos o tres fajas para la regla de Simpson
de 3/8, entonces:
X
f(X)
0.0000
0.20000000
0.2667
1.43286366
0.5333
3.48706521
0.8000
0.23200000
Por Simpson 3/8
ex = 1.64053334 - 1.51917037 = 0.121164
e% = 7.4 %
las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para integrar la misma función usando
cinco segmentos.
X
f(X)
0.00
0.20000000
0.16
1.29691904
0.32
1.74339328
0.48
3.18601472
0.64
3.18192896
0.80
0.23200000
Delta X = 0.16 La integral de los primeros dos segmentos se obtiene
usando la Regla de Simpson 1/3:
los últimos tres segmentos, se usa la Regla de Simpson 3/8 para obtener:
La integral total se calcula sumando los dos resultados:
I = 0.38032370 + 1.26475346 = 1.64507716
ex = 1.64053334 - 1.64507716 = -0.00454383
e% = -0.28 %
Tarea
1.- El alumno analizará la información y desarrollará el resumen de error que
se genera en este método de Simpson 1/3. La fecha de entrega de esta tarea
será la siguiente clase.
2.- El alumno analizará la información y desarrollará el resumen de error que
se genera en este método de Simpson 1/3. La fecha de entrega de esta tarea
será la siguiente clase.