111
47 回数値解析シンポジウムプログラム NAS2018(Numerical Analysis Symposium 2018) http://www.nas.sr3.t.u-tokyo.ac.jp/2018 日程:2018 6 6 ()6 8 () 会場:あわら温泉 まつや千千(〒910-4196 福井県あわら市舟津 31 24) プログラム 6 6 () オープニング 14:20–14:30 セッション A 14:30–15:50 Verified Partial Eigenvalue Computation for Generalized Hermitian Eigenproblems Using Contour Integrals ...................................................................................... 1 今倉暁 (筑波大学), ○保國惠一 (筑波大学), 高安亮紀 (筑波大学) T-congruence Sylvester 方程式と一般化 Sylvester 方程式の関係について .......................... 5 ○佐竹祐樹 (名古屋大学), 曽我部知広 (名古屋大学), 宮武勇登 (大阪大学), 剱持智哉 (名古屋大学), 張紹良 (名古屋大学) ウルフ条件を利用した適応型 SOR ........................................................... 9 ○宮武勇登 (大阪大学), 曽我部知広 (名古屋大学), 張紹良 (名古屋大学) 楕円曲線暗号解読における ρ 法の特徴 ......................................................... 13 ○後保範 (神奈川大学) セッション B 16:10–17:30 無誤差変換技法を用いた陽的補外法の性能評価 .................................................. 17 ○幸谷智紀 (静岡理工科大学) 微分代数方程式における 2 次以下の保存量に対する離散保存則について .......................... 21 ○佐藤峻 (東京大学) Einstein 方程式の数値計算 .................................................................... 25 ○浦川遼介 (早稲田大学), 土屋拓也 (早稲田大学), 米田元 (早稲田大学) 混合型定式化に基づく静磁場問題の領域分割法 .................................................. 29 ○田上大助 (九州大学)

NAS2018(Numerical Analysis Symposium 2018)yaguchi/nas2018/nas2018-proceedings.pdfAkira Imakura1) Keiichi Morikuni1) Akitoshi Takayasu1) 1) University of Tsukuba Abstract We propose

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第 47回数値解析シンポジウムプログラム

NAS2018(Numerical Analysis Symposium 2018)http://www.nas.sr3.t.u-tokyo.ac.jp/2018

日程:2018年 6月 6日 (水)~6月 8日 (金)

会場:あわら温泉 まつや千千(910-4196 福井県あわら市舟津 31- 24)

プログラム

6月 6日 (水)

オープニング 14:20–14:30

セッション A 14:30–15:50

Verified Partial Eigenvalue Computation for Generalized Hermitian Eigenproblems Using Contour

Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

今倉暁 (筑波大学), 保國惠一 (筑波大学), 高安亮紀 (筑波大学)

T-congruence Sylvester方程式と一般化 Sylvester方程式の関係について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

佐竹祐樹 (名古屋大学), 曽我部知広 (名古屋大学), 宮武勇登 (大阪大学), 剱持智哉 (名古屋大学),

張紹良 (名古屋大学)

ウルフ条件を利用した適応型 SOR法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

宮武勇登 (大阪大学), 曽我部知広 (名古屋大学), 張紹良 (名古屋大学)

楕円曲線暗号解読における ρ法の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

後保範 (神奈川大学)

セッション B 16:10–17:30

無誤差変換技法を用いた陽的補外法の性能評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

幸谷智紀 (静岡理工科大学)

微分代数方程式における 2次以下の保存量に対する離散保存則について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

佐藤峻 (東京大学)

Einstein方程式の数値計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

浦川遼介 (早稲田大学), 土屋拓也 (早稲田大学), 米田元 (早稲田大学)

混合型定式化に基づく静磁場問題の領域分割法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

田上大助 (九州大学)

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6月 7日 (木)

セッション C 9:00–10:20

多クラス分類問題に対するスペクトラル特徴量スケーリング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

松田萌望 (筑波大学), 保國惠一 (筑波大学), 今倉暁 (筑波大学), 櫻井鉄也 (筑波大学)

少数のレゾルベントを用いた多項式型の簡易フィルタによる一般固有値問題の解法 . . . . . . . . . . . . . . . . 35

村上弘 (首都大学東京)

多変数多項式系の消去イデアルの最低元を剰余列法で計算する . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

佐々木建昭 (筑波大学), 稲葉大樹 (日本数学検定協会)

疎な多変数多項式の剰余列計算の新算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

佐々木建昭 (筑波大学)

セッション D 10:40–12:00 ポスターセッション

最小二乗確率的分類器を用いた企業の信用格付 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

与田裕之 (筑波大学), 杉原正顯 (青山学院大学), 今倉暁 (筑波大学)

エネルギー保存型並列解法MB4に基づく 2次元量子ダイナミクス計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

酒井翼 (電気通信大学), 工藤周平 (電気通信大学), 井町宏人 (鳥取大学), 宮武勇登 (大阪大学),

星健夫 (鳥取大学), 山本有作 (電気通信大学)

力学系における非双曲型平衡点近傍の精度保証解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

中村正男 (電気通信大学), 寺坂元 (電気通信大学), 寺田邦人 (電気通信大学), 山本野人 (電気通信大

学)

二次形式を用いた Affine 演算の拡張について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

松田 望 (電気通信大学), 山本 野人 (電気通信大学), 中山 大輔 (株式会社カヤック)

体内動態に対するコンパートメントモデルのモデルパラメータ推定手法について . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

小松瑞果 (神戸大学), 谷口隆晴 (神戸大学/JSTさきがけ)

あるテーマパークにおける地形的集客効果の感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

大川航平 (神戸大学), 谷口隆晴 (神戸大学/JSTさきがけ)

潜在変数ネットワークモデルを用いた放牧牛の交流ネットワーク解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

小松瑞果 (神戸大学), 谷口隆晴 (神戸大学/JSTさきがけ), 大川剛直 (神戸大学/JST CREST)

ii

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6月 8日 (金)

セッション E 9:00–10:20

IMEX ルンゲークッタ法の安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

大野博 (茨城大学)

A remark on implemention of implicit Runge-Kutta methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

三井斌友 (名古屋大学)

微分方程式の初期値問題に対する Sinc-Nystrom法の誤差解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

原涼太 (広島市立大学), 岡山 友昭 (広島市立大学)

ピタゴラス三体問題の高精度計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

平山弘 (神奈川工科大学)

セッション F 10:40–12:00

高次元力学系におけるホモクリニック軌道に関する精度保証法に向けて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

新田光輝 (電気通信大学), 山本野人 (電気通信大学)

Fast verified numerical computation for the minimal nonnegative solution of the nonsymmetric

algebraic Riccati equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

宮島信也 (岩手大学)

代用電荷法による 3次元曲面の計算法について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

岡野 大 (愛媛大学), 阿藤 祐介 (愛媛大学)

グラスマン多様体上の商構造に基づくニュートン方程式とその解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

佐藤寛之 (京都大学), 相原研輔 (東京都市大学)

クロージング 12:00–12:10

iii

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Verified Partial Eigenvalue Computation forGeneralized Hermitian Eigenproblems

Using Contour IntegralsAkira Imakura1) Keiichi Morikuni1) Akitoshi Takayasu1)

1) University of Tsukuba

AbstractWe propose a verification method for the eigenvalues of a generalized Her-mitian eigenvalue problem in a prescribed interval. The block Hankel-typeSakurai–Sugiura method, a contour integral-type eigensolver, can reduce agiven eigenproblem to a generalized eigenproblem involving Hankel matriceswhose entries are complex moment matrices given by contour integrals. Inthis study, we evaluate the errors of the complex moment matrices and de-rive a bound of the quadrature error. Then, we take the numerical errors ofthe quadrature into account and rigorously enclose the entries of the Hankelmatrices.

1 Introduction.Consider verifying the m eigenvalues λi, counting multiplicity, of the Hermitian general-ized eigenproblem

Axi = λiBxi, xi ∈ Cn \ 0, i = 1, 2, . . . , m (1)

in a prescribed interval Ω = [a, b] ⊂ R, where A = AH ∈ Cn×n and B = BH ∈ Cn×n ispositive definite. Here, we assume that the number of eigenvalues in the interval Γ isknown to be m and there do no exist eigenvalues of (1) at the end points a, b ∈ R of theregion Ω. We denote the eigenvalues outside Ω by λi, i = m + 1, m + 2, . . . , n.

Verification methods for generalized eigenvalues problems are presented in [1, 3, 5, 8].Among them, there are two kinds: the ones in [3, 5] rigorously enclose all eigenvalues, andthe others in [1, 8] rigorously enclose partial eigenvalues. In particular, the method in[1] is based on the variational principle and the method in [8] is based on a perturbationtheory using the LDLT decomposition.

We propose a verification method for partial eigenvalue using an eigensolver based oncontour integrals, the block Hankel-type Sakurai–Sugiura (block SS) method [2], whichreceives attentions in recent years by virtue of the scalability in parallel.

We use the following notations below. For a complex matrix A = [aij] ∈ Cm×n,denote a nonnegative matrix consisting of entrywise absolute values by |A| = [|aij|]. ForB = [bij] ∈ Rm×n and α ∈ R, the inequality A < B means aij < bij entrywise and theinequality A < α means aij < α entrywise.

1

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2 Quadrature error of contour integrals.We review the block SS method, which is the basis of the proposed verification method.The block SS method has input parameters: L, M ∈ N+, V ∈ Rn×L is a random matrix,and (γ, ρ) ∈ R × R are the scaling parameters for the eigenvalues. Let

Mp = 12πi

∮Γ

(z − γ)p V HB(zB − A)−1BV dz ∈ CL×L, p = 0, 1, 2, . . . , 2M − 1 (2)

be the pth complex moment defined on the closed Jordan curve Γ through the end pointsof the interval Ω = [a, b], where i is the imaginary unit and π is the circle ratio. Denotethe block Hankel matrices consisting of the moments (2) by

H<M = (Mi+j−1) ∈ CLM×LM , HM = (Mi+j−2) ∈ CLM×LM , i, j = 1, 2, . . . , 2M.

Then, the following theorem shows that the block SS method can compute the eigenvaluesin the prescribed domain [2].

Theorem 2.1. Denote an eigenvalue of the regular part of the matrix pencil zHM − H<M

by θi. If rank(HM) = m, then the eigenvalue of (1) is given by λi = γ+θi, i = 1, 2, . . . , m.

Next, we review the quadrature error of the complex moment [6]. Denote the Weier-strass canonical form of the matrix pencil zB − A by Y −1(zB − A)X = zI − Λ, wherethe columns of X are the eigenvectors of (1) and Λ is a diagonal matrix whose diagonalentries are the eigenvalues of (1). Let xk ∈ Cn be the eigenvector of (1) correspondingto the eigenvalue λk ∈ R. Then, the complex moment (2) is expressed as

Mp =n∑

k=1

12πi

∮Γ

(z − γ)p

z − λk

Vkdz =m∑

k=1(λk − γ)pVk, (3)

where Vk = V HBxkxHk BV ∈ CL×L. In this study, we set the domain of the integration

Γ in (2) to the circle with radius ρ = (b − a)/2 > 0 and center at γ = (b + a)/2 ∈ R.We approximate the complex moment (2) by using the N -point trapezoidal rule withthe equi-distributed quadrature points zj = γ + ρeiθj with θj = 2π/N(j − 1/2) forj = 1, 2, . . . , N as follows

M(N)p =

n∑k=1

Vk

1N

N∑j=1

ρp+1ei(p+1)θj

ρeiθj − (λk − γ)

. (4)

Using the sum of geometric series, the quantity in the parentheses in (4) is written as

1N

N∑j=1

ρp+1ei(p+1)θj

ρeiθj − (λk − γ)=

(λk − γ)pαk, αk = 1

1 −(

λk−γρ

)N , k = 1, 2, . . . , m,

(λk − γ)pβk, βk =−(

ρλk−γ

)N

1 −(

ρλk−γ

)N , k = m + 1, . . . , n.

(5)

2

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It follows from (4), (5) that the approximated complex moment M(N)p is split into the

two terms M(N)p = M(N)

p,in + M(N)p,out, where

M(N)p,in =

m∑k=1

(λk − γ)pαkVk, M(N)p,out =

n∑k=m+1

(λk − γ)pβkVk

are regarding the inside and outside of Γ, respectively. Together with (3), we have thequadrature error

Mp − M(N)p =

m∑k=1

(λk − γ)p(1 − αk)Vk −n∑

k=m+1(λk − γ)pβkVk. (6)

3 Bound of the complex moment for verification.We derive a rigorous bound of each complex moment Mp for numerical verification. Sincethe eigenvalues of the block Hankel matrix pencil consisting of the complex moment Mp isinvariant with respect to a multiple of a real number, the Hankel matrix pencil zHM −H<

M

consisting of Mp and the Hankel matrix pencil zH inM − H<,in

M with

H<,inM = (M(N)

i+j−1,in) ∈ CLM×LM , H inM = (M(N)

i+j−2,in) ∈ CLM×LM

have the same eigenvalues. Hence, we derive an enclosure of M(N)p,in instead of an enclosure

of Mp. Denote an approximation of M(N)p by M(N)

p for floating operation arithmetics.Then, it follows from M(N)

p,in − M(N)p = M(N)

p,out that the inequality

|M(N)p,in − M(N)

p | ≤ |M(N)p,in − M(N)

p | + |M(N)p − M(N)

p | = |M(N)p,out| + |M(N)

p − M(N)p |

holds. If we denote the interval with radius r > 0 with center at c ∈ R by ⟨c, r⟩, then wehave the componentwise enclosure

M(N)p,in ∈

⟨M(N)

p , |M(N)p,out|

⟩⊂⟨M(N)

p , |M(N)p,out| + |M(N)

p − M(N)p |

⟩.

Therefore, we can enclose M(N)p,in by using the quantity M(Ns)

p,out of the complex moment out-side Γ and computing the approximated complex moment M(N)

p for interval arithmetics.Suppose N > 2M − 1 > p and that λ satisfies |λ − γ| = mink=m+1,m+2,...,n |λk − γ|. Then,we have the bound

|M(N)p,out| ≤ (n − m)|λ − γ|p ·

|λ − γ|

)N1 −

|λ − γ|

)N−1

· tr(V HBV ).

4 Proposed verification method.We present the implementation of the block SS method for verifying partial eigenvaluesλi ∈ Ω. As described above, the eigenvalues λi ∈ Ω are computed by solving the smalleigenproblem of the Hankel matrix pencil zH in

M − H<,inM consisting of M(N)

p,in (M(N)p,in/ρp+1 in

3

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the implementation). To rigorously enclose the eigenvalues, we set m = LM , verify eachblock entry M(N)

p,in of the Hankel matrices by enclosing each entry M(N)p,in/ρp+1 of the block

Hankel matrices as

M(N)p,in

/ρp+1 ∈

⟨M(N)

p , |M(N)p,out|

⟩/ρp+1 ⊂

⟨M(N)

p , |M(N)p,out| + |M(N)

p − M(N)p |

⟩/ρp+1, (7)

and then apply a verification method such as in [4, 7] to the small eigenproblem of regularmatrix pencil zH in

M − H<,inM . Thus, we can obtain enclosures of the eigenvalues of (1).

References[1] H. Behnke: Computing, 47 (1991), 11–27.

[2] T. Ikegami et al.: Journal of Computational and Applied Mathematics, 233 (2010),1927–1936.

[3] K. Maruyama et al.: Transactions of the Institute of Electronics, Information andCommunication Engineers A, 87 (2004), 1111–1119.

[4] S. Miyajima: Journal of Computational and Applied Mathematics., 236 (2012),2545–2552.

[5] S. Miyajima et al.: Reliable Computing, 14 (2010), 24–45.

[6] T. Miyata et al.: Transactions of the Japan Society for Industrial and AppliedMathematics, 19 (2009), 537–550.

[7] S. M. Rump: Computing, 42 (1989), 225–238.

[8] N. Yamamoto: Linear Algebra and its Applications, 324 (2001), 227–234.

4

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T-congruence Sylvester方程式と一般化Sylvester方程式の関係について

佐竹 祐樹 1) 曽我部 知広 1) 宮武 勇登 2) 剱持 智哉 1) 張 紹良 1)

1) 名古屋大学 大学院工学研究科 応用物理学専攻

2) 大阪大学 サイバーメディアセンター

概要

T-congruence Sylvester方程式AX +XTB = CはA ∈ Rm×n,B ∈ Rn×m,C ∈ Rm×mが既

知,X ∈ Rn×mが未知の行列方程式である.m = n(行列が全て正方)の場合,T-congruence

Sylvester方程式は XT を含まない行列方程式である Lyapunov方程式に帰着されることが知

られている.そこで,本発表ではその成果のm = n(行列が矩形)の場合への拡張について報

告する.この場合には一般化 Sylvester方程式に帰着されることを示す.

On a relationship between the T-congruence Sylvester equationand the generalized Sylvester equation

Yuki Satake1) Tomohiro Sogabe1) Yuto Miyatake2)

Tomoya Kemmochi1) Shao-Liang Zhang1)

1) Department of Applied Physics, Graduate School of Engineering, Nagoya University

2) Cybermedia Center, Osaka University

Abstract

The T-congruence Sylvester equation is the matrix equation AX + XTB = C, where A ∈Rm×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rm×m are given, and X ∈ Rn×m is to be determined. It is

known that, when m = n (matrices are square), the T-congruence Sylvester equation can be

transformed into the Lyapunov equation. In this talk, we generalize this result, and we will

show that, when m = n (matrices are rectangular), the T-congruence Sylvester equation can

be transformed into the generalized Sylvester equation.

1 はじめに

本研究では,T-congruence Sylvester方程式

AX +XTB = C (1)

について考える.ここで,行列A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×m,C ∈ Rm×mは既知であり,X ∈ Rn×mは未知で

ある.方程式 (1)は,振動解析などに現れる palindromic固有値問題へ応用されている [2].T-congruence

Sylvester方程式 (1)は解 X とその転置 XT を含むため解を計算することが困難である.Oozawaらは,

m = nの場合に,vec作用素を用いることで,T-congruence Sylvester方程式がXT を含まない方程式で

ある Lyapunov方程式に帰着されることを示した [4].これにより,一般化 Sylvester方程式を解析する際

に Lyapunov方程式に関する研究の援用が可能となる.そこで,本研究では,その成果のm = nへの拡

張について考察する.結果として,m = nのときは T-congruence Sylvester方程式は一般化 Sylvester方

程式に帰着されることがわかったため,その成果を報告する.

5

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2 線形方程式との関係

vec作用素とは,行列の各列を縦に並べてベクトルにする操作を表す作用素で,行列A = [a1, . . . ,an] ∈Rm×n に対して

vec(A) :=

a1

a2

...

an

∈ Rmn

と定義される.また,逆 vec作用素 vec−1 : Rmn → Rm×n は

vec−1(vec(A)) = A

を満たすような作用素として定義する.T-congruence Sylvester方程式 (1)に vec作用素を作用させると,

テンソル積を用いて

(Im ⊗A)vec(X) + (BT ⊗ Im)vec(XT) = vec(C) (2)

と書ける.ただし,Im はm次の単位行列である.ここで,置換行列

Pmn :=

Im ⊗ eT1n

Im ⊗ eT2n...

Im ⊗ eTnn

∈ Rmn×mn (3)

を用いて式 (2)をさらに変形する.ただし, ein は i番目の成分を 1,その他の全ての成分を 0とする n

次元ベクトル ein := [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]T ∈ Rn である.置換行列 (3)に関して以下のことが成り立つ.

PTmn = Pnm, (4)

PTmnPmn = PmnP

Tmn = Imn, (5)

vec(A) = Pmnvec(AT), (6)

Pmp(A⊗B)PTnq = B ⊗A. (7)

ただし,A ∈ Rm×n,B ∈ Rp×q とする.式 (4)~(7)より式 (2)は,

Im ⊗A+ Pmm(Im ⊗BT)x = c (8)

となり,線形方程式に帰着される.ただし,x := vec(X),c := vec(C)である.

3 Lyapunov方程式との関係(m = nのとき)

m = nのとき,Oozawaらによって以下の定理が示されている.

定理 3.1. ([4]) A,B,C,X ∈ Rn×n,A を正則行列とし,S := BTA−1 の固有値 λ1, . . . , λn に関して

λiλj = 1 (1 ≤ i, j ≤ n)が成り立つとする.このとき,T-congruence Sylvester方程式 (1)は Lyapunov方

程式

X − SXST = Q (9)

と同値である.ただし,X := AX,Q := C − (SC)T である.

Lyapunov方程式は様々な分野において現れるため,可解性や数値解法の研究は多く存在する(Schur法

[1]など).従って,Lyapunov方程式の解法と定理 3.1を組み合わせることにより,T-congruence Sylvester

方程式を効率良く解くアルゴリズムを構築することができる.実際,[4]では Schur法を援用したアルゴリ

ズムが提案されている.

6

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4 一般化Sylvester方程式との関係(m = nのとき)

本研究では,定理 3.1の結果を,m = nの場合に拡張することを考える.そこで,まず定理 3.1におい

て式 T-congruence Sylvester方程式が Lyapunov方程式に帰着される要因を考える.式 (8)に,λiλj = 1

という条件より正則である行列 G := In ⊗ In − Pnn(In ⊗ S)を左から乗じることで

(In ⊗ In − S ⊗ S)x = c′ (10)

となる.ただし,x := (In⊗A)x,c′ := Gcである.式 (10)に逆 vec作用素を作用させることで Lyapunov

方程式 (9)に帰着される.行列Gが正則であることにより,式 (1)と式 (9)が同値であるといえる.また,

式 (8)と (10)を比較すると,正則行列Gを乗じることで係数行列中の置換行列 Pmmが消去されることが

わかる.従って,式 (8)に乗じることで係数行列中の置換行列を消去できるような正則行列を構成できれ

ば,XTを含まない行列方程式に帰着されると考えられる.線形方程式 (8)の性質がmと nの大小関係に

よって異なることから場合分けして考える.

4.1 優決定系 (m ≥ n)

m ≥ nのとき,以下の定理が成り立つことが知られている.

定理 4.1. ([3]) A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×m,C ∈ Rm×m,X ∈ Rn×m,m ≥ nとする.BT = SAを満た

す行列 S ∈ Rm×m が存在し,S の固有値 λ1, . . . , λm に関して λiλj = 1 (1 ≤ i, j ≤ m)が成り立つとき,

T-congruence Sylvester方程式 (1)は一般化 Sylvester方程式AX −BTXST = C − (SC)Tと同値である.

しかし,定理 4.1 には S をどのように決めるかという課題がある.m = n のときには,A が正則で

あるならば,S = BTA−1 と定めることができる.そこで,m > n のときには A の逆行列の代わりに

Moore–Penroseの擬似逆行列を用いることで S を表現できると考えられる.AのMoore–Penroseの擬似

逆行列A†は,Aが列フルランクのときA† = (ATA)−1ATと書ける.これを用いて S := BTA†とおくと,

SA = BTA†A = BT(ATA)−1ATA = BT

となるので条件を満たす.以上より,定理 4.1とMoore–Penroseの擬似逆行列を用いることで以下の定理

が成り立つ.

定理 4.2. A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×m,C ∈ Rm×m,X ∈ Rn×m,m ≥ n とし,A を列フルランクとす

る.S := BTA† の固有値 λ1, . . . , λm に関して λiλj = 1 (1 ≤ i, j ≤ m)が成り立つとき,T-congruence

Sylvester方程式 (1)は一般化 Sylvester方程式

AX −BTXST = C − (SC)T

と同値である.

4.2 劣決定系 (m ≤ n)

定理 3.1,4.1では,式 (8)の左から正則行列を乗じることで係数行列中の置換行列を消去することがで

きた.しかし,m < nにおいて,線形方程式 (8)の係数行列は横長となり,左から乗じる行列の自由度が

少なくなってしまう.そのため,置換行列を消去するような正則行列を構成することが困難である.そこ

で,正則行列M を用いて式 (8)を

Im ⊗A+ Pmm(Im ⊗BT)x = c ⇔ Im ⊗A+ Pmm(Im ⊗BT)M x = c

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と変形する.ただし,x := M−1xである.もし,係数行列 Im ⊗A+ Pmm(Im ⊗BT)M に置換行列を含まないようなM を構成することができれば,m ≥ nのときと類似の議論により,XT を含まない方程

式を導けると期待できる.実際,M = Im ⊗ In −Pnm(A† ⊗BT)とおくことで,次の定理を示すことがで

きる.

定理 4.3. A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×m,C ∈ Rm×m,X ∈ Rn×m,m ≤ n とし,A を行フルランクとす

る.S := BTA† の固有値 λ1, . . . , λm に関して λiλj = 1 (1 ≤ i, j ≤ m)が成り立つとき,T-congruence

Sylvester方程式 (1)は一般化 Sylvester方程式

AX −BTXST = C (11)

と同値である.ただし,X ∈ Rn×m はX = X −A†XB を満たす行列である.

証明. 条件から正則な行列M := Im ⊗ In − Pnm(A† ⊗BT)を用いて x := M−1xとおくと,式 (8)は,

Im ⊗A+ Pmm(Im ⊗BT)Im ⊗ In − Pnm(A† ⊗BT)x = c

⇔ (Im ⊗A− S ⊗BT)x = c (12)

となる.式 (12)に逆 vec作用素を用いると,式 (11)を得る.

5 まとめと今後の課題

m = nのとき,T-congruence Sylvester方程式は一般化 Sylvester方程式に帰着されることを示した.こ

れにより,T-congruence Sylvester方程式の可解性の研究や数値解法の設計において,一般化 Sylvester方

程式に対する研究結果を援用する道が拓けたといえる.この方針による可解性の議論や、解法設計が今後

の課題である.

参考文献

[1] B. N. Datta: Numerical Methods for Linear Control Systems: Design and Analysis, Elsevier Aca-

demic Press, Amsterdam, 2004.

[2] D. Kressner, C. Schroder, D. S. Watkins: Implicit QR algorithms for palindromic and even eigen-

value problems, Numer. Algorithms, 51 (2009), pp. 209–238.

[3] 大澤匡也: 線形作用素による T-congruence Sylvester 方程式の変形理論とその応用,名古屋大学大学

院工学研究科計算理工学専攻,修士論文,2017.

[4] M. Oozawa, T. Sogabe, Y. Miyatake, S.-L. Zhang: On a relationship between the T-congruence

Sylvester equation and the Lyapunov equation, J. Comput. Appl. Math., 329 (2018), pp. 51–56.

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ウルフ条件を利用した適応型SOR法宮武 勇登 1) 曽我部 知広 2) 張 紹良 2)

1) 大阪大学サイバーメディアセンター2) 名古屋大学大学院工学研究科

概要SOR法は線形方程式に対する代表的な定常反復法だが,最適な緩和パラメータを事前に求めることは難しいため,緩和パラメータを適応的に制御する適応型 SOR法がしばしば用いられる.本講演では,特に正定値対称行列を係数行列とする線形方程式に対して,SOR法がある無制約最適化問題の数値解法とみなせることを指摘し,ウルフ条件に着想を得て,新しい適応型 SOR法を提案する.提案する適応型 SOR法の一反復あたりの計算コストは通常の SOR法とほぼ同等である.数値実験では,様々な線形方程式に対して良い収束が得られることを示す.

An adaptive SOR method based on the Wolfe conditionsYuto Miyatake1) Tomohiro Sogabe2) Shao-Liang Zhang2)

1) Cybermedia Center, Osaka University

2) Graduate School of Engineering, Nagoya University

Abstract

Since the expense of estimating the optimal value for the relaxation parameter of

the SOR method is usually prohibitive, the parameter is often adaptively controlled.

In this paper, a new adaptive SOR method is presented so that they are applicable

to a variety of symmetric positive definite linear systems and they do not require

additional matrix-vector products when updating the parameter. The construction

of the proposed method is based on the Wolfe conditions known in the context of

unconditioned optimization problems. Numerical examples confirm the effectiveness

of the proposed method.

1 はじめに本講演では,線形方程式に対する SOR法について考える.線形方程式 Ax = b (A ∈ Rn×n,

b ∈ Rn) に対して,反復行列およびベクトルを緩和パラメータ ωを用いて

Gω = (D + ωL)−1[(1− ω)D − ωU ],

cω = ω(D + ωL)−1b

としたとき,SOR法は

x(k+1) = Gωx(k) + cω, k = 0, 1, 2, . . .

で定義される定常反復法である.但し,D, L, U はそれぞれ行列Aの対角,狭義下三角,狭義上三角行列を表す.よく知られているように,SOR法の収束の振る舞いは緩和パラメータの選択に大きく依存し,反復行列 Gω のスペクトル半径を最小にするという意味において最適なパラメー

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タを事前に求めることは特殊な場合を除いて困難である.そこで,もはや定常反復法ではなくなるが,緩和パラメータを適応的に制御する適応型 SOR法がしばしば用いられる.適応型 SOR法に関して,SOR法の研究の黎明期より様々なアイデアが提案されているが,決定版といえる方法は知られていない.例えば,Jacobi法と SOR法の反復行列のスペクトル半径の関係に基づく方法があるが,そのような関係が成立するために係数行列に強い制約が必要となる[2].また,反復行列のスペクトル半径を ωの低次の多項式で近似し,その最小化を図るアイデアもあるが,これは原理的に任意の線形方程式に適用できるものの,選択されたパラメータが必ずしも収束条件を満たさなかったり,パラメータ更新のための演算量(特に行列ベクトル積の回数)が増えるといった問題がある [1].このような状況を鑑みて,本講演では,応用上重要な例の多い正定値対称行列に焦点をあて,次の要請を満たす新しいタイプの適応型 SOR法を提案する.

• 係数行列を正定値対称行列に限定するが,それ以上の条件は課さない.また,係数行列が正定値対称であれば,採用される緩和パラメータは必ず収束条件 (0 < ω < 2) を満たす.

• 緩和パラメータの更新に追加の行列ベクトル積を必要としない.

この目的のために,本研究では SORが無制約最適化問題の解法として解釈できる点に着目する[5, 6].この帰結として,適切な変数変換のもとで SOR法の緩和パラメータをステップサイズとして解釈できるようになり,その結果,無制約最適化問題に対する直線探索の種々のアルゴリズムを利用して新しいタイプの適応型 SOR法を構築することが可能となる.本稿では,紙面の都合上,SORが無制約最適化問題の解法として解釈できることと,提案する適応型 SORの概略のみ示す.

2 無制約最適化問題の解法としてのSOR法次の無制約最適化問題を考えよう:

minx∈Rn

f(x), f(x) =1

2x⊤Ax− x⊤b. (1)

行列Aが正定値対称行列の場合,目的関数 f : Rn → Rは狭義凸かつ強圧的な関数であるから,最適解は一意に定まり,さらに線形方程式Ax = bの解に一致する.この最適化問題に対して,

x(k+1) = x(k) − hP∇df(x(k+1),x(k)) (2)

で表される反復法を考える.ここで,P は正定値対称行列であり,∇df(x(k+1),x(k))は勾配∇f(x)

の近似を表す.例えば,P が単位行列で∇df(x(k+1),x(k)) := ∇f(x(k))の場合は最急降下法であ

る.しかし,ここでは代わりに,P = D−1とし,勾配の近似として

∇df(x,y) :=

f(x1, y2, . . . , yn)− f(y1, . . . , yn)

x1 − y1f(x1, x2, y3 . . . , yn)− f(x1, y2, . . . , yn)

x2 − y2...

f(x1, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn−1, yn)

xn − yn

を採用する [3].このとき次の主張が成り立つ.

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定理 2.1 (例えば [4]). h > 0の場合,またその場合に限り,

f(x(k+1)) ≤ f(x(k))

が成立する.なお,等号は x(k) = A−1bの場合に限り成立する.

定理 2.2 ([6]). 反復法 (2)のステップサイズ hと SOR法の緩和パラメータ ωの間に

h =2ω

2− ω(3)

の関係があるとき,二つの算法は同値である.

以上の定理より,SOR法は最適化問題 (1)に対して無条件収束する反復法として解釈できる.また,この解釈に基づけば,無制約最適化問題に対する直線探索の種々のアイデアを応用して新しいタイプの適応型 SOR法を導出でき,さらに更新されたステップサイズが正である限り収束が保証される.

3 Wolfe条件を利用した適応型SOR法我々は [6]で,前節の議論に基づき,各反復において最急降下法の意味で最適なステップサイズを SOR法のステップサイズとして採用する適応型 SOR法を導入した.この方法は,Poisson方程式を差分法で離散化してあらわれる線形方程式に対しては,良い収束の振る舞いが見られたものの,パラメータの更新に行列ベクトル積が追加で一回必要になるといった問題があった.そこで,最急降下法の代わりにArmijo条件を利用することを考える.但し,通常とはやや異なる次の形で運用する.あるステップサイズ h(k)を用いて x(k) 7→ x(k+1)を既に計算したと仮定しよう.ここである定数 c1 ∈ (0, 1)に対して,

f(x(k+1)) ≤ f(x(k)) + c1∇f(x(k))⊤(x(k+1) − x(k)) (4)

が成立していれば,ある定数 λ1 > 1を用いて,次の反復で利用するステップサイズを h(k+1) :=

λ1h(k)と更新する.条件 (4)が満たされていなければ,直前のステップサイズが大きすぎたと見な

し,ある定数 ρ1 ∈ (0, 1)を用いて,次の反復で利用するステップサイズを h(k+1) := ρ1h(k)と更新

する.ここで,条件 (4)の確認のために追加の行列ベクトル積は不要であることを注意しておく.以上のアイデアは多くの場合有用であるが,方程式によっては選択されるステップサイズが 0

に漸近する例もある.これを避けるために,Wolfe条件に着想を得た次の条件を考える:ある定数c2 ∈ (c1, 1)に対して

c2∇f(x(k))⊤(x(k+1) − x(k)) ≤ ∇f(x(k+1))⊤(x(k+1) − x(k)). (5)

ここで,二つの条件 (4), (5)に基づく新しいステップサイズ更新法を提案する.まず,二条件が満たされている場合は,上記同様 h(k+1) := λ1h

(k)とする.条件 (4)は成立し,条件 (5)が不成立の場合,直前のステップサイズが小さすぎたと判断し,ある定数 λ2 > λ1を用いて,h(k+1) := λ2h

(k)

と更新する.条件 (4)が満たされていなければ,上記同様 h(k+1) := ρ1h(k)と更新する.

以上が提案する適応型 SOR法の概略である.全体のアルゴリズムをAlgorithm 1に示す.但し,ステップサイズの初期値は h(0) = 2(すなわち最初の反復にはGauss–Seidel法を用いる)とした.更新されるステップサイズは必ず正であるから,関係式 (3)に基づいて緩和パラメータの観点で考えると,よく知られている収束条件 0 < ω < 2が必ず成立していることが分かる.また,事前に定

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めるべきパラメータが増えているが,講演当日は,(c1, c2, λ1, λ2, ρ1) = (0.89, 0.95, 1.15, 1.4, 0.85)

という組み合せ(あるいは,これに近い組み合せ)で,スペクトル半径を最小にする意味で最適な緩和パラメータが全く異なる様々な線形方程式に対して,良い収束の振る舞いを観察できる様子を示す.

Algorithm 1 Adaptive SOR method based on the Wolfe-like conditions

Set parameters c1 ∈ (0, 1), c2 ∈ (c1, 1), λ1 > 1, λ2 > λ1, ρ1 ∈ (0, 1);

r(0) := b−Ax(0);

h(0) := 2;

ω(0) := 1;

for k = 0, 1, 2, . . . until ∥r(k)∥ ≤ ϵ∥b∥ do

x(k+1) := Gω(k)x(k) + c;

r(k+1) := b−Ax(k+1);

if f(x(k+1)) ≤ f(x(k)) + c1∇f(x(k))⊤(x(k+1) − x(k)) then

if c2∇f(x(k))⊤(x(k+1) − x(k)) ≤ ∇f(x(k+1))⊤(x(k+1) − x(k)) then

h(k+1) := λ1h(k);

else

h(k+1) := λ2h(k);

end if

else

h(k+1) := ρ1h(k)

end if

ω(k+1) :=2h(k+1)

2 + h(k+1);

end for

参考文献[1] Z.-Z. Bai and X.-B. Chi, Asymptotically optimal successive overrelaxation methods for

systems of linear equations, J. Comput. Math. 21 (2003) 603–612.

[2] L. A. Hageman and D. M. Young, Applied Iterative Methods, Academic Press, New York,

1981.

[3] T. Itoh and K. Abe, Hamiltonian-conserving discrete canonical equations based on varia-

tional difference quotients, J. Comput. Phys. 76 (1988) 85–102.

[4] 松尾宇泰,宮武勇登,微分方程式に対する構造保存数値解法,日本応用数理学会論文誌 22

(2012) 213–251.

[5] 宮武勇登,曽我部知広,張紹良,微分方程式に対する離散勾配法に基づく線形方程式の数値解法の生成,日本応用数理学会論文誌 27 (2017) 239–249.

[6] Y. Miyatake, T. Sogabe and S.-L. Zhang, On the equivalence between SOR-type methods

for linear systems and discrete gradient methods for gradient systems, J. Comput. Appl.

Math. 342 (2018) 58–69.

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楕円曲線暗号解読におけるρ 法の特徴

後 保範 (神奈川大学)

公開暗号方式は 2048ビット RSA暗号から 256ビット楕円曲線暗号(ECC)に移行している。

ここでは ECCの仕組みと、それを解読するρ 法について述べる。ρ 法はシリアル版と並列版

で解の振る舞いが異なる。シリアル版はρ 法の名の通り、ρ の円を一周すると解が求まる。

並列版は各自ρ の円の方向に進み、どれか二つが合流すると解が求まる。計算量の期待値

は同じである。シリアルρ 法と並列ρ 法の数値計算結果を示す。並列ρ 法では AIを活用し、

計算量を減らせる可能性がある。AIで利用するデータの収集方法も示す。

Characteristics of ρ-method in elliptic curve cryptanalysis.

Yasunori Ushiro (Kanagawa University)

The public encryption method is shifting from 2048-bits RSA encryption to 256-bits

elliptic curve cryptography(ECC). Here we describe the mechanism of ECC and the

ρ-method to decipher it. The ρ-method is a serial version and a parallel version, and the

behavior of the solution is different. In serial, as the name of the ρ method goes around

the circle of ρ, the solution is obtained. In parallel, each goes in the direction of the circle

of ρ and a solution is obtained when any two meet.The expected value of the calculation

amount is the same. Numerical computation results of serial ρ method and parallel ρ

method are shown. In the parallel ρ method, it is possible to reduce the amount of

calculation by AI. It also shows how to collect data used in AI.

1.はじめに

数年前、公開鍵暗号はほとんど 2048ビットの RSA暗号であった。しかし、最近は多

くが 256ビットの楕円曲線暗号(ECC)に移行している。ECC-256の方が、RSA-2048より

頑強で、鍵交換や認証時間も短縮できる。現在、ECCの解読はρ法が最速である。ρ法

では 2ビット増加すると、計算量は 2倍増加する。20ビット増加すると千倍増加する。

シリアル用ρ法はρの先端から出発し、円の部分を一周すると解が求まる。一方、GPU

などの並列ρ法は異なる先端から円の方向に進む道の、どれか二つが合流すると解が求

まる。並列ρ法は並列処理でなく、単一 CPUでも実装できる。ρ法は整数多倍長が必要

である。CPU では高速な gmp(多倍長ライブラリ)を使用する。一方、GPU では自作が必

要となる。同じ問題でもシリアルρ法は初期値で計算時間が大きく変動する。シリアル

用は1個の初期値を使用するので、収束が速い初期値を見つけるのは、AI を用いても

困難と思われる。一方、並列用は互いに近い道を通りそうなものを大雑把にグループ分

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けできれば、収束を速くできる。大雑把なグループ分けなので AI が適用できる可能性

が高いと考えている。

2. 楕円曲線暗号(ECC)とは

現在の暗号は公開鍵方式と共通鍵方式を利用したハイブリッド暗号である。公開鍵方

式は共通鍵の鍵交換や認証に利用する。共通鍵方式は高速なため情報自体の通信に利用

する。公開鍵方式には RSA暗号と楕円曲線暗号(ECC)があり、最近 ECCの利用が急速に

広まっている。ECCは下記の楕円曲線を暗号に利用したものである。

y2 = x3 + ax + b (mod p), a,b,x,yは整数で pは素数

を満たす点 P(x,y)の集合である。楕円曲線上の点の加法は下記で定義される。

(1) 異なる 2点 P1=(x1,y1),P2=(x2,y2)の加法

x3 = t2 - x1 - x2 (mod p)

y3 = t(x1-x3) - y1 (mod p)

ここで、P3=P1+P2=(x3,y3),t=(y2-y1)/(x2-x1) (mod p)とする。

(2) 同じ点 P1=(x1,y1)の加法。P3=P1+P1=2×P1=(x3,y3)とする。

x3 = t2 - 2x1 (mod p)

y3 = t(x1-x3) - y1 (mod p)

ここで、t=(3x12+a)/(2y1) (mod p)とする。

楕円曲線の点 Pとし、無限遠点を O、素数位数を rとすると下記が成立。

(a) P + O = O + P = P

(b) P=(x,y)に対し、-P=(x,-y)

(c) 任意の Pに対し r×P=O

点Pと整数nに対する乗法n×P(スカラー倍算)は (1)と(2)の加法の組合せで計算する。

3. ECCと RSA暗号による鍵交換

楕円曲線暗号(ECC)は素数位数 rの楕円曲線上の 2点 P=(Px,Py)と Q=(Qx,Qy)において、

Q=n×Pを満たす整数 nを見つけるのが困難なこと利用している。RSA暗号は合成数 Nを

二つの素数 Pと Qに因数分解するのが困難なことを利用している。ECCは 256ビットの

素数 r、RSA暗号は 2048ビットの合成数 Nを利用している。256ビット ECCの解読困難

性は O(2128)で 2048ビット RSA暗号より強い暗号である。

ECCは共通鍵の交換や認証に ECC乗法の可換則を利用する。n,mが任意の整数で P及

び Q,R,Sが ECC上の点なら下記が成立する。

S = (Sx,Sy) = n×Q = n×(m×P) = m×(n×P) = m×R

Aが Q=m×Pを計算し、Bが R=n×Pを計算し互いに通信して、Aは S= m×Rを Bは S= n

×Qを計算することで、Sを求めその x座標 Sxを共通鍵する。P,Q,Rは知られても、n,m

は送信しないので、鍵 Sxは安全に交換(送信)できる。

RSA暗号での鍵交換は整数論のオイラーの定理を利用する。p,qが素数で N=p×qとす

ると任意の整数 xに対して下記が成立する。

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x(p-1)(q-1)=1 (mod N)

これから f=(p-1)(q-1)で d=e-1 (mod f)とすると下記が成立する。

Cd = (Me)d = Med = Mαf+1 = M(Mf)α = M (mod N)

dは送信不要で、共通鍵 Mを暗号化し Cとして送信し、Cd (mod N)で Mに復号できる。

4. ECCのρ法による解読

現在、ECCの解読はρ法が最も高速と言われている。ρ法は字が示す通り、ECC上の

点 Sk-1を Sk=f(Sk-1)で更新し、ρの円周を一周し同じ点に戻ったら解読できる。

ρ法の仕組みを簡単な例で示す。位数 rで、点 Pと Qを与え Q=z×Pとなる整数 zを求

める。まず、適当な整数α0,β0を用意し S0=α0×P+β0×Qを計算する。kステップで

Sk-1=(Xk-1,Yk-1)とし、id=Xk-1 (mod 2)から下記のように Sk及びαk,βkを求める。

(a) id=0: Sk=Sk-1+P, αk=αk-1+1 (mod r)

(b) id=1: Sk=Sk-1+Q, βk=βk-1+1 (mod r)

ρ法で円周を一周し Sj=Skとなる j,kより解 zを下記で求める。

z = (αk - αj)/(βj - βk) (mod r)

5. ECCの並列ρ法による解読

ρ法の Sk=f(Sk-1)による計算は逐次処理で並列計算に向かない。そこで、並列ρ法は

シリアルρ法の特徴で一周して同じ点を諦める。並列なので異なる多数点からρ法の計

算を開始する。図 5.1に 8個の初期点からの並列ρ法の軌跡を示す。

図 5.1 8並列ρ法の軌跡

6. 数値実験結果

ρ法の数値実験は色々行っている。PC以外にも GPUを使用した並列計算で効果があ

ることも確認した。予稿では紙面の都合で、ρ法の収束性についてだけ述べ、他は講演

で説明する。収束性はシリアルρ法と並列ρ法に分けて評価した。更に、ρ法は Sj=Sk

となる jと k以外に、Si=-Skとなる iと kを見つけても解ける。Sj=Skに限定した場合を

図 5.1は位数 r=10091の楕円曲線

y = x3+9973x+8108 (mod 10007)

における 8並列ρ法の結果である。

1~8 の番号は各出発点を示す。各

点から中心の円の方向にの単位

で進む。円に至る線は各点からシ

リアルρ法が進む軌跡を示す。こ

の場合、2番の 8ステップ目と 8番

の 4ステップ目の計算が一致する。

このように、並列ステップでは 2

点の軌跡の合流で解 zを求める。

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「同符号」と Si=-Skも解とした場合を「異符号も」と表す。図 6.1に 40ビット ECCの

解を求める Sk=f(Sk-1)の計算回数の頻度を示す。図 6.2は同じ解(S=n×R)毎に 100回初

期値を変えた平均値の頻度を示す。共に 10万回の解を求めた。図 6.1からシリアルρ

法も 100並列ρ法も同じ収束性の分布と分かる。一方、異符号も解にすると平均で 倍

収束が速くなることが分かる。異符号も解に取り込むには途中計算の全てを記憶する必

要があり、60ビット以上ではメモリが不足する。そのため、特徴点だけの記憶でよい

同符号のρ法が使用される。図 6.2は解読の困難性が、シリアルρ法では異なり、100

並列ρ法だとほぼ同じになることを示している。この性質は異符号を解に含めても同じ

である。言い換えると、並列ρ法では解読困難性はビット数に依存し、シリアルρ法で

はビット数及び解く問題にも依存することが分かる。

図 6.1 ρ法の反復数の頻度(40bit) 図 6.2 ρ法の平均反復数の頻度(40bit)

7. 並列ρ法に AIを活用するアイデア

並列ρ法では初期値の選択で収束の速さが決まる。そのため、多数の初期値候補から

並列数だけの初期値を上手く選び出せれば良い。またその選定はシリアルρ法に比べ、

大雑把で良い。並列ρ法は二つの初期値からの軌跡が合流すれば解が得られる。そこで、

ρ法を逆にたどり分岐(ρ法では合流)情報が役立つと思われる。ρ法の Sk=f(Sk-1)を 4.

の例のように 2区分(mod 2)と 4,8区分で何回先まで逆に辿れるか調べた。1回も逆に

進めない確率は 2,4,8区分でそれぞれ 25%,32%,34%である。また、100回先までさかの

ぼれる確率はそれぞれ 11%,3%,2%である。また比率はビット数に依存せず、辿る時間も

ビット数にぼぼ比例することが分かった。初期値ごとの分岐情報とρ法の結果を上手く

AIで活用できれば、収束を速くする初期値の選定が夢でないと思われる。

8. おわりに

楕円曲線暗号(ECC)の解読に使用されるρ法を調査した。シリアルρ法も並列ρ法も

収束までの計算回数は確率的に同じと判明。一方、解読困難性はシリアルρ法が確率的

に問題に依存するのに対し、並列ρ法は依存が少ないことも判明した。また、ρ法を逆

に辿ると初期値の様々な逆辿り情報が得られ、この情報はビット数が大きくなっても容

易に計算できる。今後、この情報に AIを活用した並列ρ法の検討をする。

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無誤差変換技法を用いた陽的補外法の性能評価幸谷智紀 1)

1) 静岡理工科大学

概要

常微分方程式の初期値問題に対する補外法は,補外段数を調整することで任意の次数の高精度な近似解を得ることができる解法である.半面,最も効率的な調和級数を補助数列として用いると,補外過程で丸め誤差が増幅される可能性が高くなることが知られている.本講演では陽的中点法を用いた補外法に対して,マルチコンポーネント型多倍長浮動小数点演算に利用される無誤差変換技法を適用し,性能評価を行った結果について報告する.

1 初めに今回解くべき常微分方程式の初期値問題を下記のように表記する.

dy

dt= f(t,y)

y(α) = yα

積分区間 : [α, β]

(1)

常微分方程式 (ODE)の初期値問題において,高精度な近似解を効率的に得るためには高次解法を使用することが望ましい.また,丸め誤差の蓄積と拡大伝播によって引き起こされる悪条件問題に対しては,多倍長精度浮動小数点演算を使用する必要がある.現状,任意長の浮動小数点演算が可能なライブラリとしてはMPFR[2]/GMP[1]が高速性・信頼性において優れており,固定長の,比較的短い 4倍精度・8倍精度程度の浮動小数点演算ライブラリとしてはQD[3]が著名である.四則演算レベルの高速化はほぼ限界に達しているため,これらのライブラリを土台としたBLAS単位の高速化を行うことが一般的となっている.近年,注目されている無誤差変換技法 [4]は,QDに代表されるマルチコンポーネント方式による多倍長精度演算の土台となっているものであるが,これを通常の倍精度BLASを組み合わせて利用し,多重精度演算として実現するものである.小林&荻田 [5]はBLAS3

の密行列積演算を土台とした連立一次方程式の高速高精度解法を実現している.今回我々はQDライブラリで提供される 4倍精度 (Double-Double, DD)演算を用いて実装した補外法と,BLAS1ベースの 2重精度演算を取り込んだ補外法を実装し,その性能評価を行った.その結果,ODEの関数 f(t,y)を倍精度のまま利用し,それ以外の部分に 2重精度演算を行ったものが最も効率的な計算を実行できることが判明した.本講演では,2重精度演算を取り入れた陽的補外法のアルゴリズムを述べ,ベンチマー

クテストを行い,計算時間と近似解の精度について,DD演算ベースの補外法と比較した結果について述べる.

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2 陽的補外法のアルゴリズムODE(1)に対し,各離散点 told ∈ [α, β]の近似解 yold ≈ y(told)から,次の離散点 tnext

の近似値 ynext ≈ y(tnext)を,陽的中点法を用いた補外法(陽的補外法)を用いて計算することを考える.補外法の初期系列Ti1を計算するための補助数列を wi,最大段数Lとし,停止条件

として相対許容度 εR,絶対許容度 εAを与える.補助数列としては下記の 3つが代表的なものである.

Romberg数列: 2, 4, 8, ..., 2i, ...

Bulirsch数列: 2, 4, 6, 8, 12, ..., 6 · 2i/2−1, 2(i−1)/2+1, ...

調和数列: 2, 4, 6, 8, ..., 2(i+ 1), ...

初期系列Ti1 (i = 1, 2, ..., L)の計算は,下記のように最初の y1を陽的 Euler法で計算した後,以降は陽的中点法を用いて行う.

1. h := (tnext − told)/wi −→ tk := told + kh ∈ [told, tnext]

2. t0 := told, y0 ≈ y(t0)

3. 陽的 Euler法: y1 := y0 + hf(t0,y0)

4. 陽的中点法: yk+1 := yk−1 + 2hf(tk,yk) (k = 1, 2, ..., wi − 1)

5. 初期系列をセット: S(h/wi) := ywi

初期系列 Ti1 := S(h/wi)を用いて近似解の次数を高めていく補外過程は次のようになる.

1. T11 := S(h/w1)

2. i = 2, ..., L

Ti1 := S(h/wi)

For j = 2, ..., i

補外過程:

Rij :=

((wi

wi−j+1

− 1

)−1

(Ti,j−1 −Ti−1,j−1) (α = 2)

Tij := Ti,j−1 +Rij

収束チェック :

∥Rij∥ ≤ εR∥Ti,j−1∥+ εA

−→ ynext := Tij

(2)

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3. ynext := TLL (収束しない場合)

この補外過程で丸め誤差を最も拡大させる可能性の高い補助数列が調和数列である(Hairer& Wanner).

3 無誤差変換BLAS1を用いた陽的補外法のアルゴリズム通常の丸め誤差を伴う倍精度四則演算を⊕, ⊗, ⊖, ⊘と表現する.これに対して,倍精

度加算の結果 s := a bに含まれる誤差項 eを正確に表現することのできる演算を無誤差変換(演算)と呼ぶ.代表的なものとして,加算に対するQuickTwoSum(|a| ≥ |b|の場合のみ)とTwoSum,減算に対するTwoDiff,乗算に対するTwoProdがある.これらを用いて,無誤差変換 FMA演算(P.Langlois & N. Louvet)も可能となる.

(s, e1, e2) := FMAerror(a, x, y)

s := FMA(a, x, y) = ax+ y

(u1, u2) := TwoProd(a, x)

(α1, α2) := TwoSum(y, u2)

(β1, β2) := TwoSum(u1, α1)

γ := β1 ⊖ s⊕ β2

(e1, e2) := QuickTwoSum(γ, α2)

return(s, e1, e2)

以上の演算を用いて,BLAS1,特にAXPY演算と SCAL演算を無誤差変換アルゴリズム化する.倍精度四則演算,QuickTwoSum,TwoSum, TwoDiff, TwoProd,FMAerror

はベクトルの要素ごとに実行するものとすると,次のようになる.

y := AXPY(α,x,y)

y := α⊗ x⊕ y

return y

x := SCAL(α,x)

x := α⊗ x

return x

(y, ey) := AXPYerror(α, eα,x, ex,y, ey)

(y, e1, e2) := FMAerror(α,x,y)

ey := e1 ⊕ e2 ⊕ α⊗ ex ⊕ eα ⊗ x⊕ eyreturn (y, ey)

(x, ex) := SCALerror(α, eα,x, ex)

(w1,w2) := TwoProd(α,x)

w2 := α⊗ ex ⊕ eα ⊗ (x⊕ ex)⊕w2

(x, ex) := QuickTwoSum(w1,w2)

return (x, ex)

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f(tk,yk) := fkを誤差評価付きの f(tk + etk ,yk + eyk) = fk + efk に変更したとすると,

無誤差変換アルゴリズムを用いた陽的補外法は次のようになる.陽的 Euler法:

y1 := y0 + hf0

⇓(y1, ey1) := (y0, ey0)

(y1, ey1) := AXPYerror(h, eh, f0, ef0 ,y1, ey1)

陽的中点法:yk+1 := yk−1 + 2hfk (k = 1, 2, ..., wi − 1)

⇓(yk+1, eyk+1

) := (yk−1, eyk−1)

(yk+1, eyk+1) := AXPYerror(2⊗ h, 2⊗ eh, fk, efk ,yk+1, eyk+1

)

(k = 1, 2, ..., wi − 1)

補外過程は次のようになる.準備として,係数は DD 演算を行って (cij, ecij) :=

1/((wi/wi−j+1)α − 1)を求めておく.

(U1, eU1) := (Ti,j−1, eTi,j−1)

(U2, eU2) := (Ti−1,j−1, eTi−1,j−1)

(U3, eU3) := AXPYerror(−1, 0,U1, eU1 ,U2, eU2)

(U3, eU3) := SCALerror(cij, ecij ,U3, eU3)

(U1, eU1) := AXPYerror(1, 0,U3, eU3 ,U1, eU1)

(Tij, eij) := QuickTwoSum(U1, eU1)

性能評価については講演時に述べる.

参考文献[1] GMP Development Team, The GNU Multiple Precision arithmetic library. http:

//gmplib.org/.

[2] MPFR Project. The MPFR library. http://www.mpfr.org/.

[3] Yozo Hida, Xiaoye S. Li, and David H. Bailey, Quad-double arithmetic: Algorithms,

implementation, and application, Technical Report LBNL-46996, 2000.

[4] S.M. Rump, Error-Free Transformations and ill-conditioned problems, In Proceedings

of the “International workshop on verified computations and related topics”, 2009.

[5] Yuka Kobayashi and Takeshi Ogita, A fast and efficient algorithm for solving ill-

conditioned linear systems, JSIAM Letters Vol.7, pp.1-4, 2015.

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微分代数方程式における2次以下の保存量に対する離散保存則について

佐藤 峻東京大学

概要

微分代数方程式 (DAE)は常微分方程式 (ODE)の一般化であり,各種の現象のモデリングにおいて自然に現れる.拘束条件付きの機械系はその好例であるが,この場合には力学的エネルギー保存則に対応して,エネルギー関数の保存則が成立するため,この性質を受け継いだ数値解法が構築・利用されている.この研究は,ODEにおける保存的数値解法の構築方法や帰結 (安定性など) に関する豊富な研究の観点からも自然なものであるが,DAEにおける研究は未だ黎明期にあり,統一的な視点からの研究は成されていない.例えば,ODEにおいては,線形や 2次などの簡単な保存量に関しては,Runge–Kutta法などの通常の数値解法の一部により自動的に保存されることが知られているが,DAEに対してはこの種の結果すら知られていない.本発表では,DAEにおける保存量の議論の複雑さを紹介し,その上で,Runge–Kutta法による自動的な離散保存則がDAEにどこまで拡張されるかについて述べる.

On discrete conservation laws for linear or quadratic conservedquantities in differential-algebraic equations

Shun Sato

The University of Tokyo

Abstract

Differential-Algebraic Equations (DAEs) model various phenomena, and the class

of them is a generalization of that of Ordinary Differential Equations (ODEs).

The constrained mechanical systems are typical examples of DAEs, and have a

conservation law of mechanical energy. Thus, numerical methods inheriting such

a conservation law have been constructed and employed in the literature. Though

this research direction is quite natural in view of the rich literature of geometric

integrations of conservative ODEs, studies on their extension to DAEs are still in

their early stage. For example, whereas linear and quadratic conserved quantities

are known to be automatically conserved by some of standard numerical methods

such as Runge–Kutta methods in the case of ODEs, the similar results have not

been discussed in the case of DAEs. In this talk, we clarify the complexity of the

concept of conserved quantities in DAEs, then we show some theories on automatic

conservation of simple conserved quantities by Runge–Kutta methods for DAEs.

1 はじめに

本発表では,自励形の微分代数方程式 (DAE:

Differential-Algebraic Equation)

Mz = f(z) (1)

が保存量をもつ場合の数値解法を考える (M ∈Rd×d, f : Rd → Rd, z : [0, T ) → Rd).

DAEは,数学的には「多様体上の微分方程式」と同値であるが,その陰的な表現であるた

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めに,特有の困難が存在する.特に,本著者が[5]で指摘しているように,保存則に関しては常微分方程式 (ODE: Ordinary Differential Equa-

tion)に比べて格段に複雑な構造をもつために,その構造保存的な離散化にも注意が必要である.常微分方程式

z = f(z) (2)

に対する保存的数値解法の文脈では,線形な保存量や二次の保存量は,Runge–Kutta (RK) 法などの汎用解法で自動的に保存される場合があることが知られている (詳細は 2.1節).線形や二次の保存量は有限次元のODEでも現れるが,無限次元の ODEたる発展方程式においても頻出であるため,どのような時間離散化手法を利用すればこれらが保存されるかという情報は非常に有用である.一方で,DAEに対してはこの種の定理が全く知られていない.このため,DAEが単純な保存量をもつ場合にも,時間離散化で引き継がれるかは不明である.よって,本発表では,DAEに対してよく用いられるRK法 (2.3節)に限定し,この種の性質を明らかにする.具体的には,本研究の成果は指数 1のDAE (2.2節)に関する以下の 3つの事実である (具体的な内容は後述):

• ある種の線形保存量は自動的に保存される.

• それ以外の線形保存量で,自動的に保存されない例を示す.

• 二次の保存量を自動的に保存 (し,拘束条件も満足) するRK法は存在しない.

2 準備

2.1 ODEにおける保存量とRK法

ODE (2)において,V : Rd → Rが保存量であるとは,全ての解軌道上での値が一定であることをいう.また,V が保存量であることは全ての z ∈ Rdに対して ⟨∇V (z), f(z)⟩ = 0が成立することと同値である (⟨·, ·⟩は通常の内積).

ODE (2)に対する s段RK法 (z(0) = z0 ∈ Rd

に対して z1 ≈ z(∆t)を求める) を以下のように定義する ([s] := 1, . . . , s):

Zi − z0∆t

=s∑

j=1

aijf(Zj) (i ∈ [s]),

z1 − z0∆t

=s∑

j=1

bjf(Zj).

ある定ベクトル γ ∈ Rd を用いて V (z) =

⟨γ, z⟩とかける場合には,この保存量は線形であるといい,以下の事実が知られている.

命題 2.1 ([3, Chapter IV, Theorem 1.5]). 全てのRK法は線形な保存量を自動的に保存する.

証明. ODE (2)が線形な保存量V をもつ場合には,全ての z ∈ Rdに対して ⟨γ, f(z)⟩ = 0が成立している.よって,RK法の定義式より

V (z1)− V (z0)

∆t=

⟨γ,

z1 − z0∆t

⟩=

s∑j=1

bj⟨γ, f(Zj)⟩ = 0

が成立する.

さらに,二次の保存量 (対称行列Qを用いてV (z) = z⊤Qzとかける) に関しては以下の命題が成立する.例えば,陰的中点則が仮定 (3)を満たす最も簡単な例である.また,この仮定は(ほぼ)必要十分条件である (cf. [3, Chapter IV,

Theorem 2.2]).

命題 2.2 ([2]). Runge–Kutta法が

biaij + bjaji = bibj (i, j ∈ [s]) (3)

を満たすとき,全ての二次保存量は保存される.

2.2 指数 1の微分代数方程式

本稿では,DAE (1)の微分指数が (一様に)1

であると仮定する.DAE (1)の微分指数に関する詳細は [1]に譲ることとするが,以下,この仮定の意味を説明する.まず,DAE (1)は拘束条件を陽にはもたないが,陰的にもつことを示す.行列 A の像空間range(M)の直交補空間の正規直交基底 biℓi=1

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を束ねて行列 B = (b1, . . . , bℓ)を構成する.このとき,DAE (1)の解 z : [0, T ) → Rd について 0 = B⊤Mz = B⊤f(z) が成立することに注意すると,拘束条件 G(z) = B⊤f(z) = 0をもつことが分かる.つまり,DAE (1) の全ての解軌道は多様体

M = z ∈ Rd | G(z) = 0 に含まれる.微分指数が (一様に)1 であるときには,さらに,G(z0) = 0を満たす全ての z0 ∈ Rd に対して,z0を初期値とする軌道が一意的に定まる.

2.3 微分代数方程式に対するRK法

DAE (1)に対する s段RK法を

MZi − z0∆t

=

s∑j=1

aijf(Zj) (i ∈ [s]) (4)

Mz1 − z0∆t

=s∑

j=1

bjf(Zj) (5)

と定める [4].この際,DAEの数値解法の文脈では,以下の 2つの仮定が標準的に置かれる:

(A1) 行列A (Aの i, j成分が aij)が正則;

(A2) asj = bj が全ての j ∈ [s]について成立.

以上の 2つの仮定の帰結に関する詳細は [4,

Chapter VI]に譲るが,本稿において重要な帰結のみを以下の補題と命題で示す.以下の補題で示すように,仮定 (A1)により,各 Ziが拘束条件を満足することが保証される.

補題 2.3. DAE (1)に対する RK法 (4), (5)が仮定 (A1)を満たすと仮定する.このとき,各i ∈ [s]に対して,G(Zi) = 0が成立する.

証明. k ∈ [ℓ]を固定すると,式 (4)の両辺と bk

の内積より

0 =

⟨bk,M

Zi − z0∆t

⟩=

s∑j=1

aij⟨bk, f(Zj)⟩

が任意の i = 1, . . . , s に対して成立することがわかる.よって,行列 A の正則性から⟨bk, f(Zj)⟩ = 0が任意の j ∈ [s]に対して成立する.kは任意であったため,これは補題の成立を意味する.

さらに,仮定 (A2)は,z1 = Zsを意味するので以下の命題が成立する.

命題 2.4. DAE (1)に対する RK法 (4), (5)が仮定 (A1)(A2)を満たすと仮定する.このとき,z1 ∈ Mが成立する.

3 線形保存量について

DAEの場合にも,全ての解軌道上で値が一定である関数を保存量という.ODEの場合の強力な結果 2.1から,DAEにおいても線形保存量に関しては自動的な保存則がある程度成立することが期待される.具体的には,2.3節の議論から,(A1)(A2)を満たすRK

法については,線形保存量の自動的な保存を期待したくなる.しかし,実際には, [5]で述べられているよう

に,γ ∈ car(M) := (null(M))であるか否かで,状況は大きく異なる.紙面の都合上,結果だけ述べる.まず,γ ∈ car(M)の場合には,(A1),(A2)を

満たす全てのRK法について,自動的に保存則が成立する.

定理 3.1 (cf. [5, Proposition 3.2]). 関数V (z) =

⟨γ, z⟩ を γ ∈ car(M) を満たす保存量とする.このとき,(A1),(A2)を満たすRK法に対して,V (z1) = V (z2)が成立する.

証明. z(t) を DAE (1) の解とすると,あるe(t) ∈ null(A)が存在して z(t) = M †f(z(t)) +

e(t) とかける (M †:Moore–Penrose 一般逆行列).よって,仮定より,

0 = ⟨γ, z⟩ = ⟨γ,M †f(z) + e⟩ = ⟨γ,M †f(z)⟩

が成立する.つまり,⟨γ,M †f(z)⟩ = 0が全ての z ∈ Mに対して成り立つ.RK 法の解に関しても連続版と同様にある

ed ∈ null(M)が存在して

z1 − z0∆t

=

s∑j=1

bjM†f(Zj) + ed

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とかけることと,Zj ∈ Mを利用すると,

V (z1)− V (z0)

∆t=

⟨γ,

z1 − z0∆t

⟩= ⟨γ,

s∑j=1

bjM†f(Zj) + ed⟩

=

s∑j=1

bj⟨γ,M †f(Zj)⟩ = 0

が示される.

上の証明の肝は,e, ed ∈ null(M) がともにγ ∈ car(M)によって消えることである.つまり,γ /∈ car(M)の場合には上の論法は

利用できない.さらに,ある 3次元 DAEが存在し ([5, 式 (3.2)]) ,線形保存量をもつにも関わらず,陰的 Euler法 (仮定 (A1),(A2)を満たす最も単純なRunge–Kutta法)による数値解が保存則を満たさない.

4 二次保存量について

命題 2.1と定理 3.1の証明を見比べると分かる通り,ODEからDAEへの拡張の本質は線形性ではなく,∇V (z) ∈ car(M)という性質である.このため,ある種の二次保存量についても,

(A1), (A2), (3)を全て仮定すれば,自動的に保存されると期待できる.しかし,実際には以下の定理が成立するため,この全ての仮定が成立するRK法はそもそも存在しない.

定理 4.1. 仮定 (A1), (A2) と (3) を満たすRunge–Kutta法は存在しない.

証明. 仮定 (A2)より,(3)は,

asiaij + asjaji = asiasj (i, j ∈ [s]) (6)

に書き換えられるため,(6)を満たす行列 Aが非正則であることを示せばよい.まず,(6)において i = j = sとすることで,

ass = 0を得る.さらに i = sとすると

asjajs = 0 (j ∈ [s]) (7)

を得る.この条件と (6)に ajs を書いて得られる ajsasiaij + ajsasjaji = asiasjajsより,

asiaijajs = 0 (i, j ∈ [s]) (8)

が成立する.ここで,I := i ∈ [s] | asi = 0, I := [s]\Iとすると,(7)によりajs = 0が任意の j ∈ Iに対して成立する.よって,(8)より,A[I∪s, I] = 0

が成立する (A[J,K]:行集合 J と列集合K に対応する小行列).これより,A[[s], I]の非零行は高々|I| − 1個なので,rankA[[s], I] ≤ |I| − 1

が成立する.よって,rankA ≤ rankA[[s], I] +

rankA[[s], I] ≤ |I| + |I| − 1 = s − 1であるため,Aは非正則である.

DAEは ODEを特殊ケースとして含むため,ODEにおいて仮定 (3)が二次保存量を全て保存するための必要十分条件であることから,DAE

においても仮定 (3)は必要である.また,仮定(A1), (A2)は拘束条件の成立のために必須であるため,以上の結果から,DAEに対して全ての二次保存量を自動的に存在する ((4),(5)の形の) RK法は存在しない.

参考文献[1] U. M. Ascher and L. R. Petzold. Computer

methods for ordinary differential equationsand differential-algebraic equations. SIAM,Philadelphia, PA, 1998.

[2] G. J. Cooper. Stability of Runge–Kutta meth-ods for trajectory problems. IMA J. Numer.Anal., 7:1–13, 1987.

[3] E. Hairer, C. Lubich, and G. Wanner.Geometric numerical integration, Structure-preserving algorithms for ordinary differentialequations. Springer, Heidelberg, 2010.

[4] E. Hairer and G. Wanner. Solving ordi-nary differential equations II. Springer-Verlag,Berlin, 2010.

[5] S. Sato. Linear gradient structures anddiscrete gradient methods for conserva-tive/dissipative differential-algebraic equa-tions arXiv e-prints, arXiv:1805.04824, 2018.

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Einstein方程式の数値計算浦川 遼介 1) 土屋 拓也 1) 米田 元 1)

1) 早稲田大学基幹理工学研究科

概要

Einstein方程式の数値計算は保存量をもつ偏微分方程式の初期値問題として定式化することができ,その保存性を保つように数値計算することが望ましい.本講演では,Einstein方程式の数値計算におけるこれまでの研究と今後の展望について,方程式の定式化という側面からと,離散化という側面から紹介する.

Numerical Calculation of Einstein’s EquationRyosuke Urakawa1) Takuya Tsuchiya1) Gen Yoneda1)

1) Graduation School of Fundamental Science and Engineering, Waseda University

Abstract

Einstein’s equation can be reformulated as an initial value problem of partial

differential equation which has the conservative property, and it is desirable

that we compute it to keep its property. In this talk, we introduce our previ-

ous study and future prospects in the numerical calculation of the Einstein’s

equation from the view point of the formulation and the discretization.

1 はじめに近年,重力波の観測が相次いで報告され [1, 2, 3, 4, 5],新しい重力波天文学が幕を開けた.重力波の観測が可能になったことで,宇宙誕生初期の様子や鉄より重い金属の起源の解明、新たな天体の発見などが期待され,その意義は大きい.重力波とは,時空間の歪みが波として伝搬する現象で,その存在は一般相対性理論のEinstein方程式から理論的に予言されており,重力波の観測によって,その存在が明らかになり一般相対性理論の正しさが裏付けられた.日本でも,重力波検出器のKAGRAが稼働予定である.重力波は,その観測データを見ただけではどのような現象で生じたものなのかが分からない.そこで,Einstein方程式と物質場の方程式を組み合わせて数値計算し,様々な条件下における重力波の波形のテンプレートを用意する.そのテンプレートと実際の観測データをマッチトフィルター法などで解析して,十分な相関関係が得られれば重力波が検出されたと判断される.したがって,Einstein方程式を正確に解く必要があり,精度の高い数値計算をする必要がある.Einstein方程式は,一般的に 4次元時空を時間方向と空間方向に分解して,初期値問題として定式化して数値計算される.分解された方程式は発展方程式と拘束方程式に分解され,拘束方程式が満たされるように時間発展させる必要があり,保存量をもつ偏微分方程式としてみることができる.本講演では,数

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値相対論についてのこれまでの研究の紹介と,離散変分導関数法によるEinstein方程式の数値スキームの開発の困難な点を紹介する予定である.

2 Einstein方程式の定式化についてEinstein方程式は,計量 gµνに対する非線形な連立偏微分方程式である.

Rµν −1

2gµνR = 8πTµν . (1)

ここで,添え字は µ, ν = 0, 1, 2, 3をとり,それぞれ t, x, y, z に対応する.以下,添え字がギリシャ文字の場合は同じルールとする.一方,添え字がラテン文字の場合はi, j, · · · = 1, 2, 3をとる.また,Rµν は Ricciテンソル,Rは Ricciスカラー,Tµν はエネルギー運動量テンソルである.Einstein方程式の左辺は時空の歪みに対応し,右辺は物質の分布に対応する.Rµν , Rは計量 gµνについての 2階までの偏微分の項が含まれる.すなわち,(左辺)= f(gµν , ∂σgµν , ∂σ∂ρgµν)の形をしている.この方程式を数値的に解くわけだが,1つ大きな問題がある.それは,Einstein方程式は時間と空間が区別されることなく同等に用いられており,時間の方向が一定に定まらない.つまり,初期値問題として解くことができない.そのため,一般的に 4次元時空を時間 1次元と空間 3次元に分解する.すなわち,時空を空間的超曲面の連続体と考え,初期値問題として定式化する.その概念図を下図に示す.ここで,αはラプス関数と呼

一定(時間軸)

図 1: 時空の 3 + 1分解の概念図.

ばれ空間的超曲面を選ぶ自由度に対応し,βiはシフトベクトルと呼ばれ,時間軸の方向を選ぶ自由度に対応する.すなわち,それぞれ時間と空間の座標の取り方の自由度に対応している.シミュレーションによって座標の取り方を動的に変える必要があるが,今回は簡単のためこのことには深く立ち入らない.

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3+ 1分解を利用したEinsteinの方程式の定式化には,動的変数の取り方によって様々な形式があり得る.最も基本的な形式はADM形式 [6, 7]と呼ばれ,発展方程式と拘束方程式に分けられる.以下の形で書くことができる.

∂tγij = −2αKij +Diβj +Djβi, (2)

∂tKij = α(Rij +KKij −KikKkj)−DiDjα

+KkiDjβk +KkjDiβ

k + βkDkKij

−8παSij + (1/2)γij(ρH − S k

k )

(3)

H := R +K2 −KijKij − 16πρH ≈ 0, (4)

Mi := DjKji −DiK − 8πJi ≈ 0. (5)

ここで,ρH , Sij, Jiは物質に関する変数である.また,H, Miは拘束値である.したがって,数値計算するときには,毎ステップH = 0, Mi = 0が近似的に満たされていることを確認しながら時間発展させる必要がある.ADM形式は強重力場中では計算が破綻しやすいことが知られており,現在ではBSSN

形式 [8, 9]を元にした定式化が用いられる.我々がこれまでにしてきた研究は,発展方程式の右辺に補正項を加えて誤差を分散させ,安定した数値計算を実現することだった.この手法を補正形式 [10, 11, 12]と呼ぶ.拘束値の時間発展を拘束伝播方程式と呼び,ADM形式の場合は(物質場がある場合でも [13])以下のように書ける.

∂t

(HMi

)=

(βkDk + 2αK −2αγkjDk − 4γijDiα

−(1/2)αDi −Diα βkDkδji +Diβ

j + αKδji

)(HMj

). (6)

補正項を加えることで,拘束伝播方程式の行列の固有値が変化する.この固有値を背景時空に沿って解析することで数値計算の安定性を逆に予想することができる.BSSN形式の場合でもほとんど同様に議論できる.本講演では,BSSN形式において物質場が存在する場合(Tµν = 0)に,この手法が有効であることを数値例を使って示す予定である.

3 離散変分導関数法を用いた数値スキームの開発の検討Einstein方程式を変分原理から導くことができることを利用した離散変分導関数法を用いた数値スキームの開発が [14]によって提案されている.簡単のため,真空の場合を考える.このとき,ラグランジュ密度は次のように表される.

LGR = α√γ(R−K2 +KijK

ij). (7)

正準運動量を πij := (δL)/(δ∂tγij)とすると,Hamilton密度は次のように定義される.

HGR := πij(∂tγij)− LGR. (8)

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変分原理により,Einstein方程式は以下のように書き表すことができる.

∂tγij =δHGR

δπij, (9)

∂tπij = −δHGR

δγij. (10)

ここで,Hamiltonian constraintはH := −(δH)/(δα)と定義され,この時間発展が 0となるように離散化したい.すなわち,(H(n+1) −H(n))/∆t = 0が自動的に満足されるように離散するのが望ましいが,離散化するのに困難な点がいくつかある(Hが tのみに依存する場合についてのみ離散変分導関数法による離散化が成功している).本講演では,こうした問題点について紹介する.

参考文献[1] B. P. Abbott et al. Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016).

[2] B. P. Abbott et al. Phys. Rev. Lett. 116, 241103 (2016).

[3] B. P. Abbott et al. Phys. Rev. Lett. 118, 221101 (2017).

[4] B. P. Abbott et al. Phys. Rev. Lett. 119, 141101 (2017).

[5] B. P. Abbott et al. Phys. Rev. Lett. 119, 161101 (2017).

[6] R. Arnowitt, S. Deser and C. W. Misner, in Gravitation: An Introduction to Current

Research, edited by L. Witten (Wiley, New York, 1962).

[7] J. W. York, Jr., in Sorces of Gravitational Radiation, edited by L. Smarr (Cambridge

University Press, Cambridge, England, 1979); L. Smarr and J. W. York, Jr., Phys.

Rev. D 17, 2529 (1978).

[8] M. Shibata and T. Nakamura, Phys. Rev. D 52, 5428 (1995).

[9] T. W. Baumgarte and S. L. Shapiro, Phys. Rev. D 59, 024007 (1998).

[10] G. Yoneda and H. Shinkai, Classical Quantum Gravity 18, 441 (2001).

[11] G. Yoneda and H. Shinkai, Phys. Rev. D 63, 124019 (2001).

[12] G. Yoneda and H. Shinkai, Phys. Rev. D 66, 124003 (2002).

[13] H. Shinkai and G. Yoneda, General Relativity and Gravitation 36, 1931 (2004).

[14] T. Tsuchiya and G. Yoneda, JSIAM Letters 9, 57 (2017).

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混合型定式化に基づく静磁場問題の領域分割法

田上大助

九州大学マス・フォア・インダストリ研究所819-0395福岡市西区元岡 744, [email protected]

Domain decomposition methods formagnetostatic problems based on mixed formulations

TAGAMI, DaisukeInstitute of Mathematics for Industry, Kyushu University

744 Motooka, Nishi-ku, Fukuoka 8190395, JAPAN,[email protected]

キーワード: 反復型領域分割法,静磁場問題,有限要素法,大規模計算モデルKeywords: iterative domain decomposition method, magnetostatic problem, finite element method, largescal computational mode

1 はじめに我々は, 電磁場問題の数値計算に現れる大規模計算モデルを効率良く実装するために, 反復型領域分割法を導入してきた;例えば, Kanayama, et al. 3) や Tagami 7) を参照されたい. Tagami 7) において, 我々は, Kikuchi 1),2) によって導入された混合型変分問題に基づく, 静磁場問題に対する反復型領域分割法を導入した. Kikuchi 1),2) の結果を応用することで, 従来の手法では得られていなかった計算手法の一意可解性や近似解の収束性などが示せるという特徴がある. さらに,混合型変分問題の導入によって現れる Lagrange 乗数の特殊性を考慮したある簡略化を行うことによって, 計算コストの削減も可能であることが示され, これらの結果, 現在では約 35 億自由度複素自由度規模のある静磁場問題の検証モデルの計算も可能となっている;例えば Sugimoto, et al. 6) を参照されたい.本講演ではこれらの手法の概要を紹介した上で, さらなる計算コスト削減のための試み,例えばMandel 4) に起源を持ち Shioya, et al. 5) などで構造問題に対する有効性が示された Balancing Domain Decomposition (BDD) 法の適用などについても紹介する予定である.

2 静磁場問題に対する反復型領域分割法Ωを多角形領域とし,その境界を Γとする. Γ上の外向き単位法線を nとする. uを磁気ベクトルポテンシャル,f を電流密度, νを磁気抵抗率とする. この時,磁気ベクト

ルポテンシャル uを未知関数とし, Coulombゲージを課した静磁場問題は rot(ν rot u) = f in Ω,

div u = 0 in Ω,u × n = 0 on Γ

(1)

と定式化出来る;例えば Kikuchi 1) を参照されたい.ここで混合型変分問題の定式化に必要な関数空間を定義する. L2(Ω)を Ω上で定義された 2乗可積分な関数からなる空間, H1(Ω)をその 1階微分までが L2(Ω)に属する関数からなる空間とする. このとき, V と Q をそれぞれ V :=

v ∈ (L2(Ω)

)3; rot v ∈ (L2(Ω))3, v× n = 0 on Γ

よび Q :=q ∈ H1(Ω); q = 0 on Γ

と定義する.

Kikuchi 1) に従えば, 新たな未知関数として Lagrange乗数 p を導入し, 静磁場問題 (1) に対する以下の混合型変分問題を導入できる: f ∈ (L2(Ω)

)3を与えたとき,(ν rot u, rot v) + (v, grad p) = ( f , v),(u, grad q) = 0, ∀(v, q) ∈ V × Q, (2)

を満たすような (u, p) ∈ V × Qを求めよ. ただし ( . , . )は(L2(Ω)

)3の内積を表すとする.さらに Kikuchi 2) に従い,混合型変分問題 (2)に対する有限要素法を導入する. 磁気ベクトルポテンシャル uをNedelec の 1 次要素で, Lagrange 乗数 p を通常の P1 要素で, それぞれ近似する. そのとき, 混合型変分問題に基づく静磁場問題に対する有限要素法によって得られる連

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立 1次方程式は( A BBT 0

) ( up

)=

( f0

), (3)

と表すことが出来る. ここに u, p, f はそれぞれ, 磁気ベクトルポテンシャル, Lagrange 乗数, 電流密度の自由度に対応するベクトルである.次に静磁場問題に対する有限要素方程式 (3)に対し,反復型領域分割法を導入する. 考える領域 Ωが

Ω(i), ∅, Ω =∪

i

Ω(i), Ω(i)∩Ω( j) = ∅ (i , j) (4)

を満たす重なりのない部分領域 Ω(i) に分割されているとし, γB を

γB :=∪i, j

(Ω(i)∩Ω( j)) (5)

によって定義される, 領域の分割に伴い生成される人工境界とする. このとき Tagami 7) に従えば,静磁場問題に対する簡略化された反復型領域分割法は,人工境界問題

SuB = r, (6)

を解くことが主要な部分となる. ここに Sは

S :=∑

i

E(i)S(i)E(i)T, (7)

S(i) := A(i)II − A(i)

IBA†BBAIBT, (8)

A(i) := A(i)

II A(i)IB

A(i)IB

TA(i)

BB

, (9)

によって定義される Schur補行列であり, E(i)は γB 上の自由度の番号付けから Ω 上の自由度の番号付けへ対応させる Boolean 行列であり, 上付き添字 (i) は Ω(i) に対応する行列であることを表し, 下付き添字 I と Bはそれぞれ Ω(i) と γB に対応する自由度であることを表し, †はMoore–Penrose の一般化逆行列を表している; より詳細にはMandel 4) などを参照されたい.実際の数値計算においては,人工境界問題 (6)に対して

Conjugate Gradient (CG) 法を適用して uB を求める. 次に求まった uB を境界 γB 上における境界条件として与え,各部分領域 Ω(i) での問題を独立に解く. これにより領域 Ω全体での解を求めることが出来る.人工境界問題 (6) を解く際, 得られる連立 1 次方程式 (3) では Lagrange 乗数に対応する自由度が全て 0 となることに注意して, 簡略化された CG 法の反復過程を用いることに注意する.

3 数値計算例静磁場問題に対する反復型領域分割法の有効性を確認するため, ケーキモデルと呼ばれる検証問題を取り上げる; 例えば Sugimoto, et al. 6) を参照されたい. 用いた計算モデルの複素自由度数はおおよそ 35億自由度である.人工境界問題 (6)の線形反復解法に用いる CG法は残差が 10−3 以下となる場合に収束したとみなした.

図1 人工境界問題 (6)に対する簡略化されたCG法の収束履歴.

図 1は人工境界問題 (6) に対する簡略化された CG 法の収束履歴である. 提案した反復型領域分割法に現れる人工境界問題 (6)に対する CG法が収束していることを確認した.

4 おわりに混合型定式化に基づく静磁場問題に対し反復型領域分割法を導入し,その有効性を確認した. 今後は, BDD法の導入などを通して, 超大規模計算モデルに対してより効率の高い計算手法の開発を進めていく予定である.

参考文献

[1] Kikuchi, F., Mixed formulations for finite elementanalysis of magnetostatic and electrostatic problems,Japan J. Appl. Math., 6 (1989), 209–221.

[2] Kikuchi, F., On a discrete compactness property forthe Nedelec finite elements, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo,Sect. IA Math., 36 (1989), 479–490.

[3] Kanayama, H., Shioya, R., Tagami, D., and Mat-sumoto, S., 3-D Eddy Current Computation for aTransformer Tank, COMPEL, 21 (2002), 554–562.

[4] Mandel, J., Balancing Domain Decomposition, Com-mun. Numer. Methods Engrg., 9 (1993), 233–241.

[5] Shioya, R., Ogino, M., Kanayama, H., and Tagami,D., Large scale finite element analysis with a balanc-ing domain decomposition method, Key EngineeringMaterials, 243–244 (2003), 21–26.

[6] Sugimoto, S.-I., Tagami, D., Ogino, M., Takei, A.,and Kanayama, H. Improvement of Convergence inTime-Harmonic Eddy Current Analysis with Hierar-chical Domain Decomposition Method, Trans. JapanSoc. Simul. Tech., 7 (2015), 11–17.

[7] Tagami, D., An Iterative Domain DecompositionMethod with Mixed Formulations, in COE Lect. NotesSeries, vol. 45, Kyushu University, 2013, 19–26.

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多クラス分類問題に対するスペクトラル特徴量スケーリング

松田 萌望 1) 保國 惠一 1) 今倉 暁 1) 櫻井 鉄也 1)

1) 筑波大学

概要

多クラス分類問題に対して次元削減されたデータ点におけるクラスタの分離

を改善する教師あり学習手法を提案する.提案法は,スペクトラルクラスタ

リングに基づく学習器を用いて特徴量のスケールを調整する因子(スケーリ

ング因子)を計算する.そのために,学習データのラベル情報を利用して新

たな矩形固有値問題を定式化する.得られたスケーリング因子がテストデー

タの各特徴量のスケールを調整することで次元削減されたデータ点のクラス

タを既知のラベル情報に従って形成し,所望のクラス分類結果を与えること

ができる.

Spectral Feature Scaling Method forMulticlass Classification Problems

Momo Matsuda1) Keiichi Morikuni1) Akira Imakura1) Tetsuya Sakurai1)

1) University of Tsukuba

Abstract

We propose a supervised learning method to improve separation of clusters of

dimensionality-reduced data points for multiclass classification problems. We

use a classifier based on the spectral clustering to compute factors (scaling fac-

tors) that modify the scales of features. For that purpose, we formulate a new

rectangular eigenvalue problem by using label information of training data.

The obtained scaling factors can form clusters of dimensionality-reduced data

points according to the known label information by modifying the scales of

each feature of test data, and can give the desired classification result.

1 はじめに

データ解析において,高次元データの可視化や大規模データに対する計算時間削減の

ための方法には次元削減手法がある.次元削減手法とは,次元を削減してデータ点を低

次元に射影する手法である.さらにデータ解析では,射影されたデータ点をクラスタと

呼ばれる部分集合に分割(クラスタリング)し,学習データから学習器を構築して射影

されたテストデータ点のクラスタを分類することが行われる.スペクトラルクラスタリ

ングは,学習データのラベル情報を利用せずに次元削減を行う教師なし学習手法であり,

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次元削減後のデータ点が良く分離したクラスタを形成するならば,k-meansアルゴリズ

ムによって超平面で線形分離可能である.しかしながら,高次元データに対しては,高次

元特徴量のスケールの不整さが原因で満足のいく分類結果を得られない場合がある.そ

こで近年我々は,2クラス分類問題に対して高次元特徴量のスケールを調整することで

次元削減されたデータ点が成すクラスタの分離を改善するような特徴量スケーリングを

用いたスペクトラルクラス分類手法を提案した [1].本講演では,本手法の多クラス分類

に向けた拡張を行う.

 提案法は,グラフの 2分割によりクラスタリングを行うスペクトラルクラスタリング

の考え方に基づいている.データ点の関係を重み付き無向グラフの頂点間の関係として

表現したグラフの分割問題は,正規化カット関数を最小化するNP完全な離散最適化問

題として定式化できるが,連続緩和することでラプラシアン固有値問題

Lv = λDv, subject to eTDv = 0 (1)

の最小固有値に対応するFiedlerベクトル [2]を求める問題に帰着する [3].ここで,デー

タ点 xi,xj ∈ Rm間の類似度 wi,j ∈ R (i, j = 1, . . . , n)をグラフの辺重みとして,ラプラ

シアン行列L = D −W,W = wi,j,D = diag(d1, d2, . . . , dn),di =∑n

j=1wi,j,λ ∈ Rとする.

2 提案法

スペクトラルクラスタリングにおいて外れ値に対して頑健な正規化カット関数が広く

利用されているが,高次元特徴量のスケールの不整さがデータ点を所望するクラスタに

分類することを妨げてしまうという問題がある.この問題を解決するために,m個の特

徴量を持っている n個のデータ点X = [x1,x2, . . . ,xn]T ∈ Rn×m,xi ∈ Rmを学習デー

タとして,次元削減したテストデータ点のクラスタが線形分離可能になるようにデータ

特徴量のスケールを調整して多クラスの分類問題にも対応する手法を提案する.

 学習データのラベル情報を用いて以下のラプラシアン固有値問題の r本のFiedlerベク

トル v(k) ∈ Rn\0の要素を推定できる(k = 1, 2, . . . , r,rは log2K以上の最小の整数,

Kはクラス数).

Lsv(k) = λsDsv

(k), eTDsv(k) = 0, λs ∈ R. (2)

ここで,Ls = Ds − Ws,Ws = w(s)i,j ∈ Rn×n,Ds,λsはスケーリング因子ベクトル

s(k) ∈ Rmに依存しているものとする.式(2)の固有値問題を解くことによりスケーリ

ング因子 s(k)が得られる.各特徴量に対して r個のスケーリング因子の積を計算し,テス

トデータ Y ∈ RN×mの各特徴量に施すことで学習データのラベル情報を反映することが

できる.ここで,求めるスケーリング因子は負の値を持つことがあり [4],最適なスケー

リング因子を見つけることは計量学習 [5]の一つとしても考えることができる.

いま,式(2)をスケーリング因子 s(k)i ∈ R,i = 1, 2, . . . ,m を固有ベクトルの要

素として持つような別の固有値問題に再定式化する.スケーリング行列を S(k)1/2 =

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diag(s(k)1 , s

(k)2 , . . . , s

(k)m

)1/2∈ Rm×m とし,スケーリングされた学習データ XS(k)1/2 に

対する類似度行列Wsの (i, j)要素を

w(s)i,j =

1− (xi−xj)TS(k)(xi−xj)

2σ2 = 1− s(k)Txi,j

2σ2 ≃ exp(− (xi−xj)

TS(k)(xi−xj)

2σ2

), i = j,

0, i = j

とする,ここで,s(k) =[s(k)1 , s

(k)2 , . . . , s

(k)m

]T∈ Rm,xi,j ∈ Rm の p 番目の要素は

(xi,p − xj,p)2である.また,指数関数の一次近似式 exp (−x) ≈ 1 − x, 0 < x < 1を

用いた.すると,行列Wsの第 i行は

w(s)Ti = [1, . . . , 1, 0, 1, . . . , 1]− s(k)T

2σ2[xi,1,xi,2, . . . ,xi,n] = eT

i − s(k)TXi

となる.ここで,ei ∈ Rn は i 番目の要素が 0,残りの要素は 1 を持ち,Xi =1

2σ2 [xi,1,xi,2, . . . ,xi,n] ∈ Rm×nである.したがって,以下が得られる.

Wsv(k) =

[eT1 , e

T2 , . . . , e

Tn

]Tv(k) −

[X1v

(k), X2v(k), . . . , Xnv

(k)]T

s(k).

一方,xi =1

2σ2 (xi,1 + xi,2 + · · ·+ xi,n)とすると,行列Dsの第 i番目の対角要素 diは,

d(s)i =

n∑j=1

w(s)i,j = (n− 1)− s(k)Txi

となる.さらに,推定した Fiedlerベクトルを v(k) =[v(k)1 , v

(k)2 , . . . , v

(k)n

]Tとすると,

Dsv(k) = (n− 1)v(k) −

[v(k)1 x1, v

(k)2 x2, . . . , v

(k)n xn

]Ts(k)

が得られる.したがって,式(2)は以下のように書くことができる.

Lsv(k) = λsDsv

(k) ⇔ Wsv(k) = (1− λs)Dsv

(k)

⇔[A(k) α(k)

] [s(k)−1

]= µ

[B(k) β(k)

] [s(k)−1

].

ここで,µ = 1 − λs,α(k) = [e1, e2, . . . , en]T v(k) ∈ Rn,β(k) = (n − 1)v(k) ∈ Rn,

A(k) =[(X1v

(k)),(X2v

(k)), . . . ,

(Xnv

(k))]T,B(k) =

[v(k)1 x1, v

(k)2 x2, . . . , v

(k)n xn

]T∈

Rn×m である.さらに式(1)より,スケーリング因子ベクトル s(k)は以下の制約を持つ.

eTDsv(k) = 0 ⇔

(n∑

i=1

v(k)i xT

i

)s(k) − (n− 1)

n∑i=1

v(k)i = 0.

以上から,スケーリング因子ベクトルs(k)は以下の矩形固有値問題を解くことで得られる.[A(k) α(k)

γ(k)T ρ(k)

][s(k)

−1

]= µ

[B(k) β(k)

0T 0

][s(k)

−1

], s(k) ∈ Rm, µ ∈ R. (3)

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ここで,γ(k) =∑n

i=1 v(k)i xi ∈ Rm, ρ(k) = (n− 1)

∑ni=1 v

(k)i ∈ Rである.式(3)を解く

ために,n < mのとき周回積分型固有値解法 [6],n > mのとき最小摂動アプローチに

よる解法 [7]を用いることができる.µ = 1 − λに対して,式(3)の 1に最も近い固有

値 µに対応する固有ベクトルをスケーリング因子ベクトルとして採用する.

 こうして得られた r本のスケーリング因子ベクトルを用いて以下のようにスケーリン

グ行列

S1/2 = diag (s1, s2, . . . , sm)1/2 , si =

∏rk=1 s

(k)i(∏r

k=1 s(k)i

)1/rを生成し,テストデータ Y にZ = Y S1/2となるように作用させる.最後に,スケーリン

グされたデータZ ∈ RN×mに対して以下のラプラシアン固有値問題の最小固有値に対応

する ℓ本の固有ベクトルを用いてクラス分類を行う.

L′u = λ′D′u, eTD′u = 0, u ∈ RN \ 0, λ′ ∈ R.

ここで,L′ = D′ − W ′,W ′ = w′i,j ∈ RN×N,w′

i,j = exp((−∥zi − zj∥22

) /(2σ2)

),

i, j = 1, 2 . . . , N,zi ∈ Rmは Zの第 i行,d′i =∑n

j=1w′i,j,D′ = diag (d′1, d

′2, . . . , d

′N)で

ある.

3 おわりに

講演では,提案法の詳細と数値実験例を報告する.

参考文献

[1] M. Matsuda et al.: Proceedings of the 27th International Joint Conference on Artifi-

cial Intelligence and the 23rd European Conference on Artificial Intelligence (IJCAI-

ECAI 2018), Stockholm, Sweden, 2018, accepted.

[2] M. Fiedler: Czechoslovak Math. J., 23 (1973), 298–305.

[3] J. Shi, J. Malik: IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., 22 (2000), 888–905.

[4] F. M. Schleif, P. Tino: Neural Comp., 27 (2015), 2039–2096.

[5] L. Yang: Michigan State Univ., (2006), 1–51.

[6] 保國 惠一: 日本応用数理学会 2016年度年会,福岡, 2016.

[7] S. Ito, K. Murota: SIAM J. Matrix Anal. Appl., 37 (2016), 409–419.

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少数のレゾルベントを用いた多項式型の簡易フィルタによる一般固有値問題の解法

村上 弘 1)

1) 首都大学東京・数理科学専攻

概要

実対称定値一般固有値問題の固有値が指定区間に含まれる固有対をフィルタ対角化法を用いて解く.フィルタは少数のレゾルベントの線形結合の(実部の)多項式とする.本論文では多項式としてチェビシェフ多項式を用いた簡易な設計法を紹介する.

Solution of Generalized Eigenproblems

by a Simple Polynomial-Type FilterWhich Uses a Few Resolvents

Hiroshi Murakami1)

1) Department of Mathematical Sciences,

Tokyo Metropolitan University

Abstract

The filter diagonalization method is used to solve those eigenpairs of a real

symmetric-definite generalized eigenproblem whose eigenvalues are in a spec-

ified interval. In this report, the filter is a polynomial of (the real-part of) a

linear combination of a few resolvents, and a Chebyshev polynomial is used

for the polynomial in order to make the filter design simple.

はじめに 行列の実対称定値一般固有値問題Av = λB v(係数行列AとBが実対称で,Bは正定値)の固有値が区間 [a, b]にある近似対をフィルタ対角化法を用いて求めるとする.固有値はすべて実数で固有ベクトルもすべて実にとれる.いまこの問題に対応する複素数 ρをシフトとするレゾルベントをR(ρ) = (A − ρB)−1Bと定義する.レゾルベントのベクトル xに対する作用 y = Rxは連立 1次方程式 (A− ρB)y = B xを yについて解くことである.ここでは連立 1次方程式を直接法により係数行列の分解を用いて解くものとする.特性の極めて良いフィルタが 8~16個程度の複素シフトのレゾルベントの線形結合(の実部)により得られることが既に判っている [1][2][3].しかしレゾルベントと同数の 8~16個の行列分解が必要である.単一のレゾルベントの作用(シフトが虚数の場合はその虚部)の多項式をフィルタとして採用すれば [4][8],必要な行列分解の数を 1つに減らせるが,得られるフィルタの特性はあまり良くすることができない.そこで特性を改善するひとつの方法として,少数

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のレゾルベントの線形結合の多項式をフィルタとして用いる方法を検討した [5][6][7].用いるレゾルベントの数を 1つから少数 2~3個に増やすので,必要な行列分解の数も 1つから少数 2~3個に増えてしまうが,それと引き換えに伝達関数の通過域に於ける最大最小比を小さくできるので,近似対の精度の一様性の向上が期待できる,あるいは遷移域の幅を狭くできるので,フィルタで濾過するベクトルの数の低減を期待できる.

単一のレゾルベントの多項式であるフィルタ いま単一のレゾルベントR(ρ)の多項式QによるフィルタをF = Q(R(ρ))とすれば,その固有対 (λ,v)に対する作用はFv = f(λ)v

となる.ここで f(λ)はF の伝達関数で,λの有理関数 f(λ) = Q(1/(λ − ρ))である.いま固有値の指定区間λ ∈ [a, b]と標準区間 t ∈ [0, 1]の間の 1次変換λ = a+(b−a)tを

用いて λに対する正規化座標 tを定義する.さらに定義域が [0,∞)で 2つの実パラメタμ > 1と σ > 0を持つ tの有理関数 x(t) = (μ + σ)/(t + σ)を定義する.そうして伝達関数を tの関数として表した有理関数 g(t) ≡ f(λ)が n次多項式 P を用いて g(t) = P (x(t))

と書けたとする.そのとき g(t)を伝達関数とするフィルタは g(t)の極である正規化座標t = −σに対応する実数 λ = ρをシフトとする単一のレゾルベントR(ρ)の多項式である.その g(t)の通過域,遷移域,阻止域をそれぞれ [0, 1],(1, μ),[μ,∞)とする.

関数合成による拡張 いま新たに以下の性質を満たす実有理関数 h(t)を導入する.

• [0, 1]を [0, 1]全体に写す(1対 1でなくてよい).• (1, μ′)に於いて単調増加で,h(1) = 1,h(μ′) = μである.• [μ′,∞)に於ける最小値は μである.

そのとき関数の合成により元の g(t) = P (x(t))から g′(t) = P (x(h(t))) = P (x′(t))を作れば,g′(t)の通過域,遷移域,阻止域はそれぞれ [0, 1],(1, μ′),[μ′,∞)となる.さらにもしも h(t)が偶関数であれば g′(t)も偶関数になるので,tの範囲を自然に原点対称に拡げて通過域,遷移域,阻止域をそれぞれ t∈[−1, 1],1<|t|<μ′,μ′≤|t|とできる.また 2つの伝達関数 g(t)と g′(t)について,阻止域の(正側の)左端の座標の値はそれぞれ μと μ′

で異なるが,通過域に於ける最大値 1と最小値 gp,および阻止域に於ける大きさの最大値 gsはそれぞれ両者で共通になる.

典型フィルタに倣った合成用の関数 アナログ電気回路の典型フィルタの4種類には「バターワース型」,「チェビシェフ型」,「逆チェビシェフ型」,「楕円型」があり,以下ではそれらに倣った合成用の有理関数 h(t)を導入する.

• バターワース型で k次の拡張の場合は,h(t) = tkとして μ′ = μ1/kである.この合成で拡張された伝達関数 g′(t)は,k > 1のときは原点 t = 0に於ける (k−1)回までの微分値がすべて零である平坦特性(バターワース特性)を持つ.

• チェビシェフ型で k次の拡張の場合は,kが奇数のときは h(t) = 121 + Tk(2t−1)

として μ′ = cosh2(

1k

sinh−1 √μ−1)であり,kが偶数のときは h(t) = 1

21 + Tk(t)

として μ′ = cosh(

2k

sinh−1 √μ−1)である.伝達関数 g′(t)は,k > 1のときは通過

域に於ける値の振動と引き換えに遷移域に於ける値の急峻な変化を得ている.

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• 逆チェビシェフ型で k次の拡張の場合は,h(t) = 2μ/1 + Tk(μ′/t)として μ′ =

cosh(

2k

sinh−1 √μ−1)である.伝達関数 g′(t)は,k > 1のときには原点 t = 0で

(k−1)回までの微分値が零の平坦特性(バターワース特性)を持ち,さらに阻止域|t| ≥ μ′に於ける値の振動の追加により遷移域に於ける値の急峻な変化を得ている.

• 楕円型で k次の拡張の場合は,h(t) = 2μ/1 + Rk(μ′/t)とする.ただしRk(t)は

k次のチェビシェフ有理関数であり,μ = 1 + Rk(μ′)/2である(詳細省略).

拡張次数 kが偶数のときには h(t)は偶関数である.また,合成された伝達関数 g′(t)は重複する極を持たず,次数 kが偶数のときは実数の極を持たないが,次数 kが奇数のときは唯一つの実数の極として負数を持つ.拡張後の g′(t)の遷移域の幅 μ′−1は元の伝達関数 g(t)の遷移域の幅 μ−1に比べて狭くなる.あるいは元の伝達関数で,阻止域での通過率の大きさ gsを十分小さく保ちながら通過域での最大最小比 1/gpを小さくすると μの値は大きくなるが,その大きな μの値を持つ g(t)に対して上記の拡張を施すことにより,μ′の値を 1に近づけた g′(t)が得られる.たとえばバターワース型の拡張では μ′ = μ1/kである.チェビシェフ型の拡張や逆チェビシェフ型の拡張を用いる場合には,拡張次数 kの値が同じでもバターワース型の拡張に比べて μ′をより 1に近い値にできる.

フィルタの設計法 詳細は割愛するが,たとえば要求する gs,gpと μ′の値の条件と,上記の拡張用の有理関数 h(t)の種類とその次数 kを指定したときに,条件を満たせる場合には,Chebyshev多項式の次数の最小値nとσ,μの値が決まり,フィルタが構成できる.

関数合成された伝達関数からのフィルタの構成 k次の有理関数 h(t)を合成した g′(t) =

P (x′(t))を伝達関数に持つフィルタはF ′ = P (X ′)で与えられる.ここでX ′は x′(t)に対応する線形作用素で,x′(t) = x(h(t)) = (μ + σ)/(h(t) + σ)の部分分数分解を複素数の範囲で作れば(今回の場合には極はすべて単純で)x′(t) = c0 +

∑kj=1 cj/(t − tj)となる

(係数 c0は実数で,その値は h(t)が多項式であるバターワース拡張とチェビシェフ拡張の場合には常に零になる.極 tjとその係数 cjは複素数である.x′(t)が実有理関数であるので虚数の極 tjの項は必ず複素共役な対をなして和の中に現れている).このとき x′(t)に対応する作用素 X ′はレゾルベントの線形結合 X ′ = c0I +

∑kj=1 j R(ρj)になる.こ

こで jは複素係数であり,レゾルベントのシフト ρjの正規化座標は tjである.今回扱っている固有値問題では固有値は実であり固有ベクトルも実にとれるので,実作用素X ′も実ベクトルに対してだけ適用してよい.そこで実作用素X ′の式を複素共役対称性を用いて変形すると,シフトが複素共役対であるレゾルベントの対の項の和は最後に実部をとる操作を用いれば片方だけで表せるので,たとえばシフトの虚部が負であるレゾルベントの項を省けて,実際に必要なレゾルベントの個数は kのほぼ半分になる.上述の典型的な拡張の場合にはX ′を構成するレゾルベントは,kが偶数のときには虚部が正のシフトを持つものは k/2個であり,kが奇数のときには実数のシフトを持つものが 1つと虚部が正のシフトを持つものが (k−1)/2個である.

kが偶数のときにはシフトが実数のレゾルベントは含まれないので,固有値を求める区間の位置を任意に設定できるが,kが奇数のときにはシフトが実数のレゾルベントが

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1つ含まれるので,区間の位置は(実数のシフトが固有値と近接や重なって数値的な困難を起こさないことを保証するために)固有値分布の下端に制限される.簡易型のフィルタでは,多項式 P は n 次の Chebyshev 多項式を用いて P (x′) ≡

gs Tn(2x′ − 1)とするので,フィルタはF ′ = gs Tn(2X ′ − I)で与えられる.

簡易型フィルタの作用の計算 簡易型のフィルタの作用は Chebyshev多項式 Tj(y)の 3

項漸化式を用いた形で計算を構成する.具体的には Y ′ ≡ 2X ′ − I として,与えられたm個のベクトルを列方向に並べた行列を V として,V にフィルタF ′を作用させた結果F ′ V = gs Tn(Y ′) V を計算するが,それにはまず V (j) ≡ Tj(Y ′) V とおいて,3項漸化式V (0) ← V,V (1) ← Y ′ V,V (j) ← 2Y ′ V (j−1) − V (j−2),(j ≥ 2)を用いて V から始めてV (n)を求めるとF ′ V = gs V (n)である.3項漸化式の計算の中では,m個のベクトルの組に対してレゾルベントの線形結合 Y ′を作用させる処理が順次に計 n回行われる.

近似対の品質評価 得られた近似対 (λ,v)の品質は,残差を r ≡ Av−λBvとおいて,残差の大きさの相対値Θ ≡ ||r||/||λBv||を用いて調べることができる.ここでノルム || · ||はベクトルの 2-ノルムや最大ノルムとする.この評価を行なうための演算量は行列AとBが疎であればそれだけ少なくなる.また複数の近似対の品質評価の計算をまとめて行うことにより,行列AとBの記憶の走査を 1回ずつにすることができる.

参考文献[1] 村上弘: 固有値が指定された区間内にある固有対を解くための対称固有値問題用のフィルタの設計, 情報処理学会論文誌:コンピューティングシステム (ACS31), 3(3)(2010), 1–21.

[2] 村上弘: 対称一般固有値問題のフィルタ作用素を用いた不変部分空間の近似構成, 情報処理学会論文誌:コンピューティングシステム (ACS35), 4(4) (2011), 1–14.

[3] 村上弘: レゾルベントの線形結合をフィルタに用いたエルミート定値一般固有値問題のフィルタ対角化法,情報処理学会論文誌:コンピューティングシステム (ACS45),7(1), (2014), 57–72.

[4] 村上弘: 実対称定値一般固有値問題の最小側固有対を解くための実数シフトのレゾルベントの多項式によるフィルタの簡易な設計法, 情報処理学会研究報告, 2016-HPC-155(44), (2016), 1–27.

[5] 村上弘: 実対称定値一般固有値問題を解くためのレゾルベントの多項式型フィルタの設計について, 情報処理学会研究報告, 2017-HPC-158(7), (2017), 1–10.

[6] 村上弘: 実対称定値一般固有値問題を解くための少数のレゾルベントの多項式を用いたフィルタの設計法, 情報処理学会研究報告, 2017-HPC-159(4), (2017), 1–13.

[7] 村上弘: 少数のレゾルベントから構成されたフィルタを用いた対称定値一般固有値問題の解法, 情報処理学会研究報告, 2017-HPC-162(21), (2017), 1–13.

[8] Hiroshi Murakami: Filter Diagonalization Method by Using a Polynomial of a Re-solvent as the Filter for a Real Symmetric-Definite Generalized Eigenproblem, inproceedings of EPASA2015, Springer, LNCSE-117 (2018), 205–232.

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多変数多項式系の消去イデアルの最低元を剰余列法で計算する

Computing the Lowest-order Element of Elimination Ideal ofMultivariate Polynomial System by Remainder Sequences a)

佐々木 建昭(Tateaki Sasaki) 稲葉 大樹(Daiju Inaba)筑波大学 名誉教授 日本数学検定協会

概要

標数 0の数体K上の主変数 (x) = (x1, . . , xm),従変数 (u) = (u1, . . , un)の多項式系F = F1, . . , Fm+1に対し、主変数を消去した消去イデアル ⟨F⟩ ∩K[u] の最低元をS とする。S はグレブナー基底法で計算するのが常道だが、その方法では nが少しでも大きいと計算が非常に重くなる。それを、与多項式間の剰余列PRS(Fj1 , Fj2 ;xi)たちの計算とGCD演算とで効率的に得る衝撃的な算法を呈示する。

1 はじめに変数消去は連立代数方程式の解法として高校教科書にも載っており、計算代数における極めて

重要な演算である。算法は終結式法 [3](多くの場合、多項式剰余列を計算するので剰余列法とも呼ばれる)とグレブナー基底法 [1]に大別される。終結式法は、計算は高速だが結果式が余計な因子を含んだり (消去変数に関して疎な場合)同じ因子を多重に含んだりする。逆に、グレブナー基底法は、消去イデアルの最低元を出力するので数学的に文句ないが計算が非常に重い。両算法とも歴史が古いので両者の長所を活かした算法がありそうだが、そのような研究は見あたらないのが現状である。両者とも非常に簡単な算法で、前者では主変数の次数低下が直線的に進むが、後者では単項式消去が行きつ戻りつするので、両者を結びつけるのが容易でないのである [13]。本稿では、そのような現状に風穴をあけるような算法を呈示する。日本で考案・発展された算法の一つに拡張ヘンゼル構成 (Extended Hensel Construction、EHC

と略記)がある [6, 7]。与多項式 F (x,u), (u) = (u1, . . . , un),を従変数 uの有理式の級数を係数とする xの多項式に因数分解する高級な算法である。従来、係数有理式の分母因子は F (x,u)のNewton多項式 (上記論文参照)の互いに素な因子から剰余列法で計算していたが、与式が疎な場合は結果式が重複因子を含むので、グレブナー基底法で定式化を試みた。定式化は簡単だったが、従変数の個数 nが少し大きくなると計算量が爆発的に増える。EHCで必要なのは 2多項式系 G,Hのグレブナー基底の最低元 Sと AG+ BH = Sを満たす余因子 (A, B) なので、その系なら剰余列法と関係づけられるかも?、と両者の関係づけに着手した。当然、ある段階で壁に突き当たったが余因子も扱ったことが幸いした。剰余列の最終元を Pk、その余因子を (Ak, Bk)とすれば (以下、degは xに関する次数を表す)、deg(Pk) = 0、AkG+BkH = Pk に加え余因子は次数条件 deg(Ak) < deg(H), deg(Bk) < deg(G) も満たす。一方、余因子 (A, B)は次数条件を満たすことが稀で、しかも数係数が巨大化して実に扱いにくい。しかし、EHCで必要なので何とか簡単にできないかと AをH で、BをGで割ってみたところ、扱った全ての例で次数条件を満たすまで次数低減できた。即ち剰余 A := rem(A,H), B := rem(B,G) が uの多項式として計算できたのである。このことは常に成立するに違いないと推測し、苦労して証明した (GとHの主係数が共通因子を持つ場合が難しい)。そして、得られたのが次の関係式である [10, 11]。

(Pk, Ak, Bk)/ gcd(cont(Ak), cont(Bk)) = c (S, A, B), c ∈ K. (1)

上記で、cont(A)は多項式Aの xに関する係数全体の最大公約子である。本稿は、3個以上の多変数多項式系においてグレブナー基底と剰余列の関係を探索する。その

結果、式 (1)ほど簡単ではないが、両者の間には意外に簡単な関係があることが示される。

a)本研究は科研費 (課題番号 18K03389)の援助で遂行された

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2 消去イデアルとその最低元 S(u)に関する基本定理与多項式系 F := F1, . . , Fm, Fm+1 は、主変数の組が (x) = (x1, . . , xm)で従変数の組が

(u) = (u1, . . , un)、ただしm ≥ 2、の標数 0の数体K上の多項式とする。このような系は大抵、主変数が全て消去できて、従変数だけの多項式が得られる。だが、このことは常に成立するわけではなく、主変数が一つも消去できない系も存在する。よって本稿では、F は主変数が全て消去でき、それ以上には変数が消去できないと仮定する。F のなすイデアル ⟨F1, . . . , Fm+1⟩を I(F)と表す。F が主変数をすべて消去できる多項式系のとき、m個の主変数を全て消去したm次の消去イデアル Im(F)は、Im(F) = I(F) ∩K[u] で定義される。

∀P ∈ K[x,u]に対して、P ∈ I(F) か否かを L-簡約という演算で決定できるのがグレブナー基底である。I(F)のグレブナー基底をGB(F)とすれば、定理A: 『P ∈ I(F) ⇐⇒ P をGB(F)の各要素で可能な限り L-簡約すれば 0』が成立する。即ち、I(F)の最低元とはGB(F)の最低元Sである。GB(F)の各要素が互いに L-既約であるとき、GB(F)は簡約基底であるという。消去イデアルのグレブナー基底の生成には、項順序として消去順序:各 xi ≻el 各 uj を用いる。なお、グレブナー基底はイデアルを全く変えないので、零点とその多重度を保存する。

定理 1 上記仮定の下、GB(F)が簡約基底ならば、GB(F) ∩K[u] = S(u)が成立する。 (2)

定理 1は国内のグレブナー基底の専門家から不成立と言われたので、以下に証明を簡潔に述べる。(式 (1)の方は連立代数方程式の “(主変数に関する)三角化”の専門家 (欧米人)の猛反撥に会い、査読報告に「式 (1)は専門家にはよく知られている (多分)」とフェイクまで書かれた)。以下の説明を読むに当たっては教科書 [2]の第 3と 4章を参照されたい。多項式系 F の零点

(ζ,η) ∈ Cm+n、(ζ) = (ζ1, . . , ζm), (η) = (η1, . . , ηn)、とは、F1(ζ,η) = 0, . . . , Fm+1(ζ,η) = 0を満たす点である。従変数 uに対応する零点 (η)を部分零点という。F の零点に関しては、次の二つの基礎的かつ重要な定理がある。定理B:『F の任意の零点は、イデアル I(F)の全要素の共通零点である』。なお、xiが Fj に含まれなければ、∀ζi ∈ Cが Fj の xiに対応する零点となる。次に、Fの零点全体の集合をV(F)、Fの零点に対応する部分零点全体の集合をVm(F)、消去イデアル Im(F)の零点全体の集合をV(Im(F))とすれば、次の定理が成立する。定理C:『V(Im(F))は Vm(F)を含み、Vm(F)より低次元の余計部分も含み得る』。

定理 1の証明 R(u)は、その零点として、F のu に関する部分零点を全て多重度込みで含み、それ以外は含まない多項式とする。定理Cよりそれらの零点は V(Im(F))から選べるので、R(u)の存在が保証される。R(u)は、部分零点を多重度込みで全て含むから I(F)の要素であり、部分零点しか含まないから最小の要素である。したがって、R(u) = S(u)である。Im(F)は無限個の要素を含むが、定理 Bよりそれらは全て R(u)の倍数である。R(u)の倍数はすべて簡約基底の最低要素で 0に L-簡約されるから、定理が得られる。 2

例 1 F1 = x4 ·(y+u) + x2 ·(y−2w) + (2u+w), F2 = x4 ·(y−u) + x2 ·(2y+u) + (u−2w),F3 = x4·( yu )+x2·(y+2w)+(3u−w)に対して、辞書式順序で GB(F1, F2, F3)をMathematicaで計算すると、下記 10個の基底要素が得られた。

G1 = 407263383039911893119888740176x4u+ · · ·+ 407263383039911893119888740176w,

G2 = 1629053532159647572479554960704x4w + · · ·+ 814526766079823786239777480352w,...

...G9 = 48000 yw8 − 419640 yw7 − 769740 yw6 + · · ·+ 18224352w4 − 5430496w3,

G10 = 33u7 + 23u6w − 126u6 − 55u5w2 − 343u5w + 316u5 − 12u4w3

− 130u4w2 + 544u4w − 202u4 + 32u3w4 + 218u3w3 + 548u3w2 − 128u3w+ 144u2w4 + 428u2w3 − 420u2w2 + 144uw4 − 256uw3 − 32w4.

G1, G2, . . . , G9, G10は項数がそれぞれ 61, 62, 61, 58, 58, 57, 54, 58, 61, 20の多項式である。G10を除き、各Giは項数のみか係数も大きな多項式であり、G10が特別であることがわかる。 2

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3 剰余列計算に基づく筆者らの変数消去法と Sの計算法多項式系 F = F1, . . . , Fm+1 に対する従来の変数消去法は、次のように消去を行う。まず、

F1を eliminatorとして Gi := PRS(F1, Fi;x1) (∀i ≥ 2) を計算し、主変数 x1を消去する。次に、G2を eliminatorとして Hi := PRS(G2, Gi;x2) (∀i ≥ 3) を計算し、主変数 x2を消去する。最後には F1(x1, . . , xm,u), G2(x2, . . , xm,u), H3(x3, . . , xm,u), . . なる三角系が得られる。一方、筆者らは各剰余列ごとに結果式を (1)で規格化して簡単化する:Fj1 , Fj2 から変数 xiを

剰余列法で消去し規格化した結果を G := Elim(Fj1 , Fj2 ;xi) と表す。筆者らの消去法の特徴は入力多項式をなるべく平等に扱い、複数の消去結果を得ることである。まず、変数 x1の消去は、Gi := Elim(Fi, Fi+1;x1) (i ∈ 1, . . . ,m)、ただし Gm+1 := Elim(Fm+1, F1;x1) と行う。同様にx2の消去は、Hi := Elim(Gi, Gi+1;x2) (i ∈ 1, . . . ,m) 等と行う。この方法は上記三角化法に比べれば非効率だが、非常に良い点を持っている。定理 1によれば、主変数を消去した結果式はいずれも Sの倍数なので、GCD演算で Sに近い倍数多項式が得られるのである。

例 2 例 1の F1, F2, F3に対して上記の変数消去を実行すると次の多項式が得られた。

G1 = 3 y3u+ 4 y3w + 15 y2u2 + · · · − 9u2w2 + 8uw3,G2 = 10 y3u2 − 5 y3u+ 1 y2u4 + · · · − 5u2w2 + 8uw3,G3 = 1 y3u2 − 2 y3uw − 1 y3u+ · · · − 6u3w + 21u2w2.

H1 = −363u21 + 4334u20w + · · ·+ 84992u3w12 − 32768u2w13,H2 = −382239u22 + 313632u21w + · · · − 33792u3w12 + 6656u2w13,H3 = 23232u21 + 71104u20w − · · · − 2410496u3w12 − 206336u2w13.

H1,H2,H3はそれぞれ項数が 98, 112, 98でかなり大きいが、いずれも例 1のG10の倍数である。実際、gcd(H1,H2) = gcd(H2,H3) = gcd(H3,H1) = u2G10 である。なお、Buchberger算法ではG10は次のように計算される。主変数が消去された段階ではHiのような大きな多項式が得られ、行きつ戻りつする計算の進行につれて少しづつG10に近づいていく。したがって、G10に比べてHiが大きいと計算に非常に時間がかかる。 2

4 余計因子 (extraneous factor)の除去法

例 2をみると、H1,H2,H3のGCDだけでは消去イデアルの最低元 S は一般には計算できず、余計な因子が残ることがわかる。多項式系 F から主変数を消去して得た R1, . . . , Rℓ ∈ K[u]が、R := gcd(R1, . . . , Rℓ) = SR, R ∈ K であるとき、Rを余計因子 (extraneous factor)という。S を計算するには余計因子の除去法を確立することが不可欠である。関係式 (1)は、2多項式系G,Hでは Pk に含まれる余計因子が余因子 (Ak, Bk)で除去されると読める。同様に多項式系F でも余因子を用いれば余計因子が除去できそうに思える。実はそう単純ではないのだが、まずは多項式系 F における余因子を定式化する。たとえば

例 2の Gi はGi = Ai,1F1 + Ai,2F2 + Ai,3F3 と表され (Ai,j のどれか一つは 0)、同様に Hi はHi = Bi,1G1 +Bi,2G2 +Bi,3G3 と表される。これらから Hi = Ci,1F1 +Ci,2F2 +Ci,3F3 を満たす Ci,j を計算することは容易である。だが、実際に得られる Ci,j は非常に大きな多項式となる。しかも、たとえば、gcd(Ci,1, Ci,2, Ci,3)はHiの余計因子とは全く関係なさそうである。しかし、非常に幸運なことに、余計因子の除去には下記の u-余因子で十分なのである。主変数消去後のR1, . . . , Rℓ ∈ K[u]に対し、Ri = Ci,1F1+ · · ·+Ci.m+1Fm+1 となる余因子Ci,j

たちが計算されたとする。ci,j(u) := Ci,j(0,u) をu-余因子と呼ぶ。fj(u) := Fj(0,u) とおけば、Riは Ri = ci,1f1 + · · ·+ ci,m+1fm+1 と表せる。Ri := gcd(ci,1, . . . , ci,m+1) とする。なお、ci,jfjはRiの最低次項よりも低次の項を持つ場合もある。その場合には、ci,1, . . . , ci,m+1の中で互いに打ち消し合う低次項を高次項に繰り込む必要がある。

定理 2 gcd(R1, . . . , Ri) は余計因子 Rまたはその約数である。

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証明 Ri := ci,1F1+ · · ·+ci,m+1Fm+1 とする。仮定より (ci,1, . . . , ci,m+1) = Ri · (c′i,1, . . . , c′i,m+1)

ゆえ、Ri = c′i,1(RiF1) + · · ·+ c′i,m+1(RiFm+1) ∈ ⟨RiF1, . . . , RiFm+1⟩ である。ゆえに、RiとRi

はGB(F)とともに RiGB(F) でも 0に L-簡約できる。このことと、GB(F)∩K[u] = S から、Ri/Riは Sの倍数であることが導ける。(なお、余計因子の除去にはさらなる理論が必要) 2

例 3 F1 = x4 ·(y+u) + x2 ·(y−2u) + (2y−u), F2 = x4 ·(y−u) + x2 ·(2y+u) + (y−2u),F3 = x4·( yu ) + x2·(y+u) + (y−u) に対して、主変数 x, yを消去したR1, R2, R3は下記となる。  

R1= −54u7×(u+ 2)×(63u3 + 62u2 − 156u+ 72)×(7u3 − 208u2 + 100u− 16),R2= 2u7×(u+ 2)×(63u3 + 62u2 − 156u+ 72)×(9u+ 8)×(1183u3 − · · ·+ 736),R3= u7×(u+ 2)×(63u3 + 62u2 − 156u+ 72)

×(207u8 − 53u7 − 2079u6 + 406u5 + · · · − 2544u2 − 32u+ 512),

以上より gcd(R1, R2, R3) = u7×(u + 2)×(63u3 + 62u2 − 156u + 72)。グレブナー基底からはS = u× (u+ 2)×(63u3 + 62u2 − 156u+ 72) が得られるので、余計因子は u6である。一方、上述の定理 2では、たとえばR1に対する u-余因子は下記となる。

c1,1= −383292u14 − 1192896u13 + 2696360u12 + · · ·+ 1718144u7 + 39936u6,c1,2= −479115u14 − 1491120u13 − 948656u12 + · · · − 680896u7 − 867840u6,c1,3= 0.

これらより、R1 := gcd(c1,1, c1,2, c1,3) = u6 ゆえ、c1,1, c1,2, c1,3からは余計因子は u6であることが言える。なお、Sが因子 uを持つのは gcd(f1, f2, f3) = u による。 2

参考文献[1] B. Buchberger: Grobner bases: an algorithmic methods in polynomial ideal theory. in Multidimen-

sional Systems Theory, Chap. 6. Reidel Publishing, 1985.

[2] D. Cox, J. Little, D. O’Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms – An Introduction to ComputationalAlgebraic Geometry and Commutative Algebra, Second Edition, Springer-Verlag, 1997.

[3] K.O. Geddes, S.R. Czapor and G. Labahn: Algorithms for computer algebra. Kluwer AcademicPublishers, 1992.

[4] J.F. Ritt: Differential Equations from the Algebraic Standpoint. Amer. Math. Soc., 1932.

[5] W.T. Wu: Mechanical Theorem Proving in Geometries: Basic Principles. Springer, Wien New-York, 1932. [Translated from the Chinese edition – Science Press, Beijing, 1984.]

[6] T. Sasaki and F. Kako: Solving multivariate algebraic equation by Hensel construction. Japan J.Indust. Appl. Math., 16(2), 257-285 (1999). (This paper was submitted in March 1993; the delayof publication is due to very slow reviewing process.)

[7] T. Sasaki and D. Inaba: Hensel construction of F (x, u1, . . . , uℓ), ℓ ≥ 2, at a singular point and itsapplications. ACM SIGSAM Bulletin, 34(1), 9-17 (2000).

[8] T. Sasaki and D. Inaba: Enhancing the extended Hensel construction by using Grobner bases.Proceedings of CASC2016 (Computer Algebra in Scientific Computing), Springer LNCS 9890, 457-472 (2016).

[9] T. Sasaki and D. Inaba: Various enhancements of extended Hensel construction for sparse multi-variate polynomials. Proceedings of SYNASC2016 (Symbolic and Numeric Algorithms for ScientificComputing), IEEE Computer Society, 83-86 (2017).

[10] 佐々木建昭, 稲葉大樹: イデアル ⟨G,H⟩の最低元と剰余列の最終元の簡単な関係. 第 46回数値解析シンポジウム予稿集, 41-44 (2017).

[11] T. Sasaki and D. Inaba: Simple relation between the lowest-order element of ideal ⟨G,H⟩ andthe last element of polynomial remainder sequence. Proceedings of SYNASC2017 (Symbolic andNumeric Algorithms for Scientific Computing), IEEE Computer Society, 2017 (in printing).

[12] T. Sasaki and D. Inaba: Computing the Lowest-order Element of Multivariate Elimination Idealby Using Remainder Sequences. Preprint of Univ. Tsukuba, 14 pages (April, 2018).

[13] D. Wang: On the connection between Ritt characteristic sets and Buchberger-Grobner bases. Math.Comp. Sci., 10 (4), 479–492 (Dec. 2016).

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疎な多変数多項式の剰余列計算の新算法

A New Algorithms for Computing Remainder Sequenceof Sparse Multivariate Polynomials a)

佐々木 建昭 (Tateaki Sasaki) 筑波大学 (名誉教授)

概要

多項式剰余列の計算については研究され尽くされたと思うだろうが、二つの課題が未解決である。第一は擬除算でなく疎擬除算を用いて剰余列を計算するための行列理論の建設で、第二は剰余を計算する基本算式で発生する中間式膨張の抑止である。本稿では、これら二つの課題を解決する算法を呈示する。

1 はじめに本稿では Kは数体、xは主変数, (u) = (u1, . . . , uℓ)は従変数の組とし、GとH は K[x,u]の

多項式で xに関して疎とする。deg(G)と lc(G)はそれぞれGの xに関する次数と主係数を表す。deg(G) ≥ deg(H)とし、変数 xに関してGをHで割った商を quo(G,H)、剰余を rem(G,H)と表す。GとH を出発多項式とする xに関する剰余列を (P1=G, P2=H, P3, . . . , Pk) とする。多項式剰余列 (PRSと略記)の算法は、最大公約子 (GCD)と終結式の計算のため、計算代数

の黎明期である 1960年代中頃に重点的に研究され [4, 5, 1, 2, 3]、部分終結式理論 (subresultanttheory)という行列理論にまとめられた。除算は有理演算なので、そのまま実行すると剰余列は従変数 uに関して有理式になる。有理式だと簡約にGCDが必要なので、剰余列の要素が多項式になるように剰余を変形して擬剰余 (pseudo remainder, Premと略記)が導入された。剰余列の要素 Pi−1と Piから次要素 Pi+1を計算するのに Pi+1 := rem(αiPi−1, Pi)/βi なる算式を使うが、αi = lc(Pi)

deg(Pi−1)−deg(Pi)+1 とするのが擬剰余であり、その剰余を Prem(Pi−1, Pi)と表す。GとH が蜜 (各項が次数差 1でぎっしり存在)なときは、擬剰余はGとH の係数ベクトルを

行とする行列式で簡潔に表されるので、部分終結式理論は明快に展開できる。しかし、与多項式が疎な場合、たとえば次数が 10飛びに現れるような場合、擬除算は非常に不経済な計算をすることになる。そのため、αiにおける lc(Pi)のべきは必要最小限に選ぶのがよい。そのように選んで除算を行うのを疎擬除算 (sparse Prem, spsPremと略記)という。部分終結式理論の最大の目的は、擬除算で計算される擬剰余列の数式膨張を抑えることである。

理論で解析すると、Pi≥4 は擬除算で乗じた lc(Pj≤i−2)のべき乗を因子として持ち、数式が猛烈に膨張するが、そのべき乗が理論的に予言できるので、それを βiで除去するのである。そして、GとH が互いに素な場合は剰余列の最終元が終結式になる。部分終結式理論は剰余列に次数の飛びがある場合にも拡張されており [3]、その意味で完全であるとも言える。しかし、与多項式の疎性が大きい場合は不経済な計算をすることに変わりはない。疎擬除算は Loos[8]も提案しているが、βiについては彼も部分終結式理論に頼っている。なお、

上記の基本算式は、P ′i+1 := rem(αiPi−1, Pi), Pi+1 = P ′

i+1/βi と2段階に分けるとわかるように、一度大きな多項式 P ′

i+1 を計算し、それを βiで割って小さくしている。すなわち、中間式膨張を起こしている。従来の剰余列算法の多分最新の改善は 2000年のDucos[6]論文だろう。彼も部分終結式理論に頼り、疎剰余列における擬剰余計算の不経済性を算式の非常に複雑な工夫で大幅に軽減したが、上記の中間式膨張を抑止するには到っていない。研究者は誰も擬剰余列の数式膨張の抑止に精一杯で、基本算式でおきる中間式膨張までは手が回らないようだ。第 2章では、疎擬剰余に基づく疎剰余列の行列理論を簡潔に記述する。第 3章では、剰余列生

成の基本算式における中間式膨張の抑止算法を記述する。第 4章では、その抑止算法を具体例でテストする。その結果、従変数のオーダリングをうまく設定すれば非常に効果的に抑止するが、オーダリングが悪ければ抑止効果は低い。よいオーダリングの設定方法は今後の課題である。

a)本研究は科研費 (課題番号 15K00005)の援助で遂行された

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2 疎擬剰余に基ずく疎剰余列の行列理論まず、部分終結式理論を簡単に説明する。G = gn+1x

n+1+gnxn+· · · , H = hnx

n+hn−1xn−1+

· · · とすれば、Prem(G,H)は下式左辺のように行列式表示でき、右辺の行列と対応付けられる。

0∑i=n−1

∣∣∣∣∣∣hn hn−1 hi−1

hn hi

gn+1 gn gi

∣∣∣∣∣∣ xi ⇐⇒ M =

hn hn−1 hn−2 hn−3 · · ·hn hn−1 hn−2 · · ·

gn+1 gn gn−1 gn−2 · · ·

. (1)

右辺の行列Mをガウス消去すれば Prem(G,H)の係数ベクトルが得られるので、Mを剰余行列と呼ぶ。部分終結式理論は、上記行列をさらに P4 ⇒ · · · ⇒ Piと拡張していき、βiを決める。一方、疎多項式では x のべきが規則性なく現れる。疎多項式 P に現れる x の異なるべき

を P の台 (support) といい、suppx(P ) と表す。疎剰余列の要素 Pi と Pi+1 がそれぞれ P ′i :=

spsPrem(Pi−2, Pi−1) = lc(Pi−1)µPi−2 − Qi−1Pi−1, P ′

i+1 := spsPrem(Pi−1, Pi) = lc(Pi)νPi−1 −

QiPi と生成され、suppx(Qi−1) = xδµ , . . . , xδ1, suppx(Qi) = xδ′ν , . . . , xδ′1 とする。すると、P ′i+1は Pi−1の係数ベクトル 1個と Piの係数ベクトル ν 個の行列で表せる。この行列を Pi−2と

Pi−1の係数ベクトルで表そう。まず、ν個の Piの係数ベクトルをそれぞれ Pi−2 の係数ベクトルで置き換える: これにより行列は左方向に伸びる。そして、Pi−2の各係数ベクトルに対し Pi−1

の係数ベクトル µ個をPi−2が消去できる形で追加する (下記の行列参照): 同じベクトルが複数現れることも当然あるが、その場合は 1個しか追加しない。かくして、次のような行列が得られる。

M(i−1)i+1 =

coefficient vector of xδ′νPi−2

. . .. . .

. . .. . .

coefficient vector of xδ′1Pi−2

coefficient vector of xδµ+δ′νPi−1

coefficient vector of xδµ−1+δ′νPi−1

. . .. . .

. . .. . .

coefficient vector of xδ1+δ′1Pi−1

coefficient vector of Pi−1

ν rows

µ rows

(2)

上記の行列作成法は [9, 10]で考案され、逆消去法と命名された。M(i−1)

i+1 は P ′i+1を Pi−2と Pi−1の係数ベクトルで表すが、P ′

i+1を Pi−1と Piの係数ベクトルで

表す行列をM(i)i+1とする。これらの行列を式 (1)により多項式に変換する演算を assPとよぶ。

定理 1 Pi+1 = rem(cνi Pi−1, Pi)/βi, ci = lc(Pi), で疎剰余列を生成すれば次式が成立する。

assP(M(i)i+1) = assP(M(i−1)

i+1 ) · (ci−1)λi

(βi−1)ν, ν ≤ µ ≤ µν + 1, λi

def= µν − µ+ 1 ≥ 0. (3)

証明 M(i)i+1において、Piの係数ベクトル1個をPi−2のそれで置き換えれば、M(i−1)

i+1 に cµi−1/βi−1

が掛かり、Pi−1の係数ベクトルを 1個追加すれば 1/ci−1が掛かる ⇒ (3)式を得る。左の不等式は明白。右は、λiが追加される係数ベクトルのうち同じものの個数であることから言える。 2

系 1 基本算式 Pi+1 = rem(cνi Pi−1, Pi)/βi では βiは cλii−1を因子に持つ。

証明 M(i−1)i+1 の上 ν行をガウス消去すれば βi−1が因子として現れ、分母の 1/βν

i−1 を打ち消す。

このことから系 1が言える。(各 βi−1 はM(i−1)i+1 に “分散して”含まれる)。 2

上記理論も部分終結式理論と同様、剰余行列がGとH の係数ベクトルで表されるまで追求すべきだが、そこまでの元気はでなかった。しかし、次章でみるように、疎剰余列の生成に実際に適用するには十分である。なお、実際例において上記理論がどのように働くかは英語論文に記載した (興味ある方はご連絡くだされば論文を送ります)。

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3 基本算式における中間式膨張の抑止系 1より βi は λi に依存するので、βi を決定するには商 Qi−1 と Qi が必要である。これらを

疎擬剰余算で計算すれば元も子もない。一方、前章の理論では βi は∏2

j=i−2 (lc(Pj))ej , ej ≥ 0,

の形である。新算法では、第 1段階で G,Hを簡単化した G, Hで疎剰余列を計算して各 βi(3 ≤ i ≤ k−1) の形を定め、第 2段階で中間式膨張を起こさない工夫をして基本算式を実行する。本稿では G, Hの説明は省き、Hearnの試し割り法を説明する。G, Hを出発する疎剰余列

の生成過程で、P ′i+1 := spsPrem(Pi−1, Pi) を計算したあと、j = i−1, . . . , 2に対し順に P ′

i+1をlc(Pj)で試し割りして βiの形を定めるのが試し割り法である。この方法は βiの具体形が不明でも使えるので、論文 [11]で用いた。従来、試し割り法には lc(Pj)

ej のべき ejが非負との裏付けがなく、本論文の目的の一つはその裏付けをすることでもある。さて、β3, β4, . . . , βk−1の形が定まれば、基本算法における中間式膨張の抑止は難しくはない。

アイデアはべき級数乗除算である。このアイデアは昔、多変数多項式 F1, F2 ∈ K[x,u]の GCD算法に用いた [13]。まず、F1, F2の従変数 uに全次数変数 T を掛け、T をべき級数変数と扱う。次にG := gcd(F1, F2) とするとき、Gの全次数の上界Bを予測し、Bを T の打切り上限とする。そして F1と F2のべき級数剰余列を計算し、最後にGの主係数を調整してGを決定する。今の場合、べき級数の上界 Tcutの設定は各疎擬剰余の計算毎に行う必要があり、次式で行う。

Tcut(P′i+1) := degT (Pi−1) + µi×degT (lc(Pi))− (degT (βi)− ordT (βi)), (4)

ここで、ordT (β)は βの変数 T に関する最低次数である (βが定数項を持たなければ打切り次数が高くなる。べき級数では最もオーダーの高い項は定数項なのである)。以上をみると、べき級数の利用は簡単に思えるだろうが、実はそうではない。上記アイデアが

うまく働くためには、Pi+1の導出に不要な項が P ′i+1の項の大部分を占め、しかもそれらがべき

級数の高次項になることが必要だが、それは自明では決してない。たとえば、Pi+1 が u1, . . . , uℓについて斉次多項式ならば、従変数全体に等しい重みでべき級数変数を掛けても全く効果がない。如何にすれば中間式膨張を効果的に抑止できるかについて、次の二つの方策を考えている。方策 1 従変数の一つを除き他の全てにべき級数変数 T を掛ける。

この方策は、Pi+1の項が従変数についてほぼ均等に出現する場合に有効。方策 2 従変数の全てに (必要なら重みを変えて) べき級数変数 T を掛ける。

この方策は、Pi+1の項数の各従変数への依存性が非常に異なる場合に有効。

4 基本算式における中間式膨張抑止の実験実験には、多大な中間式膨張を引き起こすことが既知の次の例 [11]を用いた。

例 G = X6 (u+2v+w)+X4 (u−2x−z)+X2 (v+3y−z)+ (v+2w+y), H = X6 (v−w+2x)−X4 (v+y−2z) +X2 (w−2x+y) + (u−v+2z), とし、Ex-ℓ := (Gℓ,Hℓ) を次のように生成する。

Ex-6 : (G6,H6) := (G,H),Ex-5 : (G5,H5) := replace (z) by (w) in (G,H),Ex-4 : (G4,H4) := replace (y, z) by (v, w) in (G,H).Ex-3 : (G3,H3) := replace (x, y, z) by (u, v, w) in (G,H).

従変数が 3∼6個の上記多項式の疎剰余列を試し割り法とべき級数法で計算し、比較したのが次頁の表 Iである。剰余列は P5で終了し、計算の大部分は P ′

5と P5である。そこで、P ′5, P5と β4 の

項数 (#tms(P )が項数を表す)と CPU時間 (OP)、ガーベッジ集め時間 (GC)を記載した。表をみると、べき級数演算の導入により、中間式膨張がこの上ないほどに抑止されたことが分かる。しかし、表 Iの結果は一般に出来すぎなのである。それを見るために従変数のオーダリングを

変えて計算した結果が表 IIである。表 IIの結果は上から 2段づつ、3組に分類される。そして、第 1段では β4 = 4v4+T×(5 terms)+T 2×(13 terms)+T 3×(28 terms)+T 4×(37 terms), 第 3段では β4 = T 2×(6 terms)+T 3×(26 terms)+T 4×(52 terms), 第 5段では β4 = T 2×(15 terms)+T 3×(27 terms) + T 4×(42 terms)である。最良の結果を得るには未だ研究の余地がある。

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(old) trial-division (new) power-series divisionEx-ℓ #tms(P ′

5, A′5, B

′5) #tms(P5, A5, B5) #tms(P ′

5, A′5, B

′5) #tms(β4)

Ex-3 ( 65, 163, 163) ( 28, 62, 62) ( 27, 62, 63) 15time:(OP)3.70 + (GC)0.00 time:(OP)2.77 + (GC)0.00

Ex-4 ( 279, 603, 603) ( 81, 154, 160) ( 81, 163, 164) 28time:(OP)13.6 + (GC)2.01 time:(OP)6.12 + (GC)0.53

Ex-5 ( 961, 1880, 1880) ( 201, 329, 312) ( 206, 353, 330) 51time:(OP)48.3 + (GC)8.13 time:(OP)12.9 + (GC)1.66

Ex-6 (2815, 5192, 5192) ( 445, 665, 671) ( 455, 728, 705) 84time:(OP)165. + (GC)32.5 time:(OP)28.9 + (GC)4.94

表 I. 旧算法 (試し割り法)と新算法 (べき級数利用)の比較 (時間単位 msec)

ordering #tms(P ′5, A

′5, B

′5, β4) comput. time (msec)

v ≻ u ≻ w ≻ x ≻ y ≻ z ( 462, 756, 752, 84) (OP)32.0 + (GC)5.74

x ≻ u ≻ v ≻ w ≻ y ≻ z ( 455, 728, 705, 84) (OP)28.9 + (GC)4.94

y ≻ u ≻ v ≻ w ≻ x ≻ z (1144, 1861, 1815, 84) (OP)82.9 + (GC)14.6

z ≻ u ≻ v ≻ w ≻ x ≻ y (1174, 1944, 1955, 84) (OP)87.7 + (GC)15.3

u ≻ v ≻ w ≻ x ≻ y ≻ z (1270, 2150, 2246, 84) (OP)102. + (GC)17.7

w ≻ u ≻ v ≻ x ≻ y ≻ z (1270, 2275, 2278, 84) (OP)104. + (GC)18.6

表 II. 従変数のオーダリングへの強い依存性 (時間単位 msec)

参考文献[1] W.S. Brown: On Euclid’s algorithm and the computation of polynomial greatest common divisors.

JACM 18(4), 478-504 (1971).

[2] W.S. Brown and J.F. Traub: On Euclid’s algorithm and the theory of subresultants. JACM 18(4),505-515 (1971).

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[4] G.E. Collins: Polynomial remainder sequences and determinants. Amer. Math. Monthly 71, 708-712, 1966.

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[8] R. Loos: Generalized Polynomial Remainder Sequence. in Computer Algebra (Computing Supple-mentum 4), 115-137, Springer-Verlag (1982).

[9] T. Sasaki and A. Furukawa: Theory of multiple polynomial remainder sequence. Publ. RIMS (KyotoUniv.), Vol. 20, pp. 367-399 (1984).

[10] T. Sasaki: A subresultant-like theory for Buchberger’s procedure. JJIAM (Jap. J. Indust. Appl.Math.) 31, 137-164, 2014.

[11] T. Sasaki and D. Inaba: Simple relation between the lowest-order element of ideal ⟨G,H⟩ andthe last element of polynomial remainder sequence. In Proceedings of SYNASC2017 (Symbolic andNumeric Algorithms for Scientific Computing), IEEE Computer Society, 2017 (in printing).

[12] T. Sasaki: A Theory and an Algorithm for Computing Sparse Multivariate Polynomial RemainderSequence. Preprint of Univ. of Tsukuba, 2018 (14 pages).

[13] T. Sasaki and M. Suzuki: Three new algorithms for multivariate polynomial GCD. J. Symb. Com-put. 13, 395-411 (1992).

46

Page 50: NAS2018(Numerical Analysis Symposium 2018)yaguchi/nas2018/nas2018-proceedings.pdfAkira Imakura1) Keiichi Morikuni1) Akitoshi Takayasu1) 1) University of Tsukuba Abstract We propose

最小二乗確率的分類器を用いた企業の信用格付与田裕之 1) 杉原正顯 2) 今倉暁 1)

1)筑波大学 2)青山学院大学

概要

機械学習のアルゴリズムである最小二乗確率的分類器 (LSPC)は,Sugiyama [1]により考案され,多クラスの分類を確率的に行うことができ,分類結果の信頼度を与える.LSPCの主要計算コストは連立一次方程式の求解にあるため,他のアルゴリズムよりも効率が良い.本稿では,LSPCを用いて企業の信用格付を行った結果を示す.

Classifying Corporate Credit Rankingusing Least-Squares Probabilistic Classifier

Hiroyuki Yoda1) Masaaki Sugihara2) Akira Imakura1)

1) University of Tsukuba 2) Aoyama Gakuin University

Abstract

The Least-Squares Probabilistic Classifier (LSPC), devised by Sugiyama [1], is one of the probabilistic multiclassclassification algorithms in machine learning, and gives the class-posterior probability. Since the solution of LSPCcan be computed by solving a system of linear equations, LSPC is computationally more efficient than otheralgorithms. In this paper, we use LSPC to compute corporate credit ranking.

1 はじめに企業の信用格付とは,格付機関(格付会社)が,国債や社債などの債券投資を行う投資家向けに,投資対象の信用リスクの度合いを評価,記号化(AAA~D)して知らせるものである. しかしながら,格付機関がどのように格付を付与しているのかは営業上の秘密事項のため明らかにされていない. そこで,公表されている財務指標データを用いて機械学習により信用格付の判別を行うということが近年盛んに研究されている. 本稿では,機械学習のアルゴリズムとして,最小二乗確率的分類器 (LSPC)を用いて企業の信用格付を行い,格付機関による格付けをどれだけ再現できるかを調べる.

2 最小二乗確率的分類器本章では, Sugiyama [1]により提案された最小二乗確率的分類器 (LSPC)のアルゴリズムについて述べる.

47

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2.1 分類問題の定式化

企業の信用格付を分類問題として定式化する.自然数 d, C に対して,集合 X ⊂ Rd と集合 Y = 1, ..., Cを考え,X × Y 上の同時確率密度関数を p(x, y)とする.この分布から得られる N 個の独立な組

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xN , yN )i.i.d∼ p(x, y)

が与えられたとする.これらの組を学習データと呼び,xn を特徴ベクトル,yn をクラスラベルと呼ぶ.確率的分類の目標は,学習データ (xn, yn)Nn=1 から条件付き確率 p(y|x) を推定することである.条件付き確率 p(y|x)が推定されると,クラスラベルが未知のデータ (テストデータ)xに対して,クラス y を

y := arg maxy

p(y|x)

と割り当てることができる.なお,p(x, y)に対して,xの周辺確率密度関数を p(x)と表記し,

p(x) > 0 ∀x ∈ X (1)

を仮定する.すると,p(y|x) = p(x, y)/p(x)である.

2.2 LSPCのアルゴリズム

LSPCにおいては,基底関数のベクトル ϕ(x) ∈ RN とクラス y ∈ Y ごとの重みベクトルαy = (αy,1, . . . αy,N )⊤ ∈ RN を考え,条件付き確率 p(y|x)を次のような線形和によりモデル化する:

q(y|x;αy) := α⊤y ϕ(x),

ϕ(x) = (k(x,x1), . . . , k(x,xN ))⊤, k(x,x′) = exp(−∥ x− x′ ∥2

2σ2

). (2)

ここで,∥ · ∥はユークリッドノルム,σ ∈ Rはガウシアンカーネルのパラメータを表す.クラスごとの重みベクトル αy = (αy,1, . . . αy,N )⊤ は,(1)の仮定の下,二乗損失

Jy(αy) : =1

2

∫(q(y|x;αy)− p(y|x))2p(x)dx

=1

2

∫α⊤

y ϕ(x)ϕ(x)⊤αyp(x)dx−

∫α⊤

y ϕ(x)p(x, y)dx+Const.

が最小となるように定める.第一項と第二項は,未知の確率密度関数 p(x), p(x, y)による期待値である.標本平均により ∫

α⊤y ϕ(x)ϕ(x)

⊤αyp(x)dx ≈ 1

N

N∑n=1

α⊤y ϕ(xn)ϕ(xn)

⊤αy ,∫α⊤

y ϕ(x)p(x, y)dx ≈ 1

N

∑n:yn=y

α⊤y ϕ(xn)

と近似する.以上をまとめると,二乗損失を最小にするような重みベクトル αy は

αy = arg minαy

1

2N

N∑n=1

α⊤y ϕ(xn)

⊤ϕ(xn)αy −1

N

∑n:yn=y

α⊤y ϕ(xn) +

λ

2

∥∥αy

∥∥2 (3)

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と表すことができる. 第三項 λ2 ∥αy∥2 は正則化項,λ (> 0) は正則化パラメータである.ここで,行列

Φ ∈ RN×N,ベクトル Zy ∈ RN を

Φ = [ϕ(x1), . . . ,ϕ(xN )]⊤, Zy = [δy,y1, . . . , δy,yN

]⊤

と定義する.ただし,δy,y′ はクロネッカーのデルタ

δy,y′ =

1, y = y ,

0, y = y′

である.これらの表記を用いると,最小化問題 (2)を以下のように書き直すことができる:

αy = arg minαy

1

2Nα⊤

y Φ⊤Φαy −

1

Nα⊤

y Φ⊤Zy +

λ

2

∥∥αy

∥∥2 .

目的関数の導関数を 0とすることで,解 αy は連立一次方程式

(Φ⊤Φ+ λNEN )αy = Φ⊤Zy

の解として与えられる.ここで,EN は N 次単位行列である.こうして得られた

q(y|x; αy) := α⊤y ϕ(x)

は負の値を取りうる.負の値は 0に切り上げ,正規化することで,次の条件付き確率 p(y|x)の推定値 p(y|x)を得る.

p(y|x) =max(0, α⊤

y ϕ(x))∑Cy′=1 max(0, α⊤

y′ϕ(x)).

3 数値実験本節では,LSPCを実データに適用して企業の信用格付を行った数値実験結果を示す.

3.1 サンプルデータ

実験では,学習データとして 2013年度の企業 426社の財務データおよび信用格付を使用し,テストデータとして 2014年度の企業 411社の財務データを使用した.それぞれの格付に対して十分なサンプル数を確保するため,信用格付は下表の通り4種類に分類して実験を行った (表 1).

表 1: サンプルデータの各格付における企業数

年度/格付 1 2 3 42013 39 199 173 152014 33 195 170 13

3.2 実験方法

実験では,一段階判別と多段階判別という 2種類の分類を行った.一段階判別ではそれぞれの企業の財務指標を用いて,各企業を格付 1から 4に 4クラス分類を行った.一方,格付機関から比較的よい評価を受けている格付1と 2の企業と,そうではない格付 3と 4の企業の財務指標は必ずしも一致しないと考えることができ

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る.そこで,判別精度を改善するために,分類を多段階に分けて行う多段階判別も行った.格付 1と2の企業を新たに格付 00,格付 3と 4の企業を新たに格付 01として,まず格付 1,2企業と格付 3, 4の企業を2クラスに分類する.次に格付が 00と分類された企業から格付 1と 2を分類し,格付が 01と分類された企業を格付3と 4に分類する.LSPCで実際に分類を行う際には,式 (2)のガウシアンカーネルのパラメータ σ および式(3)の正則化パラメータ λの値を事前に決定する必要がある. 本実験では,これらの値と学習データに対するグリッドサーチと 2分割交差検証により決定した.パラメータ σ の値の候補を 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1,λの値の候補を 10−1, 10−2, 10−3,10−4, 10−5, 10−6としたとき,最も判別精度が高かったパラメータの値の組は(σ, λ) = (0.2, 10−2)であった.

3.3 実験結果

これらのパラメータの値を用いた数値実験結果を表 2 に示す.各行および各列はそれぞれ,実際の信用格付,判別結果の企業数を表す.

表 2: 判別結果

(a)一段階判別結果

1 2 3 41 31 2 0 02 11 166 18 03 2 24 141 34 0 1 4 8

(b)多段階判別結果

1 2 3 41 23 9 1 02 16 166 12 13 0 20 143 74 0 0 12 1

一段階判別,多段階判別における正答率はそれぞれ 84.2%,81.0%であった.

3.4 考察

一段階判別及び多段階判別において,特に格付が 4である企業に対する判別精度が低かった.この場合の判別精度が低い理由として,学習データの偏りが挙げられる.学習データに用いた企業数 426社に対して,格付が 4である企業数は 15社である.講演では,この偏りを解消することに加え,判別精度を改善する方法について発表を行う.

参考文献[1] M. Sugiyama: Superfast-trainable multi-class probabilistic classfier by least-squares posterior fitting. IEICE

Transactions on Information and Systems, Vol. E93-D, No. 10, pp. 2690–2701, 2010.[2] 格付投資情報センター: https://www.r-i.co.jp/jpn/ , 2018.

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エネルギー保存型並列解法MB4に基づく2次元量子ダイナミクス計算

酒井翼 1) 工藤周平 1)∗ 井町宏人 2)† 宮武勇登 3) 星健夫 2) 山本有作 1)

1) 電気通信大学 情報理工学研究科情報・ネットワーク工学専攻

2) 鳥取大学 工学部応用数理工学科

3) 大阪大学 サイバーメディアセンター

概要

エネルギー保存型数値解法であるMB4法を量子ダイナミクスの基礎方程式

である 2次元非線形シュレーディンガー型方程式に適用した.数値実験では,

様々な条件下で,全エネルギーおよび全確率が高精度に保存されることを確

認した.また,MPI並列化を行い,3ノードで最大 2.8倍の加速を達成できた.

Two-Dimensional Quantum Dynamics CalculationUsing the MB4 Energy-Preserving Parallel Numerical

Integrator

Tsubasa Sakai1) Shuhei Kudo1)∗ Hiroto Imachi2)†

Yuto Miyatake3) Takeo Hoshi2) Yusaku Yamamoto1)

1) Department of Communication Engineering and Informatics,

The University of Electro-Communications

2) Department of Applied Mathematics and Physics, Tottori University

3) Cybermedia Center, Osaka University

Abstract

We applied the MB4 method, an energy-preserving integrator, to a nonlinear

Schrodinger-type equation. Numerical results show excellent preservation of

both total energy and total probability under various conditions. Also, our

parallel implementation achieved up to 2.8 times speedup using 3 nodes.

1 はじめに

量子力学に基づく波束シミュレーションは,次世代有機電子デバイスの開発のための

量子電気伝導計算などで重要である.波束シミュレーションの支配方程式は空間離散化

された非線形 Schrodinger型方程式であり,N 個の格子点で定義された波束の状態ベク

トルu(t) = (u1(t), . . . , uM(t))⊤ ∈ CM に対して,

idu

dt= ∇uG (1)

∗現所属 理化学研究所 計算科学研究センター / present affiliation: RIKEN R-CCS†現所属 (株)Preferred Networks / present affiliation: Preferred Networks, Inc.

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と表される.ここでGは全エネルギーであり,∇uは uに関する勾配演算子である.G

は運動エネルギーKとポテンシャルエネルギー U の和として次のように与えられる.

G = K + U, K = uHAu, U = U(n). (2)

ただし,Aはあるエルミート行列であり,n(t) ≡ (|u1(t)|2, . . . , |uM(t)|2)⊤は各格子点での粒子(電荷)の存在確率を表すベクトル,Uはnの(一般には非線形な)関数である.

方程式 (1)は勾配系と呼ばれる形の微分方程式であり,全エネルギーGおよび粒子の全

存在確率 ∥n(t)∥2を保存量として持つ.さらに,(1)はハミルトン系にもなっている.

波束シミュレーションでは,格子欠陥や不純物原子(分子)の存在により,ポテンシャ

ルがデルタ関数的な成分を持つことがある.また,波束が一点に集中したデルタ関数的

な初期値を用いる場合がある.このような計算を安定かつ高精度に行う方法として,構

造保存型数値解法 [1, 2]が考えられる.構造保存型数値解法とは,連続系の持つ保存則な

どの数理的構造を時間離散化後も保つ微分方程式の解法の総称であり,代表的な種類と

して,勾配系に対するエネルギー保存型解法とハミルトン系に対するシンプレクティッ

ク型数値解法とが挙げられる.これらの解法は,従来法では安定な計算が困難であった

多くの系に対して,安定に解を求められることが示されている.しかし,構造保存型数

値解法は多くの場合,陰解法であり,かつ計算式が複雑なため,1ステップあたりの計

算量が多い.波束シミュレーションでは数万ステップにわたる波束の動きを追跡するた

め,この計算量の多さがが実用上の問題となる.

そこで我々は,最近,宮武とButcherによって提案されたMB4法 [3]に着目した.MB4

法は無段式ルンゲ・クッタ法に基づく 4次精度のエネルギー保存型数値解法であり,解

法自体が並列性を有する.これを利用して並列化を行うことで,構造保存型数値解法の

利用に伴う計算時間の長大化を緩和できると考えられる.

本稿では,MB4法を簡単に紹介した後,方程式 (1)に適用して他のいくつかの数値解

法と数値結果を比較する.また,MB4法の並列性能について報告する.

2 MB4法

MB4法は無段式ルンゲクッタ法に基づくハミルトン系向けのエネルギー保存型数値解

法である.いま,解くべき常微分方程式が次のように与えられているとする.

dy

dt= f(y), y(t0) = y0 ∈ RN . (3)

MB4法では,時刻 t0での解 y0から時刻 t+∆tでの近似解 y1を次の式により求める.

Yτ = y0 + h

∫ 1

0

Aτ,ζf(Yζ) dζ, (4)

y1 = y0 + h

∫ 1

0

Bτf(Yτ ) dτ. (5)

ここで,Yτ は τに関する未知の 3次多項式,Aτ,ζは τに関して 3次,ζに関して 2次の既

知の多項式,Bζ = A1,ζであり,Aτ,ζはエネルギー保存性を満たすように定められる [3].

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Yτ は τ の 3次多項式であるため,異なる 4点 c0 = 0, c1, c2, c3での値 Yc0 ,Yc1 ,Yc2 ,Yc3 を

決めれば定まる.そこで,これらの値を用いてYτ を次のようにラグランジュ補間する.

Yτ = y0l0(τ) +3∑

i=1

Ycili(τ). (6)

ただし,li(τ)は li(cj) = δijを満たす 3次関数である.これを式 (4)に代入すると,Yciに

対する次の条件式が得られる.

Yci = y0 + h

∫ 1

0

Aci,ζf

(y0l0(ζ) +

3∑i=1

Ycili(ζ)

)dζ (i = 1, 2, 3.) (7)

このYc1 ,Yc2 ,Yc3に対する連立非線形方程式をニュートン法で解くことにより,近似解を

求める.Y = (Y ⊤c1,Y ⊤

c2,Y ⊤

c3)⊤とおいて連立非線形方程式 (7)をまとめてΦ(Y ) = 0と

書くと,ニュートン法で解くべき連立 1次方程式の係数行列は ∂Φ/∂Y である.ここで,

∂Φ/∂Y の計算において積分記号の中に現れる ∂f/∂yを y = y0での値で近似して積分

の外に出すと,∂Φ/∂Y は次のように近似できる(簡易ニュートン法).

∂Φ

∂Y≃ I3N − h

∂f∂y

∣∣∣y=y0

∫ 1

0Ac1,ζl1(ζ) dζ · · · ∂f

∂y

∣∣∣y=y0

∫ 1

0Ac1,ζl3(ζ) dζ

.... . .

...∂f∂y

∣∣∣y=y0

∫ 1

0Ac3,ζl1(ζ) dζ · · · ∂f

∂y

∣∣∣y=y0

∫ 1

0Ac3,ζl3(ζ) dζ

= I3N − hE ⊗ J. (8)

ここで,Eは 3× 3行列,J はN ×N 行列で,

Eij =

∫ 1

0

Aci,ζlj(ζ) dζ , J =∂f

∂y

∣∣∣∣y=y0

(9)

である.MB4法ではEが対角化可能で,かつ実固有値を持つようにAτ,ζ を定める.そ

こで,Eの固有値分解をE = TΛT−1とすると,式 (8)より,

∂Φ

∂Y≃ (T ⊗ IN)(I3N − hΛ⊗ J)(T−1 ⊗ IN). (10)

ここで,行列 I3N − hΛ⊗ Jは 3× 3のブロック対角構造を持つから,MB4法では,計算

時間の多くを占める簡易ニュートン法での 3N連立 1次方程式の求解を,3つの独立なN

元連立 1次方程式の求解として行える.したがってMB4法は解法自体が並列性を持つ.

3 2次元量子ダイナミクス計算への適用

MB4法を n × nの 2次元周期格子上での方程式 (1)に適用した.ただし,式 (2)のA

は 2次元 5点差分の行列とし,U(n) = −γ/2∥n∥2 + V · nとした.ここで,γ は正の

定数であり,V は各格子点で定義されたポテンシャルを並べたベクトルである.この系

は格子欠陥を持つ 2次元有機材料のモデルと見なすことができ,各格子点がペンタセン

(C22H14)などの有機分子,V が格子欠陥によるポテンシャルに相当する.

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MB4法に加えて,4次の陽的ルンゲ・クッタ法(RK4),Gauss2 [1],Gauss4 [1],AVF2

[4],AVF4 [5]の 6種の解法で計算し,全確率と全エネルギーの変化を調べた結果を図 1

に示す.AVF2,AVF4もエネルギー保存型解法であり,一方,Gauss2,Gauss4はルン

ゲ・クッタ法に基づくシンプレクティック解法で全確率を保存する.図より,これらの性

質は数値的にも確かに成り立っている.MB4は全確率を保存しないが,10−8程度の誤差

で保存則が成り立っている.また,RK4は保存則の破れが大きく,本問題には不向きで

あることがわかる.以上より,本問題における構造保存型数値解法の優位性が示された.

図 1: 6種の数値解法による全確率(左図)および全エネルギー(右図)の時間変化.

上記の解法群のうち,解法レベルの並列性を持つのはMB4法のみである.そこで,簡

易ニュートン法の連立 1次方程式の求解部分をMPI並列化し,格子サイズ nを 40から

640まで変化させて性能評価を行った.その結果,3ノードで最大 2.8倍の加速を得るこ

とができ,MB4法の高い並列化効率を確認した.より詳しい結果はポスターで紹介する.

謝辞 本研究は科学研究費補助金特設分野研究 No. 16KT0016の補助を受けている.

参考文献

[1] E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner: Geometric Numerical Integration: Structure-

Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, 2nd Ed., Springer, 2006.

[2] 松尾宇泰, 宮武勇登: 微分方程式に対する構造保存数値解法, 日本応用数理学会論文

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[4] G. R. W. Quispel and R. I. McLaren: A new class of energy-preserving numerical

integration methods, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, Vol. 41,

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[5] E. Hairer, Energy-preserving variant of collocation methods, Journal of Numerical

Analysis, Industrial and Applied Mathematics, Vol. 5, pp. 73–84 (2010).

54

Page 58: NAS2018(Numerical Analysis Symposium 2018)yaguchi/nas2018/nas2018-proceedings.pdfAkira Imakura1) Keiichi Morikuni1) Akitoshi Takayasu1) 1) University of Tsukuba Abstract We propose

力学系における非双曲型平衡点近傍の精度保証解析中村正男 1) 寺坂元 1) 寺田邦人 2) 山本野人 1)

1) 電気通信大学・情報理工学研究科2) 電気通信大学・情報理工学部

概要

連続力学系の双曲型平衡点の近傍では二次形式による Lyapunov関数が構成可能であり、精度保証に依る構成法もいくつか知られている。これに対し、非双曲型平衡点の近傍では、二次形式の Lyapunov関数は原理的に構成することができない。本研究では、3次元の系において解軌道を位相空間内の平面に射影した軌道を考え、非双曲な平衡点のこの平面における像の近傍での疑似Lyapunov関数を二次形式で構成することを試みる。。あわせて、その精度保証に依る構成法を導出し、数値例で有効性を確認する。

On quasi-Lyapunov functions constructed by verifiedcomputation

Masao Nakamura Gen Terasaka Kunihito TeradaNobito Yamamoto

The University of Electro-Communications

Abstract

In the previous works by some of the authors, numerical verification meth-

ods have been established to construct Lyapunov functions of quadratic form

within a certain neighborhood of hyperbolic equilibria of given dynamical

systems described by ODEs. However it is impossible generally to find any

Lyapunov function of quadratic form for a non-hyperbolic equilibrium. Our

approach to solve the difficulty is adopting some sort of projections to find

so called quasi-Lyapunov functions, and we have derived special conditions

which enable us to construct quasi-Lyapunov functions of quadratic form

within a neighborhood of non-hyperbolic equilibria. In our talk, following an

introduction of numerical verification methods to construct Lyapunov func-

tions for hyperbolic equilibria, our approach to non-hyperbolic cases will be

described together with some numerical examples.

1 はじめに精度保証付き数値計算の力学系への応用としては、常微分方程式で記述される連続力学系に対し、平衡点の数値的検証や平衡点周辺での Lyapunov関数の構成、およびその

55

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定義域の検証などが行われている [1]。一方、非双曲型の平衡点の近傍では、二次形式の Lyapunov関数は原理的に構成することができない。そこで、本研究では、3次元の系において解軌道を位相空間内の平面に射影した軌道を考え、非双曲型の平衡点のこの平面における像の近傍で擬似 Lyapunov関数なるものを二次形式で構成し、その定義域の数値的検証を試みる。

2 双曲型平衡点を持つ力学系連続力学系は,以下のような自励系常微分方程式で記述されるのが一般的である。x,f ∈ Rnに対して、

dx

dt= f(x) (1)

ただし、f(x) = 0となる平衡点 x∗ が存在するものとする。f(x)は考えている領域でCr級 (r ≥ 1)とし、x∗ における f のヤコビ行列を Df ∗ := Df(x∗)とおく。Df ∗の固有値の実部が全て非零、つまり正負のどちらかである場合、平衡点x∗は双曲型であるという。いま、Df ∗の実部正の固有値の数と、実部負の固有値を数をそれぞれ u, sとおく。u, sの値は、それぞれ不安定多様体の次元と安定多様体の次元に一致する。特に、実部正の固有値に対する固有ベクトルは不安定多様体の、実部負の固有値に対する固有ベクトルは安定多様体の平衡点における接ベクトルとなる [2]。

3 Lyapnov関数 [3]

Lyapunov関数は位相空間上の点の位置で決まるスカラー値関数であり、力学系に従って点が動く際にその値が減少するという性質を持つものである。その性質から力学系の解析の強力なツールである。(1)と同じく自励系常微分方程式を扱う。ただし、 x∗は平衡点、xの解軌道をφ(t,x)

とする。x∗の近傍U ⊂ Rnを定義域とするC1 関数 L : U → Rが広義のLyapunov関数であるとは、

任意の x ∈ U\x∗に対し、L(x) > L(x∗) = 0かつL(x) =dL

dt(φ(t,x)) |t=0≤ 0

が成り立つことをいう。関数 Lが x∗の近傍 U で狭義のもしくは完全 Lyapunov関数であるとは,それが広義の Lyapunov関数であってしかも、すべてのx ∈ U\x∗についてL(x) < 0となることをいう.いずれも平衡点が沈点でない場合はL(x) > L(x∗)の条件を外すものとする。双曲型平衡点の場合の精度保証による二次形式の Lyapunov関数の構成方法については [3]を参照されたい。

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4 疑似Lyapunov関数(1)と同じく自励系常微分方程式を扱う。ただし、x∗は非双曲型平衡点とし、 f(x∗)

のヤコビ行列の固有値 λのうち、Re(λ) = 0

となるものがある場合を考える。このとき、平衡点x∗の安定性については判定ができない。また、このとき二次形式での Lyapunov関数は原理的に構成できない。そこで、非双曲型の平衡点近傍で Lyapunov関数に似た性質を持つ関数を構成することを試みる。射影した解軌道が射影した平衡点へ近づくにつれて値が減少していくスカラー値関数を疑似Lyapunov関数とする。非双曲型の系の平衡点におけるヤコビ行列の実部が 0でない固有値の数をm個とする。実部が 0の固有値に対応するn−m個の一次独立な固有ベクトルが取れるとし、これらの張る空間の正規直交基底 a1,a2, · · · ,an−m ∈ Rn

に対し、

超平面 Γ :

x ∈ Rn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣aT1 x = 0,

aT2 x = 0,

...

aTn−mx = 0.

への射影行列 P ∈ Rn×nを

P : Rn×n → Γ, P = I − (a1,a2, · · · ,an−m)

aT1

aT2...

aTn−m

とする。また座標軸を変換する直交行列Q ∈ Rn×nを

Qai = ej =

0...

0

ij0...

0

(ij = 1, j = i+m)

となるように算定しておく。このとき、平衡点 x∗近傍で、疑似 Lyapunov関数 Lmを

Lm(x∗) = 0,

d

dtLm(x(t)) < 0, Px(t) = Px∗, (x(t) :解軌道) (2)

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を満たすものと定義する。ここでは、実対称行列 Y ∈ Rn×nを適切に定め、P と Y を用いて,疑似 Lyapunov関数を

Lm(x) = (x− x∗)TP TY P (x− x∗) (3)

と二次形式で表すことにする。さて、

• QPDf ∗QT =

(Gm O

O O

), Gm ∈ Rm×m

• Gmは実部 0の固有値を持たない

と仮定する。このとき、GTmY + YmGmが負定値となるような実対称行列 Ym ∈ Rm×mが

構成でき、

Y = QT

(Ym O

O O

)Q

と定めれば、(3)は (2)を満たす。Ymの構成方法については [3]に基づき次のように行う。

1. Gmを対角化可能であるとし、固有値を並べた対角行列をΛm,対応する固有ベクトルを並べたものをXmとする。このとき、Λ = X−1

m GmXmとなる。

2. 行列 I∗mを i1, i2, · · · , im ∈ Rを対角成分とする対角行列とする。ただし、

ik =

1 if Re(λk) < 0

−1 if Re(λk) > 0(1 ≤ k ≤ m)

3. 実対称行列 Ymを以下のように算定する。

Ym = X−Hm GmX

−1m

Ym = Re(Ym)

疑似 Lyapunov関数の詳細と数値例を用いた具体的な計算方法については講演にて発表する。

参考文献[1] 三宅智大、「精度保証による Lyapunov 関数の構成とその拡張」、平成 28年度電気通信大学情報理工学研究科修士論文、2016

[2] 中尾充宏・山本野人、「精度保証付き数値計算」、日本評論、1998、pp.1-34

[3] K.Matsue,T.Hiwaki and N.Yamamoto,“ On the construction of Lyapunov func-

tions with computer assistance”, Journal of Computational and Applied

Mathematics,319/C, 385-412,2017

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二次形式を用いた Affine 演算の拡張について松田 望 1) 山本 野人 1) 中山 大輔 2)

1) 電気通信大学・情報理工学研究科2) 株式会社カヤック

概要

区間演算の一種であるAffine演算は非線形な演算を一次式で近似するため、除算などに対して精度が出にくい場合がある。我々は、二次形式を用いた Affine

演算の拡張を考案し、その理論に基づく数値計算ライブラリを開発した。また、問題によっては、拡張 Affine 演算が Affine 演算より精度・速度両面で優位であることを確認した。

Extension of Affine arithmetic with quadratic form

Nozomu Matsuda 1) Nobito Yamamoto 1) Daisuke Nakayama 2)

1) The University of Electro-Communications

2) KAYAC Inc.

Abstract

In Affine arithmetic which is a kind of interval operation, nonlinear operations

are approximated by linear expression. Therefore it may have low precision

with division or etc. We devised extension of Affine arithmetic with quadratic

form and developed numerical library based on that theory. Also, depending

on the problem, we confirmed that the extended Affine arithmetic is superior

to Affine arithmetic in both precision and speed.

1 はじめに精度保証付き数値計算で用いられる区間演算 [2] の算法やライブラリは、一般に区間

半径が小さいことを前提に設計されている。そのため、区間の情報を多倍長浮動小数点数で保持したり、区間を分割したりすることで区間拡大を防ぐことが多い。近年は高次元の問題への精度保証付き数値計算の適用が行われようとしているが、区

間の分割は入力の数に関して指数関数的な計算量の増加を引き起こす。そのため、高次元の問題では、ある程度の半径を持つ区間に対しても、できる限り区間の分割を行わず計算したい。多倍長浮動小数点数はこのような目的には対応できない。区間同士の相関を考慮することで区間拡大を抑える算法に Affine 演算 [3] があるが、これは非線形な演算を一次式で近似するため、除算などの演算で精度が出にくい場合がある。そこで本研究では、 Affine 演算を拡張することで非線形な演算にも精度がでやすい算法と、それを実装したライブラリを開発することを目的とする。

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2 Affine 演算の拡張まず Affine 形式をベクトルの内積を使って表す。

x0 + x1ε1 + · · ·+ xkεk + δrεrx

= x0 + xTεk + δxεrx,

x =

x1

x2

...

xk

, εk =

ε1

ε2...

εk

,

εi ∈ [−1, 1] (i = 1, . . . , k).

そして、次のように二次形式を加えることでダミー変数の二次項を追加し、 Affine 演算を拡張する。

x0 + xTεk + ε

T

kXεk + δrεrx.

ただし、Xは k × k実対称行列とする。この式を用いた演算を拡張 Affine 演算と呼ぶことにする。我々は、拡張 Affine演算における四則演算の手法を考案した。特に、除算に用いる「逆

数の二次近似」には、複数のアルゴリズムを試し、工夫を要した。

3 拡張 Affine 演算ライブラリの開発我々は、拡張 Affine 演算ライブラリ「qifen」を開発した。qifen は、 C++ のクラス

ライブラリであり、https://bitbucket.org/uec-dn/qifen からダウンロードできる。

4 数値実験Affine 演算が区間演算より良い結果を返すのは、例えば分数の分母と分子に同じ変数

を含むような、変数間の相関が大きい計算である。そのような問題について、入力区間の半径が小さければ、多くの場合、拡張 Affine 演算の方が精度の良い結果が得られることが分かった。ただし、計算速度では Affine 演算に劣っていた。

4.1 入力区間を分割した場合

Affine 演算の計算精度を上げる方法として、入力区間を複数に分割し、計算結果の和集合を取る方法がある。変数間の相関がある問題で、目標の計算精度を得るのに必要な分割数を調べた。結果、拡張 Affine 演算では、分割数が Affine 演算より少なく済み、合計の計算時間も短かった。つまり、入力区間の分割を考慮に入れれば、拡張 Affine 演算は、速度の面でも Affine 演算より優れている場合があることが分かった。

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参考文献[1] 中山大輔, 「拡張 affine演算を用いた精度保証計算ライブラリ」, 電気通信大学修士論文, 2018.

[2] 中尾充宏・山本野人,「精度保証付き数値計算」, 日本評論社, 1998.

[3] 柏木雅英, 「Affine Arithmetic について」, http://verifiedby.me/kv/affine/

affine.pdf, 2018/5/25 アクセス.

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体内動態に対するコンパートメントモデルのモデルパラメータ推定手法について

小松瑞果 1) 谷口隆晴 1),2)

1) 神戸大学大学院システム情報学研究科2) JSTさきがけ

概要

体内動態に対するコンパートメントモデルのパラメータ推定は,一般に,凸最適化問題に帰着しない.また,データの取得が困難であるため,十分なデータを得ることができず,推定の最適解が一意に求まらないことが多いが,生理学的考察を行うにあたり,多数の局所解を網羅的に探索する必要がある.さらに,この推定は硬い系や微分代数方程式になりうる,モデルによって定まる方程式の数値計算を内包する.このような困難を踏まえ,本稿では,多段階マルチスタート法を提案する.

A method of parameter estimations for the compartment modelswhich describe in vivo kineticsMizuka Komatsu1) Takaharu Yaguchi1),2)

1) Graduate School of System Informatics, Kobe University

2) JST PRESTO

Abstract

Parameter estimations for the compartment models which describe in vivo kinetics

are not typically reduced to convex optimization problems. Besides, although the

solutions are not typically determined uniquely, possible parameter sets, which are

worth to be analyzed in terms of physiology, are desired to be enumerated in the

estimations. Moreover, the equations derived from the models, which tend to be

stiff and/or differential algebraic equations, are needed to be solved numerically,

which makes the situations harder. In this paper, a multi-stage and multi-start

algorithm is proposed to address the challenges.

1 体内動態に対するコンパートメ

ントモデルのパラメータ推定

本研究が対象とする問題は,体内動態に対するコンパートメントモデルのパラメータ推定である.本稿では,まず,この問題の 2つの特徴と,それによって生じうる困難について説明する.次に,これらを踏まえたパラメータ推定手法を提案する.

本問題の 1つ目の特徴は,方程式がモデルパラメータを比較的多く含む点である.2つ目は,モデルによって定められる方程式が複雑であり,

特に,硬い系や,微分代数方程式になり得る点である.以下,論点をより明確にするために,[1]に報告されている抗原・抗体の体内動態モデルを,本研究が対象とするモデルの具体例として扱う.このモデルは,抗原と呼ばれる,あるタンパク質が,経口摂取によって体内に侵入し,組織間を移動したり,抗体と呼ばれる体内物質と結合・解離する様子,つまり,体内動態について記述したものである.ここで,コンパートメントは,肝臓や血液など,臓器や臓器をまとめたものを表し,例えば [1]のモデルでは,5つのコンパートメントによってヒトの体全体が表

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現されている.モデルの詳細は [1]に譲ることとし,このモデルによって定められる方程式を以下に示す:

dx1dt

=− pf(x1V1− x3

V2

)−akf

(x1V1− x5

V3

)− x16, (1)

dx2dt

=− pc(x2V1− x4

V2

)−bkc

(x2V1− x6

V3

)− v

x2V1

x2V1

+m+ x16, (2)

dx3dt

=αx01∫∞

−∞ f(t)dtf(t)− g(t)

+ pf(x1V1− x3

V2

)−tf

(x3V2− x5

V3

)− ka

x3V2− x17, (3)

where

f(t) =

(1

1+exp(−τt

)−0.5)exp(− 1w2

l(t− β)2

)(t < β

)exp

(− 1

w2r(t− β)2

) (t ≥ β

)(4)

g(t) =1

2

V0

K+ αx0f(t) +G

√(V0

K+ αx0f(t) +G)

2

−4αx0f(t)G

,

(5)

dx4dt

=g(t) + pc(x2V1− x4

V2

)−tc

(x4V2− x6

V3

)− vl

x4V2

x4V2

+ml+ x17, (6)

dx5dt

=akf(x1V1− x5

V3

)+tf

(x3V2− x5

V3

)+kf(x7

V4− x5

V3

)+kf

(x9V5− x5

V3

)−x18, (7)

dx6dt

=bkc(x2V1− x6

V3

)+tc

(x4V2− x6

V3

)+

kc(x8V4− x6

V3

)+kc

(x10V5− x6

V3

)+x18,

(8)

dx7dt

=− kf(x7V4− x5

V3

)−x19, (9)

dx8dt

=− kc(x8V4− x6

V3

)−v

x8V4

x8V4

+m+ x19,

(10)

dx9dt

=− kf(x9V5− x5

V3

)−ke

x9V5− x20, (11)

dx10dt

=− kc(x10V5− x6

V3

)−vk

x10V5

x10V5

+mk

+ x20, (12)

dx10+n

dt=− x15+n (n = 1, 2, 3, 4, 5), (13)

Kx2n−1x10+n − x2nVn = 0

(n = 1, 2, 3, 4, 5).

(14)

まず,(1)から (14)における変数は,x1からx20

であり,それぞれ,抗原や抗体の各コンパートメントにおける物質量を表す.また,Vn(n =

1, 2, 3, 4, 5),K,Gは定数であり,それ以外の文字は全てパラメータである.パラメータは 21

個存在し,それぞれ生理学的な意味をもつ.一般的に,体内動態を表すモデルでは,複数

のコンパートメントが設定され,各コンパートメントにおいて生じる様々な現象が記述される.現象の記述にあたり,生体の生理学的特性に応じて,適切にパラメータを割り当てる必要があり,結果として,パラメータが,比較的多くなる [2].このような場合,生理学的観点からは,モデルパラメータを減らす,つまり,モデルの縮減を行うのではなく,これらを,適切に推定することが望ましい.一方,一般に,パラメータと微分方程式の解の関係は複雑であり,そのパラメータ推定は凸最適化問題には帰着しない.そのため,最適化問題は多数の局所解をもち,数値解も,計算に用いる反復法の初期値に依存するといった技術的な困難が生じる.また,物質の体内動態に関するデータの測定は,倫理的観点などから難しいため,推定すべきパラメータ数に対して,データ数が不足していることが多い.実際,抗原・抗体の体内動態を記述する上記のモデルにおいては,パラメータが 21個であるのに対し,実験データは,6,7個しか存在しない [1].従って,誤差関数を最小化するパラメータセットを求めることができたとしても,一般

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に,それは一意には定まらない.このように無数に存在しうるパラメータセットは,それぞれが生理学的な意味をもち得る.そのため,可能な限り網羅的に探索したうえで,方程式の解と併せて,それぞれ考察を行うことが望ましい.

次に,2つ目の特徴である,方程式の複雑さについて,再び,抗原・抗体の体内動態モデルを例に説明する.まず,(1)から (13)は各物質の物質量の時間変化を表す微分方程式,(14)は抗原と抗体の結合・解離反応を表す代数方程式であり,本モデルによって定められる方程式は微分代数方程式となっている.結合・解離のような可逆反応は,体内動態モデルにおいて,一般的に扱われる現象であり,代数方程式で表されるため,モデルによって定められる方程式は微分代数方程式になり得る.また,体内動態モデルでは,コンパートメント内,あるいはコンパートメント間において,タイムスケールの異なる現象が扱われ得ることや,モデルに非線形項が含まれ得ることを踏まえると,モデルによって定められる方程式は硬い系になりやすいと言える.このような方程式に対して有効な方法は,一般に陰解法となる.その結果,微分方程式の解の数値計算にニュートン法が必要となり,多くの場合,パラメータ推定には長時間の計算を要する.

2 提案手法

第 1節で述べた,対象とする問題の難しさを踏まえ,本研究では,下記のような多段階マルチスタート法を提案する.本手法では,複数の初期値からそれぞれ推定を行うマルチスタート法を,複数回行う.また,各マルチスタート法におけるパラメータの探索空間は,1つ前の段階のマルチスタート法の結果に基づいて定める.以下,多段階マルチスタート法のアルゴリズムをAlgorithm 1に,探索空間の設定アルゴリズムをAlgorithm 2に示す.なお,以降,括弧付きの上付き添え字は段階,下付き添え字は各初期点に割り当てられた番号,括弧内の数字はパラメータに割り当てられた番号を意味する

こととする.また,p,n,mはそれぞれ,パラメータの数,段階数,各段階における初期点の数を表す.第 i段階における各パラメータの探索範囲は,hをパラメータに割り当てられた番号として,下限値 l(i)(h)と上限値 u(i)(h)の組の列 S(i)(h)で表す.

Algorithm 1: Multi-Stage and Multi-

Start Algorithm

1 Initialize the search area S(1)

2 for i← 1 to n do

3 for j ← 1 to m do

4 p(i)j ∈ S(i) is randomly set as an

initial parameter set

5 while error > tolerance do

6 Compute the numerical

solutions by an implicit

method using the Newton

method, but with a loose

tolerance if i = n

7 error ←∑∥data− the solutions ∥2

8 Update p(i)j ∈ S(i) so that the

error is reduced9 end

10 Ej ← error

11 end

12 Set S(j+1) nearby p(i)k where

k = argminj

Ej by Algorithm 2

13 end

Algorithm 1では,各段階において複数の初期点を設定することで,結果的に複数の局所解を得ることができ,その意味で,目的関数の初期値依存性の対処と,ある程度網羅的な探索を行う.さらに,最終段階以外の推定において,モデルが定める方程式を解く際に用いるニュートン法の許容誤差を大きく設定し,粗く解くことで,推定全体にかかる計算時間を短縮する.

Algorithm 2 では,まず,第 i 段階 (i =

1, 2, ..., n)で得られた解のうち,誤差が小さい順に q個のパラメータセットを用いて,各パラメータの値の集約度を表す σ(i)(h) (h = 1, 2, . . . , p)

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を求める.次に,その値が,変動係数 δ(i)より小さい場合には,そのパラメータの第 i + 1段階における探索範囲を,第 i段階で得られた最良パラメータセットにおける値付近に変更する.これにより,第 i + 1段階のマルチスタート法によって得られる解は,第 i段階で得られる解と比較して,改善されていることが期待される.また,ある段階の推定によって得られる解による誤差を比較した結果と,各パラメータの集約度に基づいて探索範囲の設定を行うことで,各パラメータに対する,目的関数の変化のスケールに合わせた探索が行われると期待される.

Algorithm 2: Setting S(i+1) =

S(i+1)(h) | l(i+1)(h),u(i+1)(h), h =

1, 2, ..., p1 Set q ≤ m, q ∈ Z2 Sort p

(i)j (j = 1, 2, ...n) so that the

corresponding error’s are in ascending

order

3 for h← 1 to p do

4 σ(i)(h) ←the normalized standard

deviation of p(i)j (h) calculated from

p(i)j (h) (j = 1, 2, ...q)

5 end

6 δ(i)← the mean of σ(i)(h) (h = 1, 2, ..., p)

7 for h← 1 to p do

8 if σ(i)(h) ≤ δ(i) then

9 l(i+1)(h)← (1−σ(i)(h))×p(i)1 (h),

10 u(i+1)(h)← (1+σ(i)(h))×p(i)1 (h)

11 end

抗原・抗体の体内動態モデルのパラメータ推定に,提案手法を適用させた結果については,講演の際に報告する.

謝辞本研究は科学研究費補助金(基盤研究 (C),課題番号 26400200)および JSTさきがけ (JP-

MJPR16EC) の支援を受けている.

参考文献

[1] 小松瑞果, 谷口隆晴: Husbyらの実験データに対するアレルギー発症メカニズムの解析に向けた抗原・抗体の体内動態モデルの構築, 投稿中.

[2] S. A. Peters (2011). Physiologically-

based pharmacokinetic(PBPK) modeling

and simulations : principles, methods,

and applications in the pharamaceutical

industry. Wiley, NJ.

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あるテーマパークにおける地理的集客効果の感度分析

大川航平 1) 谷口隆晴 2)

1) 神戸大学工学部情報知能工学科2) 神戸大学大学院システム情報学研究科計算科学専攻/JSTさきがけ

概要

テーマパーク内の道には,人がよく通る道とあまり通らない道がある.本研究では,テーマパークの地理を,施設の配置を頂点,道を枝とするグラフでモデル化し,各辺の媒介中心性を求めることで,各道の通行量を考察する.ただし,媒介中心性の計算は,施設に付随する情報が道の通行量に与える影響を考慮し,適切な重みを与えながら行う.最後に,以上で得られたデータに基づいて感度分析を行う.それによって,各道の通行量の平滑化が行えることを説明する.

Sensitivity analysis on geographic and attractingeffects in a certain theme parkKohei Okawa1) Takaharu Yaguchi2)

1) Department of Computer and Systems Engineering,Kobe University

2) Department of Computational Science, Graduate School of System Informatics,

Kobe University

Abstract

Generally, there exist a certain extent of deviations in amounts of pedestrian

traffic on paths in theme parks. In this talk we introduce a network model

of the geographic and economic features of a theme park, where nodes and

edges represent amusement attractions and paths in the park. Each node has

a weight that represents popularity and by using these weights we compute a

weighted betweeness centrality of each path of this network, thereby estimat-

ing the amounts of traffic in the park. Furthermore, we perform a sensitivity

analysis of the effect of the weight to the traffic. A way to control the traffic

by using the result of the analysis is also presented.

1 はじめに本研究では,実在するあるテーマパークをモデルとし,各アトラクション同士を連絡す

る道の通行量を考察する.具体的には,まず,テーマパークの施設の配置をネットワークでモデル化する.パーク内に存在するアトラクションを頂点,それらを連絡する道を

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辺とするグラフを考え,また,別途,計算した各アトラクションごとの集客力を各頂点に与える.次に,このネットワークにおける媒介中心性を計算することで,各道の通行量を数値化する.これにより,通行量を考慮した売店,イベント場所等の配置計画が可能となり,これは,パークの収益向上に繋がる.また,各アトラクションの集客力が,道の通行量に与える影響について感度分析する.応用として,アトラクションの集客力をシミュレーションにより算出し,通行量の偏りを求め,それを平滑化することで,園内の人混み分散を試みる.

2 媒介中心性とその感度解析媒介中心性は,ネットワーク中の頂点や辺の重要性を測る指標であり,ネットワークの全ての頂点の組に対して,それらの最短経路において,どれだけその頂点あるいは辺が媒介されているかを求めることで計算される.本研究では,ネットワーク中の各辺の媒介中心性を,各アトラクションの集客力を考慮した重みをつけて計算する.本研究で扱うネットワークでは頂点はアトラクションを,辺は道を表すが,そのため,辺の媒介中心性は「あるアトラクションから別のアトラクションに来場者が最短経路で行くと仮定したとき,どれだけその道を通るか」を表す.すなわち,この値を計算することで,最短経路を通るという仮定の下ではあるが,各道の通行量を推測することができる.ある辺 piの媒介中心性 biは以下のように定義される:

bi ≡N∑

js=1

N∑jt=1;jt =js

g(js,jt)wjt

Njsjt

(1)

ただし,ネットワークの頂点数をN と表す.また,g(js,jt)は始点 vjsから終点 vjtへ行く最短経路の中で piを通るものの数,Njsjt は vjs から vjt へ行く最短路の総和である.wjt は終点の重みを表しており,アトラクションの影響を考慮せず,地形的な意味のみで媒介中心性を考えるときには,全ての重みを 1として計算する.最短経路を求める際に各道の長さが必要となるが,これは公式に配布されている園内地図から求めた.なお,最短経路の計算には dijkstraのアルゴリズムを用いた.次に,各アトラクションの集客力が各道の通行量に与える影響について,感度分析を行う.具体的には,各アトラクション jが,各道 piに与える,重み 1あたりの媒介中心

67

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性の大きさAijを計算した.結果を以下の行列A = (Aij)に示す:

A =

1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 150 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 8 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 4 4 4 4 0 4 0 8 8 8 8 4 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 4 4 0 5 51 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 13 21 2 2 2 20 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 3 1 1 1 11 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 10 2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 3 13 0 0 2 1 2 22 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 6 9 9 1 1 0 1 10 0 1 0 1 1 6 6 0 2 0 6 6 6 8 0 8 2 7 7 7 7 10 7 00 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 80 1 0 0 0 0 0 2 2 0 3 0 0 0 3 3 4 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 3 8 10 1 1 2 0 0 0 13 2 5 1 3 3 3 3 5 3 41 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 2 0 0 0 4 2 2 2 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 8 8 8 0 0 6 0 3 3 3 3 4 3 33 2 3 3 1 2 3 1 1 1 3 12 12 13 5 4 5 1 2 2 2 2 3 2 24 3 4 4 2 3 4 2 2 2 2 13 12 12 4 3 4 2 1 1 1 1 2 1 11 2 1 1 1 0 1 1 3 1 8 1 1 1 2 16 3 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 2 2 8 8 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 00 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 3 33 3 3 3 3 3 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 18 8 8 0 0 1 0 01 1 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 2 0 2 3 0 0 0 0 5 0 02 2 2 0 2 1 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 7 67 7 6 4 6 5 2 2 9 14 2 2 2 2 0 2 0 14 7 7 1 1 3 6 50 0 0 0 0 0 0 0 4 2 3 0 0 0 1 3 1 2 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 11 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 0 0 1 0 0 1 5 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 2 0 0 9 4 1 1 1 2 2 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 0 1 1 0 8 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 0 0 0 0 2 0 13 3 4 1 6 14 4 7 2 2 1 0 0 0 2 0 1 2 1 1 1 1 1 1 00 0 0 5 0 0 3 0 5 5 0 3 3 3 0 0 0 5 1 1 0 0 0 0 00 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 15 4 0 7 0 0 4 1 4 4 0 6 6 6 3 0 2 4 0 0 0 0 0 0 04 4 5 2 18 13 3 6 3 3 2 1 1 1 1 1 0 3 2 2 2 2 0 2 10 0 5 0 3 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 08 8 7 0 7 6 0 3 6 6 0 0 0 0 0 0 0 6 5 5 0 0 2 5 44 5 4 0 4 3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 1 0 0 0 5 5 0 0 013 11 12 1 12 10 1 4 5 5 4 1 1 1 1 3 0 5 4 4 4 4 1 4 35 5 14 3 14 12 2 5 4 4 3 0 0 0 0 2 0 4 3 3 3 3 0 3 26 5 1 5 1 1 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

(2)

3 重みの決定について媒介中心性を用いて交通量を推定するためには,各アトラクションにどのくらいの人が向かうのかが重要となる.これの推定値を,各頂点 j に重み wj として与える.この値の決定方法は非常に重要となるが,今回は,シミュレーションによって導出した.また,来場者数などは,日によって大きく変わるが,下記の数値は,混雑日を想定して設定した.まず,一日の来場者数は 45000人とし,また,一人あたりが,来場中にアトラクションに費やす時間は 480分であるとする.重み 1は 100人の来場者に対応するものとする.本研究では,パークのゲートを頂点 v25とするが,ゲートは全ての来場者が訪れる場所であるため,w25 = 450とする.それ以外の頂点の重みをシミュレーションによって求める.シミュレーションには,表1,表2に示す,二つのデータを用いる.表1には,アトラクションごとの混雑日の平均待ち時間Wj が示されている.このデータは,公開されているものを用いた.また,表2にはアトラクションの人気度を表すデータPjが示されて

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いる.これは twitter の各アトラクションに対するツイート数などから決定した.

表 1.混雑日の平均待ち時間のデータの一部アトラクション j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 · · · 24

待ち時間Wj 138 51 125 38 25 8 38 10 81 · · · 16

表 2.人気度を示すデータの一部アトラクション j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 · · · 24

人気度 Pj 647 241 606 121 103 118 238 463 722 · · · 97

シミュレーションの概要は以下の通りである.

1. 客 kは人気度に基づいてランダムに次に乗るアトラクション jを決める.アトラクション jが選ばれる確率Cjは,以下のように定める:Cj = Pj/

∑N−1j=1 Pj.

2. 客 kの残りの滞在時間を tkとし,tk > Wjの場合は 3へ,それ以外は 1へ.

3. アトラクション jに乗る.すなわち,アトラクション jの参加者を追加し,客 kの残りの時間を更新する:wj = wj + 1, tk = tk −Wj.

上記の 1-3を,来場者 45000人分,それぞれ,tkが 15以下になるまで繰り返す. 以上より求めた重みwjの一部を表3に示す.

表 3.各アトラクションの重みアトラクション j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 · · · 24

重みwj 147 100 144 62 72 121 112 274 203 · · · 90

4 通行量の平滑化について本節では,以上の結果を通行量の最適化に用いる方法について考える.最適化は,ア

トラクションの工夫などによって行うものとし,理想の通行量にするためには,どのアトラクションを,どの程度の集客力が見込めるようにすればよいかを考察する.まず,理想の通行量を yと書く.第 3節で求めたアトラクションの重みを xとすると,現在の通行量はAxと推定される.ただし,Aは,第 2節で求めた行列である.これより,理想の通行量と現在の通行量の差∆yは∆y = y−Axと推定できる.感度分析の結果を用いると,アトラクションの重みの修正量∆xに対する交通量の修正量はA∆xとなる.従って

min∆x

| A∆x− (y + Ax) |2 (3)

という問題を解けばよい.具体的な計算例などは,当日に紹介する.

参考文献[1] 増田直紀, 今野紀雄: 複雑ネットワーク 基礎から応用まで, 近代科学社, 2010.

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潜在変数ネットワークモデルを用いた放牧牛の交流ネットワーク解析小松瑞果 1) 谷口隆晴 2) 大川剛直 3)

1) 神戸大学大学院システム情報学研究科計算科学専攻2) 神戸大学大学院システム情報学研究科計算科学専攻,JST さきがけ3) 神戸大学大学院システム情報学研究科情報科学専攻,JST CREST

概要

近年,農業従事者の負担を軽減するため,ロボット技術や情報通信技術の導入による農業の効率化に関する研究が注目されている.特に,放牧牛の管理について,牛は社会性をもつ動物であることが知られている一方,それを情報通信技術と組み合わせた研究はまだ少ない.そこで,本研究では,潜在変数ネットワークモデルを用いた牛のコミュニティ検出方法について報告する.

Community Detection of Cattle with Latent VariableNetwork Models

Mizuka Komatsu1) Takaharu Yaguchi2),1) Takenao Ohkawa3)

1) Graduate School of System Informatics, Kobe University

2) Graduate School of System Informatics, Kobe University/JST PRESTO

3) Graduate School of System Informatics, Kobe University/JST CREST

Abstract

Smart agriculture is an approach to agriculture where robotics and informa-

tion and communications technology (ICT) are integrated to conventional

farming to make the management more efficient. Although it is known that

cattle are social animals, the combination of ICT and their sociality has not

been thoroughly investigated. In this talk, we propose a method for com-

munity detection of cattle by using the GPS data and the latent variable

network models.

1 はじめに近年,農業従事者の高齢化や後継者不足を背景とし,スマートアグリカルチャーと呼ばれる,ロボット技術や情報通信技術の導入による農業の効率化に関する研究が注目されている.特に,放牧牛の管理に対する情報通信技術を活用した研究としては,既に,センサーなどを用いた健康状態の管理などが行われている.一方,牛は社会性をもつ動物であると言われており,コミュニティを形成することや,牛同士の間の序列の存在などが知られている.しかし,上述のような情報通信技術を活用した放牧牛の状態把握・管理に関する研究において,社会性に着目した研究はほとんど行われていない.

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本研究では,GPSを用いて放牧されている牛の位置情報を計測し,それを用いて放牧牛のコミュニティ解析を試みる.また,解析には潜在変数ネットワークモデルと呼ばれる統計的ネットワークモデルを用いるが,そのパラメータ推定手法における工夫についても紹介する.

2 GPSを用いた放牧牛のコミュニティ分析方針本研究の目的は,放牧牛に GPSを取り付け,その位置情報を用いてコミュニティ分析を行うことである.各GPSは継続的に位置座標を記録する.データはNMEA規格のRMC形式で保存され,特に,時刻,緯度,経度などの情報が 5秒ごとに記録される.これらを用いると,各時刻における牛の位置や互いの距離などを計算することができる.なお,日によっては全ての牛のデータが取得できない場合もあった.そのため,今回は,GPSを取り付けた全ての牛のデータが取得できた日に解析対象を限るものとした.本研究では,コミュニティ検出の大まかな方針として,まず,このようなGPSから取得できる情報を用いて牛同士のインタラクションを調査し,それをネットワークで表現する.そして,そのネットワークを解析することでコミュニティ検出を行う.解析対象とするネットワークは,以下のような方法で作成した.ネットワークは,無向グラフとして表すものとし,頂点を牛に対応させる.連れ添って移動している牛同士に交流があるものと仮定し,グラフの枝を,連れ添っていると判定された牛同士の間に設定した.具体的な設定方法は下記のとおりである.まず,注目する 2頭の牛ごと,各時刻ごとに,その時刻付近の微小時間における移動の様子を調べ,移動後の位置が適切に定めた閾値よりも近く,また,移動距離の差も,別途,定めた閾値よりも近い場合に,それら 2頭の牛が,その時刻に連れ添っているものと判定した.これを,ある一定の時間ごとに集計し,連れ添っていた時間が長い牛同士の間に枝を設定した.また,上述のように,牛には序列が存在し,今回は,序列の分かっている牛を解析の対象とした.i番目の牛の序列と j番目の牛の序列の差を rijと表すものとする.

3 潜在変数ネットワークモデルとそのパラメータ推定与えられたネットワークの中のコミュニティを検出する方法については,様々なものが提案されているが,ここでは,潜在変数ネットワークモデル [1]を用いるものとする.ただし,パラメータ推定の手法については,標準的な手法と少し異なるものを用いる.潜在変数ネットワークモデルは,ネットワークに対する,以下のような統計モデルである.まず,ネットワークの頂点数を固定し,その数をN と表すことにする.ネットワークにおける各頂点間に枝が存在するかどうかは,独立に確率的に定まるものと仮定される.より具体的には,Y = (yij)をネットワークを表す隣接行列とし,θをモデルのパラメータとするときP(Y | θ) = Πi,jP(yij | θ) が仮定される.潜在変数ネットワークモデルでは,各頂点 iは,隠れた空間に座標 zi ∈ Rkを持つと仮定し,この空間上で位置が近い場合に枝が発生しやすいようにモデル化される.一般に,交流を表すモデルにおいては,頂点 iと頂点 jの間,頂点 jと頂点 kに枝があるときには,頂点 iと頂点 kの間にも枝があることが多い.距離関数は三角不等式を満

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たすため,このモデルでは,このような性質をもつネットワークが発生しやすくなっている.さらに,ネットワークを可視化する際には,各頂点に自然な座標を与えることが難しいが,このモデルでは各頂点 iの座標が ziによって定められるため,自然に可視化することができる.また,以下に説明するように,各頂点 i,jの間の関係を表すデータXij が与えられている場合,その影響をモデルに取り込むこともできる.データは複数でも構わず,一般に,データの数を dとして,Xij ∈ Rpである.ただし,必ずしも与えなくても構わない.具体的には,P(yij | θ)は以下のように与えられる:

logodds(yij = 1 | θ) = ηij, ηij = α + β⊤Xij −Dij.

ただし,distを 2点間の距離を表す関数とし,Dij = dist(zi, zj)である.また,α,β,Z = (z1, . . . , zN)はパラメータであり,θ = (α, β, Z)である.なお,本研究では,2点間の距離としてユークリッド距離を用いる.モデルのパラメータ推定は,例えば,次のような手順にて行う.まず,Zの次元 kを,可視化が容易である k = 2, 3などに固定する.次に,本来,パラメータは α, β, Zであるが,対数尤度関数を α, β,D = (Dij)の関数とみる.すると,これは凹関数となり,最大化が容易である.そこで,α, β,Dについて最大化する.ただし,この結果,得られるD

については,対応するZが存在しないかもしれない.そこで,なるべくDが定める距離に近い配置をもつZを求め,それを初期値とする反復法などによってα, β, Zを動かして対数尤度を最大化する.本研究では,この方法を少し変更する.まず,ある kと,Z ∈ Rk が存在してDij =

∥zi − zj∥2となる行列はユークリッド距離行列と呼ばれる.ここで,∥ · ∥は,通常のユークリッド距離を表すものとする.ユークリッド距離行列の作る集合は,行列の作る空間の中の凸錐を定めることが知られている.また,ユークリッド距離行列かどうかの判定,および,ユークリッド距離行列であった場合に,対応するZを計算する効率のよいアルゴリズムも知られている.さらに,モデルを微修正し,

logodds(yij = 1 | θ) = ηij, ηij = α + β⊤Xij −√Dij.

とした場合にも,対数尤度関数はα, β,Dに関する凹関数となることが容易に確かめられる.そこで,Dをユークリッド距離行列の中に限定し,α, β,Dを変数として尤度を最大化することにする.ただし,標準的なパラメータ推定の方法と異なり,kは事前に固定するのではなく,得られたDを実現するZの次元として自動的に算出される.k > 3となる場合も多いため,Zを用いた可視化には工夫が必要となることがある.

4 モデルの解析結果実際に,放牧牛のネットワークに対して,上記のモデルを当てはめ,パラメータを推定した.なお,潜在変数ネットワークモデルのXijとしては,序列の差を表す変数 rijを用いた.データとしては,ある 1日分(0時 0分から約 24時間)のデータを約 3時間ごとに区切り,その中で連れ添ったと判定された時間が長い場合に枝を設定した.このようにして作成された 8個のネットワークについて,それぞれ,前節の方法にて潜在変数

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0時から 3時. 3時から 6時. 6時から 9時.

9時から 12時. 12時から 15時. 15時から 18時.

18時から 21時. 21時から 24時.

図 1: 3時間ごとの交流の様子を表したネットワークのコミュニティ分析と可視化結果.頂点の色は所属するコミュニティを,頂点の数字は序列を表す.

ネットワークモデルを当てはめた.その結果,得られた潜在座標を基準とするクラスタリングを行い,各クラスタをコミュニティと見なした.結果を可視化したものを図 1に示す.なお,可視化において,各頂点の座標は,潜在座標を計算する際に用いたユークリッド距離行列Dに対し,多次元尺度構成法によって 2次元平面上に配置することで計算した.結果の詳細については,講演の際に報告する.

謝辞 本研究は JSTさきがけ (JPMJPR16EC) および JST CREST(MJCR1682)の支援を受けている.

参考文献[1] P.D. Hoff, A. E. Raftery and M. S. Handcock.: Latent space approaches to social

network analysis. Journal of the American Statistical Association, 97 (2002) 1090–

1098.

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IMEX ルンゲークッタ法の安定性大野 博 1)

1) 茨城大学工学部

概要

IMEX ルンゲークッタ法 (implicit-explicit Runge-Kutta,IMEX RK)では, 絶対安定領域の陰的部分をA-安定に固定して, 陽的部分の安定領域を広くするには, 段数を多く取る必要がある. 我々は, IMEX RK法の陽的部分の安定領域を 4段までは正確に描く方法を提案した. (1,3,2)公式と (2,4,3)公式について, 公式のパラメータと絶対安定領域の関係を求め, 陽的部分の安定領域を広くできることを確かめた. この結果を利用して, (1,3,2)公式と (2,4,3)公式について, 精度のよい公式を決定する.

Stability properties for implicit-explicit Runge-KuttamethodsHiroshi Ono1)

1) College of Engineering, Ibaraki University

Abstract

It is known that a large number of stages are necessary to obtain high stability

for the implicit-explicit Runge-Kutta methods. We have confirmed that we

can obtain high stability for the (1,3,2) formula and (2,4,3) formula. We will

decide an accurate formula for the (1,3,2) formula and (2,4,3) formula.

1 はじめに常微分方程式の初期値問題

dy(t)

dt= f(y(t)) + g(y(t)), t ∈ [t0, T ],

y(t0) = y0,(1)

の数値解法を考える. ただし, 関数 f(y)と g(y)は, Rm → Rmという写像で必要な所まで滑らかとする. f は non-stiff , gは stiff部分を表す. このような微分方程式系の多くは, 偏微分方程式を空間方向について離散化し, 時間方向の常微分方程式に変換したときに現れる [4].

研究の背景を説明するために次の定義 1を与える.

定義 1 3つの数字の組 (s, s, p)を次のように定義する. sは陰的解法部分の段数, sは陽的解法部分の段数, pは数値解法全体の次数を表す.

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1997年から, IMEX RK法 (implicit-explicit Runge-Kutta methods)の陰的解法部分がA-

安定や L-安定性をもつ公式が提案された. U.Ascherらが, forward Euler法と backward

Euler法を組み合わせた forward-backward Euler(1,1,1)公式や修正オイラー法と 1段mid-

point公式を組み合わせた IMEX-midpoint(1,2,2)公式などを提案した [1]. S.Boscarino

らは, implicitly stiffly accurate(ISA)や globally stiffly accurate(GSA)な (4,4,2)公式と(4,5,2)公式と (7,8,3)公式を提案した [2]. G.Izzoらは, A-安定や L-安定な (6,6,3)公式と(8,8,4)公式を提案した [4]. 我々は, 国際会議ANODE 2018で, IMEX RK法の絶対安定領域の陰的部分をA-安定に固定したときの陽的部分の絶対安定領域を正確に描く方法を提案し, (1,3,2)公式と (2,4,3)公式の絶対安定領域の面積とパラメータの関係を示した [5].

ここでの目的は,上記の (1,3,2)公式と (2,4,3)公式について,精度がよい公式を決定する.

2 IMEX RK法N を自然数, ステップ幅を h = (T − t0)/N としたとき, 各時刻は ti = t0 + ih, i =

0, 1, · · · , N とかける. s段 IMEX RK法は次のように定義する [2, 4].

Yi = yn + hi−1∑j=1

aijFj + hi∑

j=1

aijGj, i = 1, 2, · · · , s

yn+1 = yn + h

s∑j=1

bjFj + h

s∑j=1

bjGj. (2)

ただし, Fj = f(Yj), Gj = g(Yj)とする. 上記の IMEX RK法 (2)の係数をブッチャー配列を使うと, 次のようにかける [2, 3, 4].

c1c2 a21c3 a31 a32...

......

. . .

cs as,1 as,2 · · · as,s−1

b1 b2 · · · bs−1 bs

≡c A

bT

,

c1 λ

c2 a21 λ

c3 a31 a32 λ...

......

. . .. . .

cs as,1 as,2 · · · as,s−1 λ

b1 b2 · · · bs−1 bs

≡c A

bT,

(3)

3 IMEX RK法の安定性解析テスト方程式を次のようにする.

y′ = λ0y + λ1y, λ0, λ1 ∈ C. (4)

75

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上記のテスト方程式を (2)に適用すると, 次の安定性関数R(z0, z1)が得られる.

yn+1 = R(z0, z1)yn, z0 = hλ0, z1 = hλ1,

R(z0, z1) = 1 + (z0bT+ z1b

T)(I− z0A− z1A)−1e =

P (z0, z1)

(1− λz1)s. (5)

ただし, P (z0, z1)は z0と z1の多項式である. 上記の安定性関数から IMEX RK法の絶対安定領域が定義できる.

定義 2 IMEX RK法の絶対安定領域を次のように定義する.

A =(z0, z1) ∈ C2 : |R(z0, z1)| ≦ 1

. (6)

陰的部分の絶対安定領域をA-安定や L-安定に固定して, 陽的部分の絶対安定領域を見るために, 次の定義を与える.

定義 3 次の領域を持つ IMEX RK法をA-安定な IMEX RK法とよぶ.

S =z0 ∈ C : |R(z0, z1)| ≦ 1 for ∀z1 ∈ C− . (7)

また, A-安定な IMEX RK法に次の条件を付け加えたものを, L-安定な IMEX RK法とよぶ.

limℜ(z1)≦0,|z1|→∞

|R(z0, z1)| = 0. (8)

4 国際会議ANODE 2018の結果と今回の課題A-安定なMidpoint(1,2,2)公式とL-安定なARG(2,3,3)公式の陽的部分を 1段増やして,

IMEX(1,3,2)公式と IMEX(2,4,3)公式の安定性を解析した [5]. それぞれ, A-安定性と次数を 2次と 3次を維持するためには, a3,2と c2の 2つがパラメータとなっている. 図 1と図 2は, ω = a3,2c2としたときの陽的部分の絶対安定領域 Sの面積と安定区間との関係を求めたものである. 図 1では, ω < 0.5のとき絶対安定領域と安定区間が連続的に変化するが, ω = 0.5付近のとき絶対安定領域が急激に変化する. 図 2では, ω < 0.7のとき絶対安定領域と安定区間が安定している. IMEX(1,3,2)公式で ω = 0.075のときは, 安定区間[−4.99997, 0]となる. IMEX(2,4,3)公式で ω = 0.156のときは, 安定区間 [−3.25806, 0]となる.

今回の課題としては, IMEX(1,3,2)公式ではω = 0.075, IMEX(2,4,3)公式ではω = 0.156

のとき, 精度のよい公式を決定する.

参考文献[1] U.Ascher, S.Ruuth, B.Wetton: Implicit-explicit Runge-Kutta methods for time-

dependent partial differential euations, Appl. Numer. Math. 25 (1997), 151–167.

76

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0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-8

-6

-4

-2

0

(0.064,-6.2)

(0.075,12.4)

Are

a

Re

al in

terv

al

ω

AreaReal

図 1: ωと安定領域の面積及び安定区間との関係

0

2

4

6

8

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5

-4

-3

-2

-1

0

(0.156,7.95)

(0.144,-3.45)

Are

a

Re

al in

terv

al

ω

AreaReal

図 2: ωと安定領域の面積及び安定区間との関係

[2] S.Boscarino, L.Pareschi: On the asymptotic properties of IMEX Runge-Kutta

schemes for hyperbolic balance laws, J. Comp. Appl. Math. 316 (2017), 60–73.

[3] J.C.Butcher: Numerical methods for ordinary differential equations, John Wiely &

Sons, 2003.

[4] G.Izzo, Z.Jackiewicz: Highly stable implicit-explicit Runge-Kutta methods, Appl.

Numer. Math. 113 (2017), 71–92.

[5] H.Ono: Stability properties for implicit-explicit Runge-Kutta methods, Auckland

Numerical Ordinary Differential Equations Conference, 2018.

77

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A remark on implementationof implicit Runge-Kutta methods

Taketomo MITSUINagoya University (Professor Emeritus)

[email protected]

Abstract

A fully-implicit Runge-Kutta method has been considered to be practicallyinferior to other established methods for numerical solution of IVP of ODEs.However, since it has superior properties like as stiffness-coping and symplec-ticness, its effective implementation can be studied furthermore. We will listproblems to implement the method towards a refined package.

1 Introduction

We are concerned with numerical algorithms in solving initial-value problem (IVP) ofordinary differential equations (ODEs). Let y(x) be the exact solution of the IVP ofdifferential equation given by

d y

d x= f(x, y) (a < x < b), y(a) = y0. (1.1)

Here f and y be functions [a, b]× Rd → R

n and [a, b]→ Rd, respectively.

Assumption 1 The function f is continuously differentiable.

We will take the step-points xn (n = 0, 1, . . . , N) with a fixed positive stepsize h.Hence h = (b−a)/N and xn = a+nh. A constructive way to give numerical solutions ofy(x) in a step-by-step manner is called a discrete variable method (DVM). The symbolyn stands for the approximation of y(xn) by the DVM. Since a Runge-Kutta method isa single-step scheme among DVMs, it can be programmed with two parts, namely, thesingle-step forwarding and its driver for the whole integration interval.

2 Implicit Runge-Kutta methods

When the differential equation (1.1) is stiff and symplectic, reliable numerical results areavailable only by implicit Runge-Kutta schemes. The scheme has implicitness throughthe stage values k1, k2, . . . , ks as⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩ki = f

(xn + cih, yn + h

s∑j=1

aijkj

)(i = 1, . . . , s),

yn+1 = yn + h

s∑i=1

biki.

(2.1)

The well-studied theory already established a family of series of implicit RK schemespossessing a strong stability as well as symplecticness. They are called the Gauß-Lgendre

78

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type, for the abscissae ci are taken from the roots of Legendre polynomial (shifted on[0, 1]) Ps(η). Then, other parameters aij and bi are determined uniquely so as tofulfill order (p = 2s) and stability conditions. For instance, the two-stage fourth orderimplicit RK is expressed in the following table.

1

2−√3

6

1

4

1

4−√3

6

1

2+

√3

6

1

4+

√3

6

1

4

1

2

1

2

(2.2)

The major implementation issue is, then, how to solve the simultaneous (nonlinear)equations with respect to k1, k2, . . . , ks effectively at each step. Section IV.8 of [2]suggests a useful re-formulation of (2.1). Let ηi temporarily stand for the quantityki − yn. Then (2.1) is expressed as⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩ηi = yn + h

s∑j=1

aijf(xn + cjh, ηj) (i = 1, . . . , s),

yn+1 = yn + hs∑

i=1

bif(xn + cih, ηi).

Introduction of Yi = ηi − yn leads⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Yi = h

s∑i=1

aijf(xn + cjh, yn + Yj) (i = 1, . . . , s),

yn+1 = yn + hs∑

i=1

bif(xn + cih, yn + Yi).

(2.3)

When we introduce the (s × d)-vector Y n = [Y1, Y2, . . . , Ys]T, the s-square matrix A =

(aij) and the s-vector b = [b1, b2, . . . , bs]T, the above equation can be written in the vector

form

Y n =

⎛⎜⎜⎜⎝

Y1

Y2...Ys

⎞⎟⎟⎟⎠ = h(A⊗ Id)

⎛⎜⎜⎜⎝

f(xn + c1h, yn + Y1)f(xn + c2h, yn + Y2)

...f(xn + csh, yn + Ys)

⎞⎟⎟⎟⎠ ≡ h(A⊗ Id)F (Y n) (2.4)

andyn+1 = yn + (bTA−1 ⊗ Id)Y n. (2.5)

The symbol ⊗ means the Kronecker product and Id stands for the identity matrix ofd-dimension. When the equation (2.4) is completely solved, the equation (2.5) holds,since the right-hand vector is equivalent to Y n.

One idea for solution of simultaneous nonlinear equations (2.4) is to apply the Newtoniteration, which requires the Jacobian matrix ∂f/∂y or its finite approximation. Anotheris to employ the fixed-point iteration

Y [+1]n = h(A⊗ Id)F (Y []

n ) ( = 0, 1, . . .)

79

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with the initial guess Y [0]n = (yn, yn, . . . , yn)

T, which appears to be easier and effectivebecause of the factor h in the right-hand side of (2.4). The size of h is usually smallerthan the unity. For instance, the coefficient matrix A = (aij) in (2.2) has the inverse

A−1 =

(3 −3 + 2

√3

−3− 2√3 3

)

andbTA−1 =

(−√3,√3).

Algorithm 1 shows an implementation of the two-stage Gauß-Legendre scheme alongthis line.

Algorithm 1 Single-step integration by two-stage Runge-Kutta of Gauß-Legendre type

Input x0,y0, hAllocate the constants tol, c1 ← (3−√3)/6, c2 ← (3 +

√3)/6,

a11 ← 1/4, a12 ← 1/4−√3/6, a21 ← 1/4 +√3/6, a22 ← 1/4

Arrange vectors y,Y 1,Y 2,Y 1,new,Y 2,new, f1, f2, err1 and err2

x← x0,y ← y0,Y 1 ← 0,Y 2 ← 0 and max err ← 1.0while max err > tol dobegin f 1 ← function(x+ c1 ∗ h,y + Y 1)

f2 ← function(x+ c2 ∗ h,y + Y 2)Y 1,new ← h ∗ (a11 ∗ f1 + a12 ∗ f2)Y 2,new ← h ∗ (a21 ∗ f1 + a22 ∗ f2)err1 ← Y 1,new − Y 1, err2 ← Y 2,new − Y 2

Y 1 ← Y 1,new, Y 2 ← Y 2,new

max err ← max(‖err1‖, ‖err2‖)end

y ← y +√3 ∗ (−Y 1 + Y 2)

x← x+ hOutput x as x0 + h and y as y(x0 + h)

3 Implementation issues

Usually, implicit Runge-Kutta methods (IRKs) are regarded to be inferior to other meth-ods, e.g., implicit linear multistep methods (LMMs) and backward differentiation formu-las (BDFs), with respect to computational efficiency. In fact, the software MATLAB c© isequipped with the packages ode15s, ode23s and ode23tb, whose bases are implicit LMsof orders 1 to 5, the modified Rosenbrock pair of orders 2 and 3 and implicit RK-typeof orders 2 and 3, respectively, for integration of stiff systems ([3]). However, ode23tb isindeed based on diagonally implicit Runge-Kutta (DIRK) 2 (3) pair given by the Butchertableau in Table 3.1 with γ = 2−√2, d = γ/2 and w =

√2/4 ([4]).

Hence, the scheme of the packages is not symplectic so that other schemes must besought in symplectic integration. The IRK of Gauß-Legendre type with the implemen-tation shown above can be competitive. One of its advantages is not to require the

80

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0 0 0 0γ d d 01 w w d

w w d

(1− w)/3 (3w + 1)/3 d/3

Table 3.1: DIRK pair for ode23tb

Jacobian (or an approximate Jacobian) matrix of f . To make it abreast with a modernsoftware package like as ode23tb and RADAU5 ([2]), the following problems must besolved.

1. Provides an error estimate without additional costs

2. Equipped with a sufficiently smooth interpolant for off-step values (continuousextension)

Remark: The modern textbook of numerical analysis (p.513 of [1]) claims:

Nowadays it is different. Since there are interpolation methods widelyimplemented for evaluating the numerical solution at any point, and itsderivative if we choose to ask for it, the distinction between an analyticsolution and a numerical solution is not so great. A numerical solutionneeds not just be a skeleton.

3. Automatic step-size control mechanism, for a step-size change is easy because ofits single step nature

References

[1] Corless, R. M. and Fillion, N., A Graduate Introduction to Numerical Methods,Springer-V. (2013).

[2] Hairer, E. and Wanner, G., Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff andDifferential-Algebraic Systems, 2nd revised ed., Springer-V. (1996).

[3] Higham, D. J. and Higham, N. J., MATLAB Guide, 2nd ed., SIAM (2005).

[4] Hosea, M. E. and Shampine, L. F., Analysis and implementation of TR-BDF2, Appl.Numer. Math., 20 (1996), 21 - 37.

81

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微分方程式の初期値問題に対するSinc-Nystrom法の誤差解析原 涼太 1) 岡山 友昭 1)

1) 広島市立大学大学院 情報科学研究科

概要

微分方程式の初期値問題に対する数値計算法として,Sinc-Nystrom法が提案されている.この方法は,指数的な収束性や stiffな問題に対する頑健性が数値的に観察されており,非常に有望であると考えられる.ただし,理論誤差解析はまだ行われていない.そこで本研究では,Sinc-Nystrom法に対する理論誤差解析を行う.

1 はじめに

本報告では,連立微分方程式の初期値問題

y′(t) = K(t)y(t) + g(t), y(0) = r (1)

に対する数値計算法を考える.ただしK(t)は(i, j)成分を kij(t)とするm×m行列で,y(t),

g(t), rはm次元ベクトルである.その 1つとして,Sinc-Nystrom法という方法が提案されている.これは Sinc不定積分と変数変換に基づく方法であるが,変数変換には2種類ある.1つはSE

(Single-Exponential)変換と呼ばれるもので,もう 1つはDE (Double-Exponential)変換と呼ばれるものである.Sinc-Nystrom法のうち,SE変換を用いたものは SE-Sinc-Nystrom法といい,DE変換を用いたものはDE-Sinc-Nystrom法という.SE変換と DE変換には,それぞれ s =

arcsinh(ex)と s = exp(x − e−x)を用いることが Nurmuhammad ら [4] によって提案されている.それに対し我々は,SE変換として s =

log(1+ex),DE変換としてs = log(1+eπ sinh(x))

を用いる方法を提案し,収束性能の向上や計算速度の改善を数値実験で確認した [2].ただし,これらの方法は,理論誤差解析は行

われていない.そこで本研究では,我々の SE-

Sinc-Nystrom法,DE-Sinc-Nystrom法に対する理論誤差解析を行う.本論文の構成は次の通りである.第 2 章で

は,微分方程式を解く際に用いる,半無限区間の Sinc不定積分について述べる.第 3章では,Sinc-Nystrom法について述べる.第 4章では,数値実験例を示す.第 5章では,結論を述べる.

2 半無限区間のSinc不定積分

ここでは,後に必要となる不定積分の近似法について述べる.関数 F (x)の不定積分を∫ ξ

−∞F (x)dx ≈

N∑j=−M

F (jh)J(j, h)(ξ) (2)

と近似する方法を Sinc不定積分と呼ぶ.ただし,ξ ∈ Rで,J(j, h)(x)は正弦積分 Si(x) =∫ x0 (sin t)/tdtを用いて次式で定義される:

J(j, h)(x) = h

1

2+

1

πSi

(π(x− jh)

h

).

また,半無限区間上の不定積分に対しても,適切な関数 p : R → (0,∞)を用いて

I(t) :=

∫ t

0f(s)ds =

∫ p−1(t)

−∞f(p(x))p′(x)dx

と変数変換し,F (x) = f(p(x))p′(x) として式 (2)を用いる方法が考えられる.具体的な変数変換として,Muhammad–Mori [3]は SE変換 s = ψ(x) = log(1 + ex)を考えている.この場合,I(t)を近似する具体的な式は

I(ψ)(t) :=

N∑j=−M

f(ψ(jh))ψ′(jh)J(j, h)(ψ−1(t))

と表される.また,Okayama [5]によって DE

変換 s = ϕ(x) = log(1 + eπ sinh(x))を用いることが提案されている.この場合,I(t)を近似する具体的な式は

I(ϕ)(t) :=N∑

j=−Mf(ϕ(jh))ϕ′(jh)J(j, h)(ϕ−1(t))

82

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と表される.これらの誤差評価を示すため,次の関数空間を導入する.

定義 2.1 αと β は正の定数とし,D は単連結な複素領域とする.このときLα,β(D)は,領域D で解析的であって,ある正の定数 cが存在して,任意の z ∈ D に対し,

|f(z)| ≤ c

∣∣∣∣ z

1 + z

∣∣∣∣α−1

|e−z|β

が成り立つような関数 f 全体と定義する.

定義 2.1を用いて,I(ψ)(t)と I(ϕ)(t)のそれぞれの誤差評価を次に示す.ただし,Dd = ζ ∈C : |Im ζ| < dである (d > 0).

定理 2.2 (Hara–Okayama [1, Theorem 2])

d, α, β はそれぞれ 0 < d < π, 0 < α ≤ 1,

β > 0を満たす定数とし,f ∈ Lα,β(ψ(Dd))とする.このとき µ = minα, βとし,M , N をM = n, N = ⌈(α/β)n⌉ (if µ = α),

N = n, M = ⌈(β/α)n⌉ (if µ = β)

で定め,刻み幅 hを h =√πd/(µn)と定める

と,nに依存しないある定数C1が存在して,次の評価が成り立つ:

supt∈(0,∞)

∣∣∣I(t)− I(ψ)(t)∣∣∣ ≤ C1e

−√πdµn.

定理 2.3 (Okayama [5, Theorem 3.5]) d,

α, β はそれぞれ 0 < d < π/2, 0 < α ≤ 1,

β > 0を満たす定数とし,f ∈ Lα,β(ϕ(Dd))とする.このとき µ = minα, βとし,M , N を

M = n, N = n− ⌊log(β/α)/h⌋(if µ = α),

N = n, M = n− ⌊log(α/β)/h⌋(if µ = β),

で定め,hを h = log(2dn/µ)/nで定めると,nに依存しない定数 C2 が存在して,次の評価が成り立つ:

supt∈(0,∞)

∣∣∣I(t)− I(ϕ)(t)∣∣∣

≤ C2log(2dn/µ)

ne

−πdnlog(2dn/µ) .

3 Sinc-Nystrom法

3.1 SE-Sinc-Nystrom法

まず,式 (1)を積分によって変形することで,

y(t) = r +

∫ t

0K(s)y(s) + g(s)ds (3)

が得られる.式 (3)の積分を定理 2.2を用いて近似することを考え,l =M +N + 1として

y(l)(t) = r +

N∑j=−M

K(ψ(jh))y(l)(ψ(jh))

+ g(ψ(jh))ψ′(jh)J(j, h)(ψ−1(t)) (4)

を満たす近似解 y(l)(t) を求める.未知係数y(l)(ψ(jh)) の値を求めるため,式 (4) を t =

ψ(ih) (i = −M, −M + 1, . . . , N)でサンプリングすると,連立 1次方程式

(Im ⊗ Il − Im ⊗ hI(−1)l D

(ψ)l [K(ψ)

ij ])Y (ψ)

= R+ Im ⊗ hI(−1)l D

(ψ)l G(ψ) (5)

が得られる.ただし,Im, Ilはそれぞれm次とl次の単位行列で,I(−1)

l は (i, j)成分が

(I(−1)l )ij =

1

2+

1

πSi (π(i− j))

(i, j = −M, −M + 1, . . . , N)

で定義される l × l 行列であり,⊗はクロネッカー積である.また,D(ψ)

l とK(ψ)ij は

D(ψ)l = diag[ψ′(−Mh), . . . , ψ′(Nh)],

K(ψ)ij = diag[kij(ψ(−Mh)), . . . , kij(ψ(Nh))]

で定義される l × l 対角行列で,[K(ψ)ij ] は

K(ψ)ij (i, j = 1, . . . ,m) を並べたブロック行列を表す.さらに,R, Y (ψ), G(ψ)は

R =[r1, . . . , r1, r2, . . . , r2, . . . , rm, . . . , rm]T,

Y (ψ) =[y(l)1 (ψ(−Mh)), . . . , y

(l)1 (ψ(Nh)),

. . . , y(l)m (ψ(−Mh)), . . . , y(l)m (ψ(Nh))]T,

G(ψ) =[g1(ψ(−Mh)), . . . , g1(ψ(Nh)),

. . . , gm(ψ(−Mh)), . . . , gm(ψ(Nh))]T

83

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で定義される lm次元ベクトルである.右上の(ψ) が変数変換 ψ に対応している.式 (5) を解くことで,y(l)(ψ(jh)) の値が求まり,近似解 y(l)(t) が式 (4) で定まる.これが SE-Sinc-

Nystrom法である.本研究は,この方法に対し誤差解析を行い,次のような結果を得た.

定理 3.1 βは正の定数とし,αと dはそれぞれ0 < α ≤ 1, 0 < d < π を満たす定数とする.関数 kij (i, j = 1, . . . , m) は領域 ψ(Dd) で解析的かつ有界であるとし,yi と gi は関数空間Lα,β(ψ(Dd))に属するとする.さらに,連立 1

次方程式 (5)の係数行列を

An = Im ⊗ Il − Im ⊗ hI(−1)l D

(ψ)l [K(ψ)

ij ]

とし,Anは逆行列を持つとする.このとき,連立 1次方程式を解いて得られる式 (4)の近似解y(l)の誤差は,nに依存しないある定数C, Cを用いて次のように評価できる:

max1≤i≤m

sup

t∈(0,∞)

∣∣∣yi(t)− y(l)i (t)

∣∣∣≤ (C + C||A−1

n ||∞√n)e−

√πdµn.

3.2 DE-Sinc-Nystrom法

ここでは式 (3)の積分を定理 2.3を用いて近似することを考える.このとき,式 (4)に対応する式は

y(l)(t) = r +N∑

j=−MK(ϕ(jh))y(l)(ϕ(jh))

+ g(ϕ(jh))ϕ′(jh)J(j, h)(ϕ−1(t)) (6)

となる.また,式 (5)に対応する式は

(Im ⊗ Il − Im ⊗ hI(−1)l D

(ϕ)l [K(ϕ)

ij ])Y (ϕ)

= R+ Im ⊗ hI(−1)l D

(ϕ)l G(ϕ) (7)

となる.式 (7)を解くことで,y(l)(ϕ(jh))の値が求まり,近似解 y(l)(t)が式 (6)で定まる.これがDE-Sinc-Nystrom法である.本研究はこの方法に対しても誤差解析を行い,次のような結果を得た.

定理 3.2 βは正の定数とし,αと dはそれぞれ0 < α ≤ 1, 0 < d < π/2を満たす定数とする.関数 kij (i, j = 1, . . . , m)は領域 ϕ(Dd)で解析的かつ有界であるとし,yi と gi は関数空間 Lα,β(ϕ(Dd))に属するとする.さらに,連立1次方程式 (7)の係数行列を

Bn = Im ⊗ Il − Im ⊗ hI(−1)l D

(ϕ)l [K(ϕ)

ij ]

とし,Bnは逆行列を持つとする.このとき,連立 1次方程式を解いて得られる式 (6)の近似解y(l)の誤差は,nに依存しないある定数C, Cを用いて次のように評価できる:

max1≤i≤m

sup

t∈(0,∞)

∣∣∣yi(t)− y(l)i (t)

∣∣∣

≤ (C + C||B−1n ||∞n)

log(2dn/µ)

ne

−πdnlog(2dn/µ) .

4 数値実験

次の 2つの例題を考える.

例題 4.1 [1, Example 1](y′

z′

)=

(−2 e−t

0 −1

)(y

z

),

(y(0)

z(0)

)=

(0

1

)例題 4.2 [4, Example 3](y′

z′

)=

(998 1998

−999 −1999

)(y

z

),

(y(0)

z(0)

)=

(1

0

)例題 4.1,例題 4.2に対し,式 (4)と式 (6)を用いた計算結果をそれぞれ図 1と図 2に示す.また,例題 4.1,例題 4.2の ||A−1

n ||∞と ||B−1n ||∞をプ

ロットしたものを図 3と図 4に示す.いずれの問題でも ||A−1

n ||∞や ||B−1n ||∞は急激に増大はし

ておらず,SE-Sinc-Nystrom法ではO(e−c√n),

DE-Sinc-Nystrom法では O(ecn/ log√n)の収束

性が観察される.

5 結論

本研究では,連立微分方程式の初期値問題に対する数値計算法として,Sinc-Nystrom法を考え

84

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1.0e-016

1.0e-014

1.0e-012

1.0e-010

1.0e-008

1.0e-006

1.0e-004

1.0e-002

1.0e+000

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Max

imum

Err

or

l

SE-Sinc (α=β=1, d=3)DE-Sinc (α=β=1, d=1.5)

図 1: 例題 4.1に対するSinc-Nystrom法の誤差.

1.0e-016

1.0e-014

1.0e-012

1.0e-010

1.0e-008

1.0e-006

1.0e-004

1.0e-002

1.0e+000

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Max

imum

Err

or

l

SE-Sinc (α=β=1, d=3)DE-Sinc (α=β=1, d=1.5)

図 2: 例題 4.2に対するSinc-Nystrom法の誤差.

た.Sinc-Nystrom法は,指数的な収束性や stiff

な問題に対する頑健性が数値実験により観察されていたが,理論誤差解析が行われていなかった.そこで,本論文では理論誤差解析を行った.今後の課題は,計算時間の改善が挙げられる.

Sinc不定積分には,正弦積分関数 Si(x)が用いられているが,Si(x)は特殊関数であるため,計算時間が多くかかってしまう.そこで,この特殊関数を用いず,初等関数のみで表すことができれば計算時間が改善できると考えられる.

参考文献

[1] R. Hara and T. Okayama: Explicit error

bound for Muhammad–Mori’s SE-Sinc in-

definite integration formula over the semi-

infinite interval, Proc. of NOLTA2017,

677–680, 2017.

2

3

4

5

6

7

8

9

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Infi

nity

Nor

m

l

SE-Sinc (α=β=1, d=3)DE-Sinc (α=β=1, d=1.5)

図 3: 例題 4.1の ||A−1n ||∞と ||B−1

n ||∞.

2

3

4

5

6

7

8

9

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Infi

nity

Nor

m

l

SE-Sinc (α=β=1, d=3)DE-Sinc (α=β=1, d=1.5)

図 4: 例題 4.2の ||A−1n ||∞と ||B−1

n ||∞.

[2] R. Hara and T. Okayama: Improvement

of Sinc-Nystrom methods for initial value

problems, Proc. of NOLTA2018, to ap-

pear.

[3] M. Muhammad and M. Mori: Double ex-

ponential formulas for numerical indefi-

nite integration, J. Comput. Appl. Math.,

161 (2003), 431–448.

[4] A. Nurmuhammad, M. Muhammad and

M. Mori: Numerical solution of initial

value problems based on the double expo-

nential transformation, Publ. RIMS, Ky-

oto Univ., 41 (2005), 937–948.

[5] T. Okayama: Error estimates with ex-

plicit constants for Sinc quadrature and

Sinc indefinite integration over infinite in-

tervals, Reliab. Comput., 19 (2013), 45–

65.

85

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ピタゴラス三体問題の高精度計算平山 弘

神奈川工科大学 自動車システム開発工学科

概要

ピタゴラス三体問題 (Baurrau’s problem)は、1913年にブラウ (C.Burrau)によって研究され、1967年にエール大学のサブヘイ [5]らによって、Levi-Civita

変換を利用して数値計算によって解決された。

本論文では、高精度(4倍精度)で、高次(24次)の Taylor展開法を使えば、特別な変換を使わないで、高精度な計算結果を得ることができる。

High Precision Computationcalculation ofPythagorian Three Body Problem

Hiroshi HIRAYAMAKanagawa Instiyute of Technology

Abstract

The Pythagorean problem of three bodies(Baurrau’s problem) is studied by

C.Burrau in 1913. By Szebehely[5], Yale University in 1967, using Levi-Civita

transformation, it was solved by numerical computation.

In this paper, it is shown that it’s possible to get a highly precise calculation

result with higer order Taylor series method of high precision (the quadruple

precision) without a special change.

1 はじめに常微分方程式の数値解法にはEuler法やRunge-Kutta法などの陽的計算法 [1]を利用することが一般的である。これらの方法で、次のような初期値問題の微分方程式を考える。

y′ = f(x,y) y(x0) = y0 (1)

この問題を解くために、よく使われる公式が次の 4段 4次のRunge-Kutta公式である。

k1 = f(xn,yn)

k2 = f(xn +h2,yn +

h2k1)

k3 = f(xn +h2,yn + a31hk1 +

h2k2)

k4 = f(xn + h,yn + hk3)

yn+1 = yn +h6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

(2)

86

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常微分方程式で記述された大規模なシステムを長時間に渡り高精度で計算することが求められている。これらの方法では計算次数が限定され長時間高精度の計算は非常に難しくなる。このような問題に対し、任意次数、可変ステップの計算方法であるTaylor 展開法が最も適していると思われる。

-

6

u u

u

m5(1,−1)m4(−2,−1)

m3(1, 3)

x

y

図 1: ピタゴラスの三体問題の初期状態

本論文では、ひとつの例として、天文学上の三体問題をTaylor展開法を使って解き、計算精度を調べ、Taylor展開法の性能を調べた。計算する常微分方程式として、解くのが難しいとされるピタゴラスの三体問題 [3]を選択した。ピタゴラスの三体問題とは、辺長 3,4,5 の直角三角形の頂点の位置に、それぞれの対辺長に比例する質量 3,4,5 の質点を図 1のように静止状態で配置し、その状態を初期条件として、これらの質点が相互の引力によって、この後どう運動するかを追及する問題である。質点m3 、m4 間の距離を r34 というように定義すると

r34 =√

(x3 − x4)2 + (y3 − y4)2 r35 =√

(x3 − x5)2 + (y3 − y5)2 r45 =√

(x4 − x5)2 + (y4 − y5)2

(3)

これらを用いて運動方程式と初期条件を書くと、次のようになる。

d2x3

dt2= 4(x4−x3)

r334+ 5(x5−x3)

r335

d2y3dt2

=4(y4 − y3)

r334+

5(x5 − x3)

r335d2x4

dt2= 3(x3−x4)

r334+ 5(x5−x4)

r345

d2y4dt2

=3(y3 − y4)

r334+

5(x5 − x4)

r345(4)

d2x5

dt2= 3(x3−x5)

r335+ 4(x4−x5)

r345

d2y5dt2

=3(y3 − y5)

r335+

4(x4 − x5)

r345

x3 = 1, x′3 = 0, y3 = 3, y′3 = 0, x4 = 1, x′

4 = 0, y4 = −1, y′4 = 0, x5 = 1, x′5 = 0, y5 = −1, y′5 = 0

以下の計算には、コンパイラとして、Visual Studio 2015 C++、計算機としてショップブランド・コンピュータ (Intel Core i7 7700K 4.2GHz)を利用した。

2 常微分方程式の解のTaylor展開ここでは簡単に、常微分方程式のTaylor展開法について簡単に説明する。高階の常微

分方程式は一般性を失うことなしに1階微分方程式に書けるので、方程式、初期条件は(1)の形を持つものとする。ここで、f 、yは、一般にベクトル関数で、十分なめらかで必要な回数だけ微分可能とする。初期条件の y0は定数ベクトルである。このような微分方程式は、次の Picardの逐次近似法 [4]によって解くことができる。

y0(x) = y0 yk+1(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t,yk(t))dt

87

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Taylor展開式を上の式の被積分関数に代入し、被積分関数をTaylor展開する。Taylor級数は、k回目の反復計算の場合、k次までTaylor展開 [2]する。その k次のTaylor展開を積分し、定数項 y0を加えて k + 1次の解を求める。例として次の簡単な常微分方程式を解く。

dy

dx= 1 +

√y y(0) = 1

初期条件から y0(x) = 1であるから、これを picardの逐次近似式に 2回繰り返すと

y1(x) = 1+

∫ x

0

(1+√1)dt = 1+2x  y2(x) = 1+

∫ x

0

(1+√1 + 2t)dt = 1+2x+0.5x2+O(x3)

となる。被積分関数は 0次の定数となり、最終計算結果は 1次式になる。さらにこの結果を、Picardの逐次近似式に代入して計算する。被積分関数は展開し 1次式まで取る。1 + 2xとなる。これを積分して、計算するととなる。この計算を必要な回数行えば、任意の次数のTaylor展開式が得られる。このTaylor展開式を利用して、次のステップにおける関数値を計算する。次のステップの幅を hとすると、y(h)を計算する。この値を、次のステップの初期値として、これまでの方法と同様にしてさらに次のステップの関数値を求める。これを繰り返して解く。ここでは、Picardの逐次近似法を使って計算したが、Taylor展開式の係数を計算する方法としては、Picardの逐次近似法は、級数展開法と同じ計算になる。

3 三体問題の数値計算方程式 (5)を初期条件を n次のTaylor級数を利用して解いた。刻み幅 hは、最高次数

項の係数の絶対値が要求精度 ϵより小さくなるように決定した。最高次数項の係数がゼロの場合は、その一つ次数の低い項の係数を使う。今回の計算では、24次のTaylor展開式 (n = 24)を利用し、要求精度 ϵ = 10−28 として

計算した。その結果の小数点以下 13桁を表 1に示す。この計算結果は長沢、桧山 [3] のLevi-Civita変換を利用して計算した結果と精度の範囲で完全に一致する。

表 1: 3天体の座標t x3 y3 x4 y4 x5 y5

0.0 1.0000000000000 3.0000000000000 -2.0000000000000 -1.0000000000000 1.0000000000000 -1.000000000000020.0 3.0042926366964 0.5119252350247 -1.3886265375109 -0.4704760502527 -0.6916743520091 0.069225699187440.0 -0.6220036918011 1.8583181578998 0.1735445568164 -2.3684104432832 0.2343665696275 0.779737459886760.0 0.7438075001181 1.9399479510949 0.2640103346863 -0.7316243948700 -0.6574927678199 -0.578669254760980.0 12.4474428920319 36.6423087251151 -3.5558667150022 -12.3547812055635 -4.6237723632174 -12.1015602706182

この計算結果を確かめるために、最終時間 tの時点で速度を逆転 (v = −v)させて、同じ経路を逆に計算し、初期値にどの程度戻るかを計算した。初期条件から t = 80まで計算した。最大刻み幅 hmax = 0.1362、最小刻み幅 hmin =

1.7092× 10−7で 10633回Taylor展開を計算する必要があった。その時点の速度の符号を

88

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変えた値を初期値として t = 0 まで計算した。この計算には 10635回Taylor展開する必要があった。Taylor展開の計算回数はほぼ同じだが、逆計算の方が 2回多かった。ここで計算した初期値と元の初期値との差は最大で 2.23× 10−18で約 17桁一致した。この結果から計算は 17桁程度正しいと思われる。計算途中のエネルギーは、初期のエネルギーE = −769

60との相対誤差は、最大で 1.2×

10−26であった。ほぼ 25桁の精度でエネルギーが一定であった。他の保存量より精度良くエネルギー保存則が成りたっていることがわかる。物体が最接近する時間と距離を計算する。計算途中で、t = 15.829920付近で、物体 4

と物体 5の距離 r45が最小になることがわかるので、この時点で r45を時間のTaylor展開式を計算する。

r45 = 4.1403× 10−4 − 4.7226t+ 2.6220× 107t2 + · · · − 1.6455× 10128t24 

定数項は 4.1403728× 10−4と小さいが、24次の係数は−1.6455306× 10128 と非常に大きな数値なる。このことから、刻み幅 hは非常に小さく採る必要があることがわかる。これを微分し、その逆関数のTaylor展開式を計算する。逆関数から、r45の最小値を求めると、t = 15.8299202715809のとき最小になり、r45 = 4.13824836258701× 10−4となる。Szebehelyの結果 (t = 15.8230, r45 = 4× 10−4)を高精度することができた。

4 まとめピラゴラスの 3体問題を Levi-Civita変換などの座標変換を行わないで高次公式と 4倍

精度数を使うことによって、十分な精度で計算出来た。今回はピラゴラスの 3体問題についての計算であるが、この方法は、精度良く解き難い多くの常微分方程式を高精度で十分な精度で解くことができると思われる。Taylor展開法は、容易に高次の計算が可能で、Runge-Kuttaにはない特徴でこのよう

な問題には最適と思われる。

参考文献[1] Hairer E., Wanner G., Solving Ordinary Differential Equations II, Springer-Verlag,

1991

[2] 平山弘, 小宮聖司、佐藤創太郎、Taylor 級数法による常微分方程式の解法, 日本応用数理学会、Vol 12. No.1, 1–8,(2002)

[3] 長沢工、桧山 澄子:パソコンで見る天体の動き、地人書館 (1992)

[4] 佐野理, キーポイント微分方程式, 岩波書店, 東京, (1993)

[5] Szebehely, V., Burrau’s Problem of Three Bodies, Proceedings of the National

Academy of Sciences of the United States of America, vol. 58, Issue 1, 60-65(1967)

89

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高次元力学系におけるホモクリニック軌道に関する精度保証法に向けて

新田 光輝 1) 山本 野人 1)

1) 電気通信大学

概要

本講演では、ホモクリニック軌道の精度保証を行う際に必要となる、ある超平面上での不安定多様体の同定を行うための精度保証法を提案する。本手法は扱う問題の次元に依存しない方法となっている。また、実際に本手法を 4

次元の連続力学系に適用した数値例についても紹介する。

On numerical verification of homoclinic orbitsin high dimensional dynamical systems

Koki Nitta 11) Nobito Yamamoto 1)

1) The University of Electro-Communications

Abstract

We propose a numerical verification method to identify unstable manifold in

high dimensional dynamical systems. Futhermore, we show results of numer-

ical experiments.

1 はじめに近年、精度保証付き数値計算を力学系分野に応用した研究が盛んに行われており、ホモクリニック軌道の存在証明などがその例である [1]。しかし、既存の方法はR3以下の系に対してのみ適用できるものがほとんどである。そこで、本研究ではより高次元の力学系に対しても適用可能なホモクリニック軌道の存在検証のための精度保証法の開発に向けて、特に不安定多様体の捕捉を行う精度保証法に焦点を絞りその開発を行う。また、実際に R4の連続力学系に対して本手法を適用し、その有用性を確かめる。

2 問題設定次の自励系常微分方程式

dx

dt= f(x), x,f ∈ Rn, t ∈ R (1)

により記述される連続力学系を考える。また、この系が

90

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• 双曲型平衡点 x∗を持つこと

• x∗における Jacobi行列が実部負の固有値を ν個、実部正の固有値を n− ν個持つこと

を仮定する。特に 2つ目の仮定は x∗の安定多様体の次元が ν、不安定多様体の次元がn− νであるということを意味している。

3 Lyapunov関数Lyapunov関数とは平衡点 x∗の近傍で定義される次の条件

L(x∗) = 0,

dL(x)

dt< 0, ∀x ∈ DL\x∗

を満たす関数Lであり、平衡点周辺における解析において有効な道具であると言われている。本研究ではx∗周辺における二次形式により記述される Lyapunov関数を精度保証により構成し [2]、これを利用している。

4 ホモクリニック軌道の存在検証のための精度保証法の構成方針

2節の問題設定の下、式 (1)で表される連続力学系のホモクリニック軌道の精度保証法の構成方針について記述する。

1. 考えている系に n − ν個のパラメータを導入し、パラメータ領域Dp ⊂ Rn−ν を設定する。また、パラメータに依らない n次元空間中の ν次元領域 γを設定する。γ

の定め方は講演時に述べる。

2. 平衡点 x∗近傍に精度保証により Lyapunov関数を構成し、これを用いて γ上の不安定多様体の点x0 ∈ γの同定を行う。なお、平衡点x∗はパラメータに依存しないものとする。

3. x0を初期点とし、Lyapunov関数の 0レベルセットである L−1(0)に至るまでの軌道 φ(T (x0),x0)を精度保証を用いて計算する。

4. パラメータを変化させると φ(T (x0),x0(p))が変化する。x∗ = φ(T (x0),x0(p))を満たすある p ∈ Dpが存在することをBrouwerの一致点定理により示す。そのためには写像度の計算が必要になるが、これについても講演時に述べる。

以上が検証できれば、不安定多様体上の点から出発し、平衡点に至る軌道、すなわちホモクリニック軌道を持つようなパラメータの存在範囲の同定を行うことができることになる。本講演では上記手順の 1,2を行う精度保証法を提案する。

91

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5 不安定多様体の捕捉手順以下では不安定多様体の捕捉を行う精度保証法について記述する。なお、ここで言う捕捉とは γにおける不安定多様体の通過範囲を同定することを意味する。B0, B1を ν次元単位球、S0, S1をその境界とし、以下の手順を実行する。

1. 近似的なホモクリニック軌道を持つようなパラメータ p ∈ Dpを一つ固定する。以下そのパラメータを用いて計算を行う。

2. 通常の浮動小数点演算により近似ホモクリニック軌道を計算し、近似ホモクリニック軌道上の点のうち、γに属する点を xとする。

3. γ上に中心 x、半径 rの ν次元球B(x, r)を考える。

4. Φ0 : B0 → B(x, r)を同相写像とする。

5. B(x, r)の境界 ∂Bを適当な区間 [∂B1], [∂B2], . . . , [∂Bk]に分割する。

6. 各区間毎に常微分方程式を時間逆向きに L−1(0)まで計算する。軌道計算によるB(x, r)と L−1(0)の対応を F1 : B(x, r) → L−1(0)とする。F1は連続写像となる。

7. ある超平面ΓA ⊂ Rνを考え、射影PA : Rn → ΓAを考える。ただし、PAx = PAx∗ ⇒

x = x∗を満たすように ΓA, PAを定める。ΓA, PAの具体的な構成法は講演時に述べる。

8. 平衡点の ΓA への射影を y∗ := PAx∗ ∈ ΓA とし、中心 y∗、半径 ϵ の ν 次元球

B(y∗, ϵ) ⊂ ΓA を考え、連続写像 F2 : ΓA ∋ PAF1(x) 7→ y ∈ B(y∗, ϵ)を定義する。ただし、F2は retractionとなるように定める。F2の具体的な構成法は講演時に述べる。

9. Φ1 : B(c∗, ϵ) → B1を同相写像とする。ただし、c∗をB1の中心に移すものとする。

10. 連続写像 F をΦ0, F1, PΓA, F2,Φ1の合成として F = Φ1 F2 PΓA

F1 Φ0により定義する。その定義域をS0に制限した写像をFSとすると、FSはSν−1上の連続写像である。

11. 連続写像 FSに対して、FS(S0) ⊂ S1であることと写像度 [3]degFSが degFS = 0であることを精度保証により検証する [4]。

以上が確認できればBrouwerの一致点定理により、F は平衡点x∗のPAによる射影を像とする写像Gと一致点を持つ。このことから

F2 PA F1(x) = PAx∗

となる x0 ∈ B(x, ϵ)が存在する。さらに F2が retractionであることから

PA F1(x0) = PAx∗

92

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が言え、PAの定め方より

F1(x0) = x∗

で、F1は解軌道に沿った写像であるから x0は不安定多様体上の点となる。また不安定多様体の通過領域X0は

X0 = B(x, r)

となる。上記の手順を実際にR4の連続力学系に対して適用し、不安定多様体の捕捉を行った。その結果については講演時に述べる。

6 まとめと今後の課題高次元力学系の不安定多様体の捕捉を行うための精度保証法を提案し、数値例を通しその有用性を確認した。今後の課題として、高次元力学系におけるホモクリニック軌道の存在検証を行うための精度保証法を完成させることが挙げられる。その実現に向けて、

• パラメータを区間値にして不安定多様体の捕捉に関する数値実験を行うこと

• 平衡点がパラメータに依存する場合に本手法を拡張すること

などが必要であると考えられる。

参考文献[1] 山野駿,“連続力学系におけるホモクリニック軌道の精度保証による検証について”,修士論文, 電気通信大学, 2016.

[2] Kaname Matsue, Tomohiro Hiwaki, Nobito Yamamoto. “On the construction of

Lyapunov functions with computer assistance”, Journal of Computational and

Applied Mathematics, vol319, 2017, pp385-412

[3] 河田敬義,“位相数学”,共立出版,1956.

[4] 新田光輝, 松江要, 小林健太, 山本野人,“精度保証付き数値計算による写像度の計算手法の提案”, 第 46回数値解析シンポジウム予稿集, 2017.

93

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Fast verified numerical computation for the minimalnonnegative solution of the nonsymmetric algebraic

Riccati equationShinya Miyajima

Faculty of Science and Engineering, Iwate University

Abstract

A fast iterative algorithm is proposed for numerically computing an intervalmatrix containing the minimal nonnegative solution of the nonsymmetricalgebraic Riccati equation associated withM -matrix. This algorithm involvesonly cubic complexity per iteration, and moreover verifies the uniqueness ofthe contained solution.

1 Introduction

In this talk, we consider the nonsymmetric algebraic Riccati equation (NARE)

F (X) := XCX −XD − AX +B = 0, (1)

where A ∈ Rm×m, B ∈ Rm×n, C ∈ Rn×m and D ∈ Rn×n are given, X ∈ Rm×n is to besolved, and

K :=

[D −C−B A

](2)

is an M -matrix.For A,B ∈ Rm×n with A = (Aij) and B = (Bij), A ≤ B means Aij ≤ Bij, ∀i, j.

We can then define positive and nonnegative matrices. A matrix A ∈ Rn×n is called aZ-matrix if Aij ≤ 0, ∀i = j. It is clear that any Z-matrix can be written as µI − Bwith B ≥ 0, where I is the identity matrix. A Z-matrix µI − B is an M -matrix ifµ > ρ(B), where ρ(B) is the spectral radius of B. We say A has the M -property if A isan M -matrix.

The NARE of this type appears in fluid queues models and transport equations [1].The solution of practical interest in these applications is the nonnegative matrix Xmin

which satisfies Xmin ≤ X for any other nonnegative solution X. The solution Xmin

is called the minimal nonnegative solution. Conditions for the existence of Xmin andnumerical algorithms for computing Xmin are extensively studied (see [1, 2], e.g.).

The work presented in this talk addresses the problem of verified computation forXmin, specifically, computing an interval matrix which is guaranteed to contain Xmin.While there are well-established verification algorithms for continuous and discrete timealgebraic Riccati equations, less attention has been paid to (1). To the author’s bestknowledge, [3] is the only literature which mentions the verification algorithm for (1).On the other hand, [3] treats a special case only. The equation (1) may be written asnonlinear systems in Rmn, so that the verified computation of a solution to (1) seems tobe possible by executing a known algorithm for nonlinear systems. On the other hand,

94

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this approach does not say that the contained solution is Xmin, and involves O(m3n3)operations, which is prohibitively large for large m and n.

The purpose of this talk is to propose an iterative algorithm for computing an intervalmatrix containing Xmin. This algorithm requires only O(m2n + mn2) operations periteration, and moreover verifies that the solution contained in the interval is unique. Wedo not assume but prove the M -property of K.

For M ∈ Rm×n, let M:j be the j-th column of M , |M | := (|Mij|), MT := (Mji),∥M∥ := maxi,j |Mij| and vec(M) := [MT

:1 , . . . ,MT:n]

T . If m = n in particular, letdiag(M) := [M11, . . . ,Mnn]

T . For v ∈ Rn, vi denotes the i-th component of v and∥v∥ := maxi |vi|. Let ./ and ⊗ be the pointwise division and Kronecker product, respec-tively. Let e := [1, . . . , 1]T with proper dimension. For C,R ∈ Rm×n with R ≥ 0, ⟨C,R⟩denotes the real interval matrix whose midpoint and radius are C and R, respectively.For a Frechet differentiable matrix function F (X) where X ∈ Rm×n, denote the Frechetderivative of F at X applied to the matrix H by F ′

X(H). The notation fl(·) denotesa rigorous lower bound for the inside of the parenthesis obtained by rounding modecontrolled floating point computations.

2 Verification theory

Suppose K in (2) is a Z-matrix and Kii > 0, ∀i. As shown in [2], (1) has the minimalnonnegative solution Xmin if K is an M -matrix. Taking this into account, we first discussproving the M -property of K. Since Kij ≤ 0, ∀i = j and Kii > 0, ∀i, so are A and D.We thus split A and D such that A = A1 −A2 and D = D1 −D2, where A1 and D1 arediagonal with (A1)ii = Aii and (D1)ii = Dii, ∀i, respectively. Then, (A1)ii, (D1)ii > 0, ∀iand A2, D2 ≥ 0. The M -property can be verified by

Lemma 1 Assume K in (2) is a Z-matrix and Kii > 0, ∀i. Let A1, A2, D1 and D2 beas the above, v(0) ∈ Rm+n be positive, and

T :=

[D1 00 A1

], S :=

[D2 CB A2

].

Consider the iteration: for k = 0, 1, . . . ,

v(k+1) = T−1Sv(k), v(k+1)i =

v(k+1)i (v

(k+1)i = 0)

v(k)i (v

(k+1)i = 0)

, i = 1, . . . ,m+ n. (3)

If ∥v(k+1)./v(k)∥ < 1 for at least one k, then K is an M-matrix.

Remark 1 In practical execution of the iteration (3), setting v(0) = e does a good job.Similar can be said to the iterations (4) and (5).

We now discuss the way for computing a real interval matrix X containing a solutionX∗ to (1). The verification of X∗ = Xmin and the uniqueness will be discussed later. LetX ≥ 0 be a numerically computed approximation to Xmin. From

F (X +H) = F (X)− (A−XC)H −H(D − CX) +HCH,

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we haveF ′X(H) = −(A−XC)H −H(D − CX).

If F ′X(H) is invertible, we can define the Newton operator N(X) := X − (F ′

X)−1(F (X)),

and N(X) = X is a fixed point equation for X. For computing X, we thus verify theinvertibility of F ′

X(H) and inclusion N(X) : X ∈ ⟨X, R⟩ ⊆ ⟨X, R⟩ for given R ∈ Rm×n

with R > 0. If these are true, the Brouwer’s fixed point theorem implies X∗ ∈ ⟨X, R⟩,which gives X∗ = N(X∗) ∈ N(X) : X ∈ ⟨X, R⟩. Hence, a real interval matrixincluding N(X) : X ∈ ⟨X, R⟩ can be regarded as X.

We verify the invertibility of F ′X(H) by the following idea: The derivative F ′

X(H) can

be represented in terms of a matrix vector product as

vec(F ′X(H)) = Pvec(H), P := −(I ⊗ (A− XC) + (D − CX)T ⊗ I).

Hence, if P is nonsingular, F ′X(H) is invertible. We thus prove the nonsingularity of P.

As shown in [2], I ⊗ (A − XminC) + (D − CXmin)T ⊗ I is an M -matrix if K in (2) is

an M -matrix. If K is an M -matrix and X is not too far from Xmin, therefore, we canexpect the M -property of −P. We hence prove the nonsingularity by showing the M -property of −P. For showing the M -property, we compute V ∈ Rm×n such that V > 0and (A − XC)V + V (D − CX) > 0. The M -property of −P can be verified with onlyO(m2n+mn2) operations if such V has already been obtained.

Lemma 2 Let F ′X(H) be as the above, and a nonnegative m× n matrix X and positive

m × n matrices U and V be given. If K in (2) is a Z-matrix and U ≤ (A − XC)V +V (D − CX), then F ′

X(H) is invertible.

Remark 2 In practical execution of the proposed algorithm, U = fl((A−XC)V +V (D−CX)) and we check U > 0.

The above V can be computed by

Lemma 3 Let A1, A2, D1 and D2 be as the above, X be as in Lemma 2, V (0) ∈ Rm×n

be positive, and E := diag(A1)eT + ediag(D1)

T . Assume K in (2) is a Z-matrix andKii > 0, ∀i. Consider the iteration: for k = 0, 1, . . . ,

V (k+1) = ((A2 + XC)V (k) + V (k)(D2 + CX))./E,

V(k+1)ij =

V

(k+1)ij (V

(k+1)ij = 0)

V(k)ij (V

(k+1)ij = 0)

, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. (4)

Then, (A− XC)V (k) + V (k)(D − CX) > 0 if and only if ∥V (k+1)./V (k)∥ < 1.

We verify the inclusion N(X) : X ∈ ⟨X, R⟩ ⊆ ⟨X, R⟩ by computing a supersetof N(X) : X ∈ ⟨X, R⟩. The superset can be computed by the following idea: Theequality N(X) = X − (F ′

X)−1(F (X)) is equivalent to −F ′

X(N(X)) = F (X) − F ′

X(X).

Therefore, N(X) : X ∈ ⟨X, R⟩ is the set of all solutions to the parameterized Sylvesterequation

(A− XC)NX +NX(D − CX) = F (X)− F ′X(X),

96

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where NX ∈ Rm×n is unknown and X ∈ ⟨X, R⟩ is the parameter, which can be repre-sented as −Pvec(NX) = vec(F (X) − F ′

X(X)). Hence, the superset can be obtained by

enclosing the solution set. The solution set can be enclosed with only O(m2n + mn2)operations by exploiting the M -property of −P.

Lemma 4 Let F (X) be as in (1), A2, D2 and N(X) be as the above, X, U and V beas in Lemma 2, E be as in Lemma 3, a positive m× n matrix R be given, G ≥ |F (X)|,J := G+RCR, and L := (J + ∥J./U∥((A2 + XC)V + V (D2 + CX)))./E. With all theassumptions in Lemma 2, suppose K in (2) satisfies Kii > 0, ∀i. Then, N(X) : X ∈⟨X, R⟩ ⊆ ⟨X, L⟩.

Lemmas 2 and 4 give the theory for computing X.

Lemma 5 Let X be as in Lemma 2, R and L be as in Lemma 4, and N ∈ Rm×n begiven. With all the assumptions in Lemma 4, suppose L ≤ N ≤ R. Then, ⟨X,N⟩contains a solution X∗ to (1).

We finally discuss the verification for X∗ = Xmin and the uniqueness of the solutioncontained in ⟨X,N⟩, which is possible by exploiting the fact thatXmin is the only solutionX that makes D − CX an M -matrix if K in (2) is an M -matrix (see [2]).

Theorem 1 Let Xmin, D1 and D2 be as the above, and w(0) ∈ Rn be positive. AssumeK in (2) is an M-matrix, ⟨X,N⟩ contains a solution X∗ to (1), and D − C(X −N) isa Z-matrix. Consider the iteration: for k = 0, 1, . . . ,

w(k+1) = D−11 (D2 + C(X +N))w(k),

w(k+1)i =

w

(k+1)i (w

(k+1)i = 0)

w(k)i (w

(k+1)i = 0)

, i = 1, . . . , n. (5)

If ∥w(k+1)./w(k)∥ < 1 for at least one k, then X∗ = Xmin and X∗ is the unique solutioncontained in ⟨X,N⟩.

Numerical results will be given at the presentation.

References

[1] D.A. Bini, B. Iannazzo, B. Meini: Numerical Solution of Algebraic Riccati Equations,SIAM Publications, Philadelphia, 2012.

[2] C.-H. Guo: Nonsymmetric algebraic Riccati equations and Wiener-Hopf factorizationfor M -Matrices, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 23 (2001), 225–242.

[3] S. Miyajima: Fast verified computation for solutions of algebraic Riccati equationsarising in transport theory, Numer. Linear Algebra Appl., 24 (2017), 1–12.

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代用電荷法による3次元曲面の計算について岡野 大 1) 阿藤 祐介 1)

1) 愛媛大学

概要

ベクトル調和関数を利用して, 複素平面中の単連結領域から, 与えられた有限の閉曲線を境界にもつ 3次元曲面への写像を得る方法について考える. 調和関数の構成に代用電荷法を用いることで柔軟で精密な境界対応を備えた写像結果を期待できる. また, 将来的には本方法を極小曲面の近似計算法として発展させたい.

On computation of 3D surface maps by the chargesimulation method

Dai, OKANO, 1) and Yusuke, ATOH1)

1) Ehime University

Abstract

We present here a method to map a simply connected domain on the complex

plane to a three-dimensional curved surface with a given finite closed curve as

a boundary, using a set of harmonic functions. By using the charge simulation

method for the composition of the harmonic function, it is possible to expect

a mapping result with flexible and precise boundary correspondence. Also,

in the future, this method is regarded as an approximate calculation method

of a minimal surface we want to develop.

1 はじめに本報告では,複素平面中の単連結領域Dから, 与えられた単連結の 3次元閉曲面 Sへの連続で滑らかな写像を得る方法の開発を目標とした試みについて述べる. 具体的な目的としては, 2次元データの立体物表面あるいは 3次元モデル表面への貼り付け, 例えばコンピュータグラフィクスでのテクスチャマッピング手法の提案等を想定している.

そこで, Dにおけるベクトル調和関数 [X,Y, Z]をDから 3次元空間への写像として利用する. これは, 後節で述べる極小曲面の計算法に関するアイディアからヒントを得たものである. 写像先の閉曲面 Sとして, その境界が 1つの有限な閉曲線 Cであるような場合を考える. このときDの境界とCとの対応関係を決めれば, 調和関数X, Y , Zを定めることができる. 例えばDを単位円板とし, Cを周期 2πの周期関数を用いて,

C = [x(t), y(t), z(t)] | x(t+ 2π) = x(t), y(t+ 2π) = y(t), z(t+ 2π) = z(t) (1)

98

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と表して, これをDの境界との対応に用いて

X(exp it) = x(t), Y (exp it) = y(t), Z(exp it) = z(t) 0 < t ≤ 2π (2)

とすればLaplace方程式のDirichlet境界値問題の解として, 様々な解法を用いてX,Y, Z

を求めることができる. もちろん, こうして得た 3次元曲面が Sと必ずしも一致するわけではないが, 領域を分割しそれぞれに境界の対応関係を選択することで, ある程度十分に広い範囲での Sに対して目的の写像を得ることが期待できる.

2 代用電荷法の適用前節のDおよび Sについて, 境界同士の対応が適切に選択された場合を想定して, ベクトル調和関数を代用電荷法を用いて定める. すなわち, 3つの調和関数X,Y, Zを境界値問題 (1)の近似解として定めるために代用電荷法を適用する.

2.1 代用電荷法

代用電荷法は Laplace方程式のDirichlet境界値問題に対する近似解法である. とくに,

滑らかな境界条件において精度の高い近似を与えることで知られている. [3] ここでは,

前節のXの計算について説明する.

代用電荷法では, 近似解を問題領域D(ここでは単位円板)の外部に特異点を持つ対数ポテンシャルと定数関数の線形結合で構成する.

X(w) = Q0 +N∑j=1

Qj log |w − uj| u1, . . . , uN ∈ D. (3)

電荷と呼ばれる重みQ0, Q1, . . . , QNは不変性条件 (4) と境界条件を緩和した拘束条件 (5)

を満たすように定められる.

N∑j=1

Qj = 0 (4)

X(vk) = Q0 +N∑j=1

Qj log |vk − uj| = x(arg vk) k = 1, . . . , N, vk ∈ ∂D(Dの境界). (5)

ここで, u1, . . . , N を電荷点, v1, . . . , vN を拘束点と呼ぶ.

2.2 電荷点・拘束点配置

代用電荷法による近似調和関数 (3)は不変性条件・拘束条件からなる連立一次方程式を満たすように決めた電荷Q0, Q1, . . . , QN で定まる. 連立一次方程式を与える電荷点・

99

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拘束点の配置により近似解の精度は左右される. 一般に適切な電荷点・拘束点を選択することは難しいが, 問題領域の境界が円形であれば, 境界に等間隔に採った拘束点と, 境界の同心円上に等間隔に採った電荷点を中心から見た偏角が一致するようにして得られる等角同相配置が有効であることが知られている. 本節の例であれば, 以下の通り配置することが考えられる.

uj = R exp 2πij − 1

N, vk = exp 2πi

k − 1

Nj, k = 1, . . . , N. (6)

ただし, Rは電荷点がD外に現われるように定めた境界円 ∂Dの同心円の半径. また, 円形でないDについても, 滑らかな境界を持つ場合であれば境界を円に写す等角写像を用いて適切な電荷点・拘束点を得られることが知られている. [2] また, より簡便な方法や,

境界が滑らかでない場合についても一定程度の結果を得るための様々な工夫が存在する.

一方で, 本報告で想定する問題では, ∂Dの写像が, 予め定められた 3 次元閉曲線Cに一致することが期待される. また, 目的の 3次元曲面を得るために ∂DとCの対応を柔軟に選択できる必要がある. これは, 近似調和関数を定める連立一次方程式の拘束条件 (5)

において電荷点の選択として, あるいはCのパラメタ表示関数の選択として実現することになる. すなわち, 代用電荷法における適切な拘束点選択の知見を生かすのであれば,

境界対応の調整は専らパラメタ表示関数を変更することで行なうことになる. ここで, N

が十分に大きくない場合, あるいはパラメタ表示関数による拘束点の像のC上での分布が大きく偏っている場合, 近似調和関数で得られる ∂Dの像が Cと大きく異なってしまう場合が考えられる.

したがって, Nを十分に多く採り, 拘束点の像がC上に疎らにしか存在しないという事態を防ぐか, 一定の密度で配置した C 上の点に対して拘束点を選択する必要がある. 前者を採用すれば, 解くべき連立一次方程式の次数は大きくなり計算コストが上昇する. 後者を採用すれば, 拘束点については, 代用電荷法に関する知見上, 理想的な配置を採用することができなくなる.

2.3 計算例

長径・短径比が 2:1の楕円短径の方向の中点で 90に折り曲げたような境界閉曲線 C

を用いた計算例を示す.

問題領域Dとして複素平面中の単位円板を用い, 単位円周上の等間隔点をCの半分ずつの楕円周において離心角が等分になるような分点に写されるという境界対応関係を設定して計算している.

図 1では, 結果として得られた曲面上に, 元の円板上の同心円と中心点からの放射線の像を描いている.

2.4 極小曲面の数値計算への応用

与えられた 3次元閉曲線を「張る」面積最小の曲面を求める, Plateau問題, いわゆる極小曲面は, 本報告で扱っているベクトル調和関数による写像として得られることが知

100

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図 1: ベクトル調和関数 [X,Y, Z]を用いて得た曲面

られている. ベクトル調和関数は ∂Dと C との対応で決めることができるので, この対応関係を曲面の最小値を与えるように定めることができれば, 本報告で提案する方法を極小曲面の計算方法として用いることができる. これが, 本報告のもう一つの研究目的であり, そもそも代用電荷法を利用した極小曲面の計算法を開発するというアイディアは土屋らによる極小曲面に関する研究 [1]の過程で提案されたものである.

3 おわりに前節で説明したように, 本研究は極小曲面の数値計算法の研究の端緒となる部分を取

り出したものであり, その意味では完了したものではない. 講演では主に数値計算例を示して現時点での状況を説明する.

参考文献[1] Aymeric Grodet and Takuya Tsuchiya. Adaptive mesh refinement technique for the

classical plateau problem. 第 45回数値解析シンポジウム講演予稿集, pp. 17–18. 第45回数値解析シンポジウム実行委員会, 2016.

[2] Masashi Katsurada and Hisashi Okamoto. On the collocation points of the funda-

mental solution method for the potential problem. Computers Math. Applic., Vol. 31,

No. 1, pp. 123–137, 1996.

[3] 岡本久, 桂田祐史. ポテンシャル問題の高速解法. 応用数理, Vol. 2, No. 3, pp. 2–20,

1992.

101

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1) 2)

1) /

2)

Solving Newton’s equation on the Grassmannmanifold based on its quotient structure

Hiroyuki Sato1) Kensuke Aihara2)

1) The Hakubi Center for Advanced Research/

Graduate School of Informatics, Kyoto University

2) Faculty of Knowledge Engineering, Tokyo City University

Abstract

In this talk, we deal with Newton’s method for optimization problems on the

Grassmann manifold. The Grassmann manifold can be regarded as a quotient

manifold, which enables us to express Newton’s equation at each iteration as

a linear system of equations on a horizontal space. We propose to apply the

Krylov subspace method to the equation and show by numerical experiments

that Newton’s method efficiently solves an optimization problem.

1

p, n p ≤ n Ip p

St(p, n)

St(p, n) :=Y ∈ R

n×p |Y Y = Ip

(1)

Rn p

2 p

Grass(p, n) O(p) p

102

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Y1, Y2 ∈ St(p, n) p Q ∈ O(p) Y2 = Y1Q

Y1 ∼ Y2 ∼ Grass(p, n)

Grass(p, n) := St(p, n)/O(p) = [Y ] |Y ∈ St(p, n) (2)

[Y ] ∈ Grass(p, n) Y Y1 ∈ St(p, n) |Y1 ∼ Y

[3]

[1, 2, 3]

2

minimize f([Y ]) := f(Y ), subject to [Y ] ∈ Grass(p, n) (3)

Y ∈ St(p, n) f St(p, n)

f well-defined f Q ∈ O(p)

f(Y Q) = f(Y ) Y ∈ St(p, n)

[Y ] f f

2

Grass(p, n) ΦkΦk ∈ Grass(p, n) Yk ∈ St(p, n)

f grad f , Hess f

[1]

Hess f(Φk)[ξk] = − grad f(Φk) (4)

ξk Grass(p, n) Φk Φk Yk ∈St(p, n) k

Y⊥ ∈ Rn×(n−p) Y Y⊥ = 0, Y

⊥ Y⊥ = In−p Skew(p) p

St(p, n) Y TY St(p, n) TY St(p, n) =

Y B+Y⊥C |B ∈ Skew(p), C ∈ R(n−p)×p [3] St(p, n) Grass(p, n)

π : Y → [Y ] VY := TY π−1([Y ]) = Y B |B ∈ Skew(p)HY := (VY )

⊥ = Y⊥C |C ∈ R(n−p)×p

TY St(p, n) TY St(p, n) = VY ⊕HY

ξ ∈ T[Y ] Grass(p, n) Dπ(Y )[ξY

]= ξ ξY ∈ HY

ξY ξ Y Dπ(Y ) π Y

103

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π(Y ) = Φ Y ∈ St(p, n) (4) Y

HY Hess f(Φ)[ξ]Y = −grad f(Φ)YξY

Hess f(Y )[ξY

]= − grad f(Y ) (5)

ξY HY = Y⊥C |C ∈ R(n−p)×p ξY = Y⊥C

C ∈ R(n−p)×p

C

1. (5) C ∈ R(n−p)×p

Y ⊥ ∂2f(Y ) [Y⊥C]− CY ∂f(Y ) = −Y

⊥ ∂f(Y ) (6)

∂f(Y ) ∂2f(Y ) Rn×p

f

(4)

(6) Conjugate Residual, CR [4]

3

n A

minimize f1([Y ]) :=1

2tr(Y AY

), subject to [Y ] ∈ Grass(p, n) (7)

PC (Intel Xeon CPU E5-2620 v4, 128 GB RAM) MATLAB

R2017b n, p n =

5000, p = 100 n A A := U∗Λ∗U∗

U∗ Λ∗ U∗ := qf(randn(n)), Λ∗ := diag(1, 2, . . . , n)

randn MATLAB

U∗ 1 p Y∗ ∈ Rn×p

Y0 := qf(Y∗+randn(n, p)∗ .001)C(0) = 0 ε = 10−12

2000

1–3 (7)

[3]

(7) 2

4 CR 1

10−4 2, 3 10−12

104

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0 1 2 3Number of Newton iterations

-16

-12

-8

-4

0

Log 10

of r

elat

ive

norm

for g

rad

f 1([Yk])

1: grad f1([Yk])

0 1 2 3Number of Newton iterations

-16

-12

-8

-4

0

Log 10

of r

elat

ive

erro

r for

f1([Y

k])

2: f1([Yk])

0 1 2 3Number of Newton iterations

-16

-12

-8

-4

0

Log 10

of d

istan

ce d

([Y*],

[Yk])

3: d([Y∗], [Yk])

0 500 1000 1500 2000Number of CR iterations

-12

-8

-4

0

Log 10

of r

elat

ive

resid

ual n

orm

4: CR

JSPS JP16K17647, JP18K18064

[1] Absil, P.-A., Mahony, R. and Sepulchre, R., Optimization Algorithms on Matrix

Manifolds, Princeton University Press, Princeton, 2008.

[2] Aihara, K. and Sato, H., A matrix-free implementation of Riemannian Newton’s

method on the Stiefel manifold, Optim. Lett., 11 (2017), 1729–1741.

[3] Edelman, A., Arias, T. A. and Smith, S. T., The geometry of algorithms with or-

thogonality constraints, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 20 (1998), 303–353.

[4] Eisenstat, S. C., Elman, H. C. and Schultz, M. H., Variational iterative methods

for nonsymmetric systems of linear equations, SIAM J. Numer. Anal., 20 (1983),

345–357.

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第 47回数値解析シンポジウム 参加者名簿

氏名 所属

相原研輔 東京都市大学

浅井信吉 会津大学

後保範 神奈川大学

浦川遼介 早稲田大学

大浦拓哉 京都大学

大川航平 神戸大学

大野博 茨城大学工学部

岡野大 愛媛大学大学院理工学研究科

岡山友昭 広島市立大学

小澤伸也 福井大学

剱持智哉 名古屋大学大学院工学研究科

幸谷智紀 静岡理工科大学

小松瑞果 神戸大学

佐々木建昭 筑波大学 数理物質系(名誉教授)

佐竹祐樹 名古屋大学大学院工学研究科 応用物理学専攻

佐藤峻 東京大学

佐藤寛之 京都大学

高嶋志 大阪大学理学部数学科

田上大助 九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所

田中亮輔 大阪大学理学部生物科学科生命理学コース

張紹良 名古屋大学大学院工学研究科応用物理学専攻

寺田邦人 電気通信大学

鳥居達生 元名大情報工学

中村正男 電気通信大学

新田光輝 電気通信大学

原涼太 広島市立大学大学院情報科学研究科

平山弘 神奈川工科大学

降籏大介 大阪大学サイバーメディアセンター

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氏名 所属

細田陽介 福井大学

松尾宇泰 東京大学

松田望 電気通信大学

松田萌望 筑波大学

松本誠 大阪大学大学院情報科学研究科情報基礎数学専攻

三井斌友 名古屋大学(名誉教授)

宮島信也 岩手大学理工学部

宮武勇登 大阪大学サイバーメディアセンター

村上弘 首都大学東京

保國惠一 筑波大学

谷口隆晴 神戸大学

山本有作 The University of Electro-Communications

山本野人 電気通信大学

与田裕之 筑波大学 システム情報工学研究科 コンピュータサイエンス専攻

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第 47回数値解析シンポジウム実行委員会

実行委員長 細田陽介 福井大学

実行委員 山本野人 電気通信大学

松尾宇泰 東京大学

降旗大介 大阪大学

谷口隆晴 神戸大学

保國惠一 筑波大学

相島健介 法政大学

田中健一郎 東京大学

運営委員 張紹良 名古屋大学

櫻井鉄也 筑波大学

予稿集原稿の著作権について

原稿の著作権は日本応用数理学会に帰属されます.ただし学界の慣例として認められる範

囲で原稿内容を論文として他の学術雑誌等に投稿することを妨げません.ご不明な点があ

れば NAS2018実行委員会までお知らせください.実行委員会でとりまとめて日本応用数理

学会へ問い合わせます.

第 47回数値解析シンポジウム実行委員会

発行元 第 47回数値解析シンポジウム実行委員会

福井県福井市文京 3丁目 9-1

発行日 2018年 6月 6日

第 47回数値解析シンポジウム

2018年 6月 6日 (水)~8日 (金)

於 あわら温泉 まつや千千 (福井県あわら市舟津 31- 24)

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