Naturaleza de la luz - tecnun.es de la luz.pdf · 5. Naturaleza y propagación de la luz 5-1 5. NATURALEZA Y PROPAGAC IÓN DE LA LUZ La naturaleza de la luz es una cuestión que ha

5. Naturaleza y propagación de la luz

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5. NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ

La naturaleza de la luz es una cuestión que ha intrigado a los científicos

desde tiempos muy remotos. Su comprensión es de enorme importancia, ya que la luz es uno de los componentes esenciales que hacen posible, por ejemplo, la vida en la tierra a través de la fotosíntesis de las plantas, ó la recepción y transmisión de información sobre objetos a nuestro alrededor y de todo el universo.

Desde tiempos antiguos se ha especulado con gran interés sobre la

naturaleza y propiedades de la luz. Los griegos pensaban que la luz estaba formada por pequeñas partículas ó corpúsculos que eran emitidos por una fuente, y al chocar con el ojo del observador estimulaban en él la percepción de la visión. Newton empleo esta teoría corpuscular de la luz para explicar algunos fenómenos experimentales por entonces conocidos como la reflexión y la refracción. Sin embargo, en 1678, un contemporaneo suyo, el físico y astrónomo Christian Huygens, propuso que la luz podía considerarse un tipo de movimiento ondulatorio, y fue capaz de explicar las leyes de la reflexión y refracción con la teoría ondulatoria. La primera demostración convincente de la naturaleza ondulatoria de la luz la dio Thomas Young en 1801 al probar que, en condiciones apropiadas, los haces de luz pueden interferir, es decir se pueden combinar y cancelar entre sí debido a la interferencia destructiva. En aquella epoca, este comportamiento no podía explicarse con la teoría corpuscular. El suceso más importante, relacionado con la comprensión de la naturaleza de la luz fue el trabajo de Maxwell en 1873 que desarrollo una brillante teoría en la que se demostraba que la luz es una forma de onda electromagnética de alta frecuencia que viaja con una velocidad aproximada de 3x108 m/s.

Sin embargo, a principios del siglo XX, el físico aleman Max Planck, retoma la

teoría corpuscular de la luz al introducir el concepto de cuantificación para poder explicar la radiación emitida por cuerpos calientes. El modelo de cuantificación presupone que la energía de la onda luminosa se presenta en paquetes de energía llamados fotones. Albert Einstein utilizó el mismo concepto para explicar el llamado efecto fotoeléctrico relacionado con la emisión de electrones por un metal expuesto a la luz.

Hoy en día se considera que existe una dualidad onda-corpúsculo en lo

referente a la naturaleza de la luz, dualidad que se extiende a todo tipo de ondas y partículas a escala microscópica, de forma que la luz unas veces se comporta como onda y otras como partícula. A continuación pasaremos a analizar en detalle cada uno de los modelos propuestos.


5-2

5.1 Naturaleza ondulatoria de la luz 5.1.1 Ondas electromagnéticas. La teoría electromagnética de la luz fue elaborada por Maxwell y comprobada experimentalmente por Herz en 1888 quién por primera vez produjo y detectó las ondas electromagnéticas por medio de circuitos oscilantes observando, como en las ondas luminosas, la reflexión, refracción, interferencia y polarización. Las ecuaciones de Maxwell en un medio dieléctrico, σ=0 y j=0, isótropo, ε y µ constantes en todos los puntos y donde no existen cargas libres, ρ=0, pueden escribirse como

→→

∇ E. = 0 [5.1]

→→

∇ H. = 0 [5.2]

→→

∇ Ex = tH

∂∂

−

→

µ [5.3]

→→

∇ Hx = tE

∂∂

→

ε [5.4]

Cuando en un punto del espacio se produce un campo eléctrico variable con el tiempo, sus variaciones producen un campo magnético variable también. A su vez, este campo magnético variable de origen a un campo eléctrico. Estos campos eléctrico y magnético variables, consecuencia uno del otro, sin que pueda existir ninguno de ellos aisladamente, se propagan por el espacio constituyendo las ondas electromagnéticas. Para hallar las ecuaciones de propagación operemos de la siguiente forma

)()()( EE

H xtt

xxx ∇∂∂

=∂∂

∇=∇∇ εε [5.5]

utilizando la igualdad HHH 2)( ∇−∇=∇∇ gradxx [5.6] y dado que por [5.2] la divergencia de H es cero y utilizando [5.3] queda

HH 22

2 1∇=

∂∂

εµt [5.7]

Tomando rotacionales en [5.3] y operando análogamente se llega a


5-3

EE 22

2 1∇=

∂∂

εµt [5.8]

Tal y como vimos en el capítulo 2, las ecuaciones [5.7] y [5.8] muestran que los campos electromagnéticos se propagan obedeciendo la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio con una velocidad

εµ1

=v [5.9]

En el vacío, donde tenemos ε0 y µ0, la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es igual a c=2.99793x108 m/s. La forma de las soluciones dependerá en cada caso de la situación física. Adoptemos como solución una onda plana armónica, para lo cual, en medios isótropos, bastará suponer que el emisor está muy alejado del lugar donde se realiza la observación, propagándose según la dirección u(α,β,γ). Los campos eléctricos y magnéticos tomarán la forma

)(

00

)(00

)(

)(tki

tki

etksen

etksenω

ω

ω

ω−

−

=−=

=−=ru

ru

HruHH

EruEE [5.10]

Apliquemos las ecuaciones de Maxwell a los campos eléctricos y magnéticos definidos por [5.10]. La componente x de [5.4] será igual a

t

Ez

H

yH xyz

∂∂

=∂

∂−

∂∂

ε [5.11]

De forma análoga para las otras dos componentes y calculando estas derivadas obtenemos

zxy

yzx

xyz

vEHH

vEHH

vEHH

εβα

εαγ

εγβ

−=−

−=−

−=−

[5.12]

Estas tres ecuaciones, teniendo en cuenta que los primeros términos son las componentes del producto vectorial uxH equivalen a la ecuación vectorial EuH vx ε= [5.13] y operando igual con el campo eléctrico


5-4

HEuv

xε1

= [5.14]

Las ecuaciones [5.13] y [5.14] indican que en la propagación H y E son siempre perpendiculares entre si y ambos los son a la dirección de propagación u, lo que demuestra que las ondas electromagnéticas, y por ende la luz, son transversales. De las mismas ecuaciones se deduce que E y H van en fase ya que ambos se anulan y se hacen máximos simultaneamente como se indica en la figura 5.1 y las magnitudes están relacionadas por la expresión vEH ε= .

Figura 5.1. Onda electromagnética propagándose con los vectores E y H perpendiculares a la

dirección de propagación, onda transversal, y en fase

5.1.2 Espectro electromagnético. Los diversos tipos de ondas electromagnéticas difieren solo en su longitud de onda y frecuencia, relacionadas con la velocidad c por la expresión λf=c y en principio no se conoce ninguna limitación para los calores posibles de λ ó f. En la figura 5.2 se expone el espectro electromagnético y los nombres normalmente asociados con los diversos intervalos de frecuencia y longitud de onda. Estos intervalos no están a veces bien definidos y frecuentemente se solapan. La clasificación habitual del espectro electromagnético es la siguiente:

a) Ondas de radiofrecuencia. Éstas tienen longitudes de onda que van desde algunos kilómetros a 0.3 m y el intervalo de frecuencias es desde algunos Hz hasta 109 Hz. Son las ondas que habitualmente se utilizan en los sistemas de radio y televisión y son generadas por medio de dispositivos electrónicos, principalmete circuitos oscilantes

b) Microondas. Las longitudes de onda están entre 0.3 m y 10-3 m y el intervalo de frecuencia es desde 109 Hz hasta 3x1011 Hz. Estas ondas se usan en el radar y otros sistemas de telecomunicación y se generan con dispositivos electrónicos.

c) Espectro infrarrojo. Cubre las longitudes de onda entre 10-3 m y 7.8x10-7 m (7800 Å) y el intervalo de frecuencia es entre 3x1011 Hz y 4x1014 Hz. Esta


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zona se subdivide a su vez en infrarrojo cercano, medio y lejano. Estas ondas son producidas por cuerpos calientes y moléculas.

d) Luz ó espectro visible. Es una banda angosta formada por las longitudes de onda a las cuales nuestra retina es sensible. Se extiende desde 7.8x10-

7 m hasta 3.8x10-7 m y en frecuencias desde 4x1014 Hz hasta 8x1014 Hz. Las longitudes de ondas más cortas del espectro visible corresponden a la luz violeta y las más largas a la luz roja, y entre estos extremos se encuentran todos los colores del arco iris. La luz es producida por átomos y moléculas como resultado de procesos electrónicos.

e) Rayos ultravioletas. Cubren desde 3.8x10-7 m hasta alrededor de 6x10-10 m con frecuencias desde 8x1014 Hz a 3x1017 Hz. Estas ondas son producidas por átomos y moléculas en descargas eléctricas y tienen fuertes efectos en procesos químicos.

f) Rayos X. Esta parte del espectro electromagnético abarca una gama de longitudes de onda entre 10-9 m y 6x10-12 m y frecuencias entre 3x1017 Hz y 5x1019 Hz. Son producidos por transiciones electrónicas en niveles profundos del átomo.

g) Rayos γ: Estas ondas electromagnéticas son de origen nuclear y se superponen al límite superior de los rayos X; sus longitudes de onda van desde 10-10 m hasta 10-14 m con frecuencias entre 3x1018 Hz y 3x1022 Hz.

Figura 5.2. Espectro electromagnético


5-6

5.1.3 Energía de una onda electromagnética. Como todo tipo de onda, las ondas electromagnéticas transportan energía y cantidad de movimiento. La energía transportada viene descrita por la intensidad, es decir, por la potencia media por unidad de área incidente sobre una superficie perpendicular a la dirección de propagación. La cantidad de movimiento por unidad de tiempo y por unidad de área transportada por una onda electromagnética se denomina presión de radiación. Sabemos del capítulo 2 que la intensidad de una onda viene dada por el producto de la densidad energética media por la velocidad de la onda. Las densidades de energía asociadas al campo eléctrico y al campo magnético de una onda electromagnética que se propaga en el vacío son

20

22

0

2

0

20

20

21

21

21

2121

EEB?

E

εµµ

µ

ε

====

=

cu

u

B

E

[5.15]

donde se ha utilizado el hecho de que c

EB = . La densidad de energía total de la

onda electromagnética es igual a 2

0Eε=+= BE uuu [5.16]

y la intensidad de la onda electromagnética queda 2

0EεcI = [5.17]

Para el caso de una onda electromagnética armónica plana, E=E0sen(kru-ωt), la intensidad media en el tiempo de la onda electromagnética, teniedo en cuenta que el valor medio del seno al cuadrado es ½, queda

2002

1EcI ε= [5.18]

Se define el vector de Poynting S como

0µ

ExBS = [5.19]

siendo éste un vector que tiene por unidades W/m2, como valor promedio del módulo la intensidad de la onda, y como dirección la direccion de propagación de la onda electromagnética. Comprobemos este hecho para una onda electromagnética plana donde ExB=EB y el módulo del vector de Poynting queda


5-7

0

2

0

2

0 µµµcB

cEEB

S === [5.20]

El valor promedio de este módulo, haciendo de nuevo uso del valor promedio del seno al cuadrado queda

c

ES

0

20

2µ=⟩⟨ [5.21]

Por otro lado la intensidad de la onda, sabiendo que

00

1µε

=c , queda

⟩⟨=== Sc

EEcI

0

202

00 221

µε [5.22]

Las ondas electromagnéticas, además de energía transportan cantidad de

movimiento. Por tanto, una onda electromagnética que incide sobre una superficie ejerce una presión sobre ella que se denomina presión de radiación Pr. Si la superficie absorbe toda la radiación incidente, la cantidad de movimiento total p por unidad de volumen V cedida a la superficie por la onda en caso de incidencia normal es

cuV

cp =

Ε= [5.23]

donde se ha hecho uso de que la cantidad de movimiento y la energía de la onda electromagnética se relacionan por la expresión [5.30] Ε=pc, fórmula que posteriormente se explicará. La presión de radiación, dada por la fuerza dividida entre el área, es por tanto igual a

cS

cI

Adt

dpPr

⟩⟨=== [5.24]

En caso de que la superficie sea un reflector perfecto, la onda reflejada también cede la misma cantidad de movimiento a la superficie y la presión de radiación para incidencia normal es igual a

cS

cI

Pr⟩⟨

== 22 [5.25]


5-8

5.2 Naturaleza corpuscular de la luz A principios del siglo XX, la física se enfrentó a una serie de fenómenos, analizados a continuación, que conducian a que la radiación electromagnética era de caracter corpuscular en su interacción con la materia a diferencia de su caracter ondulatorio cuando se propaga. Estos resultados marcarían el comienzo de una nueva disciplina conocida como física cuántica. 5.2.1 Radiación del cuerpo negro. Se llama radiación térmica a la radiación emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura. Todos los cuerpos

emiten esta radiación a su derredor, y la absorben de él. Recibe el nombre de cuerpo negro todo cuerpo que absorbe toda la energía radiante de cualquier frecuencia que llega sobre él. Si un cuerpo que cumple con estas condiciones se ilumina con luz visible, ninguna radiación retorna y presentará color negro. Un cuerpo negro perfecto no existe en la naturaleza, pero se aproxima mucho a él en la zona del espectro visible la pequeña boca de una cavidad recubierta de negro de humo, tal y como se muestra en la figura 5.3, ya que toda la luz que penetra por ella es absorbida en la primera ó sucesivas reflexiones internas. Pues bien, si calentamos la cavidad a una temperatura T, por la boca de la cavidad sale una radiación

cuyo espectro frecuencial podemos analizar. La física clasica arroja el siguiente resultado para la densidad de energía por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro

dfc

kTfdffuT 2

28)(

π= [5.26]

conocida como fórmula de Rayleigh-Jeans y representada en la figura 5.4 junto a los resultados experimentales medidos. La discrepancia entre modelo teórico y resultados experimentales es evidente. En el límite de frecuencias bajas, el espectro clásico se aproxima a los resultados experimentales, pero a medida que la frecuencia crece, la predicción teórica tiende a infinito mientras que los experimetos muestran que la densidad de energía siempre permanece finita y de hecho tiende a cero para frecuencias muy altas. Este fallo de la teoría clásica es conocido en física como la catástrofe ultravioleta.

Figura 5.3. Cuerpo negro definido como aquel que absorbe toda la energía que llega sobre él


5-9

Figura 5.4. Densidad de energía por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro, fórmula de

Rayleigh-Jeans, junto a los resultados experimentales

De acuerdo con la física clásica, la energía de una onda en particular puede tener cualquier valor de forma continua entre cero e infinito y bajo esa hipótesis se desarrollo la teoría de Rayleigh-Jeans. Plank, sin embargo hizo la sorprendente suposición de que la densidad de energía de las ondas electromagnéticas variaba de forma discreta según múltiplos de un valor elemental de la forma nhf=ε [5.27]

donde n es un número entero, f la frecuencia de la radiación y h es una constante universal llamada constante de Plank cuyo valor encontrado experimentalmente es igual a h= 6.63x10-34 J.s Con esta hipótesis se llega a que la densidad de energía por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro es igual al conocido como espectro del cuerpo negro de Plank

dfe

hfc

fdffu

KThfT

1

8)(

3

−=

π [5.28]

que reproduce adecuadamente los resultados experimentales tal y como muestra la figura 5.5. La drástica suposición de Plank implica que la emisión de luz, y en general de toda onda electromagnética, se realiza en forma de partículas, corpúsculos ó cuantos de energía hf.


5-10

Figura 5.5. Densidad de energía por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro según el modelo

de Plank

5.2.2 Efecto fotoeléctrico. Este fenómeno consiste en que cuando un metal recibe luz, emite electrones denominado fotoelectrones. Analizando esta emisión de fotoelectrones se observan los siguientes hechos:

a) La corriente de fotoelectrones es proporcional a la intensidad del haz incidente

b) La energía cinética máxima de los electrones arrancados no depende de la intensidad del haz incidente, solo depende de la frecuencia

c) La energía cinética máxima de los fotoelectrones es una función lineal de la frecuencia de la luz utilizada de la forma

WAfEmv −== max2

21

[5.29]

d) Existe para cada metal una frecuencia umbral por debajo de la cual no se

produce emisión de electrones cualquiera sea la intensidad de la luz incidente

e) La emisión es instantanea con la llegada de la luz al metal

La explicación que dió Einstein a este fenómeno se basa en que un haz de luz es un chorro de partículas, fotones, de energía hf. Cuando sobre el metal llega un fotón, éste puede ceder toda su energía a un electrón el cual puede ser arrancado del metal, en cuyo caso la energía cinética máxima del electrón será igual a

WhfE −=max donde W es la energía de ligadura del electrón. Esta ecuación se

ajusta con la experiencia [5.29]. Si hf no es igual ó mayor que W, no se arrancan electrones. La frecuencia umbral será por tanto f=h/W y la constante A de [5.29] será la constante de Plank.


5-11

Teniendo en cuenta que la velocidad de los fotones en el vacío es c, de la teoría de la relatividad se deducen las propiedades de masa, energía y cantidad de movimiento del fotón

λh

p

pcEreposoMasa

=

== 0)(

[5.30]

5.2.3 Efecto Compton. En 1920 se observó, estudiando la dispersión de rayos X por la materia, que los rayos que salían dispersados en diferentes direcciones tenían diferentes longitudes de onda y mayores que la radiación incidente,

independientemente del material atravesado. Este hecho no se puede interpretar por la física clasica pues si se supone que la difusión de rayos X se debe a que los electrones de la materia entran en vibración con la frecuencia de la onda electromagnética incidente, debería radiar con la misma frecuencia, cosa que no ocurre.

El fenómeno fue explicado por Compton admitiendo que la luz está constituida

por fotones de energía hf, los cuales sufren choque elásticos con los electrones libres ó débilmente ligados de la materia, en cuyos choques se conserva la energía y el momento tal y como se muestra en la figura 5.6.

5.2.4 Dualidad onda-corpúsculo. Las experiencias que acabamos de analizar

y su justificación exigen considerar los haces de luz como chorros de partículas, denominadas fotones, de energía hf. Por otro lado, los fenómenos de la interferencia y difracción de luz, bien estudiados y experimentados, certifican el caracter ondulatorio de la misma. Esta situación induce a la siguiente interpretación:

a) Los aspectos ondulatorio y corpuscular de la luz no son incompatibles ni

contradictorios, son dos aspectos complementarios de un mismo ente físico, la luz, y los fenómenos lumínicos no pueden ser enteramente descritos si no se tiene en cuenta ambos aspectos

b) La propagación de la luz viene gobernada por sus propiedades ondulatorias

c) El intercambio de energía entre luz y materia viene determinado por sus propiedades corpusculares a través del fotón de energía hf y cantidad de movimiento h/λ.

Figura 5.6. Choque de un fotón con un electrón


5-12

5.3 Velocidad de la luz La primera medición no astronómica de la velocidad de la luz la llevó a cabo el físico francés Fizeau en 1849. Sobre una colina se sitúa una fuente luminosa y un sistema de lentes dispuesto de tal forma que la luz reflejada en un espejo semitransparente se enfoca sobre uno de los huecos existentes en una rueda dentada como se ve en la figura 5.7.

Sobre otra colina distante se sitúa un espejo que refleja la luz hacia atrás, de modo que pudiera ser vista por un observador del modo que se muestra en la figura. La rueda dentada puede girar siendo variable su velocidad de rotación. A bajas velocidades de rotación, la luz es visible por el observador porque la luz que pasa a través de un hueco de la rueda dentada no queda obstruida por el diente siguiente después de reflejada en el espejo. Entonces se aumenta la velocidad de rotación hasta que la luz que pasa a través del hueco de la rueda dentada queda obstruida por el diente siguiente y se deja de observar luz. El tiempo necesario para que la rueda gire a través del ángulo comprendido entre dos huecos sucesivos es igual al tiempo empleado por la luz en recorrer la distancia de la rueda al espejo y volver a la rueda.

Figura 5.7. Método de Fizeau para la medida de la velocidad de la luz

Se define en la actualidad que la velocidad de la luz en el vacío, y por ende del resto de las ondas electromagnéticas, es c= 299.792.457 m/s [5.31] y entonces se define en función de esta velocidad la unidad estándar de longitud, el metro. El valor 3x108 m/s para la velocidad de la luz es suficientemente exacto para la mayoría de las aplicaciones


5-13

5.3.1 Principio de relatividad. A finales del siglo XIX, los físicos asumían que la naturaleza ondulatoria de la luz llevaba aparejada la necesidad de la vibración de alguna sustancia desconocida, que denominaban eter que llenaba el espacio, de forma análoga a las vibraciones del aire que dan lugar al sonido. Asumiendo que este supuesto eter fuese estacionario, encontramos que la luz se desplaza con respecto al eter a una velocidad c. Si la tierra se moviera a través del eter con velocidad v, entonces la velocidad de la luz con respecto a la tierra debería depender de la dirección de propagación. Por ejemplo, debería ser c-v para un rayo de luz que se propaga en la misma dirección del movimiento de la tierra y c+v en la dirección opuesta.

En 1881, Michelson y Morley demostraron experimentalmente que la

velocidad de la luz era la misma en todas las direcciones. Estos resultados obligaron a abandonar el concepto de eter, las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío, y movieron a Einstein en 1905 a enunciar su principio de relatividad basado en el hecho de que la velocidad de la luz es una invariante físico que tiene el mismo valor para todos los observadores. Esta invariancia obliga a profundos cambios en el movimiento relativo entre observadores tal y como se asumía en la mecánica clásica. En especial la hipótesis de que el tiempo es igual para todo observador no puede ser cierta. Dado que velocidad es distancia dividida entre tiempo, tenemos que ajustar el tiempo y la distancia, si el cociente debe ser el mismo para observadores en movimiento relativo, como en el caso de la velocidad de la luz. Las nuevas transformaciones, denominadas transformaciones de Lorentz, entre dos observadores en movimiento relativo con velocidad v según el eje x, compatibles con la invariancia de la velocidad de la luz son

2

2

2

2

2

2

2

1

´

1

´

´´

1

´

cv

mm

cv

cvx

tt

zzyy

cv

vtxx

−

=

−

−=

==

−

−=

[5.32]

Estas nuevas transformaciones obligaron al desarrollo de una nueva rama de la física, física relativista, que encuentra su principal aplicación en el rango de las altas energías cuando las velocidades de las partículas se aproximan a la velocidad de la luz.


5-14

5.4 Propagación de la luz Hemos visto como la propagación de la luz viene gobernada por la ecuación de ondas desarrollada en el apartado 5.1. Sin embargo, antes de que Maxwell desarrollara la teoría de las ondas electromagnéticas, la propagación de la luz fue descrita empíricamente por dos principios desarrollados por Huygens y Fermat, posteriormente deducidos a partir de la ecuación de ondas. Estos dos principios, que pasamos a continuación a enunciar, permitieron explicar muchos de los fenómenos asociados a la propagación de la luz. 5.4.1 Principio de Huygens. Consideremos un frente de ondas esférico que procede de un foco puntual. Vimos en capítulos anteriores como el frente de ondas es el lugar geométrico de los puntos con fase constante. Si en el instante t el radio del frente de ondas es r, su radio en el instante t+∆t es r+c∆t siendo c la velocidad de la onda. Sin embargo, si una parte de la onda se ve bloqueada por un obstáculo, ó si la onda pasa a través de diferentes medios, es mucho más difícil la determinación del nuevo frente de ondas en el instante t+∆t. La propagación de una onda a través del espacio puede describirse utilizando un método geométrico conocido como principio de Huygens

“Cada punto de un frente de ondas primario sirve como foco de ondas esféricas secundarias que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a las de la onda primaria. El frente de ondas primario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de estas ondas elementales”. La figura 5.8 muestra la aplicación del principio de Huygens a la propagación de una onda plana y una onda esférica. 5.4.2 Principio de Fermat. En un medio homogeneo de índice de refracción n, definido n como n=c/v, se define el camino óptico (L) de la luz que ha recorrido

un trayecto desde A hasta B de longitud s como nsL =)( [5.33]

Si el medio es heterogeneo con variación continua del índice de refracción tenemos que el camino óptico es igual a

Figura 5.8. Principio de Huygens para la propagación de la luz


5-15

∫ ∫ ∫ ====B

A

B

A

B

Actdtc

vds

cndsL )( [5.34]

Así pues, el camino óptico puede definirse como el producto de la velocidad de la luz en el vacío por el tiempo que tarda en recorrer la trayectoria. El principio de Fermat establece que : “La trayectoria seguida por la luz para pasar de un punto A a otro punto B es aquella para la cual el camino óptico es mínimo”. Esta definición, y dado que c es una constante, es equivalente a afirmar que el tiempo de recorrido de la luz debe ser un mínimo. 5.5 Reflexión y refracción Un medio transparente a la luz se define por su índice de refracción n que como hemos visto viene dado por la ecuación

vc

n = [5.35]

siendo c la velocidad de la luz en el vacío y v la velocidad en el medio. De las definiciones de ambas velocidades llegamos al resultado

rrvc

n µεµε

εµ===

00

[5.36]

Para la mayoría de los materiales ópticos de interés µr=1 dado que no son ferromagnéticos con lo que el índice de refracción es igual a la raiz cuadrada de la constante dieléctrica relativa. De [5.35] se deduce que el índice de refracción es una parámetro adimensional mayor que la unidad, dado que c siempre es mayor ó igual que v. La tabla 5.1 muestra los índices de refracción de varias sustancias. Tabla 5.1. Índice de refracción de diferentes sustancias para luz de longitud de onda λ=589 nm

Sustancia n Sustancia n

Sólidos a 20 ºC Líquidos a 20 ºC

Diamante (C) 2.419 Benceno 1.501 Fluorita (CaF2) 1.434 Alcohol Etílico 1.361

Cuarzo (SiO2) 1.458 Glicerina 1.473

Vidrio crown 1.52 Agua 1.333

Hielo (H2O) 1.309 Gases a 0 ºC, 1 atm

Poliestireno 1.49 Aire 1.000293

Cloruro sódico (NaCl) 1.544 CO2 1.00045


5-16

Cuando un haz de luz incide sobre una superficie límite de separación entre dos medios, tal como una superficie aire-vidrio, parte de la energía luminosa se refleja y parte se transmite dando lugar al fenómeno de la reflexión y refracción ya analizados en el capítulo 2. Siguiendo el esquema de la figura 5.9, las leyes que

rigen este fenómeno son la ley de la reflexión, el ángulo incidente es igual al ángulo reflejado

1´1 ϑϑ = [5.37]

y la ley de la refracción ó de Snell que liga ángulo incidente y ángulo refractado en función de los índices de refracción de los medios

2211 ϑϑ sennsenn = [5.38] Experimentalmente se ha comprobado que no hay un cambio de frecuencia al pasar la luz del primer medio al segundo medio. Dado que si que hay un cambio de velocidades de propagación, esto implica que la longitud de onda debe cambiar. Si la longitud de onda en el vacío es λ, la longitud de onda λ´en un medio de índice de refracción n es

nλ

λ =´ [5.39]

5.5.1 Deducción mediante el principio de Huygens. Analicemos los fenómenos

de reflexión y refracción utilizando la construcción de Huygens. La figura 5.10.a muestra un frente de ondas plano AA´ que incide sobre un espejo en el punto A. El ángulo φ1 que forma el frente de ondas con el espejo es igual al ángulo de incidencia θ1 que forma la perpendicular al espejo y los rayos perpendiculares al frente de ondas. De acuerdo con el principio de Huygens cada punto de un frente de ondas puede considerarse como un punto de una fuente de ondas elementales secundarias. La posición del frente de ondas al cabo de un tiempo t se encuentra construyendo las ondas elementales de radio ct con centros en el frente de ondas AA´. Las ondas elementales que no inciden sobre el espejo forman la parte BB´ del nuevo frente de ondas. Los frentes de onda que inciden sobre el espejo se reflejan y forman la parte B´´B del nuevo frente de ondas. Mediante una construcción semejante se obtiene el frente de ondas C´´C a partir de las ondas elementales de Huygens que se originan en el frente de ondas B´´B. La figura 5.10.b es una parte aumentada de la figura 5.10.a en la que se muestra AP, parte del frente de ondas original. Durante el tiempo t, la onda elemental procedente del punto P alcanza al

Figura 5.9. Reflexión y refracción de la luz en la superficie límite entre dos medios


5-17

espejo en el punto B y la onda elemental procedente del punto A alcanza el punto B´´. El frente de ondas reflejado BB´´ forma un ángulo φ1

´ con el espejo que es igual al ángulo de reflexión θ1

´ entre el rayo reflejado y la normal al espejo. Los triángulos ABP y BAB´´ son ambos triángulos rectángulos con la hipotenusa común AB y los catetos iguales AB´´=BP=ct. De aquí que estos triángulos sean semejantes y que los ángulos φ1 y φ1

´ sean iguales lo cual implica que el ángulo de reflexión θ1´ es igual al

ángulo de incidencia θ1, ley de la reflexión.

(a)

(b)

Figura 5.10.a) Frente de ondas plano incidiendo sobre un espejo y b) detalle del proceso de reflexión

del frente de ondas AP

La figura 5.11 muestra una onda

plana que incide sobre una superficie plana. Apliquemos la construcción de Huygens para hallar el frente de ondas de la onda transmitida. El segmento AP indica una porción del frente de ondas en el medio 1 que incide sobre la superficie con un ángulo de incidencia φ1. En el instante t la onda elemental procedente de P recorre la distancia v1t y alcanza el punto B sobre la línea AB que separa ambos medios, mientra que la onda elemental procedente

del punto A recorre una distancia v2t dentro del segundo medio. El nuevo frente de ondas BB´ no es paralelo al frente de ondas original AP porque son diferentes las velocidades de transmisión en ambos medios. Del triángulo APB

1

1

1

1

11

θφ

φ

sentv

sentv

AB

ABtv

sen

==

= [5.40]

Análogamente y a partir del triángulo AB´B

Figura 5.11. Refracción de un frente de ondas plano


5-18

2

2

2

2

22

θφ

φ

sentv

sentv

AB

ABtv

sen

==

= [5.41]

Igualando valores obtenemos

2211

2

2

1

1

θθ

θθ

sennsennv

senv

sen

=

= [5.42]

obteniendo la ley de Snell de la refracción.

5.5.2 Deducción mediante el principio de Fermat. La figura 5.12 muestra dos trayectorias en las cuales la luz sale del punto A, choca contra la superficie plana y

se propaga hasta el punto B. Aplicando el principio de Fermat el recorrido entre A y B será aquel que se realize en el menor tiempo posible. Como en este problema la luz siempre se mueve en el mismo medio, el tiempo será mínimo cuando la distancia sea mínima. Esta distancia APB es mínima cuando el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.

En el caso de la refracción, la

figura 5.13 indica la geometría que sirve para encontrar el trayecto de mínimo tiempo entre los puntos A y B. Si la distancia recorrida en el medio 1 es L1 y la recorrida en el medio 2 es L2, el tiempo que tarda la luz en recorrer el trayecto AB es

cLn

cLn

ncL

ncL

vL

vL

t

2211

2

2

1

1

2

2

1

1

+=

=+=+=

[5.43]

Figura 5.12. Trayectorias posibles de la luz en un proceso de reflexión para ir de A a B

Figura 5.13. Trayectoria de mínimo tiempo entre A y B en un proceso de refracción


5-19

Utilizando las igualdades deducidas de la figura 5.13

2222

2221

)( xdbL

xaL

−+=

+= [5.44]

y haciendo el tiempo un mínimo respecto a x obtenemos

01 2

21

1 =

+=

dxdL

ndxdL

ncdx

dt [5.45]

A partir de [5.44]

22

2

11

1

θ

θ

senL

xddx

dL

senLx

dxdL

−=−

−=

== [5.46]

Introduciendo estos resultados en [5.45] tenemos

2211

2211 0)(θθ

θθsennsenn

sennsenn=

=−+ [5.47]

que es la ley de Snell de la refracción.

5.5.3 Factores de reflexión y transmisión. La fracción de energía luminosa reflejada y transmitida al incidir la onda sobre una superficie límite depende del ángulo de incidencia, la orientación del vector campo eléctrico y de los índices de refracción según unas ecuaciones denominadas fórmulas de Fresnel. Para el caso especial de incidencia normal el factor de reflexión r0, fracción de intensidad reflejada, y el factor de transmisión t0, fracción de intensidad transmitida, vienen dados por

2

21

210

+−

==nnnn

II

ri

r [5.48]

221

210 )(

4nnnn

II

ti

t

+== [5.49]

donde II es la intensidad incidente, Ir la reflejada y It la transmitida y n1 y n2 los indices de refracción de los dos medios. La conservación de la energía obliga a que la suma de r y t sea igual a 1.


5-20

5.5.4 Reflexión interna total. Cuando el índice de refracción del segundo medio es menor que el del primero n1>n2, la ley de Snell implica que θr > θi. Al ir aumentando el ángulo de incidencia sobre la superficie, el ángulo del rayo refractado subirá de valor hasta alcanzar los 90º para un ángulo de incidencia crítico θc tal y como se muestra en la figura 5.14. Para ángulos de incidencia mayores que θc no existe rayo refractado y toda la energía se refleja, fenómeno conocido como reflexión interna total. Una aplicación muy interesante de este fenómeno es la transmisión de un haz de luz a lo largo de una fibra de vidrio transparente denominada fibra óptica.

Figura 5.14.a) Reflexión interna total para un ángulo de incidencia mayor que θc y b) ejemplo del

fenómeno en la superficie de separación agua/aire

A partir de la ley de Snell se puede deducir el valor de este ángulo crítico

1

2

nn

sen c =θ [5.50]

5.5.5 Espejismos. Cuando el

índice de refracción de un medio cambia de forma continua, la refracción es continua de forma que la luz se va curvando gradualmente. Un ejemplo interesante de este caso es la formación de un espejismo. En un día caluroso es frecuente tener cerca del suelo una capa de aire más caliente, y por tanto menos denso que el aire que tiene encima. La velocidad de la luz es ligeramnete mayor en esta capa menos densa, de manera que el haz que pasa de la capa más fría a la más caliente se curva tal y como se muestra en la figura 5.15.

Figura 5.15. Espejismo motivado por aire caliente en las cercanías del suelo


5-21

5.6 Polarización En toda onda tranversal, la vibración es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo, una onda luminosa que se mueva en la

dirección X, tendrá un campo eléctrico E perpendicular a esta dirección, por ejemplo el Y según se muestra en la figura 5.16, con un campo magnético B según el eje Z. Si la vibración se mantiene paralela a una línea del espacio se dice que la onda está linealmente polarizada. El plano de polarización se define como el plano en el que oscila el campo eléctrico, en este caso el plano XY. Otra solución posible en forma de onda plana de la ecuación de ondas es aquella en la que los campos electricos y magnéticos tienen una magnitud constante, pero rotan alrededor de la dirección de polarización dando como resultado una onda polarizada circularmente tal y como se indica en la figura 5.17. Esta nueva solución se obtiene combinando dos soluciones linealmente polarizadas como por ejemplo

)(),cos(

)cos(),(

tkxsenBBtkxBB

tkxEEtkxsenEE

ozoy

ozoy

ωω

ωω

−=−=

−±=−=

m [5.51]

que corresponde a un defasaje de π/2 entre las componentes de cada campo. El extremo del vector E define una circunferencia en el espacio. En caso de que las amplitudes de cada componente sean diferentes se obtiene una polarización elíptica. La mayoría de la ondas producidas por una fuente están polarizadas. Por ejemplo las ondas electromagnéticas producidas por una antena dipolar están linealmente polarizadas con el vector campo eléctrico paralelo a la antena. En cambio las ondas producidas por muchas fuentes normalmente no están polarizadas. Una fuente luminosa típica contiene millones de átomos que actúan independientemente dando lugar a luz no polarizada.

Figura 5.16. Onda de luz propagándose según el eje X linealmente polarizada

Figura 5.17. Onda de luz propagándose según el eje X circularmante polarizada


5-22

5.6.1 Polarización por absorción. Algunos cristales cortados adecuadamente presentan la propiedad de transmitir solo la luz polarizada según una dirección

determinada, denominada eje de transmisión. Al incidir luz no polarizada sobre estos cristales, la luz transmitida presentará una campo eléctrico paralelo al eje de transmisión. Si situamos un segundo cristal polarizador cuyo eje de transmisión forma un ángulo θ con el primero, figura 5.18, la componente del campo eléctrico a lo largo del eje de transmisión del segundo polarizador sera Ecosθ, siendo E el campo eléctrico entre

ambos cristales. Dado que sabemos que la intensidad de la onda es proporcional a la amplitud al cuadrado, la intensidad de la luz transmitida por ambos cristales será igual a

θ2

0 cosII = [5.52]

donde I0 es la intensidad sobre el segundo polarizador, denominado analizador, que es la mitad de la intensidad incidente sobre el primer polarizador.

5.6.2 Polarización por reflexión. Cuando luz no polarizada se refleja en una superficie plana entre dos medios transparentes, la luz reflejada está parcialmente

polarizada. El grado de polarización depende del ángulo de incidencia y de los índices de refracción de ambos medios. Brewster descubrió en 1812 que cuando los rayos refractados y reflejados son perpendiculares, la onda reflejada está totalmente polarizada, estando su campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia tal y como se muestra en la figura 5.19. El ángulo de incidencia para el que ocurre este fenómeno se denomina ángulo de polarización θp y su determinación es sencilla a partir de 5.19 donde se observa que pϑϑ −= º902 que

junto a la ley de Snell lleva a

1

2

nn

tg p =θ [5.53]

Figura 5.18. Proceso de polarización por absorción utilizando cristales polarizadores

Figura 5.19. Proceso de polarización por reflexión al incidir la luz sobre la superficie con θp


5-23

Mientras, la luz transmitida está solo parcialmente polarizada debido a que solo se refle ja una pequeña fracción de la luz incidente.

Debido al fenómeno de la polarización de la luz reflejada, las gafas fabricadas

con cristales polarizantes son muy eficaces a la hora de evitar deslumbramientos. La luz reflejada en lagos ó en la nieve presentará un plano de incidencia prácticamente vertical con lo que el campo eléctrico de la luz reflejada será horizontal. Los cristales polarizados con sus ejes de transmisiones verticales absorberán gran parte de la luz reflejada evitando los deslumbramientos. 5.7 Dispersión de la luz La dependencia del índice de refracción de un material con la longitud de onda, y por tanto con la frecuencia, recibe el nombre de dispersión. Para la mayoría de los vidrios ópticos y sustancias transparentes, n disminuye con la longitud de onda según la fórmula de Cauchy

2)(λ

λB

An += [5.54]

donde A y B son constantes a determinar experimentalmente. Cuando un haz de luz blanca incide formando un cierto ángulo sobre un prisma de vidrio, el ángulo de refracción correspondiente a las longitudes de onda más cortas es ligeramente mayor que el correspondiente a las longitudes de onda más largas. Por consiguiente, las longitudes de onda más cortas (violeta) se desvían más que las largas (rojo) dando lugar a la dispersión del haz de luz blanca en sus colores ó longitudes de onda constituyentes, figura 5.20.

Analicemos este fenómeno considerando un prisma óptico como un medio transparente limitado por dos superficies planas que forman un ángulo diedro α. De la marcha del rayo en la figura 5.21 y del triángulo AI1I2 se deduce, teniendo en cuenta que ε2 y ε´2 son negativos y ε1 y ε´1 positivos αεε =− 2

,1 [5.55]

El ángulo δ que forma la proyección del rayo incidente con el emergente se llama desviación angular del rayo y se toma como positiva si al llevar el rayo emergente sobre el incidente se va en sentido antihorario. Para calcular δ basta considerar que es el ángulo externo en el triángulo JI1I2 αεεεεεεδ −−=−+−=+= ´

21´22

´11 )()(2̂1̂ [5.56]


5-24

Figura 5.20. Dispersión de un haz de luz blanca en un prisma dando lugar a sus longitudes de onda,

colores, constituyentes

Si el rayo está compuesto de dos haces monocromáticos λ y λ+dλ, y debido al fenómeno de la dispersión, a la salida del prisma habrá una variación en la desviación de cada uno de los haces denominada dispersión angular dδ, figura 5.22. Para calcular este ángulo diferenciamos [5.55], [5.56] y la ley de Snell considerando que ε1 y α son constantes

2´1 εε dd = , ´

2εδ dd −= 0cos ´

1´1

´1 =+ dnsendn εεε

´2

´2222 coscos εεεεε ddnsendn =+

y operando, junto a [5.55], llegamos a la ecuación

dnsen

d ´2

´1 coscos εε

αδ = [5.57]

Figura 5.21. Difracción de un rayo de luz en las superficies de un prisma

Figura 5.22. El rayo de luz incidente sobre el prisma está compuesto de dos longitudes de onda


5-25

5.8 Absorción de la luz

La absorción de la luz durante su propagación a través de un medio ocurre en caso de que la frecuencia de la onda electromagnética coincida con la frecuencia natural de resonancia de alguna de las cargas presentes en el medio. Sabemos que el campo eléctrico de la onda electromagnética ejercerá una fuerza oscilante sobre las cargas eléctricas, electrones negativos e iones positivos, existentes en el material moviéndolas de su posición de equilibrio. Por tanto aparece una oscilación forzada de las cargas en torno a su posición de equilibrio, situación física ya analizada en el capítulo 1. De este análisis sabemos que para una frecuencia del campo eléctrico igual a la frecuencia natural de oscilación del sistema tendremos resonancia y habrá una absorción por parte del medio de energía electromagnética provocando una atenuación de la luz. La absorción selectiva de ciertas frecuencias es responsable del color de los materiales.

Para un medio de constante dieléctrica relativa εr, permeabilidad magnética

relativa µr y conductividad eléctrica σ, la ecuación diferencial de ondas queda de la forma

2

2

0002

tt rrr ∂∂

+∂∂

=∇EE

E εεµµµσµ [5.58]

que presenta como solución, en forma de onda electromagnética plana propagándose a lo largo del eje x

)( tkxie ω−= 0EE [5.59]

formalmente análoga a las soluciones ya estudiadas, pero en este caso el vector de onda del medio absorbente es un número complejo que vale ωµσµωεεµµ rrr ik 0

200

2 += [5.60]

Recordando la relación entre vector de onda e índice de refracción c

nkω~= ,

introducimos el índice de refracción complejo definido como κinn +=~ [5.61] La parte real del índice de refracción coincide con la definición anteriormente expuesta de índice de refracción en la ecuación [5.35]. La parte imaginaria, denominada coeficiente de extinción κ, da cuenta como veremos de los fenómenos


5-26

de absorción de luz presentes en el material. Introduzcamos en el campo eléctrico dado por la ecuación [5.59] el índice de refracción complejo n~ .

)()~

(),( 00

tcnx

iec

x

et

cxn

ietx

ωωκω

ωω

−−=

−= EEE [5.62]

Es decir una onda de frecuencia ω que se propaga por el medio con una velocidad de fase c/n y una amplitud que se atenua con la longitud de propagación

según el factor cx

e

κω−

.

Sabemos que la intensidad de la onda electromagnética es proporcional al cuadrado de la amplitud con lo que la intensidad de la onda vendrá dada por

xeII α−= 0 [5.63]

donde I0 es la intensidad en x=0 y α es el coeficiente de absorción del material definido como

λπκκω

α42

==c

[5.64]

El coeficiente de absorción es fuertemente dependiente de la frecuencia de la onda electromagnética incidente pudiendo absorberse en el material unos colores y no otros.


5-27

Problemas

1. Una bombilla eléctrica de 50 W emite ondas electromagnéticas uniformemente en todas las direcciones. Calcular la intensidad, la presión de radiación y los campos eléctricos y magnéticos a una distancia de 3 m.

2. La distancia entre los espejos en el dispositivo de Fizeau es de 20 km, la rueda dentada tiene 25 mm de radio y 250 dientes. ¿Cuál debe ser la velocidad de giro de la rueda para que la luz deje de verse?

3. Un rayo de luz que se propaga en el aire entra en el agua con un ángulo de incidencia de 45º. Si el índice de refracción del agua es de 1,33, ¿cuál es el ángulo de refracción?

4. Considerese un haz de luz monocromática con longitud de onda en el vacío de 590 nm. Calcular la longitud de onda de este haz en un vidrio con índice de refracción n=1,5.

5. Una radiación de frecuencia f=5x1014 s-1 se propaga en el agua. Calcular la velocidad de propagación y la longitud de onda de dicha radiación.

6. En el fondo de una vasija llena de líquido de índice de refracción n2 hay un pequeño objeto. La vasija tiene una altura hr. Hallar la altura aparente a la que se encuentra el objeto cuando se mira éste con incidencia normal siendo el índice de refracción del medio donde se encuentra el observador n1.

7. Hallar el desplazamiento que experimenta un rayo de luz al atravesar una lámina de 1 cm de espesor e índice de refracción 1,5 si el rayo incidente forma un ángulo de 45º con la normal.

8. En una lámina plana de cuarzo, n=1,544, de caras paralelas incide un rayo con un ángulo cercano a cero. Calcular el porcentaje de la intensidad luminosa del rayo que emerge a través de la lámina.

9. Un vidrio dado posee un índice de refracción de n=1,5. ¿Cuál es el ángulo crítico para la reflexión total de la luz que sale del vidrio y entra en el aire?

10. Sea una lámina de vidrio, n=1,75, con forma de cuña y rodeada de aire. Calcular el ángulo α que forman las dos caras de la cuña sabiendo que un rayo de luz que incide sobre una de las caras con un ángulo de 30º se refracta sobre la otra según el ángulo crítico.

11. Un rayo de luz incide sobre la cara exterior de un vidrio con índice de refracción 1,655. Sobre la cara superior se condensa un líquido desconocido. La reflexión interna total sobre la superficie vídrio-líquido se produce cuando el ángulo de incidencia en la superficie vídrio-líquido es ≥53,7°. ¿Cuál es el índice de refracción del líquido desconocido? Si se eliminase el líquido, ¿cuál sería el ángulo de incidencia para la reflexión interna total?. Para el ángulo de incidencia hallado en el apartado anterior, ¿cuál es el ángulo de refracción del rayo dentro de la película del líquido? ¿Emergerá un rayo a través de la película del líquido hacia el aire que está encima?

12. Luz no polarizada de intensidad 3 W/m2 incide sobre dos películas polarizadoras cuyos ejes de transmisión forman entre si un ángulo de 60º.¿Cuál es la intensidad de la luz transmitida por la segunda película?


5-28

13. Hallar la velocidad de grupo de un haz de luz en un vidrio óptico que cumple la fórmula de Cauchy.

14. Calcular la variación de desviación que experimenta un rayo luminoso después de atravesar un prisma de vidrio, α=60º y n=1,6, sobre el que incide con un ángulo de 40º cuando el medio que lo rodea cambia de aire a agua.

15. Calcular el ángulo diedro α de un prisma, n=1,5204 para una longitud de onda de λ=656,3 nm, sabiendo que un rayo que incide con un ángulo de 60º se desvía un ángulo de 48º13´30´´.

16. Demostrar que el ángulo de incidencia ε1 sobre un prisma, de ángulo diedro α e índice de refracción n, que hace mínima la desviación δ a la salida del mismo

cumple que 21α

ε nsensen = .

17. Para el prisma del problema 15 se conoce que su índice de refracción para λ=486,1 nm es 1,5293. Calcular la dispersión angular existente al incidir sobre el prisma un haz luminoso, compuesto de dos longitudes de onda, λ=656,3 nm y λ=589,3 nm, con un ángulo de 60º.

18. El índice de refracción complejo del Ge a 400 nm viene dado por 215,2141,4~ in += . Calcular para el Ge a 400 nm la velocidad de fase de la luz y

su coeficiente de absorción.

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