U N I V E R S I T Ä T R E G E N S B U R G

Naturwissenschaftliche Fakultät II -Physik

Anleitung zum AnfängerpraktikumA2

Versuch 5b - Hall-Effekt

25. überarbeitete Auflage (02.07.2016)

Dr. Stephan Giglberger

Prof. Dr. Christian Schüller

Inhaltsverzeichnis

5 Hall-Eekt 3

5.1 Grundsätzliches zum Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

5.1.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5.1.2 Vorkenntnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

5.1.3 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.2 Einführung in die spezielle Problematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

5.2.1 Der Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.2.2 Zusammenfassung der wichtigsten Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . .7

5.3 Fragen und Aufgaben zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

5.4 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

5.4.1 Aufbau und Geräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

5.5 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

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5 Hall-Eekt

5.1 Grundsätzliches zum Versuch

In einem stromdurchflossenen Leiter wird bei Anlegen eines Magnetfeldes senkrecht zur Stromrich-

tung aufgrund der Lorentzkraft eine Spannung senkrecht zu Stromrichtung und Magnetfeld erzeugt.

Die Messung des Halleffekts kann einerseits Aufschluß geben über elektronische Eigenschaften des

untersuchten Leiters oder – bei bekannten elektronischen Eigenschaften – benutzt werden, um Ma-

gnetfelder zu vermessen. In diesem Versuch sollen Sie beides kennenlernen. Die gemessene Hall-

spannung bewegt sich im Bereich von einigen hundert Nanovolt bis zu wenigen Mikrovolt.

5.1.1 Lernziele

Der Student soll

• die grundlegende Bedeutung des Halleffekts für die Festkörperphysik kennenlernen

• elektrische Leitungsmechanismen in Metallen und Halbleitern verstehen

• Ladungsträgerkonzentrationen und - beweglichkeiten in Festkörpern berechnen

• Methoden zur Messung von Magnetfeldern kennenlernen

• Mit Filter- und Entstörungstechniken in physikalischen Messverfahren vertraut werden

5.1.2 Vorkenntnisse

• normaler und anomaler Hall - Effekt, grundlegende Gleichungen

• elektrische Leitfähigkeit in Metallen und Halbleitern

• Störstellenleitung, Eigenleitung, Dotierung

• freies Elektronengas

• Bändermodell

• Elektronen - und Löcherleitung

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Versuch 5b

• Bestimmung der Ladungsträgerkonzentration und der Ladungsträgerbeweglichkeit aus dem

Hallkoeffizienten

• Berechnung der Effektivspannung einer Wechselspannung durch Summe oder Integral

• Magnetische Induktion einer Spannung, Phasenbeziehung

5.1.3 Literatur

• A. C. Beer: The Halleffect and its Applications (edited by Chien and Westgate)

• Bergmann-Schaefer: Bd. 4,1 Kap. 5.3, 84 UC 143 B499

• H. Weiß: Physik und Anwendung galvanomagnetischer Bauelemente

• H. Heywang: Sensorik

• Müller: Bauelemente der Halbleiter-Elektronik

• W. Teichmann: Hallgeneratoren und Feldplatten

• H.-G. Steidle: Die Feldplatte

• Horowitz, Hill: The Art of Electronics (Lock-in detection)

Weiterführende Literatur zum Hall-Effekt finden Sie unter der Signatur 84 UP 5100

5.2 Einführung in die spezielle Problematik

5.2.1 Der Hall-Eekt

Die Bewegungsgleichung eines Kristallelektrons mit dem Impuls~p unter dem Einfluß einer äußeren

Kraft ~F lautet:

~F = ~p oder~F = m∗d~vdt

(5.1)

mit~v: mittlere Geschwindigkeit des Kristallelektrons

Die effektive Massem∗ des Kristallelektrons berücksichtigt, daß sich das Elektron im periodischen

Potential der Gitteratome bewegt. Befindet sich das Elektron im elektrischen Feld~E, so gilt unter

Berücksichtigung von Stoßprozessen im Kristall (Reibung!):

m∗(

ddt

+1τ

)δ~v =−e~E mit τ: mittlere Stoßzeit (5.2)

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Hall-Effekt

Im stationären Fall, d.h.ddt δ~v = 0, ergibt sich die sog. Driftgeschwindigkeit

δ~v =− eτ

m∗~E, (5.3)

wobei die Beziehungeτ

m∗ die Beweglichkeit µ definiert. Ist neben dem elektrischen Feld~E noch ein

magnetisches Feld~B vorhanden, so gilt

m∗(

ddt

+1τ

)δ~v =−e

(~E +δ~v×~B

)(5.4)

Für den stationären Zustand erhält man:

δ~v =− eτ

m∗

(~E +δ~v×~B

)(5.5)

Auflösen von (5.5) in kartesische Koordinaten nach

δvx, δvy, δvz

ergibt mit Verwendung der Stromdichte~j =−neδ~v (n: Ladungsträgerkonzentration) und der Geome-

trie aus Abb.1 (d.h.~B in z-Richtung)~B = (0,0,Bz): jx

jy

=

σxx σxy

σyx σyy

Ex

Ey

=σ0

1+ e2τ2

m∗2 B2

1 − eτ

m∗ Bz

eτ

m∗ Bz 1

Ex

Ey

(5.6)

mit σ0 =ne2τ

m∗ .

Im Magnetfeld ist die elektrische Leitfähigkeit also kein Skalar, sondern ein Tensor, d.h.~j 6 ‖~E für

~B 6= 0. Durch Matrixinversion erhält man aus dem Leitfähigkeitstensor den Widerstandstensorρ

ρ =

ρ0 −RHBz

RHBz ρ0

(5.7)

mit RH =− 1ne undρ0 = σ

−10 . RH heißt derHallkoeffizient.

Bei vorgegebener Richtung des elektrischen Feldes~E ‖ ex bewirkt die Lorenzkraft eine Ablenkung

der Stromdichte~j um denHallwinkel αH = arctan(

1σ0RHBz

). Im Experiment bemüht man sich eine

homogene Stromdichteverteilung zu erreichen, indem man den Strom homogen über die ganze Quer-

schnittsfläched ·h injiziert. Dann ist die Richtung von~j ‖ ex vorgegeben und es ist vorteihafter den

Widerstandstensor zu verwenden.

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Versuch 5b

Abbildung 5.1: Probengeometrie und Definition der Richtungen beim Hall-Effekt

Neben dem longitudinalen elektrischen FeldEx = ρ0 jx wird auch ein transversales elektrisches Feld

Ey = −RHBz jx erzeugt, das sogenannteHallfeld . Es rührt daher, daß durch die Lorenzkraft Elek-

tronen auf einer Seite der Probe angereichert und auf der anderen Seite verarmt werden. Die dabei

auftretendeHallspannung UH = −Eyd = RHBzIh (I ist der Gesamtstrom) wird im Experiment ge-

messen.

Wir bemerken noch, daß die diagonalen Komponentenρxx = ρyy = ρ0 vom Magnetfeld unabhängig

sind, sofern es sich um klassische, freie Elektronen handelt. Dies ändert sich im Bereich des Quan-

tenhalleffekts oder wenn das Metall magnetisch ist. Der Halleffekt (und in speziellen Fällen auch

der Magnetowiderstand) lassen sich bei bekannter Hallkonstante zur Messung von Magnetfeldern

benutzen.

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Hall-Effekt

5.2.2 Zusammenfassung der wichtigsten Beziehungen

n: Ladungsträgerkonzentration

q: Ladung des Ladungsträgers

j: Stromdichte

Driftgeschwindigkeit: ~vDrift = µ~E (5.8)

Beweglichkeit: µ =|~v || ~E |

=qτ

m∗ (5.9)

Leitfähigkeit: σ = qµn (5.10)

spezifischer Widerstand:ρ0 =1

σ0(5.11)

Hall-Koeffizient: RH =1qn

=µ

σ(5.12)

Stromdichte (Ohm’sches Gesetz):~j = σ~E (5.13)

Hinweis: Für die Ladung des Ladungsträgers wurde hier der allgemeine Buchstabeq verwendet. Ist

der Ladungsträger ein Elektron mit einer negativen Ladung, so kann anstelle vonq auch wie bis-

here verwendet werden. In der Halbleiterphysik existieren jedoch auch Ladungsträger mit positiver

Ladung, sog. Löcher, die zum Stromfluss durch Löcherleitung führen.q bezeichnet allgemein eine

Ladung, unabhängig von ihrem Vorzeichen.

5.3 Fragen und Aufgaben zur Vorbereitung

1. Wie hängen qualitativ die Beweglichkeit der Ladungsträger und die erzielbare Hallspannung

zusammen? Was folgt daraus für die Materialien, die man verwenden muß, um optimalen Hall-

effekt zu erhalten?

2. Welche Hallspannung erwarten Sie fürn = 1023cm−3, h = 0,1mm,I = 1A undB = 1 T?

3. Bestätigen Sie, daß die Beziehungen (5.7) aus der Gl. (5.6) folgt!

4. Wie kann man experimentell aus der Messung der Hall-Spannung und der spezifischen Leit-

fähigkeit die Art der Ladungsträger, ihre Konzentration, ihre Beweglichkeit sowie die Driftge-

schwindigkeit bestimmen?

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Versuch 5b

5.4 Versuchsdurchführung

5.4.1 Aufbau und Geräte

Für die Erzeugung des Magnetfeldes stehen Ihnen zwei Spulen (N = 3600) sowie ein Joch mit zwei

Polschuhen zur Verfügung. Die EichkurveB(I) ist in Abb. 5.4 gegeben.

ACHTUNG!

Sie arbeiten in diesem Versuch mit sehr hohen Strömen!

Überlegen Sie sich die Verkabelung sorgfältig,

zeigen Sie Ihrem Betreuer den Schaltungsaufbau

bevor Sie den Strom einschalten!

Probenplatinen:

Beachten Sie die maximal zulässigen Ströme (Steuerstrom kurzfristig: 12A) Die Probenplatten besit-

zen folgende Funktions- und Bedienelemente (Abb. 5.2):

Abbildung 5.2: Probenplatine (hier: Zinkprobe)

1. Probe (Zn bzw.Cu)

2. Abgriff der Hallspannung

3. Kompensationspotentiometer (siehe „Hinweise zur Justierung, Punkt e“)

4. Anschlüsse für den Steuerstrom

Die Probenplatine wird vorsichtig zwischen den Polschuhen eines Elektromagneten gehaltert, daß das

Magnetfeld die Probe durchsetzt.Achten Sie darauf, daß die Probe die Polschuhe nicht berührt!

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Hall-Effekt

Abbildung 5.3: Elektrische Beschaltung der Platinen: Das Potentiometer dient der Kompensation vonHerstellungstoleranzen

Das Magnetfeld wird mittels zweier Spulen auf einem Eisenjoch erzeugt. (Achten Sie auf richtige

Polung der Spulen!).

Wichtige Hinweise zum Messverstärker:

Der Verstärker besitzt einen sehr hohen Eingangswiderstand (1013Ω) in der Betriebsart „Electrome-

ter“. Zur Messung sehr kleiner Spannungen (z.B. Hallspannung) wird der „Low Drift“- Bereich mit

R= 104Ω verwendet.

• Zur Eliminierung hochfrequenter Störsignale wird die Zeitkonstante des Tiefpasses auf 0,3 s

gestellt.

• Nach dem Einschalten des Gerätes benötigt der Verstärker etwa 15 Minuten, um stabile Tem-

peraturverhältnisse im Gerät zu erreichen

• Ein- und Ausgangsspannungen dürfen nicht über dem Wert± 10 V liegen. Ein- und Ausgangs-

spannung haben das selbe Vorzeichen

• Sollte die Ausgangsspannung über± 10 V liegen muss der Verstärkungsfaktor verringert wer-

den. Es dauert eine Weile (bis 1 Minute) bis das Messergebnis stabil angezeigt wird.

Wichtige Hinweise zur Justierung

An der Hall-Probe wird üblicherweise auch dann eine Spannung an den Hallkontakten anliegen wenn

sie nicht vom Magnetfeld durchdrungen ist. Der Grund hierfür ist u.a., dass die Hallkontakte niemals

ganz exakt übereinander liegen sondern systembedingte Toleranzen aufweisen. Der wichtigste Schritt

ist daher die Kompensation dieser Fehlspannung (Bei einer Hallspannung imµV-Bereich fallen auch

kleine Störungen sehr ins Gewicht!).

a. Ziehen Sie das Kabel für den Steuerstrom ab

b. Stellen Sie die Ausgangsspannung des Messverstärkers auf 1V (Kompensationsregler!)

(he = 104Ω, Verstärkung= 105)

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Versuch 5b

c. Nehmen Sie möglichst kurze Kabel vom Abgriff der Hallspannung zum Verstärker und verdril-

len Sie die Kabel, um Störspannungen zu minimieren.

d. Stellen Sie den Steuerstrom auf 15A

e. Drehen Sie nun mit einem kleinen Schraubenziehervorsichtig am Kompensationspotentiome-

ter des Probenhalters bis die Ausgangsspannung des Messverstärkers wiederum 1 V anzeigt.

Wiederholen Sie diese Justierung mehrmals, bevor Sie mit den Messungen beginnen!

5.5 Aufgabenstellung

Messung der Hallspannung:

Die Messung der Hallspannung imµV-Bereich ist aufgrund parasitärer Spannungen (Thermospan-

nung, Induktionsspannung durch Streufelder etc.) nicht trivial.

a. Stellen Sie den Steuerstrom auf den gewünschten Wert ein.

b. Stellen Sie das Magnetfeld auf den gewünschten Wert ein. Zur Erzeugung höherer Ströme oder

Spannungen schließen Sie zwei Netzteile (die „Kleinen“) parallel oder in Reihe.

c. Stellen Sie mit dem Kompensationsregler des Messverstärkers eine Ausgangsspannung von 1,5

V ein.

d. Schalten Sie die Spannungsversorgung für den Magneten aus bzw. ziehen Sie das Kabel ab.

Messen Sie die Spannung mit und ohne angelegtes Magnetfeld. Die Differenz beider Span-

nungswerte geteilt durch den Verstärkungsfaktor (z.B. 105) ist die gewünschte Hallspannung

UH.

e. Wiederholen Sie die Messung mindestens dreimal.

Aufgabenstellung:

1. Messen Sie für die Cu-Probe die Hallspannung in Abhängigkeit vom SteuerstromI (kurzzeitig

max.± 15 A - immer zuvor Strombegrenzung einstellen! Achtung: sobald die Strombegren-

zung erreicht wird liefert das Netzteil keine wirklich saubere Gleichspannung mehr!)

Bestätigen Sie graphischUH ∝ I .

2. Entnehmen Sie derB(I)-Eichung (Abb. 5.4) die Stärke des angelegten Magnetfelds. (Achtung!

Wie wird die Graphik korrekt abgelesen?) Ermitteln Sie mit dem ZusammenhangUH = a+bI

sowied = 36µm den Hall-Koeffizienten von Kupfer.

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Hall-Effekt

3. Ermitteln Sie den Flächenwiderstand der Cu-Probe mittels einer Vierpunktmessung und be-

stimmen Sie daraus die Leitfähigkeitσ . Für die Vierpunktmessung lassen Sie mindestens fünf

unterschiedliche Ströme durch die Steuerstromkontakte fließen und messen dabei den jeweili-

gen Spannungsfall über einer Länge von 10cm. Bestimmen Sie grafisch den Flächenwiderstand

aus derU(I)-Abhängigkeit. Diese Vierpunkt-Messung wird für die Zn-Probe NICHT durchge-

führt!

Bestimmen Sie Ladungsträgerkonzentration (Merken Sie sich die Richtung des Magnetfelds!)

und Beweglichkeit.

4. Messen Sie für die Zn-Probe die Hallspannung in Abhängigkeit vom Magnetfeld bei konstan-

tem Steuerstrom. Bestimmen Sie den Hallkoeffizienten von Zn und die Ladungsträgerkonzen-

tration.

Für die Zn-Probe gilt:σZn = 4.1 ·106 1Ωm. Bestimmen Sie die die Beweglichkeit. Achten Sie

dabei darauf, dass der Steuerstrom in die selbe Richtung fließt wie zuvor bei der Cu-Probe!

Was fällt im Vergleich mit der Kupferprobe auf?

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Versuch 5b

Abbildung 5.4: B(I)-Kurve des Magneten mit N= 3600.

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