1

NEAPIBRöŽTIES SKAI ČIAVIMO PROCEDŪRA

MATAVIMO NEAPIBRöŽTIS- parametras, susietas su matavimo rezultatu ir charakterizuojantis sklaidąreikšmių, gautų matavimo procese, kurios gali būti pagrįstai priskirtos matuojamajam.

2

Matavimo neapibr÷žties atsiradimąsąlygojančios priežastys:

• nepilnas ar nepagrįstas matuojamojo modelio apibr÷žimas (metodo paklaida);

• netikslus matuojamojo apibr÷žimo realizavimas (metodo supaprastinimoįtaka, “instrumentin÷” paklaida);

• nepagrįstas matuojamojo modelio parinkimas;• aplinkos sąlygų (veikiančių į matavimo procesą efektų) nepakankamas

žinojimas ar netinkamai išmatuoti poveikiai; analoginių prietaisųindividualus parodymų dreifas (nulio dreifas, pradin÷s koordinačių pradžios perstūmimas, analoginio kanalo perdavimo koeficiento dreifas);

• baigtin÷ skiriamoji prietaisų geba;• netikslios matavimo etalonų ar etaloninių medžiagų vert÷s;• netikslios konstančių ir kitų parametrų vert÷s, gaunamos iš išorinių šaltinių,

naudojamos duomenų apdorojimo tikslais;• įvairios aproksimacijos ir prielaidos, įvedamos į matavimo metodą ir

metodikas bei procedūras;• pokyčiai matuojamojo pakartotiniuose steb÷jimuose, esant apytikriai

vienodoms sąlygoms.

Neapibr÷žties įvertinimo procesas

3

Neapibr÷žties įvertinimo procesas

Siekiant supaprastinti šią analizę, tariama, kad matavimo priemon÷s naudojimo sąlygos yra panašios įkalibravimo sąlygas, o tai reiškia, kad kalibravimo pataisa yra laikoma vienintele pataisa.

xxk −=∆ 0

Kalibravimas viename taške

4

Atliekami pakartotini matavimai, naudojant etaloną.

Etalono vert÷ taške x0, o neapibr÷žtis U0. Tuomet etalono

standartinę neapibr÷žtį galima išreikšti taip: u0 =

Pakartojus matavimus n kartų, gauname tokį rezultatų

išsibarstymą:

00 kU

Rodmenys

Dažnis

xi x0 ∆k x

Atskaitų aritmetinis vidurkis:

Atskaitų standartinis nuokrypis:

Kalibravimo pataisa:

Šios pataisos įvertinimo sumin÷ standartin÷ neapibr÷žtis:

∑=

=n

iix

nx

1

1

∑=

−−

=n

iii xx

nx

1

2)(1

1)(σ

xxk −=∆ 0

n

xxuu i

k

)()()(

2

02 σ

+=∆∑

5

Jeigu matavimo priemon÷ yra naudojama tomis pačiomis kaip ir kalibravimo sąlygomis, tačiau skirtumas tas, kad ja matuojami nežinomi dydžiai, tai gauti rodmenys turi būti ištaisyti, panaudojant kalibravimo pataisą:

čia j- matavimų skaičius, kintantis nuo 1 iki m, - rodmenųaritmetinis vidurkis be pataisos.

Matavimo neapibr÷žtis šiam atvejui:

kjj xx ∆+=

jx

m

x

n

xxuu ji

k

)()()()(

22

02 σσ

++=∆

VISOS SKALöS KALIBRAVIMAS

6

Matavimo priemon÷s matavimo sritis suskirstoma tolygiai ir kalibruojami atskiri šios srities taškai.

Jeigu kalibravimo taškų skaičius j, o kiekviename taške atliekama i matavimų, kurių skaičius kinta nuo 1 iki n, galime apskaičiuoti sekančius dydžius:

-itasis rodmuo j-tajame taške;

- rodmenų vidurkis j-tajame taške;

- kalibravimo pataisa j-tajame taške;

- kalibravimo pataisos standartin÷ neapibr÷žtis j-tajame taške.

jix ,

jx

kj∆

)( kju ∆

Apskaičiuojamas kalibravimo taškų pataisų vidurkis:

Jeigu matavimo priemon÷ištaisoma su šia verte visuose taškuose, gaunama pataisa:

∑=

∆=∆m

jkjkj m

1

1

kjkjjprk ∆−∆=∆ ..

x1 x2

kj∆1k∆ 2k∆

prk.∆

xj

7

Ši pataisa įtraukiama į neapibr÷žtį, panaudojant Gauso skirstinį.

Taigi neapibr÷žtis kiekviename kalibravimo taške lygi:

Visai matavimo priemonei priskiriama atskiruose taškuose gautų verčių aukščiausia vert÷.

9

)()()(

..22

02

..jprkji

jjprk n

xxuu

∆++=∆

σ

Atliekant matavimus su tokia matavimo priemone, bus gauta tokia vert÷:

čia - rodmenų aritmetinis vidurkis be pataisos j-tajame taške.

Matavimo neapibr÷žtis šiam atvejui:

jprkjxx ..' ∆+=

9

)()()()(

..222

02

..jprkjij

jprk m

x

n

xxuu

∆+++=∆

σσ

'jx

8

Neapibr÷žties skaičiavimo eiga

• Užrašyti matematinę matuojamojo (iš÷jimo dydžio) Y priklausomybę nuo į÷jimo dydžių: Y= f(X1, X2,….Xi)

Jeigu palyginamos dvi matavimo priemon÷s arba matai, Y= X+∆X

Dažniausiai tai- analitinių išraiškų grup÷, apimanti sistemingųjų poveikių pataisas ir pataisos koeficientus.

2. Nustatyti visas reikiamas pataisas ir pataisos koficientusir juos įvesti.

9

Sl÷gio matavimo stūmokliniais manometrais išraiška :

( )

( ) ( )[ ];

20t1p1A

lQgAhg1m

pv20,0

oroskvvvoro

−++

⋅+−⋅⋅+

∑

−

=αλ

ρρρ

ρ

čia m- stūmoklio ir cilindro mas÷;ρoro, ρ, ρsk- oro, svarsčiųmedžiagų, darbinio skysčio tankiai;gv – vietinis Žem÷s traukos pagreitis;h – skysčio lygių skirtumas;A – darbinis stūmoklio plotas;Q- darbinio skysčio įtempis;l – darbinio stūmoklio ploto apskritimo ilgis;λ - cilindro ir stūmoklio poros deformacijos koeficientas;α- cilindro ir stūmoklio poros šiluminis pl÷timosi koeficientas;t – temperatūra.

Spektro analizatoriaus įtampos efektin÷ reikšm÷, kalibruojant spektro analizatorių, lygi:

Vet2- multimetroįtampa iš kalibravimo liudijimo,Vm- išmatuota įtampa,δet1- kalibratoriaus įtampa,δT1- kalibratoriaus įtampos variacija d÷l temperatūros

poveikio,δT2- multimetro įtampos variacija d÷l temperatūros

poveikio,δsg- skiriamoji multimetro geba.

sgTTetvmetx VVVV δδδδ ++++−+= 2112

10

3. Išryškinti visus neapibr÷žties šaltinius ir jų pobūdį.

Pagal skaičiavimo būdą įvairių dydžių standartin÷s neapibr÷žtys gali būti priskiriamos A arba B tipui:

• A- standartin÷s neapibr÷žtys apskaičiuojamos tiesiogiai einamojo matavimo proceso metu, naudojant statistinę daugkartinių matavimų(steb÷jimų) analizę;

• B- standartin÷s neapibr÷žtys įvertinamos naudojant kitus metodus, skirtingus nuo eksperimento serijųstatistin÷s analiz÷s, pagrįstus kitomis mokslin÷mis žiniomis.

11

A tipo standartin÷ neapibr÷žtis gaunama iš tikimybin÷s tankio funkcijos, kuri išvedama iš duomenų dažnio pasiskirstymo.

Dažniausiai sutinkamas Gauso arba normalusis pasiskirstymas.

B tipo standartin÷ neapibr÷žtis įvertinama mokslin÷s analiz÷s keliu, pasinaudojant visa prieinama informacija apie galimą dydžio nepastovumą, nestabilumą, kintamumą.

Standartin÷s neapibr÷žtys gali būti apskaičiuotos iš:- ankstesnių matavimų duomenų,- patyrimo ar bendrų žinių apie atitinkamų medžiagų ar prietaisų savybes,- gamintojų dokumentuose pateikiamos informacijos,kalibravimo ar kitų sertifikatų duomenų,- žinynų.

12

Gerai pagrįstas B tipo standartin÷s neapibr÷žties įvertinimas gali būti taip pat patikimas, kaip ir A tipo, ypač matavimų atvejais, kai A tipo įverčiai remiasi palyginti maža nepriklausomų steb÷jimų statistika.

4. Užrašyti visas neapibr÷žtis įvertinimo duomenųlentel÷je.

Sumin÷s standartin÷s neapibr÷žtiessandas

Wi u(Xi)

Įtakos koeficientas

Wi

Tikimybinis pasiskirstymas

Standartin÷neapibr÷žtis

u(Xi)

Įvertisxi

Dydis Xi

13

5. Dalis duomenų gaunama tiesioginių matavimų keliu, jųneapibr÷žtis nustatoma iš eksperimentinių duomenų.Apskaičiuojamas rodmenų aritmetinis vidurkis, o po to eksperimentinis standartinis aritmetinio vidurkio nuokrypis, priskiriamas standartinei neapibr÷žčiai.

MATAVIM Ų SKAIČIAUS PASIRINKIMAS

Did÷jant pakartotųmatavimų skaičiui matavimų neapibr÷žtismaž÷ja.

Matavimų skaičių lemia atliekamųmatavimų kaina ir reikalavimai neapibr÷žčiai. Paprastai matavimų skaičius kinta nuo 3 iki 10.

14

6. Apskaičiuoti B tipo į÷jimo dydžių standartiniųneapibr÷žčių vertes, remiantis duomenimis iš ankstesniųmatavimų ar literatūros.

B neapibr÷žčių vertinimo būdas taip pat pagrįstas tikimybių pasiskirstymo d÷sningumais.

Standartin÷ neapibr÷žtis apskaičiuojama pri÷mus tikimyb÷s tankio funkciją.

15

Dažniausiai pasitaikantys sklaidos d÷sniai (nusako ryšįtarp atsitiktinių dydžių reikšmių ir jų pasirodymo tikimyb÷s tam tikrame intervale):

Jeigu sunku nustatyti d÷snį, mažiausiai paklaidų bus įnešama, priimant stačiakampį d÷snį.

3

16

1

3

1

2

1 1λ

Jei gali būti įvertintos tik viršutin÷ ir apatin÷ a- ir a+ dydžio Xi

ribos (prietaiso gamintojo techniniai dokumentai, temperatūrųintervalas), šiam intervalui rekomenduotinas vienodųtikimybių pasiskirstymas- stačiakampis Xi sklaidos d÷snis.

( )−+ += aax i 2

1

( ) ( )22

12

1−+ −= aaxiBσ

Jei skirtumas tarp ribinių reikšmių lygus 2a, pastaroji išraiška įgauna pavidalą:

( ) 22

3

1axiB =σ

16

Tarkime žinoma, kad termometro padalos vert÷ 0.1oC.

Priimame, kad temperatūros matavimo paklaidaatitinkamame taške ±0,1oC. Standartin÷ neapibr÷žtisapskaičiuojama, pri÷mus stačiakampį sklaidos d÷snį, taip:

3

au =

Esant trikampiam arba Simpsono d÷sniui, jei ribųreikšm÷s b ir c:

( )cbxi +=2

1

( ) ( )22

24

1cbxiB −=σ

ir kitu atveju , jei b-c=2a( ) 22

6

1axiB =σ

17

Jei Xi reikšmių išsid÷stymas yra normalusis arba Gauso, o jo reikšmių sklaidos intervalas yra |δ|=3σ, kas atitinka daugumos elektroninių matavimopriemonių paklaidos normavimą, kai p=0,9973, ar taip vadinamą “trij ų sigma” ribą, matuojamasis yra lygus vidutinei reikšmei xi=a, o atitinkama standartin÷ neapibr÷žtis:

( ) δσ3

1=iB x

Tarkime žinoma, kad pagal kalibravimo liudijimąetaloninio rezistoriaus santykin÷ išpl÷stin÷ neapibr÷žtisU=±1,55x10-6 esant 95% (k=2) pasikliovimo lygmeniui

Standartin÷ neapibr÷žtis šiuo atveju apskaičiuojama taip: u = U/2.

18

Jei lauktinas reikšmių išsid÷stymas pagal ribas-pirmenybę reiktų atiduoti bimodaliniamspasiskirstymams.

Esant arccosinus d÷sniui, kai dydžio Xi kitimo ribos ± a, įvertis xi lygus 0, o dispersija ir atitinkantineapibr÷žtis lygios:

( ) ,2

22 a

xiB =σ ( ) ,2

axiB =σ

Bimodalinio diskretinio d÷snio atveju, kai yra dvi simetrin÷s reikšm÷s ± α su vienoda tikimybe

,0=ix ( ) .ασ =iB x

19

7. Apskaičiuoti visų standartinių neapibr÷žčių įtakos koeficientus.

Absoliutinis įtakos koeficientas išreiškiamas taip:

ii x

FW

∂

∂=

Santykinis įtakos koeficientas išreiškiamas taip:

∂∂

=F

x

x

FW i

ii

20

Kalibravimo modelis:

RE- etaloninio rezistoriaus varža (iš kalibravimo liudijimo);

Rt- varžos pokytis d÷l tepalo vonios temperatūros nuokrypio;

Ux- įtampa Rx gnybtuose;

Ue- įtampa Re gnybtuose.

Extex UURRR /)( ⋅+=

E

x

e

xi U

U

R

RW =

∂∂

=

( ) xteE

Eexi

ii URRU

URU

F

x

x

FW

−⋅⋅⋅

=

∂∂

=

8. Apskaičiuoti suminę standartinę neapibr÷žtį.

Sumin÷ standartin÷ neapibr÷žtis apskaičiuojama taip:

∑=

=∑

n

iini xuWyu

1

22 )()(

21

Koreliuotų dydžių atvejis

Jei žinoma, kad du į÷jimo dydžiai Xi ir Xk yra koreliuoti, t.y. jie vienas nuo kito priklauso tam tikru laipsniu, šių įverčių kovariacija būtinai pasireikšneapibr÷žtiesįvertinime.

Koreliacijos efektų įvertinimo galimyb÷s priklauso nuo to, kiek gerai žinomas matavimo procesas ir informacija apie į÷jimo dydžių tarpusavio priklausomybę.

Dviejų dydžių kovariacija gali būti lygi nuliui ar laikoma nereikšminga, jei:

• Į÷jimo dydžiai yra nepriklausomi, kadangi pasikartoja, bet ne vienu metu, nepriklausomuose eksperimentuose.

• Vienas iš dydžių gali būti laikomas pastoviu.• N÷ra pakankamos informacijos, kad įvertinti įverčių

kovariaciją.

Koreliacijos efektų galima išvengti atitinkamai parinkus matavimo modelį.

22

Koreliuotų dydžių atvejis

Dviejų įverčių xi ir xk kovariacija duoda papildomąind÷lį į neapibr÷žtį.

),()()(),( kikiki XXrXXXX σσσ ⋅=

Koreliacijos laipsnį nusako koreliacijos koeficientas r,-1 < r < 1.

Jei yra dydžių P ir Q n nepriklausomų pakartotinųsteb÷jimų porų, gali būti rasta eksperimentin÷kovarijacija tarp ir .

.))(()1(

1),(

1∑=

−−−

=n

jjj QQPP

nnQPσ

Pakeitimo būdu galima nustatyti r reikšmę .Įeinantiems įtakojantiems dydžiams bet kuris koreliacijos laipsnis nustatomas iš patirties.

Q P

23

Jei žinoma, kad du į÷jimo dydžiai Xi ir Xk yra koreliuoti, jų sumin÷ neapibr÷žtis išreiškiama taip:

),()()(2)()()( 22kikiki XXryyyyy σσσσσ ⋅++=∑

Jei r(Xi, Xk)=1, 2))()(()( ki yyy σσσ +=∑

Jei r(Xi, Xk)=-1, 2))()(()( ki yyy σσσ −=∑

9. Aptarti ir parinkti sumin÷s neapibr÷žties sklaidos d÷snįir atitinkantį suminio sklaidos d÷snio koeficientą k.

24

Suminio sklaidos d÷snio parinkimo praktiniai patarimai:

• jeigu u∑ sudaro daug vienodo lygio dedamųjų,

nepriklausomai nuo į÷jimo dydžių sklaidos d÷snių,

turime normalųjį (Gauso) pasiskirstymą. Dažniausiai k

priimamas 2, kai p=95% arba 3, kai p=99,7%.

1,960,95

1,600,902,050,96

1,640,912,170,97

1,750,922,330,998

1,810,932,580,99

1,880,943,000,9973

K arbaα∑pK arbaα∑p

Suminio sklaidos d÷snio parinkimo praktiniai patarimai:

• jeigu u∑ sudaro daug komponenčių, o viena arba kelios

iš jų turi normalųjį d÷snį ir ryškiai išsiskiria iš kitų savo

dydžiu, turime normalųjį (Gauso) pasiskirstymą.

25

Suminio sklaidos d÷snio parinkimo praktiniai patarimai:

• jeigu u∑ sudaro daug dedamųjų ir viena iš jų ryškiai išsiskiria ir

turi stačiakampį d÷snį, turime stačiakampį pasiskirstymą. Tuomet

k=1,73 bet kokiai p.

Suminio sklaidos d÷snio parinkimo praktiniai patarimai:

• jeigu u∑ sudaro du dominuojantys, turintys stačiakampį

d÷snį, turime trikampį pasiskirstymą. Tuomet k=1,8 bet

kokiai p.

Siekiant tikslesnio įvertinimo galima būtų pasinaudoti P.Novickio pateiktomis aproksimacijos išraiškomis, kurios su paklaida (4÷8)% leidžia iš apytikslių formos įvertinimų gauti patikslintas k reikšmes. Tačiau šiuo ir kitais atvejais būtina prognozuoti sumin÷s neapibr÷žtiessklaidos d÷snį.

26

Nuo ”efektyvaus” laisv÷s laipsnio priklauso rezultato standartin÷s neapibr÷žties patikimumas.

Koeficientas k gali būti apskaičiuojamas pasinaudojant ”efektyviu” laisv÷s laipsniu.

Priešingu atveju ISO Vadovas ir EAL rekomenduojanustatyti “efektyvų” laisv÷s laipsnių skaičių, naudojantis Welch-Satterthwaite formule:

Jeigu yra nustatomi visi faktoriai, prisidedantys prie neapibr÷žties, atlikus 10 arba daugiau steb÷jimų, panaudojant “A tipo” vertinimus, rezultato standartin÷neapibr÷žtis bus pakankamai patikima ir gali būti naudojamas k=2.

∑=

=n

i i

ieff

v

yu

yuv

1

4

4

)(

)(

27

Siekiant suderinti matavimo rezultatų išpl÷stinęneapibr÷žtį, EAL rekomenduoja apr÷pties koeficientąpasirinkti taip, kad išpl÷stin÷ neapibr÷žtis būtųnustatoma su mažesne kaip 95% apr÷pties tikimybe. Daugeliu atveju k=2.

kur “A tipo” vertinimai duoda v=n-1 laipsn÷s laipsnių ir “B tipo” vertinimai, kurie paprastai atliekami labai tiksliai, turi tiek daug laisv÷s laipsnių, kad praktiškai yra laikoma, kad vi→ ∞.

Vert÷s yra pateikiamos lentel÷je. Jeigu veff n÷ra sveikasis skaičius, kas paprastai atsitinka, tuomet veff

bus laikomas artimiausias žemesnis sveikasis skaičius.

Iš efektyvių laisv÷s laipsnių skaičiaus yra nustatomas koeficientas k t-skirstinio, įvertinto 95% apr÷ptiestikimybei, pagrindu.

2,002,052,132,282,372,43k

∞50201087veff

2,522,652,873,314,5313,97k

654321veff

28

10. Apskaičiuoti išpl÷stinę neapibr÷žtį.

Išpl÷stin÷ neapibr÷žtis- yra kiekybinis dydis, nusakantis matuojamojo verčių sklaidos intervalą, kur gali būti laukiama esant didžiąjai daliai verčių, kurios pagrįstai gali būti priskirtos matuojamajam, esant pasirinktam pasikliautinumo lygiui. Ji apskaičiuojama taip:

)()( yukyU ∑∑ ⋅=

Suminio sklaidos d÷snio koeficientas nustato sumin÷s standartin÷s neapibr÷žties išpl÷timo ribas užduotai tikimybei p ir priklauso nuo prognozuojamo suminio neapibr÷žties sklaidos d÷snio.

29

Intervalas U paprastai statistiniu požiūriu n÷ra pasikliovimo intervalas, o greičiau intervalas apie matavimo rezultatą, apimantis didelę tikimyb÷s skirstinio, kurį apibr÷žia šis rezultatas ir jo sud÷tin÷standartin÷ neapibr÷žtis, dalį p, kur p- apr÷ptiestikimyb÷ arba pasikliovimo intervalo lygmuo.

11. Tinkamai pateikti matavimo (kalibravimo) rezultatą.

30

Kalibravimo rezultatų pateikimas:

paklaida, pataisa arba rodmuo kalibruojamame taške ± išpl÷stin÷ neapibr÷žtis U su pasikliovimo lygmenimi p.

PASIKLIOVIMO LYGMENS PASIRINKIMAS

Pasikliovimo lygmuo nurodo tikimybę, kad matuojamojo dydžio vert÷ bus nustatytame intervale apie priskirtąją vertę.

Jis gali kisti nuo 0% iki 100%. 100% pasikliovimo lygmuo reiškia, kad tikroji vert÷ tikrai yra nustatytame intervale.

Jeigu ketiname neapibr÷žtį nustatyti aukštesniame pasikliovimo lygmenyje, vert÷ did÷ja ir neapibr÷žties dydis taip pat did÷s. Kai pasikliovimo lygmuo pernelyg didelis, neapibr÷žtis tampa per didel÷ ir praranda savo informacijos turinį, ypač tada, kai matavimų skaičius mažas.

31

D÷l pernelyg mažo pasikliovimo lygmens galima sudaryti klaidingąnuomonę apie matavimo rezultato kokybę, nes apskaičiuota neapibr÷žtis bus maža.

Paprastai 95% pasikliovimo lygmuo atitinka įprastinįmatavimo pritaikomumą. Aukštesnis kaip 99.73% pasikliovimo lygmuo paprastai reikalaujamas tik labai specifiniams matavimams.

Pateikiant matavimo rezultatus kalibravimo liudijime, susiduriama su gana didele išraiškos formų įvairove. Be to, ne visuomet pateikiami visi vartotojui reikalingi duomenys.

Rekomenduojama pateikti vardinį kalibruojamojo objekto dydį, matavimo sąlygas, matavimo rezultatą ir išpl÷stinę neapibr÷žtį. Pateikiant išpl÷stinę neapibr÷žtį, turi būti nurodytas koeficientas k ir pasikliovimo tikimyb÷. Jeigu naudojamas tik A tipo neapibr÷žties nustatymo variantas, pageidaujama nurodyti ir efektyvų laisv÷s laipsnių skaičių. Matavimo neapibr÷žtispateikiama dviejų reikšminių skaičių tikslumu. Duomenys pateikiami visiems kalibruojamiems prietaiso skal÷s taškams.

32

Rekomendacijos d÷l paklaidų ar pataisų ženklųpateikimo tvarkos kalibravimo liudijimuose

Sistemingoji paklaida- skirtumas tarp vidurkio, gauto atliekant daugkartinius to paties fizikinio dydžio matavimus, ir “tikrosios” matuojamojo dydžio vert÷s.Dydis, skaitine reikšme lygus sistemingajai paklaidai, bet turintis priešingą ženklą, vadinamas pataisa.

Siekiant išvengti neteisingo kalibravimo rezultatųinterpretavimo, kalibravimo liudijimuose reikia - aiškiai ir nedviprasmiškai nurodyti pateiktų dydžiųprasmę (paklaida ar pataisa),- pateikti tik paklaidas arba tik pataisas,- aiškiai nurodyti paklaidų ar pataisų ženklus.Atsižvelgiant į Lietuvoje nusistov÷jusią praktiką, rekomenduojama nurodyti tik neigiamus paklaidų ar pataisų ženklus.