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Física más allá del Modelo Estándar John Vo Medina Teorías Gauge de las Interacciones Fundamentales 2 º curso de Máster en Física Fundamental Universidad Complutense de Madrid

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Física más allá del Modelo Estándar

John Vo MedinaTeorías Gauge de las

Interacciones Fundamentales

2º curso de Máster en Física Fundamental

Universidad Complutense de Madrid

Neutrinos

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Indice

1. El sector electrodebil del Modelo Estandar 11.1. Interacciones y corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Masas fermionicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Mezcla quarkonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Modelos para masas de neutrinos 72.1. Masas de tipo Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Masas de tipo Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Mecanismo del Balancın (See-saw mechanism) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. La matriz de mezcla leptonica 113.1. Parametrizacion de la matriz PMNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2. Invariantes bajo cambio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Oscilacion de neutrinos 134.1. Derivacion estandar de las probabilidades de oscilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Simetrıas y violacion de CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3. Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. ¿Oscilan los leptones cargados? 19

6. La violacion del CP y la asimetrıa materia-antimateria 196.1. Bariogenesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2. Bariogenesis vıa leptogenesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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1. El sector electrodebil del Modelo Estandar

Puesto que el cometido es hablar de neutrinos, parece natural empezar por analizar el marco teoricoen el que han estado inmersos hasta ahora. Esto nos ayudara a identificar bien por que los descubrimien-tos experimentales, como pueden ser las oscilaciones de neutrinos, hacen que dicho marco teorico se hayaquedado incompleto, y como podemos ampliarlo extendiendo el Modelo Estandar.

En primer lugar cabe recordar como representamos a las partıculas elementales en el Modelo Estandar,y para ellos nos valemos del siguiente esquema:

donde I es el isospin debil, I3 es su tercera componente, Y es la hipercarga; y Q = I3 + Y /2 es la cargaelectrica, que viene determinada por la relacion de Gell-Man y Nishijima.

Como podemos apreciar, las componentes levogiras 1 se comportan como dobletes bajo el grupo SU(2);mientras que las componentes dextrogiras se comportan como simples singletes bajo el mismo grupo desimetrıa. Otra particularidad es que en el Modelo Estandar no aparecen neutrinos dextrogiros, ya que noexisten (aunque hay toda una factorıa de teorıas que manejan su existencia). Por esa misma razon, se con-sideran con masa nula dentro de dicho contexto2

Puesto que suponemos al lector familiarizado con el Modelo Estandar, iremos directamente al la-grangiano del sector electrodebil, ya generalizado para las 3 generaciones o familias que se conocen hastael momento:

LEW = i∑

α=e,µ,τ

L′αL /DL′αL + i

∑α=1,2,3

Q′αL /DQ′αL + i

∑α=e,µ,τ

l′αR /Dl′αR + i

∑α=d,s,b

qD ′αR /DqD ′αR + i

∑α=u,c,t

qU ′αR /DqU ′αR−

−14AµνA

µν − 14BµνB

µν +[(DρΦ)†(DρΦ)−µ2Φ†Φ −λ(Φ†Φ)2

]−

−∑

α,β=e,µ,τ

(Y ′lαβL

′αLΦl

′βR +Y ′l∗αβ l

′βRΦ

†L′αL

)−

−∑

α=1,2,3

∑β=d,s,b

(Y ′DαβQ

′αLΦq

′DβR +Y ′D∗αβ q

′DβRΦ

†Q′αL

)−

∑α=1,2,3

∑β=u,c,t

(Y ′UαβQ

′αLΦq

′UβR +Y ′U∗αβ q

′UβRΦ

†Q′αL

)(1)

1Recordamos que los operadores quirales son PL,R ≡ P∓ = 12 (1∓γ5), siendo levogiro PL y dextrogiro PR

2No es posible formar terminos de masa de tipo Dirac utilizando unicamente componentes levogiras

1

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donde vemos que en la primera lınea estan los terminos cineticos para campos levogiros y dextrogiros,quarks y leptones. En la segunda lınea vemos la parte de autoacoplamientos de los campos gauge, dondehemos introducido la siguiente notacion vectorial Aµν = (A1

µν ,A2µν ,A

3µν) y Bµν = (B1

µν ,B2µν ,B

3µν). La parte en-

tre corchetes de la segunda lınea es el lagrangiano del campo de Higgs que genera la ruptura de simetrıaespontanea. Por ultimo, el resto de lıneas contienen las partes de acoplamientos de Yukawa fermionicosque generan las masas de los fermiones y la mezcla de quarks.

1.1. Interacciones y corrientes

La parte de interaccion electromagnetica que se obtiene a partir de la parte cinetica del lagrangiano dela ecuacion (1) es:

L(γ)I = −ejργAρ j

ργ = j

ργ,L + j

ργ,Q (2)

donde la corriente electromagnetica total se divide en las corrientes electromagneticas leptonica yquarkonica son:

jργ,L = −

∑α=e,µ,τ

l′αγρl′α j

ργ,Q =

23

∑α=u,c,t

q′Uα γρq′Uα −

13

∑α=d,s,b

q′Dα γρq′Dα (3)

La parte de interaccion debil con corriente cargada que obtenemos de forma analoga a la electro-magnetica del lagrangiano de la ecuacion (1) es:

L(CC)I = −

g

2√

2jρWWρ +H.c. j

ρW = j

ρW ,L + j

ρW ,Q (4)

donde la corriente cargada fermionica se divide, al igual que en el caso electromagnetico, en una parteleptonica y otra quarkonica, que se pueden escribir ası:

jρW ,L = 2

(ν′eLγ

ρe′L + ν′µLγρµ′L + ν′τLγ

ρτ ′L

)jρW ,Q = 2

(u′Lγ

ρd′L + c′µLγρs′L + t′τLγ

ρb′L

)(5)

Por ultimo, la parte de interaccion debil con corriente neutra sera:

L(Z)I = −

g

2cosθWjρZZρ j

ρZ = j

ρZ,L + j

ρZ,Q (6)

donde, analogamente a los casos anteriores, la corriente neutra debil total puede dividirse en una parteleptonica y quarkonica:

jρZ,L = 2gνL

∑α=e,µ,τ

ν′αLγρν′αL + 2

∑α=e,µ,τ

(g lLl′αLγ

ρl′αL + g lRl′αRγ

ρl′αR

)(7)

jρZ,Q = 2

∑α=u,c,t

(gUL q

′UαLγ

ρq′UαL + gUR q′UαRγ

ρq′UαR

)+ 2

∑α=d,s,b

(gDL q

′DαLγ

ρq′DαL + gDR q′DαRγ

ρq′DαR

)(8)

donde q′U(u,c,t)L ≡ u′l , c′L, t′L y q′D(d,s,b)L ≡ d

′l , s′L,b′L, y donde las constantes de acoplamiento fermionicas para

un fermion determinado suelen venir dados por gfL = If3 − qf sin2θW y gfR = −qf sin2θW obteniendo la

siguiente tabla de valores:

2

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Y recordamos que el campo de Higgs tiene las siguientes caracterısticas:

1.2. Masas fermionicas

En el Modelo Estandar, la masa de los fermiones surge como resultado del mecanismo de Higgs trasla ruptura espontanea de simetrıa; a traves de la presencia de acoplamientos de Yukawa de los camposfermionicos con el doblete de Higgs.

Empecemos primero con las masas fermionicas. Como sabemos, una masa fermionica debe tener unacoplamiento entre una componente levogira y una dextrogira; y es por esto que los neutrinos no tienenmasa en el ME, ya que no existe su componente dextrogira. Si nos vamos a los leptones cargados, losproductos L′αLl

′βR donde α,β = e,µ,τ son dobletes de isospin debil con hipercarga Y = −1. Como el doblete

de Higgs tiene hipercarga Y = +1, el lagrangiano higgs-lepton de Yukawa

LH−L = −∑

α,β=e,µ,τ

Y ′lαβL′αLΦl

′βR +H.c. (9)

es invariante bajo transformaciones de pertenecientes al grupo de simetrıa gauge SU (2)L ×U (1)Y , yaparece en la tercera lınea de la ecuacion (1).

La matriz Y ′l de acoplamientos de Yukawa es, en general, una matriz compleja 3× 3. En el gauge uni-tario, el doblete de Higgs tiene la forma

Φ(x) =1√

2

(0

υ+H(x)

)(10)

y la ecuacion (10) se transforma en

LH−L = −(υ+H√

2

) ∑α,β=e,µ,τ

Y ′lαβl′αLl′βR +H.c. (11)

donde υ es el valor esperado del vacıo (VEV) del doblete de Higgs, que genera la ruptura de simetrıaespontanea dentro del mecanismo de Higgs. Como podemos observar, el termino proporcional al VEV, esun termino de masa para el fermion cargado; mientras que el termino proporcional al campo bosonico H,proporcionan acoplamientos cubicos entre los leptones cargados y el boson de Higgs.

3

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Con todo, puesto que la matriz de acoplamientos Y ′l es no diagonal en general, los campos e′ ,µ′ y τ ′ notienen unas masas bien definidas3. Es por esto que, con tal de encontrar unos campos leptonicos cargadoscon masas bien definidas, se hace necesario diagonalizar la matriz de acoplamientos de Yukawa.

Para llevar a cabo esta tarea, conviene definir los campos leptonicos cargados ası:

l’L ≡

e′Lµ′Lτ ′L

l’R ≡

e′Rµ′Rτ ′R

(12)

y con esta notacion, la ecuacion 11 puede quedar escrita matricialmente ası:

LH−L = −(υ+H√

2

)l’LY

′ll’R +H.c. (13)

La matriz Y ′l puede ser diagonalizada a traves de una transformacion biunitaria:

V lL†Y ′lV lR = Y l Y lαβ = ylαδαβ α = e,µ,τ (14)

donde aquı V lL y V lR son dos matrices apropiadas, 3× 3 y unitarias.

Esta diagonalizacion nos lleva a

LH−L = −(υ+H√

2

)lLY

llR +H.c. (15)

donde ahora

lL ≡

eLµLτL

lR ≡

eRµRτR

(16)

que son los campos fermionicos, ahora sı con las masas bien definidas. Finalmente, la ecuacion (15)puede ser reescrita ası:

LH−L = −∑

α=e,µ,τ

ylαυ√2lαlα −

∑α=e,µ,τ

ylα√2lαlαH lα ≡ lαL + lαR (17)

donde vemos el verdadero caracter de una partıcula elemental, que es la suma de sus partes dextrogira

y levogira. Con todo, podemos ver que el primer termino son de tipo masa, con masas mα = ylαυ√2

, donde

α = e,µ,τ . Puesto que los acoplamientos de yukawa yle,µ,τ son parametros desconocidos del ME, las masas delos leptones cargados no pueden ser predecidas y deben ser obtenidas por vıa experimental, con lo cual sinos remitimos a los ultimos resultados de ATLAS y CMS que apuntan hacia que hay una partıcula bosonicacon masa alrededor de los 125 GeV compatible con el Higgs del Modelo Estandar Mımimo (MSM), aunqueeste se descubriera sigue sin explicar del todo las masas fermionicas, ya que los acoplamientos de yukawase tienen que determinar experimentalmente. Aun ası, configura unos de los grandes hitos de la fısica departıculas ya que habrıamos encontrado una pieza fundamental dentro del puzzle de la materia.

Algo interesante tambien que se puede ver en el segundo termino de la ecuacion (17) es que losacoplamientos cubicos entre leptones cargados y el Higgs son proporcionales a las masas leptonicas (fijandoseque ylα/

√2 =mα/υ). Con esto, los neutrinos al tener masa nula en el ME, no se acoplan al Higgs.

3Por eso venimos arrastrando la notacion con un apostrofo para los campos fermionicos que aun no tienen masa bien definida.Los campos sin apostrofo seran los que tengan una masa bien definida

4

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Si ahora definimos los campos neutrınicos ası:

νL = V lL†ν′L ≡

νeLνµLντL

(18)

podemos comprobar que la corriente cargada debil leptonica puede escribirse matrcialmente como(utilizando que las matrices V son unitarias)

jρW ,L = 2νLγ

ρlL = 2∑

α=e,µ,τ

ναLγρlαL (19)

en terminos de los campos neutrınicos sin masa, νe,νµ,ντ y los campos leptonicos cargados con masabien definida. En el ME, los campos neutrınicos son llamados campos neutrınicos de sabor, ya que cadauno de ellos se acopla con su correspondiente campo leptonico cargado a traves de la anterior ecuacionpara la corriente cargada debil. Asimismo, en el ME los campos neutrınicos de sabor son tambien autoes-tados de masa. Mas adelante veremos como en teorıas por encima del ME, los neutrinos sı tienen masa ylos autoestados de sabor no coinciden con los de masa, dando lugar a la llamada mezcla neutrınica, fuentedel fenomeno de oscilaciones de neutrinos.

Hemos visto a traves de la corriente cargada debil que los acoplamientos siempre son entre un leptoncargado y su correspondiente neutrino de sabor. Ası, los numeros leptonicos electronico (Le), muonico (Lµ)y tauonico (Lτ ) se conservan4. Ademas, una consecuencia trivial de lo anterior, es que el numero leptonicototal (L) tambien se conserva. Por otra parte, veremos que en las oscilaciones de neutrino unicamente seconserva el numero leptonico total, siendo los individuales violados.

1.3. Mezcla quarkonica

Ahora analizamos la parte de quarks del lagrangiano de la ecuacion (1). Analogamente al coso leptonico,en el caso quarkonico podemos formar los siguientes productos:

Q′αLq′DβR α = 1,2,3 β = d,s,b Q′αLq

′UβR α = 1,2,3 β = u,c, t (20)

El primero de los productos tiene hipercarga Y = −1, con lo cual tiene que ser acoplado al campo deHiggs con hipercarga Y = +1 con tal de hacer que dicho termino en el lagrangiano sea invariante gaugebajo el grupo SU (2)L ×U (1)Y . Por otra parte, el segundo de los productos tiene hipercarga Y = +1, con locual tiene que ser acoplado a φ = iτ2Φ

∗, que tiene una hipercarga Y = −1, y se expresa en el gauge unitariocomo

Φ(x) =1√

2

(υ+H

0

)(21)

Con estos productos, podemos obtener los terminos de la ultima lınea del lagrangiano en la ecuacion(1), que en el gauge unitario toman la forma:

LH−Q = −(υ+H

0

)[ ∑α,β=d,s,b

Y ′Dαβq′DαLq′DβR +

∑α,β=u,c,t

Y ′Uαβ q′UαLq′UβR

]+H.c. (22)

Ahora, analogamente al caso leptonico, los terminos proporcionales al VEV son terminos de masaquarkonicos; pero al ser las matrices Y ′D y Y ′U complejas no diagonales; debemos diagonalizarlas contal de que los campos quarkonicos tengan masas bien definidas. Para ello, definimos

4Cada lepton cargado negativamente y su correspondiente neutrino tienen numero leptonico de ese preciso sabor igual a +1,y 0 para los otros sabores; mientras que si son leptones cargados positivos y su correspondiente antineutrino, vale -1 y 0 para elresto de sabores

5

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q′UL,R =

u′L,Rc′L,Rt′L,R

q′DL,R =

d′L,Rs′L,Rb′L,R

(23)

Que nos permite escribir el termino lagrangiano Higgs-quarkonico como:

LH−Q = −(υ+H√

2

)[q′DL Y

′Dq′DR + q′UL Y′Uq′UR

]+H.c. (24)

Analogamente al caso leptonico, las matrices Y ′D y Y ′U deben ser diagonalizadas vıa una transforma-cion biunitaria:

V DL†Y ′DV DR = YD YDαβ = yDαβδαβ α,β = d,s,b (25)

V UL†Y ′UV UR = YU YUαβ = yUαβδαβ α,β = u,c, t (26)

donde al igual que antes las matrices V son matrices 3 × 3 unitarias elegidas de forma apropiada. Ası,podemos definir

qU,DL = V U,DL†q′U,DL ≡

uL,dLcL, sLtL,bL

qU,DR = V U,DR†q′U,DR ≡

uR,dRcR, sRtR,bR

(27)

Y ası, obtenemos

LH−Q = −(υ+H√

2

)[qDL Y

DqDR + qUL YUqUR

]+H.c. =

= −∑

α=d,s,b

yDα υ√2qDα q

Dα −

∑α=u,c,t

yUα υ√2qUα q

Uα −

∑α=d,s,b

yDα√2qDα q

DαH −

∑α=u,c,t

yUα√2qUα q

Uα H (28)

donde tenemos queqD,Uα ≡ qD,UαL + qD,UαR (29)

son los campos quarkonicos con masas bien definidas.

Si nos fijamos en los dos primeros terminos de la ecuacion (28) son los terminos de masa para losquarks, cuyas masas son:

mα =yDα υ√

2α = d,s,b mα =

yUα υ√2

α = u,c, t (30)

Y al igual que la parte leptonica, las masas quarkonicas no se conocen a priori puesto que los acoplamien-tos de yukawa quarkonicos han de determinarse experimentalmente.

Ahora vamos a concentrarnos en ver los efectos de la mezcla quarkonica en las corrientes. Si nos vamosa la corriente debil cargada quarkonica, vemos que podemos expresarla matricialmente como

jρW ,Q = 2qUL γ

ρV UL†V DL q

DL = 2qUL γ

ρV qDL (31)

donde vemos que no depende de las matrices V D y V U , sino en su producto

V = V UL†V DL (32)

6

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La matriz V es la matriz de mezcla quarkonica, llamada matriz CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa),que encierra todos los efectos fısicos de la mezcla quarkonica. De hecho, es importante ya que como vemosen la forma de la ecuacion de la corriente, la matriz V acaba mezclado quarks de tipo U con quarks de tipoD; es decir, que tiene un caracter de cambio de sabor. Por esto, no hay conservacion de numeros cuanticosde sabor para quarks, pero sı conservan el numero barionico5. Con todo, podemos afirmar que las corri-entes cargadas son capaces de cambiar sabor.

Para finalizar esta seccion, revisemos los efectos de mezcla quarkonica en las corrientes debiles neutrasy electromagnetica

jρZ,Q = . . . = 2gUL q

UL γ

ρqUL + 2gUR qUR γ

ρqUR + 2gDL qDL γ

ρqDL + 2gDR qDRγ

ρqDR (33)

ya que las matrices V D y V L son unitarias. Podemos ver que la corriente neutra debil quarkonica novarıa si la escribimos con los campos quarkonicos sin apostrofo (masas bien definidas) que con apostro-fo(sin masa bien definida), lo cual pone de manifiesto el mecanismo de GIM (Glashow–Iliopoulos–Maiani),que basicamente dice que la corriente neutra debil es invariante bajo mezcla quarkonica. Por otra parte, sivolvemos a la ecuacion (3) vemos que la mezcla quarkonica no afecta a la corriente electromagnetica. Parafinalizar, podemos ver que en el ME no hay corrientes debiles neutras que cambien sabor.

2. Modelos para masas de neutrinos

Ya hemos mencionado que en el ME, los neutrinos tienen masa nula al no existir las componentes dex-trogiras de los campos neutrınicos. Debido al reciente descubrimiento del fenomeno de oscilaciones deneutrinos, esta aceptado por la comunidad cientıfica que los neutrinos tienen masa; en concreto la difer-encias de las masas al cuadrado ha de ser no nula; con lo cual se hace necesario construir modelos teoricosque respondan a la fenomenologıa. Actualmente hay toda una factorıa de teorıas sobre el surgimiento delas masas de los neutrinos, pero nosotros nos vamos a centrar en los 3 mas famosos: Masas de Dirac, deMajorana, o el Mecanismo del Balancın (See-saw mechanism).

2.1. Masas de tipo Dirac

Para tener un termino de masa de tipo Dirac hemos visto que es necesario tener componentes dextrogi-ras de los campos neutrınicos, con lo cual la extension mas simple del ME es anadir ναR y ası podersegenerar las masas para los neutrinos con el mecanismo de Dirac, de igual forma que surgen las masas delos leptones cargados. A este modelo se le suele llamar Modelo Estandar mınimamente extendido (MESM),en el que la asimetrıa del ME que existe entre el sector leptonico y quarkonico debida a la ausencia deneutrinos dextrogiros se ha eliminado.

Cabe mencionar que los neutrinos dextrogiros son totalmente distintos al resto de partıculas del ME. Enprimer lugar, porque todos sus numeros cuanticos son nulos; es decir, son singletes bajo SU(2)(I = I3 = 0),sin invariantes bajo transformaciones de hipercarga (Y = 0) y tienen carga electrica nula (Q = 0); es decir,que son invariantes bajo el grupo de simetrıa del ME SU (3)C × SU (2)L ×U (1)Y . Consecuencia de lo ante-rior, es que no participan en ninguna interaccion (debil, electromagnetica ni fuerte) salvo la gravitatoria.Normalmente los fısicos de neutrinos llaman activos a los neutrinos levogiros; y esteriles a los neutrinosdextrogiros6.

Algo importante es notar que se puede demostrar que la presencia de neutrinos dextrogiros es ir-relevante para la cancelacion de anomalıas cuanticas; las cuales constrinen las propiedades del resto de

51/3 para quarks y -1/3 para antiquarks6El adjetivo hace referencia a su participacion en la interaccion debil

7

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partıculas del ME. Como consecuencia, el numero de campos neutrınicos dextrogiros no esta acotado porla teorıa, y el hecho de que introduzcamos un campo neutrınico dextrogiro por cada generacion es unacuestion de hacer el ME lo mas simetrico posible7

En el MESM, al termino lagrangiano de Higgs-Lepton de la ecuacion (9) hemos anadido un termino deltipo:

−∑

α,β=e,µ,τ

Y ′ναβLαLΦν′βR +H.c. (34)

donde ahora hay una nueva matriz de acoplamientos de yukawa Y ′ν , que puede ser diagonalizada ası:

V νL†Y ′νV νR = Y ν Y νkj = yνk δkj k, j = 1,2,3 (35)

con lo que podemos definir los nuevos campos quirales neutrınicos:

nL = V νL†ν′L ≡

ν1Lν2Lν3L

nR = V νR†ν′R ≡

ν1Rν2Rν3R

(36)

y el lagrangiano H-L diagonalizado queda:

LH−L = −(υ+H√

2

)[ ∑α,β=e,µ,τ

ylαlαLlαR +3∑k=1

yνk νkLνkR

]+H.c. (37)

y definiendo νk = νkL + νkR, obtenemos

LH−L = −∑

α=e,µ,τ

ylαυ√2lαlα −

3∑k=1

yνk υ√2νkνk −H

( ∑α=e,µ,τ

ylαυ√2lαlα +

3∑k=1

yνk υ√2νkνk

)(38)

donde, como siempre, salen terminos de masa y terminos de acoplamientos cubicos de los camposleptonicos con el Higgs. Ası, la masa de los neutrinos serıa:

mk =yνk υ√

2k = 1,2,3 (39)

y en este caso sı que hay acoplamiento entre los neutrinos de Dirac masivos y el Higgs.

A pesar de todo, no hay explicacion hasta el momento de por que hay tantısima diferencia entre elorden de magnitud de las masas de los neutrinos y el de la masa del resto de fermiones. Se necesitarıanunos acoplamientos de yukawa ınfimos para responder a la pregunta anterior.

En este contexto, podemos finalizar escribiendo las corrientes cargadas debiles en terminos de la matriz

de mezcla leptonica U = V lL†V νL , que es analoga a la matriz CKM del sector quark:

jρW ,L = 2nLU

†γρlL (40)

que tambien podemos escribir en funcion de los campos neutrınicos de sabor

jρW ,L = 2νLγ

ρlL = 2∑

α=e,µ,τ

γρlαL (41)

donde νL =UnL, con νL = (νeL,νµL,ντL)T

7Aunque hay modelos que introducen un unico campo neutrınico dextrogiro

8

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2.2. Masas de tipo Majorana

Una masa de tippo Majorana se genera por un termino lagrangiano de masa con un unico tipo cam-po fermionico quiral. Puesto que los neutrinos conocidos son levogiros, usaremos νL. Ahora es naturalplantearse ¿podemos generar un termino de masa usando unicamente νL ? Para responder a esta pregunta,volvamos a los terminos de masa de Dirac con ν = νL + νR

LDmasa = −mνν = −m(νRνL + νLνR) (42)

Puesto que este termino ha de ser invariante Lorentz, los campos quirales νL,R(x) han de transformarsecomo νL bajo transformaciones de Lorentz, al igual que νL,R(x) han de hacerlo como ν(x); con lo cual, siqueremos escribir un termino de masa Majorana con unicamente la componente levogira, necesitamosencontrar una funcion dextrogira de νL que se transforme igual que esta ultima bajo transformaciones deLorentz, y que pueda sustituir a νR en la ultima ecuacion. Esa funcion existe, y no es mas que el conjugadode carga

νCL = CνLT (43)

ademas pudiendo demostrar que es dextrogiro, ya que

PLνCL = C(νLPL)T = C

[(PRνL)†γ0

]T= 0 (44)

De forma parecida puede demostrarse que se transforma debidamente bajo transformaciones de Lorentz,y tenemos entonces que el termino lagrangiano de Majorana podemos escribirlo como:

LM =12

(i←→/∂ −m

)ν = νL + νCL (45)

que satisface la ecuacion de Majorana ν = νC . Cabe notar el factor 1/2 que distingue el lagrangiano deMajorana del de Dirac, y su origen es el de evitar un doble contaje debido al hecho de que νCL y νL no sonindependientes: νCL = CνLT

2.3. Grados de libertad

La invariancia del lagrangiano bajo CPT y transformaciones de Lorentz, nos permite entender bien ladiferencia en el numero de grados de libertad entre un neutrino de Dirac y uno de Majorana, sabiendo sumomento lineal (~p) y helicidad (h). Para ello, veamos como se transforman algunas cantidades fısicas bajotransformaciones P,T,PT y CPT

Operacion t ~x ~p ~L ~s hP + - - + + -T - + - - - +

PT - - + - - -

con lo cual recordand que C cambia de partıcula a antipartıcula, mientras que PT cambia el signo de ~xy t (mantiene invariante ~p pero sı cambia el signo de momentos angulares),podemos ver que CPT cambiauna partıcula por su antipartıcula con igual momento y helicidad opuesta. Por contra, los boosts cambianel signo tanto del momento como de la helicidad.Lo anterior ocurre para el caso Dirac, mientras que para el caso Majorana, como el neutrino es su propiaantipartıcula, CPT lo unico que hace es cambiarle la helicidad. Para verlo mejor, nos vamos a un diagrama:

9

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Con lo cual, podemos ver que en el caso de neutrinos de Dirac hay cuatro estados distintos para unvalor dado de ~p:

ν(~p,h) ν(~p,−h) ν(~p,h) ν(~p,−h) (46)

mientras que para neutrinos de tipo Majorana no hay mas que dos unicos estados

ν(~p,h) ν(~p,−h) (47)

como podemos ver, los grados de libertad de Majorana son la mitad que los de Dirac, debido a la re-striccion ν = νC , donde los neutrinos y antineutrinos son la misma partıcula, reduciendo a la mitad losgrados de libertad.

2.4. Mecanismo del Balancın (See-saw mechanism)

Para entender bien el mecanismo del balancın, es necesario introducir antes otro modelo, y es el masgeneral: el de masas Dirac-Majorana.

Con tal de hacerlo mas simple, hablaremos de una generacion unicamente. Sabemos que los neutrinoslevogiros existen, porque estan presentes en el ME a traves de las interacciones debiles con corrientescargadas. No sabemos si los neutrinos dextrogiros (esteriles) existen, pero como mınimo las simetrıas delME sı lo permiten. Si solo existen neutrinos levogiros, el termino de masa ha de ser de Majorana, mientrasque si tambien estan los dextrogiros, pueden ser de Dirac. La situacion mas general, en el caso de queexistan tambien los neutrinos dextrogiros, es que haya un termino de masa de tipo Dirac con ambos tipos deneutrinos, uno de Majorana con solo neutrinos levogiros y otro de Majorana con solo neutrinos dextrogiros8

LD+Mmasa = LDmasa +LLmasa +LRmasa =

(−mDνRνL + h.c.

)+(1

2mLν

TL C†νL + h.c.

)+(1

2mRν

TRC†νR + h.c.

)(48)

Cabe darse cuenta de que un termino de este tipo ya es fısica mas alla del ME, ya que el termino LLmasano estarıa permitido en el ME al ser νL un doblete bajo el grupo de isospin debil, un termino de ese tipoviolarıa la simetrıa del ME9. Con todo, sı estarıa permitido en un marco por encima del ME. Es por estoque los neutrinos son unas partıculas muy especiales que dan pistas sobre posible nueva fısica. Con todo,si mL = 0, el resto de terminos sı podrıan darse en el marco del ME simplemente anadiendo neutrinos

8Esto es una propiedades unica de los neutrinos, el hecho de que aunque el resto de fermiones tengan componentes levogiray dextrogira, pero su transformado de carga no puede ser su misma partıcula, debido a que tienen carga no nula; con lo cual noadmiten terminos de Majorana

9Cosa que sı respeta el termino de Majorana con neutrinos dextrogiros, al ser νr un singlete con todo numeros cuanticos nulos

10

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dextrogiros a la receta.

Por simplicidad, consideraremosmR ymD reales y positivas, peromL puede ser compleja. Para entenderlas implicaciones de este modelo, conviene definir la columna de los campos quirales levogiros:

NL =(νLνCR

)=

(νLCνRT

)(49)

y en virtud de esta definicion, el lagrangiano de Dirac-Majorana de masa queda

LD+Mmasa =

12NTL C†MNL +H.c. (50)

con la matriz simetrica

M =(mL mDmD mR

)(51)

donde podemos ver que como M no es diagonal, los campos νL,R no tienen una masa bien definida. Contal de encontrar campos con masas bien definidas, conviene diagonalizar la matriz

NL =UnL (52)

donde nL = (ν1L,ν2L)T , donde la matriz U debe ser una matriz unitaria tal que

UTMU =(m1 00 m2

)(53)

con m1,2 ≥ 0. De esta manera, el termino de masa de Dirac-Majorana sera:

LD+Mmasa =

12

∑k=1,2

mkνTkLC†νkL +H.c. = −1

2

∑k=1,2

mkνkνk νk = νkL + νCkL (54)

Pues bien, el mecanismo de See-saw (el mas simple de ellos), se pone en las condiciones mD � mR ymL = 0, con lo cual las masas obtenidas tras las diagonalizacion son:

m1 'm2D

mRm2 'mR (55)

con lo cual, cuanto mayor es la masa de ν2, menor es la masa de ν1, ya que para esta ultima el cocientede m2

D /MR es muy pequeno. Por eso se llama mecanismo del balancın, porque cuanto mas pesado es unneutrino, mas abajo esta en el espectro de masas; mientras que el otro es mas ligero, y esta mas arriba.Dicho mecanismo es muy importante, porque ofrece una posible explicacion plausible de lo ınfimas queson las masas neutrınicas con respeto al resto de masas fermionicas del ME.

Existen muchos otros modelos para dotar de masa a los neutrinos, pero no podemos contarlos todosporque abarcarıan demasiadas paginas, por lo que nos hemos decidido a contar unicamente los mas popu-lares.

3. La matriz de mezcla leptonica

Era importante introducir la mezcla quarkonica porque las propiedades de su matriz de mezcla sonanalogas a las de matriz de mezcla leptonica, debido a que en el fenomeno de oscilacion de neutrinos en elcontesto de neutrinos de tipo Dirac es completamente analogo; y muy similar en el contexto de neutrinosde Majorana.

11

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La matriz de mezcla leptonica es:

U = V lL†V νL =

U11 U12 U13U21 U22 U23U31 U32 U33

=

Ue1 Ue2 Ue3Uµ1 Uµ2 Uµ3Uτ1 Uτ2 Uτ3

(56)

Recordemos que esta matriz nos permitıa diagonalizar la matriz de masas quarkonica, y tambien lohace para las masas neutrınicas en el caso de Dirac. Ası como la matriz de mezcla quarkonica es llamadatambien CKM, la matriz de mezcla leptonica es llamada PMNS (Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata)

Algo importante que podemos ver es cuantos parametros realmente fısicos posee esta matriz. En gen-eral, una matriz N ×N unitaria compleja depende de N2 parametros reales independientes, que podemosdividir en N (N − 1)/2 angulos de mezcla y N (N + 1)/2 fases. Si estamos en el caso conocido, de N = 3, lamatriz de mezcla quarkonica podra ser descrita por 3 angulos de mezcla y 6 fases. Con todo, vamos a verque no todas las fases son verdaderos observables fısicos, ya que recordemos que el unico efecto fısico dela mezcla quarkonica aparece en la corriente debil cargada (ec. 31), y no afecta a la corriente debil neutradebido al mecanismo de GIM. Exactamente lo mismo ocurre para el sector leptonico y su matriz PMNS

Ademas, el lagrangiano es invariante bajo transformaciones de fase globales de los campos leptonicosdel tipo:

νk→ eiϕkνk k = 1,2,3 lα→ eiϕα lα α = e,µ,τ (57)

ocurriendo algo analogo para el sector quark. Haciendo estas transformaciones la corriente cargadadebil leptonica pasa a ser:

jρW ,L→ j

ρW ,L = 2

3∑k=1

∑α=e,µ,τ

νkLe−iϕkU ∗αke

iϕαγρlαl (58)

que puede ser reescrita como

2e−i(ϕ1−ϕe)︸ ︷︷ ︸1

3∑k=1

∑α=e,µ,τ

νkL e−i(ϕk−ϕ1)︸ ︷︷ ︸

2

U ∗αk ei(ϕα−ϕe)︸ ︷︷ ︸

2

γρlαL (59)

donde hemos factorizado una fase arbitraria e−i(ϕ1−ϕe), y hemos indicado el numero de fases indepen-dientes de cada termino. A partir de la ultima ecuacion, queda claro que hay

1 + (N + 1) + (N − 1) = 2N − 1 = 5 (60)

fases arbitrarias de los leptones que pueden ser escogidas adecuadamente con tal de eliminar 5 de las 6fases de la matriz de mezcla leptonica U. La razon por la que son 2N − 1 y no 2N las fases que pueden sereliminadas, es que una reparametrizacion de fases comun de los campos leptonicos dejarıan la corrientecargada debil leptonica invariante, que a traves del teorema de Noether, conlleva a la conservacion delnumero leptonico total.

Con todo, la matriz de mezcla PMNS (y tambien la matriz CKM del sector quark) contiene 3 angulosde mezcla, y una fase fısica.

3.1. Parametrizacion de la matriz PMNS

Existen multiples formas de parametrizar la matriz PMNS, dependiendo de como procedamos (y elproceso es bastante largo y tedioso); con lo cual nosotros vamos a seguir la parametrizacion estandar:

12

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U =

1 0 00 c23 s230 −s23 c23

c13 0 s13e−iδ13

0 1 0−s13e

−iδ13 0 c13

c12 s12 0−s12 c12 0

0 0 1

=

=

c12s13 s12c13 s13e

−iδ13

−s12c23 − c12s23s13eiδ13 c12c13 − s12s23s13e

iδ13 s23c13s12s13 − c12c23s13e

iδ13 −c12s23 − s12c23s13eiδ13 c23c13

(61)

donde cab, sab = cosθab,sinθab; son funciones de los 3 angulos de mezcla, cuyos valores estan acotados0 ≤ θab ≤ π/2 y 0 ≤ δ13 ≤ 2π, es una fase que va a ser la responsable de la posible violacion de CP en elsector neutrino.

3.2. Invariantes bajo cambio de fase

Debido a que los observables fısicos no dependen de la parametrizacion de la matriz PMNS, es posibleescoger ciertas cantidades que son invariantes bajo reparametrizaciones de la matriz de mezcla; normal-mente denominadas invariante bajo cambio de fase; ya que son invariantes bajo transformaciones de fase delos campos leptonicos.

Cualquier observable que involucre leptones, es una funcion polinomica de productos de elementos deU y U ∗ , debido a que cada producto contienen el mismo numero de elementos de U que de U ∗, debido aque los observables siempre son proporcionales a modulos al cuadrado de amplitudes. Con todo, vamos aver cuales son los productos de U y U ∗ que sean invariantes, y que sean capaces de representar los efectosde la mezcla leptonica en los observables (lo mismo se aplica para el sector quark):

Los productos invariantes mas simples son los modulos al cuadrado y los cuartetos o cajas:

|Uαk |2 =UαkU∗αk (62)

αk�βj =UαkUβjU∗αjU

∗βk (63)

y en concreto nos vamos a fijar en uno que se llama invariante de Jarlskog para nuestro cometido deobservar las condiciones de violacion de CP, donde nos interesan las partes imaginarias de un cuarteto:

Jαβ ==[Uα1U

∗α2U

∗β1Uβ2

](64)

J =18

sin2θ12 sin2θ23 sin2θ13 cosθ13 sinδ13 (65)

Es decir, que el invariante de Jarlskog es un buen medidor de cuanta violacion de CP hay en el sistema,aunque lo vamos a ver a continuacion con el capıtulo de oscilaciones de neutrinos

4. Oscilacion de neutrinos

La oscilacion de neutrinos es un fenomeno mecano-cuantico propuesto en la decada de los 50 por BrunoPontecorvo en analogıa a las oscilaciones de los mesones K0−K0; es decir, un haz de K0 al propagarse por el

espacio, podıa convertirse en un haz deK0, y luego volver a ser un haz deK0: de ahı el nombre de oscilacion.

En el caso de oscilaciones neutrınicas, son generadas por la interferencia de distintos neutrinos masivos,los cuales son producidos y detectados coherentemente debido a lo ınfimas que son sus diferencias de masa.

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En 1962, Maki, Nakagawa y Sakata consideraron por primera vez un modelo con la mezcla de dis-tintos sabores de neutrinos. En 1967 predijo el problema de los neutrinos solares como consecuencia delas conversiones νe → νµ, muchısimo antes de la primera medida del flujo de neutrinos electronicos enel experimento Homestake; y en 1969 Gribov y Pontecorvo se plantearon el tema de las oscilaciones deneutrinos solares con relacion a la mezcla de neutrinos.

Antes de hacer calculos y derivar las probabilidades, cabe hacer algunas consideraciones previas:

Debido a que los neutrinos son untrarrelativistas en experimentos de oscilaciones, y sus masas sonmenores que 1 eV, unicamente los neutrinos con energıas mayores a 100 keV pueden ser detectados.

La primera forma de detectarlos es a traves de procesos de scattering donde intervengan las corrientesdebiles cargadas o neutras, cuyas energıas umbrales sean de almenos algun MeV

La segunda forma de detectarlos es a traves del proceso de scattering elastico ν + e− → ν + e−, cuyaseccion eficaz es proporcional a la energıa del neutrino10 y se necesita que la energıa umbral sea dealgunos MeV para obtener alguna senal por encima del ruido de fondo.

En primer lugar, los neutrinos να con un sabor α = e,µ,τ son producidos en procesos de interacciondebil vıa corrientes cargadas (CC) de interaccion con bosones W ± a partir de un lepton cargado l−α o tam-bien a traves de un antilepton cargado l+α . Ambos procesos estan originados al termino lagrangiano deinteraccion con corrientes cargadas leptonicas (ec 4). Tambien pueden producirse neutrinos vıa corrientesdebiles neutras con un boson Z debido al termino lagrangiano de interaccion con corrientes debiles neutrasleptonicas (ec. 6), siendo Z real (decaimiento de Z) o virtual (e.g. e− + e+ → ν + ν). En el ultimo caso, losneutrinos producidos no tienen un sabor determinado.

4.1. Derivacion estandar de las probabilidades de oscilacion

En la teorıa estandar de las oscilaciones de neutrinos, un neutrino con un sabor α y un momento ~p,creado mediante una interaccion debil con corriente cargada a traves de un lepton cargado l−α , o junto a unantilepton l+α , se describe por el estado de sabor:

|να〉 =∑k

U ∗αk |νk〉 α = e,µ,τ (66)

donde la presencia de U ∗αk se debe a la descomposicion de la corriente leptonica cargada jρW ,L en termi-

nos de los leptones masivos

jρW ,L = 2

∑α=e,µ,τ

ναLγρlαL = 2

∑α=e,µ,τ

∑k

U ∗αkνkLγρlαL (67)

Si consideramos una normalizacion finita en un volumen V, podemos tener estados ortonormales deneutrinos masivos; que nos llevan a estados ortonormales de neutrinos de sabor (debido a la unitariedadde la matriz U):

〈νk |νj〉 = δkj ⇒ 〈να |νβ〉 = δαβ (68)

10σ0 ≈ 10−44 cm

14

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Puesto que los estados de neutrinos masivos son autoestados del hamiltoniano H|νk〉 = Ek |νk〉, con

autovalores Ek =√~p2 +m2

k , implica que la ecuacion de Schrodinger imponga una evolucion temporal detipo onda plana sobre los autoestados masivos:

|νk(t)〉 = e−iEkt |νk〉 (69)

Si ahora suponemos un estados de sabor |να(t)〉 que describe un neutrino creado con un determinadosabor α en un tiempo t = 0, tenemos que su evolucion temporal sera

|να(t)〉 =∑k

U ∗αke−iEkt |νk〉 =⇒ |να(t = 0)〉 = |να〉 (70)

donde se cumple que∑αU∗αkUαj = δjk ya queU†U = I. Los estados masivos tambien pueden expresarse

como combinacion lineal de los de masa

|νk〉 =∑α

Uαk |να〉 (71)

que si insertamos en la ecuacion (70) nos queda

|να(t)〉 =∑

β=e,µ,τ

(∑k

U ∗αke−iEktUβk

)|νβ〉 (72)

pero nos damos cuenta que

Aνα→νβ (t) ≡ 〈νβ |να(t)〉 =∑k

U ∗αkUβke−iEkt (73)

lo que hace que

|να(t)〉 =∑

β=e,µ,τ

Aνα→νβ (t)|νβ〉 (74)

es decir, aquı ya se ve que un neutrino creado en la fuente en con un sabor α, en su propagacion tieneuna probabilidad no nula de ser detectado en el detector como un neutrino de sabor β. La probabilidad es

Pνα→νβ (t) = |Aνα→νβ (t)|2 =∑k,j

U ∗αkUβkUαjU∗βje−i(Ek−Ej )t (75)

Como normalmente trataremos con experimentos de oscilacion donde los neutrinos son ultrarrelativis-tas, podemos aproximar la relacion de dispersion por

Ek =√~p2 +m2

k ' E +m2k

2E⇒ Ek −Ej '

∆m2kj

2E(76)

donde la diferencia de cuadrados es

∆m2kj ≡m

2k −m

2j (77)

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por ultimo, como en los experimentos de oscilacion de neutrinos no se mide el tiempo de vuelo, sino que se mide la longitud que recorren (puesto que se tiene mas precision sobre esta medida), al serultrarrelativistas podemos aproximar t ' L, con lo cual la probabilidad nos queda

Pνα→νβ (L,E) =∑k,j

U ∗αkUβkUαjU∗βje−i(∆m2

kj L

2E

)(78)

Con lo cual podemos ver que la distancia fuente-detector L, y la energıa neutrınica E son las cantidadesque dependen del experimento; y que influyen directamente en la fase de las oscilaciones neutrınicas

Φkj = −∆m2

kjL

2E(79)

En cambio, las amplitudes de las oscilaciones unicamente estan determinadas por los elementos de lamatriz de mezcla PMNS, que son constantes de la naturaleza.

De aquı ya se puede extraer algo muy interesante: puesto que los resultados experimentales dicen queel flujo de neutrinos de un sabor iniciales en la fuente, no es el mismo que el flujo detectado en el detector;con lo cual ha habido neutrinos dentro del haz inicial que hayan oscilado en neutrinos de otro sabor. Loultimo unicamente es posible si la fase es no nula, lo cual implica irremediablemente que m2

k −m2j , 0; cosa

que ya rompe con el ME, siendo la primera prueba de fısica mas alla del ME.

Por otro lado, el hecho de medir experimentalmente como son esas oscilaciones, hace que podamos irdeterminando como son los elementos de U; es decir, como son los angulos de mezcla neutrınica y, posi-blemente, si hay fase δ que pueda originar violacion de CP. Asimismo, se puede comprobar que con ex-perimentos de neutrinos no es posible medir directamente masas absolutas de neutrinos, sino unicamentediferencias de masas al cuadrado. Para medir masas absolutas hay otros experimentos, como pueden serdesintegraciones beta, doble desintegracion beta sin neutrinos11 (ββ0ν), decaimientos de piones y tauones,y algunos datos cosmologicos tambien pueden dar cotas a las masas de los neutrinos.

A veces es util escribir la probabilidad de oscilacion ası:

Pνα→νβ (L,E) =∑k

|Uαk |2|Uβk |2 + 2<∑k>j

U ∗αkUβkUαjU∗βje

(−2πi L

Losckj

)(80)

donde hemos separado un termino constante del termino oscilantes y hemos definido lo que se llamalongitud de oscilacion

Losckj =4πE

∆m2kj

(81)

que significa la distancia a la cual la fase generada por ∆m2kj es igual a 2π. El termino oscilante se genera

por la interferencia de los distintas componentes de neutrinos masivos que hay en el estado de la ecuacion(70).

Otra forma interesante de reescribir la probabilidad es separarla en partes real e imaginaria del cuartetoUβkU

∗αkU

∗βjUαj . En primer lugar, a partir del cuadrado de la relacion de unitariedad, extraemos que

11Ademas, este experimento pretende arrojar luz sobre si los neutrinos son de naturaleza Dirac o Majorana

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∑k

|Uαk |2|Uβk |2 = δαβ − 2∑k>j

<[U ∗αkUβkUαjU

∗βj

](82)

que nos permite escribir la probabilidad de oscilacion como

Pνα→νβ (L,E) = δαβ −2∑k>j

<[U ∗αkUβkUαjU

∗βj

][1−cos

(∆m2kjL

2E

)]+2

∑k>j

=[U ∗αkUβkUαjU

∗βj

]sin

(∆m2kjL

2E

)(83)

4.2. Simetrıas y violacion de CP

La transformacion CPT es una simetrıa de cualquier teorıa cuantica local, como lo es el ME. Puesto quelas oscilaciones de neutrinos estan hechas dentro de este marco, CPT tambien debe ser una simetrıa paralas oscilaciones de neutrinos, lo cual implica que

Pνα→νβ = Pνβ→να (84)

Sin embargo, podrıamos cuestionarnos si la descripcion de la Naturaleza a traves de teorıas de camposcuanticos locales es solamente aproximada; lo que implicarıa que podrıan existir pequenas violaciones deCPT, que en oscilaciones de neutrinos serıan:

ACP Tαβ = Pνα→νβ − Pνβ→να (85)

En segundo lugar, recordamos que la transformacion CP nos convertirıa un neutrino con helicidadnegativa en su correspondiente antineutrino con helicidad positiva, haciendo que las probabilidades pasende ser Pνα→νβ a ser Pνα→νβ . En el caso de una matriz PMNS con mezcla de 3 generaciones; la matriz es engeneral compleja, pudiendo conllevar violacion de la simetrıa CP, que podrıamos ver en experimentos deoscilaciones de neutrinos como

ACPαβ = Pνα→νβ − Pνα→νβ (86)

Sabiendo que para cambiar de probabilidad neutrınicas o probabilidad antineutrınicas, basta conjugarlos elementos de la matriz U que intervengan en las probabilidades. Si extraemos la probabilidad de os-cilacion de antineutrinos, la reescribimos como en la ecuacion (83) y la comparamos con la misma ecuacion(83), se puede comprobar que solo difieren en el signo de la parte imaginaria, con lo cual la asimetrıa enCP podemos comprobar que es

ACPαβ (L,E) = 4∑k,j

=[U ∗αkUβkUαjU

∗βj

]sin

(∆m2kjL

2E

)(87)

de donde podemos apreciar que para ver violacion de CP en experimentos de neutrinos es necesarioque los neutrinos oscilen de un sabor α a otro β, que suelen denominarse probabilidad de transicion, ya quesi nos vamos al caso de probabilidad de supervivencia donde α = β, la parte imaginaria de la ultima ecuacion

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se anula.

Analogamente a la transformacion CP, tambien tenemos la transformacion T, que en oscilaciones deneutrinos serıa

Pνα→νβ = Pνβ→να (88)

con lo cual una violacion de T serıa

ATαβ = Pνα→νβ − Pνβ→να (89)

Ahora si asumimos que CPT es una simetrıa exacta de la Naturaleza, y entonces no se puede violar:

ACP Tαβ = Pνα→νβ − Pνβ→να = Pνα→νβ − Pνβ→να + Pνβ→να − Pνβ→να =

= ATαβ +ACPβα = ATαβ −ACPαβ = 0⇐⇒ ATαβ = ACPαβ (90)

donde hemos usado la propiedad de que la asimetrıa en CP es antisimetrica en los subındices, conse-cuencia de la simetrıa CPT.

Podemos observar que una violacion de T es exactamente igual a una violacion en CP, en virtud deconservacion de CPT.

Si volvemos a la ecuacion (87), vemos que podemos ponerlo en funcion del invariante de Jarlskog, J , queya anticipamos en las ecuaciones (64) y (65). Precisamente como es invariante bajo reparametrizaciones dela matriz U, este objeto es un buen medidor de la violacion de CP. En concreto, es importante medir la faseδ13 para determinar si hay violacion de CP en el sector neutrino.

Para finalizar, podemos adjuntar una tabla con los ultimos resultados experimentales sobre los angulosde mezcla, las diferencias de masa y la fase que podrıa violar CP:

Para finalizar, cabe destacar que solo hemos considerado el caso de oscilaciones de neutrinos en el vacıo(el aire y la Tierra son practicamente transparentes para los neutrinos), pero existe tambien el efecto queproduce la materia altamente densa (como puede ser el Sol, o una estrella de neutrones), cosa que afectaa las oscilaciones de neutrinos, llamado normalmente efecto MSW (Mikheev-Smirnov-Wolfenstein), dondelos neutrinos estan sometidos a un potencial debido al scattering elastico coherente hacia adelante con laspartıculas del medio en el que se propagan.

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4.3. Experimentos

Como parte fundamental de todo esto, hablaremos muy brevemente de algunos experimentos que hayactualmente en oscilaciones de neutrinos.

El primero de ellos es SuperKamioKande, un gran observatorio de neutrinos situado a un kilometrobajo tierra en la antigua ciudad llamada Kamioka, en Japon. Esta en el interior de una gran mina, y mide40 metros de altura por 40 metros de anchura. Compuesto por un almacenaje de 50000 toneladas de aguapura rodeada por 11000 tubos de fotomultiplicadores que van a recoger la radiacion Cherenkov que van adejar los leptones cargados (que viajan mas rapido que la luz dentro del agua) al liberarse debido a la inter-accion de un neutrino con las moleculas del agua. A partir de la informacion que reportan los detectores,son capaces de inferir la direccion, energıa y naturaleza de los neutrinos que llegan.

Con SuperKamioKande podemos estudiar tanto neutrinos solares como atmosfericos, como los queprovienen de explosiones de supernova.

El segundo de ellos es T2K, que no es mas que un chorro de neutrinos que envıan desde la ciudadde Tokai hacia Kamioka, siendo recogidos por el mismo SuperKamioKande, viajando una distancia de 396kilometros. Este chorro de neutrinos necesita ser colimado de tal forma que se tenga control sobre una vein-teava parte de un grado de arco. Como nos interesa estudiar oscilacion de neutrinos, es necesario medir elflujo de neutrinos de un sabor enviados, que se mide en el detector ND280 (a 280 metros de la fuente). Coneste dato, en SuperKamioKande se recogen los neutrinos del mismo sabor que llegan y se pueden hacerestudios sobre oscilaciones de neutrinos.

Otros experimentos en oscilaciones de Neutrinos pueden ser: Daya Bay (China), MINOS (EEUU), Dou-ble Chooz (Francia) o NOνA (EEUU)

5. ¿Oscilan los leptones cargados?

Es natural preguntarse si, al igual que los neutrinos, los leptones cargados pueden oscilar. La respuestaes negativa. Las oscilaciones entre sabores de leptones cargados no puede ser posible, debido a que el saborde un lepton cargado esta definida ıntegramente por su masa, que es la unica propiedad que distinguea los distintos tipos de leptones cargados. En la practica, todos los detectores revelan partıculas a travesde interacciones electromagneticas. Debido a que todos los leptones cargados tienen la misma interaccionelectromagnetica, ası como otras interacciones, son distinguidos tanto por su cinematica como por sus pro-ductos de desintegracion. Ambas caracterısticas dependen directamente de la masa del lepton cargado encuestion. En otras palabras, el sabor se determina a traves de la masa. Ese es el motivo por el cual los lep-tones cargados se definen como autoestados de masa; y por tanto, no puede sufrir oscilaciones de sabor; esdecir, cambios periodicos en el sabor a lo largo de su propagacion.

6. La violacion del CP y la asimetrıa materia-antimateria

Andrej Sakharov fue el primero que en 1967 noto que la no observacion de antimateria primordial enel Universo observable podrıa estar relacionada con propiedades fundamentales de la fısica de partıculas;y en concreto, de la violacion de CP, que fue descubierta justo tres anos antes en los mesones K0 −K0. Elhecho de que las leyes de la fısica no sean invariantes bajo transformaciones de CP, implica que la materiay la antimateria pueden comportarse de forma distinta en los procesos elementales.

Hoy en dıa, la idea de Sakharov esta bien fundamentada por un compendio de observaciones cosmologi-cas que muestran que la asimetrıa materia-antimateria del Universo tiene que ser explicada en terminos

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de un mecanismo de generacion dinamico, llamada modelo de bariogenesis, incorporando violacion de CP.Al mismo tiempo, nos hemos dado cuenta de que un modelo satisfactorio de bariogenesis no puede estarincluıdo dentro del ME de partıculas, y la necesidad de extender el ME se hace cada vez mas necesaria contal de responder a la fenomenologıa que vamos hallando.

El descubrimiento de las oscilaciones de neutrinos y su consecuente implicacion sobre masas no nulashan aumentado el interes sobre un nuevo mecanismo de bariogenesis, llamado leptogenesis, que es unaconsecuencia cosmologica de la vertiente mas popular de extension del ME con tal de dotar de masa a losneutrinos y explicar por que es tan ınfimamente baja comparada con la del resto de fermiones: el mecanis-mo del balancın.

En este sentido, la leptogenesis consigue una gran conexion entre dos observaciones experimentalescompletamente independientes: la ausencia de antimateria primordial en el Universo observable y la ob-servacion de oscilacion de neutrinos (mezcla de neutrinos) y su consecuente masa no nula. Con todo,leptogenesis se ha convertido en el candidato mas plausible para la explicacion de la asimetrıa materia-antimateria del Universo.

Los cosmologos actuales llegan a la conclusion de que la asimetrıa barionica debe haberse generadodinamicamente despues de la etapa de inflacion pero antes de la Nucleosıntesis Primordial, y que de algu-na forma tiene que ver con las primeras ideas de Sakharov.

En su paper, Sakharov identifico (tanto de forma explıcita como implıcita) que debıan darse 3 condi-ciones necesarias para que un modelo de bariogenesis sea satisfactorio:

1. La existencia de algun proceso elemental que viole el numero barionico

2. Violacion de C y de CP

3. Ausencia de equilibrio termico durante la bariogenesis, y en lo posterior.

6.1. Bariogenesis

Historicamente, el primer escenario para bariogenesis que fue desarrollado en detalle fue el llamadodecaimiento fuera de equilibrio de una partıcula super masiva. La idea basica es que en una fase primitivadel universo expandiendose, una especie de partıcula X super masiva existio, cuya tasa de interaccion sevolvio menor que la de expansion del Universo cuando T � TEW y se desacoplaron del bano termico,volviendose muy abundantes.

Los decaimientos de X y las antipartıculas X supuestamente violan CP y el numero barionico B, pro-duciendo un numero neto barionico ∆B , 0 al desintegrarse X y X. Los posibles canales de desintegracionson X→ q+ q, X→ l + q, X→ q+ q y X→ l + q

Este escenario tiene su origen natural en el marco de las teorıas de gran unificacion (GUT).

En los 80 se dieron cuenta de que, dentro del ME, se podıan cumplir todas las condiciones de Sakharov.De una forma cualitativa, el modelo mas eficiente dentro del ME es el de la bariogenesis electrodebil. Sepuede ver que se da ausencia de equilibrio si en la ruptura espontanea de simetrıa electrodebil se da unafuerte transicion de fase acompanada de nucleacion de burbujas12. Dentro de estas la simetrıa electrodebilesta rota, mientras que fuera esta intacta. as burbujas van creciendo, chocando y fusionandose, hasta queya no hay mas que fase rota. Las partıculas y antipartıculas fuera de la burbuja atraviesan las paredes delas burbujas con una tasa distinta, de tal forma que una asimetrıa se genera en el interior de la burbuja.

12Estas burbujas son de la fase rota, y se forman dentro del plasma de la fase simetrica

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Si la transicion de fase es lo sufiientemente grande, diha asimetrıa podrıa durar hasta hoy en dıa. Desgra-ciadamente la condicion de una transicion de fase suficientemente fuerte impone una cota maxima parala masa del Higgs, mH ≤ 40 GeV; que choca, por una parte con la cota inferior que dio LEP para la masadel Higgs, mH ≥ 114 Gev, y por otra parte, con los ultimos resultados de ATLAS y CMS en el complejo delLHC, que apuntan a una masa para el posible Higgs de alrededor de 125 GeV.

Debido al fracaso del anterior modelo, nadie ha encontrado a dıa de hoy otro modelo de bariogenesisdentro del marco de ME, con lo cual hoy en dıa la asimetrıa materia-antimateria se contempla como unaevidencia muy fuerte de fısica mas alla del ME.

6.2. Bariogenesis vıa leptogenesis

Este mecanismo es un caso especial de la bariogenesis por una partıcula super masiva. En este modelo,se postula la existencia, en el universo primitivo por encima de TEW , de una especie de neutrino de Ma-jorana super masivo con una masa tıpicamente del orden de M ∼ 1012 GeV; o tambien de una forma masrealista, de 3 especies de neutrinos de Majorana con masas no degeneradas.

Estos neutrinos unicamente interactuan debilmente con el resto de partıculas del Universo primitivo,y caen en fuera del equilibrio a una temperatura T ∼M � TEW . Lo fundamental es que las interaccionesde las partıculas no conserven la diferencia del numero barionico y leptonico, B-L. Los principales canalesde desintegracion de estos neutrinos de Majorana muy pesados son a leptones ordinarios, o a bosonesde Higgs; generando ası un numero leptonico distinto de cero. Entonces es cuando entran en accion losesfalerones13, cuyas intervenciones conservan B − L, convierten esa asimetrıa leptonica en una asimetrıabarionica, como si la accion de los esfalerones fuera abrir una valvula que iguala la asimetrıa leptonica conla barionica.

Dentro de las acciones de los esfalerones, entran en juego 9 quarks y tres partıculas ligeras leptonicas.Para que se de la violacion de B, se juntan 3 quarks de cada una de las generaciones del ME, con un leptonde cada generacion. A baja temperatura, este proceso requiere que se produzca un efecto tunel cuanti-co, proceso que normalmente requiere de un aporte de energıa. La probabilidad de este proceso es tanpequena que nadie esperarıa ver sus efectos en un laboratorio o en el Universo observable. ¿De dondeviene su importancia? en 1985 Kuzmin, Rubakov y Shaposhnikov dieron una respuesta: a altas temper-aturas del universo primitivo, la barrera energetica que evita la violacion barionica podrıa superarse conenergıa termica; es decir, a altas temperaturas sı ocurre la interaccion esfaleronica.

13El esfaleron (del griego σϕαλερos, que quiere decir enganoso) es una solucion estatica (no dependiente del tiempo) de lasecuaciones del campo electrodebil en el ME. Fue predicho teoricamente por los matematicos Klinkhame y Manton en el 84. No seha confirmado experimentalmente

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Esta claro que la leptogenesis se apoya en el hecho de existen neutrinos muy masivos dextrogiros detipo Majorana, que a traves del mecanismo del balancın serıan candidatos a explicar por que los neutri-nos levogiros que nosotros detectamos son tan poco masivos. Estos neutrinos Majorana dextrogiros supermasivos, que denotaremos por Ni , decaen ası: Ni → li +φ y Ni → li +φ†, con tasas de decaimiento Γi y Γi ,respectivamente. Puesto que tanto los neutrinos dextrogiros Ni como los bosones de Higgs φ no portannumero leptonico, tanto los decaimientos como los procesos inversos violan el numero leptonico (|∆L| = 1),y en general, tambien violan CP; ası como B-L. Los diagramas que se utilizan para calcular las posiblesasimetrıas CP o de B son los siguientes

Con todo, podemos aventurar que leptogenesis es una muy buena candidata a explicar la asimetrıamateria-antimateria que se observa en el Universo observable. Esto requiere que el modelo del balancıntriunfe explicando las masas de los neutrinos, y que ademas los neutrinos sean de tipo Majorana, cosa quepodremos comprobar con el experimento que se esta preparando en Canfranc (Huesca, Espana) involucra-do en procesos ββ0ν. Lo paradojico de este modelo es que posiblemente todo lo que conocemos sobre elUniverso macroscopico pueda estar generado por las partıculas mas fantasmagoricas y etereas del Univer-so: los neutrinos.

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Referencias

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