New OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR 2019. 11. 27.آ  Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of New OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR 2019. 11. 27.آ  Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan...

  • Matematika aljabar smp kelas 7 |

    ALJABAR

    Aljabar adalah salah satu cabang penting dalam

    matematika. Kata aljabar berasal dari kata al-jabr yang diambil

    dari buku karangan Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizi (780-

    850 M),yaitu kitab al-jabr wa al-nuqabalah yang membahas

    tentang cara menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar.

    Pemakaian aljabar ini sebagai penghormatan kepada Al-

    Khwarizi atas jasa-jasanya dalam mengembangkan aljabar

    melalui karya-karya tulisnya.

    A . Unsur-Unsur Aljabar

    1. Variabel

    Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum

    diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah.

    Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ...

    z.

    Contoh:

    Suatu bilangan jika dikalikan 5 kemudian dikurangi 3,

    hasilnya adalah 12. Buatlah bentuk persamaannya!

    Jawab:

    Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12. (x

    merupakan variabel)

    Al-Khwarizi adalah ahli

    matematika dan ahlli

    astronomi yang termasyur

    yang tinggal di

    bagdad(irak) pada

    permulaan abad ke-9

  • Matematika aljabar smp kelas 7 |

    2. Konstanta

    Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel

    disebut konstanta.

    Contoh:

    Tentukan konstanta pada bentuk aljabar berikut.

    a. 2x2 + 3xy + 7x – y – 8

    Jawab:

    a. Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel, sehingga konstanta dari

    2 x2 + 3xy + 7x – y – 8

    adalah –8.

    3. Koefisien

    Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk

    aljabar.

    Contoh:

    Tentukan koefisien x pada bentuk aljabar berikut.

    a. 5 x2y + 3x

    Jawab:

    a. Koefisien x dari 5 x2y + 3x adalah 3.

  • Matematika aljabar smp kelas 7 |

    4. Suku

    Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang

    dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

    a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau

    selisih.

    Contoh: 3x, 4 a2, –2ab,

    b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau

    selisih.

    Contoh: a2+ 2, x + 2y, 3 x2 – 5x,

    c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau

    selisih.

    Contoh: 3 x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy,

    Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak atau

    polinom.

    B. OPERASI ALJABAR

    1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

    Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menjumlahkan dan

    mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-

    sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku

    juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai

    berikut.

    a. Sifat Komutatif

    a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil

    b. Sifat Asosiatif

    (a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil

    c. Sifat Distributif

    a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan rii.

  • Matematika aljabar smp kelas 7 |

    Contoh Soal :

    1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut :

    1.) 3ab+5ab=

    2.) 12y+7+3y+2=

    3.) 5p-6p2-4p+9p2=

    Penyelesaian :

    1.) 3ab+5ab =8ab

    2.) 12y+7+3y+2 = (12y+3y)+(7+2)

    = 15y+9

    3.) 5p-6p2-4p+9p2 = (-6p2+9p2)+(5p-4p)

    = 3p 2 +p

    2. Perkalian Bentuk Aljabar

    Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan

    konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian

    berikut.

    A . Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua

    Agar kamu memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari

    contoh soal berikut.

    Contoh Soal :

    Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.

    a. 2(x + 3)

    b. –5(9 – y)

    Penyelesaian :

    a. 2(x + 3) = 2x + 6

    b. –5(9 – y) = –45 + 5y

  • Matematika aljabar smp kelas 7 |

    B. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua

    Agar kamu memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar,

    pelajari contoh soal berikut.

    Contoh Soal :

    Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan.

    a. (x + 5)(x + 3)

    b. (x – 4)(x + 1)

    Penyelesaian :

    a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3

    = x 2 + 5x + 3x + 15

    = x 2 + 8x + 15

    b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1

    = x 2 – 4x + x – 4

    = x 2 – 3x – 4

    Amati kembali Contoh Soal. Ternyata

    perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b)

    dan (c + d) dapat ditulis sebagai berikut.

    (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d

    = ac + bc + ad + bd

    = ac + ad + bc + bd

  • Matematika aljabar smp kelas 7 |

    3. Pembagian Bentuk Aljabar

    Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan.

    Pelajarilah contoh soal berikut.

    Contoh Soal :

    Tentukan hasil pembagian berikut.

    a. 8x : 4 b. 16a2b : 2ab

    Penyelesaian :

    a. 8x : 4 =

    =

    = 2x

    b. 15pq : 3p =

    =

    = 8a

    4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

    Di Kelas VII, kamu telah mempelajari definisi bilangan berpangkat. Pada bagian

    ini materi tersebut akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar.

    Seperti yang telah kamu ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

    Keterangan :

    a = bilangan rill

    n = bilangan asli

  • Matematika aljabar smp kelas 7 |

    Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih

    jelasnya, pelajari uraian berikut.

    a. a 5 = a × a × a × a × a

    b. (2a) 3 = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a

    3

    c. (–3p) 4 = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)

    = ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p 4

    d. (4x 2 y)

    2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x

    2 × x

    2 ) × (y × y) = 16x

    4 y

    2

    Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b) 2 ? Bentuk (a + b)

    2 merupakan bentuk lain

    dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b) 2 dapat

    ditulis:

    (a + b) 2 = (a + b) (a + b)

    = (a + b)a + (a + b)b

    = a 2 + ab + ab + b

    2

    = a 2 + 2ab + b

    2

    Dengan cara yang sama, bentuk (a – b) 2 juga dapat ditulis sebagai:

    (a – b) 2 = (a – b) (a – b)

    = (a – b)a + (a – b)(–b)

    = a 2 – ab – ab + b

    2

    = a 2 – 2ab + b

    2

    Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b) 3 , sebagai berikut.

    (a + b) 3 = (a + b) (a + b)

    2

    = (a + b) (a 2 + 2ab + b

    2 ) (a+b)

    2 = a

    2 + 2ab + b

    2

    = a(a 2 + 2ab + b

    2 ) + b (a

    2 + 2ab + b

    2 ) (menggunakan cara skema)

    = a 3 + 2a

    2 b + ab

    2 + a

    2 b + 2ab

    2 + b

    3 (suku yang sejenis dikelompokkan)

    = a 3 + 2a

    2 b + a

    2 b + ab

    2 +2ab

    2 + b

    3 (operasikan suku yang sejenis)

    = a 3 + 3a

    2 b + 3ab

    2 + b

    3

  • Matematika aljabar smp kelas 7 |

    Untuk menguraikan bentuk aljabar (a + b) 2 , (a + b)

    3 , dan (a + b)

    4 , kamu dapat

    menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk

    aljabar (a + b) 5 , (a + b)

    6 , (a + b)

    7 , dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat

    menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk

    memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa

    menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.

  • Matematika aljabar smp kelas 7 |

    Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b) 2 dapat diuraikan menjadi

    a 2 + 2ab + b

    2 . Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga

    Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b) 2 mengikuti pola

    segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a 2 + 2ab + b

    2 . Semakin ke kanan,

    pangkat a semakin berkurang (a 2 kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b

    semakin bertambah (b kemudian b 2 ). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pasc