New PARADOXON - Alvar Wenzel · 2019. 9. 2. · 7.5 Zenons Paradoxon in Zahlen.....94 11.1 Parallelen von Dieser Satz ist falsch und fMjM =2Mg.228 11.2 Gemeinsamkeiten Umgangssprache

PARADOXON

Gedanken zum logischen Denken

Alvar Wenzel

Copyright c© Alvar Wenzel, 2019All rights reserved

PARADOXONGedanken zum logischen Denken

Alvar Wenzel

www.alvarwenzel.de

Vierte, teilweise erweiterte und überarbeitete AuflageKarlsruhe, 2019

Copyright c© Alvar Wenzel, 1996 � 2019All rights reserved

Erste Auflage: 2002Zweite Auflage: 2008Dritte Auflage: 2010

Herstellung und Verlag: Books on Demand GmbH, NorderstedtISBN: 978-3-8311-4300-9

Inhaltsverzeichnis

Vorwort xxi

1 �Man könnte ewig leben� 1

1.1 Drei Beispiele statistischer Auswertungen . . . . . . . . . . 11.2 Einige Möglichkeiten zur Widerlegung einer unrichtigen Be-

weisführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Das Ziegenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Das richtige Werkzeug am falschen Platz . . . . . . . . . . . 13

2 Eine Nacht in der Wüste 15

2.1 Der Flüchtling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Der dritte Wunsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Die erste Meta-Konstruktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 `Richtig' oder `Falsch' 23

3.1 Moralische Richtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Logische Richtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Korrekte Verneinung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Wiederum eine Meta-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Ist dieser Satz richtig oder falsch? . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Verschiedene Ebenen von Meta-Konstruktionen . . . . . . . 34

4 Unendliche Weiten 37

4.1 Ùnendlichkeit' in der Umgangssprache . . . . . . . . . . . . 374.2 Unendlichkeit hat keine Grenzen . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Unendlichkeit in der praktischen Erfahrung . . . . . . . . . 414.4 Unendlichkeit in einer, Endlichkeit in einer anderen Dimen-

sion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Eine vierte räumliche Dimension? . . . . . . . . . . . . . . . 494.6 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

v

Inhaltsverzeichnis

5 Unendlich groÿe Mengen 53

5.1 Endliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Unendliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3 Für unendliche Mengen ist Endlichkeit unbedeutend . . . . 565.4 Aufspalten unendlicher Mengen in unendliche Teile . . . . . 575.5 Wie groÿ ist eine halbierte unendliche Menge? . . . . . . . . 605.6 Wann sind zwei Mengen gleich groÿ? . . . . . . . . . . . . . 615.7 Die Gröÿe unendlicher Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . 635.8 Die Gröÿe einer halbierten unendlichen Menge . . . . . . . . 655.9 Mengenaufzählung durch Etikettierung . . . . . . . . . . . . 685.10 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Unendlichkeit auf kleinem Raum 71

6.1 Unendlichkeit im Kleinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Unendliches Zerkleinern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3 Kleine mathematische Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . 736.4 Die Repräsentanten der Unendlichkeit im Kleinen . . . . . . 756.5 Unendlich viele Teile auf endlichem Raum . . . . . . . . . . 77

7 Ansammlungen unendlich vieler Objekte 79

7.1 Ansammlungen von Objekten fester Gröÿe . . . . . . . . . . 797.2 Ansammlungen langsam kleiner werdender Objekte . . . . . 827.3 Ansammlungen schnell kleiner werdender Objekte . . . . . . 867.4 Zenons Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.5 Auflösung von Zenons Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . 917.6 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8 Kausalität, Zeitreisen und Paralleluniversen 97

8.1 Die Zeit als Bewegungsrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2 Ursache und Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.3 Reisen in die Zukunft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.4 Reisen in die eigene Vergangenheit . . . . . . . . . . . . . . 1038.5 Ein Zeitreiseparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.6 Reisen in eine parallele Vergangenheit . . . . . . . . . . . . 1088.7 Rückkehr aus der parallelen Zeitlinie . . . . . . . . . . . . . 1098.8 Mehrere Reisen in die Vergangenheit . . . . . . . . . . . . . 1108.9 Zeit und vierte Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.10 Denkbare und unmögliche Zeitreisen . . . . . . . . . . . . . 113

vi

Inhaltsverzeichnis

8.11 Prinzipien der Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9 Geschwindigkeit und Relativität 117

9.1 Am Flughafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.2 Bezugssysteme der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.3 Zwischenergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.4 Die Geschwindigkeit des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.5 Bilder der Vergangenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.6 Schneller als das Licht?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.7 Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . 1309.8 Beobachter im Weltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.9 Verschiedene Zeitverläufe in verschiedenen Bezugssystemen. 1359.10 Zeitersparnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.11 Zwischenergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.12 Schneller in die Zukunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.13 Ein ruhender Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.14 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10 Logische Schlussfolgerungen 147

10.1 Das Eine oder das Andere � sonst nichts . . . . . . . . . . 14710.2 Widersprüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.3 Ìmmer richtig' und ìmmer falsch'. . . . . . . . . . . . . . . 15310.4 Einfache Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.5 Schlussfolgerungen in Mengenschreibweise . . . . . . . . . . 15710.6 Abstrahierte Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.7 Modus Ponens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.8 Modus Ponens als Prinzip des menschlichen Denkens . . . . 16210.9 Ein erweiterter Modus Ponens . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.10 Umkehrung einfacher Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . 16510.11 Folgerungen aus dem Gegenteil . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.12 Das genaue Gegenteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17110.13 Beweisen durch Widerlegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.14 Der Beweis der Ungefährlichkeit durch Widerlegen der Ge-

fährlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17410.15 Die Ausschlussmethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17610.16 Das Gegenbeispiel als Mittel der Widerlegung . . . . . . . . 17710.17 Ein unlösbarer Widerspruch in mathematischer Notation . . 17810.18 Der unlösbare Widerspruch aus Meta-Sichtweise . . . . . . . 181

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10.19 Folgerungen aus falschen Voraussetzungen . . . . . . . . . . 18410.20 Fehlerquellen beim Schlussfolgern . . . . . . . . . . . . . . . 18610.21 Der logische Beweis als Kombination aus mehreren einfa-

chen Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18810.22 Fehler in komplexen Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . 19310.23 Kann jede Aussage entschieden werden? . . . . . . . . . . . 196

11 Die Russellsche Antinomie 199

11.1 Syntax und Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19911.2 Seltsame Vorschriften für einen Dorfbarbier . . . . . . . . . 20111.3 Sind alle Kreter Lügner? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20311.4 Zwei Kreter in Gefangenschaft. . . . . . . . . . . . . . . . . 20511.5 Zwei Sorten von Kretern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.6 Was man von Epimenides lernen kann . . . . . . . . . . . . 20811.7 Symbolschreibweise für Mengen und Elemente . . . . . . . . 21011.8 Einige Mengen in Symbolschreibweise. . . . . . . . . . . . . 21211.9 Dorfbewohner in Mengenschreibweise . . . . . . . . . . . . . 21211.10 Lügende Kreter in Mengenschreibweise . . . . . . . . . . . . 21411.11 �Dieser Satz ist falsch� in Mengenschreibweise . . . . . . . . 21511.12 Mengen, die Mengen enthalten . . . . . . . . . . . . . . . . 21711.13 Unmittelbare und mittelbare Elemente . . . . . . . . . . . . 21811.14 Mengen, die sich selbst enthalten . . . . . . . . . . . . . . . 22011.15 Mengen, die sich nicht selbst enthalten . . . . . . . . . . . . 22211.16 Sehr groÿe Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22211.17 Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten . . . 22411.18 Die eigentliche Russellsche Antinomie. . . . . . . . . . . . . 22511.19 Vergleich zwischen mathematischer Notation und Umgangs-

sprache. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.20 Auswirkungen der Russellschen Antinomie . . . . . . . . . . 22711.21 Selbstbezug und Meta-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 23111.22 Typen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23211.23 Klassen und Mengen anstelle von Mengentypen . . . . . . . 23511.24 Konsequenzen für das logische Denken . . . . . . . . . . . . 237

12 Präzise Bezeichnungen 239

12.1 Die Problematik ungenauer Bezeichnungen. . . . . . . . . . 23912.2 Verschiedene Vorstellungen hinter der gleichen Bezeichnung 24312.3 Verschiedene Bezeichnungen für das gleiche Objekt . . . . . 245

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12.4 Weitere Unterscheidungen bei Bezeichnungen . . . . . . . . 24612.5 Verschiedene Ebenen der Bezeichnung . . . . . . . . . . . . 24712.6 Sorgfältiges Bezeichnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24812.7 Ìnteressante' natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 24912.8 Ìnteressant' als unpräzise Bezeichnung . . . . . . . . . . . . 25112.9 Alle natürlichen Zahlen sind interessant . . . . . . . . . . . 25212.10 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

13 Verschiedene Unendlichkeiten 255

13.1 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25513.2 Die Zahl Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25713.3 Abzählbare Unendlichkeit durch die Existenz von Nachfol-

gern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25713.4 Die Peanoschen Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25813.5 Das Induktionsprinzip der natürlichen Zahlen . . . . . . . . 26013.6 Peanos Axiome in mathematischer Symbolschreibweise . . . 26113.7 Ein alltäglich verwendetes Induktionsprinzip . . . . . . . . . 26113.8 Induktion und Deduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26213.9 Die rationalen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26313.10 Unendlichkeit in zwei Richtungen . . . . . . . . . . . . . . . 26413.11 Unendlich mal Unendlich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26613.12 Die Gröÿe der Menge der rationalen Zahlen . . . . . . . . . 26613.13 Die Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26913.14 Die Dezimalschreibweise der reellen Zahlen. . . . . . . . . . 27113.15 Unendliche Zi�ernfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27213.16 Ein erster Versuch, alle Zi�ernfolgen aufzuzählen . . . . . . 27313.17 Die abstrakte Rasterdarstellung für Aufzählungen von Zif-

fernfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27513.18 Eine stets in der Rasterdarstellung fehlende Zi�ernfolge. . . 27713.19 Eine Konstruktionsvorschrift für fehlende Ziffernfolgen . . . 27813.20 Endlich `überabzählbar unendlich'. . . . . . . . . . . . . . . 28113.21 Unendlich viele Unendlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 282

14 Gödelsche Unvollständigkeit 285

14.1 Konsequenzen aus der Gödelschen Unvollständigkeit . . . . 28514.2 Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . 28714.3 Das Richardsche Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

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Inhaltsverzeichnis

14.4 Beweis des ersten Unvollständigkeitssatzes durch Gödelnum-merierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

14.5 Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz . . . . . . . . . . 30214.6 Beweisbar widerspruchsfreie Systeme . . . . . . . . . . . . . 30314.7 Unendlich viele Unvollständigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 30514.8 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

15 Widersprüche im menschlichen Denken 309

15.1 Widersprüche im Seelenleben . . . . . . . . . . . . . . . . . 30915.2 Vollständige Abbildung der Wirklichkeit . . . . . . . . . . . 31415.3 Meta-Begri�e und Selbstbezug. . . . . . . . . . . . . . . . . 31615.4 Widersprüche in der menschlichen Gesellschaft . . . . . . . 31715.5 Verschiedene Typen von Meta-Gebilden . . . . . . . . . . . 31815.6 Meta-Meta-Gebilde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32115.7 Induktions- und Meta-Schritt im Vergleich . . . . . . . . . . 32315.8 Widersprüche mit und im Humor . . . . . . . . . . . . . . . 32615.9 Wie beurteilt man das menschliche Denken? . . . . . . . . . 32715.10 Selbstbeurteilung durch psychoanalytische Methoden? . . . 32815.11 Meta-Psychologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33115.12 Ein Widerspruch im menschlichen Denksystem? . . . . . . . 332

16 Nachwort 339

16.1 Logik auÿerhalb der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . 339

16.2 Überspezialisierung als Verlust der logischen Vielseitigkeitund geistigen Breite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

16.3 Die schwache Stellung des logischen Denkens in der Pro�t-orientierten Gesellschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

16.4 Selbstständiges und eigenständiges Denken. . . . . . . . . . 34616.5 Umständliche und überladene Ausdrucksweise . . . . . . . . 34716.6 Das logisch-mathematische Denken muss auf andere Lebens-

bereiche übertragen werden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

A Weiterführende Literatur 357

A.1 Werke von Bertrand Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357A.2 Wissenschaftliche und populärwissenschaftliche Werke . . . 358A.3 Biogra�en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362A.4 Erzählerische Werke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

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Inhaltsverzeichnis

B Anmerkungen 369

B.1 �Man könnte ewig leben� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369B.2 Eine Nacht in der Wüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371B.3 `Richtig' oder `Falsch'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371B.4 Unendliche Weiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373B.5 Unendlich groÿe Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377B.6 Unendlichkeit auf kleinem Raum . . . . . . . . . . . . . . . 379B.7 Ansammlungen unendlich vieler Objekte . . . . . . . . . . . 379B.8 Kausalität, Zeitreisen und Paralleluniversen . . . . . . . . . 381B.9 Geschwindigkeit und Relativität . . . . . . . . . . . . . . . . 385B.10 Logische Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389B.11 Die Russellsche Antinomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393B.12 Präzise Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394B.13 Verschiedene Unendlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 397B.14 Gödelsche Unvollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404B.15 Widersprüche im menschlichen Denken . . . . . . . . . . . . 406B.16 Nachwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418B.17 Weiterführende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

Literaturverzeichnis 441

Sachverzeichnis 457

Personenverzeichnis 467

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Tabellenverzeichnis

1.1 Vergleich der drei Statistiken . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.1 Ungerade und gerade natürliche Zahlen. . . . . . . . . . . . 585.2 Drei unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen . . . . . 585.3 Zuordnungsvorschrift für gerade und ungerade Zahlen. . . . 66

7.1 Flugstrecke der Rakete in Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 807.2 Unendlich viele Centstücke in Spardosen . . . . . . . . . . . 817.3 Die Summe der inversen natürlichen Zahlen . . . . . . . . . 837.4 Die Summe der inversen natürlichen Zahlen ist unendlich. . 847.5 Zenons Paradoxon in Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.1 Parallelen von �Dieser Satz ist falsch� und {M |M /∈M} . . 22811.2 Gemeinsamkeiten Umgangssprache und Sprache der Mathe-

matik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12.1 Vergleich der Bezeichnungen `Mensch' und `2' . . . . . . . . 242

14.1 Gödelnummern der zwölf einfachen Symbole . . . . . . . . . 294

xiii

Abbildungsverzeichnis

1.1 Wahlen in Utopica City � Alle Wähler . . . . . . . . . . . 21.2 Wahlen in Utopica City � Wähler der PdGV . . . . . . . . 21.3 Medizinische Untersuchung � Alle Menschen . . . . . . . . 31.4 Medizinische Untersuchung � Sehhilfe erforderlich . . . . . 31.5 Unsterblichkeit � Alle je geborenen Menschen . . . . . . . 41.6 Unsterblichkeit � Menschen, die nicht starben . . . . . . . 41.7 Die drei verschlossenen Türen des Ziegenproblems. . . . . . 81.8 Eine Tür mit Ziege wird vom Moderator geö�net . . . . . . 91.9 Alle Türen werden schlieÿlich geö�net . . . . . . . . . . . . 91.10 Strategie des Wechselns zur noch geschlossenen Tür. . . . . 101.11 Alle neun Ausgangssituationen des Ziegenproblems . . . . . 11

2.1 Wünsche und Meta-Wünsche . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Skala für moralische Richtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Gegenpole der logischen Richtigkeit . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Eine endlos im Kreis verlaufende Argumentationskette . . . 333.4 Sätze und Meta-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1 Unendlichkeit und Endlichkeit in der ersten Dimension . . . 444.2 Ein zweidimensionales Blatt Papier und seine Grenzen . . . 454.3 Nicht vorhandene Grenzen eines unendlichen Papierblattes . 464.4 Endlichkeit einer dreidimensionalen Papierkugel . . . . . . . 474.5 Endlichkeit eines dreidimensionalen Zimmers. . . . . . . . . 484.6 Ein eindimensionales Universum als Schlangenlinie . . . . . 51

5.1 Menge der Münzen aus einem Geldbeutel . . . . . . . . . . 545.2 Eine Menge von fünf Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3 Die Menge der natürlichen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . 555.4 Drei natürliche Zahlen wurden entfernt . . . . . . . . . . . . 56

xv


5.5 Menge der ungeraden natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . 585.6 Drei Töpfe werden mit natürlichen Zahlen gefüllt . . . . . . 595.7 Die natürlichen Zahlen aufgeteilt . . . . . . . . . . . . . . . 615.8 Zwei gleich groÿe Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.9 Zwei verschieden groÿe Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . 635.10 Zwei gleich groÿe unendliche Mengen . . . . . . . . . . . . . 645.11 Naheliegende Zuordnung der natürlichen Zahlen . . . . . . . 645.12 Kreuzweise Zuordnung der natürlichen Zahlen . . . . . . . . 645.13 Nicht vollständige Zuordnung der natürlichen Zahlen . . . . 655.14 Vollständige Zuordnung zu geraden und ungeraden Zahlen . 665.15 Aufgeteilte und dennoch gleich groÿe unendliche Mengen . . 675.16 Vollständige Zuordnung von geraden und ungeraden Zahlen

(verschoben zu Abbildung 5.14) . . . . . . . . . . . . . . . . 685.17 Etikettierung mit natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 69

6.1 Immer wieder halbierter Stock. . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Unendlichkeit im Groÿen und im Kleinen. . . . . . . . . . . 766.3 Immer gröÿer werdende natürliche Zahlen . . . . . . . . . . 766.4 Immer kleiner werdende inverse natürliche Zahlen . . . . . . 766.5 Unendliche Halbierung einer endlichen Gesamtstrecke . . . . 77

7.1 Von einem Raumschi� zurückgelegte Strecken . . . . . . . . 807.2 Mit den Jahren immer gröÿer werdende Entfernung zur

Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3 Entfernung zur Erde bei immer kürzer werdenden Etappen. 827.4 Entfernung zur Erde bei schnell kürzer werdenden Etappen 87

8.1 Denkbare Reiserichtungen auf einer Zeitlinie . . . . . . . . . 988.2 Ursache und Wirkung beim Fallenlassen eines Glases . . . . 998.3 Weitere Ursachen und Wirkungen beim Fallenlassen eines

Glases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.4 Unsere tägliche Reise in die Zukunft . . . . . . . . . . . . . 1028.5 Schnellere Reise in die Zukunft . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.6 Reise in die Vergangenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.7 Ursache und Wirkung bei einer Reise in die Vergangenheit . 1048.8 Ausgangssituation vor Ihrer Reise in die Vergangenheit . . . 1058.9 Situation nach Ihrer Reise in die Vergangenheit . . . . . . . 1068.10 Ein endlos im Kreis verlaufendes Zeitreiseparadoxon . . . . 107

xvi


8.11 Hypothetische Abspaltung einer Zeitlinie . . . . . . . . . . . 1098.12 Hypothetische Rückkehr in die eigene Zukunft . . . . . . . . 1108.13 Rückkehr darf nicht vor Abreise fallen . . . . . . . . . . . . 1108.14 Abspaltung zweier Zeitlinien durch zwei Zeitreisen . . . . . 1118.15 Immer neue Abspaltungen von Zeitlinien . . . . . . . . . . . 1128.16 Erlaubte mittelbare Zeitreise in die eigene Zukunft . . . . . 1138.17 Verbotene mittelbare Zeitreise in die eigene Vergangenheit . 114

9.1 Ein Läufer am Flughafen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.2 Laufband und Urlauber am Flughafen . . . . . . . . . . . . 1189.3 Urlauber auf Laufband am Flughafen . . . . . . . . . . . . . 1189.4 Messung der Entfernung des Mondes zur Erde . . . . . . . . 1229.5 Die Umlaufbahn des Mondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.6 Das Licht benötigt acht Minuten von der Sonne zur Erde. . 1259.7 Ein Taschenlampenstrahl auf dem Mond . . . . . . . . . . . 1289.8 Taschenlampenstrahl und Mondmobil. . . . . . . . . . . . . 1299.9 Taschenlampenstrahl von Mondmobil aus (Hypothese) . . . 1299.10 Taschenlampenstrahl von Mondmobil aus (Wirklichkeit) . . 1309.11 Das Michelson-Morley-Experiment . . . . . . . . . . . . . . 1319.12 Ein Lichtsignal im Weltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.13 Lichtsignal und Rakete ziehen an Raumstation vorüber . . . 1349.14 Die Situation aus Sicht der Transportrakete . . . . . . . . . 1389.15 Die Situation aus Sicht der Beobachtungsstation C . . . . . 1399.16 Die Relativität von Zeit und Bewegung . . . . . . . . . . . . 1399.17 Vier Arten, wie man sich aufeinander zu bewegen kann . . . 1439.18 Zwei entgegengesetzte Bewegungen gleichen einander aus . . 145

10.1 Mengen von richtigen und falschen Aussagen. . . . . . . . . 14910.2 Mengen von geometrischen Formen . . . . . . . . . . . . . . 14910.3 Mengen von geraden und ungeraden Zahlen . . . . . . . . . 15210.4 Immer richtige und immer falsche Aussagen . . . . . . . . . 15410.5 Ein Buch fällt zu Boden (logischer Zusammenhang) . . . . . 15610.6 Hand in Flamme (logischer Zusammenhang) . . . . . . . . . 15710.7 Ein Buch fällt zu Boden (Ereignismengen) . . . . . . . . . . 15710.8 Ein Buch fällt zu Boden (überlagerte Ereignismengen) . . . 15810.9 Ein Objekt fällt zu Boden (logischer Zusammenhang). . . . 15910.10 Der Modus Ponens in symbolischer Meta-Schreibweise . . . 16210.11 Erweiterter Modus Ponens in Meta-Schreibweise. . . . . . . 164

xvii


10.12 Schlussfolgerungen darf man nicht einfach umkehren . . . . 16610.13 Vergleich der Ereignismengen A und B . . . . . . . . . . . . 16610.14 Folgern aus dem Gegenteil (Meta-Schreibweise) . . . . . . . 16810.15 Ereignismenge B und ihr genaues Gegenteil ¬B . . . . . . . 16910.16 Ereignismenge A und ihr genaues Gegenteil ¬A . . . . . . . 16910.17 Folgern aus dem Gegenteil in Mengenschreibweise . . . . . . 17010.18 A und ¬A ergeben zusammen alle Möglichkeiten . . . . . . 17210.19 Der Widerspruchsbeweis in Mengenschreibweise . . . . . . . 17410.20 �Dieser Satz ist falsch� in einfachen Schlussfolgerungen . . . 17910.21 Ein Widerspruchskreis für Aussage W . . . . . . . . . . . . 18010.22 Widersprüchliche Aussagen dürfen nicht tatsächlich eintre-

ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18210.23 Entsorgung widersprüchlicher Aussagen . . . . . . . . . . . 18310.24 Einfache Schlussfolgerungen in einem Mordfall . . . . . . . . 18910.25 Der Mordfall in abstrahierter Notation . . . . . . . . . . . . 18910.26 Die Struktur eines mathematischen Beweises . . . . . . . . . 19010.27 Mathematischer Beweis in Symbolschreibweise . . . . . . . . 19210.28 Mathematischer Beweis zusammengefasst . . . . . . . . . . 19210.29 Ein Fehler in einem mathematischen Beweis . . . . . . . . . 195

11.1 �Alle Kreter sind Lügner� in Symbolschreibweise . . . . . . 20411.2 Eine einfache Menge von Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . 21111.3 Ein Widerspruchskreis für Aussage a = �a /∈ R� . . . . . . . 21611.4 Zwei einfache Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21711.5 Mengen bei einem Umzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21811.6 Mengen in Mengen in Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

11.7 Vergleich der Mengen {1} und{{1}}. . . . . . . . . . . . . 220

11.8 Eine unendlich oft sich selbst enthaltende Menge M . . . . . 22111.9 Der Widerspruchskreis für die Menge {M |M /∈M}. . . . . 22711.10 Typen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23411.11 Klassen und Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

12.1 Meta-Ebenen der Ìnteressantheit' . . . . . . . . . . . . . . . 252

13.1 Es gibt stets eine nächstgröÿere natürliche Zahl . . . . . . . 25813.2 Die Kettenstruktur der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . 25813.3 Die Matrix aller rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 26513.4 Das Cauchysche Diagonalverfahren . . . . . . . . . . . . . . 268

xviii


13.5 Der Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

13.6 Der Satz des Pythagoras und√

2 . . . . . . . . . . . . . . . 27013.7 Erster Versuch der Aufzählung aller Zi�ernfolgen . . . . . . 27513.8 Allgemeine Rasterdarstellung für Zi�ernfolgen . . . . . . . . 27613.9 Eine spezielle Zi�ernfolge in der Rasterdarstellung. . . . . . 27713.10 Ausgangszi�ernfolge für die Konstruktionsvorschrift . . . . . 27813.11 Umwandlungsvorschrift für die Diagonalzi�ernfolge . . . . . 27913.12 Die konstruierte Zi�ernfolge fehlt in jeder Aufzählung. . . . 280

14.1 Das Richardsche Paradoxon als Widerspruchskreis . . . . . 29114.2 Vollständige Zuordnung zwischen Formeln und Gödelnum-

mern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29714.3 GN(f) und FO(g). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29714.4 FO() als Umkehrfunktion von GN() . . . . . . . . . . . . . . 297

15.1 Parallele Betrachtung von Meta-Schritten . . . . . . . . . . 32115.2 Der Induktionsschritt in abstrakter Darstellung . . . . . . . 32415.3 Der unechte Meta-Schritt in abstrakter Darstellung . . . . . 32515.4 Der echte Meta-Schritt in abstrakter Darstellung . . . . . . 325

B.1 Das Ich und die Realität nach Freud . . . . . . . . . . . . . 408

xix

Vorwort

�Logisches Denken bestimmt unser Leben.� Dies wird in ähnlicher Form häu-�ger behauptet. Diese Aussage ist in ihrer Allgemeinheit jedoch leider falsch.Oft werden damit sogar nur die eigenen Interessen kaschiert. Nicht einmaldarüber, was `logisches Denken' bedeutet, wird man ohne weiteres Einigkeiterzielen können.Um logisches Denken in die Praxis zu übertragen, müssen daher zunächst

einige grundlegende Fragen geklärt werden, bei deren Beantwortung die Be-zeichnung `logisches Denken' mit Inhalt gefüllt wird. Was ist logisches Den-ken? Was sind die Prinzipien der Logik? Wieso gibt es logische Widersprüche,was sind sie, wie kommen sie zustande und wie lassen sie sich lösen oder we-nigstens vermeiden? Gibt es auch unlösbare logische Widersprüche? DieseFragen sind alles andere als einfach zu beantworten.Die Mathematik ist nur eines von vielen Gebieten, in denen logisches Den-

ken eine Rolle spielt. Es ist daher nicht zwingend notwendig, die mathema-tische Logik ins Zentrum der nachfolgenden Betrachtungen zu stellen. Dochlassen sich gerade an mathematisch geprägten Problemstellungen die essenzi-ellen Gedanken zum logischen Denken am prägnantesten demonstrieren. Inder Mathematik treten die Prinzipien der Logik in ihrer reinsten Form auf.Ähnliche Problemstellungen �nden sich aber auch in nicht-mathematischen

Bereichen. Auch sie werden hier erwähnt, nicht nur weil sie für Nicht-Mathe-matiker dort anschaulicher erscheinen und daher leichter verständlich. Essind ja gerade diese Bereiche, auf die wir das mathematisch-logische Denkenübertragen wollen.Leider fehlt den nicht-mathematischen Problemstellungen allerdings oft die

klare Durchschaubarkeit der rein mathematischen Formulierung. Hier mussalso eine Gratwanderung gegangen werden, um einerseits das Problem nichtzu banalisieren, es andererseits aber auch nicht zu stark zu formalisieren.Ihrer besonderen Klarheit wegen steht die mathematisch-exakte Logik im

Zentrum der folgenden Betrachtungen. Von dieser klar de�nierten Operati-onsbasis aus werden immer wieder vergleichbare Problemstellungen aus Be-reichen wie Sprache, Physik, Psychoanalyse, Rechtswissenschaft, Philosophieund Literatur aufgegri�en, aber auch beispielsweise ihre Wirkung im Humor.

xxi

Vorwort

Denn in allen diesen Bereichen kommen die in der Mathematik auf das We-sentliche konzentrierten logischen Denkmethoden zur Anwendung.Auÿerdem ist es ein Ziel dieses Buches, die für das Verständnis des lo-

gischen Denkens notwendige Mathematik nicht allzu trocken darzustellen.Zwar ist Nüchternheit des Denkens eines der herausragenden Merkmale dermathematischen Vorgehensweise, wodurch sie trocken und leblos wirken mag.Mathematik muss aber nicht notwendigerweise trocken und leblos sein. Einestark formalisierte Darstellung der hier angesprochenen mathematischen Pro-bleme wäre daher zwar bei einer Abhandlung angebracht, die ausschlieÿlichfür Mathematiker bestimmt ist. Dieses Buch wendet sich jedoch genauso anden interessierten Laien, der die nachfolgenden Ausführungen auch ohne um-fangreiche mathematische Vorkenntnisse verstehen will. Daher werden diebehandelten Problemstellungen nur am Rande, der wissenschaftlichen Voll-ständigkeit halber, auch in ihrer mathematischen Formalisierung vorgestellt.Im Vordergrund steht das intuitive Verständnis.Ein ähnliches Vorgehen ist schlieÿlich in allen wissenschaftlichen Gebieten

möglich und sinnvoll. Es stellt auch für den späteren Fachmann das ersteTor zum Verständnis dar. Der Gedanke sollte über der Form stehen. Auchin der Wissenschaft ist selten nur der reine Lehrbuchtext interessant; meistsind es erst die mit dem Text verbundenen und ihm zugrunde liegendenVorstellungen und Gedankengänge, die ihn lebendig werden lassen. Ein einfa-ches Beispiel soll dies erläutern: Liest man einen Satz wie �Es war eine klareNacht und die Sterne schienen auf uns herab�, so sind es auch darin nichtdie geschriebenen Worte ùnd', `Nacht', Ès', `schienen', . . . (also die Formder Darstellung), die diesen Satz interessant machen. Es ist vielmehr die Vor-stellung, es sind die Gedanken an einen sternenübersäten Nachthimmel, diemit dieser sprachlichen Formulierung verbunden werden, durch die das In-teresse geweckt wird. Für die formale Darstellung mathematischer Theoriengilt etwas ganz Ähnliches wie für jenen Satz der Alltagssprache. Auch wenneine mathematische Formulierung rein formell sehr trocken wirken kann, soverbirgt sich dahinter oft eine reizvolle und die Phantasie anregende Vorstel-lung. Die in der Theorie verborgene Idee und die der formalen Darstellungzugrunde liegende lebendige Vorstellung sollen bei den Ausführungen diesesBuches im Vordergrund stehen.Bei solch einem eher intuitiven Herangehen an die Probleme des logischen

Denkens darf jedoch die mathematisch exakte Formulierung nicht völlig feh-len. Oft verscha�t erst sie uns die Möglichkeit, den Kern eines Problems inaller Klarheit zu erfassen. Daher werden gelegentlich auch mathematische For-mulierungen in die Überlegungen miteinbezogen. Wie beim Verstehen einerFremdsprache ist es für das Verständnis dieser mathematischen Formulierun-gen jedoch keineswegs erforderlich, die Sprache der Mathematik �ieÿend zu

xxii

Vorwort

beherrschen. Viele Menschen können sich auch mit unvollständigen Sprach-kenntnissen in einem fremdsprachigen Land zurecht�nden; entsprechend soll-te es dem Leser dieses Buches gelingen, sich mit einigen grundlegenden ma-thematischen Sprachkenntnissen in der Welt der Mathematik zu orientieren.Diese mathematischen Sprachkenntnisse werden, soweit sie hier von Bedeu-tung sind, im Rahmen des Buches eingeführt. Viele der Probleme, mit de-nen sich die Mathematik befasst, sind dabei weniger fremdartig als es aufden ersten Blick scheinen mag; sie sind bereits mit einer Portion gesundenMenschenverstandes zu begreifen. Überdies kann Formalismus den gesundenMenschenverstand zwar unterstützen, aber nicht ohne ihn auskommen.Manche der hier vorgestellten Problemstellungen können im Rahmen die-

ses Buches nicht bis ins allerletzte Detail analysiert und hinterfragt werden.In der Darstellung werden jedoch alle für das zentrale Verständnis eines Pro-blems wichtigen Aspekte angeschnitten.Um die Prinzipien des logischen Denkens zu untersuchen und besser ken-

nenzulernen, eignen sich Paradoxien, in denen die Logik � auf den erstenBlick jedenfalls � zu versagen scheint. Solche Widersprüchlichkeiten kannman überall �nden, nicht nur in der Mathematik. Bei genauerem Hinsehenlöst sich der scheinbare Widerspruch allerdings zumeist auf und ermöglichtdann einen freien und klaren Blick auf die wirklichen Zusammenhänge, diezum vermeintlichen Widerspruch geführt haben.In Paradoxien spielt häu�g die Vorstellung von Unendlichkeit eine wichti-

ge Rolle. Ùnendlichkeit' ist in diesem Buch daher einer der zentralen undimmer wiederkehrenden Begri�e. Mit Unendlichkeit wird schon ein vermeint-licher (und nicht ganz ernst gemeinter) Widerspruch des ersten Kapitels zutun haben. Hinzu kommen die sogenannten `Meta-Konstruktionen', die füreine systematische Beschreibung des logischen Denkens unentbehrlich sind.Eine erste Meta-Konstruktion wird im zweiten Kapitel vorgestellt. Bereitsim dritten Kapitel stoÿen wir dann auf ein grundlegendes Paradoxon.

Seitlich eingezogene und vom umgebenden Haupttext abgerückte Absätzein kleinerer Schrift, so wie dieser, enthalten ergänzende Randbemerkun-gen, weitere Beispiele und tiefer gehende Ausführungen. Zum Teil gehensie dabei über den engeren Rahmen des Buches hinaus und können auchübersprungen werden. Oftmals runden sie das vorher skizzierte Bild aboder versuchen, ein tieferes Verständnis für die mathematische Seite desProblems aufzubauen.Weitere Randbemerkungen beziehen sich auf vergleichbare Problem-

stellungen in anderen Lebensbereichen. Oft haben sie nur auf den erstenBlick nichts mit mathematischer Logik zu tun.∗

∗Diese Randbemerkung ist genaugenommen eine `Meta-Randbemerkung', also eine Rand-

xxiii

Vorwort

Zahlreiche Anmerkungen zu den im Haupttext behandelten Themen �ndensich am Ende des Buches (Anhang B ab Seite 369). Sie enthalten weiterge-hende Informationen, zusätzliche Denkanstöÿe, Originalzitate, Quellenanga-ben, Biogra�sches und ausführlichere Begründungen, die, wären sie direkt imHaupttext untergebracht, den Lese�uss zu sehr stören und von dem eigent-lich verfolgten Gedankengang ablenken würden. Alle Textstellen, zu denenAnmerkungen gemacht wurden, sind im Haupttext durch hochgestellte Zah-len (Fuÿnoten wie 1,2 ,3 , . . .) gekennzeichnet.

Die dritte Auflage wurde gegenüber den beiden vorherigen Auflagen kom-plett überarbeitet und erweitert. Neu hinzugekommenen ist dabei vor allemKapitel 14 über die Gödelsche Unvollständigkeit.Auch drucktechnisch hat sich seit der zweiten Auflage von 2008 einiges

geändert. Das Buch ist nun vollständig in LATEX gesetzt. Auch das Layoutwurde dabei überarbeitet.In der vorliegenden vierten Auflage wurden einige kleinere Verbesserungen

vorgenommen und Aktualisierungen durchgeführt.

Über Anregungen und Kritik würde ich mich freuen. Nutzen Sie dazu ein-fach die aktuellen Kontaktinformationen auf der zu diesem Buch eingerichte-ten Website paradoxon.alvarwenzel.de.

bemerkung über Randbemerkungen und damit eine jener Meta-Konstruktionen, die eine

so wichtige Rolle bei der Beurteilung des menschlichen Denkens spielen. Der Begri� der

`Meta-Konstruktion' wird erstmals in Abschnitt 2.3 vorgestellt.

xxiv

K A P I T E L D R E I

`Richtig' oder `Falsch'

Dieses Kapitel wird mit einem weiteren Meta-Gebilde abschlieÿen, aus demsich ein wichtiges Paradoxon ableiten lässt. Es behandelt die Frage, wanneine Aussage `richtig' (beziehungsweise `wahr') oder `falsch' (beziehungsweiseùnwahr') ist.

3.1 Moralische Richtigkeit

In vielen Situationen ist zu entscheiden, ob eine Aussage, eine Behauptungoder eine Handlung richtig oder falsch ist. Was genau bedeuten jedoch die bei-den häu�g verwendeten Begri�e `richtig' und `falsch'? Versteht jeder Menschunter ihnen das Gleiche? Oder hat nicht jedermann eine andere Vorstellungvon ihnen?Als moralische Wertungen verstanden sind die Begri�e `richtig' und `falsch'

selten eindeutig und können weitreichende Diskussionen über ihre Bedeutungauslösen. Ein Beispiel soll dies erläutern: Meiner Meinung nach ist es falsch,einen Menschen zu töten. Dieser Ansicht werden die meisten Leser sofortzustimmen. Andererseits gibt es in vielen Ländern der Erde die Todesstra-fe, auch in solchen Staaten, die mit groÿem Stolz auf eine Tradition derFreiheit, Gerechtigkeit und Fortschrittlichkeit zurückblicken. Die Todesstrafekann heutzutage barbarisch anmuten. Auch wenn der zum Tode Verurteiltein seinem Vorleben noch so viel verbrochen hat und nach Ansicht des je-weiligen Gesetzgebers den Tod verdient hat, auch wenn sich ein Staat beiAnordnung und Durchführung der Todesstrafe noch so erhaben gibt, bleibtdoch die Tatsache, dass bei ihrer Ausführung ein Mensch getötet wird. VieleBürger solcher Staaten sind dennoch der Ansicht, die Todesstrafe sei rich-tig, obwohl sie das Töten eines Menschen andernfalls für falsch halten. Dieserscheint widersprüchlich.Die Beantwortung der Frage nach der moralischen Richtigkeit einer Hand-

lung kann somit sehr komplex ausfallen. Die endgültige Entscheidung hängtletztlich von der speziellen Situation, den hinter der objektiven Handlungverborgenen Motiven und dem jeweiligen Betrachter mit seinen persönlichenMoralvorstellungen ab. Einige Menschen lehnen jedes Töten ab. Andere wer-

23

Kapitel 3 `Richtig' oder `Falsch'

den dem Staat die Ausübung der Todesstrafe zugestehen, vielleicht aber inBezug auf die Verbrechen, gegen die sie verhängt werden soll, anderer An-sicht sein. Sicherlich gibt es auch Menschen, die keinerlei Vorbehalte gegendas Töten haben � die Weltgeschichte scheint leider voll von ihnen zu sein.Es ist somit selten leicht, eindeutig festzustellen, ob etwas moralisch richtigoder falsch ist.Der einzige Punkt, in dem sich alle Menschen bei einer Diskussion um die

Bedeutung von Richtigkeit einig sein dürften, ist die grundsätzliche Gegen-sätzlichkeit der Begri�e `richtig' und `falsch'. Wenn etwas falsch ist, kann esnicht richtig sein; wenn etwas richtig ist, kann es kaum falsch sein. Das eine istdas genaue Gegenteil des anderen. Wenn es gelingt festzulegen, was `richtig'bedeutet, so sollte alles, was nicht `richtig' ist, `falsch' sein. Oder existierenetwa noch weitere Möglichkeiten?Bei der Diskussion der moralischen Richtigkeit gibt es auch Wertungen,

die sich weder `richtig' noch `falsch' (in ihrer extremen Gegensätzlichkeit)zuordnen lassen. Oft existieren zwischen den beiden Polen `richtig' und `falsch'beliebig viele weitere Wertungszustände. Was nicht richtig ist, muss nichtsofort falsch sein.Wieder am Beispiel des Tötens von Menschen lässt sich dieses weitere Pro-

blem bei der Beantwortung wertbezogener Fragestellungen deutlich machen:Einen Menschen zu töten, ist im Prinzip falsch. Einen Menschen hinzurichten(eine Handlung, die das Töten eines Menschen einschlieÿt � die Verwendungdes Verbs `hinrichten' anstelle von `töten' bringt eine nur sprachliche Di�e-renzierung), der einen Dritten ermordet hat, ist möglicherweise nicht falsch,oder mag zumindest weniger falsch sein als das vorausgegangene Tötungsde-likt, das der Mörder begangen hat und das durch seine Hinrichtung vergoltenwerden soll.1 Töten in Notwehr kann sogar als moralisch richtig angesehenwerden.Es zeigt sich, wie unklar in derartigen Situationen die moralischen Wertun-

gen `richtig' und `falsch' ausfallen. Ein Auÿenstehender, der die Zwischenstu-fen und Implikationen moralischer Bewertungen nicht beachtet, wird dieseUnterscheidungen als widersinnig ansehen, und das nicht ganz zu unrecht.Menschen zu töten sei falsch. Durch den Staat Menschen zu töten, die ihrer-seits Menschen getötet haben, sei aber nicht falsch (also richtig), obwohl dasTöten durch den Staat genauso ein Töten von Menschen ist, nach der erstenAussage also falsch sein müsste.Welches von beidem ist nun zutre�end? Ist es nun richtig oder falsch, Men-

schen zu töten? Ohne die Existenz von Zwischenstufen bei moralischen Wer-tungen wäre die Todesstrafe für Tötung ein Widerspruch in sich, ein Para-doxon. Und selbst nach Berücksichtigung verschiedener Stufen moralischerRichtigkeit wird die Todesstrafe vielen Menschen weiterhin als widersinnig

24

3.1 Moralische Richtigkeit

erscheinen.Man gewinnt den Eindruck, eine Handlung (wie das Töten von Menschen)

könne nur nach den Motiven beurteilt werden, aus denen heraus sie began-gen wird. Somit wäre nicht die objektive Handlung an sich richtig oder falsch.Aus Habgier zu morden wäre falsch, als Vertreter des Staates in gesellschaftli-cher Vergeltung hinzurichten wäre dagegen richtig (hier wird diese Zweckun-terscheidung schon in der Verwendung der Worte `morden' und `hinrichten'anstelle von `töten' sprachlich angedeutet). Ist das Motiv Habgier, so wäredas Töten eines Menschen also falsch, ist das Motiv dagegen gesellschaftli-che Vergeltung, so wäre das Töten richtig. Die Beurteilung der moralischenRichtigkeit einer Handlung würde dann nur noch von ihrem Motiv und nichtmehr von der Handlung an sich bestimmt werden.2

Diese Art der Bewertung ist äuÿerst gefährlich, da sie der Willkür denWeg ebnet. Ist es erlaubt, etwas Schlechtes, etwas Falsches zu tun, nur weilsich für diese Tat ein gutes Motiv anführen lässt? Ist es umgekehrt vielleichtsogar verwerflich, etwas Gutes, Richtiges zu tun, wenn die Motive dafür falschsind? Meiner Meinung nach bleibt eine objektiv schlechte Handlung trotz derbesten Motive, die sich für sie anführen lassen, weiterhin falsch. Zu oft schonwurden Grausamkeiten im Namen der Religion, der Selbstverteidigung oderdes gesellschaftlichen Wohlergehens begangen. Der Zweck heiligt nicht dieMittel.3

Tötung in Selbstverteidigung ist in diesem Zusammenhang eine Sachlage,deren moralische Bewertung besonders schwerfällt. Auch ein Gegner der To-desstrafe könnte zugestehen, dass ein Töten in Notwehr im Falle höchster Ge-fahr rechtfertigt werden kann, obwohl diese Handlung dem eigentlichen Sinndes Wortes `richtig' nicht entsprechen mag.4 Die Klärung der moralischenWertungen `richtig' und `falsch' ist auch hier mit groÿen Problemen verbun-den. O�enbar muss die moralische Richtigkeit der objektiven Handlung ansich (der Vorgang des Tötens) zusammen mit dem subjektiven Motiv derHandlung (Habgier, Vergeltung, Selbstverteidigung) beurteilt werden, um zueinem moralisch und logisch erträglichen Wertungsergebnis zu gelangen.Die Problematik zahlreicher Teilstufen zwischen moralisch richtig und mo-

ralisch falsch kann anhand einer Skala veranschaulicht werden, an deren ei-nem Ende die Wertung `richtig' zu �nden ist, am anderen die gegensätzlicheWertung `falsch'. Dazwischen liegen viele, nicht eindeutig einem der Skalenen-den zuordenbare Wertungen moralischer Richtigkeit (Abbildung 3.1).Einige der Zwischenstufen moralischer Bewertung können näher am positi-

ven Skalenende liegen, andere dichter am negativen. Doch auch die gra�scheDarstellung ist durch die persönlichen Ansichten des jeweiligen Zeichnersgefärbt. Jeder Mensch würde die Pfeile vermutlich ein wenig anders positio-nieren als ich es getan habe. Auÿerdem würde man wahrscheinlich die Wer-

25

Kapitel 3 `Richtig' oder `Falsch'moralisch`richtig' moralisch`falsch'MordTodesstrafefür MordTöten in Selbst-verteidigungAbbildung 3.1: Skala für moralische Richtigkeit

tungsreihenfolge bei konkreten Fällen der Todesstrafe (etwa für einen Mas-senmörder) oder des Tötens in Selbstverteidigung (wenn die sich schützendePerson unverschuldet in gröÿte Gefahr geriet) jedes Mal anders vornehmen.Eine allgemeine De�nition moralischer Richtigkeit, die in jeder Situation undjederzeit gleichermaÿen von jedem akzeptiert werden kann, scheint damit un-möglich.

3.2 Logische Richtigkeit

In diesem Buch soll jedoch meist nicht die eben beschriebene, schwer auf denPunkt zu bringende moralische Bedeutung von `richtig' und `falsch' unter-sucht werden. Es sollen, wie in der mathematischen Logik, im Folgenden vorallem solche Sachverhalte behandelt werden, in denen die Frage der Richtig-keit eindeutig zu beantworten ist. Hier soll `nicht richtig' gleichbedeutend mit`falsch' sein. Es soll keine Zwischenstufen wie bei der moralischen Bewertungmehr geben, nur noch die beiden sich ausschlieÿenden Alternativen `richtig'und `falsch'.Durch solch eine strenge Einschränkung auf zwei Gegensätze wird aller-

dings die Menge der Aussagen, mit denen gearbeitet werden kann, stark ver-kleinert. Vor allem darf man sich nicht mehr mit Fragen nach der moralischenRichtigkeit menschlichen Verhaltens befassen.

Diese Einschränkung auf logisch exakt verwertbare Aussagen ist notwen-dig, um zunächst die Funktionsweise der mathematischen Logik in ihrerreinsten Form kennenzulernen. Erst danach können ihre Prinzipien auchauf die Bewertung moralischer Probleme, die weniger exakt zu fassen sind,sinnvoll übertragen werden.

Wie aber sehen Aussagen aus, die nur richtig oder falsch sein können? Sie

26

3.2 Logische Richtigkeit

müssen sich unzweideutig formulieren lassen, sodass jeder, der die Aussageliest (und über die nötigen Vorkenntnisse verfügt), zu dem gleichen Urteilüber ihre Richtigkeit gelangt. Diese Voraussetzung tri�t auf moralische Wer-tungen kaum zu.Die nachfolgenden Aussagen sind in diesem Sinne richtig. Ihre Richtigkeit

wird allgemein Anerkennung �nden, niemand wird sie infrage stellen.

Das Wort `Buch' beginnt mit einem groÿen `B'.

Wasser ist nass. (sofern es �üssig ist)

Dieser Satz hat fünf Worte.

Die drei Aussagen sind unzweifelhaft richtig, wie man unmittelbar nachprüfenkann. Diese unbestreitbare Eindeutigkeit ergibt sich allerdings auch aufgrundder mangelnden moralischen Relevanz ihres Inhalts. Jedoch sind logisch ein-deutig bewertbare Aussagen darum nicht weniger bedeutsam; ihre Bedeutungzeigt sich aber erst in anderer, hier zu untersuchender Hinsicht.Da in der Logik das Gegenstück zu `richtig' `falsch' ist, wird das genaue

Gegenteil richtiger Sätze falsch. Es gibt nur diese beiden Alternativen. Fürdie drei richtigen Beispielaussagen von oben lauten die zugehörigen falschenGegenaussagen, die den genau gegenteiligen Sinn haben:

Das Wort `Buch' beginnt n i c h t mit einem groÿen `B'.

Wasser ist n i c h t nass.

Der Satz �Dieser Satz hat fünf Worte� hat n i c h t fünf Worte.

Bei der Bildung der letzten Gegenaussage musste man o�enbar mit gröÿererSorgfalt vorgehen (dazu mehr im nachfolgenden Abschnitt). Schon hier zeigtsich dadurch jedoch, dass logisch eindeutig bewertbare Aussagen nicht ganzso einfach zu handhaben sind, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag.Von nun an sollen in diesem Buch vor allem Aussagen untersucht werden,

die nur entweder richtig oder falsch sein können (sofern sich aus dem jewei-ligen Zusammenhang nicht etwas anderes ergibt). Ist also von nun an eineAussage nicht `richtig', so ist sie `falsch'; ist sie nicht `falsch', so ist sie `richtig'.Es gibt in dieser Logik keine Zwischenzustände mehr, wie sie sich noch beider moralischen Auffassung von Richtigkeit �nden lieÿen. Die Veranschauli-chung der logischen Richtigkeit in Abbildung 3.2 kann daher auf eine Skalaverzichten; sie kennt nur zwei Gegenpole, aber es gibt keinen dritten Pol.Diese Situation wird lateinisch als `Tertium Non Datur' bezeichnet.5

27


logisch`richtig' logisch`falsch'Wasser ist nass.Dieser Satz hatfünf Worte.

Das Wort `Buch' beginntmit einem groÿen `B'. Der Satz �Dieser Satzhat fünf Worte� hatn i c h t fünf Worte.Wasser istn i c h t nass.Das Wort `Buch'beginnt n i c h tmit einem groÿen `B'.

Abbildung 3.2: Gegenpole der logischen Richtigkeit

3.3 Korrekte Verneinung

Das Gegenteil einer logisch richtigen Aussage ist logisch falsch. Diese Regeltri�t jedoch nur zu, wenn die Gegenaussage korrekt gebildet wird, wenn siealso wirklich das genaue Gegenteil der zu verneinenden Aussage darstellt.Das genaue Gegenteil korrekt zu bilden, ist in einigen Fällen nicht so ein-

fach, wie man zunächst glauben mag. Bereits bei der Verneinung der drittenBeispielaussage �Dieser Satz hat fünf Worte� war diese Schwierigkeit zu er-kennen. Die beiden ersten Beispielaussagen zu verneinen, war noch einfachgewesen. Die Verneinungen von �Das Wort `Buch' beginnt mit einem groÿen`B'� und �Wasser ist nass� lassen sich durch Einfügen des Wortes `nicht' angeeigneter Stelle erzeugen. Dieses mechanische Vorgehen darf bei der drittenAussage jedoch nicht gewählt werden; es wäre sogar fatal. Denn die vermeint-liche Gegenaussage zu �Dieser Satz hat fünf Worte�, mechanisch gebildetdurch Einfügen des Wortes `nicht', würde lauten:

Dieser Satz hat n i c h t fünf Worte.

Nach der anfangs genannten Regel müsste diese vermeintliche Gegenaussageeigentlich logisch falsch sein (als Verneinung einer logisch richtigen Aussage).Doch auch �Dieser Satz hat nicht fünf Worte� ist logisch richtig, denn durchdie Vergröÿerung des Satzes um das Wort `nicht' besteht die resultierendeFormulierung nunmehr aus sechs Worten anstatt aus fünf. Sind also sowohldie Aussage �Dieser Satz hat fünf Worte� und ihr (vermeintliches) Gegenteil�Dieser Satz hat nicht fünf Worte� beide richtig? Was ist mit der Regel, dasGegenteil von `richtig' sei `falsch'? Hier wäre dann ein Widerspruch zu dieserRegel gefunden.Doch der Widerspruch entsteht nur durch die fehlerhafte mechanische Bil-

dung der gegenteiligen Aussage durch Einfügen des Wortes `nicht'. Diese Me-

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3.3 Korrekte Verneinung

chanik versagt hier völlig. Mechanisches Denken ist eben fehleranfällig (unddas nicht nur in diesem Fall; denn wenn es funktionieren würde, so könnteman, wie in Kapitel 1 gezeigt, ewig leben). Nicht der Satz als sprachliches(syntaktisches) Gebilde, sondern seine inhaltliche (semantische) Aussage istzu verneinen.6 Dann wird auch die allgemeine Regel wieder greifen, nach derdas genaue Gegenteil einer richtigen Aussage falsch ist.In unserem Beispiel spricht jeder der vermeintlich gegenteiligen Sätze über

sich selbst. Der eine Satz spricht über die Aussage �Dieser Satz hat fünfWorte�, der andere Satz über die Aussage �Dieser Satz hat nicht fünf Worte�.Beide Sätze sprechen also über zwei verschiedene Aussagen und können somitgar nicht die korrekte sinngemäÿe Verneinung des jeweils anderen darstellen.Der eine spricht über eine Formulierung aus fünf Worten, der andere übereine andere Formulierung aus sechs Worten.Die korrekt gebildete Verneinung von �Dieser Satz hat fünf Worte� lautet

vielmehr:


Diese Formulierung spricht nun tatsächlich ebenfalls über �Dieser Satz hatfünf Worte�. Die Verneinung ist, wie es die Regel vorhersagt, o�enbar logischfalsch, denn �Dieser Satz hat fünf Worte� hat doch fünf Worte. Das Gleich-gewicht ist wieder hergestellt, das korrekt gebildete Gegenteil einer logischrichtigen Aussage ist logisch falsch.

Ein möglicherweise verbleibender Rest an Unklarheit löst sich auf, wenndie Aussage �Dieser Satz hat fünf Worte� so formuliert wird (also seineSyntax so geändert wird), dass auch die mechanische Verneinung funktio-niert, ohne dabei ihren Sinn (die Semantik) zu verändern. Denn �DieserSatz hat fünf Worte� ist inhaltlich gleichbedeutend mit der Aussage:

Der Satz �Dieser Satz hat fünf Worte� hat fünf Worte.

Dies ist die logisch richtige Aussage, die es inhaltlich zu verneinen gilt.Hier genügt es nun wirklich, an der richtigen Stelle mechanisch das Wort`nicht' einzufügen, um die oben zitierte korrekt gebildete Verneinung


zu erhalten, die ihrerseits logisch falsch ist.

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3.4 Wiederum eine Meta-Konstruktion

Möglicherweise ist Ihnen bereits aufgefallen, dass es wiederum eine Meta-Konstruktion ist, die hier Kopfzerbrechen bereitet. Während das erste Bei-spiel eine Aussage über das Wort `Buch' machte (es beginnt mit einem groÿen`B') und das zweite Beispiel eine Aussage über die Substanz Wasser in �üssi-gem Zustand (es ist nass), handelte es sich bei der dritten Formulierung umeine Aussage über den Satz selbst (er hat fünf Worte). Die Eigenschaft, Ob-jekte wie sich selbst oder gar sich selbst zum Thema zu haben, ist jedoch diekennzeichnende Charakteristik eines Meta-Gebildes � wie schon der Geistder Lampe in Kapitel 2 erfahren musste, als er einen Meta-Wunsch erfüllensollte. Der Satz �Dieser Satz hat fünf Worte� muss daher ein Meta-Satz sein;er macht eine Aussage über sich selbst.Genaugenommen ist allerdings zwischen der Formulierung (sozusagen dem

Erscheinungsbild, der Syntax) und der inhaltlichen Aussage des Satzes (sei-nem Sinn, der Semantik) zu unterscheiden. Inhalt des Satzes ist eine Aussageüber die Anzahl Worte, aus der seine Formulierung besteht (aus fünf Wor-ten). Der Satz macht jedoch keine Aussage über seinen logischen Inhalt. Dieinhaltliche Aussage des Satzes ist daher für seine logische Richtigkeit nichtvon Bedeutung. Die ursprüngliche Aussage hätte auch lauten können:

Der Satz �Die Erde ist eine Scheibe� hat fünf Worte.

Auch dies ist logisch richtig, denn der betrachtete Satz besteht tatsächlichaus fünf Worten (wie auch �Dieser Satz hat fünf Worte� aus fünf Wortenbestand). Hingegen ist die Aussage, über die dieser Satz spricht, sachlichfalsch (denn die Erde ist keine Scheibe).Entsprechend ist die Aussage

Der Satz �Mechanisches Denken kann zu Fehlern führen�hat n i c h t fünf Worte.

ebenfalls logisch richtig (diesmal sind es sechs Worte). Dabei machen weder�Die Erde ist eine Scheibe� noch �Mechanisches Denken kann zu Fehlern füh-ren� eine Aussage über sich selbst, sind also keine Meta-Sätze.Der Selbstbezug in �Dieser Satz hat fünf Worte� entsteht demnach aus

einer Kombination von Formulierung und Inhalt. Es wurde keine Aussageüber die eigene Aussage gemacht, was einen echten und reinen Selbstbezugergeben hätte, sondern eine Aussage über die eigene Formulierung. Entschei-dend für das Verständnis von Paradoxien ist aber die saubere Trennung zwi-schen Satzaussage (Inhalt, Semantik, Sinn) und Satzerscheinungsbild (For-mulierung, Syntax, Anzahl Worte).

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3.5 Ist dieser Satz richtig oder falsch?


Die bisher untersuchten Sätze machten Aussagen über Objekte (das Wort`Buch', Wasser) beziehungsweise über die Anzahl Worte, aus denen ein Satzbesteht (also über sein Erscheinungsbild). Damit wurde nur bedingt einehöhere Ebene der Abstraktion erreicht, obwohl es sich bei der Aussage �DieserSatz hat fünf Worte� in gewissem Sinn bereits um einen Meta-Satz handelt.Eine Formulierung, die ganz gewiss ein Meta-Satz ist, ergibt sich aber erstdann, wenn ein Satz eine Aussage über seine eigene Aussage macht (anstattnur über seine eigene Form).Was aber kann ein Satz über seine eigene Aussage aussagen? Eine wesent-

liche Eigenschaft einer Aussage ist ihre logische Richtigkeit. Ein echter Meta-Satz könnte daher eine Aussage über die logische Richtigkeit seiner eigenenAussage machen. Solch ein Meta-Satz ist:

Dieser Satz ist richtig.

Er behauptet, dass das, was er sagt, logisch richtig sei. Ob diese Aussageletztendlich Substanz hat, soll erst einmal o�enbleiben (obwohl sie gewisseinen korrekt gebildeten Satz unserer Sprache darstellt). Auf jeden Fall gibtes � logisch gesehen � genau die beiden Möglichkeiten:

Die Aussage des Satzes �Dieser Satz ist richtig� ist richtig.

o d e r

Die Aussage des Satzes �Dieser Satz ist richtig� ist falsch.

Die erste Möglichkeit (�Dieser Satz ist richtig� ist richtig) scheint zuzutre�en.Bei dieser Alternative würde es keine Abweichung geben zwischen dem, wasder Satz von sich selbst behauptet, und dem, was tatsächlich gilt. Die zweiteAlternative (�Dieser Satz ist richtig� ist falsch) klingt dagegen widersprüch-lich, da das, was der Satz von sich selbst behauptet (richtig zu sein), nichtmit dem übereinstimmen würde, was tatsächlich gälte (falsch zu sein). Alsoist �Dieser Satz ist richtig� o�enbar richtig.Damit hat man also zwar einen echten Meta-Satz gefunden, aber noch

keinen Widerspruch.Zu einem greifbaren unlösbaren Widerspruch gelangt man erst, wenn man

die logische Richtigkeit der Aussage

Dieser Satz ist falsch.

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untersucht. Auch diesmal lässt sich die Frage stellen, ob diese Aussage über-haupt Substanz hat. Andererseits stellt auch sie einen korrekt formuliertenSatz unserer Sprache dar, den man nicht von vornherein als sinnlos verwerfensollte.

Der Meta-Satz �Dieser Satz ist falsch� ist übrigens nicht das genaue Ge-genteil des Meta-Satzes �Dieser Satz ist richtig�, genauso wenig wie �Die-ser Satz hat fünf Worte� das genaue Gegenteil von �Dieser Satz hat nichtfünf Worte� war. Denn auch bei �Dieser Satz ist falsch� und �Dieser Satzist richtig� sprechen die beiden syntaktisch identischen Teilformulierun-gen �Dieser Satz� jeweils über verschiedene Objekte: einmal über die Aus-sage des Satzes �Dieser Satz ist falsch�, das andere Mal über die andereAussage des Satzes �Dieser Satz ist richtig�. Das genaue Gegenteil zu�Dieser Satz ist richtig� ist

Der Satz �Dieser Satz ist richtig� ist falsch.

und das genaue Gegenteil zu �Dieser Satz ist falsch� ist

Der Satz �Dieser Satz ist falsch� ist richtig.

Logisch betrachtet gibt es für die Richtigkeit der inhaltlichen Aussage von�Dieser Satz ist falsch� genau zwei Möglichkeiten:7

Die Aussage des Satzes �Dieser Satz ist falsch� ist richtig.

o d e r

Die Aussage des Satzes �Dieser Satz ist falsch� ist falsch.

Welche Alternative tri�t nun zu? Da der Satz recht unplausibel klingt, könn-te man annehmen, es sei die zweite Möglichkeit (�Dieser Satz ist falsch� istfalsch). Wenn �Dieser Satz ist falsch� aber tatsächlich falsch ist, so sagt erdie Wahrheit über sich selbst. Wenn er die Wahrheit über sich selbst sagt, somuss er richtig sein. Damit scheint es so, als gälte doch die erste Alternati-ve (�Dieser Satz ist falsch� ist richtig). Wenn der Satz richtig ist, so stimmtdas, was er behauptet. Er behauptet aber, dass er selbst falsch sei. Es wärealso wahr, dass er falsch ist. Somit wäre �Dieser Satz ist falsch� falsch. Da-mit ist wieder die zweite Möglichkeit erreicht. Man müsste nun mit seinenÜberlegungen wieder von vorn beginnen.Jede der beiden logischen Möglichkeiten führt hier zu ihrem genauen Ge-

genteil. Aus falsch folgt richtig, aus richtig folgt falsch. Solch ein Verhalten istäuÿerst widersprüchlich. Denn die Argumentation verläuft in einem endlosenKreis, wie er in Abbildung 3.3 dargestellt ist. Eine sich endlos im Kreis bewe-

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�Dieser Satz ist falsch.�ist falsch. �Dieser Satz ist falsch.�ist richtig.Dann hat der Satz mit seiner Aussage recht, ist also richtig.

Dann sagt der (richtige) Satz selbst, er sei falsch.Abbildung 3.3: Eine endlos im Kreis verlaufende Argumentationskette

gende Argumentationskette, die nie bei einer der beiden logischen Möglichkei-ten von Richtigkeit anhält und bei der sich aus jeder der beiden Alternativenihr genaues Gegenteil folgern lässt, wirkt in einem logisch eindeutigen Systemäuÿerst fehl am Platz.Gelten nun beide Alternativen gewissermaÿen zugleich und zugleich auch

nicht? Ist �Dieser Satz ist falsch� zugleich richtig und falsch � oder ist erkeines von beidem? Beide Alternativen zugleich können aber nicht gelten,denn richtig und falsch schlieÿen einander gegenseitig aus. Vielleicht gilt alsokeine der beiden Alternativen, da jede von ihnen in diesemWiderspruchskreiszu ihrem Gegenteil führt? Ist die Aussage des Satzes �Dieser Satz ist falsch�weder richtig noch falsch? Kann die Frage nach seiner logischen Richtigkeitim Grunde nicht entschieden werden? Aber eines davon muss doch zutre�en?� Es wäre jedoch äuÿerst unbefriedigend, mit seinem logischen Denksystembereits vor solch einem kurzen Satz kapitulieren zu müssen.Welche Lösungsmöglichkeiten sich für ein derartiges Problem aus mathe-

matischer Sicht bieten, wird sich im Verlauf des Buches ergeben. Wir werdender Aussage �Dieser Satz ist falsch� in Kapitel 11 als Fall der sogenanntenRussellschen Antinomie wieder begegnen. An dieser Stelle kann aber schonfestgehalten werden, dass Aussagen mit Selbstbezug äuÿerst widersprüchlichausfallen können und mit äuÿerster Vorsicht zu behandeln sind. Das Einzige,dessen man sich im Moment sicher sein kann, ist, einen Meta-Satz entdecktzu haben, der dieser Bezeichnung alle Ehre macht. Im Nachhinein würde mansich fast wünschen, ihn nie formuliert zu haben.

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New PARADOXON - Alvar Wenzel · 2019. 9. 2. · 7.5 Zenons Paradoxon in Zahlen.....94 11.1 Parallelen von Dieser Satz ist falsch und fMjM =2Mg.228 11.2 Gemeinsamkeiten Umgangssprache