TUGAS KELOMPOK

MATA KULIAH KALKULUS I

“NOTASI LEIBNIZ, LAJU YANG BERKAITAN, TURUNAN TINGKAT TINGGI”

Dosen Pembimbing : Suprianto, S.T, M.T

Disusun Oleh

Ardhian Fauza (120401002)

Taufiq Ridho (120401008)

Ardhian Syahputra (120401011)

Anggi Nasution(120401017)

M Ramadhansyah Putra (120401064)

DEPARTEMEN TEKNIK MESIN

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Notasi Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz adalah seorang jenius universal, seorang pakar dalam

hukum, agama, filsafat, kesustraan, politik geologi, sejarah dan MATEMATIKA. Lahir di

Leipzig, Jerman. Ia mendaftar di Universitas Leipzig dan menggondol doktor dari universitas

Altdorf. Seperti Descartes, yang karyanya ia pelajari, Leibniz mencari suatu metode universal

dengan mana ia dapat memperoleh pengetahuan dan memahami kesatuan sifat-sifat dasarnya.

salah satau keinginan besarnya adalah mendamaikan keyakinan Katolik dan Protestan.

Bersama dengan Isaac Newton, ia membagi penghargaan untuk penemuan kalkulus.

Masalah prioritas menyebabkan pertentangan yang tidak henti-hentinya antara pengikut dua

orang besar ini, satu Inggris, yang lainnya Jerman. Sejarah menjadi hakim bahwa Newtonlah

yang pertama mempunyai pemikiran utama 1665-1666, tetapi bahwa Leibniz menemukan

mereka secara tersendiri selama tahun 1673-1676. Dengan kesabarannya itupun, Leibniz

tidak menerima kehormatan seperti yang dicurahkan pada Newton. Ia meninggal sebagai

orang kesepian, pemakamannya hanya dihadiri seorang pelayat yaitu sekretarisnya.

Mungkin Leibnizlah pencipta lambang matematis terbesar. Kepadanya kita berhutang

nama-nama kalkulus diferensial dan kalkulus integral, sama halnya seperti lambang-lambang

baku dy/dx, lambang untuk turunan, dan integral. Istilah fungsi dan penggunaan secara

konsisten dari = untuk kesamaan merupakan sumbangan-sumbangan lainnya. Kalkulus

berkembang jauh lebih di daratan Eropa daripada di Inggris, sebagian besar disebabkan oleh

keunggulan perlambangannya.

Pada gambar di bawah,

tampak bahwa pertambahan sebesar ∆ x pada x menyebabkan pertambahan sebesar ∆y pada y, dengan

∆y = f(x + ∆x) – f(x)

∆y = f(x + ∆x) – f(x). Bagi kedua ruas dengan ∆x, kita peroleh

Jika ∆x → 0, maka

G. Leibniz menggunakan lambang dy/dx untuk menyatakan Jadi, jika y = f(x), maka

Contoh

Misalkan y = (x 3 + x)10 = u10 dengan u = x 3 + x. Maka

Tentukan dy/dx jika

Penyelesaian:

Misalkan , , maka

Dan

Turunan Tingkat Tinggi

Turunan kedua dari fungsi f( x ) didapatkan dengan menurunkan sekali lagi bentuk

turunan pertama. Demikian seterusnya untuk turunan ke-n didapatkan dari penurunan

bentuk turunan ke-(n-1).

Diberikan sebuah fungsi f, kita turunkan f ’, yang juga merupakan fungsi. Dari f ’

dapat kita turunkan f ’’ = (f ’)’, yang disebut turunan kedua f , dan dari f ’’ kita dapat

memperoleh turunan ketiga f , yakni f ’’’ = (f ’’)’, dst. Turunan ke-n dari y = f(x)

dilambangkan dengan f (n) atau dny/dxn

Misalkan sebuah fungsi y=f(x), maka turunan pertamanya adalah

Jika turunan pertama ini diturunkan lagi, maka akan menghasilkan turunan kedua, yaitu

Beberapa cara penulisan turunan

Bila turunan pertama mempunyai interpretasi fisis kecepatan sesaat, maka turunan

kedua secara fisis dapat diinterpretasikan sebagai percepatan (sesaat) yang mengukur laju

perubahan kecepatan terhadap waktu

Penurunan Implisit Misalkan kita mempunyai persamaan 7y 3 + y = x 3 dan ingin

menentukan persamaan garis singgung pada grafik persamaan tersebut di (2,1). Masalahnya

adalah bagaimana menghitung dy/dx, padahal kita tidak mempunyai rumus eksplisit untuk y

dalam x.

Secara implisit, kita dapat menurunkan kedua ruas terhadap x dengan menggunakan

Aturan Rantai (dengan mengingat bahwa y adalah fungsi dari x): 21y 2.dy/dx + dy/dx = 3x 2

Dengan demikian kita peroleh dy/dx = (3x 2)/(21y 2+1).

Di (2,1), kita hitung dy/dx = 12/(21 + 1) = 6/11.

Jadi persamaan garis singgungnya adalah

y – 1 = 6/11(x – 2) atau 6x – 11y – 1 = 0.

Dengan penurunan implisit, kita dapat membuktikan Aturan Pangkat berikut: Jika y = x r (r є Q), maka dy/dx = r.xr-1

Laju yang Berkaitan

Jika x dan y merupakan dua peubah yang berkaitan dan masing-masing berubah terhadap

waktu (t), maka dx/dt dan dy/dt merupakan laju yang berkaitan.

Contoh.

Air dituangkan ke dalam tangki berbentuk kerucut terbalik

dengan laju 8 dm 3/menit. Jika tinggi tangki tersebut adalah

24 dm dan jari-jari permukaan atasnya 12 dm, seberapa

Cepatkah permukaan air naik pada saat tingginya 4 dm?

Jawab:

Misalkan V menyatakan volume, r jari-jari permukaan,

dan h tinggi air. Maka

V = ( π/3)r 2h

Di sini r = h/2, sehingga

V = ( π/12)h 3

Turunkan kedua ruas terhadap t, kita peroleh

dV/dt = ( π/4)h 2.dh/dt

Diketahui dV/dt = 8 dm 3/menit.

Jadi, pada saat h = 4 dm, kita mempunyai 8 = 4 π.dh/dt sehingga dh/dt = 2/ π dm/menit.

Lintasan Gerak Partikel

Lintasan gerak partikel P dinyatakan dengan fungsi parameter s(t). Kecepatan, v(t) dan percepatan, a(t) gerak P diberikan oleh

Kecepatan, v(t) = s’(t)

Percepatan, a(t) = s"(t)

Contoh :

Lintasan gerak partikel P ditentukan oleh persamaan

Tentukan : a. Kapan partikel P berhenti ?

b. Besar percepatan P pada saat t = 2 Jawab :

a. Kecepatan. Partikel P berhenti berarti kecepatan sama dengan nol, sehingga t = 1/3 dan t = 1.

b. Percetapan, . Untuk t = 2, maka a( 2 ) = 8