Note de curs

Beton Armat

PARTEA I

BETON ARMATCap. I TORSIUNEA

Starea Limit Ultim la TorsiuneSolicitarea de torsiune apare n elementele structurii de Beton Armat datorit continuitii structurilor i configuraiei lor. Din punct de vedere al cauzelor se poate clasifica: Torsiune de compatibilitate, datorit compatibilitii deformatei a cel puin dou elemente ale structurii aflate n contact nemijlocit; Torsiune de echilibru, datorit necesitii asigurrii stabilitii structurii. Torsiunea de compatibilitate: ex. Grinda principal pe care reazem o grind secundar (ambele sunt incluse n structura unui planeu din beton armat monolit);

Placa

Grinda principala Stalp

Grinda secundara

Datorit compatibilitii deformaiilor, momentul ncovoietor din grinda secundar solicita la torsiune rigla (grinda principal).

Nervura

Grinda principala

5

Note de curs

Beton Armat

GS

GP

Schema acceptat n calcul Rigiditatea la torsiune este mic, mai ales dup fisurarea betonului. n acest caz de torsiune, rigiditatea poate fi neglijat producndu-se n acest caz o redistribuire a eforturilor n structur fr a afecta n mod hotrtor capacitatea de rezisten a strcturii. n cazul torsiunii de compatibilitate nu este obligatoriu calculul la S.L.U. de torsiune i problema se rezolv prin dispunerea suplimentar a unor etrieri capabili s preia solicitarea din torsiune a grinzii principale. Grinda secundar se va dimensiona la ncovoiere, iar pentru Momentul negativ se prevd armturi longitudinale pe fibra superioar, soluie acoperitoare: As din camp prentmpinndu-se apariia fisurilor. Torsiunea de echilibru: ex. placa ncastrat n grind = placa n consol

M-

GPDatorit ncrcrilor => momentul negativ al plcii constituie o solicitare de torsiune n grind. Obligatoriu calculul la S.L.U. la torsiune. Solicitarea de torsiune apare, de regul, nsoit de solicitarea la ncovoiere i cea de tiere. Normal ar fi: calculul simultan pentru cele 3 (trei) solicitri astfel nct s fie ndeplinite condiiile: (1) (2) (3)

MRt capacitatea portant la torsiune MR capacitatea portant la moment ncovoietor QR capacitatea portant la for tietoare

6

Note de curs

Beton Armat

Aceste trei solicitri se gsesc pe o suprafa limit de interaciune de ec.:

(

)

(4)

Acest calcul este foarte complicat, n practic se accept calculul separat al solicitrilor, iar interaciunea se ia n considerare la sfrit.

A

D

B

CSeciunea de rupere la torsiune este o seciune stmb.

Comportarea elementelor din beton armat la torsiuneSolicitarea de torsiune provoac apariia eforturilor de forfecare care provoac apariia eforturilor principale i care, la rndul lor, provoac fisura datorit torsiunii. Fisurarea parcurge toate cele 4 (patru) muchii i are form elicoidal => seciune de rupere strmb.

E

C

B

D A

Mt

Mt

Mt

Pentru un element din beton simplu fisurarea reprezint S.L.U. Pentru ca momentul de torsiune s poat fi preluat (evident este mai mare dect momentul de fisurare) este necesar nglobarea n masa betonului a unor armturi longitudinale i a unor transversale sub forma unor etrieri nchii.7

Note de curs

Beton Armat

Comportarea la torsiune a elementelor din beton armat poate fi reprezentat grafic ntr-un sistem plan de axe de coordonare printr-o relaie . - unghiul de rsucire Mac Gregor 1990, este o reprezentare similar cu reprezentarea grafic moment ncovoietor curbur:

Mt[KNm] C

curgere rupere fisurat - F A B nefisurat - NFt [grade]

Cercetrile efectuate pentru solicitarea de torsiune au artat c nu exist diferene importante ntre elementele cu seciune plin i elemenetele cu seciune tubular. 500 500

80

500

500

Capacitatea la torsiune324

Experimentul lui Thrliman [ ]324

80324 324

Capacitatea la torsiune

Experimentul lui Leonhard [ ]

Cedarea la torsiune se produce prin curgerea etrierilor i/sau curgerea armturii longitudinale. Cazul procentelor de armare mari: cedarea se poate produce prin zdrobirea betonului comprimat.8

Note de curs

Beton Armat

Modelul de calcul Pentru solicitarea la torsiune se poate adopta unul din cele dou modele: 1. Modelul echilibrului limit; 2. Modelul grinzilor cu zbrele spaiale plastice. Modelul echilibrului limit Calculul se bazeaz pe scrierea ecuaiilor de echilibru a forelor rezultate n seciune n urma ruperii. Se rup: armturi longitudinale => apar fore de ntindere etrieri => apar fore tietoareetrieri

armaturi longitudinale

Modelul grinzilor cu zbrele spatiale plastice Pentru acest model de calcul se scrie echilibrul forelor care apar n elementele componente ale grinzilor tridimensionale, care sunt: armturi longitudinale sunt tlpile longitudinale situate n coluri n acest caz, n aceste elemente forele sunt de ntindere; armtur transversal etrierii nchii sunt montanii; bielele comprimate de beton formeaz diagonalele nclinate sub acelai unghi fa de armtura longitudinal deoarece procentul de armare cu etrieri pe fiecare din cele 4 (patru) laturi ale grinzii tridimensionale este acelai.

armaturi longitudinale

etrieri

biele comprimate de beton

9

Note de curs

Beton Armat

Acest model de calcul a fost adoptat de: Model Code 1990, de EC2, de Normele Americane ACI 318, de majoritatea normelor naionale europene, a stat i la baza STAS 10107/0-90. Se presupune c armtura longitudinal i etrierii ajung la curgere n S.L.U. la torsiune. Echilibrul forelor n cazul grinzilor cu zbrele spaiale plastice este pus n eviden n modul urmtor:

bsNdh1 4

Nl Mtdv

1 4

Nl Ndv

Ndv N1 2

Nlv

Nvhs/tga

1 4

Nl

Ndh

1 4

Nl

Vedere a unei fee laterale a unei grinzi cu zbrele - fora vertical de ntindere din etrieri - fora n diagonalele comprimate de beton - fora din armturile longitudinale Pe o fa vertical, forele de compresiune din bielele de beton sunt echilibrate de forele de ntindere din etrieri i din armtura longitudinal. Aceai situaie se ntlnete i n feele orizontale: (5a) (6a) (5b) (6b)

ntr-o seciune vertical, componentele dintr-un plan paralel cu acesta ale compresiunilor din bielele de beton dau dou cupluri care echilibreaz momentul de torsiune. dau un cuplu cu braul dau un cuplu cu braul (7)

10

hs

1 2

Nlv

a

Note de curs

Beton Armat

Componentele perpendiculare pe planul seciunii verticale ale forelor de compresiune n bielele de beton sunt echilibrate de forele din armturile longitudinale.

(

) (8)

Observaie: realiile (5) (8) sunt deduse pentru o seciune rectangular, dar pot fi generalizate pentru o seciune poligonal convex, oarecare.

Dimensionarea armturii elementelor solicitate la torsiuneFolosind modul de calcul prezentat i ecuaiile de echilibru scrise se deduc urmtoarele relaii de dimensionare: pentru etrieri; (9) aria seciunii etrierului distana ntre doi etrieri consecutivi momentul de torsiune de calcul => din calculul static unghiul de nclinare al fisurilor fa de armtura longitudinal rezistena de calcul a armturii din care este confecionat etrierul seciunea de beton (inclusiv eventualele goluri) cuprins ntre braele etrierilor - fr strat de acoperire de beton Pentru armtur longitudinal; (10) aria armturii longitudinale rezistena de calcul pentru armtura longitudinal perimetrul seciunii de beton dintre braele etrierilor

!!!! Cazul etrierilor dublii la torsiune nu se iau n considerare laturile interioare, ci doar perimetral !!!!

11

Note de curs

Beton Armat

Calculul armturilor conform STAS 10107/0-90Considernd fisura nclinat la 45, din relaiile (9) i (10) rezult formulele de dimensionare armturi: (11) (12)

Observaie: Seciunile tubulare se calculeaz la fel ca i cele pline. Dac seciunea transversal a elementelor este compus, ea se va divide n seciuni simple, dreptunghiulare, repartizndu-se fiecrei seciuni obinute o parte din momentul total de torsiune , proporional cu rigiditatea la torsiune a fiecrei seciuni calculate cu relaia: (13) unde: ( ) dat n tabele Principalele prevederi constructive: Armturile longitudinale suplimentare obinute cu relaia (12) se repartizeaz uniform pe perimetrul seciunii, obligatoriu n colul etrierilor; Etrierii suplimentari calculai cu relaia (11) se dispun perimetral. Ei vor avea obligatoriu braele superioare petrecute pe cel puin lungimea de ancorare.

>la

dac nu se adopt =>

12

Note de curs

Beton Armat

Interaciunea for tietoare torsiune Aciunea concomitent poate provoca sporirea considerabil (n anumite zone) a eforturilor. Prin suprapunerile eforturilor: (14)

eforturi din torsiune

eforturi din for tietoare

| |Verificarea se face ca n cazul tierii Dac raportul:

(15)

atunci armtura se dispune constructiv;

rezistena de calcul la ntindere a betonului Dac raportul: atunci eforturile de compresiune n beton nu pot

fi preluate, trebuie redimensionat seciunea; Dac raportul: dimensionare a armturilor atunci este necesar calculul de

(

) (16) seciune dreptunghiular(17) seciune oarecare

unde: modulul de rezisten la torsiune - grosime real perete pentru seciuni tubulare; dublul stratului de acoperire cu beton seciuni pline; - aria delimitat de linia median a peretelui seciunii tubulare, respectiv aria cuprins ntre etrieri cazul seciunilor pline.13

Note de curs

Beton Armat

Interaciunea ncovoiere torsiune Solicitarea de torsiune provoac apariia unor eforturi de ntindere egale n armtura longitudinal; solicitarea ncovoiere => cuplu de fore care pentru un element obinuit nseamn ntinderi n fibra inferioar i compresiuni n fibra superioar.

1/4 T

1/4 T

1/2 C

1/2 C

1/4 T

1/4 T

1/2 T

1/2 T

Torsiune

ncovoiere

Calculul simplificat: separat pentru cele dou solicitri i n final se cumuleaz rezultatele.

Calculul dup SR EN 1992-1-1Un element real cu seciune plin solicitat la torsiune se calculeaz modelnd elementul sub forma unei seciuni chesonate cu pereii subiri. Aceast modelare se face respectnd urmtoarele recomandri:

Z2

Aria suprafeei cuprins ntre aceste axe (haurat), axele care trec prin centrele de greutate ale armturii longitudinale se noteaz .distana dintre axe Seciunea echivalent rezult respectnd urmtoarele reguli: Grosimea peretelui subire a seciunii chesonate: , ;14

Z1

Note de curs

Beton Armat

Seciunea plin => seciune chesonat Seciune echivalent cu perei subiri

tef1/2

tef1

tef1

tef2\2 tef2

(seciune chesonat; nu este real ci modularea pentru torsiune) Caracteristici ale modulrii: aria = seciunea cuprins ntre axele ce unesc centrele de greutate ale armturii longitudinale (aceste axe devin axele mediane ale pereilor subiri); = grosimea peretelui = dublul distanei de la fibra extrem de beton la centrul de greutate al armturii longitudinale; = aria total a seciunii reale; = perimetrul seciunii reale = distanele ntre punctele de intersecie ale axelor care trec prin centrele de greutate ale armturilor longitudinale. Pentru o seciune oarecare, grosimea peretelui subire a seciunii echivalente se determin cu: [ ]

Observaii: Aceast grosime nu poate s fie mai mic dect dublul distanei de la marginea seciunii de beton la centrul de greutate al armturii ntinse; Aceast grosime nu poate fi mai mare dect grosimea real a unei seciuni chesonate din beton armat. Dac seciunea are o form complex, atunci se va descompune n seciuni simple care, apoi, se vor modela n seciuni echivalente tubulare sau chesonate; fiecare n parte se vor calcula la torsiune la un moment de torsiune . Aceste momemte de torsiune sunt obinute din distribuirea momentului total de torsiune proporional cu rigiditiile la torsiune ale seciunii simple obinute.

(18)

15

tef2

Note de curs

Beton Armat

Rigiditatea la torsiune: (19) ( ) (20) - coeficient dat n tabele

Descompunerea seciunii complexe n seciuni simple se face urmrind criteriul obinerii rigiditii maxime la torsiuneh1 1 2TEd1

beff

b1

1

TEd1

h2

TEd2

TEd2

b2TEd3

3TEd3

2 bw

h3

- momentul de calcul la torsiune (valoare obinut din calculul static) Seciunea se descompune n seciuni simple n centrele de greutate ale dreptunghiurilor acioneaz , se determin ce poriune din plac conlucreaz cu grinda Determinarea rigiditiilor la torsiune pentru seciuni simple se face n stadiul elastic nefisurat. Capacitatea portant total la torsiune a seciunii compuse e dat de suma capacitiilor portante ale seciunilor simple componente.

Modelul de calcul la torsiune Elementul real solicitat la torsiune se va calcula ca o grid cu zbrele spaial compus din patru grinzi plane cu zbrele (dou verticale, dou orizontale) de genul celor folosite la calculul la fora tietoare. Fiecare din acestea va prelua o for tietoare . Deoarece procentele de armare ale etrierilor pe fiecare din cele patru laturi este constant, nclinarea bielelor comprimate de beton fa de armtura longitudinal este acelai. n aceast situaie se poate proceda la nlocuirea momentului de torsiune cu o for de lunecare repartizat uniform pe ntreg perimetrul .

b3

3

16

Note de curs

Beton Armat

sAsl

bktefti

TEd(forma cu care o fost echivalat elementul real) ( Efortul tangenial din torsiune notat )

se determin cu formulele lui Bredt (21)

Trebuie cel puin o bar longitudinal n fiecare col, datorit torsiunii. Fora tietoare preluat de o latur a seciuni echivalente se calculeaz cu expresia: (22) Fora pe care o poate prelua o grind cu zbrele Calculul armturilor pentru preluarea torsiunii Armtura de rezisten care preia torsiunea este alctuit din: armturi longitudinale suplimentare, plus armturi transversale suplimentare. Relaiile de calcul pentru aceste armturi sunt: armtura transversal;

(

)

hk

Asw

(23)

arie relativ a armturii transversale distana dintre doi etrieri consecutivi momentul de torsiune de calcul (din calculul static) unghiul dintre bielele de beton comprimat i armturile longitudinale17

Note de curs

Beton Armat

- rezistena de calcul a armturi transversale armtura longitudinal;

- perimetrul ariei - rezistena de calcul a armturii longitudinale

(24)

n cazul solicitrilor combinate, se lucreaz separat pentru fiecare solicitare, iar la final se cumuleaz rezultatele:2montaj (Asw)v - din taiere

Sv2 brate de forfecare etrier n=2 Asw=nxAs

M+V

(Asw)vs

4M din incovoiere

+ST4T n=1

(Asw)T - din torsiune

T2M din torsiune

(Asw)Ts

Asw=As

armatura din torsiune se distribuie pe perimetrul sectiunii

=>(Asw)v - din taiere

2T

Sv

2T

(Asw)V,Ts

2M

2(M+T)

(

)

(18

)

(

)

(25)

Note de curs

Beton Armat

Distana final ntre etrieri cu respectarea principiului de mai sus, se calculeaz cu: (26) Armtura longitudinal din calcul la moment ncovoietor se modific astfel: zona ntins: se mrete cu aria din torsiune; zona comprimat: se poate reduce n funcie de mrimea efortului de compresiune; modul de dispunere i traseul armturii trebuie s in seama de prescripiile de alctuire din cele dou-trei solicitri. Armtura transversal suplimentar pentru torsiune se dimensioneaz de regul n corelare cu cea de la ncovoiere, dat fiind afinitatea ntre diagramele celor dou solicitri: armtura transversal pentru torsiune se poate nsuma cu cea din tiere numai dac cea din urm este aezat la periferia seciunii transversale; dac din tiere au rezultat etrieri cu dou brae de forfecare se recomand ca n calculul la torsiune s se foloseasc acelai diamentru de etrieri; unghiul format de diagonalele comprimate (bielele de beton) i armtura longitudinal, la solicitarea combinat torsiune tiere este limitat de condiia:

45 permitivitatea etrierilor de a intra n curgere 21,8 permite transferul forei tietoare prin fisur cazul solicitrii combinate, unghiul de nclinare la torsiune s fie acelai cu cel din calculul la for tietoare: Observaie: dac redimensionare seciune de beton rezistena la compresiune a diagonalelor nu este critic minimizeaz cantitatea de armtur transversal Etrierii trebuie s ndeplineasc condiia de non-fragilitate, nu trebuie s se rup n momentul fisurrii betonului se recomand procent minim de armare pentru etrieri

Condiia

(27)

conduce la cantitatea maxim de armtur transversal (28)

19

Note de curs

Beton Armat

Capacitatea portant maxim a elementelor cu seciune plin la efort combinat (tiere- torsiune) este condiionat de limitarea cedrii la compresiune a diagonalelor prin condiia (29) - capacitatea portant la torsiune a elementului astfel nct diagonalele comprimate s nu cedeze - capacitatea portant la tiere a elementului Acestea se determin: (30) - factor de reducere a rezistenei betonului datorit fisurrii acesteia produs de fora tietoare - coeficient care se stabileste n funcie de raportul ( ) - efort de compresiune produs de fora axial de calcul - dac normele naionale nu l dau, se ia (30) n elementele cu seciune transversal apropiat de dreptunghi se poate dispune armtura constructiv dac: (32) - momentul de torsiune la fisurarea betonului - semnific fisurarea se obine prin nlocuirea

20

Note de curs

Beton Armat

Cap. II OBOSEALA

Verificarea la starea limit de obosealSe poate ca un elemenet din beton armat proiectat la ncrcri statice s cedeze la apariia ncrcrilor repetate la eforturi mai mici dect cele prevzute de ncrcri statice. Fenomenul care produce acest efect se numete OBOSEALA (O). ntodeauna deteriorarea datorat oboselii se produce plecnd de la un defect al materialului (ex. O pat de rugin pe armtur). n jurul acestui defect se dechide progresiv o fisur care reduce secinea transversal att ct ea nu mai suport solicitatrea. Ex. Degradarea cazul oboselii la aderena beton-armtur este ilustrat n bibliografie n reprezentarea grafic numrul de cicluri repetate lunecarea relativ.lunecarea relativa

4 3 2 1

2000

4000

6000

8000

n[nr. de cicluri]

( - - - -) Pentru ncrcarea repetat: efect -> reduce rezistena Msura n care se reduce rezistena depinde de: - n = numrul de cicluri; - efortul unitar maxim ; - amplitudinea ; - indicele de asimetrie

( ____ )

n cazul ncrcrilor repetate structurile sunt afectate att prin aptitudinea lor n serviciu, ct i prin aspectul rezistenelor: - fisurarea excesiv a betonului; - deformaii excesiv de mari;21

Note de curs

Beton Armat

-

coroziunea armturilor; ruperea prematur la eforturi mai mici dect cele statice.

Comportarea la oboseal Privitor la oel nc din secolul trecut Whler a observant c rezistena oelului scade cu creterea numrului de cicluri i a amplitudinii. Reprezentarea grafic a relaiilor: curba lui Whler

(S)

Curba lui Whler limita de anduran

0n = numarul de cicluri pn la rupere - amplitudinea curba (N S)

n[nr. de cicluri]

Pentru beton curbele lui Goodman sau Smith arat influena prioritar a efortului mediu asupra oboselii. Aderena beton armtur scade rapid la solicitarea la oboseal. Ea depinde de mrimea rezistenei la ntindere a betonului, dar este defavorizat de apariia microfisurilor n masa betonului n jurul armturilor longitudinal. Etrierii au efect favorabil mpiedic dezvoltarea acestor microfisuri. Din punct de vedere al ncovoierii, nivelul de solicitare la oboseal corespunde stadiului II (de seviciu), motiv pentru care calculul se face n ipotezele din stadiul II, iar eforturile unitare maxime n betonul comprimat i n armtur nu trebuie s depeasc rezistena la oboseal. Cazul solicitrii la tiere: comportare proast beton solicitat la ntindere, armtura ntins solicitat la forfecare se numete efect de dorn. S-a observat c o ameliorare se produce dac crete limea inimii, adic scade efortul tangenial mediu .

22

Note de curs

Beton Armat

Calculul dup STAS 10107/0-90Ca i la starea limit ultim de rezisten, calculul se efectueaz separat: ncovoiere, for tietoare. Calculul la ncovoiere Necesit determinarea eforturilor unitare maxime n beton i armtur n ipotezele corespunztoare stadiului II impunndu-se condiiile de verificare: (33) - rezistena la oboseal a betonului - rezistena la oboseal a oelului Calculul la for tietoare Se bazeaz pe verificarea eforturilor unitare tangeniale i a eforturilor principale calculate ca n starea limit ultim la for tietoare dar pentru combinaia de ncrcri adecvat. n funcie de valoarea efortului principal normalizat dat de raportul: (34)

(35)

- efortul principal de ntindere; - rezistena la ntindere Se pot ntlni urmtoarele situaii: betonul poate prelua singur efortul principal de ntindere, armtura transversal se dispune constructiv; efortul principal de compresiune este prea mare i seciunea de beton trebuie redimensionat (mrit); efortul principal de compresiune poate fi preluat de beton, dar armtura transversal rezultat din calcul pentru preluarea efortului de ntindere. Pentru al-3-lea caz etapele calculului: 1) Evaluarea aportului betonului n preluarea eforturilor; - pentru cicluri oscilante indicele de asimetrie al ciclului (ncrcarea nu schimb semnul); - pentru cicluri alternante 2) Evaluarea contribuiei etrierilor; - aria etrierilor; - grosimea beton; - distana ntre etrieri; - rezistena la oboseal a oelului; - rezistena la ntindere a betonului23

(36)

Note de curs

Beton Armat

3) Se dimensioneaz etrierii cu relaia:

(

) (37)

4) Se dimensioneaz armtura nclinat: (38) - unghiul sub care armtura este nclinat fa de axa grinzii; - aria suprafeei din diagrama care revine spre preluarea armturii nclinate=5

g>0

parte preluata de armatura nclinata

Ai1e 0,3

Ai2

Ai =Ai1+Ai2 +Ai3 Ai30,5parti preluate de beton

parte preluata de etrieri

g