147
Metode statistice in asigurari Despre actuariat si profesia de actuar Actuariat = analiza statistică utilizată în evaluarea actuariala a consecinţelor financiare ale unor evenimente viitoare incerte. Evaluare actuarială = totalitatea calculelor şi estimărilor efectuate de către actuar pentru a confirma posibilitatea societăţii de asigurare sau a fondului de pensii de a-şi onora obligaţiile faţă de asiguraţii săi respectiv fata de membrii (beneficiarii) fondului. Actuar - specialist în calcule statistice privitoare la asigurări şi în general la probleme financiare (DEX); - actuarul utilizează tehnici matematice şi statistice pentru a rezolva probleme legate de evaluarea şi administrarea riscului, având în principal responsabilităţi privind managementul instituţiilor financiare de tipul societăţilor de asigurare şi al planurilor de pensii private (Chambers – preşedintele Asociaţiei Internaţionale pt. Actuariat); - specialist independent cu studii statistice, matematice sau economice, titular al unui certificat ce îi conferă dreptul de a efectua calcule şi estimări actuariale; - „actuarius” (latină) – manager al afacerilor în Senatul Romei; - „gardianul” financiar al societatii de asigurare. Domenii de aplicabilitate: societăţi de asigurare, bănci, fonduri de pensii, asigurari de sanatate, organisme de supraveghere asigurari, fonduri de investiţii, firme de consultanţă financiară, managemenyul riscului, etc. – în general în afaceri se necesită administrarea riscului financiar. In domeniul asigurarilor aceste cunostiinte sunt necesare angajatilor din departamentele: metodologie si actuariat (statistica), subscriere, vanzari, daune, contabilitate. Principalele responsabilităţi ale actuarilor în domeniul asigurărilor şi al planurilor de pensii: - dezvoltarea de produse: crearea produsului, stabilirea de tarife, efectuarea testelor de profitabilitate, pregătirea subscrierii (evaluarea riscului pe poliţe/grupe de poliţe); - stabilirea rezervelor şi monitorizarea solvabilităţii societăţii; - supravegherea managementului activelor şi pasivelor societăţii, prin prisma riscurilor şi a calitatii plasamente, a compatibilităţii între durata plasamentelor şi durata obligatiilor fata de asiguraţi; - raportări financiare periodice către autorităţile de supraveghere, contacte periodice cu acţionari şi conducerea

Notite Metode Statistice In Asigurari

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Notite Metode Statistice In Asigurari Cursuri

Citation preview

STATISTICA ACTUARIALA

Metode statistice in asigurariDespre actuariat si profesia de actuar

Actuariat = analiza statistic utilizat n evaluarea actuariala a consecinelor financiare ale unor evenimente viitoare incerte. Evaluare actuarial = totalitatea calculelor i estimrilor efectuate de ctre actuar pentru a confirma posibilitatea societii de asigurare sau a fondului de pensii de a-i onora obligaiile fa de asiguraii si respectiv fata de membrii (beneficiarii) fondului.

Actuar - specialist n calcule statistice privitoare la asigurri i n general la probleme financiare (DEX); actuarul utilizeaz tehnici matematice i statistice pentru a rezolva probleme legate de evaluarea i administrarea riscului, avnd n principal responsabiliti privind managementul instituiilor financiare de tipul societilor de asigurare i al planurilor de pensii private (Chambers preedintele Asociaiei Internaionale pt. Actuariat);

specialist independent cu studii statistice, matematice sau economice, titular al unui certificat ce i confer dreptul de a efectua calcule i estimri actuariale;

actuarius (latin) manager al afacerilor n Senatul Romei;

gardianul financiar al societatii de asigurare.

Domenii de aplicabilitate: societi de asigurare, bnci, fonduri de pensii, asigurari de sanatate, organisme de supraveghere asigurari, fonduri de investiii, firme de consultan financiar, managemenyul riscului, etc. n general n afaceri se necesit administrarea riscului financiar. In domeniul asigurarilor aceste cunostiinte sunt necesare angajatilor din departamentele: metodologie si actuariat (statistica), subscriere, vanzari, daune, contabilitate.

Principalele responsabiliti ale actuarilor n domeniul asigurrilor i al planurilor de pensii:

dezvoltarea de produse: crearea produsului, stabilirea de tarife, efectuarea testelor de profitabilitate, pregtirea subscrierii (evaluarea riscului pe polie/grupe de polie);

stabilirea rezervelor i monitorizarea solvabilitii societii;

supravegherea managementului activelor i pasivelor societii, prin prisma riscurilor i a calitatii plasamente, a compatibilitii ntre durata plasamentelor i durata obligatiilor fata de asigurai;

raportri financiare periodice ctre autoritile de supraveghere, contacte periodice cu acionari i conducerea societii privind profitabilitatea produselor, aprobrile de noi produse s.a.;

implicarea n planificarea pe termen lung a activitii societii prin consilierea conducerii privind riscurile asociate diverselor strategii de management, efectele probabile a realizrii acestor strategii.

Profesia de actuar este foarte bine cotat i platit, n rile dezvoltate. Spre exemplu n S.U.A. era plasat pe locul doi n 2012 de ctre Jobs Rated Almanac, i n toate ediiile acestei publicaii actuarul nu s-a situat sub locul patru (http://www.promodsharma.com/actuary). n Romnia, Asociaia Romn de Actuariat nfiinat n anul 1999 are ca i obiectiv principal recunoaterea i promovarea acestei profesii; deocamdat actuarul nu figureaz n Nomenclatorul MMPS. Asociaia organizeaz cursuri de specializare, participanii fiind de regul persoane ce lucreaz n cadrul societilor de asigurare.

Adrese internet utile

http://www.actuariat.ro/http://www.mract.ase.ro/despre_noi.htmlhttp://www.unsar.ro/http://www.apapr.ro/http://www.actuaries.org/http://www.gcactuaries.org/http://www.actuarial-academy.com/http://www.actuaries.org.ukhttp://www.casact.org/http://www.actuaweb.behttp://www.actuarialfoundation.org/http://www.beanactuary.org/http://www.soa.org/Partea I. ASIGURARI DE VIATA

Funcia de supravieuire

n studiul mortalitii populaiei pe vrste prezint interes distribuia probabilistic a variabilei aleatoare X reprezentnd durata de via (vrsta la deces) a unui nou nscut. Aceasta este o variabil aleatoare real pozitiv, iar legea sa de probabilitate este specificat prin funcia de repartiie, funcia de supravieuire, intensitatea mortalitii dar i prin alte funcii specifice (Droesbeke et al., 1989).

Funcia de supravieuire, notat n continuare prin, indic probabilitatea ca un nou nscut s supravieuiasc vrstei x, i se definete pornind de la funcia de repartiie a variabilei X:

(1.1)

Considerm o persoan n vrst de x ani. Variabila aleatoare X - x se noteaz prin i reprezint durata (rmas) de via sau timpul pn la deces a unei peroane de vrst x. Rezult astfel o familie de variabile aleatoare indexate n raport cu vrsta x. Se presupune aici implicit c persoana a supravieuit vrstei x i se examineaz legea de probabilitate a variabilei X condiionat de evenimentul . Funcia de repartiie a variabilei aleatoare este definit prin intermediul distribuiei condiionate a variabilei X i se noteaz astfel (Bowers et al., 1986):

(1.2)

Simbolul indic probabilitatea ca o persoan cu vrsta de x ani s decedeze n urmtorii t ani respectiv

(1.3)

reprezint probabilitatea ca persoana s supravieuiasc vrstei .

ntre i funcia de supravieuire are loc urmtoarea relaie:

Prin urmare:

.

Atunci cnd se omite indicele t, rezultnd notaiile uzualerespectiv.

Probabilitatea ca o persoan de vrst x s supravieuiasc t ani iar apoi s decedeze n urmtorii r ani se noteaz prin:

ceea ce conduce la relaia

(1.4)

O alt funcie util n analiza statistic a duratei de via este intensitatea de deces (intensitate a mortalitii sau rata instantanee de deces), definit prin:

(1.5)

sau

undereprezint densitatea de probabilitate a variabilei X. Intensitatea de deces se interpreteaz ca fiind rata instantanee de deces, avnd n vedere c pentru un interval mic de vrsta rezult:

.

Astfel indic probabilitatea, condiionat de evenimentul , de deces n intervalul de vrst . ntre intensitatea de deces i funciile definite anterior exist urmtoarele relaii:

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Densitatea de probabilitate a variabilei se exprim funcie de intensitatea de deces:

(1.9)

Pentru un interval de timp foarte mic reprezint probabilitatea ca o persoan de x ani s supravieuiasc nc t ani iar apoi s decedeze instantaneu n intervalul de timp .

Considernd o persoan cu vrsta de x ani, variabilei continue i se asociaz o variabil aleatoare discret notat prince reprezint durat de via rmas exprimat n ani ntregi sau numrul de ani ntregi rmai pn la deces. Densitatea de probabilitate a variabilei este definit prin:

(1.10)

deoarece

.

Variabila discret are distribuia:

unde .

Valoarea medie i variana (dispersia) duratei de via

Viaa medie sau sperana de via a unei persoane de x ani se determin ca i medie a variabilei durata de via rmas:

.

Dac presupunem c decesele apar n medie la mijlocul anului, rezult urmtoarea estimaie:

(1.11)

Considernd variabila discret valoarea medie, notat prin , respectiv variana (dispersia) acesteia sunt:

(1.12)

unde .

Valoarea medie a acestei variabile se numete i viaa medie redus (sperana de via redus). Dac presupunem c decesele apar n medie la mijlocul anului i innd seama de relaia (1.14) rezult:

.

n aceeai ipotez rezult: prin urmare .

n exemplele din aceast lucrare vom utiliza: tabela de mortalitate 1990-1992 brbai respectiv tabela de mortalitate 1996-1998 brbai, construite n baza mortalitii populaiei Romniei, prezentate n anexa 1 i anexa 2.

Exemplu. Pornind de la tabela de mortalitate 1990-1992 brbai determinai pentru vrstele x = 0, 20, 40, 60, 70 de ani sperana de viaa respectiv abaterea medie ptratic de la aceasta.

Rezolvare. Rezultatele obinute sunt prezentate n tabelul 1.1.

Tabelul 1.1. Sperana de viaa respectiv abaterea standard

VrstaSperana

de viaaAbaterea standard

069,7817,13

2052,3912,00

4033,7410,60

6017,487,39

7010,815,29

Sperana de via a unei persoane de x ani reprezint valoarea medie a variabilei . Din relaia (1.14) rezult:

unde x = 0, 20, 40, 60, 70. Spre exemplu:

ani.

Abaterea standard se determin pornind de la variana variabilei :

.

Pentru x = 20 de ani rezult

prin urmare respectiv ani.

Viaa medie sau sperana de viaa a unei persoane de 20 de ani este de 52,39 ani, abaterea medie ptratic de la aceasta fiind de 12 ani; coeficientul de variaie . Durata de via rmas prezint o dispersie semnificativ, n principal pentru vrstele mici.

Determinarea primelor de asigurare la asigurarile traditionale de viata1.1. Ipoteze utilizate n evalurile actuariale specifice asigurarilor traditionale de viata

Principalele evaluri actuariale:

tarifare stabilirea primelor de asigurare, inclusiv elaborarea tabelelor de mortalitate, estimarea cheltuielilor incluse n primele de asigurare, determinarea adaosului de risc s.a.;

testele de profitabilitate, se utilizeaz tehnici de tipul cash flow;

calculul rezervei matematice, a sumei () de rscumprare, a reduse;

determinarea i repartiia excedentelor catre asigurati;

determinarea marjei de solvabilitate i alte investiii privind managementul financiar.

Motivatiile incheierii asigurrilor de via:

acoperirea unui risc (componenta de protecie): invaliditate, boal, deces

iniierea i meninerea unui plan de economisire pe termen lung (componenta de investitii).

Din punct de vedere al fundamentrii statistice distingem:

produse traditionale de asigurare de via. Exista aici o asigurata/anuitate garantata, primele sunt constante;

alte produse, gen contracte unitlinked (contracte legate de performana portofoliilor de investitii), contracte cu prime variabile, etc.. Unitlinked, nu se garanteaz asigurat, riscul este asumat de asigurat, prime variabile.

Ne vom referi in continuare la produsele traditionale de asigurare de viata. Un astfel de contract de asigurare de viata fixeaz prestaiile la care se angajeaz asiguratorul respectiv, mrimea i data la care sunt scadente primele de asigurare. Pentru aceste contracte asiguratorul nu are posibilitatea creterii primelor sau reducerii prestaiilor n cursul asigurrii. Calculul primelor de asigurare i alte evaluri specifice necesita emiterea unor ipoteze privind evolutia pe termen lung (zeci de ani) a urmatoarelor elemente:

ratele mortalitii pe vrste. Este necesara de fapt aici legea de mortalitatea specifica asiguratilor; aceast lege se exprim in practica, cel mai adesea, printr-o tabel de mortalitate care indic probabilitatea ca un asigurat de vrsta x s decedeze nainte de a mplini x + 1 ani {qx: 0 x w} cu qw = 1;

Ratele din tabela de mortalitate este indicat a fi subestimate pentru asigurrile de deces, respectiv supraestimate pentru asigurrile de supravieuire/anuiti;

rata rentabilitii investitiilor garantata de asigurator, la investirea fondului de asigurare (rezerva), numita generic rata dobnzii i. Aceasta este rata dobnzii n baza creia se calculeaz valoarea actualizat a prestaiilor asigurate respectiv a primelor de asigurare. Asiguratorul garanteaz o rat a dobanzii modest de regula ntre 3% 6%,

cheltuielile asiguratorului, cu care se incarca prima neta de asigurare. Pentru estimarea si alocarea acestora pe polite se au se au n vedere statistici din trecutul asiguratorului;

alte elemente: rata rscumprrilor, adaos de risc, etc.

Acestea sunt bazele tehnice specifice asigurarilor de viata. Ipotezele fiind stabilite cu precauie, rezulta n general prime mai mari dect cele efectiv necesare asiguratorului pentru onorarea obligaiilor sale fata de asigurai i acoperirea cheltuielilor sale. Majoritatea contractelor de asigurare includ o clauz ce d dreptul asigurailor s participe la profitul (excedentul) obinut de asigurator; rezulta excedente ce se repartizeaza periodic asigutatilor. Aceasta reprezinta de fapt o corecie adus primelor de asigurare (asiguraii pltesc prime mai mari dect cele efectiv necesare).

1.2. Prime nete de asigurareAbordarea problematicii tarifrii i a rezervelor matematice se poate realiza innd seama n principal de demersul urmat de autorii Bowers et al. (1986), Gerber (1995), (Hess, 2000); acesta abordare este putin diferita de cea de la matematici financiare. Valoarea actualizat a beneficiilor asigurate se exprim direct n funcie de variabilele aleatoare respectiv . Aceast exprimare este mai convenabil atunci cnd se calculeaz variana valorii actualizate. Cunoaterea varianei faciliteaz estimarea adosului de risc, i prin urmare a riscului la care se expune asigurtorul. De asemenea aceasta abordare este utila in managementul riscului.

Se noteaz cu Z valoarea actualizat, la momentul ncheierii asigurrii, a beneficiilor asigurate; aceasta reprezint obligaiile asigurtorului, asumate prin contract. Vrsta asiguratului la ncheierea asigurrii este notat prin x. Prima unic net a asigurrii se definete ca fiind valoarea medie a variabilei aleatoare Z. n cazul discret, pentru primele de asigurare se regsesc formulele clasice deduse pornind de la distribuia unor variabile aleatoare discrete convenabil construite. Pentru fiecare din formele tradiionale de asigurri de via se poate determina valoarea medie respectiv variana variabilei aleatoare Z. Astfel, se pot cuantifica fluctuaiile n jurul primei de asigurare (determinat ca i valoare medie a valorii actualizate a obligaiilor asigurtorului Z).

Asigurri pltibile la sfaritul anului de deces. Anuiti discrete

Asigurarea viager de deces

Considerm o asigurare viager de deces ncheiat la vrsta x, ce prevede plata unei sume asigurate S egale cu o unitate monetar (u.m.), la sfritul anului de deces. Momentul plii este o variabila aleatoare (+1) definit funcie de durata de via (rmas) exprimat n ani ntregi. n acest paragraf vom omite indicele vrst x din notaia utilizat pentru variabila aleatoare durata de via rmas .

Valoarea actualizat a sumei asigurate, notat cu Z, este o variabil aleatoare discret ce are distribuia:

unde

(2.1)

Prima net unic a asigurrii, notat prin, este egal cu valoarea medie a variabilei Z:

(2.2)

Variabila Z poate fi exprimat succint n funcie de variabila aleatoare durata de via rmas (Bowers et al., 1986):

(2.3)Variana variabilei Z:

deoarece

(2.4)Relaia (2.4) reprezint prima unic net a unei asigurri viagere de deces calculat utiliznd un factor de actualizare egal cu , deci n baza unei rate a dobnzii (Bowers et al., 1986):

unde

(2.5)

Prin urmare poate fi calculat utiliznd formula de calcul a primei unice (2.2), rata anual a dobnzii utilizate n calcul fiind , ceea ce constituie un avantaj n calculul efectiv al varianei. Notnd respectiv rezult:

(2.6)

Primele unice pot fi exprimate funcie de cteva elemente de calcul intermediare, numite numere de comutaie. Acestea sunt utile n principal atunci cnd calculele se efectueaz manual. Pornind de la tabela de comutaie se definesc, pentru x ntreg, urmtoarele numere de comutaie:

;

;

(2.7)Prima unic net a asigurrii viagere de deces, cu suma asigurat pltibil la sfritul anului de deces, se exprim funcie de numerele de comutaie astfel:

(2.8)Pentru calculul primei ce intervine n calculul varianei valorii actualizate Z se utilizeaz aceeai expresie a primei unice:

dar numerele de comutaie, marcate cu *, sunt calculate avnd n vedere relaiile (2.7) i factorul de actualizare

;

;

(2.9)Astfel, calculul varianei se poate realiza utiliznd dou tabele de comutaie, factorul de actualizare fiind v respectiv .

Redm n anexa tabela numerelor de comutaie aferent tabelei de mortalitate 1990-1992 brbai i factorului de actualizare , sau echivalent unei rate anule a dobnzii egale cu unde .

Exemplu. Calculai media (prima unic), variana, respectiv coeficientul de variaie pentru valoarea actualizat a obligatiilor asigurtorului Z n cazul asigurrii viagere de deces. Vrsta la ncheierea asigurrii este respectiv de 20, 30, 40, 50 de ani. Se utilizeaz tabela de mortalitate 1990 1992 brbai, rata dobnzii i = 3,5%.

Rezolvare. Rezultatele obinute sunt prezentate n tabelul 2.1. Tabelul 2.1. Prima unic i abaterea standard pentru asigurarea viager

VrstaPrima unic

Prima unic cu dobnda

Variana

Abaterea standard

Coeficient de variaie

200,20770,060810,01780,13290,6402

300,27990,102530,02410,15540,5554

400,37070,167670,03020,17390,4693

500,47770,261270,03300,18170,3804

Exemplificm modul de calcul pentru vrsta x = 40 de ani, utiliznd tabelele de comutaie din anexa 1b) respectiv anexa 1c).

Valoarea actualizat a obligaiilor asigurtorului Z se exprim n funcie de variabila aleatoare durata de via a unei persoane de 40 de ani :

Prima unic:

Prima unic pentru o rat anul a dobnzii egal cu unde (sau echivalent cu factorul de actualizare ):

numerele de comutaie marcate cu * fiind luate din anexa 1c).

Variana valorii actualizate:

.

Astfel, abaterea standard n jurul primei de asigurare (egale cu 0,3707) este

.

Odat cu creterea vrstei asigurarea viager devine tot mai scump. De asemenea observm o diminuare a coeficientului de variaie pe msur ce vrsta la ncheierea asigurrii crete.

Anuiti (sau rente) viagere

O anuitate viager const ntr-o serie de pli efectuate la intervale egale de timp, de regul anual sau fracionat (semestrial, trimestrial, lunar) att timp ct asiguratul este n via. Plile sunt efectuate la nceputul perioadei (anticipat) respectiv la sfritul acesteia (posticipat). Aceste pli ncep imediat dup subscrierea asigurrii sau sunt amnate cu un anumit numr de ani. Deasemenea, plile sunt limitate la un numr de ani sau sunt efectuate pe toat durata vieii. Anuitile viagere pot fi clasificate funcie de modul de plat a acestora n: anuiti anuale respectiv fracionate, anuiti anticipate respectiv posticipate, anuiti imediate respectiv amnate, anuiti discrete respectiv continue.

Anuitate viager imediat pltibil anual i anticipat

Considerm o persoan n vrst de x ani ce achiziioneaz o anuitate viager ce furnizeaz o unitate monetar pe an, pltibil la nceput de an att timp ct persoana este n via. Obserrvm c aceast anuitate se compune din mai multe asigurri de supravieuire, cu durata asigurrii egal respectiv cu 0, 1, 2, ... ani. Avnd n vedere relaia (2.16) valoarea actualizat Y a acestor pli se exprim astfel:

(2.28)

unde este indicatorul de supravieuire

Valoarea medie a valorii actualizate Y reprezint prima unic net, notat prin , i rezult din relaia (2.16):

(2.29)

n schimb relaia (2.28) nu este util pentru calculul varianei valorii actualizate a anuitii, deoarece variabilele aleatoare , k = 0, 1, 2, ... nu sunt independente, i prin urmare .

Este indicat aici a se exprima valoarea actualizat Y n funcie de variabila aleatoare K (Gerber, 1995):

(2.30)Astfel o anuitate viager poate fi reprezentat ca o anuitate cert cu durata de plat dependent de durata de via rmas . Aceast variabil discret are urmtoarea distribuie:

unde

(2.31)

Pornind de reprezentarea (2.31) rezult prima unic:

(2.32)unde este o anuitate cert anticipat cu durata de k + 1 ani:

.

Deasemenea

(2.33)

Relaiile (2.29) i (2.32) sunt echivalente:

.deoarece , pentru orice k ntreg.

Reprezentarea valorii actualizate n forma (2.30) faciliteaz calculul varianei. Avnd n vedere relaia (2.33) rezult legtura ntre anuitatea viager i asigurarea viager de deces:

(2.34)unde , definit prin (2.2), reprezint valoarea actualizat a unei uniti monetare asigurate prin asigurarea viager de deces. Prin urmare variana variabilei Y este:

(2.35)unde se determin n baza relaiei (2.6).

Cum rezult urmtoarea relaie ntre primele unice:

(2.36)

Pornind de la relaia (2.29), funcie de numerele de comutaie se obine:

(2.37)iar pentru calculul varianei i prin urmare a varianei valorii actualizate a anuitii, din (2.35), se utilizeaz numerele de comutaie definite prin (2.9).

Exemplu. O anuitate viager imediat anticipat, ce prevede plata a PA=5000 u.m anual, este subscris la vrsta de 60 ani. Se utilizeaz tabela de mortalitate 19901992 brbai, iar rata tehnic a dobnzii i = 3,5%. Se cere:

prima unic net a asigurrii

b) variana valorii actualizate a obligaiilor asigurtorului i abaterea standard.

Rezolvare. a) Pentru o pensie anual egal cu 1 u.m, pltibil ct timp asiguratul este n via, plata pensiei ncepnd imediat dup momentul ncheierii contractului, asiguratul pltete o prim unic net egal cu:

.

Aferent pensiei anuale de 5000 u.m, prima net unic = 5000 12,059 = 60295 u.m.

b) Pornind de la valoarea actualizat Y funcie de variabila aleatoare reprezentnd durata de via a unei persoane de 60 de ani:

respectiv de la relaia (2.34) rezult variana valorii actualizate:

unde iar este variana valorii actualizate a obligaiilor asigurtorului n cazul unei asigurri viagere ncheiate la vrsta de 60 de ani. Prima unic pentru asigurarea viager ncheiat la vrsta de 60 de ani este:

Prima unic pentru o rat anual a dobnzii egal cu unde :

numerele de comutaie marcate cu * fiind luate din anexa 1c). Variana valorii actualizate pentru asigurarea viager:

.

Prin urmare variana valorii actualizate pentru anuitatea viager ce furnizeaz o unitate monetar respectiv 5000 uniti monetare anual este:

Abaterea standard n jurul primei de asigurare (egale cu 60295 u.m) este de u.m..

In mod similar se poate deduce speranta matematica si varianta, pentru oricare din asigurarile cunoscute (Lazar, 2007).

Prima neta unica cu numere de comutatieVom prezenta n continuare formulele de calcul a primei nete unice pentru cteva din asigurrile traditionale de via, cele mai des ntlnite.

a) Asigurarea temporar de deces, prevede plata sumei asigurate la deces, dac asiguratul decedeaz pe durata asigurarii.

x x+1x+2x+n

dxdx+1dx+n-1

Functie de numerele de comutatie obtinem:

b) Asigurarea viagera de deces, prevede plata sumei asigurate la momentul decesului

.

c) Asigurarea de supravieuire, prevede plata asigurate la expirarea asigurarii dac asiguratul este n via la aceasta data (la varsta de x+n ani)

d) asigurarea mixt, prevede plata asigurate la deces daca acesta decedeaza inainte de expirarea politei respectiv la expirarea politei daca asiguratul este in viata la aceasta data

e) anuiti (rente, pensii). Anuitate viagera imediata temporara anticipata, prevede plata 1 u. m. la inceputul fiecarui an din perioada celor n ani dac asiguratul este n viaa la momentul platii

lxlx+1 ...

lx+n

1 2 ...

n

Anuitate viagera imediata anticipata, prevede plata 1 u. m. la inceputul fiecarui an dac asiguratul este n viaa la momentul platii

Exista multe alte tipuri de anuitati.

1.2.2. Prima neta anuala

In cazul plii unor prime ealonate volumul total al primelor ncasate este aleator deoarece depinde de momentul decesului asiguratului.

Prima anuala se deduce din principiul echivalentei: valoarea actualizata, la incheierea asigurarii, a obligatiilor asiguratului = valoarea actualizata, la incheierea asigurarii, a obligatiilor asiguratorului.

Valoarea actualizata, la incheierea asigurarii, a obligatiilor asiguratului = prima unica a asigurarii.Daca prima anuala se plateste la inceputul fiecarui an de asigurare, pe parcursul celor p ani, atata timp cat asiguratul este in viata atunci valoarea actualizata a obligatiilor asiguratului este egala cu . Din egalitatetea aferenta principiului echivalentei rezulta prima anuala. Spre exemplu in cazul asigurarii mixte:

rezulta

1.3. Prime brute de asigurare

Exist 2 mari grupe de cheltuieli ale asiguratorului:

cheltuieli legate de administrarea portfoliului de asigurri. Acestea se adaug la prima net.

cheltuieli legate de investitiile efectuate de asigurator. Sunt luate n considerare prin scderea ratei dobnzii i utilizate n actualizare.

Redam mai jos o structura a cheltuielilor de asigurare, structura ce consideram a fi relativ apropiata de strucura reala a cheltuielilor asiguratorului.

ClaseComponenteCnd aparCum variaz

(cum se includ n prim)

1. cheltuieli de achiziiea) legate de vnzarea asigurrilor; comisioane, publicitate

b) legate de subscriere (clasificarea riscurilor); cheltuieli cu examinrile medicale ale potenialilor asigurai

c) emiterea noilor polie i nregistrarea n baza de daten primul an de asigurarea) comisioanele procent din prim sau procent din suma asigurat

b) variaz proporional cu suma asigurat (% din asigurata )

c) cheltuieli cu emiterea: fixe pe poli

2. cheltuieli curentea) legate de ncasarea primelor comisioane de incasare

b) unele schimbri efectuate pe polia) apar n fiecare an de plat a primelor

b) n fiecare an de asigurarea) procent din prim; uneori procent din suma asigurat

3. cheltuieli administra-tivea) salarii

b) corespondena cu asiguraii

c) taxe, impozite, etc.n fiecare an ct timp polia este n vigoare

4. cheltuieli legate de plata sumei asiguratea) investigarea evenimentelor asigurate, litigii, etc.apar la expirare

O alta clasificare utilizata frecvent in tarifare presupune doar trei grupe mari de cheltuieli:

cheltuieli de achiziie, ce apar cu ocazia subscrierii contractelor: publicitate, comisioane, evaluarea riscului, emitere polite s.a.;

cheltuieli de administrare sau de gestiune, ce apar pe toat durata contractului: evaluari periodice privind rezerva, excedentele, modificarea elementelor politei si alte elemente, etc. Fiecare contract contribuie la formarea cheltuielilor de gestiune ale asiguratorului;

cheltuieli de ncasare, specifice asigurarilor cu prime periodice, si se includ de regula ca si procent din prima de asigurare bruta.

1.3.1. Prime brute anuale

a) Asigurari de deces si asigurari mixte. Tradiional:

cheltuielile de achiziie sunt incluse ca si % din suma asigurat (SA) si se efectueaza la ncheierea asigurarii

cheltuieli curente sunt % din prima brut (Pb); se efectueaza la nceputul fiecrui an de plat a primelor

cheltuieli de administraie sunt % din suma asigurat; se efectueaza la nceputul fiecrui an de asigurare.

Se ncarca prima neta cu cheltuieli. Se ine seama att de momentul la care se efectueaz aceste cheltuieli (de ctre asigurator) ct i de modul n care variaz (proporional cu prima, cu suma asigurat, suma fix pe poli). Exemplu: = 35% SA, = 3% Pb, = 4%0 SA.

Principiul echivalentei: valoarea actualizat a primelor brute = valoarea actualizat a obligatiilor asiguratorului privind plata beneficiilor din asigurare respectiv acoperirea cheltuielilor sale de asigurare.

Obligaia asiguratului: s plteasc Pb n fiecare an, atta timp ct este n via, pe durata celor p ani.

Obligaia asiguratorului: plata sumei asigurate conform contractului i acoperirea cheltuielilor de asigurare.

a1) Asigurarea temporara de deces

Din principiul echivalentei, obligaii asigurat = obligaii asigurator, rezulta:

unde este prima unica neta pentru acest tip de asigurare.

In cazul particular cand primele se pltesc pe toat durata asigurrii n = p rezulta

Pentru o suma asigurata SA oarecare prim brut (tarifara) = SA Pb. De regul, in practica, se utilizeaz tabele n care se gseste nivelul acestor prime pentru o suma asigurat egala cu 1000 u.m..

a2) Asigurarea viager de deces

respectiv

dupa cum primele se platesc pe termen limitat (p ani) sau nelimitat.

a3) Asigurarea mixta de viata

unde este prima unica neta pentru acest tip de asigurare.

In cazul particular cand primele se pltesc pe toat durata asigurrii n = p rezulta

1.3.2. Prime brute unice

Specific primelor brute unice este faptul ca prima nu se majoreaza prima neta cu cheltuieli de incasare .

a) Anuiti viagere

Consideram o anuitate viagera anticipata imediata. Vom calcula prima unica bruta Ab. Ipoteze privind cheltuielile:

cheltuilele legate de achizitie vor fi incluse aici ca i % din prima unic brut (Ab), la nceputul primului an de asigurare;

cheltuielile cu plata anuitii (pensiei) i cheltuielile de administrare a poliei se efectueaz la nceputul fiecrui an de plat a pensiei i se includ ca i procent din fiecare anuitate (pensie) pltit.

Rezulta, in aceste ipoteze, urmatoarea expresie de calcul a primei unice brute:

.

b) Asigurari de deces si asigurari mixte, cu prime unice

In cazul platii unei prime unice cele doua grupe de cheltuieli, de achizitie respectiv administratie, pot fi incluse spre exemplu astfel:

cheltuielile de achiziie sunt % din suma asigurat si se efectueaza la nceputul primului an de asigurare

cheltuieli de administraie sunt % din suma asigurat si se efectueaza la nceputul fiecrui an de asigurare.

Rezulta, in cazul asigurarii mixte de viata, o relatie de forma:

.

Observaii:

1. Exist i alte modaliti de includere a cheltuielilor n prime (mai multe grupe de cheltuieli, diferene privind momentul efectuarii si includerii cheltuielilor). Important: structura cheltuielilor incluse in prima trebuie sa fie cat mai apropiata de structura reala inregistrata de catre asigurator.

2. , , difer de la o societate de asigurare la alta i de la o form de asigurare la alta.

3. In cazul primelor subanulale se utilizeaza anuitati fractionate. O varianta simplificata: se imparte prima anuala la 12, 4 respectiv 2 pentru prime lunare, trimestriale respectiv semestriale si se majoreaza cu un anumit procent ex. 5%, 3% respectiv 2% .

1.4. Probleme

Problema 1. O asigurare mixt se ncheie la varsta de 35 ani, durata de asigurare 20 de ani, durata de plata a primelor egala cu durata de asigurare, suma asigurata 10 000 u.m.. Mortalitatea este conforma cu tabela de mortalitate 1990 1992 brbai, iar rata tehnica a dobanzii i = 3,5%. Se cere:

a) prima unic neta respectiv prima anual net

b) prima bruta anuala Pb (prima tarifar anual), in urmatoarele ipoteze privind cheltuielile: = 30 %0 SA la nceputul primului an

= 4 % Pb la nceputul fiecarui an de plat a primelor

= 5 %0 SA la nceputul fiecrui an de asigurare.

Rezolvare

a) Prima unic neta (SA = 1):

Aferent sumei asigurate, prima unica neta = 10 000 0,524 = 5 240 u.m..

Prima anuala neta (SA = 1):

.Pentru SA = 10 000 u.m., prima anual net = 0,0372 10 000 = 372 u.m..

Observaie: = 14,076 < 20 deoarece intervine actualizarea respectiv anuitile se plteasc pn la deces iar acesta poate interveni nainte de trecerea celor 20 de ani.

b) Prima bruta anuala (SA = 1):

Pentru SA = 10 000 u.m., prima anual brut = 10 000 0,0412 = 412 u.m..

Problema 2. O anuitate viager imediat anticipata, ce prevede plata a 5 000 u.m. anual, este cumparata la varsta de 60 ani. Se utilizeaza tabela de mortalitate 1990 1992 brbai, iar rata tehnica a dobanzii i = 3,5%.

Se cere: a) prima net

b) prima brut, cheltuielile incluse in prima fiind:

- = 4 % din prima brut, la ncheierea asigurrii

- = 1 % din fiecare pensie anual, la nceputul fiecrui an de plata a pensiei.

Rezolvare

a) Pentru o pensia anual egala cu 1 leu, pltibil ct timp asiguratul este n via, plata pensiei ncepand imediat dup momentul ncheierii contractului, asiguratul pltete o prim unic neta egala cu:

Aferent pensiei de 5 000 u.m. anual, prima neta unica = 5 000 12,059 = 60 295 u.m..

b) Prima brut unica:

Pentru o pensie de 5 000 u.m. anual, prima bruta unica = 5 000 12,687 = 63 435 u.m..

Problema 3. O asigurarea temporar de deces se incheie la varsta de 30 ani, durata asigurarii fiind de 20 ani egala cu durata de plata a primelor iar suma asigurata 50 000 u.m.. Se utilizeaza aceeai tabel de mortalitate1990 1992 brbai, rata dobanzii i = 3,5%. Se cere:

a) prima unic net

b) prima anual brut, cheltuielile incluse n prima fiind:

= 10 % din Pb pentru fiecare an de plat a primei

= 2 % din Pb pentru fiecare an de plat

= 1 %0 din SA pentru fiecare an de asigurare.

Rezolvare

a) Prima unic neta:

Prima anuala neta:

Pentru SA = 50 000 prima unic neta este 4 645 respectiv prima anuala neta 325.

b) Prima anuala bruta:

Aferent sumei asigurate de 50 000 u.m., prima bruta anuala = 432 u.m..

Problema 4. a) Influena dobnzii i a mortalitii asupra primei de asigurare.

b) Ce pondere are prima necesar acoperirii riscului de deces n prima de asigurare a asigurrii mixte?

Rezolvare

Exemplificm nivelul primei anuale brute pentru o asigurare mixt respectiv o asigurare temporara de deces cu urmatoarele caracteristici: x = 40 ani, n = 5 ani, SA = 50 u.m., tabela de mortalitate 1996 1998.

i = 5%i = 10%i = 25%

Asigurare mixt8,7617,5935,031

Asigurare temporara de deces0,3490,3310,286

Concluzii din tabel:

1. Prima de asigurare e sensibil la modificrile dobnzii, mai pronuntat la asigurarea mixt unde exist i o component de economisire.

2. Dac comparm primele la cele dou tipuri de asigurri observm c ponderea costului asigurrii de deces n prima asigurrilor mixte este foarte mic.

3. Dac asiguratorul garanteaz o dobnd de 25% la fructificarea rezervei, atunci nivelul primei este mult mai mic. Exista insa garania obinerii de catre asigurator a unei rate a rentabilitatii investitiilor egala cu 25% n urmtorii 5 ani?

1.5.* Estimarea adaosului de risc Acest paragraf, marcat cu *, nu se cere pentru examenCunoaterea varianei respectiv a celorlalte momente ale variabilei aleatoare Z , valoarea actualizat a beneficiilor asigurate, permite efectuarea a diverse investigaii la nivel de portofoliu omogen de asigurri. Una din cele mai importante aplicaii ale acestei abordri se refer la estimarea adaosului de risc.

Considerm cu portofoliu ce conine n contracte de asigurare identice. Notm cu Zk valoarea actualizat a beneficiilor asigurate prin contractul k. Suma:

(2.51)

reprezint valoarea actualizat a obligaiilor asigurtorului la nivel de portofoliu.

Dac variabilele Zk sunt independente (ipotez verificat n general, riscurile fiind independente, cu unele excepii precum catastrofele naturale, epidemiile) rezult:

;

.

Atunci cnd numrul contractelor n din portofoliu este suficient de mare, teoreme de tip limit central permit aproximarea distribuiei variabilei Sn prin legea normal de probabilitate. Deasemenea cunoaterea valorii medii i a varianei sumei Sn permite, prin aplicarea inegalitii lui Cebev, evaluarea abaterii limit a obligaiilor asigurtorului de la prima net unic E(Z).

Inegalitatea lui Cebev. Fie variabila aleatoare X, pentru care exist valoarea medie E(X) respectiv variana . Atunci, pentru ( ( ( 0 are loc inegalitatea:

(2.52)

Definiie. irul de variabile aleatoare (Xn)n ( 1 converge n repartiie (sau n lege) ctre variabila aleatoare X, i notm , dac irul funciilor de repartiie (Fn(x))n ( 1 converge ctre funcia de repartiie F(x) n fiecare punct de continuitate al lui F, unde Fn i F sunt funciile de repartiie ale variabilelor Xn respectiv X.

Redm deasemenea, fr demonstraie, teorema Lindeberg Levy.

Teorem (Lindeberg Levy). Fie (Xn)n(1 un ir de variabile aleatore independente ce au aceeai lege de probabilitate (identic repartizate), cu media ( = E (Xk) respectiv variana pentru ( k ( 1. irul de variabile aleatoare (Yn)n ( 1:

, unde

converge n repartiie spre o variabil aleatoare Y ce urmeaz legea normal centrat redus N(0,1).

Cnd numrul variabilelor n este suficient de mare, teorema se aplic pentru aproximarea distribuiei variabilei printr-o lege normal de medie ( i abatere standard .

Deasemenea, pentru n suficient de mare, distribuia sumeieste aproximat prin legea normal de medie i varian , deoarece:

.

Pentru a ilustra unele aplicaii ale modelului de risc, vom presupune c variabilele aleatoare Zi din relaia (2.50) sunt independente i identic repartizate iar numrul contractelor din portofoliu este suficient de mare. Astfel, conform teoremei limit central, distribuia sumei se va aproxima prin legea normal.

Pentru un anumit tip de asigurare, se definete variabila reprezentnd valoarea actualizat a beneficiilor asigurate prin contractul k, se determin valoarea medie respectiv variana , n baza rezultatelor obinute n paragrafele precedente din acest capitol. Rezult astfel valoarea medie i variana valorii actualizate a obligaiilor asigurtorului la nivel de portofoliu :

.

Dac portofoliul conine un numr mare de contracte, atunci distribuia variabilei aleatoare Sn se poate aproxima prin legea normal. Distribuia variabilei aleatoare:

poate fi aproximat prin legea normal centrat redus N(0,1). Astfel:

(2.53)

unde este funcia de repartiie a legii normale centrate reduse N(0,1).

Estimarea adaosului de risc

n contextul asigurrilor de via, valoarea medie ( = E (Zk) definete prima net unic a asigurrii. Se consider adaosul de risc ca i procent din prima net unic (Bowers et al., 1986):

reprezint adaosul de risc pentru contractul de asigurare k,

fiind adaosul de risc la nivel de portofoliu.

Se pune problema determinrii adaosului la prima unic astfel nct valoarea actualizat a obligaiilor asigurtorului la nivel de portofoliu s nu depeasca ncasrile asigurtorului, cu o probabilitate p fixat (de regul p > 90%):

sau echivalent

.

Dac se aproximeaz distribuia variabilei

prin legea normal N(0,1) atunci aferent probabilitii p fixate, rezult valoarea tabelar . Din relaia:

se obine expresia de calcul pentru adaosul de risc:

(2.54)

Deasemenea, conform (2.53), se poate evalua probabilitatea ca obligaiile asigurtorului la nivel de portofoliu s nu depeasc o anumit limit stabilit n prealabil s:

(2.55)

unde .

Uneori asigurtorii consider adaosul de risc (marja de siguran) ca fiind ncorporat implicit n prima net, prin stabilirea cu precauie a ipotezelor privind evoluia n perspectiva a dobnzii respectiv a mortalitii. Se utilizeaz tabele de mortalitate distincte pentru contractele ce prevd pli n caz de supravieuire respectiv de deces, adaosul de risc fiind ncorporat prin micorarea respectiv majorarea probabilitilor de deces pe vrste.

Abaterea limit de la prima net unic E(Z)

Considerm un portofoliu format din n contracte de asigurare identice, fiecare cu suma asigurat SA, vndute la n asigurai. Presupunem c riscurile sunt independente iar mortalitate este descris prin aceeai funcie de supravieuire. Valoarea actualizat a beneficiilor asigurate la nivel de portofoliu respectiv valoarea medie i variana acesteia sunt:

variabilele fiind identic repartizate, i pentru ( k ( 1.

Utilizm inegalitatea lui Cebev pentru variabila aleatoare :

considernd

unde . Rezult:

respectiv

.

Astfel, valoarea actualizat a obligaiilor asigurtorului pe contract i pe unitate sum asigurat fluctueaz n jurul primei nete unice E(Z). Abaterea limit n form absolut i relativ:

;

unde reprezint coeficientul de variaie, este direct proporional cu gradul de variabilitate a variabilei Z i invers proporional cu numrul contractelor din portofoliu.

Exemplu 1. Un portofoliu conine 1000 asigurri independente de supravieuire subscrise la vrsta de 35 de ani, durata asigurrii fiind de 10 ani, iar suma asigurat o unitate monetar. Considerm rata tehnic a dobnzii i = 0,035 respectiv tabela de mortalitate 1990-1992 brbai.

Se cere: a) calculai prima net unic, variana valorii actualizate a beneficiilor asigurate respectiv adaosul de risc aferent unei probabiliti de 95%;

b) care este probabilitatea ca veniturile asigurtorului din prime s nu fie suficiente pentru plata obligaiilor sale, dac asigurtorul percepe o prima unic egal cu 0,68 u.m?

Rezolvare. a) Pentru un contract oarecare k, valoarea actualizat a unei sume asigurate egale cu o unitate monetar, pltibil dac asiguratul este n via la expirarea asigurrii, conform (2.18), are expresia:

Prima net unic:

.

Variana variabilei Z:

unde s-a calculat avnd n vedere numerele de comutaie din anexa 1c). Acelai rezultat se obine n baza formulei echivalente:

.

Valoarea medie i variana sumei , n ipoteza independenei riscurilor, sunt:

.

Pentru probabilitatea p=0,95 avem valoarea tabelar deoarece unde este funcia de repartiie a legii normale centrate reduse. Prin urmare, conform (2.54), procentul aferent adaosului de risc este egal cu:

.

Aferent unui contract de asigurare, rezult un adaos de risc egal cu u.m. Cu acest adaos se majoreaz prima unic a asigurrii, rezultnd o prim egal cu 0,6842 u.m.. Se garanteaz cu o probabilitate p=0,95 cci valoarea actualizat a obligaiilor asigurtorului nu depete ncasrile sale, atunci cnd asigurtorul percepe o prim unic net egal cu 0,6842 u.m..

b) Valoarea actualizat a obligaiilor asigurtorului la nivel de portofoliu este reprezentat de variabila aleatoare S. Veniturile totale ale asigurtorului din prime sunt de u.m.. Rezult probabilitatea c aceste venituri s nu fie suficiente pentru plata beneficiilor asigurate:

.

Exemplu 2. O asigurare mixt de deces se ncheie la vrsta x = 75 de ani, durata asigurrii fiind de 4 ani. Rata tehnic a dobnzii este de 3,5% iar ratele mortalitii sunt redate n tabelul urmtor:

k

0750,070,930,930

1760,080,920,856

2770,090,910,779

3780,100,900,701

Determinai prima net unic respectiv variana valorii actualizate a beneficiilor asigurate.

Rezolvare. Prima unic net, conform (2.23):

Variana este dat de expresia:

.

Determinm, adic prima unic net a asigurrii mixte de via calculat cu rata tehnic a dobnzii :

Astfel, variana este egal cu:

.

Exemplu 3. Considerm un portofoliu format din 1000 asigurri viagere de deces, ncheiate de 1000 de persoane de aceeai vrst x, suma asigurat fiind de 100 u.m, pltibil la momentul decesului. Intensitatea de deces se consider constant ( = 0,05, de asemenea i intensitatea dobnzii .

Se cere: calculai suma minim s de care trebuie s dispun asigurtorul, la momentul subscrierii, astfel nct s-i poat onora, cu o probabilitate de 99% , obligaiile sale privind beneficiile asigurate.

Rezolvare. Valoarea actualizat, la ncheierea contractelor, a beneficilor asigurate:

unde Zk este valoarea actualizat a sumei asigurate ce urmeaz a fi pltit la decesul asiguratului k, se exprim, funcie de variabila aleatoare durata de via rmas, astfel:

( k ( 1.

Deoarece intensitatea mortalitii este constant, conform relaiei (1.6) rezult:

astfel

.

Intensitatea de deces (, respectiv intensitatea dobnzii ( fiind constante, rezult:

Relativ la varian, obinem:

Valoarea medie respectiv variana valorii actualizate a obligaiilor asigurtorului, la nivel de portofoliu S sunt:

Se cere determinarea lui s astfel nct:

sau echivalent

.

Avnd n vedere valoarea funciei de repartiie a legii normale centrate reduse din

rezult u.m..

n aceste ipoteze, prima unic minim pentru o asigurare viager cu suma asigurat egal cu o unitate monetar este de 0,57581 u.m.. 2. Rezerva matematic. Rezerva net, rezerva brut (rezerva Zillmer)Rezerva matematica la un moment dat m = suma (fondul) de care trebuie s dispun asiguratorul, la momentul m, astfel incat aceasta mpreun cu primele ce urmeaz a fi incasate s acopere viitoarele plati ale asiguratorului.

Rezerva + Valoarea actualizata a obligatiilor viitoare ale asiguratului = Valoarea actualizata a obligatiilor viitoare ale asiguratorului

Rezerva = Valoarea actualizata a obligaiilor viitoare ale asiguratorului Valoarea actualizata a obligatiilor viitoare ale asiguratului.

Ambii termeni se actualizeaz la momentul m cand se efectueaza calculul rezervei.

Acesta este modul prospectiv de evaluare a rezervei. Rezerva poate fi evaluat si retrospectiv:

Rezerva = ncasri efectuate pli efectuate.

Rezultatul obtinut prin cele doua metode este acelasi.

Rezerva se calculeaza individual pentru fiecare polita, atata timp cat polia este n vigoare, si reprezinta o obligatie a asiguratorului fata de asiguratii sai; in contabilitate acesta se inregistreaza intr-un cont de cheltuieli. La sfritul anului financiar, cand asiguratorii i determin bilanul, regasim rezerva matematica in pasiv. Aceasta reprezint valoare actualizat, n ziua incheierii bilanului, a angajamentelor asiguratorului aferente tuturor contractelor de asigurare in vigoare. Autoritile de supraveghere a asigurarilor vegheaz ca rezerva s fie calculat cu pruden si pot impune baze tehnice minime pentru evaluarea ei; aceste baze pot fi distincte de cele utilizate pentru tarifarea contractelor.

Formulele de calcul a rezervei furnizeaza valoarea rezervei la sfarsitul fiecarui an de asigurare. Rezerva la sfarsitul anului financiar se aproximeaza de regula prin interpolare liniara intre cele doua rezerve invecinate.

2.1. Rezerva matematica neta

In calculul rezervei nete se au n vedere doar obligaiile asiguratorului legate de riscurile asigurate (ne se ine seama i de cheltuielile de administrare aferente poliei) respectiv primele nete ca si obligatii de plata ale asiguratului

Notam cu mVx valoarea rezervei nete dup m ani de la ncheierea poliei (asiguratul are, in momentul calcului rezervei, varsta de x + m ani).

Obligaii viitoare ale asiguratorului = prima unic neta a asigurrii, calculata pentru varsta de x + m ani i durata de asigurare rmas n m ani.

Obligatii viitoare ale asiguratului = valoarea actualizata a primelor nete ce urmeaz a se ncasa de la asigurat.

Rezerva la sfarsitul anului financiar se aproximeaza de regula prin interpolare liniara intre cele doua rezerve invecinate. Pentru un contract cu prime anuale, prin interpolare liniar se obtine o aproximarea pentru rezerva evaluata la momentul m+s de la incheierea politei:

unde k = 1, 2, ..., n 1 iar t(m, m + 1]. La inceputul anului de asigurare m+1 asiguratorul dispune de rezerva mVx respectiv de prima anuala P incasata la inceputul anului m+1.

a) Asigurri de viata cu prima unic

Obligatii viitoare ale asiguratului = 0, astfel rezulta

mVx = obligaiile viitoare ale asiguratorului privind riscurile asigurate = prima unic neta a asigurrii, calculata pentru varsta de x + m ani i durata de asigurare rmas n m ani.

a1) Asigurarea temporara de deces

respectiv

La expirarea asigurarii, m = n, rezerva neta este nula.

a2) Asigurarea viager de deces

respectiv

a3) Asigurarea mixta de viata

La expirarea asigurarii, rezerva neta este egala cu 1 (suma asigurat, in general).

a4) Anuiti viagere imediate

Acestea sunt contracte cu prim unic, pltit la ncheierea asigurrii, imediat dup aceea ncepnd plata pensiilor. Pentru o anuitate viager imediata anticipat:

In cazul anuitii viagere imediate temporare anticipate:

b) Asigurari de viata cu prime anuale

b1) Asigurarea temporar de deces

unde este prima unic net pentru asigurarea temporar de deces incheiata la varsta de x+m ani cu durata de asigurare n-m ani

iar P este prima anual net pentru asigurarea temporar de deces, calculat la ncheierea poliei

Valoarea rezervei la asigurarea temporara de deces cu prime anuale este relativ mic.b2) Asigurarea viager de deces

Daca primele se platesc pe toata durata vieii, atunci rezerva neta a asigurarii este:

Atunci cand primele se pltesc pe o durat limitata p ani, rezerva se determina diferit functie de pozitia momentului calculului rezervei fata de p:

- daca rezerva se calculeaza inainte de incheierea platii primelor m < p

dac rezerva se calculeaz dup ce s-a ncheiat plata primelor m > p

Reamintim ca P este prima anual net pentru asigurarea viagera de deces, calculat la ncheierea poliei.

b3) Asigurarea mixt de viata

unde este prima unic net pentru asigurarea mixta de viata incheiata la varsta de x+m ani cu durata de asigurare n-m ani:

iar P este prima anual net pentru asigurarea mixta de viata, calculat la ncheierea poliei.

Exemplu. Evolutia rezervei nete pentru o asigurare mixta respectiv o asigurare temporara de deces x = 40, n = 25, SA = 1000 u.m. Tabela de mortalitate 1996 1998 brbai, i = 3,5%.

a) Se platesc prime anuale

m0510152025

asigurare mixt de viata 01513225127301000

asigurare temporar de deces 0387392750

b) Se platesc prime unice

m0510152025

asigurare mixt de viata5155906727658701000

asigurare temporara de deces 1771891981791260

Observatii

1. De ce este necesara constituirea rezervei in cazul asigurarii temporare de deces? Ratele mortalitii n prima parte a asigurrii sunt mai mici dect ratele mortalitii n ultima parte a asigurrii. Asiguratii pltesc o prim constanta (nivelat) pe toat durata asigurrii. O parte din primele pltite n primii ani de asigurare se acumuleaz n rezerv n scopul acoperirii diferenei dintre obligaiile de plat ale asiguratorului i primele ncasate n ultima parte a asigurrii.

2. In cazul asigurarii mixte, suplimentar motivului anterior, apare si necesitatea constituirii rezervei pentru a se plti asigurata la expirarea asigurarii.

2.2. Rezerva matematica bruta (Zillmer)

Pentru evaluarea situaiei reale a asiguratorului la un moment dat este indicat a se ine seama n evaluri i de cheltuielile asiguratorului. Se obine rezerva matematic bruta. Notam cu mVx valoarea rezervei brute la sfarsitul acelor m ani de asigurare, de la ncheierea politei.

Rezerva = Valoarea actualizata a obligaiilor viitoare ale asiguratorului Valoarea actualizata a obligatiilor viitoare ale asiguratului.

In calculul rezervei brute se au n vedere obligaiile asiguratorului legate de riscurile asigurate si de cheltuielile de administrare ale acestuia respectiv primele brute ca si obligatii de plata ale asiguratului.

Obligaii viitoare ale asiguratorului = prima unica neta calculata pentru varsta de x + m ani i durata de asigurare rmas n m ani plus valoarea actualizata a cheltuielilor asiguratorului legate de asigurare.

Obligatii viitoare ale asiguratului = valoarea actualizata a primelor brute ce urmeaz a se ncasa de la asigurat.

Rezerva ntre dou aniversri succesive, necesar la momentul incheierii anului financiar sau a modificrii contractului, se aproximeaza deseori n practic prin interpolare. Pentru un contract cu prime anuale, o aproximare pentru rezerva bruta rezulta astfel:

unde k = 1, 2, ..., n 1; t (m, m + 1] iar este prima anuala obtinuta adaugand la prima neta si cheltuielile de gestiune (administrare). Formula finala de calcul a rezervei brute mVx, la sfarsitul anului m de asigurare, depinde de modul de includere a cheltuielilor n prima brut. a) Asigurari de viata cu prime anuale

a1) Asigurarea mixt de viata

Avem in vedere modul de includere a cheltuielilor in prima bruta considerat in paragraful 1.3., prima bruta fiind:

Rezerva bruta in acest caz:

Inlocuind expresia primei brute rezulta relatie de dependenta dintre cele doua forme ale rezervei:

Tinand seama de expresia primei nete rezulta:

Relatia intre rezerva neta si rezerva Zillmer:

Observaii

1) reprezinta partea din cheltuielile de achiziie inclusa n fiecare prim anual

2) este valoarea actualizat a cheltuielilor de achiziie nc nerecuperate la momentul calculului rezervei. Acestea se vor recupera odat cu ncasarea urmatoarelor prime.

3) Cheltuielile de achiziie s-au efectuat de catre asigurator integral la ncheierea asigurrii, dar acesta sunt recuperate doar treptat, odat cu ncasarea primelor anuale.

Exemplu. Evolutia rezervei brute pentru o asigurare mixta respectiv o asigurare temporara de deces x = 40, n = 25, SA = 1000 u.m. Tabela de mortalitate 1996 1998 brbai, i = 3,5%, = 35%, = 3% , = 2%0

m0510152025

Rezerva neta mV4001513225127301000

Rezerva bruta mV40- 351212984957211000

Observaii

1. Rezerva brut este mai mica decat rezerva neta pe tot parcursul asigurrii, dar la expirare ambele sunt egale cu suma asigurata.

2. Datorit recuperrii treptate (pe parcursul perioadei de plat a primelor) a cheltuielilor de achiziie, balana societilor noi de asigurre de via se ncheie n primii ani cu pierderi.

3. Pentru asigurator este mai avantajos s nregistreze n contabilitate rezerva brut i nu rezerva net (astfel rezulta un profit mai mare), acesta fiind echivalent cu permisiunea recuperarii de catre asigurator a cheltuielilor de achiziii din primele prime ncasate.

4. De regul legislaia prevede constituirea de ctre asigurator a rezervei nete. Astfel in primul an (chiar n primii 2 3 ani pentru asigurri durat lunga) asiguratorul nregistreaz pierderi pe aceste polie, deci este necesar un capital suplimentar pentru a putea plti aceste cheltuieli de achiziie i n acelai timp s-i constituie i rezerve la nivelul rezervelor nete.

a2) Asigurarea viager de deces

Caz 1. Primele se platesc pe toat durata asigurrii

relatie ce se deduce analog cu cazul asigurarii mixte de viata. Caz 2. Durata de plata a primelor este limitata p ani

2.1. Dac m < p

mVx= Ax+m + x+m + Pb x+m: p-m - Pb x+m : p-mSe nlocuiete prima brut cu expresia ei de calcul Pb = (Ax + + x)/(1 ) x+n si rezulta

mVx= mVx + [x+m (x / x: p) x+m: p-m ] ( / x: p ) x+m: p-m

ultimul termen reprezentand cheltuieli de achiziie inca nerecuperate la momentul calculului rezervei.

2.2. Dac m > p

mVx = Ax+m + x+m

ultimul termen reprezentand aici rezerva de cheltuieli necesara pentru acoperirea cheltuielilor de administraie ale asiguratorului n perioada n care nu se mai ncaseaz prime.

Exemplu. Evolutia rezervei brute pentru o asigurare viagera x = 40, n = 25, SA = 1000 u.m. Tabela de mortalitate 1996 1998 brbai, i = 3,5%, = 35%, = 3% , = 2%0

Caz 1. Plata primelor pe toat durata asigurrii

m0510152025304060

mV40095198303405502695755950la 102 ani ~ 1000

mV40- 3563170279721485561746948

Caz 2. Plata primelor n primii 25 ani

m0510152025304060

mV400118249390541710764857971la 102 ani ~ 1000

mV40- 3591230381545730760867973

Observaii

1) In primii 25 de ani rezervele n cazul 1 sunt mai mici dect in cazul 2 n primii 25 de ani deoarece primele anuale ncasate sunt mai mici.

2) In cazul 2, dup ncheierea plii primelor (pentru m > 25), rezerva brut este mai mare dect rezerva net. Rezerva brut = rezerva net + rezerva pentru cheltuielile de administraie.

b) Asigurari de viata cu prima unica

Specific asigurarilor cu prime unice este faptul ca rezerva bruta este mai mare decat rezerva neta, adaosul fiind o rezerva de cheltuieli.

b1) Anuiti viagere

Pentru o anuitate viagera anticipata imediata, avand in vedere modul de includere a cheltuielilor considerat in paragraful 1.3., rezerva bruta este:mVx= mVx + x+m

a) Asigurari de deces si asigurari mixte, cu prime unice

Avand in vedere modul de includere a cheltuielilor considerat in paragraful 1.3., rezerva bruta pentru asigurarea mixta respectiv asigurarea temporara de deces are forma:mVx= mVx + x+m; n-m

2.3. Probleme

Problema 1. Reluam datele din problema 1 paragraful 1.4.. Se platesc prime anuale. Se cere:

a) rezerva net a asigurrii, pentru m=0, m=1, m=10 respectiv m=20

b) rezerva bruta a asigurrii, pentru m=0, m=1, m=10 respectiv m=20 .

Rezolvare.

a) rezerva neta:

mVx = Ax+m; n-m - P x+m : n-mP= 0,372 u.m.. Exemplificam calculul pentru m=10

10V35 = A45: 10 - P 45 : 10unde A45 : 10 = ( M45 M55 + D55)/ D45 iar 45 : 10 = (N45 N55)/ D45. Se obtine 10V35 = 0.41, respectiv pentru o SA=100 u.m. 10V35 = 41u.m.. Celelalte rezultate se gasesc in tabelul urmator:

m011020

mV35

( u.m.)03,4941100

b) rezerva brut

mVx = mVx (/xn ) x+m : n-mPentru m = 0 obtinem:

0V35 = 0V35 (0.03/35 : 20 ) 35 : 20 = 0 0,03 = - 0,03

Pentru m=1 avem:

1V35 = 1V35 (0.03/36: 19 ) 36: 19= 0,0349 (0,03/14,076)*13,576 = 0,006Analog se obtin celelalte rezultate.

m011020

mV35

( u.m.)- 30,639,2100

Observaii

1. La ncheierea asigurrii, asiguratorul pltete cheltuielile de achiziie aferente poliei, egale cu 30%0 din SA = 30%0 x 100 u.m. = 3 u.m.. Rezerva brut pentru m = 0, inainte de incasarea primei prime anuale, reprezint chiar nivelul acestor cheltuieli. Faptul ce rezerva este negativa indic o pierdere nregistrat de asigurator la acest moment.

2. Prima anuala Pb = 4,12 incasata in primul an de asigurare se repartizeaza pe urmatoarele destinatii: - 0,6 u.m. n rezerv

- 3 u.m. cheluieli de achiziie

- cheltuieli = 4% 4,12 u.m. ; = 5%0 100 u.m.

- fond de deces.

Problema 2. Se considera datele din problema 2 paragraful 1.4. Se cere:

a) rezerva net a asigurrii, pentru m=5 respectiv m=20

b) rezerva bruta a asigurrii, pentru m=5 respectiv m=20.

Rezolvare.

a) 5V60 = 65 = N65/D65 = 70265/6831 = 10, 286

20V60 = 80 = N80/D80 = 8365/1598 = 5,234

Rezerva net scade odat cu plata pensiilor.

b) 5V60 = 65 + 65 = (1 + ) 65 = 1,01 10,29 = 10.39

20V60 = 1,01 5,234 = 5,286.

Problema 3. Se considera datele din problema 3 paragraful 1.4. Se cere rezerva net a asigurrii, pentru m=0, m=10 respectiv m=20.

Rezolvare.

m01020

mV3500

10V35 = A45: 10 - P 45: 10 = M45 M55 )/ D45 - 0,0066 (N45 N55)/ D45.

3. Suma de rascumparare. Suma redusa

Contractele de asigurare de via includ de regula o clauz ce asigur, in cazul incetarii platii primelor, plata unei sume de rscumprare sau transformarea asigurarii intr-o asigurare libera de plata primelor cu o suma asigurata redusa (micsorata) adecvat.

3.1. Suma de rascumparare

Determinarea unei valori echitabile pentru suma de rscumprare necesit o analiz atent din partea asiguratorului. Asiguratul este ndreptit la o valoare ce are la baz suma cu care acesta a contribuit la fondul de asigurare din care se deduce costul asigurrii aferent perioadei scurse respectiv cheltuielile de asigurare efectuate de catre asigurator, avand in vedere si dobanda. Valoarea sumei de rscumprare trebuie sa fie echitabil atat pentru asiguraii ce rmn n asigurare cat si pentru cei ce-si rascumpara polita. Din motive de antiselectie trebuie ca suma de rascumparare sa verifice relatia: Suma de rascumparare ( Prime pltiteCheltuieliCostul asigurrii pentru perioada trecut; De regula, tind s-i menin polia in vigoare asiguratii cu o stare a sntii nu prea bun. Rscumprarea poate apare si ca urmare a modificrii substantiale a ratei dobnzii pe pia.

Valoarea sumei de rascumparare st si la baza unei alte clauze ce prevede dreptul asiguratului la contractarea unui imprumut pe polita; valoarea imprumutului poate ajunge pana la 80 90% din suma de rascumparare.

Clauzele contractuale privind plata unei sume de rascumparare respectiv metodele de calcul difera de la o tara la alta dar si de la o societate la alta. Exista tari unde, prin legislaie, asiguratorul e obligat s garanteze plata unei sume de rscumprare minime; de regula se fixeaza prin legislatie bazele minime de calcul si metoda de calcul a sumei minime de rascumparare.

Pentru asigurarile de via ce imbina componenta de protectie cu cea de economisire, asiguratorul garanteaz plata unei sume de rscumprare atunci cnd contractul de asigurare se ntrerupe nainte de expirarea asigurrii. Sunt prezente aici doua componente:

componenta de protecie ce garanteaza plata unei sume la apariia riscului asigurat, de regula deces, boal, invaliditate;

componenta de economisire (investitie) ce garanteaza plata unei sume in caz de supravietuire, termen fix, cstorie s.a.

In principal asigurarile cu durata lunga nu au insa sum de rscumprare in primii ani de asigurare. Pentru cazul asigurrilor temporare de deces, de regula contractele nu prevad plata unei sume de rscumprare, deoarece nivelul rezervei respectiv a sumei cuvenite este deseori foarte mic. Exceptie fac aici asigurarile cu prima unica.

Asigurarea de supravieuire i anuitatile amnate (in perioada de amnare) pot avea sum de rscumprare, dar de regul este necesar o examinare medical ce indic o sntate bun.Una din primele metode utilizate leaga valoarea sumei de rascumparare la care este indreptatit asiguratul de rezerva politei, rezerva bruta sau o alta rezerva modificata. Valoarea de rscumprare se calculeaza prin aplicarea unor procente cresctoare asupra rezervei. Acestea variaz funcie de durat i tipul asigurrii, astfel inct s rezulte valori ce se afl ntr-o relaie adecvat cu fondul acumulat de asigurtor. Suma de rascumparare dupa m ani de la incheierea asigurarii:

mSR = p mVxunde procentul p descreste treptat pe masura ce ne apropiem de expirarea asigurarii, avand in vedere spre exemplu un tabel de forma urmatoare

m 5

(5-10](10-15](15-20]20

p95%97%98%99%100%

Procentul p este utilizat pentru descurajarea antiseleciei, dar acesta este deseori inteles de catre asigurati ca si o penalizare pentru rascumpararea politei.

Atunci cnd contractul este cu prime periodice valoarea de rscumprare rezultata in urma calculului poate rmne negativ n prima parte a asigurrii; asiguraii nu primesc nimic sau primesc o sum foarte mic. Exista aici diferente semnificative de la o tara la alta. Reglementrile din Belgia spre exeplu impun asiguratorilor restituirea unei cote minime din cheltuielile de achiziie (care va majora suma de rscumprare sau suma redus).

Calculul sumei de rscumprare prin raportare la rezerva brut permite asiguratorului s-i recupereze integral, in primul an de asigurare, cheltuielile de achiziie . Utilizarea rezervei nete n calculul sumei de rascumparare conduce la sume de rscumprare mai mari, dar acest mod de calcul nu face posibil recuperarea de ctre asigurator a cheltuielilor de achiziie.

Legislaia specific de regula valori minime atat pentru rezerva ce trebuie constituita de catre asigurator cat si pentru suma de rascumparare, dei se permite asiguratorului sa meninea rezerve respectiv sa plteasca sume de rascumparare mai mari dect valorile minime. Suma minima de rascumparare trebuie sa fie mai mic dect rezerva minim ceruta de legislatie, la orice moment; rezerva minima este suma pe care asigurtorul este obligat prin legislaie s o dein, astfel ca asigurtorul nu poate promite plata unei sume mai mari dect cea mentinuta, sub forma de rezerva, ca si obligatie de plata fata de asigurat.

Exista si alte modalitati de calcul a sumei de rascumparare.

Asiguratorii pltesc odat cu suma de rascumparare excedentele acumulate pe poli pana la momentul rascumpararii.

Intre dou aniversri succesive suma de rscumprare se aproximeaz de regul prin interpolare liniar.

3.2. Suma redusa

Atunci cnd nceteaz plata primelor iar asiguratul nu revendica rascumpararea contractului asigurtorul urmeaz o anumit cale stipulat n poli sau determinat prin legislaie. Majoritatea contractelor prevad mentinerea in vigoare a asigurarii initiale, desigur la o suma asigurata mai mica; asigurarea este transformata intr-o asigurare cu suma redusa si este libera de plata primelor. Dupa transformarea la suma asigurata redusa asigurarea are caracteristicile unei asigurari cu prima unica.

Pentru determinarea noii sume asigurate, rezerva matematica a poliei este utilizat ca i prim unic net pentru achizitionarea unei asigurari de acelasi tip cu cea initiala, aferenta vrstei curente i duratei de asigurare ramase. Pentru o asigurare viager, suma asigurata redusa dupa m ani de asigurare este:

respectiv in cazul asigurarii mixte mixt :

In practica, unii asiguratori au in vedere suma de rascumparare in locul rezervei nete respectiv un adaos la prima neta reprezentand cheltuieli de administratie. Pentru o asigurare mixta, spre exemplu, mSR se consider prima unic pentru o asigurare mixta de viata ncheiata la data transformrii (asiguratul are x + m ani) si pe durata de asigurare rmas (n m ani):

mSR = mS

unde este prima unic pentru asigurarea mixta de viata ncheiat la varsta x+ m pe o durata de n m ani la o suma asigurata SA = 1. Rezulta relatia de calcul a noii sume asigurate:

Daca se adauga la prima neta cheltuielile de administraie ale asiguratorului, pe durata de asigurare rmas, atunci relatia de calcul a sumei asigurate reduse este:

Cheltuielile de administratie sunt considerate aici ca un procent din suma asigurata; poate fi identic sau diferit fata de cel considerat in calculul primelor brute ale asigurarii initiale.

3.3. Modificarea elementelor asigurarii

Asiguratul poate solicita la orice moment modificarea unor elemente din polita: modificarea sumei asigurate, a duratei de asigurare, a tipului asigurarii (spre exemplu o asigurar viager se transform ntr-o asigurare mixt). Astfel se doreste ca polita sa fie cat mai adecvat cerinelor curente ale asiguratorului. Determinarea elementelor necunoscute ale asigurarii urmare a unei modificari aduse contractului are la baza principiul conservarii rezervei, astfel la momentul efectuarii modificarii avem:

Rezerva poliei initiale = Rezerva noii polite

(rezerva calculata imediat nainte de transformare = rezerva calculata imediat dup transformare). Spre exemplu, la transformarea unei asigurri viagere n asigurare mixt, valoarea primei nete anuale P ce urmeaz a se plti n viitor rezulta din ecuatia:

unde mVx este rezerva asigurarii viagere, ncheiate la varsta de x ani, dupa m ani. . Modificarea are loc dup m ani de la incheierea asigurarii viagere, iar asigurarea mixta expir in anul in care asiguratul are varsta de x+n ani. Prima neta determinata se incarc de regul cu cheltuieli de administrare. Dac se iau in considerare si cheltuielilede achizitie atunci se poate utiliza rezerva bruta a vechii asigurari, la data transformarii, in locul rezervei nete; de asemenea unii asiguratori utilizeaza suma de rascumparare. Un supliment de cheltuieli de achiziie poate fi luat n considerare n caz de majorare a elementelor asupra crora se aplic acestea, dar i o restituire de cheltuieli.3.4. Extra risc n asigurrile de via

Nu toate ofertele de asigurare sunt acceptate la o prima de asigurare rezultata din tabelele de prima utilizate in mod curent de catre asiguratori. Abaterile pot fi determinate spre exemplu de starea de sntate, istoricul bolii, ocupaie, activiti riscante n timpul liber, climat nesntos, .a. Teoretic ar fi necesare aici tabele de mortalitate speciale, dar practic este dificil de determinat astfel de tabele; este estimat un adaos pentru extra mortalitate. Extra mortaliate = mortalitate mai mare decat nivelul ateptat.

De regul asiguratorii transpun aceasta extra mortalitate intr-o majorare a primei de asigurare. Extra prima nu poate fi estimata adecvat dect dac dispunem de date privind extra mortalitatea. Se au in vedere aici factorii ce influeneaz mortalitatea populatiei. Examinarea cauzelor de deces este primul pas pentru estimarea extra mortalitatii. Obiectivele principale sunt aici acoperirea la prime de asigurare standard a unui numr ct mai mare de asigurai, dar si utilizarea unor prime echitabile pentru toti asiguratii. Ofertele de asigurare pot fi separate in 3 grupe mari:

asigurai acceptai la prime de asigurare normale (aproximativ 90%);

aproximativ 6-7% prezint un risc ridicat datorit sntii, ereditii, profesiei .a.; n baza datelor statistice disponibile se calculeaz aici o majorare de prima;

3 4% din oferte prezint un risc imediat de deces i se resping sau se vor asigura doar dac in urma a diverse examinari medicale se va clarifica starea de sanatate a potentialului asigurat.

Asiguraii acceptai la prime de asigurare standard nu reprezint insa un grup omogen. Evaluarea riscului se realizeaza in cadrul departamentelor de subscriere din societatile de asigurare. Acestea utilizeaza manuale de subscriere mai mult sau mai putin complexe. Problema 1. Reluam datele din problema 1 paragraful 1.4.. Avem in vedere si rezultatele obtinute in paragraful 2.3. Se cere:

a) suma de rascuparare dupa 10 ani de la incheierea asigurarii, in ipoteza ca asiguratorul garanteaza o suma rde rascumparare egala cu 99% din valoarea rezervei brute;

b) suma de asigurare redusa la sfarsitul celor 10 ani de la incheierea asigurarii.

a) Rezolvare.

b) Suma de rascumparare:

10SR = 0,99 39,2 u.m. = 38,88 u.m..

Dac asiguratul rscumpr polia dup 10 ani, asiguratorul are obligaia plii ctre acesta a unei sume egale cu 38, 88 u.m..

c) Suma asigurata redusa:

10SAR =0,388 / 0,719 = 0,539.

Dac asiguratul opteaz pentru transformarea asigurrii la suma redusa, dup 10 ani de la ncheierea poliei, atunci acesta va rmne n continuare asigurat, pana la varsta de 55 de ani, la o suma asigurata de 53,9 u.m..

3. Analiza profitabilitii asigurrilor de via (profit testing)Procesul de tarifare a unei asigurari de viata presupune dou faze: cercetare si implementare. Prima faz nsemn rspunsuri la multe ntrebri de tipul ce se ntmpl dac?. Se dezvolt astfel un produs ce inglobeaza o combinaie rezonabil de profitabilitate, compensare a agenilor de asigurare si competitivitate. Diferite variabile sunt modificate n scopul determinrii celei mai bune combinaii. Posibile variabile: comisioane pentru ageni, sume de rscumprare, excedente, prime .a.. Aceast faz este cea mai lung i mai dificil. Se testeaza o varietate de scenarii; definirea clar a obiectivelor, experienta i intuiia joac un rol important n limitarea scenariilor testate. Faza de implementare este mai rapida; se fixeaza aici pretul asigurrii.

Tehnica fluxului de numerar (cashflow), aplicata in domeniul asigurarilor de viata, permite analiza profitabilitii produselor. Se au au vedere diverse scenarii referitoare la variabilele implicate.

Referitor la active, vom presupune c toate activele asiguratorului sunt purttoare de dobnd. Activele asigurtorului sunt investite desigur si in active ce nu sunt purtatoare de dobada (aciuni, active imobiliare s.a.). Asiguratorul estimeaza rata dobanzii tinand seama si de rentabilitatea (sau lipsa rentabilitii) acestor active.

In ceea ce priveste obligatiile (pasiv) vom presupune c obligaiile asiguratorului constau doar n rezerve. Se presupune astfel c daunele sunt pltite imediat, primele sunt anuale, cheltuielile sunt pltite imediat ce apar.

4.1. Tehnica cash-flow

Fluxuri de intrare: primele ncasate, venitul din investiii.Fluxuri de ieire: pli la deces/supravieuire (n general plata sumelor asigurate la apariia riscului asigurat), cheltuielile asiguratorului, cresterea in rezerva.

Exemplu. Vom exemplifica modul de aplicare a tehnicii cash-flow pentru o asigurare mixt de via. Presupunem c asigurarea este subscris la vrsta x de 28 de ani, durata asigurrii n este de 5 ani iar suma asigurat SA = 1 u.m.. Ipoteze utilizate n evalurile actuariale:

ratele mortalitii pe vrste sunt conforme cu tabela de mortalitate 1990-1992 brbai;

rata anual a dobnzii, utilizat n calculul primei i a rezervei matematice, respectiv rata rentabilitii investiiilor asigurtorului i este egal cu 3,5%;

cheltuielile asigurtorului: = 30%o din suma asigurat la ncheierea asigurrii, = 4% din prima brut la nceputul fiecrui an de plat a primelor, = 5%o din suma asigurat la nceputul fiecrui an de asigurare.

Presupunem c evoluia variabilelor implicate (mortalitate, dobnd, cheltuieli) n urmtorii 5 ani va fi conform cu aceste scenarii. Portofoliul asigurtorului conine 100000 de contracte identice, de tipul precizat. Se cere:

a) fluxul de numerar aferent portofoliului, la sfritul fiecrui an de asigurare;

b) profitul generat de acest portofoliu, la sfritul fiecrui an de asigurare.

Rezolvare. a) Calculm pentru nceput prima brut anual a asigurrii:

Deasemenea, calculm rezerva net, la sfritul fiecrui an de asigurare. Evoluia acesteia este redat n tabelul urmator.

Tabel. Evoluia rezervei nete

t0123

00,18630,37880,5783

Prima net anual:

.

Rezerva matematic net la sfritul primului an:

.

n mod similar rezult celelalte valori ale rezervei nete, indicate n tabelul 3.1.

Intrrile (+) respectiv ieirile (-) de numerar, aferente acestui portofoliu, sunt sintetizate n tabelul urmator.

Tabel. Fluxul de numerar i profitul pe portofoliu, la sfrit de an de asigurare

Vrsta

xAn

tNr. polie n vigoare

Venit din prime

VPt (+)Cheltuieli

Ct (-)Venit din inv. VIt (+)Pli la deces

Dt (-)Pli la

suprav. St (-)Cash-flow

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)

281100 00020 0454 302551181016 113

29299 81920 0091 299655192019 173

30399 62719 9701 295654229019 100

31499 39819 9241 292652240019 044

32599 15819 8761 28965124798 911-79 920

la nceput de anla nceput de anla nceput de anla sfrit de anla sfrit de anla sfrit

de anla sfrit de an

Cretere

n rezerv

Profit pe portofoliu

(8)(9)=(7)-(8)

18 596-2 483

18 491671

18 412688

18 367677

-80 584664

la sfrit de anla sfrit de an

(1) Numrul polielor n vigoare la nceput de an se determin innd seama de probabilitile de supravieuire:

(3.1)

.

(2) Venituri din prime

(3.2)

.

(3) Cheltuieli de asigurare: anul 1

= ( + G + ) lx

(3.3)

= (0,03 + 0,04 0,20045 + 0,005)100000= 4302

n anii 2, 3, 4 respectiv 5 sunt prezente doar cheltuielile curente i cele de administrare

= (G + ) lx+t-1

(3.4)

= (0,04 0,20045 + 0,005) 99819 = 1299.

(4) Veniturile din investiii

(3.5)

VIt = (VPt - ) 0,035 = [(4)-(5)] 0,035

VI1 = (VP1 - ) 0,035 = (20045 4302) 0,035 = 551.

(5) Pli urmare a deceselor aprute, pe portofoliu:

(3.6)

.

(6) Plile n caz de supravieuire se efectuaz doar la expirarea asigurrii:

(3.7)

.

(7) Flux de numerar (cashflow), la sfritul anului t, pe portofoliu:

= VPt+ VIt Ct Dt St sau

(3.8)

unde suma asigurat pltit n caz de supravieuire la sfritul anului t este nul , pentru respectiv o unitate monetar la expirare.

= intrri ieiri = (2) + (4) [(3) +(5) + (6)].

b) Observm un flux de numerar (cashflow) negativ, la expirarea asigurrii. Aici are loc o ieire substanial de numerar, urmare a plii sumelor asigurate ctre asiguraii ce au supravieuit pn la expirarea contractului.

Dac asigurtorul nu constituie rezerve pe parcursul anilor anteriori, atunci acesta nu va putea plti, la expirarea asigurrii, sumele asigurate. Devine astfel evident necesitatea constituirii rezervei matematice, n cazul asigurrilor mixte de via.

(8) Creterea n rezerv reprezint diferena dintre rezerva de constituit, la sfritul anului (pentru supravieuitori), i rezerva deja constituit la nceput de an, fructificat cu dobnda:

(3.9)

Se utilizeaz valorile rezervei nete, din tabelul 3.1. Rezult creterea n rezerv pe portofoliu, la sfritul fiecrui an de asigurare:

.

La sfritul anului 5 nu mai este necesar constituirea unei rezerve (polia a expirat).

(9) Profitul pe portofoliu = (8) (7)

= -

(3.10)

respectiv

.

Profitul reprezint partea rmas din cashflow dup ce se reine suma necesar pentru constituirea rezervei. La sfritul primului an de asigurare, asigurtorul nregistreaz pierderi pe portofoliu. Aceste pierderi se datoreaz n principal cheltuielilor mari de achiziie aferente primului an.

Pentru asigurrile cu prime periodice, constante pe tot parcursul asigurrii, de regul se nregistraz pierderi n primul an, deoarece prima prim ncasat nu este cu mult mai mare dect rezerva ce trebuie constituit. n primul an de asigurare, cheltuielile asigurtorului sunt substaniale, iar diferena dintre prima de asigurare i rezerv nu acoper aceste cheltuieli.

Menionm c demersul anterior este adecvat i atunci cnd prima anual respectiv rata dobnzii utilizat n acumulare sunt variabile de la un al la altul.

4.2. Valoarea actualizat a profitului. Vectorul profit depinde de mrimea rezervei constituite. Pentru calculul rezervei pot fi utilizate i alte baze tehnice (mortalitate, dobnd, cheltuieli) dect cele ce au stat la baza calculului primei de asigurare. n aceste evaluri de tip cash-flow intervin patru rate ale dobnzii (Hare & McCutcheon, 1991):

rata dobnzii utilizat n calculul primelor ip

rata dobnzii ce intervine n calculul rezervei matematice ir rata dobnzii utilizat n calculul vectorului cash-flow i profit (aceasta fiind rata rentabilitii investiiilor obinut de ctre asigurtor la investirea fondului de asigurare) iv

rata dobnzii utilizat pentru actualizarea profitului r.

n simulrile efectuate, aceste rate ale dobnzii nu trebuie s fie egale respectiv pot varia de la un an la altul. n paragraful anterior s-a exemplificat modul de determinarea a vectorilor cash-flow respectiv profit pentru un portofoliu de polie identice, toate cele patru rate ale dobnzii fiind egale ir =iv = r = ip (=3,5%).

Considerm un portofoliu format din asigurri mixte generalizate identice, ncheiate la vrsta x. Expresia (3.8) pentru fluxul de numerar precum i relaia (3.9) pentru profit pot fi extinse pentru cazul n care suma asigurat la deces respectiv supravieuire este variabil de la un an la altul (Hare & McCutcheon, 1991) :

(3.11)

respectiv

= (3.12)

unde:

reprezint prima anual brut aferent anului t, ncasat la nceput de an

cheltuieli de gestiune pe poli n anul t, percepute la nceput de an

suma asigurat n caz de deces n cursul anului t, pltibil la sfrit de an

suma asigurat n caz de supravieuire a asiguratului la sfritul anului t

numrul de decese la vrsta

reprezint creterea n rezerv n cursul anului t, pentru supravieuitori, adic suma ce se pune n contul rezervei la sfritul anului t.

Relaia (3.12) indic profitul generat de portofoliu, la sfritul fiecrui an de asigurare. Nivelul profitului depinde de fluxul de numerar dar i de rezerva matematic constituit. Aceast abordare faciliteaz analiza influenei nivelului rezervei asupra profitabilitii asigurrii. Menionm c uneori rezerva necesar a fi constituit, conform legislaiei, poate fi mai mare dect cea rezultat utiliznd bazele tehnice din calculul primelor.

Profitul estimat pe poli n vigoare

Legtura dintre valoarea profitului evaluat pe poli n vigoare , la nceputul anului t, i profitul pe portofoliu , este redat prin relaia:

= lx+t-1

(3.13)Avnd n vedere relaiile (3.1) i (3.6), din (3.11) obinem expresia fluxului de numerar pe poli n vigoare:

(3.14)

Deasemenea, din (3.12) rezult expresia profitului pe poli n vigoare:

(3.15)

unde este creterea n rezerv pe poli.

Vectorul profit indic nivelul profitului (teoretic) obinut de asigurtor, la sfritul fiecrui an de asigurare, dac realitatea va fi conform cu scenariile utilizate n calcul. Profitul este calculat, n baza relaiei (3.15), pentru fiecare poli n vigoare la nceputul anului t. Analiza profitabilitii produsului se efectueaz n principal n faza de elaborare a produsului, fiind necesar evaluarea profitului pe poli subscris.

Profitul estimat pe poli subscrisDac se mparte profitul pe portofoliu la numrul polielor subscrise obinem profitul pe poli subscris PROt:

(3.16)

undeeste probabilitatea ca asiguratul, ce ncheie asigurarea la vrsta de x ani, s supravieuiasc vrstei x+t-1 (probabilitatea ca polia s fie n vigoare la nceputul anului t). Acesta reprezint profitul ateptat, pentru fiecare poli subscris, n ipotezele teoretice avute n vedere n analiza cash-flow.

Vectorul profit pe poli subscris poate fi obinut i direct, n baza unui tabel similar cu tabelul 3.2. Se obine n prima etap vectorul profit pe poli n vigoare la nceput de an, conform relaiei (3.15), rezultnd apoi vectorul profit pe poli subscris , din realaia (3.16).

Utilizarea metodei analizei fluxului de numerar n tarifaren ipoteza egalitii celor patru rate ale dobnzii ce intervin n analiza fluxului de numerar ir =iv = r = ip , valoarea comun fiind notat cu i, valoarea actualizat, la ncheierea asigurrii, a vectorului profit pe poli subscris este zero (Hare & McCutcheon, 1991):

sau

(3.17)

unde este factorul de actualizare. Exist o relaie de echivalen ntre ecuaia (3.17) i ecuaia rezultat din principiul echivalenei, din tarifarea clasic.

Funcie de profitul pe portofoliu, ecuaia (3.17) devine:

.

respectiv

(3.18)

Vom nota, n general, cu VAP valoarea actualizat a profitului pe poli subscris:

(3.19)

Prin urmare abordarea cashflow poate fi utilizat i pentru calculul primei de asigurare n locul abordrii tradiionale. Toate celelalte elemente fiind fixate, prima de asigurare G este singur necunoscut din ecuaia (3.17).

Avantajele acestui mod de calcul al primelor, comparativ cu abordarea tradiional: se pot lua n considerare rate ale dobnzii variabile de la un an la altul, se poate ine seama de scderea ratelor mortalitii n timp, sumele asigurate n caz de deces respectiv supravieuire pot varia de la un an la altul respectiv pot fi luate n considerare, n tarifare, i alte elemente, precum: rscumprrile, inflaia (care are efecte n principal asupra cheltuielilor fixe pe poli).

n etapa de dezvoltare a unui produs de asigurare de via se au n vedere o serie de aspecte, specifice fiecruia din elementele ce stau la baza primei de asigurare. Privind mortalitatea:

asigurtorii in seama i de experiena proprie

se are n vedere tendina de evoluie pe termen lung a mortalitii

se decide politica de subscriere (clasele de risc) i eventualele reasigurri necesare pentru riscurile majore.

Referitor la rata tehnic a dobnzii:

se are n vedere rata medie a rentabilitii asigurtorului la activele sale, anticipat pe termen scurt i lung

se urmrete ca durat medie a obligaiilor s fie aproximativ egal cu durat medie a plasamentelor activelor asigurtorului

se are n vedere rata dobnzii obinut dup deducerea cheltuielilor legate de investiii.

Privind rscumprrile, taxele respectiv cheltuielile:

se are n vedere experiena proprie n privina rscumprrilor

de regul suma de rscumprare variaz funcie de momentul rscumprrii

pentru taxe i impozite se ine seama de legislaie

comisioanele de ncasare se stabilesc astfel nct s nu ncurajeze rscumprrile

de regul comisionul de achiziie este mai mare, pentru a se ine seama de efortul de vnzare, iar comisionul de ncasare are ca obiectiv asigurarea persistenei poliei

se au n vedere statisticile asigurtorului privind cheltuielile, i influena inflaiei asupra cheltuielilor.Testele de senzitivitate pot avea n vedere modificarea nefavorabil a mortalitii, a ratei tehnice a dobnzii, creterea rscumprrilor, a ratei inflaiei, a cheltuielilor etc..

Exemplu. Relum datele din exemplul anterior, tabelul 3.2.. Se cere: valoarea actualizat a profitului, utiliznd pentru actualizare o rat a dobnzii egal cu 3,5% .

Rezolvare. Valoarea actualizat a profitului pe portofoliu:

Regsim rezultatul 3.19 respectiv principiul echivalenei din tarifarea clasic, valoarea actualizat a profitului obinut de ctre asigurtor fiind nul, atunci cnd cele patru rate ale dobnzii sunt egale.

4.3. Criterii utilizate n analiza profitabilitii

Metoda analizei fluxului de numerar permite o serie de investigaii asupra unui portofoliu de asigurri de via. Pentru diverse scenarii privind evoluia variabilelor implicate. se estimeaz vectorul profit, valoarea actualizat a profitului i se decide dac aceasta se ncadreaz n ateptrile asigurtorului privind profitabilitatea produsului.

De regul n primul an de asigurare (chiar n primii 2-3 ani pentru asigurrile cu durat mai lung) asigurtorii nregistreaz pierderi pentru majoritatea asigurrilor tradiionale de via cu prime ealonate. Rezerva minim ce trebuie constituit plus cheltuielile de achiziie i administrare nu sunt acoperite din prima anual ncasat. Suma necesar pentru acoperirea acestor pierderi provine de la un investitor (ex. acionarii), rata dobnzii r percepute de acesta pentru capitalul investit (costul capitalului) reprezentnd rata dobnzii utilizat n actualizarea profitului. n analizele cash-flow specifice asigurrilor de via, aceast rat este ntre 10% i 20%. n general, cu ct o investiie este considerat mai riscant cu att rata dobnzii r va fi mai mare. Prin urmare, pentru produsele de asigurare mai riscante rata de actualizate a profitului, considerat n evalurile cash-flow va fi mai mare.

Ne ntrebm n continuare dac un anumit tip de contract genereaz un profit acceptabil. Prezentm cteva din criteriile utilizate n analiza profitabilitii asigurrilor de via (Hare & McCutcheon, 1991).

1) Marja de profit reprezint raportul dintre valoarea actualizat a profitului ateptat pe poli subscris i valoarea actualizat ateptat a primelor ncasate, ambele actualizate cu aceeai rat a dobnzii r:

(3.20)

unde este factorul de actualizare. Raportul indic ponderea profitului estimat n primele ncasate. Produsul este profitabil dac marja de profit este mai mare dect o valoare minim (ex. 7%).

2) O alt msur se bazeaz pe timpul necesar pentru recuperarea capitalului investit (pentru acoperirea pierderii din primii ani de asigurare). Acesta trebuie s fie mai mic dect o anumit valoare minim. Se determin anul ncepnd cu care valoarea actualizat a profitului VAP devine pozitiv, acesta fiind anul n care produsul ncepe s contribuie la averea asigurtorului:

(3.21)

3) Rata intern a rentabilitii (RIR) este utilizat deasemenea ca msur a rentabilitii unei investiii. Rata intern a rentabilitii este rata dobnzii i pentru care vectorul profit pe poli subscris are valoarea actualizat egal cu zero VAP = 0. Nu ntotdeauna ecuaia:

(3.22)

sau echivalent

are soluii. Pentru luarea unei decizii, RIR poate fi comparat cu rata dobnzii utilizat n actualizarea profitului. Aceast msur a profitabilitii este utilizat n principal pentru asigurrile pe termen lung.

4) Necesarul de capital aferent primului an de asigurare este determinat n principal de mrimea comisionului de achiziie. Pentru a se accepta lansarea produsului se poate cere ca raportul ntre valoarea actualizat a profitului i comisionul de achiziie s nu fie mai mic dect un anumit procent p (ex. 50%):

(3.23)

Metodele tradiionale de tarifare utilizeaz scenarii deterministe pentru previziunea profitabilitii. Modelarea stochastic a ratei dobnzii respectiv a ratelor mortalitii aduce informaii suplimentate privind variaia profitabilitii produsului (riscul la care se expune asigurtorul).

Exemplu. Se consider datele din exemplul precedent. Rata anual a dobnzii considerat adecvat pentru evaluarea fluxului de numerar i a profitului, pe parcursul celor 5 ani de asigurare, este de 11%.

Se cere:

a) valoarea actualizat a vectorului profit pe poli subscris. Rata dobnzii utilizat n actualizare este de 12%;

b) analiza profitabilitii produsului prin prisma criteriilor cunoscute.

Rezolvare. a) Redm rezultatele obinute pentru o rat anual a dobnzii , rezervele i primele fiind calculate cu o rat a dobnzii de 3,5%.

Tabel. Profit pe poli subscris, pentru o rat a dobnzii

xtPolie n vigoare

Venit din prime Cheltuieli asig. Venit din inv.Pli la deces Pli la

suprav. Cash-flow

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)

281100 00020 0454 3021 732181017 294

29299 81920 0091 2992 058192020 576

30399 62719 9701 2952 054229020 500

31499 39819 9241 2922 049240020 441

32599 15819 8761 2892 04424798 911-78 526

la nceput de anla nceput de anla nceput de anla sfrit de anla sfrit de anla sfrit

de anla sfrit de an

Cretere

n rezerv

Profit pe portofoliu

Profit pe poli n vigoare

Probabiliatea de supravieuire

Profit pe poli subscris

(8)(9) (10)=(9)/(1)(11)(12)=(10)x(11)

18 596-1 302-0,010321,00000-0,01032

17 0973 4790,034850,998190,03479

15 5924 9080,049260,996270,04908

14 0546 3870,064260,993980,06387

-86 4237 8970,079640,991580,07897

la sfrit de anla sfrit de anla sfrit de anla sfrit de an

Fa de tabelul 3.2 intervin modificri n coloana (4) respectiv n coloana (8).

(4) Veniturile din investiii VIt = (VPt - ) 0,11 = [(4)-(5)] 0,11

VI1 = (VP1 - ) 0,11 = (20045 4 302) 0,11 =1732.

(8) Creterea n rezerv:

= lx+t (1 + 0,11) lx+t-1 .

Coloana (10) respectiv (12) rezult n baza relaiei (3.13) i (3.16).

b) Valoarea actualizat a profi