76
UTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE ÎN CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV. 13-1.CURENŢI, TENSIUNI ŞI IMPEDANŢE COMPLEXE Enunţul problemei. Pentru un circuit neramificat de curent alternativ, cu reprezentarea vectorială din fig. 13-1, să i se exprime tensiunea şi curentul prin numere complexe sub trei forme, algebrică, trigonometrică şi exponenţială, dacă se cunosc: U = 220 V, U = 127 V şi I = 2 A. 1

NUMERE COMPLEXE IN

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: NUMERE COMPLEXE IN

UTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE ÎN CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV.

13-1.CURENŢI, TENSIUNI ŞI IMPEDANŢE COMPLEXE

Enunţul problemei.Pentru un circuit neramificat de curent alternativ, cu reprezentarea

vectorială din fig. 13-1, să i se exprime tensiunea şi curentul prin numere complexe sub trei forme, algebrică, trigonometrică şi exponenţială, dacă se cunosc: U = 220 V, U = 127 V şi I = 2 A.

Fig. 13-1. Diagrama fazorială în planul complex.

1

Page 2: NUMERE COMPLEXE IN

Rezolvarea problemei.1. Proiectarea vectorilor pe axele de coordonate reală şi imaginară.

Adunarea vectorilor după cum s-a arătat şi în paragraful 11-1, este uşor de făcut dacă se cunosc proiecţiile lor pe axele de coordonate x şi y. Pentru cazul de aici, pentru tensiunile U şi U , se obţin:

U = U · cos 60° = 220 · 0,5 = 110 V;U = U · sin 60° = 220 · 0,866 = 190 V;U = 0 (proiecţia pe axa x);U = U = 127 V.Dacă se consideră axa x axa reală (+1) şi axa y axa imaginară (+j)

atunci tensiunile U şi U pot fi reprezentate în complex, sub formă algebrică U şi U astfel :

U = U + j · U = (110 + j · 190,5) V;U = 0 - j · U = - j · 127 V.Primul număr complex este reprezentat prin fazorul U , iar al doilea

prin fazorul U .

Pentru fazorul curentului I, care este reprezentat pe axa numerelor reale, proiecţia pe axa numerelor imaginare este nulă şi fazorul curentului va fi : I = I + j · 0 = 2 A.

2. Calcularea modulelor şi a argumentelor. Valoarea absolută a fazorului, de exemplu U , numită şi modulul mărimii complexe U , este determinată din triunghiul OKM din fig. 13-1.

U = | U | = .

Pentru cazul de faţă modulele U , U şi I sunt cunoscute din datele problemei.

Faza iniţială a fazorului numită şi argumentul marimii complexe, este pentru U = 60°, pentru U = -90° şi pentru I = 0°, ca în fig. 13-1.

3. Formele reprezentării complexe a fazorilor. Problema referitoare la alegerea formei de reprezentare a numerelor şi a mărimilor complexe ţine de modul în care se poate determina în mod univoc un fazor.

2

Page 3: NUMERE COMPLEXE IN

S-a arătat, mai înainte, cum poate fi folosită proiecţia reală şi imaginară, obţinându-se în acest felforma algebrică a mărimii complexe.

Dacă fiecare din proiecţiile fazorului U este scris prin modulul şi argumentul său: U = U · cos 60°; U = U · sin 60°, atunci se obţine forma trigonometrică a mărimii complexe U = U · cos 60° + j · U · sin 60° = U · (cos 60° + j · sin 60°).

După formula lui Euler : cos + j · sin = e , rezultă :

U = U · (cos 60° + j · sin 60°) = U · e = 220 · e V.

Ultima expresie se numeşte forma exponenţială a mărimii complexe. Utilizând această formă : U = U · e = 127 · e ;

I = I · e = I = 2A.

Discuţii suplimentare :

1. Din ce cauză se folosesc mai multe forme de exprimare a numerelor şi a mărimilor complexe?

Forma exponenţială este formată din valoarea absolută a mărimii complexe (modul) şi direcţia fazorului (argument). Avantajul major al formei exponenţiale constă în uşurinţa efectuării operaţiilor de înmulţire şi împărţire a numerelor şi mărimilor complexe, cum ar fi, de exemplu, calcularea impedanţei complexe ca raportul dintre tensiunea complexă şi curentul complex.

Ca dezavantaj, forma exponenţială nu permite adunarea sau scăderea mărimilor complexe, caz în care se recurge la forma algebrică.

Forma trigonometrică mai este utilizată şi la trecerea de la forma exponenţială la forma algebrică şi invers. Mai jos se face trecerea de la forma algebrică la forma exponenţială şi invers : U = 220 · e = 220 · ·(cos 60° + j · sin 60°) = 220 · 0,5 + j · 220 · 0,866 = (110 + j · 190,5) V.

2. Cum se determină impedanţa complexă a unui circuit neramificat, având curentul I şi tensiunile U şi U , reprezentat în fig.13-1?

3

Page 4: NUMERE COMPLEXE IN

Pentru porţiunea de circuit de tensiune U şi curentul I, impedanţa complexă va fi :

Z = Z · e = = = 110 · e , unde :

Z = 110 este modulul impedanţei complexe

= 60° este argumentul impedanţei complexe.

Folosind formula lui Euler se obţine :

Z = 110 · (cos 60° + j · sin 60°) = (55 + j · 93,5)

Se observă că rezistenţa pur ohmică a porţiunii de circuit examinată este r = Z · cos 60° = 110 · cos 60° şi reactanţa (pentru cazul de faţă inductivă) X = Z · sin 60° = 110 · sin 60°, partea reală a numărului complex Z este chiar rezistenţa ohmică r = 55 , iar partea imaginară a numărului complex este reactanţa inductivă X = 95,3 , adică Z = r + j · X .

Pentru porţiunea de circuit cu tensiunea U , impedanţa complexă este:

Z = Z · e = = = 63,5 (cos 90° - j sin 90°) =

= - j · 63,5 , unde Z = 63,5 şi = - 90°.

Cum era de aşteptat, pe cea de a doua porţiune a circuitului, în care tensiunea este defazată înapoia curentului cu 90°, nu există rezistenţă activă (pură) şi rezistenţa sa are un caracter capacitiv, deci Z = X = 63,5 şi Z = - j · X .

Astfel, partea reală a impedanţei complexe reprezintă rezistenţa activă a porţiunii de circuit şi partea imaginară a numărului complex este reactanţa porţiunii de circuit, reactanţă care poate fi inductivă dacă numărul imaginar este pozitiv sau capacitivă dacă numărul imaginar este negativ.

4

Page 5: NUMERE COMPLEXE IN

3. Cum se determină tensiunea la bornele unui circuit?

Luând în considerare că, în cazul de faţă, circuitul este format din două laturi de circuit conectate în serie, cu tensiunile U şi U , se obţine tensiunea la borne U :

U = U + U = 110 + j · 190,5 - j · 127 = (110 + j · 63,5) V, cu modulul U = = 127 V.

4. Cum se obţine valoarea instantanee a tensiunii, pornind de la valoarea sa complexă?

Dacă se cunoaşte expresia complexă a tensiunii atunci se obţine uşor valoarea maximă a tensiunii şi faza sa iniţială.

Pentru tensiunea complexă U = 220 · e , valoarea maximă (amplitudinea) este : U = · 220 V şi faza iniţială egală cu 60°.

Se obţine : u = 220 · sin ( · t + 60°) = 345 · sin ( · t + 60°) V.

5. Se pot considera părţile reală şi imaginară a tensiunii complexe şi a curentului complex ca fiind componentele lor active şi reactive?

De exemplu, pentru prima porţiune de circuit componenta activă a curentului este egală cu proiecţia fazorului complex I pe fazorul tensiunii complexe U , ca în fig.13-1.

I = I · cos 60° = 2 · 0,5 = 1 A, iar componenta reactivă a curentului complex este egală cu proiecţia pe o perpendiculară ridicată pe fazorul tensiunii complexe, adică : I = I · sin 60° = 2 · 0,866 = 1,72 A.

Este evident că pentru cazul general I şi I , nu au nici un fel de legătură cu partea reală şi cu partea imaginară a numerelor complexe.

Componenta activă şi componenta reactivă a tensiunii complexe U , in unele cazuri particulare, cum este şi problema de mai sus, coincid cu partea reală şi cu partea imaginară a tensiunii complexe U din cauza curentului prin circuit şi care este orientat după axa mărimilor reale.

13-2. CIRCUIT (RAMIFICAT) PARALEL CU MAI MULTE RAMURI.

5

Page 6: NUMERE COMPLEXE IN

Enunţul problemei :

Să se calculeze prin metoda numerelor complexe, toţi curentii din circuitul din fig. 11-1 pentru variabile indicate în paragraful 11-1.

Rezolvarea problemei :

1. Calculul impedanţelor din circuit.

Cum s-a indicat mai înainte (paragraful 13-1 discuţia suplimentară 2) rezistenţa, reactanţa capacitivă şi reactanţa inductivă se scriu sub forma lor complexă R, -j X şi j X .

Dându-se valorile elementelor de circuit pentru a calcula reactanţa capacitivă şi reactanţa inductivă :

6

Page 7: NUMERE COMPLEXE IN

X = = = = = = 150 .

X = · L = 2 · f · L = 2 · 50 · 0,19 = 60 .

X = 150 ; X = 60 ;

Impedanţele complexe ale ramurilor ACB şi ADB, Z şi Z sunt :

Z = R + j · X = (80 + j · 60) = 100 · e = 100 · e .

Z = R - j · X = (260 - j · 150) = 300,166 · e = 300 · e .

Impedanţa complexă totală Z este :

Z = = = = = =

= 85 · e

Z = 85 · e .

Se obţine acelaşi rezultat ca la paragraful 11-1, discuţia suplimentară 4.

2. Calculul curenţilor :

Considerăm fazorul la borne orientat după axa numerelor reale pozitive. Atunci fazorul tensiunii va fi : U = U = 120 V.

Curentul total complex I

I = = = 1,4 · e

Curenţii compuşi din ramuri :

I = = = 1,2 · e A.

7

Page 8: NUMERE COMPLEXE IN

I = = = 0,4 · e A.

3. Calculul fazorului tensiune U se aplică a doua teoremă a lui

Kirchhoff sub forma ei complexă, pentru conturul ACDA =

I · Z + U - I · Z = 0 de unde rezultă :

U = I · Z - I · Z = 0,4 · e · 260 - 1,2 · e · 80 =

= 104 · (cos 30° + j · sin 30°) - 96 · (cos 37°- j · sin 37°) =

= 104 · 0,866 + j · 104 · 0,5 - 96 · 0,601 =

= 90,066 + j · 52 - 76,669 + j · 57,774 =

= 13,3976 + j · 109,7747 =

= 13,4 + j · 109,8 =

= 110,6 · e V.

Discuţii suplimentare :

1. De ce s-a considerat fazorul tensiunii ca fiind orientat după axa numerelor reale?

Direcţia fazorului U poate fi aleasă în mod arbitrar. Alegerea făcută permite obţinerea unei expresii simple pentru tensiunea complexă U (fără parte imaginară) fiind egal cu 0.

U = U · e = U

2. Cum este ordinea calculului circuitului, dacă se cunosc fie curentul dintr-o ramură oarecare, fie tensiunea?

În acest caz orientăm fazorul asociat mărimii cunoscute (fie curent, fie tensiune) după axa numerelor reale (axa x, abscisă) şi se va exprima acest

8

Page 9: NUMERE COMPLEXE IN

fazor printr-un număr complex care este egal cu valoarea efectivă (a curentului sau tensiunii), faza iniţială considerându-se egală cu 0.

3. Cum decurg calculele dacă alegem o altă direcţie iniţială pentru fazorul tensiunii, U ?

Dacă, spre exemplu, luăm U = j · U, adică orientăm vectorul

după direcţia pozitivă a axei y, toţi curenţii complecşi vor fi înmulţiţi cu j. Atunci, modulele tuturor mărimilor complexe rămân aceleaşi, în timp ce argumentele lor se măresc cu 90°, adică toţi vectorii pivotează cu 90° în sens pozitiv. Faptul că modulele vectorilor şi defazajele rămân aceleaşi permit alegerea arbitrară a direcţiei unui vector.

4. Cum se rezolvă problema folosind admitanţele complexe ale ramurilor?

Admitanţa complexă a primei ramuri Y va fi :

Y = = = = - j ·

În expresia obţinută se distinge uşor partea activă (reală) şi partea reactivă (imaginară) a admitanţei.

Y = G - j · B

La fel se obţine şi admitanţa complexă şi pentru cea de-a doua ramură

Y = G - j · B

Conductanţele şi inductanţele au fost obţinute în cazul acesta, în paragraful 11-2 ; avem astfel :

Y = (8 · 10 - j · 6 · 10 ) .

Y = (2,9 · 10 + j · 1,7 · 10 ) .

9

Page 10: NUMERE COMPLEXE IN

Admitanţele complexe pot fi obţinute direct şi din impedanţele complexe cunoscute :

Y = = = 0,01 · e = 0,01 · cos(-37°) + j · 0,01· sin(-37°) =

= (8 · 10 - j · 1,7 · 10 ) .

Y = = = 3,33 · 10 · e = (2,9 · 10 + j · 1,7 · 10 ) .

Se observă că pentru conexiunea paralel admitanţa complexă a circuitului este egală cu suma admitanţelor complexe ale ramurilor de circuit; astfel se obţine Y :

Y = Y + Y = 8 · 10 - j · 6 · 10 + 2,9 · 10 + j · 1,7 · 10 =

= (10,9 · 10 - j · 4,3 · 10 ) .

Curentul complex total din circuit va fi :

I = U · Y = 120 · 11,7 · 10 · e = 1,4 · e A.

5. Cum se verifică rezultatele obţinute?

Aplicând numerele complexe la calculul circuitelor de curent alternativ, este uşor de verificat calculele, cu ajutorul legilor lui Kirchhoff. Verificăm, de exemplu, egalitatea sumei curenţilor complecşi din ramurile de circuit cu curentul complex total (prima lege a lui Kirchhoff) :

I = 1,2 · e = 1,2 · (cos 37° - j · sin 37°) = (0,96 - j · 0,72) A.

I = 0,4 · e = 0,4 · (cos 30° + j · sin 30°) = (0,35 + j · 0,2) A.

Efectuând suma lor, se va obţine :

I + I = 0,96 - j · 0,72 + 0,35 + j · 0,2 = 1,31 - j · 0,52 = 1,4 · eA.

Adică, tocmai, expresia curentului I :

10

Page 11: NUMERE COMPLEXE IN

I = 1,4 e A.

13-3. CIRCUIT RAMIFICAT PARALEL ŞI SERIE.

Enunţul problemei :

11

Page 12: NUMERE COMPLEXE IN

Să se determine valoarea şi caracterul (inductiv sau capacitiv) reactanţei X care trebuie conectată pe porţiunea AB (fig. 13-2) pentru ca tot circuitul să se afle în rezonanţă la frecvenţa de 400 Hz. Să se calculeze, în aceste condiţii, tensiunea la borne, U care determină un curent prin condensator I = 0,1 A, dacă L = 50 mH ; R = 25 ; C = 0,8 F.

Rezolvarea problemei :

1. Condiţia de stabilire a rezonanţei de tensiune în circuitul din fig. 13-2. Acest regim se poate stabili într-un circuit format dintr-o inductanţă şi o capacitanţă conectate în serie dacă X = X .

Din aceată cauză nu se poate calcula valoarea necesară a reactanţei care trebuie conectată pe porţiunea AB decât după ce se calculează reactanţa porţiunii BC, cu aceste cuvinte a circuitului format din inductanţă şi condensator conectate în paralel.

Impedanţa complexă a bobinei va fi :

Z = R + j · X = R + j · · L =R + j · 2 · f · L = 25 + j · 2 · 400 · 0,05 = (25 + j · 125) = 127,5 · e .

Impedanţa complexă a capacităţii va fi :

12

Page 13: NUMERE COMPLEXE IN

Z = = = = = = -

j · = - j · 500 = 500 · e .

Impedanţa complexă a porţiunii BC, Z este :

Z = = = = 170 · e =

= (44,3 + j · 164) .

Astfel porţiunea BC din fig. 13-2 poate fi reprezentată printr-o rezistenţă pur ohmică R = 44,3 (care este partea reală a impedanţei complexe Z ) şi o inductanţă de X = 164 (care este partea imaginară pozitivă, a impedanţei complexe Z ) conectate în serie, ca în fig. 13-3.

Fig. 13-3.

În acest mod, devine evident faptul că porţiunea AB trebuie să aibe o reactanţă capacitivă X egală cu X . Deci X = 164 . Schema echivalentă a circuitului iniţial fiind dată în fig. 13-4.

13

Page 14: NUMERE COMPLEXE IN

2. Calculul tensiunii la bornele circuitului.

Având în vedere faptul că din datele problemei se cunoaşte curentul prin condensatorul C, este indicat, ca în reprezentarea grafică, să se orienteze acest curent după axa reală ; astfel faza iniţială este nulă :

I = I · e = I = 0,1 A.

Tensiunea complexă a conexiunii paralele U este :

U = I · Z = 0,1 · (- j · 500) = - j 50 V = 50 · e V.

După aceea se va determina curentul complex prin bobină :

I = = = 0,39 · e = (- 0,385 – j · 0,077) A.

Curentul total, I, rezultă prin aplicarea primei legi a lui Kirchhoff, sub forma complexă, în nodul B, este :

I - I - I = 0

I = I + I = 0,1 - 0,385 – j · 0,077 = (- 0,285 - j · 0,077) A.

Impedanţa echivalentă a circuitului Z rezultă din fig. 13-4, ca fiind egală cu :

14

Page 15: NUMERE COMPLEXE IN

Z = R + j · X - j · X = 44,3 + j · 164 - j · 164 = 44,3 .

Tensiunea complexă la bornele circuitului U este :

U = I · Z = (- 0,285 - j · 0,077) · 44,3 = (- 12,6 - j · 3,4) V.

Având modulul şi deci valoarea efectivă :

U = | U | = = 13 V.

2. În care cazuri puterea reactivă Q > 0 şi în care Q < 0?

În discuţia precedentă s-a arătat că puterea efectivă a bobinei se exprimă printr-un număr pozitiv iar cea a condensatorului printr-un număr negativ. Este o întâmplare? Se va arăta că nu. În capitolul 10 s-a demonstrat că puterea reactivă Q = X · I unde reactanţa X este egală cu X = X - X .

În consecinţă : Q = (X - X ) · I = X · I - X · I = Q - Q adică pentru inductanţa Q’= Q > 0 şi pentru capacitate Q’’= Q < 0.

3. Se pot calcula puterile aparente complexe dacă se dau valorile efective ale curenţilor din circuit?

Da, conform datelor problemei, nu determinăm decât valorile efective ale curenţilor şi cunoscând parametrii circuitului putem calcula întotdeauna puterile sub forma lor complexă. Pentru aceasta se foloseşte forma algebrică de exprimare a puterii aparente complexe S = P + j · Q.

În continuare se va aplica această metodă la calculul circuitului din fig. 13-2.

Puterea activă a bobinei : P = R · I = 25 · (0,39) = 3,85 W.

Puterea reactivă a bobinei : Q = X · I = 125 · (0,39) =19,2 var, de unde rezultă puterea aparentă complexă a bobinei :

S = P + j · Q = (3,85 + j · 19,2) VA.

Analog, rezultă şi pentru condensator :

P = 0 ; Q =X · I =500 · (0,1) = 5 var

15

Page 16: NUMERE COMPLEXE IN

S = P - j · Q = - j · 5 VA.

Şi pentru elementul reactiv X : P = 0

Q = X · I = 164 · (0,295) = 14,3 var, unde I este modelul curentului complex I : I = | I | = = 0,295 A.

Astfel vom avea :

S = P - j · Q = - j · 14,3 VA.

Rezultatele obţinute coincid cu cele de la punctul 1.

4. Cum se calculează puterea aparentă a unei punţi ramificate de circuit?

Expresia puterii aparente complexe S = U · I* se distinge prin generalitatea sa, din cauză că se poate folosi atât pentru elemente pasive cât şi active ale unui circuit (a se vedea punctul 1 de la discuţii suplimentare) cât şi pentru o porţiune de circuit compus din orice conexiune ale acestor elemente de circuit.

Ca exemplu se calculează puterea complexă a porţiunii ramificate BC pentru circuitul din fig. 13-2.

Se observă că impedanţa echivalentă a porţiunii BC este străbătută de curentul total al circuitului I = (- 0,285 - j · 0,077) A.

Puntea aparentă complexă a porţiunii BC, S , este :

S = U · I*= 50 · e (-0,285 + j · 0,077) = - j · 50 · (- 0,285 + j · ·0,077) = (3,85 + j · 14,2) VA.

Comparând rezultatul obţinut aici cu cel obţinut la discuţia suplimentară 1 : S + S = 3,85 + j · 19,2 - j · 5 = 3,85 + j · 14,2 = S , se confirmă egalitatea.

Discuţii suplimentare :

1. Cum se stabileşte balanţa puterilor complexe?

16

Page 17: NUMERE COMPLEXE IN

În cazul calculului unui circuit prin metoda complexă, se cunosc de obicei tensiunile complexe şi curenţii complecşi. Puterea aparentă complexă pentru o porţiune de circuit care la borne are tensiunea complexă U şi este străbătut de curentul complex I este : S = U · I*, unde prin I*s-a notat valoarea conjugată a curentului complex care trece prin porţiunea respectivă de circuit.

Dacă se calculează partea reală şi partea imaginară a mărimii S, se dovedeşte că prima parte reprezintă puterea activă P şi a doua puterea reactivă Q, adică : S = U · I*= P + j · Q.

Folosind aceste relaţii pentru stabilirea balanţei puterilor din circuitul reprezentat în fig. 13-2 vom obţine succesiv puterea aparent complexă a bobinei :

S = U · I = 50 · e · 0,39 · e = 19,5 · e = =19,5 · (cos 78°40' + j · sin 78°40') = 19,5 · (0,19 + j · ·0,975) = =(3,85 + j · 19,2) VA, de unde rezultă pentru bobină puterile :

S = | S | = = 19,5 VA.

P = 3,85 W.

Q = 19,2 var.

În mod analog se calculează şi puterile condensatorului C :

S = U · I = 50 · e · 0,1 = - j · 5 VA.

S = | S | = 5 VA.

P = 0.

Q = - 5 var.

Pentru porţiunea de circuit care conţine reactanţa X se calculează, mai întâi, căderea de tensiune complexă U :

U = j · X · I*= - j · 164 · (- 0,285 - j · 0,077) = (- 12,6 + j · 47) V.

17

Page 18: NUMERE COMPLEXE IN

Apoi se calculează puterea aparentă complexă :

S = U · I*= (- 12,6 + j · 47) · (- 0,285 + j · 0,077) = 3,6 - j · 0,97 - j · · 13,395 – 3,6 = 3,6 – j · 0,9 – j · 13,4 – 3,6 = - j · 14,3 VA.

De unde rezultă :

S = | S | = 14,3 VA.

P = 0.

Q = - 14,3 var.

Pentru datele problemei, puterea aparentă complexă totală a tuturor elementelor pasive din circuit este :

S = S + S + S = 3,85 + j · 19,2 - j · 5 - j · 14,3 = 3,85 VA.

Puterea reactivă a circuitului rezultă nulă, din cauză că circuitul este în regim de rezonanţă. Puterea complexă a sursei de alimentare, S este :

S = U · I*= (12,6 - j · 3,4) · (- 0,285 + j · 0,077) = 3,85 VA.

În consecinţă, puterile complexe ale receptorilor şi a sumei de energie sunt egale : S = S , adică are loc echilibrarea puterilor.

13-4. CIRCUIT RAMIFICAT CU INDUCŢIE MUTUALĂ.

Enunţul problemei :

În circuitul din fig. 13-5 se dă tensiunea la borne U = 220 V, rezistenţele şi inductanţele porţiunilor de circuit :

18

Page 19: NUMERE COMPLEXE IN

· L = = R = 100 ; · L = 80 ; R = 60 . Reactanţa

inducţiei mutuale X = · M = 80 .

Se cere să se determine curenţii şi să se construiască diagrama vectorială topografică.

Fig. 13-5. Circuit format din două ramuri conectate în paralel şi

cuplate prin inducţie mutuală.

Rezolvarea problemei :

1. Tensiunea la bornele ramurilor din circuit. (fig. 13-5)

Curentul I , în trecere prin ramura care conţine rezistenţa R şi bobina L conectate în serie, determină căderile de tensiune, care sub formă

complexă, sunt I · R şi I · j · · L . Pe de altă parte, fluxul magnetic al

19

Page 20: NUMERE COMPLEXE IN

bobinei L , determinat de curentul I din cealaltă ramură, traversează şi bobina L , inducând în aceasta o tensiune electro motoare de inducţie mutuală E = I · · M = I · X , care este defazată în urmă cu 90° faţă de curentul I . Adică, sub formă complexă tensiunea electro motoare de inducţie mutuală E = - j · · M · I este echivalentă de către căderea de tensiune suplimentară pe bobina L : U = j · · M · I .

Ţinând cont de toate căderile de tensiune discutate mai sus, se poate scrie tensiunea la borne pentru ochiul I (AO BA) astfel :

U = I · R + I · j · · L + I · j · · M. (13-1)

Tensiunea U = I · j · · M din ecuaţia (13-1) este luată cu semnul plus pentru că bobinele L şi L sunt cuplate inductiv “în acord”, cu alte cuvinte, curenţii I şi I au acelaşi sens faţă de bornele însemnate cu asterixuri. (fig. 13-5)

Dacă, de exemplu, pentru bobina L (fig. 13-5) asterixul era pus la borna O şi nu la borna A, cuplajul bobinelor L şi L era “în opoziţie”.

Atunci termenul I · j · · M din ecuaţia (13-1) trebuia luat cu semnul minus.

Deplasarea asterixului de la un capăt la altul al unei bobine, înseamnă că bornele de “intrare” şi de “sfârşit” ale bobinei îşi schimbă locul.

Raţionând în acelaşi mod şi pentru ochiul II (AO BA) şi ţinând în plus, cont de condensatorul C , vom avea expresia pentru tensiuni :

U = I · R - I · j · + I · j · · L + I · j · · M. (13-2)

2. Calculul curenţilor.

Se scriu, mai întâi, impedanţele complexe ale ramurilor, fără a ţine seama de inductanţa mutuală :

Z = R + j · · L ; Z = R + j · ( · L - ) şi rezolvând sistemul

de două ecuaţii, (13-1) şi (13-2) în raport cu curenţii prin cele două ramuri, se va obţine :

20

Page 21: NUMERE COMPLEXE IN

I = U · (13-3) I = U · (13-4)

Înlocuind datele numerice, avem succesiv :

Z - j · · M = 100 - j · 80 = 128 · e ;

Z - j · · M = 60 + j · 80 - j · 80 = 60 ;

Z · Z + · M = (60 + j · 80) · 100 + (80) = 14750 · e .

Înlocuind rezultatele obţinute mai sus în ecuaţiile (13-3) şi (13-4) vom obţine expresiile curenţilor I şi I :

I = 220 · = 1,91 · e A.

I = 220 · = 0,895 · e A.

În continuare se exprimă curenţii complecşi obţinuţi sub forma algebrică, având în vedere că :

sin 71°10’= 0,95 ; sin 32°40’= 0,539

cos 71°10’= 0,32 ; cos 32°40’= 0,841

Astfel :

I = 1,91 · (cos 71°10’- j · sin 71°10’) = 1,91 · (0,32 - j · 0,95) =

= 0,611 – j · 1,815 A ;

I = 0,895 · (cos 32°40’ - j · sin 32°40’) = 0,895 · (0,841 - j · 0,539) =

= 0,752 – j · 0,483 A ;

I = I + I = 1,363 - j · 2,3 = 2,65 · e A.

21

Page 22: NUMERE COMPLEXE IN

a)

22

Page 23: NUMERE COMPLEXE IN

b)

Fig. 13-6. Diagrama fazorială a curenţilor (a) şi diagrama topografică a tensiunilor (b) pentru circuitul din fig. 13-5.

13-5. CIRCUIT COMPLEX.

23

Page 24: NUMERE COMPLEXE IN

Enunţul problemei :

Două generatoare conectate în paralel (fig. 13-7) a căror tensiune electromotoare sunt E = 118 şi E = 124 V şi sunt în fază, alimentează un circuit exterior cu o impedanţă activ inductivă Z = (0,5 + j · 0,3) . Impedanţele interne ale generatoarelor sunt pur inductive şi egale între ele.

Z = Z = Z = j · 0,05 .

Se cere să se determine toţi curenţii din circuit şi curentul din circuitul

exterior pentru valori ale impedanţei de sarcină Z egale cu 2Z, Z, şi .

Fig. 13-7. Circuitul pentru problema din paragraful 13-5.

Rezolvarea problemei :

24

Page 25: NUMERE COMPLEXE IN

1. Alegerea metodei de calcul.

Aplicarea metodei numerelor complexe permit alegerea oricărei metode de calcul a circuitelor complexe de curent continuu (vezi paragraful 3 din capitolul 4).

Având în vedere că circuitul dat conţine două noduri se va aplica metoda celor două noduri. Se ştie că este avantajos se a determina curentul prin porţiunile unui circuit complex pentru mai multe valori ale impedanţei porţiunii respective prin metoda generatorului echivalent, din care cauză se va aplica şi această metodă.

2. Calculul admitanţelor ramurilor.

Admitanţele complexe ale ramurilor sunt :

Y = Y = = = - j · 20 ;

Y = = = = (1,47 - j · 0,88) .

3. Calculul tensiunii între noduri şi curenţii prin ramuri.

Tensiunea nodală complexă este :

U = = = =

= (118,25 - j · 4,25) V.

Curenţii complecşi prin cele două ramuri sunt :

I = (E - U ) · Y = (118 - 118,25 + j · 4,25) · (- j · 20) =

= 84,8 + j · 5 = 85 · e A ;

I = (E - U ) · Y = (124 - 118,25 + j · 4,25) · (- j · 20) =

= 84,8 - j · 115 = 142 · e A.

25

Page 26: NUMERE COMPLEXE IN

I = I + I = 84,8 + j · 5 + 84,8 - j · 115 = 169,6 - j · 110 =

= 202,5 · e A.

3. Diagrama vectorială a curenţilor şi diagrama topografică a tensiunilor. Fazorul tensiunii U (fig. 13-6, a şi b) este luată în discuţia pozitivă a numerelor reale pentru că am considerat în rezolvarea problemei că :

U = U = 220 V.

Fazorii curenţilor I şi I sunt defazaţi în urma fazorului tensiune U cu unghiul = 71°10’ respectiv = 32°40’.

Fazorul tensiunii O A (fig. 13-5) este format din doi termeni : fazorul O K şi K A (fig. 13-6, b); fazorul O K este defazat înaintea fazorului curentului I cu 90° iar fazorul K A înaintea fazorului curentului I cu 90°. Unghiurile de defazaj indicate de fazorii O K şi K A au sensul fizic că tensiunea peste o bobină este defazată cu 90° înaintea curentului iar din punct de vedere matematic înmulţirea unui fazor cu j roteşte fazorul în sens pozitiv cu 90°, astfel de exemplu fazorul j M I este defazat înaintea curentului I cu 90°.

În acelaşi mod se discută şi ramura cealaltă (BOO A din fig. 13-5) cu ajutorul ecuaţiei (13-2) şi se construiesc fazorii tuturor căderilor de tensiune, în fig.13-6, b; se observă că punctele A şi B coincid şi pe diagrama fazorială chiar dacă parcurgem diferit circuitul dintre ele.

4. Calculul curentului din circuitul exterior pentru valori diferite ale impedanţei de sarcină.

Utilizând metoda generatorului echivalent, curentul este dat de relaţia:

I = (13-5),

unde :

E - este fazorul tensiunii electromotoare complexă a generatorului echivalent.

26

Page 27: NUMERE COMPLEXE IN

Z - este impedanţa internă complexă a generatorului echivalent.

Z = Z - este impedanţa de sarcină variabilă.

Tensiunea electromotoare E este în cazul nostru tensiunea dintre punctele A şi B (fig. 13-7) atunci când circuitul exterior este întrerupt, adică Z = şi I = 0.

Atunci când porţiunea de impedanţă Z = Z (fig. 13-7) este decuplată în circuit nu rămâne decât ochiul de circuit format din cele două tensiuni electromotoare E şi E . Considerând pentru circuitul nou obţinut curentul I' se va determina tensiunea între punctele A şi B, egală cu tensiunea electromotoare a generatorului echivalent :

U' = E = E - I’· Z = E - · Z .

De unde rezultă că : E = din cauză că Z = Z = Z .

Impedanţa internă a generatorului echivalent Z este formată din două impedanţe identice Z = Z conectate în paralel faţă de punctele A şi B (fig.

13-7) astfel că : Z = .

Înlocuind valorile obţinute pentru E şi Z în relaţia (13-5) vom obţine expresia impedanţei de sarcină, pentru oricare ar fi impedanţa de sarcină :

I = = = (13-6).

Particularizând, pentru Z = Z, avem :

I (z) = = = 202,5 · e A.

Valoarea obţinută pentru I coincide cu valoarea găsită mai înainte ceea ce demonstrează valabilitatea rezultatelor obţinute.

Înlocuind în relaţia (13-6) Z = 2 · Z, Z = 0,5 Z şi Z = 0,25 Z avem succesiv :

27

Page 28: NUMERE COMPLEXE IN

I (2z) = = = = 102,97 · e A.

I = = = = 396,72·e A.

I = = = = 756,25 · e A.

Discuţii suplimentare :

Cum se pot verifica, prin intermediul balanţei puterilor, calculele efectuate?

Puterea aparentă complexă a primului generator este :

S = E · I = 118 · 85 · e = 10020 · (cos 3°20’- j · sin 3°20’) =

= (10000 - j · 580) VA = (10 - j · 0,58) kVA.

De unde obţinem pentru primul generator :

S = | S | = 10,02 kVA ; P = 10 kW ; Q = - 58 kvar.

La fel avem pentru cel de-al doilea generator :

S = E · I = 124 · 142 · e = 17600 · e =

=(10500 + j · 14200) VA = (10,5 + j · 14,2) kVA.

De unde rezultă :

S = | S | = 17,6 kVA ; P = 10,5 kW ; Q = 14,2 kvar.

Puntea activă a celor două generatoare :

P + P = (10 + 10,5) kW = 20,5 kW.

28

Page 29: NUMERE COMPLEXE IN

13-6. CIRCUIT COMPLEX CU INDUCŢIE MUTUALĂ.

Enunţul problemei :

29

Page 30: NUMERE COMPLEXE IN

Pentru circuitul din fig. 13-8 se cunosc rezistenţele şi reactanţele :

R = 80 ; R = R = 40 ; · L = 60 ; · L = · L = 80 ;

= 40 ; inducţia mutuală · M = 40 . Tensiunile electromotoare

complexe ale surselor de energie sunt : E = E = 100 V şi E = 200 · e V.

Să se determine curenţii, tensiunile şi potenţialele punctelor din circuit; să se construiască diagrama potenţialelor; să se verifice rezultatele obţinute cu ajutorul ecuaţiei de echilibru a puterilor.

Fig. 13-8 Circuit complex cu inducţie mutuală.

Soluţia problemei :

1. Alegerea metodei de calcul. În problema precedentă pentru un circuit cu două moduri s-a aplicat metoda celor două noduri. Pentru această problemă, cu toate că circuitul conţine două noduri, această metodă se aplică

30

Page 31: NUMERE COMPLEXE IN

mai greu, pentru că metoda celor două noduri presupune calculul admitanţelor ramurilor funcţie de valorile pe care le iau parametrii circuitului; dar, în prezenţa unei inducţii mutuale, apar inductanţe determinate de cuplajul inductiv dintre bobine, care, conform problemei sunt necunoscute, pe de altă parte determinarea lor este destul de complicată.

Această dificultate intervine şi în cazul în care se aplică altă metodă cunoscută dar care impune calculul impedanţei totale sau echivalente a ramurilor sau porţiunilor de circuit (metoda superpoziţiei, metoda metoda generatorului echivalent). Iată de ce, în acest caz, de rezolvarea unui circuit de curent alternativ cu inducţie mutuală se utilizează, cel mai des, ecuaţiile lui Kirchhoff sau metoda curenţilor de contur; aplicând ultima metodă se va obţine rezultatul mai rapid.

2. Aplicarea metodei curenţilor de contur. Se aleg sensurile curenţilor de contur I şi I în sensul de mişcare a acelor de ceasornic (fig. 13-8). Se stabileşte ecuaţia conturului AFKMBNC şi ţinem seama că, (vezi paragraful 3-3), dacă sensurile curenţilor de contur sunt identice şi coincid cu sensul de parcurgere, în ecuaţia de contur produsul curentului I din primul contur prin propria sa impedanţă se ia cu semnul plus, adică :

I · şi cu semnul minus produsul

curentului I învecinat prin impedanţa comună celor două contururi :

- I · .

31

Page 32: NUMERE COMPLEXE IN

Fig. 13-9. Diagrama vectorială a curenţilor (a) şi diagrama potenţialelor (b) pentru circuitul din fig. 13-8.

32

Page 33: NUMERE COMPLEXE IN

Cunoscând curenţii de contur I şi I putem afla curenţii prin ramuri astfel :

I = I = 0,3 - j · 0,05 = 0,34 · e A.

I = I - I = 1,035 + j · 0,6 - 0,3 + j · 0,05 = 0,735 + j · 0,65 =

= 0,965 · e A.

I = I = 1,035 + j · 0,6 = 1,19 · e A.

Se construieşte diagrama vectorială în planul complex a curenţilor complecşi (fig. 13-9).

Pe de altă parte, trebuie ţinut cont şi de cuplajul inductiv dintre contururi, care provoacă în primul contur o cădere de tensiune I j M, echilibrând tensiunea electromotoare numeric egală şi de sens opus inducţiei mutuale I j M (vezi fig. 13-4).

Tensiunea I j M trebuie să fie inclusă în ecuaţia de contur cu semnul plus, pentru că sensul de parcurgere al conturului şi curenţii de contur prin bobinele L şi L sunt orientaţi în acelaşi mod faţă de bornele cu acelaşi nume marcate printr-un asterix. Dacă se modifică sensul de parcurgere cu sensul curentului I în sens invers, tensiunea I j M trebuie să fie luată, în ecuaţia de contur, cu semnul minus.

Obţinem, astfel, ecuaţia primului contur :

I · - I · +

+ I · j · · M = E - E (13-7).

Raţionând la fel, se obţine ecuaţia şi pentru cel de-al doilea contur :

- I · + I · j · · M + +I ·

= E + E (13-8).

3. Calculul curenţilor.

33

Page 34: NUMERE COMPLEXE IN

Introducând datele problemei în ecuaţiile (13-7) şi (13-8) vom obţine :

I - (80 + j · 60 + 40 + j · 80 - j · 40) - I · (40 + j · 80 - j · 40 - j · 40) = 0

- I · (40 + j · 80 - j · 40 - j · 40) + I · (40 + j · 80 - j · 40 + j · 80 + 40) =

= 100 + 200 · e .

Fig. 13-9., b)

4. Calculul tensiunilor complexe a tuturor porţiunilor din circuit.

34

Page 35: NUMERE COMPLEXE IN

Pentru porţiunea NC (fig. 13-8) cu rezistenţă ohmică R , tensiunea complexă este :

U = R · I = 80 · 0,34 · e = 27,2 · e = (24 – j · 4) V.

Tensiunea porţiunii CA (fig. 13-8) este compusă din tensiunea pe bobina L şi tensiunea care echilibrează tensiunea electromotoare de inducţie mutuală.

U = I · j · · L + I · j · · M = (0,3 - j · 0,05) · j · 60 +

+ (1,035 + j · 0,6) · j · 40 = - 21 + j · 59,4 = 63 · e V.

La fel se obţin tensiunile celorlaltor porţiuni de circuit :

U = I · j · · L = 0,965 · e · j · 80 = 77,6 · e =

= (- 52 + j · 58,8) V ;

U = I · = 0,965 · e · (- j · 40) = 38,8 · e =

= (26 – j · 29,4) V;

U = I · R = 40 · 0,965 · e = 38,8 · e = (29 + j · 26) V;

U = I · j · · L + I · j · · M = (1,035 + j · 0,6) · j · 80 +

+ (0,3 - j · 0,05) · j · 40 = - 46 + j · 94,8 = 105,5 · e V ;

U = R · I = 40 · 1,19 · e = 47,8 · e = (41,5 + j · 24) V;

U = 27,2 · e ;

U = 63 · e ;

U = 77,6 · e ;

U =38,8 · e ;

U = 38,8 · e ;

35

Page 36: NUMERE COMPLEXE IN

U = 105,5 · e ;

U = 47,8 · e .

5. Calculul potenţialelor complexe ale punctelor din circuit.

Asociem punctului B din circuit (fig. 13-8) potenţialul zero, V = 0.

Acest punct reprezintă pentru prima şi a doua sursă borna cu potenţialul inferior (ţinând seama de sensul tensiunii electromotoare E şi E reprezentate în schemă). Astfel, punctele N şi M (fig. 13-8) reprezintă borne cu un potenţial mai mare decât potenţialul punctului B.

Din datele problemei E = E = 100 V, în care caz potenţialele complexe ale punctelor N şi M sunt : V = V = 100 V.

Parcurgând prima ramură a circuitului (fig. 13-8) după sensul curentului I (în sensul micşorării potenţialului) şi folosind rezultatele obţinute pentru tensiunile porţiunilor de circuit, vom avea pentru punctele C şi A potenţialele complexe :

V = V - U = 100 - 24 + j · 4 = 76 + j · 4 = 76,1 · e V.

V = V - U = 76 + j · 4 + 21 - j · 59,4 = 97 - j · 55,4 = 111,7 · e V.

Pentru a determina potenţialele complexe ale punctelor din ramura a doua, vom considera punctul A în sens opus curentului I (sensul creşterii potenţialului).

V = V - U = 97 - j · 55,4 - 52 + j · 58,8 = 45 + j · 3,4 = 45,1 · e V.

V = V + U = 45 + j · 3,4 + 26 - j · 29,4 = 71 - j · 26 = 75,6 · e V.

Pentru verificare, se poate determina potenţialul punctului M (calculat mai înainte V = 100 V) :

V = V + U = 71 - j · 26 + 29 + j · 26 = 100 V.

La fel se obţin potenţialele punctelor D şi P din cea de-a treia ramură a circuitului :

36

Page 37: NUMERE COMPLEXE IN

V = V - U = 97 - j · 55,4 + 46 - j · 94,8 = 143 - j · 150,2 =

= 207,3 · e V.

V = V - U = 143 - j · 150,2 - 41,5 - j · 24 = 101,5 - j · 174,2 =

= 201,6 · e V.

13-6. REZOLVAREA PROBLEMEI.

37

Page 38: NUMERE COMPLEXE IN

R = 80 I · -

- I · + I · j · · M =

R = R = 40 = E - E

· L = 60 - I · +

· L = · L = 80 + I · +

= 40 + I · j · · M = E + E

· M = 40

E = E = 100 V I · (80 + j · 60 + j · 80 - j · 40 + 40) -

38

Page 39: NUMERE COMPLEXE IN

E = 200 · e V - I · (40 - j · 40 + j · 80 - j · 40) = 100 - 100

I = ? - I · (40 - j · 40 + j · 80 j · 40) + I ·

I = ? · (40 - j · 40 + j · 80 + j · 80 + 40) = 100 + 200 ·

I = ? · e

I = I = 0,3002472 - j · 0,053524412 =

= 0,30498072 · e

I = I - I = 0,7343054 + j · 0,64356917 =

= 0,97641471 · e

I = I = 1,0345526 + j · 0,59004476 =

= 1,1909877 · e

Ecuaţia echilibrului punţilor :

39

Page 40: NUMERE COMPLEXE IN

U = 24,39783 · e ; S = 100 · (0,30024 + j · 0,05352) =

U = 62,79775 · e ; = 30,02472 + j · 5,352 = 30,49728 · e .

U = 78,111165 · e ; S = 100 · (0,73428 - j · 0,64356) =

U = 39,05558 · e ; = 73,43054 - j · 64,356 = 97,63895 · e.

U = 39,05558 · e ; S = 200 · e (1,03452 - j · 0,59004) =

U = 104,93902 · e ; = 200 · e · 1,19095 · e =

U = 47,63828 · e ; = 238, 1914 · e = j · 238,1914.

P = 103,452 w ; Q = 179,1874 var.

P = R · I = 80 · I = 7,4410591 w.

P = R · I = 40 · I = 38,135428 w.

P = R · I = 40 · I = 56,738068 w.

P = 102,30913 w.

Valorile complexe ale potenţialelor sunt reprezentate în diagrama potenţialelor (fig. 13-9, b) prin raze-vectoare din originea coordonatelor,

40

Page 41: NUMERE COMPLEXE IN

unde se află situat punctul B, pentru că V = 0. La cealaltă extremitate a razei-vectoare s-au notat punctele din circuit al cărei potenţial îl reprezintă.

Tensiunile tuturor porţiunilor de circuit care alcătuiesc ochiul exterior de circuit (fig. 13-7) reprezentate pe diagrama potenţialelor permite verificarea celei de-a doua legi a lui Kirchhoff pentru acest contur închis.

În adevăr, după fig. 13-9, putem scrie că :

U + U + U + U = E + E .

6. Ecuaţia echilibrului puterilor.

Puterile aparente complexe ale surselor de energie sunt :

S = E · I = 100 · (0,3 + j · 0,05) = (30 + j · 5) VA.

S = E · I = 100 · (0,735 - j · 0,65) = (73,5 - j · 65) VA.

S = E · I = 200 · e · (1,035 - j · 0,6) = 200 · e · 1,19 · e =

= 240 · e = 240 · (cos 90° + j · sin 90°) = 240 · (0 + j) = j · 240 VA.

Suma puterilor active este :

P = = 30 + 73,5 = 103,5 W,

iar suma puterilor reactive este :

Q = = 5 - 65 + 240 = 180 var.

Puterile active ale consumatorilor sunt :

P = R · I = 80 · (0,304) = 9,5 W ;

41

Page 42: NUMERE COMPLEXE IN

P = R · I = 40 · (0,965) = 37,5 W ;

P = R · I = 40 · (1,19) = 56,5 W.

Suma puterilor active ale consumatorilor este :

P = = 9,5 + 37,5 + 56,5 = 103,5 w.

Se observă echilibrul puterilor active :

P = P .

Puterile reactive ale consumatorilor sunt :

Q = · L · I = 60 · (0,304) = 7 var ;

Q = · I = 40 · (0,965) = 37 var ;

Q = · L · I = 80 · (1,19) = 112 var.

Pe de altă parte, se poate calcula puterea transportată de către cuplajul magnetic al bobinelor L şi L (vezi paragraful 13-4, discuţia suplimentară 2) :

I · j · · M · I = 0,304 · e · 40 · e · 1,19 · e = 16,2 · e =

= (10,3 + j · 12) VA

şi

I · j · · M · I = 1,19 · e · 40 · e · 0,304 · e = 16,2 · e =

= (- 10,3 + j · 12) VA.

Puterea activă globală transportată :

P = 10,3 - 10,3 = 0.

Puterea reactivă transportată :

42

Page 43: NUMERE COMPLEXE IN

Q = 12 + 12 = 24 var.

Astfel, suma puterilor reactive ale tuturor consumatorilor, inclusiv puterile transportate, este egală cu :

Q = = Q + Q + Q + Q = 7 + 31 + 112 + 24 = 180 var.

Se observă şi realizarea ecuaţiei de echilibru a puterilor active şi reactive : Q = Q .

OBS. Îndeplinirea ecuaţiei de echilibru a puterilor active şi reactive confirmă corectitudinea calculelor.

13.7. PROBLEME PROPUSE PENTRU REZOLVARE.

Probleme pentru paragraful 13-1.

43

Page 44: NUMERE COMPLEXE IN

255. Să se scrie expresiile curenţilor şi a tensiunilor complexe, după fig. 13-10, dacă se dau valorile lor efective ca fiind egale cu 2A şi 127 V?

Fig. 13-10.

256. Într-un circuit curentul este exprimat prin valoarea sa complexă -j30 mA. Tensiunea complexă la bornele circuitului are modulul egal cu 120V şi argumentul -π. Să se scrie valorile instantanee ale curentului şi tensiunii; să se construiască diagrama vectorială.

257. Să se înmulţească valorile complexe ale curentului şi tensiunii din problema 256 cu j şi -j. Să se construiască diagrama vectorială a noilor mărimi complexe.

258. Să se construiască fazorii tensiunilor pentru care U = (110 + j · 190) V, U = - 220 V şi U = (110 - j · 190) V. Să se calculeze defazajele dintre tensiuni.

259. Se dau valorile instantanee ale curenţilor din două ramuri de circuit : i = 12 · sin ( · t - 30°) şi i = 8 · sin ( · t + 30°). Să se scrie cele trei forme (algebrică, trigonometrică şi exponenţială) ale curentului total complex al celor două ramuri; să se construiască diagrama vectorială.

44

Page 45: NUMERE COMPLEXE IN

260. Pentru un circuit neramificat care este compus din trei porţiuni de circuit conectate în serie se dau tensiunile U = 100 V, U = 80 V şi U= 120 V (ca în fig. 13-11); să se exprime valorile complexe ale tensiunilor U, U şi U dacă = 60° şi = 50°; să se scrie valoarea instantanee a

tensiunii la borne, u şi să se construiască fazorul U pe diagrama vectorială.

Fig. 13-11.

261. Cu cât trebuie să fie egală tensiunea U , în condiţiile problemei 260, astfel încât să avem îndeplinită egalitatea U = U + U ?

262. Într-un circuit elementele active şi reactive ale curentului sunt identice şi egale cu 14,1 A. Tensiunea la bornele circuitului este defazată în urma curentului şi se exprimă în complex U = U · e . Să se stabilească expresia curentului complex.

263. Tensiunea la bornele unui circuit are componenta activă egală cu 63,5 V şi componenta reactivă 109,2 V. Faza iniţială a curentului prin circuit

45

Page 46: NUMERE COMPLEXE IN

este egală cu 120°. Să se stabilească expresia tensiunii complexe, dacă tensiunea este defazată înaintea curentului.

264. Cum trebuie să se modifice faza iniţială a curentului din problema 263, astfel încât componentele activă şi reactivă ale tensiunii să exprime părţile reală şi imaginară ale tensiunii complexe?

265. Curentul printr-un circuit este (0,684 + j · 1,88) A, tensiunea la borne (60 + j · 103,4) V. Să se calculeze valorile efective ale curentului şi tensiunii, rezistenţa şi inductanţa circuitului. Să se exprime impedanţa circuitului sub forma complexă.

266. Să se calculeze rezistenţa şi inductanţa unei bobine la frecvenţa de 50 Hz, dacă impedanţa sa complexă este Z = 240,8 · e .

267. Impedanţa complexă a unui circuit este Z = . Să se

stabilească schema echivalentă a circuitului la frecvenţa de 100 kHz.

268. Impedanţa unui circuit este egală cu (5 - j · 6) . Ce rezistenţă trebuie conectată în circuit astfel încât rezistenţa să fie numeric egală cu reactanţa sa?

269. Într-un circuit, cu rezistenţa R = 10 şi reactanţele X = 25 , X = 15 , conectate toate în serie, curentul complex este I = - 12 A. Să se calculeze valorile complexe ale tensiunilor la bornele fiecărui element de circuit precum şi tensiunea complexă la bornele circuitului; să se construiască diagrama vectorială.

270. Să se calculeze, pentru problema 269, puterea aparent complexă.

271. Trei impedanţe, egală fiecare cu 100 , sunt conectate în serie. Tensiunile peste aceste impedanţe sunt defazate înaintea curentului cu 10°, 40° şi 70°. Să se calculeze impedanţa totală a circuitului şi factorul de putere?

46

Page 47: NUMERE COMPLEXE IN

272. Într-un circuit format din două bobine identice conectate în serie şi un condensator, curentul I = 8 A, tensiunea la borne 110 V şi puterea activă P = 530 W. Să se stabilească expresia complexă a impedanţelor bobinei şi condensatorului şi a puterii aparente totale, dacă inductanţa fiecărei bobine este egală cu capacitanţa?

273. Să se stabilească expresiile complexe ale impedanţelor porţiunilor de circuit precum şi a întregului circuit după diagrama topografică (fig. 13-12), unde, se dă : U = 220 V; U = 80 V; U = 62 V; U = 25 V; U = 18 V şi I = 1 A.

Fig. 13-12.

274. Să se stabilească valoarea complexă a impedanţei, pentru circuitul din problema 273, care trebuie conectată în serie, astfel încât pentru acest circuit să se stabilească un regim de rezonanţă a tensiunilor.

Probleme pentru paragraful 13-2.

47

Page 48: NUMERE COMPLEXE IN

275. O rezistenţă R = 30 , o inductanţă cu reactanţă inductivă X= 40 şi un condensator cu reactanţa capacitivă X = 25 sunt conectate în paralel. Să se calculeze rezistenţa şi reactanţa circuitului serie echivalent?

276. Să se calculeze, în condiţiile problemei 275, curenţii prin ramuri şi curentul total, dacă tensiunea la borne este U = 120 · e V. Să se stabilească diagrama fazorială.

277. O rezistenţă, o bobină şi un condensator, fiecare având valoarea de 200 , sunt conectate în paralel la bornele unei surse de 120 V. Să se calculeze curentul sursei.

278. Un grup de receptoare cu sarcină activ-inductivă este conectat la reţeaua de curent alternativ cu tensiunea de 220 V. Curentul total absorbit de receptoare este egal cu 66 A şi au puterea activă de 9 kW. În scopul creşterii factorului de putere până la 0,95 se conectează, în paralel cu receptoarele, o baterie de condensatoare. Să se determine reactanţa capacitivă a bateriei de condensatoare şi să se stabilească expresiile complexe ale curenţilor prin receptoare, prin bateria de condensatoare precum şi curentul total al reţelei, considerând că tensiunea reţelei este o mărime reală şi pozitivă.

279. Trei impedanţe, Z = (100 + j · 60) , Z = (40 - j · 60) şi Z= 120 sunt conectate în paralel. Tensiunea la bornele circuitului este U = 120 V. Să se determine curenţii complecşi prin ramuri, curentul total al circuitului precum şi puterea aparentă complexă. Să se stabilească diagrama vectorială a tuturor curenţilor şi tensiunilor.

280. Ce impedanţă trebuie conectată pe o porţiune neramificată, pentru circuitul din problema 279, astfel încât să se obţină un regim de rezonanţă?

281. În circuitul din fig. 13-13 se cunosc curenţii prin ramuri I= 0,8 A; I = 0,6 A. Curentul I este defazat în urma curentului I cu un unghi de 50°. Să se calculeze tensiunile U şi U , dacă R = 25 şi X = 15 ?

48

Page 49: NUMERE COMPLEXE IN

282. Să se stabilească, pentru circuitul din fig. 13-14, expresia generală a impedanţei dacă X = X = X.

Fig. 13-14.

Probleme pentru paragrafele 13-4 şi 13-5.

49

Page 50: NUMERE COMPLEXE IN

283. Să se calculeze toţi curenţii din circuitul reprezentat în fig. 13-14, precum şi tensiunile între punctele AB şi BC, dacă R = X = 500 ; X = 1000 ; R = 200 şi U = 120 V?

284. Să se calculeze tensiunile între punctele AB şi BC (fig. 13-15) precum şi tensiunea la bornele circuitului, U , dacă rezistenţa R este străbătută de un curent egal cu 1,4 A. Parametrii circuitului : C = 3 ; L = 0,2 H; R = 100 ; R = 20 şi f = 160 Hz?

Fig. 13-15.

285. Considerând, pentru problema 284, cunoscut curentul total egal cu 1,46 A, să se calculeze tensiunea la borne.

50

Page 51: NUMERE COMPLEXE IN

286. Să se determine forma generală a rezistenţei R , pentru circuitul dat de fig. 13-16, care determină între tensiunea U şi curentul I , la frecvenţa unghiulară , un unghi egal cu 90°.

287. Să se calculeze curentul prin circuitul din fig. 13-17 când cuplajul bobinelor de inducţie este în acord şi în opoziţie dacă R = 30 ; L= 0,1 H; L = 0,03 H; M = 0,053 H; U = 220 V şi f = 50 Hz?

51

Page 52: NUMERE COMPLEXE IN

288. Pentru circuitul din fig. 13-18 să se calculeze toţi curenţii dacă : U = 220 V; f = 50 Hz; L = 0,2 H; L = 0,4 H; M = 0,1 H; R = 20 şi R = 30 ?

289. Cu ajutorul unui montaj BOUCHEROT (fig. 13-19) se poate asigura un curent I constant, pentru un număr diferit de lămpi. Să se determine, cu ajutorul legilor lui Kirchhoff, relaţia necesară între , L şi C?

52

Page 53: NUMERE COMPLEXE IN

290. Două generatoare cuplate în paralel având impedanţele interne Z = Z = j · 0,2 şi tensiunea electromotoare E = 120 V; E = 126 V au o sarcină comună de impedanţă Z = (2 + j) . Să se calculeze curenţii complecşi ai receptorului şi a generatoarelor?

291. Să se determine curenţii compleşi în condiţiile problemei 290, dacă se schimbă tensiunea electromotoare astfel încât E = j · E .

13-8. RĂSPUNSURI LA PROBLEMELE PROPUSE PENTRU REZOLVARE ÎN CAPITOLUL 13.

255. 2 · e A; 127 · e V.256. 30 · sin ( · t - 90°) mA; 120 · sin ( · t - 180°) V.257. 30 mA; 120 V.258. 120°.259. 12,3 · e = 12,3 · = 12,25 - j · 1,4.260. (-86,6 + j · 50) V; (-61,2 - j · 51,5) V; -120 V;

376 · sin ( · t - 180°) V.261. 60 · e V.262. 20 A.263. -127 V.264. Să se reducă până la zero.265. 2 A; 120 V; 38,3 ; -46 ; 60 · e .266. 150 ; 0,6 H.267. 0,8 ; 2,23 .268. Activă sau inductivă de 1 sau inductivă de 11 .269. -120 V; -j · 300 V; j · 180 V; (-120 - j · 120) V.270. (1440 + j · 1440) VA.271. 285 ; 0,72.272. (4,14 + j · 11) ; -j · 11 ; (530 + j · 700) VA.273. -j · 80 ; (165 + j · 110) ; j · 62 ; 25 ; j · 18 ; (190

+ j · 110) .274. -j · 110 .

53

Page 54: NUMERE COMPLEXE IN

275. 24,8 ; -11,5 .276. 4 A; 3 · e A; 4,8 · e A; 4,4 · e A.277. 0,6 A.278. -5,8 ; 66 · e A; j · 37,9 A; 43 · e A.279. (0,883 - j · 0,53) A; (0,924 + j · 1,38) A; 1 A; (2,8 + j · 0,85) A;

(336 + j · 102) VA.280. Inductivă de 11,9 .281. 23 V; 12,8 V;

282. + j · .

283. 0,1 A; 0,14 A; 0,1 A; 20 V; 100 V.284. 140 V; 290 V; 300 V.285. 310 V.

286. R = .

287. 2,7 V; 7 A.288. 2,83 A; 1,07 A; 3,87 A.289. · L · C = 1.290. 53 · e A; 23,7 · e A; 36,2 · e A.291. 37 · e A; 418 · e A; 453 · e A.

BIBLIOGRAFIE

1. Ioan de Sabata – Bazele electrotehnici, litografia IPTVT, Timişoara, 1974;

2. Răduleţ, R – Bazele electrotehnicii, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1981;

3. Timotin, A şi Hortopan, V. – Lecţii de bazele electrotehnicii, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1964;

4. Zaitchik, M.Y. – Problèmes et exercises d’électrotechnique générale, Editions Mir, Moscou, 1980.

54

Page 55: NUMERE COMPLEXE IN

CUPRINSUTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE

ÎN CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV

13-1. CURENŢI, TENSIUNI ŞI IMPEDANŢE COMPLEXE..................1Enunţul problemei...................................................................................... 1Rezolvarea problemei................................................................................ 2Discuţii suplimentare.................................................................................. 313-2. CIRCUIT (RAMIFICAT) PARALEL CU MAI MULTE RAMURI.......................................................................6Enunţul problemei....................................................................................... 6Rezolvarea problemei.................................................................................. 6Discuţii suplimentare................................................................................... 813-3. CIRCUIT RAMIFICAT PARALEL ŞI SERIE................................ 12Enunţul problemei...................................................................................... 12Rezolvarea problemei................................................................................. 12Discuţii suplimentare.................................................................................. 1713-4. CIRCUIT RAMIFICAT CU INDUCŢIE MUTUALĂ..................... 19Enunţul problemei....................................................................................... 19Rezolvarea problemei.................................................................................. 2013-5. CIRCUIT COMPLEX........................................................................ 24Enunţul problemei........................................................................................ 24Rezolvarea problemei................................................................................... 25Discuţii suplimentare.................................................................................... 2813-6. CIRCUIT COMPLEX CU INDUCŢIE MUTUALĂ......................... 30Enunţul problemei........................................................................................ 30Soluţia problemei......................................................................................... 3113-6. REZOLVAREA PROBLEMEI.......................................................... 3813-7. PROBLEME PROPUSE PENTRU REZOLVARE........................... 44 Probleme pentru paragraful 13-1.................................................................. 44Probleme pentru paragraful 13-2.................................................................. 48 Probleme pentru paragrafele 13-4 şi 13-5.................................................... 5013-8. RĂSPUNSURI LA PROBLEMELE PROPUSEPENTRU REZOLVARE ÎN CAPITOLUL 13............................................ 54 BIBLIOGRAFIE………………………………………………..56 CUPRINS …………………………………………………….57

55

Page 56: NUMERE COMPLEXE IN

56