numerikus módszerek 6

  • Upload
    peet89

  • View
    222

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    1/50

    1

    Numerikus mdszerek 6. Parcilisdifferencilegyenletek numerikus megoldsa

    Vektoranalzis, sszefoglal

    Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek

    Mdszerek elliptikus egyenletekre

    Mdszerek idfgg egyenletekre

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    2/50

    2

    Vektoranalzis, sszefoglal. Differencilopertorok

    Legyen RR n

    u : differencilhatskalrfggvny, nnE RR : differencilhat

    vektorfggvny.

    Az ufggvny gradiense:

    nx

    u

    x

    u

    x

    u

    u ,...,,:grad21

    (vektorfggvny)

    Az ),...,,(: 21 nEEEE fggvny divergencija:n

    n

    x

    E

    x

    E

    x

    EE

    ...:div

    2

    2

    1

    1 (skalrfggvny)

    Az ),,(: 321 EEEE fggvny rotcija:

    2

    1

    1

    2

    1

    3

    3

    1

    3

    2

    2

    3 ,,:rotx

    E

    x

    E

    x

    E

    x

    E

    x

    E

    x

    EE (vektor)

    A Laplace-opertor:2

    2

    2

    2

    2

    2

    1

    2

    ...:

    nx

    u

    x

    u

    x

    u

    u

    (skalrfggvny)

    0gradrot u

    0Erotdiv

    uu graddiv

    )grad()div()div( uEuEuE

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    3/50

    3

    Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek

    Gauss-fle divergenciattel: dnEdEdiv

    Kvetkezmnye:

    d

    n

    udu

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    4/50

    4

    Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsittelek

    Gauss-fle divergenciattel: dnEdEdiv

    Kvetkezmnye:

    d

    n

    udu

    dn

    udnududu )grad(graddiv

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    5/50

    5

    Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek

    Green 1. ttele:

    dvn

    udvudvu )grad()grad()(

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    6/50

    6

    Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek

    Green 1. ttele:

    dvn

    udvudvu )grad()grad()(

    Legyen vuE )grad(: , akkor

    )grad()grad()()grad()grad()graddiv())ugrad((divdiv vuvuvuvuvE .

    A Gauss-ttelt alkalmazva:

    dvn

    u

    dvudnvudvu

    dvudvudvu

    )grad()grad()(grad)grad()grad(

    ))div((grad)grad()grad()(

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    7/50

    7

    Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek

    Green 2. ttele:

    dun

    vdv

    n

    uduvdvu )()(

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    8/50

    8

    Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek

    Green 2. ttele:

    dun

    vdv

    n

    uduvdvu )()(

    Az 1. Green formula szerint:

    dv

    n

    udvudvu

    )grad()grad()(

    us vszerepcserjvel:

    dun

    vduvduv )grad()grad()(

    Kivonva ezt az elz egyenlsgbl, az llts addik.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    9/50

    9

    Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek

    Green 3. ttele (2D-ben):

    yyy

    ydyuyxd

    n

    yuyxdyu

    yx

    nyxxu )(||||log

    )(||||log)(

    ||||

    )()(

    2

    1

    2

    1

    22

    1

    Megjegyzs: a ||||log:)( yxyV fggvny xy esetn mindentt harmonikus, azaz 0V .

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    10/50

    10

    Numerikus mdszerek 6. Parcilis differencilegyenletek numerikus megoldsa

    Vektoranalzis, sszefoglal

    Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek

    Mdszerek elliptikus egyenletekre

    Mdszerek idfgg egyenletekre

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    11/50

    11

    Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek

    Elliptikus egyenletek: fu

    (Poisson-egyenlet; haf= 0, akkor Laplace-egyenlet)

    ltalnosabb elliptikus egyenlet: fu graddiv

    (Stacionrius hvezets; elektromos rameloszls; szivrgs; szlkeltette ramls seklytavakban)

    Konvekci-diffzi-reakciegyenlet: fuduu graddivgradv

    (Stacionrius transzportfolyamatok; szennyezanyagterjeds folyadkokban, gzokban)

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    12/50

    12

    Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek

    Parabolikus egyenletek: fuDtu

    (diffzis egyenlet)

    ltalnosabb parabolikus egyenlet: fut

    u

    graddiv

    Konvekcis-diffzis egyenlet: fuut

    u

    graddivgradv

    (Transzportfolyamatok; szennyezanyagterjeds folyadkokban, gzokban)

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    13/50

    13

    Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek

    Hiperbolikus egyenletek: fuctu

    22

    2

    (hullmegyenlet)

    (Hullmterjeds)

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    14/50

    14

    Mellkfelttelekelliptikus egyenletekre: peremfelttelek

    uelrsa a tartomny peremn (1. vagy Dirichlet-fle peremfelttel)

    n

    u

    elrsa a tartomny peremn (2. vagy Neumann-fle peremfelttel)

    usn

    u

    egy lineris kombincijnak elrsa a tartomny peremn (3. vagy Robin-fle

    peremfelttel)

    A perem egyes darabjain akr klnbz tpus peremfelttel is tehet (kevert peremfelttel).

    Szabad felszn problma

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    15/50

    15

    Mellkfelttelekparabolikus s hiperbolikus egyenletekre: kezdeti- s peremfelttelek

    Trvltozk szerint: peremfelttelek (idfgg is lehet)

    Id szerint: kezdeti felttel

    parabolikus egyenletek esetn: uelrsa egy 0tt idpillanatban

    hiperbolikus egyenletek esetn: u st

    u

    elrsa egy 0tt idpillanatban

    A mellkfelttelekkel elltott parcilis differencilegyenletnek (ltalban) egyrtelm

    megoldsuk ltezik.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    16/50

    16

    Numerikus mdszerek 6. Parcilis differencilegyenletek numerikus megoldsa

    Vektoranalzis, sszefoglal

    Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek

    Mdszerek elliptikusegyenletekre

    Mdszerek idfgg egyenletekre

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    17/50

    17

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    A Fourier-mdszer a Poisson-egyenletre

    Modellfeladat: fu a2

    ),0(),0( R ba tglalapon, 0:u a peremen.

    1.lps: Fejtsk szinuszos Fourier-sorba a jobboldaliffggvnyt:

    1 1

    sinsin),(k j

    kjb

    yj

    a

    xkcyxf

    A Fourier-egytthatk:

    a b

    kj dydxb

    yj

    a

    xkyxf

    abc

    0 0

    sinsin),(4

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    18/50

    18

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    A Fourier-mdszer a Poisson-egyenletre

    2.lps: A fenti Fourier-egytthatkkal ksztsk el az albbi szinuszos Fourier-sort:

    1 12

    22

    2

    22 sinsin),(

    k j

    b

    j

    a

    k

    kj

    b

    yj

    a

    xkcyxu

    Az gy nyert ufggvny megoldsa a modellfeladatnak.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    19/50

    19

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    A Fourier-mdszer a Poisson-egyenletre

    2.lps: A fenti Fourier-egytthatkkal ksztsk el az albbi szinuszos Fourier-sort:

    1 12

    22

    2

    22 sinsin),(

    k j

    b

    j

    a

    k

    kj

    b

    yj

    a

    xkcyxu

    Az gy nyert ufggvny megoldsa a modellfeladatnak.

    b

    yj

    a

    xk

    b

    j

    a

    k

    a

    xk

    b

    yj

    yb

    yj

    a

    xk

    xb

    yj

    a

    xk

    sinsinsinsinsinsinsinsin

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    ezrt

    ),(sinsinsinsin),(

    1 11 1 2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22 yxf

    b

    yj

    a

    xkc

    b

    yj

    a

    xkcyxu

    k j

    kj

    k j b

    j

    a

    k

    b

    j

    a

    k

    kj

    A tglalap peremn pedig 0u , mert itt 0sinsin

    b

    yj

    a

    xk.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    20/50

    20

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    A Fourier-mdszer a Poisson-egyenletre

    Megjegyzsek:

    A Fourier-sorfejts s Fourier-sor-kirtkels realizlsa FFT-vel trtnhet.

    Csak tglalaptartomny esetn hasznlhat (hasonl mdszer vezethet le mg ms nagyon

    specilis tartomnyokra pl. krre).

    Csak Poisson-egyenlet esetn hasznlhat (hasonl mdszer vezethet le mg ms nagyonspecilis differencilegyenletre).

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    21/50

    21

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Vges differencia mdszerek

    Modellfeladat: fu egy2

    R tartomnyon, uelrt a peremen.

    Alaptlet: Bortsuk le a tartomnyt derkszg egyenkz rccsal, s a rcs-pontokban a derivltakat kzeltsk vges differencia smkkal.

    A Laplace-opertor kzeltse tpontos centrlis smval:

    222422~)(

    huuuuu

    huuu

    huuuu CESWNSCNWCEC

    gy a C rcspontra felrt diszkrt egyenlet:

    CESWNC fhuuuuu 2

    4

    mely rvnyes minden, a tartomny belsejben fekv rcspontra. A tartomny peremre esrcspontokban uelrt (peremfelttel).

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    22/50

    22

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Vges differencia mdszerek

    A vn

    u

    Neumann-peremfelttel diszkretizlsa:

    Naiv megolds (a kzelts csak elsrend):h

    uu

    n

    u WCC

    ~ ,

    innen a Cperempontra: CWC vhuu

    Javtott (msodrend) kzelts: CCSNWC hvfhuuuu 224 2

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    23/50

    23

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Vges differencia mdszerek

    )(21 32

    2

    2

    hOh

    x

    uhx

    uuu CCCW

    , s CCC f

    yu

    xu

    2

    2

    2

    2

    , innen

    )(2

    1

    2

    1 3222

    2

    hOhfhy

    uh

    x

    uuu C

    CCCW

    2

    2

    y

    uC

    -t centrlis smval kzeltve: )(2

    222

    2

    hOh

    uuu

    y

    uSCNC

    :

    )(2

    1)2(

    2

    1 32 hOhfuuuhx

    uuu CSCN

    CCW

    ahonnan:

    )(2

    1

    2

    2 2

    hOhfh

    uuu

    h

    uu

    x

    u

    C

    SCNWCC

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    24/50

    24

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Vges differencia mdszerek

    Numerikus jellemzk:

    A rendszer nagymret, de mtrixa ritka mtrix.

    Direkt mdszerek: nagyon mveletignyesek.

    Egyszer itercis mdszerek: ltalban lassak.

    Aperem kzeltse durva.

    A megoldand f problma: az egyenletrendszer gyorsmegoldsa.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    25/50

    25

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Vges trfogatmdszerek

    Modellfeladat: fu egy2

    R tartomnyon, uelrt a peremen

    Alaptlet: Bortsuk le a tartomnyt egy cellarendszerrel, s integrljuk azegyenletet minden egyes Ccelln:

    C

    C

    dn

    udu

    C

    Ezekutn mr csak a normlis irny derivltnak az egyes cellaoldalak mentn

    vett integrljait (a fluxusokat) kell kzelteni pl. cella-kzpponti differencia-smkkal:

    CESWNCECSCWCN

    C

    CCC

    uuuuuhh

    uuh

    h

    uuh

    h

    uuh

    h

    uudn

    u

    fhdfdu

    C

    4~

    ~ 2

    gy a Ccellra felrt diszkrt egyenlet: CESWNC fhuuuuu 24 , mely rvnyesminden, a tartomny belsejben fekv cellra. A tartomny peremre illeszked cellkban uelrt (peremfelttel).

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    26/50

    26

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Vges trfogatmdszerek

    A mdszer nagymret, ritka mtrix egyenletrendszert ad. Ennek gyors megoldsaproblematikus. De:Nem felttlen szksges tglalapcellkat alkalmazni, gy jobban lehet aperemre illeszkedni. Csak elsrend derivltakat (fluxusokat) kell kzelteni, msodrendeket nem. A Neumann-peremfelttel diszkretizlsa sokkal egyszerbb.

    Ha pl. a Ccella keleti oldala a peremre illeszkedik, s ott Evn

    u

    elrt, akkor a keleti

    cellaoldalra vett fluxus szmthat.

    hvuuuuhvhh

    uuh

    h

    uuh

    h

    uudn

    uECSWNE

    CSCWCNC

    C

    3~

    A Ccellra felrt diszkrt egyenlet:

    hvfhuuuu ECSWNC 23

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    27/50

    27

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Multigrid mdszerek

    Modellfeladat(lineris): Au = fEkvivalens (itercira alkalmas) formban: u = Bu + gltalban ez egy egyszer Jacobi- vagy Seidel-itercit rtelmez.

    Alaptletek:

    tbbszint diszkretizls simts (Jacobi- vagy Seidel-itercival)

    javts a maradkegyenletalapjn:

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    28/50

    28

    Mdszerekelliptikus egyenletekre.

    Multigrid mdszerek

    Modellfeladat(lineris): Au = fEkvivalens (itercira alkalmas) formban: u = Bu + gltalban ez egy egyszer Jacobi- vagy Seidel-itercit rtelmez.

    Alaptletek:

    tbbszint diszkretizls simts (Jacobi- vagy Seidel-itercival)

    javts a maradkegyenletalapjn:

    Legyen u~ egy kzelt megoldsa azAu = f egyenletnek. Akkor a pontos umegolds elllwuu

    ~alakban, ahol wjavt tag megoldsa a maradkegyenletnek:

    uAfAw ~

    Ha wmeghatrozsa nem pontos, akkor gy a megolds egy jabb kzeltst kapjuk.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    29/50

    29

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Kthls mdszer

    Legyen HX

    egyHlpskz (durva) hl, hX

    pedig egy hlpskz (finom) hl.

    Diszkretizlt feladatok: hhh fuA ill. HHH fuA hasonlan: hhhh guBu ill. HHHH guBu .

    Az egyes hlkkzti tvitelek: Hh XXR : (leszkts a durva hlra),

    hH XXP : (kiterjeszts a finom hlra)

    A kthlsalgoritmus lpsei:

    Elsimts: hhhh guBu ~

    :~ vgrehajtsa nhnyszor

    Durvahls korrekci: Hhh Pwuu ~:~ , ahol )~( hhhHH uAfRwA

    Utsimts: hhhh guBu ~:~ vgrehajtsa nhnyszor

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    30/50

    30

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Tbbhls mdszerek

    Legyenek LXXX ...21 egymsba gyazott hlk( 1X

    a legdurvbb. LX

    a legfinomabb).

    Diszkretizlt feladatok: kkk fuA hasonlan: kkkk guBu (k= 1,2,,L)

    Az egyes hlkkztti tvitelek: 1: kkk XXR (leszktsek)

    kkk XXP 1: (kiterjesztsek).

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    31/50

    31

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Tbbhls mdszerek

    Legyenek LXXX ...21 egymsba gyazott hlk( 1X

    a legdurvbb. LX

    a legfinomabb).

    Diszkretizlt feladatok: kkk fuA hasonlan: kkkk guBu (k= 1,2,,L)

    Az egyes hlkkztti tvitelek: 1: kkk XXR (leszktsek)

    kkk XXP 1: (kiterjesztsek).

    Kaszkd mdszer:

    Lemegynk a legdurvbb szintre, s ott pontosan megoldjuk a feladatot:

    1

    1

    11 :~ fAu

    A finomabb szinteken csak az elz szintrl thozott megoldsokat javtjuk:

    1~:~ kkk uPu (thozatal)

    kkkk guBu ~

    :~ (simts, nhnyszor) (k= 2,3,,L)

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    32/50

    32

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Tbbhls mdszerek

    Legyenek LXXX ...21 egymsba gyazott hlk( 1X

    a legdurvbb. LX

    a legfinomabb).

    Diszkretizlt feladatok: kkk fuA hasonlan: kkkk guBu (k= 1,2,,L)

    Az egyes hlkkztti tvitelek: 1: kkk XXR (leszktsek)

    kkk XXP 1: (kiterjesztsek).

    Multigrid ciklus (MGC): iteratv javtsTeljes multigrid algoritmus (FMG): nem iteratv

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    33/50

    33

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Tbbhls mdszerek

    Multigrid ciklus rekurzv defincija:

    A legdurvbb szinten pontosan megoldjuk a feladatot:

    11

    1111 :),~,1(:~ fAfuMGCu

    A finomabb szinteken:

    thozatal az elz szintrl: 1~

    :~

    kkk uPu

    elsimts: kkkk guBu :~ vgrehajtsa nhnyszor

    maradk kiszmtsa: kkkk uAfr ~

    :

    multigrid ciklus vgrehajtsa (csak 1-szer vagy ktszer (V-ciklus ill. W-ciklus)) amaradkegyenletre az eggyel durvbb hln: ),,1(: 11 kkkk rRwkMGCw . A kezdetikzelts lehet 0.

    durvahls korrekci: 1~

    :~

    kkkk wPuu

    utsimts: kkkkk guBfukMGC ~:),~,(

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    34/50

    34

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Tbbhls mdszerek

    Teljes multigrid algoritmus rekurzv defincija:

    A legdurvbb szinten pontosan megoldjuk a feladatot:

    11

    111 :),1(:~ fAfFMGu

    A finomabb szinteken:

    )),1((:~

    1

    kkk

    fkFMGPu

    )),~,(:),( kkk fukMGCfkFMG

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    35/50

    35

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Multigrid mdszerek

    Megjegyzsek:

    A simts feladata: a hiba nagyfrekvencis komponenseinekerteljes cskkentse (nem agyors konvergencia). A hiba alacsonyfrekvencis komponenseit a durvahls korrekcicskkenti.

    Mveletigny: az ismeretlenek szmnak elshatvnyval arnyos

    ltalnosthat nemlineris feladatokra is (Full Approximation Scheme)

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    36/50

    36

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Varicis mdszerek, vges elem mdszerek

    Modellfeladat: fu egy 2R tartomnyon, 0u a peremen.

    Legyenek N ,...,, 21 adott bzisfggvnyek, s N ,...,, 21 adott tesztfggvnyek., melyekszintn eltnnek a peremen.

    Keressk a megoldst

    N

    jjjuu

    1

    : alakban. Mindkt oldalt k -val szorozva s integrlva:

    ),...,2,1(gradgrad1

    Nkdfdu k

    N

    jkjj

    Msodrendderivltak nem fordulnak el!

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    37/50

    37

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Varicis mdszerek, vges elem mdszerek

    Numerikus jellemzk:

    A rendszer nagymret, de mtrixa ritka mtrix (a bzis- s a tesztfggvnyeketalkalmasan megvlasztva)

    Direkt mdszerek: nagyon mveletignyesek.

    A perem kzeltse kellen finom lehet.

    Az elemstruktra ltrehozsa azonban kln problma.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    38/50

    38

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Varicis mdszerek, vges elem mdszerek

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    39/50

    39

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    A perem-integrlegyenlet mdszer

    Modellfeladat: fU egy 2R tartomnyonKevert peremfelttel:

    Uelrt a perem egy 1 rszn;a perem fennmarad 2 rszn a nU / normlis irny derivlt adott

    3.Green-formula: jellje

    |:,|:

    n

    UvUu , akkor minden bels(-beli)zpontban:

    yyy

    ydyfyzdyvyzdyu

    yz

    nyzzU )(||||log)(||||log)(

    ||||

    )()(

    2

    1

    2

    1

    22

    1

    A jobb oldal tagjai: kettsrteg potencil, egyszer rteg potencil, logaritmikus potencil.

    Alaptlet: Legyen x egy perempont; xz mellett kiszmtjuk mindkt oldal limeszt, gyegy integrlegyenletet kapunk, melyben az ismeretlen fggvnyek (us v) csak a peremenrtelmezettek.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    40/50

    40

    A perem-integrlegyenlet mdszer

    A logaritmikus s az egyszer rteg potencil folytonosakzszerint.

    Ha ufolytonos, akkor a kettsrteg potencil limesze:

    ))(2()()(

    ||||

    )()(

    ||||

    )(lim

    22 xxudyu

    yx

    nyxdyu

    yz

    nyzy

    yy

    y

    xz

    ahol )(x a perem bels trsszge azxperempontban.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    41/50

    41

    A perem-integrlegyenlet mdszer

    Az us vperemfggvnyek kielgtik az albbi perem-integrlegyenletet:LfRvKuu

    ahol

    yy

    yy

    dyfyxxLfdyvyxxRv

    dyuyx

    nyxxKu

    )(||||log:))((,)(||||log:))((

    ,)(||||

    )(:))((

    2

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    42/50

    42

    A perem-integrlegyenlet mdszer

    Az us vperemfggvnyek kielgtik az albbiperem-

    integrlegyenletet:

    LfRvKuu

    ahol

    yy

    yy

    dyfyxxLfdyvyxxRv

    dyuyx

    nyxxKu

    )(||||log:))((,)(||||log:))((

    ,)(||||

    )(:))((

    2

    Elvgezve ui. a xz hatrtmenetet:

    y

    yyy

    dyfyx

    dyvyxxxudyuyx

    nyxxu

    )(||||log

    )(||||log))(2()(2

    1)(

    ||||

    )()(

    2

    1

    2

    1

    22

    1

    s innen a perem-integrlegyenlet mr addik.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    43/50

    43

    A perem-integrlegyenlet numerikus megoldsa kollokcis mdszerrel

    Legyenek N ,...,, 21 adott peremfggvnyek, Nxxx ,..., 21 adott perempontok (kollokcis

    pontok). (Legegyszerbb vlaszts: a peremet rcspontokkal Nrszre bontjuk, s k legyen az afggvny, mely a k-adik szakaszon azonosan 1, msutt zrus).

    Keressk u-t s v-t ezen fggvnyek lineris kombincijaknt:

    N

    jjj

    N

    jjj vvuu

    11

    ~,~

    Ezeket a perem-integrlegyenletbe helyettestve, s az egyenlsget az Nxxx ,..., 21 perempontok-ban megkvetelve, az ismeretlen egytthatkra lineris egyenletrendszert nyernk:

    )))((:),)((:()(11

    kjkjkjkjk

    N

    jjkj

    N

    jjkjkk xRRxKKxLfvRuKu

    ),...,2,1( Nk

    EzNdb egyenlet. A peremfelttelek tovbbiNegyenletet adnak.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    44/50

    44

    A perem-integrlegyenlet mdszer

    Numerikus jellemzk

    A perem-integrlegyenlet (kzelt) megoldsa csak peremen elhelyezett rcspontokatignyel. A tartomny diszkretizlsa nem szksges.

    Diszkretizls utn a kapott egyenletrendszer mrete sokkal kisebb, mint vges differenciamdszer alkalmazsa esetn,de a rendszer mtrixa teljesen kitlttt mtrix s ltalban nemszimmetrikus.

    A multigrid technika itt is alkalmazhat, s ez tovbb cskkenti a mveletignyt.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    45/50

    45

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Az alapmegoldsok mdszere

    Modellfeladat:0U

    egy

    2R

    tartomnyonKevert peremfelttel:Uelrt a perem egy 1 rszn;a perem fennmarad 2 rszn a nU / normlis irny derivlt adott

    Nxxx ~,...,~,~ 21 adott kls pontok (forrspontok)

    221121 ,...,,,,...,, NMMM xxxxxx adott perempontok (kollokcis pontok).

    ||||log2

    1:)( xx

    (alapmegolds), akkor 0

    )~(:)(1

    j

    N

    jj xxxU

    Az ismeretlen egytthatka peremfelttelekbl szmthatk:

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    46/50

    46

    Mdszerek elliptikus egyenletekre.

    Az alapmegoldsok mdszere

    )~(:)(1

    j

    N

    jj xxxU

    Az ismeretlen egytthatk a peremfelttelekbl szmthatk:

    ),...,2,1()()~(

    ),...,2,1()()~(

    1

    1

    NMMkxn

    Uxx

    n

    MkxUxx

    kk

    jkk

    N

    jj

    kjk

    N

    j

    j

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    47/50

    47

    Az alapmegoldsok mdszere

    Numerikus jellemzk

    A mdszercsak peremen elhelyezett kollokcis pontokat s kls forrspontokatignyel.A tartomny diszkretizlsa nem szksges.

    Rendkvl egyszeren programozhat.

    Az egyenletrendszer mtrixa teljesen kitlttt mtrix s ltalban nem szimmetrikus.

    Az egyenletrendszer mtrixa ltalban nagyon rosszul kondcionlt: minl tvolabb vannaka forrspontok a peremtl, annl rosszabbul kondcionlt a mtrix.

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    48/50

    48

    Numerikus mdszerek 6. Parcilis differencilegyenletek numerikus megoldsa

    Vektoranalzis, sszefoglal

    Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek

    Mdszerek elliptikus egyenletekre

    Mdszerek idfgg egyenletekre

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    49/50

    49

    Mdszerek idfgg egyenletekre.

    A Fourier-mdszer

    Modellfeladat: fuDt

    u

    a2

    ),0(),0( R ba tglalapon

    Peremfelttel: u:= 0 a peremen (minden 0t esetn).Kezdeti felttel: ),(),,0( 0 yxuyxu .

    1.lps: Fejtsk szinuszos Fourier-sorba a jobboldaliffggvnyt minden 0t esetn:

    1 1

    sinsin)(),,(k j kj b

    yj

    a

    xktcyxtf

    2.lps: Fejtsk szinuszos Fourier-sorba a kezdeti felttelt is:

    1 10 sinsin),(

    k jkj

    b

    yj

    a

    xkayxu

    3.lps: Keressk a megoldst is szinuszos Fourier-sor alakban, egyelre ismeretlen Fourier-

    egytthatkkal:

    1 1

    sinsin)(),,(k j

    kjb

    yj

    a

    xktuyxtu

  • 7/25/2019 numerikus mdszerek 6

    50/50

    50

    Mdszerek idfgg egyenletekre.

    A Fourier-mdszer

    Behelyettestve a felttelezett megoldst a differencilegyenletbe:

    1 12

    22

    2

    22

    sinsin)()()(k j

    kjb

    j

    a

    kkj

    b

    yj

    a

    xktuDtuuD

    t

    u

    Az egyenlet megoldst nyerjk, ha az kju Fourier-egytthatfggvnyek kielgtik az albbi

    kznsgesdifferencilegyenletet s kezdeti felttelt:

    kjkj

    kjkjb

    j

    a

    kkj

    au

    tctuDtu

    )0(

    )()()()(2

    22

    2

    22

    Specilisan, ha a kjc fggvnyek konstansok (a jobboldaliffggvny nem fgg az idtl):

    2

    22

    2

    22

    :)(b

    j

    a

    kkj

    tD

    kj

    kjkj

    kj

    kjkj

    kje

    D

    ca

    D

    ctu

    Ez esetben a kezdeti felttel hatsa gyorsan lecseng, s a megolds tart a fuD Poisson-egyenlet megoldshoz.