Numerische Simulation partikelbeladener Gasstr˜omungen mit ... · Numerische Simulation partikelbeladener Gasstr˜omungen mit der Euler-Lagrange-Methode Diplomarbeit im Studiengang

Numerische Simulation

partikelbeladener Gasstromungen

mit der Euler-Lagrange-Methode

Diplomarbeit

im Studiengang Mathematik

angefertigt an der Fakultat fur Mathematik

der Technischen Universitat Dortmund

von

Nikolas Vogt

Dortmund, Juni 2009

Danksagungen

An dieser Stelle mochte ich mich bei Marcel Gurris fur die Unterstutzung und das

Bereitstellen von Ergebnissen seiner Simulationen bedanken. Außerdem mochte

ich mich bei meinen betreuenden Professoren JProf. Dr. Dmitri Kuzmin und Prof.

Dr. Stefan Turek fur die sehr freundliche und hilfreiche Unterstutzung bedanken.

Des Weiteren mochte ich mich fur die Unterstutzung wahrend der Korrektur bei

Christian Kuhbacher und Kim Waldschlager bedanken.

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 1

1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Kategorisierung von Mehrphasenstromungen . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Simulation von Mehrphasenstromungen . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Das Euler-Euler-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Das Euler-Lagrange-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Das Euler-Lagrange-Modell 9

2.1 Modellierung der kontinuierlichen Phase . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Erhaltungsgleichungen in ihrer allgemeinen Form . . . . . 10

2.1.2 Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Modellierung der dispersen Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Bewegungsgleichung des Partikels . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Kraftebilanz fur die Partikelbewegung . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3 Partikel-Wand-Kollisionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4 Partikel-Partikel-Kollisionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Volumenanteil der dispersen Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Phasenwechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

i

ii INHALTSVERZEICHNIS

3 Das Euler-Euler-Modell 33

3.1 Grundgleichungen des Euler-Euler-Modells . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Kopplung zwischen den beiden Phasen . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Numerische Losung 37

4.1 Vereinfachung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1 Relevanz der einzelnen Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.2 Resultierende Bewegungsgleichung des Partikels . . . . . . 41

4.2 Triangulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.1 Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.2 Berechnung der Gasstromung . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.3 Berechnung der Partikelbewegung . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.4 Berechnung der Partikel-Wand-Kollisionen . . . . . . . . . 59

4.3.5 Berechnung des Volumenanteils der dispersen Phase . . . . 63

5 Numerische Ergebnisse 65

5.1 GAMM Channel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Compression Corner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Zusammenfassung 83

7 Ausblick 85

Literaturverzeichnis 87

Kapitel 1

Einfuhrung

1.1 Einleitung

Bei vielen in der Natur und Technik vorkommenden Stromungen sind zwei oder

mehr verschiedene Phasen beteiligt. Die numerische Stromungsmechanik (CFD)

beschaftigt sich unter anderem mit der Simulation von diesen Mehrphasenstromun-

gen. Liegt die eine Phase in kontinuierlicher Form vor, zum Beispiel als ein Gas,

und die andere Phase in diskreter Form, zum Beispiel in Form von Partikeln,

so bezeichnet man diese Stromung als disperse Mehrphasenstromung. Die vor-

liegende Arbeit befasst sich mit der numerischen Simulation von Gas-Partikel-

Stromungen, welche zu dieser Klasse von Stromungen zahlen. Bei der in dieser

Arbeit angewandten Methode zur Simulation dieser Stromung handelt es sich

um das Euler-Lagrange-Modell. Die Algorithmen in dem verwendeten Programm

bieten die Moglichkeit, verschiedene Modelle der kontinuierichen Phase als Basis

fur die Berechnung der Partikelbewegung zu nutzen. Der Schwerpunkt in dieser

Arbeit wird jedoch auf den kompressiblen Stromungen liegen. Die Berechnung

von Partikelbewegungen in kompressiblen Stromungen in Verbindung mit dem

Euler-Lagrange-Modell stellt ein bisher kaum erforschtes Gebiet der numerischen

Stromungssimulation dar. Die in den kompressiblen Stromungen auftretenden

Schocks (Unstetigkeiten) stellen eine der herausfordernden Schwierigkeiten dieser

Betrachtungsweise dar.

1

2 KAPITEL 1. EINFUHRUNG

Bei dem Euler-Lagrange-Modell wird fur die fluide Phase, in unserem Fall das

Gas, die Eulersche Betrachtungsweise gewahlt, d.h. mit fixen Kontrollvolumina.

Zur Modellierung der dispersen Phase wird die Lagrange’sche Betrachtungsweise

verwendet. Man berechnet die Trajektorien der Partikel und bewegt sich aus Sicht

der Partikel durch das Gasfeld. Der Abschnitt 1.2 befasst sich mit den verschiede-

nen in der Natur vorkommenden Mehrphasenstromungen. Da kein einheitliches

Modell fur alle auftretenden Mehrphasenstromungen moglich ist, muss zunachst

eine Einteilung der vorliegenden Stromung vorgenommen werden. Entsprechend

dieser Einteilung muss dann das passende Modell verwendet werden. Abschnitt

1.3 liefert anschließend eine kurze Ubersicht uber drei haufig verwendete Modelle

zur Simulation von Mehrphasenstromungen.

Das in Kaptiel 2 behandelte Euler-Lagrange-Modell bildet die mathematische

Grundlage fur das in dieser Arbeit implementierte Programm zur Simulation

von partikelbeladenen Gasstromungen. In dem verwendeten Programm bilden

die kompressiblen Euler-Gleichungen die Grundlage zur Berechnung der Gas-

stromung. Neben den Rand- und Anfangswerten erfolgt die Bewegung der Partikel

durch die Impulsubertragung der kontinuierlichen Phase auf die disperse Phase.

Bei diesem Vorgehen wird von dem zweiten Newtonschen Gesetz ausgegangen,

dass die Kraft gleich der Masse mal Beschleunigung ist. Um die resultierende

Kraft auf das Partikel zu erhalten, werden wir auf die verschiedenen auf das Par-

tikel wirkenden Krafte eingehen. Neben dem Einfluss des Fluids auf die Partikel,

werden wir zwei Modelle fur die Interaktion der Partikel untereinander kennenler-

nen. Die fur die Partikelbewegung wesentlichen Partikel-Wand-Stoße bilden einen

weiteren Schwerpunkt in Kapitel 2.

In dieser Arbeit werden wir neben dem Euler-Lagrange-Modell in Kapitel 3 ein

alternatives Modell zur Modellierung von Mehrphasenstromungen kennenlernen.

Bei diesem Modell werden beide Phasen mit der Eulerschen Betrachtungsweise

berechnet. Das sogenannte Euler-Euler-Modell kann aus dem Euler-Lagrange-

Modell hergeleitet werden, dadurch lassen sich die Ergebnisse der beiden Modelle

gut miteinander vergleichen.

In dem darauf folgenden Kapitel 4 wird auf die numerische Losung des Problems

eingegangen. Zur Losung des Problems werden einige Vereinfachungen angenom-

men, die man, im Unterschied zu den allgemeinen dispersen Mehrphasenstromun-

gen, bei Gas-Partikel-Stromungen treffen kann. Eine Schwierigkeit stellt die Suche

nach dem Element, in dem sich das Partikel befindet, dar. Ist die neue Position des

1.1. EINLEITUNG 3

Partikels berechnet, so wird entlang des Strahls zwischen der Positionen des letz-

ten Zeitschritts und des aktuellen Zeitschritts das richtige Element gesucht. Um

die Anzahl der Schritte des Suchvorgangs zu reduzieren und damit die Lange des

Suchvorgangs zu verkurzen, wird ein aquidistantes Hintergrundgitter eingefuhrt.

Durch dieses Hintergrundgitter wird ein naher an dem gesuchten Element liegen-

des Startelement gewahlt. Als Maßstab fur die Nahe eines Elements, wird der

Abstand zu dem Mittelpunkt des Elements gewahlt. Sollte der Algorithmus das

Nachbarelement des gesuchten Elements liefern, was bei unstrukturierten Gittern

der Fall sein kann, so wird in den umliegenden Elementen nach dem Richtigen

gesucht.

Ist das Element gefunden, so mussen alle relevanten auf das Partikel wirkenden

Krafte berechnet werden, um daraus die Bewegung des Partikels zu bestimmen.

Eine Schwierigkeit stellt in diesem Zusammenhang die Druckkraft dar, welcher

bei kompressiblen Stromungen, im Gegensatz zum inkompressiblen Fall, beson-

dere Beachtung geschenkt werden sollte.

Nahert sich ein Partikel der Wand des Stromungsgebiets, so muss uberpruft wer-

den, ob eine Kollision des Partikels mit der Begrenzung des Stromungsgebiets

vorliegt. Zur Modellierung der Partikel-Wand-Stoße werden wir die drei verschie-

dene in dem Programm integrierten Modelle (idealer Stoß, Gleitstoß und Haft-

stoß) betrachten.

In Kapitel 5 werden zwei Beispiele (”GAMM channel“ und

”Compression Cor-

ner“), an denen das Programm getestet wurde, vorgestellt und die numerischen

Ergebnisse prasentiert.


1.2 Kategorisierung von Mehrphasenstromungen

Dieses Kapitel beschaftigt sich mit der Unterteilung von Mehrphasenstromungen

in verschiedene Klassen. Tabelle 1.1 gibt einen Uberblick uber kompressible und

inkompressible in der Natur und der Technik auftretende Mehrphasenstromun-

gen. Die Unterteilung in kompressibel und inkompressibel ist dabei jeweils auf

die kontinuierliche Phase bezogen.

Vor der numerischen Behandlung von verschiedenen Mehrphasenstromungen muss

eine Klassifizierung vorgenommen werden. Diese Unterteilung ist notwendig, da

es schwer ist, fur alle Arten von Stromungen einen einheitlichen Modellierungs-

ansatz zu finden. Die Ausfuhrung richtet sich nach der Unterteilung von Frank

[6]. Dabei weist der Autor darauf hin, dass diese Unterteilung nicht ausreichend

ist, wie er anhand des Beispiels einer Gas-Flussigkeits-Stromung zeigt, bei dem

sich der Volumenanteil andert und dadurch Einfluss auf das Verhalten hat.

Die vielen Einflussfaktoren und die Wechselwirkung zwischen den beteiligten Pha-

sen, wie zum Beispiel die Ubertragung von Masse, Impuls und Warme sind eben-

falls hinderlich bei einer einheitlichen Modellbildung. Dies hat zur Folge, dass

die meisten Modelle nur fur eine enge Klasse von Mehrphasenstromungen gelten.

Liegt die eine Phase in kontinuierlicher Form (z.B. Flussigkeit oder Gas) und

die andere in diskreter Form (z.B. Partikel oder Tropfchen) vor, so bezeichnet

man das Gemisch als disperse Mehrphasenstromung. Die in dieser Arbeit behan-

delten partikelbeladenen Gasstromungen gehoren zu dieser Klasse von Mehrpha-

senstromungen. Ein entscheidenes Merkmal zur weiteren Klassifizierung ist der

Volumenanteil in einem betrachteten Kontrollvolumen δV der beiden Phasen.

Wenn man von i idealisierten kugelformigen Partikeln mit dem Radius dpiaus-

geht, kann man den Volumenanteil αp der dispersen Phase durch folgende Formel

(siehe [6]) bestimmen:

αp =

∑i

π6d3

Pi

δV. (1.1)

Entsprechend lasst sich der Volumenanteil αg der kontinuierlichen Phase bestim-

men:

αg =δVg

δVmit: αg + αp = 1 . (1.2)

1.2. KATEGORISIERUNG VON MEHRPHASENSTROMUNGEN 5

Kompressible Stromungen

Gas-Feststoff-Stromungen • verdunnte Partikelstromungen

• verdunnte Partikelstromung mit

Clusterbildung

• Stromung mit Ablagerungen

(Dunenstromung)

• Pfropfenstromung

• Dichtstromforderung

• Wirbelschichten

Gas-Flussigkeit-Stromungen • Tropfenstromung

• Schaumstromung


• Blasenstromung

Inkompressible Stromungen

Flussigkeit-Feststoff- • Partikelstromungen analog zur

Stromungen Gasfeststoffstromung, aber mit

anderen Krafteverhaltnissen bzgl.

der Bewegung der dispersen Phase

• Aufschlammungen (slurries)

Flussigkeit-Flussigkeit- • Emulsion

Stromungen • Tropfenstromung


• Schichtenstromung

Tabelle 1.1: Ubersicht uber Mehrphasenstromungen


Als weiteres wichtiges Unterscheidungsmerkmal zwischen Gas-Partikel-Stromun-

gen ist die Information, ob es sich um eine verdunnte oder dichte Stromung han-

delt. Dabei wird eine disperse Mehrphasenstromung als dicht bezeichnet, wenn

die Flugbahn der Partikel, neben den aerodynamischen Kraften des Gases auf

das Partikel, hauptsachlich durch die Kollisionen mit den anderen Partikeln be-

stimmt ist. Im Gegensatz dazu ist die Bewegung der Partikel bei verdunnten

Gas-Partikel-Stromungen in erster Linie durch die aerodynamischen Krafte des

Gases auf das Partikel bestimmt. Fur eine detailliertere Betrachtung sei hier auf

die Arbeit von Crowe et al. [2] hingewiesen.

Die in dieser Arbeit behandelten dispersen Mehrphasenstromungen beschranken

sich auf verdunnte Gas-Partikel-Stromungen.

1.3. SIMULATION VON MEHRPHASENSTROMUNGEN 7

1.3 Simulation von Mehrphasenstromungen

Dieser Abschnitt gibt einen Uberblick uber zwei Modelle zur Simulation von

dispersen Mehrphasenstromungen. Bei diesen Modellen handelt es sich um das

Euler-Euler-Modell und das Euler-Lagrange-Modell.

Das Euler-Euler-Modell und das Euler-Lagrange-Modell sind weitgehend aquiva-

lent zueinander (siehe Sokolichin et al. [19]). Das Euler-Euler-Modell lasst sich

aus dem Euler-Lagrange-Modell herleiten. Unter gegebenen Voraussetzungen sind

somit die Modelle gut miteinander vergleichbar.

1.3.1 Das Euler-Euler-Modell

Wie bereits in der Einleitung beschrieben, wird fur beide Phasen die Eulersche Be-

trachtungsweise gewahlt. Man geht also davon aus, dass es sich bei der dispersen

und der kontinuierlichen Phase jeweils um ein Fluid handelt. Die beiden Fluide

konnen sich gegenseitig durchdringen und stehen in Wechselwirkung miteinan-

der. Diese Betrachtungsweise hat den Vorteil, dass der gleiche Losungsansatz fur

beide Phasen verwendet werden kann, und der Rechenaufwand nicht von dem Vo-

lumenanteil, bzw. der Anzahl der Partikel oder Blasen abhangt. Allerdings birgt

das Modell auch einige Einschrankungen. Zum Beispiel geht die Individualitat der

Partikel verloren. Mochte man unterschiedliche Partikelmassen oder -durchmesser

betrachten, so steigt der Rechenaufwand stark an. Dieses Modell bietet sich an,

wenn der Phasenanteil der Partikelphase hinreichend groß ist. Dies hat jedoch

zur Folge, dass der mittlere Partikelabstand deutlich kleiner sein muss, als die

Gitterweite. Ein weiterer Nachteil tritt dann auf, wenn physikalische Effekte, wie

Partikel-Wand-Stoße, eine dominierende Rolle spielen [6].

Kapitel 3 wird sich naher mit dem Modell beschaftigen.


1.3.2 Das Euler-Lagrange-Modell

Im Gegensatz zum Euler-Euler-Modell wird die Bewegung der dispersen Phase

mit Hilfe der Lagrangeschen Betrachtungsweise entsprechend der physikalischen

Eigenschaften berechnet. Die kontinuierliche Phase wird nach den Grundglei-

chungen der Stromungsmechanik modelliert, mit einem zusatzlichen Term, der

den Einfluss der dispersen Phase auf das Fluid beschreibt. Die Bewegung der

Partikel erfolgt durch die Vorgabe von Rand- und Anfangswerten und durch die

Impulsubertragung des Fluides auf das Partikel. Durch Bestimmung aller auf das

Partikel wirkenden Krafte lasst sich die Flugbahn des Partikels berechnen.

Ein Nachteil des Modells ist die Annahme, dass der Volumenanteil der disper-

sen Phase gering ist, wodurch sich Einschrankungen in der Anwendung ergeben.

Diese Annahme ist notig, um den Rechenaufwand des Modells zu verringern.

Durch den geringen Volumenanteil der dispersen Phase wird bei vielen Ansatzen

von einer Ein-Weg-Kopplung ausgegegangen. Um den Rechenaufwand weiter zu

reduzieren, berechnet man bei dem Euler-Lagrange-Modell nicht, wie bei einer

direkten numerischen Simulation, die Flugbahn jedes einzelnen Partikels, sondern

vereint mehrere Partikel zu Paketen (sog. parcels). Je mehr Partikelpakete simu-

liert werden, desto großer ist der Rechenaufwand.

Einen großen Vorteil hat das Modell jedoch, da man fur jedes Partikel eine un-

terschiedliche Masse und einen unterschiedlichen Durchmesser bei der Simulation

zulassen kann. Bei dem Euler-Euler-Modell ist das zum Teil auch moglich, aller-

dings steigt der Rechenaufwand dann stark an. Dies ist bei dem Euler-Lagrange-

Modell, welches in dieser Arbeit verwendet wird, nicht der Fall.

Kapitel 2

Das Euler-Lagrange-Modell

Eine Moglichkeit zur Simulation von Mehrphasenstromungen bietet das Euler-

Lagrange-Verfahren. Bei diesem Modell wird die kontinuierliche Phase mit Hilfe

des Eulerschen Ansatzes berechnet, wahrend man die Bewegung der dispersen

Phase mit Hilfe der Lagrangeschen Betrachtungsweise bestimmt. Bei diesem Ver-

fahren wird jede einzelne Trajektorie der Partikel, bzw. des Partikel-Pakets, direkt

berechnet. Durch diese Methode sind zu jedem Zeitpunkt die einzelnen Positionen

der Partikel oder Tropfchen bekannt. Durch das Aufsummieren aller Volumina

der einzelnen Partikel lasst sich zu jedem Kontrollvolumen, bzw. an jedem Git-

terknotenpunkt, der Anteil der dispersen Phase bestimmen, welcher bei einer

Zwei-Wege-Kopplung zur Berechnung der kontinuierlichen Phase benotigt wird.

2.1 Modellierung der kontinuierlichen Phase

Neben den, in dem Programm verwendeten, kompressiblen Euler-Gleichungen

werden in diesem Abschnitt weitere Moglichkeiten zur Modellierung der kontinu-

ierlichen Phase vorgestellt. Die meisten in der Literatur vorkommenden Modelle

basieren auf inkompressiblen Gleichungen. Die in diesem Abschnitt vorgestellten

Modelle behandeln jeweils die einphasigen Gleichungen.

9

10 KAPITEL 2. DAS EULER-LAGRANGE-MODELL

2.1.1 Erhaltungsgleichungen in ihrer allgemeinen Form

Dieser Abschnitt beschaftigt sich mit den allgemeinen Erhaltungsgleichungen. In

dem darauffolgenden Abschnitt wird auf die verschiedenen Modelle zur Simula-

tion von Stromungen eingegangen, welche aus den allgemeinen Erhaltungsglei-

chungen hergeleitet werden konnen.

2.1.1.1 Massenerhaltung

Existieren weder Massenquellen, noch -senken so gilt allgemein die Massenerhal-

tung. Die zeitliche Anderung der Dichte ρ entlang der Bahn eines Fluidelements

ist proportional zur Divergenz des Impulsfeldes [3]:

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0 (2.1)

In der Gleichung steht u fur die Geschwindigkeit.

2.1.1.2 Impulserhaltung

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz

F = m a (2.2)

lasst sich die Impulsanderung eines Fluidelements aus der Summe der darauf

wirkenden Krafte berechnen. In Gleichung (2.2) bezeichnet F die Kraft und a die

Beschleunigung. Die integrale Form von F = m a lautet [3]:

∂

∂t(ρu) +∇ · (ρu⊗ u) +∇p +∇ · τ − fB = 0. (2.3)

In der Gleichung steht ρ fur die Dichte, u fur die Geschwindigkeit, p fur den

Druck und τ fur den Spannungstensor. Alle Terme sind volumenbezogen (d.h.

dividiert durch das Volumen des Fluidelements). Die in dieser Gleichung auftre-

tenden Krafte sind die Druckkraft ∇p , die Oberflachenkrafte auf Grund viskoser

Spannungen ∇· τ und die Volumenkrafte fB. Die Volumenkrafte variieren je nach

Modell (Schwerkraft, Zentrifugalkraft, etc.).

2.1. MODELLIERUNG DER KONTINUIERLICHEN PHASE 11

2.1.1.3 Energieerhaltung

Die Energiebilanz lasst sich wie folgt angeben:

∂e

∂t+∇ · (u(e + p)) = ∇ · (τu)−∇ · q. (2.4)

In der Gleichung bezeichnet u die Geschwindigkeit, p den Druck, τ den Span-

nungstensor, q den Warmefluss und e die Gesamtenergie [15]:

e = ρε +1

2ρu2, (2.5)

mit der internen Energie ε.

2.1.1.4 Algebraische Beziehungen

Die Anzahl der Unbekannten in den Gleichungen fur Massen-, Impuls- und Ener-

gieerhaltung ist großer als die Anzahl der Gleichungen. Zur Schließung des Sy-

stems von partiellen Differentialgleichungen geht man von den Zustandsgleichun-

gen fur ideale Gase aus:

p = ρRT, (2.6)

ε = cV T. (2.7)

Außerdem brauchen wir den Spannungstensor [15]

τ = µ(∇u + (∇u)T )− 2

3µ(∇ · u)I (2.8)

und den Warmefluss [15]

q = −λ∇T. (2.9)

Dabei bezeichnen λ den Warmeleitungskoeffizienten und µ die Schub- bzw. Vo-

lumenviskositat. Mit R = cP − cV bezeichnet man die Gaskonstante. In dieser

Gleichung bezeichnen cP und cV die spezifischen Warmekapazitaten bei konstan-

tem Druck bzw. bei konstantem Volumen.

Der nachste Abschnitt beschaftigt sich mit den am haufigsten verwendeten Mo-

dellen zur Simulation von Einphasenstromungen.


2.1.2 Navier-Stokes-Gleichungen

Dieser Abschnitt wird eine kurze Ubersicht uber die einphasigen Navier-Stokes-

Gleichungen geben. Die in Abschnitt 2.1.2.1 vorgestellten kompressiblen Navier-

Stokes-Gleichungen sind die Grundgleichungen der Stromungsmechanik und ge-

hen aus den oben beschriebenen Erhaltungssatzen hervor. Da diese Gleichungen

sehr schwierig zu losen sind, werden Vereinfachungen angenommen. Im inkom-

pressiblen Fall sind die am haufigsten verwendeten Gleichungen die in Abschnitt

2.1.2.3 vorgestellten inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, im Gegensatz

zu dem kompressiblen Fall, in dem die in Abschnitt 2.1.2.2 vorgestellten kom-

pressiblen Euler-Gleichungen meistens verwendet werden.

2.1.2.1 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen

Aus den Erhaltungssatzen fur Masse, Impuls und Energie erhalt man die kom-

pressiblen Navier-Stokes-Gleichungen [15].

Es gilt die Massenerhaltung:

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0 (2.10)

die Impulserhaltung:

∂

∂t(ρu) +∇ · (ρu⊗ u) +∇p +∇ · τ − fB = 0, (2.11)

und die Energieerhaltung:

∂e

∂t+∇ · (u(e + p)) = ∇ · (τu)−∇ · q. (2.12)

Diese Gleichungen sind sehr schwierig zu losen, deswegen verwendet man verein-

fachte Modelle. Der nachste Abschnitt beschaftigt sich mit so einem Modell. Bei

den kompressiblen Eulergleichungen geht man davon aus, dass fur die Viskositat

µ = 0 gilt.

2.1. MODELLIERUNG DER KONTINUIERLICHEN PHASE 13

2.1.2.2 Kompressible Euler-Gleichungen

Handelt es sich um eine reibungsfreie Stromung, d.h. (∇ · τ = 0), und ver-

nachlassigt man die Warmeleitung und die Volumenkrafte fB, so gehen die kom-

pressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in die kompressiblen Euler-Gleichungen uber:

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0, (2.13)

∂

∂t(ρu) +∇ · (ρu⊗ u) +∇p = 0, (2.14)

∂e

∂t+∇ · (u(ρe + p)) = 0. (2.15)

Die kompressiblen Euler-Gleichungen bilden die Grundlage zur Berechnung der

in dieser Arbeit verwendeten Gasfelder.

Die in dem nachsten Abschnitt vorgestellte Vereinfachung geht von einem in-

kompressiblen Fluid aus. Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen werden

in der Praxis am haufigsten verwendet. Sie gelten zum Beispiel fur Luftstromun-

gen weit unter der Schallgeschwindigkeit, Wasserstromungen und flussige Metalle.

Wenn die Dichte nicht konstant ist und der Druck sich zu stark andert, wie zum

Beispiel bei Uberschallgeschwindigkeit, so treten kompressible Effekte auf und die

inkompressiblen Gleichungen konnen nicht mehr verwendet werden.

2.1.2.3 Inkompressible Navier-Stokes-Gleichung

Wenn es sich bei der kontinuierlichen Phase um ein inkompressibles Fluid handelt,

so reduziert sich die Gleichung (2.1) auf Grund der konstanten Dichte (∂ρ∂t

= 0

und ρ(x) = c) auf:

∇ · u = 0. (2.16)

Nimmt man auch eine konstante Viskositat an, so erhalt man die Impulsgleichung

[3]:

ρ

(∂u

∂t+ u · ∇u

)= −∇p + µ∇2u + fB. (2.17)

Mit der Voraussetzung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes ∇·u = 0

und der Energiegleichung ergibt sich ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen

und vier zu bestimmenden Unbekannten: die drei Komponenten der Geschwin-

digkeit u und den Druck p.


2.2 Modellierung der dispersen Phase

Die Berechnung der dispersen Phase erfolgt nach der Lagrangeschen Bewegungs-

gleichung. Man berechnet die Bewegung der dispersen Phase aus Sicht des Par-

tikels und bewegt sich mit dem Partikel durch das Stromungsgebiet.

2.2.1 Bewegungsgleichung des Partikels

Mit Hilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes

d(mp up)

dt= Fges (2.18)

lasst sich die Bewegungsgleichung des Partikels

dxp

dt= up (2.19)

bestimmen. In den Gleichungen beschreibt xp den Ort, mp die Masse und up

die Geschwindigkeit des Partikels. Man muss fur die Berechnung alle relevanten

auf das Partikel wirkenden Krafte Fges berucksichtigen. Der nachste Abschnitt

befasst sich mit diesem Thema.

2.2.2 Kraftebilanz fur die Partikelbewegung

Die in diesem Abschnitt beschriebenen Krafte bestehen aus den aerodynamischen

Kraften (Widerstandskraft FW , Druckkraft FP , virtuelle Masse FV M , Magnus-

Kraft FM und Saffman-Kraft FS) und der Gravitationskraft FG. Fur ein Partikel

mit konstanter Masse mp = π6d3

pρp lautet die Impulsgleichung [6]:

mpdup

dt= FW + FG + FP + FV M + FM + FS +

∑i

FKi. (2.20)

Die Summe uber die Terme FKibeschreibt alle Volumenkrafte, die in der Formel

(2.20) nicht seperat aufgefuhrt werden. In den nun folgenden Abschnitten wird

naher auf die einzelnen Krafte eingegangen.

2.2. MODELLIERUNG DER DISPERSEN PHASE 15

FWz, FMz

, FSz, FPz

, FV Mz

FWy, FMy

, FSy, FPy

, FV My

FWx, FMx

, FSx, FPx

, FV Mx

FG

Abbildung 2.1: Krafte, die auf ein Partikel wirken

2.2.2.1 Die Widerstandskraft

Die Widerstandskraft setzt sich zusammen aus einem Reibungs- und einen Druck-

widerstand. Auf Grund der ungleichmaßigen Druckverteilung zwischen der strom-

abwarts und der stromaufwarts gelegenen Seite des Partikels wirkt eine Kraft ent-

gegen der Partikelbewegung. Die Haftbedingung an der Oberflache des Partikels

verursacht eine zusatzliche Bremswirkung, sie wird mit dem Reibungswiderstand

bezeichnet. Zur Berechnung der Kraft ist der Widerstandsbeiwert CW von ent-

scheidender Bedeutung. Hierbei handelt es sich um eine Approximation. Eine

direkte Berechnung ware moglich, ist allerdings zu teuer. Der Widerstandsbei-

wert ist von der Partikel-Reynoldszahl abhangig und muss meistens mit Hilfe

von Experimenten empirisch bestimmt werden. Die Widerstandskraft lasst sich

durch folgende Gleichung berechnen [6]:

FW = CWπ

8ρgd

2p |ug − up| (ug − up). (2.21)

In der Gleichung stehen ug und up fur die Geschwindigkeiten von Gas und Parti-

kel, ρg fur die Gasdichte und d2p fur den Partikeldurchmesser. Abschnitt 4.1.1.1 auf

Seite 38 wird sich naher mit der Berechnung des Widerstandbeiwertes beschafti-

gen.


2.2.2.2 Die Gravitationskraft

Die Schwerkraft wird durch folgenden Ausdruck beschrieben:

FG = mp g. (2.22)

Dabei beschreibt mp die Masse des Partikels und g die Schwerkraft.

2.2.2.3 Die Druckkraft

Auf Grund des lokalen Fluiddruckgradienten wirkt eine Kraft auf das Partikel.

Sie lasst sich wie folgt berechnen [6]:

FP = −mg

ρg

∇p = −π

6d3

p∇p. (2.23)

In der Gleichung bezeichnet mg eine Masse mit dem Volumen des Partikels und

der Dichte des Fluids und p den Druck.

2.2.2.4 Die virtuelle Masse

Erfahrt die disperse Phase eine Beschleunigung, so wird wegen der Haftbedingung

an der Oberflache des Partikels ein Teil des umstromenden Fluids mitbeschleu-

nigt. Das Partikel zieht bei seiner Bewegung durch das Stromungsfeld eine Art

Schleppe (auch”wake“ genannt) hinter sich her. Die Tragheit der zusatzlichen

Masse (in der Gleichung (2.24) mit mg bezeichnet) bremst das Partikel ab. Die

Formel zur Berechnung des Einflusses der virtuellen Masse lautet [6]:

FV M = CV M mg

(dug

dt− dup

dt

). (2.24)

In der Literatur gibt es unterschiedliche Ergebnisse hinsichtlich der Große des

CV M -Koeffizienten. Untersuchungen haben ergeben, dass in der Gleichung (2.24)

fur starre kugelformige Partikel CV M = 12

gilt. Fur Gasblasen in der Flussigkeit

ist die Masse der beschleunigten Flussigkeit ungefahr halb so groß wie bei starren

Partikeln [18]. Wie bei der Widerstandskraft, handelt es sich hierbei um eine

Approximation, deren genaue Berechnung zu teuer ware.


2.2.2.5 Die Magnus-Kraft

Mit dem Magnus-Effekt bezeichnet man die Querkraftwirkung, die ein rotierender

runder Korper in einer Stromung erfahrt. Die Kraftwirkung entsteht durch einen

Druckunterschied an den beiden quer zur Stromung liegenden Seiten. Durch die

Rotation und die Haftbedingungen an der Oberflache des Partikels wird an der

einen Seite des Partikels das Fluid beschleunigt, wahrend es an der anderen Seite

verzogert wird. Der daraus resultierende Druckunterschied sorgt fur die Kraftwir-

kung quer zur Stromungsrichtung. Neben der Rotation des Partikels ωp sind fur

die Berechnung die Rotation des Partikels ωrel relativ zum Fluid [6]

ωrel =1

2Ωg − ωp (2.25)

und die Rotation des Fluids Ωg am Partikelort [6]

Ωg = ∇× ug (2.26)

von großer Bedeutung. Die Kraft kann dann mit Hilfe folgender Formel bestimmt

werden [6]:

FM = CMπ

8ρgd

2p

|ug − up|ωrel

(ωrel × (ug − up)). (2.27)

In der Gleichung steht CM fur den Beiwert der Magnus-Kraft, welcher empirisch

bestimmt werden muss.

2.2.2.6 Die Saffman-Kraft

In dem Fall einer Scherstromung, d.h. die eine Seite eines Partikels wird mit ei-

ner hoheren Geschwindigkeit angestromt als die gegenuberliegende Seite, existiert

wieder einer unregelmaßige Druckverteilung. Wie bei der Magnus-Kraft resultiert

aus dem Druckunterschied eine Kraft, die quer zur Stromungsrichtung wirkt. Die

Richtung der Kraft weist dabei in Richtung der Seite mit der großeren Relativ-

geschwindigkeit zwischen Partikel und Fluid [6]:

FS = CS1

4ρgd

2p

√νg√Ωg

((ug − up)× Ωg) , (2.28)

mit dem Beiwert der Saffman-Kraft CS, auf den hier nicht naher eingegangen

wird, und der Viskositat νg.


2.2.3 Partikel-Wand-Kollisionen

Ist das Stromungsgebiet von festen Wanden umgeben, so haben die Wande einen

großen Einfluss auf die Bewegung der dispersen Phase. Auf der Suche nach einem

mathematischen Modell zur Beschreibung des Partikel-Wand-Stoßvorgangs sind

die folgenden drei Faktoren von entscheidender Bedeutung [6]:

Partikel- und Wandmaterial

Bei einem Zusammenstoß von einem Partikel mit einer Wand entsteht, auf Grund

von Deformationsarbeit und Reibung, ein Verlust an kinetischer Energie. Dabei

spielt das Material des Partikels und der Wand eine entscheidene Rolle. Mittels

Experimenten kann fur jedes Partikel-Wand-Paar der Stoßverlustbeiwert kW und

die Gleitreibungszahl fW bestimmt werden. Mit den beiden Werten lasst sich

dann der Zusammenstoß eines kugelformigen Partikels mit einer ideal glatten

Wand modellieren.

Wandrauhigkeit

In realen Experimenten treten in der Regel keine ideal glatten Wande auf. Je nach

Wandbeschaffenheit haben die Unebenheiten der Wande einen entscheidenen Ein-

fluss auf die Partikelbewegung nach dem Stoßereignis. Frank [6] bezeichnet die

charakteristischen Abmessungen einer Wand mit der Rauhigkeitsamplitude, bzw.

Rauhigkeitstiefe Hr und der Rauhigkeitslange Lr. Liegen diese beiden Abmessun-

gen deutlich unter dem Partikeldurchmesser, so haben sie keinen entscheidenden

Einfluss. Anderenfalls ist die lokale Wandneigung bei dem Stoßereignis abwei-

chend von der ideal glatten Wand.

Irregulare Partikelform

Weicht die Form des Partikels von der idealisierten Kugelform ab, so hat dies

ebenfalls Einfluss auf das Stoßereignis. Befindet sich der Schwerpunkt des Par-

tikels nicht uber dem Kontaktpunkt des Partikels mit der Wand, so hat das

eine veranderte Kraftwirkung bezuglich der Impulsbilanz in wandnormaler und

wandtangentialer Richtung zur Folge. Bei einer irregularen Partikelform konnen,

ahnlich wie bei Wandrauhigkeiten, uberhohte oder zu flache Ruckprallwinkel auf-

treten. Je nach Partikelform kann es zu einer Umwandlung von kinetischer Energie

in Rotationsenergie kommen und umgekehrt.


2.2.3.1 Stoß eines kugelformigen Partikels mit einer ideal glatten Wand

Die Ausfuhrungen in diesem Abschnitt gehen auf die Arbeiten von Frank [6], Tsuji

[25, 26] und Sommerfeld [21, 22] zuruck. In [16] verwendet Sawatzki die Vorstel-

lung von einem unelastischen, reibungsbehafteten Stoß eines kugelformigen Parti-

kels mit einer ideal glatten Wand. Grundlage fur die Bewegungsgleichungen bieten

dabei die Impuls- und Drehimpulsgleichungen. Das Koordinatensystem wird so

gewahlt, dass die y-Achse mit dem nach innen gerichteten Normalenvektor der

Wand ubereinstimmt. Neben dem idealen Stoß existieren noch weitere Modelle.

Nach Tsuji [24] kann man zwischen dem Gleitstoß, bei dem das Partikel an der

Stromungsberandung entlang gleitet und dem Haftstoß, bei dem das Partikel an

der Wand entlang gleitet und vor Ende des Stoßvorgangs an der Wand zum Er-

liegen kommt, unterscheiden [6]. Der Auftreffwinkel spielt bei dem Vorgang eine

entscheidene Rolle. Es existiert ein kritischer Auftreffwinkel γkrit, bei dem der

Gleitstoß in den Haftstoß ubergeht. Die folgenden Gleichungen beschreiben die

Partikelzustandgroßen vor und nach dem Stoßereignis.

v(2)P , ω

(2)P

v(1)p , ω

(1)P

γ2γ1

ez

ey

ex

Abbildung 2.2: Partikel-Wand-Stoß

Das Superskript (1) bezeichnet die Partikelzustandsgroßen vor dem Stoß und das

Superskript (2) bezeichnet die Partikelzustandgroßen nach dem Stoß. Mit [6]

|vr| =√

(u(1)p +

dp

2ω

(1)z )2 + (w

(1)p − dp

2ω

(1)x )2 (2.29)

und

εx =u

(1)p + dp

2ω

(1)z

|vr| , εz =w

(1)p − dp

2ω

(1)x

|vr| (2.30)


kann man die Partikelzustandgroßen berechnen.

Fur − 27fW (kW +1)

≤ v(1)p

|vr| ≤ 0:

Gleitstoß:

u(2)p = u(1)

p + εxfW (kW + 1)v(1)p ,

v(2)p = −kWv(1)

p ,

w(2)p = w(1)

p + εzfW (kW + 1)v(1)p ,

ω(2)x = ω(1)

x − 5

dp

εzfW (kW + 1)v(1)p ,

ω(2)y = ω(1)

y ,

ω(2)z = ω(1)

z +5

dp

εzfW (kW + 1)v(1)p . (2.31)

Furv

(1)p

|vr| < 27fW (kW +1)

:

Haftstoß:

u(2)p =

5

7(u(1)

p − dp

5ω(1)

z ) ,

v(2)p = −kWv(1)

p ,

w(2)p =

5

7(ω(1)

p +dp

5ω(1)

z ) ,

ω(2)x =

2

dp

w(1)p ,

ω(2)y = ω(1)

y ,

ω(2)z = − 2

dp

u(1)p . (2.32)

In den Gleichungen bezeichnet kW den Stoßverlustbeiwert, fW die Gleitreibungs-

zahl und vr die Relativgeschwindigkeit zwischen der Partikel- und der Wand-

oberflache am Punkt des Partikel-Wandkontaktes. Die Werte kW und fW mussen

vorher experimentell bestimmt oder aus der Literatur entnommen werden. Der

nachste Abschnitt beschaftigt sich mit diesem Thema.


2.2.3.2 Bestimmung des Stoßverlustbeiwerts und der Gleitreibungs-

zahl

Der Stoßverlustbeiwert und die Gleitreibungszahl mussen fur jede Materialpaarung

experimentell bestimmt werden. Bei den meisten Experimenten geht man von ei-

nem zweidimensionalen, ebenen Stoß aus. Ist der Auftreffwinkel kleiner als der

kritische Winkel γkrit, dann vereinfachen sich die Gleichungen (2.31) und (2.32)

und die Materialwerte kW und fW lassen sich wie folgt bestimmen [6]:

kW =

∣∣∣v(2)p

∣∣∣∣∣∣v(1)

p

∣∣∣; fW =

∣∣∣u(2)p − u

(1)p

∣∣∣∣∣∣v(1)

p

∣∣∣ · (1 + kW ). (2.33)

Bei den Experimenten mit moglichst kugelformigen Partikeln wird die Partikel-

geschwindigkeit in wandnormaler und wandtangentialer Richtung vor und nach

dem Stoßereignis bestimmt. Ziel ist es, eine funktionale Abhangigkeit fur den

Stoßverlustbeiwert kW und die Gleitreibungszahl fW von dem Partikelauftreff-

winkel und von der Partikelauftreffgeschwindigkeit zu bekommen.

Die Tabelle 2.1 gibt einen Uberblick uber eine Auswahl von Versuchen mit ver-

schiedenen Materialpaarungen. Fur nahere Ausfuhrungen sei hier auf die Arbeit

von Frank [6] verwiesen.

Quelle Partikel → Wand dp kW fW

Govan [7] Glas → Kupfer 500 . . . 600µm 0.7 . . . 0.75 -

Gummi → Kupfer 600µm 0.85 . . . 0.9 -

Illyes [9] Stahl → Stahl 6mm 0.93 -

Stahl → Aluminium 6mm 0.35 -

Petrak, Michael [14] Weizen → Stahl 200 . . . 400µm 0.5 0.4

Glas → Stahl 100 . . . 160µm 0.94 0.55

Stahl → Stahl 3mm 0.55 0.15

Shaffer, Ramer [17] Glas → Aluminium 90µm 0.78 0.08

Tabelle 2.1: Empirische Ergebnisse fur kW und fW


2.2.3.3 Modellierung des idealen Stoßvorgangs

Sind die Materialwerte kW und fW bekannt, so ist eine einfache und genaue

Modellierung des Zusammenstoßes eines kugelformigen Partikels mit einer ideal

glatten Wand moglich. Mit Hilfe der Gleichungen (2.31), (2.32) und der funktio-

nalen Abhangigkeiten von kW und fW lasst sich die Bewegung des Partikels durch

einen wandtangentialen und wandnormalen Stoßverlustbeiwert ersetzen [6]:

eN =

∣∣∣v(2)p

∣∣∣∣∣∣v(1)

p

∣∣∣= eN(γ1, ~v

(1)p ) , eT =

∣∣∣u(2)p

∣∣∣∣∣∣u(1)

p

∣∣∣= eT (γ1, ~v

(1)p ). (2.34)

Unter Vernachlassigung der Partikelrotation und mit bekannten Materialwerten

ist also die Partikelbewegung wahrend des Stoßvorgangs nur noch abhangig von

dem Auftreffwinkel γ1 des Partikels auf die Wand.

Neben der Einschrankung durch die Partikelrotation bietet das Modell jedoch

noch weitere Nachteile:

1. Das Modell erlaubt keine großen Parametervariationen (Partikelgroßenver-

teilung, mittlere Fluid- und Partikelgeschwindigkeiten, etc.), da sonst wei-

tere experimentelle Untersuchungen bezuglich der Materialwerte notig sind.

2. Sehr detailliertes Wissen uber Stromungsbedingungen und passendes Ver-

suchsmaterial sind notig.

3. Je nach Partikelbeschaffenheit und Stromungsberandung kann es zu einer

starken mechanischen Beanspruchung der Wande kommen, welche in diesem

Modell nicht berucksichtigt wird.

Da der Rechenaufwand des Modells gering ist und unter den gegebenen Voraus-

setzungen eine genaue Modellierung damit moglich ist, handelt es sich bei diesem

Verfahren um das in dem Programm implementierte Modell.


2.2.3.4 Modelle zur Berucksichtigung einer irregularen Partikelform

Je nach Experiment konnen Stoßverlustbeiwerte von kW > 1 auftreten. Matsu-

moto und Saito [12] erklaren dies durch eine von der Kugel abweichende Partikel-

form. Durch eine irregulare Partikelform liegt im Allgemeinen der Schwerpunkt

nicht senkrecht uber dem Kontaktpunkt des Partikels mit der Wand. Je nach

Partikelform ist der Abstand des Schwerpunkts zum Kontaktpunkt nicht immer

konstant. Bei großerer Exzentritat des Partikel nimmt die Wahrscheinlichkeit fur

einen Stoßverlustbeiwert von kW > 1 zu. Matsumoto [12] zeigt, dass bereits bei

einem Verhaltnis von η = 1.1 zwischen der langsten und der kurzesten Achse die

Wahrscheinlichkeit von fast funfzig Prozent erreicht wird. Die Abbildung 2.3 [6]

zeigt die Kollision eines Ellipsoiden mit einer Wand.

u1

v1

ω1

ω2

v2

u2

Abbildung 2.3: Ellipsoid trifft auf Wand

Wahrend Matsumoto in seinem Modell von rotationssymmetrischen Ellipsoiden

ausgeht, wahlt Stenger [23] einen weiteren Weg der Verallgemeinerung, in dem er

auch vollstandig irregular geformte Partikel zulasst. Wegen der Komplexitat steigt

der Aufwand der numerischen Berechnung der Kollision von irregular geformten

Partikeln mit einer Wand jedoch im Verhaltnis zur Genauigkeit sehr an, so dass

er nicht adaquat zu dem erzielten Gewinn an Genauigkeit erscheint [6].


2.2.3.5 Das”Virtuelle-Wand“-Modell nach Sommerfeld

Das vereinfachte”Virtuelle-Wand“-Modell nach Sommerfeld [21] basiert auf den

Gleichungen (2.31) und (2.32) mit einem stochastisch verteilten Neigungswin-

kel γW der virtuellen Wand. In einer seiner fruheren Arbeiten geht Sommerfeld

von einer Gaußverteilung mit einer Standardabweichung von δγW von 4 aus.

Spater erweitert Sommerfeld mit seinen Kollegen Huber und Kussin dieses Mo-

dell, indem er den gaußverteilten Neigungswinkel der virtuellen Wand durch eine

stochastische Komponente ersetzt. Diese Komponente setzt sich zusammen aus

einer gaußverteilten Zufallszahl multipliziert mit der Standardabweichung einer

effektiven Rauhigkeitswinkelverteilung [6].

v(1)p , ω

(1)p

v(2)p , ω

(2)p

γW

Abbildung 2.4: Partikelkollision mit einer virtuellen Wand

Die Abbildung 2.4 [6] zeigt ein Beispiel, wie ein Partikel mit der Geschwindigkeit

v(1)p und Rotation ω

(1)p auf eine Wand trifft. Die Geschwindigkeit v

(2)p und die

Rotation ω(2)p nach dem Zusammenstoß hangt von dem Winkel der virtuellen

Wand γW ab.


2.2.3.6 Das modifizierte”Virtuelle-Wand“-Modell nach Frank

Frank [5] entwickelte ein Modell in Abhangigkeit von Partikelgroße dp, Rauhig-

keitsamplitude Hr und deren Standardabweichung δHr sowie von der mittleren

Rauhigkeitslange Lr. Er zeigt in seiner Arbeit, dass die angegebenen Werte der

Wandrauhigkeit und die Partikelgroße bei kleinen Auftreffwinkeln großen Einfluss

auf die Bewegung des Partikels haben.

Die Abbildung 2.5 [6] zeigt ein Beispiel, bei dem ein Partikel mit einem großen

Durchmesser auf eine rauhe Wand trifft.

Lr

dP

Hr

γ

Abbildung 2.5: Großes Partikel trifft auf die Wand

Im Vergleich dazu, zeigt Abbildung 2.6 [6] anschaulich wie ein Partikel mit einem

kleinen Durchmesser einen anderen Neigungswinkel wahrend der Kollision mit

derselben Wand hat.

Wie bei dem Modell von Sommerfeld wird der Stoß des Partikels mit einer virtuel-

len Wand berechnet, die um den Inklinationswinkel γW zur mittleren Wandebene

geneigt ist. Der Winkel γW ist eine Zufallsgroße, die aus der Gaußverteilung mit

dem Mittelwert γW = 0 und der Standardabweichung ∆γW bestimmt wird.


dP

Lr

Hr

γ

Abbildung 2.6: Kleines Partikel trifft auf die Wand

Die Standardabweichung des Inklinationswinkels ∆γW kann man wie folgt abschatzen

[6]:

∆γW =

arctan 2Hr

Lrfur dp < Lr

sin(arctan 2HrLr

)

arctan 2∆Hr

Lrfur dp ≥ Lr

sin(arctan 2HrLr

)

.

Zur Berechnung von ∆γW mussen die Parameter der Wandrauhigkeit vorher ex-

perimentell bestimmt werden. Fur die Modellierung des dreidimensionalen Stoß-

vorgangs muss man einen weiteren Winkel σa einfuhren. Der sogenannte Azi-

muthwinkel wird aus einer Gleichverteilung aus dem Intervall [−π, π] gewahlt.

Durch σa erfahrt das Partikel auch eine seitliche Ablenkung in die dritte Raum-

dimension.

Mit der folgenden Gleichung lasst sich auf einfache Weise uberprufen, ob sich das

Partikel der Wand nahert und ein physikalisch sinnvoller Stoß stattfindet [6]:

up · nv ≤ 0. (2.35)

In der Gleichung bezeichnet nv die innere Normale der Wand. Ist die Gleichung

nicht erfullt, so kann man eine neue virtuelle Wand generieren. Mit Hilfe der vir-

tuellen Wand lasst sich dann mit den Gleichungen (2.32) und (2.31) der Partikel-

Wand-Stoßvorgang modellieren.


2.2.4 Partikel-Partikel-Kollisionen

Nach einigen allgemeinen Uberlegungen bezuglich der Partikel-Partikel-Wechsel-

wirkung zu Beginn des Abschnitts werden zwei Moglichkeiten zur Modellierung

der Kollisionen vorgestellt.

2.2.4.1 Allgemeine Betrachtungen

Nimmt die Anzahl der Partikel in der Fluidstromung zu, so nimmt der mittlere

Abstand zwischen zwei Partikeln in einem Kontrollvolumen ab. Mit zunehmender

Partikelbeladung steigt somit auch die Wahrscheinlichkeit von Partikel-Partikel-

Kollisionen. Dies kann zu einer entscheidenden Beeinflussung des Stromungsver-

haltens der dispersen Phase fuhren. Kohnen [10] gibt fur den Volumenanteil der

dispersen Phase, ab dem die Partikel-Partikel-Wechselwirkungen eine entschei-

dende Rolle spielt, einen Wert von αp > 10−3 an.

Mit der Partikelanzahldichte np betragt das mittlere Volumen υp , das jedes Par-

tikel umgibt [6]:

υp =1

np

. (2.36)

Der mittlere Abstand zwischen den Partikeln δp lasst sich abschatzen mit [6]:

δp ∼ n− 1

3p . (2.37)

Im Folgenden werden nur disperse Mehrphasenstromungen mit einer mittleren bis

hohen Massenbeladung und einer kleinen volumetrischen Beladung betrachtet. Ist

die Partikelanzahl pro Volumeneinheit zu hoch, so liegt eine dichte Mehrphasen-

stromung vor und die Bewegung der Partikel ist hauptsachlich von der Interaktion

der Partikel untereinander, anstatt von den aerodynamischen Kraften der konti-

nuierlichen Phase, bestimmt. Zusatzlich wird angenommen, dass die Dichte der

dispersen Phase sehr viel hoher ist als die der kontinuierlichen Phase:

ρg

ρp

¿ 1. (2.38)

Mit der globalen Massenbeladung ZG lasst sich das Verhaltnis von Partikel- zu

Fluidmassenstrom angeben [6]:

ZG =Mp

Mg

(2.39)


Frank erwahnt als Beispiel ein Gemisch aus Kohlepartikeln und Luft mit einer

relativ hohen Massenbeladung von ZG = 10. Bei diesem Beispiel betragt der

Volumenanteil der Partikel αp = 5 · 10−3.

Der mittlere Abstand zwischen zwei benachbarten Partikeln ist immer noch sehr

viel großer als der charakteristische Teilchendurchmesser [6]:

δp À dp . (2.40)

Ein Partikel befindet sich somit die meiste Zeit außerhalb des Einflusses ande-

rer Partikel. Unter diesen Voraussetzungen ist ein Zusammenstoß zweier Partikel

zwar selten, er findet jedoch oft genug statt, um die Bewegung der dispersen

Phase zu beeinflussen. Die Kollision von drei Partikeln gleichzeitig ist somit noch

seltener, sodass sie im Folgenden vernachlassigt wird. Um ein Maß fur die Haufig-

keit von Partikel-Partikel-Kollisionen zu bekommen, betrachtet man die mittle-

re freie Weglange λp und die mittlere Kollisionszeit τC die das Partikel dafur

benotigt. Vergleicht man die mittlere Kollisionszeit mit der Partikelrelaxations-

zeit, so bekommt man einen Anhaltspunkt dafur, ob die Bewegung des Partikels

hauptsachlich durch die Partikel-Partikel-Kollisionen oder durch die aerodynami-

schen Krafte des Fluids bestimmt wird. Die Partikelrelaxationszeit lasst sich wie

folgt berechnen [6]:

τR =ρpd

2p

18ρgν. (2.41)

Liegt eine Stokessche Stromung vor, so kann man die Partikelrelaxationszeit phy-

sikalisch interpretieren als die Zeit, die ein Partikel benotigt, um aus der Ruhe-

position auf circa 63 Prozent der Fluidgeschwindigkeit beschleunigt zu werden.

Der Kehrwert dieser Kollisionszeit ist die mittlere Kollisionsrate oder Kollisi-

onsfrequenz fC , d.h. die mittlere Anzahl von Kollisionen, die ein Partikel pro

Zeiteinheit erfahrt [6]:

fC =1

τc

. (2.42)


2.2.4.2 Direkte numerische Simulation der Partikel-Partikel-Kollisionen

Die direkte numerische Simulation (DNS), oder auch Deterministische Simula-

tion (DS), bezeichnet ein sehr rechenintensives Verfahren zur Berechnung der

Partikel-Partikel-Kollisionen. Bei diesem Verfahren stimmt die Anzahl der physi-

kalischen Partikel mit den modellierten Partikeln uberein, somit handelt es sich

um eine direkte numerische Simulation der dispersen Phase. Zunachst werden alle

Partikeltrajektorien ohne Berucksichtigung der Kollisionen auf einem Zeitschritt

∆t berechnet. Bei diesem Schritt sollte ∆t so gewahlt werden, dass diese Zeit

klein gegenuber der mittleren Kollisionszeit τC ist. Fur jeden Zeitschritt muss

dann fur jedes Partikelpaar uberpruft werden, ob sich die beiden Partikeltrajek-

torien uberschneiden und die beiden Partikel miteinander kollidieren. Liegt eine

Kollision vor, so mussen die Partikelbewegungen mittels der Impuls- und Dreh-

impulsgleichungen bestimmt werden [6]:

v′1 = v1 +

J

mp1

, (2.43)

v′2 = v2 − J

mp2

, (2.44)

ω′1 = ω1 +

1

Ip1

dp1

2(n× J), (2.45)

ω′2 = ω2 − 1

Ip2

dp2

2(n× J). (2.46)

In diesen Gleichungen bezeichnet IP das Tragheitsmoment der Partikel und J den

summierten Impuls, der von dem einen Partikel auf das andere Partikel ubertra-

gen wird [6]:

J = m1(v′1 − v1) = −m2(v

′2 − v2). (2.47)

Durch diese Berechnung gibt die direkte numerische Simulation eine sehr rea-

litatsnahe Simulation der Mehrphasenstromung wieder. Jedes modellierte Partikel

entspricht einem physikalischen Partikel, sodass nur die Stoße modelliert werden,

welche auch physikalisch stattfinden. Der Vorteil der genaueren Approximation

geht jedoch einher mit einem sehr hohen Rechenaufwand, sodass selbst stark

verdunnte reale Stromungen mit diesem Verfahren nur mit hohen Anforderungen

an die Computerressourcen modelliert werden konnen. Da jeweils zwei Partikel

miteinander verglichen werden, steigt der benotigte Rechenaufwand quadratisch

mit der Anzahl der Partikel.


Der hohe Rechenaufwand macht dieses Verfahren fur praxisrelevante Fluid-Partikel-

Stromungen unbrauchbar. Es dient jedoch der Uberprufung einfacherer Partikel-

Partikel-Kollisionsmodelle [6].

2.2.4.3 Kollisionsmodelle fur stationare Fluid-Partikel-Stromungen

Das hier betrachtete Berechnungsverfahren wird auch als iteratives Monte-Carlo-

Verfahren (ITMCV) bezeichnet. Bei diesem Verfahren werden die einzelnen Par-

tikeltrajektorien nacheinander berechnet, so dass immer nur die Zustandsgroßen

des gerade berechneten Partikels bekannt sind. Ob zwei Partikel miteinander kol-

lidieren, wird nach einem Stoßwahrscheinlichkeitsmodell bestimmt. Dabei wird,

im Gegensatz zu dem im vorherigen Abschnitt vorgestellten Modell, die Kollision

nicht mit einem realen, sondern mit einem virtuellen Stoßpartner modelliert. Die

Kollision wird dann mittels der Impuls- und Drehimpulsgleichungen modelliert.

Den iterativen Charakter erhalt dieses Berechnungsverfahren dadurch, dass die

mittleren Partikelzustandsgroßen und die Verteilungsfunktionen zu Beginn der

Berechung nicht vorliegen. Somit ist eine iterative Berechung der Partikelphase

notwendig.

Zur weiteren Betrachtung sei hier auf die Arbeit von Frank [6] hingewiesen.

2.3 Volumenanteil der dispersen Phase

Der Volumenanteil der beiden Phasen hat einen entscheidenden Einfluss auf das

Stromungsverhalten. Je großer der Anteil der dispersen Phase ist, desto großer

ist auch der Einfluss auf die kontinuierliche Phase. Der Anteil αp lasst sich mit

Hilfe folgender Formel beschreiben [6]:

αp =δVp

δV=

∑i Vpi

δV, (2.48)

mit einem beliebigen Kontrollvolumen δV . Fur die kontinuierliche Phase lasst

sich analog definieren:

αg =δVg

δVmit: αp + αg = 1. (2.49)

Nach Kohnen [10] hat die disperse Phase bei einem Volumenanteil von αp ≤ 10−6

keinen gravierenden Einfluss auf die Fluidstromung.

2.4. PHASENWECHSELWIRKUNG 31

2.4 Phasenwechselwirkung

Es existieren verschiedene Ebenen der Phasenwechselwirkung zwischen der di-

spersen und der kontinuierlichen Phase [6]:

• Impulsubertragung

Liegt eine geringe Partikelbeladung vor, so hat die disperse Phase keinen

großen Einfluss auf das Stromungsverhalten. In diesem Fall hat nur die kon-

tinuierliche Phase einen Einfluss auf die disperse Phase, es liegt somit nur

eine sogenannte Ein-Weg-Kopplung vor. Steigt die Partikelbeladung jedoch

an, so kann man den Einfluss der dispersen Phase nicht mehr vernachlassi-

gen und es liegt eine sogenannte Zwei-Wege-Kopplung vor. Die Wechselwir-

kung beruht auf dem Impulsaustausch zwischen den beiden Phasen.

• Massen- und Warmeubertragung

Eine weitere Moglichkeit der Phasenwechselwirkung ist der Massen- oder

Warmeaustausch. Er kann zum Beispiel durch die Verbrennung oder Ver-

dampfung der dispersen Phase entstehen.

Der Einfluss der Phasenwechselwirkung ist also stark abhangig von dem Volumen-

anteil der dispersen Phase und der materiellen Beschaffenheit der beiden Phasen.

Bei einem Volumenanteil von 10−6 ≤ αp ≤ 10−3 kann man den Impulstransport

jedoch nicht mehr vernachlassigen.

Fur weiterfuhrende Betrachtungen zu diesem Thema sei hier auf die Arbeit von

Frank [6] hingewiesen.


Kapitel 3

Das Euler-Euler-Modell

Dieses Kapitel beschaftigt sich mit dem Euler-Euler-Modell. Die Grundlage fur

die Gleichungen des Euler-Euler-Modells bilden die einphasigen Grundgleichun-

gen der Stromungsmechanik. Bei diesem Modell werden beide Phasen als kon-

tinuierlich betrachtet, sie konnen sich durchdringen und stehen in gegenseitiger

Wechselwirkung [18]. Fur beide Phasen wird die Eulersche Betrachtungsweise

verwendet. Die Modellierung der Stromung erfolgt in festen Kontrollvolumina.

Im Unterschied zu dem einphasigen Modell, welches in Kapitel 2 zur Simulati-

on des Gases verwendet wurde, mussen die beiden Phasenanteile αg und αp am

Gesamtvolumen des Zweiphasengemischs berucksichtigt werden. Fur die Phasen-

anteile gilt die Gleichung:

αg + αp = 1. (3.1)

In dem ersten Abschnitt werden die Grundgleichungen des Euler-Euler-Modells

vorgestellt. Bei den Erhaltungsgleichungen fur die hier betrachteten Gas-Partikel-

Stromungen kann man fur die Phasenanteile von αg ≈ 1 und αp ≈ 0 ausgehen.

Im Anschluss an das Kapitel werden wir uns mit der Wechselwirkung zwischen

den beiden Phasen beschaftigen.

Fur eine ausfuhrlichere Herleitung des Modells und der allgemeinen Erhaltungs-

gleichungen sei hier auf die Arbeit von Drew und Passman [4] verwiesen.

33

34 KAPITEL 3. DAS EULER-EULER-MODELL

3.1 Grundgleichungen des Euler-Euler-Modells

Zur Beschreibung der Stromung benotigen wir [4, 8, 18]:

• die lokalen Geschwindigkeiten des Gases ug und der Partikel up,

• die Volumenanteile αg und αp der beiden Phasen am Gesamtvolumen des

Zwei-Phasen-Gemischs,

• den Druck der beiden Phasen pg und pp,

• die Energie der beiden Phasen eg und ep,

• sowie die Dichten der beiden Phasen ρg und ρp.

Die Dichte der Partikel kann als konstant angenommen werden, im Gegensatz

zur Dichte des Gases, die bei kompressiblen Stromungen variabel ist. Fur beide

Phasen gelten die Gleichungen fur Impuls-, Massen- und Energieerhaltung. Be-

trachtet man eine Gas-Partikel-Stromung ohne Aggregatzustandsanderungen, oh-

ne chemische Reaktionen und ohne Massenaustausch zwischen den beiden Phasen,

so konnen die beiden Kontinuitatsgleichungen, welche den einphasigen Massen-

erhaltungsgleichungen entsprechen, fur beide Phasen getrennt betrachtet werden

[18]:∂(αgρg)

∂t+∇ · (αgρgug) = 0, (3.2)

∂(αpρp)

∂t+∇ · (αpρpup) = 0. (3.3)

Unter der Annahme, dass es sich um eine reibungsfreie Stromung handelt, das

Gas sich wie ein ideales Gas verhalt und die Partikel eine starre Oberflache haben,

so dass man den Druck zwischen den Grenzflachen vernachlassigen kann, ergeben

sich die Impulsgleichungen der beiden Phasen [8]:

∂(αgρgug)

∂t+∇ · (αgρgug ⊗ ug) + αg∇pg = −FW , (3.4)

∂(αpρpup)

∂t+∇ · (αpρpup ⊗ up) = FW . (3.5)

Auf Grund der Energieerhaltung gelten die Energiegleichungen [8]:

∂αgρgeg

∂t+∇ · (αg(ρgeg + pg)ug) = −up · FW − q, (3.6)

∂αpρpep

∂t+∇ · (αpρpepup) = up · FW + q. (3.7)

3.2. KOPPLUNG ZWISCHEN DEN BEIDEN PHASEN 35

Die Gleichungen entsprechen bis auf die Phasenanteile αp und αg, dem Wech-

selwirkungsterm FW , welcher hauptsachlich durch die Widerstandskraft (2.21)

bestimmt wird, und dem Warmeaustausch zwischen den Phasen q den einphasi-

gen Gleichungen in Abschnitt 2.1.2.2.

Der nachste Abschnitt beschaftigt sich mit der Kopplung zwischen den beiden

Phasen.

3.2 Kopplung zwischen den beiden Phasen

Wie man an den Gleichungen der Massen-, Impuls- und Energiebilanz sieht, sind

die beiden Phasen miteinander gekoppelt. Diese Kopplung wird durch die Wech-

selwirkungsterme FW in den Impuls- und Energiebilanzen, dem Volumenanteil

der dispersen und der kontinuierlichen Phase und dem Warmeaustausch beschrie-

ben. Der Wechselwirkungsterm FW besteht aus der Summe aller Krafte, die von

der einen Phase auf die andere Phase ausgeubt werden. Bei der Wechselwirkung

zwischen den beiden Phasen stellt die Widerstandskraft den großten Anteil dar.

In unserem Fall, der partikelbeladenen Gasstromung, sorgt sie dafur, dass die

Partikel sich in Richtung der Gasgeschwindigkeit bewegen. Andererseits hat die

Widerstandskraft auch Einfluss auf die Bewegung der kontinuierlichen Phase. Be-

trachtet man zum Beispiel aufsteigende Blasen in einem Fluid, so werden diese

durch den Archimedichen Auftrieb nach oben beschleunigt. Die Widerstandskraft

ist dann unter anderem dafur verantwortlich, dass die Flussigkeit ebenfalls einen

vertikalen Auftrieb erfahrt [18].

Je geringer der Volumenanteil der dispersen Phase ist, desto geringer ist auch

ihr Einfluss auf die kontinuierliche Phase. Bei einem sehr niedrigen Volumenan-

teil kann man deshalb von einer Ein-Weg-Kopplung ausgehen. Die Impulsbilanz

der kontinuierlichen Phase kann in diesem Fall durch die Impulsbilanz der Ein-

Phasen-Stromung ersetzt werden.

36 KAPITEL 3. DAS EULER-EULER-MODELL

Kapitel 4

Numerische Losung

Dieses Kapitel beschaftigt sich mit der numerischen Losung des Euler-Lagrange-

Modells. Dazu werden wir zunachst einige Vereinfachungen vornehmen, um an-

schließend die Implementierung des Algorithmus zu betrachten.

4.1 Vereinfachung

Als Erstes beschranken wir uns in dieser Arbeit auf die Berechnung im zweidimen-

sionalen Raum. Des Weiteren betrachten wir in unserem Fall nur einen geringen

Volumenanteil der dispersen Phase, so dass der Einfluss der dispersen Phase auf

die kontinuierliche Phase nur sehr gering ist. Wir gehen also von einer Ein-Weg-

Kopplung aus. Der Warmeubertrag kann bei der betrachteten partikelbeladenen

Gasstromung ebenfalls vernachlassigt werden. Ein Massenaustausch findet zwi-

schen den Partikeln und dem Gas nicht statt, so dass er nicht berucksichtigt wer-

den muss. Auf Grund der geringen Beladung konnen Partikel-Partikel-Kollisionen

vernachlassigt werden.

Der nachste Abschnitt beschaftigt sich mit den berechneten Kraften, die auf das

Partikel wirken.

37

38 KAPITEL 4. NUMERISCHE LOSUNG

4.1.1 Relevanz der einzelnen Krafte

Bei dem hier betrachteten Modell fur die Gas-Partikel-Stromungen besitzen nicht

alle Krafte eine gleich wichtige Rolle. Im Folgenden wird auf die Relevanz der

einzelnen in Abschnitt (2.2.2) auf Seite 14 aufgefuhrten Krafte eingegangen.

4.1.1.1 Die Widerstandskraft

Da die Widerstandskraft FW den großten Einfluss auf die Bewegung des Parti-

kels hat, wird sie in diesem Modell berucksichtigt. Bei der Umsetzung wird der

Ausdruck CWπ8ρg |ug − up| d2

p aus (2.21) durch eine Variable αn ersetzt. Die-

se Variable muss in jedem Zeitschritt neu berechnet werden. Die Formel (2.21)

vereinfacht sich damit zu folgender Gleichung:

FW = αn (ug − up). (4.1)

Offen bleibt in diesem Zusammenhang noch die Bestimmung des Widerstands-

beiwertes. Bei der Gas-Partikel-Stromung lasst sich CW nach der sogenannten

Feststoff-Formel [18] berechnen:

CW =

24

Rep(1 + 0.15 ·Re0.687

p ) , wenn Rep < 1000

0.44 , wenn Rep ≥ 1000. (4.2)

Da wir bei den Partikeln von einer nicht deformierbaren, starren Oberflache aus-

gehen, kann die Gleichung (4.2) zur Modellierung verwendet werden. Der zur

Berechnung benotigte Widerstandsbeiwert ist von der Partikel-Reynoldszahl Rep

abhangig. Die Zahl Rep lasst sich mit Hilfe folgender Formel berechnen [6]:

Rep =dp |ug − up|

νg

. (4.3)

In der Gleichung beschreibt νg die kinematische Viskositat des Gases. Die kine-

matische Viskositat lasst sich mit Hilfe der dynamischen Viskositat ηg und der

Dichte ρg ausdrucken:

νg =ηg

ρg

. (4.4)

4.1. VEREINFACHUNG 39

Rep −Bereich a b c

0 < Rep < 0.1 0 24 0

0.1 ≤ Rep < 1 0.0903 22.73 3.69

1 ≤ Rep < 10 -3.8889 29.1667 1.222

10 ≤ Rep < 100 -116.67 46.5 0.6167

100 ≤ Rep < 1000 -2778.0 98.33 0.3644

1000 ≤ Rep < 5000 -47500 148.62 0.357

5000 ≤ Rep < 10000 578700 -490.546 0.46

10000 ≤ Rep < 50000 5416700 -1662.5 0.5191

50000 ≤ Rep 0 0 0.49

Tabelle 4.1: Widerstandsbeiwert in Abhangigkeit von Re

Die Formeln (4.1) bis (4.4) zeigen zum Beispiel, dass der Einfluss der Dichte der

kontinuierlichen Phase durch das Auftreten im Zahler und im Nenner reduziert

wird.

In der Literatur exisitieren noch weitere Modelle zur Berechnung des Wider-

standsbeiwertes. Morsi und Alexander geben zum Beispiel in [13] eine weitere,

wesentlich differenziertere Moglichkeit zur Berechnung des Widerstandsbeiwertes

an. Der Widerstandsbeiwert lasst sich mit Hilfe der folgenden Formel berechnen:

CW = a ·Re−2p + b ·Re−1

p + c. (4.5)

Zur Bestimmung der Konstanten a, b und c geben Morsi und Alexander in [13]

eine tabellarische Auflistung in Abhangigkeit von der Partikel-Reynoldszahl Rep

an (siehe Tabelle 4.1). Die Ergebnisse von Morsi und Alexander bestatigen, dass

sich bei sehr kleinen Partikel-Reynoldszahlen die Berechnung des Widerstands-

beiwerts zu folgender Formel vereinfacht:

CW =24

Rep

. (4.6)

Diese Formel lasst sich auch analytisch herleiten.

Die Variable αn muss auf Grund der Abhangigkeit von der Relativgeschwindig-

keit zwischen dem Gas und den Partikeln und der Dichte des Gases in jedem

Zeitschritt neu berechnet werden.


4.1.1.2 Die Gravitationskraft

Die Gravitationskraft FG wird ebenfalls in dem Algorithmus berucksichtigt. Sie

lasst sich jedoch variabel einstellen, so dass sie bei Bedarf auch auf den Wert Null

gesetzt werden kann.

4.1.1.3 Die Druckkraft

Wahrend im kompressiblen Fall die Druckgradienten im Fluid sehr groß sein

konnen und man deswegen die Druckkraft zur Berechnung des Fluids beruck-

sichtigen muss, kann man die Druckkraft fur die Partikel unter gegebenen Vor-

aussetzungen vernachlassigen. Auf Grund der verdunnten Partikelstromungen ist

der Einfluss der Partikel untereinander nicht groß genug, so dass die Partikel als

drucklos angesehen werden konnen.

4.1.1.4 Die Virtuelle Masse

Da der Algorithmus zur Berechnung einer Gas-Partikel-Stromung benutzt wird,

ist die Dichte des Gases im Verhaltnis zu der Dichte des Partikels sehr klein. Die

virtuelle Masse findet in dem Modell keine Berucksichtigung, da der resultieren-

de Kraftterm proportional zu dem Verhaltnis der Dichten ρg

ρpist [6]. Die Masse

des Gases, welches mit dem Partikel beschleunigt wird, ist zu gering, um eine

bedeutende Auswirkung auf die Bewegung des Partikels zu haben.

4.1.1.5 Die Magnus-Kraft

Die Rotation der Partikel wird in diesem Modell nicht berucksichtigt, so dass

das Kreuzprodukt in Gleichung (2.27) gleich Null ist. Daraus folgt, dass auch die

Magnus-Kraft FM gleich Null ist. Auf Grund dessen spielt die Magnus-Kraft in

dieser Implementierung keine Rolle.

4.1. VEREINFACHUNG 41

4.1.1.6 Die Saffman-Kraft

Sommerfeld untersuchte in [20] den Einfluss dieser Kraft. Entscheidend fur den

Einfluss ist unter anderem der Partikeldurchmesser. Ab einem kritischen Parti-

keldurchmesser von [6]

dp,krit = 0.588√

ν

∣∣∣∣∂ug

∂y

∣∣∣∣−0.5

(4.7)

sollte die Saffmankraft mit berucksichtigt werden. Frank schreibt hierzu:”Diese

Beziehung macht deutlich, dass die Auftriebskraft durch Schergradienten nur in

Stromungen mit hohen Geschwindigkeitsgradienten von großerer Bedeutung ist.“

[6]. In dieser Arbeit gehen wir zwar von sehr kleinen Partikeldurchmessern in der

Großenordnung von 10−4...10−12 aus, da aber auf Grund des kompressiblen Falls

hohe Geschwindigkeitsgradienten auftreten konnen, sollte man diese Kraft nicht

vernachlassigen. Die Implementierung wurde allerdings den Rahmen der Arbeit

uberschreiten, so dass sie nicht weiter berucksichtigt wird.

4.1.2 Resultierende Bewegungsgleichung des Partikels

Unter der Berucksichtigung der Vereinfachungen ergibt sich fur die Bewegung des

Partikels folgende Gleichung:

mpdup

dt= FW + FG. (4.8)


4.2 Triangulierung

Auf welche Weise das Gebiet diskretisert wird, spielt keine große Rolle. In den

hier vorgestellten Algorithmen ist die einzige Voraussetzung an das Gitter, dass es

aus Dreiecken besteht. Es kann sich auch um ein unstrukturiertes Gitter handeln.

Sollte es sich um ein stark unstrukturiertes Gebiet handeln, so kann es jedoch

vorkommen, dass sich die Rechenzeit merklich verlangert, da die Suche nach dem

richtigen Element, in dem sich das Partikel befindet, dadurch langer dauert.

4.3 Implementierung

In diesem Unterkapitel wird auf die Umsetzung des Programms eingegangen.

Zunachst wird der Aufbau des Programms anhand des Flussdiagramms veran-

schaulicht. In den drauffolgenden Abschnitten wird die Berechnung der Gas-

stromung, sowie der Partikelbewegung erlautert.

4.3.1 Algorithmus

In diesem Abschnitt werde ich den Algorithmus vorstellen, mit dem die Parti-

keltrajektorien berechnen werden. Ausgangspunkt ist ein mit Dreiecken diskre-

tisiertes Gebiet, auf dem ein vorgegebenes Gasfeld existiert. Bei den in dieser

Arbeit vorgestellten Beispielen wurde das Gasfeld mit Hilfe der kompressiblen

Euler-Gleichungen berechnet. Abbildung 4.1 zeigt das Flussdiagramm des imple-

mentierten Algorithmus.

4.3. IMPLEMENTIERUNG 43

Ausgabe

Ja

Nein

Berechne die Kraft auf das Partikel und neuen Ort

Berechne Wandstoß und neue Position

Eingabe Initialisierung des Hintergrundgitters

Ende der Zeitschleife?

Nein

Ja

Suche das Element in dem das Partikel liegt

Nehme den nachsten Hintergrund-Gitterpunkt

Bestimme die Gasgeschwindigkeit in dem Punkt

Kollision mit der Wand?

Abbildung 4.1: Flussdiagramm des Programms


4.3.2 Berechnung der Gasstromung

Da das Gasfeld in diesem Algorithmus als gegeben vorausgesetzt wird, findet hier

keine nahere Betrachtung statt. Die fur diese Berechungen verwendeten Gasfelder

wurden mit der Finite-Elemente-Methode mit linearen Ansatzfunktionen und den

kompressiblen Euler-Gleichungen erstellt. Theoretisch ware der Algorithmus auch

in der Lage, Gasfelder, zu deren Berechnung andere Modelle verwendet wurden,

als Grundlage zur Berechnung der Partikeltrajektorien zu verwenden.

4.3.3 Berechnung der Partikelbewegung

Als Grundlage zur Modellierung der Partikelbewegung dient die folgende Glei-

chung

mpdup

dt= αn (ug − up) + mp g, (4.9)

mit

αn = CWπ

8ρg |ug − up| d2

p. (4.10)

In Abhangigkeit von der Partikel-Reynoldszahl wird der Widerstandsbeiwert mit

Hilfe der Feststoffformel berechnet:

CW =

24

Rep(1 + 0.15 ·Re0.687

p ) , wenn Rep < 1000

0.44 , wenn Rep ≥ 1000. (4.11)

Die Partikel-Reynoldszahl Rep muss in jedem Zeitschritt mittels folgender Formel

Rep = β |ug − up| mit: β =dp

νg

(4.12)

neu berechnet werden.

Zur Modellierung der Partikelbewegung benotigen wir hauptsachlich die Gas-

geschwindigkeit in dem Punkt, in dem sich das Partikel befindet. Die anderen

Großen sind gegeben, da sie entweder fest oder von dem letzten Zeitschritt her

bekannt sind. Um die Gasgeschwindigkeit berechnen zu konnen, benotigen wir

das Element, in dem sich das Partikel befindet.

Die Anzahl der Schritte des Suchalgortihmus wird mit Hilfe eines aquistanten

Hintergrundgitters minimiert. Auf welche Weise das Gitter verwendet wird, wird

in dem folgenden Abschnitt beschrieben.


4.3.3.1 Hintergrundgitter

Wie in dem vorangegangenen Abschnitt angedeutet, bedienen wir uns eines aqui-

distanten Hintergrundgitters, um die Suche zu beschleunigen.

Bei diesem Algorithmus ist die Gitterweite des Hintergrundgitters frei wahlbar

und muss an die Gitterweite des diskretisierten Gebiets angepasst werden. Wahlt

man keine optimale Gitterweite, so hat dies lediglich Auswirkung auf die Rechen-

zeit, jedoch nicht auf die Konvergenz.

h

h

Ω

Abbildung 4.2: Das aquidistante Hintergrundgitter

Je großer der Zeitschritt im Verhaltnis zur Elementgroße, desto mehr Schritte

sind notig, um das Element zu finden. In dem nachsten Abschnitt wird darge-

stellt, wie sich das Hintergrundgitter auf die Anzahl der Schritte auswirkt.

In einer Schleife uber alle Elemente wird zu jedem Knotenpunkt des Hinter-

grundgitters das am nachsten gelegene Element gespeichert. Als Maßstab fur die

”Nahe“ eines Elements wird der Abstand zu seinem Mittelpunkt gewahlt. Der

nachste Abschnitt beschaftigt sich mit dem Suchalgorithmus zum Auffinden des

Elements.


4.3.3.2 Suchalgorithmus

Um die Gasgeschwindigkeit in dem Punkt, in dem sich das Partikel befindet, zu

berechnen, muss man das Element finden, in dem das Partikel liegt. Da die Gas-

geschwindigkeit durch eine stuckweise lineare Funktion beschrieben wird, lasst

sich dann die Gasgeschwindigkeit berechnen.

Ausgehend von einem gegebenen Element bewegt sich der Algorithmus durch die

Elemente des diskretisierten Gebiets auf das gesuchte Element zu. Er vergleicht

dabei den Abstand der Mittelpunkte der drei an das Element angrenzenden Ele-

mente und des aktuellen Elements zu dem neu berechneten Ort x(n+1)P des Par-

tikels. Das Element, dessen Mittelpunkt den geringsten Abstand zu dem neuen

Punkt x(n+1)P hat, bildet den Startpunkt des nachsten Schritts des Algorithmus.

Die Suche geschieht dadurch entlang des Strahls zwischen den beiden Punkten.

Durch die endliche Anzahl an Elementen ist der Algorithmus ebenfalls endlich,

da im letzten Schritt des Algorithmus die drei Mittelpunkte der angrenzenden

Elemente weiter entfernt sind, als der Mittelpunkt des aktuellen Elements.

Die Abbildung 4.3 zeigt den Suchalgorithmus ohne die Verwendung des Hinter-

grundgitters.

x(n+1)p

x(n)p

Abbildung 4.3: Suchalgorithmus ohne einen besseren Startwert


Um die Anzahl der Schritte zu reduzieren, wird das oben beschriebene Hinter-

grundgitter verwendet. Der Algorithmus wahlt zu der neu berechneten Position

des Partikels den nachstgelegenen Knotenpunkt im Hintergrundgitter. Zu diesem

Knotenpunkt ist das Element mit dem nachstgelegenen Mittelpunkt gespeichert.

Dieses Element ist das neue Startelement des oben beschriebenen Algorithmus

zum Auffinden des Elements, in dem sich das Partikel befindet. Existiert zu einem

Knotenpunkt kein Element, dessen Mittelpunkt am nachsten zu diesem Punkt

liegt, so wird das Element aus dem letzten Zeitschritt genommen. Zu diesem Fall

kann es kommen, wenn die Gitterweite des Hintergrundgitters zu fein gewahlt

wird.

Abbildung 4.4 zeigt beispielhaft, wie sich die Anzahl der Schritte mit Verwendung

des Hintergrundgitters reduziert.

x(n)p

x(n+1)p

x′p

Abbildung 4.4: Suchalgorithmus mit einem vorgegebenen Startwert

Bei grob unstrukturierten Gittern kann es zu dem Fall kommen, dass der Algorith-

mus ein Element liefert, dessen Mittelpunkt naher zu dem neu berechneten Ort

des Partikels liegt, das Partikel aber nicht in dem Element liegt. Die Abbildung

4.5 zeigt einen solchen Fall.


x(n+1)P

Abbildung 4.5: Alternative Suche bei”falschem Element“

Der Algorithmus liefert in diesem Fall das grau schraffierte Element, obwohl das

Partikel in dem Element rechts unter diesem Element liegt. Um dies zu verhin-

dern, uberpruft der Algorithmus nach dem letzten gefundenen Element, ob das

Partikel auch wirklich in dem Element liegt. Ist dies nicht der Fall, so sucht der

Algorithmus in allen an den drei Knotenpunkten des Elements angrenzenden Ele-

menten nach dem Element, in dem das Partikel liegt. Zur Uberprufung konnen

dabei die baryzentrischen Koordinaten des im nachsten Abschnitt beschriebenen

Verfahrens verwendet werden. Durch dieses Vorgehen ist die Wahl des Elements,

in dem das Partikel liegt, eindeutig und korrekt.

Die folgenden Tabellen stellen die Effektivitat dar, die mit der Verwendung des

Hintergrundgitters mit unterschiedlichen Gitterweiten erzielt werden kann. Die

Beispiele zeigen, dass die Wahl der Gitterweite des Hintergrundgitters eine ent-

scheidene Rolle spielt. In Tabelle 4.2 sind die Ergebnisse am Beispiel des GAMM

channels, welches spater noch naher untersucht wird, angegeben. Bei der Simula-

tion wurde die Bewegung von 500 Partikeln berechnet. Als Zeitschrittweite wurde

0.01 gewahlt.


Hintergrundgitter Gitterweite / LE ∅ Schritte

ohne - 16

mit 0.1 40

mit 0.01 7

Tabelle 4.2: Suche am Beispiel GAMM channel

Die Ergebnisse von Tabelle 4.3 resultieren aus dem Gasfeld, welches zur Evaluie-

rung der Widerstandskraft verwendet wurde. Es handelt sich um ein kreisformiges

Gasfeld um den Ursprungspunkt. Bei diesem Test wurden ebenfalls 500 Partikel

simuliert mit einer Zeitschrittweite von 0.1.


ohne - 23

mit 0.1 39

mit 0.01 12

Tabelle 4.3: Suche beim kreisformigen Gasfeld

Die folgende Tabelle 4.4 zeigt, dass es unter Umstanden auch langer dauern kann,

wenn man das Hintergrundgitter verwendet. Die Zeitschrittweite wurde in diesem

Test auf 0.01 gesetzt.


ohne - 4

mit 0.1 39

mit 0.01 12

Tabelle 4.4: Suche beim kreisformigen Gasfeld mit zu großer Gitterweite

Wie man an den Ergebnissen sieht, hangt die Effektivitat des Suchalgorithmus

nicht nur von der Wahl einer geeigneten Gitterweite, sondern ebenfalls von der

verwendeten Zeitschrittweite.

Ausgehend von diesem Element lasst sich nun die Gasgeschwindigkeit in diesem

Punkt bestimmen. Die Umsetzung beschreibt der nachste Abschnitt.


4.3.3.3 Berechnung der Gasgeschwindigkeit

Durch das bereits berechnete Gasfeld ist die Gasgeschwindigkeit in den drei Kno-

tenpunkten des Elements bekannt. Aus der Position des Partikels kann die Gas-

geschwindigkeit mittels triangularen Finiten Elementen in dem Punkt bestimmt

werden. Sei

x = (x, y) = λ1(x), λ2(x), λ3(x) .

Dann erfolgt die Berechnung mittels zweidimensionaler baryzentrischer Koordi-

naten [11]:

λi ∈ P1(e), λi(xj) = δij, i, j = 1, 2, 3. (4.13)

Es gilt

λi(x) = ci1 + ci2x + ci3y (4.14)

mit [11]

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

︸︷︷︸A

ci1

ci2

ci3

=

δi1

δi2

δi3

. (4.15)

Das Gleichungsystem kann mittels der Cramerschen Regel gelost werden.

det A = x2y3 + x1y2 + x3y1 − x2y1 − x3y2 − x1y3. (4.16)

Die Flache, des von den drei Punkten aufgespannten Dreiecks, betragt:

|e| = 1

2|det A| . (4.17)

Zur Losung des Gleichungssystems benotigen wir noch die Flache der drei in

Abbildung 4.6 dargestellten Teildreiecke:

|ei(x)| = 1

2|det Ai(x)| (4.18)

mit

A1 =

1 x y

1 x2 y2

1 x3 y3

, A2 =

1 x1 y1

1 x y

1 x3 y3

, A3 =

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x y

. (4.19)


x1x2

x3

e

e3

e1

e2

x

Abbildung 4.6: Teildreiecke

Die Losung des linearen Systems lautet dann:

λi(x) =|ei(x)||e| , i = 1, 2, 3. (4.20)

Mit der Gleichung

|λ1(x)|+ |λ2(x)|+ |λ3(x)| ≡ 1 (4.21)

kann uberpruft werden, ob sich der Punkt in dem Dreieck befindet.

So lasst sich mit der Gleichung

ug(x) =3∑

i=1

λi(x) ug(xi) (4.22)

die Gasgeschwindigkeit in dem Punkt x bestimmen. Dabei bezeichnet ug(xi) die

Gasgeschwindigkeit in dem Eckpunkt i.

Ausgehend von der in dem Punkt x berechneten Gasgeschwindigkeit wird in dem

nachsten Abschnitt die Bewegung des Partikels beschrieben.


4.3.3.4 Berechnung der Partikelbewegung

Dieser Abschnitt befasst sich mit den in dem Algorithmus implementierten Kraften.

Der erste Fall beschreibt die Implementierung der Schwerkraft. Dazu gehen wir

von einem Stromungsgebiet aus, in dem die Gasstromung auf den Wert Null ge-

setzt wird. Abbildung 4.7 zeigt das Grobgitter des diskretisierten Gebiets.

Abbildung 4.7: Grobgitter fur die Berechnung

Berechnung der Schwerkraft

Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz F = m a und aus der Gleichung F = mp g

fur die Schwerkraft ergibt sich

mp

un+1p − un

p

∆t= mp g. (4.23)

Lost man die Gleichung nach un+1 auf, so folgt die Gleichung zur Berechnung der

Partikelgeschwindigkeit

un+1p = un

p + ∆t g. (4.24)


Die Abbildung 4.8 zeigt, wie sich das Partikel unter Einfluss der Schwerkraft

verhalt. Physikalisch betrachtet fliegt das Partikel mit einer vorgegebenen kon-

stanten Geschwindigkeit (up = (2, 0)>) in das Gebiet und beschreibt dann durch

die Schwerkraft eine parabelformige Flugbahn nach unten. Die Masse hat dabei

im idealisierten Fall keinen Einfluss.

Abbildung 4.8: Gravitationstest

Die zehn verschiedenen Startpunkte bei dem Test haben die gleiche Geschwin-

digkeit. Alle Partikel kommen zeitgleich am unteren Ende der Grafik an. Die

Flugbahnen der Partikel beschreiben, wie gewunscht, eine nach unten geoffnete

Parabel. Die Partikel erreichen gleichzeitig den unteren Rand, da alle Partikel

die gleiche vertikale Beschleunigung erhalten. Die Differenz in der horizontalen

Richtung kommt von der unterschiedlichen Anfangsposition.

Fur die folgenden Tests gehen wir von dem in Abbildung 4.9 dargestellten, kreisformi-

gen Geschwindigkeitsfeld des Gases um den Ursprungspunkt aus.


Abbildung 4.9: Kreisformiges Gasfeld

Berechnung der Widerstandskraft

Aus den Gleichungen F = αn (ug − up) und F = m a mit αn aus (4.10) ergibt

sich zur Berechnung der Partikelbewegung mit der Widerstandskraft:

mp

un+1p − un

p

∆t= αn (un+1

g − un+1p ) (4.25)

mp un+1p −mp un

p = ∆tαn un+1g −∆tαn un+1

p (4.26)

un+1p (mp + ∆tαn) = mp un

p + ∆t αn un+1g . (4.27)

Lost man die Gleichung nach un+1p auf, so erhalt man

un+1p =

mp unp + ∆t αn un+1

g

mp + ∆t αn. (4.28)


Die Abbildung 4.10 zeigt die Flugbahn von zehn Partikeln mit einem relativ

großen Durchmesser dp = 10−5 (z.B. Flugasche oder Pollen). Auf Grund des

großen Durchmessers fliegen die Partikel annahernd in Richtung des Gasfeldes.

Abbildung 4.10: Widerstandskraft mit mp = 10−12 und dp = 10−5

In Abbildung 4.11 werden die Flugbahnen von zehn Partikeln mit einem wesent-

lich kleineren Durchmesser dp = 10−7 dargestellt (z.B. Tabakrauch oder Oldunst).

Im Gegensatz zu dem ersten Test mit dem großeren Durchmesser werden in die-

sem Fall die Partikel auf Grund ihrer Eigenbewegung starker gegen die Wand

gedruckt.

Die Abbildungen 4.10 und 4.11 zeigen: Je großer der Durchmesser des Partikels

ist, desto großer ist der Einfluss des Gases auf das Partikel (bei Vernachlassigung

der Schwerkraft). Diese Beobachtung entspricht der physikalischen Anschauung,

dass bei großerer Angriffsflache die Kraftwirkung großer ist.


Abbildung 4.11: Widerstandskraft mit mp = 10−12 und dp = 10−7

Berechnung der Schwerkraft und der Widerstandskraft

Berucksichtigt man nun Schwerkraft und Widerstandskraft, so ergibt sich aus der

Gleichung

Fges = αn (ug − up) + mp g (4.29)

und des Newtonschen Gesetzes F = m a die Gleichung

mp

un+1p − un

p

∆t= αn (un+1

g − un+1p ) + mp g (4.30)

zur Berechnung der Partikelbewegung. Stellt man diese Gleichung analog zur

Widerstandskraft nach un+1p um, so erhalt man

un+1p =

mp unp + ∆t αn un+1

g + ∆t mp g

mp + ∆t αn. (4.31)


Abbildung 4.12: Widerstands- und Gravitationskraft mit mp = 10−12 und dp =

10−5

In der Abbildung 4.12 ist die Flugbahn von zehn Partikeln, mit einer Anfangs-

geschwindigkeit von Null, unter Einfluss der Schwerkraft und unter Berucksichti-

gung der Widerstandskraft dargestellt.

Ist die Masse der Partikel zu groß, so wird die Bewegung hauptsachlich von der

Gravitationskraft bestimmt (wie man in Abbildung 4.13 sehen kann).


Abbildung 4.13: Widerstands- und Gravitationskraft mit mp = 10−10 und dp =

10−5

In dem nachsten Abschnitt werden wir uns mit der numerischen Simulation der

Partikel-Wand-Kollisionen beschaftigen.


4.3.4 Berechnung der Partikel-Wand-Kollisionen

In diesem Abschnitt werden die drei verschiedenen Implementierungen der Partikel-

Wand-Stoß-Modelle vorgestellt. Alle Modelle gehen von einer ideal glatten Wand

und einem kugelformigen Partikel aus. Der Abschnitt beschaftigt sich mit der

Umsetzung des in Abschnitt 2.2.3.3 auf Seite 22 vorgestellten Modells. In allen

folgenden Berechnungen wird der Stoßverlustbeiwert kW auf den Wert 1 gesetzt,

das heißt, die Geschwindigkeit des Partikels hat nach dem Stoßvorgang vom Be-

trag her die gleiche Große, wie vor der Kollision. Sind beide Geschwindigkeiten

gleich groß, so folgt fur die Gleitreibungszahl fW = 0.

Fur die Testzwecke wird jeweils das im vorangegangenen Abschnitt vorgestellte,

kreisformige Stromungsgebiet um den Nullpunkt verwendet. Wie bei den vorange-

gangenen Tests besteht der Rand des Gebiets aus einem Quadrat mit Kantenlange

zwei um den Ursprungspunkt.

In allen in diesem Abschnitt folgenden Berechnungen wird die Partikelmasse auf

mp = 10−12 und der Durchmesser der Partikel auf dp = 10−5 gesetzt.


4.3.4.1 Berechnung des idealen Stoßes

Als erstes Modell werden wir den idealen Wandstoß betrachten. In diesem Fall

trifft das Partikel mit einem Winkel γ1 auf die Wand. Man geht bei dem idealen

Stoß davon aus, dass der Winkel nach dem Zusammenstoß γ2 gleich dem Winkel

γ1 vor der Kollision ist.

Abbildung 4.14: Idealer Stoß

In Abbildung 4.14 sieht man, dass der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist.

Nach der Kollision wird das Partikel auf Grund des kreisformigen Stromungsfeldes

wieder gegen die Wand gedruckt und ein neuer idealer Stoß erzeugt.


4.3.4.2 Berechnung des Gleitstoßes

Im Gegensatz zu dem Modell mit dem idealen Stoß bewegt sich das Partikel

nach dem Stoß nicht wieder in das Stromungsgebiet hinein, sondern gleitet an

der Wand des Stromungsgebiets entlang. Bei diesem Stoßmodell wird nur die Ge-

schwindigkeit in wandtangentialer Richtung und nicht in wandnormalen Richtung

nach dem Stoß berucksichtigt.

Abbildung 4.15: Gleitstoß

In Abbildung 4.15 wird ein Gleitstoß mit einer ideal glatten Wand dargestellt.


4.3.4.3 Berechnung des Haftstoßes

Das Modell des Haftstoßes ist von den drei Modellen das einfachste Modell. Es

wird davon ausgegangen, dass das Partikel nach dem Aufprall auf die Wand an

dem Auftreffpunkt kleben bleibt. Nach dem Kollisionszeitpunkt, wird die Ge-

schwindigkeit in wandtangentialer und wandnormaler Richtung auf Null gesetzt.

Die Abbildung 4.16 stellt einen solchen Fall dar.

Abbildung 4.16: Haftstoß


4.3.5 Berechnung des Volumenanteils der dispersen Phase

Bei diesem Modell zur Simulation einer Mehrphasenstromung gehen wir von ei-

ner Ein-Weg-Kopplung aus, da der Volumenanteil der dispersen Phase zu gering

ist, um großen Einfluss auf das Stromungsverhalten der kontinuierlichen Pha-

se zu haben. Da in Zukunft eine Zwei-Wege-Kopplung vorgesehen ist, ist die

Volumenanteilberechnung der dispersen Phase implementiert. So lasst sich die

Partikelverteilung zu jedem beliebigen Zeitschritt untersuchen. Dieser Teil des

Programms dient zur Zeit hauptsachlich der Ausgabe, spater kann er auch fur

die numerische Berechnung verwendet werden.

In jedem Knotenpunkt des diskretisierten Gebiets muss der Volumenanteil der

Partikel bestimmt werden. Ist das Element, in dem sich das Partikel befindet,

bekannt, so muss das Volumen des Partikels Vp abhangig von der Position in

dem Element auf die Knotenpunkte verteilt werden. Bei der in Abbildung 4.17

dargestellten Vorgehensweise wird das Volumen des Partikels mittels der bary-

zentrischen Koordinaten λ1, λ2, und λ3 auf die drei Eckpunkte des Elements

verteilt. Das Verfahren ist volumenerhaltend, so dass keine Masse bei der Berech-

nung verloren geht.

λ3 Vp

x1

λ1 Vp

λ2 Vp

x2

x3

Abbildung 4.17: Aufteilung des Volumenanteils auf die Knotenpunkte


|e1|

|e2|

|e3||e4|

|e5|

|e6|

13

13

13

13

13

13

Abbildung 4.18: Gesamtvolumen an den Knotenpunkten

Um den Volumenanteil in dem Knotenpunkt zu erhalten, muss das Volumen aller

zu einem Knotenpunkt gehorenden Partikel durch das zu dem Punkt gehorige

Gesamtvolumen geteilt werden. In dem Algorithmus wird das Volumen jedes Ele-

ments |ei| zu je einem Drittel auf die drei Eckpunkte verteilt. Das in Abbildung

4.18 dargestellte Vorgehen ermittelt zu jedem Knotenpunkt i das zugehorige Vo-

lumen Vi.

Der Volumenanteil der dispersen Phase in dem i-ten Knotenpunkt αi lasst sich

anschließend mit der folgenden Formel berechnen

αi =

∑j VPj

Vi

. (4.32)

In der Gleichung bezeichnet Vi das Volumen, welches dem Knotenpunkt zugeord-

net wird und VPjden Volumenanteil des j-ten Partikels fur den i-ten Knoten-

punkt.

Kapitel 5

Numerische Ergebnisse

Zunachst mochte ich mich noch einmal bei Marcel Gurris bedanken. Er hat mir

seine berechneten Gasfelder zur Verfugung gestellt, auf Grund derer die Partikel-

trajektorien berechnet werden konnten.

In den Beispielen gehen wir von sehr kleinen Partikeln mit einem geringen Ge-

wicht aus. Die fur den Algorithmus benotigten Annahmen, wie z.B. die Ein-Weg-

Kopplung, konnen bei einer Vielzahl von Versuchen in der Natur und Technik

gemacht verwerden (bei z.B. Staub, Pollen oder Asche). Die folgende Tabelle

zeigt eine Ubersicht uber die in Experimenten vorkommenden Großenklassen,

sowie Beispiele fur das Gewicht und die Große der Teilchen (vgl. [1]):

Partikelklasse Beispiele Gewicht / kg Durchmesser / m

Flugasche,

Großstaub Sporen, z.B. 10−9 > 10−5

Pollen

Blutenstaub,

Feinstaub Zementstaub, z.B. 10−12 10−6 . . . 10−5

Ruß

Bakterien,

Schwebestoffe Tabakrauch, z.B. 10−15 < 10−6

Oldunst

Tabelle 5.1: Partikelklassen

65

66 KAPITEL 5. NUMERISCHE ERGEBNISSE

5.1 GAMM Channel

Bei diesem Beispiel handelt es sich um ein Rechteck, bei dem sich an einer der

langen Kanten eine kreisformige Erhebung befindet. Dieses Modell kann zum Bei-

spiel mit einer zweidimensionalen Simulation eines Rohres, in dem sich eine Beule

befindet, verglichen werden. In Abbildung 5.1 wird das Grobgitter dargestellt. Fur

die eigentliche Berechnung wird das Gitter weiter verfeinert.

Daten zu den Tests:

Anzahl der Knoten: 9577

Anzahl der Elemente: 18688

Kinematische Viskositat des Gases: νg = 10−5

Abbildung 5.1: Grobgitter des Beispiels GAMM channel

5.1. GAMM CHANNEL 67

Abbildung 5.2: Dichte des Gases ρg

Die Abbildung 5.2 zeigt die Verteilung der Dichte des Gases auf dem zugrunde-

liegenden Stromungsgebiet. Das Gas stromt auf der linken Seite in das Gebiet.

Vor der Beule erfahrt das Gas eine Komprimierung, wobei sich die Dichte des

Gases erhoht. Ist der Scheitelpunkt der Beule erreicht, so fallt der Druck und die

Dichte des Gases nimmt ab. Da fur die Berechnung der Gasgeschwindigkeit die

kompressiblen Euler-Gleichungen verwendet werden, entsteht an der Beule ein

Schock (im inkompressiblen Fall ware dies anders).


Abbildung 5.3: Gasgeschwindigkeit in x-Richtung

In Abbildung 5.3 wird die Geschwindigkeit des Gases in Richtung der x-Achse

dargestellt. Im Gegensatz zur Dichte nimmt die Geschwindigkeit vor der Beule

ab. Nach dem Scheitelpunkt nimmt die Geschwindigkeit des Gases wieder zu.

Analog zur Dichte des Gases entsteht ein Schock an der Beule.


Abbildung 5.4: Gasgeschwindigkeit in y-Richtung

Die Geschwindigkeit des Gases in y-Richtung, siehe Abbildung 5.4, zeigt am An-

fang der Beule nach oben und nach dem Scheitelpunkt der Beule nach unten. Die

Beobachtungen bezuglich der Dichte und der Geschwindigkeit entsprechen der

physikalischen Anschauung.


In Abbildung 5.5 sind die Trajektorien von zehn Partikeln angegeben. Man sieht

deutlich, wie die Partikel mit dem Gas einen Bogen um die Beule beschreiben.

Abbildung 5.5: Beispiel fur Partikeltrajektorien

Die Partikel in der Nahe der unteren langen Seite werden vor der Beule abge-

bremst, wahrend die weiter entfernten Partikel weniger abgebremst werden. Der

Bereich der Beschleunigung am Scheitel der Beule ist großer, so dass die oberen

Partikel am Ende der Simulation eine langere Strecke zuruckgelegt haben.

In den folgenden Abbildungen wird die Simulation der Partikelbewegungen unter

unterschiedlichen Voraussetzungen dargestellt.


Abbildung 5.6: mp = 0 mit dp = 10−5 und mp = 10−12 mit dp = 10−5

Die Abbildungen in 5.6 zeigen die Geschwindigkeit der Partikel in x-Richtung. In

der linken Abbildung ist die Partikelmasse, und damit auch die Dichte, auf Null

gesetzt. Der Durchmesser der Partikel ist mit dp = 10−5 sehr groß gewahlt. Als

große, masselose Partikel sollten sie sich mit der Gasgeschwindigkeit bewegen.

Vergleicht man diese Abbildung mit der Abbildung (5.3) der Gasgeschwindigkeit

in x-Richtung auf Seite 68, so sieht man, dass die Bilder annahernd ubereinstim-

men.

In der rechten Abbildung wird die Geschwindigkeit in x-Richtung von Partikeln

gleichen Durchmessers dp = 10−5 mit einer Masse von mp = 10−12 und einer auf

Null gesetzten Anfangsgeschwindgkeit dargestellt. Am linken Rand sieht man, wie

die Partikel eine kurze Strecke benotigen, um auf die Geschwindigkeit des Gases

beschleunigt zu werden. Diese Verzogerung kann man auch an dem verkleinerten

Bereich, in dem die Partikel eine Beschleunigung an der Beule erfahren, erkennen.

Durch die Gravitation erfahren die Partikel eine Beschleunigung in Richtung der

unteren langen Seite des Rechtecks. Durch diese Beschleunigung konnen Bereiche

in der Abbildung entstehen, in denen sich keine Partikel befinden, und somit kei-

ne Partikelgeschwindigkeit vorliegt. So lassen sich die Bereiche, wie zum Beispiel

am rechten oberen Bildrand, erklaren.

Sollten die Partikel mit einer hoheren Geschwindigkeit als das Gas eingefuhrt wer-

den, so sollten sie auf Grund der Widerstandskraft eine negative Beschleunigung

erfahren. Mit diesem Phanomen beschaftigen sich die folgenden Abbildungen.


Abbildung 5.7: up = 4, mp = 0 mit dp = 10−5 und mp = 10−12 mit dp = 10−5

Abbildung 5.8: up = 4, mp = 10−12 mit dp = 10−6 und mp = 10−15 mit dp = 10−5

In den Abbildungen 5.7 und 5.8 werden die Partikel mit einer Geschwindigkeit

von up = (4, 0)> am linken Rand eingefuhrt. In der linken Abbildung von 5.7 sind

die Partikel masselos, so dass sie direkt nach dem Eintritt die Geschwindigkeit des

Gases annehmen. In der rechten Abbildung von 5.7 haben die Partikel eine Masse

von mp = 10−12 und sie werden durch die Widerstandskraft abgebremst, wodurch

sie relativ schnell die Geschwindigkeit des Gases annehmen. Verringert man den

Partikeldurchmesser um den Faktor 10, wie in der linken Abbildung von 5.8, so ist

die Angriffsflache wesentlich kleiner und es dauert langer, bis die Geschwindigkeit

der Partikel mit der des Gases ubereinstimmt. Nach einer deutlichen Reduzierung

der Masse verhalten sich die Partikel fast wie im masselosen Fall (siehe rechte

Abbildung von 5.8).



In Abbildung 5.9 ist die Partikelgeschwindigkeit in y-Richtung dargestellt. Han-

delt es sich um masselose Partikel, so bewegen sich die Partikel exakt mit der

Gasgeschwindigkeit durch das Stromungsgebiet (wie man an der linken Abbil-

dung von 5.9 sieht). In dem rechten Bild haben die Partikel eine Masse von

mp = 10−12. Durch die Gravitation und die damit verbundene Bewegung der

Partikel nach unten ist der Bereich der Beschleunigung der Partikel vor der Beule

geringer und nach der Beule großer als im masselosen Fall (siehe Abbildung 5.9).

Mit Hilfe der folgenden Abbildungen wird die Entwicklung des Volumenanteils

der Partikel dargestellen. Bei der Simulation werden 1000 Partikel an der linken

Seite des Stromungsgebiets mit einer auf Null gesetzten Anfangsgeschwindigkeit

eingefuhrt. Die Partikelmasse wird auf mp = 10−12 und der -durchmesser auf

dp = 10−5 gesetzt.


Abbildung 5.10: Beispiel nach 0.05 und 0.10 Sekunden


Die Abbildungen zeigen wie sich die Partikel durch das Stromungsgebiet um die

Beule bewegen. Je weiter die Partikelbahn von der Beule entfernt ist, desto ge-

ringer ist der Einfluss der Beule auf die Bewegung des Partikels.

5.2. COMPRESSION CORNER 75

5.2 Compression Corner

Bei diesem Beispiel handelt es sich um ein ein funfeckiges Stromungsgebiet. Die

der langsten Seite gegenuberliegenden Seite ist in der Mitte in einem Winkel von

15 Grad abgewinkelt. In Abbildung 5.12 ist das Grobgitter des Tests dargestellt.

Fur die Berechnungen wird es noch weiter verfeinert.

Daten zu den Tests:

Anzahl der Knoten: 10585

Anzahl der Elemente: 20736

Kinematische Viskositat des Gases: νg = 10−15

Abbildung 5.12: Grobgitter des Beispiels Compression Corner


Abbildung 5.13: Dichte des Gases ρg

In Abbildung 5.13 ist die Verteilung der Dichte des Gases dargestellt. Da zur Be-

rechnung des Gasfeldes die kompressiblen Euler-Gleichungen verwendet wurden,

entsteht ein Schock (wie man deutlich in der erkennen kann). Im inkompressiblen

Fall wurde der Schock nicht entstehen.


Abbildung 5.14: Gasgeschwindigkeit in x-Richtung

Bei der in Abbildung 5.14 dargestellten Gasgeschwindigkeit in x-Richtung ent-

steht an der gleichen Stelle ein Schock, wie bei der Gasdichte. Wie man an der

Abbildung sehen kann, verringert sich die Geschwindigkeit des Gases.


Abbildung 5.15: Gasgeschwindigkeit in y-Richtung

In Abbildung 5.15 ist die Gasgeschwindigkeit in y-Richtung dargestellt. Vor der

Schrage bewegt sich das Gas nicht in Richtung der y-Achse. Nahert sich das Gas

der Schrage, so entsteht durch die Kompression eine Beschleunigung nach oben.

Wie bei der Gasdichte und der Geschwindigkeit in x-Richtung entsteht, wie man

an dem Bild erkennt, im kompressiblen Fall ein Schock.


Um die Bewegung der Partikel zu veranschaulichen ist in Abbildung 5.16 bei-

spielhaft die Flugbahn von zehn Partikeln dargestellt.

Abbildung 5.16: Beispiel fur Partikeltrajektorien

Durch die Schrage werden die Partikel nach oben abgelenkt. Die Partikel in der

Nahe der Schrage erfahren eine geringere Beschleunigung durch das Gas in x-

Richtung, als die weiter entfernten.

In den folgenden Abbildungen wird die Geschwindigkeit der Partikel in x- und in

y-Richtung veranschaulicht.



Abbildung 5.18: mp = 10−15 mit dp = 10−6 und mp = 10−15 und dp = 10−7

In den Abbildungen 5.17 und 5.18 wird die Geschwindigkeit der Partikel mit un-

terschiedlichen Massen und Durchmessern in x-Richtung dargestellt. Die Unter-

schiede lassen sich vor allem an dem linken Rand des Stromungsgebiets erkennen,

da die Partikel erst auf die Gasgeschwindigkeit beschleunigt werden mussen. An

der Stelle des Schocks erkennt man den Unterschied schwerer, da hier die Ge-

schwindigkeit der Partikel auf Grund der Aufteilung auf die Knotenpunkte leicht

unscharf erscheint.



Abbildung 5.20: mp = 10−15 mit dp = 10−6 und mp = 10−15 und dp = 10−7

Die Abbildungen 5.19 und 5.20 dienen der Veranschaulichung, welchen Einfluss

die Masse und der Durchmesser der Partikel auf die Bewegung in y-Richtung ha-

ben. Je kleiner die Masse ist und je großer der Durchmesser der Partikel ist, desto

großer ist der Einfluss des Gases, und desto eher gleichen sich die Geschwindig-

keitsfelder von dem Gas und den Partikeln.




Die Abbildungen 5.21 und 5.22 zeigen die Bewegung der Partikel durch das

Stromungsgebiet. Sind die Partikel an dem rechten Stromungsrand angekommen,

so werden sie zufallsverteilt an dem linken Rand wieder eingefuhrt.

Kapitel 6

Zusammenfassung

Ziel der vorliegenden Arbeit war es, einen Algorithmus zur Simulation von par-

tikelbeladenen Gasstromungen unter Verwendung der Euler-Lagrange-Methode

zu entwickeln. Bei den simulierten Stromungen gehen wir von verdunnten Gas-

Partikel-Stromungen aus, bei denen die Bewegung der Partikel durch das Gasfeld

und die Partikel-Wand-Kollisionen bestimmt wird. Die Partikel-Kollisionen unter-

einander, sowie der Einfluss der Partikel auf die Gasstromung, werden in dieser

Arbeit auf Grund des geringen Volumenanteils vernachlassigt. Das verwendete

Verfahren basiert auf der numerischen Berechnung der Gasstromungen mit Hilfe

der kompressiblen Euler-Gleichungen. Die meisten in der Literatur vorkommen-

den Algorithmen verwenden die inkompressiblen Gleichungen zur Modellierung.

Die hier verwendeten kompressiblen Euler-Gleichungen zur Berechnung der Gas-

stromung, bilden einen wesentlichen Unterschied. Der Unterschied wirkt sich auch

auf die Partikelbewegungen aus, da bei kompressiblen Stromungen, im Gegensatz

zu den inkompressiblen Stromungen, auch Schocks auftreten konnen.

Bei einem vorliegenden, berechneten Gasfeld wird die Partikel-Bewegung mit

dem Lagrange-Verfahren berechnet. Die Partikel bewegen sich auf Grund der

Impulsubertragung von der kontinuierlichen auf die disperse Phase. Nach Be-

stimmung der wesentlichen Krafte, welche auf das Partikel wirken, lasst sich,

ausgehend von dem zweiten Newtonschen Gesetz, die Bewegung der Partikel mo-

dellieren.

Bei der Simulation der Partikel-Bewegung gehen wir von starren, kugelformigen

Partikeln aus, deren Dichte sehr viel hoher ist als die des umstromenden Gases.

83

84 KAPITEL 6. ZUSAMMENFASSUNG

Drei verschiedene Modelle bezuglich der Partikel-Wand-Kollisionen sind in dem

Algorithmus implementiert (idealer Stoß, Haftstoß und Gleitstoß). Bei den Kolli-

sionen gehen wir von ideal glatten Wanden aus, so dass bei dem idealen Stoß der

Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist. Kommt es bei der Kollision des Par-

tikels mit der Wand zu einem Gleitstoß, so gleitet das Partikel nach dem Aufprall

entlang der Wand. Bei dem Haftstoß bleibt das Partikel an dem Kontaktpunkt

mit der Wand haften.

Nach der neu berechneten Position eines Partikels bereitet die Suche nach dem

Element, in dem sich das Partikel befindet, ein Problem. Dazu wurde mit diesem

Programm ein Algorithmus entwickelt, der das Element sucht, dessen Mittel-

punkt den geringsten Abstand zu der neu berechneten Position hat. In einem

grob unstrukturierten Gitter kann es zu dem Fall kommen, dass der Algorithmus

das Nachbarelement des richtigen Elements liefert. In diesem Fall wird in den

umliegenden Elementen nach dem Richtigen gesucht.

Um die Anzahl der Schritte zu reduzieren, verwendet das Programm ein aquidi-

stantes Hintergrundgitter. Jedem Hintergrundgitterpunkt ist das Element zuge-

ordnet, dessen Mittelpunkt am nachsten liegt. Dadurch lasst sich durch ein besser

gelegenes Startelement die Suche verkurzen.

Aufbauend auf den in dieser Arbeit erzielten Ergebnissen bietet das nachste Ka-

pitel einen kurzen Ausblick auf die Moglichkeiten zur Fortsetzung der Forschung

auf diesem Gebiet.

Kapitel 7

Ausblick

Aus den in dieser Arbeit erzielten Ergebnissen bieten sich interessante Ansatze,

um die Entwicklung dieses Modells fortzufuhren. Die Implementierung einer Zwei-

Wege-Kopplung anstatt einer Ein-Weg-Kopplung ware ein reizvoller Ansatz. Da

die Berechnung des Volumenanteils der dispersen Phase in dem Modell schon inte-

griert ist, musste man ausgehend von dem berechneten Volumenanteil nach jedem

Zeitschritt das Gasfeld neu berechnen. Im Prinzip sind die wichtigsten Erganzun-

gen in dem Algorithmus schon integriert. Durch diese Vorgehensweise ware auch

in den Bereichen des Stromungsgebiets mit einer hohen Partikelbeladung durch

die Berucksichtigung des Einflusses der dispersen Phase auf die kontinuierliche

Phase physikalisch exaktere Berechnung der Gasstromung moglich.

Liegt eine hohere Partikelbeladung vor, so muss bei dem Kollisionsmodell nicht

nur die Partikel-Wand-Kollisionen, sondern auch die Kollision der Partikel un-

tereinander berucksichtigt werden. Auf Grund des hohen Berechnungsaufwands

wurde dieser Aspekt in dem Modell nicht berucksichtigt, bietet aber ebenfalls

eine interessante Erweiterung. Die Moglichkeit der Simulation von diesen phy-

sikalischen Vorgangen stellt einen weiteren Vorteil gegenuber dem Euler-Euler-

Verfahren dar.

Ist die Zwei-Wege-Kopplung in dem Modell implementiert, so bietet sich ein Ver-

gleich mit den Ergebnissen der Simulation mit Hilfe des Euler-Euler-Verfahrens

an. Stimmen die erzielten Ergebnisse der beiden Modelle uberein, so ließen sich

die Ergebnisse zur Validierung anderer Modelle verwenden.

Eine weitere Erganzung ware eine differenziertere physikalische Beschreibung der

85

86 KAPITEL 7. AUSBLICK

Partikelbewegung. Die Implementierung der Druckkraft und der Virtuellen Masse

wurden eine interessante Erweiterung des Modells darstellen. Durch die Einbe-

ziehung der Rotation in die Modellbeschreibung ergaben sich weitere Moglich-

keiten bezuglich der Partikel-Wand-Kollisionen. Durch die Rotation des Partikels

verandert sich die Krafteinwirkung auf das Partikel. Man hatte mit Hilfe der Ro-

tation die Moglichkeit die Magnus-Kraft in das Modell einzubinden.

Ausgehend von diesen Ergebnissen bietet sich die Moglichkeit, das Modell auf

drei Dimensionen zu erweitern. Sollte das diskretisierte Gebiet in Tetraedern vor-

liegen, so konnten die meisten Algorithmen in dem vorgestellten Programm durch

leichte Modifikationen angepasst werden.

Durch eine Anpassung der physikalischen Effekte ließe sich mit diesem Modell

auch eine Fluid-Tropfen-Stromung modellieren. Bei dem Modell musste unter

anderem berucksichtigt werden, dass es sich bei den Tropfen nicht um eine star-

re, nicht deformierbare Oberflache handelt. Die Form der Tropfen kann sich

verandern, dies hat einen großen Einfluss auf die aerodynamischen Krafte auf die

disperse Phase. Da sich die Tropfen vereinen, aber auch teilen konnen, musste

dieses ebenfalls in dem Modell berucksichtigt werden.

Aufbauend auf diesem Modell bietet sich die Moglichkeit der Turbulenzmodellie-

rung der dispersen Phase. Die hier berechnete Partikelbahn konnte den Mittelwert

eines stochastischen Modells bilden. Mit der Addition einer stochastischen Kom-

ponente wurde sich die Partikelbahn verbreitern. Mit dieser Methode ließe sich

das Modell noch besser mit dem Euler-Euler-Modell vergleichen.

Literaturverzeichnis

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Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstandig und nur unterVerwendung der angegebenen Quellen und Hilfsmittel verfasst habe.

Dortmund, den 29. Juni 2009

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Numerische Simulation partikelbeladener Gasstr˜omungen mit ... · Numerische Simulation partikelbeladener Gasstr˜omungen mit der Euler-Lagrange-Methode Diplomarbeit im Studiengang