Numero 11 - Outubro de 2008

www.famat.ufu.br

Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Número 11 - Outubro de 2008

f

e-mail: [email protected]

Comitê Editorial: Alessandro Alves SantanaLuis Antonio Benedetti -

Marcos Antônio da Câmara -

Gabriela Aparecida dos Reis - PETMAT -

Claiton José Santos - PETMAT -

- DAMAT -

- FAMAT/UFU

FAMAT/UFU

FAMAT/UFU

FAMAT/UFU

FAMAT/UFU

FAMAT/UFUDouglas Silva Oliveira

FAMAT em Revista

FAMAT em Revista

ISSN 1806-1958

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e-mail

[email protected]

Revista Cientıfica Eletronica Semestral daFaculdade de Matematica - FAMAT

Universidade Federal de Uberlandia - UFU - MG

Comite Editorial:

Alessandro Alves Santana - Famat/UfuLuis Antonio Benedetti - Famat/Ufu

Marcos Antonio da Camara - Famat/UfuGabriela Aparecida dos Reis - Petmat - Famat/Ufu

Claiton Jose Santos - Petmat - Famat/UfuDouglas Silva Oliveira - Damat - Famat/Ufu

Numero 11

Outubro de 2008

Editorial

A Revista FAMAT em Revista chega a sua décima primeira edição cumprindo a proposta de ser uma forma ágil de promover a circulação de idéias, de estimular o estudo da Matemática e despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos aqueles que se interessam pelo estudo de Matemática.

O Comitê editorial desta décima edição é composto por:

Alessandro Alves Santana – Editor Responsável

Marcos Antonio da Câmara – Tutor do PET/Matemática

Luis Antonio Benedetti – Coordenador do Curso de Matemática

Gabriela Aparecida dos Reis - Aluna do Pet/Matemática

Claiton José Santos – Aluno do Pet/Matemática

Douglas Silva Oliveira - Representante do DAMAT

O décimo primeiro número da revista contempla as atividades desenvolvidas no primeiro semestre de 2008 e parte do segundo semestre de 2008.

O sucesso e a aceitação da revista no meio acadêmico ficam evidenciados pelo consistente número de artigos submetidos para a publicação, tanto na seção de trabalhos completos de iniciação científica como na seção de trabalhos desenvolvidos em sala de aula.

Convidamos o leitor a “navegar” pelas páginas desta décima primeira edição onde encontrará 10 trabalhos na seção “Trabalhos Completos de Iniciação Científica” e 1 trabalho na seção “Em Sala de Aula”.

As resoluções dos problemas apresentados na décima edição e quatro novos problemas proposto para a décima primeira edição encontram-se em “Problemas e Soluções”.

Na seção “Reflexões sobre o Curso de Matemática”, a Profa. Geovana Ferreira Melo Teixeira, professora da Faculdade de Educação da Universidade Federal de Uberlândia, um artigo intitulado “A Formação de Professores no Curso de Matemática da UFU: Reflexões e Inquietações”. Na décima segunda edição será apresentado um outro artigo dessa mesma autora.

Em “E o Meu Futuro Profissional” temos um artigo abordando um ramo da Matemática Aplicada chamada Otimização Combinatória. Esse artigo descreve em linhas gerais o que estuda esse campo do conhecimento, quais são suas aplicações e as perspectivas no mercado de trabalho para profissionais especializados nessa área.

Nas seções, “Merece Registro”, “Iniciação Científica em Números” e “Eventos” são apresentados alguns fatos de destaque na Faculdade de Matemática, as orientações e os projetos de Iniciação Científica desenvolvidos ou em desenvolvimento, no período.

Esperamos que os leitores apreciem esta décima primeira edição da FAMAT em Revista e contamos com contribuições e sugestões para edições futuras.

Comitê Editorial

Indice de Secoes

Secao 1: Trabalhos Completos de Iniciacao Cientıfica 7

Secao 2: Problemas e Solucoes 295

Secao 3: Eventos 301

Secao 4: Reflexoes sobre o Curso de Matematica 305

Secao 5: Em Sala de Aula 333

Secao 6: Iniciacao Cientıfica em Numeros 343

Secao 7: E o meu Futuro Profissional? 351

Secao 8: Merece Registro 357

FAMAT em Revista



Número 11 - Outubro de 2008www.famat.ufu.br

Trabalhos Completos deIniciação Científica

PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais

PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática

PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática

IM-AGIMB - Instituto do Milênio - Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira

Comitê Editorial da Seção Trabalhos Completos de Iniciação Científica

do Número 11 da FAMAT EM REVISTA:

Alessandro Alves Santana (coordenador da seção) Valdair Bonfim

Marcos Antônio da Câmera

Instrucoes para submissao de Trabalhos

A Secao de Trabalhos de Iniciacao Cientıfica visa divulgar trabalhos que estejam as-sociados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq /PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT.

Trabalhos completos em nıvel de iniciacao cientıfica dos programas acima listadossubmetidos para publicacao na Revista Eletronica “Famat em Revista” estarao sujeitosa apreciacao pelo Comite Editorial responsavel por essa secao de artigos e, se for o caso,por consultores ad hoc ligados a area ou subarea do trabalho. Caso se faca necessario,sugestoes para o aperfeicoamento do trabalho serao dirigidas aos interessados pelo ComiteEditorial.

Alem da redacao clara e concisa que todo trabalho submetido a boa qualidade devepossuir, pede-se evitar o estilo arido e extremamente tecnico caracterıstico de algumaspublicacoes matematicas, nao perdendo de vista que o publico-alvo ao qual se destina arevista e constituıdo por alunos de graduacao.

Os trabalhos submetidos ate o final de um semestre letivo serao publicados na edicaoda revista lancada no inıcio do semestre letivo subsequente.

Quanto as normas tecnicas para submissao dos trabalhos:

1) Formato do arquivo: PDF

2) Tamalho da Folha: A4

3) Margens: 2,5 cm (portanto, area impressa: 16 cm x 24,7 cm)

4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tıtulos, subtıtulos, notasde rodape, etc, que ficam submetidos ao bom senso)

5) Espacamento entre linhas: Simples

6) Orientador(es), tipo de programa e orgao de fomento (se houver)devem constar no trabalho.

Envio:Por e-mail: [email protected]

Indice de Trabalhos

Estimacao empırica da funcao densidade de probabilidade doruıdo de fundo de matrizes multieletrodo 13

Aline R. de Assis, Michelle T. Toitio, J.B. Destro-Filho e Edmilson R. Pinto

Analise da Media Geral Acumulada (MGA) dos alunos doscursos de graduacao da Universidade Federal de Uberlandia 27

Fabio Costa Almeida, Rogerio de Melo Costa Pinto e Arlindo Jose de Souza

Junior

Estudo de um metodo de aumento da ordem de precisao defuncionais integrais via metodos adjuntos 39

Gabriela Aparecida dos Reis e Alessandro Alves Santana

Algumas aplicacoes da Teoria dos Grafos 67

Giselle Moraes Resende Pereira e Marcos Antonio da Camara

O numero φ 81

Melissa da Silva Rodrigues e Marcos Antonio da Camara

O Problema de Waring e o Teorema de Lagrange 185

Otoniel Nogueira da Silva e Marcos Antonio da Camara

Dinamica do sistema carro-pendulo 205

Rafael Alves Figueiredo e Marcio Jose Horta Dantas

Planejamento de experimentos e otimizacao de sistemas mistos 231

Simone P. Saramago, Valder Steffen Jr, Jefferson Duarte Silva e

Sezimaria de Fatima Pereira Saramago

Construcoes Geometricas utilizando somente regua e compasso 247

Viviane Carvalho Mendes e Weber Flavio Pereira

Um Estudo Introdutorio sobre Cissoides 263

Fabiano Elias Reis e Dulce Mary de Almeida

ESTIMAÇÃO EMPÍRICA DA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE DO RUÍDO DE FUNDO DE MATRIZES MULTIELETRODO

Aline R. de Assis*1 , Michelle T. Toitio*2 , J.B. Destro-Filho*3 , Edmilson R. Pinto*4

*1,2,3Faculdade de Engenharia Elétrica – UFU *4Faculdade de Matemática – UFU

Av. João Naves de Ávila, 2121 – Santa Mônica 38400-902 Uberlândia-MG, Brasil

Autores para contato: [email protected]; [email protected]

Resumo: Este trabalho analisa sinais de atividade elétrica neural espontânea, captados através de dispositivos do tipo Matrizes Multieletrodo (“Multielectrode Array” – MEA), tomados em culturas de neurônios do hipocampo do rato. Tais culturas são denominadas “inativas”, em que não se observa conexão entre as células e os microeletrodos. Os dados analisados revelam, portanto, características importantes do ruído de instrumentação da MEA, o qual perturba qualquer análise informática normalmente realizada por pesquisadores em neurociência computacional. Levando-se explicitamente em conta a possível não-estacionariedade dos dados estudados, realiza-se a estimação de histogramas de freqüência médios, considerando-se dois experimentos completos. Os resultados obtidos evidenciam que tal função densidade de probabilidade, a qual caracteriza, de maneira global, o comportamento estatístico médio do ruído de fundo, é aproximadamente gaussiana, estimando-se sua variância por 2ˆ 12,711, e sua média por ˆ 0,497 . Esse resultado consiste na primeira validação experimental de um argumento empírico, normalmente evocado em publicações da área, desde a década de 1970, porém ainda não verificado experimentalmente.

Palavras-chave: Matriz Multieletrodo, Função Densidade de Probabilidade do Ruído, Atividade Basal.

1. Introdução

Uma das fronteiras na ciência biomédica é o desenvolvimento de próteses para o sistema nervoso central (SNC), com o objetivo de modificar terapeuticamente processos fisiológicos que foram perdidos devido a danificações ou doenças (BERGER et al, 2001). Como exemplo destas patologias, pode-se destacar a epilepsia, a qual consiste no disparo anormal de um grande número de neurônios, associado a um desequilíbrio entre a excitação e a inibição da atividade destes mesmos neurônios (DURAND, 2001). Essa patologia afeta 1% da população mundial, ou seja, 50 milhões de pessoas, dos quais 25% não respondem a medicamentos anticonvulsivantes, que constituem a terapia mais comum. Dentre aqueles que recebem medicação, estima-se que 50% apresentem efeitos colaterais. A cada ano, dois milhões de novos casos são relatados na literatura médica (URL1). A quantidade de pacientes epilépticos, cujo tratamento é atualmente sem sucesso ou que sofrem de efeitos colaterais nocivos oriundos da medicação, exige a busca de soluções alternativas. As novas técnicas de investigação informatizadas, o aumento da quantidade de cirurgias e o desenvolvimento de medicamentos mais caros oneram os sistemas de saúde. Considerando o baixo poder aquisitivo desses pacientes, e tendo em vista que o sistema público de saúde e os convênios médicos não cobrem em geral esses gastos, mesmo as drogas mais baratas podem representar despesas proibitivas aos pacientes (COCKERELL, 1998).

Em conseqüência dos fatos acima discutidos, atualmente são realizados muitos esforços para desenvolver próteses neurais que podem coexistir e comunicar bidirecionalmente com o tecido cerebral vivo. Embora o objetivo final seja para muitos anos futuros, alguns resultados animadores podem ser encontrados na literatura. Em (LITT, 2003), os autores descrevem estratégias para a construção de neuroimplantes para minimizar as crises epilépticas, incluindo experimentos preliminares de eletroestimulação em animais, baseando-se em dispositivos nanotecnológicos denominados "Matrizes Multieletrodo" (MEAs). Espera-se que esta nova geração de próteses neurais deve ter um profundo impacto na qualidade de vida de toda a sociedade, oferecendo uma possibilidade de terapia para a perda de memória que acompanha a doença de Alzheimer; o déficit da fala e da linguagem, que resulta de lesões, e a habilidade debilitada para executar rápidos movimentos, seguidos de traumas em regiões do cérebro responsáveis pelo controle motor (KANDEL, 2000). Considere-se uma prótese neural projetada para substituir neurônios danificados em regiões centrais do cérebro, através de dispositivos artificiais que são permanentemente implantados na região danificada. Os neurônios desta última são substituídos por “neurônios de silicone”, os quais devem ter propriedades funcionais específicas, recebendo atividade elétrica cortical como entrada e enviando microestimulações como saída para regiões específicas do cérebro (IEEE Proceedings,2001). Deste modo, a prótese deve “substituir” a função computacional do cérebro defeituoso, e reabilitar a transmissão daquele resultado computacional para outras regiões do sistema nervoso, através de módulos funcionais. Os componentes destes últimos são “neurocomputacionais” (RUTTEN, 2002), ou seja, baseados em modelos matemáticos de dinâmicas não-lineares e propriedades adaptáveis de neurônios biológicos. Para permitir a comunicação entre o tecido vivo do cérebro e o neuroimplante, utilizam-se MEAs (BERGER et al., 2001). Os microchips de prótese propostos também devem ser projetados com parâmetros que podem ser otimizados depois da implantação, permitindo adaptação a características próprias de um usuário particular. Atualmente, as MEAs são empregadas não apenas para estudos de codificação neural (RIKE, 1997), como também para aplicações em farmacologia (CHIAPPALONE, 2003). No primeiro caso, elas permitem a obtenção de dados associados a um nível de modelamento biológico do sistema nervoso denominado "mesoscópico" (FREEMAN, 2000). Em termos de farmacologia, as MEAs possibilitam testes repetitivos mais completos e quantificáveis que os procedimentos bioquímicos comuns. Existem diversas limitações e desafios técnicos que impedem a aplicação clínica dos neuroimplantes, cuja implementação física está intimamente ligada ao desenvolvimento do conhecimento acerca de detalhes importantes associados aos dispositivos MEA. Alguns desses desafios são discutidos logo abaixo (EYTAN, 2006).

Geralmente, um sinal da cultura neural, captado pela MEA, pode ser decomposto em unidades básicas, denominados “espículas” ou spikes (GLASER, 1976). Inicialmente, a análise clássica de spikes (GLASER, 1976; LEWICKI,1998) apresenta diversas limitações. O limiar numérico que permite detectar o spike não possui valor fixo, podendo ser influenciado por ruído de instrumentação do dispositivo utilizado nas medidas, sendo que sua amplitude é determinada visualmente pelo usuário, de forma subjetiva, o que implica em imprecisões para métodos que se valem desta estratégia (VATO, 2004). Outra técnica corresponde ao pré-processamento do sinal através de

transformadas do tipo wavelet (NENADIC, 2005), que deve levar em conta as características do ruído de instrumentação.

Fica claro, portanto, a partir do parágrafo anterior, que o ruído de instrumentação tem impacto muito importante no processamento de sinais oriundos de MEAs. Este fato torna-se ainda mais relevante no contexto da moderna tendência de dispositivos MEA de alta densidade, ou seja, contendo 4000 eletrodos (GUNNING,2007). Neste caso, espera-se influências mais acentuadas do ruído, pois a potência do sinal fica bastante reduzida se comparada com a tecnologia atual (KIM,2007).

Todavia, existem poucos trabalhos na literatura que discutem especificamente o ruído que perturba o registro de sinais através de eletrofisiologia. Em (GLASER, 1976), o autor estuda grupos delimitados de neurônios e tece comentários experimentais sobre a questão do ruído. Estes últimos foram retomados por (LEWICKI, 1998), que sugeriu, de forma axiomática, sem qualquer justificativa teórica ou experimental, que o ruído de fundo poderia ser modelado como uma variável aleatória gaussiana. Tais discussões foram utilizadas por (KIM, 2007), atribuindo os valores 152ˆ5.3 à variância desta densidade de probabilidade para realizar cálculos de detecção de spike, sem, contudo, justificar de onde tais valores se originaram.

Em síntese, embora o ruído de fundo que perturba o uso de MEAs tenha um impacto importante no desempenho do dispositivo, além de influenciar todos os resultados associados a processamentos computacionais baseados na teoria de spikes;até o presente momento, do conhecimento dos autores, nenhum artigo da literatura relatou explicitamente um procedimento experimental para tal medida, e muito menos forneceu valores dos parâmetros, característicos desta função densidade de probabilidade. Neste artigo, a medida do ruído de fundo da MEA é realizada a partir do conceito de “cultura inativa” (RUTTEN, 2002), que será explicado logo a seguir. Uma vez preparada a cultura, esta é depositada na MEA, sendo imediatamente levada a uma estufa protetora, sendo esta data denominada “dia de incubação” (ou “Day In Vitro” – DIV). Após dez dias em estufa, ou 10 DIVs, realizam-se medidas de atividade elétrica neural espontânea. Caso a freqüência de disparos seja inferior a 1 kHz, considera-se a cultura “inativa”, sendo que, para a grande maioria dos casos, esta cultura evolui para a morte fisiológica. Do contrário, diz-se “cultura ativa”.

Até o presente momento, do conhecimento dos autores, poucos trabalhos da literatura discutem a cultura inativa, com exceção de (EYTAM,2006), sendo que normalmente os sinais registrados neste tipo de preparação biológica são desprezados por pesquisadores. Todavia, de acordo com as discussões apresentadas em (EYTAM,2006), há diversas explicações para a morte fisiológica de tais culturas, cogitando-se que o sinal captado pela MEA, nestas condições, poderia revelar características importantes do ruído de fundo. Na seção 2, discutem-se os procedimentos biológicos para as medidas efetuadas, bem como os fundamentos teóricos e a sistemática de análise computacional. Os principais resultados e discussões são apresentados na seção 3, seguidos pelas conclusões e perspectivas na seção 4.

2. Materiais e métodos

Nesta seção serão discutidos os procedimentos biológicos para as medidas efetuadas, os fundamentos teóricos e a sistemática da análise computacional.

2.1 Aquisição dos dados de culturas inativas através de MEAs

Os sinais eletrofisiológicos foram aquisicionados usando o sistema MEA60 (MultichannelSystems, Reutingen, Germany). Culturas primárias de neurônios corticais do hipocampo do rato foram realizadas, extraindo-se o tecido de embriões com 18-19 dias de desenvolvimento, após anestesia e tomados todos os cuidados necessários, estipulados pelo Comitê de Ética da Universidade de Gênova. Detalhes associados à preparação das culturas podem ser encontrados na referência (NOVELINO et al., 2003). As culturas foram crescidas sobre as MEA's planares contendo 60 microeletrodos, cujas dimensões principais correspondem a 30 micrômetros de diâmetro e 200 micrômetros de espaçamento entre si, distribuídos em uma matriz 8 x 8. Ou seja, fileiras e colunas compostas por 8 microeletrodos, sendo que aqueles associados aos quatro cantos mais externos do circuito não existiam.

O aparato de experimentos consistiu dos seguintes elementos. A MEA propriamente dita foi conectada a um banco de 60 amplificadores integrados (cada qual associado a um microeletrodo), montados em suporte conjunto, compreendendo os estágios de pré-amplificação e amplificação propriamente dita, com ganho total absoluto de 1200. Utilizou-se também um regulador de temperatura, um computador pessoal equipado com uma placa PCI de aquisição de dados para monitoramento em tempo real, um microscópio invertido, uma mesa antivibratória e uma gaiola de Faraday. Os dados foram monitorados e gravados usando o software comercial MCRack(MultichannelSystems, Reutingen, Germany). Duas culturas neurais foram monitoradas, sendo estas identificadas como cultura C358 e cultura C359. Quando possível, para um experimento completo, cada cultura é monitorada durante 20 minutos, sendo que o procedimento é subdividido em quatro sessões de cinco minutos cada. Desta forma, os sinais de C358 foram observados no 7º (em 3 sessões), 11º (em 1 sessão), 14º (em 2 sessões) e 18º (em 1 sessão) dia de incubação (DIV). Já os sinais de C359 foram observados no 21º (em 4 sessões) e 25º (em 4 sessões) DIV. Dado que cada sessão dura cinco minutos, então há quinze conjuntos de sinais. O tempo de amostragem é de 0,1 milissegundo.

Para todos os experimentos descritos no parágrafo anterior, constatou-se a ausência de atividade elétrica significativa, além de freqüência de disparo inferior a 1 kHz, o que pode ser interpretado como dificuldade de conexão da cultura com os microeletrodos. Assim sendo, tanto a cultura 358 como a cultura 359 podem ser consideradas inativas.

Cabe observar que a inatividade das culturas foi natural, ou seja, o experimento não foi dimensionado para gerar ou induzir tal fenômeno. O procedimento detalhado de medida de cada conjunto de sinais está especificado a seguir. Cada MEA foi retirada da estufa de CO2 e colocada sobre o respectivo banco de amplificadores. As medidas foram iniciadas após 20 minutos da deposição da cultura sobre os eletrodos, com o objetivo de permitir às células de se adaptarem ao novo ambiente. Em seguida, para cada cultura, foram coletados quatro registros consecutivos de amostra do sinal de atividade neural espontânea, sendo que cada um desses registros teve duração de 5 minutos. Ou seja, para cada MEA, foi possível registrar a atividade elétrica dos 60 microeletrodos durante um tempo total de 20 minutos. Deve-se destacar que cada experimento completo de 20 minutos foi realizado em uma única cultura, de forma que as MEAs foram medidas individualmente, sendo uma MEA medida subseqüentemente à outra. Justificativas práticas do ponto de vista de instrumentação e da fisiologia, para tal procedimento, podem ser encontradas na referência (NOVELINO et al.,2003).

2.2 Fundamentos teóricos para a estimação da função densidade de probabilidade

Em teoria da probabilidade, associado a um experimento aleatório , considera-se um conjunto de resultados possíveis de , denominado espaço amostral . O conjunto pode ser finito ou infinito dependendo do experimento. Uma variável aleatória X é uma função que associa a cada elemento w um número real X w ,pertencente ao contradomínio da variável aleatória X, denominado xR . A variável aleatória X é denominada discreta se seu contradomínio xR é um conjunto finito ou infinito numerável e é denominada contínua se xR é um conjunto infinito não numerável, um intervalo ou uma união de intervalos. Para uma variável aleatória discreta, o contradomínio será formado no máximo por um número infinito numerável de valores 1 2, ,x x A cada possível resultado ix associa-se um número real

i i ip x P X x , denominado probabilidade de ix . Os números ip x , 1, 2,i

devem satisfazer às seguintes condições: i) 0ip x i e ii)1

1ii

p x . No caso de

uma variável aleatória contínua, deve existir uma função f x , denominada função

densidade de probabilidade, que satisfaça às seguintes condições: i) 0f x x ,

ii) 1f x dx e iii) para quaisquer a e b , com a b , tem-se que b

aP a X b f x dx (vide MEYER, 1983).

Considere uma forma de onda, disponível sobre um intervalo de tempo, onde a amplitude tX varia aleatoriamente com o tempo e pode assumir qualquer valor em certo intervalo. Desta forma, sua amplitude tX pode ser considerada como uma variável aleatória contínua. O interesse aqui está em obter empiricamente a função densidade de probabilidade dessa variável aleatória.

Para tal propósito, foi usado um método empírico de determinação dos valores da função densidade de probabilidade, considerando pequenos intervalos de tempo. A justificativa de tal procedimento é baseada no Teorema de Glivenco-Cantelli (TGC), que afirma que a função de distribuição empírica, construída das observações, converge para a função de distribuição populacional, quase certamente no espaço amostral e uniformemente em , isto é, qce

nF F . O TGC, algumas vezes mencionado como o “Teorema Fundamental da Estatística”, é uma conseqüência da Lei dos Grandes Números e representa um importante resultado na área de Estatística Aplicada, sendo enunciado da seguinte forma. Sejam 1, , nX X , variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas em um espaço de probabilidade , , , com função

distribuição de probabilidade F . Seja enF a correspondente função de distribuição

empírica, definida, para todo x e w , por 1

1,i

ne

n X xi

F x w I wn

, então

lim sup , ; ; 0 1enn x

P F x w F x w x , onde iX xI w é a função

indicadora, isto é, 1iX xI w se iX w x e 0

iX xI w , caso contrário.

Considere um 0x fixado, então 0 ,.enF x é uma variável aleatória, pois é

função das variáveis aleatórias 1, , nX X . Seja a variável indicadora 0ii X xY I , com

1, ,i n , assim, 01

1,.n

en i

iF x Y

n. As variáveis aleatórias 'iY s são independentes,

como conseqüência de 1, , nX X o serem. Para 0x fixado tem-se, que para cada 1, ,i n , ~iY Bernoulli p com 0 01i ip P Y P X x F x . Então

01

n

ii

E Y np nF x e , portanto, 0 0 01,.e

nE F x nF x F xn

. Desta forma,

pode-se concluir, pela Lei Forte de Kolmogorov (vide MAGALHÃES, 2004), que para cada valor 0x fixado, 0 0,. qce

nF x F x .Considere a amostra aleatória no tempo t 1, ,t tnX X de uma distribuição

absolutamente contínua F x e com a função densidade de probabilidade f x que se quer estimar. Conhecida a realização 1, ,t tnx x da amostra, defina a função de

distribuição empírica por ,1 1

1 1ti

n ne

n tixX xi i

F x I w I xn n

. Note que enF x

é um estimador não viciado para F x ,2e

nE F x F x converge a zero e que e

nF x tem uma distribuição normal assintótica (vide SOUZA, 1998). Como

0lim

2h

F x h F x hf x

h, (1)

o modo óbvio de estimar f x seria pela substituição de F x por enF x em (1).

Portanto, para 0h , convenientemente escolhido, tem-se que

,1

1ˆ ˆ ,2

n

h tix h x hi

f x f x h I xnh

.

O estimador hf x pode ser escrito alternadamente como 1

1 1ˆn

tih

i

x xf x Kn h h

,

onde 12

K y se 1y ou 0K y se 1y . Observe que K y é a função

uniforme no intervalo ( 1,1) . Nesse artigo, hf x foi usado como o estimador da

densidade f x . Para maiores detalhes e uma boa discussão sobre estimadores para

função densidade de probabilidade, inclusive usando outras funções K y , veja SOUZA (1998).

Assim, voltando à variável aleatória tX e, de acordo com o exposto acima, a função densidade de probabilidade tf x P x X x x pode ser aproximada por

,1

1ˆ tn

xx tix x x

i

Sf x I x

n x n x, onde

txS é o número de vezes que a variável

aleatória tX , a amplitude da onda no tempo t, se encontra no intervalo ,x x x e n éa quantidade de vezes que o experimento foi realizado.

2.3 Processamento dos dados

De acordo com a seção 2.1, este artigo analisou quinze conjuntos de sinais. Cada um desses conjuntos consiste em uma matriz 1 60, ,M = x x , composta por n 3.010.000 linhas e 60 colunas, onde as colunas kx , 1, ,60k , representam os diversos canais da MEA e as linhas jkx , 1, ,j n , representam o tempo físico (medido em milisegundos). Assim, de uma forma mais explícita,

..... 601 2

1,1 1,2 1,60

2,1 2,2 2,60

,1 ,2 ,60

...

...... ... ... ...

...n n n

x x xx x x

x x x

xx x

M

Figura 1 – Matriz geral M , descrevendo um conjunto de sinais, registrados durante cinco minutos, incluindo sessenta vetores

kx , 1, , 60k , cada qual associado a um canal da MEA, incluindo aquele da

Fig. 2. Os valores kj

x , com 1, ,j n correspondem à amplitude do sinal, avaliada em [ V ].

Desta forma, cada coluna k, 1, ,60k , da matriz M corresponde a um vetor kx , o qual armazena o registro da atividade elétrica em um único canal k, durante cinco minutos (vide Fig. 1). Os valores armazenados para cada coluna kx correspondem aos valores observados da variável aleatória “amplitude do ruído de fundo”, medidos em microvolts ( V ), no intervalo de tempo considerado (vide Fig. 2).

0 1 2 3 4 5 6

x 104

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20Trecho 2

Amostras

Am

plitu

de (m

icro

V)

Figura 2 – Exemplo de um sinal de um único canal da MEA, registrado durante cinco minutos. Amplitude do ruído de fundo apresentada no eixo vertical [ V ], e tempo no eixo horizontal [amostras].

Tendo em vista que o objetivo deste artigo consiste em estimar os valores que caracterizem a função densidade de probabilidade da estatística global do ruído de fundo, levando-se em conta uma média realizada sobre os quinze conjuntos de sinais, com base em histogramas de freqüência, procedeu-se a uma análise geral dos dados.

Esta possibilitou determinar a amplitude máxima Amax e a amplitude mínima Amin da variável aleatória considerada, levando-se em conta simultaneamente os quinze conjuntos de sinais, com objetivo de padronizar a estimativa dos histogramas.

A análise geral levou ao seguinte procedimento. A função densidade de probabilidade foi calculada de duas maneiras distintas. Inicialmente foram considerados todos os valores de amplitude do ruído de fundo que pertenciam ao intervalo [-150µV; 150µV[, sendo o histograma avaliado com subintervalos de 3µV, logo com uma resolução de 100 intervalos. Vide exemplo mostrado na Fig. 3, que resume as conclusões gerais obtidas para todos os experimentos da cultura C358, os quais foram muito semelhantes àqueles obtidos para todos os experimentos da cultura C359.

Figura 3 – Histograma para o conjunto de sinais associados à cultura 358. Eixo vertical expresso em porcentagem, amplitudes do ruído (eixo horizontal) espalhadas no intervalo [-150µV; 150, µV[, com resolução de 100 intervalos.

Tendo em vista os resultados assim obtidos, e considerando da Fig. 3 uma concentração das amplitudes significativas do histograma próximas à zero, desprezou-se todas as amplitudes menores que -15µV e maiores ou iguais a 15µV. Portanto, na estimação de todos os histogramas abaixo apresentados ou discutidos, considerou-se apenas as amplitudes do ruído de fundo da MEA pertencentes ao intervalo [-15µV, +15 µV[, com subintervalos de 1µV, levando a uma resolução de 30 intervalos. Não foi possível aumentar esta resolução, pois o valor um microvolt corresponde praticamente ao fundo de escala dos amplificadores conectados à MEA utilizada nos experimentos. Fixados então os valores máximo Amax = +15 V e mínimo Amin = -15 V da variável aleatória “amplitude do ruído de fundo da MEA”, descreve-se a seguir o processo de estimação dos histogramas. Inicialmente, discute-se o cálculo de um Histograma Médio para um Conjunto de Sinais, abreviado como HMCS. Este reflete o comportamento estatístico geral das amplitudes do ruído de fundo, considerando-se ao mesmo tempo as medidas efetuadas em todos os 60 canais da MEA durante cinco minutos. De acordo com a literatura (RUTTEN, 2002; NOVELINO, 2003), os sinais captados pela MEA são não-estacionários, implicando variações temporais na sua estrutura estatística. Em conseqüência, as técnicas de processamento de sinais, comumente empregadas para a estimativa de spikes (GLASER, 1976; KIM, 2007), que pressupõem a estacionariedade, devem ser aplicadas a pequenos trechos ou segmentos dos dados. Estudos aprofundados (BERGER, 2001; CHIAPALONE, 2003) sugerem que esses trechos não devam ser maiores que 8 – 10 segundos.

Assim sendo, cada vetor kx (vide Fig. 1), representativo de um único canal da MEA, foi subdividido em 60 trechos de duração 5 segundos cada um, estimando-se um histograma para cada trecho. O comportamento estatístico médio do canal foi avaliado fazendo-se a média de todos os 60 histogramas e gerando o histograma por canal ou HPC. Finalmente, repetindo-se esse procedimento para todos os 60 canais da MEA (ou colunas da matriz M (vide Fig. 1), geraram-se 60 HPCs, sendo que o Histograma Médio para um Conjunto de Sinais (HMCS) foi calculado através da média aritmética dos 60 HPCs. Finalmente, obteve-se a média aritmética de todos HMCS associados a C358, o que caracteriza o comportamento estatístico médio dessa cultura, levando em conta todos os canais. O mesmo foi realizado para C359. Particularmente, em relação aos procedimentos discutidos nos dois parágrafos anteriores, deve-se detalhar os cálculos computacionais no que se refere a um único canal ou vetor kx (vide Fig. 1). Obtida uma matriz com 60 linhas e 50000 colunas, correspondentes, respectivamente, a 60 trechos de 5 segundos cada um, analisou-se cada trecho individualmente, seguindo os seguintes passos.

(P1) Cada trecho foi colocado em ordem crescente de valores. (P2) Definiram-se todos os subintervalos I, de amplitude 1µV, dentro dos limites de

amplitude do ruído de fundo [-15 µV, +15 µV [. (P3) Analisando todo o trecho, contou-se a quantidade de vezes que as amplitudes do

sinal assumiram valores situados dentro de cada subintervalo I acima definido. Tais valores foram armazenados em uma matriz.

(P4) A freqüência relativa de cada subintervalo I foi estimada dividindo-se as amplitudes da matriz calculada em (P3) por 50000.

Os valores da média e de variância amostral de cada histograma foram estimados a partir das fórmulas apresentadas (2) e (3), respectivamente.

1

ˆˆQ

i I ii

x f x (2)

22

1

ˆˆ ˆQ

i I ii

x f x (3)

Onde:

ix é a amplitude média de cada subintervalo I, associado à amplitude do ruído de fundo, medida em V .ˆ ( )I if x é a estimativa da probabilidade associada à probabilidade de ix pertencer ao

intervalo I, expressa em valores decimais. Q é a quantidade total de subintervalos de cada histograma, estabelecida pela resolução do histograma, correspondente ao valor 30, como discutido acima.

Adicionalmente, para os dados de amplitude do ruído de fundo associada às culturas neurais inativas 358 e 359, foi construído o gráfico QQ-plot, e feito o teste de Shapiro-Wilk (vide SOUZA, 1998) a fim de verificar a normalidade dos dados. Também foram realizados testes paramétricos, juntamente com intervalos de confiança para a média e para a variância (vide BUSSAB e MORETTIN, 2000) da distribuição considerada.

3. Resultados e discussões

Como o interesse principal do artigo está no comportamento da amplitude de ruído de fundo, associada às culturas 358 e 359, testes de hipóteses e intervalos de confiança foram realizados somente para essa variável, cujo histograma dos dados é mostrado na Fig.4. Esta última revela o comportamento estatístico global do ruído de fundo, presente nas medidas efetuadas pela MEA. Trata-se de uma estimativa de uma função densidade de probabilidade, a qual aparenta ser próxima à gaussiana.

Figura 4 - Histograma da amplitude do ruído de fundo, associado a culturas neurais inativas 358 e 359, considerando simultaneamente os 60 canais, e todos os quinze conjuntos de sinais.

Para a comprovação da normalidade desses dados, foi construído, adicionalmente o gráfico QQ-plot. Observe na Fig. 5 que os pontos do gráfico se aproximam de uma reta, indicando normalidade. Também foi realizado o teste de Shapiro-Wilk, que forneceu um p-valor de 2,2 x 10-16, confirmando a normalidade para os dados da amplitude de ruído de fundo.

-4 -2 0 2 4

-15

-10

-50

510

15

qq-plot Normal

Quantis Teóricos

Qua

ntis

da

Am

ostra

Figura 5 – Gráfico QQ-plot da amplitude do ruído de fundo, associado a culturas neurais inativas 358 e 359, considerando simultaneamente os 60 canais, e todos os quinze conjuntos de sinais.

Seguindo a análise, os valores estimados para a média e variância da distribuição normal foram, respectivamente, ˆ 0,497 e 2ˆ 12,711. A Tabela 1 mostra os intervalos com 95% de confiança para a média e variância.

Tabela 1: Estimativa dos parâmetros da distribuição gaussiana para a variável amplitude ruído de fundo, associada às culturas inativas 358 e 359.

Parâmetro Estimativa Intervalo com 95% de confiança. 0,497 (0,497; 0,567)

2 12,711 (12,366; 13,070)

Com base na suposição de normalidade para os dados, foram feitos testes de hipóteses para a média e para variância. As hipóteses, : 0oH e 2: 1oH ,indicando que os dados provêm de uma distribuição normal padrão, foram rejeitadas ao nível de 5% de significância.

4. Conclusão e perspectivas

Os resultados apresentados mostram que o comportamento global da amplitude do sinal de ruído de fundo, associada às culturas neurais inativas 358 e 359, considerando os 60 canais, pode ser considerado como sendo uma variável aleatória com distribuição gaussiana. Isto pode ser comprovado através do histograma (Fig. 4), do gráfico QQ-plot (Fig. 5) e pelo teste de Shapiro-Wilk (vide seção 3).

Deve-se destacar que os valores estimados para a média e variância dessa distribuição (Tabela 1) estão em conformidade com os valores usados por (KIM, 2007), situados no intervalo 152ˆ5.3 , porém com uma variabilidade bem maior do que o intervalo obtido na Tabela 1. Testes de hipóteses, baseados na suposição de normalidade, evidenciam que a distribuição considerada não é normal padrão.

Em síntese, este artigo consiste na primeira validação experimental de um argumento apresentado e utilizado desde a década de 1970 pela literatura (GLASER,1976), estipulando valores concretos para a média e a potência de ruído de fundo, a serem usados em algoritmos atuais de detecção de spikes (LEWICKI,1998; KIM,2007).

Trabalhos futuros envolvem a discussão aprofundada da estacionariedade dos sinais analisados, para refinar a estimação da densidade de probabilidade, bem como o processamento de um conjunto maior de sinais de culturas inativas.

5. Agradecimentos

À Universidade de Gênova (UniGe), Itália, na figura do Prof. Sergio Martinoia, pela disponibilização dos materiais e financiamento da estadia do estudante Danilo R Campos (UFU), responsável pela mensuração dos dados aqui analisados. À Organização Internacional do Cérebro (IBRO), pelo financiamento da viagem do mesmo estudante. Ao programa PIBIC CNPq/UFU, pelas bolsas de Iniciação Científica dos diversos estudantes envolvidos. A Camila A. Araújo, pela ajuda na organização dos dados. Especial agradecimento, em memória, ao Prof. Massimo Grattarola (UniGe), pela boa vontade, disponibilidade e abertura de espírito que permitiram nossas primeiras reuniões de trabalho em 2001.

6. Referências bibliográficas

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Análise da Média Geral Acumulada (MGA) dos alunos dos cursos de graduação

da Universidade Federal de Uberlândia - UFU

Fábio Costa Almeida1, Rogério de Melo Costa Pinto2, Arlindo José de Souza Junior3

Universidade Federal de Uberlândia – Faculdade de Matemática Av. João Naves de Ávila,2160 – Campus Santa Mônica

CEP: 38400-902 – Uberlândia – MG – Brasil 1Aluno do Curso de Matemática – UFU – e-mail: [email protected]

2Professor Orientador – e-mail: [email protected] 3Professor Colaborador – e-mail: [email protected]

RESUMO

A Média Geral Acumulada (MGA) é uma média pondera obtida através da carga horária e de

nota obtida em cada disciplina e é usada como um dos critérios de seleção para os alunos

participarem de bolsa de iniciação cientifica, intercâmbios ou de algum estágio interno. O

objetivo deste trabalho foi verificar se existe diferença entre as MGA’s dos alunos dos cursos

de graduação da Universidade Federal de Uberlândia. Para a realização deste estudo foi feita a

análise de variância e posteriormente o teste de Skott-Knott onde se pode concluir que há

diferença entre as MGA’s dos alunos dos cursos analisados.

Palavras-chave: média geral acumulada (MGA), análise de variância, teste de Skott-Knott.

1. INTRODUÇÃO

Na estrutura atual de ensino o aluno é avaliado apenas quantitativamente e não

qualitativamente pelo seu desempenho e conhecimento. Esta estrutura de avaliação vigora em

todas as instituições de ensino, apesar de sua comprovada ineficácia na análise de

conhecimento dos alunos, a grande maioria dos educadores insiste em aplica - lá, sendo que a

justificativa destes educadores é que avaliar é preciso e que este é o único método o qual eles

tiveram contato durante sua formação. Atualmente qualquer que seja o nível de ensino utiliza-

se o mesmo critério de avaliação, ou seja, no Ensino Fundamental e Médio os alunos são

classificados pelas notas obtidas em cada disciplina. Por meio destas notas são aprovados ou

reprovados nas disciplinas e também são classificados como bons alunos se tiverem notas

altas em todas as disciplinas.

Os critérios de avaliação apontam as experiências educativas a que os alunos devem

ter acesso e que são consideradas essenciais para o seu desenvolvimento e socialização. Nesse

sentido, eles devem refletir de forma equilibrada os diferentes tipos de capacidades e as três

dimensões de conteúdos (conceitos, procedimentos e atitudes) e servir para encaminhar a

programação e as atividades de ensino e aprendizagem (Parâmetros Curriculares Nacionais

(PCN), 1998), logo para o Ensino Fundamental e Médio o PCN tenta regular as formas de

avaliação dos alunos para que eles não fiquem presos a notas obtidas somente em provas.

Existem poucas escolas que apesar de utilizar este sistema quantitativo, tentam

trabalhar dividindo os pontos distribuídos em duas categorias: atividades diversificadas e

provas individuais. Estas escolas que utilizam esta estratégia para minimizar as falhas do

sistema atual são as escolas de aplicação, um exemplo de escola de aplicação é a ESEBA

(Escola de Educação Básica da UFU), a escola de ensino fundamental da Universidade

Federal de Uberlândia – UFU.

Ao sair do Ensino Médio o aluno continua sendo avaliado pelo mesmo critério, ou

seja, por notas. Para ingressar na universidade é avaliado através de uma prova (vestibular) a

qual tem o objetivo de analisar se este aluno está ou não capacitado para entrar na

universidade, e a partir de seu desempenho o vestibulando é classificado para a segunda fase,

onde ele realiza outra prova. Ao fim dessas etapas são somadas as suas notas e os com

maiores notas ingressam no ensino superior. Algumas poucas universidades atualmente

utilizam também como forma de avaliação para o ingresso na universidade à nota no ENEM

(Exame Nacional do Ensino Médio), apesar de ser uma forma alternativa, continua avaliando

o candidato através de notas. Algumas universidades que utilizam a nota do ENEM como

pontuação extra no vestibular: USP (Universidade de São Paulo), Unicamp (Universidade

Estadual de Campinas), PUC - Rio (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro),

PUC-SP (Pontifícia Universidade Católica de São Paulo) dentre outras.

Quando o aluno ingressa no curso superior não muda muito, pois continua sendo

avaliado e recebendo notas de acordo com o desempenho nas disciplinas. A nota do aluno é

apenas uma das bases do cálculo do desempenho, pois o aluno agora é classificado segundo a

sua média geral acumulada (MGA), a qual é calculada de acordo com a carga horária de cada

disciplina e a nota obtida nela (GUIA ACADÊMICO, 2005).

Caso um aluno de qualquer curso de graduação queira concorrer a algum tipo de bolsa

de iniciação cientifica, participar de intercâmbios ou participar de algum estágio interno na

Universidade Federal de Uberlândia, um dos requisitos é que ele tenha bom desempenho

acadêmico, em outras palavras, ter bom desempenho acadêmico significa média geral

acumulada (MGA) igual ou superior a 60 pontos e esta precisa ser comprovada por meio de

Histórico Escolar.

A MGA do aluno começa a ser construída e analisada desde o primeiro período de

graduação, mostrando como foi o desenvolvimento do aluno ao longo de toda sua vida

acadêmica, pois caso este aluno tenha reprovado em alguma(s) matéria(s) durante seu curso

de graduação, neste período sua nota nesta disciplina irá pra o cálculo de sua MGA já

insuficiente, pois este aluno não obteve o mínimo necessário para ser aprovado nesta

disciplina. Neste caso, o mais provável de ocorrer com a sua MGA é permanecer a mesma ou

não aumentar consideravelmente. Porém se um aluno sempre obteve boas notas, sua MGA irá

aumentar, e caso este aluno só obter o mínimo possível para passar em uma disciplina, sua

MGA não sofrerá alterações significativas.

Logo, se um aluno teve dificuldades no inicio de sua graduação sendo reprovado em

algumas matérias, por displicência ou por adaptação e depois de alguns períodos ele supera

estas dificuldades iniciais, mesmo obtendo boas notas, ele dificilmente conseguirá aumentar

sua MGA de forma expressiva para estar concorrendo de igual para igual com outros alunos.

Portanto, pode se dizer que a queda na MGA é mais fácil de ocorrer do que um aumento na

mesma.

Nos editais de projetos de iniciação científica com bolsa na UFU, é utilizado a MGA

(acima de 60) como base do critério de seleção dos candidatos, além de avaliar se o candidato

não teve duas reprovações nos dois últimos semestres, sendo estes os pré-requisitos para

participar de uma seleção de bolsas na universidade. Após a análise destes critérios é que o

projeto no qual o candidato à bolsa esta envolvido é avaliado. Sendo assim, vários projetos de

grande importância não são nem avaliados quando os candidatos não satisfazem os pré-

requisitos, reduzindo significativamente o número de possíveis bolsistas. Entretanto, há uma

hipótese de que a MGA dos cursos de graduação da UFU são diferentes, assim, caso isso seja

verdade, alguns alunos de determinados curso de graduação tem vantagens na seleção dos

projetos em relação a alunos de outros cursos.

Na Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) o critério de avaliação de

desempenho dos alunos candidatos à bolsa para projetos de iniciação cientifica leva em

considerações vários fatores, não só a nota e a carga horária das disciplinas. Nesta

universidade, quando se avalia o desempenho acadêmico do aluno são levados em

consideração os seguintes critério (www.prp.unicamp.br/pibic/index.php, visitado em

24/06/2008):

1 – Coeficiente de Rendimento: que é a MGA do aluno;

2 – Coeficiente de Progressão: calculado da seguinte forma:

T

CiCP

n

1

Onde, Ci é número de créditos obtidos pelo aluno em cada disciplina do seu currículo pleno e

T é o total de créditos necessários para graduar-se naquele currículo pleno.

3 – Coeficiente de Rendimento Relativo: dado por:

turma

turmaalunorel

CRCRCR

Onde, turmaCR é o CR médio da turma do aluno e turma é a dispersão da distribuição de

CR’s da turma;

4 – Número de reprovações em disciplinas por parte do aluno, em relação ao número médio

de reprovações da turma.

Comparando as duas universidades é possível afirmar que a Universidade Estadual de

Campinas analisa um maior número de informações, informações estas que depende de

variáveis dos alunos e da turma onde este aluno esta inserido. Apenas com esta informação já

é possível afirmar que o critério de avaliação desta universidade é mais coerente, não

necessariamente mais eficiente. Pois quando se ensina um conteúdo a um grupo de alunos é

essencial fazer um estudo sobre onde estes alunos estão inseridos, pois o meio modifica o

modo de aprendizagem do aluno, e isto não é diferente quando se trata da análise do

desempenho dos alunos na universidade.

Portanto ao analisar o desempenho do estudante é importante verificar não só o

aproveitamento do estudante mais também o desempenho da turma, nesta disciplina, bem

como a carga horária da disciplina, para que com base nestas informações possa ser possível

afirmar ou não que um aluno deva ganhar uma bolsa de iniciação cientifica.

Apesar das poucas variáveis envolvidas no cálculo da MGA da Universidade Federal

de Uberlândia, este método vem sendo utilizado a um bom tempo nesta entidade, mesmo não

sendo um bom método atende as necessidades, pois o seu objetivo é classificar o aluno,

fazendo uma análise do desempenho do aluno desde seu primeiro período de curso. A sua

maior aplicação nesta universidade é de classificação para analise de bolsas e para esta

finalidade a MGA tem se mostrado eficiente, mesmo não sendo a melhor análise do

aproveitamento de um aluno.

Com isso, chega-se a uma conclusão prévia de que nem um nem outro método é o

melhor para avaliar a distribuição de bolsas, mas sim uma análise criteriosa da vida acadêmica

do aluno. Mesmo não sendo ainda o ideal, o critério utilizado pela Universidade Estadual de

Campinas é o que mais se aproxima do mesmo, pois apresenta um maior número de

informações da vida acadêmica do aluno bem como do espaço no qual ele está inserido.

O objetivo do presente estudo foi verificar se existe diferença entre as MGA’s dos

alunos de cada curso de graduação, considerando-se as seguintes áreas: Ciências Biológicas,

Ciências Agrárias e da Saúde, Ciências Exatas e da Terra, Engenharias, Ciências Humanas,

Ciências Sociais Aplicadas e Lingüística, Letras e Artes.

2. MATERIAL E MÉTODOS

Os dados para a realização deste trabalho foram fornecidos pela Diretoria de

Administração e Controle Acadêmico (DIRAC) que são as MGA’s dos alunos dos cursos de

graduação da Universidade Federal de Uberlândia.

Para o cálculo da MGA é usada a média ponderada (Guia Acadêmico, 2005), que é

uma média de uma coleção de valores aos quais foram atribuídos diferentes graus de

importância. Onde os valores são as notas obtidas em cada disciplina e os diferentes graus de

importância e a carga horária de cada disciplina. Logo:

n

ii

n

iii

W

WXMGA

1

1.

Onde:

iX : é a nota obtida em cada disciplina;

iW : é a carga horária de cada disciplina.

As MGA’s usadas neste trabalho são referentes ao segundo semestre de 2007. Para a

análise dos dados foram desconsiderados os alunos ingressantes no segundo semestre de

2007, pois a MGA dos alunos ingressantes é igual à zero.

Foi feita a análise de variância considerando o delineamento inteiramente ao acaso

(Pimental Gomes, 1990) e posteriormente o teste de Skott-Nott (Ramalho et al., 2000) para

verificar as diferenças entre os cursos.

O procedimento de Scott e Knott (1974) utiliza a razão de verossimilhança para testar

a significância de que os n tratamentos podem ser divididos em dois grupos que maximizem a

soma de quadrados entre os grupos.

Seja, por exemplo, 3 tratamentos, A, B e C. O processo consiste em determinar uma

partição, em dois grupos, que maximizem a soma de quadrados. Veja que nesse caso são

possíveis 2n – 1 – 1 grupos, isto é, A vs B e C, B vs A e C, C vs A e B. Com um número

pequeno de tratamentos como o do exemplo é fácil obter todos os grupos. Contudo, quando o

número (n) de tratamentos é grande, o número de grupos cresce exponencialmente,

dificultando a aplicação do teste. Para atenuar esse problema, basta ordenar as médias dos

tratamentos. Nessa situação, o número de partições possíveis passa a se obtido por n – 1. Uma

vez ordenada às médias, procede-se do seguinte modo, fazendo inicialmente o número de

tratamentos g = n:

i. Determinar a partição entre dois grupos que maximizem a soma de quadrados entre

grupos. Essa soma de quadrados será determinada por B0, e será estimada da seguinte forma:

sejam T1 e T2 os totais dos dois grupos com k1 e k2 tratamentos em cada um.

21

221

2

22

1

21

0 kkTT

kT

kTB

1

11

k

iiYT e

g

kiiYT

12

1

Em que iY é a média do tratamento da posição ordenada i.

Os dois grupos deverão ser identificados por meio da inspeção das somas de

quadrados das g – 1 partições possíveis, sendo g o número de tratamentos envolvidos no

grupo das médias consideradas.

ii. Determinar o valor da estatística da seguinte forma:

20

0

ˆ)2(2B

Em que 20ˆ é o estimador de máxima verossimilhança de 2

Y . Seja r

QMESY2

o estimador não viesado de 2Y e v os graus de liberdade associados a este estimador.

g

iSi

YvYY

vg 1

220 2

1ˆ

iii. Se 22/;g , rejeita-se a hipótese de que os grupos são idênticos em favor da

hipótese alternativa de que os grupos deferem.

iv. No caso de rejeitar essa hipótese, os dois subgrupos formados serão

dependentemente submetidos aos passos (i) e (ii), fazendo respectivamente g = k1 e g = k2.

O processo em cada subgrupo se encerra ao aceitar H0 no passo (iii) ou se cada subgrupo

contiver apenas uma média.

Para a realização da análise de variância foi feita a transformação dos dados com

aplicação do logaritmo para a correção da normalidade. Para a realização das análises

utilizou-se o programa SISVAR versão 4.6 (Ferreira, 2003).

Os cursos de graduação foram divididos em três grandes áreas contendo os seguintes

cursos: Ciências biológicas, agrárias e da saúde (Agronomia, Ciências Biológicas,

Enfermagem, Medicina Veterinária, Medicina e Odontologia); Engenharias e ciências exatas

(Ciências da Computação, Engenharia Química, Engenharia Civil, Engenharia elétrica,

Engenharia Mecânica, Engenharia Mecatrônica, Química, Física de Materiais e Matemática);

Ciências humanas, sociais aplicadas, lingüística, letras e artes (Administração, Arquitetura e

Urbanismo, Ciências Contábeis, Ciências Econômicas, Ciências Sociais, Decoração, Direito,

Filosofia, Geografia, História, Letras e Psicologia).

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO:

Observando-se o quadro da ANAVA (Tabela1), verifica-se que houve diferença

estatisticamente significativa entre os cursos analisados (p-valor <0,01). O Coeficiente de

Variação (CV) foi de 13,61% , mostrando boa precisão dos dados.

Tabela 1. Quadro da ANAVA referente aos cursos analisados (dados transformados).

FV GL QM Fc Pr>Fc

Cursos 26 3,9855 57,41 0,0000

erro 31519 0,0694

Total corrigido 31545

CV (%) 13,61

Observando-se o teste de médias (Tabela 2), verifica-se que os cursos da Engenharia

Mecatrônica, Química, Enfermagem, Psicologia, Medicina, Direito, Odontologia, Medicina

Veterinária, Arquitetura e Urbanismo, Ciências Contábeis, Matemática, Administração,

Ciências da Computação, não diferiram estatisticamente pelo teste de Skott-Knott, os quais

diferem dos demais cursos.

Verifica-se também no teste de médias (Tabela 2) que os cursos de História,

Decoração, Geografia, Ciências Biológicas, Agronomia, Engenharia Mecânica, Economia,

Engenharia Química e Engenharia Civil não diferiram estatisticamente pelo teste de Skott-

Knott, os quais diferiram dos demais cursos.

Pelo teste de médias (Tabela 2), verifica-se que o curso de Ciências Sociais diferiu

estatisticamente pelo teste de Skott-Knott dos demais cursos.

Tem-se também que os cursos de Física de Materiais e Filosofia não diferiram

estatisticamente pelo teste de Skott-Knott (teste de médias – Tabela 2), os quais diferiram dos

demais.

Assim como foi constatado pelo teste de médias (Tabela 2), os cursos de Letras e

Engenharia Elétrica não diferiram estatisticamente pelo teste de Skott-Knott, os quais

deferiram dos demais, sendo que estes cursos apresentaram uma das menores médias e alto

desvio padrão, refletindo uma variação muito grande nas MGA’s dos alunos.

Tabela 2. Mediana, média e desvio padrão dos cursos analisados.

CURSOS Medianas Médias Desvio padrãoAdministração 71,9813 67,15205 a 17,4401Arquitetura e Urbanismo 77,4292 71,77968 a 17,2836Ciências Contábeis 75,7766 71,44706 a 16,6860Ciências da Computação 59,9712 57,44174 a 18,3305Direito 81,6682 77,88036 a 15,1386Enfermagem 84,8137 82,83217 a 9,6622Engenharia Mecatrônica 69,3788 66,5326 a 15,0540Matemática 73,8763 70,83231 a 16,4039Medicina 79,3041 78,22817 a 7,4599Medicina Veterinária 76,4906 73,26253 a 12,9520Odontologia 77,4271 76,24033 a 8,6824Psicologia 86,0847 82,04189 a 13,1652Química 67,3862 65,7370 a 13,5369Agronomia 67,6439 63,29486 b 16,7672Ciências Biológicas 75,4903 68,66261 b 19,7599Decoração 71,2768 65,2781 b 18,8519Economia 61,3628 58,07996 b 19,8010Engenharia Civil 56,6378 53,4392 b 17,6697Engenharia Mecânica 61,9024 58,3023 b 16,8434Engenharia Química 62,1241 57,34365 b 15,0540Geografia 70,8759 70,87588 b 19,1897História 79,2587 73,3794 b 21,2649Ciências Sociais 64,9016 57,43469 c 24,1027

Verifica-se que os cursos estão classificados no grupo de acordo com a média das

MGA’s onde os grupos a, b, c, d, e (Tabela 2) estão organizados em ordem decrescente com

relação às MGA’s. Porém alguns cursos apesar de apresentarem MGA semelhante à de algum

dos grupos estão classificados em outro por apresentarem um desvio padrão maior. Podemos

perceber isto com o curso de História e Geografia que apresentam MGA semelhante aos dos

cursos classificados no grupo a, porém estão classificados no grupo b.

Separando os grupos por áreas do conhecimento temos as seguintes classificações nos

grupos:

Na área de Ciências biológicas, agrárias e da saúde tem os seguintes cursos no grupo

a: Enfermagem, Medicina, Medicina Veterinária e Odontologia; no grupo b: Agronomia e

Ciências Biológicas.

Tabela 3. Porcentagem dos cursos da área de Ciências Biológicas, agrárias e da saúde em cada

grupo.

Observando-se a Tabela 3 tem-se que 67% dos cursos da área de Ciências Biológicas,

agrárias e da saúde estão no grupo a, e 33% no grupo b e não há cursos nos demais grupos. Os

grupos a e b são os grupos os quais apresentam maiores MGA’s, sendo assim esta área possui

MGA’s altas.

Na área das Engenharias e ciências exatas (Tabela 2) têm-se os seguintes cursos no

grupo a: Ciência da Computação, Engenharia Mecatrônica, Matemática e Química; no grupo

b: Engenharia Civil, Engenharia Mecânica e Engenharia Química; no grupo d: Física de

Materiais e no grupo e: Engenharia Elétrica. Ao analisar a Tabela 4 pode-se constatar que

40% dos cursos estão no grupo a, 30% no grupo b, 20% no grupo c e 10% no grupo d. Esta é

uma área heterogênea apesar de possuir a maioria de seus cursos nos grupos a e b.

Filosofia 58,9815 54,2052 d 26,3962Física dos materiais 43,8571 45,3523 d 20,8104Engenharia Elétrica 49,6885 48,96958 e 24,0269Letras 64,5250 51,46716 e 31,0211

Área: Ciências biológicas, agrárias e da saúde Grupo Porcentagem

a 67% b 33% c 0% d 0% e 0%

Tabela 4. Porcentagem dos cursos da área de Engenharias e ciências exatas em cada grupo.

Área: Engenharias e ciências exatas Grupo Porcentagem

a 40% b 30% c 20% d 10% e 0%

Na área de Ciências humanas, sociais aplicadas, lingüística, letras e artes têm os

seguintes cursos no grupo a: Administração, Arquitetura e Urbanismo, Ciências Contábeis e

Psicologia; no grupo b: Decoração, Economia, Geografia e História; no grupo c: Ciências

Sociais; no grupo d: Filosofia e no grupo e: Letras. (Tabela 2)

Tabela 5. Porcentagem dos cursos da área de Ciências humanas, sociais aplicadas, lingüística,

letras e artes em cada um dos grupos.

Área: Ciências humanas, sociais aplicadas, lingüística, letras e artes Grupo Porcentagem

a 37% b 36% c 9% d 9% e 9%

Pela Tabela 5 tem-se que os cursos da área de Ciências humanas, sociais aplicadas,

lingüística, letras e artes estão distribuídos da seguinte forma pelos grupos: 37% dos cursos

estão no grupo a, 36% no grupo b, 9% no grupo c, 9% no grupo d e 9% no grupo e. Temos

que nesta área a diferença de porcentagem entre os cursos que ocupam os dois primeiros

grupos é pequena e a porcentagem de cursos que ocupam os três outros grupos é a mesma,

além disso, observa-se que a grande maioria dos cursos estão alocados nos grupos a e b.

Comparando as três áreas temos que a área de Ciências Biológicas, agrárias e da saúde

apresenta cursos apenas nos dois primeiros grupos, sendo que a maioria está no grupo a. Na

área das Engenharias e ciências exatas há uma distribuição dos cursos pelos quatro primeiros

grupos, com uma maior concentração nos dois primeiros grupos. Na área de Ciências

humanas, sociais aplicadas, lingüística, letras e artes apresentam cursos em todos os grupos,

sendo que a porcentagem de cursos nos grupos a e b é próxima e nos grupos c, d, e

apresentam a mesma porcentagem de cursos.

Como os cursos da área de Ciências biológicas, agrárias e da saúde apresentam cursos

somente nos grupos de maiores MGA’s, os alunos destes cursos podem levar vantagem em

relação aos alunos dos cursos das outras áreas na concessão de bolsas.

Sendo assim, com a análise da MGA como critério para a distribuição de bolsas de

monitores e para trabalhos de iniciação cientifica, observa-se que a área de Ciências

biológicas, agrárias e da saúde teria vantagem com relação às outras áreas, e a área de

Ciências humanas, sociais aplicadas, lingüística, letras e artes seria a mais desfavorecida com

o uso deste critério.

Outro fato que nota-se na tabela 2 é que a média das MGA’s dos alunos de muitos

cursos não é superior a 60 e ter MGA superior a 60 é um requisito para participar da seleção

para projetos.

Logo ter como referência a MGA como critério de seleção não é adequado, pois esta

diferença de MGA entre os cursos prejudica os alunos durante o processo de seleção.

4. CONCLUSÕES

Com os dados do presente estudo e no período avaliado, conclui-se que há diferenças

entre as MGA’s dos alunos dos diferentes cursos de graduação da Universidade Federal de

Uberlândia.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Brasil, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática

/ Secretaria de Educação Fundamental. . Brasília: MEC / SEF, 1998.

FERREIRA, D. F. SISVAR versão 4.6. Lavras, 2003.

GUIA ACADÊMICO, 2005. Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Federal de

Uberlândia, 30p.

PIMENTAL GOMES, F. Curso de estatística experimental. 13 Ed. Piracicaba, Livraria

Nobel, 1990. 468p.

RAMALHO, M. A.; FERREIRA, D. F.; OLIVEIRA, A. C. Experimentação em genética e

melhoramento. Lavras, Ed. UFLA, 2000. 326p.

www.prp.unicamp.br/pibic/index.php - visitado em 24/06/2008.

Estudo de um metodo de aumento da ordemde precisao de funcionais integrais

via metodos adjuntos

Alessandro Alves Santana1

Universidade Federal de Uberlandia, Faculdade de Matematica38408-100, Campus Santa Monica, Uberlandia, MG

E-mail: [email protected]

Gabriela Aparecida dos Reis2

Universidade Federal de Uberlandia, Faculdade de Matematica38408-100, Campus Santa Monica, Uberlandia, MG

E-mail: [email protected]

1 Introducao

Em metodos de otimizacao aerodinamica, aplicados no desenvolvimento de ae-ronaves, tem se a necessidade de mensurar propriedades aerodiamicas, tais comocoeficientes de arrasto, sustentacao ou ainda arrasto/sustentacao, os quais sao ob-tidos mediante o calculo de funcionais integrais, sendo que os integrandos nessesfuncionais sao obtidos das equacoes, um conjunto de EDPs, que governam o esco-amento dos fluidos ao redor do corpo da aeronave [12, 11, 14, 16, 13]. O calculodo fluxo de combustıveis fosseis atraves de meios porosos tambem exige a avaliacaode funcionais integrais cujos integrando sao obtidos da solucao de EDPs [10]. Essesdois exemplos, assim como outros que surgem em problemas de engenharia, exigemo calculo de integrais que utilizam a solucao de EDPs, e o esforco de melhorar aestimativa dessas integrais, via metodos numericos, tem se confrontado com muitaspossibilidades. Uma delas consiste no aumento do grau de refinamento da malhacomputacional, so que isso demanda computadores mais velozes, com uma grandecapacidade de processamento. Outra alternativa consiste no aumento da ordem deprecisao da discretizacao da EDP, desde que essa discretizacao seja viavel para ge-ometria do domınio do problema em consideracao. Essas possibilidades podem serutilizadas para melhorar a precisao da solucao da EDP e consequente aumento daprecisao do funcional integral. Contudo, existem problemas de engenharia onde omaior interesse e o valor da saıda de um funcional integral. Para um dado problemaenvolvendo a resolucao de uma EDP, cuja solucao dependente de um parametro α,e o calculo de uma integral a partir da solucao dessa equacao, pode-se ter interesseem fazer varias avaliacoes, com uma boa precisao, da integral devido a variacoesem α sem que para isso seja necessario trabalhar com uma malha muito refinada, oque eleva o custo computacional, ou trabalhar com uma discretizacao da EDP comuma ordem mais elevada. Uma abordagem para resolver esse problema consiste nautilizacao da equacao adjunta. Giles [10, 9, 7, 6, 8] e Darmofal [3, 4] apresentam

1Professor orientador2Aluna de iniciacao cientıfica do programa PET-FAMAT

trabalhos abordando a tecnica de aumento da ordem precisao de funcionais integraisutilizando a equacao adjunta.

Assim sendo, o presente artigo tem por finalidade apresentar um estudo sobre atecnica de aumento da ordem de precisao de funcionais integrais cujos integrandossao provenientes da solucao de equacoes diferenciais. Esse estudo e baseado nosartigos de Giles [7, 6], onde a solucao da equacao adjunta e utilizada para aumentara precisao de um funcional integral mostrando que o corretor adjunto dobra a ordemprecisao da integral, isto e, se ordem de precisao sem utilizar o corretor adjunto eO(hp), ao utiliza-lo a ordem vai para O(h2p). A teoria e exemplificada, para um casounidimensional, envolvendo o calculo de uma integral cujo integrando e solucao deuma EDO de segunda ordem. A implementacao dessa tecnica, para esse problemaunidimensional, exige um conhecimento previo sobre quadratura gaussiana (metodode integracao numerica), aproximacao de funcoes por splines cubicos e resolucaode EDOs via diferencas finitas. Desse modo, as tres proximas secoes apresentam ateoria sobre cada uma dessas tecnicas. A ultima secao apresenta o metodo adjuntoe o corretor adjunto, e sua aplicacao para o referido problema unidimensional.

2 Regras de quadratura

Regras de quadratura tem por finalidade o calculo de integrais via metodos nu-mericos. Tais metodos sao importantes por que para um grande numero de funcoesnao e possıvel obter as suas respectivas primitivas utilizando tecnicas analıticas deintegracao, tecnicas que permitam expressa-las em termos de funcoes elementares.Alem disso, existem situacoes que exigem a integracao de funcoes, cuja lei de forma-cao e desconhecida, onde o que se tem apenas sao seus valores em pontos discretos.

Uma das tecnicas de integracao numerica, mais conhecidas, consiste em aproxi-mar uma funcao a ser integrada em um intervalo por um polinomio interpolador,e tomar valor da integral deste como uma aproximacao para a integral da funcaooriginal. O desenvolvimento a seguir, tendo por base [5, 1], resume esses argumentos:

Considere uma funcao f(x) a ser integrada em um intervalo [a, b] e um conjuntode n + 1 pontos x0, . . . , xn definidos no referido intervalo. O polinomio de grau nomaximo n que interpola f(x) nos n + 1 pontos, na forma de Lagrange, e dado por

pn(x) =n∑

k=0

f(xk)Lk(x) (1)

onde

Lk(x) =

n∏i=0i =k

(x − xi)

n∏i=0i =k

(xk − xi)

(2)

sao os chamados polinomios de Lagrange, e funcionam como funcoes pesos no pro-cesso de avaliacao ao aplicar o polinomio interpolador. Continuando,

In(f) =

b∫a

f(x)dx ∼=b∫

a

n∑k=0

f(xk)Lk(x)dx =n∑

k=0

⎡⎣ b∫a

Lk(x)dx

⎤⎦︸︷︷︸

Ak

f(xk)

In(f) =

b∫a

f(x)dx ∼=n∑

k=0

Akf(xk) (3)

onde In(f) e a aproximacao para integral de f(x) pelo polinomio pn(x) de grau n,sendo

Ak =

b∫a

Lk(x)dx (4)

os chamados pesos no processo de integracao.As chamadas formulas de Newton-Cotes formam uma classe de tecnicas de in-

tegracao numerica. Nessas formulas, a funcao sendo integrada e aproximada porum polinomio interpolador, via forma de Lagrange, sendo que os pontos utilizadosna interpolacao sao igualmente espacados. Tais formulas sao classificadas em doistipos:

• Formulas de Newton-Cotes do tipo fechado: Utilizam os extremos do intervalode integracao sendo

h =b − a

n

o espacamento os pontos e [a, b] o intervalo de integracao.

• Formulas de Newton-Cotes do tipo aberto: Nao utilizam os extremos do in-tervalo de integracao sendo

h =b − a

n + 2

o espacamento os pontos e [a, b] o intervalo de integracao.

Uma observacao importante, considerando as formulas fechadas, e que os pesosAk sao independentes de x. Dependem apenas de n, grau no polinomio interpolador,e do valor de h. A perda da dependencia de x e obtida fazendos-se as seguintestransformacoes: Se xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n, sao os pontos de interpolacao nointervalo [a, b], entao o fator

x − xi

xk − xi

no produtorio (2), pela mudanca de variaveis x = a + th, segue que

x − xi

xk − xi

=a + th − a − ih

a + kh − a − ih=

t − i

k − i

Com isso, mais o fato de que x = a quando t = 0 e x = a+nh = b quando t = n,e que dx = hdt, os pesos Ak ficam dados por

Ak = h

n∫0

λk(t) dt

onde

λk(t) =

n∏i=0i=k

(t − i)

n∏i=0i=k

(k − i)

.

As formulas de Newton-Cotes do tipo fechado mais conhecidas sao dadas a seguir:

• Regra dos trapezios: A funcao f(x) e interpolada por um polinomio de grau1 no intervalo integracao sendo os pesos dados por A0 = A1 = h/2, gerando aformula

I1 =h

2[f(x0) + f(x1)] . (5)

• Regra 1/3 de Simpson: A funcao f(x) e interpolada por um polinomiode grau 2 no intervalo de integracao sendo os pesos dados por A0 = h/3,A1 = 4h/3 e A2 = h/3, gerando a formula

I2 =h

3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] . (6)

• Regra 3/8 de Simpson: A funcao f(x) e interpolada por um polinomiode grau 3 no intervalo de integracao sendo os pesos dados por A0 = 3h/8,A1 = 9h/8, A2 = 9h/8 e A3 = 3h/8, gerando a formula

I3 =3h

8[f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)] . (7)

Normalmente, essas tecnicas de integracao sao aplicadas repetidamente para mi-nimizar o erro, uma vez que o comprimento do intervalo de integracao pode sergrande, e por conseguinte, o valor de h tambem. A aplicacao repetida se baseia nadivisao do intervalo de integracao [a, b] em N subintervalos e na aplicacao de umadas regras, anteriormente apresentadas, em cada um desses subintervalos, sendo nofinal os valores obtidos somados para obter uma aproximacao para a integral noreferido intervalo [a, b]. Para exemplificar, considerando a regra dos trapezios, aformula fica

I2(f) =h

2

[f(x0) + f(xN) +

N∑k=1

f(xk)

]onde N e o numero de divisoes do intervalo de integracao [a, b], h = (b − a)/N exk = a + kh.

No caso da regra 1/3 de Simpson, exige-se que o numero de divisoes no intervalode integracao seja da forma 2N , ou seja, o numero de divisoes tem que ser par,pois essa regra de integracao utiliza um polinomio de grau 2, que exige 3 pontosigualmente espacados. No caso da regra 3/8 de Simpson o numero de divisoes dointervalo de integracao tem que ser da forma 3N , multiplo de 3, pois e um caso ondeo integrando e aproximado por um polinomio de grau 3.

Define-se o grau de precisao de uma formula de integracao numerica baseada eminterpolacao como sendo o maior inteiro n > 0 para o qual

I(f) − In(f) = 0

onde f(x) e um polinomio de grau n, sendo I(f) a integral exata obtida em umintervalo [a, b] e In(f) a integral, nesse mesmo intervalo, gerada por alguma formulade quadratura. Assim sendo, uma formula de quadratura interpolatoria tem graude precisao 4 se a mesma e exata para todo polinomio de grau menor ou igual a 4.

No que tange aos erros nas formulas de quadratura de Newton-Cotes do tipofechado, os dois teoremas a seguir fornecem resultados com relacao a forma demensura-los:

Teorema 2.1 Se os pontos xi = x0 + ih, i = 0, . . . , n dividem [a, b] em um numeroımpar de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem n + 1 contınua em [a, b],entao a expressao do erro para as formulas de Newton-Cotes do tipo fechado, comn ımpar, e dada por:

En(f) =hn+2f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

n∫0

t(t − 1)(t − 2) . . . (t − n)dt

para algum ξ ∈ [a, b].

Teorema 2.2 Se os pontos xi = x0 + ih, i = 0, . . . , n dividem [a, b] em um numeropar de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem n + 2 contınua em [a, b],entao a expressao do erro para as formulas de Newton-Cotes do tipo fechado, comn par, e dada por:

En(f) =hn+3f (n+2)(ξ)

(n + 2)!

n∫0

(t − n

2

)t(t − 1)(t − 2) . . . (t − n)dt

para algum ξ ∈ [a, b].

Considerando as regras (5), (6) e (7), as expressoes para seus erros sao dadospor:

• Regra dos trapezios (n = 1):

E1(f) = −h3f (2)(ξ)

12ξ ∈ [x0, x1]

• Regra 1/3 de Simpson (n = 2):

E2(f) = −h5f (4)(ξ)

90ξ ∈ [x0, x2]


E3(f) = −3h5f (4)(ξ)

80ξ ∈ [x0, x3]

Quando se aplica, por exemplo, tanto a regra dos trapezios como nas regras 1/3e 3/8 de Simpson, considera-se sempre a aplicacao das mesmas na versao repetida.Devido a isso, os erros sao somados. No que tange aos erros na forma repetida dessesmetodos, segue-se que:

• Regra dos trapezios (n = 1):

E1(f) = −(b − a)h2f (2)(ξ)

12grau de precisao: 1


E2(f) = −(b − a)h4f (4)(ξ)(ξ)



E3(f) = −(b − a)h4f (4)(ξ)


O erro na regra do trapezios e da ordem de h2, em sımbolo, O(h2), enquanto quenas duas regras de Simpson os erros sao da ordem de O(h4). Isso significa ao integraruma funcao f(x) em um intervalo [a, b] considerando-se N = 12, por exemplo, quee um numero de divisoes multiplo de 2 e 3, utilizando as referidas tecnicas, osresultados gerados as regras de 1/3 e 3/8 de Simpson serao mais precisos que oresultado gerado pela regra dos trapezios.

A integral definida

1∫0

sen(πx)dx (8)

tem por valor exato 2/pi ∼= 0.636619772. Na tabela 1, N e o numero de divisoes nointervalo de integracao, ITR e ISR sao as aproximacoes geradas, respectivamente,

pela regra dos trapezios e regra 1/3 de Simpson, e por fim, ETR e ESR sao os errosentre a integral exata e a aproximada, respectivamente, pela regra dos trapezios eregra 1/3 de Simpson. Note que para um dado N , a regra 1/3 de Simpson gerasempre uma aproximacao mais precisa que a regra dos trapezios. Perceba que paraN = 6 a regra de 1/3 de Simpson gera um erro da ordem de 10−4. Para que a regrados trapezios gere um erro com essa mesma magnitude e necessario um numero dedivisoes no intervalo de integracao pelo menos 4 vezes maior.

N ITR ETR ISR ESR

6 0.6220084679 1.46e-02 0.6368945342 2.75e-0412 0.6329795094 3.64e-03 0.6366365232 1.68e-0524 0.6357104870 9.09e-04 0.6366208129 1.04e-0648 0.6363924997 2.27e-04 0.6366198373 6.49e-0896 0.6365629573 5.68e-05 0.6366197764 4.06e-09

Tabela 1: Aproximacoes para as integrais e seus erros

Uma implementacao robusta de um metodo numerico exige que os resultadossejam verificados, isto e, que os resultados gerados pelo programa corroborem coma teoria matematica do metodo. Um modo de verificar se a implementacao compu-tacional de um metodo de integracao numerica esta correta e fazer a verificacao daordem utilizando a expressao

e(h)

e(h/2)= 2p (9)

onde e(h), e(h/2) sao, respectivamente, os erros com espacamento entre os pontoscom dimensao h e h/2. A ordem e dada por p, o qual pode ser calculado explicita-mente, aplicando a funcao logaritmo em ambos os membros de (9), e apos algumasoperacoes, pela expressao

p =log(e(h)) − log(e(h/2))

log(2). (10)

Considerando os erros no calculo da integral (8) pela regra dos trapezios e 1/3de Simpson, tabela 2 apresenta o teste de verificacao com relacao aos resultadosgerados pelos codigos utilizados para gerar as aproximacoes. Perceba que quandon tende ao infinito temos que h tende a zero e que a ordem da regra dos trapeziostende a 2, corroborando com a ordem deste metodo, e que a ordem da regra 1/3 deSimpson tende a 4, que e a ordem de seu erro.

As formulas de Newton-Cotes do tipo fechado podem ser utilizadas mesmoquando nao se tem conhecimento da forma do integrando, em situacoes onde setem conhecimento apenas dos valores de alguma propriedade fısica, por exemplo,pontos discretos cujos valores foram obtidos experimentalmente.

Quando se tem conhecimento da forma do integrando, alem das formulas deNewton-Cotes, existe uma tecnica conhecida por Quadratura Gaussiana, bastanteutilizada, que fornece boas aproximacoes com um baixo custo computacional.

N h ETR p ESR p

6 1/6 1.46e-02 2.75e-0412 1/12 3.64e-03 2.004970 1.68e-05 4.03587524 1/24 9.09e-04 2.001238 1.04e-06 4.00886348 1/48 2.27e-04 2.000309 6.49e-08 4.00220996 1/96 5.68e-05 2.000077 4.06e-09 4.000552

Tabela 2: Analise da ordem do erro

Essencia, a tecnica de quadratura gaussiana se baseia em aproximar o integrandopor um polinomio interpolador em pontos que sao raızes de polinomios ortogonaisφi(x) ,i = 0, . . . , n, que sao polinomios onde

〈φi(x), φj(x)〉 =

0 se i = j1 se i = j

(11)

sendo o produto interno dado por

〈f(x), g(x)〉 =

b∫a

ω(x)f(x)g(x)dx (12)

onde ω(x) ≥ 0 e continua em [a, b], onde ω(x) e a funcao peso.Os polinomios φi(x), i = 0, 1, 2, . . . podem ser obtidos pela ortogonalizacao da

sequencia 1, x, x2, . . . atraves do seguinte teorema.

Teorema 2.3 Sejam os polinomios φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . . , de graus 0, 1, 2, . . . de-finidos por:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

φ0(x) = 1,

φ1(x) = x − 〈x, 1〉〈1, 1〉 ,

φk+1(x) = xφk(x) − αkφk(x) − βkφk−1(x) k = 1, 2, 3, . . . ,

(13)

onde:

αk =〈xφk(x), φk(x)〉〈φk(x), φk(x)〉 βk =

〈φk(x), φk(x)〉〈φk−1(x), φk−1(x)〉 (14)

os polinomios φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . . assim definidos, sao dois a dois ortogonais,satisfazendo (11).

Os polinomios ortogonais sao classificados em famılias, onde uma difere da outrade acordo com a funcao peso ω(x) e o intervalo de integracao. A tabela 3 apresentaos polinomios ortogonais mais conhecidos.

Utilizando o teorema que descreve o processo de ortogonalizacao, os polinomiosde Legendre de graus 0, 1 e 2 sao dados por

Polinomios [a, b] ω(x)

Legendre [−1, 1] 1

Tchebyshev [−1, 1] 1/√

1 − x2

Laguerre [0,∞) e−x

Hermite (−∞,∞) e−x2

Tabela 3: Famılia de polinomios ortogonais

φ0(x) = 1 φ1(x) = x φ2(x) = x2 − 1

3. (15)

Os polinomios ortogonais possuem varias propriedades, os quais podem seremvistos em [5], sendo duas de grande importancia no que tange aos metodos de inte-gracao baseados em quadratura gaussiana, as quais seguem

Propriedade 2.1 Sejam φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . . polinomios ortogonais, nao nulos,segundo o produto escalar:

〈f(x), g(x)〉 =

b∫a

ω(x)f(x)g(x)dx (16)

com ω(x) ≥ 0 e contınua em [a, b]. Entao φn(x) possui n raızes reais distintas em[a, b].

Uma vez que as tecnicas de integracao baseadas em quadratura gaussiana uti-lizam raızes dos polinomios ortogonais para obter os polinomios interpoladores dafuncao sendo integrada, e importante que essas raızes estejam no intervalo de inte-gracao. A propriedade 2.1 garante que isso sempre ocorre.

Propriedade 2.2 Sejam φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . . polinomios ortogonais nas condi-coes da propriedade 2.1. Sejam x0, x1, x2, . . . , xn as raızes de φn+1(x). Se f(x) eum polinomio de grau menor ou igual a 2n + 1, entao:

b∫a

ω(x)f(x)dx =n∑

k=0

Akf(xk) (17)

onde

Ak =

b∫a

ω(x)Lk(x)dx. (18)

A propriedade 2.2 garante que para integrar uma funcao polinomial de grau K,basta interpolarmos essa funcao utilizando as raızes de um polinomio ortogonal degrau aproximadamente K/2 e entao integra-la. Tirando os erros de arredondamento,

a integracao por esse processo e exata. Para ilustrar essa afirmacao, considere ocalculo da seguinte integral

1∫−1

(4x3 + 3x2 + 2x + 1)dx (19)

cujo valor exato e dado por 4. A funcao peso ω(x) = 1 e [a, b] = [−1, 1], sendo queo grau da funcao polinomial f(x) e 2n + 1 = 3. Pela propriedade 2.2, basta entaotomarmos n = 1. Basta interpolarmos f(x) por um polinomio de grau n + 1 = 2nas raızes de um polinomio de Legendre de grau 2, uma vez que ω(x) = 1 e [a, b] =[−1, 1]. O polinomio de Legendre de grau 2 e dado por φ2(x) = x2 − 1/3, tendo porraızes x0 = −√

3/3 e x1 =√

3/3. Calculando A0 e A1 utilizando (18) chegaremos aA0 = A1 = 1. Continuando,

1∫−1

(4x3+3x2+2x+1)dx =1∑

k=0

Akf(xk) = f(x0)+f(x1) = f

(−√

3

3

)+f

(√3

3

)= 4

Para efeito de comparacao, esse calculo exigiu a avaliacao de f(x) em dois pontospara obter um valor exato, ao passo que para obter essa mesma exatidao, a regra1/3 de Simpson iria exigir tres pontos.

O procedimento para o calculo de uma integral via Quadratura Gaussiana con-siste nos seguintes passos:

• Determinar o polinomio ortogonal φn+1(x), segundo o produto escalar conve-niente de acordo com a funcao peso ω(x) e o intervalo de integracao [a, b].

• Calcular as raızes x0, x1, x2, . . . , xn de φn+1(x).

• Determinar os polinomios de Lagrange L0(x), L1(x), . . . , Ln(x) usando as raızesde φn+1(x).

• Calcular Ak usando (18).

• Calcular f(x) nas raızes de φn+1(x).

• Finaliza-se calculando a integral usando (17).

Felizmente, para cada famılia de polinomios ortogonais existe, na literatura daarea, um conjunto de tabelas com suas respectivas raızes e pesos de acordo com ograu do polinomio.

Para aplicar uma regra de quadratura gaussiana e necessario que o intervalode integracao esteja no intervalo da respectiva famılia de polinomios ortogonais queestiver sendo utilizada. Caso nao esteja, e necessario fazer uma mudanca de intervalomediante uma transformacao. Considerando que uma integral esteja sendo calculadaem um intervalo [a, b] qualquer, para integra-la utilizando as raızes dos polinomiosde Legendre, que estao definidas no intervalo [−1, 1], basta fazer o mapeamento dointervalo [a, b] dentro do intervalo [−1, 1],

∣∣∣∣∣∣x t 1a −1 1b 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ x =(b − a)t

2+

a + b

2⇒ dx =

b − a

2dt

Dessa forma, segue-se que

b∫a

f(x)dx =b − a

2

1∫−1

f

((b − a)t

2+

a + b

2

)dt =

b − a

2

n∑k=0

Akf

((b − a)tk

2+

a + b

2

)

As formulas de quadratura gaussianas podem ser aplicadas repetidamente. Con-siderando que o intervalo de integracao [a, b] foi dividido em N subintervalos igual-mente espacados de comprimento h = (b− a)/N , a formula de quadratura fica dadapor

b∫a

f(x)dx =h

2

N∑i=1

n∑k=0

Akf

(htk2

+xi−1 + xi

2

)(20)

Os erros nas formulas de quadratura gaussiana dependem da famılia de polino-mios ortogonais, os quais sao dados a seguir:

• Legendre:

En(f) =22n+3 [(n + 1)!]4

(2n + 3) [(2n + 2)!]3f (2n+2)(ξ) ξ ∈ (a, b).

• Tchebyshev:

En(f) =2π

e2n+2(2n + 2)!f (2n+2)(ξ) ξ ∈ (a, b).

• Laguerre:

En(f) =[(n + 1)!]2

(2n + 2)!f (2n+2)(ξ) ξ ∈ (a, b).

• Hermite:

En(f) =(n + 1)!

√π

2n+1(2n + 2)!f (2n+2)(ξ) ξ ∈ (a, b).

Considere o mesmo exemplo apresentado anteriormente, onde a funcao f(x) =sen(πx) e integrada no intervalo [0, 1], agora calculando aquela integral via qua-dratura gaussiana repetida utilizando as raızes do polinomio de Legendre de grau2.

N ITR ETR ISR ESR IQG EQG

6 0.6220084679 1.46e-02 0.6368945342 2.75e-04 0.6366085991 1.12e-0512 0.6329795094 3.64e-03 0.6366365232 1.68e-05 0.6366190786 6.94e-0724 0.6357104870 9.09e-04 0.6366208129 1.04e-06 0.6366197291 4.33e-0848 0.6363924997 2.27e-04 0.6366198373 6.49e-08 0.6366197697 2.70e-0996 0.6365629573 5.68e-05 0.6366197764 4.06e-09 0.6366197722 1.69e-10

Tabela 4: Aproximacoes e os erros obtidos - Newton-Cotes×Quadratura Gaussiana

A sexta e setima colunas da tabela 4 apresentam os valores das integrais IQG,bem como os erros EQG, obtidos utilizando quadratura gaussiana. Note que os resul-tados gerados via quadratura gaussiana sao sempre mais precisos que os resultadosgerados pelas formulas de Newton-Cotes. Note que com n = 6 o erro ao utilizarquadratura gaussiana EQG e da ordem de 10−5. Essa mesma ordem de erro e alcan-cada com n = 12 divisoes ao empregar a regra 1/3 de Simpson, e ao utilizar a regrados trapezios sao necessarias n = 96 divisoes. Analisando toda tabela 4, compa-rando as integrais geradas via 1/3 de Simpson repetida com as integrais obtidas viaquadratura gaussiana, pode-se notar que a regra de Simpson necessita do dobro donumero de divisoes no intervalo [a, b] para gerar os mesmos resultados aos obtidosutilizando quadratura gaussiana.

Com relacao a ordem dos esquemas de integracao baseadas em quadratura deGauss, estas irao de depender o numero de pontos utilizados. Considerando osresultados apresentados na tabela 2 e adicionando mais duas colunas referentes aoserros obtidos via quadratura gaussiana utilizando dois pontos de Gauss, a tabela 5apresenta a ordem obtida.

N h ETR p ESR p EQG p

6 1/6 1.46e-02 2.75e-04 1.12e-0512 1/12 3.64e-03 2.004970 1.68e-05 4.035875 6.94e-07 4.00945224 1/24 9.09e-04 2.001238 1.04e-06 4.008863 4.33e-08 4.00235648 1/48 2.27e-04 2.000309 6.49e-08 4.002209 2.70e-09 4.00058996 1/96 5.68e-05 2.000077 4.06e-09 4.000552 1.69e-10 4.000148

Tabela 5: Analise da ordem dos erros - Newton-Cotes×Quadratura Gaussiana

Embora, como pode ser visto na tabela acima, a ordem seja 4, como a regra 1/3de Simpson, as aproximacoes via quadratura de Gauss sempre geram resultados maisprecisos com um baixo custo computacional se comparados as formulas de Newton-Cotes. Por essa razao a tecnicas de integracao baseadas em quadratura gaussianasao mais utilizadas que as formulas de Newton-Cotes. Esse e o fundamento peloqual essa tecnica foi utilizada nesse trabalho.

3 Splines cubicos

A tecnica de aproximacao de funcoes por splines cubicos e uma das tecnicas deinterpolacao que existem no campo na analise numerica. Em essencia, seguindoBurden [2], essa tecnica consiste em: Dado um conjunto de n + 1 pontos, a =x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b, em um intervalo [a, b], e os valores que umafuncao f(x) assume em cada um desses n + 1 pontos, sendo hi = xi − xi−1, i =1, . . . , n − 1, o espacamento entre cada um dos pontos, a interpolacao de f(x) porsplines cubicos consiste em um conjunto de n polinomios cubicos, um para cadasubintervalo [xi, xi+1], i = 0, 1, . . . , n − 1, da forma

Si(x) = ai + bi(x − xi) + ci(x − xi)2 + di(x − xi)

3 (21)

com i = 0, 1, . . . , n − 1 de tal forma que

1. S(x) seja um polinomio cubico em cada subintervalo [xi, xi+1], i = 0, 1, . . . , n−1;

2. S(xi) = f(xi) para i = 0, 1, . . . , n;

3. Si+1(xi+1) = Si(xi+1) para i = 0, 1, . . . , n − 2;

4. S′i+1(xi+1) = S

′i(xi+1) para i = 0, 1, . . . , n − 2;

5. S′′i+1(xi+1) = S

′′i (xi+1) para i = 0, 1, . . . , n − 2;

6. Uma das seguintes condicoes tem que ser satisfeita:

(a) S′′(x0) = S

′′(xn) = 0 (condicao de fronteira livre ou natural)

(b) S′(x0) = f

′(x0) e S

′(xn) = f

′(xn) (condicao de fronteira completa)

Essas condicoes para construcao dos splines cubicos faz com que o polinomiointerpolador, formado pelo conjunto de todos os splines, tenha derivadas de primeirae segunda ordens contınuas nos pontos do interior xi, i = 1, 2, . . . , n−1. Um detalhe aser observado e que a construcao dos splines cubicos nao garante que Si(xi) = f ′(xi).

A tecnica de interpolacao via splines cubicos evitam oscilacoes que ocorrem compolinomios de graus elevados. Para ilustrar, considere o problema de interpolar afuncao f(x) = e−x2

no intervalo [−4, 4], utilizando 11 pontos, por um polinomio degrau 10 e por um spline cubico com condicao de fronteira completa. Na figura 1pode-se notar as grandes oscilacoes que ocorrem ao interpolar f(x) por um polinomiode grau 10, o que e evitado ao utilizar splines cubicos.

Para construir um spline cubico para uma dada funcao f(x), aplicando as con-dicoes na definicao temos que

Si(x) = ai + bi(x − xi) + ci(x − xi)2 + dj(x − xi)

3 (22)

para cada i = 0, 1, 2, . . . , n − 1.Note em (22) que Si(xi) = ai, onde x0, x1, . . . , xn sao os pontos de interpolacao.

Do segundo item da definicao temos que Si(xi) = f(xi), i = 0, 1, . . . , n, daı segueque

Figura 1: Interpolacao por polinomio de grau 10 e por splines cubicos

ai = f(xi) (23)

Aplicando a terceira condicao,

ai+1 = Si+1(xi+1) = Si(xi+1) = ai+bi(xi+1−xi)+ci(xi+1−xi)2+di(xi+1−xi)

3 (24)

com i = 0, . . . , n−2.Adotando a notacao hi = xi+1−xi, que ocorre em todo processo,segue

ai+1 = ai + bihi + cih2i + dih

3i i = 0, 1, . . . , n − 1. (25)

Perceba que

S′i(x) = bi + 2ci(x − xi) + 3di(x − xi)

2 (26)

e isso implica que bi = S′i(xi), i = 0, 1, . . . , n − 1. Da quarta condicao da definicao,

temos que

bi+1 = bi + 2cihi + 3dih2i i = 0, 1, . . . , n − 1. (27)

Considerando a derivada segunda do spline,

S′′i (x) = 2ci + 6di(x − xi). (28)

Aplicando a quinta condicao em , chegaremos a

ci+1 = ci + 3dihi i = 0, 1, . . . , n. (29)

Isolando di em (29) e substituindo-o nas equacoes (25) e (27) obtemos as seguintesrelacoes

ai+1 = ai + bihi +h3

i

3(2ci + ci+1) (30)

bi+1 = bi + hi(ci + ci+1) (31)

Isolando bi na equacao (30), temos

bi =1

hi

(ai+1 − ai) − hi

3(2ci + ci+1). (32)

Reduzindo uma unidade nos ındices de (32), segue

bi−1 =1

hi−1

(ai − ai−1) − hi−1

3(2ci−1 + ci). (33)

Substituindo (32) e (33) em (31),

hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3

hi

(ai+1 − ai) − 3

hi−1

(ai − ai−1) (34)

para i = 1, 2, . . . , n − 1. Fazendo essa variacao em i, sera gerado um sistema linearcom n+1 incognitas ci e n+1 equacoes. Perceba em (34) que hi, com i = 0, 1, . . . , n−1, sao conhecidos a partir do pontos xi, assim como os valores de f(x) nesses mesmospontos, os quais geram os coeficientes ai, i = 0, 1, . . . , n. Os coeficientes ci saoobtidos resolvendo o sistema linear utilizando um metodo adequado para sistemastridiagonais. Os demais coeficientes bi e di sao obtidos, respectivamente, utilizando(32) e (29).

Os seguintes teoremas garantem a existencia e unicidade dos splines cubicos deacordo com cada condicoes de fronteira utilizada.

Teorema 3.1 Se f(x) e definida em a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b, entaof(x) tem um unico spline natural interpolador nos pontos x0, x1, x2, . . . , xn, isto e,um spline natural que satisfaz as condiccoes de fronteira S

′′(a) = S

′′(b) = 0.

Esse teorema garante a existencia e unicidade do spline cubico que interpola umadada funcao f(x) sob condicao de fronteira natural. O sistema linear para esse casoa apresentacao dada a seguir.

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 . . . . . . 0

h0 2(h0 + h1) h1. . .

...

0 h1 2(h1 + h2) h2. . .

......

. . . . . . . . . . . . 0... hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1

0 . . . . . . 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

c0

c1

c2.........cn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

03

h1

(a2 − a1) − 3

h0

(a1 − a0)

...

...3

hn−1

(an − an−1) − 3

hn−2

(an−1 − an−2)

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Teorema 3.2 Se f(x) e definida em a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b, ediferenciavel em a e b, entao f(x) tem um unico spline cubico interpolador, nospontos x0, x1, x2, . . . , xn, com condicao de fronteira completa, isto e, que satisfaz ascondicoes S

′(a) = f ′(a) e S

′(b) = f ′(b).

Esse teorema garante a existencia e unicidade do spline cubico que interpola umadada funcao f(x) sob condicao de fronteira completa. O sistema linear para essecaso a apresentacao dada a seguir.

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2h0 h0 0 . . . . . . 0

h0 2(h0 + h1) h1. . .

...

0 h1 2(h1 + h2) h2. . .

......

. . . . . . . . . . . . 0... hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1

0 . . . . . . 0 hn−1 2hn−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

c0

c1

c2.........cn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

3

h0

(a1 − a0) − 3f ′(a)

3

h1

(a2 − a1) − 3

h0

(a1 − a0)

...

...3

hn−1

(an − an−1) − 3

hn−2

(an−1 − an−2)

3f ′(b) − 3

hn−1

(an − an−1)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Quando nao se tem conhecimento do valor de f ′(a) e f ′(b), uma alternativa para

essa situacao consiste em utilizar aproximacoes para essas derivadas por diferencasfinitas, desde que os pontos sejam igualmente espacados. Caso nao seja, deve-sebuscar uma outra tecnica de aproximacao de derivadas.

Com relacao aos erros na interpolacao via splines, existe um teorema que esta-belece um limitante para o erro no caso do spline cubico sob condicao de fronteiracompleta.

Teorema 3.3 Seja f(x) ∈ C4[a, b] com maxa≤x≤b

|f (4)(x)| ≤ M . Se S(x) e o unico

spline cubico interpolante, sob condicao de fronteira completa, a f(x) nos pontosa = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, entao

maxa≤x≤b

|f(x) − S(x)| ≤ 5M

384max

0≤i≤n−1(xi+1 − xi)

4.

Supondo que o pontos sejam igualmente espacados, h = xi+1 − xi, com i =0, 1, . . . , n − 1, entao os erro na interpolacao via splines e limitado por um erro daordem O(h4).

4 Metodo de diferencas finitas

O metodo de diferencas finitas e um metodo de resolucao de equacoes diferenciaisque tem por base a aproximacao das derivadas, que aparecem nas referidas equacoes,por formulas de diferencas finitas. Essas formulas sao obtidas via serie de Taylor.Para exemplificar, consideremos algumas formulas para aproximar as derivadas deuma funcao u(x) de uma unica variavel.

Considere uma aproximacao para u′(x) de forma que

u′(x) = au(x + h) + bu(x). (35)

Expandindo em serie de Taylor u(x + h) em torno de x,

u′(x) = a

[u(x) + hu′(x) +

h2

2u

′′(ξ)

]+ bu(x)

u′(x) = (a + b)u(x) + ahu′(x) +ah2

2u

′′(ξ) (36)

onde ξ ∈ (x, x + h). Desconsiderando o erro dado pelo ultimo termo no segundomembro de (36), segue

u′(x) = (a + b)u(x) + ahu′(x) (37)

Para que a relacao de igualdade em (37) seja satisfeita devemos impora + b = 0ah = 1

(38)

que tem por solucao a = 1/h e b = −1/h, o que faz com que a aproximacao de u′(x)na forma da equacao (35) seja dada por

u′(x) =u(x + h) − u(x)

h. (39)

O erro na aproximacao dessa derivada e obtido substituindo a = 1/h em

ah2

2u

′′(ξ)

que leva a

h

2u

′′(ξ) ξ ∈ (x, x + h)

que e um erro da ordem de O(h).De modo analogo, podemos obter uma formula para u′(x) de modo que u′(x) =

au(x) + bu(x− h). Nesse caso a = 1/he b = −1/h, ficando a aproximacao dada por

u′(x) =u(x) − u(x − h)

h

tendo por erro

−h

2u

′′(ξ) ξ ∈ (x − h, x)

sendo este da ordem de O(h).Uma outra aproximacao, seguindo as mesmas ideias, para u′(x) de ordem maior

que 1 e dada, por exemplo, por

u′(x) =u(x + h) − u(x − h)

2h(40)

com erro dado por

h2

12u(3)(ξ) ξ ∈ (x − h, x + h) (41)

que e de ordem 2, isto e, O(h2), e portanto mais preciso que as outras duas aproxi-macoes para u′(x) que sao de ordem 1.

No caso da aproximacao de uma derivada de segunda ordem u′′(x), considere

uma aproximacao para a mesma de tal forma que

u′′(x) = au(x − h) + bu(x) + cu(x + h). (42)

Fazendo as expansoes em serie de Taylor de u(x − h) e u(x + h) em torno de x,segue

u′′(x) = a

[u(x) − hu′(x) +

h2

2u

′′(x) − h3

6u(3)(x) +

h4

24u(4)(ξ1)

]+ bu(x)

c

[u(x) + hu′(x) +

h2

2u

′′(x) +

h3

6u(3)(x) +

h4

24u(4)(ξ2)

]onde ξ ∈ (x − h, x) e ξ ∈ (x, x + h). Continuando,

u′′(x) = (a + b + c)u(x) + (c − a)hu′(x) +

(c + a)h2

2u

′′(x) +

(c − a)h3

6u(3)(x)+

(c + a)h4

24u(4)(ξ) (43)

onde ξ ∈ (x − h, x + h). Para obter a, b e c, devemos impor⎧⎪⎨⎪⎩a + b + c = 0(c − a)h = 0

(c + a)h2

2= 1

Esse sistema linear tem por solucao a = 1/h2, b = −2/h2 e c = 1/h2. Com essesparametros, temos

u′′(x) =

u(x − h) − 2u(x) + u(x + h)

h2(44)

Note que o quarto termo no segundo de (39) se anula pois a = c. Com isso, oerro nessa aproximacao e dado por

h2

12u(4)(ξ) ξ ∈ (x − h, x + h) (45)

que e um erro de ordem 2.Dessa forma, existe uma infinidade de formulas de diferencas finitas que podem

ser obtidas para aproximar derivadas. Nos exemplos expostos a abordagem foi feitaem cima de uma funcao de uma unica variavel. Para derivadas de funcoes de mais deuma variavel, derivadas parciais, a tecnica e a analoga. Utiliza-se da mesma formaexpansoes em serie de Taylor, so que para o caso de funcoes de mais de uma variavel.

Para exemplificar uma aplicacao da tecnica de diferencas finitas, considere oproblema de resolver problema de contorno a seguir.⎧⎪⎨⎪⎩

d2u

dx2= f(x) x ∈ [a, b]

u(a) = ua

u(b) = ub

(46)

A chave para resolver, utilizando metodos numericos, a equacao (46) esta nadiscretizacao da mesma em seu domınio, que tambem deve ser discretizado. E adiscretizacao que possibilita resolve-la numericamente no computador. Dividindoo intervalo [a, b] em n partes iguais teremos n + 1 pontos igualmente espacadosxi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n, sendo h = (b − a)/n. Aproximando a equacao (46) emum ponto xi, utilizando (??), dentro do domınio da mesma, temos

u(xi − h) − 2u(xi) + u(xi + h)

h2= f(xi). (47)

Utilizando a notacao indexada u(xi − h) ∼= ui−1, u(xi) ∼= ui, u(xi + h) ∼= ui+1 ef(xi) = fi em (47), segue

u(xi − h) − 2u(xi) + u(xi + h) = h2f(xi). (48)

Fazendo i = 1, 2, . . . , n − 1, obtem-se o seguinte sistema linear

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−2 1 0 . . . 0

1 −2 1. . .

...

0. . . . . . . . . 0

.... . . 1 −2 1

0 . . . 0 1 −2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣u1

u2

u3...

un−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣h2f1 − ua

h2f2

h2f3...

h2fn−1 − ub

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (49)

com n − 1 equacoes e incognitas. A solucao desse sistema fornecera aproximacoespara u1, u2, u3, . . . , un−1. Perceba que para i = 1 e i = n−1, na equacao discretizada(49), aparece, respectivamente, u0 e un. Como esses valores sao conhecidos porcaırem sobre a fronteira, no caso, u0 = ua e un = ub, sao passados para o segundomembro (vetor dos termos independentes) do sistema linear. Como a matriz doscoeficientes e tridiagonal, o sistema pode ser resolvido com uma adaptacao metodode eliminacao de Gauss para sistemas tridiagonais.

A forma como as derivadas de uma equacao diferencial sao discretizadas definempara as mesmas uma ordem de precisao. Para fazer essa analise considere a seguinteexemplicacao, tomando por base uma adaptacao para EDOs do processo de deter-minacao da ordem de precisao apresentado em Strikwerda [15], do calculo da ordemde precisao da equacao (47).

Seja P um operador tal que

Pu =d2u

dx2, (50)

que no caso da equacao em questao temos Pu = f , e Ph o operador tal que

Phu =u(x − h) − 2u(x) + u(x + h)

h2(51)

O esquema de diferencas finitas definido por (47) dito ser de ordem p se

Phu − f = O(hp) (52)

Para o calculo de p, considere desenvolvimento a seguir, baseado na expansaoem serie de Taylor em torno de x.

Phu − f =u(x − h) − 2u(x) + u(x + h)

h2− f =

1

h2

[u(x) − hu′(x) +

h2

2u

′′(x) − h3

6u(3)(x) +

h4

24u(4)(ξ1)

]− 2u(x)

h2+

1

h2

[u(x) + hu′(x) +

h2

2u

′′(x) +

h3

6u(3)(x) +

h4

24u(4)(ξ2)

]−f = u

′′(x)+

h2

24u(4)(ξ)−f

Como u′′

= f , segue que

Phu − f =h2

24u(4)(ξ) = O(h2) ξ ∈ (x − h, x + h) (53)

e portanto o metodo e dito ser de ordem p = 2.

Em uma implementacao correta do esquema (48) deve ser ver essa ordem deprecisao. Para realizar isso, basta fazer uma analise de ordem seguindo os metodosde verificacao apresentados na secao sobre regras de quadratura, com a diferencaque o erro deve ser calculado utilizando a seguinte norma

‖e(h)‖ =

h

n∑i=0

[u(xi) − ui]2

1/2

(54)

apresentada em Strikwerda [15], onde u(xi) e a solucao exata no ponto xi e ui

sua solucao aproximada. Para exemplificar uma verificacao de ordem, considere oproblema a seguir envolvendo uma equacao de Poisson unidimensional.⎧⎪⎨⎪⎩

d2u

dx2= −π2sen(πx) x ∈ [0, 1]

u(0) = u(1) = 0

(55)

A tabela 6 mostra que a ordem p converge para 2, corroborando com a ordemdo metodo.

n h ‖e(h)‖ p

10 1/10 5.844532e-0320 1/20 1.455726e-03 2.00534940 1/40 3.635946e-04 2.00133580 1/80 9.087763e-05 2.000334160 1/160 2.271809e-05 2.000083320 1/320 5.679442e-06 2.000021640 1/640 1.419855e-06 2.000005

Tabela 6: Verificacao da ordem para equacao de Poisson unidimensional

Com essa secao finaliza-se a apresentacao dos metodos numericos necessarios noteste computacional que sera apresentado na proxima secao, que aborda a equacaoadjunta e o corretor adjunto.

5 Equacao adjunta e corretor adjunto

Considere o problema de calcular o funcional integral

I [u] = 〈g, u〉 =

∫Ω

gu dΩ (56)

sendo u a solucao da equacao diferencial

Lu = f (57)

com suas respectivas condicoes iniciais e/ou de fronteira, com a solucao u e o termofonte f ambos definidos no domınio Ω. Em (57), L e um operador diferencial, oqual define a equacao diferencial pela relacao de igualdade com o termo fonte. Achamada equacao adjunta a equacao (57) e dada por

L∗v = g (58)

cuja solucao e dada pela equacao v e tem por termo fonte a funcao g. O operadordiferencial L∗ e o operador adjunto ao operador L. As condicoes de fronteira e/ouiniciais da equacao adjunta sao obtidas no processo de obtencao do operador adjuntoL∗, o qual e obtida a partir do operador L. Diz-se que o operador diferencial L∗ eadjunto ao operador diferencial L se para toda funcao u e v definida em um domınioΩ vale

〈Lu, v〉 = 〈u, L∗v〉∫Ω

(Lu) vdΩ =

∫Ω

u (L∗v) dΩ (59)

Para exemplificacao, desenvolveremos o processo de obtencao da equacao adjuntapara equacao diferencial ordinaria (EDO) que sera utilizada no processo de aumentoda precisao da ordem do funcional integral (56). A EDO e dada pelo problema decontorno ⎧⎪⎨⎪⎩

d2u

dx2= sen(πx) x ∈ [0, 1]

u(0) = u(1) = 0

(60)

O operador L nesse caso e dado por

Lu =d2u

dx2. (61)

Continuando,

〈Lu, v〉 =

1∫0

d2u

dx2vdx (62)

Integrando por partes (62) fazendo⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩p = v ⇒ dp =

dv

dxdx

dq =d2u

dx2dx ⇒ q =

du

dx

Logo,

〈Lu, v〉 =

[vdu

dx

]1

0

−1∫

0

du

dx

dv

dxdx (63)

Integrando por parte novamente o segundo termo no segundo membro de (63),segue ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

p =dv

dx⇒ dp =

d2v

dx2dx

dq =du

dxdx ⇒ q = u

Com isso,

〈Lu, v〉 =

[vdu

dx

]1

0

−[dv

dxu

]1

0

+

1∫0

ud2v

dx2dx

〈Lu, v〉 =

1∫0

ud2v

dx2dx +

[vdu

dx

]1

0

−[dv

dxu

]1

0

〈Lu, v〉 = 〈u, L∗v〉 +

[vdu

dx

]1

0

−[dv

dxu

]1

0

(64)

onde L∗ e o operador adjunto definido por

L∗v =d2v

dx2

O segundo e terceiro termos no segundo membro de (64) devem ser nulos paraque se verifique a identidade (59). E dali que iremos obter as condicoes de fronteirapara a equacao adjunta. Perceba que[

vdu

dx

]1

0

−[dv

dxu

]1

0

= v(1)u′(1) − v(0)u′(0) − v′(1)u(1) + v′(0)u(0)

[vdu

dx

]1

0

−[dv

dxu

]1

0

= v(1)u′(1) − v(0)u′(0) (65)

pois u(0) = u(1) = 0. Portanto, basta impor que na fronteira em x = 0 e x = 1a equacao adjunta se tenha v(0) = v(1) = 0. Dessa forma, a identidade (59) seraverificada.

Consideremos o processo para obtencao do corretor adjunto. Seja Lu = f umaequacao diferencial e L∗v = g sua equacao adjunta tendo por solucoes, respectiva-mente, u e v. Sejam Luh = fh e L∗vh = gh, onde uh e vh sao funcoes aproximadoras,respectivamente, de u e v, sendo fh e gh termos fontes obtidos pelas aproximacoes,respectivamente, uh e vh. Daı segue,

〈g − gh, u − uh〉 = 〈g, u − uh〉 − 〈gh, u − uh〉 = 〈g, u〉 − 〈g, uh〉 − 〈gh, u − uh〉 .

〈g, u〉 = 〈g, uh〉 + 〈gh, u − uh〉 + 〈g − gh, u − uh〉 =

〈g, uh〉 + 〈L∗vh, u − uh〉 + 〈g − gh, u − uh〉 =

〈g, uh〉 + 〈vh, L(u − uh)〉 + 〈g − gh, u − uh〉 =

〈g, uh〉 + 〈vh, Lu − Luh〉 + 〈g − gh, u − uh〉 =

〈g, uh〉 + 〈vh, f − fh〉 + 〈g − gh, u − uh〉 .

〈g, u〉 = 〈g, uh〉 + 〈vh, f − fh〉 + 〈g − gh, u − uh〉 (66)

O funcional integral no problema (56) pode ser entao calculado utilizando a ex-pressao (66). Nessa expressao, a segunda parcela no segundo membro 〈vh, f − Lfh〉e o chamado corretor adjunto, o qual envolve a solucao aproximada da equacao ad-junta, e a terceira parcela no segundo membro 〈g − gh, u − uh〉 e o erro que restaapos aplicar o orretor adjunto. Perceba que ao realizar um teste dessa teoria ondef e g sao conhecidos e tanto u como v pode serem obtidos por tecnicas analıticas,cada um dos tres produtos internos do segundo membro podem ser calculados exata-mente. Em situacoes onde u so pode ser obtido resolvendo, via metodos numericos,a equacao diferencial Lu = f , o que pode ser obtido e apenas uma funcao apro-ximadora uh, por alguma tecnica de reconstrucao, a partir da solucao aproximadanos pontos do domınio discretizado. Esse mesmo argumento vale para a equacaoL∗v = g, no qual pode ser obtido uma funcao aproximadora vh. O produto interno〈g − gh, u − uh〉 ja nao pode ser calculado por que nao temos conhecimento das so-lucoes exatas u e v. Assim sendo, calculando apenas 〈g, uh〉, temos uma solucaoaproximada com uma determinada precisao para 〈g, u〉, e adicionando o valor de〈vh, f − Lfh〉, aumentamos a precisao na aproximacao de 〈g, u〉.

Giles [7, 6] apresenta um teste para um caso unidimensional para exemplificara teoria do corretor adjunto. Esse teste, reproduzido aqui, consiste na avaliacao daEDO

d2u

dx2= f (67)

e de sua equacao adjunta

d2v

dx2= g (68)

ambas no domınio [0, 1], sendo u(0) = u(1) = 0 as condicoes de contorno da equacao(67) e v(0) = v(1) = 0 da equacao adjunta (68). Os termos fonte sao dados porf(x) = x3(1 − x)3 e g(x) = sen(πx). O funcional integral a ser avaliado e dado por

〈g, u〉 =

1∫0

g(x)u(x)dx. (69)

As solucao exata de (67) e dada por

u(x) = −x8

56+

x7

14− x6

10+

x5

20− x

280

e a de equacao adjunta (67)

v(x) = −sen(πx)

π2.

As equacoes (67) e sua adjunta (68) sao resolvidas utilizando o metodo de dife-rencas finitas, considerando n = 10, 20, 40, 80, 160 e 320 divisoes no intervalo [0, 1].As aproximacoes para u e v, para cada umas dessas divisoes, obtidas sao utiliza-das para aproximar a solucao u e v por splines cubicos, com condicao de fronteiranatural, gerando assim duas funcoes, respectivamente, uh e vh. O termo fonte fh eobtido derivando uh. Os produtos internos 〈g, uh〉 e 〈vh, f − fh〉 sao calculados viaquadratura gaussiana utilizando-se dois pontos de gauss. A integral exata de 〈g, u〉e dada por

IFE =2(72π2 − 720)

π9∼= −6.29907198238103 × 10−4 (70)

onde IFE e a integral exata. Na tabela 7, IFA = 〈g, uh〉 e a aproximacao deIFE sem o corretor, ESCA = |IFE − IFA| e o erro cometido sem o uso docorretor adjunto, IFA + CA = 〈g, uh〉 + 〈vh, f − fh〉 e a aproximacao de IFEutilizando o corretor adjunto, e por ultimo, ECCA = |IFE − (IFA+CA)| e o errona aproximacao de IFE utilizando o corretor adjunto. Para analisar a ordem deprecisao na aproximacao de 〈g, u〉, seguindo o exemplo dos artigos do Giles, bastamontar uma tabela log(n) × log(erro) considerando os erros com e sem utilizar ocorretor adjunto. Os pontos devem entao serem ajustados por uma reta via metododos mınimos quadrados. O modulo da inclinacao do coeficiente angular ira fornecera ordem. As ordens obtidas pode serem vistas na legenda do grafico da figura 2. Aordem obtida ao calcular a integral sem o corretor foi 2.000996, e com o corretor4.332758. Note que o corretor adjunto dobrou a ordem de precisao, indo de um erroda ordem de O(h2) para O(h4).

n h IFA ESCA IFA + CA ECCA

10 1/10 -6.351101e-04 5.202941e-06 -6.301591e-04 2.518651e-0720 1/20 -6.312036e-04 1.296366e-06 -6.299095e-04 2.320834e-0940 1/40 -6.302311e-04 3.238670e-07 -6.299071e-04 8.566891e-1180 1/80 -6.299882e-04 8.095386e-08 -6.299072e-04 9.118407e-12160 1/160 -6.299274e-04 2.023768e-08 -6.299072e-04 6.299388e-13320 1/320 -6.299123e-04 5.059371e-09 -6.299072e-04 4.032039e-14

Tabela 7: Aproximacoes e os erros com e sem o corretor adjunto

A ordem de precisao da solucao da equacao (67) e da equacao adjunta (68)influenciam nessa ordem. Se a ordem de precisao do esquema de diferencas finitasutilizado para resolver as referidas equacoes fosse 4, a ordem de precisao de 〈g, uh〉

Figura 2: Grafico ESCA × ECCA

teria essa mesma ordem, e apos a correcao, a ordem de precisao iria para 8. Emresumo, se o erro na solucao das equacoes diferenciais u − uh e v − vh sao ambosde ordem O(hp), entao o erro que resta ao utilizar o corretor adjunto e da ordemO(h2p).

6 Conclusoes

A tecnica de aumento da ordem de precisao de funcionais integrais, cujos in-tegrandos sao provenientes de solucoes de equacoes diferenciais, mostrou ser umatecnica bastante util. Pode ser aplicado, por exemplo, em metodos de estimacao deparametros associados a EPDs, os quais costumam serem formulados como um pro-blema de otimizacao, desde que o metodo de otimizacao seja baseado em gradientes.Nesse tipo de problema, a funcao objetivo e um funcional integral cujo integrandodepende da solucao de EDPs. Se o calculo desses gradientes forem baseados emmetodos adjuntos, os quais utilizam a solucao da equacao adjunta no calculo dosgradientes, a solucao da equacao adjunta tambem pode ser utilizada para avaliar afuncao objetivo definida por uma integral com uma ordem de precisao maior do quea ordem de precisao do metodo numerico utilizado na resolucao das EDPs.

Referencias

[1] Fausto Saleri Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco. Numerical Mathematics.Springer-Verlag, 2000.

[2] Richard L. Burden. Numerical Analysis. PWS-Kent, 1989.

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[4] D.L. Darmofal and D A. Venditti. Grid adaptation for functional outputs: Ap-plication to two-dimensional inviscid flows. Journal of Computational Physics,176:40–69, 2002.

[5] Neide Bertoldi Franco. Calculo Numerico. Pearson Prentice Hall, 2006.

[6] M. Giles and N. Pierce. Adjoint error correction for integral outputs. Technicalreport, Oxford University, 1998.

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[8] M. Giles and N. Pierce. Improved lift and drag estimates using euler equations.Technical report, Oxford University, 1998.

[9] M. Giles and N. Pierce. Adjoint recovery of superconvergent functionals frompde approximations. SIAM Review, 2000.

[10] M. Giles and N. Pierce. Analysis of adjoint error correction for superconvergentfunctional estimates. Technical report, 2001.

[11] A. Jameson. Aerodynamic shape optimization techniques based on controltheory. AIAA 98 2538, 1998.

[12] A. Jameson. Aerodynamic shape optimization using the adjoint method. Lec-tures at Von Karman Institute - Brussels, 2003.

[13] S. Nadarajah. The Discrete Adjoint Approach to Aerodynamic Shape Optimi-zation. PhD thesis, Stanford University, 2003.

[14] J.J. Reuther. Aerodynamic Shape Optimization Using Control Theory. PhDthesis, University of California, 1996.

[15] John C. Strikwerda. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equa-tions. SIAM, 2004.

[16] L. Xie. Gradient-Based Optimum Aerodynamic Design Using Adjoint Methods.PhD thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, 2002.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA

Giselle Moraes Resende Pereira (PET Matemática – SESu-MEC) [email protected]

Marcos Antônio da Câmara (Tutor do PET Matemática) [email protected]

Algumas Aplicações da Teoria dos Grafos

1. INTRODUÇÃO

Ao contrário de muitos ramos da matemática, nascidos de especulações puramente teóricas, a teoria dos grafos tem sua origem no confronto de problemas práticos. A teoria dos grafos estuda objetos combinatórios -os grafos- que são um bom modelo para muitos problemas em vários ramos da matemática, da informática, da engenharia, da química, da psicologia e da indústria. Muitos dos problemas sobre grafos tornaram-se célebres porque são um interessante desafio intelectual e porque têm importantes aplicações práticas. É inevitável esbarrar em questões de complexidade computacional, pois muitos dos problemas da teoria dos grafos têm motivação algorítmica.

2. BREVE HISTÓRICO

Enquanto outros temas de matemática têm uma longa e gloriosa história, isto não acontece com a Teoria de Grafos. O primeiro problema cuja solução envolveu conceitos do que veio a ser a teoria dos grafos (séc. XVII) foi resolvido por Euler e não passava de uma especulação matemática. Acredita-se que um dos primeiros exemplos da utilização de grafos teria surgido devido as Pontes de Königsberg. Na cidade de Königsberg (atual Kaliningrado), antiga capital da Prússia Oriental, o rio Pregel circunda uma ilha e separa a cidade em quatro zonas que, no séc. XVII estavam ligadas por sete pontes como na figura 1:

Figura 1

3. CONCEITOS PRELIMINARES

Um Grafo G(V, E) é uma estrutura matemática constituída pelos conjuntos: V, finito e não vazio de n vértices, e E, de m arestas, que são pares não ordenados de elementos de V.

Graficamente é representado por uma figura com Nós ou vértices, unidos por um traço denominado Aresta configurando a relação imaginária, vejam figura 2.

Figura 2: Esta figura é um desenho do grafo cujos vértices são e cujas arestas são z ,y x, w,, vu, ,t V xyyz, xu, xw,uv, vw,E e o grafos trivial.

Embora seja conveniente a representação de grafos através de diagramas de pontos ligados por linhas, tal representação é inadequada se desejamos armazenar grandes grafos em um computador.

3.1 Matriz de adjacência: Se G é um grafo com vértices 1,2,3,...,n, sua matriz de adjacência é a matriz n X n cujo elemento ij é o número de arestas ligando o vértice i ao vértice j.

0000002002010011

4

3

2

1

4321

vvvv

vvvv

3.2 Matriz de incidência: Se G é um grafo com vértices 1,2,3,...,n e arestas 1,2,3,...,m, sua matriz de incidência é a matriz n X m cujo elemento ij é o número de vezes em que o vértice i é incidente à aresta j.

0000011001112001

4

3

2

1

4321

vvvv

eeee

3.3 Adjacências de vértices e arestas:

3.3.1 Dois vértices x e y são ditos adjacentes ou vizinhos se existe uma aresta unindo-os.

3.3.2 Duas arestas são adjacentes se elas têm ao menos um vértice em comum.

3.4 Incidências: Os vértices x e y são ditos incidentes na aresta, se eles são extremos da aresta.

3.5 Vértices isolados: Qualquer vértice de grau zero é um vértice isolado.

3.6 Laços: Laço é uma aresta que une um par de vértices idênticos.

3.7 Arestas paralelas: Quando existe mais de uma aresta entre o mesmo par de vértices.

Exemplificando, na figura 3 está representado um grafo de e .

6,5,4,3,2,1V(5,2)(6,5),(6,1),(1,5),(2,2),(3,2),(1,2),E

5

21

6 4

3

Vértices adjacentes

Laço

Vértice isolado

Arestas paralelas

Arestas adjacentes

Figura 3

3.8 Passeio entre nós: É a seqüência alternantes de nós e arestas.

3.9 Caminho: Um caminho é qualquer grafo da forma ( nvvv ...,,, 21 nivv ii 1:1, ). Em outras palavras, um caminho é um passeio que não contém nós repetidos.

3.10 Ciclo ou Circuito: Um ciclo é um grafo da forma ( nvvv ...,,, 21 , nivv ii 1:1

) com . Em outras palavras, um ciclo é um caminho fechado sem vértices repetidos.

1vvn

Figura 4

3n

3.11 Grau de um vértice: Grau de um vértice v (g(v)) é o número de arestas que incidem em v.O grau de um vértice v também pode ser definido como o número de arestas adjacentes a v. Obs.: Um laço conta duas vezes para o grau de um vértice.

g(b) = 3 g(d) = 2 g(a) = 2 g(c) = 3

3.12 Dígrafo: Um Grafo Direcionado ou Dígrafo D(V,E) é uma estrutura matemática constituída pelos conjuntos:

• V, finito e não vazio de n vértices, e • E, de m arestas, que são pares ordenados de elementos de V.

3.13 Conexidade: Um grafo é conexo se, para qualquer par v,w de seus vértices, existe um caminho com extremos v e w. E um grafo é não conexo se existir ao menos um par de vértices que não é unido por nenhum caminho.

Figura 5: a) grafo conexo; b) e c) grafos não conexos

3.14 Grafo Bipartido: Um grafo é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2, tais que toda aresta de G une um vértice de V1 a outro de V2 (figura 6).

Figura 6

3.15 Grafo Rotulado: Um grafo G(V,E) é dito ser rotulado em vértices (ou arestas) quando a cada vértice (ou aresta) estiver associado um rótulo (figura 7).

Figura 7

3.16 Grafo valorado: Um grafo G(V, E) é dito ser valorado quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou E com um conjunto de números (figura 8).

Figura 8

Teorema 1: Em todo grafo, a soma dos graus dos vértices é igual ao dobro do número de arestas. Ou seja, todo G(V, E) satisfaz a identidade AvgVv 2)(

Demonstração: Uma aresta com vértices x e y contribui uma unidade para g(x) e uma unidade

orolário 1: O número de nós de grau ímpar de um grafo é par.

para g(y). Portanto, cada aresta contribui exatamente duas unidades para a soma )(vgVv .

CDemonstração: Como a soma dos graus é igual a A2 , considere o grafo G(N, A).

Denotando por d o grau do nó i, temos: i

A2 = iii

ddd

Comoímpard

ipard

ii

A2 é par então a soma das duas parcelas também será par. ero par, devemos

. OPERAÇÕES DE ARESTAS E VÉRTICES

eja G(V, E) um grafo constituído de um conjunto V, finito e não vazio de n vértices, e um

.1 Inclusão da aresta (v,w)em pertencer a V.

Observe que para ter uma soma de parcelas ímpares resultando em um númter um número par de parcelas, o que conclui a demonstração.

4

Sconjunto E de m arestas.

4Exigência: os vértices v e w devGrafo resultante: ),( wvG definido por V e E ).(v w .

ença a G, erá pelo menos um par de arestas paralelas. Se

.2 Exclusão da aresta (v,w) pertencer a E.

(v,w)

.2.1 Situação Problema I: Rede viária com mão direcional do trânsito

ato:

Caso (v,w) já pert o grafo resultante tv = w, há o surgimento de um laço.

4Exigência: a aresta (v,w) deve Grafo resultante: G-(v,w) definido por V e E-

4

F Houve um rompimento na rede de fornecimento de água em uma região da cidade impedindo o trânsito nessa região. Ação: Interrupção do trânsito no trecho de rua.

Solucionando o problema do trânsito:Acionar o Departamento de Trânsito para alterar o tráfego local.Divulgar aos interessados as ações em andamento. Reparar a pavimentação da rua. Restabelecer o trânsito da região.

A interrupção do trânsito no trecho de rua implica na exclusão da aresta associada.

Dígrafo resultante da exclusão da aresta associada

4.3 Inclusão do vértice v Exigência: o vértice v não deve pertencer a V.

vV e E. Grafo resultante: G+v definido por

4.4 Exclusões do vértice v Exigência: o vértice v deve pertencer a V e . 1nGrafo resultante: G-v definido por V-v e E-(v,u), u adjacente a v. A restrição garante que, mesmo após a exclusão do vértice, a estrutura remanescente continue sendo um grafo.

1n

Figura 9. Exemplos de inclusão e exclusão de vértices e arestas.

4.5 Fusão dos vértices v e w Exigência: os vértices v e w devem pertencer a V.

vwwvV ,( ,,(( uvEGrafo resultante: definido por vwG e u adjacente a v) – (w, u) u adjacente a w) (vw, u), u adjacente a v ou w em G.

4.6 Explosão do vértice v Exigência: o vértice v deve pertencer a V e grau(v)>0. Grafo resultante : Para obter o grafo deve-se quebrar o vértice v em grau(v) pedaços de modo que as arestas que o têm como extremo também pertençam ao novo grafo, embora não sejam mais adjacentes.

vG*

Figura 10. Exemplos de Fusão e Explosão de vértices.

4.6.1 Situação Problema II: Rede de água de uma região.

Fato: Houve um rompimento na rede de fornecimento de água em uma região da cidade. Ação: Recompor o funcionamento da rede de água da região.

Fechar registro significa: Explodir vértices

Figura 11. Área atendida x Área Atingida

5. GRAFOS EULERIANOS

Ciclo euleriano é aquele que possui todas as arestas do grafo exatamente uma vez. Um Grafo euleriano é aquele que possui um ciclo euleriano, em outras palavras, um grafo é euleriano se pudermos desenhá-lo sem tirar o lápis do papel e voltar ao ponto de partida, sem passar mais de uma vez por nenhuma aresta.

5.1 As pontes de Königsberg

Na cidade de Königsberg (atual Kaliningrado), antiga capital da Prússia Oriental, o rio Pregel circunda uma ilha e separa a cidade em quatro zonas que, no séc. XVII estavam ligadas por sete pontes como na figura 12:

Figura 12.

Acredita-se que esse foi um dos primeiros exemplos da utilização de grafos. O problema consiste em partir de uma dessas regiões e determinar um trajeto pelas pontes segundo o qual se possa retornar à região de partida após atravessar cada ponte somente uma vez.

Este problema trata-se de um grafo euleriano, no qual não é possível fazer o percurso de iniciar em uma ponte, passar por todas as outras uma só vez e retornar ao ponto de origem, pois, um grafo só pode ser percorrido de tal maneira, se o diagrama tiver somente vértices de grau par, o que não acontece com o problema citado.

Teorema (Euler 1736): Um grafo conectado G é euleriano se e somente se o grau de cada vértice de G é par.

Demonstração: Ida: Seja G um grafo euleriano. Logo, ele contém um ciclo euleriano. Por cada ocorrência de vértice desse ciclo, existe uma aresta que chega nesse vértice e associada a ela, outra que sai desse vértice. Como toda aresta faz parte do ciclo, isto é, nenhuma aresta fica fora do ciclo, necessariamente o número de arestas por cada vértice é par.Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par. Seja um vértice do grafo. Tentemos, a partir de , construir uma cadeia que não passa duas vezes pela mesma aresta, e até que não seja possível continuar. Como todos os vértices possuem um grau par, sempre será possível entrar e sair de um vértice. A única exceção é o vértice onde a cadeia vai terminar. Se essa cadeia, que chamaremos , contém todas as arestas de G, temos um ciclo euleriano. Senão, retiramos de G todas as arestas que fazem parte de . No grafo resultante G', todos os vértices também possuem grau par e necessariamente um deles faz parte de ,senão o grafo não seria conexo.

iv

iv

iv

1C

1C

1C

Recomeçamos o mesmo processo com o grafo G', partindo de um vértice comum com ,obtendo assim um novo ciclo . A figura abaixo mostra que dois ciclos que têm um vértice

1C

2C

em comum podem formar um ciclo único: chegando ao vértice comum em um dos dois ciclos, continuamos o percurso no outro ciclo. Continuando esse processo, necessariamente obteremos um ciclo único que contém todas as arestas de G.

6. GRAFOS HAMILTONIANOS

Um grafo G é hamiltoniano se existe um ciclo em G que contenha todos os seus vértices, sendo que cada vértice só aparece uma vez no ciclo. Este ciclo é chamado de ciclohamiltoniano.Sendo assim, um grafo é hamiltoniano se ele contiver um ciclo hamiltoniano.

A título de exemplo, considere os grafos e da figura 14. É fácil notar que contém o ciclo que é hamiltoniano. Logo, é um grafo hamiltoniano. O mesmo não acontece com .

1G 2G 1G

154321 ,,,,, vvvvvv 1G

2G

Figura 14.

O problema do cálculo do ciclo hamiltoniano, embora semelhante ao problema do cálculo do euleriano, é muito mais complexo, pois não são conhecidas as condições necessárias e suficientes para que um grafo genérico contenha um ciclo hamiltoniano nem tampouco métodos eficientes para construir tal ciclo. Há diversos teoremas específicos para determinados tipos de grafos, fornecendo condições que são, na maior parte dos casos, suficientes – porém não necessárias.

Este problema está intimamente relacionado ao problema do caixeiro viajante, o qual consiste em encontrar um caminho que passe por todas as cidades uma única vez e retorne ao ponto de partida escolhendo para isso um caminho de custo mínimo.

6.1 Problema do Caixeiro Viajante

É um problema de grafo hamiltoniano, que consiste em passar por todos os vértices de um grafo, não repetindo nenhum, a fim de encontrar um caminho ótimo. Suponha que a área de venda de um caixeiro viajante inclua várias cidades, as quais, aos pares, estão conectadas por rodovias. O trabalho do caixeiro requer que ele visite cada cidade

pessoalmente. Sob que condição seria possível para ele estabelecer uma viagem circular (que o leve ao ponto de partida) de forma que ele visite cada cidade exatamente uma vez? Este problema pode ser modelado por um grafo G(V, E), onde:

V = c | c é uma cidade E = ( , ) | há uma estrada que conecta as cidades e , sendo que ela não passa por nenhuma outra cidade neste trajeto.

1c 2c 1c 2c

Modelado desta forma, a solução deste problema passa por verificar se o grafo G é hamiltoniano.

Como exemplo, considere o seguinte problema:

Um viajante deve visitar clientes instalados em sete cidades do estado de Minas Gerais - Brasil - .Procura-se determinar qual o percurso mais econômico tendo em atenção, exclusivamente, as distâncias quilométricas entre as cidades.

O estudo a seguir trata de um problema de grafos considerado complexo e de algoritmos que possam solucioná-lo. Neste sentido, são investigados o algoritmo dos mínimos sucessivos e o algoritmo da ordenação do peso das arestas.

Representa-se abaixo a respectiva rede de cidades e uma tabela das distâncias quilométricas.

Araguari Araxá UberlândiaPatos de Minas

Patrocínio Uberaba BeloHorizonte

------- 213 215 146 133 41 571Araguari213 ------ 189 116 124 186 374Araxá215 189 -------- 73 242 217 417Patos de

Minas146 116 73 ------- 173 148 426Patrocínio133 124 242 173 -------- 107 494Uberaba41 186 217 148 107 -------- 556Uberlândia

571 374 417 426 494 556 --------BeloHorizonte

Representação gráfica:

Estudamos dois algoritmos executáveis para resolução de problemas desta natureza.

Tarefa: Considerar os dois algoritmos (Algoritmo dos Mínimos Sucessivos e Algoritmo por Ordenação dos Pesos das Arestas) para resolver PCVs, (PCV = Problema do Caixeiro Viajante), e aplique-os à situação do caixeiro viajante que tem de visitar as sete cidades mineiras, referidas no grafo completo e valorado (distâncias em quilômetros).

- As soluções que encontrou são boas? - Seria fácil encontrar a solução ótima? - Quanto tempo demoraria a encontrar a solução ótima por um método exaustivo? Compensaria?

6.2 ALGORITMO DOS MÍNIMOS SUCESSIVOS

Começa-se por escolher uma cidade para início do circuito. A partir dessa cidade, visita-se a mais próxima e assim sucessivamente, até completar o circuito; por vezes não é possível escolher a cidade mais próxima, quer por já ter sido visitada, quer por se fechar o circuito; nesse caso escolhe-se a mais próxima ainda não visitada; terminado o circuito somam-se os quilômetros percorridos. Repete-se este procedimento de forma a obter sete circuitos hamiltonianos, cada um dos quais com início numa das cidades. O quadro obtido encontra-se representado a seguir.

Note-se que esta solução se baseia numa escolha sucessiva da melhor etapa, o que pode não conduzir à melhor solução global. No entanto, o resultado é aceitável se tivermos em conta outros critérios, nomeadamente a economia de tempo. De fato, o número de circuitos hamiltonianos possíveis é determinado pela fórmula , o que, para o caso vertente, nos conduz a hipóteses.

2)!1(n 360720(

22)!17

Ora, testar 360 circuitos "à unha" não é tarefa recomendável. A análise do quadro nos leva a concluir que existem dois melhores circuitos (mais econômicos). São os que se iniciam em:

• Araxá e segue por Patrocínio, Patos de Minas, Araguari Uberlândia, Uberaba, Belo Horizonte e Araxá, voltando à Araxá, num total de 1420 Km.

• Belo Horizonte e segue por Araxá, Patrocínio. Patos de Minas, Araguari, Uberlândia e Uberaba, voltando a Belo Horizonte, num total de 1420 Km.

Observe que o ciclo é o mesmo nos dois casos.

6.3 ALGORITMO DA ORDENAÇÃO DO PESO DAS ARESTAS

Ordenam-se todas as arestas por ordem crescente do respectivo peso (distância). Em seguida, tenta-se encontrar um circuito hamiltoniano que utilize as arestas de menor peso, tendo em conta o seguinte:

(1) Nunca se toma a terceira aresta incidente num mesmo vértice e (2) nunca se fecha o ciclo enquanto houver vértices não visitados.

As 5 primeiras arestas não apresentam qualquer problema. Mas, as 11 seguintes não podem ser utilizadas por não verificarem as condições enunciadas.

Uberlândia Araguari 41Patrocínio Patos de Minas 73Uberlândia Uberaba 107Patrocínio Araxá 116Uberaba Araxá 124Belo Horizonte Patos de Minas 417Belo Horizonte Araguari 571

Continuando o processo chega-se à solução acima indicada, que nos conduz a um circuito com um comprimento total de 1449 km. Logo, pior que a anterior.

Conclusões: Os algoritmos podem se mostrar eficientes para problemas complexos. Além disto, eles permitem trabalhar com problemas matematicamente complexos sem necessitar conhecimento prévio sobre o mesmo.

1449

A melhor solução foi encontrada pelo Algoritmo dos Mínimos Sucessivos, que nos permitiu determinar o melhor percurso para o caixeiro viajante. Sendo considerada ótima, pois, para ter a certeza desta afirmação teríamos de encontrar todas as soluções pelo Método Exaustivo, o que implica na análise de 360 percursos, tarefa pouco aconselhável.

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A teoria dos grafos é essencial para resolução de problemas, desde os mais simples aos elaborados. São problemas que justificam atenção devido ao fato de aparecerem diversas aplicações e serem considerados difícil solução. Grafos são uma inesgotável fonte de problemas com enunciado simples, mas que escondem, muitas vezes, uma sofisticada estrutura matemática.

8. BIBLIOGRAFIA

[1] BARROSO, M. M. A., Operações Elementares em Grafos e Aplicações, VII SEMAT, Uberlândia, 2007.

[2] BOAVENTURA NETTO, P. O., Teoria e Modelos de Grafos, E. Blucher, São Paulo, 1979.

[3] LUCCHESI, C. L., Introdução à Teoria dos Grafos, IMPA-CNPq, Rio de Janeiro,1979.

[4] OYNSTEIN O., Graphs and Their Uses, The Mathematical Association of America, Editorial Committee, England, 1990.

[5] www.guiaquatrorodas.com.br

* Monografia apresentada por Melissa da Silva Rodrigues à Faculdade de Matemática em 09 de Abril de 2008, como requisito parcial para a obtenção do título de Especialista em Matemática. † Professor orientador (Tutor do PETMAT): [email protected]

O NÚMERO *

Marcos Antônio da Câmara† Melissa da Silva Rodrigues

Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121

Campus Santa Mônica 38408-100 – Uberlândia – MG

Faculdade de Matemática VIII Curso de Especialização em Matemática

RESUMO

Neste trabalho apresentaremos o número , em que ...6180339887,12

51 , suas

propriedades e exemplos de onde podemos encontrá-lo. Conhecido como número de ouro, teve a sua origem através da divisão de um segmento proposto por Euclides, o qual estaria dividido na “razão extrema e média”. A divisão de um todo em partes desiguais de acordo com a “razão extrema e média” parece produzir um equilíbrio na desigualdade, proporcionando uma harmonia de forma geral. Esta era a opinião de Leonardo da Vinci e da maior parte dos artistas e sábios do Renascimento. Os pitagóricos estudaram as relações entre os segmentos de um pentagrama e descobriram que este número tem muita importância na sua geometria. Em arquitetura é útil para entender a escala de medidas utilizadas em ergonomia que foi idealizada pelo arquiteto Le Corbusier em seus projetos. Até mesmo na natureza podemos encontrar esta harmonia, como na disposição das pétalas das rosas, no crescimento das conchas do nautilus, nas obras de grandes pintores e até mesmo na música. Em termos gerais, a Razão Áurea foi usada para que trouxesse a beleza visual ou auditiva. Palavras Chave: Razão áurea, número phi, Fibonacci

INTRODUÇÃO

Este trabalho tem o objetivo de mostrar que a matemática está presente em nosso meio através de uma simples razão, e faremos isto por meio de um número conhecido como o número de ouro, o número (phi).

Este é muito querido pelos matemáticos, astrônomos, físicos, biólogos, artistas que há anos o estudam, e ficam fascinados com cada descoberta, e a sua influência na arte, na arquitetura, na música, na geometria, na natureza e outros.

Apresentaremos além do número de ouro, a seqüência de Fibonacci que interage plenamente com o número , e suas propriedades e aplicações.

Analisando a concha do náutilo (nautilus pompilius), por sinal de magnífica beleza, a disposição das folhas nos ramos das plantas, ou seja, a filotaxia, o pentagrama que aparece na maioria das flores e até mesmo em frutos como a maçã se cortada pela sua circunferência, os quadros como “A Mona Lisa” e “Sacramento da Última Ceia”, a procriação dos coelhos, na harmonia das notas musicais, e muitos outros, podemos observar que existe algo em comum, ‘A Razão Áurea’.

Grandes matemáticos como Euclides e Pitágoras, na Grécia Antiga, Leonardo de Pisa também conhecido como Fibonacci, o astrônomo Johannes Kepler, dentre outros estudiosos, até mesmo o físico Roger Penrose, trabalharam intensamente com esta simples razão e suas propriedades.

De fato, a Razão Áurea tem fascinado os estudiosos em todas as disciplinas e suas áreas, e tem mostrado que esta propriedade, a proporção, traz harmonia, atração visual e auditiva, ou seja, mostra a busca constante pela proporção ‘perfeita’, dando uma qualidade estética agradável às obras dos artistas, ao som dos acordes dos músicos e à beleza da natureza.

CAPÍTULO I O NÚMERO DE OURO

A razão áurea, também conhecida como o número de ouro, teve a sua primeira definição, por volta de 300 a.C., dada por Euclides de Alexandria. Euclides definiu uma proporção derivada da divisão de um segmento no que ele chamou de “razão extrema e média”. Assim definiu: “Diz-se que uma linha reta é cortada na razão extrema e média quando, assim como a linha toda está para o maior segmento, o maior segmento está para o menor”.

De acordo com a figura acima, o segmento AB é maior que o segmento AC e ao mesmo tempo o segmento AC é maior que o segmento CB. Usando a definição de razão extrema e média, teremos que a razão dos comprimentos de AB por AC é igual a razão dos

comprimentos de AC por CB, ou seja, CBAC

ACAB .

O símbolo usado a princípio para essa razão era a letra grega (tau) que significa “o corte”, entretanto, no início do século XX o matemático Mark Barr deu à razão o nome de Fi ( ), devido a ser a primeira letra grega do nome de Fídias, um escultor grego que viveu entre 490 e 430 a.C, que realizou o “Partenon de Atenas” e “Zeus”, no templo de Olímpia.

Para encontrarmos o valor para , tomaremos o segmento AC = x e CB = 1. Desta forma, usando a definição de razão extrema e média, teremos:

011

1 2 xxxx

x

Observando que xBCAC , a solução da equação quadrática acima nos dará o valor

para . As duas soluções para a equação são ...6180339887,12

51'x e

...6180339887,02

51''x . A solução positiva desta equação é a Razão Áurea,

denominada por e a solução negativa será denominada por .Elevando ao quadrado teremos 2 = 2,6180339887... e o seu inverso

87...0,618033981 1 , isto é, 1 .

A Razão Áurea tem as propriedades únicas de produzir seu quadrado simplesmente somando 1 e o seu recíproco subtraindo 1. Além disso, temos que 11 e 11 .

Usando as propriedades das raízes da equação quadrática teremos o produto e a soma

das raízes, então, 144

451

251.

251'''.xx , ou seja, 1. . Daí, temos que

é o inverso de e também que 122

251

251''' xx , ou seja, 1.

O número possui outras propriedades interessantes:

a) Somar duas potências inteiras consecutivas de resulta na próxima potência de .Já sabemos que 2 = 1+ . Então, segue que:

+ 2 = .(1+ ) = . 2 = 3;2 + 3 = 2.(1+ ) = 2. 2 = 4;3 + 4 = 3.(1+ ) = 3. 2 = 5; ... ; n + n+1 = n.(1+ ) = n. 2 = n+2.

Logo, n + n+1 = n+2.

b) O mesmo acontece com potências de expoente inteiro negativo. Já vimos que =1+ -1

-2 + -1 = -1.(1+ -1) = -1. = 0;-3 + -2 = -2.(1+ -1) = -2. = -1;-4 + -3 = -3.(1+ -1) = -3. = -2; ... ; n + n+1 = n.(1+ ) = n. 2 = n+2. com n < 0.

Logo, n + n+1 = n+2, com n < 0

c) A soma de todas as potências com expoentes inteiros negativos e base igual a produz o próprio .

( -1 + -2) + ( -3 + -4) + ( -5 + -6) + ... == 0 + -2 + -4 + -6 + ... + -2n ..., == 1 + -2( 0 + -2 + -4 + ...). Onde n .Considerando 0 + -2 + -4 + ... = x.

Daí, 11

11

11.1 22

2

xx

xxxxxx

xxxx

xx 211

11

1 .

Sendo 0 + -2 + -4 + ... = x = , teremos na expressão: ( -1 + -2) + ( -3 + -4) + ( -5 + -6) + ... = = 0 + -2 + -4 + -6 + ... = = 1 + -2( 0 + -2 + -4 + ...) = = 1 + -2 = = 1+ -1 = =Logo, -1 + -2 + -3 + -4 + -5 + -6 + ... =

Além destas propriedades interessantes, podemos dividir um segmento na Secção Áurea, utilizando régua e compasso, da seguinte maneira:

1º passo: Considere um segmento AB dado. Trace um segmento BD de modo que BD seja a metade de AB .

2º passo: Trace o segmento AD . Com centro em D e raio de medida BD trace um arco e marque o ponto de intersecção E com o segmento AD .

3º passo: Com centro em A e raio de medida AE, trace um arco cortando AB em C.Desta maneira, o segmento AB está dividido na razão extrema e média, ou seja, na Razão Áurea.

Podemos justificar esta construção supondo que AB mede uma unidade de comprimento e, conseqüentemente, BD é a metade desta unidade.

Sabemos que AD é a hipotenusa deste triângulo retângulo ABD e usando o Teorema de Pitágoras teremos a sua medida. Segue que 222 BDABAD , ou seja,

25

4112 ADAD .

O ponto E na hipotenusa é marcado de forma que DE tenha o mesmo comprimento

que o lado DB, isto é, DE = DB = 21 , então,

215

21

25AE . Como AE = AC temos

215AC e, além disso, teremos que CB = 1 – AC, ou seja,

253

2151CB .

Substituindo os valores encontrados na razão CBAC , teremos que

251

4522

5315

253

215

CBAC , que é exatamente o valor de .

Podemos encontrar a Razão Áurea de outras maneiras, por exemplo, ao determinar o

valor da expressão ...11111 . Para determinar o valor desta expressão iremos considerar que o seu valor é igual a x.

Então, temos que ...11111x , e elevando os dois termos desta

equação ao quadrado encontramos ...111112x . Substituindo

...1111 por x temos a equação 011 22 xxxx . Mas esta é exatamente a equação que define a Razão Áurea, portanto, concluímos que como 1x , o valor de x é igual a .

Outra maneira de representar o número , desta vez envolvendo fração, é através de

fração contínua. Considere a expressão

...111

11

11

11

11 , e denotamos o seu valor por x.

Assim,

...111

11

11

11

11x e podemos notar que o denominador da segunda

parcela é o próprio x, portanto, temos a equação x

x 11 . Multiplicando os dois lados por x

temos 011 22 xxxx . Novamente encontramos a equação que define a Razão Áurea.

Logo, como a fração contínua é maior do que 1, ela é igual a .

CAPÍTULO II A RAZÃO ÁUREA E FIBONACCI

Figura1: Fibonacci1

Leonardo de Pisa nasceu em Pisa na Toscânia por volta de 1170. Também era conhecido por Leonardo Fibonacci (que significa filho de Bonaccio), e em alguns de seus manuscritos ele também era chamado de Leonardo Bigollo (ou Leonardi Bigolli Pisani), em que “Bigollo” significa ‘viajante’.

Pisa, no século XII, era um dos grandes centros comerciais italianos, tais como Gênova e Veneza. Tinha vários entrepostos comerciais espalhados pelos portos do Mediterrâneo, e por ali passavam mercadorias que vinham do interior e do ultramar, como as especiarias do Extremo Oriente que circulavam a caminho da Europa Ocidental.

O pai de Leonardo ocupou o lugar de chefe de um desses entrepostos, no norte da costa de África (Bugia, atualmente Bejaia na Argélia). Foi lá que Leonardo iniciou os seus estudos de matemática com professores islâmicos. Mais tarde viajou pelo Mediterrâneo (Egito, Síria, Grécia, Sicília, Provença), o que muito contribuiu para expandir seus conhecimentos matemáticos, encontrando-se com estudiosos islâmicos em cada um dos locais que visitava e adquirindo conhecimento matemático do mundo árabe, tendo a oportunidade de estudar diferentes sistemas numéricos e métodos de operações aritméticas. E assim, dedicou os seus estudos aos números indo-arábicos, que incluíam o princípio do valor de lugar, que considerava um método superior a todos os outros. Isto depois de observar a grande dificuldade de expressar e operar números em algarismos romanos ou através do ábaco.

A partir daí, publicou seu livro “Liber Abaci” escrito em 1202, que introduziria o uso dos numerais indo-arábico, voltados para a vida comercial. Neste, Fibonacci explica a tradução dos numerais romanos para o novo sistema, bem como suas operações aritméticas, além de propor problemas comuns ao seu dia a dia. Também apresentou a sucessão de números que dele herdou o nome seqüência de Fibonacci, na qual cada termo resulta da adição dos dois termos que o antecedem originando assim os números 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ..., os quais falaremos em seguida.

Após esta obra, Fibonacci ficou famoso e teve um grande reconhecimento até mesmo do imperador romano Frederico II, conhecido como ‘Maravilha do Mundo’, por patrocinar a matemática e a ciência, e foi convidado a comparecer diante do imperador em Pisa e solucionar alguns problemas que até então eram considerados difíceis pelos matemáticos da corte. Leonardo de Pisa resolveu todos os problemas propostos e mais tarde escolheu dois destes problemas e descreveu-os em um livro chamado Flos.

1 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/fibonacc.htm

Em um livro sobre a geometria, Practica Geometriae, Fibonacci apresenta cálculos para a diagonal e a área de um pentágono, para os lados do decágono e outros que indiretamente interagem com a Razão Áurea, apresentando domínio sobre a geometria euclidiana e expandindo o uso das propriedades da Razão Áurea e de suas aplicações. Num destes estudos propôs um problema bastante conhecido, a procriação de coelhos.

Problema: Suponha que um casal de coelhos recém-nascidos é colocado numa ilha, e que eles não produzem descendentes até completarem dois meses de idade. Uma vez atingida esta idade, cada casal de coelhos produz exatamente um outro casal de coelhos por mês. Qual seria a população de coelhos na ilha após doze meses, supondo que nenhum dos coelhos tenha morrido e não haja migração neste período?

Modelagem do Problema:

Indicando um casal de coelhos pelo símbolo ( , ) e a respectiva idade (0 = recém-nascidos, 1 = um mês de idade, * = pelo menos dois meses) acima e à direita do símbolo e n o número de meses transcorridos, podemos representar a evolução da população pela seguinte tabela:

Tabela 1: representação dos casais de coelhos por mês

Como calcular a população no início do 6º mês? Como não há mortes, podemos inicialmente contar com a população do 5º mês, e o próximo passo seria somar com o número de recém-nascidos. Este é exatamente o número de casais com pelo menos um mês no 5º mês, que é a população total do 4º mês. Denotando por nF a população no ésimon mês, o argumento acima produz a equação 456 FFF . Mas o raciocínio se aplica a qualquer mês, ou seja, toda a discussão pode ser refeita substituindo-se 6º por ésimon , 5º por

ésimon )1( e 4º por ésimon )2( . Então podemos escrever a equação: 21 nnn FFFpara 3n . Ao contarmos o número de casais, teremos que 121 FF .

Logo, temos uma equação de recorrência na sua forma completa: 11F , 12F ,

21 nnn FFF para 3n .Perceba que podemos definir 0F a partir de 012 FFF e condições iniciais, obtendo

011120 FFF . Deste modo, podemos redefinir a relação de recorrência do seguinte modo: 00F , 11F , 21 nnn FFF para 2n .

n População

1 ( , )0

2 ( , )1

3 ( , )* ( , )0

4 ( , )*( , )1 ( , )0

5 ( , )* ( , )* ( , )1( , )0( , )0

6 ( , )*( , )*( , )*( , )1( , )1( , )0( , )0( , )0

7 ( , )*( , )*( , )*( , )*( , )*( , )1( , )1( , )1( , )0( , )0( , )0( , )0( , )0

Resolução por Modelos Especiais: Veja que a seqüência de Fibonacci ,,, 321 FFF é uma seqüência tal que

21 nnn FFF para Nn e 2n onde 00F e 11F . Seqüências deste tipo são chamadas de recorrentes e a equação acima de equação de recorrência.

Temos que a fórmula geral da equação de recorrência de uma relação de recorrência com coeficientes iC constantes em uma variável é:

ngfCfCfCf knknnnnnn 2211 .Observe que a equação de recorrência 21 nnn FFF possui 0ng , então, esta

relação de recorrência é homogênea e para podermos solucioná-la deveremos fazer a seguinte associação:

21 nnnnnF .

01010 22221 nnnn (equação característica).

Resolvendo a equação característica 0121 , obtemos 2

511 e

251

2 e, conseqüentemente, 21

111

nnn e 22

122

nnn .

Mas, por outro lado, se uma função nhFn satisfaz uma determinada equação de recorrência linear homogênea, então qualquer múltiplo desta função também satisfaz esta equação. Para A e B constantes reais, teremos:

21

111

nnn AAA e 22

122

nnn BBBSomando as igualdades temos: 2

22

11

21

121nnnnnn BABABA .

Observe que 21nn BA é uma solução da equação de recorrência 21 nnn FFF ,

mas não necessariamente solução de uma relação de recorrência cuja parte da equação é 21 nnn FFF , pois para cada conjunto de valores para as constantes A e B temos uma

seqüência diferente. Por outro lado, espera-se que apenas uma única seqüência seja solução da relação de recorrência, daí entram em cena as condições iniciais 00F e 11F , e então:

Para 00 0Fn e 020

10 BA

Para 11 1Fn e 121

11 BA

Logo1

251

251

0

BA

BA

Cuja solução é 5

1A e 5

1B

Obtemos então a fórmula para nnn BAF 21 , ou seja,

nn

nF2

515

12

515

1 para 0n .

Resolução por Funções Geradoras.

Consideremos novamente a seguinte relação de recorrência: 21 nnn FFF para Nn e 2n , em que 00F e 11F

Multiplicando 21 nnn FFF por nx chegamos a 21 nn

nn

nn FxFxFx .

Fazendo o somatório a partir de 2n , teremos

2

22

2

2

11

22

21

2 n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn xFxxFxxFxFxF .

Fazendo 1nu e 2nv , temos

0

2

12 v

vv

u

uu

n

nn xFxxFxxF .

Fazendo0n

nn xFxf , temos: xfxFxfxxFFxf 2

010 .

Substituindo 00F e 11F , vem:

)1(

)1(

)()()(

010

2

2

2

2

xxxxf

xxfxx

xfxxxfxxf

xfxxfxxxf

Achando as raízes da equação 012 xx temos que 2

51x . Logo,

xxxxxx2

512

512

512

5112

251

1

251

1 xx xxxx2

5112

51151

2151

21 .

Logo,

x

B

x

Axx

xxf

2511

2511

1 2

xx

xBxA

2511

2511

2511

2511

xx

BAxBA

2511

2511

251

251

)(0

)(12

512

51

IIABBA

IBA

De (I ), temos que 5

112

522

512

51 AAAA

De (II ), temos que 5

1B

Assim, xx

xf

2511

15

1

2511

15

1 e, consequentemente,

000 251

51

251

51

n

n

n

n

n

nn xxxF

nn

nF2

515

12

515

1 , para 0n .

Esta expressão acima, é a fórmula redescoberta por Binet nos meados do século XIX, já conhecida primeiramente no século XVIII, por Leonard Euler e Abraham de Moivre. Esta permite encontrar o valor para qualquer número na seqüência de Fibonacci.

Voltando ao problema dos coelhos, observe a figura 2:

Figura 2: Distribuição dos casais de coelhos2

O número de casais de coelhos com o passar dos meses segue uma seqüência que é exatamente a de Fibonacci, assim, o número de pares total de coelhos é a soma desses números da seqüência até o mês desejado, conforme a figura 2.

A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ..., na qual cada termo (a partir do terceiro) é igual à soma dos dois termos anteriores, foi chamada de Seqüência de Fibonacci no século XIX pelo matemático francês Edouard Lucas.

Mas, esta seqüência não está limitada somente a este problema dos coelhos. Ela será encontrada em diversos fenômenos, como na óptica dos raios de luz ou índice de refração de luz (figura 3), a árvore genealógica de um zangão (figura 4), dentre outros.

2 Fonte: disponível em http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=199020

Figura 3: Refração da luz3 Figura 4: Árvore genealógica de um zangão4

Mas, o que mais chama a atenção é a relação da Seqüência de Fibonacci e a Razão Áurea. À medida que aumentamos os números da seqüência de Fibonacci, a razão entre um número e o seu antecessor, varia em torno da Razão Áurea, cada vez mais aproximando do seu valor. Seja n a posição do número na seqüência, Fn o número de Fibonacci e Fn+1 o seu

sucessor, então a razão n

n

FF 1 se aproxima de quando n aumenta. Esta propriedade foi

descoberta por Johannes Kepler em 1611. Observe o gráfico (figura 5):

Figura 5: Convergência da razão entre os termos sucessivos de Fibonacci5

As razões vão se aproximando de um valor particular, quando n tende a infinito, e o seu limite é exatamente , o número de ouro.

Para melhor entendermos esta propriedade, considere a fração contínua

...111

11

11

11

11 , mostrada anteriormente, cujo valor é igual a .

3 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 119. 4 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 156.5 Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm

Nesta expressão, poderíamos calcular o valor de por uma série de aproximações

sucessivas, da seguinte maneira: 00000,11 , 00000,212

111 , 50000,1

23

1111 ,

66666,135

1111

11 , 60000,158

1111

11

11 , 62500,18

13

1111

11

11

11 ,

61538,11321

1111

11

11

11

11 , 61904,12134

1111

11

11

11

11

11 . E, assim por

diante, cada vez mais se aproximando de .Estas aproximações sucessivas que encontramos para a Razão Áurea são exatamente

iguais às razões entre os números da seqüência de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

89, 144, 233, ...,ou seja, ...,618033,1610987,

377610...,,

1321,

813,

58,

35,

23,

12,

11,1 , e à medida que

avançamos para os termos maiores da seqüência, a razão tende para o valor de .

CAPÍTULO III O TRIÂNGULO ÁUREO, O PENTÁGONO E O PENTAGRAMA

Considere o pentágono regular abaixo, e a partir de um de seus vértices trace duas diagonais de modo que se obtenha um triângulo em que a base deste seja um dos lados do pentágono.

Figura 6: Triangulo áureo6

De acordo com a figura 6, temos três triângulos isósceles, ABC, ACD e ADE. Além disso, os triângulos ABC e ADE são congruentes.

A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por S = (n – 2)180°, em que n é o número de lados do polígono. Usando isto, teremos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a 540°, e por ser um pentágono regular todos os seus ângulos internos são iguais, logo cada um será igual a 108°. Além disso, 36)ˆ()ˆ( DAEmEDAm ,

36)ˆ()ˆ( BACmBCAm , 36)ˆ( DACm e 72)ˆ()ˆ( CDAmDCAm , observe a figura 7.

Figura 7: Pentágono7

6 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II

Traçando a bissetriz do ângulo D, teremos um triângulo como mostra a figura 8.

Figura 8: Traçando a bissetriz do ângulo D8

Seja F o ponto de intersecção dessa bissetriz com o lado AC do triângulo. Assim, DF é o segmento de divide o ângulo D ao meio, de modo que 36)ˆ( FDCm ,

72)ˆ()ˆ( FCDmDFCm . Logo, o triângulo CDF é um triângulo isósceles e também é semelhante ao triângulo DAC (figura 8).

Figura 9: Triângulos semelhantes 9

Usando as relações entre triângulos semelhantes quanto aos seus lados homólogos de

acordo com os dados fornecidos na figura abaixo, temos que: xy

yz . Mas, podemos observar

que sendo z = y + x a medida do segmento AC, y a medida do segmento AF e x a medida do

7 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II 8 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II 9 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II

segmento FC, teremos a seguinte razão: FCAF

AFAC , e desta forma dizemos que F divide o

segmento AC na extrema e média razão, ou seja, a Razão Áurea. Por isto, chamamos este triângulo de Triângulo Áureo.

Figura 10: Triângulos semelhantes10

Foi dito que o Triângulo Áureo tem ligação com o pentágono porque Euclides, trezentos anos antes de Cristo, propunha em seus Elementos, II Livro, Teorema 11, justamente o caminho inverso que dizia: construir um pentágono regular a partir de um triângulo isósceles usando a razão áurea para determinar os lados do triângulo. Ou seja, Euclides sabia, e tomava como fato natural, que os lados de um triângulo isósceles em que os ângulos iguais medem o dobro do terceiro estão na razão Áurea.

Euclides propôs a construção do pentágono regular a partir do Triângulo Áureo. O primeiro passo é construir uma circunferência que passe pelos três vértices do triângulo (e o centro da circunferência fica no ponto de encontro das mediatrizes do triângulo), observe a figura 11.

Figura 11: Construindo a circunferência11

10 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II11 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II

Agora, tracemos não somente a bissetriz do ângulo esquerdo da base como também a do direito. E vamos prolongá-las até que encontrem a circunferência. Com isto, determinaremos mais dois pontos sobre esta circunferência que, somados aos três correspondentes aos vértices de nosso triângulo, nos dá os cinco pontos exibidos na figura 12.

O arco AC é congruente ao arco AD, pois )ˆ()ˆ( DCAmCDAm e também são o dobro do arco CD, pois a )ˆ(2)ˆ()ˆ( DACmDCAmCDAm .

Figura 12: Construindo os vértices pentágono12

Podemos constatar que estes pontos dividem a circunferência em cinco arcos iguais, pois a bissetriz de qualquer ângulo inscrito em uma circunferência divide o arco oposto pela metade. Portanto, estes pontos são os vértices do pentágono, observe a figura 13.

Figura 13: Construindo o pentágono13

Na figura acima encontramos dois pentágonos regulares (um no centro da figura, outro obtido unindo-se os vértices situados sobre a circunferência), diversos triângulos Áureos, um

12 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II 13 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II

vasto conjunto de segmentos que mantêm a proporção áurea e, o pentagrama, a estrela de cinco pontas formada ao traçar as diagonais do pentágono.

Figura 14: Pentagrama14

O pentagrama é um dos símbolos mais antigos cultivados pela humanidade, muito usada pelos pitagóricos para se identificar em suas seitas que muitas vezes eram secretas. Para eles tinha o significado de “boa saúde” e também considerado como símbolo na astrologia, misticismo e outras culturas, possuindo diversos significados.

Explorando o pentagrama, temos que EB = AD = x, x =y + z, y = z + w, de acordo

com a figura 15. Através da semelhança de triângulos, teremos wz

zy

yx .

Figura 15: Semelhança dos triângulos no pentagrama15

Na figura 15, temos zy

yx e, se provarmos que esta razão é a razão áurea, teremos

então um triângulo áureo e, por conseqüência, o pentagrama também estará na mesma razão.

Sejayxt , com x = z + y.

Temos que 1111tx

yyz

yyzt .


Resulta que: 11t

t , ou seja, 012 tt portanto:

...68,12

51t .

Logo, a razão t é chamada de razão áurea, assim o segmento AD está dividido em média e extrema razão.

Assim, para y = 1, temos que x . Na figura 16 teremos que, DC = 1 e AD .

Deste modo, podemos obter 212

1

18sen e 21

254sen , que serão usados

adiante.

Figura 16: Pentágono e suas medidas 16

Quanto ao pentágono (cinza) no interior da figura 15, procedemos da mesma maneira que no pentágono ABCDE (vermelho), e dentro dele há outro pentagrama e assim sucessivamente.

Observe a figura abaixo.

Figura 17: Pentagramas17


Traçando as diagonais do pentágono regular formado no centro do pentagrama, o resultado é um novo pentagrama, mostrado em vermelho. Depois, desenhemos no triângulo superior do pentagrama maior as bissetrizes de seus ângulos da base, as linhas verdes e amarelas da figura 17. Em cada ponto de encontro da bissetriz com o lado externo, desenhamos uma linha paralela ao lado do pentágono e assim sucessivamente traçam-se novas bissetrizes, infinitamente.

Começando no pentagrama interno, vamos unir os pontos de cruzamento das bissetrizes com as extremidades das paralelas ao lado do pentágono, as linhas mostradas na cor rosa. Repetindo o procedimento ao longo de todo o pentagrama, linha por linha, nas demais “pontas” da “estrela”, teremos um resultado que será parecido com a figura seguinte, também conhecida por “Estrela Pitagórica”.

Figura 18: Interação entre pentagramas18

No pentagrama encontramos outros pentagramas, triângulos e pentágonos. O número de cada um desses elementos que pode ser encontrado no interior de um pentagrama tende para o infinito. Além disso, cada segmento de reta da figura 18 mantém uma relação Áurea com algum outro segmento da mesma figura.

Segundo a B. Piropo, colunista do Fórum PCs, o pentagrama sob a forma de símbolo místico vem sendo cultivado pela humanidade há séculos, e considerando que Euclides atribuía um valor divino à razão Áurea, é fato que por conseqüência ele tenha sido adotado como símbolo da comunidade pitagórica.

17 Fonte: Coluna do B.Piropo do Fórum PCs 18 Fonte: Coluna do B.Piropo do Fórum PCs

CAPÍTULO IV PROPRIEDADES NO PENTÁGONO ÁUREO

O pentágono por ser farto em relação Áurea, possui diversas propriedades. Para mostrar estas propriedades vamos observar o pentagrama seguinte, considerando

R e r como os raios das circunferências circunscritas aos pentágonos A’B’C’D’E’ e PQRST,respectivamente, e PT com o comprimento igual a uma unidade.

Figura 19: Pentagrama ou triangulo triplo19

As propriedades são:

I) PA'

Já sabemos que cada ângulo interno do pentágono é igual a 108°. Na figura 20, o triângulo A’AP é retângulo em A, 18'ˆ72ˆ' AAPeAPA .

19 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 39

Figura 20: Propriedade I 20

Usando a relação trigonométrica no triângulo retângulo temos que

PAPAsen

'21

'18 2

1

.

Dado que 2118sen , ver página 23, e substituindo na expressão acima, teremos

PAPA

'21

'21 .

Portanto, podemos afirmar que PA' .

II)2r

OA

De acordo com a figura 21, temos que r = OP. Usaremos o triângulo POA para relacionar OA e OP.


Figura 21: Propriedade II 21

Assim, teremos que OPOAsen54 , como

254sen , ver página 23, e substituindo

este resultado e também OP na igualdade acima, teremos r

OA2

.

Portanto, a propriedade é válida.

III) 2'r

OA

Observe que OA’ = R e 1872,618033982 .Considerando os triângulos A’OT e A’TS notamos que eles são semelhantes.


Figura 22: Propriedade III 22

Daí, concluímos que 11

Rr .

Substituindo nesta pelos dados acima teremos: 22

2

'''1 r

OArOAOAr .

IV) Uma diagonal tal como QS tem comprimento igual a .

As diagonais QS, SP, PR, RT e TQ são congruentes.


Figura 23: Propriedade IV 23

Considere os triângulos PRT e RQZ do pentágono PQRST. Estes são semelhantes e por isto, podemos afirmar que 72ˆˆ QZRZRQ . Portanto, QR, PT e ST são congruentes, pois são os lados do pentágono e pelo triângulo isósceles TSZ temos que ST é congruente a ZT.

Logo,RZZT

ZTRT e isto mostra que Z corta o segmento RT na extrema e média razão.

Iremos mostrar agora que RT é um segmento áureo. Seja d a medida da diagonal RT e sabemos que ZT = 1.

Daí, 011

11

2 ddd

dRZZT

ZTRT . Esta equação nos dá o valor de .

Resultado,2

51d . Está provado que a diagonal RT tem o comprimento igual

a . Logo, QS também tem o comprimento igual a .

V) 2'OAOA

Os triângulos AQS e AOB’ são semelhantes.


Figura 24: Propriedade V 24

Daí, podemos afirmar que QAOA

QSOB' , e sabemos que OA’ = OB’ = R, QS (pela

propriedade anterior) e QA é a metade de PQ.

Usando os dados fornecidos na relação QAOA

QSOB' , teremos que

2'

21

'OAOBOAOB , mas como OB’ = OA’, segue que 2'

OAOA .

VI) Se X é o ponto médio de intersecção de duas diagonais PR e QS, então:

XTXBe

XRPX

XQSX ', .

Teremos que provar a veracidade das três razões.

Primeira razão: XQSX

É fato que SR = SX = 1, pois o triângulo SRX é isósceles.


Figura 25: Propriedade VI (a) 25

Observe na figura 25 e note que os triângulos PRQ e QSR, e também PXQ e SXR são congruentes, daí, PR = QS e PX = SX.

Figura 26: Propriedade VI (b) 26


Além disso, na figura 26, os triângulos PSQ e XPQ são semelhantes, então:

XQPX

XQPXXQPQ

PXQS 1 .

Como PX = XS, temos que XQSX .

Figura 27: Propriedade VI (c) 27

Segunda razão: XRPX

Agora, considerando os triângulos PRQ e QRX da figura 27, vemos que eles são semelhantes.

Portanto,QRPR

XRPQ .

Mas, PX = PQ.

Daí,1XR

PX .


Terceira razão: XT

XB'

Observe que os triângulos PTB’ e QXB’, na figura 28, são semelhantes.

Figura 28: Propriedade VI (d) 28

Então,QP

QBXT

XBQPXT

QBXB ''

'' .

Dado que QB' e PQ = 1, teremos que:

1''

QPQB

XTXB

Portanto,XT

XB'

VII) Se SQ prolongado encontra A’B’ em V, então, uma vez que VS é paralelo a A’D’,

''''

''

SDSB

XTXB

QPQB

VAVB .


Os triângulos A’B’P e VB’Q, na figura 29, são isósceles. Portanto, 1''' PBBA e '' QBVB .

Estes são triângulos áureos, daí, VQ

PAQBPB

VBBA '

''

''' .

Figura 29: Propriedade VII (a) 29

Segue que 21

'''

VBBA e implica que

VQPA

QBPB '

''

Sendo 1'''' VBVABA e 'VB , temos que 1'VA .

Podemos concluir que 1'

'VA

VB .

Sabemos que QB' e QP = 1.

Logo,1

'QP

QB .

Os triângulos B’VQ e XPT, na figura 30, são triângulos semelhantes.


Figura 30: Propriedade VII (b) 30

Usando a relação de semelhança PTVX

XTXB' e os dados PT = 1 e VX ,

concluímos que:

1'

XTXB .

Os triângulos TSD’ e VB’S, da figura 31, são semelhantes.

Portanto,ST

VBSD

SB ''

' e como VB' e ST = 1, temos que 1'

'SD

SB .


Figura 31: Propriedade VII (c) 31

Portanto, provamos que '

''''

'SD

SBXT

XBQP

QBVA

VB .

VIII) Os comprimentos dos seis segmentos, B’D’, B’S, B’R, RS, RX e XZ, estão em progressão geométrica.

22

13

1''''

XZRSSBRXRBDB

Observe na figura 32 que '''' SDRSRBDB .


Figura 32: Propriedade VIII (a) 32

Substituindo os valores que temos para B’R, RS e SD’, encontraremos o valor para B’D’, então:

3

2

2

''.''

)1(''1''

''''

DBDBDBDB

SDRSRBDB

Para B’S temos que RSBRSB' , então:

2'1'

''

SBSB

RSRBSB

Para B’R temos que RB' , pois B’R é congruente a A’P e no pentagrama foi dado que PA' .

Sabemos que PT = 1 (dado no pentagrama) e que RS é congruente a PT.Portanto, RS = 1.


Figura 33: Propriedade VIII (b) 33

Temos que os triângulos QRX e A’RP, na figura 33, são semelhantes. Daí, podemos

afirmar que RPRX

RAQR

'. Note que A’RP é um triângulo isósceles, então RPPA' ,

QR = 1, 21'RA .

Substituindo estes dados na razão de semelhança temos: 1

22

11'

RXRXRPRX

RAQR

Portanto, 1RX


Figura 34: Propriedade VIII (c) 34

Os triângulos RXZ e RPT, na figura 34, são semelhantes, logo PTXZ

RPRX . São dados

os valores para RX, PT e RP, assim, 211

1XZXZ

PTXZ

RPRX .

Portanto, 2XZ

Concluímos que: 22

13

1''''

XZRSSBRXRBDB

.

De acordo com o que mostramos, a seqüência formada pelas medidas dos segmentos B’D’, B’S, B’R, RS, RX e XZ, ),,1,,,( 2123 , está em progressão geométrica de razão 1q .IX) O comprimento de um lado do pentágono A’B’C’D’E’ é 2

De fato, temos que no triângulo A’B’P, A’B’ é o lado de pentágono A’B’C’D’E’, e

mais, sabemos que A’B’P é semelhante ao triângulo PA’Q, daí, PQ

PAPA

BA '''' .


Figura 35: Propriedade IX 35

As medidas dadas são PA' e PQ = 1.

Daí, 2''1

'''''' BABA

PQPA

PABA

Como 2''BA e A’B’ é um dos lados do pentágono, podemos afirmar que o comprimento do lado do pentágono A’B’C’D’E’ é igual a 2 .

X) 2

rR .

No pentagrama abaixo, os triângulos A’SD’ e E’TO são semelhantes.


Figura 36: Propriedade X 36

Daí,TOSD

OEDA ''

'' . Já sabemos que 312''DA , 'SD , E’O = R e TO = r.

Portanto, 233'

'''

rR

rRTOSD

OEDA .

XI) 2OAOH

Dobrando-se o triângulo A’PQ na linha PQ e dando-se tratamento similar aos outros triângulos correspondentes de modo que A’,B’,C’,D’ e E’ encontrem-se em H, obtém-se uma pirâmide de altura OH (figura 37).

Figura 37: Pentagrama dobrado 37


Planificando a pirâmide teremos o pentagrama, figura 38.

Figura 38: Propriedade XI 38

Usaremos as seguintes propriedades que foram mostradas anteriormente.

2rOA

2'r

OA

2'OAOA

Observe que a medida AH da pirâmide é igual a AA’ no pentagrama, e que OA’ = R.Considerando as propriedades anteriores e o pentagrama na figura 38, temos que:

OARAARAAOAOAAAOA '''' .Dividindo a equação por OA e fazendo as substituições necessárias temos que:

12'1''OAAA

OAR

OAAA

OAOA

OAR

OAAA .

Na pirâmide (figura 37) temos o triângulo retângulo AHO. Aplicando o Teorema de Pitágoras, segue que 222 OAOHAH . Dividindo a equação por OA2 teremos:

11122

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

OAAH

OAOH

OAAH

OAOH

OAOH

OAAH

OAOA

OAOH

OAAH .

A razão OAOH é o que procuramos e

OAAH foi calculado acima, daí:

37 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 40.38 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II

.24

4444)1(444

11441121

2

222

2

22

2222

OAOH

OAOH

OAOH

OAOH

OAOH

OAOH

OAOH

OAAH

OAOH

Portanto, 2OAOH .

XII – r

OH

Considerando que 2OAOH , teremos que OH = 2. OA.

Pela 2ª propriedade, vimos que 2r

OA

Daí, temos que 2

2 rOArOA .

Substituindo AO na expressão OH = 2 OA, teremos:

rOHrOHrOH

22 .

Desta maneira provamos que r

OH .

CAPÍTULO V RETÂNGULO ÁUREO OU RETÂNGULO DE OURO

Chama-se retângulo áureo qualquer retângulo com a seguinte propriedade: “Se de um retângulo ABCD, suprimirmos um quadrado, como ABEF, o retângulo restante, CDEF, será semelhante ao retângulo original.”

Considere um retângulo áureo ABCD, de lado AB = a e AD = a + bRetirando o quadrado ABEF, como mostra a figura, teremos um outro retângulo

EFCD.

Figura 39: Retângulo Áureo 39

O retângulo que sobra, EFCD, é semelhante ao retângulo ABCD. Então, vale a

proporção:EDEF

ABAD . Substituindo os valores de AB e AD, ED e EF, teremos:

ba

aba

EDEF

ABAD . Daí, 02222 babababa .

A solução desta equação em a é exatamente o número b . Daí, b

bba

aba .

Isto significa que o retângulo de lados a + b e a é áureo, e o retângulo de lados a e b também é um retângulo áureo.

Evidentemente o mesmo raciocínio se aplica para mostrar que também são áureos os retângulos de lados b e a – b, a – b e 2b – a, etc., como mostra na figura 40, a seguir.

Figura 40: Retângulo Áureo 40

39 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II 40 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II

a b

a

a – b

2b – a

b

a

a

Em outras palavras, dados os números positivos a e b, satisfazendo a relação

ba

aba , formaremos a seqüência a + b, a, b, a2, a3, ..., sendo baa2 e

ababa 223 , em geral an = an – 2 – an – 1.Trata da seqüência a + b, a, b, a – b, 2b – a, 2a – 3b, 5b – 3a, 5a – 8b, 13b – 8a,....Pois bem, o raciocínio anterior estabelece que quaisquer dois elementos consecutivos

desta seqüência, são os lados de um retângulo áureo. Portanto, o processo anterior de retirar quadrados de retângulos áureos conduz a uma

seqüência infinita de retângulos áureos, com dimensões cada vez menores.

Figura 41: Construção do Retângulo Áureo 41

Constrói-se primeiramente AE = AB= a e em E trace EF perpendicular a AD. Marque o ponto G, ponto médio do segmento AE e traçe o arco FD onde D está na reta AE e E é interno ao segmento AD. Como FG é a hipotenusa do triangulo EFG temos que

25

45

2

22

222 aFGaFGaaFG .

Daí, aaaaGDAGAD2

)51(2

52

.

Portanto,a

aABAD , logo, o retângulo é áureo.

Uma maneira mais simplificada de se construir o retângulo áureo a partir de um quadrado, é dada pela construção abaixo:

Consideraremos inicialmente um quadrado ABCD. Marque os pontos médios E e Fdos lados AB e CD, respectivamente, e uma estes pontos. Trace a diagonal FB do retângulo EBDF

Prolongando o lado CD e utilizando um compasso, trace um arco de raio FB e centro em F. Chame de G o ponto de encontro do arco com o segmento prolongado.

Complete o retângulo BDGH e una ao quadrado ABCD gerando o retângulo AHGC.Este é um retângulo áureo.


2a

a

Figura 42: Construção do retângulo áureo 42

Veja que se o lado AB = 1, teremros que 21FD e pelo teorema do Pitágoras temos

que251

21 2

22 FBFB .

Como FB = FG, então 25FG .

Assim, o lado CG = CF + FG, ou seja, 2

5125

21CG .

Logo,1

1ACCG , o que mostra que o retângulo é áureo.

Podemos encontrar o retângulo com aproximações áureas em diversos lugares como o Paternon construído na Acrópole de Atenas como um templo sagrado para o culto de Atenas Paternos. Suas dimensões ajustam-se perfeitamente a um Retângulo Áureo, a altura da fachada, do alto de seu tímpano até a parte inferior do pedestal embaixo das colunas, também se divide numa Razão Áurea com a parte de cima das colunas (figura 43).

Figura 43: Partenon 43

42 http://www.matematicahoje.com.br/telas/mat_hoje/livro/oitava.asp?aux=B

Muitos artistas que viveram depois de Fídias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci chamava esta de Divina Proporção e pressupõe que ele a usou em muitos de seus trabalhos. No quadro Mona Lisa, por exemplo, acredita-se que há a proporção áurea em várias situações.

Se construirmos um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este se aproxima de um retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e teremos novamente a proporção (figura 44).

Figura 44: Mona Lisa 44

Há a possibilidade do retângulo de ouro aparecer envolvendo a cabeça e parte do colo, e do colo com parte do rosto, veja a figura 45.

Figura 45: Mona Lisa 45

43 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070101.htm44 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm45 Fonte: Cena do filme Donald no país da Matemática

CAPÍTULO VI ESPIRAL LOGARÍTMICA

A espiral logarítmica e a Razão Áurea caminham de mãos dadas. Para obter a espiral a partir de triângulo áureo, usaremos um triângulo isósceles ABC

com ângulos da base de 72o

e ângulo do ápice de 36° que é conhecido como triangulo áureo, o que já foi demonstrado anteriormente no pentagrama.

A partir do triângulo áureo podemos desenhar uma espiral logarítmica. Para isto, traçaremos uma bissetriz no ângulo B da base do triângulo encontrando AC em D, sendo D o ponto que divide AC na razão áurea, e teremos outro triângulo áureo BCD. Neste faremos o mesmo processo, e assim formaremos um número infinito de triângulos áureos. Este processo converge para um ponto chamado de pólo, que é o pólo de uma espiral logarítmica passando pelos vértices destes triângulos, observe a figura 46.

Figura 46: A espiral logarítmica e os triângulos áureos 46

Além disto, neste triângulo surge uma seqüência obedecendo a Seqüência de Fibonacci, 21 nnn FFF . Tomando HG unitário, então 1GF , 11FE ,

12ED , 23DC , 35CB , 58BA .Já sabemos que o Retângulo Áureo forma outros retângulos áureos e, a partir daí,

podemos obter a espiral no retângulo áureo. Para construir uma espiral inscrita no retângulo, iremos seguir os mesmos passos para

a construção do retângulo áureo. Tendo o retângulo dividido em infinitos outros retângulos áureos, estaremos formando uma seqüência de quadrados dispostos em uma espiral logarítmica, esta espiral é formada pelos arcos criados ao dividir o retângulo em outros cada vez menores. Veja a construção abaixo (figura 47).

46 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 166.

Considere o retângulo abaixo onde a razão entre a largura L e a altura H seja justamente . Esse é um retângulo áureo. Rebatendo um lado de altura H, obtemos um

quadrado e outro retângulo áureo, este de lados L1 e H1. Pois 1

1

HL . Repetindo o processo

no segundo retângulo áureo, obtemos outro quadrado e outro retângulo, também áureo, sendo

2

2

HL . Obtendo retângulos áureos cada vez menores que convergem para um ponto que

chamamos de pólo da construção.

Figura 47: Construção da espiral inscrita no retângulo áureo 47

É fácil ver que esse pólo é o encontro de todas as diagonais maiores de todos os retângulos áureos da construção. Os matemáticos deram nome a esse pólo, ele é chamado de “olho de Deus”.

A curva que leva ao pólo aproxima-se de uma espiral logarítmica que René Descartes chamava de “espiral equiangular”, pois traçando qualquer reta a partir do pólo ela corta a curva sempre com o mesmo ângulo ( ).

Dado um ponto O, a espiral equiangular é uma curva tal que a amplitude do ângulo formado pela tangente em qualquer dos seus pontos P com a reta OP é constante.

A espiral logarítmica é uma espiral cuja equação polar é dada por )cot(aer , onde aé a distância da origem do referencial ao ponto inicial da espiral ( 0 ) e é o ângulo constante de abertura da espiral e é uma variável independente variando de a , de modo que a curva tenha comprimento ilimitado. Para o ângulo 90 , a curva formará uma circunferência.

47 Fonte: http://www.fei.edu.br/~psergio/Projetos-de-Formatura-2007-1/Monografias-Projetos-I-2007-1/TCC-Fibonacci.doc

Figura 48: Espiral equiangular 48

A espiral logarítmica é conhecida também como a espiral do crescimento ou a spira mirabilis. Esta espiral é relacionada aos números de Fibonacci, à relação dourada, e aos retângulos dourados, e chamada às vezes de espiral dourada. Este padrão de crescimento é chamado de “lei da natureza”. A maioria dos cornos dos animais, as garras, os caracóis, entre outros exemplos, também são, basicamente, espirais equiangulares.

Encontramos uma aproximação da espiral logarítmica em vários outros lugares da natureza. De girassóis, conchas do mar e redemoinhos a furacões e galáxias espirais gigantes. Os falcões usam essa propriedade quando atacam suas presas. Acredita-se que os falcões-peregrinos, entre as aves mais rápidas da Terra, sobrevoam em forma de uma espiral logarítmica, mantendo a visão fixa a sua presa.

Figura 49: As galáxias 49

48 Fonte: http://www.atractor.pt/mat/conchas/texto1.htm 49 Fonte: http://www.cf-sebastiao-gama.rcts.pt/formacao/2003/pd1/trabalhos/nouro/nouro/apnouro.htm

Figura 50: Os náutilus 50

Figura 51: Chifres de carneiros 51

Além desta espiral, existe a espiral retangular. Na figura 51, o segmento OA é unitário, 10OA , 1AB , 2BC ,

3CD e assim sucessivamente. O ângulo entre esses segmentos é de 90º, por isto a chamamos de espiral retangular (figura 52).

Os segmentos vão diminuindo indefinidamente até o pólo, no ponto P.

Figura 52: Espiral retangular 52

Esta espiral possui propriedades tais como:

– Todos os pontos de dobra de número par recaem sobre OB e os de número ímpar recaem sobre AC .

O ponto de dobra é o ponto onde a espiral faz um ângulo de 90º.

50 Fonte: http://blog.hiro.art.br/index.php?paged=2&s=avra 51 Fonte: http://cienciahoje.uol.com.br/controlPanel/materia/view/257352 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 73.

O primeiro ponto de dobra é no ponto A, o segundo no ponto B, o terceiro no ponto C,o quarto no ponto D, e assim sucessivamente.

De acordo com a figura 52, o primeiro ponto de dobra, A, está sobre AC , o segundo ponto, B, recai sobre OB , o terceiro ponto de dobra, C, recai sobre AC , o quarto ponto de dobra, D, recai sobre OB .

Portanto, se o número do ponto de dobra for par, recai sobre OB e se o número for ímpar recai sobre AC .

– OB e AC são mutuamente perpendiculares. Destaque os triângulos retângulos OAB e ABC na figura 52. Estes triângulos são

semelhantes, pois são retângulos e BCAB

ABAO , 2

11 . Daí, como ABBC , temos que

ACOB .

– o pólo da espiral é a intersecção de OB e AC .Os pontos de dobra estão sobre OB e AC e estes pontos tendem ao ponto P, o qual é

a intersecção de OB e AC , daí podemos dizer que P é o pólo da espiral.

– cada novo segmento da espiral completa um triângulo cujos outros dois lados são segmentos de OB e AC . Esses triângulos são todos semelhantes, sendo cada um deles a metade do retângulo áureo.

Os triângulos formados são retos e para cada triângulo a razão entre os seus catetos é igual a -1. Portanto, os triângulos são semelhantes.

Se prolongar BC e subir uma perpendicular à OA , formaremos um retângulo áureo e OB é a diagonal deste retângulo. Então, o triângulo OAB é a metade do retângulo áureo. O mesmo acontece para os demais triângulos.

– O comprimento da espiral de A a P, na escala OA =1, é .O comprimento da espiral de A a P é igual a -1 + -2 + -3 + -4 + -5 + ... = ,

e esta é a propriedade “A soma de todas as potências com expoentes inteiros negativos e base igual a produz o próprio ”, mostrada na página 4.

– A razão de OP por BP é igual 2.

De fato, os triângulos OAP e BCP são semelhantes, então, BCOA

PBOP .

Dado que 1OA e 2BC , teremos 22

1PBOP .

Interessante perceber que a espiral retangular se encaixa na espiral logarítmica, conforme a figura seguinte.

Figura 53: Espirais logarítmica e retangular 53

Jacob Bernoulli (1654-1705) chamou a esta curva admirada por ele, de Spira Mirabilis(Espiral Maravilhosa). Ele até pediu que a sua forma e o lema que atribuiu a ela “Eadem mutato resurgo” (embora mudado, ressurjo o mesmo), fossem gravados em seu túmulo. 54

O lema descreve uma propriedade fundamental exclusiva da espiral logarítmica, ou seja, ela não altera seu formato à medida que seu tamanho aumenta. Esta característica é conhecida como auto-similaridade.

53 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 169.54 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 137.

CAPÍTULO VII A NATUREZA E O NÚMERO DE OURO

Já observou como estão dispostas as folhas de algumas plantas ou até mesmo a distribuição das pétalas de rosas?

A fitolaxia é um termo da botânica que inclui a disposição da folhas nos ramos das plantas. O meristema apical é responsável pelo crescimento da planta e como estão no ápice e se reproduzem por divisão, dão origem a novas células que formam os tecidos que por sua vez fazem as plantas crescerem. Um meristema pode dar origem a um galho, a um ramo ou a uma flor. Um galho dará origem a diversos outros galhos e ramos. Um ramo dará origem a diversas folhas. E uma flor dará origem a diversas pétalas cercando uma porção circular onde se distribuem as sementes.

Considere um ramo de uma planta qualquer que cresça verticalmente e que deste ramo tenha brotado uma folha, como o da figura abaixo.

Figura 54: Disposição das folhas de um ramo55

O ramo continuará a crescer verticalmente e, acima da única folha, brotarão outras. Mas, para que estas folhas brotem e não prejudiquem as outras, estas não podem nascer de maneira regular, já que os arranjos, regulares e simétricos não são os ideais, pois prejudicariam todo o crescimento da planta ao receber luz e água, fazendo sombra e impedindo que a folha abaixo receba a água.

Para que o crescimento da planta não fique prejudicado há a divergência das folhas, ou seja, a separação angular das bases de duas folhas sucessivas no talo, medida através de uma espiral traçada da raiz da planta para o ponto de crescimento.

Em 1993 dois matemáticos franceses, Douady e Couder, demonstraram matematicamente que este ângulo é 222º 29’ 34’’.

55 Fonte: http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=209835

Figura 55: Ângulo formado entre as folhas do ramo 56

Cada nova folha é gerada pelo meristema fazendo um ângulo de 222º 29’ 34’’ com a que fica abaixo. Mantendo sempre este ângulo com a folha que a antecede, o ramo que cresce na vertical conseguirá fazer com que suas folhas capturem cada raio de sol e cada gota de chuva. O ramo, após o nascimento da sexta folha, ficaria com o aspecto mostrado esquematicamente, na figura abaixo e um exemplo é o girassol:

Figura 56: Disposição da folhas 57 Figura 57: Girassol 58

Se considerarmos p o número de voltas da espiral e q sendo o número de bases de

folhas pelas quais a espiral passou, excluindo a primeira, então qp é uma fração característica

da planta, ou seja, a divergência das folhas. O numerador e denominador desta fração tendem

a ser números da seqüência de Fibonacci, ,...218,

135,

83,

52,

31,

21 e assim sucessivamente.

Várias plantas podem ser dispostas com este tipo de crescimento como as gramíneas

comuns que tem a fração igual a 21 , as ciperáceas sendo

31 , as frutíferas como as macieiras

que tem a fração igual a 52 , tanchagens igual a

83 , liliáceas com

135 .

56 Fonte: http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=20983557 Fonte: http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=20983558 Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#quote

Figura 58: Liliáceas 59

De modo geral, podemos dizer que em muitas plantas os ramos e galhos crescem em quantidades baseadas nos números da sucessão de Fibonacci. Esquematizando, teremos a representação da seqüência de Fibonacci na figura abaixo:

Figura 59: A distribuição dos ramos e a Seqüência de Fibonacci 60

Estes números não ficam restritos só na disposição das folhas e galhos, aparecem também no número de pétalas de certas flores como nos seguintes exemplos:

Figura 60: Íris com 3 pétalas 61 Figura 61: Jasmim Manga com 5 pétalas 62

Figura 62: Tasneira com 13 pétalas 63 Figura 63: Margarida com 34 pétalas 64

59 Fonte: http://floraisdiamantinos.blogspot.com/2007/07/alo-veramais-uma-beno-da-natureza.html 60 Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm61 Fonte: http://www.buques.com.br/fotos_de_flores.html 62 Fonte: http://fotola.com/berylium/sidbond/document-sidbond41448ed857f0a.html

O número áureo, a seqüência de Fibonacci, e a espiral logarítmica estão presentes em toda a natureza, sejam nas plantas, nos animais e no ser humano.

Esta bela curva, espiral equiangular, estudada pelos matemáticos há centenas de anos é representada na natureza há milhares de séculos. Tomando como exemplo a concha, observamos que as medidas dos segmentos que unem o centro da concha aos pontos da concha aumentam, mas as amplitudes dos ângulos formados por esses segmentos e as tangentes à concha mantêm-se, ou seja, as conchas seguem uma espiral equiangular ou logarítmica.

É comum encontra-la nos flósculos das margaridas (figura 64), e mais visível ainda nos girassóis (figura 65), também na Equinácea Púrpura (figura 66), popularmente conhecida como purpurea ou flor de cone.

Figura 64: Margarida 65 Figura 65: Girassol 66 Figura 66: Equinácea 67

As sementes destas flores têm o formato da espiral equiangular. Elas se distribuem regularmente, aparentemente em circunferências concêntricas e seguindo certa lei de crescimento que faz com que o arranjo fique perfeitamente regular seja qual for seu tamanho. Esquematicamente, o aspecto é parecido com o da figura abaixo:

Figura 67: Disposição das sementes de uma flor 68

63 Fonte: http://serra-da-adica.blogspot.com/2007/09/dittrichia-viscosa.html 64 Fonte: http://baixaki.ig.com.br/papel-de-parede/14305-Margarida.htm 65 Fonte: ampliação da foto disponível em http://baixaki.ig.com.br/papel-de-parede/14305-Margarida.htm 66 Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html67 Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

Porém, se escolhermos um raio qualquer, uma linha reta que parta do centro em direção ao extremo, veremos que não encontraremos sementes “alinhadas” sobre ela.

Observe cada etapa na figura 68, e verá que não há sementes alinhadas.

Figura 68: Etapas da distribuição das sementes 69

68 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm 69 Cenas animação disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm

A distribuição destas sementes é feita de acordo com a espiral equiangular, também é conhecida como “Espiral de Fibonacci”, pois o ângulo usado para dispor cada nova semente foi justamente um arranjo baseado no ângulo de 222,492º ou seu replemento, 137,508º, o que dá no mesmo que configura a Razão Áurea com os 360º da volta completa da circunferência.

Segue o esquema 70:

70 Cenas da animação disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm

Em torno desta espiral existem infinitas outras espirais assim formando o flósculo das flores. Observe o esquema 71:


E assim sucessivamente até preencher por completo, como mostra a figura abaixo.

Figura 69: Espirais formando o flósculo 72

Este mesmo processo ocorre em diversas outras plantas, assim como nas pinhas, disposição das pétalas das rosas, romanescos e diversos outros. Por exemplo:


Figura 70: Pinha 73

Figura 71: Rosas 74 Figura 72: Romanesco 75

É interessante como a espiral equiangular não está presente somente nas plantas, aparece também no corpo humano e nos animais, de modo geral, em toda a natureza.

Exemplo disto pode ser visto na orelha de ser humano, nos caramujos, nos chifres de carneiros, e muitos outros.

73 Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html pinha74 Fonte: http://www.magiadeinumeri.it/BIOLOGIA.htm75 Fonte: http://www.laputanlogic.com/articles/2006/04/23-0207-5337.html

CAPÍTULO VIII OS SÓLIDOS REGULARES E O NÚMERO

Figura 73: Sólidos regulares 76

Um sólido, ou poliedro (do grego “pulúedros”, ou “aquele que tem muitas faces”) é dito “regular” quando todas as suas faces são idênticas e formadas por polígonos regulares, ou seja, que apresentam todos os lados e todos os ângulos internos iguais. O exemplo clássico é o cubo, ou hexaedro, com suas seis faces em forma de quadrados.

Não há muitos poliedros regulares. Para ser exato há apenas cinco: o tetraedro (com quatro faces formadas por triângulos eqüiláteros), o hexaedro ou cubo (com seis faces formadas por quadrados), o octaedro (com oito faces formadas por triângulos eqüiláteros), o dodecaedro (com doze faces formadas por pentágonos regulares) e o icosaedro (com vinte faces formadas por triângulos eqüiláteros).

Estes poliedros regulares foram estudados por Platão quatrocentos anos antes de Cristo e por isso são conhecidos como “sólidos platônicos”. Os cinco sólidos platônicos são mostrados na figura seguinte.

Figura 74: Sólidos Platônicos 77

Estes poliedros também são conhecidos por representarem os cincos elementos da natureza. Platão concebia o mundo como sendo constituído por quatro elementos básicos: a Terra, o Fogo, o Ar e a Água, (figura 75), e estabelecia uma associação mística entre estes e os sólidos. Portanto, associava o Tetraedro ao Fogo porque, segundo Platão, o átomo do fogo teria a forma de um poliedro com 4 lados; o Cubo à Terra porque ele acreditava e afirmava que os átomos de terra seriam cubos, permitindo ser colocados lado a lado, dando solidez; o Octaedro ao Ar, pois o modelo de um átomo de ar para Platão era um poliedro com 8 faces; o Icosaedro à Água, pois Platão defendia que a água seria constituída por icosaedros e, o Dodecaedro representaria a imagem do Universo no seu todo porque para Platão o cosmos seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros. Em suas palavras “ o dodecaedro é aquele que deus usou para ornamentar as constelações de todo o céu”. E por isto Salvador Dali, pintor catalão conhecido pelo seu trabalho surrealista, inseriu um dodecaedro na obra “Sacramento da Última Ceia”.

76 Fonte: http://www.seed.slb.com/pt/scictr/watch/fullerenes2/saved.htm 77 Fonte: http://www.revista.unam.mx/vol.6/num7/art68/art68-2a.htm

Figura 75: Significado dos sólidos 78

Mas o que têm eles a ver com a Razão Áurea? Podemos montar estes sólidos com retângulos áureos. Construção disponível no sítio

de Benito Piropo 79. Primeiro, montemos uma base, um “esqueleto” em torno dos quais construiremos nossos poliedros.

A base será montada encaixando-se três retângulos Áureos idênticos, ou seja, três retângulos cujos comprimentos dos lados mantenham a razão Áurea. Dois deles deverão ter no centro uma fenda com comprimento igual ao lado menor e que se estende ao longo da linha divisória paralela ao lado maior, como os retângulos que estão de amarelo e azul da figura 76, a seguir. No terceiro, para permitir o encaixe, a fenda deve se estender até um dos lados menores, como o retângulo em rosa da mesma figura.

Feito isto, tudo o que precisamos para ter a base tridimensional é encaixar os retângulos como mostrado do lado direito da figura.

Figura 76: Construção da base dos poliedros 80

O primeiro sólido pode ser conseguido da seguinte forma use uma agulha para fazer um pequeno furo junto a cada vértice dos três retângulos e, com uma linha passando pelos furos, una cada um deles aos seus vizinhos mais próximos. Repare o resultado: sua linha se estende em volta de toda a estrutura, formando arestas que, em conjunto, fazem exatamente vinte triângulos eqüiláteros idênticos. Cobrindo a superfície dos triângulos com papel teremos um icosaedro regular, um dos cinco sólidos platônicos.

78 Fonte: http://avrinc05.no.sapo.pt/index.htm 79 Construção disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm 80 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm

Figura 77: Construção do icosaedro 81

Para obter o segundo sólido platônico com a estrutura formada com os retângulos Áureos, basta passar em cada vértice dos retângulos Áureos um plano perpendicular á linha que une o vértice ao centro da figura. Estes planos passam em volta da estrutura e se interceptarão. A interseção de cada dois destes planos corresponderá a uma aresta de um sólido tridimensional, como mostra a figura 78:

Figura 78: Construção do dodecaedro 82

Analisando a figura acima, temos que estas arestas formam faces pentagonais regulares, o conhecido pentágono regular, onde a razão Áurea se manifesta de forma mais intensa, com os vértices dos retângulos situados em seus centros geométricos. O sólido resultante terá, portanto doze faces, é o dodecaedro regular (os três retângulos juntos têm doze vértices e em cada um deles passa um plano).

Reparando as figuras 77 e78, veremos que o icosaedro se inscreve no dodecaedro, com os doze vértices do icosaedro coincidindo com os centros geométricos de cada face do dodecaedro (note que o icosaedro tem vinte faces e doze vértices enquanto o dodecaedro tem doze faces e vinte vértices). Se determinarmos os pontos centrais de cada uma das vinte faces triangulares do icosaedro e os unirmos por segmentos de reta, estes segmentos formarão as arestas de um dodecaedro inscrito no icosaedro. E assim sucessivamente. Sólidos deste tipo chamam-se duais, ou seja, o dodecaedro é o sólido dual do icosaedro e este é o sólido dual daquele.

81 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm82 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm

Examine a imagem da figura 79 e veja, no interior da figura, a mesma estrutura básica montada com os três retângulos Áureos. No retângulo azul, note que ele está circundado por quatro linhas azuis que passam por seus vértices. Elas formam um quadrado. Agora, repare os outros dois retângulos Áureos, o amarelo e o de rosa. Tanto um quanto o outro estão igualmente circundados por quadrados desenhados com linhas da mesma cor do retângulo e que passam por seus vértices. Verá que o conjunto destas doze linhas coloridas (quatro amarelas, quatro azuis e quatro rosas) constitui as arestas de um novo sólido regular de oito faces, cada uma delas formada por um triângulo eqüilátero, este é o octaedro, figura 79 à esquerda.

Figura 79: Construção do octaedro 83

Se reparar na figura acima, à direita, verá que no interior deste octaedro encontra-se novamente o icosaedro, formado pela união de todos os vértices da estrutura base, com seus vértices nos “pontos Áureos” de cada uma das arestas do octaedro.

Quanto ao cubo, podemos encontrá-lo inscrito no dodecaedro. Repare que no dodecaedro à esquerda, na figura 80, temos oito pontos assinalados em vermelho, e tomados dois a dois eles determinam diagonais dos pentágonos regulares que formam as faces do icosaedro.

Sabendo que o ângulo interno de um pentágono é igual a 108º, podemos perceber que o triângulo formado pela diagonal e pelos dois lados adjacentes que dela convergem (um destes triângulos está destacado em verde na figura 80) é um triângulo Áureo obtusângulo e que seus lados e a diagonal mantêm a relação Áurea.

Unindo os oito pontos vermelhos teremos o hexaedro, pois estes segmentos possuem o mesmo comprimento e também observamos que as diagonais formam conjuntos de linhas paralelas quatro a quatro e que formam ângulos retos.

83 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm

Figura 80: Construindo o hexaedro 84

Daí, dentro do dodecaedro surge o hexaedro, ou cubo. Este não é um solido qualquer, já que o lado deste, em particular, mantém a razão Áurea com a aresta do dodecaedro.

Já o tetraedro encontra-se dentro do hexaedro, figura 81. Escolha um vértice do tetraedro e forme um triângulo com este e os outros dois da aresta oposta ao escolhido e assim sucessivamente.

Figura 81: Tetraedro 85 Figura 82: Os sólidos reunidos 86

Podemos inscrever estes sólidos uns aos outros como a figura 82, acima.

Um sólido, porém não regular conhecido como “paralelepípedo” de Fibonacci é um paralelepípedo de lados 1, e , onde 1 .

84 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm85 Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi3DGeom.html86 Fonte: http://www.edu.xunta.es/contidos/premios/p2004/b/poliedros/poliedros.html

Figura 83: Paralelepípedo de Fibonacci 87

O seu volume é unitário e a área total de suas faces é 4 , além disso, a sua diagonal é igual a 2.

Observe que suas dimensões e as áreas das faces deste paralelepípedo estão em progressão geométrica, ,1,1 e quatro de suas faces são retângulos áureos.

Para calcular o volume usamos a expressão 1..1V . Daí, 1..1 1 VV .A área total de suas faces é dada por )..1.1(2 11S daí,

)1(2 1S , como 11 teremos que 4)2(2)(2S .Esse sólido pode ser inscrito em uma esfera de raio 1. Vamos mostrar que a medida do raio é igual a 1. Temos que o valor da diagonal do

paralelepípedo é dada por 222 cbad , em que a, b e c são as dimensões do mesmo, ou

seja, 22121d . Esta diagonal é igual ao diâmetro da esfera, logo o raio será igual a metade desta diagonal.

Para prosseguirmos devemos lembrar que 11 11 e que 12 . Substituindo 1 e 2 na equação da diagonal do paralelepípedo teremos que:

24

2222

22)1(2

222

121

)1(1

1

2

22

22

222

dd

d

d

d

d

d

d

Portanto, a diagonal do paralelepípedo é igual a 2. Sendo a diagonal do paralelepípedo igual ao diâmetro da esfera que é igual a 2, então

o raio é igual a 1, como queríamos demonstrar.

87 Fonte: http://www.seara.ufc.br/donafifi/fibonacci/fibonacci4.htm

A razão entre a área da superfície da esfera e a área das faces do paralelepípedo está relacionada com a proporção áurea. A área da superfície da esfera é dada por 24 rS , sendo r a medida do raio. Então, esta esfera tem área igual a 4 . Já sabemos que a área total do paralelepípedo é 4 .

Portando, a razão entre as áreas da esfera e do paralelepípedo inscrito é 44 .

Isto é surpreendente, o encontro de dois números irracionais e de grande importância na matemática.

CAPÍTULO IX O OURO NO SER HUMANO

No corpo humano, o número de ouro aparece não só nas orelhas, como também nas falanges dos dedos, na razão entre o tamanho do braço e a mão; a medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo; a altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça; a medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão; o tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta, de acordo com a figura 85.

Figura 84: A orelha e a espiral 88 Figura 85: Segmento Áureo no corpo humano 89

Uma orelha perfeita seria aquela na qual se encaixaria em uma espiral logarítmica como na figura 84.

Segundo Leonardo da Vinci, o corpo humano para ter beleza e harmonia deve respeitar uma proporção, e como o número áureo representa esta beleza, então o corpo humano deve seguir a mesma.

Para o homem ser perfeito a razão entre as usas medidas como a sua altura e a distancia do seu umbigo ao chão deve ser aproximadamente .

88 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm 89 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/seg_aureo_corpo_humano.htm

Figura 86: Proporções no corpo humano 90

Além disso, pode-se encontrar as proporções áureas também no rosto humano. Constatou-se que o rosto humano é baseado inteiramente em . Em particular, a cabeça forma um retângulo dourado, sendo o ponto do meio dos olhos, a seção áurea. A boca e o nariz são posicionados em seções de ouro da distância entre os olhos e a parte inferior do queixo.

Figura 87: Proporção áurea no rosto 91

Muitos estudos demonstram que a regra de ouro está presente na harmonia do sorriso e da dentição. O compasso da Proporção Áurea e seus blocos de esquemas pré-impressos permitem descobrir em apenas alguns segundos o objetivo ideal teórico em relação a uma situação real na boca. Informações interessantíssimas e muito úteis para a reconstrução estética, prótese total, posicionamento-inclinação-eixo dos dentes, gengivectomia, e outros.

90 Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm91 Fonte: http://www.magiadeinumeri.it/BIOLOGIA.htm

Figura 88: Proporção áurea nos dentes 92

Os dentes vistos frontalmente, como a figura 88 acima, estão na proporção áurea um em relação ao outro. Por exemplo, a largura do incisivo central está proporcional à largura do incisivo lateral, assim como o incisivo lateral está proporcional ao canino, e o canino ao primeiro pré-molar. O segmento “incisivo central até o primeiro pré-molar” se encontra na proporção áurea em relação ao canto da boca. A altura do incisivo central está na proporção áurea em relação à largura dos dois dentes centrais (retângulo de ouro).

Na face relaxada, veja a figura a 89, a linha dos lábios divide o terço inferior da face nos segmentos da proporção áurea da ponta do nariz à linha dos lábios e da linha dos lábios até o queixo.

Figura 89: Divisão áurea do queixo ao nariz 93

As “Marcas da Seção Áurea”, impressas em papel no sortimento de blocos fornecidos no estojo, (figura 90), são muito úteis para registros da boca e para trabalhos sobre modelos.

Figura 90: Modelo com marcas da seção áurea 94

A Smile Line, uma empresa especializada em produtos odontológicos, redesenhou um utensílio inicialmente concebido pelo Dr. Eddy Levin, cirurgião dentista londrino, o “Golden Section Divider”, que permite assimilar e compreender “fisicamente” o conceito da seção áurea. 92 Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm 93 Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm94 Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm

Se o instrumento tiver estreita ou largamente aberto, o compasso “Proporção Áurea” indica sempre dois segmentos, respeitando a “Regra de Ouro”. Fabricado em aço inoxidável da mais alta qualidade e cuidadosamente montado, o compasso “Proporção Áurea” é uma pequena maravilha em mecanismo de precisão.

Figura 91: Compasso áureo 95

Há estudos com pacientes totalmente edentados, feitos por Ana Cristina Perasso, que necessitam de uma reabilitação protética que preencha os requisitos básicos. Uma solução para isto foi o uso da proporção áurea contida no rosto juntamente com este compasso, na confecção de próteses. Em sua dissertação de mestrado, “Análise da produção áurea na face dos pacientes edentados visando a dimensão vertical de oclusão” oferece melhores detalhes.

Figura 92: exemplo do uso do compasso áureo na odontologia 96

Este compasso não é usado somente na odontologia (exemplo na figura 92). Com ele podemos medir qualquer objeto a fim de verificar se este está ou não na extrema e média razão, como nos exemplos da figura 93.

95 Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm96 Fonte: http://www.mlahanas.de/Greeks/GoldenSection.htm

Figura 93: Exemplos para o uso do compasso áureo 97

97 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm

CAPÍTULO X A ARTE E O NÚMERO DE OURO

O Renascimento produziu uma importante mudança de direção na história da Razão Áurea e a partir de então, esse conceito deixou de ficar restrito à matemática, e passou a ser encontrado nos fenômenos naturais, na arquitetura e nas artes.

Muitas das afirmações relativas ao emprego da Razão Áurea na pintura estão diretamente relacionadas às propriedades estéticas do retângulo áureo.

Leonardo da Vinci nasceu em 15 de Abril de 1452, na pequena cidade de Vinci, perto de Florença, centro intelectual e científico da Itália. O seu talento artístico cedo se revelou, mostrando excepcional habilidade na geometria, na música e na expressão artística.

Reconhecendo suas habilidades, o seu pai, Ser Piero da Vinci, mostrou os desenhos do filho a Andrea del Verrocchio. O grande mestre da renascença ficou encantado com o talento de Leonardo e tornou-o seu aprendiz. Em 1472, com apenas vinte anos, Leonardo associa-se ao núcleo de pintores de Florença.

Figura 94: Leonardo da Vinci 98

Não se sabe muito acerca da educação e formação do artista, no entanto, muitos autores afirmam que o seu conhecimento não provém de fontes tradicionais, mas sim da observação pessoal e da aplicação prática das suas idéias. Pintor, escultor, arquiteto e engenheiro, Leonardo da Vinci foi o talento mais versátil da Itália do Renascimento. Os seus desenhos, combinando uma precisão científica com um grande poder imaginativo, refletem a enorme vastidão dos seus interesses, que iam desde a biologia, à fisiologia, à hidráulica, à aeronáutica e à matemática.

Durante o apogeu do renascimento, Da Vinci, enquanto anatomista, preocupou-se com os sistemas internos do corpo humano, e enquanto artista interessou-se pelos detalhes externos da forma humana, estudando exaustivamente as suas proporções.

O segundo livro de “A Proporção Divina”, é um tratado sobre proporções e suas aplicações na arquitetura e na estrutura do corpo humano. A seguinte imagem, (figura 95), “Homem Vitruviano” resulta destes seus interesses e esta foi usada por Luca Pacioli na ilustração do seu livro “De Divina Proportione”.

98 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo.htm

Figura 95: O Homem Vitruviano 99

Segundo o arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, no corpo humano, o ponto central naturalmente é o umbigo, porque se um homem for colocado deitado de costas, com as mãos e os pés estendidos e um compasso for centrado no seu umbigo, os dedos de suas mãos e de seus pés irão tocar a circunferência do círculo descrito a partir desse ponto, e assim como o corpo humano produz um contorno circular, uma figura quadrada também pode ser encontrada a partir dele, pois se medirmos a distância das solas dos pés até o topo da cabeça e depois aplicarmos essa medida aos braços esticados, veremos que a largura será a mesma que a altura, como no caso de superfícies planas que são perfeitamente quadradas.

Os pensadores renascentistas consideraram esta passagem como “mais uma demonstração da ligação entre a base orgânica e a geométrica da beleza”, e isto levou ao conceito do “homem vitruviano”. A imagem “O Homem Vitruviano” pintada por Leonardo da Vinci representa o corpo humano inserido na forma ideal do círculo e nas perfeitas proporções do quadrado, ou seja, possui proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.

As proporções áureas aparecem entre: a medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax; a altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão, além de várias outras proporções.

Os pintores do Renascimento, e em particular Da Vinci, recorreram a conceitos de geometria projetiva para criar os seus quadros com um aspecto tridimensional. A obra prima “A Última Ceia” é um bom exemplo disso.

99 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci

Figura 96: “A Última Ceia” 1495-1498 100

O ponto de fuga está colocado no olho direito de Cristo, onde ele domina o primeiro plano. Os seus próprios braços, ao longo das linhas da pirâmide visual, reforçam a perspectiva.

A Última Ceia foi pintada entre os anos de 1495 e 1498, por encomenda do Duque Ludovico Sforza para ornar uma das paredes do refeitório do Convento de Santa Maria das Graças em Milão, Itália, e representa a cena narrada na Bíblia em que Jesus Cristo comunica aos apóstolos que será traído por um deles.

Esta é considerada uma das pinturas mais valiosas do mundo. Como foi pintada sobre a parede de um convento, jamais “pertenceu” a qualquer pessoa e seu preço não pode ser avaliado.

Agora, repare na figura e na linha verde que a divide exatamente na proporção Áurea. Note como ela passa justamente entre o tampo da mesa e os apóstolos e a postura de Cristo, com os braços abertos, se inscreve quase exatamente em um triângulo Áureo obtusângulo.

Figura 97: As proporções áureas no quadro “A Última Ceia” 101

Da Vinci a serviço de Ludovico Sforza, desenvolveu vários projetos de engenharia militar, realizou estudos hidráulicos sobre os canais da cidade, dedicou-se ao estudo da anatomia, física, botânica, geologia e matemática. Nesse período, pintou algumas de suas obras-primas como a primeira versão da “Virgem dos rochedos” (1483) e a “Última ceia” (1495-1497).

A Virgem dos Rochedos, conhecida também como A Madona das Rochas, é considerada uma das mais importantes obras do pintor. Ela é uma das primeiras telas que dá a impressão de ter três dimensões, além de não haver traços nítidos separando as figuras do desenho e possuir fundos misteriosos e enigmáticos.

Esta obra possui duas versões, uma no Louvre, em Paris e a outra na National Gallery, em Londres. Estima-se que a versão do Louvre seja um dos primeiros trabalhos que Leonardo produziu em Milão por volta de 1483 e 1486 e supõe-se que a pintura da National Gallery foi concluída por volta de 1506.

Especialistas que estudam estas pinturas concluíram que a versão de Louvre foi feita inteiramente pela mão de Leonardo, enquanto a versão da National Gallery pode ter sido um “esforço conjunto” que ainda está sendo estudada.

A veracidade da data e a autenticidade das duas versões da “Virgem dos Rochedos” causam polêmicas nas afirmações acerca da presença da Razão Áurea na pintura. Estas datas 100 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci 101 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm

revelam se Da Vinci já tinha ou não o conhecimento do número áureo ao realizar esta obra. Pois, a razão entre a altura e largura da pintura que supõe ter sido pintada primeiro é cerca de 1,64, e a da segunda pintura é de 1,58, ambas estão com estas razões próximas de .

Leonardo Da Vinci encontrou Pacioli pela primeira vez em 1496, na Corte de Milão. Luca Bartolomeo de Pacioli foi um monge franciscano e célebre matemático italiano e em 1470 escreveu a sua primeira obra de matemática na área de álgebra. O livro “Summa” tornou Pacioli famoso, sendo convidado em 1497 para ensinar matemática na corte de Ludovico em Milão. Um dos seus alunos e amigo foi Leonardo da Vinci. Em 1509 escreveu a sua segunda obra mais importante, “De Divina Proportioni”, ilustrada por da Vinci, que tratava sobre proporções artísticas. Só então, Leonardo foi apresentado à “divina proporção”. Isto indica que Da Vinci teve conhecimento do número de ouro após dez anos da primeira versão de “Virgem dos Rochedos” ter sido concluída

Portanto, a proporção do quadro tende a mostrar que esta é a perfeita harmonia em suas dimensões, antes mesmo do grande pintor conhecê-la.

Figura 98: “Virgem dos Rochedos” 102

Por volta de 1504, começou a pintar um dos quadros mais famosos do mundo, “Mona Lisa”, uma de suas obras na qual a arte da pintura atinge um de seus grandes momentos. Provavelmente, o retrato de Madona Lisa Gherardini, mulher do rico cidadão de Veneza Francesco del Giocondo que o encomendou ao pintor. Daí, o quadro também ser chamado “A Gioconda”. Supõe-se que Leonardo tenha de fato começado a pintura como um retrato da mulher do nobre, mas que depois a tenha tornado na imagem da idéia da beleza perfeita.

Leonardo Da Vinci sentia-se interessado pela matemática e usou inúmeros e conceitos matemáticos em diversas invenções, em projetos de arquitetura e na pintura. A Mona Lisa é um exemplo, com diversos retângulos áureos.

Podemos explorar esta proporção em várias outras partes do corpo. As próprias dimensões do quadro formam um retângulo áureo.

102 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci

Figura 99: Mona Lisa, 1505 103

No quadro Mona Lisa pode-se observar a proporção áurea em várias situações. Note, na imagem abaixo, que se construirmos um retângulo em torno de seu rosto,

veremos que este é um retângulo de ouro e também entre os elementos do rosto os retângulos Áureos enquadram a face e a testa, o lado direito da face com a linha que passa pelo nariz e o olho e a posição da pupila. Note também o retângulo envolvendo todo o corpo, sendo dividido na razão extrema e média separando o tronco e a cabeça.

Além disso, podemos traçar triângulos áureos por todo o quadro.

Figura 100: As proporções no quadro da Mona Lisa 104

Veja como tudo isto agrega uma sensação geral de harmonia e equilíbrio à pintura. Mas, sobretudo, olhe novamente para a face da Gioconda, agora não mais pensando em apreciar a pintura, mas sim a mulher. Ela parece mais uma mulher sem atributos físicos

103 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm104 Fonte: www.fenkefeng.org/essaysm18004.html

extraordinários, uma mulher “comum”. Então, como explicar que este seja o retrato mais famoso do mundo? Isto se dá a não ser pelo equilíbrio de suas linhas, pela genialidade do pintor e por sua capacidade de exprimir emoções sobre uma tela, que na verdade, foi pintada sobre madeira.

Outro exemplo da utilização de conceitos matemáticos por Leonardo da Vinci, é no quadro: “A Anunciação”.

Figura 101: “ A Anunciação” 105

A tela, uma das primeiras pinturas conhecidas de Leonardo, foi produzida entre os anos de 1472 e 1475. A “A Anunciação” representa a cena do Arcanjo Gabriel anunciando à Virgem Maria que ela conceberia Jesus Cristo.

Decompondo a figura num quadrado e num retângulo, os resultados obtidos se aproximam das proporções áureas. Curiosamente, esta divisão permite que o retângulo de ouro enquadre as partes mais importantes da figura: o anjo e a jovem, se o quadrado for construído no lado direito ou no lado esquerdo, respectivamente.

Figura:102: As proporções no quadro “A anunciação” 106

Repare nas quatro linhas traçadas em vermelho, azul, amarelo e verde, da figura 102. Cada uma delas divide a tela exatamente nas proporções de ouro e todas tocam pontos da figura que sobressaem por sua importância.

105 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm106 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm

A linha amarela passa exatamente sobre o muro que separa o jardim, em primeiro plano, das árvores ao fundo. A verde passa sobre o tampo da pequena mesa de mármore em frente à Virgem, que reproduz a tumba de Piero e Giovanni de Medici na Basílica de San Lorenzo em Florença, Itália. Já as linhas verticais dividem a cena em duas partes que destacam, respectivamente, o Arcanjo e a Virgem. Além disso, passam por linhas igualmente salientes: o eixo de uma das árvores em segundo plano, junto ao Arcanjo, e a aresta da parede por detrás da Virgem.

Sabendo-se do interesse que Leonardo tinha pela matemática e como a desfrutava com o conceito da Razão Áurea, dificilmente isto pode ser considerado ao acaso. Porém, o quadro possui uma “distribuição de massas”, ou seja, as posições relativas das principais figuras da cena e sua localização em relação ao todo, passam uma sensação de harmonia e equilíbrio.

O número de ouro, , também se encontra num trabalho inacabado de Da Vinci, São Jerônimo, pintado por volta de 1483, que atualmente se encontra no museu do Vaticano.

Figura 103: São Jerônimo 107

A pintura de São Jerônimo é de 1483, muito antes da ida de Pacioli para Milão. Desde então, diziam que um retângulo áureo se encaixa em volta da pintura quando sobreposto ao desenho.

Outra obra de Da Vinci é “uma cabeça de ancião”, um esboço feito à lápis por volta de 1490. Esta representa o interesse que Leonardo tinha pela proporção áurea e tudo indica que ele tenha usado estas proporções nesta obra. O retângulo no meio, à esquerda, por exemplo, é aproximadamente um retângulo de ouro.

No desenho feito por Da Vinci representando um velho, provavelmente um auto-retrato, o artista sobrepôs ao esboço um quadrado dividido em retângulos que se aproximam do retângulo áureo.

107 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm

Figura 104: “Uma cabeça de ancião” 108

Usando ou não a razão áurea, podemos ver que Leonardo Da Vinci devido ao seu grande talento e o seu interesse pela matemática, pintou as suas obra de modo que transmitissem a beleza e a harmonia.

Mas, não foi somente Da Vinci que usou a beleza por si só para representar a perfeição.

Alessandro di Mariano Filipepi, mais conhecido como Sandro Botticelli (1445 – 1510), foi um pintor italiano da Escola Florentina. Sua vida foi narrada na obra Vite (traduzida como "As Vidas dos Artistas"), de Giorgio Vasari. Nascido em Florença, foi aprendiz de Andrea del Verrocchio entre 1467 e 1470, mesma época que Leonardo da Vinci. Em 1470, abriu seu próprio estúdio independente.

Em “O Nascimento de Vênus”, Boticelli pinta Vênus sobre uma concha, emergindo da espuma do mar, simbolizando, assim, o nascimento da beleza através do nu feminino. O desenho delicado e rítmico, e o refinado emprego da cor, característicos em Boticelli, alcançam desta forma, a perfeita expressão. Acredita-se que a proporção áurea foi usada na obra “O Nascimento de Vênus”, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea.

Figura 105: “O Nascimento de Vênus” 109

O uso da proporção Áurea não fica restrito à pintura clássica. Também podemos encontrá-la em “O Sacramento da Ultima Ceia”, do catalão Salvador Felipe Jacinto Dali Domènech.

Salvador Felipe Jacinto Dali Domènech, Marquês de Pubol, um dos mais importantes pintores contemporâneos (faleceu em 1989), mestre do surrealismo, é mais conhecido como Salvador Dali. Sua obra “O Sacramento da Última Ceia” mostrada na figura abaixo não é a

108 Fonte: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/810/81000304.pdf 109 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/O_Nascimento_de_V%C3%AAnus

mais conhecida, mas é o mais ilustrativo exemplo do uso da proporção Áurea e de símbolos correlatos nas artes plásticas.

Figura 106: “O Sacramento da Última Ceia” 110

Repare nas linhas verde, branca e amarela que cortam o quadro, na figura 106. Todas elas dividem a figura na razão Áurea conforme mostrado pelos segmentos azuis e vermelhos. A linha verde passa exatamente sobre o tampo da mesa. As linhas, branca e amarela, passam cada uma delas, exatamente sobre a cabeça dos apóstolos situados logo à direita e esquerda de Jesus Cristo. A própria figura de Cristo, embora em posição diferente da pintada por Leonardo, pois Dali pintou Cristo com os braços dobrados, se inscreve perfeitamente em um triângulo Áureo obtusângulo.

Além disso, podemos observar que há um dodecaedro envolvendo a encenação, e como sabemos, o dodecaedro é um sólido platônico que também tem as proporções áureas.

Alguns estudos alegam que as obras não foram feitas baseadas na razão áurea e que o primeiro artista proeminente e teórico da arte a utilizar a razão foi, provavelmente, Paul Sérusier. Ele nasceu em Paris em 1864, estudou filosofia e entrou para a escola de arte Academie Julian.

Sérusier ouviu dizer sobre o número de ouro pela primeira vez, em uma de suas visitas, entre 1868 e 1903, a um amigo e pintor holandês Jan Verkade, um noviço no mosteiro beneditino de Beuron. Os monges pintores estavam seguindo teorias das grandes obras da antiguidade que foram baseadas em entidades geométricas simples, como o círculo, o triângulo eqüilátero e o hexágono. Com isso, Sérusier ficou fascinado pela matemática e se interessou pela Razão Áurea, porém, mais para o lado filosófico do que para o prático, mas utilizou as proporções áureas em algumas de suas obras.

Segundo Sérusier, a proporção áurea se propagou em vários círculos artísticos, principalmente no período cubista. De fato, os cubistas Jacques Villon, seus irmãos Marcel Raymond, Albert Gleizes e Francis Picabia, organizaram uma exposição em Paris chamada de “Section d’Or”, “A Seção Áurea”.

Outro artista Jacque Lipchitz, usou a Proporção áurea em alguns de seus trabalhos e escreveu “Naquele momento, eu estava muito interessado em teorias de proporções matemáticas, como os outros cubistas, e tentei aplicá-la às minhas esculturas”.

Lipchitz ajudou Juan Gris, um dos mais famosos pintores e escultores cubistas espanhóis, na construção da escultura “Arlequin”, mostrada na figura 107, na qual usaram o triângulo de Kepler que se baseia na Razão Áurea.

110 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm

Figura 107: “Arlequin” 111

Outro artista que usou a Razão Áurea foi Gino Severini, (l883-1966), por volta de 1920. Severini embora fosse um futurista, encontrou no cubismo a “noção de medida” e que segundo ele “enquadrava na sua ambição de fazer, por meio da pintura, um objeto com a mesma perfeição artística de um marceneiro fazendo móveis”. Esta busca pela perfeição fez com que Severini usasse a Razão Áurea em suas pinturas, como a obra “Maternidade”.

Figura 108: “Maternidade” 112

Um dos defensores da aplicação da Proporção Áurea na arte e na arquitetura foi o pintor e arquiteto Charles-Edouard Jeanneret-Gris, mais conhecido como Le Corbusier. Nasceu em La Chaux-de-Fonds, na Suíça, onde estudou arte e gravuras. Seu pai era relojoeiro e sua mãe pianista e professora de música que o incentivava na arte musical.

Inicialmente Le Corbusier desprezou o uso da proporção divina na arte, mas após a publicação do livro “Esthétique des proportions dans la nature et dans lês arts” (A estética de proporções na natureza e nas artes) de Matila Ghyka, que explora o número áureo, ritos e 111 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 194.112 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 195.

ritmos pitagóricos, fez com que passasse a admirar a matemática na arte. A fascinação pela beleza estética e pela Razão Áurea tinha duas origens, primeiro pelo interesse das formas e estruturas por trás da natureza e segundo pela música onde podia apreciar uma harmonia provocada por razões de números.

Le Corbusier, entre 1942 e 1948, desenvolveu um sistema de medição buscando uma proporção padronizada, assim criou o sistema proporcional chamado “Modulor”, módulo de ouro. Baseado na razão de ouro e nos números de Fibonacci e usando também as dimensões médias humanas, digamos que o “O Modulor” fornecia “uma medida harmônica”.

Figura 109: O Modulor 113

O Modulor publicado em 1950, era um homem com altura em média de 1,75m, com um de seus braços erguidos chegando à uma altura total de 2,16m, aproximadamente, representado no item 1 da figura. Já em 1955, Le Corbusier publicou o Modulor 2, com estatura de 1,83m de altura, item 3 da figura 109.

Podemos observar que a razão entre a altura do homem e a altura de sue umbigo foi escolhida precisamente em uma Razão Áurea, e que a altura total que vai dos pés até o braço levantado, também estava dividida na razão áurea. Estas razões estão interligadas com a seqüência de Fibonacci, cada número sendo igual à soma dos dois anteriores a ele. Na versão final do Modulor foram introduzidas duas escalas de dimensões de Fibonacci, dando o nome de “série azul” e “série vermelha”, sendo as dimensões da primeira o dobro das dimensões da segunda. Além disso, as divisões de cada escala estão baseadas em proporção dos números de Fibonacci.

A série vermelha é estabelecida a partir do plexo solar (o plexo solar, também conhecido como plexo celíaco, é um agrupamento autônomo de células nervosas no corpo humano localizado atrás do estômago e embaixo do diafragma perto do tronco celíaco na cavidade abdominal. Também é considerado pelo Hinduísmo como um ponto de energia chamado Manipura Chakra), sendo que a série vermelha é a altura média do homem. Já a série azul, é altura do homem com o braço levantado, que coincide com a adição dos três

113Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm

termos principais da série vermelha. Pela combinação dos termos principais das duas séries obtêm-se os valores de ocupação do corpo humano.

A princípio, Le Corbusier partiu da estatura média do homem para determinar os valores numéricos de vários comprimentos. Os valores inferiores assim encontrados foram para a série vermelha. Os valores exatos pela divisão harmônica foram depois arredondados tendo-se assim obtidos os chamados valores de aplicação, tomados como base para o estudo das alturas da bancadas, cadeiras, mesas, balcões, janelas, muros, portas, etc.

Para construirmos as séries, seguiremos os seguintes passos: para a série vermelha, vamos considerar um segmento AB sendo a altura média do homem de 1,75m, com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Divida o segmento AB pela metade encontrando M o ponto médio de AB. Em seguida, construa dois triângulos retângulos no qual o lado menor é

igual à 41 do segmento AB, gerando os triângulos ACM e MDB, (figura 110).

Figura 110: Construindo a série vermelha (a) 114

Agora, dividida AM e MB em média razão gerando o ponto F e H, respectivamente, da seguinte maneira: com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a hipotenusa CM no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em M e com abertura até onde o arco cortou a hipotenusa trace um outro arco que corte o lado AM em F. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto F encontrando na hipotenusa o ponto E. Repita o processo no segmento HB, e assim sucessivamente, criando vários segmentos áureos.

114 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php

Figura 111: Construindo a série vermelha (b) 115

Na série azul, iremos seguir a mesma construção da série vermelha, tomando AB a altura média do homem com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Trace uma perpendicular ao segmento AB passando por A e marque nela a metade de AB. Una os pontos

B e C, encontrando assim o triângulo ABC de lados AB, 2

AB e hipotenusa 2

5AB .

Figura 112: Construindo a série azul (a) 116

Com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a hipotenusa CB no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em B e, com abertura até onde o arco cortou a hipotenusa, trace um outro arco que corte o lado AB em D. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto D encontrando na hipotenusa o ponto E, e obtenha um novo triângulo BDE.

115 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php116 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php

Figura 113: Construindo a série azul (b) 117

Repita o processo e obterá um outro triângulo BFG e, assim sucessivamente, dividindo todos os segmentos áureos resultantes em média razão.

Figura 114: Construindo a série azul (c) 118

As duas séries, azul e vermelha, se intercalam de forma que os pontos F, M, H, J, etc, da série vermelha dividem os segmentos AD, DF, FH... da série azul pela metade, e os pontos D, F, H... da série azul dividem os segmentos FM, MH, HJ...da série vermelha em média razão.

117 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php118 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php

Figura 115: Série vermelha e série azul 119

Compare as duas séries na figura abaixo. Elas representam o Modulor 2 que segundo Le Corbusier, é a perfeita ocupação do homem no espaço. A série vermelha representa a altura média do homem enquanto a série azul representa a altura do homem com o braço levantado.

Figura 116: As séries no Modulor 120

Este estudo feito por Le Corbusier é utilizado em diversos projetos, seja na construção de um edifício ou até mesmo de um mobiliário. Por exemplo, a unidade de habitação Marseilles, feita por Lê Corbusier em 1946, a torre de Tatlin e muitos outros trabalhos envolvem o Modulor. Observe as figuras a seguir.

119 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php120 Fonte http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_4t.php

Figura 117: Unidade de habitação, Marseilles, 1946 121

Figura 118: Um exemplo de um edifício espiral, por Le Corbusier 122

Figura 119: Torre de Tatlin 123 Figura 120: Residência em Paris projetada por Le Corbusier 124

Na figura 120, Lê Corbusier projetou dois retângulos áureos, sendo um deles representando “o corpo inteiro da casa” e o outro na vertical representado à esquerda da escada.

121

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm 122 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm123 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm124 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm

Também foram produzidos móveis com estas proporções. Por exemplo, uma cadeira de trabalho, apresentada no 4º Congresso Internacional de Pesquisa em Design, no Rio de Janeiro de 11 à 13 de outubro de 2007.

“Os elementos gráficos que constituem o projeto, assim como as suas dimensões, estão baseados nas medidas encontradas nas proporções áureas criadas a partir da figura inicial do quadrado de lado de 800 mm. O sistema com todas as partes do objeto criado foi gerenciado com a técnica de coordenação modular. A técnica de coordenação modular na construção dos elementos da cadeira de trabalho forma a sua estrutura e seu corpo de acordo as dimensões especificadas na série adotada, a partir do seu maior valor”. 125

Figura 121: Projeto Modular. Vista Lateral 126

Figura 122: Maquete eletrônica da carteira de trabalho 127

125 Fonte: 4º Congresso internacional de Pesquisa em Design realizado no Rio de Janeiro em 2007, disponível em http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pdf126 Fonte: http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pdf127 Fonte: http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pd

CAPÍTULO XI O NÚMERO ÁUREO NA MÚSICA

A Grécia, do período antigo até a era medieval, tinha no currículo a música como parte da matemática, e os músicos da época dedicavam seus estudos não só à música como também para a compreensão da matemática nos tons musicais. O filósofo alemão Gottfried Wilhelm Leibnitz escreveu: “A música é um exercício aritmético secreto, e a pessoa que se delicia com ela não percebe que está manipulando números”.

De acordo com o dicionário, a música é uma sucessão de sons agradáveis ao ouvido. Também podemos dizer que música é “ritmo e som”, ou seja, é uma combinação de sons executados em determinada cadência. Para que a música seja agradável, precisa de uma harmonia entre os acordes e isto é obtido usando a matemática, nas razões entre os números, obtidos através do grande filósofo e matemático Pitágoras.

Os sons constituem o que chamamos de “escala musical”. Eles são definidos a partir de relações matemáticas que, quando combinados, podem produzir sons agradáveis. Tudo que soa ou impressiona o sentido do ouvido é chamado de som.

As oscilações produzidas pela vibração, por exemplo, da corda de violão, propagam-se pelo ar, sob a forma de ondas, e atingem nosso ouvido, que só perceberá se as ondas tiverem de 20 oscilações por segundo até 20.000 oscilações por segundo. Dentro desta faixa dos sons audíveis, aqueles que têm oscilações mais baixas variando de 20 a 200 oscilações por segundo são chamados de graves, os que têm oscilações entre 200 a 5000 são chamados de médios e as mais altas que variam de 5.000 a 20.000 oscilações são chamados de agudos.

Para detectar os sons, o ouvido possui um mecanismo bastante complexo, e o interessante é que o elemento principal na detecção das oscilações dos sons é a "cóclea", uma pequena estrutura em espiral que atua seletivamente, espiral que tem a mesma estrutura que uma espiral logarítmica. Observe a figura 123.

Figura 123: Ouvido 128

Os sons utilizados para produção de música possuem determinadas características físicas, no que se refere às suas oscilações. Baseado nas sete notas musicais, Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si, veremos que a Matemática tem forte influência na variação dos sons. Usando uma corda esticada, como num violão, podemos vibrá-la livremente e ela emitirá um determinado som, por exemplo, um Dó. Ao reduzirmos o comprimento desta corda ao meio iremos variar o som produzido, e este passará a produzir o mesmo tom (Dó), porém uma oitava acima. Uma oitava é um intervalo das 12 notas musicais (incluindo os sustenidos ou bemóis), ascendente ou descendente, entre duas notas do mesmo nome (por exemplo: Dó) e que corresponde a uma razão entre as respectivas freqüências igual a 2, isto é, a oitava justa superior de um som é produzida por um número de vibrações que é exatamente o dobro do som fundamental. 128Fonte: http://www.audionasigrejas.org/artigos/microfones.htm

Figura 124: Disposição das notas musicais em uma oitava 129

De modo geral, se vibrar livremente a corda com um determinado valor de oscilações por segundo, esta emitirá uma nota, e ao reduzir o comprimento desta corda à metade, mantendo a mesma tensão, ela irá vibrar com o dobro das oscilações iniciais, e será produzido a mesma nota, porém, uma oitava acima da nota anterior.

Se reduzirmos o comprimento para 2/3 do original, terá então a nota Sol, e se reduzirmos o comprimento para 3/4 do original, teremos a nota Fá. Nestes dois casos obtemos Sol e Fá, pois a corda esta emitindo um Dó no comprimento original. Como podemos perceber, usando determinadas frações do tamanho original de uma corda, podemos obter as notas naturais da escala musical.

Pitágoras foi o primeiro a estabelecer uma escala de sons adequados ao uso musical, formando uma série a partir da fração de 2/3, ou seja, na música corresponde ao intervalo musical chamado de “quinta”. Usando uma sucessão de “quintas”, ele definiu as doze notas musicais, sendo sete naturais, Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si, e mais cinco notas acidentes, Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, e Lá#, cujo símbolo # é chamado de sustenido.

A escala com intervalos acusticamente perfeitos definida por Pitágoras foi usada por muitos séculos. Com o Renascimento, novas idéias surgiram nas Artes em geral, e na Música em particular, e os compositores começaram a inovar a teoria musical imposta até aquela época, devido à necessidade de transpor as melodias para outras tonalidades. Com a escala musical definida por Pitágoras, isso era impraticável, pois os intervalos só podiam ser usados numa única tonalidade. Em outras palavras, se mudasse a tonalidade de uma melodia, os intervalos entre as notas passariam a soarem desafinados.

Para que permitisse a transposição de um tom para outro, foi criada a “escala de temperamento igual”, de Andréas Werkmeister, em 1691. Hoje, esta escala é chamada de “escala temperada”, possuindo também doze notas (sete “naturais” e cinco “acidentes”), mas em vez de preservar os intervalos fracionários de 2/3, 3/4, etc., as notas foram levemente ajustadas, pois Werkmeister tomou o comprimento inteiro e dividiu-o exponencialmente em doze partes, baseado na raiz duodécima de 2. Isso fez com que a relação entre qualquer nota e sua vizinha anterior fosse sempre igual à raiz duodécima de 2 (aproximadamente 1,0594631), o que permitiu, então, a execução de qualquer música em qualquer tonalidade. De modo geral, podemos dizer que a escala temperada é uma progressão geométrica de razão aproximadamente igual a 1,0594631.

Veja na figura 125, a seqüência com 13 termos dessa progressão geométrica que representa a seqüência das notas da escala musical igualmente temperada, pois, 12 são seus intervalos musicais compondo uma oitava. Por exemplo, o número 2 sobre o número 1,0594631 corresponde ao primeiro intervalo. O décimo terceiro termo já pertence à próxima oitava, ou seja, inicia novamente a seqüência das notas musicais com o dobro da freqüência anterior.

129Fonte: http://www.profcardy.com/cardicas/musical.php?&width=1024

Figura 125: Progressão geométrica de razão 1,0594631 130

A primeira oitava das notas musicais vai de Dó = 16,352Hz à Si = 30,868Hz. Assim, se tomarmos a nota Dó como 16,352 Hz e formos multiplicando sucessivamente pelo número 1,0594631 vamos obter todas as freqüências das notas musicais da escala musical temperada. Veja a construção da primeira oitava abaixo.

Dó= 16,352 Hz Dó# = 16,352 x 1,0594631 = 17,325 Hz Ré = 17,325 x 1,0594631 = 18,3545 Hz Ré# = 18,3545 x 1,0594631 = 19,445 HzMi = 19,445 x 1,0594631 = 20,602 Hz Fá = 20,620 x 1,0594631 = 21,827 Hz Fá# = 21,827 x 1,059461 = 23,125 Hz Sol = 23,125 x 1,0594631 = 24,500 Hz Sol# = 24,500 x 1,0594631 = 25,957 Hz Lá = 25,957 x 1,0594631 = 27,500 Hz Lá# = 27,500 x 1,0594631 = 29,135 Hz Si = 29,135 x 1,0594631 = 30,868 Hz Dó = 30,868 x 1,0594631 = 32,704 Hz

Tabela 2: Freqüência da notas musicais na primeira oitava

Se escolhermos uma nota, por exemplo, a nota Lá da primeira oitava, teremos uma freqüência de 27,5Hz, na quarta oitava teremos uma freqüência de 220 Hz. Quando tivermos percorrido mais uma oitava, a sua freqüência na quinta será de 440 Hz. Observe a escala da figura 126.

Figura 126: Freqüência da nota Lá 131

Para obter a freqüência de uma nota na oitava acima, basta multiplicá-la por

(1,0594631)12, ou seja, 2212

121

, por isto a freqüência da nota na oitava acima é o dobro

da freqüência da nota na oitava anterior. Segue a tabela 3 do exemplo anterior:

Nota Freqüência em Hz Nota Freqüência em Hz Nota Freqüência em Hz Lá 220,0000 Ré 293,6647 Sol 391,9954 Lá# 233,0818 Ré# 311,1269 Sol# 415,3047 Si 246,9416 Mi 329,6276 Lá 440,0000 Dó 261,6255 Fá 349,2282 Dó# 277,1826 Fá# 369,9944

Tabela 3: Freqüências das notas musicais 130 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/pgmuitoespecial.htm131 Figura adaptada pela autora usando uma imagem disponível em http://br.geocities.com/pk_000000000/mus/teclado/2.htm

220 Hz 440 Hz110 Hz 55 Hz 880 Hz

Podemos ilustrar este exemplo na figura abaixo, representando a escala desta oitava, em que a freqüência da nota Lá é 220Hz e na oitava acima é 440Hz. Podemos ver que a razão entre as oitavas é igual a 2.

Figura 127: Escala musical 132

Estas figuras mostram a representação da escala musical temperada feita pelo professor Luiz Netto graduado em Matemática pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Santo André, em São Paulo, e também formado em Música.

A figura 128 mostra como cresce as freqüências das notas musicais, ou seja, o número de oscilações por segundo, de um som emitido por qualquer instrumento musical, em notação polar. Percorremos a partir da nota Dó no gráfico em sentido anti-horário e para cada nota temos um crescimento do valor da freqüência de um modo exponencial, dado pela expressão

k

iff 121

2. , onde f é a freqüência da nota, fi é o valor da freqüência inicial musical na

escala temperada, k é uma constante adotada para que todos os valores de uma oitava sejam mostrados no desenvolvimento de 2 radianos e é o ângulo associado ao valor de r,considerando 20 .

Construindo a escala musical temperada de 12 intervalos, através da representação em

coordenadas polares teremos que cada ângulo corresponde a 30° ou rad6

.

132 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/calculointervaos.htm

Figura 128: Gráfico das freqüências das notas musicais 133

Observe que estão indicados para cada nota dois números que representam o valor das freqüências destas notas distanciadas de uma oitava, ou seja, a freqüência das notas de mesmo “nome” é o dobro da outra, percorrendo 2 . O comportamento gráfico que a freqüência (em Hz) de cada nota musical possui ao mudar de tom, é dado pela multiplicação da freqüência por 1,0594631 e daí, o raio varia de acordo com a equação

k

k

r 0594631,12121

.

Figura 129: Raio da espiral 134

Abaixo podemos ver a espiral logarítmica, obtida em uma oitava (de Dó à Dó) e também os termos da progressão geométrica em cada nota de uma oitava.

133 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/pgmuitoespecial.htm134 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/repres_polar_esc_mus_temp.htm

Figura 130: Espira logarítmica em uma oitava 135

A tabela abaixo indica o ângulo de inclinação do vetor na espiral, para cada termo da progressão geométrica.

xr Ângulo xr Ângulo

11,0594631 0 0° 4983071,11,0594631 7 210°

0594631,11,0594631 1 30° 5874011,11,0594631 8 240°

1224621,11,0594631 2 60° 6817929,11,0594631 9 270°

1892071,11,0594631 3 90° 7818042,11,0594631 10 300°

2599211,11,0594631 4 120° 8877558,11,0594631 11 330°

3348399,11,0594631 5 150° 0000000,21,0594631 12 360°

41421361,11,0594631 6 180° Tabela 4: Variação do raio de acordo com o ângulo

Mas, o que tudo isto tem a ver com a razão áurea?

Nas figuras acima podemos observar a espiral logarítmica, que tem relação com o número áureo e, além disso, podemos expressar a equação da escala musical temperada na base áurea.

Na escala temperada temos que para r = 2,

135 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/repres_polar_esc_mus_temp.htm

9098593,1212

212

112

22

22

112

121

kk

sendok

k

r

k

k

Portanto, 9098593,1

9098593,1

121

0594631,12r

Para colocar esta equação da escala musical temperada de base 1,0594631 na base áurea, ou seja, na base , vamos considerar tal que 20 , e m uma constante, de modo que 2m . Resolvendo a equação para m = 1, teremos:

440483,130103,0208978,0.

2loglog.2loglog

2

Fazendo m = 1,440483, podemos calcular o valor para m, quando 2 .

2292599,0440483,12.

2

mm

Então, 2292599,0rDaí, 2292599,09098593,10594631,1r

Junto do número áureo, vem a seqüência de Fibonacci, que está presente na música e também associado ao piano. Na primeira oitava temos os números 0, 1, 2, 3, 5 e 8, na segunda oitava temos 13 e 21, na terceira oitava temos o 34 e o próximo número da seqüência de Fibonacci é o 55 que está na quinta oitava e assim sucessivamente.

Figura: 131: Números de Fibonacci na escala musical 136

Os números de Fibonacci produzem efeitos na música que são os sons com intervalos musicais mais agradáveis que aparecem na sexta maior. Sexta maior é a distância das notas em 4 tons e meio ou 9 semitons. Por exemplo, podemos obter uma sexta maior por uma combinação de Dó e Lá, sendo a freqüência de Dó aproximadamente 264Hz e a de Lá de

440Hz. A razão entre estas duas freqüências, 35

264440 , é uma razão entre dois números de

Fibonacci. Temos também que o som é agradável na sexta menor, ou seja, na distância em 4 tons ou 8 semitons. Por exemplo, considerando um Dó com freqüência aproximada de 528Hz

e um Mi com freqüência de 330Hz, a razão entre estas freqüências, 58

330528 , que é outra

razão entre dois números de Fibonacci, que é bem próxima do número . A sexta maior e a menor nos dão estas combinações que se aproximam de e isto nos dá uma harmonia agradável. Em geral, na contagem de notas e pulsos frequentemente aparecem relações com a matemática que vêm sendo estudadas atualmente.

Recentemente em Michigan, em 1995, o matemático John F. Putz, sabendo a possibilidade do uso da Razão Áurea na música, analisou a música de Mozart nos vinte e nove movimentos de suas sonatas para piano. Estas sonatas geralmente são divididas em duas partes: a Exposição e o Desenvolvimento e Recapitulação. Na primeira, o tema musical é introduzido e na segunda, em que o tema principal é desenvolvido e recapitulado, estas peças musicais são divididas em compassos. Putz examinou as razões entre os números dos compassos nas duas seções das sonatas.

Nestes estudos, Putz obteve resultados favoráveis, pois na Sonata Nº 1 em Dó maior, a primeira parte que é a Exposição, consiste em 38 compassos e na segunda a do

Desenvolvimento e Recapitulação, possui 62 compassos, a razão 63,13862 é próxima de .

Assim, comprova que a sonata não foi feita baseada na razão áurea e apesar de ter um resultado sonoro agradável tudo indica que quanto mais perto esta razão estiver do número ouro, mais bela será a sonata.

Um compositor que provavelmente usou a Razão Áurea de forma proposital foi o húngaro Béla Bartók, um pianista que misturava o clássico com o folclore. O musicólogo Ernö Lendvai analisou a música de Bartók e concluiu que a principal característica de sua técnica é a “obediência” às leis da “Seção Áurea” em cada movimento. Exemplo disso é um movimento da fuga de “Música para cordas, percussão e celesta” em que 89 compassos dos movimentos são divididos em duas partes, uma com 55 compassos e a outra com 34 compassos. Esta divisão foi feira no mais alto, em termos do volume da sonoridade. Veja na figura: 136 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/sons_fibonacci.htm

Figura 132: Divisão dos 89 compassos em duas partes 137

Dentro destas divisões foram feitas outras, uma marcada pela colocação ou retirada de surdinas, ou seja, a diminuição do som dos instrumentos, e outra na mudança de textura. A primeira divisão (com 55 compassos) foi dividida em duas partes, a primeira com 34 compassos e a segunda com 21 compassos, onde as cordas removem surdinas. Já na segunda divisão dos 89 compassos, contendo 34 compassos, foram divididos em 13 e 21 compassos, e as cordas substituem surdinas. A figura abaixo expõe as divisões desses compassos.

Figura 133: Divisão dos 55 compassos e dos 34 compassos 138

Continuando a divisão dos compassos teremos que nesta última, os 34 compassos em que as cordas removem surdinas, ficaram divididos em 21 compassos sendo o tema e na outra divisão em que as cordas substituem surdinas, os 21 compassos foram divididos em 13 e 8 compassos. A figura 134 retrata todo o procedimento:

Figura 134: Divisão dos 34 compassos e dos 21 compassos 139

137 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 214.138 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 214.139 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 214.

Todos os números dos compassos são números da seqüência de Fibonacci, com as razões próximas da Razão Áurea e como sabemos a seqüência converge para . Não é só nesta obra que encontramos a seqüência de Fibonacci, ela também aparece na peça de piano solo Reflets dans l’eau (reflexos na água), a mesma semelhança nos esboços sinfônicos LaMer (O Mar), na peça para piano Jardins sous la pluie (Jardins sob a chuva), todas do compositor francês Claude Debussy. Ele comenta a obra Jardins sous la pluie em uma carta enviada ao seu editor Jacque Durand, nela ressalta o uso de um compasso que faltava na composição e escreveu: “Contudo, ele é necessário, no que diz respeito ao número; o numero divino”. Tudo indica que Debussy se referia à razão áurea e o “número divino” tinha um papel importante.

Visto anteriormente que as freqüências das notas musicais caminham em torno de uma equação exponencial e analisando a espiral de freqüências de uma oitava, podemos ter uma relação entre os números de Fibonacci e a espiral, ou melhor teremos uma espiral de Fibonacci em que as linhas poligonais da figura abaixo guardam uma relação métrica que se relaciona com o número de ouro, ou relação áurea, .

A envoltória dessas linhas é uma espiral cuja equação é r , 20 , na forma Polar. Todos os sucessivos triângulos obtidos são triângulos semelhantes, portanto seus respectivos ângulos correspondentes são iguais entre si.

Figura 135: Espiral logarítmica formada por triângulos 140

No primeiro triângulo consideramos 1 radiano, calculamos o seu valor em graus,

temos que 5714,3

1801801

xx

.

Como ângulo de inclinação vale aproximadamente 57°, aplicando relações trigonométricas temos que os outros ângulos são iguais a 38º e 85°.

140 Cenas da animação disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/espiralogaritmica.htm

Figura 136: Construção da espiral 141

O raio, da espiral é dada pela expressão r , onde 1rad. Daí, r ou podemos dizer, r = 1,618 aproximadamente. Os outros são conseqüências do produto do valor da primeira seguidamente.

Para calcular o comprimento da linha z, calcularemos as medidas dos catetos do triângulo retângulo pela relação trigonométrica e Teorema de Pitágoras.

Calculando a:

8742091,05403023,0.618,1

57cos

aa

ra

Figura 136: Triângulo retângulo (a) 142

Calculando b:

3614738,18536109,1

764313,0617924,2

8742091,0618,1

2

2

222

222

bb

b

b

bar

Figura 137: Triângulo retângulo (b) 143

Calculando z:

3672725,18694342,1

1257909,03614738,1

1257909,08742191,01

2

222

222

zz

z

dbz

d

Figura 138: Triângulo retângulo (c) 144

141 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm142 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm143 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm144 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm

Portanto a primeira linha poligonal de Fibonacci é aproximadamente 1,37. Para calcular as demais linhas, basta saber o valor do próximo raio da espiral e usar o Teorema de Pitágoras.

Figura 139: Linhas Poligonais de Fibonacci 145

De maneira geral, podemos representar a espira logarítmica e a espiral de Fibonacci em um mesmo plano.

Figura 140: Exponencial Fibonacciana 146

A estrutura é a mesma da concha do náutilo, (observe as espirais da figura 141), e podemos concluir que espiral logarítmica está presente não só na musica como também na natureza.

145 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm146 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm

Figura 141: Comparando as estruturas das espirais logarítmicas 147

Além disso, encontramos a mesma curva no violino, um instrumento musical que chama a atenção por sua beleza tanto no som que ele emite quanto na sua aparência.

Alguns violinos famosos foram feitos por Antonio Stradivari, (1644-1737) que é o nome mais conhecido da luteria (arte de fabricar instrumentos musicais). Ele trabalhou numa oficina de Cremona, na Itália, e revolucionou a produção de violinos, violas e violoncelos. Um dos vários segredos da beleza estética dos violinos de Stradivari reside em que o seu construtor desenhava-os utilizando Seção Áurea, que representa um elemento de equilíbrio estético. O arco plano na base é centrado no ponto da Seção Áurea, a partir da linha do centro.

Desenhos originais de Stradivari, na figura abaixo, mostram que ele se preocupava em dispor geometricamente e em posições determinadas pela Razão Áurea, o lugar dos ouvidos ou das aberturas acústicas, os “efes”, estes orifícios que deixam os sons amplificados pelo corpo do instrumento atingir o espaço externo.

Figura 142: Desenho de Stradivari 148

As outras partes do violino assim como as aberturas acústicas, também estão nas proporções áureas. Como a razão entre o tamanho do braço e o comprimento total do instrumento, bem como a voluta que obedece a mesma proporção que as conchas de nautilus, na forma de uma espiral logarítmica.

147 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/calculointervaos.htm148 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 209.

Figura 143: As proporções no violino 149

Portanto, vimos que número de ouro está presente na música de modo geral, seja nas escalas musicais, na divisão dos compassos, nas famosas sinfonias como a Sinfonia nº 5 e a Sinfonia nº 9 de Ludwig van Beethoven e em outras diversas obras, também na estrutura do violino. Outro exemplo interessante, registrado na Revista Batera em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach, é que em seus solos curtos, aparecem tal número, se considerar as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.

“A música é ao mesmo tempo um sentimento e uma ciência. Ela exige da parte daqueles que cultivam, interpretes ou compositores, uma inspiração natural que só se adquirem através de longos estudos e profundas meditações. A reunião do saber e da inspiração constitui a arte.” Berlioz.

“O homem que dedilha Bach ou Beethoven dedilha sobre logaritmos.” Frase do Prof. Luiz Barco.

149 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALENCAR, Maria Efigênia Gomes de, O Número e a seqüência de Fibonacci; In Física na Escola, v.5, n.2, 2004.

BOYER, História da Matemática, 3ª ed, Ed. Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1974. HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora

UnB, Brasília, 1985. LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro

Record, 2007. PEREIRA, G. M. R; CÂMARA, M. A. O Pentagrama. FAMAT em Revista nº 7,

Setembro de 2006, pp. 151-159. Revista do Professor de Matemática, nº 45, 2001, p. 44-47. Sites pesquisados

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O Problema de Waring e o Teorema de Lagrange

Otoniel Nogueira da Silva ¹ e Marcos Antônio da Câmara ²

Faculdade de Matemática – FAMAT Universidade Federal de Uberlândia – UFU

38408-100, Uberlândia – MG

Resumo

Neste trabalho, apresentamos um problema histórico da teoria aditiva dos números conhecido como “Problema de Waring” que surgiu em meados de 1770. Depois apresentamos alguns conceitos preliminares da teoria dos resíduos quadráticos, para em seguida apresentarmos

alguns resultados relativos à representação de inteiros como a soma de dois e três quadrados. Finalizamos com o famoso “Teorema de Lagrange” para a soma de quatro quadrados.

___________________________ ¹ Bolsista do PETMAT – UFU. E-mail: [email protected]

² Tutor do PETMAT-UFU e orientador. E-mail: [email protected]

O Problema de Waring e o Teorema de Lagrange

1- Introdução

O problema de Waring

Por volta de 1770, o matemático inglês Edward Waring afirmou saber a resposta para um problema que mais tarde ficou muito famoso entre os matemáticos na teoria aditiva dos números. O problema é o seguinte:

Problema de Waring: Para um determinado k , será que existe um número fixo )(kss = tal que a equação:

ks

kkk xxxxn ++++= L321

Tenha solução para todo INn ∈ ?

Vamos observar alguns exemplos particulares do problema:

1) Para 2=k , será que existe algum )2(ss = , tal que a equação:

223

22

21 sxxxxn ++++= L

tenha solução para todo INn ∈ ?

2) Para 3=k , será que existe algum )3(ss = , tal que a equação:

333

32

31 sxxxxn ++++= L


3) E para 4=k , será que existe algum )4(ss = , tal que a equação:

443

42

41 sxxxxn ++++= L


Edward Waring publicou vários trabalhos em toda a sua vida, mais uma de suas obras mais famosas foi o livro “Meditationes Algebraicae” publicado em 1770. Neste famoso livro, Waring enuncia o seguinte teorema, não demonstrado por ele:

“Teorema: Todo número inteiro positivo pode ser representado pela soma de quatro quadrados, nove cubos e dezenove quartas potências.”

Outras afirmações importantes foram feitas no livro, mas esta foi uma que ficou famosa, pois não havia nenhuma demonstração formal para o fato, e ficou conhecida como o “Problema de

Waring”. Logo, os matemáticos famosos da época ficaram curiosos e inquietos para resolver o interessante problema. Foi então, no mesmo ano de 1770 que Lagrange demonstrou que todo número inteiro pode ser representado como a soma de quatro quadrados. Em outras palavras, lembra dos exemplos dados anteriormente?

Para o caso em que 2=k ,será que existe )2(ss = , tal que a equação:

223

22

21 sxxxxn ++++= L


Lagrange demonstrou que 4)2( =s , ou seja, a equação acima sempre tem solução para qualquer n inteiro positivo quando 4=s .

24

23

22

21 xxxxn +++=

Este resultado ficou conhecido como “Teorema de Lagrange” para a soma de quatro quadrados.

Mas, o problema geral, para um determinado k, ainda não havia sido resolvido.

Em 1909, quase 140 anos depois, Hilbert provou a existência de um número fixo )(kss = , tal que a equação sugerida como anteriormente fosse solúvel para todo número inteiro positivo. Hilbert provou para todo n a existência de um inteiro positivo )(ks , independente de n, com a seguinte propriedade: todo inteiro n pode ser representado como a soma de )(ks k–ésimas potências. A demonstração de Hilbert prova apenas a existência de )(kss = , mas não fornece informações sobre o valor real de )(ks .

Por volta de 1909, Wieferich e Kempner mostraram que todo inteiro é a soma de 9 cubos, ou seja, Waring tinha razão ao afirmar que:

39

38

33

32

31 xxxxxn +++++= L

sempre tem solução para qualquer INn ∈ .

Em 1940, Pillai mostrou que todo inteiro é a soma de 73 sextas potências. Em 1964, Chen Jingrun mostrou que todo inteiro positivo é a soma de 37 quintas potências. E em 1986 Balusabramanian, Dress e Deshouillers mostraram que todo inteiro positivo pode ser representado como a soma de 19 quartas potências. E, novamente, Waring tinha razão em relação à 19)4( =s .

Adiante, veremos os conceitos preliminares necessários para o estudo da representação de inteiros positivos como a soma de dois, três e quatro quadrados.

2- Resíduos Quadráticos

Estaremos interessados no estudo de soluções para a congruência )(mod2 pax ≡ . No caso em que p é primo ímpar e 1),( =pa , esta congruência, caso tenha solução, tem exatamente duas soluções incongruentes. Isto é o que vamos provar no teorema a seguir.

Teorema 2.1: Para p um primo ímpar e a um inteiro não divisível por p, a congruência abaixo, caso tenha solução, tem exatamente duas soluções incongruentes módulo p.

)(mod2 pax ≡

Demonstração: Suponhamos que a congruência acima tenha solução 1x . Logo, 1x− também é solução, uma vez que:

)(mod)()( 21

21 paxx ≡=−

Agora devemos mostrar que estas soluções 1x e 1x− são incongruentes módulo p.

Suponhamos que )(mod11 pxx −≡ . Então teríamos )(mod0.2 1 px ≡ , e como por hipótese

temos que p é ímpar e p não divide 1x , pois )(mod11 pxx −≡ e 1x obviamente é diferente de

0, então )(mod0.2 1 px ≡ é impossível e portanto 1x é incongruente a 1x− módulo p. Agora, precisamos mostrar que só existem duas soluções incongruentes. Seja y uma solução de )(mod2 pax ≡ , ou seja:

)(mod2 pay ≡

Como 1x é solução, temos:

)(mod21 pax ≡

Logo, )(mod221 payx ≡≡ e, portanto )(mod022

1 pyx ≡− , logo temos:

)(mod0))(( 11 pyxyx ≡+−

Logo p divide )( 1 yx − ou p divide )( 1 yx + , o que implica que )(mod1 pxy −≡ ou

)(mod1 pxy ≡ . Portanto, caso exista uma solução, existem exatamente duas soluções incongruentes módulo p, e as demais soluções serão congruentes a uma dessas duas.

Exemplo 2.1: Determine todas as soluções da congruência abaixo:

)3(mod12 ≡x

Como 3 é um primo ímpar e 1 não é divisível por 3, temos pelo teorema 2.1 que existem apenas duas soluções incongruentes módulo 3.

Veja que 21 =x satisfaz a congruência, logo pelo teorema anterior temos que 21 −=− xtambém vai satisfazer a congruência, e de fato satisfaz. Logo, como 21 =x não é congruente a 21 −=− x módulo 3, então as outras soluções serão

congruentes à 21 =x ou à 21 −=− x módulo 3, pois só existem duas soluções incongruentes módulo 3 para esta congruência. Seja q uma solução diferente de 1x e 1x− . Então:

)3(mod2≡q ou )3(mod2−≡q

Portanto, todas as soluções são dadas por:

23 += tq ou 23 −= tq

para Zt ∈ .

Definição 2.1: O conjunto dos inteiros srrr ,,, 21 L é um sistema completo de resíduos

módulo p se:

(1) ir não for congruente a jr módulo p para ji ≠ .

(2) para todo inteiro n, existe um ir tal que ( )prn i mod≡ .

Exemplo 2.2: O conjunto 10,,4,3,2,1,0 L=A é um sistema completo de resíduos módulo 11.

Obs.: Seja o conjunto 10,,4,3,2,1 L=B . Veja que B é o subconjunto do conjunto A do

exemplo anterior em que 1),( =pri , nesse caso dizemos que B é um sistema reduzido de

resíduos módulo p.

Definição 2.2: Sejam a e p inteiros com 1),( =pa . Dizemos que a é um resíduo quadrático

módulo p se a congruência )(mod2 pax ≡ tiver solução. Caso esta congruência não tenha solução, dizemos que a não é um resíduo quadrático módulo p ou que a é um resíduo não-quadrático.

Obs.: Veja que no exemplo anterior a congruência )3(mod12 ≡x tem solução e 1)3,1( = , portanto 1 é resíduo quadrático módulo 3.

Teorema 2.2: Seja p um primo ímpar e sejam os números 1,,3,2,1 −pL , então 2/)1( −pnúmeros são resíduos quadráticos e 2/)1( −p não são resíduos quadráticos.

Demonstração:

Considere a congruência descrita abaixo, para 1,,3,2,1 −= pi L , com p primo:

)(mod2 pax i≡

Queremos achar todos os ia ’s que são resíduos quadráticos módulo p. Para isso vamos

considerar os quadrados dos números de 1 a 1−p .

Como )(mod1)1( 2 p≡ temos que 11 =a é resíduo quadrático módulo p, mas sabemos que -1

também é solução, pois )(mod1)1( 2 p≡− , mas observe que )(mod11 pp −≡− , logo pelo teorema 2.1 temos que 1 e 1−p são as únicas soluções incongruentes módulo p , e como os números 1,,3,2,1 −pL são todos incongruentes módulo p pois formam um sistema reduzido de resíduos módulo p, temos que 1 e 1−p são as únicas soluções da congruência:

)(mod12 px ≡

dentre os números 1,,3,2,1 −pL .

Tomamos agora o 22 que será congruente a algum número k diferente de 1, obviamente 2)2(− também será congruente a esse número k. Como )(mod22 pp −≡− , pelo teorema 2.1

temos que 2 e 2−p são as únicas soluções incongruentes de:

)(mod2 pkx ≡


Tomamos agora o 23 que será congruente a algum número q diferente de 1 e de k, obviamente 2)3(− também será congruente a esse número q. Como )(mod33 pp −≡− , pelo teorema 2.1 temos que 3 e 3−p são as únicas soluções incongruentes de:

)(mod2 pqx ≡


Note que já temos 1, k e q como resíduos quadráticos das respectivas congruências:

(1) )(mod12 px ≡ , que tem soluções (1, 1−p ).

(2) )(mod2 pkx ≡ , que tem soluções (2, 2−p ).

(3) )(mod2 pqx ≡ , que tem soluções (3, 3−p ).

Assim, procedendo desta maneira teremos 2/)1( −p pares de soluções

(1, 1−p ), (2, 2−p ), (3, 3−p ), ... , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

2

1,

2

1 pp,

em que cada par é solução para uma dentre as 2/)1( −p congruências associadas a 2/)1( −presíduos quadráticos.

Exemplo 2.3: Tome o primo 7. Dentre os números 6,5,4,3,2,1 , apenas três números são resíduos quadráticos e os outros três não são resíduos quadráticos.

Logo: )7(mod112 ≡

)7(mod42 2 ≡

)7(mod23 2 ≡

)7(mod24 2 ≡

)7(mod45 2 ≡

)7(mod16 2 ≡

Note que os números que são resíduos quadráticos são 1, 4 e 2. E os números que não são resíduos quadráticos são 3, 5 e 6.

Teorema 2.3: Para p primo, a congruência )(mod12 px −≡ tem solução se, e somente se, 2=p ou )4(mod1≡p .

Demonstração:

( ) Supondo 2=p , temos que 1=x é uma solução, pois )(mod112 p−≡ .

Suponhamos agora que a congruência )(mod12 px −≡ tenha solução e que p > 2. Elevando ambos os membros à potência 2/)1( −p obtemos:

)(mod)1()( 2/)1(2/)1( px pp −− −≡

Obs.: Observe que p não divide x, pois )(mod12 px −≡ , supondo por absurdo que p divide

x, então p divide 2x , logo )(mod02 px ≡ , o que é um absurdo, pois temos inicialmente que

)(mod12 px −≡ .

Como )(mod)1(2/)1(2 pxx pp −− ≡ , então pelo “Pequeno teorema de Fermat” temos que:

)(mod11 px p ≡− ⇒ )(mod1)1( 2/)1( pp ≡− − ,

Daí, 2/)1( −p é par, isto é, tp 22/)1( =− ⇒ que tp 41 =− , ⇒ 14 += tp , com Zt ∈ . Ou seja, )4(mod1≡p .

( ) Agora vamos construir uma solução para a congruência )(mod12 px −≡ quando temos )4(mod1≡p . Para p um primo ímpar, podemos escrever o teorema de Wilson (que diz: )(mod1)!1( pp −≡− ) da seguinte maneira:

)(mod1)1).(2)...(...(2

1.

2

1......3.2.1 pppjp

ppj −≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

(Parte 1) (Parte 2) Veja que o produto )!1( −p está dividido em duas partes, as partes 1 e 2, e cada uma das partes tem o mesmo número de fatores, isto é, cada uma tem 2/)1( −p fatores. Podemos

reescrever este produto formando pares, uma vez que para cada fator j na parte 1 temos o fator )( jp − na parte 2. Logo, o teorema de Wilson pode ser escrito como:

∏−

=

−≡−2/)1(

1

)(mod1)(p

j

pjpj

Como )(mod)( 2 pjjpj −≡− , pois )(mod22 pjjjp −≡− , então:

∏ ∏−

=

−

=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≡−≡−

2/)1(

1

22/)1(

1

2/)1(2 )(mod1)(1p

j

p

j

p pjj

Mas sendo )4(mod1≡p , então p é da forma 14 +t com Zt ∈ . Logo 2/)1( −p é par.

Portanto ∏−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==2/)1(

1 2

1p

j

pjx ! , é uma solução de )(mod12 px −≡ .

Definição 2.3: Para p um primo ímpar e a um inteiro não divisível por p, definimos o Símbolo

de Legendre ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

a por:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ p. de quadráticoresíduoum é não a se1,-

p. de quadráticoresíduoum é a se1,

p

a

Exemplo 2.4: Como as congruências )7(mod12 ≡x , )7(mod22 ≡x e

)7(mod42 ≡x possuem soluções temos que:

.174

72

71

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Por outro lado,

.176

75

73

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

uma vez que as congruências )7(mod32 ≡x , )7(mod52 ≡x e )7(mod62 ≡x não possuem soluções.

Teorema 2.4: (Critério de Euler) Se p for um primo ímpar e a um inteiro não-divisível por p, então:

).(mod2/)1( pap

a p −≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Demonstração: Vamos supor primeiramente, que 1≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

a. Isto significa que a congruência

)(mod2 pax ≡ , tem solução pelo teorema 2.1. Como temos que )(mod2 pay ≡ para

algum Zy ∈ , então p divide )( 2 ay − . Mas, como p não divide a, p não divide 2y , p não divide y, portanto 1),( =py . Logo, pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos que

)(mod11 py p ≡− e, portanto:

)(mod2 pay ≡

⇒ )(mod)( 2/)1(2/)1(2 pay pp −− ≡

⇒ )(mod12/)1( pya pp −− ≡

⇒ )(mod12/)1( pa p ≡−

Isto prova o teorema no caso em que 1≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

a.

Consideremos agora o caso em que 1−≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

a. Seja a um resíduo não-quadrático de p e seja

c um dos inteiros 1,,3,2,1 −pL . Pela teoria das congruências lineares, existe uma solução c’ de )(mod pacx ≡ , com c’ também no conjunto 1,,3,2,1 −pL . Veja que cc ≠' , pois caso

contrário teríamos que )(mod2 pac ≡ , o que contradiz 1−≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

a. Assim, os inteiros entre 1

e 1−p podem ser divididos em 2/)1( −p pares, c e c’, onde )(mod' pacc ≡ . Isto nos leva às 2/)1( −p congruências:

)(mod'11 pacc ≡

)(mod'22 pacc ≡

M M M M

)(mod'2

)1(

2

)1( pacc pp ≡−−

Multiplicando-os e observando o produto temos:

)(mod'.'..'.. 2/)1(

2

)1(

2

)1(2211 pacccccc ppp

−−− ≡L

Temos que isto é simplesmente um rearranjo de )1.(.3.2.1 −pL , e então nós temos:

)(mod ! )1( 2/)1( pap p−≡−

Pelo Teorema de Wilson, temos:

)(mod12/)1( pa p −≡−

que é o Critério de Euler quando a não é um resíduo quadrático, ou equivalentemente quando

temos 1−≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

a.

Teorema 2.5: O Símbolo de Legendre é uma função completamente multiplicativa de a, ou seja:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

b

p

a

p

ab

para a e b inteiros não-divisíveis por p.

Demonstração: Pelo Critério de Euler, temos:

)(mod).(. 2/)1( pbap

ba p −≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Mas sabemos que: 2/)1(2/)1(2/)1().( −−− = ppp baba

Como temos:

)(mod2/)1( pap

a p −≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ e )(mod2/)1( pb

p

b p −≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

concluímos que,

)(mod).(. 2/)1(2/)1(2/)1( p

p

b

p

ababa

p

ba ppp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−− .

Corolário: .12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

a

Demonstração:

Basta tomar ba = no teorema anterior e considerar o fato de que .1±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

a

Teorema 2.6: Para p primo ímpar, temos:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≡

≡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

3(mod4)p se 1,-

1(mod4)p se 1, 1

p

Demonstração: Pelo Critério de Euler sabemos que:

).(mod11 2/)1( p

pp −−≡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

Isto nos diz que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

p

1 será igual a 1 quando 2/)1( −p for par e igual a -1, quando

2/)1( −p for ímpar. Sendo p um primo ímpar, existem apenas duas possibilidades para pem termos de congruência módulo 4, )4(mod1≡p ou )4(mod3≡p . Se )4(mod1≡p , teremos 2/)1( −p par. Se )4(mod3≡p , existe k tal que

kpp 4213 =−−=− e, portanto, )12(2241 +=+=− kkp o que implica que 2/)1( −p é ímpar.

Logo, para )4(mod1≡p , 11

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

p e, para )4(mod3≡p , 1

1−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

p.

Teorema 2.7: Para todo primo p existem inteiros a, b e c, não todos nulos, tais que se verifica a seguinte congruência:

)(mod0222 pcba ≡++

Demonstração:

Para o caso 2=p , tomando 1== ba e 0=c , temos )2(mod0011 222 ≡++ . Para o caso

)4(mod1≡p , tomamos 1=b , 0=c e a como a solução de )(mod12 px −≡ . Temos que

pelo teorema 2.3, se )4(mod1≡p , a congruência )(mod12 px −≡ tem solução. Para o caso )4(mod3≡p , tomamos 1=c e mostramos a existência de solução para a congruência:

)(mod122 pba −≡+

Sabemos pelo teorema 2.2 que para um primo p ímpar temos 2/)1( −p resíduos quadráticos e 2/)1( −p resíduos não-quadráticos dentre os números 1,,3,2,1 −pL . E que se q for resíduo quadrático, então a congruência:

)(mod2 pqx ≡

tem solução, quando p é primo.

Dentre os números 1,,3,2,1 −pL seja d o menor resíduo positivo não-quadrático módulo p.Como 1 é resíduo quadrático, 2≥d . Logo, pelo teorema 2.6 temos que se )4(mod3≡p , então,

11

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

p

Como d não é resíduo quadrático, temos que,

1−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

d

Agora, utilizando o teorema 2.5 temos,

1)1)(1(1

=−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

p

d

pp

d

Isto nos diz que –d é um resíduo quadrático módulo p, ou seja, a congruência )(mod2 pdx −≡ possui solução. Seja b tal que )(mod2 pdb −≡ . Precisamos achar um “a”

conveniente tal que )(mod12 pda −≡ . Logo, teremos

)(mod

)(mod12

2

pdb

pda

−≡

−≡ )(mod122 pba −≡+

Mas, )(mod12 pda −≡ tem solução, pois uma vez que 2≥d e 1−d < d e d é o menor resíduo não-quadrático positivo módulo p, logo 1−d é resíduo quadrático módulo p. Então, a congruência:

)(mod122 pba −≡+

tem solução e, conseqüentemente, a congruência:

)(mod0222 pcba ≡++

se verifica.

3 - Soma de Quadrados

Agora vamos ver alguns resultados que nos ajudarão dar uma caracterização dos números inteiros positivos que podem ser representados como a soma de dois, três ou quatro quadrados de números inteiros.

3.1 - Soma de dois quadrados

Primeiramente, vamos tentar resolver a equação abaixo:

nyx =+ 22

com n, x e y sendo números inteiros e 0≥n . O grande problema é: para quais valores de n a equação tem solução no conjunto dos números inteiros?

O que é equivalente a dizer: quais são os números inteiros positivos que podem ser escritos como soma de dois quadrados de números inteiros

Vamos começar com um caso particular onde n é um primo p, ou seja, quais são os números primos que satisfazem esta equação?

pyx =+ 22

Para responder a esta questão temos o seguinte resultado:

Teorema 3.1: Sendo p um número primo, a equação pyx =+ 22 possui solução se, e somente se, p = 2 ou p ≡ 1(mod4).

Demonstração: Observamos inicialmente que 22 112 += . Já sabemos que para todo primo ímpar p temos que:

)4(mod1≡p ou )4(mod3≡p

Como para todo inteiro a, temos que )4(mod1ou 02 ≡a , temos que

)4(mod2ou 1 ,022 ≡+ yx

Se pyx =+ 22 , então, )4(mod1≡p .

Agora, temos que mostrar que todo p satisfazendo )4(mod1≡p pode ser expresso como a soma de dois quadrados. Tomamos um primo )4(mod1≡p . Pelo teorema 2.3 temos que existe um inteiro x tal que

)(mod12 px −≡ . Com este x definimos uma função xvuvuf +=),( e tomamos

⎣ ⎦pm = . Como p não é um número inteiro temos 1+<< mpm . Consideramos

os pares ),( vu de inteiros onde mu ≤≤0 e mv ≤≤0 . Desta forma, vemos que u pode assumir 1+m valores e v, também, pode assumir 1+m valores. Portanto, o número total de

pares é 2)1( +m . Como pm >+ 1 temos que pm >+ 2)1( , ou seja, o total de pares é

superior a p. Como um sistema completo de resíduos módulo p possui exatamente pelementos, concluímos que se considerarmos ),( vuf módulo p teremos mais números do que classes de resíduos para colocá-los. Logo, pelo “Princípio de Dirichlet” (que diz: “Se n + 1 objetos são colocados em n gavetas, então pelo menos uma gaveta deverá conter, pelo menos, dois objetos”.) temos que existem pelo menos dois pares distintos na mesma “gaveta”, ou seja, existem pares distintos ),( 11 vu e ),( 22 vu com coordenadas satisfazendo

mu i ≤≤0 e mvi ≤≤0 com )2,1( =i para os quais temos:

).)(mod,(),( 2211 pvufvuf ≡

Isto equivale a )(mod2211 pxvuxvu +≡+ , isto é, ))(mod( 2121 pvvxuu −−≡− . Elevando-se ao quadrado ambos os termos desta última congruência temos:

)(mod)(1)()( 221

221

2221 pvvvvxuu −−≡−≡−

Definindo 21 uua −= e 21 vvb −= obtemos:

)(mod022 pba ≡+

Ou seja, )(| 22 bap + . Como os pares ),( 11 vu e ),( 22 vu são distintos, a e b são ambos

não nulos, temos que 0)( 22 >+ ba .

Sendo 1u e 2u inteiros no intervalo [ ]m,0 temos que 21 uua −= satisfaz mam ≤≤− .

Também para 21 vvb −= temos mbm ≤≤− , pela mesma razão. Como pm <

concluímos que pa < || e pb < || . Isto nos diz que pba 222 <+ .

Logo, 22 ba + é um inteiro divisível por p e satisfazendo pba 20 22 <+< . Como o

único inteiro múltiplo de p neste intervalo é p, concluímos que pba =+ 22 .

Agora, veremos um resultado mais geral que nos permitirá caracterizar todos os inteiros que possuem representação como soma de quadrados.

Teorema 3.2: Um inteiro n pode ser expresso como a soma de dois quadrados se, e somente se, tiver fatoração da forma:

ss

rr qqqpppn βββαααα ......2 2

21

12

21

1=

Onde )4(mod1≡ip e )4(mod3≡jq ,e i = 1, 2,..., r, e j = 1, 2,..., s, e todos os expoentes jβ

são pares.

Demonstração:

Neste resultado utilizaremos a seguinte identidade, que é verdadeira para quaisquer números inteiros a, b, c e d.

(Identidade - 1) Para quaisquer números inteiros a, b, c e d, temos que:

222222 )()()).(( bcadbdacdcba −++=++

A demonstração desta identidade é simples, basta desenvolver separadamente os dois lados da identidade e comparar os dois termos finais.

Esta identidade nos diz que o produto de números que podem ser representados pela soma de dois quadrados também pode ser representado como soma de dois quadrados. Observando então a expressão:

ss


21

12

21

1=

Vamos tentar reescrever cada fator como uma soma de dois quadrados. Sabemos que 22 112 += . Pelo teorema 3.1, todos os pi’s podem ser representados como soma de dois

quadrados , pois )4(mod1≡ip .

Logo, se todos os jβ forem pares, cada um pode ser reescrito como '2 .=j jβ β . O que nos

diz que '2( )=j j

j jq qβ β.

Mas 222 0+= jj qq . Ou seja, 2jq pode ser escrito como a soma de dois quadrados.

Agora, usando a identidade citada antes, podemos dizer que se todo termo da expressão

ss


21

12

21

1=

pode ser reescrito com uma soma de dois quadrados, então temos um produto de números que podem ser representados como a soma de dois quadrados, mas segundo a identidade, o produto de números que podem ser representados com soma de dois quadrados também pode ser representado como soma de dois quadrados. Logo, n pode ser representado como uma soma de dois quadrados.

Agora, vamos supor que n possa ser representado como a soma de dois quadrados e que algum jβ seja ímpar.

Seja ),( bad = , onde a e b são inteiros e nba =+ 22 . Como d|a e d|b, temos que

dka 1= e dkb 2= . Sabemos que 1, =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

d

b

d

a , isto é, 1),( 21 =kk .

Como d²|n, temos 2kdn = . Logo, 2d

nk = , mas temos que

22

21

22 )()( dkdkban +=+= , então,

22

212

22

21

2

)()(kk

d

dkdk

d

nk +=

+== .

Como estamos supondo 1β ímpar, o expoente de 1q em k será ímpar, pois

2d

nk = .

Logo, 1q | k e como 1),( 21 =kk , podemos concluir que

1),(),( 2211 == kqkq .

Temos que )(mod 121 qkxk ≡ tem solução.

Logo,

))(mod1(0 122

122

12

122

21 qxkxkkkkk +≡+≡+=≡ .

Como 1q não divide 21k temos que )(mod01 1

2 qx ≡+ , ou seja, )(mod1 12 qx −≡ .

Sendo )4(mod31 ≡q , sabemos pelo teorema 2.3 que esta última congruência não é possível. Logo, todos

jβ devem ser pares.

No caso da representação de inteiros positivos como a soma de três quadrados, temos o seguinte resultado:

3.2 - Soma de três quadrados

Teorema 3.3: Todo inteiro da forma 8 7+a com ∈a Z , não pode ser representado como a soma de três quadrados.

Demonstração: Seja n um inteiro. Pela teoria das congruências temos que n satisfaz apenas uma dessas congruências:

)8(mod0≡n)8(mod1≡n)8(mod2≡n)8(mod3≡n)8(mod4≡n)8(mod5≡n)8(mod6≡n)8(mod7≡n

Se elevarmos ao quadrado as congruências, teremos:

)8(mod02 ≡n

)8(mod12 ≡n

)8(mod42 ≡n

)8(mod12 ≡n

)8(mod02 ≡n

)8(mod12 ≡n

)8(mod42 ≡n

)8(mod12 ≡n

Logo, temos que )8(mod4ou 1 ,02 ≡n . Como a soma de três números congruentes a 0, 1 ou 4 módulo 8 nunca é congruente a 7 módulo 8 e todo inteiro da forma 8 7+a com ∈a Z , é congruente a 7 módulo 8, concluímos a demonstração do teorema.

3.3 - Soma de quatro quadrados

Vamos falar sobre a representação de números inteiros positivos como a soma de quatro quadrados. Nesse assunto, temos um importante teorema conhecido como “Teorema de Lagrange”, resultado este que já foi citado na introdução desse trabalho como a solução do problema: No caso em que 2=k , será que existe )2(ss = , tal que a equação:

223

22

21 sxxxxn ++++= L


Queremos que esta equação sempre tenha solução, para um número fixo s.

Para o caso em que 2=s . Já vimos que existem números que não podem ser representados como a soma de dois quadrados, um exemplo são os primos p que são congruentes a 3 módulo 4. Logo 2≠s .

Para o caso em que 3=s . Já vimos também que todo número inteiro da forma 78 +a com Za ∈ , não pode ser representado como a soma de três quadrados. Logo 3≠s .

E agora para o caso 4=s , será que existem inteiros positivos que não podem ser representados como a soma de quatro quadrados?

Comentamos na introdução deste trabalho que Lagrange em 1770 havia resolvido o problema de Waring para o caso acima, ou seja, não existe nenhum número inteiro positivo que não pode ser representado como a soma de quatro quadrados. Logo, quando 4=s , a equação acima sempre tem solução para todo INn ∈ . Veremos este resultado no teorema a seguir, mas antes vamos ver uma identidade semelhante à identidade 1 vista anteriormente, que vai ser muito importante na demonstração do teorema a seguir.

(Identidade – 2) Para quaisquer a, b, c e Zd ∈ , temos a seguinte identidade:

222

222222222

)()()(

)()).((

drcsbtavdscrbvatdtcvbras

dvctbsarvtsrdcba

−+−+−−+++−−

++++=++++++

A demonstração desta identidade também é simples, basta desenvolver separadamente os dois lados da identidade e comparar os dois termos finais.

Esta identidade nos diz claramente que o produto de números possuindo representação como soma de quatro quadrados possui, também, representação como soma de quatro quadrados. Feita esta observação podemos mostrar o teorema a seguir.

Teorema 3.4: (Teorema de Lagrange) Todo inteiro positivo possui representação como a soma de quatro quadrados.

Demonstração: Como temos que o produto de números inteiros que possuem representação como soma de quatro quadrados possui, também, representação como soma de quatro quadrados, e que todo inteiro pode ser escrito como o produto de fatores primos, então vamos mostrar que todo primo possui representação como a soma de quatro quadrados.

Temos que 2222 00112 +++= . Agora, seja p um primo ímpar. Pelo teorema 2.7, existem inteiros a, b e c tais que:

)(mod0222 pcba ≡++

Esta congruência pode ser escrita como:

( * ) Mpdcba =+++ 2222

onde M é um inteiro e 0=d .

A equação ( * ) e o Princípio da Boa Ordem (que diz: “Todo conjunto não-vazio de inteiros positivos contém um elemento mínimo”), nos garantem a existência de um menor inteiro msatisfazendo ( * ), isto é:

mpdcba =+++ 2222

Como em )(mod0222 pcba ≡++ estamos trabalhando módulo p e a, b e c estão elevados ao

quadrado, podemos tomar a, b e c no intervalo ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡

2,0

p em )(mod0222 pcba ≡++ e ( * ).

Logo,

22

2222

24 p

pdcbamp =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

<+++= , isto é, pm < .

Para concluir a demonstração será suficiente provarmos que 1=m . Vamos mostrar que a suposição 1>m nos leva a obtenção de um inteiro mm <≤ '0 , que também nos fornece uma representação para pm' como soma de quatro quadrados, o que contradiz a forma como m foi escolhido. Separamos em dois casos: m ímpar e m par.

Seja 1>m e m ímpar. Em mpdcba =+++ 2222

podemos escolher 1a , 1b , 1c e 1d no intervalo ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡

2,0m

satisfazendo às equações

)(mod1 maa ≡ , )(mod1 mbb ≡ , )(mod1 mcc ≡ e )(mod1 mdd ≡ .

Desta forma, temos que )(mod021

21

21

21 mdcba ≡+++ , o que nos garante a existência de

0'≥m tal que

mmdcba '21

21

21

21 =+++ .

Como os inteiros 1a , 1b , 1c e 1d são todos menores que 2

m temos que mm < ' . A suposição

m’ = 0 nos leva a uma contradição, pois se m’ = 0 então 1a = 1b = 1c = 1d = 0 e, portanto,

)(mod0 mdcba ≡≡≡≡ , o que implica mpm |2 . Como mpm |2 implica pm | temos uma

contradição, pois pm <<1 . Logo, 0' ≠m . Da identidade 2, mpdcba =+++ 2222 e

mmdcba '21

21

21

21 =+++ , temos

(#) 2

11112

11112

1111

21111

21

21

21

21

22222

)()()(

)())((''

dacbbcaddbcabdacdccdbaab

ddccbbaadcbadcbapmmmmpm

−+−+−−+++−−+

+++=++++++==

Como 1aa ≡ , 1bb ≡ , 1cc ≡ e )(mod1 pdd ≡ e 12 aaa ≡ , 1

2 bbb ≡ , 12 ccc ≡ e

)(mod12 mddd ≡ , vemos que as quatro expressões que estão elevadas ao quadrado do lado

direito da última igualdade são múltiplos de m. Portanto, existem inteiros dcba e , , tais que (#) pode ser escrita como:

22222 )()()()(' mdmcmbmapmm +++=

ou seja, 2222

' dcbapm +++= onde mm < ' .

Resta-nos agora mostrar que no caso m par também podemos encontrar mm < tal que pm é a soma de quatro quadrados. É fácil ver que, para m par, necessariamente os inteiros a, b, c e d devem ser todos pares, dois pares e dois ímpares ou todos ímpares. Em qualquer um destes três casos podemos escolher a, b, c e d satisfazendo )2(modba ≡ e )2(moddc ≡ , o que nos permite escrever:

2

2

2

2

2

2

2

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=dcdcbabam

p

Portanto, tomando mm

m <=2

, obtemos uma expressão para pm como a soma de quatro

quadrados. Pelas observações feitas anteriormente, concluímos que 1=m , ou seja, o primo ppode ser expresso como soma de quatro inteiros sendo cada um deles um quadrado.

Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia ser aplicado aos fenômenos do mundo real.

Lobatchevsky.

4 - Referências Bibliográficas

[1] Cardoso Jr., A.L., O Anel dos Vetores de Witt e o Problema de Waring – UNB, Departamento de Matemática, Brasília, 2006.

[2] Domingues, H.H. e Iezzi, G., Álgebra Moderna – Atual Editora, São Paulo, 1982.

[3] Hardy, G.H. e Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers – Oxford Science Publications, Oxford, 1979.

[4] Moreno, J. C. e Wagstaff, Samuel S., Suns of Squares of Integers – Chapman & Hall, EUA, 2006.

[5] Santos, J. P. O., Introdução à Teoria dos Números – Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 2006.

DINÂMICA DO SISTEMA CARRO-PÊNDULO

Rafael Alves Figueiredo1, Márcio José Horta Dantas2

Faculdade de Matemática – FAMAT Universidade Federal de Uberlândia – UFU

Resumo

O objetivo principal desse trabalho é estudar e investigar a estabilidade de um sistema dinâmico não linear, precisamente o sistema carro-pêndulo. O modelo do sistema é obtido através da formulação de Lagrange. Tendo o modelo do sistema, utilizam-se dois métodos para analisar e classificar a estabilidade do mesmo, sendo o Teorema de Linearização de Lyapunov-Poincaré e a Função de Lyapunov. Utilizando o Teorema de Linearização de Lyapunov, os estudos são desenvolvidos seguindo o procedimento usual, isto é, determinação dos pontos de equilíbrio, linearização do sistema de equações em uma vizinhança dos pontos de equilíbrio e o estudo da estabilidade desses pontos. Por outro lado, a Função de Lyapunov classifica os pontos de equilíbrio do sistema sem linearizá-lo.

Palavras-chave: sistemas dinâmicos, pontos críticos, estabilidade, teoria de Lyapunov, função de Lyapunov.

1. Introdução

Em diversos problemas práticos de mecânica, as equações matemáticas que descrevem o seu comportamento são equações diferenciais ordinárias não lineares. Naturalmente, quando se consideram pequenas amplitudes das oscilações envolvidas, estas equações podem ser aproximadas por outras que são lineares. No entanto, como a prática tem demonstrado, cada vez mais é necessário ter modelos mais realistas. Com isto a consideração das equações não lineares originais é inevitável. Assim, o interesse pela teoria de sistemas dinâmicos ganhou um grande impulso.

O modelo do sistema carro-pêndulo analisado nesse trabalho, é constituído por um carro de massa que desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito, que está ligado à parede por uma mola e um amortecedor c, onde o carro serve de eixo de rotação de um pêndulo simples de massa e comprimento . As equações que descrevem seu movimento, são equações não lineares, que pertencem a classe de problemas não ideais. O estudo desse sistema dinâmico oferece estudos interessantes de seu comportamento.

2. Cálculo das Variações

Queremos encontrar o caminho mais curto entre dois pontos em uma superfície curva. Suponhamos que os dois pontos sejam dados por , e , . Tomemos uma

curva passando por eles representada por uma equação , tal que a função satisfaça as condições de contorno

1 Bolsista do PIBIC/CNPq/UFU e-mail: [email protected] Professor orientador, e-mail: [email protected]

, . (1)

Consideremos dois pontos vizinhos nesta curva. O comprimento total da curva é dado por

1 / . 2

O problema, portanto, é encontrar aquela função que, sujeita às condições de contorno (1), minimize a integral (2).

Este problema difere do tipo usual de problemas de valor mínimo, pois o que temos que variar não é uma única variável ou conjunto de variáveis, mas uma função . De qualquer modo, podemos aplicar o mesmo critério: quando a integral tem um valor mínimo, seu valor não deve mudar em primeira ordem por uma pequena variação na função .

De um modo geral, estamos interessados em encontrar valores estacionários (máximos ou mínimos, neste caso mínimo) de uma integral da forma

, , 3

onde , é uma função especificada de y e sua primeira derivada. Resolveremos este problema geral e aplicaremos o resultado à integral (2). Considere uma função : !, " # $derivável tal que 0. Seja uma função que satisfaça (1). Então dado & ' $, temos que também a função # & satisfaz as mesmas condições de contorno. Considere a função

(& ) &, &* .

Se é um mínimo da integral dada em (3), temos que (& + (0. Assim, ( tem um mínimo em & 0.

Observemos que (: ,-, - # $. Portanto, o problema inicial de minimizar a integral (3), relaciona-se com o problema de minimizar a função (, de variável real, no ponto & 0.

Na literatura em física, normalmente indica-se a função , por .. Daqui em diante vamos sempre usar esta notação adotada em física, mas sem perder o seu correto significado matemático dado anteriormente.

Particularmente . / (0.Consideremos uma pequena variação . da função , sujeita à condição de que

os valores de nos pontos extremos não sejam alterados (vide Fig. 1):

. 0, . 0. (4)

Figura 1- Pequena variação . da função .

Em primeira ordem, a variação de , é

. 0102 . 0102 .3, onde . 44 ..

Assim, a variação da integral é

. 566 . 663 .7 .

No segundo termo podemos efetuar uma integração por partes. O termo integrado, isto

é 8 0102 .9

se anula nos limites por causa da condição (4). Obtemos, assim,

. 566 , : 66;7 .. 5

Agora, para que seja mínima (estacionária), esta variação . deve se anular para uma pequena variação . arbitrária. Pode-se mostrar que isto só é possível se o integrando se anula identicamente. Exigimos assim que:

66 , : 66; 0. 6 Esta equação é conhecida como a de Euler-Lagrange. Em geral ela é uma equação diferencial de segunda ordem para a função , cuja solução contém duas constantes arbitrárias que podem ser determinadas a partir dos valores conhecidos de em e . Podemos agora resolver nosso problema inicial. Comparando (2) e (3), devemos escolher

, 1 /,e portanto 66 0, 663 31 /.

Assim, a equação (6) de Euler-Lagrange fica

> 31 /? 0. Esta equação diz que a expressão dentro dos colchetes é uma constante e, portanto, que 3 é uma constante. Assim, suas soluções são as retas @ A. Portanto, o caminho mais curto entre dois pontos é um segmento de reta. As constantes @ e A são obviamente fixadas pelas condições (1). É fácil generalizar a discussão para o caso de uma função de B variáveis C, C, … , CE, e suas derivadas temporais CF, CF, … , CFE. Para que a integral

C, C, … , CE, CF, CF, … , CFEGHH

seja estacionária, o seu valor não deve mudar, em primeira ordem por uma variação em qualquer uma das funções CIG J 1, 2, … , B, sujeitas às condições CIG CIG 0.Obtemos assim B equações de Euler-Lagrange

66CI , G : 66CFI; 0, J 1, 2, … , B. 7 Estas B equações diferenciais de segunda ordem determinam as B funções CIGcontendo 2B constantes arbitrárias de integração.

3. Princípio de Hamilton; Equações de Lagrange

As equações de movimento de uma partícula, que se move sob a ação de uma força conservativa, podem ser escritas como as equações de Euler-Lagrange correspondentes a uma integral adequada. Definimos a função lagrangiana L , M

L F F NF , M, , N (8)

onde L é a energia cinética do sistema, expressa em termos das coordenadas cartesianas , , Ne de suas primeiras derivadas em relação ao tempo, M é a energia potencial do sistema, sendo expressa somente em termos das coordenadas cartesianas , , N.

Suas derivadas são

66F F O , 66 , 6M6 P, 66F F O2 , 66 , 6M6 P2, 966NF NF OR , 66N , 6M6N PR. Com isso as equações do movimento OF P, OF2 P2 e OFR PR podem ser escrita do

seguinte modo

G :66F; 66 , G :66F ; 66 , 10G :66NF; 66N , que têm exatamente a forma de uma equação de Euler-Lagrange correspondente à integral

GHH . 11

Esta integral denomina-se integral de ação. Obtivemos assim o princípio de Hamilton da ação mínima: a integral de ação é estacionária, por variações arbitrárias ., ., .N, que se anulam nos limites de integração G e G.

A importância deste princípio reside no fato de que ele pode ser imediatamente aplicado em qualquer sistema de coordenadas. Se, ao invés de coordenadas cartesianas , , N, usarmos um conjunto de coordenadas curvilíneas C, C, CS, então poderemos exprimir a função lagrangiana L , M em termos de C, C, CS, e suas derivadas temporais CF, CF, CFS.A integral de ação (11) deverá então ser estacionária com relação a variações arbitrárias .C, .C, .CS, sujeitas à condição de se anularem nos limites G e G. E assim obteremos

G : 66CFI; 66CI , J 1, 2, 3. 12Estas são as equações de Lagrange. São as equações de movimento em termos das

coordenadas C, C, CS.

Exemplo: A posição de um ponto na superfície de um cone de revolução de ângulo 2 T é especificada pela distância U do vértice e pelo ângulo azimutal V em torno do eixo. Vamos mostrar que o caminho mais curto, sobre a superfície, entre dois pontos dados é especificado por uma função UV que obedece à equação

U UV , 2 :UV; , U sin T 0. Seja, , , N UV sin T cos V , UV sin T sin V , UV cos T.

Figura 2- Cone de revolução de ângulo 2 T.

O caminho mais curto, sobre a superfície do cone é o que minimiza a função V #V 3 3 N3/V\\] .

Observe que 3 3 N3/ equivale à U3 U sin T/ U, U.Para obtermos o caminho mais curto sobre a superfície do cone, U, U tem que satisfazer a equação de Euler-Lagrange. A equação de Lagrange toma a forma

66U U sin TU3 U sin T/V :66U3; U33U3 U sin T/U3 U sin T , U3U33 UU3 sin TU3 U sin TS/

onde, 66U , V :66U3; 0.Portanto, temos que

U U3 sin T US sin^ T , U3 U , UU U3U U U3 sin T 0.

Logo, segue que U U33 , 2U3 , U sin T 0, como queríamos mostrar.

4. Mecânica Lagrangiana

As equações do movimento para um sistema de _ partículas movendo-se sob a ação de forças conservativas podem ser obtidas de uma função lagrangiana em termos de qualquer conjunto de 3 _ coordenadas independentes. Para se obter uma forma mais geral das equações de Lagrange que a obtida anteriormente, considere por um momento, o caso de uma única partícula. Suponhamos que ela se mova sob a ação de uma força arbitrária P e consideremos variações da integral:

L GHH , 13

onde L UF a e U , , N.

Considere t# G & G, com & ' $ e G G 0, então pela definição de . temos . G G G G GHH .

Efetuando uma integração por partes, obtemos

. , G GG GHH

e pela segunda lei de Newton

G G P)G*.Assim,

. , P)G*G GHH ,

onde a função é neste caso por definição ..Agora o integrando é P. ,.b, onde .b é o trabalho dado pela força P no

deslocamento .. Analogamente, se fizermos variações de todas as três coordenadas, obtemos

. , .b GHH , 14

onde .b P. .U trabalho dado pela força no deslocamento .U.Por conseqüência, podemos usá-lo para obter equações do movimento em termos de

um conjunto arbitrário de coordenadas C, C, CS. Definamos as forças generalizadas P, P, PScorrespondentes a P por

.b P.C P.C PS.CS. (15)

Então podemos igualar . dada por (14) com a expressão geral (5). Consideremos, por exemplo, uma variação .C de C. Então, de acordo com (5),

. 5 6L6C , G : 6L6CF;7 .CGG.HH

Por outro lado, por (14) e (15),

. , P.CGG.HH

Estas duas expressões devem ser iguais para variações arbitrárias, sujeitas somente à condição de que .CG .CG 0. Por conseqüência, os integrandos devem ser iguais e obtemos as equações de Lagrange na forma

G : 6L6CFT; 6L6CT PT. 165. Equações não Lineares

Não existem métodos sistemáticos que possam resolver o sistema de equações diferenciais de primeira ordem

deefeeg

G G, , , … , EG G, , , … , Eh EG EG, , , … , Ei 17

quando as funções I não forem lineares em , … , E. Entretanto, em boa parte das aplicações reais, não é necessário conhecer expressões analíticas para as soluções G do sistema (17), e sim algumas de suas propriedades.

5.1 Sistemas Autônomos

Um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem da forma

IG I, , … , E, J 1, 2, … , Bé denominado sistema dinâmico (ou autônomo, pois as funções I não dependem explicitamente do tempo t). As variáveis , , … , E são as variáveis de estado do sistema. Resumidamente podemos escrevê-lo na forma

jG kj, j ' $E. O estudo destas equações é feito com base no seguinte teorema.

Teorema de Existência, Unicidade e Dependência de Parâmetros para Soluções do Problema de Cauchy: Seja kj, l um campo vetorial em $E definido e continuamente diferenciável com relação a j, l ' $E m $n em uma vizinhança de 0, 0. Então, existem . o 0 e . o 0 tal que para todo plp q . existe uma única solução de

rjF kj, sj0 0 i 18definida em um intervalo G ' ,., . e jG, l é uma função continuamente diferenciável com relação a G e l.Para mais detalhes veja [1].

Consideremos agora o sistema de segunda ordem

uG P, G v, i 19onde F e G são funções contínuas de e , com derivadas parciais contínuas; P, , v, é um campo vetorial no plano-xy, as órbitas são as curvas integrais desse campo e, portanto, em cada ponto, são curvas tangentes ao campo (vide Fig. 3).

Figura 3- Órbita de uma solução no espaço de fase , ' $ e no espaço de fase estendido , , G.

É freqüentemente possível obter informações sobre a órbita de uma solução sem conhecermos a própria solução. Seja G, G uma solução do sistema (19). Se 44H w 0 em G Gx, então podemos obter o valor de G G numa vizinhança do ponto x Gx e, desta forma, para G próximo de Gx, a órbita da solução G, G é a curva G. Como

G · G /G/G v, P, ,as órbitas das soluções de (18) são as curvas-soluções da equação

v, P, . 20Entretanto, em um ponto x, x em que Px, x vx, x 0, a expressão

acima perde o significado. Denominamos estes pontos de críticos.Se x, x for um ponto crítico de (19) então G x e G x é uma solução do

sistema e tal solução constante é a única que passa pelo ponto x, x.A órbita desta solução constante é o próprio ponto crítico e nesta posição dizemos que

a partícula que descreve a trajetória está em equilíbrio ou em repouso. É interessante, do pondo de vista qualitativo, saber se esta posição de equilíbrio é

estável, isto é, se uma pequena perturbação na posição de equilíbrio da partícula resultará em um retorno ou em um afastamento desta posição.

Considere um sistema autônomo jF j; j ' $E nas vizinhanças do ponto crítico j, satisfazendo as condições do Teorema de Existência. Então, j 0 e jG z j é a solução de equilíbrio. Dizemos que o ponto de equilíbrio j do sistema jF j é estável se, dado - o 0, é

possível determinar um . o 0 dependente apenas de - tal que se p , jp q ., a solução jG, do problema de Cauchy

rjF j j0 iexiste para G o 0 e

p|G, , jG, jp p|G, , jp q - para todo G o 0.

Ou seja, todas as soluções que partem suficientemente próximas de j são definidas para todo G o 0 e se mantêm perto deste ponto.

Observe que a solução de equilíbrio existe para todo G o 0 e a estabilidade desta solução pode ser interpretada como uma continuidade uniforme (para G o 0) das soluções com respeito às condições iniciais, isto é, para condições iniciais suficientemente próximas de j a solução do problema de Cauchy existe para todo G o 0 e se mantém uniformemente próxima da solução de equilíbrio (vide Fig. 4).

Dizemos que o ponto de equilíbrio j de jF j é assintoticamente estável se for estável e, além disto,

limH# |G, j (vide Fig. 5).

Um ponto crítico é instável se existe um - o 0 e pelo menos uma solução do sistema que não permanece indefinidamente na bola p| , jp q - (vide Fig. 6).

Figura 4- Órbita fechada em torno do ponto de equilíbrio j x, x.

Figura 5- Órbitas que nascem suficientemente próximas de j x, x se aproximam deste ponto quando G # ∞.

Figura 6- O ponto j x, x é instável.

5.2 Sistemas Autônomos Lineares- Estudo Qualitativo no Plano

Um sistema autônomo linear de segunda ordem é da forma

uG @ AG i 21onde os coeficientes @, A, , são considerados constantes.

Para este sistema, o ponto de equilíbrio é a origem 0, 0. Este ponto é isolado, isto é, é o único ponto de equilíbrio de (21) no disco

0,0 , ' $: q -se @ , A w 0. De fato, o sistema r@ A 0 0item solução 0, 0 única se @ A @ , A w 0.

Podemos reduzir o sistema (21) numa equação diferencial de segunda ordem. Supondo que A w 0, tiramos o valor de na primeira equação de (21)

1A G , @A .Agora, derivando ambos os membros desta equação e substituindo o valor de

424H dado

na primeira equação do sistema (21), obtemos

:1A G , @A ; 1A G , @A Gou

G , @ G @ , A 0.O polinômio característico associado a esta equação é dado por

, @ @ , A 0cujas raízes são

@ @ , 4@ , A2e

@ , @ , 4@ , A2 .Se w , a solução geral de (22) é dada por

G H ]HG , @A H , @A ]H.

Se , a solução geral de (21) é dada por

e GH GH onde , e apenas duas das constantes , , e são independentes. O fato de supormos @ , A w 0 nos dá w 0 e w 0.

Se A 0, resolvemos diretamente a primeira equação e encontramos G H.Substituindo este valo na segunda equação encontramos G 4H @ , H se w @ou G 4H 4H se @.

De uma maneira geral a solução do sistema (21) é dada por

G H ]H,G H ]H 22onde entre cada duas constantes , e , , apenas uma é independente.

Desta forma, o estudo da natureza do ponto crítico 0, 0 fica restrito ao comportamento dos valores de e , pois será:

1. estável, se e permanecerem limitados, quando G # ∞; 2. assintoticamente estável se # 0 e y# 0, quando G # ∞; 3. instável se # ∞ ou y# ∞, quando G # ∞.

Podemos simplificar as várias alternativas em relação ao comportamento das raízes e , colocando Δ @ , 4@ , A

O @ e C @ , A w 0.

Uma variação dos sinais de Δ, O e C nos leva a tipos de estabilidades diferentes. Vejamos:

1. Raízes e reais e distintas Δ o 0.a. e têm o mesmo sinal C o 0:

(i) o 0 e o 0 O o 0 ponto instável; (ii) q 0 e q 0 O q 0 ponto assintoticamente estável.

O ponto de equilíbrio, neste caso, é denominado nó ou nódulo.b. e têm sinais opostos C q 0:

o 0 e q 0 ou q 0 e o 0Tomando a expressão geral (22) da solução do sistema (21), observamos que para alguns valores das constantes , e , é possível que G # 0 e G # 0 quando G # ∞, enquanto que com outros valores destas constantes G ou G se tornam ilimitados. Neste caso, o ponto de equilíbrio é chamado ponto de sela (equilíbrio instável).

2. Raízes e reais e iguais Δ 0.A solução geral de (21) é dada por GH, GH.

Se O o 0, @ 2⁄ o 0 e, portanto, a direção do movimento em todas as órbitas se afastará do ponto crítico 0, 0, que será instável.

Se O q 0, @ 2⁄ q 0. Neste caso, independentemente dos valores das constantes , , e , a direção do movimento se aproximará do ponto de equilíbrio 0, 0 que será, assintoticamente estável. 3. Raízes e complexas conjugadas Δ q 0. As raízes do polinômio característico , @ @ , A 0 são

J e , Je a solução geral de (21) toma a forma

G H cos G sin G,G H cos G sin G)

onde somente duas das constantes , , e são independentes. Como as partes trigonométricas de G e G são limitadas, a natureza do ponto crítico 0, 0 é determinada pelo sinal da parte real das raízes

@ 2 O2.Se q 0, o movimento de todas as trajetórias é em direção ao ponto crítico

(estabilidade assintótica) e, se o 0, acontece o contrário (instabilidade).

Se 0, J e ,J, o movimento é periódico no tempo e as órbitas do sistema são curvas fechadas contendo em seu interior o ponto crítico estável 0, 0 que, neste caso, é denominado centro.

Um resumo dos resultados obtidos intuitivamente até aqui é dado no teorema a seguir, como visto em [1]. Teorema: O sistema autônomo linear

uG @ AG item a origem 0, 0 como ponto de equilíbrio isolado quando @ , A w 0. Este ponto crítico será a. assintoticamente estável, se as raízes e do polinômio característico

, @ @ , A 0forem reais e negativas ou, ainda, se forem complexas e tiverem parte real negativa; b. estável, se J e ,J (imaginários puros); c. instável, se , e forem reais e pelo menos uma delas for positiva, ou ainda, se forem complexas e tiverem parte real positiva. Os diferentes tipos de órbitas obtidas do Sistema linear (21)

uG @ AG icujo polinômio característico é

, @ @ , A 0 @ , A w 0,são resumidos no quadro1 que segue anexo.

5.3 Integrais de um Sistema Autônomo

Sejam um campo vetorial em $E e G, o seu fluxo, isto é, as soluções do problema de Cauchy

G 0 i

Se V for uma função de valor real, podemos calculá-la em particular sobre a trajetória pela composição VG, cuja derivada com relação a t nos fornecerá a taxa de variação de V sobre a trajetória G # G, .

Pela regra da cadeia temos

V)G, * 6V6n )G, * 6n6G G, V)G, * · F G, En

V · )G, * que é exatamente a derivada direcional de V na direção do campo vetorial . Observe que podemos calcular esta derivada em cada ponto de $E, sem necessidade de resolvermos o problema de Cauchy. As funções V que são constantes sobre as trajetórias na forma V)G, * V e tais que V w 0 para todo , são chamadas integrais do sistema dinâmico e são de grande importância no estudo de sistemas dinâmicos em geral. Os sistemas mecânicos têm suas integrais naturais dadas por leis físicas de conservação de energia, de quantidade, de movimento angular e outros.

Analisemos agora a interpretação geométrica das integrais de um sistema dinâmico e a razão de sua importância. Observemos inicialmente que V é uma integral de se as suas superfícies (linhas em $) de nível : V V tangenciarem o campo vetorial , pois V é normal a e V · 0 (vide Fig. 7).

Figura 7

No caso particular de $, observamos então que as linhas de nível : V V são os traços geométricos das trajetórias (vide Fig. 8).

Figura 8

Portanto, para um campo em $, as suas trajetórias no plano de fase são imediatamente obtidas, se conhecemos uma integral deste campo e vice-versa.

Exemplo: O plano de fase global para o sistema obtido da equação , onde o

potencial , ¡¢£ ¤ cos tem a seguinte forma:

Figura 9- Plano de fase global.

Voltemos agora às equações do tipo F para ' $E. Para melhor visualização geométrica, tomemos B 3. Se é uma função escalar (com a diferenciabilidade necessária!) integral do campo , sabemos então que este campo é tangente às superfícies de nível de . Portanto, uma vez fixada uma destas superfícies, podemos considerar o campo como que “acionando” um sistema dinâmico sobre a superfície. Desta forma, o estudo do espaço de fase de três dimensões originais pode ser reduzido a um espaço de fase de duas dimensões, embora não plano, em geral. Ou seja, uma função integral reduz, por assim dizer, a dimensão do espaço de fase que deve ser analisado.

No caso de duas dimensões, o espaço de fase reduzido era unidimensional e, portanto, caracterizava os traços geométricos em trajetórias. Em dimensão três (ou superior) uma integra não é,todavia, suficiente para caracterizar os traços da trajetória. Mas suponha que tenhamos e duas integrais do campo funcionalmente independentes, isto é, e linearmente independentes, para todo . Isto nos garante que as superfícies de nível de e se interceptam transversalmente e definem, portanto, um sistema de linhas que “varre” uma região do $S (vide Fig. 10).

Figura 10

Não é difícil concluir que estas linhas são os traços das trajetórias do sistema dinâmico. Seja um ponto de $S e considere a linha

: .

Se uma solução de F P é tal que G então, sendo e integrais, temos G e G para todo G, ou seja, G descreve uma trajetória sobre a linha .

Observe eu este sistema de linhas não representa completamente o sistema dinâmico, simplesmente o reduz para um sistema de dimensão B 1. A obtenção destas funções integrais nos leva, portanto, à resolução do sistema de equações através de um ponto de vista geométrico.

Analisemos agora um sistema de segunda ordem em $E, com o objetivo de repetir os argumentos desenvolvidos para B 1.

Multiplicando a equação por F (produto escalar) temos

G 12 ¥F ¥ · Fonde ¥F ¥ q F , F o.

Mas o termo · F só poderá ser escrito como , 44H G se , .

Entretanto, ao contrário do caso unidimensional, isto só é possível se a função satisfizer as condições de compatibilidade 6I6¦ 6¦6IOu seja, se a matriz jacobiana

01§0¨ for simétrica. No caso B 3, isto significa que U©G z 0.

Nestes casos o campo é chamado conservativo e derivado do potencial , ; :I , 6 6I;

e o sistema mecânico , é chamado conservativo, em virtude do fato de que suas trajetórias G conservam a energia

¥F G¥ )G* ¥F ¥ .

Transformando esta equação vetorial de segunda ordem em $E para um sistema em $E $E m $E temos

uG G , i, ' $E m $E. Verificamos que

«, 12 pp é uma integral deste sistema dinâmico. Portanto, sistemas mecânicos conservativos podem ser vistos como sistemas dinâmicos definidos sobre as (hiper)superfícies de nível da função energia.

5.4 Teoria da Estabilidade – Método de Lyapunov

Considere uma generalização importante do conceito de funções integrais chamadas funções de Lyapunov e que, de certa forma, são motivadas pelo próprio conceito de energia em osciladores não conservativos, onde a energia não é preservada pela trajetória, mas assume um comportamento monótono, decrescente, se o processo for dissipativo, e crescente, se houver absorção de energia. Esta característica é essencial na motivação do chamado método de Lyapunov para o estudo de estabilidade.

As funções de Lyapunov, que veremos em seguida, de certa forma generalizam o conceito de energia para sistemas gerais. Os Teoremas de Lyapunov sobre estabilidade são também extensões dos argumentos acima.

Considere, um sistema autônomo F , ' $E, em que o campo é continuamente diferenciável, tal como exigido pelo Teorema da Seção 5.1, definido em uma região Ω em torno da origem onde tem um ponto crítico.

Seja uma função continuamente diferenciável definida em Ω ® $E com valores reais.

Dizemos que é uma função de Lyapunov se:

1. ; 2. o se w ; 3. satisfaz uma das seguintes condições: a. é não crescente sobre qualquer trajetória em Ω; b. é estritamente decrescente sobre qualquer trajetória em Ω; c. é estritamente crescente sobre qualquer trajetória em Ω.

Observe que as condições (a), (b) e (c) de 3 podem ser testadas sem conhecermos as trajetórias, pois o objetivo da teoria é analisar o comportamento do fluxo sem dispor das trajetórias explicitamente.

Basta utilizar a Regra da Cadeia e veremos que

G )G* 66nnG ·

e, assim, podemos expressar estas condições da seguinte forma: 4. a. · ¯ 0 para todo ' Ω, w ; b. · q 0 para todo ' Ω, w ;

c. · o 0 para todo ' Ω, w .

Teorema de Lyapunov:

Seja : Ω ® $E # $E um campo continuamente diferenciável com um ponto crítico na origem, , e considere o sistema dinâmico F . Suponha que exista uma função de Lyapunov satisfazendo uma das condições (a), (b) ou (c) anteriores. Então, o ponto crítico será, respectivamente

a. estável; b. assintoticamente estável; c. instável.

A demonstração desse teorema pode ser encontrada em [1]. Uma função de Lyapunov não é “única” e, obviamente, nos interessa sempre procurar aquelas mais simples. As funções de Lyapunov usualmente encontradas nas aplicações são funções quadráticas do tipo · , onde é uma matriz simétrica positiva definida. O teorema a seguir nos ajuda a encontrar uma função de Lyapunov para sistemas lineares assintoticamente estáveis.

Teorema da Função de Lyapunov para Sistemas Lineares Assintoticamente Estáveis:Se é uma matriz B m B onde todos os autovalores têm ° q 0 (matriz assintoticamente estável), então existe uma forma quadrática b · positiva definida tal que )b* b · é negativa definida. Veja maiores detalhes em [1].

5.5 Sistemas Autônomos Quase Lineares

Considere o sistema autônomo geral de segunda ordem

uG P, G v, i 23 Seja , um ponto de equilíbrio isolado deste sistema, ou seja, P, 0,v, 0 e existe - o 0 tal que P, w 0, v, w 0 para todo par , w, , , pertencente ao círculo de centro , e raio -.

Sabemos que G , G é uma solução constante de (23). Para analisar o comportamento das trajetórias nas vizinhanças do ponto de equilíbrio podemos, sem perda de generalidade, considerar 0 e 0 (se w 0 e w 0 fazemos a substituição ±, ²). Considerando as função P, e v, contínuas com derivadas de primeira ordem também contínuas numa vizinhança de 0, 0, podemos expandi-las pela Fórmula de Taylor e obtemos o Sistema (23) na forma

defeg G P0, 0 6P6 0, 0 6P6 0, 0 P, G v0, 0 6v6 0, 0 6v6 0, 0 v,

24iTemos que P0, 0 v0, 0 0 e

lim³# P, U lim³# v, U 0 25onde U (distância do ponto , à origem 0, 0).

Assim, o comportamento das órbitas numa vizinhança do ponto de equilíbrio 0, 0 é determinado pelo sistema linearizado

uG P0,0 P20, 0 G v0, 0 v20, 0 26i Em geral, dizemos que um sistema autônomo é quase linear, se for da forma

uG @ A P, G v, 27ionde P, e v, satisfazem a Propriedade (25).

Para o caso geral de um campo em $E, onde é ponto de equilíbrio, podemos escrever ´onde I¦ 01§0¨ e ´ é uma designação geral para as funções contínuas definidas em

uma vizinhança da origem e que são de ordem de nulidade inferior a ; isto é, podemos escrever ´ ppU onde lim#µ ´pp 0.O campo pode ser considerado como um campo linear perturbado por termos de ordem superior. No que se segue, iremos sempre supor que seja continuamente diferenciável, tal como no Teorema da Seção 5.1.

A questão agora é: em que condições a parte linear predomina sobre os termos de ordem superior na caracterização qualitativa no ponto crítico?

Esta questão é respondida pelo Teorema de Linearização de Lyapunov.

Teorema da Linearização de Lyapunov-Poincaré: Seja um campo continuamente diferenciável em uma vizinhança da origem onde podemos escrever ´

1. Então, se a matriz for assintoticamente estável, o ponto será assintoticamente estável para o campo .

2. Se a matriz tiver um de seus autovalores tal que ° o 0 (parte real positiva) então o sistema será instável.

3. Se todos os autovalores de forem tais que ° o 0, o ponto crítico é repulsor, isto é, existe uma vizinhança da origem M tal que se G for uma órbita não nula, existirá G, e para G o G temos que G ¶ M.

6. Critério de Routh-Hurwitz

Como discutido no Teorema da Seção 5.5, a estabilidade de um sistema autônomo depende dos autovalores da matriz associada. Em um sistema autônomo o polinômio característico da matriz associada tem a forma @E @E· ¸ @E 28onde B é o grau do polinômio, que é igual ao grau de liberdade do sistema. Em um sistema com grau quatro ou maior, é relativamente difícil encontrar explicitamente as raízes do polinômio característico. O critério de Routh-Hurwitz fornece condições para testar se todas as raízes de um polinômio tem parte real negativa sem o cálculo explícito das raízes. Para ilustrar o critério, vamos dar forma à disposição @ @@S @ 0 0 @ @ … 0… 0 @¹ @^@º @» @S @@¹ @^ … 0 … 0 … …@E· @E· … … @E·S … … … … @Eonde @I J 0, 1, 2, … , B são os coeficientes da equação (28). Construindo os determinantes

¼ @, ¼ @ @@S @, ¼S ½@ @ 0@S @ @@¹ @^ @S½,

h ¼E ¾ @ @@S @ 0 … 0@ … 0h h @E· @E· h ¿ h¸ ¸ @E

¾.Todos os elementos com índices U o B dever ser substituídos por 0. O critério de Routh-Hurwitz é uma condição necessária e suficiente para todas as raízes ¦, À 0, 1, 2, … , B do polinômio característico ter parte reais negativa são que todos os determinantes Δ, Δ, … , ΔÁ sejam positivos, sendo @ o 0.Os detalhes desse critério pode ser visto em [3].

7. Sistema Carro-Pêndulo Simples

Considere um carro de massa que desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito. Ele está ligado à parede por uma mola e um amortecedor . O carro de massa serve como eixo de rotação de um pêndulo simples de massa e comprimento (vide Fig. 11).

Figura 11

Vamos deduzir o modelo matemático desse sistema utilizando equações de Lagrange. Energia potencial do sistema:

M 2 (1 , cos ÂEnergia cinética do sistema:

L 12 Ã F 2ÂFF cos Â ÂF ÄLagrangiano do sistema:

L , M 12 Ã F ÂF ii2ÂFF cos ÂÄ , (1 , cos Â , 2 Equações de Lagrange:

G :66F; , 66 ,F66 ,G :66F; Â cos Â , ÂF sin ÂLogo,

Â cos Â , ÂF sin Â F 0G :66ÂF; , 66Â 066Â , sin Â )FÂF (*G :66ÂF; Â cos Â , FÂF sin Â

Logo,

Â cos Â ( sin Â 0 Tomando a mudança de variáveis F e ÂF V, segue que

FG G e ÂFG VGlogo, F e Â VF .

Assim, teremos o seguinte sistema:

deefeeg F F , sin Â V ( cos Â cos Â , ÂF V VF ( sin Â cos Â V sin Â , , ) cos Â , *

i

Os pontos de equilíbrio são obtidos do sistema

defeg 0 , sin Â V ( cos Â cos Â , 0 V 0 ( sin Â cos Â V sin Â , , ) cos Â , * 0

i

Logo, segue que r , ( sin Â cos Â 0 ( sin Â , cos Â 0iou seja,

u ( sin Â cos Â ( sin Â cos Â

ide onde obtemos 0, Â 0 ou cos Â , 0. Como, cos Â w , o único ponto de equilíbrio deste sistema é a origem 0, 0, 0, 0. Na vizinhança da origem, o sistema inicial pode ser aproximado pelo sistema linear

defeg F F 1 !(Â , , " ÂF V VF 1 ! , (Â"

i Forma matricial:

G ÅÂVÆ ! S ^" ÅÂVÆonde,

ÇÈÈÈÈÉ

0,0ÊËËËËÌ,

ÇÈÈÈÈÉ

1,0ÊËËËËÌ

S ÇÈÈÈÈÉ

0(0, ( ÊËËËËÌ , ^ Í0010Î

Temos que o polinômio característico é da forma

^ S ! ( " ( ( 0 .

Desde que o 0, podemos prosseguir verificando o sinal dos determinantes das matrizes de Hurwitz ¼I com J 1, 2, 3, 4. Os determinantes têm os valores

¼ o 0 ¼ ( o 0¼S ( o 0 ¼^ (S o 0 De acordo com o critério de Hurwitz, todas as raízes do polinômio característico têm parte real negativa. Segue do Teorema da Linearização de Lyapunov-Poincaré, que o ponto de equilíbrio 0, 0, 0, 0 é assintoticamente estável. 8. Função Lyapunov

Outra maneira de analisar a estabilidade no ponto de equilíbrio, é utilizando a função Lyapunov. Tomando a função energia «, , Â, V L M , onde:

M 2 (1 , cos ÂL 12 ! 2V cos Â V"

Temos que «, , Â, V é uma função de Lyapunov. De fato,

J«0, 0, 0, 0 0JJ«, , Â, V o 0 se , , Â, V w 0, 0, 0, 0, pois a função T é uma substituição de soma

de quadrados e o valor mínimo que a função V assume é n .

iii) «G , , Â, V 6«6 · F 6«6 · F 6«6Â · ÂF 6«6V · VF « · , , Â, VComo «, , Â, V é da forma

6«6 6«6 V cos Â6«6Â sin Â ( , V6«6V V cos Â

e o campo , , Â, V é

deefeeg F F , sin Â V ( cos Â cos Â , ÂF V VF ( sin Â cos Â V sin Â , , ) cos Â , *

i

temos que « · , , Â, V , Como o campo , , Â, V é continuamente diferenciável com o ponto crítico na origem, e a função «, , Â, V é uma função de Lyapunov satisfazendo « · , , Â, V q0 para todo , , Â, V w 0, 0, 0, 0. Então, o ponto crítico será assintoticamente estável.

9. Conclusão

No estudo do sistema carro-pêndulo obtivemos a origem como ponto de equilíbrio, o qual foi classificado como assintoticamente estável. Usando o Teorema de Lyapunov-Poincaré nos deparamos com a dificuldade de encontrar o sinal da parte real das raízes do polinômio característico, para isso utilizamos o Critério de Routh-Hurwitz. Por outro lado, empregando a Função de Lyapunov não nos deparamos com a mesma dificuldade, pois não foi necessário linearizar o sistema, todavia nem sempre é fácil encontrar uma função de Lyapunov. As técnicas utilizadas neste trabalho também podem ser aplicadas a uma grande gama de problemas dinâmicos que ocorrem em mecânica. Além disso, elas formam a base sobre o qual se apóiam estudos posteriores, sobre Bifurcação em Sistemas Dinâmicos.

10. Bibliografia

[1] Bassanezi, C.B. e Ferreira Jr, W.C., 1988, Equações Diferenciais com Aplicações, Editora Harbra, São Paulo.

[2] Kononenko, V., 1969, Vibrating Systems with Limited Power Supply, Illife.Books, London.

[3] Meirovitch, L., 2003, Methods of Analytical Dynamics, Dover, New York.

[4] Monteiro, L.H.A., 2002, Sistemas Dinâmicos, Editora Livraria da Física, São Paulo.

[5] Guckenheimer, J., Holmes, P., 1983, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo.

[6] Murdock, J.A., 1999, Perturbations Theory and Methods, SIAM, Philadelphia.

Anexo

Quadro 1Raízes e Natureza do

ponto crítico Esboço da órbita Estabilidade

Δ o 0 r o o 0 J q q 0 JJi nódulo (impróprio)

(i) (ii)

instável assintoticamente

estável

Δ o 0, q 0 q ponto de sela instável

Δ 0 r o 0 J q 0 JJi nódulo

(i) (ii)


estável

Δ q 0 Ï J o 0 J q 0 JJ i ponto espiral

(i) (ii)


estável

Δ q 0, 0 centro estável

PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS MISTOS

Simone P. Saramago e Valder Steffen Jr UFU, Universidade Federal de Uberlândia, Curso de Engenharia Mecânica

Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, CEP 38.408-100, Uberlândia, MG E-mail: [email protected] / [email protected]

Jefferson Duarte Silva Villares Metals SA, Alfredo Dumont Villares, 155, Jd. Santa Carolina, CEP 13.178-902

Sumaré - SP E-mail: [email protected]

Sezimária de Fátima Pereira Saramago UFU, Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Matemática

Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, CEP 38.408-100, Uberlândia, MG E-mail: [email protected]

1. INTRODUÇÃO

Em processos industriais, é comum a existência de muitos fatores ou variáveis que afetam a qualidade global do produto final. Neste contexto, alguns pesquisadores vêm estudando, desde a década de 1970, a Metodologia de Superfícies de Resposta (SR). Em essência, esta metodologia consiste em estimar coeficientes de regressão polinomial para a geração de um modelo empírico que aproxime uma relação (inicialmente desconhecida ou até mesmo conhecida, porém complexa) entre os fatores e as respostas de um processo. A técnica de superfície de resposta está se tornando popular e sendo usada em conjunto com técnicas de otimização. A primeira etapa desta metodologia consiste na modelagem, que é feita ajustando-se modelos polinomiais a resultados experimentais, obtidos por meio de planejamentos fatoriais com ou sem ampliação (Barros Neto et al., 1995). Após essa etapa, é possível deslocar-se sobre a superfície de resposta ajustada, a fim de localizar regiões que satisfaçam condições de interesse, calculando-se seus pontos extremos.

A superfície de resposta é útil quando o pesquisador não conhece a relação exata entre os fatores. Dentre as vantagens da metodologia, a principal é que seus resultados são robustos à influência de condições não ideais, tais como erros aleatórios e pontos influentes. Outra vantagem é a simplicidade analítica da superfície de resposta obtida, pois normalmente trabalha-se com funções polinomiais.

No desenvolvimento de produtos e processos, encontram-se, com freqüência, variáveis qualitativas como: cor da embalagem, forma do equipamento, tipo de sabor/aroma, tipo de ferramenta, presença ou não de lubrificação e muitas outras. Na terminologia empregada em análise de regressão, tais variáveis são conhecidas como variáveis indicadoras (dummy). Os métodos de otimização, que são técnicas já consagradas pelo uso, apresentam, porém, uma limitação, qual seja, sua utilização com variáveis qualitativas. Alguns trabalhos mais recentes (Cao et al., 2000) sugerem alternativas para a otimização seqüencial direta desses sistemas. O objetivo deste trabalho é apresentar planejamentos para sistemas mistos, com variáveis

qualitativas (indicadoras) e quantitativas, bem como a otimização dos modelos construídos, aplicando algoritmos genéticos. Técnicas evolutivas de otimização têm-se mostrado uma alternativa interessante, pois permitem trabalhar com modelos não-lineares, descontínuos, e convivem bem na presença de mínimos locais.

A metodologia desenvolvida é aplicada em dois estudos específicos. No primeiro caso, considera-se o problema estudado por Bona et al.(2002), que trata do

planejamento e otimização de queijo Minas frescal com adição de leite reconstituído. Devido à natureza de sazonalidade da produção leiteira, durante certo período do ano, ocorre uma queda na oferta e uma elevação no preço do queijo. Assim, o uso de leite reconstituído, misturado ao leite, poderia ser uma alternativa para a estabilização da oferta do produto no mercado. Por se tratar de um produto largamente consumido no Brasil, vários estudos vêm sendo realizados visando promover melhorias na técnica de fabricação. Uma das opções é a adição de ácido lático com finalidade de aumentar o rendimento (Furtado et al., 1980).

A segunda aplicação, por sua vez, refere-se à otimização dos parâmetros de corte, durante a fabricação de válvulas de motores de combustão interna. No planejamento do processo, as técnicas de otimização são adaptadas, possibilitando trabalhar tanto com variáveis qualitativas quanto com variáveis quantitativas. Como respostas do processo, realizam-se medições de dureza superficial. Após a execução de todos os experimentos, os métodos numéricos possibilitam obter a melhor condição de corte, que corresponde ao menor valor possível de dureza superficial.

2. METODOLOGIA

Superfície de Resposta (SR)

Um dos problemas mais comuns que um pesquisador pode enfrentar é a determinação da influência de uma ou mais variáveis sobre outra variável de interesse. Por exemplo, no estudo do volume do espaço de trabalho de um robô manipulador é interessante verificar como este volume é afetado ao se variar o ângulo entre as juntas do robô, os dados dimensionais, quando se considera a presença de pontos singulares.

Figura 1 – Representação de um sistema.

Esse problema é um caso particular da situação geral mostrada esquematicamente na Figura 1, em que certo número de fatores, F1, F2,... ,Fk, atuando sobre o sistema em estudo, produz as respostas R1, R2, ...,Rj. O sistema pode ser uma função desconhecida que se deseja determinar ou até mesmo uma função conhecida, porém de formulação analítica complexa.

Os fatores (ou variáveis de projeto), isto é, as variáveis controladas durante os testes tanto podem ser qualitativas (como a presença ou não de pontos singulares, como no exemplo anterior) como quantitativas (como os dados dimensionais do robô). Dependendo do problema, pode haver mais de uma resposta de interesse. Eventualmente essas respostas também podem ser qualitativas.

Existem muitas áreas nas quais não se conhece a relação exata entre as respostas e as variáveis de projeto, mas se deseja saber como é a relação entre elas. Neste caso é muito útil usar um modelo empírico apropriado da forma y=f(z1, z2,…,zn). Esta função f é geralmente um polinômio de primeira ou segunda ordem. Tal modelo empírico é chamado de superfície de resposta. Quando o modelo polinomial é usado, os coeficientes do polinômio podem ser estimados usando o Método dos Mínimos Quadrados. É necessário conhecer os valores das respostas para algumas combinações das variáveis de projeto (ou fatores) para construir a superfície de resposta (SR). Cada combinação das variáveis de projeto pode ser vista como um ponto no espaço de projeto n-dimensional, onde n é o número total de variáveis de projeto. Um arranjo particular de pontos no espaço de projeto é conhecido como um projeto experimental ou projeto de experimentos (DOE – design of experiments). O projeto experimental é chamado de planejamento fatorial.

Para executar um planejamento fatorial é necessário em primeiro lugar especificar os níveis em que cada fator será estudado, isto é, os valores dos fatores (ou as versões, nos casos qualitativos) que serão empregados.

Um planejamento fatorial requer a execução de experimentos para todas as possíveis combinações dos níveis dos fatores. Em geral, se houver n1 níveis do fator 1, n2 do fator 2,..., e nkdo fator k, o planejamento será um fatorial n1x n2 x ...x nk de experimentos. Este é o número mínimo para se ter um planejamento fatorial completo. Pode-se desejar repetir ensaios para se ter uma estimativa do erro experimental e, nesse caso, o número total de experimentos será maior. Havendo k fatores, isto é, k variáveis controladas pelo experimentador, o planejamento de dois níveis há de exigir a realização de 2x2x...x2 = 2k ensaios diferentes, sendo chamado por isso de planejamento fatorial 2k (Barros, 1995).

No planejamento experimental com n variáveis, o modelo empírico usado para aproximar a relação entre os fatores e as respostas é um polinômio de grau um ou de grau superior. A expressão usada para calcular esse polinômio é dada por:

e)X(fY (1)

sendo que f(X) = f(x1,..., xn) é um polinômio de grau um ou de grau superior. O vetor coluna Y contém as respostas observadas e o vetor coluna e contém os resíduos. O polinômio f(X) pode ser representado na forma matricial:

bX)X(f (2)

sendo que o vetor coluna [b] contém os coeficientes desconhecidos e [X] é a matriz formada pelos valores observados no planejamento fatorial. Denotando por N o número total de pontos no espaço experimental, o processo para calcular os coeficientes [b] envolve a minimização da soma dos quadrados dos resíduos:

2N

1iii fyminSrmin (3)

Os resultados deste processo são as equações normais, que podem ser expressas na forma matricial como:

YXbXX TT (4)

Assim, os coeficientes podem ser calculados usando uma simples multiplicação de matrizes:

YXXXb T1T (5)

A Equação 5 é utilizada na determinação da superfície que se aproxima dos pontos do planejamento no espaço do experimento, denominada como Superfície de Resposta (SR). A vantagem de usar a Equação 5 é o baixo custo computacional necessário para determinar os coeficientes da superfície de resposta. É importante notar que para se calcular os coeficientes é necessário um número de pontos maior do que o número de termos no polinômio.

A análise dos resíduos é fundamental na avaliação da qualidade da superfície ajustada (ou modelo). Um modelo que deixe resíduos significativos é obviamente um modelo inadequado. Já o modelo ideal não deixaria nenhum resíduo, ou seja, todas as suas previsões coincidiriam com os resultados observados. Procedimentos de teste de significância são úteis para aferir a qualidade da aproximação gerada a partir de um conjunto de dados. Tais testes são baseados na análise de variância e requerem a obtenção de parâmetros estatísticos (Montgomery, 1984).

2.2. Algoritmos Genéticos

A fundamentação dos Algoritmos Genéticos é baseada na genética natural. Desta forma, é comum o uso dos termos: indivíduos de uma população, cromossomos, genes e alelos. Nos Algoritmos Genéticos, a população de indivíduos é um conjunto de pontos do domínio da função a ser maximizada ou minimizada. A quantidade de pontos depende do número de variáveis de projeto do problema em questão. Algoritmos genéticos são algoritmos iterativos, em que a cada iteração a população é modificada, usando as melhores características dos elementos da geração anterior e submetendo-as aos três tipos básicos de operadores, para produzir melhores resultados (Goldberg, 1989). Para atingir estes objetivos são usados os seguintes processos:

Reprodução: é um processo no qual cada cadeia é copiada levando em conta os valores da função de adaptação f. A probabilidade ou aptidão de cada indivíduo é um valor que representa o grau de adaptabilidade deste, ou seja, o quão próximo o indivíduo está da solução do problema em relação aos indivíduos da população. Esta probabilidade é medida com auxílio da função objetivo e pode ser dada pela seguinte expressão:

)X(f)X(fp

c

ci , sendo pi =1 (6)

Este processo é denominado seleção por roleta. Existem outras formas, tais como torneio e elitista. Para se calcular o valor da função de adaptação fc, deve-se primeiro converter a seqüência binária (base 2) para a base 10, ou seja, deve-se decodificar um cromossomo, conforme a expressão:

1m

0j

jiji

i2bx (7)

Em seguida, calcula-se o valor real da variável xi, dentro da região viável, através da relação:

12

xxxxx

im

li

ui

ilii (8)

Cruzamento: é um processo no qual a combinação em partes de cada um de dois cromossomos gera um novo descendente.

Mutação: é a modificação aleatória ocasional (de baixa probabilidade) do valor de um alelo da cadeia.

De modo geral, suponha que se deseja otimizar uma função f qualquer de n variáveis,

f(X) = f(x1, x2,..., xn) (9)

sujeita a

xil < xi < xi

u i = 1, 2, ... , n (10)

Então cada seqüência de n variáveis é denominada de cromossomo ou indivíduo (Haupt & Haupt, 1998) e cada uma das n variáveis é um gene. Cada gene é representado no sistema binário; os bits 0 e 1 são denominados alelos. O comprimento de cada gene depende da precisão requerida para o problema e da amplitude do intervalo onde ele está definido. O domínio de definição do gene xi é o intervalo (xi

l, xiu). Admitindo que a precisão do problema é de p casas decimais, então

o intervalo ( xil, xi

u ) deve ser dividido em (xiu - xi

l)10p subintervalos iguais. Portanto, o gene xideverá ter pelo menos mi bits, pois:

ii mPli

ui

1m 210)xx(2 (11)

Em outras palavras, o comprimento do gene xi é a menor potência de 2 dentre aquelas em que 2M supera (xi

u - xil)10p. Assim, cada cromossomo tem um total de n21 mmm bits

(alelos) e é representado por:

n0

n1

n2m

n1m

20

21

22m

21m

10

11

12m

11mk bbbbbbbbbbbbC

nn2211 (12)

Em que iib (que tem valor 0 ou 1) é o (mi – j)-ésimo alelo correspondente ao i-ésimo gene.

O procedimento consiste em criar, aleatoriamente, uma população inicial de indivíduos C1,C2,..., Cn. Em seguida, todos os indivíduos dessa população são modificados, submetendo-os aos operadores genéticos; reprodução, cruzamento e mutação. Considerando estas definições, segundo Saramago (2003), o processo de otimização utilizando algoritmos genéticos é representado pelo fluxograma da Figura 2.

Fim

precisãoxxm ii

i

infsup

2log

Criar a população

Seleção

Cruzamento

Avaliar o custo

Mutação

12

infsup

2inf

imii

iiixxgenedecimalxx

Não

Sim

Decodificação

CodificaçãoInício

1

0

1 0 1 11 0

1 01 10 0

1 0 1 1 01 0

1 1 00 11 1

Critério de parada satisfeito? Fim

precisãoxxm ii

i

infsup

2log

Criar a população

Seleção

Cruzamento

Avaliar o custo

Mutação

12

infsup

2inf

imii

iiixxgenedecimalxx12

infsup

2inf

imii

iiixxgenedecimalxx

Não

Sim

Decodificação

CodificaçãoInício

1

0

1 0 1 11 0

1 01 10 0

1

0

1 0 1 11 0

1 01 10 0

1 0 1 11 0

1 01 10 0

1 0 1 1 01 0

1 1 00 11 1

1 0 1 1 01 0

1 1 00 11 1

Critério de parada satisfeito?

Figura 2 - Fluxograma básico de um algoritmo genético binário.

2.3. Planejamento de sistemas mistos contendo variáveis qualitativas e quantitativas

Os sistemas mistos podem ser modelados através da adição de uma variável indicadora z e o respectivo coeficiente , sendo seu valor estimado de modo análogo aos coeficientes de regressão. Se a variável possui dois níveis (A e B), ao termo z é atribuído 0 (zero) para o nível A e1 (um) para o B. Quando existem três níveis (A, B e C), são atribuídos -1 (um negativo) para o nível A, 0 (zero) para o nível B e 1 (um) para o C. Neste trabalho, a análise estatística da matriz de dados foi realizada através de um código computacional de Regressão Múltipla desenvolvido pelos autores utilizando o software Matlab®.

A otimização por meio dos algoritmos genéticos utiliza a sub-rotina GAOT do MATLAB® (Grace, 1992). Esta realiza os cálculos normalmente dentro desse intervalo padrão. Porém, os valores obtidos são arredondados para números inteiros, por meio de uma função interna e só então são substituídos no modelo para a estimativa da resposta.

Esse procedimento, no caso da variável qualitativa possuir dois níveis, exige a inclusão de uma restrição, dada pela expressão:

0 < z < 1 (13)

No entanto, quando a variável qualitativa possui 3 níveis, a restrição incluída considera o fato de que o valor absoluto de z deve sempre ser menor ou igual a 1:

|z| 1 (14)

3. APLICAÇÕES

3.1. Planejamento e otimização na obtenção de queijo Minas frescal com adição de leite reconstituído

O objetivo é a maximização do rendimento na produção do queijo Minas frescal com adição de leite reconstituído e a verificação da influência da adição de ácido lático durante o processo. Os resultados obtidos, que serão otimizados utilizando algoritmos genéticos, serão posteriormente comparados com os encontrados por Bona et al. (2002) através de técnicas seqüenciais do programa otplex.

Como foram controlados apenas três fatores (um qualitativo e dois quantitativos), Gacula (1993) sugeriu um delineamento fatorial 22 com ponto central, para eventual teste da curvatura. Este fatorial foi repetido duas vezes para acomodar a variável qualitativa (Tabela 1). Considera-se a variável qualitativa relacionada à presença (z=1) ou ausência de ácido lático (z=0) e as variáveis quantitativas referem-se à porcentagem de leite reconstituído e à quantidade de CaCl2presente no leite.

No processo de obtenção de queijo com acidificação direta adicionou-se 0,9 mL de ácido lático 85% a 4,0 L de leite tipo C homogeneizado (Furtado et al., 1980). Como agente coagulante foi utilizada a quimosina (3 mL) e a temperatura de coagulação foi mantida em 37 ± 1ºC. Todos os queijos foram produzidos conforme o fluxograma proposto por Saboya et al. (1998). Nesta aplicação, serão utilizados dados do trabalho apresentado por Bona et al. (2002), conforme mostrado na Tabela 1.

Por meio da análise dos resultados experimentais de cada tratamento (Tabela 1), Bona et al.(2002) elaboraram um modelo de regressão linear para o rendimento através do software STATISTICA (1998). Neste trabalho, as superfícies de resposta obtidas, utilizando Regressão Polinomial Múltipla (Montgomery, 1984), são dadas pelas seguintes expressões:

rendimento = 64,946 1,991x1 + 0,411x2 2,342z (15)

rendimento = 65,071 – 1,9912 x1+0,4112 x2 – 2,3420 z -0,1562 x12-0,1562 x2

2 +0,1813 x1 x2 (16)

A superfície de resposta linear obtida neste estudo foi coincidente com a apresentada por Bona et al. (2002) e é dada de acordo com a Equação 15. O modelo encontrado apresenta razoável capacidade preditiva (R2 = 0,784) e baixa variabilidade (C.V. = 2,3%). Elaborou-se ainda um modelo de regressão quadrático para o rendimento. A superfície de resposta é representada pela Equação 16. Este modelo apresenta capacidade preditiva e variabilidade um pouco maiores que as correspondentes à superfície de resposta linear (R2= 0,793 e C.V. = 2,8%).

Tabela 1 – Delineamento experimental com os níveis de variação dos fatores, segundo Bona et al. (2002) Variáveis

codificadasVariáveisOriginaisNúmero do

experimentoz x1 x2

Presençade ácido

Leite Reconstituído (%)

CaCl2(g/100 L de leite)

Rendimento experimental

(%)

1 0 -1 -1 ausente 10 10 68,33 2 0 1 -1 ausente 40 10 60,95 3 0 -1 1 ausente 10 30 67,36 4 0 1 1 ausente 40 30 64,13 5 0 0 0 ausente 25 20 63,96 6 1 -1 -1 presente 10 10 62,68 7 1 1 -1 presente 40 10 61,37 8 1 -1 1 presente 10 30 64,57 9 1 1 1 presente 40 30 60,56 10 1 0 0 presente 25 20 63,84

z= (0) ácido lático ausente e (1) ácido lático presente; x1 = (leite reconstituído – 25)/15; x2 = (CaCl2– 20)/10

Para cada aplicação do algoritmo genético, foi utilizada uma população de 80 indivíduos e 100 gerações, sendo executadas 40 iterações do método, escolhendo-se então o melhor valor. Após 1759 iterações realizadas ao longo de 18,24 s, encontrou-se como ponto ótimo da superfície de resposta linear condições idênticas ao 3º experimento (rendimento = 67,36 %). Bona et al.(2002), através do programa otplex, obtiveram o mesmo resultado. O ponto ótimo obtido para uma superfície de reposta quadrática, após 1975 iterações e 18,21 s, também equivale às condições do terceiro experimento, mas, neste caso, o rendimento previsto é um pouco inferior ao apresentado pelo modelo linear (rendimento = 66,98 %).

Através dos modelos obtidos é possível construir as superfícies de resposta linear e quadrática para o rendimento com ou sem adição de ácido lático (Figuras 3 e 4, respectivamente).

Figura 3 – Superfície de Resposta Linear para o rendimento na produção de queijo minas frescal com ou sem adição de ácido lático.

Figura 4 – Superfície de Resposta Quadrática para o rendimento na produção de queijo minas frescal com ou sem adição de ácido lático.

As Figuras 3 e 4 confirmam os resultados das otimizações e fica evidente que o processo com melhor rendimento é aquele em que ácido lático está ausente. Essa conclusão, porém, não deve ser generalizada para a produção nas condições onde não há adição de leite reconstituído (Furtado et al., 1980).

3.2. Planejamento e otimização dos parâmetros de corte durante a fabricação de válvulas

O objetivo é obter a melhor condição de corte durante a fabricação de válvulas de motores de combustão interna, que corresponde ao menor valor possível de dureza superficial.

Na otimização dos parâmetros de corte, são controlados quatro fatores (dois qualitativos e dois quantitativos), cujos níveis de parâmetros são mostrados na Tabela 2. Observe que as variáveis quantitativas são: x1 que representa a velocidade de corte Vc (m/min) e x2 que está relacionada com o avanço linear f (m/min). As variáveis qualitativas são dadas por: x3 que permite a escolha entre dois tipos de óleo de corte a ser usado na usinagem e x4 representa a escolha entre três tipos de inserto para a ferramenta de corte.

Para a obtenção de dados que permitissem a aproximação do fenômeno por uma superfície de resposta foi utilizado um planejamento fatorial completo, resultando em 54 ensaios (27 ensaios (33) para fluido de corte da Iorga + 27 ensaios (33) para fluido de corte da Blaser), conforme apresentado na Tabela 3.

Superfícies de resposta foram obtidas utilizando regressão polinomial múltipla (Montgomery, 1984).

Para a solução do problema de otimização, que visa minimização da dureza, foi utilizado o método de algoritmo genético. Em cada aplicação do método considerou-se uma população de 80 indivíduos e 100 gerações, sendo executadas 40 iterações do método, escolhendo-se o melhor valor.

Tabela 2 – Valores e Níveis dos Parâmetros.

Nível dos

Parâmetros

Óleo de Corte (x3)

Inserto (x4)

Vc(x1)

f(x2)

-1 - Saar Hartmetal 40,0 2,0

0 Blaser Swissluble Boehlerit 50,0 3,0

1 Iorga Hetran 60,0 4,0 .

Tabela 3 – Projeto experimental: níveis de variação dos fatores e respostas para cada teste.

Planejamento Fatorial CompletoTeste Óleo de Corte Inserto Vc f Dureza

[HB] 1 0 -1 -1 -1 358,2 2 0 -1 -1 0 353,1 3 0 -1 -1 1 357,7 4 0 -1 0 -1 362,2 5 0 -1 0 0 364,6 6 0 -1 0 1 352,1 7 0 -1 1 -1 362,9

8 0 -1 1 0 367,1 9 0 -1 1 1 344,9 10 0 0 -1 -1 353,5 11 0 0 -1 0 356,0 12 0 0 -1 1 356,2 13 0 0 0 -1 360,4 14 0 0 0 0 368,5 15 0 0 0 1 380,2 16 0 0 1 -1 373,4 17 0 0 1 0 383,9 18 0 0 1 1 387,4 19 0 1 -1 -1 353,4 20 0 1 -1 0 357,3 21 0 1 -1 1 367,0 22 0 1 0 -1 370,2 23 0 1 0 0 378,1 24 0 1 0 1 366,9 25 0 1 1 -1 367,9 26 0 1 1 0 367,5 27 0 1 1 1 373,7 28 1 -1 -1 -1 353,7 29 1 -1 -1 0 356,5 30 1 -1 -1 1 360,2 31 1 -1 0 -1 361,7 32 1 -1 0 0 361,8 33 1 -1 0 1 361,0 34 1 -1 1 -1 387,5 35 1 -1 1 0 378,0 36 1 -1 1 1 366,2 37 1 0 -1 -1 364,1 38 1 0 -1 0 365,9 39 1 0 -1 1 369,2 40 1 0 0 -1 371,9 41 1 0 0 0 388,8 42 1 0 0 1 388,9 43 1 0 1 -1 373,6 44 1 0 1 0 361,3 45 1 0 1 1 355,4 46 1 1 -1 -1 361,3 47 1 1 -1 0 357,4 48 1 1 -1 1 362,5 49 1 1 0 -1 377,1 50 1 1 0 0 374,5 51 1 1 0 1 374,9 52 1 1 1 -1 384,4 53 1 1 1 0 379,5 54 1 1 1 1 386,7

Por meio da análise dos resultados experimentais de cada tratamento (Tabela 3), dois modelos de regressão para a dureza foram elaborados: um linear e um quadrático. As superfícies de resposta encontradas, utilizando regressão polinomial múltipla (Montgomery, 1984), equivalem às seguintes expressões:

Dureza = 369.7778+6.6139 x1+ 0.3806 x2-5.1741 x3 + 4.1917 x4 (17)

Dureza = 376.1056 +6.6139 x1-0.5722 x2 -5.1741 x3 + 3.9833 x4 - 4.5306 x12 - 0.8639 x2

2-5.1741 x3

2-4.0972 x42 - 2.6667 x1 x2+6.6139 x1 x3 +1.4000 x1 x4 +1.4000 x2 x3+ 2.5625 x2 x4 +

0.4167 x3 x4 (18)

A superfície de resposta linear encontrada neste estudo é dada de acordo com a Equação 17. O modelo apresenta baixa variabilidade (C.V. = 2,55%). A superfície de resposta quadrática obtida para a dureza é representada pela Equação 18. Esta superfície possui variabilidade um pouco maior que a correspondente à superfície de resposta linear (C.V. = 2,83%).

Em cada aplicação do método de algoritmos genéticos, para minimização da dureza, foi utilizada uma população de 80 indivíduos e 100 gerações, sendo executadas 40 iterações do método, escolhendo-se o menor valor.

Encontrou-se como ponto ótimo da superfície de resposta linear condições idênticas ao 28º experimento com uma dureza mínima menor que a experimental (dureza = 353,4175). O ponto ótimo obtido para a superfície de reposta quadrática, também equivale às condições do 28° experimento, mas, neste caso, a dureza prevista é ainda menor que as obtidas no teste e no modelo linear (dureza = 338,6003).

Condições do 28º experimento :

Óleo de corte – Iorga

Tipo de inserto: Saar

Vc: 40 m/min

f: 2 m/ min

Dureza (HB): 353,7

Através dos modelos obtidos é possível construir as superfícies de resposta linear e quadrática para análise da presença do óleo de corte e escolha do inserto (Figuras 5 e 6, respectivamente).

Figura 5 – Análise da presença do óleo de corte e escolha do inserto – Modelo linear.

Figura 6 – Análise da presença do óleo de corte e escolha do inserto – Modelo quadrático.

As Figuras 5 e 6 confirmam os resultados das otimizações e mostram que o processo em que as válvulas fabricadas terão menor dureza superficial é aquele em que o óleo de corte Iorga está presente e no qual o inserto escolhido é o Saar.

4. CONCLUSÕES

Na área de desenvolvimento de sistemas, durante a otimização de projetos, é comum encontrar-se sistemas mistos, ou seja, que dependem de variáveis qualitativas e quantitativas. O trabalho propôs uma metodologia alternativa, baseada em técnica de superfície de resposta usada em conjunto com métodos de otimização, para o planejamento e otimização destes sistemas.

As superfícies de resposta apresentadas neste estudo foram aproximadas por funções polinomiais de 1º e 2º graus. Estimaram-se os coeficientes desses polinômios usando o Método dos Quadrados Mínimos. Por meio da adaptação do algoritmo de otimização foi possível a simulação e otimização de sistemas mistos, considerando a inclusão de restrições. A metodologia desenvolvida foi aplicada em dois estudos específicos.

O primeiro refere-se à maximização do rendimento na produção do queijo Minas frescal com adição de leite reconstituído e na verificação da influência da adição de ácido lático durante o processo. Neste experimento, que envolvia um fator qualitativo e dois quantitativos, todos com 2 níveis, construiu-se um modelo a partir de um planejamento fatorial (22) mais o ponto central, com a simples inclusão da variável qualitativa. Foram desenvolvidos dois modelos, sendo um linear e outro quadrático. O modelo linear se mostrou um pouco mais eficiente que o quadrático. Com a construção das superfícies de resposta, verificou-se que o processo com melhor rendimento é aquele em que ácido lático está ausente. Comparou-se o modelo linear obtido com aquele elaborado por Bona et al. (2002),e observou-se que os resultados são idênticos.

Já o segundo estudo considera o caso da otimização dos parâmetros de corte, durante a fabricação de válvulas de motores de combustão interna, cujo objetivo é minimizar a dureza superficial. Ao planejar experimentos específicos para dois fatores qualitativos (um com 2 níveis e o outro com 3 níveis) e dois quantitativos (ambos com 3 níveis) foi construído um modelo misto a partir de um delineamento fatorial completo (23). Repetiu-se o fatorial a fim de acomodar a variável qualitativa com 2 níveis, resultando em 54 ensaios. Foram desenvolvidos dois modelos: um linear e um quadrático. Apesar dos dois terem encontrado o ponto ótimo sobre as mesmas condições, o modelo quadrático se mostrou mais eficiente que o linear. Vale ressaltar, ainda, que os dois modelos apresentaram resultados melhores que o encontrado no teste com essas condições. Construindo-se as superfícies de resposta é possível verificar que o processo em que as válvulas fabricadas terão menor dureza superficial é aquele em que o óleo de corte Iorga está presente e no qual o inserto escolhido é o Saar.

Os resultados, no caso das duas aplicações, são considerados satisfatórios e mostraram que a modelagem proposta é uma ferramenta eficiente para a otimização de sistemas com vários níveis de complexidade.

5. AGRADECIMENTOS

O primeiro autor agradece o CNPq por conceder suporte financeiro através da bolsa de estudos no C-028/2008.

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Statistica, Statistica for Windows, StatSoft Inc., Tulsa, 1998.

Construcoes Geometricas UtilizandoSomente Regua e Compasso

Viviane Carvalho Mendes ∗ Weber Flavio Pereira†

Faculdade de Matematica - FAMAT

Universidade Federal de Uberlandia - UFU - MG

Outubro de 2008

Resumo

Os problemas de construcoes geometricas tem sido sempre temas favoritos emgeometria e tais problemas apareceram ja no seculo V a.C., na epoca dos pitagoricose exerceram grande influencia no desenvolvimento da matematica grega.

Em meados do seculo III a.C., epoca de Euclides, novas ideias geometricassurgem, e com elas, uma nova algebra completamente geometrica, onde o obje-tivo nao era resolver problemas, mas sim construir suas solucoes. Nessa epoca,muitos problemas foram propostos e resolvidos.

O surgimento dessa nova algebra geometrica se deve ao monumental “Os Ele-mentos”de Euclides, consistindo de treze livros, como o sao chamados e que lancauma hipotese, de certa forma complicadora, mas que se tornou um desafio muitofertil ao posterior desenvolvimento da matematica. Hipotese essa a de se construirobjetos matematicos com regua (sem marcas) e compasso, apenas.

O objetivo principal desse trabalho e apresentar algumas construcoes geometricascom regua e compasso, dentre elas as etapas da construcao de Euclides para opentagono regular, a construcao de Gauss para o polıgono regular de 17 lados e oproblema de Apolonio.

Palavras-chave: Construcoes geometricas, polıgonos, regua e compasso.

1 Construcao de Euclides Para o Pentagono Regular

O problema de construir o pentagono regular usando somente regua e compasso e, navisao atual, um problema simples. Para isso, basta construir um decagono regular, ouseja, basta construir um angulo de 36o = 360o

10. Nesta secao, vamos apresentar a construcao

feita por Euclides para o pentagono. Euclides desenvolveu onze resultados iniciais queapresentaremos na sequencia.

Teorema 1 Paralelogramos com a mesma base, e com vertices pertencentes a duas retasparalelas dadas, possuem a mesma area.

Demonstracao. O paralelogramo ABCD e o paralelogramo EBCF estao sobre a mesmabase BC e estao entre duas retas paralelas L1 e L2.

∗vivi [email protected]†[email protected] - Professor orientador.

L1

L2

B C

A D E F

G

Os triangulos ABE e DCF sao congruentes, ja que BC e lado comum e EB e FC saocongruentes, pois sao os lados do paralelogramo, logo a area do paralelogramo ABCD eigual a soma da area do triangulo BCG, com a area do triangulo ABE subtraıda a areado triangulo DGE e o paralelogramo EBFC e igual a soma da area do triangulo BCG coma area do triangulo DCF subtraıda a area do triangulo DGE.

Teorema 2 Triangulos que tem a mesma base e com vertices pertencentes a retasparalelas possuem mesma area.

L1

L2

A

B C

D FE

Demonstracao. Decorre do teorema 1, observe que AC e a diagonal do paralelogramoABCD e a mesma coisa ocorre para a medida FB em relacao ao paralelogramo EBCF.

Logo a area do triangulo ABC e igual a metade da area do paralelogramo ADBC e otriangulo FBC e igual a metade da area do paralelogramo EFBC e como os paralelogramospossuem mesma area, os triangulos tambem possuirao areas iguais.

Teorema 3 Se um paralelogramo e um triangulo tem a mesma base e estao situados entreduas retas paralelas dadas, entao o paralelogramo tem area duas vezes a area do triangulo.

Demonstracao. Segue direto do teorema 2.

Teorema 4 Em qualquer paralelogramo, os complementos dos paralelogramos construıdossobre a diagonal do paralelogramo dado sao iguais em area.

AB

CD

I

I

II

II

A1

A2

V

E

F

GH

Demonstracao. Considere o retangulo ABCD, sejam EF uma reta paralela ao lado DBe GH uma reta paralela a DC, elas se intersectam em um ponto V. Observe que AD e adiagonal do retangulo ABCD, logo os triangulos I possuem a mesma area, analogamenteas areas dos triangulos II sao iguais. Daı quando subtraımos do retangulo ABCD duasvezes a area do triangulo I e duas vezes a area do triangulo II restara somente a area doretangulo A1 somado com a area do retangulo A2. Portanto A1 = A2.

Teorema 5 (Teorema de Pitagoras): Em triangulos retangulos, o quadrado construıdosobre o lado que subentende o angulo reto e igual a soma dos quadrados que contem oangulo reto.

A B

C

D

E F

G

HT

Demonstracao. Sobre os lados dos triangulos sao construıdos quadrados. A altura dotriangulo ABC e CH, a qual e prolongada ate F. Sao tracados os segmentos BD e CE.Observe que os triangulos ABD e CAE sao congruentes (pois ambos estao sobre os ladosdos quadrados).

O quadrado sobre AC tem area duas vezes a area do triangulo DAB, pois eles tema mesma base AD e estao sobre as mesmas retas paralelas, analogamente o retanguloAEFH tem area duas vezes a area do triangulo CAE, pois possuem e vertices sobre duasretas paralelas.

Como os dois triangulos sao congruentes entao o quadrado sobre AC tem area igual aarea do retangulo AEFH.

Analogamente, o quadrado sobre BC tem area igual a area do retangulo sobre HB edesta maneira a soma das areas dos quadrados sobre AC e BC e igual a soma das areasdos triangulos que e exatamente o quadrado sobre AB.

Teorema 6 Sejam AB um segmento de reta e C o ponto medio desse segmento. Adi-cionamos a esse segmento, em linhas retas, o segmento BD e construımos as seguintesfiguras:

A1 = o retangulo com base AD e altura DE igual a BD.A2 = quadrado com medida do lado igual ao segmento CB (correspondendo na figura,

o quadrado FGHI)A3 = quadrado de lado CD (correspondendo na figura, ao quadrado CDJG).A soma das areas das figuras A1 e A2 e igual a area da figura A3.

A C B

D

E

F

G HI

I II

IIIα2

β2

α α β

β

Demonstracao. (2α + β)β + α2 = (α + β)2

E o retangulo I tem a mesma area do retangulo II, logo a area do retangulo mais aarea do quadrado e igual a area do quadrado maior, ou seja, (2α + β)β + α2 = (α + β)2.

Teorema 7 Dividir um segmento de reta dado de maneira que a area do retangulo de-terminado por esse segmento e por uma das partes dessa divisao, seja igual a area doquadrado construıdo sobre a outra parte dessa divisao.

A B

C D

F

E

G

H

K

Demonstracao. O nosso problema e encontrar o ponto H sobre AB de tal maneira que

AB.HB seja igual a AH2. Para isso, sobre AB construa o quadrado ABCD e, em seguida,

divida AC ao meio, no ponto E. Prolonga AC alem do ponto A ate um ponto F de talmaneira que EF seja igual a EB. Sobre AB marque o ponto H, de tal maneira que AHseja igual a AF . Logo H e o ponto procurado.

De fato, primeiramente completamos o quadrado AFGH e prolongamos GH ate K.Feito isso, o teorema 6 nos garante que:

FC.FG + AE2

= EF2. (1)

Note que EF e igual a EB, daı usando o teorema de Pitagoras no triangulo AEB e aequacao (1), temos:

EB2

= AB2+ AE

2 ⇒ FC.FG + AE2

= AB2+ AE

2,

ou seja,

FC.FG = AB2. (2)

A equacao (2) nos diz que o retangulo de lados FC e FG tem area igual a area doquadrado de lado AB. Subtraindo dessas duas figuras o retangulo comum de lados ACe AH, obtemos que o quadrado de lado AH tem area igual a do retangulo determinadopelos lados HB e DB, ou seja,

AH2

= HB.AB

conforme querıamos demonstrar.

Teorema 8 Se de um ponto P externo a um cırculo, tracarmos uma reta tangente aocırculo em T, e uma reta arbitraria que o intersecta em R e S, teremos entao sempre a

seguinte relacao PR · PS = PT2.

Demonstracao.Primeiro caso: Quando a reta passando por P, passa pelo centro do cırculo.

CP R

S

T

Observe que RS e o diametro do cırculo e PR e o segmento adicionado a esse diametro.Pelo teorema 6, podemos afirmar o seguinte:

PR · PS + RC2

= PC2.

Daı como TC2

= RC2, temos que:

PR · PS + TC2

= PC2 ⇒ PR · PS = PC

2 − TC2 ⇒ PR · PS = PT

2.

Segundo caso: A reta que passa por P nao passa pelo pelo centro do cırculo.

CP

R

S

T

M

Seja M o ponto medio do segmento RS e PR o segmento adicionado a RS, usando oteorema 6, temos:

PR.PS + RM2

= PM2.

Adicionando CM2

a ambos os membros temos:

PR.PS + (RM2+ M

2) = PM

2+ CM

2 ⇒ PR.PS + RC2

= PC2

mas observe que RC2

= TC2, logo

PR.PS + TC2

= PC2 ⇒ PR.PS = PC

2 − TC2 ⇒ PR.PS = PT

2.

Teorema 9 Se de um ponto A exterior a um cırculo, forem tracadas duas retas, uma

que intersecta o cırulo em B e F e outra o cortando em D, e se AB.AF for igual a AD2

entao AD e tangente ao cırculo em D.

Demonstracao.

CA

B

F

T

D

Do ponto A tracamos uma reta AT tangente ao cırculo. Do teorema 8, sabemos que

AT2

= AB.AF , mas segue-se da hipotese que AD2

= AB.AF , entao AD2

= AT2.

Portanto AD tambem e tangente ao cırculo.

Teorema 10 O angulo α entre uma tangente e uma corda de um cırculo e igual ao angulocompreendido pelo arco determinado pela corda, do lado da corda oposto a α.

R

S

U

O

α

2α

α

P

Demonstracao. Temos que o angulo OUP e um angulo reto pois a reta UP e tangenteao cırculo no ponto U. Agora

RSU =1

2ROU (3)

contudo, ROU = 180o − (OU + URO).

Como o triangulo URO e isosceles temos que OUR = URO. Daı ROU = 180o−2OUR.Substituindo em (3), temos:

RSU =1

2(180o − 2.OUR = 90o − OUR

mas temos que α = 90o − OUR, portanto RSU e igual a α, conforme querıamos demon-strar.

Teorema 11 Construir um triangulo isosceles que tenha cada um dos angulos da baseigual a duas vezes o terceiro angulo.

AB

C

D

δ ε β

γα

Demonstracao. Seja AB um segmento de reta e C um ponto sobre esse segmento, peloteorema 7, podemos dividir AB, de tal maneira que AC2=AB.CB, em seguida tracamosum cırculo em A e raio AB. Marcamos a corda BD de tal modo que que BD= AC.

O triangulo procurado e o triangulo ABD, pois β = δ + γ = 2α.Justificativa:1o) Construımos um cırculo circunscrito ao triangulo ACD, como AC e igual a BD,

podemos substituir AC2

= AB.CB, por BD2

= AB.CB, pelo teorema 9, concluımos queBD e tangente ao cırculo em D, logo α = γ.

Agora precisamos provar que α = δ2o) α = γ ⇒ α+ = γ + δ (pois como o triangulo ACD e isosceles temos que α = δ ⇒

α + γ = δ + γ).3o) ε e um angulo externo do triangulo ACD, logo ε = α+δ, daı como α+δ = γ+δ ⇒

ε = γ + δ ⇒ ε = β e, portanto, o triangulo CBD e isosceles, logo CD = AC, ou seja, otriangulo ACD tambem e isosceles e α = δ.

Portanto β = γ + δ = 2α.

2 Inscrever um pentagono em um cırculo dado

Nosso objetivo agora e utilizar os teoremas demonstrados na secao anterior para inscreverum pentagono em um cırculo dado. Procedemos entao da seguinte maneira:

1) Usando o teorema 11, construımos um triangulo FGH isosceles com os angulos dabase igual a duas vezes o terceiro angulo. Em seguida, inscrevemos no cırculo um triangulosemelhante ao triangulo FGH da seguinte forma: tracamos uma reta tangente IJ aocırculo, em um ponto A, transportamos sobre essa reta, partindo de A, o angulo HFG,

F

G H A

B

C

D E

I

J

O

encontrando assim um ponto C sobre o cırculo. Sobre o segmento AI, transportamos oangulo GHF obtendo um ponto B. Por fim, ligamos os pontos A,B e C e encontramos otriangulo ABC, inscrito no cırculo e semelhante ao triangulo FGH.

Justificativa: pelo teorema 10, podemos afirmar que os angulos JAC e igual aoangulo ABC e que possuem a mesma medida do angulo GFH. Pela mesma razao, oangulo ACB e igual ao angulo GHF , logo a medida do angulo BAC e igual a medida doangulo FGH.

2) Agora, tracamos as bissetrizes referentes aos angulos CAB e BCA, encontrandoassim dois pontos E e D respectivamente, ligando os segmentos BD, DA, AC, CE e EBencontramos o pentagono regular.

Justificativa: vamos mostrar que dois lados quaisquer do polıgono obtido possuema mesma medida, consequentemente esse polıgono e regular, ou seja, temos exatamenteo pentagono. Seja O o centro do cırculo dado, vamos mostrar que os triangulos BOE eDOA sao congruentes.

Como sabemos o angulo central e duas vezes o angulo inscrito, entao o angulo EOBe igual a duas vezes o angulo BAE e da mesma forma que o angulo DOA e igual a duasvezes o angulo DCA e como BO = OE = OA = OD = raio, entao os triangulo BOEe triangulo DOA sao congruentes pelo criterio LAL, logo os lados BE e AD possuem amesma medida. Efetuando o mesmo procedimento para dois lados quaisquer do polıgono,concluımos que todos os seus lados possuem a mesma medida, ou seja, o polıgono inscritocorresponde exatamente ao pentagono.

Com isso, finalizamos o processo de construcao e inscricao do pentagono regular emum cırculo feita por Euclides.

3 Construcao de Gauss para o polıgono regular de 17

lados

Devemos ressaltar que antes de Gauss, L. Euler (1707-1783) ao demonstrar que qualquernumero tem n raızes enesimas, tambem provou que elas, quando representadas no planocomplexo, formam entre si, sucessivamente, angulos de 2π

n. Em outras palavras, a extracao

da raız enesima da unidade produz n numeros complexos, cujas representacoes graficasformam um polıgono regular de n lados inscrito em um cırculo de raio unitario. Poresse motivo, a equacao xn − 1 = 0 recebeu a denominacao de equacao ciclotonica e foiintensamente estudada no final do seculo XVIII e no inıcio do seculo XIX, principalmentepelo jovem Gauss.

E interessante observar alguns fatos das diversas raızes enesimas entretanto, ocorrealgo curioso, tomando R1 como ponto de partida vemos que:

R2 = R21, R3 = R3

1, ..., Rn−1 = Rn−11 .

Onde no lado direito 2, 3 e n-1 nao sao mais ındices de contagem mas, sim, potenciasinteiras da raız R1. Isto ocorre porque, ao se elevar R1 as sucessivas potencias inteiras, oangulo θ vai sendo multiplicado por 2, 3, 4, etc e isto conduz as raızes R2, R3, ... , Rn−1.

Observe que Rn−1 = 1R1

, Rn−2 = 1R2

, ... , Rn−i = 1Ri

.

De fato, temos que R1 = |R1|(cos 2π

n+ i sin 2π

n

), daı

1

R1

=1

(cos 2πn

+ i sin 2πn

).(cos 2π

n− i sin 2π

n)

(cos 2πn− i sin 2π

n)

= cos2π

n− i sin

2π

n= Rn−1.

Podemos fazer essa afirmacao pois, para se calcular o inverso de um numero complexode modulo 1, basta inverter o angulo em relacao ao eixo real.

Agora considere a equacao x17-1=0. Descartando a raız x = 1 temos:

x16 + x15 + x14 + ... + x + 1 = 0.

Observando as relacoes entre as raızes acima temos:

R161 + R15

1 + ... + R1 + 1 = 0 ou R116 + R1

15 + ... + R1 + 1 = 0.

Apos isso, Gauss ordenou as 16 raızes de tal forma que cada raız e o cubo da anterior.A ordenacao e:

R1, R3, R9, R10, R13, R5, R15, R11, R16, R14, R8, R7, R4, R12, R2, R6.

Note por exemplo que

(R16)3 = (R16

1 )3 = R481 = R17

1 .R171 .R14

1 = R141 .

Assim, podemos agrupar as raızes em dois blocos de elementos:

y1 = R1 + R9 + R13 + R15 + R16 + R8 + R4 + R2

ey2 = R3 + R10 + R5 + R11 + R14 + R7 + R12 + R6.

Por meio desse agrupamento, podemos observar algumas equacoes:

y1 + y2 = −1 (4)

y1y2 = −4 (5)

e de (4) e (5), temos y2 + y − 4 = 0.Tomando os termos alternados de y1, temos:

z1 = R1 + R13 + R16 + R4 e z2 = R9 + R15 + R8 + R2.

Analogamente para os termos de y2 temos:

w1 = R3 + R5 + R14 + R12 e w2 = R10 + R11 + R7 + R6.

Assim:z1 + z2 = y1 e z1 · z2 = −1 =⇒ z2 − y1z − 1 = 0

ew1 + w2 = y2 e w1 · w2 = −1 =⇒ w2 − y2w − 1 = 0.

Tomando v1 = R1 + R16 e v2 =R13 + R4 obtemos v1 + v2 = z1 e v1v2 = w1, logo v1 ev2 satisfazem v2 − z1v + w1 = 0 e R1 + R16 satisfazem r2 − v1r + 1 = 0.

Consequentemente, um polıgono de 17 lados pode ser construıdo atraves de um pro-cesso envolvendo apenas operacoes racionais e extracao de raızes quadradas, ou seja,apenas com regua e compasso.

Assim resolvendo as equacoes do segundo grau encontradas conseguimos encontrar R1.Nao podemos esquecer que R1 = cos2π

17+ isen2π

17e que 1

R1= cos2π

17− isen2π

17= R16 e

assim v1 = R1 + 1R1

= 2 cos 2π17

.Vejamos geometricamente, como se constroi o polıgono regular de 17 lados.Seja o cırculo unitario com diametros AB e CD, construımos duas perpendiculares a

esses diametros que tangenciam o cırculo em A e D e se cortam em S.

D

FF' S E A H' H

OC

B

A seguir, dividimos AS em quatro partes iguais e tomamos AE = 14AS.

Com centro em E e raio OE tracamos um cırculo que corta a reta AS em F e F ′.Com centro em F e raio FO tracamos um cırculo que corta AS em H (fora de F ′F ), ecom centro em F ′ e raio F ′O tracamos outro cırculo que corta AS em H ′ (entre F ′ e F ).

Vamos mostrar agora que AH = z1 e AH ′ = w1.De fato, ja sabemos que y1 + y2 = −1 e y1y2 = −4 e isto implica que y2 + y − 4 = 0,

onde chegamos que y1 = −1+√

172

e y2 = −1−√17

2.

Temos tambem que z2 − y1z − 1 = 0 e w2 − y2w − 1 = 0, assim podemos afirmar que

z1 = 12y1 +

√1 + 1

4y2

1 e w1 = 12y2 +

√1 + 1

4y2

2.

Da figura acima temos que:

(1) OE2

= AE2+ OA

2= (1

4AS)2 + 1 = 1

16AS

2+ 1 = 17

16=⇒ OE =

√174

(2) AF = EF − EA = OE − EA =√

174

− 14

=√

17−14

= 12y1

(3) AF ′ = EF ′ + AE = EF + AE = OE + AE =√

174

+ 14AS =

√17+14

= −12y2

(4) OF2

= OA2+ AF

2= 1 + (1

2y1)

2 =⇒ OF =√

1 + 14y2

1 = OF ′.Daı podemos afirmar que :

AH = AF + FH = 12y1 + OF = 1

2y1 +

√1 + 1

4y2

1 = z1 e

AH ′ = F ′H ′ − F ′A = F ′O − (−12y2) =

√1 + 1

4y2

2 + 12y2 = w1.

Agora vamos mostrar que OF = v1 = 2 cos 2π17

.

Considere no plano um cırculo de diametro BD onde B = (0, 1), D = (z1, w1) e A e ocentro e o ponto medio de BD.

A

w1 D=(z1,w1)

F z1G

B=(0,1)

Logo a equacao do circulo e:

(x − z1

2)2 + (y − w1 + 1

2)2 =

z21

4+ (

w1 − 1

2)2.

Para encontrarmos as abscissas dos pontos G e F , fazemos y = 0 na igualdade anteriore obtemos:

(x − z1

2)2 + (

w1 + 1

2)2 =

z21

4+ (

w1 + 1

2)2

Desenvolvendo a equacao anterior temos:

x2 − z1x + w1 = 0,

onde as abscissas sao precisamente v1 e v2, que satisfazem a equacao v2 − z1v + w1 = 0, ev1 > v2.

Logo OF = v1 =z1+

√z21−4w1

2= 2 cos 2π

17.

Assim podemos construir o polıgono de 17 lados da seguinte maneira: sobre o eixo xmarcamos OF = v1 e o ponto medio M de OF . Construımos MP perpendicular a OF ,temos que AP e o lado do pentadecagono pois se OF = 2 cos 2π

17, entao OM = cos 2π

17e

assim MOP = 2π17

.

O M A F

P

4 O Problema de Apolonio

Outro problema de construcao geometrica muito discutido do ponto de vista algebrico, eo famoso problema dos cırculos tangentes de Apolonio. Considere tres cırculos dados C1,C2 e C3 no plano, o problema de Apolonio consiste em encontrar um cırculo tangente a

estes tres cırculos, podendo estes serem degenerados em retas (cırculos de raio infinito) oupontos (cırculos de raio zero). O que veremos a seguir e uma breve demonstracao desseproblema e sua possibilidade de construcao por meio de regua e compasso.

Dado o cırculo C1, com centro P1 e raio r1 e o cırculo C, com centro em P e raio r.Sendo esses dois cırculos tangentes e externos podemos afirmar que:

P1 R1P

R

C1C

d(P, P1) = r + r1 (6)

Se sao tangentes e C1 e esta no interior da regiao delimitada por C, entao:

P1R-R1

P

C1

C

R1

d(P, P1) = r − r1 (7)

Finalmente se sao tangentes e C esta no interior da regiao delimitada por C1, entao:

P1R1-RP

C1

C

R

d(P, P1) = r1 − r (8)

Entao generalizando, podemos afirmar que duas circunferencias sao tangentes, se esomente se:

d(P, P1) = (r ± r1)2 ⇒ d(P, P1) =

√(r ± r1)2.

Consideremos agora, os centros de C e C1 sendo (a, b) e (a1, b1) respectivamente.Nessas condicoes nossa equacao passa a ser escrita como:

(a − a1)2 + (b − b1)

2 = (r ± r1). (9)

Voltando ao enunciado do problema de Apolonio onde C e tangente aos tres cırculosC1, C2 e C3, obtemos, alem da equacao (9), as duas equacoes abaixo:

(a − a2)2 + (b − b2)

2 = (r ± r2)2 (10)

(a − a3)2 + (b − b3)

2 = (r ± r3)2. (11)

Reescrevendo a equacao (9), temos:

a2 + b2 − r2 − 2a1a − 2b1b ± 2r1r = r21 − a2

1 − b21.

Daı obtemos:a2 + b2 − r2 + A1a + B1b = C1r + D1 = 0. (12)

Repetindo esse processo para as equacoes (10) e (11), teremos:

a2 + b2 − r2 + A2a + B2b = C2r + D2 = 0 (13)

a2 + b2 − r2 + A3a + B3b = C3r + D3 = 0. (14)

Fazendo a diferenca entre as equacoes (12) e (13) e tambem entre as equacoes (12) e(14), obtemos:

E2a + F2b + G2r + H2 = 0 (15)

E3a + F3b + G3r + H3 = 0 (16)

onde Ei, Fi, Gi e Hi para i=1,2 sao expressoes de aj, bj e rj para j = 1, 2, 3.Resolvendo o sistema de equacoes (15) e (16), encontramos expressoes para a e b em

termos de Ei, Fi, Gi e r, expressoes estas dadas por:

a =F2(G3r + H3) − F3(G2r + H2)

E2F3 − E2F2

e b =F3(G2r + H2) − F2(G3r + H3)

E2F3 − F2E3

.

Observe que a e b possuem termos em funcao de r e termos independentes, logopodemos escreve-los da forma:

a = J1r + K1 e b = J2r + K2

onde J1, J2, K1 e K2 sao expressoes nas variaveis ai, bi e ri para i = 1, 2, 3. Logo essescoeficientes sao conhecidos e podem ser construıdos por meio de regua e compasso.

Substituindo a e b na equacao (12), obtemos:

(J1r + K1)2 + (J2r + K2)

2 − r2 + A1(J1r + K1) + B1(J2r + K2) + C1r + D1r = 0.

Daı resolvendo essa equacao, encontramos r e, em seguida, podemos tracar a e b,resolvendo assim nosso problema.

Exemplo: Encontraremos, a seguir, as possibilidades de tangencia da circunferenciaC com as seguintes circunferencias dadas:

λ1: circunferencia de centro (1,2) e raio 1;λ2: circunferencia de centro (-2,1) e raio 2;λ3: circunferencia de centro (3,-2) e raio 2.

Entao nossas equacoes serao dados por:

(a − 1)2 + (b − 2)2 = (r ± 1)2 (17)

(a + 2)2 + (b − 1)2 = (r ± 2)2 (18)

(a − 3)2 + (b + 2)2 = (r ± 2)2 (19)

Reescrevendo a equacao (17), temos:

a2 − 2a + 1 + b2 − 4b + 4 = r2 ± 2r + 1 ⇒ a2 + b2 − r2 − 2a − 4b ± 2r + 4 = 0. (20)

Do mesmo modo para a equacao (18) e (19)

a2 + b2 − r2 + 4a − 2b ± 4r + 1 = 0 (21)

a2 + b2 − r2 − 6a + 4b ± 4r + 9 = 0 (22)

Onde consideraremos C1 = ±2, C2 = ±4 e C3 = ±4.Obtemos com a diferenca entre as equacoes (20) e (21) a seguinte expressao:

−6a − 2b + (±2 ± 4)r + 3 = 0. (23)

Considere D1 = (±2 ± 4) e fazendo a diferenca entre as equacoes (20) e (22), temos:

4a − 8b + (±2 ± 4)r − 5 = 0. (24)

Denotando D2 = (±2r ± 4r) e resolvendo o sistema formado pelas equacoes (23) e(24), podemos encontrar os seguintes valores para a e b:

a =[4(±2r ± 4r) + 17]

28e b =

[4(±2r ± 4r) − 18]

56.

Substituindo a e b na equacao (20) e resolvendo em funcao de r, obtemos:

r =184D2 + 174D1 − 392C1 ± 14

√δ

2(10D21 + 2D1D2 + 5D2

2 − 392)(25)

onde δ = −9D22 + 254D1D2 − 736D2C1 − 209D2

1 − 696D1C1 + 784C21 + 14248.

Vamos agora verificar a existencia ou nao da circunferencia C, mediante os possıveisvalores que C1, C2 e C3 podem assumir.

1o caso: C1 = 2, C2 = 4 e C3 = 4.A partir desses valores, encontramos D1 = −2 e D2 = −2, que, quando substituıdos

na equacao (25) nos dao duas raızes, a saber, r = −9.799 e r = 5.609 Contudo, comosomente consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 5.609. Logo a circun-ferencia C procurada tem centro (-0.5949,-2.324) e raio r = 5.609.

2o caso: C1 = 2, C2 = 4 e C3 = −4.

A partir desses valores, encontramos D1 − 2 e D2 = 6, que, quando substituıdos naequacao (25) nos dao duas raızes, a saber, r = −2.943 e r = 3.086. Contudo, como somenteconsideramos valores positivos para o raio, temos que r = 3.086. Logo a circunferencia Cprocurada tem centro (-0.9362, 1.221) e raio r = 3.086.

3o caso: C1 = 2, C2 = −4 e C3 = 4.A partir desses valores, encontramos D1 = 6 e D2 = −2, que, quando substituıdos

na equacao (25) nos dao duas raızes, a saber, r = −5.6918 e r = 8.6918, novamentecomo somente consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 8.6918. Logo acircunferencia C procurada tem centro (8.6781, 1.5411) e raio r = 8.6918.

4o caso: C1 = 2, C2 = −4 e C3 = −4.A partir desses valores, encontramos D1 = 6 e D2 = 6, que, quando substituıdos na

equacao (25) nos dao duas raızes, a saber r = 4.3306 e r = 1.8693. Neste caso encontramosduas raızes positivas, logo teremos duas circunferencias.

Para o raio r = 4.3306, temos a circunferencia de centro (3.3911, 4.3185) e para o raior = 1.8693 temos a circunferencia de centro (1.8088, 1.6814).

5o caso: C1 = −2, C2 = 4 e C3 = 4.A partir desses valores, encontramos D1 = −6 e D2 = −6, que, quando substituıdos

na equacao (25) nos dao duas raızes, a saber, r = −1.8693 e r = −4.3306. Contudo,como somente consideramos valores positivos para o raio, neste caso entao nao existira acircunferencia C tangente a λ1, λ2 e λ3.

6o caso: C1 = −2, C2 = 4 e C3 = −4.A partir desses valores, encontramos D1 = −6 e D2 = 2, que, quando substituıdos

na equacao (25) nos dao duas raızes, a saber, r = −8.6918 e r = 5.6918. Contudo, comosomente consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 5.6918. Logo a circun-ferencia C procurada tem centro (−4.6781,−1.5411) e raio r = 5.6918.

7o caso: C1 = −2, C2 = −4 e C3 = 4.A partir desses valores, encontramos D1 = 2 e D2 = −6, que, quando substituıdos

na equacao (25) nos dao duas raızes, a saber, r = −3.0866 e r = 2.9438. Contudo, comosomente consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 2.9438. Logo a circun-ferencia C procurada tem centro (2.079,−1.7933) e raio r = 2.9438.

8o caso: C1 = −2, C2 = −4 e C3 = −4.A partir desses valores, encontramos D1 = 2 e D2 = 2, que, quando substituıdos na

equacao (25) nos dao duas raızes, a saber, r = −5.6095 e r = 0.97992. Contudo, comosomente consideramos valores positivos para o raio, temos que r = 0.97992. Logo a cir-cunferencia C procurada tem centro (0.8171, 0.0285) e raio r = 0.97992.

A figura abaixo ilustra o caso 1. Pode-se observar que as tres circunferencias λ1, λ2 eλ3 estao no interior da regiao delimitada po C.

–8

–6

–4

–2

0

2

y

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Referencias

[1] Aaboe, A., Episodios da historia antiga da matematica, Rio de Janeiro:Sociedade Brasileira de Matematica, 1984.

[2] Baldin, Y.Y., Villagra, G.A.L., Atividade com Cabri-Geometre II para cur-sos de Licenciatura em Matematica e professores do ensino fundamentalmedio, Sao Carlos: EdUFSCar, 2002.

[3] Eves, H., Estudio de las geometrias, vol. 1, Mexico: Uteha, 1969.

[4] Eves, H., Introducao a historia da matematica, Campinas, SP: Editora daUnicamp, 1995.

[5] Moise, E.E., Geometria elemental desde um ponto de vista avanzado,Compania Editorial Continental, S. A., Mexico, 1968.

[6] Rezende, E.Q.F., Queiroz, M.L.B. - Geometria euclidiana plana econstrucoes geometricas, Campinas: Editora da Unicamp, 2000.

[7] Wagner, E. Construcoes geometricas, Colecao IMPA/VITAE 1993.

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FAMAT em Revista




Problemas e Soluções

Comitê Editorial da Seção Problemas e Soluções


Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção) Alessandro Alves Santana

Marcos Antônio da Câmara

Problemas nº 11

41. Qual dos dois números é maior: 20062007 2008ou 2007 ? Justifique sua resposta.

42. Quantas são as sequências estritamente crescentes de números naturais começando com 1 e terminando com 1000?

43. Se cba e , são números inteiros e 222 cba =+ , demonstre que 3 é divisor do produto ab .

44. Dentre 2+n inteiros, demonstre que há dois deles cuja diferença ou cuja soma é um múltiplo de n2 .

Resoluções dos problemas do número anterior

37. Para todo número primo p, demonstre que os números

pppp −+±++ 11

são ambos irracionais.

Resolução: Suponha que =α pppp −+±++ 11 seja racional. Assim,

=2α 2121212 ±+=−+±+ pppp também é racional. Daí, 1+p pertence aos

racionais. Porém, isso só pode ocorrer se 1+p for um quadrado perfeito, digamos 21 kp =+ . Como ( )( )11 −+= kkp é primo, segue que pkk =+=− 1 e 11 e, daí, p = 3.

Portanto, α é irracional, para todo primo 3≠p . Agora, para 3=p , 2ou 6=α . Conclui-se, então, que α é irracional, qualquer que seja o número primo p.

38. Demonstre que o polinômio 12 ++ nn XX é divisível pelo polinômio 12 ++ XXse, e somente se, n não é múltiplo de 3. Resolução: Observe, inicialmente, que ( )( )111 23 ++−=− XXXX . Portanto, as raízes

da equação 012 =++ XX são justamente as raízes cúbicas da unidade diferentes de 1; vamos representar por w uma qualquer delas. Assim, se n não for múltiplo de 3, então wn 1≠ ; como wn é uma raiz cúbica da unidade, ela é então uma raiz da equação

012 =++ XX e, daí, 012 =++ nn ww e, conseqüentemente, X – w divide 12 ++ XX . Como isso ocorre para qualquer raiz da equação 012 =++ XX , segue que 12 ++ XXdivide 12 ++ nn XX . Reciprocamente, se n for múltiplo de 3, então wn = 1 e, por conseguinte, 0312 ≠=++ nn ww ; daí, X – w não divide 12 ++ nn XX , o que acarreta

que 12 ++ XX também não divide 12 ++ nn XX .

39. Seja ABC um triângulo que tem inraio (raio do círculo inscrito) r e circunraio (raio do círculo circunscrito) R. Demonstre que R ≥ 2r. Resolução: Vamos representar, respectivamente, por a, b e c os lados BC, AC e AB do triângulo e por s o seu semiperímetro. Chamando P o incentro do triângulo, temos que

as áreas dos triângulos PBC, PCA e PAB são, respectivamente, 2

ra,

2

rb e

2

rc. Portanto,

o triângulo ABC tem área rscba

rS =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=2

. Por outro lado, um fato bem conhecido

é que, na lei dos senos, senC

c

senB

b

senA

a== , o valor constante da razão é dado por 2R;

daí, S

abc

bcsenA

abc

senA

aR

422=== . Assim,

( )( )( )csbsass

sabc

S

sabc

r

R

−−−==

44 2, onde, na

última igualdade, foi utilizada a fórmula de Heron para a área de um triângulo. Agora,

substituindo o valor de 2

cbas

++= na igualdade acima, temos que

( )( )( )cbabacacb

abc

r

R

−+−+−+=

2 (*). Agora, chamando

cbazbacyacbx −+=−+=−+= e , e empregando a desigualdade envolvendo as médias aritmética e geométrica de dois números, temos que

zxb e te,analogamen e, 2

≥≥≥+

= yzaxyyx

c ; multiplicando termo a termo

essas três últimas desigualdades, obtemos xyzabc ≥ . Voltando, por fim, à igualdade (*), chegamos ao seguinte resultado:

( )( )( )2

22≥=

−+−+−+=

xyz

abc

cbabacacb

abc

r

R, o que conclui a demonstração.

40. Seja P um ponto interior ao triângulo ABC cujos lados medem a, b e c e cuja área vale S. Demonstre que o produto das distâncias de P aos lados do triângulo é menor do

que ou igual a abc

S

27

8 3

, sendo que a igualdade ocorre somente se P for o baricentro do

triângulo. Resolução: Representemos por x, y e z, respectivamente, as distâncias de P aos lados BC, CA e AB do triângulo ABC. Assim, temos que ax + by + cz = 2S. Daí,

abc

SS

abcczbyax

abcxyz

33

27

8

3

211⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

≤⋅⋅= ,

onde a desigualdade acima é a relação entre as médias aritmética e geométrica. Agora,

na referida desigualdade, a igualdade ocorre se, e somente se, ax = by = cz = 3

2S.

Chamando D, E e F os pés das perpendiculares por A, B e C a BC, CA e AB,

respectivamente, então dizer que ax = by = cz = 3

2S equivale a dizer que x =

3

1AD,

y = 3

1BE e z =

3

1CF. Mas, isso quer dizer que P está sobre cada uma das três retas

paralelas aos lados do triângulo ABC que passam pelo baricentro do referido triângulo, ou seja, que P é o baricentro do triângulo.

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Eventos

Comitê Editorial da Seção Eventos


Douglas Silva Oliveira (coordenador da seção)Marcos Antônio da Câmara Alessandro Alves Santana

Eventos

VIII Semana da Matemática da Universidade Federal de Uberlândia –

UFU e VII Encontro Regional de Matemática Aplicada e

Computacional – ERMAC

Período: 28 a 31 de outubro de 2008

Informações: http://www.famat.ufu.br/ermac_semat/

IV Simpósio Nacional/Jornadas de Iniciação Científica no IMPA

Período: 10/11 até 14/11

Informações: http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/store/evento_0025

Seminário Nacional de História da Matemática

Período: 05/04 a 08/04 de 2009, UNAMA, Belém do Pará

Informações: http://www.sbm.org.br/nova/web//up/editor/File/SNHM%20-%20Folder.pdf

VIII ERMAC Natal - RN

Período: De 20 de Novembro, 2008 à 22 de Novembro, 2008

Informações: http://www.dimap.ufrn.br/~sbmac/ermac2008

VIII ERMAC Pelotas - RS

Período: De 27 de Novembro, 2008 a 29 de Novembro, 2008

Informações: http://200.132.97.8/eventos/ermac2008/

III Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática Guarapuava

Período: 6 a 8 de novembro de 2008 Informações: http://web01.unicentro.br/epmem2008/index.php

XX SEMAT – Semana da Matemática - UNESP Campus de São José do Rio Preto

Período: 4 a 7 de novembro de 2008

Informações: http://www.mat.ibilce.unesp.br/semat/

IX Encontro Paulista de Educação Matemática – EPEM

Período: 25 a 27 de setembro de 2008 Informações: http://www.fc.unesp.br/ixepem

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Reflexões Sobre oCurso de Matemática

Comitê Editorial da Seção Reflexões sobre o Curso de Matemática do Número 11 da FAMAT EM REVISTA:

Alessandro Alves Santana (coordenador da seção) Marcos Antônio da Câmara

Valdair Bonfim

A FORMAÇÃO DE PROFESSORES NO CURSO DE MATEMÁTICA DA UFU: REFLEXÕES E INQUIETAÇÕES

Geovana Ferreira Melo Teixeira1

[email protected]

1- Para iniciar... O presente texto discute a formação de professores desenvolvida na Universidade

Federal de Uberlândia, a partir dos dados coletados na pesquisa de doutoramento “Tornar-se Professor: a formação desenvolvida nos cursos de Física, Matemática e Química da UFU”2. Os objetivos propostos foram: destacar e analisar as principais dificuldades enfrentadas no decorrer do processo formativo dos estudantes; identificar os saberes docentes produzidos nos cursos, assimilados e utilizados na prática cotidiana pelos licenciandos ao assumirem a docência no período de estágio; compreender se os conteúdos específicos, do modo como são trabalhados, possibilitam a transposição didática; identificar as práticas formativas predominantes nos cursos que mais contribuem para o desenvolvimento da identidade profissional dos licenciandos. Tivemos como referência para análise a produção científica da área, o histórico dos cursos e da instituição e a documentação legal. Parte significativa dos dados foi obtida junto aos coordenadores e professores dos cursos, por meio de entrevista e dos grupos focais realizados com os alunos.

Vários estudos, dentre eles destacamos: Pimenta (2000), Pereira (2000), Guimarães (2004), Linhares e Silva (2003), Veiga (1991, 1998), Candau (1987), Brzezinski (1996), Cunha (1994), Freitas (2002), Gatti (1997) apontam para os problemas dos cursos de licenciatura no Brasil, mormente, a má-formação pedagógica, a valorização dos conhecimentos da área específica e a ênfase na formação do bacharel. Além disso, existem problemas relacionados à formação deficiente dos estudantes no ensino médio, que prejudicam a formação no ensino superior. Na UFU não é diferente, a partir da análise dos currículos dos cursos de licenciatura desta Instituição, foi possível constatar, de modo geral, que estes, da forma como estavam organizados3, não priorizam a formação profissional do professor. A ênfase recai no aprofundamento do saber específico da área, ficando a formação do licenciando, apenas, sob a responsabilidade de escassas disciplinas pedagógicas que têm uma carga horária insignificante no currículo de formação de professores. Além disso, outra agravante é que essas disciplinas são ministradas nos últimos períodos, nos quais os alunos têm uma sobrecarga grande de trabalho de finalização dos cursos. Assim, configura-se, claramente, a licenciatura como um apêndice da formação do bacharel, em que a formação inicial pouco tem favorecido a articulação entre a formação teórica acadêmica e os conhecimentos oriundos do universo escolar.

Historicamente, a questão da formação de professores tem sido alvo de inúmeras preocupações e objeto de diferentes pesquisas. Trata-se de uma questão essencial das sociedades, atravessada por discussões complexas que se estendem desde a natureza até as

1 Professora da Faculdade de Educação da Universidade Federal de Uberlândia, leciona a disciplina de Didática Geral no curso de Matemática. Pedagoga, Mestre e Doutora em Educação. 2Tese defendida no Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal de Goiás, orientada pelo Prof. Dr. Valter Soares Guimarães. 3 O presente estudo analisou os currículos antigos dos cursos de licenciatura da UFU. Após Resolução CNE/ 1, de 18 de Fevereiro de 2002, que institui as Diretrizes Curriculares para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena os currículos dos cursos de licenciatura passaram por modificações no sentido de se adequarem às exigências da referida Resolução, houve a necessidade de reestruturar os currículos, culminando na elaboração de novos projetos pedagógicos dos cursos de formação de professores.

finalidades e princípios norteadores dos cursos que se ocupam em formar professores. Diante dessa problemática, os desafios que se colocam à formação constituem-se:

Desafios à reflexão pessoal e coletiva, enquanto processo e instrumento de conscientização progressiva, de desenvolvimento continuado e partilhado, de persistência na investigação constante, enquanto fonte de novos informes, de crença, de algum modo sublime, na hipótese de o homem vir a descobrir-se e a encontrar-se com a sua própria humanidade (SÁ-CHAVES, 2001, p. 89).

Esses desafios parecem apontar para o significado do processo de formar professores, o que exige um esforço pessoal e coletivo no sentido de buscar, a partir da reflexão, propostas concretas que se traduzam na superação dos obstáculos e problemas enfrentados pelos cursos de licenciatura. Trata-se, portanto, de avaliar os pressupostos que têm dado suporte à formação docente para compreender qual o perfil de professor pretende-se formar. Além disso, faz-se necessário priorizar a reorganização dos cursos de licenciatura, a partir de um esforço coletivo, que vá desaguar na formação de um professor dotado de autonomia profissional que lhe permita desenvolver uma prática pedagógica eficaz.

Diante dessa realidade, é outorgada aos cursos de formação de professores a responsabilidade de construir e assumir um projeto pedagógico que possa viabilizar uma sólida formação teórico-prática dos professores, no sentido de contemplar as diferentes dimensões - científica, cultural, humana, política, técnica e ética - para que possam se tornar profissionais capazes de atuar criticamente na sociedade. A pesquisa sobre a formação de professores nos instiga a pensar sobre os diferentes elementos presentes nesse processo complexo.

Muitos estudos (CUNHA, 1994; GATTI, 1997; LIBÂNEO, 1998; BRZEZINSKI, 1996) já apontaram o perigo do esvaziamento e aligeiramento que correm os cursos de licenciatura, a precariedade da formação inicial de professores, dentre outras mazelas. Assim, mesmo que não desconheçamos tais precariedades e não deixemos de explicitá-las, pretendemos, neste trabalho, evidenciar, à luz da teoria existente, também as potencialidades das possíveis práticas formativas existentes nesses cursos que contribuem para a formação de novos professores.

Como o intuito da pesquisa foi compreender a formação de professores nos cursos de Física, Matemática e Química, baseamos a revisão teórica em pesquisas que tratam a formação inicial como um processo amplo, complexo e contínuo que requer a elaboração de diferentes saberes da docência: Guimarães (2004), Pimenta (2000), Pereira (2000), Altet (2001), Charlot (2002), Gauthier (1998), Nóvoa (1995), Sacristán (2002), Schön (1995), Tardif (2002), Zeichner (1993). A transposição didática surgiu como importante categoria de análise e seu conceito parte do que Chevallard (1991) considera como processo de transformação de um objeto de saber em um objeto de ensino, ou seja, os conteúdos de saber a serem ensinados passam por diferentes transformações, manifestadas pela necessidade de adaptação ao processo de ensino.

As práticas formativas, conforme Sacristán (1999), são denominadas, em sentido estrito, a cultura compartilhada sobre ações que têm relação com o cuidado, o ensino e a direção dos outros. Ela (a prática) é constituída por conhecimentos estratégicos, conhecimentos sobre saberes, motivações e desejos compartilhados. Sacristán confere à prática uma dimensão coletiva, cultural e, à ação, uma dimensão mais individual. Para nós, as práticas formativas envolvem tanto aspectos “coletivos”, conforme Sacristán, quanto aspectos individuais (ação).

A identidade profissional é compreendida como processo complexo que se desenvolve a partir das diferentes experiências pessoais e profissionais, de acordo com Pimenta (2000) e

Nóvoa (1995). Uma das referências para compreender o conceito de identidade profissional distancia-se da noção de papéis preestabelecidos, mas focaliza o docente em sua relação consigo mesmo e com os outros, num processo de constante desenvolvimento. Tap, citado por Santos (1990), aponta, como aspecto principal, o reconhecimento que emana das relações sociais, no qual o indivíduo define-se a partir de como se reconhece no desempenho de papéis sociais e de como é reconhecido pelos outros no meio social.

As especificidades quanto à formação de professores de Física, Matemática e Química foram tratadas a partir de Carvalho e Gil-Pérez (2003), Moreira e David (2005).

Por meio da análise de conteúdo das entrevistas realizadas com os coordenadores e docentes e dos grupos focais com os alunos, à luz dos referenciais teóricos, foi possível compreender e explicitar as práticas formativas dos cursos investigados, o que subsidiou a análise apresentada nos capítulos seguintes. Veiga (2002, p. 145) considera que:

(...) o conhecimento do cotidiano acadêmico é duplamente importante. Primeiro, porque sendo descrito, problematizado e compreendido, é possível repensá-lo e propor um projeto pedagógico que possibilite sua reconfiguração. Segundo, porque o cotidiano acadêmico, sendo desvelado e compreendido, propicia a tomada de decisões coletivas e democráticas voltadas para a melhoria da qualidade de ensino.

Nessa perspectiva, ao compreendermos os saberes e as práticas formativas pelas quais estão sujeitos os alunos dos cursos investigados, poderemos contribuir para a melhoria do processo de formação profissional dos professores.

2- Formação de Professores de Matemática: algumas especificidades

A formação de professores na área das ciências exatas - Física, Matemática e Química – contém algumas especificidades que, de certa forma, convergem para uma aproximação entre esses três cursos. São áreas de conhecimento, também designadas como "ciências duras"4, que requerem dos estudantes muito mais que decorar fórmulas ou a solução mecânica de exercícios: exigem o domínio de conceitos, flexibilidade de raciocínio, abstração e capacidade de análise. A compreensão dos diferentes saberes na área das ciências exatas, que são expostos nas aulas e mesmo nos livros didáticos, baseia-se em raciocínios complexos que requerem operações cognitivas bastante refinadas, sendo a capacidade de abstração indispensável para a aprendizagem dos conteúdos. Apesar de a Matemática estar presente na vida diária, as idéias e os procedimentos utilizados nos cursos de formação de professores parecem muito distantes da realidade prática e isso se configura num problema a ser resolvido.

O modelo de formação ainda vigente, que tem a ênfase no bacharelado e a licenciatura no final do curso, dificulta o processo formativo, uma vez que os estudantes convivem, durante vários semestres, com uma enorme carga de teorias e exercícios que, em poucos casos, contribuem para a formação de um professor capaz de organizar e gerir o processo de

4 O termo 'ciência dura' é um termo antigo, utilizado para definir as áreas ligadas às ciências naturais, especialmente a física, sendo uma tradução literal do inglês (hard science). Este termo era utilizado para representar as áreas do conhecimento humano que necessitavam de experimentações e resultados quantificáveis para comprovar teorias, em contraposição às ciências sociais, as quais não exigiam um rigor científico tão significativo. O método científico, introduzido por Galileu Galilei no século 17, baseado em experimentação e validação matemática, começou a ser adotado então como metodologia para explicar os fenômenos da natureza, gerando leis físicas expressas matematicamente, caracterizando assim as ditas ciências duras. (Fonte: www.voluntarioscpfl.org.br).

ensino e aprendizagem. Trata-se de uma formação ainda baseada no modelo da racionalidade técnica, no qual Pereira (2000, p. 57) destaca "o complexo problema da dicotomia entre teoria e prática docente". Esse modelo tem sido denunciado em diversos trabalhos referentes à área das Ciências e Matemática (CARVALHO e GIL-PÉREZ, 2003; BICUDO, 1999; PAIS, 2001; MOREIRA e DAVID, 2005). Estes autores discutem a problemática de um "mero doutrinamento na formação" (CARVALHO e GIL-PÉREZ, 2003, p. 84). Isso ocorre, muitas vezes, em virtude da total separação entre os conteúdos específicos e a realidade concreta na qual o licenciando irá atuar. Essa prática somatória de conhecimentos desconsidera a relação entre os conteúdos acadêmicos e os conteúdos escolares, privilegiando nos cursos o ensino da Matemática Acadêmica, distanciada da realidade escolar, campo de atuação do futuro professor. Assim, configura-se um dos grandes obstáculos dessas áreas de conhecimento: a falta de integração entre os princípios teóricos dos cursos de formação com as teorias educacionais e suas relações com a prática docente.

Além disso, os cursos, da forma como estão organizados, não privilegiam a reflexão crítica o que, de certa forma, induz a um operativismo mecânico (CARVALHO e GIL-PÉREZ, 2003, p. 91), cujo sentido da formação está centrado quase sempre na aprendizagem de fórmulas para a resolução de problemas. Einstein, citado por Carvalho e Gil-Pérez (2003), ressalta que "Nenhum cientista pensa com fórmulas. Antes que o cientista comece a calcular, deve ter em seu cérebro o desenvolvimento de seus raciocínios. Estes últimos, na maioria dos casos, podem ser expostos com palavras simples. Os cálculos e as fórmulas constituem o passo seguinte". E, se os estudantes não têm esse aprendizado do pensar, do desenvolvimento do raciocínio, como é que irão desenvolvê-lo em seus futuros alunos? A esse respeito, D`Ambrósio (1999, p.1) destaca que

O problema maior do ensino de ciências e matemática é o fato das mesmas serem apresentadas de forma desinteressante, obsoleta e inútil, e isso dói para o jovem. O ensino de fatos e conceitos apresentados como verdades absolutas e incontestáveis, como um corpo de conhecimentos congelado ao longo de séculos, não pode responder à enorme curiosidade dos jovens e nem à própria dinâmica da elaboração do conhecimento. A aquisição desse conhecimento é falsamente verificada através de provas e testes. O ensino de ciências e matemática é catequético na maneira como é conduzido e como é avaliado.

Outro agravante, também apresentado nos estudos já citados, refere-se ao formato expositivo das aulas nesses cursos, que estimula uma aprendizagem passiva e não criativa na qual os futuros professores se acomodam à recepção de conhecimentos prontos e acabados e não desenvolvem a habilidade de construí-los. Bkouche, citado por Micotti (1999, p. 165), enfatiza que

Se, hoje, a aprendizagem das matemáticas é tão difícil, não é porque as matemáticas sejam abstratas, é porque esta aprendizagem não se apóia sobre a atividade intelectual do aluno, mas sobre a memorização e sobre a aplicação de saberes cujos sentidos não são verdadeiramente compreendidos.

Nessa perspectiva, fundamentar o ensino na atividade intelectual do estudante significa conhecer suas potencialidades e respeitá-las, devendo o professor formador organizar situações capazes de promover esse raciocínio lógico. É importante propor atividades que estabeleçam relações entre conteúdo, método e processos cognitivos que possibilitem o aperfeiçoamento da capacidade intelectual dos estudantes.

Nos cursos de formação de professores, principalmente na área das ciências exatas, é comum o acúmulo de conteúdos que os alunos consideram "inúteis", porque são conhecimentos que não serão, diretamente, utilizados em sua prática docente. Do mesmo modo, trabalha-se também saberes de forma inadequada, sem considerar as peculiaridades que o processo formativo exige (saberes de diferentes ordens: pedagógicos, disciplinares, curriculares, dentre outros). Sabemos que a formação, no sentido lato do termo, exige o aprimoramento de diferentes habilidades e a construção de vários saberes, portanto, não há como se privilegiar apenas os saberes da área específica, pois isso significa minimizar a formação, restringindo-a somente ao aspecto pragmático da transmissão de conteúdos.

Em alguns casos ocorre, ainda, na comunidade acadêmica, a distinção entre a Matemática Científica e a Matemática Escolar, principalmente quando se têm em vista os processos de formação inicial e a prática docente. Se a Matemática Escolar é concebida como mero subprograma da área Científica, a tendência é reduzir a primeira a um simples acessório da última, com a conseqüente desqualificação do conhecimento escolar frente ao saber acadêmico. Nessa direção, as disciplinas escolares ficam reduzidas a um componente de fácil aprendizagem, comum e básico, em virtude do complexo e sofisticado processo que são as disciplinas científicas, supostamente dotadas de maior status. Essa condição minimizada das disciplinas escolares acaba por impregná-las de menor valor no currículo de formação, ou seja, não há que se preocupar com elas, pois podem ser aprendidas facilmente. De acordo com Moreira e David (2005, p. 35),

No limite, a educação matemática na escola acabaria se reduzindo ao ensino da Matemática Acadêmica, adaptada às condições escolares. Uma formação matemática profunda para o professor se reduziria, então, ainda, segundo essa concepção, ao domínio da Matemática Acadêmica não elementar, ou seja, à internalização dos seus valores, conceitos, técnicas, métodos, concepções, formas de pensamento, etc. Desse modo, a Matemática Acadêmica e seus valores se estabelecem de forma natural como o centro de gravidade da formação profissional do professor; deslocam-se para a "periferia" desse processo as questões referentes à prática pedagógica efetiva na escola e à própria cultura escolar5.

Esse processo de naturalização se reflete na prática profissional de alguns professores que trazem do senso comum a idéia de que, para ser bom professor, basta dominar o conteúdo a ser ensinado e que as teorias educacionais são distanciadas da realidade escolar, portanto, são desnecessárias. No entanto, quando a relação entre a Matemática Científica e a Escolar é problematizada no processo de formação profissional do professor, isso resulta na compreensão da complexidade da área escolar. Nesse caso, "ela se funda na complexidade da própria prática educativa escolar e não mais nos valores específicos da área científica" (MOREIRA e DAVID, 2005, p. 35).

A área escolar constitui-se de um amálgama de saberes que envolve uma multiplicidade de aspectos: cognitivos, afetivos, culturais, sociais, dentre outros. Nesse sentido, é preciso que se introduza uma reflexão profunda na licenciatura sobre o papel da área escolar e sua complexidade, que deve ser apreendida pelo professor em sua prática docente. Destacamos aqui que não queremos fazer uma oposição sistemática entre a Matemática Científica, vista como objeto de construção científico-acadêmica e a área escolar, entendida como um conjunto de saberes diversos relativos à educação básica.

Outro agravante que ocorre em alguns cursos de licenciatura é o fato de que muitos professores ainda se prendem aos métodos tradicionais de ensino, impondo às turmas um

5 Apesar de os autores se referirem apenas à Matemática – objeto de seu estudo – podemos também incluir nessa perspectiva a Física e a Química, por existirem especificidades comuns entre as três áreas.

único modelo de apresentação e organização do conteúdo, a partir de uma seqüência linear que dificulta o processo de aprendizagem dos estudantes. O professor6 acredita que quanto mais clara for sua exposição, melhor será a compreensão dos alunos, que deverão prestar atenção nas explicações, anotá-las, resolver as listas de exercícios e depois fazer os testes e provas para comprovar o suposto aprendizado. Essa metodologia gera uma aprendizagem passiva, na qual o professor é a figura central do processo e os alunos não passam de espectadores. Uma das conseqüências desse modo de aprender é que os estudantes, ao assumirem suas salas de aula, poderão reproduzir esta metodologia, pois é na sala de aula, com seus professores, que se configura uma das principais maneiras de se aprender a docência.

Nessa perspectiva, os cursos de formação de professores devem assumir um projeto formativo que viabilize a construção dos saberes disciplinares, pois são estes saberes que permitirão ao licenciando o conhecimento aprofundado de sua área de atuação, uma vez que não se pode saber apenas o que se vai ensinar. Igualmente importantes são os saberes pedagógicos que possibilitarão um melhor entendimento da educação, dos processos de ensino-aprendizagem, da gestão da sala de aula - que inclui aspectos como o planejamento, avaliação, relação professor-aluno, disciplina, dentre outros - e de como organizar os conteúdos disciplinares de acordo com a compreensão dos alunos da escola básica. O domínio dos diferentes saberes disciplinares e pedagógicos, além dos aspectos referentes à manipulação transpositiva dos conhecimentos acadêmicos, em toda sua complexidade é que irá permitir ao professor exercer sua profissão com maior segurança e compromisso com o aprendizado dos alunos.

A análise aponta principalmente para a sólida formação da área específica nos cursos, com ênfase no domínio dos saberes disciplinares, no entanto, sem desdobramentos para a atuação na docência, o que evidencia a distância entre o conhecimento acadêmico e o conhecimento escolar. As características do curso de formação se projetam em saberes profissionais e ao serem trabalhados, possibilitam o desenvolvimento da identidade profissional. O modo de ensinar, os gestos e as relações que se estabelecem entre professores formadores e licenciandos têm grande importância no aprendizado da profissão, pelo caráter também “ambiental” de como se dá a formação de professores. As principais práticas formativas apontadas pelos licenciandos estão relacionadas às atividades desenvolvidas coletivamente, num processo de interlocução entre licenciandos e professores, dentre elas destacaram: a realização de seminários e discussões em sala de aula, os estágios curriculares e a troca de experiências com os colegas, além da atuação competente de alguns professores.

3. Os achados da pesquisa7...

3.1. SABERES DISCIPLINARES - "Temos uma sólida formação acadêmica"

Os docentes do curso de Matemática, ao serem indagados sobre quais saberes consideram mais importantes na formação de professores, também destacaram a importância dos saberes disciplinares. No entanto, argumentaram que os saberes pedagógicos são importantes porque "o professor de Matemática tem que mostrar caminhos, tem que orientar e mostrar possibilidades. (...) Conhecer as teorias metodológicas para que possa ter um fazer mais rico, que possa contribuir na sua práxis diária do ensino" (Entrev. 3). De acordo com os docentes, o conhecimento e o domínio do conteúdo específico é que irão configurar um

6 Vários alunos, no decorrer do desenvolvimento das atividades no grupo focal, ressaltaram que as aulas, geralmente, são expositivas, numa seqüência bastante linear em que o professor apresenta o conteúdo, os alunos copiam e depois resolvem as listas de exercícios, para finalmente serem avaliados por meio de provas. 7 Os dados coletados referem-se à análise do currículo antigo, em vigor até o ano de 2005.

professor capaz de organizar e gerir os processos de aprendizagem de seus alunos. A esse respeito, alguns depoimentos dos professores do curso de Matemática:

"Um professor de Matemática, acima de tudo, além de ter uma prática educativa firme, tem que ter conteúdo, precisa conhecer além daquilo que irá ensinar” (Entrev. 3).

"O professor tem que ter a formação específica dos cálculos, geometria analítica é fundamental, por exemplo, a geometria analítica que eles estudam na universidade é mais avançada do que a que eles vão ensinar, mas isso é importantíssimo, porque se ele souber apenas a geometria analítica que ele vai ensinar não dá, é muito pouco, então ele deverá ter toda essa visão, os cálculos, as equações diferenciais, ordinárias (...) ter também essa formação didática, da parte pedagógica que é fundamental" (Entrev. 4).

Estas constatações, entretanto, não significam que, no desenvolvimento do curso, se desconsidere a importância dos saberes pedagógicos. Há, no curso de Matemática um núcleo8

consolidado, de acordo com os alunos, que é o de Educação Matemática, no qual os professores buscam desenvolver práticas formativas que possibilitem o aprendizado da docência. No Núcleo de Educação Matemática, segundo os alunos, são desenvolvidos projetos de Iniciação Científica, além de projetos de extensão, com o objetivo de elaborar novas metodologias para o ensino da Matemática Escolar.

Apesar de o curso manter as duas modalidades como complementares, nos depoimentos fica evidente a ruptura entre as duas habilitações. Conforme declaração dos alunos, caracteriza-se a licenciatura como curso de menor status em relação ao bacharelado, entendido como passaporte para os cursos de pós-graduação stricto sensu, destinado, é claro, aos melhores alunos que se destacaram no curso. Além disso, a supervalorização da Matemática Acadêmica no processo de formação estimula o desenvolvimento de concepções e valores distanciados da prática e da cultura escolar, podendo dificultar a comunicação entre professores e alunos e com a própria gestão da matéria em sala de aula (MOREIRA e DAVID, 2005, p. 102).

Os dados coletados indicam que os alunos também têm muito presente essa concepção de que o bom professor é aquele que domina o conteúdo, no entanto, ressaltaram a importância dos saberes pedagógicos, conforme podemos atestar nos depoimentos abaixo:

"Nosso curso está muito voltado para a Matemática Pura e Aplicada, não existe uma preocupação quanto à educação, por exemplo, nós que somos da Área de Educação Matemática ficamos sempre em segundo plano" 9.

"Quando você entra no curso de Matemática, acontece uma lavagem cerebral bem grande na sua cabeça com relação a você desenvolver o seu curso para ser um brilhante matemático, na área da Matemática Pura".

"Sem pretensão nenhuma, aqui se formam ótimos matemáticos e, por pior que você seja, você será muito bem formado para os conteúdos matemáticos. Então, por mais que a gente tenha uma sólida formação acadêmica, somos bacharéis, porque, teoricamente o bacharel é um técnico em Matemática, domina o conteúdo".

8 O Curso de Matemática é dividido em quatro grandes áreas: Educação Matemática, Matemática Aplicada, Matemática Pura e Estatística. (Entrevista com o coordenador do curso de Matemática, concedida em 26/01/06). 9 Este aluno faz parte de um grupo que desenvolve pesquisas em Educação Matemática.

Os alunos demonstram ter consciência da importância de aprender os conteúdos, ter o domínio dos conceitos matemáticos, mas revelam as limitações na área da Educação Matemática. Outra dificuldade que os alunos sentem refere-se, principalmente, à aprendizagem dos conteúdos da área específica, por serem densos e muitas vezes trabalhados por “professores que têm dificuldades em ensinar” (aluno). Estas informações corroboram a idéia de que os alunos saem do curso com uma sólida formação matemática, o que pode ser constatado no alto índice de alunos egressos do curso que são aprovados nos diferentes programas de pós-graduação no País10. Esta relevância atribuída à formação científica do licenciado fica bastante evidente em um dos objetivos do curso: "dominar em profundidade e extensão o conteúdo de Matemática na sua visão estrutural e seqüencial, garantindo a integração entre teoria e prática, tanto na sua ação educativa, quanto em aperfeiçoamento de estudos" (UFU, Proposta Curricular do curso de Matemática, 1991). A organização curricular, conforme foi apresentada no capítulo anterior, também demonstra a ênfase aos saberes disciplinares, permitindo aos licenciandos o aprofundamento em conteúdos da área específica, além de certa importância à formação pedagógica.

Entre os alunos, há uma idéia comum que é a dificuldade de acompanhar as aulas e compreender os conteúdos, principalmente dos primeiros semestres. As disciplinas centram-se mais na aprendizagem de cálculos, de álgebra e geometria, disciplinas estas, que segundo os alunos, apresentam um maior índice de reprovação. Além disso, é como se não houvesse o "rito de passagem" entre o ensino médio e o curso universitário, o que leva muitos alunos a desistirem do curso por considerá-lo "pesado". Como apontaram os professores, muitos alunos são egressos da escola pública e têm defasagem de conteúdos de base, que são, muitas vezes, pré-requisitos para a compreensão de outros conteúdos, o que dificulta o desenvolvimento do curso. No entanto, não existem ações efetivas para combater essas limitações dos alunos11. De acordo com uma professora do curso:

“Uma questão importantíssima é a formação escolar, nossos alunos em geral estudaram em escolas públicas, e como todos nós sabemos trazem muitas deficiências. Outro problema a ressaltar é que a maior parte deles trabalha e não se dedicam integralmente ao curso, assim, resta pouco tempo para os estudos. Como os alunos trazem deficiências da formação escolar e não podem se dedicar integralmente ao curso, muitos carregam o problema durante anos, refletindo no seu futuro acadêmico. Desta forma, o nível de reprovação é alto, muitos alunos ultrapassam o tempo normal de duração do curso ou até desistem”. (Entrev. 4).

Um dos problemas do curso de Matemática reside na relação entre o índice de reprovação e desistência do curso e as dificuldades e limitações oriundas do ensino médio. A esse respeito os alunos alegaram que muitos professores desconsideram essas limitações e "partem do princípio que nós já sabemos aqueles conteúdos, que é algo elementar" (Aluno). Além disso, de acordo com o depoimento dos alunos, muitos professores não abrem espaço para o diálogo no decorrer de suas aulas, o que dificulta, por exemplo, o aluno tirar suas dúvidas com relação aos conteúdos. Geralmente, os alunos se sentem mais à vontade para esclarecer suas dúvidas com os monitores das disciplinas12.

10 Entrevista com o coordenador do curso de Matemática, em 26/01/06. 11 Ao serem indagados a respeito dessa questão, o coordenador e os professores do curso de Matemática argumentaram que é desenvolvido um trabalho de monitoria nas disciplinas que apresentam maior índice de reprovação. 12 Algumas disciplinas possuem o trabalho de monitoria desenvolvido por alunos do próprio curso que já cursaram, com êxito a disciplina. A Monitoria é uma experiência pedagógica oferecida ao estudante regularmente matriculado num curso de graduação. Considerada como uma atividade acadêmica de natureza

Esse aspecto nos chama a atenção no sentido de que fica evidente, de acordo com os depoimentos, uma relação pedagógica hierarquizada entre alguns professores e os estudantes, fator esse que compromete o processo ensino-aprendizagem. O ideário de que esta é uma “licenciatura forte”, associado à falta de formação pedagógica e até de sensibilidade da maior parte dos formadores para com as dificuldades dos alunos diga-se, recém-saídos do Ensino Médio, parece se concretizar na “falta de espaço” para se esclarecerem as dúvidas, sanar dificuldades. Esse contexto contraria qualquer entendimento de atuação pedagógica, de fato, produtiva. Contraria aspectos elementares de qualquer ambiente, efetivamente, formativo.

A atuação do professor formador, entre muitos aspectos, deve se caracterizar fundamentalmente pela ajuda pedagógica, pelo apoio intencional à formação do aluno. E essa ajuda não pode se dar em um contexto em que os professores “não abrem espaço para o diálogo”. Mesmo que essas afirmações dos alunos devam ser compreendidas no seu contexto, elas expressam um sentimento, no caso, de constrangimento, quanto à relação professor-aluno. Tudo isso parece contribuir para a manutenção de um quadro de reprodução já bem conhecido. Temos dito que os novos professores aprendem também “ambientalmente”, que a “forma também é conteúdo no processo formativo”. Do mesmo modo que esses formadores expressam a forma como aprenderam a professorar, também esses alunos, muito provavelmente, sairão dos cursos bem preparados não só quanto aos conteúdos a serem ensinados, mas também quanto às formas de tratar os seus futuros alunos. Se não houver alguma mediação que contribua para que se quebre essa cadeia, eles estarão também aptos a fazerem suas próprias vítimas.

3.2. SABERES PEDAGÓGICOS: "Os alunos acham que podem fazer essas matérias de qualquer jeito"

Os alunos do curso de Matemática, ao abordarem as questões relacionadas aos saberes pedagógicos, fizeram uma análise crítica a respeito das disciplinas de formação pedagógica. Diferentemente dos alunos do curso de Física, eles consideram que estas disciplinas são importantes, mas que precisam ser revistas, para que realmente possam contribuir com sua formação. A esse respeito, afirmaram que

"Um dos problemas que vejo está relacionado com as disciplinas pedagógicas, os alunos acham que podem fazer essas matérias de qualquer jeito, acham que não precisam nem ir à aula. Os professores dessas disciplinas também precisam se empenhar e mostrar a importância desses conteúdos".

"Todo mundo fala que fazer Didática e Psicologia da Educação é muito fácil, quase ninguém lê os textos. Então, quando chega lá no Estágio é que vai sentir a falta daquelas matérias. O problema é que tem esse preconceito com relação às matérias da área da educação, todos acham que são fáceis e que não exigem nada".

"Os nossos professores, com exceção de alguns, não vão à escola saber dos problemas de lá para fazer a discussão aqui no curso. Não estão interessados em tomar conhecimento sobre as dificuldades e os desafios que os professores da escola estão enfrentando, por exemplo, a questão da disciplina, das novas tecnologias, da inclusão. Há uma grande distância entre o nosso curso e a escola".

complementar, é desenvolvida sob a orientação e supervisão de um professor e aproveitada para a integralização do currículo de um curso de graduação, com dedicação semanal de 12 horas (Fonte: www.ufu.prograd.br).

Os alunos apontaram que há certo preconceito com relação às disciplinas pedagógicas e argumentaram que, em virtude da dificuldade enfrentada nas disciplinas de formação específica, não se dedicam às de conteúdo pedagógico, "porque nessas matérias, todo mundo é aprovado" (aluno). Ao mesmo tempo em que demonstraram certo preconceito quanto aos conteúdos de formação pedagógica, os alunos argumentaram a respeito da importância destas disciplinas quando vão assumir a sala de aula. Além disso, ao enfatizarem a distância que há entre o curso e a escola básica, atribuem este aspecto aos professores formadores que não têm, salvo raras exceções, um contato próximo com a escola básica, o que segundo os alunos, dificulta a compreensão das relações que devem existir entre o curso de formação inicial e a docência na escola básica. O que se põe em questão não é o valor destas disciplinas, mas, sim o conteúdo e a forma como são trabalhadas nos cursos, pois

O conhecimento da ciência pedagógica é imprescindível, não porque contenha diretrizes concretas e válidas para "hoje e amanhã", mas porque permite realizar uma autêntica análise crítica da cultura pedagógica, o que facilita ao professor debruçar-se sobre as dificuldades concretas de seu trabalho, bem como a superá-las de maneira criadora (SUCHODOLSKI, apud PIMENTA, 2000, p. 11).

É a partir dessa perspectiva que as disciplinas de formação pedagógica devam estar assentadas. Com base em um sólido referencial teórico que permita aos licenciandos uma leitura mais dinâmica e concreta de toda a problemática que envolve o fenômeno educacional, nas suas múltiplas dimensões: históricas, sociais, culturais, econômicas e políticas. Alguns professores também apontaram dificuldades com relação aos conteúdos de formação pedagógica: "muitas vezes, quando o aluno egresso do ensino superior vai lecionar, ele pega um caderno lá do segundo grau que ele fez, porque não teve uma formação didático-pedagógica que fosse adequada à realidade" (Entrev. 3). Com base nos relatos também de outros professores do curso, fica evidente que há uma preocupação com a formação pedagógica, no entanto, essa preocupação parece não se materializar em ações pontuais e concretas que realmente possam promover uma melhoria na formação dos licenciandos.

3.3. TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA: "Raramente os nossos professores se preocupam em aproximar a Matemática com a realidade da escola"

Os alunos do curso de Matemática demonstraram uma preocupação acentuada com relação à transposição didática, pois compreendem a importância de que os conteúdos a serem ensinados estejam realmente adequados ao nível das turmas em que irão trabalhar. Da mesma forma como acontece no curso de Física, esse aspecto referente à discussão de como se trabalhar os conteúdos na educação básica acontece muito pouco no curso, também fica a cargo das disciplinas da área pedagógica, que, segundo os professores, "não conseguem abarcar todas as necessidades" (Entrev. 2). Nos depoimentos que se seguem, fica evidente a dificuldade que os alunos sentem com relação ao processo de transposição didática

"O problema da linguagem é difícil, principalmente por ser um curso voltado para o bacharelado, tem essa dificuldade. Por exemplo, eu não posso falar da teoria do caos na quinta série da mesma forma que falo num curso de graduação. Então quando a gente começa a dar aulas isso nos assusta. Começamos a falar num nível que os alunos da escola básica não compreendem. Essa preocupação os nossos professores não têm, de como vamos passar esse conhecimento para o aluno da escola básica. Aí vêm as questões: será que meu aluno está aprendendo? Como vou avaliar

esse conteúdo? Então, os conteúdos são técnicos, você não aprende a lidar com a matéria. Você sabe a matéria, mas não sabe ensinar".

"As matérias que nós temos aqui, em muitas situações, são vistas como conteúdos que nós poderemos aplicar muito pouco no Ensino Médio, mas não da forma como vimos. Mas quem dá essas matérias pra gente? São os professores que foram formados nas áreas de Matemática Pura e Aplicada e não tiveram uma formação voltada para a educação. Então, quando eles dão os conteúdos, nós conseguimos aprender só daquela maneira, raramente, um ou outro professor mostra alguma aplicação de como poderemos trabalhar aquilo no Ensino Médio".

"Raramente os nossos professores se preocupam em fazer a contextualização da matéria, de aproximar a Matemática com a realidade da escola".

A partir desses depoimentos destacamos alguns aspectos da transposição didática, segundo o entendimento do grupo de alunos, por exemplo, a questão da linguagem, que é uma queixa comum, principalmente quando os alunos estão nos primeiros períodos e os professores formadores utilizam uma linguagem complicada ao se referir aos termos e conceitos da Matemática. Para os alunos, é preciso compreender essa linguagem "complicada" e traduzi-la, de modo que os estudantes da educação básica consigam entendê-la. Outro aspecto apontado refere-se à contextualização da matéria e à preocupação quanto à aprendizagem dos alunos, que está relacionada a todo o processo de seleção, organização curricular e metodologias adequadas para que o processo de ensino-aprendizagem ocorra realmente. De acordo com as Políticas de Ensino Médio,

As diretrizes curriculares nacionais para o ensino médio destacaram, dentre outros, o princípio da contextualização, como processo de enraizamento dos conceitos científicos na realidade vivenciada pelos alunos, para produzir aprendizagens significativas. Isto significa partir dos fenômenos cotidianos em direção aos saberes escolares. Essa abordagem surge em oposição à transmissão dos conteúdos a partir das disciplinas científicas. Não obstante, tanto uma quanto outra abordagem precisam considerar que os conhecimentos escolares, conquanto devem superar os conhecimentos cotidianos, não se confundem com os conhecimentos científicos, nem os reproduzem no ambiente escolar (MEC, 2006, p. 1).

Novamente, a questão que se coloca para a formação de professores é a distância entre o conhecimento acadêmico e o conhecimento escolar. O ponto de partida para a organização curricular é a relação intrínseca entre os saberes disciplinares e os saberes pedagógicos, mediados pela relação dialética entre teoria e prática. Além disso, ressaltamos que a Matemática Escolar constitui um amálgama de saberes regulado por uma lógica que é específica do trabalho educativo, envolvida por uma série de condicionantes sociais, políticos, econômicos. Assim, uma ampla reflexão sobre o papel da Matemática Escolar no currículo da licenciatura poderá contribuir para introduzir uma referência mais direta da prática escolar no processo de formação inicial do professor (MOREIRA e DAVID, 2005, p. 35).

Os alunos, por já terem experiência docente, são conscientes de suas limitações com relação a esse aspecto e sentem na pele a dificuldade de transpor os conteúdos de saber para objetos de ensino. Essas queixas evidenciam a importância de que os cursos revejam a organização das disciplinas e a sua dimensão pedagógica no currículo. A discussão, a respeito da transposição didática não é algo simples e isso esbarra na própria formação dos docentes,

conforme apontado pelos alunos. No entanto, os próprios professores compreendem a necessidade de rever suas práticas no sentido de aproximar a formação acadêmica com a prática pedagógica que será desenvolvida pelos licenciandos na escola. A esse respeito, alguns professores alegaram que

"A formação de professores deve permitir que o aluno desenvolva a capacidade de transpor a partir do objeto de estudo que tem o conhecimento que será ensinado, de fazer questionamentos, elaborar problemas, entender também como o conhecimento matemático poderá ser utilizado até para preservar a cidadania" (Entrev. 1).

"Um professor de Matemática que sabe ensinar Pitágoras de seis maneiras diferentes, que sabe o que é Pitágoras, de onde ele veio, que sabe adequar esse conhecimento aos alunos numa aula de sexta, sétima série, que maravilha! Pitágoras é uma coisa bonita, agora, um professor que vai lá e dá uma fórmula de Pitágoras traz uma geração de frustrados em Matemática" (Entrev. 2).

Os docentes compreendem a importância do que é trabalhar a dimensão pedagógica dos conteúdos, no entanto, conforme podemos comprovar a partir das vozes dos alunos, isso não acontece muito na prática dos professores formadores e merece uma reflexão aprofundada que busque recuperar o sentido dos conteúdos para a formação dos licenciandos. Essa reflexão aponta para a formação dos docentes e de suas limitações quanto ao desenvolvimento de práticas formativas que contribuam para a construção de diferentes saberes da docência. Isso resvala no entendimento que esses docentes possuem a respeito de formar professores, pois, para muitos, essa formação passa sobejamente pela aprendizagem dos conteúdos disciplinares e, os licenciandos, devem a partir do domínio destes saberes disciplinares, descobrir maneiras de transformar estes objetos de saber em objetos de ensino (CHEVALLARD, 1991). No entanto, este não é um processo simples, exige formação densa (teórico-prática), que permita ao licenciando compreender todo o complexo processo de transformação do conhecimento científico com fins de ensino, não a partir de mera adaptação, mas a partir de verdadeiras criações didáticas e da produção de novos saberes.

De acordo com os alunos, muitos professores que trabalham conteúdos de Matemática Pura, por exemplo, não se sentem responsáveis em lhes apresentar formas de desenvolver aquele conteúdo na educação básica, porque consideram que sua tarefa é ensinar bem os conceitos referentes àquela disciplina. Moreira e David (2005, p. 18) ressaltam que “independentemente do fato de que o saber a ser ensinado provenha ou não de um corpo científico de conhecimentos, o trabalho de ensinar requer a construção de uma percepção peculiar do objeto”. Não se trata de uma mera adaptação da Matemática Acadêmica ao currículo escolar, mas de elaborações e recriações teoricamente fundamentadas, capazes de relacionar, dialeticamente, a Matemática Acadêmica à Matemática Escolar. Caso contrário, a conseqüência de uma formação distanciada da educação básica é a dificuldade enfrentada pelos alunos quando assumem a docência, isso significa que, se aprenderam um conteúdo somente de uma forma, dificilmente poderão ensiná-lo de modo diferente.

3.4. PRÁTICAS FORMATIVAS: "A matéria que me fez descobrir que eu queria ser professor é a Oficina de Práticas Pedagógicas"

As práticas formativas que mais se destacam no curso de Matemática, segundo a opinião dos alunos, são aquelas desenvolvidas, principalmente, nas disciplinas de formação pedagógica: Prática de Ensino I e II (90 h/a cada), Oficina de Práticas Pedagógicas I e II (60 h/a cada) e Metodologia do Ensino (45 h/a). Com relação a essas práticas, apontaram também

várias dificuldades que enfrentam ligadas, sobretudo, à prática pedagógica dos professores formadores, conforme apontado no item anterior. Ao mesmo tempo em que fizeram críticas e demonstraram certo preconceito com relação às disciplinas de formação pedagógica, os alunos argumentaram a respeito da importância destas disciplinas. Em seus depoimentos, ficou evidente a falta que sentem dos saberes pedagógicos, principalmente, quando iniciam o estágio.

Houve um destaque maior para a disciplina Oficina13 de Prática Pedagógica, pois os alunos consideram que há nesta disciplina uma maior oportunidade de desenvolver a capacidade criativa que eles possuem. A esse respeito, um aluno relatou que

“A matéria que me fez descobrir que eu queria ser professor é a Oficina de Práticas Pedagógicas. Eu descobri que era isso que eu queria mesmo: ser professor. Só que é a matéria que mais me frustra, porque na Oficina aprendemos coisas fantásticas: trabalhar com materiais concretos, a utilização de programas de computador e uma série de recursos, mas quando você chega na escola e encontra uma sala de 30 alunos, sem a mínima condição para desenvolver uma boa aula. Então, é uma matéria que me ensinou o melhor possível para ser professor, mas me frustra por causa da falta de condições das escolas”.

De modo geral, os alunos consideram que as discussões em torno da Educação se iniciam tardiamente no curso, conforme relatou uma aluna: "Só no sétimo período é que começamos a ler textos da área da Educação. A professora de Estágio pediu para lermos um texto da Educação, até simples, a maioria leu e não entendeu nada". A dificuldade apontada pela aluna refere-se, também, ao baixo status que as disciplinas pedagógicas têm no currículo, conforme explicitado anteriormente no item "Saberes Pedagógicos". Ao desenvolverem as práticas de Estágio, significa que os alunos já tenham cursado as disciplinas da área de Educação (Didática, Psicologia, Estrutura e Funcionamento do Ensino), o que supõe certo domínio das discussões em torno da problemática educacional (relação ensino-aprendizagem, organização do espaço escolar, processos pedagógicos, dentre outros aspectos). No entanto, ficou evidenciada a grande dificuldade que há entre os alunos com relação à leitura e interpretação dos textos da área educacional. Segundo um aluno, "nós fomos acostumados a raciocinar a partir de números e quando temos contato com textos que só têm palavras, ficamos perdidos".

Os alunos apontaram a necessidade de se criar no curso mais espaço para as discussões, para que as aulas possam ser mais dinâmicas e que haja mais momentos de diálogo e troca de experiências. Para os licenciandos, se as aulas fossem mais interativas e houvesse menos "listas de exercícios", haveria maior possibilidade de se desenvolver mais práticas formativas capazes de realmente contribuir com a formação docente. Nesse sentido, um aluno fez o seguinte comentário: "Eu acho que o professor que passa lista de 75 exercícios não é bom professor. Fica copiando o livro e não motiva os alunos a buscarem conhecimento e a pesquisarem. Não abre o diálogo, nem cria situações para promover a nossa aprendizagem". Os alunos, em seus relatos, demonstraram a necessidade de maior contato com a escola. Foi solicitado, também, aos professores que destacassem as práticas formativas que eles consideram mais importantes:

13 "Na disciplina Oficina de Prática Pedagógica, os alunos têm a oportunidade de vivenciar outras metodologias de ensino, a partir da utilização de material concreto motivador a vários tópicos da matemática, como os conceitos de comprimento, área, volume, frações, fatorações, equações, trigonometria, dentre outros. Os alunos são instigados a produzirem materiais didáticos alternativos para o ensino de matemática, adequando-os às diferentes realidades econômicas escolares" (Entrevista nº 3 - Professor do curso de Matemática).

"Os alunos entram e nos dois primeiros anos fazem as matérias básicas, logo no primeiro período, tem uma disciplina que é Introdução à Matemática, onde os professores são convidados a dar palestras de várias áreas, então as pessoas vão e contam com o que trabalham. Nós oferecemos essa disciplina para que o aluno comece a ter uma visão geral do que ele poderá trabalhar no futuro" (Entrev. 4).

"Tem um projeto de ensino, no âmbito do PIBEG, que está em andamento e já tem produzido efeitos. São desenvolvidos nesse projeto uma série de atividades que concorrem exclusivamente para isso: despertar nos alunos o gosto em estudar Matemática, fazer com que adquiram hábitos de estudo, não por obrigatoriedade, mas porque é gostoso estudar Matemática. Temos alguns resultados parciais bastante positivos. Então, temos que formar professores, para que, quando saírem do curso, saibam fazer propostas, explorar os diferentes espaços, que tenham boas iniciativas" (Entrev. 1).

Os depoimentos dos docentes evidenciam o papel importante, que segundo eles, algumas disciplinas desempenham no processo formativo dos alunos. Isso demonstra certa coerência quando apresentamos anteriormente, no item que trata dos saberes disciplinares, o papel de destaque que os conteúdos específicos ocupam, de acordo com a concepção dos professores formadores.

3.5. IDENTIDADE PROFISSIONAL: "Optei pela licenciatura e hoje acho que estou no caminho certo, estou gostando muito do que estou fazendo"

A identidade profissional é também construída a partir de diferentes práticas formativas que se configuram no espaço acadêmico. A própria escolha pelo curso, a opção por cursar licenciatura e/ou bacharelado, é um dos fatores que contribuem para que o aluno, ao fazer sua escolha, invista realmente em sua formação. Alguns alunos, ao serem indagados sobre a escolha do curso, destacaram que a opção pela licenciatura ocorreu, não pelo desejo de ser professor, mas pelas exigências do bacharelado14, principalmente:

"Entrei aqui querendo fazer o bacharelado, mas durante o curso eu fui percebendo que seria muito difícil terminar o bacharelado, então optei pela licenciatura e hoje acho que estou no caminho certo. Estou gostando muito do que estou fazendo, dos estágios e é isso que quero fazer mesmo".

"Já estava no quarto período do curso, com várias reprovações, e um colega me convidou para dar aulas num cursinho alternativo e o que me motivou para dar continuidade no curso foi a partir do momento que eu entrei na sala de aula e olhei nos olhos daqueles meninos ali. Eles olhavam para mim e pensavam: 'ele vai ajudar a gente', e foi a partir disso que comecei a me motivar e pensar que quando eu me formar quero ser melhor do que alguns professores que tive".

"Eu fui para o curso de Matemática porque não consegui entrar no curso de Engenharia. Estamos vivendo uma crise no curso de Matemática: os alunos entram e não têm consciência do que vão

14 De acordo com os licenciandos, só são admitidos para integrar os grupos de pesquisa em Matemática Pura e Aplicada, aqueles alunos cuja nota é acima de 80%, sem nenhuma reprovação.

fazer. Há alguns anos atrás, as pessoas tinham consciência de que seriam professores e sabiam quais seriam seus percalços, agora há uma demanda de pessoas que entram no curso de Matemática e não têm essa consciência e isso se torna uma frustração quando percebe que será professor e não está preparado".

"Temos a utopia de ser o melhor professor possível, trazer a realidade social para dentro da sala de aula, de construir novos conceitos matemáticos. Mas, que realidade a escola quer? Depende da escola. Se for particular, ela quer que você dê show. Na escola pública, você pode fazer o que quiser, até não ensinar Matemática, mas você não tem recursos para utilizar. Então, a realidade nos força a ser o professor que detestamos: o professor de giz e lousa".

Os argumentos apresentados acima pelos alunos demonstram posições que oscilam, de um lado, entre a utopia da profissão, o sonho, o desejo de se tornar um bom profissional e, de outro, pelo pragmatismo e a necessidade de sobrevivência. Os depoimentos revelam que, apesar das dificuldades inerentes à profissão docente, os alunos chegaram ao final do curso de Matemática (são alunos do 7° e 8º período) com uma disposição maior para enfrentar os desafios colocados pelo exercício do magistério e uma determinação quanto ao querer ser "bom professor", quanto à responsabilidade e ao compromisso social da profissão docente. Os alunos percebem, ainda, as dificuldades e limitações de sua formação, no entanto, consideram que é possível superá-las, "com esforço e boa vontade" (aluno).

A identidade profissional se constrói também pelo significado que cada licenciando confere à atividade docente no período de sua formação inicial, a partir de seus valores, de seu modo de se situar no mundo, de suas experiências e história de vida. No entanto, Santos (2003) nos lembra que muitos profissionais se identificam mais com sua formação do que com o trabalho que exercem, visto que a primeira é que lhes confere maior distinção social. Assim, ao serem indagados sobre a profissão que exercem na educação básica, os professores, muitas vezes, se identificam mais com historiadores, biólogos, físicos, matemáticos ou químicos, o que dificulta a adesão profissional ao magistério.

O curso de Matemática, apesar das dificuldades apontadas pelos alunos, contribui para o desenvolvimento desse processo complexo que é o "sentir-se professor", ou seja, o sentido que tem em sua vida o ser professor. Essa constatação se baseia no fato de que muitos alunos não queriam ser professores, conforme relataram, mas, ao longo do curso, foram mudando essa concepção. È interessante que muitos afirmaram que essa mudança de opinião, do "não quero ser professor" para "é isso mesmo que quero ser - professor", ocorreu a partir do contato com a escola, com a sala de aula e com o exercício da docência propriamente dito. Nesse sentido, o espaço destinado ao Estágio contribui para o desenvolvimento da identidade profissional. Mas, segundo os alunos, é ainda uma disciplina que tem problemas, principalmente, por ser ministrada ao final do curso. 3.6. ASPECTOS PROBLEMÁTICOS DO CURSO: "Se você entra no curso e tem reprovação, acabou, já caiu na malha fina"

A avaliação da aprendizagem parece ser a grande vilã do processo formativo para os alunos do curso de Matemática. No grupo focal, foram destacados vários aspectos referentes à dificuldade que os alunos sentem, principalmente, com relação à reprovação, e à distância entre bacharelado e licenciatura, conforme podemos ler nos depoimentos:

"Quando eu entrei aqui, na minha turma tinha 35 alunos, hoje não são nem dez que continuam a fazer o curso. Se a gente não correr

atrás e buscar saber o que é educação, a gente sai daqui e é giz e o livro didático, somente".

"Aqui não tem esse espaço colaborativo, de sentar e pensar sobre a nossa formação, sobre os problemas referentes ao alto índice de reprovação".

"No curso de Matemática, não dá para estudar na véspera da prova. Não temos apoio, se você der conta de fazer as provas você passa, se não, o problema é seu. Então você tem que estudar muito. Se estudar muito consegue passar. Existem alguns professores que inventam provas mirabolantes, são provas que não condizem com as aulas".

"Aqui não se valoriza as dificuldades que temos, mas valorizam apenas o bons. Se você errar, para alguns professores, você errou para sempre. Você não tem oportunidade de aprender com seu erro".

"Se você entra no curso e tem reprovação, acabou, já caiu na malha fina".

"Essa questão do número de reprovação, principalmente, nos dois primeiros períodos, é o degrau que você pula, que é muito alto. Há uma distância muito grande entre a Universidade e o colegial. Aqui já é totalmente diferente, se você estiver na beira do barranco para cair, o professor ainda pisa nos seus dedos para ver se você desce mais rápido. Esse abismo é muito grande, muita gente não consegue pular e fica lá, com uma lista de reprovações".

Esses depoimentos refletem a dificuldade sentida pelos alunos quanto ao processo avaliativo. Os fatores que interferem no sucesso da aprendizagem se relacionam, muitas vezes, à dificuldade de compreensão dos conteúdos e ao modo como os professores avaliam o processo de ensino-aprendizagem. Segundo os alunos, somente são aceitos no mestrado aqueles que não têm reprovações, porque a reprovação "é uma mancha no currículo" e, se "errar, errou para sempre" (aluno). O aspecto punitivo do erro é responsável, muitas vezes, pelo abandono do curso e pela desistência da formação profissional. A esse respeito, David e Moreira (2005, p. 32) nos ajudam a pensar que:

Para a Educação Matemática Escolar é importante pensar o erro como um fenômeno psicológico que envolve aspectos diretamente relacionados ao desenvolvimento dos processos de ensino e aprendizagem. (...) Pesquisas indicam que os erros têm um caráter sistemático, são persistentes e, muito frequentemente, resultam de experiências anteriores dos alunos. Os erros, antes de se reduzirem a uma simples manifestação de desconhecimento ou de fracasso, podem ser entendidos como um indicador didático-pedagógico. Nesse sentido, (o estudo dos erros) constitui parte importante dos saberes envolvidos na ação pedagógica do professor.

O erro só emerge a partir de um contexto de existência de um padrão considerado correto. A solução insatisfatória de um problema só pode ser considerada errada, a partir do momento que se tem uma forma considerada correta de resolvê-lo, sendo assim, desconsidera-se todo o processo percorrido para resolução do problema e avalia-se apenas o resultado, julgando-o em dois pólos contrários: certo ou errado. Nesse sentido, o erro não pode ser entendido como um fim em si mesmo, mas um meio para se chegar a uma aprendizagem

efetiva. Partindo deste pressuposto deve-se aproveitar o erro como construção e busca dos objetivos pretendidos. Desse modo, o professor, ao detectar o erro, poderá aproveitá-lo para rever os conceitos, a metodologia e as práticas das quais lança mão para o efetivo aprendizado dos alunos.

As práticas avaliativas são constantemente marcadas por momentos de tensão em que os alunos sentem-se pressionados e, muitas vezes, incapazes. Nesse sentido, não podemos desconsiderar o fator emocional que também interfere nas práticas avaliativas, geralmente pautadas por uma relação verticalizada entre alunos e professores. Para os alunos, as provas de alguns professores não condizem com suas aulas, pois são elaboradas a partir de um grau de dificuldades muito maior do que o conteúdo trabalhado em sala de aula. A ênfase é na nota em si e não, na aprendizagem e, essa cultura da nota é tanto para os professores quanto para os alunos, principalmente, para aqueles que desejam prosseguir os estudos no mestrado. Sordi (2005, p. 142) ressalta que:

Os óculos éticos usados para dar sentido ao que seja uma avaliação formativa, processual, contínua diversificada, educativa, includente e, simultaneamente, norteada pela construção de um ‘produto’ que contenha qualidade técnica, política e sobretudo ética parecem ser um campo de interrogação para os educadores.

No entanto, para se praticar uma avaliação formativa, processual e includente, é preciso que os professores formadores revejam suas concepções de avaliação, para além de meros instrumentos que, supostamente, servem para quantificar a aprendizagem dos alunos. Essa mudança de concepção só é possível a partir de dois aspectos fundamentais: primeiro o desejo de mudança de atitudes com relação à prática pedagógica e, segundo, por meio de respaldo teórico. A partir do depoimento dos professores, fica evidente que essa questão está presente em suas preocupações, ao destacarem, que no curso de Matemática, a forma mais utilizada para se avaliar é a prova:

"É natural que nas disciplinas um pouco mais abstratas, por exemplo, cálculo e em disciplinas que exigem raciocínio mais abstrato, em que os alunos têm mais dificuldade, vai haver mais reprovações" (Entrev. 2).

"Existem disciplinas que têm um índice de reprovação mais alto, como Análise Matemática e Estruturas Algébricas, que são disciplinas centrais do curso, e outras também que são disciplinas chave do curso: Geometria Plana e Desenho Geométrico, que são disciplinas com muita reprovação, sendo que, boa parte do conteúdo é de segundo grau, só que é vista aqui do ponto de vista axiomático.(...) Os maiores índices de reprovação, pelo menos quando eu fui coordenador do curso, se davam nas disciplinas do início do curso, nos quatro primeiros períodos. A maior parte das evasões se dá justamente porque o aluno não consegue lograr aprovação nos primeiros períodos. Existem alunos que possuem seis ou até sete reprovações e, porque isso? São várias razões, primeiro pela falta de dedicação ao curso" (Entrev. 3).

"Nós percebemos que muitos alunos decoram os passos da resolução dos exercícios e, se na avaliação, o professor fizer uma pequena alteração no problema, o aluno não consegue resolver. Porque ele apenas decorou a resolução do exercício e não entendeu. Esta atitude é comum no ensino fundamental e médio, estudar Matemática como se fosse um questionário. Em geral,

nossos alunos têm esse mesmo tipo de mecanismo de estudo" (Entrev. 4).

Mas, a dificuldade que os professores sentem ao avaliar é, principalmente, porque lidam com turmas numerosas e em razão da especificidade dos conteúdos que ministram. Essa realidade os leva a justificar que "é muito difícil avaliar se não for a partir de provas" (Entrev. 4). A maioria dos professores adota uma metodologia bem parecida: iniciam o processo a partir de aula expositiva, com a demonstração dos passos para a resolução dos problemas e/ou exercícios, a explicação dos conceitos, em seguida, os alunos resolvem as listas de exercícios de fixação, que também são avaliadas e, finalmente, a prova.

Essa metodologia configura uma seqüência linear de apresentação do conteúdo, que pouco contribui para o desenvolvimento do pensamento criativo, por exemplo. Isso porque, a partir dessa metodologia, os alunos são pouco instigados a pensar, a se sentirem desafiados, pois o professor apresenta antes a resolução possível do problema. Alguns alunos argumentaram que, dependendo do professor, não são aceitas formas de resolução de problemas diferentes da que foi ensinada. Essa metodologia gera uma aprendizagem passiva, na qual o professor é a figura central do processo e os alunos são os espectadores, bem aos moldes da Pedagogia Tradicional.

Segundo Libâneo (1989, p. 21), no modelo tradicional, o professor tem poder decisório quanto à metodologia, conteúdo e avaliação, acredita que a retenção das informações e conceitos ocorre a partir da repetição de exercícios sistemáticos (listas de exercícios). Há a tendência de tratar a todos os alunos igualmente: todos deverão seguir o mesmo ritmo de trabalho, estudar os mesmos livros-texto, no mesmo material didático e adquirir os mesmos conhecimentos. Aqui, a concepção de educação é caracterizada como produto, já que estão preestabelecidos os modelos a serem alcançados. Não se destaca, portanto, o processo. São privilegiadas as atividades intelectuais, por meio da transferência da aprendizagem, que depende do treino, sendo imprescindível a retenção, a memorização, para que o aluno responda à situações novas de forma semelhante às situações anteriores. Em resumo, pode-se afirmar que nesta pedagogia há uma redução do processo educativo a, exclusivamente, uma de suas dimensões: a dimensão do saber. Esses aspectos, apontados anteriormente, nos remetem ao questionamento da prática pedagógica dos professores formadores. Os alunos, no grupo focal, destacaram que existem professores no curso que "não têm diálogo com as turmas. O aluno tem que ficar quietinho na carteira, o professor vai ficar lá na frente falando e o aluno que se vire para aprender, sem o mínimo de diálogo". Muitas queixas foram feitas a respeito da distância que alguns professores se colocam com relação aos estudantes.

No entanto, foi destacado que essas dificuldades, muitas vezes, estão relacionadas com a própria formação desses professores, conforme justificou um aluno: "A maioria de nossos professores fez o bacharelado e depois mestrado e doutorado em Matemática Pura ou Aplicada, então, desde a graduação eles já têm aquele ritmo e, quando vêm ser professores da gente, eles agem como aprenderam". Mais uma vez, fica evidenciada a importância da formação pedagógica dos docentes, uma vez que muitos aspectos, destacados nas entrevistas e no grupo focal, apontam para a urgência de políticas institucionais de formação continuada dos professores formadores.

5. Algumas considerações...

Um dos propósitos deste estudo foi o de compreender quais as principais dificuldades enfrentadas pelos estudantes no decorrer do processo formativo. Alguns aspectos são recorrentes: a insegurança sentida pelos alunos ao assumirem a docência no período de estágio, principalmente com relação ao domínio dos saberes pedagógicos; práticas formativas

que pouco contribuem para o investimento na profissão, a distância entre os conteúdos acadêmicos e os conteúdos escolares, o que dificulta o desenvolvimento da identidade profissional, dicotomia entre teoria e prática, sendo que a conseqüência mais visível desse quadro é o índice expressivo de reprovações, o qual culmina na desistência do curso.

Diante dessas dificuldades apresentadas, reiteramos que a identidade dos cursos de formação de professores deve ser construída com base em elementos constitutivos da elaboração do conhecimento profissional como: a) vinculação da formação acadêmica com a prática profissional, no sentido de reorganizar os currículos de formação, de modo que a realidade escolar possa ser o ponto de partida para reflexões mais aprofundadas a respeito dos desafios do exercício da docência; b) práticas formativas que possibilitem a valorização permanente dos saberes da docência, para além das aulas expositivas, baseadas numa perspectiva tradicional de educação, proporcionando aos estudantes vivenciar diferentes práticas que viabilizem uma maior compreensão do fenômeno educativo e toda a sua complexidade; c) conhecimento didático-pedagógico dos conteúdos a serem ensinados, referentes à transposição didática, a partir de metodologias que favoreçam a compreensão dos objetos de ensino e o trabalho de transformação destes objetos de saber em objetos a serem ensinados em sala de aula; d) realização de práticas investigativas que possibilitem a articulação entre teoria e prática, tendo a pesquisa como eixo balizador do currículo de formação.

A prática pedagógica ocupa papel importante, uma vez que representa o ponto de partida para a teoria, para sistematizar novos conceitos e para compreender e decodificar a realidade vivenciada. Isso supõe um movimento de análise e tomada de decisões em processo, beneficiando-se do trabalho coletivo e da gestão democrática, como espaço e objeto de questionamento sempre mediado pela teoria. A prática pedagógica constitui-se um processo de investigação/explicação de uma determinada realidade educacional e pedagógica, quer seja em espaços educativos formais ou não-formais. O principal objetivo dessa prática é desenvolver no futuro professor a habilidade de refletir sobre a organização do trabalho pedagógico da escola, problematizá-lo, compreendê-lo e sistematizar projetos de intervenção.

É importante ressaltar que o estágio supervisionado deve ser entendido como um momento de integração entre teoria e prática. Nesse sentido, teoria e prática são consideradas como eixo articulador do currículo de formação do educador, que tem por base uma concepção sócio-histórica da educação. Tais elementos devem se refletir na definição dos objetivos do curso, na seleção dos conteúdos de formação, na criação de diferentes tempos e espaços de vivência para os alunos, nas relações entre professores formadores, licenciandos e professores da escola básica, na dinâmica da sala de aula, no processo de avaliação. Importa que a Universidade se organize para que, efetivamente, possa desenvolver processos formativos que permitam aos futuros professores assumirem a docência de forma plena, bem preparados, com capacidade para empreender uma educação verdadeiramente pautada nos pressupostos da cidadania.

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ZABALA, Antoni. A Prática Educativa: como ensinar. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

ZEICHNER, Kenneth. A formação reflexiva dos professores: idéias e práticas. Lisboa: Educa, 1993.

FAMAT em Revista




Em Sala de Aula

Comitê Editorial da Seção Em Sala de Aula


Alessandro Alves Santana (coordenador da seção) Marcos Antônio da Câmara

Indice de Trabalhos

Analise estatıstica da quantidade de calcio presente no leite em po 337

Thiago Faria Tormin, Nahiara Marie Lacerda, Maısa Azevedo Beluomini,

Henrique de Paula Rezende e Aurelia Aparecida de Araujo Rodrigues

Análise estatística da quantidade de cálcio presente no leite em pó

Thiago Faria Tormin 1, Nahiara Mariê Lacerda1, Maísa Azevedo Beluomini1, Henrique de Paula Rezende1, Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues2

Resumo O cálcio é um elemento abundante no corpo humano e concentra-se principalmente

nos ossos e dentes. As necessidades de cálcio são geralmente supridas por laticínios, especialmente leite. O objetivo deste trabalho é utilizar a técnica de titulação para obter a quantidade de cálcio em nove amostras de leite em pó e verificar se a quantidade de cálcio declarada pelo fabricante é estatisticamente verdadeira.

Palavras chave: cálcio, leite em pó, titulação, estatística descritiva e teste t de Student. 1. Introdução

Para o desenvolvimento deste trabalho os alunos do curso de graduação em Química da Universidade Federal de Uberlândia (UFU), matriculados na disciplina Estatística no primeiro semestre de 2008, obtiveram a concentração de cálcio em leite em pó através de experimentos químicos (titulação).

O cálcio é essencial para a transmissão nervosa, coagulação do sangue, contração muscular, atua também na respiração celular, além de garantir uma boa formação e manutenção de ossos e dentes. Por sua presença na formação óssea o cálcio é um dos elementos mais abundantes no corpo humano. O cálcio é essencial para o funcionamento do organismo, quando existe deficiência de cálcio na corrente sanguínea (por má alimentação, questões hormonais ou outros motivos) o corpo tende a repor essa deficiência retirando cálcio dos ossos. A deficiência de cálcio pode levar a osteopenia e osteoporose, na qual os ossos se deterioram e há um aumento no risco de fraturas, especialmente nos ossos mais porosos. A deficiência de cálcio pode causar também: agitação, unhas quebradiças, propensão à cáries, depressão, hipertensão, insônia, irritabilidade, dormência no corpo e palpitações. O excesso de cálcio pode ocasionar as conhecidas "pedras" no rim, que são na verdade pequenos aglomerados de uma substância conhecida como oxalato de cálcio. Este tipo de formação é mais comum em decorrência da ingestão de cálcio de origem mineral (presente no solo e conseqüentemente na água de determinadas regiões) e também em alguns suplementos alimentares, já que este tipo de cálcio não é muito bem absorvido pelo organismo. Consumir cálcio em excesso também pode ocasionar a redução de outros minerais, como, por exemplo, magnésio. Além disso, o excesso de cálcio pode causar anorexia, dificuldade de memorização, depressão, irritabilidade e fraqueza muscular (WIKIPEDIA, 2008).

Alguns alimentos são fontes de cálcio: laticínios (leite e derivados, como iogurte e queijo), hortaliças da espécie Brassica oleracea (brócolis, couve-flor, couve, repolho), verduras verde escuras (com exceção do espinafre, devido ao alto teor de ácido oxálico), algas marinhas, gergelim integral, amêndoas, feijões, etc.

A ingestão diária recomendada de cálcio varia com a idade, veja Tabela1.

1 Aluno(a) de graduação – Instituto de Química/UFU – [email protected] – [email protected] [email protected] – [email protected] 2 Professora orientadora – Faculdade de Matemática/UFU – [email protected]

Tabela 1: Ingestão Diária Recomendada (IDR) de Cálcio Faixa etária Quantidade de cálcio

Lactente (1 – 3 anos) 800 mg Crianças (4 – 6 anos) 800 mg Crianças (7 – 10 anos) 800 mg

Adultos 800 mg Gestantes 1200 mg Lactantes 1200 mg

Fonte: Ministério da Saúde 1998, (base: RDA 1989.)

Neste trabalho, foram medidas as concentrações de cálcio em amostras de leite em pó de uma determinada da marca A, produto amplamente disponível no mercado. Por motivos éticos, a marca do leite em pó A não será identificada aqui. Foi utilizada a técnica de titulação para medir a quantidade de cálcio em amostras contendo 2 g de leite em pó. A titulação é um procedimento, empregado em experimentos químicos, para se determinar a quantidade de uma substância particular, mediante a adição de uma solução com concentração e natureza conhecidas. A titulação é bastante utilizada por apresentar as seguintes vantagens: reações simples com estequiometria conhecida e apresenta mudanças químicas ou físicas (pH, temperatura, condutividade), principalmente no ponto de equivalência.

O fabricante de leite em pó da marca A declara, no rótulo da embalagem, que 26g de leite em pó (equivalente a duas colheres de sopa) possui 263mg de cálcio, o que equivale a 10,12 mg de cálcio/g.

O objetivo deste trabalho é utilizar a técnica de titulação para obter a quantidade de cálcio em nove amostras de leite em pó e verificar se a quantidade de cálcio declarada pelo fabricante é estatisticamente verdadeira. 2. Metodologia 2.1. Reagentes, soluções e instrumentos

Os reagentes químicos utilizados foram: água destilada, solução tampão ( NH3/NH4Cl) de pH 10, cianeto de potássio ( KCN), solução MG-EDTA, solução EDTA 0,02 mol.L-1, indicador Ério T, solução de FeSO4.

Os instrumentos utilizados foram: bureta, suporte com garra, agitador magnético balança analítica, espátulas, béqueres, erlenmeyers, conta gotas.

2.2. Procedimento experimental

Para a titulação do leite em pó utilizou-se como titulante a solução de Mg- EDTA a uma concentração de 2,00 mol/l ( fator de correção igual a 1). Para tanto: 1 - Pesou-se nove amostras de leite em pó (2,00 g) de cada lata e cada porção foi transferida quantitativamente para um erlenmeyer correspondente de 250,00 ml; 2 - Dissolveu-se cada uma das amostras em aproximadamente 50 ml de água destilada, enxaguando as laterais com o máximo cuidado para evitar que qualquer quantidade de leite em pó ficasse aderida nas paredes do erlenmeyer sem ser dissolvida; 3 - Adicionou-se 15ml de solução tampão pH 10 (NH3/NH4Cl); 4 - Adicionou-se alguns cristais de KCN para mascarar íons como Zn2++, Cu2+ e Fe3+,que interferem bloqueando o indicador. 5 - Adicionou-se vinte gotas de uma solução de MG-EDTA e também a ponta de uma espátula de Erio-T como indicador;

6 - Titulou-se até o aparecimento da cor azul, indicando o final da titulação. Anotou-se o volume gasto do titulante; 7 - Adicionou-se FeSO4 nas amostras antes de serem descartadas na pia, para evitar maiores contaminações. 8 – Procedeu-se os cálculos estequiométricos para obtenção da quantidade de cálcio.

Figura 1: Equipamentos utilizados para a titulação 2.3.Coleta de dados

Para simplificar o processo de amostragem, procurou-se ser aleatório sem, no entanto, realizar propriamente o sorteio ou algum dispositivo aleatório. Para tal, procedeu-se à escolha das 9 latas de leite em pó da marca A tomando-se a precaução de obter 9 latas de diferentes lotes, em diferentes estabelecimentos.

Em uma titulação, as medidas podem apresentar erros de medição, por se tratar de um experimento que é influenciado por fatores externos não-controláveis, tais como, umidade e temperatura ambiente; e por fatores externos controláveis, tais como, manuseio inadequado de instrumentos e falta de atenção do analista.

A partir de um único experimento não é possível obter informações sobre a variabilidade dos resultados, devido à influência dos fatores externos controláveis e não controláveis. Sendo assim, ao realizar um procedimento analítico completo, recomenda-se a execução de dois a dez ensaios (réplicas) do experimento (SKOOG et al, 1981). Neste trabalho, o experimento foi repetido dez vezes para cada lata de leite em pó.

Para cada uma dos dez ensaios das nove amostras de leite em pó, foram feitos os cálculos estequiométricos para obtenção das quantidades de cálcio. Essas quantidades de cálcio, em miligramas (mg), obtidas para um grama de leite em pó, estão apresentadas na Tabela 2.

Tabela 2: Quantidade de cálcio, em mg/g de leite em pó Ensaios Leite 1 Leite 2 Leite 3 Leite 4 Leite 5 Leite 6 Leite 7 Leite 8 Leite 9 1 9.82 8.36 9.93 9.82 8.99 8.60 9.28 9.43 9.55 2 9.43 9.52 9.65 9.45 9.56 9.78 8.86 8.94 9.62 3 9.78 9.32 10.25 9.41 9.29 8.81 8.68 9.24 9.23 4 10.79 8.57 10.54 9.65 9.59 8.11 8.46 9.65 8.56 5 9.74 8.42 9.54 10.16 10.29 9.55 8.49 8.78 9.62 6 9.56 9.12 9.38 9.58 9.26 8.56 8.86 8.58 9.48 7 9.96 10.02 9.68 9.76 9.45 8.56 8.91 9.59 10.15 8 9.87 8.73 10.12 10.29 9.52 8.43 8.85 9.84 9.56 9 10.45 8.95 9.96 9.78 9.31 8.55 8.80 9.87 9.81 10 9.89 8.74 9.87 9.84 9.22 8.87 8.70 8.86 9.87

Para representar a quantidade de cálcio de cada lata de leite em pó foi utilizada a média aritmética dos 10 ensaios. 3. Análise dos resultados

Neste trabalho, foi utilizado o software estatístico BIOESTAT (2008) para cálculo das medidas descritivas e obtenção dos gráficos. O BioEstat é um software gratuito e pode ser obtido na internet.

A Tabela 3 apresenta o resumo estatístico de cada lata de leite usada neste trabalho e a Figura 2 apresenta os respectivos gráficos box-plots ( Mínimo, Primeiro Quartil, Mediana, Terceiro Quartil, Máximo).

Na Tabela 3, observa-se que o Leite 7 apresentou o menor coeficiente de variação (2,65%) e o Leite 2 apresentou o maior (5,87%).

Na Figura 3, os box-plots ilustram a variabilidade do resultado do experimento para cada lata de leite, além de mostrar a variabilidade entre as latas de leite.

Para representar a quantidade de cálcio de cada lata de leite em pó foi utilizada a média aritmética. Tabela 3: Medidas descritivas para nove amostras de leite em pó

Leite 1 Leite 2 Leite 3 Leite 4 Leite 5 Leite 6 Leite 7 Leite 8 Leite 9 Tamanho da amostra 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Mínimo 9.43 8.36 9.38 9.41 8.99 8.11 8.46 8.58 8.56 Máximo 10.79 10.02 10.54 10.29 10.29 9.78 9.28 9.87 10.15 Amplitude Total 1.36 1.66 1.16 0.88 1.30 1.67 0.82 1.29 1.59 Mediana 9.85 8.85 9.90 9.77 9.38 8.58 8.83 9.34 9.59 Primeiro Quartil (25%) 9.75 8.61 9.66 9.60 9.27 8.55 8.69 8.88 9.50 Terceiro Quartil (75%) 9.94 9.27 10.08 9.84 9.55 8.86 8.86 9.64 9.76 Desvio Interquartílico 0.19 0.66 0.42 0.24 0.28 0.30 0.18 0.76 0.27 Média Aritmética 9.93 8.98 9.89 9.77 9.45 8.78 8.79 9.28 9.55 Variância 0.16 0.28 0.12 0.08 0.12 0.26 0.05 0.22 0.18 Desvio Padrão 0.40 0.53 0.35 0.28 0.35 0.51 0.23 0.47 0.43 Erro Padrão 0.13 0.17 0.11 0.09 0.11 0.16 0.07 0.15 0.13 Coeficiente de Variação 4.08% 5.87% 3.53% 2.88% 3.68% 5.83% 2.65% 5.02% 4.45% Assimetria 1.24 0.81 0.42 0.65 1.59 1.10 0.63 -0.14 -1.29 Curtose 1.41 0.11 -0.15 -0.04 3.91 0.66 1.50 -1.58 3.02

Gráfico 1: Box-plot para nove amostras de leite em pó De acordo com as informações contidas no rótulo da embalagem de leite em pó da marca A, o produto possui o equivalente a 10,12 mg de cálcio/g. Para verificar se esta afirmação é estatisticamente verdadeira, foi realizado um teste t de Student

Inicialmente, foi feito um teste de normalidade para noventa valores de cálcio/g de leite em pó. Do histograma (Gráfico 2) e do Teste Kolmogorov Smirnov (Tabela 4) tem-se que a quantidade de cálcio/g de leite em pó da marca A segue uma distribuição aproximadamente normal.

Gráfico 2: Histograma para as quantidades de cálcio da Tabela 1

cálcio em mg/g de leite em pó

Fre

quên

cia

10.810.410.09.69.28.88.48.0

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Tabela 4: Teste Kolmogorov Smirnov para as quantidades de cálcio da Tabela 1 Tamanho da amostra 90 Desvio máximo 0.0954 Valor crítico unilateral (0.05) 0.1286 Valor crítico unilateral (0.01) 0.1602 p(valor) unilateral ns Valor crítico bilateral (0.05) 0.1434 Valor crítico bilateral (0.01) 0.1718 p(valor) bilateral ns

Seja a hipótese nula H0: μ = 10,12 mg de cálcio/g de leite em pó (afirmação do fabricante) e a hipótese alternativa H1: μ < 10,12 mg de cálcio/g de leite em pó.

Da Tabela 3, para as 9 latas de leite em pó: X = 9,38 ( média das médias) e s = 0,45 (desvio padrão das médias) . Logo, a estatística do teste é -4,92 (p-valor=0.0006).

Portanto, rejeita-se a hipótese nula, ao nível de significância de 5%. Ou seja, a quantidade de cálcio/g de leite em pó é menor do que 10,12 mg. 4. Conclusão

Neste trabalho, foram analisadas nove amostras de leite em pó da marca A para verificar se a quantidade de cálcio (10,12 mg/g de leite em pó) declarada no rótulo da embalagem é estatisticamente verdadeira.

Foi aplicado o teste t de Student e concluiu-se que a quantidade de cálcio é menor do 10,12 mg/g de leite em pó, ao nível de significância de 5%. 5. Referências Bibliográficas ARANGO, H.G. Bioestatística: teórica e computacional. Rio de janeiro: Guanabara koogan,

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FAMAT em Revista




Iniciação Científicaem Números

Comitê Editorial da Seção Iniciação Científica em Números


Douglas Silva Oliveira (coordenador da seção) Alessandro Alves Santana

Projetos de Iniciação Científica que se realizam no período de Setembro de 2008 à Fevereiro de 2008

Orientador: Alessandro Alves Santana

Orientando: Gabriela Aparecida dos Reis

Título: Utilização da Equação Adjunta em Problemas de Otimização Restrita para Aumento da Ordem de Precisão de Funcionais Integrais

Início: Março de 2008

Fim: Fevereiro de 2009

Orientador: Antônio Carlos Nogueira

Orientando: Rafael Afonso Barbosa

Título: Números Especiais: um Estudo sobre alguns Tópicos da Teoria de Números



Orientador: Antônio Carlos Nogueira

Orientando: Luis Armando dos Santos Jr.

Título: Números Especiais: um Estudo sobre alguns Tópicos da Teoria de Números



Orientador: Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues

Orientando: Edimar de Freitas Costa

Título: Gráficos de controle CUSUM para tempo entre eventos

Início: Agosto de 2008

Fim: Julho de 2009


Orientado: Guilherme Barros Ameloti

Título: A construção de gráficos de controle utilizando o Software Minitab




Orientando: Giácomo Grandi Bombonato

Título: Análise estatística de escores para estimação da área atingida por infarto agudo do miocárdio




Orientando: Vinícius Teixeira Martins Vilela de Carvalho

Título: Análise estatística de escores para estimação da área atingida por infarto agudo do miocárdio



Orientador: César Guilherme de Almeida e Rosana Sueli da Motta Jafelice

Orientando: Mariana Fernandes dos Santos Villela

Título: O Estudo de Modelos Biológicos p-Fuzzy

Início: Fevereiro de 2008


Orientador: César Guilherme de Almeida e Qu Fanyao (prof. Física)

Orientando: Rene Felipe Keidel Spada (Física)

Título: Aumento de Coerência do spin em computação quântica através da redução de interação hiperfina


Fim: Março de 2009

Orientador: César Guilherme de Almeida

Orientando: Warlisson Inácio de Miranda

Título: Aperfeiçoamento das técnicas de ensino-aprendizagem da disciplina Cálculo Numérico

Início: Setembro de 2007

Fim: Setembro de 2008

Orientador: Edmilson Rodrigues Pinto

Orientando: Matheus Bartolo Guerrero

Título: Estudo dos Modelos Lineares Generalizados



Orientador: Ednaldo Carvalho Guimarães

Orientado: Renata Carvalho Macedo Leite

Título: Estimativas de Probabilidade de Qualidade do Ar Atmosférico de

Uberlândia-MG por Meio de Modelo de Regressão Logística



Orientador: Edson Augustini

Orientando: Adriele Giaretta Biase

Título: Estudo de Sistemas Criptográficos



Orientador: Geraldo Márcio de Azevedo Botelho

Orientando: Luciana Yoshie Tsuchiya

Título: Uma introdução à Topologia



Orientador: Geraldo Márcio de Azevedo Botelho

Orientando: Giselle Moraes Resende Pereira

Título: Uma introdução à Topologia



Orientador: Marcelo Tavares

Orientando: Stela Zumerle Soares

Título: Avaliação de uma escala para micro e pequenas empresas de Uberlândia por meio de técnicas multivariadas



Orientador: Marcos Antônio da Câmara

Orientando: Gustavo F. M. Domingues

Título: Introdução à Teoria dos Jogos




Orientando: Claiton José Santos

Título: Introdução à Teoria dos Jogos




Orientando: Maksuel Andrade Costa

Título: Programação Inteira


Fim: Agosto de 2008


Orientando: Otoniel Nogueira da Silva

Título: Somas de Quadrados de Inteiros



Orientador: Rogério de Melo Costa Pinto

Orientado: Mariana Montiel Coelho

Título: Avaliação da Qualidade de Vida de Cuidadores de Crianças e

Adolescentes Portadores de Síndrome de Down


Fim: Março de 2009

Orientador: Sezimária de Fátima Pereira Saramago

Orientando: Karla Barbosa de Freitas

Título: Estudo dos Métodos Clássicos de Otimização Não-Linear


Fim: Dezembro de 2009


Orientando: Adelino Gussoni dos Santos

Título: Evolução Diferencial aplicada à Maximização do Espaço de Trabalho de um Manipulador 3R


Fim: Julho de 2009


Orientando: Kuang Hongyu

Título: Curvas de Singularidades de Robôs Manipuladores 3R Ortogonais




Orientando: Thiago Alves de Queiroz (Mestrado em Eng. Mecânica)

Título: Projeto ótimo de uma coluna parcialmente enterrada


Fim: Atual


Orientando: Lúcio Aurélio Purcina (Doutorado em Eng. Mecânica)

Título: Técnicas de Otimização Aplicadas à Solução de Grandes Sistemas Lineares


Fim: Atual


Orientando: Giovana Trindade Oliviera (Doutorado em Eng. Mecânica)

Título: Estudo da Topologia do Espaço de Trabalho para projeto ótimo de Robôs Manipuladores 3R


Fim: Atual


Orientando: Camilla Carrara (Doutorado em Eng. Mecânica)

Título: Aplicação de Modelos de Simulação em Problemas do Sistema de Transportes


Fim: Atual

Orientador: Weber Flávio Pereira

Orientando: Lívia Silva Rosa

Título: O Caos na Família Quadrática e Fractais


Fim: Fevereiro 2009

Orientador: Weber Flávio Pereira

Orientando: Ruan Carlos Martins Tizzo

Título: Álgebra Linear: Uma Introdução às Aplicações


Fim: Fevereiro 2009

FAMAT em Revista




E o Meu Futuro Profissional?

Comitê Editorial da Seção E o Meu Futuro Profissional?


Alessandro Alves Santana (coordenador da seção) Douglas Silva Oliveira

E o meu Futuro Profissional?

Nesse número da Famat em Revista, iremos apresentar um pouco da Otimização Combinatória. Essa é uma das áreas da matemática aplicada que não é muito conhecida, porém, proporciona um futuro promissor no mercado de trabalho para aqueles que pretendem embarcar nessa área, pois é uma área que vem crescendo muito.

Otimização Combinatória: A Matemática Computacional em Ação

Antes de falarmos um pouco da prática e o que o mercado espera dos profissionais dessa área, vamos “definir” o que seria Otimização Combinatória.

Apesar do nome um pouco assustador para alguns, esse nome esconde um conceito bastante simples. Suponha que você possui um conjunto de itens e uma série de regras que podem ser usadas para selecionar alguns itens desse conjunto. Usando essas regras, há várias maneiras diferentes de escolher os elementos e criar outros conjuntos menores (ou subconjuntos). Se, a cada elemento estiver associado um custo, os subconjuntos criados, também, terão um custo que é dado, por exemplo, pela soma dos custos de seus elementos. O problema de Otimização Combinatória, em geral, se resume a encontrar, dentre todos os possíveis subconjuntos, aquele cujo custo seja o menor possível ou dependendo do caso, o maior possível.

Uma forma de resolver tais problemas seria simplesmente enumerar todas as soluções possíveis e guardar aquela de menor custo ou de maior lucro se for o caso. Entretanto, essa é uma idéia ingênua, pois para qualquer problema de um tamanho interessante (e útil), esse método torna-se impraticável, já que o número de soluções possíveis seria muito grande. Mesmo que utilizássemos um supercomputador para resolver o problema, o tempo de processamento pode levar várias horas, ou vários dias ou até anos. Parece uma coisa absurda, mas estamos rodeados de problemas práticos dessa natureza. Os problemas tratados nessa área são conhecidos tecnicamente por “NP – difícil”. Portanto, técnicas computacionais mais apuradas são necessárias para resolver esses problemas.

Isso requer que os matemáticos que optassem por atuar nessa área soubessem no mínimo programação.

A Otimização Combinatória se consiste basicamente nisso, mas onde aplicaríamos isso na prática?

Aplicações Práticas

Existem uma infinidade de problemas da vida real que podem ser encarados como problemas de Otimização Combinatória.

Vamos mostrar alguns problemas no qual podemos encarar como um problema de Otimização Combinatória.

Roteirização de Veículos

Dado um conjunto de fregueses que precisam receber mercadorias, a fábrica tem que decidir a quantidade de carga a ser colocada em cada caminhão e quais caminhões irão atender quais clientes. Além disso, é preciso otimizar (aperfeiçoar) as rotas dos veículos e, em alguns casos, levar em consideração a eventual necessidade de

reabastecimento da carga por parte de alguns caminhões. Por exemplo, os clientes podem ser bares e a fábrica pode ser uma fábrica de bebidas.

Aplicações: entrega de correspondência, empresas atacadistas (um exemplo é a MARTINS de Uberlândia), coleta de lixo urbano, etc.

Ensalamento em Escolas e Universidades

Uma tarefa comum em todas as instituições de ensino é a construção de horários de aulas para os docentes e alocação de salas para as disciplinas, atendendo as restrições tanto de professores e alunos como de toda instituição envolvida. Normalmente, as restrições estão relacionadas a conflitos de horários de aula, alocação de salas mais adequadas para cada disciplina/turma, preferências (da disciplina e/ou professor) por horários, etc. A solução do problema consiste em gerar uma tabela de horários, visando minimizar os conflitos, maximizarem preferências, compactar horários de professores e alunos e utilizar de maneira eficiente equipamentos e salas disponíveis.

Escalonamento de Trabalho Humano

Dado um conjunto de tarefas a realizar e um conjunto de funcionários, um empresário deseja encontrar a melhor maneira de alocar seus funcionários às tarefas de forma que todas as tarefas sejam cumpridas e os gastos com mão-de-obra sejam minimizados. Além disso, há restrições trabalhistas e restrições operacionais da empresa que afetam a forma como a alocação pode ser feita. Os custos podem estar relacionados com a quantidade de operários envolvidos e/ou com o número de horas-extras que o empresário terá de pagar. Por exemplo, numa companhia aérea, é preciso decidir quais viagens serão destinadas a quais pilotos, e ainda, obedecerem a regras do tipo: um piloto não pode trabalhar mais de 8 horas seguidas sem descansar; a cada três dias seguidos de trabalho, todo piloto deve ter um dia de descanso etc. Esse tipo problema pode ser encontrado em muitas empresas que operam 24 horas por dia, por exemplo: centrais telefônicas, hospitais, transporte coletivo, etc.

Planejamento de Produção

Dado um horizonte de demanda por produtos, um fabricante de determinado item de consumo precisa decidir quanto deve produzir por mês de forma a atender toda a demanda e ainda minimizar os custos. Existe um limite no poder de estocagem e um preço a ser pago por quantidade de produto estocada. Além disso, os produtos podem ter data de validade e os atrasos na entrega de mercadoria podem ser tolerados (gerando custo adicional) ou não.

Esses são problemas que ocorrem muitas vezes em uma empresa, universidade, em outras palavras, no mercado de trabalho que nos espera.

Na sociedade da informação o mais preparado é aquele que possui o conhecimento certo para ser aplicado ao problema certo. Quanto vale um profissional capaz de reduzir os custos de uma empresa em 30%? Nem é preciso responder, certo? Capacitação profissional é a moeda forte no mercado de trabalho atual.

Se você desenvolve um sistema capaz de reduzir 10% do custo total de uma empresa, então por quanto você poderia vender o seu sistema? Muitas vezes esse tipo de sistema não só reduz o custo imediato, como também, melhora o desempenho da empresa.

Dentro do meio acadêmico, não podemos nos esquecer de que o mercado a fora está mais competitivo a cada dia que passa. Trabalhos de Graduação ou de Iniciação Científica podem ajudar a complementar a sua formação. E, se você tem vontade de fazer uma pós-graduação, por que não se especializar em uma área que está em pleno crescimento?

O Mercado de Trabalho

Infelizmente, ainda é pequeno o número de empresas brasileiras que utilizam em seus processos (sejam eles produtivos ou não) alguma técnica de otimização. Isto se deve, principalmente, a uma falta de conhecimento a respeito do poder real de tais técnicas. É muito comum que as empresas não tenham consciência de que certas tarefas são passíveis de otimização por sistemas computacionais. Tarefas altamente ineficientes poderiam ser melhorados significativamente, mas continuam promovendo prejuízos que passam despercebidos. Ter prejuízo não significa somente terminar o mês com o caixa negativo. Significa, também, terminar o mês com um "lucro" de R$ 100.000,00 sem se dar conta de que o lucro poderia ter sido de R$ 250.000,00, caso os recursos fossem administrados de forma mais adequada. Esse tipo de comportamento é bastante freqüente e precisa ser mudado.

Durante muitos anos, as teorias e métodos desenvolvidos por matemáticos e cientistas foram arquivados em livros e periódicos especializados e muito pouco foi absorvido pelo setor empresarial. Felizmente, contudo, essa situação vem se alterando. É cada vez maior o número de companhias que adotam modelos de otimização no seu dia-a-dia, diminuindo seus custos e, por conseguinte, aumentando os lucros. Além do mais, com a onda crescente de privatizações nos diversos setores da sociedade, a concorrência se fortifica e a sobrevivência dos negócios começa a depender seriamente do desempenho de cada um com relação aos demais. Quem estiver mais bem preparado irá, sem dúvida alguma, suplantar os adversários. No Brasil, esse processo vem ganhando força, mas ainda é incipiente. Nos demais países, principalmente na Europa e nos Estados Unidos, a utilização de técnicas de otimização dentro das empresas é bem mais difundida, assumindo um papel de grande relevância.

Gostar de resolver problemas reais desafiadores através de técnicas computacionais não convencionais, afinidade e gosto por matemática, algoritmos e programação, estruturas de dados; criatividade, iniciativa, motivação e organização; capacidade de trabalhar em grupo e individualmente são características que grandes empresas procuram naqueles que querem ingressar em um mercado de trabalho promissor.

Lembramos que no mercado há falta de pessoas qualificadas para tal área, por mais que seja uma área que ainda está crescendo.

FAMAT em Revista




Merece Registro

Comitê Editorial da Seção Merece Registro


Marcos Antônio da Câmara (coordenador da seção)

MERECE REGISTRO

A) ESPECIALIZAÇÃO

I) I Curso de Especialização em Estatística Empresarial

Os conhecimentos de estatística vêm assumindo uma importância muito grande na valorização dos profissionais de diferentes áreas, principalmente na região do Triangulo Mineiro. Desta forma, o I Curso de Especialização em Estatística Empresarial foi criado com o objetivo de capacitar profissionais na aplicação das principais ferramentas estatísticas para análise e interpretação de dados utilizando-os na tomada de decisão em empresas de vários portes, bem como ministrar disciplinas de estatística em cursos de graduação.

As mudanças sócio-culturais, cada vez mais acentuadas, a nova legislação educacional, que indica prementes reformas no sistema de ensino, e a disseminação da informática, criando novas possibilidades e recursos para a educação, são fatores que requerem do professor de estatística uma formação sólida, tanto no aspecto cognitivo quanto no metodológico. O Curso de Especialização em Estatística Empresarial propõe-se a atender a estas duas necessidades.

Este curso foi realizado na Faculdade de Matemática, que dispõe de instalações e equipamentos adequados para o funcionamento de um curso de especialização, no que diz respeito a infra-estrutura administrativa, professores, laboratórios, equipamento computacional e salas de aula. Lecionaram neste curso professores da Faculdade de Matemática, Faculdade de Gestão e Negócios, Instituto de Ciências Agrárias e um profissional da iniciativa privada.

A carência de conhecimentos em estatística, principalmente na tomada de decisões, faz com que os graduados que se interessam pela área desloquem-se para centros distantes. Tudo isso resulta em uma deficiência muito grande de profissionais com habilidades específicas em Estatística para suprir as demandas de uma região populosa, em pleno desenvolvimento econômico e que já conta com um forte parque industrial instalado, principalmente em agroindústrias, setor atacadista e telecomunicações.

Desta forma o curso de especialização em Estatística Empresarial, começou em Abril de 2007 e terminou em julho de 2008 com 33 profissionais, que desenvolveram trabalhos de conclusão, baseados em conhecimentos estatísticos, para melhoria de processos em seus ambientes de trabalho.

Foram abordadas durante o curso as seguintes disciplinas:

Estatistica Descritiva

Gestão de Organizações

Metodologia de Pesquisa

Inferência

Series Temporais

Análise de Risco

Testes Não Paramétricos

Introdução a Probabilidades

Planejamento de Projetos Experimentais

Amostragem e CEP

Métodos Multivariados

Metodologia do Ensino

Otimização de Processos

Análise de Regressão

Data Mining

Seminários

II) VIII CEMAT

Foi realizado de 05 de agosto de 2006 a 30 de abril de 2008 o VIII Curso de Especialização em Matemática.

Corpo Docente:

Prof. Dr. Antônio Carlos Nogueira

Prof. Dr Arlindo José de Souza Júnior

Prof. Dr. César Guilherme de Almeida

Profª Drª Dulce Mary de Almeida

Prof. Dr. Edmílson Rodrigues Pinto

Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães

Prof. Dr. Edson Agustini

Profª Ms. Fabiana Fiorezzi de Marco Mattos

Prof. Dr. Jocelino Sato

Profª Drª Lúcia Resende Pereira Bonfim

Prof. Dr. Luís Antônio Benedetti

Prof. Ms. Luiz Alberto Duran Salomão

Prof. Dr. Marcio José Horta Dantas

Prof. Dr. Marcos Antônio da Câmara – Coordenador

Prof. Ms. Mário Luiz de Mendonça Faria

Profª Drª Maria Teresa Menezes Freitas

Profª Drª Rosana Sueli da Motta Jafelice

Profª Drª Sezimária de Fátima Pereira Saramago

Prof. Dr. Valdair Bonfim

Resumo do Programa

Geometria Plana e Construções Geométricas.

Técnicas de Contagem e Probabilidade.

O Ensino de Matemática através de modelos interdisciplinares.

Geometria Espacial.

Tópicos de Matemática para o Ensino Fundamental e Médio.

Teoria dos Números.

O Ensino de Matemática por meio de problemas.

Informática aplicada ao ensino

Monografias

Foram realizadas, como requisito parcial para a obtenção do título de Especialista em Matemática, as seguintes defesas de monografia:

Discente Título da monografia Orientador Nota Adriano Rodrigues Teixeira Equações diferenciais ordinárias e

algumas de suas aplicaçõesValdair Bonfim 88

André Gustavo Cruz da Costa

A matemática e sua contribuição para o comércio e a economia

Luís Antônio Benedetti 70

André Luiz Ribeiro Logaritmos e exponenciais - teoria para o ensino médio

Lúcia Resende Pereira Bonfim 90

Cleuber Divino de Moraes Teorema de Fermat: alguns casos particulares

Antônio Carlos Nogueira 90

Denise Nunes de Melo Um estudo sobre o nível de conhecimento em probabilidade e estatística dos alunos concluíntes do ensino médio

Edmílson Rodrigues Pinto 90

Fabiano Elias Reis Um estudo introdutório sobre cissóides Dulce Mary de Almeida 100

Hélen Cristina Vieira Freitas

Os números complexos e a geometria Luiz Alberto Duran Salomão 85

Juscélia Dias Mendonça Análise quantitativa da relação entre notas de tarefas e nota de provas bimestrais: estudo de casos das 5ª séries da escola estadual de Uberlândia

Ednaldo Carvalho Guimarães 90

Keleey Silva Brito As cônicas e a equação geral do segundo grau

Mário Luiz de Mendonça Faria 90

Márcia Aparecida Marcelina Alvarenga

Implicações pedagógicas do jogo poliminós no ensino do conceito de área para alunos de 5ª série do ensino

Fabiana Fiorezi de Marco Matos

97

fundamental

Márcia Lemos Queiroz Investigando o desenvolvimento do raciocínio lógico com atividades que sugerem a criação de padrões

Maria Teresa Menezes Freitas 90

Melissa da Silva Rodrigues O número φ Marcos Antônio da Câmara 90

III) I Curso de Especialização em Geometria

Teve início em 09/08/2008 o primeiro Curso de Especialização em Geometria oferecido pela FAMAT - UFU com a finalidade de complementar e atualizar a formação de professores do ensino fundamental, médio e superior. As mudanças socioculturais, cada vez mais acentuadas, a nova legislação educacional, que indica prementes reformas no ensino, e a disseminação da informática, criando novas possibilidades e recursos para a educação, são fatores que requerem do professor de matemática uma formação sólida, tanto no aspecto cognitivo quanto no metodológico. Esse Curso de Especialização propõe-se a atender a estas duas necessidades. O enfoque em Geometria justifica-se pela importância relevante que essa Ciência tem adquirido dentro do cenário das reformas educacionais no país: está presente em todas as diretrizes curriculares para a formação de professores de Matemática, aparece em todos os atuais parâmetros curriculares nacionais para o ensino de Matemática nos níveis Fundamental e Médio, é utilizado nos programas oficiais de avaliação, como o SAEB e o ENEM, etc. Além disso, o ensino de Geometria tem sido proposto como instrumento fundamental para o desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas nos níveis do Ensino Fundamental e Médio. Mais ainda, num contexto mais geral, a formação das inteligências tem trazido à tona os valores inerentes do pensamento matemático, dando destaque às habilidades lógicas e espaciais próprias da Geometria.

Objetivos Específicos:

Promover a melhoria do desempenho profissional dos professores, capacitando-os para a adoção de novos métodos e técnicas do ensino de geometria.

Propiciar aos docentes condições de aprofundamento de seus conhecimentos na área de geometria.

Oferecer condições básicas para a iniciação científica tendo em vista a produção de textos monográficos.

Preparar novos profissionais para atuarem no ensino superior.

Ampliar a interação entre a Universidade Federal de Uberlândia e Escolas do Ensino Fundamental e Médio da região.

Corpo Docente:

Prof. Dr. Antônio Carlos Nogueira

Profª Drª Dulce Mary de Almeida - Coordenadora

Prof. Dr. Edson Agustini

Prof. Dr. Jocelino Sato

Profª Drª Lúcia Resende Pereira Bonfim

Prof. Ms. Luiz Alberto Duran Salomão

Prof. Dr. Valdair Bonfim

Prof. Dr. Victor Gonzalo Lopez Neumann

Prof. Dr. Walter dos Santos Motta junior

Resumo do Programa

Transformações geométricas via softwares de geometria dinâmica: Cabri Géomètre II, Geogebra, Cabri 3D e Calques 3D.

Atividades recreativas em geometria: do lúdico ao formal.

Conexões entre combinatória e geometria.

Geometria espacial: explorando formas e volumes.

Pavimentação do plano e bases caleidoscópicas.

Cônicas: foco em aplicações.

Origami como motivação ao estudo de poliedros.

Estudo de curvas e superfícies a partir de propriedades geométricas.

Abordagens de problemas e o ensino de geometria: seleção, formulação, classificação, discussão e resolução.

Geometria Plana e construções com régua e compasso.

Isometrias e ornamentos no plano euclidiano.

O modelo de Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico.

Maiores informações: Folder do Curso

B) CURSO DE APERFEIÇOAMENTO

De 21 a 25 de julho de 2008 realizou-se na Universidade Federal de Uberlândia um módulo do Curso de Atualização para Professores de Matemática do Ensino Médio. O curso é desenvolvido com a participação de professores do IMPA - Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, com o suporte do Instituto do

Milênio - IM/AGIMB, da FINEP, e apoio da Rede Nacional de Pesquisas. Tivemos 72 inscrições e os professores participantes vieram de várias cidades da região, a saber: Araguari, Campina Verde, Canápolis, Comendador Gomes, Coromandel, Cruzeiro da Fortaleza, Douradoquara, Frutal, Igarapava, Ituiutaba, Matutina, Monte Carmelo, Patos de Minas, Prata, Tupaciguara, Uberaba e Uberlândia. O próximo módulo do curso deverá ser realizado em janeiro próximo, em data a ser divulgada oportunamente.

C) OBMEP

A Universidade Federal de Uberlândia, além da Coordenação Regional da OBMEP da região MG-04 (a cargo do Prof. Dr. Antônio Carlos Nogueira), conta agora também com uma Coordenação Regional de Iniciação Científica da OBMEP, sob a responsabilidade do Prof. Ms. Luiz Alberto Duran Salomão da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia.

. Esta coordenação é responsável pelo Programa de Iniciação Científica da OBMEP – um programa voltado aos alunos que conquistam medalhas na Olimpíada.

Três mil estudantes premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) no ano de 2007 receberam bolsas de iniciação científica júnior para participar do Programa de Iniciação Científica da OBMEP (PIC 2007). Na região MG-04, que compreende os pólos de Uberlândia, Ituiutaba, Araxá, Passos, Patos de Minas e Pará de Minas, o número desses bolsistas é 134 e as atividades do programa tiveram início em agosto de 2008. Nessa referida região, o número de municípios compreendidos é 41. No trabalho de orientação dos bolsistas mencionados atuam 12 professores orientadores. As bolsas do PIC da OBMEP têm a duração de um ano. Nesse período, os bolsistas, sob orientação dos professores orientadores, têm oportunidade de desenvolver diversos estudos sobre temas bastante variados da matemática. O material que vem sendo utilizado nesse programa é produzido pela própria OBMEP e está disponível a todos os interessados no site www.obmep.org.br

OBMEP 2008

A 4ª edição da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP 2008 – finalizou o processo de inscrição no dia 16 de maio de 2008. Nesta edição se inscreveram 40.377 escolas num total de 18.317.779 alunos. Cabe ressaltar que estes alunos estão distribuídos em 98.72% dos municípios brasileiros, ou seja, a abrangência da OBMEP já é de quase 100% do território nacional. Na regional MG-02 (que agrega as superintendências regionais de ensino de Uberlândia, Uberaba, Monte Carmelo, Ituiutaba, Patos de Minas, Patrocínio e Paracatu) se inscreveram 546 escolas num total de 257.830 alunos.

A 1ª fase da OBMEP ocorreu no último dia 26 de agosto de 2008: nesta etapa as provas são aplicadas e corrigidas pelas próprias escolas. Cada escola classifica, para a 2ª fase, 5% de seus alunos (em cada nível).

A 2ª fase ocorrerá no dia 08 de novembro de 2008.

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D) REGIONAL DA SBMAC

Atividades realizadas pela Regional da SBMAC.

• Realização de um minicurso na cidade de Patrocínio, ministrado pelo professor Carlos Alberto da Silva Júnior.

Minicurso: Otimização Linear e o Método Simplex Local: UNICERP (Centro Universitário do Cerrado) - Patrocínio MG Nome do Evento: Simpósio de Educação 2008 Data: 11 a 13 de junho de 2008

• Organização do evento "VIII Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional e VIII Semana da Matemática da Universidade Federal de Uberlândia", que será realizado no período de 28 a 31 de outubro de 2008.

• Divulgação da Sociedade de Matemática Aplicada e Computacional através da distribuição de panfletos ("folder") elaborados pela própria SBMAC. Os panfletos foram entregues para alunos de graduação e pós-graduação, professores do ensino básico e superior.

E) PIBIC

Professores da FAMAT e bolsistas selecionados para o PIBIC no período de agosto de 2008 a julho de 2009.

• Profª Drª Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues

Edimar de Freitas Costa - Engenharia Civil

• Profª Drª Célia Aparecida Zorzo Barcelos

Glauco Vitor Pedrosa - Ciência da Computação

• Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães

Kátia Alexandra de Souza Caetano - Psicologia

• Prof. Dr. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho

Letícia Garcia Polac - Matemática

• Prof. Dr. Marcelo Tavares

Maria Luiza Maes - Matemática

• Prof. Dr. Rogério de Melo Costa Pinto

Renata Rodrigues de Sá - Medicina

• Profª Drª Sezimária de Fátima Pereira Saramago

Adelino Gussoni dos Santos - Engenharia Mecânica

F) NOVOS PROFESSORES

Os professores Dr. Alonso Sepúlveda Castellanos, Drª Ana Carla Piantella e Dr. Vinícius Vieira Fávaro, aprovados em concurso público realizado de 16 a 18 de junho de 2008, assumiram suas atividades como docentes da FAMAT no segundo semestre de 2008. Parabéns e sejam bem-vindos.

G) CTINFRA

Teremos a construção do terceiro Piso do bloco 5K com a verba do CTINFRA/2007. Neste piso a FAMAT terá 3 novos laboratórios de informática (Estatística, Pós-Graduação e Imagens).

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Numero 11 - Outubro de 2008