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8/2018 O3 - Interferenz und Beugung 1 Ziel des Versuchs In diesem Versuch werden Sie Beugungsphänomene bei der Bestrahlung von Objekten durch Licht beobachten und grundlegend untersuchen. Sie werden, unter anderem, die Beugungsbilder benutzen um die Wellenlänge eines Lasers zu kalibrieren, und um die Dicke Ihres Haares oder den Durchmesser von menschlichen Blutzellen zu bestimmen. 2 Hinweise zur Vorbereitung Um sich schon vorher ein Bild zu machen, können Sie das Applet Multiple Slit Diffraction herunterladen. Nutzen Sie die Parameter in der Simulation, um sich die Phänomene zu verdeut- lichen. Die Anwendung ist im ’.jar’-Format, zur Benutzung müssen Sie Java auf Ihrem PC installiert haben. Alternativ nutzen Sie die Rechner des Grundpraktikums. Kommen Sie dafür etwa 20 Minuten vor Versuchsbeginn in die Praktikumsräume. Überprüfen Sie Ihr Vorwissen zum Versuch anhand folgender Fragestellungen: 1. Weshalb wird für den Versuch ein Laser und z.B. keine Glühlampe benutzt? 2. Wie verändert sich das Beugungsmuster am Einzelspalt, wenn die Spaltbreite verkleinert wird? 3. Welche Punkte lassen sich beim Beugungsbild des Einzelspalts am besten lokalisieren? 4. Was bedeutet der Begriff ’Gitter’ in diesem Zusammenhang? Welche Größenrelation wird zwischen Spaltabstand und Spaltbreite angenommen? 5. Welche Punkte lassen sich bei der Gitterbeugung am besten lokalisieren? 6. Eine gebräuchliche Angabe für Gitter ist die Gitterkonstante in Linien pro Längeneinheit. Wie steht diese im Zusammenhang zum Spaltabstand? 7. Sie haben im Applet immer die Möglichkeit, sich die sogenannte ’Einhüllende’ (envelope) anzeigen zu lassen. In welchem Fall sehen Sie diese Einhüllende am realen Schirm? Welche Parameter lassen die Einhüllende unverändert bzw. wovon ist sie abhängig? Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 1 von 14

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O3 - Interferenz und Beugung

1 Ziel des Versuchs

In diesem Versuch werden Sie Beugungsphänomene bei der Bestrahlung von Objekten durchLicht beobachten und grundlegend untersuchen. Sie werden, unter anderem, die Beugungsbilderbenutzen um die Wellenlänge eines Lasers zu kalibrieren, und um die Dicke Ihres Haares oderden Durchmesser von menschlichen Blutzellen zu bestimmen.

2 Hinweise zur Vorbereitung

Um sich schon vorher ein Bild zu machen, können Sie das Applet Multiple Slit Diffractionherunterladen. Nutzen Sie die Parameter in der Simulation, um sich die Phänomene zu verdeut-lichen. Die Anwendung ist im ’.jar’-Format, zur Benutzung müssen Sie Java auf Ihrem PCinstalliert haben. Alternativ nutzen Sie die Rechner des Grundpraktikums. Kommen Sie dafüretwa 20 Minuten vor Versuchsbeginn in die Praktikumsräume. Überprüfen Sie Ihr Vorwissenzum Versuch anhand folgender Fragestellungen:

1. Weshalb wird für den Versuch ein Laser und z.B. keine Glühlampe benutzt?

2. Wie verändert sich das Beugungsmuster am Einzelspalt, wenn die Spaltbreite verkleinertwird?

3. Welche Punkte lassen sich beim Beugungsbild des Einzelspalts am besten lokalisieren?

4. Was bedeutet der Begriff ’Gitter’ in diesem Zusammenhang? Welche Größenrelation wirdzwischen Spaltabstand und Spaltbreite angenommen?

5. Welche Punkte lassen sich bei der Gitterbeugung am besten lokalisieren?

6. Eine gebräuchliche Angabe für Gitter ist die Gitterkonstante in Linien pro Längeneinheit.Wie steht diese im Zusammenhang zum Spaltabstand?

7. Sie haben im Applet immer die Möglichkeit, sich die sogenannte ’Einhüllende’ (envelope)anzeigen zu lassen. In welchem Fall sehen Sie diese Einhüllende am realen Schirm? WelcheParameter lassen die Einhüllende unverändert bzw. wovon ist sie abhängig?

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8. Was würde sich ändern, wenn statt eines grünen Lasers ein roter bzw. blauer verwendetwerden würde?

9. Was sagt das Babinet-Prinzip aus? Suchen Sie Beispiele für das Auftreten dieses Phäno-mens.

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3 Theoretischer Hintergrund

Licht lässt sich als elektromagnetische Welle beschreiben, geschrieben wird es als zeitlich undräumlich oszillierendes elektrisches Feld ~E(x, t). Solange sich das Feld im Vakuum ausbreitet(für eine punktförmige Quelle in großen Abstand von der Quelle), hat es die Form einer ebenenWelle mit parallelen Wellenfronten senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Trifft das Feld aufein Hindernis, kann es sich nur von den Raumpunkten aus weiter verbreiten, die nicht vomHindernis blockiert sind.Nach Huygens Prinzip 1ist jeder Punkt, der von einer Wellenfront erreicht wird, Ausgangspunkteiner kugelförmigen Elementarwelle. Die neue Elementarwellen breiteten sich mit derselbe Ge-schwindigkeit (und Frequenz) wie die originelle Welle aus.Das führt beim Aufeinandertreffen der Wellenfronten hinter dem Hindernis zur Interferenz. Dieneue Form der Welle hängt demnach von der Form des Hindernisses ab.Auf einen Schirm dahinter sehen wir nicht die resultierende elektrische Feldstärke ~E an sich,sondern ihr Betragsquadrat, was als Intensität bezeichnet wird.

I =∣∣∣ ~E∣∣∣2

Im Versuch wird ein Objekt mit kohärentem 1, monochromatischem Licht der Wellenlänge λbestrahlt und das entsprechende Beugungsmuster auf einem Schirm aufgefangen.

Abbildung 1: Schema Versuchsaufbau: Die parallelen Wellenfronten der ebenen Welle treffenauf ein Hindernis. In einer Entfernung L wird das Beugungsmuster auf dem Schirm aufgefangenund unter einem Beobachtungswinkel θ die Intensität ausgewertet.

Für den Versuch wird ein im Vergleich zu allen anderen Längen sehr großer Abstand L von Hin-dernis und Schirm gewählt. Das hat zur Folge, dass nur die Beugung im Fernfeld (Frauenhofer-Beugung1) beobachtet wird und davon nur die Muster, die unter einem kleinen Winkel zur

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Quelle stehen. Es kann also die Kleinwinkelnäherung

sin(θ) ≈ tan(θ) = y

L

benutzt werden.

1Schauen Sie unbekannte Begriffe und Prinzipen in [1] oder [2] nach, dort finden Sie anschauliche Erklärungen.

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3.1 Beugung an Gittern

Ein (Transmissions-)Gitter ist eine periodische Struktur von Wand und Öffnung. Als optischesHindernis kann es beschrieben werden durch die drei Parameter N (Anzahl der Spalte), b(Breite der Spalte) und d (Abstand der Spalte), wie der Querschnitt in Abbildung 2 zeigt:

Abbildung 2: Größen am Gitter: Spaltbreite b und Spaltabstand d

Wenn Licht durch das Transmissionsgitter gestrahlt wird, kann das entstehende Beugungsmus-ter (die Intensitätsverteilung am Schirm) betrachtet werden als Zusammenspiel zweier separaterPrinzipien: Der Beugung am Einzelspalt und der Interferenz am idealen Gitter.

3.1.1 Beugung am Einzelspalt - (N = 1,b, d = 0)

Offensichtlich ist die einzige für den Einzelspalt relevante Größe die Spaltbreite b. Für eineausführliche Betrachtung siehe [1]. Hier beschränken wir uns auf das Ergebnis: Die Intensitäts-verteilung hinter dem Einzelspalt ergibt sich zu

IEinzelspalt(θ) = IE ·(

sin(π · b sin θλ

)π · b sin θ

λ

)2

Abbildung 3: Intensitätsverteilung hinter Einzelspalt; die Minima entsprechen den dunklenStreifen auf dem Schirm; IE = I(0) ist nur eine Proportionalitätskonstante und hier gleich 1

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Diese Intensitätsverteilung am Einzelspalt für eine bestimmte Spaltbreite b wird im folgendenauch Einhüllende genannt. Die Nullstellen der Einhüllenden, also die sichtbaren Minima,tauchen auf, wenn der sin als Zählerterm null wird. Dies geschieht bei Argumenten, die einganzzahliges Vielfaches von π sind, also immer dann, wenn b sin θ

λganzzahlig ist:

b sin θ = m · λ m = 1, 2, 3 . . .

3.1.2 Interferenz am idealen Gitter - (N > 1, b = 0,d)

Der Spezialfall des idealen Gitters geht von verschwindend schmalen Spaltöffnungen aus. Durchdie verschwindende Spaltbreite handelt es sich beim idealen Gitter um eine Kette von N Punkt-quellen, die jeweils d voneinander entfernt sind. Bei Bestrahlung breitet sich die Welle von allenN Quellen gleichzeitig aus (gleichphasige bzw. kohärente Punktquellen): es kommt zur In-terferenz hinter dem Hindernis. Auch hier sei das Ergebnis der Intensitätsverteilung auf demSchirm vorweggenommen. Eine Motivation findet sich in [1], die stringente Herleitung ist in [3]zu finden:

IGitter(θ) = IG ·(

sin(πN · d sin θλ

)sin(π · d sin θ

λ)

)2

IG ist analog zu vorher nur eine Proportionalitätskonstante. Man sieht schnell, dass für N =1, also den Einzelspalt, dieser Term für alle Winkel θ konstant ist. Für größere N sieht dieIntensitätsverteilung über θ folgendermaßen aus:

Abbildung 4: Intensitätsverteilung bei der Interferenz am idealen Gitter; Abstand d ist inallen Fällen gleich

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Die Hauptmaxima werden immer erreicht, wenn die Argumente in beiden sin-Termen ein ganz-zahliges Vielfaches von π sind. Es ergibt sich also als Bedingung für ein Maximum (konstruktiveInterferenz):

d sin θλ

= m m ∈ Z

Klar wird diese Aussage zum Beispiel beim Doppelspalt (ausführlich in [1]):

Abbildung 5: Doppelspalt

Damit konstruktive Interferenz auftritt, muss das zusätzliche Wegstück s ein Vielfaches derWellenlänge sein. Gleichzeitig lässt es sich über Winkelbeziehungen schreiben als

mλ = s = d sin(θ) m = 1, 2, 3 . . .

Die Lage der Maxima auf dem Schirm hängt also nur vom Spaltabstand d ab! Die Anzahl derSpalte N bestimmt, wieviele Nebenmaxima zwischen den Hauptmaxima auftreten!

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3.1.3 Zusammenfassung

Aus den beiden betrachteten Spezialfällen sind folgende Abhängigkeiten hervorgegangen:

Interferenz am idealen Gitter Beugung am EinzelspaltParameter N,d b

bestimmt ... : Lage der Maxima Form der Einhüllenden

Tabelle 1: Übersicht der Abhängigkeiten

Das reale Intensitätsbild eines Transmissionsgitters entsteht durch die Multiplikation der Ver-teilungen von Gitterinterferenz und Einzelspaltbeugung.

IGesamt = IGitter · IEinzelspalt

Die auf dem Schirm zu sehende Intensitätsverteilung des realen Transmissionsgitters ist alsodie Intensität des idealen Gitters, moduliert durch den Einzelspalt.

Abbildung 6: Zusammengefasste Intensitätsverteilung als Multiplikation von Gitterinterfe-renz und Einzelspaltbeugung

Vorsicht: Da die Einhüllende auch Nullstellen hat, kommt es auch zu einem dunklem Fleckauf dem Schirm, wenn zum Beispiel ein Gittermaximum auf eine Nullstelle der Einhüllendenfällt (siehe die Stellen −2 und 2 in Abbildung 6).

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3.2 Beugung an der Lochblende

Eine Lochblende ist eine kreisförmige Öffnung mit Durchmesser D. Bei Bestrahlung mit Lichtwirft sie folgendes Bild an den Schirm:

Abbildung 7: Beugungsbild einer Lochblende; By Wisky [CC BY-SA 3.0 or GFDL], fromWikimedia Commons

Als optisches Hindernis ähnelt sie im Querschnitt einem Einfachspalt, wobei die Spaltbreite bdurch den Durchmesser D ersetzt wird. Allerdings bilden hier nicht natürliche Vielfache derWellenlänge die Interferenzbedingung für die Minima. So gilt für das erste Minimum:

D sin(θ) = 1, 22 · λ [3]

3.3 Prinzip von Babinet

Das nach Jacques Babinet (1794-1872) benannte Prinzip besagt, dass die Beugungsbilderzweier komplementärer Hindernisse identisch sind. Bildlich gesprochen sind zwei Hindernissedann komplementär, wenn sie beim Übereinanderlegen keinerlei Überschneidungen haben undzusammen eine Ebene bilden, die kein Feld hindurch propagieren lässt.

Abbildung 8: Komplementäre Hindernisse

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4 Experimente

Sicherheitshinweis LASER: Die im Praktikum verwendeten Laser sind von nur geringerLeistung. Trotzdem können bei direkter Einstrahlung in das Auge Netzhautschäden verursachtwerden. Deshalb: nie direkt in den Laserstrahl sehen, besondere Vorsicht auch bei möglichenReflexionen.

Hinweis 1: Blau markierte Abschnitte sind für die Auswertung relevante, weiterführende Fra-gen/Aufgaben und sollten spätestens im Bericht von Ihnen diskutiert werden.Fast alle Experimente werden mit der Kamera durchgeführt. Das heißt, dass Sie die Beugungs-muster auf der Millimeterfolie auf dem PC betrachten und Ihre Messungen digital speichernund auswerten können. Da eine Diskussion ohne Daten unnachvollziehbar ist, gehört jede Mes-sung (also jede Kameraaufnahme) zum Bericht. Speichern Sie sich die Daten oder drucken Siesie gleich im Praktikum und protokollieren Sie sie in dem Laborbuch.

Achten Sie darauf, dass der Laser nie direkt in die Kamera trifft, das kann denChip überlasten! Wenn Sie ihr bestrahltes Objekt zwischen den Einzelversuchen wechseln,rücken Sie die Halterung unter bzw. neben der Millimeterfolie (siehe Abbildung 9) ein Stücknach vorn und stellen Sie den Schirm hinein, um den Laser abzuschirmen.

Abbildung 9: Foto des Versuchsaufbaus: (1) Richtung des Lasers, (2) Beugungsobjekt, (3)Strahlblockerschirm, (4) Millimeterfolieschirm, (5) Kamera

Hinweis 2: Überlegen Sie sich ein sinnvolle Methode, um den Abstand zwischen Objekt undSchirm zu messen. Diskutieren Sie es mit Ihrem/Ihrer Praktikumspartner/in und dann mitIhrem/Ihrer Betreuer/in.

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4.1 Experimente zu Gittern

4.1.1 Einfachspalt

Sie wollen die Wellenlänge λ des Lasers bestimmen. Zur Verfügung steht Ihnen ein Einfachspaltmit verstellbarer Spaltbreite.

Bevor Sie mit der Apparatur anfangen, denken Sie an die Frage in der Vorbereitung: Wieverändert sich das Beugungsmuster am Einzelspalt, wenn die Spaltbreite verkleinert wird?Welche Punkte sind im Beugungsbild klar lokalisiert? Testen Sie jetzt Ihre Vorhersage mit derApparatur. Bestätigen die Beobachtungen Ihre Vorhersage?Kalibrieren Sie zunächst Ihren verstellbaren Spalt: Stellen Sie fest, bei welcher Einstellung amDrehrad kein Laserlicht mehr am Schirm zu sehen ist und vermerken Sie diese für weitereMessungen. Öffnen Sie nun wieder den Spalt um eine geeignete Breite b. Nehmen Sie mit derMillimeterfolie die Position geeigneter Stellen im Beugungsbild für verschiedene Ordnungen mauf. Geben Sie zu jedem Messwert auch eine individuelle Messunsicherheit an. Stellen Sie IhreDaten in einem y-m-Diagramm graphisch dar. Stellen Sie fest, welcher Funktion Ihre Datenfolgen und bestimmen Sie daraus λ.

4.1.2 Mehrfachspalte

Unter den zur Verfügung stehenden optischen Hindernissen werden sie auch ein Plättchen mitverschiedenen Mehrfachspalten (N = 2, 3, 4, 5) finden, alle mit gleichem Spaltabstand d undgleicher Spaltbreite b, die auf dem Plättchen angegeben sind.Was erwarten Sie für die Beugungsbilder verschiedener Mehrfachspalte? Wie ändern sich dieMinima oder Maxima?Stellen Sie das Plättchen so in den Strahlengang, dass Sie bei Beleuchtung des Doppelspaltsdas Interferenzmuster vertikal (von oben nach unten ausgerichtet) sehen. Markieren Sie imKamerabild, wo Sie die Minima der Einhüllenden einschätzen. Wiederholen Sie die Methodefür die anderen Mehrfachspalte, indem Sie die Halterung des Plättchens hoch bzw. herunterschieben. Wo liegen nun Ihre Markierungen? Hat sich die Lage dieser Punkte bei den anderenSpaltanzahlen verändert? Überprüfen Sie ihre Voraussage für die verfügbaren Mehrfachspalteund dokumentieren Sie Ihre Beobachtungen.

4.1.3 Gitter

Nehmen Sie das Gitter (10 lines/mm) und stellen Sie es in den Laserstrahl. Dokumentieren undbeschreiben Sie ihre Beobachtungen. Überlegen Sie sich ein geeignetes Verfahren, um aus demBeugungsbild auf der Folie den Spaltabstand d des Gitters zu bestimmen. Diskutieren Sie ihrgewähltes Messverfahren mit Ihrem Betreuer.

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Falls Sie Abstände auf dem Bild der Folie messen/ablesen, nehmen Sie für jeden Messwert aucheine individuelle Messungenauigkeit auf. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit dem Wert für d,den sie aus der Herstellerangabe ’Gitterkonstante’ errechnen können.

Zusatzaufgabe (Pflicht für Physikstudierende):Nehmen Sie im Beugungsbild die Lagen der Minima der Einhüllenden auf und berechnen Siedaraus die Spaltbreite b der Gitterspalte.

4.2 Experimente zum Babinet-Prinzip

4.2.1 Haar

Beschaffen Sie sich eins Ihrer Haare und fixieren Sie es mit Klebeband im Versuchsaufbau, sodassSie es mit dem Laser bestrahlen können. Denken Sie an Vorbereitungsfrage 3 und nehmen Siedas Interferenzmuster geeignet auf dem Millimeterpapier auf. Überlegen Sie, wie Sie mit den zurVerfügung stehenden Geräten eine Vergleichsmessung aufnehmen können, die Ihnen Aufschlussüber die Dicke Ihres Haares gibt. Führen Sie diese Messung durch und bestimmen Sie die Dickemit einem sinnvollen Fehlerintervall.Seien Sie biologisch neugierig! Fragen Sie andere Gruppen nach Ihren Haaren und führen Siediese Messung für Haare verschiedener Personen durch. Ergeben sich irgendwelche Trends beibestimmtem Haartypen (braun, blond, lockig etc.) ?

4.2.2 Blutzelle

Setzen Sie den Schirm wieder in die Hilfshalterung und fahren Sie ihn dicht an das Blutzel-lenpräparat heran. Das folgende Experiment wird ohne Kameraunterstützung durchgeführt.Möglicherweise müssen Sie Ihre Umgebung abdunkeln und die Schirmposition nachjustieren.Zunächst die Theorie: Welche Form haben die roten Blutkörpchen eines Menschen? WelchesBeugungsmuster erwarten Sie also bei der Bestrahlung der Blutzellenpräparate? Prüfen Sie ihreÜberlegungen unter dem Laserlicht.Sie können das Beugungsmuster erklären, wenn sie die Form der Zellen idealisiert betrachten.Welcher Zusammenhang bestünde dann zwischen der Position des ersten Minimums und demDurchmesser der Blutzelle? Wie immer wollen Sie ihre Messgröße graphisch bestimmen, umdie Messungenauigkeit möglichst gering zu halten. Variieren Sie also den Abstand L und tra-gen sie die gemessene Position y des ersten Minimums geeignet auf. Stellen Sie fest, welcherFunktion ihre Daten folgen und bestimmen Sie daraus graphisch den Durchmesser D der Blut-zellen. Vergleichen Sie sie mit vertrauenswürdigen Literaturwerten und diskutieren sie möglicheAbweichungen.

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Literatur

[1] G. M. Paul A. Tipler, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. Spektrum AkademischerVerlag, 2004.

[2] D. C. Giancoli, Giancoli Physik. Pearson Studium, 2006.

[3] E. Hecht, Optics, Second Edition. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1974.

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Anhang

Hinweis: Der Anhang ist für die Durchführung und die Auswertung des Versuches nicht not-wendig. Er gibt Ausblicke auf kurze mathematische Hintergründe für einige der Annahmen undFormeln aus der restlichen Versuchsanleitung.

Babinet-Prinzip

Seien S und σ wie in der Abbildung 10 zwei komplementäre Flächen, die vereinigt die kompletteR2-Ebene aufspannen.

Abbildung 10: Schema komplementärer Hindernisse

Offensichtlich lässt die Ebene S ∪ σ kein Feld ~ES∪σ hindurch, die Intensität auf dem Schirmist überall null. Ihre Teile separat beleuchtet erzeugen hingegen ein Beugungsmuster auf demSchirm. Die Addition der Feldamplituden hinter dem Hindernis, die zu einem Beugungsbildführt, ist linear. Daher müsste das elektrische Feld eines komplett geschlossenen Hindernissesgenau dieselbe Feldamplitude ~E hinter dem Schirm liefern wie die Summe der beiden komple-mentären Komponenten.

0 = ~ES∪σ = ~Eσ + ~ES

Die elektrischen Felder auf dem Schirm müssen also genau entgegengesetzt sein, um die Glei-chung zu erfüllen. Das Beugungsbild auf dem Schirm ergibt sich aber durch die Intensität, alsodas Betragsquadrat der Feldstärke:

~ES = − ~Eσ ⇒ IS = Iσ

Das Beugungsbild der komplementären Teile ist also überall gleich!

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