OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE mate. 2015-07-22¢  Octava Olimpiada Interuniversitaria

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  • Octava

    4. PRUEBAS Y SOLUCIONES

    4.1 MATEMÁTICA

    OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I

    Instrucciones:

    A continuación se le presenta una serie de siete problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la

    Problema 1: (24 puntos)

    Encuentre las soluciones reales de las ecuaciones propuestas

    a. θ θ π= ≤

  • 18 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

    Problema 3: (10 puntos)

    Sea =( ( ))f g x x y ′ = + 2( ) 1 [ ( )]f x f x demuestre que:

    ′ = + 2 1( )

    1 g x

    x

    Problema 4: (15 puntos)

    Sea: ���� = 1�� + Determine el valor de para que la gráfica de � = ���� tenga un punto de inflexión en � = 1. Luego, trace la gráfica de ���� indicando dominio, asíntotas, máximos y mínimos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento, decrecimiento y concavidad. Trace la gráfica.

    Problema 5: (6 puntos)

    Un estudiante que vive en el último nivel de un edificio, sube las escaleras de dos en dos escalones y los baja de tres en tres, con los que en total da 100 saltos. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

    Problema 6: (15 puntos)

    En la siguiente figura se puede apreciar un cilindro de radio R y de altura H, el cual tiene inscrito un cono de igual altura y radio de base. Al pasar un plano perpendicular al eje de las figuras, las intercepciones de estas y el plano determinan una región de dos círculos concéntricos. Si la altura a la que se ubica el plano decrece a una razón constante de ��� �⁄ unidades/minuto. ¿Cuál es el ritmo de variación del área de la región de intercepción de las figuras, cuando el plano se encuentra a una altura de H/3?

    Problema 7: (15 puntos)

    Un hombre en un bote P, a 5 millas del punto más próximo A de la playa, desea alcanzar un punto B, a 6 millas de distancia de A a lo largo de la playa, en el tiempo más breve posible. ¿Dónde debe tocar tierra si navega a 2 millas/hora y camina a 4 millas/hora?

  • 19 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

    SOLUCIÓN DE LA PRUEBA

    Problema 1: (24 puntos)

    Encuentre las soluciones reales de las ecuaciones propuestas

    a. θ θ π θ

    = ≤

  • 20 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

    π

    πθ

    π

    π

       

    =     

    0

    6 5

    6

    3 2

    b. ( )( ) ( )= +2 23 3log 81log 19683x x Utilizando propiedades

    ( )( ) ( )= +23 3log 162log 19683x x Tiene la forma �� + b� + c = 0 y sustituyendo:

    ( )= 3logu x Entonces:

    = +2 162 19683uu

    − − =2 162 19683 0u u Resolviendo la ecuación con la fórmula cuadrática:

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    − − ± − − − ±= = = ± 2162 162 4 1 19683 162 324 81 162

    2 1 2 u

    Reescribiendo la ecuación por medio de factorización: ( )( )− + =243 81 0u u

    ( )= 3logu x ( )( ) ( )( )− + =3 3log 243 log 81 0x x

    Las dos soluciones a la ecuación se determinan igualando a cero cada uno de los factores anteriores

    ( )( )− =3log 243 0x

    ( ) =3log 243x = 2433x

    ( )( )+ =3og 81 0l x

    ( ) = −3log 81x

    −= 813x

  • 21 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

    c.

    ( ) −

    − =

    9(8) 3 8 2 274(27)

    xx

    x

      =  

     

    2 3

    2 3 (27)3 3 2*

    22 (8) 3

    xx

    x

    ( ) ( )  =   

    32 3

    3 3 3 3 2* 2 2 32

    x x

    ( ) ( ) ( ) −

    = 2 3 33 3 3 3*

    2 2 2 2

    x x

    ( ) ( ) + − +

    = 2 3 3 13 3

    2 2

    x x

    ( ) ( ) − ++

    =

    3 12 3 23 3

    2 2

    x x

    ( ) − ++ =3 3 1 32 3 ln ln 2 2 2

    x x

    ( ) − ++ = 3 12 3 2 x

    x

    ( )+ = − +2 2 3 3 1x x

    + = − +4 6 3 1x x

    = −9 3x

    = − 3 9

    x

    = − 1 3

    x

  • 22 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias

    Problema 2: (15 puntos)

    En un triángulo equilátero ABC, se a las divisiones D, E, F, G, H e I, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la figura sombreada, si el área del triángulo equilátero es de 18?

    Solución Si se observa el triángulo equi tres partes, divide en distancias equivalentes su área y por lo tanto se puede hacer el siguiente trazo en dicha figura.

    Al formar 2 triángulos en el área sombreada, se puede observar, que si triángulo equilátero inicial tiene lado

    la figura tiene como lado 3 l ,

    Será:

    Entonces la base de los triángulos formados, a la cual se denominará de

    Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

    En un triángulo equilátero ABC, se dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos H e I, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la

    figura sombreada, si el área del triángulo equilátero es de 18?

    Si se observa el triángulo equilátero, se puede observar que la división de sus lados en tres partes, divide en distancias equivalentes su área y por lo tanto se puede hacer el siguiente trazo en dicha figura.

    Al formar 2 triángulos en el área sombreada, se puede observar, que si triángulo equilátero inicial tiene lado “ l ”, entonces cada triángulo equilátero menor en , de donde para el mismo equilátero de lado

    ( ) = =   

    3 3 2 3 6

    l h l

    Entonces la base de los triángulos formados, a la cual se denominará H  

    = = =   

    3 32 2 6 3

    H h l l

    dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos H e I, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la

    látero, se puede observar que la división de sus lados en tres partes, divide en distancias equivalentes su área y por lo tanto se puede hacer el

    Al formar 2 triángulos en el área sombreada, se puede observar, que si el lado del cada triángulo equilátero menor en

    de donde para el mismo equilátero de lado 3 l su altura .

    H tendrá un valor

  • 23 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

    H

    = + =1 3 6 2 l l l

    l

    =2 6 l

    l

    Entonces el área sombreada en función de la variable “l” tendrá la expresión siguiente forma:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = + =1 2 1 1 12 2 2 6 3 l l

    S A A H H H l

    ( )   = =       

    23 1 3 3 3 9

    S l l l

    Si el área del triángulo equilátero original es de 18 unidades, entonces el valor de “l” será:

    = 18A

  • 24 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

    ( )  

    = =   

    23 3 18 2 4

    l l l

    De donde el valor de 2 l será:

    =2 72 3

    l

    Al sustituir en “S”, se obtiene el área sombreada numéricamente, la cual es:

      =    

    23 9

    S l

      =      

    3 72 9 3

    S

    = 8S

  • 25 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

    Problema 3: (10 puntos)

    Sea ������� = � y ����� = 1 + ������� demuestre que: �′��� = 11 + �� Solución Sea ���� = ������� = � �′��� = 1 ahora bien: �′��� = �′������ ∗ �′��� sustituyendo: �′��� = 1 1 = �′������ ∗ �′��� entonces: �′��� = 1� ′������ ��� si: � ′��� = 1 + ������� entonces: � ′������ = 1 + ���������� ���� pero: ������� = � sustituyendo en ���� � ′������ = 1 + �� sustituyendo en ��� ����� = 11 + �� queda demostrado.

  • 26 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

    Problema 4: (15 puntos)

    Sea: ���� = 1�� +

    Determine el valor de para que la gráfica de � = ���� tenga un punto de inflexión en � = 1. Luego, trace la gráfica de ���� indicando dominio, asíntotas, máximos y mínimos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento, decrecimiento y concavidad. Trace la gráfica.

    Solución Para que exista un punto de inflexión en � = 1, la segunda derivada de la función �´´ �1� = 0. Primero se buscan las tres funciones que definen la gráfica: la función, la primera derivada y la segunda derivada de ella. ���� = 1�2 +

    �´ ��� = −2���� + ��

    �´´ ��� = −2� − 3������ + �"

    Encontrar el valor de para que �´´ �1� = 0:

    0 = −2� − 3������ + �" 0 = −2