Oded Schramm- Circle Patterns with the Combinatorics of the Square Grid

8/3/2019 Oded Schramm- Circle Patterns with the Combinatorics of the Square Grid

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C I R C L E P A T T E R N S W I T H T H E

C O M B I N A T O R I C S O F T H E S Q U A R E G R I D

O d e d S c h r a m m

T h e W e i z m a n n I n s t i t u t e

A b s t r a c t . E x p l i c i t f a m i l i e s o f e n t i r e c i r c l e p a t t e r n s w i t h t h e c o m b i n a t o r i c s o f t h e

s q u a r e g r i d a r e c o n s t r u c t e d , a n d i t i s s h o w n t h a t t h e c o l l e c t i o n o f e n t i r e , l o c a l l y

u n i v a l e n t c i r c l e p a t t e r n s o n t h e s p h e r e i s i n n i t e d i m e n s i o n a l . I n P a r t i c u l a r , D o y l e ' s

c o n j e c t u r e i s f a l s e i n t h i s s e t t i n g .

M o b i u s i n v a r i a n t s o f c i r c l e p a t t e r n s a r e i n t r o d u c e d , a n d t u r n o u t t o b e d i s c r e t e

a n a l o g s o f t h e S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e . T h e i n v a r i a n t s s a t i s f y a n o n l i n e a r d i s c r e t e

v e r s i o n o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s . A g l o b a l a n a l y s i s o f t h e s o l u t i o n s o f t h e s e

e q u a t i o n s y i e l d s a r i g i d i t y t h e o r e m c h a r a c t e r i z i n g t h e D o y l e s p i r a l s .

I t i s a l s o s h o w n t h a t b y p r e s c r i b i n g b o u n d a r y v a l u e s f o r t h e M o b i u s i n v a r i a n t s , a n d

s o l v i n g t h e a p p r o p r i a t e D i r i c h l e t p r o b l e m , a l o c a l l y u n i v a l e n t m e r o m o r p h i c f u n c t i o n

c a n b e a p p r o x i m a t e d b y c i r c l e p a t t e r n s .

1 9 9 1 M a t h e m a t i c s S u b j e c t C l a s s i c a t i o n . 3 0 C 9 9 , 0 5 B 4 0 , 3 0 D 3 0 , 3 1 A 0 5 , 3 1 C 2 0 , 3 0 G 2 5 .

K e y w o r d s a n d p h r a s e s . M e r o m o r p h i c f u n c t i o n s , S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e , r i g i d i t y , e r r o r f u n c t i o n ,

D i r i c h l e t p r o b l e m .

S o m e o f t h e w o r k e x p o s e d h e r e w a s d o n e w h i l e t h e a u t h o r v i s i t e d U C S D , a n d t h e a u t h o r w i s h e s

t o e x p r e s s t h a n k s t o t h e U C S D m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t f o r i t s h o s p i t a l i t y . T h i s r e s e a r c h w a s

p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y N S F g r a n t D M S 9 4 - 0 3 5 4 8 .

T y p e s e t b y A

M

S - T

E

X


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2 O D E D S C H R A M M

1 . I n t r o d u c t i o n

S o m e a s p e c t s o f t h e r e l a t i v e l y n e w t h e o r y o f c i r c l e p a t t e r n s ( o r p a c k i n g s ) a n d

t h e i r r e l a t i o n s t o a n a l y t i c f u n c t i o n s c a n b e c o n s i d e r e d a s w e l l u n d e r s t o o d , w h i l e

o t h e r a s p e c t s a r e s t i l l v e r y m y s t e r i o u s a n d e n i g m a t i c . T h e r o o t s o f t h e t o p i c a r e

i n t h e c i r c l e p a c k i n g t h e o r e m 1 8 ] w h i c h i s a u n i f o r m i z a t i o n r e s u l t , a n d t h e u n i -

f o r m i z a t i o n t h e o r y o f c i r c l e p a t t e r n s i s n o w w e l l d e v e l o p e d 2 9 ] , 1 ] , 1 6 ] . T h e r e

h a s a l s o b e e n s t e a d y p r o g r e s s i n u n d e r s t a n d i n g t h e c o n v e r g e n c e o f c i r c l e p a c k i n g s

t o c o n f o r m a l m a p s 2 2 ] , 1 2 ] , 7 ] , 1 7 ] . B r a n c h e d p a c k i n g s w e r e c o n s i d e r e d , a n d

a n a l o g u e s o f p o l y n o m i a l s a n d n i t e B l a s c h k e p r o d u c t s h a v e b e e n s t u d i e d 3 ] , 9 ] ,

1 0 ] . A l s o , a s a t i s f y i n g c r o p o f a p p l i c a t i o n s a n d b y - p r o d u c t s h a s e m e r g e d 2 1 ] , 4 ] ,

2 0 ] , 2 4 ] , 1 5 ] , 1 3 ] , 2 ] .

H o w e v e r , t h e r e i s a l s o a d a r k e r s i d e : v e r y l i t t l e i s k n o w n a b o u t c i r c l e p a t t e r n

a n a l o g u e s o f e n t i r e f u n c t i o n s . I t s e e m s t h a t P e t e r D o y l e w a s t h e r s t t o l o o k i n t o

t h i s a r e a , a n d c o n s t r u c t e d e n t i r e i m m e r s e d h e x a g o n a l c i r c l e p a t t e r n s a n a l o g o u s t o

t h e e x p o n e n t i a l m a p . D o y l e c o n j e c t u r e d t h a t t h e s e i m m e r s e d p a c k i n g s , w h i c h c a m e

t o b e k n o w n a s D o y l e s p i r a l s , a r e t h e o n l y e n t i r e i m m e r s e d h e x a g o n a l c i r c l e p a c k -

i n g s . T o d a t e , t h e o n l y o t h e r c o n t r i b u t i o n t o t h i s t o p i c s e e m s t o b e C a l l a h a n a n d

R o d i n ' s 5 ] . T h e y s h o w e d t h a t e n t i r e i m m e r s e d h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s f o r m r e g -

u l a r l y e x h a u s t i b l e s u r f a c e s , a n d t h e r e f o r e s a t i s f y A h l f o r s ' v a l u e d i s t r i b u t i o n t h e o r y .

I n p a r t i c u l a r , P i c a r d ' s t h e o r e m i s v a l i d i n t h i s s e t t i n g .

W e h a v e f o u n d t h a t a f r a m e w o r k o f c i r c l e p a t t e r n s b a s e d o n t h e s q u a r e g r i d ,

w h i c h w e c a l l S G p a t t e r n s , i s m o r e t r a c t a b l e t h a n t h e t r a d i t i o n a l h e x a g o n a l p a t -

t e r n s . I t t u r n s o u t t h a t D o y l e ' s c o n j e c t u r e i s f a l s e f o r S G p a t t e r n s : t h e r e i s a n S G

p a t t e r n a n a l o g o u s t o t h e e n t i r e f u n c t i o n e r f

?

p

i z

, w h e r e e r f ( z ) =

R

z

e

? w

2

d w i s

t h e e r r o r f u n c t i o n . W e a l s o s h o w t h a t t h e c o l l e c t i o n o f e n t i r e S G p a t t e r n s i n t h e

s p h e r e i s i n n i t e d i m e n s i o n a l , a n d e x h i b i t s o m e e x p l i c i t n i t e d i m e n s i o n a l f a m i l i e s .

\ E x p l i c i t " m e a n s t h a t t h e r e i s a c l o s e d f o r m e x p r e s s i o n f o r t h e r a d i u s o f a n y g i v e n

c i r c l e i n t h e p a t t e r n . Q u i t e p o s s i b l y , m o r e e x p l i c i t n i t e d i m e n s i o n a l f a m i l i e s c o u l d

b e f o u n d . T h i s w o u l d b e v e r y i n t e r e s t i n g .

I n j o i n t w o r k , y e t u n p u b l i s h e d , w i t h R i c k K e n y o n , w e h a v e d i s c o v e r e d e x p l i c i t

b r a n c h e d S G p a t t e r n s a n a l o g o u s t o p o l y n o m i a l s a n d t o t h e f u n c t i o n l o g z

M u c h o f t h e t h e o r y o f t h e h e x a g o n a l p a c k i n g s c a n b e c a r r i e d o v e r t o S G p a t t e r n s .

I n p a r t i c u l a r , C a l l a h a n a n d R o d i n ' s w o r k 5 ] a p p l i e s w i t h v i r t u a l l y n o m o d i c a t i o n s .

O n t h e o t h e r h a n d , m a n y o f t h e r e s u l t s g i v e n b e l o w f o r S G p a t t e r n s a r e n o t k n o w n

f o r h e x a g o n a l p a c k i n g s , a n d p r o v i n g ( o r d i s p r o v i n g ) t h e m i n t h e h e x a g o n a l s e t t i n g

w o u l d b e a w o r t h y c h a l l a n g e .

W e s t a r t w i t h t h e t r a d i t i o n a l a p p r o a c h o f s t u d y i n g t h e r a d i u s f u n c t i o n . I n m a y

r e s p e c t s , t h e ` d i s c r e t e n o n l i n e a r L a p l a c e e q u a t i o n ' t h a t t h e r a d i u s f u n c t i o n o f a n S G

p a t t e r n s a t i s e s i s m o r e a m e n a b l e t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g e q u a t i o n i n t h e h e x a g o n a l

s e t t i n g . T h i s i s w h a t p e r m i t s t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e e r f

?

p

i z

p a t t e r n . W e s h o w

t h a t t h e s u r f a c e d e t r m i n e d b y t h e e r f

?

p

i z

S G p a t t e r n i s i s o m e t r i c t o t h e s u r f a c e

d e t e r m i n e d b y t h e c l a s s i c a l e r r o r f u n c t i o n , u p t o a c o n s t a n t s c a l i n g f a c t o r . I t i s

a l s o d e m o n s t r a t e d t h a t i n a l i m i t e d b u t w e l l d e n e d s e n s e , t h e r e i s n o S G p a t t e r n

a n a l o g o f t h e e r f f u n c t i o n i t s e l f , w i t h o u t

p

i p r e - r o t a t i o n .

B u t t h e r a d i u s f u n c t i o n c a n o n l y t a k e u s s o f a r . T h e a n a l y s i s o f t h e r a d i u s

f u n c t i o n i s t h e a n a l y s i s o f t h e c i r c l e p a t t e r n i n v a r i a n t s f o r t h e g r o u p o f i s o m e t r i e s


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S G C I R C L E P A T T E R N S 3

o f t h e p l a n e . O u r m a i n p r o g r e s s i s i n t h e a n a l y s i s o f t h e c i r c l e p a t t e r n i n v a r i a n t s

f o r t h e g r o u p o f M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n s . W e i n t r o d u c e M o b i u s i n v a r i a n t s a n d

, a n d d i s c o v e r t h a t t h e y a r e c l o s e l y a n a l o g o u s t o t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s

o f t h e S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e . N a t u r a l l y , i t t u r n s o u t t h a t a n d s a t i s f y a d i s -

c r e t e n o n l i n e a r v e r s i o n o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s . A f t e r t h e i n v a r i a n t

i s e l i m i n a t e d f r o m t h e s e e q u a t i o n s , o n e o b t a i n s a n o n l i n e a r d i s c r e t e v e r s i o n o f t h e

L a p l a c e e q u a t i o n t h a t t h e i n v a r i a n t s a t i s e s . C o n v e r s e l y , a n y t h a t s a t i s e s t h i s

e q u a t i o n h a s a o n e p a r a m e t e r f a m i l y o f c o m p a n i o n i n v a r i a n t s a s c o - s o l u t i o n s o f

t h e n o n l i n e a r C a u c h y - R i e m a n n s y s t e m .

W e s h o w t h a t t h e n o n l i n e a r S G - L a p l a c e e q u a t i o n s a t i s e s t h e D i r i c h l e t p r i n c i -

p l e . T h i s g i v e s a p a r a m e t r i z a t i o n o f S G p a t t e r n s c o r r e s p o n d i n g t o n i t e ` s i m p l y

c o n n e c t e d ' s u b - p i e c e s o f t h e s q u a r e l a t t i c e , i n t e r m s o f t h e b o u n d a r y v a l u e s o f t h e

i n v a r i a n t , a n d o n e v a l u e o f t h e i n v a r i a n t . T h a t ' s t h e l o c a l a n a l y s i s .

T w o g l o b a l r i g i d i t y r e s u l t s a r e p r e s e n t e d . F i r s t , t h e u n i q u e n e s s o f t h e e m b e d d e d

S G p a t t e r n i s e s t a b l i s h e d . T h a t i s a n a l o g o u s t o t h e r i g i d i t y o f t h e h e x a g o n a l c i r c l e

p a c k i n g , a n d s h o w s t h a t t h e R o d i n - S u l l i v a n t h e o r e m i s v a l i d i n t h e S G s e t t i n g .

T h e s e c o n d r i g i d i t y r e s u l t i s m o r e n o v e l : i f t h e i n v a r i a n t o f a n e n t i r e S G p a t t e r n

i n t h e s p h e r e i s b o u n d e d , t h e n t h e p a t t e r n i s M o b i u s e q u i v a l e n t t o a D o y l e s p i r a l

( o r t o t h e a t p a t t e r n ) . I t f o l l o w s t h a t i f t h e r a d i u s f u n c t i o n o f a p l a n a r S G p a t t e r n

s a t i s e s c

? 1

< r ( z + 1 ) = r ( z ) < c f o r s o m e c o n s t a n t c , t h e n t h e p a t t e r n i s a D o y l e

s p i r a l .

S u p p o s e t h a t f : W ! S

2

i s a l o c a l l y i n j e c t i v e m e r o m o r p h i c f u n c t i o n , w h e r e

W i s s i m p l y c o n n e c t e d . W e s h o w t h a t o n c o m p a c t s u b s e t s o f W , f c a n b e a p -

p r o x i m a t e d b y a n S G p a t t e r n , w h i c h i s o b t a i n e d b y s p e c i f y i n g t h e v a l u e o f t h e

i n v a r i a n t a t t h e b o u n d a r y a c c o r d i n g t o R e S

f

, t h e r e a l p a r t o f t h e S c h w a r z i a n

d e r i v a t i v e o f f , e x t e n d i n g t o b e a s o l u t i o n o f t h e S G - D i r i c h l e t p r o b l e m , n d i n g

a n S G - C a u c h y - R i e m a n n c o - s o l u t i o n t h a t m a t c h e s t h e v a l u e o f I m S

f

a t s o m e

i n t e r i o r p o i n t , a n d t a k i n g t h e S G p a t t e r n w i t h i n v a r i a n t a n d . T h i s i s a M o b i u s

g e o m e t r y a n a l o g u e o f a s i m i l a r t h e o r e m b y C a r t e r a n d R o d i n 6 ] , w i t h R e S

f

t a k i n g

t h e r o l e o f f

0

T h e l a s t s e c t i o n o f t h e p a p e r c o n t a i n s a c o l l e c t i o n o f s e v e r a l o p e n p r o b l e m s , b u t

w e b r i e y d e s c r i b e a f e w p r o b l e m s n o w . S u p p o s e t h a t f : C ! S

2

i s a l o c a l l y

u n i v a l e n t o p e n m a p . T h e n t h e m e t r i c o n S

2

c a n b e p u l l e d b a c k t o C , a n d t h e

r e s u l t i n g R i e m a n n i a n s u r f a c e i s c a l l e d t h e s u r f a c e d e t e r m i n e d b y f . S i m i l a r l y ,

a n e n t i r e S G p a t t e r n , o r a n e n t i r e i m m e r s e d h e x a g o n a l p a c k i n g , d e t e r m i n e s a

R i e m a n n i a n s u r f a c e S , a n d t h e c i r c l e p a t t e r n i s e m b e d d e d o n t h a t s u r f a c e . A n

i m p o r t a n t a n d f u n d a m e n t a l q u e s t i o n i s : w h a t R i e m a n n i a n s u r f a c e s s u p p o r t e n t i r e

c i r c l e p a t t e r n s ? I t w o u l d a l s o b e i n t e r e s t i n g t o u n d e r s t a n d t o w h a t d e g r e e t h e

a n s w e r d e p e n d s o n t h e u n d e r l y i n g c o m b i n a t o r i c s . O n e m i g h t c o n j e c t u r e t h a t a l l

t h e s c h e m e s t h a t a r e b a s e d o n d o u b l y p e r i o d i c c o m b i n a t o r i c s s h o u l d b e h a v e i n t h e

s a m e m a n n e r , b u t i n o u r w o r k b e l o w t h e r e i s a h i n t s u g g e s t i n g t h a t t h i s m i g h t

n o t b e t h e c a s e . ( S o m e a s s u m p t i o n , l i k e d o u b l e p e r i o d i c i t y , i s c l e a r l y n e c e s s a r y .

C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , a c i r c l e p a t t e r n w h o s e c o m b i n a t o r i c s i s d e s c r i b e d b y t h e

h e x a g o n a l g r i d m o d u l o a t r a n s l a t i o n t a k i n g t h e g r i d t o i t s e l f . I t i s n o t h a r d t o s e e

t h a t s u c h a p a t t e r n c a n n o t l i e o n t h e u n i v e r s a l c o v e r o f t h e o n c e p u n c t u r e d p l a n e .

I n o t h e r w o r d s , i n t h a t s e t t i n g D o y l e s p i r a l s a r e n o t p r e s e n t . )

T h e a u t h o r w o u l d l i k e t o t h a n k P e t e r D o y l e , T o m a s z D u b e j k o , A l e x E r e m e n k o ,


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Z h e n g - X u H e , Y a k a r K a n n a i , R i c k K e n y o n , A l M a r d e n , a n d B u r t R o d i n f o r v a l u a b l e

d i s c u s s i o n s a n d a d v i c e .

2 . N o t a t i o n s a n d T e r m i n o l o g y

L e t S G b e t h e c e l l c o m p l e x w h o s e v e r t i c e s a r e t h e G a u s s i a n i n t e g e r s , V ( S G ) =

Z + i Z , w h o s e e d g e s a r e t h e p a i r s z ; z

0

] s u c h t h a t z ? z

0

= 1 a n d z ; z

0

2 V ( S G ) ,

a n d w h o s e 2 - c e l l s a r e t h e s q u a r e s

z + x + i y : x ; y 2 0 ; 1

, z 2 V ( S G )

W h e n z ; z

0

a r e n e i g h b o r s i n S G , w e w r i t e z z

0

. T h e v e r t i c e s z ; z

0

a r e c a l l e d

h a l f - n e i g h b o r s i f t h e y b e l o n g t o t h e s a m e s q u a r e o f S G , b u t a r e n o t n e i g h b o r s .

L e t G b e a s u b g r a p h o f t h e 1 - s k e l e t o n o f S G . S u p p o s e t h a t f o r e v e r y z 2 V ( G )

( t h e v e r t i c e s o f G ) t h e r e i s a s s o c i a t e d a n o r i e n t e d c i r c l e C

z

i n t h e R i e m a n n s p h e r e

S

2

=

C . W e n o w f o r m a l i z e w h a t i t m e a n s f o r t h e c i r c l e s t o b e c o m b i n a t o r i a l l y l i k e

t h e p a t t e r n i n F i g u r e 2 . 1 . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g t h r e e c o n d i t i o n s .

( 1 ) W h e n e v e r z z

1

a r e n e i g h b o r s i n G , t h e c o r r e s p o n d i n g c i r c l e s C

z

; C

z

1

i n t e r s e c t o r t h o g o n a l l y .

( 2 ) I f z

1

; z

2

a r e n e i g h b o r s o f a v e r t e x z i n G , a n d t h e y b e l o n g t o t h e s a m e

s q u a r e o f S G , t h e n t h e c i r c l e s C

z

1

; C

z

2

a r e d i s t i n c t a n d t a n g e n t .

I t f o l l o w s f r o m ( 1 ) a n d ( 2 ) t h a t t h e t a n g e n c y p o i n t o f C

z

1

a n d C

z

2

l i e s i n C

z

H e n c e t h e r e w i l l b e t h r e e s p e c i a l p o i n t s o n C

z

, n a m e l y , C

z

1

\ C

z

2

; C

z

\ C

z

1

?

C

z

2

; C

z

\ C

z

2

? C

z

1

( 3 ) W h e n e v e r t h e s i t u a t i o n i s a s i n ( 2 ) a n d z

2

i s t h e n e i g h b o r o f z w h i c h i s

o n e s t e p c o u n t e r c l o c k w i s e f r o m z

1

( t h a t i s , z

2

= z + i ( z

2

? z ) ) , t h e c i r c u l a r

o r d e r o f t h e t r i p l e t o f p o i n t s C

z

\ C

z

1

? C

z

2

; C

z

1

\ C

z

2

; C

z

\ C

z

2

? C

z

1

a g r e e s

w i t h t h e o r i e n t a t i o n o f C

z

F i g u r e 2 . 1 . T h e r e g u l a r S G p a t t e r n .

O b s e r v e t h a t w h e n t h e c i r c l e s i n F i g u r e 2 . 1 a r e o r i e n t e d p o s i t i v e l y w i t h r e s p e c t

t o t h e p l a n a r d i s k s t h e y b o u n d , t h e s e t h r e e c o n d i t i o n s a r e s a t i s e d .

D e n i t i o n s . A c i r c l e p a t t e r n f o r G i s a n i n d e x e d c o l l e c t i o n C =

?

C

z

: z 2 V ( G )

o f o r i e n t e d c i r c l e s i n S

2

t h a t s a t i s e s ( 1 ) { ( 3 ) a b o v e . T h e p a t t e r n i s p l a n a r , i f

e a c h C

z

C a n d i s p o s i t i v e l y o r i e n t e d w i t h r e s p e c t t o t h e b o u n d e d c o m p o n e n t

o f C ? C

z

. T h e p a t t e r n i s e m b e d d e d , p r o v i d e d t h a t w h e n e v e r z ; z

0

2 V ( G ) a r e


5/39


n o t n e i g h b o r s t h e o p e n d i s k s d e t e r m i n e d b y C

z

a n d C

z

a r e d i s j o i n t . ( T h e o p e n

d i s k d e t e r m i n e d b y a n o r i e n t e d c i r c l e C i s t h e c o m p o n e n t D o f

C ? C s u c h t h a t

@ D = C w i t h a g r e e m e n t o f o r i e n t a t i o n . ) I f G i s t h e w h o l e 1 - s k e l e t o n o f S G , t h e n

a c i r c l e p a t t e r n f o r G i s c a l l e d a n e n t i r e c i r c l e p a t t e r n

A v e r t e x i n G i s c a l l e d a n i n t e r i o r v e r t e x , i f i t h a s 4 n e i g h b o r s i n G , o t h e r w i s e ,

i t i s a b o u n d a r y v e r t e x . T h e s e t o f b o u n d a r y v e r t i c e s o f G i s d e n o t e d b y V

@

( G ) ,

a n d t h e s e t o f i n t e r i o r v e r t i c e s i s d e n o t e d V

n t

( G )

3 . T h e R a d i u s F u n c t i o n

L e t G b e a s u b g r a p h o f t h e 1 - s k e l e t o n o f S G . T h e n e x t p r o p o s i t i o n a l l o w s t h e

s t u d y i n g o f a c i r c l e p a t t e r n t h r o u g h i t s r a d i u s f u n c t i o n , t h e f u n c t i o n w h i c h a s s i g n s

t o e v e r y v e r t e x i n G t h e r a d i u s o f t h e c o r r e s p o n d i n g c i r c l e . I f C = ( C

z

: z 2 V ( G ) )

i s a p l a n a r c i r c l e p a t t e r n f o r a g r a p h G S G , w e l e t r

C

( z ) d e n o t e t h e r a d i u s o f

t h e c i r c l e C

z

. S o m e t i m e s , w h e n n o c o n f u s i o n i s l i k e l y , w e w i l l u s e t h e n o t a t i o n r ( z )

i n p l a c e o f r

C

( z )

3 . 1 . P r o p o s i t i o n . L e t Y b e a u n i o n o f s q u a r e s o f S G a n d l e t G b e t h e g r a p h

w h i c h i s t h e i n t e r s e c t i o n o f Y a n d t h e 1 - s k e l e t o n o f S G

( 1 ) S u p p o s e t h a t C = ( C

z

: z 2 V ( G ) ) i s a p l a n a r c i r c l e p a t t e r n f o r G , T h e n

f o r e v e r y i n t e r i o r v e r t e x z

0

2 V

n t

( G ) , w e h a v e

r ( z

0

) = H

?

r ( z

0

+ 1 ) ; r ( z

0

+ i ) ; r ( z

0

? 1 ) ; r ( z

0

? i )

; ( 3 . 1 )

w h e r e r = r

C

a n d

H ( r

1

; r

2

; r

3

; r

4

) =

s

( r

? 1

1

+ r

? 1

2

+ r

? 1

3

+ r

? 1

4

) r

1

r

2

r

3

r

4

r

1

+ r

2

+ r

3

+ r

4

( 2 ) C o n v e r s e l y , i f t h e i n t e r i o r o f Y i s c o n n e c t e d , Y i s s i m p l y c o n n e c t e d , a n d

r : V ( G ) ! ( 0 ; 1 ) s a t i s e s ( 3 . 1 ) f o r e v e r y z 2 V

n t

( G ) , t h e n t h e r e i s a

p l a n a r c i r c l e p a t t e r n f o r G s u c h t h a t r a d i u s ( C

z

) = r ( z ) f o r a l l z 2 V ( G )

T h i s p a t t e r n i s u n i q u e , u p t o i s o m e t r i e s o f C

P r o o f . R e s u l t s o f t h i s k i n d a r e q u i t e s t a n d a r d i n t h e e l d . W e t h e r e f o r e o n l y g i v e

a p r o o f o f t h e e x i s t e n c e p a r t o f ( 2 ) , w h i c h i s t h e h a r d e r c l a i m . E v e n t h e n o n e x p e r t

s h o u l d h a v e n o t r o u b l e i n s u p p l y i n g t h e m i s s i n g a r g u m e n t s a f t e r s e e i n g t h e p r o o f

o f ( 2 ) . T h e f o l l o w i n g c o n s t r u c t i o n i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e a s t h e o n e i n T h u r s t o n ' s

n o t e s 2 8 , C h a p . 1 3 ] .

C o n s i d e r t w o n e i g h b o r i n g z

0

; z

1

2 V ( G ) . L e t A ( z

0

; z

1

) b e t h e r i g h t a n g l e d

t r i a n g l e w i t h v e r t i c e s 0 ; r ( z

0

) ; i r ( z

1

) . T h e v e r t e x r ( z

0

) r e p e c t i v e l y , i r ( z

1

) ] w i l l b e

c a l l e d t h e z

0

r e s p e c t i v e l y , z

1

] v e r t e x o f A ( z

0

; z

1

) . T h e e d g e 0 ; r ( z

0

) ] o f A ( z

0

; z

1

)

w i l l b e c a l l e d i t s z

0

e d g e , a n d t h e e d g e 0 ; i r ( z

1

) ] , i t s z

1

e d g e . E a c h e d g e o f

A ( z

0

; z

1

) g e t s a n o r i e n t a t i o n a s p a r t o f @ A ( z

0

; z

1

) . N o t e t h a t t h e c i r c l e o f r a d i u s

r ( z

0

) w i t h c e n t e r a t t h e z

0

v e r t e x o f A ( z

0

; z

1

) i s o r t h o g o n a l t o t h e c i r c l e o f r a d i u s

r ( z

1

) w i t h c e n t e r a t t h e z

1


0

; z

1

)

L e t X b e t h e d i s j o i n t u n i o n o f t h e A ( z

0

; z

1

) o v e r a l l o r i e n t e d e d g e s z

0

; z

1

i n G

C o n s i d e r t h e s p a c e X

0

o b t a i n e d b y p a s t i n g t o g e t h e r e d g e s o f X a s f o l l o w s . T h e h y -

p o t h e n u s e o f A ( z

0

; z

1

) i s p a s t e d t o t h e h y p o t h e n u s e o f A ( z

1

; z

0

) , w i t h o r i e n t a t i o n s


6/39


r e v e r s e d . I f z ; z + i

j

; z + i

j + 1

a r e a l l i n V ( G ) ( j = 0 ; 1 ; 2 o r 3 ) , t h e n t h e z e d g e o f

A ( z ; z + i

j

) i s p a s t e d w i t h o r i e n t a t i o n r e v e r s e d t o t h e z e d g e o f A ( z + i

j + 1

; z ) . I n

t h i s w a y e v e r y e d g e o f X i s p a s t e d t o a t m o s t o n e o t h e r e d g e , w h i c h h a s t h e s a m e

l e n g t h , a n d X

0

i s a n o r i e n t e d s u r f a c e w i t h b o u n d a r y . W e c h o o s e t h e g l u i n g m a p s

t o b e i s o m e t r i e s . H e n c e X

0

h a s a m e t r i c .

W e n o w s h o w t h a t t h e m e t r i c o n X

0

i s l o c a l l y E u c l i d e a n i n t h e i n t e r i o r o f X

0

;

t h a t i s , i n X

0

? @ X

0

. L e t p b e a p o i n t i n X , w h o s e i m a g e p

0

2 X

0

i s n o t i n

@ X

0

. S u p p o s e r s t t h a t p i s t h e v e r t e x o f A ( z

0

; z

1

) w h e r e t h e r i g h t a n g l e i s . S i n c e

p

0

=2 @ X

0

, i t f o l l o w s t h a t f o u r t r i a n g l e s a r e g l u e d a t p

0

. N o t e t h a t t h e a n g l e s g l u e d

a t p

0

a r e a l l r i g h t a n g l e s . H e n c e X

0

i s l o c a l l y E u c l i d e a n n e a r p

0

N o w s u p p o s e t h a t p i s t h e z

0


0

; z

1

) . S i n c e p

0

i s i n t e r i o r t o X

0

,

i t f o l l o w s t h a t z

0

i s a n i n t e r i o r v e r t e x o f G . H e n c e 8 t r i a n g l e s a r e p a s t e d a t p

0

,

n a m e l y A ( z

0

; z

0

+ i

j

) ; A ( z

0

+ i

j

; z

0

) ; j = 0 ; 1 ; 2 ; 3 . T h e s u m o f t h e a n g l e s a t p

0

i s

= 2

X

z z

0

a r c t a n

r ( z )

r ( z

0

)

( 3 . 2 )

H e n c e ,

e

i = 2

=

Y

z z

0

r ( z

0

) + i r ( z )

r ( z

0

) + i r ( z )

F r o m ( 3 . 1 ) , i t n o w i m m e d i a t e l y f o l l o w s t h a t

I m

e

i = 2

= 0 ( 3 . 3 )

B e c a u s e e a c h o f t h e e i g h t a n g l e s p a s t e d a t p

0

i s i n t h e r a n g e ( 0 ; = 2 ) , i t f o l l o w s

t h a t = 2 2 ( 0 ; 2 ) . H e n c e , ( 3 . 3 ) i m p l i e s t h a t = 2 S o X

0

i s l o c a l l y E u c l i d e a n

n e a r p

0

I t i s e a s y t o s e e t h a t X

0

i s l o c a l l y E u c l i d e a n n e a r p

0

i f p i s n o t a v e r t e x o f a n y

o f t h e t r i a n g l e s . S o t h e i n t e r i o r o f X

0

i s l o c a l l y E u c l i d e a n .

T h e r e i s s o m e o p e n n o n e m p t y s e t W X

0

t h a t ' s i s o m e t r i c t o a d i s k i n t h e p l a n e .

L e t f b e s u c h a n i s o m e t r y . B e c a u s e X

0

i s l o c a l l y E u c l i d e a n , g i v e n a n y s i m p l e c u r v e

w i t h i n i t i a l p o i n t i n W , f c a n b e a n a l y t i c a l l y c o n t i n u e d a l o n g , a n d t h e r e s u l t

o f t h i s a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n i s a l o c a l i s o m e t r y d e n e d i n a n e i g h b o r h o o d o f

S i n c e X

0

i s s i m p l y c o n n e c t e d , t h e M o n o d r o m y T h e o r e m t e l l s u s t h a t f h a s a n

a n a l y t i c e x t e n s i o n , d e n e d i n t h e i n t e r i o r o f X

0

. I t f o l l o w s t h a t t h e r e i s a l o c a l

i s o m e t r y F : X

0

! C

F o r e v e r y z 2 V ( G ) , w e c h o o s e C

z

t o b e t h e c i r c l e o f r a d i u s r ( z ) c e n t e r e d a t

F ( p

0

z

) , w h e r e p

0

z

i s t h e i m a g e i n X

0

o f t h e z - v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e s A ( z ; z

0

) , w i t h

z

0

a n y n e i g h b o r o f z . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t C =

?

C

z

: z 2 V ( G )

i s a c i r c l e

p a t t e r n f o r G

T h e u n i q u e n e s s p a r t i s l e f t t o t h e r e a d e r .

3 . 2 . D e n i t i o n . T h e s u r f a c e X

0

i n t h e p r o o f w i l l b e c a l l e d t h e s u r f a c e d e t e r -

m i n e d b y t h e c i r c l e p a t t e r n C . T h e m a p F : X

0

! C i s c a l l e d t h e d e v e l o p i n g

m a p

I t i s w o r t h w h i l e t o n o t e , f o r f u t u r e u s e , s o m e p r o p e r t i e s o f t h e f u n c t i o n H

f r o m 3 . 1 .


7/39


3 . 3 . P r o p e r t i e s o f H I n t h e f o l l o w i n g , r

1

; r

2

; r

3

; r

4

> 0 a r e a r b i t r a r y .

( 1 ) H o m o g e n e i t y : H ( t r

1

; t r

2

; t r

3

; t r

4

) = t H ( r

1

; r

2

; r

3

; r

4

) h o l d s f o r a l l t > 0

( 2 ) S y m m e t r y : H i s i n v a r i a n t u n d e r p e r m u t a t i o n s o f i t s a r g u m e n t s .

( 3 ) R e c i p r o c i t y : H

?

r

? 1

1

; r

? 1

2

; r

? 1

3

; r

? 1

4

= H ( r

1

; r

2

; r

3

; r

4

)

? 1

( 4 ) M o n o t o n i c i t y : H i s s t r i c t l y m o n o t o n e i n c r e a s i n g i n e a c h o f i t s a r g u m e n t s .

( 5 ) A s r

1

! 1 a n d r

3

! 0 , w h i l e r

2

; r

4

a r e k e p t x e d , H ( r

1

; r

2

; r

3

; r

4

) t e n d s

t o

p

r

2

r

4

, t h e g e o m e t r i c m e a n o f r

2

a n d r

4

( 6 ) I f

p

r

1

r

3

=

p

r

2

r

4

, t h e n

p

r

1

r

3

= H ( r

1

; r

2

; r

3

; r

4

)

T h e v e r i c a t i o n o f t h e s e p r o p e r t i e s i s l e f t t o t h e r e a d e r . T h e y a l l h a v e a g e o m e t r i c

p r o o f , a s w e l l a s a d i r e c t p r o o f f r o m t h e d e n i t i o n o f H

N o t e t h a t p r o p e r t i e s ( 2 ) a n d ( 3 ) d o n o t h o l d f o r t h e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o n f o r

c i r c l e p a c k i n g i m m e r s i o n s o f t h e h e x a g o n a l l a t t i c e . I n j o i n t w o r k w i t h R . K e n y o n

w e s h a l l s h o w t h a t p r o p e r t y ( 3 ) c a n b e u s e d t o o b t a i n e x p l i c i t c o n s t r u c t i o n s f o r

c i r c l e p a t t e r n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e p o l y n o m i a l s z

d

4 . E x p a n d E r f

P . D o y l e h a s c o n s t r u c t e d c i r c l e p a c k i n g i m m e r s i o n s b a s e d o n t h e h e x a g o n a l c o m -

b i n a t o r i c s t h a t a r e a n a l o g o u s t o t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s e

a z

, l a t e r t o b e c a l l e d

D o y l e s p i r a l s , a n d c o n j e c t u r e d t h a t t h e s e , a n d t h e r e g u l a r h e x a g o n a l p a c k i n g s , a r e

t h e o n l y e n t i r e c i r c l e p a c k i n g i m m e r s i o n s w i t h t h e c o m b i n a t o r i c s o f t h e i n n i t e

h e x a g o n a l g r i d . S e e 5 ] .

W e n o w s h o w t h a t D o y l e s p i r a l s a r e p r e s e n t i n t h e s e t t i n g o f S G - c i r c l e p a t t e r n s ,

a n d D o y l e ' s c o n j e c t u r e i s f a l s e i n t h i s s e t t i n g .

S u p p o s e t h a t z

0

2 V ( S G ) a n d z

1

; z

2

; z

3

; z

4

a r e i t s n e i g h b o r s . L e t r : V ( S G ) !

( 0 ; 1 ) . F r o m 3 . 3 . ( 6 ) i t f o l l o w s t h a t f o r e v e r y a 2 C n o n z e r o r ( z ) = e

a z

s a t i s -

e s ( 3 . 1 ) a t e v e r y z 2 V ( S G ) . C o n s e q u e n t l y , r c o r r e s p o n d s t o a n e n t i r e c i r c l e

p a t t e r n . S e e F i g u r e 4 . 1 .

F i g u r e 4 . 1 . A n S G D o y l e s p i r a l .

W e s h a l l c a l l t h e s e p a t t e r n s S G D o y l e s p i r a l s , s i n c e t h e y a r e c l e a r l y t h e a n a l o g u e s

o f t h e D o y l e s p i r a l s f o r S G c i r c l e p a t t e r n s . T h e s u r f a c e d e t e r m i n e d b y a n S G D o y l e

s p i r a l s ( o r b y a h e x a g o n a l D o y l e s p i r a l ) i s e a s i l y s e e n t o b e t h e u n i v e r s a l c o v e r o f


8/39


C ? f 0 g , w h i c h i s t h e s a m e a s C w i t h t h e m e t r i c p u l l e d b a c k b y t h e e x p o n e n t i a l

m a p e x p : C ! C ? f 0 g . T h i s i s o n e s e n s e i n w h i c h t h e s e s p i r a l s a r e a n a l o g u e s o f

t h e e x p o n e n t i a l s . A l s o , t h e f u n c t i o n e

a z

i s t h e s a m e a s t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e

d e r i v a t i v e o f a n e x p o n e n t i a l .

N o w c o n s i d e r t h e f u n c t i o n r ( z ) = e

a x y

, w h e r e z = x + i y a n d a i s a r e a l

c o n s t a n t . I t i s i m m e d i a t e t h a t r ( z ) i s e q u a l t o t h e g e o m e t r i c m e a n o f r ( z + 1 )

a n d r ( z ? 1 ) , a n d t o t h e g e o m e t r i c m e a n o f r ( z + i ) a n d r ( z ? i ) . C o n s e q u e n t l y ,

b y p r o p e r t y 3 . 3 . ( 6 ) , r g i v e s r i s e t o a n e n t i r e p l a n a r S G c i r c l e p a t t e r n . N o t e t h a t

r ( z ) = c f

0

( z ) f o r f ( z ) = e r f (

p

i a z ) a n d a n a p p r o p r i a t e c , w h e r e e r f i s t h e e r r o r

f u n c t i o n e r f ( z ) = ( 2 = )

R

e

? z

2

d z . A l s o n o t e t h a t t h e p i c t u r e o f t h e c i r c l e p a t t e r n i s

s i m i l a r t o t h e i m a g e o f t h e r o t a t e d a n d s c a l e d s q u a r e g r i d u n d e r f , a s i n d i c a t e d i n

F i g u r e s 4 . 2 . a , a n d 4 . 2 . b . W e s h a l l c a l l t h e s e c i r c l e p a t t e r n s t h e

p

i S G e r f p a t t e r n s

F i g u r e 4 . 2 . a . T h e e r f - i m a g e o f a s q u a r e g r i d , e r f

?

p

i S G

F i g u r e 4 . 2 . b . T h e

p

i S G e r f p a t t e r n .

T h e F i g u r e s 4 . 2 . a , a n d 4 . 2 . b a r e n o t m i s l e a d i n g , t h e e r f c i r c l e p a t t e r n i s i n d e e d

g e o m e t r i c a l l y r e l a t e d t o t h e p a t t e r n g i v e n b y t h e e r r o r f u n c t i o n . B e f o r e w e m a k e


9/39


t h i s s t a t e m e n t p r e c i s e , w e n e e d t o r e c a l l a d e n i t i o n .

D e n i t i o n . L e t f : C ! X b e h o l o m o r p h i c , w h e r e X i s e i t h e r t h e s p h e r e o r C

T h e n t h e m e t r i c o n X c a n b e p u l l e d b a c k v i a f t o C . T h e r e s u l t i n g s u r f a c e i s

c a l l e d t h e s u r f a c e d e t e r m i n e d b y f : C ! X

4 . 1 . T h e o r e m . T h e s u r f a c e S

a

d e t e r m i n e d b y t h e

p

i S G e r f p a t t e r n w i t h r a d i u s

f u n c t i o n r ( z ) = e

a x y

( a > 0 ) i s i s o m e t r i c t o t h e s u r f a c e R d e t e r m i n e d b y c e r f :

C ! C , w h e r e c i s a c o n s t a n t w h i c h w i l l b e d e t e r m i n e d b e l o w .

P r o o f . T o s i m p l i f y n o t a t i o n s , o n l y t h e c a s e a = 1 w i l l b e d i s c u s s e d . S e t S = S

1

T h e c i r c l e i n S c o r r e s p o n d i n g t o a v e r t e x z 2 V ( S G ) w i l l b e d e n o t e d

~

C

z

L e t S d e n o t e t h e c o m p l e t i o n o f S . W e n o w s h o w t h a t S ? S c o n t a i n s p r e c i s e l y

2 p o i n t s . L e t S ( n ) d e n o t e t h e p a r t o f S c o v e r e d b y c i r c l e s

~

C

x + i y

w i t h x y > ? n ,

a n d t h e i r i n t e r i o r s . T h e n S ( n ) i s c l e a r l y c o m p l e t e . T h e c o m p l e m e n t S ? S ( n ) h a s

t w o c o m p o n e n t s : l e t A

1

( n ) b e t h e c o m p o n e n t o f S ? S ( n ) t h a t c o n t a i n s c i r c l e s

~

C

x + i y

w i t h y


10/39

1 0 O D E D S C H R A M M

t h a t h a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o n : 0 ; t

1

! S . T h e r e f o r e , F

?

( t

1

)

= ( t

1

)

S i n c e a v o i d s q

0

1

; q

0

2

, w e h a v e ( t

1

) 6= q

1

; q

2

, a n d i s a p a t h i n S S o h a s

a l i f t t o 0 ; t

1

] a n d s u p Z = t

1

2 Z . B e c a u s e Z i s o p e n i n 0 ; 1 ] , i t f o l l o w s t h a t

Z = 0 ; 1

N o w l e t p

0

b e t h e c e n t e r o f

~

C

0

i n S , a n d l e t l b e t h e l i f t o f t h e l i n e x = y

p a s s i n g t h r o u g h p

0

. T h e n S ? l h a s t w o c o m p o n e n t s . L e t B

1

b e t h e c o m p o n e n t

o f S ? l w h o s e c l o s u r e i n S c o n t a i n s q

1

, a n d l e t B

2

b e t h e c o m p o n e n t o f S ? l

w h o s e c l o s u r e i n S c o n t a i n s q

2

4 . 2 . L e m m a . q

0

1

=2 F ( B

1

) a n d q

0

2

=2 F ( B

2

)

P r o o f . S u p p o s e , f o r e x a m p l e , t h a t q

0

1

2 F ( B

1

) . L e t p b e s o m e p o i n t i n B

1

w i t h

F ( p ) = q

0

1

S i n c e F i s a l o c a l i s o m e t r y , a s m a l l d i s k B ( q

0

1

; ) c a n b e l i f t e d t o a s m a l l d i s k

B ( p ; ) i n B

1

. E v e r y l i n e s e g m e n t o f t h e f o r m q

0

1

; q ] c o n t a i n e d i n t h e h a l f p l a n e

x > y w i l l t h e n h a v e a l i f t t o a s e g m e n t i n B

1

s t a r t i n g a t p . B y t a k i n g t h e u n i o n

o f a l l t h e s e l i f t s , i t f o l l o w s t h a t t h e i d e n t i t y m a p f r o m t h e h a l f p l a n e x > y o n t o

i t s e l f h a s a l i f t g : f z : x > y g ! B

1

T h e b o u n d a r y o f t h e i m a g e o f g i s a l i f t o f t h e l i n e x = y . S u p p o s e r s t t h a t

t h i s l i f t i s n o t l . T h e n g c a n b e e x t e n d e d b e y o n d t h e l i n e x = y ; t h a t i s , t h e r e

i s a l i f t o f t h e w h o l e p l a n e C t o B

1

w h o s e r e s t r i c t i o n t o x > y i s g . T h i s m e a n s

t h a t B

1

c o n t a i n s a s u b s e t i s o m e t r i c t o C , w h i c h i m p l i e s t h a t B

1

i s i s o m e t r i c t o

C , a c o n t r a d i c t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , i f t h e b o u n d a r y o f g

?

f x > y g

i s l , t h e n

i t f o l l o w s t h a t t h e i m a g e o f g i s a l l o f B

1

, w h i c h i s f a l s e , b e c a u s e B

1

l i s n o t

c o m p l e t e .

N o w l e t e r f

( z ) = c ( 1 ? i ) e r f ( z ) = 1 ? i . T h e n R i s i s o m e t r i c t o t h e s u r f a c e R

d e t e r m i n e d b y e r f

. U s i n g l i m

z ! + 1

e r f ( z ) = 1 , a d i s c u s s i o n e n t i r e l y a n a l o g o u s t o

t h e a b o v e s h o w s t h a t t h e c o m p l e t i o n R

o f R

c o n s i s t s o f R

w i t h t w o a d d i t i o n a l

p o i n t s , o n e , s a y q

1

, o v e r q

0

1

a n d o n e , s a y q

2

, o v e r q

0

2

. L e t l

b e t h e l i f t t o R

t h a t p a s s e s t h r o u g h 0 2 R

o f t h e l i n e x = y . ( R e c a l l t h a t R

= C w i t h t h e

m e t r i c p u l l e d b a c k v i a e r f

. ) L e t B

1

b e t h e c o m p o n e n t o f R

? l

w h o s e c l o s u r e

i n R

c o n t a i n s q

1

, a n d l e t B

2

b e t h e c o m p o n e n t o f R

? l

w h o s e c l o s u r e i n R

c o n t a i n s q

2

. A s i n t h e p r o o f o f t h e l e m m a , i t i s e a s y t o s e e t h a t q

0

1

=2 e r f

( B

1

) a n d

q

0

2

=2 e r f

( B

2

)

L e t p b e a n y p o i n t i n B

1

l

. T a k e a n y p a t h

t h a t c o n n e c t s p a n d 0 i n

B

1

l

. S e t = e r f

. W e k n o w t h a t d o e s n o t p a s s t h r o u g h q

0

1

. H e n c e

h a s a ( u n i q u e ) l i f t ~ t o B

1

l t h a t i n t e r s e c t s l . L e t f

1

( p ) b e t h e e n d p o i n t o f ~

c o r r e s p o n d i n g t o p . S i n c e B

1

l

i s s i m p l y c o n n e c t e d , f

1

( p ) d o e s n o t d e p e n d o n

t h e c h o i c e o f . I t i s c l e a r t h a t f

1

: B

1

l

! B

1

l i s a n i s o m e t r y . S i m i l a r l y , w e

d e n e t h e i s o m e t r y f

2

: B

2

l

! B

2

l . T h e s e t w o i s o m e t r i e s c a n b e g l u e d a l o n g

l

, t o g i v e a n i s o m e t r y f r o m R

t o S . T h i s p r o v e s t h e t h e o r e m .

O n e c a n s l i g h t l y g e n e r a l i z e t h e

p

i S G e r f p a t t e r n , b y t a k i n g r ( z ) = e

a x y + b x + c y

w i t h r e a l a ; b ; c . W h e n b ; c a r e i n t e g e r m u l t i p l e s o f a , t h i s c o r r e s p o n d s t o p r e -

t r a n s l a t i n g t h e s q u a r e g r i d . W h e n t h e y a r e n o t , y o u g e t a n e s s e n t i a l l y n e w p a t t e r n ,

w h i c h i s v e r y s i m i l a r t o t h e p a t t e r n f o r t h e c a s e b = c = 0 . A l t o g e t h e r , u p t o

s i m i l a r i t y , t h i s g i v e s a 3 - d i m e n s i o n a l f a m i l y o f

p

i S G e r f p a t t e r n s .


11/39

S G C I R C L E P A T T E R N S 1 1

I t i s n a t u r a l t o a s k f o r p r e - r o t a t e d v e r s i o n s o f t h e s e p a t t e r n s . T o b e p r e c i s e ,

t h e s e p a t t e r n s a r e n o t a n a l o g u e s o f t h e t r u e e r f f u n c t i o n , b u t o f t h e f u n c t i o n s

e r f

?

p

a i ( z + c )

, w i t h a a r e a l c o n s t a n t , a n d c a c o m p l e x c o n s t a n t . O n e m a y a s k

f o r a c i r c l e p a t t e r n w h i c h w o u l d m i m i c k e r f ( z ) , w i t h o u t p r e - r o t a t i o n .

H e r e i s a n o t h e r v i e w o f t h e s i t u a t i o n . T h e f u n c t i o n H c a n b e t h o u g h t o f a s a n o n -

l i n e a r v e r s i o n o f t h e d i s c r e t e L a p l a c i a n f o r l o g r ( z ) . T h e l i n e a r d i s c r e t e L a p l a c i a n ,

g ( z ) = ( 1 = 4 )

?

g ( z + 1 ) + g ( z + i ) + g ( z ? 1 ) + g ( z ? i )

? g ( z ) . b e h a v e s i n m a n y

r e s p e c t s l i k e t h e L a p l a c i a n i n R

2

. I n p a r t i c u l a r , t h e s p a c e o f d i s c r e t e h a r m o n i c

f u n c t i o n s o n t h e s q u a r e g r i d t h a t h a v e O

?

z

2

g r o w t h i s s p a n n e d b y t h e f u n c t i o n s

1 ; x ; y ; x y ; x

2

? y

2

. W e h a v e s e e n t h a t a n y l i n e a r c o m b i n a t i o n o f 1 ; x ; y ; x y i s l o g r ( z )

f o r s o m e p l a n a r c i r c l e p a t t e r n . D i r e c t i n s p e c t i o n s h o w s t h a t r ( z ) = e

x

2

? y

2

d o e s n o t

s a t i s f y e q u a t i o n ( 3 . 1 ) . T h e q u e s t i o n a r i s e s i f t h e r e i s s o m e r a d i u s f u n c t i o n s i m i l a r

t o e

x

2

? y

2

w h i c h d o e s . T h e c o r r e s p o n d i n g p a t t e r n m a y b e a n e r f a n a l o g , w i t h o u t

p r e - r o t a t i o n .

I t w i l l f o l l o w f r o m t h e f o l l o w i n g t h e o r e m t h a t , i n s o m e w e l l d e n e d s e n s e , s u c h

a p a t t e r n d o e s n o t e x i s t .

4 . 3 . T h e o r e m . L e t G b e t h e i n t e r s e c t i o n o f S G w i t h t h e q u a d r a n t f x + i y : x >

y g , a n d l e t r : V ( G ) ! ( 0 ; 1 ) b e a f u n c t i o n t h a t s a t i s e s ( 3 . 1 ) a t e v e r y i n t e r i o r

v e r t e x o f G . T h e n

r ( z ) 6 C m a x f r ( v ) : v 2 V

@

( G ) ; R e v 6 x g e

3 x l o g x

;

h o l d s f o r e v e r y z 2 V ( G ) . H e r e x = R e z , a n d C i s s o m e a b s o l u t e c o n s t a n t .

P r o o f . S u p p o s e t h a t R : V ( G ) ! ( 0 ; 1 ) i s a f u n c t i o n t h a t s a t i s e s t h e t h e i n e q u a l -

i t y

R ( z ) > H

?

1 ; R ( z + i ) ; R ( z ? 1 ) ; R ( z ? i )

; ( 4 . 1 )

f o r e v e r y i n t e r i o r v e r t e x z 2 V

n t

( G ) . ( H e r e , t h e e x p r e s s i o n H ( 1 ; r

2

; r

3

; r

4

) s t a n d s

f o r t h e l i m i t o f H ( r

1

; r

2

; r

3

; r

4

) a s r

1

! 1 )

L e t n b e s o m e p o s i t i v e i n t e g e r . S e t V

n

= f z 2 V ( G ) : R e z 6 n g , a n d l e t M b e

t h e m a x i m u m o f r ( z ) = R ( z ) f o r z 2 V

n

. L e t z 2 V

n

\ V

n t

( G ) . T h e n w e h a v e f r o m

t h e p r o p e r t i e s o f H ,

r ( z ) = H

?

r ( z + 1 ) ; r ( z + i ) ; r ( z ? 1 ) ; r ( z ? i )

= M H

?

r ( z + 1 ) = M ; r ( z + i ) = M ; r ( z ? 1 ) = M ; r ( z ? i ) = M

6 M H

?

r ( z + 1 ) = M ; R ( z + i ) ; R ( z ? 1 ) ; R ( z ? i )

< M H

?

1 ; R ( z + i ) ; R ( z ? 1 ) ; R ( z ? i )

6 M R ( z )

T h e r e f o r e , t h e m a x i m u m o f r ( z ) = R ( z ) i n V

n

i s a t t a i n e d i n V

n

\ @ V ( G )

W e n o w c h o o s e t h e f u n c t i o n R , a n d p r o v e t h a t i t s a t i s e s ( 4 . 1 ) . S e t

a ( x ) = l o g ( x + 3 ) ;

a n d d e n e b ( n ) i n d u c t i v e l y b y b ( 0 ) = 0 a n d

b ( n + 1 ) = b ( n ) + a ( n ) ;


12/39


f o r p o s i t i v e i n t e g e r s n . F o r n e g a t i v e n , l e t b ( n ) = b

?

n

. N o w s e t

R ( z ) = e

3 b ( x ) ? b ( y )

;

f o r e v e r y z = x + i y 2 V ( G )

W e w i l l s h o w t h a t R s a t i s e s ( 4 . 1 ) . N o t e t h a t ( 4 . 1 ) i s t h e s a m e a s

R ( x + i y )

2

>

R

?

x ? 1 + i y

R

?

x + i ( y ? 1 )

+ R

?

x ? 1 + i y

R

?

x + i ( y + 1 )

+

+ R

?

x + i ( y + 1 )

R

?

x + i ( y ? 1 )

F o r o u r p a r t i c u l a r R , t h i s e v a l u a t e s t o

e

6 b ( x ) ? 2 b ( y )

>

e

3 b ( x ? 1 ) ? b ( y ) + 3 b ( x ) ? b ( y ? 1 )

+ e

3 b ( x ? 1 ) ? b ( y ) + 3 b ( x ) ? b ( y + 1 )

+ e

6 b ( x ) ? b ( y + 1 ) ? b ( y ? 1 )

( 4 . 2 )

I t i s c l e a r l y s u c i e n t t o p r o v e t h i s f o r 0 6 y 6 x ? 1 , s i n c e b o t h s i d e s d o n o t c h a n g e

i f w e r e p l a c e y b y ? y . A s s u m e r s t t h a t y 2 1 ; x ? 1 ] . T h e n ( 4 . 2 ) r e d u c e s t o

1 > e

? 3 a ( x ? 1 ) + a ( y ? 1 )

+ e

? 3 a ( x ? 1 ) ? a ( y )

+ e

a ( y ? 1 ) ? a ( y )

W e e s t i m a t e t h e r i g h t h a n d s i d e , a s f o l l o w s ,

e

? 3 a ( x ? 1 ) + a ( y ? 1 )

+ e

? 3 a ( x ? 1 ) ? a ( y )

+ e

a ( y ? 1 ) ? a ( y )

= ( x + 2 )

? 3

( y + 2 ) + ( x + 2 )

? 3

( y + 3 )

? 1

+ ( y + 2 ) ( y + 3 )

? 1

6 ( y + 2 )

? 2

+ ( y + 3 )

? 4

+ 1 ?

1

y + 3

6 1

S o ( 4 . 2 ) h o l d s f o r y 2 1 ; x ? 1 ] . F o r y = 0 , ( 4 . 2 ) r e d u c e s t o

e

6 b ( x )

> 2 e

3 b ( x ? 1 )

e

3 b ( x ) ? b ( 1 )

+ e

3 b ( x ) ? b ( 1 )

e

3 b ( x ) ? b ( 1 )

;

w h i c h i s t h e s a m e a s

1 > 2 e

? 3 a ( x ? 1 ) ? a ( 0 )

+ e

? 2 a ( 0 )

T h e r i g h t h a n d s i d e i s e a s i l y e s t i m a t e d , a s f o l l o w s ,

2 e

? 3 a ( x ? 1 ) ? a ( 0 )

+ e

? 2 a ( 0 )

= 2 ( x + 2 )

? 3

= 3 + 1 = 9 6 1

H e n c e ( 4 . 1 ) h o l d s t h r o u g h o u t V

n t

( G )

N o w n o t e t h a t

b ( n ) = b

?

n

6

Z

n

0

l o g ( t + 3 ) d t = ( n + 3 ) l o g

?

n + 3

? n ? 3 l o g 3


13/39


T h e r e f o r e , i t i s e a s y t o c o n c l u d e t h a t

R ( z ) 6 C e

3 x l o g x

; ( 4 . 3 )

h o l d s i n V ( G ) , f o r a n a p p r o p r i a t e c o n s t a n t C 1 ( 4 . 4 )

F i x a n y z 2 V ( G ) , a n d t a k e n = x = R e z . W e h a v e s e e n t h a t t h e m a x i m u m o f

r ( v ) = R ( v ) o n V

n

i s a c h i e v e d o n V

n

\ V

@

( G ) . H e n c e

r ( z ) 6 R ( z )

m a x f r ( w ) : w 2 V

n

\ V

@

( G ) g

m i n f R ( w ) : w 2 V

n

\ V

@

( G ) g

T h e t h e o r e m n o w f o l l o w s f r o m ( 4 . 3 ) a n d ( 4 . 4 ) .

B e c a u s e e r f

0

( z ) = ( 2 = ) e

? z

2

, w e h a v e

e r f

0

( z )

= 2 = o n t h e d i a g o n a l s R e z =

I m z . A t a b o u n d e d d i s t a n c e f r o m t h e d i a g o n a l s w e h a v e

e r f

0

( z )

6 e

c

1

z

, f o r a n

a p p r o p r i a t e c o n s t a n t c

1

. S o i t i s r e a s o n a b l e t o r e q u i r e a n S G p a t t e r n a n a l o g u e o f

e r f ( w i t h o u t p r e - r o t a t i o n ) t o h a v e a r a d i u s f u n c t i o n r s a t i s f y i n g r ( z ) 6 e

c

2

z

o n t h e

d i a g o n a l s . B y T h e o r e m 4 . 3 , r w o u l d t h e n s a t i s f y r ( z ) 6 C e

c

2

z + 3 z l o g z

. H e n c e

r w o u l d d e v i a t e f r o m t h e b e h a v i o u r o f e r f

0

o n t h e i m a g i n a r y a x i s . I t f o l l o w s t h a t

t h e r e i s n o e n t i r e S G p a t t e r n t h a t m i m i c k s e r f i n t h e s e n s e o f t h e g r o w t h r a t e o f

r ( z ) a l o n g t h e a x i s a n d d i a g o n a l s .

S i m i l a r l y , T h e o r e m 4 . 3 i s a p p l i c a b l e t o m a n y o t h e r f u n c t i o n s i n p l a c e o f e r f ,

f o r e x a m p l e ,

R

e

w

4

d w . I t i s a l s o a p p l i c a b l e t o n o n - l o c a l l y i n j e c t i v e f u n c t i o n s a n d

b r a n c h e d c i r c l e p a t t e r n s ( w h i c h w e h a v e n o t d e n e d h e r e ) , e . g . , e

z

2

N o t w i t h s t a n d i n g t h e a b o v e , w e c a n n o t c o n c l u d e t h a t t h e r e i s n o e n t i r e S G p a t -

t e r n a n a l o g u e o f e r f ; i t i s c o n c e i v a b l e t h a t t h e r e e x i s t s s o m e S G p a t t e r n p o s s e s s i n g

m a n y o f t h e g e o m e t r i c p r o p e r t i e s o f e r f .

I t s e e m s t h a t e n t i r e S G c i r c l e p a t t e r n s c a n n o t b e e x p e c t e d t o p a r a l l e l m a n y e n t i r e

l o c a l l y i n j e c t i v e f u n c t i o n s . T h e n o n - i s o t r o p y o f t h e s q u a r e g r i d i s t h e u n d e r l y i n g

r e a s o n . T h e r e i s e v e r y r e a s o n t o e x p e c t t h a t t h e c i r c l e p a c k i n g s b a s e d o n t h e

h e x a g o n a l g r i d w o u l d d o n o b e t t e r . P e r h a p s , c i r c l e p a t t e r n s b a s e d o n m o r e i s o t r o p i c

g r a p h s ( e . g . , g r a p h s w i t h s o m e r a n d o m n e s s ) m i g h t b e b e t t e r .

W e e n d t h i s s e c t i o n w i t h t h e m o r a l t h a t c o m p u t e r s i m u l a t i o n s c a n n o t b e t r u s t e d

w h e n s e a r c h i n g f o r e n t i r e c i r c l e p a t t e r n s . F o r e x a m p l e , i t i s e a s y t o c r e a t e p i c t u r e s

s u g g e s t i n g t h e e x i s t e n c e o f a t r u e S G e r f p a t t e r n ( w i t h o u t p r e - r o t a t i o n ) . S e e

F i g u r e 4 . 3 .

5 . T h e M

o b i u s I n v a r i a n t s

T h e r a d i u s f u n c t i o n i s a h a n d y t o o l f o r s t u d y i n g S G c i r c l e p a t t e r n s i n t h e p l a n e .

H o w e v e r , i t i s n o t u s e f u l f o r s t u d y i n g S G p a t t e r n s o n t h e s p h e r e . W e n o w p r e s e n t

M o b i u s i n v a r i a n t s f o r S G p a t t e r n i n t h e s p h e r e .

S u p p o s e t h a t C =

?

C

z

: z 2 V ( S G )

i s a c i r c l e p a t t e r n f o r S G o n t h e R i e m a n n

s p h e r e

C . T h e s e t o f c e n t e r s o f s q u a r e s o f S G w i l l b e d e n o t e d b y V

( S G ) ; t h a t

i s , V

( S G ) = f z + 1 = 2 + i = 2 : z 2 V ( S G ) g . L e t w 2 V

( S G ) . N o t e t h a t t h e


14/39


F i g u r e 4 . 3 . A f a k e S G e r f p a t t e r n ?

i n t e r s e c t i o n o f t h e f o u r c i r c l e s C

w 1 = 2 i = 2

i s a s i n g l e p o i n t . W e d e n o t e t h i s p o i n t

b y p

C

( w ) , o r s o m e t i m e s j u s t p ( w ) , w h e n t h e r e c a n b e n o c o n f u s i o n a b o u t t h e

i m p l i e d C

N o w l e t z 2 V ( S G ) . T h e f o u r p o i n t s p ( z 1 = 2 i = 2 ) a r e a l l o n t h e c i r c l e

C

z

. H e n c e t h e i r c r o s s r a t i o i s r e a l . R e c a l l t h a t t h e c r o s s r a t i o o f f o u r p o i n t s

p

1

; p

2

; p

3

; p

4

2

C i s d e n e d b y

c r

p

1

; p

2

; p

3

; p

4

=

( p

1

? p

3

) ( p

2

? p

4

)

( p

1

? p

4

) ( p

2

? p

3

)

;

a n d d o e s n o t c h a n g e w h e n a M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n i s a p p l i e d t o a l l f o u r p o i n t s .

L e t t h e i n v a r i a n t o f C b e t h e f u n c t i o n : V ( S G ) ! R d e n e d b y

C

( z ) = ( z ) = ? c r

p ( z + 1 = 2 + i = 2 ) ; p ( z ? 1 = 2 ? i = 2 ) ; p ( z + 1 = 2 ? i = 2 ) ; p ( z ? 1 = 2 + i = 2 )

( T h e r e a s o n f o r t h e a w k w a r d o r d e r i s t h a t i t m a k e s f o r m u l a s b e l o w a b i t s i m p l e r . )

T h e i n v a r i a n t d o e s n o t c h a n g e i f w e m o d i f y C b y a M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n .

B e c a u s e f p ( z + 1 = 2 + i = 2 ) ; p ( z ? 1 = 2 ? i = 2 ) g s e p a r a t e s p ( z + 1 = 2 ? i = 2 ) a n d p ( z ?

1 = 2 + i = 2 ) o n C

z

, i t f o l l o w s t h a t ( z ) > 0 f o r z 2 V ( G )

I t t u r n s o u t t h a t t h e i n v a r i a n t i s n o t s u c i e n t t o d e t e r m i n e C u p t o M o b i u s

t r a n s f o r m a t i o n s . A n o t h e r i n v a r i a n t i s n e c e s s a r y .

F o r e a c h w 2 V

( S G ) w e d e n e

C

( w ) = ( w ) = ? c r

p ( w + 1 ) ; p ( w ? 1 ) ; p ( w ? i ) ; p ( w + i )

T h i s i s t h e i n v a r i a n t f o r C

W e n o w s h o w t h a t ( w ) i s r e a l a n d p o s i t i v e . L e t m b e a M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n

t h a t t a k e p ( w ) t o 1 . T h e f o u r c i r c l e s m

?

C

w 1 = 2 i = 2

a r e l i n e s , a n d t o g e t h e r

f o r m a r e c t a n g l e w i t h c o r n e r s p

( w + 1 ) ; p

( w + i ) ; p

( w ? 1 ) ; p

( w ? i ) , w h e r e

p

= p

m ( C )

. S e e F i g u r e 5 . 1 . H e n c e p

( w + 1 ) ? p

( w + i ) = p

( w ? i ) ? p

( w ? 1 ) ,


15/39


p

( w ? 1 ) ? p

( w + i ) = p

( w ? i ) ? p

( w + 1 ) , a n d t h e r a t i o

?

p

( w + 1 ) ? p

( w +

i )

=

?

p

( w + 1 ) ? p

( w ? i )

i s p u r e i m a g i n a r y . T h e r e f o r e ,

C

( w ) =

m ( C )

( w ) = ?

p

( w + 1 ) ? p

( w ? i )

p

( w + 1 ) ? p

( w + i )

2

=

p

( w + 1 ) ? p

( w ? i )

2

p

( w + 1 ) ? p

( w + i )

2

( 5 . 1 )

p*(w-i)

p*(w-1)

p*(w+1)

p*(w+i)p(w-1)

p(w)

p(w-i)

p(w+i)

p(w+1)

F i g u r e 5 . 1 . T h e c o n g u r a t i o n d e t e r m i n i n g ( w )

J u s t a s t h e r a d i u s f u n c t i o n f o r a c i r c l e p a t t e r n i s a d i s c r e t e a n a l o g u e t o t h e

a b s o l u t e v a l u e o f t h e d e r i v a t i v e o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n , w e s h a l l s e e t h a t l o g a n d

l o g a r e a n a l o g o u s t o t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e ,

r e s p e c t i v e l y . T h e S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n f i s d e n e d b y

S

f

=

f

0 0

f

0

0

?

1

2

f

0 0

f

0

2

( 5 . 2 )

I t i s l e f t - M o b i u s i n v a r i a n t ; t h a t i s , S

m f

= S

f

f o r a n y M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n m

I f f ; g a r e m e r o m o r p h i c l o c a l l y i n j e c t i v e f u n c t i o n s d e n e d o n a c o n n e c t e d o p e n s e t ,

a n d S

f

= S

g

, t h e n f = m g f o r s o m e M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n m . S e e 1 9 , x I I . 1 ]

f o r a b r i e f d i s c u s s i o n o f t h e S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e .

T h e a n a l o g i e s b e t w e e n l o g + i l o g a n d t h e S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e w i l l b e

p o i n t e d o u t f r o m t i m e t o t i m e , a s w e p r o g r e s s . F o r s t a r t e r s , n o t e t h a t w h e n

f ( z ) = g ( i z ) w e h a v e S

f

( z ) = ? S

g

( i z ) , a n d s i m i l a r l y

C

( z ) =

C

( i z )

? 1

;

C

( z ) =

C

( i z )

? 1

, w h e n C =

?

C

z

: z 2 V ( S G )

a n d C

=

?

C

z

: z 2 V ( S G )

s a t i s f y

C

z

= C

i z

E x a m p l e s . B e f o r e w e p r o c e e d f u r t h e r w i t h t h e g e n e r a l t h e o r y , l e t u s c a l c u l a t e t h e

i n v a r i a n t s f o r t h e p a t t e r n s d e s c r i b e d p r e v i o u s l y . T o a c c o m p l i s h t h i s , w e r s t r e l a t e

t h e M o b i u s i n v a r i a n t s t o t h e r a d i u s f u n c t i o n .

S u p p o s e t h a t C i s a p l a n a r S G p a t t e r n . T a k e w 2 V

( S G ) . T h e M o b i u s

t r a n s f o r m a t i o n m ( z ) =

?

z ? p ( w )

? 1

t a k e s p ( w ) t o 1 I f C i s a c i r c l e o f r a d i u s

r p a s s i n g t h r o u g h p ( w ) , t h e n m ( C ) i s a l i n e w h o s e d i s t a n c e f r o m 0 i s ( 2 r )

? 1

H e n c e ( 5 . 1 ) s h o w s t h a t

( w ) =

r ( w + 1 = 2 + i = 2 )

? 1

+ r ( w ? 1 = 2 ? i = 2 )

? 1

r ( w + 1 = 2 ? i = 2 )

? 1

+ r ( w ? 1 = 2 + i = 2 )

? 1

2


16/39


T o c a l c u l a t e ( z ) , l e t c d e n o t e t h e c e n t e r o f C

z

, s e t q

j

= p

?

z + i

j

( 1 + i ) = 2

? c ,

a n d o b s e r v e t h a t

q

j

= q

j ? 1

r ( z ) + i r

?

z + i

j

r ( z ) ? i r ( z + i

j

)

H e n c e ,

( z ) = ? c r

q

0

; q

2

; q

3

; q

1

= ?

( q

0

? q

3

) ( q

2

? q

1

)

( q

0

? q

1

) ( q

2

? q

3

)

= ?

q

3

r ( z ) + i r ( z + 1 )

r ( z ) ? i r ( z + 1 )

? 1

q

1

r ( z ) + i r ( z ? 1 )

r ( z ) ? i r ( z ? 1 )

? 1

q

1

r ( z ) + i r ( z + i )

r ( z ) ? i r ( z + i )

? 1

? 1

q

3

r ( z ) + i r ( z ? i )

r ( z ) ? i r ( z ? i )

? 1

? 1

= ?

r ( z ) + i r ( z + 1 )

r ( z ) ? i r ( z + 1 )

? 1

r ( z ) + i r ( z ? 1 )

r ( z ) ? i r ( z ? 1 )

? 1

r ( z ) ? i r ( z + i )

r ( z ) + i r ( z + i )

? 1

r ( z ) ? i r ( z ? i )

r ( z ) + i r ( z ? i )

? 1

= ?

r ( z )

r ( z + i )

+ i

r ( z )

r ( z ? i )

+ i

r ( z )

r ( z + 1 )

? i

? 1

r ( z )

r ( z ? 1 )

? i

? 1

B e c a u s e i s p o s i t i v e , t a k i n g a b s o l u t e v a l u e s i n b o t h s i d e s g i v e s

( z ) =

s

?

r ( z )

2

+ r ( z + i )

2

?

r ( z )

2

+ r ( z ? i )

2

?

r ( z )

2

+ r ( z + 1 )

2

?

r ( z )

2

+ r ( z ? 1 )

2

( 5 . 3 )

W e a r e n o w r e a d y t o c o m p u t e a n d f o r t h e k n o w n e x a m p l e s o f p l a n a r S G

p a t t e r n s .

F o r t h e a t S G p a t t e r n , w h e r e a l l c i r c l e s h a v e t h e s a m e r a d i u s , ( a n d i t s M o b i u s

i m a g e s ) , w e h a v e = 1 ; = 1

T a k e s o m e a 2 C , a n d l e t C ( a ) d e n o t e t h e S G D o y l e s p i r a l w i t h r a d i u s f u n c t i o n

r ( z ) = e

a z

= e

a

1

R e z ? a

2

I m z

, w h e r e a

1

= R e a , a

2

= I m a . U s i n g t h e a b o v e

f o r m u l a f o r a n d , w e g e t

C ( a )

( z ) =

e

a

2

+ e

? a

2

e

a

1

+ e

? a

1

;

C ( a )

( w ) =

e

a

2

+ e

a

1

e

a

2

+ a

1

+ 1

2

L e t e x p

a

( z ) = e

a z

. T h e n , u s i n g t h e d e n i t i o n ( 5 . 2 ) o f t h e S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e ,

S

e x p

a

= ? a

2

= 2 = a

2

2

= 2 ? a

2

1

= 2 ? i a

1

a

2

. U p t o M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n s , t h e f u n c t i o n s

e x p

a

a r e t h e o n l y f u n c t i o n s w i t h c o n s t a n t S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e . S i m i l a r l y , i t w i l l

f o l l o w f r o m r e s u l t s b e l o w t h a t t h e S G D o y l e s p i r a l s a r e t h e o n l y S G p a t t e r n s

w i t h c o n s t a n t a n d . M o r e o v e r , n o t e t h e f o l l o w i n g a n a l o g i e s b e t w e e n S

e x p

a

a n d

l o g

C ( a )

+ i l o g

C ( a )

. B o t h d o n o t c h a n g e w h e n a i s r e p l a c e d b y ? a , R e S

e x p

a

a n d l o g

C ( a )

a r e b o t h m o n o t o n e i n c r e a s i n g f u n c t i o n s o f a

2

a n d ? a

1

, a n d v a n i s h

w h e n a

2

= a

1

, I m S

e x p

a

a n d l o g

C ( a )

b o t h v a n i s h w h e n a

1

a

2

= 0 , a n d d o n o t

c h a n g e w h e n a

1

a n d a

2

a r e e x c h a n g e d . I t i s a l s o i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t

S

e x p

a

= l o g

C ( a )

+ i l o g

C ( a )

+ O ( a

4

) ;


17/39


n e a r a = 0

F o r t h e

p

i S G e r f p a t t e r n w i t h r a d i u s f u n c t i o n r ( z ) = e

x y

( z = x + i y ) , w e h a v e

( z ) =

e

x

+ e

? x

e

y

+ e

? y

; ( z ) =

1

e

e

x + y

+ 1

e

x

+ e

y

2

( 5 . 4 )

I f f i s m e r o m o r p h i c , t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f S

f

s a t i s f y t o g e t h e r t h e

C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s . S o i f l o g + i l o g i s i n d e e d a n a l o g o u s t o S

f

, w e

w o u l d e x p e c t a n d t o b e r e l a t e d i n a s i m i l a r w a y . A s w i l l b e s e e n b e l o w , t h i s i s

i n d e e d t h e c a s e .

I n t h e f o l l o w i n g , w e s h a l l d e t e r m i n e t h e n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r

a p a i r o f f u n c t i o n s : V ( S G ) ! ( 0 ; 1 ) , : V

( S G ) ! ( 0 ; 1 ) t o b e t h e i n v a r i a n t s

o f a c i r c l e p a t t e r n f o r S G . ( T h e o r e m 5 . 1 . ) A s u s u a l , i t i s c o n v e n i e n t t o s t a r t w i t h

` n e c e s s i t y ' .

L e t C b e s o m e c i r c l e p a t t e r n f o r S G . W e s h a l l n d e q u a t i o n s r e l a t i n g i t s i n -

v a r i a n t s a n d . L e t H G d e n o t e

1

2

S G +

1 + i

4

; t h a t i s , H G i s a s q u a r e g r i d

w i t h e d g e - s i z e

1

2

, t r a n s l a t e d s o t h a t 0 i s a t a c e n t e r o f a s q u a r e o f H G . T a k e

v 2 V ( H G ) , a n d l e t z 2 V ( S G ) b e t h e u n i q u e v e r t e x o f S G t h a t ' s c l o s e s t t o

v . S e t w

1

= z + 2 ( v ? z ) ; w

2

= z + 2 i ( v ? z ) ; w

3

= z ? 2 i ( v ? z ) , a n d n o t e t h a t

w

1

; w

2

; w

3

2 V

( S G ) . L e t m

v

b e t h e M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n t h a t t a k e s 1 ; 0 ; 1 t o

p ( w

1

) ; p ( w

2

) ; p ( w

3

) , r e s p e c t i v e l y . F o r a n y d i r e c t e d e d g e v

1

; v

2

o f H G , s e t

m

v

1

v

2

= m

? 1

v

1

m

v

2

( 5 . 5 )

N o t e t h a t m

v

1

v

2

d o e s n o t c h a n g e i f w e a p p l y a M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n t o C ;

i t i s a M o b i u s i n v a r i a n t o f C . W e s h a l l n o w c o m p u t e t h e M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n s

m

v

1

v

2

f o r t h e v a r i o u s t y p e s o f e d g e s v

1

; v

2

] , i n t e r m s o f t h e i n v a r i a n t s a n d

F i r s t t a k e v

1

t o b e o f t h e f o r m w ?

1

4

( 1 + i ) , w h e r e w 2 V

( S G ) , a n d v

2

=

w + i ( v

1

? w ) = v

1

+

1

2

. W h e n c a l c u l a t i n g m

v

1

v

2

, w e s h a l l a s s u m e t h a t m

v

1

i s

t h e i d e n t i t y . T h i s i n v o l v e s n o l o s s o f g e n e r a l i t y , b e c a u s e C c a n b e r e p l a c e d b y i t s

M o b i u s i m a g e m

? 1

v

1

( C ) . W i t h t h i s a s s u m p t i o n , w e h a v e

p ( w ) = 1 ; p ( w ? 1 ) = 0 ; p ( w ? i ) = 1

B e c a u s e p ( w ) = 1 , t h e f o u r p o i n t s p ( w 1 ) ; p ( w i ) f o r m t h e v e r t i c e s o f a

r e c t a n g l e , a n d

( w ) = ?

p ( w + 1 ) ? p ( w ? i )

p ( w ? i ) ? p ( w ? 1 )

2

T h i s g i v e s

p ( w + 1 ) = p ( w ? i ) ? i

p

( w )

?

p ( w ? i ) ? p ( w ? 1 )

= 1 ? i

p

( w )

( T h e a b o v e c o r r e c t c h o i c e o f s i g n f o r i =

p

? 1 f o l l o w s f r o m a n i n s p e c t i o n o f t h e

o r d e r o f t h e c o r n e r s p ( w 1 ) ; p ( w i ) o f t h e r e c t a n g l e . ) N o w , m

v

1

v

2

t a k e s 1 ; 0 ; 1

t o p ( w ) ; p ( w ? i ) ; p ( w + 1 ) , r e s p e c t i v e l y . H e n c e m

v

1

v

2

i s e a s i l y c o m p u t e d :

m

v

1

v

2

( ) = 1 ? i

p

( w )


18/39


S i m i l a r c o m p u t a t i o n s y i e l d e x p r e s s i o n s f o r m

v

1

v

2

w h e n v

1

= w

1

4

1

4

i a n d

v

2

= w + i ( v

1

? w ) , w h e r e w 2 V

( S G ) . W e r e c o r d t h e r e s u l t s a s f o l l o w s

m

w ?

1

4

?

1

4

i w +

1

4

?

1

4

i

( ) = m

w +

1

4

+

1

4

i w ?

1

4

+

1

4

i

( ) = 1 ? i

p

( w )

m

w +

1

4

?

1

4

i w +

1

4

+

1

4

i

( ) = m

w ?

1

4

+

1

4

i w ?

1

4

?

1

4

i

( ) = 1 ? i

p

( w )

? 1

( 5 . 6 )

T h e s e f o r m u l a a r e v a l i d f o r a l l w 2 V

( S G )

N o w c o n s i d e r a n e d g e v

1

; v

2

i n H G , w h e r e v

1

= z +

1

4

+

1

4

i ; v

2

= z ?

1

4

+

1

4

i ,

a n d z 2 V ( S G ) . W e a s s u m e w i t h n o l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t

p ( z + 1 = 2 + i = 2 ) = 1 ; p ( z ? 1 = 2 + i = 2 ) = 0 ; p ( z + 1 = 2 ? i = 2 ) = 1

F r o m t h e d e n i t i o n o f ( z ) , w e g e t ,

p ( z ? 1 = 2 ? i = 2 ) =

1

( z )

? 1

+ 1

T h e t r a n s f o r m a t i o n m

v

1

v

2

t a k e s 1 ; 0 ; 1 t o p ( z ? 1 = 2 + i = 2 ) ; p ( z ? 1 = 2 ? i = 2 ) ; p ( z +

1 = 2 + i = 2 ) , r e s p e c t i v e l y . H e n c e ,

m

v

1

v

2

( ) =

?

( z )

? 1

+ 1

? 1

1 ?

S i m i l a r c o m p u t a t i o n s y i e l d e x p r e s s i o n s f o r m

v

1

v

2

w h e n v

1

= z

1

4

1

4

i a n d

v

2

= z + i ( v

1

? z ) . T h e r e s u l t s a r e ,

m

z ?

1

4

?

1

4

i z +

1

4

?

1

4

i

( ) = m

z +

1

4

+

1

4

i z ?

1

4

+

1

4

i

( ) =

?

( z )

? 1

+ 1

? 1

1 ?

;

m

z +

1

4

?

1

4

i z +

1

4

+

1

4

i

( ) = m

z ?

1

4

+

1

4

i z ?

1

4

?

1

4

i

( ) =

( ( z ) + 1 )

? 1

1 ?

;

( 5 . 7 )

a n d a r e v a l i d f o r a l l z 2 V ( S G )

F r o m t h e d e n i t i o n o f t h e M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n s m

v

1

v

2

, i t i s c l e a r t h a t f o r

a n y c l o s e d p a t h v

0

; v

1

; : : : ; v

n

= v

0

i n V ( H G ) t h e c o m p o s i t i o n o f t h e M o b i u s

t r a n s f o r m a t i o n s c o r r e s p o n d i n g t h e e d g e s o f t h e p a t h i s t h e i d e n t i t y ; t h a t i s ,

m

v

0

v

1

m

v

1

v

2

m

v

n 1

v

n

= i d e n t i t y ( 5 . 8 )

I n p a r t i c u l a r ,

m

v

1

v

2

? 1

= m

v

2

v

1

; ( 5 . 9 )

f o r e v e r y d i r e c t e d e d g e v

1

; v

2

i n H G . H e n c e t h e e q u a t i o n s ( 5 . 6 ) a n d ( 5 . 7 ) a l l o w

u s t o c o m p u t e m

v

1

v

2

f o r e v e r y d i r e c t e d e d g e v

1

; v

2

o f H G

L e t a b e o f t h e f o r m a = n + ( m + 1 = 2 ) i , w h e r e n ; m 2 Z , a n d l e t v

j

=

a + i

j

( 1 + i ) = 4 , f o r j = 0 ; 1 ; 2 ; : : : . T h e n v

0

; v

1

; v

2

; v

3

; v

4

= v

0

i s a c l o s e d p a t h i n

H G . C o n s e q u e n t l y , w e g e t

m

v

4

v

3

m

v

3

v

2

m

v

2

v

1

m

v

1

v

0

= i d e n t i t y ( 5 . 1 0 )


19/39


A f t e r u s i n g t h e a p p r o p r i a t e f o r m u l a s f r o m ( 5 . 6 ) a n d ( 5 . 7 ) , t h i s b e c o m e s

1 ? i

p

( a + 1 = 2 )

? 1

0

@

?

( a ? i = 2 )

? 1

+ 1

? 1

1 ?

1 ? i

p

( a ? 1 = 2 )

? 1

( ( a + i = 2 )

1

+ 1 )

1

1 ?

1

A

= ;

a n d s i m p l i c a t i o n y i e l d s ,

( a + 1 = 2 )

( a ? 1 = 2 )

=

( a + i = 2 )

? 1

+ 1

( a ? i = 2 )

? 1

+ 1

2

; f o r a 2 V ( S G ) + i = 2 ( 5 . 1 1 )

C h o o s i n g v

j

= b + i

j

( 1 + i ) = 4 , w h e r e b h a s t h e f o r m b = m + n i + 1 = 2 , g i v e s ,

a f t e r e n t i r e l y s i m i l a r c o m p u t a t i o n s ,

( b + i = 2 )

( b ? i = 2 )

=

( b + 1 = 2 ) + 1

( b ? 1 = 2 ) + 1

2

; f o r b 2 V ( S G ) + 1 = 2 ( 5 . 1 2 )

N o t e t h a t t h e e q u a t i o n s ( 5 . 1 1 ) a n d ( 5 . 1 2 ) a r e n o n l i n e a r d i s c r e t e v e r s i o n s o f t h e

C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s . W e s h a l l c a l l t h e m t h e S G - C R e q u a t i o n s

W e h a v e e s t a b l i s h e d t h e r s t p a r t o f t h e f o l l o w i n g

5 . 1 . T h e o r e m .

( 1 ) L e t C b e a c i r c l e p a t t e r n f o r S G i n t h e s p h e r e , t h e n i t s a n d i n v a r i a n t s

s a t i s f y t h e S G - C R e q u a t i o n s .

( 2 ) C o n v e r s e l y , s u p p o s e t h a t a n d a r e p o s i t i v e f u n c t i o n s o n V ( S G ) a n d

V

( S G ) , r e s p e c t i v e l y , a n d s u p p o s e t h e y s a t i s f y t h e S G - C R e q u a t i o n s . T h e n

t h e r e i s a c i r c l e p a t t e r n C f o r S G s u c h t h a t =

C

a n d =

C

( 3 ) S u p p o s e t h a t C a n d C

a r e c i r c l e p a t t e r n s f o r S G a n d

C

=

C

,

C

=

C

T h e n C

i s a M o b i u s i m a g e o f C

P r o o f . P a r t ( 1 ) h a s b e e n p r o v e n a b o v e . S o c o n s i d e r p a r t ( 2 ) . U s e e q u a t i o n s ( 5 . 6 ) ,

( 5 . 7 ) a n d ( 5 . 9 ) t o d e n e M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n s m

v

1

v

2

f o r t h e e d g e s v

1

; v

2

o f

H G . W e n o w w a n t t o v e r i f y t h a t ( 5 . 8 ) h o l d s f o r e v e r y c l o s e d p a t h v

0

; v

1

; : : : ; v

n

i n H G . S i n c e ( 5 . 9 ) h o l d s , i t i s e n o u g h t o d e m o n s t r a t e t h i s f o r p a t h s t h a t f o r m t h e

b o u n d a r y o f a s i n g l e s q u a r e t i l e o f H G . I f t h e p a t h i s t h e b o u n d a r y o f a t i l e o f H G

w h o s e c e n t e r a i s i n V ( S G ) + i = 2 , t h e n ( 5 . 8 ) i s e q u i v a l e n t t o ( 5 . 1 1 ) , a s w e h a v e

s e e n . S i m i l a r l y , i f t h e p a t h i s t h e b o u n d a r y o f a t i l e o f H G w h o s e c e n t e r b i s i n

V ( S G ) + 1 = 2 , t h e n ( 5 . 8 ) i s e q u i v a l e n t t o ( 5 . 1 2 ) .

C o n s i d e r t h e s i t u a t i o n w h e r e v

j

= w + i

j

( 1 + i ) = 4 , j = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 , w h e r e w 2

V

( S G ) . T h e n ( 5 . 8 ) b e c o m e s

1 ? i

p

( w )

1 ? i

p

( w )

? 1

1 ? i

p

( w )

1 ? i

p

( w )

? 1

= ;

w h i c h i n d e e d h o l d s . S i m i l a r l y , i f v

j

= z + i

j

( 1 + i ) = 4 , j = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 , w h e r e

z 2 V ( S G ) , t h e n ( 5 . 8 ) i s e a s i l y v e r i e d . ( I n f a c t , i n t h e s e t w o c a s e s o n e c a n a l s o

a r g u e w i t h o u t a n y c o m p u t a t i o n s . )


20/39


T h e c a s e s w e h a v e c h e c k e d a r e s u c i e n t t o g u a r a n t e e ( 5 . 8 ) f o r a n y c l o s e d p a t h

v

0

; v

1

; : : : ; v

n

. N o w t a k e a n a r b i t r a r y v e r t e x v

0

i n H G , a n d s e t m

v

0

= i d e n t i t y .

F o r e v e r y o t h e r v 2 V ( H G ) s e t

m

v

= m

v

0

v

1

m

v

1

v

2

m

v

n 1

v

n

;

w h e r e v

0

; v

1

; : : : ; v

n

i s a n a r b i t r a r y p a t h i n H G f r o m v

0

t o v = v

n

. B e c a u s e ( 5 . 8 )

i s v a l i d f o r c l o s e d p a t h s i n H G , t h e t r a n s f o r m a t i o n m

v

d o e s n o t d e p e n d o n t h e

c h o i c e o f p a t h f r o m v

0

t o v

F o r a n y w 2 V

( S G ) , d e n e p ( w ) = m

v

( 1 ) , w h e r e v i s o n e o f t h e v e r t i c e s

o f H G c l o s e s t t o w . I t d o e s n o t m a t t e r w h i c h o f t h e s e v i s c h o s e n , b e c a u s e t h e

t r a n s f o r m a t i o n s i n ( 5 . 6 ) p r e s e r v e 1 . F o r a n y z 2 V ( S G ) , l e t C

z

b e t h e i m a g e

o f R f 1 g u n d e r m

v

, w h e r e v i s o n e o f t h e v e r t i c e s o f H G c l o s e s t t o z I t

d o e s n o t m a t t e r w h i c h o f t h e s e v i s c h o s e n , b e c a u s e t h e t r a n s f o r m a t i o n s i n ( 5 . 7 )

p r e s e r v e R f 1 g . T h e o r i e n t a t i o n o f t h e c i r c l e C

z

i s t a k e n a s t h e i m a g e o f t h e

o r i e n t a t i o n o f R f 1 g . I t i s i m m e d i a t e t o v e r i f y t h a t f o r a n y z 2 V ( S G ) t h e p o i n t s

p ( z 1 = 2 i = 2 ) a p p e a r o n C

z

i n t h e c o r r e c t c y c l i c o r d e r . O n e e a s i l y s h o w s t h a t t h e

c o l l e c t i o n C =

?

C

z

: z 2 V ( S G )

i s a c i r c l e p a t t e r n f o r S G , w h i c h h a s i n v a r i a n t s

a n d . T h e d e t a i l s o f t h i s , a s w e l l a s p a r t ( 3 ) , a r e l e f t t o t h e r e a d e r .

A n i n t e r e s t i n g a n d u s e f u l p r o p e r t y o f t h e S G - C R e q u a t i o n s i s t h a t t h e i n v a r i a n t

c a n b e e l i m i n a t e d f r o m t h e m . M o r e p r e c i s e l y , w e h a v e t h e f o l l o w i n g ,

5 . 2 . T h e o r e m .

( 1 ) S u p p o s e t h a t : V ( S G ) ! ( 0 ; 1 ) a n d : V

( S G ) ! ( 0 ; 1 ) s a t i s f y t h e

S G - C R e q u a t i o n s . T h e n s a t i s e s t h e e q u a t i o n

( z )

2

=

( ( z + 1 ) + 1 ) ( ( z ? 1 ) + 1 )

( ( z + i )

? 1

+ 1 ) ( ( z ? i )

? 1

+ 1 )

f o r e v e r y z 2 V ( S G ) ( 5 . 1 3 )

( 2 ) C o n v e r s e l y , s u p p o s e t h a t : V ( S G ) ! ( 0 ; 1 ) s a t i s e s ( 5 . 1 3 ) . T h e n t h e r e

i s a : V

( S G ) ! ( 0 ; 1 ) s u c h t h a t a n d t o g e t h e r s a t i s f y t h e S G -

C R e q u a t i o n s . M o v e o v e r , i s u n i q u e , u p t o m u l t i p l i c a t i o n b y a p o s i t i v e

c o n s t a n t .

T h i s i s s i m i l a r t o t h e s i t u a t i o n w i t h t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s @

y

v =

@

x

u ; @

x

v = ? @

y

u , w h e r e v m a y b e e l i m i n a t e d , a n d t h e r e s u l t i s t h e L a p l a c e e q u a -

t i o n f o r u . G i v e n a s o l u t i o n u o f t h e l a p l a c e e q u a t i o n , a c o m p a n i o n s o l u t i o n t o

t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n e x i s t s , a n d i s u n i q u e u p t o a n a d d i t i v e s c a l a r . S o

t h e S G s i t u a t i o n s s e e m s a n a l o g o u s . I n f a c t , e q u a t i o n ( 5 . 1 3 ) i s a n o n l i n e a r d i s c r e t e

v e r s i o n o f t h e L a p l a c e e q u a t i o n . H e n c e , w e c a l l i t t h e S G - L a p l a c e e q u a t i o n

U n f o r t u n a t e l y , i t s e e m s t h e r e i s n o w a y t o e l i m i n a t e f r o m t h e S G - C R e q u a t i o n s

a n d g e t a n e q u a t i o n i n v o l v i n g o n l y

H e r e i s a n a p p l i c a t i o n o f t h e t h e o r e m . R e c a l l t h e f o r m u l a ( 5 . 4 ) f o r t h e i n v a r i a n t s

o f t h e

p

i S G e r f p a t t e r n . F r o m t h e t h e o r e m i t f o l l o w s t h a t i f w e m u l t i p l y t h e

i n v a r i a n t b y a p o s i t i v e c o n s t a n t b , t h e n t h e p a i r ; b s t i l l c o r r e s p o n d s t o a n S G

i m m e r s i o n o n t h e s p h e r e . I n t h i s w a y , w e g e t a n e w 2 - p a r a m e t e r f a m i l y o f M o b i u s

i n e q u i v a l e n t e n t i r e S G p a t t e r n s i n t h e s p h e r e , w i t h i n v a r i a n t s g i v e n b y ,

( z ) =

a

x

+ a

? x

a

y

+ a

? y

; ( z ) = b

a

x + y

+ 1

a

x

+ a

y

2

; ( 5 . 1 4 )


21/39


22/39


w h i c h s i m p l i e s t o ( 5 . 1 3 ) .

T h e p r o o f o f ( 2 ) i s s t r a i g h t f o r w a r d . O n e c h o o s e s ( 1 = 2 + i = 2 ) a r b i t r a r i l y . I f

v ; v

0

2 V

( S G ) a r e n e i g h b o r s a n d ( v ) i s d e n e d , t h e n o n e o f t h e S G - C R e q u a t i o n s

d e n e s ( v

0

) . S o g i v e n a n y v 2 V

( S G ) , w e d e n e ( v ) b y w a l k i n g a l o n g a p a t h

f r o m 1 = 2 + i = 2 t o v a n d u s i n g e i t h e r o f t h e s e e q u a t i o n s f o r e v e r y e d g e . A s t h e

c o m p u t a t i o n o f t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h s h o w s , e q u a t i o n ( 5 . 1 3 ) s h o w s t h a t t h e c h o i c e

o f p a t h d o e s n o t i n u e n c e t h e v

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