Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku 17. siječnja 2012.

DRUGI KOLOKVIJ IZ UVODA U VJEROJATNOST I STATISTIKU - A grupa

Zadatak 1. [5 bodova]

a) Definirajte diskretnu slučajnu varijablu.

b) Definirajte tablicu distribucije diskretne slučajne varijable i navedite njezina svojstva.

c) Definirajte funkciju distribucije diskretne slučajne varijable.

d) Definirajte varijancu diskretne slučajne varijable.

e) Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ) takva da je E[X2] < ∞.Objasnite postupak standardizacije slučajne varijable X.

Zadatak 2. [3 boda + 1 bod]Telefonist zaposlen u službi za korisnike nekog poduzeća zarađuje 10 kuna po primljenom pozivuklijenta. Poznato je da telefonist u tom poduzeću u danu primi u prosjeku 20 takvih poziva.

a) Odredite distribuciju slučajne varijable kojom modeliramo dnevnu zaradu telefonosta u tompoduzeću i odredite njegovu očekivanu dnevnu zaradu.

b) Izračunajte vjerojatnost da telefonist u jednom danu zaradi barem 180 kuna.

Zadatak 3. [1 bod + 3 boda]U bubnju se nalazi sedam koverti: tri su prazne, a u preostale četiri nalazi se po 100 kuna. Igračizvlači jednu po jednu kovertu sve dok ne izvuče praznu (izvlačenje se vrši bez vraćanja prethodnoizvučenih koverti u bubanj).

a) Odredite distribuciju slučajne varijable X kojom je modeliran broj izvučenih koverti.

b) Odredite transformaciju slučajne varijable X kojom je modeliran osvojeni iznos kuna te izraču-najte njezino matematičko očekivanje i varijancu. Interpretirajte dobivene rezultate.

Zadatak 4. [1 bod + 2 boda + 1 bod]Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće

fX(x) =

k sin

(x3

), x ∈ 〈0, π〉

0 , x inače .

a) Izračunajte vrijednost konstante k.

b) Odredite funkciju distribucije slučajne varijable X i izračunajte P (π/2 ≤ X < 2π).

c) Izračunajte matematičko očekivanje slučajne varijable X.

Zadatak 5. [4 boda]Automat za igre na sreću u nekoj kockarnici programiran je tako da se prirodan broj n realizira svjerojatnošću 2/3n, tj.

P (X = n) =2

3n, n ∈ N.

Izračunajte matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable X te pomoću Čebiševljeve nejed-nakosti ocijenite vjerojatnost da realizacija slučajne varijable X od njenog očekivanja odstupa zabarem dvije standardne devijacije.Zadatak 6. [4 boda]Slučajna varijabla X ima uniformnu distribuciju na intervalu 〈2, 4〉. Odredite funkciju gustoće ifunkciju distribucije slučajne varijable Y = eX .

Slobodan Jelić, Ivona Puljić i Nenad Šuvak

Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku 17. siječnja 2012.

PRVI KOLOKVIJ IZ UVODA U VJEROJATNOST I STATISTIKU - B grupa

Zadatak 1. [5 bodova]

a) Definirajte neprekidnu slučajnu varijablu.

b) Definirajte funkciju distribucije neprekidne slučajne varijable.

c) Neka je X neprekidna slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ). S kolikomvjerojatnošću se X realizira točno jednim realnim brojem, tj. koliko je P (X = x), x ∈ R?Obrazložite svoj odgovor.

d) Definirajte varijancu neprekidne slučajne varijable.

e) Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ) takva da je E[X2] < ∞.Objasnite postupak standardizacije slučajne varijable X.

Zadatak 2. [3 boda + 1 bod]Student rješava pismeni ispit koji se sastoji od trideset pitanja od kojih svako nosi 5 bodova. Nasvako pitanje ponuđena su tri odgovora od kojih je samo jedan točan. Pretpostavimo da odgovorena sva pitanja student odabire na slučajan način.

a) Odredite distribuciju slučajne varijable kojom modeliramo broj bodova koje student ostvarujena tom ispitu te odredite očekivani broj ostvarenih bodova?

b) Izračunajte vjerojatnost da takvim rješavanjem ispita student ostvari barem 80 bodova.

Zadatak 3. [1 bod + 3 boda]U šeširu se nalazi osam kutijica: četiri su prazne, a u preostale četiri nalaze se ključevi četiriju sefovakoji svaki sadrže po jedan dijamant. Igrač izvlači jednu po jednu kutijicu sve dok ne izvuče praznu(izvlačenje se vrši bez vraćanja prethodno izvučenih kutijica u šešir).

a) Odredite distribuciju slučajne varijable X kojom je modeliran broj izvučenih kutijica.

b) Odredite transformaciju slučajne varijable X kojom je modeliran broj osvojenih dijamanata teizračunajte njezino matematičko očekivanje i varijancu. Interpretirajte dobivene rezultate.

Zadatak 4. [1 bod + 2 boda + 1 bod]Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće

fX(x) =

k cos

(x3

), x ∈ 〈0, π/2〉

0 , x inače .

a) Izračunajte vrijednost konstante k.

b) Odredite funkciju distribucije slučajne varijable X i izračunajte P (π/4 ≤ X < π).

c) Izračunajte matematičko očekivanje slučajne varijable X.

Zadatak 5. [4 boda]Automat za igre na sreću u nekoj kockarnici programiran je tako da se prirodan broj n realizira svjerojatnošću 4/5n, tj.

P (X = n) =4

5n, n ∈ N.

Izračunajte matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable X te pomoću Čebiševljeve nejed-nakosti ocijenite vjerojatnost da realizacija slučajne varijable X od njenog očekivanja odstupa zamanje od dvije standardne devijacije.Zadatak 6. [4 boda]Slučajna varijabla X ima uniformnu distribuciju na intervalu 〈1, 3〉. Odredite funkciju gustoće ifunkciju distribucije slučajne varijable Y = ln (X).

Slobodan Jelić, Ivona Puljić i Nenad Šuvak