Übersicht:  Einige  Zusammenhänge  zwischen  linearen  Gleichungssystemen,  linearen  Abbildungen  und  Matrizen  

LGS  S  mit  m  Gleichungen  und  n  Variablen   zugehörige  lineare  Abbildung  𝑓   Darstellende  Matrix  von  𝑓  bezüglich  Standardbasis  

𝑎!!𝜉!

!

!!!

= 𝑎!!𝜉! + 𝑎!"𝜉! +⋯+ 𝑎!!𝜉! = 𝛽!

𝑎!!𝜉! =!

!!!

𝑎!"𝜉! + 𝑎!!𝜉! +⋯+ 𝑎!!𝜉! = 𝛽!

⋮

𝑎!"𝜉! =!

!!!

𝑎!!𝜉! + 𝑎!!𝜉! +⋯+ 𝑎!"𝜉! = 𝛽!

 

𝑓:ℝ! → ℝ!  

𝜉!⋮𝜉!

↦

𝑎!!𝜉!

!

!!!⋮

𝑎!"𝜉!

!

!!!

  𝐴 =𝑎!! ⋯ 𝑎!!⋮ ⋱ ⋮

𝑎!! ⋯ 𝑎!"  

𝑥 =𝜉!⋮𝜉!

 ist  Lösung  von  S   𝑓 𝑥 = 𝑏 =  𝛽!⋮𝛽!

  𝐴 ∙ 𝑥 =b  

eine  Lösung  von  S  existiert   𝑏 ∈ im𝑓   𝑏 ∈𝑎!!⋮

𝑎!!, … ,

𝑎!!⋮

𝑎!"  

𝐿S   𝑥 ∈ ℝ!|𝑓 𝑥 = 𝑏   𝑥 ∈ ℝ!|𝐴 ∙ 𝑥 = 𝑏  

Lösungsmenge  des  zu  S  gehörenden  homogenen  LGS   ker𝑓   𝑥 ∈ ℝ!|𝐴 ∙ 𝑥 = 0  

Menge  aller  𝑏 ∈ ℝ!,  für  die  das  LGS  S  lösbar  ist   im𝑓  𝑎!!⋮

𝑎!!, … ,

𝑎!!⋮

𝑎!"  

Lösung  von  S  existiert  für  alle  rechten  Seiten  𝑏   𝑓  ist  surjektiv,    rang𝑓 = 𝑚,  dim im𝑓 = 𝑚  rg𝐴 = 𝑚  

𝑎!!⋮

𝑎!!, … ,

𝑎!!⋮

𝑎!"= ℝ!  

Lösung  von  S  (wenn  es  sie  gibt)  zu  gegebenem  𝑏  ist  eindeutig   𝑓  ist  injektiv,  ker𝑓 = {0}   Spalten  von  𝐴  sind  linear  unabhängig  

rg𝐴 = 𝑛  

Für  jede  rechte  Seite  𝑏  existiert  genau  eine  Lösung  𝑥   𝑓  ist  bijektiv,  rg𝑓 = 𝑚 = 𝑛,  𝑓!!existiert,  𝑓 ∈ 𝐺𝐿(ℝ!)  

Spalten  von  𝐴  sind  Basis  des  ℝ!  rg𝐴 = 𝑚 = 𝑛  

𝐴  ist  invertierbar  𝐴!!existiert