Upload
others
View
23
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
özet anlatımlı - bol örnekliÜnite Fasikülleri
Üniversite Hazırlık
TEMEL MATEMATİKDers Anlatım Rehberi
Ögretmenle
Sınıfta
Tam ve Dogru
Eglenceli
Kalıcı
Dijital
5
Ad:
Soyad:
Sınıf:
No:
ÜSLÜ-KÖKLÜ İFADELER VE DENKLEMLER
2
Üslü-KöklüİfadelerveDenklemler
5. ÜNİTE378
ÜslüİfadelerveÖzellikleri
ÜslüDenklemlerveEşitsizlikler
KöklüİfadelerveÖzellikleri
İçİçeKökler,KöklüDenklemler
2derssaati
2derssaati
3derssaati
1derssaati
Konular ÖnerilenSüre*
* Burada önerilen süreler, MF/TM/TS gruplarına verilen toplam ders saatine göre değiştirilebilir.
Ünite ile ilgili önemli bilgiler
Bu bölümde yer alan örnek soruların çözümlerini son fasikülde bulabilirsiniz.Bu ünitenin iyice pekişmesi için Temel Matematik Soru Kitabımızın ilgili testlerini çözelim.
Öğrenme Alanı
3
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
5.1 Üslü ifadeler ve özellikleri
a ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere,
a.a.a...a = an’dir.15253
n tane
an ifadesinde a sayısına taban, n sayısına üs veya kuvvet denir ve an ifadesi a’nın n. kuvveti veya a üzeri n şeklinde okunur.
Örneğin, • 6.6.6 = 63’tür.
• (—2)4 = (—2).(—2).(—2).(—2) = 16’dır.
• —24 = —2.2.2.2 = —16’dır.
1. Özellik
• Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
n ∈ Z ve a > 0 ise an > 0'dır.
• Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir.
n ∈ Z ve a < 0 ise a2n > 0'dır.
• Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir.
n ∈ Z ve a < 0 ise a2n — 1 < 0'dır.
Örnek 01
Aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını bulalım.
a) 23 + 32
b) (—2)4 + (—24)
c) —3 + (—3)2 + (—3)3
Çözüm 01
a) 23 + 32 = 2.2.2 + 3.3 = 8 + 9 = 17 dir.
b) (—2)4 + (—24) = 16 + (—16) = 0 dır.
c) —3 + (—3)2 + (—3)3 = —3 + 9 + (—27)
= —3 + 9 — 27 = —21 dir.
2. Özellik
• Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti birdir.
a ≠ 0 olmak üzere, a0 = 1'dir.
• 00 tanımsızdır.
• 1 sayısının tüm kuvvetleri 1'dir.
n ∈ R olmak üzere, 1n = 1'dir.
• Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.
a ∈ R olmak üzere, a1 = a'dır.
Örneğin; • 1—2011 = 1’dir.
• (—2 + 3)0 = 1’dir.
• 51 = 5 tir.
3. Üslü İfadenin Üssü
Üslü ifadenin üssü, üsler çarpımına eşittir.
(am)n = (an)m = am.n'dir.
Örneğin, (23)5 = 23.5 = 215’tir.
Örnek 02
Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulalım.
a) fe1
2o–1
p
3
b) ((53)2)4
c) (—32)3 d) (—32)4
Çözüm 02
a) fd1
2n
–1
p
3
= d1
2n
–3
b) ((53)2)4 = 53.2.4 = 524
c) (—32)3 = —36
d) (—32)4 = 38
382379
Üslü İfadeler
Öğrenme Alanı
4
Örnek 03
x
m3y
n = 3x+n – 3y + 3m
bağıntısı tanımlanıyor.
Örneğin;
1
332
4 = 35 – 32 + 33
olduğuna göre,
x–4
332
6–x
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 03x–4
332
6–x = 3x–4+6–x – 32 + 33
= 32 – 32 + 33 = 27 bulunur.
4. Negatif üs
• a gerçel sayı olmak üzere,
a—n = 1
an'dir.
• a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
fa
bp
—n = f
b
ap
n 'dir.
Örnek 04Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulalım.
a) 3—1 b) 2—3 c) (—2)—1
d) f2
3p—1
e) f12p—2
f) f— 23p—3
g) 12—5 h) — 2
3—1 i) x—2
Çözüm 04
a) 3—1 = 1
31 = 1
3 f) f—
23p—3
= f—32
p3 = —
278
b) 2—3 = 1
23 = 1
8 g) 1
2—5 = 25 = 32
c) (–2)—1 = 1(—2)1 = —
12
h) —2
3—1 = —2.31 = —6
d) f23
p—1
= f32
p1 =
32
i) x—2 = 1
x2
e) f12
p—2
= f 21p2 = 4
Örnek 05
5x A
B 5x–1
5x+1 C
Tabloda verilen A, B, C sayıları 5x–1, 5x ve 5x+1 sayılarının
farklı ikili çarpımlarıdır.
A, B, C sayılarının çarpımı 25 ise x kaçtır?
Çözüm 05 A = 5x–1.5x
B = 5x.5x+1
C = 5x+1.5x–1 x
A.B.C = 53x.53x = 25
6x = 2 x = 13
bulunur.
5.2 Üslü ifadelerde dört işlem
Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi
Tabanları ve üsleri eşit olan üslü ifadelerde toplama — çıkarma işlemleri yapılabilir.
• ax + ax + ax............. + ax = n.ax
14454244453
n tane
• n.ax + m.ax — k.ax + ax = (n + m — k + 1).ax
• n.ax + m.by + k.ax — t.by = (n + k)ax + (m — t)by
Örneğin;
3x + 3x + 3x + 3x + 3x = 5.3x
5.212 — 3.212 + 212 = (5 — 3 + 1).212 = 3.212 dir.
Örnek 06Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulalım.
a) 2.3t — 6.3t + 5.3t b) 8x3 — x2 — 4x3 + 2x2
c) 4(a2)3 — (a3)2 + 5a4 d) 7.54 — 54
e) 5.2x + 6.2x — 11.2x
Çözüm 06a) 2.3t — 6.3t + 5.3t = (2 — 6 + 5).3t = 3t
b) 8x3 — x2 — 4x3 + 2x2 = (8 — 4).x3 + (—1 + 2).x2
= 4x3 + x2
c) 4(a2)3 — (a3)2 + 5a4 = 4a6 — a6 + 5a4 = 3a6 + 5a4
d) 7.54 — 54 = (7 — 1).54 = 6.54
e) 5.2x + 6.2x — 11.2x = (5 + 6 — 11).2x = 0.2x = 0
388383
Öğrenme Alanı
5
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
5.3 Üslü ifadelerde çarpma işlemi
Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpıldığında ortak taban alınır, üsler toplanır.
am.an = am+n
Örneğin, 23.24 = 23 +4 = 27’dir.
8.24.32.2—3 =23.24.25.2—3 = 29’dur.
am + n ifadesinin am.an olduğu unutulmamalıdır.
am + n = am.an
Not!
Örneğin, 2x + 3 = 2x.23 = 8.2x
32x + 1 = 31.32x = 3.(32)x = 3.9x
Üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpıldığında tabanlar çarpılır ortak üs alınır.
an.bn = (a.b)n
Örneğin, 52.32 = (5.3)2 = 152 dir.
104 = (2.5)4 = 24.54 tür.
27.55 = 22.25.55 = 22.105 tir.
3x.2x = (3.2)x = 6x tir.
Örnek 07
A 28 83 D
B 1254 256 E
C 815 2434 F
d
Tabloda A, B, C, D, E, F kutuları ve içindeki sayılar göste-rilmiştir.
Buna göre d doğrusuna simetri bölmesi diyebilmek
için hangi kutuya hangi işlem yapılabilir?
Çözüm 07A kutusunda, sayı 2 ile çarpılabilir veya
D kutusunda, sayı 2 ile bölünebilir.
Örnek 08 (—x)5 . (—x2) . (—x)—4
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) — x2 B) — x C) x D) x3 E) x4
Çözüm 08
(—x)5 . (—x2) . (—x)—4
:
—x5 . —x2 . +x—4 0 + x7 . x—4 = x3
Cevap D
Örnek 09 2a = x
3—a = y
olduğuna göre, 24a ifadesinin x ve y cinsinden eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x3
y B) x3y C) xy3 D)
y3
x E)
x2
y
Çözüm 09
3—a = y ⇒ 3a = y—1 ⇒ 3a = 1y ’dir.
24a = (23.3)a = (23)a.3a
= (2a)3.3a
= x3. 1y =
x3
y Cevap A
Örnek 10 1
1
2x tane birim kareden oluşan şekildeki birim karelerin,14 ’ü kırmızı,
164 ’ü siyah,
1256 ’sı mavi renk ile boyanıyor.
Boyalı kare sayısı 276 ise x kaçtır?
Çözüm 10
2x
4 +
2x
64 +
2x
256 = 276
2x. 69256
= 276
2x = 210 x = 10 bulunur.
393389
Öğrenme Alanı
6
Örnek 11
(32)3.512
sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm 11
(32)3. 512 = (25)3. 512 = 215. 512 = 23. 212. 512 = 8 . 1012
8.1012 sayısının sonunda 12 tane “0” vardır.
O hâlde, 8.1012 = 800......0 sayısı 123
12 tane sıfır
12 + 1 = 13 basamaklıdır.
5.4 Üslü ifadelerde bölme işlemi
Bölme işleminde tabanlar aynı ise ortak taban alınır, payın üssünden paydanın üssü çıkartılır.
am
an = am—n
Örneğin;
• 320
315 = 320—15 = 35 tir.
• 210
212 = 210—12 = 2—2 dir.
am — n ifadesinin am
an olduğu unutulmamalıdır.
Not!
Örneğin;
3x — 2 = 3x
32 =
3x
9 dur.
Üsleri eşit olan ifadelerde tabanlar bölünür, ortak üs
alınır.
an
bn = f
a
bp
n
Örneğin;
• 310
210 = f 3
2p10’dur.
• 67
27 = f62
p7
= 37’dir.
Örnek 12
x = 4x + 1 ve x = 2x – 1 olmak üzere,
xx x x++ ++ +
.x x
ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm 12
4x + 1 + 4x + 1 + 4x + 1 + 4x + 1
2x – 1 . 2x – 1
4.4x + 1
2x – 1 . 2x – 1 = 4.4.4x
22x.2–2 = 16.4= 64 bulunur.
Örnek 13 12a = 2
6b = 3
olduğuna göre, 12(1 — a)2b ifadesinin değeri kaçtır?
A) 15 B) 16 C) 9 D) 8 E) 4
(YGS 2011)Çözüm 13
12(1 — a)2b = [12(1 —a)]2b
= f
121
12a p
2b = f
122
p
2b
= 62b = (6b)2 = 32 = 9 olur.
Cevap C
397394
Öğrenme Alanı
7
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
Örnek 14 6x = 12 . 15x
olduğuna göre,
2x — 2 .51—x
ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm 143x/ . 2x = 12 . 5x . 3x/
2x = 12 . 5x ⇒ 2x
5x = 12 ⇒ = 2x . 5—x = 12
Bizden istenen
2x—2 . 51—x = 2x.2—2. 51.5—x
2x.5—x. 2—2.5 = 12. 1
22.5 = 3.5 = 15
< 12
Örnek 15
1
2–5 + 1 +
1
2–4 + 1 + ... +
1
24 + 1 +
1
25 + 1
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 15
1
2–5 + 1 =
11
25 + 1
= 1
1 + 25
25
= 25
1 + 25
1
2–4 + 1 =
11
24 + 1
= 1
1 + 24
24
= 24
1 + 24
25
1 + 25 +
24
1 + 24 + .... +
1
1 + 20 + .... +
1
24 + 1 +
1
25 + 1
11
1 + 1 + .... + 1
5 tane14243
+ 1
1 + 20 = 5 +
12 =
112
olur.
Örnek 165x cm
A
3y cm
B
A ve B çubuklarının özellikleriyle ilgili bilinenler şunlardır:
• A çubuğu, uzunluğunun 4 katı uzatıldığında B çubuğunun
uzunluğunun üçte birinden 124 cm uzundur.
• B çubuğu, uzunluğunun 26 katı uzatıldığında A çubuğu-
nun uzunluğundan 56 cm uzundur.
Buna göre, x + y toplamı kaçtır?
Çözüm 16
5.5x – 3y
3 = 124
33.3y – 5x = 56
Buradan, x = 2 ve y = 1
x + y = 3 bulunur.
Örnek 17
46 + 48 — 410
210 + 214 — 218
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 17
212 + 216 — 220
210 + 214 — 218 = 22 (210 + 214 — 218)
210 + 214 — 218 = 4
Örnek 18
Üç farklı kültürdeki bakterilerin bir günlük sayıları tabloda
gösterilmiştir.
1. kültür 2. kültür 3. kültür
1. gün 210
2. gün 213
3. gün 213
X Y Z
Tabloyla ilgili bilinenler şunlardır:
• Kültürlerdeki bakteri sayısı her gün bir önceki günün 4
katına çıkmaktadır.
• Kültürdeki üç günlük bakteri sayılarının çarpımı sırasıyla
X, Y ve Z’dir.
• X + Y + Z = 73.2p
Buna göre, p kaçtır?
Çözüm 18
X + Y + Z = 236 + 239 + 233 = 2p.73
233(23 + 26 + 1) = 2p.73
p = 33
402398
Öğrenme Alanı
8
5.5 Üslü denklemler
• Birbirine eşit olan iki üslü ifadenin tabanları aynı ise üsleri de birbirine eşit olmalıdır.
x ∉ {—1, 0, 1} olmak üzere,
xm = xn ise m = n'dir.
Örnek 19
a) 2x = 16 ise (x + 3)2 kaçtır?
b) 81 + 3x = 16x—2 ise x kaçtır?
Çözüm 19
a) 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4’tür.
O hâlde, (x + 3)2 = (4 + 3)2 = 72 = 49 olur.
b) 81 + 3x = 16x — 2 ⇒ (23)1 + 3x = (24)x — 2
23 + 9x = 24x — 8 olur.
Buradan, 3 + 9x = 4x — 8
5x = —11
x = — 115
bulunur.
Örnek 20 4x.6x.9x = 36
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 23
B) 14
C) 34
D) 38
E) 49
(LYS 2013)
Çözüm 20
4x.6x.9x = 36 ise
(4.6.9)x = (63)x = 63x
63x = 36 ⇒ 63x = 62
3x = 2 ⇒ x = 23
’tür.
Cevap A
Örnek 21
A, b, c birer tam sayı olmak üzere,
a
b c = (b – c)a
c
a b = (a + b)c
eşitlikleri tanımlanıyor.
Buna göre,
15
5 13 =
9
20 x
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 32 B) 20 C) 12 D) –36 E) –52
Çözüm 21
15
5 13 =
9
20 x
(5 – 13)15 = (20 + x)9
(–8)15 = (20 + x)9
(–2)45 = (20 + x)9
(–25)9 = (20 + x)9
–32 = 20 + x ⇒ x = –52 bulunur.
Örnek 22 3x. 122 — x = 18
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 12
B) 32
C) 13
D) 43
E) 54
(YGS 2016)
Çözüm 223x.122
12x = 18 ⇒ f3
12p
x. 144 = 18
f14p
x
= 18
144 =
18
2—2x = 2—3 ise x = 32
bulunur.Cevap B
407403
Üslü Denklemler ve Eşitsizlikler
Öğrenme Alanı
9
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
• Birbirine eşit olan iki üslü ifadenin üsleri aynı ise; üsler tek sayı iken tabanlar birbirine eşit olmalıdır; üsler çift sayı iken tabanların mutlak değeri birbirine eşit olmalıdır.
x ≠ +- 1 , y ≠ +- 1 ve n ≠ 0 olmak üzere,
xn = yn ⇒ x = y, n tek sayı ise
x = y, n çift sayı ise
Örnek 23
(2 — 3x)7 = (8 — x)7
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm 23
(2 — 3x)7 = (8 — x)7
Üsler tek sayı ve birbirine eşit olduğundan
2 — 3x = 8 — x
—3x + x = 8 — 2
— 2x = 6 ⇒ x = —3 olur.
Çözüm kümesi, Ç ={—3} bulunur.
Örnek 24
(x + 3)4 = (2x — 9)4
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm 24
(x + 3)4 = (2x — 9)4
eşitliğinde üsler çift sayı ve birbirine eşit olduğundan
x + 3 = 2x — 9 veya x + 3 = —(2x — 9) olur.
• x + 3 = 2x — 9 ise x — 2x = —3 — 9
x = 12 olur.
• x + 3 = —(2x — 9) ise x + 3 = —2x + 9
3x = 6 ⇒ x = 2 olur.
Bu durumda çözüm kümesi, Ç = {2, 12} bulunur.
xn = 1 denklemini sağlayan 3 farklı durum vardır.
1. durum: x = 1 dir.
2. durum: n = 0 ve x ≠ 0 dır.
3. durum: x = —1 ve n çift sayıdır.
Örnek 25
Bir a tam sayısının toplamaya göre tersi –a, çarpmaya
göre tersi 1a
’dır.
Buna göre 26, 28, 210 sayılarının toplamaya göre ters-
lerinin toplamının, çarpmaya göre terslerinin toplamına
oranı kaçtır?
Çözüm 25(–26) + (–28) + (–210)
126 + 1
28 + 1210
= – 26 + 28 + 210
2–6 + 2–8 + 2–10
= – 26(1 + 22 + 24)
2–10(24 + 22 + 1)
= – 216 bulunur.
ap = bq ise
pr =
qs 'dir.
ar = bs
Örnek 26
2a = 9 ve 3b = 8
olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
Çözüm 26
2a = 32
23 = 3b ⇒
a3
= 2b
olur.
O hâlde, a.b = 6 bulunur.
414408
Öğrenme Alanı
10
Örnek 27
EBOB (2x, 22x–1) = 27
EKOK(3y, 36–y) = 64
x ve y 3'ten büyük reel sayılar olmak üzere x.y çarpımı
bulunabildiğine göre x.y değeri kaçtır?
Çözüm 27
EBOB(2x, 22x–1) = 2x = 33
EKOK(3y, 36–y) = 3y = 26
2x = 33 ise x
6 = 3
y26 = 3y
x.y = 18 bulunur.
a ve b, 0, 1 ve —1'den farklı birer gerçel sayı ve x, y∈Z
olmak üzere,
a ≠ b ve ax = by ise x = y = 0'dır.
Örnek 28Üslü sayılarda bölme tablosu verilmiştir.
÷ 2a+1 2b–4
3x–2 1
36–3y 1
a, b, x, y birer tam sayı olmak üzere
a.x + b.y
ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm 28
3x–2 = 2a+1 ⇒ x = 2 , a = –1
36–3y = 2b–4 ⇒ y = 2 , b = 4
a.x + b.y = –2 + 8 = 6 olur.
Örnek 29
x ve y sıfırdan farklı birer reel sayıdır.
2x = 3y
olduğuna göre, 2xy + 3
y+xx işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 29
2x = 3y ⇒ (2x)
1y = (3y)
1y
2xy = 3 olur.
2x = 3y ⇒ (2x)
1x = (3y)
1x
3yx = 2 olur.
2xy + 3
yx
+ xx
=
2xy + 3
yx . 31
3 + 2.3 = 18
Örnek 30
(3x + 24)2 + (6y — 9)2 = 0
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
Çözüm 30
Kareler toplamının sıfır olabilmesi için parantez içleri sıfır
olmalıdır.
3x + 24 = 0 ⇒ x = —8
6y — 9 = 0 ⇒ y = 32
x.y = —8. 32
= —12
419415
Öğrenme Alanı
11
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
5.6 Bilimsel gösterim
n ∈ Z ve 1 ≤ a < 10 olmak üzere, a.10n biçimindeki gösterime bilimsel gösterim denir.
Örneğin,
• 234 = 2, 34.102,
• 8900 = 8, 9.103,
• 0, 1453 = 1, 453.10—1 birer bilimsel gösterimdir.
Örnek 31
6, 4.10—8
4.10—5
işleminin sonucunu bulal›m ve bilimsel gösterim ile
ifade edelim.
Çözüm 31
6, 4.10—8
4.10—5 =
64.10—9
4.10—5 = 16.10—4 = 1,6.10—3
bulunur.
5.7 Üslü eşitsizlikler
• Taban› 0 ile 1 aras›nda olan üslü say›lar›n üsleri büyüdükçe değeri küçülür.
Örneğin, f12 p
3 < f
12 p
2 < 12
olur.
• Taban› 1'den büyük olan say›lar›n üssü büyüdükçe değeri de büyür.
Örneğin, 2 < 22 < 23 olur.
Örnek 32
(0,25)2x—1 > f14p3x+5
eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam say›s› kaçtır?
Çözüm 32
(0,25)2x—1 > f14p
3x+5 ⇒
f
25100
p2x—1
> f14p
3x+5
⇒ f
14p
2x—1
> f 1
4p3x+5
0 ile 1 aras›ndaki say›lar›n üsleri büyüdükçe değeri küçüle-
ceğinden 2x — 1 < 3x + 5 olmal›d›r.
2x — 1 < 3x + 5 ⇒ 2x — 3x < 5 + 1 ⇒ x > —6 olur.
Öyleyse en küçük x tam say› değeri —5’tir.
Örnek 33a, b ∈ Z+ olmak üzere
2a
bx
■
▲
yy = 2x
grafiğine göre,
(■)2. 4▲ = 646
ise a.b’nin en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm 33
y = 2x fonksiyonunda
2▲ = 2a 2b = ■
▲ = a olduğuna göre,
(■)2. 4▲ = 646
(2b)2.4a = 646
22b+2a = 236
a + b = 18 buradan a < b olduğundan a = 8 b = 10 seçilirse
a.b = 80 olur.
Üslü eşitsizliklerde üsler eşit ise taban› büyük olan daha büyüktür.
Örneğin, 58 < 68 < 78 dir.
425420
Öğrenme Alanı
12
Örnek 34
a = 260, b = 348 ve c = 524
say›lar›n› küçükten büyüğe doğru s›ralayal›m.
Çözüm 34
a, b, c’nin tabanlar› eşitlenemeyeceğinden üsleri eşitle-
yelim. Üslerdeki 60, 48 ve 24 say›lar›n›n en büyük ortak
böleni 12 olduğundan
a = 260 = (25)12 = 3212
b = 348 = (34)12 = 8112
c = 524 = (52)12 = 2512 biçiminde düzenleyelim.
a, b, c say›lar›n›n üsleri eşit olduğundan taban› büyük olan
daha büyük olur.
O hâlde, c < a < b olur.
Örnek 35
2x = 9, 3y = 20, 5z = 23
olduğuna göre, x, y, z say›lar›n› küçükten büyüğe doğru
s›ralayal›m.
Çözüm 35
• 2x = 9 eşitliğinde
8 < 9 < 16 ⇒ 23 < 2x < 24 ⇒ 3 < x < 4’tür.
Benzer şekilde,
• 3y = 20 ⇒ 2 < y < 3’tür.
• 5z = 23 ⇒ 1 < z < 2’dir.
O hâlde, z < y < x olur.
Örnek 36 34 — x ≤ 1 ≤ 56 — x
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15
(ÖSS 2008)
Çözüm 36
34 — x ≤ 1 ⇒ 34 — x ≤ 30
4 — x ≤ 0 ⇒ x ≥ 4’tür. .......... (I)
1 ≤ 56 — x ⇒ 50 ≤ 56 — x
0 ≤ 6 — x ⇒ x ≤ 6’dır. ........... (II)
I. ve II. nin ortak çözümünden, x tam sayıları; 4, 5, 6 olur.
Toplamları; 4 + 5 + 6 = 15 bulunur.
Cevap E
Örnek 37n bir rakam olmak üzere,
b0,00032l2n—5 > b0,0016ln + 4
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı n değeri vardır?
Çözüm 37
0,00032 = 32.10—5 = 25.10—5 = f210
p5
0,0016 = 16.10—4 = 24.10—4 = f210
p4
b0,00032l2n — 5 > b0,0016ln + 4 ⇒
fe210
o5
p
2n — 5
> fe210
o4
p
n + 4
e210
o10n — 25
> e210
o4n + 16
10n — 25 < 4n + 16 ⇒ 6n < 41
Buna göre, n rakamı {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} olabilir. 7 farklı değer
vardır.
429426
Uygulama Alanı
Konu Değerlendirme Testi - 1
13
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
1. (–1)201 + (–1)200 – (–1)199
(–1)10 + 14
– 12
işleminin sonucu kaçtır?
A) 12 B) 8 C) 4 D) 12
E) 14
2. x = x3 ve x = x4
olduğuna göre, x ifadesinin kuvveti kaçtır?
A) 24 B) 36 C) 48 D) 60 E) 72
3. 8
1 – 2x + 8
1 – 2–x
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8 B) 4 C) 1 D) – 4 E) – 8
4.
2010
+ =5
5 x
x2000
Şekilde verilen alan toplamına göre x kaçtır?
A) 2003 B) 2005 C) 2007 D) 2009 E) 2011
5. 40x = 23x + 2
olduğuna göre, 5x+2’nin değeri kaçtır?
A) 75 B) 100 C) 125 D) 150 E) 175
6. x = 1 + 3t ve y = 1 – 3–t
olduğuna göre, y’nin x türünden eşiti aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) x – 2x + 1
B) x – 2x – 1
C) x + 2x + 1
D) x + 2
x – 1 E)
– xx + 2
7. n ∈ Z+ olmak üzere,
1 + 21 + 22 + ... + 2n = 2n+1 – 1
olduğuna göre,
1
210 + 1
211 + 1
212 + ... + 1
2100
ifadesinin eşiti kaçtır?
A) 2–3 – 2–10 B) 2–9 – 2–100 C) –210 – 2100
D) –2–99 E) 2100 – 2–99
8. a, b birer tam sayı ve
5a + b – 4 = 72a – b – 8
olduğuna göre, a3 + b3 toplamı kaçtır?
A) 24 B) 36 C) 48 D) 52 E) 64
437430
Uygulama Alanı
14
9. A B
K
Şekildeki A ve B küreleri eşit kollu teraziye yerleştiril-
diğinde K noktası denge noktası olmuştur. Terazinin
her bölmesinin ağırlığı, denge noktasına olan uzaklığı
ile ters orantılıdır.
A ve B kürelerinin ağırlıkları sırasıyla 27x–1 kg ve
93–x kg olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10. 9x = 25
125y = 27
olduğuna göre, 2xy + 2 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64
11. 2x = 12 ve 9y = 6
olduğuna göre, x’in y türünden değeri aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) 4y + 12y – 1
B) 4y – 12y – 1
C) 4y + 12y + 1
D) 4y – 12y + 1
E) 2y + 1
12. (x – 2)x2
– 4 = 1
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
13. 2a = 3b = 5c = 30
olduğuna göre 1a
+ 1b
+ 1c
toplamı kaçtır?
A) 1 B) 32
C) 2 D) 52
E) 3
14. x ∈ Z+ olmak üzere
(0,00032)x–3 < (0,512.10–6)6–x
olduğuna göre x en az kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
15. 8
16
64
2x
2y
2z
Başlangıçta verilen 2x, 2y, 2z sayıları 8, 16, 64 sayıla-
rıyla eşleşecektir.
Bu eşleşmeyle ilgili olarak şunlar bilinmektedir:
• Her sağa gidildiğinde çapraz yol varsa çapraza
gidilecektir.
• Her çapraz yol gidildikten sonra sağa gidilecektir.
• Hareketler her zaman sayılara doğru (sağa) olacak-
tır.
Buna göre x, y, z’nin değerleri aşağıdakilerin han-
gisinde doğru eşleştirilmiştir?
x y z
A) 3 4 6
B) 4 4 6
C) 6 3 4
D) 4 6 3
E) 6 4 3
444438
1.C 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 7.B 8.E 9.B 10.B 11.B 12.A 13.A 14.C 15.D
Öğrenme Alanı
15
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
5.8 Köklü ifadeler
a bir reel sayı ve n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere;
xn = a eşitliğini sağlayan x sayısına a nın n. dereceden kökü denir ve x = na biçiminde gösterilir.
xn = a ise x = na ifadesinde
• n = 2 için a şeklinde yaz›l›r ve karekök a şeklinde okunur.
• n = 3 için, 3a yaz›l›r ve küp kök a şeklinde okunur.
Örneğin, 23 = 8 olduğundan, 38 = 2;
52 = 25 olduğundan, 25 = 5’tir.
5.9 Köklü ifadenin tanım aralığı
Köklü ifadeler her zaman bir gerçel say›ya eşit olma-yabilir.
na köklü ifadesinin gerçel say› belirtebilmesi için;
n çift ise a ≥ 0 olmal›d›r. n çift say› ve a < 0 ise, na ifadesi gerçel say› belirtmez.
Örneğin,
• 5 → gerçel say›d›r.
• 4(—3)2 → gerçel say›d›r.
• —5 → gerçel say› değildir.
• 6(—2)3 → gerçel say› değildir.
n tek ise na ifadesi daima bir gerçel say› belirtir. Yani n tek iken a negatif de olsa pozitif de olsa na ifadesi bir gerçel say›d›r.
Örneğin, 53
, —23
, —15
, —107
ifadeleri birer gerçel say›d›r.
Örnek 38
A = x — 46
+ 8 — 2x + x2
ifadesi bir gerçel say› olduğuna göre, A kaçt›r?
Çözüm 38
x — 46
ve 8 — 2x ifadelerinde kök dereceleri çift
olduğundan
x — 4 ≥ 0 ve 8 — 2x ≥ 0 olmal›d›r.
• x — 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4 ve
• 8 — 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4 olur. Buradan x = 4 olmal›d›r.
O hâlde, x = 4 için A = 4 — 46
+ 8 — 2 . 4 + 42 = 16
bulunur.
Örnek 39
2x—1– 4 + 2x3 + 64 – 2x+14
toplamı bir reel sayı olduğuna göre x’in alabileceği tam
sayı değerlerini bulunuz.
Çözüm 39na ifadesinin tanımlı olması için
n çift sayı iken a ≥ 0
n tek sayı iken a ∈ R olmaldır.
2x–1 – 4 ≥ 0 ve 64 – 2x+1 ≥ 0
2x–1 ≥ 4 64 ≥ 2x+1
2x ≥ 8 32 ≥ 2x
x = {3, 4, 5} olmalıdır.
Köklü İfadeler ve Özellikleri
448445
Öğrenme Alanı
16
5.10 Köklü ifadenin üslü biçimde yazılması
Her köklü ifade, üslü ifade biçiminde yazılabilir.
n∈Z+ olmak üzere,
am =amnn
’dir.
Örneğin;
3 = 31/2
(–2)5 =3
(—2)5/3
(–3)6 4
= 36 4
= 3
64
= 3
32
olur.
Örnek 40
2x3 = 8
olduğuna göre, x kaçt›r?
Çözüm 40
2x3 = 8 ⇒ 2x3 = 23⇒ 2x
3 = 2
3
2 ⇒ x
3 =
3
2 ⇒ x =
9
2
Örnek 41
214 . 48
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 41
214 . 8
14 = 2
14 . (23)
14 = 2
14 . 2
34 = 2
14
+34 = 2
5.11 Kök içindeki bir ifadeyi kök dışına çıkarma
1. n
an a, n tek ise
IaI, n çift ise=
Örneğin,
• (–5)33 = —5’tir.
• (—5)2 = I—5I = 5’tir.
Örnek 42Aşağ›daki ifadelerin değerlerini bulal›m.
a. 3
23 b. 52
c. (—3)55 d. (—3)2
Çözüm 42
a. Kök derecesi tek say› olduğundan 3
23 = 2 olur.
b. Kök derecesi çift say› olduğundan 52 = |5| = 5 olur.
c. (–3)55= –3 (Kök derecesi tek say›d›r.)
d. (–3)2 = I–3I = 3 (Kök derecesi çift say›d›r.)
Örnek 43
2 – 1 3 – 2 2 – 3 Çarpım
Ali ✓ ✓ m
Veli ✓ ✓ n
Elif ✓ ✓ r
Ali, Veli ve Elif tabloda gösterilen sayıların çarpımını sıra-
sıyla m, n, r bulmuştur.
Buna göre m, n, r sayılarının küçükten büyüğe sırala-
masını bulunuz.
Çözüm 43
m = (2 – 1) . (3 – 2)
n = (2 – 1) . (2 – 3)
r = (3 – 2) . (2 – 3)
2 – 1 > 3 – 2 > 2 – 3 olduğundan m en büyük, r en küçük
sayıdır. Bu dumuda n ortanca sayıdır. m, n, r sayılarının
sıralaması r < n < m olarak bulunur.
454449
Öğrenme Alanı
17
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
Örnek 44
x
x x → 1. satır 3x 3x 3x → 2. satır
100. satırdaki elemanların çarpımı 64 ise 5. satırdaki
elemanların toplamı kaçtır?
Çözüm 44
Her satırdaki elemanların çarpımı x olduğundan x = 64’tür.
5. satır; 6x 6x 6x 6x 6x 6x şeklinde ve 664 = 2
olduğundan 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 bulunur.
Örnek 45
x > 0 ve y < 0 olduğuna göre
(y — x)2 — 3 (y — 2x)3
ifadesinin en sade şeklini yazınız.
Çözüm 45
y — x < 0’dır.
(y — x)2 = y — x = —(y — x) = x — y
3 (y — 2x)3= y — 2x
x — y — (y — 2x) = x — y — y + 2x = 3x — 2y bulunur.
Örnek 46
1625
259
83
+ —
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 46
45
45
53
53
45
53
83
+ +2 22 2
f ff fp pp p— — .
14243
2.=
83
45
45
—1315
53
53
1315
— = = =—2
f p
2. a
n . b = a . b
n n
• n tek sayı ise,
an.b n
= a.nb
• n çift sayı ise,
an.b n
= IaI .nb
Buna göre, aşağ›daki örnekleri inceleyelim.
a. 3
73 .5 = 735
b. 8 = 22 .2 = 22
c. 5
—64 = 5 (–32).2 = 5 (–2)5.2 = –2 5 2
d. (–5)2. 3 = I–5I 3 = 53
e. 5
32 .2 = 5.3 2 = 152
Örnek 47
a = 3 olmak üzere 3 + 3 toplamının çarpanlarından
biri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) a – 3 B) a – 2 C) a + 2
D) a + 3 E) a + 4
Çözüm 47
3 + 3 = 1 + 2 + 3
= 22 – (3)2 + 2 + 3
= (2 + 3)(2 – 3) + 2 + 3
= (2 + 3)(2 – 3 + 1)
= (2 + 3)(3 – 3)
= (2 + a).(a2 – a) bulunur.
= (a + 2) .a.(a – 1)
Cevap C
459455
Öğrenme Alanı
18
Örnek 48 6!
irrasyonel sayısının yaklaşık değerinin hesaplanabil-
mesi için aşağıdaki irrasyonel sayılardan hangisinin
yaklaşık değeri bilinmelidir?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 10 E) 15
Çözüm 48
6! = 6.5.4.3.2.1 = 24.32.5
(22)2.(3)2.5 = 22.35 = 125
6! = 12.5 olduğundan 5’in değeri bilinmelidir. Cevap C
Örnek 49a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere
4 0,00a + 5 0,000b
toplamının sonucu rasyonel sayı olduğuna göre a + b
toplamının sonucu en fazla kaçtır?
Çözüm 49
0,00a ve 0,000b sayıları kök dışına çıkabildiğine göre a ve
b en az iki basamaklı sayılardır.
4a
104 + 5b
105
a = 81 ve b = 32 olur.
Bu durumda a + b = 81 + 32
= 113 bulunur.
Örnek 50a, b∈N olmak üzere,
32160 = a.3b
eşitliğini sağlayan a ve b sayılarının toplamı en az
kaçtır?
Çözüm 50
2160 asal çarpanlarına ayrıldığında,
2160 = 24.33.5 olur.
32160 = 3
24.33.5 = 2.3.32.5 = 6 310 olur.
a = 6, b = 10 olacağından a + b = 16 bulunur.
5.12 Kök dışındaki bir sayıyı kök içine alma
b > 0 olmak üzere,
bna = n
bn
. a
Buna göre, aşağ›daki işlemleri inceleyelim.
a. 37 = 32 .7 = 63
b. 235 =
3 23 .5 =
3 40
c. —53 = — 52 .3 = — 75
d. —235 =
3(–2)3 .5 = 3
–40
5.13 Kök derecesinde genişletme ve sadeleştirme
Uygun şartlarda kökün derecesi ve kökün içindeki say›n›n üssü ayn› say›yla genişletilebilir veya sadeleş-tirilebilir.
1. k ∈ Z+ ve a ≥ 0 olmak üzere,
=anman.km.k
dır.
2. k ∈ Z+ ve a ≥ 0 olmak üzere,
anm
= ank
mk dır.
Aşağ›daki işlemleri inceleyelim:
a. 3
52 =
3.5 52.5
= 15
510
b. 5 = 2.3
51.3 =
6 53
c. 6
34 = 3 42
62 =
3 32
d. 4
52 = 5
464460
Öğrenme Alanı
19
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
5.14 Köklü sayılarda sıralama
Sıralanacak köklü sayıların kök dereceleri eşit değilse önce kök dereceleri eşitlenir. Kök dereceleri eşit olan sayılardan içi büyük olan daha büyüktür.
Örnek 51 2 < x < 3
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 12
B) 32
C) 43
D) 74
E) 63
(LYS 2011)
Çözüm 51
2 < x < 3 Her tarafın karesini alalım.
2 < x2 < 3
Seçenekleri incelendiğimizde karesi 2 ile 3 arasında olan
sayı 32
’dir.
Cevap B
Örnek 52 x = 34
y = 48
z = 516
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A) x < y < z B) x < z < y C) y < x < z
D) z < x < y E) z < y < x(YGS 2011)
Çözüm 52
Kök derecelerini 60 ta eşitleyelim.
x = 34 = 3.20 420
= 60 240
y = 48 = 4.15
815 = 60 245
z = 516 = 5.12
1612 = 60 248
x < y < z dir.
Cevap A
5.15 Köklü ifadelerde dört işlem
Toplama – Çıkarma İşlemi
Kök dereceleri eşit ve kök içindeki say›lar ayn› ise ifade-ler toplanabilir veya ç›kar›labilir.
an x + b
n x — c
n x = (a + b – c)
n x
Örnek 53Aşağ›daki işlemlerin sonuçlar›n› bulal›m.
a. 53 + 23
d. 235 + 335
b. 75 — 5 e. 5 + 3
c. 53 + 63 — 43 f. 37 — 7
Çözüm 53
a. 53 + 23 = (5 + 2)3 = 73
b. 75 — 5 = (7 — 1)5 = 65
c. 53 + 63 — 43 = (5 + 6 — 4)3 = 73
d. 235 + 335 = (2 + 3)35 = 535
e. Kök dereceleri eşit fakat kök içindeki say›lar farkl›
olduğudan toplama işlemi yap›lamaz.
Yani 5 + 3 olarak kal›r.
f. Kök dereceleri farkl› olduğundan ç›karma işlemi
yap›lamaz. Yani 37 — 7 olarak kal›r.
Örnek 54
Dikdörtgenlerin alanları toplamı şekilde gösterilmiştir.
+ =
10
2 15
3
x
x
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm 54
2 . 10 + 3 . 15 = x.x
20 + 45 = x.x
2.5 + 3.5 = x.x
55 = x.x
Buradan x = 5 bulunur.
470465
Öğrenme Alanı
20
Örnek 55
0, 2—
+ 3, 5—
işleminin sonucunu bulal›m.
Çözüm 55
0,2— = 2
9 3, 5
— = 35 – 3
9 =
32
9
2
9 +
32
9 = 2
3 + 32
3
= 23
+ 423
= 523
bulunur.
Örnek 56
27
4 + 12 —
75
4
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 56
274
9.34
332
= =
12 = 4.3 = 23
754
25.34
532
= =
332
532
33 + 43 — 532
231
(2)
+ — =
=
232
= 3
Örnek 57
38 + 22 — (8 + 2)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2 B) 22 C) 32 D) 42 E) 52
(ÖSS 2008)
Çözüm 57
38 + 22 — (8 + 2) = 62 + 22 — (22 + 2)
= 82 — 32
= 52 olur.Cevap E
Çarpma İşlemi
1. Kök dereceleri eşit olan say›lar çarp›l›rken ayn› kök içinde yazılır ve ifadeler çarp›l›r.
n a .
n b =
na .b
2. Kök dereceleri farkl› olan say›lar çarp›l›rken önce kök dereceleri eşitlenir daha sonra çarpma işlemi yap›l›r.
Örnek 58
Aşağ›daki işlemleri yapal›m.
a. 5.2 b. 34.32 c. 37.23 d. 53.12
e. (5)2 f. (32)2 g. (23).(53) h. 35.32.37
Çözüm 58
a. 5.2 = 5.2 = 10
b. 34.32 = 34.2 = 38 = 2
c. 37.23 = 3.27.3 = 621
d. 53.12 = 53.12 = 536 = 5.6 = 30
e. (5)2 = 5.5 = 5
f. (32)2 = (32).(32) = 9.2 = 18
g. (23).(53) = 2.53.3 = 30
h. 35.32.37 = 35.2.7 = 370
Örnek 59 32 . 2 .
48
işleminin sonucunu bulal›m.
475471
Öğrenme Alanı
21
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
Çözüm 59
Kök dereceleri eşit olmad›ğ›ndan öncelikle kök derecele-
rini eşitleyelim. Kök dereceleri 3, 2 ve 4 olduğundan 12 de
eşitlenir. 32 . 2 .
48 =
3.4
24 . 2.6
26 .4.3
83
= 12
24 . 12
26 .12
83
= 24. 26 . 8312
= 24. 26 . 2912
= 12 219
12 219
= 212. 2712
= 2.12
27 = 2. 12128 bulunur.
Örnek 60
x bir gercel sayı olmak üzere,
(7 + 3)x = 4
olduğuna göre, (7 — 3)x ifadesi aşağıdakilerden han-
gisine eşittir?
A) 2—x B) 2—x + 1 C) 4x D) 4x — 1 E) 4x + 1
(LYS 2012)
Çözüm 60
_7 + 3ix = 4 iken _7 — 3ix = A olsun.
Eşitlikleri taraf taraf çarparsak;
_7 + 3ix . _7 — 3ix = 4.A
:_7 + 3i. _7 — 3iDx = 4.A
(7 — 3)x = 4.A
4x = 4.A ⇒ A = 4x
4 = 4x — 1 olur.
Cevap D
Örnek 61
Şekil – I Şekil – II Şekil – III
2
5 + 3 5 + 3
x3
5
Şekil–I’de verilen dikdörtgenden Şekil–II’de gösterilen 5
ve 3 br2 alanlı bölgeler kesilip atılıyor. Şekil–III’te geriye
kalan levhaya alanı değişmeyecek şekilde dirdörtgen şekli veriliyor.
Elde edilen dikdörtgenin bir kenarı 5 + 3 ise diğer
kenarı kaç br’dir?
Çözüm 61
Şekil – I Şekil III
Alan = 2.(5 + 3) Alan = 10 + 6 – (5 + 3)
Alan = 10 + 6 – 5 – 3
Alan = 2 (5 + 3) – (5 + 3)
Alan = (5 + 3) (2 – 1)
Buradan x = 2 – 1 br olmalıdır.
Bölme İşlemi
1. Kök dereceleri eşit say›lar bölünürken aynı kök içinde yazılır ve ifadeler bölünür.
nanb
= a
bn
Örnek 62
41
10098 + : 0,10
—
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm 62
41
10098 + = 4
1
100100 – 2 + = 4
1
10f10 – p
2
= 499
10
2
f p
0,10— =
10
99
Buradan
4 99
10
2
f p : 10
99
99
10 :
10
99=
99
10 .
99
10 = 99
10 = 9,9 bulunur.
480476
Öğrenme Alanı
22
2. Kök dereceleri eşit değilse önce kök dereceleri eşit-lenir daha sonra bölme işlemi yap›l›r.
Örnek 63
2 32
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 63
Kök derecelerini 6 da eşitleyelim.
3.2 23
2.3 22 =
6 23
6 22 =
23
226 = 62 bulunur.
Paydas› köklü say›lardan oluşan kesirlerin paydas›n›
rasyonel yapmak için, pay ile payda, paydan›n eşle-
niğiyle çarp›l›r. Yani eşlenik, paydayı kökten kurtaran
say›d›r. Örneğin 2 nin eşleniği 2 dir. 3 — 2’nin
eşleniği 3 + 2’dir.
Not!
Önemli eşlenikler
Sayı Eşleniği Sayı ile eşleniğin çarpımı
x x x
x + y x — y x – y
x + y x – y x – y2
x + y x — y x2 — y
nxk nxn—k x
3x + 3y
M
3x2 – 3x.y +
3y2
M
x + y
M
Örnek 64Aşağ›daki ifadelerin eşitlerini bulal›m.
a. 8
2 b. 15
25 c. 12
39
d. 8
5+1 e. 10
7 — 2
Çözüm 64
a. 8
2(2)
= 82 2
= 42 b. 15
25(5)
= 155 10
= 35
2
c. 12
39(33)
= 12.33327
= 12.33
3 = 433
d. 8
5 + 1
(5 — 1)
= 8(5 – 1)
5 – 1 = 2(5 — 1)
e. 10
7 – 2
(7 + 2)
= 10(7 + 2)
7 – 2 = 2(7 + 2)
Örnek 65 6
√3 – 2
√3 + 1
işleminin sonucu kaçt›r?
A) 3 B) 23 C) 3 — 1
D) 3 + 1 E) 23 — 1(YGS 2010)
Çözüm 65
6
√3(√3)
— 2
√3 + 1(√3 – 1)
= 6√3
3 —
2(√3 — 1)
3 — 1
= 2√3 — (√3 — 1) = √3 + 1
Cevap D
484481
Öğrenme Alanı
23
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
Örnek 66
12
27 + 1
3
işleminin sonucu kaçtır?
A) 23
B) 35
C) 12
D) 3 E) 6
(YGS 2016)
Çözüm 66
12 = 4.3 = 23
27 = 9.3 = 33
1
√3(√3)
= √3
3
2√3
33 + 3
3
= 2√3
f3 +
1 p3
3
2
3 + 1
3
= 2103
= 2. 310
= 35
tir.
Cevap B
Örnek 67
7 + 6 + 1
7 – 6 + 1
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm 67
1 = (7)2 – (6)2 yazılabilir.
7 + 6 + (7)2 – (6)2
7 – 6 + 1
(7 + 6)(1 + 7 – 6)
1 + 7 – 6
7 + 6 bulunur.
Örnek 68
An =
1
n + 1 + n
olduğuna göre A1 + A
2 + A
3 + ... + A
15 toplamını bulu-
nuz.
Çözüm 68
An =
1
n + 1 + n
a n + 1 — nk= n + 1 – n
n + 1 – n
An = n + 1 – n bulunur.
A1 = 2 – 1
A2 = 3 – 2
A3 = 4 – 3
+ A15
= 16 – 15
A1 + A
2 + A
3 + ... + A
15 = 16 – 1
= 4 – 1 = 3 bulunur.
Örnek 69
x = 6 — 2
7 + 2
olduğuna göre, 6 + 2
7 — 2 ifadesinin x türünden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 45x
B) 2
5x C) 1
x D)
5x4
E) 5x2
Çözüm 69
6 + 2
7 — 2 = A diyelim ve verilen ifade ile çarpalım.
Eşlenik çarpımıdır.
654474448
x.A = 6 — 2
7 + 2 .
6 + 2
7 — 2 =
6 — 27 — 2
= 45
144424443
Eşlenik çarpımıdır.
x.A = 45
⇒ A = 45x
bulunur.
Cevap A
488485
Öğrenme Alanı
24
5.16 İç içe sonlu kökler
1. xn k = xn.k
2. xan k = ak.xn.k
3. xa cb
= xa.b.c
4. za cb yx = xa za.b.cya.b. . = xbc.yc.z
abc
Örnek 70Aşağ›daki ifadelerin eşitlerini bulal›m.
a) 5 b) 33 4 c)
3 2 6 d) 5 3 4 3
Çözüm 70
a. 5 = 2.25 = 45
b. 4 = 3.2.34 = 184 =
9.2 22
= 92
c. 62 = 32 .
2.36 = 32 .
66
d. 345 = 5 . 2.34 .
2.3.23 = 5 .
1224
. 123
= 5 .32.123
Örnek 71A < 1 < B olmak üzere
5 — 2 13 + 2
÷
A
13 — 2 5 + 2
÷
B
olduğuna göre B’nin A türünden eşitini bulunuz.
Çözüm 71
A = 5 — 2
13 + 2 ve B =
5 + 2
13 — 2 olmalıdır.
Bu durumda
A.B = 5 — 2
13 + 2 .
5 + 2
13 — 2 = 3
11 B = 3
11.A bulunur.
Örnek 72
5 2 3x = 5x . 32
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 132
B) 116
C) 18
D) 14
E) 12
Çözüm 725 2 3x = 5x .32 ⇒ 5 3 23.x = 3.5 x3 . 5.3 25
158x = 15 32x3
8x = 32x3 ⇒ 4x2 = 1 ⇒ x = 12
ve x = — 12
olur.
Cevap E
5.17 x 2 y biçimindeki ifadeler
x 2y şeklindeki bir ifade ile karş›laşt›ğ›m›zda; çarp›mlar› y yi, toplamlar› x i veren a ve b gibi iki say› bulmaya çal›ş›r›z.
x = a + b, y = a.b ve a > b olmak üzere,
• yx + 2 = a + b
• yx – 2 = a – b
Örnek 73
Aşağ›daki ifadelerin eşitlerini bulal›m.
a. 127 + 2
b. 67 – 2
c. 83 +
d. 29 – 6
Çözüm 73
a. 127 + 2
3 + 4 3 . 4
= 4 + 3 = 2 + 3
b. 67 – 2
6 + 1 6 . 1
= 6 – 1 = 6 – 1
c. Verilen ifadeyi yx + 2 biçiminde yazarak işlem yapal›m.
3 + 8 = 4.23 + = 23 + 2
2 + 1 2 . 1
= 2 + 1 = 2 + 1
d. 29 – 6 = 2. 39 – 2 =
6 + 3 6 . 3
189 – 2 =6 – 3
İç İçe Kökler, Köklü Denklemler
494489
Öğrenme Alanı
25
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
Örnek 74
4 + 7 — 4 – 7
işleminin sonucunu bulal›m.
Çözüm 74
Verilen ifadeyi özel kök biçiminde yazmak için kök içlerin-
deki ifadeleri 2 ile çarp›p 2 ile bölelim.
4 + 7 — 4 — 7 = 2(4 + 7 ) 2
— 2(4 — 7 )
2
= 8 + 2 7
2 —
8 — 2 7
2
= 8 + 2 7 8 – 2 7
2
—
= (7 + 1) — (7 — 1)
2
= 2
2 =
2 22
= 2 olur.
5.18 İç içe sonsuz kökler
Belirli bir örüntüyle sonsuz defa iç içe yazılmış köklü ifadelerdir.
Örnek
72 + 72 + 72 + ....
3.3 2. 3 3 2 ....
16.3 16.3 16 ....3
72 — 72 — 72 — ....
şekildeki sayılara iç içe sonsuz kök denir. Yukarıdaki iç içe sonsuz köklerin sonuçlarını sırasıyla bulalım.
Örnek 75
16.3 16.3 16 ....3
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 75
3 16.3 16. 3 16 3 16 .... = x
x
316.x = x ⇒ c316.xm3 = (x)3 16x = x3 ⇒ 16 = x2 ⇒ x = 4
Örnek 76
3.3 2. 3 3 2 ....
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 76
3.3 2. 3 3 2 .... = x diyelim. 15253
x
3.3 2x = x ⇒ 3 33.2.x = x ⇒ 654x = x
c654x m
6 = (x)6 ⇒ 54x = x6 ⇒ x5 = 54 ⇒ x = 554
Örnek 77
72 + 72 + 72 + ....
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 77
72 + 72 + 72 + .... = x diyelim.
72 + x = x ⇒ c 72 + x m2 = x2
x2= 72 + x ⇒ x2 — x — 72 = 0
(x — 9)(x + 8) = 0
x= 9 bulunur.
499495
Öğrenme Alanı
26
İç içe sonsuz köklerle ilgili pratik kurallar
• an. an
an. ....... =n — 1
• n n na : a : ........ =
n + 1 a
a pozitif bir reel sayı ve a = x(x + 1) olmak üzere,
• a + a + a +.... = x + 1
• a — a — a —.... = x'tir.
Örnek 78 a = 12. 12 ......12.
b = 9 : 9 : ......9 :3 3 3
c = 90 + 90 + 90 + ......
d = 30 — 30 — 30 – ......
olduğuna göre, a + b + c + d toplam› kaçt›r?
Çözüm 78
a = 12. 12 ......12. = 112 = 12
b = 81 : 81 : ......81 :3 3 3
= 481 = 3
c = 90 + 90 + 90 + ...... = 10
10 9
d = 30 — 30 — 30 – ...... = 5
56
a + b + c + d = 12 + 3 + 10 + 5 = 30 bulunur.
5.19 Köklü denklemler
Her iki tarafın karesi alınarak çözülen denklemlerde bulunan köklerin denklemi sağlay›p sağlamad›ğ› kontrol edilmelidir. Denklemi sağlamayan kökler çözüm küme-sine al›nmaz.
Örnek 79 2x + 9 — 3 = x denklemini sağlayan x kaçt›r?
Çözüm 79
2x + 9 – 3 = x
2x + 9 = x + 3 (Her iki tarafın karesini alalım.)
` 2x + 9 j2 = (x + 3)2
2x + 9 = x2 + 6x + 9
x2 + 4x = 0
x(x + 4) = 0
x = 0 veya x = –4
Bulunan köklerden x = —4 değeri denklemi sağlamamaktad›r.
O hâlde, x = 0’dır.
Örnek 80
2!2x . 3!4x . 4!8x = 2!16x+1
olduğuna göre, x kaçt›r?
Çözüm 80
2x2! . 2
2x3! . 2
3x4! = 2
4x+44!
x
2! +
2x
3! +
3x
4! =
4x + 4
4!
12x + 8x + 3x
4! =
4x + 4
4! 23x = 4x + 4
19x = 4
x = 4
19
504500
Öğrenme Alanı
27
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
Örnek 81
x — 1 = x — 5
olduğuna göre, x kaçt›r?
Çözüm 81
x – 1 = x — 5 olduğundan
`x – 1j2 = ` x — 5 j2
x + 1 — 2x = x — 5 ⇒ 1 — 2x = —5
2x = 6 ⇒ x = 3 ⇒ x = 9 bulunur.
(x = 9 un sorudaki eşitliği sağlad›ğ›na dikkat ediniz.)
Örnek 82
A B
1.2. 3. 48.
|AB| arasında telden yapılmış çemberlere aralarında boş-
luk kalmayacak biçimde şekil verilmiştir.
Çemberlerle ilgili olarak,
1. çemberin çevresi: 1
2 + 1
2. çemberin çevresi: 1
3 + 2
3. çemberin çevresi: 1
4 + 3
48. çemberin çevresi: 1
49 + 48
olduğuna göre, |AB| arasındaki çemberlerin çevreleri
toplamını bulunuz.
Çözüm 82
1
2 + 1 +
1
3 + 2 + .... +
1
49 + 48 (2 – 1) (3 – 2) (49 – 48)
2 – 1 + 3 – 2 + ... + 49 – 48
49 – 1
7 – 1 = 6 bulunur.
Örnek 83
x — y = x + y —1
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 34
D) 25
E) 45
(LYS 2013)
Çözüm 83
Her iki tarafın karesini alalım
ax — yk2= a x + y — 1 k2
x + y — 2x . y = x + y — 1
— 2xy = —1
xy = 12
⇒ xy = 14
bulunur.
Cevap B
Örnek 84
x + x + x — x = 22
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm 84
c x + x + x — x l2
= a22k
2
x + x + 2 x + x . x — x + x — x = 8
2x + 2 `x + xj`x — xj= 8
2 x2 — x = 8 — 2x ⇒ 2 x2 — x = 2 (4 — x)
c x2 — xm2
= (4 — x)2
x2 — x = 16 — 8x + x2 ⇒ 7x = 16 ⇒ x = 167
bulunur.
508505
Uygulama Alanı
28
516509
1.
3 –2
3
3 +1
3
işleminin sonucu kaçtır?
A) 14 B)
12 C) 1 D) 2 E) 4
2. 22 = 4x
333
= 9y
olduğuna göre, x.y kaçtır?
A) 6 B) 523
C) 334
D) 3216
E) 632
3. a = 3 – 17 + 5
olduğuna göre, 7 – 53 + 1
ifadesinin a türünden
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) a
3 B)
a
2 C) a D) 2a E) 3a
4. 10 + 55 + 2
– 4
5 + 1
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5 + 1 B) 1 C) 0 D) –1 E) 5–2
5. A = 1
2–1 + 1 +
1
2 + 1
B = 4
3–1 – 1 + 4
3 – 1
olduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır?
A) 1 B) 3 C) 4 D) –4 E) –6
6. 5 3 3 x = 5 3 · 3 7
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
A) 33 B) 35 C) 72 D) 73 E) 75
7. 4 9 – 6 2. 6 + 3
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 B) 2 C) 5 D) 22 E) 4
8. 3 81– +
6
9333
işleminin sonucu kaçtır?
A) 233 B) 2 C)
33 D) 1 E) 0
Konu Değerlendirme Testi - 2
Uygulama Alanı
29
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
524517
9. 2 + 223 + 5 + 6 + 10
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 B) 2 + 2 C) 5 + 3
D) 5 – 2 E) 5 – 3
10. 2 + 1 + 324
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 42 B) 2 + 42 C) 2 – 1
D) 42 – 1 E) 42 + 1
11. x ve y tam sayılar olmak üzere,
1 + 3
6 + 3 + 2 + 1 = x + y
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
12. x + x = 7
olduğuna göre, x + 7
x ifadesinin değeri kaçtır?
A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7
13. 47 – 43 .
47 + 43 . 7 + 3
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 2 D) 23 E) 3
14. 1→→
2 3
2 3 6
3 6 2
Çarpım tablosunda 1 sayısından başlanarak
sadece sağa veya aşağıya gitmek şartıyla kaç
farklı çarpımın sonucu 12’dir?
A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4
15. a2 < a olmak üzere,
x = a34
y = a
z = a23
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A) x < y < z B) x < z < y C) y < x < z
D) y < z < x E) z < y < x
16. a = 5 + 3 – 1
b = 5 – 3 + 1
c = 3 – 5 + 1
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c
D) c < b < a E) c < a < b
1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.E 7.A 8.E 9.E 10.E 11.D 12.D 13.C 14.D 15.B 16.D
Uygulama Alanı
30
1. x < 0 < y olmak üzere,
x2 + y33 – (x – y)66
işleminin sonucu kaçt›r?
A) –2x B) 2y C) 0
D) 2y – x E) 2x – y
2. (–4)2 (–4)3—(–16)216 ++ 3
(–4)44
işleminin sonucu kaçt›r?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
3. (2 – 1)2 – (1 – 2 2)2
işleminin sonucu kaçt›r?
A) –2 B) –2 C) –1 D) 2 E) 2
4. 8 + 75 + 32 – 72
işleminin sonucu kaçt›r?
A) –172 B) –62 C) 42
D) 53 E) 73
5. 66 . 11
24
işleminin sonucu aşağ›dakilerden hangisidir?
A) 23
B) 32
C) 2 D) 5 E) 112
6. ( 8,1+ 25,6) : 0,625
işleminin sonucu kaçt›r?
A) 1010 B) 10 C) 10
D) 25 E) 5
7.
A + + B B
A karesinin bir kenarı 10 cm, B karesinin bir
kenarı 421 cm olmak üzere yukarıdaki karelerin
alanları toplamı bir kenarı x cm olan C karesinin
alanına eşit ise x kaç cm’dir?
A) 3 + 2 B) 2 + 2 C) 2 + 5
D) 3 + 7 E) 5 + 7
8. x x = 2
3
olduğuna göre, 3 x2 ifadesinin değeri kaçt›r?
A) 1 B) 34 C) 34 D) 423 E) 443
Konu Değerlendirme Testi - 3
532525
Uygulama Alanı
31
Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler
9. 12 5 + 18 — 4
işleminin sonucu kaçt›r?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9
10. a + 1 = 42 olduğuna göre,
(2
18 + 1).(2
18 – 1)
214 + 1
ifadesinin eşiti aşağ›dakilerden hangisidir?
A) 1 B) a C) a2 + 1
D) a
a + 2 E)
a + 1a + 2
11. a = 8 : 8 : ......8 :
b = 5 . 5 . ......5 .
c = 42 + 42 + 42 + ......
d = 72 — 72 — 72 – ......
olduğuna göre, a + b + c + d toplam› kaçt›r?
A) 12 B) 14 C) 18 D) 22 E) 26
12. 33 + 1
39 + 33 + 2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 33 – 1 B) 33 + 1 C) 3 + 33
D) 3 – 33 E) 33 + 3
13. (7 – 6)x = A
olduğuna göre (7 + 6)x ifadesinin eşiti aşağıda-
kilerden hangisidir?
A) 2 + A B) 1
A C)
A
3
D) A2 E) A – 2
14. 0 < x < 1 olmak üzere,
a = 3 x , b = x23 ve c = x34
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru-
dur?
A) a > c > b B) a > b > c C) b > c > a
D) b > a > c E) c > a > b
15. 3x + 54 + = 2
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
16. a ve b birer pozitif tam sayıdır.
ab = 10!
olduğuna göre a + b toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A) 367 B) 427 C) 547 D) 627 E) 727
540533
1.C 2.B 3.B 4.D 5.E 6.B 7.D 8.D 9.C 10.D 11.D 12.A 13.B 14.B 15.C 16.E
Gülbahar Mh. Cemal Sururi Sk. Halim Meriç İş Merkezi No: 15/E Mecidiyeköy / İSTANBUL Telefon (212) 275 00 35 - (212) 356 53 63 Faks (212) 356 68 37 E-Posta [email protected]
DOĞAYI KORU!
“ okulların özel yayını ”