32
özet anlatımlı - bol örnekli Ünite Fasikülleri Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta Tam ve Dogru Eglenceli Kalıcı Dijital 5 Ad: Soyad: Sınıf: No: ÜSLÜ-KÖKLÜ İFADELER VE DENKLEMLER

Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

  • Upload
    others

  • View
    23

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

özet anlatımlı - bol örnekliÜnite Fasikülleri

Üniversite Hazırlık

TEMEL MATEMATİKDers Anlatım Rehberi

Ögretmenle

Sınıfta

Tam ve Dogru

Eglenceli

Kalıcı

Dijital

5

Ad:

Soyad:

Sınıf:

No:

ÜSLÜ-KÖKLÜ İFADELER VE DENKLEMLER

Page 2: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

2

Üslü-KöklüİfadelerveDenklemler

5. ÜNİTE378

ÜslüİfadelerveÖzellikleri

ÜslüDenklemlerveEşitsizlikler

KöklüİfadelerveÖzellikleri

İçİçeKökler,KöklüDenklemler

2derssaati

2derssaati

3derssaati

1derssaati

Konular ÖnerilenSüre*

* Burada önerilen süreler, MF/TM/TS gruplarına verilen toplam ders saatine göre değiştirilebilir.

Ünite ile ilgili önemli bilgiler

Bu bölümde yer alan örnek soruların çözümlerini son fasikülde bulabilirsiniz.Bu ünitenin iyice pekişmesi için Temel Matematik Soru Kitabımızın ilgili testlerini çözelim.

Page 3: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

3

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

5.1 Üslü ifadeler ve özellikleri

a ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere,

a.a.a...a = an’dir.15253

n tane

an ifadesinde a sayısına taban, n sayısına üs veya kuvvet denir ve an ifadesi a’nın n. kuvveti veya a üzeri n şeklinde okunur.

Örneğin, • 6.6.6 = 63’tür.

• (—2)4 = (—2).(—2).(—2).(—2) = 16’dır.

• —24 = —2.2.2.2 = —16’dır.

1. Özellik

• Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

n ∈ Z ve a > 0 ise an > 0'dır.

• Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir.

n ∈ Z ve a < 0 ise a2n > 0'dır.

• Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir.

n ∈ Z ve a < 0 ise a2n — 1 < 0'dır.

Örnek 01

Aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını bulalım.

a) 23 + 32

b) (—2)4 + (—24)

c) —3 + (—3)2 + (—3)3

Çözüm 01

a) 23 + 32 = 2.2.2 + 3.3 = 8 + 9 = 17 dir.

b) (—2)4 + (—24) = 16 + (—16) = 0 dır.

c) —3 + (—3)2 + (—3)3 = —3 + 9 + (—27)

= —3 + 9 — 27 = —21 dir.

2. Özellik

• Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti birdir.

a ≠ 0 olmak üzere, a0 = 1'dir.

• 00 tanımsızdır.

• 1 sayısının tüm kuvvetleri 1'dir.

n ∈ R olmak üzere, 1n = 1'dir.

• Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.

a ∈ R olmak üzere, a1 = a'dır.

Örneğin; • 1—2011 = 1’dir.

• (—2 + 3)0 = 1’dir.

• 51 = 5 tir.

3. Üslü İfadenin Üssü

Üslü ifadenin üssü, üsler çarpımına eşittir.

(am)n = (an)m = am.n'dir.

Örneğin, (23)5 = 23.5 = 215’tir.

Örnek 02

Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulalım.

a) fe1

2o–1

p

3

b) ((53)2)4

c) (—32)3 d) (—32)4

Çözüm 02

a) fd1

2n

–1

p

3

= d1

2n

–3

b) ((53)2)4 = 53.2.4 = 524

c) (—32)3 = —36

d) (—32)4 = 38

382379

Üslü İfadeler

Page 4: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

4

Örnek 03

x

m3y

n = 3x+n – 3y + 3m

bağıntısı tanımlanıyor.

Örneğin;

1

332

4 = 35 – 32 + 33

olduğuna göre,

x–4

332

6–x

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 03x–4

332

6–x = 3x–4+6–x – 32 + 33

= 32 – 32 + 33 = 27 bulunur.

4. Negatif üs

• a gerçel sayı olmak üzere,

a—n = 1

an'dir.

• a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

fa

bp

—n = f

b

ap

n 'dir.

Örnek 04Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulalım.

a) 3—1 b) 2—3 c) (—2)—1

d) f2

3p—1

e) f12p—2

f) f— 23p—3

g) 12—5 h) — 2

3—1 i) x—2

Çözüm 04

a) 3—1 = 1

31 = 1

3 f) f—

23p—3

= f—32

p3 = —

278

b) 2—3 = 1

23 = 1

8 g) 1

2—5 = 25 = 32

c) (–2)—1 = 1(—2)1 = —

12

h) —2

3—1 = —2.31 = —6

d) f23

p—1

= f32

p1 =

32

i) x—2 = 1

x2

e) f12

p—2

= f 21p2 = 4

Örnek 05

5x A

B 5x–1

5x+1 C

Tabloda verilen A, B, C sayıları 5x–1, 5x ve 5x+1 sayılarının

farklı ikili çarpımlarıdır.

A, B, C sayılarının çarpımı 25 ise x kaçtır?

Çözüm 05 A = 5x–1.5x

B = 5x.5x+1

C = 5x+1.5x–1 x

A.B.C = 53x.53x = 25

6x = 2 x = 13

bulunur.

5.2 Üslü ifadelerde dört işlem

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi

Tabanları ve üsleri eşit olan üslü ifadelerde toplama — çıkarma işlemleri yapılabilir.

• ax + ax + ax............. + ax = n.ax

14454244453

n tane

• n.ax + m.ax — k.ax + ax = (n + m — k + 1).ax

• n.ax + m.by + k.ax — t.by = (n + k)ax + (m — t)by

Örneğin;

3x + 3x + 3x + 3x + 3x = 5.3x

5.212 — 3.212 + 212 = (5 — 3 + 1).212 = 3.212 dir.

Örnek 06Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulalım.

a) 2.3t — 6.3t + 5.3t b) 8x3 — x2 — 4x3 + 2x2

c) 4(a2)3 — (a3)2 + 5a4 d) 7.54 — 54

e) 5.2x + 6.2x — 11.2x

Çözüm 06a) 2.3t — 6.3t + 5.3t = (2 — 6 + 5).3t = 3t

b) 8x3 — x2 — 4x3 + 2x2 = (8 — 4).x3 + (—1 + 2).x2

= 4x3 + x2

c) 4(a2)3 — (a3)2 + 5a4 = 4a6 — a6 + 5a4 = 3a6 + 5a4

d) 7.54 — 54 = (7 — 1).54 = 6.54

e) 5.2x + 6.2x — 11.2x = (5 + 6 — 11).2x = 0.2x = 0

388383

Page 5: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

5

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

5.3 Üslü ifadelerde çarpma işlemi

Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpıldığında ortak taban alınır, üsler toplanır.

am.an = am+n

Örneğin, 23.24 = 23 +4 = 27’dir.

8.24.32.2—3 =23.24.25.2—3 = 29’dur.

am + n ifadesinin am.an olduğu unutulmamalıdır.

am + n = am.an

Not!

Örneğin, 2x + 3 = 2x.23 = 8.2x

32x + 1 = 31.32x = 3.(32)x = 3.9x

Üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpıldığında tabanlar çarpılır ortak üs alınır.

an.bn = (a.b)n

Örneğin, 52.32 = (5.3)2 = 152 dir.

104 = (2.5)4 = 24.54 tür.

27.55 = 22.25.55 = 22.105 tir.

3x.2x = (3.2)x = 6x tir.

Örnek 07

A 28 83 D

B 1254 256 E

C 815 2434 F

d

Tabloda A, B, C, D, E, F kutuları ve içindeki sayılar göste-rilmiştir.

Buna göre d doğrusuna simetri bölmesi diyebilmek

için hangi kutuya hangi işlem yapılabilir?

Çözüm 07A kutusunda, sayı 2 ile çarpılabilir veya

D kutusunda, sayı 2 ile bölünebilir.

Örnek 08 (—x)5 . (—x2) . (—x)—4

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) — x2 B) — x C) x D) x3 E) x4

Çözüm 08

(—x)5 . (—x2) . (—x)—4

:

—x5 . —x2 . +x—4 0 + x7 . x—4 = x3

Cevap D

Örnek 09 2a = x

3—a = y

olduğuna göre, 24a ifadesinin x ve y cinsinden eşiti

aşağıdakilerden hangisidir?

A) x3

y B) x3y C) xy3 D)

y3

x E)

x2

y

Çözüm 09

3—a = y ⇒ 3a = y—1 ⇒ 3a = 1y ’dir.

24a = (23.3)a = (23)a.3a

= (2a)3.3a

= x3. 1y =

x3

y Cevap A

Örnek 10 1

1

2x tane birim kareden oluşan şekildeki birim karelerin,14 ’ü kırmızı,

164 ’ü siyah,

1256 ’sı mavi renk ile boyanıyor.

Boyalı kare sayısı 276 ise x kaçtır?

Çözüm 10

2x

4 +

2x

64 +

2x

256 = 276

2x. 69256

= 276

2x = 210 x = 10 bulunur.

393389

Page 6: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

6

Örnek 11

(32)3.512

sayısı kaç basamaklıdır?

Çözüm 11

(32)3. 512 = (25)3. 512 = 215. 512 = 23. 212. 512 = 8 . 1012

8.1012 sayısının sonunda 12 tane “0” vardır.

O hâlde, 8.1012 = 800......0 sayısı 123

12 tane sıfır

12 + 1 = 13 basamaklıdır.

5.4 Üslü ifadelerde bölme işlemi

Bölme işleminde tabanlar aynı ise ortak taban alınır, payın üssünden paydanın üssü çıkartılır.

am

an = am—n

Örneğin;

• 320

315 = 320—15 = 35 tir.

• 210

212 = 210—12 = 2—2 dir.

am — n ifadesinin am

an olduğu unutulmamalıdır.

Not!

Örneğin;

3x — 2 = 3x

32 =

3x

9 dur.

Üsleri eşit olan ifadelerde tabanlar bölünür, ortak üs

alınır.

an

bn = f

a

bp

n

Örneğin;

• 310

210 = f 3

2p10’dur.

• 67

27 = f62

p7

= 37’dir.

Örnek 12

x = 4x + 1 ve x = 2x – 1 olmak üzere,

xx x x++ ++ +

.x x

ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm 12

4x + 1 + 4x + 1 + 4x + 1 + 4x + 1

2x – 1 . 2x – 1

4.4x + 1

2x – 1 . 2x – 1 = 4.4.4x

22x.2–2 = 16.4= 64 bulunur.

Örnek 13 12a = 2

6b = 3

olduğuna göre, 12(1 — a)2b ifadesinin değeri kaçtır?

A) 15 B) 16 C) 9 D) 8 E) 4

(YGS 2011)Çözüm 13

12(1 — a)2b = [12(1 —a)]2b

= f

121

12a p

2b = f

122

p

2b

= 62b = (6b)2 = 32 = 9 olur.

Cevap C

397394

Page 7: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

7

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

Örnek 14 6x = 12 . 15x

olduğuna göre,

2x — 2 .51—x

ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm 143x/ . 2x = 12 . 5x . 3x/

2x = 12 . 5x ⇒ 2x

5x = 12 ⇒ = 2x . 5—x = 12

Bizden istenen

2x—2 . 51—x = 2x.2—2. 51.5—x

2x.5—x. 2—2.5 = 12. 1

22.5 = 3.5 = 15

< 12

Örnek 15

1

2–5 + 1 +

1

2–4 + 1 + ... +

1

24 + 1 +

1

25 + 1

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 15

1

2–5 + 1 =

11

25 + 1

= 1

1 + 25

25

= 25

1 + 25

1

2–4 + 1 =

11

24 + 1

= 1

1 + 24

24

= 24

1 + 24

25

1 + 25 +

24

1 + 24 + .... +

1

1 + 20 + .... +

1

24 + 1 +

1

25 + 1

11

1 + 1 + .... + 1

5 tane14243

+ 1

1 + 20 = 5 +

12 =

112

olur.

Örnek 165x cm

A

3y cm

B

A ve B çubuklarının özellikleriyle ilgili bilinenler şunlardır:

• A çubuğu, uzunluğunun 4 katı uzatıldığında B çubuğunun

uzunluğunun üçte birinden 124 cm uzundur.

• B çubuğu, uzunluğunun 26 katı uzatıldığında A çubuğu-

nun uzunluğundan 56 cm uzundur.

Buna göre, x + y toplamı kaçtır?

Çözüm 16

5.5x – 3y

3 = 124

33.3y – 5x = 56

Buradan, x = 2 ve y = 1

x + y = 3 bulunur.

Örnek 17

46 + 48 — 410

210 + 214 — 218

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 17

212 + 216 — 220

210 + 214 — 218 = 22 (210 + 214 — 218)

210 + 214 — 218 = 4

Örnek 18

Üç farklı kültürdeki bakterilerin bir günlük sayıları tabloda

gösterilmiştir.

1. kültür 2. kültür 3. kültür

1. gün 210

2. gün 213

3. gün 213

X Y Z

Tabloyla ilgili bilinenler şunlardır:

• Kültürlerdeki bakteri sayısı her gün bir önceki günün 4

katına çıkmaktadır.

• Kültürdeki üç günlük bakteri sayılarının çarpımı sırasıyla

X, Y ve Z’dir.

• X + Y + Z = 73.2p

Buna göre, p kaçtır?

Çözüm 18

X + Y + Z = 236 + 239 + 233 = 2p.73

233(23 + 26 + 1) = 2p.73

p = 33

402398

Page 8: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

8

5.5 Üslü denklemler

• Birbirine eşit olan iki üslü ifadenin tabanları aynı ise üsleri de birbirine eşit olmalıdır.

x ∉ {—1, 0, 1} olmak üzere,

xm = xn ise m = n'dir.

Örnek 19

a) 2x = 16 ise (x + 3)2 kaçtır?

b) 81 + 3x = 16x—2 ise x kaçtır?

Çözüm 19

a) 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4’tür.

O hâlde, (x + 3)2 = (4 + 3)2 = 72 = 49 olur.

b) 81 + 3x = 16x — 2 ⇒ (23)1 + 3x = (24)x — 2

23 + 9x = 24x — 8 olur.

Buradan, 3 + 9x = 4x — 8

5x = —11

x = — 115

bulunur.

Örnek 20 4x.6x.9x = 36

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 23

B) 14

C) 34

D) 38

E) 49

(LYS 2013)

Çözüm 20

4x.6x.9x = 36 ise

(4.6.9)x = (63)x = 63x

63x = 36 ⇒ 63x = 62

3x = 2 ⇒ x = 23

’tür.

Cevap A

Örnek 21

A, b, c birer tam sayı olmak üzere,

a

b c = (b – c)a

c

a b = (a + b)c

eşitlikleri tanımlanıyor.

Buna göre,

15

5 13 =

9

20 x

eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 32 B) 20 C) 12 D) –36 E) –52

Çözüm 21

15

5 13 =

9

20 x

(5 – 13)15 = (20 + x)9

(–8)15 = (20 + x)9

(–2)45 = (20 + x)9

(–25)9 = (20 + x)9

–32 = 20 + x ⇒ x = –52 bulunur.

Örnek 22 3x. 122 — x = 18

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 12

B) 32

C) 13

D) 43

E) 54

(YGS 2016)

Çözüm 223x.122

12x = 18 ⇒ f3

12p

x. 144 = 18

f14p

x

= 18

144 =

18

2—2x = 2—3 ise x = 32

bulunur.Cevap B

407403

Üslü Denklemler ve Eşitsizlikler

Page 9: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

9

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

• Birbirine eşit olan iki üslü ifadenin üsleri aynı ise; üsler tek sayı iken tabanlar birbirine eşit olmalıdır; üsler çift sayı iken tabanların mutlak değeri birbirine eşit olmalıdır.

x ≠ +- 1 , y ≠ +- 1 ve n ≠ 0 olmak üzere,

xn = yn ⇒ x = y, n tek sayı ise

x = y, n çift sayı ise

Örnek 23

(2 — 3x)7 = (8 — x)7

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm 23

(2 — 3x)7 = (8 — x)7

Üsler tek sayı ve birbirine eşit olduğundan

2 — 3x = 8 — x

—3x + x = 8 — 2

— 2x = 6 ⇒ x = —3 olur.

Çözüm kümesi, Ç ={—3} bulunur.

Örnek 24

(x + 3)4 = (2x — 9)4

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm 24

(x + 3)4 = (2x — 9)4

eşitliğinde üsler çift sayı ve birbirine eşit olduğundan

x + 3 = 2x — 9 veya x + 3 = —(2x — 9) olur.

• x + 3 = 2x — 9 ise x — 2x = —3 — 9

x = 12 olur.

• x + 3 = —(2x — 9) ise x + 3 = —2x + 9

3x = 6 ⇒ x = 2 olur.

Bu durumda çözüm kümesi, Ç = {2, 12} bulunur.

xn = 1 denklemini sağlayan 3 farklı durum vardır.

1. durum: x = 1 dir.

2. durum: n = 0 ve x ≠ 0 dır.

3. durum: x = —1 ve n çift sayıdır.

Örnek 25

Bir a tam sayısının toplamaya göre tersi –a, çarpmaya

göre tersi 1a

’dır.

Buna göre 26, 28, 210 sayılarının toplamaya göre ters-

lerinin toplamının, çarpmaya göre terslerinin toplamına

oranı kaçtır?

Çözüm 25(–26) + (–28) + (–210)

126 + 1

28 + 1210

= – 26 + 28 + 210

2–6 + 2–8 + 2–10

= – 26(1 + 22 + 24)

2–10(24 + 22 + 1)

= – 216 bulunur.

ap = bq ise

pr =

qs 'dir.

ar = bs

Örnek 26

2a = 9 ve 3b = 8

olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?

Çözüm 26

2a = 32

23 = 3b ⇒

a3

= 2b

olur.

O hâlde, a.b = 6 bulunur.

414408

Page 10: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

10

Örnek 27

EBOB (2x, 22x–1) = 27

EKOK(3y, 36–y) = 64

x ve y 3'ten büyük reel sayılar olmak üzere x.y çarpımı

bulunabildiğine göre x.y değeri kaçtır?

Çözüm 27

EBOB(2x, 22x–1) = 2x = 33

EKOK(3y, 36–y) = 3y = 26

2x = 33 ise x

6 = 3

y26 = 3y

x.y = 18 bulunur.

a ve b, 0, 1 ve —1'den farklı birer gerçel sayı ve x, y∈Z

olmak üzere,

a ≠ b ve ax = by ise x = y = 0'dır.

Örnek 28Üslü sayılarda bölme tablosu verilmiştir.

÷ 2a+1 2b–4

3x–2 1

36–3y 1

a, b, x, y birer tam sayı olmak üzere

a.x + b.y

ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm 28

3x–2 = 2a+1 ⇒ x = 2 , a = –1

36–3y = 2b–4 ⇒ y = 2 , b = 4

a.x + b.y = –2 + 8 = 6 olur.

Örnek 29

x ve y sıfırdan farklı birer reel sayıdır.

2x = 3y

olduğuna göre, 2xy + 3

y+xx işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 29

2x = 3y ⇒ (2x)

1y = (3y)

1y

2xy = 3 olur.

2x = 3y ⇒ (2x)

1x = (3y)

1x

3yx = 2 olur.

2xy + 3

yx

+ xx

=

2xy + 3

yx . 31

3 + 2.3 = 18

Örnek 30

(3x + 24)2 + (6y — 9)2 = 0

olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?

Çözüm 30

Kareler toplamının sıfır olabilmesi için parantez içleri sıfır

olmalıdır.

3x + 24 = 0 ⇒ x = —8

6y — 9 = 0 ⇒ y = 32

x.y = —8. 32

= —12

419415

Page 11: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

11

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

5.6 Bilimsel gösterim

n ∈ Z ve 1 ≤ a < 10 olmak üzere, a.10n biçimindeki gösterime bilimsel gösterim denir.

Örneğin,

• 234 = 2, 34.102,

• 8900 = 8, 9.103,

• 0, 1453 = 1, 453.10—1 birer bilimsel gösterimdir.

Örnek 31

6, 4.10—8

4.10—5

işleminin sonucunu bulal›m ve bilimsel gösterim ile

ifade edelim.

Çözüm 31

6, 4.10—8

4.10—5 =

64.10—9

4.10—5 = 16.10—4 = 1,6.10—3

bulunur.

5.7 Üslü eşitsizlikler

• Taban› 0 ile 1 aras›nda olan üslü say›lar›n üsleri büyüdükçe değeri küçülür.

Örneğin, f12 p

3 < f

12 p

2 < 12

olur.

• Taban› 1'den büyük olan say›lar›n üssü büyüdükçe değeri de büyür.

Örneğin, 2 < 22 < 23 olur.

Örnek 32

(0,25)2x—1 > f14p3x+5

eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam say›s› kaçtır?

Çözüm 32

(0,25)2x—1 > f14p

3x+5 ⇒

f

25100

p2x—1

> f14p

3x+5

⇒ f

14p

2x—1

> f 1

4p3x+5

0 ile 1 aras›ndaki say›lar›n üsleri büyüdükçe değeri küçüle-

ceğinden 2x — 1 < 3x + 5 olmal›d›r.

2x — 1 < 3x + 5 ⇒ 2x — 3x < 5 + 1 ⇒ x > —6 olur.

Öyleyse en küçük x tam say› değeri —5’tir.

Örnek 33a, b ∈ Z+ olmak üzere

2a

bx

yy = 2x

grafiğine göre,

(■)2. 4▲ = 646

ise a.b’nin en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Çözüm 33

y = 2x fonksiyonunda

2▲ = 2a 2b = ■

▲ = a olduğuna göre,

(■)2. 4▲ = 646

(2b)2.4a = 646

22b+2a = 236

a + b = 18 buradan a < b olduğundan a = 8 b = 10 seçilirse

a.b = 80 olur.

Üslü eşitsizliklerde üsler eşit ise taban› büyük olan daha büyüktür.

Örneğin, 58 < 68 < 78 dir.

425420

Page 12: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

12

Örnek 34

a = 260, b = 348 ve c = 524

say›lar›n› küçükten büyüğe doğru s›ralayal›m.

Çözüm 34

a, b, c’nin tabanlar› eşitlenemeyeceğinden üsleri eşitle-

yelim. Üslerdeki 60, 48 ve 24 say›lar›n›n en büyük ortak

böleni 12 olduğundan

a = 260 = (25)12 = 3212

b = 348 = (34)12 = 8112

c = 524 = (52)12 = 2512 biçiminde düzenleyelim.

a, b, c say›lar›n›n üsleri eşit olduğundan taban› büyük olan

daha büyük olur.

O hâlde, c < a < b olur.

Örnek 35

2x = 9, 3y = 20, 5z = 23

olduğuna göre, x, y, z say›lar›n› küçükten büyüğe doğru

s›ralayal›m.

Çözüm 35

• 2x = 9 eşitliğinde

8 < 9 < 16 ⇒ 23 < 2x < 24 ⇒ 3 < x < 4’tür.

Benzer şekilde,

• 3y = 20 ⇒ 2 < y < 3’tür.

• 5z = 23 ⇒ 1 < z < 2’dir.

O hâlde, z < y < x olur.

Örnek 36 34 — x ≤ 1 ≤ 56 — x

eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

(ÖSS 2008)

Çözüm 36

34 — x ≤ 1 ⇒ 34 — x ≤ 30

4 — x ≤ 0 ⇒ x ≥ 4’tür. .......... (I)

1 ≤ 56 — x ⇒ 50 ≤ 56 — x

0 ≤ 6 — x ⇒ x ≤ 6’dır. ........... (II)

I. ve II. nin ortak çözümünden, x tam sayıları; 4, 5, 6 olur.

Toplamları; 4 + 5 + 6 = 15 bulunur.

Cevap E

Örnek 37n bir rakam olmak üzere,

b0,00032l2n—5 > b0,0016ln + 4

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı n değeri vardır?

Çözüm 37

0,00032 = 32.10—5 = 25.10—5 = f210

p5

0,0016 = 16.10—4 = 24.10—4 = f210

p4

b0,00032l2n — 5 > b0,0016ln + 4 ⇒

fe210

o5

p

2n — 5

> fe210

o4

p

n + 4

e210

o10n — 25

> e210

o4n + 16

10n — 25 < 4n + 16 ⇒ 6n < 41

Buna göre, n rakamı {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} olabilir. 7 farklı değer

vardır.

429426

Page 13: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Uygulama Alanı

Konu Değerlendirme Testi - 1

13

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

1. (–1)201 + (–1)200 – (–1)199

(–1)10 + 14

– 12

işleminin sonucu kaçtır?

A) 12 B) 8 C) 4 D) 12

E) 14

2. x = x3 ve x = x4

olduğuna göre, x ifadesinin kuvveti kaçtır?

A) 24 B) 36 C) 48 D) 60 E) 72

3. 8

1 – 2x + 8

1 – 2–x

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 8 B) 4 C) 1 D) – 4 E) – 8

4.

2010

+ =5

5 x

x2000

Şekilde verilen alan toplamına göre x kaçtır?

A) 2003 B) 2005 C) 2007 D) 2009 E) 2011

5. 40x = 23x + 2

olduğuna göre, 5x+2’nin değeri kaçtır?

A) 75 B) 100 C) 125 D) 150 E) 175

6. x = 1 + 3t ve y = 1 – 3–t

olduğuna göre, y’nin x türünden eşiti aşağıdaki-

lerden hangisidir?

A) x – 2x + 1

B) x – 2x – 1

C) x + 2x + 1

D) x + 2

x – 1 E)

– xx + 2

7. n ∈ Z+ olmak üzere,

1 + 21 + 22 + ... + 2n = 2n+1 – 1

olduğuna göre,

1

210 + 1

211 + 1

212 + ... + 1

2100

ifadesinin eşiti kaçtır?

A) 2–3 – 2–10 B) 2–9 – 2–100 C) –210 – 2100

D) –2–99 E) 2100 – 2–99

8. a, b birer tam sayı ve

5a + b – 4 = 72a – b – 8

olduğuna göre, a3 + b3 toplamı kaçtır?

A) 24 B) 36 C) 48 D) 52 E) 64

437430

Page 14: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Uygulama Alanı

14

9. A B

K

Şekildeki A ve B küreleri eşit kollu teraziye yerleştiril-

diğinde K noktası denge noktası olmuştur. Terazinin

her bölmesinin ağırlığı, denge noktasına olan uzaklığı

ile ters orantılıdır.

A ve B kürelerinin ağırlıkları sırasıyla 27x–1 kg ve

93–x kg olduğuna göre, x kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. 9x = 25

125y = 27

olduğuna göre, 2xy + 2 ifadesinin değeri kaçtır?

A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64

11. 2x = 12 ve 9y = 6

olduğuna göre, x’in y türünden değeri aşağıdaki-

lerden hangisidir?

A) 4y + 12y – 1

B) 4y – 12y – 1

C) 4y + 12y + 1

D) 4y – 12y + 1

E) 2y + 1

12. (x – 2)x2

– 4 = 1

eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

13. 2a = 3b = 5c = 30

olduğuna göre 1a

+ 1b

+ 1c

toplamı kaçtır?

A) 1 B) 32

C) 2 D) 52

E) 3

14. x ∈ Z+ olmak üzere

(0,00032)x–3 < (0,512.10–6)6–x

olduğuna göre x en az kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

15. 8

16

64

2x

2y

2z

Başlangıçta verilen 2x, 2y, 2z sayıları 8, 16, 64 sayıla-

rıyla eşleşecektir.

Bu eşleşmeyle ilgili olarak şunlar bilinmektedir:

• Her sağa gidildiğinde çapraz yol varsa çapraza

gidilecektir.

• Her çapraz yol gidildikten sonra sağa gidilecektir.

• Hareketler her zaman sayılara doğru (sağa) olacak-

tır.

Buna göre x, y, z’nin değerleri aşağıdakilerin han-

gisinde doğru eşleştirilmiştir?

x y z

A) 3 4 6

B) 4 4 6

C) 6 3 4

D) 4 6 3

E) 6 4 3

444438

1.C 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 7.B 8.E 9.B 10.B 11.B 12.A 13.A 14.C 15.D

Page 15: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

15

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

5.8 Köklü ifadeler

a bir reel sayı ve n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere;

xn = a eşitliğini sağlayan x sayısına a nın n. dereceden kökü denir ve x = na biçiminde gösterilir.

xn = a ise x = na ifadesinde

• n = 2 için a şeklinde yaz›l›r ve karekök a şeklinde okunur.

• n = 3 için, 3a yaz›l›r ve küp kök a şeklinde okunur.

Örneğin, 23 = 8 olduğundan, 38 = 2;

52 = 25 olduğundan, 25 = 5’tir.

5.9 Köklü ifadenin tanım aralığı

Köklü ifadeler her zaman bir gerçel say›ya eşit olma-yabilir.

na köklü ifadesinin gerçel say› belirtebilmesi için;

n çift ise a ≥ 0 olmal›d›r. n çift say› ve a < 0 ise, na ifadesi gerçel say› belirtmez.

Örneğin,

• 5 → gerçel say›d›r.

• 4(—3)2 → gerçel say›d›r.

• —5 → gerçel say› değildir.

• 6(—2)3 → gerçel say› değildir.

n tek ise na ifadesi daima bir gerçel say› belirtir. Yani n tek iken a negatif de olsa pozitif de olsa na ifadesi bir gerçel say›d›r.

Örneğin, 53

, —23

, —15

, —107

ifadeleri birer gerçel say›d›r.

Örnek 38

A = x — 46

+ 8 — 2x + x2

ifadesi bir gerçel say› olduğuna göre, A kaçt›r?

Çözüm 38

x — 46

ve 8 — 2x ifadelerinde kök dereceleri çift

olduğundan

x — 4 ≥ 0 ve 8 — 2x ≥ 0 olmal›d›r.

• x — 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4 ve

• 8 — 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4 olur. Buradan x = 4 olmal›d›r.

O hâlde, x = 4 için A = 4 — 46

+ 8 — 2 . 4 + 42 = 16

bulunur.

Örnek 39

2x—1– 4 + 2x3 + 64 – 2x+14

toplamı bir reel sayı olduğuna göre x’in alabileceği tam

sayı değerlerini bulunuz.

Çözüm 39na ifadesinin tanımlı olması için

n çift sayı iken a ≥ 0

n tek sayı iken a ∈ R olmaldır.

2x–1 – 4 ≥ 0 ve 64 – 2x+1 ≥ 0

2x–1 ≥ 4 64 ≥ 2x+1

2x ≥ 8 32 ≥ 2x

x = {3, 4, 5} olmalıdır.

Köklü İfadeler ve Özellikleri

448445

Page 16: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

16

5.10 Köklü ifadenin üslü biçimde yazılması

Her köklü ifade, üslü ifade biçiminde yazılabilir.

n∈Z+ olmak üzere,

am =amnn

’dir.

Örneğin;

3 = 31/2

(–2)5 =3

(—2)5/3

(–3)6 4

= 36 4

= 3

64

= 3

32

olur.

Örnek 40

2x3 = 8

olduğuna göre, x kaçt›r?

Çözüm 40

2x3 = 8 ⇒ 2x3 = 23⇒ 2x

3 = 2

3

2 ⇒ x

3 =

3

2 ⇒ x =

9

2

Örnek 41

214 . 48

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 41

214 . 8

14 = 2

14 . (23)

14 = 2

14 . 2

34 = 2

14

+34 = 2

5.11 Kök içindeki bir ifadeyi kök dışına çıkarma

1. n

an a, n tek ise

IaI, n çift ise=

Örneğin,

• (–5)33 = —5’tir.

• (—5)2 = I—5I = 5’tir.

Örnek 42Aşağ›daki ifadelerin değerlerini bulal›m.

a. 3

23 b. 52

c. (—3)55 d. (—3)2

Çözüm 42

a. Kök derecesi tek say› olduğundan 3

23 = 2 olur.

b. Kök derecesi çift say› olduğundan 52 = |5| = 5 olur.

c. (–3)55= –3 (Kök derecesi tek say›d›r.)

d. (–3)2 = I–3I = 3 (Kök derecesi çift say›d›r.)

Örnek 43

2 – 1 3 – 2 2 – 3 Çarpım

Ali ✓ ✓ m

Veli ✓ ✓ n

Elif ✓ ✓ r

Ali, Veli ve Elif tabloda gösterilen sayıların çarpımını sıra-

sıyla m, n, r bulmuştur.

Buna göre m, n, r sayılarının küçükten büyüğe sırala-

masını bulunuz.

Çözüm 43

m = (2 – 1) . (3 – 2)

n = (2 – 1) . (2 – 3)

r = (3 – 2) . (2 – 3)

2 – 1 > 3 – 2 > 2 – 3 olduğundan m en büyük, r en küçük

sayıdır. Bu dumuda n ortanca sayıdır. m, n, r sayılarının

sıralaması r < n < m olarak bulunur.

454449

Page 17: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

17

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

Örnek 44

x

x x → 1. satır 3x 3x 3x → 2. satır

100. satırdaki elemanların çarpımı 64 ise 5. satırdaki

elemanların toplamı kaçtır?

Çözüm 44

Her satırdaki elemanların çarpımı x olduğundan x = 64’tür.

5. satır; 6x 6x 6x 6x 6x 6x şeklinde ve 664 = 2

olduğundan 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 bulunur.

Örnek 45

x > 0 ve y < 0 olduğuna göre

(y — x)2 — 3 (y — 2x)3

ifadesinin en sade şeklini yazınız.

Çözüm 45

y — x < 0’dır.

(y — x)2 = y — x = —(y — x) = x — y

3 (y — 2x)3= y — 2x

x — y — (y — 2x) = x — y — y + 2x = 3x — 2y bulunur.

Örnek 46

1625

259

83

+ —

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 46

45

45

53

53

45

53

83

+ +2 22 2

f ff fp pp p— — .

14243

2.=

83

45

45

—1315

53

53

1315

— = = =—2

f p

2. a

n . b = a . b

n n

• n tek sayı ise,

an.b n

= a.nb

• n çift sayı ise,

an.b n

= IaI .nb

Buna göre, aşağ›daki örnekleri inceleyelim.

a. 3

73 .5 = 735

b. 8 = 22 .2 = 22

c. 5

—64 = 5 (–32).2 = 5 (–2)5.2 = –2 5 2

d. (–5)2. 3 = I–5I 3 = 53

e. 5

32 .2 = 5.3 2 = 152

Örnek 47

a = 3 olmak üzere 3 + 3 toplamının çarpanlarından

biri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) a – 3 B) a – 2 C) a + 2

D) a + 3 E) a + 4

Çözüm 47

3 + 3 = 1 + 2 + 3

= 22 – (3)2 + 2 + 3

= (2 + 3)(2 – 3) + 2 + 3

= (2 + 3)(2 – 3 + 1)

= (2 + 3)(3 – 3)

= (2 + a).(a2 – a) bulunur.

= (a + 2) .a.(a – 1)

Cevap C

459455

Page 18: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

18

Örnek 48 6!

irrasyonel sayısının yaklaşık değerinin hesaplanabil-

mesi için aşağıdaki irrasyonel sayılardan hangisinin

yaklaşık değeri bilinmelidir?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 10 E) 15

Çözüm 48

6! = 6.5.4.3.2.1 = 24.32.5

(22)2.(3)2.5 = 22.35 = 125

6! = 12.5 olduğundan 5’in değeri bilinmelidir. Cevap C

Örnek 49a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere

4 0,00a + 5 0,000b

toplamının sonucu rasyonel sayı olduğuna göre a + b

toplamının sonucu en fazla kaçtır?

Çözüm 49

0,00a ve 0,000b sayıları kök dışına çıkabildiğine göre a ve

b en az iki basamaklı sayılardır.

4a

104 + 5b

105

a = 81 ve b = 32 olur.

Bu durumda a + b = 81 + 32

= 113 bulunur.

Örnek 50a, b∈N olmak üzere,

32160 = a.3b

eşitliğini sağlayan a ve b sayılarının toplamı en az

kaçtır?

Çözüm 50

2160 asal çarpanlarına ayrıldığında,

2160 = 24.33.5 olur.

32160 = 3

24.33.5 = 2.3.32.5 = 6 310 olur.

a = 6, b = 10 olacağından a + b = 16 bulunur.

5.12 Kök dışındaki bir sayıyı kök içine alma

b > 0 olmak üzere,

bna = n

bn

. a

Buna göre, aşağ›daki işlemleri inceleyelim.

a. 37 = 32 .7 = 63

b. 235 =

3 23 .5 =

3 40

c. —53 = — 52 .3 = — 75

d. —235 =

3(–2)3 .5 = 3

–40

5.13 Kök derecesinde genişletme ve sadeleştirme

Uygun şartlarda kökün derecesi ve kökün içindeki say›n›n üssü ayn› say›yla genişletilebilir veya sadeleş-tirilebilir.

1. k ∈ Z+ ve a ≥ 0 olmak üzere,

=anman.km.k

dır.

2. k ∈ Z+ ve a ≥ 0 olmak üzere,

anm

= ank

mk dır.

Aşağ›daki işlemleri inceleyelim:

a. 3

52 =

3.5 52.5

= 15

510

b. 5 = 2.3

51.3 =

6 53

c. 6

34 = 3 42

62 =

3 32

d. 4

52 = 5

464460

Page 19: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

19

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

5.14 Köklü sayılarda sıralama

Sıralanacak köklü sayıların kök dereceleri eşit değilse önce kök dereceleri eşitlenir. Kök dereceleri eşit olan sayılardan içi büyük olan daha büyüktür.

Örnek 51 2 < x < 3

olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 12

B) 32

C) 43

D) 74

E) 63

(LYS 2011)

Çözüm 51

2 < x < 3 Her tarafın karesini alalım.

2 < x2 < 3

Seçenekleri incelendiğimizde karesi 2 ile 3 arasında olan

sayı 32

’dir.

Cevap B

Örnek 52 x = 34

y = 48

z = 516

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi

doğrudur?

A) x < y < z B) x < z < y C) y < x < z

D) z < x < y E) z < y < x(YGS 2011)

Çözüm 52

Kök derecelerini 60 ta eşitleyelim.

x = 34 = 3.20 420

= 60 240

y = 48 = 4.15

815 = 60 245

z = 516 = 5.12

1612 = 60 248

x < y < z dir.

Cevap A

5.15 Köklü ifadelerde dört işlem

Toplama – Çıkarma İşlemi

Kök dereceleri eşit ve kök içindeki say›lar ayn› ise ifade-ler toplanabilir veya ç›kar›labilir.

an x + b

n x — c

n x = (a + b – c)

n x

Örnek 53Aşağ›daki işlemlerin sonuçlar›n› bulal›m.

a. 53 + 23

d. 235 + 335

b. 75 — 5 e. 5 + 3

c. 53 + 63 — 43 f. 37 — 7

Çözüm 53

a. 53 + 23 = (5 + 2)3 = 73

b. 75 — 5 = (7 — 1)5 = 65

c. 53 + 63 — 43 = (5 + 6 — 4)3 = 73

d. 235 + 335 = (2 + 3)35 = 535

e. Kök dereceleri eşit fakat kök içindeki say›lar farkl›

olduğudan toplama işlemi yap›lamaz.

Yani 5 + 3 olarak kal›r.

f. Kök dereceleri farkl› olduğundan ç›karma işlemi

yap›lamaz. Yani 37 — 7 olarak kal›r.

Örnek 54

Dikdörtgenlerin alanları toplamı şekilde gösterilmiştir.

+ =

10

2 15

3

x

x

olduğuna göre, x kaçtır?

Çözüm 54

2 . 10 + 3 . 15 = x.x

20 + 45 = x.x

2.5 + 3.5 = x.x

55 = x.x

Buradan x = 5 bulunur.

470465

Page 20: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

20

Örnek 55

0, 2—

+ 3, 5—

işleminin sonucunu bulal›m.

Çözüm 55

0,2— = 2

9 3, 5

— = 35 – 3

9 =

32

9

2

9 +

32

9 = 2

3 + 32

3

= 23

+ 423

= 523

bulunur.

Örnek 56

27

4 + 12 —

75

4

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 56

274

9.34

332

= =

12 = 4.3 = 23

754

25.34

532

= =

332

532

33 + 43 — 532

231

(2)

+ — =

=

232

= 3

Örnek 57

38 + 22 — (8 + 2)

işleminin sonucu kaçtır?

A) 2 B) 22 C) 32 D) 42 E) 52

(ÖSS 2008)

Çözüm 57

38 + 22 — (8 + 2) = 62 + 22 — (22 + 2)

= 82 — 32

= 52 olur.Cevap E

Çarpma İşlemi

1. Kök dereceleri eşit olan say›lar çarp›l›rken ayn› kök içinde yazılır ve ifadeler çarp›l›r.

n a .

n b =

na .b

2. Kök dereceleri farkl› olan say›lar çarp›l›rken önce kök dereceleri eşitlenir daha sonra çarpma işlemi yap›l›r.

Örnek 58

Aşağ›daki işlemleri yapal›m.

a. 5.2 b. 34.32 c. 37.23 d. 53.12

e. (5)2 f. (32)2 g. (23).(53) h. 35.32.37

Çözüm 58

a. 5.2 = 5.2 = 10

b. 34.32 = 34.2 = 38 = 2

c. 37.23 = 3.27.3 = 621

d. 53.12 = 53.12 = 536 = 5.6 = 30

e. (5)2 = 5.5 = 5

f. (32)2 = (32).(32) = 9.2 = 18

g. (23).(53) = 2.53.3 = 30

h. 35.32.37 = 35.2.7 = 370

Örnek 59 32 . 2 .

48

işleminin sonucunu bulal›m.

475471

Page 21: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

21

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

Çözüm 59

Kök dereceleri eşit olmad›ğ›ndan öncelikle kök derecele-

rini eşitleyelim. Kök dereceleri 3, 2 ve 4 olduğundan 12 de

eşitlenir. 32 . 2 .

48 =

3.4

24 . 2.6

26 .4.3

83

= 12

24 . 12

26 .12

83

= 24. 26 . 8312

= 24. 26 . 2912

= 12 219

12 219

= 212. 2712

= 2.12

27 = 2. 12128 bulunur.

Örnek 60

x bir gercel sayı olmak üzere,

(7 + 3)x = 4

olduğuna göre, (7 — 3)x ifadesi aşağıdakilerden han-

gisine eşittir?

A) 2—x B) 2—x + 1 C) 4x D) 4x — 1 E) 4x + 1

(LYS 2012)

Çözüm 60

_7 + 3ix = 4 iken _7 — 3ix = A olsun.

Eşitlikleri taraf taraf çarparsak;

_7 + 3ix . _7 — 3ix = 4.A

:_7 + 3i. _7 — 3iDx = 4.A

(7 — 3)x = 4.A

4x = 4.A ⇒ A = 4x

4 = 4x — 1 olur.

Cevap D

Örnek 61

Şekil – I Şekil – II Şekil – III

2

5 + 3 5 + 3

x3

5

Şekil–I’de verilen dikdörtgenden Şekil–II’de gösterilen 5

ve 3 br2 alanlı bölgeler kesilip atılıyor. Şekil–III’te geriye

kalan levhaya alanı değişmeyecek şekilde dirdörtgen şekli veriliyor.

Elde edilen dikdörtgenin bir kenarı 5 + 3 ise diğer

kenarı kaç br’dir?

Çözüm 61

Şekil – I Şekil III

Alan = 2.(5 + 3) Alan = 10 + 6 – (5 + 3)

Alan = 10 + 6 – 5 – 3

Alan = 2 (5 + 3) – (5 + 3)

Alan = (5 + 3) (2 – 1)

Buradan x = 2 – 1 br olmalıdır.

Bölme İşlemi

1. Kök dereceleri eşit say›lar bölünürken aynı kök içinde yazılır ve ifadeler bölünür.

nanb

= a

bn

Örnek 62

41

10098 + : 0,10

işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm 62

41

10098 + = 4

1

100100 – 2 + = 4

1

10f10 – p

2

= 499

10

2

f p

0,10— =

10

99

Buradan

4 99

10

2

f p : 10

99

99

10 :

10

99=

99

10 .

99

10 = 99

10 = 9,9 bulunur.

480476

Page 22: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

22

2. Kök dereceleri eşit değilse önce kök dereceleri eşit-lenir daha sonra bölme işlemi yap›l›r.

Örnek 63

2 32

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 63

Kök derecelerini 6 da eşitleyelim.

3.2 23

2.3 22 =

6 23

6 22 =

23

226 = 62 bulunur.

Paydas› köklü say›lardan oluşan kesirlerin paydas›n›

rasyonel yapmak için, pay ile payda, paydan›n eşle-

niğiyle çarp›l›r. Yani eşlenik, paydayı kökten kurtaran

say›d›r. Örneğin 2 nin eşleniği 2 dir. 3 — 2’nin

eşleniği 3 + 2’dir.

Not!

Önemli eşlenikler

Sayı Eşleniği Sayı ile eşleniğin çarpımı

x x x

x + y x — y x – y

x + y x – y x – y2

x + y x — y x2 — y

nxk nxn—k x

3x + 3y

M

3x2 – 3x.y +

3y2

M

x + y

M

Örnek 64Aşağ›daki ifadelerin eşitlerini bulal›m.

a. 8

2 b. 15

25 c. 12

39

d. 8

5+1 e. 10

7 — 2

Çözüm 64

a. 8

2(2)

= 82 2

= 42 b. 15

25(5)

= 155 10

= 35

2

c. 12

39(33)

= 12.33327

= 12.33

3 = 433

d. 8

5 + 1

(5 — 1)

= 8(5 – 1)

5 – 1 = 2(5 — 1)

e. 10

7 – 2

(7 + 2)

= 10(7 + 2)

7 – 2 = 2(7 + 2)

Örnek 65 6

√3 – 2

√3 + 1

işleminin sonucu kaçt›r?

A) 3 B) 23 C) 3 — 1

D) 3 + 1 E) 23 — 1(YGS 2010)

Çözüm 65

6

√3(√3)

— 2

√3 + 1(√3 – 1)

= 6√3

3 —

2(√3 — 1)

3 — 1

= 2√3 — (√3 — 1) = √3 + 1

Cevap D

484481

Page 23: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

23

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

Örnek 66

12

27 + 1

3

işleminin sonucu kaçtır?

A) 23

B) 35

C) 12

D) 3 E) 6

(YGS 2016)

Çözüm 66

12 = 4.3 = 23

27 = 9.3 = 33

1

√3(√3)

= √3

3

2√3

33 + 3

3

= 2√3

f3 +

1 p3

3

2

3 + 1

3

= 2103

= 2. 310

= 35

tir.

Cevap B

Örnek 67

7 + 6 + 1

7 – 6 + 1

ifadesinin en sade halini bulunuz.

Çözüm 67

1 = (7)2 – (6)2 yazılabilir.

7 + 6 + (7)2 – (6)2

7 – 6 + 1

(7 + 6)(1 + 7 – 6)

1 + 7 – 6

7 + 6 bulunur.

Örnek 68

An =

1

n + 1 + n

olduğuna göre A1 + A

2 + A

3 + ... + A

15 toplamını bulu-

nuz.

Çözüm 68

An =

1

n + 1 + n

a n + 1 — nk= n + 1 – n

n + 1 – n

An = n + 1 – n bulunur.

A1 = 2 – 1

A2 = 3 – 2

A3 = 4 – 3

+ A15

= 16 – 15

A1 + A

2 + A

3 + ... + A

15 = 16 – 1

= 4 – 1 = 3 bulunur.

Örnek 69

x = 6 — 2

7 + 2

olduğuna göre, 6 + 2

7 — 2 ifadesinin x türünden değeri

aşağıdakilerden hangisidir?

A) 45x

B) 2

5x C) 1

x D)

5x4

E) 5x2

Çözüm 69

6 + 2

7 — 2 = A diyelim ve verilen ifade ile çarpalım.

Eşlenik çarpımıdır.

654474448

x.A = 6 — 2

7 + 2 .

6 + 2

7 — 2 =

6 — 27 — 2

= 45

144424443

Eşlenik çarpımıdır.

x.A = 45

⇒ A = 45x

bulunur.

Cevap A

488485

Page 24: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

24

5.16 İç içe sonlu kökler

1. xn k = xn.k

2. xan k = ak.xn.k

3. xa cb

= xa.b.c

4. za cb yx = xa za.b.cya.b. . = xbc.yc.z

abc

Örnek 70Aşağ›daki ifadelerin eşitlerini bulal›m.

a) 5 b) 33 4 c)

3 2 6 d) 5 3 4 3

Çözüm 70

a. 5 = 2.25 = 45

b. 4 = 3.2.34 = 184 =

9.2 22

= 92

c. 62 = 32 .

2.36 = 32 .

66

d. 345 = 5 . 2.34 .

2.3.23 = 5 .

1224

. 123

= 5 .32.123

Örnek 71A < 1 < B olmak üzere

5 — 2 13 + 2

÷

A

13 — 2 5 + 2

÷

B

olduğuna göre B’nin A türünden eşitini bulunuz.

Çözüm 71

A = 5 — 2

13 + 2 ve B =

5 + 2

13 — 2 olmalıdır.

Bu durumda

A.B = 5 — 2

13 + 2 .

5 + 2

13 — 2 = 3

11 B = 3

11.A bulunur.

Örnek 72

5 2 3x = 5x . 32

olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 132

B) 116

C) 18

D) 14

E) 12

Çözüm 725 2 3x = 5x .32 ⇒ 5 3 23.x = 3.5 x3 . 5.3 25

158x = 15 32x3

8x = 32x3 ⇒ 4x2 = 1 ⇒ x = 12

ve x = — 12

olur.

Cevap E

5.17 x 2 y biçimindeki ifadeler

x 2y şeklindeki bir ifade ile karş›laşt›ğ›m›zda; çarp›mlar› y yi, toplamlar› x i veren a ve b gibi iki say› bulmaya çal›ş›r›z.

x = a + b, y = a.b ve a > b olmak üzere,

• yx + 2 = a + b

• yx – 2 = a – b

Örnek 73

Aşağ›daki ifadelerin eşitlerini bulal›m.

a. 127 + 2

b. 67 – 2

c. 83 +

d. 29 – 6

Çözüm 73

a. 127 + 2

3 + 4 3 . 4

= 4 + 3 = 2 + 3

b. 67 – 2

6 + 1 6 . 1

= 6 – 1 = 6 – 1

c. Verilen ifadeyi yx + 2 biçiminde yazarak işlem yapal›m.

3 + 8 = 4.23 + = 23 + 2

2 + 1 2 . 1

= 2 + 1 = 2 + 1

d. 29 – 6 = 2. 39 – 2 =

6 + 3 6 . 3

189 – 2 =6 – 3

İç İçe Kökler, Köklü Denklemler

494489

Page 25: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

25

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

Örnek 74

4 + 7 — 4 – 7

işleminin sonucunu bulal›m.

Çözüm 74

Verilen ifadeyi özel kök biçiminde yazmak için kök içlerin-

deki ifadeleri 2 ile çarp›p 2 ile bölelim.

4 + 7 — 4 — 7 = 2(4 + 7 ) 2

— 2(4 — 7 )

2

= 8 + 2 7

2 —

8 — 2 7

2

= 8 + 2 7 8 – 2 7

2

= (7 + 1) — (7 — 1)

2

= 2

2 =

2 22

= 2 olur.

5.18 İç içe sonsuz kökler

Belirli bir örüntüyle sonsuz defa iç içe yazılmış köklü ifadelerdir.

Örnek

72 + 72 + 72 + ....

3.3 2. 3 3 2 ....

16.3 16.3 16 ....3

72 — 72 — 72 — ....

şekildeki sayılara iç içe sonsuz kök denir. Yukarıdaki iç içe sonsuz köklerin sonuçlarını sırasıyla bulalım.

Örnek 75

16.3 16.3 16 ....3

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 75

3 16.3 16. 3 16 3 16 .... = x

x

316.x = x ⇒ c316.xm3 = (x)3 16x = x3 ⇒ 16 = x2 ⇒ x = 4

Örnek 76

3.3 2. 3 3 2 ....

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 76

3.3 2. 3 3 2 .... = x diyelim. 15253

x

3.3 2x = x ⇒ 3 33.2.x = x ⇒ 654x = x

c654x m

6 = (x)6 ⇒ 54x = x6 ⇒ x5 = 54 ⇒ x = 554

Örnek 77

72 + 72 + 72 + ....

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 77

72 + 72 + 72 + .... = x diyelim.

72 + x = x ⇒ c 72 + x m2 = x2

x2= 72 + x ⇒ x2 — x — 72 = 0

(x — 9)(x + 8) = 0

x= 9 bulunur.

499495

Page 26: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

26

İç içe sonsuz köklerle ilgili pratik kurallar

• an. an

an. ....... =n — 1

• n n na : a : ........ =

n + 1 a

a pozitif bir reel sayı ve a = x(x + 1) olmak üzere,

• a + a + a +.... = x + 1

• a — a — a —.... = x'tir.

Örnek 78 a = 12. 12 ......12.

b = 9 : 9 : ......9 :3 3 3

c = 90 + 90 + 90 + ......

d = 30 — 30 — 30 – ......

olduğuna göre, a + b + c + d toplam› kaçt›r?

Çözüm 78

a = 12. 12 ......12. = 112 = 12

b = 81 : 81 : ......81 :3 3 3

= 481 = 3

c = 90 + 90 + 90 + ...... = 10

10 9

d = 30 — 30 — 30 – ...... = 5

56

a + b + c + d = 12 + 3 + 10 + 5 = 30 bulunur.

5.19 Köklü denklemler

Her iki tarafın karesi alınarak çözülen denklemlerde bulunan köklerin denklemi sağlay›p sağlamad›ğ› kontrol edilmelidir. Denklemi sağlamayan kökler çözüm küme-sine al›nmaz.

Örnek 79 2x + 9 — 3 = x denklemini sağlayan x kaçt›r?

Çözüm 79

2x + 9 – 3 = x

2x + 9 = x + 3 (Her iki tarafın karesini alalım.)

` 2x + 9 j2 = (x + 3)2

2x + 9 = x2 + 6x + 9

x2 + 4x = 0

x(x + 4) = 0

x = 0 veya x = –4

Bulunan köklerden x = —4 değeri denklemi sağlamamaktad›r.

O hâlde, x = 0’dır.

Örnek 80

2!2x . 3!4x . 4!8x = 2!16x+1

olduğuna göre, x kaçt›r?

Çözüm 80

2x2! . 2

2x3! . 2

3x4! = 2

4x+44!

x

2! +

2x

3! +

3x

4! =

4x + 4

4!

12x + 8x + 3x

4! =

4x + 4

4! 23x = 4x + 4

19x = 4

x = 4

19

504500

Page 27: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Öğrenme Alanı

27

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

Örnek 81

x — 1 = x — 5

olduğuna göre, x kaçt›r?

Çözüm 81

x – 1 = x — 5 olduğundan

`x – 1j2 = ` x — 5 j2

x + 1 — 2x = x — 5 ⇒ 1 — 2x = —5

2x = 6 ⇒ x = 3 ⇒ x = 9 bulunur.

(x = 9 un sorudaki eşitliği sağlad›ğ›na dikkat ediniz.)

Örnek 82

A B

1.2. 3. 48.

|AB| arasında telden yapılmış çemberlere aralarında boş-

luk kalmayacak biçimde şekil verilmiştir.

Çemberlerle ilgili olarak,

1. çemberin çevresi: 1

2 + 1

2. çemberin çevresi: 1

3 + 2

3. çemberin çevresi: 1

4 + 3

48. çemberin çevresi: 1

49 + 48

olduğuna göre, |AB| arasındaki çemberlerin çevreleri

toplamını bulunuz.

Çözüm 82

1

2 + 1 +

1

3 + 2 + .... +

1

49 + 48 (2 – 1) (3 – 2) (49 – 48)

2 – 1 + 3 – 2 + ... + 49 – 48

49 – 1

7 – 1 = 6 bulunur.

Örnek 83

x — y = x + y —1

olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?

A) 13

B) 14

C) 34

D) 25

E) 45

(LYS 2013)

Çözüm 83

Her iki tarafın karesini alalım

ax — yk2= a x + y — 1 k2

x + y — 2x . y = x + y — 1

— 2xy = —1

xy = 12

⇒ xy = 14

bulunur.

Cevap B

Örnek 84

x + x + x — x = 22

olduğuna göre, x kaçtır?

Çözüm 84

c x + x + x — x l2

= a22k

2

x + x + 2 x + x . x — x + x — x = 8

2x + 2 `x + xj`x — xj= 8

2 x2 — x = 8 — 2x ⇒ 2 x2 — x = 2 (4 — x)

c x2 — xm2

= (4 — x)2

x2 — x = 16 — 8x + x2 ⇒ 7x = 16 ⇒ x = 167

bulunur.

508505

Page 28: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Uygulama Alanı

28

516509

1.

3 –2

3

3 +1

3

işleminin sonucu kaçtır?

A) 14 B)

12 C) 1 D) 2 E) 4

2. 22 = 4x

333

= 9y

olduğuna göre, x.y kaçtır?

A) 6 B) 523

C) 334

D) 3216

E) 632

3. a = 3 – 17 + 5

olduğuna göre, 7 – 53 + 1

ifadesinin a türünden

eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) a

3 B)

a

2 C) a D) 2a E) 3a

4. 10 + 55 + 2

– 4

5 + 1

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 5 + 1 B) 1 C) 0 D) –1 E) 5–2

5. A = 1

2–1 + 1 +

1

2 + 1

B = 4

3–1 – 1 + 4

3 – 1

olduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 4 D) –4 E) –6

6. 5 3 3 x = 5 3 · 3 7

olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?

A) 33 B) 35 C) 72 D) 73 E) 75

7. 4 9 – 6 2. 6 + 3

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3 B) 2 C) 5 D) 22 E) 4

8. 3 81– +

6

9333

işleminin sonucu kaçtır?

A) 233 B) 2 C)

33 D) 1 E) 0

Konu Değerlendirme Testi - 2

Page 29: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Uygulama Alanı

29

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

524517

9. 2 + 223 + 5 + 6 + 10

işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 2 + 2 C) 5 + 3

D) 5 – 2 E) 5 – 3

10. 2 + 1 + 324

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 42 B) 2 + 42 C) 2 – 1

D) 42 – 1 E) 42 + 1

11. x ve y tam sayılar olmak üzere,

1 + 3

6 + 3 + 2 + 1 = x + y

olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

12. x + x = 7

olduğuna göre, x + 7

x ifadesinin değeri kaçtır?

A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

13. 47 – 43 .

47 + 43 . 7 + 3

işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 2 D) 23 E) 3

14. 1→→

2 3

2 3 6

3 6 2

Çarpım tablosunda 1 sayısından başlanarak

sadece sağa veya aşağıya gitmek şartıyla kaç

farklı çarpımın sonucu 12’dir?

A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4

15. a2 < a olmak üzere,

x = a34

y = a

z = a23

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi

doğrudur?

A) x < y < z B) x < z < y C) y < x < z

D) y < z < x E) z < y < x

16. a = 5 + 3 – 1

b = 5 – 3 + 1

c = 3 – 5 + 1

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi

doğrudur?

A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c

D) c < b < a E) c < a < b

1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.E 7.A 8.E 9.E 10.E 11.D 12.D 13.C 14.D 15.B 16.D

Page 30: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Uygulama Alanı

30

1. x < 0 < y olmak üzere,

x2 + y33 – (x – y)66

işleminin sonucu kaçt›r?

A) –2x B) 2y C) 0

D) 2y – x E) 2x – y

2. (–4)2 (–4)3—(–16)216 ++ 3

(–4)44

işleminin sonucu kaçt›r?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

3. (2 – 1)2 – (1 – 2 2)2

işleminin sonucu kaçt›r?

A) –2 B) –2 C) –1 D) 2 E) 2

4. 8 + 75 + 32 – 72

işleminin sonucu kaçt›r?

A) –172 B) –62 C) 42

D) 53 E) 73

5. 66 . 11

24

işleminin sonucu aşağ›dakilerden hangisidir?

A) 23

B) 32

C) 2 D) 5 E) 112

6. ( 8,1+ 25,6) : 0,625

işleminin sonucu kaçt›r?

A) 1010 B) 10 C) 10

D) 25 E) 5

7.

A + + B B

A karesinin bir kenarı 10 cm, B karesinin bir

kenarı 421 cm olmak üzere yukarıdaki karelerin

alanları toplamı bir kenarı x cm olan C karesinin

alanına eşit ise x kaç cm’dir?

A) 3 + 2 B) 2 + 2 C) 2 + 5

D) 3 + 7 E) 5 + 7

8. x x = 2

3

olduğuna göre, 3 x2 ifadesinin değeri kaçt›r?

A) 1 B) 34 C) 34 D) 423 E) 443

Konu Değerlendirme Testi - 3

532525

Page 31: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Uygulama Alanı

31

Üslü-Köklü İfadeler ve Denklemler

9. 12 5 + 18 — 4

işleminin sonucu kaçt›r?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

10. a + 1 = 42 olduğuna göre,

(2

18 + 1).(2

18 – 1)

214 + 1

ifadesinin eşiti aşağ›dakilerden hangisidir?

A) 1 B) a C) a2 + 1

D) a

a + 2 E)

a + 1a + 2

11. a = 8 : 8 : ......8 :

b = 5 . 5 . ......5 .

c = 42 + 42 + 42 + ......

d = 72 — 72 — 72 – ......

olduğuna göre, a + b + c + d toplam› kaçt›r?

A) 12 B) 14 C) 18 D) 22 E) 26

12. 33 + 1

39 + 33 + 2

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 33 – 1 B) 33 + 1 C) 3 + 33

D) 3 – 33 E) 33 + 3

13. (7 – 6)x = A

olduğuna göre (7 + 6)x ifadesinin eşiti aşağıda-

kilerden hangisidir?

A) 2 + A B) 1

A C)

A

3

D) A2 E) A – 2

14. 0 < x < 1 olmak üzere,

a = 3 x , b = x23 ve c = x34

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru-

dur?

A) a > c > b B) a > b > c C) b > c > a

D) b > a > c E) c > a > b

15. 3x + 54 + = 2

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

16. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

ab = 10!

olduğuna göre a + b toplamının en küçük değeri

kaçtır?

A) 367 B) 427 C) 547 D) 627 E) 727

540533

1.C 2.B 3.B 4.D 5.E 6.B 7.D 8.D 9.C 10.D 11.D 12.A 13.B 14.B 15.C 16.E

Page 32: Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK€¦ · Ünite Fasikülleri özet anlatımlı - bol örnekli Üniversite Hazırlık TEMEL MATEMATİK Ders Anlatım Rehberi Ögretmenle Sınıfta

Gülbahar Mh. Cemal Sururi Sk. Halim Meriç İş Merkezi No: 15/E Mecidiyeköy / İSTANBUL Telefon (212) 275 00 35 - (212) 356 53 63 Faks (212) 356 68 37 E-Posta [email protected]

DOĞAYI KORU!

“ okulların özel yayını ”