Olimpíada Paulista de Matemática Quadrados Mágicos: Director’s Cut Prof. Carlos Shine

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Quadrados Mágicos: Director’s Cut

Prof. Carlos Shine


Quadrados Mágicos

• Aparecem números consecutivos

• Soma das linhas = soma das colunas = soma das diagonais


Existem quadrados mágicos maiores?

• Sim!

• Existem quadrados mágicos de tamanho 3, 4, 5, 6, ...


Matemática e Arte?

Somamágica:


Como fazer quadrados mágicos de qualquer tamanho?

• Uma ideia: quadrados latinos!

• São quadrados que têm números de 1 a n em cada linha e coluna.

1 3 2 4

2 4 1 3

4 2 3 1

3 1 4 2


Algo a mais

• Além disso, as diagonais não podem ter números repetidos

1 3 2 4

2 4 1 3

4 2 3 1

3 1 4 2

X


Assim...

• Monte uma nova tabela girando-a de 90 graus no sentido anti-horário

1 3 2 4

2 4 1 3

4 2 3 1

3 1 4 2

24

13

13

24

31

42

42

31

24

13

13

24

31

42

42

31


Depois?

• Subtraia 1 de cada número, multiplique tudo por 4 e some à primeira tabela.

1 3 2 4

2 4 1 3

4 2 3 1

3 1 4 2

4 3 1 2

2 1 3 4

3 4 2 1

1 2 4 3

3 2 0 1

1 0 2 3

2 3 1 0

0 1 3 2

12 8 0 4

4 0 8 12

8 12 4 0

0 4 12 8

13 11 2 8

6 4 9 15

12 14 7 1

3 5 16 10


Infelizmente

• Isso funciona bem só para alguns quadrados

• Não dá certo sempre

• O que fazer então?

• Não se preocupe! Há outras regras!


Ímpares

• Comece pela casinha do meio da primeira linha e vá na diagonal superior direita

• Se o tabuleiro acabar, volte do outro lado (que nem videogame!)

• Se a casinha já estiver ocupada, vá uma casa para baixo.


Tamanho 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25


Por que funciona?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25


Múltiplos de 4

• Preencha na ordem usual (da esquerda para a direita, de cima para baixo)

• Divida o tabuleiro em quadrados 4 4• Em cada tabuleiro desenhe as duas diagonais• Troque todos os números que estão sob

diagonais pelo complementar (o maior pelo menor, o segundo maior pelo segundo menor, etc)


Tamanho 8

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55 56

57 58 59 60 61 62 63 641

10

19

28

4

11

18

25

37

46

55

64

40

47

54

61

33

42

51

60

36

43

50

57

5

14

23

32

8

15

22

29


Por que funciona?

• Trocamos elementos simétricos tanto numérica como geometricamente

• Cada linha tem 4 números “grandes” e 4 “pequenos”

• Isso balanceia a soma


Pares que não são múltiplos de 4

• Método “LUX”• Dividimos em quadrados 2 2• Preenchemos cada quadrado com

quatro números, na ordem• A ordem dos quadrados é a mesma do

caso ímpar• A ordem de cada quadrado pode ser L,

U ou X


Exemplo

4 1

2 3

1 4

2 3

1 4

3 2

4 1

2 3

5 8

7 6

9 12

10 11

16 13

14 15

20 17

18 19

24 21

22 23

28 25

26 27

32 29

30 31

33 36

35 34

37 40

38 39

41 44

43 42

45 48

46 47

49 52

50 51

56 53

54 55

60 57

58 59

64 61

62 63

68 65

66 67

69 72

71 70

76 73

74 75

80 77

78 79

81 84

82 83

88 85

86 87

92 89

90 91

96 93

94 95

97 100

99 98


Em geral

• Se n = 4k + 2, a distribuição dos Ls, Us e Xs é a seguinte:– k + 1 linhas de Ls– Uma linha de Us– k – 1 linhas de Xs– Trocamos o L central pelo U inferior


Por que funciona?

• As “médias” dos quadrados funcionam, pois o caso ímpar funciona

• Falta só ajustar dentro dos quadrados

4 1

2 3

1 4

2 3

1 4

3 2

5

5

5

5

5

5

6 4 3 7 4 67

3

4

6

3

7


Nas linhas...

• Nas linhas está tudo bem, pois somamos vários pares na média

4 1

2 3

1 4

2 3

1 4

3 2

5

5

5

5

5

5


Nas colunas...

• Note que cada L compensa um U;• Há sempre dois Ls a mais que Us• Então nas linhas ímpares temos +2

e nas linhas ímpares -2• Mas cada U tem -2 nas linhas

ímpares e +2 nas linhas pares.

4 1

2 3

1 4

2 3

1 4

3 2

6 4 3 7 4 6


Nas diagonais...

• Há um L a mais do que Us;• Então a diagonal que desce fica

com +2 e a que sobe, com -2• Mas cada um dos dois U tem -1 na

diagonal que desce e +1 na que sobe

4 1

2 3

1 4

2 3

1 4

3 2

7

3

4

6

3

7


Voltando ao 3 x 3

• Permitindo agora colocar qualquer número real nas casinhas, é possível achar todos os quadrados mágicos?

• A resposta é sim, e vamos ver como!


Primeiro passo: o número do meio

• Seja 3k a soma mágica• Então:

a + e + i = 3kb + e + h = 3kc + e + g = 3kd + e + f = 3k

• Somando tudo obtemosa + b + c + d + e + f + g + h + i + 3e = 12k

• Como a soma de todos os números é 9k (três vezes a soma mágica),

9k + 3e = 12k e = k

a b c

d e f

g h i


Agora é só preencher!

k

k + l

k – l

k + m

k – m

k – l + m k + l – m

k – l – m

k + l + m


Mais uma curiosidade

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Produtos

Produtos

48

105

72

844596

Soma das linhas

225

Soma das colunas 225


Não é coincidência!

• Isso vale para todo quadrado mágico de tamanho 3

• Você pode abrir a conta para conferir!k + l k – l – m k + m

k – l + m k k + l – m

k – m k + l + m k – l


Quadrados mágicos multiplicativos

• Agora os produtos devem ser iguais!

• Os números não precisam mais ser consecutivos.

128 1 32

4 16 64

8 256 2

Produto mágico:4096


Cubos mágicos• É a versão 3D dos quadrados mágicos• Em cada linha de números a soma deve ser a

mesma


O que se sabe sobre cubos mágicos?

• Não existem cubos mágicos de tamanho 2, 3 e 4

• Todavia existem cubos mágicos de tamanho 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12

• Não se sabe o que acontece para cubos maiores


Alguns problemas para você

1. Construa quadrados mágicos de tamanho 6, 7, 12 e 14

2. Verifique a propriedade dos produtos dos quadrados mágicos de ordem 3

3. A propriedade vale também para diagonais?4. Existe um exemplo em que a propriedade

vale para diagonais?5. O menor produto mágico possível para

quadrados multiplicativos de tamanho 3 é 216. Encontre um quadrado mágico com esse produto mágico.

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