On tap hinh hoc 9

ÔN TẬP HÌNH HỌC 9

Page 1

A

B C

H

C

AB

C

AB

C

AB

A

C B

H

Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông A.LÝ THUYẾT

I.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Cho ABC, A = 1v; AHBC

1.AB2 = BH.BC; AC

2 = HC.BC

2.AH2 = BH.HC

3.AB.AC = AH.BC

4.2

1

AH =

2

1

AB +

2

1

AC

II.TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

1. Sin = BC

AC (Đối/huyền)

2. Cos = BC

AB (Kề/huyền)

3. Tg = AB

AC (Đối/kề)

4. Cotg = AC

AB (Kề/đối)

III.TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC

a.Cho và là 2 góc phụ nhau ( + = 900)

1. Sin = Cos 2.Cos = Sin

3.Tg = Cotg 4.Cotg = Tg

b.Nếu 00< < 90

0 0< Sin < 1 và 0< Cos <1

Tg =

Cos

Sin; Cotg =

Sin

Cos; Tg .Cotg = 1; Sin

2 + Cos

2 = 1

IV.HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG:

Cho ABC, A = 1v

1.b = aSinB c = aSinC

2.b = aCosC c = aCosB

3.b= cTgB c = bTgC

4.b= cCotgC c = bCotgB

B: BÀI TẬP

BÀI 1: Cho ABC, A = 1v; AHBC

a.Cho AH = 16cm; BH = 25cm. Tính AB, AC, BC, CH

b.Cho AB = 12cm; BH = 16cm. Tính AH, AC, BC, CH

Giải:

a.- Áp dụng định lý Pitago cho vAHB

AB = 881 30cm

- Áp dụng hệ thức

AH2 = HB.HC

HC = 2AH

HB =

25

162

= 25

256 BC = CH + HB =

- Áp dụng hệ thức AC2 = CH.BC AC = 19cm

b.Tính tương tự


Page 2

A

B C

H

D

B

ACN M

A

B C

D

EP

Q

BÀI 2: Cho ABC vuông tại A, AB = 30cm, đường cao AH = 24cm.

a.Tính độ dài BH.

b.Tính độ dài BC.

c.Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại D. Tính độ dài

BD.

Giải

a.- Áp dục định lý Pitago cho vABH

BH = 18cm.

- Áp dụng hệ thức AB2 = BH.BC

BC = BH

AB 2

= 18

302

= 50cm

Cách 1: Chứng minh BAD vuông tại B

có BH AD

- Áp dụng hệ thức: BH2 = AH.HD HD =

AH

BH 2

= 24

182

=

AD = AH + HD =

- Áp dụng hệ thức BD2 = HD.AD BD = 22,5cm

Cách 2: Chứng minh HBD HAB BD = 22,5cm

BÀI 3: Cho Cho ABC, A = 1v; AB = 6dm, AC = 8dm, các đường phân giác góc

trong và góc ngoài của B cắt AC ở M và N. Tính AM và AN.

Giải:

- Áp dụng định lý Pitago chovABC

BC = 10cm.

- Áp dụng tính chất đường phân giác

trong tam giác ta có :

MC

AM =

BC

AB

AMMC

AM

=

ABBC

AB

AC

AM =

ABBC

AB

8

AM =

106

6

AM =

16

8.6 AM = 3cm

- Áp dụng hệ thức cho vMBN ta có: AB

2 = AM.AN

AN = AM

AB 2

= 3

62

= 3

36 = 12 (cm)

BÀI 4: Cho ABC các góc đều nhọn.

Trên đường cao AD lấy điểm P sao cho BPC = 900.

Trên đường cao BE lấy điểm Q sao cho AQC = 900. Chứng

minh rằng:

a.CA.CE = CD.CB

b.CP = CQ

Giải:

a.Chứng minh CDA CEB

CE

CD =

CB

CA CE.CA = CD.CB

b.Áp dụng hệ thức vBPC PC

2 = CD.CB

Áp dụng hệ thức vAQC CQ

2 = CE.CA


Page 3

B

AC

D

A

C

B

D

H

Mà CD.CB = CE.CA (CMT)

CP2 = CQ

2 CP = CQ

BÀI 5.Cho ABC có AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.

a.Chứng minh ABC vuông. Tính SABC

b.Tính SinB, SinC

c.Đường phân giác của A cắt BC tại D. Tính DB, DC

Giải:

a.Áp dụng định lý đảo Pitago BC2 = AB

2 + AC

2

ABC vuông tại A.

SABC = 2

1AB.AC =

2

1.21.28 = 294cm

2

b.SinB = BC

AC =

35

28 =

5

4

Sin C = AC

AB =

35

21 =

5

3

c.Áp dụng tính chất đường phân giác: DC

DB =

AC

AB

DBDC

DB

=

ABAC

AB

BC

DB =

ABAC

AB

DB = 15 DC = 20

BÀI 6: Cho ABC vuông ở A, có AB = 6cm, AC = 8cm.

a.Tính BC, góc B, góc C.

b.Đường phân giác của A cắt BC tại D. Tính DB, DC.

c.Từ D kẻ DEAB, DFAC. Tứ giác AEDF là hình gì?

Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF.

Giải:

(Tương tự như bài 5)

BÀI 7: Cho hình thang ABCD có cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC

vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5 và AC = 12

a.Tính CosBSinB

CosBSinB

b.Tính chiều cao của hình thang ABCD

Giải:

a.Áp dụng định lý Pitago cho vACB

AB2 = AC

2 + BC

2 = 25 + 144 = 169

AB = 13

SinB = AB

AC =

13

12; CosB =

AB

BC =

13

5

Vậy CosBSinB

CosBSinB

=

12

5

13

1213

5

13

12

=

13

713

17

= 7

17

b.Áp dụng hệ thức lượng cho vACB

AC.CB = CH.AB CH = AB

CBAC. =

13

5.12 =

3

60

BÀI 8: Cho hình thang ABCD, đáy AB = 2, đáy CD = 4. Cạnh bên AD = 2, góc

A = 900

a.Chứng minh TgC = 1


Page 4

A B

D C

H

B

AC

N

M

A

CB

A'

B'

C'

b.Tính tỉ số diện tích DBC và diện tích hình thang ABCD

c.Tính tỉ số diện tích ABC và diện tích DBC

Giải:

a.Kẻ BHDC (HDC)

Tứ giác ABHD là hình vuông.

BH = DH = 2

HC = DC – DH = 4 – 2 = 2

Xét vAHC TgC =

HC

BH =

2

2 = 1

b.Ta có SDBC = 2

1BH.DC =

2

1.2.4 = 4

SABCD = 2

1(AB + DC).BH =

2

1(2 + 4).2 = 6

DBC

ABC

S

s =

4

2 =

2

1

BÀI 9: Cho ABC vuông ở A, C = 300, BC = 10cm

a.Tính AB, AC.

b.Từ A kẻ AM và AN vuông góc với phân giác trong và ngoài của góc B, chứng minh

MN//BC và MN = AB.

c.Chứng minh ABM ABC. Tìm tỉ số đồng dạng.

Giải:

a.Ta có SinC = BC

AB

AB = BCSinC = 10Sin300 = 10.

2

1 = 5

CosC = BC

AC AC = BCCosC

= 10.Cos300 =

2

310 = 5 3

b.Tứ giác AMBN là hình chữ nhật

BOM cân 1M = 1B

mà 1B = 2B 1M = 2B

2 góc này ở vị trí so le trong MN//BC và MN = AB (T/c)

c. ABM BCA (g.g)

Tỉ số đồng dạng K = BC

AB =

10

5 =

2

1

BÀI 10: Cho ABC, AA’, BB’, CC’ là các đường cao của ABC

a.Chứng minh ACC’ ABB’; ABC AB’C’

b.Chứng minh AB’.BC’.CA’ = AB.BC.CA.CosACosBCosC

c.Cho C = 300, BC = 8cm, AC = 6cm. Tính SABC=?

Giải:

a. ACC’ ABB’ (g.g)

'

'

AB

AC =

AC

AB

b. ABC và AB’C’

A chung


Page 5

'

'

AB

AC =

AC

AB (CMT) ABC AB’C’

c.Xét vABB’có CosA =

AB

AB ' AB’ = ABCosA

vACA’ có CosC =

AC

CA' CA’ = ACCosC

vAA’B có CosB =

CB

BC ' BC’ = CBCosB

AB’.CA’.BC’ = AB.AC.CBCosACosBCosC

* SinC = AC

AA' AA’ = ACSin30

0 = 6Sin30

0 = 6.

2

1 = 3cm

SABC = 2

1AA’.BC =

2

1.3.8 = 12cm

2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

BÀI 11: Cho ABC vuông ở A, AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi H là chân đường cao kẻ

từ đỉnh tới cạnh huyền BC và M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng song

song với cạnh AB cắt AC tại D.

a.Tính độ dài AH, AM, HM

b.Chứng minh ADM AHB

c.Giả CAM = a và MHA = b. Chứng tỏ rằng 7Sina = 15Sinb

BÀI 12: Cho hình bình hành ABCD, góc B = 1200, AB = 2BC. Gọi I là tđ của DC.

a.Chứng minh AIB vuông.

b.Tính các cạnh, các góc cuả AIB biết chu vi hình bình hành là 60cm.

BÀI 13: Cho ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a.Chứng minh ABC vuông.

b.Tính B , C và đường cao AH.

c.Lấy điểm M bất kỳ trên BC. Gọi hình chiếu của M trên AB, AC lần lượt là P và Q.

Chứng minh PQ = AM.

Hỏi M ở vị trí nào thì PQ có độ dài nhỏ nhất.

BÀI 14: Cho ABC có AB = 12cm, ABC = 400, ACB = 30

0. Đường cao AH. Tính AH,

AC, CB.

BÀI 15: Cho ABC vuông ở A. Đường cao AH = 15, BH = 20. Tính AB, AC, BC,

HC.

BÀI 16: Cho ABC vuông ở A, có AB = 5, BC = 7. GiảI vABC


Page 6

I

O

A

B

C

D

I

O

A

B

C

D

O

A

B

C

D

H

K

O

A

B

C

H

D

K

d

O

I

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÕN A.LÝ THUYẾT (Tóm tắt Sgk)

1.*Tâm của đường tròn ngoại tiếp v là trung điểm của cạnh huyền.

* Nếu một tam giác có 1 cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác

đó vuông.

2.Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.

*Cho (O), đường kính AB, dây CD

AB CD tại I

IC = ID

*Cho (O), đường kính AB

AB cắt CD tại I, IC = ID, I 0

AB CD

3.Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.

*AB = CD OH = OK

*AB > CD OH < OK

4.Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

* Tính chất :

d là tiếp tuyến của (O) tại I OI d

*Dấu hiệu:

Cho (O), I (O)

OI d tại I

d là tiếp tuyến của (O)


Page 7

OA

B

C

B

A

OO'

O

A

D

B

C

D

E

O

A

B C

.Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

*Cho (O): AB,AC là 2 tiếp tuyến

cắt nhau tại A(B,C là các tiếp điểm)

AB = AC; AO là phân giác của BAC ;

OA là phân giác của BOC

6.Tính chất đường nối tâm

*Cho (O) cắt (O’) tại A và B.

OO’ là trung trực của AB

*Cho (O) tiếp xúc (O’) tại I I OO’

B.BÀI TẬP:

BÀI 1:Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm.

a.Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn. Chỉ ra vị trí tâm

đường tròn đó.

b.Tính bán kính của đường tròn đó.

Giải:

-Xét ABD có DAB = 900 (gt)

ABD vuông tại A

Gọi O là tđ của BD

(O) ngoại tiếp ABD (1)

Chứng minh tương tự ta có

(O) ngoại tiếp DBC (2)

Từ (1) và (2) A, B, C, D cùng thuộc (O), tâm O là tđ của DB.

- Áp dụng định lý Pitago tính DB = ?

BÀI 2: Cho hình vuông ABCD

a.Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc đường tròn, chỉ ra vị trí tâm đường tròn.

b.Tính bán kính đường tròn đó biết cạnh hình vuông bằng 2dm.

BÀI 3: Cho ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB,

AC theo thứ tự tại D và E.

a.Chứng minh CD AB, BE AC.

b. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng AK BC

Giải:

- Ta có (O) ngoại tiếp BDC

- O là tđ của BC

DBC vuông tại D

CD AB

Chứng minh tương tự BE AC

Xét ABC

Có DC AB CD là đường cao ABC

BE AC(gt) BE là đường cao ABC

CD cắt BE tại K (gt)

K là trực tâm của ABC

AK là đường cao AKBC


Page 8

H

O

A

D

B C

A

BC

D

E

M

N

C

B

OA D

BÀI 4: Cho ABC cân tại A, nội tiếp O đường cao AH cắt (O) tại D.

a.Vì sao AD là đk

b.Tính ACD

c.Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính AH và bk (O)

Giải:

a.Xét ABC cân tại A

có AH là đường cao

AH đồng thời là đường trung tuyến

HB = HC

O thuộc AH hay AD là đk của (O)

b.Ta có (O) ngoại tiếp ADC (gt)

O là tđ của AD (CMT)

ADC vuông tại C ACD = 900

c.HC = 2

1BC = 12cm

Áp dụng định lý Pitago cho vAHC AH = ?

Áp dụng hệ thức lượng cho vADC ta có:

HC2 = AH.HD HD = ?

AO = 2

1AD =

BÀI 5: Cho ABC, 'A < 900, các đường cao BD, CE. Gọi M và N theo thứ tự là tđ

của BC, DE.

a.CMR: 4 điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn.

b.Chứng minh DE < BC

c.Chứng minh MN ED

d. ABC có thêm đk gì thì MDE là tam giác đều

Giải:

a. BCD vuông tại D

M là tđ của BC

(M) ngoại tiếo BCD

Tương tự (M) ngoại tiếp BEC

B, C, D, E thuộc đường tròn tân M

b.Ta có BC là đường kính (M)

ED là dây của đường tròn (M) M ED

ED < BC

c.Ta có N là tđ của dây ED(gt) N M

MN ED

BÀI 6: Cho (O), đkính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R cung này cắt đường tròn

(O) ở B và C

a.Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b.Tính số đo các góc CBD , CBO , CBA

c.CMR ABC là tam giác đều

Giải:

a.Xét tứ giác OBDC có

OB = BD = DC = OC = R

OBDC là hình thoi

BC là phân giác của OBD (T/c)


Page 9

d

OA B

C

E

F

H

C

HO A

B

M

D

E

b. OBD đều

OBD = 600 (T/c) OBC =

2

1OBD =

2

160

0 = 30

0 = CBD

Ta có (O) ngoại tiếp ABD

Có AD là đường kính (O) ABD vuông tại B ABD = 900

ABO = ABD - OBD = 900 – 60

0 = 30

0

c.XétABC có ABC = BCA = 600 ABC đều

BÀI 7: Cho nửa (O), đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến

d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến

d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. CMR:

a.CE = CF

b. AC là phân giác góc BAE

c.CH2 = AE.BF.

Giải:

a.Ta có:

dBF

dAE

dOC

AE//OC//FB

Xét àEB có AE//BF (CMT) AEFB là hình thang

Có

( )

/ / ( )

/ ( )

OA OB bk O

OC AE CMT CE CF

OC ßB CMT

b. AOC cân tại O CAO = ACO (T/c)

ACO = EAC (SLT)

CAE = CAH

AC là phân giác của BEA

c.O ngoại tiếp ABC

AB là đường kính (O)

ABC vuông tại C, có CH AB(gt)

CH2 = AH.HB (1)

Ta có vAEC =

vAHC (Huyền – góc nhọn)

AE = AH (Cạnh tương ứng) (2)

Ta có v CFB =

v CHB HB = BF (Cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2), (3) CH2 = AE.BF

BÀI 8: Cho đường tròn (0, 3cm), và điểm A có AO = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC

với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a.Tính độ dài OH

b.Qua điểm M bất kỳ thuộc cung nhỏ BC,

kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, AC

theo thứ tự tại D và E.

Tính chu vi ADE

Giải:

a. OBC cân


Page 10

IO M

A

B

C

KI

O

A B

M

N

E

có OA là phân giác BOC (T/c)

OA là đường cao OA BC tại H

Xét v OBA có BH AOOB

2 = OH.OA

OH = OA

OB2

= 5

32

= 5

9b.PADE = AB + DE + AE = AD + HD + HE + AE

Mà HD = BD (T/ c); HE = CE (T/c)

PADE = AD + DB + CE + EA = AB + CA (mà AB = AC (T/c))

PADE = 2AB

áp dụng Pitago chov OBA AB = ?

BÀI 9: Cho đường tròn (O), bán kính R. Một điểm M ngoài đường tròn cách (o) một

khoảng bằng 2R. Kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm). Từ O kẻ đường

vuông góc với AO cắt MB tại C

a.Chứng minh CM = CO

b. Gọi giao điểm MO với đường tròn (O) là I. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O)

Giải:

a.Ta có AM, BM là 2 tiếp tuyến của (O)

cắt nhau tại M 1M = 2M (T/c)

Ta có MA là tiếp tuyến của (O) MA OA (đ/l)

Có OC OA(g/t)

MA//OC

1M = MOC (SLT)

2M = MOC (cùng = 1M )

OMC cân tại C OC = CM

b.Xét OCM cân tại C, có OI = IM

CI là đường trung tuyến

CI đồng thời là đường cao (T/c)

CI OI

Vậy CI là tiếp tuyến của (O)

BÀI 10: Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB = 2R. Gọi Ax , By là các tiếp tuyến

của đường tròn. Qua điểm E thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax tại M và cắt

By tại N.

a.Chứng minh MON = 900

b.Chứng minh AM + BN = MN

c.Chứng minh AM.BN = R2

d.Gọi giao điểm của MO và AE là I, EB và ON là K.

Chứng minh IK không phụ thuộc vào vị trí điểm E

trên đường tròn.

Giải:

a.ME, AM là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M

ME = MA (T/c)

OM là phân giác của AOE (T/c)

Chứng minh tương tự

EN = NB (T/c)

ON là phân giác của EOB


Page 11

AO M

B

C

Mà AOE kề bù EOB

MO ON (T/c) MON = 900

b.Ta có MN = ME + EN

mà ME = MA (T/c); EN = NB (T/c)

MN = MA + NB hay MA.NB = R2

c. Xét v MON có OE MN

EO2 = EM.EN (Hệ thức lượng trong

v)

EO2 = MA.NB hay MA.NB = R

2

d. AOE cân tại O

có OM là phân giác OM là đường trung tuyến IE = IA

Chứng minh tương tự ta có EK = KB

Xét AEB có IE = IA (CMT)

KE = KB (CMT)

IK là đường TB của AEB

IK = 2

1AB =

2

12R = R (không đổi)

Vậy IK không phụ thuộc vào vị trí E trên (O)

BÀI 12: Cho đường tròn (O), bán kính OA = R. Lấy điểm M đối xứng với O qua A.

Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MB và MC với đường tròn (B, C là tiếp điểm)

a.Chứng minh MBC đều

b.Tính độ dài dây cung BC khi cho R = 3cm

Giải:

a.BM và CM là 2 tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.

MB = MC (T/c)

BMC cân tại M

Ta có MB là tiếp tuyến của (O)

BM OB

OBM vuông tại B

Sin OMB = OM

OB =

OB

OB

2 =

2

1

OMB = 300 BMC =2 BMO = 60

0

Vậy MBC đều

XétvOBM có BM

2 = OM

2 – OB

2 = 36 – 9 = 27

BM = 3 3 Vậy BC = 3 3 cm

Ta có BH.OM = OB.BM

BH = OM

BMOB. =

6

33.3 =

2

33 cm

Vậy….

BÀI 13: Cho đường tròn tâm O bán kính5. Điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho

OM = 13. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm)

đoạn OM cắt AB tại I

a.Tính độ dài tiếp tuyến MA, MB

b.Tính độ dài AB

c.Vẽ đường tròn tâm M, bán kính MA, CD là tiếp tuyến chung của đường tròn(O) và

(M). C, D là các tiếp điểm. Tính CD


Page 12

I

B

OM

AC

D

Giải:

a.MA là tiếp tuyến của (O) MA OA MAO vuông tại A

Ta có AM2 = MO

2 – MA

2 (Đ/lý Pitago)

= 132 – 5

2 = 169 – 25 = 144

MA = 12

Ta có MA = MB = 12 (T/c 2 tiếp tuyến x)

Xét AOB có OA = OB (bán kính (O))

AOB cân tại O

Có OM là đường phân giác (T/c 2 tiếp tuyến x)

OM đồng thời là đường cao (T/c)

OM AB tại I

Ta có AI.OM = OA.AM AI = OM

AMOA.

AI = 13

12.5

AB = 2AI

C.Tính OH: áp dụng Pitago cho vOHM


Page 13

CHƯƠNG III GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÕN

A.LÝ THUYẾT

1.Góc ở tâm COB = Sđ BC

2.Góc nội tiếp BAC = 2

1Sđ BC ; BAC =

2

1COB

3.Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và 1 dây

xAB = 2

1 Sđ AB ; ACB = xAB =

2

1 Sđ AB

4.Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn : BEC = 2

Sd BnC Sd DmA

5.Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: BEC = 2

Sd BC Sd BC

6.Tứ giác nội tiếp

+ Tứ giác ABCD nội tiếp:

0

0

180ˆˆ

180ˆˆ

DB

CA

7. Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp a.Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180

0

b.Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn xuống cạnh chứa 2 cạnh còn lại dưới góc

vuông.

c.Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn xuống cạnh chứa 2 cạnh còn lại dưới 1 góc .

d. Tứ giác có góc ngoài tại 1 dỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

e.Tứ giác có 4 đỉnh cách đều 1 điểm.

B.BÀI TẬP

BÀI 1: Cho ABC đều, nội tiếp (O) và M là 1 điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy

điểm D sao cho MD = MB

A. MBD là gì?

b.So sánh BDA và BCM

c.CMR: MA = MB + MC

Hướng giải:

a.XétMBD có

MB = MD (gt)

MBD cân tại M

DMB = ACB = 600 (góc nội tiếp chắn cung AB)

MBD đều

8.Độ dài cung tròn: độ dài l của cung n0 được tính: l =

180

Rn

9.Diện tích hình quạt

Diện tích hình quạt, cung n0: S =

360

2nR hay S =

2

lR

B.BÀI TẬP

BÀI 1: Cho ABC đều, nội tiếp (O) và M là 1 điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy

điểm D sao cho MD = MB

A. MBD là gì?


Page 14

b.So sánh BDA và BCM

c.CMR: MA = MB + MC

Hướng giải:

a.XétMBD có

MB = MD (gt)

MBD cân tại M

DMB = ACB = 600 (góc nội tiếp chắn cung AB)

MBD đều

b.Xét BDA và BMC

ABD = ABD (cùng + DBC = 600)

BA = BC

BCM = BAD (góc nội tiếp chắn cung BM)

BOA = BMC (g.c.g)

AD = MC (Cạnh tương ứng)

DM = BM

AD + DM = MC + BM = AM

BÀI 2: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD với 2

đường tròn (C (O)D (O’))

a.Chứng minh rằng: Khi cát tuyến quay quanh A thì CBD có số đo không đổi.

b.Từ C và D vẽ 2 tiếp tuyến của đường tròn. CMR 2 tiếp tuyến này hợp với nhau

thành 1 góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay quanh A

Hướng giải:

a.+ ACB = 2

1Sđ AnB

+ ADB = 2

1Sđ AmB

AnB , AmB cố định

ACB , ADB không đổi

CDB không đổi

bCBA = MCA (…….)

ABD= ADM (……..)

MCA + ADM +CBA+ ABD +CBD (không đổi)

CMDkhông đổi.

BÀI 3: Từ A ở ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AKD sao cho BD//AC.

Nối BK cắt AC ở I.

a.Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC

b.Chứng minh IC2 = IK.IB

c.Cho BAC = 600, chứng minh cát tuyến AKD đI qua tâm O

Hướng giải:

b.CKI BCI (g.g)

CI

IK =

BI

CI CI

2 = IK.BI


Page 15

c.OA là phân giác BAC

Chứng minh AD là phân giác BAC

Ta có DBA cân tại B

DBA = 600 + 60

0 = 120

0

BAD = 2

160

0 = 30

0

AD là phân giác BAC

O cát tuyến AKD

BÀI 4: Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường kính AOC và

AO’D.

A.Chứng minh C, B, D thẳng hàng.

b.Qua A vẽ cát tuyến MAN với 2 đường tròn (M (O); N (O’))

Chứng minh MB.CD = CA.MN

c.Tìm điều kiện của MN để tứ giác MNDC là hình chữ nhật

Hướng giải

a. ABC = 900 (góc nội tiếp…..)

ABD = 900 (……………….)

ABC + ABD = CBD = 1800

C, B, D thẳng hàng

b. MBN CAD (g.g)

CA

MB =

CD

MN MB.CD = MN.CA

d.MN AB thì MNDC là hình chữ nhật

BÀI 5: Từ M cố định ngoài (O), kẻ 1 tt MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó.

a.CMR: MT2 = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí cát tuyến MAB

b.Khi cát tuyến qua tâm O của đường tròn cho MT = 20cm, MB = 50cm. Tính bán

kính đường tròn.

BÀI 6: Cho ABC cân tại A nội tiếp đường trò (O). Trên cung nhỏ BC lấy điểm K,

AK cắt BC tại D

a.Chứng minh AO là phân giác của góc BAC

b.Chứng minh AB2 = AD.AK

c.Tìm vị trí K trên cung nhỏ BC sao cho AK lớn nhất.

d.Cho BAC = 300. Tính AB theo R

Hướng giải:

a.(O) ngoại tiếp ABC

AO là đường trung trực

ABC cân tại A

AO là phân giác của BAC

b. ABD và AKB

ABD = AKB (nt cùng chắn AB = AC)

A chung.

ABD AKB AK

AB =

AB

AD


Page 16

AB2 = AK.AD

d. BIA vuông tại B

Cos BIA = AI

AB AB = AI.Cos15

0 = 2R.Cos15

0

c.AK lớn nhất khi AK là đường kính AK là đường trung tuyến

AK đi qua trung điểm của BC

K là điểm chính giữa cung BC.

BÀI 7: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O, R); BAC = 600

a.Tính BOC và độ dài BC theo R.

b.Vẽ đường kính CD của (O, R). Gọi H là giao của 3 đường cao ABC. Chứng minh

BD//AH và AD//BH.

c.Tính AH theo R

Hướng giải

a. BAC = 2

1 BOC (góc ntiếp và góc ở tâm cùng chắn BC )

BOC = 2.600 = 120

0

IOC = 2

1BOC = 60

0

Sin IOC = OC

IC IC = OCSin60

0 = R.

2

3

BC = 2IC = 2. R.2

3 = R 3

b.AH BC (gt)

DBC = 900 (góc nt chắn nửa (O))

DB BC

AH//BD

Chứng minh tương tự AD//BH

c.Ta có AH = BD

Xét BDC có

BD2 = DC

2 – BC

2 (Pitago)

= (2R)2 – (R 3 )

2 = 4R

2 – 3R

2 = R

2

BD = R AH = R

BÀI 8: Cho nửa (O, R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By, M O, kẻ tiếp tuyến thứ

3 cắt Ax tại C, By tại D. AD cắt BC tại N.

a.Chứng minh MN AB

b.Chứng minh CD.MN = MC.DB

c.Tính MN theo R trong trường hợp 3 điểm M, N, O thẳng hàng

Hướng giải:

a.Ta có AC = CM (…….)

BD = MD(…….)

BD

AC =

MD

CM (1)

Xét CAN có AC//DB

BD

AC =

NB

CN (Hquả Talet) (2)


Page 17

Từ (1) và (2) MD

CM=

NB

CN

Xét CBD có MD

CM =

NB

CN MN//DB

Mà DB AB MN AB

b.XétCBD có MN//DB (CMT)

CMN ADB CD

CM =

BD

NM CM.BD = NM.CD

c.M, N, O thẳng hàng

ACDB là hình chữ nhật CD = AB = 2R

DB = MO = R

CM = R

MN = CD

DBCM . =

R

RR

2

. =

2

R

BÀI 9: Cho đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A vẽ các cát tuyến chung ABD;

ACE (B, C (O’)); D, E (O) nằm khác phía với OA.

a.Vẽ các tiếp tuyến chung Ax(Ax và ABD nằm cùng phía đối với AO).

Chứng minh BAx = ACB

b.Chứng minh BC//DE

Giải:

a. BCA = BAx (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cung chắn AB)

b.Ta có DEA = DAx (………)

BCA = DAx (CMT)

DEA = BCA

2 góc ở vị trí đồng vị BC//DE

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

BÀI 1: ChoABC, đường cao AH và BK cắt nhau tại I.(HBC, KAC)

a.Chứng minh HIKC nội tiếp

b.Chứng minh BAH =

c.M là điểm đối xứng với I qua AC. Chứng minh M đường tròn ngoại tiếp ABC

Giải:

a.BK AC (gt)

IKC = 900

AHBC (gt) IHC = 900

IKC + IHC = 900 + 90

0 = 180

0

2 góc này đối diện nhau

tứ giác HIKC nội tiếp

b.Ta có: AKB = 900 (CMT)

AHB = 900 (CMT)

AKB = AHB = 900

K, H cùng nhìn xuống 2 đầu mút đoạn AB dưới một góc bằng 1v không đổi

K, H cùng thuộc đường tròn đường kính AB


Page 18

Tứ giác BAKH nội tiếp

BAH = BKH (góc nội tiếp cùng chắn BH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

ABKH)

ICH = BKH (góc nội tiếp cùng chắn BH của...............)

BAH = ICH

c.Chứng minh tương tự ta có ABK = ICK

mà ICK = KCM (vì KC là phân giácC )

ABK = KCM

B, C nhìn xuống đoạn AM dưới 2 góc bằng nhau

B, C, A, M cùng đường tròn

Vậy M đường tròn ngoại tiếp ABC

BÀI 2: Cho nửa (O), đường kính AB = 2R, kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn. Gọi C và

D kà 2 điểm bất kỳ thuộc đường tròn( A, B).Tia AC và AD cắt Bx lần lượt tại I và

K. Chứng minh rằng:

a. ABD BDK

b. CDKI nội tiếp

c.AC.AI = AD.AK và có giá trị không đổi khi C, D chuyển động trên nửa (0)

Giải:

a. XétABD vàBDK

BDA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (0))

BDA = KBA

A chung

ABD BDK (g.g)

b.Ta có DCA = 1

2Sđ DA (góc nội tiếp chắn AD )

AKB = 1

2(Sđ AB - Sđ BD ) =

1

2Sđ DA

DCA = ABK

mà DCA + IKD = 1800 (kề bù)

IKD + IKD = 1800

CDKI nội tiếp

c. Xét vBIA có BC AI

AB2 = AC.AI

tương tự AB2 = AD.AK

AC.AI = AD.AK = AB2 không đổi khi C, D chuyển động.

BÀI 3: Từ một điểm C ngoài (0) kẻ đt (d) cắt (0) tại 2 điểm phân biệt A và B. Gọi P là

điểm chính giữa của cung lớn AB. Từ P kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. Gọi I là giao

của CP với nửa đường tròn (0). IQ cắt AB tại K.

a.Chứng minh PDKI nội tiếp

b.CI.CP = KC.CD

c.IC là phân giác ngoài của AIB

Giải:

a.Ta có QIP = 900(góc nội tiếp chắn nửa (0))

ta có P là điểm chính giữa AB (gt)


Page 19

PQ là đường kính

PQ AD tại D

PDK = 900

QIP + PDK = 900 + 90

0 = 180

0

Tứ giác PDKI nội tiếp

b. CIK CDP (g.g)

CI

CD =

CK

CP CI.CP = KC.CD

c. BIQ = QIA (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

QI là phân giác của BIA

mà QI IC(CMT)

BIA kề bù AIx

IC là phân giác AIx

BÀI 4: Cho ABC (A = 1v). Một điểm D nằm giữa A và B, đường tròn đường kính

AB cắt BD tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ

hai tại F, G.

Chứng minh:

a. ABC EBD

b. ADEC và AFBC nội tiếp

c.AC//FG

d.AC, DE, BF đồng quy

Giải:

a. ABC EBD (g.g)

b.Ta có DEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))

DEC = 900

DEC +CAD = 900 + 90

0 = 180

0

ADEC nội tiếp

CFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))

CFB =CAB = 900

F, A cùng nhìn xuống hai dầu mút của đoạn BC dưới một góc bằng 1v không đổi.

F, A đường tròn đkính BC AFBC nội tiếp

ACD = AED (góc nội tiếp cùng chắn AD......)

AED= DFG (.....................................GD......)

ACD = DFG 2 góc này ở vị trí so le trong AC//FG

d.Giả sử AC cắt BF tại S

CF và AB là 2 đường cao SCB

D là trực tâm của tam giác có DE CB

DE là đường cao thứ 3 SDE

Vậy AC, BF, DE đồng quy tại S

BÀI 5: Cho ABC, A

= 1v, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ là BC chứa điểm

A. Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E. Vẽ nửa đường tròn đường kính

HC cắt AC tại F. Từ E và F kẻ EI, EK BC (I, KBC).

a.Chứng minh AEHF là hình chữ nhật


Page 20

b.AE.AB =AF.AC

c.Chứng minh BEFC nội tiếp

d.Chứng minh các v

BIE, BEH, BHA và BAC đồng dạng

e. BI + CK = BC

Giải

a. BEH = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) HEA = 90

0

HFC = 900(góc nội tiếp chắn nửa (O')) HFA = 90

0

có A = 900 (gt)

AEHF là hình chữ nhật

b. vABH có AH

2 = AE.AB

vAHC có AH

2 = AF.AC

AE.AB = AF.AC

c.Hình chữ nhật AEHF nội tiếp

EFA = AHE

(góc nội tiếp cùng chắn AE )

mà AH là tt của (O)

EHA = EBH (góc nội tiếp và góc tạo bởi tt cùng chắn EH )

EFA = EBH

mà EFA + EFC = 1800 (kề bù)

EBH + EFC = 1800

Tứ giác BEFC nội tiếp

BÀI 6: Cho ABC nhọn. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB tại K và AC tại

H. BH cắt CK tại I.

a.Chứng minh AI BC

b.AI cắt BC tại D. Chứng minh tứ giác BKID nội tiếp.

c.Chứng minh CK là phân giác của góc DKH và I là tâm đường tròn nội tiếp DKH

Giải:

a.Ta có: BKC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))

BHC = 900

(góc nội tiếp chắn nửa (O))

CK, BH là 2 đường cao của ABC cắt nhau tại I.

I là trực tâm

AI là đường cao của ABC

AI BC

b. IDB = 900 BKI + BDI = 90

0 + 90

0 = 180

0

BKID nội tiếp

c.Ta có DKI = HBD (góc nội tiếp cùng chắn ID của.....)

HBD = HKC (góc nội tiếp cùng chắn HC của (O))

HKC = DKI KC là phân giác DKH

Chứng minh tương tự ta có HB là phân giác của KHD

KC và HB cắt nhau tại I

I là tâm đường tròn nội tiếp KHD


Page 21

BÀI 7: Cho (0, R) 2 đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Gọi M là TĐ cuảu CO,

N là giao điểm của AM với đường tròn tiếp tuyến với đường tròn tại N cắt đường

trung trực của CO tại I. CMR:

a. OMNB, OMNI nội tiếp

b.AM.AN = AO.AB = 2R2

c. AMIO là hình bình hành

Giải:

a.Ta có MNB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (0))

MOB = 900 (gt)

MNB + MOB = 900 +90

0 = 180

0

OMNB nội tiếp

b.Xét AMO ABN(g.g)

AM

AB =

AO

AN

AM.AN = AO.AB (AO = R, AB = 2R)

= 2R2

Chứn minh OMNI nội tiếp

ta có IMO = 900 (gt) và ONI = 90

0 (vì NI là tt của (0))

IMO = ONI = 900

M, N cùng nhìn xuống 2 đầu mút của đoạn IO dưới 1 góc bằng 1v không đổi

M, N đường tròn đường kính IO OMNI nội tiếp

c.MI//AO (cùng CD)

ta có A = ANO (góc đáy cân ANO )

ANO = MIO (góc nội tiếp cùng chắn MO .....)

A = MIO

Xét vAMO có A + AMO = 90

0

Xét vOMI có MIO + MOI = 90

0

AMO = MOI mà 2 góc này ở vị trí so le trong

AM//OI AMIO là hình bình hành

BÀI 8:Cho điểm A nằm ngoài (O, R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE

đến (O). Gọi H là TĐ của DE.

a.Chứng minh A, Chứng minh AB2 = AI.AH

d.Cho AB = R 3 và OH = 2

R. Tính HI theo R

Giải:

a.Ta có

OBA = OCA = OHA = 900

B, C, H cùng nhìn xuống 2 đầu mút của đoạn AO

dưới một góc bằng 1v không đổi.

B, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

b.Ta có AB = AC(tính chất 2 tt cắt nhau)

AB = AC

BHA = AHC (góc nội tiếp cùng chắn 2 cung AB = AC )

HA là phân giác của BHC

c.Xét ABI và AHB có A chung


Page 22

IBA = BHA(góc nội tiếp cùng chắn 2 cung AB = AC )

ABI AHB (g.g) AB

AH =

AI

AB AB

2 = AI.AH

d.XétvOBA ta có AO

2 = OB

2 + BA

2 = R

2 + 3R

2 =4R

2

OA = 2R

Xét OHA vuông tại H ta có HA2 = OA

2 - OH

2 = 4R

2 -

2

4

R =

215

4

R

HA = 15

2

R

Ta có AB2 = AH.AI (CMT) AI =

2AB

AH =

23

15

2

R

R

AI = 6

15

R =

6 15

15

R =

2 15

5

R

HI = AH - AI = 15

2

R -

2 15

5

R =

5 15 4 15

10

R R

HI = 15

10

R

BÀI 9: Cho ABC cân tại A nội tiếp (O). Tia phân giác của ACB cắt AB ở M cắt (O)

ở E. Tia phân giác của ABC cắt AC ở N, cắt (O) ở D.

a.Chứng minh BCE MBE và EB2 = ME.EC

b.Chứng minh MN//BC

c.Chứng minh B, C cùng nhìn xuống 2 đầu mút của đoạn MN dưới 2 góc bằng nhau

1 1B C MBN MCN

B, M, N, C cùng đường tròn

Chứng minh tương tự ta có 2 2B C

mà 2C = MNB (góc nội tiếp cùng chắn BM của....)

2B = MNB (2 góc này ở vị trí so le trong)

MN//BC

c.Ta có: MNB = 2B (CMT)

mà 2B = E (góc nội tiếp cùng chắn DC )

MNB = E

mà MNB + MND = 1800 (kề bù)

E + MND = 1800

EMND nội tiếp

BÀI 10: Cho ABC cân tại A, nội tiếp (O). AHBC. Kẻ đường kính BB' và từ A kẻ

đường thẳng ADBB' (DBB'), biết BC = 6cm, AH = 4cm.

1

1

1( )

2

1( )

2

( )

B B gt

C C gt

B C gt


Page 23

a.Chứng minh ABHD nội tiếp và DH//AB

b.Tính DH

Giải:

a.Xét ABHD

có ADB = BHA = 900

D, H thuộc đường tròn đường kính AB

ABHD nội tiếp

Ta có: BAH = BDH (góc nội tiếp cùng chắn BH )

BAO cân tại O ABD = BAH

BDH = ABD (2 góc ở vị trí so le trong)

HD//AB

b.OHBC(gt) BH = 1

2BC = 3cm

Xét vABH có AB

2 = BH

2 + AH

2 = 9 + 16 = 25

AB = 5cm

Ta có ABHD nội tiếp đường tròn có DH//AB

ABHD là hình thang cân BD = AH = 4cm

XétvABB' có ADBB' (gt)

AB2 = BD.BB' 5

2 = 4.BB' BB' =

25

4 = 6,25

OA = '

2

BB =

25

8

Xét OBA có HD//AB HD

AB =

HO

AO

5

HD =

HO

AO

5

5

HD =

HO OA

OA

5

5

HD =

AH

OA

5

5

HD =

4

25

8

5

5

HD =

32

25

25 HD + 125 = 160

25 HD = 35

HD = 35

25 =

7

5 = 1,4 cm

BÀI 11: Cho (O), đường kính AB. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của

OB. Gọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ tia AxMN tại K. Gọi C là giao của Ax với

BI.

a.Chứng minh BN//MC

b.Chứng minh OIKC là hình chữ nhật

c.Tiếp tuyến Bt với (O) ở B cắt AM tại E cắt Ax tại F. Gọi D là giao điểm thứ 2 của

Ax với (O). Chứng minh DMEF nội tiếp

Giải:

a.Xét CMBN

có I là trung điểm của MN (1)

Xét ACB có IM = IN (gt); OI là đường kính OI MN

ACMN(gt)

OI//AC; OA = OC (bán kính (O)) I là trung điểm của CB (2)

Từ (1) và (2) CMBN là hình bình hành

CM//BN

b.Xét OCB có OH = OB (gt)


Page 24

IC = IB (CMT)

HI là đường trung bình của OCB

HI//OC IK//OC

Ta có: OI//CK (CMT)

OIKC là hình bình hành có K = 900

OIKC là hình chữ nhật

c.Ta có AEB = 1

2 (Sđ AB - Sđ BM ) (góc có điểm ngoài đường tròn) =

1

2 Sđ AM

ADM = 1

2 Sđ AM (góc nội tiếp chắn AM )

AEB = ADM

mà ADM + MDF = 1800 (kề bù)

AEB + MDF = 1800

DMEF nội tiếp

BÀI 12: Cho nửa (O), đường kính CD và A (O). Từ A kẻ đường thẳng song song

với CD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC. Hai đường thẳng này cắt nhau tại B.

Kẻ AHCB.

a.Chứng minh A, B, D, H cùng thuộc đường tròn

b.Gọi E là giao của Cb với nửa đường tròn

Chứng minh BC.AE = AB.AD

Giải:

a.Ta có CAD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

CAD = ADB = 900

H, D nhìn xuống AB dưới một góc bằng 1v không đổi

Vậy H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AB

H, D, A, B cùng thuộc đường tròn

b.Xét ACB và EDA

ACE = ADE (góc nội tiếp cùng chắn AE )

EAD = ECD (góc nội tiếp cùng chắn ED )

mà ECD = EBA (SLT)

EAD = EBA

ACB EDA (g.g) AB CB

AE AD AB.AD = AE.CB

BÀI 13: Cho (O, R) đường kính AB cố định, CD là đường kính di động (CD AB) và

CD không vuông góc với AB

a.Chứng minh ACBD là hình chữ nhật

b.Các đường thẳng BC, BD cắt t2 tại A của đường tròn (O) lần lượt tại E và F. Chứng

minh CDEF nội tiếp

c. Chứng minh AC.AD = CE.DF

Giải:

a.Xét ACBD

ACB = CBD = BDA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))

ACBD là hình chữ nhật

b.Ta có CEF = 1

2 (Sđ AB - Sđ AC ) =

1

2SđCB


Page 25

(góc ngoài đường tròn (O) tại E)

Ta có CDB = 1

2 SđCB (góc nội tiếp chắnCB )

CEF =CDB

mà CDB + CDF = 1800 CEF + CDF = 180

0

CDEF nội tiếp

c.Xét ADF và ECA có FAD = EAC (SLT)

AFD = EAC (SLT)

ADF ECA (g.g)

AD DF

CE AC AD.AC = CE.DF

BÀI 14: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đường kính BD, các đường chéo

AC và BD cắt nhau ở E. Biết AB = BC = 4cm, ADC = 600

a.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD.

Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

b.Tính độ dài đường kính BD

c.Xác định điều kiện của ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông

Giải:

a. Ta có ABD cân tại B

BD là đường kính

BD là đường trung trực của AC

BDAC

- Từ tính chất đường trung bình MNPQ là hình bình hành

- Chứng minh M = 1v

MNPQ là hình chữ nhật

b.Ta có: B = 1800 - D = 180

0 - 60

0 = 120

0

ABD = 600

BAD = 1v (góc nội tiếp chắn nửa (O))

Xét vBAD có Cos ABD =

AB

BD BD =

060

AB

Cos

BD = 4

1

2

= 8cm

c.Tứ giác MNPQ là hình vuông MN = MQ

AC = BD

mà ACBD

Khi AC và BD là 2 đường kính tức là tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác

MNPQ là hình vuông.

BÀI 15: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O, R), các đường cao AD, BE cắt nhau tại

H (DBC, E AC, AB < AC)

a.Chứng minh AEDB, CDHE nội tiếp

b.Chứng minh CE.CA = CD.CB và DB.DC = DH.DA

c.Đường phân giác trong AN của A của ABC cắt BC tại N, cắt (O) tại K (K A). Gọi

I là tâm của đường tròn ngoại tiếp ACN. Chứng minh KO và CI cắt nhau tại một

điểm (O)

Giải:


Page 26

a.Tự chứng minh

b.Xét CAD và CBE

có C chung

DAE EBD (góc nội tiếp cùng chắn DE của đường tròn nội tiếp AE, DB)

CAD CBE (g.g)

CA CD

CB CE CA.CE = CB.CD

- Chứng minh BDH ADC (g.g) BD DH

AD DC BD.DC = AD.DH

c. 1

2NAC NIC (góc nội tiếp -góc ở tâm)

BÀI 16: Trên đường tròn (O, R) đường kính AB lấy 2 điểm M, E theo thứ tự A, M, E,

B (hai điểm M, E A, B). AM cắt BE tại C, AE cắt BM tại D.

a.Chứng minh MCED nội tiếp và CD AB

b.Gọi H là giao của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA

c.Chứng minh các t2 tại M và E của (O) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên CD

d. Cho BAM = 450 và BAE = 30

0. Tính SABC theo R

Giải:

a.Hs tự chứng minh

b. BAE BHC (g.g)

BE.BC = BH.BA

c.IC = IM = ID = IE

1C = 1M

2M = 1B

mà 1C = 1B , 1M = 2M

mà 1M + IMD = 900 2M + IMD = 90

0

IMO = 900 MI là t

2 của (O)

chứng minh tương tự ta có IE là t2 của (O)

MI và IE là 2 t2 cắt nhau tại trung điểm I của CD

d. vABETính AE = ?

vAECTính AC = ?

vCAHTính CH = ?

SABC = 1

2CH.AB

BÀI 17: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 t2 Ax, By. Qua M

nửa đường tròn này kẻ t2 thứ ba cắt các t

2 Ax, By lần lượt tại E và F.

a.Chứng minh AEMO nội tiếp

b.AM cắt OE tại P. BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao?

c.Kẻ MHAB. K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK và KH.

d.Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp EOF.

CMR: 1

3 =

r

R =

1

2

Giải:

a. Hs tự chứng minh

b. MPOQ là hình chữ nhật (Hs tự chứng minh)

c. Ta có: ME = EA 1M = 1A I = 2M


Page 27

ME = EA = EI

ta có MK

EI =

BK

BE mà

BK

BE =

KH

EA

MK

EI =

KH

EA (EA = EI)

MK = KH

d.Đặt EF = a, EO = b, OF = c

Ta có SEOF = 1

2r (a + b + c)

r

R =

a

a b c

Ta có b + c > a a

a b c <

a

a a =

2

a

a =

1

2

Ta có b < a, c < a a

a b c >

a

a a a =

3

a

a =

1

3

Vậy1

3 =

r

R =

1

2

BÀI 18: Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Vẽ dây AB. Gọi I là điểm chính

giữa của cung BA, K là giao của OI với BA.

a.Chứng minh OI//CA

b.Từ A vẽ đường thẳng song song với CI cắt BI tại H. Chứng minh IHAK nội tiếp

c.Gọi P là giao của HK và BC. Chứng minh AC.BK = BC.KP (BKP BCA)

Giải:


b./ /

CI BHAH HB

HA CI

IHA = IKA = 900

KIHA nội tiếp

c. 1K = 2K (đđ)

2K = HIA (nội tiếp chắn HA )

HIA = ACB (cùng bù BIH )

BKP BCA(g.g)

BÀI 19: Cho (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho

AI = 2

3AO. Kẻ dây MNAB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C

không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

a.Chứng minh IECB nội tiếp

b.Chứng minh AEM ACM và AM2 = AE.AC

c.Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2

Giải:


b. AEM và ACM có A chung,

MCA = AME (cùng chắn 2 cung bằng nhau)

AEM ACM AM2 = AE.AC

c.Ta có vBMA có MI

2 = IA.IB


Page 28

AM2 - MI

2 = AE.AC - AI.IB = AI

2

BÀI 20: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A, C). Vẽ đường tròn tâm O

đường kính BC. AT là t2 vẽ từ A. Từ tiếp điểm t vẽ đường thẳng BC, đường thẳng

này cắt BC tại H và cắt đường tròn tại T'. Đặt OB = R

a. Chứng minh OH.OA = R2

b. Chứng minh TB là phân giác của ATH

c.Từ B vẽ đường thẳng // TC. Gọi D và E lần lượt là giao điểm của đường thẳng vừa

vẽ với TT' và TA. Chứng minh TED cân

d.Chứng minh HB

HC =

AB

AC

Giải:

a.Các câu a, b, c Hs tự chứng minh

d.Xét ATC có EB//TC EB

TC =

AB

AC (Hệ quả Talet)

THC có BH//TC BH

TC =

BH

HC (Hệ quả Talet)

Mà EB = BH (CMT) HB

HC =

AB

AC

BÀI 21: Cho (O, R) và 1 điểm S ở ngoài đường tròn vẽ 2 t2 SA, SB, vẽ đt a đi qua S

và cắt đường tròn (O) tại M và N (M nằm giữa S, N), a không đi qua O

a.Chứng minh OSAB

b.Gọi H là giao của SO và AB. I là trung điểm của MN, 2 đt OI và AB cắt nhau tại E.

Chứng minh IHSE nội tiếp

c.Chứng minh OI.OE = R2

d.Cho OS = 2R và MN = R 3 .Tính SESM theo R.

Giải:

a, b: Hs tự chứng minh

c. OI.OE = OH.OS = R2

d.Tính OI (dựa vONI)

Tính SI (dựavOIS)

Tính MS = IS - IM

Tính OE dựa vào câu c

SEMS = 1

2EI.MSa

BÀI 22: Cho đường tròn (O) đường thẳng d không đi qua (O) và cắt đường tròn tại 2

điểm A và B. Từ 1 điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn) kẻ 2 tiếp tuyến CM, CN

với đường tròn (M, N (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đt OH cắt CN tại K.

a.Chứng minh 4 điểm C, O, H, N đường tròn

b.Chứng minh KN.KC = HK.KO

c.Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I cách đều CM, CN, MN

d.Một đt đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác

định vị trí của C trên d sao cho diện tích CEF nhỏ nhất.

Documents

On tap hinh hoc 9