Operaciones Básicas de Números Racionales · PDF fileMatemática – Operaciones Básicas de Números Racionales - 2 C GUIA DIDACTICA Operaciones Básicas de Números Racionales

GUIA DIDACTICA

Operaciones Básicas de Números

Racionales

Autor: Prof. Dennar Oropeza

San Felipe, Septiembre 2009

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-- MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA--

Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales - 2

GUIA DIDACTICA

Operaciones Básicas de Números

Racionales

Datos de Identificación

Elaborado por: Dennar Oropeza

e-mail: [email protected];

Fecha Elaboración: Septiembre de 2010

Fecha de Última Actualización: Enero de 2011

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL EEXXPPEERRIIMMEENNTTAALL DDEELL YYAARRAACCUUYY PPRROOGGRRAAMMAA DDEE EEDDUUCCAACCIIOONN SSEEMMIIPPRREESSEENNCCIIAALL

CCIIEENNCCIIAA DDEELL DDEEPPOORRTTEE CCUURRSSOO IINNTTRROODDUUCCTTOORRIIOO

-- MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA--

mailto:[email protected]

◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π


Tabla de Contenidos

Introducción .......................................................................................................................................... 3

Objetivos Específicos de Aprendizaje ........................................................................................... 3

Contenidos ............................................................................................................................................ 4

Operaciones Básicas de los Números Racionales (Q) .......................................................... 4

Desarrollo del Aprendizaje ................................................................................................................ 4

Operaciones Básicas de los Números Racionales .................................................................. 4

1. Conjunto de Números Racionales (Q) ............................................................................ 4

1.1. Fracciones Reducibles e Irreducibles ........................................................................... 7

1.2. Operaciones de los Números Racionales ................................................................... 9

1.2.1. Adición o Suma y Resta o Sustracción en Q............................................................... 10

1.2.2. Multiplicación o Producto en Q. ....................................................................................... 13

1.2.3. División o Cociente en Q .................................................................................................... 14

1.2.4. Potenciación en Q ............................................................................................................ 15

1.3. Las expresiones decimales ...................................................................................................... 16

1.3.1. Las décimas .................................................................................................................. 22

1.3.2. Las centésimas ............................................................................................................. 23

1.3.3. Las milésimas ................................................................................................................ 23

Referencias Bibliográficas ............................................................................................................... 37

Introducción

Ahora seguimos con el repaso de los Números Racionales (Q), sus operaciones

básicas de adición, sustracción, producto y cociente, donde afianzaremos la Ley de

los Signos. Sigue trabajando y con mucho ánimo estudiarás esta guía. Cualquier

duda o interés en particular, puedes escribir un correo electrónico a tu facilitador.

Pues, a trabajar!!!!

Objetivos Específicos de Aprendizaje

Luego de culminar esta unidad de estudio, amigo estudiante serás capaz de:

Determinar Fracciones Reducibles y convertirlas en Irreducibles

Identificar las propiedades de las adición, sustracción, producto y cociente en Q

Resolver las operaciones básicas en Q, aplicando sus propiedades

Aplicar la ley de signos en la resolución de las operaciones básicas en Q.



Contenidos

Operaciones Básicas de los Números Racionales (Q)

1. Conjunto de Números Racionales (Q)

1.1. Fracciones Reducibles e Irreducibles

1.2. Operaciones de los Números Racionales

1.2.1. Adición o Suma y Resta o Sustracción en Q

1.2.2. Multiplicación o Producto en Q.

1.2.3. División o Cociente en Q

1.2.4. Potenciación en Q

1.3. Las expresiones decimales

1.3.1. Las décimas

1.3.2. Las centésimas

1.3.3. Las milésimas

Desarrollo del Aprendizaje

Operaciones Básicas de los Números Racionales

1. Conjunto de Números Racionales (Q)

Cuando existe insuficiencia de encontrar soluciones de la división o cociente entre

dos números enteros en el conjunto de números enteros, se muestra la necesidad de

ampliarlo. El símbolo b

a, lo denominaremos Fracción o Número Racional de

numerador a y denominador b, donde a Z y b Z*; por lo tanto, el conjunto de

Números Racionales, es denotado por la letra Q, y está conformado por todas estas

fracciones ya definidas; es decir:

Q = b

a a ( Z y b ( Z*; (

Por ejemplo:

� EMBED Equation.3 ��; � EMBED Equation.3 ��; � EMBED Equation.3

Q 9

4; Q

5

2;

En cambio: Q0

2; Q

0

0

Porque el denominador de una fracción debe ser diferente de cero (0).



Actividad de Control:

¿Cuánto es tres cuarto de cuatro novenos?

Ahora, en este conjunto de números se pueden encontrar expresiones

matemáticas no tan parecidas que ofrecen un mismo resultado, son las

denominadas Fracciones Equivalentes. Una muestra de ello es:

2

1 Que gráficamente está representado por y

4

2 Que gráficamente está representado por

Ambas fracciones representan la misma porción del rectángulo, por lo tanto son

equivalentes:

2

1

4

2

Caso contrario sucede con

3

1 Que gráficamente está representado por y

3

2 Que gráficamente está representado por

Ambas fracciones NO representan la misma porción del rectángulo, por lo tanto NO

son equivalentes:

3

1

3

2

Otra forma de comprobar es revisando si el producto del numerador de la primera

fracción con el denominador de la segunda fracción es igual al producto del

denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, o

dicho de otra forma, que sus productos cruzados son iguales. Por ejemplo lo mismos

casos anteriores:

2

1 y

4

2, Así: 2*244*1

2

1

4

2

Caso contrario sucede con

3

1 y

3

2; Así:

6362*3

33*1

3

1

3

2



Otros ejemplos son:


Es tu turno!!!!!! Indica qué pares de fracciones son equivalentes justificando

gráficamente:

a. 5

1 y

15

3; b.

2

7 y

14

49; c.

12

9 y

4

3

d. 6

8 y

6

8 e.

4

3 y

24

18

f.

27

63

y

3

7


Indica cuál es el número simétrico de: -110/2; 3/-67; -5/-6 y 10/2.

Ahora observa con detenimiento la siguiente imagen y verás en algunos

ejemplos las relaciones “mayor que” y “menor que” en las fracciones:




Revisa esta lectura, tiene información importante y entretenida para ti EL HOMBRE QUE CALCULABA

(Capitulo XX)

1.1. Fracciones Reducibles e Irreducibles

Al hablar de fracciones, se pueden encontrar un grupo de ellas que se pueden

expresar de una forma más simple, mediante la reducción tanto su numerador como

su denominador por un mismo número; a éstas se les llama Fracciones Reducibles.

Caso contrario se denominan Fracciones Irreducibles. Estos casos se pueden

entender mejor mostrando un ejemplo.

Ejemplo: 60

100 es una fracción reducible, porque se tanto el numerador como el

denominador pueden dividirse por un mismo número. Así:



60

100 =

10/60

10/100

6

10

2/6

2/10

3

5

En este caso, primero se dividió por diez (10) tanto numerador como denominador

porque ambos son múltiples de 10, seguido de una división por 2 porque tanto

numerador como denominador tienen mitad. En consecuencia 3

5 es una fracción

irreducible porque el numerador tiene quinta parte (divisible por cinco) y el

denominador tiene tercera parte (divisible por 3) y deben tener divisibilidad por un

mismo número.

Otra forma: 60

100 =

2/60

2/100

30

50

2/30

2/50

15

25

5/15

5/25

3

5

Como ambos números tienen mitad, se dividen entre 2. El resultado siguiente

también tienen mitad, entonces se divide entre 2 otra vez. A continuación

observamos que ambos números terminan en cinco (5), por lo que ambos son

divisibles entre cinco (5). Finalmente se obtiene la fracción irreducible 3

5

Otro Ejemplo: 105

70 =

5/105

5/70 =

21

14 =

7/21

7/14 =

3

2

De la misma forma se analiza este ejemplo: Ambos números terminan en cinco (5),

por lo que ambos son divisibles entre cinco (5). Seguidamente se observa que el

numerador tiene mitad pero el denominador tiene tercera parte, entonces, ni mitad

y ni tercera parte; no terminan en cinco, por lo que no tienen quinta parte, A

continuación el numero primo que sigue es siete (7) y al chequear ambos números

son divisibles entre siete (Son múltiples de 7), entonces se divide entre 7. Finalmente

se obtiene la fracción irreducible 3

2.




Para comprobar que entendiste, encuentra la fracción irreducible de:

a. 15

12

b. 75

505

c. 840

120 d.

154

242

1.2. Operaciones de los Números Racionales.

Las operaciones matemáticas de los números racionales cumplen las mismas

propiedades que los números naturales y enteros. Lo particular es que los números

racionales son fracciones que pueden o no poseer el mismo denominador y ese

detalle hace que las operaciones realicen con más detenimiento.



1.2.1. Adición o Suma y Resta o Sustracción en Q.

Si las fracciones tienen IGUAL DENOMINADOR, se

coloca el denominador común y se suman

algebraicamente los numeradores. Si es posible se

simplifica la fracción obtenida.

Vamos a resolver los siguientes ejemplos:

a. 2

17

2

6

2

1 =

Solución:

2

17

2

6

2

1 =

2

1761 (Se coloca el denominador común, en el numerador

todos los valores de las fracciones)

= 2

618 (Se suman positivos con positivos y negativos con negativos)

= 2

12 (Se restan porque tienen diferentes signos)

= 6. (Como el numerador es divisible por el denominador

entonces se pudo reducir la fracción)

b. 10

8

10

9

10

7

10

5 =

Solución:

Se coloca el denominador común, en el numerador todos los valores de las

fracciones con sus respectivos signos:

10

8

10

9

10

7

10

5 =

10

8975

Se suman positivos con positivos y negativos con negativos

= 10

1712

Se restan porque tienen diferentes signos, y se coloca el signo del número mayor

= 10

5



Tanto el numerador como el denominador son divisibles por cinco (5), entonces se

puede reducir la fracción; además el signo negativo del numerador se divide por el

signo positivo del denominador, así

= 5/10

5/5

=

2

1 .

Si las fracciones poseen DIFERENTES DENOMINADOR, se reducen las fracciones a

común denominador mediante el uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre

ellos, y posteriormente se suman los numeradores.

Ahora fíjate en los siguientes ejemplos:

a.

4

1

18

7

3

2

5

3 =

Solución:

Lo primero que se hace es eliminar el paréntesis, recordando la multiplicación del

signo de cada fracción con el signo que está fuera del paréntesis

a.

4

1

18

7

3

2

5

3 =

4

1

18

7

3

2

5

3

Ahora encontramos el m.c.m. de los denominadores, así:

m.c.m.(5, 3, 18, 4) = 180

(Este valor será el denominador común)

Con este valor en el denominador, resolvemos de la siguiente forma: Dividimos 180

entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplicamos por su

respectivo numerador formando la suma algebraica.

35

180 = 108 ; 2

3

180 = 120; 7

18

180 = 70; 1

4

180 = 45

= 4

1

18

7

3

2

5

3 =

180

4570120108

En el numerador se suman positivos con positivos y negativos con negativos,

manteniendo igual el denominador



= 180

190153

Finalmente se restan porque tienen diferentes signos, quedando una fracción

irreducible

=

180

37

180

37

Resumiendo

a.

4

1

18

7

3

2

5

3 =

4

1

18

7

3

2

5

3 =

180

4570120108 =

180

190153=

180

37

y ahora,

b.

4

3

7

1

5

2

5

4

3

2 =

Solución:

De manera análoga lo resolvemos:

4

3

7

1

5

2

5

4

3

2 =

4

3

7

1

5

2

5

4

3

2 (Se elimina el paréntesis)

= 4

3

7

1

5

2

5

4

3

2

(Se agrupan para restar porque tiene

el mismo denominador)

= 4

3

7

1

5

2

3

2 (Se realiza la operación algebraica)

m.c.m. (3, 4, 5, 7) = 420 (Se determina el m.c.m. de los denominadores)

Se escribe en el denominador el valor del m.c.m. y el numerador está conformado

por los resultados de dividir 420 entre el denominador y multiplicarlo por el

numerador de cada fracción:

23

420x 280; 2

5

420x 168; 1

7

420x 60; 3

4

420x 315

Entonces:



= 420

31560168280 (Se sustituye)

= 420

60763 (Se suman los términos de igual signo)

= 420

703 (Se resta porque los términos son de diferentes signo

resultando una fracción irreducible)

Resumiendo

4

3

7

1

5

2

5

4

3

2 =

4

3

7

1

5

2

5

4

3

2 =

4

3

7

1

5

2

5

4

3

2

=

4

3

7

1

5

2

3

2 .

= 420

31560168280 =

420

60763 =

420

703

1.2.2. Multiplicación o Producto en Q.

Para realizar el producto entre dos números racionales b

a y

d

c, solo se debe

multiplicar numeradores y denominadores entre si, es decir: d . b

c . a

d

c .

b

a

Por ejemplo: 35

28

5 . 7

7 . 4

5

7 .

7

4

Y si observas un poco, la fracción resultante es reducible, porque tanto 28 como 35

son divisibles por cinco (5), entonces:

5

4

7/35

7/28

35

28

Otra forma de operar en el ejemplo, es que si chequeamos en el momento de la

multiplicación en el numerador existe un valor igual a uno ubicado en el

denominador, por lo que se pueden simplificar:

5

4

5 . 7

7 . 4

5

7 .

7

4

¿Crees tú que simplificar dos números en una fracción significa que al multiplicar y

dividir por un mismo número resultará la unidad?



Observa esto:

1.2.3. División o Cociente en Q.

Para dividir b

a y

d

c, solo se debe multiplicar

b

a por la fracción inversa de

d

c, es decir

c

d , por lo que:

c . b

d . a

c

d.

b

a

d

c

b

a dice que para

Otra forma de visualizar esta operación matemática, se dice que para dividir b

a y

d

c,

se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la

segunda fracción y este producto irá en el numerador del resultado; y el multiplicar

el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda irá ubicado

en el denominador del resultado. Esto se conoce como producto en cruz. Un

ejemplo de ello es:

5

7

7

4

5

7

7

4

7 . 7

5 . 4

49

20



1.2.4. Potenciación en Q.

Si b

a es un racional y n un número natural, la potencia de

b

a elevado a la n es el

producto n veces de b

a: veces) (n

b

a...

b

a.

b

a.

b

a.

b

a.

b

an

b

a

.

Recordemos que lo manejamos en la Guía Didáctica de potenciación en N. Sin

embargo, acá tenemos algunos ejemplos:

a. 8

27

2

3.

2

3.

2

3

2

33

2

33

3

b.

27

125

27

125

3

(-5).

3

(-5).

3

(-5)

3

)5(3

3

53

3


Ya tienes que ejercitar!!!! Efectúa y expresa el resultado como una fracción

irreducible.

a. 5

9

5

1

5

3 b.

2

1

5

9

7

1

7

3

c.

6

1

5

10

7

1

6

3 d.

2

1

11

777

3

9

8

1

e. 1 . 7

1 .

6

3 f. 1

7

1

6

3

g.

36- .

3

1 .

6

3 h.

6

1

6

12

i.

5

7

2 j.

4

5

1

k.

4

4

3.

5

3

4 l.

2

2

11

772

3

9

2

1

m. Elisa recorre en bicicleta 9

60Km los sábados y

9

60km los domingos. ¿Cuántos

Kilómetros recorre Elisa en 3 sábados y 3 domingos?

n. Maribel tiene 3

16Kg de azúcar. Si los quiere colocaren 3 recipientes con igual

cantidades cada uno. ¿Cuántos Kilogramos debe colocar en cada recipiente?



1.3. Las expresiones decimales

Las expresiones decimales es otra forma de escribir las fracciones, quebrados o

números racionales. Resulta del cociente o división entre el numerador y el

denominador (Recordando que el denominador debe ser diferente de cero). Un

número decimal consta de dos partes: una parte entera seguida de una coma y

posterior a ella la parte decimal. Un ejemplo de ello es:

375,38

27 ES DECIR,

En el siglo XVI D.C., los matemáticos europeos comenzaron a notar

la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números

fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10. Por

ejemplo:

Ciertamente, para sumar las fracciones anteriores bastaba con

tomar 10.000 como denominador común y se resolvía:

Entonces, este tipo de fracción se llama fracción decimal.

Un ingeniero y matemático holandés llamado Simón Stevin inventó en el S. XVI un

método para hacer cálculos con fracciones decimales sin usar el denominador. Por

ejemplo, escribía

como

como

27 8

30 3,375

60

40

00



como

Al sumar estos números, se obtenía:

En realidad su método no fue muy aplicado, pero su idea fue tomada por un gran

matemático escocés, Napier, quien desarrolló, a partir de la proposición de Stevin,

otra forma de escribir las fracciones decimales. Al principio, colocó una línea debajo

de los dígitos del numerador, de esta manera:

Posteriormente en 1617, este matemático propuso el uso de una coma o un punto

para separar la parte entera de la parte decimal:

Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que

hoy se llaman números decimales. A partir de esto, se encontró la forma de expresar

cualquier fracción como un número decimal.

Pero también recuerda lo siguiente: en el sistema inglés, este número es expresado

usando un punto entre el entero y el decimal; mientras que en el sistema

internacional se usa una coma, acá usaremos dicho sistema. No obstante, es bueno

que lo identifiques y que estamos hablando del mismo número.



Sistema Internacional Sistema Inglés

La mayor facilidad para los cálculos radica en que sólo se efectúan las operaciones

con números enteros y no ya con fracciones. Ejemplo de ello es:

En la forma decimal, se obtiene (2,5)(0,03), sólo se requiere que se

multipliquen los números enteros y luego se le coloca la coma de forma

que se corra la coma 3 dígitos o espacios ocupados a la derecha:

O sea:

Los números decimales se usaron y se siguen usando no sólo para representar

fracciones decimales, sino cualquier fracción en general.

Para obtener un número decimal, es necesario dividir el numerador de una fracción

por su denominador (como decimos: entre el denominador)

Por ejemplo,

Ocurre con algunas fracciones algo curioso: cuando se realiza la división del

numerador entre el denominador, se obtienen cifras decimales que se repiten

indefinidamente, como en el caso de .

Al efectuar la división, en cada paso se obtiene resto igual a 2 y así, la expresión

decimal en cuestión es:

Punto

Entero Decimal

1 2

0,5 10

0

5 2

2,5 10

0



=

Los puntos suspensivos indican que la sucesión de 6 ¡no tiene fin! Esta expresión se

llama expresión decimal periódica. El número que se repite, en este caso, el 6, es

llamado el período de la expresión decimal.

En algunos casos, el período tiene más de una cifra, por ejemplo:

El período de la expresión decimal periódica de es 142857.

Hay casos en los que la expresión decimal periódica tiene esta forma:

En este ejemplo, el período comienza después de las cifras decimales: 01. Estas dos

cifras conforman el anteperíodo de la expresión decimal.

Se verá a continuación cómo se logra expresar como fracción, un número que está

escrito en su expresión decimal, bien sea con un número finito de cifras decimales, o

por un período.

No obstante, existen números que en su expresión decimal tenga

una cantidad infinita de cifras decimales no periódicas, es decir,

que las cifras no se repitan con ningún patrón y que sea ilimitado

su número. Tales números sí existen y son llamados irracionales. Un

número irracional es un número no racional porque no se puede

poner como cociente de dos números enteros

La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas

figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como

unidad el lado del mismo es Ã; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando

como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es

aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como

unidad su diámetro es el número irracional p (pi).

20 3

6,666 20

20

20

2




Revisa este video, tiene información importante y entretenida para ti

El número áureo

La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no

periódicas. Ejemplo:

795...462643383235897932383,14159265

097...801688724223730950481,414213562

527...360287471384590452352,71828182e

Es muy importante saber reconocer, entre dos números decimales, cuál es mayor.

Por ejemplo, entre 5,9 y

6,1, sabemos reconocer a

6,1 como el mayor de los

dos, porque la parte

entera de 6,1 es 6, que es

mayor que 5, y no importa

que la parte decimal de

6,1 sea 1, mientras que la

de 5,9 es 9, que es mayor

que 1. Para visualizar un

poco de lo hablamos,

observa esta imagen, es la

recta real donde

ubicamos los decimales,

se muestran otros

ejemplos:

Para leer un decimal, hay que considerar las posiciones de sus dígitos y en esta

gráfica se puede ver con facilidad:



Notación de mayor a menor:

Si dos o más números decimales tienen un entero del mismo valor, será mayor aquel

que tenga el primer número mayor después de la coma; y si este es igual, será

mayor aquel que tenga el siguiente número más grande..

Ejemplos (ordenado de mayor a menor):

4,90000000123

4,78000008

4,69

4,67

4,64759

4,5678

4,45

4,32

4,0000786789

4,0000000000000234

En el cubo hay 10 capas o placas. Cada placa es la décima parte del cubo: 1/10 =

0,1. Un cubo tiene 10 capas; 1 unidad = 10 décimas, El cubo se compone de 100

columnas o tiras. Cada tira es la centésima parte del cubo: 1/100 = 0,01.

Un cubo tiene 100 tiras; 1 unidad = 100 centésimas.

Cada placa se compone de 10 tiras: 1 décima = 10 centésimas.



El cubo se compone de 1000 cubitos. Cada cubito es la milésima parte del cubo:

1/1000 = 0,001.1 unidad = 1000 milésimas. 1 unidad = 10 décimas; 1 décima = 10

centésimas; 1 centésima = 10 milésimas.


Escribe en milésimas estos decimales.

1 unidad =

1 décima =

1 centésima =

1 décima =

1 unidad =

1 centésima =

1 unidad =

1 unidad =

1 unidad =

1.3.1. Las décimas

Un cubo tiene 10 placas. Una unidad = 10 décimas. 1 décima = 0,1.

Lo números decimales tienen una parte entera separada por una coma de la parte

decimal. Ejemplo: 2,7 se lee: dos enteros y siete décimas o dos coma siete.


¿A qué número corresponde esta expresión?

Un entero y seis décimas =

Dos enteros y cinco décimas =

Siete enteros y ocho décimas =

Cero enteros y dos décimas =

Catorce enteros y tres décimas =

Ciento siete enteros y nueve décimas =



1.3.2. Las centésimas

El cubo tiene 100 columnas o tiras.

1 unidad = 100 centésimas. 1 centésima = 0,01

1,52 se lee: Un entero y cincuenta y dos centésimas o uno coma cincuenta y dos.


Realiza esto:

Un entero y cuarenta y dos centésimas =

Dos enteros y veintidós centésimas =

Catorce enteros y tres centésimas =

Trece enteros y siete décimas =

Ocho enteros y cinco centésimas =

Ciento siete enteros y seis décimas =

1.3.3. Las milésimas

El cubo tiene 1000 cubitos. Cada cubito es la milésima parte del cubo. 1 unidad =

1000 milésimas. 1 milésima = 0,001. 6,125 se lee: Seis enteros y ciento veinticinco

milésimas o seis coma ciento veinticinco.


Realiza esto:

Cinco enteros y doscientas veintitrés milésimas =

Siete enteros y treinta y dos centésimas =

Catorce enteros y cinco décimas =

Ciento siete enteros y ocho centésimas =



Tres mil enteros y tres milésimas =

Veinte enteros y doscientas siete milésimas=

Setenta enteros y cinco décimas =

Sesenta enteros y seis centésimas =

Ciento ocho enteros y cuatro décimas =

Seis enteros y tres centésimas =

En el deporte, es muy importante tener claro este aspecto matemático porque los

records, las posiciones en la tabla de competencia que indica ganadores, los

tiempos, las velocidades, distancias, así como otras tantas variables son medidas en

números decimales y pequeños valores en ellos marcan una gran diferencia.

Las calificaciones de una atleta en Gimnasia Olímpica en una de sus ejecuciones

son basadas en una escala de 1 al 10 con tres decimales. Ejemplo de ello:

En su primera ejecución obtuvo 8,991, la segunda: 9,001 y la tercera 8,981. La media

de ella es 8,991; la mejor ejecución fue la segunda seguida de la primera y por

última la tercera ejecución. Se leen de una manera sencilla:

9,001: Nueve enteros con una milésima

8,991: Ocho enteros con novecientos noventa y un milésimas

8,981: Ocho enteros con novecientos ochenta y un milésimas.

Pero también se encuentra en lo cotidiano, en un puesto de venta de hortalizas

como se ve en la imagen:



Donde la lechuga tiene un valor de 0,56$ (cero entero con cincuenta y seis

centésimas, o simplemente cincuenta y seis centésimas); así como el tomate vale

uno con cinco décimas (1,5 $)

Lo importante es recordar cómo escribir una cifra numérica y posicionarla según

convenga.

Recuerda que no se pueden sumar lapiceros con balones. Tampoco

podemos sumar enteros con décimas y centésimas. Hay que sumar enteros

con enteros, décimas con décimas y centésimas con centésimas. Por eso

has de escribir los enteros debajo de los enteros y los decimales debajo de los

decimales.

Ejemplo: 2,7 0,37

+ 1,85 + 14,013

________ ________

¿Están bien o mal colocados estos números decimales para la suma?

3,25

+1,835

13,08



+1,29

121,2

+ 14,37

121,2

+ 14,37

12,3

+124,7

Escribe estos números en un papel y resuelve las sumas:

2,3 + 5 =

1,108 + 0,017 =

7 + 0,45 =

25,508 + 18,36 =

5,75 + 0,3 =

Transforma las expresiones de palabras a números decimales y súmalos.

siete enteros y seis centésimas MÁS ciento cinco enteros =

treinta y seis milésimas MÁS tres enteros y dos décimas =

doce milésimas MÁS trece décimas =

ocho enteros y seis centésimas MÁS doce enteros y dos décimas =

Un entero y cuatro milésimas MÁS siete centésimas =

Actividad de Control :

Consulta cómo se hacen problemas y luego resuelve éstos:

Juan tiene 5,5 dólares y su madre le dio 7 dólares. ¿Cuántos tiene ahora?

El lunes ando 112,50 metros y el martes 310,45 metros. ¿Cuántos m. he andado entre

los dos días?

Un pan pesa 1,05 kilos y otro 0,95 kilos. ¿Cuánto pesan entre los dos?

Una botella contiene 0,75 litros y otra 1,5 litros. ¿Cuántos litros contienen entre las

dos?

http://www.aplicaciones.info/decimales/problemas.htm



Una manzana pesa 0,35 kilos, otra 0,251 kilos y la tercera 0,1 kilos. ¿Cuánto pesan

entre las tres?

Para hacer la resta de números decimales ten en cuenta tres cosas:

1. Se coloca el sustraendo (el menor) debajo de minuendo (el mayor) de forma que

coincidan en columna las comas y las unidades del mismo orden.

2. Si el minuendo y el sustraendo no tienen el mismo número de cifras decimales, se

agregan al minuendo o al sustraendo los ceros necesarios para que ambos tengan

igual número de cifras decimales.

3. Se efectúa la resta como si fueran dos números enteros, colocando la coma en el

resultado debajo de la columna de las comas.

Ejemplo: 3 -> 3,00

- 1,25 -> 1,25

_______ ______

1,75 -> 1,75

Recuerda que el minuendo = sustraendo + diferencia (o resultado) y comprueba

que la resta está bien hecha.

¿Están bien o mal colocados estos números decimales para la resta?

4,25

-3,128

4,00

-1,83

3,85

- 7

3,450

- 4,128

8,37

- 5,00

Escribe estos números en un papel y resuelve las restas:

3,24 - 1,18 =

5 - 4,55 =

12,3 - 9,38 =



7,376 - 5 =

25 - 13,5 =

Transforma las expresiones de palabras a números decimales y réstalos.

Ejemplo: cinco enteros MENOS cuatro enteros y cinco décimas: 5 - 4,5 = 0,5

dos enteros y setenta y cinco centésimas MENOS cero enteros veinticinco centésimas =

cinco enteros MENOS ocho milésimas =

catorce enteros y seis centésimas MENOS ochenta milésimas =

cincuenta enteros MENOS dos enteros y tres décimas =

veintiocho centésimas MENOS treinta y dos milésimas =

Actividad de Control :


Miguela tiene 2,50 euros y se gasta 1,25 euros en chucherías. ¿Cuánto le queda?

Una cuerda mide 1,35 metros y otra 0,75.

¿Cuánto miden entre las dos si se colocan una a continuación de otra?

Esteban tenía 5,25 dólares y se gastó 4 dólares. ¿Cuánto le queda?

El jueves hice un paseo de 1,35 kilómetros y el domingo otro de 2,3 kilómetros.

¿Cuántos km. hice entre los dos días?

Una botella contiene 1,5 litros. Si sacamos 0,5 litros. ¿Cuántos litros le quedan?




Para multiplicar un número entero por 10 se le añade un cero a la derecha.

Ejemplo: 65 x 10 = 650

Cuando el entero se multiplica por 100 se le añaden dos ceros: Ejemplo: 7 x 100 = 700

Para multiplicar un entero por 1000 se le añaden tres ceros. Ejemplo: 523 x 1000 =

523000

Resuelve estas multiplicaciones:

5 x 100 =

48 x 10 =

7 x 1000 =

32 x 10 =

128 x 100 =

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000..., se corre la coma hacia la

derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. Si es necesario se

completan los lugares con ceros.

Ejemplo: 5,4 x 10 = 54; 0,7 x 100 = 70; 0,123 x 1000 = 123

0,01 x 100 =

15,3 x 1000 =

0,00025 x 10 =

2,1 x 100 =

0,25 x 1000 =

Para multiplicar un número decimal por un número entero se multiplica como si

ambos números fueran enteros y en el producto se separan tantas cifras decimales

como tiene el número decimal multiplicado

Ejemplo: 2,57

x 6

--------

15,42



Escribe estas operaciones sobre un papel y resuelve las operaciones.

127 x 9,5 =

6,25 x 5 =

1,26 x 17 =

9,20 x 15 =

147 x 12,1 =

Para multiplicar un número decimal por otro decimal, los multiplicamos como si no

tuvieran coma, osea, como si fuesen enteros. Luego, contamos las cifras decimales

que hay entre los dos números y separamos el mismo número de cifras en el

producto.

Ejemplo: 13,5

x 0,03

--------

0,405

Realiza estos ejercicios en un papel y selecciona la respuesta:

5,3 x 1,12 =

3,4 x 6,12 =

1,15 x 12,25 =

1,125 x 300,7 =

8,32 x 1,01 =


Un padre dio a cada uno de sus tres hijos 2,55 euros a cada uno. ¿Cuánto dinero les

dio a todos?

Una botella de vino contiene 1,50 litros y otra 2,50 litros. ¿Cuánto tienen entre las dos?

Un pan pesa 0,75 kilogramos. ¿Cuánto pesarán siete panes?

Santiago tenía 8,75 dólares y se gastó 3,25 dólares en material escolar. ¿Cuánto le

queda?




Una pera pesa 0,12 kilos. ¿Cuánto pesarán 9 peras?

Para dividir un número que acaba enteros por 10 se tacha un cero. Ejemplo:

70 : 10 = 7

Para dividir un número terminado en ceros por 100, se tachan dos ceros.

Ejemplo: 800 : 100 = 8

Para dividir por 1000 se tachan tres ceros. Ejemplo: 5000 : 1000 = 5

Resuelve estas divisiones:

20 : 10 =

4000 : 100 =

12000 : 1000 =

1500 : 100 =

10000 : 1000 =

Para dividir un número entero por 10, se separa con una coma la última cifra.

Ejemplo: 26 : 10 = 2,6

Para dividir un número entero por 100, se separan con una coma las dos últimas

cifras. 809: 100 = 8,09

Para dividir un número por 1000, se separan las tres últimas cifras. Ejemplo: 5437 :

1000 = 5,437

8 : 10 =

123000 : 10 =

1027 : 100 =

6324 : 1000 =

254 : 100 =

Para dividir un número decimal por un número natural, se hace la división como si

el dividendo y el divisor fueran números naturales, pero se pone una coma en el

cociente al bajar la primera cifra decimal.

Ejemplo 7,32 |_4___

33 1,83

12

0



Escribe estas operaciones sobre un papel y resuelve las operaciones.

14,52 : 3 =

10,75 : 5 =

22,512 : 6 =

5,4 : 12 =

46,17 : 9 =



En un vaso ponemos 0,12 litros de agua; en otro vaso 0,18 y en otro 0,17. ¿Cuánto hay

entre los tres?

El padre de Juan entregó 10,75 euros a sus cinco hijos. ¿Cuánto le tocó a cada uno?

José Luis tenía 12,05 euros y gastó 3,25 en un bolígrafo. ¿Cuánto le queda?

Una bolsa de pipas vale 0,55 dólares. ¿Cuánto costarán 7 bolsas?

Pedro tenía que recorrer 7,25 kilómetros y por la mañana hizo 3,3 km. ¿Cuánto le

falta?

El tío de Andrés quiere repartir 14,52 euros entre sus tres sobrinos. ¿Cuánto dará a

cada uno?

Un cuaderno vale 0,35 bolívares. ¿Cuánto costarán 6 cuadernos?

En una botella hay 1,45 litros y en otra 0,85 litros. ¿Cuánto hay entre las dos?

Un profesor reparte 21,85 bolívares entre los 19 alumnos de la clase. ¿Cuánto dará a

cada uno?

Un lápiz vale 0,15 bolívares. ¿Cuánto costarán 7 lápices?




Para dividir un entero por un número decimal, se suprime la coma del

divisor y a la derecha del dividendo se ponen tanto ceros como cifras decimales

tenga el divisor. Después se continúa la división como si fueran números naturales.

Ejemplo: de 138 : 1,9 pasamos a 1380: 19

Resuelve estas divisiones:

525 : 1,5 =

30 : 1,2 =

208 : 0,4 =

543 : 0,3 =

45 : 0,09 =

Para dividir dos números decimales, se suprime la coma del divisor y se desplaza la

coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras tenga el divisor.

Ejemplo En el dibujo superior pasamos de 10,83 : 1,9 a 108,3 : 19

De 11,83 : 2,7 pasamos a 118,3 : 27

1,024 : 0,16 =

9,72 : 0,09 =

102,4 : 0,32 =

23,8 : 0,13 =

10,83 : 1,9 =

Vamos a repasar los números decimales.

¿A qué número corresponde esta expresión?

diez enteros y tres centésimas

Un entero y nueve décimas

Un entero y veinticuatro milésimas



Transforma estos decimales a unidades.

435 centésimas =

2,5 décimas =

6 milésimas =

Resta estos decimales:

3 - 2,025 =

4,5 - 0,45 =

17,1 - 3,75 =

Multiplica estos decimales:

0,2 x 1,12 =

3,1 x 0,7 =

0,05 x 700 =


Realiza esto: Consulta cómo se hacen problemas y luego resuelve éstos:

Un plátano pesa 0,14 kilogramos.

¿Cuánto pesarán 8 plátanos?

Mariano tenía 7,25 euros y se gastó 3,5 euros en cuadernos. ¿Cuánto le

queda?

Un señor repartió 6,75 euros entre sus tres hijos. ¿Cuánto le tocó a cada




uno?

En una botella hay 1,18 litros y en otra 1,2 litros. ¿Cuánto litros hay entre

las dos?

El profesor reparte 18,9 euros entre los 18 alumnos de su clase. ¿Cuánto

dará a cada uno?

Además,


Escribe estas cifras en números y ubícalas en la recta real.

a) Mil doscientos cincuenta con doce centésimas

b) Dieciocho milésimas

c) Un entero con setecientos diezmilésimas.

Ahora, escribe con palabras las siguientes cifras, ubícalas en la recta real:

a) 2,12

b) 87,0176

c) 9,08977

Otra cosa, ordena en forma creciente las siguientes cantidades:

1251,0012; 1251,012; 1251,12; 1251,0021; 1250,9991; 1251,013; 1251,





Si has acertado en todas tus respuestas, ¡felicitaciones! has hecho un buen progreso

en tu camino a través del mundo de los números. Si has cometido algunos errores,

asegúrate de comprender la causa de los mismos, para no cometerlos nuevamente

en el futuro.

Referencias Bibliográficas

Para el estudio de los números racionales te presentamos un valioso contenido que

debes reforzar con cualquier texto de Matemática de 7mo, 8vo y/o 9no año de

Educación Básica. Sin embargo, les mostramos algunas de ellos:

Baldor, A. 2000. Algebra. Edit. Cultura Venezolana, S.A.

Baldor, A. 2000. Aritmética. Edit. Cultura Venezolana, S.A.

Grupo Editorial Girasol. 2007. Guía- Teórica-Práctica Matemática 7. Terra editores.

Grupo Editorial Girasol. 2007. Guía- Teórica-Práctica Matemática 9. Terra editores.

Suárez, E; Durán, D. 2008. Matemática 9. Editorial Santilana. Caracas

Además pueden revisar estas direcciones electrónicas:

http://www.mamutmatematicas.com/muestras/Fracciones_2_Indice.pdf

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=80

Video de Números Decimales:

http://www.youtube.com/watch?v=vgrj436JX64

http://www.mamutmatematicas.com/muestras/Fracciones_2_Indice.pdf

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=80





http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/fracciones-2.php

http://www.funbrain.com/fract/index.html

http://www.dositey.com/2008/math/mistery2.html

http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/fracciones.php

www.MamutMatematicas.com

http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/fracciones-2.php

http://www.funbrain.com/fract/index.html

http://www.dositey.com/2008/math/mistery2.html

http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/fracciones.php

http://www.mamutmatematicas.com/

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Operaciones Básicas de Números Racionales · PDF fileMatemática – Operaciones Básicas de Números Racionales - 2 C GUIA DIDACTICA Operaciones Básicas de Números Racionales