Operasi Hitung Bentuk Aljabar

  • View
    626

  • Download
    9

Embed Size (px)

DESCRIPTION

yuyu

Text of Operasi Hitung Bentuk Aljabar

OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA

Perhatikan ilustrasi berikut.Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika dinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah.Bentuk seperti (x+5) disebut bentuk aljabar.Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar. Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, 3p, 4y + 5, 2x2 3x + 7, (x + 1)(x 5), dan 5x(x 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan suku tak sejenis. Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut.

1. Variabel, Konstanta, dan FaktorPerhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas.Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, z.Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta.Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x.Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku 6y adalah 6.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenisa) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.Contoh: 5x dan 2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.Contoh: 2x dan 3x2, y dan x3, 5x dan 2y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 3x, 2a2, 4xy, ...

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2x + 3, a2 4, 3x2 4x, ...

d) Contoh: 2x2 x + 1, 3x + y xy, ...Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.Catatan:Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyak disebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajaripemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.CONTOH:Tentukan koefisien dari x2 dan faktor dari masing-masing bentuk aljabar berikut.a. 7x2b. 3x2 + 5c. 2x2 + 4x 3

Penyelesaian:7x2 = 7 X x X xKoefisien dari x2 adalah 7.Faktor dari 7x2 adalah 1, 7, x, x2, 7x, dan 7x2.3x2 + 5 = 3 X x X x + 5 X 1Koefisien dari x2 adalah 3.Faktor dari 3x2 adalah 1, 3, x, x2, 3x, dan 3x2.Faktor dari 5 adalah 1 dan 5.2x2 + 4x 3 = 2 X x X x + 4 X x 3 X 1Koefisien dari 2x2 adalah 2.Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x, x2, dan 2x.Koefisien dari 4x adalah 4.Faktor dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x.Faktor dari 3 adalah 3, 1, 1, dan 3.

B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AljabarPada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.CONTOH:Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut.a. 4ax + 7axb. (2x2 3x + 2) + (4x2 5x + 1)c. (3a2 + 5) (4a2 3a + 2)

Penyelesaian:4ax + 7ax = (4 + 7)ax= 3ax(2x2 3x + 2) + (4x2 5x + 1)= 2x2 3x + 2 + 4x2 5x + 1= 2x2 + 4x2 3x 5x + 2 + 1= (2 + 4)x2 + (3 5)x + (2 + 1) (kelompokkan suku-suku sejenis)= 6x2 8x + 3(3a2 + 5) (4a2 3a + 2)= 3a2 + 5 4a2 + 3a 2= 3a2 4a2 + 3a + 5 2= (3 4)a2 + 3a + (5 2)= a2 + 3a + 3

2. PerkalianPerlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a x (b c) = (a x b) (a x c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

k(ax) = kaxk(ax + b) = kax + kbPerkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

CONTOH :Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.a. 4(p + q)b. 5(ax + by)c. 3(x 2) + 6(7x + 1)d. 8(2x y + 3z)

Penyelesaian:4(p + q) = 4p + 4q5(ax + by) = 5ax + 5by3(x 2) + 6(7x + 1) = 3x 6 + 42x + 6= (3 + 42)x 6 + 6= 45x8(2x y + 3z) = 16x + 8y 24z

b. Perkalian antara dua bentuk aljabarSebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

(ax + b) (cx + d) = ax x cx + ax x d + b x cx + b x d = acx2 + (ad + bc)x + bd

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.

(ax+b)(cx+ d) = ax(cx + d) + b(cx + d)= ax x cx + ax x d + b x cx + b x d= acx2+ adx + bcx + bd= acx2+ (ad + bc) x + bdAdapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai berikut.

(ax + b) (cx2 + dx + e)

= ax x cx2 + ax x dx + ax x e + b x cx2 + b x dx + b x e= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be

CONTOH:Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih.1. (2x + 3) (3x 2)2. (4a + b) (4a + 2b)3. (2x 1) (x2 2x + 4)4. (x + 2) (x 2)

Penyelesaian:Cara (1) dengan sifat distributif.(2x + 3) (3x 2) = 2x(3x 2) + 3(3x 2)= 6x2 4x + 9x 6= 6x2 + 5x 6Cara (2) dengan skema.(2x + 3) (3x 2)= 2x x 3x + 2x x (2) + 3 x 3x + 3 x (2)= 6x2 4x + 9x 6= 6x2 + 5x 6Cara (1) dengan sifat distributif.(4a + b) (4a + 2b) = 4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)= 16a2 8ab + 4ab + 2b2= 16a2 4ab + 2b2Cara (2) dengan skema.(4a + b) (4a + 2b)

= (4a) x 4a + (4a) x 2b + b x 4a + b x 2b= 16a2 8ab + 4ab + 2b2= 16a2 4ab + 2b2Cara (1) dengan sifat distributif.(2x 1) (x2 2x + 4)= 2x(x2 2x + 4) 1(x2 2x + 4)= 2x3 4x2 + 8x x2 + 2x 4= 2x3 4x2 x2 + 8x + 2x 4= 2x3 5x2 + 10x 4Cara (2) dengan skema.(2x 1) (x2 2x + 4)= 2x x x2 + 2x x (2x) + 2x x 4 + (1) x x2 + ( 1) x (2x) + (1) . 4= 2x3 4x2 + 8x x2 + 2x 4= 2x3 4x2 x2 + 8x + 2x 4= 2x3 5x2 + 10x 4Cara (1) dengan sifat distributif.(x + 2) (x 2) = x(x 2) + 2(x 2)= x2 2x + 2x 4= x2 4Cara (2) dengan skema.(x + 2) (x 2) = x x x + x x (2) + 2 x x + 2 x (2)= x2 2x + 2x 4= x2 4

Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan seperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan.Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakat bahwa secara umum bentuk perkalian (x + a) (x a) = x2 a2? Diskusikan hal ini dengan temanmu.3. PerpangkatanCoba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku

an = a x a x a x . x a n faktor

Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar.

CONTOH :Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.1. (2p)22. (3x2yz3)33. (3p2q)2

Penyelesaian:(2p)2 = (2p) x(2p)= 4p2 (3x2yz3)3 = 27x6y3z9(3p2q)2 = 9p4q2

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.Perhatikan uraian berikut.(a + b)1 = a + b koefisiennya 1 1(a + b)2 = (a + b) (a + b)= a2 + ab + ab+ b2= a2 + 2ab+ b2 koefisiennya 1 2 1(a + b)3 = (a + b) (a + b)2= (a + b) (a2 + 2ab + b2)= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 koefisiennya 1 3 3 1dan seterusnyaAdapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn pada suku ke-(n + 1).

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga Pascal berikut.(a + b)0 (a + b)1(a + b)2(a + b)3(a + b)4(a + b)5(a + b)6Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya